Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Большинство «запоминающихся» результатов релятивистской квантовой теории было получено в рамках локального квантовополевого подхода. Выяснение основных принципов локальной теории и ее математической структуры накладывает отпечаток на всю современную деятельность в этой области.
Первоначально аксиоматический подход возник из попытки придать математический смысл квантовополевой теории сильных взаимодействий (юкавского типа). Поля в такой теории реализуются операторами в гильбертовом пространстве с положительным пуанкаре-инвариантным скалярным произведением. Эта «классическая» часть аксиоматического подхода достигла своего современного вида еще в 60-х годах ).
Она сохранила свое значение и по сей день, несмотря на то, что теперь основные надежды на описание как электрослабых, так и сильных взаимодействий связываются с теорией калибровочных полей. Действительно, с точки зрения кварковой модели теория сильных взаимодействий уайтмановского типа получается ограничением рассмотрения лишь «физическими» локальными операторами (такими, как адронные поля, составленные из «фундаментальных» кварковых полей), действующими в гильбертовом пространстве физических состояний. В принципе таких «физических» полей достаточно для описания адронной физики, хотя это означает отказ от традиционного локального лагранжева формализма (связь восстанавливается в приближении низкоэнергетических «феноменологических» лагранжианов). Поэтому желание включить в рассмотрение такие «ненаблюдаемые» (т. е. калибровочно зависимые) фундаментальные поля, как четырехвекторные потенциалы, локальное поле электрона или кварка, которые используются в реальных расчетах по теории возмущений, требуют некоторого расширения и модификации уайтмановской схемы.
Настоящая монография посвящена последовательному изложению принципов локальной квантовой теории поля, включающему калибровочные теории с индефинитной метрикой. Хотя относительное место, выделенное в книге собственно калибровочным теориям, невелико, их включение отразилось на всем ее построении. Большой упор (по сравнению с [Б5]) был сделан на алгебраический подход.
Наряду с преобладающим чисто теоретическим материалом в последнюю часть включены применения развитого аппарата к выводу дисперсионных соотношений и к исследованию поведения сечений взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях.
Книга рассчитана на физиков-теоретиков и математиков, интересующихся проблемами квантовой теории поля и математической физики. Хотя мы стремились по возможности сделать изложение не зависимым от других источников, настоящую книгу нельзя рекомендовать для первоначального ознакомления с квантовой теорией. Кроме знакомства с обычным курсом квантовой механики и с общими представлениями об элементарных частицах и их взаимодействиях, полезно иметь понятия об основах квантовой теории поля, например в рамках [Б9] (или первых
четырех глав [Б8]; см. также [ХЗ, Ш4]). Вспомогательный математический аппарат, выходящий за рамки обязательных курсов на физических факультетах (сведения из функционального анализа, теории обобщенных функций, теории аналитических функций нескольких переменных, словарь теории групп Ли и их представлений), излагается в тексте.
Мы считаем своим приятным долгом поблагодарить наших коллег из Математического института им. В. А. Стеклова, Объединенного института ядерных исследований, Института физики высоких энергий, Института ядерных исследований АН СССР и Института ядерных исследований и ядерной энергетики Болгарской Академии наук за многочисленные полезные обсуждения. Один из авторов (И. Т. Т.) благодарен М. К. Поливанову за гостеприимство в Математическом институте им. В. А. Стеклова в заключительный период работы над книгой.
Январь 1984 г.
Список принятых обозначений
3 395-)G 3 ⑴19(-a о ，51 vk 1 t t 5 丄；(*bs,s,3 川56，2 G (-AAAAA/一21212121213 395-)G 3 ⑴19(-a о ，51 vk 1 t t 5 丄；(*bs,s,3 川56，2 G (-AAAAA/一2121212121匿25匿25565655 44 3 355 44 3 3211 56% 48adm 209adg 185(а"*)(0,(J ”)323О&；L/1；/)543a*(①)，a(①)315, 317旦，Bu 590切(方)45。，СР 325G 188С 14Cn 16, 22CM 335, 384CMn 386CS2 586СГуХ 209£([a, b]) 19£(〃)3030c 55c务 180Da 37, 380盟V⑺，0^⑺3790小(/)361, 3780詳⑺379D^\x) 361, 3780⑺⑺1960 a 300山⑺3055(0)，夕 31211 56% 48adm 209adg 185(а"*)(0,(J ”)323О&；L/1；/)543a*(①)，a(①)315, 317旦，Bu 590切(方)45。，СР 325G 188С 14Cn 16, 22CM 335, 384CMn 386CS2 586СГуХ 209£([a, b]) 19£(〃)3030c 55c务 180Da 37, 380盟V⑺，0^⑺3790小(/)361, 3780詳⑺379D^\x) 361, 3780⑺⑺1960 a 300山⑺3055(0)，夕 31
3 3
9
5
-)G 3 ⑴19
(-a о ，51 vk 1 t t 5 丄；
(*bs,s,3 川56，2 G (-AAAAA/一2121212121
3 3
9
5
-)G 3 ⑴19
(-a о ，51 vk 1 t t 5 丄；
(*bs,s,3 川56，2 G (-AAAAA/一2121212121
匿25
匿25
56
56
5
5 4
4 3 3
5
5 4
4 3 3
211 56
% 48
adm 209
adg 185
(а"*)(0,(J ”)323
О&；L/1；/)543
a*(①)，a(①)315, 317
旦，Bu 590
切(方)45
。，СР 325
G 188
С 14
Cn 16, 22
CM 335, 384
CMn 386
CS2 586
СГуХ 209
£([a, b]) 19
£(〃)30
30
c 55
c务 180
Da 37, 38
0盟V⑺，0^⑺379
0小(/)361, 378
0詳⑺379
D^\x) 361, 378
0⑺⑺196
0 a 30
0山⑺305
5(0)，夕 31
211 56
% 48
adm 209
adg 185
(а"*)(0,(J ”)323
О&；L/1；/)543
a*(①)，a(①)315, 317
旦，Bu 590
切(方)45
。，СР 325
G 188
С 14
Cn 16, 22
CM 335, 384
CMn 386
CS2 586
СГуХ 209
£([a, b]) 19
£(〃)30
30
c 55
c务 180
Da 37, 38
0盟V⑺，0^⑺379
0小(/)361, 378
0詳⑺379
D^\x) 361, 378
0⑺⑺196
0 a 30
0山⑺305
5(0)，夕 31
夕/(〃)60
»川)142
力入(口)122
d(K, an) 235
disc 189
dnp 76
dnx 58, 76
\dnzdnz\ 130
(d@)小 304
dae\ /d cos 0 634
dm…九330
dcr%]戈2—>〃3 …〃九 /d ^Xg ...Xn
m宀一K.../dmK 652 dT^^KJdEK 653 dA 220 3。217
g 338
a0 519
6(C) 122
石⑷421
B(s) 332
E(s) 581
E, En 396, 397
E^ E^ 423
卷(〃)30
畐2,34(s) 596
ex 516
M)403
家，部x-p 76
六)566
•"(О),叭/(U) 315
少a(①1),兄(团)314
3 351
3。351
力⑻633
Gphys 332
G…G吉 544, 550
夕452
% 453
дм 134
8(。)241
/0)216
方in,方。ut 326, 327
買phys 259
分2309
瞰,①卜①"313 分岗516
厶,厶,Ist 136, 137
3 294 in 326 int 104 /(〃)"(/) 569 /п 392
力〃)(/) 547
К, К^ 364, 546, 547
К("Х)⑼
Ki2(s), K34(s) 332 k(s) 631
L, L\ 135, 136
L(C), L+(C) 385 £0i 104 %(川 54 女(ь)82 02([a, b]) 23
Ujx,用 42 ^2(Г+) 305 М^ 296
М% 295
М，Мц 581
М 134, 480
画т 423
Л + , Л_, Л 150, 153 耽 329, 331 次五483
mij 581
N, Ne 631, 655
NJ 296 01(a) 587 ^(R) 485 0(3), 0+(3) 179 0(4), 0(4, C) 421
О汴,O+(d) 161
O(d, С), O+(d, С) 228
out 326
Р 296, 324
Р1 295
Q ⑶ 631
Р^\г) 305
喝标)439
PS(^) 255
PS7r 258
F(w; p) 217
俨⑦)237
w加350
350
w少尸167
中293
фо 293
中]293
中0*) 142
p 339
Q(a, b), Q[a, b] 204
恥(a, b) 194, 195
必⑵an) 232
К 14_
K+, R+ 119
Rn 19
Rn 76
Rn 122
Kg 100, 101
殴(/；〃)541
力:工厂)d,……；/)542
S 326
SL(2,。)138
S小(/) 373
SU ⑵ 179
S(2l) 255
S7r 258
S(x)，S*(x) 464
Sf；「回…，g) 425
乡华)96
乡(g 31
9ro 31
9(Q)G 160
9(K% <) 166
外小(Q) 19
9(C) 98
RR) 59
^(i?n |Q) 99
乡彳gG 160
乡彳 K"/) 166
0(K% 夕/尸 166, 167
Г^ 442
S(x) 564
7м 335
S, Sphys 331
75 335
Smin(T)633
銹(@), Ь/(0)308
supp 63, 64
5(/) 60
总;广"）（/1，…，/九）423
130
Г 324, 334
£ 139
TCP 324, 401
Ski 138
Tq(s, t) 334
e入“0 14°
T(s, t, G，G) 589
£ ⑴ 196
т+ 113
£р(7Г)393
小359 储（2）634 夕328
© 452
©о 520
ec{Rn) 79
夕九390
eM(Rn) 69
产105
e(/) 67
夕;；359
无 320, 348
夕^ 393
П 328, 331
S(〃)，宅⑺ 536 t 331
71> 50
穴phys 259
力min,力max 332
Cel (力 Got(S)634
tr 53
万s,万，负力294
U叫 и” и^п 315
^tot(s) 641
U&),。(厶)，U(") 324
a(V), a(V,次)190
〃(八)，〃(厶)，m") 325
cr~)352
勿[as】309
C”1 ”2~ri 330
и 331
Cqw—k…652
匕 V 135
V土，尸，蓝 135
Tj 138
Tmin, Tmax 601
吟29
V^ 349
,жп) 535
Ji) 358
,жп) 535
X(s) 597
< 155, 166
/(s), 32(s), /34(s) 581
f「К…653
①f 50
①ex,①in,①out 力19户348
519, 520
%, ж 139
岡19
"”)(/, g,公)351
Y^W 632
/ 436
y(j 639
Фо 298
g(s) 639
II Г 30
z, Z+, Z+ 31
^ 19
Z2 179
II IIL 69
a(a,A), a(a，A)297, 350
Л, V 209, 314
a(/s), &(厶)，a(Ist) 323
□ 149
>/) 408
口0）194
a! 217
0 17
同，1例19
〜346
Г 453
<,> 535
Г(А) 38
::368, 374
Г(/), Г(/) 104
* 44, 83
г+, Г- 135, 137
|0〉298, 449
Введение
Место аксиоматического подхода в квантовой теории поля. В физике, как и в математике, аксиоматический метод играет двоякую роль. С одной стороны, он проясняет логические основы данной области, выявляя независимые посылки (скажем, евклидовой геометрии или ньютоновской механики), и тем самым открывает новые возможности. С другой стороны, путем выделения фундаментальных структур он позволяет найти связь между далекими на первый взгляд разделами науки. Такой подход характерен для современной математики, где он привел к возникновению ряда новых областей. Менее склонны замечать роль аксиоматического метода в теоретической физике, где он, однако, еще со времен Ньютона приобрел широкое распространение — и как способ систематизации полученных результатов, и как метод описания новых явлений с помощью выработанных ранее формальных схем. В основе всякой аксиоматики физической дисциплины лежат глубокие физические представления, выраженные в математически непротиворечивой форме. Замечательно то, что формальные схемы порой содержат больше, чем в них первоначально закладывалось (примеры: принцип действия, канонический формализм, ансамбль Гиббса). Отсюда проистекает и обратное влияние математических структур теоретической физики на формирование физических представлений.
В ЗО-е годы аксиоматический метод был с успехом применен (в работах Иордана, фон Неймана, Вигнера) к квантовой механике (см. [Н4]; в качестве примеров более позднего развития этого направления можно рекомендовать книги [Ml, Х7]). Структурный анализ квантовой механики привел к замечательному синтезу физических и математических идей, которые стали частью общепринятого формализма квантовой теории и оказали влияние на развитие математики. (Под стимулирующим влиянием квантовой теории родились новые разделы функционального анализа: теория операторов в гильбертовом пространстве, операторные алгебры, унитарные представления групп, гармонический анализ.) Математические проблемы квантовой теории в большой мере определили интересы современной математической физики.
В квантовой теории поля аксиоматический подход был вызван к жизни в 50-е годы в связи с успехами и трудностями метода возмущений в лагранжевой квантовой теории поля. Разработанный в методе возмущений аппарат перенормировок привел к блестящему успеху в квантовой электродинамике, где параметр разложения — константа связи — мал, так что для сопоставления с экспериментом можно было ограничиться первыми членами ряда теории возмущений. Однако этот метод оказался непригодным для описания сильных взаимодействий элементарных частиц (где эффективная константа связи больше единицы). Лучшее, что дает теория перенормировок, — это формальный бесконечный ряд для решений квантовополевых уравнений в классе физически интересных перенормируемых лагранжианов. Аксиоматический подход был призван в первую очередь ответить на вопрос, что скрывается за этими формальными бесконечными рядами. Для этого потребовалось создание новых принципов квантовой теории поля, отличных от лагранжева метода с его теорией возмущений ).
Первая попытка выйти за рамки лагранжева подхода восходит к Гейзенбергу (1943). Анализируя, что на самом деле измеряется в физике элементарных частиц, Гейзенберг приходит к выводу, что основной наблюдаемой является матрица рассеяния, и предлагает строить теорию непосредственно в терминах элементов 5-матрицы, устраняя понятие поля, адиабатическую гипотезу выключения взаимодействия (лежащую в основе теории возмущений) и т. п. Оказалось, однако, что подход Гейзенберга слишком радикален. Полное изгнание локальных величин из теории лишает нас возможности рассматривать развитие системы в пространстве и времени, учитывать принцип причинности. Поэтому развитие аксиоматического метода пошло по пути изучения локальных величин. При этом в самом начале (в 50-е годы) определились по крайней мере три направления.
Формализм Уайтмана выделяет в качестве основных объектов наиболее регулярные величины — квантованные поля в представлении Гейзенберга и вакуумные средние их обычных произведений (функции Уайтмана, аналогичные корреляционным функциям в статистической физике). Функции Уайтмана в принципе позволяют извлечь всю физическую информацию, заключенную в теории. В частности, асимптотическое условие (которое было первоначально сформулировано Хаагом как один из постулатов теории) и матрица рассеяния являются производными понятиями (лишь условие асимптотической полноты остается независимой гипотезой).
В подходе Лемана, Симанзика и Циммермана (ESZ) основными понятиями являются хронологические (или Т-) произведения полей (а также их вакуумные средние — функции Грина) и асимптотическое условие. При этом может показаться, что нет смысла говорить здесь о независимом подходе, поскольку функции Грина и Т-произведения формально выражаются через функции Уайтмана и обычные произведения гейзенберговских полей. На самом деле это формальное определение математически некорректно, так как включает произведение (операторной) обобщенной функции на разрывные ^-функции (это приводит к расходимостям того же типа, что и в теории возмущений). Именно это обстоятельство заставляет принять альтернативную точку зрения, что Т-произведения (или, эквивалентно, запаздывающие произведения) являются исходными объектами теории наряду с гейзенберговскими полями и определяются лишь косвенно при помощи некоторого набора свойств. Такой подход не является наиболее экономичным (поскольку теорию рассеяния можно в принципе развить и не вводя заранее понятия Т-произведения; см. гл. 12), но он практически удобен и приближает нас к традиционному лагранжеву методу.
Подход Боголюбова, Медведева и Поливанова, в котором основным объектом является расширенная (за массовую оболочку) 5-матрица, внешне ближе к первоначальной программе Гейзенберга. В содержательном отношении он тесно связан с параллельно возникшим подходом LSZ, так как расширенная 5-матрица является по существу производящим функционалом Т-произведений операторов тока. В то время как в формализме Уайтмана или LSZ вывод формул редукции (выражающих 5-матричные элементы через функции Грина) нетривиален, в 5-матричном методе эти формулы выводятся автоматически формальным вариационным дифференцированием 5-оператора (или выраженных через него радиационных операторов) по асимптотическим полям. Эффективный учет сложной комбинаторики в операциях такого рода обусловливает практическое удобство 5-матричного метода. Не случайно именно на этом пути впервые были доказаны дисперсионные соотношения.
В 60-е годы в значительной мере были выявлены связи между этими исторически независимо возникшими направлениями. Если отвлечься от некоторых математических тонкостей и технических различий, можно сказать, что все три подхода с равным успехом приложимы к классу квантовополевых теорий с условием
асимптотической полноты. Поскольку это условие существенно используется лишь в последних двух подходах, то формализм Уайтмана является несколько более общим.
Наряду с этим в 60-е годы возникло еще более общее аксиоматическое направление. В работах Хаага, Араки и Кастлера принципы локальной квантовой теории были сформулированы на языке алгебраического подхода, ведущего свое начало от работ фон Неймана и Сигала. Значение этого подхода для общей постановки задач физики систем с бесконечным числом степеней свободы все более возрастает. В частности, он предоставляет способ описания калибровочных теорий, спонтанного нарушения симметрий (а в статистической физике — фазовых переходов, что, однако, выходит за рамки настоящей книги).
Среди различных путей, по которым движется современная теория элементарных частиц, аксиоматический подход занимает сравнительно небольшое место (в особенности, если судить по числу публикаций). Однако недолговечность феноменологических результатов теорий, основанных на ряде специальных допущений, увеличивает интерес к результатам, вытекающим из основных принципов квантовой теории; эти принципы — релятивистская инвариантность, существование полной системы состояний с положительной энергией, причинность.
До сих пор нет полного ответа на основной вопрос, из-за которого возник аксиоматический подход, — совместимы ли принципы релятивистской локальной квантовой теории поля (в четырехмерном пространстве-времени) с существованием нетривиальной матрицы рассеяния. В последнее десятилетие здесь произошел большой сдвиг. Возникла по существу новая область — конструктивная квантовая теория поля (см. [Г7]), в результате развития которой были построены нетривиальные модели в двумерном и трехмерном пространстве-времени. Однако эти модели являются суперперенормируемыми ) и не требуют бесконечной перенормировки заряда. Рассмотрение реалистических перенормируемых моделей в четырехмерном пространстве-времени требует существенно новых методов. Тем не менее достигнутые на этом пути успехи, наряду с обнаружением перенормируемости и асимптотической свободы неабелевых калибровочных полей в традиционном (формальном) подходе ), открывают дальнейшие перспективы развития локальной квантовой теории поля.
План изложения. Часть I носит предварительный характер: она содержит необходимые для дальнейшего сведения из функционального анализа и теории функций. Эта часть местами довольно конспективна и, разумеется, не может заменить систематического изложения всех затрагиваемых вопросов: некоторые доказательства опущены (и заменены подробными литературными ссылками), далеко не все определения и утверждения сопровождаются наводящими соображениями.
Систематическое изложение начинается с части П. После изложения основных понятий квантовой феноменологии на алгебраическом языке формулируются те принципы релятивистской квантовой теории, которые не требуют введения локальных величин: принцип инвариантности относительно группы Пуанкаре (т. е. неоднородной группы Лоренца) и условие спектральности (т. е. существование полной системы физических состояний с неотрицательной энергией).
В части Ш излагается в основном уайтмановская формулировка теории локальных квантованных полей. Подробно разбираются примеры свободных (и обобщен-
ных свободных) полей. Здесь приводится ряд общих результатов: ТСР-теорема, теорема о связи спина со статистикой, теоремы Хаага и Голдстоуна. Одна из глав посвящена обобщению уайтмановского формализма для полей в индефинитной метрике (важность этого класса теорий заключается в том, что сюда попадают калибровочные теории в локальных ковариантных калибровках). Глава о двумерных явно решаемых моделях служит как бы иллюстрацией к формализму Уайтмана и его обобщениям.
Часть IV включает обзор теории рассеяния Хаага-Рюэля, ее связь с теорией LSZ, а также 5-матричный подход.
В части V развитый аппарат применяется к аналитическим свойствам амплитуд элементарных процессов. Несмотря на простоту, идея аналитичности оказала весьма плодотворное влияние ни развитие теории сильных взаимодействий (в этой связи отметим хотя бы дуальные резонансные модели). В нашем изложении представлены основополагающие результаты, выводимые из принципов квантовой теории поля; в первую очередь, это аналитичность по косинусу угла рассеяния, дисперсионные соотношении, кроссинг. Приложениям результатов локальной квантовой теории поля к высокоэнергетическим процессам элементарных частиц посвящена обширная литература (подробную информацию о ней читатель найдет в обзорах [01]). Несколько таких характерных примеров приведено в заключительной главе.
Каждой части предшествует краткое изложение содержания.
В книгу включены дополнения, излагающие вспомогательный материал или вопросы, представляющие самостоятельный интерес. Многочисленные упражнения составляют неразрывную часть текста. На них имеются ссылки в дальнейшем, и, как правило, они снабжены указаниями. Дополнения, упражнения, доказательства, а также некоторые замечания набраны петитом.
Список литературы разделен на две части. В первой из них помещены учебники и монографии; ссылки на них заключены в квадратные скобки (например, [А1]). Вторая часть содержит журнальные статьи, препринты и лекции на семинарах и школах. В тексте ссылки на эту часть списка даются фамилиями авторов (или только первого с добавлением «и др.», если авторов больше двух) и годом публикации (например, Яух и Пирон, 1963).
В конце книги имеется сводка часто встречающихся обозначений. Отметим, что все координаты 4-векторов пространства-времени Минковского М у нас вещественны и метрический тензор в М определяется равенствами
g°° = —дкк = 1 при к = 1, 2, 3 (д〃" = 0 при 从 # % 〃，^ = О, 1, 2, 3).
Трехмерная (пространственная) часть 4-вектора р обозначается жирным шрифтом, так что р = (р°, р), р2 = (р0)2 — р2. Всюду принята система единиц, в которой с = =力=1.
ЧАСТЬ I
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗАИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Краткий обзор
С понятием гильбертова пространства и со спектральным анализом самосопряженных операторов в нем читатель, безусловно, встретился еще при изучении квантовой механики. Параграфы 1.1 и 1.4 содержат дальнейшие сведения из этой области. Из остального материала главы 1 выделим понятие локально выпуклого пространства и конструкцию Гельфанда- Наймана-Сигала (ГНС) представления С*-алгебры.
Неотрицательная функция р(и) на векторном пространстве Q называется полунормой, если она положительно однородна: р{Хи) = |А|р(и) (для любого скаляра А), и удовлетворяет неравенству треугольника р(и + v) < р(и) +@(о). Всякая система полунорм {ра} в пространстве Q, обладающая свойством отделимости \ра(и) = 0 для всех а из данного набора °，влечет за собой 〃 = 0], определяет (отделимую) локально выпуклую топологию на Q. В п. 1.2.А вводится некоторое естественное понятие эквивалентности (взаимной подчиненности) двух систем полунорм; две локально выпуклые топологии над данным линейным пространством Q совпадают в точности тогда, когда эквивалентны порождающие их системы полунорм. Полное (отделимое) локально-выпуклое пространство со счетной системой полунорм называется пространством Фреше. Всякое пространство Фреше метризуемо, и, следовательно, к нему применима теорема Бэра «о категории» (теорема 1.3, п. 1.2.Б).
Инволютивная банахова алгебра 21 называется С*-алгеброй, если ||А*А|| = ||А||2 (п.1.5.А). Это понятие абстрагировано из алгебр ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Линейный функционал F над инволютивной алгеброй 21 называется положительным, если F(A*A) > 0 при всех А из 21 (п. 1.5.В). Конструкция ГНС позволяет по данному положительному функционалу F над С*-алгеброй 21 построить (циклическое) представление 71> алгебры 21 в гильбертовом пространстве 方尸 с циклическим вектором Ф^ так, что F(A) = (Ф^, tff(A) Ф^) при всех А G 21 (теорема 1.25 п. 1.5.Г).
Важным примером пространства Фреше является пространство (комплексных) бесконечно гладких (кратко, £°°) быстро убывающих основных функций ^(Rn) (п. 1.2.В); в нем можно задать топологию при помощи возрастающей системы гильбертовых норм
ll^llm =]，(/)(岡2 - △ + 1)小 "(/) (Т(X) (1/12 三后 + …+ 爲，△ = ^2 + …+ ^T^
(эквивалентной системе (1.42)). Обобщенные функции определяются (п. 2.1.А) как линейные непрерывные функционалы над ^(Rn). (Иногда для этого же объекта используется термин «обобщенная функция умеренного роста»; для более общего понятия линейного непрерывного функционала над пространством финитных ^^-функций 夕(〃)мы оставляем термин Шварца «распределение».) Обобщенные функции (так же, как и распределения) можно дифференцировать и умножать на некоторые полиномиально ограниченные гладкие функции, не выходя из пространства ^\Rn) (соответственно 5*〃)). Свойством, присущим пространст-
ву ^(Rn) и ему сопряженному, является их стабильность при преобразовании Фурье: если и(х) G 乡(К72), то
Цр) = I е'рж и{х) d” QU®),
где ^{Rn) — пространство функций от 0 c мерой dnp = &九0/(2穴)九(предложение 2.6). Равенство Парсеваля
I /(/) 〃(/) dnх = I f(@)欢0)dnp, справедливое для произвольных пробных функций и и f, используется для определения преобразования Фурье обобщенной функции /. В рамках теории преобразования Фурье обобщенных функций (п. 2.5.Б) получают обоснование формулы типа b(/) = J е-грж dnp.
В § 2.7 вводятся понятия векторной и операторной обобщенных функций. Первое из них позволяет определить обобщенные собственные векторы (соответствующие непрерывному спектру самосопряженного оператора — п. 2.7.В); второе понадобится нам при формулировке полевых аксиом в третьей части.
Глава 3 посвящена изучению лоренц-инвариантных н ковариантных обобщенных функций. В качестве введения приводится классификация конечномерных представлений группы SL(2, С) (квантовомеханической группы Лоренца). Предложение 3.2 (п. 3.2.Б) является точной формулировкой интуитивного представления о том, что любая четная лоренц- инвариантная функция одного 4-вектора р является функцией р2. Сюда относятся также инвариантные обобщенные функции, сосредоточенные в точке, которые имеют вид P(D)b(0) (см. (3.89)). Произвольная нечетная инвариантная функция / задается, со своей стороны, функционалом типа
(/，")= ] 〃0)"(0)“40 = I 而裔(т) ] d4@£(0°) Ь(т - * и(р) (и е 乡(М)),
где 吵/ — обобщенная функция из 9(К), исчезающая при г < 0 (и. 3.2.В).
При изучении лоренц-ковариантных (обобщенных) функций (§ 3.3) мы пользуемся формализмом однородных полиномов от спинорных переменных g(6 С2) и 公(вместо того чтобы работать со спин-тензорами). Функция /(@; 公)ковариантна, если /(A(A)p; Acj,厶公)= =/(0； g,公).Нетривиальная ковариантная функция / существует, лишь если степень однородности по g совпадает со степенью однородности по ш. Обозначая эту общую степень через п, будем иметь /п(р; g,公)=/0{р){шрш)п, где 力—лоренц-инвариантная (обобщенная) функция (см. (3.127)).
Обобщенная функция /+(ж) из ^(М) называется запаздывающей, если ее носитель содержится в конусе будущего У+; аналогично, /_ (ж) — опережающая функция, если supp /_ 6 V~. В дополнении Б доказано, что преобразование Фурье запаздывающей (опережающей) функции является предельным значением аналитической функции, голоморфной в трубчатой области Т± = Я4 + 分V土.
Пусть 九十(0)и А—(0)— преобразования Фурье запаздывающей и опережающей функций и пусть их разность д(р) = h+ (р) - h_ (р) сосредоточена в области ((-т, 0) + V^) U U ((ш, 0) + 卩众)，где 卩^ = {@ е Я4; ±0。 > д/М2 + р2 }. Тогда справедливо представление Йоста-Лемана
g(0)= £(0°) I d" &qb(爲—(р — с)? - А)[Фо(^,入)+@°①i(q, A)], о
где Фо, Ф1 — обобщенные функции из 乡'(Кз 义 К+), сосредоточенные на множестве
{% X) G & 义左+；|^| < m, УХ М - ^т2 - q2}.
Глава 4 посвящена выводу представления Йоста-Лемана-Дайсона (ИЛД), которое обобщает формулу на случай более общей (несимметричной) области исчезновения функции д(@).
Представление ИЛД дает возможность аналитически продолжить единую функцию 九(к), первоначально заданную в объединении областей Т+ U Т- U 〃 (где 夕—(вещественная) область совпадения h^ и А—):
(九+(k)при кет+, Цк)= <
[h_ (к) при к еТ~,
в некоторую более широкую область 4-мерного комплексного пространства. Это — простейший пример теоремы «об острие клина» (теорема 5.12). Она иллюстрирует важный факт, отличающий теорию аналитических функций нескольких комплексных переменных от соответствующей теории функций одной переменной. В то время как любая область D комплексной плоскости С является областью голоморфности некоторой аналитической функции, не допускающей аналитического продолжения вне D, в случае нескольких переменных существуют области, не являющиеся областями голоморфности ни одной аналитической функции. Это позволяет ввести понятия аналитического расширения, области голоморфности и оболочки голоморфности, изучению которых посвящена глава 5.
Глава 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Нормированные пространства
А. Линейные пространства. При изучении бесконечномерных линейных пространств методами функционального анализа акцент делается на топологические свойства. Оставляя пока в стороне топологические детали, мы здесь кратко перечислим основные понятия, связанные с линейными пространствами и известные из линейной алгебры.
Линейным пространством является множество элементов любой природы, для которых определены операции сложения и умножения на вещественное (или комплексное) число с выполнением обычных для этих действий законов. Элементами линейного пространства могут быть, например, векторы в n-мерном евклидовом пространстве или множество непрерывных (или интегрируемых) функций, заданных на некотором точечном множестве в конечномерном пространстве, или функционалы, заданные на некотором классе функций. Для абстрактной теории линейных пространств конкретная природа их элементов безразлична.
Приведем точные определения.
Множество Q называется линейным пространством (над полем R вещественных или С комплексных чисел), если выполнены условия 1-Ш.
В Q определено коммутативное и ассоциативное сложение. Это означает, что для каждых двух элементов “по множества Q однозначно определен третий элемент 〃 + о, причем
. 〃 + о = о + 〃；
и + {v + w) = (и + 1?) + w;
При любых и и V существует элемент х, зависящий от и и v, такой, что 〃 + 力=о (этот элемент обозначается как о — 〃).
П. В пространстве Q определено умножение на числа А, 〃，...，причем
Па. 1 • 〃 = 〃；
Пб. А(/ш) = (т\〃) и для любого u е Q.
Ш. Операции сложения и умножения на число связаны законами дистрибутивности:
Ша. (А + /1) u = Au + 〃〃；
Шб. + о) =/\〃 +
Элементы линейного пространства называются также точками или векторами, а само линейное пространство — векторным пространством (вещественным или комплексным в зависимости от выбора R или С в качестве поля скаляров; в дальнейшем в этой книге мы будем иметь дело главным образом с комплексными пространствами).
Условие 1в эквивалентно одновременному выполнению следующих условий:
. Существует элемент О G С такой, что для всех 〃 〃 + 0 = 〃；
. Для каждого и G Q существует противоположный элемент —и такой, что и + + (—〃)= 0.
Упражнение 1.1. Доказать эквивалентность условия 1в совокупности условий 1в‘ и 1в〃.
Упражнение 1.2. Доказать, что из сформулированных аксиом следует: 0 • 〃 = О, (—1) 〃 = —и.
Подмножество X в Q называется линейным подпространством, если оно само является линейным пространством относительно линейных операций (сложения и умножения на скаляры), заимствованных из X. Если X — линейное подпространство в Q, то в Q можно ввести отношение эквивалентности, объявляя два вектора 〃，。G С эквивалентными, если и — v е X. Таким образом, класс эквивалентности элемента u е Q есть подмножество й = и -\- X = {и -\- v: v е X} в Q. Множество классов эквивалентности называется фактор-пространством пространства Q по модулю подпространства X и обозначается посредством С/Х. Нетрудно видеть, что это — линейное пространство, если определить линейные операции посредством (〃 + о)，= 6 + 方，(Au)* = Ай.
Для произвольного множества X в Q имеется наименьшее линейное подпространство в Q, содержащее X; оно называется линейной оболочкой множества X (или линейным подпространством, натянутым на X) и состоит из всевозможных линейных комбинаций элементов из X, т. е. из векторов вида £ AjUj, где Aj — произвольные
скаляры, a Uj е X. Если равенство £ XjUj = 0 возможно только, когда все Aj равны нулю, то векторы из X называются линейно независимыми. Пространство Q, в котором любое множество линейно независимых векторов конечно, называется конечномерным, а всякое такое максимальное множество называется базисом в Q. Если базис состоит из 八 элементов, пространство Q называется п-мерным.
Фундаментальными понятиями теории линейных пространств являются линейные функционалы и линейные операторы. Вообще, функционалом на линейном пространстве Q называют (обычно числовую) функцию, определенную на Q. Функционал F называется линейным, если он принимает значения в поле скаляров и удовлетворяет условию линейности
ь(入" + 从0)=入ь(")+ 从ь(0)， (1.1)
где 入，〃一произвольные скаляры, и, v Ed. (Значение F(u) линейного функционала на элементе F иногда записывают в виде (F, и) или (F, 〃).)
Пусть Qi и Q2 — два линейных пространства над одним и тем же полем скаляров; линейным оператором из Qi в Q2 называют функцию, скажем, Т: Ci — —^2, определенную на Qi со значениями в Q2 и удовлетворяющую условию линейности типа (1.1). Значение Т(и) линейного оператора на элементе и обычно записывают в виде Ти. Если Qi = Q2 = ◎, то Г называется линейным оператором в Q. Если T(Qi) = Q2 (т. е. если образ Qi совпадает с Q2), то Г называется оператором из Qi на ^2・ Взаимно однозначное линейное отображение Qi на Q2 называется изоморфизмом линейных пространств (изоморфизм Q на себя называется линейным преобразованием Q).
Линейный функционал есть частный случай оператора, когда Q2 есть поле скаляров. Другим важным примером линейного оператора является естественная проекция J: С — С/Х, сопоставляющая вектору u е Q его класс эквивалентности й = и + X.
В случае, когда Qi и Q2 — комплексные линейные пространства, употребительно также понятие антилинейного операторам это функция Т: Ci — Q2, удовлетворяющая условию антилинейности
(1.2)(1.2)Т (入и + 〃о) = М(〃)+ “7(。)
(1.2)
(1.2)
при всех X, /^ е С, и, V е Qi. Примером антилинейного оператора служит операция комплексного сопряжения в Сп: 分=щ.
Существует теорема о продолжении линейного функционала, согласно которой всякий линейный функционал Fq, заданный на линейном подпространстве X, может быть продолжен до линейного функционала F на всем пространстве Q.
Доказывается теорема посредством леммы Цорна — своеобразного заменителя «трансфинитной индукции». Ввиду дальнейших ссылок мы приведем ее здесь в форме, удобной для применений. (Различные формулировки и обсуждение леммы Цорна можно найти в [К14], §15)
Лемма 1.1 (Цорна). Пусть / есть некоторое семейство подмножеств некоторого множества А, обладающее тем свойством, что объединение любой цепи подмножеств из семейства / содержится 6 некотором подмножестве из /. Тогда 6 семействе / имеется максимальное подмножество.
При этом подсемейство семейства / подмножеств называется цепью, если любые два его элемента U, V связаны либо соотношением U С V, либо V С U. Подмножество U семейства °，называется максимальным, если из условий U С V для множества V из семейства °， следует U = V.
Упражнение 1.3. (а) Доказать теорему о продолжении линейного функционала. (Указание: в качестве множества А в лемме Цорна взять Q х К, где К = R или С есть поле скаляров; в качестве семейства °，подмножеств в А рассмотреть множество графиков линейных функционалов F, определенных на линейных подпространствах в Q, содержащих X и совпадающих с Я)на X.)
) Пусть и】，...，ип — линейно независимые векторы в Q. Доказать, что существуют п линейных функционалов /1, ..., /п на Q таких, что 力(出)=b管(5叮—символ Кронекера). (Указание: воспользоваться теоремой о продолжении.)
Нуль-пространство линейного оператора Г определяется равенством ker Г = ={u 6 Qi： Ти = 0}; очевидно, это линейное подпространство в Qi.
Упражнение 1.4. Пусть нуль-пространство линейного оператора Т: Qi т 口2 содержит линейное подпространство X С Qi. Доказать, что существует единственный линейный оператор S： Ci/X т 口2 такой, что Т = Sp, где @： Qi т Ci/X — естественная проекция. (В этом случае говорят, что оператор Т опускается оператором S с Ci на Ci/X.)
Б. Прямая сумма и тензорное произведение линейных пространств. Из имеющихся в распоряжении линейных пространств можно строить новые. Пусть {C"}"GN есть некоторое семейство линейных пространств, различающихся индексом и (пробегающим индексное множество N). Рассмотрим множество Q, состоящее из всевозможных семейств {иу}УЕ^ = “， где “" пробегает элементы из Q^, причем для каждого такого семейства и только конечное число элементов иу отлично от нуля. Элемент иу называется г/-й проекцией (или компонентой) элемента и. В частности, в Q имеется нулевой элемент, у которого все проекции равны нулю. Легко видеть, что Q становится линейным пространством, если определить сумму и + V и произведение А • и на число А в терминах проекций: (“ + о)” = 〃“ + о”， (т\“)" = Хиу. Оно называется (алгебраической )) прямой суммой пространств Q^.
Еще одним важным конструктивным приемом является тензорное умножение. Пусть имеется конечное семейство линейных пространств Qi, , Qn. Введем множество .歹 состоящее из всевозможных функций / от п переменных v\ 6 Qi, ...
,vn е Qn со значениями в поле скаляров, причем предполагается, что /(°1, , о冷) = 0 всюду за исключением конечного числа точек (oi,...,o冷)е е Qi х ... х Qn. Очевидно,夕 является линейным пространством, если определить линейные операции посредством
(/ + g)(s,…，。冷)=/(^i, ..., ^n) +g(s,…，。冷)，
(〃1, Un) е Qi х ... х Qn сопоставим элемент(〃1, Un) е Qi х ... х Qn сопоставим элемент(\f)W，, Vn) = A •貝。1,, Зг).
(〃1, Un) е Qi х ... х Qn сопоставим элемент
(〃1, Un) е Qi х ... х Qn сопоставим элемент
Любой фиксированной точке fUl,...,un G 夕,полагая
f О,f О,еслиеслиеслиесли(。1,...,0九)# ("1，•…，"几)，
f О,
f О,
если
если
если
если
(。1, . . . , Vn) = ("1，^n) •
Линейная оболочка элементов fUl,...,Un есть все пространство 夕(более того, эти элементы образуют базис в 夕).Рассмотрим линейное подпространство X в .歹, натянутое на векторы вида
fui ,，"九 —fui ,…—fui,fui ,，"九 —fui ,…—fui,Qu , •••,"九，Qu , •••,"九，
fui ,，"九 —fui ,…—fui,
fui ,，"九 —fui ,…—fui,
Qu , •••,"九，
Qu , •••,"九，
^fui ,…，^fui ,…，
^fui ,…，
^fui ,…，
где z/ пробегает произвольные значения от 1 до 八； щ, , Uj, Vj, , ип — произвольные векторы из соответствующих пространств Qi, , Qn; А — произвольный скаляр. Фактор-пространство .夕/X называется (алгебраическим) тензорным произведением линейных пространств Qi, , Qn. В частности, класс эквивалентности 九 1,...，〃九 элемента fUl,...,un называется тензорным произведением элементов щ,... ...,ип и обозначается посредством щ 0 0ип.
Характеристические свойства тензорного умножения таковы.
Тензорное произведение пространств Qi, , Qn натянуто на элементы 0 un.
Полилинейность:
"1 00 (》〃"+ 〃。/у) * ... * 〃冷=入"1 0 . . . 0 U^ 0 . . . 0 Un + 〃〃1 0 . . . 0 V/7 0 . . . 0 Un.
Если of), 。俨—набор линейно независимых векторов в Q^, то векторы о『)0*。^) (где 5" пробегает значения от 1 до т^) линейно независимы.
Упражнение 1.5. Доказать свойство (в) тензорного умножения. (Указание: пусть
工 ％i・.小” 00。俨)=0.(1.3)
Для доказательства, например, того, что Xi..」=0, ввести для каждого 沙 линейный функционал hv на С” такой, что h^(u^) = 1 и h^f^u^) = 0 при J > 1. Далее на введенном выше пространстве функций 夕 определим линейный функционал Н посредством
Я(/)= e -£ /(V1,, vn) hi{vi)...hn{vn).
vi gQi vne^n
Убедиться, что этот функционал опускается до некоторого линейного функционала h на фактор-пространстве .劳/X = Qi 00 Qn, причем 九(of° 00 of九))равно 1 при zi =
= 1, ..., гп = 1 и равно 0 при всех прочих значениях 分 i,分九. Наконец, подействовать функционалом h на равенство (1.3).)
Упражнение 1.6. Пусть каждое из пространств С” конечномерно и {v^yj^^^m^ есть базис в С”. Доказать, что тогда векторы 00^} образуют базис в тензорном
2 Н. Н. Боголюбов и др.
произведении пространств Qi, ..., Qn, так что размерность тензорного произведения равна произведению размерностей пространств Qi, ..., Qn.
Понятие нормированного пространства. Перейдем к топологическим понятиям. Начнем с простейшего примера линейного топологического пространства — нормированного пространства. Более общий класс линейных топологических пространств (класс локально выпуклых пространств) будет введен в § 1.2.
Вещественная функция 夕(〃)，заданная в Q, называется нормой, если выполнены следующие условия:
для любого скаляра A p(Au) = |А| р(и) (положительная однородность);
(б)夕(〃 + о)，夕(〃)+ 夕(。)(неравенство треугольника, или выпуклость нормы); (в) если 夕(“)=0, то 〃 = 0 (отделимость).
Из условий (а) и (б) следует неотрицательность нормы:
0 = р(й - u) < 0(")+ 夕(一")=2夕(").
Функции, удовлетворяющие лишь условиям (а) и (б) (но, возможно, не удовлетворяющие (в)), называются полунормами.
Линейное пространство, в котором определена норма, называется нормированным. Норма элемента и иногда обозначается через ||〃||.
Определив расстояние между двумя элементами “，о как d(“，。) = р(и — о), мы тем самым превращаем нормированное пространство в метрическое [т. е. в множество Q, снабженное неотрицательной функцией d(“，о) на Q х Q, называемой метрикой, которая должна по определению удовлетворять условиям симметрии (d(“，о) = d(o, 〃))，неравенству треугольника (d(“，о) W d(“，w) + d(o, w) при всех и, и, w G Q) и отделимости (d(“，о) = 0 今 〃 =о)]. Говорят, что последовательность {ип} в Q сходится к и, если расстояние между ип и и стремится к нулю при 八—оо: lim d(iin, “) = 0. Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме или сильной сходимостью.
Упражнение 1.7. (а) Доказать непрерывность нормы, т. е. что \\ип\\ т \\и\\, если ип и по норме при п Т
Доказать непрерывность суммы 〃 + и по и, v, а также непрерывность произведения Хи по и, А, т. е. что ип + vn т 〃 + о, если ип и,。九 т о при п ос, и что Хпип -> Хи, если ип -> и, Ап -> А при п —> ос.
Последовательность {ип} элементов нормированного (или метрического) пространства Q называется фундаментальной, если для любого £〉0 можно указать номер N(e) такой, что при 八 > N® и m > N© d(un; 〃加)< £ (т. е. если lim d(un; ит) = 0). (Иногда фундаментальная последовательность называ- min(m,n)^oo
ется последовательностью, сходящейся в себе, или последовательностью Коши.) Нетрудно видеть, что если последовательность {ип} сходится к некоторому злемен- ту 〃 е С, то она фундаментальна. Обратное утверждение не всегда имеет место. Нормированное (или метрическое) пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу того же пространства, называется полным. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством. Справедлива теорема, согласно которой любое нормированное пространство может быть пополнено до банахова пространства (см., например, [ИЗ], п. 1.10). Банахово пространство Q называется сепарабельным, если в нем существует счетное множество, всюду плотное в Q (т. е. такое, что любой элемент из Q представляется как предел последовательности элементов из этого счетного множества).
Тривиальным примером банахова пространства является n-мерное вещественное евклидово пространство Rn, в котором норма определяется формулой
岡 2 =立.(1.4)
i=l
Другим примером (уже комплексного) банахова пространства является пространство ^([а, “) комплексных непрерывных функций на отрезке [а, “ с нормой
р(и) = sup \и(х)\.(1.5)
хе[а,Ь]
Упражнение 1.8. Доказать полноту пространства ^([а, 5]).
В качестве следующего примера банахова пространства рассмотрим пространства ^х,т(^п\ играющие важную роль в теории обобщенных функций. Здесь A, m — произвольные целые неотрицательные числа. Пространство 少入卅("состоит из всех комплексных функций от 八 вещественных переменных х = (xi, ...,力冷)е Rn, имеющих непрерывные частные производные до порядка т включительно и убывающих на бесконечности не медленнее, чем \х\~х. Другими словами, для функций из 9\,m(Rn) все произведения вида
俨0%⑵三/f骑u*(i-6)
ограничены для всех мультииндексов а н /3 целочисленными компонентами такими, что
|q| = cti + …+ ctn ^ Л, |/3| = /31 + ... + /Зп ^ ш.(1.7)
Норма в пространстве 外,m(R? определяется равенством
\\и\\т,х, = max sup \xaD^u{x)\.(1.8)
|а|《Х xeRn
В следующем пункте мы рассмотрим примеры гильбертовых пространств, являющихся важным специальным случаем банаховых пространств.
Два нормированных пространства называются изоморфными *), если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции и норму векторов (т. е. линейное изометрическое отображение одного пространства на другое).
Упражнение 1.9. Пусть X — замкнутое линейное подпространство банахова пространства Q.
Доказать, что X само по себе является банаховым пространством (с линейными операциями и нормой, заимствованными из Q).
Доказать, что фактор-пространство С/Х является банаховым пространством с нормой
||й|| = inf \\и + г?|| для всех 〃eQ(1.9)
Г. Гильбертовы пространства. Функция s, сопоставляющая каждой паре и, о комплексного линейного пространства Q комплексное число s(“，о), называется
полуторалинейной формой на Q, если s(“，о) линейно по о п антилинейно по и, 「 е' eелИs("，入1。1 + 入2。2)=入1以("，01) + 入2以("，。2),
以入1"1 + 入2"2,。)= 以"1,。)+ 入2以"2,。)
для всех и, 〃i, 〃2,。，。1,。2 G ◎,入1,入2 G С・ Если к тому же выполнено условие эрмитовости
з(и, о) = G®, “)，
то s называется эрмитовой формой.
Выражение s(“，о) называют скалярным произведением векторов 〃，о е С, если эрмитова форма невырождена, т. е. если из условия s(“，v) = 0 при всех о е С следует и = 0 (другими словами, если для любого элемента 〃 # 0 существует элемент о е С такой, что s(“，V)市 0). Для скалярного произведения s(“，v) используют обычно обозначение (и, о) (или (и | и)).
Очевидно, «скалярный квадрат» (и, и) любого вектора u е Q есть вещественное число. Если он принимает любые вещественные значения, то Q называется пространством с индефинитной метрикой.
Нас здесь интересует другой случай. Эрмитова форма s называется неотрицательно определенной, если скалярный квадрат любого вектора неотрицателен:
〃)》0 для всех u е Q,(1.10)
и положительно определенной *), если в дополнение к (1.10) выполнено условие
ш(и, и) = 0, только если 〃 = 0.(1.11)
Из следующего упражнения (точнее, из неравенства (1.12)) вытекает, что неотрицательно определенная форма s является положительно определенной в точности тогда, когда она невырождена, и, значит, выражение 奴〃，о) = (и, о) можно называть скалярным произведением векторов и, о. (Отсюда нетрудно вывести методом от противного, что в пространстве с индефинитной формой существует вектор и 0, для которого (и, и) = 0.)
Упражнение 1.10. Пусть g — неотрицательно определенная эрмитова форма на Q.
Доказать, что для любых векторов 〃，о G С справедливо неравенство (называемое неравенством Коши-Буняковского-Шварца)
|g(〃, о)|2 W gQ, и) u{v, V).(1.12)
(Указание: выражение ш{Хи + v, Хи + v) неотрицательно при всех Хе С.)
Доказать, что выражение
р(и) = vM〃, 〃)(1.13)
есть полунорма на Q; она является нормой в точности тогда, когда форма g невырождена.
Пространство Q с заданной на нем положительно определенной эрмитовой формой s(“，о) = {и, о) называется (комплексным) предгильбертовым пространством.
Из упражнения 1.10 следует, что всякое предгильбертово пространство является нормированным с нормой
Ihll =，•(1.14)
При этом выполняется неравенство Коши-Буняковского-Шварца
(1.15)
Полное предгильбертово пространство 3€ называется гильбертовым пространством ).
Упражнение 1.11. Доказать непрерывность по и, о скалярного произведения, т. е. что {ип, vn} т {и, о〉, если ип и, vn v по норме.
В гильбертовом (а также предгильбертовом) пространстве имеет смысл понятие ортогональности: два вектора Ф, Ф называются ортогональными, если их скалярное произведение (Ф, Ф) равно нулю. Множество X гильбертова пространства Ж называется тотальным, если замыкание линейной оболочки множества X совпадает c力
Упражнение 1.12. (а) Доказать закон параллелограмма для нормы гильбертова ПР°СТРаНСТВа：||Ф + Ф||2 + ||Ф-Ф||2 = 2||Ф||2 + 2||Ф||2.(1.16)
(б) Доказать тождество поляризации:
枝，3〉= } Е创為①+ W『；(1・17)
здесь g пробегает четыре комплексных корня из единицы (т. е. g = ±1, ±分).
Тождество поляризации показывает, что скалярное произведение в гильбертовом пространстве полностью определяется нормой. Представляет интерес вопрос, какие свойства нормы выделяют гильбертовы пространства в классе всех банаховых пространств. Оказывается, закон параллелограмма является таким характеристическим свойством нормы гильбертова пространства (Иордан и фон Нейман, 1935). Другими словами, если норма в банаховом пространстве удовлетворяет закону параллелограмма, то 方 является гильбертовым пространством со скалярным произведением (1.17). Докажем это. Очевидно, достаточно проверить равенства
(Ф, Ф1 + Ф2) = (Ф, Ф1) + (Ф, ^2) при ①，必，必6"(1.18)
(Ф, АФ) = А(Ф, Ф) при ①，田6方，ЛЕС.(1.19)
Из (1.17) следует:
4Re (Ф, Ф1 + Ф2) = ||Ф + 必 + %『-||Ф - Ф1 - Ф2||2.
Преобразуем правую часть с помощью закона параллелограмма:
=(2]|①+山『+ 2||32『-II①+山一32『)-II①-必一32『=
=II①+山『+ II①+山『+ 2||32『-(II①+山一32『+ II①-必-32『)=
=||Ф + Ф1||2 + (-ЦФ -Ф1||2 + 2||ф||2 + 2ЦФ1Ц2) + 2||Ф2||2 -(2||Ф - Ф2||2 + 2||必『)=
=(||Ф + Ф1||2 - ||Ф - Ф1||2) + (2||Ф||2 + 2||Ф2||2 - 2||Ф - Ф2||2)=
=4Re (Ф, Ф1) + 4Re (Ф, Ф2).
Отсюда и из тождества Im (Ф, Ф) = Re (гФ, Ф) следует (1.18). Для А = 盯 (1.19) следует из (1.17), поэтому достаточно доказать (1.19) для А > 0. Для целых А > 0, а также для рациональных А > 0 (1.19) следует из (1.18); для прочих А > 0 оно вытекает из непрерывности скалярного произведения.
Упражнение 1.13. Пусть 方1 — замкнутое линейное подпространство гильбертова пространства и Ф — произвольный вектор из 力
Доказать, что существует вектор Ф1 6 % такой, что
ф1п£71ЦФ-Ф|| = ||Ф-Ф1||.(1.20)
(Указание: пусть d = inf ||Ф — Ф|| и Фп — последовательность в 方1 такая, что ||Ф — Фп|| т т d при п т х. Из тождества параллелограмма (1.16), примененного к векторам Ф — Фт, Ф — Фп, заключить, что ||Фт — Фп|| т 0 при min (m, п) т ос, т. е., что последовательность Фп фундаментальна.)
Положим Ф2 = Ф — Фь Доказать, что вектор ①2 ортогонален М. (Указание: из (1.20) следует, что ||Ф2 + АФ11|2 > ||①2『при всех 必 е 方1, A G С.)
Ясно, что всякое замкнутое линейное подпространство 方i гильбертова пространства Ж само по себе является гильбертовым пространством. Множество
力十={①®, W) =0 для всех Ф GJ^i}(1.21)
называется ортогональным дополнением подпространства М\.
Упражнение 1.14. Пусть 方1 — замкнутое линейное подпространство гильбертова пространства 力
Доказать, что 方十 является замкнутым линейным подпространством в 方，причем J^i П ^ = {О}.
Доказать, что любой вектор из 方 однозначно представим в виде Ф = Ф1 + Ф2, где Ф1 Е J^i, Ф2 6 巾(Указ ан ие: воспользоваться предыдущим упражнением и частью (а) настоящего упражнения.)
Результат части (б) упражнения 1.14 формулируют еще так: гильбертово пространство 力 разлагается в прямую сумму ортогональных подпространств Ж\ и Ж^\ записывают этот факт в виде
(Ортогональное дополнение иногда называют «ортогональной разностью» и используют обозначение 力十=3f ㊀％1.) Входящие в разложение Ф = Ф1 + Ф2 векторы ①1 G 力1,①2 G 方十 называют {ортогональными) проекциями вектора Ф на подпространства 方1 и%十.
Упражнение 1.15. (а) Доказать, что множество X и 方 является тотальным в точности тогда, когда множество всех векторов в ", ортогональных X (т. е. всем векторам из X), состоит только из нуля. (Указание: применить упражнение 1.14 к замыканию линейной оболочки множества X.)
Доказать, что гильбертово пространство 方 является сепарабельным в точности тогда, когда в нем существует конечное или счетное ортонормированное (т. е. ортогональное и нормированное) семейство векторов {en},〈負，ej) = b叮，которое образует тотальное множество ) в 力 (Указание: использовать процесс ортогонализации последовательности векторов.)
Тривиальным примером гильбертова пространства является n-мерное комплексное евклидово пространство Сп со скалярным произведением
п
(Ф, W) = £mw.(1.22)
г=1
Гильбертово пространство образуют комплексные измеримые функции вещественной переменной х с интегрируемым квадратом модуля на интервале [а, Ь\. Точнее, это
есть пространство классов эквивалентных функций при условии, что эквивалентными объявляются функции, отличающиеся значениями лишь на множестве нулевой лебеговой меры. Это пространство обычно обозначается ^2([а, “). Скалярное произведение в нем определяется по формуле
ь
(Ф, W) = Ф(ж)Ф(ж) dx. (1.23)
Гильбертовы пространства часто получают с помощью следующей общей конструкции. Пусть на комплексном линейном пространстве Q задана неотрицательно определенная эрмитова форма s. Следовательно, выражение (1.13) определяет полунорму р(и) на Q. Пусть Qo есть множество всех векторов нулевой полунормы в Q, т. е. С。= {〃 G С：夕(“)=0}・ Ясно, что Qo есть линейное пространство, а из неравенства (1.12) следует, что Qo ортогонально всем векторам из Q. Нетрудно видеть, что формула
3,力)=奴〃，о) при всех 〃，о е С (1.24) корректно определяет положительно определенную эрмитову форму (или скалярное произведение) на фактор-пространстве Q/Qo, которое тем самым превращается в предгильбертово пространство. Пополняя его, мы получаем гильбертово пространство Ж (в котором Q/Qo является всюду плотным линейным подпространством).
Д. Прямая сумма и тензорное произведение гильбертовых пространств.
В п. 1.1.Б мы ввели понятия алгебраической прямой суммы и алгебраического тензорного произведения линейных пространств. В том случае, когда исходные пространства являются гильбертовыми, получающиеся пространства, вообще говоря, являются (неполными) предгильбертовыми пространствами, нуждающимися в пополнении для того, чтобы стать гильбертовыми пространствами. Рассмотрим эти конструкции подробнее.
Пусть задано семейство {力“}"^^ гильбертовых пространств 3fv. Введем семейства Ф = {①“}“GN, У которых ①"есть произвольный вектор из Жу при условии, что
闽2 三 ①(1.25)
Ясно, что ①"# 0 только для конечного или счетного множества индексов и. Множество всех таких семейств обозначается посредством ㊉ 方"и называется прямой суммой гильбертовых пространств.
Очевидно, прямая сумма наделена структурой линейного пространства с линейными операциями, выполняемыми покомпонентно. Более того, она является гильбертовым пространством, если определить скалярное произведение двух векторов Ф, Ф формулой
傳 W) = £®“, ％). (1.26)
Мы предлагаем читателю убедиться, что условие полноты гильбертова пространства действительно выполнено.
Упражнение 1.16. (а) Пусть Q есть алгебраическая прямая сумма семейства гильбертовых пространств {方"}. Доказать, что Q есть всюду плотное линейное подпространство в㊉.货“.
Пусть все гильбертовы пространства 弘“ сепарабельны и отличны от {0}. Доказать, что их прямая сумма ㊉方“ сепарабельна в точности тогда, когда индексное множество N не более чем счетно. (Указание: воспользоваться упражнением 1.15.)
В приведенной конструкции прямой суммы исходные пространства 方"являются чем-то внешним по отношению к прямой сумме. Однако их можно естественным образом отождествить с определенными подпространствами в прямой сумме. Действительно, фиксируем некоторый индекс А е 7V и каждому и е 力入 сопоставим вектор Ф из прямой суммы такой, что Фд = и, а все остальные компоненты ①" вектора Ф равны нулю. В результате мы получаем отображение 3f\ —㊉力”，которое является изоморфизмом гильбертова пространства Ж\ на замкнутое линейное подпространство Ж\ С ㊉力"(состоящее из всех векторов прямой суммы, у которых компоненты ①"при ^ ^ А равны нулю). Если отождествить Ж\ с 方人 то мы можем заключить, что гильбертово пространство ㊉％" является прямой суммой своих подпространств 方".
Упражнение 1.17. Пусть в гильбертовом пространстве 方 выделено семейство {方“} замкнутых линейных подпространств 方”.Доказать, что 方 является прямой суммой своих подпространств 方“ в точности тогда, когда подпространства 方“ попарно ортогональны, и в 方 не существует ненулевого вектора, ортогонального всем подпространствам 次…
Выбирая в гильбертовом пространстве Ж ортонормированный базис, мы получаем пример разложения 力 в прямую сумму одномерных подпространств. Под таким ортонормированным базисом подразумевается всякое семейство {е"}"^^ векторов в 力，обладающее свойствами:
(е》，W)= 8》从，
множество векторов {ey}uEN тотально в 力
Отсюда легко заключить, что произвольный вектор 〃 G % однозначно представим в виде
Ф=(1.27а)
где
А, =①).(1.276)
Сумму ряда (1.27а) нужно понимать в следующем смысле: для любого £〉0 существует конечное подмножество индексов Mq С N такое, что
мем
для любого конечного подмножества индексов М D Mq. Скалярное произведение двух векторов Ф = £%帥 и Ф = £ 快宀 дается формулой
В каждом гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис {c/^gn, и мощность этого базиса (т. е. мощность множества индексов N) называется размерностью гильбертова пространства (см., например, [ИЗ], гл. Ш, п.4).
Перейдем к тензорному произведению. Пусть Q есть алгебраическое тензорное произведение конечного семейства гильбертовых пространств Ж\, ..., Жп. Произвольная пара Ф, Ф векторов из Q представима в виде
МN
①=£ и^ 0 0 〃£), W = £ W 0 0 °У),(1.28)
где и^\ ор)е yfy. Определим скалярное произведение этой пары векторов формулойм N
傳⑦=t £(不，。口…(或，(L29)
Однако поскольку представления (1.28) не обладают свойством единственности, неочевидно, что правая часть (1.29) зависит только от векторов u, v и не зависит от конкретного представления (1.28). Следующее упражнение показывает, что данное определение корректно, т. е. что правая часть (1.29) не зависит от выбора представления (1.28).
Упражнение 1.18. (а) На пространстве 夕 из п. 1.1.Б определим эрмитову форму, полагая
Р)=工/(^i,, un)g(vi, , vn)(ui, vi)...(un,。九〉・(1.30)
Доказать, что форма g неотрицательно определена.
Доказать, что если / G X или g G X, то g(/, д) = 0. Вывести отсюда, что форму g можно опустить на 乡7Х = Q, т. е. что существует такая форма ш на Q, что d(/, р)= =g(/, g) при всех /,д G .笋.Убедиться, что форма ш(и, о) совпадает с выражением {и, о〉，
{еУ)}з・=1,..皿 — ортонормированный Тогда Ф можно предста{еУ)}з・=1,..皿 — ортонормированный Тогда Ф можно предстаопределенным формулой (1.29).
{еУ)}з・=1,..皿 — ортонормированный Тогда Ф можно предста
{еУ)}з・=1,..皿 — ортонормированный Тогда Ф можно предста
Пусть вектор Ф выбран в виде (1.28) и пусть базис в подпространстве 方“，натянутом на векторы и[)
вить в виде
21，…，2h
Доказать формулу
Вывести отсюда, что эрмитова форма (Ф, Ф) является положительно определенной.
Итак, согласно упражнению 1.18 Q является предгильбертовым пространством со скалярным произведением (1.29). Его пополнение является гильбертовым пространством, которое называется тензорным произведением гильбертовых пространств J^i, ,方冷 и обозначается 0 0 方冷.
Упражнение 1.19. Пусть {е俨}^丿“ есть ортонормированный базис в гильбертовом пространстве 方”.Доказать, что векторы е卜)(где ау пробегает А”)образуют ортонормированный базис в 方1 0 ... N 方九.
Е. Линейные функционалы и сопряженные пространства. Как известно из анализа, непрерывность числового функционала на нормированном пространстве можно определять двумя эквивалентными способами — в терминах последовательностей и в терминах «е—5».
Упражнение 1.20. Доказать, что линейный функционал F на нормированном пространстве Q непрерывен в точности тогда, когда существует константа с > 0 (зависящая от F)
такая, чтотакая, что\F{u)\ W с\\и\\ для всех 〃 G Q\F{u)\ W с\\и\\ для всех 〃 G Q(1.31)(1.31)
такая, что
такая, что
\F{u)\ W с\\и\\ для всех 〃 G Q
\F{u)\ W с\\и\\ для всех 〃 G Q
(1.31)
(1.31)
Таким образом, для непрерывного линейного функционала на нормированном пространстве определена величина
"(F) = sup \F(u)\.(1.32)
Непрерывные линейные функционалы на нормированном пространстве называют также ограниченными линейными функционалами. (Как правило, мы будем иметь дело с такими функционалами и иногда именовать их для краткости просто линейными функционалами.) Совокупность всех непрерывных линейных функционалов на нормированном пространстве Q называется сопряженным пространством и обозначается ГУ (иногда используют обозначение Q*). Это — нормированное пространство, в котором норма (обозначаемая также ||F||) определена формулой (1.32).
Упражнение 1.21. Доказать, что пространство, сопряженное нормированному пространству, является банаховым пространством.
Рассмотрим несколько примеров сопряженных пространств.
Пространство &'([а, 6]), сопряженное пространству 抬([а, “)，определенному в п. 1.1.В, состоит из функционалов вида интеграла Стилтьеса
ъ
ь(")= u(化)d屮(化),(1.33)
где 夕(力)—(комплексная) функция с ограниченным изменением (см. [KI 1], гл. VI, § 6, теорема 4’ — теорема Рисса). Норма функционала равна полной вариации функции 0：
к-1
=匕"<力)=supsup £ I夕⑵+i)-夕⑵儿 (1・34)
k a=XQ<X[ <...<Xk = b°
При этом функция 夕(力)выбирается равной нулю при 力=а п непрерывной справа на интервале (а, Ь). Линейный функционал F е &'([а, 〃) называется положительным, если для любой неотрицательной функции и е 抬([а, 〃) F(u) > 0. Ф. Риссу принадлежит также теорема о том, что любой положительный функционал на ^([а, “) представим в виде (1.33) с неотрицательной монотонно неубывающей функцией 夕. В дальнейшем мы будем пользоваться также многомерным обобщением теоремы Рисса: пусть 抬(К) — пространство комплексных непрерывных функций на компактном подмножестве К С Rn\ тогда пространство 抬(К), сопряженное 抬(К), состоит из функционалов вида
歹(〃)= 〃(力)d〃(z),(1.35)
где 从—произвольная (комплексная борелева) мера на К (см., например, [К2], гл. VI, §3).
Пространство %', сопряженное гильбертову пространству, состоит из функционалов вида
ь(①)="①)，(1.36)
где We% (теорема Рисса; см., например, [К2], гл. V, § 3). Нетрудно убедиться, что норма функционала F равна норме соответствующего вектора
в： “(歹)=
Таким образом, формула (1.36) устанавливает взаимно однозначное антилинейное отображение пространства Ж на 力，сохраняющее норму ).
Важную роль в теории сопряженных пространств играет теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала.
Теорема 1.2 (Хана-Банаха). Пусть Q — нормированное пространство с нормой 夕〃用一непрерывный линейный функционал, заданный на некотором линейном подпространстве Qo С Q. Тогда существует непрерывный линейный функционал F, заданный на всем пространстве Q, такой, что F(u)=用(“) при и е CIq й 0‘(ь)=0’(及).
Доказательство (существенно использующее лемму Цорна) и различные применения этой теоремы см., например, в [К2], гл. II, § 4.
Из теоремы Хана-Банаха следует существование нетривиального (т. е. не равного тождественно нулю) непрерывного линейного функционала на любом нормированном пространстве Q, отличном от {0}. Достаточно задать произвольное ненулевое значение функционала F на некотором элементе u 6 Q, и ^ 0, скажем, F(u) = ||и||; тогда на одномерном линейном подпространстве С。， натянутом на и, будет задан линейный функционал Fq (及(入“)=入||〃||) и по сформулированной теореме функционал Fq может быть продолжен (как линейный непрерывный функционал) на все пространство Q (причем F можно выбрать так, что ||F|| = 1).
В действительности из этого рассуждения можно извлечь далеко идущие выводы. Будем говорить, что данное множество S линейных функционалов на линейном пространстве Q разделяет элементы из Q, если из условия 歹(〃i)=歹(〃2) для всех 歹 е S следует щ = 〃2・
Упражнение 1.22. Доказать, что пространство, сопряженное нормированному пространству Q, разделяет элементы из Q.
Пространство С〃 = (С)', сопряженное Qz, называется вторым сопряженным нормированному пространству Q. Это — банахово пространство с нормой 夕〃. Пространство Q можно всегда рассматривать как линейное подпространство в С〃 (с нормой, заимствованной из С〃).
Упражнение 1.23. Сопоставим произвольному элементу 〃 G С функционал а(и) над О по формуле a{u){F) = FQ), F е Qz. Доказать, что построенное отображение а: а 一 ” является линейным изометрическим отображением.
Итак, мы можем отождествить Q с подпространством в С〃 посредством отображения а (из упражнения 1.23). Если Q = С〃， т. е. если это отображение а является изоморфизмом, то пространство Q называется рефлексивным.
Пространство ^([а, Ь]) из примера 1) является нерефлексивным, в то время как всякое гильбертово пространство рефлексивно.
Локально выпуклые пространства
А. Эквивалентные системы полунорм. Структура ЛВП. Наряду с нормированными пространствами важную роль для приложений играют более общие классы линейных пространств со сходимостью. Из них ближайшими обобщениями нормированных пространств являются так называемые пространства Фреше, или 歹-пространства, ознакомление с которыми составляет цель настоящего параграфа.
Пусть Q — линейное пространство (для определенности комплексное). Для оценки степени близости произвольного вектора u е Q к нулю фиксируют некоторое семейство полунорм {ра}ае^ на ◎； здесь а — индекс, различающий полунормы и пробегающий значения в некотором (конечном или бесконечном) множестве &J. Говорят, что система полунорм {ра}ае^ на ◎ подчинена системе полунорм {q^}呢g на Q, если для любого a G J существуют конечное множество индексов 仇，0k из ^₽ и число с > 0 такие, что ра < с sup q%.
Величина, стоящая в правой части последнего неравенства, является полунормой на Q согласно следующему упражнению.
Упражнение 1.24. Пусть {ра}аЕ^ — некоторая система полунорм на Q такая, что величина р(и) = sup ра(и) конечна для всех и G Q. Доказать, что функция р есть полунорма на Q.
Две системы полунорм на Q называются эквивалентными, если каждая из этих систем подчинена другой. Линейное пространство Q, наделенное системой полунорм {夕а}, называется локально выпуклым пространством (сокращенно ЛВП), причем по определению две различные системы полунорм определяют на Q одну и ту же структуру ЛВП в точности тогда, когда они эквивалентны *). Фиксированную систему полунорм на Q, задающую структуру ЛВП, мы будем называть определяющей системой полунорм, а для ЛВП Q будем применять также более подробную запись (Q, {夕а}ае“)，содержащую указание на определяющую систему полунорм.
Определяющую систему полунорм на ЛВП можно без всякого ущерба заменить эквивалентной системой. Благодаря этому мы можем (и будем) впредь считать, что определяющая система {夕а} полунорм удовлетворяет условию: любая ее конечная подсистема подчинена некоторой полунорме данной системы. (Если это условие не выполнено, то мы заменяем исходную систему эквивалентной системой полунорм рах...ак = sup paj; здесь к пробегает все натуральные числа, а а\, ..., а^ пробегают все индексы из Данное соглашение, не ограничивая общности, имеет своей целью упростить ряд формулировок. (Так, пришлось бы соотношения типа (1.37), (1.43) — см. ниже — заменить более громоздкими.)
ЛВП (Q, {夕а}) называется отделимым, если из условия 夕。(〃 一 °) = 0 для всех a G *J следует 〃 = о, т. е. если для любого ненулевого вектора u е Q существует индекс a G / такой, что 夕。(〃)> 0. (В частности, ЛВП (Q, {夕а}) отделимо, если хотя бы одна из полунорм ра является нормой.) В отделимом ЛВП можно определить понятие предела подобно тому, как это сделано для нормированных пространств. Именно, последовательность ^ в Q сходится к элементу u е Q (〃卜 一 и или и = lim если
Jim pRuk — 〃) = 0 при любом а е
этим условием предельный элемент и определен однозначно (благодаря отделимости).
Впредь мы будем предполагать (не оговаривая это особо), что все рассматриваемые ЛВП отделимы.
Если X — линейное пространство в ЛВП (Q, {夕а}), то сужения полунорм ра на X определяют на X структуру ЛВП, называемую индуцированной (из Q).
На произвольное ЛВП легко перенести все топологические понятия, безусловно, хорошо известные читателю в контексте евклидовых пространств. Так, аналогом открытых шаров в нуле (соответственно в точке u е Q) служат множества
眩={о G Q:夕а®) < е}(1.37)
(соответственно и + 時)，сопоставляемые каждому индексу a G / п числу £〉0. Множество X в С называется открытым (в Q), если любая точка и Е X входит в X вместе с множеством вида 〃 + 党 (при некоторых а е ", £〉0). Дополнение к открытому множеству в Q называется замкнутым множеством (в Q). Замыкание множества X в Q есть наименьшее замкнутое множество, содержащее X; оно обозначается посредством X. Окрестностью (открытой) точки u 6 Q называют всякое открытое множество, содержащее эту точку. Говорят, что множество X С Q плотно в множестве У С Q, если X и У и X D У. (Последнее включение эквивалентно тому, что любая окрестность любой точки из У имеет непустое пересечение с X.)
Сказанное можно резюмировать так: на всяком ЛВП канонически определена топология.
Б. Пространства Фреше. Следует заметить, что в случае нормированных (и, в частности, евклидовых) пространств понятия замкнутости и замыкания допускают переформулировки в терминах последовательностей (т. е. секвенциальные характеристики). А именно, замкнутость множества X в нормированном пространстве Q означает, что X содержит пределы всех сходящихся в Q последовательностей точек из X, а соотношение X = Y означает, что У есть множество пределов всевозможных сходящихся в Q последовательностей точек из X.
Для перехода к таким характеристикам в ЛВП (Q, {夕а}) следует наложить условие: из множества окрестностей нуля 時 можно выбрать семейство {時£}k=i,2,..., образующее счетный базис окрестностей нуля. (Подобный базис характеризуется тем, что всякое 党 содержит хотя бы одно множество V^ выбранной системы.) Как и в случае нормированных пространств, существование такого базиса является решающим для секвенциальных формулировок замкнутости и замыкания (а также полноты и непрерывности). В частности, это условие оказывается выполненным для всех ЛВП с конечной или счетной определяющей системой полунорм. (Случай конечного числа полунорм мы рассматриваем как частный случай счетного, так как добавление полунорм, подчиненных исходной системе, приводит к эквивалентной системе.)
Упражнение 1.25. (а) В ЛВП со счетной определяющей системой полунорм {ра}аЕ существует счетный базис окрестностей нуля. (Указание: рассмотреть семейство множеств Vak, где а пробегает счетное множество индексов /, а £小一стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел.)
Топология ЛВП Q со счетной системой полунорм {pk}k^i совпадает с топологией на Q, определяемой метрикой
У- V)
Среди ЛВП, в которых определяющая система полунорм может быть выбрана счетной, мы выделим класс пространств, представляющий наибольший интерес. Отделимое ЛВП со счетной системой полунорм называется полным, если всякая последовательность Коши в Q сходится в Q. (Аналогично случаю нормирующих пространств последовательность Коши и^ в Q определяется тем, что при любом a G / 夕а(〃тг — ^m) — 0 при min (п, ш) — оо.) Отделимое полное ЛВП со счетной системой полунорм называется F-пространством (или пространством Фреше). Наше внимание будет сосредоточено в основном именно на таких пространствах.
Из метризуемости『пространств [см. упражнение 1.25(6)] следует, что к ним применима следующая теорема.
Теорема 1.3 (теорема Бэра «о категории»). Пересечение любого счетного семейства {丿〃卜}農〔открытых подмножеств полного метрического пространства Q, плотных 6 Q, плотно в Q.
< Достаточно доказать, что для любой точки uq Е ^1 и любого £о〉0 открытый «шар» Uq = ={и Е ^ dQ, 〃о) < £о} с центром в “о н с радиусом 兔 имеет непустое пересечение с П ^к- Из плотности」〃 1 в С следует существование щ 6 ^ i П Uq. В силу открытости」〃 i tq входит в j〃 1 С [То вместе с некоторым замкнутым шаром Ui с центром в tzi и с радиусом £i (0 < £i < £о). Продолжая этот процесс по индукции, можно доказать существование последовательности точек tifc 6 Q и монотонно убывающей последовательности чисел £小 т 0 таких, что Uk входит в」心门〃_1 вместе с некоторым замкнутым шаром Uk с центром в “к н с радиусом £к. По построению ик есть последовательность Коши: d{um, ип) т 0 при min(m, п) т ос. Следовательно, она имеет предел “g, который принадлежит Uk+i при любом к》0. Так как по построению 厶十1 U “〃 С 〃，то “g принадлежит пересечению Uq с р| Лк. А
к = 1
В. Примеры. Разумеется, банаховы пространства входят в класс пространств Фреше. Приведем здесь ряд других (комплексных) пространств Фреше, которые встречаются в приложениях.
Пространство &(夕)・ 口усть 夕—открытое множество в Rn. Посредством ^(^) мы обозначаем пространство всех комплексных непрерывных функций в (или на) Ь, снабженное системой полунорм
(1.38)(1.38)\\и\\К = sup I"(力)1，хек
(1.38)
(1.38)
где К пробегает все компакты ) в 自(или хотя бы счетное семейство компактов, внутренности которых накрывают 自)・ В этом примере можно на самом деле допустить в качестве 自 произвольное локально компактное множество ) в Rn.
Пространство 步(自)・ Пусть 夕—открытое множество в Rn. Посредством 渉О обозначают пространство всех комплексных бесконечно дифференцируемых (сокращенно &°°) функций на 自.Для частных производных функции и 6 渉(Ь) будем использовать обозначения
Dau(x)=Dau(x)=дх^1...дх^п ')дх^1...дх^п ')(1.39)(1.39)
Dau(x)=
Dau(x)=
дх^1...дх^п ')
дх^1...дх^п ')
(1.39)
(1.39)
где а = (cq,…，&冷)есть упорядоченный набор 八 целых неотрицательных чисел (называемый п-индексом или мультииндексом), причем при а = (0, , 0) Dau(x)= 〃(力).Порядок производной Da обозначается через
+ ... + ctn. (1.40)
Снабдим теперь 常(夕)системой полунорм
Ihll^ =产嗡 sup 10aMz)1；(1.41)
хеК
здесь I принимает всевозможные целые неотрицательные значения, а К пробегает компакты в 自(или хотя бы счетное семейство компактов, внутренности которых покрывают 夕).
В математическом анализе ([ШЗ], гл. IV, § 8) существуют ^^-вариант классической теоремы Вейерштрасса о полиномиальной аппроксимации', для произвольной комплексной ^^-функции и(х) на открытом множестве 夕 и любого компакта К U 自，любых I 6 Z+ ), £〉0 существует комплексная полиномиальная функция Р(力)на 夕(или, что то же, на Rn) такая, что \\и — Р||/^ < £• Другими словами, комплексные полиномиальные функции на 夕 образуют всюду плотное линейное подпространство в пространстве 常(夕).
Пространство ^{Rn). Пусть ^{Rn) есть пространство тех комплексных ^^-функций в Rn, для которых все выражения
Ihlkm = max sup (1 + \х\)т • \Dau{x)\(1.42)
\^i xeRn
конечны при всех целых неотрицательных I, т. Пространство 斤(К72), снабженное системой полунорм ||〃|卜,加，называют пространством быстро убывающих основных функций в Rn. Оно будет играть важную роль в дальнейшем изложении.
Упражнение 1.26. Доказать, что пространства £(〃),卷(〃)и ^(Rn), являются пространствами Фреше.
ражнение 1.27. Доказать, что
«(К72) плотно в U入,m^R71) при любых А, т (см. пример в п. 1.1.В),
^(Rn) плотно в 歩(К九)， 卷(〃)плотно в 抬(力).
Отметим, что ЛВП в приведенных примерах не эквивалентны нормированным пространствам.
В качестве примера ЛВП, не являющегося F-пространством, приведем пространство ⑨(自)комплексных ) ^^-функций в открытом подмножестве 夕 С Rn, обращающихся в нуль вне некоторого компакта К U 自(зависящего от функции). Топология в 5(b) задается несчетным набором полунорм. Каждая полунорма определяется некоторой локально-финитной ) последовательностью бесконечно дифференцируемых функций {/а} по формуле
〃{%}(〃)= £ SUp|/a(力)⑺ |.
Это пространство будет использоваться в дальнейшем (в п. 2.1) в контексте теории обобщенных функций.
1.3. Линейные операторы и линейные функционалыв пространствах Фреше
А. Непрерывные отображения ЛВП. Для функций, определенных на произвольном ЛВП Q, имеются, вообще говоря, два несовпадающих понятия непрерывности: топологической и секвенциальной. В первом случае непрерывность отображения Т: Qi Q2 в точке u 6 Qi означает, что прообраз всякой окрестности точки Ти 6 е Q2 содержит некоторую окрестность точки Ти (непрерывность же без указания точки означает непрерывность во всех точках). Отсюда легко получаем
Предложение 1.4. Линейное отображение Г из ЛВП (Qi, {夕а}) & ЛВП (出，{%з}) непрерывно в точности тогда, когда для любого а е " существуют /3 е 伪 и с > 0 такие, что
q^(Tu) < с〃а(") 〃Р〃 всех 〃 G ②.(1.43)
В частности, в случае нормированных пространств (Qi, || • ||) и (Q2, || • ||) линейный оператор Г: Qi т Q2, удовлетворяющий условию \\Ти\\ < с\\и\\ при некотором с > 0 и всех и 6 Qi, называется ограниченным; при этом число
黑^(I)
называется нормой оператора Т. Из предложения 1.4 следует, таким образом, что для линейных операторов в нормированных пространствах понятия непрерывности и ограниченности равносильны.
Секвенциальная непрерывность оператора Г означает, что для любой сходящейся последовательности 〃卜—〃 в Ci имеет место сходимость Тик 一 Ти в Г^. С помощью стандартного рассуждения из вещественного анализа нетрудно убедиться в эквивалентности этих понятий, если ограничить рассмотрение ^-пространствами (обладающими счетным базисом окрестностей нуля). Добавляя условие линейности отображения Г, мы легко приходим к следующему утверждению (позволяющему, в частности, отождествить секвенциальную непрерывность в F-пространствах с непрерывностью).
Предложение 1.5. Для линейного отображения Г из F-пространства (Qi, {夕а}аа。/) 6 F-пространство (f^,也什如例)следующие свойства эквивалентны'.
Г секвенциально непрерывно}
Г секвенциально непрерывно в нуле;
Г непрерывно',
Г непрерывно в нуле\
для любого индекса 8 G 例 существуют индекс ос £ / и число с > О, удовлетворяющие (1.43).
Если ЛВП Qi содержится в ЛВП Q2 и отображение вложения (сопоставляющее элементу u 6 Qi тот же элемент и и рассматриваемое как отображение из Qi в Q2) непрерывно, то будем говорить, что топология Qi мажорирует топологию, индуцированную из 出・
Упражнение 1.28. Пусть (Qi, {ра}аЕ^) и (Q2, {ав'ве例)—два F-пространства, Qi С С 口2・ Доказать, что топология Qi мажорирует топологию, индуцированную из 口2, в точности тогда, когда сужение на Qi системы полунорм {q万} подчинено системе полунорм {@а}.
Упражнение 1.29. Доказать, что полунорма р на ЛВП (Q, {ра}) непрерывна в точности тогда, когда она подчинена определяющей системе полунорм {@а}・
Упражнение 1.30. (а) Доказать, что сумма 〃 +。пары векторов и, v из ЛВП Q (секвенциально) непрерывна по совокупности переменных и, о.
) Доказать, что произведение Хи (где А 6 С, 〃 G С) непрерывно по совокупности переменных А, и.
В следующем упражнении рассмотрена конструкция топологии на фактор-пространстве F-пространства (ср. с аналогичным упражнением 1.9 для банаховых пространств).
Упражнение 1.31. Пусть X — замкнутое линейное подпространство F-пространства (Q, {рк})', для определенности будем считать, что последовательность полунорм pk на Q не убывает с ростом к. Доказать, что фактор-пространство С/Х является F-пространством с системой полунорм pk, определенных равенством
Рк(и) = in^pk(u + V), й е Q/X.(1.45)
Определенную таким образом систему полунорм {рк} называют структурой ЛВП на С/Х, индуцированную структурой ЛВП на Q. Нетрудно видеть, что естественная проекция J: С т С/Х непрерывна ); она также является открытым отображением (т. е. образ любого открытого множества в Q является открытым множеством в С/Х). Этому результату можно придать следующий более общий вид.
Упражнение 1.32. Пусть Т — линейный непрерывный оператор из F-пространства (Qi, {рк}) на ЛВП (Q2, {qk})- Определим на f^ новую систему полунорм {@^} (называемую индуктивной структурой ЛВП на 口2 относительно отображения Г):
Pk(v) = inf{p/c(n): и Е ^i, Ти = v}, где о G ◎•(1.46)
Доказать, что отображение Г открыто в точности тогда, когда системы полунорм {р^} и {qk} эквивалентны.
Линейное отображение Г: Qi Q2 из ЛВП Qi на ЛВП Q2 называется топологическим гомоморфизмом, если оно непрерывно и открыто. (Примером служит естественная проекция J: С — Q/X.)
Множество всех линейных непрерывных функционалов на ЛВП называется пространством, сопряженным Q; мы будем его обозначать посредством ГУ (или Q*).
Упражнение 1.33. Пусть Qi и Q2 — F-пространства, Qi содержится плотно в С2 H топология Qi не слабее топологии, индуцированной из 口2・ Доказать, что для сопряженных пространств справедливо обратное включение С$ С С： (в том смысле, что сужая на Qi произвольный функционал 田 G С$, мы получаем функционал Fi G С] причем отображение Е т К есть вложение, т. е. К = 0, только если 乃=0).
Изоморфизмом (точнее, топологическим изоморфизмом) из ЛВП Qi в ЛВП 出 называется взаимно однозначное линейное непрерывное отображение из Qi на Г^, обратное которому тоже непрерывно. Изоморфными называются пространства, для которых существует изоморфизм.
Упражнение 1.34. Переформулировать понятие изоморфизма F-пространств в терминах полунорм.
Отметим, что теорема 1.2 Хана-Банаха переносится на произвольные ЛВП и, в частности, на F-пространства.
Б. Принцип равномерной ограниченности. Слабая и *-слабая топологии.
В п. 1.3.А не использовалась полнота 歹-пространств. Более тонкие результаты, к которым мы теперь переходим, опираются на полноту.
Лемма 1.6. Пусть подмножество W в ЛВП Q выпукло и уравновешено (это означает'. АIV + fiW С W для любых комплексных чисел А,从，таких что |А| + |〃| < 1). Если W имеет непустую внутренность, то W содержит окрестность нуля. Если дополнительно
W = {и q(u) < 1},(1.47)
где q — некоторая полунорма на Q, то q непрерывна.
По условию при некоторых “о G С, b〉0 н полунорме ра из определяющей системы полунорм на Q имеем включение
W D U = {и е Q: ра(и — 〃о) W Ь}.
Пусть V = {о G С: 0a(о) W Ь}. Если V Е V, то V как полуразность элементов “о ± о из W принадлежит Ж Значит, W содержит окрестность нуля V. Если дополнительно выполнено условие (1.47), то из включения W D V следует q(u) < 1 для всех и G ◎ с 0a(a) W £ Из однородности полунорм получаем q(u) < 6~1ра(и) для всех 〃 G С. А
Теорема 1.7 (принцип равномерной ограниченности). Пусть на F-npocm- ранстве (Q, {夕а}) задана произвольная система непрерывных полунорм {夕。}。^%, обладающих свойствами
sup 协(虱)< ею для всех n 6 Q.
Тогда полунорма q(“)= sup %з(〃)также непрерывна на Q.
Множество W вида (1.47) замкнуто как пересечение замкнутых множеств
Wp 二{〃 G С: q(3(u) W 1}.
Из условия теоремы следует, что Q есть объединение счетного семейства замкнутых множеств nW (n = 1, 2, ...). Хотя бы одно nW имеет непустую внутренность. В противном случае пустое множество Q\ |J nW как пересечение счетного семейства открытых плотных в Q множеств Q\nV7 было 6ы%о теореме 1.3 плотно в Q, что есть противоречие. Доказано, что хотя бы одно nW и, значит, W имеет непустую внутренность. По лемме 1.6 q непрерывна. А
Следствие 1.8. Пусть последовательность ” линейных непрерывных операторов из F-пространства Qi в ЛВП 出 такова, что предел Jim ”〃 в 出 существует при любом и е Qi. Тогда формула Ти = lim 筮〃 определяет линейный непрерывный оператор из Qi е ◎?•
Упражнение 1.35. Вывести следствие 1.8 из принципа равномерной непрерывности. (Указание: пусть т — произвольная полунорма из определяющей системы полунорм на 口2； применить теорему 1.7 к последовательности полунорм q^ на Qi, определенных посредством qvQ) = r(Tku), 〃 G Ci.)
Приведем важный частный случай следствия 1.8, когда Q2 = С.
Следствие 1.9. Если последовательность 母 линейных непрерывных функционалов на F-пространстве (Q, {夕а}) такова, что lim(氏，“)при k — оо существует для любого и G Q, то линейный функционал % на Q, равный
(厶，и) = Jim (氏，“)для всех u 6 Q,(1.48)
непрерывен, причем существуют индекс а и число с > 0 такие, что
|(母，〃)| W с〃а(〃) для всех и е Q, к = 1, 2,…，оо.(1.49)
Следствие 1.9 есть некое утверждение о секвенциальной полноте пространства ГУ, сопряженного 歹-пространству Q. Предварительно заметим, что ГУ дает возможность снабдить Q топологией ЛВП, отличной от исходной; она называется слабой топологией (или a(Q, ГУ)-топологией) и определяется полунормами
夕田,.』(〃)= .sup 1(4 〃)|,(1.50)
где n — произвольное натуральное число, a Fj пробегают ГУ. Аналогично можно снабдить ГУ топологией ЛВП, называемой ^-слабой (или о®, Q)) топологией и определяемой полунормами
口网…田)=sup |(f 〃/(1.51)
при любых п и при Uj G Q. Как правило, под сходимостью в Q мы будем иметь и виду сходимость в исходной топологии Q, в то время как сходимость в ГУ обычно понимается в -сла6ой топологии.
Таким образом, следствие 1.9 означает, что пространство Q, сопряженное 歹-пространству, секвенциально полно (в *-сла6ой топологии).
Упражнение 1.36. Доказать, что всякое рефлексивное банахово пространство секвенциально полно в слабой топологии. (Указание: воспользоваться тем, что Q сопряжено Q'.)
Следствие 1.10. Если 〃卜 — последовательность в F-пространстве Q, сходящаяся к и {в Q), и F^ — последовательность в сопряженном пространстве ГУ, (^-слабо) сходящаяся к функционалу F в Cl, то
(母，ui) — (f и) при min (к, /) — оо.
Следствие 1.10 вытекает из следствия 1.9 простым применением тождества (F, и)— -(凡，W)=(f一凡，")+ (凡，"-制).
В. Теоремы о замкнутом графике и об открытом отображении. Замечательным свойством 歹-пространств является возможность применения теоремы о замкнутом графике. Если под графиком оператора Т: Qi 一 出 понимать соответствующее подмножество прямого произведения Qi 义 ^2, то замкнутость графика Г означает, что из соотношений 〃卜—〃 в Ci и Ти^ т о в Г^ следует о = Ти. Линейность Т позволяет несколько упростить это определение.
Упражнение 1.37. Доказать, что линейный оператор Т из F-пространства Qi в F-пространство Q2 имеет замкнутый график в точности тогда, когда из соотношений Uk 0 в Qi и Тик т о в ② следует о = 0.
Теорема 1.11 (о замкнутом графике). Всякий линейный оператор *) Г из F-пространства Qi в F-пространство f^, имеющий замкнутый график, является непрерывным.
< Пусть {@k}^Li и {qk}kLi ——счетные не убывающие (по к) определяющие системы полунорм, соответственно, на Qi и ^2- В силу замкнутости Т Qi является F-пространством с полунормами Tk(a) = @小(〃)+ qk(Tu), где и 6 Qi. Посредством п и 丁2 обозначим две топологии на Qi, определяемые, соответственно, системами полунорм {рк} и {厂小}. Для доказательства теоремы следует убедиться в непрерывности полунорм Гк в топологии п. По лемме 1.6 достаточно доказать, что при любом к множество U(k) = {и 6 Qi：厂小(〃)W 1} содержит п-окрестность нуля. Пусть W(k) есть п-замыкание U(k). Так как U nW (к)=
=Qi, то соображения в доказательстве теоремы 1.7 показывают, что W{k) имеет непустую п-внутренность. По лемме 1.6 W(k) содержит п-окрестность нуля V(k). Пусть V(k)= ={и е ^i： Pj(k)(u) W дк}, где j(k) — возрастающая последовательность в Z+ н 0 < 5小 W 1.
2U(k) D W(k),2U(k) D W(k),(1.52)(1.52)Если доказать, что
2U(k) D W(k),
2U(k) D W(k),
(1.52)
(1.52)
то это завершит доказательство теоремы. Пусть к фиксировано, и 6 W(k). Тогда существует uq G U(k), такое что и - uq G 2~гУ{к + 1) С 2~1W{k + 1). Индукцией по п выберем элемент ип 6『n-'U^k + п), такой что
(u-uq- ...-ип_^ -ип е 2—п一1卜(衣 + 几+ 1) С 2—п一屮(衣 + 几+ 1).(1.53)
В силу (1.53) £ Uj при п т 8 имеет предел и в топологии п. Так как ип G 2~n~1U{k + п),
то £ Uj при п ос имеет некий предел о G Qi в топологии 丁2, причем
7=1
厶(°) < ^гк(ип) < £rk+n(Un) W 2,
так что о 6 2U(k). Остается заметить, что и = v, так как из ^-сходимости следует п-сходимость. Поэтому и € 2U(k), что доказывает (1.52). А
Теорема о замкнутом графике обычно применяется в следующем контексте.
Следствие 1.12. Пусть Т: Ci — X есть линейный {секвенциально) непрерывный оператор из F-пространства Qi в ЛВП) X, причем Г принимает значения в линейном подпространстве Q2 С X. Пусть Q2 само является F-пространством с топологией, мажорирующей топологию, индуцированную на Q2 〃з X. Тогда Г, рассматриваемый как оператор из F-пространства Qi 6 F-пространство 出，непрерывен.
Следствие 1.13. Пусть на линейном пространстве Q заданы две структуры F-пространства с определяющими системами полунорм {ра} и {q。} “ пусть первая из этих систем подчинена второй. Тогда обе системы полунорм эквивалентны.
Действительно, тождественное отображение J: (Q, {@а}) т (Q, {勺万}) такое, что Ju = и непрерывно (согласно условию). Значит, оно имеет замкнутый график, а это, очевидно, эквивалентно тому, что обратное отображение 厂丨 имеет замкнутый график. По теореме 1.11 отсюда следует, что 丿一丨—непрерывный оператор, т. е. что вторая система полунорм подчинена первой.
К теореме о замкнутом графике примыкает другая важная теорема.
Теорема 1.14 (об открытом отображении). Всякое линейное непрерывное отображение Г из F-пространства (②，{夕а}) на (ece) F-пространство (出，{%з}) является открытым ).
< Согласно упражнению 1.32 система полунорм {@^} на Q2 определяет на Q2 некоторую структуру F-пространства, причем из непрерывности отображения Т следует, что эта система полунорм {q万} подчинена системе {@^}・ С помощью следствия 1.13 отсюда получаем, что системы полунорм {忌} и q万 эквивалентны. А
Упражнение 1.38. Пусть Т — линейный непрерывный оператор из F-пространства Qi на F-пространство 口2・ Доказать, что для любой сходящейся к нулю последовательности Vk в Qi существует сходящаяся к нулю последовательность ик в Q2 такая, что Vk = Ти^.
Важное применение теоремы 1.14 состоит в том, что она позволяет соотнести пространство Q^ с ◎：• Введем соответствующие понятия. Если X — линейное многообразие в ЛВП Q, то множество
X° = {Fe”(f 〃)=0 для всех 〃еХ} (1.54)
называется ортогональным подпространством (или полярой) к X в ГУ. Мы будем считать, что Х° наделено сходимостью, индуцированной из ГУ в том смысле, что 现—F в Х° эквивалентно условию (母，“)—(歹，“)для всех u е Q. Напомним, что через ker Т мы обозначаем нуль-пространство линейного оператора Т: Q1 — Q2 (если Г непрерывно, то ker Г — замкнутое линейное подпространство в Qi).
Пусть Т есть линейный непрерывный оператор из Qi в Г^； сопряженным ему называют оператор Т‘，сопоставляющий функционалу G Е^ функционал T'G е С| по правилу (T，G, “) = (G, Ти) для всех 〃 е Г^. (Как легко видеть, если G^ G в Q^ то ТУ к — T'G в Qp) Нетрудно убедиться, что образ 出 при отображении Т' всегда содержится в (ker Т)°. Более сильное утверждение, сформулированное в упражнении 1.39, получается применением результата предыдущего упражнения.
Упражнение 1.39. Пусть Г есть линейный непрерывный оператор из F-пространства Qi на F-пространство Q2； тогда Т' есть изоморфизм (т. е. линейное взаимно однозначное соответствие, сохраняющее сходимость) 口厶 на (ker Т)°. (Указание: при любом заданном F 6 (ker Т)° функционал G G 口厶，удовлетворяющий соотношению F = T'G, можно определить по формуле (G, о) = (F, и), где 〃 G Ci таково, что Ти = о.)
1.4. Операторы в гильбертовом пространстве
Понятие (неограниченного) самосопряженного оператора. Мы будем рассматривать здесь линейные операторы А, определенные на некотором плотном в 方 линейном многообразии Da гильбертова пространства 方，действие которых не выводит за пределы этого пространства:
Жэ БАэФ АФ (1.55)
Оператор А называется ограниченным (в。厶)，если квадрат нормы ||АФ||2 =〈4①，АФ)
ограничен, когда Ф 6 Da и пересечение Da с единичной обозначаться ||А||:ограничен, когда Ф 6 Da и пересечение Da с единичной обозначаться ||А||:||Ф|| < 1. Верхняя грань ||厶①||, когда Ф пробегает сферой, называется нормой оператора А и будет
ограничен, когда Ф 6 Da и пересечение Da с единичной обозначаться ||А||:
ограничен, когда Ф 6 Da и пересечение Da с единичной обозначаться ||А||:
(1.56)(1.56)间=sup ||АФ||.
(1.56)
(1.56)
Цф|| = 1ФеРа
В случае же, если верхняя грань в правой части (1.56) равна бесконечности, оператор А называется неограниченным.
Любой ограниченный оператор А с областью определения Da С 方，плотной в 方, может быть распространен на все гильбертово пространство 方，оставаясь при этом
линейным и ограниченным во всем 力 с той же нормой || А|| (см. [К2], гл. IV, п. 1.1). Поэтому, без существенного ограничения общности, можно считать, что ограниченные операторы заданы всюду в 方，и не говорить об их области определения. Однако для неограниченных операторов, которые сплошь и рядом встречаются в квантовой теории, это уже не так. Для них указание области определения весьма существенно.
Напомним, что график Г(4) оператора А есть множество всех пар (Ф, АФ), где Ф 6 Da,厶① G Оператор А называется замкнутым, если его график есть замкнутое множество в 力㊉％. Согласно теореме 1.11 (о замкнутом графике) замкнутый линейный оператор, определенный на всем пространстве 3f (т. е. Da = =方)，является ограниченным. Поскольку мы будем часто иметь дело с замкнутыми неограниченными операторами (или по крайней мере с операторами, допускающими замыкание), из сформулированной теоремы ясно, что они не могут быть определены на всем пространстве 力.Самое большее, на что мы может рассчитывать, это то, что область определении Da замкнутого неограниченного оператора А всюду плотна в 方.Будем говорить, что оператор В является расширением оператора А (и писать А с В), если график Г(4) содержится в графике Г(В) (Г(А) с Р(石))， т. е. если Da С Db и в области Da АФ = ВФ.
Важность гильбертова пространства для квантовой теории заключается в том, что наличие скалярного произведения позволяет ввести понятие эрмитова оператора, соответствующего наблюдаемым величинам, так же как и понятие унитарного оператора, при помощи которого описывается симметрия физической системы. Перейдем к определению этих понятий.
Рассмотрим полуторалинейную форму (Ф, АФ)(Ф е。厶，Ф е 方).Если при некотором W пз %
|(Ф, 4①))< C(W, 4)||①II при всех Ф 6 0(4), (1.57)
где C(W, А) — положительное число, не зависящее от Ф, то согласно теореме Рисса об общем виде линейных непрерывных функционалов в 3f (см. п. 1.1.Е) существует такой элемент Ф1 е 方，что
(Ф, 4①)=(Фь ①). (1.58)
Так как область Da всюду плотна в 方，то вектор Ф1 однозначно определяется по вектору Ф. На таких Ф определим (линейный) оператор 厶, называемый (эрмитово) сопряженным оператору А, по формуле А*Ф = Фр Область определения оператора 厶* состоит из всех векторов Ф 6 力，для которых выполнено (1.57).
Часто в физической литературе сопряженный оператор определяют равенством
(Ф, 4①)=〈4*3,①) (1.59)
(которое является следствием последних двух формул) без указания областей определения А и А*. Эта неточность допустима, если А — ограниченный оператор, поскольку, как уже указывалось, в этом случае можно считать, что Da =方，и, кроме того, нетрудно видеть, что условие (1.57) выполняется при всех ① е % (с C(W, А) = ||Ф|| • IIА||), так что сопряженный оператор действительно существует и определен во всем 3f.
В общем случае неограниченных операторов сопряженный оператор не всегда существует *). Необходимое и достаточное условие существования у оператора А сопряженного оператора состоит в том, чтобы А имел замыкание в 3f (см. [Аб], п. 44). Это означает, что если {Фп} — сходящаяся последовательность векторов из Da, то последовательность {АФП} либо сходится, либо вообще не имеет точек
сгущения в 3f (исключается возможность того, что две подпоследовательности последовательности {АФП} стремятся к различным пределам в 力).В этом случае замыкание (т. е. наименьшее замкнутое расширение) оператора А равно 4**.
Оператор А называется симметрическим (в физической литературе — эрмитовым), если А с 厶*, т. е. если
(АФ, Ф) = (Ф, АФ) при Ф, Ф 6 DA-(1.60)
Важный частный случай симметрического оператора составляют операторы А (также с плотной областью определения), обладающие свойством
(Ф, АФ) > 0 для всех Ф 6 Da-
Такие операторы называются положительными (иногда положительно определенными). Если (Ф, 4①)> 0 для всех ненулевых элементов Ф е。厶，то А называется строго положительным (или строго положительно определенным) оператором.
Упражнение 1.40. Доказать, что всякий положительный оператор симметричен.
Если 4 = 4* (т. е. если к условию (1.60) добавить еще равенство областей определения Da и 。厶*), то говорят, что оператор является самосопряженным (по терминологии фон Неймана — гипермаксимально симметричным). Оператор называется в существенном самосопряженным, если его замыкание является самосопряженным оператором.
Упражнение 1.41. Пусть 方=^([O, 1]) есть множество функций с интегрируемым квадратом модуля на отрезке [0, 1]. Пусть 。— множество всех абсолютно непрерывных функций на этом отрезке (см. [КН], гл. VI, § 4), производные которых принадлежат 方，а сами функции удовлетворяют условию периодичности 吵(0)=吵(1). Пусть Do — подмножество области D, состоящее из тех функций множества D, которые обращаются в нуль на границе интервала:吵⑼=吵⑴.Показать, что оператор
с областью определения D является самосопряженным оператором, в то время как оператор Pq, задаваемый той же формулой, но с областью определения Do, лишь симметричен, но не самосопряжен. Найти область определения Do сопряженного оператора Pq . Убедиться непосредственно, что оператор Р неограничен.
Упражнение 1.42. Рассмотреть симметричный дифференциальный оператор
+ (…温)
в гильбертовом пространстве 0?(К), заданный первоначально на плотной области #(К). Показать, что бесконечно дифференцируемая квадратично интегрируемая функция 吵(/)= =/-3/2 exp ( — 1/4/2) является собственной функцией оператора Т* с чисто мнимым собственным значением (Т* 吵=—湫).
Можно показать, что оператор Т в этом примере не допускает самосопряженного расширения в"
Приведем один удобный для приложений критерий существенной самосопряженности симметрического оператора (Нельсон, 1959). Вначале заметим, что если Ф е е Da и АФ е Da, ТО на таких векторах Ф определен оператор А2: А2Ф = А(АФ). По индукции можно определить оператор Ап для любого натурального 八.Мы будем говорить, что вектор Ф е Da является аналитическим вектором оператора А, если Ф 6 Da^ для всех натуральных 八 и ряд
п=0
имеет ненулевой радиус сходимости.
Теорема 1.15 (об аналитических векторах). Если А — симметрический оператор 6 гильбертовом пространстве и Da содержит плотное в 方 множество аналитических векторов оператора А, то А является в существенном самосопряженным оператором.
Доказательство этой теоремы можно найти в [Р2], т. 2, § Х.6.
Б. Изометрические, унитарные и антиунитарные операторы. Линейный оператор U, определенный во всем гильбертовом пространстве 力，и с областью значений, тоже совпадающей с 方，называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение:
。①，UW) = (Ф, W) для всех ①，W е %.(1.61)
Требование, чтобы область значений оператора U совпадала с 方，существенно. Если его не накладывать, то оператор U называется изометрическим. Изометрический оператор характеризуется равенством U*U = 1. Из этого равенства, вообще говоря, не следует, что UU* = 1. Если оба равенства имеют место, то оператор U унитарен. Таким образом, унитарный оператор U имеет обратный оператор * который также унитарен.
Упражнение 1.43. Показать, что условие изометричности линейного оператора U в 方 эквивалентно тому, что ||[/Ф|| = ||Ф|| для всех ① G 方(так что норма изометрического оператора U равна единице). Убедиться также, что UU* есть проектор в 方.
В этом упражнении использовано понятие проектора. Под проектором (точнее, ортогональным, или эрмитовым, проектором) в гильбертовом пространстве 方 понимают оператор Е, удовлетворяющий условию Е = Е* = Е2. Очевидно, Е действует как умножение на единицу в 石力 и на нуль в (1 —石)力，причем ЕЖ и (1 — Е) Ж являются замкнутыми взаимно ортогональными подпространствами в 力.
Унитарные операторы являются изоморфизмами (или автоморфизмами) гильбертова пространства. В общем случае изоморфизм гильбертовых пространств (называемый иногда унитарным оператором) есть линейный оператор V из одного гильбертова пространства 方i на другое гильбертово пространство 力2, обладающее обратным оператором и сохраняющее скалярное произведение (или норму, что то же в силу формулы поляризации). Очевидно,『一】есть изоморфизм 力2 на
Упражнение 1.44. (а) Пусть Ai, ..., Ап — линейные ограниченные операторы в гильбертовых пространствах J^i, ..., Жп. Доказать, что существует единственный линейный ограниченный оператор А = Ai 0 ... 0 Ап в 弘1 0 ... 0 勿九(называемый тензорным произведением операторов Ai, , Ап) такой, что
厶侬1 00 %) = Ai^i 00 An^n
при любых 吻 G 方1,G 方九；кроме того, ||Ai 0 ... 0 Ап\\ = ||Ai||...||An||. (Указание: на пространстве .» из п. 1.1.Б ввести эрмитову форму
&'(/，Р)= 工 /(^i,, ип) g{vi, , vn)(Aiui, Aivi)...(Anun, Anvn)
и доказать, что она подчинена форме д) (1.30) в том смысле, что
W ||Л1||2...||ЛП||2/) при всех / G .»•
Вывести отсюда, что оператор
/ т а(/)=工 f{ui, ип) 4〃i 00 Anun, / G 歹
на 夕 опускается на ."X = Q, т. е. что существует линейный ограниченный оператор 4 на С такой, что Af = а(/). Продолжение А по непрерывности на все пространство 方1 0 ... N 方九 и есть искомый оператор А.)
(б) Доказать, что если операторы 4,…，4 эрмитовы (соответственно унитарны), то оператор А 0 ... 0 Ап эрмитов (соответственно унитарен).
Выше для краткости мы называли (и будем называть в дальнейшем) линейные операторы просто операторами. Близкими к линейным операторам являются анти- линейные операторы, характеризуемые условием (1.2). Для непрерывного антили- нейного оператора 4 в % эрмитово сопряженный оператор 厶 определяется не равенством (1.59), а равенством
(Ф, 4①)=〈4*3,①)=(Ф, 4*W).(1.62)
Из антилинейных операторов для квантовой теории важны антиунитарные операторы; это антилинейные операторы в %, осуществляющие взаимно однозначное отображение 力 на себя (и, значит, имеющие обратные операторы) и обладающие свойством, аналогичным (1.61):
〈4①，АФ) = (ФГФ) =〈в,①)，①，W е %.(1.63)
Отметим, что произведение двух антиунитарных операторов (которое, разумеется, понимается как композиция двух отображений) есть унитарный оператор, а произведение унитарного и антиунитарного операторов есть антиунитарный оператор. Нетрудно показать, что антилинейный оператор 4 в 力 является антиунитарным в точности тогда, когда он сохраняет норму (т. е. когда ||АФ|| = ||Ф|| при всех Ф е %) и отображает 3f на себя.
Другая эквивалентная характеристика, выделяющая антиунитарные операторы среди антилинейных, — это выполнение соотношений А*А = 44* = 1.
Спектральная теория самосопряженных и унитарных операторов. Рассмотрим вкратце вопрос о спектральном разложении самосопряженных и унитарных операторов (за более подробным изложением спектральной теории мы отсылаем *) к гл. VI в [Аб] или гл. VII и VIII в [Р2], т. I). Отметим, что эта теория неприложима к симметрическим операторам (см., например, гл. VI в [Аб]).
В конечномерном пространстве спектральное разложение оператора обычно трактуется как нахождение ортонормированного базиса из его собственных векторов. Однако в бесконечномерном пространстве эту точку зрения следует несколько видоизменить, так как уже простейшие примеры показывают, что самосопряженный или унитарный оператор в 方 может совсем не иметь собственных векторов в 力 Например, таковы оператор умножения на ж, оператор F =—分 унитарный оператор трансляции 吵(/) т 吵+ а) при а R 0 в ^2(/?). (Хотя в книгах по квантовой механике обычно собственными векторами оператора Р называют функции 卽"при р е R, следует помнить, что эти функции не являются квадратично интегрируемыми на оси ж, так что они не принадлежат данному гильбертову пространству. Аналогичное замечание относится к другим примерам.) В большинстве математических ру-
ководств спектральная теория самосопряженного оператора 4 в 方 излагается как задача реализации гильбертова пространства 方 комплексными функциями, зависящими от некоторой переменной, так что при этой реализации действие А сводится к умножению на подходящую функцию а. (В конечномерном случае роль такой переменной играет индекс к, различающий собственные векторы оператора А; векторы из 方 находятся во взаимно однозначном соответствии с их координатами ^ в этом базисе, рассматриваемыми как функции переменной к; так же и собственные числа 耿；оператора А можно рассматривать как функции от к.)
Более детальное изложение спектральной теоремы можно дать, пользуясь понятием пространства с мерой (которое здесь мы не определяем; см., например, [Д1, КП]). Пусть 0? (X;从)—гильбертово пространство (классов эквивалентности) комплексных измеримых квадратично интегрируемых функций на пространстве X с мерой 从.Всякая (вещественная или комплексная) измеримая функция а на X задает оператор умножения на а в 3?(Х;从)， определенный на множестве Da элементов и 6 3?(Х;从)таких, что аи 6 0?(Х;从).Под реализацией оператора А в гильбертовом пространстве 方 оператором умножения в 3?(Х;从) понимается изоморфизм V гильбертова пространства 方 на 0?(Х;从)，обладающий свойством А = V~xaV, где а — оператор умножения в 0?(Х;从)；при этом подразумевается, что Da = VDa- Спектральная теорема как раз утверждает, что всякий самосопряженный или унитарный оператор А в гильбертовом пространстве 方 может быть реализован оператором умножения в подходящем гильбертовом пространстве 0?(Х;从).
Спектральной теореме часто придается несколько иная форма (не зависящая от выбора X,从)в терминах так называемого «разложения единицы» в 方.Для определенности рассмотрим вначале случай самосопряженного оператора. Если оператор А реализован как оператор умножения в 3?(Х;从)на вещественную функцию, то можно ввести семейство операторов умножения ед в ^2(Х; //) на функции, зависящие от вещественного параметра А и определенные равенствами
е入(力)=1 при а(/) < А и е入(/) = 0 при а(/) > А.
Очевидно, что ед — проекторы в 3?(Х;从)，поэтому формула Ед = У~{е\У определяет семейство (ортогональных) проекторов в 方，зависящих от вещественного параметра А. Нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств:
ЕЛЕМ = ЕЛ при X W 从，
lim ЕдФ = 0, lim ЕдФ = Ф, lim ЕдФ = Е从① для всех ① Q 贲，卩 Q R; 入一一ooA^+oo入一从一0
для всех Ф 6 Da имеет место интегральное представление (в смысле интегралов Стилтьеса):
АФ= I XdE@(1.64)
Семейство (ортогональных) проекторов Ед в ", обладающее свойствами (а)-(в), называется спектральным разложением самосопряженного оператора А. (В отличие от реализации оператора А операторами умножения оно единственно.)
Условие коммутативности АВ = В А операторов можно перевести на язык спектральных разложений (если хотя бы один из этих операторов самосопряжен).
Предложение 1.16. Пусть А и В — два ограниченных оператора 6 гильбертовом пространстве 力 причем оператор А эрмитов 〃 {Ед} — его спектральное разложение. Операторы А и В коммутируют 6 точности тогда, когда операторы Е\ и В коммутируют при всех X е R.
Для унитарного оператора U спектральное разложение совершенно аналогично: вместо (1.64) имеет место разложение (в том же смысле)
u = ^eiXdEx,(1.65)
причем Ед = 0 при А < 0 и Ед = 1 при А〉27r.
В сущности теми же средствами решается задача спектрального разложения унитарной, скажем п-параметрической абелевой группы операторов в 方.Под такой группой
подразумевается семейство унитарных операторов U(a) в 方，сильно непрерывно (или слабо непрерывно, что в данном случае то же самое) зависящих от параметра а 6 Rn, причем
U(a)U(b) = U(a^b).(1.66)
При этом сильная (соответственно слабая) непрерывность означает, что U(a)①—непрерывная векторная функция от а при любом фиксированном ① G 方(соответственно (Ф, U(a)①〉 есть непрерывная комплексная функция от а при любых ①,W G 方).
Для одновременного приведении операторов U(a) к виду (1.65) следует ввести п-мерный аналог семейства проекторов Ед, удовлетворяющих приведенным выше условиям (а), (б). А именно, спектральной мерой на Rn (со значениями в множестве проекторов в гильбертовом пространстве 方)назовем соответствие, сопоставляющее каждому борелевскому подмножеству △ с Rn ортогональный проектор £(△) в 方 со свойствами:
£(△)£(△) =
/ ОО 、ОО
(6‘)Е(0)= О, Е(К) = 1, Е и = Е £(△) если △, П Afc = 0 при j к.
\ к=1/к = 1
Нетрудно убедиться, что в случае n = 1 эти условия переходят в приведенные выше условия (а) и (б), если положить Ед = Е((—ос, А)). Ясно, что если £(△) есть спектральная мера на Rn, то для любого вектора Ф G Rn соответствие △ т (Ф, £(△)①〉есть конечная положительная борелевская мера на Rn. Если теперь х(0) — комплексная непрерывная (или борелевская) ограниченная функция от 0 G Rn, то мы можем определить интеграл
I %(р) dE{p) = I x^E^dp),(1.67)
полагая
〈①，]х(0)dE(p)①〉=]х(0)〈①,E{dp) Ф) для всех ① е "
(В случае неограниченных функций х(0) интеграл (1.67) задает оператор, вообще говоря, определенный не на всем гильбертовом пространстве 方；точнее, область определения этого оператора состоит из всех векторов ① G 方，для которых J |%(р)|2(Ф, E{dp) Ф) < ос.)
Возвращаясь к абелевой группе унитарных операторов, приведем следующий классический результат.
Теорема 1.17 (Стоуна). Всякая унитарная п-параметрическая группа операторов U(a) в 方 допускает {единственное) представление 6 виде
U(a)二卜入ё(0),(1.68)
где £(△) — спектральная мера 6 Rn.
Отметим, что в физической литературе вместо намеченной выше теории спектрального разложения широко употребляется — в том числе и в случае непрерывного спектра — терминология собственных векторов и собственных значений (точнее, обобщенных собственных векторов, ибо, как уже говорилось, самосопряженный или унитарный оператор может вообще не иметь собственных векторов в гильбертовом пространстве). Этой терминологии можно придать смысл с помощью понятия оснащенного гильбертова пространства (см. [Г5], гл. 1) или обобщенных векторных функций (см. п. 2.7.В).
Алгебры с инволюцией. С*-алгебры
А. Определение и простейшие свойства. Алгеброй будем называть линейное пространство над полем комплексных чисел, в котором определена билинейная операция произведения. Другими словами, множество 21 элементов А,石，... называется алгеброй, если в нем определены коммутативное и ассоциативное сложение и
условиямусловиямумножение на комплексные числа так, что выполнены условия 1-Ш (п. 1.1.А), и если вдобавок задано произведение любых двух элементов АВ, удовлетворяющее
условиям
условиям
(1.69)(1.69)(АМ1 + 入2厶2)В = Ai(AiB) + \^{А^В\
(1.69)
(1.69)
А^Х\В\ + 为石 2)= Ai (АВ\) + А2(А^2).
Здесь мы будем рассматривать ассоциативные алгебры, для которых предполага
ется еще, чтоется еще, что4(МС) = (АВ) С.4(МС) = (АВ) С.(1.7。)(1.7。)
ется еще, что
ется еще, что
4(МС) = (АВ) С.
4(МС) = (АВ) С.
(1.7。)
(1.7。)
Подмножество X алгебры 21 называется подалгеброй, если оно замкнуто относительно алгебраических операций в алгебре 21 (т. е. если X является линейным подпространством в 21 и если из того, что 4 е X п 石 е X, следует АВ е X). Подалгебра X называется левым, (правым) идеалом, если элементы из 21 действуют на X как линейные операторы при умножении слева (справа), т. е. если АВ 6 X {ВА е X) для всех А е 21,石 е X. Если подалгебра X является одновременно левым и правым идеалом, то она называется двусторонним идеалом. (В коммутативных алгебрах, в которых выполнено тождество АВ = В А, все три вида идеалов совпадают.)
Будем говорить, что 21 является алгеброй с инволюцией (или ^-алгеброй, или алгеброй со звездой), если каждому элементу А е 21 поставлен в соответствие сопряженный элемент 厶 таким образом, чтобы выполнялись условия
(a4)* =小4*,(4 + 月)* =A^+В^,(АB)* =m*4*,(1.71)
(4*)* = А.(1.72)
Алгебра со звездой 21 называется нормированной, если в ней определена норма IIА||, удовлетворяющая условиям (а)-(в) п. 1.1.В и условиям
||АВ|| W 间・|医II，||4*|| = ||川.(1.73)
Полная нормированная алгебра называется банаховой алгеброй.
Если не оговорено противное, мы предполагаем, что в алгебре имеется единичный элемент 1 такой, что 1 • А = А • 1 = А при всех А е 21. Нетрудно показать, что единичный элемент единствен и что 1* = 1. Элементы алгебры вида А • 1, где А — комплексное число, называют иногда скалярами или с-числами (и пишут просто А вместо А • 1). Мы подразумеваем также, что единица подалгебры совпадает с единицей алгебры.
Элемент А алгебры с инволюцией 21 называется эрмитовым, если он удовлетворяет соотношению 厶* = А; соответственно элемент U е 21 со свойством U*U = =UU* = 1 называется унитарным. Эрмитов элемент Е со свойством Е2 = Е называется (эрмитовым) проектором.
Инволютивная банахова алгебра 21 называется алгеброй типа С* (или просто С^-алгеброй *)), если наряду с (1.73) выполнено равенство
||4=间2(1.74)
для всех А е 21. Отсюда следует, что ||1|| = 1.
Поскольку каждая С*-алгебра 21 является, в частности, банаховым пространством, то можно рассматривать множество всех линейных непрерывных функционалов на 21, которые также образуют некоторое банахово пространство (сопряженное пространство 2V). Соответственно в 21 можно ввести слабую топологию, а в 21’ пользоваться *-сла6ой топологией.
Выбор аксиом, которые определяют С*-алгебру, в значительной мере мотивирован тем, что этим аксиомам удовлетворяет алгебра всех линейных ограниченных операторов в произвольном гильбертовом пространстве 力，которую мы впредь будем обозначать через % (%). (При этом в качестве нормы принимается операторная норма, а в качестве инволюции — эрмитово сопряжение; см. ниже упражнение 1.45). Поэтому всякая подалгебра в % (%), замкнутая относительно топологии нормы и операции эрмитова сопряжения, является С*-алгеброй. (Вообще, мы называем С^ -подалгеброй С*-алгебры 21 всякое подмножество в 21, которое само является С*-алгеброй относительно алгебраических операций инволюции и нормы, заимствованных из 21.) С*-подалгебры алгебры % (%) называются также операторными (или конкретными) С^-алгебрами, в отличие от общих С*-алгебр, которые иногда называют абстрактными С^-алгебрами. Имеется глубокий результат Гельфанда и Наймарка (см. п. 1.5.Г), согласно которому всякая (абстрактная) С*-алгебра может быть реализована как С*-подалгебра в 羽(力)при подходящем выборе 力；другими словами, всякая абстрактная С*-алгебра изоморфна некоторой конкретной С*-алгебре.
Упражнение 1.45. Показать, что норма ограниченного оператора удовлетворяет тождеству (1.74) (Указание: из соотношений ||А^||2 =〈吵，4*4吵〉< ||^||2||А*А|| следует IIА||2 < IIА*А||; далее воспользоваться неравенством ||А*А|| < ||А||2, следующим из (1.73).)
Более общим чем изоморфизм является гомоморфизм С*алгебр (или С^-гомоморфизм, или просто морфизм), под которым понимается линейное отображение 7 из С*-алгебры 211 в С*-алгебру 以2， сохраняющее операции умножения (т. е. 7(厶石)=т(4)т(М)) и инволюции (т. е. )(4*) =)(4)*), а также переводящее единичный элемент в единичный (т. е. 7(1) = 1). Теперь С*-изоморфизм (или алгебраический изоморфизм) 211 на 以2 можно определить как С* гомоморфизм из 211 на 以2, который взаимно однозначно отображает 汕 на 论.С*-изоморфизмы из 21 на 21 называются С*-автоморфизмами алгебры 21. Отметим, что всякий С*-пзо- морфизм автоматически оказывается изометрическим отображением, т. е. ||)(4)|| = =||А|| (см. следующий пункт).
Б. Спектр. Хотя понятие спектра в абстрактной С*-алгебре не будет нами существенно использоваться, мы приведем относящиеся к нему результаты, важные сами по себе.
Назовем элемент А С*-алгебры 21 обратимым, если существует элемент 74T ^ %, называемый его обратным, такой, что
А-1А = A4T = 1.(1.75)
Упражнение 1.46. Пусть ||А|| < 1. Доказать, что элемент 1 — А обратим и
М(] __ 川I W 1•
(Указание: показать, что ряд 1 +4 +4? + ... сходится в топологии нормы, и определить (1 —А)-1 как его сумму.)
Пусть А — фиксированный элемент С*-алгебры 21. Множество всех комплексных чисел А, для которых элемент А - А обратим, называется резольвентным множеством элемента А, а обратный элемент (А - А)-1 (как функция параметра А) называется резольвентой
элемента А. Дополнение к резольвентному множеству называется спектром элемента А; мы обозначим спектр через(т(А). Величина
р(А) = sup{|А|: А 6 сг(А)}(1.76)
называется спектральным радиусом элемента А.
Предложение 1.18. Спектр (т(А) любого элемента А С^-алгебры 21 является непустым компактным множеством, причем для спектрального радиуса имеет место формула
р(А) = lim ||An||1/n = inf ||An||1/n.(1.77)
Доказательство этого предложения читатель найдет в [Р4], п. 10.13.
В действительности до сих пор инволюция в алгебре не использовалась, и предложение 1.18 справедливо для всех банаховых алгебр (с единицей). Специфика С*-алгебр проявляется в следующем упражнении.
Упражнение 1.47. Доказать, что в С*-алгебре имеет место следующая формула для нормы:
II 川|二a(不4产.(1.78)
В частности,
||А|| = р(А), если А = А*.(1.79)
(Указание: вначале доказать формулу (1.79), используя первое соотношение (1.77), в котором следует п выбрать в виде 2m, m ос; далее индукцией по т доказать, что ||л(2^)|| = ||Л||(2-).)
Формула (1.78) доставляет выражение для нормы в С*-алге6ре в терминах алгебраических понятий (и инволюции). В частности, отсюда вытекает следующий важный результат.
Упражнение 1.48. Доказать, что всякий С*-гомоморфизм обладает свойством ||7(А)|| < IIА|| для всех А и что всякий С*-изоморфизм сохраняет норму. (Указание: убедиться, что для С*-гомоморфизма 7 а(7(А)) С а(А) и что для С*-изоморфизма 7 сг(7(А)) =(т(А) для всех А.)
Следующее предложение характеризует положительные элементы в С*-алгебре, т. е. элементы А, представимые в виде А = В*В (очевидно, такие элементы эрмитовы).
Предложение 1.19. Спектр эрмитова элемента С*-алгебры веществен. Эрмитов элемент А С^ -алгебры положителен 6 точности тогда, когда его спектр неотрицателен (т.е.(т(А) с [0, ос)).
По поводу доказательства см. [Р4], пп. 11.20, 11.28.
Приведем без доказательства еще результат об отображении спектров (см. [Р4], пп. 10.26-10.28).
Предложение 1.20. Пусть / — голоморфная функция, определенная 6 открытом множестве 0 и С, и пусть (т(А) с 夕.Тогда можно определить элемент /(А) е 21, причем-.
отображение / т /(А) есть гомоморфизм алгебры голоморфных функций 6 алгебру 21;
/(А) = А, если /(X) = А;
/(Л) = (А — Ао) \ если /(А) = (А —》о) L
(「)⑷)= /(g))・
Для эрмитовых элементов А достаточно лишь требования непрерывности функции /.
Предложение 1.21. Пусть £(К) есть С^-алгебра непрерывных функций на компактном множестве К с R (причем алгебраические операции определены поточечно, инволюция есть комплексное сопряжение, а норма есть ||/|| = sup{|/(A)|: A G К}). Далее, пусть А есть эрмитов элемент С^-алгебры 21 〃 (т(А) с К. Тогда можно определить элемент /(А) 6 21, причем:
отображение / т /(А) есть С*-гомоморфизм алгебры 抬(К) 6 алгебру 21;
/(А) = 4 если /(А) = А;
(В)бт(/(4))= /е(4))・
Доказательства см. в [Д4], п. 1.5.1.
В. Положительные функционалы. Линейный функционал F, определенный на инволютивной алгебре 21, называется положительным функционалом, если
歹(4*4)》0 при всех А 6 21.(1.80)
Приведем простейшие свойства положительных функционалов.
Всякий положительный функционал принимает вещественные значения на эрмитовых элементах алгебры.
Если F — положительный функционал, то
\F{A^B^ < F(A^A) •при всех 4,石 G 以.(1.81)
(Неравенство (1.81), являющееся частным случаем неравенства (1.12), также называется неравенством Коши-Буняковского-Шварца.)
Для С*-алгебр имеет место еще одно интересное свойство.
Всякий положительный функционал F на С*-алгебре непрерывен (по норме), и его норма равна 歹⑴.
Упражнение 1.49. Доказать свойство (в). ^Указание: в силу (1.81) \F(A)f < 歹⑴ х х F^A)- остается доказать, что |F(A)| < F(l) для всех эрмитовых элементов А с нормой ||А|| < 1. Воспользоваться тем, что такие элементы представимы в виде А = 1 — В2, где В — эрмитов элемент, определяемый сходящимся по норме рядом В = ,1—4 = = £(т)” (肾
Упражнение 1.50. Доказать, что для положительного функционала F на С*-алгеб- ре 21 и для любых А, В 6 21 имеет место неравенство
|F(B*AB)| < ||А|| •歹宙*石).(1.82)
(Указание: применить свойство (в) к положительному функционалу G(4) = F{B^АВ), где В фиксировано.)
Упражнение 1.51. Показать, что множество
Jf = {Ае %: F(A*A) = 0}(1.83)
является левым идеалом в 21. (Указание: воспользоваться неравенством Коши-Буняковс- кого-Шварца или неравенством (1.82).)
Положительные функционалы разделяют элементы С*-алгебры. Более того, справедливо следующее утверждение.
Предложение 1.22. Для любого элемента А в С^-алгебре 21 существует положительный функционал F = Fa на ^. такой, что
II^aII = 1 И М*4) = ||4『.(1.84)
По поводу доказательства см. [Р4], п. 12.39.
Легко видеть, что для произвольных положительных функционалов 歹i, , Fn на инволютивной алгебре и для любых Аь , Ап > 0 функционал F = £ XjFj поло- жителей; мы назовем его выпуклой линейной комбинацией функционалов 歹i,…
Положительный функционал F называется неразложимым, если он не может быть представлен в виде суммы неколлинеарных положительных функционалов, иначе из равенства F(A)=田(4) + 用(4) при всех А е 21, где F\ и F^ — положительные функционалы, следует, что 歹i = XF (А > 0).
Множество [а, “ точек х вида х = Аа + (1 — А) 6, 0 < А < 1, в линейном пространстве Q называется отрезком. Точка 力о называется крайней (или экстремальной) точкой подмножества К (力о G К) линейного пространства Q, если она не является внутренней точкой ни одного отрезка с различными концами в К. Введем обозначение
吗+ ={Fe^f:F^Q, ||F|| = 1}(1.85)
для множества всех нормированных положительных функционалом на С*-алгебре 21. Нетрудно видеть, что ненулевой положительный функционал F на С*-ал- гебре 21 неразложим в точности тогда, когда ||F||-1F является крайней точкой множества 2Ц+・
Упражнение 1.52. Пусть F = Fi + 1^, где Fi, 1^ (и F) — положительные функционалы на С*-алгебре U. Показать, что для соответствующих им (согласно (1.83)) левых идеалов справедливо соотношение 3f = ^fx 门3出・
Множество 21[+ в некотором смысле порождается своими экстремальными точками. Следующие два результата раскрывают точный смысл этого утверждения.
Предложение 1.23. Единичный шар 2Ц в 21х компактен в ^-слабой топологии (следовательно, множество 置十 также компактно в этой топологии).
Это утверждение есть частный случай теоремы Банаха-Алаоглу ([Р4], п.4.3).
Теорема 1.24 (Крейна-Мильмана). Всякое компактное выпуклое подмножество 6 ЛВП является замкнутой выпуклой оболочкой своих экстремальных точек.
Доказательство см., например, в [Р4], п. 3.21.
Примеры неразложимых положительных функционалов на алгебре % (%) доставляют так называемые векторные функционалы вида 爲：
/(4) = (Ф, 4①)，А 6 %(/,(1.86)
где Ф — произвольный вектор из 3f. Этот пример становится типичным, если включить в рассмотрение представления ^-алгебр (см. п. Г).
Упражнение 1.53. Пусть F — эрмитов линейный функционал на С*-алге6ре 21 (эр- митовость означает, что F(A*) = F(A) для всех А 6 21). Доказать, что
\\F\\ = sup {\F(A): A e^i, А = А\ ||А|| < 1}.(1.87)
(Указание: если F(A) = а > 0 для некоторого А е 21 с ||А|| < 1, то, полагая В = ^ х х (А + А*), имеем F(B) = а, причем В = В* е 21 и ||В|| < 1.)
Г. Представления. Представлением С*-алгебры 21 в гильбертовом пространстве 3f называется С*-гомоморфизм тг алгебры 21 в алгебру % (%) всех линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Представление тг называется неприводимым, если всякое замкнутое подпространство в 力，инвариантное относительно всех операторов тг(4) (А 6 21), либо есть {0}, либо все 3f. Вектор ① G 力 называется циклическим для представления тг, если все векторы вида тг(4) Ф (где А е 21), образуют тотальное множество в 力.(Представление с циклическим вектором называется циклическим) Под эквивалентностью двух представлений 7Г1
и 7Г2 С-алгебры 21 в %i п 力2, как правило, подразумевают унитарную эквивалентность *), означающую изоморфизм 丿：力1 一 力2 гильбертовых пространств со свойством,
7Г2(4)=『тп(4)для всех А 6 21.(1.88)
Для приложений важны также представления инволютивных алгебр, не являющихся С*-алгебрами, причем в качестве операторов представления тг, вообще говоря, допускаются неограниченные операторы в гильбертовом пространстве. Обычное требование состоит в том, что все операторы тг(А) определены вместе со своими сопряженными на некоторой плотной в 方 области D (линейном подпространстве), причем D инвариантно относительно операторов тг(А). Тогда на D имеют смысл характеристические тождества, определяющие такие представления:
7Г(АА + /1В) = АТГ(А) + /17Г(В),7Г(А*) = 7Г(А)*, 7Г(АВ) = 7Г(А)7Г(В).
Мы встретимся с такими представлениями в гл. 8; на них распространяются многие важные результаты, излагаемые здесь для представлений С*-алгебр (это те результаты, в которых топология С*-алгебр несущественна).
Упражнение 1.54. Доказать эквивалентность следующих трех свойств представления 7г С*-алгебры 21 в 方：
7г неприводимо;
всякий оператор из 初(方)，коммутирующий со всем тг(21) (т. е. со всеми операторами вида 7г(А), где 4 G 21), кратен единичному оператору;
любой вектор из 方 цикличен для тг.
(Указание: доказать эквивалентности (а) о (б) и (а) о (в); при доказательстве импликации (а)今(б) рассмотреть вначале проекторы и эрмитовы операторы, коммутирующие с тг(21).)
Эквивалентность условий (а) и (б) в упражнении 1.54 называют обычно леммой Шура.
Упражнение 1.55. Пусть тп и 7Г2 — два неприводимых унитарно неэквивалентных представления С*-алгебры 21 в 方1 и 方2 соответственно. Доказать, что для всякого линейного ограниченного оператора Г:方1 т 方2 из условия Ttfi(A) = 7Г2(А) Г для всех А е 21 (т. е. из того, что Г переплетает представления 7Г1 и 穴2) следует Г = 0. (Указание: рассмотреть оператор Т*Т и воспользоваться предыдущим упражнением.)
Если Ф — вектор в пространстве 3f представления тг ^-алгебры 21, то он порождает положительный функционал
歹①=(Ф, 7Г(А) Ф)(1.89)
на 21; он называется векторным функционалом, ассоциированным с представлением тг и соответствующим вектору Ф.
Упражнение 1.56. Пусть 穴分(г = 1,2) — два циклических представления 21 в гильбертовых пространствах 方分 с циклическими векторами ①* причем векторные функционалы, соответствующие этим векторам ①* совпадают:
(Ф1, 7Г1(А) Ф1)=〈①2, 7Г2(А)①2〉，4 G %•
Доказать, что представления 穴分 унитарно эквивалентны. (Указание: множества 0分 = =7r^(2l) Фг являются всюду плотными линейными подпространствами в 方* причем
(7Г1(Л) Ф1, 7Г2(В) Ф1) =〈7Г2(4)①2,穴2(石)①2〉при всех А, В Е ^. Вывести отсюда, что формула
У7Г1(Л)Ф1 = 7Г2(А) Ф2, А е 21.(1.90)
дает корректное определение оператора V:3i т З2, который продолжается по непрерывности до изоморфизма гильбертовых пространств V:J^i т 方2・ Наконец, с помощью (1.90) доказать соотношение (1.88).)
Пусть 力 1 — замкнутое линейное подпространство гильбертова пространства 力，в котором задано представление тг С*-алгебры 21. Такое подпространство называется инвариантным для тг, если тг(А) Ж\ С 力i для всех 4 G 21 (т. е. если 7г(21)力 1 U %i). Очевидно, сужения ?п(4) операторов тг(4) на подпространство 3f\ образуют представление тп С*-алгебры 21; оно называется подпредставлением представления тг. Нетрудно видеть, что ортогональное дополнение 力2 =力㊀力i также инвариантно для тг, так что в нем действует подпредставление 7Г2- В результате (при {0}市力1 # 力)представление разлагается в прямую сумму своих подпредставлений:
7Г⑷=7Г1(А)㊉ 7Г2(4).(1.91)
Вообще, если задано (конечное или бесконечное) семейство гильбертовых пространств {^fy}yEN и соответствующее семейство представлений {^y}y^N С*-алге6- ры 21, причем yr” действует в 力"，то в прямой сумме гильбертовых пространств 力=㊉力"можно определить новое представление тг С*-алгебры 21 по формуле
(7Г(4)2)" = 7Г"(4)%;(1.92)
это представление называется прямой суммой семейства представлений {тг”}.
Представление тг С*-алгебры 21 называется точным, если из условий тг(4)= =7г(В) следует А = В (или, эквивалентно, если нуль есть единственный элемент из 21, который переходит в нулевой оператор при отображении тг). Очевидно, точность представления тг означает, что отображение А —穴(厶)есть изоморфизм 21 на тг(21).
Важнейший результат настоящего раздела составляет конструкция Гельфанда, Найм арка, Сигала (сокращенно, конструкция ГНС), позволяющая трактовать всякий положительный функционал на С*-алгебре как векторный функционал в подходящем представлении алгебры.
Теорема 1.25 (конструкция ГНС). Для данного положительного функционала F на С*-алгебре 21 можно определить {циклическое) представление 7tf алгебры 21 в гильбертовом пространстве с циклическим вектором ①尸 так, что
F(A) = (Фр, 7tf(A) Фр) при всех А 6 21.(1.93)
Представление 灰尸 определено этими условиями однозначно с точностью до унитарной эквивалентности {соотносящей циклические векторы разных представлении).
< Формула~
В)=歹(4*石)(1.94)
определяет на алгебре 21 неотрицательно определенную эрмитову форму g, поэтому здесь применима конструкция гильбертова пространства, описанная в п. 1.1.Г. Векторы нулевой полунормы р(А)=歹(4*4)1/2 образуют левый идеал 3f (1.83), и на фактор-пространстве 21/Зр формула (А, В) = F(A*B) определяет скалярное произведение. Пополнение этого предгильбертова пространства и есть гильбертово пространство 卅f, фигурирующее в конструкции ГНС.
Обозначая А через §р(4), мы имеем линейное отображение §р： 21 т JTf С*-алгебры 21 на плотное линейное подпространство 21/3f = §尸(吸)в 勿，причем
〈行(4), ^f(B)) = F{^B) при А,В е 21.(1.95)
Перейдем к конструкции представления 穴尸.Вначале каждому элементу А 6 21 сопоставим оператор тг^(Л) на 齿⑵)по формуле
7гр (А)齿(В)=齿(АВ).(1.96)
Это определение корректно (в том смысле, что правая часть зависит от В только через ^f(B)). Действительно, пусть §р(石)=0; тогда 石 G Зр и (в силу того, что 3f есть левый идеал) АВ Е Jf, так что ^р(АВ) = 0. Из формулы
(行宙)，叮(4)齿(石))=F^AB)(1.97)
и неравенства (1.82) следует, что оператор tff(A) ограничен: ||тг^(А)|| < ||А||, поэтому его можно продолжить по непрерывности на все гильбертово пространство 力 Соответствующее продолжение также обозначается через 穴尸(4).
Из определения (1.96) следует, что отображение А т tff(A) линейно, сохраняет операцию умножения (т. е. tvf(AB) = tff(A) tff(B)) и переводит единичный элемент в единичный оператор:穴尸(1) = 1. Проверим свойство сопряжения:
〈行宙)，行(4)*行(。)〉=〈齿(4石)，行(0)〉=F^AB^C)=
=F(B*A*C)=〈齿宙)，齿(4*0)〉=〈行宙)，叮(4*)行(0));
значит, 7rF(A)* = 7ff(A*).
Таким образом, построенное отображение tff есть представление С*-алгебры в %f. Положим ①р = §f(1). Из формулы (1.96) (при В = 1) следует, что вектор Ф^ является циклическим для представления tff, а из формулы (1.97) (при В = 1) следует соотношение (1.94).
Остается доказать единственность (с точностью до унитарной эквивалентности) представления 71> со свойствами, перечисленными в теореме. Итак, пусть тг — некоторое представление алгебры 21 в гильбертовом пространстве 弘 с циклическим вектором Ф, причем
F(A) = (Ф, 7г(Л) Ф) для всех А е 21.(1.98)
Тогда представления тг и tff унитарно эквивалентны согласно упражнению 1.56. А
Представление 灰尸 в конструкции ГНС называется представлением, соответствующим положительному функционалу F. Оказывается, между неприводимостью 7tf и неразложимостью F имеется тесная связь. Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 1.26. Пусть 歹〃田一два положительных функционала на С^-алгебре 21, причем F\ подчинен F в том смысле, что существует число А > 0 такое, что
F^A) < AF(A)(1.99)
для всех положительных А е 21. Тогда в пространстве 力尸 представления 灰尸 {соответствующего F) существует {единственный) положительный ограниченный оператор Г, коммутирующий со всеми операторами ttf(A) такой, что
F^A) = (Фг, 7¥尸(4)①向， А 6 21.(1.100)
Мы ограничимся наброском доказательства, отсылая за деталями к [Н2], п. 19.1. Рассмотрим эрмитову форму g на 21: g(4 В) = Fi{A^В). Из неравенства Коши-Буняковского- Шварца и из (1.99) вытекает |g(4 В)\ < А||^(Л)||||^f(B)||. Отсюда следует, что g(4 В) в действительности зависит от А и В только через §f(4), §р (石).В результате мы построили на векторах вида §р(4) (т. е. на 7Гр(21)①р) эрмитову форму Q такую, что
心（行（4），行宙））=№（4*石）,
причем ^^f^A), ^f(B))| < А||^(Л)|| • ||^f(B)||. Из теоремы Рисса (п. 1.1.Е, пример 2) следует, что в 方 существует (единственный) линейный ограниченный оператор Т такой, что
F^B)=〈齿(4), T^F(B)}, А, В е 21.(1.101)
Очевидно, Т — положительный оператор. Наконец, с помощью (1.101) нетрудно убедиться, что
(行(4),门(0)7行宙)〉=〈齿(4), 7门(0)行宙)〉
при всех А, В, С е 21, откуда следует, что Г коммутирует с 7Гр(21). А
Теперь мы можем доказать следующее добавление к теореме 1.25.
Предложение 1.27. Представление 7tf, соответствующее положительному функционалу F, неприводимо в точности тогда, когда положительный функционал F неразложим.
Предположим, что представление 7rF неприводимо. Достаточно доказать, что если F представлено в виде F = £ + Е, где Fi и 1^ — положительные функционалы, то К = AF, где А > 0. Очевидно, что функционал К подчинен функционалу F, поэтому (по лемме 1.26) он представим в виде (1.100). Из неприводимости tff следует (по лемме Шура, см. упражнение 1.54), что оператор Т кратен единичному оператору: Т = А, так что из (1.100) следует: £ = AF.
Обратно, предположим, что F неразложим. По лемме Шура достаточно показать, что всякий ограниченный оператор Т в 方，коммутирующий со всеми операторами tff(A) (А 6 21), кратен единичному оператору. Очевидно, достаточно рассматривать только ограниченные эрмитовы операторы (так как произвольный ограниченный оператор представим в виде Г = Т1 + 分7L где Ti — ограниченные эрмитовы операторы). Более того, благодаря предложению 1.16 достаточно ограничиться только проекторами Т в 方尸，коммутирующими с 7rF(2l). Покажем, что всякий такой проектор равен либо 0, либо 1. Действительно, функционал № на 21, определенный формулой (1.100), очевидно, подчинен функционалу F: №(4*4) < W F(A*A); следовательно, F есть сумма двух положительных функционалов Fi и F — F\. Поскольку F неразложим, то R =入歹 при некотором X》0. Из единственности представления Fi в виде (1.100) следует, что Т = А. Это завершает доказательство. А
Из теоремы 1.25 вытекает фундаментальный результат Гельфанда-Наймарка.
Теорема 1.28. Произвольная («абстрактна兄》) С^-алгебра изоморфна некоторой «конкретной» С^-алгебре операторов в гильбертовом пространстве.
Сопоставим произвольному элементу А 6 21 положительный функционал Fa со свойствами (1.84), и пусть 7Гра — соответствующее ему представление алгебры 21 с циклическим вектором ①Из (1.84) следует, что ||Ф^А || = 1, ||穴尸厶(4)①％ || = ||А||, так что
lkFAH)||>||A||.(1.102)
Рассмотрим прямую сумму всех введенных представлений:
ь二㊉穴ь(1.103)
Из (1.102) и упражнения 1.48 следует
||тг(А)|| = ||А|| для всех 4 G 21,(1.104)
так что представление тг является точным и, значит, является С*-изоморфизмом алгебры 21 на алгебру операторов тг(21). А
Следствие 1.29. Для всех элементов С^-алгебры 21 имеет место равенствои / 4、и и .и
s；P I阮⑷II = II川，(1.105)
где верхняя грань берется по всем неприводимым представлениям С^ -алгебры 21.
Действительно, множество U；+ (1.85) есть замкнутая выпуклая оболочка своих экстремальных точек, поэтому в доказательстве теоремы 1.28 можно считать, что положительные функционалы Fa выбраны неразложимыми. Теперь (1.105) следует из (1.102) (а также из того, что всегда ||тг(А)|| < ||А|| в силу упражнения 1.48).
Если задан автоморфизм 7 С*-алгебры 21, то положительный функционал F на 21 называют инвариантным относительно 7, если
F(7(A))=歹(4) для всех А 6 21.
Предложение 1.30. Пусть F — положительный функционал на С^-алгебре 21, инвариантный относительно автоморфизма 7, и пусть 7tf,方尸，①尸一 соответствующие компоненты конструкции ГНС. Тогда существует унитарный оператор Uf в Kf такой, что
7tf(7(A)) = Uf穴f(A) Up1 при всех A 6 21.(1.106)
Более того, если потребовать, чтобы
иРФР = Фг,(1.107)
то условия (1.106) и (1.107) определяют Uf однозначно.
Упражнение 1.57. Доказать предложение 1.30. (Указание: Uf можно определить по формуле
Uf^f{A) Ф^ = 7г^(7(Л))Ф^(1.108)
для всех А G 21.)
Теорема 1.25 содержит конструкцию всех циклических представлений алгебры 21. С другой стороны, всякое представление 21 разлагается в прямую сумму циклических.
Упражнение 1.58. Пусть тг — представление С*-алгебры 21 в гильбертовом пространстве 方 и пусть 吵 6 方.Тогда замыкание 方1 = тг(21)吵 является (замкнутым) инвариантным подпространством в 方 н вектор 吵—циклическим для сужения тп представления тг на
Приведенное выше утверждение о разложении любого представления алгебры 21 на циклические следует из результата упражнения 1.58 при помощи леммы Цорна (см. [Н2], п. 17.2).
Примечательно, что векторные функционалы вида (1.86) не исчерпывают всех неразложимых функционалов на 初(方)([Н2], § 22). С другой стороны, как мы видели, конструкция ГНС дает возможность каждому неразложимому положительному функционалу на 初(方)сопоставить векторный функционал в некотором (возможно) другом неприводимом представлении алгебры 切(方).Это означает, что 切(方)обладает унитарно неэквивалентными представлениями. Однако при фиксированном 方 в квантовой механике ограничиваются именно векторными функционалами вида (1.86) и их выпуклыми линейными комбинациями (возможно, счетными). Мы коснемся физического обоснования такого выбора далее в п. 6.4.А.
Д. Операторы с абсолютно сходящимся следом. Мы приведем здесь способ представления векторных функционалов и их выпуклых линейных комбинаций операторами из 33(3f}. Введем необходимое нам понятие следа оператора. В конечномерном пространстве 力 след оператора А есть сумма диагональных элементов матрицы оператора А в каком-либо базисе 力.Выбрав ортогональный базис {еп} в 力 мы можем представить это определение в виде
trA = ^(en, 4^)(1.109)
(нетрудно убедиться, что след оператора не зависит от выбора базиса). В бесконечномерном пространстве 3f след определяется не для произвольного оператора из % (%), а лишь для так называемых операторов с абсолютно сходящимся следом (или ядерных операторов), для которых ряд в правой части (1.109) сходится при любом выборе ортонормированного базиса {еп} в 力.Класс всех таких операторов может быть описан следующим образом.
Сопоставим каждой паре векторов 〃，о е 力 оператор, записываемый (в дираковских обозначениях) как \u){v\ и действующий на ① G 力 посредством
(1.110)(1.110)(i〃)®i)ф =〈°,①)• и.
(1.110)
(1.110)
Очевидно, что |||〃)〈о||| = ||и|| • \\v\\. Нетрудно убедиться, что конечные линейные комбинации операторов вида \u){v\ составляют в точности класс операторов конечного ранга (характеризуемых тем, что область значений таких операторов А конечномерна, или, эквивалентно, условием конечномерности ортогонального дополнения к нуль-пространству kerА). В частности, операторы вида \u){v\ составляют класс операторов ранга W 1. Теперь класс операторов с абсолютно сходящимся следом может быть охарактеризован как множество всех операторов А в 力，представимых в виде (конечной или бесконечной) суммы А = ^А^ операторов 4k ранга < 1, к
причем ряд £||4卜|| сходится. На таких операторах А формула (1.109) корректно к
определяет след, как показывает следующее упражнение.
Упражнение 1.59. Доказать, что
tr (工 \uk){vk\^ =工 uk)
при условии, что £ \\uk\\ • Ц^/сЦ < ос. к
Будем обозначать множество всех операторов в 力 с абсолютно сходящимся следом через 3《力).Очевидно, что 31(%) является инволютивной подалгеброй в % (%) (уже без единицы, если 力 бесконечномерно). Более того, это — двусторонний идеал в % (%), как утверждается в следующем упражнении.
Упражнение 1.60. Если A G %(方)，В G 切(方)，то АВ и В А принадлежат ^i(J^).
У п р а ж н е н и е 1.61. Доказать следующие свойства следа:
tr А* = h А при А е %(方)；
tr (АВ) = tr (ВА) при А е ^i(J^), В G J^(J^);
для любого А 6 01 (方)величина
1(1-1П)1(1-1П)И111 = sup "/)1
1(1-1П)
1(1-1П)
конечна и обладает свойствами нормы на ^i(J^);
если А G 31 (方)представлено в виде £|〃小〉〈％|, где каждая из последовательнос- к
тей {必} и {vk} ортогональна, то ||A||i = £小 \\ик\\ • ||玖||・
Норма ||A||i (1.111) называется следовой нормой в 31(%). Из сравнения (1.32) и (МИ) следует, что имеется изометрическое вложение 31(%) в пространство 例'(力)линейных непрерывных функционалов над % (%), при котором элементу А 6 31(勿)сопоставляется функционал (F, В) = tr (АВ) над В 6 33 {3f}. В этом смысле мы будем отождествлять 31(%) с подпространством в 剂^、и писать 处(力)С %'(%). Равным образом формула (1.111) показывает, что мы можем изометрически вложить % (%) в 3：(力)，сопоставляя элементу В е % (%) функционал tr (АВ) над 4e3i(%). Замечательно, что при таком отождествлении % (%) с
подпространством в 绢(力)мы фактически получаем все 3“力)，т. е. %(%)=
Упражнение 1.62. Доказать, что ^i(J^) есть банахово пространство со следовой нормой и операторы конечного ранга образуют плотное множество в 次).
Упражнение 1.63. Доказать, что оператор А 6 01(*) положителен в точности тогда, когда соответствующий ему функционал F над 初(方)положителен.
Результат последнего упражнения позволяет описывать замыкание (по норме) в 3i'(3f^ множества всех выпуклых линейных комбинаций векторных функционалов. Оно состоит из функционалов вида В — tr(4M), где А — положительный оператор из 31(%). Используя спектральное разложение для А, которое в данном случае принимает вид
4 = ^2 An|unX^n|,(1.112)
где {ип} — ортонормированный базис в %, Ап > 0 и ^Хп < оо, мы видим, что такие функционалы представимы в виде счетной суммы векторных функционалов над % (%).
Алгебры фон Неймана. Для операторных С*-алгебр 21 С 33(3f} помимо топологии нормы и слабой топологии вводят ряд специальных топологий.
Слабой операторной топологией (или W-топологией) называют топологию ЛВП на % (%), определяемую полунормами
党二职⑷=.吗aX I(①力 4W"1;(1.113)
здесь п — произвольное натуральное число, а Фь , Фп и 屮匕,Фп — произвольные векторы из 力.Аналогично полунормы
0皿,...，^(4)=max ||4打||
определяют сильную операторную топологию (или S-топологию} на % (%). Важна еще а-слабая операторная топология на 33 {3f} с полунормами
pB1,-,Bn(A) = sup |tr (ABj)\,(1.114)
где Bi, , Вп — произвольный конечный набор операторов с абсолютно сходящимся следом. Очевидно, ТУ-топология слабее, чем 5-топология и a-слабая операторная топология, а все эти топологии слабее топологии нормы, поэтому замкнутое по норме подмножество в % (%) может не быть еще замкнутым в перечисленных топологиях.
Выше мы говорили, что инволютивная подалгебра в % (%), замкнутая относительно топологии нормы, является С*-алгеброй. Соответственно алгеброй фон Неймана (или W^ -алгеброй) называется всякая инволютивная подалгебра (с единицей) в %(%), замкнутая в ТУ-топологии. Всякая алгебра фон Неймана автоматически оказывается С*-алге6рой. Замечательно, что условие замкнутости инволютивной подалгебры относительно ТУ-топологии в определении алгебры фон Неймана эквивалентно условию замкнутости в 5-топологии или в a-слабой операторной топологии ([Н2], п.34.2 или [ДЗ], с.41).
Естественность понятия алгебры фон Неймана обусловливается возможностью чисто алгебраического (не топологического) определения ее.
Коммутантом подмножества 耽 в 例(力)будем называть множество Ш1С тех операторов А е %(%), которые коммутируют со всеми элементами из 力I. Очевидно, что коммутант является алгеброй. Если множество 耽 замкнуто относительно
сопряжения (т. е.厶* е 耽，если А е 耽)，то коммутант Ш1С является инволютивной подалгеброй в % (%).
Упражнение 1.64. Показать, что коммутант 耽° любого множества 耽，замкнутого относительно сопряжения, замкнут в слабой (или(т-слабой) операторной топологии и, значит, является алгеброй фон Неймана.
Алгебраическая характеристика алгебр фон Неймана дается в терминах бикоммутанта (или повторного коммутанта) Ш1СС = (Ш1С)С.
Теорема 1.31 (о бикоммутанте, или теорема плотности фон Неймана). Слабое операторное замыкание произвольной инволютивной подалгебры 21 в % (%) совпадает с бикоммутантом 21сс. В частности, всякая алгебра фон Неймана совпадает со своим бикоммутантом: 21сс = 21.
Доказательство см. в [Н2], п. 34.2.
Для любого подмножества 耽 в % (%) существует минимальная алгебра фон Неймана 21 в % (%), содержащая 耽；она называется алгеброй фон Неймана, порожденной множеством 耽.Из теоремы о бикоммутанте нетрудно заключить, что эта алгебра есть бикоммутант множества 力W 耽*:
21 =(耽 U 耽*严.(1.115)
Упражнение 1.65. Пусть тг — неприводимое представление С*-алгебры 21 в гильбертовом пространстве 方.Тогда слабое (или сг-слабое) замыкание тг(21) совпадает с 切(方).
Имеется также полезное усиление теоремы 1.31, которое мы сформулируем в терминах представлений. Посредством 2(i будем обозначать (замкнутый по норме) единичный шар в С*-алге6ре 21, а посредством 21 — слабое (или, эквивалентно, a-слабое) операторное замыкание алгебры операторов 21.
Предложение 1.32. Пусть тг — представление С^-алгебры 21 в гильбертовом пространстве 3f. Тогда тг(2(1) плотно в(7r(2l))i в слабой {или а-слабой) операторной топологии.
Это предложение представляет собой комбинацию теоремы плотности Капланского ([ДЗ], с. 43) и свойства гомоморфизмов, приведенного в [Д4], п. 1.8.3.
Упражнение 1.66. Пусть тг — представление С*-алгебры в гильбертовом пространстве J^ и пусть В есть оператор в 方 с абсолютно сходящимся следом. Доказать, что
sup |tr (В • 7г(Х))| = sup |tr (В • У)|.(1.116)
хе 以
"X||W1||У||<1
В частности, если тг неприводимо, то
sup |tr(B.7T(X))| = ||В||1.(1.117)
Xё以"xiiwi
(Указание: воспользоваться формулой (1.111), предложением 1.32 и упражнением 1.65.)
Приведем еще одно следствие теоремы о бикоммутанте.
Упражнение 1.67. Если С*-алгебра операторов 21 в 力 коммутативна, то ее слабое операторное замыкание есть коммутативная алгебра фон Неймана. (Указание: применить операцию взятия бикоммутанта к соотношению 21 С 21е и заметить, что (21с)сс = (21сс)с =
При изучении и классификации алгебр фон Неймана важную роль играет понятие фактора, которое может рассматриваться как алгебраическое обобщение неприводимого пред-
ставления. Алгебра 21 и 切 называется фактором, если ее центр 21 С 21’ содержит лишь элементы, кратные единице, т. е. если 21 П 2lz = {al}. Произвольная алгебра фон Неймана может быть представлена в виде некоторой обобщенной прямой суммы факторов.
Самосопряженные элементы алгебры фон Неймана (и функции от них) определяются своими спектральными разложениями (1.64) в терминах системы проекционных операторов Е(А). Классификация факторов основывается на существовании (и единственности с точностью до множителя) некоторой характеристической аддитивной функции проекторов, которая может рассматриваться как обобщение понятия размерности. Точные результаты могут быть сформулированы в виде следующих двух теорем (см. [Н2], § 36).
Теорема 1.33. Существует расширенная числовая функция О(Е), определенная на всех операторах проектирования Е, принадлежащих данному фактору F, 〃 обладающая следующими свойствами.
О(Е) > 0, причем О(Е) = 0 только при Е = 0.
Если операторы 瓦 〃 Е? эквивалентны относительно фактора F, т. е. если существует элемент S Q F такой, что 压=SEiS-1, то。(瓦)=。(石2)・
Если E\E? = 0, тоо(瓦 + e2)= O(Ei) +0(e2).
Функция О(Е) определяется из условий 1)-3) (при заданном факторе F) однозначно, с точностью до положительного множителя ).
Теорема 1.34. Область значений относительной размерности может быть сведена при подходящем выборе нормировки к одному из следующих, множеств:
(1П) совокупность целых чисел к из интервала 0 < /с < п;
совокупность неотрицательных целых чисел, а также ос;
интервал [0, 1];
интервал [0, ос];
0 〃 ос.
В зависимости от того, какое из этих множеств пробегает функция О(Е), говорят о факторах типа In, Ig, IIi, 11g, и III.
Есть примеры факторов любого из этих классов. В алгебраической формулировке квантовой теории приходится иметь дело с наименее привычным (и наименее изученным) классом факторов типа III.
Глава 2
ТЕХНИКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Понятие обобщенной функции
А. Функциональное определение. Как в физике, так и в самой математике давно ощущалась ограниченность классического понятия функции, характеризуемого заданием функциональных значений при всевозможных значениях аргументов. Важные понятия классической физики, такие, как плотность точечной массы или заряда, не укладывались в это обычное понятие функции. В квантовой механике и в квантовой теории поля систематически стали использоваться такие «сингулярные» или «несобственные» функции, как 8(力)(дельта-функция Дирака), 0(/) (перестановочная функция) и т. д., возникающие, в частности, в так называемых перестановочных соотношениях, которые играют основную роль в квантовой теории. В самой математике узость классического понятия функции чувствовалась, например, в попытках определить функцию Грина для уравнений гиперболического типа (в частности, для волнового уравнения), при нормировке собственных функций, соответствующих непрерывному спектру оператора, и в ряде других вопросов.
Физики обосновывали применение таких, противоречивых с точки зрения классического определения функции, понятий, как дельта-функция, двумя причинами. Во-первых, говорилось, что сингулярные функции можно умножать на «хорошие» функции и задавать правила интегрирования таких произведений; тогда полученные выражения имеют смысл. Во-вторых, сингулярные функции представлялись в виде несобственных пределов последовательностей гладких функций. Оба эти интуитивные обоснования применения сингулярных функций нашли в дальнейшем точное математическое выражение и могут служить исходным пунктом теории обобщенных функций.
Для того чтобы придать точный смысл первому определению, необходимо сначала задаться некоторым классом (линейным топологическим пространством) «хороших» (например гладких и убывающих на бесконечности) основных, или пробных, функций 〃(/). После этого обобщенную функцию / = /(ж) определяют ее «интегралами» со всевозможными основными функциями:
(£〃)三/(〃)三 f{x)u{x)dnx. (2.1)
В общем случае входящий сюда «интеграл» имеет чисто символический смысл: он указывает лишь на то, что функционал зависит линейно от и. (Предполагается также, что /(〃)непрерывно зависит от и; это существенно и с математической точки зрения — чтобы обеспечить применимость аппарата функционального анализа, хорошо приспособленного для приложений, в частности, чтобы сохранить аналогию с интегралом по некоторой мере, — и с точки зрения физической интерпретации распределений как плотностей масс, зарядов и т. п.) В частности, если /(х) есть обычная непрерывная функция (такая, что интегралы типа (2.1) существуют для всех основных функций 〃(/)), то она определяет равенством (2.1) обобщенную функ-
цию /. Если класс основных функций выбран достаточно широким, то непрерывная функция /(х) определяется функционалом /(〃) однозначно. (Если предположить только, что /(х) локально интегрируема, то функционал /(〃) может определять ее лишь почти всюду, т. е. с точностью до значений на множестве лебеговой меры нуль.)
Спрашивается, из каких соображений следует выбрать то или иное пространство основных функций?
Отметим прежде всего, что данную (в физическом контексте) сингулярную функцию можно трактовать как обобщенную функцию многими формально отличающимися друг от друга способами, варьируя пространство пробных функций. Рассмотрим в качестве примера заряд q и диполь d, сосредоточенные в точке а трехмерного пространства R3. Их плотности могут быть определены как обобщенные функции ",а и /%а, связанные с J-функцией Дирака по формулам
(Лм，〃)= q •"⑷， fq,a =泡尤-а),
(怠а, 〃)= -dVu(a), fd,a = dV8(尤-а).
В первом случае в качестве основных функций можно взять все функции, непрерывные в окрестности точки а, а во втором — все функции, непрерывно дифференцируемые в окрестности этой точки. Однако в обоих случаях мы могли бы допустить в качестве пробных функций лишь все бесконечно дифференцируемые (сокращенно, &°°) функции в 7?з. На интуитивном уровне представляется очевидным, что от такого сужения пространства основных функций мы мало что приобретаем (или утрачиваем) в смысле физической информации о распределении заряда. (На формальном уровне эквивалентность двух подходов можно обосновать соображениями непрерывности функционалов и возможности их расширения по непрерывности.) Однако выбор множества основных функций класса &°° предпочтителен своей большей универсальностью: он годится не только в обоих приведенных выше примерах, но и для многих других более сингулярных распределений. Вообще, большая гладкость пробных функций соответствует большей допустимой сингулярности обобщенных функций. (Интуитивное представление о степени сингулярности можно заимствовать из теории мероморфных функций; для обобщенных функций это понятие вводится именно на основе приведенного принципа.) С другой стороны, ясно, что чем быстрее убывают основные функции при \х\ — оо, тем больше допустимый рост обобщенных функций на бесконечности.
В квантовой теории поля обычно предполагают, что матричные элементы от операторов поля 夕(力)могут расти на бесконечности не быстрее полинома от 力 (где х — точка «координатного» пространства) и что их преобразования Фурье обладают аналогичными свойствами в «импульсном» пространстве. Наиболее подходящим для такой цели является следующее определение.
Обобщенными функциями в Rn мы будем называть линейные непрерывные функционалы над (комплексным) пространством ^(Rn) быстро убывающих (комплексных) основных функций (введенном в п. 1.2.В). Они образуют сопряженное пространство ^(К72) к ^{Rn) и называются также распределениями медленного (или умеренного) роста. Используя предложение 1.2, мы можем также сказать, что обобщенная функция в Rn есть линейный функционал на 斤(К72), удовлетворяющий условию: существуют натуральным числа Z, m и константа с > 0 такие, что
|(/, 〃)| W с・ 11〃 112m при всех и 6 ^(Rn). (2.2)
Входящие сюда нормы определены посредством (1.42). (Для (/, “) мы будем также использовать запись (/(х), 〃(力))力 или J /(х) и(х) dnx с явным указанием аргумента.)
Важным примером обобщенной функции в Rn является уже упоминавшаяся 5-функция Дирака, определяемая равенством
3, и) = 8(力)〃(力)dx = “⑼ при всех и 6 ^{Rn). (2.3)
Оказывается, что в соответствии с интуитивным представлением об обобщенной функции как о полиномиально ограниченной во всем пространстве можно записать любой элемент / G У в виде )
(/")= £ [启(/)0“)仆)， u 6 ^Rny, (2.4)
здесь %(力)—непрерывные полиномиально ограниченные функции в Rn.
Доказательство этого факта легко получается комбинацией теоремы Хана-Банаха и теоремы Рисса-Маркова об общем виде линейных непрерывных функционалов на пространстве всех комплексных непрерывных функции в Rn, убывающих на ос (см. также [Г4], пп. II.4.2, II.4.3).
Часто в литературе используются распределения ) (Шварца) в произвольном открытом множестве )自 С Rn, определяемые как линейные непрерывные функционалы над пространством 夕(Ь) бесконечно гладких финитных функций (п. 1.2.В). Пространство распределений Шварца в 〃 обозначается посредством 夕'(Ь). Допустимый рост распределений Шварца в Rn на бесконечности никак не ограничен (в отличие от умеренного роста обобщенных функций из У).
Функционалы пространства 夕'(〃) удовлетворяют (по определению) следующему условию секвенциальной непрерывности. Будем говорить, что последовательность основных функций Uk 6 夕(〃)стремится к функции и 6 夕(〃)в (сходимости)夕(〃)，если существует компакт К в 亿 вне которого все функции Uk и и равны нулю, и если Uk стремится равномерно (по х) к и вместе со всеми своими производными (т. е. DaUk т Dau при к т ос равномерно по ж, где мультииндекс а произволен). Функционал / над 夕(〃)называется секвенциально непрерывным, если (/, и^ т (/, и) для любой сходящейся последовательности Uk и в 夕(〃).
Отметим, что всякую обобщенную функцию из ^(К72) можно рассматривать и как распределение из S)\Rn). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что 夕(К72) является плотным линейным подпространством ) пространства основных функций ^{Rn) и что из сходимости 〃к — 〃 в 夕(К72) следует сходимость 〃к — 〃 в 斤(К72). Из включения 夕(К72) С 斤(К72) и из определения непрерывного функционала в пространстве Фреше следует, что для любого / е ^\Rn) существуют с > 0 и натуральные числа I, т такие, что
|(/, 〃)| w c||u||/?m для всех и 6 夕(К72). (2.5)
Нетрудно видеть, что это свойство является характеристическим для сужения на 夕 функционалов из У. Иными словами, имеет место следующее утверждение.
Предложение 2.1. Всякое распределение / 6 夕'(К72), которое удовлетворяет условию (2.5), может быть единственным образом продолжено до обобщенной функции из ^(К72) {другими словами, может быть однозначно продолжено линейным и непрерывным образом на ^{Rn)\
Это предложение доказывается стандартной процедурой продолжения функций (или функционалов) по непрерывности.
Последовательность Д в У (К72) называется слабо (или -сла6о по терминологии п. 1.3.Б *)) сходящейся к / е，卜Rn), если Jim 九，“)=(/, “) для любой основной функции и е 斤(К72). Согласно следствию 1.9 пространство У (К72) слабо секвенциально полно.
Аналогичным образом определяется слабая сходимость в пространстве 夕'(〃) (которое также слабо секвенциально полно); в связи с этим см. замечание в п. 2.1.В.
Отметим, что в квантовой теории поля предлагались другие варианты расширения пространства обобщенных функций с тем, чтобы иметь возможность рассмотрении так называемых неперенормируемых моделей теории поля (см., например, Мейман, 1964; Джаффе, 1967).
Б. Определение в терминах фундаментальных последовательностей. Перейдем теперь к другому определению обобщенных функций, которое является математической формулировкой интуитивного взгляда на обобщенные функции как на некоторого рода пределы последовательностей непрерывных функций. Это определение не использует аппарата функционального анализа и с этой точки зрения более элементарно, чем первое определение.
Мы будем рассматривать пространство обобщенных функций как расширение множества непрерывных функций (в духе канторова определения множества действительных чисел как расширения множества рациональных чисел).
Последовательность непрерывных функций {/“(/)} в n-мерном вещественном пространстве Rn назовем фундаментальной, если существуют последовательность непрерывных функций {兄(/)} и мультииндекс а = (сц, , ап) такие, что функции 凡 имеют непрерывные частные производные порядка \а\ и выполняются следующие условия:
1)兄(/) = /“(/) при 沙=1, 2,
последовательность Fu(x) сходится к непрерывной функции 歹(/), причем сходимость равномерна на каждом ограниченном множестве;
функции Fu(x) ограничены одним и тем же полиномом, т. е. существуют не зависящие от 沙 постоянные А > 0 и к》0 такие, что при всех 沙二 1, 2,...
典⑺I W4[l + (后+ ...+г4再.(2.6)
Будем говорить, что фундаментальные последовательности {%(/)} и {д“(/)} эквивалентны (и писать {%}〜{g“(/)}, если смешанная последовательность
力(/), gi(/), /2(ж), д2(х),
фундаментальна. Определенное таким образом соотношение эквивалентности разбивает множество фундаментальных последовательностей на классы эквивалентности. Последовательности {%(/)} и {д“(/)} принадлежат одному и тому же классу эквивалентности тогда и только тогда, когда {%(/)} 〜 {д“(/)}・ Для задания некоторого класса эквивалентности достаточно задать одну какую-нибудь фундаментальную последовательность этого класса. Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей будем называть обобщенными функциями (в Rn).
Каждая непрерывная полиномиально ограниченная функция /(ж) может рассматриваться как обобщенная функция, если отождествить ее с классом эквивалентности, в который входит последовательность
/(/),/(/),..., /(/),•••
В множестве обобщенных функций естественно вводятся линейные операции — сложение и умножение на число.
Если фундаментальная последовательность {%} определяет обобщенную функцию /, а А — число, то, очевидно, последовательность {Х%} тоже фундаментальна. Класс эквивалентности, определяемый этой последовательностью, мы будем называть произведением числа А на обобщенную функцию / и обозначать через А/.
Упражнение 2.1. Показать, что если {/“} и {д“} — фундаментальные последовательности, то последовательность {/“ + р^} тоже фундаментальна.
Класс, определяемый последовательностью {% + д”}, зависит лишь от классов / Э {%} и р Э {д^}- Мы будем называть этот класс суммой обобщенных функций / и р и обозначать через / + р.
Приведем пример эквивалентных фундаментальных последовательностей функций одного переменного.
Упражнение 2.2. Показать, что последовательности
九5=，券 exp (-爸)，g"(c) = 土 炉/+ 1， h^x) = 土(2.7)
фундаментальны и эквивалентны друг другу.
На первый взгляд здесь и в п. 2.1.А мы присвоили одно и то же название — обобщенная функция — объектам совершенно разной природы. Покажем, что па самом деле оба определения эквивалентны, точнее, что рассматриваемое здесь множество классов эквивалентности изоморфно пространству линейных функционалов
Пусть {/“(/)}——фундаментальная последовательность и F{x) — соответствующая ей (согласно условию 2 определения фундаментальной последовательности) непрерывная функция. Поставим в соответствие классу эквивалентности, которому принадлежит последовательность функционал (/, и) (и 6 #), определенный по формуле типа (2.4):
(/, и) = (-1)|а| I F(x) D^u^ dnx (同三 oq + …+ м).(2.8)
Rn
Упражнение 2.3. Показать, что определенный формулой (2.8) функционал (/, 〃) зависит лишь от класса эквивалентности последовательностей, но не зависит от специального выбора последовательности {%}, совокупности целых чисел а или от примитивных функций 也}.
Упражнение 2.4. Показать, что последовательности (2.7) определяют обобщенную функцию 5(/) в К.
Упражнение 2.5. Показать, что при определенном выше соответствии алгебраические операции сохраняются (например, сумме классов эквивалентности соответствует сумма соответствующих функционалов).
Мы уже отмечали, что произвольный функционал из #' может быть представлен в виде (2.4). Чтобы завершить доказательство изоморфности пространства #' с множеством обобщенных функций, определенных как классы эквивалентности фундаментальных последовательностей, осталось показать, что каждую непрерывную функцию полиномиального роста можно аппроксимировать гладкими функциями полиномиального роста, причем так, что выполняются условия 2) и 3) определения фундаментальной последовательности.
Для этой цели воспользуемся последовательностью функций (см. (2.7))
=立为包)=(券厂ехp ［一号后+…+/簿.(2.9)
7=i
Любую непрерывную функцию полиномиального роста можно аппроксимировать последовательностью функций {兄(/)}, где
F^x)=]歹⑹ ％(/ - Н d*.(2.10)
Rn
Мы предоставляем читателю доказательство следующих утверждений:
функции 理(/) бесконечно дифференцируемы;
Fu(x) т 歹(/) при 沙 т ос, причем сходимость равномерна относительно х на каждом ограниченном множестве в Rn;
существуют постоянные А > 0 и к ^ 0, которые зависят от 歹(/), но не зависят от 沙 и такие, что имеет место неравенство (2.6).
В дальнейшем мы будем работать с функциональным определением обобщенных функций, но будем использовать также конструкцию (2.10), позволяющую приближать (в смысле сходимости в #') любую обобщенную функцию гладкими функциями.
О локальных свойствах обобщенных функций. В отличие от обычных функций, которые задаются значениями в каждой точке некоторого множества, обобщенные функции задаются в целом — как функционалы над пространством основных функций. Они не имеют, вообще говоря, определенных значений в отдельных точках. Однако все же можно говорить о некоторых локальных свойствах обобщенных функций.
При изучении локальных свойств обобщенных функций и распределений важную роль играет понятие (гладкого) разложения единицы, подчиненного покрытию {^a}aga данного открытого множества 夕 С Rn (конечным или бесконечным) семейством открытых подмножеств 自入 С Ь. Под таким разложением единицы понимают семейство {е》} неотрицательных ^^-функций ед (ж) на множестве 0, обладающее свойствами:
функция ед обращается в нуль вне 〃入；
на любом компакте К и 〃 отлично от нуля лишь конечное число функций ед；
£ е》(/) = 1 для всех х 6
АбА
Мы не будем здесь останавливаться на сравнительно простом доказательстве существования разложения единицы, подчиненного произвольному покрытию {^a}aga любого открытого множества 〃 С Rn открытыми подмножествами. Детальное изложение этого вопроса имеется в [ГЗ], гл. 1, добавлении 1.
Будем называть носителем основной функции замыкание множества всех точек х, для которых 〃(/) ^ 0. Носитель и обычно обозначают посредством supp〃. Будем говорить, что обобщенные функции / и р из 夕(К72) совпадают на (или в) открытом множестве 〃 С Rn, если (/, и) = (д, и) для всех основных функций 〃(/) е 6 «(К72) с носителем в 〃. В частности, будем говорить, что /(х) = 0 (или что / исчезает) в открытом множестве 〃, если (/, и) = 0 для всех и е ^(Rn) с носителем в 夕.Разложение единицы позволяет доказать следующий замечательный факт.
Упражнение 2.6. Пусть {源} — некоторое (конечное или бесконечное) семейство открытых множеств в Rn и пусть обобщенная функция / 6 ^f(Rn) исчезает в каждом из множеств 0a. Тогда / исчезает в их объединении 〃=Ua0a. ^Указание: соображение плотности, использованное в предложении 2.1, сводит задачу к доказательству того, что (/, “) = 0 для любой функции и{х) G ⑨(Rn) с носителем в 〃. Выбрать далее открытое множество Q, содержащее supp и, замыкание которого Q есть компакт, содержащийся в 〃. Пользуясь свойством компактных множеств, выбрать из семейства {夕а} конечное подсемейство, скажем, {夕(^}担i, покрывающее Q. Наконец, с помощью разложения единицы {е“}, подчиненного покрытию Rn множествами Rn\Q и {€а3 }J^b представить 夕 в виде
9二工 用， где supp U °旳)
7=1
Из этого упражнения следует, что для любой обобщенной функции / из ^\Rn) существует максимальное открытое множество 〃 с Rn (возможно, пустое), на котором / обращается в нуль (причем в данном случае максимальность означает, что 〃 содержит всякое другое открытое множестве в Rn, на котором / исчезает). Дополнение этого множества до всего пространства Rn будем называть носителем обобщенной функции и обозначать через supp /. (Разумеется, supp / — замкнутое множество в Rn.) Итак, имеем
(/,〃)= 0, если supp / П suppu = 0.(2.11)
Если supp / содержится в некотором замкнутом множестве S С Rn, то говорят также, что / сосредоточена на множестве S. Точно так же определяется носитель распределений из 夕'(К72) (или, вообще, из ®х(^)).
Упражнение 2.7. Всякое распределение f G 5'(R* с компактным носителей является обобщенной функцией (обладающей оценкой (2.5) при m = 0). (Указание: продолжить Т на ”К)посредством
(Т，/) = (Т，
где g — фиксированная функция из 夕(К72), равная единице в окрестности supp Т; убедиться, что нз 九 т 0 в "R? следует (Т,九)т 0.)
Итак, распределения в Rn с компактными носителями могут быть отождествлены с соответствующими обобщенными функциями в Rn. Следующее предложение имеет дело с важным частным случаем.
Предложение 2.2. Всякая обобщенная функция / е У (К72) с носителем 6 нуле имеет вид
(/, 〃) = £ "。〃(。)，“ е 0g,(2.13)
где с。——фиксированный конечный набор чисел.
Пользуясь понятием частной производной обобщенной функции (см. далее п. 2.2.Б) мы могли бы сказать, что / есть конечная линейная комбинация ^-функции и ее частных производных.
< Согласно упражнению 2.7, для / имеет место оценка
К/, 1/)1 < с • \\u\\N;0, и е #(W)
при некоторых с > 0 и целом N. Достаточно показать, что
(/, и) = 0, если “еЯТ^) и Dau(0) = 0 при |а| < N.(2.14)
Действительно, пусть g — фиксированная функция из ^ (^п), равная единице в окрестности нуля; тогда для любой и 6 ”Rn) функция
v(x) = и(х) — ш(х) ^2 皆俨⑼
принадлежит ^(Rn) и имеет нулевые частные производные порядка < N. Поэтому из (2.14) будет следовать (/, о) = 0, и мы приходим к представлению (2.13), где са = { (/, хаш).
Остается доказать (2.14). Для фигурирующей здесь функции и{х), очевидно, имеет место оценка,,.
sup\x\~^a^~i\Dau{x)\ < ос при \а\ <
так что”
1(/, и)\ = К/, ш(кх)и)\ < c\\u(kx)u(x)\\NjQ Т 0 при к т ос.
Это доказывает (2.14). А
Если С и Q — два открытых подмножества в Rn и Q С ^, то для каждого распределения / 6 夕'(自)естественным образом сопоставляется сужение /q 6 ®Z(Q) распределения / на (открытое) подмножество Q:
U\q^ ^) = (/，^1) Ли# всех 〃e5(Q);
здесь 〃1 — функция из 夕(〃)，равная и(х) в Q и 0 в b\Q. С помощью разложения единицы нетрудно доказать следующий принцип, доставляющий важное практическое средство для задания распределений (см. также предложение 2.4 в п. 2.3.А).
Предложение 2.3 (принцип склеивания распределений). Пусть {〃入}入^八 — некоторое семейство открытых подмножеств в Rn и {/л}лел ——семейство распределений /д е 夕'(自入)，удовлетворяющих условию согласования
AkAnQM =九鼠
для всех 入〃 е А. Тогда существует единственное распределение / 6 夕'(〃)，где 〃 =U 自入，совпадающее с f入 в О入 при любом А.
Аел
Замечание. Как уже упоминалось в п. 1.2.В, пространство 夕(〃)не является F-пространством; оно принадлежит к более широкому классу так называемых строгих индуктивных пределов F-пространств, на которые распространяется большинство результатов § 1.3 об F-пространствах. Мы не станем приводить относящиеся сюда понятия; вместо этого мы ограничимся наглядным объяснением, каким образом результаты, касающиеся вопросов сходимости последовательностей в 夕(〃)или 夕'(〃)，можно непосредственно получать из соответствующих результатов для ^(Rn) и ^\Rn) на основе принципов локализации и склеивания распределений. В соответствии с этими принципами всякое распределение / 6 6 夕'(〃) (или, вообще, всякий линейный функционал над 5(〃)) однозначно определяется его сужениями /|к на открытые подмножества К U 0 c компактным замыканием в 〃. С равным успехом вместо семейства {/|к}кс^ можно взять семейство {/К}ксб обобщенных функций fK 6 ^(Rn), совпадающих с / в К. В качестве fK можно принять обобщенную функцию из 索〈К1) с компактным носителем из 9^\Rn), определяемую формулой и)= =(/, &к〃|к) при и G #(К"), где зк — функция из 夕(〃)，равная 1 в окрестности К. Нетрудно видеть, что сходимость последовательности /7 T / в 夕'(〃) эквивалентна сходимости fK В 出(Р) при всех К и 〃 с компактным замыканием в 〃. Кроме того, определение сходимости в 夕(〃)，а также условие непрерывности линейного функционала над 夕(〃)формулируются в терминах последовательностей в 夕(〃)，носители которых заключены в некотором общем подмножестве К и О с компактным замыканием в 〃 (н для такой последовательности условие и^ т и в 夕(〃)эквивалентно условию и^ т и в ^(Rn), где и — функция из ^(Rn), совпадающая с а в 0 H исчезающая вне 夕).Таким образом, вопросы сходимости в 夕(〃)и 夕'(〃) полностью сводятся к соответствующим вопросам о сходимости в "R71)и ^^пу
2.2. Преобразование аргументов и дифференцирование
А. Замена переменных в обобщенной функции. Многие важные операции над распределениями определяются посредством расширения соответствующих операций над обычными гладкими функциями. Мы уже знаем, что обобщенные функции образуют линейное пространство, так что их можно складывать и умножать на числа. Важно, что такие локальные операции, как (гладкая) замена переменных и дифференцирование, также распространяются на обобщенные функции. Нижеследующие определения получены, можно сказать, переводом этих операций на язык линейных функционалов.
5 Н. Н. Боголюбов и др.
Пусть у =夕(力)，или, подробнее,
(2.15)(2.15)g1=01(/)，,уп = ^рп{х\ /三(/ 1,,力几)，
(2.15)
(2.15)
есть диффеоморфизм пространства Rn на себя (т. е. взаимно однозначное &°°-ото6- ражение Rn на себя, обратное которому тоже &°°). Тогда, в частности, якобиан преобразования (2.15) отличен от нуля:
J（夕）=J（夕）=391391дх\ ''' дхп391391дх\ ''' дхпa屮П дхпa屮П дхп川.川.(2.16)(2.16)Преобразование, обратное (2.12), обозначим через х =夕一】(д). Тогда, если /(х)— обычная (локально интегрируемая) функция и и(х) е 夕，Преобразование, обратное (2.12), обозначим через х =夕一】(д). Тогда, если /(х)— обычная (локально интегрируемая) функция и и(х) е 夕，(貝夕7(g))，〃匂))=f{x)u^x))\J^)\dnx = (/(x), \ J^)\u^x))l (2.17)RnВ случае, когда /(ж) является распределением, это равенство берется в качестве определения распределения /。夕一】 三/(夕一1(g)). В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело только с такими преобразованиями аргументов в распределениях, которые оставляют инвариантным подпространство У, т. е. сопоставляют обобщенной функции /(х) обобщенную функцию /(夕一1(g)).Упражнение 2.8. Пусть 夕 — диффеоморфизм Rn на себя, причем частные производные любого порядка компонент ^ (ж) и (屮一1)式у) отображений 夕 н 夕一丨 полиномиально ограничены (по \х\ и \у\, соответственно). Убедиться, что для любой обобщенной функции /(ж) G ^(^п) формула (2.17) определяет обобщенную функцию /。夕一丨=/(夕一上沙))G 6 守(М), причем соответствие / т /。夕一丨 есть изоморфизм 9^\Rn) на себя.(貝夕7(g))，〃匂))=f{x)u^x))\J^)\dnx = (/(x), \ J^)\u^x))l (2.17)RnВ случае, когда /(ж) является распределением, это равенство берется в качестве определения распределения /。夕一】 三/(夕一1(g)). В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело только с такими преобразованиями аргументов в распределениях, которые оставляют инвариантным подпространство У, т. е. сопоставляют обобщенной функции /(х) обобщенную функцию /(夕一1(g)).Упражнение 2.8. Пусть 夕 — диффеоморфизм Rn на себя, причем частные производные любого порядка компонент ^ (ж) и (屮一1)式у) отображений 夕 н 夕一丨 полиномиально ограничены (по \х\ и \у\, соответственно). Убедиться, что для любой обобщенной функции /(ж) G ^(^п) формула (2.17) определяет обобщенную функцию /。夕一丨=/(夕一上沙))G 6 守(М), причем соответствие / т /。夕一丨 есть изоморфизм 9^\Rn) на себя.Б. Дифференцирование обобщенных функций. Примеры. В частности, выбирая в качестве преобразования сдвиг по одной из переменных, напримерБ. Дифференцирование обобщенных функций. Примеры. В частности, выбирая в качестве преобразования сдвиг по одной из переменных, напримерy\ = x\ - △ Ж1,g2=/2，Уn = ^ny\ = x\ - △ Ж1,g2=/2，Уn = ^nпри помощи (2.17) получаем (при △力i # 0)при помощи (2.17) получаем (при △力i # 0)+ △/1,/2,…，/)几一/(/1,…，/h)+ △/1,/2,…，/)几一/(/1,…，/h)△/1△/1"(/1 — △/1,/2, •一,/九)一"(/1, •一,/九)"(/1 — △/1,/2, •一,/九)一"(/1, •一,/九)—△ /1—△ /1(2.18)(2.18)Пользуясь тем, что в силу непрерывности функционала / правая часть (2.17) стремится при △力i — 0 к пределу —(/, ди/дх\), мы по определению назовем этот предел частной производной обобщенной функции /(х) по переменной х\. В общем случае, таким образом, имеемПользуясь тем, что в силу непрерывности функционала / правая часть (2.17) стремится при △力i — 0 к пределу —(/, ди/дх\), мы по определению назовем этот предел частной производной обобщенной функции /(х) по переменной х\. В общем случае, таким образом, имеем(2.19)(2.19)Формулу (2.19) можно получить интегрированием по частям, если функция /(х) имеет непрерывные и полиномиально ограниченные частные производные. Этот факт обычно принимается в качестве интуитивного обоснования определения (2.19).Формулу (2.19) можно получить интегрированием по частям, если функция /(х) имеет непрерывные и полиномиально ограниченные частные производные. Этот факт обычно принимается в качестве интуитивного обоснования определения (2.19).
J（夕）=
J（夕）=
391391
дх\ ''' дхп
391391
дх\ ''' дхп
a屮П дхп
a屮П дхп
川.
川.
(2.16)
(2.16)
Преобразование, обратное (2.12), обозначим через х =夕一】(д). Тогда, если /(х)— обычная (локально интегрируемая) функция и и(х) е 夕，
Преобразование, обратное (2.12), обозначим через х =夕一】(д). Тогда, если /(х)— обычная (локально интегрируемая) функция и и(х) е 夕，
(貝夕7(g))，〃匂))=f{x)u^x))\J^)\dnx = (/(x), \ J^)\u^x))l (2.17)
Rn
В случае, когда /(ж) является распределением, это равенство берется в качестве определения распределения /。夕一】 三/(夕一1(g)). В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело только с такими преобразованиями аргументов в распределениях, которые оставляют инвариантным подпространство У, т. е. сопоставляют обобщенной функции /(х) обобщенную функцию /(夕一1(g)).
Упражнение 2.8. Пусть 夕 — диффеоморфизм Rn на себя, причем частные производные любого порядка компонент ^ (ж) и (屮一1)式у) отображений 夕 н 夕一丨 полиномиально ограничены (по \х\ и \у\, соответственно). Убедиться, что для любой обобщенной функции /(ж) G ^(^п) формула (2.17) определяет обобщенную функцию /。夕一丨=/(夕一上沙))G 6 守(М), причем соответствие / т /。夕一丨 есть изоморфизм 9^\Rn) на себя.
(貝夕7(g))，〃匂))=f{x)u^x))\J^)\dnx = (/(x), \ J^)\u^x))l (2.17)
Rn
В случае, когда /(ж) является распределением, это равенство берется в качестве определения распределения /。夕一】 三/(夕一1(g)). В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело только с такими преобразованиями аргументов в распределениях, которые оставляют инвариантным подпространство У, т. е. сопоставляют обобщенной функции /(х) обобщенную функцию /(夕一1(g)).
Упражнение 2.8. Пусть 夕 — диффеоморфизм Rn на себя, причем частные производные любого порядка компонент ^ (ж) и (屮一1)式у) отображений 夕 н 夕一丨 полиномиально ограничены (по \х\ и \у\, соответственно). Убедиться, что для любой обобщенной функции /(ж) G ^(^п) формула (2.17) определяет обобщенную функцию /。夕一丨=/(夕一上沙))G 6 守(М), причем соответствие / т /。夕一丨 есть изоморфизм 9^\Rn) на себя.
Б. Дифференцирование обобщенных функций. Примеры. В частности, выбирая в качестве преобразования сдвиг по одной из переменных, например
Б. Дифференцирование обобщенных функций. Примеры. В частности, выбирая в качестве преобразования сдвиг по одной из переменных, например
y\ = x\ - △ Ж1,g2=/2，Уn = ^n
y\ = x\ - △ Ж1,g2=/2，Уn = ^n
при помощи (2.17) получаем (при △力i # 0)
при помощи (2.17) получаем (при △力i # 0)
+ △/1,/2,…，/)几一/(/1,…，/h)
+ △/1,/2,…，/)几一/(/1,…，/h)
△/1
△/1
"(/1 — △/1,/2, •一,/九)一"(/1, •一,/九)
"(/1 — △/1,/2, •一,/九)一"(/1, •一,/九)
—△ /1
—△ /1
(2.18)
(2.18)
Пользуясь тем, что в силу непрерывности функционала / правая часть (2.17) стремится при △力i — 0 к пределу —(/, ди/дх\), мы по определению назовем этот предел частной производной обобщенной функции /(х) по переменной х\. В общем случае, таким образом, имеем
Пользуясь тем, что в силу непрерывности функционала / правая часть (2.17) стремится при △力i — 0 к пределу —(/, ди/дх\), мы по определению назовем этот предел частной производной обобщенной функции /(х) по переменной х\. В общем случае, таким образом, имеем
(2.19)
(2.19)
Формулу (2.19) можно получить интегрированием по частям, если функция /(х) имеет непрерывные и полиномиально ограниченные частные производные. Этот факт обычно принимается в качестве интуитивного обоснования определения (2.19).
Формулу (2.19) можно получить интегрированием по частям, если функция /(х) имеет непрерывные и полиномиально ограниченные частные производные. Этот факт обычно принимается в качестве интуитивного обоснования определения (2.19).
Приведенные выше рассуждения (основанные на формуле (2.18)) показывают, что это определение совпадает с обычным определением производной от функции.
Так как производная от обобщенной функции также является обобщенной функцией (из У), ясно, что обобщенные функции имеют частные обобщенные производные любого порядка. Отметим также, что операция дифференцирования непрерывна в У. Другими словами, если при любом 〃 е У
/丛(%,")=(/, "),
то для каждого 〃 G У имеет место соотношение
(2.20)(2.20)
(2.20)
(2.20)
Заметим далее, что для обобщенных функций безразличен порядок дифферен
цирования:цирования:дхг дхк дхк дхгдхг дхк дхк дхг(2.21)(2.21)
цирования:
цирования:
дхг дхк дхк дхг
дхг дхк дхк дхг
(2.21)
(2.21)
(2.22)(2.23)(2.22)(2.23)гими словами,гими словами,(2.24)(2.24)
(2.22)
(2.23)
(2.22)
(2.23)
гими словами,
гими словами,
(2.24)
(2.24)
так как такое равенство справедливо для основных функций.
Рассмотрим несколько примеров обобщенных функций одного переменного, являющихся производными от обычных локально интегрируемых функций.
Производная от разрывной (локально интегрируемой) функции
{1при ж > 0,
0при ж < 0
равна 5(/). Действительно,
—oo0
Функционал din \x\/dx совпадает с главным значением в смысле Коши от 1//; дру
где 俨—знак главного значения интеграла. Действительно, в силу определения (2.19)
ООX —£ОО、
— ОО' —oo£'
0—oo
Определенную таким образом обобщенную функцию dln(x)/dx будем обозначать как 1// ^иногда ее обозначают как ^. Отметим, что обычная функция 1// не является локально интегрируемой (в окрестности точки ж = 0) и поэтому она не тождественна обобщенной функции 1//.
Аналогично обобщенную функцию 1/ж2 определим как производную от обобщенной функции —1//:
(:,〃(/)) = (^, 〃/(/)) = J 〃(/),〃(T)^=| "⑴ + — - 2"。)也⑵ 25)
оо
Вообще, положим по определению
（" 1）!前 m罔，
n = 1, 2,...,
(2.26)
где производную нужно понимать в смысле определения дифференцирования в ^.
3) Обычная локально интегрируемая функция 1п(/ 土 гО) определяется равенством
1п(ж 土 гО) = lim 1п(/ 土 分 g) = In \x\ + г lim arg (ж 土 iy) = In \x\ 土 分穴伙一/),
(2.27)
где 0(/) определена формулой (2.23). Производную от обобщенной функции (2.27) будем обозначать 1/(/土分0). В силу (2.23), (2.26), (2.27) справедливы формулы Сохоцкого:
из которых следует
= £ m（/ ± 分°）= ^ 干汴8（力），（2・28）
总而一出= 2^b（吟⑵29）
Последовательным дифференцированием формулы (2.28) получаем
(力 ±匕0广=(п- 1)!强 m(力 ± '°)= ； 土 (di)!汾"7(吟(2・30)
Производные от дельта-функции в правой части равенства (2.30) определяются, соглас-
но (2.19), формулой
(/), ") = (-1广"(叫0).
⑵31)
2.3. Умножение обобщенной функции на гладкую функцию
А. В чем проблема умножения обобщенных функций? Понятие мультипликатора. Нами определялось множество обобщенных функции как линейное пространство, и неудивительно, что аппарат обобщенных функций хорошо приспособлен для рассмотрения линейных задач. Мы уже убедились в предыдущем параграфе, что обобщенные функции можно дифференцировать неограниченное число раз и их смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования (что, вообще говоря, не имеет места для «не слишком хороших» обычных функций). В следующем параграфе мы увидим, что к обобщенным функциям можно свободно применять преобразование Фурье.
Однако произведение не может быть определено естественным образом для любой пары обобщенных функций. Легко убедиться, что нельзя определить произведение, которое было бы билинейно и ассоциативно и, кроме того, удовлетворяло бы, например, следующим естественным условиям:
8(/)./=0,/.J = 1.
Действительно *),
8(/)｛力•市｛8(/)•力｝ ^ = °。(2.32)
Тем не менее существует широкий класс функций, для которых можно естественным образом определить произведение с обобщенными функциями из У. Этот класс определяется следующим образом.
*) Заметим, что произведения типа Ь(/)｛//(/)｝ широко распространены в квантовой теории поля (см., например, п. 13.2.В и далее).
Будем говорить, что функция 夕(力)является мультипликатором в пространстве основных функций У, если из того что и(х) е У, следует, что и 夕(力)〃(力)е У. Пространство всех мультипликаторов будем обозначать через 0м (или 0М(7?П)). Можно показать, что для того чтобы функция 夕(力)была мультипликатором, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируемой и вместе со своими производными возрастала на бесконечности не быстрее полинома:
|О>(力)|<Са(1 + |力|产・(2.33)
Если 夕(力)—мультипликатор, то произведение 夕(力)на обобщенную функцию / G У определяется по формуле
(0(力)f, "(力))=(/,0(力)"(力)).(2.34)
По определению будем считать произведение коммутативным:夕/ = /夕.
В некоторых случаях можно определить и произведение двух обобщенных функций. Теория таких «сингулярных» произведений менее естественна и более сложна, чем рассмотренный выше случай умножения обобщенной функции на мультипликатор.
Ниже, в п. 2.6.В, мы изложим один из возможных вариантов определения произведения обобщенных функций. Другой подход изложен в [Р2], т. 2, § IX.10.
Упражнение 2.9. Пусть носитель обобщенной функции /(ж) 6 夕(R* содержится в замкнутом множестве Q С Rn и пусть для любого £ > 0 Q£ есть замыкание £-окрестностн множества Q (т. е. Q£ есть множество точек в Rn, расстояние которых до Q не превосходит е). Доказать, что тогда для любого £〉0 существуют константа с и натуральные числа I, т (зависящие от е) такие, что
|(/, и)\ < с\\и\\ц^ при всех и G(2.35)
где по определению
||〃|爲=max sup(1 + \x\m\Dau(x)\).(2.36)
(Указание: взять мультипликатор 夕，равный 1 в Q5, где 0 < 5 < £, и имеющий носитель в Q£; например,
9⑺=g(/ - у) dy,
где g есть функция из ^ (^п) с интегралом, равным единице, и с носителем в достаточно малой окрестности нуля. Далее воспользоваться равенством (/, и) = (/,夕〃)；оценить здесь правую часть с помощью (2.2).)
Заметим, что для «достаточно хороших» множеств Q (это уточняется в дополнении А) оценка (2.35) может быть усилена: существуют константа с и натуральные числа Z, т такие, чтос
|(/, и)\ ^с - \\и\\цт при всех и е ^{Rn).
С помощью подходящего разложения единицы мультипликаторами в Rn можно распространить принцип склеивания распределений (п. 2.1.В) и на обобщенные функции класса У. Для простоты формулировки мы ограничимся случаем конечных покрытий Rn.
ствоствоПредложение 2.4. Пусть {^}j=i,.„,m — конечное семейство открытых подмножеств в Rn, покрывающих Rn, так что для любого j = 1, , т множе
ство
ство
Qj = Rn\ U 3
замкнуто и содержится в 〃^. Предположим, что расстояние d(力，dGj) от точки х е Qj до границы 80$ множества 6j удовлетворяет условию d(x, 9^-)》4 х х (1 + |力|)一* для всех х е Qj； здесь А>0и6^0 — числа, зависящие лишь от данного покрытия. Тогда-.
существует разложение единицы {⑦}%, подчиненное покрытию {%}, причем все ej являются мультипликаторами из SM{Rn\,
для любого семейства {fj}j=\^.^m обобщенных функций из ^\Rn), удовлетворяющих условию согласования
(fi - ^\сгш3 = 0 при всех г, j = 1,, m,
существует единственная обобщенная функция / е ^\Rn), совпадающая с 力 6 华・ при всех j.
Упражнение 2.10. Доказать предложение 2.4. ^Указание: в случае 5 = 0 можно определить е^ посредством
здесь g — неотрицательная функция из ^ (^п) с носителем в шаре \х\ < 1/2, причем Jш(х) d^x = 1, а дз — характеристическая функция множества {/ 6d(/, 20Q > A/2} D
D Qj. В случае b〉0 следует несколько изменить определение з^(/), положив
где g — та же функция, что и раньше,厶小=4(1 + 衣)〜'，a Xjk — характеристическая функция множества {/ G 仿：к — 1 W |/| W k, d(/, 9Q)》J 厶小})
Б. Проблема деления. Перейдем теперь к рассмотрению обратной задачи — задачи деления, т. е. к изучению уравнения
夕(力)/ = д,(2.37)
где р е ^ и 夕(力)е 0м заданы, а / — неизвестная обобщенная функция. В случае, когда функция 夕(力)^ 0 при всех х и не стремится слишком быстро к нулю при 力—оо (точнее, если функция 1/夕(力)тоже является мультипликатором), уравнение (2.37) решается элементарно. Задача существенно усложняется, если функция 夕(力)где-то обращается в нуль. Мы ограничимся рассмотрением случая одного независимого переменного и предположим, что функция 夕(力)，входящая в (2.37), имеет лишь дискретное множество нулей конечного порядка. При этих предположениях проблема деления в пространстве У(К) сводится, по существу, к решению простейшего уравнения (2.37), а именно
xf =，•(2.38)
В силу определения (2.34) уравнение (2.38) может быть записано в виде
(д, и(х))=(力/, 〃(/)) = (/, хи(х)),
где и(х) — произвольная основная функция. Таким образом, если обобщенная функция f, удовлетворяющая уравнению (2.38), существует и
。(力)=хи\(х),〃i(z) е 斤，(2.39)
то
(/，。)=(9, 〃1)・(2.40)
Итак, функционал / однозначно определен на подпространстве (пространства У) функций 。(力)，для которых о(0) = 0. Для полного определения функционала / достаточно определить его действие на какую-нибудь функцию 〃0(力)из 斤 такую, что 〃о(°) = 1- Произвольная функция и(х) 6 斤 может быть представлена в виде
"(力)="⑼ "0(力)+0(力)，(2.41)
причем о(0) = 0, так что функция。(力)имеет вид (2.39). Применяя функционал / к обеим частям равенства (2.41) и учитывая (2.40), получим
(/, "(/))=М0)(/, "0(/))+(9, "1(力)).(2.42)
Все рассуждения были проведены до сих пор в предположении, что существует решение уравнения (2.38). Нетрудно убедиться непосредственно, что при любом выборе постоянной С линейный функционал
(/, и) = Cu(0) + (д, 〃1(力))(2.43)
непрерывен в У п действительно удовлетворяет уравнению (2.38). Рассуждения, приведшие к формуле (2.42), показывают, что функционал (2.43) является общим решением уравнения (2.38) (любые два частных решения этого уравнения отличаются лишь значением постоянной С). Общее решение однородного уравнения
力/о = 0(2.44)
имеет вид
(/о, 〃)=。〃⑼，т. е. /о =。通).(2.45)
После того как мы убедились, что уравнение (2.38) имеет решение, нетрудно показать, что и более общее уравнение
巧=g,(2.46)
⑵47)(2.48)(2.49)⑵47)(2.48)(2.49)где g е У, а I — любое натуральное число, всегда имеет решение относительно / в У. Произвол в этом решении определяется общим решением однородного урав-
⑵47)
(2.48)
(2.49)
⑵47)
(2.48)
(2.49)
Упражнение 2.11. Доказать, что общее решение уравнения (2.47) имеет вид
九二工贫科)(/)，沙=0
где су — произвольные постоянные. (Указание: воспользоваться формулой
0при к〉沙，
(bПpИ沙
и провести индукцию по Z.)
Формулу (2.49) можно получить из правила Лейбница для дифференцирования произведения
亲［9⑺力=t⑺产)(/),зё 6m, /g夕.⑵50)
Она является частным случаем более общей формулы
〃(/)/)(/) = £ (―1厂(；)小)⑼ Ь(—)(/).(2.51)
"=0
Аналогичным образом в У можно делить на функцию (力—а)", где а — вещественное число, и, вообще, на произвольный полином.
Упражнение 2.12. Пусть ai, ..., аг — вещественные корни полинома Р(х) (кроме них Р(х) может иметь, вообще говоря, и комплексные корни), а 厶一кратность корня а°. Показать, что общее решение однородного уравнения
Р(Х)/о = о(2.52)
имеет вид
Л = ££ 寸")(_&).⑵53)
г=1 沙 2=0
Полученные результаты обобщаются и на более широкий класс бесконечно гладких функций, имеющих на вещественной оси лишь нули конечной кратности. Например, общее решение уравнения
sin х • / = 0
имеет видимеет вид/= £飯8(力—八 7Г),/= £飯8(力—八 7Г),где коэффициенты сп могут возрастать при |п| оо негде коэффициенты сп могут возрастать при |п| оо ненини|п|, т. е. существуют положительные постоянные А|п|, т. е. существуют положительные постоянные Абыстрее некоторой степе-быстрее некоторой степе-и А (не зависящие от п)и А (не зависящие от п)
имеет вид
имеет вид
/= £飯8(力—八 7Г),
/= £飯8(力—八 7Г),
где коэффициенты сп могут возрастать при |п| оо не
где коэффициенты сп могут возрастать при |п| оо не
ни
ни
|п|, т. е. существуют положительные постоянные А
|п|, т. е. существуют положительные постоянные А
быстрее некоторой степе-
быстрее некоторой степе-
и А (не зависящие от п)
и А (не зависящие от п)
такие, чтотакие, что
такие, что
такие, что
knl < 4(1 + |п|)Л-
В остальном постоянные сп произвольны.
Однако не каждое уравнение типа (2.37) имеет решение в У (даже если предположить, что мультипликатор 夕(力)обращается в нуль лишь в одной точке). Так, например, можно показать, что уравнение
ехр(-1/х2)/ = 1
не имеет решения в классе обобщенных функций У, так как функция ехр (—1/х2) имеет нуль бесконечной кратности в точке х = 0 (существенно особой точке этой функции).
Результаты, полученные в задаче о делении в У (К), могут применяться также к некоторым специальным задачам о делении обобщенных функций нескольких переменных (хотя общая задача деления функционалов из ^\Rn) на произвольный полином от 八 переменных гораздо сложнее).
Пример такого рода — уравнение
(2.54)(2.54)(У - ш2) / = 1
(2.54)
(2.54)
для обобщенной функции в пространстве Минковского М (см. ниже п. 3.1.А); здесь т — положительный параметр. Частное решение этого уравнения имеет вид
/0 =一2 .
р — т
Оно хорошо определено. Действительно, в области @? < mf это обычная регулярная функция (0 < mi < т). Остается рассмотреть две области
р〉耘， ±0°〉О
(где 0 < m2 < mi); в каждой из них можно перейти от переменных р = (р°, р) к переменным (@2, р), так что (согласно предыдущему рассмотрению случая одной переменной) формула задает в этих областях распределения. Остается применить принцип склеивания распределений (или обобщенных функций). Можно показать, что общее решение уравнения (2.54) в классе ^(Af) имеет вид
/ = ^7^?+ 伏0°)8(У -疗)力(Р)+ 伙—0°)b(@2 - m2) /2(р)・(2.55)
где /i и /2 — произвольные обобщенные функции из ^(i?3); при этом второе слагаемое в (2.55) определено следующим образом:
[6>(@2) Ь(@2 - тп) /1 (р) и(р) dp= [ /1 (р)
аналогично определяется последнее слагаемое в (2.55).
Следует упомянуть классический результат Хермандера (1958), называемый «теоремой деления Хермандера», который утверждает, что уравнение (2.37) (относительно / 6 守卜Rn) при заданных g 6 夕(R* и 夕)всегда имеет решение, если 夕—(комплексный) полином в Rn, не равный тождественно нулю.
Теорема о ядре. Тензорное произведениеобобщенных функций
А. Билинейные функционалы над пространствами типа 乡. Сформулируем некоторое свойство пространств типа У, которое существенно отличает их от гильбертова (и вообще от нормированного) пространства и которое в некоторой мере обусловливает тот факт, что пространства "R? являются «хорошими», т. е. удобными для применений. К этому свойству можно прийти двумя эквивалентными путями: изучая общий вид билинейных (непрерывных) функционалов в 斤 или рассматривая линейные операторы, которые переводят пространство 斤 в сопряженное пространство У.
Функционал В(и, о) называется билинейным, если он линеен относительно каждого из своих аргументов и и v, когда другой аргумент фиксирован. Если и и v являются в конечномерном пространстве тензорами степени к м m соответственно: u =("分 1分2…族)，。=(0力 ％・・j力)，tо каждый билинейный функционал в (u, о) можеt быть представлен в виде
石("，。)=^2%1分1…族"力…加，(2.56)
где 仇i../小—тензор степени k + тп в том же конечномерном пространстве. Эта простая и важная теорема не имеет аналога в гильбертовом пространстве. Поясним это на примере пространства 3?(#) функций к переменных с интегрируемым квадратом модуля. Аналогом формулы (2.56) в этом случае является представление
В(и,dx\...dxk dyi...dym u{x\, ..., x^) x
Xk- yx, ym), (2.57)
где ядро К(力i,…，力卜；gi,…，Уш) имеет интегрируемый квадрат модуля в пространстве Rk+m, На самом деле далеко не каждый билинейный функционал в
^{R^ х 32(7?^) может быть представлен в форме (2.57). Например, простейший билинейный непрерывный функционал (при к = т)
В(и, V)=... dx\...dxku{x\, Xk)v{x\, х^)
не представим в виде (2.57) (с ядром К, являющимся обычной функцией с интегрируемым квадратом).
Напротив, для пространства 斤 имеет место аналог формулы (2.57) для билинейных непрерывных функционалов. Условие непрерывности здесь можно несколько ослабить, заменив его раздельной непрерывностью (по каждому аргументу). В пояснение добавим, что непрерывность линейного функционала В (и, о) над и е 斤(К^), о е "R71) означает, что В{ип, о冷)т В(〃，о), если 〃冷 т 〃 в 斤(К^) 140rz 一 ° в ”Rm) при 八—оо. Раздельная же непрерывность означает непрерывность 石(〃，о) по и при любом фиксированном о (т. е. В(ип, о) — В(и, о), если 〃冷—〃)и непрерывность В(и, о) по о при любом фиксированном и. Оказывается, из раздельной непрерывности автоматически следует непрерывность. Более того, имеет место следующий классический результат.
представим в видепредставим в видеТеорема 2.5 (теорема Шварца о ядре). Произвольный билинейный (раздельно) непрерывный функционал £(〃，о) над и 6 斤(К^) 〃 ° е "R71) однозначно
представим в виде
представим в виде
(2.58)(2.58)石(",0)=(ь(力,g), "⑺• o(g)),
(2.58)
(2.58)
где 歹(力，g) — обобщенная функция из ^P\Rk x R% =次(曰+%, зависящая от переменных х 6 Rk, у G Rm.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, отсылая читателя к имеющейся литературе (см., например, [Г5], п. 1.1.3 или [Р2], т. 1, добавление к § V.3). Отметим, что индукцией по числу аргументов теорема о ядре естественно обобщается на полилинейные непрерывные функционалы В(ш, ..., ип) (зависящие от п аргументов ш, ..., ип вместо двух и, V). Более того, можно допустить, что полилинейный функционал В(ш, ..., ип) принимает значения в некотором ЛВП Q. Например, в случае п = 2 из (раздельной) непрерывности функционала В(и, v) по и 6 依屋)，о 6 ^(Rm) следует, что существует (и единствен) такой линейный непрерывный оператор b: ^^Rk+rn) т Q, что
В(и, у) = Ъ(и 0 о),
где посредством и0 v обозначена функция 〃(/)o(g) G ^(Rk+rn).
Формула (2.58) позволяет также найти общий вид линейного непрерывного оператора А, отображающего ”R? в 伊(R*. для этого достаточно рассмотреть билинейный (раздельно) непрерывный функционал В (и, о) = {Аи, о), где и G #(К“)，о G ^{Rm). В результате имеем аналог (2.58):
(Au, V)=(歹(/, у), и{х) о(д)).(2.59)
Б. Тензорное произведение. С помощью теоремы о ядре легко построить тензорное (или прямое) произведение обобщенных функций. Под тензорным произведением (обычных) функций понимается произведение функций, зависящих от различных независимых переменных; так, тензорным произведением функций и(х) в Rk и о(д) в Rm служит функция 〃(/) • о(д) в Rk^m, Аналогично используя функциональное определение обобщенных функций, мы назовем тензорным произведением обобщенных функций f(* е 出(R，и д^ ㊂出(R% обобщенную функцию из 次(Rk+%, обозначаемую /(/) g(g) (или / 0 р, если аргументы опускаются), обладающую свойством
/(力)д(У)〃(力)。(沙)dxdy =/(ж) u(x)g(y) o(g) dg丿(2.60)
при всех и 6 斤(7?卜)，° e "R%. Как это непосредственно видно из теоремы о ядре, такая обобщенная функция / 0 р действительно существует и единственна.
Впрочем, построить тензорное произведение обобщенных функций можно и с помощью более элементарных рассуждений. Так, значение / 0 р на произвольной основной функции w(工,g) 6 ^(Rk^m) можно определить с помощью следующих двух формул:
f{x)g{y)w{x, y^dxdy =貝力)]]g(g) (力，g) dg dx,(2.61)
f(x)g(y)w(x, y^dxdy = g(g)]]貝力)沢力，g) dz dy,(2.62)
Здесь выражение в квадратных скобках, например в (2.61), рассматривается как значение обобщенной функции д(у) на основной функции w(x, у) по у, зависящей от х как от параметра. Не представляет большого труда убедиться, что это выражение определяет основную функцию, скажем, W(ж) 6 斤(К^), причем из сходимости 0 в "R? следует сходимость Wy — 0. Это соображение непрерывности показывает, что равенства (2.61) и (2.62) действительно определяет обобщенные функции.
Единственность же тензорного произведения / 0 р следует из того, что линейные комбинации функций вида и⑺认у) с произвольными 〃(/) е ⑨(К^), 少(g) G 5 (К") образуют плотное множество в «^(課卜+加).Это легко получить из плотности ⑨(Rk+м) в g?(Rk+m)и из теоремы Вейерштрасса о полиномиальной аппроксимации (п. 1.2.В). Отсюда, в частности, следует совпадение правых частей (2.61) и (2.62).
Заметим, что тензорное произведение обобщенных функций естественно обобщается для любого (конечного) числа обобщенных функций /i(xi),, /п(хп) от
различных независимых переменных х\ е Rkl, ..., хп е Rkn.
Упражнение 2.13. Пусть /(ж) G «'(К"), g(g) G ^\Rm). Доказать, что
supp/(/) - д{у) С supp/(/) х suppg(g),(2.63)
可•穿 /⑺• №) = (可 /⑺)•(穿 /3))；(2.64)
здесь。^ и О/ обозначают дифференциальные мономы степени \а\ и |例 по переменным / и у соответственно.
В следующем упражнении удобно воспользоваться упоминавшейся выше теоремой Вей- ерштрасса.
Упражнение 2.14. Пусть /(/, g) е ^f(Rk+rn) есть обобщенная функция с носителем на множестве {а} х S, где а — точка в Rk, S — замкнутое множество в R^. Доказать, что / однозначно представима в виде конечной суммы:
/(/, у) = fD^ 5(/)屁(力(2.65)
где ha(y) — обобщенные функции из 第(R* с носителями в S. (Указание: пусть и(х) 6 #(К“)，v(y) 6 "Rm)； при фиксированном о с помощью предложения 2.2 написать представление
(/, u0v) = £ 分50am。)；
с помощью соображения непрерывности показать, что число N в этом представлении может быть выбрано не зависящим от о. Далее воспользоваться тем, что линейные комбинации функций вида 〃 N о плотны в ^(Rk+m
Преобразование Фурье и свертка
Преобразование Фурье основных функций. Одним из основных преимуществ пространства ^\Rn) распределений медленного роста перед пространством 3)\Rn) всех распределений Шварца состоит в возможности определить преобразование Фурье как отображение 乡'(К72) на пространство, изоморфное ему.
Определим преобразование Фурье для функций, интегрируемых с квадратом (в частности, для основных функций), и ему обратное по формулам
u(p)=九=.元一0 ["(力)]="(力)u(p)=九=.元一0 ["(力)]="(力)eipxdnx,eipxdnx,(2.66)(2.66)
u(p)=九=.元一0 ["(力)]="(力)
u(p)=九=.元一0 ["(力)]="(力)
eipxdnx,
eipxdnx,
(2.66)
(2.66)
"(力)=夕一崎三沢夕)]= 双夕)e7Px dnP，(2.67)
где
dnp = (27r)-nd>.(2.68)
Здесь px — фиксированная невырожденная билинейная форма от р и х. Обычно в математической литературе в качестве хр выбирают евклидово скалярное произведение. Имея в виду применение к функциям от (конечного числа) векторов в пространстве Минковского, мы положим
хр = х' р = ^2 £jxjPj^ 立 =±1，/=1,...，八(2.69)
⑸ фиксированы).
Впредь мы будем различать n-мерное ^-пространство, снабженное лебеговой мерой dnx, которое мы по-прежнему будем обозначать через Rn, от п-мерного р-пространства, снабженного мерой dnp (2.68), для которого мы введем обозначение Rn. Аналогично мы будем различать изоморфные между собой пространства основных (а также обобщенных) функций над Rn и Rn, имея ввиду следующее соглашение. В первом случае для превращения обычной функции /(х) в Rn в обобщенную (а также для записи результата сглаживания обобщенной функции /(ж) е У (К72) с основной функцией мы по-прежнему используем формулу (2.1). В то же время превращение обычной функции /(р) в Rn в обобщенную и сглаживание /(р) е У (К^) с и{р) е 斤(Ктг) мы теперь осуществляем на основе меры dnp:
Rp) 〃(夕)dnp.(2.70)
Такое сохранение индивидуальности пространств функций и фурье-образов целесообразно с физической точки зрения, поскольку эти пространства имеют разные интерпретации (скажем, х е Rn как «координаты», ape Rn как «импульсы»).
Предложение 2.6. Оператор 夕 (2.66) задает изоморфизм {топологический) пространства ^{Rn) на пространство 斤(К^). Обратным к 夕 является оператор 夕一】(2.67).
Упражнение 2.15. Доказать предложение 2.5, устанавливая попутно соотношения
D^u(p) = ^iex)au(x) eipx dnx,(2.71)
0a 欢 0)= ^-isdxru{x)]ezpxdnx,(2.72)
где, например,
(i£Xy = f[(i£jXjy^(2.73)
(Указание: при доказательстве того, что операторы (2.66) и (2.67) взаимно обратны, в правой части равенства
纭』Mg)] = £lim0 I exp (—另 |р|2 - ixp^^eypu(y) dg)
поменять порядок интегрирования, а затем воспользоваться равенством
I ехр (-另 |@『-汝@) dnp = (2тг)-п/2ехр (-圭岡?)
и упражнением 2.4.)
Из (2.66), (2.67) следует, в частности, равенство Парсеваля
先)(р)(2.74)
Б. Преобразование Фурье обобщенных функций. В качестве отправного пункта при определении преобразования Фурье для обобщенных функций мы примем формулу〜
/(/)"(力)dnx = /(p)双一0)dnp,(2.75)
справедливую для любой абсолютно интегрируемой функции /(х) и 〃(/) е ^{Rn). Мы определим для любой обобщенной функции / 6 ^(7?п) ее преобразование Фурье / =部f е 出(Rn) как линейный функционал над основными функциями и{р) е 斤(К^), определяемый равенством (2.75).
Такое определение, очевидно, является расширением определения (2.66) преобразования Фурье основных функций. Поэтому для .打 часто используют запись и форме символического интеграла
子5=.元一市⑺]=]/(/)e^xdnx(2.76)
и аналогично广
夕三♦夕/М，(。)] = ] р(р)「必源售(2.77)
Упражнение 2.16 Показать, что определение .笋/ при помощи формулы Парсеваля
]夕/.夕〃 “@ = ]/(/)欢力)(2.78) эквивалентно приведенному выше.
Предложение 2.7. Преобразование Фурье 夕 обобщенных функций, определенное равенством (2.75) или (2.78), задает изоморфизм пространства，卜R71) на пространство，卜RQ. Оператор (2.67) является обратным .歹.
Упражнение 2.17. Доказать предложение 2.7, пользуясь предложением 2.6. Показать, что соотношения типа (2.71), (2.72) остаются в силе и для обобщенных функций.
Приведем несколько примеров преобразований Фурье обобщенных функций ).
Фурье-образ функции 夕(力)(2.22) может быть подсчитан как предел обычного преобразования Фурье от функции 夕(力)^力 при £ — +0:
步现0)=lim j(2.79) ZU
0
Фурье-образ n-мерной 5-функции (см. (2.3)) может быть получен как значение функционала 5 на (гладкой) пробной функции е"。力：
8(力一a)e"0力d几力=/0。；(2.80)
формула обращения, со своей стороны, дает
8(力)=e~ipxdnp.(2.81)
Ниже (в дополнении Е) приведены также преобразования Фурье некоторых лоренц-инвариантных обобщенных функций в пространстве Минковского. Здесь же отметим только, что свойство лоренц-инвариантности сохраняется при преобразовании Фурье (при этом под р • х подразумевается скалярное произведение Минковского).
Упражнение 2.18. Пусть А — неособое линейное преобразование в n-мерном пространстве Rn, снабженное билинейной формой (2.69), и пусть преобразование 4’ связано с А по формуле (Аж)・@ = / • Доказать, что тогда
|/(А-1х)егржГх= |detA| |/(ж) elxA，pdnx.
(Указание: проверить сначала справедливость этой формулы для основных функций, а затем придать ей точный смысл и установить ее справедливость для обобщенных функций.)
Отметим наконец, что преобразование Фурье, как основных, так и обобщенных функций, диагонализует оператор трансляции:
.冗(力-叫=/(力-。)eipxdnx = eipa,^x^p[f(x)].
Свертыватели. В классическом анализе часто используется операция свертки двух функций /(х) и g(z), определяемая равенством
/(力)*,(/)=f(H — уЖу^Гу = f{y)g{x - y)dny.(2.82)
RnRn
В анализе обобщенных функций эта операция играет еще более важную роль. Для определенности мы ограничились «координатным» пространством Rn с мерой dnx (в «импульсном» пространстве свертка определяется на основе меры dnp).
Упражнение 2.19. Доказать, что свертка основных формул из ^(Rn) коммутативна (т. е. / * р = р * /) и ассоциативна (т. е. / * (д * 九)=(/ * д) * А). Кроме того, убедиться в справедливости формул (где /, g, 〃 G ^(/?п)):
(/ * д, 〃)二 Л /⑺• 9(У)и(х + g) dnx (Гу,(2.83)
元一m/ * u{x)]=元一"/(/)]• %一,["(0)].⑵84)
Так же, как и операция умножения, свертка определяется не для любых пар обобщенных функций. Легко определить свертку обобщенной функции / с основной функцией и(х), пользуясь вторым равенством (2.82):
/ * "(/)=(/(g), "(/-g))g =/匂)"(/-g)dny.(2.85)
Rn
Первое равенство (2.85) является определением свертки как действия функционала /(у) на основную функцию 〃(力—у), рассматриваемую как функция от у при фиксированном х. Нетрудно убедиться, что свертка (2.85) является бесконечно дифференцируемой и полиномиально ограниченной (вместе со своими производными) функцией от х. Другими словами, если / е У, а 〃 G У, то / * 〃(夕)е 0м, т. е. свертка (2.85) является мультипликатором. Однако функция / * 〃，вообще говоря, не принадлежит пространству основных функций У. Например, если /(у) является полиномом, то свертка (2.85) также является полиномом и, следовательно, вообще говоря, не убывает при 力—оо.
Будем говорить, что обобщенная функция g(力)является свертывателем в У, для любого и(х) 6 斤 свертка / * 〃 также принадлежит У. Пространство сверты- вателей будем обозначать через Sc{Rn) (или просто 0С).
Если д является свертывателем, то можно определить свертку д с произвольной обобщенной функцией / 6 по формуле
(/ *g，")= (/匂)，(9(力)，"(力 + g))力)g =(貝力)，g(一力)* "(力)).(2.86)
Приведем пример свертывателя. Обобщенная функция Da6(x) при любом а = =(eq, ап) является свертывателем. (В более общем случае, если обобщенная функция / имеет ограниченный носитель, то она является свертывателем.)
Основные функции являются свертывателями, и нетрудно убедиться, что оба определения свертки / * 〃 обобщенной функции /(х) с основной функцией и(х) по формулам (2.85) и (2.86) согласованы.
Понятие свертывателя оказывается связанным с понятием мультипликатора.
Упражнение 2.20. Доказать, что формула (2.84) остается справедливой, если / — произвольная обобщенная функция, а и — основная функция. С помощью этой формулы убедиться, что обобщенная функция / является свертывателем в точности тогда, когда ее преобразование Фурье / является мультипликатором.
Упражнение 2.21. Доказать, что преобразование Фурье произведения обобщенной функции h(p) G 夕(Rn) с основной функцией 夕(@) G ^(Rn) есть следующая функция:
^р^х[Цр) 3(0)] = J 九(0)Lx屮⑺ dnp;(2.87)
здесь правая часть понимается в смысле значения обобщенной функции 九(@) на основной 6一2°"夕(0). (Указание: воспользоваться формулой
多т(/ф)夕(0))=(夕—％) * (•»—%),(2.88)
полученной из (2.85) подстановкой h = .»/,夕=加.)
Пространство свертывателей 0С состоит из быстроубывающих обобщенных функций. Другими словами, справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.8. Для того чтобы обобщенная функция / была свертыва- телем, необходимо и достаточно, чтобы при любом натуральном N можно было представить / в виде конечной суммы производных от непрерывных функций FkN(P), каждая из которых удовлетворяет неравенству
\FkN^\^CkN/[\ + \p\2]N^
Доказательство этого предложения мы здесь приводить не будем (см. [Ш2], т. II, гл. 7, § 5, теорема 9).
Упражнение 2.22. Доказать, что fu G 0С для всех / G ^\Rn), и G ^(Rn). (Указание: воспользоваться формулой (2.84).)
Упражнение 2.23. Доказать, что всякая обобщенная функция / 6 ^f(Rn) с компактным носителем является свертывателем. (Указание: / представима в виде f = f - ш при подходящей функции ш 6 夕(К72).)
Упражнение 2.24. Пусть / G #f), a pi и р2 — свертыватели. Доказать, что
(/ * gi) * д2 = / * (gi * Р2).(2.89)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.19.)
Г. Обобщенные функции интегрируемого типа. Класс обобщенных функций, более широкий, чем Sc(Rn), составляют некоторые обобщенные функции / е 6 ^(К72), которые мы назовем обобщенными функциями интегрируемого типа', они характеризуются условием: для любой функции и е ^{Rn) свертка / * 〃 является (абсолютно) интегрируемой функцией в Rn (относительно лебеговой меры в Rn). Определим интеграл J /(ж) dnx от таких обобщенных функций посредством формулы
〃(/) dnx\ = ](/ * 〃)(力)d"x,〃(/) dnx\ = ](/ * 〃)(力)d"x,(2.90)(2.90)(/(ж)dnx
〃(/) dnx\ = ](/ * 〃)(力)d"x,
〃(/) dnx\ = ](/ * 〃)(力)d"x,
(2.90)
(2.90)
где и — произвольная функция из ^(7?п).
Это определение естественно, так как в случае произвольных абсолютно интегрируемых функций /нив Rn равенство (2.90) выполняется тождественно. Определение интеграла корректно в том смысле, что действительно существует число 1(/) (зависящее лишь от обобщенной функции интегрируемого типа /) такое, что
^(f и) dx = I(/) I и(х) dx для всех 〃 G #(К").
Упражнение 2.25. Доказать существование такого числа 1(/). (Указание: проинтегрировать тождество (f * и) * V = (/ * о) * 〃，справедливое для всех и, и G ^(/?п); см. (2.89).)
В упражнениях 2.28, 2.29 также иллюстрируется естественность введенного понятия интеграла от обобщенной функции.
Упражнение 2.26. Доказать, что / 6 窜〈R") является обобщенной функцией интегрируемого типа в точности тогда, когда имеет место оценка
⑵91)⑵91)|(/, 〃 * о)| W c(u) sup |o(/)| для всех и, v E #(K"),
⑵91)
⑵91)
где c(u) — некоторый функционал от и. (Указание: воспользоваться формулой (2.86) и тем, что произвольная непрерывная полиномиально ограниченная функция 九(/) в Rn абсолютно интегрируема в точности тогда, когда выполнена оценка типа
h(x) о(/) dxh(x) о(/) dxW с sup |。(力)| для всех о G #(К").)
h(x) о(/) dx
h(x) о(/) dx
Упражнение 2.27. Доказать, что свойство быть обобщенной функцией интегрируемого типа не зависит от поведения обобщенной функции в любой фиксированной конечной области. (Указание: воспользоваться упражнением 2.23.)
Упражнение 2.28. (а) Если / — обобщенная функция интегрируемого типа в Rn, то ее преобразование Фурье
川)=
есть непрерывная функция от @, стремящаяся к 0 при \р\ ос, и
/⑵森二f⑼.(2.92)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.20.)
(б) Если / — обобщенная функция интегрируемого типа в Rn, то такова же обобщенная функция Da f, причем
Daf(Tx = 0 при |а|#0.
(Указание: воспользоваться формулой
О”(/ * 〃)= (Daf) * 〃 = / * Dau(2.93)
при / е 少(к), и е «(/Г).)
Упражнение 2.29. Доказать, что для любых / е #(K), 〃G #(K) произведение fu — интегрируемого типа, причем
j (fu) dx = (/, и).(2.94)
(Указание: воспользоваться упражнениями 2.22, 2.28 и 2.21.)
К понятию интеграла примыкает частичный интеграл. Пусть независимые переменные разбиты на две группы, х е Rn н g G Rm. Тогда всякой обобщенной функции /(X, у) е 次(Rn+rn) и произвольной ОСНОВНОЙ функции 〃(/) е ”Rn) МОЖНО сопоставить обобщенную функцию
/(力,y)u(x)dnxe^\Rm)
по правилу
(/(力，у)) o(g) dmy = (/, и 0 о) при всех о 6 ^(Rm).(2.95)
Будем называть /(х, у) е д^К^+т) обобщенной функцией интегрируемого типа по у (в частности, свертывателем по у), если для любой и е ^(Rn) обобщенная функция J/(力，у) и(х) dx 6 少(R% _ интегрируемого типа в Rm (соответственно свертыватель из Sc(Rm)). В этом случае определен частичный интеграл по у от обобщенной функции /(х, у): это есть обобщенная функция J/(力，у) dy, задаваемая формулой
(/(力,у) ф, 〃(/)) = ( /(力,у) 〃(/) dx^ dy(2.96)
при всех и е ^{Rn).
То, что частичный интеграл является линейным функционалом над ^{Rn\ очевидно; непрерывность же его устанавливается в следующем упражнении.
Упражнение 2.30. Доказать, что для обобщенной функции /(/, у) интегрируемого типа по у правая часть (2.96) есть непрерывный функционал от 〃 G "R1). (Указание: фиксировать произвольным образом функцию o(g) 6 "R71) такую, что J v{y) dy = 1. Тогда
6 Н. Н. Боголюбов и др.
по определению правая часть (2.96) есть J 九(g) dg, где 九(у) = (/(ж, у — г), и{х) o(n))%,z есть функция из пространства ) 01(/?小).Убедиться, что отображение и т h имеет замкнутый график и, значит, непрерывно.)
Приведем признаки свертывателя по у.
Упражнение 2.31. Пусть для обобщенной функции /(/, g) G #'(/?九+小)существует функция х(/，У)G ©м(^п+т) со следующими свойствами: во-первых, *(力，沙)/(力，沙)= =/(/, у); во-вторых, х(/, У)〃(/) G ^(Rn+m) для любой функции и{х) G #(/?九).Доказать, что /(ж, у) является свертывателем по у. (Указание: достаточно убедиться, что для любых и G «(К72), V G "В71) функция
九⑶=(/(羽g)"(/)。3 - 2)) = (/(爲 g), х(/, g) "(/)。3 - 2))
носителем на множественосителем на множествепринадлежит "R* по ?, а это следует из того, что х(/，g)〃(/)o(g — ?) G ^(Rn+2rn).) Упражнение 2.32. Доказать, что всякая обобщенная функция /(ж, у) 6 ^(^n+m) с
носителем на множестве
носителем на множестве
{(羽 y)eRn+m：\y\^A(l^\x\)5}
(где А, 5 — некоторые положительные числа) является свертывателем по у. (Указание: пусть у) = ш(\у^А~2(2(1 + \х^))~5), где g⑴ — функция из 夕(К), равная 1 при |t| W 2. Убедиться, что х(/，У)удовлетворяет условиям предыдущего упражнения.)
Упражнение 2.33. Доказать, что обобщенная функция /(/, у) G ^\Rn+m), удовлетворяющая уравнениюс с
(罔 2 —|行 + 入)/(羽g)=0(2.98)
при некотором вещественном А, является свертывателем по у. (Указание: применить упражнение 2.32).
В упражнениях 2.34 и 2.35 рассмотрены некоторые свойства обобщенных функций интегрируемого типа по у.
Упражнение 2.34. Пусть /(/, g) е ^f(Rn+rn) есть обобщенная функция интегрируемого типа по у (соответственно свертыватель по у). Доказать, что для всех w(x, g) 6 G ^(Rn+m) функция
(/(/, g),刨爲 у - z))x,y (2.99) от 2 G RE является абсолютно интегрируемой (соответственно основной функцией из ^(i?m)), непрерывно зависящей от w (в соответствующей топологии пространств З^К772) и ^(Rm)), причем Г /Г Г X
J (/(/, д)亠(/, у - z))x,ydz = /(/，g)dg, J W(x, z) dz. (2.100) (Указание: для функций вида w(x, у) = 〃(/) о(д) с произвольными и G ^{Rn), о G ^(Ят) утверждение очевидно. Для таких и(х, у) выражение (2.98) определяет билинейное отображение из 乡(К72) х 乡(К772) в ^P\Rn) (соответственно в ^{Rm)). Пользуясь теоремой о замкнутом графике, доказать его раздельную непрерывность по и и по v, ^ затем воспользоваться замечанием к теореме 2.5.)
Упражнение 2.35. Доказать, что обобщенная функция /(/, g) G 乡/(尺九十小) — интегрируемого типа no g в точности тогда, когда для любой основной функции и{х) 6 ^(Rn) обобщенная функция и{х) /(ж, у) — интегрируемого типа по ж, у, причем
〃(/)/(/, g) dx dy.〃(/)/(/, g) dx dy.(2.101)(2.101)
〃(/)/(/, g) dx dy.
〃(/)/(/, g) dx dy.
(2.101)
(2.101)
(2.97)(2.97)
(2.97)
(2.97)
(Указание: если /(ж, у) — интегрируемого типа по у, то требуется доказать, что при любых и{х) G 乡(К72) и w(x, у) G 乡(/十小)функция
(/(/, у), и(х), w(x -^у- 2))(2.102)
принадлежит ^Px{Rn+rn) по ^eRn,zeRm.Cэтой целью ввести 伙(/, g) = и{х) w(x — §, g) и убедиться, что это — основная функция по ж, у, непрерывно зависящая от параметра §, причем w^ 0 быстрее любой отрицательной степени |§| при |§| т ос. Далее воспользоваться упражнением 2.34, где роль w играет w^. Обратно, если функция (2.102) принадлежит "1(kП+m)ПрИ любыX й е 9(/?n)И w(x, у) 6 ^{Rn+m), то достаточно положить w(x, у) = а(ж) v(y), где а(/) — фиксированная функция из ^{Rn) с интегралом, равным единице, а о(д) — произвольная функция из ^(Rm). По теореме Фубини, примененной к функции (2.102), выражение
](/(羽力 〃(/) &(/ - Н v(y - z))x,yd^ = (/(/, у) • I®, 〃(/) а(/ - §)。(沙—
есть интегрируемая функция по г; правая часть в этом тождестве преобразуется к виду (/(/, д),о(д - ?))力,у, откуда следует утверждение.)
Упражнение 2.36. Пусть /(ж, у) 6 乡'(冗九+力)является обобщенной функцией интегрируемого типа по у (соответственно свертывателем по у). Доказать, что таковой же является обобщенная функция /(ж, у + Ах), где A: Rn т Rm — произвольное линейное отображение, причем
J /(ж, y^Ax)dy = ^ /(ж, g) dy.(2.103)
(Указание: применить упражнение 2.34 к случаю w(电 у) = и{х) v{y - Ах), где “G е Я^п)，о С 乡(RR).)
Д. Свертка обобщенных функций. Приведем теперь определение свертки обобщенных функций, пригодное в значительно более общей ситуации, чем прежнее определение (2.86), где g(力)предполагалось свертывателем в ^(Rn).
Будем говорить, что для обобщенных функций 貝力)и g(力)из Р<Rn) свертка определена «каноническим образом», если обобщенная функция /(х — у) д(у) из 次(R?71) _ интегрируемого типа по у; в этом случае сверткой обобщенных функций / и р мы называем обобщенную функцию
(/*，)(/)= /(力—У)9匂)匈(2.104)
из 火(К71).
Следующие два упражнения демонстрируют ряд естественных свойств свертки обобщенных функций (в частности, коммутативность свертки).
Упражнение 2.37. Пусть / и р — обобщенные функции из ①(R?. Доказать, что /(力—у) д(у) является обобщенной функцией интегрируемого типа по у в точности тогда, когда таковой является д(х — у) /(?/); при выполнении этих условий имеем J fQ - у) д(у)或/ = J g(力-g) f(y) dg, t. e.
f*g = g*f・(2.105)
(Указание: применить упражнение 2.36, воспользовавшись тем, что /(力 + у) х х д(—у) получается из g(力—g) /(у) заменой переменных (力，g)—(力，力 + g).)
Упражнение 2.38. Доказать, что свертка обобщенных функций /, р е ^\Rn) определена «каноническим образом» в точности тогда, когда для любой основной функции 〃(/) е 乡(К72) обобщенная функция /(х) д(у) 〃(力 + у) — интегрируемого типа по х, у; при этом имеет место равенство
(/ ，，〃)= /(力)д(у) 〃(力 + g) dx dy.(2.106)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.35.)
Упражнение 2.39. Пусть свертка / n g G ^(7?п) определена «каноническим образом»._
Доказать, что для любого а 6 Z, существует свертка Daf и р (а также / и Dag), причем имеет место правило дифференцирования свертки:
OR/ * g)=(少)* g = / * (吗).(2.107)
(Указание: воспользоваться формулой (2.93).)
Доказать свойство носителя свертки
supp/*g содержится в замыкании supp/ + suppд. (2.108)
(В последнем соотношении под алгебраической суммой двух множеств А и В в Rn подразумевается множество точек вида а-\-ЬсаЕ А, Ье В.)
Заключение о существовании свертки обобщенных функций можно сделать, в частности, на основе определенных свойств их носителей.
Упражнение 2.40. Пусть Qi и Q2 — два замкнутых множества в Rn, обладающие тем свойством, что
\х\ + \у\ < А(1 + |ж + у\)5 при всех х е Qi, g G @・(2.109)
где А, 5 — некоторые положительные числа. Доказать, что свертка /1 * 力 определена «каноническим образом», если %• — обобщенная функция из Р(R? с носителем в Qj при J = 1, 2. (Указание: воспользоваться упражнением 2.32 и очевидным неравенством \у\ < W \х\ + |/ - д| для доказательства того, что обобщенная функция /1(/ - у) f2{y) является свертывателем по у.)
Рассмотрим случай обобщенных функций с носителями в конусах. При этом конусом в Rn с вершиной в нуле называется множество К с Rn такое, что 入力 6 е К при всех А > 0 и 力 е К; соответственно множество вида а + К (где А — фиксированный вектор в Rn) называется конусом с вершиной в точке а. Обычно под конусом (без указания вершины) мы подразумеваем конус с вершиной в нуле. В частности, множество вида
{х 6 Rn Ъ^х >0 при 沙=1,…，TV},(2.110)
гдеb⑴，…，b(N) —конечный набор векторов из Rn, называется (замкнутым выпуклым) полиэдральным конусом в Rn, если N = п % b⑴，...，W)— линейный базис в Rn, то конус (2.110) называется (замкнутым) симплициалъным. Конус К С Rn называется острым, если он содержится в некотором симплициальном конусе.
Упражнение 2.41. Пусть К\ и К2 — два замкнутых конуса в Rn (с вершиной в нуле) такие, что К\ П (—№) = {0}, и пусть 4,4 — два компактных множества в Rn. Доказать, что свертка /1 * Д определена «каноническим образом», если % — обобщенная функция из 乡'(К72) с носителем в Aj + Kj при J = 1, 2. (Указание: использовать предыдущее упражнение.)
Указание 2.42*). Пусть К — замкнутый выпуклый острый конус в Rn с непустой внутренностью. Доказать, что обобщенные функции / 6 屮(R? со свойством носителя supp / С U а + К (где точка а может зависеть от /) образуют сверточную алгебру (коммутативную и
ассоциативную) (значит, для любых таких обобщенных функций 力 и 力 свертка определена и обладает указанным свойством носителя). (Указание: применить предыдущее упражнение.)
2.6. Обобщенные функции, зависящие от параметра
А. Общие сведения. Вопросы сходимости, изложенные в §§ 1.2 и 1.3, будут интересовать нас главным образом в контексте основных и обобщенных функций, зависящих от параметра (пробегающего некоторое локальное компактное подмножество Л евклидова пространства Rm). Понятие непрерывности такого семейства (в терминах последовательностей или на языке «£—8») достаточно очевидно ). Следует, однако, заметить, что при этом для основных функций из "R71) мы используем обычную топологию "R71,, в то время как для обобщенных функций подразумевается слабая топология. Аналогично (в том случае, когда Л — открытое подмножество в Rm) формулируются понятия дифференцируемости или бесконечной дифференцируемости (т. е. зависимости класса ^00) основных и обобщенных функций по параметру, а также (когда Л есть открытое подмножество в О) голоморфной (или, что то же, аналитической) зависимости от параметра.
Упражнение 2.43. Пусть {/》} — семейство обобщенных функций в Rn, непрерывно зависящих от параметра А, пробегающего локально компактное множество Л. Доказать, что для любого компакта К и А существуют числа с, Z, т (зависящие от К) такие, что
|(/Л, и)\ < c\\u\\i!m при всех и е ^(Rn), Хе К. (2.111)
(Указание: рассматривая отображение 〃т (/д, и) как линейный оператор из ^(Лп) в пространство £(Г) из п. 1.2.В, убедиться, что этот оператор имеет замкнутый график и, значит, непрерывен по теореме 1.11.)
Не очевидным является тот факт, что функция А (/д, 〃入)непрерывна для семейств {/д} в ^ и {〃》} в У, непрерывно зависящих от параметра А. (Можно было бы рассмотреть внешне более общий случай, когда семейства {/д} и {〃入/} зависят от разных параметров А е Л и А7 е Лх, однако он сводится к предыдущему, если (А, /V) считать одним параметром, пробегающим Л х Л\)
Предложение 2.9. Пусть {〃》} и {/》} — соответственно семейство основных функций из 屮 и обобщенных функций из У, зависящих непрерывно {или непрерывно дифференцируемо, или &°°-, или голоморфно) от параметра А 6 Л. Тогда функция А —(厶，〃入)непрерывна {соответственно непрерывно дифференцируема, или &°°-, или голоморфна) на Л. Справедливы формулы дифференцирования типа
糸(a，"入)=(糸"入)+ (7入，糸"入) (2.112) {при условии, что они имеют смысл).
Упражнение 2.44. Доказать предложение 2.9. (Указание: воспользоваться следствием 1.10.)
Приведем еще результат, относящийся к семействам обобщенных функций, голоморфно зависящих от параметра А. Как известно, комплексные голоморфные функции, заданные в комплексной области Л С Cfc, могут обладать голоморфным
продолжением в большую область Л/ С Ск, причем при фиксированной области Л/ это продолжение единственно. (Подробнее об этом см. п. 5.1.В.) Поэтому может случиться, что данное семейство {/д} обобщенных функций, голоморфно зависящее от параметра А в области Л С Ск, таково, что при всех и 6 斤(К72) функции А — —(f入,〃)голоморфно продолжаются в область А' (Л С Лх С С'). Однако заранее не ясно, что линейный функционал /д над ^{Rn) непрерывен при всех А е Лх (и, значит, принадлежит ^(7?п)). Нетрудно убедиться, что пространство 力(Л/) всех голоморфных функций в Л/ есть пространство Фреше (об этом см. предложение 5.3). Также легко проверить, что отображение, сопоставляющее каждой функции и е ^{Rn) функцию (/д, “) из 力(Л/) (от переменной А), является линейным оператором с замкнутым графиком и, значит, непрерывно. Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.10. Пусть {/д} — семейство обобщенных функций, аналитически зависящих от параметра А в области Л с Ск, и пусть для любой основной функции и 6 少(Rn) функция А (/д, “) допускает аналитическое продолжение в область Л/ с Ск, содержащую Л. Тогда существует единственное семейство {/aIaeA7 &，卜R71), продолжающее исходное семейство аналитически по А.
Пример семейства обобщенных функций, аналитически зависящих от параметра, доставляют однородные обобщенные функции одной переменной (дополнение В.2).
В следующих упражнениях мы приведем ряд простых критериев непрерывности, или бесконечной дифференцируемости, или голоморфности заданного семейства {иу} основных функций, зависящих от параметра в терминах функции и(х, у) 0? ДВУХ временныx / и 歹 三国()). (2.113)
Для большей общности мы сформулируем результаты для пространств основных функций 斤(С), определяемых в дополнении А.2 (здесь Q — канонически замкнутое регулярное множество в Rn; читатель может взять Rn в качестве Q).
Упражнение 2.45. Пусть 〃(/, у) — комплексная функция на С 义 S, где S — локально компактное подмножество в Rm. Предположим, что все частные производные (любого порядка) по х 0^/(/, у) определены в intC 义 S и непрерывно продолжаются на С 义 S, причем при любых I G Z+, a G Z工 функция \x\^D^ f{x, g) ограничена на каждом подмножестве вида Q х К, где К — компакт в S. Доказать, что формула (2.113) определяет семейство {иу} основных функций из 乡(С), зависящих непрерывно от параметра у Е S.
Упражнение 2.46. Пусть 〃(/, у) есть комплексная функция на С 义 S, где S — локально компактное подмножество в Rm, внутренность которого плотна в S. Предположим, что все частные производные D^D^u(x, у) определены в intQ х int S и непрерывно продолжаются в Q х 5, причем при любых I G Z+, a G Z工，/3 G Z平 функция \х\^D^D^ и{х, у) ограничена на любом подмножестве вида Q х К, где К — произвольный компакт в S. Доказать, что формула (2.113) определяет семейство {иу} в 乡(С), зависящее £°°-о6разом от параметра у Е S, и что (D?Uy)⑺=Dy и(х, у).
Упражнение 2.47. Пусть S — открытое множество в Ск и 〃(/,《)— комплексная ^00-функция на int Q х S, голоморфная по 《в S при любом фиксированном ж G intQ и такая, что при любых I 6 Z+, а 6 Z平 и любом компакте К С S функция \x\lD^и(ж,《) непрерывно продолжается на Q х 5 и ограничена на С 义 К. Тогда формула и^{х) = 〃(/,《) определяет семейство {〃《} в 乡(С), голоморфно зависящее от параметра《6 S. (Указание: достаточно убедиться, что 〃(/,《)удовлетворяет условиям предыдущего упражнения, где роль у теперь играет (§, 〃) = (Re《，Im《). Воспользоваться интегральным представлением Коши: 卜 “
〃(/，С =]〃(/，С) П 27rMe，&•)； (2.114)
здесь х 6 int Q,《пробегает произвольный фиксированный поликруг К с замыканием в S вида К = {《G S: |《7 — bj I < £, J = 1, ..., к}; интегрирование ведется по множеству, определяемому уравнениями \(j — bj \ = г, j = 1,к.)
Б. Сужение обобщенной функции. Выше мы интересовались проблемой интерпретации функции от двух переменных как семейства основных функций по одной переменной, зависящих от другой переменной как от параметра. Подобная точка зрения представляет интерес и в отношении обобщенных функций.
Пусть / = /(х, у) есть обобщенная функция из у (課几+加)(аргумент которой мы представили в виде пары точек х е Rn, у е Rm) и пусть S — открытое подмножество в Rn. Будем говорить, что /(力，у) является в Rn х S обобщенной функцией по х, непрерывно (или &°°-, или голоморфно в случае, когда т = 2к и Rm отождествлено с Ск) зависящей от у е S как от параметра, если существует семейство {fy}yEs обобщенных функций из ^(К72), непрерывно (или &°°-, или голоморфно) зависящих от параметра у, такое, что
(/,〃№)= (fy, u)v{y)dy(2.115)
s
для всех и 6 ^(Rn), о 6 ® (Rm) с supp и С S.
В связи с этим определением естественно сопоставить произвольным /(х, g) 6 6 火(К^+а), 〃(/) 6 S(Rn) обобщенную функцию J/(力，у) и(化)dec из ^(Rm) по правилу
(/(х, у) и{х) dx^ v(y) = (/, и 0 V), о G(2.116)
Теперь мы можем дать другую формулировку введенного выше понятия.
Предложение 2.11. Пусть /(力,у) — обобщенная функция из ^r{Rn+m\ обладающая тем свойством, что при всех и е 斤(К72) обобщенная функция J f(x, у) и{х) dnx совпадает с непрерывной {или &°°-, или голоморфной) функцией от у на открытом множестве S С Rm (или Ск при т = 2k). Тогда /(力，у) является на Rn х S обобщенной функцией по х, непрерывно {или &°°-, или голоморфно} зависящей от у как от параметра.
< Согласно условию выражение
尸(% g)=]/(居g)"(/)d/]
при любом и 6 ^(Rn) определяет непрерывную функцию от g G S. Достаточно показать, что при любом фиксированном у Е S это выражение является непрерывным функционалом от 〃 G ^(Rn); тогда оно определяет искомое семейство обобщенных функций из F(R71), непрерывно (или С°°-, или голоморфно) зависящих от параметра у Е S. Для этого заметим, что линейное отображение и т F(u; g) из ^(Rn) в 夕，(S) (секвенциально) непрерывно. С другой стороны, образ ^(Rn) при этом отображении по условию лежит в F-пространстве ^(S) (см. п. 1.2.В), топология которого сильнее слабой топологии 夕'(S). Из следствия 1.12 вытекает непрерывность отображения и т 歹(〃；у) из ^(Rn) в 抬(S). А
Интересную иллюстрацию к приведенному определению доставляют частично голоморфные обобщенные функции (мы вернемся к ним в п. 5.1.Д).
Упражнение 2.48. (а) Пусть /(/, g) е 乡'(尺九+力)является обобщенной функцией по х, непрерывно (соответственно 6°°-о6разом) зависящей от у как от параметра. Доказать, что таким же свойством обладает и произведение /(/, у)夕(力，g), где 夕(力，g) 6 ^м(^п+т)- (Указание: пусть и{х) G 乡(К72), o(g) G 3) (i?m); тогда на основании формулы (2.115)
(/ • 2 N。)三(力夕• Q N。))= J (Л(ж),夕(羽 g) u(x))xv(y) cTg;
далее воспользоваться тем, что (鳥(力)，夕(力，g) 〃(/))% на основании предложения 2.9 зависит от у непрерывным (соответственно 6°°-) образом.)
Пусть обобщенная функция h{p, q) G 夕(R^+m) — интегрируемого типа по q (соответственно свертыватель по q). Доказать, что преобразование Фурье
/(/, у) = ^ Цр, q)e^px+^dnPdmq
является обобщенной функцией по ж, непрерывно (соответственно £°°-о6разом) зависящей от у как от параметра. Сформулировать аналогичное утверждение для частичного преобразования Фурьеf
歹(0，沙)=I 九(0, q) e^y dmq.(2.117)
(Указание: преобразование Фурье функции из 屮便小)и, соответственно, из ^{Rm) является непрерывной и, соответственно, основной функцией.)
/(/, и)=。/(/, и)=。Упражнение 2.49. Доказать, что всякое решение /(/, у) дифференциального уравнения (где А — вещественный параметр)
/(/, и)=。
/(/, и)=。
(2.118)
в пространстве обобщенных функций 乡'(尺九+团)является обобщенной функцией по ж, зависящей 6°°-о6разом от у как от параметра. (Указание: скомбинировать результаты упражнений 2.33 и 2.48(6).)
Рассмотрим важный пример. Условимся через 1(g) обозначать обобщенную функцию из 出(Rm) (или распределение из ⑨'(b),夕 С Rm), соответствующую функции, тождественно равной 1. Тогда всякая обобщенная функция /(х) 6 У (К72) может рассматриваться как обобщенная функция от большего числа (скажем, n + т) переменных, если сопоставить ей обобщенную функцию /(х) • 1(g) 6 ^f(Rn^m). Очевидно, /(х) • 1(g) является обобщенной функцией от х, зависящей &°°-о6разом от g G Rm. (Обобщенные функции вида /(ж) • 1(g) называют обобщенными функциями, не зависящими от у.) В упражнении 2.50 приведено одно естественное свойство таких обобщенных функций; упражнение 2.51 дает другую характеризацию их.
Упражнение 2.50. Пусть /(ж) 6 ^(Rn), A: Rn т Rm — линейное преобразование. Показать, что распределение /(ж) • 1{у + Ах) (полученное на /(ж) • 1(g) линейной заменой переменных) совпадает с /(ж) • 1(g). (Указание: применить (2.61) к выражению (/(/) х х 1(g), w(x, у — Ах)), w G ^(Rn+m).)
Упражнение 2.51. (а) Доказать, что всякая обобщенная функция /(ж) 6 9(К), удовлетворяющая уравнению 力
忠/(7)=。， (2-119)
имеет вид /(ж) = с • 1(/), где с — комплексное число. (Указание: данное уравнение означает, что (/, “) = 0 для всех и из подпространства 石乡(К) в 乡(К); в свою очередь это подпространство задается уравнением J /(ж) dx = (1(/), 〃(/)) = 0.)
Доказать, что общее решение системы уравнений
昼(/, у) = 0, J = 1, т,
в классе обобщенных функций 歹(/, у) G ^{Rn+rn) имеет вид
f(羽g)二/(/)• 1()
где /(ж) 6 ^(Rn). (Указание: в случае т = 1 воспользоваться первой частью упражнения и показать, что 歹(/, g) является обобщенной функцией от ж, зависящей 6°°-о6разом от параметра у; общий случай т > 1 рассмотреть по индукции.)
Пусть 〃 есть открытое множество в Rn. Доказать, что система уравнений
备/⑺=0, J = 1, (2.120)
описывает комплексные функции в 〃，постоянные на каждой компоненте ) из 〃.
Упражнение 2.52. Пусть /(/, g) G ^f(Rn+rn) является на открытом множестве Rn х S обобщенной функцией по ж, непрерывно (или соответственно 6°°-) зависящей от g как от параметра.
Доказать, что отображение, ставящее в соответствие функции и 6 ^(Rn) непрерывную функцию 九(у) = (/(ж, у), 〃(/))% в S, является линейным непрерывным оператором из ^(Rn) в пространство *(S). (Указание: см. упражнение 2.43.)
Доказать, что наряду с формулой (2.115) справедлива более общая формула
(/(/，П)Мп), w(x, g)) = |(Л(ж), w(x, у))хЦу) dy (2.121)
при всех w G ^(Rn+rn),九6 夕(S). (Указание: в силу предложения 2.9 правая часть (2.121) как функционал от w является распределением из ^(Rn+m), совпадающим с /(ж, у)九(у) на линейных комбинациях функций вида и 凶 v, где 〃 6 ^(Rn), о 6 ^(i?m).)
Доказать, что для любого линейного преобразования A: Rm т Rn /(ж + Ау, у) является обобщенной функцией по ж, непрерывно (или соответственно £°°-) зависящей от g как от параметра. (Указание: воспользоваться формулой (2.121).)
Будем говорить, что обобщенная функция /(х, g) 6 次(Rn+m) допускает сужение на плоскость у = b (где b — фиксированная точка из Rm), если существует окрестность S точки b в Rm такая, что /(力，у) является в Rn х S обобщенной функцией по х, непрерывно зависящей от у как от параметра. Если {fy} — соответствующее семейство в ^(7?п) (см. (2.115)), то распределение 九 е У (А72) назовем сужением обобщенной функции /(х, у) на плоскость g = b п будем записывать его в виде /(力，у)\у=ь^
С помощью подходящей замены переменных можно определить понятие сужения обобщенной функции на «достаточно хорошее» подмногообразие.
Отметим, что данное определение сужения не является единственно возможным. Например, в гл. 13 мы будем пользоваться альтернативным определением (в терминах пределов) сужения на массовую оболочку обобщенной функции в пространстве Минковского).
В. Еще об умножении обобщенных функций. Применим понятие сужения к проблеме умножения обобщенных функций. Если /(х) и g(力)—две обобщенные функции из 驴(Rn), то будем говорить, что произведение их определено «каноническим образом», если обобщенная функция /(х) g(力 + g) G 决(R?) (полученная из /(ж) д(у) заменой переменных) допускает сужение на плоскость у = 0; в этом случае обобщенную функцию
f(化)g (%)=/0)9(力 +力片 О (2.122) из ^(К72) назовем произведением обобщенных функций /(ж) и g(z).
В случае, когда одна из обобщенных функций / или д является мультипликатором, новое определение произведения совпадает со старым (п. 2.3.А).
В следующем упражнении утверждается, что произведение обобщенных функций на самом деле симметрично по / и р и, значит, коммутативно (зато оно неассоциативно, как показывает пример (2.32)).
Упражнение 2.53. Пусть /(ж) и д(/) — две обобщенные функции из f (R?. Доказать эквивалентность следующих трех условий:
обобщенная функция /(ж) д(/ + g) G ^(R2n) допускает сужение на плоскость g = 0;
обобщенная функция /(ж + у) д(/ + ?) G ^f(R3n) (полученная из /(ж) д｛у) • 1(г) линейной заменой переменных) допускает сужение на плоскость у = z = О',
обобщенная функция /(ж + g) 6 ^(R2n) допускает сужение на плоскость g = 0. При выполнении этих условий имеет место равенство
/(/)g(/ + g)lu=o = f(x + y)g(x + z)\y=z=Q = f(x + y)g(x)\y=Q.(2.123)
(Указание: согласно упражнению 2.52 (в) условие 2) означает, что /(/) д(/— g + ?) • 1(г) допускает сужение на плоскость у = z = 0; в свою очередь эта обобщенная функция после замены (ж, у, г) т (ж, z, у + z) переходит в /(ж)д(/ + у) • 1(г).)
Упражнение 2.54. Пусть /(ж) и д(/) — обобщенные функции из F(R") такие, что /(ж) д(/ + у) является обобщенной функцией по /, зависящей £°°-о6разом от у как от параметра. Доказать, что для любых мультииндексов 仇 7 G Z聲 произведение обобщенных функций。万/(/) и Dug(x) определено «каноническим образом», причем справедливо правило дифференцирования Лейбница
⑺g⑺)=£ f[^4r。》⑺•*(吟 (2.124)
/3+7=ск 7 = 1
(Указание: здесь применимы те же соображения, что и в предыдущем упражнении при доказательстве импликации 1)今 2).)
Упражнение 2.55. Доказать, что носитель произведения обобщенных функций содержится в пересечении их носителей.
Связь произведения со сверткой, отмечавшаяся в упражнениях 2.19 и 2.21, может быть продолжена дальше.
Упражнение 2.56. Пусть свертка обобщенных функций /и(@),九2(0) Е 乡'(К^) определена «каноническим образом» (т. е. в смысле п. 2.5.Д). Доказать, что тогда произведение их фурье-преобразований
fj (ж) = j hj (р) ерх dnp, J = 1, 2,(2.125)
определено «каноническим образом», причем
/1(ж) /2(ж) = j (hi * h2)(p) ерх dnp.(2.126)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.48.)
Упражнение 2.56 позволяет приведенные в п. 2.5.Д признаки существования свертки приспособить для произведений обобщенных функций.
Например, произведение обобщенных функций /1 (х),力(力)G，卜R? определено, если их фурье-преобразования имеют носители соответственно в множествах 41 + Ki п 厶2 + &，где А[ и А2 — компакты в Rn, a Ki n К2 — два замкнутых конуса в Rn (с вершиной в нуле) такие, что Ki С (一衣2)= ｛。｝・
Пример. Рассмотрим, в частности, обобщенные функции / е 火(7?几)，фурье- преобразования которых сосредоточены на множествах вида а + К, где а — точка в Rn, зависящая от /, а К — фиксированный замкнутый выпуклый острый конус
в Rn с непустой внутренностью. Из упражнения 2.42 (скомбинированного с упражнением 2.56) следует, что такие обобщенные функции образуют (коммутативную и ассоциативную) алгебру по умножению ).
Приведем одно применение понятия произведения обобщенных функций. На практике нередко требуется данную обобщенную функцию (или данное распределение) рассматривать как функционал над более широким классом функций или обобщенных функций, чем исходное пространство основных функций. (С продолженном «по непрерывности» мы уже имели дело и предложении 2.1.) Понятие умножения и интеграла обобщенных функций является естественным дли этой цели. Будем говорить, что обобщенная функция /(х) 6 ^\Rn) интегрируема в обобщенном смысле с обобщенной функцией g(力)е ^\Rn) (или что g(力)интегрируема с /(/)), если их произведение fg определено «каноническим образом» и является обобщенной функцией интегрируемого типа. Мы можем рассматривать д как линейный функционал на множестве обобщенных функций и, в частности, функций f, которые интегрируются (в обобщенном смысле) с д, положив
(9，/)= /(/)9(/)前； (2.127)
определенный таким образом функционал д мы назовем каноническим продолжением обобщенной функции д.
В разделе о свертке мы уже использовали такого рода продолжения. Действительно, согласно упражнению 2.38 свертка обобщенных функций /(/), g(/) G ^\Rn) определена «каноническим образом» в точности тогда, когда для любой основной функции и(х) 6 乡(К72) обобщенная функция /(/) g(g) 6 ^f(R2n) интегрируема в обобщенном смысле с функцией и{х + д); при этом имеет место соотношение (2.106).
Упражнение 2.57. Доказать, что обобщенная функция (/+ 分。)〜】интегрируема в обобщенном смысле с обобщенными функциями (ж + а + гО)-1 при любом а Е R, причем
I (ж + /0)-1 (ж + а + /0)-1 dx = 0.
В этой главе мы касались лишь тех ситуаций, когда произведения и свертки обобщенных функций можно определить «каноническим образом». Однако в квантовой теории поля возникает потребность умножать и свертывать обобщенные функции и в тех («нерегулярных») случаях, когда нельзя указать однозначного определения этих операций (или когда по нашему определению произведения и свертки «не существуют»). В этих случаях, как правило, речь идет о доопределении, включающем произвольные параметры («константы перенормировки» в квантовополевом контексте). Соответствующая процедура является важнейшей частью так называемой теории перенормировок (см. Боголюбов и Парасюк (1957), [Б8, 31, Х4]). Хотя эта теория нам здесь не понадобится, мы в дальнейшем неоднократно встретимся с аналогичными ситуациями (см., например, пп. А.З, Б.5, 4.3.Г, 15.2.Д).
2.7. Векторные и операторные обобщенные функции
А. Обобщенные функции со значениями в гильбертовом пространстве. В предыдущих параграфах мы рассматривали комплексные обобщенные функции, результаты сглаживания которых с основными функциями выражаются (комплексными) числами. Если же вместо чисел допустить векторы в некотором линейном пространстве 方，то мы придем к понятию векторной обобщенной функции.
Итак, векторной обобщенной функцией в Rn (или обобщенной функцией в Rn со значениями в комплексном ) локально выпуклом пространстве 方)называется линейное непрерывное отображение / из 斤(К^) в 方，сопоставляющее произвольной основной функции и е 斤(К^) вектор (/, “) = /(〃) е 力，который мы будем также записывать в виде формального интеграла
/(〃)= Rp) ^(р) dnP- (2.128)
Имея в виду приложения к квантовой теории, мы ограничимся случаем, когда Ж есть гильбертово пространство. Тогда в определении векторной обобщенной функции с равным успехом мы можем использовать более слабое требование непрерывности.
Предложение 2.12. Пусть задано линейное отображение — (/, и) из 斤(К^) 6 方 такое, что для любого вектора Ф из некоторого плотного в 方 линейного многообразия 耽 скалярное произведение (Ф, (/, 〃)) непрерывно по и е ^(7?п) и, значит, определяет (комплексную) обобщенную функцию, которую мы обозначим через (Ф, /(夕)).Тогда / является векторной обобщенной функцией.
< Наряду с сильной топологией (нормы) на гильбертовом пространстве 方 определим ослабленную топологию полунормами @① ф (Ф) = max |(Ф7-, Ф)|, где W G 方,а Ф1, ..., Фп — произвольный конечный набор векторов из 期.Тогда по условию отображение и т (/, и) из 乡(Кп) в 方 непрерывно в ослабленной топологии на 3f. Значит, согласно следствию 1.12 отображение и т (/, и) непрерывно из 乡(KQ в 方 в топологии нормы на 力 А
Предложение 2.12 в какой-то мере сводит векторные обобщенные функции к комплексным обобщенным функциям. Мы можем перенести большинство операций, определенных выше над обобщенными функциями, на векторные обобщенные функции (пользуясь либо непосредственно определением, либо предложением 2.12). Таковы операции сложения, умножения на гладкую функцию, преобразование аргументов, дифференцирование, преобразование Фурье и т. п. Мы можем говорить также о локальных свойствах и о носителе векторной обобщенной функции.
Приведем две специфические операции для векторных обобщенных функций. Пусть /(р) — векторная обобщенная функция (со значениями в 力)и пусть А — замкнутый оператор в 力，причем его область определения Da содержит все векторы вида (2.128) (при любых и е 斤(К^)). Тогда существует векторная обобщенная функция 4/(夕)такая, что
4/(〃)= 4/(夕)〃(夕)dnp (2.129)
для всех и е ^(Rn).
Решающим моментом для этого утверждения является свойство непрерывности отображения и т Af(u), которое легко установить из предложения 2.12. С этой целью в качестве 耽 выберем。厶* (плотное линейное многообразие в 方 в силу замкнутости А). Тогда для всех Ф 6 0厶* имеем (Ф, Af(u)) = (А*Ф, (/, 〃)〉，откуда следует, что обе части этого равенства непрерывны по и.
Если /(р) и g(q) — обобщенные функции соответственно в Rn и Rm со значениями в 方，то для них определено скалярное произведение〈/(夕)，g(q)) Е У (7?冷+加)， которое однозначно определяется формулой (при любых 〃(夕)е 斤(К^), o(q) е е ”Ю)
U3，g(q» Мр)Mq) dnpdmq = ((/,初(g,。))・(2.130)
Действительно, правая часть этого равенства определяет билинейный функционал по 〃 G 斤(К^) и 1； е 斤(Км), непрерывный по каждому аргументу и и v. Теперь существование и единственность обобщенной функции (/(р), g(q)) следует из теоремы 2.5 (о ядре). Отметим, что 〈/(夕)，g(q)) здесь выступает как аналог тензорного произведения / ¥ д, определенного в п. 2.4.Б для комплексных обобщенных функций /(р) и g(q).
Б. Операторные обобщенные функции. Пусть в гильбертовом пространстве 3f выделено всюду плотное линейное многообразие D и пусть каждой основной функции 〃(夕)е ^(Rn) сопоставлен допускающий замыкание линейный оператор (А, “) = 4(〃)，определенный на D (и имеющий значения в 方).Мы будем говорить, что и — А(и) есть операторная обобщенная функция в 力，если для любого вектора ① е О выражение А(и) Ф непрерывно по 〃 G 斤(К^); другими словами, если соответствие и — А(и) Ф есть векторная обобщенная функция для всех ① G D В этом случае мы будем писать
А(и) = А(р) и(р) %р(2.131)
(и входящий сюда символ 4(夕)будем также называть операторной обобщенной функцией).
Условие непрерывности в определении операторной обобщенной функции можно ослабить, не меняя ничего но существу; а именно, достаточно потребовать, чтобы для любых ①，W е О матричный элемент (Ф, А(и)①)непрерывно зависел от и е е 斤(К^) (т. е. являлся комплексной обобщенной функцией); для нее мы используем символическую интегральную запись:
” 4(")①)=(Ф, А(р)Ф>(р) dnp.(2.132)
То, что ослабленное условие непрерывности эквивалентно первоначальному, есть непосредственное следствие предложения 2.12. Другое доказательство эквивалентности двух определений можно получить с помощью теоремы 2.5 (из которой следует, что всякий раздельно непрерывный билинейный функционал над 俨(К^) непрерывен). Фиксируем произвольный вектор ① G О н рассмотрим билинейный функционал В(и, о) = {A(v) Ф, А(и) Ф), где и, v Е 6 ”殴).Предполагая, что А(и) удовлетворяет ослабленному условию непрерывности, мы получаем, что В (и, v) раздельно непрерывен и потому просто непрерывен. В частности, отсюда следует, что если “小 т 0 при к ос, то \\A{uk) Ф||2 = B^Uk, “) т 0. Это означает, что А(и) удовлетворяет первоначальному условию непрерывности.
Остановимся на двух специфических операциях над операторными обобщенными функциями. Предположим, что операторная обобщенная функция 4(夕)такова, что сопряженные операторы A(u^ определены на D для всех и е 斤(灭冷).Тогда соответствие и — А(й)* |р есть также операторная обобщенная функция; при этом мы будем пользоваться записью
Mu^\D = А(р)* 认 p)dnP・(2.133)
Непрерывность (ослабленная, а значит, и обычная) функционала А(иУ\п по и есть следствие тождества
(ф, 4(〃)*①)三〈①，4〃)w).
Пусть 4(夕)и B(q) — две операторные обобщенные функции в гильбертовом пространстве 力 определенные соответственно над пространствами основных функций и{р) е ”Rn) и o(q) е ”Rm). В дополнение к предположению, что операторы А(и) и 石(о) определены на общем (плотном в 力)линейном подпространстве D, мы предположим, что операторы 石(о) оставляют D инвариантным:
B(v)D С D.(2.134)
Тогда существует (единственная) операторная обобщенная функция, которую мы обозначим А(р) B(q), под пространством основных функций "R^+m) и имеющая D в качестве области определения, такая, что
А(и) B(v) = А(р) B{q) и(р) v{q) dnpdmq(2.135)
при всех й 6 斤(К^), 0 6 斤(7?m)•
Доказательство основывается на скалярном или векторном варианте теоремы о ядре (см. теорему 2.5 и замечание к ней). Мы приведем более поучительную аргументацию, основанную на скалярном варианте. Для этого заметим, что линейные комбинации функций и{х) v(y) при и 6 乡(Кп), о 6 乡(Кт) образуют всюду плотное линейное подпространство ”〃 в 乡(1?九+小)(”〃 —алгебраическое тензорное произведение пространств 乡(公九)и ^(i?m)). Поскольку при любом ① G О выражение А(и)石(о) Ф есть билинейный функционал от и, о, то существует единственный линейный функционал。на ”〃 такой, что
С(и 0 V)= А(и)笈(о) Ф.
Достаточно убедиться, что функционал С непрерывен, т. е. что ||С(и^)|| т 0, если Wk 6 ”〃， zu% т 0 при к т ос в топологии ^(i?n+m). Для этого воспользуемся теоремой о ядре (скалярным вариантом), согласно которой существует обобщенная функция из 乡'(/?2九+2小)， которую мы обозначим〈4(") B(q) Ф, А(р)石(q) Ф), такая, что
(А{и)石(/) Ф, А(и)石(。)①〉二］〈4(") B(q) Ф, 4(0)石(q)①〉x
义 u^pQ U(『) u(p) o(q) dnp dnp dmq dmq -
Отсюда получаем (при Wk G 〃〃)
\\C(wk)\\2 = \{A(p)b(q) Ф, A(p) B(q) Ф} Wk^, q') wk(p, q) dnp dnpdmqdmq.
Если теперь 次 т 0 в топологии ^(Rn+m) при к т +ос, то 次(少，q')次(@, q) т 0 в топологии ^(i?2n+2m), так что из написанного представлении следует, что ||C(Wfc)|| т 0 при к т ос. Это завершает доказательство.
Приведенное утверждение распространяется на случай любого числа операторных «сомножителей» и тогда оно формулируемся следующим образом.
Предложение 2.13. Пусть Aj(pj) (j = 1, , к) — семейство операторных обобщенных функций в гильбертовом пространстве 方 над соответствующими пространствами основных функций и“р)) е ”Rnj)・ Предполагается, что все операторы Aj(uj) определены на плотном в 方 линейном подпространстве D “ оставляют его инвариантным. Тогда существует (единственная) операторная обобщенная функция, обозначаемая 厶1 (夕i)…4k(夕卜){определенная над пространством основных функций ^{Rnx+_+nk) и имеющая D в качестве области определения}, такая, что
А^щ\..Ак(ик) = Ai(pi)…Ак(рк) ui(pi)…иМрк) dmPi…％кРк (2.136)
при всех Uj е "
Замечание. В то время как операторы (2.136) по условию оставляют область D инвариантной, операторы вида
А^р^...Ак(рк)и(рг, , Pk)dnipv..dnkpk(2.137)
при произвольных и 6 ^Р{Кп^_^Пк) могут, вообще говоря, выводить векторы из D за пределы D. Однако нетрудно убедиться, что при действии операторов (2.137) на D получающиеся векторы лежат в области определения замыканий операторов Aj(uj) (uj е ”&丿)и, вообще, операторов типа (2.137). Поэтому за счет соответствующего расширения области D (например, заменой D на линейную оболочку многообразий D и XD, где X пробегает операторы — результаты сглаживания А^(pi)... ...Air(рг) при г = 1, 2, ... с произвольными основными функциями) можно добиться того, что новая область D станет инвариантной относительно всех операторов вида (2.137).
В. Понятие обобщенного собственного вектора. Пусть А — замкнутый оператор в 力(с областью значения 0厶).Будем называть обобщенную функцию /(р) в Rn со значениями в 力 обобщенным собственным вектором, если
AfS) = M〃)/S)，(2.138)
где А(р) — некоторый мультипликатор) из ^м(Ктг)・ Сужение A|supp/ мы назовем обобщенным собственным значением (или системой обобщенных собственных значений) оператора А, соответствующим обобщенному собственному вектору /(р). Аналогично, если U(a) есть (непрерывная) унитарная n-параметрическая абелева группа операторов в 方，то обобщенная функция /(р) в Rn со значениями в 方 называется обобщенным собственным вектором для этой подгруппы, если
U(a)/(0)=/研出/(°)(2.139)
для всех а е Rn, где а^(р) = £ ⑦出•出(夕)и 出・(夕)являются вещественными мультипликаторами из ^м(^п)-
Рассмотрим пример оператора Р = —г ^ и (абелевой) группы трансляции U(a) в 32(К), при этом (U(a)/)(力)= /(/ — 〃). Определим обобщенную функцию fp над ”К1) со значениями в 3?(К) посредством равенства
(力"(0)山2)(/)=^рхu{p) dip-
другими словами, в качестве ядра 力(力)отображения f:斤(Ki) 一 3?(K) выберем «плоскую волну» /р(力)=е"。力.Легко убедиться, что % есть обобщенный собственный вектор для Р и для U(a):
Рfp = Pfp， U(а) /р = е ipafp.
Более того, для него выполнено соотношение ортогональности в том смысле, что {fq\fp)=2^p-q). (2.140)
В рассмотренном примере обобщенные собственные векторы % оператора Р образуют полную ортогональную систему обобщенных векторов в 3?(К) в смысле следующего определения (которое целесообразно сформулировать в более общем контексте).
Пусть /(1)(夕О, , /°)夕。'))， — некоторая последовательность векторных обобщенных функций, зависящих от переменных 夕。)е Rnj (где число nj может зависеть от 7) и принимающих значение в гильбертовом пространстве Ж. Будем говорить, что эта последовательность образует полную систему обобщенных векторов в 方， если линейные комбинации векторов вида
W)(W))〃(&W))%#⑴ (2.141)
(с произвольными 〃°)е W〈Rn )) образуют плотное множество в 方.Если же выполнено условие 〈/°)(夕。'))，/(к)(夕(к))) = 0, когда j к или j = к, но 夕。)夕(卜)， то мы имеем ортогональную систему обобщенных векторов в Ж. Теперь под разложением векторов из 方 по полной ортогональной системе обобщенных векторов {*(*)} мы можем просто понимать то обстоятельство, что линейные комбинации векторов вида (2.141) плотны в 3f. Например, в рассмотренном выше примере системы плоских волн fp вектор ］力⑺ п(р) d、p (при и е 乡(Ri)) есть просто преобразование Фурье функции и, и, значит (в силу предложения 2.7), такие векторы образуют плотное множество 斤(К) в 3?(К). Соотношение же ортогональности (2.140) есть в данном случае иная форма записи равенства Парсеваля (2.74).
Вторичное квантование доставляет пример полной ортогональной системы обобщенных векторов в пространстве Фока (см. далее п. 7.3.А). С другим важным примером полной (но уже не ортогональной) системы обобщенных векторов мы встретимся при изучении квантованных полей (гл. 8).
Дополнение А
Обобщенные функции на подмножествах в Rn
А.1. Обобщенные функции на открытом подмножестве. До сих пор мы имели дело лишь с обобщенными функциями, определенными во всем пространстве Rn. Однако нередко оказывается удобным (и даже необходимым) рассматривать обобщенные функции на подмножествах в Rn. Здесь мы ограничимся важнейшими случаями, когда данное множество либо открыто, либо принадлежит специальному классу замкнутых множеств.
Случай открытых множеств весьма прост. Для открытого множества 夕 в Rn определим 9(0) как множество всех функций из ^(Rn), обращающихся в нуль в Rn\€ (в дополнении к 〃). Если снабдить 乡(〃)системой полунорм (1.42), то 乡(〃)становится замкнутым подпространством ^(Rn) и, значит, пространством Фреше. Отметим существенную деталь: функции из 9(0) и любые их производные обращаются в нуль также на границе множества 夕.Поскольку функции из 9(0) определяются своими значениями на 〃， мы можем отождествить всякую функцию из 9(0) с ее сужением на 〃. Поэтому мы будем называть 乡(〃)пространством быстро убывающих основных функций на 夕.
Пространство 乡'(〃) линейных непрерывных функционалов над 乡(〃)будем называть пространством обобщенных функций на 夕.Значение / G 乡'(〃)на 〃 G 乡(〃)по-прежнему
будем записывать в символической интегральной форме (2.1). Как и в случае Rn, мы можем определить такие операции над 乡(〃)，как дифференцирование, умножение на гладкую функцию, замену переменных с помощью диффеоморфизма прежними формулами (2.19), (2.34), (2.17). В качестве мотивировки формулы (2.19) мы должны заметить, что в случае «достаточно хорошей» функции / (точнее, в случае, когда / имеет непрерывные и полиномиально ограниченные частные производные в Rn) формула (2.19) совпадает с интегрированием по частям в классическом анализе (поскольку основные функции и 6 9(0) мы, согласно нашему определению, можем рассматривать как функции из ^(Rn)). На функцию в формуле (2.34) мы должны наложить условие, что 夕(力)• и{х) 6 9(0) для всех и{х) 6 9(0). Будем называть такие функции мультипликаторами в 9(0), а их совокупность обозначать через 6м(〃). Наконец, в формуле (2.17)夕 есть диффеоморфизм открытого множества 夕 на некоторое открытое множество Q С Rn такое, что отображение и т \J(^)\ • 〃。夕 есть изоморфизм 乡(Q) на 乡(〃)；тогда определение (2.17) имеет смысл для всех / е 乡'(Q), и G 乡(Q)・
Практическое значение пространств 乡'(〃) (для открытых 〃) в сущности сводится к тому, что они дают возможность изучать обобщенные функции из ^\Rn) локальными методами. А именно, если / 6 ^(Rn), то сужение / (как линейного функционала) на подпространство 9(0) С 乡(К") дает нам обобщенную функцию из 乡'(〃)，которую мы обозначим через /|〃 и назовем сужением / на 夕.Из теоремы Хана-Банаха путем сужения обобщенных функций из 夕(К72) на 〃 мы получаем все обобщенные функции на 〃.
Обратно, принцип склеивания позволяет конструировать обобщенные функции из ^(Rn) с помощью подходящего набора обобщенных функций на открытых подмножествах. Точнее, пусть задан конечный набор {〃“}乜i открытых множеств в Rn, покрывающих Rn. Предположим дополнительно, что существует разбиение единицы в 6м(К72), подчиненное этому покрытию. Под таким разбиением мы подразумеваем набор {е“} мультипликаторов в ^(Rn), обладающих свойствами (1), (2), (3), приведенными в п. 2.1.В. Если каждому подмножеству О” из данного покрытия сопоставлена обобщенная функция % С 乡'(〃“)，причем выполнено условие согласования /“(/)=九/(力)в 0“ С при всех ^, ^\ то существует единственная обобщенная функция / в ^\Rn), совпадающая с %(/) в 〃“ при любом 沙.
А.2. Обобщенные функции на канонически замкнутых регулярных подмножествах. Перейдем теперь к построению пространств основных и обобщенных функций на замкнутом множестве Q С Rn. Чтобы не усложнять дело, мы ограничимся классом так называемых канонически замкнутых регулярных множеств Q в Rn. При этом множество Q называется канонически замкнутым, если оно совпадает с замыканием своей внутренности (или, что то же, с замыканием какого-либо открытого множества) в Rn. Регулярным множеством мы называем множество Q С Rn, обладающее свойством: любую пару точек /, g G С с взаимным расстоянием \х — у\ р можно соединить спрямляемой кривой в Q длины W А(1 + \х\ + |д|)0|/ — у\х; здесь р, А, р, А — некоторые положительные числа (зависящие от Q).
Упражнение А.1. Доказать, что всякое замкнутое выпуклое множество в Rn с непустой внутренностью канонически замкнуто и регулярно.
Ниже (всюду в этом дополнении) мы подразумеваем под Q фиксированное канонически замкнутое регулярное множество.
Стандартное определение частных производных функции, определенной на множестве в Rn, предполагает, что рассматриваемое множество открыто. В нашем случае мы назовем комплексную функцию 〃 на С бесконечно дифференцируемой (или класса £°°), если она является сужением на Q некоторой бесконечно дифференцируемой функции, скажем, и в Rn; соответственно частные производные Dau определяются как сужения на Q частных производных Dau. Это определение частных производных корректно, т. е. не зависит от выбора продолжения функции и вне Q, именно благодаря канонической замкнутости Q. Через 乡(С) мы обозначим пространство всех комплексных ^^-функций и на Q, для которых все нормы (при любых целых неотрицательных I, т) конечны:
Ы?,т = max sup |(1 + \х\)тDau(x)\. (A.l)
7 H. H. Боголюбов и др.
Не останавливаясь на доказательстве (основанном на теореме Уитни о продолжении [М3]), мы отметим следующий важный факт: благодаря регулярности Q 乡(С) оказывается полным пространством и, значит, также пространством Фреше. Кроме того, всякая функция из 乡(С) получается как результат сужения на Q некоторой функции из ^(Rn).
Как обычно, пространством обобщенных функций на Q мы называем пространство 乡'(С), сопряженное к 乡(С).
Мы по-прежнему используем обозначение (2.1) для значения / G 乡'(С) на 〃 G 乡(С).
Регулярными обобщенными функциями на Q естественно назвать обобщенные функции /, представимые в виде (2.1), где правая часть понимается уже в смысле интеграла Лебега по Q от произведения локально интегрируемой функции /(ж) на С с 〃 G 乡(С). При этом для абсолютной сходимости интеграла нужно ограничить поведение функции /(ж) на бесконечности следующим образом: при некоторых А, 5 > О
j |/(ж)| (Гх < А(1 + г)5 при всех г > О,
где(то(г) — шар радиуса т с центром в нуле.
В частности, этому условию удовлетворяют непрерывные полиномиально ограниченные функции /(ж) в Q, которые мы таким образом отождествляем с регулярными обобщенными функциями в Q.
Операции умножения на гладкую функцию и замены переменных в 乡'(С) вполне аналогичны соответствующим операциям в F(R"). Например, мультипликатором в 乡(С) следует назвать всякую ^^-функцию 夕 на С, у которой любая производная D” полиномиально ограничена на Q, т. е. существуют числа А, 5 > 0 (зависящие от 夕 н а) такие, что \Da(p(x)\ W А(1 + |ж|)5 в Q.
Операцию дифференцирования в 乡'(С) мы введем прежней формулой:
(о。/ 〃)= (-1)|а|(/,/ е 歹9),〃 е 9(C).(А.2)
Однако эта формула в некотором смысле неестественна, и при дифференцировании обобщенных функций следует иметь в виду следующее предостережение. В отличие от того, что мы имели в случае F(R") при Q 力 Rn, обобщенная производная (в смысле (А.2)) гладкой функции / (например, мультипликатора в 乡(С)), вообще говоря, не совпадает с обычной (или «классической») производной из-за наличия граничных членов в формуле интегрирования по частям (если таковая имеет место для Q). (Например, в случае Q = [0, 1] U К обобщенная производная в 乡'([О, 1]) функции 九(力)=1 на Q есть не 0, а 5(/) - 5(1 - ж), т. е.
(£ h⑺,"(/)) = n(0)- "⑴， и е 9([0, 1]).
Приводимое ниже предложение А.1 в значительной мере оправдывает эту «странность» обобщенного дифференцирования в Q. А именно, если отождествлять обобщенные функции на Q с обобщенными функциями на Rn с носителями в Q, то окажется, что, дифференцируя гладкую функцию / в смысле 乡'(С), мы фактически дифференцируем функцию %Q/ в смысле ^f(Rn), где ха — характеристическая функция множества Q. Производные от %Q как раз ответственны за появление «граничных членов» в О°(Ха/)・
Весьма интересно, что для обобщенных функций из 乡'(С) можно определить «каноническое продолжение» в Rn. А именно, если / 6 9’(С), то мы можем сопоставить ей обобщенную функцию F G 乡f) по формуле
(F, и) = (/, ug) при всех и G 9(К").(А.З)
Пусть j: ^(Rn) т 乡(С) есть оператор сужения, сопоставляющий функции и 6 ^(Rn) ее сужение на Q:.,/
Ju = u\q.(А.4)
(Согласно приведенной выше характеристике 夕(С), J отображает ^(Rn) на все 乡(С).)
Пусть /:乡'(С) т ^\Rn) — сопряженный оператор (см. п. 1.3.8). Тогда формула (А.З) означает, что F = //. Нетрудно видеть, что обобщенная функция F имеет носитель в Q.
Мы обозначим через 窜卜R" | Q) множество всех обобщенных функций в Rn с носителями в Q. Оказывается, когда / пробегает 乡'(С), // пробегает ^f(Rn | Q). Другими словами, / есть изоморфизм (в смысле линейного взаимно однозначного соответствия, сохраняющего сходимость)乡'(С) на 乡'(КТ Q).
Пр е д л оже н ие А.1. Пусть Q — канонически замкнутое регулярное множество 6 Rn. Тогда оператор сужения J (А.4) непрерывно отображает 乡(К72) на 乡(С), а его сопряженный оператор jr изоморфно отображает 乡'(С) на подпространство ^\Rn | Q) всех обобщенных функций из ^(Rn) с носителями 6 Q.
Мы будем называть изоморфизм, построенный в предложении А.1, каноническим изоморфизмом между 夕(С) и 夕(К72 I Q).
Следствие А.2. Для любой обобщенной функции / G 乡'(К72) с носителем 6 канонически замкнутом регулярном множестве Q С Rn существуют число с^ 0 и натуральные числа I, т такие, что
|(/, 〃)| W с||〃||% для всех и G 乡(К). (А.5)
Кроме того, /(ж) представимо 6 виде конечной суммы:
№)= e0"启⑺， (a.6)
где 启(力)—мера степенного роста на Rn с носителем 6 Q
Представление (А.6) следует из оценки (А.5) так же, как представление (2.4) следует из оценки (2.2).
Упражнение А.2. Доказать предложение А.1 и следствие А.2. (Указание: согласно упражнению 1.39 доказательство предложения А.1 сводится к установлению равенства ^\Rn I Q) = (kerj)0, означающего, что обобщенная функция / € ^\Rn) имеет носитель в Q в точности тогда, когда (/, “) = 0 для всех функций и 6 9(C), обращающихся в нуль на Q. Воспользоваться тем, что всякую функцию и 6 9(C), обращающуюся в нуль на Q, можно представить как предел в 乡(К72) последовательности функций Uk 6 ^(Rn) с носителями в KRC, т. е. исчезающих в окрестности Q.)
Предложение А1 и следствие А.2 в значительной мере раскрывают роль пространств 乡'(С). Эти пространства оказываются весьма удобными при изучении обобщенных функций с носителем в (канонически замкнутом регулярном) множестве Q. Если из определения носителя обобщенной функции / следовало лишь, что значение (/, и) обобщенной функции / 6 乡'(К72 I Q) на основной функции и 6 ^(Rn) зависит от поведения функции 〃 только в (окрестности) Q, то теперь мы имеем количественную оценку (А.5) для этой зависимости.
Другое типичное применение находят пространства 乡'(С) в так называемых слабых интегральных представлениях. Пусть каждому значению у канонически замкнутого регулярного множества Q в Rn сопоставлена обобщенная функция К(х; у) из пространства ^(i?m) по переменной х, причем для любой основной функции и{х) G 乡(К772) функция J К(/, у) и{х) d^x принадлежит пространству 乡(С). Тогда отображение и ^ \ К(х, у) и(х) d^x есть линейный непрерывный оператор из ^(Rm) в 乡(С) (аргументация та же, что в упражнении 2.43 или в предложении 2.11). Поэтому для любой обобщенной функции h(y) из пространства 乡'(С) формула
(/, 〃)=(以д)，］ К(/，д) 〃(/) (А.7)
задает обобщенную функцию /(ж) 6 ^(i?m). Определенную таким образом /(ж) записывают в следующей форме, называемой слабым интегральным представлением *) для обобщенной функции /(/):
*) Его называют также интегральным представлением для обобщенных функций (или «в слабом смысле»).
/⑺=I к(Х д)九3) Гу； (А.8)
при этом К(/, у) и 九(у) называют соответственно ядром и обобщенной плотностью слабого интегрального представления.
Приведем еще полезное утверждение о разбиении обобщенных функций на (конечную) сумму обобщенных функций с меньшими носителями. Мы ограничимся случаем двух слагаемых.
Предложение А.З. Пусть /(ж) — обобщенная функция в Rn с носителем 6 канонически замкнутом регулярном множестве Q с Rn, являющимся объединением двух канонически замкнутых регулярных множеств ^\ и ^ в Rn. Тогда /(ж) представима 6 виде
/(/)=力(/) + &(/), (А.9)
где fj — обобщенная функция в Rn с носителем 6 Q7, J = 1, 2.
< Рассмотрим линейное пространство 夕.=乡(Ci)㊉乡(口2)——прямую сумму пространств 乡(Ci) и 乡(口2)・ Элементами 夕.являются всевозможные пары (tq, 〃2), где Uj 6 乡(f^). Множество 夕.становится пространством Фреше, если для любых норм @i и @2 вида (А.1) на 乡(Ci) и 乡(口2)определить норму @ на 夕，полагая p(ni, 〃2)= @i(〃i) +@2(〃2)・ 夕 содержит (замкнутое) подпространство 歹，состоящее из элементов вида (〃|а「и\^2), где и пробегает 乡(С). Легко видеть, что отображение и т (а|а「〃|电)есть изоморфизм 乡(С) на 力
Вернемся к данной обобщенной функции /(/). Пусть 九(/) — обобщенная функция из 乡'(С), соответствующая /(ж) при каноническом изоморфизме 乡'(С) на ^f(Rn | Q). Тогда h определяет непрерывный линейный функционал Ы на 歹 посредством равенства
(X，3g1，"以))=(儿")• (A.10)
По теореме Хана-Банаха (теорема 1.1 и п. 1.3.А) Ы можно продолжить до непрерывного функционала А" на <. Очевидно, всякий такой функционал А" имеет вид (А〃，(ui, 〃2)) = (^i, 〃i) + + (九2, "2), где hj G 乡/(口力.В частности, учитывая (А.10), имеем для всех и G ^{Rn)
(/, ")=(儿 "1q)=(后，"g1) + (九2, "以)♦ (A.11)
Пусть при каноническом изоморфизме 乡'(口力 на 乡'(К72 | Qj) элемент hj переходит в обобщенную функцию %(/) в Rn с носителем в Qj. Тогда равенство (А.11), очевидно, эквивалентно требуемому разбиению (А.9). А
А.З. Применение: обобщенные функции на компактифицированных множествах [а, оо], Коо, [—8, +оо]・ Доопределение расходящихся интегралов (или «устранение расходимостей») является типичной задачей квантовой теории поля, которую мы проиллюстрируем на характерном примере (существенном для дальнейшего).
Пусть требуется определить свертку в 乡'(К)
ga)= ]Cy/()d*， (А.12)
где /(А) есть обобщенная функция из 乡'(К). Ясно, что в общем случае эта свертка не определена однозначно (иначе говоря, «не существует», например, в смысле § 2.5). Так, если исходить из формулы типа (2.86)
G * /, 〃) = - (/, ^ * ")， 〃 G 9(К)， (А.13)
то правая часть здесь плохо определена, так как вообще говоря, не принадлежит 9(К). Для разрешения этой трудности допустим, что мы располагаем более широким пространством 乡(Ag) функций на расширенной вещественной прямой *) Kg = К U {ос}, которое
содержит функции вида ^ * 〃 (где и 6 乡(К)). Если теперь функционал / продолжить с пространства 9(К) на 乡(Kg), то правая часть (А.13) приобретает смысл при всех и G 9(К). Таким образом, мы видим, что свертка (А.12) естественно определена для / 6 乡'(Kg), а не для произвольной / из класса 乡，(К). Процедура расширения обобщенной функции из 乡，(К) до обобщенной функции из 乡'(Kg) включает некоторые произвольные параметры (аналог того, что в квантовой теории поля называют «константами перенормировки»). Отметим, что к определению свертки (А.12) сводится задача о произведении обобщенной функции /(t) из 0(К) на £⑴(или на 0(川.
Перейдем к построению пространства "RQ, а также аналогичных пространств 乡([а, ос]) (где а — произвольное вещественное число) и 乡([-ос, +ос]).
Мы остановимся подробнее на случае 9([1, ос]). Пользуясь тем, что отображение § = = -1/А отображает [1, ос] на отрезок [-1, 0], мы определим ^([1, ос]) как множество функций на [1, оо] вида
и(Х) = v(^), где ^ = -1/А
с произвольной функцией о 6 乡([—1, 0]). В соответствии с п. А.2 топология на 乡([—1, 0]) задается нормами _
qn(u) = max sup |。" (§)1， n e Z+, (A.15) k=0,…，九 §0—1,0]
где o(")(§) = ). Снабдим 乡([1, ос]) индуктивной топологией относительно отображения (А.14) (так, чтобы это отображение стало топологическим изоморфизмом). Нетрудно видеть, что эта топология определяется нормами
рп{и) = max sup |Afcti(A)|, zz G Z+, (A.16) k=0,...,n
где A = A2 ^. Очевидно, что ^([1, сю)) есть подпространство в ^([1, сю]), состоящее из функций таких, что An?z(A) т 0 при А ос для любого n 6 Z+. Из упражнения А.З следует, что оно является также подпространством в топологическом смысле, т. е. что естественная топология на 9([1, ос)) совпадает с топологией, индуцированной из 9([1, ос]).
Упражнение А.З. (а) Доказать, что 乡([1, ос)) есть образ 9()([-1, 0]) при отображении V т и (А.14); здесь 9о([-1,@]) есть подпространство всех функций из ^([-1, 0]) таких, что 。(九)(0) = 0 при всех n 6 Z+. Доказать также, что этот изоморфизм 9()([—1, 0]) т т 乡([1, ос)) является топологическим, если ^([1, ос)) рассматривать в естественной топологии (см. п. А.2), а 9о([-1, 0]) наделить топологией норм
Qm,n(^) = max sup |§一%(")(§)1， m, n e Z+.(A」7)
k=Q,...,n —iwSWO
(б) Доказать, что системы норм {qm,n} и {qn} на 乡()([-1, 0]) эквивалентны. (Указание: с помощью равенства°
§7鹏)(9 = I v(k+1\t^)dt
-1
убедиться, что qm,n{v) W Qm-i,n+i(^), откуда индукцией по т следует qm,n{v) W 4力+九(0)・)
Как обычно, элементы пространства 乡'([1, ос]), сопряженного ^([1, ос]), мы будем называть обобщенными функциями на [1, сю]; для (/, и) мы будем также использовать символическую интегральную запись J /(А) и(Х) dA. В частности, для всех / 6 乡'([1, сю]) определен интеграл (/(A), 1(A)) = J /(A) dX.
Упражнение А.4. Доказать, что обобщенные функции Zk на [1, ос], определенные асимптотическим разложением
〃(入)=£「&，〃) + o(L) при А ос, пez+,(А.18)
k=Q
образуют базис в подпространстве обобщенных функций из ^([1, ос]) с носителем в точке +ос. (Указание: воспользоваться изоморфизмом между ^([1, ос]) и 乡'([—1, 0]) и предложением 2.2.)
Согласно теореме Хана-Банаха всякий линейный непрерывный функционал на 9([1, ос)) продолжается до линейного непрерывного функционала на 9([1, ос]). Это продолжение можно осуществить следующим конструктивным приемом.
Упражнение А.5. Пусть 力 6 乡'([1, ос)), так что 力 можно рассматривать как линейный непрерывный функционал на ^д；т([1, ос)) (пространстве сужений на [1, ос) функций из 乡入小(/?), см. п. 1.1.В). Доказать, что общий вид продолжения 力 до обобщенной функции из。([1, ос]) имеет вид
/N、
(/,= (/о(Х), 〃(入)—工以(入)入一+ ^cn(ln, 〃)，(А.19)
'k=Qn=0
где N 6 Z+ — фиксированное достаточно большое число; сп ——произвольная числовая последовательность с конечным числом ненулевых членов.
Аналогично определяются пространства 乡([—ос, +ос]),乡(Kg) и им сопряженные 乡/([—ос, +ос]) и 0(Коо). А именно, 乡([—ос, ос]) (соответственно 乡(Kg)) есть пространство функций 〃(/Х) на [—ос, +ос] (соответственно на Kg) вида
и(*) = w(J), где 0 = 2arctg А,(А.20)
с произвольной функцией w(^) из 乡([—тг, 7г]) (соответственно с произвольной функцией из 歩(К), периодической с периодом 2тг). Топология на этих пространствах определяется подобно тому, как это сделано выше для 乡([1, ос]). Отметим, что 乡'([а, ос]) при любом а С К можно отождествить с подпространством в 乡'(尺^) (или в 乡'([-ос, +ос])) обобщенных функций на Kg (или на [—ос, +ос]) с носителями на [а, ос].
Упражнение А.6. Доказать, что отображение 〃т 1/入*〃 есть линейный непрерывный оператор из 9(К) в 乡(Kg) (или в 乡([—ос,+ос]). (Указание: достаточно рассмотреть случаи suppu С (ос, — 1] U [1, +ос); воспользоваться заменой переменных (А.14).)
Это упражнение позволяет определить свертки j * /,入；分° * / как элементы пространства 乡'(К) для любой обобщенной функции / G 乡'(Kg) (или из 乡'([—ос, +ос])) и, в частности, для / 6 9’([0, ос]).
Упражнение А.7. (а) Доказать формулу
у^д * Ui(A) = -An, n е Z+,(А.21)
где Zn+i(A) — обобщенные функции из 乡'([О, ос]), определенные посредством (А.18).
Доказать, что всякий комплексный полином Р(Х) от X G К можно однозначно представить в виде сверткил
Р…/土分0 /(*)执，(A.22)
где /(A) — обобщенная функция из 乡'([О, сю]) с носителем в точке ос и с интегралом 0. (Указание: воспользоваться формулой (А.21).)
Для задания обобщенных функций из 乡'(Kg) можно пользоваться следующим частным случаем принципа склеивания (который, как и предложение 2.4, доказывается с помощью подходящего разложения единицы на Kg).
П р е д л оже н и е А.4. Пусть 力(入)и /2(€) — пара обобщенных функций из 夕(К), удовлетворяющих условию согласования
/1(А) = А-2/2(-х) при XRO.(А.23)
Тогда существует (единственная) обобщенная функция /(А) 6 乡'(Kg) такая, что
(/,= I /1 (А) и(Х) dX, если 〃 е 乡(Kg) и suppuuK,(А.24а)
(/, ^) = | f2^)u(^-^ ^, если 〃 G 9(Kg) и supp” U Коо\{0}・(А.246)
Дополнение Б
Преобразование Лапласа обобщенных функций
Б.1. Преобразование Лапласа как аналитическая функция в комплексной области. Классическое преобразование Лапласа от локально интегрируемой функции /(/)) одной вещественной переменной х определяется формулой
I e~kxf(x) dx.(Б.1)
о
Существенное отличие этого преобразования от преобразования Фурье — это то, что интеграл (Б.1) рассматривается как аналитическая функция в комплексной области. В данном случае, в силу односторонности преобразования (интеграл в правой части распространен лишь по положительной полуоси), функция (Б.1) аналитична в правой полуплоскости Rek〉0, при условии, что интеграл абсолютно сходится для таких к. (Для этого достаточно предположить, что функция /(ж) ограничена по модулю выражениями сее£Ж при всех £〉0, где число се может зависеть от е.)
Мы будем пользоваться здесь несколько иным (более современным) определением, при котором преобразование Лапласа записывается в форме, тождественной преобразованию Фурье. Именно, преобразованием Лапласа локально интегрируемой функции /(ж) в Rn называют функцию
f{k)=^e^xf{x)dnx,(Б.2)
определенную при тех к Е Сп, при которых егкх f{x) — абсолютно интегрируемая функция по х (в силу комплексности к отсутствие мнимой единицы в экспоненте в (Б.1) — это всего лишь вопрос обозначений). Как и в (2.69), входящее сюда выражение кх есть
=(Б.З)
7=1
(£j = ±1 фиксированы). Разумеется, если n = 1, а /(ж) исчезает при / < 0, то при замене ik на —к выражение (Б.2) переходит в классическое преобразование Лапласа функции /.
В этом дополнении мы всюду используем р = Re к Е Rn и q = 1т к С Rn для обозначения вещественной и мнимой частей комплексного вектора к Е Сп, так что к = р + iq.
Целесообразность введения комплексного вектора к вместо пары вещественных векторов р и q обусловлена свойством аналитичности преобразования Лапласа, о котором будет идти речь ниже. Нам понадобятся здесь лишь самые элементарные сведения об аналитических (или голоморфных) функциях нескольких комплексных переменных. Приведем соответствующее определение. Голоморфной функцией в области (или, вообще, в открытом множестве) Q С Сп называется комплексная непрерывно дифференцируемая функция 九(к) от комплексного вектора k G С, удовлетворяющая уравнениям Коши-Римана
Д 5 為)后(尉=°，/ = 1，…(及4)
(которые с учетом непрерывной дифференцируемости означают, что h(k) является аналитической функцией по каждой компоненте kj при любых допустимых значениях остальных
компонент). Комплексная функция 九(к) в области Q называется комплексно аналитической ) (или просто аналитической), если она разлагается в сходящийся ряд Тейлора в окрестности каждой точки определения. В действительности (как мы увидим в п. 5.1.А) понятия голоморфности и аналитичности являются эквивалентными.
Очевидно, выражение (Б.2) можно интерпретировать как преобразование Фурье .%一, от абсолютно интегрируемой функции e~qxf(x), зависящей от q как от параметра. Подобная интерпретация позволяет естественным образом распространить преобразование Лапласа на распределения.
Пусть /(ж) — произвольное распределение из S)f(Rn). Сопоставим ему множество) Г(/) всех таких векторов q 6 Rn, что e~qx f(x) является обобщенной функцией (т. е. распределением умеренного роста) по переменной х:
Г(/) = {q е Rn e~qxf{x) е ^\Rn) по х}.(Б.5)
Посредством int Г(/) = Г(/) будем обозначать внутренность Г£/). Преобразованием Лапласа ) (от) распределения / называют обобщенную функцию /(@ + 〃q) по @, зависящую от параметра q G Г(/) и определяемую формулой /(@ + 〃q) = ^x^p[e~qxf(x)]. Преобразование Лапласа от / мы будем обозначать также 3力一,十分@[/(/)], или 3/. Итак,
。"/(叫(Б.6)
или (в соответствии с символическими интегралами (2.76), (2.77))
f^=ykxf^dx.(Б.7)
Как и в случае преобразования Фурье, преобразования, получаемые из (Б.7) заменой знака в экспоненте или умножением правой части на (2тг)-п, также называют преобразованием Лапласа. (Тогда определение Г(/) соответственно видоизменяется.) Например, в соответствии с определением (2.67) преобразования Фурье обобщенных функций в р-прост- ранстве преобразование Лапласа распределения g(@) 6 ^(RQ (в р-пространстве) мы будем определять формулой
(3*д)⑶=^^x+iy[g(p)]=卜т"д(@) dnp,(Б.8)
понимаемой в том же смысле, что и (Б.7).
Преобразование Лапласа распределений является обобщением преобразования Лапласа функций и сохраняет его основные свойства.
Упражнение Б.1. Доказать следующие свойства преобразования Лапласа.
Линейность: если / = a"i + 3/2, где сц, а2 G С 九 Л G 2\Rn), то Г(/) 口 D Г(/1) П Г(/2) и ^f = а, - 0力 + зЗ/2 при q е Г(力)П Г(/2).
Правило умножения на полином и дифференцирования:
r{xaf) D Г(/),r(D"/) D Г(/),
^^/ск/(ж)]=(一辽 5广九一m/(叫，(Б.9)
^x^k[Daf{x)]=(-広к)"-旧(叫(Б.10)
здесь обозначения те же, что и в упражнении 2.15).
Поведение при линейных неоднородных преобразованиях аргументов:
3-/(/-a)=……以6a G Rn(Б.11)
^x^k[eaxf(X)] = ^x^k+aKx\а Е W,(Б.12)
0—/J(4T/) = |det 川・3『4/J(/),где det А0(Б.13)
(в последней формуле использованы обозначения упражнения 2.18).
Упражнение Б.2. Доказать формулу обращения преобразования Лапласа: если
f(@ +分 q) = ^X^p+iqf(x),(Б.14a)
以吟=e^ 夕^xf(p + iq).(Б.146)
Имеет место следующее замечательное свойство множеств Г(/).
Пр е д л оже н ие Б.1. Множество Г(/) выпукло для любого распределения / е 3)\Rn). < Пусть а, 5 е Г(/) н с = £а + (1 — £)b при 0 < t < 1. Тогда
е-сж/(х) = uc^[e~axf^ + e-bxf(x)],
ГДе也(/) =「+e”TL.
Если мы покажем, что ис есть мультипликатор в ^(Rn), то из приведенного соотношения будет следовать, что е-сж/(ж) G ^\Rn) и, значит, с G Г(/). Очевидно, \ис{х)\ < 1. Далее, первые производные от ис(х) являются полиномами от функций того же вида, что ис\
电 ис(х) = £jUc(x){-Cj + ajUa(x) + bjUb(x)},
следовательно, они также ограничены. Индукцией по порядку производной легко убеждаемся, что любая производная от ис ограничена и, значит, ис есть мультипликатор в ^(Rn). А
Важнейшим свойством преобразования Лапласа является аналитичность. А именно, ^X^kf(x) есть аналитическая функция от к в открытом множестве Rn + 〃『(/)• Всякое множество в Сп вида
=Rn + iK = {p + iqe С2 р Е Rn, q G К},(Б.15)
где К — фиксированное множество (в частности, область) в Rn, называется трубой (соответственно трубчатой областью) в Сп; при этом К, называется основанием трубы 夕* и обозначается также Im 夕Таким образом, сделанное выше утверждение означает, что если Г(/) непусто, то 0/ аналитично в трубчатой (выпуклой) области Г(/).
Приводимое ниже в теореме Б.2 описание аналитических свойств преобразования Лапласа полно в том смысле, что имеется обратная теорема Б.4, содержащая критерий представимости аналитической функции в трубчатой области в виде преобразования Лапласа некоторого распределения.
Теорема Б.2. Пусть /(ж) — распределение из 3)\Rn) такое, что Г(/) непусто. Тогда преобразование Лапласа /(к) есть бесконечно дифференцируемая 〃，более того, комплексно) аналитическая функция от к в трубчатой области Rn + 疔(/), причем для любого компакта Q с Г(/) существуют числа A, m > 0 (зависящие от Q 〃，конечно, от /) такие, что
(Б.16)(Б.16)|/(р + iq)\ < А(1 + \р\)т при всех @ G К", q J Q.
(Б.16)
(Б.16)
< Пусть а — произвольная фиксированная точка из Г(/). Благодаря тому, что Г(/)— открытое множество, существует р > 0 такое, что куб Р' в Rn, определяемый неравенствами
\q -电I W .。= 1,п), принадлежит Г(/). Пусть Р — меньший куб, определяемый неравенствами (%• - aj) < р/2 G = 1,, п). Покажем, что 3/ аналитично в Лп + iP.
Имеем тождествоп
e~qx = Uq⑺ е-аж 立+ epXj斗(及⑺
-7 = 1-
uq(x) = П [(с」—(Б.18)
7=i
Если q G P, то \sj{qj - а；)| < p и, очевидно, uq G 乡(К72). Выражение в квадратных скобках в (Б.17) представимо в виде слагаемых вида е~Ьх при Ь Е Р' и, значит, его произведение с /(ж) есть умеренное распределение, которое мы обозначим через fo(x). Таким образом, при q Е Рг имеем e~qx f(x) = uq(x) УЬ(^)- Применим к полученному равенству оператор Фурье и воспользуемся формулой (2.87); мы получим
f(@ +分q) = .%』[「”〃/)] = ^X^p\uq{x) fQ{x}\ = (/o(/), epxuq(x)) = (/o(/), vp+iq(x)),
где n
Ясно, что %(/) — функция из 乡(К72) по х при Jc 6 ^Р, зависящая от к как от параметра бесконечно дифференцируемым образом; значит, /(к) — бесконечно дифференцируемая функция от к. Кроме того,
喘1三i牆小+ 2式吟=0 ПРИ
Отсюда следует, что /(к) — голоморфная функция от к в трубе 夕'и, значит (ввиду произвольности точки а), всюду в Rn + гГ(/).
Осталось получить оценку для /(к). Пусть с, I, т таковы, что
|(/о, и)\ < с\\и\\цш при всех и е ^(Rn).
Тогда при к 6 Rn + гР имеем (при А, т, зависящих от F)
|f(k)| w c\\vk\\i,m W 4(1 + MIL при к е 夕
Ясно, что такая оценка справедлива в любой трубе 夕основанием которой служит произвольный компакт К в Г(/), так как всякий такой компакт покрывается конечным числом открытых кубов рассмотренного вида. А
Из теоремы Б.2 в комбинации с предложением Б.1 вытекает важное следствие.
Следствие Б.З. Пусть Si 〃 S2 — две области 6 Rn, a h\ и h^ — две голоморфные функции в трубчатых областях 夕$】〃夕$2 соответственно, причем они являются там преобразованиями Лапласа одного 〃 того же распределения / G S)f(Rn). Тогда существует голоморфная функция h 6 产,где S — выпуклая оболочка множества Si U S2, причем h совпадает с hj 6 夕邑(J = 1, 2).
Как отмечалось выше, следующая теорема может считаться обращением теоремы Б.2.
Теорема Б.4. Пусть h — голоморфная функция 6 трубчатой области 夕'6 Сп, причем для любого компакта Q U S имеет место оценка
(Б.19)(Б.19)\h(p + iq)\ < A(1 + \р\)ш при всех р е Rn, q G Q
(Б.19)
(Б.19)
(с числами А, т, зависящими от Q). Тогда существует (очевидно, единственное) распределение / G 切‘(R? такое, что Г(/) 口 S 〃 A(k) = (^f)(k) 6 夕
< Центральным моментом является доказательство того, что h(p + 分q) можно рассматривать как распределение из ^(Rn) по переменной @, зависящей непрерывно дифференцируемым (и даже £°°-) образом от параметра q Q S, причем обобщенные производные по аргументу @ и производные по параметру q (в 乡'(К72)) совпадают с соответствующими обычными производными.
Тот факт, что h(p + 分q) является умеренным распределением по @ при любом фиксированном q G S, следует из полиномиальной ограниченности h по р. Далее, как и в доказательстве теоремы Б.2, для любой фиксированной точки a G S построим два куба с центром в а, содержащиеся в S, а именно Р' (замкнутый куб с длиной ребра р) и F (открытый куб с длиной ребра р/2). По условию имеем оценку
\h(p + iq)\ < А(1 + \р\)ш при р + zq е ,
откуда (с помощью теоремы Коши) получаем представление
以友）以友）/kj - i(aj + 2p)\m+2 九(ki,G，kn)
以友）
以友）
-朝 J(电+2。)丿G
при k 6 夕p, где 。— ориентированный стандартным образом контур (точнее, две прямые) в С, ограничивающий полосу aj - р < Im &• < а^ + . в С. Дифференцируя это представление по pj и %・，убеждаемся, что п и п полиномиально ограничены в следовательно, обобщенная производная no 0 H производная по параметру q в ^\Rn) от h(p + iq) совпадает с обычными производными по р и q соответственно. Теперь из голоморфности h(k)
следуетследует(备-^Mp + iqX0в 少⑺)(备-^Mp + iqX0в 少⑺)
следует
следует
(备-^Mp + iqX0в 少⑺)
(备-^Mp + iqX0в 少⑺)
при q G Р, а значит, и при всех q G S.
Применим к последнему равенству оператор Фурье .^Дж; мы получим
(g + 為)^Р^хmр + 分力=0.(g + 為)^Р^хmр + 分力=0.(Б.20)(Б.20)
(g + 為)^Р^хmр + 分力=0.
(g + 為)^Р^хmр + 分力=0.
(Б.20)
(Б.20)
Введем распределение ^х^~Xx\h(p + iq)] из 3)\Rn) по ж, зависящее £°°-о6разом от параметра q Е S. Равенство (Б.20) означает, что все первые частные производные этого распределения по параметру q равны нулю и, значит (благодаря тому что S связно), это распределение в действительности не зависит от параметра q. Мы доказали, что существует такое распределение /(ж) G 夕'(К72), что
eqx^~Zx[h{p + iq)] = /(ж) при всех q Е S,
少二也(0 + 分力=e-9Ж/(ж) при всех q Q S,
Это завершает доказательство. А
В следующем упражнении даны другие формулировки условия теоремы Б.4 (для представимости голоморфной функции в трубе в виде преобразования распределения Лапласа).
Упражнение Б.З. Пусть h(p + iq) — голоморфная функция в трубе 夕'，где s — область в Rn. Доказать эквивалентность следующих трех условий:
выражение h(p + iq) определяет семейство умеренных распределений ) в ^(Rn) по переменной р, непрерывно зависящих от параметра q G S;
для любого компакта Q U S существуют числа с > 0, I, т Е Z+ (зависящие от Q) такие, что
h(p + %q) и(р) dp < c\\u\\ijrn для всех и е 3){Rn\ q G Q； (Б.21)
для любого компакта К в S выполнена оценка (Б.19).
(Указание: импликации ⑴今⑵ и (3) 今⑴ следуют соответственно из упражнения 2.43 и доказательства теоремы Б.4; при доказательстве импликации (2)今(3) воспользоваться формулой о среднем для голоморфной функции:
здесь &(/) — функция из 夕(К) такая, что
^(\p^iq\2)dnpdnq = 1;(Б.23)
разумеется, для справедливости формулы (Б.22) следует считать, что z + р + iq 6 ^s, когда 0 + 分q пробегает область интегрирования.)
Приведем еще специальный вариант теорем Б.2 и Б.4 для преобразования Лапласа умеренных распределений / (т. е. обобщенных функций из 乡'(К72)). Конечно, если точка q = 0 содержится в Г(/) (или в множестве S, фигурирующем в теореме 3.3), то этот случай уже охвачен теоремами 3.2 и 3.3 (так как распределение / автоматически оказывается умеренным). Поэтому специфические черты возникают лишь, когда 0 является граничной точкой Г(/) (или множества S). Оказывается, свойство умеренности распределения / эквивалентно определенным ограничениям на рост (3/)(@ + 〃q) при q — O в Г(/).
Усеченным конусом в Rn мы будем называть множество вида
Kr = {х Е К: \х\ W г},(Б.24)
где К — конус в Rn с вершиной в нуле, а г — положительное число.
Теорема Б.5. Пусть S — выпуклая область 6 Rn, для которой 0 является граничной точкой. Голоморфная функция h 6 трубчатой области 夕$ совпадает с преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции / G 乡'(К72) (с Г(/) 口 S) 6 точности тогда, когда для любого компактного усеченного конуса К「и S U {0} имеет место оценка 门,用d力
1九(0 + ^)1w4，:) при всех 0GKZ q G kГ'{0} (Б.25) с числами А, т, I, зависящими от К「).
< Пусть вначале h = 3/ в 夕Q, где / — некоторая обобщенная функция из ^(/?п) (с Г(/) D S). Выведем оценку (Б.25). На самом деле вместо усеченных конусов Кг с компактным замыканием в S U {0} достаточно рассмотреть открытые параллелепипеды Q U S, содержащиеся в выпуклых оболочках п + 1-точечных множеств {0, ai, ..., ап}, где 。1, , ап — произольные линейно независимые точки из S:
Q = е Rn： X = J2^a7, где 0 < ^ < ^ (J = 1, , п)\. (Б.26)
То, что параллелепипед Q содержится в S, следует из того, что S — выпуклое открытое множество, граница которого содержит 0. Ограничение рассмотрения параллелепипедами Q основано на том, что всякий компактный усеченный конус К U S U {0} можно покрыть конечным числом параллелепипедов Q. Действительно, пересечение clos Кг со сферой \х\ = г есть компакт, содержащийся в S, а так как параллелепипеды Q в совокупности покрывают Q, то по известной лемме Гейне-Бореля из них можно выбрать конечное семейство, покрывающее данный компакт; это семейство будет покрывать и Кг, так как pQ С Q при всех 0 < р < 1.
Дальнейшая аргументация почти повторяет доказательство теоремы Б.2. Будем характеризовать произвольную точку q G Q координатами 771, ..., г)п относительно базиса а，ап (как в (Б.26)). Имеем тождество типа (Б.17):
7=1
гдеп_ 1
= И е一力3)(1 +.
7=1
Далее, как и в доказательстве теоремы Б.2, для 3/ в 夕Q имеем представление вида
(3/)(。+ ^) = (g(/), Vp+iq(x)),
где g — фиксированное распределение из 伊卜R") и
—функция из ^(Rn) по ж, зависящая голоморфно от параметра @ + iq. (Здесь &•— координаты 0 в базисе ai, ..., ап) Отсюда легко получаем оценку типа
I (3/)(0 +初|<石：；)；?； при p + iqQ 夕 Q.(Б.27)
Если теперь вместо Q взять несколько больший параллелепипед Q' с компактным замыканием в Q' U {0}, то для координат 77； точки q G Q в новом базисе а] , а!п имеем оценку типа * > a\q\ (при некотором а〉0, зависящим от Q и 0). Так как в трубе 夕Q также имеет место оценка типа (Б.27) (с * вместо 勿)，то отсюда получаем требуемую оценку типа (Б.25) в трубе 夕Q.
Обратно, пусть задана голоморфная функция h в трубе 夕$, удовлетворяющая оценке типа (Б.25) для всякого компактного усеченного конуса Кг и S U {0}. Тогда по теореме Б.4 h совпадает в 夕$ с преобразованием Лапласа некоторого распределения / в Rn с Г(/) D S, так что задача сводится к доказательству умеренности /.
Для этого оценим величину (/, и) при произвольных и 6 夕(К72). Считая а фиксированной точкой из S, напишем формулу типа (Б.146):
/(ж) = е^ах^~^x[h(p + На)} при всех 0〈力 W 1,(Б.28)
Это вместе с оценкой (Б.25) (для случая, когда в качестве Кг взят отрезок, соединяющий 0 и а) дает:
|(/, 〃)| W cCL sup |(1 + \р\2)м^х[еахЦх)] \ = cCL sup |.^ж[(1- A)M{etaxu{x))]\
при всех и 6 夕(К72), 0 < t < 1; здесь с > 0 и L, М 6 Z+ — некоторые числа (зависящие от / и от а); посредством △ обозначен лапласиан
(备)：(及29)
Очевидно, эту оценку можно переписать в виде
|(f 〃)|Wd广A sup sup|(l + |x|)n+1e^Da7i(x)|(Б.ЗО)
\а\^2М ж
при всех и е 3)(Rn), 0〈力 W 1.
Рассмотрим функции 〃 6 ^ {Rn\ сосредоточенные на множестве вида к — 2 W |/| W к (при некотором k = 1, 2, ...). Если положить t = 1/к, то (Б.30), очевидно, приводит к оценке
|(/, и)\ < В\\и\\х^ для всех и е 2 {Rn) с носителями при к - 2\х\ к(Б.31)
здесь В > 0 и А, /1 6 Z+ зависят лишь от /, но не от к). Чтобы получить подобную оценку для всех и 6 3) (К1), достаточно взять разбиение единицы {е/с}^! в Rn, подчиненное покрытию Rn множествами вида к - 2 < \х\ < к (k = 1, 2, ...), такое, что ||仇|院从 полиномиально ограничено по к. Тогда, представляя произвольное и 6 ^ (^п) в виде и = £&/(；〃 и к
используя (Б.31), получаем оценку типа |(/, 〃)| < Bf\\u\\\/^/ для всех и 6 ^ (^п)- Согласно предложению 2.1, это означает, что / GА
Следующее упражнение (аналогичное упражнению Б.З) содержит другие переформулировки условия теоремы Б.5 для представимости голоморфной функции в трубе в виде преобразования Лапласа умеренного распределения.
Упражнение Б.4. Пусть 九(@ + 分q) — голоморфная функция в трубе 夕$, где S — выпуклая область в Rn, имеющая 0 граничной точкой. Доказать эквивалентность следующих условий:
для любого компактного усеченного конуса Кг С 5 U {0} существуют числа с > 0, I, т Е Z+ (зависящие от Кг) такие, что выполнена оценка типа (Б.21) с q G К「\{0};
для любого компактного усеченного конуса, Кг и S U {0} выполнена оценка типа (Б.25).
(Указание: при доказательстве импликации (1) 今 (2) воспользоваться формулой типа (Б.22), заменив там cj(|p + iqf) на ©「^(^(^^ |@ + 分q『)при подходящем выборе g.)
Замечание. В предыдущих теоремах мы имели дело с распределениями / в Rn, обладающими тем свойством, что множество Г(/) имеет непустую внутренность. Общий случай, (когда Г(/), не будучи пустым, имеет пустую внутренность) сводится к этому частному посредством так называемого частичного преобразования Лапласа (т. е. преобразования Лапласа по части из независимых координатных переменных в Rn). Мы не будем развивать здесь эту более общую точку зрения, но ограничимся распространением предыдущей теоремы для одного специального случая (допускающего Г(/) с пустой внутренностью).
Предложение Б.6. Пусть f{p + iq) — бесконечно дифференцируемая функция (〃о переменным pi,qi,qQ 6 трубе 夕R основание которой есть
Q = {q Е Rn: 0 < qj < 1 при沙；％• = 0 при / =沙 + 1, ..., ?г}(Б.32)
{где 沙 G Z+ фиксировано, 1 < I/ < п), причем h(p + 分q) голоморфна по переменным @i + + 分％, ..., О” + 分q” 〃 удовлетворяет оценке (с некоторыми А, т, Z)
|以0 + 分力 W41 + |0|『|q「.(Б.ЗЗ)
Тогда существует / G ^(Rn) такое, что Г(/) 口 С 〃 h(p + iq) = ^f)(p + iq) в 夕显.
< Существование / 6 3)，(R? такого, что Г(/) 口 С н А = 3/, устанавливается теми же аргументами, что и теорема Б.4; тот факт, что / 6 ^(Rn), доказывается точно так же, как соответствующее место в теореме Б.5. А
Б.2. Случай обобщенной функции с носителем в остром конусе. Напомним, что существование (т. е. непустая область аналитичности) классического преобразования Лапласа (Б.1), скажем, от полиномиально ограниченной функции / обеспечивается односторонностью этого преобразования (т. е. тем, что интегрирование в (Б.1) распространяется по полупрямой). В качестве n-мерного аналога полупрямой следует рассмотреть замкнутые симплициальные конусы или, в более общем случае, замкнутые острые конусы в Rn (см. п. 2.5.Д). Для конуса К С Rn определим сопряженный конус ^относительно билинейной формы ху = 52 £зхзуЛ К* посредством формулы
К* = {q G Rn: /q》0 при всех х G К}.(Б.34)
Упражнение Б.5. Пусть К — непустой конус в Rn. Доказать следующие утверждения,
Конус К имеет такой же сопряженный конус, как и замыкание выпуклой оболочки конуса К.
К** совпадает с замыканием выпуклой оболочки конуса К. (Указание: из части (а) упражнения следует, что К** 二(К)**, где К есть замыкание выпуклой оболочки конуса К. При доказательстве К** = К воспользоваться геометрической теоремой ([Ш5], с. 86), согласно которой всякое непустое замкнутое выпуклое подмножество евклидова пространства есть пересечение всех замкнутых полупространств, содержащих его.)
) Конус К* имеет непустую внутренность в точности тогда, когда К — острый конус.
Упражнение Б.6. (а) Пусть Ki и К2 — замкнутые выпуклые полиэдральные конусы. Доказать, что таким же является конус К\ + К^ — замкнутая выпуклая оболочка конуса K1UK2. (Указание: К\ и К? являются линейными оболочками конечного числа своих элементов.
) Доказать, что конус, сопряженный замкнутому выпуклому полиэдральному конусу, является замкнутым выпуклым полиэдральным конусом. (Указание то же, что в части (а).)
Оказывается, что преобразование Лапласа произвольной обобщенной функции /(ж) с носителем в остром конусе К аналитично в трубе с основанием intK* (внутренностью конуса, сопряженного в К). Роль этого условия хорошо выявляется на следующем примере. Пусть /(ж) — непрерывная полиномиально ограниченная функция в Rn, исчезающая вне острого конуса К и, следовательно, определяющая обобщенную функцию из ^\Rn) с носителем в К. Тогда для любого q 6 К* экспонента e~qx ограничена на К, поэтому 6一°"/(/)— также непрерывная полиномиально ограниченная функция от х. Значит, ее преобразование Лапласа определено для всех q 6 К*, т. е. Г(/) D N*. На этом примере можно непосредственно убедиться, что 0/ аналитично в трубе с основанием intK*.
Перейдем теперь к характеризации преобразования Лапласа обобщенных функций с носителями в замкнутом остром конусе К. Предварительно заметим, что (в силу упражнения Б.5) конус К* в сущности определяется лишь замкнутой выпуклой оболочкой конуса К, поэтому мы будем предполагать, что К — замкнутый выпуклый острый конус. Кроме того, мы предположим дополнительно, что К имеет непустую внутренность и, значит (согласно упражнению А.1), есть канонически замкнутое регулярное множество в Rn. Этого достаточно для наших целей (хотя, впрочем, более общий случай — без последнего предположения — может быть легко сведен к этому частному случаю).
Теорема Б.7. Если /(ж) — обобщенная функция из ^\Rn) с носителем 6 замкнутом выпуклом остром конусе К с Rn с непустой внутренностью, то Г(/) D К* и преобразование Лапласа является голоморфной функцией 6 трубчатой области с основанием intK*, удовлетворяющей оценке
|3(/)(0 + 初1w4"总0蒜?「 硬" PGR\ qeintK*; (Б.35)
здесь A, I, m — некоторые числа (зависящие лишь от /), d(q, дК*) — расстояние от q до границы конуса К*. Кроме того, преобразование Фурье 夕/ обобщенной функции / является {обобщенным) граничным значением〈при q т 0, q G intK*) преобразования Лапласа 6 следующем смысле:
lim (0/)(0 +分 q)=(刃)(0) 6 夕(W).(Б.36)
gGint
Поскольку К — канонически замкнутое регулярное множество, мы можем (согласно предложению А.1) сопоставить данной обобщенной функции / обобщенную функцию 歹(/) 6 G 9/(k) такую, что(/=①，"尻)，u Е 9(К).(Б.37)
Пусть q 6 К*. Тогда функция e~qx является мультипликатором в 乡(К), поэтому определена обобщенная функция 6一。"歹(/) 6 乡，(К) по переменной х. Теперь из формулы (Б.37) видно, что e—q^虱⑺ есть также обобщенная функция в Rn такая, что
(е-9Ж/(ж), и{х^ =①⑺，e~qxu\K(x)), и е S(W), q G К*.(Б.38)
Пусть теперь q 6 int К*. Обозначим г = d(q, дК*). Тогда (q — у) х ^ 0 для всех х Е К н g G Rn с \у\ W г, откуда
qx > sup ух = г\х\ для всех х Е К.(Б.39)
и：
Эта оценка показывает, что e~qx является основной функцией из 乡(К) по х (при qGintK*) и, значит (согласно характеристике 乡(С) в дополнении А), существует функция, скажем, uq{x) из ^{Rn) по х, совпадающая с e~qx при х Е К. Из формулы (Б.38) следует, что e~qxf{x) = Uq(cc) j(cc), отсюда (и из упражнения 2.21) следует, что преобразование Фурье от e~qxf{x) есть следующая (обычная) функция:
^X^p[e~qxf(x)] = %』％(/)/(/)] = (/(/), etpxuq(x)).
Вместе с формулой (Б.37) это дает нам формулу для преобразования Лапласа от /:
九一巾⑺]=(F(x), егкх\к), q G intK*.(Б.40)
Из нее легко следуют остальные утверждения теоремы Б.7. Действительно, поскольку при q 6 intK* функция егкх является основной функцией от х из 乡(К), аналитически зависящей от параметра к, то из непрерывности функционала F над 乡(К) следует, что правая часть (Б.40) также аналитична по к. Непрерывность функционала F над 乡(К) в действительности соответствует оценке
|(歹⑺，〃(/))| W Af\\u\\^m/ при всех и е 9(К);
это вместе с (Б.40) дает оценку для 3/:
|(0/)(k)| w A|d『|院J q е intK*(Б.41)
Используя (Б.39), отсюда получаем оценку типа (Б.35). Наконец, из (Б.38) следует, что e~qxf{x) т /(ж) в 乡'(К72) при q т 0 в intK*. Это эквивалентно соотношению (Б.36). А
Отметим, что теорема Б.7 дает полную характеристику преобразования Лапласа обобщенных функций с носителем в К, так как имеет место следующая обратная теорема.
Теорема Б.8. Пусть К — непустой замкнутый выпуклый острый конус 6 Rn (с непустой внутренностью) 〃 пусть h — аналитическая функция 6 трубчатой области с основанием intK*, удовлетворяющая оценке типа (Б.35). Тогда существует {единственная) обобщенная функция /(ж) G 乡'(К72) с носителем 6 К такая, что Г(/) D К* и h = £f.
То, что / совпадает (в трубе с основанием intK*) с преобразованием Лапласа некоторого умеренного распределения /, есть непосредственное следствие теорем Б.4 и Б.5. Остается лишь доказать, что / имеет носитель в К.
Нам следует убедиться, что для произвольной фиксированной точки /о из Rn\K существует окрестность М「точки /о такая, что (/, и) = 0 для всех 〃 G 夕(i?n) с носителями в Пользуясь тем, что К = К** (см. упражнение Б.5), мы можем фиксировать а 6 intK* так, чтобы а/。= —2. В качестве искомой окрестности 力 точки /о возьмем полупространство ах < —1. Воспользуемся далее формулой (Б.28), однако теперь будем считать, что t > 1. Используя оценку типа (Б.35) и производя дальнейшие оценки, как в доказательстве теоремы Б.5, мы приходим в результате к оценке типа (Б.30):
|(力 〃)| W cts sup sup |(1 + \x\)n+ietaxDau(x)\(Б.42)
\а\^2М ж
при всех и 6 3) (Rn), t > 1. Если функция и 6 3) (Rn) имеет носитель в /, то отсюда полуЧаеМ °ЦеНКУ|(/, и)\ < ctse~t\\u\\n+ij2M при всех t > 1.
Взяв в этом неравенстве нижнюю грань по t при t > 1, получаем (/, и) = 0. А
Б.З. Пример: обобщенные функции запаздывающего типа. Для дальнейших глав представляет интерес следующий пример. Рассмотрим пространство R4n, точками которого будем считать наборы х = (xi, ,力九)векторов Xj из К’ с координатами /? (J = 1, , п; 从=0, 1, 2, 3). Наряду с обычным евклидовым скалярным произведением
7,从7,从(Б.43)
7,从
7,从
в R4n введем еще псевдоевклидово скалярное произведение
xу 二）: 9从从叫Uj，
7,从
(Б.44)(Б.44)где q从从=1 при 从=0 н g从从=—1 при 从=1, 2, 3. Таким образом, R^n фактически является пространством Мп — прямым произведением п экземпляров пространства Минковского (подробнее см. п. 3.1.А), ^пространстве Минковского М выделенную роль играет открытый (У+) или замкнутый (У+) верхний световой конус:
(Б.44)
(Б.44)
у+ = < х е м： xQ > \х\ =у+ = < х е м： xQ > \х\ =у+ = {х е м： xQ |х|}.у+ = {х е м： xQ |х|}.Соответственно для Мп①+广Соответственно для Мп①+广введем прямое произведение пвведем прямое произведение пэкземпляров конуса У+экземпляров конуса У+={(/1, ..., жп) 6 Мп: Xj G У+ при J = 1,, п},={(/1,, жп) е мп： Xj е и+ при j = 1,, п},={(/1, ..., жп) 6 Мп: Xj G У+ при J = 1,, п},={(/1,, жп) е мп： Xj е и+ при j = 1,, п},(Б.46) или У+:(Б.47)(Б.48)(Б.46) или У+:(Б.47)(Б.48)(Б.45)
у+ = < х е м： xQ > \х\ =
у+ = < х е м： xQ > \х\ =
у+ = {х е м： xQ |х|}.
у+ = {х е м： xQ |х|}.
Соответственно для Мп
①+广
Соответственно для Мп
①+广
введем прямое произведение п
введем прямое произведение п
экземпляров конуса У+
экземпляров конуса У+
={(/1, ..., жп) 6 Мп: Xj G У+ при J = 1,, п},
={(/1,, жп) е мп： Xj е и+ при j = 1,, п},
={(/1, ..., жп) 6 Мп: Xj G У+ при J = 1,, п},
={(/1,, жп) е мп： Xj е и+ при j = 1,, п},
(Б.46) или У+:
(Б.47)
(Б.48)
(Б.46) или У+:
(Б.47)
(Б.48)
Упражнение Б.7. (а) Доказать, что (у+)п является открытым выпуклым острым конусом в Мп, а сопряженным ему относительно как евклидова (Б.43), так и псевдоевкли- дова (Б.44) скалярного произведения является конус (У+)п (который, очевидно, является замкнутым выпуклым острым конусом в Мп с непустой внутренностью).
Доказать, что (евклидово) расстояние от точки q конуса (У+)п до границы этого конуса равно_1
d(4 3(卩+广)=у^ 叫п( — l%」)・
Доказать, что для точки qj е V + имеет место неравенство
где q^ — скалярный квадрат вектора %• в метрике Минковского.
Мы можем заменить Rn на Мп н К на (У+)п в теоремах Б.7 и Б.8 и получить следующий специальный результат.
Следствие Б.9. Преобразование Лапласа обобщенной функции /(ж) из W(М? с носителем *) в (У+)п есть голоморфная функция в трубе будущего 找=Мп + г(У+)п, удовлетворяющая оценке
|(3/)(к)|厶,(Б.49)
где А, т, I — некоторые неотрицательные числа, зависящие от / (в неравенстве (Б.49) qj есть скалярный квадрат вектора %• = Im kj в метрике Минковского). Обратно, всякая голоморфная функция в трубе 7^, имеющая оценку типа (Б.49), является преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции из ^(Мп) с носителем в (у+)п.
Б.4. Граничные значения преобразования Лапласа. Для обобщенной функции /(ж) 6 6 乡'(К72) такой, что точка q = 0 лежит на границе множества Г(/), представляет интерес вопрос о существовании предела в классе 乡/ (или обобщенного граничного значения) выражения (3/)(@ +分q), рассматриваемого как обобщенная функция по р, зависящая от параметра q, при q т 0 в Г(/). При этом мы будем исходить из следующего понятия предела ) (целесообразность которого выявится в теореме Б.11).
Пусть S — выпуклая область в Rn такая, что 0 6 8S, и 九(@ + iq) — голоморфная функция в трубе 夕$. Предположим, что выражение 九(@ + 分q) определяет семейство обобщенных функций из 乡'(К72) по р, непрерывно зависящих от параметра q (в связи с этим см. упражнение Б.З). Будем говорить, что h имеет обобщенное граничное значение (или, просто, граничное значение) lim 九(@ + 分q) = Ао(@) в 伊(Rn) (и писать также h(p + iq) т Ао(@) q—>0, S
в 乡'(К72) при q т 0 в S), если для любого компактного усеченного конуса Кг и S U {0} выполняется равенство
,,(Цр + 分q), и(р))р =仇о(0), и(р))р(В.50)
|q|—0,qeKr\{0}
при всех й G 9(~).
Аналогично формулируется понятие граничного значения голоморфной функции h(p + iq) в 夕'(〃) при q т 0 в S, где 〃 н S — две области в Rn, причем S выпукло и 0 6 dS. Поскольку q стремится к 0, нет необходимости предполагать, что h определена во всей области 夕 + iS.
Достаточно считать, что / определена и голоморфна в некоторой области D С Сп, прилегающей к области 〃 С Rn со стороны iS в том смысле, что для любого компакта Q С и любого усеченного конуса Kr и S с компактным замыканием в S U {0} существует р 6 (0, г) такое, что D D Q + iKp. Будем говорить, что h имеет (обобщенное) граничное значение
lim h(p ~\~ iq) = h«p) в 0‘(〃)，(Б.51)
qeS
если (Б.50) выполнено для любой и 6 夕(〃)и для любого компактного усеченного конуса Кг С 5и{0}.
Введенные определения обобщают классическое понятие граничного значения голоморфной функции, формулируемое следующим образом. Если функция h голоморфна в некоторой области D, прилегающей к 〃 со стороны iS, и если h(p + iq) т Ао(@) при q т 0 в К「\{°} равномерно по р на компактах в 夕(где Hq(р) — непрерывная функция в 夕， а Кг — любой компактный усеченный конус в S U {0}), говорят, что h имеет граничное значение в классе £(〃). Можно также говорить о граничных значениях в классе 歩(〃)，если соотношение lim D^h〈p + iq) = Dah()(p) имеет место в классе £(〃)для всех мультииндексов а. (Ясно, что эти понятия находятся в полном соответствии с определениями £(〃) и 卷(〃)，данными в п. 1.2.В.)
Наиболее широким из введенных понятий является (обобщенное) граничное значение в классе 夕'(〃). Так, если А。есть граничное значение / в классе £(〃)(или 乡'(К72)), то оно является граничным значением и в классе 夕'(0) (соответственно в 夕'(К72)).
Упражнение Б.8. Пусть h — голоморфная функция в области D С Сп, прилегающей к области 夕 С Rn со стороны iS (где S — выпуклая область в Rn такая, что 0 6 AS). Доказать, что если имеет место/、乙尸、
lim h(p + iq) = ho(p) в 夕(夕)，
то при произвольной функции a(k), голоморфной в некоторой комплексной окрестности (в Сп) множества 〃，имеет место также соотношение lim а(р + iq) h(p + iq) = а(р) ho(p) G〜qeS
в 勿(Указание: доказательство соотношения
lim (以0 + 分q), a(@ + 分q) u(p))p = (h0(p), a(p) u(p))p
использует ту же аргументацию, что и предложение 2.9.)
Граничное значение голоморфной функции однозначно определяет саму функцию. Это означает справедливость следующего обобщения классической теоремы единственности ).
Теорема Б.10 (обобщенная теорема единственности). Пусть функция h голоморфна в области D С Сп, содержащей множество вида 夕 + iS, где 夕〃 S — области 6 Rn, причем S выпукло 〃 0 G dS. Если h(p + iq) имеет 0 своим обобщенным граничным значением 6 夕'(〃) при q т 0 в S, то h = 0.
Согласно классической теореме единственности достаточно показать, что / = 0 в 〃 + 2S или, эквивалентно, что
仇+ и(р))р = 0
для любой и 6 夕(〃)и любого q G S. При заданных и и q фиксируем некоторое положительное число £ так, чтобы £ < 点 d(supp〃，3〃) и £ < -^ d(q, dS). Тогда (в силу свойств интегралов, зависящих от параметра) функция
д(0 = (М@ + 6), и(р))р
определена и голоморфна по《в полосе
俨二{«三(§ + 历)G С:同 < % 0 < у < 1 + е}.
Так как левая часть (Б.52) есть д(〃)，то достаточно убедиться, что р = 0. Вначале покажем,
перепишем g⑹ в видеперепишем g⑹ в видеg（Q =（阮（0），依（0））0，g（Q =（阮（0），依（0））0，(Б.53)(Б.53)что g непрерывно продолжается на полосу Wi = {《G С: |《| < £, 0 < 77 < 1 + е}. С этой целью
перепишем g⑹ в виде
перепишем g⑹ в виде
g（Q =（阮（0），依（0））0，
g（Q =（阮（0），依（0））0，
(Б.53)
(Б.53)
где h^(р) = h(p + i“q) при 0 < 77 < 1 + % 九0(目)=0, а {и^} — семейство функций из 夕(〃) непрерывно зависящих от параметра § 6 (—£, £) и определяемых равенствами: и^(р)= =и(р — %) при 0 G 〃 С (§q + 夕)，и^{р) = 0 при 0 Q §q + 〃.
По условию теоремы h^ (р) т 0 в 夕，(〃)при ту т +0; значит, {А^} можно рассматривать как семейство распределений из 夕'(〃)，непрерывно зависящих от параметра ту при 0 < ту < < 1 + £. В этом случае, согласно предложению 2.9, выражение (Б.53) есть непрерывная функция《в полосе Wi.
Осталось применить к g интегральную формулу Коши для верхнего полукруга радиуса < £ с центром в 0. Так как в этой формуле интегрирование производится лишь по полуокружности (в силу обращения g в нуль на интервале (—£, £)), то g аналитически продолжается на вещественный интервал (—£, е), так что из р = 0 на е) следует теперь р = 0 в ^ь А
Приведем основную теорему данного пункта, утверждающую, что обобщенным граничным значением (при q т 0) преобразования Лапласа умеренного распределения / является преобразование Фурье от /.
Теорема Б.11. Пусть / е ^f(Rn), Г(/) непусто и 0 е ^Г(/). Тогда
lim (0/)(@ +分 q) 6 乡'(К") q^O,qer(f)
существует 〃 совпадает с .歹一,[/(/)].
Достаточно показать, что
..!™ /(3/)(。+ 初，М。))=(“ 〃)
|q|—0, qGK「
для любой и 6 S{Rn) и любого компактного усеченного конуса Kr С Г(/) U {0}. Однако, как и в доказательстве теоремы Б.5, вместо рассмотрения усеченных конусов Кг можно ограничиться параллелепипедами Q вида (Б.26), сопоставляемыми произвольному набору {а\, ..., ап} линейно независимых векторов из Г(/). После замены 〃 на 〃 =夕一％ доказываемое утверждение сводится к равенству
"/)，。(/)) = (/⑴，。⑵)(及54)
для всех о 6 "К"). Как и в доказательстве теоремы Б.5, мы можем переписать это равенство в виде
1 曲(g(/),夕£/)。(/)) = (g(/), зо(/)о(/)),(B.55)
|q|—0,qeQ
где g — фиксированное распределение из ^\Rn), а 夕@(力)—мультипликатор в ^{Rn\ зависящий от параметра q, причем 屮qV т 夕。。в ^(Rn) при q т 0 в Q. Этого достаточно для того, чтобы утверждать, что равенство (Б.55) действительно имеет место. А
Замечание. В некоторых случаях граничное значение преобразования Лапласа обобщенной функции / при q т 0 в S (где S — некоторая область в Г(/) такая, что 0 6 dS) можно понимать более естественно — без использования усеченных конусов (подобно тому как в п. 2.6.А рассматривался предел на локально компактном множестве параметров), а именно, в смысле равенства
li严(^f^p + iq), "(0))=((刃)(0), u^
для всех и G 乡(К72).
Укажем два таких случая.
Существует замкнутый выпуклый полиэдр (или замкнутый выпуклый полиэдральный конус) Q в Rn такой, что S U Q С Г(/);
supp/ С К и S С К*, где К — выпуклый острый конус.
В случае (1) доказательство того, что 6一。"/(/) т /(ж) в 夕(К72) при \q\ т 0, q Q S, почти повторяет аргументацию теоремы Б.11; в случае (2) следует (как в теореме Б.7) воспользоваться предложением А.1 и тем, что e~qxu(x) т и(х) в ^(К) при \q\ т 0, q G К*.
Важным свойством операции перехода к граничному значению голоморфной функции является ее перестановочность с заменой переменных при помощи конформного отображения (скажем Ф, при естественных предположениях относительно Ф). Мы ограничимся формулировкой и доказательством одного специального случая, используемого в доказательстве теоремы «об острие клина» (п. 5.1.Г).
Мы будем предполагать, что h(p + iq) является £°°- и частично голоморфной (точнее, голоморфной по 01 + 分％, ..., 0“ + 分q”) функцией в трубе 夕° с основанием (Б.32). Фиксируем некоторое конформное отображение 夕，переводящее круг
и = {« е с К |< р}(Б.56)
на полосу {z G С: |Im z\ < 1}, верхний полукруг (где Im ( > 0) — на верхнюю полуполосу (где Im г > 0), а интервал (-р, р) — на R. Определим далее n-мерное конформное отображение Ф, 、/、，、、，、
①⑹三①(4,...,&) = 3《)，...，з(С),(Б.57)
где G，…，& G U. Тогда, очевидно, функция 九(①(《)) определена, £°°- и частично голоморфна на множестве
G = {«三 « + 历 G Сп: 1(^1 < р при a = 1, ..., п; 〃/з〉0 при /3 = 1,...,沙；
〃万=0 при /3 = I/ + 1, ..., п}.(Б.58)
Предложен и е Б.12. Пусть функция h(k) = h(k⑴，...，к⑺) определена 6 трубе 夕° с основанием (Б.32) 〃 удовлетворяет прочим условиям предложения Б.6. Далее, пусть конформное отображение Ф определено посредством (Б.57). Тогда функции h{k)
〃九(①(《)) {определенные соответственно 6 夕显 〃 G) имеют обобщенные граничные зна
ченияченияlim h(p + iq) = h«p) в 乡'(К"), q—>0, qgQlim h(p + iq) = h«p) в 乡'(К"), q—>0, qgQ(Б.59а)(Б.59а)связанные соотношениемсвязанные соотношением（①一）ка 6人），（①一）ка 6人），Р(О = ^о(ф(О) 6 勿(〃);Р(О = ^о(ф(О) 6 勿(〃);здесь〃二{/ G К": - р < Xj < р; J = 1, ..., п}.здесь〃二{/ G К": - р < Xj < р; J = 1, ..., п}.(Б.596)(Б.59в)(Б.60)(Б.596)(Б.59в)(Б.60)< Вначале покажем, что h может быть представлена (при некотором Л 6 Z+) в виде< Вначале покажем, что h может быть представлена (при некотором Л 6 Z+) в виде以尉二立（/）%出，7=1以尉二立（/）%出，7=1(Б.61)(Б.61)где Н — функция, имеющая свойства, указанные выше для h, и к тому же обладающая продолжением в трубу 夕°】 как непрерывная функция, гдегде Н — функция, имеющая свойства, указанные выше для h, и к тому же обладающая продолжением в трубу 夕°】 как непрерывная функция, гдеCi = {q G Rn: 0 W %• < 1 при / = 1,…，沙；％• = 0 при / =沙 + 1,…，n}.С этой целью выберем число Л 6 Z+ так, чтобы была выполнена оценка |九(0 + 分力 WA)(l + |0|『f[(%・)—A+3/2,7 = 1и определим функции %, Н、，…,8A рекуррентными соотношениями:1Hq = h,Н入(к) = ] dz\... ] dzy衣九)•г/2г/2Функция Яд удовлетворяет оценке типа\H^p + iq)\^ 小(1 + \p\)Mf[^~A+X+3/^7=1что легко получается индукцией по А:Ci = {q G Rn: 0 W %• < 1 при / = 1,…，沙；％• = 0 при / =沙 + 1,…，n}.С этой целью выберем число Л 6 Z+ так, чтобы была выполнена оценка |九(0 + 分力 WA)(l + |0|『f[(%・)—A+3/2,7 = 1и определим функции %, Н、，…,8A рекуррентными соотношениями:1Hq = h,Н入(к) = ] dz\... ] dzy衣九)•г/2г/2Функция Яд удовлетворяет оценке типа\H^p + iq)\^ 小(1 + \p\)Mf[^~A+X+3/^7=1что легко получается индукцией по А:(Б.62)(Б.62)(Б.63)(Б.63)\Нх(к)\ = 口 (kj —今 dt\... dt^Hx-i 俭 + ti 小—» ..., ^ + 力"^ + ^} fo+i, , kJ W Xо о\Нх(к)\ = 口 (kj —今 dt\... dt^Hx-i 俭 + ti 小—» ..., ^ + 力"^ + ^} fo+i, , kJ W Xо оw小（1 +風严"哨④…"+"土7=1w小（1 +風严"哨④…"+"土7=1Из (Б.63) следует, что функция Н^_\(р + iq) равномерно ограничена, если @ изменяется на компакте в Rn и 0 < %• W 1/2 при J = 1,,沙.Следовательно, 8八(@ +分q) — непрерывная функция от 0, q в трубе с основанием, определяемым посредством 0 < q7 < 1/2 при J = =1,…，沙 и qk = 0 при к =沙 + 1,…,？г. Обозначив На = Н, мы получаем искомое представление (Б.61).Теперь вопрос о граничных значениях в предложении Б.12 не представляет трудности. Полагая %(@) = Я(р + iq)\q=o, мы получаем, что %(@) есть граничное значение Н(р + iq) при q т 0, q G С в классе ^(Rn) непрерывных функций. В таком случае из представления (Б.61) следует, что h(p + iq) имеет обобщенное граничное значение Ао(@) в ^\Rn) при g т 0, g G С, причемИз (Б.63) следует, что функция Н^_\(р + iq) равномерно ограничена, если @ изменяется на компакте в Rn и 0 < %• W 1/2 при J = 1,,沙.Следовательно, 8八(@ +分q) — непрерывная функция от 0, q в трубе с основанием, определяемым посредством 0 < q7 < 1/2 при J = =1,…，沙 и qk = 0 при к =沙 + 1,…,？г. Обозначив На = Н, мы получаем искомое представление (Б.61).Теперь вопрос о граничных значениях в предложении Б.12 не представляет трудности. Полагая %(@) = Я(р + iq)\q=o, мы получаем, что %(@) есть граничное значение Н(р + iq) при q т 0, q G С в классе ^(Rn) непрерывных функций. В таком случае из представления (Б.61) следует, что h(p + iq) имеет обобщенное граничное значение Ао(@) в ^\Rn) при g т 0, g G С, причем
чения
чения
lim h(p + iq) = h«p) в 乡'(К"), q—>0, qgQ
lim h(p + iq) = h«p) в 乡'(К"), q—>0, qgQ
(Б.59а)
(Б.59а)
связанные соотношением
связанные соотношением
（①一）ка 6人），
（①一）ка 6人），
Р(О = ^о(ф(О) 6 勿(〃);
Р(О = ^о(ф(О) 6 勿(〃);
здесь
〃二{/ G К": - р < Xj < р; J = 1, ..., п}.
здесь
〃二{/ G К": - р < Xj < р; J = 1, ..., п}.
(Б.596)
(Б.59в)
(Б.60)
(Б.596)
(Б.59в)
(Б.60)
< Вначале покажем, что h может быть представлена (при некотором Л 6 Z+) в виде
< Вначале покажем, что h может быть представлена (при некотором Л 6 Z+) в виде
以尉二立（/）%出，
7=1
以尉二立（/）%出，
7=1
(Б.61)
(Б.61)
где Н — функция, имеющая свойства, указанные выше для h, и к тому же обладающая продолжением в трубу 夕°】 как непрерывная функция, где
где Н — функция, имеющая свойства, указанные выше для h, и к тому же обладающая продолжением в трубу 夕°】 как непрерывная функция, где
Ci = {q G Rn: 0 W %• < 1 при / = 1,…，沙；％• = 0 при / =沙 + 1,…，n}.
С этой целью выберем число Л 6 Z+ так, чтобы была выполнена оценка |九(0 + 分力 WA)(l + |0|『f[(%・)—A+3/2,
7 = 1
и определим функции %, Н、，…,8A рекуррентными соотношениями:
1
Hq = h,Н入(к) = ] dz\... ] dzy衣九)•
г/2г/2
Функция Яд удовлетворяет оценке типа
\H^p + iq)\^ 小(1 + \p\)Mf[^~A+X+3/^
7=1
что легко получается индукцией по А:
Ci = {q G Rn: 0 W %• < 1 при / = 1,…，沙；％• = 0 при / =沙 + 1,…，n}.
С этой целью выберем число Л 6 Z+ так, чтобы была выполнена оценка |九(0 + 分力 WA)(l + |0|『f[(%・)—A+3/2,
7 = 1
и определим функции %, Н、，…,8A рекуррентными соотношениями:
1
Hq = h,Н入(к) = ] dz\... ] dzy衣九)•
г/2г/2
Функция Яд удовлетворяет оценке типа
\H^p + iq)\^ 小(1 + \p\)Mf[^~A+X+3/^
7=1
что легко получается индукцией по А:
(Б.62)
(Б.62)
(Б.63)
(Б.63)
\Нх(к)\ = 口 (kj —今 dt\... dt^Hx-i 俭 + ti 小—» ..., ^ + 力"^ + ^} fo+i, , kJ W Xо о
\Нх(к)\ = 口 (kj —今 dt\... dt^Hx-i 俭 + ti 小—» ..., ^ + 力"^ + ^} fo+i, , kJ W Xо о
w小（1 +風严"哨④…"+"土
7=1
w小（1 +風严"哨④…"+"土
7=1
Из (Б.63) следует, что функция Н^_\(р + iq) равномерно ограничена, если @ изменяется на компакте в Rn и 0 < %• W 1/2 при J = 1,,沙.Следовательно, 8八(@ +分q) — непрерывная функция от 0, q в трубе с основанием, определяемым посредством 0 < q7 < 1/2 при J = =1,…，沙 и qk = 0 при к =沙 + 1,…,？г. Обозначив На = Н, мы получаем искомое представление (Б.61).
Теперь вопрос о граничных значениях в предложении Б.12 не представляет трудности. Полагая %(@) = Я(р + iq)\q=o, мы получаем, что %(@) есть граничное значение Н(р + iq) при q т 0, q G С в классе ^(Rn) непрерывных функций. В таком случае из представления (Б.61) следует, что h(p + iq) имеет обобщенное граничное значение Ао(@) в ^\Rn) при g т 0, g G С, причем
Из (Б.63) следует, что функция Н^_\(р + iq) равномерно ограничена, если @ изменяется на компакте в Rn и 0 < %• W 1/2 при J = 1,,沙.Следовательно, 8八(@ +分q) — непрерывная функция от 0, q в трубе с основанием, определяемым посредством 0 < q7 < 1/2 при J = =1,…，沙 и qk = 0 при к =沙 + 1,…,？г. Обозначив На = Н, мы получаем искомое представление (Б.61).
Теперь вопрос о граничных значениях в предложении Б.12 не представляет трудности. Полагая %(@) = Я(р + iq)\q=o, мы получаем, что %(@) есть граничное значение Н(р + iq) при q т 0, q G С в классе ^(Rn) непрерывных функций. В таком случае из представления (Б.61) следует, что h(p + iq) имеет обобщенное граничное значение Ао(@) в ^\Rn) при g т 0, g G С, причем
^о(р) = П (舟)％(0)・(В.64)
Далее, по построению функция Н(Ф^ + ir])) в G имеет граничное значение %(①(§)) (при 77 To, 〃 G С) в классе £(〃)непрерывных функций и, значит, в классе 夕'(〃).В таком случае 九(①(《)) также имеет граничное значение в 夕'(〃) при 〃 т 0, 〃 G С. Это с очевидностью следует из того, что в силу (Б.61) и (Б.64) для выражений 九(①(《))и 九。(①(§)) могут быть написаны (после замены переменных к т (=①-】(к)) совершенно одинаковые представления вида
以①⑹)=(於广〃(①⑹)，а7 = 1
М①(8) 二 口…")立(於广%(①®)，а7 = 1
где а пробегает конечное множество мультииндексов в Z/, а бар.^^ ((^) — некоторые голоморфные функции при © <。Из этих равенств, а также из того факта, что 8(①(§ +分〃)) имеет %(①(§)) своим граничным значением при 77 To,〃 G С, следует (на основе упражнения Б.8) утверждение предложения Б.12 и, в частности, соотношение (Б.69в). А
Следующие два упражнения содержат критерии существования обобщенного граничного значения голоморфной функции в классе Sf(Rn) и 夕，(〃).
Упражнение Б.9. (а) Пусть S — выпуклая область в Rn, для которой 0 является граничной точкой, и пусть функция 九(к) голоморфна в трубе 夕$, причем выражение 九(@ + 分q) определяет семейство распределений в ^\Rn) по р, непрерывно зависящих от параметра q Е S (по этому поводу см. упражнение Б.З). Доказать эквивалентность следующих трех условий:
(1)九(0 + iq) имеет обобщенное граничное значение в 伊(R? ПрИ q т 0, q С S;
h(p + iq) совпадает в 夕$ с преобразованием Лапласа некоторого умеренного распределения;
для любого компактного усеченного конуса Кг и S U {0} имеет место оценка типа (Б.25).
(Указание: импликации (2) 今 (1) и (2) 今 (3) следуют из теорем Б.11 и Б.5; для доказательства импликации (1)今(3) использовать упражнение 2.43 при Г = К = Кг и теорему Б.4.)
Пусть 九(к) — голоморфная функция в области D С Сп, прилегающей к области 夕 С Rn со стороны iS, где S — выпуклая область в Rn, для которой 0 является граничной точкой. Доказать, что для того, чтобы h(p + iq) имела граничное значение в 夕，(〃) при q т 0, q G S, необходимо и достаточно, чтобы для компактного множества Q С ^ и любого компактного усеченного конуса Кг и S U {0} таких, что Q + iKr С D, существовали числа А, I (зависящие от Q и К「)，доставляющие оценку
\h(p + iq)\ < A\q\~l при р Е Q, q G К「\{0}.(В.65)
(Указание: при доказательстве «необходимости» воспользоваться упражнением 2.43 при Г = К = Кг, чтобы для любого компактного подмножества Q С ^ и любого компактного усеченного конуса Кг и S U {0} получить оценку типа (Б.21) при всех и 6 乡О с носителем в Q. Очевидно, что такие функции и можно рассматривать как элементы из 夕(〃); дальнейший вывод оценки (Б.65) таков же, как в упражнении Б.4 при доказательстве импликации (1)今(2); «достаточность» можно установить с помощью аргументации, использованной в доказательстве предложения Б.12.)
. Пример: «математика» дисперсионных соотношений. Рассмотрим задачу о представлении аналитической функции h{z) комплексной переменной z = х + iy при Im г ^ 0 в виде так называемого дисперсионного интеграла
где .(/) — скачок функции h{z) на вещественной прямой (как мы увидим, на самом деле .(/) естественно считать заданной на расширенной вещественной прямой Kg). Для существования обобщенных граничных значений при Im 2 т ±0 в классе 乡'(К) достаточно предположить, что имеет место оценка
(Б.67)(Б.67)|/г(г)| < А(1 + |г|Г|1шгГ\
(Б.67)
(Б.67)
где А, т, I — некоторые вещественные числа.
Вначале рассмотрим случай Im г > 0. Тогда (как мы знаем из теоремы Б.8)九(？)есть преобразование Лапласа обобщенной функции из 乡'(К) с носителем ) в R+ и, следовательно (по теореме Б.11), она имеет граничное значение 力⑺ в классе 乡，(К):
力⑺ =lim九⑶.(Б.68)
Аналогично, функция z~2h(— 1/г) аналитична при Im г > 0 и удовлетворяет оценке того же типа, поэтому она тоже имеет граничное значение в 乡'(К):
力(力)=lim z~2h(— 1/г),(Б.69)
причемо
力(/)二при /R0(Б.70)
(для доказательства последнего равенства применимы аргументы, использованные в предложении Б.12). Равенство (Б.70) есть условие согласования, которое (в силу предложения А.4) обеспечивает существование обобщенной функции 九十(力)из 乡'(Kg), связанной с /i и Д соотношениями типа (А.24). Мы назовем h+{x) {обобщенным) граничным значением функции 九(?)при Im? т +0 в классе 乡'(Kg).
Лемма Б.13. Произвольная функция 九(/), аналитичная 6 верхней полуплоскости и удовлетворяющая оценке (Б.67), восстанавливается по своему обобщенному граничному значению 九十(力)G 乡'(Kg) с помощью следующей формулы (типа Коши):
p⑶华" Im 2〉0,
万ПHl)
< Приведем набросок доказательства. Рассмотрим частный случай, когда 九(？) есть аналитическая функция при Im г > 0, полиномиально ограниченная при Im г > 0. При а〉0 пусть Р = /3(а) есть мнимая часть точек пересечения окружностей |г| = 1 и Im (— 1/г) = а.
Применим обычную формулу Коши к области, определяемой неравенствами Im (— 1/г) > а, Im г > /3:
27r分J 《一 227r分JI о, 1шг < 0.
Im C=/3Im w = a'
Kl<iH<i
Во втором интеграле мы сделали замену переменной w = —1/£ Кроме того, мы считаем, что а достаточно мало. Пользуясь непрерывностью 九(《)при Im《》0 и существованием предела (Б.69), перейдем в (Б.72) к пределу а т +0 н в результате получим формулу (Б.71).
Для доказательства общего случая заметим, что 九(？) (при Im г > 0) есть производная достаточно высокого порядка от аналитической функции в верхней полуплоскости, полиномиально ограниченной и непрерывной при Im г > 0 (этот факт был установлен в начале доказательства предложения Б.12). Поэтому достаточно доказать, что если формула (Б.71) справедлива для 九(？)，то она справедлива и для ее производной //(?) (которая также удовлетворяет оценке типа (Б.67), поскольку также является преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции из 乡'(К) с носителем в К+). Мы предоставляем читателю проделать это в качестве упражнения. (Указание: для этого к интегралу (Б.71) нужно применить
разбиение единицы на Kg вида и^) + о(—1/£) = 1, где и, v Е 夕(К), и продифференцировать соотношение (Б.71) по г.) А
Упражнение Б.10. Пусть выполнены условия леммы Б.13. Доказать, что обобщенное граничное значение 九(？)при Im? т 0 в классе 乡'(Kg) имеет нулевой интеграл. (Указание: интеграл от 九(？) по контуру, использованному в доказательстве леммы Б.13, равен нулю; далее действовать, как в доказательстве леммы.)
Функции h(z), аналитичной при Im г ^ 0 и удовлетворяющей оценке (Б.67), можно сопоставить два граничных значения 九±(/) класса F(RQ, соответствующих Im? т ±0. Раздеть°⑺二 У ⑺(Б.73)
назовем скачком класса 乡'(Kg) (или на Kg) аналитической функции 九(？).
Предложение Б.14. Произвольная функция 九(？)， аналитичная при 1шг ^ 0 и удовлетворяющая оценке (Б.67), восстанавливается по своему скачку .(/) класса 乡(Kg) с помощью дисперсионного соотношения (Б.66).
Упражнение Б.11. Доказать предложение Б.14. (Указание: применить формулу (Б.71) и аналогичную формулу с h_.)
Упражнение Б.12. Доказать, что обобщенные граничные значения в классе 乡'(К) функции 九(2), аналитичной при Im г ^ 0 и удовлетворяющей оценке (Б.67), восстанавливаются по скачку .(/) класса 寧卜RQ с помощью следующих дисперсионных соотношений: g鸣±汕=点］§ _4?分0映(及74)
(Указание: по поводу определения сверток (Б.74) см. п. А.З.)
Упражнение Б.13. Доказать, что формула (Б.66) устанавливает изоморфизм между аналитическими функциями 九(？) при Im г ^ 0, удовлетворяющими оценке типа (Б.67), и обобщенными функциями .(/) из f (Rg) с нулевым интегралом. (Указание: если для некоторой обобщенной функции .(/) из 乡'(Kg) с нулевым интегралом соответствующая функция h{z) равна нулю, то из формул (2.29) следует, что .(/) = 0 в 1? С Kg, так что р имеет носитель в точке ос; далее воспользоваться частью (б) упражнения А.7.)
Обратим внимание, что скачок в окрестности точки ос определяется через функцию ?-2九(一1/n). Поэтому функция 九(？) = const * 0 в комплексной плоскости имеет ненулевой скачок на бесконечности (иначе было бы непонятно, почему для нее имеет место представление в виде дисперсионного интеграла). Заметим еще, что с дисперсионным соотношением для полиномов мы уже встречались в упражнении А.7 (б).
Б.6. Сужение преобразования Лапласа. Теорема Б.8 есть эффективный критерий, позволяющий по свойствам функции 九(к) в трубе Rn + 分intK* определить, является ли она преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции из F(R") с носителем в К. Если же функция h(k) известна лишь на некотором подмножестве (например, не являющимся открытым) в трубе Rn + zint К^, то естественно ожидать, что соответствующий критерий становится более сложным и менее эффективным. Рассмотрим простейшую ситуацию (с которой мы встретимся в § 9.5), когда конусом К служит прямое произведение R^n экземпляров множества R+ неотрицательных чисел. В этом случае К* = К (относительно евклидова скалярного произведения в Rn). Очевидно,分К* не является открытым подмножеством в трубе Rn + 分 intK; тем не менее это есть множество однозначности для голоморфных функций в трубе Rn + 分 intK (т. е. всякая голоморфная функция в трубе однозначно определяется своим сужением на подмножество чисто мнимых точек 分К聲).
Представляет интерес указать критерий, позволяющий судить, что данная комплексная функция А(к) на 分К聲 является сужением на 勿К聲 преобразования Лапласа некоторой обобщенной функции /(ж) из 夕(К72) с носителем в К*.
Если h(k) является такой функцией, то формула
(h, и) = I h(iq) u(q) dnq, 〃 G 9(К*)・ (Б.75)
очевидно, определяет линейный непрерывный функционал на пространстве 乡(К聲).Оказывается, этот функционал непрерывен также в некоторой ослабленной топологии на ^(Rn). Чтобы убедиться в этом, представим /(ж) в виде конечной суммы
/(/)=工尝启(不，
где 启(力)—мера степенного роста на Rnгде 启(力)—мера степенного роста на Rnс носителями в К聲(см. следствие А.2). Тогдас носителями в К聲(см. следствие А.2). Тогда
где 启(力)—мера степенного роста на Rn
где 启(力)—мера степенного роста на Rn
с носителями в К聲(см. следствие А.2). Тогда
с носителями в К聲(см. следствие А.2). Тогда
откуда (на основании теоремы Фубини) имеем
т. е.т. е.(儿 〃)=£ j ^(-дх)а j e~XQu(q) dq^ /а(ж) dnx,
т. е.
т. е.
(Б.76)(Б.77)(Б.76)(Б.77)(儿 U)= (/, и).
(Б.76)
(Б.77)
(Б.76)
(Б.77)
Здесь мы ввели функцию от ж 6 К聲：
否(/) = j e-"%(q) &匐，/ G К*.
Упражнение Б.14. (а) Доказать, что отображение и и является непрерывным линейным оператором из пространства 乡(К*) в пространстве 乡(К聲)с нулевым нуль- пространством. (Указание: и(х) является сужением на множество чисто мнимых точек некоторой голоморфной функции в трубе, так что из и{х) = 0 следует u(q) = 0.)
Доказать, что образ пространства 乡(К*) при отображении и и является всюду плотным линейным подпространством в 乡(К聲).(Указание: достаточно доказать, что если / G 乡'(К聲)такова, что (/, т2) = 0 для всех и G 乡(К聲)，то / = 0. Для этого введем преобразование Лапласа 九(к) обобщенной функции / и воспользуемся соотношением (Б.76), из которого следует, что 九(к) равно нулю при всех чисто мнимых к, так что 九(к) = 0.)
Из соотношения (Б.76) следует оценка
|(А, и)\ W с|國曜 при всех и G 乡(畤).(Б.78)
Согласно упражнению Б.10 совокупность норм
hllfm = ||^||f+ (l,m = 0, 1,
при и 6 乡(К*) определяет на 乡(К*) новую топологию, более слабую, чем естественная топология на 乡(К*); мы назовем ее ослабленной топологией.
Полученная оценка (Б.78) является характеристическим свойством преобразований Лапласа.
Предложение Б.15. Формулы (Б.75), (Б.76) осуществляют взаимно однозначное соответствие между сужениями на множество чисто мнимых точек преобразований Лапласа обобщенных функций из ^\Rn) с носителями 6 К聲 〃 линейными функционалами над 乡(К聲)，непрерывными 6 ослабленной топологии на 乡(К聲).
< Остается убедиться, что всякий линейный функционал (儿 и) на 乡(К聲)，непрерывный в ослабленной топологии, получается по формуле (Б.75) из преобразования Лапласа 九(к) некоторой обобщенной функции / с носителем в К聲.Действительно, определим линейный функционал / по формуле (Б.76) вначале на функциях и вида (Б.77). По условию этот функционал непрерывен, а его область определения (согласно упражнению Б.14) всюду плотна в 乡(К聲).Следовательно, / является обобщенной функцией из пространства 夕(К聲) ~，卜R" I К*)・ Пусть теперь 九(к) — преобразование Лапласа обобщенной функции /(/)•
Тогда определяемый им линейный функционал (Б.75) над 乡(К聲)，очевидно, совпадает с данным функционалом (儿 и). А
Дополнение В
Однородные обобщенные функции
Однородные обобщенные функции в R. Однородные обобщенные функции (ООФ) широко употребительны в квантовой теории поля (и вообще в математической физике). Задание ООФ в Rn часто сводится к следующей проблеме: продолжить (если это возможно) данную ОО① в Rn, где。
Ь=Ь\{0}(B.l)
(т. е. в Rn с выколотым началом координат), до ООФ в Rn. Дело в том, что ООФ в Rn обладают более простой структурой, чем в Rn, и локально описываются, по существу, обобщенными функциями от п — 1 переменной. В этом дополнении мы изложим вопросы, связанные с ООФ в форме, инвариантной относительно группы GL(n, А) всех линейных преобразований Rn. (При этом важную роль играют ООФ от одной переменной.)
Пусть Q есть одно из следующих многообразий: Rn, Rn, R+, R+. Функцию или обобщенную функцию /(ж) в Q называют однородной степени А(6 С), если
=小/(/) при всех р > 0.(В.2)
Дифференцируя (В.2) по параметру р в точке р = 1, получаем уравнение Эйлера
(/ 烏-/⑺=。‘(В・3)
которое (как нетрудно убедиться) эквивалентно условию (В.2). Посредством Х)х(С) и 0》(С) мы обозначим пространства гладких функций /(ж) 6 歩(С) и, соответственно, обобщенных функций /(ж) 6 9'(С), однородных степени А — п/2.
Упражнение В.1. Доказать, что пространство 0入(/?十)одномерно и порождено гладкой функцией //—1/2.
Обратимся сначала к ООФ в Rn. С этой целью фиксируем (произвольным образом) основную функцию h(x) из пространства 夕(灭九)(или 乡(А72)) такую, что
I Црх) ^ = 1 в Rn.(В.4)
(Например, h{x) можно взять в виде h{x) = и{\х\), где и G 3) (/?+)(Например, h{x) можно взять в виде h{x) = и{\х\), где и G 3) (/?+)Интегралом по мереИнтегралом по мере[dnx]=无(/) (Гх[dnx]=无(/) (Гхи \ 乜⑺ р—' dp = 1.)(В.5)и \ 乜⑺ р—' dp = 1.)(В.5)
(Например, h{x) можно взять в виде h{x) = и{\х\), где и G 3) (/?+)
(Например, h{x) можно взять в виде h{x) = и{\х\), где и G 3) (/?+)
Интегралом по мере
Интегралом по мере
[dnx]=无(/) (Гх
[dnx]=无(/) (Гх
и \ 乜⑺ р—' dp = 1.)
(В.5)
и \ 乜⑺ р—' dp = 1.)
(В.5)
обобщенной функции /(ж) 6 0_九/2(尺九)назовем выражение
(B.6)(B.6)]/(喇d%] = (力 A).
(B.6)
(B.6)
Оказывается, выражение (В.6) не зависит от выбора функции h, удовлетворяющей условию (В.4). Ниже на основе предложения В.1 мы докажем этот факт. Предварительно введем оператор 3入：^{Rn) т 力入依九)по формуле
(以〃)(力)=]/Гf/2〃3)芈 при 必)，/GK?(В.7)
о
Очевидно, и{рх) есть элемент 乡(1?十)по переменной 仏 зависящей от ж 6 Rn как от параметра £°°, поэтому (В.7) действительно определяет непрерывный оператор из ^{Rn) в D\{Rn).
Предложение В.1. Для любых, / е ^\{Rn\ и G U(R") имеет место формула
(/，")= ]/(/)(3 —入")(/升d%].(В.8)
< Из условия однородности для / следует
(/(/), h^^x^u^x = px+n/2(f(x), Цх)и(рх))х(В.9)
при всех .〉0. Проинтегрируем по мере р~х dp на /?+. Левую часть полученного соотношения можно рассматривать как значение обобщенной функции /(力).〜】6 ^\Rn х R+) на основной h(p~1x) и(х), что (в силу «коммутативности» тензорного произведения обобщенных функций — см. (2.61), (2.62)) можно записать в виде (/(/), (р-1, h(p~1x) и(х))р)х = (/, и). Аналогичное рассуждение позволяет записать правую часть в виде (/,九(3 —入〃))и тем самым доказать (В.8). А
Следствие В.2. Интеграл J/(/)[cT/] от ООФ /(ж) степени —п 6 Rn не зависит от выбора функции h(x) е 乡(А72), удовлетворяющей (В.4) 〃 входящей 6 определение (В.5) меры [сГ/].
Действительно, если / 6 D_n/2(^n) и и(х) — произвольная функция из ^(^п), удовлетворяющая (В.4), то
(/，")= I /(/) (%/2〃)(/升染力]=I }{Х^x]=(力 九).
Упражнение В.2. Доказать, что
f(Ax)[dnx] = |det А-1| ] f(x)[dnx],(В.10)
где /6 0一九/2(启九)，Л e GL^ а).
Упражнение В.З. Доказать следующий аналог формулы интегрирования «по частям»: = (-1)|а|рМ Dav{x)[dnx],(В.11)
где / е и 入頂п),。е ^^Rnl А + м= 1«|.
Следующее предложение В.З выявляет топологические свойства операторов Зд и им сопряженных 3[. При этом мы считаем, что ^х{Кп) наделено структурой пространств Фреше, индуцированной структурой ЛВП на ^(Rn). Сопряженные пространства D\(Rny и 乡，(公九) мы для определенности рассматриваем в слабой топологии.
П р ед л оже н и е В.З. (а) Оператор 3入 есть топологический гомоморфизм из 乡(灭九) 曲力入(启九).。。。
Оператор 弘：力入依九)'т 乡〈公九)топологически изоморфно отображает X)入@九) на подпространство D_\(Rn) C 乡'(")； он сопоставляет функционалу Ф G D\(Rny ООФ / G D_A(i?n) такую, что
(/, и) = Ф^хи) при и С ”載),(В.12)
①(о) =]/(/) о⑺[сГ/] при V G ^х{Кп).(В.13)
< Приведем схему доказательства. Часть (а) есть непосредственное следствие того что оператор 3入 обладает непрерывным правым обратным ^д： Х)д(/?п) т 乡(К72), т. е. таким оператором, что 3入次入 есть единичный оператор в ^)x(Rn). Так, нетрудно убедиться, что в качестве 次入 можно взять оператор умножения на фиксированную функцию h, удовлетворяющую (В.4). Из (а) следует соответствующее утверждение для сопряженного оператора: 3[
изоморфно отображает D\{Rny на подпространство 〃〃，С ^(Rn), ортогональное нуль- пространству 〃〃入 三),i{°} оператора 3入(при этом 〃〃，определяется как множество обобщенных функций / из 乡'(灭九)таких, что (/, и) = 0 при всех и 6 〃〃入).Остается доказать равенство ”〃I =0 —入(/?九).Поскольку 3[ отображает Х)д(/?п) на ”〃I， то всякая обобщенная функция / G ”〃I имеет вид / =弘① при Ф G D\(Rny, т. е. определяется формулой (В.12). Отсюда следует / G D_\(Rn), что доказывает соотношение 〃〃1 С 0 —入(/?八).Обратное включение 0 —入依九)С 〃〃^ следует из формулы (В.8). А
Важнейшее применение предложение В.З находит в задачах, связанных с полилинейными функционалами над пространствами D\(Rn). Пусть Ф — (раздельно) непрерывный полилинейный функционал над官九)х х D\k (Rn). Тогда формула
(К, щ 00 Uk)=①(3% Qi3乂(必))при гм, ,必 G 9(和) (В.14)
сопоставляет ему обобщенную функцию К(х\,,力小)6 5/((i?n)fc), удовлетворяющую сле
дующему условию раздельной однородности по /1, Хк (степени — Д7 — п/2 по 力厶 J = =1, ..., к):к
, ркхк) = 口 р「—п/2Km必)ПРИ 〃，…，Рк〉0.(В.15)
7=1
Назовем K(/i, ...,力小)ядром полилинейного функционала Ф. При этом Ф восстанавливается по ядру формулой
Ф(г?ь ...,vk) = I K(xi, , xk) vi(xi) ...vk(xk)[dnxi][dnxk](В. 16)
при Vj е 力“值九)，j = 1,, к. С помощью предложения В.З (а также теоремы Шварца
«о ядре») нетрудно убедиться, что отображение ① т К, определенное формулой (В.14), устанавливает изоморфизм между пространством всех непрерывных полилинейных функционалов Ф над Х)м(百九)х ... х ^хк (^п) и пространством всех обобщенных функций K(/i, Хк) 6 ^\{Rn)k) со свойством раздельной однородности (В.15).
Для приложений особый интерес представляют полилинейные функционалы Ф с дополнительным условием инвариантности относительно некоторой подгруппы G группы специальных линейных преобразований Rn. Ввиду явной инвариантности изоморфизма ① т К это условие легко переводится на язык обобщенных функций как условие G-инвариантности ядра K(/i, жп). Тем самым G-инвариантные полилинейные функционалы над 力入/灭八)х ...х D\k (^п) находятся во взаимно однозначном соответствии с G-инвариантными раздельно однородными обобщенными функциями K(/i, 力小).
Случай одной вещественной переменной. Прежде чем перейти к задаче продолжения ООФ, рассмотрим ООФ от одной вещественной переменной. Положим
〃(吟=г(入+ 1)='(吟 r(入+ 1)〃(吟=г(入+ 1)='(吟 r(入+ 1)(В.17)(В.17)
〃(吟=г(入+ 1)='(吟 r(入+ 1)
〃(吟=г(入+ 1)='(吟 r(入+ 1)
(В.17)
(В.17)
при г е R, А е С, Re А > -1. Это локально интегрируемая функция, которая определяет обобщенную функцию j\(r) из 乡'(К) с носителем в R+, однородную степени А. Семейство обобщенных функций (В.17), очевидно, аналитически зависит от параметра А. Более того, оно допускает аналитическое продолжение по А на всю комплексную область. Действительно,
тождествотождество八⑺=显八+G)八⑺=显八+G)(В.18)(В.18)
тождество
тождество
八⑺=显八+G)
八⑺=显八+G)
(В.18)
(В.18)
позволяет продолжить левую часть последовательно в области Re А > —2, Re А > —3 и т. д. Ясно, что условие однородности степени А будет выполнено для всех комплексных А.
В частности, поскольку J0(r)=。(厂)，из формулы дифференцирования (В.18) следует
(В.19)(В.19)1(т) = ь")(т) при I е z+.
(В.19)
(В.19)
Оказывается, всякая обобщенная функция из 乡'(К) с носителем в R+, однородная степени А, пропорциональна 八(т) (см. ниже упражнение В.8).
Упражнение В.4. Доказать формулу (В.20)
八6 j^r)=八+从(吟.(B.20)
При всех комплексных А существуют пределы в 乡，(К)
limo(Q 土 汝)'=(0 ± 汝)"，(В.21)
которые определяют обобщенные функции, однородные степени А и зависящие от параметра А целым аналитическим образом.
Упражнение В.5. Доказать, что предел в 乡'(К)
limo(Q —分/)' = (0 —分/)"
существует при всех А 6 С, и для него имеет место формула преобразования Фурье *)
|;_д-1(г)严「dr = (0 —汝广(В.22)
При любом комплексном А определим обобщенную функцию 汁 из 乡'(К) с носителем на полагая
(Г(А + 1)八(т)при I R — 1, —2,...,
4=_(В・23)
[при А = -1 - Z, I е z+.
Ясно, что т) совпадает с функцией 0(т) гЛ при т R 0 (поэтому ее называют регуляризацией этой функции). Из определения следует, что при —(1 + А) 0Z+ т) является ООФ степени А, а при — (1 + А) = Z 6 Z+ она является так называемой присоединенной ООФ первого рода: (“)二-=0-1{h1 + 于1110•九一⑺} при 0〉0, lez+. (B.24)
Упражнение В.6. Доказать, что 厂工^ не является положительной обобщенной функцией. (Указание: если бы г^ была положительна, то .(.т)工】тоже была бы положительной обобщенной функцией, что противоречило бы (В.24).)_
В следующем упражнении разбираются другие методы определения 厂工"一1 при Z G Z±. Упражнение В.7. (а) Доказать соотношения
J 二"ЦР"借)撩 ПРИ，eZ+，(В.25)
匕1 =鼎 口⑺ Ме)т)],(В.26)
где 7 — постоянная Эйлера-Маскерони:
7 = —Г«).(В.27)
Доказать, что r(A)JA_1(r) имеет разложение (в ряд Лорана) по параметру А вида ) r(入)八一1(T)二呼 +昨一小)]+ 0(入)при 入т0.(В.28)
Доказать формулу преобразования Фурье:
I exr dr =(号)ln(0 — ix). (В.29)
Упражнение В.8. Доказать, что всякая ООФ /(г) степени А из 乡'(К) с носителем в R+ пропорциональна JA(r)^(Yк а з а н и е: из упражнения В.1 следует, что /(г) = А3(г) гЛ при т R 0. Если -(1 + А) 0 Z+, то это равенство означает, что /(г) - с〃(т) при некотором параметре с Е С есть ООФ степени А с носителем в точке г = 0; вывести отсюда, что /W = cjx(r). Если —(1 — X) = Z G Z+, то /(г) = Аг^~х + д(т), где д(г) — обобщенная функция с носителем в нуле. Из условия однородности заключить, что А = 0 и р(г) = сЬ“)(т).)
Упражнение В.9. Доказать, что пространство обобщенных функций из 乡'(К), однородных стелен仁/X, двумерно. При А 0 Z+ базис в нем образуют ОО①(0 + гж)Л и (0 — гж)Л, а при А = Z е Z+ базис образован ООФ х1 и xl sgnx. (Указание: схема рассуждений та же, что и в предыдущем упражнении.)
В.З. Продолжение однородных обобщенных функций. Для любого комплексного А определим линейные операторы 歹入 и Зд из ^(Rn) в 歩(官九)формулами
(勿〃)(/) =при и е ^(Rn), х е Rn,(в.зо)
(3入〃)(力)=⑺，，u(rx))r при и G 乡(К"), х G Rn,(В.31)
где /V = —A — 1 + n/2. Непрерывность операторов следует из тех же соображений, что и непрерывность Зд. Кроме того, аналитическое свойство jx по параметру А влечет соответствующее аналитическое свойство операторов 歹入 по А: для любой и 6 ^(Rn)歹入〃 есть векторная аналитическая функция от А е С со значениями в ^(Лп).
Укажем важнейшие свойства операторов 歹入 и Зд.
Во-первых, при всех и G 乡(庐九)и А е GL(n, К)
经 Ra)=(外 ")4 (亍入"4)=(亍入")4 где "а⑺=u^Ax).(B.32).
Во-вторых,歹入 отображает ^{Rn) в 力入(/?八)(в силу свойства однородности /*(厂))・ В действительности при А - п/2 0 Z+ образ оператора 歹入 совпадает со всем пространством D\(Rn) (поскольку на подпространстве 乡(К)外 пропорционален оператору 3入，который — согласно предложению В.З — отображает 乡(官九)на 力入(官九)).При А — n/2 = Z G Z+ образ ”忆)ПрИ отображении 外 есть пространство 中【"(К72) полиномиальных функций из ^(Лп), однородных степени I. Это следует из явного вида 歹入 при А - n/2 = I е Z+:
(%〃)(/)= (—/ 芻)"3)L=o = (к 备"(力 U^y'(-33)
В-третьих, рассматривая ^{Rn) как подпространство в 乡(К72), мы видим, что 3入 есть продолжение оператора 3入：^(Rn) т ^(Rn). При А — п/2 0 Z+ 3入 отличается ненулевым множителем от 歹入，поэтому он также отображает ^(Rn) на 力入(公八).Однако при А — п/2 = =I G Z+ образ 乡(К72) при отображении 3入 содержит наряду с функциями из 力入(官九) присоединенные однородные функции первого рода; а именно, при и G ^{Rn) и р > 0
(亍入")3) = Р ^хu)(^x) +(亍入")3) = Р ^хu)(^x) +(В.34)(В.34)
(亍入")3) = Р ^хu)(^x) +
(亍入")3) = Р ^хu)(^x) +
(В.34)
(В.34)
(Л 〃)= ] f(x)(J-xu)(x)[dnx](Л 〃)= ] f(x)(J-xu)(x)[dnx]при и е 乡(к),при и е 乡(к),(В.35)(В.35)
(Л 〃)= ] f(x)(J-xu)(x)[dnx]
(Л 〃)= ] f(x)(J-xu)(x)[dnx]
при и е 乡(к),
при и е 乡(к),
(В.35)
(В.35)
совпадает в Rn) с /(/)• Ясно, что общее продолжение / до обобщенной функции в Rn имеет вид / + /о, где /о G ^(^п) и supp/o = {0}. В случае —(А + п/2) 0 Z+ из свойств (В.32) (при А = р • 1, р > 0) и 3 —入”R* = х>_д(/?п) следует, что / G ^_д(/?п); в действительности 『есть единственное такое продолжение /. В случае — (X + ?г/2) 6 Z+ обобщенная функция /, вообще говоря, может быть не однородной. Действительно, из (В.32) (при А = =р • 1, р > 0) и (В.34) следует, что / является ООФ (степени А — п/2) в точности тогда, когда / удовлетворяет условию
J /(/)(歹—= 0 при всех и G 乡(К").(В.36)
Если это условие выполнено, то однородное продолжение /, очевидно, неединственно (к / можно добавить произвольную 力 6 ^_д(/?п) с носителем в нуле). Если же условие (В.36) не выполнено, то отсутствие однородности / нельзя устранить добавлением к какой-либо обобщенной функции 力 6 F(R") с носителем в нуле.
Мы получили следующий результат.
Теорема В.4. Пусть /@) — ООФ степени А — п/2 из ^\Rn).
Если -(А + п/2) 0 Z+, то / обладает единственным продолжением до ООФ степени А - п/2 из ^f(Rn\, у то продолжение дается формулой (В.35).
Если -(А + п/2) =0 Z+, то / обладает продолжением до ООФ степени А - п/2 из ^\Rn) в точности тогда, когда она удовлетворяет условию
(В.37)(В.37)/(ж) P(x)[dnx] = 0 при всех Р G R®(K").
(В.37)
(В.37)
Если это условие выполнено, то общий вид такого продолжения есть / + %, где / определяется формулой (В.35), а 力 есть ООФ степени -(/ + п) из ^\Rn) с носителем в нуле.
Следствие В.5. ОО① /(ж) степени — (Z + п) в Rn при I G Z+ допускает однородное продолжение в Rn в точности тогда, когда при всех Р G 中["(穴八)ОО① Р(/)/(/) степени —п в Rn обладают однородными продолжениями в Rn.
В ситуации, подобной части (а) теоремы В.4, когда однородное продолжение / существует и единственно, мы будем говорить о принудительном продолжении. Принудительным продолжением можно охватить и случаи из части (б), если ограничиться ООФ с четностью а такой, что %
— 1) = — 1.
При этом мы говорим, что ООФ /(ж) обладает четностью а = ±, если
(В.39)(В.39)/(—/)=打⑺•
(В.39)
(В.39)
Упражнение В.10. Пусть I 6 Z+. Доказать, что всякая ОО① /(ж) степени — (Z + п) в Rn с четностью а (В.38) обладает единственным продолжением до ООФ в Rn той же степени и той же четности; это продолжение определяется формулой (В.35), где теперь дополнительно предполагается, что функция h, задающая меру \d^x\, четная.
В отличие от того что мы имели в следствии В.2, однородное продолжение /, даваемое формулой (В.33) в случае —(А + ^/2) 6 Z+, конечно, при выполнении условия (В.37), вообще говоря, зависит от функции 九(/), удовлетворяющей (В.4) и фигурирующей в определении меры [d^x]. В этой ситуации представляет интерес вариант метода аналитического продолжения по параметру, позволяющий строить однородные продолжения способом, не зависящим от h. Пусть задано семейство {/》} С ^(Rn) ООФ в Rn, где /》аналитически зависит от
параметра А е С и удовлетворяет условию /》G 0入(公八).Сопоставим ему семейство {队} 6 G 少(R? ООФ в Rn, где 4 определено формулой
(4,")=]办(/)(歹一入")(喇d吃 (В.40)
и аналитически зависит от А 6 С. Ясно, что F\ принадлежит D\^Rn) и не зависит от выбора 九二Теперь нетрудно убедиться, что если при некотором фиксированном -(А + п/2)= =I 6 Z+ /д обладает однородным продолжением в Rn, т. е. если F\ = 0 при этом А, то формула %
= Чг" ал Fa (в』】)
доставляет одно из таких продолжений (определенное независимо от выбора А). Вообще, дифференцирование F\ по параметру может использоваться для получения нетривиальных ООФ из。入(R72) ПрИ Тех значениях А, при которых F\ = 0; для этого достаточно взять низшую неисчезающую производную от F\ по А.
Метод дифференцирования по параметру с целью получения новых ООФ обобщается на раздельно однородные обобщенные функции. Пусть А = (Ai, , XQ 6 Ck и пусть 0入 есть подпространство в 乡'(Ci х х Q^) (где Qj есть R% или R%) обобщенных функций /(/1, ж/с), однородных степени Д7 — п§〔2 по Xj (J = 1, ..., к). Наконец, пусть задано семейство {瓜} обобщенных функций, аналитически зависящих от параметра А и таких, что 队 G 0》.Тогда нетрудно убедиться, что
p俵)4三Р(盘4
принадлежит 0入(где Р(?)——комплексный полином от к переменных г = (гь , 2k)) в точности тогда, когда 口。)(被)Fa = 0 для любых ненулевых мультииндексов а 三 Q, ..., а%) С 6 Z“{0}; здесь Р^ обозначает полином
Всякую ООФ из Da вида Р(糸)4 естественно назвать ассоциированной с семейством {F\} (таковыми являются многие ООФ, встречающиеся в математической физике,— например ООФ, связанные с квадратичными формами [ГЗ]).
Применение к ковариантным однородным обобщенным функциям ). Приведем вариант теоремы В.4, касающийся продолжения ООФ, ковариантных (в частности инвариантных) относительно группы Ли G, действующей линейно в Rn. Предполагается, что задано L-мерное комплексное матричное представление 7(g) = (7^(д)) группы G; 7(g)—— контраградиентное представление.
Теорема В.6. Пусть /(ж) = (/a(/))a=i,...丄 есть G-ковариантная ООФ степени А - п/2 в Rn, преобразующаяся по представлению Г группы G.
Пусть -(А + п/2) 0 Z+; тогда / обладает единственным продолжением до G-ковариантной ООФ степени А - п/2 6 Rn, преобразующейся по представлению Г; его можно определить формулой
L
工 启(力)(J_xuaXX)[dnX] при иа е "R).
Пусть -(А + n/2) = I G Z+ 〃 пусть группа G обладает свойством полной приводимости всех приводимых комплексных конечномерных представлений груп-
пы G). ООФ / обладает G-ковариантным однородным {степени А - п/2) продолжением в Rn (преобразующимися по представлению Г) 6 точности тогда, когда для любой G-ковариантной полиномиальной функции &(/) = (ра{х))а=\,...,ь 6 Rn, преобразующейся по представлению Г 〃 однородной степени I, G-инвариантная ООФ J2 (7") ра(ж) из D_n/2(i?n) обладает однородным продолжением 6 Rn, т. е. °
\^2fa{x)pa{x)[dnx] = 0. (В.43)
Неединственность искомого продолжения, очевидно, характеризуется размерностью пространства G-ковариантных ООФ 6 Rn, преобразующихся по представлению Г, однородных степени А - п/2 〃 имеющих носитель 6 нуле.
Мы ограничимся наброском доказательства. Часть (а) есть следствие принудительного характера однородного продолжения в части (а) теоремы В.4. В случае (б) необходимость условия (В.43) вытекает из следствия В.5. Для доказательства его достаточности введем конечномерное пространство 俨 вектор-функций @(/) = (ра(х))а=1,...,ь, компоненты которых 0°(/) являются комплексными полиномиальными функциями в Rn, однородными степени Z. В 俨 действует представление г группы G:
(т(рХ(х) = £т^(р)р^р-1х).
Левая часть формулы (В.43) задает G-инвариантный линейный функционал ①(@) на W, который обращается в нуль на элементах 0 G 夕 таких, что т(д)р = р при всех g G G. Покажем, что ①(0)= 0 на ^; согласно следствию В.5 тем самым будет доказано, что / допускает однородное продолжение степени —(Z + п) в Rn. С этой целью разложим пространство 俨 на инвариантные неприводимые подпространства 乡分.Имеются три возможности. Во-первых,俨分 одномерно и преобразуется по тривиальному представлению группы G, тогда ①(@) = 0 на ^ по условию. Во-вторых,俨分 одномерно и преобразуется по нетривиальному представлению, тогда из инвариантности / следует ①(@) = т°(д)①(@) при @ 6 W* так что ①(@) = 0 на 俨分. Наконец, если размерность 俨分 превосходит единицу, то Ф также равно нулю на 俨分(так как в противном случае нуль-пространство функционала Ф, суженного на ^, было бы собственным инвариантным подпространством в 俨分).В результате доказано, что / обладает однородным продолжением / в Rn. Остается доказать, что такое продолжение можно выбрать G-ковариантным. Для этого заметим, что свойство однородности сохранится, если / заменить на『+ 儿 где h = (ha{x))a=\,...,L — произвольная векторная обобщенная функция, компоненты которой ha(x) являются ООФ степени — (Z + п) в Rn с носителями в нуле. Обозначим конечномерное комплексное пространство всех таких векторных ООФ h через Q. С помощью указанного произвола можно достичь того, что / + h будет G-ковариантной ООФ. (На этом заключительном этапе доказательства нужно привлечь тот факт ([К8], п. 8.1), что свойство полной проводимости всех приводимых комплексных конечномерных представлений группы G эквивалентно тривиальности одномерных групп когомологий Н、(G, V), ассоциированных с произвольными представлениями группы G в комплексных конечномерных векторных пространствах V. Применяя это замечание для V = Q, мы получим требуемый результат.) А
Часть (б) теоремы Б.6 не содержит указаний, как строить ковариантные однородные продолжения. Если же в случае (б) дополнительно предположить, что группа G компактна, то по крайней мере одно из искомых продолжений (если оно существует) дается форму-
лой (В.42), причем теперь предполагается, что мера [d^x] строится по G-инвариантной функции h G 〃(/?九)，удовлетворяющей (В.4).
В следующих двух упражнениях рассмотрены ситуации с принудительным продолжением.
Упражнение B.l 1. Доказать, что утверждение, сформулированное в упражнении В.10, остается справедливым, если дополнительно потребовать, чтобы /(ж) и ее продолжение были G-ковариантными.
Упражнение В.12. Предположим, что I 6 Z+ и что группа G обладает свойством полной приводимости приводимых комплексных конечномерных представлений. Доказать, что если пространство G-ковариантных полиномиальных функций в Rn, преобразующихся по представлению Т и однородных степени I, состоит только из нуля, то всякая G-ковариантная ООФ в Rn, преобразующаяся по представлению Т и однородная степени —(Z + п), имеет единственное G-ковариантное продолжение в Rn, преобразующееся по представлению Т и однородное степени — (Z + п).
Следующий пример демонстрирует существенность условий на группу G в части (б) теоремы Б.6.
Упражнение В.13. Пусть группа G = K действует в R2 преобразованием (力1,力2)т т (力1 + 方力2,力2), t е R и пусть / G 乡'(К?) определена равенством /(ж) = e(/i)b'(/2)・ Доказать, что / является однородной и G-инвариантной, обладает однородным, но не G-инвариантным продолжением в R2. ^Указание: условие G-инвариантности в инфинитезимальной форме имеет вид 力2 ^^ / = 0.)
Однородные обобщенные функции в комплексной области. Для произвольного открытого множества Q С Сп вводят пространства Шварца основных и обобщенных функций 乡(С) и 乡'(С) (или 夕(С)) и 夕’(C)), считая основной (соответственно обобщенной) функцией /(2)от вектора 2 三 / + 2g G Q основную (соответственно обобщенную) функцию от (ж, g) G К2n. Для значения обобщенной функции /(г) G 乡'(С) на основной u{z) G 乡(С) применяют также символическую интегральную запись:
(/, ")= ]u{z)\dn^ 染礼(B.44)
где
2-n\dnzdnz\ = dnxdny(B.45)
—лебегова мера на Сп. В частности, дельта-функция 5(?) G ^(Сп) определена равенством
Индексом однородности назовем упорядоченную пару х = (А,从)комплексных чисел таких, что /X —从 G Z. Множество всех таких индексов обозначим через X — это комплексное многообразие, состоящее из счетного числа копий комплексной плоскости С с переменной ^(А + в качестве локальной координаты.
Пусть Q есть либо Сп, либо Сп, где
Cn = Cn\{0}(В.47)
—комплексное пространство Сп с выколотым началом. Будем говорить, что функция (или обобщенная функция) /(г) в Q однородная индекса х (или бистепени (А — п/2, // — п/2)),
f(az) = ^\а) /(г) при всех а е С,(В.48)
где「]、丄_。
3，】(а)=同“十"n ехр (г(А — /1) arg а) при a e С.(B.49)
Через X)x(°) и 0x(°) обозначим подпространства в 卷(С) и 乡'(С) соответственно гладких и обобщенных функций в Q, однородных индекса %. Особую роль играют индексы из множеств
= {% = (А,从)е 先：入一n/2 е z+,从一n/2 e z+},(в.50)
m旧={-X =(-入一4)：X G m「}，(B.51)
В первом случае Х>№) имеет (конечномерное) подпространство ^х{Сп) полиномов от г, г, однородных степени А — п/2 по г и степени // — п/2 по г; во втором случае Dx(Cn) имеет (конечномерное) подпространство Qx(Cn) ООФ индекса х с носителем в нуле.
Для ООФ в комплексной области имеют место результаты, совершенно аналогичные тем, что мы имели в вещественном случае. Поэтому мы ограничимся их формулировками без доказательств.
На самом деле комплексный случай сводится к вещественному. Для этого перепишем (3.48) в виде двух условий:
〃с) =小+广"⑶ при 0〉О,(в.52а)
j^z) = ei(x~^f(z) при зеК;(В.526)
(В.52а) есть условие однородности степени А + // — п по переменным (ж, g) 6 R2n, в то время как (В.526) можно интерпретировать как условие ковариантности /⑶ относительно группы U(l) = {а е С: \а\ = 1}.。
Для любого индекса х пространства 0^(匕)и 0x(°) одномерны и порождаются соответственно функциями 30】(2) и ООФ 吵х(2)， определяемыми следующим образом. Будем обозначать〔〔
A V /1 = 2(/\ + 4+]/\ _屈)， a A /1 = 2(/\ + 4一]/\ _4|).(B.53)
Определим 队⑺ при Re (X + 从)〉1 как следующую непрерывную функцию в С:
以⑶=FQ 八二)+ 1/2) |2「+"Т exp(分(入-从)arg г)).(В.54)
Очевидно,吵х есть обобщенная функция из 乡'(С), аналитически зависящая от параметра х (в смысле аналитичности по ^ (入 + 从)при фиксированном 入一从 G Z). Далее, ^х обладает (единственным) аналитическим продолжением по х на все многообразие индексов X, причем это продолжение может быть выполнено (индукцией по целой части от —Re (А + //)) с помощью тождеств в 乡，(С):
以(2)=历*入+1,从)⑶ при X- ^eZ+,(В.55а)
以⑶=而 叫人从+1)⑶ npи M - A e Z+.(B.556)
Упражнение В.14. Доказать, что при 7Gm屮
叭⑶=r^T^n^J 俣)人"2(爲)" "協6(叫=(B.56a)
(В.566)(В.566)(В.57)(В.57)=(_1厂(小“)7/2以Х侯)[2顿2)
(В.566)
(В.566)
(В.57)
(В.57)
здесь 吵一х(%) — дифференциальный полином порядка —(А + 从+ 1).
Нетрудно видеть, что
吵х(°)= Г((а/ + 1/2) S「⑶ в области г е С.
Отсюда и из (В.56) следует, что носитель 队 есть С при х 0 三^】и носитель 吵есть {0} 厂-[1] при х е .
Другое полезное семейство обобщенных функций в С образовано продолжениями 夕屮
из С в С:
(В.58а)(В.58а)0х = r((XV4)+ 1/2)以 при x?m屮,
(В.58а)
(В.58а)
= 《v4)+ i/2)灭叭 при xemU (в.586)
(где 辰 есть производная по параметру ^ (А + //) при фиксированном А —从).Нетрудно убедиться, что 0^ есть продолжение(рх из С в С. При х 0 三^】это продолжение однородно, в то время как при х G S^ это есть присоединенная ООФ первого рода:
0x(a?)=9「(a){0х(2)+ m 同0x(a?)=9「(a){0х(2)+ m 同Г(—Г0 + 1/2)Г(—Г0 + 1/2)при а Е С.при а Е С.(В.59)(В.59)
0x(a?)=9「(a){0х(2)+ m 同
0x(a?)=9「(a){0х(2)+ m 同
Г(—Г0 + 1/2)
Г(—Г0 + 1/2)
при а Е С.
при а Е С.
(В.59)
(В.59)
Перейдем к случаю нескольких комплексных переменных. Положим
(В.60)(В.61)(В.60)(В.61)(В.62)(В.62)[dnzdnz] = H{z)\dnzdnz\,
(В.60)
(В.61)
(В.60)
(В.61)
(В.62)
(В.62)
J必|J必|при всех z е Сп.при всех z е Сп.где H(z) — фиксированная функция из 夕(匕九)такая, что
J必|
J必|
при всех z е Сп.
при всех z е Сп.
Интеграл от ОО① /(г) G D(_n/2,_n/2)(^n) по мере [dnz dnz]
]/(2)[d"可= (/, Я)
не зависит от выбора функции Н, удовлетворяющей (В.61). Предложение В.7 обобщает это утверждение.
Предложение В.7. Для любых / е 0^(匕九)，乜 G ”匕？ справедлива формула
(/, 〃)= ] /⑶(①—в)⑶岁。&М；(B.63)
при этом непрерывный оператор Фх: ^(Сп) т 力^(°九)определен формулой
(%")⑶=j *(小)"3)•(B.64)
Следующее утверждение является аналогом предложения В.З.
П р ед л оже н и е В.8. (а) Оператор Фх есть топологический гомоморфизм из ^(Сп) на Qx(»).о о
(б) Сопряженный оператор ①[:^х{Сп) т ^(Сп) топологически изоморфно отображает Dx(Cny на подпространство D_x(Cn).
В частности, это предложение позволяет сопоставить всякому (раздельно) непрерывному полилинейному функционалу .庶 над DXl (Сп) х ... х DXk (Сп) ядро полилинейного функционала, т. е. обобщенную функцию К⑵，，勿)6 ^((Cn)fc), связанную с соотношением (К, щ 0 ...0иь) = •庶(①Xi Qi),…，①必 QQ) ПРИ из G 乡(»)・(В.65)
Ядро К удовлетворяет условию раздельной однородности на гь , Zk (индекса ~Xj ПО Zj} j = 1,, п):
к
K(aizi, , akzk) = 口夕口/电^长⑵，zk) при <ц,, ак G С.(В.66)
С помощью формулы (В.65), а также ее обращения
, oQ = ]K(2i,, zQ vi(zi)...vk(zk)[dnz(Tzx\...[(rzk dnzk](В.67)
(где Vj 6 DXj (Cn), J = 1, ..., k) устанавливается взаимно однозначное соответствие .» j К между всеми (раздельно) непрерывными полилинейными функционалами .» над Х)Х1 (Сп) х ... ...х ^Хк (Сп) и пространством всех обобщенных функций K(?i, Zk) 6 ^\{Сп)к), удовлетворяющих условию раздельной однородности (В.66).
В заключение рассмотрим вопрос о продолжении ООФ из области Сп в Сп. Определим непрерывные операторы Фх и % из 乡(。9 в 卷(")，полагая
(队")⑶=(以/(吟 u(az))a,(队")⑶=(以/(吟 u(az))a,(B.68)(B.68)
(队")⑶=(以/(吟 u(az))a,
(队")⑶=(以/(吟 u(az))a,
(B.68)
(B.68)
(B.69)(B.69)便x〃)(2)= (0x《a)' 〃(a2))a,
(B.69)
(B.69)
где 〃 G ^(Cn), z e Cn, x = ^-A + n 2 ^ 一川 + 几金】)；правые части здесь понимаются в смысле значений обобщенных функций из 乡'(С) по переменной а на основных функциях а т u{az) из 乡⑹，зависящих £°°-о6разом от параметра г G Сп.
Упражнение В.15. Доказать, что для 3^ ПРИ X G 三屮 имеет место следующее явное выражение://、
(队〃К) = (-l)("f/2R—品)b®), u(w^.(В.70)
При х 0 三「операторы Фд и % отображают 9(。)на Х)х(Сп). В случае х G Е「 оператор 3^ отображает ”Сп) на (конечномерное) подпространство в 力^(匕九)，состоящее из полиномиальных функций от г, г, однородных индекса х，в то время как при таком х образ ^(Сп) при отображении Фх содержит наряду с однородными функциями из 力^(©八) присоединенные однородные функции первого рода. Действительно, из (В.59) следует, что при х е 雪]
@х〃)(а?) = 3@х〃)(а?) = 3@х〃)(2)+ М 同@х〃)(2)+ М 同r((入八4)—几/2 + 1)r((入八4)—几/2 + 1)при а е С. (В.71)при а е С. (В.71)
@х〃)(а?) = 3
@х〃)(а?) = 3
@х〃)(2)+ М 同
@х〃)(2)+ М 同
r((入八4)—几/2 + 1)
r((入八4)—几/2 + 1)
при а е С. (В.71)
при а е С. (В.71)
С помощью перечисленных свойств операторов Фх и Фх устанавливается следующий результат о продолжении ООФ от комплексных переменных.
Теорема В.9. Пусть /(?) есть ООФ из 夕(С72), однородная индекса %.
Если х 0 mPL mo / обладает единственным продолжением до ООФ индекса х из 乡'(С72); продолжение『определяется формулой
(Л 〃)= ] f{z)^_xuXz)[dnz dnz].(в.72)
Если х G 三叩，то / обладает однородным продолжением индекса х в Сп в точности тогда, когда
]/⑶Р⑶[染2染可=0(В.73)
для всех функций Р(?) из 力_^(0九)，полиномиальных по 2, г. При выполнении этого условия общий вид такого продолжения есть сумма ООФ /, определенной 6 (В.72), и произвольной ООФ из Dx(Cn) с носителем 6 нуле.
Глава 3
ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Группа Лоренца
А. Геометрия пространства Минковского. Пространство Минковского М есть четырехмерное вещественное пространство R^, снабженное псевдоевклидовым скалярным произведением
pq = p°q0 - pq =9№公夕"="公.(3」)
При этом мы условились произвольный 4-вектор из М записывать в виде р = =(夕°,夕I 夕2,夕з)=(夕°,夕)，Где 夕° — временная координата, ар — пространственная часть 4-вектора р. Посредством д = (д" обозначен метрический тензор с компонентами
Роо = -рн = —922 = -Рзз = 1, Рам = 0 при 入#〃.(3.2)
По дважды повторяющимся верхнему и нижнему индексам (в формуле (3.1) и в дальнейшем) подразумевается суммирование от 0 до 3 («правило суммирования Эйнштейна»). Поднятие и опускание индексов осуществляется с помощью метрического тензора д и обратного ему д~{ = (д入")=(рдм):
0入=9入連\ pА = Q。屮(3.3)
Скалярный квадрат вектора мы обозначаем через ) р2:
F = р • р.(3.4)
Базис
е0 = (1, 0, 0, 0), ei = (0, 1, 0, 0), е2 = (0, 0, 1, 0), е3 = (0, 0, 0, 1)(3.5)
называют стандартной лоренцевой системой (или стандартной системой отсчета) в 7И; при этом во называют ортом времени, a ei,貶 &з — пространственными ортами (данной системы).
Наряду с векторным пространством Минковского вводят также аффинное (координатное) пространство Минковского, в котором инвариантным объектом является не скалярное произведение, а псевдоевклидово расстояние, квадрат которого равен (ж — у)2 = (ж0 — у。)？— —(х —乡* В физическом контексте координатное пространство Минковского, обозначаемое иногда посредством Мх, служит пространством-временем специальной теории относительности; естественным элементом объема на Мх является лебегова мера с^х. Векторное же пространство Минковского фигурирует либо как касательное пространство к Мх (т. е. пространство разностей х — у, где х, у Е Мх), либо как сопряженное к касательному пространству, и тогда оно играет роль импульсного пространства Минковского и иногда обозначается посредством Мр. Естественный элемент объема на Мр есть &4@ = &4@/(2穴)4. В то время как
группой симметрий векторного (или импульсного) пространства Минковского является группа Лоренца (о которой пойдет речь ниже), группой симметрий (или движений) аффинного (или координатного) пространства Минковского является группа Пуанкаре (§ 7.1). В дальнейшем мы обычно используем обозначение М как для координатного, так и для импульсного пространства Минковского (обычно из контекста ясно, о каком пространстве идет речь).
Вектор р W М называют (положительным или, соответственно, отрицательным) времениподобным, если его квадрат р2 положителен (а нулевая компонента р° положительна или, соответственно, отрицательна). Если же вместо р2 > 0 имеет место р2 = 0, но 夕# 0, то р называют (положительным или отрицательным) изотропным вектором. При р2 < 0 вектор р называют пространственноподобным. В соответствии с классификацией векторов в 7И по величине р2 и знаку р° (при
р2》0) вводят следующие часто встречающиеся множества:
V = {ре М：р2 > 0}, V = {ре м 夕 2》0},(3.6)
V+ = {ре М 夕 2 > о, р° > 0},0+ = В е М 夕 2》0,夕о》0},(3.7)
у- = _『+,V- = “+,(3.8)
『^ ={р е М: р2 т2,р° > 0} приm > 0,(3.9)
Г^ =[р е М: р2 = т2,р° > 0} приm > 0.(3.10)
Б. Определение общей группы Лоренца и ее связных компонент. Всякое линейное преобразование Л пространства Минковского, оставляющее инвариантным скалярное произведение Минковского, называется преобразованием Лоренца. Все такие преобразования образуют общую (или полную) группу Лоренца, которую мы будем обозначать через L. Любое преобразование Лоренца Л е L задается четырехрядной матрицей 疗=瓜疗=А".(3.11)
Условие инвариантности формы (3.1) эквивалентно условию
绅 А。= 9从"(3.12)
или, в матричной форме,
ЛтрЛ = д, т. е. Л-1 = gJ^д,(3.13)
где Лт — матрица, транспонированная к Л: (Лт)^ = А%. Если взять определитель обеих сторон равенства (3.13), получим, что
(det Л)2 = 1, т. е. det Л = ± 1.(3.14)
Если det Л = 1, то преобразование Л называется специальным.
Примером преобразования Лоренца с det Л = 1 может служить тождественное преобразование: Л = 1 (единица группы), а также отражение четырех осей Л = —1. (примером не специального преобразования является пространственное отражение; см. ниже (3.19).) Равенство (3.12) при 从= ^ = 0 дает
з
следовательно, существуют две возможные области изменения параметра Ag:
Ag > 1 и Ag < -1.(3.15)
Если А?》1, то говорят, что преобразование Л ортохронно (не меняет направления времени); специальное ортохронное преобразование Лоренца называется собственным.
Упражнение 3.1. Проверить, то группа Лоренца является шестимерной группой Ли и в ней можно ввести локальные координаты с помощью вещественных антисимметрических 4 х 4-матриц 0 =(0入从)=(一e从入)по формуле
А = ехр(^л^Лм); (3.16)
здесь — следующие линейные операторы в пространстве Минковского, называемые операторами инфинитезимальных лоренцевых вращений'.
am 爲二一g3"g〃a 启. (3•⑺
Убедиться, что эти операторы удовлетворяют следующим коммутативным соотношениям:
1ра] = дХр『。-д^р1Ха + 严》р - дХ%м. (3.18)
Вещественные линейные комбинации операторов /"" образуют (вещественную шестимерную) алгебру Ли с коммутационными соотношениями, определенными посредством (3.18). Алгебра £ называется алгеброй Ли группы Лоренца.
Упражнение 3.2. (а) Четверку векторов Уд (А = 0, ..., 3) в пространстве М назовем лоренцевым базисом, если 匕〃 =дм，У^ > 0 и det(Y^) = 1. Доказать, что лоренцевы базисы находятся во взаимно однозначном соответствии с собственными преобразованиями группы Лоренца А о {Уд = Лед}.
Доказать, что всякий лоренцев базис {Уд} может быть получен из стандартного базиса (3.5) с помощью двух преобразований Лоренца: Уд = ААе》，где А — чистое лоренцево вращение (скажем, в плоскости 0, 1), а Я — трехмерное вращение.
С помощью части (б) упражнения доказать, что группа собственных преобразований Лоренца связна.
Группа Лоренца L несвязна. Она состоит из четырех связных компонент, которые обозначаются соответственно L^ (с условиями det Л = 1 нА?》1), L^ (detA = =1 и Лд < —1), Z/L (detЛ = —1 и А?》1), Z/£ (detЛ = —1 и Лд < —1). Из них только L^_ является подгруппой (разумеется, она содержит единицу группы L). Эту подгруппу будем называть собственной группой Лоренца или группой лоренцевых вращений. Эта группа играет особую роль, так как в настоящее время она считается точной группой симметрии в релятивистской теории поля и теории элементарных частиц. Из связных компонент группы L можно образовать следующие подгруппы: £^ = £^ U Z/L (ортохронная группа Лоренца), L+ = L^ U 工[(специальная группа Лоренца) и £；[ U Z/£. (Отметим, что хотя для последней группы нет собственного наименования, есть широкий круг физических явлений, инвариантных относительно именно этой группы, содержащей наряду с лоренцевыми вращениями обращение времени )). При этом группа L^ порождена подгруппой 工]и одним элементом из П, скажем, пространственным отражением 厶：
厶(力。,х) = (ж0, -х).(3.19)
Аналогично, Z；［ U 工匕 порождена £；［ и обращением времени 厶：
厶(/°, x)=(一力°, x),(3.20)
а 厶 порождена подгруппой L^ и полным отражением 厶力：
Istx = —х.(3.21)
Рассмотрим пространство Минковского М как G-пространство для собственной группы Лоренца 力］(см. общее определение в дополнении Г.1). Под действием 力］пространство Af распадается на следующие орбиты: гиперболоиды а? = s при s < 0, множества Г+ и Г~ = =—Г^ при m > 0 (см. (3.10)) и точка ж = 0. Таковы же орбиты группы ЬЛ Нетрудно описать также орбиты группы L+ (или L) в М: это гиперболоиды ж2 = s при s < 0, множества Г+ U Г~ при m > 0 и точка ж = 0.
В. Универсальная накрывающая группы е］ . Представления ) связных групп Ли можно изучать алгебраическими методами. Так, если Г есть представление группы А в пространстве 夕；то в некоторой окрестности единицы группы (где элементы группы имеют вид (3.16)) Т(А) записывается в виде
Т(Л)=ехр(|хА^Лм);(3.22)
здесь Х'“ = —X"' — линейные операторы в пространстве 夕;называемые генераторами представления Г; они удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли:
［Х№, Хра］ = -i{gxpX^ - р^ХАа + д^Ххр - д^Х^).(3.23)
Иногда генераторами представления называют операторы 分X"". Мы следуем соглашению, принятому в теоретической физике, которое обеспечивает эрмитовость генераторов для унитарных представлений. (Отметим, что группа Лоренца не имеет конечномерных унитарных представлений, если не считать тривиального единичного представления Т(А) = 1.)
Таким образом, каждое представление группы £；［ определяет представление ее алгебры Ли 3. Тем самым построение представления группы £；［ полностью свелось бы к алгебраической задаче, если бы каждому представлению алгебры Ли 3 соответствовало бы представление группы Z；|. Однако ситуация сложнее. Дело в том, что если по заданным операторам Х°尸，удовлетворяющим соотношениям (3.23), построить по формуле (3.22) операторы Т(Л) для Л в окрестности единицы, то мы получим так называемое локальное представление группы Z/I. Естественно попытаться продолжить его на всю группу, используя формулу Т(Л1Л2)=丁(八1)丁(八2) в качестве определения. В некоторых случаях мы действительно получаем в результате представление группы L^. В других же случаях Т(Л) оказывается определено неоднозначно (такие неприводимые представления алгебры Ли называются неинтегрируемыми до представления всей группы). В этих случаях мы получаем не истинное представление, а так называемое двузначное представление группы L^. (Для группы вращений в трехмерном пространстве ситуация вполне аналогична.) Они играют в релятивистской квантовой теории столь же важную роль, как и
«истинные» представления, поэтому целесообразно иметь более последовательную их трактовку.
Трудность с интегрируемыми представлениями алгебр Ли полностью проанализирована в теории групп Ли (см. [П1]). Причиной ее является неодносвязность, а точнее, двусвязность группы L^. Упомянутой трудности не возникло бы, если бы мы с самого начала заменили группу £；[ односвязной группой, устроенной в окрестности единицы так же, как £；[, т. е. локально изоморфной группе L^. (Локальным изоморфизмом двух групп G G называется взаимно однозначное соответствие ф: N т N' между какой-либо парой окрестностей единиц N и G ь N' и G- причем это соответствие сохраняет умножение: 0(gig2)=。(91)。(92)・)Оказывается, для любой связной группы Ли G существует (единственная с точностью до изоморфизма) связная односвязная группа Ли G, локально изоморфная группе G. Эта группа G называется универсальной накрывающей группы G.
В известном смысле группа G больше, чем G. Однако соотношение между ними ^ложнее, нежели простое включение G С G (кроме тривиального случая G = G). Группа^ G накрывает G несколько раз. Это означает, что существует гомоморфизм ф группы G на группу G, являющийся в то же время локальным изоморфизмом. (Этот гомоморфизм называется накрывающим гомоморфизмом) Прообраз элемента g G G относительно ф составлен из некоторого (конечного или бесконечного) числа изолированных точек д Е G. Число таких точек не зависит от д; оно как раз определяет, сколько раз G накрывает группу G.
Универсальную накрывающую группы L^ можно построить следующим образом. Группа L^ обладает двузначным комплексным двумерным представлением. Матрицы этого «представления» образуют группу ) S£(2, С), состоящую из всех комплексных матриц 2 х 2 с детерминантом, равным 1.
Группа SL(2,。) является комплексной группой Ли комплексной размерности 3 (и, значит, вещественной размерности 6), и в ней можно ввести локальные координаты посредством комплексного трехмерного вектора 夕 G С$ следующим образом:
А = еЬ^ = еЬ-^л (3.24)
Здесь Tj — матрицы Паули:
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
Ь，Тк] = 2辽汴Е；(3.26)
г7kz — полностью антисимметричный тензор в трехмерном пространстве с £123 = 1：
汕=戸； £123 = 1.(3.27)
Матрицы 乃/2 называют комплексными генераторами группы SL(2, С). Комплексные линейные комбинации матриц irj образуют трехмерную комплексную алгебру Ли, называемую комплексной алгеброй Ли группы SL(2, О).
Из определяющего уравнения det А = 1 группы SL&, С) легко видеть, что эта группа является связным односвязным многообразием в С4. Мы построим сейчас
локальный изоморфизм групп SL&, С) и Z；［. Это будет доказывать, что SL&, С) есть универсальная накрывающая группы
Группа SZ/(2, С) стандартным образом действует на С2: для 2 三(2、^2) е С2 и Л 6 SZ/(2, С) имеем
(厶2尸=以 2% а =1,2(3.28)
(здесь подразумевается суммирование no b от 1 до 2). Она оставляет инвариантной кососимметричную билинейную форму
1921
(3.29)(3.29)соответствующую матрицесоответствующую матрице(3.30)(3.30)ZEW = z w — Z W ,
(3.29)
(3.29)
соответствующую матрице
соответствующую матрице
(3.30)
(3.30)
(3.31)(3.31)(3.32)(3.32)1• 2/0 — /31• 2/0 — /3(3.33а)(3.33а)—力1 + гж2/° +/З—力1 + гж2/° +/З(3.336)(3.336)где 力2 — вторая компонента вектора 力，во = ео =—弓—матрицы Паули *)где 力2 — вторая компонента вектора 力，во = ео =—弓—матрицы Паули *)единичная матрица, а в^ =единичная матрица, а в^ =(3.34)(3.34)
(3.31)
(3.31)
(3.32)
(3.32)
1• 2
/0 — /3
1• 2
/0 — /3
(3.33а)
(3.33а)
—力1 + гж2/° +/З
—力1 + гж2/° +/З
(3.336)
(3.336)
где 力2 — вторая компонента вектора 力，во = ео =—弓—матрицы Паули *)
где 力2 — вторая компонента вектора 力，во = ео =—弓—матрицы Паули *)
единичная матрица, а в^ =
единичная матрица, а в^ =
(3.34)
(3.34)
Пусть 力 т 4 есть фиксированный линейный изоморфизм М на пространство всех эрмитовых матриц 2x2 такой, что
х2 = х ' х = det х,
и х — положительно определенная матрица для х 6『+. Положим
〜 т -1
X =£
где хт — матрица, транспонированная к х. Для определенности мы будем использовать следующую специальную реализацию матриц х и х:
Матрицы вд и вд можно рассматривать как результат применения отображений х х и 力к базисным векторам (3.5). Мы также будем использовать матрицы eл = g入4g4и ел = g入4点.
Упражнение 3.3. Убедиться в справедливости следующих соотношений:
еЛем + емеЛ = 2W - 1,(3.35)
еЛем - емеЛ = —^门睜。巨° - есте"),(3.36)
h{ab) = tr (ab) = 2ab, a, b e M.(3.37)
Здесь посредством ^入从“。обозначается абсолютный антисимметричный тензор: ^入从“。=1, если 入从沙.образует четную перестановку чисел 0, 1, 2, 3, и ^入从“。=—1, если X^vp образует нечетную перестановку этих чисел; e\^p = 0, если хотя бы два индекса совпадают. В дальнейшем мы используем также абсолютный антисимметричный тензор с верхними индексами
= -£x^up = 1, (так ЧТО £0123 = -£”23 = 1).(3.38)
Сопоставим теперь каждому элементу Л е 5L(2, С) элемент Л 6 Z/[ по любой из следующих двух формул:
Лх = ЛхЛ*, Лх = Л*-1хЛ-1 (3 39) для всех х 6 М. Нетрудно видеть, что отображение Л ^ Л(Л) есть гомоморфизм группы SZ/(2, С) в А (т. е. это есть представление группы 5L(2, С) в пространстве Минковского). Элементы матрицы Л(Л) можно определять по формуле
(3.40)(3.40)
(3.40)
(3.40)
Упражнение 3.4. (а) Доказать, что гомоморфизм Л Л(Л) осуществляет локальный изоморфизм между SL(2, С) и 力].(Указание: в окрестности единицы группы SL(2, С) можно выбрать систему координат из вещественных и мнимых частей вектора 7; 6 С3 в формуле (3.24). Убедиться далее с помощью (3.40), что ранг отображения Л т Л(Л) в единице Л = 1 группы SL(2,。)равен 6. Отсюда заключить с помощью теоремы об обратном отображении ([ГН], т. II, гл. IV, теорема 5.2), что это отображение есть диффеоморфизм окрестности единицы группы SL(2, С).)
Доказать, что ядро гомоморфизма Л Л(Л) состоит из двух элементов: Л = 1 и Л = — 1.
Из этого упражнения (и упражнения Г. 1 в дополнении Г) следует, что группа SL&, С) является универсальной накрывающей для группы £；[, причем она дважды накрывает 珏.
Упражнение 3.5. (а) Доказать, что при гомоморфизме Л Л подгруппа S U (2) С С SL(2,。) унитарных 2 х 2-матриц отображается на группу 0+(3) трехмерных вращений, рассматриваемых как элементы из 力]с А® = О, J = 1, 2, 3. (Это означает, что S U (2) дважды накрывает。十(3).) В частности, показать, что унитарной матрице
У (^) = cos ^ • 1 - г sin ^ • тз = ехр (一 ^ 丁3)(3.41)
соответствует вращение А(0) в плоскости (ж1, ж2) на угол 0:
(А(0) / J = cos 0 • х - sin 0 • ж2,(〃(。) /『=sin 0 •储 + cos 0 • «.(3.42)
Показать, что при гомоморфизме Л Л положительно определенной эрмитовой матрице из SL(2,。)вида
K(n, а) = ch ^ • 1 + sh ^ • тп = ехр 丁？г)(3.43)
(где п — единичный вектор в R3, a G К) соответствует чистое преобразование Лоренца («гиперболический поворот») / ту, где
д° = /° ch а + (хл) sh а,
(3.44) у = х - (хл) п + [(хл) cha + x°sh а] п.
В частности, диагональной матрице
0 二 J(3・45)
соответствует гиперболическое вращение в плоскости ж0, ж3:
д° =cha + dsha, у3 = x°sh а + ж3 ch а.(3.46)
Показать, что любое собственное преобразование Лоренца может быть представлено как последовательное применение гиперболического вращения типа (3.43) и трехмерного евклидова вращения. (Указание: всякая матрица В 6 SL(2, С) может быть представлена в виде В = VH, где Н =，В* В —положительно определенная матрица, а V = ВН~Х — унитарная матрица).
Проверить тождество
А[ехр (-| (еле^ - е^ел) 0х^\ = ехр (^ 沙汨入力，(3.47)
где операторы в пространстве Минковского определены равенством (3.17), а。入从—произвольная вещественная антисимметрическая 4 х 4-матрица. (Указание: достаточно убедиться в совпадении линейных частей в разложении по 0入从 равенства (3.47); с помощью (3.40) задача сводится к доказательству соотношений
здесь следует воспользоваться формулами (3.35) и (3.37).)
Заметим, что из двух спинорных векторов w,u Е С2 и 4-вектора х можно составить следующую алгебраическую комбинацию, которая остается инвариантной при одновременном преобразовании w — Aw, s — As, x — Л(Л)x:
UXW = ^XnW1 + cD1^^ W2 + d*21 W1 + 力2方22^‘(3.48)
Ясно, что в левой части равенства D интерпретируется как 1 х 2-матрица (строка), aw — как 2 х 1-матрица (столбец), так что в результате матричного перемножения получается скаляр. Аналогичным образом интерпретируются более сложные выражения (включая инвариантные дифференциальные операторы), например,
(3.49)
~ ош, дз ow5 ох ， ow 〜已以
и т. п.
Г. Конечномерные представления группы SE(2, С). В соответствии со сказанным ранее построение представлений группы Е： сводится к аналогичной задаче для SZ/(2, С). Если мы построили некоторое представление Л Т(Л) для 5L(2, С), то, полагая
Т1(А)=Т(А) при Л = Л(Л),
мы получаем однозначное или двузначное представление 0 для £；［ (причем этот метод дает все представления L^). Порожденное таким образом представление £；［ однозначно в точности тогда, когда Т(— 1) = 1.
Вначале мы приведем результаты, касающиеся комплексных (конечномерных) представлений SL&, С). Для группы S£(2, С) (как и для всякой полупростой группы Ли) условие неприводимости комплексных представлений (означающее отсутствие нетривиальных инвариантных подпространств, отличных от {0} и всего пространства представления) эквивалентно условию операторной неприводимости в смысле Шура (которое означает, что всякий оператор, коммутирующий с операторами представления, кратен единичному оператору). Произвольное же представление есть прямая сумма неприводимых представлений. (Другими словами, произвольное представление вполне приводимо.) Поэтому для классификации достаточно описать неприводимые представления (с точностью до изоморфизма).
Всякое неприводимое комплексное представление SL&, С) характеризуется упорядоченной парой (J, к), где j о к — целые или полуцелые) неотрицательные числа. Представление (J, 0) может рассматриваться как симметричное тензорное произведение 2^ экземпляров определяющего представления Л Л группы SL&, С). (Здесь с равным успехом можно взять эквивалентное контраградиентное представление Л — (Лт)-1, и ниже мы воспользуемся этой возможностью.) Представление (0, 7) есть комплексно сопряженное к (J, 0). Произвольное неприводимое представление (J, к) может быть определено как тензорное произведение представлений 0, 0) и (0, к). Таким образом, представление (J, к) может быть реализовано в пространстве спин-тензоров @s…效：)；队…餌卜,зависящих от двух групп индексов: 2J «нештрихованных» индексов cq, ..., о^ и 2к «штрихованных» индексов /3{,...,伪卜; все индексы пробегают значения от 1 до 2. Кроме того, спин-тензоры подчинены условию симметричности по индексам каждой группы (т. е. отдельно по штрихованным и нештрихованным индексам).
Представление А%) в пространстве спин-тензоров определяется формулой
(3.50)(3.50)
(3.50)
(3.50)
С равным успехом можно было бы использовать спин-тензоры с нижними («конт- равариантными») индексами cq, ..., а^\ /3；, , /3厶卜；при этом в правой части (3.50) матрицы Л и Л следует заменять на (Лт)-1 и Л*-1 соответственно.
Спин-тензоры удобно характеризовать производящими полиномами от переменных шиш:
• 3%? Во\...B优卜. (3.51)
Поэтому мы можем считать, что представление (J, к) реализовано в пространстве 中(九卜)всех комплексных полиномов 少® D)от s 三(J, cj2) n D 三 @\ cD2), однородных степени 2j no cj и однородных степени 2к по
(3.52)(3.53)(3.52)(3.53)屮。3, AcD) = д2^^)2^^^,力)для всех А 6 С.
(3.52)
(3.53)
(3.52)
(3.53)
Действие А。")группы SL&, С) в 中。，к) имеет вид
Упражнение 3.6. Доказать, что отображение, сопоставляющее каждой паре полиномов 9,吵 G 中0*)число
90一星，£一星)次以幻)=
=(⑵)!葭)!)2 (忌 L 为Y (鳥*t星)"的 2次以刃)，354)
является невырожденной SL(2, С)-инвариантной билинейной формой на ^^,к\ (Эта форма порождена билинейной формой (3.29) на С2.)
В следующем упражнении приводится вид генераторов представления 力。'")группы SL(2, С). В соответствии с формулами (3.22) и (3.47) генераторы Х“" представления 力。',") можно определить соотношениями
fexp * (еЛе^ - е^еЛ)办，)=exp (| *№办，(3.55)
для всех вещественных антисимметричных 4 х 4-матриц 0.
Упражнение 3.7. Доказать следующие формулы для генераторов Х“м представления группы SL(2,。)в пространстве R”")：
xМ =-|Мел^ -е^)^1 ^ _ ±2(巨14 一0^入)系，(3.56)
ze^exe^ - e 亲 + } N°xg从-емеЛ)务. (3.57)
(Указание: для вывода равенства (3.56) достаточно подставить
Л = ехp -^ （g入巨从-g从三入）
в (3.53) и выделить линейную часть по 。入从；(3.57) следует из (3.56) и (3.36).)
Заметим, что 岔力圖 порождает однозначное представление группы £；［ в точности тогда, когда D°，k)(—i)= j т. е. когда j + к является целым числом. Вообще, величину А°")(—1) мы будем называть валентно стою; если она равна 1 (соответственно —1), будем говорить о представлении с четной (или нечетной) валентностью.
Целесообразно обсудить физический смысл понятия валентности. Рассмотрим какую-либо однопараметрическую подгруппу вращений в двумерной пространственноподобной плоскости пространства Минковского, скажем, подгруппу V(^) = ехр(д 分тз。) (в обозначениях (3.41), где вещественный параметр означает угол вращения вокруг вектора ез трехмерного пространства). Тогда элемент —1 группы SL(2,。)мы можем интерпретировать как поворот в трехмерном пространстве на угол 27r. Однако физически это — тождественное преобразование, значит, наблюдаемые физические величины не должны меняться при таком преобразовании. В теории поля наблюдаемые величины конструируются из полей, преобразующихся по представлениям
группы Лоренца (или SL(2, С)) как спин-тензоры. Тогда требование, чтобы наблюдаемые не менялись при пространственном повороте на угол 2тг, в сущности, сводится к тому, чтобы зависимость наблюдаемых от полей входила не иначе, как посредством комбинаций, содержащих произведения только четного числа полей с нечетной валентностью.
Приведенные выше результаты о неприводимых представлениях группы SL&, С) легко следуют из теории углового момента в трехмерном пространстве. Пусть окрестность единицы в SZ/(2, С) параметризована трехмерным комплексным вектором 夕 G С? посредством (3.24). В соответствии с общими результатами теории представлений комплексных групп Ли (см., например, [Ж1], §43), всякое неприводимое представление Г группы SL&, С) представимо в виде
Т(Л)=Т1(А)0Т2(Л),(3.58)
где Ti(Л) — комплексно аналитичное представление группы SL&, С), а 耳(厶)— антианалитичное представление (т. е. комплексно сопряженное аналитичному представлению). Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением комплексно аналитичных представлений Г. Это означает, что в параметризации (3.24) Т(Л) представимо в виде
Т(А) = exp^Jq),(3.59)
где Jj — операторы в пространстве представления, удовлетворяющие коммутационным соотношениям типа (3.26):
[Ji, Jj] = ^ijkJk^(3.60)
В теории углового момента все представления этих коммутационных соотношений хорошо изучены. Всякое неприводимое (конечномерное) представление характеризуется (с точностью до эквивалентности) одним числом — спином s, принимающим целые или полуцелые неотрицательные значения в соответствии с равенством
产=S(S+ 1).(3.61)
Соответствующее представление есть симметричное тензорное произведение 2s экземпляров определяющего представления Л Л и, значит, есть (s, 0) по приведенной выше классификации. Произвольное же неприводимое имеет вид (3.58), т. е. как раз эквивалентно одному из представлений (J, к).
Д. Просто приводимые конечномерные представления группы SE(2, С). Пространственное отражение. Реализация представлений SL0 С) в пространстве полиномов (вообще говоря, неоднородных) от cj и cD применима также к важному классу приводимых представлений 5L(2, С), а именно, к классу просто приводимых представлений. Такое представление является прямой суммой конечного числа попарно неэквивалентных представлений. Оно определяется с точностью до изоморфизма конечным множеством S упорядоченных пар (J, к) целых или полуцелых неотрицательных чисел. Его можно реализовать в пространстве Rs полиномов от s п 力 вида
2d D) = £D), где 耽切 6 中(2,(3.62а)
ТаК ЧТ°中s=㊉ 中°・，"(3.626)
0,k)es
Действие SL&, С) по-прежнему дается формулой типа (3.53):
(0a)啰3，刃)=以a-区一蜀.(3.63)
Упражнение 3.8. (а) Пусть тензорное произведение представлений Х)^1^ и ^s^ группы SU(2) реализовано в пространстве 中($1°)* 中($2，°)полиномов Р(ш, w), однородных степени 2sl no g G С? и однородных степени 2s2 по w 6 С2. Доказать, что имеет место соотношение эквивалентности представлений
»si)*»S2)㊉ 力⑻(3.64)
|si — S2\^s^si^-S2
sg|si —S2〔+Z+
С этой целью убедиться, что SU(2)-инвариантный изоморфизм из 中($1°)0中(S2，。)в ㊉中(S), реализующий эквивалентность представлений, можно задать следующим образом:
伞包y + si-S2S1+S2a y宀2-s
心…w⑹=V『次…)；
厶(S + S1 — S2)! (S — S1 + S2)!(S1+S2 — S)!
SS=1G=O
(3.65a) при этом обратное отображение имеет вид
/ a、s+si—s2 / а \s-si+s2
山 八丿2丿+S2)! (S — S1+S2)! (S1+S2 — s)!
$(3.656)
здесь c(s, si, $2)R 0 — некоторые числа. (Указание: подставить ^{ш, w) из (3.656) в (3.65а).)
Вывести аналогичные формулы для разложения тензорного произведения двух неприводимых представлений SL(2,。) на неприводимые представления:
力(力肉)NQ02也)'㊉㊉力(川).(3.66)
|J1 - J2|<J<J1+J2 |/с1-/с2|<^<^1+^2
J € I— J2 I +-^ +ke\k[ —fc2|+-^+
Приведем несколько простых примеров.
Представление D(i/2，°) мы реализуем в пространстве 中(1/2，°) линейных форм на С2,
吹5 = £ "а，，(3.67)
а=1,2
так что представление D(i/2，°) контраградиентно к определяющему представлению Л Л в С2 и эквивалентно ему. Аналогично, представление R(°」/2)действует в пространстве 中(°」/2)антилинейных форм на С2:
2@) = £ b0a(3.68) 0=1,2
Из этих двух представлений можно образовать просто приводимое представление
»1/2◎㊉》。，？(3.69)
называемое представлением Дирака. Оно действует в пространстве дираковских спиноров 认 которые можно обычно рассматривать как столбец
10 Н. Н. Боголюбов и др.
здесь спиноры а。 и Ь^ преобразуются по представлениям R(i/2°) и 力(°」/2) соответственно. Разумеется, спинор ⑦ мы можем трактовать и как полином от cj и cD:
仪以,D)= £ а。，+ £ 丽面。， (3.71) а=1,2 夕= 1,2
и тогда закон преобразования выражается формулой (3.63).
Рассмотрим еще представление (1/2, 1/2). Поскольку оно есть тензорное произведение представлений (1/2, 0) и (0, 1 /2), его можно реализовать в пространстве комплексных 2 х 2-матриц х =(力) преобразованиями
r(i/2,i/2)(А)： 4 — ЛхЛ*. (3.72)
Сравнивая (3.72) с (3.39), мы видим, что это преобразование совпадает с Л(Л) (действующим, однако, уже в комплексном пространстве Минковского). Таким образом, на языке группы £；［ представление R(i/2,i/2) есть стандартное действие группы Лоренца в пространстве 4-векторов.
До сих пор мы имели дело с комплексными представлениями, вещественные же могут быть построены из комплексных. Комплексное представление Г группы G в комплексном линейном пространстве 5r называется комплексификацией некоторого вещественного представления 7д группы G, если в ЭС можно выбрать линейный базис (над полем С), в котором матричные элементы представления Т вещественны. Тогда вещественная линейная оболочка этого базиса является G-инвариантным подпространством 夕工 над полем К (вещественной размерности, равной комплексной размерности 夕)，в котором задано вещественное представление 7д группы G. Поскольку Tr несет всю информацию от Г (ибо комплексная линейная оболочка 灾r есть 夕)，мы обычно не будем делать различия между вещественным представлением и его комплексификацией Г.
Условие, что Г является комплексификацией вещественного представления, удобно выразить в безбазисной форме как условие существования инволюции К (т. е. антилинейного оператора с квадратом 1) в 夕；коммутирующего с операторами представления. Действительно, этот оператор можно определить посредством К(力 + 5g) = х — iy при произвольных х, у е 夕方.В свою очередь 夕% определяется через К, а именно:友r состоит из всех векторов х 6 夕；вещественных относительно К (т. е. таких, что Кх =力).
Легко видеть, что из неприводимых представлений R%) группы SL&, С) вещественными (т. е. комплексификациями вещественных) являются лишь представления с 7 = к・ Инвариантную инволюцию в 中%) можно определить, полагая
(KgQ,⑺=仪以,D). (3.73)
В случае j к из двух представлений 公О") и R(kj) можно построить вещественное представление, а именно 力(九卜)㊉訂(kj). Инвариантную инволюцию К в 中°'，к)㊉ J) по-прежнему можно определить формулой (3.73).
Приведем две полезные реализации представлений X>°J).
Упражнение 3.9. Пусть Н⑺ есть пространство всех комплексных псевдогармоничес- ких полиномиальных функций от (вещественного или комплексного) 4-вектора г, однородных степени п (= 0, 1, 2, ...). При этом условие псевдогармоничности полинома д(т) означает
口 Q(T)=為彩 Q(T)=。・ (3.74)
Доказать, что действие SL(2,。) в Н⑺,сопоставляющее элементу Л е SL(2,。) отображение 仙)т Q(A(A-1)r), эквивалентно представлению 岔512^心.(Указание: рассмотреть отображения/、九
次公)T q(T)=厶苏(柒7柒)次刃)，(3.75a)
心)Т 2® 刃)二加 @，5%(吟(3.756)
и убедиться, что они взаимно обратны.)
Упражнение 3.10. Пусть 旦⑺)есть пространство всех комплексных полиномиальных функций на световом конусе )
Го = {е е ти： е2 = 0},(3.76)
однородных степени п = 0, 1, 2, ... Доказать, что действие Q(§) т Q(A(A-1) ^) группы SL(2, С) в 旦⑺ эквивалентно представлению в ф(п/2>п/2)ф (Указание: всякий вектор на верхнем световом конусе Г^ представим в виде
§"(&) = —шед^еш(3.77)
при некотором ш Е С2. Рассмотреть отображения
Q®T^2 = Q(&5),(3.78а)
次以T =林产(忌д 勺%刃)(3・786)
и проверить, что они взаимно обратны.)
Значение вещественных представлений группы £；［ в значительной мере обусловлено тем обстоятельством, что такие представления можно продолжить до представлений (в том же пространстве) группы L^, содержащей пространственное отражение )厶.Рассмотрение этого вопроса усложняется неоднозначностью представлений, возникающих для представлений SL&, С) с нечетной валентностью. Мы рассмотрим этот вопрос в следующих главах. Здесь же мы ограничимся представлениями 力(几/2,几/2) с четной валентностью. (Этого достаточно для вопросов, рассматриваемых в п. 3.3 этой главы.)
Упражнение 3.11. Пусть Т — (однозначное) представление группы 力］и пусть T(JS) — оператор в пространстве представления такой, что
7(厶)Т(А)Т(厶尸=Т(ЛЛ1Г1) для всех Л е 旺，(3.79а)
Ж)2 = 1.(3.796)
Тогда существует единственное представление группы L\ совпадающее с Т(Л) при Л 6 力］ и при Л = Js.
Пусть 制(几/2,几/2) _ представление группы £；［, реализованное в пространстве QS) (см. упражнение 3.10). Используя упражнение 3.10, можно легко показать, что существует в точности два расширения этого представления до представлений груп-
пы L^. Мы будем обозначать эти представления в виде 岔、/工出吟,где параметр 〃三〃s принимает два значения и называется пространственной четностью представления. Для задания этого представления достаточно указать действие Is в QS):
(D^/2川2)(厶)Q)(§) = %Q(厶£).(3.80)
Лоренц-инвариантные обобщенные функциив пространстве Минковского
Определение. Обобщенная функция /(pi, ..., рп) е ^{М^}, зависящая от п 4-векторов pi, ..., Рп е М, называется лоренц-инвариантной (или L^-инвари- антнои), если
/(Лрь , Лрп) = (/(рь, рп) при Л 6 L^.(3.81)
(Заменяя здесь £；[ на другие подгруппы G U L, мы приходим к G-инвариантным обобщенным функциям^)
Лоренц-инвариантные обобщенные функции играют важную роль в релятивистской квантовой физике. Для них широко используются явно инвариантные представления в виде обобщенных функций от инвариантных алгебраических комбинаций, которые можно составить из 4-векторов pi, ..., рп (и, возможно, от некоторых других переменных типа sgn夕，при р^》0, принимающих дискретные значения). Такие представления особенно эффективны в том случае, когда 八 не велико (п < 4).
Здесь мы рассмотрим инвариантные обобщенные функции /(р) е ”М) от одного 4-вектора
/(Лр) = /(р) при Л 6 4，(3.82)
Совокупность таких обобщенных функций мы обозначим посредством 3.
Это описание позволяет получить инвариантные представления для так называемых двухточечных функций (Уайтмана и Грина) скалярных полей. При этом р интерпретируется либо как 4-импульс, либо как разность координат х\ — /2 двух точек в Мх.
Всякая лоренц-инвариантная обобщенная функция /(р) 6 У(7И) автоматически оказывается Е'-ннварпантной, т. е. удовлетворяет соотношению
貝厶夕)=/(〃)•(3.83)
Упражнение 3.12. Доказать (3.83). (Указание: записав условие (3.82) в виде
(/(0), М@)) = (/(0), "ОМ) при Л е L\.(3.84)
где и(р) — произвольная основная функция, усреднить его по группе вращений 0+(3) С !>]: (/(0), М@)) = (/(0), I ЛКр) dR^.(3.85)
ясо+(3)
Заметить теперь, что усредненная функция, стоящая в правой части этого равенства, зависит ЛИШЬ ОТ р2 И 0°.)
Б. Четные инвариантные обобщенные функции. Инвариантные обобщенные функции с носителем в точке. Лоренц-инвариантная обобщенная функция может не быть инвариантной относительно полной группы Лоренца (и, в частности, относительно преобразований обращения времени /力 и полного отражения Ist). Мы представим ее в виде
Rp) = /+(。) + /-(夕)，(3.86)
где11
/±(p)= 2(/h 土 貝寸))=2(八。)土 〃/或))•(3・87)
Ясно, что для произвольного преобразования Лоренца Л выполняется соотношение
/+(Лр) = /(夕)，/-(Лр) = е(А) /(р),(3.88)
где е(А) = 1, если Л не обращает направление времени (т. е. является ортохронным преобразованием), и е(А) = —1 в противном случае.
Лоренц-инвариантные обобщенные функции, преобразующиеся при полном отражении как /+(夕)，мы будем называть четными обобщенными функциями. Их совокупность обозначим через 3十.Обобщенные функции типа /_ будем называть нечетными и обозначать их совокупность через 3_. Таким образом, множество 3 инвариантных обобщенных функций разбивается в прямую сумму подпространств 3+ и 3_, каждое из которых состоит из собственных «функций» оператора обращения времени.
Будем рассматривать классы 3+ и 3_ по отдельности.
Нетрудно показать (пользуясь предложением 2.2), что всякая лоренц-инвариантная обобщенная функция / в М, сосредоточенная в точке р = 0, представима (единственным образом) в виде
〃0)= Р(”(0),(3.89)
где Р — произвольный комплексный полином (от одной переменной) н □二□, — даламбер- тиан, определенный формулой
п д д _ д д/о
Можно высказать естественное (пока несколько неточное) предположение, что любая обобщенная функция / из 3十 зависит лишь от скалярного квадрата век
тора р и имеет видтора р и имеет вид/О)=夕伪 2)./О)=夕伪 2).(3.91)(3.91)
тора р и имеет вид
тора р и имеет вид
/О)=夕伪 2).
/О)=夕伪 2).
(3.91)
(3.91)
Хотя обобщенные функции из 3+ с носителем в нуле выглядят как исключение из правила, оказывается, что при надлежащей интерпретации формула (3.91) действительно дает описание всех обобщенных функций из 3十.
В частности, возможность представления обобщенных функций из 3十，сосредоточенных в нуле, в виде (3.91) представляется менее удивительной, если заметить, что Ь(@) есть предел обычных функций от р2.
Упражнение 3.13. Доказать, что
(3.92)(3.92)—lim 修 sin(”2) = b(@) в 乡，(Af).
(3.92)
(3.92)
Чтобы придать точный смысл равенству (3.91), перепишем его следующим, образом:
/(Р)〃(夕)山夕=夕(т)(т+〃)(т) dr,(3.93)
где m+ — оператор, сопоставляющий произвольной основной функции и е ”М) функцию т+〃 от одной вещественной переменной г:
(т+〃)(т) = 8(т-夕2) 〃(夕)圆夕.(3.94)
Обозначим через 丿〃+ (К) пространство функций 九(т) в К, представимых в виде Д = т+〃 при некотором и 6 ”“). Тогда правую часть (3.93) следует понимать как значение линейного функционала 夕 на m+“ (причем 夕 должен быть непрерывен при подходящей топологии на 丿〃+ (К)).
Оказывается, что 丿〃+ (К) есть пространство всех комплекснозначных функций 九(т) в R вида
九(丁)=加⑺+后⑺In A,(3.95)
где 加 и ^2 — произвольные функции из У(К), причем 九2⑼=0.
Приведем набросок рассуждения, показывающего, что функции (3.94) действительно могут быть представлены в виде (3.95). (За подробным доказательством мы отсылаем к Мете (1954).) Вводя в интеграле (3.94) сферические координаты р, е вектора р и проведя интегрирование по 0° и по углам (т. е. по единичному вектору е), получим
九⑺=(m+〃)⑺=蟲 J P2 dp=
е(-т)
где 0 — ступенчатая функция (2.22), a
心。）=&7心。）=&7,« е) +, Уа е)) d%,« е) +, Уа е)) d%
心。）=&7
心。）=&7
,« е) +, Уа е)) d%
,« е) +, Уа е)) d%
—функция из 9(公+ х月+) ПО ст. С помощью функции
1Р(§, сг) = и(§ - сг, сг)
(класса 乡 по переменным а > 0, ^ > а)九(т) записывается в виде
〃т) = j 刨丁，с) ^7^ du
Очевидно, h(r) принадлежит классу 乡 на любом интервале (—ос,—目 или [% ос) (при £〉0). Возможная негладкость 九(т) при г = 0 может возникнуть лишь благодаря особенности на нижнем пределе интегрирования по сг：
j 刨丁, сг) J丁：0 do (где 0 < А < ос).
Отсюда можно легко вывести, что функция 九(т) становится п раз непрерывно дифференцируемой по г в окрестности г = 0 после вычета из нее выражения вида
к = 1
эта особенность возникает при интегрировании конечных сумм ряда Тейлора функции w(r, а) по а в окрестности точки а = 0. Таким образом, при любом натуральном п имеем
九⑺=М用，(3.96)
где hn(r) — п раз непрерывно дифференцируемая функция. Отсюда следует представление (3.95). Отметим, что коэффициенты /^ зависят только от поведения функции и(р) в окрестности @ = 0. Из размерных соображений и лоренц-инвариантности нетрудно заключить, что Ik = CkOk~iu(p)\p=Q, где 练—некоторые коэффициенты (числовое значение которых приведено в упражнении 3.14).
Упражнение 3.14. Доказать следующую формулу для коэффициентов /^ в разложении (3.96):
口ОМ)
(Указание: вначале вывести формулу для 厶；в случае произвольного к для вычисления коэффициента Ск достаточно ограничиться функциями и(р) специального вида: и(р)= =(02)1〃0(0), где 〃о(0)g 乡(7И).)
Мы будем называть 丿〃+ (К) пространством Мете основных функций на R. Топология на ^〃 + (К) определяется следующим образом. Каждому натуральному числу к = 1, 2, ... сопоставим линейный функционал L^ над функциями Д е е 丿〃+ (К) (представленными в виде (3.95))
{Lk,h) = £kh2H\T=Q(3.98)
и линейный оператор
к + 1
(QM)(t) = £(&，九)％ 1п 白・(3.99)
"=i
Определим теперь в 丿〃+ (К) счетную систему норм
к+1
Pk,mW = 11^ — ^Qkh\\k,m + £ |(厶，九)|,(З.Ю0)
1
где II • \\k,m задаются формулой (1.42) (при п = 1), а &(т) — фиксированная функция из 夕(К), равная единице в окрестности точки г = 0 (результирующая топология не зависит от выбора s);丿〃+ (К), снабженное этой топологией, является пространством Фреше. Сопряженное пространство ^〃](К) (линейных непрерывных функционалов над ^〃 + (К)) мы будем называть пространством Мете обобщенных функций на R.
Мы можем резюмировать свойства оператора т+ следующим образом.
Лемма 3.1. Формула (3.94) определяет непрерывное линейное отображение т+ из ^(М) на 丿〃+ (К).
Наша задача состоит в доказательстве того, что всякая обобщенная функция / из 3+ однозначно представима в виде (3.91) при некоторой обобщенной функции Мете 夕6 丿〃[(К), т. е.
夕，(З.Ю1)
где m]: j〃](K) —少(М) — оператор, сопряженный т+.
Предложение 3.2. Оператор т]: ^〃](К) — У(7И) изоморфно отображает ^^{R) на 3+・
Предложение 3.2 основывается на результатах упражнений 3.14 и 3.15.
Упражнение 3.15. Доказать, что для любой обобщенной функции / G 3 существует пара обобщенных функций 吵+(т) и 吵—(т) из 乡*К), совпадающих при г < 0, таких, что
(3.102а)(3.1026)(3.102а)(3.1026)/(0)=吵+(@2) при
(3.102а)
(3.1026)
(3.102а)
(3.1026)
/(0)= ^-(Р2) при р 0 V+.
Кроме того, если / G 3十，то 朽二吵_. (Указание: дифференцирование равенства (3.82) по параметрам группы Лоренца в окрестности единичного элемента дает систему дифференциальных уравнений:
(рлам-рмал)/(р)= о； а, м = о, 1,2,3.(з.юз)
В каждом из полупространств @°〉0 и р° < 0 можно перейти (посредством диффеоморфизма) к координатам т = @? и р, так что /(@) = /(г, р). Тогда система (3.103) запишется в виде ^/(т, р) = 0, J = 1, 2, 3.)
Выведем теперь предложение 3.2 из двух последних упражнений. То, что т］夕 принадлежит 3十 для любой 夕 е ^^{R), достаточно очевидно. Обратно, пусть задана / е 3十.Согласно упражнению 3.15, ей соответствует обобщенная функция ⑦ е 火(К) такая, что
/(Р)=吹* при 夕# 0.(3.104)
По теореме Хана-Банаха ⑦ можно продолжить до линейного непрерывного функционала, скажем 夕匕 над 丿〃+ (К). Тогда из (3.104) следует, что / — т］夕i есть обобщенная функция из 3十 с носителем в нуле, значит (в силу упражнения 3.14), она представима в виде т］夕2, где 夕2 — некоторая линейная комбинация функционалов Lk・ Полагая теперь 夕=夕1 + 夕2, получаем представление (3.101) для /. Очевидно, оно единственно (т. е. / = 0 влечет 夕=0, что видно из определения сопряженного оператора и того, что m+^(Af)=丿〃+ (К)).
Нечетные инвариантные обобщенные функции. Описание нечетных лоренц-инвариантных функций несколько проще. Любая обобщенная функция /(力)G 3— однозначно представима в виде
/(Р)= е(р°)^(р2),(3.105)
где 2(т) — обобщенная функция из，卜R), исчезающая при г < 0 или, эквивалентно (в терминах канонического изоморфизма, введенного в дополнении А),⑦ е 6 У (7?+). Для точного определения этого представления мы вводим оператор т_:
(т_〃)(т) = £(р°) 5(т — р2) d<p,(3.106)
непрерывно отображающий функции и е ”М) в функции т_〃 е ^{R^. (Фактически т_ отображает ”М) на все ^(R^).) Теперь равенство (3.105) означает
/(р) и(р) d^p =⑦⑺(m_〃)(丁)狂(3.107)
т е
''/ = т-6(3.108)
Предложение 3.3. Оператор т-: ^(R^)^(ТИ) изоморфно отобража
ет 火(7?+) на 3_.
Упражнение 3.16. Доказать предложение 3.3. (Указание: воспользоваться упражнением 3.15.)
Отметим, что из представления (3.105) следует, что всякая обобщенная функция /(х) 6 3_ автоматически исчезает при пространственно подобных р.
Как уже отмечалось выше, благодаря разбиению 3 = 3十 +3_, мы фактически имеем теперь описание всех лоренц-инвариантных функций в М. Введем многообразие 况，которое можно условно назвать «вещественной прямой, раздвоенной по
положительной полуоси». Произвольная точка из 况 имеет вид т, где г < 0, или 丁 + гО, или 丁 — гО, где 丁》0. Функции 九+(丁) класса Мете 丿〃 + можно считать заданными на 况，если положить
以7)=九+(丁)при т < 0, 以丁 士 2)=九+(丁)при t > 0.(3.109а)
Аналогично функции 九_(丁) класса ^〃— = ^{R^ можно также считать заданными на 况，положив
Д(т) = 0 при г < 0, Д(т ± гО) = ±Д_(т) при 丁》0.(3.1096)
Теперь пространство Мете 丿〃 определяется как прямая сумма 丿〃 =j〃+㊉丿〃_; его элементами являются функции на 况，представимые суммой пары функций вида (3.109а) и (3.1096). Оператор Мете т: ^(7И) — ^〃 определяется как сумма операторов т±:
т = т= + т_.
Это означает:/
(mu)(г) = 5(т - р2) и(р) d^p при г < 0,(3.110а)
(mu)(г ± г0) = 2伙±夕°) 8(丁一夕2) 〃(夕)圆夕 при 丁》0.(3.1106)
Оператор Мете m, очевидно, отображает 乡(Af) на ^〃 линейно и непрерывно.
Пусть ^〃‘ — пространство, сопряженное 丿〃.Мы условимся значение (夕，Д) функционала 夕 G ^〃/ на элементе /г G 丿〃 записывать также в символической интегральной форме:
(夕，九)= 夕(s) G(s)[ds]= 屮⑺ h(r) drr + 3^^ 夕(丁 + £分0)从丁 + £〃0) с/т, 况T<0£=± T>0
(3.111) где [ds] — естественная мера на 况，которая (с учетом раздвоения положительной полуоси) равна
[ds] = dr при г < 0, [ds] = ^ dr при s = т ±iQ, 丁》0.(3.112)
Из предложений 3.2 и 3.3 вытекает следующая характеристика пространства 3.
Предложение 3.4. Оператор m: j〃/ — У(7И) изоморфно отображает пространство J/U {обобщенных функций Мете на 况)на пространство 况 (лоренц-инвариантных обобщенных функций на 7И).
По аналогии с представлением (3.91) для 0+ мы можем теперь символически записать произвольную лоренц-инвариантную обобщенную функцию /(@) на Af в виде
/ Ар2)при02<°，门
"0)=3(02+20 30。))при(3」13)
где 夕 G j〃1 что есть иная запись соотношения
(3.114)(3.114)/ = mV-
(3.114)
(3.114)
Приведем еще результат о продолжении лоренц-инвариантных обобщенных функций /(р), заданных вне начала координат в М (определение соответствующего пространства ^z(Af\{0}) см. в дополнении А), до обобщенных функций в М. Для / остается в силе утверждение упражнения 3.14, так что следующий результат неявно присутствует в рассуждениях, приводящих к предложениям 3.2 и 3.3.
Предложение 3.5. Всякая лоренц-инвариантная обобщенная функция /(@) 6 6 乡'(Af\{0}) может быть продолжена до лоренц-инвариантной обобщенной функции в М. Такое продолжение не единственно: если 力(？) — некоторое продолжение, то общий вид продолжений есть 力(@) + P(D)b(@), где Р — произвольный полином.
Описания упрощаются для неотрицательных обобщенных функций (с которыми мы встретимся в дальнейшем; см., например, представление Челлена-Лемана в П.8.3.Б).
Будем говорить, что обобщенная функция / неотрицательна, если при любом выборе неотрицательной основной функции
(/, 〃)》。・(3.115)
Из теоремы Рисса (см. п. 1.1.Е, пример 1) следует, что любая неотрицательная обобщенная функция / 6 斤(К) связана с некоторой неотрицательной мерой 从 степенного роста многомерным интегралом Стилтьеса
(/,〃)= и(р)Мр).(3.116)
При этом мера 从 в Rn (вообще говоря, комплексная) называется мерой степенного роста, если
1Ф(Р)1(3.117)
|р|<^
есть полиномиально ограниченная функция от г или, эквивалентно, если при некотором I имеет место ограничение
(1 + \p\)~l\d[i(p)\ < оо.(3.118)
Меры представляют собой весьма частный случай обобщенных функций. Если d/i^p)= =/(0)&4@, то /(0)может содержать особенность типа 5-функции, но не может быть производной от ^-функции. Это позволяет получить для инвариантных мер представление, более близкое интуитивному.
Общий вид четной лоренц-инвариантной неотрицательной меры из У(7И) таков:
&〃(Р)= { J - Р2) dp(r) + с(2тг)45(р) d4p, (3.119) где 0(丁) — монотонно неубывающая функция полиномиального роста на вещественной оси, а с》0. Для лоренц-инвариантной неотрицательной меры из У(7И) с носителем в У+ имеем аналогичное представление:
d〃(?)= { J ^(Р°) - р2) dp(r) + с(2тг)45(р) ^4р, (3.120) где 0(т) — монотонно неубывающая функция полиномиального роста на 7?+, а с > 0.
Упражнение 3.17. Доказать представления (3.119) и (3.120), пользуясь общими представлениями (3.91) и (3.113) (или (3.101) и (3.114)) для 0+ и 3_.
Лоренц-ковариантные обобщенные функциив пространстве Минковского
А. Определение. Пусть /(夕 1,…，夕冷)—векторная обобщенная функция, зависящая от 八 4-векторов р\,Рп G М и принимающая значения в конечномерном комплексном векторном пространстве 夕;в котором задано представление Т группы L^_ (или SL&, С)). Пространство таких обобщенных функций мы будем обозначать через 驴卜М1; 夕).Условием
/(Лрь , Лрп) = Т(Л) /(pi,, рп) при Л 6 L^(3.121)
мы выделяем лоренц-ковариантные (или ^-ковариантные') обобщенные функции. (Более общее понятие G-ковариантных обобщенных функций аналогично.) Выбрав некоторый базис {ba} (а = 1, ..., dim 夕)в пространстве ST и вводя компоненты / в этом базисе
/(Р1,…，夕тг) = £ b«f以р\,, pn\
мы можем переписать (3.121) в компонентной форме
Г(Лрь ...,ЛЫ=52 号⑷/(Pi, Рп).(3.122)
В терминах группы SE(2, С) условие (3.121) переписывается в виде
/(Л(Л)рь , Л(Л)Рп) = Т(Л) /(Р1,, Рп) при Л 6 SL^, С\ (3.123)
где Г — представление SL&, С).
Здесь имеет смысл рассматривать лишь представления SL(2,。) с четной валентностью (т. е. представления, соответствующие однозначным представлениям L^). Действительно если Т — представление с нечетной валентностью, и, значит, Т(—1) = —1, то из условия (3.123) автоматически следует, что / = 0.
Как и в случае лоренц-инвариантных обобщенных функций, интересны представления, явным образом учитывающие свойства ковариантности. К ним в первую очередь относятся представления вида
N
/(Р1,…，夕тг) = £Qo(01,, Рп) /р(Р1,…，РпУ，(3.124)
0=1
здесь Qp(pi,…，Рп) — лоренц-ковариантные полиномиальные функции от pi, ... ...,рп, a fp — лоренц-инвариантные обобщенные функции. В качестве Qp обычно фиксируют некоторую конечную совокупность лоренц-ковариантных полиномов (называемых стандартными ковариантами для данного представления Г), определяемую следующим алгебраическим условием: для всех лоренц-ковариантных полиномов /, преобразующихся по представлению Г, имеет место представление (3.124) с лоренц-инвариантными полиномами /р. Если дополнительно из / = 0 всегда следует, что /р = 0 (т. е. если ковариантное разложение однозначно в классе полиномов), то совокупность {Qp} называется полиномиальным базисом стандартных ковариантов, преобразующихся по представлению Г.
Представление (3.124) имеет практическое значение лишь для небольшого числа 八(в основном п < 4); в противном случае число стандартных ковариантов может оказаться больше числа (dim 夕)компонент у /.
Б. Структура ковариантной обобщенной функции. Мы опишем структуру лоренц-ковариантных обобщенных функций /(р) 6，卜М;夕)от одного 4-вектора 夕:
/(Лр)=Т(Л)/(р) при Л 6 4，(3.125)
Разумеется, в силу полной приводимости конечномерных представлений группы £；［ в принципе достаточно ограничиться неприводимыми представлениями R%). Если это представление реализовано в пространстве 中%) однородных полиномов от s и D (степени 2J и 2k соответственно), то векторная обобщенная функция /(р) становится комплекснозначной обобщенной функцией /(р; з, D), которая наряду с зависимостью от р зависит от спинорных переменных s е С? n D (как однородный полином степени 2J и 2k соответственно). В таком случае условие (3.125) принимает вид
/(Л(Л)р; Л^, М) = /(р, G,⑺ при всех Л 6 SE(2, С),(3.126)
т. е. условие лоренц-ковариантности сводится к лоренц-инвариантности (по большему числу переменных).
Оказывается, что полиномиальные коварианты от одного 4-вектора р, преобразующиеся по представлению D°'，k), существуют лишь при j = к = п/2 (где 八—целое неотрицательное число), и в этом случае они порождаются (по формуле (3.124) с полиномом fp, р = 1) одним стандартным ковариантом
Q(夕;D)= @沁严.(3.127а)
(Этот факт будет установлен ниже в процессе доказательства леммы 3.8.) При реализации представления 力(几/2,几/2) в пространстве Q^n^ однородных (степени п) полиномиальных функций на конусе Го (см. упражнение 3.10) ковариант (3.127а) приобретает вид
QW； £) = (涎严.(3.1276)
Отсюда становится ясным, каков должен быть общий вид лоренц-ковариантных обобщенных функций.
Предложение 3.6. Произвольная лоренц-ковариантная обобщенная функция /(р) 6 М, преобразующаяся по представлению D。'")， отлична от нуля лишь при j = к = п/2, и в этом случае она представима в виде
f(p; s, D)=(山/572 ь伪)=(3.128а)
=(2瓦 5rz8(夕)，(3.1286)
где F(p) и Я(р) — лоренц-инвариантные обобщенные функции в М, которые (〃о заданной обобщенной функции /) определяются с точностью до 八 произвольных констант. Точнее, если 用(力)“ %(力)—фиксированные решения соотношений (3.128) {рассматриваемых как уравнения относительно 歹(力)и Н(力))， то общий вид решений имеет вид
п— 1
反伪)=用(。)+ £的口例0)，(3.129а)
i=0
п— 1
(3.1296)(3.1296)h(夕)= %(夕) + £少・疗)".
(3.1296)
(3.1296)
2=0
Предложение 3.6 основывается на следующих двух леммах.
Лемма 3.7. Пусть /(@) — лоренц-ковариантная обобщенная функция 6 М, преобразующаяся по представлению ^^к\ Тогда существует (и единственна 6 нетривиальном случае j = к) пара обобщенных функций 夕±(丁) 6 #'(К), совпадающих при г < 0, таких, Чт° /(@； 汴@"5"з±(@2) при 0 G 殡， (3.130)
гдегде^+ = M\V~, 匸二—耳.^+ = M\V~, 匸二—耳.(3.131)(3.131)
где
где
^+ = M\V~, 匸二—耳.
^+ = M\V~, 匸二—耳.
(3.131)
(3.131)
< Вначале докажем представление (3.130) на 4・ Перепишем условие ковариантности (3.126) в инфинитезимальной форме. С этой целью параметризуем комплексную 2x2- матрицу А = (А^) из SL(2,。)в окрестности единицы параметрами А}, △；, △；; произвольный 4-вектор 0 отождествим с эрмитовой матрицей р = (。。/万).Рассматривая левую часть условия ковариантности
"△*一力△）区公）= /（/,G,公）"△*一力△）区公）= /（/,G,公）(3.132)(3.132)
"△*一力△）区公）= /（/,G,公）
"△*一力△）区公）= /（/,G,公）
(3.132)
(3.132)
как обобщенную функцию из 守(М х С?), зависящую от А},厶3, △； как от параметров, продифференцируем (3.126) по этим параметрам и их сопряженным. В результате получится шесть дифференциальных уравнений. Мы выпишем только четыре (наиболее простые) из них, получаемые дифференцированием по △；, △；, △；, △；, поскольку остальные два являются следствием этих четырех:
/ а 丄 а _ а回而+022研j鋁/ а 丄 а _ а回而+022研j鋁/ = 0,(3.133а)/ = 0,(3.133а)/ = 0,(3.1336)/ = 0,(3.1336)
/ а 丄 а _ а
回而+022研j鋁
/ а 丄 а _ а
回而+022研j鋁
/ = 0,(3.133а)
/ = 0,(3.133а)
/ = 0,(3.1336)
/ = 0,(3.1336)
Далее заметим, что для доказательства представления (3.130) в области 耳 义 С? достаточно доказать его для области
Q = 1(р, ш) е а 义 С?： 011〉°, &?公〉°, Im RQ = 1(р, ш) е а 义 С?： 011〉°, &?公〉°, Im R++〉о}.〉о}.
Q = 1(р, ш) е а 义 С?： 011〉°, &?公〉°, Im R
Q = 1(р, ш) е а 义 С?： 011〉°, &?公〉°, Im R
+
+
〉о}.
〉о}.
Действительно, если (3.130) выполнено в Q, то так как обе части равенства являются полиномами по g,公，равенство (3.130) справедливо в большей области Qr = {(р, g) е 耳义 С2: @11 〉0}. Но действием преобразований группы SL(2,。) на область Q' мы получаем всю область 4 х С?, поэтому из (3.126) и из справедливости (3.130) в Q следует справедливость (3.130) в ^+ х С2.
Итак, докажем (3.130) в Q. В области Q произведем регулярную замену переменных:
(0, G)Т (т = (@)2, и = В®3, 011,012,^2, е = arg (J + 012G2/@11)),(3.134)
отображающую Q на
^ = 1? х /?+ х /?+ х С х С х (0, 7г).(3.135)
Нетрудно убедиться в регулярности отображения (3.134), представив его как результат последовательности двух регулярных отображений
(011, 022, 012“，d) т(011, Т = 011022 - |@21 匕 012,入= 011J+012GL ⑺；
012,丁，012, 〃 =—,夕=arg A, s
Следовательно, мы можем в /(@; g) 6 少(Q) произвести замену переменных:
/(?；&)=认т, 〃，о”，@12, У, е),(3.136)
где 吵 G 次).Подставляя (3.136) в систему (3.133), имеем
0113^吵=a0"烏吵= °，(3」373)
师+此2丽+0“后-220G=°，(3・1376)
丽 +022研 +@u后+2"顾丿吵=°・(3」37в)
Здесь А рассматривается как функция от г, и, рн, ?2,。 (не зависящая от p^Y Согласно (3.137а) 5^ 吵=g^ 吵=0, следовательно, в (3.1376) и (3.137в) можно приравнять нулю выражения при различных степенях 012 и @21 (=/12)・ В результате имеем
含吵=説3=就3=烏3=鼎吵=需=°(3」38)
Так как произвольный срез (г, и) = const области 次 является выпуклым в переменных о”，@12,以2,仇 то из (3.138) следует существование Ф(т, и) 6 #'(К х /?+) такой, что
认Т, U, 011, 012,『е) = Ф(т, и),
Т'е'/(р,= Ф(р2, шрш) в Q.(3.139)
Из условия однородности /(0, аш) = a2, (a)2k f(p, g), справедливого для любых комплексных а, следует Ф(т, “)=0 при j ^ к и Ф(т, и)= 〃"夕十(丁) ПрИ j = к. Тем самым для 4 доказано представление (3.130). Аналогично оно доказывается для 匸.Из справедливости (3.130) в а С 匸 следует, что 夕十(丁)=夕一(丁) при г < 0. ►
В качестве следствия имеем
кр, 9) = 6氷@刀3产F(p) при 0?0,(3.140)
где F(p) G 出(Af\{0}) и F(p)=夕土位)при 0 G 殡.
Следующим нашим шагом будет нахождение ковариантных обобщенных функций, сосредоточенных при 0 = 0.
Лемма 3.8. Пусть /(@) — лоренц-ко вариантная обобщенная функция 6 М, преобразующаяся по представлению 公好卜)〃 сосредоточенная при @ = 0. Тогда она имеет вид
/(0； 公)=Ь汴@万以产工 az(Dp)z+2j5(p) =(3.141a)
2=0
=djk{iudp^ 工 仇(口)%(0),(3.1416)
z=o
где ai и bi — произвольные комплексные числа.
◄ Так как /(@; g,公)сосредоточена при р = 0, ее преобразование ①ypbj /(/; g,公)по переменной р есть лоренц-ковариантный полином по ж, g, ш. Применяя к /(/; g,公)лемму 3.7 (или представление (3.140)), получим при / G 4
f(© 公)=djk^xuj^3 х^х).(3.142)
Очевидно, далее можно ограничиться случаем j = k = n/2. ^Гак как /(ж, g, cj) — полином по ж, то существует целое число т такое, что (公 3力以)小/(力；g,公)=0. Подставляя сюда (3.142) и используя тождества
@ 元5二0,@ 九5(/2)= 2@ 元5，(з. 143)
получаем (шхш)т+пх^т\х2) = 0, т. е.①/而严乂丁) = 0, и, значит, х(т) есть полином. Но в таком случае из (3.142) следует (3.1416). Далее из тождеств (3.143) находим
(cj дх ш)п{х2)1 = 0 при I < п,(3.144а)
@厶5乂/2y =加(/_ /y.2九@遍广(犷广九при /》见(3.1446)
так что
(шxшr(x2У =詐用.2-П@区5%/产<(3.145)
Последнее тождество позволяет переписать (3.142) в форме
公,5 二 djk • @3力5"工 q(/2)"\
2=0
что эквивалентно (3.141а). А
Приведем теперь аргументацию для предложения 3.6. Если j ^ к, то из лемм 3.7 и 3.8 следует, что /(@; g, ш) = 0. Пусть j = к = п/2 (где п — целое неотрицательное число); тогда при 0 R 0 /(0； g,公)представима в виде (3.140). Продолжая F(p) до лоренц-инвариантной обобщенной функции R(@) 6 筑卜М) (что возможно согласно предложению 3.5), получаем ковариантную обобщенную функцию 力(@, g, ш). Разность / -力 сосредоточена при р = О, поэтому она имеет вид (3.141а). Тем самым доказано представление (3.128а). Представление (3.1286) следует из представления (3.128а), примененного к /(/; g;公)—преобразованию Фурье /(@, g, cj) по р. Наконец, произвол в выборе функций F(p) и Я(р) в (3.128) легко следует из тождеств (3.144). Это завершает доказательство предложения 3.6.
В следующем упражнении приведено свойство стандартного коварианта (3.127), характеризующее его однозначно с точностью до числового множителя.
Упражнение 3.18. Доказать, что в пространстве лоренц-ковариантных полиномов Q(@) от 0 G М, преобразующихся по представлению ^^/2^/2\ условия псевдогармоничности по р
□pQ(p) = 0(3.146)
выделяет одномерное подпространство, натянутое на стандартный ковариант (3.127). (Указ а н и е: достаточно убедиться, что из условия DpQ(p, ^) = 0, где Q(@, §) = (рУ Р(*, ^2 = 0 и Р(2)— полином от г, следует, что Р(г) = const.)
Из предложения 3.6 легко получить структуру ковариантных обобщенных функций /(р) в М, преобразующихся по произвольному конечномерному представлению Т группы SZ/(2, С). Всякое такое представление Т разлагается в прямую сумму представлений D("J), входящих с кратностями к叮=0, 1, 2, ... (где г, j — произвольные целые или полуцелые неотрицательные числа), так что £ kij < оо. Символически такое представление записывается в виде ㊉ к分^力卜)).
Упражнение 3.19. Пусть 丁二㊉衣管力^」) есть произвольное конечномерное пред
ставление собственной группы Лоренца (или SL(2, С)) и пусть к = £&?.
Доказать, что псевдогармонические (по @) лоренц-ковариантные полиномы Q(@) от 0 6 М, преобразующиеся по представлению Т, составляют /с-мерное линейное пространство и линейный базис {QP(p)} в этом пространстве является одновременно полиномиальным базисом стандартных ковариантов в М, преобразующихся по представлению Т. (Указание: воспользоваться предыдущим упражнением.)
Пусть стандартные коварианты QP(p) выбраны однородными полиномами от @ соответствующей степени пр (нетрудно убедиться, что это предположение не является существенным ограничением общности). Доказать, что всякая лоренц-ковариантная обобщенная функция /(0)в М, преобразующаяся по представлению Т, имеет вид
〃0)=工 Qo(@)%(0)=(3.146а)
р
=J2(2Р(Я)яр(р)(3.1466)
р
при некоторых лоренц-инвариантных обобщенных функциях 兄(@) и Нр(р), которые определяются этими представлениями с точностью до соответствующего слагаемого aQ(D)b(@) и bp(F), где ap(z) и bp{z) — произвольные полиномы от г степени пр.
Примеры. 1) Пусть представление Г есть 4-векторное представление R(i/2」/2). Тогда имеется один (независимый) стандартный ковариант в М\
(3.147)
Отсюда следует, что всякая 4-векторная лоренц-ковариантная обобщенная функция Fjp) из У(7И) представима в виде
Fn3=PrFS，(3.148)
где 歹(夕)—лоренц-инвариантная обобщенная функция из 少(М).
Пусть Т есть тензорное произведение двух экземпляров дираковского представления д°/2°)㊉ д(°」/2). В этом случае имеется два (независимых) стандартных ковариантас /__、
'Qi(夕；= wpu,
〜(3.149)
Q2(夕；G, D； w, w) = B^w,
3.4. Случай нескольких векторных переменных
А. Обобщенные функции, инвариантные относительно компактной группы. Мы видели в § 3.2, что уже для одного 4-вектора описание лоренц-инвариантных обобщенных функций довольно сложно, и причина этого заключается в некомпакт- ности группы Лоренца. Однако в ситуации (типичной для квантовой теории поля), когда по крайней мере один из 4-векторов времениподобен, имеет место значительное упрощение за счет сведения группы инвариантности (или ковариантности) к (компактной) группе вращений. Прежде чем обратиться непосредственно к этому случаю, мы приведем вспомогательный материал об обобщенных функциях, инвариантных или ковариантных относительно компактной группы ).
В качестве исходного объекта нашего рассмотрения мы примем компактную группу Ли G, действующую линейно на Rn. Посредством дх обозначим точку из Rn, получаемую действием элемента р 6 G на ж 6 Rn. (При этом подразумевается, что дх непрерывно и даже бесконечно дифференцируемо по д.) Посредством ^{Rn)G и 驴＜Rn)G обозначено множество всех G-инвариантных основных и обобщенных функций в Rn. Топология на них индуцируется топологией на ^(Rn) и, соответственно, слабой топологией на ^f(Rn).
Нашим основным примером будет группа O(d) всех ортогональных преобразований вещественного евклидова пространства Rd (d》2), снабженного евклидовым скалярным произведением “
ху = Х§У5 (3.150)
5=1
(где xs и ys — компоненты векторов х, у е к"). При любом натуральном k (= 1, 2,...) евклидово пространство Rdk мы отождествим с декартовым произведением Rd х ... х Rd к экземпляров пространства К"; точкой в Rdk служит набор х = (xi, ..., Хк), где Xi, ... ...,Хк ——произвольные векторы из К". Теперь группа O(d) естественным образом действует и в Rdk\
Я(Х1, , Хк) = (Яхь , Rxk), A G O(d). (3.151)
Отметим, что группа O(d) несвязна: она состоит из двух компонент, характеризуемых уравнениями det R = ±1. Компонента O(d), содержащая единицу, есть группа O+(d) всех собственных ортогональных преобразований (или евклидовых вращений).
Из предположения компактности группы G следует, что ^{Rn}G можно естественным образом отождествить с {^{Rn)Gy — пространством всех линейных непрерывных функционалов на ^{Rn)G. Точнее, справедливо следующее утверждение.
Лемма 3.9. Пусть G — компактная группа Ли, действующая линейно на Rn. Тогда оператор, сопоставляющий каждой обобщенной функции из y(K)G (长口长 функционалу на ^{Rn}) ее сужение на подпространство "皿汽 является изоморфизмом 火(7?办尸 на ("便几尸у.
Это утверждение основано на существовании усреднения по группе G. Известно (см., например, [Ж1], § 7), что на любой компактной группе Ли G имеется (единственный) инвариантный нормированный интеграл, сопоставляющий всякой комплексной непрерывной функции 九(д) на G комплексное число J 九(g) dg (интеграл по группе G) так, что выполнены условия инвариантности
I 對二]Mdg) dg =]以g) dg для всех g e G, (3.152) нормировки
pp = 1 (3.153)
и непрерывности (нз равномерной по g сходимости Ak(g) т 0 при к т ос следует, что \ hk dg т “. Это обстоятельство позволяет ввести линейный непрерывный оператор усреднения Е по G, действующий из ^(/?п) на "Н1/ по формуле
{Еи)(х) = I u(gx) dg, и С 屮(R"). (3.154)
С помощью оператора Е G-инвариантная обобщенная функция /(ж) восстанавливается по своему сужению на ^(Rn)G формулой
(/,〃) = (/,£〃)• (3.155)
Упражнение 3.20. Пусть G и Н — компактные группы, действующие линейно в Rn и имеющие одинаковые орбиты, т. е. Gx = Нх для всех х 6 Rn. Доказать, что S\Rn)G = = S'(Rn)H. (уКазаНИе： G-инвариантность функции означает, что она постоянна на G-орбитах. Вывести отсюда, что S{Rn)G = S{Rn)H\ далее воспользоваться леммой 3.9.)
Упражнение 3.21. Доказать, что при k < d условие О+ (^-инвариантности обобщенных функций в Rdk равносильно условию О (^-инвариантности. (Указание: воспользоваться предыдущим упражнением, предварительно показав, что для любой точки х 6 Rdk 11 Н. Н. Боголюбов и др.
при k < d существует R 6 O(d) с det R = —1 такое, что Rx = ж; например, в качестве R можно взять отражение от гиперплоскости в К", содержащей 0, Xi, ..., Хк-)
Среди представлений, используемых в теоретической физике для инвариантных (обобщенных) функций, наибольшее значение имеет представление вида
貝力)=0(厶(力)，,乙(力))=0。/,(3.156)
где 7"i(x),, /"(力)—фиксированный набор вещественных G-инвариантных поли
номиальных функций в Rn, задающих отображение
r.Rn 9/一(厶(力)，…，厶(/))eK\(3.157)
а 夕一некоторая функция (или специальным образом понимаемая «обобщенная функция») на множестве
С = /(7Г).(3.158)
Относительно полиномов 厶，/“ предполагается, что они являются образующими в кольце всех (для определенности комплексных) G-инвариантных полиномов в Rn, т. е. всякий G-инвариантный полином Р(力)в Rn представим в виде
р=ро1(3.159)
с некоторым полиномом р в KJ В этом случае 厶，…，/“ называют стандартными (полиномиальными) инвариантами.
В нашем изложении мы будем предполагать выполненным также условие алгебраической независимости стандартных инвариантов, означающее, что стандартные инварианты не связаны между собой алгебраическими соотношениями (или, эквивалентно, что из равенства р о / = 0 для некоторого полинома р в Ry следует р = 0). Оно выполнено в точности тогда, когда ) множество Q (3.158) (образ Rn относительно /) имеет непустую внутренность в К". (В противном случае Q лежит на алгебраической поверхности в К".) В то время как в рассматриваемом случае компактной группы G набор стандартных полиномиальных инвариантов существует всегда ([Ж1], §98), условие алгебраической независимости выполнено далеко не во всех случаях (например, при не слишком больших к в случае группы O(+)(d)). Зато при выполнении этого условия представление (3.156) имеет простую и непосредственную интерпретацию.
Пусть G — группа O(d), действующая в Rdk. Нетрудно показать ([В5], гл. II, пп. 11, 17), что скалярные произведения
XiXj = Iij (ж)(3.160)
(z,J = 1, ..., к) являются образующими в пространстве О(</)-инвариантных полиномов. Между инвариантами имеются очевидные соотношения /叮="* которые позволяют ограничиться подсистемой нз 沙二 k(k + 1) инвариантов Iij с г < J. Тем самым при к d получаются алгебраически независимые стандартные инварианты. При к > d условие алгебраической независимости стандартных инвариантов не выполнено, а именно, между инвариантами /叮(с г < J) имеются алгебраические соотношения (которые сводятся к равенствам нулю всех миноров размера (d+ 1)义(d+ 1) матрицы (J^))-
Нетрудно охарактеризовать множество Q = I(Rdk) при к ^ d. Отождествим К" с множеством всех вещественных симметричных матриц у = (у叮)размера к 义 к; тогда Q есть множество всех вещественных симметричных неотрицательно определенных матриц (”/):
Q = {у = {д叮卜j=i,...,k： у = уТ неотрицательно определена}.(3.161)
(Это есть непосредственное следствие теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду, в силу которой вещественная симметрическая матрица у размера k х к положительно определена в точности тогда, когда (при любом d^ к) она представима в виде у = хтх, где х — некоторая вещественная матрица размера d х к, а хт — ее транспонированная матрица.)
Для группы 。十(&), действующей в Rdk при к < d, указанные полиномы по-прежнему являются алгебраически независимыми стандартными инвариантами (более того, согласно упражнению 3.21, в этом случае группу。十⑷ можно заменить на 0(d)). Однако при к d появляются инварианты нового типа, а именно det (ж^-), где i,j = 1, ..., d, a {oq, ..., а〃}— произвольный набор различных чисел из {1, ..., к} (упорядоченных в порядке возрастания). В частности, при к = d имеем один дополнительный инвариант
det(W)oj=i,(3.162)
Стандартные инварианты группы。十(&) при к ^ d алгебраически зависимы; например, инвариант (3.162) связан с инвариантами (3.160) соотношением
det2(^-) = det (厶з).(3.163)
Согласно лемме 3.9 первым шагом в описании G-инвариантных обобщенных функций в случае компактной группы G должно быть нахождение структуры G-инвариантных основных функций. Как и следовало ожидать, представление типа (3.156), которое мы потребовали для G-инвариантных полиномов, естественно распространяется на G-инвариантные основные функции.
Предложение 3.10. Пусть G — компактная группа Ли, действующая линейно 6 Rn, причем существует набор алгебраически независимых стандартных полиномиальных инвариантов h, ..., /“. Тогда множество Q = I(Rn) является канонически замкнутым регулярным множеством в К", а соответствие
У(С) 3v^u = vol e^{Rnf(3.164)
осуществляет {топологический) изоморфизм между пространствами )斤(С) и ^(Rn)G.
Распространим представление (3.156) на G-инвариантные обобщенные функции. Мы будем интерпретировать правую часть формулы (3.156) в духе слабого интегрального представления (см. дополнение А.2):
(夕。/)⑺三 8® — /(力))夕(g)d"g(3.165)
или, эквивалентно,
(夕。“)=(夕(g), 8(g - /(力))〃(力)d72/)(3.166)
при всех и 6 "R?. Эта формула показывает, что следует ввести множество всех функций на Q вида
= 8(g - /(力))〃(力)dnx,(3.167)
определить на нем подходящую структуру ЛВП, а затем рассматривать 夕(у) как линейный непрерывный функционал на этом пространстве. После этого формулу (3.166) можно принять в качестве корректного определения композиции 夕。/ отображения I и функционала 夕.
В общем случае приходится допустить возможность, что функция s(g) определена формулой (3.167) не на всем множестве Q, а лишь на некотором всюду плотном подмножестве в Q. Действительно, выражение b(g — /(/)) является хорошо определенной обобщенной функцией по х (зависящей S-образом от у как от параметра), по крайней мере, если выполнено условие: у является регулярным значением отображения /, т. е. ранг якобиевой матрицы D /(/) равен 沙 для всех х на многообразии /(/) = у. (Это условие регулярности позволяет трактовать инварианты /1(/), 1и(х) как первые 沙 локальные координаты в окрестности такой точки /.) Введем множество
次={/G К"： ранг D /(/) равен 沙}. (3.168)
Очевидно, оно открыто, G-инвариантно и (в силу того, что G-инвариантные полиномы, и, значит, отображение I разделяют G-орбиты, [Ж1], § 98) J-насыщено, т. е. 次 =/-】(/(次)). Поэтому /(次)открыто (в силу теоремы о ранге) и состоит из регулярных значений отображения I. Кроме того,次，очевидно, плотно в Rn и, значит, /(次)плотно в Q. Из сказанного следует, что формула (3.167) при любой и 6 ^(Rn) определяет ^"-функцию s(g) по переменной у, пробегающей подмножество /(次)，открытое в К" и плотное в Q. В этом смысле мы будем понимать эту формулу.
Дальнейшая характеризация множества всех функций s(g) вида (3.167) существенно упрощается тем обстоятельством, что в формуле (3.167) достаточно ограничиться лишь G-инвариантными функциями 〃(/) (так как, согласно формуле (3.155), правая часть (3.167) не изменится, если произвольную и е 斤(К72) заменить на Ей е 6 少(К?%. Воспользуемся теперь предложением 3.10, согласно которому всякая G-инвариантная основная функция имеет вид и = v о 1у где о е 斤(С). Отсюда получаем общий вид интересующих нас функций
= х(у)。匂)， (3.169)
где о(у) — произвольная функция из 斤(Q), а х(у) — фиксированная ^^-функция на /(К), равная
X^=^6(y-I^dnx. (3.170)
Мы пришли к выводу, что интересующее нас множество основных функций s задается формулой (3.169), т. е. умножением 斤(С) на фиксированную функцию у. Обозначим пространство всех таких основных функций s через 斤乂(^)・ Естественная структура ЛВП на ^X(Q) определяется таким образом, чтобы оператор умножения на х (о — X • °) из 斤(°) на 斤乂(^) был (топологическим) изоморфизмом. В терминах определяющей системы полунорм структура ЛВП на 斤乂(°) задается полунормами pi,m
' Pi,mM = 1Ь11Гт ПРИ всех 。6 斤⑼， (3.171)
где I, т е Z+. Как обычно, через (外⑼)'будем обозначать пространство всех линейных непрерывных функционалов над 斤乂(^)・ Выше 斤乂(°) мы рассматривали как пространство, полученное из 斤⑼ умножением на х，подобно этому можно рассматривать (外(С))' как пространство, полученное из У (С) умножением на 1/х， и обозначать его через 斤"*(^)・ С этой целью определим оператор умножения на 1/х из 火⑼ на 斤入⑼ посредством формулы
(飙,х°) = W，°)(飙,х°) = W，°)для всех ⑦ 6 У(С), о е 斤(С)для всех ⑦ 6 У(С), о е 斤(С)(3.172)(3.172)
(飙,х°) = W，°)
(飙,х°) = W，°)
для всех ⑦ 6 У(С), о е 斤(С)
для всех ⑦ 6 У(С), о е 斤(С)
(3.172)
(3.172)
или (что более наглядно) с помощью символических интегралов
-) М Й =［仰 dg.X/ J-) М Й =［仰 dg.X/ J(3.173)(3.173)
-) М Й =［仰 dg.
X/ J
-) М Й =［仰 dg.
X/ J
(3.173)
(3.173)
Легко видеть, что оператор умножения на 1/х из У (С) на 斤［/*(^) является (топологическим) изоморфизмом (поскольку он является оператором, сопряженным оператору умножения на 1/у из 斤乂(°) на @(С)，который является изоморфизмом по построению).
В результате мы приходим к следующему определению композиции 夕。/ в (3.156), а именно: при произвольных 夕 из 斤"*(^) формула (3.166) определяет 夕 о / 三夕(/(/)) как G-инвариантную обобщенную функцию из 驴〈R?. Это позволяет дать описание всех G-инвариантных обобщенных функций из 驴卜R?.
Предложение 3.11. Пусть G — компактная группа Ли, действующая линейно в Rn, и пусть существуют алгебраически независимые стандартные полиномиальные инварианты 厶，…，/“. Тогда соответствие 夕—夕。/ является (топологическим) изоморфизмом 斤на 驴(Н1)。.
Примеры. 1) Рассмотрим действие O(d) на К". Роль стандартного инварианта играет J(x) = |х|2, а множество Q совпадает с неотрицательной вещественной полуосью Я+ = ［0, ос). В данном случае функция х(д) пропорциональна 产"、.Значит, всякая О(</)-инвариантная обобщенная функция / из #/(К“) однозначно представляется в виде
S(図 2)，(3.174)
где з=3(g) e d/2+1(a+).
Пусть 0(3) действует в /?3'2. В этом случае имеем три стандартных инварианта
厶(/)(三 Ill (ж)) = |xi|2,厶(/)(三 /12(/)) = Х1Х2,/з(/)(三厶2(/)) = |х2|2,(3.175)
Множество Q является конусом в R3:
У1Уз - ?/2 > 0, 伊》0,(3.176)
а функция х(д) является положительной константой. Следовательно, для О(3)-инвариантных обобщенных функций из «'(K*?) имеет место представление
/(x1, Х2)=9(君，Х1Х2,/),/(x1, Х2)=9(君，Х1Х2,/),(3.177)(3.177)
/(x1, Х2)=9(君，Х1Х2,/),
/(x1, Х2)=9(君，Х1Х2,/),
(3.177)
(3.177)
где 夕 е 於(С).
Рассмотрим О(3)-инвариантные обобщенные функции из ^(i?3'3). Стандартные инварианты/ 、/、
/“•(/) = XiXj(3.178)
пробегают множество Q:
Q = {у = {yij}i,j=i,2,3 • У = уТ неотрицательно определена}.(3.179)
Функция х(д) равнаФункция х(д) равнаХЫ = Tr2(det(g#)T/2.ХЫ = Tr2(det(g#)T/2.(3.180)(3.180)
Функция х(д) равна
Функция х(д) равна
ХЫ = Tr2(det(g#)T/2.
ХЫ = Tr2(det(g#)T/2.
(3.180)
(3.180)
Таким образом, для О(3)-инвариантных обобщенных функций в R3'3 имеем представление
/8, х2, х3)=夕(宕，君，岩，xix2, х2х3, xix3),(3.181)
где夕е歹/х(С)・
О+(3)-инвариантные обобщенные функции в R3'3 выходят за рамки предложения 3.11, так как дополнительный инвариант det(/?) связан с (3.178) алгебраическим соотношением. Очевидно, достаточно рассмотреть отдельно четные и нечетные обобщенные функции, характеризуемые соответствующим условием
/(—%1, -х2, -х3) = ±/(xi, х2, х3).(3.182)
В первом случае мы фактически имеем О(3)-инвариантные обобщенные функции, для которых справедливо представление (3.181). Можно показать (см. ниже упражнение 3.27), что нечетные О+(3)-инвариантные обобщенные функции в R3'3 имеют вид
/(Х1, х2, х3) = det(^) • /0(x1, х2, х3),(3.183)
где УЬ есть О(3)-инвариантная обобщенная функция в R3'3 (допускающая представление типа (3.181)).
Б. Обобщенные функции, ковариантные относительно компактной группы. Пусть по-прежнему G есть компактная группа Ли, действующая линейно в Rn. Кроме того, пусть в конечномерном комплексном векторном пространстве ЭС задано представление 7(g) группы G. Тогда в сопряженном пространстве 歹'действует контраградиентное представление
亍(д) = т(д—У(3.184)
Через 窦Rn;夕)и ^(К72;夕”)обозначим пространства ^-значных основных и ^-значных обобщенных функций в Rn. Если 瓦，…，匕二 ——базис в 夕；то произвольный элемент из 5^(7?п;夕)имеет вид
"())=52 必"a(力)，
где 〃。(力)—произвольные функции из 乡(К72). Аналогично, взяв дуальный базис /в山, мы можем записать произвольный элемент из 9<Rn;夕”)в виде
/О) = £ bfafa(x\
а=1
где 九(力)—произвольные обобщенные функции из 驴〈R?. Пространство ，卜Rn ；夕")естественно считать сопряженным к ^{Rn\ 夕),полагая
(/，〃)= £fa ⑺.(3.185)
a=l」
Условие ковариантности
Т(д~^) и(дх) = u(x) при всех geG(3.186а)
выделяет подпространство ^(Rn;夕)G G-ковариантных основных функций. В компонентной записи это условие имеет вид
£Т臥 g-b"(gg =个(力)， geG.(3.1866)
Аналогично определяется подпространство У (К72;歹，尸 q 斤/(7?几；夕”)G-ковариантных обобщенных функций.
Имеет место формула (аналогичная (3.155)), позволяющая восстановить G-ковариантную обобщенную функцию по ее сужению на ^(Rn;夕)G：
(/, 〃)= (/,石〃)，/ е PR;勿)g, “ e "R?夕)；(3.187)
здесь
(石〃)⑺= T(g~^u(gx)dg, 〃 е У(7Г;夕).(3.188)
Поэтому (как и в лемме 3.9) мы можем отождествить У (К72;吋尸 с пространством линейных непрерывных функционалов на ^(Rn;夕)g,「е. ^(Rn;夕)Gy.
Для ковариантных основных и обобщенных функций широко употребительны так называемые ковариантные разложения
N
”(力)=EQ^z)。^/)’(3.189)
N
/⑺= £Q'p⑺ М⑺,(3.190)
0=1
поскольку они явным образом учитывают условие ковариантности. Здесь {Qa} и {Q：} — фиксированные наборы ковариантных функций (ковариантов), va (и Др)— инвариантные функции (и обобщенные функции), иногда называемые инвариантными амплитудами. Особо важен случай полиномиальных ковариантов.
Пусть ^{Rn;夕)G есть совокупность всех ^-значных G-ковариантных полиномиальных функций в Rn. Назовем семейство {Qa}^i элементов из ^{Rn\ 5T)G стандартными полиномиальными ковариантами в Rn, если произвольный элемент Р е 夕(К72;夕)G представим в виде
N
p(/)=£ Qo(力)0。(力)(3.191)
с некоторыми G-инвариантными полиномами ра(х). Если разложение (3.191) однозначно, т. е. если из Р = 0 следует ра = 0 для всех о, то семейство {Q。} будем называть полиномиальным базисом стандартных ковариантов в Rn, преобразующихся по представлению Г группы G. (Сформулированное условие, в частности, исключает практически мало полезный случай, когда число N инвариантных амплитуд превосходит число L = dim ЭС компонент ^-значных функций.) Можно показать, что условие однозначности разложения в классе 彳(К72;夕)G по стандартным полиномиальным ковариантам Q。выполнено в точности тогда, когда значения стандартных ковариантов Qi(х),..., Qn(力)в фиксированной точке х, рассматриваемые как векторы из 5Г, линейно независимы хотя бы при одном значении х (или при всех 力 из некоторого плотного открытого множества в Rn, что то же самое ввиду полиномиальной зависимости ковариантов от 力).Это условие удовлетворяется не всегда (например, при не слишком больших к в случае группы O+(d), действующей в Rdk).
Отметим, что условие существования полиномиального базиса стандартных ковариантов симметрично относительно ST и 夕二 Если {Q。} есть такой базис в 彳(К72;夕)，то существует полиномиальный базис стандартных ковариантов {Q：}31 для 夕(К72;夕”)；например, можно положить
Q 貝力)=JQ^z),(3.192)
где 夕 есть G-инвариантный антилинейный изоморфизм 5r на 吋.
Упражнение 3.22. Построить G-инвариантный антилинейный изоморфизм 夕 на 夕'. (Указание: на < существует G-инвариантное скалярное произведение 〈Xi, X?〉； определить 0X1, полагая (OXi, Х2) =〈Xi, Х?〉.)
Определим N х TV-матрицу q(力)=(«0^(力))，элементы которой являются G-инвариантными полиномами:
(/)=£(/)Q/a(/)•(3.193)
a=l
Для ковариантных разложений обобщенных функций матричная функция q(/) играет роль, аналогичную той, которую имеет функция х (3.170) для инвариантных представлений.
Упражнение 3.23. Доказать, что detq(/)壬 0. (Указание: достаточно рассмотреть случай, когда коварианты Q^x) имеют вид (3.192); в этом случае qP(r(x) =〈Qq(/), Qct(x)) есть положительно определенная матрица в тех точках ж, где коварианты QCT(x) линейно независимы.)
Обратимся к примерам групп SU⑵ и 0(3). Как уже отмечалось (см. упражнение 35(a)), гомоморфизм А т А(А) (3.39), суженный на подгруппу SU(2) С SL(2, С), является двукратным накрытием группы。十(3), так что
A(U) е О+(3) при и е SU(2).(3.194)
Из теории углового момента хорошо известно, что неприводимые представления группы SU⑵ параметризуются целым или полуцелым неотрицательным числом s — спином представления. Представление Х>($) со спином s можно реализовать в пространстве 中($°) однородных полиномов no g G С? степени 2s. Фактически Х>($) есть сужение представления X>^s,0^ (см. (3.53)) группы SL(2,。)на подгруппу SU(2).
Здесь нас интересует только представление с целым спином. Именно такие представления порождают (однозначные) представления группы О+(3). Удобно перейти от переменной g G С2 K новой переменной《=《(g) G С3:
=(CJ2)2 —(CJ1)2,《2 =—分(館)2 + (&2)2)；(3 = 2^^2.(3.195)
При этом выполнено равенство
—(х = шехе()ш(3.196)
при всех х е М с xQ = 0. Нетрудно убедиться, что при g G С? 《(g) пробегает следующую квадрику в С3:
其三(UY +(«2)2+ («3)2 = 0.(3.197)
Величина《удобна тем, что она преобразуется при вращениях как 3-вектор:
«(Us) = A(U) «(а) при всех U е SU(2).(3.198)
Очевидно, при целом s всякий однородный полином 吵(g) степени 2s по ш единственным образом выражается как однородный полином 也(《)степени s от переменной 《=《(g) на квадрике (3.197):
认 5 = @(«(5).(3.199)
Пусть 中(s°) есть пространство всех таких функций 吵(《)• Тогда представление Т>^ группы О+(3) в 2，。) имеет вид
⑶(s，o)(a)前⑹=3第一力 при R e 0+(3).(3.200)
Что касается представлений группы 0(3), то их легко построить, заметив, что 0(3) есть прямое произведение своих подгрупп 0+(3) и 否={1, -1}. Отсюда получается, что всякое
неприводимое представление группы 0(3) характеризуется с точностью до эквивалентности (целым неотрицательным) спином s и знаком 〃 = ±1 (пространственной четностью представления); для соответствующего представления имеем
^\R) =^°\R),需)(-〃)=〃 •产》sQ(A) при AC 0+(3).(3.201)
В терминах пространства 中($°)представление (3.201) принимает вид
CD；)(A)屯)(0 = (det А/—#/?©(АТ。при всех R е 0(3).(3.202)
Упражнение 3.24. Пусть /)есть пространство всех комплексных гармонических полиномиальных функций 夕«) от (вещественного или комплексного) 3-вектора /, однородных степени s (= О, 1, 2, ...). Доказать, что действие 0(3), сопоставляющее элементу R G 0(3) отображение
夕⑺ т ~⑺=(det 〃尹—⑴分以冗—乜)при всех R е 0(3)(3.203)
эквивалентно представлению Х>^ группы 0(3) в 中(s‘°). (Указание: убедиться, что отобра
夕 т где =夕⑹，(3.204а)
где 屮(/)=星)U《(9))，(3.2046)
взаимно обратны; в формуле (3.2046) подразумевается, что /° = 0.)
Посмотрим структуру стандартных полиномиальных ковариантов в рассматриваемом случае группы。十(3) (или 0(3)), действующей линейно в пространстве К次.Согласно сказанному выше мы можем считать, что (неприводимое) представление Х>($)группы 0+(3) (или представление Х>^ группы 0(3)) реализовано в пространстве ф^5,0\ Тогда 0+(3)-ковари- антной функцией в R3k, преобразующейся по представлению Х>($), является всякая функция /(xi,, %/с；《)от переменных Xi, ..., Xk 6 R3, зависящая еще от параметра 《на квадри
ке (3.197) как однородная полиномиальная функция степени s, такая, что
/(Яхь , Rxk, Я() = /(xi,, х/с； при всех А е。十(3).(3.205)
Мы видим, что условие ковариантности, в сущности, становится условием инвариантности, если рассматривать《как равноправную переменную ). Аналогично характеризуются О(3)-ковариантные распределения в R3k, преобразующиеся по представлению X)^s\
Стандартные 0+(3)-коварианты строятся как подходящие О+(3)-инвариантные полиномиальные функции от %1,...，工小；《.Лишь при k W 2 удается построить полиномиальный базис стандартных ковариантов при всех s. При k = 1 имеется один стандартный ковариант
(х^у.(3.206)
При к = 2 в качестве полиномиального базиса стандартных ковариантов можно выбрать достаточное количество полиномов степени s от трех комбинаций: xi(, %2« и det(xi, Х2,《) (где последнее выражение есть детерминант, составленный из компонент векторов Xi, Х2,《). Так как (2 = 0, то det2(xi, х2,《)выражается через Xi, Х2, Xi( и %2«； значит, достаточно ограничиться лишь нулевой и первой степенью комбинации det(xi, Х2,《)• Таким образом, получаем полиномиальный базис из 2s + 1 стандартных ковариантов
det(xi,A：2, e『(不0。(%206,(3.207)
где_
а = 0 или 1; a, b е Z+, ст + а + b = s.(3.208)
Упражнение 3.25. (а) Пусть к = 1. Доказать, что выражение (3.206) определяет полиномиальный базис стандартных ковариантов группы。十(3), преобразующихся по представлению X>(s). (Указание: удобно воспользоваться изоморфизмом пространств 中($°) и Ь($), описанным в упражнении 3.24. В этом случае ковариантные полиномы в К^ отождествляются с инвариантными полиномами 夕(％, /) от векторов х, / 6 R3, которые гармоничны и однородны степени s по /. Согласно п. 3.4.А такие полиномы можно записать в виде F(x2, х/, /2), где Р — полином от трех переменных. Возвращаясь к переменной 《по формуле (3.204а), получить отсюда, что 《)=p(x2)(x(^)s, где р — полином от одной переменной.)
Пусть к = 2. Доказать, что выражения (3.207) определяют полиномиальный базис стандартных ковариантов от двух векторов Xi, Х2, где имеется в виду представление группы 0+(3). (Указание: в связи с доказательством того, что выражения (3.207) можно принять в качестве стандартных полиномиальных ковариантов, см. часть (а) упражнения. При этом в действительности получается полиномиальный базис стандартных ковариантов; это следует из того, что коварианты (3.207), рассматриваемые как функции《на квадрике (3.197), линейно независимы при любых фиксированных линейно независимых Xi и %2・)
Упражнение 3.26. Убедиться, что при реализации представления Х>($) (с целым s) группы。十(3) в пространстве 中($°)можно в качестве стандартных ковариантов при к = 1 или 2 взять следующие: при к = 1 один стандартный ковариант
,(3.209)
а при к = 2 2s + 1 ковариантов
,(3.210)
где а, а, b пробегают значения, указанные в (3.208).
Аналогично, условие О(3)-ковариантности (обобщенных) функций в К次，преобразующихся по представлению X)厂)(с целым спином s и четностью ту = ±1), выражается наряду с (3.205) еще одним соотношением:
, -хк; -«) = 〃/8,, Xfc； «).(3.211)
Если к = 1, то при 〃 = +1 имеется один стандартный ковариант (3.206), а при ту = —1 ненулевых ковариантных функций нет вообще. Если к = 2, то при ту = +1 в качестве полиномиального базиса можно взять s + 1 стандартных ковариантов
(不6厂(%26户一\ где a = 0, 1,…，S,(3.212)
а при 〃 = — 1 можно выбрать следующие s стандартных ковариантов (конечно, при s > 1): det(xi,X2, C)(xiOa(X2OS"a-1， где а = 0, 1,1.(3.213)
Разложение (3.191) распространяется на ковариантные основные функция.
Предложение 3.12. Пусть G — компактная группа Ли, действующая линейно в Rn, и пусть существует полиномиальный базис стандартных ковариантов 6 Rn, преобразующихся по представлению Г группы G в 5r. Тогда всякая ковариантная основная функция 〃(/) е "R?夕)G однозначно представима е виде (3.189), где。。(力)—G-инвариантные основные функции-, формула (3.189)
N
осуществляет топологический изоморфизм прямой суммы ^^{Rn)G (к экземпляров пространства ^{Rn)G) на "R71；夕，尸.
Переходя к разложению типа (3.190) для ковариантных обобщенных функций, мы прежде всего установим смысл инвариантных амплитуд. Результат сглаживания (3.189) с произвольной основной функцией и 6 斤(К72;夕)имеет вид
(3.214)(3.214)(/，и)= £ (近(力)，^Qfp^
(3.214)
(3.214)
0=1 'a=l/
Согласно формуле (3.187) левая часть этого равенства не изменится, если и заменить на Е〃，поэтому достаточно ограничиться рассмотрением G-ковариантных основных функций. С помощью представления (3.189) соотношение (3.214) приобретает вид
(/，")= £ (近(力), £(/)(3.215)
где о =(0。(力))е ㊉斤(K^'G. Будем здесь рассматривать матрицу q как оператор NN
в ㊉斤(К72), сопоставляющий элементу и = {。。(力)}^〔 е @^{Rn) элемент qv с компонентамиN
= £ qw(/)。。(力).(3.216)
а= 1
Можно показать, что оператор q в действительности есть топологический изоморфизм пространства ㊉斤(К72) на некоторое замкнутое линейное подпространство в NN
㊉斤(К72), которое мы обозначим q@^{Rn). Формула (3.215) подсказывает интерпретацию инвариантных амплитуд hp{x) в ковариантном разложении (3.190): набор N
Д = {九о(力)} есть линейный непрерывный функционал на q ф ^(Rn)G, который (как и в лемме 3.9) можно отождествить с G-инвариантным линейным функционалом
на q ㊉斤(К^).
Подобно тому как в предыдущем разделе мы ввели оператор 1/х (см. (3.172)), мы введем аналогичный изоморфизм qf~x из ^^\Rn) в пространство (q^^(Rn)y линейных непрерывных функционалов на q㊉斤(К72); по определению
(〃",烈)=(Я, о)(3.217)
для всех Н = {Нр{х}} 6 @^{Rn\ о 6 {。。(力)} 6 @^{Rn).
С помощью этого построения мы приходим к следующей характеристике G-ковариантных обобщенных функций.
Предложение 3.13. Пусть выполнены условия предложения 3.12 и пусть {Qfp} есть стандартный базис полиномиальных ковариантов в Rn, преобразующихся по контраградиентному представлению. Тогда всякая G-ковариантная обобщенная функция /(х) 6 事卜R1 ；夕‘尸 представима в виде (3.190), где Д = =(九0(力))есть элемент пространства qf~{ ^^{Rn)G\ согласно этой формуле значение / на основной функции и 6斤(К%少) записывается в виде
(/, 〃)=(瓦 qEu)(3.218)
(где Е и q — операторы (3.188) и (3.216)). Тем самым формула (3.190) осуществляет изоморфизм между 9<Rn;夕‘尸 и q"' ㊉火(7?几尸.
Комбинируя предложение 3.13 с предложением 3.11, мы можем далее выразить инвариантные амплитуды hp в ковариантном разложении (3.190) в терминах инвариантов 厶，…，/".
Предложение 3.14. Пусть G — компактная группа Ли, действующая в Rn, и пусть существуют алгебраически независимые стандартные полиномиальные инварианты 厶，…，厶 и полиномиальный базис стандартных ковариантов в Rn,
преобразующихся по представлению Г группы G в ЭС {и по представлению Г 6 夕').Тогда всякая G-ковариантная обобщенная функция /(ж) е У (К72;夕)G представима в виде
/(/)=£ Q；(/)％(厶(力)….，74/))，(3.219)
где Н = {/(у)} есть элемент пространства Х,-1 ㊉汇仆(°)・
Здесь мы считаем, что матрица инвариантных полиномов q(力)=(q。。(力))выражена через厶，…，厶：
= Хр£1 ⑺)(3.220)
(Xpcr(y) — полином в К"), и что соответствующие операторы X и Х,-1 определены формулами, аналогичными (3.216), (3.217), в пространствах основных и обобщенных функций от переменной у е К". Разложение (3.219), записанное в виде
貝力)=£ [ Q；(/№匂-/(/))％匂)d"g,(3.221)
p J
принадлежит к типу представлений, естественно обобщающих понятие слабого интегрального представления (п. А.2) на случай векторных обобщенных функций.
Замечание. Мы видели, что соображение однозначности ковариантного разложения (3.190) приводит к тому, что инвариантные амплитуды hp(x) не являются привычными обобщенными функциями. Однако за счет потери однозначности разложения можно в качестве инвариантных амплитуд hp(x) допустить G-инвариантные обобщенные функции из ^\Rn). Действительно, выше было замечено, что h есть фактически линейный непрерывный функционал на подпространстве q@ ^P{Rn)G в ㊉乡(~尸.По теореме Хана-Банаха его можно N
продолжить непрерывно до линейного функционала на ф ^(i?n)G, а такой функционал (по N
лемме 3.9) можно отождествить с элементом из ф ^f(Rn)G, т. е. с семейством G-инвариантных обобщенных функций. В результате мы приходим к представлению (3.190), где теперь hp(x) — G-инвариантные обобщенные функции. Как было сказано, такое разложение в общем случае неоднозначно. Тем не менее оно однозначно определяет обобщенные функции hp на всюду плотном открытом множестве в Rn, где стандартные коварианты Qi(/),... ...,Qn(/), рассматриваемые как векторы в 夕；линейно независимы; значит, неединственность ковариантного разложения (3.190) в классе обобщенных функций сосредоточена в дополнении к этому множеству. Например, О+ (З)-ковариантная векторная обобщенная функция /(х) от одного вектора х представима в виде /(х) = %А(х), где 九(х) есть О(3)-инва- риантная обобщенная функция от х, которая определена этим представлением с точностью до слагаемого cb(x) (с — произвольное число).
Упражнение 3.27. Доказать представление (3.183) для нечетных О+ (3)-инвариантных обобщенных функций /(xi, Х2, Хз) в R3'3. (Указание: рассмотрим одномерное представление Х>^ группы 0(3): Х>^ = det А. Тогда интересующие нас обобщенные функции /(xi, Х2, Хз) можно рассматривать как О(3)-ковариантные обобщенные функции. На основании результатов, изложенных в п. 3.4.А, убедиться, что выражение det(xi, Х2, Хз) есть полиномиальный базис стандартных О(3)-ковариантов в R3'3, преобразующихся по представлению X)%)
В. Применения к лоренц-инвариантным и лоренц-ковариантным обобщенным функциям. Имеется важный класс лоренц-ковариантных (и, в частности, лоренц-инвариантных )) обобщенных функций в Мп с определенным свойством
носителя, рассмотрение которых сводится к О^(З)-ковариантным (в частности, О^(З)-инвариантным) обобщенным функциям. Это класс обобщенных функций /(pi,, рп), носители которых по одной из переменных pi, , рп, скажем по рп,
содержатся в L^-инвариантном множестве V+ при некотором m > 0, т. е.
supp/(pi, , рп) С {(夕 1,…，夕冷)G Мп: рп 6 F+} = Мп~г х F+.(3.222)
Согласно предложению А.1 такие обобщенные функции / можно рассматривать как элементы из 出(М"—' х V^).
Стандартный метод рассмотрения (^-значных) лоренц-ковариантных обобщенных функций из ^(Af^T х У+;夕) состоит в переходе к системе отсчета, ассоциированной с вектором рп или, более определенно, в фиксации направления вектора рп, например, вдоль нулевого орта во = (1, 0, 0, 0). Такая возможность обусловлена тем, что всякая лоренц-ковариантная обобщенная функция из 斤/(加"—丨 х У+;夕) может рассматриваться как обобщенная функция по части переменных, непрерывным (и даже &°°-) образом зависящая от остальных переменных, в качестве которых следует взять величины, определяющие направление вектора рп. Будем характеризовать направление произвольного времениподобного вектора р е 『+ посредством 4-скорости。(夕)，определяемой равенством
0(0)=夕/^/^.(3.223)
Легко видеть, что о(夕)принимает значения на Tj.
Ясно, что каждая точка о из Г j определяется ее пространственной частью в 6 R3, которую можно рассматривать как независимую координатную переменную на Г^. Этот изоморфизм между Г^ и /?з позволяет использовать понятие ^00-функции (соответственно, обобщенной функции) /(о) от о на Г j (и, возможно, от других переменных) просто в смысле ^00-функции (соответственно, обобщенной функции) /(в) от в на R3.
Отображение _
匕^ 3 夕 т (\/?，。(夕))G Н，оо) х Г%(3.224)
является диффеоморфизмом; в соответствии с определением замены переменных (п. 2.2.А) всякая обобщенная функция / е 斤/(加"—丨 х У+;夕)может быть однозначно представлена в виде
/(Рь , рп)=歹(夕 1,…，Рп-ь \/Р^，。(夕冷))，(3.225)
где F(pi, ..., pn_i, А, о) — некоторая обобщенная функция из 斤/(加"—】х [т, оо) х х Гj;夕).Интересующий нас результат формулируется следующим образом.
Предложение 3.15. Всякая Ь^^-ковариантная обобщенная функция /(рь , рп) 6 斤乂加九―1 х У+;夕)может быть однозначно представлена в виде (3.225), где F(pi, pn_i, A, v) — обобщенная функция из 斤/(加"—1 х х [т, оо);夕) по pi, , Рп-1, А, зависящая %0G-образом от п G Pj как от параметра.
Доказательство этого предложения основано па следующем общем соображении. Пусть связная группа Ли G действует £°°-о6разом на многообразиях X н У, причем ее действие на У транзитивно; кроме того, пусть фиксировано линейное представление Т группы G в некотором конечномерном векторном пространстве 夕.Тогда всякое G-ковариантное ^-значное распределение /(/, у) (скажем, класса 夕'(X х У)) является распределением по ж, зависящим £°°-о6разом от у как от параметра. (Это соображение использовано также ниже в замечании в настоящем разделе.)
Будем рассматривать 0(+)⑶ как подгруппу в (состоящую из всех преобразований из Z[+), оставляющих вектор во = (1, 0, 0, 0) инвариантным); значит, в ЭС определено (посредством сужения представления Г группы L^ на подгруппу) представление О(+)(3) (причем оно, вообще говоря, приводимо, даже если Г неприводимо). Предложение 3.15 позволяет каждой L^^-ковариантной обобщенной функции /(рь , pn) 6 ^\Мп~х х F+;夕) сопоставить обобщенную функцию F(p\,, рп—з A, v)\v=eQ из ^(Мп~{ х [т, оо);夕)，которую естественно назвать
сужением / на систему покоя вектора рп и обозначить через
/(力1,…，力冷—1, р^ во) = F(P1,, Рп-1, р^, О)|о=ео・(3.226)
Отсюда легко получаем следующий результат.
Следствие 3.16. Соответствие f(p、，...，р^) 一 f(p\, ..., Рп—\, P£q), определенное формулами (3.223), (3.224), является топологическим изоморфизмом между L^-ковариантными обобщенными функциями из 火(АГ2— х У+;夕)“ О^(^-ковариантными обобщенными функциями *) из 次(М12-、х [тп, оо);夕).
Удобство приема сужения / на систему покоя вектора рп очевидно, так как оно сводит лоренц-ковариантные (в частности, лоренц-инвариантные) обобщенные функции к 0(+)(3)-ко- вариантным (в частности, О^ (З)-инвариантным) обобщенным функциям от меньшего числа переменных. Таким образом, мы можем приспособить результаты, полученные выше для компактных групп (в частности, для。(十)(3)), к выводу представлений типа (3.156) (или (3.190)) для L(+)-инвариантных (или L^-ковариантных) обобщенных функций /(@i, ..., @九)из класса 於(АР— х U^). Ясно, каковы могут быть последовательные этапы такого вывода. Вначале мы записываем f(pi, ..., pn-i, Рпео) в терминах стандартных О^(З)-инвариантов (или 0(+)(3)-коварнантов), далее представляем последние как сужения на систему покоя вектора рп стандартных L^-инвариантов (или L^-ковариантов), возможно, содержащих дополнительно в виде множителя некоторую степень инварианта р^, что допустимо в силу р^ > т2 > 0; например,
PiPj = ~PiPj + 庐(PiPn)(PjPn)\v{pn}=eQ •(3.227)
Наконец, мы записываем f(pi, ..., pn-i, Рп ео) как результат сужения на систему покоя вектора рп некоторой L^ -инвариантной (или 力]十)-ковариантной) обобщенной функции 九(01,Рп), записанной в форме (3.156) (или (3.190)). Согласно следствию 3.16 / совпадает с h. Тем самым мы приходим к искомому представлению для /.
Следующие упражнения служат иллюстрацией к этому рассуждению (в них всюду m > 0).
Упражнение 3.28. Пусть I — отображение из М2 х в К°:
/(01, @2, 03)=(届，爲，6, @102, @103, 0203)；(3.228)
введем
С = 1(М2 х Kt).(3.229)
Доказать, что Q — канонически замкнутое регулярное множество в /?6 и всякая L^^-инвариантная обобщенная функция /(@1,@2,@з) G W〈城 х V+) может быть представлена (единственным образом) в виде
(3.230)(3.230)/(01, @2, 03)=夕(届，爲，Е，@102, @103, 0203)
(3.230)
(3.230)
с некоторой обобщенной функцией 夕 6 #'(◎). При этом равенство (3.228) понимается в смысле слабого интегрального представления (ср. (3.165)):
/(01, 02, 03)=9(伊1,g22,g33,g12,%3,g23)口 5(W 一 PbPj) dy1j.(3.231)
Более того, соответствие 夕 т / есть изоморфизм всех L^-инвариантных распределений из ^(М2 х Vm) на «'(С). (Указание: при нахождении множества Q и установлении формулы (3.220) перейти к системе покоя вектора @з, затем воспользоваться формулой (3.177).)
Упражнение 3.29. Показать, что формула
/(01,, 0九；G)т p(pi, , рп; ш, w) = ^jy (wepn 忌)/(pi,, pn; 幻) (3.232)
осуществляет изоморфизм между L^-ковариантными обобщенными функциями / 6 ^(Мп~1х хУ+;中""))и L^-ковариантными обобщенными функциями g G 夕(М^一0^;中(九°)0 NR("°)), преобразующимися по представлению, изоморфному ф х>^,0\ где s пробегает значенияs
\j-k\^s^j + k, s-\j-k\e Z+(3.233)
При этом обратное отображение имеет вид
/(б,, рп； 幻)=^уу 04) — "(忌 Рп£^ Р(Рь , Pn； w).(3.234)
(Указание: воспользоваться тождеством рр = р2 • 1.)
Упражнение 3.30. Показать, что при п = 1, 2, 3 (и целых положительных s) для L^-ковариантных обобщенных функций T(@i,, рп; g) G ^{Мп~х х V+;中($°)) имеет мес
то разложение типа (3.190), (3.219) со следующими стандартными ковариантами. При п = 2 имеется один стандартный ковариант
(ge?i 万а®)'；(3.235)
при n = 3 имеется 2s + 1 стандартных коварианта
(шгр1Р2шУ(шгр1р3ш)а(шгр2Рз^)Ь,(3.236)
образующих линейный базис в 中($°)в любой точке (pi,竺，@з) Е Af3 ранга 3 *); здесь а, а, b пробегают те же значения, что и в (3.208). (Указание: воспользоваться упражнением 3.26.)
Упражнение 3.31. Доказать, что при n = 1, 2, 3 для L^-ковариантных обобщенных функций /(pi, ..., рп) 6 «/(АГ2-】х У+;夕)，преобразующихся по произвольному (конечномерному) представлению группы 力］,имеет место разложение типа (3.190) или (3.219) по стандартным ковариантам. В частности, в случае п = 3 число элементов базиса стандартных ковариантов QZ(@i,02,@3) есть N = dim夕.(так что они образуют линейный базис в 夕’в каждой точке (@i, @2, ранга 3) и (однозначное) ковариантное разложение типа (3.219) имеет вид
N
/(01, 02, 03)=工 Q，01, 02, Рз)Нр(р；,诡 pt 0102, 0103, 0203).(3.237)
где H = {Нр(у)} есть элемент пространства Х/-1 ㊉ «'(С); Q определено в (3.229), и
Xw(/(@))=工 Q^(01, 02, 03)Qsa(01, 02, 03).(3.238)
a = l
(Указание: ограничиться случаем неприводимого представления и воспользоваться двумя предыдущими упражнениями.)
Замечание. Выше мы фиксировали направление лишь одного из переменных векторов 01, ...,0九 в ковариантной обобщенной функции f(pi, ..., рп), а именно направление вдоль орта времени ео. Мы могли бы продолжить процедуру построения лоренцевой системы отсчета из переменных векторов. Пусть, например, /(@i, ..., @九)—ковариантная обобщенная функция из #'(〃) при п > 2, где
〃 ={(01,, рп) G Afn: 0n G V^; pn-i и рп линейно независимы}(3.239)
(т > 0). Из рп-i и рп можно построить два орта о。и v\ лоренцевой системы отсчета:
Pn(Pn)pn-l - (Рп-1Рп) - Рп
уРп((Рп-1Рп)2
Далее, подобно тому как это делалось в предложении 3.15, мы можем перейти от 夕九—i, рп к новым переменным р^_ь рп-1Рп, pL。0,。1 и убедиться, что всякая ковариантная обобщенная функция / 6 #'(〃) в новых переменных зависит £°°-о6разом от о。，гч. Это в свою очередь позволяет фиксировать vq,伪，например: г?о = ео = (1, 0, 0, 0),伪=ei = (0, 1, 0, 0). Теперь аналогом следствия 3.16 будет утверждение об изоморфизме (осуществляемом сужением о。= =ео,。1 = ei) между L^-ковариантными обобщенными функциями /i(@i, ..., рп) в области 夕 и О^(2)-ковариантными обобщенными функциями от векторов @i, рп-2 и инвариантных переменных (pL，pn-iPn, @^)・
Точно так же при п > 3 можно редуцировать L^ -ковариантные обобщенные функции /(01,, рп) в области, определяемой условиями
рп 6Рп-2, Рп-i, Рп линейно независимы,(3.241)
к (0(+)(1)-ковариантным) обобщенным функциям от векторов pi, ..., рп-з и скалярных произведений векторов Рп-2, Рп-i, Рп- Альтернативная возможность — это фиксировать лоренцеву систему отсчета, построенную из векторов pn_2, рп-ь Рп-
Дополнение Г
Словарь по группам Ли и их представлениям )
Г. 1. Абстрактные группы. Алгебраические свойства. Множество G называется группой, если в нем определена ассоциативная операция произведения, сопоставляющая каждой паре gi, р2 элементов G некоторый элемент gg 6 G, и если в G существуют единица (т. е.
элемент е такой, что eg = ge = g для всех д G G) н обратный элемент р-1 любого элемента д (такой, что g~lg = рр-1 = е).
Группа G называется абелевой (или коммутативной), если множители в произведении можно переставлять, т. е. если для любых gi, g? G G имеет место тождество gig? = g2gl.
Подмножество Н группы G называется подгруппой, если Н является группой относительно той же самой операции hxh^, которая определена на G. Всякая группа имеет две тривиальные (или несобственные) подгруппы: сама группа G и подгруппа {е}, состоящая из одного единичного элемента. Подгруппа N группы G называется инвариантной подгруппой, или нормальным делителем, если из п е N, g е G следует, что gng~x G N (т. е. если =N).
Примером нормального делителя служит центр 。группы G, определяемый как множество всех элементов группы G, коммутирующих с любым элементом группы G. Другим примером нормального делителя может служить производная группа G' группы G, определяемая как наименьшая подгруппа группы G, содержащая элементы вида gig2g[^д^、гДе pi, р2 G G. Инвариантность G' следует из соотношения ®д?д「д不卜一、=歹历2歹「歹『，где Qi = hgih~x.
Отображение 夕 группы G в группу Н называется гомоморфизмом, если
s(gig2)= s(gi) 3(92) при gi, g2 G G；
при этом множество kerg = {g E G: g(g) = e} называется ядром гомоморфизма 夕，а множество im 夕二{^(g)： g G G} называется его образом.
Последовательность групп и гомоморфизмов ... Gn G^ ^i1 ... называется точной, если образ каждого гомоморфизма совпадает с ядром следующего. Например, точность последовательностей 1 ——> G —Я, G —Н ——> 1, 1 ——> G —Н ——> 1, (где 1 — символ, заменяющий группу {е} из одного единичного элемента) означает, что отображение 夕 является соответственно мономорфизмом (kerg = 1), эпиморфизмом (img = Н) или изоморфизмом (в этом случае пишется G Н). Изоморфизм G G (группы G на себя) называется автоморфизмом. Пример автоморфизма группы дает преобразование g т gjiggo, где до — фиксированный элемент группы G. Автоморфизмы такого типа называются внутренними.
Группы, с которыми мы будем иметь дело (группы Лоренца и Пуанкаре, евклидова группа и др.), выступают чаще всего в роли групп преобразований. Опишем возникающую при этом ситуацию и приведем необходимую терминологию в общем случае.
Пусть G — группа, а 少一некоторое множество (или многообразие). Говорят, что группа G действует на множестве 夕(или 夕.является G-пространством), если каждому элементу g G G поставлено в соответствие (взаимно однозначное) преобразование т(д)： ж т т т(д)(/) = дх множества < на себя, причем ) pi(p2^) = (pip2)ж и ex = х (где е — единичный элемент в G). В частности, если 少 есть (вещественное или комплексное) векторное пространство и все преобразования т(д) линейны, то говорят, что в 夕.задано (вещественное или комплексное) линейное представление г группы G.
Представления г и а в линейных пространствах 夕’н 歹 называются эквивалентными, если существует линейный изоморфизм V:夕'т 歹 такой, что т(д) = Va{g) V-1 при всех g G G.
Действие на множестве 夕.называется эффективным, если из условия дх = х для всех ж Е < следует д = е.
Важную характеристику действия G на многообразии составляет структура орбит: G-орбитой (или орбитой группы) называют подмножество в 夕，имеющее вид Ga = {х = да: д 6 G}, где а — некоторый фиксированный элемент из 夕.Легко видеть, что различные орбиты не пересекаются и совокупность всех орбит дает разбиение пространства 夕(причем две точки х, у Е ^' принадлежат одной орбите в точности тогда, когда существует элемент g группы такой, что у = д/). Важность понятия G-орбиты видна, например, из следующей
характеристики G-инвариантных функций на ЭС. Функция / на 夕 G-инвариантна (т. е. /(д/) = /(/)) в точности тогда, когда она постоянна на каждой орбите. Таким образом, задать G-инвариантную функцию в 少 означает то же, что задать функцию на множестве G-орбит в 少.
Если в G-пространстве 夕 есть только одна G-орбита (а именно 夕)，то говорят, что группа G действует на ЭС транзитивно, или что ЭС есть однородное G-пространство; в этом случае любая точка множества 夕 получается из произвольным образом фиксированной точки / G 夕.действием некоторого элемента группы G.
Совокупность Gx тех элементов из G, которые оставляют фиксированную точку / G 夕. на месте, образуют подгруппу в G. Эта подгруппа называется стационарной подгруппой или стабилизатором (или еще малой группой) точки х. Пусть g — фиксированный элемент G; совокупность gG% всех элементов вида gh, где h пробегает подгруппу Gx, называется левым смежным классом группы G по подгруппе Gx. Можно показать, что однородное пространство 夕.изоморфно фактор-пространству G/G%, элементами которого являются левые смежные классы. Обратно, если Н — произвольная подгруппа группы G, то фактор- пространство G/Н является однородным G-пространством относительно естественного действия G:
g: д\Н т ддхН.
Аналогично определяется пространство правых, смежных, классов H\G. Если N — нормальный делитель, то пространства N\G и G/N совпадают. В этом случае фактор- пространство К = G/N может быть наделено групповой структурой с умножением giN х х g?N = gigzN; полученную таким образом группу К называют фактор-группой, а саму группу G — расширением группы К(^ G/N) с помощью группы N. В частности, если нормальный делитель N содержится в центре 。группы G, то G называется центральным расширением (см. [ЖЗ], гл. 1, п.3.9).
Примеры. 1) Тривиальным расширением называют группу G, изоморфную прямому произведению N х К групп. При этом умножение элементов из N х К, являющихся произвольными упорядоченными парами (п, к), где п Е N, k Е К, определяется «покомпонентно»: (ni,衣1)(几2,衣2)=(П1П2,衣1衣2). Группы N и К могут быть отождествлены с нормальными делителями Ni и К{ в G, соответствующими подгруппам N х {е?} и {е\} х К в N х К (где ei и в2 — единицы в ^ и /С); в таком случае G называется прямым произведением подгрупп Ni и К\.
Группа G называется полупрямым произведением Ni о К\ нормального делителя Ni С G и подгруппы Ki С G, если произвольный элемент из G однозначно записывается в виде произведения g = nk, где ri G №, k G Ki. В этом случае G есть расширение К\ с помощью Ni. В определении полупрямого произведения также можно считать «сомножители» внешними по отношению к G; тогда мы говорим, что группа G есть полупрямое произведение N о К групп N и К, если она является полупрямым произведением нормального делителя Ni и G н подгруппы К С G, причем Ni ^ N, Ki ^ К.
Г. 2. Группы Ли. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его несовпадающие точки имеют непересекающиеся окрестности. Группа G называется топологической, если она является хаусдорфовым (топологическим) пространством и если отображение G 义 G —G, задаваемое формулой
s(gi, g2)= gig「， (г.1)
непрерывно. (Отсюда следуют как частные случаи непрерывность произведения в G и непрерывность операции g т д」)
Все свойства топологических пространств автоматически переносятся па топологические группы. В частности, группа (линейно) связна ), если любой ее элемент может быть соединен
непрерывной кривой с единицей группы. Связная группа односвязна, если любая замкнутая кривая в G может быть непрерывно деформирована в точку.
Это означает следующее. Пусть S есть замкнутый круг на плоскости и 8S — окружность, являющаяся его границей. Тогда линейно связная группа G (или, вообще, линейно связное топологическое пространство G) называется односвязной (односвязным), если любое непрерывное отображение 8S т G может быть продолжено до непрерывного отображения S G.
Группа G компактна, если из любого ее покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие. Группа G называется локально компактной, если существует окрестность единичного (и, значит, любого другого) элемента G, замыкание которой компактно.
Приведем несколько примеров. Группа 0(3) (вещественных) ортогональных 3 х 3-матриц компактна, но не связна [так как непрерывная функция det R принимает два значения на 0(3): 1 (скажем, для Я = е = 1) и —1 (например, для R = —1)]. Связная компонента единичного элемента 0(3) есть группа 0+(3) собственных евклидовых вращений R (таких, что det R = 1). Группа 0+(3) связна, но не односвязна. Ее двукратная накрывающая группа SU(2) (унитарных 2 х 2-матриц с определителем 1) связна и односвязна, так как она гомеокак топологическое пространство единичной сфере S^ в четырехмерном пространстве, убедиться в последнем утверждении, достаточно воспользоваться кватернионной 3\
записью V =戒旳 + ivjaj для любой матрицы V G SU(2), где v^ е R и £ (。"尸=1.) 从=0
Группа 0+(3) может быть задана как топологическое пространство той же сферой S^ с отождествленными диаметрально противоположными точками.
Упражнение Г.1. Убедиться, что группы 0(3) и SU(2) являются соответственно тривиальным и нетривиальным центральными расширениями группы。十(3) с помощью группы Z2 = {+1, —1}.
Группа Лоренца L = 0(1, 3) является примером локально компактной, но не компактной группы. Ее некомпактность видна, например, из неограниченности матричных элементов однопараметрической подгруппы лоренцевых (гиперболических) поворотов
(ch а
sh а
0
А
sha
ch а
0
0
0
0
1
0
1。
0
0
1/
Мы будем иметь дело лишь со специальным классом топологических групп — группами Ли. Топологическая группа G называется группой Ли вещественной размерности п, если выполнены два условия. Во-первых, существует окрестность, скажем М「，единичного элемента в группе G, гомеоморфная открытому множеству, скажем U в Rn. Иными словами, существует достаточно малая окрестность М「элемента е, которая может быть взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображена во внутренние точки n-мерного открытого множества U С Rn. Координаты точки s в U мы будем называть локальными координатами группы. Итак, в достаточно малой окрестности единичного элемента е групповое умножение р = pip2 может быть записано виде зависимости локальных координат s элемента g как функции от локальных координат si, S2 элементов pi, g?：
s =①(si, s2),si, S2 G Ui U U.(Г.2)
Отметим, что ассоциативность группового умножения означает, что
①(①(S1, s2), S3)=①(S1,①(S2, S3)), Si, s2, s3 £ U2 C U(Г.З)
(там, где это равенство имеет смысл), а из существования обратного элемента следует, что при фиксированном $2 отображение si т s =①®, s?) должно быть обратимым. Теперь второе требование, входящее в определение группы Ли, может быть сформулировано как условие достаточной гладкости (для определенности, бесконечной дифференцируемости) функции Ф
в (Г.2) при некотором выборе локальных координат. Отметим, что любые две такие системы (дифференцируемых) локальных координат связаны между собой бесконечно дифференцируемым преобразованием. При сформулированных условиях группа Ли естественно наделяется структурой бесконечно дифференцируемого многообразия, поэтому можно применять дифференциальное исчисление на группе Ли. Более того, согласно теореме Глисона-Монтгомери- Циппина (см., например, Глушков, 1957) всегда можно выбрать локальные координаты так, что закон умножения (Г.2) выразится вещественно аналитической функцией координат. Это означает, что всякая группа Ли в действительности обладает структурой вещественного аналитического многообразия.
Упражнение Г.2. Доказать, что связная группа Ли G порождается любой окрестностью 〃 точки е в том смысле, что произвольный элемент g G G может быть записан в виде рь •••, Рп, где gj е (j = 1, , п).
Группа Ли Н является накрывающей для группы Ли G, если существует гомоморфизм группы Н на группу G, который гомеоморфно отображает некоторую окрестность единицы в Я на некоторую окрестность единицы в G. Каждая связная группа Ли G имеет единственную (с точностью до изоморфизма) связную и односвязную накрывающую группу G; она называется универсальной накрывающей для G. При этом ядро накрывающегоуомо- морфизма 屮：G т G является дискретной подгруппой в центре группы G (так что G есть центральное расширение группы G с помощью kerg). Например, группа SU(2) является универсальной накрывающей для О+(3). Может случиться, что универсальная накрывающая компактной группы некомпактна. Так, универсальная накрывающая (компактной) группы вращений плоскости 0+(2) ^ U(l) есть (некомпактная) аддитивная группа R вещественных чисел. (Более подробно понятие универсальной накрывающей обсуждается в п. 3.1.В на примере группы Лоренца.)
Группа Ли вещественной размерности 2п называется комплексной группой Ли комплексной размерности п, если некоторую окрестность единицы можно параметризовать п комплексными переменными так, чтобы закон умножения (Г.2) выразился комплексно аналитической (т. е. голоморфной) функцией координат. Комплексная группа Ли наделяется структурой комплексного многообразия.
Г.З. Алгебры Ли. Мы начнем с аксиоматического определения и перечисления свойств алгебр Ли и лишь затем укажем на их связь с группами Ли.
Алгеброй Ли {вещественной) называется линейное пространство X (над К), снабженное дополнительной операцией [ж, у] коммутирования, которая удовлетворяет следующим условиям:
билинейность-,
антисимметрия: [ж, у] = - \у, х] для всех х, у Q X;
тождество Якоби: [[ж, у], г] + \у, г], ж] + [[г, х], у] = 0 для всех х, у, z е X. (Аналогично определяется понятие комплексной алгебры Ли.)
Чтобы определить структуру алгебры Ли на (конечномерном) пространстве X, достаточно задать попарные коммутаторы базисных векторов Ь, , Jn, т. е. структурные константы с务 в выражениях
[Л, Ij]=。泌 (Г.4) (где по к подразумевается суммирование от 1 до п). При этом коэффициенты с务 должны быть антисимметричны по нижним индексам и удовлетворять тождеству Якоби.
Любое линейное пространство с нулевым коммутатором представляет собой алгебру Ли, называемую в этом случае абелевой.
Дифференцированием алгебры 21 (не обязательно ассоциативной) называется линейное отображение О: 21Tsicо свойством
。(/g)二(Dx) у + /(0/ (Г.5)
Упражнение Г.З. (а) Пусть 21 — (вещественная) ассоциативная алгебра. Положим [ж, у] = ху — ух при х, у Е^. Доказать, что пространство 21 с такой операцией коммутирования является алгеброй Ли.
(б) Доказать, что пространство всех дифференцирований алгебры 21 является алгеброй Ли относительно операции [A, Q] = А4 —。2。1・
Подпространство У в алгебре Ли X называется подалгеброй (соответственно идеалом), если [У, У] С У (соответственно [X, У] С У). (Запись [X, У] означает линейную оболочку векторов вида [/, g], / G X, g G У.) Специальным случаем идеала является центр алгебры Ли X, который определяется как совокупность всех таких элементов / G X, что [ж, у] = О для любого у Q X. Подалгебра (идеал) Y в X называется тривиальной, если Y = X или y = {。}・
В каждой алгебре Ли X можно определить две последовательности подпространств:
Xi = X D Х2 = [X, X] D Х3 = [X, Х2] D ... D Xn+i = [X, X" D ..., (Г.ба)
X1 = [X, X] D X2 = [X1, X1] D ... D Xn+1 = [Xn, Xn] D(Г.бб)
Упражнение Г.4. Показать, что подпространства Хп и Хп являются идеалами в X и что фактор-алгебры Хп/Хп+\ и Xn/Xn+1 абелевы.
Если dimX < ос, то последовательности {Хп} и {Хп} стабилизируются: начиная с некоторого n Хп = Xn+i = ... = Xg, Хп = Xn+1 = ... = Х°°. Алгебра Ли X называется разрешимой (соответственно нильпотентной), если Х°° = {0} (соответственно Х^ = {0}). Алгебра Ли называется простой (соответственно полупростои), если ее размерность больше единицы и она не содержит нетривиальных идеалов (соответственно, если она не содержит ненулевых разрешимых идеалов).
Теорема Г.1 (Э. Картана-Леви-Мальцева). Все разрешимые идеалы произвольной алгебры Ли X содержатся 6 максимальном разрешимом идеале 殴{называемом радикалом алгебры X). Существует такая полупростая подалгебра У и X, что X = У ㊉殴 (прямая сумма линейных пространств}. Любые две подалгебры У с этим свойством переводятся друг 6 друга автоморфизмом алгебры X, сохраняющим 殴.
Г.4. Связь между группами Ли и алгебрами Ли. Существует много способов строить алгебру Ли по группе Ли. Мы приведем два из них. (См. также [К8], § 6.3, где рассмотрены четыре таких способа и их взаимосвязи.)
Выберем параметризацию окрестности единицы е группы Ли G, для которой начало координат соответствует элементу е. Пусть s = (s1,, sn), t = (t1,, tn) (n = dimG) — две
точки в пространстве параметров. Тогда закон произведения на группе определяет функцию т =①(s, t) (см. (Г.2)). Так как д(0) = е, то Ф(0, s)=①(s, 0) = s. Следовательно, разложение этой функции в ряд Тейлора имеет вид
①(s, t) = s + t + B(s, £)+ ...,(Г.7)
где B(s, t) — билинейная вектор-функция и многоточие означает члены третьего порядка и выше. Определим теперь коммутатор в Rn формулой
[s, t] = B(s, t)—笈亿 s).(Г.8)
Упражнение Г.5. Показать, что коммутатор, определенный равенствами (Г.7), (Г.8), удовлетворяет тождеству Якоби. (Указание: пользуясь ассоциативностью умножения на группе, показать, что
B(B(r, s), t)=玖几玖s, t)).(Г.9)
Таким образом Rn снабжается структурой алгебры Ли. Эту алгебру Ли будем называть алгеброй Ли группы G и обозначать через д.
Второй способ вносит структуру алгебры Ли в касательное пространство TeG к группе G в точке е. Пусть д(т) и 九(т) — две гладкие кривые на группе, выходящие из точки е (т. е. такие, что g⑼=九⑼=е). Пусть хну — соответствующие им касательные векторы в точке е. (Если F — произвольная вещественная гладкая функция на группе (F С £°°(G)), то вектор х определяется как функционал 力(歹)=扃尸(9(丁)|丁=().) Рассмотрим (гладкую) кривую
q(t) = g(a)сг = Vr; т > 0;(Г.10)
пусть г — ее касательный вектор при г = 0 (т. е. при g = е). Тогда можно отождествить пространство TeG с алгеброй Ли д, определяя коммутатор векторов х и у по формуле [ж, у] = г. Если G — матричная группа, то существует матричная реализация алгебры Ли, в которой /二患 I 三 g'(0). Мы будем пользоваться символическим равенством х = д'(0) и в общем случае.
Упражнение Г.6. Убедиться в эквивалентности двух определений алгебры Ли g группы G. (Указание: ввести параметры s = (s1, ..., sn) в окрестности единичного элемента и использовать то, что если s — параметры элемента д, то параметры элемента р-1 даются выражением —s + B(s, s) + …，вытекающим из (Г.7); показать, что если д(т) = а(т) + о(т), 九(т) = Ьт + о(т), то д(т) = тВ(а, Ь) — тВ(Ь, а) + о(т).)
Обратно, каждой алгебре Ли X (с dimX < ос) соответствует единственная (с точностью до изоморфизма) связная односвязная группа Ли G с алгеброй Ли g ^ X. Все связные группы Ли, обладающие этим свойством, имеют вид G/Н, где Н — дискретный нормальный делитель, лежащий в центре группы G. (См. [К8], § 6.3, теорема 2.)
Особенно просто выглядит соотношение между однопараметрическими подгруппами и их генераторами в алгебре Ли. Параметр t в однопараметрической подгруппе можно выбрать таким образом, чтобы выполнялись равенства
g(o)= q g(T)g(c) = д(т +。)， (г.и)
Так как д(т) — гладкая кривая, то можно определить касательный вектор
х = р(0) е 0. (Г.12)
Вектор х называется генератором (или инфинитезимальным оператором) однопараметрической группы (Г.11).
Обратно, для каждого элемента х алгебры Ли g существует единственная гладкая кривая p(t), удовлетворяющая условиям (Г.11), (Г.12) (и задающая однопараметрическую подгруппу группы G). (См. [К8], § 6.4, теорема 1.) Элемент p(t) записывают в виде ехр(£/) или е%“, а отображение х т ехр/ нз g в G называют экспоненциальным отображением. Оно диффеоморфно отображает некоторую окрестность нуля в алгебре Ли g на некоторую окрестность единицы группы G.
Упражнение Г.7. Доказать, что любой элемент связной группы Ли может быть представлен в виде g；...g^, где g^ G G (J = 1, , п). (Указание: доказать тождество ехр/ = =(ехр//2){ / G д; далее воспользоваться упражнением Г.2.)
Упражнение Г.8. Пусть SL(n,。) — группа всех комплексных п х n-матриц с определителем 1. Показать, что ее алгебра Ли состоит из всех п х n-матриц со следом, равным нулю. (Указание: вывести предварительно равенство
detex =etrx,
пользуясь приведением матрицы х к нормальной жордановой форме.)
Упражнение Г.9. Пусть О+(п) — группа вещественных ортогональных п х п-матриц с определителем 1 (А 6。十(几)今 ATA = 1, det A = 1). Показать, что ее алгебра Ли состоит из всех вещественных антисимметрических п х п-матриц.
Связная группа Ли G называется {полу} пр о стой, если ее алгебра Ли (полу)простая.
Г.5. Локальная группа Ли. Каноническая параметризация. Теоремы Ли. При построении алгебры Ли по группе Ли использовалось лишь знание закона умножения (Г.5) в сколь угодно малой окрестности единичного элемента. Это наводит на следующее определение.
Назовем локальной группой Ли пару (В, Ф), где В с Rn — внутренность n-мерного шара (некоторого фиксированного радиуса) с центром в начале координат, а Ф — закон композиции (Г.7), т. е. аналитическое отображение В х В в Rn, удовлетворяющее закону ассоциативности (Г.З) и «начальным условиям»
①(S, 0) = Ф(0, s) = S (Г.13)
(вытекающим из (Г.7)).
Непрерывная кривая s = s(t), —р < т < ., называется локальной однопараметрической подгруппой, если Ф(5(п), s(n)) = s(n +丁2)・ Параметры s называются каноническими, если всякая кривая с уравнением s(t) = ат, где а — постоянный вектор (или, по компонентам, ，。(丁) = аат), является (при достаточно малых |т|) локальной однопараметрической подгруппой.
Упражнение Г.10. Показать, что если s и t — канонические параметры и Ф(5, t)— закон композиции, то Ф(5, —s) = 0 и разложение (Г.7) принимает вид
炉(s,£)二 +严+ ^с；^з/ + ...,(Г.14)
где с} — структурные константы алгебры Ли д.
Можно показать, что в канонических координатах функции Фг являются вещественными аналитическими функциями в достаточно малой окрестности начала координат, так что степенной ряд в правой части (Г.14) имеет ненулевой радиус сходимости.
Предложение Г.2 (первая теорема Ли). Функции ①°(s, £) удовлетворяют системе частных дифференциальных уравнений по t при фиксированном s
品炉(s,£)理⑴=/(①(s,“)，(Г.15)
гдек 分
%(s)=济(s，矶『0.(「16)
Если при данных (гладких) функциях t^(s), удовлетворяющих условию
"(0)二必(「⑺
система (Г.15) имеет решение, то оно определяется однозначно этой системой 〃 начальным условием (Г.13).
Доказательство этого предложения несложно. Уравнение (Г.15) получается из закона ассоциативности (Г.12) дифференцированием по t при t = 0 (и заменой обозначений аргументов). При установлении единственности необходимо воспользоваться обратимостью матрицы 。(力) в окрестности нуля, которая вытекает из (Г.17) и из которой следует, что уравнению (Г.15) можно придать видi
器(s, t)=姬及)砥⑴，(。；⑴就⑴三词.(Г.18)
Предложение Г.З (вторая теорема Ли). Для того чтобы система (Г.15) (или (Г.18)) с начальным условием (Г.13) имела решение, необходимо 〃 достаточно, чтобы функции Vj(t) удовлетворяли системе дифференциальных уравнений
舒М —幣W +道小=0(Г.19)
〃 начальному условию (Г.17). Обратная матрица, 〃(£), должна удовлетворять при этом системе内 内
丽碎一苏呜+ dm "；•國=。，呜⑼=苏•(r.20)
Уравнения (Г.19) (и (Г.20)) выводятся дифференцированием (Г.18) по t и приравниванием смешанных вторых частных производных (по 力厶力小)функции Ф. При этом структурные
Предложение Г.4 (третья теорема Ли). Для локальной разрешимости систем (Г.19) {или (Г.20)) необходимо 〃 достаточно, чтобы постоянные (Г.21) были антисимметричны по нижним индексам 〃 удовлетворяли тождеству Якоби:
с；% =—或(Г .22)
Cjk clm + cmk 02 + Qfc cmj = °・(Г.23)
Упражнение Г.11. Обозначим через cs матрицу
(cs)； = ^кзк.
Доказать, что решения систем (Г.19), (Г.17) и (Г.20) в канонических координатах даются равенствами
"(6)= & с, 1 = 1 + 由 с，+ 京(cs)2 +(Г.24)
Ms)=产°+ ]=工石九(「25)
n=0
где Bn — числа Бернулли(BQ = 1, Bi = -1/2, В2 = 1/6, В4 = -1/30, В3 = В5 = fen+i = 0, "二。)・
Г.6. Линейные представления. В случае, когда G — топологическая группа (в частности, группа Ли), а 夕•一 линейное топологическое пространство, будем предполагать (как правило, не оговаривая это особо), что рассматриваемое представление Т группы непрерывно, т. е. что отображение (д, Ф) т 7(g)① непрерывно по совокупности переменных.
Если в пространстве 夕.(непрерывного) представления Т есть замкнутое подпространство 歹，инвариантное относительно операторов T(g), д EG, то ограничение Ti представления Т на 纟 называют {топологическим) подпредставлением Г; представление Z, возникающее в фактор-пространстве % =夕/% — (топологическим) фактор-представлением Г.
Представление Г называется (топологически) неприводимым, если оно не имеет нетривиальных подпредставлений. Говорят, что представление Г (топологически) разложимо, если в пространстве 夕 имеются такие (замкнутые) нетривиальные инвариантные подпространства <1 и <2, что < изоморфно прямой сумме <1 ф <2- В этом случае пишут Т = Ti ㊉心， где Ti — ограничение Г на 夕工.Представление Г называется вполне приводимым, если каждое его инвариантное подпространство обладает инвариантным дополнением.
Рассмотрим в качестве примера группу Е十(2) евклидовых движений комплексной плоскости: г т е~2 + £
Упражнение Г.12. Убедиться, что двумерное представление
7(g)= (U)
группы £十⑵ приводимо, но неразложимо.
Из всякого (непрерывного) линейного представления Т группы Ли G можно получить линейное представление ее алгебры Ли, дифференцируя операторы 7(g) в точке g = е.
Представление Т в гильбертовом пространстве 方 называется унитарным, если все операторы 7(g) унитарны.
Упражнение Г.13. Показать, что инвариантное подпространство всякого унитарного представления группы имеет инвариантное (ортогональное) дополнение.
Теорема Г.5 (лемма Шура), (а) Пусть представление Т группы G 6 (комплексном) гильбертовом пространстве 方 само сопряженно 6 том смысле, что для любого g G G существует д' G G такое, что 7(g)* = Т(д') (б случае унитарного представления д'= =g-i). Такое представление неприводимо 6 точности тогда, когда любой ограниченный линейный оператор В, коммутирующий со всеми операторами представления, кратен единичному оператору.
(б) Пусть Т(р) 〃 S(g) — два самосопряженных неприводимых представления группы G в 贲\ и 方2 соответственно. Тогда, если А — замкнутый (линейный) оператор
из 方1 в 方2 такой, что 47(g) = S(g) А, то либо А = 0, либо существует обратный оператор А-1, и представления Т и S эквивалентны.
(Это бесконечномерное обобщение известной леммы Шура легко выводится из результатов монографии [Н2]; первая часть теоремы доказана в п. 17.6, вторая часть содержится в следствии 1 п. 21.2.)
Заметим, что условие комплексности гильбертова пространства представления существенно. Для вещественных представлений лемма Шура в данной выше формулировке несправедлива. В этом можно убедиться на примере двумерного представления группы 0+(2)
матрицамиматрицамиt(Ut(U—singcos夕—singcos夕
матрицами
матрицами
t(U
t(U
—sing
cos夕
—sing
cos夕
Это представление неприводимо над полем К н в то же время каждая из матриц 7(g) коммутирует со всеми остальными, хотя и не кратна единичной матрице (при 夕力 птг, n 6 Z). Над полем С это представление разложимо: существует неособая матрица V такая, что
в качестве V можно положить V = •
V2 U 1/
Заметим, что наряду с (линейными) представлениями групп вводится понятие (линейного) представления алгебры Ли д, означающее гомоморфизм алгебры Ли в алгебру Ли линейных операторов, действующих в некотором линейном пространстве 夕
Г.7. Присоединенное и коприсоединенное представления. Форма Киллинга.
Пусть G — группа Ли и 4(g) — ее (внутренний) автоморфизм
A(g): h т ghg-\ 儿 g G G.(Г.26)
Точка е является неподвижной точкой для всех автоморфизмов 4(g). Производное отображение 4(g)*： g т д, обычно обозначаемое через Adg, является гомоморфизмом G в группу автоморфизмов Autg алгебры Ли д. Этот гомоморфизм называется присоединенным представлением группы G.
Если G — матричная группа н g — матричная же реализация ее алгебры (см., например, упражнения Г.8, Г.9), представление Adg задается формулой, аналогичной (Г. 26):
Adg/ = g/g-\ g G G, / G g.(Г.27)
Производное отображение в точке g = е, обозначаемое через adg, является дифференцированием алгебры Ли:
adyX = [у, ж], х,у е Q.(Г.28)
Соответствие у т adg называется присоединенным представлением алгебры Ли д.
Пусть д' — (дуальное) пространство всех (вещественных) линейных функционалов над д. Пусть (F, х) — значение линейного функционала F на элементе / G д. Представление К группы G в д', определяемое формулой
(“,/) = (f Adg—⑺，(Г.29)
называется коприсоединенным представлением группы Ли G.
Если dim G (= dimg) = п, то присоединенное представление является n-мерным матричным представлением. В частности, операторы ad% являются (вещественными) п х п-мат- рицами. Базис инфинитезимальных генераторов 厶 этого представления задается в терминах структурных постоянных с务 алгебры Ли g по формуле
(厶)(г.зо)
Упражнение Г.14. Показать, что матрицы (Г.ЗО) удовлетворяют перестановочным соотношениям (Г.4). (Указание: воспользоваться тождеством Якоби.)
В терминах матриц присоединенного представления можно определить (вещественную) симметричную билинейную форму на алгебре Ли д:
(/, у) = tr (adx adj(Г.31)
называемую формой Каллинга.
Если х = №厶，у = у"厶，где 厶—генераторы присоединенного представления (Г.30), то
(力，g) = 9jкх^ж , где д^к = tr Ij 1^ = с^ c^s.(Г.32)
Рассмотрим в качестве примера алгебру Ли группы трехмерных вращений。十(3). Ее можно отождествить с алгеброй векторов в трехмерном евклидовом пространстве, в которой «коммутатор» задается векторным произведением
[х, у] =хЛу;(г.33)
в координатах (при х = у = угег)
[х,川=е^кХгук,(г.34)
где ”3% — полностью антисимметричный единичный тензор(£123 = !)•
Упражнение Г.15. Убедиться, что метрический тензор д* (Г.33) в этом случае есть Qjк 二一257k.
Упражнение Г.16. Показать, что форма Киллинга обладает свойствами:
оператор ad% кососимметричен:
(ad%g, г) + (g, adxz) = ([ж, у], г) + (д, [/, г]) = 0;(Г.35)
если b — идеал в д, то (ж,力=(ж,必 при всех х, у Е I).
Форма Киллинга позволяет характеризовать алгебру Ли.
Предложение Г.6. (а) Форма Киллинга инвариантна относительно всех автоморфизмов алгебры Ли.
Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли X тождественно равна нулю.
Алгебра Ли X разрешима 6 точности тогда, когда (X, X1) = 0, где X】=Х2 = =[X, X] (см. (Г.6)) — коммутатор алгебры Ли X.
Алгебра Ли X полупроста 6 точности тогда, когда форма Киллинга невырождена (т. е. если из (ж, у) = 0 при всех / G X следует g = 0).
Форма Киллинга алгебры Ли компактной полупростой группы Ли отрицательно определена.
(Относительно доказательства этих утверждений см. [Ж1], §§ 87, 90 и [К8], § 6.2, задачи 12-14.)
Упражнение Г. 17. Показать, что для полупростой алгебры Ли X коприсоединенное представление эквивалентно присоединенному. (Указание: воспользоваться предложением Г.3(а, г) и тем обстоятельством, что dimX' = dimX.)
В качестве примера алгебры Ли, для которой коприсоединенное представление отличается от присоединенного, рассмотрим алгебру Ли е(2) группы движений £十(2) евклидовой плоскости (см. упражнение Г.12).
Каждый элемент g группы £十(2) задается тремя параметрами: углом вращения 夕 и вектором трансляции а = (а，02). Рассмотрим реализацию этой группы 3 х 3-матрицами
(
cosg —sing 创 \/ cosg sing — (cos 夕•创 + sin 夕• 02) \
sing cosg 02 ,T(p-1) = —sing cosg sin夕•创 一cos夕• 02 • (Г.36)
001 /\ 001/
Общий вид элемента алгебры Ли представления Т дается матрицей
(
0 —g吟
g 0/2(Г.37)
000 /
(Впредь мы будем отождествлять множество матриц вида (Г.37) с е(2).) Компоненты Xi вектора х преобразуются согласно присоединенному представлению Adg группы £十(2) по формуле/ с、
/ 0 —/з 。2力3 + cosg •/1 — smg •/2、
Adg/= 7(g)/Т(д)т = g 0 -sg + sin 夕•/i + cos 夕•妆•(Г.38)
\ о оо丿
Пространство d(2) коприсоединенного представления может быть охарактеризовано как множество Mat (3, А) всех вещественных 3 х 3-матриц F, факторизованное по (шестимерному) подпространству е(2)° матриц А, удовлетворяющих условию ортогональности
tr Аж = 0 для всех х е е(2).
/0F= г 0Vi t2 в то время как伍 Sil S12е(2)° = < S12 s22 s2 :k 0 0 S3/0F= г 0Vi t2 в то время как伍 Sil S12е(2)° = < S12 s22 s2 :k 0 0 S3Упражнение Г.18. Показать, что пространство (2) может быть отождествлено с множеством матриц вида
/0
F= г 0
Vi t2 в то время как
伍 Sil S12
е(2)° = < S12 s22 s2 :
k 0 0 S3
/0
F= г 0
Vi t2 в то время как
伍 Sil S12
е(2)° = < S12 s22 s2 :
k 0 0 S3
°\ О ,(Г.39)
О/
Si И Sab Е R >.(Г.40)
Пусть П — оператор проектирования на е'(2) (в Mat (3, А)) параллельно подпространству е(2)°. Тогда коприсоединенное представление К определяется формулой
К(д)歹= П(Т(д)КГ(д)т).(Г.41)
Мы предоставляем читателю проверить, что параметры г, ti и ^2 в (Г.39) преобразуются под действием К(д) по закону
г г' = г +-t2a^)
(a[° 三 cos9• ai + sin9•a2, a不° 三一sin9• ai + cos 9•a2),(「/。、
方1 T 公 二COS9•方1 — sin9•方2,
方2 T % = sin 9•方1 + COS 9•/2 (или t,=件).
Вектор с компонентами Ij (где Ij — базисные инфинитезимальные генераторы алгебры Ли д) преобразуется по /С-представлению группы G.
Упражнение Г.19. Убедиться, что инфинитезимальные операторы
e=^(9=e' 公=需L』，(ГЛз)
представления (Г.36) группы £十(2) преобразуются при внутреннем автоморфизме в соответствии с (Г.42) по формулам
а 一 е = a + / T 八 * (T /\ b 三 7也—公加)，
Универсальную обертывающую алгебру 21 = 21(g) алгебры Ли g можно определить как фактор-алгебру S/J (ассоциативной) алгебры S всевозможных (упорядоченных) тензорных произведений элементов g по двустороннему идеалу J, порожденному «тензорами» вида х^у — у^х — [х, у]. 21 является ассоциативной алгеброй с естественным вложением г: g т 21, которое обладает свойством
分(Е刎)=分(/)勿(g)-分(g)分(/)•
Автоморфизмы алгебры Ли g порождают автоморфизмы обертывающей алгебры 21. Элементы центра 3 алгебры 21 (коммутирующие со всеми элементами этой алгебры) являются в то же время инвариантами представлений алгебры Ли д; они называются элементами Казимира алгебры Ли д.
Упражнение Г.20. Доказать, что для алгебры Ли е(2) имеется только один алгебраически независимый оператор Казимира Т?三 Т； + %.
В случае (полу)простой алгебры Ли существует общий алгоритм построения квадратичного элемента Казимира.
Упражнение Г.21. (а) Показать, что в случае (полу)простой группы матрица (д%), определяемая равенством (Г.32), обратима. (Указание: использовать предложение Г.6(г).)
Пусть дгк — обратный тензор к д% (так что gzkgkj = У). Показать, что оператор
G = д*1*(Г.44)
является элементом Казимира полупростой алгебры Ли д.
Глава 4
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЙОСТА-ЛЕМАНА-ДАЙСОНА
Связь уравнения ИЛД с волновым уравнением
А. Предварительные замечания. Рассмотрение аналитических свойств функций Грина в квантовой теории поля приводит к следующей типичной задаче теории функций нескольких комплексных переменных.
(4.1)(4.1)Пусть заданы две голоморфные функции h^(k) и 九_(к) соответственно в трубах Rn + гК и Rn — гК в Сп, где К есть (непустой) открытый выпуклый острый конус в Rn. Для определенности предполагается, что 九+(к) и 九_(к) являются преобразованиями Лапласа обобщенных функций /+(力)и /_(х) из Р<Rn) с носителями в сопряженных конусах К* и —К* к К и —К соответственно (см. (Б.34)). Согласно теореме Б.7 функции 九土 (к) имеют обобщенные граничные значения в 斤'(7?冷)：
(4.1)
(4.1)
-噥土了（0+初.
Случай, когда эти граничные значения Д+(р) и Д_(р) совпадают, тривиален: тогда функция 6+(к) = 6—(к) есть полином от к (действительно, из равенства 九+(夕)= =Д_(р) следует равенство /+(/) = /_ (ж), так что /+(/) = /—(力)есть обобщенная функция с носителем в нуле, откуда вытекает сформулированный результат). Более интересен случай, когда обобщенные граничные значения (4.1) совпадают в некоторой области 〃 С Rn. Тогда функции 九+(к) и 九_(к) имеют общее голоморфное продолжение 九(к) в некоторую комплексную окрестность “ области 〃， и можно говорить о единой аналитической функции 九(к) в области (К冷 + iK) U (К冷—iK) U U” (это утверждение есть частный случай теоремы «об острие клина» из п. 5.1.Г).
Оказывается, функции 九土(к) (и, значит,九(к)) «в существенном» определяются Разности (disc^(p)=…-…， (4.2)
которую естественно назвать скачком функции 九(к) при переходе из Rn + 〃К в Rn — iK. Точнее, если 九土'(к) есть другая пара аналогичных функций с общим голоморфным продолжением //, причем disc h! = disc h, то hf — h есть полином (здесь
применима приведенная выше аргументация). Возникает естественная проблема:
скачка. Положивскачка. ПоложивР(Р)= (disc 从夕),Р(Р)= (disc 从夕),(4.3)(4.3)найти эффективное выражение (типа интегрального представления), определяющее функцию 九(卜)с точностью до полинома через ее скачок disc Д и учитывающее явным образом указанные свойства аналитичности и ограничения типа (Б.35) на рост функции 九(к) в (К冷 + iK) U (К冷—ЕК). Ввиду того, что disc h «почти» определяет 九(к), естественно сосредоточить внимание в этой проблеме на свойствах
скачка. Положив
скачка. Положив
Р(Р)= (disc 从夕),
Р(Р)= (disc 从夕),
(4.3)
(4.3)
мы приходим к классу обобщенных функций из 斤'(7?冷)со свойствами: во-первых,
(4.4)(4.4)преобразование Фурье
(4.4)
(4.4)
行（力）=ёТ*9（夕）dnp
имеет носитель в конусе .冰=К* U (—К*):
supp р(х) С •冰(4.5а)
во-вторых,
supp g(夕)С 次，где 31 = Rn\^.(4.56)
Множество таких обобщенных функций g(夕)обозначим через о(.%;次).
Таким образом, возникает задача теории обобщенных функций: найти эффективное выражение (типа интегрального представления) для обобщенных функций из класса о(.冰；次)，которое в явной форме отражало бы свойства (4.5). После этого можно вернуться к «задаче сопряжения» (или нахождения голоморфной функции 九(卜)по ее скачку g(夕)).
Указанная проблема была подробно исследована Йостом, Леманом и Дайсоном для специального случая, когда в качестве Rn берется пространство Минковского М, а роль К играет верхний световой конус 『+, так что конусом •冰 теперь служит замкнутый световой конус
V = {р ЕМ'^^ 0}.(4.6)
На область 自 также накладываются некоторые дополнительные условия (которые обсуждаются ниже, в п. 4.3.Б). Учитывая, что теперь свойства носителей обобщенных функций /±(力)принимают вид supp /± (ж) С『士，/+ и /_ называют обобщенными функциями запаздывающего и, соответственно, опережающего типа.
Б. Набросок вывода. Наряду с a(V;次)мы введем более широкий класс а(У) обобщенных функций, удовлетворяющих условию (4.5а) при .冰=V. Сущность метода, предложенного Дайсоном, состоит во взаимно однозначном соответствии между обобщенными функциями g(夕)6 о(卜)и некоторым классом решений G(夕，〃)6 6 У (Кб) шестимерного волнового уравнения
口(6)G(P，⑺三]陽)-EJ 陽)-EJ (等)]G(p, ?? = 0(4.7)
(здесь и далее в § 4.3 через х и р обозначаются произвольные точки из М; £ = =(8, §2) И 7； = (〃\ 〃2) — Произвольные ТОЧКИ ИЗ Т?2, причем §〃 = §1〃1 + §2〃2).
Приведем эвристическое рассуждение, приводящее к этому изоморфизму. Рассмотрим тождество
伙/)=皆 8(/ 一图2) d先(4.8)
где х е М, £ е К?. Предполагая, что g е о(『)，умножим обе части (4.8) на 歹(力). Поскольку suppp е V, мы приходим к следующему представлению:
g^ = ^G{x. 0 А，(4.9)
где мы ввели обобщенную функцию G(力，£) е ^(7?6):
@(力г)=^⑺心2 —I泊.(4.10)
Оказывается, формулы (4.9) и (4.10) устанавливают взаимно однозначное соответствие между о(『)и обобщенными функциями из У(7?б), обладающими свойствами:〜
〜(^-|<|2)G(x, 0=0,(4.11а)
G{x, R&) = G(x, £) при всех R 6。⑵.(4.116)
Переформулируем конструкцию в терминах преобразований Фурье. Введем обобщенную функцию
G(夕,〃)= @(力,<))d% /§,(4.12)
в терминах которой условия (4.11) принимают вид
口6)G(. 〃)=0,(4.13а)
G(p,兄〃)=G(夕，〃)при всех R 6。⑵.(4.136)
Теперь соотношение (4.9) приводит к упомянутой в начале этого пункта связи между р(р) и G(p, ту):
9(夕)=〃加=0.
Эта формула может служить отправной точкой для интегральных представлений для д(夕)，явным образом учитывающих свойство (4.5а). Известно, что всякое решение G волнового уравнения (4.7) может быть восстановлено по «значениям» G и ее нормальной производной на произвольной фиксированной пространственноподобной поверхности X в К‘ с помощью формулы типа
G(p, 〃)= 0(6)(夕一"，〃一?/)hx("，？/)泪"彦7/,(4.15)
где О(б)— так называемое фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравнения, а обобщенная функция Н^, сконструированная из G, имеет носитель на поверхности В свою очередь D^ (р — pf, 〃) является суперпозицией (в обобщенном смысле) обобщенных функций К(夕；夕‘，А) по переменной р G М вида
К(夕;“,А) = £(р° - “。) 8((夕-“У - А),(4.16)
где р‘ w М и А > 0 — параметры. Это соображение вместе с формулами (4.14) и (4.15) позволяет заключить, что g(夕)представимо как суперпозиция обобщенных функций К(р;夕‘，А) в смысле слабого интегрального представления, называемого представлением Йоста-Лемана-Дайсона (ИЛД):
д(р) = К(р; “，А) Ф(р\ X)d4pf dA.(4.17)
Входящая сюда обобщенная функция Ф(рх, А) называется спектральной функцией *) Йоста-Лемана-Дайсона (ИЛД). Преобразование Фурье от К(р; р‘, А) есть е1^хDv\(x) (с точностью до множителя, зависящего от А), где Dm(x) — так называемая перестановочная функция Паули-Иордана скалярного поля массы т, которая (как всякое нечетное L^-инвариантное распределение из У(7И)) исчезает при 力2 < 0. Поэтому преобразование Фурье от К(夕；夕‘，А) также исчезает при х2 < 0. Таким образом, представление ИЛД явным образом учитывает свойство (4.5а).
Обратим внимание на то, что спектральная функция ИЛД Ф(рх, А) не определяется однозначно распределением g(夕)(как и следует предполагать на основании того, что Ф зависит от пяти вещественных переменных вместо четырех, как д). Так, выбирая в (4.15) различные пространственноподобные поверхности X, мы приходим к различным спектральным функциям ИЛД. Можно попытаться использовать эту свободу для того, чтобы получить представление (4.17), явным образом
удовлетворяющее также условию (4.56) при g е о(『；次).Под этим подразумевается возможность выбора Ф(рх, А) так, чтобы носители обобщенных функций К(夕；夕‘，А) не пересекались с Ь, когда 夕‘，А пробегают множество интегрирования в (4.17), т. е.
suppK(・；р\ А) П ^ = 0 при всех (“，А) 6 supp Ф. (4.18)
В случае произвольных областей 自 этого достигнуть не удается. Дайсон указал достаточно широкий класс областей 自 таких, что для всех распределений из a(V;次) имеет место представление (4.17), явно учитывающее свойства (4.5) (что в силу сказанного сводится к (4.18)). Этого класса областей 〃 достаточно для приложений к теории поля. (Соответствующие примеры приведены в п. 4.3.В.)
В. Выход в шестимерное пространство. В предыдущем разделе мы привели эвристические рассуждения для получения представления ИЛД. Здесь мы докажем лишь отмеченную выше связь данной задачи с волновым уравнением в К” Поскольку дальнейший вывод требует интенсивного использования свойств обобщенных решений волнового уравнения, мы отведем этой теме следующий параграф. В § 4.3 мы завершим вывод представления ИЛД.
Нашей ближайшей целью является установление того факта, что формула (4.10) определяет изоморфизм между обобщенными функциями р(х) е У(7И) с носителями в У и обобщенными функциями G(力，£) 6 ^(Т?6), удовлетворяющими условиям (4.11). Вначале убедимся, что формула (4.10) корректна.
Заметим, что V является канонически замкнутым регулярным множеством^ М, поэтому (в силу предложения А.1) имеется изоморфизм / пространства У(卜)на пространство обобщенных функций из У(7И) с носителями в V; при этом равенство р = /7 (где 7 е 火(『))означает
@, “)=(7, и\у) при всех и 6 斤(加). (4.19)
Ниже мы всюду считаем, что обобщенные функции р и 7 связаны именно таким образом.
Теперь мы можем придать смысл формуле (4.10), положив
(@(力,0,。(/,0) = (乂力)，i ] 8(/ -图2)。(/,g)/g旅) (4.20) при всех о е 斤(К，) или? эквивалентно,
(@(力,<),о(/, <)) = (т(力),w(x, «)е), (4.21) где
沢力,t) = ^ 8(方一图2)。(力，0 彦S (4.22)
есть функция из "m x 反+), причем отображение v w есть линейный непрерывный оператор. (В связи с этим см. предложения 3.10 и 3.11 в п. 3.4.А, а^гакже первый пример после предложения 3.11.) Отсюда ясно, что распределение @(力，£) корректно определено формулой (4.20) и обладает свойством (4.11). 〜
Мы построили G по р. Обратно, р может быть восстановлено по G с помощью формулы (4.9). Для этого заметим, что из свойства (4.11а) следует, что G(x, ^[пмеет носитель при х2 — |^|2 = 0, откуда (в силу упражнения 2.33) следует, что G(力，£) является свертывателем по & Значит, частичный интеграл по £ в правой части (4.9) хорошо определен (см. п. 2.5.Г). Более того, с помощью подстановки (4.10) в правую часть (4.8) нетрудно убедиться в справедливости равенства (4.9).
При доказательстве (4.9) можно основываться на следующем равенстве, справедливом благодаря свойству носителя
3(/, 8 = 3(/，8 о(同2 —«)，(4.23)
где p(t) — функция из 夕(К), равная единице в окрестности t = 0. Теперь правая часть может быть вычислена так: для всех и 6 ”М)
Q 3(羽 0 d乞 〃(/)) = (3(羽 8,皿)。(同2 - «))；(4.24)
последнее же выражение, согласно (4.20), сводится к (歹(/), 〃(/)).
Сформулируем теперь интересующий нас результат.
Лемма 4.1. Формула (4.10) осуществляет изоморфизм пространства всех обобщенных функций @(力)6 У(7И) с носителями в V на пространство всех обобщенных функций G(力，£) е ^(7?6), удовлетворяющих условиям (4.11), причем обратное отображение осуществляется формулой (4.9).
< Аргументы, предшествовавшие этой лемме, составляют существенную часть доказательства. Остается лишь доказать, что всякое распределение G(x, §) 6 «/(К。)，удовлетворяющее условиям (4.11), может быть представлено в виде (4.10) при некотором р 6 夕卜М) с носителем в V. Чтобы убедиться в этом, определим р посредством (4.9). (Это имеет смысл, так как G(/, §) является свертывателем по § благодаря〜тому, что носитель 九(/, §) содержится на множестве ж2 — |^|2 = 0.) Поскольку носитель §) содержится на множестве {(/, §)： «》0}，носитель g также имеет носитель в V. Теперь мы можем определить Gi(x, §) G 於(К') по формуле типа (4.10):
Gi(x, €) = ^ 5(/2 —同2)歹⑺，
и нам остается лишь доказать, что Gi = G. Для этого заметим, что если w(x, t) определена (при произвольной V G «(К。)) посредством (4.22), то
(31(/, Н，о(/, 0) = 6(/),刨力，«)〔")•
С помощью (4.24) правая часть может быть выражена через G:
(61 (ж, Н，о(/, 0) = С® 8"(同2 — * 刨羽 /))•(4・25)
Далее, из 0(2)-инвариантности G(/, §) по § следует:
(с(ж, §),§))=卜(с, J=(с(ж,
что (с помощью свойства носителя G) может быть записано в виде
G(x а, о)=(@(/, а “(同 2 - «)刨羽同 2))・(4.26)
(Здесь, как и в (4.25), p(t) есть функция из 夕(К), равная единице в окрестности t = 0.) Введем функцию
которая, очевидно, принадлежит «(К^). Тогда из (4.25) и (4.26) следует
(31(/, а — б(ж, 8, "/，§)) =((同2 - «) G(x, §)亠1(/, §))•
Это есть нуль благодаря свойству (4.11а). А
13 Н. Н. Боголюбов и др.
Выразим установленный выше изоморфизм между р и G в терминах их преобразований Фурье g(夕)и G(夕，〃)(см. формулы (4.4) и (4.12)). Ясно, что свойство suppp С V как раз означает, что g(夕)е о(『)・ Столь же очевидно, что G(x, £) удовлетворяет условиям (4.11) в точности тогда, когда G(p, 〃) удовлетворяет условиям (4.13). Далее, G(夕，〃)можно рассматривать как обобщенную функцию по 夕, зависящую &°°-о6разом от 〃 как от параметра (см. упражнение 2.48(6)), следовательно, существует сужение G(夕，〃)на плоскость 〃 = 0, равное
G(p 〃)|片。=£必(G(x, 0 d2^ d4x(4.27)
(см. упражнение 2.48(6), а также формулу (2.92) в упражнении 2.28). Подставляя сюда (4.9) и (4.12), получаем, что G и g связаны между собой соотношением (4.14).
Теперь изоморфизм в лемме 4.1 может быть переформулирован следующим образом.
Предложение 4.2. Формула (4.14) осуществляет изоморфизм между пространством всех обобщенных функций G(夕，〃)6 У(7?б), удовлетворяющих условиям (4.13) и пространством о(『) всех всех обобщенных функций g(夕)е 6 У(7И), удовлетворяющих условию suppp С V.
Свойства решений из У' уравнения Даламбера
А. Обозначения. В этом параграфе мы совершим экскурс в теорию обобщенных решений n-мерного волнового уравнения Даламбера. Координаты произвольной точки х е Rn обозначим 力°,力i,…，力冷一i； при этом 力° будем называть временной координатой, а вектор х =(力匕…，xn_i) e Rn~x — пространственной частью вектора x. Посредством ху обозначается псевдоевклидово скалярное произведение
п— 1
ху =/0伙)-ху =/0% - £叼幻
(в частности, х2 =力力),а 口(冷)есть даламбертиан:
Введем прочие сопутствующие обозначения (используемые в настоящем параграфе без дальнейших пояснений):
吋)={力 g Rn：xQ > 因}, 总)=一吋)，%)= {/ e Rn：xx > 0}.
Это соответственно верхний световой, нижний световой и ^просто) световой открытый конус в Rn; их замыкания обозначаются через V^p V^p VМножество
Г = {х 6 Rn. хх = 0}
есть поверхность светового конуса. Кроме того, для произвольной пары точек a, b Е 6 Rn введем множество
называемое алмазом (открытым) с вершинами в точках а, Ь. Очевидно, что алмаз Q(h)(a, b) непуст в точности тогда, когда 6 — а е 吋).При 6 — а е 吋)интервал прямой в Rn вида
(а, Ь) = {а + (Ь - а)方 G Rn. О < t < 1}
будем называть времениподобным интервалом (с концами а и 6).
Б. Фундаментальное решение задачи Коши. Обратимся к рассмотрению обобщенных функций 歹(力)6 ^(К72), удовлетворяющих волновому уравнению Даламбера
□⑺)歹(/) = 0.(4.28)
Всякое такое решение есть обобщенная функция по х, зависящая &°°-о6разом от 力° как от параметра (см. упражнение 2.49; F(x) может рассматриваться и как обобщенная функция по 力о, зависящая &°°-о6разом от х как от параметра). Следовательно, мы можем обобщенной функции F(x) сопоставить семейство обобщенных функций {Ft(x)}tER в 火(К72—1):
e(尤)=?(力)1g=力，(4.29)
зависящих &°°-о6разом от параметра t и удовлетворяющих дифференциальному уравнению в 火便几一】)：
=(4・3。)
Одной из естественных задач для волнового уравнения является задача Коши: определить решение 歹(力)е ^\Rn) уравнения (4.28) по заданным значениям 兄(力) и 糸耳(尤)(в ^(Rn~r)) при некотором фиксированном значении 方，скажем, при t = 0. Пара обобщенных функций
用(尤儿=0 = wW，糸e⑴I力=0 = "1(尤)(4.31)
называется начальными данными задачи Коши (для момента времени t = 0). Нетрудно убедиться, что при любых начальных данных (в ^(К72—】))задача Коши однозначно разрешима (в 力(К72)).
Единственность решения задачи Коши можно установить, например, следующим рассуждением. Пусть начальные данные (4.31) равны нулю. Тогда (индукцией по т) из (4.30) следует, что производные любого порядка m по t от £(х) при t = 0 равны нулю. Чтобы теперь убедиться, что £(%) = 0 при всех t, достаточно заметить, что (£(%), "(%)) есть аналитическая функция по t при всех функциях и, пробегающих некоторое плотное подмножество в «(К72—), скажем, ^[3) (i?n-i)] — преобразование Фурье множества основных функций 夕(Kn—i). Действительно, из свойства носителя F(p) следует, что при всех ^ 6 G 夕(尺九―1) распределение J F(po, р) ^(~Р)dn-ip по 目。 имеет компактный носитель, и, значит, его преобразование Фурье, равное J F(^o, х) и{х)(^~хх, является аналитической функцией по /о, что и утверждалось выше.
Чтобы построить решение задачи Коши, введем преобразование Фурье от 兄(尤) по переменной х, которое мы обозначим через Ft(p) (чтобы отличать от 歹(夕))：
英(р) = e-w^(x) dn~lx.(4.32)
Теперь задача Коши приобретает весьма простой вид:
^貝⑺= —"£(〃)，
Et(p)\t=o = uo(p),^ "(р儿=о = uiS)・
Легко видеть, что этим уравнениям удовлетворяет выражение
£(р) = cos MU qoS) + s° W @1(р),(4.33)
что (в силу единственности) и есть искомое решение. Следует прибавить, что входящие в (4.33) функции cos (\p\t) и ^"片 “ являются мультипликаторами из ^м(^?п) (по совокупности переменных t и р), так что правая часть (4.33) хорошо определена (как семейство обобщенных функций по р, зависящих &°°-о6разом от параметра 方, а также как обобщенная функция по t и р).
Очевидно, в х-пространстве формула (4.33) записывается с помощью (п — 1)-мер- ных сверток:
e(光)=糸(方,尤) "o(尤)+ °(冷)(方,光)* "1(办(4.34)
Здесь мы ввели фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравнения D(n)(x)=^n (犷。)九 ip,(4.35)
или, эквивалентно,
。⑺)(力)=27TZ£(p0)5(p2)ew dnp.(4.36)
Это есть решение волнового уравнения □(冷)О(冷)(/) = 0 в 事卜R? со следующими начальными данными (непосредственно вытекающими из (4.35)):
0m)(方，尤儿=0 = 0,g0m)(方，尤儿=o = 8(尤).(4.37)
Нам понадобится явный вид。⑺)(力)лишь при четном *)八=2k》4:
D^(x) = 2,—i £(力0)8(卜一2)(力2) при четном 八=2k》4.(4.38)
В (4.36) и (4.38) £⑴，как обычно, обозначает знаковую функцию:
£&)= [；咿(4.39)
v 7[ -1 при t < 0.
Приведем пояснение к формуле (4.38), а также набросок ее вывода. Чтобы указать вид D^(x) с точностью до множителя, нет необходимости производить преобразование Фурье в (4.36); достаточно воспользоваться некоторыми общими соображениями. Из (4.36) видно, что О(九)(/) есть нечетная (относительно замены /о т —/о, а также х т —х) обобщенная функция из 窜〈R"), инвариантная относительно связной компоненты G группы всех линейных псевдоевклидовых преобразований Rn. (Подобно преобразованиям Лоренца в пространстве Минковского М = R^, такие преобразования характеризуются условием сохранения псевдоевклидова скалярного произведения ху в Rn.) При выводе общего вида таких нечетных G-инвариантных обобщенных функций размерность п несущественна. Поэтому для нечетных
G-инвариантных обобщенных функций /(ж) 6 ^f(Rn) имеет место общее представление, такое же, как в случае п = 4 (см. (3.105)):
/(/) = £(/о)以«),где h е ^(R+).(4.40)
Интерпретируется эта формула следующим образом. Поскольку /(ж) — нечетная обобщенная функция по /о, для произвольной функции и(х) 6 "К71) ИМеем
I /(ж) и(х) d/ = ^ ] f{x)[u{xo, х) — u{—xq, х)] dx.(4.41)
В свою очередь мы можем ввести о((т, х) 6 #(К+ х Rn~r) посредством равенства
J 3(/0, х) - u(-xQ, х))=力0。(君,X),(4.42)
так что формальные манипуляции с представлением (4.40) дают:
I /(ж) и(х) d/ 二]H{x2)\xq\ v{xq,尤)d/ 二]以ст — |x|2) v{a, х) da dx.
(Здесь в формальном интеграле мы произвели замену переменной жо на Жд = а и учли, что а дважды пробегает R+, когда /о пробегает К.)
Мы приходим к формуле, которую в действительности следует принять за корректное определение представления (4.40):
(/(/), и(х))=(以т), ] о(т + |х|2, х) dx) ;(4.43)
здесь по-прежнему о считается связанным с и соотношением (4.42).
Дальнейшие соображения, приводящие к формуле (4.38), основаны на свойстве однородности. Очевидно, что обобщенная функция е(ро) ^(р2), стоящая в (4.36) под знаком преобразования Фурье, однородна степени —2, откуда следует, что D(n)(x) однородно степени —п + 2, т. е.
D^{Xx) = Х~п+2D^{x) при всех А > 0.
Значит, обобщенная функция 九(т) G 夕(RQ, входящая в представление (4.40) для D^{x), должна быть однородна степени X~n^2+i. При четном ?г = 2k》4 всякое распределение 九(т) из #'(/?+), однородное степени X~k+l, имеет вид сд^к~^(т) (см. упражнение В.8). Тем самым находится вид D(n)(x) с точностью до множителя:
。⑺⑺= c®o)b(i)(/2).(4.44)
Наконец (см. ниже упражнение 4.1), константу с можно найти, используя тот факт, что (согласно (4.35)) D(n)(t, р) = ^口 謂",поэтому
(4.45)(4.45),х) d х = Dn (^, p) lp=o =力.
(4.45)
(4.45)
Упражнение 4.1. С помощью (4.45) убедиться, что константа с в (4.44) 1/2тгк~1. (Указание: для любой функции u(t) G #(К) положить о(产)= ；(u(t) -〃(一£)). Тогда (t, 〃(")= 2 J v(t?) 12 dt. С другой стороны, из (4.40), (4.43) следует:
о
(卜(加Li 〃(加)=Sn-1 I (-今У 2и")产dr,
0
где sn-i — площадь сферы радиуса 1 в Rn~{.)
Упражнение 4.2. Доказать, что
。⑺)(/)=。⑺)(/)=жп)dxn.жп)dxn.(4.46)(4.46)
。⑺)(/)=
。⑺)(/)=
жп)dxn.
жп)dxn.
(4.46)
(4.46)
(Указание: это равенство означает, что D⑺也 р) = D(n+i)(t, р, pn)|Pn=o-) Решение (4.34) задачи Коши можно переписать в виде n-мерной свертки:
(4.47)(4.47)反(力)=D^x) * {备(8(/0)"0(尤))+ 8(力o)"i(尤)}•
(4.47)
(4.47)
Эта свертка определена «каноническим образом» благодаря свойствам носителей входящих сюда обобщенных функций (см. критерий существования сверстки в упражнении 2.41). Действительно, носитель 。⑺)содержится в конусе 『⑺)(при четных 八》4 это видно из (4.38), а при прочих п — из соотношения (4.46)), в то время как носитель другого «сверточного сомножителя» в (4.47) сосредоточен на плоскости 力° = 0.
Сформулируем полученный результат.
Предложение 4.3. Всякое решение волнового уравнения (4.28) в У (К72) является обобщенной функцией по х, зависящей -образом от 力о・ При любых начальных данных в ^\Rn~x) {скажем, для момента времени 力о =方)задача Коши однозначно разрешима в ^\Rn), 〃 ее решение имеет вид
反(力)=0m)(/)* {“力0 一方)為反(Т，^\T=t + ^5(xq -t)F(r,尤)1「=力}.(4.48)
В. Задача Коши на пространственноподобной гиперповерхности; принцип Гюйгенса. Формула (4.48) естественно переносится на случай, когда начальные данные выбираются не на плоскости 力° = const, а на произвольной строго пространственноподобной гиперповерхности. Мы говорим, что гиперповерхность
S = {ж 6 К2 力о = х(х)}(4.49)
(где х(х) — гладкая функция в Rn~x) является пространственноподобной, если |gradх(х)| < 1 при всех х 6 Rn~\ а также строго пространственноподобной, если х(х) является мультипликатором в ^(Кп~{) и |gradх(х)| < р при некотором /)< 1 и всех х е Rn~x. Для пространственноподобной гиперповерхности S определим обобщенные функции из ^(К72):
%(力)=伙力0 - "(尤))， 理=〃从备"X(力)при /1 = 0, 1,, h - 1,(4.50)
где 〃о = 1 и rjj = —1 при j = 1,, п — 1. Ясно, что "夕 локально интегрируема,
a supply С S.
Оказывается, обобщение формулы (4.48) на случай произвольной строго пространственноподобной гиперповерхности S имеет такой вид:
(4.51)(4.51)
(4.51)
(4.51)
или, эквивалентно,
(4.52)(4.52)ь⑺=0(九)(/)* {口(九)仄(力)ь(力)]}.
(4.52)
(4.52)
Вывод этих формул мы начнем с доказательства того, что их правые части хорошо определены. Мы определим произведения обобщенных функций в квадратных скобках этих формул, пользуясь понятием произведения обобщенных функций
(п. 2.6.В). После этого существование свертки будет следовать из свойств носителей «сверточных сомножителей».
Лемма 4.4. Пусть 歹(力)6 У (К72) есть решение волнового уравнения (4.28) 〃 X — строго пространственноподобная гиперповерхность (4.49). Тогда обобщенная функция 歹(力+ g)"x(z) 6 斤/(7?2九)является обобщенной функцией по х, зависящей ^00-образом от у как от параметра. При любых мультииндексах /3, 7 6 Z+n произведения обобщенных функций 。。歹(力)и 。)"夕(力)определены «каноническим образом» и имеют носитель в множестве suppF П supp D7i?s- К определенным таким образом произведениям применимо правило дифференцирования Лейбница.
< Докажем, что 歹(/ + 沙)少夕(力)принадлежит классу £°° по у (тогда остальные утверждения леммы следуют из упражнения 2.54). Доказываемое утверждение означает, что для любой функции и{х) 6 ^(Rn) обобщенная функция (尸(力 + у)少夕(力)，〃(/))% принадлежит 夕M(Rn)по у. Так как 少夕(/)〃(力)—свертыватель (упражнение 2.22), то это требование означает (после замены F{x) на 歹(一/)), что F * (^и) G ^м(/?п). В терминах преобразования Фурье (упражнение 2.20) доказываемое утверждение означает, что для любой основной функции и{х) 6 "RD выполнено условие
户(0)U(0)G〃C(KT；(4.53)
здесь F(p) G «'(К72) и U(@) G €^Rn) — преобразования Фурье обобщенных функций F и ”£〃：
戸(@) = ^F(x)e~ipxdnx, U(p) = ^^x)u(x)e~ipx dnx.(4.54)
Так как носитель F(p) сосредоточен на поверхности светового конуса, то с помощью подходящего разложения единицы в р-пространстве мы можем разложить F{x) в сумму трех решений волнового уравнения
F(x) = F+(x) + 歹—⑺ + F0{x)
таким образом, чтобы supp 吊 был компактен, ^а supp F± содержался в соответствующем множестве ±ро = |р|》1・ При замене F на БЬ условие (4.53) становится тривиальным (упражнение 2.23) и, так как случай F_ аналогичен 耳，достаточно вместо (4.53) доказать, что при всех и G ^(/?п)〜
戶+(0)U(0)G 爆(W)・(4.55)
Так как \р\ является гладкой функцией g при \р\ > 1, то из волнового уравнения (р • р) х х Б+ (р) =0 и из условия на носитель F+ следует возможность представления F+ в виде 户+(0)= *00 — |р|) а(р),(4.56)
где а(р) — обобщенная функция из ^\Rn-i) с носителем при |р| > 1. Поскольку функция и(@)=卜-通。屮产⑴-財 °⑴ 〃« + “(％), x) dtdx(4.57)
интересует нас в произведении с обобщенной функцией R(@), мы можем заменить ро^{х) в (4.57) на \р\ м(х). В результате получим
戸+(@)и(0)=戸(0)Ui(@),(4.58)
положив
Ui(0)= а(р)『(0о, |р|,向；(4.59)
здесь а(р) — мультипликатор из 夕м(Кп—1), равный нулю в окрестности нуля и единице при \р\ > 1; V(0o, р,厂)—функция от вещественных переменных р0, Р и вектора 厂 из шарового слоя
1 - 5/3 < |г| < 1 + Ь/3(4.60)
в К72-' где b — положительное число, определяемое из условия строгой пространственнопо- добности гиперповерхности »
|grad>r(x)| <1-5.(4.61)
Определяется функция V(ро,.,厂)формулой, аналогичной (4.57):
V(p0, Р，r)= I e-i[p°t+p^(x)-rx)] 6»⑴ гм (t, х) dt dx,(4.62)
где гм亿 х) = u(t + м(х), х) G ^(i?n).
Остается убедиться в принадлежности функции Ui(@) (4.59) к классу ^(Rn), для чего функция V(ро,.,厂)должна быть «достаточно хорошая», что мы намереваемся показать. А именно, V(ро,.,厂)является ^00-функцией (в своей области определения), причем любая ее производная (любого порядка) при произвольном ^ > 0 мажорируется по модулю выражением Cn(1 + I.I)-n (при некотором cN). Убедимся в этом, предполагая, что 厂 изменяется в части шарового слоя (4.60), определяемой дополнительным условием
门〉1 — b/2.(4.63)
Так как весь шаровой слой покрывается конечным числом окрестностей, получаемых из (4.63) вращениями, то, очевидно, достаточно ограничиться одной окрестностью (4.63). Произведем теперь в (4.62) замену (t, g,妆，…，力九一i) (t, г = м(х) — гх,妆，…，力九一i)：
V(po, p, г) = I e~^p°t+pT^ 0⑴ ^(t, 丁，力2,力九―i；厂)dt dr dx^.. .dxn_\.
Из условий (4.60), (4.61), (4.63) следует, что а << b при некоторых положительных
константах а и Ь. Следовательно,吵(力，г, Ж2,, хп-Г, г) принадлежит 伊(/?八)по 力，г, Ж2,
...,хп-1 и зависит £°°-о6разом от параметра 厂.
Теперь из свойств классического преобразования Фурье интегрируемых функций следует доказываемое свойство функции V(ро, р, г), а это в свою очередь позволяет заключить, что Ui Е #(Q). А
Итак, мы определили выражения в квадратных скобках формул (4.51) и (4.52), а из правила дифференцирования и волнового уравнения для F следует их равенство. Теперь нетрудно убедиться, что свертки в этих формулах определены «каноническим образом». Действительно, носитель D^ лежит в Vа носители распределений в фигурных скобках содержатся в X п, значит, в множестве вида b + •冰，где b — фиксированная точка из X, а .冰一конус:
Я = {хе Rn |ж0| ^р\х\}(4.64)
(0 < 1 определено из условия |gradx(x)| < р). Из критерия существования свертки (см. упражнение 2.41) следует теперь, что правые части формул (4.51) и (4.52) хорошо определены и равны. Осталось доказать справедливость одной из этих формул.
Предложение 4.5. Пусть F — решение в ^\Rn) волнового уравнения, S — строго пространственноподобная гиперповерхность (4.49). Тогда справедливы (эквивалентные) представления (4.51) “ (4.52) (еОе D⑺—фундаментальное решение волнового уравнения, а ^ и X专 определены в (4.50)).
< Пусть b — некоторая точка из 12, Ьо = т и ^ = {х Е Rn: /о = т}. Ясно, что при замене X на Е7 представление (4.51) переходит в доказанную формулу (4.48). Поэтому достаточно доказать, что разность между правыми частями в (4.51) и (4.48) равна нулю или, что то же самое (ввиду эквивалентности доказываемых формул (4.51) и (4.52)):
где /(ж)= f(/)(少е(/)-少夕/(/)). Так как supp (少e -少矛)U b + ., где конус .* определен в (4.64), supp / U b + .庶 и (в силу упоминавшегося выше критерия) существует свертка D^ * / в «'(К"). Используя формулу дифференцирования свертки (см. упражнение 2.39), получаем: D⑺ * (□(п)/) = (□(п)^(п)) * /• Последнее выражение равно нулю по определению D⑺,что завершает доказательство (4.65). А
Из предложения 4.5 вытекает следующее свойство квазианалитического характера.
Следствие 4.6 (принцип Гюйгенса). Пусть S — (строго) пространственноподобная гиперповерхность в Rn и 丿〃 есть ее часть вида ^〃 = {ж е X: х е D}, где D — область в R^-i. Если решение F уравнения Даламбера исчезает в некоторой окрестности 丿〃，то F исчезает в причинной оболочке *) множества 丿〃.
Упражнение 4.3. Доказать это следствие. (Указание: воспользоваться свойством носителя свертки обобщенных функций; см. упражнение 2.39.)
В следующем упражнении приведен «сглаженный» вариант представления (4.52). (Аргументация, использованная в доказательстве предложения 4.5, применима и здесь.)
Упражнение 4.4. Пусть заданы две строго пространственноподобные гиперповерхности = {х Е Rn'. xq = ”а(х)} (а = 1 и 2), причем 羽(%)〉”2(%), и пусть &(/) — мультипликатор из €^Rn) такой, что
&(/) = 1 при /о〉mi (х) и &(/) = 0 при /о < 〃2(Х).(4.66)
Доказать справедливость следующего представления для решений волнового уравнения:
尸⑺=0(九)(7)* {□(П)[^(ж)反⑺]}•(4.67)
Г. Формула Асгейрсона и ее применение. Оказывается, имеет место замечательная симметрия между пространственными и временной координатами в волновом уравнении. Мы уже отмечали, что решения волнового уравнения в ^(К72) являются обобщенными функциями по х класса &°° по 力о и, аналогично, обобщенными функциями по 力о класса &°° по х. Следовательно, наряду с сужениями 歹(力)|g=const существуют сужения 歹(z)|%=const е У (к). Более того, существует сужение на всякую времени подобную прямую I (задаваемую уравнением типа х = а + bxQ при b 6 Rn~\ \b\ < 1), т. е. существует /(力о)=歹(力)1% G 火(К) и, значит, существует также сужение 歹(力)на любой времениподобный интервал (а, Ь). Действительно, посредством подходящего линейного преобразования в Rn (именно, псевдоевклидова преобразования, оставляющего инвариантным волновое уравнение) времениподобная прямая может быть переведена в прямую вдоль оси времени (сужение на которую существует согласно сказанному выше).
Интересно, что справедливо также свойство квазианалитичности, аналогичное принципу Гюйгенса, иллюстрирующее симметрию между 力° и х. Для его вывода можно воспользоваться так называемой формулой Асгейрсона («для среднего значения», см. [К13], гл. IV, п. 18.1), которую мы приведем в следующей «частично сглаженной» форме:
ь⑺ * {8(g)以図2)}=ь(/)* rf(IxoI2)^W}. (4.68)
Здесь 歹(力)е ^(К72) — произвольное решение волнового уравнения (4.28); ф{р)— _V_
функция из ⑨(7?+), а ⑦ есть также функция из ⑨(7?+), которая строится по ⑦:
以丁)= ^5九_2以丁 + 0)0m-3)/2 dр，если n > 2,
I(4・69)
以丁 =以丁)， если n = 2
(sn-2 есть площадь сферы единичного радиуса в Rn~2).
Свертки в (4.68) существуют, так как обобщенные функции в фигурных скобках имеют компактные носители. Убедиться в справедливости формулы (4.68) можно с помощью преобразования Фурье. Введем
3(р) = I epx^(\x^dx, g(@o)=卜 认 |/o|2)d/o；
тогда равенство (4.68) будет означать
户(0)(3(p)-91(加)=。.(4.70)
Ввиду того, что з(р) — вращательно-инвариантная функция из 外忆-'),она представима в виде з(р) = Ф(|р|2) при некоторой Ф((т) G #(/?+) (см. предложение 3.10). Аналогично, 夕1(0о) — четная функция из #(К), поэтому она представима в виде 31(00)=① 1(@力, где Ф1((т) — некоторая функция из #(/?+). Непосредственная проверка показывает, что 3(s, 0, ..., 0) = gi(s) при всех s G К, значит, Ф1 = Ф. Введем функцию
Х(6, сг2)=(①(6)- Ф(сг2))/(сг1 - сг2);
очевидно, это ^^-функция на R+ х R+. В таком случае х(|р『，〔Ooi?) — мультипликатор в ^(Rn), и мы можем переписать левую часть (4.70) в виде
户(0){①(|р|2 -①(|@о|2)} = (|р|2 - Ы2) F^p) х(|р|2, Ы2).
Это есть нуль благодаря тому, что (р • р) F(р) = 0. Равенство (4.70) доказано.
Перейдем к упоминавшемуся выше свойству квазианалитичности.
Предложение 4.7. Пусть решение 歹(力)е У (К72) уравнения Даламбера удовлетворяет условию-, сужения F и всех его частных производных DaF{x) (всех порядков) на некоторый времениподобный интервал (а, Ь) равны нулю. Тогда F исчезает в алмазе ^(冷)(。,b).
< С помощью сдвига начала координат и последующего линейного псевдоевклидова преобразования Rn интервал (а, Ь) может быть сведен к интервалу на временной оси вида 3 = {х е Rn: х = 0, -I < xq < 1} и, соответственно, множество Q(n)(a, b) — к множеству
Q = {亿力)е Rn： |t| < 1, х е s「⑴},
где Sr(t) — шар в Rn с центром в нуле и радиусом 厂⑴=I - \t\.
Итак, пусть для любого мультииндекса a DaF{x)x=Q = 0 при /о G (-Z, Z). Нам предстоит доказать, что 歹(/) = 0 в Q или, эквивалентно, что для любого t G Z) F{x)\XQ=t = 0 при х G S「⑴，т. е.
(Ft(x), и(х))х = 0 при всех t е (-Z, Z),夕(S「⑴).(4.71)
Воспользуемся формулой Асгейрсона, которую можно переписать в виде
［歹(s, y)\s=t^\x -疗)dn~xy =［歹(s, y)y=x^\s-t\2)曲.
Очевидно, обе части этой формулы являются ^00-функциями в Rn. Полагая здесь |t| < Z и х = 0, получим
F(s, x)|s=t^(|x|2)厶=]歹(s, x)|x=0^(|t - s|2) ds.(4.72)
Пусть дополнительно функция 吵(°) исчезает при р > r2(t); тогда 吵(т) также исчезает при г > 产⑴ и, значит,次旧-s|2) = 0 при |s| > I. (По-прежнему мы считаем, что |t| < Z.) Согласно условию носитель F(s, х)|х=о лежит в множестве |s| > Z, где как раз ^(|t — s|2) = 0. Значит, правая часть в (4.72) равна нулю, и мы приходим к выводу, что (£(%), ^(|х|2))х = 0 при всех t G (—Z, Z) и всех 认.)G Я) (/?+), исчезающих при р > 戸⑴.
Тем самым мы частично доказали (4.71), а именно, для всех вращательно-инвариантных функций и(х). Покажем теперь, что (по-прежнему, при |t| < Z) для любого полинома F(x) в К72— имеет место
(凡⑺"⑴次"))= 0(4.73)
для всех вращательно-инвариантных функций ^(|х|2) из ^(Sr^). Очевидно, доказываемое утверждение (4.71) следует отсюда, так как согласно теореме Вейерштрасса (п. 1.2.В) множество всех функций вида Р(х)吵(|х『) (где F(x) — полином, а ^(|х|2) — вращательноинвариантная функция из 夕(S「(力)))плотно в 夕(S「(力)).Формула (4.73) доказывается индукцией по степени N полинома F(x). При ^ = 0 она доказана. Предположим, что ее справедливость установлена для всех решений 歹(/) волнового уравнения, всех вращательноинвариантных функций 次|肝)из 夕(S「⑴)и полиномов F(x) степени < N. Докажем, что тогда для любого J = 1, ..., п — 1
(e⑴//⑴次因2)) = 0.(4.74)
Для этого введем функцию
W⑴=-^ j ^(s) ds,
которая, очевидно, принадлежит ^(^+)- Тогда для левой части (4.74) имеем
(兄⑺，g・• F(x)认因2)) =(F.(x), F(x) Д ф(|х|2)}=
Последняя часть этого равенства равна нулю по предположению индукции.
Тем самым формулы (4.73) и (4.71) доказаны. Вместе с ними доказано предложение 4.7. А
Вывод формулы Йоста-Лемана-Дайсона
А. Конструкция спектральной функции. В п. 4.1.А мы связали со всякой обобщенной функцией g(夕)6 о(『) решение G(夕，〃)волнового уравнения в шестимерном пространстве (предложение 4.2). Перейдем теперь ко второму этапу вывода представления ИЛД (4.17) для обобщенных функций g(夕)е о(『；次).Чтобы упростить описание пространства, к которому принадлежат спектральные функции ИЛД Ф(рх, А), мы сделаем одно «техническое» предположение относительно области 〃，а именно:次(дополнение к ^ в 7И) содержится в множестве вида К +『，где К — некоторый компакт в М. Другими словами, мы предполагаем ), что
次 С Q[-a, а] + V при некотором а 6『+.(4.75)
Здесь и далее (при a, b е Af) Q(a, b) и Q[a, “ обозначают алмазы (открытый и замкнутый) с вершинами в точках а, b в М\
Q(a, b) = (а +『+) П (Ь +『一)， Q[a, b] = (а + F+) П (b + 匕一)(4.76)
(Q(a, b) непусто лишь при 6 — а е『+; ср. обозначения в начале предыдущего параграфа). Условие (4.75) можно записать также в виде
suppg(夕)С (—а +『+) U (а + V~) при некотором а е『+.
Теорема 4.8. Пусть 31 — замкнутое подмножество в пространстве Минковского М, удовлетворяющее условию (4.75), и пусть g(夕[—произвольная обобщенная функция из a(V;次)(те g 6 У(7И), suppp С V, suppр С 次).Тогда для g(夕)имеет место (слабое интегральное) представление ИЛД
9(夕)=£(°° -夕"产 - A) W(", A)或" dA(4.77)
при некоторой обобщенной функции Ф(рх, А) 6 ^(Q[-a, а] х К+).
< Начнем с доказательства того, что для любой основной функции 夕(@) 6 ^(Af) функция 认"，А) = j K(R； р, А)夕(0)&4@
(где К(р; р‘，X) определено согласно (4.16)) принадлежит пространству #(Q[—а, а] х /?+).Пусть т_ есть линейный непрерывный оператор, отображающий ”М) в ^(R+) по формуле(m一9)(入)=j £(pо) BQ/ - А)9(0)m
(этот оператор уже встречался ранее в п. 3.2.В). Тогда определение 吵(@[ А) можно переписать в виде 吵("，А) = (m_Q/)(/X), где Q/(@) = т?(р + рг) есть элемент из ^(Af) по @, зависящий £°°-о6разом от параметра р\ Отсюда следует, что (т_夕,/)(入)есть элемент из #(К+) по А, зависящий £°°-о6разом от " G М. Тем самым доказано, что 吵("，A) G #(Q[-a, а] х /?+)• Согласно определению, данному в п. А.2, отсюда следует, что К(@; @[ А) можно рассматривать как ядро некоторого интегрального представления, и для любой WQZ, А) 6 ^(Q[—a, а] х /?+) формула (4.77) имеет смысл, задавая обобщенную функцию из #'(Af), которая, как нетрудно видеть, действительно принадлежит классу сг(『； Q[—a, а] + V).
Нам предстоит доказать, что всякая обобщенная функция g(@) 6 сг(У;次)допускает представление (4.77). Воспользуемся предложением 4.2 и запишем д(@) в виде (4.14) с обобщенной функцией G(@, ту) 6 «'(K。)，удовлетворяющей условиям (4.13). Пусть 5^(〃) есть 5-образная последовательность основных функций из 夕(К?). Тогда для любой 夕(@) 6 ^(Af) имеем
g(0)夕(0)d“ = [ G(0, 〃)|片о 夕(0)d“ = lim [ G(@, 〃)夕(@) 5九(〃)Mpd2斗 (4.78)
По условию g(@) исчезает вне Q[—a, a] + V. В таком случае из доказываемой ниже леммы 4.9 следует, что G(@, 77) = 0 вне (Q[-a, a] + V) х R2. Пусть X — произвольная строго пространственноподобная поверхность в R6 такая, что ее пересечение с (Q[—a, а] + V) х R2 содержится в Q[—a, а] х R2. Например, в качестве X можно взять гиперплоскость {(р, 77) 6 G К% ар = 0}. Применив к G(@, 77) представление (4.52), получим формулу
G(@, ту)=。⑹(0, 〃) * 丛(в 〃)，(4.79)
где
»夕(0, 〃)= 口(6){G(B 〃)的(0, 〃)}(4.80)
—обобщенная функция с носителем в Q[—a, a] х R2.
Теперь из (4.78), (4.79) следует*)
д(p)屮(p) d4p = М2(p, р\ г],办0⑹(0, 〃)8夕(",7/)9(0 + ")5九5 + 7/))=
=J里a（"'#' Hz（P'，〃）〈1（炉），^ + ^）^^）,0（6）（0,炉）7V（0）%〉少%/川・
Воспользовавшись явнымВоспользовавшись явнымвидомо⑹(0,炉)：
Воспользовавшись явным
Воспользовавшись явным
получаемполучаем0⑹(0，炉)=* 6(0°)*(02 —柏2),
получаем
получаем
］夂6）（0，N）屮》3）Мр=亲 糸（m —Q/）（X）k=mi2；
это есть, очевидно, функция из ^(Q[—a, а] х К?) по переменным @[ т/. Далее
0危+ ^),糸(m一門/)(入)卜=力|2 0
стремится к 糸(m_夕〃)(/\)卜=旧2 в #(Q[-a, а]义 К?) при п ос, и в результате для J д(0)3(0)d" получаем
g(p)屮(p) d'p =亲 I Н^р, ту) ^ {m_^XX)^^2d4pf dij.
Введем функционал Ф(р\ A) G ^f(Q[—a, а] х R+) на функциях А(", A) G ^(Q[—a, а] х /?+) по формуле
]Ф(р；]Ф(р；A) h(p , A) d^p dA =A) h(p , A) d^p dA =(4.82)(4.82)
]Ф(р；
]Ф(р；
A) h(p , A) d^p dA =
A) h(p , A) d^p dA =
(4.82)
(4.82)
с помощью которого получаем нужное представление:
I д(@) з(0)d4 P = II д(@) з(0)d4 P = IW(d, A)(m-T；p/)(A) d^p dX,W(d, A)(m-T；p/)(A) d^p dX,(4.83)(4.83)
I д(@) з(0)d4 P = I
I д(@) з(0)d4 P = I
W(d, A)(m-T；p/)(A) d^p dX,
W(d, A)(m-T；p/)(A) d^p dX,
(4.83)
(4.83)
здесь 06)(3, Ь) — алмаз b = (Ь, 0).здесь 06)(3, Ь) — алмаз b = (Ь, 0).*) Здесь для интегралов*) Здесь для интеграловтипа использована формулатипа использована формула(в смысле п. 2.5.Г) от обобщенных функций интегрируемого(в смысле п. 2.5.Г) от обобщенных функций интегрируемого〈1(/, д), /(ж, у))х,у =〈1(g),〈1(/), /(ж, у))х)у,〈1(/, д), /(ж, у))х,у =〈1(g),〈1(/), /(ж, у))х)у,(4.81)(4.81)
здесь 06)(3, Ь) — алмаз b = (Ь, 0).
здесь 06)(3, Ь) — алмаз b = (Ь, 0).
*) Здесь для интегралов
*) Здесь для интегралов
типа использована формула
типа использована формула
(в смысле п. 2.5.Г) от обобщенных функций интегрируемого
(в смысле п. 2.5.Г) от обобщенных функций интегрируемого
〈1(/, д), /(ж, у))х,у =〈1(g),〈1(/), /(ж, у))х)у,
〈1(/, д), /(ж, у))х,у =〈1(g),〈1(/), /(ж, у))х)у,
(4.81)
(4.81)
что завершает вывод формулы (4.77). А
В доказательстве была использована следующая лемма, которая понадобится также для дальнейшего уточнения свойств носителя Ф(рх, А). При этом мы называем множество 0 U М времениподобно выпуклым, если для любых точек a, b е 〃 таких, что 6 — а е『+, интервал (а, Ь) также принадлежит 〃.
Лемма 4.9. Пусть р(р) 6 a(V,次)，где 次=М\О 〃〃一 времениподобно выпуклое открытое множество в М. Тогда решение волнового уравнения G(夕，〃), соответствующего р(р) согласно предложению 4.2, исчезает в области
(4.84)(4.84)%(〃)= UQ ⑹ @，В);
(4.84)
(4.84)
а,Ьб。
b-aev+
в R^ = М х И71 с вершинами в точках а = (а, 0) “
сводящая двойные интегралы к повторным.
< Очевидно, если (а, Ь) — времениподобный интервал в М, то (а, Ь) — времениподобный интервал в R6. Учитывая свойство квазианалитичности (предложение 4.7), мы можем ограничиться доказательством того, что сужения всех частных производных (любого порядка) от G(@, 77) на плоскость 77 = 0 исчезают в области 〃. Так как для любого дифференциального оператора Р{д/др) обобщенная функция Р{д/др) G(@, 77) есть решение волнового уравнения, соответствующего обобщенной функции Р^д/др) р(р), то, очевидно, достаточно рассмотреть лишь частные производные G(@, 77) по 77. Покажем, что для любого вектора § G К2 H натурального п обобщенная функция Тп(р, §) = (& 备 + & 磕)G(@, 〃加=0 по р исчезает в области 〃 (§ рассматривается как параметр). По определению Тп(р, §) есть однородный полином по §, и из 0(2)-инвариантности G(@, 77) по 〃 следует 0(2)-инвариантность Тп(р, §) по & Следовательно, при нечетном п Тп(р, §) есть тождественный нуль, и Тп(р, 77)= =(\^\2)кТк{р) при п = 2к (к = 1, 2, ...). Остается показать, что все Тк{р) исчезают в 〃. Имеем
(同於a =
=伙(彦)+ (金))g(，〃加=0 =伙((口。)"g(0，〃加=0 =伙(口。)%(0),
где ак = 4一"(衣!)一2, Д = (2k)! ak (в предпоследнем равенстве использовано волновое уравнение для G(@, 77)). Теперь ясно, что все Тк исчезают в области 〃. А
Замечание. Нетрудно убедиться, что 例(Ь) (для открытого времениподобно выпуклого множества 自 С 7И) есть множество всех точек (“，〃)6 7?6 таких, что обе полы гиперболоида ) 〃 + Г|叫 пересекаются с Ь; здесь
Гух ={р^М:р2 = Л}.Гух ={р^М:р2 = Л}.(4.85)
Гух ={р^М:р2 = Л}.
Гух ={р^М:р2 = Л}.
Действительно, ввиду того, что 自 открыто и времениподобно выпукло, указанное выше множество точек есть также множество всех точек Q7, 〃)таких что обе полы телесного гиперболоида {夕 е М: (р — р7)2 > |^|2} пересекаются с 〃. В свою очередь последнее условие означает, что существуют a, b е 〃 такие, что а° < р/0 — —,(р — а)2 + |〃卩 14 b°〉p/0 + ,g‘ — 6)2 + 切卩 или? эквивалентно, такие, что & — а е『+ и (夕‘，〃)е Q(6)(G, Ь)・ Но это в точности означает, что (夕‘，〃)е 例(夕).
Упражнение 4.5. Доказать, что всякая обобщенная функция д(@) из класса(т(У; V) (т. е. такая, что suppp С V и suppg С V) имеет любое из следующих двух представлений (с ^ < ос):
N N
д(@)=工 工 产…沙九％ “К。)= £ 汇 pH】…p^ts.屮式р), (4.86) Th —0 jiz ],jiz 7, —0,…，3 Th —0 jiz ]樣 7, —0,…，3
где 九从1 …从九(0)и 力从1 …从九(0)— нечетные лоренц-инвариантные обобщенные функции из ^(Af). (Указание: достаточно доказать первое представление, так как второе представление получается, например, как следствие инвариантности класса(т(У; V) при преобразовании Фурье. С помощью леммы 4.9 убедиться, что решение G(@, 77) волнового уравнения, соответствующее д(@), имеет носитель в множестве V х R2. С помощью аргументов, использованных в доказательстве предложения 4.8, заключить отсюда, что спектральная функций Ф(р\ А) в представлении (4.77) для данной д(@) может быть выбрана с носителем при @‘ = 0.)
Упражнение 4.6. Пусть обобщенная функция д(@) имеет носитель в множестве (—а + V+) U (а + V~) (где а 6 V+), а ее преобразование Фурье р(ж) имеет носитель в конусе V. Доказать, что такими же свойствами обладает обобщенная функция gi(@), определенная
равенством pi (ж)=歹(«)歹(/), где F(t) — произвольная функция из 0M(К)・ (Указание: для доказательства того, что gi(@) имеет носитель в множестве (—а + V+) U (а + V-), взять произвольную функцию 夕(0)6 ^(Af) с носителем вне этого множества и убедиться, что
(gi(@), 3(0)) = (g(@), G(@) * 夕(0)) = 0,
где свертыватель G(p) есть преобразование Фурье функции F(x2). На основании представления (4.77) достаточно показать, что функция u(pf, А) = J £(р° — "°) Ь((@ —目‘尸—А) х х (G(@) * ^{р)) d^p исчезает при @‘ G Q[-a, а]; для этого воспользоваться тем, что и(р, А) как функция от @ есть свертка 夕(@) с некоторой нечетной лоренц-инвариантной обобщенной функцией и по свойству носителя свертки исчезает при @ 6 Q[—a, а].)
Б. Дальнейшие свойства носителя спектральной функции. В п. 4.1.Б была также сформулирована проблема: можно ли спектральную плотность ИЛД выбрать так, чтобы ее носитель содержался в множестве точек (рх, А), обладающих тем свойством, что гиперболоид 夕‘ + Гу^ целиком содержится в 31. Обратимся теперь к классу областей Ь, для которых эта проблема имеет положительное решение.
Пусть Х+(Р)и X—(Р)есть пара вещественных функций на Кз, удовлетворяющих условию
(Хо(р) - X。⑷)2 — (р — G W。 при всех P，q W R3, 。= ±(4.87)
(из которого следует непрерывность этих функций; этому условию удовлетворяет, например, всякая функция, определяющая пространственноподобную гиперповерхность в пространстве Минковского). Кроме того, предположим, что существует такой вектор а е『+, что
Х+(р)》一а° + |р + а|, х—(Р)W。° — Ь — 3 при всех р W R3 (4.88)
Будем считать, что замкнутое множество 次 в пространстве Минковского имеет вид
次=^+П^_,(4.89)
где
次 + = {р 6 Af: р° > х+(。)}， 次—={р Е М: pQ х—(〃)}•(4.90)
Как и выше, открытое множество 〃 есть дополнение к 次 в М\
自=加、次.(4.91)
Упражнение 4.7. (а) Доказать, что определенные выше множества 次土 удовлетворяют условиям
次十 + D+u次次—+卩一 U次—，(4.92)
а множество 次 удовлетворяет условию (4.75).
Доказать, что множество 〃 (определенное посредством (4.89)—(4.91)) времениподобно выпуклое. (Указание: доказывать методом от противного, используя (4.92).)
Доказать, что функция х(р) = J(Х+(Р)+ X—(Р)) ограничена по модулю.
В рассматриваемом случае множество 例(Ь) (4.74) (в котором исчезают решения волнового уравнения, соответствующие обобщенным функциям из a(V;次))имеет сравнительно простой вид:
= {(", 〃)G &： X—(〃，〃)< “° < х+(〃，〃)},(4.93)
Х+(〃, 〃)= sup{x+(p) - ,0 —р)2 + |〃|2 },(4.94а)
р
X—(d，〃) = inf{у_(р) +"尸 + |〃|2},(4.946)
(в этой связи см. упражнение 4.8). Тот факт, что выражения (4.94) определяют вещественные функции, следует из того, что согласно (4.87) Х+(Р)W Х+(°) + \р\ и X—(р)》X—(°) — 1夕1・ Функции Х±(//, 〃) обладают свойством, аналогичным свойству (4.87) функций Х±(Р)・ Действительно, из неравенств треугольника
一，(" —产 + 切一〃芈 <，(0一"产 + 同 2 - \/(夕一夕" )2 + 切屮 <
<，("一Р〃 )2 + 切一 следует
(Хь(〃, 〃) - X£p", ^ -{pr -pH^ -^-^^ ^Q
при всех р‘，р" J &, 〃，r/У К? (4.95)
(здесь а = ±), откуда, в частности, вытекает непрерывность функций Х±(//, 〃).
Упражнение 4.8. (а) Определим в R6 = М х R2 два замкнутых множества」〃土 посредством
j〃+ = {(", 〃) е k%。" > x+(d，〃)},={(", 〃) е R6： р° w х_(从 〃)}. (4.96)
Убедиться, что」〃+ (соответственно」〃_) есть множество всех точек (р\ 77) 6 К。таких, что верхняя (соответственно нижняя) пола гиперболоида 0‘ +「|叫 содержится в 次+ (соответственно в 次—).
Для множества 初(〃)，определенного в (4.84), доказать соотношение
切(〃)=/?6\(Л+иЛ-).(4.97)
(Указание: воспользоваться характеристиками множеств 切(〃)и 」〃土， заданными в замечании в п. 4.3.А и в части (а) настоящего упражнения; из них непосредственно следует включение 切。С i?6\(^+ U “〃_). Обратно, если (", 77) G i?6\(^+ U “〃_) = (К%〃+) С С (R6\j〃_), то верхняя пола гиперболоида 夕/ +「|叫 содержит точку b Q 次十，а нижняя его пола содержит точку с Q 次 Для доказательства того, что (р\ 77) 6 初(〃)，достаточно убедиться, что b G 〃 и с 6 ^. Предполагая противное, например, что с Q 夕，получаем с е 次十； это вместе со свойством (4.92)次十 + V+ и 次十 н тем, что b — с Е У+, приводит к выводу b G 次+，что есть противоречие.)
Доказать соотношение (4.93). (Указание: воспользоваться соотношениями (4.96) и (4.97).)
Упражнение 4.9. (а) Вывести оценки
Х+(р1 〃)> -/ + \р - 〃|, X—(从 т]) ^а - \р - а\.(4.98)
(Указание: в определении (4.94) воспользоваться оценками (4.88) и вычислить соответствующие верхнюю и нижнюю грани по р.)
Доказать, что функция
X(d，〃) = ^ (X+(d，〃) + X—(d，〃))(4.99)
ограничена по модулю. (Указание: из (4.94) следует
inf%(р) W Х(р‘，〃)W supx(p'),
Р'р'
где х(р) — функция, введенная в упражнении 4.7(b).)
Для введенной пары множеств 次 + и 31_ назовем гиперболоид рх + Гуд- С М допустимым, если его верхняя пола pf + Г} целиком содержится в 次+，а нижняя
пола р' + целиком содержится в 次_; соответствующие параметры 夕‘，А допустимого гиперболоида мы будем называть допустимыми параметрами, а их множество обозначать посредством adm = adm (次+，次 _). Введем также понятие комплекси- фицированного допустимого гиперболоида', это множество точек в комплексном пространстве Минковского СМ вида
“ + СГу^ ={ke СМ (к - "У = А}, (4.100) где р', А — допустимые параметры.
С помощью упражнения 4.8(a) получаем
adm = {(“，X) еМх 月+： Х+(", 〃川用 2=入 < “° < X—(//, 〃川叫 2=入}, (4.101) а из неравенства (4.98) следует включение
adm С Q[-a, а] х R+. (4.102)
Сформулируем теперь условие, при котором носитель спектральной функции ИЛД может быть выбран в множестве adm (次+，次一)，и, значит, в этом случае обсуждаемая нами проблема имеет положительное решение.
Теорема 4.10. (а) Пусть замкнутые множества 次土 〃次 е пространстве Минковского определены посредством (4.89), (4.90) (еОе Х±(Р) — функции, удовлетворяющие условиям (4.87), (4.88)). Тогда для любой обобщенной функции g(夕) из класса a(V;次)(те такой, что g е У(7И), suppp С V, suppр и 次)〃 любого £〉0 имеет место представление ИЛД (4.77) со спектральной функцией Ф(рх, А) еУ(7И х К+), имеющей носитель в с-окрестности (в М х 7?+) множества ) adm (4.101).
Предположим дополнительно, что существует строго пространственноподобная гиперповерхность в R^ = М х R2, ^промежуточная^ между гиперповерхностями р/0 = Х_(рх, 〃) и р/0 = Х+(//, 〃)，т. е. целиком содержащаяся е множестве )
{(", 〃)6 R6： X—(//, 〃)/\X+(d，〃)< “° w X—(//, 〃)V Х+(//, 〃)}. (4.104)
Тогда для любой обобщенной функции из класса a(V;次)справедливо представление ИЛД (4.77) с носителем спектральной функции Ф(рх, А), содержащимся е множестве adm.
< Вначале рассмотрим ситуацию, когда выполнено дополнительное предположение части (б) теоремы. Будем считать, что именно эта пространственноподобная гиперповерхность Е в М х R2 (фигурирующая в части (б) теоремы) выбрана в процессе доказательства теоремы 4.8 (т. е. в формуле (4.80)). Покажем, что соответствующая спектральная функция (4.82) сосредоточена в adm (次+，次一)，а для этого достаточно убедиться, что обобщенная функция 8夕 сосредоточена в множестве
е № Х+(р, 〃)W р° W X—(р‘，〃)}. (4.105)
Действительно, по построению Я^ обращается в нуль в множестве 切(〃)(4.93), где исчезает G(p, 77); кроме того, ее носитель сосредоточен на гиперповерхности X и, значит, в множестве (4.104). Отсюда ясно, что Я^ имеет носитель в множестве (4.105).
Для доказательства общего случая (т. е. части (а) теоремы) следует внести небольшие изменения в приведенное рассуждение. Рассмотрим функцию Х(р‘，77) (4.99), которая будучи непрерывной, ограниченной, а также 0(2)-инвариантной (по 77), записывается в виде Х(р‘，77) = У(р‘，切『)，где У(р\ t) — непрерывная ограниченная функция от pf е R3 и t е R. Положим g(@1 t) =。(0‘° - У(pz, t)) а(р‘，t), где а(р‘，t) — функция из 夕(К^) с носителем в шаре радиуса £ и с интегралом J а(@[ t) ^р7 dt, равным единице. Для решения волнового уравнения мы будем использовать не представление (4.79) (с 8夕，определенным посредством (4.80)), а его «сглаженный» вариант (приведенный в упражнении 4.4):
G(@, ту)=。⑹(化 〃)* Я(р, 〃)，
ГДе= 口(6){G(@, 〃)G(@,切『)}•
В результате мы приходим к представлению ИЛД со спектральной функцией, определенной формулой типа (4.82) (с заменой Я^ на Н). Мы предоставляем читателю убедиться (с помощью аргументов, аналогичных приведенным выше для части (б) теоремы), что построенная таким образом обобщенная функция Ф(р\ А) имеет носитель в е-окрестности множества adm. А
Как уже отмечалось (в п. 4.1.Б), представление ИЛД явным образом отражает свойство supp 歹(/) С V; теперь же оно явно учитывает также условие suppg С 次(4.56). Остановимся на этом моменте подробнее. Из свойства носителя (по р) ядра К(@; @‘，А) (4.16) и спектральной функции Ф(р\ А) следует, что suppg сосредоточен в замыкании объединения гиперболоидов @/ +「仆，где точка (р\ А) пробегает е-окрестность (в Af х 1?十)множества adm (灰+ ,灰—).Ввиду произвольности £〉0 отсюда заключаем *):
suppg U 次(4.106)
гдеV
次=U (Р^^^)(4-107)
(р',Х)е adm
(как нетрудно видеть,次 есть замкнутое множество в М). Из определения adm следует:
/и丸(4.108)
так что условие supp g и 次 действительно выполнено.
Может случиться, что 次 не совпадает с 次：
(см. ниже упражнение 4.11). Тогда имеет место любопытная ситуация: носитель д(@) автоматически исчезает в большей области, чем это предполагалось первоначально в условии (4.56) (а именно в М\^).
В. Примеры. Пусть g(夕)—обобщенная функция из У(7И) со свойствами
supp р(ж) С V,(4.109а)
suppp(p) С (—а + D^) U (從 + VM,\(4.1096)
где а + a' G『+, М и М' — два неотрицательных параметра (имеющих смысл «пороговых масс» в контексте квантовой теории поля). Очевидно, условия (4.109) означают, что g 6 о(卜；次)，где 31 = 次 + U 次_, a 次 + и 次— определяются посредством (4.90) при
Х+ (р) = -а° +，(…)2 + Л/2 ,(Р)= — № — ,(р —出)2 + ”/2 •(4.110)
Функции Х±(Р)удовлетворяют условиям (4.87), (4.88), поэтому к обобщенной функции р(р) применима теорема 4.10.
Чтобы указать носитель спектральной функции ИЛД Ф(рх, А), достаточно найти множество adm (次+，次 _).
Упражнение 4.10. (а) Доказать, что верхняя пола гиперболоида р' + Гу^ содержится в -а + V^ в точности тогда, когда " G -а + V+ и 6 > М - ^(р7 + а)2.
Доказать, что нижняя пола гиперболоида @‘ + Гу^ содержится в а' + V^, в точности тогда, когда " G а' + V~ и д/А > М'—，(少一а7)2.
Из упражнения 4.10 следует:
adm = {(夕'，А) е Q[—а, а[ х R^\ А》储(“)},(4.111)
где
〃(“)=0 V (М - vV + a)2) V(Mz -，(少一出)2).(4.112)
Упражнение 4.11. Пусть а + а'е% н0<М<7И-，(а + а7)2. Доказать, что из условий (4.108) следует
suppg(@) С (—а + Ум) U (а + Vм"(4.113)
где М" = М —+ а7)2. (Указание: убедиться, что в этом случае
adm = {(", A) G Q[—a, а] х R+: УХ > М — ^(р7 + а)2 }
и что множество 次(4.107) совпадает с правой частью соотношения (4.113).)
Рассмотрим особо «симметричный» случай равных «пороговых масс»: М = Мх; пусть, кроме того, а = а'. Для определенности будем считать, что вектор а е『+ направлен вдоль оси времени:
а = af = (4 0),4〉0.
она имеет видона имеет видВ этом случае выполнены условия части (б) теоремы 4.10; а именно, в качестве S можно взять гиперплоскость р/0 = 0. Тогда с помощью формул (4.80), (4.82) мы получаем, что спектральная функция 3(夕‘，А) сосредоточена при 夕"=0; более того,
она имеет вид
она имеет вид
W(“, А)= 8("。)①о(〃, А) + 對“。)Wi(〃, А).
Соответственно, «симметричный» вариант представления ИЛД (полученный впервые Йостом-Леманом, 1957) принимает вид
此）=£伪°№（严一g -川2 -X）及0”,入）+夕。①而,入））阪d队 （4.114）
где ①о(〃，А) и ①i(/Z, А) — обобщенные функции из 火(& х爵)， сосредоточенные на множестве
{(〃，X) еКз хК+： |〃| <厶，6/42 —加2}(4.115)
(① 1(//, А) связана с Wi(〃, А) соотношением 6(//, А) = -2 糸 山(//, A)Y
В отличие от представления ИЛД в представлении (4.114) обобщенные функции ①о(р1 А) и Ф1(р\ А) однозначно определяются обобщенной функцией д(@). Подробнее о представлении Йоста-Лемана (4.114) для «симметричного» случая см. в обзоре Владимирова и Завьялова (1980).
Г. Представления для обобщенных функций запаздывающего и опережающего типов. Обратимся теперь к задаче п. 4.1.А о выражении обобщенных функций /±(力)запаздывающего и опережающего типов через скачок (4.2) или, эквивалентно, через разность
/О) = /+О) —/-(/)•(4.116)
В сущности, задача сводится к определению произведений 夕(±力°)/(力)，так как тогда свойства носителей supp /± С『士 позволяют написать
/±(/)二伙土力°)貝力)+m力)，(4.117)
где R(力)—обобщенная функция с носителем в нуле. Разумеется, произведения e(±/°) /(х) в общем не определены (однозначным образом), и мы здесь воспользуемся приемом, описанным в п. А.З.
В терминах преобразования Фурье произведение переходит в свертку: 外山)f⑺開也阪=,0_；()+分0 9g°, p)dd.(4.118)
Упражнение 4.12. Доказать соотношение
J 0。二。+ 20 也° - * b(d - pГ-(р-р)2-^ dd =
используя формулу (4.119) получаемиспользуя формулу (4.119) получаем—27r(0。_+ 分0)2 _ (p _ p/)2 _ 入• (4.119)
используя формулу (4.119) получаем
используя формулу (4.119) получаем
Подставляя в (4.118) представление (4.77) и следующее формальное соотношение:
伙力 °)/⑺ e^d 力=券 J 疗―“o + zoj—g —р/)2 —入屮("，»d4P5.(4.120)
Неопределенность произведения 夕(力°) /(力)теперь отражается в том, что выражение (4.120) (напоминающее свертку) может расходиться по А. Для придания смысла правой части (4.120) мы поступим, как в п. А.З: будем считать, что спектральная функция Ф(рх, А) е ^^[—Ь, “ х 7?+) продолжена до обобщенной функции из ^f(Q[—b, 6] х [0, оо]). Согласно следующему упражнению этого достаточно, чтобы правая часть (4.120) приобрела смысл слабого интегрального представления. Более того, определяемое соотношением (4.120) произведение 夕(力°)/(力)совпадает с /(ж) при х° > 0 и равно нулю при х° < 0.
Упражнение 4.13. (а) Доказать, что выражение
(0О—0/° + Я))21(р_р/)2_Х 0(。)“40(4.121)
определяет линейный непрерывный оператор n: 9(Af) т 乡(Q[-b, b] х [0, ос]). (Указание: нетрудно доказать, что (п^)^7, А) есть ^00-функция от @[ А, если переписать (4.121) в виде
(4.122)(4.122)
(4.122)
(4.122)
где 夕(力 р) = J 6-2切° 0(@) di@。. Чтобы убедиться, что функция (п^)^7, А) принадлежит ^(Q[—b, b] х [0, ос]), надо получить из представления (4.121) асимптотические разложения по А-1 при А ос для п^ и ее производных.)
Доказать, что
(П0)(", А) = I £(0° — "°) Ь((0 - "У - А) 0(@) &4@,
если носитель функции 夕(力)=J е~грх ^(р) d^p сосредоточен при ж0 > 0, и что (п^) (р\ А)= =0, если 夕(力)=0 при ж0 > 0. (Указание: воспользоваться формулой (4.122).)
Формула (4.120) вместе с (4.117) приводит к представлениям для фурье-преобразования обобщенных функций запаздывающего и (аналогично) опережающего типов:
九±(夕)= 券(@о — @/о ± 分оу】—(р — /у —入 W(", A) d^ dA + T(p),(4.123)
где теперь W(“，A) 6 У (Q[-b, “ x [0, oo]) и T(p) — полином от p.
Упражнение 4.14. Пусть T(@) — произвольный полином от 0 G М.
Доказать, что полином Т(@) может быть представлен в виде
7(0)= £%(%)(**(4.124)
/с=0
где tk(dp) — некоторые дифференциальные полиномы с постоянными коэффициентами. (У к аз а н и е: применить индукцию по степени полинома Т(@). Предположив, что Т(@) имеет вид (4.124), доказать, что Т(р)рм и записывается в виде, аналогичном (4.124); для этого N
заметить, что разность между Т(р)р^ и £ tk^dp^^^p^] есть полином вида (4.124).) /с=0
Доказать, что полином Т(@) представим в виде
N
/с=0
где ^k(pf)——обобщенные функции из ^(Af) с носителями в нуле. (Указание: воспользоваться представлением (4.124).)
Доказать, что для полинома Т(@) имеет место представление
7(。)二券](0。—*±Я))2〔(р—р/)2 —入①("”)“4“ 认(4.126)
где ①(0‘，А) — обобщенная функция из ^\Q[-b, b] х [0, ос]) с носителем на множестве Q[—Ь, Ь] х {+ос}. (Указание: воспользоваться представлениями (4.125) и (А.22).)
Упражнение 4.14 позволяет считать, что Т(р) = 0, так как общий случай сводится к этому частному с помощью замены спектральной функции Ф(рх, А) на WQ7, А) + ①(夕‘，А). Отметим, что носитель ①(夕‘，А) содержится в Q[b, “ х {+оо}, т. е. там же, где сосредоточена неоднозначность спектральной функции Ф(рх, А) при продолжении ее с Q[—b, “ х [0, оо) на Q[—b, “ х [0, оо].
Мы получили следующий результат.
Теорема 4.11. Пусть Д+(р) и Д_(р) — преобразования Фурье обобщенных функций 6 М запаздывающего и, соответственно, опережающего типов и пусть 〃х разность g(夕)=Д+(р) — Д_(р) принадлежит к классу a(V,次)из теоремы 4.10 (“， следовательно, для любого £〉0 имеет место представление (4.77),
где 3(夕‘，А) — обобщенная функция из ^^[—Ь, “ х 7?+) с носителем в s-окрестности множества adm (仞+，次_)). Тогда спектральная функция Ф(рх, А) имеет продолжение до обобщенной функции из ^{Q[—b, “ х [0, оо]) такое, что для Д±(р) справедливы представления
九士(夕)=分 т0 _ "。±分()/_ g _ р/у _入 3("，入)山"山人(4.127)
Из представления (4.127) следует, что 九±(夕)имеют общее аналитическое продолжениел
=/(к_0:2_I 3("，入)山"山入(4.128)
в (открытое) множество
D = {к е СМ: (к - “У 市 А при всех (“，А) 6 adm}, (4.129) т. е. в дополнение (в СМ) к объединению всех комплексифицированных допустимых гиперболоидов:
CM\D= U (" + »)•(4.130)
(р^А)^ adm
Упражнение 4.15. (а) Пусть г — точка множества D (4.129). Доказать, что (к — р'У ^ 力 А для всех к из некоторой окрестности точки г в СМ и для всех (р\ А) из некоторой е-окрестности множества adm. (Указание: если предположить противное, то существовали бы последовательности кп т г в СМ, (р^, Ап) из £九-окрестности adm такие, что (кп -目乙)？= =Ап； здесь £п〉0, £九 т 0. Так как последовательность {pfn} ограничена, то переходом к подпоследовательности можно было бы добиться того, что {р^} сходилась бы к некоторой точке 0’ 6 Af; тогда и Ап сходилась бы к некоторому числу А. Получено противоречие: (г - @/户=А, где (", A) G adm.)
Доказать, что множество D открыто, а множество его вещественных точек содержит 夕=М\^. (Указание: для доказательства первого утверждения воспользоваться частью (а) упражнения; далее использовать соотношения (4.107), (4.108).)
Упражнение 4.16. (а) Доказать, что формула (4.128) определяет аналитическую функцию на множестве D. (Указание: спектральную функцию Ф можно считать обобщенной функцией из 乡'(С) при Q = Qi U Q2, где Qi — замыкание множества тех точек (р\ А) из е-окрестности adm, у которых 0 < А < A, CJ2 = Q[—b, b] х [А, ос]; числа £〉0, А〉0 можно считать произвольными и 5 — сколь угодно близким к а. Как и в упражнении 4.15(a), для фиксированной точки г из D можно выбрать число b〉0, окрестность точки г в D и параметры £, A, b такие, что |(к —"尸—Х\ > д при всех к из этой окрестности точки г и при всех (@/, A) G Q. Отсюда следует, что [(к — р'У - А]-1 есть функция пространства 乡'(С) по р\ А, аналитически зависящая от к как от параметра.)
Доказать соотношения
九 ±(@) = lim h(p + iq) в 乡'(Af).(4.131)
V土
(Указание: рассмотреть семейство операторов ng из 9(Af) в 乡(Q[-b, b] x [0, ос]), зависящих от параметра q 6 V+:
(30)(",入)=券]m+ 分二/)2_ 入 0(0) d40.(4.132)
С помощью представления типа (4.122)
^^{Р^ 入)二分]。⑴si^^^_ р/^^Х '亿 P)dt(kp (4.133)
убедиться, что п@0 т п0 (см. (4.121)) при q т 0, q G У+ в топологии ^(Q[—b, b] х [0, ос]); применяя к этому соотношению обобщенную функцию W(@[ A) G ^\Q[-b, b] х [0, ос]), получить первое из соотношений (4.131).)
На основании упражнений 4.15 и 4.16 мы приходим к следующему выводу.
Теорема 4.12. Обобщенные функции Д±(р) из теоремы 4.11 являются обобщенными граничными значениями (соответственно при q 三 Im к — 0, q е『士) общей аналитической функции 九(к) (4.128) на открытом множестве D (4.129) 6 СМ {содержащем, в частности, трубы 疗=7И + гУ± и подмножество вещественных точек 〃 = 7И\次).
Обратимся к примеру. Пусть аналитические функции 九土 (к) от к е 疗 являются преобразованиями Лапласа обобщенных функций из ^(М) запаздывающего и, соответственно, опережающего типов и пусть их обобщенные граничные значения 九±(夕)(при q 三 Imk — 0, q е У±) имеют следующее свойство совпадения:
Д+(р) = Д_(р) при р^ (-а+ 7+)0(^ + ?^), (4.134)
где а + а' G 『+, М и М' — два неотрицательных параметра. В этом случае множество допустимых параметров определяется посредством (4.111), (4.112). Следовательно, функции h土 (к) имеют общее аналитическое продолжение 九(к) (с представлением (4.128)) в область
D = {к е СМ: (к - “У 市 А при всех “ е Q[-a, а〔，А > 諸(“)}• (4.135)
Упражнение 4.17. Пусть 九土(к) — пара аналитических функций от k G Т^, являющихся преобразованиями Лапласа обобщенных функций из 乡'(Af) запаздывающего и, соответственно, опережающего типов, и пусть их обобщенные граничные значения А±(@) (при q т 0, q G V土) совпадают при @? < 0. Доказать, что 九±(@) имеют общее аналитическое продолжение 九(к) в область {к 6 CAf: к? 0 К+}, причем для 九(к) имеют место представления (с ^ < ос)
N N
〃к)=工 Е А ………<") = £ 工 九…(后)，(4.136) n=0 =0,…，3 n=0 =0,…，3
где h^.^^z) и 力从1 …从九(？) — аналитические функции в разрезанной комплексной плоскости C\R+. (Указание: как и в упражнении 4.5, спектральная функция Ф(р\ А) в представлениях (4.127), (4.128) может быть выбрана с носителем при " = 0.)
Из представлений (4.136) следует, что функции 九土 (к) преобразуются по конечномерному представлению группы Лоренца (или «конечноковариантны» в терминологии Броса и др., 1967).
Глава 5
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХКОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Свойства голоморфных функций.Плюрисубгармонические функции
А. Пространство голоморфных функций. В предыдущих главах неоднократно использовались голоморфные функции от комплексного вектора, и теперь мы обсудим их свойства более подробно.
Напомним, что определение голоморфной функции в области или в открытом множестве D С Сп (дополнение Б.1) включает два требования: «затравочное» условие непрерывной дифференцируемости и выполнение системы уравнений Коши-Римана
&/⑶三备/(2)= 0，j = 1，т(5.1)
«Затравочное» условие можно значительно ослабить. Примером служит так называемая (основная) теорема Гартогса ([В9], п. 4.2; [Ш1], п. 6): если функция /(г) в области D С С Сп является аналитической по каждой компоненте Zj при любых (допустимых) значениях остальных компонент, то она аналитична (и, в частности, £°°-) по совокупности переменных г =(21, zn). В таком «чистом» виде теорема Гартогса не имеет для дальнейшего изложения большого значения, так как обычно мы имеем дело с функциями (или с распределениями) /(г) с достаточно удобными «затравочными» свойствами. Например, достаточно, чтобы /(г) была распределением из 夕'(О); тогда из уравнений Коши-Римана автоматически следует, что /(г) — голоморфная функция (см. предложение 5.13).
Посредством 方(О) будем обозначать пространство всех голоморфных функций в области D С 0n. Очевидно, это — линейное подпространство в пространстве 抬(О) всех непрерывных функций в D. Мы наделим 力(О) структурой ЛВП, индуцированной из ^(О), т. е. топологией, задаваемой системой полунорм
||#к 二 sup|/(2)|,(5.2)
zeK
где К пробегает все компакты в D (или счетное семейство компактов, внутренности которых покрывают О). Более общий класс, чем компактные подмножества в D, составляют подмножества К и D, обладающие свойством: sup |/(2)| < оо для всех zeK
/ 6 力(О); такие подмножества К мы назовем ^f(D)-ограниченными. Другими словами, J^(D)-ограниченное подмножество — это произвольное подмножество в D, на котором ограничена по модулю любая голоморфная функция в D. Каждому J^(D)-ограниченному подмножеству К формула (5.2), очевидно, сопоставляет полунорму на 力(О). Оказывается (см. предложение 5.4), все такие полунормы ||/||к непрерывны (поэтому замена всех компактных подмножеств К в определении топологии 力(О) всеми ^(Р)-ограниченными подмножествами К не приводит к изменению топологии).
Упражнение 5.1. Доказать, что любое ^(Р)-ограниченное множество К ограничено. (Указание: воспользоваться ограниченностью на К координатных функций fj(z) = Zj, j儿)
В основе дальнейших выводов лежит интегральное представление для поликругов. При этом (открытым) поликругом в Сп с центром в точке w е Сп и с полирадиусом р (представляющим собой упорядоченный набор р = (pi, ..., рп) положительных чисел) называется множество
P(w; р) = {z е Сп: \zj - Wj\ < pj при 7 = 1,, n};(5.3)
Р®; р) есть замыкание Р®; р). Очевидно, Р®; “)С Р®; р) в точности тогда, когда 0； < pj при всех j = 1,, п (в этом случае мы пишем pf < р). Следующее
предложение получается n-кратным применением формулы Коши из теории функций одной комплексной переменной.
Предложение 5.1. Пусть (замкнутый) поликруг P(w; р) содержится е области D с Сп. Тогда любая функция /(2), голоморфная в D, представима 6 P(w; р) п-кратным интегралом Коши\
-(2 J …J2
|<1-W1 |=pi \Cn-wn\=pn
При любом значении мультииндекса а 6 Z? мы используем обозначения
а\ = а\ \&冷！，(5.5)
2a =(21(2八尸九；(5.7)
в частности, пусть I = (1, ..., 1); тогда
z1 = 21...2冷.(5.8)
Лемма 5.2. Любая голоморфная функция в области D с Сп бесконечно дифференцируема. Для любого компакта К и D существует компакт К и D и полирадиус_р (> 0) такие, что для любой функции / 6 力(О) и любого мулъти- индекса а е Z? имеет место неравенство
^i\\daf\\K ^\\f\\K，.(5.9)
< Бесконечная дифференцируемость / есть непосредственное следствие формулы (5.4). При доказательстве (5.9) заметим, что в силу компактности К С D существует компакт К' С U О н полирадиус р > 0 такие, что F(w; р) С К' при всех w Е К. Дифференцированием представления (5.4) получаем
靑 а。/®)二蟲 J J(R；，'(5」。)
К1 -^1 I=P1 \Cn-Wn\=pn
откуда следует оценка (5.9). А
Предложение 5.3. Пространство 力(О) является замкнутым подпространством 6 抬(°), а также в 常(О); следовательно, оно является пространством Фреше. Структура ЛВП на %(О), индуцированная из 抬(О), совпадает со структурой ЛВП, индуцированной из 常(。)・
В силу леммы 5.2 остается доказать замкнутость 方(。)в 6(0). Пусть {/“} — последовательность в 方(。)，сходящаяся к некоторой функции / 6 6(0) в топологии 6(0). При любом 沙 имеет место представление типа (5.4) с заменой / на %. В этом представлении, очевидно, можно перейти к пределу 沙 т ос н в результате получить, что / удовлетворяет представлению (5.4) в любом поликруге Р(а; р), замыкание которого содержится в D. Отсюда с очевидностью следует, что / — голоморфная функция. А
Предложение 5.4. Для любого ^f{D)-ограниченного множества К и D полунорма ||/||К на 力(О) непрерывна', более того, существует компакт К и D такой, что
||/|Г<11/|Г для всех /е%К). (5.11)
Очевидно, при любом z Е К полунорма |/(г)| на 网。)непрерывна; в силу принципа равномерной ограниченности (т. е. в силу теоремы 1.7) отсюда следует непрерывность полунормы II/||О Следовательно, существуют компакт Kf С D и число с > 0 такие, что ||/||к W с||/||* для всех / G 方(。).Если с < 1, то (5.11) доказано. Если с > 1, то, заменяя / на fN, где N G Z+, получаем ||/||к < ^^\\/\\к . В силу произвольности N отсюда следует (5.11). А
Г. Голоморфность и аналитичность. Докажем эквивалентность понятий голоморфности и аналитичности. Хорошо известно, что функция (書—^)-1 представляется в виде ряда
ООk
при © —叼1 二勿 и i^-wji <Р^
k=Q
сходящегося абсолютно и равномерно по 書 и по Zj при \zj — Wj\ < р；, где 0 < < Р； < Pj・ Аналогично имеем
(5」2)
причем ряд сходится абсолютно и равномерно по《при |^ — Wj\ = pj (j = 1,,八) и no e P(w, //) при p' < p. Подставляя (5.12) в (5.4) и выполняя почленное интегрирование (что возможно в силу указанных свойств сходимости ряда (5.12)), получаем для функции / е 力(О) разложение в степенной ряд по z — w\
/⑶=£ Са(2 — ^尸 При Z G P(W； р),(5.13)
где
I Cl —I = 01I Cn —^ГЬ I = Pn
причем ряд (5.13) сходится абсолютно и равномерно при z в любом поликру- re P(w; р) с полирадиусом р> < р (напомним, что относительно полирадиуса р предполагается только, что P(w; р) С О). Из сравнения (5.14) с (5.10) следует формула для коэффициентов
ca = ^daf(w\(5.15)
так что (5.13) есть разложение функции /(2)в ряд Тейлора в точке w:
(5.16)
Для доказательства обратного утверждения воспользуемся леммой о степенных рядах.
Лемма 5.5. Пусть ряд
£ Са(2 - w)a(5.17)
сходится (6 каком-либо порядке) в некоторой точке z = а, причем pj = =\aj - Wj\ > Q при всех j = I, , п. Тогда он сходится абсолютно (“，следовательно, независимо от порядка суммирования} при всех z из поликруга P(w; р) к некоторой голоморфной функции /(2)в P(w; р), причем сходимость равномерна 6 любом поликруге Р®; “)при pf < р.
Из сходимости ряда (5.17) при z = а следует_ограниченность общего члена ряда: сара W М, откуда следует, что при всех pf < р и z е F(w; /У) имеет место оценка:
/ап // \ -1
Итак, ряд сходится абсолютно (и равномерно в F(w; .') при любом р' < р) к некоторой непрерывной функции /(г) в F(w; р). Голоморфность / есть следствие предложения 5.3, согласно которому предел в топологии 6(。) последовательности голоморфных функций в D есть голоморфная функция в D. ►
Комбинация леммы 5.5 с предшествующим рассуждением завершает доказательство следующей теоремы.
Теорема 5.6. Функция /(2) в области D с Сп голоморфна в точности тогда, когда она аналитична (т. е. разлагается в сходящийся ряд по z — w 6 окрестности любой точки w 6 О). При этом ряд Тейлора (5.16) функции / е 力(О) сходится (абсолютно и равномерно) в любом замкнутом поликруге 力®; 0)c D.
Упражнение 5.2. Доказать, что для любого ^(Р)-ограниченного множества К С D существует полирадиус р (> 0) такой, что для любой функции / 6 方(。)и для любой точки w е К ряд Тейлора (5.16) сходится (абсолютно и равномерно) в поликруге F(w; р). (Указание: из предложения 5.4 и леммы 5.2 следует существование компакта К' и D и полирадиуса р таких, ЧТОa
^Г/ИК||/Г，(5.18)
для всех w G К, / е 贸(D), a G Z聲.)
В. Аналитическое продолжение. Мы видим, что на аналитические функции нескольких переменных переносится ряд важных фактов из теории аналитических функций одной переменной (интегральная формула Коши, бесконечная дифференцируемость и разложимость в степенные ряды). Продолжая аналогию, приведем теорему единственности и принцип максимума модуля.
Теорема 5.7 (теорема единственности). Если аналитическая функция / е области D с Сп обращается в нуль вместе со всеми своими производными daf (всех порядков) в некоторой точке а Е D, то f = 0 в D. В частности, если / исчезает в комплексной или вещественной окрестности точки а е D, то f = 0 в D.
< Множество А всех точек из D, в которых / обращается в нуль со всеми производными, очевидно, замкнуто в D (поскольку все функции daf непрерывны). Это же множество А открыто. Действительно, пусть w Е А и F(w; р) — замкнутый поликруг в О с центром в w. Тогда / разлагается в F(w; р) в степенной ряд, все коэффициенты которого равны нулю. Следовательно, множества А и D\A открыты; в силу связности D отсюда следует, что А = D. ►
Теорема 5.8 (принцип максимума модуля). Модуль аналитической функции /(2)壬 const 6 области D с Сп не может принимать {локального или глобального) максимума в точках из D. Креме того, для любой / е 力(О) и любого компакта ) К и О имеет место равенство
\\f\\K = \\f\\dK^(5.19)
< Пусть / 6 方(。)и пусть в некоторой точке w G D |/| достигает локального максимума, так что для некоторого поликруга F(w; .) и О выполняется |/(г)| < |/(w)| при всех г 6 G F(w; р). Покажем, что /(г) = /(w) в F(w; р), откуда по теореме единственности будет следовать, что /(г) = const в D. Без ущерба для общности будем считать, что /(w) > 0 (этого можно достичь умножением / на фазовый множитель). Как и в случае одной переменной, из интегральной формулы Коши следует формула о среднем значении для поликруга:
= mesP(w; р) J f^\dnzd^(5.2。)
P(w,p)
где
mes F(w; p) =] \dnz dnz\;
следовательно,
I {fM-Ref(z)}\dnzdnz\=O.
P(w,p)
В силу того, что подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна, отсюда заключаем, что она равна нулю: /(w) - Re /(г) = 0 в F(w; р). Вместе с |/(г)| < /(w) это дает равенство /(г) = /(w) в F(w; р) и, значит, в D. Второе утверждение теоремы следует из первого, если учесть, что модуль функции / 壬 const не может принимать максимума на К во внутренних точках К. А
Упражнение 5.3. Доказать, что если ^(Р)-ограниченное подмножество К С D содержит границу некоторого компакта с непустой внутренностью, то ||/||к есть норма. (Указание: воспользоваться (5.19) и теоремой единственности.)
На теореме единственности зиждется метод аналитического продолжения, иллюстрацией к которому служит следующее предложение.
Предложение 5.9. Пусть {Рд}аел — семейство областей в Сп и {/л}лел — семейство функций /д 6 勿(。入)таких, что для любых А,从 пересечение 力入 С С О〃 связно (или, 6 частности, пусто), и если оно непусто, то функции /д и /м совпадают в окрестности хотя бы одной точки из。入 С。屮 Тогда существует (однозначная) функция /, определенная и голоморфная в открытом множестве О = U6 “ совпадающаяе О入 при всех А.
л
Упражнение 5.4. Доказать предложение 5.9. (Указание: достаточно убедиться в выполнении условия согласования /入=九 в О》С О从 при любых X,从 G Л.)
Условия в предложении 5.9 можно заменить несколько более удобными в случае, когда множество индексов Л является связным подмножеством в евклидовом пространстве ) (скажем, в Rk).
Предложение 5.10. Пусть пространство индексов Л связно и {О入}入^八 — семейство областей в Сп, являющихся сечениями А = const некоторой области Cl с Сп х А, причем для любых А,从 пересечение О入 С О〃 связно {или, в частности, пусто) и для любого А е Л множество
Мд = {〃 G А：,。入 С Dr непусто}
связно. Пусть {/л}лел ——семейство функций /д е 力(О》)，причем для любого А е е Л существует точка w е D\ и окрестность t/д С Q точки (w, А) такие, что
/л(^) = /м(^) при всех (从，2)G
Тогда существует (однозначная) функция /, аналитичная в области D = |J Рд и совпадающая с f入 в D入 при любом, А. 入
< Достаточно доказать, что для любого А е Л подмножество М〈 = {// е Мд： /а = /м в Da П Dp} совпадает с Мд (ибо тогда будут выполнены условия предложения 5.9). Множество М〈 содержит некоторую окрестность точки А в Л, так как по условию для точек 从 G А, достаточно близких к А, /д = /м в окрестности некоторой точки из。入 С DM; ввиду связности О入 С DM отсюда следует, что /д = /м в Вд П DM. Далее наряду с А фиксируем произвольную точку 从 из замыкания М〈 в Мд. Так как 从 6 Мд, то области。入 и。从 имеют общую точку £ Точка (《，从)входит в Q вместе с некоторой окрестностью, которую можно взять в виде △ х N^, где △ — окрестность точки ( в Сп, г N^ — окрестность точки 从 в А. Поскольку выше было доказано, что 从 входит в М^ вместе с некоторой окрестностью в Л, то за счет уменьшения N^ можно считать выполненным условие N^ С М^. Тогда, в частности, имеем 九(？) = Л (г) для всех 沙 G N^, 2 G △. Так как по построению /х(?)=九(？) при 2 G △, то при любом 沙 6 N^ функции /д и /“ совпадают в △ и, значит, в О入 П Dy (в силу связности Da СО”). Это означает, что N^ содержится в М〈. Таким образом, Мд непусто, открыто и замкнуто в Мд. В силу связности Мд это означает, что М〈 = Мд. А
В предложениях 5.9 и 5.10 результатом аналитического продолжения оказалась однозначная аналитическая функция. В общем случае следует учитывать возможность появления многозначности. В связи с этим дадим следующее определение. Пусть Di и D2 — две области в Сп такие, что Z?i С 1?2 непусто, и пусть /1 е 力(Z?i), /2 Е 力(。2)——пара аналитических функций, причем /1 = /2 в некоторой области 。12, содержащейся в Z?i С。2 % значит (в силу теоремы единственности), /1 = /2 в связной компоненте множества D\ С О2, которая содержит D12. Тогда будем говорить, что /2 есть непосредственное аналитическое продолжение из D\ в D? по маршруту (Di, 012, °2)・ (Это продолжение нетривиально, если 1?2 не содержится в D\, а это эквивалентно тому, что 1?2 содержит хотя бы одну граничную точку области Di.) Разумеется, если D\ С D? несвязно, это еще не означает, что в Di U Z?2 определено однозначное аналитическое продолжение функции /1 ). Продолжая этот процесс, мы будем говорить, что функция /', аналитичная в области О', есть аналитическое продолжение функции f, аналитичной в области D, по маршруту
(0=01,012,02,023，…，On—1, Dn—\,n, Dn =0‘) (5.21)
если D = Z?i, D?,Dn = Df есть конечная последовательность областей в Сп, в каждой из которых определена аналитическая функция / = /1, /2,…，加=/', причем 力+1 есть непосредственное аналитическое продолжение f丿 по маршруту (力“，Dy "+i, O“+i), z/=l,...,N-l. Такое продолжение тривиально, если Df с D 仃=/ в О.
Пусть задано семейство {О入}入^а областей в Сп и семейство {/л}лел аналитических функций f入 е 力(。入)，причем любые две пары функций f /м аналитически продолжают друг друга; тогда говорят, что семейство {/л}леЛ представляет (вообще говоря) многозначную аналитическую функцию в области D = |JD\.
А
Замечание. Если область Q односвязна, то (по классической теореме о монодро- мии [В9], п.6.6) многозначная аналитическая функция в действительности сводится к однозначной, т. е. при любом А функция /》есть сужение на 。入 некоторой функции / 6 方(。).
Область D называется областью голоморфности, если существует функция / 6 力(О), не допускающая нетривиальных аналитических продолжений: в этом случае D называют также естественной областью голоморфности функции /. Известно, что всякая область в комплексной плоскости есть область голоморфности *). Однако при п > 1 не всякая область в Сп является областью голоморфности, и становится содержательной проблема продолжения всех голоморфных функций в данной области за ее пределы. В этом явлении вынужденного аналитического продолжения заключена важнейшая специфика теории функций нескольких комплексных переменных.
Будем говорить, что область D С Сп голоморфно расширяется в область Df С С Сп по маршруту (5.21), если каждая функция / е 力(О) имеет аналитическое продолжение f е 力(О') по этому маршруту. В случае маршрута (О, О12, °') с О12 в связной компоненте пересечения 0 c О' мы говорим о непосредственном голоморфном расширении D в D. Разумеется, тривиальное ^расширением (когда Df с U D %『=f в D' при всех / е 力(О)) не представляет интереса. Оказывается (см. п. 5.2.А), область D не имеет нетривиальных голоморфных расширений в точности тогда, когда она является областью голоморфности.
Приведем пример области, не являющейся областью голоморфности.
Упражнение 5.5. Пусть D есть область в С2, не содержащая начала координат и являющаяся окрестностью границы поликруга Р в С2 c центром в 0 и с полирадиусом (1, 1). Доказать, что всякая функция / 6 方(0) допускает аналитическое продолжение в Р. (У к аз а н и е: в окрестности точек |^i | = 1, |^| W 1 для /(21, 22) справедлива формула Коши по 22：
которая задает аналитическое продолжение в Р.)
Метод, использованный в предыдущем упражнении, позволяет получить многомерное следствие из известной теоремы об отсутствии изолированных точек сингулярности у ограниченной аналитической функции одной комплексной переменной.
Упражнение 5.6. Пусть р(г)壬 0 — голоморфная функция в области D С Сп, /(г) — функция, аналитическая в области O\g-i{0} и ограниченная на любом множестве вида K\g-i{。}, где К — компакт в D. Доказать, что функция /(г) аналитична в D. (Указание: достаточно убедиться, что /(г) аналитична в любой точке w 6 D П р-1{0}; пусть для
определенности этой точкой является w = 0. Без ущерба для общности можно предполагать, что система координат выбрана таким образом, чтобы аналитическая функция р(0, , 0, гп) от zn не была тождественно равна нулю. Выбрать числа 门〉0 так, чтобы р(г) не обращалось в нуль при |^iI < 门，…，|гп_11 < rn_i, \zn\ = rn. Используя теорему, упомянутую перед данным упражнением, получить представление
В поликруге |?1| < 门,,\zn\ < rn.)
Г. Обобщенный принцип аналитического продолжения; теорема «об острие клина». Из обобщенной теоремы единственности Б.10 (см. дополнение Б) вытекает соответствующее обобщение принципа аналитического продолжения. Пусть Qi и Q2 — две выпуклые области в Rn, границы которых содержат 0, и пусть D\ п D2 — две области в Сп, прилегающие к вещественной области 〃 с Rn, соответственно со стороны zQi и Ш2 (см. п. Б.4). Если /1 и /2 — две голоморфные функции в D и 山 соответственно, имеющие одинаковые обобщенные граничные значения
Ит 力(/ + 汕=lim 力(/+ W) в 勿(自)， (5.22)
то мы говорим, что /2 есть обобщенное аналитическое продолжение функции 力 по обобщенному маршруту (。1门夕°\ 亿 Q 门夕°” Оказывается, обобщенное аналитическое продолжение сводится к обычному, т. е. существует область G С Сп, прилегающая к ^ со стороны zQ, где Q = Qi + Q2, в которую функции 力 и /2 допускают общее (непосредственное) аналитическое продолжение. Это утверждение называют теоремой «об острие клина» (что выражает ее прозрачный геометрический смысл), а область G, фигурирующая в теореме, называется областью ^острия к几и- на», соответствующей обобщенному маршруту (D、门夕°\ 自，。2 门夕°?)・ Простейший вариант «склеивания» аналитических функций по границе доставляет следующая лемма (которая есть не что иное, как переформулировка следствия Б.З с учетом теоремы Б.11).
Лемма 5.11. Пусть Qi ^ Q2 — две выпуклые области в Rn такие, что 0 е 6 9Qi П Ш2, “ пусть Q — выпуклая оболочка множества Qi U Q2- Если 力 〃 /2 — две голоморфные функции в трубах 夕°〔 и 夕°? соответственно, являющиеся там преобразованиями Лапласа обобщенных функций из У (К72), то из совпадения обобщенных граничных значений
lim /i(x + iy) и lim /2(^ + ^) & 0(7?几)
следует существование функции f, голоморфной в трубе 夕° и совпадающей с fj & 夕电(при j = 1 и 2).
Теорема «об острие клина» обобщает лемму на случай, когда область совпадения может отличаться от всего вещественного пространства Rn.
Теорема 5.12 («об острие клина»). Пусть Qi ^ Q2 — две выпуклые области & Rn, границы которых содержат 0, Dy и D2 — две области в Сп, прилегающие к вещественной области 0 С Rn со стороны zQi и Ш2 соответственно. Если аналитическая функция /2 & °2 есть обобщенное аналитическое продолжение аналитической функции 力 в D\ через вещественную область Ь, то 力 и /2 имеют одинаковое {непосредственное) аналитическое продолжение / в некоторую область G, прилегающую к О со стороны zQ, где Q = Qi + ^2・ ^ частности, если Da D + zQa (а = 1, 2), то в качестве G можно взять
G = [z = х + “у⑴ + у⑵)：力 G 〃， g9)6 "Са,
\у^\ < "d(力，9〃)при а = 1 и 2}, (5.23) где ) ” — положительная константа {меньшая единицы}, зависящая только от 八. < Без существенного ограничения общности будем предполагать выполненным условие Da D 夕 + 分С。 (а = 1, 2) (иначе С。 следовало бы заменить произвольными усеченными выпуклыми конусами К{ С С。). Вначале в окрестности произвольной точки a G 〃 мы выполним некоторое построение, которое позволит получить локальное аналитическое продолжение функций /1 и /2- Цель этого построения — свести локальную ситуацию к лемме 5.11. Второй этап доказательства состоит в склеивании полученных локальных продолжений; здесь остается лишь проверить, что локальные продолжения в совокупности определяют однозначную функцию / (с требуемыми свойствами).
Фиксируем произвольную точку а 6 ^ и произвольный набор ei, , еп линейно независимых векторов, лежащих в Qi U Q2 и обладающих нормой \ej\ < d(a, д^). Нам предстоит доказать существование числа 少 6 (0, 1) (не зависящего от a, ei, , еп) такого, что в области (параллелепипеде)
G(a; ei, , en) = < z e Cn: ? = a + 工 Qej, |Re Gl <0 < Im &• < 少 при j = 1,, ri
определена голоморфная функция f, совпадающая c 启 в G(a; ei, ..., en) П Da. Пусть для определенности {ei, , e”} C Qi и {e^+i,, en} C Q2 при некотором 沙. Посредством
G = &• + irjj будем обозначать координаты вектора z - а относительно базиса {ei, ..., еп}:
2 二 а +〉〕
(где г — произвольная точка из Сп), а вместо /а(?) будем писать /а(^1,,《九).Заменим
теперь множества 〃，Ci и Q2 меньшими, но более удобными множествами Q С 0, ш\ U Ci, &2 U 口2, ПОЛОЖИВ ПрИ р = 1/п
Q = {ж е к? |&・| < р при ； = 1,, п}
ел = {ж 6 Rn: 0 < r]j < р при / = 1,...,沙 и 5=0 при / =沙 + 1, ..., п},
&2 = {/ G Rn： “j = 0 при j = 1,и 0 < T]j < р при ；/ =沙 + 1, ..., п}.
Тогда на множестве Q + 分g。функция /а удовлетворяет оценке типа
\fa(z)\ < А( max |勿при ( е Q +(5.24)
(Это следует из упражнения В.9(6).)
Введем теперь конформное отображение 夕⑹=|； In 么} £, отображающее круг в С радиуса р с центром в 0 на полосу |Imw\ < 1. Перейдем от《，...，《九 к новым переменным wi, , wn, полагая
叼=3(G)二今 In ^^， так что &• = ^~\wj) = pth 仔 g),
и определими определим/а («1,•/а («1,•(5.25)(5.25)
и определим
и определим
/а («1,•
/а («1,•
(5.25)
(5.25)
Ясно, что функция p(wi, , wn) определена в трубе 夕‘1 с основанием
Si = {v е Rn: 0 < Vj < 1 при / = 1,…，沙；Vj = 0 при / =沙 + 1,n}, бесконечно дифференцируема по всем переменным и голоморфна по wi, ..., wu. Кроме того, она удовлетворяет оценке типа
|pi(wi, , wn)\ < Azf max |Im Wj \\ в 夕(5.26)
Эта оценка получена из (5.24), (5.25) и неравенства)
\р -W 4〃1тд・|Т при Ю| < р.
Аналогично, функция р2 определена в трубе 夕$2 с основанием
S2 = {о G Rn: Vj = 0 при J = 1,, I/; 0 < Vj < 1 при / =沙 + 1,n},
бесконечно дифференцируема по всем переменным, голоморфна по w^+i,, wn и удовлет
да(9(《)，，夕(盡))={ Ц(р2 — EL} ha{^Y 夕&))・да(9(《)，，夕(盡))={ Ц(р2 — EL} ha{^Y 夕&))・воряет оценке типа (5.26) в 夕&. Тогда в силу предложений Б.6 и Б.11 каждая из функций да (а = 1 н 2) является преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции Та 6 少(RQ и обладает обобщенным граничным значением, скажем, ha 6 ^f(Rn); причем, благодаря перестановочности перехода к обобщенному граничному значению с конформным преобразованием (см. предложение Б.12), а также в силу упражнения Б.8 имеем равенство в 夕'(Q):
да(9(《)，，夕(盡))={ Ц(р2 — EL} ha{^Y 夕&))・
да(9(《)，，夕(盡))={ Ц(р2 — EL} ha{^Y 夕&))・
”(5・27)
Согласно определению (5.25) левая часть этого равенства есть lim /а(ж + iy), причем при а = 1 и 2 эти распределения совпадают в силу условия (5.22). Отсюда следует, что при а = 1 и 2 правые части в (5.27) также совпадают, т. е. /и =九2・
Мы пришли к ситуации, сформулированной в лемме 5.11 (теперь роль /а и 夕显。играют да и 疗'。).Это позволяет сделать вывод, что функции gi и р2 имеют общее голоморфное продолжение g в трубу 夕5 с основанием S = Si + S2, причем
lim g(§ + 仞)二九(§) в 夕(К")(5.28а)
(где h = hi 二九2). Заметим, что S содержит множество {77 G К2 0 < 勿 < 1 /2 при J = =1,, п}. Поэтому, выбрав 少〉0 достаточно малым ) (а именно, таким, чтобы образ
прямоугольника {《6 С: |Re《| < ", 0 < Im《< "} при конформном отображении ( w = =I； In，} f содержался в полосе {w 6 С: |Im w\ < 1/2}), мы заключаем из формулы (5.25), что функции /1(г) и 力⑶ имеют общее голоморфное продолжение в область
G = {z е Сп: |^-| < ^, 0 < 勿 < ” при J = 1,, п};
при этом из (5.28а) (опять же благодаря общей формуле (Б.59в)) следует
lim /(力 + 分g)二 lim /а(ж + iy) при |&| < "• (5.286) y — QyWa у — Ь,у£За
Итак, мы провели первый этап доказательства, который устанавливает существование общего голоморфного продолжения функций 力 н 力 в любую из областей G(a; ei, , en) вида, указанного в начале доказательства. Нам остается лишь убедиться, что эти продолжения в совокупности определяют однозначную функцию / в объединении таких областей. Итак, пусть Gi = Ui + 分S и G^ = U^ + /16 — произвольная пара таких областей (где Ui, 5, И н % — некоторые параллелепипеды в Rn) и пусть /； н /；——голоморфные продолжения функций /1, /2 в области Gi и G2 соответственно. Покажем, что /； = /； в Gi С G?. Имеем: разность /； - /2 определена и голоморфна в Gi С G2 = (Ui С “) + 分(％ С %) н согласно (5.286) стремится к 0 в 夕'(U П U') при g т 0, у е V П V'. По обобщенной теореме единственности Б.10 отсюда заключаем, что /； — /； =。・ А
Явный вид (5.23) области «острия клина» в действительности не имеет большого значения (так как эта область не оптимальна, т. е. не максимально возможная, за исключением случая, когда Da — трубчатые конусы n 〃 = Rn). Принципиальным моментом является сама возможность общего аналитического продолжения функций /1 и /2, означающая сведение обобщенного принципа аналитического продолжения к обычному. (Интересно, что в результате такого продолжения вещественная область совпадения функций /1 и /2 может расшириться по сравнению с первоначальной областью 自 исключительно «из геометрических соображений»; с таким явлением мы уже встречались в упражнении 4.11; см. также [В9], § 28.)
Укажем на одно обобщение в формулировке теоремы «об острие клина». Не обязательно считать, что Qi и Q2 — области в Rn; с равным успехом можно считать, что Qi и Q2 — два выпуклых множества в Rn, границы которых содержат 0 и такие, что выпуклая оболочка их объединения есть область. Тогда утверждение и доказательство теоремы 5.12 переносятся на более общий случай.
Этот обобщенный вариант теоремы используется в следующем упражнении.
Упражнение 5.7. Пусть функция / аналитична в области D С Сп, содержащей трубы 夕显1 и 夕显2, ПрИЧем основания этих труб Qi и Q2 являются пересекающимися выпуклыми множествами ) в Rn такими, что выпуклая оболочка Q объединения есть область в Rn.
Пусть a G Ci С 口2, § G Ci, 77 G 口2・ Доказать, что / допускает непосредственное аналитическое продолжение в трубу 夕"，где ш — некоторая выпуклая окрестность треугольника в Rn с вершинами а, а + "(§ — а), а + "(ту — а), a " — тот же параметр, что в (5.23). (Указание: после трансляции труб на вектор —га ситуация сводится к теореме «об острие клина» в обобщенной формулировке.)
Доказать, что / допускает непосредственное аналитическое продолжение в трубу 夕°. (Указание: пусть выбраны произвольные точки a G Ci 门②，§ G Ci, 〃 G ② и пусть Т есть множество всех чисел t 6 [0, 1] таких, что / допускает непосредственное аналитическое продолжение в трубу 夕"，где g есть некоторая выпуклая окрестность замкнутого треугольника в Rn с вершинами а, а + 力(§ — а), а + £(〃 — а). Достаточно доказать равенство Т = [0, 1]. Вначале убедиться что Т открыто в [0, 1]. С помощью части (а) упражнения доказать, что Т замкнуто. Из связности Т заключить, что Т = [0, 1].)
Замечание. Из доказательства теоремы «об острие клина» (см. формулы (5.28)) можно сделать еще следующий вывод: обобщенное граничное значение lim /(ж + iy) существует при / G 〃，причем у7у*°
lim /(ж + iy) = lim /а(ж + iy) в 夕'(〃)(а = 1, 2). (5.29)
Д. Голоморфные распределения. Пусть по-прежнему D есть область в Сп. Распределение /(2)е ⑨'(О) называется голоморфным, если оно удовлетворяет системе уравнений Коши-Римана (5.1). Очевидно, всякой голоморфной функции / е 力(О) соответствует голоморфное распределение по правилу
(/, 〃)= f(z)u^\dnzdnz\, 〃е ⑨(О).(5.30)
Оказывается, справедливо и обратное утверждение.
Предложение 5.13. (а) Всякое голоморфное распределение /(2)е ⑨'(О) является функцией из 力(О).
Если последовательность голоморфных распределений /“(2)сходится к распределению /(2) в {слабой топологии)⑨<О), то f е 力(О) и fy f в топологии 力(О).
< (а) Пусть F(w; р) — произвольный замкнутый поликруг в D и пусть х(?)——функция из 夕(О), равная единице в некоторой окрестности F(w; р). Посредством 歹(？) обозначим обобщенную функцию из ^(Сп), равную %(г) /(г) в D и исчезающую вне носителя %. Очевидно, носитель F компактен и содержится в некотором поликруге F(w; И) с р < R. Учитывая формулу
备寸=2滴⑵)(5.31)
(см. формулы (В.54)—(В.56)), мы получаем для F{z) представление в виде свертки
f⑶=尸⑶*Ь⑶ =(2тг)т耳ь⑶* +.(5.32)
Обозначим 吵(？) = (27r)-nSJF(^). Это обобщенная функция из @/(。八)，которая (в силу голоморфности /(г)) имеет компактный носитель в Q = F(w; А)\Р(гг; р). Сужая представление (5.32) на поликруг F(w; р), мы получаем для /(г) слабое интегральное представление:
при г G F(w; р).при г G F(w; р).(5.33)(5.33)
при г G F(w; р).
при г G F(w; р).
(5.33)
(5.33)
Ядро этого представления 1/(г —《)'является основной функцией по 《из пространства #(Q), зависящей аналитическим образом от параметра г 6 F(w; р). Это доказывает голоморфность /⑶ в F(w; р) и, значит (ввиду произвольности F(w, р) в D), всюду в D.
Вторая часть предложения 5.13 также получается применением представления (5.33) к каждому распределению /“(？)：
3⑶=("⑹，(2」6)?)3⑶=("⑹，(2」6)?)при г G F(w; °).при г G F(w; °).
3⑶=("⑹，(2」6)?)
3⑶=("⑹，(2」6)?)
при г G F(w; °).
при г G F(w; °).
Так как 吵“ т 吵 в #'(Q), а 1/(г —《)，есть основная функция из #(Q) по 《,аналитически зависящая от параметра г, то утверждение (б) вытекает из следствия 1.10. А
Упражнение 5.8. Доказать следующее обобщение классической теоремы Лиувилля: произвольная голоморфная обобщенная функция /(г) G 夕(Сп) является полиномом от г. (Указание: из уравнений Коши-Римана следует, что преобразование Фурье
f(k)=]〃2)e2Re『hdM от /⑶ сосредоточено в нуле.)
Пусть переменные 2 14 s пробегают соответственно область D в Сп и область Q в Rk. Распределение /(2, £) е ⑨'(О х Q) называется голоморфным по 2 (или частично голоморфным), если оно удовлетворяет уравнениям Коши-Римана ^； /(2, £)= 15*
=0 (7 = 1，…，八)• Тогда для любой основной функции о е ® (Q) распределение J/U §)"§)#§ по 2 является голоморфным и, значит (в силу предложения 5.13), принадлежит 力(О). Тем самым /(2, оказывается распределением по £ из ®Z(Q), зависящим голоморфно от 2 G О как от параметра (см. предложение 2.11). Учитывая предложение 2.10, получаем следующее утверждение (которое будет неоднократно использоваться в дальнейших главах).
Предложение 5.14. Если D — область в Сп и ^1 — область в К& то всякое частично голоморфное (〃о z) распределение /(2, £) е ⑨'(О х Q) является распределением из 勿⑼ по £, зависящим голоморфно от z е Cl как от параметра. Если при любых о е ® (Q) функции J /(^, ^) v(^) dn^ аналитически продолжаются 6 область Df (D и D' и Сп), то они определяют распределение по £ из 勿(С), голоморфно зависящее от параметра z е D.
Инвариантные и ковариантные аналитические функции. Мы ограничимся конкретной группой G = °+(d) или O(d), действующей в Cdk = Cd х х Cd по формуле (3.151). Число к предполагается меньшим d в случае O+(d) или не превосходящим d в случае 0(d), так что существует набор алгебраически независимых стандартных полиномиальных инвариантов /1(2), ..., /“(2)в Сп (здесь 八=dk, v = k(k + 1)/2). Отождествляя (как и в п. 3.4.А) произвольную точку 2 6 Cdk с упорядоченным набором z = (z,,狄)векторов 引，...，狄 е Cd, мы можем в качестве этих инвариантов принять скалярные произведения (力，Zj) при 1 < г < j < /с.
Нас интересует возможность представления инвариантной аналитической функции /(2)в О^(с/)-инвариантной области D С Сп в виде аналитической функции от инвариантов:
/(2)= 3(/(2))・(5.34)
Заметим, что полиномы 厶(2),…，/“(2) в действительности инвариантны относительно большей группы 0(d, С) — комплексификации 0(d) [точнее, 0(d, С) (и аналогично 0^(d, С)) — это группа комплексных ортогональных d х d-матриц (соответственно с детерминантом 1)]. Следовательно, представление (5.34) дает аналитическое продолжение функции /(2) в 0(d, С)-насыщение области D, т. е. в область 0(d, С) D = U 9°・ Поэтому в представлении (5.34) достаточно огра- gEO(d,C)
ничиться 0(+)(d, С)-инвариантными областями (и функциями).
При d = 4 пространство Cd может быть отождествлено с комплексным пространством Минковского CM, a O^(d, С) — с комплексной (собственной) группой Лоренца L(+)(C) (см. п. 9.1.А).
Предложение 5.15. Пусть D есть 0(+)(d, С)-инвариантная^ область е Cn = Cdk (〃р〃 к < d для 0+(d, С) и при к d для 0(d, С)), причем выполнено «техническое» предположение', для любой точки w е 1(D) существует компакт Q С D такой, что w 6 int/(Q), т. е.
/(О)= U int/(Q)(5.35)
Q - компакт в D
(здесь /(2)=(厶(2),…，/“(2)— отображение из Cdk в С" при z/ = k(k + 1)/2, составленное из алгебраически независимых стандартных полиномиальных ин
*) В этом предложении можно также считать, что область D только О+(</)-инвариантна, если в дополнение к условию (5.35) предположить односвязность области 1(D) (приводимое ниже доказательство от этого даже упростится).
вариантов 厶(2),…，乙(2) — скалярных произведений (力，引)，1 < г < j ^ k). Тогда всякая 0^{d)-инвариантная аналитическая функция /(2)в области D однозначно представима в виде (5.34), где 夕—аналитическая функция в области /(О) С С".
< Наше доказательство немного схематично: в некоторых местах мы отсылаем за деталями к статье Холла и Уайтмана (1957). Вначале выведем представление (5.34) для области Dq = {z е D: p{I{z))力 0}, где 0(/(2)) — детерминант к х ^-матрицы (n* 召)из скалярных произведений (полином @(/(?)) не равен тождественно нулю, ибо подобное тождество противоречило бы условию алгебраической независимости стандартных инвариантов 厶，...，/“ в рассматриваемом случае). Нетрудно видеть, что если г G Do, то векторы Ni,...之小 линейно независимы. Отсюда следует, что точки г 6 Do являются неособыми для отображения /, т. е. при г 6 Do ранг якобиевой матрицы DI(z) равен 沙(см. лемму 7 Холла и Уайтмана). Более того, в такой точке г подпространство векторов в Cdk вида (gni, ..., gn/c), где g пробегает кососимметричные d х(i-матрицы, имеет размерность dk — у (см. лемму 6 Холла и Уайтмана).
Пусть а — произвольная фиксированная точка из Do- Тогда в достаточно малой окрестности Ua С Do точки а можно выбрать инварианты 厶，…，/“ в качестве первых 沙 локальных координат, а в качестве остальных локальных координат в Ua можно выбрать некоторый набор г = (^)(j,a)gs из dk — у компонент. Условие О+ (б/)-инвариантности функции /(г), записанное в инфинитезимальной форме, приводит к системе уравнений
к
工(吟=。，
где g пробегает кососимметричные d х(i-матрицы. Перейдем в этой системе к новым переменным: /(г) = /(I, г). Так как инварианты 厶，/“ удовлетворяют этим уравнениям, то уы получаем систему dk — и линейно независимых уравнений относительно производных (df/dzj\j^Es, разрешая которую, получаем df/dz = 0. Это означает, что /(I, г) не зависит от г. В результате доказано представление в достаточно малой окрестности произвольной точки a G О。：
/(2)= 3 a(/(?))；
здесь 屮а ——аналитическая функция в некоторой окрестности Va С /(°о) точки /(а).
Убедимся теперь, что функции 3a определяют однозначную аналитическую функцию 夕 в области /(О。). С этой целью заметим, что условие О^(^-инвариантности
/(д?) = /(2)при gGO(+)(d), г е D
можно аналитически продолжить по д; это означает, что функция /(г) действительно О(+)(d, С)-инвариантна (подробнее этот прием описан в п. 9.1.Б). Воспользуемся далее тем, что (согласно лемме 2 Холла и Уайтмана) любую пару точек г, zr 6 Cdk с одинаковыми значениями инвариантов /(?) = /(?，) можно связать преобразованием группы O^(d, С) (т. е. zr = gz, где g G O^(d,。))при условии, что @(/(n)) = p(I(^z))纟 0. Отсюда и из О(+)(d, С)-инвариантности функции / следует:
/⑶=/(У), если г, z е Do и /⑶=/(У),
так что
屮а(心)=уь(心если w eVanVb и @(гт) R 0.
Поскольку p(w) — полином, не равный тождественно 0, то (по теореме единственности) 3a = =夕6 в Va ПУь. Это означает, что существует однозначная аналитическая функция з(г^) в области J(Do) = /(°)\@-i{0} такая, что представление (5.34) справедливо в области Dq.
Остается убедиться, что ^>(w) аналитична в области 1(D). Для этого заметим, что из представления (5.34) в Do и из предположения (5.35) легко следует, что функция ^(tf) ограничена на любом множестве вида ^\р-1{0}, где К — произвольный компакт в 1(D). Согласно упражнению 5.6 ^p{w) аналитически продолжается в 1(D), значит (по теореме единственности), представление (5.34) справедливо всюду в О. А
В случае G-ковариантной аналитической функции /(2)(со значениями в конечномерном комплексном векторном пространстве 夕;преобразующемся по представлению Г группы G = О(+)(d), интересна возможность разложения
N
А?) = £ Qo(2)%(2), (5.36) 0=1
где {Qo(2)}£i — полиномиальный базис стандартных ковариантов в Сп (или Rn\ преобразующихся по представлению Т, a hp{z) — инвариантные аналитические функции. При выводе представления (5.36) делается предположение, что область D С Сп I-насыщена, т. е. что ,
O = L(/(O))・
Предложение 5.16. Пусть 0(+)(d, С)-инвариантная область D с Cdk (еОе k < d для °+(d, С) и к ^ d для 0(d, С)) I-насыщена и пусть существует полиномиальный базис {Qp}^=i стандартных ковариантов в Сп {или в Rn\ преобразующихся по представлению Г группы 0(+)(d) в ЭС. Тогда произвольная Ж-значная ковариантная аналитическая функция /(2)в области D (единственным образом) разлагается в сумму (5.36), где hp{z) — инвариантные аналитические функции 6 D (которые в свою очередь допускают представления вида (5.34)).
Доказательство см. в статье Хеппа (1963в) ).
В следующем контрпримере показана существенность условия J-насыщенности в предложении 5.16 (по крайней мере для d = 2). Для произвольной точки г = (г1, г2) 6 С2 введем координаты 2土 = г1 ± iz2. Тогда функция /(?) = (г+)-1 □+ (2)-ковариантна в области D = {г 6 С2: 7^ 0} и преобразуется по (одномерному) представлению со спином —1 группы 0+(2). Однако в ковариантном представлении /(г) = Q(n)夕(？ • ？) со стандартным ковариантом Q(n) = г_ и стандартным инвариантом /(?) = г • г функция 屮(w) = w-1 не аналитична в области 1(D) = С, ибо предложение 5.16 не применимо из-за того, что область D не J-насыщена. (Тем не менее согласно предложению 5.15 всякая О+(2)-инвариант- ная аналитическая функция /(г) в рассматриваемой области D имеет вид /(г)=夕(？ • г), где t；(w) — целая аналитическая функция.)
Ж. Плюрисубгармонические функции. Для характеристики областей голоморфности используются не только аналитические функции, но и так называемые плюрисубгармонические функции.
Функция 夕(2)в области (или в открытом подмножестве) D комплексной плоскости С называется субгармонической, если она принимает значения в расширенной вещественной прямой [—оо, +оо), полунепрерывна сверху и удовлетворяет условию: для любой подобласти G с компактным замыканием_С и О п любой вещественной гармонической в G функции ) “(2), непрерывной в G, из условия 夕(2)W “(2)на dG следует 夕(2)< “(2)в G.
Условие полунепрерывности сверху означает
夕(2)=呵夕(Q(5.37)
(эта запись подразумевает, что《может принимать значение 2； в противном случае знак = следует заменить знаком 》).Это условие эквивалентно тому, что прообраз 夕—1([—оо,力))любого бесконечного интервала вида [—оо,力)(где 力 G К) относительно отображения р является открытым подмножеством в D. Отсюда следует, что полунепрерывная сверху функция измерима и сужение ее на любой компакт ограничено сверху и достигает максимального значения. Поэтому определены интегралы вида
27r
夕(2 +『е岭)d夕 и p(z + c)\dcdc\ при 0 < г < d(z, dD),
О|c|<r
если считать, что наряду с вещественными числами в качестве возможного значения интегралов допускается и —оо.
Имеется удобный критерий субгармоничности.
Предложение 5.17. Для того чтобы полунепрерывная сверху функция 夕(2), определенная в области (или в открытом множестве) D с С и принимающая значения на расширенной вещественной прямой [—оо, +оо), была субгармонической, необходимо, чтобы
27r
夕⑶，贵 0(2 + re* dg(5.38)
о
при всех z е D и г > 0 таких, что г < d(2, 90), и достаточно, чтобы неравенство (5.38) выполнялось при всех z е D и всех г из некоторого интервала (0,广0(2)), где『о(2)— произвольное положительное число (зависящее от z).
Доказательство см. в [В9], п.9.4. Там же доказано, что в любом замкнутом круге в D с центром в точке w и с радиусом т субгармоническая функция в D удовлетворяет более общему неравенству, чем (5.38):
277
目⑶ W j 叭2 — w, re1^) p(w + r”) dg;(5.39)
о
здесь 俨(2, те1 屮)—ядро Пуассона:
Упражнение 5.9. Пусть /(г) — аналитическая функция в области D С С. Доказать, что /(г) = In |/(г)| есть субгармоническая функция. (Указание: в точках г, где /(г)= =0, соотношение (5.38) тривиально; в окрестности любой точки, где /(г)力 0, р(г) есть вещественная часть аналитической функции; применить к ней формулу о среднем значении.)
Упражнение 5.10. Доказать, что субгармоническая функция @ 壬 const в области D С С С не может принимать (локального или глобального) максимума в точках области D. Кроме того, для любого компакта К С D и любой субгармонической функции р в области D имеем
sup p(z) = sup 0⑶.(5.40)
zGKzEdK
(Указание: ход рассуждений, основанный на неравенстве (5.38), таков же, как в теореме 5.8.)
Функция 夕(2), определенная в области (или в открытом множестве) D С Сп, называется плюрисубгармонической, если она принимает значения на расширенной вещественной прямой [—оо, +оо), полунепрерывна сверху и сужение ее на пересечение D с любой одномерной комплексной прямой в Сп является субгармонической функцией. Согласно предложению 5.17 последнее условие равносильно выполнению неравенства27r
夕⑶ w * 夕(2 + "%)眸(5.41)
0
при любом z e D, любом векторе b е Сп и при 0 < г < го(^, 6), где 『о(2, Ь) есть некоторая положительная функция от 2, Ь. Если же это условие выполнено, то при b # 0 в качестве 『о(2, Ь) можно взять величину Нь(2, 90) — расстояние по лучу СЬ от точки 2 G О до границы дБ области; оно определяется равенством
Rb(z, 9。)= \b\ • sup{广 > 0: z + cb е D при с 6 С, \с\ < г}.(5.42)
Если 夕(2) — плюрисубгармоническая функция в области D С Сп, то функция -夕(2)называется плюрисупер гармонической (а в случае п = 1 — супергармонической).
Упражнение 5.11. (а) Доказать, что 1п|/(2)| есть плюрисубгармоническая функция, если /(г) — аналитическая функция в области D С Сп. (Указание: воспользоваться упражнением 5.9.)
Пусть {@х}хса — семейство плюрисубгармонических функций в области D такое, что функция 0⑶=supрд (г) полунепрерывна сверху. Доказать, что 目⑶—плюрисубгармоническая функция. 入
Интегрированием неравенства (5.41) по dr2 получаем
夕(2)<夕(2 + cb) ^||^(5.43)
|c|<r
при 0 < г < Rb(z, dD)/\b\.
На самом деле интеграл в этом рассуждении понимался как повторный: J dr' J d屮…,где с =厂％2°. Однако по теореме Фубини ([ШЗ], гл. IV, теорема 77), примененной к неотрицательной измеримой функции 歹(N, ^) = A — @(z + г%*!)), где А — достаточно большое число, этот повторный интеграл совпадает с двойным интегралом (5.43).
Пусть P(w, р) С D. Тогда последовательное применение неравенства (5.43) приводит к следующему условию для плюрисубгармонической функции:
门(5.44)
P(w;p)
(здесь, как и в (5.43), повторный интеграл совпадает с кратным).
Упражнение 5.12. Доказать, что плюрисубгармоническая функция удовлетворяет условиям
°⑶吧 mes£(2“) J @(CdW=i，厩、к』©645a)
PM
@(2)= lim [р(г + rQ u(Q\dn( dn(\(5.456)
при всех 2 G О; здесь 〃(？) — неотрицательная функция из ^ (Сп) с интегралом 1. (У к аз а н и е: для доказательства (5.45а) перейти к пределу в (5.44) и воспользоваться условием полунепрерывности сверху (5.37). Равенство (5.456) устанавливается тем же способом.)
Заметим, что наряду с соотношениями (5.45) справедливо следующее утверждение.
Предложение 5.18. Пусть @(?) — плюрису б гармоническая функция 6 области D с Сп и пусть z е D, be Сп\{0}. Тогда
@(2)= lim00(2 +泌).(5.46)
Доказательство см. в [В9], п. 9.16.
Предложение 5.19. Для любой плюрисубгармонической функции 夕(2)е области D с Сп имеется альтернатива', либо р = —оо, либо р локально интегрируема 6 D.
< Пусть р не является локально интегрируемой; докажем, что р = —ос. Введем множество Q всех точек w Е D таких, что J p^z^c^z d^z] = —ос хотя бы для одного поликруга _P(w,p)
F(w; р) и D с полирадиусом р = pw. В силу (5.45а) достаточно доказать, что Q совпадает с D. Поскольку Q непусто, a D связно, то достаточно доказать, что Q есть открытое и замкнутое подмножество^ D. Если 竺 G С, то найдется такое значение полирадиуса р' и окрестность U точки w, что F(w; pw) С Р(《；//) С D при всех《G U. Очевидно,
I p^z^cTz ^z\ = —ос при《G U,
что доказывает открытость Q. Докажем замкнутость Q в D. Пусть w есть точка из замыкания в D множества Q. Тогда при любом р таком, что F(w; р) С D, множество F(w; р) имеет непустое пересечение с Q. Поскольку p(z) = —ос при г 6 Q и множество p(w; р) П Q открыто и непусто (и, значит, имеет ненулевую лебегову меру), то интеграл от 目⑶ по F(w; р) равен —ос. Тем самым доказана замкнутость Q. А
Методом сглаживания можно произвольную плюрисубгармоническую функцию представить как предел гладких плюрисубгармонических функций.
Предложение 5.20. (а) Для любой плюрисубгармонической функции р 壬 =—оо 6 области D с Сп существуют возрастающая последовательность областей О” с Сп, объединение которых есть D, и монотонно невозрастающая последовательность плюрисубгармонических функций 夕"е 渉(О”)， сходящаяся к функции /.
(б) Предел монотонно возрастающей последовательности 夕"плюрисубгармонических функций есть плюрисубгармоническая функция.
Доказательство см. в [В9], пп. 9.6, 10.9.
Для гладкой вещественной функции / условие плюрисубгармоничности в действительности представляет собой некое локальное требование на функцию в каждой точке. В связи с этим будем говорить, что матричная функция “(2)= (ujk^z^j^^,...^ в области D — положительного типа, если при любом z е D матрица “(2)удовлетворяет условию положительной определенности
£ Ujk(z) ajCLk》0 при всех а е Сп.(5.47)
Аналогично будем говорить, что матричное распределение 夕(2)=(屮j&)%"=、,...,п с матричными элементами из пространства ⑨'(О) — положительного типа, если
(5.48)(5.48)£ ^pjk^ ujk{z)\dnzdnz\ > О
(5.48)
(5.48)
для всех матричных функций “(2)положительного типа с матричными элементами класса ⑨(О).
Предложение 5.21. Вещественная дважды непрерывно дифференцируемая функция 夕(2)6 области D с Сп является плюрисуб гармонической в точности тогда, когда матричная функция (分^分卜夕(2)) — положительного типа.
< Случай произвольной размерности п легко следует из п = 1, поэтому мы предположим, что D есть область в комплексной плоскости С. Определим две функции
27r/(2； г) = I 0(2 + 收。)dipо27r/(2； г) = I 0(2 + 收。)dipо277J(n; г) = 4 I ddp(z + r”) digо277J(n; г) = 4 I ddp(z + r”) digо
27r
/(2； г) = I 0(2 + 收。)dipо
27r
/(2； г) = I 0(2 + 收。)dipо
277
J(n; г) = 4 I ddp(z + r”) digо
277
J(n; г) = 4 I ddp(z + r”) digо
при z Е D, 0 < г < d(2, АО). Функция J(w; г) дважды непрерывно дифференцируема по г и удовлетворяет «начальным условиям»
/(W 0) =@(0), 品/(£ °) = °-
Учитывая, что 43® =Учитывая, что 43® =д2 . -1 д . —2 а?不получаемд2 . -1 д . —2 а?不получаемсоотношение между /®; г) и J®; г):соотношение между /®; г) и J®; г):
Учитывая, что 43® =
Учитывая, что 43® =
д2 . -1 д . —2 а?
不получаем
д2 . -1 д . —2 а?
不получаем
соотношение между /®; г) и J®; г):
соотношение между /®; г) и J®; г):
务 /(2； т) + }鼎 /(2； г) = J(2； т),
откуда следует
糸 /(£ т) = j ^ J(W 吟(5・49) о
Предположим, что ddf(z) > 0, тогда J(z; г) > 0 и (в силу (5.49)) /(?; г) не убывает с ростом г, что вместе с «начальным условием» влечет выполнение условия субгармоничности (5.38) при всех г 6 О н г < d(z, dD). Обратно, пусть р(г) субгармонична. Будем доказывать положительность ddp(z) от противного. Если ddp(z) < 0 в некоторой точке г = w, то J(w; 0) < 0. Тогда из (5.49) следует, что * I加 г) < 0 при 0 < г < ro(w), где ro(w)— некоторое положительное число, так что для таких г I(w; г) < I(w; 0) = @(0), что находится в противоречии с условием субгармоничности (5.38). А
Упражнение 5.13. Доказать, что функция @(?) = |г|2 (в Сп) является плюрисубгар- монической. (Указание: воспользоваться предложением 5.21.)
Предложение 5.21 подсказывает способ характеристики плюрисубгармонических функций в терминах распределений. Будем говорить, что вещественное распределение 夕(2)е ⑨[(°) в области Dub плюрису б гармонично, если матричное распределение (分^分卜夕(2)) — положительного типа.
Предложение 5.22. Формула типа (5.30) (〃〃〃 (5.456)) устанавливает взаимно однозначное соответствие между плюрисубгармоническими функциями е области D с Сп, не равными тождественно -оо, и плюрисубгармоническими распределениями в D.
По поводу доказательства см. [В9], п. 10.10.
Предложение 5.22 позволяет отождествить плюрисубгармонические (в области О) функции, не равные тождественно —оо, и плюрисубгармонические распределения.
Упражнение 5.14. Пусть 夕(2，) = 3“У)%=1,...,п есть голоморфное отображение области G С Cfc в область D С Сп (т. е.夕 есть векторная голоморфная функция в области G со значениями в D) и пусть @ есть плюрисубгармоническая функция в области D. Доказать, что 0(з(《)) есть плюрисубгармоническая функция в области G. (Указание: достаточно рассмотреть случай р 壬—ос. Если р — гладкая функция, можно воспользоваться предложением 5.21. Общий случай сводится к случаю гладкой функции р с помощью предложения 5.20.)
5.2. Области голоморфности
Д. Голоморфная выпуклость. Область D в Сп называется голоморфно выпуклой, если всякое J^(D)-ограниченное замкнутое в D подмножество является компактом. Как мы увидим далее, это понятие равносильно понятию области голоморфности.
Условие голоморфной выпуклости, очевидно, означает также, что замыкание в Сп любого J^(D)-ограниченного множества К и О не пересекается с границей дБ области D, что в свою очередь эквивалентно положительности расстояния
d(K, HD) = inf{|? — w| =Z: z E К, w G a。}(5.50)
между К и dD. Отсюда непосредственно вытекает следующий вывод.
Лемма 5.23. Для голоморфной выпуклости множества D с Сп необходимо и достаточно, чтобы для любой точки w е дБ и любого множества К и D, замыкание которого в Сп содержит w, существовала функция / 6 我卜D\ такая, что
lim |/(2)| = оо.(5.51)
2TW, WEK
Упражнение 5.15. Доказать, что всякая область D в комплексной плоскости С голоморфно выпукла. (Указание: условие (5.51) выполняется при /(г) = (г - w)-1.)
Упражнение 5.16. Доказать, что прямое произведение G х Gf С Сп двух голоморфно выпуклых областей G С Ск н G‘ и Сп~к голоморфно выпукло. (Указание: если К есть 方(6 х G')-orpaHHqeHHoe множество, то функции из 方(6 х G'), зависящие только от проекции точки из G 义 G' на G, ограничены на К. Вывести отсюда, что расстояние между проекцией К на G н 8G положительно. Точно так же расстояние между проекцией К на G' и 8G' положительно.)
Упражнение 5.17. Доказать, что любая связная компонента G пересечения голоморфно выпуклой области D С Сп с любой комплексной плоскостью в Сп голоморфно выпукла. (Указание: на любом ^(^-ограниченном множестве KuG функции из 方①)ограничены, и потому d(K, АО) > 0; с другой стороны, d(K, AG) > d(K, №)•)
Согласно следующему упражнению голоморфная выпуклость есть обобщение выпуклости.
Упражнение 5.18. Доказать, что всякая выпуклая область D G Сп голоморфно выпукла. (Указание: если w 6 dD и Re (а, г — w) = 0 есть уравнение опорной гиперплоскости через эту точку), то функция /(г) = (а, г — w)-1 голоморфна в О; далее применить лемму 5.23.)
В предыдущих упражнениях использовалась «достаточность» из леммы 5.23; часть (б) следующего упражнения 5.19 опирается на «необходимость».
Упражнение 5.19. (а) Пусть 夕i,夕％ — конечное множество линейных подпространств в ЛВП 夕；ни одно из которых не совпадает с н пусть 歹"есть дополнение к в ЭС. Доказать, что R 歹" плотно в 夕二(Указание: для конечномерного пространства, скажем Ск, это утверждение элементарно ); его легко также вывести теоремы 1.3 Бэра «о категории»; разумеется, вывод остается справедливым, если вместо линейных подпространств выбираются плоскости в Ск. При доказательстве общего случая фиксировать ии 6 歹" (沙二 1,к), тогда произвольный элемент и 6 夕'气 можно с любой точностью приблизить
кк
суммами вида 〃(с)三 〃 + £ суиу G R 歹"при достаточно малых с” 6 С, поскольку мно- 沙=1沙=1
жества {с: 〃(с) 6 夕"} являются плоскостями в Ск, отличными от С“.)
Пусть S — произвольное конечное множество границы голоморфно выпуклой области D. Доказать, что множество всех функций / 6 方(。)，удовлетворяющих условию
lim |/(г)| = ос при всех w е S, плотно в 方(。).
z^w, zQD
(Указание: при S = {w^\, w^} определить 夕"как множество функций из J^(D),
для которых lim |/(г)| < ос; оно не совпадает с 方(。)согласно лемме 5.23. Восполь- , zED
зоваться далее частью (а) данного упражнения, заметив, что интересующее нас множество функций из 方(о)есть R 歹"，где 歹"=方(0)、夕".)
Следующая теорема дает ряд эквивалентных описаний областей голоморфности. При этом точка w границы области D называется барьерной для D, если существует функция / е 方(О), не допускающая непосредственного аналитического продолжения в точку w (т. е. не допускающая непосредственного аналитического продолжения ни в какую окрестность в Сп точки w). Такая функция называется барьером в точке w для области D.
Теорема 5.24. Следующие условия на область D в Сп эквивалентны.
(а.1) D есть область голоморфности.
(а.2) Каждая точка w е дБ является барьерной для D.
(а.З) D не допускает нетривиальных голоморфных расширений ни в какую другую область в Сп.
(а.4) D голоморфно выпукла.
(а.5) Существует функция / 6 方(О) такая, что
lim |/(2)| = оо(5.52)
z^w, zED
для любой точки w е дБ.
< Импликации (а.1)今(а.2)今(а.З) тривиальны.
(а.З)今(а.4). Пусть К С D — произвольное ^(Р)-ограниченное подмножество. Согласно упражнению 5.2 существует полирадиус р > 0 такой, что D голоморфно расширяется в любой поликруг полирадиуса р с центром в произвольной точке из К. Из условия (а.З) следует, что любой такой поликруг содержится в D, так что К имеет положительное расстояние до 8D. Отсюда следует (а.4).
(а.4)今(а.5). Пусть D — область голоморфности. Зафиксируем счетное плотное в 3D множество точек {^(")}小=1,2,... из 3D и возрастающую последовательность компактов Qk С D, внутренности которых покрывают D. Введем обозначение = {/ G J^(D): ||/||Qfc < е}. Сопоставим каждому k G Z+ число 九 G Z+, функцию 九 G J^(D), число £小〉0 н конечное
множество точек Sk С D следующим рекуррентным образом. Выберем 加血 So и % произвольными. Считая 分к—1, Д-1, Sk-i и Ek—1 уже выбранными, в качестве jk возьмем число, большее 九_ i и такое, что S^—i С Qjk. Согласно упражнению 5.19(6) множество функций / 6 J^(D) таких, что (5.51) выполнено при w = w^\ w^\ ..., w^k\ плотно в J^(D). В качестве 九 мы выберем такую функцию; при этом потребуем, чтобы 九 6 Д-i + “；3" В качестве "выберем " < £/с—1 так, чтобы 九 + V；： G 九 + 匕；3" Будем считать выполненным условие £ т 0 при к т ос. Наконец, в силу того, что Д удовлетворяет условию типа (5.51) при w = w^\ ..., w(k), можно выбрать конечное множество точек Sk С D такое, что
d(w⑺,SQ < 1/к при J = 1, ..., к(5.53)
и
|/М?)|〉к при z J Sk・(5.54)
По построению последовательность Д фундаментальна и, следовательно, имеет предел / в 方(。).Из (5.54) следует min |/(г)| т ос при к т ос, что вместе с (5.53) доказывает (5.52). zESk
(а.5)今(а.1). Покажем, что D является естественной областью голоморфности для функции / из условия (а.5). Для этого достаточно убедиться, что всякое непосредственное аналитическое продолжение /' функции / по маршруту (D,。12, °') тривиально. Будем считать, что 012 ——связная компонента D П D‘, а £>12 ——ее замыкание в Сп; тогда £>12 = °12 С С О' С О. Поскольку /二 /' в。12, то / непрерывно продолжается в замыкание £>12 С D в D области。12・ Из условия (а.5) следует, что это замыкание не содержит точек из D, так что 。12 П Dz =。12 П Dz П D =。12・ Это доказывает, что открытое множество 人2 замкнуто в D' и (в силу связности О') совпадает с D\ Доказано, что D' Q D и f = f в D'. А
Упражнение 5.20. Доказать, что любая связная компонента D внутренности пересечения произвольного семейства {。入}入£八 областей голоморфности есть область голоморфности. (Указание: любое непосредственное голоморфное расширение области D является голоморфным расширением для。入 при любом А и потому тривиально.)
Упражнение 5.21. Доказать, что любая связная компонента D' пересечения D П I области голоморфности D С Сп с /с-мерной комплексной плоскостью I в Сп есть область голоморфности (в Z). (Указание: произвольное J^(D/)-0rPaHH4eHH0e замкнутое в D' подмножество К и D' является ^(Р)-ограниченным и замкнутым в D и потому компактно.)
Упражнение 5.22. Пусть 夕 — голоморфное отображение области голоморфности Q С Ск в Сп и D — область голоморфности в Сп. Доказать, что любая связная компонента О открытого множества ^p~x{D) С Q есть область голоморфности. (Указание: достаточно доказать, что произвольное J^(C')-orpaHHqeHHoe замкнутое в С подмножество К компактно. Из ^(П)-ограниченности К следует d{K, АС)〉0, поэтому остается доказать замкнутость К в С. Доказывать от противного: предположить, что существует последовательность 6 К, сходящаяся к некоторой точке《(°°)6 Q П АС', тогда «(°°)0 夕一上。).С другой стороны, последовательность 夕(《("))G D сходится к 夕(«(°°)) е Сп. Из ограниченности К функции вида /(夕(《))，где / 6 方(。)，заключить, что д(К) имеет положительное расстояние до 3D и прийти к противоречию:夕(«(°°)) 6 О.)
Б. Псевдовыпуклость. Обратимся к характеристике областей голоморфности в терминах плюрисубгармонических функций. Пусть 夕(О) есть пространство всех плюрисубгармонических функций в области D С Сп. Подмножество К и D назовем ^{D}-ограниченным, если любая функция из 彳(О) ограничена сверху на К.
Упражнение 5.23. Доказать, что всякое Р^ОАогрангменное множество ограничено. (Указание: воспользоваться упражнением 5.13.)
Область D С Сп называется псевдовыпуклой, если всякое ^(Р)-ограниченное замкнутое в D подмножество является компактным. Это означает, что расстояние d{K, 90) от любого ^(Р)-ограниченного множества К U О до границы области положительно.
Упражнение 5.24. Доказать, что всякая область голоморфности псевдовыпукла. (Указ а н и е: воспользоваться голоморфной выпуклостью области голоморфности и упражнением 5.11(a).)
Пусть G есть_ произвольная ограниченная область в комплексной плоскости С (с замыканием G) и [0, 1] — отрезок вещественной прямой. Будем рассматривать непрерывные отображения不~…
夕:G х [0, 1] — О(5.55)
такие, что 夕(《，方)голоморфна по 《G G при любом t е [0, 1]. Если область D С Сп обладает тем свойством, что для любого такого отображения 夕 из условий
夕(G х {0}) с D и 夕((9G) х [0, 1]) С D(5.56)
(5.57)(5.57)следует всегда
(5.57)
(5.57)
夕(G х [0, 1]) С D,
то мы будем говорить, что для области D справедлив принцип непрерывности.
Теорема 5.25. Для области D с Сп следующие условия эквивалентны.
D псевдовыпукла.
Для D справедлив принцип непрерывности.
Для любого ненулевого вектора b е Сп функция - In Rb(z, 90) плю- рисубгармонична в D (где /(2, 9。)есть расстояние по лучу СЬ от z до 8D; см. (5.42)).
Функция — lnd(2, 90) плюрисуб гармонична в D.
Существует плюрисубгармоническая функция 夕(2) в области D та
lim 夕⑶=+оо z^w, zEDlim 夕⑶=+оо z^w, zED(5.58)(5.58)кая, что
lim 夕⑶=+оо z^w, zED
lim 夕⑶=+оо z^w, zED
(5.58)
(5.58)
для всех w е дБ.
< (6.1)今(6.2). Пусть D — псевдовыпуклая область. Рассмотрим непрерывное отображение (5.55), голоморфное по ( и удовлетворяющее условиям (5.56). Покажем, что условие (5.57) также выполнено. Посредством Т обозначим множество всех t 6 [О, 1] таких, что 3(G х [0,力)С D. Очевидно, оно непусто (так как 0 6 Г) и открыто в [О, 1]. Покажем, что оно замкнуто. Очевидно, для доказательства того, что (^{G 义 Т) и О, достаточно убедиться, что множество g(G х Т) ^(Р)-ограничено (так как тогда оно имеет положительное расстояние до 3D). Пусть р — произвольная функция из 俨(О) и М = sup {@(2)： г G 3((3G) х [О, 1])} (М < ос в силу компактности множества 夕((3。) х [О, 1])). Тогда (согласно упражнению 5.14) при любом t 6 Г функция 0(з(/Х, t)) плюрисубгармонична no X G G н полунепрерывна сверху на G. На основании упражнения 5.10 отсюда заключаем, что sup p((/?(A, t)) < М при всех _лес
力 G Т. Это доказывает, что множество g(G х Т) ^(Р)-ограничено. Таким образом, Т есть непустое открытое и замкнутое подмножество в [О, 1]. В силу связности [О, 1] отсюда следует, что оно совпадает с [О, 1].
б.З). Легко видеть, что функция — InRb{z, dD) полунепрерывна сверху в D (для любой области D). Поэтому плюрисубгармоничность этой функции означает следующее. Для любых точек z Е D, а Е Сп таких, что z -\- (а Е D при всех《из замкнутого круга G С С с центром в нуле и радиусом 1, и для любой функции h((), аналитичной в G и непрерывной в G, из условия 凡(2 + «а, 3。)> \eh^ | при всех《G BG следует Аь(? + «а, 3。)> 似©)| при всех ( Е G, т. е. из условия 2 + «а + е"(С)ь ^ р при всех 《6 dG следует
(5.59)(5.59)г + (а + e^^b е D при всех 《G G.
(5.59)
(5.59)
Положим з(《，t) = 2 + «а + teh^ при ( е G, 0 < t < 1. По построению функция 夕 удовлетворяет условию (5.56), а так как согласно (6.2) для области D справедлив принцип непрерывности, то 夕 удовлетворяет условию (5.57), что, очевидно, эквивалентно (5.59).
6.4). Функция — Ind(z, 3D) непрерывна в D (для любой области О). Кроме того, она, очевидно, связана с функцией — InRb(z, ЭР):
—Ind(z, dD) = sup (— lnRb(z, dD)).
beCn, |b|=i
Теперь (6.4) есть непосредственное следствие (б.З) (и упражнения 5.11).
6.5). В качестве @(?) достаточно взять -lnd(2, dD).
Импликация (6.5)今(6.1) тривиальна. А
Оказывается, условие псевдовыпуклости эквивалентно условию голоморфной выпуклости (и, значит, все условия (а.1)-(а.5) и (б.1)-(6.5) из теорем 5.24 и 5.25 эквивалентны между собой).
Теорема 5.26. Для того чтобы область D с Сп была областью голоморфности, необходимо и достаточно, чтобы она была псевдовыпуклой.
Это утверждение носит название теоремы Ока. По поводу «необходимости» см. упражнение 5.23. Доказательство «достаточности» приведено в [Ш1], п.45.
Упражнение 5.25. Доказать, что объединение D = |J Du возрастающей последовательности областей голоморфности & С Сп есть область голоморфности. (Указание: применить критерий (6.4) из теоремы 5.25. Воспользоваться тем, что d(z, dD) при z Е D есть предел монотонно неубывающей последовательности d(2, dDQ, и предложением 5.20(6).)
. Модифицированный принцип непрерывности. Образ ограниченной области (скажем, круга) G С С при голоморфном отображении в Сп можно наглядно представлять себе в виде диска в Сп. Тогда принцип непрерывности означает, что если начальный диск содержится в области голоморфности D, а затем подвергается непрерывной деформации (в том же классе «аналитических дисков») таким образом, что его граница все время остается в области О, то и конечный диск целиком содержится в D.
Мы приведем еще модификацию принципа, когда вместо условия, что граница конечного диска заключена в D, накладывается более слабое требование: конечный диск пересекается с D. Зато мы дополнительно потребуем, чтобы деформация была вещественно аналитичной по параметру деформации 方.Заметим, что комплексная размерность области G (прообраза «диска») на самом деле может быть произвольной, а не только равной единице (точно так же принцип непрерывности в п. 5.2.Б справедлив для областей голоморфности D при любой комплексной размерности G).
Итак, пусть G — произвольная область в Ск. Будем рассматривать отображения
夕:G х [0, 1] 一 О,(5.60)
которые являются сужениями голоморфных отображений 夕：С — С72, определенных в некоторой области Q с C^+i, содержащей G х [0, 1]. Если для любого такого отображения 夕 из условий
夕(G х [0, 1)) с D, 夕(G х {1}) П О # 0(5.61)
(где D — область в Сп) всегда следует, что
夕(Gx{l})uO,(5.62)
то мы говорим, что для области D справедлив модифицированный принцип непрерывности.
Теорема 5.27. Для любой области голоморфности D с Сп справедлив модифицированный принцип непрерывности.
Пусть 夕 есть отображение (5.60) указанного выше класса, обладающее свойством (5.61). Посредством G' обозначим множество всех точек ( Е G таких, что 夕(《，1) 6 D. По условию это множество непусто; очевидно, оно открыто. Достаточно доказать, что G‘ = G. Будем действовать методом от противного. Ввиду связности G предположение от противного означает существование точки аЕ Gf такой, что d(a, AG') < d(a, AG). Положим г' = d(a, AG') и выберем г из условия г' < г < d(a, dG) и так, чтобы область Q С Ck+1 (в которой по условию определено отображение 夕：С т Сп) содержала прямое произведение S(a, г) х х S(l, £), где S(a, г) — открытый шар в С“ с центром в точке а и с радиусом г, а 5(1, е)— открытый круг в С с центром в точке 1 и с достаточно малым радиусом £〉0. Посредством С обозначим связную компоненту пересечения ^p~x{D) с S(a, г) х S(l, е), содержащую точку (а, 1); это область голоморфности (согласно упражнению 5.22). В силу условия (5.61) (и по построению а, г, 〃) область С содержит множества S(a, 〃) х {1} и S(a, г) х {力} при всех t 6 (1 — £, 1). Кроме того, граница множества С содержит точку (w, 1) такую, что \w — а\ = г'. Положим Ь = (+ (w — а), 0)G Ck+1, и пусть 凡((«, t), АО) есть расстояние по лучу СЬ от точки (《，t) 6 С до границы АС'. Тогда по построению имеем
Аь((а, 1), Аб) = г , Аь((а, t), 96) > г > г при 1 — £ < t < 1.
С другой стороны, по теореме 5.25 — 1пАь((《，t), АС') есть плюрисубгармоническая функция в С, поэтому на основании предложения 5.18 можно написать
lim (— InЯь((а, t), 96)) = — 1пАь((а, 1), Аб), 1—£<t<l
откуда следует противоречие: г = г'. А
Заметим, что имеет место и обратное утверждение к теореме 5.27: если для области DuC71 справедлив модифицированный принцип непрерывности (хотя бы при комплексной размерности 1 для областей G), то D есть область голоморфности. Действительно, из справедливости модифицированного принципа непрерывности непосредственно следует несколько ослабленный вариант принципа непрерывности, чем в п. 5.2.Б, когда на отображение 夕(5.54) дополнительно накладывается условие вещественной аналитичности по параметру деформации t. А поскольку в доказательстве импликации (6.2)今(б.З) используются именно такие (и даже линейные по t) деформации, то ясно, что условие (б.З) выводится из модифицированного принципа непрерывности.
В качестве примера применения теоремы 5.27 рассмотрим ситуацию, в которой имеет место (локальная) насыщенность области голоморфности относительно голоморфного отображения.
Предложение 5.28). Пусть D — область голоморфности в Сп и f — голоморфная функция в некоторой окрестности точки w е дБ такая, что /(w) е R и djf{w)市 0 хотя бы при одном значении j = 1,, п. Кроме того,
nycmbL(C\K)uD(5.63)
Тогда существует окрестность Q точки w такая, что
ОПС = /7(5 ПС, где(5.64)
Будем считать, что dnf(w)力 0. Так как доказываемое утверждение носит локальный характер, то в окрестности точки w можно совершить биголоморфную замену координат (т. е. голоморфное отображение с голоморфным обратным отображением) (?，..., гп-ь гп) т т(21, , гп-ь /). Таким образом, без существенного ущерба для общности можно считать, что /(г) = гп. Условие (5.63) означает, что существует поликруг Q = Р(0; р) = S(0, pi) х ...
х S(0, рп) в Сп с центром в 0 такой, что все его точки г с Im zn ^ 0 принадлежат D. Обозначим G = S(0, .1)义...义 S(0, pn_i) С Cn-1. Предложение будет доказано, если мы убедимся, что для любой точки aeDnQ с anER все точки вида (е, , гп-ь ап) 6 Q (с фиксированной координатой гп = ап) принадлежат D. С этой целью обозначим G = =S(0, pi) х ... х S(0, pn-i) С Сп~\《=(2i,…，гп-1) и введем отображение 夕(《，t) = (гь ...
,гп_ь ап + 分5(1 - t)), где ( е G, 0 < t < 1. Тогда при достаточно малом b〉0, очевидно, выполнены условия (5.61). Из теоремы 5.27 теперь следует результат: (?i, гп-ь ап)= =3(«，1) G D А
Г. Однолистные оболочки голоморфности. Для области D С Сп введем объединениер =(5.65)
всех областей Df С Сп, в которые D допускает голоморфные расширения; назовем область D голоморфным контейнером области D. Произвольная функция /е%(。) допускает аналитическое продолжение в каждую из областей О', однако не исключена возможность, что она не определяет однозтчачной функции в D. Для трактовки таких многозначных функций следует вместо D ввести некоторую «многолистную область», которая накрывает D. Напротив, если оказывается, что произвольная функция / 6 J^(D) имеет однозначное аналитическое продолжение D, то в этом случае мы называем множество D однолистной оболочкой голоморфности области D и обозначаем его посредством H(D).
Следует иметь в виду, что произвольная область в Сп имеет оболочку голоморфности — вообще говоря, многолистную, — но не всякая область имеет однолистную оболочку голоморфности. Поэтому ниже, говоря о существовании H(D), мы имеем в виду однолистную оболочку голоморфности.
Очевидно, Н(О) является максимальным голоморфным расширением области D. Поскольку всякое голоморфное расширение области Н(О) является голоморфным расширением и для D, то (ввиду того, что H(D) есть максимальное голоморфное расширение О) оно тривиально. Следовательно, Н(О) есть область голоморфности. С другой стороны, если Q есть любая другая область голоморфности в Сп, содержащая D, то она содержит и Н(О) (так как любое голоморфное расширение области D в область Df есть голоморфное расширение и для Q и, значит, тривиально). Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Предложение 5.29. (а) Однолистная оболочка голоморфности H(D) есть область голоморфности, содержащая D и являющаяся голоморфным расширением для D.
Однолистная оболочка голоморфности H(D) области D с Сп (если она существует) совпадает с пересечением всех областей голоморфности в Сп, содержащих D.
Имеется простой достаточный признак существования H(D).
Предложение 5.30. Пусть область Dub голоморфно расширяется е каждую из областей D入 из некоторого семейства ｛。入｝入6八 такого, что объединение |J D\ есть односвязная область голоморфности, содержащая D. Тогда однолистная оболочка голоморфности существует и совпадает с \JD\. В част- 〜а
ности, если голоморфный контейнер D области D односвязен, то он является однолистной оболочкой голоморфности для D.
Это предложение есть непосредственное следствие предложения 5.29 и замечания в п. 5.1.В.
16 Н. Н. Боголюбов и др.
Упражнение 5.26. Пусть Н(D) существует.
Доказать, что для любого компакта К С 8(0) существует такой компакт К С D, что ||/||к W 11/11* для всех / G 方(8(。)). (Указание: с помощью теоремы о замкнутом графике убедиться, что аналитическое продолжение 弘(。)т 方(8(。)) есть непрерывный оператор и, следовательно, для любого компакта К С K(D) выражение ||/||к определяет непрерывную полунорму на 方(。).Дальнейшая аргументация такова же, как в предложении 5.4.)
Пусть К” — возрастающая последовательность компактов в D, внутренности которых покрывают D, и пусть Ки = {г G Я(В): |/(г) < ||/||*" для всех / G Jf(H(D)}. Доказать, что Ки есть возрастающая последовательность компактов в K(D), внутренности которых покрывают H(D). (Указание: воспользоваться частью (а) упражнения.)
Приведем ряд простых свойств оболочек голоморфности.
Упражнение 5.27. (а) Пусть D\ и D? — две области в Сп. Если 8(A) и »(。2) существуют, то 8(A) С H{D^).
Доказать, что оболочка голоморфности ограниченной области ограничена. (Указание: применить часть (а) данного упражнения к случаю, когда。2 есть шар.)
Пусть {Рд} есть некоторое семейство областей, для которых 8(。入)существуют, и пусть D есть некоторая связная компонента внутренности их пересечения. Доказать, что если H(D) существует, то она содержится в Q Я(Рд). (Указание: воспользоваться частью (а) данного упражнения.) 入
Пусть Q есть связная компонента пересечения области D С Сп с некоторой /с-мерной комплексной плоскостью I С Сп и пусть H〈D) и K(Q) существуют. Доказать, что K(Q) С С Н(D) С I. (Указание: согласно упражнению 5.21 Н(D) С I есть область голоморфности в Z, содержащая Q.)
Упражнение 5.28. (а) Пусть D = UD^ есть объединение возрастающей последовательности областей, для которых H(D^) существует. Доказать, что H(D) существует и совпадает с |J H(D^). (Указание: воспользоваться упражнением 5.25.)
Пусть Di С Ск и D2 С сп~к — две области, имеющие однолистные оболочки голоморфности H(D\) и 8(。2). Доказать, что Я(В1 х。2)существует и совпадает с 8(01) х х Н(D?). (Указание: в силу упражнения 5.16 достаточно доказать, что всякая функция /(«, «') 6 贲⑴\ х。2) имеет однозначное аналитическое продолжение в 8(01) х Н(D?)• Это продолжение можно выполнить в два этапа: сначала по первому аргументу《G Oi в область 8(A) при 7 G 2, затем по второму аргументу «' G 2 в Н⑴2) при фиксированном 《6 8(01). То, что при таком продолжении, скажем на первом этапе, получается аналитическая функция в H(Dt) х。2, можно извлечь из предложений 5.13 и 5.14: для этого достаточно трактовать 《/ как аргумент голоморфного распределения /(《，《)，а 《—как параметр аналитического продолжения.)
В следующем предложении утверждается, что процесс голоморфного расширения области может протекать только через точки границы, не являющиеся барьерными. (Этот факт, конечно, нельзя назвать неожиданным.)
Предложение 5.31. Пусть для области D существует Я(Р). Тогда множество барьерных точек для D совпадает с пересечением границ областей D и Н(О).
Если точка w 6 dD является внутренней для K(D), то она входит в K(D) вместе с некоторой окрестностью, куда все функции из 方(。)непосредственно аналитически продолжаются. Поэтому такая точка не барьерна для D. Если точка w 6 dD является граничной для Я(В), то (согласно критерию (а.2) теоремы 5.24) она барьерна для Я(В). Методом от противного нетрудно убедиться, что w является барьерной и для D. А
Очевидно, операция аналитического продолжения «коммутирует» с алгебраическими операциями над функциями (а также с дифференцированием по аргументу). Отсюда вытекает следующий вывод.
Упражнение 5.29. Доказать, что всякая функция, аналитическая в области D, не принимает в 8(0) новых значений ). (Указание: если /(г) ^ с в D, то функция (/(г) — с)-1 голоморфна в D.)
Результат упражнения 5.27(г) допускает обобщение на случай пересечения плоскости I с границей области. Для простоты выберем специальные координаты, представляя Сп в виде произведения Сп = Ск х сп~к и считая, что плоскость I имеет вид
1 = Ск х 代}, (5.66)
где § — фиксированная точка из Rn~k. Подобно тому как это делалось в п. Б.4, мы считаем, что область D с Сп прилегает к области Q С Z со стороны iS (где S — выпуклое множество в К х {0}, граница которого содержит 0), если для любого компакта Q и С н любого усеченного конуса Kr и S с компактным замыканием в S U {0} существует р 6 (0, г) такое, что D D Q + iKp.
Упражнение 5.30. Пусть область D в Сп прилегает к области Q на /с-мерной комплексной плоскости (5.66) со стороны iS. Если 8(。)и K(Q) существуют, то 8(。)также прилегает к K(Q) со стороны iS. (Указание: объединение всех областей в Z, к которым K(D) прилегает со стороны iS, есть, очевидно, открытое множество в Z, к которому 8(。) прилегает со стороны iS. Пусть С есть связная компонента этого объединения, содержащая Q. Достаточно доказать, что С есть область голоморфности (в I). Можно воспользоваться критерием (6.2) из теоремы 5.25, для чего к произвольному отображению 夕：G 义[О, 1] т Z, фигурирующему в принципе непрерывности, применить сдвиги 3g (《，t)=夕(《，力)+ 分沙 с достаточно малыми векторами у 6 Kr С S.)
Д. Инвариантные области. Голоморфные отображения областей также аналитически продолжаются в оболочки голоморфности. Действительно, пусть Df — область в Ск, для которой однолистная оболочка голоморфности Н(О') существует, и пусть 夕：D — С71 — голоморфное отображение. Тогда любая компонента 屮$9 (j = 1, , п) продолжается (однозначно и) аналитически в область Н(О') и тем самым определяет голоморфное продолжение 夕：H(D) — Сп. Предположим дополнительно, что образ Df при отображении 夕 содержится в области D С Сп, для которой Я(Р) существует. Оказывается, тогда 屮(Н(D)) и Н(D). Для доказательства введем множество Q всех точек《6 H(D) таких, что 夕(Q 6 H(D). Очевидно, это множество непусто (ибо содержит О') и открыто. Для доказательства замкнутости Q в H(D) рассмотрим множество К точек произвольной последовательности в Q, сходящейся к некоторой точке《(°°)е H(D'). Тогда множество 夕(К) является ^(Я(Р))-ограниченным (ибо для любой функции / 6 力(Н(О)) функция f (屮©) принадлежит 力(Н(О')) и, значит, множество чисел /(夕(К)) ограничено). Поэтому 夕(К) имеет положительное расстояние до 9H(D) и предельная точка 夕(《(°°)) принадлежит H(D). Это означает, что множество Q еще и замкнуто в H(D) и потому совпадает с H(D'). Тем самым доказано следующее утверждение.
Предложение 5.32. Пусть Н(。)есть голоморфное отображение из области Df с Ск 6 область D с Сп и пусть Н(。') “ Н(。) существуют. Тогда 夕 допускает однозначное продолжение до голоморфного отображения из области H(D') 6 область H(D).
Следствие 5.33. Пусть Н(О) существует. Тогда действие произвольной группы G аналитическими преобразованиями на область D (однозначно) продолжается до действия группы G аналитическими преобразованиями на область Н(。).
Другими словами, оболочка голоморфности Н(О) наследует свойства симметрии области D.
Рассмотрим несколько иллюстраций к предложению 5.32 и следствию 5.33.
Трубчатые области — это области в Сп, инвариантные относительно группы Rn вещественных трансляций.
Предложение 5.34. Однолистная оболочка голоморфности H(D) произвольной трубчатой области D с Сп существует и совпадает с выпуклой оболочкой области D.
< Пусть 」〃 (О)〜есть семейство всех областей D' С Сп, в которые D голоморфно расширяется, и пусть D = и。. Без существенного ущерба для общности можно предполагать, что D' — выпуклая область (так как произвольная область есть объединение своих выпуклых подобластей). Далее, можно считать, что D' — трубчатая область. Действительно, если D' — выпуклая область из ^ (D), то при любом а 6 Rn область а + D' также принадлежит j〃(。). С помощью предложения 5.10 отсюда нетрудно сделать вывод, что трубчатая область U S +。)также принадлежит ”〃(О).
aeRn
Пусть теперь Di и D2 — две выпуклые трубчатые области из ^ (D), имеющие непустое пересечение. Кроме того, мы предположим, что эти области (вместе с их пересечением。由 составляют звено (Di, £>12, °2) некоторого маршрута голоморфного расширения области D в область 。2・ Тогда из части (б) упражнения 5.7 следует, что область D голоморфно расширяется в трубчатую область, являющуюся выпуклой оболочкой Di U D^.
Наконец, рассмотрим произвольный маршрут (5.21) голоморфного расширения области D. Согласно сказанному выше, все фигурирующие здесь области, за возможным исключением исходной области D = Di, можно считать выпуклыми трубчатыми. Тогда (индукцией по ^) заключаем, что выпуклая оболочка объединения этих выпуклых труб также принадлежит “"(О). Возьмем теперь какой-либо другой маршрут (D = Di,。①，°$, •••)• Ввиду связности D мы можем без ущерба для общности считать, что О12 и О^ имеют непустое пересечение. То же рассуждение показывает, что выпуклая оболочка объединения труб 。12,。2, •••, Dn, *2，В，D'n также принадлежит ^(D). Это означает, что область D есть выпуклая труба и, значит область голоморфности и что в результате аналитического продолжения любой функции из 方(。)мы получаем однозначную аналитическую функцию в D. Это показывает, что D есть однолистная оболочка голоморфности для D. А
Запишем произвольную точку из Сп в виде (2,《),где 2 е Сп~{,《G С (тем самым Сп отождествлено с прямым произведением Сп~х х С). Область D С Сп называется полутрубчатой (по переменной 《)，если она инвариантна относительно группы К трансляций (2,《)—(2,《+ 方)，где t — произвольное вещественное число. Пусть область D имеет вид
D = {(2, О 6 Cn: ^ 6 В, Q(2)< Im《< /3(2)}, (5.67)
где В — некоторая область в Сп~{, а(2)< /3(2)— две функции в В со значениями на [—сю, +оо) и (—сю, +оо] соответственно, причем а(2)полунепрерывна сверху, а /3(2)полунепрерывна снизу.
Предложение 5.35. Пусть D — полутрубчатая область в Сп вида (5.67), где В — область голоморфности в Сп-1. Тогда H(D) существует и является полутрубчатой областью вида
Н(О) = {2, О 6 Cn: 6 В, “2)< 1ш< < Ь(2)}, (5.68)
где “2)и Ь(2)— соответственно плюрисубгармоническая и плюрисупергармо- ническая функции в В, причем “2) < а(2), /3(2)< Ь(2).
Доказательство см. в [В9], пп. 21.4, 21.5. Более полная характеристика функций а(г) и Ь(2)в (5.68) такова: а(?) есть наибольшая среди плюрисубгармонических функций в В, ограниченных сверху функцией а(2); она называется наибольшей плюрисубгармонической минорантой функции а(2). Аналогично 6(?) есть наименьшая плюрисупергармоническая мажоранта функции /3⑶.
Пусть G есть группа U(l)72, элементами которой являются точки s 三(si, , cjn) из Cn c \uj\ = \ (при 7 = 1,,八).Она действует на Сп покомпонентным умножением: (G2)j = ojjZj. Всякая [7(1)п-инвариантная область в Сп называется областью Рейнхарта ). Очевидно, такая область есть объединение (открытых) множеств вида U1 х ... х Un, где Uj есть либо (открытый) круг, либо (открытое) кольцо в С с центром в нуле. В частности, область в Сп, являющаяся объединением (открытых) поликругов в Сп с центром в нуле, называется полной областью Рейнхарта. Область Рейнхарта D называется логарифмически выпуклой, если для любого конечного набора точек 2°), ..., 2(~)е D и любого конечного набора неотрицательных чисел 方⑴，...，方(~) с суммой 1 всякая точка z Е Сп такая, что
N
e=口旨屮(5.69) "=i
также принадлежит D. Очевидно, это условие означает, что образ области D в [—оо, оо) х ... х [—оо, оо) при отображении 2 — (In |^i|,, In |^п|) является вы
пуклым множеством. Логарифмически выпуклая оболочка произвольной (полной) области Рейнхарта D (состоящей из точек z Е Сп, для которых имеется представление (5.69)) есть также (полная) область Рейнхарта.
Предложение 5.36. Однолистная оболочка голоморфности полной области Рейнхарта D с Сп существует и совпадает с логарифмически выпуклой оболочкой области ).
< Покажем, что D голоморфно расширяется в логарифмически выпуклую оболочку L(D) области D. Для произвольной точки г 6 L(D) имеем представление (5.69), где ...,n(n)е О, а 力⑴，...，力⑷)—набор чисел > 0 с суммой 1. Точка z^ содержится в некотором поликруге Р(0; .(")), замыкание которого принадлежит D. Следовательно, в Р(0; .(")) любая функция / 6 J^(D) разлагается в ряд Тейлора /(г) = ^caza, коэффициенты которого имеют следующее ограничение сверху:。
\са\^М^/р^а при всех a G 方，
так что
\са\^М и“\са\^М и“,где М= ^(Ми)^沙=1,где М= ^(Ми)^沙=1
\са\^М и“
\са\^М и“
,где М= ^(Ми)^沙=1
,где М= ^(Ми)^沙=1
Отсюда следует, что ряд Тейлора сходится в окрестности (фиксированной выше) точки г 6 6 L(D). Тем самым доказано, что всякая функция / 6 方(0) допускает аналитическое продолжение в любой поликруг Р(0; р) С L(D). При этом в пересечении двух таких поликругов аналитические продолжения представляются одним и тем же рядом Тейлора и потому совпадают. Это означает, что область D голоморфно расширяется в L(D).
Убедимся, что L(D) есть область голоморфности. Пусть D' — произвольная область в Сп, лежащая вне замыкания L(D) в Сп. Зафиксируем произвольную точку w Е Df с ненулевыми
координатами Wj (j = 1,п). Пусть S — образ в Rn множества точек 2Goe ненулевыми
координатами Zj(j=l,...,n) при отображении г т (In |^i |, ..., In | гп |). Поскольку L(D)— логарифмически выпуклая область Рейнхарта, S есть выпуклая область, замыкание которой не содержит точку А = (In |wi |, ..., In |wn|). Следовательно, существует гиперплоскость в Rn, которая разделяет 5 и А (см. пояснение к упражнению В.5(6)). Другими словами, существуют а 6 Rn и b Е R такие, что а§ W b при ^ Е S, аА > Ь. Поскольку любая координата & может стремиться к —ос в S (при фиксированных значениях остальных координат), то с^・ > О при всех J. Для тех J, для которых \zj\ не ограничено в D, очевидно, должно выполняться равенство aj = 0. Поэтому за счет сколь угодно малого увеличения ненулевых координат aj и числа b можно выполнить условие: все aj являются неотрицательными рациональными числами. После умножения aj и 5 на один и тот же целочисленный множитель можно достичь того, что ctj 6 Z+ при всех J. Мы доказали существование такого мультииндекса a G 尋 и числа М = еь, что |га| < М при о G L(D) и \wa\〉М. Поскольку za — целая аналитическая функция и при голоморфном расширении области она не может принимать новых значений (см. упражнение 5.29), то точка w не может принадлежать ни одному голоморфному расширению области L(D). Следовательно, L(D) не имеет нетривиальных голоморфных расширений. А
Область D в Сп называется звездной (или звездной относительно начала координат), если rD С D при всех числах г е (О, 1]. Если D — звездная область, то область вида а + D (при а е Сп) называется звездной относительно точки а. Нетрудно убедиться, что голоморфный контейнер D звездной области D есть звездная область.
Предложение 5.37. Если звездная область D с Сп такова, что ее голоморфный контейнер D имеет выпуклое пересечение с некоторой окрестностью начала координат, то однолистная оболочка голоморфности области D существует'. Н(。)= D.
< В силу предложения 5.30 достаточно доказать односвязность звездной области〜О. Пусть S — замкнутый круг с центром в 0 и радиуса 1 в С, 3S — его граница и 屮：2S т D — произвольное непрерывное отображение. Покажем, что 夕 продолжается до непрерывного отображения 屮：Е т D. Положим 夕(《)= К|з(«/|«|) при г < |(| < 1, где г > 0 будет выбрано ниже. Пусть Do — окрестность начала координат, имеющая выпуклое пересечение с D. Тогда выберем г 6 (О, 1] из условия 厂夕(35) С D П О。. Так как ОС。。一 выпуклая и, значит, односвязная область, то существует непрерывное отображение 夕：rS т D, совпадающее на tAS с построенным выше отображением 夕：g'^S т D В результате построено непрерывное отображение 夕：彳 т О, совпадающее на 8S с заданным отображением. А
Следствие 5.38. Звездная область D с Сп, содержащая начало координат, имеет однолистную оболочку голоморфности.
Е. Пример голоморфного расширения. Рассмотрим пример (из работы Броса и др., 1964), в котором фигурируют области, связанные со световым конусом (см. п. Б.З). Посредством СМп мы обозначаем прямое произведение 八 экземпляров комплексифицированного четырехмерного пространства Минковского; это — пространство С4п, снабженное билинейной формой (Б.44). Выделим две трубы 夕 и 2 в СМп с основаниями
◎ 1 = {у G Мп\ yj 6 丿+ при j = 1,, n},(5.70)
^2 = {у 加"：％ е『―，％ + yj e『+ при j = 2, n} (5.71) и вещественное открытое множество (где 〃〉0)
Ь = {/еЛГ： (з)2<〃2}.(5.72)
Тогда имеет место следующий результат.
Предложение 5.39. Пусть (е обозначениях (5.70)-(572)) D есть звездная область в СМп, содержащая начало координат, трубы L' и 夕°? и область «остри兄 клина^ О。，соответствующую обобщенному маршруту (夕°\ 亿 夕电). Тогда H(D) существует и содержит область
G =戸\%(5.73)
где Q — выпуклая оболочка конусов Qi и 出，а
7 = {2 е СМп(21)2》从2}.(5.74)
Доказательство разбивается на несколько лемм. Оно служит иллюстрацией к «методу сечений», состоящему в следующем. Область D\ =夕°〔 U 夕°? U Dq рассекается комплексными плоскостями I С Мп из некоторого семейства Л, в каждой из них строится голоморфная оболочка H(Oi П Z), и результаты объединяются. (То, что полученное множество содержится в Н(О), следует из упражнения 5.27(г); существование же Н(О) выводится из следствия 5.38.)
В нижеследующих леммах мы также имеем дело с ситуацией, когда заданы два выпуклых конуса, скажем, К[ и К2 в Rn и область 自 в Rn. Область «острия клина», соответствующую обобщенному маршруту (夕“，亿夕")(см. п. 5.1.Г), мы обозначаем через “(e) (без дальнейших пояснений, поскольку из контекста очевидно, о каком обобщенном маршруте идет речь).
Лемма 5.40. Пусть Лп — параллелепипед в Rn вида
△n = (°1,瓦)х …х (^n, ^n)(5.75)
и пусть 夕(2)=(夕7(2)) есть голоморфное отображение )
円⑶=(5.76)
Тогда для оболочки голоморфности объединения областей Rn - iR^, Rn + 5К, и “(ZX^) имеем
叭HR - 5К&) U (7Г + 5К&) U “(△冷))=Rn + iSn,(5.77)
где Sn есть выпуклая оболочка объединения множеств S/:
S；t = -S—WeTT: 0<^<1, j=l,
Эта лемма есть непосредственное следствие теоремы «об острие клина» применительно к трубам Rn 土 S^ н к области совпадения К九；в этом случае область «острия клина» есть выпуклая оболочка труб (в силу предложения 5.34).
Лемма 5.40 легко распространяется на случай неограниченного параллелепипеда Лп. Пусть, например,
Лп = Л2 х RJ2.(5.78)
Тогда имеем соотношение
Н((К几-〃К*) U(Rn + 〃К*) U “(△冷))=
=Н((К2 — /*) и (我 + 求；)и “(А х。-2)).(5.79)
Действительно, при замене равенства в (5.79) включением (с) соотношение становится тривиальным. Для доказательства обратного включения заметим, что левая часть (5.79) содержит все множества вида H{{Rn -求,)U {Rn + 求,)U <#(Л^)), где △乙=△? х (―/, /) х ... х (―/, /). С помощью леммы 5.40 нетрудно убедиться, что произвольная точка правой части (5.79) содержится в таком множестве при достаточно большом I. Это доказывает равенство (5.79).
Лемма 5.41. Пусть г г
”6 = {Z Е С2： 2122》从},(5.80)
где 从〉0. Тогда
C\S =и 8((我-近；)и (我 + 求：)U “(ZM),(5.81)
△2Ci?2\5
где Л2 пробегает всевозможные ограниченные параллелепипеды {типа (5.75)) 6 К、®.
< Для определенности положим 从=1. Как и выше при обсуждении соотношения (5.79), в одну сторону включение тривиально. Таким образом, достаточно показать, что любая точка г 6。2\6 содержится в одном из множеств правой части (5.81) при некотором △? = (ai,加)х х (。2,台2)С К?、，При этом, очевидно, можно предполагать, что
а\ = —а, а? = — 1/а, 仇=Ь, 岳=1/b,
где а, b — некоторые положительные числа. В силу предыдущей леммы доказываемое утверждение означает
/(arg ^二 2’ arg ^ 二罢)G S2 三{д G 炉：|切| < 1, \y2\ < 1, \yi - y2\ < 1}(5.82)
(при этом 2i R ai, 2i R 加， ？2 R。2, 3 * 史).Если Im • Im ^2〉0, то arg f1 _ 22 —о/г ос、—
и arg ь； — всегда имеют одинаковый знак, и условие (5.82) выполнено.
Остается рассмотреть случай Im ^i • Im ^2 < 0. Тогда условие (5.82) имеет следующую наглядную интерпретацию: а + /3〉тг, где а 6 [0, тг] — значение угла треугольника (创，幼，仇) с вершиной в 21 на комплексной плоскости (если треугольник вырождается в отрезок, то а = 0 или тг в соответствии с тем, является ли г концом или внутренней точкой отрезка); аналогично /3 есть значение угла треугольника (期，3,历)с вершиной в 勿・ Ясно, что это условие выполнено при некоторых а, Ь, если хотя бы одно из чисел ?i или ?2 равно нулю, поэтому мы далее считаем 2122 力 0. Если | arg ^i |〉| arg ^21, то при а т ос н b т 0 имеем а т I arg 211 и /3 т тг - I arg ^21, так что условие а + /3〉тг выполнено при достаточно больших а и Ь~1. Случай | arg ^i | < | arg ^21 симметричен. Остается последний случай arg ^i = = -arg^2. Вместе с условием г G С2\5 имеем 0 < |е| • |з| < 1. Тогда при а = b = \zi\, очевидно, имеем а = тг/2 и /3〉тг/2, так что условию а + /3〉тг по-прежнему удается удовлетворить. А
Лемма 5.42. Пусть 夕"〔и 夕"？ — две выпуклые трубчатые области в Сп с основаниями ⑨ и &2 такими, что @ 3 з|,运 3 Ц, где
{у е Rn. yi^O при % =。при j G J},
s' N {у G Rn.切=0 при i е I, уj < 0 при j 6 J};
I и J — два непустые непересекающиеся подмножества множества индексов {1, , п} такие, что / U J = {1, , п}. Тогда для любого ограниченного параллелепипеда An с Rn типа (5.75) выполнено соотношение
Н，' U 尸2 U “(△几))D ((7Г - 5К&) U (7Г + 5К&) U “(△冷))П 尸， (5.83)
гдеs = {g G Rn.仇》0 при г е I, уj < О при j 6 J}.
Как следствие при 1 е /, 2 е J имеем
Н(尸 1 и 尸2 U ”((К2\" X RJ2)) D。2\“ п 尸，
где 8 определено в (5.80).
< Вместо условия ша D з\ будем предполагать выполненным условие g。D з\ (общий случай сводится к нему посредством произвольного малого изменения Дп). Пусть F есть область определения конформного преобразования 夕 из леммы 5.40. Тогда, очевидно,
屮@3” nF) D 7a (а = 1, 2),夕(△九)=W,
ГДеS1 = {у е Rn： 0 <yi < 1 при г е I, % = о при J е J},
S2 = {у Е Rn：玖=О при г е I, — 1 < % < 0 при J е J}.
По теореме 5.12 («об острие клина») и предложению 5.34 имеем )
h3((严 u 少S2 и “(△九))n F)) D 少S,
где s — выпуклая оболочка объединения si U §2. Значит, 8(夕匂 U ^2 U “(△九))D 夕一北夕‘)， что вместе с соотношением 3T(厅)=H{{Rn - iR_n) U(Rn + i^) U j△九))П 个 дает (5.83). Для вывода (5.84) предположим, что △?——произвольный ограниченный прямоугольник в R2\d. Тогда при всех △九 вида △? х (—Z, Z) х ... х (—Z, Z) левая часть (5.84) содержит левую часть (5.83) и, значит, ^((К?—分К；) U (К? + 分К；，U “(△?)) х Сп-2 в силу произвольности I (см. соответствующее рассуждение при выводе (5.79)). Теперь применение леммы 5.41 завершает доказательство (5.84). А
Следующая лемма представляет собой аналог формулы (5.73) для двумерного пространства времени (в так называемых «конусных» переменных). Произвольную точку 2 е С?72 мы записываем в виде 2 = ⑵，n|, 22, 2厶，，zn, 2乙).
Лемма 5.43. Пусть 夕Q и 夕◊? — две трубчатые области в С2n с основаниями
Q1 = {у G R2n:死〉0, у[ > 0 при j = 1,, п},
Q2 = {у ^2п： У\ < 0, у{ < 0, %+%〉0,诉+%•〉()при j = 2,, n}
и пусть X = {z е С?72: z\z{ > 从？}. Тогда
Н(夕Qi и 夕Q2 и “(r2几“))=(夕Qi + 夕Q2八入(5.85)
< Поскольку правая часть (5.85) есть область голоморфности, содержащая 夕Qi U 夕Q2 j U (i?2n\A), достаточно доказать соотношение, получаемое из (5.85) заменой знака = на D . Для Qi + Q имеем
Qi Q2 = {у е R2n： yj > 0,伊 + yj〉0, yfj > 0,诉 + yfj > 0 при J = 2,, п}.(5.86)
Действительно, правая часть есть выпуклый конус, содержащий Qi и Q2 и, значит, Qi + Q2. Обратно, пусть у — произвольная точка правой части (5.86); положим
创二伊伏伊)+ 吗 ％e(%)+ w 电= £%， a，j = £у^
bl =伊伙一切)一％ 瓦=讨0(—讨)-% bj = (1 - £)%, % = (1 - £)%
(где j = 2, ..., п). Ясно, что при достаточно малом £〉0 эти равенства определяют пару точек а 6 К；, b 6 —К；, сумма которых есть у. Тем самым доказано соотношение (5.86). Его можно переписать в виде
Q1 + Q2 = Q1 U Q2 U Q3 U Q4,
ГДе Q3 = {у R2n- У1 > о,诉 w 0, Уд > 0,诉 + *〉О, J = 2, , п},
% = {g G К叫 yi < 0, %》0, ух + yj > 0,必〉О, J = 2,, п}.
Следовательно, доказываемое равенство (5.85) сводится к утверждению, что левая часть содержит множества 夕Qs'^,夕Q《\入.Ввиду симметричности ситуации достаточно рассмотреть лишь 夕Qs'x. Введем новые координаты 《1, ^п в С2п, положив
«1 = 21,《2 = 2], «2^ —1 =刁，«2^ = — (°1 + 召)叩玄 J = 2, ... , П.
Пусть 夕"1 и 夕"2 _ новые обозначения для труб 夕Qi и 夕Q? в координатах 《；тогда они удовлетворяют условиям леммы 5.42 (с заменой п на 2п), если в качестве I и J взять соответственно множества четных и нечетных индексов из {1, ..., 2п}. Соотношение (5.84) (в координатах 《)，будучи переписанным в прежних координатах г, означает что левая часть (5.85) содержит 夕Qs'^. Это завершает доказательство соотношения (5,85). А
Как уже говорилось, мы будем доказывать предложение 5.39 «методом сечений». Рассмотрим семейство Л комплексных (Зп — 1)-мерных плоскостей I в СМп вида
Z = а + {? G СМп: 21 = zxe + 以е〃，Zj = z：d + z-e" + при J > 2}.
Такая плоскость характеризуется парой 4-векторов У, е” 6 У+ таких, что е/2 = е//2 = О, е'е"〉0, векторами &2, , еп из У+ и точкой а = (ai, ..., an) 6 Мп, причем ае‘ = ае" = 0. Переменные г；, г/,...,以，以，《2,…，盡 образуют независимые координаты на I. Посредством ReZ будем обозначать вещественную часть I, которой соответствуют вещественные значения координат g・，名‘，飲(J > 1, k > 2). Выделим в Z трубы 夕i(Z) и 夕2(Z) и множество 70) условиями
^i(Z): Im Zj > 0, Im Zj > 0, Im (^ > 0 (1 < J < n, 2 < /с < n),
夕2(Z)： Im Zj < 0, Im zi > 0, Im (г； + Zj) > 0, Im (г/ + г^) > 0, Im (fc > О
(2 < J < n, 2 W k W n), 7(0: 公才»д?一居.
Тогда, очевидно, справедливы соотношения 夕i(Z) С ^Q1, 夕2(Z) C 户? (и, значит,夕(Z) С C 夕"，где 夕(Z) есть выпуклая оболочка 夕 1(小 и 夕2(Z), ReZ С Mn, 丁⑴=丁 n Z. Кроме того, Do С % содержит некоторую комплексную область на плоскости I, которая прилегает к области Re/、)。)со стороны трубы 夕(/)• Тогда (по теореме «об острие клина»)
Н(%«) U 夕2«) U (“(Re Z\7(Z)))) = H5Q) U ^2(0 U (О。П Z)) c ^Q\7.(5.87)
Представляя (как в лемме 5.41) Re/、)(/) в виде объединения ограниченных прямоугольников и применяя соображения, изложенные после леммы 5.40, мы видим, что левая часть (5.87) факторизуется по переменным (г\ z") и ⑹.После этого по переменным (г\ z") мы имеем ситуацию леммы 5.43, что в совокупности дает
K(^i(Z)U^2(Z) U (”(ReZ\7(Z)))) = Я0\7(0 = ЛОЪ-(5.88)
Из (5.87), (5.88) и данного выше пояснения к «методу сечений» следует, что для доказательства предложения 5.39 остается проверить равенство
U 夕«)=夕".(5.89)
I
Для этого достаточно показать, что произвольная точка г 6 夕° принадлежит 夕(Z) при некотором I. Без существенного ограничения общности можно считать, что вещественная часть вектора z = х + iy равна нулю (общий случай получается трансляцией на вещественный вектор). По условию имеем g = 〃 + о, где Uj 6 У+ при 1 < J < n, 01G V~,(仍 + oQ 6 6 V+ при 2 W к W п. Выберем e[ e〃 6 V+ произвольными в плоскости векторов щ и 伪 (лишь бы е/2 = е//2 = 0, е%〃〉0). Далее положим ej = Uj + (仍 + S)+ 2eoi, где £〉О настолько мало, что ej 6 У+ (2 < J < п). Наконец, выберем а = 0. При таком определении плоскости I вектор г есть сумма двух векторов 分@ 6 夕i(Z) н 分q G 夕2(Z), если положить
01 = гм, pj = —£伪 + ^ ⑦，S =伪，④=—(1 + £)伪 + ^ ej
(где 2 < J < п). Тем самым равенство (5.89) доказано и вместе с тем завершено доказательство предложения 5.39.
Метод доказательства предложения 5.39 применяется и в других аналогичных задачах. Например, таким образом Брос и др. (1961) доказали следующий результат об области типа (4.130), получаемой из «симметричного» представления ИЛД (см. п. 4.3.В).
Предложение 5.44. Пусть “(Ь) есть область «остри兄 кланам, соответствующая обобщенному маршруту (加一分匕+, 〃，Af + 〃『+), где 自 есть дополнение в М к множеству (-а + V^) U (а +『R)〃(а = (А, 0) (А > 0). Тогда область (4.130) (еОе adm определяется посредством (4.111) при а = а', М = Мх) есть оболочка голоморфности области (7И — 〃『+) U (Af + iV~) U “«)•
По поводу доказательства см. Брос и др. (1961).
ЧАСТЬ II
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
Краткий обзор
Исходным объектом алгебраического подхода в квантовой теории является алгебра наблюдаемых, определяемая как С*-алгебра 21 с единицей. Состоянием называется всякий положительный функционал g над 21, нормированный условием g(1) = 1. Среднее значение наблюдаемой А(= А*) в состоянии g задается значением функционала g(4) (A.I, п.6.1.А). Крайние точки (выпуклого) множества 5(21) всех состояний называются чистыми состояниями. Состояния же, представимые в виде g = Acji + (1 —入)以2, где 0 < А < 1, cji &2, описывают статистические смеси. Физические состояния образуют выпуклое подмножество 6 множества всех состояний 5(21). Постулируется, что оно совпадает с множеством S7r состояний, ассоциированных с (физическим) представлением тг = 7rphys алгебры 21 в физическом (гильбертовом) пространстве 方=J^phys (А.II., п. 6.1.D). Суперпозиции состояний электорона и нейтрона или нейтрино и фотона не являются физически реализуемыми чистыми состояниями. Первая (вторая) из этих суперпозиций нереализуема в силу правила суперотбора по электрическому заряду (соответственно, по унивалентности). Электрический заряд Q и унивалентность являются примерами операторов, коммутирующих со всеми наблюдаемыми алгебры 7г(21). Мы предполагаем (гипотеза (а)), что векторы в физическом пространстве 力 определяющие чистые состояния алгебры наблюдаемых, образуют тотальное множество (т. е. их линейная оболочка плотна в 方).Из этой гипотезы следует дискретность правил суперотбора (предложение 6.5). Если предположить дополнительно, что соответствие между чистыми состояниями из 6 и единичными лучами в 耽 взаимно однозначно (гипотеза (б)), то правила суперотбора коммутативны (т. е. алгебра тг(21) имеет абелев коммутант в 府(方); предложение 6.6.
Описаны стандартные (т. е. дискретные и коммутативные) правила суперотбора заданием абелевой группы U(l) х ... х U(l) калибровочных преобразований (первого рода), действующей в 府(方)и оставляющей наблюдаемые инвариантными (п. 6.2.В). Приведен также пример нестандартных правил суперотбора, соответствующих неабелевой калибровочной группе (п. 6.2.Г).
Важным примером алгебры наблюдаемых является алгебра канонических коммутационных соотношений (ККС). В экспоненциальной форме (Вейля) эта алгебра порождается двумя (n-параметрическими) абелевыми группами U(a) = е。。。(а@ =弍 акРк^ nV(b) = е1^, удовлетворяющими перестановочному соотношению "=】
U(a) V(b) = e~iabV(b) U(a)
Справедлива теорема единственности фон Неймана (теорема 6.14), согласно которой всякая неприводимая система Вейля с п степенями свободы унитарно эквивалентна шредингеровс- кому представлению (目小=—г ^^^ в З^К72).
В случае системы с бесконечным числом степеней свободы, наоборот, существует много неэквивалентных представлений ККС. В п. 6.4.Б показано, что всякое унитарное представление алгебры Вейля ККС с циклическим вектором задается (с точностью до унитарной эквивалентности) некоторым характеристическим функционалом. Физически выбор представ-
ления К КС в квантовой теории поля тесно связан с динамикой полей. Мы вернемся к этому вопросу в § 9.4 при истолкования теоремы Хаага.
Симметрии в алгебраическом подходе задаются автоморфизмами Иордана, т. е. линейными биекциями a: 21T 21, для которых а(А2) = (а(А))2 при всех А 6 21. Это свойство вытекает из более физического определения симметрии как пары биекций a: 21Tsi и с/: 5(21) т 5(21), удовлетворяющих условию согласования (агш)(аА) = g(4) (предложение 6.10). Доказательство этого утверждения основано на теореме Вигнера (теорема 6.8) о том, что всякая биекция на множестве одномерных проекторов, сохраняющая вероятности перехода tr П1П2, порождается либо унитарным, либо антиунитарным преобразованием в 方.
Важнейшему примеру геометрической симметрии — инвариантности квантовой теории относительно группы преобразований Пуанкаре — посвящена гл. 7. Анализ п. 6.3.В показывает, что (при предположении непрерывности 必八® по а, А в топологии нормы на множестве физических состояний 6) гипотеза Пуанкаре инвариантности теории приводит к существованию унитарного представления универсальной накрывающей фо собственной группы Пуанкаре (называемой также спинорной или квантовомеханической группой Пуанкаре) (аксиома А.III, п. 7.2.А).
Самосопряженные инфинитезимальные операторы физического представления группы фо отождествляются с операторами 4-импульса FM и момента М^. Из них можно составить два независимых полиномиальных инварианта (оператора Казимира): квадрат импульса Р2 = Pq — Р2 (физический смысл которого есть квадрат массы системы) и квадрат вектора Паули-Любанского Wx = ex^pP^М^р. Неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре (частично) классифицируются значениями этих инвариантов и знаком энергии £ = £(Р°)е(р2). Постулат спектральности утверждает, что масса и энергия неотрицательны, т. е. спектр оператора энергии-импульса Р принадлежит (замкнутому) верхнему световому конусу У+. Мы дополняем этот постулат требованием существования и единственности (нормированного) трансляционно-инвариантного состояния — вакуума. Показано (предложение 7.1), что это требование эквивалентно кластерному свойству
Jim (Ф, U(Аа, 1) Ф) = (Ф, ФоХ^о,田〉(при『＜ а).
Пространства состояний элементарных частиц соответствуют неприводимым представлениям группы фо- Для частицы положительной массы т второй оператор Казимира определяется ее спином s: W2 = —m2s(s + 1); компоненты вектора спина задаются равенством S“ = т(W - ^_^0). Одночастичные состояния можно реализовать в пространстве 日小屈 функций, в котором коммутирующие операторы Р" и S^ диагональны. Скалярное произведение в ①[小屈 задается тогда формулой
(Ф, 3)= £ [①(з ег) W(0, 67)(d0)小,
где ст — собственное значение третьей проекции спина 53, Г+ — гиперболоид р° = ^т2 + р2, {dp)m = ^^ = (2тг)-з^^ — лоренц-инвариантная мера на Г^ . В п. 7.2.Г дана явно ковариантная реализация физических неприводимых представлений группы фо в терминах однородных полиномов от двухкомпонентных спиноров g, ш, введенных в п. 3.1.Г.
Пространство Фока релятивистских бозе-(ферми-)частиц данного типа определяется как (анти) симметризованная «экспонента» пространства одночастичных состояний (п. 7.3.А). Теории, инвариантные относительно общей группы Пуанкаре (включающей отражения), рассматриваются в п. 7.3.Г, где показано, что преобразования, содержащие отражение времени, представляются антиунитарными операторами в ①.Показано (п. 7.3.Е), без каких-либо динамических предложений (или гипотез аналитичности), что спинорная амплитуда двухчас
тичного рассеяния частиц с положительными массами допускает однозначное ковариантное разложение (предложение 7.7).
Глава 6
АЛГЕБРА НАБЛЮДАЕМЫХИ ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ
Алгебраическая формулировка квантовой теории
Алгебра наблюдаемых. Состояния. Исторически при построении квантовой механики (в матричной формулировке Гейзенберга) сначала появились операторы (или матрицы), соответствующие физическим наблюдаемым, и лишь затем (в работах Шредингера, а позднее Борна и фон Неймана) выкристаллизовалось современное понятие физического состояния.
В стандартном изложении квантовой механики систем с конечным числом степеней свободы наблюдаемые отождествляются с эрмитовыми операторами, а чистые состояния — с лучами ) в некотором гильбертовом пространстве. Можно сказать, что в этом случае алгебра наблюдаемых конкретна, т. е. представлена операторами в гильбертовом пространстве. Основными наблюдаемыми величинами являются декартовы координаты и импульсы, рассматриваемые как эрмитовы операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Фундаментальным фактом квантовой теории систем с конечным числом степеней свободы является то, что эти представления допускают в сущности единственное физически интересное представление (см. П.6.4.А). Поэтому не возникает проблемы с выбором представления, что позволяет построить весь квантовомеханический формализм на базе фиксированного гильбертова пространства.
Иначе обстоит дело с квантовыми системами бесконечного числа степеней свободы. В то время как абстрактную алгебру, соответствующую системе канонических коммутационных соотношений, удается построить более или менее однозначно, существует великое множество унитарно неэквивалентных представлений ее. Оказывается, выбор представления диктуется, в частности, динамикой полей (поэтому, к примеру, фоковское представление непригодно для взаимодействующих полей). Таким образом, представление теперь становится уже неизвестной величиной, подлежащей определению. В связи с этим целесообразно начать аксиоматическое построение с некоторой абстрактной алгебраической структуры, соответствующей множеству наблюдаемых, и лишь затем вводить представление алгебры наблюдаемых в гильбертовом пространстве в зависимости от той или иной физической ситуации.
Итак, исходным объектом аксиоматического рассмотрения является С*-алгебра 21 с единицей (см. § 1.5), которую мы будем называть алгеброй наблюдаемых (или алгеброй ограниченных наблюдаемых). Эрмитовы элементы этой алгебры бу-
дем называть (ограниченными) наблюдаемыми. Положительный функционал s над 21, нормированный условием
|М|| =^(1) = 1, (6.1)
называется состоянием алгебры 21. Множество всех состояний алгебры 21 будем обозначать через 5(21). Величина s(4) при 4 = 4* интерпретируется как среднее значение наблюдаемой А в состоянии s. (Оно вещественно в силу свойств положительных функционалов; см. п. 1.5.В.)
Нетрудно проверить, что множество 5(21) является выпуклым. (Другими словами, если si п 以2 — два состояния и 入 1,入2》°,入1 + 入2 = 1，то A1CJ1 + /\2G2 G 6 5(21).) Состояние s называется смешанным (или статистической смесью), если оно представимо в виде s =入匂 + (1 —入)以2, где 0 < А < 1 и cji, CJ2 ~ два различных состояния алгебры 21. Состояния, не являющиеся смешанными, называются чистыми. (В терминологии п. 1.5.В чистые состояния суть экстремальные, или крайние, точки множества 5(21).) Множество всех чистых состояний алгебры 21 мы будем обозначать через PS(^).
В абстрактной алгебраической схеме обычно имеют дело лишь с ограниченными наблюдаемыми, чтобы избежать «технических» трудностей, связанных с определением алгебраических операций над неограниченными наблюдаемыми. Однако в гильбертовом пространстве мы будем свободно переходить к неограниченным наблюдаемым, имея в виду, что всякая неограниченная наблюдаемая полностью характеризуется (в духе спектральной теоремы, п. 1.4.В) ограниченными функциями от нее. (Соответствующее понятие неограниченной наблюдаемой вводится ниже в п. 6.1.В.)
Априори мы придаем смысл лишь эрмитовым элементам из 21, так что было бы более последовательным начать с алгебры Иордана 2U, состоящей из эрмитовых элементов алгебры 21. В ней определены лишь линейные комбинации с вещественными коэффициентами и квадрат каждого элемента (а отсюда, как следствие, и «симметричное произведение» ^ (АВ + В А)= =^ (А + В)2 -；(厶-石)” При алгебраическом определении симметрии (п.б.З.А) мы учтем это замечание, добиваясь, чтобы симметрии воспроизводили именно те операции, которые присущи 吸九.
Множество 5(21) всех состояний алгебры наблюдаемых 21, как правило, весьма обширно: оно может быть несепарабельным даже в случае сепарабельной алгебры 21; однако все 5(21) не представляет физического интереса. Класс рассматриваемых состояний ограничивают из физических соображений — в зависимости от того, какие именно процессы представляют интерес и при каких «граничных условиях» (например на бесконечности). Одной из задач квантовой теории поля является построение алгебры наблюдаемых 21 и класса состояний, описывающих элементарные возбуждения квантованных полей, т. е. построение объектов, составляющих теоретическую базу физики элементарных частиц. Далее в этой главе и в главах 7, 8, 10 мы займемся более детальной характеризацией множества квантовополевых состояний (см., в частности, постулаты А.1-А.П в § 6.1 и постулат А.Ш в § 7.2). Пока же мы ограничимся общим требованием к множеству состояний S, состоящим в том, что множество S выпукло (т. е. вместе с любой парой состояний оно содержит их статистические смеси). Можно предполагать также, что множество состояний S различает положительные элементы из 21, т. е. если из условия s(4)》0 для всех cj е 6 следует, что А есть положительный элемент алгебры 21 (т. е. А представимо в виде А = 6*6).
Согласно результату Кадисона (1965) выпуклое множество 6 С 5(21) различает положительные элементы из 21 в точности тогда, когда оно плотно в 5(21) в ^-слабой топологии.
Упражнение 6.1. Доказать, что множество состояний 6, различающее положительные элементы алгебры 21, разделяет элементы алгебры 21, т. е. из условия g(4) = cj(B) для всех g G S следует А = В. (Указание: если g(4) = g(石)для всех g G S, то оба элемента А — В и В — А положительны.)
Итак, в качестве начального положения алгебраической теории мы примем следующий постулат.
A.I (Алгебра наблюдаемых). Физическая система ) характеризуется некоторой С*-алгеброй 21 с единицей, эрмитовы элементы которой мы будем называть {ограниченными) наблюдаемыми. Значение функционала s⑷，где
6 5(21), 4 = 4*, есть среднее значение наблюдаемой А в состоянии
Фигурировавшее выше множество S мы будем называть множеством физических состояний (алгебры наблюдаемых 21), а пару (21, 6) будем также называть физической системой.
В элементарной квантовой механике в качестве алгебры (ограниченных) наблюдаемых выбирается алгебра % (%) всех ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве, а физические состояния находятся во взаимно однозначном соответствии с матрицами плотности р в 方，т. е. положительными операторами в 力 со следом 1:
咻(4) = tr(/)A), А 6 %(方). (6.2)
Чистые же (физические) состояния находятся во взаимно однозначном соответствии П j s口 с одномерными (ортогональными) проекторами П в J^ или, эквивалентно, с единичными лучами в 力.Тот факт, что множество всех чистых состояний из 6 параметризуется совокупностью всех единичных лучей в 力，называют обычно принципом суперпозиции. (Заметим, что множество всех состояний алгебры % (%) значительно шире указанного множества 6; причины такого ограничения мы обсудим в п. 6.4.А.)
Б. Вероятность перехода. В элементарной квантовой механике вероятность перехода определяется следующим образом. Если ш\ и ш^ — два чистых состояния алгебры 例(％), соответствующие одномерным проекторам П1 = |①卩〈①/ п 比= =I①2)〈①2丨(где Ф1 и Ф2 — два единичных вектора из %), то вероятность перехода из состояния si в состояние с<；2 (или между состояниями si и а?) есть
К① 1,①2)『 = tr(IIiIl2), (6.3)
что в свою очередь выражается через ||si —以2丨| в соответствии со следующим упражнением.
Упражнение 6.2. Показать, что
Iki -&2『=(||П1 - П2||1)2 = 4(1-|(Ф1,Ф2)|2),
где ||А||1 — следовая теорема (1.111). (Указание: следовая норма любого эрмитова оператора из % (方)есть сумма абсолютных величин его собственных значений. Показать, что собственные значения оператора П1 — П2 = |Ф1)(Ф11 — |①2〉俚2〔 ранга < 2 равны ±[1-|(ФьФ2)|2]1/2.)
В случае произвольной С*-алгебры 21 вероятность перехода (за нулевое время) между двумя чистыми состояниями &i, &2 G PS(^) определим формулой, подсказанной упражнением 6.2:
匂•以2 三 1 — ； ||^1 — ^2 112• (6.4)
Ясно, что si • &2 = &2 • &1 и что ⑨• &2 всегда заключено на отрезке [0, 1]. При этом ш\ ' Ш2 = 1 в точности тогда, когда si = &2・ Используя квантовомеханическую терминологию, мы будем называть два чистых состояния si и ш^ ортогональными, если вероятность переходя si •以2 равна нулю. Соответственно два подмножества Si n S? в PS(^) называются (взаимно) ортогональными, если &1 • &2 = 0 для всех si G Si и Ш2 Е S2.
Будем говорить, что непустое подмножество S чистых состояний алгебры наблюдаемых 21 является нераспадающимся, если его нельзя разбить на два непустых ортогональных подмножества. Всякое максимальное нераспадающееся множество (т. е. нераспадающееся множество, не являющееся собственным подмножеством другого нераспадающегося множества чистых состояний из Р5(21)) называется сектором. (Сектор есть алгебраический двойник когерентного подпространства в физическом гильбертовом пространстве; см. ниже п. 6.2.Б, в особенности упражнение 6.18.)
Мы покажем, что PS(^) разбивается на секторы (а заодно убедимся в существовании секторов). Для этого мы введем в PS(^) следующее отношение: si 〜以2 в точности тогда, когда существует нераспадающееся множество в Р5(21), содержащее Si 14 G2 •
Предложение 6.1. Отношение &i 〜 &2 на PS(^) есть отношение эквивалентности, a PS(^) единственным образом разбивается на (попарно непересекающиеся и взаимно ортогональные) секторы, которые в точности совпадают с классами эквивалентности в PS(^).
< Рефлексивность (g 〜⑺ и симметричность (сл 〜з?今以2 〜&i) введенного отношения очевидны. Докажем транзитивность. Пусть si 〜&2 н &2 〜&з・ Тогда существуют нераспадающиеся подмножества Si и S2 такие, что si, g2 Gsi н 以2, s3Gs2. Покажем, что объединение S = Si U S2 есть нераспадающееся множество. Будем доказывать от противного: предположим, что S есть объединение двух непустых ортогональных подмножеств S' и S". Для определенности будем считать, что &2 Е S'. Тогда Si есть объединение ортогональных подмножеств Si П Sf и Si С S", причем первое из них непусто (так как оно содержит &2)・ Значит, в силу того что Si не распадается, второе из этих множеств Si С S" пусто. Аналогично можно показать, что S2 С S" пусто, откуда следует, что само множество S" (будучи объединением Si С S" н S2 c S") пусто. Полученное противоречие доказывает, что S есть нераспадающееся множество. Итак, мы доказали, что отношение 〜есть отношение эквивалентности на PS(2l). Нетрудно видеть, что классами эквивалентности являются максимальные нераспадающиеся множества (секторы) в F5(2l). Следовательно, PS(2l) разбивается на секторы, которые к тому же взаимно ортогональны (ибо если два различных состояния сл, &2 из PS(2l) не ортогональны, то они образуют двухточечное нераспадающееся подмножество, а потому эквивалентны и, значит, содержатся в одном и том же классе эквивалентности). Теперь единственность разбиения PS(2l) на секторы следует из однозначности разбиения PS(2l) на классы эквивалентности. А
В следующем пункте мы приведем характеристику секторов в терминах представлений.
Связь с представлениями. Понятие состояния тесно связано с представлениями алгебры. Если тг есть некоторое представление алгебры 21 в гильбертовом пространстве 方，то для любого ненулевого вектора ① G % выражение
3gx(6・5)
определяет состояние s① алгебры 21, называемое векторным состоянием, ассоциированным с представлением тг (и соответствующим вектору Ф). Если р — матрица
17 Н. Н. Боголюбов и др.
плотности (т. е. положительный оператор со следом 1) в 方，то она определяет состояние ”.
%(4) = tr (м⑷). (6.6)
Аналогично, шр называется состоянием, ассоциированным с представлением тг и соответствующим матрице плотности р. (Очевидно, состояния (6.6) суть конечные или счетные статистические смеси векторных состояний вида (6.5).) Мы будем обозначать множество всех состояний (соответственно всех чистых состояний), ассоциированных с представлением тг, через S7r (соответственно PS7r). Два представления 7Г1 и 7Г2 с одним и тем же множеством ассоциированных состояний (т. е. с S7rl = S1^) мы будем называть феноменологически эквивалентными. Таковы, в частности, унитарно эквивалентные представления.
Упражнение 6.3. Показать, что всякое чистое состояние, ассоциированное с представлением 7г, является векторным состоянием вида (6.5). (Указание: диагонализировать матрицу плотности состояния.)
Упражнение 6.4. Показать, что для неприводимого представления тг в гильбертовом пространстве все векторные состояния, ассоциированные с тг, являются чистыми (другими словами, множество всех векторных состояний, ассоциированных с тг, в точности есть PS^). Далее, показать (с помощью упражнения 1.66), что для любых единичных векторов ①i,①2 G 6 方 вероятность перехода между состояниями g〔и g①？ дается обычной квантовомеханической формулой
G1 G①2 二 К① 1，①2〉『. (6.7)
Упражнение 6.5. Пусть тг — представление С*-алгебры 21 в 方 н ①一 циклический вектор представления тг, определяющий состояние 以①.Доказать, что представление тг неприводимо в точности тогда, когда состояние g① чистое. (Указание: отождествить тг,方，Ф с элементами конструкции ГНС и воспользоваться предложением 1.27.)
Оказывается, понятие сектора(П.6.1.Б) тесно связано с неприводимыми представлениями.
Предложение 6.2. Множество PS(^) всех чистых состояний алгебры 21 совпадает с множеством всех векторных состояний, ассоциированных со всеми неприводимыми представлениями алгебры 21. Всякий сектор в PS(^) в точности совпадает с множеством всех векторных состояний, ассоциированных с некоторым неприводимым представлением алгебры 21; при этом два унитарно эквивалентные (соответственно унитарно неэквивалентные) неприводимые представления определяют один и тот же сектор {соответственно взаимно ортогональные секторы}.
Первое утверждение предложения 6.2 есть непосредственное следствие теоремы 1.25 (т. е. конструкции ГНС) и упражнения 6.5. Результатом упражнения 6.5 является и тот факт, что множество PS^ всех векторных состояний, ассоциированных с произвольным неприводимым представлением тг, является нераспадающимся. Чтобы убедиться, что PS^ является максимальным нераспадающимся множеством (т. е. сектором), достаточно доказать, что два состояния, ассоциированные с унитарно неэквивалентными представлениями, ортогональны. Этот результат мы приводим в форме следующих двух упражнений. Остальные утверждения предложения 6.2 легко следуют отсюда.
Упражнение 6.6. Пусть тп и 7Г2 — два унитарно неэквивалентных неприводимых представления алгебры 21 в гильбертовых пространствах 方1 и 方2 соответственно и пусть тг = тп ф 7Г2 — их прямая сумма. Доказать, что замыкание тг(21) в слабой операторной топологии содержит унитарный оператор U = Hi — 口2, где П1 и П2 — проекторы на 力i и 方2 в прямой сумме 状=状\ ㊉方2・(Указание: воспользоваться теоремой о бикоммутанте и упражнениями 1.54 и 1.55.)
Упражнение 6.7. Пусть сл и сс；2 — два состояния, ассоциированные с унитарно неэквивалентными неприводимыми представлениями тп и 穴2 алгебры 21. Доказать, что Цел — CJ2II = = 2 и, значит, (чистые) состояния gi и &2 ортогональны. (Указание: в обозначениях предыдущего упражнения имеем (⑨一以2)(厶)=tr ((П1 — П2) тг(А)), где П1 и П2 — соответствующие одномерные проекторы в 方1 и 弘2・ Воспользоваться далее формулой (1.116) и тем, что tr ((П1 — 口2)U) = 2 для оператора U из предыдущего упражнения.)
Следующее упражнение характеризует представления, феноменологически эквивалентные неприводимому представлению. Предварительно мы напомним, что представление тг называется кратным представлению 彳，если тг есть прямая сумма некоторого (конечного ненулевого или бесконечного) числа экземпляров представления 彳.Представление С*-алгебры 21 называется факториальным типа I, если оно кратно некоторому неприводимому представлению алгебры 21. Два факториальных представления типа I алгебры 21 называются дизъюнктными, если они являются кратными некоторым неприводимым представлениям тп и 灰2, причем тп и 7Г2 унитарно неэквивалентны.
Упражнение 6.8. Если представление тг алгебры 21 кратно представлению 彳，то тг и тг феноменологически эквивалентны. В частности, всякое факториальное представление типа I феноменологически эквивалентно неприводимому представлению.
Справедливо и обратное утверждение: всякое представление, феноменологически эквивалентное неприводимому, является факториальным типа I (см. ниже упражнение 6.12).
Упражнение 6.9. Если два факториальных представления типа I алгебры 21 дизъюнктны, то соответствующие множества состояний алгебры 21, ассоциированных с этими представлениями, не имеют общих элементов. (Указание: если двум векторам Ф1 и ①2 соответствует одно и то же чистое состояние алгебры 21, то, например, на основании теоремы 1.25 неприводимые представления алгебры 21 в замыканиях множеств 21Ф1 и 21 ①2 унитарно эквивалентны.)
Отношение между состояниями и представлениями алгебры становится еще более тесным, если учесть, что согласно конструкции ГНС (см. теорему 1.25) каждое состояние в всою очередь определяет некоторое представление алгебры (причем результирующее представление неприводимо в точности тогда, когда состояние является чистым).
Из сказанного становится понятной точка зрения на представления алгебры как на эффективный способ организации состояний. Поэтому мы примем дальнейшее уточнение постулата A.I.
А.II (Состояния). Множество физических состояний 6 (алгебры наблюдаемых 21) совпадает с множеством всех состояний S7r, ассоциированных с представлением тг = 7rphyS (называемым физическим представлением) алгебры 21 6 некотором гильбертовом пространстве 3f =力phys {называемом физическим пространством).
Если представление тг точно, то состояния из & = S^ различают положительные элементы алгебры. В соответствии с постулатом A.I физическую систему можно теперь характеризовать парой (21, тг).
Введение физического представления тг на столь ранней стадии изложения теории не означает сведения на нет абстрактно-алгебраической формулировки. Забегая вперед, мы можем обосновать выделение чисто алгебраического уровня примером из лагранжевой теории. Данному лагранжиану могут соответствовать различные унитарно неэквивалентные представления квантовых полей. Каждое такое представление будет обладать, вообще говоря, меньшей симметрией, чем симметрия исходного лагранжиана. (В таком случае говорят о спонтанном нарушении симметрии.) В этом контексте алгебраическая формулировка отвечает лагранжеву
уровню, а выделение представления 7rphys в гильбертовом пространстве J^phys равнозначно определению одной из возможных операторных теорий (чистых фаз в терминологии статистической физики), которые соответствуют данному лагранжиану.
Когда физическое представление тг алгебры наблюдаемых уже выбрано и является точным, мы можем (допуская вольность в обозначениях) отождествить исходную алгебру наблюдаемых с операторной алгеброй тг(21) с % (%):
а^7г(а).
(В физической литературе переход от 21 к конкретной алгебре тг(21) называют иногда «одеванием».) Как всякую операторную алгебру 21 можно снабдить а-слабой (или слабой) операторной топологией, определяемой полунормами 1G(4) | с произвольными (соответственно с произвольными векторными) состояниями, ассоциированными с представлением тг. Очевидно, что a-слабая операторная топология не изменится при замене тг феноменологически эквивалентным представлением (так как такое представление имеет тот же запас ассоциированных состояний). Замыкание 21 алгебры 21 в a-слабой (или, что в данном случае то же самое, в слабой) операторной топологии называется алгеброй наблюдаемых фон Неймана. Согласно теореме 1.31 фон Неймана о бикоммутанте, 21 совпадает с повторным коммутантом SI’’ алгебры 21. _
Разумеется, алгебра 21 определяется не только алгеброй наблюдаемых 21, но и выбором физического представления тг. Феноменологически эквивалентны^пред- ставления приводят к (алгебраически) изоморфным алгебрам 21, поскольку 21 есть пополнение 21 в структуре ЛВП, определяемой запасом физических состояний. Все же следует отметить, что (точно так же, как произвольные операторы из % (%) в элементарной квантовой теории) элементы алгебры наблюдаемых фон Неймана являются «наблюдаемыми» в очень неконструктивном смысле.
Условие естественной алгебраической изоморфности алгебр фон Неймана тп(21) и 穴2(吸) (когда 7Г1(А) соответствует 7Г2(А) при А 6 21) для двух различных представлений алгебры 21 в действительности равносильно понятию феноменологической эквивалентности этих представлений. Для доказательства следует заметить, что S7r может быть охарактеризовано в терминах тг(21) как совокупность так называемых нормальных положительных функционалов с нормой 1 алгебры наблюдаемых фон Неймана ([ДЗ], с. 50).
Как мы уже отмечали, некоторые физически интересные величины представляются неограниченными самосопряженными операторами и потому не могут принадлежать алгебре 21 или 21. В этой связи удобно следующее определение. Самосопряженный оператор 4 в 力 называется присоединенным к алгебре фон Неймана 21, если все спектральные проекторы 石入(в спектральном разложении (1.64) оператора А), а значит, и все ограниченные функции оператора А принадлежат 21. Самосопряженные операторы, присоединенные к алгебре наблюдаемых фон Неймана 21, мы можем интерпретировать как (возможно, неограниченные) наблюдаемые, ассоциированные с данным представлением алгебры 21.
Часто используемые в теоретико-полевых построениях глобальные наблюдаемые типа генераторов группы симметрии системы (таких, как оператор электрического заряда, операторы энергии, импульса и полного момента, которые задаются — по крайней мере формально — как интегралы по всему трехмерному пространству от соответствующие локальных плотностей) обладают спектральными проекторами, принадлежащими алгебре 21 (но, возможно, не 21).
Замечание. Если g — чистое состояние на 21, то с элементами В алгебры 21, для которых ш(В^В) 〉0, могут быть ассоциированы чистые состояния на 21. Как отмечалось в и. 1.6.В, множество исключительных элементов В, для которых cj(B*B) = 0, образует левый идеал 3s в 21. Каждому элементу В 0 соответствует состояние
шв (А)=шв (А)=g（石*4石） g（石*石）•g（石*4石） g（石*石）•(6.8)(6.8)
шв (А)=
шв (А)=
g（石*4石） g（石*石）•
g（石*4石） g（石*石）•
(6.8)
(6.8)
Упражнение 6.10. Проверить, что для чистого состояния g функционал 以石 положителен и определяет чистое состояние. (Указание: воспользоваться теоремой 1.25 и упражнением 6.5.)
Нетрудно проверить, что вероятность перехода между двумя такими состояниями g" и (А, В 0 3s) задается равенством
ззАА(1 - ； lkA - ^в112)(1 - ； lkA - ^в112)(6.9)(6.9)
з
з
А
А
(1 - ； lkA - ^в112)
(1 - ； lkA - ^в112)
(6.9)
(6.9)
Пусть в представлении, определяемом состоянием g, состояния g" и 以石 соответствуют единичным векторам Фа и Фв； тогда правая часть переходит в обычное выражение |(Фа, ^в)\2-
В соответствии с этим замечанием Хааг и Кастлер (1964) придают физический смысл произвольным (в том числе и неэрмитовым) элементам алгебры 21 как операциям над состоянием. (В данном состоянии g допустимы лишь те операции, которые не принадлежат идеалу 九.)
Правила суперотбора
А. Роль чистых векторных состояний. Переход к физическому представлению превращает абстрактную алгебру наблюдаемых 21 в конкретную операторную алгебру в физическом гильбертовом пространстве 方；при этом состояния из S определяются матрицами плотности в 力.Теперь мы сформулируем два дополнительных условия (названных ниже гипотезами, чтобы подчеркнуть их необязательный характер по сравнению с аксиомами), которые усиливают роль векторов чистых состояний в конструкции физического гильбертова пространства.
В элементарной квантовой механике реализована наиболее тесная связь между физическим гильбертовым пространством и векторами чистых состояний в том смысле, что все чистые состояния находятся во взаимно однозначном соответствии со всеми единичными лучами гильбертова пространства. В физике элементарных частиц дело обстоит сложнее. Здесь систематически используется описание чистых состояний, приготовляемых в лабораторных условиях, в терминах волновых функций падающих или рассеянных частиц (точнее, с помощью векторов фоковского пространства, о котором речь пойдет в гл. 7). Поэтому предполагается, что все физическое гильбертово пространство натянуто на эти векторы. Однако в отличие от квантовой механики не всякая линейная комбинация таких векторов порождает чистое состояние (на это принципиальное обстоятельство впервые обратили внимание Вик и др. (1952)). Опыт показывает, что для чистых состояний некоторые квантовые числа, например электрический заряд и четность числа фермионов, всегда обладают вполне определенными значениями. В частности, никогда не наблюдалась когерентная суперпозиция (т. е. вектор чистого состояния, являющийся суммой векторов) однопротонного и однонейтронного состояний. Из теоретических соображений также можно заключить, что определенным векторам должны соответствовать смешанные состояния. Например, суперпозиция ①i + ①2 вектора ①i состояния с целым спином и вектора ①2 состояния с полуцелым спином определяет смешанное состояние ), ибо при повороте системы на угол 27r вокруг некоторой оси физическая
система переходит в себя, в то время как вектор ①i + ①2 переходит в вектор ①i —①2・ Следовательно, векторы ①i + ①2 H ①1 一 ①2 соответствуют одному и тому же состоянию системы, откуда с необходимостью следует (см. упражнение 6.11), что это состояние является смешанным.
Упражнение 6.11. Пусть физическое гильбертово пространство разлагается в прямую сумму 方1 ㊉方2 таким образом, что g①〔力 g①？ и ^Ф1+ф2 = ^фх-ф2 для всех ненулевых векторов Ф1 6 方1 н ①2 G 方2・ Доказать, что тогда подпространства 方1 и 方2 инвариантны относительно алгебры наблюдаемых 21 и что суперпозиции вида ①i + ①2 определяют смешанные состояния алгебры 21, где по-прежнему Ф1 и Ф2 — произвольные ненулевые векторы соответственно из 方1 и 方2・(Указание:以季1+入季2(厶)=^Ф1-аф2(^) Для всех комплексных А.)
Руководствуясь приведенными соображениями, мы введем дальнейшее требование ), устанавливающее соотношение между векторами гильбертова пространства и чистыми состояниями, однако менее жесткое, чем в квантовой межанике.
(а) Гипотеза дискретных правил суперотбора. Все векторы в физическом гильбертовом пространстве 方，определяющие чистые состояния алгебры наблюдаемых 21, образуют тотальное множество в 力.
В качестве мотивировки названия этой гипотезы укажем (забегая вперед), что она эквивалентна условию разложения физического представления в дискретную прямую сумму (т. е. в обычную прямую сумму вместо возможного более общего прямого интеграла) факториальных представлений типа I.
Гипотеза допускает ряд эквивалентных переформулировок. Сначала мы докажем две простые леммы, использующие следующее определение. Непустое множество 耽 ненулевых векторов гильбертова пространства Ж мы будем называть зацепляющейся системой векторов, если 耽 нельзя представить в виде объединения двух (или более) непустых взаимно ортогональных подмножеств.
Данное определение имеет отношение к понятию нераспадающегося множества состояний (правда, вообще говоря, при другой, чем 21 С*-алге6ре): нетрудно убедиться, что 耽 является зацепляющейся системой в точности тогда, когда множество всех состояний алгебры 府(方)， определяемых векторами из 耽，не распадается.
Лемма 6.3. Пусть 耽—некоторое тотальное множество ненулевых векторов гильбертова пространства 勿.Тогда 耽 единственным образом представимо 6 виде объединения некоторого семейства ｛期“乎“^代 зацепляющихся систем 力I”，которые взаимно ортогональны (〃，значит, попарно не пересекаются). Соответственно 力 единственным образом разлагается в прямую сумму (ненулевых) подпространств
方=㊉% (6.10)
таким образом, что 耽 есть объединение подмножеств 耽"=耽门方"，каждое из которых является тотальным в соответствующем подпространстве Жу и образует зацепляющуюся систему.
Будем говорить, что векторы ①，W G 期 связаны соотношением ①〜W, если Ф и Ф являются векторами некоторой зацепляющейся системы векторов из 耽.Рассуждая далее, как в предложении 6.1, легко убедиться что введенное отношение есть отношение эквива-
лентности и классы эквивалентности в 耽 образуют разбиение 耽 на взаимно ортогональные зацепляющиеся системы 耽“，где {沙} = N — некоторое семейство индексов. Единственность подобного разбиения доказывается совершенно аналогично. Взяв теперь в качестве 方“ замкнутую линейную оболочку множества 耽“，мы приходим к искомому разложению 方 в прямую сумму взаимно ортогональных подпространств 方”. А
Лемма 6.4. Представление тг С^-алгебры 21 в гильбертовом пространстве 方 является факториальным типа I в точности тогда, когда множество 耽 всех векторов из 方，определяющих чистые состояния алгебры 21, образуют зацепляющуюся систему векторов, тотальную в 方.
Пусть представление тг является факториальным типа I. Тогда можно отождествить 方 и представление тг соответственно с ㊉力 н фтг — с прямой суммой некоторого (конечного или бесконечного) семейства К экземпляров пространства 方 и неприводимого представления тг алгебры 21 в 方.Всякий вектор ① G 弘 теперь представлен семейством {①(”)}〃ек своих проекций ①(〃)е » (причем ||Ф||2 = £ II①Нетрудно видеть, что всякий ненулевой вектор Ф, у которого все проекции ①(”)комплексно коллинеарны (причем допустимы нулевые проекции), определяет чистое состояние алгебры 21. Множество всех таких векторов тотально в 方，и его, очевидно, нельзя разбить на два непустых взаимно ортогональных подмножества. Отсюда следует утверждение леммы в одну сторону.
Обратно, пусть множество 耽 образует зацепляющуюся систему, тотальную в 方.Идею дальнейшего рассуждения можно пояснить следующим образом. Каждому вектору ① нз 耽 сопоставим подпространство 方① в 方，являющееся замыканием множества тг(21) Ф (всех векторов вида 7г(А) Ф при А 6 21). Тогда 方①，очевидно, является инвариантным подпространством относительно тг и сужение тг на 方① определяет некоторое представление тгф алгебры 21. Вектор Ф является циклическим для тгф и, кроме того, по условию ему соответствует чистое состояние алгебры 21, поэтому (см. упражнение 6.5) тгф неприводимо. Тем самым мы представим 方 как замыкание линейной оболочки семейства {方инвариантных подпространств, в которых 21 действует по неприводимым представлениям. Однако 方 не есть прямая (ортогональная) сумма этого семейства, поскольку эти подпространства не взаимно ортогональны (и даже могут иметь ненулевые попарные пересечения). Но этот дефект легко устранить, если приведенную конструкцию исправить с помощью некоторого стандартного рассуждения, напоминающего, скажем, процесс построения ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве.
Для этого фиксируем некоторый вектор ①i из 耽.Если 方=J^$1, то на этом конструкция искомого разложения завершается. Поэтому пусть 方力方①i и, значит,方 разлагается в прямую сумму 方① 1 ㊉.»i подпространств, инвариантных относительно 21. Благодаря предположению, что 耽 есть зацепляющаяся система, каково бы ни было разложение 方 на два ненулевых взаимно ортогональных подпространства, существует вектор из 耽，имеющий ненулевые проекции на каждое из этих подпространств. Значит, мы можем фиксировать вектор Ф 6 耽，имеющий ненулевые проекции, скажем, Ф^ и ①2 на 方①】и .庶i соответственно. Состояния, определяемые этими проекциями, совпадают с g①(ибо они подчинены 以①)，так что Ф^ и ①2 принадлежат 耽 и представления алгебры 21 в 方①i С 方$〔 и 方①2 q .庶]унитарно эквивалентны (по тереме 1.25). В действительности имеем 方①'=方①i (ибо тгФ1 неприводимо). Итак, мы уже выделили в 方 два инвариантных и взаимно ортогональных подпространства 方① 1 и 方①2, в которых 21 действует по неприводимым и унитарно эквивалентным представлениям. Если ортогональное дополнение .*2 к J^$1 ㊉方①2 не есть {0}, то можно выделить вектор Ф 6 耽，имеющий ненулевые проекции на .*2 и хотя бы на одно из подпространств 方①I 方①2, и т. д. Завершить этот процесс разбиения представления тг в прямую сумму попарно унитарно эквивалентных представлений позволяет стандартная аргументация, основанная на лемме Цорна, (воспроизвести ее мы предоставляем читателю; ср. [Н2], предложение VII из и. 5.4. или п. 17.2.) Тем самым лемма доказана. А
Предложение 6.5. Гипотеза дискретных правил суперотбора эквивалентна любому из следующих двух условий.
(а.1) Всякое физическое состояние из 6 есть конечная или счетная выпуклая линейная комбинация чистых векторных состояний, ассоциированных с физическим представлением.
(а.2) Физическое гильбертово пространство 力 разлагается в прямую сумму семейства подпространств {乙^“爪，инвариантных относительно алгебры 21, так что представления алгебры 21 в подпространствах 力"являются факториальными типа I и попарно дизъюнктными. (Такое разложение осуществляется единственным образом, если считать, что все подпространства 方" отличны от {О}.)
Условие (а.1) представляет собой непосредственную переформулировку гипотезы дискретных правил суперотбора; убедиться в этом мы предоставляем читателю. Займемся доказательством эквивалентности условий (а.2) и гипотезы (а). Посредством 耽 мы будем обозначать множество всех векторов в 方,определяющих чистые состояния алгебры 21. Пусть выполнено условие (а.2). Тогда всякий вектор ① G 耽 принадлежит в точности одному подпространству 方“，ибо если бы он имел ненулевые проекции на два таких подпространства, эти проекции определяли бы то же состояние, что и Ф (ибо g①—чистое состояние), а это невозможно (согласно упражнению 6.9). Таким образом,耽 есть объединение семейства взаимно ортогональных множеств 耽"=耽 С 方“，каждое из которых, будучи множеством всех чистых состояний, ассоциированных с факториальным представлением типа I, является (согласно лемме 6.4) тотальным и нераспадающимся в соответствующем подпространстве 方”. Следовательно,耽 тотально в 方.Тем самым доказана импликация (а.2)今(а). Заодно мы доказали единственность разложения в условии (а.2), ибо мы убедились, что это разложение полностью определяется разбиением 耽 на взаимно ортогональные зацепляющиеся системы, которое единственно (по лемме 6.3).
Докажем теперь импликацию (а)今(а.2). Согласно гипотезе (а), множество 耽 тотально в 方，что позволяет нам воспользоваться леммой 6.3. Нам остается убедиться, что разложение (6.10), осуществляемое этой леммой, обладает требуемыми свойствами. В действительности достаточно доказать лишь, что подпространства 方“ в (6.10) инвариантны относительно 21, ибо тогда свойство (а.2) будет следовать из леммы 6.4 (примененной к представлениям алгебры 21 в подпространствах 方“).Поскольку 耽"тотально в 方“，следует показать, что для любого Ф G 耽"выполнено включение 21Ф С 次Имеем: для А е 21 с АФ 力 0 состояние ①=g^ является чистым (см. упражнение 6.10), поэтому 21Ф\{0} С 耽.С другой стороны, 21Ф — линейное подпространство в 方，поэтому множество 21Ф\{0}, очевидно, является зацепляющейся системой и, значит, целиком лежит в одной из максимальных зацепляющихся систем семейства {^Iv}ven- Этим подмножеством является именно 耽“，поскольку 21Ф\{0} и 耽"имеют общий элемент Ф (= 1 • Ф). Тем самым установлена инвариантность подпространств 方“ относительно 21, что завершает доказательство предложения 6.5. А
пражнение 6.12. Доказать, что всякое представление, феноменологически эквивалентное неприводимому, является факториальным типа I. (Указание: воспользоваться эквивалентностью условий (а.1) и (а.2) предложения 6.5.)
Обратимся к структуре алгебры наблюдаемых фон Неймана 21. (Как уже отмечалось, мы отождествляем алгебру наблюдаемых 21 с ее образом тг(21) С % (%) при физическом представлении тг.) Условие (а.2) предложения 6.5 позволяет представить каждое из подпространств 方"в виде прямой суммы 函力"некоторого семейства Ку экземпляров одного и того же пространства 力"и, значит, представить 力 в виде двойной прямой суммы
Соответственно физическое представление принимает вид двойной прямой суммы
А = 7г(А)А = 7г(А)=Ф传而(4))・=Ф传而(4))・(6.12)(6.12)
А = 7г(А)
А = 7г(А)
=Ф传而(4))・
=Ф传而(4))・
(6.12)
(6.12)
где 彳"—неприводимое представление алгебры 21 в 力"，причем 彳"и 彳"/ унитарно неэквивалентны при ^ # ". Эта конструкция подробно расшифровывает смысл условия (а.2). Далее для нахождения 21 следует воспользоваться теоремой 1.31 (о бикоммутанте): 21 совпадает с повторным коммутантом алгебры 21 в % (%).
Вид коммутанта 21c находится с помощью двух предложений (обобщающих лемму Шура), которые мы приведем в качестве упражнений.
k〜
Упражнение 6.13. Пусть тг есть прямая сумма ㊉彳 некоторого семейства К экземпляров неприводимого представления 彳 алгебры 21; при этом 彳 действует в пространстве 方, а тг — в пространстве 方二㊉ 方〃 —прямой сумме семейства подпространств 方〃，тож- дественных пространству 方 и различаемых лишь индексом н Е К. Будем задавать произвольный оператор X изматрицей {X〃入 = Е~хХЕ\}^^ек операторов из 府(力), здесь Е* — изоморфизм 方 на 无Доказать, что тг(21)с состоит в точности из всех операторов X G 府(方)，у которых операторная матрица {X〃入} является числовой матрицей {/〃》}, где /〃入 G С. (Указание: воспользоваться упражнением 1.54.)
Упражнение 6.14. Пусть тг = ф тг^ есть прямая сумма попарно дизъюнктных фак
ториальных типа I представлений тг” алгебры 21, действующих в соответствующих подпространствах 方夕 Доказать, что тг(21)с = ф ^(21)°, т. е. оператор X из 府(方)=历(㊉方, коммутирует с тг(21) в точности тогда, "когда он оставляет инвариантным каждое из подпространств 方“ и коммутирует с ^(21) в каждом из подпространств 方”.(Указание: воспользоваться упражнением 1.55.)
Используя приведенные упражнения, нетрудно найти общий вид операторов бикоммутанта тг(21)сс = 21: это множество операторов вида
4 =号您丸)，
где {4"}"gn — произвольное семейство операторов таких, что 4“ е %(力“)и sup Щ/уЦ = IIА|| < оо. Отсюда, в частности, следует, что алгебра наблюдаемых фон Неймана 21 изоморфна (как С*-алгебра) прямой сумме ㊉ 府(方“)(действующей в ㊉北семейства алгебр
Упражнение 6.15. Пользуясь представлением (6.12), показать, что центр 3： алгебры наблюдаемых фон Неймана 21 ^определяемый как множество операторов из 21, коммутирующих со всеми операторами на 21) состоит из операторов вида
4 —㊉ civ • I”， a” G С,
где U — единичный оператор из 历(方“)；при этом выполнено условие sup|a“| = ||А|| < ос. Получить отсюда следующую характеристику подпространств 方“ в условии (а) предложения 6.5: подпространства 方“ —это максимальные подпространства в 方，которые инвариантны относительно центра Зив которых каждый оператор из 3 кратен единичному.
Один из результатов этого упражнения — то, что проекторы Еу на подпространства 方“ принадлежат алгебре наблюдаемых фон Неймана (и даже ее центру).
Б. Стандартные правила суперотбора. Очевидно, что изменение кратности (от 1 до оо), с которой входят неприводимые представления в физическое представление, оставляет его в том же классе феноменологически эквивалентных представле-
ний (см. упражнение 6.8). Поэтому, если в прямой сумме (6.12) оставить по одному представлению из каждого класса унитарно эквивалентных неприводимых представлений, то в результате мы придем (вообще говоря) к другому представлению, которое, однако, будет феноменологически эквивалентным исходному. Класс получаемых таким образом представлений может быть охарактеризован гипотезой (а) о дискретных правилах суперотбора, дополненной следующим требованием.
отеза коммутативности (дискретных) правил суперот- б о р а. Пусть 力I, как и выше, есть тотальное множество всех векторов в физическом гильбертовом пространстве 方，определяющих чистые состояния алгебры наблюдаемых 21. Тогда соответствие между чистыми состояниями из 6 и единичными лучами в 力I взаимно однозначно.
Теории, в которых наряду с условием (а) справедлива гипотеза (б), будем называть теориями со стандартными правилами суперотбора.
Следующее предложение оправдывает употребление слова «коммутативность» в названии гипотезы (б).
Предложение 6.6. Пусть выполнена гипотеза дискретных правил суперотбора и пусть (6.10) есть соответствующее разложение 3f, осуществленное на основании предложения 6.5. Тогда следующие условия эквивалентны между собой.
Чистые состояния находятся во взаимно однозначном соответствии с лучами 6 力，определяющими чистые состояния.
Представления алгебры 21 в подпространствах 方"неприводимы (“ унитарно неэквивалентны между собой).
Множество всех векторов в 方，определяющих чистые состояния, есть множество всех ненулевых векторов из U
Проектор {ортогональный) в Ж на любой вектор, определяющий чистое состояние, принадлежит алгебре фон Неймана 21.
Алгебра 21 имеет абелев коммутант 21е в % (%).
Мы ограничимся доказательством эквивалентности утверждений (6.2) и (6.5).
Пусть 7г(21) = ©^(21), где представления тг^ неприводимы и унитарно неэквивалентны между собой, и пусть В — ограниченный оператор в 方=㊉方八 коммутирующий со всеми операторами тг(21). В силу упражнения 6.14 В = 石“口”，где □“ — оператор проектирования на инвариантное подпространство 方“，а В^ е 历(方“)коммутирует с операторами ^(А). В силу неприводимости представления тг” оператор 石"кратен единичному оператору в 方”. Таким образом, коммутант тг(21)с состоит из операторов В вида
石二工 МП", где б” е С, sup |^| = ||В|| < ос.
Множество этих операторов, очевидно, коммутативно, что доказывает импликацию (6.2)今(6.5).
Обратное утверждение (6.5)今(6.2) будем доказывать от противного. Допустим, что коммутант 7г(21)с абелев и тем не менее в разложении 方=㊉方"хотя бы одно из подпространств 方“ приводимо. Следовательно, это 方“ содержит пару взаимно ортогональных подпространств, скажем 方1 и 方2, в которых подпредставления 斤i и 斤2 неприводимы и унитарно эквивалентны. Покажем, что подалгебра коммутанта тг(21)с, которая оставляет на месте подпространство 方1 ㊉方2 пространства 方，содержит некоммутирующие операторы.
Пусть, действительно, дано обратимое отображение %i：方1 т 方2 с обратным %2： 方2 —方 1 такое, что %i斤1(4)=斤2(4) %i,斤1(4) %2 = %2斤2(厶)для всех А е 21 (и 141^2 = =1 = %2%i)・ Обозначая векторы пространства 方i ㊉方2 в виде столбцов
мы можем задавать операторы в этом пространстве в виде 2 х 2-матриц с операторными элементами.
Нетрудно проверить, что операторы
/ 0巾1 0丿/ 0巾1 0丿ииП1 =П1 =Go)Go)коммутируют со всеми операторами представления тг(4)|方公方 /0 0\ / /0т-г "мутируют между собой: VIIi0丿？(0 0丿=口必коммутируют со всеми операторами представления тг(4)|方公方 /0 0\ / /0т-г "мутируют между собой: VIIi0丿？(0 0丿=口必产⑷0、I 0斤2(4丿产⑷0、I 0斤2(4丿но не ком-но не ком-Таким образом, мы пришли к противоречию с предположенной коммутативностью правил суперотбора, что доказывает импликацию (6.5)今(6.2).Таким образом, мы пришли к противоречию с предположенной коммутативностью правил суперотбора, что доказывает импликацию (6.5)今(6.2).
/ 0
巾1 0丿
/ 0
巾1 0丿
и
и
П1 =
П1 =
Go)
Go)
коммутируют со всеми операторами представления тг(4)|方公方 /0 0\ / /0т-г "
мутируют между собой: VIIi0丿？(0 0丿=口必
коммутируют со всеми операторами представления тг(4)|方公方 /0 0\ / /0т-г "
мутируют между собой: VIIi0丿？(0 0丿=口必
产⑷0、
I 0斤2(4丿
产⑷0、
I 0斤2(4丿
но не ком-
но не ком-
Таким образом, мы пришли к противоречию с предположенной коммутативностью правил суперотбора, что доказывает импликацию (6.5)今(6.2).
Таким образом, мы пришли к противоречию с предположенной коммутативностью правил суперотбора, что доказывает импликацию (6.5)今(6.2).
Упражнение 6.16. Доказать импликации (6.1)今(6.2)今(б.З)今(6.4)今(6.1).
В частности, мы можем сформулировать гипотезу стандартных правил суперотбора так: физическое пространство 力(единственным образом) разлагается в прямую сумму (6.10) инвариантных подпространств 力"，причем представления алгебры 21 в этих подпространствах неприводимы и попарно унитарно неэквивалентны. Благодаря этому справедлив аналог одного из основных положений элементарной квантовой механики: чистые состояния находятся во взаимно однозначном соответствии с единичными лучами в U%?・ Теперь принцип суперпозиции имеет место в ограниченной форме (а именно^ в пределах подпространств 方")：ненулевая линейная комбинация векторов чистых состояний есть вектор чистого состояния при условии, что все исходные векторы лежат в одном и том же подпространстве 力". Поэтому (см. также ниже упражнение 6.18) подпространства 力"называют когерентными подпространствами 6 力.Ограниченные операторы из % (%), кратные единичному на каждом из подпространств (т. е. фактически операторы из центра 3 алгебры наблюдаемых фон Неймана 21), называют суперотборными операторами, а совокупность всех таких операторов (или просто любое множество операторов, порождающих 3) называют правилами суперотбора. (Впрочем, в тривиальной ситуации, когда индекс в (6.10) пробегает только одно значение, т. е. когда имеется только одно когерентное подпространство 方"=力，говорят также об отсутствии (нетривиальных) правил суперотбора.)
(6.13)(6.13)Упражнение 6.17. Доказать, что в теории со стандартными правилами суперотбора алгебра наблюдаемых фон Неймана имеет вид
(6.13)
(6.13)
Упражнение 6.18. Доказать, что (при выполнении гипотезы стандартных правил суперотбора) секторы (т. е. максимальные нераспадающиеся множества состояний, см. п. 6.1.Б) находятся во взаимно однозначном соответствии с когерентными подпространствами.
Гипотеза стандартных правил суперотбора выделяет среди физически тождественных представлений (с дискретными правилами оператора) единственное (с точностью до унитарной эквивалентности) наиболее экономное представление. Если в общем разложении (6.12) кратности (т. е. мощности множеств KQ неприводимых представлений, входящих в физическое представление, интерпретировать как некие ненаблюдаемые степени свободы, то можно сказать, что условия (а) и (б) сводят до минимума подобную свободу. Это обстоятельство становится существенным при рассмотрении некоторых вопросов, в частности симметрий. Физические симметрии непосредственно формулируются в терминах наблюдаемых и состояний и вывести отсюда закон преобразования векторов физического гильбертова пространства нельзя. В этой связи значение гипотезы стандартных правил суперотбора состоит в том, что (как будет видно из дальнейшего) она сводит вопрос о преобразованиях векторов при
симметриях к известной теореме Вигнера. Для отдельно взятого преобразования (скажем, так называемых С-, Р- и Т-преобразований) неоднозначность трансформационного закона векторов состояний сводится к совокупности фазовых множителей (своего для каждого когерентного подпространства), а для некоторых групп симметрий (в частности, для собственной группы Пуанкаре) произвол удается уменьшить или полностью устранить.
В. Связь с калибровочными группами. В теории поля и физике элементарных частиц стандартные правила суперотбора возникают в результате следующей конструкции. Имеется связная компактная n-параметрическая абелева группа G = =U⑴71 = U(l) х ... х U(l), называемая в данном контексте калибровочной группой. Произвольный элемент этой группы есть набор 八 фазовых множителей:
g =(S1,…，sn) =(£通，，£必九)， Q W %Y 27r.(6.14)
В физическом гильбертовом пространстве 方 задается точное унитарное представление 〃 группы G. Соответствующие калибровочные преобразования в 力 имеют вид
〃(g) = sfi ...S?九=e"aiQi + “・+a九Q九).(6.15)
Входящие сюда генераторы Qi, , Qn калибровочных преобразований являются взаимно коммутирующими самосопряженными операторами с целочисленным спектром; они называются зарядами (соответствующими данной калибровочной группе). Тогда 3f разлагается в прямую сумму
" Ф %①，…")(6.16)
qi,...qneZ
соответствующих спектральных подпространств, состоящих из всех векторов Ф таких, что (Qj — qj) Ф = 0, j = 1, ..., п. Полагают теперь, что произвольный ненулевой вектор ① G 力 определяет чистое состояние алгебры наблюдаемых 21 в точности тогда, когда он является собственным вектором для всех зарядов. Тем самым в Ж заданы стандартные правила суперотбора, причем (6.16) есть разложение Ж в прямую сумму когерентных подпространств %(%,..., qn).
Эквивалентный способ задания этих правил суперотбора можно осуществить, выделив алгебру наблюдаемых фон Неймана 21 как подалгебру в % (%). Для этого определим калибровочные преобразования в % (%):
4 一 〃①)4〃(g)T,4е%(%).(6.17)
Упражнение 6.19. Доказать, что в приведенной конструкции правил суперотбора ограниченный оператор А 6 府(方)принадлежит алгебре наблюдаемых фон Неймана в точности тогда, когда он инвариантен относительно всех калибровочных преобразований группы G. Кроме того, показать, что
&〃(д)①二 &① для всех ① е 方\{0}, g EG.(6.18)
Итак, имеется следующая характеристика алгебры наблюдаемых фон Неймана: 21 состоит в точности из всех операторов из %(/, остающихся неизменными при калибровочных преобразованиях группы G.
Упражнение 6.20. В приведенной конструкции правил суперотбора доказать, что ограниченный оператор в 方 является суперотборным, если он является (ограниченной) функцией от зарядов, и что центр 3 алгебры наблюдаемых фон Неймана есть бикоммутант множества 三{〃(g): g G G} калибровочных преобразований:
Унитарные операторы из центра 3 алгебры наблюдаемых фон Неймана иногда называют обобщенными калибровочными преобразованиями.
На данном этапе изложения довольно трудно усмотреть, почему между всеми унитарными суперотборными операторами явное предпочтение отдается калибровочным преобразованиям. (Ведь с равным успехом алгебра 21 могла бы быть охарактеризована как множество всех операторов 74 G历(方)таких, что UAU~X = А для всех унитарных суперотборных операторов U.) Дело не только в том, что калибровочные преобразования дают компактный способ описания правил суперотбора. В дальнейшем (начиная с гл. 8) мы рассматриваем локальные полевые структуры, и значение калибровочных преобразований состоит в том, что они (в отличие от общих унитарных суперотборных операторов) сохраняют локальные структуры. Это имеет непосредственное отношение к тому факту, что в традиционном каноническом формализме теории поля операторы зарядов (в отличие от произвольных операторов, присоединенных к Z) являются трехмерными интегралами от локальных токов.
Современная ситуация в физике элементарных частиц довольно хорошо согласуется с предположением, что правила суперотбора можно описать электрическим Q(=Qi), барионным В (= Q2) и лептонным L (= Q3) зарядами ), так что разложение на когерентные подпространства имеет вид
%=㊉ 方g, b, /). (6.20)
q,b,leZ
Отметим, что правило суперотбора по валентности (представлений группы вращений), указанное в начале п. 6.2.А, не является независимым благодаря эмпирическому сооtношению /丄 Т 、
) (6.21) фигурирующий здесь оператор F - В + L (6 22) можно назвать фермионным зарядом.
При интерпретации состояний в терминах бозе- и ферми-частиц (подробнее об этом в гл. 7) F принимает нечетное значение в точности тогда, когда состояние содержит нечетное число ферми-частиц ). Поэтому соотношение (6.21) есть выражение (нормальной) связи спина со статистикой: состояния с четным (нечетным) числом фермионов преобразуются по однозначным (двузначным) представлениям группы вращений (а также группы Пуанкаре). Это правило доказывается в теории поля (см. гл. 9).
Г. Пример неабелевой калибровочной группы. Мы уже отмечали в начале этого параграфа, что гипотеза о стандартных правилах суперотбора не является обязательной. Более того, в современной теории элементарных частиц весьма популярна гипотеза о существовании строгой (калибровочной) SU(З)-симметрии, называемой цветной SU(3) (и обозначаемой SU(3)c). Наличие такой симметрии призвано объяснить, почему с точки зрения модели кварков все наблюдаемые адроны являются связанными состояниями либо трех кварков,
либо кварка и антикварка. Ненарушенность цветной симметрии ответственна по этим представлениям за то, что свободные кварки и (цветные) глюоны не наблюдаются.
Оператор кваркового поля 吵^,分(力)зависит от точки пространства-времени и еще от трех индексов: спинорного индекса а (= 1, 2, 3, 4), нумерующего две проекции спина и разграничивающего частицы и античастицы, индекса а, задающего зарядовое состояние кварка (точнее, его заряд, гиперзаряд, «очарование» и т. д.) и, наконец, индекса г (= 1, 2, 3), определяющего «цвет». Мы ограничимся в иллюстративных целях простейшей моделью, в которой сохранены лишь степени свободы, соответствующие цвету и состояниям «частиц- античастиц» ).
Рассмотрим систему из шести антикоммутирующих между собой (ферми-)операторов qf, г = 1, 2, 3, г = ±, и их эрмитово сопряженные qf . Предположим, что операторы q н q* удовлетворяют каноническим антиперестановочным соотношениям, в частности
[或，小]+ =或书* +书* 或=闲/；分,j = 1, 2, 3, w 〃 = 土.(6.23)
Эти операторы порождают конечномерную алгебру, которую назовем алгеброй полей и обозначим через 务.(Эта терминология будет оправдана в дальнейшем, см. гл. 8, 10; сейчас заметим, что .» соответствует алгебре 团(川 всех ограниченных операторов в изложении предыдущего пункта.)
Определим в .» действие неабелевой калибровочной группы автоморфизмов (7(3) таким образом, что
(6.24а) ©)* T (厂儿①)*,Т (「儿万*； "三е и(3).
Эрмитовы генераторы алгебры Ли этой группы просто выражаются через операторы q н q*:
匕=(广*儿广 + q-入aq-*),a = 1,, 8,
(6.246) 石=^(N+—),№ = q；*q，£ = 土，
где Aa — полная система ортонормированных бесследовых эрмитовых 3 х 3-матриц с условием нормировки trХаХь = bab, a, 5 = 1,, 8 (называемых матрицами Гелл-Мана). Здесь и в
дальнейшем по повторному индексу i подразумевается суммирование от 1 до 3.
Алгебра наблюдаемых 21 есть по определению подалгебра калибровочно-инвариантных элементов алгебры .». Она порождается (единицей и) своими элементами второго порядка
при помощи алгебраических операций. Наблюдаемые ^+ и N_ будем интерпретировать как операторы чисел кварков и антикварков соответственно. Центр алгебры 21 порождается двумя операторами Казимира группы SU(3) и барионным зарядом В (6.246). Собственные значения операторов Казимира группы SU(3) выражаются через пару целых неотрицательных чисел (г+, г_), определяющих ее неприводимые представления ).
Пространство 方，в котором реализуется физическое представление алгебр 21 и 5, определим как пространство Фока для операторов q н q* с инвариантным вакуумным вектором I 0 >, аннигилируемым операторами q: q}|0〉= 0. При таком определении 3 совпадает с множеством всех линейных операторов в конечномерном пространстве 方(и, следовательно, представление алгебры полей неприводимо). Представление же алгебры наблюдаемых 21 приводимо и разлагается на факториальные компоненты, нумеруемые тремя числами (г+, г_) и В, задающими неприводимые представления калибровочной группы:
贸=贸=(6.25a)(6.25a)(㊉ 方㊉㊉ 方俨)㊉死
贸=
贸=
(6.25a)
(6.25a)
、8 = —1,0,1丿 VB = l/3,-2/3 丿 VB = -l/3,2/3 丿
Все пространства 方^+「一)содержат данное неприводимое представление алгебры 21 с кратностью, равной размерности представления (г+,厂一)группы SU(3).
Отметим, что размерности самих подпространств 贸%+丁-)выше, чем размерности соответствующих представлений калибровочной группы. Так, подпространство 方］°°), соответствующее единичному представлению группы G, четырехмерно. Оно натянуто на вектор вакуума 10) и на векторы 沙-мезонных состояний (沙二 1, 2, 3):
А*|0>, ^(Л*)2|0>, ^(А*)3|0> .
(Мы предоставляем читателю проверить, пользуясь перестановочным соотношением(Мы предоставляем читателю проверить, пользуясь перестановочным соотношением=1 - 5=1 - 5a N =a N =^, где N = ^+ + N_, что выбранные таким образом базисные векторы подпрост^, где N = ^+ + N_, что выбранные таким образом базисные векторы подпространства *ранства *^°°)с квантовыми числами вакуума ортонормированы.) Пространство 方；；? девяти^°°)с квантовыми числами вакуума ортонормированы.) Пространство 方；；? девятимерно. Оно натянуто на однокварковые состояния, на состояния с одним кварком и с одниммерно. Оно натянуто на однокварковые состояния, на состояния с одним кварком и с одниммезоном и на состояния с одним кварком и двумя мезонами. Состояния с разными числами мезонов отличаются физически (например, средними значениями наблюдаемой А*А), в томезоном и на состояния с одним кварком и двумя мезонами. Состояния с разными числами мезонов отличаются физически (например, средними значениями наблюдаемой А*А), в то
(Мы предоставляем читателю проверить, пользуясь перестановочным соотношением
(Мы предоставляем читателю проверить, пользуясь перестановочным соотношением
=1 - 5
=1 - 5
a N =
a N =
^, где N = ^+ + N_, что выбранные таким образом базисные векторы подпрост
^, где N = ^+ + N_, что выбранные таким образом базисные векторы подпрост
ранства *
ранства *
^°°)с квантовыми числами вакуума ортонормированы.) Пространство 方；；? девяти
^°°)с квантовыми числами вакуума ортонормированы.) Пространство 方；；? девяти
мерно. Оно натянуто на однокварковые состояния, на состояния с одним кварком и с одним
мерно. Оно натянуто на однокварковые состояния, на состояния с одним кварком и с одним
мезоном и на состояния с одним кварком и двумя мезонами. Состояния с разными числами мезонов отличаются физически (например, средними значениями наблюдаемой А*А), в то
мезоном и на состояния с одним кварком и двумя мезонами. Состояния с разными числами мезонов отличаются физически (например, средними значениями наблюдаемой А*А), в то
время как состояния с данным числом мезонов, но с кварками разного цвета неотличимы. Таким образом, в 方;;? трижды содержится трехмерное неприводимое представление алгебры наблюдаемых. То же представление 21 содержится восемь раз в подпространстве 方£" векторов состояний с квантовыми числами одного глюона.
В согласии с предложением 6.6 описанному вырождению представлений алгебры 21 соответствует некоммутативность операторов 匕 из коммутанта алгебры 21. С другой стороны, как это отмечалось в общем случае в п. 6.2.Б, существует феноменологически эквивалентное представление алгебры наблюдаемых, в котором реализуются стандартные правила суперотбора. В этом случае пространство 方^牙 содержит наряду с шестимерным подпространством «бесцветных адронов»
? ㊉方*) (6.256)
8=0,±1
(остающимся без изменения) еще пять трехмерных подпространств, соответствующих следующим слагаемым в разложении (6.25а). В общей сложности (21-мерное) пространство 方^牙 разлагается в прямую сумму восьми когерентных подпространств, в которых реализуются неэквивалентные неприводимые представления алгебры наблюдаемых.
Заметим, что гипотезе удержания («конфайнмента») кварков в данном контексте соответствует ограничение физического гильбертова пространства до пространства (6.256), что означает ограничение алгебры «физических» полей до алгебры наблюдаемых с добавлением операторов рождения и уничтожения барионов (q；q$qf)(*), £ = + или —.
Симметрии в алгебраическом подходе
А. Понятие симметрии. Под симметрией понимают преобразование физической системы, не изменяющее ее структурных свойств. В рассматриваемом контексте физическая система характеризуется алгеброй наблюдаемых 21 и множеством сос-
тояний 5(21). Соответственно определим симметрию как пару биекций ) а: 21 — 21 и а/: 5(21) — 5(21), удовлетворяющих условию согласования:
(q'5(q4) = s(4) для всех А 6 21, s е 5(21).(6.26)
Конечно, было бы разумно наложить еще некоторые условия непрерывности биений а и а7, а также потребовать, чтобы а сохраняло алгебраические операции, присущие множеству наблюдаемых. Однако замечательно, что подобные свойства отображений апо/ удается извлечь уже из условия (6.26). Кроме того, как мы увидим, одной из биекций а, а/ достаточно для характеристики симметрии (ибо вторая биекция тогда полностью определена соотношениями (6.26); см. ниже упражнение 6.21). Поэтому, допуская терминологическую вольность, мы будем называть симметрией также одну из биекций а, а/.
Очевидно, что множество всех симметрий физической системы образует группу с умножением, определяемым композицией биекций. (Произведение двух симметрий (а, а7) и (/3, /У) есть симметрия (сф, а'。)，где (а/3)(4) = а[(3{А)] и (а//3')(5 =
Если придерживаться точки зрения, что физически необходимо задать лишь закон преобразования (эрмитовых) наблюдаемых, то мы можем воспользоваться свойством (6.26), чтобы доопределить отображение а, заданное первоначально как биекция 21 九 т 21 九 эрмитовых элементов алгебры. (Действительно, любой элемент А 6 21 однозначно представим в виде А = Ai + 分厶2, где Ai, А2 6 21^, и, чтобы удовлетворить (6.26), следует положить а(4)= =а(А{) + 沁(4).)
Соотношение (6.26) можно интерпретировать так, будто преобразование симметрии сводится лишь к изменению параметризации наблюдаемых и состояний, при котором непосредственно измеряемые величины (в данном случае средние значения) не меняются. Это так называемая «пассивная» точка зрения на симметрии. Возможна и «активная» точка зрения, когда считают, что под действием симметрии преобразуются лишь наблюдаемые посредством отображения а, состояния же остаются неизменными (так называемая картина Гейзенберга), либо когда преобразуются состояния посредством отображения с/, а наблюдаемые остаются неизменными (картина Шредингера). В существенном все эти трактовки симметрии эквивалентны (ибо биекции а и а! взаимосвязаны), и выбор точки зрения определяется лишь соображением удобства.
Назовем отображение о/ множества состояний 5(21) в себя аффинным, если оно сохраняет выпуклые линейные комбинации:
ос [Acc^i + (1 — А) ^2] =) + (1 — А) с/(с<?2),0 А 1.
Упражнение 6.21. Пусть (а, а') и (仇 0) — две симметрии системы (21, 5(21)). Доказать, что а = /3 в точности тогда, когда с/ = /У. (Указание: использовать упражнение 6.1.)
Упражнение 6.22. Если (а, а') — симметрия, то
а(А*) = а(А)*, А е 21.(6.27)
(Указание: положить й(А) = а(4*)*, тогда (й, с/) — симметрия; далее воспользоваться предыдущим упражнением.)
Упражнение 6.23. Пусть (й, с/) есть симметрия. Доказать, что ос является аффинным и *-слабо непрерывным отображением, а а — линейным отображением. (Указание: заметить, что ^[Асл + (1 — /Х)&2]⑷=[Асл + (1 — А) ш^а-1^, и вспомнить, что ^-слабая
топология есть слабейшая топология, для которой отображение ш т &(厶)непрерывно при любом А 6 21. При доказательстве линейности отображения воспользоваться упражнением 6.1, из которого следует, что условие (c/g)(石)=0 для всех g G 5(21) влечет В = 0.)
Если симметрия d задана первоначально лишь на множестве «физических» состояний S (относительно которого мы здесь предполагаем, что оно различает положительные элементы из 21 и, значит, плотно в 5(21) в *-сла6ой топологии), то результат упражнения 6.23 позволяет продолжить о/ по непрерывности на 5(21) так, что
(q'5(q4) = s(4) для всех s 6 5(21), А 6 21.(6.28)
Это продолжение (которое мы по-прежнему обозначаем посредством о/) также является биекцией 5(21) на себя, ибо у него есть обратное — продолжение af~x.
Упражнение 6.24. Пусть (а, с/) есть симметрия. Доказать, что
||а(А)|| = ||А|| для всех А е 吸九.(6.29)
(Указание: воспользоваться равенством (6.28) и формулой для нормы элементов А 6 21^
II川I = sup {|^(А)|： G е S(%)}・
В свою очередь эта формула легко доказывается для операторных алгебр; в качестве состояний достаточно при этом привлечь только векторные состояния. В случае абстрактных алгебр можно воспользоваться теоремой 1.28 Гельфанда-Наймарка.)
Из приведенных упражнений следует, что а есть линейный гомеоморфизм. Следовательно, равенство (6.26) (или (6.28)) можно интерпретировать так: о/ есть сужение на S (или на 5(21)) оператора, сопряженного к а-1.
Предложение 6.7. Пусть отображение а/ множества физических состояний 6 порождено симметрией. Тогда а/ является аффинным ^-слабо непрерывным гомеоморфизмом, причем
||аЛ — с/(&2)|| = |心1 —幻2丨| щш всех 匂，&2 G S(6.30)
(т. е. а/ является изометриеи).
< Благодаря упражнению 6.23 остается доказать лишь оценку (6.30). Применим к эрмитову функционалу с/©) — с/®) упражнение 1.53:
- ^(^2)|| = sup |(a%i)(4) - (а%2)(4)| = sup |(^i - &2)(&-1(4)|.
Теперь (6.30) следует из соотношения (6.29). А
Упражнение 6.25. Пусть (а, а') — симметрия. Доказать, что биекция ос отображает чистые состояния на чистые состояния с сохранением вероятностей перехода и что если S — сектор в PS(2l), то c/(S) — также сектор. (Указание: из сохранения вероятностей перехода при отображении следует, что c/(S) есть нераспадающееся множество чистых состояний в точности тогда, когда таковым является S; воспользоваться далее определением сектора как максимального нераспадающегося подмножества в PS(2l).)
В элементарной квантовой механике имеется замечательная теорема Вигнера, дающая характеризацию симметрий в терминах отображения о/. В этом случае 21 = % (%), а множество 6 всех чистых физических состояний находится (по формуле (6.2)) во взаимно однозначном соответствии 以口 j И с множеством
夕={пе%1(%)： п* = п = п2}(6.31)
18 Н. Н. Боголюбов и др.
всех одномерных (ортогональных) проекторов в 方；при этом вероятность перехода между двумя чистыми состояниями имеет вид
^n1 • 8h2 = tr (口1口2).(6.32)
Следовательно, отображение af, порожденное симметрией и суженное на множество S, можно трактовать (после отождествления S с 夕)как биекцию т\ ЗР ЗР, сохраняющую вероятности перехода (6.32). Теорема Вигнера утверждает, что это свойство отображения 丁 является характеристическим свойством симметрии; более того, всякая симметрия а унитарно или антиунитарно порождена в том смысле, что существует унитарный или антиунитарный оператор U в % такой, что для всех А 6 33 «С)
а(4) = UAU~X при унитарном U,(6.33а)
а⑷=U^U~x при антиунитарном U,(6.336)
Приведем теперь (в несколько более общем контексте) формулировку теоремы Вигнера, значение которой выходит за рамки элементарной квантовой механики.
Теорема 6.8 (Вигнера). Пусть ^ и ^г — множества всех одномерных проекторов 6 гильбертовых пространствах 方 и 力 соответственно. Если задана биекция 丁：夕—"(丁(口) = П7) такая, что
tr (П1П2) = tr (П1П2) для всех Пь П2 е 夕，(6.34)
то существует либо унитарный, либо антиунитарный ) оператор U: % — Ж' такой, что,
□/ =u口и-1 для всех не 彳.(6.35)
Оператор U определен этим условием с точностью до произвольного фазового множителя.
Б. Доказательство и обсуждение теоремы Вигнера. Рассмотрим алгебру 夕 всех операторов конечного ранга и множество 师 всех эрмитовых элементов из .歹；夕 есть ^-алгебра (без единицы при dim% = 00). Основной шаг в доказательстве теоремы 6.8 состоит в построении биекции 丁：夕—孑，продолжающей отображение 彳—彳'п обладающей свойствами:
(а) отображение 丁 линейно: т(АА + 〃6) = Ат(А) + 〃丁(6),
“нбот(АВ) = т(А) т(В) при всех А, В G，(6.36)
либ°т(АВ) = т(В)т(А) при всех А, В G，(6.37)
(7)丁(4*) = 丁(4)* при всех А е F.
Замечание. Вместо условия (/3) можно было бы потребовать, чтобы всегда выполнялось условие (6.36), но при этом допустить вместо (а), что отображение г либо линейно, либо антилинейно. (Действительно, для этого в случае, когда имеет место (6.37), следует заменить т(А) на 丁⑷*.)
Лемма 6.9. Всякий оператор А 6 ^ однозначно определяется значениями trIL4 при всех И е 夕，т. е. trIL4 = 0 при всех И е 夕 влечет 4 = 0.
< Матричный элемент (Ф, АФ) при любых ①，W G 方 представим в виде tr АВ, где В = |Ф)(Ф| 6 守.С другой стороны, всякий оператор из В 6 ^ есть конечная линейная
комбинация одномерных проекторов, так как он представим в виде В = Bi + iB% где 石 1,2 6 6 ^, а для эрмитовых элементов из .» это следует автоматически из их спектрального разложения. (Нетрудно построить и явное разложение оператора |Ф)(Ф| по одномерным проекторам.) А
Определим теперь отображение т: .» т .笋 посредством
кт(П) т(А) (= tr nzr(A)) = tr ПА, А е 灰(6.38)
В силу доказанной леммы, если оператор т(4), удовлетворяющий (6.38), существует, то он единствен. Существование же такого оператора следует из использованного выше утверждения, что .» есть линейная оболочка 夕，и из условия теоремы.
Свойство (а) отображения г очевидно из (6.38). Проверим свойство (7). При всех П 6 ^ и А е имеем
1гПт(А*) = кПА* = trA*n ==任口什⑷=任口大厶)*;
(7)следует отсюда на основании леммы.
Заметим, что равенство (6.38) можно распространить по линейности:
^т{А) т(В) = tr АВ при всех А, В е ^.(6.39)
Аппроксимируя единичный оператор в 方 конечномерными проекторами, отсюда получаем также
tr т(А) = h А при всех А е 灰(6.40)
Прежде чем доказывать свойство (/3), выведем более слабое свойство:
т(АВ) + т(ВА) = т(А) т(В) + т(В) т(А) при всех А, В G 部卜・ (6.41)
В силу тождества АВ + В А = (А + В)2 — А2 — В2 свойство (6.41) следует из более специального свойства т(А2) = [т(4)『 при всех A G 夕九，которое в свою очередь вытекает из спектрального разложения А по взаимно ортогональным проекторам (А = £А7 n；• =Ф А2 =
Упражнение 6.26. Показать, что альтернатива ⑻ эквивалентна альтернативе: либо
tr т(А) т(В) т(С) = tr (АВС) при всех А, В, С е .^,(6.42)
tr т(А) т(В) т(С) = tr {С В А) при всех А, В, С е(6.43)
Покажем, что альтернатива (6.42), (6.43) имеет место для операторов вида |Ф)(Ф|. Множество R+^ этих операторов (состоящее из всех неотрицательных операторов в 方 ранга < 1 или, эквивалентно, из всех операторов вида рП, П 6 ^, р > 0) переходит в множество того же типа при отображении г, а его линейная оболочка есть вся алгебра 务.Поэтому из справедливости нашей альтернативы на /?+^ будет сразу следовать ее справедливость на всем 况
Упражнение 6.27. Показать, что
|tr(T(A)r(B)T(C)| = |tr(ABC)|,(6.44)
Re tr (т(А) т(В)т(С)) = Re tr (ABC)(6.45)
при всех А, В, C e R+^. (Указание: при проверке равенства (6.44) использовать, что для операторов вида |Ф)(Ф| справедливо тождество |tr {АВС)^ = tr (АВ) tr (ВС) tr (СА), и учесть (6.39); для вывода (6.45) заметить, что 2Re tr (ABC) = tr ((AB + BA) С) при всех А, В, C G 少％ и использовать (6.39), (6.41).)
Из (6.44) и (6.45) следует, что
Im tr (т(А) т(В) т(С)) = ±Im tr (АВС) при всех А, В, С е 1?+^,(6.46)
где априори выбор знака в правой части может зависеть от тройки операторов А, В, С. Покажем, что на самом деле знак не зависит от выбора тройки.
Будем доказывать эту независимость от противного. Для этой цели введем функции
/± (4 В С) = Im [tr (т(А) 丁宙)т(。))土 tr (ABC)]
и предположим, что существуют два набора (若。，Во, Со) и (Ai, В,。1) из R+^ такие, что /+(Л, Во, Со) R О R /-(Ль В, G).(6.47)
Пусть Ao = I①о〉〈①о|, Ai = |Ф1)(Ф1|; определим At = |①»俚力|, где ①力=(1 —力)①о +及力. Аналогично определим операторы Bt и Ct. Функции /±(А^,石，Ct) являются полиномами по t, ни один из которых не равен тождественно нулю (в силу (6.47)). Следовательно, существует t, для которого они одновременно отличны от нуля, что противоречит (6.46).
Итак, знак в (6.46) один и тот же для всех А, В, С Е R^^. Если это плюс, то равенства (6.45), (6.46) в совокупности эквивалентны равенству (6.42); в случае знака минус они эквивалентны (6.43).
Таким образом, мы завершили доказательство свойств (а), (/3), (7) и можем приступить к построению оператора U. Этот оператор окажется унитарным, если имеет место (6.42), и антиунитарным, если справедливо (6.43). Мы приведем эту конструкцию для второго случая, предоставляя читателю сделать необходимые модификации при рассмотрении первого случая.
Фиксируем единичный вектор ① G 方 н сопоставим каждому вектору Ф пару операторов Sy = |Ф)(Ф| и ТФ = |Ф)(Ф|
ранга W 1, которые, очевидно, обладают свойствами:
S^ = Sy, S^ = (trSy) S*(6.48)
ТфТФ = (trSy) S①， ТФТф = Sy.(6.49)
Из доказанных выше свойств отображения г следует, что равенства (6.48) сохраняются при замене Sy на t(S^), в то время как (6.49) в силу (6.43) переходит в соотношения
т(Т^т(Т^ = hr(S^T(S^, т(ТФ)*т(ТФ) =т(5Ф).(6.50)
Из нового равенства типа (6.48) следует, что можно найти единичный вектор ①/ в * такой, чтот(5Ф) = 5Ф/ = |Ф，ХФ，|.(6.51)
Упражнение 6.28. Показать, что при данном ①/ существует однозначно определенный вектор 亚 G такой, что…(6.52)
(Указание: воспользоваться равенством (6.50) и леммой 6.9.)
Теперь мы определим оператор U равенством
U^ = ^г при всех We"
Введенный таким образом оператор U, во-первых, антилинеен; во-вторых, он изометричен (что следует из второго равенства (6.49) и из (6.40)); в-третьих, U отображает 方 на все 力, так как из равенства t(S^) = Sy/ и из предположения теоремы (что соответствие 夕 т 夕/ является биекцией) следует, что Sy/ пробегает все множество К+夕，когда Ф пробегает 方. Следовательно, оператор U антиунитарен. Далее, из цепочки очевидных равенств
t(Sw) = Sy/ = |U〉〈U| = U|W〉〈W| U* = USyU—
следует, что U удовлетворяет и (6.35). Значит, U есть искомый антиунитарный оператор.
Заметим, что весь произвол в выборе оператора U сводится к произволу в выборе вектора ①[удовлетворяющему условию (6.51).
Упражнение 6.29. Показать, что если U и Uf — два оператора, удовлетворяющие условию теоремы 6.8, то они отличаются лишь фазовым множителем: Uf = ^U (a G К).
Этим завершается доказательство теоремы Вигнера.
Упражнение 6.30. Пусть биекция т:夕 т 夕 удовлетворяет условию теоремы Вигнера (при 方=*、и пусть а = т о т. Доказать, что симметрия а унитарно порождена, т. е. что существует унитарный оператор V в 方 такой, что (т(П) = УПУ-1 для всех И G 夕.(Ук аз а н и е: в качестве V можно взять U2, где U определен теоремой 6.8.)
В качестве следствия из теоремы Вигнера имеем алгебраическую характеризацию симметрии.
Предложение 6.10. Пусть (а, а/) есть симметриям тогда отображение а: 21 — 21 есть автоморфизм Иордана, т. е. а есть линейная биекция 21 на себя, причем &(厶2)= (q⑷)2 При всех 4 G 2(. (6.53)
< Поскольку линейность а была установлена ранее, остается проверить свойство (6.53). Пусть тг — произвольное неприводимое представление алгебры 21 в некотором гильбертовом пространстве 方.В силу предложения 6.2 PS^ есть сектор в PS(2l), состояния которого находятся во взаимно однозначном соответствии с одномерными проекторами в 方.Упражнение 6.25 показывает, что с/ отображает с сохранением вероятностей перехода сектор PS^ на некоторый (возможно, другой) сектор PS7r/, где тг' — некоторое неприводимое представление алгебры 21 в гильбертовом пространстве 弘'.Следовательно, задана биекция И т □' множества всех одномерных проекторов. Так как (согласно замечанию в п. 6.1.В) вероятность перехода между двумя состояниями из PS^ (и аналогично из PSQ имеет обычный квантовомеханический вид (6.7), то биекция г удовлетворяет условию теоремы Вигнера 6.8. Пусть U — соответствующий унитарный или антиунитарный оператор, удовлетворяющий (6.35). Тогда для любого g 三 以口 G PS^ и А е 21 имеем
(а^ХаА) = tr (口片/①用)=tr (U□ 0—7/94)) = tr (П^-^тг^аА))^^)(6.54)
(где знак (*) означает эрмитово сопряжение, если оператор U антиунитарен и оставляет тг^аА) неизменным, если U унитарен). С другой стороны, левая часть в (6.54) есть cj(A) = tr (Птг(А)), откуда (в силу произвольности П) заключаем:
7г(Л) = ,
или, эквивалентно,или, эквивалентно,тг^аА) = Utv(A)^U~1 .тг^аА) = Utv(A)^U~1 .(6.55)(6.55)
или, эквивалентно,
или, эквивалентно,
тг^аА) = Utv(A)^U~1 .
тг^аА) = Utv(A)^U~1 .
(6.55)
(6.55)
Из последнего равенства легко следует ^[(^(А2)] = ^[(аА)2]. Переходя к состояниям, получаем ^^(А2)] = /[(сМ)] для всех J 6 PS^ и, значит (в силу произвольности тг, а вместе с ним и тг'), для всех g 6 PS(^). Поскольку совокупность всех чистых состояний отделяет элементы алгебры 21, мы приходим теперь к соотношению (6.53). А
В частности, применяя предложение 6.10 к элементам А + В, А и В, находим
(6.56)(6.56)а{АВ + В А) = а(4) а(6) + а(6) а(4).
(6.56)
(6.56)
Часто именно это свойство (вместе с (6.27) и линейностью а) берется в качестве определения гомоморфизма Иордана С*-алгебры.
Напомним, что априори физический смысл придается лишь эрмитовым элементам алгебры наблюдаемых и множество 21^ этих эрмитовых элементов обладает структурой алгебры Иордана. В свете этого результат предложения 6.10 выглядит очень естественным, ибо он показывает, что симметрия воспроизводит алгебраические операции, присущие 21 九.Класс автоморфизмов Иордана алгебры 21, вообще говоря, более широк, чем класс алгебраических автоморфизмов (когда — наряду с (6.27) и линейностью а — требуется: а(АВ) = а(4) а(В) при А, В 6 21). Такое расширение имеет важный физический смысл. Это видно из элементарной квантовой механики, где имеются антиунитарно порождаемые симметрии (например, отражение времени), для которых биекция а является алгебраическим антиавтоморфиз-
мом ) (т. е. а линейна, а(4)* = а(4)* и а(АВ) = а(М)а⑷).Алгебраические автоморфизмы и алгебраические антиавтоморфизмы составляют уже вполне достаточный для приложений класс иордановых автоморфизмов ).
Упражнение 6.31. Пусть симметрия (а, а7) является квадратом некоторой симметрии (/3, /?/) (т. е. а = /3 • /3). Доказать, что тогда а является алгебраическим автоморфизмом. (Указание: с помощью упражнения 6.30 уточнить, что оператор U, использованный в доказательстве предложения 6.10, является унитарным; тогда из (6.55) следует, что ^[а^АВ)]= =7г'(ат4) 7г'(а石)при всех А, В 6 21 и при любом неприводимом представлении 7г\)
До сих пор мы имели дело прежде всего с поведением наблюдаемых и состояний при преобразовании симметрии. Задача о трансформационных свойствах векторов физического гильбертова пространства состоит в том, чтобы указать закон преобразования (биекцию)①—①/ векторов, который был бы согласован с преобразованием векторных состояний:
①)， ①㊂力 (6.57)
О такой биекции ① т ①/ мы будем говорить как о преобразовании векторов в 力 порождающем симметрию (а, а/) (или даже просто как о симметрии). Однако условия согласования недостаточно для того, чтобы однозначно фиксировать трансформационные свойства векторов в 力.Дело в том, что параметризация (векторных) состояний векторами гильбертова пространства неоднозначна, и в случае нестандартных правил суперотбора этот произвол может быть весьма значителен (в п. 6.2.Б мы интерпретировали его как ненаблюдаемые степени свободы). Здесь мы ограничимся случаем стандартных правил суперотбора, предполагая, что симметрия d оставляет инвариантным множество состояний S, ассоциированных с физическим представлением алгебры 21 (см. постулат А.П) ).
В частности, когда все пространство 3€ когерентно (что соответствует квантовомеханической системе фиксированного числа и типа частиц), теорема Вигнера позволяет задать закон преобразования векторов в виде
①/ = U①， (6.58)
где U — унитарный или антиунитарный оператор, определенный с точностью до фазового множителя: преобразование
и — и' = х。， (6.59)
где х G °， 1x1 = 1， очевидно, не меняет (анти) автоморфизма алгебры 21.
Предложение 6.11. Пусть физическое представление алгебры наблюдаемых 21 6 гильбертовом пространстве Ж обладает стандартными правилами суперотбора и пусть алгебраический автоморфизм {или антиавтоморфизм) а алгебры 21 определяет симметрию (а, а/), оставляющую множество физических состояний 6 инвариантным. Тогда эта симметрия порождена унитарным {соответственно антиунитарным) оператором U в 力 причем существует биекция и т " множества индексов N (нумерующих когерентные подпространства 6 / на себя, так что U унитарно или антиунитарно отображает когерентное подпространство %5” на 力Оператор U определен этими условиями с точностью до произвольного унитарного суперотборного оператора, т. е. вместо U можно с равным успехом взять (6.59), где х ——произвольный унитарный суперотборный оператор.
< Мы ограничимся случаем алгебраического автоморфизма а. Пусть Sy — сектор чистых состояний, определяемых векторами когерентного подпространства 方”.Согласно упражнению (6.25) c/(S") есть также сектор в PS(^). Кроме того, по определению c/(S") содержится в 6 — множестве состояний, определяемых матрицами плотности в 方.Отсюда следует, что c/(S") = S”/ для некоторого индекса 沙'.Рассуждая далее, как в доказательстве предложения 6.10, мы приходим к соотношению типа (6.55) для всех А 6 21:
7г,/(аЛ) = U^A)^U^- (6.60)
здесь и”：方“ т 方小—унитарный или антиунитарный оператор. В действительности Uy можно считать унитарным. В случае dim方=1 это очевидно (см. сноску к теореме 6.8). В случае dim J^^〉1 имеем: ^(21)00 =切(方“)есть некоммутативная алгебра, следовательно, ^(21) также некоммутативна (см. упражнение 1.67), но тогда антиунитарный характер оператора Uu несовместим с формулой (6.60), ибо по условию а есть алгебраический автоморфизм. Теперь в качестве искомого оператора U можно взять U = £/11", где □“ — проектор в 方 на .黃Произвол в построении оператора U следует из структуры коммутанта алгебры 21. (А именно, всякий ограниченный оператор в 方，коммутирующий с 21, имеет вид Е。”！!"， df е с) а
Мы видим, что произвол в выборе оператора U в случае стандартных правил суперотбора сводится к семейству {x“}"GN фазовых множителей (своего для каждого когерентного подпространства). Следует, однако, подчеркнуть, что предложение 6.11 дает лишь предварительное решение вопроса о трансформационных свойствах векторов состояний, ибо оно не учитывает дополнительные структуры теории (например, локальную структуру квантовой теории), которые в состоянии существенно сократить произвол в выборе оператора U.
В. Группы симметрий. Будем называть группу G группой симметрии (или группой инвариантности) алгебры наблюдаемых 21, если задан гомоморфизм g — —(&д, а：) группы G в группу всех симметрий системы (21, 5(21)). Особый интерес представляет случай, когда G — группа Ли. В этом случае мы будем предполагать следующее условие непрерывности: при любом физическом состоянии s е S п любом фиксированном А Е Q функция g — з(&д(4)) непрерывна по д.
В частности, если 01fg оставляет 6 инвариантным при всех g G G, мы будем говорить о группе симметрии системы (21, S). Состояние s G S называется G-инвариантным, если = s (или, эквивалентно, если s(Qg(4)) = s(4)) для всех
Заметим, что мы не случайно ограничились состоянием 6 при наложении условия непрерывности. Для множества всех состояний 5(21) такое условие было бы слишком сильным. Это обстоятельство демонстрирует необходимость сужения множества всех возможных состояний при описании данной физической системы.
Интерес к рассмотрению конкретных групп симметрий поддерживается тем, что такие группы нередко отражают фундаментальные физические представления. Так, нерелятивистские представления о пространстве-времени диктуют инвариантность относительно группы Галилея, в то время как однородность и изотропность релятивистского пространства-времени (Минковского) находят свое выражение в инвариантности относительно группы Пуанкаре. Не менее важную структурную роль в теории играют и так называемые внутренние симметрии (непосредственно не связанные с пространством-временем).
Упражнение 6.32. Пусть 21 — алгебра наблюдаемых, реализованная операторами из 切(*); как обычно, 6 есть множество состояний, ассоциированных с матрицами плотности в 方.Доказать, что условие непрерывности, подразумеваемое в определении группы симметрии, эквивалентного тому, что для любого фиксированного А 6 21 отображение g т а^(А) непрерывно no g G G в слабой (или, эксивалентно, в сильной) операторной топологии в 切(方). (Указание: при доказательстве первоначального условия непрерывности использовать, что любое состояние из 6 есть конечная или счетная выпуклая линейная комбинация векторных состояний и потому с любой точностью по норме аппроксимируется конечной линейной комбинацией векторных состояний. При доказательстве утверждений о непрерывности в слабой операторной топологии воспользоваться тем, что всякий функционал А т (Ф, АФ) на 21 есть линейная комбинация векторных состояний. Наконец, при доказательстве утверждения о сильной операторной топологии достаточно перейти к пределу g т е в соотношении \\ад(А) Ф - Ф||2 = (Ф, ад(А^А) Ф) - (ад(4) Ф, АФ) - (АФ, ад(А) Ф) + (Ф, А*АФ).)
Если группа симметрий G связна, то без ограничения общности всегда можно предполагать ее односвязной; в противном случае G можно заменить универсальной накрывающей группой G и положить
Рд = 01^ при (6.61)
где 夕—накрывающий гомоморфизм. Такая замена весьма удобна в ряде вопросов (например в вопросе об интегрируемости представлений алгебры Ли группы). Заметим, что полученная таким образом симметрия G обладает свойством:
仿=id (тождественное преобразование), если 夕(歹)=е. (6.62)
Как показывает следующее утверждение, это свойство позволяет вновь вернуться к симметрии группы G.
Упражнение 6.33. Пусть 夕 есть гомоморфизм группы G на группу G (здесь не предполагается, что G есть универсальная накрывающая для G). Пусть G является группой симметрии, причем выполнено условие (6.62). Показать, что соотношение (6.61) корректно определяет G как группу симметрии.
Упражнение 6.34. Пусть G — связная группа Ли симметрий. Доказать, что для всех д Е G ад является алгебраическим автоморфизмом алгебры наблюдаемых. (Указание: воспользоваться упражнениями 6.33 и Г. 7.)
Мы ограничимся практически наиболее важным классом симметрий, когда для произвольного элемента д Е G ад является либо алгебраическим автоморфизмом, либо алгебраическим антиавтоморфизмом; ниже всюду предполагается выполненным это условие. (Согласно предшествующему упражнению случай антиавтоморфизма может иметь место лишь для элементов д, не находящихся в связной компоненте единицы группы G.)
Будем говорить, что группа симметрий G унитарно-антиунитарно реализована, если существует непрерывное (в слабой или, эквивалентно, в сильной операторной топологии) представление д 一 Ug группы G унитарными или антиунитарными
операторами (в соответствии с тем, является ли ад алгебраическим автоморфизмом или антиавтоморфизмом) в физическом гильбертовом пространстве 3f такое, что для всех А е 21, g G G имеет место
ag(A) = UgA^U-\ (6.63)
где 4(*) есть А для унитарного Ug а А^ для антиунитарного &. Разумеется, операторы Ug унитарны для всех д из связной компоненты единицы группы G (см. упражнение 6.34). Обратим внимание, что вопрос о том, является ли данная группа симметрий G унитарно-антиунитарно реализованной, зависит от выбора (физического) представления тг алгебры наблюдаемых. Если физическое представление обладает этим свойством, то для всех элементов д по крайней мере из связной компоненты единицы группы G соответствие А —阳(厶)задает представление 21 в 力，феноменологически эквивалентное исходному представлению тг. В этом смысле можно говорить об инвариантности самого физического представления относительно данной группы симметрии. Значение унитарной реализации (связной) группы симметрии состоит еще в том, что генераторы представления, как правило, допускают физическую интерпретацию, придавая значение самосопряженных операторов величинам, существовавшим дотоле лишь в эвристическом смысле (скажем, в рамках канонического формализма квантовой теории поля). Поэтому имеет смысл дополнительно требовать, чтобы генераторы унитарной реализации U связной группы симметрии были самосопряженными операторами в 力，присоединенными к алгебре наблюдаемых фон Неймана 21, или, что то же самое, чтобы операторы представления U связной группы симметрии принадлежали 21. (При дополнительных ограничениях это условие удается доказать ниже в предложениях 6.12 и 6.13.)
Конструкция ГНС доставляет наиболее эффективный критерий, позволяющий судить о том, что группа симметрий унитарно-антиунитарно реализована. Правда, этот критерий имеет большее значение в несколько ином контексте — применительно не к алгебрам наблюдаемых, а к полевым алгебрам (см. § 10.3), поскольку там условие цикличности вектора инвариантного состояния более уместно. Поэтому мы сформулируем это утверждение в несколько более общей форме. Подобно сказанному выше, мы будем называть G группой симметрии С*-алгебры 21 операторов в гильбертовом пространстве 力，если задан гомоморфизм д ад группы G в группу автоморфизмов и антиавтоморфизмов алгебры 21, причем а^(А) непрерывно по д при любом фиксированном А е 21 в слабой (или сильной) операторной топологии.
Предложение 6.12. Пусть G является группой симметрии С^-алгебры 21 операторов в гильбертовом пространстве 勿 и пусть Q — циклический вектор алгебры 21, определяющий G-инвариантное состояние. Тогда группа симметрий G реализована посредством непрерывного (е слабой или сильной операторной топологии) унитарно-антиунитарного представления g 一 Ug группы G 6 力，которое наряду с (6.63) обладает свойством
UgC = Q 。，兄 всех g е G. (6.64)
Представление U с этими свойствами единственно.
Упражнение 6.35. Доказать предложение 6.12. (Указание: Ug следует определить соотношением UgAQ = ад(4)С для всех 4 G 21; ср. с упражнением 1.57.)
Рассмотрим проблему унитарной реализации связной группы симметрий в рамках гипотезы стандартных правил суперотбора. Согласно предложению 6.11 каждому отдельному элементу g G G можно сопоставить унитарный оператор Ug, удовлетворяющий (6.63). Поэтому проблему можно заменить двумя более конкретными
вопросами: во-первых, зависит ли Ug непрерывно от g (скажем, в сильной операторной топологии); во-вторых, является ли соответствие g 一 Ug представлением группы G. Чтобы обеспечить непрерывность Ug по д, приходится усилить требование непрерывности группы симметрии по сравнению с тем, что предполагается в определении группы симметрии. Это видно из следующего упражнения.
Упражнение 6.36. Доказать, что если симметрия группы G унитарно-антиунитарно реализована, то &® непрерывно зависит от g (при любом фиксированном g G S) в топологии нормы на 6. (Указание: любое состояние из 6 с любой точностью в топологии нормы аппроксимируется конечной выпуклой линейной комбинацией векторных состояний, а для векторных состояний имеем ||a：(s①)一g①|| W 2||Ф|| • ||Ug①—Ф||.)
Упражнение 6.37. Пусть G — связная группа симметрий, причем a：(s) непрерывно no g в топологии нормы на 6 (при любом фиксированном g G S). Доказать, что при любом g G G биекция а： отображает любой сектор 5 С 6 на себя. (Указание: из предыдущего упражнения вывести, что для любого фиксированного g G S существует окрестность 夕 единицы группы G такая, что g • q^(cj)力 0 при всех g G 〃，значит, g и q^(cj) находятся в одном секторе; использовать далее, что произвольный элемент из G есть произведение конечного числа элементов из 夕.)
Из последнего упражнения явствует, что фигурирующее там условие непрерывности гарантирует, что каждый сектор остается на месте при симметриях связной группы G. Следовательно, вопрос об унитарной реализации связной группы симметрий может быть переформулирован в терминах отдельно взятых когерентных подпространств Жу. А именно, каждому отображению 吟 S т S соответствует сохраняющая вероятность перехода биекция множества всех единичных лучей в Жу или, что то же, биекция ^(G): 3PV т 彳"множества всех одномерных проекторов (в 方")на себя, сохраняющая величины tr (П1П2). При этом имеет место групповое свойство: Т"(е) есть тождественное отображение, и 7^(9192) = 丁“(91) ° 丁“(92)・ Кроме того, выполнено условие непрерывности: ^(^)(11) непрерывно по д для любого фиксированного П, где подразумевается, что 3PV снабжено метрикой, заимствованной из Р5(21), т. е.
d(Hi, П2) = |М —妆|| =4(1 — tr(llill2)) (6.65)
(см. упражнение 6.4 и формулу (6.4)). В этом случае говорят, что в 力"задано унитарное проективное представление т” связной группы G. Нас интересует, может ли Т" быть унитарно реализовано, т. е. можно ли представить т” в виде
74g)(H) = U"g)IIU"(g)T, (6.66)
где и“(д) — непрерывное (в слабой операторной топологии) представление группы G. Это так называемая проблема поднятия проективных представлений, изученная в полной общности Баргманом (1954). В общем случае ответ на поставленный вопрос оказывается отрицательным. Тем не менее для некоторых важных классов групп он решается в положительном смысле, вообще говоря, ценой замены данной группы G некоторой накрывающей группой Gi (в качестве Gi можно «с запасом» взять универсальную накрывающую группы G). Мы ограничимся рассмотрением нескольких характерных примеров (за доказательством мы отсылаем к статье Баргмана).
Примеры. 1) Пусть G есть аддитивная группа R вещественных чисел; в этом случае Gi также есть К.
Пусть G есть связная компактная абелева группа — тор U(l)72 = U(l) х ... х [7(1); в этом случае в качестве Gi можно взять G.
Пусть G есть связная компактная группа Ли; в этом случае существует компактная накрывающая группа Gi для G, изоморфная U⑴12 х G', где G'— некоторая связная компактная полупростая группа Ли.
Пусть G есть связная полупростая группа Ли; тогда в качестве Gi следует взять универсальную накрывающую G. (Примерами таких групп G являются группа вращений °+(3) и собственная группа Лоренца £；[; соответственно G есть SU(2) и SE(2, С).)
Пусть G есть собственная группа Пуанкаре 中| (см. о ней в П.7.1.А), в качестве Gi следует взять универсальную накрывающую фо для 中|.
Предложение 6.13 Пусть связная группа Ли G принадлежит (хотя бы) одному из перечисленных выше типов 1)-5) и G\ — соответствующая накрывающая для G. Пусть система (21, 6) со стандартными правилами суперотбора обладает симметрией относительно группы G (“，значит, относительно Gi), причем q：(g) непрерывно по g в топологии нормы {при любом s G S). Тогда эта симметрия группы Gi реализуема унитарными операторами U(g) (geG。， принадлежащими алгебре наблюдаемых фон Неймана 21 и образующих представление группы Gi. Для элементов g из ядра накрывающего гомоморфизма G\ G операторы U(g) принадлежат центру 3 алгебры 21.
Физически важным примером группы Ли, к которой предложение 6.13 не применимо, является (10-мерная) группа Галилея — группа симметрии нерелятивистской квантовой механики. В связи с этим в нерелятивистской квантовой механике возникает своеобразное правило суперотбора по (полной) массе. (Обсуждение этого вопроса также имеется в статье Баргмана.)
6.4. Канонические коммутационные соотношения
А. Роль представления Шредингера. К числу чистем, играющих первостепенную роль в квантовой теории, относятся системы, порожденные каноническими коммутационными соотношениями (ККС). Здесь мы займемся вопросами, каким образом алгебра наблюдаемых канонической системы определяется посредством ККС и почему в случае конечного числа степеней свободы (после надлежащего уточнения кинематических деталей) имеется, по существу, ее единственное физически интересное представление. (Напротив, в квантовой теории поля играют роль различные неэквивалентные представления ККС.)
Как уже отмечалось, в обычной формулировке квантовой механики с 八 степенями свободы все физические величины — функции позиционных координат q = (%,…，Qn) и импульсов р =(夕i,...,夕冷)，являющихся эрмитовыми (точнее, существенно самосопряженными) операторами в гильбертовом пространстве 力， подчиненными ККС )
也，矗]=。=価厶 Pk]^ feh Pk] = 〃%k (6・67)
(здесь и далее [А, В] = AB — BA есть коммутатор двух операторов). Всякий такой набор операторов р и q мы будем называть также представлением ККС.
Упражнение 6.38. Показать, что эрмитовы операторы pj и q^, удовлетворяющие ККС, не могут быть ограничены одновременно. (Указание: предполагая, что все указанные операторы ограничены, вывести из (6.67), что при всех а 6 Rn имеет место соотношение
[%•, /门=-出ра =工仍出；(6.68)
оценить теперь по норме левую и правую части и устремить aj к бесконечности.)
Поскольку в (6.67) входят неограниченные операторы, эти соотношения плохо определены. Для преодоления этой трудности следует перейти к ограниченным функциям от р и q. Введем две n-параметрические абелевы группы унитарных операторов。⑷=叫(6.69)
где ар 三 £ ajPj, bq = £ %«力 Абелевость групп операторов U(a) (и соответственно 『(b)) является эквивалентом прежнего условия коммутативности операторов рь , рп (и соответственно %,…，qn):
U(a)。(從)=U(a + 從)，『(b) У(У) = V(b + У).(6.70)
Оставшиеся коммутационные соотношения между р и q можно выразить так:
U(a)『(b) = ^V^U^a).U(a)『(b) = ^V^U^a).(6.71)(6.71)
U(a)『(b) = ^V^U^a).
U(a)『(b) = ^V^U^a).
(6.71)
(6.71)
На эвристическом уровне соотношения (6.71) следует из (6.67) как результат манипуляции с рядами (ср. упражнение 6.38). В действительности же (6.70), (6.71) нельзя вывести из (6.67) без дополнительных «технических» предложений (которые нас здесь не интересуют).
Рассмотрим традиционное представление ККС в гильбертовом пространстве Ж = %2(*г) комплексных квадратично интегрируемых функций Ф от п вещественных переменных q 三(qi, ,夕冷).Оператор qj определим как оператор умножения на переменную qj и положим pj = —г ^-. В качестве областей определения операторов qj и pj можно взять пространство Шварца ^{Rn) С 屮(R?.
Упражнение 6.39. Доказать, что операторы %• и pj в ^2{Rn) существенно самосо- пряженны на ^(Rn). (Указание: убедиться, что qj и pj симметричны, далее показать, что 夕(К72) является областью аналитичности для %・，в то время как множество функций из 乡(/?八)，преобразование Фурье которых принадлежит 夕(К72), образует область аналитичности ДЛЯ 07・)
Ясно, что так определенные операторы q и р образуют представление ККС, называемое представлением Шредингера. Они интерпретируются как координатные и импульсные переменные точечной квантовой системы в n-мерном евклидовом пространстве (или системы N квантованных частиц в обычном трехмерном пространстве, если 八=3N). В этом случае операторы U(a) и『(b) действуют в %?(К72) ТаК：(U(a)①)(q) = ^(q + a),(6.72)
(『(b)①)(q) = £2如①(q).(6.73)
Легко убедиться, что соотношения (6.70), (6.71) выполнены.
В соответствии со сказанным выше в качестве корректной формулировки ККС, имеющей дело только с ограниченными операторами, мы примем следующее определение. Назовем представлением ККС в экспоненциальной форме для системы с 八 степенями свободы пару абелевых n-параметрических групп U(a), V(b) унитарных операторов в гильбертовом пространстве 方，удовлетворяющих соотношениям (6.70), (6.71) при всех a, b Е Rn. (Напомним, что согласно п. 1.4.В в определение таких групп входит требование их непрерывности по параметрам в слабой операторной топологии.) Представление ККС в экспоненциальной форме мы будем также
называть системой Вейля (в 力).Переход от операторов U(a),『(b) к координатам и импульсам осуществляется на основании теоремы Стоуна 1.17, позволяющей записать U(a),『(b) в виде (6.69).
Как обычно, если имеется другая система ККС U，(a), V\b) в гильбертовом пространстве %/ и она связана с исходной системой соотношениями U，(а) = SU (a) S~{, 『'(b) = SV(b)『—1, где S: Ж' — % — унитарный оператор, то эти два представления ККС называются унитарно эквивалентными. Система Вейля U(a), V(b) в 3f называется циклической с циклическим вектором Ф 6 力，если векторы вида U(а) V(Ь) Ф при всех a, b Е Rn образуют тотальное множество в Ж. Приведем еще стандартное определение неприводимости системы Вейля U(a) V(b) в 3f \ оно сводится к требованию, чтобы в 力 не существовало нетривиального замкнутого подпространства, инвариантного относительно всех операторов U(a), V(b). (Напротив, если в 3f имеется такое инвариантное подпространство %', то его ортогональное дополнение также инвариантно и исходное представление ККС разлагается в прямую сумму двух представлений.)
Упражнение 6.40. Доказать, что условие неприводимости системы Вейля U(a), V(b) в 方 эквивалентно каждому из следующих двух условий:
любой ненулевой вектор в 方 является циклическим;
любой ограниченный оператор в “ коммутирующий со всеми операторами U④,V(b), кратен единичному оператору.
(Указание: здесь применима аргументация упражнения 1.54.)
Упражнение 6.41. Доказать, что представление Шредингера неприводимо. (Указание: пусть Ф — произвольный фиксированный ненулевой вектор из ^2{Rn) и пусть функция Ф G ^2{Rn) ортогональна всем функциям U(a)V(b)①.Следует доказать, что Ф = 0. Для этого достаточно убедиться, что 3(/ + а)①(/) = 0 в ^{R^ при всех а G Rn, откуда следует, что 3(/ + у)①(/) = 0 в 少(R* % значит, Ф = 0.)
Справедлива замечательная теорема фон Неймана, утверждающая, что с точностью до унитарной эквивалентности и кратности существует единственная система ККС Вейля для системы с 八 степенями свободы.
Теорема 6.14 (теорема единственности фон Неймана). Всякая неприводимая система Вейля с 八 степенями свободы унитарно эквивалентна шредингеровс- кому представлению в %?(К72). Всякая приводимая система Вейля (с 八 степенями свободы) есть прямая сумма неприводимых представлений и, значит, кратна шредингеровскому представлению.
Мы приведем доказательство этой теоремы в п. 6.4.В. Ее значение для квантовой механики весьма велико, ибо оно позволяет ограничиться каким-либо одним неприводимым представлением ККС, скажем, представлением Шредингера. Другое применение она находит в построении абстрактной алгебры наблюдаемых для системы ККС (с конечным или бесконечным числом степеней свободы); тем самым она дает возможность включения таких систем в общую алгебраическую схему. Мы также вернемся к этому вопросу в п. 6.4.В.
Представления канонических коммутационных соотношений в форме Вейля заранее отвергают возможность, чтобы один из операторов q или р был ограничен. Чтобы убедиться в этом и увидеть, какой физической задаче соответствует подобный случай, рассмотрим движение частицы по окружности, В этом случае координата q изменяется в интервале длины 2тг, и представление типа Шредингера будет реализовано в гильбертовом пространстве 方=^2([—7г, 7г]). Импульс р определим как оператор дифференцирования р = Т 而 с областью —множеством Dp абсолютно непрерывных функций W(q) с квадратично интегрируемой первой производной, удовлетворяющих условию периодичности Ф(—тг) = Ф(тг). Легко видеть, что Ф обладает простым дискретным спектром, pn = п (= 0, ±1, ±2, ...) (соответст-
соотношение Вейлясоотношение Вейляeiqb eipa e~iqbeiqb eipa e~iqb/(p — b)a/(p — b)aвующие нормированные собственные функции равны Фп = ^тг)-1^2егп<1). Коммутационное
соотношение Вейля
соотношение Вейля
eiqb eipa e~iqb
eiqb eipa e~iqb
/(p — b)a
/(p — b)a
может иметь место лишь при целых Ь, так как в противном случае изменился бы спектр оператора егрЬ (что невозможно при унитарном преобразовании). Это противоречит гипотезе о существовании непрерывной группы унитарных операторов V(b).
Кроме того, движение частицы по окружности обладает еще другими особенностями с точки зрения обычной квантовой механики. С этой целью рассмотрим неравенство (или «соотношение неопределенностей») Гейзенберга:
(△@)氯△GM > 1/4.(6.74)
Здесь (Др)ф =〈①，(0 —力①У①〉，(△ q)|> =〈①，(q — 强У①〉— дисперсии импульса и координаты в состоянии, определенном единичным вектором Ф; /①=(Ф, рФ) и ^ф = (Ф, q①〉— средние значения этих величин. Записывая дисперсии в форме (Др)ф = ||(р — рф) Ф||2 и (△居二M(q 一强)①『， мы видим, что величины, входящие в соотношение неопределенностей, хорошо определены (или «конечны») лишь при условии, что Ф принадлежит одновременно областям определения замыканий операторов р и q.
Упражнение 6.42. Доказать соотношение неопределенностей для шредингеровского представления ККС в 02(К). (Указание: вначале доказать это соотношение для любого единичного вектора Ф 6 9(К), пользуясь неравенством
\\[a{q - дф) i{p - рФ)]Ф\\2 > О, справедливым при всех вещественных а. Убедиться далее, что для любого единичного вектора Ф, для которого соотношение неопределенностей имеет смысл, можно выбрать последовательность векторов вида ①九(/)=(以九(/)①(/) * *九(力)，где Ш и %n — подходящие функции из 夕(К), так что ||Ф - Фп|| т 0, (△@)^九—(△@)^, (△◊)； — (△ Q)i-)
Из результата этого упражнения обычно делают вывод об универсальной применимости неравенством Гейзенберга. Такой вывод действительно оправдан, когда имеют дело с обычным представлением Шредингера, соответствующим движению по прямой. Легко видеть, что в случае движения точки по окружности соотношение неопределенностей может нарушаться, ибо дисперсия по координате не превосходит (2тг)2, в то время как дисперсия по импульсу может быть сколь угодно малой. В частности,
(△q)M (△@)М =。
для любого собственного вектора Ф = Фп оператора р. (На таком векторе произведение pq операторов не определено, поэтому стандартное доказательство соотношения неопределенностей становится неприменимым.)
Б. Бесконечное число степеней свободы. Система Вейля U(a), V(b) строится на базе n-мерного евклидова пространства (ибо a, b е Rn). С целью обобщения на случай произвольного числа степеней свободы мы будем исходить из некоторого вещественного векторного пространства 卷，в котором задано скалярное произведение (/, д). Мы будем считать это скалярное произведение положительно определенным, но не будем предполагать полноты пространства 常 относительно нормы 11/11 = (/, J)1/2. (В контексте теории поля элементы / из ^ играют роль пробных функций, сглаживающих операторы поля по пространственным переменным.) Размерность пространства 步 мы будем интерпретировать как число степеней свободы канонической системы. Здесь нас интересует случай бесконечномерного 常.
Представлением ККС (или системой Вейля) над 常 мы назовем пару отображений, сопоставляющих каждому вектору / е ^ унитарные операторы U(/) и У(/) в гильбертовом пространстве 3f, причем эти операторы удовлетворяют соотношениям (при всех f,gGg
U(/) U(g) = U(/ + д),『(/)『(g)=『(/ + д),(6.75а)
U ⑺ V(G = e"V(g)U ⑺U ⑺ V(G = e"V(g)U ⑺(6.756)(6.756)
U ⑺ V(G = e"V(g)U ⑺
U ⑺ V(G = e"V(g)U ⑺
(6.756)
(6.756)
и непрерывны в слабой операторной топологии, когда / пробегает произвольное конечномерное подпространство в 步.В дальнейшем мы используем лишь это минимальное требование непрерывности, которое даже не требует никакой топологии в пространстве 常.(Обычно 步 может быть наделено естественной топологией ЛВП, и тогда условие непрерывности разумно соответственно усилить.)
В качестве примера рассмотрим ККС в квантовой теории поля, ограничиваясь для простоты случаем вещественного скалярного поля. В этом случае операторы поля 夕(％) и сопряженные импульса тг(х) (где х = (ж1, ж2, ж3) G К^) задают набор основных динамических переменных в фиксированный момент времени. Они характеризуются ККС
к(х)，夕①)]=0 = Ьг(х)，7r①儿к(х)，夕①)]=0 = Ьг(х)，7r①儿(6.76а)(6.76а)
к(х)，夕①)]=0 = Ьг(х)，7r①儿
к(х)，夕①)]=0 = Ьг(х)，7r①儿
(6.76а)
(6.76а)
[з(х), 7Г(У)]=分Ь(х - у)(6.766)
и условием эрмитовости
3*(%) = з(х), тг* (х) = 7г(х).(6.77)
Из сингулярной структуры коммутатора видно, что 夕(％) и тг(х) в действительности являются операторными обобщенными функциями от х. В качестве пространства 步 пробных функций возьмем пространство 9rвещественных функций из ^(/?3) с обычным скалярным произведениемг
(/，д) = ] /(х)д(х)必.(6.78)
Пусть
屮⑴=卜⑺/W 必，7Г(/)=卜⑴/(%)必.(6.79)
Тогда приведенные выше условия означают, что 夕(/) и тг(/) являются существенно самосопряженными операторами (на некоторой области) в гильбертовом пространстве 方 такими, ЧТ°[夕⑺，3(g)] = 0 =[穴⑺，7r(g)]，(6.80a)
[ь(/)，s(g)]=-认L g).(6.806)
Разумеется, отмеченные в предыдущем пункте недостатки формулировки ККС в терминах неограниченных операторов переносятся и сюда. Корректная формулировка ККС достигается соотношениями (6.75) для операторов [/(/), V(/), связанных с 夕(/) и тг(/) соотношениями
U⑴V⑴屮⑴.(6.81)
Удобно работать с комплексным вариантом ККС. Для этого введем комплексифи- кацию 常с 三常 + 分步 пространства 常.Запишем элементы F из ^с в виде F = f + гд (/, р е ^) и определим скалярное произведение в ^с, полагая
〈用，歹2)= (/1 + ^Рь /2 + 饭2)=(力，『2)+(91, 92)+ 5(/1, 92)— 〃(『2, Pl)-
(В частности, комплексификация 斤『(7?3) есть 斤(7?3) со скалярным произведением, заимствованным из ^?2(Т?3).) Введем (для любого F е ^с) оператор
W{F) = W(f + 初=&九9)V(V2 /) U(V5 g).(6.82)
Очевидно, операторы W(F) являются унитарными, удовлетворяют условию
W{F^ = W{-F)(6.83)
и непрерывны по F в слабой операторной топологии, когда F пробегает произвольное конечномерное пространство в ^с. Перестановочные соотношения (6.75) теперь записываются в виде одного соотношения (выполненного для всех 歹i,用 из ^c):
W(Q) W{F^ = exp(-zlm〈Q, F2)) W(Q + F2).(6.84)
Семейство операторов W(F) с указанными выше свойствами мы будем называть системой ККС в комплексной форме (над ^с в гильбертовом пространстве 力).
Упражнение 6.43. (а) Проверить эквивалентность соотношений (6.75) и (6.84).
(б) Показать, что для системы Вейля с п степенями свободы выполнены соотношения W(2)= W(x + iy)=尹U/^M/^UP = ei72 (xq+yp) = eza*-za 二 ^Р^га^-г^(6.85)
где
=不也-若=方(仍. + %)［电，a"=°，［期，/］ = %%•(6.86)
Фиксировав некоторый единичный вектор Ф из пространства представления, мы модем построить функционал над 步
E(F) = (Ф, W(F^).(6.87)
Упражнение 6.44. Доказать, что E(F) обладает свойствами
нормировки Е⑼ =1,
положительности
£ XjXkE^Fj - Fk) exp (-/Im (^, Fk)) > 0(6.88)
j,k=l
для любых наборов комплексных чисел 入，…，Ап и векторов К, Fn из ^с.
непрерывности по F, когда F пробегает произвольное конечномерное подпространство в卷
Всякий функционал E(F) со свойствами (1)-(3) из упражнения 6.44 мы будем называть характеристическим функционалом над ёс. Важность этого понятия состоит в том, что оно доставляет возможность построения циклических представлений ККС (прочие же представления строятся из циклических).
Упражнение 6.45. Доказать, что всякое представление ККС есть прямая сумма циклических представлений.
Предложение 6.15. Всякий характеристический функционал над ^с определяет унитарное представление W(F) = We(F) ККС над ёс с циклическим вектором Ф, так что имеет место соотношение (6.87). Представление We определено этими требованиями однозначно с точностью до унитарной эквивалентности.
Рассмотрим множество ^{^с) всех комплекснозначных функций Я(Р) на ^с, которые отличны от нуля лишь для конечного числа F 6 歩с・ Очевидно, ^^с) является комплексным векторным пространством. Определим в .»(卷с) произведение
凡必(严二 工 R^F^ R2(F - Ff) exp(-zlm (У, F))
(в силу условий, налагаемых на Ri н 必，сумма конечна), а также инволюцию
A*(F)= A(一F).
Нетрудно убедиться, что .»(卷с) является инволютивной алгеброй с единицей, а формула
&(〃)= £ адв(г)
рё久
определяет положительный функционал на .»(歩с) (т. е. g(AA) > 0). Тогда, согласно конструкции ГНС, существует (единственное с точностью до унитарной эквивалентности) представление 7г алгебры .»(卷с) в некотором гильбертовом пространстве 方 с циклическим вектором
① G 方，причем g(A) = (Ф, 7г(Я) Ф) для всех R G 卷с・ Положим W(F) = tv(Rf), где Rf — функционал на 卷с, равный единице в точке F и нулю в остальных точках. Легко убедиться, что W(F) и есть искомое представление К КС над ^с. А
Используем предложение 6.15 для построения примеров представлений ККС *). Вначале рассмотрим случай 八 степеней свободы. Положим при z Е Сп
瓦⑶=ехр (—^ |2『).(6.89)
Можно непосредственно убедиться, что Ео(2) является характеристическим функционалом над Сп и, значит, определяет циклическое представление ККС Wq(z) в некотором гильбертовом пространстве. Другое, более поучительное доказательство этого утверждения составляет следующая явная реализация функционала Е° в виде (6.87).
Упражнение 6.46. Пусть W(z) — шредингеровское представление ККС в ^2(Rn) (см. упражнение 6.43). Рассмотрим нормированный вектор
①(Q)= 7г-п/4ехр Iq，，
который, как известно из квантовой механики, определяет основное состояние гамильтониана гармонического осциллятора » =£ (仍 + 吟=£ (若aj + 1/2). Доказать, что
7 = 17 = 1
瓦(2)= (Ф, V7(n)①〉.(Указание: воспользоваться соотношениями (6.85), (6.86) и тем, что 出①=0.)
Аналогично, в случае бесконечномерного ёс определим представление ККС Wq(F) над 步с с помощью характеристического функционала
瓦⑺=呻(与1尸J).(6.90)
Можно непосредственно убедиться, что это действительно характеристический функционал над ёс. Впрочем, это следует также из рассмотренного выше конечномерного случая, согласно которому 石。(歹)удовлетворяет условиям упражнения 6.44, когда F пробегает любое конечномерное подпространство в 标.
В частности, любому гильбертову пространству 551 мы можем сопоставить циклическое представление %(歹)ККС над 551 в некотором гильбертовом пространстве X; это представление определяется характеристическим функционалом (6.90). В § 7.3 мы построим это гильбертово пространство методом вторичного квантования и убедимся, что представление 叫(歹)эквивалентно так называемому фоковскому представлению ККС над 5 и неприводимо.
Исходя из представления %, нетрудно построить другие представления ККС. Так, фиксировав положительное число р, положим
W^\f + 初=% R/ + 卄 g), f,ge^.(6.91)
Упражнение 6.47. Доказать, что W^P\F) есть представление К КС над 卷 с・
Система W^ также неприводима. Можно показать, что в случае бесконечномерного пространства 步 системы W^ и W^p)при 0 # 〃 унитарно неэквивалентны (см. упражнение 7.24). Тем самым мы построили континуальное семейство неприводимых попарно унитарно неэквивалентных представлений ККС над ёс, продемонстрировав неприменимость теоремы единственности фон Неймана к системам с бесконечным числом степеней свободы. Приведенную конструкцию можно несколько обобщить. Будем называть вещественное линейное отображение F 一 F' пространства ёс на себя симплектическим преобразованием, если оно сохраняет (симплектическую) форму Im (Fi,用)，т. е. если Im {F[,鳥)=Im (Fi,乃).Положив
W(F) = W^Fr\(6.92)
мы вновь приходим к неприводимому представлению ККС над ^с. В частности, представление 1У^^ (6.91) над ёс соответствует симплектическому преобразованию f + ig pf + ^д (при /, g G #) пространства 常「
Доказательство теоремы единственности фон Неймана. Основной этап доказательства заключен в следующей лемме.
Лемма 6.16. Пусть 屮⑶—система ККС над Сп в гильбертовом пространстве 力.Тогда в 力 существует нормированный вектор Фо, для которого (①0,w⑶①0) = exp (一^ 匕,=瓦⑶，
так что сужение данной системы на замкнутую линейную оболочку множеств векторов вида 屮⑶①о эквивалентно представлению Шредингера.
< Введем оператор
n = ^W(z)0⑶如⑶， где
0(2)=万一九 exp ^- 2 厉12), d^x + iy) = (Гn.
Убедимся, что оператор П не равен нулю. Для этого рассмотрим произведение W(z) HW(zf), которое (с помощью ККС) записывается в виде
W{z)nW{zf) = exp (—^ |г|2 - ^ 厄？一玄n) ] VK© exp (玄《 + (г) 0⑹如⑹；(6.93) здесь zzf = £ Zjzfj. Выберем пару векторов ①，W G 方，для которой матричный элемент (Ф, V7(《)W〉 не равен тождественно нулю. Этот матричный элемент является непрерывной ограниченной функцией от 《，поэтому его можно аппроксимировать с любой точностью по норме З^С% .⑹如⑹) полиномами от《，《，возникающими как результат применения дифференциальных полиномов по переменным г, г к экспонентам ехр (琵 +《?)в точке г = 0. Следовательно, правая часть в (6.93) не может быть тождественно равна нулю, и потому URO.
Упражнение 6.48. Доказать соотношения
П1У(г) П = exp (—^ \z\2^ П.(6.94)
(Указание: воспользоваться (6.93) при г = 0, z е Сп и при г G Cn, z = 0.)
Очевидно, что П* = П, поэтому из (6.94) при г = 0 следует, что П есть оператор ортогонального проектирования, и так как он не равен нулю, то существует единичный вектор Фо в 方，для которого ПФ0 = Фо- Имеем
(Фо,屮⑶①о〉= (ПФо, W{z)ПФQ)=
=(Фо, HVK(2)□①0〉= exp (―^ |矶2)〈①о, ПФ0) = exp (—^ |n『). Искомый вектор Фо построен. А
Теорема 6.14 теперь легко следует из леммы. Пусть W(z) — система ККС над Сп в 方. Выберем нормированный вектор Фо согласно лемме 6.16 и пусть 方。—замкнутая линейная оболочка множества векторов вида W(z) Фо. Тогда в 方。реализовано представление ККС, унитарно эквивалентное шредингеровскому. Если 方=%)(а это возможно лишь в том случае, когда данная система W{z) неприводима), то на этом доказательство завершается. Если же 方。力方，то следует ввести ортогональное дополнение .庶 i к 方。и снова применить лемму (уже к .庶i), и так далее. Лемма Цорна позволяет завершить этот процесс разложения 方 в прямую сумму подпространств, инвариантных относительно операторов W(z), так что в каждом из этих подпространств система W(z) унитарно эквивалентна шредингеровс- кой системе. (Мы предоставляем читателю выполнить эту аргументацию.)
Мы видели в предыдущем пункте, что теорема единственности фон Неймана не применима к каноническим системам с бесконечным числом степеней свободы. Тем не менее эта теорема позволяет построить алгебру наблюдаемых, соответствующую системе ККС, как для конечного, так и для бесконечного числа степеней свободы.
Для построения алгебры наблюдаемых фиксируем некоторое представление W(F) ККС над 步с в гильбертовом пространстве 力.(Такое представление существует согласно результатам предыдущего пункта.) Определим алгебру наблюдаемых 21 = 21(^), соответствующую ККС над 步(или над ^с) как минимальную С*-подалгебру в 砂(力)，содержащую все операторы W(F). (Эту алгебру можно назвать минимальной алгеброй ККС над 卷「) Ясно, что алгебра 21 является замыканием (или — на абстрактном уровне — пополнением) множеств X всех линейным комбинаций оператора W(F) в топологии нормы, ибо само это множество является инволютивной подалгеброй в % (%). Оказывается, алгебра 21 не зависит от выбора исходного представления в том смысле, что другое представление ККС доставляет изоморфную алгебру. Действительно, пусть W(г^ — другое представление ККС над 步с в некотором гильбертовом пространстве 力；тогда мы можем построить соответствующую алгебру X п ее пополнение 21. Очевидно, достаточно построить сохраняющий норму и инволюцию изоморфизм 7 алгебры X на X. В случае конечномерного пространства 步 из теоремы единственности фон Неймана следует, что искомый изоморфизм может быть определен формулой
здесь Ai, , An — произвольный набор комплексных чисел, ^ F\, , Fn — произ； вольный набор векторов из ёс. Эта же формула определяет изоморфизм у X — X и в случае бесконечномерного пространства 步，так как входящие сюда векторы F[, ..., Fn принадлежат комплексификации некоторого конечномерного подпространства 耽(зависящего от 歹i, Fn) в ^, а для конечномерных подпространств нужные свойства отображения 7 выполнены.
Итак, мы сопоставляем канонической системе над 步 абстрактную алгебру наблюдаемых 21(%), причем по построению каждому элементу F G Кс соответствует элемент w(F) е 21, так что
川(ь)=沢一ь)， (6.95)
w(F)w(Ff) =exp(-zIm(F, F» 叭F + F).(6.96)
Интересно проследить связь между представлениями ККС над 步 и представлениями соответствующей алгебры наблюдаемых 21(%).
Упражнение 6.49. Доказать, что каждому представлению W(F) ККС над ^с соответствует единственное представление алгебры наблюдаемых 21(卷)такое, что
屮⑺=7r(w(F)).(6.97)
Однако в обратную сторону соотношение более сложно. Если задано представление тг алгебры 21(%), то формула (6.97) не обязательно определяет представление ККС над 常.Чтобы W(F) было представлением ККС, следует еще удовлетворить требованию непрерывности (входящему в определение ККС): tt(w(F)) должно быть непрерывно по F в слабой операторной топологии при условии, что F пробегает произвольное конечномерное подпространство в 常「Именно такие представления тг имеют физический интерес, ибо в них можно ввести «обобщенные координаты» q(/) и «обобщенные импульсы» 夕(д):
7T(w(/)) = &2^必)，7Г®(初)=e"^0(g),(6.98)
где /, р е ^ (ср. с формулой (6.85)).
Глава 7
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Группа Пуанкаре
Определение. Общей группой Пуанкаре называется совокупность ф всех преобразований х xf пространства Минковского М, оставляющих инвариантным интервал между любой парой точек из М, т. е. таких, что (力'—沙‘尸=(х — у)2 для всех х, у Е М. Всякое преобразование из ф автоматически оказывается неоднородным линейным (т. е. аффинным) преобразованием; точнее, оно имеет вид
力‘ =А/ + а,(7.1)
где а — фиксированный вектор из М, а Л — преобразование общей группы Лоренца. Отсюда ясно, что общую группу Пуанкаре можно также определить как совокупность пар (а, Л), где а е М, Л е L^, с законом умножения
(a1, A1)(a2, А) = (a1 + А1a2, Л1л2).(7.2)
Группа ф содержит в качестве подгруппы (абелеву) группу трансляций в М (которую мы также обозначим через 7И) и общую группу Лоренца ) L. Более того, как видно из формулы (7.2), она является полупрямым произведением М о L этих подгрупп. Подобно L общая группа Пуанкаре несвязна и состоит из четырех компонент 中］,中「，中］,ф£, соответствующих четырем компонентам общей группы Лоренца. Для подгрупп 中］,中Т и ф+ используют название собственной, ортохронной и специальной группы Пуанкаре соответственно.
Группа 中I собственных преобразований Пуанкаре является связной неодносвязной группой. По аналогии с Е： вводят универсальную накрывающую фо для группы 中］,которую называют спинорной группой Пуанкаре. Она состоит из всевозможных пар (а, Л), где а — произвольный 4-вектор из 7И и Л е SL&, С), а ее групповой закон аналогичен (7.2):
(a1,A1)(a2,a2)= (a1 + a(a1)。2, Д1 л2).(7.3)
Элемент (а, Л) е фо мы будем также записывать в виде (а, Л), где а — соответствующая эрмитова 2 х 2-матрица (см. 3.33).
Упражнение 7.1. Проверить, что при записи элемента (а, Л) группы фо в виде 4 х 4-матрицы/ д Л*-1 \
(74)
групповое умножение (7.3) переходит в обычное матричное.
Б. Отражения. Группа фо связна и односвязна; она дважды накрывает 中|. Можно ввести группу ф с четырьмя связными компонентами, которая дважды накрывает группу Пуанкаре ф и для которой фо является связной компонентой. С этой целью заметим, что произвольный элемент (а, Л) общей группы Пуанкаре ф можно отождествить с автоморфизмом аа,к собственной группы Пуанкаре:
0。八(從，Лх) = (а, Л)(а\ Л/)(а, Л)-1,
или, эквивалентно,
。。八(從，N) = ((1 -ЛЛЧ-^а + Ла； ЛЛЧ"1).(7.5)
Вместо o/s，о几，о Lt мы будем писать as, о 力，ast.
Упражнение 7.2. Доказать, что а(а, Л) является тождественным автоморфизмом в точности тогда, когда а = О, Л = 1.
Если Aut 中I обозначает группу всех автоморфизмов группы 中|, то (как следует из упражнения 7.2) группа ф изоморфна подгруппе в Aut 中］так что мы можем отождествить ф с этой подгруппой.
Упражнение 7.3. Пусть 3 — подгруппа в ф, состоящая из четырех элементов е, Is,厶 и Ist, где е — единица группы, Is — пространственное отражение,厶—обращение времени, Ist ——полное отражение. Доказать, что 中 есть полупрямое произведение своих подгрупп 嗯 и 3.
Указанным соотношением между 中| и ф можно воспользоваться для построения группы ф как полупрямого произведения группы фо и группы отражений
3 = {е,厶，4, %}•(7.6)
Для этого определим ае как тождественный автоморфизм группы 中о, а автоморфизмы
57s =万s,万人=游， ^ist =万S力
зададим так:
3s(a, А) = (厶a, foA*T0o),(7.7)
万力(а, Л) = (4а, еоЛ*-1^),(7.8)
曲(а, Л) = (-а, Л)；(7.9)
Здесь во — временной орт в М.
Упражнение 7.4. Доказать, что отображение J т 万j есть гомоморфизм группы 3 в группу Aut 執，причем
万J(a, △) т S(a, А(А)) для всех а е М, Л е 5L(2, С), J е 3,(7.10)
где стрелка обозначает накрывающий гомоморфизм фо т 中］・
Определим теперь ф как полупрямое произведение групп 中о 以)• Элементы из ф будем записывать в виде троек (а, Л, J), где а е М, Л 6 5L(2, С), J 6 3. Группы фо и ^ входят в ф в качестве подгрупп, поэтому для их элементов мы будем использовать прежние обозначения типа (а, Л) и /$, /力，厶力.
Упражнение 7.5. Доказать, что отображение (а, △，J) т (а, Л(Л) J) есть гомоморфизм группы ф на группу ф, который дважды накрывает R.
Алгебра Ли группы Пуанкаре. Группа Пуанкаре есть 10-мерная (вещественная) группа Ли. В качестве параметров окрестности единицы можно выбрать 4-вектор а и кососимметричную вещественную 4 х 4-матрицу 仇 записывая элемент группы в виде / /1 、、、
(а, Л) = (а, ехр ⑴(7.11)
(см. (3.16)). Алгебру Ли группы Пуанкаре можно построить, исходя из некоторого точного представления группы. Так как группа Пуанкаре определяется как группа преобразований пространства Минковского, то естественно выбрать представление группы Пуанкаре в пространстве функций на М.
Итак, пусть Т = (Тд) есть представление группы ф, скажем, в пространстве ”М) основных функций на М; при этом действие элемента (а, Л) на функцию имеет вид
т,Л/)(х)=/(Л-1(х-а)).
Нетрудно убедиться, что эта формула действительно определяет (непрерывное) представление ф в ”М). Выделим линейную часть разложения операторов Та ^ — 1 в ряд Тейлора по степеням параметров 。从 и 夕入从：
1 =外从 + члены более высокого порядка, (7.12)
где = —М^х. Эта формула определяет Рм и как линейные дифференциальные операторы первого порядка в М:
备，(7」3)
"入4=分(力入合一力从是)=xхp^ -x^pх.(7.14)
Они удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[Q,片]=0,(7.15а)
= i(gK小—дМр)(7.156)
[Мх^, М^а] =-i(gxpM^ - р^МЛа + д^Мхр - g^Mj(7.15в)
Упражнение 7.6. Доказать (7.15), пользуясь соотношением
Множество вещественных линейных комбинаций операторов гРЛ и гМЛм называется алгеброй Ли группы Пуанкаре. Коммутационные соотношения в этой алгебре определены формулами (7.15).
С точки зрения абстрактного определения только формулы (7.15) существенны для определения алгебры Ли; конкретная же реализация (7.13) и (7.14) не имеет большого значения. Заметим, что использование мнимой единицы в определении FA и ТИ'м обусловлено соображением дальнейшего удобства, а именно, генераторы оказываются эрмитовыми операторами, если представление группы 我)унитарно.
Разумеется, отправляясь от произвольного представления собственной группы Пуанкаре, мы могли бы построить посредством (7.12) операторы РЛ и МЛм, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (7.15). Они называются генераторами представления (группы Пуанкаре). Следуя аналогии с нерелятивистской квантовой
механикой и имея в виду классическую теорему Нётер (см., например, [Б8], гл. 1), мы по определению будем считать, что Рм является оператором (полного) 4-импульса соответствующей релятивистской системы ), а тензор Л/入从—оператором четырехмерного «углового» момента (или момента количества движения). Операторы
Mj = ^沙"(7.16а)
образуют (трехмерный) псевдовектор «углового» момента, в то время как величины
Nj = М0^(7.166)
являются генераторами гиперболических поворотов (см. упражнение 3.5). Соответствующие коммутационные соотношения имеют вид
[МЛ Mk] = i&jkiMi, [МЛ Nk] = iejklN\ [Ж, Nk] = -iejklMl. (7.17)
Из генераторов группы Пуанкаре можно составить два (и только два) независимых оператора Казимира (т. е. два полинома от генераторов, коммутирующие со всеми генераторами). Один из них
р2 三 рр(7.18)
называется оператором квадрата массы. Для построения второго оператора введем четырехмерный псевдовектор, называемый вектором Паули-Любанского
Wx4 巾仍"(7.19)
где £入从"0 — полностью антисимметричный тензор (нормированный условием Soi23 = =1 = —£”23). при помощи векторов М и N псевдовектор W записывается в виде
1У° = PM = PjM\ Wj = PQMj - i ^klPkNl.(7.20)
Важное свойство операторов Wx состоит в том, что они коммутируют с 4- импульсом:
"入，片]=0.(7.21)
Коммутационные соотношения операторов Wx между собой и операторами М^ определяются формулами
[屮入，М^А] = i(gx^Wy - gXyW^,(7.22)
[屮入，W^} = if^PWMp.(7.23)
Непосредственная проверка показывает, что квадрат вектора Паули-Любанского
W2 = W^W^(7.24)
коммутирует со всеми генераторами группы Пуанкаре и, значит, является вторым оператором Казимира для 中
Упражнение 7.7. Проверить соотношение
P^W^ = 0.(7.25)
Унитарные представления собственной группы Пуанкаре
А. Условие пуанкаре-инвариантности. В предыдущей главе были приведены постулаты, общие для нерелятивистской и релятивистской квантовой теории. Класс релятивистских теорий выделяется следующим постулатом.
Собственная группа Пуанкаре 中］является группой симметрии физической системы (21, 6).
Из априорных соображений естественно было бы ожидать, что группа симметрий релятивистской теории должна включать также дискретные операции пространственного отражения (/$) и обращения времени (厶).Так думали до 1957 г., когда было открыто несохранение F-четности в слабых взаимодействиях элементарных частиц. В настоящее время эти операции считаются приближенными симметриями, «работающими» там, где можно игнорировать эффекты слабых взаимодействий (например в сильных взаимодействиях элементарных частиц). Тем не менее дискретная операция полного отражения (Ist) пространства-времени, скомбинированная с операцией 1С зарядового сопряжения (замены частицы на античастицу), рассматривается в настоящее время как точная симметрия, и для этого имеется веское теоретическое основание — знаменитая TCF-теорема (гл. 9).
В приведенной форме условие пуанкаре-инвариантности никак не отражает специфику квантовых систем. Следующее усиление постулата выражает требование пуанкаре-инвариантности физического представления квантовой системы.
А.Ш (Пуанкаре-инвариантность). В физическом гильбертовом пространстве 力 определено унитарное представление (а, Л) — U(a, Л) спинорной группы Пуанкаре фо (непрерывное в слабой операторной топологии), задающее закон преобразования при трансляциях и преобразованиях Лоренца для наблюдаемых I
4-Q…)(4)三%？(%)=。(a，A)4U(a，д)-1 (7.26)
и векторов состояний
Ф 一 U(a, Л)Ф (7.27)
(здесь А — произвольный элемент алгебры наблюдаемых 21 или алгебры наблюдаемых фон Неймана 21, Ф — произвольный вектор из 力).Генераторы этого представления — операторы полного ^-импульса Р^ “ четырехмерного углового момента М% — являются самосопряженными операторами в 力，присоединенными к алгебре наблюдаемых фон Неймана.
В п. 6.3.В мы привели условия, достаточные для того, чтобы вывести постулат А.Ш из требования релятивистской инвариантности системы (21, 6), так чтобы искомое представление U(a, Л) определялось единственным образом. Для этого следует предположить справедливость гипотезы стандартных правил суперотбора, а условие непрерывности действия группы фо на 6 усилить, потребовав, чтобы &,а® было непрерывно по (а, Л) в топологии нормы на 6 при любом фиксированном g G S (см. предложение 6.13). Теперь вместо 中］ мы считаем группой симметрии фо ——универсальную накрывающую группу для 中］.Как отмечалось в начале п. 6.3.В, такая замена, не меняя физического содержания, представляет значительное техническое преимущество.
Б. Классификация неприводимых представлений группы R。. Принцип спектральности. Изучение всевозможных унитарных представлений группы фо сводится к классификации ее неприводимых представлений, так как любое унитарное представление этой группы может быть разложено в прямую сумму (или интеграл) неприводимых представлений.
Этот результат нетривиален, так как группа Пуанкаре не является компактной (она лишь локально компактна). Относительно теории разложения произвольного унитарного представления локально компактной группы см. обзор Наймарка (1964).
В силу сказанного в предыдущем пункте операторы Р2 и W2 кратны единичному оператору в пространстве, в котором реализуется любое неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре, и их значения в этом пространстве используются для классификации неприводимых представлений. При Р?》0 можно ввести еще дискретную инвариантную характеристику — знак энергии
£ = £(Р°)(7.28)
(если при Р2 < 0 положить, по определению, £ = 0, то можно при всех Р написать £ =夕(р2)£(Р°); функции от самосопряженных операторов определяются, как обычно, с помощью спектрального разложения).
В зависимости от значений инвариантов Р2 и s представления группы фо могут быть разделены на следующие классы.
(а) Р? = т2 > 0, £ = 1 (т. е. Р° > 0). Соответствующие представления описывают трансформационные свойства реальных частиц с массой покоя т.
Р? = т2 > 0, £ = — 1 (т. е. Р° < 0). Эти представления комплексно сопряжены представлениям класса (а).
У? = 0, Р 7^ 0, £ = 1 (т. е. Р°〉0). Соответствующие представления относятся к частицам с нулевой массой покоя (нейтрино, фотон).
Р2 = 0, Р 7^ 0, в = -1 (т. е. Р° < 0). Представления этого класса комплексно сопряжены представлениям класса (б).
Р = 0 (т. е. р。= р =戸=рз = о). Все состояния с таким Р трансляционноинвариантны. Все унитарные представления этого класса, кроме единичного (U(a, Л) = 1), бесконечномерны. Единичное представление соответствует состоянию, инвариантному относительно всех преобразований Пуанкаре. Такое состояние с идеальной пространственно-временной симметрией интерпретируется как вакуум.
N = —т2 < 0 (т. е. вектор Р пространственноподобен). Согласно принципам релятивистской механики частицы с таким импульсом не могут реально существовать ).
Аксиома спектральности — следующая аксиома нашей схемы — есть физический принцип, исключающий некоторые из перечисленных возможностей трансформационных свойств векторов состояний.
А.IV (Аксиома спектральности). Спектр оператора энергии-импульса Р принадлежит замкнутому верхнему световому конусу『+.
Аксиому спектральности часто формулируют следующим образом: в 力 существует полная система состояний с неотрицательной энергией.
Говорят, что в 力 выполнено условие существования и единственности вакуума, если существует единственный (с точностью до фазового множителя) нормированный вектор Фо в 3f, который инвариантен относительно трансляций U(a, 1); это выделенный вектор Фо мы будем называть вакуумным вектором (или вакуумом) и обозначать также |0). Вакуум есть «основное» состояние физической системы (т. е. состояние с низшей энергией), остальные же состояния — это своего рода возбуждения вакуума. (Аксиома спектральности необходима, чтобы удовлетворить
физическому требованию устойчивости вакуумного состояния относительно бесконечно малых возмущений системы.)
Физическое представление с единственным вакуумом можно охарактеризовать еще так: точка 0 = 0 является дискретным невырожденным собственным значением оператором F, т. е. существует единственный (с точностью до фазового множителя) нормированный вектор Фо в 方，для которого PW = 0. Тогда такой вектор Фо автоматически инвариантен относительно всех собственных преобразований группы Пуанкаре 我).Это вытекает из сказанного выше в связи с представлением класса (в) или из следующего упражнения.
Упражнение 7.8. (а) Доказать, что всякое унитарное представление группы Пуанкаре фо попарно коммутирующими операторами U(a, Л) является единичным: U(a, Л) = 1 для всех (а, Л) е Ro. (Указание: группа фо порождается коммутаторами gig2g[^д^^ своих элементов.)
Всякое одномерное представление группы фо является единичным.
Технически принцип спектральности означает, что представление группы фо в 3f разлагается на неприводимые представления, входящие лишь в классы (а), (б) и (в). Среди представлений класса (в) рассматривается лишь тривиальное (единичное) представление, которое соответствует вакууму. С помощью теоремы 1.17 Стоуна условие спектральности может быть сформулировано так: для всех ①，W е 力 имеет место представление
(Ф, U(a, 1)3) = e^du(p),(7.29)
где и — некоторая конечная (комплексная) мера в пространстве Минковского с носителем в 『+. В частности,
supp (Ф, U(a, 1) W)「Ra da С F+(7.30)
(в смысле обобщенных функций из У(7И)).
Для теории поля удобен критерий существования и единственности вакуума, основанный на следующем понятии. Мы говорим, что в физическом пространстве 力 выполнено кластерное свойство (называемое также свойством асимптотической факторизации), если существует единичный вектор 3° в 力 такой, что
(Ф, U(M, 1) W) — (Ф, Wo)〈Wo, W) при X — оо;(7.31)
Здесь а — произвольный пространственноподобный вектор в М; Ф, Ф — произвольные векторы в 力
Предложение 7.1. Условие существования и единственности вакуума е физическом пространстве 力 эквивалентно кластерному свойству.
< Пусть выполнено кластерное свойство. Очевидно, что вектор Фо определяется условием (7.1) однозначно с точностью до фазового множителя. Покажем, что он инвариантен относительно трансляций. Действительно, заменяя Ф в (7.31) на U(—a, 1) Ф, получаем (Фо, U(—а, 1)3〉= (Фо, 3〉 при всех Ф, откуда U(a, 1) Фо = Фо для всех пространственноподобных векторов а в М. Поскольку такие векторы а натягивают все пространство М, отсюда следует, что U(a, 1) Фо =田0 при всех а 6 М. Пусть теперь Ф — инвариантный вектор относительно трансляций. Тогда из (7.31) следует (Ф, Ф) = |(Фо,田〉『，так что Ф = АФо- Таким образом, из кластерного свойства следует существование и единственность вакуума (причем Фо и есть вакуумный вектор).
Обратно, предположим, что выполнено условие существования и единственности вакуума. Достаточно доказать кластерное свойство (7.31) только для специального вектора а = ез = =(О, О, О, 1). Отсюда и из формулы
(7(0, Л) U(a, 1) (7(0, А)-1 = U(A⑷ а, 1)(7.32)
следует общий случай. Если один из векторов Ф, Ф в (7.31) является вакуумным, то кластерное свойство, очевидно, выполнено. Поэтому достаточно доказать (7.31) при а = ез для векторов Ф, Ф из некоторого плотного подмножества 耽 в подпространстве 方^ в 方, ортогональном Фо- Займемся построением такого подмножества 耽.Пусть Ее — проектор в 方 на подпространство, где Р°》£ (е〉0). Очевидно, £金① т ① при £0 и Ф е 方^;
поэтому множество 力й = U 反方 плотно в 我；Теперь в качестве 力I можно взять
£>0
耽二 0nШ11 = U (0 e 反方)，
£>0
где D — область определения оператора ^3 = М03.
Упражнение 7.9. (а) Доказать, что 耽 плотно в Шй и, значит, в 方^. (Указание: убедиться, что D П £金方 плотно в £金方；с этой целью рассмотреть множество векторов вида
⑴ U(0, А.)Ф,
где Ф G 石金方， △力=exp (ta3); {/n} — 5-образная последовательность функций из 夕(К)).
Доказать, что на 力I справедливо равенство
[М, U(a, 1)] = (Р - F3a°) UQ 1).(7.33)
(Указание: подставить △力 вместо Л в (7.32) и продифференцировать равенство по t при t = 0.)
Поскольку на множестве 耽 определен обратный оператор (Р0)-1, то из (7.33) при а = Лез следует:
〈№ ①，[/(Лез, 0)(F°)-^) - (Ф, и(Хез, 0) N\PQy^) = А(Ф, U{Xe3, 0) Ф)
при всех ①，W G 耽，А Е R. Очевидно, левая часть этого равенства ограничена при А ос, откуда следует (Ф, [/(Лез, 0) W〉т 0 при А ос. Этим завершается доказательство. А
Следствие 7.2. В релятивистской теории с единственным вакуумом выполняется свойство
〈％, Аха\аЛ{А^ Фо) —〈％, 4Wo)〈3o, 4%) при всех А оо; (7.34) здесь а2 V 0, 4,厶2 G 以.
Приведенная (слабая) форма аксиомы спектральности вместе с условием существования и единственности вакуума достаточна для изучения многих структурных свойств квантовой теории поля. Однако ее недостаточно для построения эффективной теории рассеяния. Из физических соображений ясно, что понятие асимптотически свободных (падающих или рассеянных) частиц предполагает, что взаимодействие между возбуждениями вакуума, локализованными в пространственно разделенных областях, должно достаточно быстро убывать с расстоянием между областями. Для этого достаточно исключить возможность состояний с нулевой массой, например потребовав, чтобы спектр оператора массы д/Р^ не имел общих точек с некоторым интервалом (0,从).Соответствующий параметр 从 называется массовой щелью. Итак, при изложении ряда вопросов (главным образом, связанных с теорией рассеяния) нам понадобится некое усилие аксиомы спектральности *).
Сильная форма аксиомы спектральности. Спектр оператора энер- гии-импулъса содержится в множестве
{0} и F+(7.35)
(с儿.обозначение (3.9)) с положительным значением параметра 从(массовой щели); точка р = 0 соответствует единственному вакуумному состоянию.
Сильное условие спектральности уточняет представление (7.29): для всех ①，W е е 力 имеемf
〈①，U(a, 1)3)=〈① |0)〈0|W)+ eipadv(p),(7.36)
где 。— некоторая конечная комплексная мера в 7И с носителем в『^, так что
supp{ (Ф, U{a, 1 )Ф)е-граda - (Ф| 0)(0| Ф)(27г)45(р)} с F+.(7.37)
Всякая дискретная точка т спектра массового оператора д/Р^ указывает на наличие физической частицы массы т. Однако из-за правил суперотбора понятие одной релятивистской частицы несколько сложнее, чем подпространство в 方 с фиксированным значением массового оператора. В теориях со стандартными правилами суперотбора всякое подпространство в 方， целиком лежащее в некотором когерентном подпространстве и соответствующее некоторой дискретной точке т спектра массового оператора VP^, интерпретируется как пространство релятивистской частицы с массой тис суперотборными квантовыми числами данного когерентного спектра. Разделение частиц на «частицы» и «античастицы» связано (помимо правил суперотбора) с операцией зарядового сопряжения или с операцией, скажем, СР или СРТ, содержащей зарядовое сопряжение. Если такая операция переводит данный когерентный сектор в другой когерентный сектор, то частицы одного сектора уместно назвать собственно «частицами», а другого — «античастицами». В случае же инвариантности когерентного сектора относительно указанной операции имеет смысл говорить о совпадении частицы с античастицей. (Соответствующие частицы, например фотон, называют истинно нейтральными, а в случае спинорных частиц — майорановскими.)
Однако следует иметь в виду, что такое понятие частицы является сильно идеализированным, ибо наличие строго фиксированного значения массы у частицы подразумевает ее абсолютную стабильность. (В этой связи см. П.7.З.Д.) Большинство реальных частиц (которые в одних случаях интерпретируются как «элементарные», а в других — как «связанные состояния» и «резонансы») нестабильны и вследствие этого соответствующее им распределение величины \Г^ имеет ненулевую ширину (или дисперсию). Приведенная идеализация допустима и является общепринятой при построении матрицы рассеяния; однако при рассмотрении процессов распада приходится учитывать ширину массового спектра частицы. Мы видим, что требования в картине рассеяния и в картине распада вступают в конфликт, выход из которого требует разработки более реалистического понятия частицы.
Приведем дальнейшие факты, касающиеся классификации неприводимых представлений группы фо классов (а) и (б). Оператор энергии-импульса Р в неприводимом представлении группы фо может быть вырожден; кратность этого вырождения физически интерпретируется как число независимых поляризаций (или число возможных ортогональных спиновых состояний) у частицы, ассоциированной с данным неприводимым представлением и имеющей фиксированное значение импульса. Все известные в физике частицы имеют конечное число (независимых) поляризаций. Поэтому из семейства всех неприводимых представлений классов (а) и (б) принято называть «физическими» лишь представления с конечной кратностью вырождения оператора энергии-импульса. Оказывается, все представления класса (а) автоматически попадают в класс «физических» представлений. Согласно анализу Виг-
нера (1939), для характеризации неприводимого представления класса (а) с точностью до унитарной эквивалентности следует (помимо значения массы m > 0 и положительного знака энергии £ = 1) указать значение квадрата вектора Паули- Любанского; при этом допустимые значения для W2 охватываются формулой
W2 = —ш2s(s+ 1). (7.38)
Здесь s — целое или полуцелое неотрицательное число, называемое спином представления. Соответствующая кратность вырождения спектра Р равна 2s + 1. Из сказанного следует, что неприводимое представление класса (а) характеризуется с точностью до унитарной эквивалентности двумя параметрами [m, s] — массой m > 0 и спином s = 0, 1/2, ...
Для неприводимых представлений класса (б) спектр Р либо невырожден, либо бесконечно вырожден ). Следовательно, в «физических» неприводимых представлениях группы фо класса (б) спектр Р невырожден. Как следствие этого вектор Паули-Любанского пропорционален вектору Р:
М = sA. (7.39)
Входящее сюда число s может принимать целые или полуцелые значения (положительные, отрицательные и нуль); оно называется спиральностью представления. Абсолютную величину спиральности |s| иногда называют спином частицы с нулевой массой. Спиральность характеризует неприводимые представления класса (б) с точностью до унитарной эквивалентности. Мы будем обозначать через [0, s] неприводимое представление группы фо с положительной энергией, нулевой массой и спиральностью s. Отметим, что согласно (7.20) оператор спиральности может быть записан в виде
s=^PM, (7.40)
так что он имеет смысл проекции трехмерного углового момента на направление трехмерного импульса Р. Разумеется, спиральность может быть определена этой формулой и для представлений класса (а), однако релятивистским инвариантом она является только для представлений с нулевой массой.
Мы рекомендуем познакомиться с обстоятельным изложением и доказательством приведенной выше классификации по классической работе Вигнера (1939) (см. также монографии [М2, М9], где эти вопросы изложены в более общем плане). Ниже, в п. 7.2.Г, мы приведем конструкцию всех «физических» неприводимых представлений группы фо в пространствах спинорных волновых функций и тем самым наглядно продемонстрируем перечисленные выше свойства этих представлений. В п. 7.2.В приведена более традиционная (вигнеровская) конструкция представлений класса (а), диагонализующая операторы Р и 53, где S^ — оператор типа третьей проекции нерелятивистского оператора спина. (Относительно еще одной популярной реализации представлений класса (а) в терминах операторов энергии- импульса и спиральности см. статью Жакоба и Вика, 1959.)
В. Описание представлений, соответствующих частицам с положительной массой. Приведем вигнеровскую конструкцию неприводимых представлений группы фо класса (а). Для этой цели выберем среди эрмитовых функций от генераторов группы полный набор
коммутирующих операторов ). В этот набор всегда входят операторы Казимира F2 = т2 и W2 группы Пуанкаре, которые коммутируют со всеми операторами представления. Наряду с ними удобно выбрать операторы импульса FM (从=0, 1, 2, 3) и третью проекцию спина
炉嘉(7・41)
Нетрудно видеть с помощью (7.21), что операторы Р" и S^ коммутируют между собой. Они будут также коммутировать, если вместо S^ мы возьмем любую линейную комбинацию компонент вектора Ж Поэтому специальный выбор (7.41) при определении спина нуждается в пояснении.
В точках р спектра Р, где р = 0 (или, как говорят, в системе покоя R вектора Р), вектор спина равен
SR =靑取(7・42)
Мы постулируем, что в произвольной системе вектор S является линейной комбинацией компонент вектора W с коэффициентами, зависящими лишь от 4-импульса Р. При этом потребуем, чтобы S был трехмерным вектором, т. е. чтобы
[М< Sk] = ifkiS。(7.43)
и чтобы имели место обычные перестановочные соотношения для оператора спина:
[S乙 Sk] = iejklSl.(7.44)
Покажем, что единственная аксиально-векторная линейная комбинация операторов W^, удовлетворяющая условиям (7.43) и (7.44) и переходящая в системе покоя в вектор (7.42), имеет вид
S'7 =馬=需 \pQMj - A £^klpkNl -户 .(7.45)
Действительно, условие, что S является псевдовектором (это условие учитывает (7.43)), дает. сс .
S’ = ^(屮3 -bWQPJ\(7.46)
где а и b являются функциями импульса Р, инвариантными относительно группы трехмерных евклидовых вращений и, следовательно, зависящими лишь от F0 и m (так как Р2 = =Р。？ — т2). Здесь учтено, что Р и W° меняют знак при пространственном отражении, а значит, их произведение остается неизменным. С другой стороны, таким же свойством обладал бы член типа (WP)P, однако в силу (7.25) он равен WQPQP и, следовательно, не дает ничего нового. Чтобы определить коэффициенты а и 5, подставим выражение (7.46) в (7.44). Сравнение левой и правой частей дает два уравнения для а и 5:
а[Р° — Ь(Р°2 — т2)] = т,а(1 — ЬР°) = mb.
Эта система имеет два решения: а = 1, b = и а = —1, b =. Второе из них
m + FР — т
отбрасывается условием (7.42). Таким образом, равенство (7.45) доказано.
Заметим, что комбинация (7.45) есть не что иное, как пространственные компоненты вектора W, предварительно трансформированного в систему покоя,
Sj = ^W)j,(7.47)
где Лр — «чистое» преобразование Лоренца, переводящее ось времени по вектору р:
A~p= (m, 0, 0, 0).(7.48)
Явный вид матрицы 1 таков:
(А『)2 = (А『)# = ^ = 尢
..(7・49)
(A/汲=况+ ^(加 + p》
В силу (7.44) эрмитовы операторы S’ являются генераторами алгебры Ли группы вращения трехмерного евклидова пространства 0+(3) (или, что то же самое, алгебры Ли группы SU(2)). Ее называют малой группой группы Пуанкаре, соответствующей данному неприводимому представлению группы Ro). Все неприводимые унитарные представления алгебры операторов S3 конечномерны и могут быть классифицированы значением полного спина s (принимающего целые или полуцелые неотрицательные значения):
S2 = s(s+1).(7.50)
Упражнение 7.10. Показать, что инвариант —W2 равен произведению S? и т2:
-W2 = mS2 = ms(s + 1).(7.51)
Мы реализуем неприводимое представление [m, s] группы фо класса (а) в гильбертовом 2s+l
пространстве ㊉ ^2(Г^) функций от собственных значений рм и а операторов Р" и S^. Переменная а принимает 2s + 1 значений:
ст = —s, —s + 1,s — 1, s;(7.52)
4-вектор 0M пробегает верхний гиперболоид Г^, снабженный инвариантной мерой
三鄢三(2;г*2Ptp653)
2s+l
Скалярное произведение в ㊉ ^2(Г+) определяется равенством
(Ф, Ф)=工[①(в сг) W(0, сг)(&0)皿(7.54)
2 +]В качестве плотного в ㊉夕十!^) подпространства удобно выбрать пространство ㊉ ^(Г^), состоящее из всех функций ①(@, а), которые при фиксированном а принадлежат ^(/?3), т. е. бесконечно дифференцируемы и быстро убывают как функции 3-вектора р.
Операторы Р" (так же, как и S^) определены на ф^(Г^) умножением и оставляют при таком определении это пространство инвариантным:
Р"①(@, ст) = pR①(р, о)， S’①(0, ст) = аФ(р, а).(7.55)
(Напротив, действие операторов импульса не определено для любого вектора самого пространства 方，так как из квадратичной интегрируемости функции ①(@, а) на Г^, вообще говоря, не следует квадратичная интегрируемость функции @从①(@, а). Собственные же функции оператора импульса, как и в нерелятивистской квантовой механике, являются обобщенными состояниями, принадлежащими сопряженному пространству ㊉ ^(Г^).)
Унитарные операторы U(a, Л) представления группы фо в отличие от инфинитезимальных операторов FM и М^ определены во всем гильбертовом пространстве ф ^2(Г+). Особенно простой вид имеем представление подгруппы трансляций:
(U(a, 1)Ф)(р, a) = eipa^{p, а).(7.56)
Чтобы построить представление (7(0, Л) группы SL(2, С), поступим следующим образом. Выделим на гиперболоиде Г^ импульс в системе покоя
Pr = (m, 0)(7.57)
(выбор именно этого вектора обусловлен лишь соображениями удобства). Представление малой группы SU⑵r, оставляющей инвариантным этот вектор, зададим в точке р = Pr равенствомs
(U(QW)(0r“)= £ D^{V^^ У).(7.58)
Здесь V 6 SU(2), т. е. V — двухрядная унитарная матрица, которая может быть записана в виде
V(7・59)
detV=|Hi|2 + |H2|2 = l,(7.60)
a忆⑺ —матричные элементы неприводимого представления группы SU(2), соответствующего спину S：
= У(二冰二F广— |%2『)，(7.61)
где Р俨8)(z) — полиномы Якоби:
必“=W(1 — 2))r(1 + 2)T 各[(!- 2)“+Jl + ^)Mn](7・62)
(см., например, [Вб], а также Йоос, 1962). Заметим, что D^(y) = 5/2—63/2—，. любая унимодулярная матрица A G SL(2,。) однозначно разлагается в произведение унитарной и положительно определенной матриц:
Д = уAЯa, уa =性7l及)яa =亿63)
(согласно упражнению 3.5 Уд соответствует преобразованию вращения, а Яд — чистому преобразованию Лоренца). Представление преобразования (7.63) в точке р = pr имеет вид
20 Н. Н. Боголюбов и др.
(U(0, Л)Ф)(м,а)= £У),(7.64)
где Л(Ял)——преобразование Лоренца, соответствующее матрице Ял, Ул ——унитарная матрица, определяемая из (7.63). Мы видим, что в точке @五 это преобразование Лоренца действует лишь на аргумент р функции Ф (заметим, что А(А-1)рд = A(H^)PrY На спиновый индекс действует нетривиальным образом только трехмерное вращение, оставляющее инвариантным вектор pr.
Используя (7.64) и тот факт, что произведению матриц А соответствует произведение операторов U, можно найти действие (7(0, А) на Ф в любой точке р. Для этого поступим следующим образом. Пусть Ар — частное преобразование Лоренца, переводящее вектор @五 в заданный вектор @ на гиперболоиде Г^:
= тж°+R+ 丿)・(7・65)
Этому преобразованию соответствует однозначно и положительно определенная матрица Нр из SL(2。)：
(7.66)(7.66)mI/р° + m + р3 р1 — гр2
(7.66)
(7.66)
такая, что
HppRHp = р.(7.67)
Чтобы убедиться, что матрица (7.66) действительно удовлетворяет (7.67), достаточно заметить, что при р2 = т2
02 = 20。0 — т
и, следовательно,
(т + о)? = 2(@。+ т) р.
Любая матрица A е SL(2,。) может быть представлена в виде
А = НрВ,(7.68)
где Нр = р п det В = 1. В силу (7.63), (7.64) и (7.68) имеем
U(0, А) 3)(0") = (U(0, %) U(0, В) 3)(0”)=
= ([/(0, В) Ф)(ря, а)= £ D^f(VB)^^-\B)pR, У)=
=ЕZ7 6) R 吟(7.69)
(матрица А"1 дается формулой (7.49)).
Упражнение 7.11. (а) Показать, что матрица Нр (7.66) является «положительным» корнем матрицы р/т:
% =，0/加， p ^ r+.(7.70)
Пусть унимодулярная матрица А = а, где а°2 — а2 = 1. Показать, что
= q-1 =а = а%о - аи(7.71)
Убедиться непосредственно, что матрица
^(Д,р) =『叱及(7.72)
входящая в аргумент представления D (7.69), унитарна.
Полученные результаты, принадлежащие Вигнеру (1939), могут быть резюмированы следующим образом.
Теорема 7.3. Всякое неприводимое унитарное представление группы фо класса (а) характеризуется (с точностью до унитарной эквивалентности) парой чисел [m, s], где m > 0 — масса, s — спин, принимающий целые или полуцелые неотрицательные значения. Это представление может быть реализовано 6 пространстве ф ^2(Г+) со скалярным произведением (7.54), а действие операторов представления задается формулой
(U(a, △ )3)(0“)= /。。£ O*(V(A，0))W(A〕A)0,『)，(7.73)
где O(s)— матрица неприводимого представления (s) группы SU(2) (7.61), а унитарная унимодулярная матрица V(Л, р) (называемая вагнеровским вращением) определена равенством (7.72).
Г. Явно ковариантная реализация «физических» неприводимых представлений. Оказывается, все «физические» неприводимые представления группы фо можно построить в пространстве (конечно-компонентных) спинорных волновых функций. Будем исходить из представления ；D(九°)или R(°J)группы 6工(2, С) (где j — произвольное целое или полуцелое неотрицательное число). Соответствующая спинорная волновая функция есть комплексная функции Ф(р,，) (или Ф(р, D)) от 4-вектора р W М, являющаяся однородным полиномов степени 2J по спинорной переменной cj 6 С2 (соответственно по 力).Считая р импульсной переменной, зададим закон преобразования волновой функции относительно группы Пуанкаре следующей явно ковариантной формулой:
(吻(а, Л)Ф)(р, 5 = е"。。①(А-仏厶-匕)(7.74)
или, соответственно,
(勿(а, Л)Ф)(р, cD) =①(А-夕，匕)(7.75)
Если определить на таких волновых функциях 中о-пнварпантную положительно определенную (или положительно полуопределенную) эрмитову форму, то согласно стандартной конструкции (п. 1.1.Г) классы эквивалентных волновых функций (по модулю функций нулевой нормы) образуют плотное подпространство некоторого гильбертова пространства, преобразующегося по унитарному представлению группы фо- (Мы будем обозначать это представление также через 〃(а, Л).)
Таким образом, задача состоит в нахождении скалярного произведения на волновых функциях, которое доставляет неприводимое представление группы фо- Мы прибавим еще требование, что выделенный класс волновых функций содержит функции класса ”М) и скалярное произведение таких функций непрерывно в топологии ”М). Тогда, привлекая теорему о ядре и условие трансляционной инвариантности, нетрудно убедиться, что интересующее нас скалярное произведение должно иметь вид
@= 号讨(忌e忌)‘隔e粉'"
X T(p, w, w) 5(p — q)①(夕，5 W(q, s) d^pd^q, (7.76) 20*
где Т(р, w, w) — лоренц-инвариантная спинорная обобщенная функция, преобразующаяся по представлению D°J) группы 5L(2, С). (Здесь для определенности мы рассматриваем случай функций Ф(р, s).) Общий вид такой обобщенной функции дается предложением 3.6; в нашем случае F(p) следует считать положительной лоренц-инвариантной обобщенной функцией. Чтобы результирующее представление 〃(а, Л) имело положительную энергию и фиксированную массу m > 0, следует положить F(p) = с8^(夕)，где с > 0. При этом мы пользуемся обозначением
躡(夕)=2础夕。№疗一俏；(7.77)
аналогично определяется
时(夕)=27rl9(一Р。)8(夕2 — m2).(7.78)
Итак, с точностью до несущественного положительного множителя интересующее нас скалярное произведение на волновых функциях Ф(р, s) имеет вид
住0=^17 (柒2总广①(夕，53(夕，5(dp)m.(7.79)
г+
Аналогично для функций Ф(р,力)имеем
住⑦=^17 (是 2 忌丁①(2 刃)3(夕，5(dp)m.(7.80)
г+
Ниже мы проанализируем соответствующие представления ^(а, Л) и, в частности, убедимся, что они неприводимы.
В более общей постановке можно было бы построить унитарные представления группы фо в классе волновых функций ①(@, ш,公)，преобразующихся по произвольному конечномерному неприводимому представлению Х>°,“)группы SL(2,。). Задача нахождения соответствующего скалярного произведения почти тождественна задаче об общем виде и разложении по инвариантам группы Пуанкаре ковариантной двухточечной функции квантовых полей (см. дополнения Ж, И). Вопрос этот также тесно связан с разложением свободного лоренц-ковариантного квантового поля по полям с определенным спином (или с определенной спиральностью — в случае поля нулевой массы). Выше мы заметили, что представление с положительной энергией и массой т, реализованное в пространстве функций ①(@, g) или ①(@,公)，автоматически оказывается неприводимым. Аналогичное утверждение становится неверным для представлений в классе волновых функций ①(@, g,公)，преобразующихся по представлению 公好卜)при j, к 0. Эти представления разлагаются по неприводимым представлениям, реализуемым на функциях типа ①(0, g) и ①(0,公).По этой причине мы ограничиваемся здесь технически простейшей реализацией «физических» неприводимых представлений на спинорных волновых функциях типа Х>("°)и X>(°J)(см., однако, ниже упражнения 7.15 и 7.17).
Упражнение 7.12. Доказать, что вектор Паули-Любанского в пространстве волновых функций ①(0, g,公)дается следующим дифференциальным оператором:
炉=-；8(d万-田)£Т星-幻(通-万/)星｝.(7.81)
(Указание: МЛм =小从 + Х'^, где 力巾=«0“з|^ - Рм^д^, а Х'^ определяется формулой (3.56) или (3.57).)°
Рассмотрим вначале случай m > 0. Фиксируем целое или полуцелое неотрицательное число s = j. Тогда со скалярным произведением (7.79) ассоциируется
гильбертово пространство 55^ш,^ всех комплексных измеримых функций ) Ф(р, s) на Г+ х С2, которые являются однородными полиномами степени 2s по cj и удовлетворяют соотношению
ЦФЦ2三]咼炉(£ £星『傳(仏5『(<Ш < ОС.(7.82)
Действие (7.74) группы фо определяет унитарное представление в ^m,s\ которое мы обозначим посредством 〃[次$〕.
Упражнение 7.13. (а) Доказать, что всякая непрерывная фо~инвариантная полуторалинейная форма а(①，Ф) на ①⑺屈 имеет вид а(①，Ф) = а(Ф, Ф), где а G С. (Указание: воспользоваться аргументами, использованными при выводе скалярного произведения (7.79).)
Доказать, что всякий ограниченный оператор А в ①【小屈，перестановочный со всеми операторами 勿【小屈(а, Л), кратен единичному. (Указание: рассмотреть полуторалинейную форму а(①，Ф) = (Ф, АФ).)
Упражнение 7.14. Доказать формулу (7.38) для квадрата вектора Паули-Любанского в представлении ^[ш^]. (Указ ан ие: воспользоваться формулой (7.81).)
Из этих упражнений следует, что 〃【加闾 является неприводимым представлением группы фо с положительной энергией, массой т и спином s.
При построении ^т^ мы можем с равным успехом исходить из функций Ф(р,力) (вместо Ф(р, g)), являющихся однородными полиномами степени 2s = 2j по b Скалярное произведение и представление группы фо задается теперь формулами (7.80) и (7.75). Мы предоставляем читателю убедиться, что полученное таким образом представление группы фо унитарно эквивалентно описанному выше представлению 〃["，引，причем оператор унитарной эквивалентности может быть задан в виде 分2 э①g 5 -3仇力)=品卜^ 星广①(2 5・(7.83)
Выше отмечалось, что использование более общих представлений Х>°,“)группы SL(2, С) доставляет другие возможности для явно ковариантной реализации представлений [m, s]. При этом в случае целого спина роль спинорной переменной может быть отведена 4-вектору. (Ср. упражнения 3.9 и 3.10 в связи с представлениями группы Лоренца.)
(в четырехмерном смысле)(в четырехмерном смысле)（0柒）/（0，吟=0.（0柒）/（0，吟=0.(7.84)(7.84)Упражнение 7.15. Пусть m > 0 и Z = 0, 1, 2, ... Рассмотрим гильбертово пространство комплексных функций /(@, г) от векторов @ 6 Г^ и г 6 Af, которые являются однородными псевдогармоническими полиномами степени Z по г и удовлетворяют условию «поперечности»
(в четырехмерном смысле)
(в четырехмерном смысле)
（0柒）/（0，吟=0.
（0柒）/（0，吟=0.
(7.84)
(7.84)
Скалярное произведение определим формулой
(7.85)(7.85)
(7.85)
(7.85)
“В г) т ①(0, 5 =)赤 ^Р 糸 J/(0，<)•)“В г) т ①(0, 5 =)赤 ^Р 糸 J/(0，<)•)а действие группы фо ——посредством /(@, г) т егра f(Ar1p, A-1r). Доказать, что полученное представление группы фо унитарно эквивалентно ^ш,1\ (Указание: рассмотреть отображение 〜
“В г) т ①(0, 5 =)赤 ^Р 糸 J/(0，<)•)
“В г) т ①(0, 5 =)赤 ^Р 糸 J/(0，<)•)
Обратимся теперь к случаю m = 0. Пусть вначале s есть целое или полуцелое отрицательное число. Положим s = —7 н рассмотрим пространство всех комплексных измеримых функций Ф(р, 5 от 夕 е Г^ и ш Е С2, являющихся однородными полиномами степени 2J и удовлетворяющих условию (7.82). Классы эквивалентных функций по модулю функций нулевой нормы образуют гильбертово пространство 分也引. Однако чтобы не усложнять обозначений, мы условимся отождествлять каждый вектор из 分0$] с некоторой представляющей его функцией Ф(р, s) ). Формула (7.74) определяет унитарное представление группы 中о, которое мы обозначим посредством 〃®s].
Аналогично, если m = 0, a s есть целое или полуцелое неотрицательное число, то мы вводим вместо функций Ф(р, s) функции Ф(р,力)，являющиеся однородными полиномами степени 2s и удовлетворяющие условию типа (7.82). Соответствующее гильбертово пространство со скалярным произведением (7.80) при j = s и унитарное представление (7.75) мы также обозначим посредством 分山〕и 〃也
К пространствам 分口屈 применим результат упражнения 7.13, который означает, что представление 〃【°‘引 неприводимо. Непосредственное вычисление вектора Паули-Любанского показывает, что 〃也引 есть представление с положительной энергией, массой нуль и поляризацией s. (В связи с этим см. ниже упражнение 7.16.)
Мы видели, что в случае m > 0 замена спинорной переменной s на 力 приводит к унитарно эквивалентному представлению группы фо- Однако в случае m = 0 это не так, ибо представления 〃田忑〕и °ll^~s^ при s〉0 унитарно неэквивалентны. Тем не менее существует явно ковариантная конструкция представлений 〃也$〕， использующая переменную 力 при s V 0 n g при s〉0. Эта реализация представления весьма поучительна, ибо она наглядно демонстрирует, что вектор состояния из 分口忑〕 эффективно описывается однокомпонентной волновой функцией, а соответствующая частица имеет только одно состояние поляризации ).
Рассмотрим подробно случай s V 0. Введем комплексные измеримые функции Х(夕，力)на Г^ х С2, которые являются однородными полиномами степени 21sl по 力 и удовлетворяют условию
卜吆星)Х(夕 р)=0. (7.86)
Это условие означает, что Х(夕，力)имеет вид
X(夕,力)=@£产同"(夕)， (7.87)
где & — вектор из С2 такой, что 力泣=(方£番)(以£&) при всех s е С? или, эквивалентно,番久° = 2pq для всех q е М. Используя это наблюдение, мы можем переписать условие (7.86) в виде
(^I (迎9柒)"x(2 力)=(2雨产同Х(2 力)， qG m. (7.88)
Определим норму в пространстве таких функций X, полагая
||Х『=网（夕）（如）о,
где функция Уу определена посредством
(星？星y)x(. ©|2 = (2阳户s|网m)，q e 加. (7.89)
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения убедиться, что представление группы фо в гильбертовом пространстве функций X (определенное формулой типа (7.75) с соответствующей заменой) эквивалентно 〃口屈 с оператором унитарной эквивалентности
①(夕，5 - x(2力)=^^ (力力£-1盒)2回①(2 5・ (7・90)
Подобным же образом в случае s〉0 имеется альтернативная реализация представления 〃0$] в терминах функций Х(夕，g), зависящих однородно и полиномиально степени 2s от s (вместо 力).
Упражнение 7.16. Вывести формулу (7.39) для вектора Паули-Любанского в пространстве ①Ms】. (Указание: в случае s < 0 применить дифференциальный оператор (7.81) к Х(@,公)и воспользоваться условием (7.86).)
Конструкция представления группы R。， описанная в упражнении 7.15, с небольшими изменениями переносится на случай m = 0. Теперь при I 力 0 скалярное произведение (7.85) становится вырожденным, поэтому гильбертово пространство образовано классами эквивалентности функций /(0, г) по модулю функций с нулевой нормой. При I 力 0 результирующее унитарное представление группы фо является приводимым: оно разлагается в прямую сумму 2/2刃 ㊉ 2/口一". Особый практический интерес представляет случай I = 1, ибо представление
㊉ “МТ группы фо описывает фотон. В следующем упражнении рассматривается подробнее этот частный случай.
Упражнение 7.17. Пусть m = 0. Рассмотрим пространство ①/ комплексных 4-век- торных функций ^(р) от вектора @ G Г^, которые удовлетворяют условию поперечности (в четырехмерном смысле):
р^(р) = 0. (7.91)
Определим скалярное произведение двух функций
= -| /从（0）//"（0）（如）0・（7.92）
Пусть ①〃 —пространство векторов в ①‘ с нулевым скалярным квадратом. Доказать, что (а) скалярное произведение (7.92) положительно полуопределено, (б) векторы из ①〃 имеют вид
(в) действие
/(@) =0%(@),(7.93)
/,@) т eipa^^^p)(7.94)
определяет унитарное представление группы фо в фактор-пространстве ①=①'/①〃，причем это представление унитарно эквивалентно 〃°"㊉ 〃М-“. (Указание: рассмотреть два
отображения
以(0)— Х+(@, G)= g£0“(0)g = ^uee^e^uf^^p),(7.95)
"(0)т Х_(@,公)=cjp^(p) £公=^ шехе^еш f^\p);(7.96)
здесь
/m(0)=0Х440) 一 0从4(0),(7.97)
А^)(0)= 5 (/м(@) 土 5 辽Mw/w(0))・(7.98)
Пространство Фока релятивистских частиц
А. Пространство вторичного квантования. В релятивистской квантовой теории результат рассеяния описывается в терминах системы произвольного конечного числа невзаимодействующих релятивистских частиц, подчиняющихся квантовой статистике (см. ниже П.7.3.Д). Здесь мы займемся построением пространства состояний такой системы.
Чтобы сократить обозначения, предположим, что мы имеем дело только с одним типом релятивистских частиц, характеризуемым массой m > 0 и спином s = =0, 1 /2, 1, ... (при m > 0) или спиральностью s = 0, ±1/2, ±1, ... (при т = 0). Гильбертово пространство ⑶…〕из п. 7.2.Г мы будем называть пространством одночастичных состояний и в пределах этого пункта будем обозначать его просто 分卜 Состояние 八(> 2) невзаимодействующих тождественных частиц будем описывать волновой функцией ①冷(夕 1, ..., pn; cjp ... шп) от п независимых импульсов 夕i,…，夕冷 6 Г+ и от спинорных векторов &i,,以冷 е С? или от их сопряженных векторов 力i,, шп,
причем волновая функция является однородным полиномом степени 21sl по каждому (—)(—)、
векторув отдельности Требуется еще, чтобы Фп являлась измеримой
функцией с конечной нормой:
||ф^||2 = ((2|}|)!严 П(Д Ь Д)回伍，…，Ж； 5,…，^n)) 口(d勿)加， (7.99) и удовлетворяла условию
Ф^ = Фп для всех тг(7.100а)
или
Ф^ = £(7г) Фп для всех тг;(7.1006)
здесь тг — произвольная перестановка индексов 1, 2, ..., п в волновой функции Фп(рь , Рп； …，^п), так что
ФпФпРп； &1,…，^ п^ =① 7Z (夕 7Г(1)Ртг(п) 5 &7Г ⑴^ 7Г(П)^ 5(7.101)
Фп
Фп
£(7г) означает четность перестановки тг. В соответствии с двумя возможностями в (7.100) говорят о двух «квантовых статистиках» — бозе-частиц (или бозонов) и ферми-частиц (или фермионов). Условия (7.100) иногда называют принципом неразличимости частиц, подчиняющихся квантовой статистике, ибо согласно (7.100) любая перестановка переменных в волновой функции, относящихся к индивидуальным частицам, не меняет состояния.
Эмпирические факты свидетельствуют о том, что частицы с целым (соответственно полуцелым) спином подчиняются бозе- (соответственно ферми-) статистике. Теоретическим обоснованием этой закономерности служит теорема о связи спина со статистикой (см. гл. 9).
Пространство всех измеримых функций Фп(рь , pn； Vi, , Vn) с конечной нормой (но, возможно, не удовлетворяющих ни одному из условий (7.100)) образует гильбертово пространство, которое называют n-й тензорной степенью гильбертова
*) Если исходить из другой реализации одночастичного пространства, то роль этих спинорных векторов должна быть отделена каким-либо другим величинам или индексам спинорного (или векторного) типа.
пространства 551 и обозначают X，72. Скалярное произведение двух векторов Фп и Фп дается формулой
(①小3九)=((21：1)!广 П (后纟為) x
x ФП^Р1, , pn; ^1,Pn；口(d沁)g (7.102)
Векторы, удовлетворяющие условию (7.100a) (соответственно (7.1006)), выделяют в X，72 подпространство, которое называют n-й симметричной (соответственно антисимметричной) тензорной степенью гильбертова пространства 551； для него мы введем обозначение ^п (соответственно 行竺).Ортогональные проекторы в 55^п на подпространства 分丫几 и ^п имеют вид
Sym ①几=*£①^(7.103а)
Antisym ①冷=% £ £(тг)①筋(7.1036)
n
здесь суммирование производится по всем перестановкам тг индексов 1,, п. Усло
вимся считать, что при 八=1 все пространства Х?72, W\n, Х；п совпадают с Xi, а при п = 0 все они совпадают с полем скаляров С, снабженным обычным скалярным произведением ①о%.
В полном (физическом) гильбертовом пространстве векторы состояний с различным числом частиц образуют взаимно ортогональные подпространства. Значит, для представления состояний с нефиксированным числом частиц следует ввести прямую сумму n-частичных подпространств.
Прямая сумма
Ф^Г(7.104)
п=0
называется тензорной алгеброй над гильбертовым пространством 分卜 Это есть гильбертово пространство, элементами (векторами) которого служат произвольные последовательности Ф = {Фп}^0 такие, что Фп е 分区几 и
1|Ф||2 = Е||Фп||2<ос,(7.105)
а скалярное произведение имеет вид
(①，W) = f(①九，3几).(7.106)
n=0
Очевидно, 55^п можно отождествить с n-частичным подпространством в прямой сумме (7.104), состоящим из тех векторов Ф, у которых 埶=0 при к ^ п. В частности, одномерное 0-частичное подпространство 分沖 называется вакуумным; оно натянуто на вектор Фо = |°) с компонентами
(%)0=1, (фо)п = о при 八#0,(7.107)
который называется вакуумным вектором. Для любого вектора Ф из прямой суммы мы можем рассматривать Фп как проекцию Ф на 分?72. Вектор Ф называют финитным, если он имеет только конечное число отличных от нуля проекций Фп.
Очевидно, финитные векторы образуют линейное многообразие, плотное в прямой сумме (7.104). Название «тензорная алгебра» объясняется тем, что на финитных векторах определена (дистрибутивная, ассоциативная, но не коммутативная) операция тензорного произведения Ф 0 Ф:
(① * W)九夕几；К； К；)=
= £①к(夕1,…，ок；工；…，工1)kRk+i,…，0几；工1+1,,工；).(7.108) k=0
Векторы Ф из прямой суммы (7.104), у которых каждая проекция Фп удовлетворяет условию (7.100а) и, значит, принадлежит ^п, образуют гильбертово пространство
夕v(5) = Ф^Г(7.109а)
п=0
которое называется симметричной тензорной алгеброй или пространством Фока бозе-частиц над одночастичным пространством 分卜 Аналогично, если условие (7.100а) заменить на (7.1006), то мы приходим к гильбертову пространству
夕л(5)=帘(7.1096)
п=0
называемому внешней алгеброй или пространством Фока ферми-частиц над одночастичным пространством 5・ На финитных векторах Ф, Ф из 夕v(5) определено симметричное тензорное произведение (дистрибутивное, ассоциативное и коммутаТИВНОе)Ф 7Ф = SymФ0Ф,(7.110а)
а на финитных векторах Ф, Ф из 夕д(5) определено внешнее произведение (дистрибутивное и ассоциативное)
Ф Л Ф = Antisym Ф 0 Ф.(7.1106)
Упражнение 7.18. Доказать тождества
ф V Ф = Ф V Ф,(7.111а)
ФкЛ^1 = ( —1)威3% 八①储(7.1116)
Итак, мы построили пространства Фока 夕v(5) и 夕д(5) бозе- и ферми-частиц над одночастичным подпространством 例=^m,s\ преобразующимися по унитарному неприводимому представлению группы Пуанкаре фо- Хотя именно этот случай представляет для нас основной интерес, следует обратить внимание на то, что специфика пространства 551 по существу нигде не использовалась (разве что при определении тензорной степени 55^п)- Поэтому приведенная конструкция пространств Фока дословно переносится на произвольное гильбертово пространство 551； при этом нужно пользоваться общими определениями тензорного произведения и прямой суммы, данными в п. 1.1.Д. Пространства 分丫几 и *产,являющиеся слагаемыми в прямых суммах (7.109а) и (7.1096), естественно рассматривать как собственные подпространства (существенно самосопряженного) оператора числа частиц N, определенного (на финитных векторах) по формуле
(N Ф)п = п① п・
Конструкция фоковского пространства 九(Xi) или ,^Л(551) по данному гильбертову пространству 551 называется вторичным квантованием (бозевским или фермиевским). Оно носит функториальный характер в том смысле, что операторы между одночастичными пространствами также подлежат вторичному квантованию. Мы ограничимся важнейшим случаем — вторичным квантованием унитарных операторов. Пусть U — унитарный оператор в 551； тогда для любого n = 1, 2, ... тензорное произведение U^n = U 0 ... 0 U 八 экземпляров оператора U является унитарным оператором в X?72 (см. Упражнение 1.44). Оператор U^n оставляет инвариантным подпространства 分产(分竺)；сужение U^n на каждое из этих подпространств мы обозначим U^n (иЛгг) и назовем n-й (анти) симметричной тензорной степенью оператора U. Очевидно, это унитарные операторы. Кроме того, при п = 0 будем считать, что U®n = U^n = ~U'n = 1 (единичный оператор в С). Вторичным квантованием унитарного оператора U называется унитарный оператор .冗(U) в .冗(X) или, соответственно,夕д (U) в 夕д(Х) такой, что
^(U) ^n = U^n,(7.Н2а)
设八(U)W)n = UZ(7.1126)
Упражнение 7.19. (а) Доказать, что для унитарного представления Ug группы Ли G в ① 1 операторы ^{Ug) и ^^(Ug) образуют унитарные представления группы G в 夕v(① 1) и 少/\(①i).
Определим однопараметрическую абелеву калибровочную группу Ua в ①i, полагая (Ua①)=егаФ,① G ①i・ Доказать, что .叭/,/\(Ua) = e^aN, где N — оператор числа частиц.
Доказать, что представление ^ш,3\а, Л) группы R。в ^ш,^ порождает унитарное представление ^^(^m,s\a, Л)) в фоковском пространстве 歹v,八⑸小屈)，которое удовлетворяет условию спектральности, причем всякий фо~инвариантный вектор в фоковском пространстве коллинеарен вакуумному вектору; в случае m > 0 выполнено сильное условие спектральности с массовой целью т.
Часть (в) этого упражнения показывает согласованность употребления термина «вакуумный вектор» в двух различных контекстах (в условии спектральности и в формализме вторичного квантования).
Б. Связь с каноническими (анти) коммутационными соотношениями. Если вектор Ф в (7.110) считать фиксированным одночастичным вектором, то отображение Ф — y/N Ф V Ф или Ф — y/N Ф Л Ф является линейным оператором на финитных векторах Ф фоковского пространства бозе- или ферми-частиц ). Он обладает тем свойством, что n-частичный вектор переходит в (п + 1)-частичный, поэтому его называют оператором рождения частицы с волновой функцией Ф и обозначают через а*(①).Итак, в бозевском случае оператор рождения определяется формулой
а*(①)W = ① VW, (7.113а)
или подробнее (в реализации предыдущего пункта для ^т^)
(a* (①)1=
здесь знак над аргументом означает что этот аргумент должен быть опущен; при п = 0 левая часть этого равенства определяется равной нулю. В фермиевском случае формулы аналогичны:
а(①)W = VW ФЛФ,(7.1136)
^^)^)n^pi...рп； Vi...Vn^ =
=击工(Т)‘т ①伪；田 …话...Pn； 5(7.1146)
Легко видеть, что сопряженный оператор (а*(①))* = а(①)также определен на всех финитных векторах фоковского пространства. Он переводит n-частичный вектор в (п — 1)-частичный, поэтому его называют оператором уничтожения частицы с волновой функцией Ф.
Его действие определяется формулой
п+1
。(①)(31几+1) = -^= £®, Ф^Ф1 V...$J... 7Фп+1(7.115а)
в бозевском случае и
п+1
。(①)(山 Л...Л Фп+1) =£ (—1)1®, W" Ф1 А...ФГ..Л Фп+1 (7.1156)
в фермиевском случае; здесь Фь , Фп — произвольные одночастичные векторы. В частности, при 551 = ^m,s^ имеем
("①)W)G К；…二)=ДА+ 1 ［誌^(星纟柒)"х
X ①(夕；j Фп+1 (р, р\,, pn；(7.116)
как в бозевском, так и в фермиевском случае. К этому нужно добавить, что оператор а(①)，действуя на вакуумный вектор |0), дает нуль. Обратим внимание на то, что оператор а(①)зависит от Ф антилинейно в отличие от а*(①)，который зависит от Ф линейно.
Упражнение 7.20. Доказать тождества
а*(① 1)…а*(①九)|0〉= VW Ф1 V... 7ФП(7.117a)
в бозевском случае и ..._
а*(① 1)…а*(①九)|0〉= VW Ф1 Л...ЛФП(7.117a)
в фермиевском.
В чем состоит роль операторов рождения и уничтожения? Прежде всего, из упражнения 7.20 следует, что полиномы от операторов рождения при действии на вакуумный вектор |0) порождают множество векторов, плотное в фоковском пространстве. Далее, оказывается, операторы рождения и уничтожения могут быть охарактеризованы весьма простым набором свойств. Во-первых, операторы рождения и уничтожения являются взаимно сопряженными операторами *):
а*(①)=а(①)*.(7.118)
Во-вторых, они удовлетворяют следующим алгебраическим соотношениям:
[а(Ф),。(①5干=0= [а*®), а*(①5干，(7.119a)
[a(①)，a*(①5干=(Ф,①‘)• 1.(7.1196)
Здесь и далее выражение [А, В]_ = [А, В] = АЬ — В А означает коммутатор двух операторов А и В, в то время как [А, В]+ = АВ + В А служит для обозначения антикоммутатора. Для бозе-частиц в формулах (7.119) подразумеваются коммутаторы, а для ферми-частиц — антикоммутаторы. Третье свойство выражает действие операторов рождения и уничтожения на вакуум:
а(①)|0) =0,(7.120)
а*(①)|0) = Ф.(7.121)
Упражнение 7.21. (а) Вывести (анти) коммутационные соотношения (7.119) из определения операторов рождения и уничтожения.
Доказать, что в фермиевском случае операторы рождения и уничтожения а* (①)и а(①) ограничены и имеют норму ||Ф||.
В бозевском случае соотношения (7.118) и (7.119) означают, что операторь рождения и уничтожения удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (ККС) в комплексной форме. В п. 6.4.Б уже говорилось, что удобнее иметь дело с экспоненциальной формой ККС, в которой фигурируют лишь ограниченные операторы. Поэтому в соответствии с п. 6.4.Б (в частности, с упражнением 6.43) для любого Ф е 551 мы определим оператор:
Wo(①)=「1/2n ①『「。*(①)ё。(①).(7.122)
Входящие сюда операторные экспоненты хорошо определены (в виде рядов по опера- иорам рождения и уничтожения) на финитных векторах и, в более общем случае на множестве 耽 векторов Ф фоковского пространства .冗(Xi), удовлетворяющих оценке (с числами с(Ф)》0, d(W)》0, зависящими от Ф):
n = 0, 1,(7.123)
Упражнение 7.22. (а) Доказать, что операторы (①)и еа^ переводят множество Ш1 в себя. (Указание: воспользоваться оценкой
||尸(①)"^|| W У^1^1 怏『-||Фп||,(7.124)
где Ф G ① 1, Фп G ①产，а(*)(①)есть либо а(①)，либо а*(①).)
Доказать операторное равенство на 耽：
еа(Ф)еа*(Ф，) = е<Ф;Ф，)еа*(Ф，)еа(Ф).(7.125)
Доказать, что операторы Wq^) унитарны и задают представление ККС в смысле соотношения (6.84) над 5ji в гильбертовом пространстве .»v(① 1) с циклическим вектором |0).
Это упражнение показывает, что в 叭/(5) определена система ККС %(①)с циклическим вектором |0); мы будем называть ее фоковской системой или фоковс- ким представлением ККС над гильбертовым пространством 55ь Согласно предло-
жению 6.15 такое представление определяется однозначно (с точностью до унитарной эквивалентности) вакуумным характеристическим функционалом
瓦(①)=〈0| %(①)|0) = exp (-i ||Ф||2)(7.126)
(первое равенство служит определением, второе следует из (7.122)). Этот характеристический функционал уже рассматривался нами в п. 6.4.Б, поэтому на основании предложения 6.15 можно утверждать, что соответствующее ему представление ККС унитарно эквивалентно фоковскому. Следующее упражнение демонстрирует неприводимость фоковского представления.
Упражнекие 7.23. (а) Пусть ограниченный оператор А в ^v(55i) коммутирует со всеми операторами %(①).Доказать, что А|0) = а|0), где а = (0| А|0). (Указание: левая часть соотношения
(0Iехp 代 I|AФI12)▽()(入①)川 0)= (01 Л exp 代 IIAФI12)取)(建)|0)
зависит комплексно аналитично от А 6 С, в то время как правая часть зависит комплексно аналитично от А и потому вообще не зависит от А; получить отсюда равенство (0| 用)(①)川 0〉= =а(0| Ж)(Ф)|0) и воспользоваться далее цикличностью вакуума.)
Доказать, что система ККС Ж)(Ф) в 叭/(①i) неприводима. (Указание: использовать часть (а) упражнения.)
Из сказанного можно сделать такой вывод.
Предложение 7.4. Циклическое представление ККС W^) над гильбертовым пространством 5 в некотором гильбертовом пространстве 力 с характеристическим функционалом 石(①)унитарно эквивалентно фоковскому представлению 1Vo(①)е точности тогда, когда в 力 существует циклический вектор Фо гшко认 что
〈％, W^) Фо) = ехр (-^ II①||2) для всех ① G 5,(7.127)
или, эквивалентно, когда в 夕v(5) существует вектор Ф такой, что
〈3, %(①)3)=石(①)для всех ①(7.128)
Упражнение 7.24. (а) Пусть 5ji является комплексификацией бесконечномерного вещественного гильбертова пространства 苏 так что 例=歩 + 循(см. п. 6.4.Б), и пусть при 0〉0 ")(/ +初есть представление ККС, построенное из фоковского представления по формуле
W^\f + ig) = WQ^pf + i^, де &
Доказать, что при .# 1 представления Wo и W^ не унитарно эквивалентны. (Указание: рассуждая от противного, предположить, что существует вектор Ф такой, что
州 Ж)(/ + 初№〉= exp (-^(||р/||2 + IIIg『))， e &
Показать далее, что для любого единичного вектора / 6 ^ проекция вектора Ф на подпространство М(/) в .»v(①1), порожденное векторами а*(/)п|0) (п = 1, 2, ...), имеет ненулевую длину, не зависящую от /. Наконец, выбрать в 卷 бесконечную ортонормированную последовательность /1, /2, ••• и воспользоваться взаимной ортогональностью подпространств M(/i), М(/2), ••• для получения противоречия.)
При тех же обозначениях доказать, что представления VT^1^ и W^ не унитарно эквивалентны при pi 力 °2・(Указание: из унитарной эквивалентности W^ и W^ следует унитарная эквивалентность и 吸)при р = р\〔р?>
Мы рассмотрели характеристические свойства операторов рождения и уничтожения в бозевском случае. В фермиевском случае ситуация аналогична и даже проще из-за ограниченности операторов рождения и уничтожения. Здесь уместно привести общее понятие системы (или представления) канонических антикоммутационных соотношений (КАС) над гильбертовым пространством Xi： под этим подразумевается множество ограниченных операторов а(①)и а*®), зависящих от вектора Ф из 5, действующих в некотором гильбертовом пространстве 力 и удовлетворяющих условиям (7.118) и (7.119) — с антикоммутаторами в (7.119). К этому следует прибавить разумное условие непрерывности (скажем, а(①)и а* (①)слабо непрерывны по Ф, когда Ф пробегает произвольное конечномерное подпространство в 5)・ Операторы рождения и уничтожения в фоковском пространстве 勿(Xi) образуют систему КАС, называемую фоковским представлением КАС над 分卜 В п. 6.4.В мы ввели поднятие алгебры ККС, отправляясь от одного фиксированного (фактически фоковского) представления ККС. Точно так же мы введем алгебру КАС над X： это С*-алгебра операторов в 勿(分1), порожденная операторами а(①)и а*(①)；другими словами, это минимальная С*-алгебра, содержащая операторы а(①)и а* (①)в 勿(分1). В случае бесконечномерного 551 имеется множество унитарно неэквивалентных представлений КАС, равно как и представлений алгебры КАС; соотношение между представлениями КАС и представлениями алгебры КАС таково же, как и в случае ККС (см. п. 6.4.В). Следующее утверждение характеризует представления КАС, унитарно эквивалентные фоковскому.
Предложение 7.5. Представление а(①)，а*(①)КАС над 551 унитарно эквивалентно фоковскому представлению в точности тогда, когда в пространстве представления существует циклический вектор Фо {вакуумный вектор) такой, что
а(①)Wo = 0 для всех Ф 6 55- (7.129)
Упражнение 7.25. Доказать предложение 7.5.
Примеры представлений КАС, унитарно неэквивалентных фоковскому, можно построить по той же схеме, как и в случае ККС. Пусть 551 является комплексифика- цией бесконечномерного вещественного гильбертова пространства 常 и пусть а(*)(①) являются операторами рождения и уничтожения в 先(Xi). Нетрудно проверить, что при любом р > 0 операторы
<；(/ + гр)=а(*)р + г|р) (7.130)
определяют систему КАС над 分卜
Упражнение 7.26. Доказать, что представления КАС《*)и а^^ над бесконечномерным пространством 5ji унитарно неэквивалентны при pi 力 勿 (Указание: воспользоваться аргументацией упражнения 7.24.)
Из сказанного можно сделать еще один важный вывод: операторы рождения и уничтожения как в бозевском, так и в фермиевском случае, образуют неприводимый набор операторов з фоковском пространстве, поэтому всякий (скажем, ограниченный) оператор в пространстве Фока является — в обобщенном смысле (см. п. 6.1.В) — функцией от них. Более того, имеются формулы приведения операторов к нормальной форме, представляющие операторы в пространстве Фока в виде рядов по так называемым нормальным произведениям операторов рождения и уничтожения (операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения).
Упражнение 7.27. (а) Пусть {fa} — ортонормированный базис в одночастичном гильбертовом пространстве 5. Доказать, что оператор числа частиц N в фоковском пространстве ^v,a(^i) представим в виде ряда, сходящегося на финитных векторах:
(7.131)(7.131)N = e广（启）砒启）.
(7.131)
(7.131)
В. Ковариантные операторы рождения и уничтожения. Выше мы предположили для простоты, что имеется только один тип частицы. В более реалистической ситуации имеется конечное или счетное множество различных типов частиц; мы будем различать их символом х, фактически обозначающим совокупность квантовых чисел частицы, которые следует задать помимо mM, s〃 (массы частицы и спина при > 0 или спиральности при = 0) для полной характеристики частицы. Гильбертово пространство одной частицы типа х мы будем обозначать посредством или ；М； оно преобразуется по неприводимому представлению группы фо и поэтому может быть реализовано, например, спинорными волновыми функциями (п. 7.2.Г). Особо следует выделить суперотборные квантовые числа (как отмечалось в п. 6.2.В, в физике элементарных частиц роль этих чисел играют электрический Q, барионный В и лептонный L заряды). Будем считать, что на множестве {х} типов частиц определена операция зарядового сопряжения 〃—元 такая, что х = х,加无= =т^, s无=s〃 при mM > 0 и s^ = —s, при mM = 0; при этом 元 называется античастицей частицы х (в схеме с правилами суперотбора, определенными зарядами, частица и античастица имеют заряды, совпадающие по абсолютной величине, но различающиеся знаком). Случай х = х не исключается. Вообще, если х и х имеют одинаковые суперотборные квантовые числа, то х называется истинно нейтральной частицей (или майорановской — в случае полуцелого спина). Примером такой частицы является фотон *).
Перейдем к построению пространства состояний системы с произвольным числом частиц любого типа, подчиняющихся квантовой статистике. Для этого предположим, что среди суперотборных квантовых чисел имеется тип статистики'.
f + для бозонов,
£ = £^ = < 儿(7.132)
[—для фермионов.
Если в теории существует сохраняющийся фермионный заряд F, то е(—1)F = 1 (как упоминалось в п. 6.2.В, эксперимент действительно дает такое указание, причем F = В + L).
Связь спина со статистикой выражается формулой
践〃岗(0, -1) = 1(7.133)
(ср. (6.21)).
Определим пространство 分产 векторов бозонных одночастичных состояний и пространство Xf векторов фермионных одночастичных состояний как прямые суммы пространств分財, взятые по всем типам 死 бозонных и фермионных частиц соответственно:"一一
<=ф分財， <=ф分財・(7.134)
е% = +е% = —
Система с нефиксированным числом частиц произвольного типа имеет своим пространством состояний фоковское пространство
Ь =ЬВ 0^F,(7.135а)
где 分口 =九(分产)и 分尸=勿(分『)—прямые суммы (анти) симметричных тензорных степеней соответствующих одночастичных пространств:
^В=®^ = ®«)Vn，(7.1356)
п=0п=0
сюсю
= Ф С = Ф«)Лп.(7.135в)
п=0п=0
Заметим, что 分彳 и 分彳 канонически изоморфны подпространствам в X п потому будут отождествляться с этими подпространствами. Посредством |0) мы обозначаем вакуумный вектор:
|0) = 1 0 1 6 55f 0 55о^ с 55.
Ясно, что представления 〃［死〕(а, Л) группы Пуанкаре фо в одночастичных подпространствах 分財 порождают унитарное представление 〃(а, Л) группы 我)в X, которое удовлетворяет условию спектральности с единственным (с точностью до множителя) фо_инвариантным вектором — вакуумным вектором |0) (см. упражнение 7.19 (в)).
В соответствии с общей схемой вторичного квантования мы сопоставляем каждому типу частиц х и каждому одночастичному вектору Ф е 分財 пару операторов рождения и уничтожения 磋(①)，。死(①)，определенных по крайней мере на всех векторах с конечным числом частиц. Они характеризуются следующими свойствами:
<(Ф)=(a式①)广，a式①)10)= 0,磋(①)10)=①，(7.136)
k(Ф),a力便)］干=0,［a貝①),琏/便)］干=/力®, »)•(7.137)
Мы используем знак + (т. е. антикоммутатор), если обе частицы, х и х\ — фермионы, и знак — (т. е. коммутатор) в остальных случаях. Как обычно, 8死死/ есть символ Кронекера.
Удобно ввести также пары операторных обобщенных функций 4*(夕，s, х), 4(夕，力，х) или 4*(夕，力，〃)，4(夕，s,〃)，которые являются однородными полиномами от s или 力 степени 2|s〃|. Они связаны с операторами рождения и уничтожения следующим образом. При тм > 0 и при т^ = 0, s〃》0 мы сопоставим произвольной основной функции /(р) из пространства Шварца и произвольному вектору s G С? одночастичный вектор ①/川 6 分財：
①了川(夕，^) =(^)! 0з户"/(。)ПpИ 。 eP；L，(7.138)
Положим по определению
4*(夕,〃)/(夕)山夕=磋(①/J(7.139а)
N(0,力，X)/(p) d4p = a*(①/川).(7.1396)
При т* = 0, s〃 V 0 мы определяем 4*(夕，力，х) и А(р, s, х) посредством
^(Р，力，方 f 5d4P = a；3fQ),(7.140a)
(7.1406)(7.1406)4(夕，x) /(p) d4p = a*(①/@).
(7.1406)
(7.1406)
где
21 H. H. Боголюбов и др.
3/必(夕，◎ =(2|j|)! ^^S^f{p\(7.141)
При тм > 0 мы с равным успехом можем работать с операторными обобщенными функциями А*(р,力，х), 4(夕，s, х) вместо 4*(夕，s, x), A(p,力，x) (cp. (7.83)):
N*(p,%)=晟^1g北厂展)"4*(p,〃)，(7.142a)
4(…,x)=星” (f £壬星)"Ж 刃, "),(7.1426)
Очевидно, задание операторнозначных распределений А^\р, х) равносильно заданию операторов рождения и уничтожения (здесь 4(*)употреблено вместо А, А, А или 4 , a s — вместо s или 力).Перечислим их важнейшие свойства. Введенные операторные обобщенные функции имеют носитель на Г+^ и удовлетворяют уравнению
(夕2 -從)А^ (夕，(J, 〃) = 0.(7.143)
При = 0 выполнено дополнительное условие
卜万£—1 柒)4(*)(夕,s, х) = 0,(7.144а)
("吆星)不*)(化刃，")=。；(7.1446)
как указывалось в п. 7.2.Г, это условие означает, что частица с массой 0 (соответствующая «физическому» неприводимому представлению группы 中°) имеет только одну поляризацию. Характеристические свойства (7.136) и (7.137) очевидным образом переписываются в терминах А^\р, D, х). Выпишем, например, нетривиальные (анти) коммутаторы:
网0,力，x), 4*(", J,力)]干=葭*(2外48(夕一 ")躡{)@/j)21sxl =
=[4("，J,力)，N*(夕，cD, х)]T (7.145)
(一)
(см. обозначение (7.77)). Наконец, операторные обобщенные функции подчиняются следующему закону преобразования относительно симметрии 中°：
〃(а, Л) 4* (夕，К, 〃) 〃(а, Л)-1 = ^Кра А* ^Лр, А К, 〃)，(7.146а)
(7.1466)(7.1466)〃(а, Л) А^р, V, 〃)〃(а, Л)-1 = е-гЛра А^Лр, А К： 〃).
(7.1466)
(7.1466)
Явная лоренц-ковартантность этого закона делает удобными операторные обобщенные функции А^(р, х), которые мы будем называть по этой причине просто ковариантными операторами рождения и уничтожения.
Упражнение 7.28. Доказать формулы (7.146).
Отметим, что вместо А^\р, х) широко используются аналогичные ковариантные операторы рождения и уничтожения (а'(*)(夕，к/, х) на массовой оболочке. Это операторные обобщенные функции на многообразии ГК，т. е. обобщенные функции от трехмерного импульса р, который пробегает К? ПрИ 加死 > 0 или 7?3\{0} при т^ = 0. Связь между 4(*)и (а^ дается формулой
(7.147)
Чтобы не входить в детали, связанные с определением произведения (7.147) при = 0, будем считать, что в этом случае р # 0 в (7.147). (Ограничение р ^ 0 в конструкции фоковского пространства частиц нулевой массы, очевидно, несущественно, так как точка р = 0 имеет нулевую меру относительно (dp)o-) Нетривиальные перестановочные соотношения (7.145) в терминах %'(*)принимают вид
网0,力，x), a*("，J,力)]干=• 2夕°(2外38(p一川@沁，)2|s%| =
=[a(“, J,力)，〃*(夕,力，х)]т;(7.148)
здесь 2р°(2тг)35(р -〃) есть «инвариантная 5-функция» на Г+^.
Г. Симметрии общей группы Пуанкаре. Рассмотрим вопрос о поведении ковариантных операторов рождения и уничтожения при пространственно-временных отражениях, предварив это обсуждение общими замечаниями.
Более широкими группами пространственно-временных симметрий, чем 中|, являются общая группа Пуанкаре ф и любая из ее подгрупп 中Т или ф+. Эти группы порождаются группой 中]и соответствующими элементами из группы отражений 3 = {е,厶，儿,Ist}. Если автоморфизмы = &。八(八)при (а, Л) е фо уже фиксированы, то остается задать лишь автоморфизмы или антиавтоморфизмы &(厶)，&(厶)，&(厶力)алгебры наблюдаемых, соответствующие отражениям. Групповой характер симметрии налагает определенные связи на эти автоморфизмы.
Упражнение 7.29. (а) Пусть автоморфизмы аа；л задают симметрию относительно группы 嗯.Доказать, что автоморфизмы или антиавтоморфизмы &(厶)，а(厶)，а(&) порождают симметрию группы 中 тогда и только тогда, когда выполнены соотношения
a(J) aa,Aa(J)T = a(crj(a, Л)), J = Is,厶，Ist,(7.149)
а&)2 = a(厶 У = a(")2 = 1,(7.150a)
а&力)=а&)а(厶)=a(厶)а&),(7.1506)
а(т7(а, Л) определено равенством (7.5).
Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для групп ф^ и ф+.
В этом упражнении приведены все групповые соотношения, характеризующие отражения. Тем не менее для одной и той же физической системы этим соотношениям могут удовлетворять различные наборы (анти) автоморфизмов a(J), и физическая интерпретация отражений будет различна. Дело в том, что приведенные соотношения фиксируют преобразования лишь пространственно-временных степеней свободы при отражениях, и поэтому физическая интерпретация отражений зависит еще от того, как (анти) автоморфизм действует на внутренние степени свободы (в частности, на операторы зарядов). Отсюда ясно также, почему возможны различные выборы автоморфизмов a(J), J 6 3: если в системе имеется группа внутренних симметрии (автоморфизмы которой — по определению — коммутируют с операциями
пространственно-временных симметрии), то после умножения (анти) автоморфизмов а( J) на подходящие автоморфизмы внутренних симметрий можно получить, вообще говоря, новые (анти) автоморфизмы c/(J) с прежними групповыми соотношениями, но с новой физической интерпретацией. Конечно, среди различных операций отражения было бы желательно выделить те, которые можно интерпретировать как операции чистого пространственного отражения Р, чистого обращения времени Т, чистого полного отражения РТ или же их комбинаций типа СР, СРТ с зарядовым сопряжением. Однако для систем с внутренними симметриями такие определения неизбежно содержат конвенциональный момент.
Предположим теперь, что группа пространственно-временных симметрий с отражениями унитарно-антиунитарно реализуема в физическом гильбертовом пространстве со стандартными правилами суперотбора. В соответствии с постулатом А.Ш это означает, что существуют унитарные или антиунитарные операторы U(IS), U(4), U(/s力)в физическом гильбертовом пространстве такие, что
q(J)(4) = U⑺ 4(*)U(J)T, J = Л, 4, Ist, (7.151) для всех элементов А алгебры наблюдаемых (здесь, как обычно, 4(*)означает А, если оператор U(J) унитарен, или 厶*, если U(J) антиунитарен). Априори нельзя утверждать, что для операторов U(a, Л) и U(J) выполнены групповые соотношения, аналогичные соотношениям (7.149), (7.150) для (анти) автоморфизмов &。,八 и q(J), ибо равенства (7.151) определяют U(J) с точностью до произвольного унитарного оператора из центра алгебры наблюдаемых фон Неймана (и этот произвол не изменяет физической интерпретации отражений). Тем не менее соотношения типа (7.149) оказываются автоматически выполненными; отсюда и из условия спектральности А.IV можно заключить, что оператор U(IS) унитарен, а операторы U(4), U(厶力) антиунитарны. Следовательно, пространственному отражению Is соответствует алгебраический автоморфизм &(厶)，в то время как операциям It,厶力，включающим обращение времени, соответствуют алгебраические антиавтоморфизмы &(厶)，&(厶力).
Упражнение 7.30. (а) Доказать соотношения
。(厶)U(a, Л) U(A)T = U(万s(a, Л)) = U(Isa, еоД*-1^), (7.152а)
U(厶)U (a, a) U(厶)T=U(内(a, л)) = U(厶 0,e0△*一1瓦)， (7.1526)
U(") U(a, Л) U(")T =。(万鼠。，Л)) = U^ Л) (7.152в)
при всех (а, Л) е 我).(Указание: из (7.26) и (7.151) следует, что левые и правые части любого из этих соотношений определяют одинаковые автоморфизмы алгебры наблюдаемых; следовательно, они могут отличаться лишь на унитарный оператор V(а, Л) G 3； убедиться, что взаимно коммутирующие операторы V(а, Л) образуют унитарное представление группы фо и воспользоваться упражнением 7.8.)
Доказать, что оператор U{IS) унитарен, а операторы U(厶)и U{Ist) антиунитарны. (Указание: из (7.152а) следует
u(八)"(厶尸=±Fo;
здесь F° — оператор энергии; в правой части равенства подразумевается знак +, если U(IS) унитарен, и знак —, если U{IS) антиунитарен; для U(厶)и U{Ist) расстановка знаков противоположна; воспользоваться далее неотрицательностью оператора энергии.)
Обратимся теперь к вопросу о поведении операторов рождения и уничтожения при пространственно-временных преобразованиях, включающих пространственное отражение или обращение времени. Для этого следует предположить, что в фоковс- ком пространстве 分 заданы унитарный оператор 〃(/$) и антиунитарные операто-
ры 〃(/力)，〃(厶力)，удовлетворяющие соотношениям типа (7.152) (в которых роль U(a, Л) играют вторично квантованные операторы 〃(а, Л) в X) и, кроме того,
〃(八)10)= 〃(厶)10)= 〃(%)10)= 10).(7.153)
Нас интересуют симметрии, которые оставляют инвариантной фоковскую структуру пространства 分.Это означает, что
〃(力 a么①)〃(丿)t =a工(①j), J = 4, It, 1st(7.154)
для всех типов частиц и всех одночастичных векторов Ф е Х【"]; здесь 死几=х, а x/s = 〃/s£ есть х, если х является массивной или скалярной безмассовой частицей; в противном случае x/s = x/st обозначает тип частицы с теми же квантовыми числами, что и х, за исключением знака спиральности: sMJs = —s〃. Это определение согласовано с интерпретацией операторов 〃(/$), 〃(/力)，〃(厶力)как «чистых» отражений, поскольку они оставляют инвариантными внутренние квантовые числа частиц. Однако в теориях с безмассовыми частицами такие операторы существуют не всегда, например, просто из-за отсутствия типа частиц, обозначенного выше как x/s = x/st (см. сборник [Н6], посвященный нарушению P-четности в слабых взаимодействиях). Поэтому более фундаментальными считаются операторы 〃ср, 〃丁 = 〃(/力)，^срт, удовлетворяющие соотношениям типа (7.152), (7.154) (где роль 厶，It, Ist играют СР, Г, СРТ), а также
и丁 =。北(①j),J = СР, т, СРТ,(7.155)
где 〃ср = 〃срт =元，〃т = х. Операторы ^ср, ^срт переводят частицу в античастицу и поэтому интерпретируются как комбинации зарядового сопряжения С с пространственным отражением Р и соответственно с полным отражением РТ (даже если операции С, Р, РТ не существуют по отдельности). Общий вид таких операторов 〃 определяется формулами преобразований операторов рождения (и
вакуумавакуума(7.156а)(7.156а)(7.1566)(7.156b)(7.1566)(7.156b)уничтожения), которые следует скомбинировать с условием инвариантности (типа (7.153)):
вакуума
вакуума
(7.156а)
(7.156а)
(7.1566)
(7.156b)
(7.1566)
(7.156b)
〃ср。*(仏 х) 〃石^ = 〃срО)(2；)! (g££o ^) ' "'*(厶仏力，元)，
〃тa*(仏 х) 〃不 1 = 〃7(〃)⑵\)!(力前e一1 星 J "%*(八仏 g, “), °^cpt^{p^ s, x) ^cpt = 〃cpt(")⑵ j|)!(力 ^)〃*(夕，C 元)，
и аналогично для 〃* (夕，力，х) вместо а* (夕，s, x); здесь 〃cp(〃)，〃丁(〃)，〃срт(〃) — фазовые множители (т. е. комплексные числа с модулем 1).
Упражнение 7.31. Исходя из (7.155), вывести формулы (7.156).
Наряду с CP-инвариантностью могут иметь место С-инвариантность и Р-инва- риантность, и тогда ^ср распадается в произведение унитарных операторов ^с и °Up = 〃(/s), определенных в фоковском пространстве формулами
〃С。*(夕，х) 〃石1 = 〃с(〃)а*(2元р),(7.157а)
〃ра*(0，х) 〃万 1 = 〃?(〃)(2|上|)! (s£fo ^) 1 зa*(八0，力，"p)(7.1576)
с подходящими фазовыми множителями 〃с(〃)，〃р(〃)； к этому следует добавить аналогичные формулы для операторов 〃* (夕，力，х).
Если бы для операторов 2/ср, 2/т, 2/сгт выполнялись те же групповые соотношения (7.150), которым удовлетворяют соответствующие (анти) автоморфизмы a(/s), a(It), &(/$力)， то эти операторы вместе с операторами 2/(а, Л) преобразований собственной группы Лоренца порождали бы унитарно-антиунитарное представление группы 中—накрывающей для общей группы Пуанкаре (см. упражнение 7.5), причем эти групповые соотношения сводились бы к определенным ограничениям на фазовые множители 〃j(”) в формулах (7.156). Однако в общем случае можно лишь утверждать, что левые и правые части любого из соотношений типа (7.150) для операторов отражений отличаются на некоторый суперотборный фактор (т. е. суперотборный унитарный оператор). Пользуясь свободой, имеющейся в определении (анти) автоморфизмов &(/$), а(厶)，&(/$/ (которая приводит к различной физической интерпретации отражений), и учитывая, что операторы отражения определены формулой (7.154) лишь с точностью до унитарного суперотборного оператора (не имеющего физического значения), можно попытаться привести «таблицу умножения» операторов отражений к одной из каких-либо простых стандартных форм. Такой анализ проделан в статье Ли и Вика (1966), где выработаны также конвенции для стандартных наборов фазовых множителей 〃j(”). За деталями мы отсылаем заинтересованного читателя к этой статье. Общими для различных стандартных форм операторов отражения являются следующие минимальные требования (которых обычно придерживаются в теории элементарных частиц):
°Ucpt = 〃ср〃т, ^срт = 〃(。，-1), ^ср = 2導=1. (7.158)
Различные «таблицы умножения» операторов отражений могут быть выражены на языке расширений группы отражений 3 (или расширений общей группы Пуанкаре ф; см. Голдберг, 1969).
Д. Релятивистская матрица рассеяния. Квантовая теория рассеяния релятивистских частиц определяется следующими компонентами: физическим гильбертовым пространством 力 и унитарным представлением U группы 中о в 力(удовлетворяющим условию спектральности); фоковским пространством X, описанным в п. 7.3.В (которое в зависимости от контекста называется фоковским пространством падающих или рассеянных частиц); и двумя пуанкаре-инвариантными линейными изопараметрическими вложениями Qm и Qout пз 分 в 3f. Полагают
◎也分=力Е С 力， coutx =力。ut C 力 (7.159) и называют их пространствами асимптотических состояний (соответственно падающих и рассеянных частиц). Линейный оператор
S = до")*6п (7.160) в фоковском пространстве называется матрицей рассеяния (или оператором рассеяния, или S-матрицей). Его норма не превосходит единицы. Из физических соображений следует потребовать еще, чтобы выполнялось условие
力 in = %out, (7.161)
которое, очевидно, эквивалентно условию унитарности 5-матрицы. В противном случае данное описание процесса рассеяния становится неудовлетворительным (по причине неполноты его).
В этой формальной схеме запечатлена простая физическая картина. В начальный момент времени приготовляется состояние, которое можно трактовать как систему движущихся частиц, разделенных макроскопическим расстоянием. При определенном соотношении между скоростями и конфигурациями частиц мы можем экстраполировать эволюцию этого состояния «назад» во времени и считать, что при t = —оо имеется вектор состояния, описывающий систему свободных релятивистских частиц. В формальной схеме этому соответствует изометрический оператор Qm,
отображающий фоковское пространство 分(падающих частиц) в физическое гильбертово пространство 力 Этот оператор параметризует векторы физического гильбертова пространства 3f векторами фоковского пространства. Если эта параметризация охватывает все векторы из 3f (т. е. если %т =力)，то состояния рассматриваемой системы допускают полную интерпретацию в терминах падающих частиц. Корпускулярный язык становится неудобным для детального описания эволюции состояний во времени в элементарных релятивистских процессах, но — согласно физическим представлениям — асимптотическое поведение системы после акта рассеяния (математически, при t — +оо) вновь обнаруживает черты корпускулярной картины, поэтому в формальной схеме вводится другая параметризация векторов физического пространства фоковским пространством X (рассеянных частиц) с помощью изометрического оператора Qout. Полная корпускулярная интерпретация — как в терминах падающих, так и вылетающих частиц — достижима лишь, если
力E =%=力。叫(7.162)
в этом случае говорят, что выполнено условие асимптотической полноты.
Итак, в физическом гильбертовом пространстве 力 мы имеем две системы отсчета Qm: X —力 n Qout:分—力，и, значит, одному и тому же вектору состояния Ф фоковского пространства сопоставляются два (вообще говоря) различных вектора
① in = Qin ①，①。ut = QOut ①(7.163)
Матричный элемент (Ф, S①)есть амплитуда (Фои1, Ф1П) вероятности перехода |〈W°ut,①in)|2 межДу двумя состояниями (с векторами Ф1П и W°ut), первое из которых проявляет себя как состояние системы падающих частиц с вектором ① е 方,а второе — как состояние системы рассеянных частиц с вектором Ф С 55 (здесь следует предположить, что Ф1П и 3°" _ векторы чистых состояний).
Приведенная схема не включает процессов распада частиц (и соответствующих обращенных во времени процессов), так как она имеет дело с идеализированной ситуацией, когда все частицы имеют точно фиксированную массу, а это автоматически влечет их стабильность. Действительно, пусть Ф — произвольное одночастичное состояние фоковского пространства, скажем Ф 6 ①С 5j, и пусть Ф есть проекция S① на (п — 1)-частичное подпространство, соответствующее частицам”九一i (при n > 2); тогда Ф является собственным
вектором (с конечной нормой) для оператора квадрата массы F2 =几尸从，поэтому Ф как функция на Г^] х ... х Г^п_1 имеет носитель на множестве меры нуль и, значит, Ф = 0. Отсюда, очевидно, следует, что (Ф, S①〉=0, каковы бы ни были одночастичный вектор Ф и (п — 1)-частичный вектор Ф в фоковском пространстве при п > 2. Другими словами, процессы распада отсутствуют. Этот результат никак нельзя назвать неожиданным с точки зрения феноменологии элементарных частиц, где нестабильные частицы характеризуются ненулевой шириной массы. В настоящее время не существует простой и последовательной схемы для процессов рассеяния и распада (нестабильных) частиц ) с неточечным массовым спектром (и даже нет точного определения такого рода частиц).
Фиксируем какой-либо канал реакции
Xi + ... + иу —> 〃"+1 + ... + хп(7.164)
с участием 八 частиц (с типами 〃i, ..., х^ падающих и x^+i, ..., хп рассеянных частиц). Часть оператора рассеяния, соответствующая этому каналу, можно характеризовать либо всевозможными матричными элементами (Ф, S①)между произвольными векторами вида
Ф = аХ(Ф.)-<(Ф1)|0),(7.165а)
Ф = аХ+1(Ф,+1)...а^(Фп)|0),(7.1656)
либо величиной
…；〃Z/+1， 8/7+1，无Z7+1 |〃Z7， 3〃 ％；…；Pl, /}(7.166)…；〃Z/+1， 8/7+1，无Z7+1 |〃Z7， 3〃 ％；…；Pl, /}(7.166)
…；〃Z/+1， 8/7+1，无Z7+1 |〃Z7， 3〃 ％；…；Pl, /}(7.166)
…；〃Z/+1， 8/7+1，无Z7+1 |〃Z7， 3〃 ％；…；Pl, /}(7.166)
Обе части этого равенства являются обобщенными функциями из 斤/(加")по переменным р\, , рп и однородными полиномами по s (степени 2|s〃/ по s^). Выделение в виде множителя четырехмерной 5-функции от разности между полными 4-импульсами падающих и рассеянных частиц учитывает закон сохранения 4-импульса, который следует из условия трансляционной инвариантности и более общего условия пуанкаре-инвариантности 5-матрицы:
” A)S〃(a, Л)-1 = S” A)S〃(a, Л)-1 = S(7.167)(7.167)
” A)S〃(a, Л)-1 = S
” A)S〃(a, Л)-1 = S
(7.167)
(7.167)
(что в свою очередь есть следствие пуанкаре-инвариантности изометрических операторов Qm и Qout). Равенство (7.166) служит определением обобщенной функции 5Г(рп шп, хп; ... Ipi, &1, 〃1), называемой спинорной амплитудой п-частичного процесса (7.164). В силу закона сохранения 4-импульса мы можем считать ее обобщенной функцией от 夕i, , рп, заданной только на 4(п — 1)-мерной плоскости )
(7.168)(7.168)п = < (pi,£勿—£ 夕卜=°
(7.168)
(7.168)
〔J=1k=“+l丿
Лоренц-инвариантность 5-матрицы влечет лоренц-ковариантность спинорных амплитуд:
/（-）（-） _（-）（-）
夕0（a）夕几азn,元冷；…I…；л（л）Р1, Л 5, x1
Л 6 SE(2, С). (7.169)Л 6 SE(2, С). (7.169)
Л 6 SE(2, С). (7.169)
Л 6 SE(2, С). (7.169)
Простота определения спинорных амплитуд в сочетании с явной ковариантностью при лоренцевых преобразованиях составляет их основное преимущество (перед другими возможными амплитудами). Возможная инвариантность 5-матрицы относительно дискретных операций СР, Т, СРТ:
^cpS^cp = S,〃丁S 〃亍 1 = S*, ^cptS^cpt = S*,(7.170)
может быть переформулирована в терминах спинорных амплитуд исходного канала (7.164) и преобразованных каналов
(7.171а)(7.1716)(7.171в)(7.171а)(7.1716)(7.171в)〃1 + ... + %/ —> %/+1 + ... + хп,Хп + …+ 〃"+1 ~X" + …+ "1,^п + ••• + 元"+1 т 元" + ...+ 元1,
(7.171а)
(7.1716)
(7.171в)
(7.171а)
(7.1716)
(7.171в)
Аналогичное замечание применимо в случае С- и Р-инвариантности.
Упражнение 7.32. Записать условия СР-, Т- и CFT-инвариантности в терминах спинорных амплитуд.
Из свойства носителя ковариантных операторов рождения и уничтожения следует, что 夕(夕тг, зп, ><п； ... I... ； pi, si, 〃i) имеет носитель на физической массовой оболочке 力I процесса (7.164):
耽={(夕 1,…，Рп) е П: pQ = J呜 +* , j = 1,, nj (7.172)
(здесь и далее вместо mMj мы пишем просто т) Кроме того, из (7.143) следует
(齿-時)夕(夕冷，工，xn; I; pi, Vi, 〃i) = 0.(7.173)
Если некоторые частицы имеют нулевые массы, то S удовлетворяет дополнительным условиям типа (7.144) по соответствующим переменным.
Информацию, заключенную в свойстве носителя и в уравнении (7.173), часто выражают следующим явным образом:
…；01, 5,々…；01, 5,々)=力即/沁)7(:J=i)=力即/沁)7(:J=iРп,Рп,(一) 、…；Pl, 81, "1 ,(一) 、…；Pl, 81, "1 ,(7.174)(7.174)где Г рассматривается как обобщенная функция на 耽.Следует заметить, что определение обобщенных функций на 耽 не совсем тривиально (поскольку 耽 имеетгде Г рассматривается как обобщенная функция на 耽.Следует заметить, что определение обобщенных функций на 耽 не совсем тривиально (поскольку 耽 имеетсингулярные точки как многообразие; точнее,耽 относится к классу так называемых полуалгебраических многообразий, ибо оно задано конечной системой алгебраических уравнений и неравенств). Однако эти усложнения в действительности не столь существенны, ибо в силу условия унитарности 5-матрицы достаточно задавать спинорную амплитуду только на множестве регулярных точек множества 耽(см. по этому поводу упражнение 7.33 ниже). Следует также отметить, что важнейшие физические характеристики процесса рассеяния можно определить только, когда Т является обычной (измеримой) функцией. Например, для процесса 〃i + 〃2 — 〃з + …+ хп бесспиновыми частицами (эффективное) дифференциальное сечение процесса определяется формулойсингулярные точки как многообразие; точнее,耽 относится к классу так называемых полуалгебраических многообразий, ибо оно задано конечной системой алгебраических уравнений и неравенств). Однако эти усложнения в действительности не столь существенны, ибо в силу условия унитарности 5-матрицы достаточно задавать спинорную амплитуду только на множестве регулярных точек множества 耽(см. по этому поводу упражнение 7.33 ниже). Следует также отметить, что важнейшие физические характеристики процесса рассеяния можно определить только, когда Т является обычной (измеримой) функцией. Например, для процесса 〃i + 〃2 — 〃з + …+ хп бесспиновыми частицами (эффективное) дифференциальное сечение процесса определяется формулой
…；01, 5,々
…；01, 5,々
)=力即/沁)7(:J=i
)=力即/沁)7(:J=i
Рп,
Рп,
(一) 、
…；Pl, 81, "1 ,
(一) 、
…；Pl, 81, "1 ,
(7.174)
(7.174)
где Г рассматривается как обобщенная функция на 耽.Следует заметить, что определение обобщенных функций на 耽 не совсем тривиально (поскольку 耽 имеет
где Г рассматривается как обобщенная функция на 耽.Следует заметить, что определение обобщенных функций на 耽 не совсем тривиально (поскольку 耽 имеет
сингулярные точки как многообразие; точнее,耽 относится к классу так называемых полуалгебраических многообразий, ибо оно задано конечной системой алгебраических уравнений и неравенств). Однако эти усложнения в действительности не столь существенны, ибо в силу условия унитарности 5-матрицы достаточно задавать спинорную амплитуду только на множестве регулярных точек множества 耽(см. по этому поводу упражнение 7.33 ниже). Следует также отметить, что важнейшие физические характеристики процесса рассеяния можно определить только, когда Т является обычной (измеримой) функцией. Например, для процесса 〃i + 〃2 — 〃з + …
+ хп бесспиновыми частицами (эффективное) дифференциальное сечение процесса определяется формулой
сингулярные точки как многообразие; точнее,耽 относится к классу так называемых полуалгебраических многообразий, ибо оно задано конечной системой алгебраических уравнений и неравенств). Однако эти усложнения в действительности не столь существенны, ибо в силу условия унитарности 5-матрицы достаточно задавать спинорную амплитуду только на множестве регулярных точек множества 耽(см. по этому поводу упражнение 7.33 ниже). Следует также отметить, что важнейшие физические характеристики процесса рассеяния можно определить только, когда Т является обычной (измеримой) функцией. Например, для процесса 〃i + 〃2 — 〃з + …
+ хп бесспиновыми частицами (эффективное) дифференциальное сечение процесса определяется формулой
嵋g二「=显^ (2外切3 +P2-P3- ...-Pn^Pn,, РЗ\Р2, Pl)I2 (7.175a)
в любой системе отсчета, ассоциированной с 夕i,夕2, в которой векторы pv р2 коллинеарны (например, в лабораторной системе или в системе центра масс); здесь 夕,=J/^ + 呜,° = I" — »| — длина разности скоростей падающих частиц, с/Е〃з...死九—естественный элемент объема импульсного пространства выходящих
частиц:
Сечение этого процесса есть
0々死J (7.1756) где N\, , Nr — числа частиц различных типов 〃(D, ..., 〃(『)в совокупности хз, ..., хп вылетающих частиц.
Множитель \/N{….N». в (7.1756) появился как следствие принципа неразличимости тождественных частиц и соответствующей симметрии дифференциального сечения (7.175а) по импульсам тождественных частиц. Точкам импульсного пространства выходящих частиц, отличающимся только перестановкой импульсов тождественных частиц, соответствует одно и то же физическое событие; поэтому сечение сг〃1〃2—〃з…〃九 получается либо интегрированием дифференциального сечения по соответствующей l/Ni!...N「！ части импульсного пространства, либо, эквивалентно, интегрированием по всему импульсному пространству с дополнительным множителем, как в (7.1756).
В следующем пункте мы подробнее остановимся на представлениях типа (7.174) для спинорных амплитуд двухчастичных процессов. Здесь мы приведем несколько замечаний относительно интерпретации представления (7.174) в духе обобщенных функций. Естественная трактовка величины Т достигается с помощью слабого интегрального представления.
Для этого требуется, чтобы результат сглаживания спинорной амплитуды с произвольной основной функцией /(@) G #(□) по переменным р = (@i, ..., рп) зависел лишь от сужения / на массовую оболочку Ш1, т. е. чтобы
,无,；01, g i, /(0i,, 0九)d^pi.-.d^pn = 0,(7.176а)
если
/(@) = 0 при 0 G 耽.(7.1766)
Оказывается, это свойство эквивалентно свойству носителя спинорной амплитуды, дополненному уравнениями (7.173), однако доказательство этого факта будет значительно проще, если воспользоваться происхождением спинорных амплитуд как обобщенных матричных элементов унитарного оператора S.
Упражнение 7.33. (а) Доказать следующее представление:
Vn, I ； Pl,”1) /(0)&401 …九1
11
=lim limVn, мп; |fr,s(p) d^pi.. .d^Pn-i, (7.177)
r — s — oo J\/
П
где
/(0)e S(H), fr,s(p) = W“P1,, pQw's(Pf, , Pn)以p),
Wt 込 w's — последовательности ^00-функций, удовлетворяющих условиям следующего типа (которые мы выпишем явно только для wr):
0 < wr < 1;
wr имеет компактный носитель (зависящий от г) на множестве
{(01,, 0”) G W: @?〉0,, @2〉0; 01,, 0“ не коллинеарны},
сужение wr на Г^1 х ... х Г^^ стремится к единице при т т ос почти всюду по мере {dp^m^.^dp^m^. (Указание: сначала рассмотреть функции /(@) G ^(Afn) вида /(@)=
=Ф(рь ..., 0"十1)①(0”，...，01), а затем воспользоваться тем, что линейные комбинации таких функций плотны в "М"))
) Доказать свойство (7.176). (Указание: отображение
П Э (pi, , рп) (Pi -, Рп - ^п)
регулярно, т. е. имеет ранг п, на носителе функций fr；s из части (а) упражнения; вывести отсюда, что из /「,s(@) = 0 на 耽 следует представление
%s(0)= £(0” ") "sj(0)，7=1
где hr；s,j — ^^-функции на 耽 с компактным носителем; наконец, воспользоваться уравнениями (7.173).)
Е. Кинематика двухчастичных процессов. Рассмотрим двухчастичный процесс
+ 貝 2 —> ><з + Х4(7.178)
с импульсами —pi,—夕2 падающих и 夕3,夕4 выходящих частиц:
Pj ^ Г~при j = 1, 2;沁 еГ^ при j = 3, 4,(7.179)
удовлетворяющими закону сохранения
夕1 + 夕2 + 夕3 + 夕4 = о.(7.180)
В данном разделе П обозначает плоскость (7.180) в М4, а 耽一массовую оболочку процесса (7.178) (т. е. множество точек из П, удовлетворяющих (7.179)).
Из импульсов частиц можно составить три лоренц-инварианта
5 =(夕1+夕2)2, 方=(夕 1+夕3产，"=(夕 1+夕4产.(7.181)
Переменная s есть квадрат полной энергии в системе центра масс; она изменяется в интервале s > Sphys, где
Sphys = (g + w)2 v (加3 + 加4产(7.182)
—порог реакции (7.178). Переменные t и и называются инвариантными квадратами переданного импульса (соответственно между частицами 1 и 3 или 1 и 4). Множество значений Gphys, принимаемых инвариантами s, t, и, когда импульсы пробегают 耽，называется физической областью процесса (см. ниже (7.191)). Переменные s,方，и связаны соотношением
4
s + 方 + 〃 = £加*(7.183)
так что только две из них являются независимыми.
Упражнение 7.34. Пусть 3，...，必)— произвольная точка плоскости П. Доказать, что инварианты s, t, и удовлетворяют условию
4
s+ £ + 〃 = £*(7.184)
7=1
В системе центра масс (р{ + р? = 0) импульсы частиц параметризуются следующим образом:
-Pl = (El(s), K12(S)〃12),
Рз = (&(s),A34(5)m34),
—夕2 =（石 2（S）, —K12（S）〃12）, 夕 4 =（石4（S）, —Кз4（5）〃34）；
(7.185)
здесь 石亦)—энергии частиц:
厅_ s +濡一濟
2人，
瓦(s) = s -^ 滋
(7.186)
e3（5）-2 人，
石4（S）= S -^ 喝;
Ki2(s) и Кз4($) — длины трехмерных импульсов частиц до и после реакции:
K；2(s) = ± (s — (g + m^{s - (mi - m2)2),(7.187a)
^34(5) = ± (s —(加3 + m4)2)(s - (m3 - m4)2);(7.1876)
几 12 и л34 — произвольные векторы на единичной сфере S? в R3 (направления трехмерных импульсов частиц 1 и 3); их скалярное произведение
几 12^34 = cosJ(7.188)
есть косинус угла рассеяния в системе центра масс. Параметр t можно считать функцией s и cos/
t = mf + m3 - ^ (s + mf - Ш2)(з + 底一啮)+ 2Ki2(s) Кз4($) cos 仇 (7.189) Область значений независимых лоренц-инвариантов процесса (7.178), очевидно, определяется неравенствами
s > Sphys, —1 W cosJ W 1.(7.190)
Соответственно в переменных s, t для физической области имеем )
Gphys = {(S,方)G R : S》Sphys,力min(s) W 力 W 力max(s)},(7.191)
где
方max (s) = mf + m3 - 4- (s + mf - mlXs + m3 -啮)士 2Ki2(s) Кз4($)・(7.192)
min"
Упражнение 7.35. Доказать, что Gphys есть канонически замкнутое регулярное множество в К?.
В силу закона сохранения импульса спинорная амплитуда
(-)_(-) _(-)(-)
,以4,元4；夕3, ^3,元3；夕2, ^2, "2； Pl, 81,附
(-) _(-) _(-)(-)
,以4,无4；夕3, ^3,元3 I 一02, ^2, "2；一0 1,以1,附
двухчастичного процесса зависит от трех импульсов (например от 夕 1,夕2,夕з), т. е. является обобщенной функцией класса ^(П). Для получения ковариантных представлений нам остается в соответствующих представлениях п. 3.4.В перейти на массовую оболочку.
Предложение 7.6. Формула 24
/3, •，0 4)= 口%/勿)口也(о к)ь((夕 1 + 02产，3 +3)2)=
J=1k=3
f 24
= 口%/勿)口昧(夕卜)8(5-(夕1 +夕2)2)"方一3 +23产)反(S,方)曲必(7.193)
J月k=3
осуществляет изоморфизм между пространством обобщенных функций 歹(s,方)6 У (Gphys) “ пространством лоренц-инвариантных обобщенных функций /(夕 1,,夕4)е ^(П) с носителем в 耽，удовлетворяющих уравнениям
出-時)/(pi,,夕4)= 0, j = 1,, 4.(7.194)
Упражнение 7.36. Доказать предложение 7.6. (Указание: согласно упражнению 3.28 / однозначно представима в виде
/з, , 04)=夕(届，，疯，3 +@2)2,(01 +@з)2),(7.195)
где s(gi, ...,沙4, s, £)G #/(G) и G есть канонически замкнутое регулярное множество в R6. Умножив обе части (7.195) на р^ — т^ и воспользовавшись (7.194), убедиться, что (д^ — т^) х 义夕=0 при J = 1, ..., 4.)
Из предложения 7.6 вытекает, в частности, следующее важное свойство симметрии.
Упражнение 7.37. Пусть mi = m3, т? = Ш4. Доказать, что всякая лоренц-инвариантная обобщенная функция j(pi, ..., pQ G #'(!!) с носителем в 耽,удовлетворяющая уравнениям (7.194), обладает свойством
/(01, 02, 03, @4)= /(—03, —04, —01, —02)・(7.19 6)
(Указание: воспользоваться представлением (7.193).)
Упражнение 7.38. Пусть 夕(@4,无2； @з,无1； @2, ”2； @1, ”1) есть амплитуда упругого двухчастичного процесса 羽 + 〃2Tm + 〃2 c бесспиновыми частицами:
(2穴)%(01 ++04)夕(04,无2； 03,无 1； 02, ”2； 01, ”1)=
=〈0|厶(04, "2)厶(曲，”1) 74*(—02, "2)4*(—01, "1)1。〉， (7.197) где
iT = S-l.
Доказать соотношение
(2穴)%(01 ++04)• 2 分 Im 夕(04,无 2； 03,无 1； 02, ”2； 01, ”1)=
=(014(04, 〃2)4曲，"1)(7 -7*) 4*(-02, 〃2)不(一01,羽)10). (7.198)
(Указание: применить результат предыдущего упражнения ко второму члену в правой части (7.198).)
В ковариантных разложениях спинорной амплитуды мы ограничимся случаем, когда все массы mj положительны. Полиномиальный базис стандартных ковариантов Qo(夕4, ^4； ••• ； Pi, i) выберем согласно упражнению 3.31 при п = 3 (импульс 夕4 не является новой переменной в силу (7.180)); роль ЭС играет пространство полиномов 少(однородных степени 2s^ по % (где Sj — спин j-й частицы). Размерность 夕 равна
4
N=H(2s/・ + l),
так что (согласно упражнению 3.31) набор {Qp} состоит из N ковариантов, образующих линейный базис в 5Г в каждой точке ранга 3. В соответствии с формулой (3.238) введем N х TV-матрицу X = (X^ols,方))，полагая
t) = Qp； Pl,) Qafp4, ^4；； Pl, 2_ 2 (7.199)
(ее детерминант отличен от нуля в точках ранга 3).
Предложение 7.7. Спинорная амплитуда двухчастичного процесса между частицами с положительными массами допускает однозначное ковариантное разложение )
夕(夕4, К：元4；…；Pi, Vi, %)=
N24
=£ Qp^P4,(^4；； Pl,(^1)И5^Т15^МТр^(7.200)
0=1J = 1k=3
где набор Г = {〃(s,方)} инвариантных амплитуд есть элемент пространства X-庙火(Gphys).
Упражнение 7.39. Доказать предложение 7.7. (Указание: ход рассуждений таков же, как в упражнении 7.36, только вместо упражнения 3.28 следует воспользоваться упражнением 3.31.)
В частности, для двухчастичного процесса (7.178) между бесспиновыми частицами с положительными массами имеет место представление типа (7.193) с инвариантной амплитудой T(s,方)е g'(Gphys)：
24
夕(夕4,元4；。3,元3；。2, "2；。1, %) = 口%,电)口认価)■T(S，块 (7.201)
1k=3
Дополнение Д
Четырехкомпонентные спиноры и уравнение Дирака
Д.1. Алгебра Клиффорда над пространством Минковского. Явно ковариантное представление, соответствующее спину 1/2, реализуется на спинорах Дирака. Так как этот важный пример постоянно встречается в приложениях (в том числе и в последующих разделах книги), мы изложим в этом дополнении необходимые сведения.
Пусть 夕.=CD — D-мерное комплексное векторное пространство с невырожденной билинейной симметричной формой ( , ) («скалярным произведением»). Алгеброй Клиффорда Cliff 夕 над пространством 夕.называется алгебра комплексных ^^ 义 2[°/2】-матр1щ (где [D/2] есть целая часть 0/2) вместе с линейным (инъективным) отображением
(Д.1а)(Д.16)(Д.1а)(Д.16)у 夕 т Cliff удовлетворяющим условию
(Д.1а)
(Д.16)
(Д.1а)
(Д.16)
не = еюзс + зсею = 2怎门
(мы опускаем единичную матрицу в правой части). Если {еа}——базис в 夕 такой, что (еа, еь) = даь, то соответствующие единицы 7a = 7еа алгебры Клиффорда будут удовлетворять антикоммутационным соотношениям 7ь]+ = 2gab・
Пример такой алгебры есть алгебра Клиффорда над трехмерным евклидовым пространством. Это — алгебра матриц 2x2, единицами которой могут служить матрицы Паули о». Следующий по сложности интересующий нас пример — СМ, которая порождается матрицами Дирака 7М, удовлетворяющими
(7м，7^]+ = 2д“ (从，^ = 0, 1, 2, 3). (Д.2)
При изучении данной алгебры Клиффорда основную роль играет теорема единственности (с точностью до эквивалентности) ее неприводимого представления, которую мы сформулируем и докажем применительно к интересующему нас случаю 0 = 4.
Теорема Д.1. Алгебра Клиффорда пространства Минковского {порождаемая матрицами 7М, удовлетворяющими (Д.2)) обладает единственным (с точностью до эквивалентности) неприводимым комплексным представлением; его размерность равна четырем.
< Мы приведем доказательство, основанное на некоторых свойствах представлений конечных групп.
Учитывая (Д.2), нетрудно убедиться, что существуют 16 независимых произведений единиц 7М. Это — произведения (не более четырех множителей), в которых никакие два множителя 7М не совпадают:
{7я} = {1，7м，^(7м，)/(= 7“)，7м75, 7s}； (Д・3) здесь
75 = 70717273(75 = 一D， 7м75 =笈 (Д・4)
Одночлены {丁五} и {—丁五} замыкают группу G32 из 32 элементов с центром Z2 = {1, —1}. Фактор-группа Gi6 = G32/Z2 абелева, так как произведения тк。к? и тк?Тк、в исходной группе отличаются не более чем знаком. Мы интересуемся точными представлениями группы G32 (в которых центр представлен нетривиально).
Упражнение Д.1. Пусть G — конечная группа (с числом элементов N(G)), Н — нормальный делитель в G, К = G/Н. Доказать соотношение
N(G) - N(K)=工 4,г
где Т пробегает полный набор попарно неэквивалентных (комплексных) неприводимых представлений группы G (размерности &т), которые не опускаются до представлений группы К (т. е. ядро которых не содержит Н). (Указание: воспользоваться теоремой Бернсайда из теории представлений конечных групп; [Ж1], § 34, теорема 4.)
Применяя результат упражнения к группе G = G32 и фактор-группе К = G16, мы видим, что если группа G32 обладает точным четырехрядным (неприводимым) представлением, то оно — единственное (с точностью до эквивалентности) точное неприводимое представление этой группы.
Упражнение Д.2. Проверить, что матрицы
удовлетворяют антикоммутационным соотношением (Д.2).
Покажем, что все матрицы 丁五(Д.З) линейно независимы (отсюда будет следовать, в частности, что рассматриваемое представление группы G32 точно). Для этой цели заметим сначала, что для каждой из 15 матриц 丁五，исключая единичную, существует матрица 丁五/ такая, что_{
(Д・6)
Действительно, в силу соотношений
(75, 7м] + = 0 =(75, 7м7б] + ,(Д・7)
вытекающих из (Д.2), для матриц 丁从 и 7^75 можно выбрать 丁五/ = 75； для матриц 丁从"и 75 можно положить 7^/ = ”
Из (Д.2) (и из четырехрядности представления (Д.5)) следует псевдоортонормированность матриц 7М относительно следа произведения:
tr = 4g(Д・8)
Пользуясь (Д.6), можно показать, что аналогичное свойство имеет место для всех матриц 丁五.
Упражнение Д.З. Показать, что
tr ^r^s = ^£r^rs, где £五=±1.(Д.9)
(Указание: пользуясь (Д.6) и возможностью циклической перестановки сомножителей под знаком следа, проверить сначала (Д.9) для 7s = 1.)
Теперь нетрудно убедиться, что равенство £ csys = 0, где cs ——комплексные числа, возможно, только если все cs = 0; действительно, согласно (Д.9) cr = ^ ^^r^2 с^7^-
Неприводимость представления (Д.5) следует из леммы Шура и из обстоятельства, что любая 4 х 4-матрица может быть записана в виде £cs7s・ А
Из доказанной теоремы следует, в частности, так называемая лемма Паули.
Следствие Д.2. Если 7^ и 7^ — два набора четырехрядных матриц, удовлетворяющих (Д.2), то существует неособая матрица S такая, что 丁从=Sy^S-1.
С помощью метода усреднения из теории представлений конечных групп можно получить алгоритм построения матрицы S, реализующей преобразование подобия.
Упражнение Д.4. Показать, что при любом выборе четырехрядной матрицы F из 5 = =Е 7я^7я следует
R1'rS = Sik.(Д.Ю)
Построив таким образом (комплексную) алгебру Клиффорда, соответствующую комплексному пространству Минковского, мы можем определить также вещественную алгебру Cliff М, элементы которой принадлежат линейной оболочке (с вещественными коэффициентами) матриц (Д.З).
Д.2. Спинорное представление группы Лоренца; различные реализации 7-матриц.
Из определяющего антикоммутационного соотношения (Д.2) следует, что матрицы
s“ = 2 = 4 [)从，7"]， 从，沙=°, 1, 2, 3,(Д. 11)
удовлетворяют перестановочным соотношениям для «физических генераторов» алгебры Ли 4(2, С) ^о(3, 1):
[s><а,=分(9〃"5；\从 + g%s比^ 一 Qx^sxy — gx^Sx^).(Д• 12)
Нетрудно убедиться, что представление sZ(2,。) с генераторами (Д.11) приводимо, так как
Упражнение Д.5. Показать, что в базисе (Д.5) генераторы и матрица 75 имеют приведенный вид:
〜(Д」36)
Проверить, что
Л = exp ^icr^O^ и = ехр 0 沁^尹“)，尹"=一8叩， (Д.14)
задают два неэквивалентных двумерных представления группы SL(2, С): Л = (Л^), Л-1 =
= ((А*-М)・
Четырехмерное пространство комплексных векторов 吵={吵°}a=i,…,4, в котором реализовано неприводимое представление алгебры Клиффорда, называется пространством дираковских спиноров *). Согласно упражнению Д.5 дираковское представление группы SL(2,。)разлагается в прямую сумму D^^2^ ㊉ £)°，i/2)ДВуХ неприводимых представлений.
Связь представления Дирака
V(e)二 ехр & 0%“)(Д.15)
и векторного представления
А(е)= / (故=^ + 匆 + ^ 改 G + • • •)(Д.16)
группы SL(2,。) дается равенствами
и(е)”т(е)= А⑼“(Д.17а)
v(e)7"L(e)f А(е%(Д.176)
Упражнение Д.6. Проверить (Д.17) при помощи соотношения
7^]=分(9从"7入一g入"7从).(Д.18)
Заметим, что приводимое представление (Д.15) группы SL(2,。) становится неприводимым, если к связной группе Лоренца присоединить пространственное отражение
V(厶)二小70, где 切s1 = 1 (V&)〕厶)=9从从m).(Д-19)
Следующие упражнения показывают, как можно построить из 7-матриц генераторы алгебры Ли s〃(2, 2) конформной группы и ее подалгебры s@(2, А) о(3, 2).
Упражнение Д.7. Показать, что матрицы
s从6 = 2 7Ao s从5 = 2 7从)5, s“ = 4 [丁从，$56 = ^ )5(Д.20)
удовлетворяют перестановочным соотношениям для «физических генераторов» алгебры Ли о(4, 2) ^ s〃(2, 2). Найти эрмитову матрицу /3 (с сигнатурой +Н), удовлетворяющую соотношениям
S^B = Mb, a, b = 0, 1, 2, 3, 5, 6.(Д.21)
(Указание: в базисе, в котором 7* = g从从7从(например, в базисе (Д.5)), можно положить % = 7о-)
Упражнение Д.8. Показать существование антисимметрической матрицы С, реализующей подобие между матрицами —7^ (где «т» означает транспонирование) и 丁从：
。^。т =—父，Cs^C-1 = —s%.(Д.22)
Убедиться, что генераторы и 7^ замыкают алгебру Ли s@(2, А) о(3, 2). Показать, что оператор。реализует эквивалентность между дуальными представлениями:
CV^C-1 = V(6»)TT.(Д.23)
(Указание: в представлении типа (Д.5), в котором 丁［ = (― 1)从丁从，从=0, 1, 2, 3 и которому принадлежат ниже введенные матрицы (Д.2 4), положить。= 2 70 72.)
Реализация (Д.5) 7-матриц выделена тем, что в ней представление группы SL(2,。) и ее алгебры Ли имеют приведенную (блочно-диагональную) форму (Д.13). В физике играют роль еще (по крайней мере) два типа базисов: базис Паули, в котором матрица 70 диагональна, и базис Майорана, в котором матрицы 丁从 и чисто мнимы (а представление Дирака группы SL(2,。)вещественно).
Упражнение Д.9. Проверить, что матрицы
удовлетворяют антиперестановочным соотношениям (Д.2). Показать, что
m, где S尸=吉(；_；)=5丁・(Д-25)
Упражнение Д.10. Проверить, что матрицы
靈(Д-26)
тоже удовлетворяют соотношениям (Д.2), (Д.22). Показать, что
7片=^мр^ ^мр^ W =(Д.27)
s— = s^(=s)，= 1).
Существование вещественного представления (показывающее, что можно лоренц- инвариантным образом определить вещественные четырехкомпонентные спиноры — спиноры Майорана) характерно для сигнатуры метрики д^ пространства Минковского и группы Лоренца 力］.Нетрудно убедиться, что в евклидовом случае спинорное представление группы SU(2) х S力(2) (накрывающей группы О+(4)) не эквивалентно вещественному.
Д.З. Уравнение Дирака; представления группы Пуанкаре со спином 1/2. Уравнение Дирака人 А
(历-т)次/) = 0, где ^ = 7м(Д.28)
инвариантно относительно произвольных преобразований
认/)т МА)认А〕/ —а))(Д.29)
квантовомеханической группы Пуанкаре (в том числе относительно отражений), а также относительно зарядового сопряжения
次/) т 吵с(/) =。一1 认б)',где 认/)=次/)*/3.(Д.ЗО)
Так как (m + id)(m — id) = m2 + □, то каждое решение уравнения Дирака является в то же время решением уравнения Клейна-Гордона и, следовательно, может быть записано в виде
次/) = J • 2тг5(т2 — У) и(р) &4@,(Д.31)
где спинор и(р) удовлетворяет линейной системе уравнений
(р — т) и(р) = 0 при У = т (р = р^)(Д.32)
ИЛИ
次/)= j (e-ipxu^\p)^eipxu^\p)^dp)m,(Д.32)
Гт
где спиноры и^\р) уравнений
—решения с положительной энергией систем линейных (алгебраических)
(т —访 и(+)(р) = (т + р) и^~\р).(Д.34)
Упражнение
Д.11. Показать, что
det ◎干 тп) = (р2 — т2)2 (= 0);
заключить отсюда, что при
ранг матрицы /千 т равен двум и, следовательно, каждое из уравнений (Д.32) имеет два линейно независимых решения.
Можно построить базис линейно независимых решений уравнения (Д.32), предполагая, что и^\р) являются собственными векторами оператора третьей проекции спина s3(p), который может быть определен преобразованием Лоренца из его значения в системе покоя:
s7(0) (= s^p = 0)) = ^ fklSki = ^ 分Т)оу (三^ 275707^.
Биспинорное представление чистого преобразования Лоренца («буста»)
(%并=m(Ap)D’А森忐弋俨У
переводящего ось времени в направление вектора р с р° > 0, имеет вид
VP =彌
где户=及=_少
29，2m(p° + m) 50，2m(p° + m)'
Упражнение Д.12. Проверить равенство
Р = mV^V-1 = mVpV^° (J %)•
Вычислим теперь оператор спина:
s(P)= VpS^V^1 ="s(O)Gp =靑(W— @\北)(0° = yW +叫, где W^ — (матричный) вектор Паули-Любанского:
产=§…
(коммутирующий С 0).
Упражнение Д.13. Показать, что
s?(P)= I
(Д.35)(Д.36)(Д.37а)(Д.376)(Д.38)(Д.39)(Д.40)(Д-41)(Д.35)(Д.36)(Д.37а)(Д.376)(Д.38)(Д.39)(Д.40)(Д-41)и что $з(р) имеет собственные значения ±1/2.
(Д.35)
(Д.36)
(Д.37а)
(Д.376)
(Д.38)
(Д.39)
(Д.40)
(Д-41)
(Д.35)
(Д.36)
(Д.37а)
(Д.376)
(Д.38)
(Д.39)
(Д.40)
(Д-41)
Решение уравнения
= (и^\р), С = ±^(Д.42)
(где и^ удовлетворяют уравнению Дирака (Д.32)), определено с точностью до нормировки.
Упражнение Д.14. Проверить эквивалентность нормировочных условий
й^Цр) и^\р) = 2物，(Д.43а)
^!±)(0)壮±)(0)= ±m.(Д.436)
Обозначим через 〃£)(@) (е = ±,《二 ±1/2) четыре линейно независимых решения системы (Д.32), (Д.42), соответствующих собственным значениям р° = у^т2 + р2 и $з(р) = £
Упражнение Д.15. Доказать формулы
工 и^\р) 0 и^\р) = р ± т, где р° = у^т2 + р2.(Д.44)
С=±1/2
Упражнение Д.16. Показать, что в базисе Паули (Д.24)
吋力 @45а)
u^ = ^T7^ZQ (дл5б)
Формулы (Д.45) демонстрируют удобство реализации Паули при изучении нерелятивистского предела спиноров и^\р): в этом пределе ра/{т + р°)0 и спиноры (Д.45) становятся
эффективно двухкомпонентными.
Решения уравнения Дирака могут служить базисом для некоторой явно ковариантной реализации унитарного представления [т, 1/2, +] квантовомеханической группы Пуанкаре, отличной от вигнеровской реализации.
Рассмотрим пространство ①皿/2, состоящее из четырехкомпонентных комплексных (измеримых) спинорных функций 3(@) = (Фа(р)) на гиперболоиде Г+, для которых сходится интеграл
("，") =靑 I Ф(р)рф(р)(^р)т (< ос).(Д.46)
Упражнение Д.17. Показать, что если спинорная функция W(@) не исчезает почти всюду, то (Ф, Ф) > 0. (Указание: воспользоваться положительностью матрицы /Зр для р е г^).〜
Спинорное представление группы Пуанкаре 中(включающей отражения) действует на векторы из ①т,1/2 по формулам
[U(a, Л) W](0)= eipaV(A) W(Af),(Д.47)
ug W(0)=小7嘖(厶0)(厶(0°, p) =(0°, —р)),(Д.48)
U(It) Ф(р) =小)0)5。—帀(厶О),(Д-49)
причем оператор U^It) антиунитарен. Оказывается, что это представление приводимо.
Упражнение Д.18. Проверить, что уравнение Дирака (Д.32) инвариантно относительно преобразований (Д.47)-(Д.49). Вывести законы преобразований Ф при отражениях из этого условия инвариантности (и из требования положительности энергии).
Пространство ①小」/2 распадается на прямую сумму двух ф-инвариантных подпространств:
分小,1/2二分而'/2‘+]㊉①力'/2'1 где ("干药分g/2±=0,(Д.50)
причем
(Ф, Ф) = j 回+)(0)5+)(0)一市-)(0)3(一)(0))(如)皿(Д.51)
г+
Покажем, что оператор Uc зарядового сопряжения может быть определен как унитарный оператор, переплетающий инвариантные подпространства ①[小」/2，±】между собой. Действительно, разлагая произвольный спинор W(@) на гиперболоиде Г^ по базису и^\р),
3(。)=工田(0，С е) и? (@),(Д.52)
С，е мы положим по определению
及3(0)=工 W(0, С е)壮)(@)С,(д.53)
С，е
где ис задается равенством ис{р) = С-1й(р)т (см. (Д.ЗО)).
Упражнение Д.19. Показать, что если (тп 干访〃(@) = 0, то (т ± р) ис{р) = 0. Проверить в базисе Паули, в котором
三 Ср1 =—分若*=(：；),£ = (_； ；)(“”£ = сгр),(Д.54)
что
Ucuf\p)=干 2g^)(0)(-2( = (―1 尸 IS).(Д.55)
Результат этого упражнения указывает, что индекс е (= 土) играет роль (знака) заряда; операция зарядового сопряжения переводит частицу в античастицу (и обратно), изменяя одновременно знак проекции спина.
Заметим, что разложение (Д.52) выявляет связь реализации Вигнера представления группы ф (в пространстве функций 3(@,《，е) с фиксированным «зарядом» е) с явно ковариантной реализацией этого пункта.
ЧАСТЬ III
ЛОКАЛЬНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИУАЙТМАНА
Краткий обзор
Понятие поля как в классической, так и в квантовой физике призвано реализовать идею близкодействия. Для учета этой идеи мы дополняем аксиомы алгебраического подхода постулатом A.V: каждой ограниченной области в пространстве Минковского ставится в соответствие некоторая С*-алгебра с единицей 21(〃) таким образом, чтобы (наряду с требованиями изотонии и пуанкаре-ковариантности) выполнялось условие локальной коммутативности (п. 8.1.1.А). Замена точек пространства-времени областями необходима, если мы хотим иметь дело с алгебрами ограниченных операторов. Понятие локального квантового поля требует использования более сингулярного объекта — операторной обобщенной функции (§ 8.2). Физически аксиомы Уайтмана W.I-W.VII являются реализацией постулатов алгебраического подхода, дополненных требованиями единственности (W.III) и цикличности (W.VII) трансляционно-инвариантного вакуума, в терминах этих полей.
Система (сглаженных) полей 夕(")(/) неприводима, если из того, что ограниченный оператор 。 слабо коммутирует с 夕(")(/), следует, что 。кратен единичному оператору. Доказывается (предложение 8.1), что в теории Уайтмана неприводимость полей является следствием аксиом. Менее тривиален результат Рее-Шлидера, утверждающий, что вакуум цикличен относительно алгебры 火〃)полиномов от полей, сглаженных с основными функциями, сосредоточенными в произвольном непустом открытом множестве 〃 (п. 8.2.Г, предложение 8.2).
Основная идея подхода Уайтмана состоит в том, что все содержание теории может быть переведено на язык вакуумных средних от произведений полей, называемых функциями Уайтмана (§ 8.3). В простейшем случае теории нейтрального скалярного поля 夕(力)мы пишем
苏飼(/1,, жП) = (0| 9(/1)...9(/九)10)=▽е力(§1,, ^n-i), Wk =
Требование единственности вакуума переводится как условие кластерности W.VI:
w(xi, , хк, Xk+i + Ха, , хп + Ха) > w(xi, хк) ^(/小十1,, жп).
а2<0
Условие спектральности записывается в виде
supp VK(qi, , Qn-i) С У+ х ... х V+, где
w(qi, Qn-1)
Справедливо представление Челлена-Лемана (п. 8.3.Б), позволяющее выразить двухточечные функции произвольного поля как суперпозицию двухточечных функций свободных полей с произвольными (неотрицательными) массами.
Набор всех функций Уайтмана позволяет определить линейный функционал
W (/) = w^ /⑼ + ]苏"(ж) * (ж) d% + ... + I w^n\x\,, жп) /⑺(xi, ,Жп) ^Х\...^Хп +
над алгебраической прямой суммой Q = ф 夕(川八)пространств основных функций (состо- п=0
ящей из финитных последовательностей). Пространство Q можно превратить в алгебру с инволюцией, определяя на нем (некоммутативное) умножение и сопряжение по формулам
(/0р)[п]=工/肉Е，…，хк) g[n~k\xk+x, , жп), (/+)H =户叫力九，，g). k=Q
Аксиомы W.I-W.VII компактно записываются на языке функционала Уайтмана W(f). В частности, положительность скалярного произведения в гильбертовом пространстве состояний (см. W.I) приводит к условию мультипликативной положительности W(f 0 /+) > 0. Теорема реконструкции Уайтмана (теорема 8.6, п. 8.3.В) позволяет по заданному функционалу W (удовлетворяющему соответствующим условиям) восстановить всю теорию (т. е. гильбертово пространство 方，представление группы Ro, операторы поля 夕).Доказательство этой теоремы сводится к частному случаю конструкции ГНС (п. 1.5.Г). Свободное поле 夕 полностью характеризуется своей двухточечной функцией (предложение 8.8, п. 8.4.А). В п. 8.4.Г показано, что поле, коммутатор которого является числовой функцией или зависит лишь от разности аргументов, является суперпозицией свободных полей; поле с таким свойством называется обобщенно свободным.
В силу условия спектральности функции Уайтмана 屮(八十"(§1, ..., §九)допускают аналитическое продолжение в трубу прошлого Т~ = (Af + iV~)n (теорема 8.5, п. 8.3.А). С другой стороны, всякая лоренц-ковариантная функция, аналитическая в Т~, допускает однозначное аналитическое продолжение в расширенную трубу
Тп= U ЛТ-,
A6L+(C)
которое ковариантно относительно комплексной группы Лоренца 厶(。)(теорема 9.1, п. 9.1.Б). В отличие от Т~ расширенная труба содержит вещественные точки, называемые точками Йоста (точка (§i,§九)G Мп принадлежит Тп, если при любом выборе А7 > 0, £ 入^〉0
вектор £ 入总 пространственноподобен; предложение 9.5, п. 9.1.В). Свойство локальности позволяет дополнительно расширить область аналитичности функций Уайтмана (теорема 9.6, п. 9.1.Г).
Отражение всех четырех осей в М является элементом 力十(0). Это позволяет доказать (п. 9.2.А), пользуясь теоремой 9.1 (Баргмана-Холла-Уайтмана), инвариантность теории Уайтмана относительно антиунитарного TCF-преобразования (теорема 9.13). На самом деле это утверждение можно уточнить, заменяя требование локальности менее жестким условием слабой локальности (теорема 9.14, п. 9.2.Б). При помощи TCF-оператора доказывается транзитивность свойств (слабой) локальности для неприводимой системы полей. Это приводит к понятию класса Борхерса взаимно (слабо) локальных полей (п. 9.2.Б) и, в частности, к понятию локального составного поля (п. 9.2.В). В дальнейшем (п. 12.1.В) будет показано совпадение 5-матрицы для взаимно локальных полей.
Теорема Баргмана-Холла-Уайтмана позволяет также доказать нормальную связь спина со статистикой для компонент поля 吵，преобразующегося по неприводимому (конечномерному) представлению группы Лоренца и его эрмитово сопряженного: если предположить, что компоненты поля либо коммутируют, либо антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов, то 吵(力1, сл, ◎)吵(妆，◎)* = (—1)2"+")吵(妆，以2, ◎)*吵(/i, gi, ◎), где (—1)2°+") — унивалентность представления (теорема 9.19, п. 9.3.А и лемма 9.21, п. 9.3.Б). (В дополнении И показано, что для бесконечнокомпонентных полей нормальная связь спина со статистикой не следует из аксиом.) Перестановочные соотношения между различными полями не фиксируются остальными постулатами. Если, однако, в системе полей имеются аномальные
перестановочные соотношения, то функции Уайтмана обладают некоторой дополнительной симметрией. Она позволяет определить (неунитарные) преобразования Клейна полей, сохраняющие функции Уайтмана таким образом, чтобы новые поля обладали правильной связью спина со статистикой.
На анализе аналитических свойств функций Уайтмана основано и доказательство теоремы Хаага о несуществовании представления взаимодействия в локальной релятивистской теории (§ 9.4). Это исторически одно из первых указаний на необходимость использовать нефоковские представления ККС.
Одно из самых существенных применений аналитических свойств функции w^^xi, ... ...,Хп) — как в пертурбативных расчетах, так и в конструктивной квантовой теории поля — это основанная на них возможность перехода к евклидовой формулировке теории. Функции Швингера s^^xi, ..., хп), которые получаются из w^ при чисто мнимых временах заменой (//с)4 =—分/£, аналитичны при (вещественных) несовпадающих аргументах и удовлетворяют условиям е.1-е.7 (аксиомы Остервальдера-Шрадера, п. 9.5.Б). Эти условия полностью характеризуют теорию: если функции {s^^} удовлетворяют е.1-е.7, то они являются функциями Швингера некоторой системы уайтмановских полей (теорема 9.31, п. 9.5.В).
Наше доверие к квантовой теории поля основывается главным образом на успехах пертурбативных расчетов в квантовой электродинамике. Однако, строго говоря, квантовая электродинамика не укладывается в рамки подхода Уайтмана (гл. 8 и 9). Для аксиоматической формулировки ее в терминах локальных ковариантных калибровок (гл. 10) необходимы две модификации аппарата: во-первых, допустить индефинитную метрику в пространстве векторов «виртуальных состояний», во-вторых, использовать модифицированное уравнение Максвелла (сохранив обычное уравнение Максвелла 3“.»入从—^ = 0 только для представления наблюдаемых полей в физическом гильбертовом пространстве). Набор «псевдоуайтмановских» аксиом во всякой квантовой теории с индефинитной метрикой должен быть дополнен аксиомами, обеспечивающими физическую интерпретацию формализма (т. е. конструкцию алгебры наблюдаемых и физического гильбертова пространства; п. 10.1.В, 10.1.Г). Специфика теорий с индефинитной метрикой проявляется, в частности, в вопросе о спонтанно нарушенных внутренних симметриях, порождаемых локальными сохраняющимися токами: в теории Уайтмана спонтанное нарушение симметрии сопровождается безмассовым скалярным бозоном (теорема Голдстоуна, п. 10.3.Б); в теории с индефинитной метрикой «голдстоуновский бозон» может оказаться чисто фиктивным, не обнаруживаясь в физическом гильбертовом пространстве (п. 10.3.В).
Одной из простейших полевых моделей с индефинитной метрикой является безмассовое скалярное поле в двумерном пространстве-времени (одночастичное подпространство, возникающее при квантовании этого поля фоковским методом, является не гильбертовым, а так называемым пространством Понтрягина). Изучение этой модели удобно проводить отдельно для правой и левой составляющих, представляющих собой одномерные квантовые поля на изотропных прямых пространства-времени (пп. 11.1.А, 11.1.Б). С помощью (локальных нормальных) экспонент от этих полей получаются поля с любым спином, в частности, свободное безмассовое дираковское поле в двумерном пространстве-времени (п. 11.1.В), а также поле Тирринга (§ 11.2). Сходным методом строится модель Швингера (т. е. двумерная безмассовая квантовая электродинамика, § 11.3).
Глава 8
ФОРМАЛИЗМ УАЙТМАНА
Квантовополевые системы
А. Идея локализации. В гл. 6 мы приняли в качестве определения физической системы пару (21, S), где 21 — абстрактная С*-алгебра (алгебра наблюдаемых) и (5 — множество «физических» состояний, обладающих, в частности, способностью разделять элементы алгебры 21. Эрмитовы элементы алгебры 21 играют роль обобщенных переменных, которые, в принципе, можно измерять на опыте (отсюда термин «алгебра наблюдаемых»). Теперь мы выделим класс полевых систем. Интуитивно можно представить себе, что наблюдаемые полевой системы есть некоторые функционалы от совокупности «фундаментальных полей», являющихся функциями на пространстве Минковского и удовлетворяющих определенным (полевым) уравнениям. Однако в наиболее интересных случаях значение квантового поля в пространственно-временной точке, как будет показано ниже, лишнего смысла, и для корректного определения квантовых полевых систем на помощь приходит несколько более общая идея локализации.
Для этого предыдущие аксиомы A.I-A.IV алгебраического подхода мы дополним следующей аксиомой.
A.V. Каждому ограниченному открытому множеству 自 пространства- времени Минковского сопоставлена С^-алгебра с единицей 21(b), являющаяся подалгеброй алгебры наблюдаемых 21 〃 называемая алгеброй (локальных) наблюдаемых, ассоциированных с множеством Ь; при этом алгебра 21 является пополнением по норме объединения
油。с= U 以3)，(8.1)
бсм называемого алгеброй локальных наблюдаемых. Кроме того, выполнены следующие условия'.
изотония: если 仇 С 夕2, то 21(^1) С 21(仇)；
ковариантность относительно собственной группы Пуанкаре:
%人(以3))=以6ь+a)；(8.2)
локальная коммутативность', алгебры 21(^1) и 21(^2), ассоциированные с пространственноподобно разделенными областями 0 и %, коммутируют между собой.
Содержание условий изотонии и ковариантности очевидно, физический же смысл принципа локальной коммутативности мы обсудим в следующем пункте.
Семейство {21(b)}0cAi С*-алгебр, удовлетворяющих условию изотонии, называют также сетью С*-алгебр над М.
В первоначальной формулировке аксиом алгебраической квантовой теории поля (Хааг и Шроер, 1962) требовалось, чтобы алгебры 21(〃)были не абстрактными С*-алгебрами, а алгебрами фон Неймана операторов в (физическом) гильбертовом пространстве 力 Различие между этими двумя вариантами имеет значение лишь с конструктивной точки зрения.
Может случиться, что алгебра наблюдаемых построена раньше, чем выбрано ее физическое представление тг, тогда разумна абстрактно-алгебраическая точка зрения. Когда же физическое представление зафиксировано, то алгебры 21(〃)вполне можно считать «конкретными» алгебрами фон Неймана (заменяя, если нужно, абстрактные С*-алгебры 21(〃) алгебрами фон Неймана тг(21(〃)).
Алгебру 21 как пополнение по норме алгебры 2lioc локальных наблюдаемых называют также алгеброй квазилокальных наблюдаемых. Не все наблюдаемые величины принадлежат этой алгебре. Например, полная энергия (или импульс, или заряд) квантовополевой системы не может быть (квази) локальной наблюдаемой. Стандартный способ построения таких «глобальных» наблюдаемых состоит в рассмотрении пределов локальных наблюдаемых в слабой операторной топологии физического представления, т. е. в переходе к алгебре фон Неймана 7г(21). Если настаивать (как это делали Хааг и Кастлер, 1964), что локальные алгебры дают полное описание полевой системы, доступное физическому эксперименту, то следует принять, что все наблюдаемые в каком-то смысле порождаются локальными наблюдаемыми. Наиболее естественно считать при этом, что все наблюдаемые (в том числе и «глобальные») содержатся в алгебре фон Неймана тг(21) или по крайней мере присоединены к ней.
Б. Принцип локальной коммутативности. Одно из самых существенных требований релятивистской локальной теории — это постулат локальной коммутативности. Он является конкретным выражением весьма общего эйнштейновского принципа причинной независимости, согласно которому любые два события в пространстве- времени, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут находиться в причинно-следственном отношении.
В рассматриваемом подходе этот принцип реализуется следующим образом. В духе гл. 6 произвольный унитарный элемент U алгебры наблюдаемых можно интерпретировать как результат воздействия на систему, переводящего состояние р в состояние ри, где ри{^) = 0(U*4U), А е 21. Унитарные элементы U из локальной алгебры 21(^) будем интерпретировать как воздействия, сосредоточенные в пространственно-временной области Ь. Если область 自 заключена в полосе времени t\ < t < 方2, то по обычному принципу причинности система, подверженная такому воздействию, должна описываться состоянием р при t < t、. ри — при t > 方2, т. е. для локально наблюдаемых А, ассоциированных с областями Q при t < ti, среднее значение дается выражением р(А), в то время как для наблюдаемых А, ассоциированных с областями Q при t > 方2, среднее значение есть 0и(4). Чтобы согласовать эту прескрипцию с эйнштейновским принципом причинной независимости, следует потребовать, чтобы для областей Q, расположенных пространственноподобно относительно Ь, оба выражения р(А) и ри{^) совпадали (независимо от того, находится Q раньше или позже 自 в какой-либо системе координат, ибо в данной ситуации понятия «раньше» и «позже» релятивистски не инвариантны).
Ради краткости примем соглашение записывать условие пространственноподобной разделенности двух областей ^ и Q в 7И в виде соотношения 自〜Q (означающего: (力一g)2 V 0 при всех 力 е 自，у е Q). В результате мы приходим к следующему варианту принципа причинной независимости Эйнштейна:
ри{^) = 0(厶) для всех состояний р,
где U — произвольный унитарный оператор из 21(b), А — произвольный элемент алгебры 2l(Q) п 夕〜Q. Очевидно, из него следует U^AU = А, т. е. AU = UА. Поскольку унитарные элементы U порождают всю алгебру 21(^), отсюда заключаем
АВ = ВА, если 4 G 21(b), В 6 21(2) и 夕〜Q. (8.3)
Это и есть формулировка условия A.V (в) локальной коммутативности.
Следует подчеркнуть, что хотя квантовая теория поля базируется на принципе локальной коммутативности (и на его обобщении — принципе локальности, п. 8.2.А), отражая тем самым современные идеализированные представления о структуре (в частности, о «микроструктуре») пространства-времени, она тем не менее позволяет реализовать идею неточечности, внутренней структурности элементарной частицы. Действительно, средние таких наблюдаемых полей, как тензор энергии-импульса, электрический ток и, в частности, плотность электрического заряда в одночастичном состоянии выражаются, вообще говоря, существенно нелокально через волновую функцию частицы (для такого пересчета вводится специальное понятие формфакторов частицы). Другими словами, взаимодействие локальных полей наделяет элементарные частицы нелокальной структурой, которая является и специфически релятивистской, и специфически квантовой (т. е. не сводимой к «классическим» аналогам, скажем, типа пространственной протяженности тела).
В. «Фундаментальные» поля и «физические» поля. Мы отмечали, что наблюдаемые величины и состояния служат средством выражения квантовой феноменологии. Однако детализация динамики требует введения динамических переменных, или «фундаментальных» полей, которые могут не входить в множество наблюдаемых величин и служат своего рода строительным материалом для наблюдаемых. Это обстоятельство не является исключительным свойством квантовой теории. Например, в классической электродинамике 4-вектор потенциала 4从(力)электромагнитного поля является «фундаментальным» полем, но является наблюдаемой величиной; наблюдаемые же являются калибровочно-инвариантными комбинациями типа напряженности, тока и т. п. ).
На примере электродинамики видно, что ненаблюдаемые поля могут входить в теорию на совершенно иных основаниях, чем наблюдаемые, и нет логической необходимости требовать, чтобы они подчинялись схеме, изложенной выше для наблюдаемых. В частности, мы не можем требовать, чтобы ненаблюдаемые величины (или фундаментальные поля) были операторами, действующими в физическом гильбертовом пространстве. Математическая природа этих полей может быть весьма различна: это могут быть операторы в физическом гильбертовом пространстве, но это могут быть также операторы в нефизическом псевдогильбертовом пространстве с индефинитной метрикой (здесь остается простор и для других возможностей).
Поля, которым можно сопоставить операторы в физическом гильбертовом пространстве, будем называть «физическими» полями, а алгебру (С*- или фон Неймана) ограниченных операторов, порожденную «физическими» полями, мы будем называть алгеброй физических величин. В иерархии структур — от «фундаментальных» полей до наблюдаемых величин — алгебра физических величин занимает промежуточное
место: в то время как наблюдаемые приводятся суперотборными подпространствами, ненаблюдаемые элементы алгебры физических величин являются переплетающими операторами для этих подпространств (например, служат операторами рождения заряженных состояний из нейтральных и т.п.).
Для алгебры физических величин можно сформулировать некоторый набор аксиом, аналогичный аксиомам для сети локальных алгебр наблюдаемых (см. Доплихер и др., 1969; Хааг и др., 1970). Наиболее существенные отличия от требования A.V — это добавление аксиомы цикличности вакуума и обобщение аксиомы локальной коммутативности (мы приведем их в контексте формализма Уайтмана).
Теперь мы обратимся к изложению формализма Уайтмана, хотя и не столь общего, как алгебраический, но с более совершенным аналитическим аппаратом, имеющим дело непосредственно с физическими полями. (Вектор-потенциал электромагнитного поля и вообще калибровочные поля в произвольной ковариантной или локальной калибровке не являются «физическими»; о них см. в гл. 10.)
Определение и свойства локального квантового поля
Аксиомы Уайтмана. В схеме Уайтмана основную роль играет понятие релятивистского квантового поля, имеющего хорошо известный классический аналог. Поскольку в теории могут фигурировать поля различной природы (например, скалярные, спинорные и т. п.), то квантованное поле 夕 в действительности можно представить как конечную или бесконечную совокупность {夕(")} полей 夕(")，снабженных индексом х, определяющим тип поля. Предполагается, что каждое из полей 夕(”) является тензорной или спин-тензорной величиной с конечным числом лоренцевых компонент 夕;")(/ = 1,...,广死)и с определенными транформационными свойствами при преобразованиях из собственной группы Лоренца £；［ или ее накрывающей SZ/(2, С). Если 夕，”)не является эрмитовым полем, то предполагается существование таких индексов хи/, через которые выражается эрмитово сопряженное поле:
0产*=0产. (8.4)
В свою очередь 夕=夕,")(/) есть операторная обобщенная функция на пространстве-времени 府，так что результаты сглаживания ее
0了)(/)=0广)(/)/(/)泪力 (8.5)
с основными функциями /(х) являются линейными операторами в физическом гильбертовом пространстве 力.Эти операторы не предполагаются ограниченными; вместо этого предполагается, что имеется общая для всех операторов 夕，")(/) область определения О, являющаяся плотным в 汇 линейным подпространством. Для того чтобы имели смысл алгебраические операции над операторами 夕，")，следует далее допустить, что любой оператор 夕;")(/) переводит область D в себя.
Точное определение релятивистского квантового поля дается следующим набором аксиом Уайтмана. Поскольку в формализме Уайтмана (явно или неявно) используются все перечисленные ранее аксиомы релятивистской квантовой теории, то для удобства мы здесь также воспроизведем их применительно к данному контексту.
W.I. (Релятивистская инвариантность пространства состоя- н и й). Имеется физическое гильбертово пространство 3f, е котором действует унитарное представление U(a, Л) спинорной группы Пуанкаре фо-
W.II. (Спектральность). Спектр оператора Р энергии-импульса сосредоточен 6 замкнутом верхнем световом конусе『+.
W.III. (Существование и единственность вакуума). В 力 существует единственный (с точностью до фазового множителя) единичный вектор Фо {обозначаемый также посредством |0) и называемый вакуумным вектором), который инвариантен относительно пространственно-временных трансляций U(a, 1).
W.IV. (Область определения полей). Компоненты 夕;”)квантовых полей 夕(”)являются операторными обобщенными функциями 夕;")(/) над пространством Шварца ”М) с общей для всех операторов 夕;")(/) областью определения D, плотной в 力；предполагается, что вакуумный вектор Фо содержится в D и что область D переходит в себя под действием операто- 产⑺ и и(а, Л).
W.V. (Пуанкаре-ковариантность полей).
U(a, a)0产(力)U(a,А尸=£匕片(a-1)夕年(a(А)力+a)；(8.6)
здесь (匕^)(А)) — комплексное или вещественное конечномерное матричное представление группы SZ；(2, С).
Здесь предполагается, что 『(*)(—1) = ±1. Если 『(*)(—1) = 1, то поле 夕(*) преобразуется по однозначному представлению группы Е： и называется полем с целым спином (или тензорным полем); если『(")(一1) = — 1, то поле преобразуется по двузначному представлению группы Е［ и называется полем с полуцелым спином (или спинорным полем).
W.VI. (Локальность, или микропричинность). Любые две полевые компоненты 夕;")(/) и 夕^)(у) либо коммутируют, либо антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов х и у:
［夕产 0),0分)匂)］干=опри (力一g)2 Vo.(8.7)
W.VII. (Цикличность вакуума). Множество О。конечных линейных комбинаций векторов вида 夕『'(力)...夕『"(爲)30 (八=0，1,…)плотно в 力.
Б. Обсуждение аксиом. Уже при беглом взгляде на схему Уайтмана мы различаем аксиомы принципиального характера, фиксирующие определенные физические положения, и «технические» аксиомы, хотя четкую границу между теми и другими провести невозможно. Конечно, сущность формализма Уайтмана — это идея квантованного поля. «Технические» же аксиомы служат конкретным математическим оформлением этой идеи; оправданием для них служит то, что они сбалансированы и «работают».
Первые три аксиомы W.I-W.III уже обсуждались в гл. 7; добавим лишь, что аксиома W.III играет весьма существенную роль в теории Уайтмана, хотя она носит до известной степени «технический» характер и не является обязательным атрибутом релятивистской квантовой теории. (Аксиома W.III эквивалентна приведенному ниже кластерному свойству (8.19).)
Аксиома W.IV вводит понятие квантового поля. Определение поля как операторной обобщенной функции на М больше соответствует реальной физической ситуации, чем более привычное понятие поля, заданного в каждой точке пространства-времени (Бор и Розенфельд, 1950). Этот факт отмечался уже в п. 6.4.Б (по
этому поводу см. также ниже упражнение 8.7). Конкретный же выбор пространства основных функций является, безусловно, техническим предположением. Первоначально Уайтман (1956) предложил более общий вариант, использующий использующий пространство Шварца 夕(ТИ), но он вскоре был заменен формулировкой в терминах ”М) (Шмидт и Бауман, 1956). Удобство пространства обобщенных функций умеренного роста заключается в естественности и простоте аппарата преобразования Фурье, что позволяет одновременное рассмотрение локальных свойств таких обобщенных функций как в х-, так и в р-пространстве. Эффективность обобщенных функций умеренного роста подтверждается опытом лагранжевой теории возмущений перенормируемых квантовых полей (см., например, [Б8] и [И4]), а также результатами конструктивной квантовой теории поля (см. [Г7]). По-видимому, этот аппарат хорошо приспособлен для трактовки теорий полей с перенормируемыми взаимодействиями. Делались различные попытки обобщения формализма Уайтмана применительно к неперенормируемым взаимодействиям путем выбора подходящих пространств основных и обобщенных функций, совместимых с локальными свойствами в х-пространстве ) (см. по этому поводу Мейман, 1964; Джафе, 1967; Ефимов, 1968, [Е1]; Иофа и Файнберг, 1969а, б; Соловьев М.А., 1971, 1980а, б).
Теория Уайтмана манипулирует с неограниченными операторами, ибо результат сглаживания поля 夕;")(/) с основной функцией, как правило, есть неограниченный оператор. Этот метод имеет свои достоинства и недостатки по сравнению с абстрактно-алгебраической формулировкой, имеющей дело с ограниченными операторами. К достоинствам следует отнести простоту выражения аксиом пуанкаре- ковариантности (W.V) и локальности (W.VI) (что весьма существенно при исследовании аналитических свойств амплитуд рассеяния; это также дает потенциальную возможность непосредственной трактовки перенормированных полевых уравнений в конкретных моделях). С другой стороны, аксиома W.IV насыщена техническими допущениями, необходимыми для манипуляций с неограниченными операторами. Во всяком случае они позволяют каждому открытому подмножеству 0 и М сопоставить алгебру операторов 彳(自)，которая называется полиномиальной алгеброй, ассоциированной с подмножеством 夕，и которая образована комплексными линейными комбинациями всевозможных операторов А вида
4= Л(/(力九)/(/1, •，力冷)前1..出力九， (8.8)
где носители основных функций /(xi, ...,力冷)содержатся в множестве 自 х ... х 夕 (при п = 0 А = / есть число). Так как 彳(夕)замкнута относительно эрмитова сопряжения (4 — 4* 『°), то она в действительности является *-алге6рой, или алгеброй с инволюцией. Посредством q(©a)мы обозначим ^-автоморфизмы алгебры 彳(ТИ), действующие по формуле
県A)(4) = U(a, A)4U(a,厶尸 (8.9)
и, согласно аксиоме W.V, отображающие 夕(夕)на ^(Л(В)夕 + а).
Допущения в аксиоме W.IV, вообще говоря, не достаточны, чтобы полностью фиксировать операторы поля. В качестве дальнейшего усиления аксиомы W.IV можно потребовать, чтобы все те линейные комбинации сглаженных операторов поля, которые являются эрмитовыми операторами, были бы существенно самосопряженными операторами на области D. Тогда мы имеем возможность построить сеть локальных
полевых алгебр 3(夕)，определяя 3(夕)как алгебру фон Неймана, порожденную всевозможными ограниченными функциями от указанных выше операторов при условии, что носители сглаживающих основных функций содержатся в данном открытом множестве Ь. Полевая (квазилокальная) алгебра 3 определяется как замыкание по норме объединения сети алгебр 3(夕)・ Для того чтобы полученная сеть алгебр 3(夕)удовлетворяла условию локальности, т. е. допускала переформулировку аксиомы W.VI, необходимы дополнительные «технические» предположения (см. Бор- херс и Циммерман, 1964; Бизоньяно и Вихман, 1975).
Отсюда возможен переход к сети алгебр локальных наблюдаемых 21(b). Основной способ построения 21(^) по 3(自)состоит в следующем (Доплихер и др., 1969а). Задается группа симметрий алгебры 3, которые переводят подалгебры 3(自)в себя и которые называются калибровочными преобразованиями. Тогда 21(^) определяется как подалгебра калибровочно-инвариантных элементов алгебры 3(夕)(это правило согласовано с общим принципом, по которому калибровочные преобразования полей не затрагивают, т. е. не изменяют, наблюдаемых). Соответственно алгебра квази- локальных наблюдаемых 21 определяется как пополнение по норме объединения алгебр 21(^).
Аксиома W.V допускает лишь поля с конечным числом лоренцевых компонент (т. е. конечнокомпонентные поля, или поля, преобразующиеся по конечномерным представлениям группы Лоренца). В принципе формализм Уайтмана способен адаптировать идею бесконечнокомпонентных полей, однако в этом случае теряется ряд следствий теории Уайтмана (см. дополнение И). Так как, кроме того, безмассовые частицы с бесконечным (вигнеровским) спином на опыте не наблюдались, (см. п. 7.2.Б), то по этим соображениям исключают поля с бесконечным числом лоренцевых компонент; мы также ограничим наше рассмотрение в основном тексте конечнокомпонентными полями.
Приведем другую формулировку условия ковариантности. Пусть для определенности поле 夕(*) преобразуется по неприводимому представлению V^ группы SZ/(2, С), эквивалентному представлению в пространстве 中%) (см. п. 3.1.Г). Тогда вместо компонент 夕，”)поля можно рассматривать операторную обобщенную функцию 夕(力；s,力)от x 6 М, являющуюся однородным полиномом степени 2J от комплексного двумерного вектора s = (s* cj2) и однородным полиномом степени 2k от комплексно сопряженного вектора 力=(力\ cD2):
。(死)(力一，力)=e 次 外(力"二・宀/・・а%・(8/°)
外..改
При этом закон преобразования (8.6) принимает вид
U(а, Л)夕力)U(a, Л)-1 =夕(")(Лх + а,厶以，Лс<;).(8.11)
Соответствие между этим описанием и приведенным выше осуществляется формулой
0力，⑺=e0，(力)次(以，力)，
I
где 次—базис в пространстве 中％) такой, что
次)н 功三次(厶―匕，л-1^) = £ ^(л)^Ь т
Этот язык переменных s, ш, очевидно, применим также ко всем просто приводимым представлениям V^ (и, как видно из гл. 3, а также дополнения Ж, его удобство проявляется при нахождении ковариантных представлений).
Обратимся к аксиоме W.VI. Локальность в квантовой теории поля — это свойство квантовых полей, обеспечивающее выполнение локальной коммутативности наблюдаемых, что в свою очередь выражает эйнштейновский принцип причинной независимости. В теории, в которой все поля являются наблюдаемыми, следует потребовать, чтобы любые два поля взаимно коммутировали при пространственноподобном разделении аргументов:
[夕产О), ^\у)} = о при О - у)2 < 0.(8.12)
Поскольку теория Уайтмана допускает ненаблюдаемые поля, то для них постулируется более общая форма условия локальности (8.7). Из соображения лоренц- инвариантности мы всюду в дальнейшем будем считать, что знак (+ или —) в этом условии зависит лишь от типа поля (т. е. от х и 〃')，но не зависит от лоренцевых компонент I, т; тогда равенство (8.7) можно переписать в виде )
0产(力)0片)匂)=。("石0片)(g)0产(力)при (力一疗V0，(8.13)
где все элементы матрицы а = о("，"')состоят только из чисел +1 и — 1. Поле 夕(”) называется бозонным, если
[夕产О),(夕产(у))*] = 0 при О - у)2 < 0,(8.14)
и фермионным, если
[0产(力)，(0产(力口+=。при (力一g)2V0.(8.15)
В теории Уайтмана имеет место бозе-ферми-альтернатива: каждое поле является либо бозонным, либо фермионным (причем, если оно не равно тождественно нулю, оно не может быть одновременно тем и другим). Этот постулат также имеет историческое происхождение: все известные элементарные частицы подчиняются либо бозе-, либо ферми-статистикой, поэтому для квантовых полей (рассматриваемых как потенциальные операторы рождения частиц) также введены две «статистики» — бозонная и фермионная. Однако теоретически наряду с этими двумя статистиками возможны промежуточные, так называемые парастатистики (см., например, Грин, 1953; Мессиа и Гринберг, 1964; Гринберг и Мессиа, 1965; понятию параполя посвящено дополнение 3).
Экспериментально наблюдаемой связи спина со статистикой (п. 7.3.А) в теории поля соответствует понятие нормальной связи спина со статистикой; оно означает, что поля с целым спином коммутируют при пространственноподобном разделении со всеми остальными полями, в то время как все поля с полуцелым спином антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов. В терминах матрицы (j^^^ это условие означает:
。(死_ 1, если хотя бы одно из полей— с целым спином,
,,(8.16)
。(死,")=—1, если оба поля 夕(")，夕(”)—с полуцелым спином.
Упражнение 8.1 (Доплихер и др., 1969). Проверить, что условие локальности в случае нормальной связи спина со статистикой можно записать в виде
А^В = ВА^ при 4 6夕(〃)，В е ^(Q), 〃〜Q(8.17)
здесь использована операция кручения 74 T 4% в алгебре ^(Af), определенная следующим образом:
4"=4+ +u(0, -1)4-,4土 三 ^(4 土 а(0,—i)(4)).(8.18)
В связи с формулировкой условия локальности, данной в упражнении 8.1, возникает следующее усиление этого понятия. Множество
3(0产={б ё 例(方)：山石=氏4力 при всех л e 3(〃)}
назовем коммутантом с кручением алгебры 3(〃)・ Будем говорить, что выполнено условие дуальности с кручением, если
3。)= 3(〃产
для любого ограниченного открытого множества 0 и М с кусочно гладкой границей такого, что 〃 = (〃/)'• Здесь штрих означает пространственноподобное дополнение области:
0‘ = int {x G М: / 〜〃}.
(Примером такого множества 夕 является алмаз (4.76).) Условие дуальности с кручением более жестко, чем условие локальности (требующее лишь включения 叭仅)С 夕(夕)％。). В случае бозонных полей термины «коммутант с кручением» и «дуальность с кручением» заменяются просто «коммутантом» и «дуальностью».
Хотя в теории Уайтмана нормальная связь спина со статистикой может не соблюдаться, в действительности мы не получаем содержательного обобщения ), так что иногда к аксиомам Уайтмана добавляют еще одну аксиому W.VIII, которая упрощает формулировку некоторых результатов.
W.VIII (Спин и статистика). Имеет место нормальная связь спина со статистикой.
Однако использование ее в дальнейшем будем оговаривать особо.
Существует замечательная теорема (восходящая к Паули, 1940) о связи спина со статистикой (§ 9.3). Смысл ее состоит в втом, что компоненты тензорного поля коммутируют, а компоненты спинорного поля антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов. Аномальная связь спина со статистикой может иметь место лишь для разных полей; локальные квантовые поля всегда можно переопределить (с помощью преобразования Клейна, 1938) таким образом, чтобы восстановилась нормальная связь спина со статистикой.
Наконец, аксиома W.VII может рассматриваться как «техническое» предположение. Как мы увидим в следующем пункте, оно означает неприводимость данной системы полей.
Используя аксиому W.VII и предложение 7.1, можно заменить аксиому W.VIII следующим свойством.
Кластерное свойство. В D существует единичный вектор |0) такой, что для любого пространственноподобного вектора а е М и любых 4〔，＜2 G 彳(Af) имеет место соотношение
(014U(M, 1)410)-(014|0乂0|42］。)при а(8.19)
Неприводимость полей. Будем говорить, что операторы поля образуют неприводимую систему, если из того что ограниченный оператор С в % коммутирует в слабом смысле со всеми операторами 夕}"丿(/), т. е. из
〈夕产(/)*①,CW〉=〈①,C^\f) Ф)(8.20)
при всех х, I и ①，W е О, / е 斤(М，следует, что С кратен единичному оператору. Очевидно, условие (8.20) эквивалентно неприводимости полиномиальной алгебры ^(MY т. е. из
〈厶*①，CW) = (Ф, САФ)(8.21)
для всех А е ^{МУ ①，W е О следует С = А • 1. Справедливо следующее утверждение (Рюэль, 1962; Борхес, 1962).
Предложение 8.1. В теории Уайтмана (е которой выполняются аксиомы W.I-W.VII) операторы поля образуют неприводимую систему.
Пусть ограниченный оператор。удовлетворяет условию (8.21). Нужно доказать, что он кратен единичному оператору: С = А. Вначале убедимся, что вакуум является собственным вектором для С:
= АФ0.
Из (8.21) следует..
〈а( — а,1)(4) %,。％〉= 9 %, а( — а,1)(4) %〉
при всех а е М, А е 夕(Af). Используя определение (8.9), получаем
(ЛФ0, U(a, 1)。田0〉=〈。*Wo, U(—а, 1)Л*Ф0),(8.23)
откуда
В силу условия спектральности левая ^асть этого равенства имеет носитель по переменной р в конусе У+, а правая — в конусе V~ = —V+; значит, обе части являются обобщенной функцией no 0 c носителем в 0. Таким образом, выражения в (8.23) являются полиномом по а 6 М но так как они ограничены как функции от а, то они не зависят от а:
(ЛФ0, U(a, 1)。30)= (ЛФ0,030).
Из аксиомы W.VII следует, что векторы вида АФо образуют плотное множество в 方，поэтому последнее равенство означает U(a, 1) СФо = CWo, что вместе с единственностью вакуума влечет (8.22).
Для всех W G О, 4 G 夕(Af) имеем
(Ф, САФ0) = (Л*Ф, СФ0) = А(А*Ф, Фо) = (Ф, ААФ0),
так что (С — А) АФо = 0. Опять, благодаря плотности в 方 векторов вида 4Wo, заключаем отсюда, что С = А. ►
В следующем пункте мы докажем, что аксиому W.VII можно усилить: вакуумный вектор цикличен для любой локальной алгебры 夕(〃)， где 夕—непустое открытое множество в М. Однако для ограниченных множеств эти алгебры не образуют неприводимых систем операторов. Это побудило Хаага сформулировать следующее дополнительное условие, которое мы вслед за Хаагом и Шроером (1962) назовем условием примитивной причинности: алгебра 夕(〃(力力?)) неприводима для любой области вида
〃(力力2)= {х Е М: ti < xQ < t2}-
(Это — полоса между двумя плоскостями с фиксированными значениями времени ti,友 (ti < 友)в пространстве-времени.)
Условие примитивной причинности является «техническим» выражением общего принципа причинности (или детерминизма), требующего, чтобы полевая алгебра во всем пространстве- времени Минковского порождалась полями в трехмерном пространстве в сколь угодно малом интервале времени (ti,力2)・(В отличие от аксиомы локальности принцип причинности сохраняет свой смысл и в нерелятивистской теории.) Это требование заведомо выполнено, когда мы имеем дело с каноническим формализмом обычных (невырожденных) лагранжевых полевых систем. Тогда поля удовлетворяют уравнениям движения, и, задавая их (вместе с производными достаточно высокого порядка) на любой пространственноподобной поверхности, мы можем восстановить поля во всем пространстве-времени. С другой стороны, формулировка условия примитивной причинности гораздо более гибка, чем стандартный канонический лагранжев (или гамильтонов) формализм. Действительно, в отличие от канонического формализма мы не требовали даже существования значений поля в фиксированный момент момент времени — для нас должны иметь смысл лишь значения 夕(/) при /(ж) 6 #(Л1). Условие примитивной причинности не зависит от аксиом W.I-W.VII. В этом можно убедиться на примере обобщенных свободных полей (п. 8.4.Г) с медленно убывающей весовой функцией(т(т2) (Хааг и Шроер, 1962). Однако этот постулат не исключает всех обобщенных свободных полей; он справедлив в модели с быстро убывающей весовой функцией (Борхерс и др., 1963; см. также Гарбер, 1975).
Г. Разделяющее свойство вакуумного вектора. Покажем, что вакуумный вектор является циклическим не только для всей алгебры 夕(ТИ), но и для любой локальной полиномиальной алгебры 夕(Ь).
Предложение 8.2 (Рее и Шлидер, 1961). Для любого непустого открытого множества О и М множество векторов вида 4%,衣 厶 G 夕(自)，плотно в 力
Пусть вектор ① G 方 ортогонален всем векторам вида 4Wo, А 6 夕(〃). Требуется доказать, что Ф = 0. Для этого рассмотрим всевозможные обобщенные функции
〈①,d「)(g)..・d「)d)%〉.(8.24)
Упражнение 8.2. Доказать, что преобразование Фурье
但 ^M...^4pn^Q)=\但 ^M...^4pn^Q)=\〈①,9丿”(/1)...9片叫/九)ехр (工PjXj \(^х\...(^хп
但 ^M...^4pn^Q)=\
但 ^M...^4pn^Q)=\
обобщенной функции (8.24) содержится в пересечении множеств {р 6 Мп: pk + @k+i + ... ...+ pn G V~ } при k = 1, ..., п. (Указание: воспользоваться тождеством
〈①，9(/1)…9(以一i)9(以+ a)…9(/П+ a) %)=
=(①，9(/1)…9(以一1) U(a, 1)9(也)…9(/九)%) и условием спектральности.)
Из этого упражнения и теоремы Б.7 следует, что (8.24) есть граничное значение функции /(21,, zn), голоморфной в трубе вида Мп + 分К (К — выпуклый конус с непустой внутрен
ностью). Кроме того, по условию обобщенные функции (8.24) обращаются в нуль на непустом открытом множестве xi, хп 6 ^. Из обобщенной теоремы единственности Б.10 следует, что (8.24) тождественно равно нулю. Таким образом, (Ф, АФо) = 0 для всех А 6 夕(Af), откуда Ф = 0. ►
Аргументация, использованная в предложении 8.2, находит применение также в следующем упражнении.
Упражнение 8.3. (а) Пусть 川二：广九)есть замыкание множества векторов 4%, где А имеет вид (8.8) с фиксированными 〃i,мп, h, , In и с функцией /, пробегающей «(АГ2). Доказать, что 方丿二？匸:7r九)=黄仁［了 для любой перестановки тг индексов 23*
..., п. (Указание: утверждение равносильно следующему. Если вектор ① G 方 таков, что обобщенная функция ^Ф, ^^^(x^i).. .^^(х^п) ^q') равна нулю в Мп, то обобщенная функция (8.24) также равна нулю в Мп. При доказательстве воспользоваться тем, что на множестве точек (/1, , Хп) таких, что Xj 〜Хк при j ^ к, порядок операторных сомножителей в (8.24) можно с точностью до знака переставить, так что (8.24) исчезает в указанном множестве. Наконец, использовать, что (8.24) есть граничное значение аналитической функции в трубе.)
Пусть力〜и”』九) есть замыкание множества векторов вида
工［^1)(Ж1)... ^П\хп) /Z1 "Лп(Х1...хп) dxi... dxn Фо,
где mi, ..., мп фиксированы, a 尸 j* пробегают #(AP). Доказать, что 方("加・・・"元九)= =方("九)для любой перестановки тг. (Указание: 方(〜…"九)есть замкнутая линейная оболочка подпространств 贸;：［「)со всевозможными G, 1п-)
Вектор вида 4Wo, где А — унитарный элемент полиномиальной локальной алгебры 夕(〃)， можно было бы назвать возмущением вакуума в области 〃 (или состоянием, локализованным в области 〃). Однако для того чтобы это определение было содержательным, следует от 夕(夕) перейти к локальной полевой полевой алгебре .»(〃)，в которой достаточно много унитарных элементов. В связи с понятием состояний, локализованных в области 〃， см. работы Найта (1961) и Лихта (1963).
Упражнение 8.4. Пусть выполнена аксиома W.VIII и пусть кручение 74 Td определено формулами (8.18). Доказать, что для любого непустого открытого множества О и М множество векторов вида 厶力田。，где А 6 夕(夕)，плотно в 方.(Указание: убедиться, что множество векторов вида 4%Wo, А 6 夕(〃)， совпадает с множеством векторов вида 石Wo, в е 0(。).)
Теперь мы можем доказать весьма важное свойство вакуумного вектора: он разделяет элементы локальной полевой алгебры 彳(夕)ограниченного открытого множества Ь. Это означает, что если 厶1屮()=厶2屮0，где 厶匕 厶2 G 夕(〃)，то 4i =厶2； очевидно, это эквивалентно тому, что из равенства 43° = 0 при А е 夕(Ь) следует 4 = 0. Для доказательства свойства разделимости мы воспользуемся предположением W.VIII о нормальной связи спина со статистикой.
Предложение 8.3. В теории Уайтмана с нормальной связью спина со статистикой вакуумный вектор разделяет элементы локальных полиномиальных алгебр 夕(自)，ассоциированных с ограниченными открытыми множествами 优
Пусть АФо = 0, где A G 夕(〃). Выберем область Q так, чтобы Q 〜〃，тогда
АВ^о = В^АФ0 = 0 (8.25)
при всех В 6 夕(Q). Согласно упражнению 8.4 векторы вида В^Фо при В 6 夕(Q) образуют плотное множество в 方，а оператор А допускает замыкание (так как сопряженный ему оператор имеет плотную область определения). Поэтому из (8.25) следует А = 0. ►
Без предположения о нормальной связи спина со статистикой нетрудно доказать несколько более слабое утверждение. При этом мы будем называть полилокальными мономами операторные обобщенные функции вида
X = d「)(g) — d7)(^). (8.26)
Предложение 8.4. Если для некоторого полилокалъного монома (8.26) имеет место равенство X% = 0, то X = 0.
Пусть 夕—произвольная ограниченная область. Очевидно, достаточно доказать, что X = 0, когда Xi, , хп G 〃. Выберем область Q так, чтобы Q 〜〃.Тогда из условия
локальности W.VI следует, что для любого В 6 夕(Q) существует В' 6 夕(Q) такой, что ХВФо =石'ХЗ。= 0. Рассуждая далее, как в доказательстве предложения 8.3, получаем, что Х = 0. А
Функции Уайтмана
А. Характеристические свойства функций Уайтмана. Пусть {夕(")}〃ек — система уайтмановских полей. Вакуумное среднее
例(勺•:)(/1,力九)=(01化(「)(/1).":了(^)10)(8.27)
(которое обозначается также посредством〈夕;；°(力i)...夕;:")(力冷))о) от полилокально- го монома 夕;：'(力1)…夕;:"(力冷)называется n-точечной функцией Уайтмана ) полей 夕("1), 夕(”九).В действительности это не функции, а обобщенные функции по 力 1,，力冷 пз пространства Шварца ^(Мп), поэтому их иногда называют обобщенными функциями (или распределениями) Уайтмана. При п = 0 мы вводим 0-точечную функцию, полагая w^ = 1. Аксиомы W.I-W.VII накладывают определенные условия на функции Уайтмана. Основной результат Уайтмана (1956) состоит в том, что если взять систему w = {^丿［丿；"九)} обобщенных функций, удовлетворяющих всем этим условиям, то существует система уайтмановских полей 夕={夕(*)}, вакуумные средние которых будут совпадать с w. Другими словами, все содержание квантовой теории поля может быть переведено на язык функций Уайтмана: зная их, можно восстановить гильбертово пространство состояний, унитарное представление спинорной группы Пуанкаре и ковариантные операторные поля таким образом, чтобы выполнить все аксиомы Уайтмана.
Характеристические свойства функций Уайтмана таковы.
w. 1 {Допустимый характер сингулярности и роста). Функции Уайтмана (8.27) являются обобщенными функциями умеренного роста по переменным
w.2 (Свойство сопряжения).
例…/几), 力i)(8.28)
(см. обозначение (7.4)).
w.3 {Положительная определенность).
££ £ 勺(：7；;：;：…”e(/g,/1,力［，一.,以)力(：匸"(/ 1,, xm)X
m,n=0斤…7m死］..死:
"X，以)/7nd4/〔…或1以?0 (8.29)
для любой финитной системы) / = {力комплексных функций 力(力i, .,xn) из соответствующих пространств Шварца ^(Afn); при п = 0 /^ есть произвольное комплексное число.
w.4 {Пуанкаре-ковариантность).
£ 4^^Y--Vi^^Лхп + а)=
=區")；"脑(力1,,力冷)при всех а е М, Л 6 5L(2, С). (8.30)
Это свойство эквивалентно следующим двум свойствам.
w.4‘ (Трансляционная инвариантность}. Существуют обобщенные функции 用，)二脑(£1，…，€n-i) G 斤'(加"—1), также называемые функциями Уайтмана, такие, Ч?°^色:)⑵，…，力几)=w*:з(力1 -数，…，化-(8.31)
w.4〃 (Лоренц-ковариантность).
=W^^^^ ...，en-i) при всех Л 6 SE(2, С). (8.32)
w.5 (Спектральность). Преобразование Фурье
w(pi, , Рп) = w(xi, Хп) ^РхХх+'"+РпХп^ d^xx^.d^Xn(8.33)
сосредоточено при рк + 夕k+i + …+ 夕冷 G 丿—(k = 2, 3,, n).
Введем также преобразование Фурье для W:
丽Qn-1) = ] W(w1,i) 0水+•+点1)收1...先「1；(8.34)
тогда
w(pi, , pn) = (27T)45(pi + …+夕冷)屮(夕 1,夕 1 +夕2,…，夕i + +Pn-1),(8.35)
и свойство спектральности переписывается в виде
w.5‘.suppiy(Qi, , Qn_i) С『+ х х У+(8.36)
(п — 1 прямых сомножителей).
w.6 (Кластерное свойство). Для любого пространственноподобного вектора а Е М имеет место соотношение (в смысле сходимости обобщенных функций по 力 1,,力冷)：при А оо
^!:)：*九)(/1',/k，/k+] + \а,, хп + аа)—
-*『)Е，…，力к)^7П「)毎+1,…，力丿(8.37) w.7 (Локальность).
或广)(3,…,力九)=
=…，力I，也+1，也，…，力几)(8.38)
при (xk -力k+l)2 < 0.
Свойства w. l-w.7 являются непосредственным следствием аксиом Уайтмана W.I-W.VII, и мы предоставляем читателю проверку этого в качестве упражнения. Заметим лишь, что свойство положительной определенности (8.29) есть просто
запись соотношения (0| А*А|0) > 0 при А е ^(М) в терминах функций Уайтмана. (Свойство сопряжения w.2 есть следствие свойства w.3, однако ввиду «линейного» характера его обычно выделяют в качестве отдельного условия, предваряющего положительную определенность.)
Приведем еще формулировку условия лоренц-ковариантности функций Уайтмана в том случае, когда поля реализованы в виде (8.10). Теперь функции Уайтмана
加si,力；；力冷，以冷力冷)=
=…"九)(/］一/2，…，1 一/ 7Z；匂，匂；8九，^n)=
=〈0| 夕3)(力 1, 81, Ш\\..^п\хп, шп, 4)1。) (8.39)
являются дополнительно однородными полиномами степени 2j^ от комплексного двумерного вектора cj^ е С2 и однородными полиномами степени 2к〃 от 力勿(г = 1,
,п). Условие лоренц-ковариантности (8.33) приобретает форму SL{2, С)-инва- риантности по совокупности переменных si, Di, хп,以冷,cDn:
w(Axb A^i, A(ji； ; Axn, A^n,区吃)=
=^(3,匂，Q；…；xn, ^n,力冷)при Л 6 SE(2, С), (8.40а) или, эквивалентно,
"^(Agi,А^^—i； Acjj, Acjj, ..., А^тг, Д^п)=
=W(&,…，<n-i； 81, (Ji, , ^n,力冷)при Л 6 SE(2, С). (8.406)
Упражнение 8.5. Доказать, что если число полей с полуцелым спином под знаком вакуумного среднего (8.27) нечетно, то функция Уайтмана тождественно равна нулю. (Ук аз а н и е: в условии лоренц-ковариантности (8.40) положить А = —1.)
Применяя теорему Б.7 (или следствие Б.9) к условию спектральности, мы получаем следующий важный результат.
Теорема 8.5. Функция Уайтмана 屮(&,…，&_i) является граничным значением 6 классе 少(卅—)функции 屮(&,…，§冷一i), голоморфной в так называемой трубе прошлого
吃i = (M + 〃L)j(8.41)
(m. е. при &• = &• + 沂/j, §• е М, r/j е V~) и удовлетворяющей оценке
(
п \ т
1+£ IGI2(min*广(8.42)
при r/j = Im&・ e V~; здесь A, m, I — неотрицательные числа (свои для каждой функции Уайтмана). Соответственно w(xi, ,力冷)является граничным значением (е ^\Мп)) функции w(^i,, 2冷)，голоморфной в нижней трубе 夕^:
夕п = {(21, ..., 2冷)е CAf : Xj е Af, уь-\-1 — Уь е『，7 = 1，…，八；k=l,...,八—1}
(8.43)
(здесь и далее Xj = Re Zj,力・=Im ^-).
Б. Представление Челлена-Лемана для скалярного поля. Свойство положительности перепутывает все n-точечные функции (со всеми значениями п), поэтому из w. l-w.7 нельзя составить набор всех характеристических свойств п-точечных
функций с фиксированным 八.Тем не менее бывает полезным иметь некоторые необходимые условия, скажем, для двухточечных функций Уайтмана. Совместное использование условий лоренц-ковариантности, спектральности и положительной определенности дает возможность получить простое интегральное представление для двухточечной функции.
Рассмотрим для простоты случай скалярного эрмитова поля (общий случай рассмотрим в дополнении Ж). В этом случае преобразование Фурье W(p) двухточечной функции W(^) является лоренц-инвариантной обобщенной функцией, сосредоточенной (в силу словия спектральности) в верхнем световом конусе 『+. Из условия положительной определенности w.2 имеем
W(x-y)貝力)f(y) d% d4y》0(8.44)
при всех / 6 ”M), т. е.
W(p)\f(p)\2d4p > 0 для всех / 6 斤(加)，(8.45)
откуда
W(р) “(0)d4P > 0(8.46)
для всех неотрицательных и 6斤(加).
Упражнение 8.6. Вывести (8.46) из (8.45). (Указание: достаточно рассмотреть неотрицательные функции и(р) с компактным носителем; всякую такую функцию можно представить в виде предела
и(р) = lim(Х(@))2, где vn(p) =+ и(р)} 1 ,
а х(0)— неотрицательная функция из 5 (М), равная единице на supp”.)
Итак, W(p) есть неотрицательная лоренц-инвариантная обобщенная функция с носителем в V~. Общий вид таких обобщенных функций (согласно п. 3.2.В) таков:
W(p) = а(2тг)45(р) + 27r伙夕°) 8(夕2 - m2) da(m2),(8.47)
о
где a》0, a a(A) — монотонно неубывающая полиномиально ограниченная функция. Формула (8.47) называется представлением Челлена-Лемана для двухточечной функции.
В х-пространстве представление Челлена-Лемана имеет вид
w(x, у) = W(x — у) = а-\- A D^\x - g) da(m2).(8.48)
о
Соответственно для вакуумного среднего от коммутатора полей имеем представление0c
(01[0(力)，0(/10) = ADm(化-y)do(m2).(8.49)
о
Здесь мы использовали обобщенные функции
0好)(/)=干27^伙0°) 8(02 - m2) e±2*圆化(8.50)
Dm(x) = 27r辽(夕°) 8(夕2 - т2) е~грх d^p(8.51)
(по поводу их явного вида см. дополнение Е).
Упражнение 8.7. Получить для константы а в (8.48) соотношение
a= |(01910)|2 = "y.(8.52)
(Указание: воспользоваться кластерным свойством w.6.)
На основании представления Челлена-Лемана исключается случай уайтмановского поля, определенного в каждой точке ж, как не представляющий физического интереса (ибо тогда поля являются с-числовыми константами, не зависящими от х).
Упражнение 8.8. Рассмотрим гипотетическое скалярное эрмитово поле 夕(力)，которое определено в каждой точке х Е М как оператор. Будем предполагать, что при этом выполнены все аксиомы W.I-W.VII, которые теперь нужно понимать в смысле обычных, а не обобщенных операторных функций; в частности, в аксиоме W.IV мы теперь считаем, что 夕(力)D С D, а в аксиоме W.VII мы считаем, что линейные комбинации векторов вида 夕(力1)…夕(力九)|0〉(при n = 0, 1, ...), плотны в 方.Доказать, что тогда 夕(力)=с, где с — вещественная числовая константа, не зависящая от х. (Указание: с помощью переопределения поля 夕(力)т 夕(力)— —(0| 夕(/)|0〉можно считать, что〈0|夕(/)|0〉= 0; проверить, что тогда 夕(/)|0〉= 0; для этого рассмотреть двухточечную функцию
у) = {0\^х)^у)\0) = {0\^0)U(y - х, 1)^(0)|0)
и убедиться, что W(p) есть конечная мера; с другой стороны, для W(p) должно выполняться представление (8.47) с а = 0; заключить отсюда, что da{X) = 0.)
В. Восстановление теории по функционалу Уайтмана. Теперь мы сформулируем полученные результаты в несколько более абстрактных терминах. Это позволит записать в компактном виде свойства функций Уайтмана и дать простое доказательство основной теоремы Уайтмана. Для простоты мы ограничимся случаем одного скалярного нейтрального поля 夕(力)(общий случай отличается лишь усложнением обозначений).
Пусть Q — пространство финитных последовательностей / = {/^} функций *〕(力 1,,жп) из пространства Шварца "М? (напомним, что /^ 6 С). Очевид
но, Q есть комплексное векторное пространство (в котором сложение и умножение на число определены покомпонентно); его называют алгебраической прямой суммой пространств ^(7ИП):
Q = ф 斤(")(8.53)
п=0
(где 斤(7И°) = С). Будем говорить, что последовательность 力(z/ = 1, 2, ...) элементов из Q сходится к нулю, если, во-первых, найдется положительное число N, не зависящее от г/ такое, что /У〕= 0 при всех и всех п > N, во-вторых, /尸«力1,, хп) — 0
относительно сходимости в пространстве "М").
Вместо сходимости на Q можно с равным успехом использовать естественную топологию прямой суммы ([Ш5], с. 73). Тогда Q становится ЛВП; это не F-пространство, а так называемый индуктивный предел F-пространств.
Определим в Q (некоммутативное) умножение 0 по формуле
(/ 产]=£ /肉(力i,…，хк) g[n~k\xk+x, , Xn). k=Q
Нетрудно проверить, что это произведение ассоциативно и осуществляет билинейное отображение пространства пар Q х Q на Q, непрерывное относительно заданной сходимости (или естественной топологии) на Q. Поэтому пространство Q называют также тензорной алгеброй над пространством 斤(7И). Единицей в Q служит элемент I = (1, 0,, 0, ...). В Q определена антилинейная операция сопряжения / 一 /+ по
формуле_
(/)冷(/1，/Tz) = fn(岔71，/ 1).
Очевидно, (А/ + 从g)+ = A/+ + 网十，(/ 0 P)+ = P+ 0 /+, (/+)+ = /. Таким образом, Q есть алгебра с инволюцией (или ^-алгебра).
Резюмируя, можно сказать, что Q является топологической алгеброй с инволюцией и с единицей. Заметим, что группа Пуанкаре действует автоморфизмами / т f{a,A} на ^-алгебре Q; при этом
力冷)=/叫A—i(g — a),, A-1(xn - a)).
Пусть Qz — пространство линейных непрерывных функционалов на Q. Любой функционал F из ГУ может быть записан в виде
=^[0]/[0] + (川"，尸")+ ••• + (反叫 /叫 +(8.54)
где F^ e。(加“)(и 0(Af°) = С). Функционал F называется пуанкаре-инва- риантным, если F(f^a^y) = F(/); это эквивалентно пуанкаре-инвариантности всех обобщенных функций F^ в представлении (8.54). Будем говорить, что функционал F нормирован, если 歹(/) = 1. Функционал F называется эрмитовым, если
歹(/+)=歹⑺ при всех / G Q,
и мультипликативно-положительным *), если
F(f 0 /+) > 0 при всех / 6 Q.(8.55)
Мультипликативно-положительный функционал является эрмитовым и удовлетворяет неравенству Коши-Буняковского-Шварца
0 g+)F W R/ 0 /+) F" 0 д+)(8.56)
(в этой связи см. п. 1.5.В).
Пусть F — мультипликативно-положительный функционал. Множество элементов
^F = {fe Q: F(/0/+)=O}(8.57)
является правым идеалом (ср. упражнение 151). Нетрудно видеть, что 3尸 является замкнутым подпространством в Q.
Важнейшим примером мультипликативно-положительного функционала на Q является функционал W вида
屮⑺=加°〕严]+ (加"，/[1]) + …+ (加叫 /[п]) +(8.58)
где w^{x\,,力冷) — последовательность функций Уайтмана эрмитова скалярного
поля 夕(力)，удовлетворяющего аксиомам W.I-W.VII. Идеал 3勿=3 является нетривиальным (т. е. отличен от нуля). Действительно, из условия спектральности w.5 следует, что 3 содержит правый идеал 3sp:
% = {/ G Q: /[0] = 0, f[n\p\,, pn) = 0 при pi 6 V~,夕1 + 夕2 G V~,
,pi + ... + pn e V~, n = 1, 2, ...}. (8.59)
Кроме того, из условия локальности w.7 следует, что 3 содержит двусторонний идеал )ioc, состоящий из всевозможных линейных комбинаций элементов / вида / = (0,/И, о, где
(/1,…，力冷)=以力1,…,Xj ,力 j+l, ,力 72)— h^X\ , ... , Xj-\-\, Xj ,...,力 72),
а функции 九(力i, , хп) сосредоточены при (xj — xj+i)2 < 0.
Упражнение 8.9. Проверить, что 3sp является правым, a 3ioc — двусторонним идеалом.
Дадим теперь общее определение функционала Уайтмана. Нормированный мультипликативно-положительный функционал F е Qz называется функционалом Уайтмана, если он пуанкаре-инвариантен и его правый идеал 3 = {/: W(f 0 /+)= =0} содержит идеалы % и 3ioc-
Упражнение 8.10. Убедиться, что если W — функционал Уайтмана, то обобщенные функции определенные по формуле (8.58), удовлетворяют условиям w.l-w.5 и w.7 (из п. 8.3.А). Обратно, если последовательность обобщенных функций {w^} удовлетворяет условиям w. l-w.5 и w.7, то соответствующий функционал W является функционалом Уайтмана.
Упомянутый результат Уайтмана о том, что свойства w. l-w.7 полностью характеризуют квантовое поле, может быть сформулирован следующим образом.
Теорема 8.6 (теорема реконструкции Уайтмана). Пусть W — функционал Уайтмана на алгебре Q, удовлетворяющий кластерному свойству
W(f0g{XaA}) W(f)W(g) при А оо;(8.60)
здесь а — произвольный пространственноподобный вектор. Тогда существуют (“ определены однозначно с точностью до унитарной эквивалентности) сепарабельное гильбертово пространство 力 унитарное представление U(a, Л) собственной группы Пуанкаре, {скалярное эрмитово} квантовое поле 夕(力)такие, что выполнены все аксиомы Уайтмана W.I-W.VII “
W) = (0|A(/)|0), где0c
4/) = /[0] +£ 夕(g)...夕(力冷)/圆(力 1,Xn)dxx...dxn.
n=l J
Фактически теорема реконструкции есть частный случай конструкции ГНС (п. 1.5.7), только вместо С*-алгебры 21 теперь мы имеем дело с топологической ^-алгеброй Q; и дока-
зательство является почти дословным повторением доказательства теоремы 1.25 и добавления к ней — предложения 1.30.
Замечание. Если из теоремы реконструкции исключить кластерное свойство, то полученное квантовое поле будет удовлетворять всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением единственности вакуума, и поле, вообще говоря, будет приводимым. Требование единственности вакуума может быть также сформулировано в виде следующего условия неразложимости. Будем говорить, что функционал Уайтмана W неразложим, если из представления W = aWi + (1 — а)恥，где 0 < а < 1, Ж и 叫—функционалы Уайтмана, следует Ж = =W2 = Ж Имеет место следующее утверждение.
Предложение 8.7. Условие неразложимости функционала Уайтмана W эквивалентно кластерному свойству (а также условию единственности вакуумного луча 6 гильбертовом пространстве 力 ассоциированном с W).
По поводу доказательства и дальнейшего рассмотрения разложимых функционалов см. Борхерс (1962), Рее и Шлидер (1962), Морен (1963а, б).
Примеры: свободные и обобщенные свободные поля
А. Свободное скалярное нейтральное поле. Рассматриваемые ниже примеры линейных квантовых полей показывают математическую непротиворечивость аксиом Уайтмана, а также дают некоторую возможность судить об их независимости. Все эти модели однозначно определяются одноточечной и двухточечной функциями Уайтмана; высшие функции Уайтмана задаются явным рекуррентным образом.
Будем говорить, что скалярное нейтральное (т. е. эрмитово) уайтмановское поле 夕(力)является свободным полем с массой тп》0, если оно (помимо условия эрмитовости з(力)=з(力))удовлетворяет уравнению Клейна-Гор дона *)
(口 + Тh2)。三(乙/ +m2)夕⑺=(g2烏彩+m2)g(/)=Q(8.61)
и перестановочному соотношению
[0(力)，0(/ = ； Dm(x - у).(8.62)
Входящая сюда перестановочная функция Паули-Иордана Dm(x) (8.51) есть фундаментальное решение уравнения Клейна-Гордона, т. е. ее можно рассматривать как обобщенную функцию умеренного роста по х, зависящую ^^-образом от х° и удовлетворяющую условиям
(口 + m2)。(力)=0,0(0, х) = 0, 糸。依 х) I『° = 8(办(8.63)
Из уравнения (8.61) (и упражнения 2.49) следует, что поле 夕(力)допускает сужение на плоскость х° = const, так что для 夕(方，х) и тг(方，х) = ^ 夕(方，х) перестановочные соотношения (8.62) при равных временах переходят в канонические коммутационные соотношения (6.76):
[0依 х),夕(方，y)] = 0 =阮(方，光)，7r(方，y)]，(8.64a)
阮(方，%),夕(方，/ = ; 8(尤一力(8.646)
Поскольку начальные данные 夕(方，х), тг(方，х) (при фиксированном 方)полностью определяют 夕(力)，мы имеем дело с системой ККС с бесконечным числом степеней свободы (п. 6.3.Б).
Уайтмановское поле 夕(力)с требуемыми свойствами действительно существует и может быть определено в фоковском пространстве X скалярной (бозонной) нейтральной частицы массы т с ковариантными операторами рождения и уничтожения 4*(夕) и А(р), кдовлетворяющими перестановочным соотношениям типа (7.145):
[A^,A^]=0=[A^p\A^q)],(8.65а)
[4(0),A\q)] = (2外切(夕-g)磋(夕).(8.656)
Положим по определению
0(夕)=4(夕)+ 4*(—夕)=^ш{р)[5^ -ш{р^а{р) + 5^ +ш{р))^(8.66)
здесь использованы также операторы рождения и уничтожения а*(夕)，а(夕)на массовой оболочке; см. (7.148); 0(夕)—преобразование Фурье поля 夕(力)：
0(夕)= 0(力)e必相力.(8.67)
Тем самым оператор 夕(/) = J 夕(力)/(ж) d4x определены на области D, состоящей из конечных сумм векторов фоковского пространства 分 вида
А*(р1)...А*(рп) /(рь , pn) d4pi...d4pn|0)(8.68)
(где / 6 ^(7ИП)), и переводят D в себя (при п = 0 выражение (8.68) переходит в / • |0), так что фоковский вакуум |0) входит в О).
Упражнение 8.11. (а) Убедиться, что квантовое поле 夕(力)удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона и перестановочным соотношениям (8.62).
Доказать, что поле 夕(力)удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана, причем фоковский вакуум |0) играет роль уайтмановского вакуума.
Показать, что для вещественных основных функций / операторы 夕(/) существенно самосопряжены. (Указание: с помощью упражнения 7.22 убедиться, что все финитные векторы (8.68) являются аналитическими векторами для 夕(/)・)
Определим локальные полевые алгебры 3(〃)，ассоциированные с ограниченными открытыми множествами 夕 С М, как алгебры фон Неймана, порожденные ограниченными функциями от операторов 夕(/), где / 6 夕「(〃) (достаточно ограничиться мнимыми экспонентами ехр 分夕(/)); пусть 3 ——пополнение по норме объединения алгебр 3(〃)・ Доказать, что сеть локальных алгебр 3(〃) удовлетворяет условию локальной коммутативности и что алгебра 3 неприводима в ①.(Указание: воспользоваться упражнением 7.23.)
Нетрудно видеть, что оператор числа частиц (7.131) выражается следующим образом при помощи ковариантных операторов рождения и уничтожения:
N= a* (夕)a(夕)(d2爲；(8.69)
г+
входящая сюда операторная обобщенная функция от р
川0)=a* (0)a(0)(8.70)
играет роль плотности числа частиц с фиксированным импульсом р е Г+. Заметим попутно, что произведение типа а* (夕)а(夕)операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения, называется нормальным (или приведенным к нормальной форме). В отличие от нормального
произведения а* (夕)а(夕)произведение а(夕)а* (夕)не определено как операторная обобщенная функция; это следует из соотношения
“夕)a*(q) = a*(q) “夕)-2р°(2тг)35(р —夕)；
первое слагаемое в правой части хорошо определено при 夕—р, в то время как второе (с-числовое) слагаемое не имеет предела.
После того как мы определили оператор плотности числа частиц, нетрудно ввести и ряд других динамических переменны. Например, оператор суммарного 4-импульса поля принимает вид
Р" = рк* ⑺ а(р)((1р)т.(8.71)
Выражение (8.71) получается как результат выбрасывания с-числовых бесконечностей из формального выражения
FM = I Т^{х) Sxy
x°=const где Т^ — тензор энергии-импульса поля 夕：
T林飞X) = ^卄屮卄屮一g林”(3三^办9屮9一
Корректное выражение (8.71) получается, если произведения операторов, входящие в Тм°, заменить нормальными произведениями. Это — простейший пример устранения расходимостей в квантовой теории поля (см. [Б8]).
Упражнение 8.12. (а) Показать, что двухточечная функция Уайтмана в рассматриваемой модели имеет вид〔
(羽g)D^\x - g)(8.72)
(где D^\x — у) — отрицательно-частотная функция Паули-Иордана (8.50)).
Доказать, что в данной модели функции Уайтмана ^照八十"(т. е. нечетного порядка) равны нулю, в то время как функции Уайтмана 飼(т. е. четного порядка) определяются рекуррентным соотношением
2п+1
加 2n+2](g,…，ж2n+2)=£ IT 図(g,此九+2)加2 飼(/1,…，^,,/2n+1),(8.73)
где знак над Xj означает, что этот аргумент должен быть опущен. (Указание: ввести положительно- и отрицательно-частотные части 夕(±)(力)поля 夕(力),полагая
0(+)(@) = е(0。) 0(0)= 4*(—0),。㈠(0)= е(—0°) 03 = 4(0)；(8.74)
далее воспользоваться коммутационным соотношением [夕(力)，J+)(g)] = j D^(x — у).)
Доказать формулу
w[2n](xi,, ж2п)=工 W[2](XP1, Xp2)...W[2\xp^n-l), /р(2п))；(8.75)
здесь суммирование производится по всем разбиениям множества индексов {1, ..., 2п} на пары (т. е. по всем спариваниям); их можно отождествить с перестановками Р такими, что Fl < F3 < ... < F(2n- 1) и F(2J - 1) < Р(2^), J = 1, п.
Формула (8.72) является характеристическим свойством свободного поля.
Предложение 8.8. Пусть в теории Уайтмана одного скалярного {бозонного) эрмитова поля 夕(力)двухточечная функция определяется формулой (8.72). Тогда 屮⑺ есть свободное поле массы т.
< Мы приведем доказательство предложения только для случая т〉0). Чтобы показать, что 夕(力)удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона, введем эрмитово поле /(ж)= =(〃 А" + т2)夕(力).По условию его двухточечная функция равна нулю, поэтому /(/)|0〉= О, откуда (на основании разделяющего свойства вакуума) следует, что /(ж) = 0. Остается проверить перестановочное соотношение (8.62). Пользуясь тем, что фурье-образ 0(@) поля 夕(力) сосредоточен на двухполостном гиперболоиде @? = т2 (ибо (р2 — ш2) ^(р) = 0), мы можем разбить поле 夕(力)，подобно свободному полю, на положительно- и отрицательно-частотные части： ^4p) = 0^pQ)^p).
Из постулата спектральности следует, что положительно-частотная часть поля должна унич
тожать вектор вакуума:тожать вектор вакуума:0(+)(@)|О〉=О.0(+)(@)|О〉=О.(8.76)(8.76)Рассмотрим далее выражениеРассмотрим далее выражение0（+）⑷ "（0）10〉,0（+）⑷ "（0）10〉,(8.77)(8.77)
тожать вектор вакуума:
тожать вектор вакуума:
0(+)(@)|О〉=О.
0(+)(@)|О〉=О.
(8.76)
(8.76)
Рассмотрим далее выражение
Рассмотрим далее выражение
0（+）⑷ "（0）10〉,
0（+）⑷ "（0）10〉,
(8.77)
(8.77)
на которое оператор энергии-импульса действует по формуле
P^\q)^-\p)\0) = —(@ + q)0(+)(q) ”(@)|0〉・
Здесь 0 + q, будучи суммой положительного и отрицательного векторов на гиперболоиде массы т, является пространственноподобным вектором или нулем. Более того, когда р и q пробегают произвольные компактные множества соответственно на нижней и верхней полах гиперболоида, то @ + q пробегает компакт в М, пересекающийся с конусом У+ только в нуле. Отсюда и из постулатов спектральности и единственности вакуума следует, что выражение (8.77) (будучи сглаженным с основной функцией по р и q) коллинеарно вектору вакуума. С другой стороны, из (8.76) и (8.72) следует
(01 g(+)(/)g㈠®)|0)= (0I g⑺ g®)10〉= J0軟)(力一g).(8.78)
Таким образом,
©+)(/),夕(-)3)]|0〉=夕(+)(力)J」)(g)|0〉= j D^\x - g)|0〉.(8.79)
Отсюда и из тривиального равенства
»+)(/),夕(十％)] |о〉= о
получаем
[9⑺，93)]10)= ； aД/ -g)10〉+ [9㈠⑺，9(-)3)]10).(8.80)
Упражнение 8.13. Доказать, что из (8.80) следует
〈厂(-)⑺,9(-)3)]|0〉=。(8.81)
для всех Ф G 方.(Указание: из свойства носителя 。(一)(0) следует, что левая часть равенства (8.81) допускает аналитическое продолжение в трубу / G TJ, у е Т^; с другой стороны, согласно (8.80) она исчезает при (ж —疗 < 0.)
Из равенств (8.80) и (8.81) следует
{[9(/)，93)] - I0力(/ - g)}〔0〉= 0・(8.82)
Согласно предложению 8.3 отсюда вытекает, что поле 夕(力)удовлетворяет перестановочному соотношению (8.62). А
Как уже отмечалось, выражения вида
(8.83)
в которых операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения, называются нормальными произведениями. По линейности определяются нормальные произведения (где Р имеет тот же смысл, что и ниже в (8.85)):
п
:0(/1)(力几)：= £ £ ^~Чхр^...^~\хРк)夕(+)(/p(k+i))…夕(+)(力「冷).(8.84) k=Q P
Они могут быть определены также рекуррентным образом с помощью следующей формулы Вика (подробнее см. [Б8], § 17).
Упражнение 8.14. Доказать формулу
9(/1)...9(/九)=工工(0I 9(力口)...9(/外)|0): ^xp^k+^')...^xPn)\(8.85)
k=Q P
здесь P пробегает все разбиения множества {1, ..., п} на две части из к и п — к элементов; их можно отождествить со всеми перестановками Р такими, что Fl < F2 < ... < Рк и Р(к + 1) < ... < Рп.
Замечательным свойством нормальных произведений (8.84) является тот факт, что их можно рассматривать как операторные обобщенные функции от одной 4-векторной переменной, скажем,力i, зависящие ^^-образом от разностей 力i —力2, 力2 —力3, ，力冷一1 — ^п как от параметров.
Упражнение 8.15. Доказать упомянутое свойство. (Указание: достаточно рассмотреть выражение (8.83); более того, так как операторы уничтожения спариваются с операторами рождения вектора Ф из области определения D, достаточно ограничиться в (8.83) случаем к = п; убедиться, что в переменных /1, §^ = Xj — х\ (J = 2,, п) оператор
夕(力1)...夕(/九)，сглаженный с основной функцией по /1, имеет вид
*。务
• Л (рп) /(p1 + ...+рn)ё 3=2d401■・・d40
где / 6 ^(Af); с помощью свойства носителя 4*(@) здесь f(p\ + ... + рп) можно заменить подходящей функцией из ^(Мп).)
В результате мы имеем возможность ввести понятие монома Вика свободного поля 夕：это выражение вида
0(力)九夕(/)：=0⑵)…00九夕(力冷)：(8.86) I Xj—Xi =Q,j=2,...,n
(дифференциальный оператор Da определен формулой (1.39)). Полином Вика — это произвольная комплексная комбинация мономов Вика.
Упражнение 8.16. Доказать, что система всех мономов Вика удовлетворяет аксиомам Уайтмана.
Упражнение 8.17. Доказать, что в ① существует единственный унитарный оператор 2/(/$) (пространственного отражения) и антиунитарный оператор 2/(厶)(обращения времени) такие, что
"(厶)10)= 10),"(/s)9⑺ "&)t = ±9(/°, -%),(8.87а)
"(厶)10)= 10),"(厶)9⑺"(厶尸=奴—i, x).(8.876)
В случае, когда в (8.87а) выбран знак «+», поле 夕 называется «подлинное скалярным, в случае знака «—» оно называется псевдоскалярным полем.
Можно показать (Борхерс и др., 1963), что в случае m > 0 существует единственное уайтмановское квантовое поле, удовлетворяющее соотношениям (8.61) и (8.62). Однако при m = 0 наряду с решением (8.66), которое называется фоковским представлением безмассового поля, имеется целое семейство решений 夕'，параметризованных вещественным числом с. Это обстоятельство связано с явлением спонтанного нарушения симметрии, к которому мы обратимся в гл. 10. Поле 夕'есть результат сдвига фоковского решения на числовую константу:
0‘(力)=3(/)+ c. (8.88)
Очевидно, теперь = с, г(/⑶(力，g) = М + ^⑶(力，у). В дальнейшем, если не оговорено противное, под скалярным свободным нейтральным полем нулевой массы мы будем подразумевать стандартное фоковское решение (8.66).
Упражнение 8.18. Доказать, что преобразования (8.88) образуют группу симметрий полевой алгебры, которая не реализуема унитарно в ①.(Указание: ввести сохраняющийся ток
〃"(/) = а“з(/) (8.89) (〃〃"(/) = 0) и положить
Qr(x) = ] ^{хУ^х) Sx, (8.90) х°=0
где /3(х) — функция из 夕「(/^), равная единице в окрестности начала координат. Убедиться, что
eiQRC^ 夕⑺ /(ж) d% • 二 j d(/)/⑺ &4力 (8.91) при / G 夕(Af) и достаточно большом R. Для доказательства второй половины упражнения предположить, что симметрия реализована унитарными операторами ^/с. Вывести отсюда, что 2/с коммутировали бы с операторами трансляций 2/(а, 1) и потому оставляли бы вакуум инвариантным; получить отсюда противоречие, взяв вакуумное среднее от (8.88).)
Нейтральное скалярное поле 夕(力)с положительной массой естественно рассматривать как наблюдаемое поле; в такой полевой модели нет ненаблюдаемых величин. В случае нулевой массы имеется альтернативная возможность. Мы можем считать (8.88) калибровочными преобразованиями; тогда наблюдаемым полем считается калибровочно-инвариантный ток (8.89). Отмеченная выше множественность представлений поля 夕 в этом случае не имеет наблюдаемых следствий (так как 〃从 не зависит от с).
Упражнение 8.19. Показать, что ток 77м(ж) (8.89), действующий в фоковском пространстве ① скалярного безмассового поля 夕，удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана. (Указание: для доказательства цикличности вакуума относительно тока достаточно убедиться, что векторы вида ехр (分 J 夕(力)/(/) d，/) |о〉 при произвольных / G 夕「(Af) являются пределами векторов вида с • ехр (分 J 夕(力)h(x)(^х^\0), где h G 5r(М) и J h(x) ^x = 0; для этого выбрать h(x) в виде h(x) = /(ж) — х(/ + Аа) J f(y) d^y, где х G 夕「(Af), J %(ж) d^x = 1, а — произвольный пространственноподобный вектор, X G К; затем устремить А к бесконечности и воспользоваться следствием 7.2.)
Из этого упражнения следует, что представление тока 〃从 в фоковском представлении безмассового поля 夕 неприводимо.
Б. Свободное скалярное заряженное поле. Для дальнейшей иллюстрации возможности несовпадения понятия наблюдаемых и ненаблюдаемых величин рассмотрим свободное скалярное комплексное (или заряженное) поле 夕(力).Это — опе-
24 Н. Н. Боголюбов и др.
раторная обобщенная функция, удовлетворяющая уравнению Клейна-Гордона （8.61） и перестановочным соотношениям
[0（力），。（/ =。=[。*（/），。*（/，[。*（力），。（/=；Dm（x - у）.（8.92）
Поле 夕 можно разложить на вещественную и мнимую части
=吉（01出+分02（/）），0（力）=之（01（力）一02（/））；（8.93）
здесь 夕 1（力）и 夕2（力）—пара эрмитовых полей, которые удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона и перестановочному соотношению （8.62）, а также
[0 1（力），02（/=0.（8.94）
Таким образом, комплексное скалярное поле сводится к комбинации двух независимых эрмитовых свободных полей.
Ясно теперь, как построить схему Уайтмана для поля 夕.Для этого следует в качестве физического пространства 分 выбрать тензорное произведение 分⑴㊂分⑵ двух экземпляров X（D и фоковского пространства из предыдущего пункта с соответствующими операторами рождения и уничтожения 4^（夕），厶勿（夕）（г = 1, 2） и определить поле 夕 посредством равенства
0（夕）=4*（—夕，一1） +4（+夕，+1）,（8.95）
±1）=之（4（夕）干*2（夕）），4*（仏 ±1） = 4仏 ±1）*.（8.96）
Упражнение 8.20. Пусть “*）（/） есть либо 夕（力），либо 夕*（力）.Доказать, что функция Уайтмана （0| 9（*）（/1）…9（*）（/九）10） отлична от нуля только при условии, что числа вхождения полей 夕 н з* в рассматриваемый моном 夕（*）（力1）...夕（*）（/九）совпадают （и, значит, п четно）; написать для этого случая формулу типа （8.75） для функции Уайтмана （в терминах спариваний）.
Упражнение 8.21. Доказать, что в ① существует （единственный） унитарный оператор 〃с такой, что
〃с|0〉= |0）,〃сз（/）〃21 =夕*（力），〃c3*（/）〃zi =夕（力）.
Подпространство одночастичных состояний в X можно считать состоящим из комплексных функций Ф（р, о）, заданных на гиперболоиде Г+ и зависящих еще от дискретного индекса а, принимающего два значения, +1 и — 1; по построению функции с разными зарядами ортогональны друг другу. Все гильбертово пространство X порождается векторными обобщенными функциями
4*（夕 1, 6）А^{рп, сгп）|О）.（8.97）
Определим теперь оператор заряда Q как разность числа частиц с зарядом +1 и числа частиц с зарядом —1:
Q4*3, 6）...4*仇，0九）10）=（内 +...+（7九）4*（夕1"1）...4*d，源）10）.（8.98）
Легко видеть, что Q — это в существенном самосопряженный оператор с целочисленным спектром и что гильбертовом пространство 55 распадается в прямую сумму
подпространств 曰@ с фиксированным значением заряда q. Оператор 夕* по определению увеличивает, а 夕 уменьшает заряд на единицу.
Упражнение 8.22. Доказать формулу
Q 工 сга*(@, сг)а(@, сг)(&0)/п 二卜M(0)ai(0)—。『(0)。2(0))(如)皿(8.99)
Определим калибровочные преобразования (1-го рода) поля 夕 как преобразования вида,
0(力)一0(力)=0(力)，0*(/)一0/*(/)=「"0(力)，(8.100)
где А — произвольный вещественный параметр. Очевидно, такие преобразования образуют однопараметрическую группу (фактически это — компактная абелева группа U(l))・ Калибровочные преобразования образуют группу симметрий полевой алгебры 3, а также локальных полевых алгебр 3(夕)(алгебр фон Неймана, порожденных операторами ехр [г J (夕(力)/(力)+ 夕*(力)/(力))d’z], где / е 夕(夕)).Это вытекает из следующего упражнения.
Упражнение 8.23. Положим
V(X) = e—XeR.(8.101)
Доказать соотношения
V(X)夕⑺ У(А)-1 =产夕⑺， V(X)夕*(力)V(X)T = е「“3*(/)・(8.102)
При каноническом квантовании свободного заряженного поля 夕 исходят из формального выражения
Q =卜°(/)『羽(8.103)
где
儿⑺=分(9*(/)〃9⑺一〃9*(/)9⑺)(8.104)
—сохраняющийся нётеровский ток; выражение (8.99) получается выбрасыванием с-числовых бесконечностей из (8.104), что равносильно замене обычных произведений на нормальные (см. [Б8]).
Операторы У (А) позволяют определить группу калибровочных преобразований для всей полевой алгебры фон Неймана 3 = %(Х)：
A^Af = V(A) AV(X)~\(8.105)
Элемент А е 例(X) называется калибровочно-инвариантным, если он коммутирует со всеми операторами V(А) калибровочных преобразований.
Определим теперь алгебру локальных наблюдаемых 21(b), ассоциированную с ограниченным открытым множеством 仇 как множество калибровочно-инвариантных операторов из 3(自)(это алгебры фон Неймана); соответственно алгебра квази- локальных наблюдаемых 21 определяется как пополнение по норме алгебр 21(b). Очевидно, алгебра 21 приводится каждым из подпространств 分向〕с фиксированным зарядом, так что в каждом из этих подпространств определено представление тг©〕 алгебры 21. Представление тг^ алгебры наблюдаемых называется вакуумным (поскольку Х【°] содержит вакуумный вектор); остальные же представления являются безвакуумными (в них оператор энергии Р° строго положителен; более того, его спектр в X©] есть интервал \m\q\, +оо)).
Операторы заряженного поля 夕(力)，сглаженные с основными функциями, служат переплетающими операторами для подпространств 分向〕.Однако целесообразнее найти 24*
переплетающие операторы среди унитарных элементов алгебры 3(夕)・ Оказывается, это действительно можно сделать: для любого открытого множества 0 и М существует унитарный оператор “ 6 3(自)такой, что
『⑴麻丿（1=人.『⑴麻丿（1=人.(8.106)(8.106)
『⑴麻丿（1=人.
『⑴麻丿（1=人.
(8.106)
(8.106)
Этот оператор можно построить следующим образом (Уайльд, 1976). Фиксируем вещественную функцию /(ж) из ^(Af) с носителем в 〃 такую, что ее преобразование Фурье /(@) не равно тождественно нулю на Г^. Тогда
9(/)= 击(91(/) +分92(/))
есть линейная комбинация двух существенно самосопряженных операторов 夕1(/) и 夕2(/), каждый из которых действует в соответствующем тензорном сомножителе в ①=①("N ①偉)； поэтому эти операторы взаимно коммутируют. Таким образом, замыкание А оператора 夕⑺ есть нормальный оператор. Кроме того, замыкания операторов 夕1(/) и 夕2(/) не имеют собственных векторов с нулевым собственным значением. Это нетрудно вывести из того, что для заданной / нетрудно подобрать g 6 ^r(Af) так, что [^pi(f), 31(g)]=分.
Упражнение 8.24. Пусть самосопряженные операторы р, q удовлетворяют ККС (6.71), где U(a), V(b) определены в (6.69) с n = 1. Доказать, что оператор р не имеет собственных векторов с нулевым собственным значением. (Указание: воспользоваться теоремой единственности фон Неймана 6.14 и представлением Шредингера для ККС с одной степенью свободы.)
В этом случае в качестве искомого оператора 此 можно положить
以=(Л*Л)-1/2Л, где А — замыкание 夕(/)・
Упражнение 8.25. Проверить равенство (8.106).
С помощью переплетающего оператора ⑦〃 построим автоморфизмы /)，〕 алгебры 21:「]
р[^\А) = ^АШ-^(8.107)
Будем говорить, что автоморфизм р алгебры 21 локализован в области 自，если для любой области Q 〜自 имеет место равенство
р{А) = А для всех А 6 2l(Q).(8.108)
Если область 夕 не конкретизируется, о таком автоморфизме р будем говорить как о локализованном автоморфизме.
Упражнение 8.26. (а) Доказать, что оператор 侬〃尸 отображает унитарно ①⑼ наН。】.
Доказать, что автоморфизм 砂 локализован в области 〃.
Рассмотрим представление 彳【” алгебры 21, получаемое из вакуумного представления с помощью автоморфизма .夕：
評⑷=或⑷).(8.109)
Доказать, что представления 彳【研 и тг】” алгебры 21 унитарно эквивалентны.
Из этого упражнения следует важный результат: каждое представление тг©〕 алгебры 21 получается с точностью до унитарной эквивалентности из вакуумного представления тг^ с помощью некоторого локализованного автоморфизма.
Оказывается, представления тг^^ алгебры 21 точны, неприводимы и попарно унитарно неэквивалентны. (Это доказано в более общей ситуации Доплихером и др., 1969.)
Заметим, что, как и при рассмотрении нейтральных скалярных полей, в случае заряженного скалярного поля нулевой массы имеется также «смещенное» фоковское представление
(типа (8.88)) поля 夕 с нулевым вакуумным средним 〈0|夕|0〉. Кроме того, здесь возникает новая возможность в определении калибровочных преобразований
夕(力)т+ с(8.110)
(А 6 R, с Е С), так что теперь группа калибровочных преобразований становится изоморфной группе движений плоскости. Мы рекомендуем в качестве упражнения рассмотреть, на какие секторы распадается представление алгебры наблюдаемых в фоковском представлении поля з.
В. Свободное дираковское поле. Свободное спинорное (заряженное) поле со спином 1 /2 и массой т является операторной спинорной обобщенной функцией ⑦(力)=(⑦。(力))，удовлетворяющей уравнению Дирака
办-m) ^(ж) = 0(8.111)
и следующим перестановочным (антикоммутационным) соотношениям при равных временах.у)]+ = 0=[方*依 %),仪*(方，/ +，
(8.112)
(方,X),以々方,/+ = 208(尤-力
Используя уравнения движения^ нетрудно получить ковариантные перестановочные соотношения для полей ф{х) и ф{х) = ^^(ж) 7°:
2(力)，仪力+ =0=质。0)，万0(/+，
〜I(8.113)
砂a(/)，力0(/+ = J 1smy^ -心 где
Sm(/)=(吋办+m)0加(力)=г ((/+m)「*+⑦—m)e叫(d0)加=
=г 2тт(р + m) e(p°) 5(p2 - m2) егрх d^p. (8.114)
Покажем, что существует уайтмановское поле ^(х), которое удовлетворяет приведенным требованиям. Для этого введем фоковское пространство 分 двух релятивистских частиц с массой т и спином 1 /2, различаемых зарядом о = ±1. Частицу с зарядом о = +1 мы условимся называть (просто) частицей, а частицу с зарядом а = —1 будем называть античастицей. Оператор рождения частицы 4*(夕，s, +1) и оператор уничтожения античастицы 4(夕，g, — 1) выберем в виде линейных функционалов от двумерного комплексного вектора s. Тогда нетривиальные перестановочные соотношения (7.145) примут вид
[4*(夕，s, +1),才(“，力，+1)]+ = [4*(夕，s, —1), N(“，力，—1)]+ =
=(2外%?D8伪一 ")8^(夕).(8.115)
Зададим теперь поле ф(х) в биспинорном представлении
以力，⑺三 £ %(/)，+ £(力)力a‘(8.116)
a=l,2o/ = l,2
с помощью преобразования Фурье
屯(0，⑺=4*(一0，-1) + 反0，力，+1).(8.117)
Упражнение 8.27. Убедиться, что так определенное поле 吵(/) удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана, а также уравнению Дирака и перестановочным соотношениям (8.113).
Вакуумные средние от полилокальных произведений спинорных полей ⑦ п ⑦ равны нулю, если число спинорных полей ⑦ не совпадает с числом дираковски сопряженных полей 2. Двухточечные функции Уайтмана свободного спинорного поля имеют ввд 吗(力,g) =〈03)认力о) = о,
(力，g)=(°I ⑦⑺内(力。)=I s^)o -力
〜1吊(8・118)
g)=(0|以力)以力0)=; S好)①-/)，
啧@(力，g)=(°|力(力)0(力。)=。， где
S(±)(/)=〃 ⑦千 m)卢叩以dp)m =
=干分(p + m)伙干夕°) • 27rb(夕2 - m2) е~грхd^p = (27мЭм + m) D^(x),(8.119)
где D^\x) —частотные функции скалярного поля. Высшие функции Уайтмана выражаются в виде суммы произведений двухточечных функций по аналогии с формулой (8.75) для скалярного поля.
Упражнение 8.28. Доказать формулу для уайтмановских функций свободного дираковского поля )
w[2n](xi,, ж2п)=工 £(Р) W[2](XP1, /Р2)・・.^図(/р(2九—1), /р(2п))；(8.120)
здесь Р имеет тот же смысл, что и в формуле (8.75); £(Р) — это четность перестановки Р; w^(xi, /2) является теперь 2 х 2-матрицей с элементами, определяемыми формулами (8.118).
Калибровочные преобразования (1-го рода) дираковского поля определяются теми же формулами (8.100), что и в случае заряженного скалярного поля.
Упражнение 8.29. Определим оператор заряда Q формулой типа (8.98). Убедиться, что при m > 0 он представим в виде
Q = I +侯万星)"(0'+1)a(0，公,+1) 一"*(0,公,一1)a(0,- 1)}(如)小.(8.121)
Доказать, что унитарные операторы V(А) = e~%'Q служат калибровочными преобразованиями П0ЛЯ 我 Т，е，У(А)认入)V(A)-1 = eiX^x).(8.122)
Отметим, что при каноническом квантовании ([Б8]) заряд определяется формулой
Q= I /°(/)『/;(8.123)
здесь〜
产⑺=:认/))"次/):(8.124)
—ток дираковского поля, который выбирается в виде нормального произведения. {Нормальное произведение свободных спинорных полей определяется таким образом, что все операторы рождения в произведении стоят слева от операторов уничтожения, а необходимые перестановки выполняются так, как если бы все антикоммутаторы были равны нулю; см. [Б8].)
Если полевая алгебра 3(自)поля ⑦，ассоциированная с ограниченной областью О U М, есть алгебра фон Неймана, порожденная операторами) 2。(/), 20(/), где / е 夕(Ь), то соответствующая алгебра локальных наблюдаемых 21(b) определяется как множество калибровочно-инвариантных операторов алгебры 3(夕)・ Очевидно, алгебра наблюдаемых 21 приводится подпространствами 分向〕с фиксированным значением q оператора заряда Q, так что в каждом подпространстве 分期 действует представление тг©】 алгебры 21. Для этих представлений имеют место результаты, приведенные выше в связи с заряженным скалярным полем.
Упражнение 8.30. (а) Показать, что существуют (однозначно определенные) унитарные операторы 2/(/$), ^с и антиунитарный оператор 2/(厶)，оставляющие вакуумный вектор инвариантным и обладающие свойствами
"(厶)次/)% 7° 次厶/),\r]s\ = 1,(8.125a)
=^13х^\(8.1256)
〃C 次/) 〃己1 = 〃c4°(/) = Г]СС^(Х),切 с| = 1,(8.126a)
"e皿⑺"丁 二力c@°(/)=力cо-1次/)=一力c。次/),(8.1266)
〃(⑷吵⑺〃(厶尸=小认厶7)，(8.127a)
"(厶)©(/)" (厶)t =一灰 t。-1加厶/)=一灰 0(/⑺ 75c(8.1276)
Показать, что 2/(/$) и 2/。коммутируют в точности тогда, когда 77s чисто мнимо: ^ = -1.(8.128)
Показать, что 2/(厶)и ^/с коммутируют в точности тогда, когда “。甲 вещественно: 忌况=1.(8.129)
Доказать, что при условиях (8.128), (8.129) имеет место следующая «таблица умножения»:°
^с = 1,〃(厶)=〃(厶У = "(0, -1),(8.130а)
〃c〃(/s) = 〃(/s)〃c,〃С〃 (厶)=”(厶)〃С,(8.1306)
"(/s)" (厶)="(0, -1)" (厶)"(/s).(8.130b)
Отметим, что дальнейшее уточнение множителей 小,ту。，r)t не является необходимым, так как различные выборы фаз, удовлетворяющие (7.128) и (7.129), отличаются друг от друга калибровочным преобразованием и потому физически эквивалентны. Например, выбор r]s = i физически эквивалентен выбору 77s = —г. Однако в случае нескольких спинорных полей отношение коэффициентов 77s разных спинорных полей уже может быть наблюдаемой величиной; оно называется относительной (Р-) четностью спиноров. Заметим, что в случае системы спинорных полей определяющие соотношения (8.125)-(8.127) не исчерпывают всех возможных представлений дискретных операций /$, С,厶(так как в этом случае появляется возможность ввести более широкую группу калибровочных преобразований). Так, в случае двух спинорных
полей можно найти неприводимое представление этих операций в пространстве, в котором два спинора объединены в один восьмикомпонентный спинор, что разумно при наличии изотопической симметрии (подробнее см. Огиевецкий и Чжоу Гуан Чжао, 1959; Ли и Вик, 1966).
Наряду с заряженным спинорным полем можно было бы рассмотреть нейтральное, или майораново, поле ^(х) = ^^(х). В этом случае вместо двух частиц мы имеем дело с одной частицей с оператором рождения и уничтожения 4*(夕，力) и 4(夕，5； соответственно вместо (8.117) теперь имеем
力(0,力)=4*(一0,力)+ 4(夕,5.(8.131)
Калибровочная группа майоранова поля сводится к группе Z? = {±1}, в которой нетривиальный элемент действует по правилу
吹力)--仪力).(8.132)
Упражнение 8.31. Доказать, что калибровочное преобразование (8.132) унитарно реализовано оператором унивалентности 2/(0, —1), т. е.
〃(0, —1)吵(/) "(0, -I)-1 =—认吟(8.133)
Г. Обобщенные свободные поля. Характерной чертой свободного (для определенности, скалярного) поля является то, что его коммутатор ［夕(力)，夕(力 есть с-число (т. е. он кратен единичному оператору). Спрашивается, нельзя ли построить физически нетривиальную теорию, в которой сохранялось бы это свойство. Ответ на этот вопрос отрицателен: оказывается, такое поле, по сути дела, является суперпозицией свободных полей. Это дает основание называть скалярное поле 夕(力) обобщенным свободным полем, если его коммутатор ［夕(力)，夕(у)］ есть с-число (Гринберг, 1961). Несмотря на физическую тривиальность обобщенного свободного поля, его изучение представляет некоторый теоретический интерес (хотя бы потому, что дает указание, чего нужно избегать при поисках нетривиальной теории).
Нетрудно привести общую конструкцию уайтмановских обобщенных свободных полей; при этом мы ограничимся случаем скалярного эрмитова поля. По определению коммутатор ［夕(力)，夕(у)］ совпадает co своим вакуумным средним, поэтому для него представление Челлена-Лемана (8.49) принимает вид
［夕(力)，夕(/ = i Dm(x - у) da(m2),(8.134)
о
где a(A) — монотонно неубывающая полиномиально ограниченная функция на ［0, оо). Мера do。) однозначно определяется коммутатором. Без ущерба для общности можно считать, что w^ = (0| 夕(力)|0〉= 0 (в противном случае вместо 夕 нужно ввести обобщенное свободное поле 夕'(力)=夕(力)—г^"). Тогда для двухточечной функции Уайтмана w^ мы имеем представление Челлена-Лемана
加(力,沙)=；］- y)da{m2\(8.135)
о
Для высших функций Уайтмана имеем рекуррентное соотношение (см. упражнение 8.12).
Пространство векторов состояний обобщенного свободного поля может быть реализовано по аналогии с пространством Фока для нейтральных мезонов с фик-
сированной массой. Теперь пространством одночастичных состояний 551 служит пополнение предгильбертова пространства комплексных непрерывных функций ① 1(夕) с компактным носителем, которые определены при р°》0,夕2 G supp da(X) и имеют скалярное произведение
(① 1, Wi) = da(m2)①i(夕)w(p)(dp)m 三 ①《夕)山(夕)d从(夕).(8.136)
ог+
Имея пространство 55ь мы можем далее определить пространство，п п-частичных состояний как n-ю симметричную тензорную степень пространства 分卜 Действие обобщенного свободного поля определяется тогда формулой
(^(/)ф)п(рь Рп) = Vn + 1Ф(Р)/(-р) Фп+1(Р，Рь , Рп) +
+言 £『(沁)3几—1(夕1,…，府…，0几).(8.137)
(знак над аргументом означает, что этот аргумент должен быть опущен).
Упражнение 8.32. (а) Показать, что поле 夕(力)，определенное посредством (8.137), удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана.
Разложить обобщенное свободное поле в прямой интеграл по свободным полям с определенной массой д/А (Лихт, 1963; Уайтман, 1964).
Приведем критерии обобщенного свободного поля.
Предложение 8.9 (Лихт и Тол, 1961). Пусть скалярное нейтральное поле 夕(力)удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана. Если коммутатор [夕(力)，夕(g)] зависит только от разности х — у, т. е.
[0(力)，0(/=6(力一g)，
то операторная обобщенная функция B(x — у) кратна единичному оператору и, значит,夕(力)есть обобщенное свободное поле.
< Покажем, что
[ф),В(х-у)] = 0.(8.138)
Будем считать, что х, у и z меняются в произвольным образом фиксированных ограниченных областях. Тогда можно подобрать пространственноподобный вектор такой, чтобы векторы х + а — z и у + а — z были пространственноподобны. Используя локальность, получаем [з(2), b(ж - у)]=[9(2),[9(/ + a),93 + А)]]=[[9(2),9(/ + a)],93 + a)] + + [夕(力 + а),[夕(2), s(g + а)]] = 0. Теперь из равенства (8.138) и предложения 8.1 следует, что В(ж — у) кратно единичному оператору (отметим, что доказательство предложения 8.1 справедливо не только для ограниченного оператора С, коммутирующего с операторами из ^(Af), но и для произвольного оператора С из ^(Af), коммутирующего с 夕(Af)). А
Из (8.137) видно, что фурье-образ обобщенного свободного поля исчезает при пространственноподобных импульсах. Оказывается, что это свойство характерно для обобщенного свободного поля.
Предложение 8.10. Пусть 夕 — скалярное поле в теории Уайтмана с сильным условием спектральности. Если фурье-образ 0(夕)поля исчезает в некотором непустом открытом множестве пространственноподобных импульсов 夕, то 屮一обобщенное свободное поле. Аналогичный вывод можно сделать, если мера do(/\) 6 представлении Челлена-Лемана (8.135) имеет компактный носитель.
Доказательство этого утверждения основано на представлении Йоста-Лемана-Дайсона; мы его здесь приводить не будем (см. Гринберг, 1962; Робинсон, 1962). Имеется также критерий обобщенного свободного поля в терминах так называемых усеченных функций Уайтмана w^T, которые определяются в п. 12.2.А: достаточно, чтобы w^T = 0 при всех п, больших некоторого номера по (см. Гринберг и Лих, 1963; Робинсон, 1966; в статье Баумана (1975) приводится дальнейшее усиление этого результата). Отметим в заключение, что в четырехмерном пространстве-времени Минковского к обобщенным свободным полям сводятся, на первый взгляд, более общие уайтмановские поля типа Ли, коммутатор которых есть неоднородный линейный функционал от операторов поля:
(8.139)(8.139)[9⑺，93)] = J △(/ -у) + \ 6(/, д, г)9⑶ d%
(8.139)
(8.139)
(см. Робинсон, 1964, Уайтман, 1967 а и Ефремов, 1968/69).
Дополнение Е
Сводка инвариантных решений и функций Гринауравнения Клейна-Гордона
В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться характеристическими сингулярными (в частности перестановочными) функциями свободных полей, с которыми мы имели дело в § 8.4. Поэтому для удобства мы приведем здесь сводку этих обобщенных функций, а также связанных с ними функций Грина.
Перестановочная функция Паули-Иордана Dm(x) = D(x):
[9(/)，93)] = I0(/ - g);(E.i)
(办屮 + m) D(x) = (□ + m) D(x) = 0,(E.2a)
D(0, x) = 0, 為。(/)[о=0 = Ь(х);(E.26)
D(x) = i I 27r£(@°) b(@2 — m2) epx d^p =(E.3a)
=急 £(M {b(«) — e(«) 2^^ Ji(zn )};(E.36)
здесь и далее Ji (г) и Ki(n) — функции Бесселя и Макдональда ([ПО], 8.402, 8.432, 8.446):
Ji(n) = —"13) = ^ £ /2 1)!(习，k=QК\ (г) = г I e~zchT sh2r при | arg г| < тг/2, оJi(n) = —"13) = ^ £ /2 1)!(习，k=QК\ (г) = г I e~zchT sh2r при | arg г| < тг/2, оК1(2)= ^ + Ь 111(г) -К1(2)= ^ + Ь 111(г) -? 次k+1)+次k+ 2)厶 k!(k+ 1)!⑵，? 次k+1)+次k+ 2)厶 k!(k+ 1)!⑵，(ЕЛ)(E.5a)(E.56)(ЕЛ)(E.5a)(E.56)
Ji(n) = —"13) = ^ £ /2 1)!(习，k=Q
К\ (г) = г I e~zchT sh2r при | arg г| < тг/2, о
Ji(n) = —"13) = ^ £ /2 1)!(习，k=Q
К\ (г) = г I e~zchT sh2r при | arg г| < тг/2, о
К1(2)= ^ + Ь 111(г) -
К1(2)= ^ + Ь 111(г) -
? 次k+1)+次k+ 2)
厶 k!(k+ 1)!⑵，
? 次k+1)+次k+ 2)
厶 k!(k+ 1)!⑵，
(ЕЛ)
(E.5a)
(E.56)
(ЕЛ)
(E.5a)
(E.56)
侬(k)三口(k)/F(k)).
Положительно- и отрицательно-частотные функции Паули-Иордана。好)(/) =。(±)(力):
(01 9(/)93)10〉= J D(-\x - у),(E.6)
(口 + 川)0(±)(/) = О,(Е.7)
。⑴⑺=挈 i 2穴6>(±0°) b(y - m2) /pх dm =(Е.8a)
，J• 2
=干 lim九(一疗(/土汕В，(e.86)
где_
M4 = K人衣、1(E.9)
D^Xx) = -DM(-x) = O(+)(/),(E.10)
DM(x)^D(~\x) = 0(/).(E.ll)
Причинная функция Грина。(力)=℃(/)： {О\Т^(Х) ^у))\0) = ^Dc^x-y\(Е.12)
Dc(x) = 6>(i) О-)(/) - 6>(—i) DM(x),(E.13)
(口 + "2)0气力)= */),(E.14)
J(E.15)
retret
Запаздывающая и опережающая функции Грина D^N (ж) = Dadv (ж): С ret
(□ + m2)Dadv (ж) = b(/),(Е.16)
О® ⑺=伙力。)。⑺=oadv(_/),(Е.17)
d獴⑺=［川-犷上。.®。) eт办p =(E」8a)
=*ё(土/)卜(/2) - e(«) ^^^ /1(m v^)}, (E.186)
0盘⑺=0c⑺ ±0(±)(/)，(E.19)
iyet(/)_oadv(/)= o⑺.iyet(/)_oadv(/)= o⑺.(E.20)(E.20)
iyet(/)_oadv(/)= o⑺.
iyet(/)_oadv(/)= o⑺.
(E.20)
(E.20)
по формулепо формулеХарактеристические сингулярные функции спинорного поля S。万(/) и S^(/) при Z = =(土)， с, ret, adv получаются из соответствующих сингулярных функций скалярного поля
по формуле
по формуле
(Е.21)(Е.21)^(^)=(分 7“办 + m)af3Dz(x);
(Е.21)
(Е.21)
они являются решениями или функциями Грина (при Z = с, ret, adv) уравнения Дирака.
Дополнение Ж
Общий вид ковариантной двухточечной функции
Ж.1. Ковариантное разложение, согласованное с локальностью. В этом пункте мы приведем аналог представления Челлена-Лемана для полей, преобразующихся по произвольным конечномерным неприводимым или просто приводимым представлениям собственной группы Лоренца (или SL(2,。) — ее односвязной накрывающей группы). Вначале поясним используемые обозначения.
Множество всех комплексных 2 х 2-матриц обладает структурой ассоциативной алгебры. Однако теперь мы будем рассматривать его просто как моноид (т. е. множество с ассоциативным умножением и с единицей). Для любого неотрицательного целого или полуцелого s («спина») определим 2s + 1-мерное матричное представление А т (D^,(A)) этого моноида, полагая
при а,(/ = —s, —s + 1, ..., s и Ан, А12, det A R 0) (для остальных А 0胃⑷ определяется по непрерывности).
Пусть з("1)(/, g,公)и з("2)(/, ^, ^)— дВа квантовых поля, преобразующихся по конечномерным просто приводимым представлениям
㊉ 力5肉)И ㊉力(32，电)(Ж.2)
(九k1)ё五1(厶也弟殓
группы SL(2,。)，реализованным в пространствах полиномов от ш, ш и w, w соответственно (см. пп. 3.1.Д и 8.2.Б); здесь Ri и R2 — некоторые конечные подмножества в Z+/2 х Z+/2. Тогда для двухточечной функции Уайтмана
(019(〜)(/, s,公)9(〃2)(羽 w, w)|0) = I W^^\p- 公，w,出…i d4P(Ж.3)
имеем следующее разложение по стандартным полиномиальным ковариантам.
Предложение Ж.1. Двухточечная функция полей 夕("1),夕("2), преобразующихся по конечномерным просто приводимым представлениям группы SL(2,。)，имеет вид
W^^\p- 公,w,w) = ^2 3^)A『)B D,?(p)f抬 в(р),(Ж.4)
где суммирование распространяется по некоторому конечному множеству чисел к, А, В, L, удовлетворяющих условиям
А, В, 2L,L~\j\,L~\k\eZ+-(Ж.5)
Р — это 2 х 2-матрица, составленная из переменных р, g, w:
(Ж.6)(Ж.6)р /шрш upw\ wpcj wpw
(Ж.6)
(Ж.6)
故^8(。)一 лоренц-ковариантные обобщенные функции из F(М) с носителями 6 У+.
< Коварианты ^ew)A(uew)B D^ (Р), очевидно, линейно независимы, поэтому в силу упражнения 3.19 достаточно доказать, что они псевдогармоничны по @:
^^\p)三4尺刨2 (曜九 -吊訳^ <\F) = о,
а это есть следствие дифференциального уравнения для полиномов Якоби
(см. [СЗ], п.4.2). А
Вообще говоря, инвариантные обобщенные функции //^石 определяются из разложения (Ж.4) с точностью до произвольных слагаемых вида 厂衆8(口)6(@), где r^B(z) — полином степени 2L — 1 (и этот^1роизвол сказывается в теориях с индефинитной метрикой). Но в формализме Уайтмана, где W^l，><2\p; g, cj, w, w) есть (комплексная) мера степенного роста по переменной @ с носителем в У+, причем можно всегда считать, что мера точки р = О равна 0), f^B(P) однозначно определяется разложением (Ж.4), если дополнительно потребовать, чтобы они также были (вообще говоря, комплексными) лоренц-инвариантными мерами степенного роста с нулевой мерой точки @ = 0. В качестве пояснения рассмотрим
представлениепредставление戸（@; s,公）=@万5r7（0）,戸（@; s,公）=@万5r7（0）,(Ж.7)(Ж.7)
представление
представление
戸（@; s,公）=@万5r7（0）,
戸（@; s,公）=@万5r7（0）,
(Ж.7)
(Ж.7)
где левая часть есть лоренц-ковариантная мера no 0 c носителем в У+ и с нулевой мерой точки 0 = 0, являющаяся однородным полиномом по ш,公 бистепени (п, п) (случай произвольных представлений сводится к этому, см. п. 3.3.Б). Поскольку для каждой точки @ R О найдется вектор g такой, что 公万g 芒 0, то из (Ж.7) следует, что в Af\{0} /(@) есть лоренц- инвариантная мера (с носителем в 1/+\{0}). Доопределяя ее как меру в Af с нулевой мерой точки 0 = 0, мы не нарушим представления (Ж.7) во всем М.
Если поля 夕("1) и 夕("2) преобразуются по неприводимым представлениям ^^^к^ и 力“2，“2) группы SL(2, С), то двухточечная функция (Ж.З) не равна тождественно нулю только при выполнении условий / 、
гдегде\j- \ V \к- \ < J+ А к+,3•土 =力 土 j2, k± = ki 土 W\j- \ V \к- \ < J+ А к+,3•土 =力 土 j2, k± = ki 土 W(Ж.86)(Ж.9)(Ж.86)(Ж.9)
где
где
\j- \ V \к- \ < J+ А к+,
3•土 =力 土 j2, k± = ki 土 W
\j- \ V \к- \ < J+ А к+,
3•土 =力 土 j2, k± = ki 土 W
(Ж.86)
(Ж.9)
(Ж.86)
(Ж.9)
В этом случае ковариантное разложение приобретает вид
评2)(0⑷ 効=£ ^ew)j+ -L(；J^Z)k+~LD^k_ (F) fL(p),(Ж.10)
L
где
ь = (IJ-I V \k_\), (|J_| V 俯—I) + 1, J+ A M・(Ж.11)
Мы называем формулу (Ж.4) (или (Ж.10)) ковариантным разложением, согласованным с локальностью, потому что здесь (как и в упражнении 3.19) проекторы, осуществляющие это разложение, конструируются только из спинорных переменных cj, w и не зависят от р.
Ж.2. Разложение по спину. Будем считать, что в теории Уайтмана выполнено сильное условие спектральностью с массовой щелью 从〉0. Пусть EJ есть проектор в физическом гильбертовом пространстве на подпространство со спином J (где 2J 6 Z+).
Рассмотрим двухточечную функцию )
(01(9(〃1)(/，公))*9(〃2)(羽 w,汕⑼=j W^^(p\ 公，w, w) e-ip(x-y) d4p, (Ж.12) где 夕("1)(力，g,公)и 夕("2)(力，w, w) — поля, преобразующиеся по неприводимым представлениям ^)^^к^ и 力°2，小2)ГруППы SL(2,。). Вставляя между операторами поля в (Ж.12) разложение 1 = £Е，единичного оператора в сумму проекторов EJ, мы получаем разложение j
двухточечной функции по спину:
评(方依)二工用无G).(Ж.13)
Оказывается, это разложение по спину имеет следующую ковариантную структуру:
W^\p- s,公，w, w) = J2 ^p^-\wpwy^JD^Q) Aj(@)， где Q есть 2 x 2-матрица, составленная из переменных @, g, w:
hj(p) — лоренц-инвариантные меры с носителями в V^;
<^г — ji — к, s° = % + к。 (分=1, 2), a J пробегает значения
J = |(Т1| V |сг2|,(|(Т1| V |сг2|) + 1,, si A s2.
При этом в случае VT("i"2)壬。следует считать выполненными условия
СГ1 - СГ2 е Z, 匕1| V 匕2〔 W Si A S2.
(Ж.14)(Ж.15)(Ж.15)(Ж.16)(Ж.14)(Ж.15)(Ж.15)(Ж.16)(Ж.⑺(Ж.⑺сать в видесать в виде(г^产凡(у),(г^产凡(у),(Ж.18)(Ж.18)Для доказательства разложения (Ж.14) перейдем в обобщенной функции w5"i"2)(0； 公，w, w) к системе покоя вектора @ (т. е. положим р = 0, что возможно в силу условия 0 6 V^\ см. п. 3.4.В). Сгладим полученное выражение с произвольной основной функцией по переменной @° 6 [从，ос) и зафиксируем g. Мы получим некоторую функцию от w, которую при w 7^ 0 (учитывая частично условие однородности по w, w) можно запи
(Ж.14)
(Ж.15)
(Ж.15)
(Ж.16)
(Ж.14)
(Ж.15)
(Ж.15)
(Ж.16)
(Ж.⑺
(Ж.⑺
сать в виде
сать в виде
(г^产凡(у),
(г^产凡(у),
(Ж.18)
(Ж.18)
где У есть следующая матрица из SU(2):
У = (ww)~^2У = (ww)~^2
У = (ww)~^2
У = (ww)~^2
а 凡(У) есть функция на группе SU(2), зависящая от параметра g. Воспользуемся тем фактом ([Ж1], § 24), что всякая комплексная непрерывная функция на группе SU(2) разлагается в ряд с элементами, пропорциональными матричным элементам О；：)(У):
凡(У)二 £ /川3)(У).(Ж.19)
С другой стороны, проекторы EJ в 方 определялись разложением 1 = £ EJ и условием j
-六屮= J(J+1)E，,
где W^ — вектор Паули-Любанского. Это накладывает на VT("i"2) в разложении (Ж.13) определенное условие, которое в системе покоя вектора р означает, что 凡(У) как функция от w преобразуется по представлению группы SU(2) со спином J, а это, как легко видеть, равносильно тому, что в разложении (Ж.19) присутствуют только слагаемые J' = J. Выше вектор g считался фиксированным параметром. Теперь нетрудно учесть зависимость 凡(У) от g, воспользовавшись условиям однородности по g,公(частично) и SU(2)-инвариантнос- ти 屮尸"2)по cj, w в системе р = 0:
凡(У) = ^^F^iYX^Y(Ж.20)
где,12、
X =Go = (l；O), GoX =3
Подставляя (Ж.19) (при g = Go) в (Ж.20) и учитывая полностью условия полиномиальности и однородности по g, cD, w, w, мы получаем
®^)S2凡(У) = a@G)si ®^)52 1^^(УХ*);
при этом (в случае а 壬 0) должны быть выполнены условия (Ж.17). Тем самым разложение (Ж. 14) доказано в системе покоя вектора р, откуда (на основании следствия 3.16) следует, что оно справедливо при всех р. Заметим, что представление (Ж.14) получается с помощью переразложения ковариантного представления типа (Ж.10), поэтому обобщенные функции hj(p) в (Ж.14), как и Д(р) в (Ж.10), являются мерами степенного роста.
Мы видим, что каждому допустимому значению спина J соответствует одна ковариантная структура в разложении (Ж.14). Это является отражением того факта, что подпространство 方'"。)(а = 1, 2) в 方，определяемое как замыкание линейной оболочки векторов вида J 3("а)(/, g,公)и(х)朋冗(при и G ^(Af)), несет просто приводимое представление группы Ro,
т. е.т. е.^а) =ф |^M^j(m).^а) =ф |^M^j(m).(Ж.21)(Ж.21)
т. е.
т. е.
^а) =ф |^M^j(m).
^а) =ф |^M^j(m).
(Ж.21)
(Ж.21)
В случае, когда поля 夕'"。)преобразуются по приводимым представлениям группы SL(2, С), это уже, вообще говоря, не так; тогда в разложении типа (Ж. 14) при каждом J может присутствовать несколько ковариантных структур. Для полей, преобразующихся по просто приводимым представлениям SL(2, С), мы получаем следующий результат.
Предложение Ж.2. Пусть 6 теории Уайтмана с сильным условием спектральности поля з("1)(/, g,公)〃夕("2)(力，^, ^)преобразуются по просто приводимым представлениям (Ж.2) группы Лоренца. Тогда разложение двухточечной функции (Ж.12) по спину J имеет следующий вид:
沖无Е)(@；口 w, w) = J2 ^Р^Г1(WW)n2D^,(Q) /г^Г2(р),(Ж.22)
где суммирование производится по некоторому конечному множеству чисел щ,几2, с, У, J, удовлетворяющих условиям
(Ж.23)(Ж.23)ni,几2, 2J, J - |сг|, J — |сг'| е Z+;
(Ж.23)
(Ж.23)
九二；广2(0)— (возможно, комплексные) лоренц-инвариантные меры степенного роста с носителями 6 (аОс 从—массовая щель).
Глава 9
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ УАЙТМАНАВ КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Теорема Баргмана-Холла-Уайтмана и ее следствия
А. Комплексные преобразования Лоренца. Мы видели (теорема 8.5), что в силу условия спектральности функции Уайтмана w(xi, ,力冷)= W^\,, §冷一1)
являются граничными значениями функций 1У(《1,&_i) от переменных ^,...
голоморфных в трубах прошлого Т~_{ (8.41). Оказывается, что сочетание свойств спектральности и лоренц-ковариантности дает дополнительную информацию об аналитичности, в частности, позволяет аналитически продолжить функции в более широкую область (называемую расширенной трубой). Эта теорема, принадлежащая Баргману, Холлу и Уайтману, лежит в основе вывода TCP-теоремы и теоремы о связи спина со статистикой, с которыми мы познакомимся в этой главе.
Упражнение 9.1. Доказать, что аналитически продолженные функции Уайтмана )(《1, ..., (n-i) удовлетворяют условию лоренц-ковариантности
=…，盡一) при бет口，A e sl^ c1 (9.1)
(Указание: применить теорему единственности Б.10.)
Идея конструкции Баргмана-Холла-Уайтмана состоит в том, чтобы распространить условие лоренц-ковариантности на комплексные преобразования Лоренца.
Группа L(C) комплексных преобразований Лоренца определяется как совокупность линейных однородных преобразований четырехмерного комплексного пространства Минковского СМ = С4, сохраняющих билинейную форму
zw = g\^zxw^ = 2°^° - zw(9.2)
(по индексам А,从 здесь подразумевается суммирование от нуля до трех). Другими словами, Е(С) — это группа комплексных 4 х 4-матриц Л, удовлетворяющих условию ортогональности (3.13):
ЛтрЛ = д,(9.3)
где д — метрический тензор в пространстве Минковского.
Заметим, что комплексная группа Лоренца изоморфна комплексной ортогональной группе 0(4, С). Действительно, если ввести новые координаты г/0 = г°, ?"=分？" (поскольку гЛ — комплексные числа, то новые координаты равноправны со старыми), то знак «—» в (9.2) заменится на «+» и соответственно метрический тензор g = (gx^) в пространстве Минковского заменится на единичный тензор 5入从 в С4. Мы обычно будем пользоваться лоренцевым базисом, в котором справедливы равенства (9.2) и (9.3), поскольку в таком базисе переход к вещественному пространству Минковского и соответственно — к вещественной группе Лоренца выглядит более естественно.
Если взять детерминант от обеих частей равенства (9.3), то получим для Л е 6 Е(С) (как и для вещественных преобразований Лоренца)
(9・4)(9・4)(det Л)2 = 1.
(9・4)
(9・4)
Таким образом, комплексная группа Лоренца распадается на два подмножества L^(C) и Z/_(C), определяемых соответственно уравнениями det А = 1 и det А = =—1. В отличие от вещественного случая L+(C) является связной группой (она называется собственной комплексной группой Лоренца).
Упражнение 9.2. Доказать, что группа L+(C) является связной. (Указание: ход рассуждений здесь тот же, что и в упражнении 3.2.)
Замечательно, что группа L+(C) уже содержит полное отражение РТ = =—1(2 — —z) пространства-времени. Тот факт, что это преобразование можно соединить непрерывной кривой с единицей группы, устанавливается простым построением. Действительно, матрицы
А(а)=А(а)=/ COSQ00 г sin а \0cos аsin а 00—sin аcos а 0у г sin а00 cos а у/ COSQ00 г sin а \0cos аsin а 00—sin аcos а 0у г sin а00 cos а у(9・5)(9・5)
А(а)=
А(а)=
/ COSQ
0
0 г sin а \
0
cos а
sin а 0
0
—sin а
cos а 0
у г sin а
0
0 cos а у
/ COSQ
0
0 г sin а \
0
cos а
sin а 0
0
—sin а
cos а 0
у г sin а
0
0 cos а у
(9・5)
(9・5)
принадлежит L+(C), непрерывно зависят от а и Л(0) = 1, А(тг) = —1.
В п. 3.1.В был построен накрывающий гомоморфизм SL&, С) — L^. Соответствующее построение может быть проделано и для комплексной группы Лоренца. Вместо Л и Л в формуле (3.39) введем две независимые переменные Л/, Лг 6 6 SE(2, С) и определим
(9.6)(9.6)(Л(Л/, Kr^z = Kizh^, (Л(Л/, Лг)) = Л^-^Лу1,
(9.6)
(9.6)
где по-прежнему
〜(2° - /3 -2】+ iz2Z[ 2】+ iz2 2。+ /3〜(2° - /3 -2】+ iz2Z[ 2】+ iz2 2。+ /3(9・7)(9・7)(- iz2
〜(2° - /3 -2】+ iz2
Z[ 2】+ iz2 2。+ /3
〜(2° - /3 -2】+ iz2
Z[ 2】+ iz2 2。+ /3
(9・7)
(9・7)
? Г + iz2 丿—
Очевидно, det z = z2 {= 22), так что Л(Л/, Лг) 6 L(C). Далее, так как SL&, С)— связное множество, то det Л(Л/, Лг) = 1, и поэтому Л(Л/, Лг) е L+(C). В результате получим гомоморфизм
SE(2, С) х SE(2, С) э (Ль А『)一 Л(ЛЬ Лг) е L+(C). (9.8) Те же рассуждения, что и в случае £；[, показывают, что гомоморфизм (9.8) отображает SZ/(2, С) х SZ/(2, С) на всю группу и его ядро состоит из двух элементов ±1. Таким образом, построен дважды накрывающий гомоморфизм прямого произведения SZ/(2, С) х SZ/(2, С) на группу L+(C); в силу своей связности и односвязности группа SZ/(2, С) х 5L(2, С) служит универсальной накрывающей группы L+(C). Назовем вещественным сечением группы SL&, С) х SZ；(2, С) множество элементов вида (Л, Л); эти элементы образуют подгруппу, изоморфную SL&, С), а преобразованиями Л(Л, Л) = Л(Л) соответствуют вещественные преобразования группы L^(C), т. е. преобразования группы
Как и в случае собственной группы Лоренца Z/|, приведенная конструкция позволяет заменить группу L+(C) группой SZ/(2, С) х 5L(2, С), что упрощает трактовку двузначных представлений группы Лоренца.
25 H. H. Боголюбов и др.
Группа SZ/(2, С) х 5L(2, С) (а также локально изоморфная ей группа L+(C)) является комплексной группой Ли размерности 6. Это означает, что локально (скажем, в окрестности единицы) можно некоторые шесть матричных элементов матриц Л/, Лг 6 SZ/(2, С) выбрать в качестве независимых комплексных переменных (называемых локальными координатами), через которые остальные два матричных элемента выражаются аналитическим образом. Например, при (Л/)22 市 О, (А『)22 ^ 0 в качестве локальных координат можно выбрать (Л/)12, (Л/)2ь (Л/)22, (Лг)12, (Лг)2ь (Лг)22- Комплексная функция /(Л/, Лг) на группе SZ/(2, С) х SL&, С) (или на некотором открытом ее подмножестве) называется голоморфной (или комплексно аналитической), если она является голоморфной функцией локальных координат. Ниже у нас встретятся также функции /(^, , &; Л/, А『), зависящие от комплексных 4-векторов 《1, ..., & и от матриц Л/, Лг е 5L(2, С); и в этом случае очевидно понятие голоморфности по всем переменным ^, , &, Л/, Лг.
Нам понадобится следующая простая теорема единственности.
Упражнение 9.3. Пусть /(《，...，《九；А%, А「) — голоморфная функция в некоторой области 〃 с СМп х SL(2,。) х SL(2,。)，имеющей непустое пересечение с множеством точек вида _
{(《，•••，&; Az, AJ：(《，•••，&) е САГ, А「= Az}, (9.9)
и пусть функция / обращается в нуль на этом пересечении. Доказать, что / = 0 в 〃.
В п. 3.1.Г мы рассмотрели конечномерные неприводимые представления ^^,кЦА) группы SZ/(2, С), которая теперь играет роль вещественного сечения группы SZ/(2, С) х SZ/(2, С). Легко видеть, что это представление можно продолжить до голоморфного представления всей группы 5L(2, С) х 5L(2, С) (такое продолжение единственно согласно упражнению 9.3 при п = 0). Для этого следует положить
=£保4)力(加Г)小少if?用…妆，(9.10)
если R。*) реализовано в пространстве спин-тензоров ⑦(ср. (3.51)), или
w)=⑦(a7%,毎%)，(9.11)
если 岔О реализовано в пространстве всех комплексных полиномов 屮® w) от ш, w е С2, однородных степени 2/ по cj и однородных степени 2к по w (ср. (3.52)). еели»7*)(—4 —5)=g0a4 B),
т. е. если j -\- к — целое число, то можно определить однозначное представление группы Z；+(C), полагая
При полуцелом же / + к эта формула определяет двузначное представление L+(C).
Поскольку любое комплексное представление У(Л) = У(Л, Л) группы 5L(2, С) есть прямая сумма неприводимых представлений, то оно также однозначно продолжается до голоморфного представления У (Л/, Лг) группы 5L(2, С) х 5L(2, С).
Б. Лоренц-ковариантные аналитические функции в трубе прошлого. Пусть задано некоторое (комплексное) представление V(Л) = У(Л, Л) размерности г группы SZ/(2, С) и заданы г функций /1, ..., fr комплексных 4-векторов《1,&, причем эти функции аналитичны в трубе прошлого Т~ и удовлетворяют условию
Л(Л(Л, А)《1,..・，А(А, А)&)= £%(А, А)加《1, j
при С =Сп) ет-, Ле SE(2, С) (9.12а) или кратно
/(Л(Л, Л)О = ЯД, Д)/(0 при d，Д 6 5L(2, С).(9.126)
Такое семейство функций /1, ..., fr будем называть аналитической функцией в Т~, ковариантной относительно £；［ (или SL&, С)).
Теорема 9.1. (Баргмана-Холла-Уайтмана). Всякая L^-ковариантная аналитическая функция /(《)6 Т~ допускает однозначное аналитическое продолжение 6 так называемую расширенную трубу )
Тп= U ЛТ-(9.13)
Аеь+(с)
и 6 ней она ковариантна относительно L+(C):
/(А(&, A『)Q =『(&, A『)/(Q при 《6 Тп, Ль А『е SE(2, С).(9.14)
Схема доказательства. Положим
/g，A「)⑹二 VZ А「)Т/(А(&, AJC),
А%, А「6 SL(2,。). Это — голоморфная функция от 《в области Л(Л/, NQ-'T^. Если мы докажем, что для семейства голоморфных функций /(八厶八「)выполнены условия согласования
/(%&)© =产М© при « е Л(Л；,、Ж П А(А/,(9.15)
при всех (Л{, AQ и (Л/, А二)из SL(2,。) х SL(2,。)，то формула
/⑹= /g,AQ© при gA(&,A「尸^
является корректным определением продолжения аналитической функции /(《)в расширенную трубу Тп. Нетрудно видеть, что тогда /(《) удовлетворяет условию ковариантности (9.14). Таким образом, эта функция является искомым аналитическим продолжением исходной функции
Остается доказать выполнение условий согласования (9.15).
Упражнение 9.4. Доказать, что условия согласования (9.15) эквивалентны следующим редуцированным условиям согласования:
/⑹=⑹ при(9.16)
и при всех (Л/, А「)G SL(2,。)х SL(2,。). (Указание: применить (9.16) при Л/ = А；А〈т, А「= Л^Л^-1, и заменить《на Л(Л/, А么)£)
Итак, для доказательства теоремы достаточно проверить редуцированные условия согласования. Будем рассматривать /(八厶八「)(《)как голоморфную функцию /((; Л/, А「) от вектора《 и переменных Л/, А「，пробегающих открытое множество
夕={(«, Az, AJ е 7^ х SL(2,。)x SL(2,。)： « e A(AZ,八/一^}.(9.17)
При А「= А% = А/(《，△，А) совпадает с исходной функцией /(《)，поэтому если открытое множество 〃 связно, то согласно упражнению 9.3 /(《, Л/, А「) = /(《)в 夕,что равносильно редуцированным условиям согласования.
В следующих двух леммах будет доказана связность открытого множества 〃 и тем самым будет завершено доказательство теоремы 9.1.
Лемма 9.2. Пусть °，есть множество элементов (Л/, А「) G SL(2,。) х SL(2,。) таких, что множество Т~ П Л(Л/, NQ-'T^ непусто; тогда / является областью (т. е. непустым связным открытым множеством).
< Открытость множества °，очевидна. Обозначим через ^о связную компоненту множества содержащую единицу группы SL(2,。) х SL(2,。)； другими словами, “о — это множество элементов из /, которые можно соединить с единицей непрерывной кривой, лежащей в °，. Наша задача — доказать, что "о =
Упражнение 9.5. (а) Введем в группе SL(2,。) х SL(2,。) отношение эквивалентности: (A；, AQ 〜(А夕,Л^), если существуют такие X, Y е SL(2,。)，что 八夕 = ХА；У, А二 = =Х&У, т. е. (А夕,Л^ =(X, X)向,Л^)(У, У). Доказать, что если (А；, &) G / (соответственно (A；, AQ е /о) и (А夕，А么)〜то (А夕，А么)е / (соответственно (Л/, А么)е "о).
Доказать, что каждый элемент (Л/, А「) 6 SL(2,。) х SL(2,。) эквивалентен некоторому элементу вида (С, 1), причем матрица。имеет одну из следующих трех форм:
0=(； ；)，(9.18а)
С = -(； ；)，(9.186)
А е С\{0}.(9.18в)
(Указание: подобрать матрицы X,。так, чтобы。имела указанную «каноническую форму» и чтобы Л/ = ХОХ—】； убедиться, что тогда (Л/, А「) = (X, Х)(。，1)(У, У) при У = Х~.)
Доказать, что любой элемент (Л/, А「) 6 °，эквивалентен либо элементу вида (С, 1), где。имеет вид (9.18а), либо элементу вида (К, К-1), где
здесь а н /3 вещественны и 0 < /3 < тг. (Указание: рассмотреть отдельно три возможности из части (б) упражнения. Если。имеет вид (9.18а), то можно указать вектор《6 Т~, например,=—г5м；о СУ = 1, •—，几)такой, что А(。，1)-1( G Т~; значит, (С, 1) G °，. Если。 имеет вид (9.186), то (С, 1) Q/; Для доказательства взять произвольный вектор 《6 Т~, положить 《/ = А(。，1)-1《 и убедиться, что у? — у? = —(у? — д^) 〉0. Наконец, если 。 имеет вид (9.18в), а матрица К выбрана так, что ехр (^(а + 分/3)) = д/А и 0 < /3 < тг, то (С, 1)〜 (К, K~i); поэтому достаточно показать, что элемент (К, К-1) принадлежит / в точности тогда, когда О W /3 < тг. Для этого следует вычислить матрицу А(К, К-1):
/ cos /300 г sin /3 \
0 ch а —分 sha0/、
А К,.9.20
0 2sh аch а О
\ г sin /3 О 0cos /3 /
Если здесь cos/3 = —1, то для произвольного вектора 《6 Т~ вектор 《/ = А(К, К-】)-】^ обладает свойством %。= —у? > О (J = 1, ..., п), и потому 0 Т~ и {К, К-1) 0 Если же cos/З 力—1, то требуется доказать, что (К, К~{) G /; для этого взять вектор С Е Т~ вида
G = — (ш, О, О, Ь), где а > О, 5sin/3 < а cos /3, и убедиться, что у вектора «' = А(К, К-1)-1^ мнимая часть дается равенством yfj = — (acos/3 — bsin/З, 0, 0, 0) (J = 1, ..., п); отсюда следует, что (К, К~х е ")
Упражнение 9.5 сводит доказательство леммы к рассмотрению следующих двух ситуаций.
Во-первых, для элемента С (9.18а) требуется доказать, что элемент (С, 1) принадлежит 。，0, т. е. может быть соединен с единицей непрерывной кривой, лежащей в Для этого зафиксируем вектор《6 Т~ с компонентами《，=—г5м；о (J = 1,…，几)и положим
°(" = (: ；)，0WY 1.
Тогда A(C(t), 1) G =(—分，^分力一^ 力 0)，так что A(C(t), 1)-1( G Т~. Значит, (C(t), 1) есть непрерывная кривая в /, соединяющая (С, 1) с единицей._
Во-вторых, для элемента К вида (9.19) нужно показать, что элемент (К, К-1) принадлежит /о. Определим
/ехр +0、
у 0 ехр - ^(a + 訪)丿
Согласно упражнению 9.5(b) элементы (К«), K(t)-1) лежат в °，и, значит, они определяют непрерывную кривую в соединяющую (К, К-1) с единицей. А
Лемма 9.3. Множество 夕(9.17) связно.
< Поскольку множество точек нз 〃, у которых А/ = Аг = 1, очевидно, является связным, то достаточно доказать, что произвольную точку (《；А/, А「) из 夕 можно соединить непрерывной кривой, лежащей в 夕，с некоторой точкой вида (《'，1, 1), где《'6 Т~; другими словами, можно построить непрерывную кривую («("； А%(", Ar(t)) G 〃 (0 < t < 1) такую, что ((0) = (, А/(0) = А/, А「(0)=入「и А^(1) = Ar(l) = 1, ((1) е Т~. Воспользуемся леммой 9.2, которая позволяет построить непрерывную кривую (A/(t), Ar(t)) в SL(2,。) х х SL(2,。)，обладающую тем свойством, что для любого t G [0, 1] существует вектор ?(£)G G Т~ П A(A/(t), Ar(£))-i777. Из непрерывности А%(" и Ar(t) по t следует, что для каждого t имеется относительно открытый интервал )厶 в [0, 1], содержащий точку t и такой, что A(A%(s), Ar(s)) z(t) G T~ при s G 厶.По классической лемме Бореля из покрытия ｛厶｝ интервала [0, 1] можно выбрать конечное подпокрытие. Таким образом, существуй конечный набор интервалов [а°, bo), (ai, bi), ..., (aN, bN], содержащихся в интервале [0, 1] и покрывающих его, и существует конечный набор точек z^\Т^ таких, что A(A/(t), Ar(t)) z^ G
6 T~ при t 6 [а/с, b". За счет уменьшения этих интервалов, а затем за счет уменьшения их числа N и подходящей нумерации мы можем добиться того, что
dk < bk—i < ak+i < bk при k = 1,, N — 1.
Положим теперь
4⑴=忙二公1)+ 步 nРи 松 W bi，
《⑴= ?(k)при bk-i < t < ak+i,
«⑴二幺份 +乂“+D ПРИ ak+i <bk.
Нетрудно видеть, что 《(力)есть непрерывная кривая в Т~, обладающая свойством A(A/(t), Ar(t)) ((t) G T~ при всех 0 < t < 1. Отсюда следует, что («("; А%(", Ar(t)) можно выбрать в качестве требуемой кривой в 〃. А
Применяя теорему 9.1 к функциям Уайтмана
衬：ХГ0(21，…，2九)三注(二："з(21 - 22,…，J - Zn),(9.21)
получаем следствие.
Следствие 9.4. Функции Уайтмана (9.21) аналитичны по переменным 21,… ,zn 6 расширенной трубе
%Z = иЛ ^7(9.22)
Леь+(с)
и удовлетворяют условию ковариантности относительно группы SL&, С) х х SE(2, С) {или 厶匕))：
e "寫(а”, a丁)…吋禦(a”,A丁)7<:就”仆,厶)21,...,人仙,Ng =
= w^y^...,znY (9.23)
Упражнение 9.6. Пусть поля g("i),...,夕("九) преобразуются по соответствующим неприводимым представлениям...,力(九木九)группы SL(2,。) и пусть
/ = % + ...+ jn-(9.24)
Доказать, что тогда
-гп)=(—『％(人宀)⑵，…，2九)(9.25)
при г 6 %. (Указание: положить Л/ = — 1, Лг = 1 в условии ковариантности (9.23).)
В следующих двух упражнениях теорема 9.1 применяется к двухточечным функциям.
Упражнение 9.7. (а) Доказать, что образ трубы TJ при отображении ( ^ t = (2 есть разрезанная плоскость C\R+ = С\[0, ос).
Доказать для расширенной трубы 储 формулу
Т1 = {С е см С2 е с®}(9.26)
и убедиться, что подмножества «? = const являются орбитами группы L+(C) в 0. (Указание: если《н 7 — пара точек из СМ и (2 = (/2 R 0, то (z = Л(1, В) ( при В = (Q — «'•)
Доказать, что всякая аналитическая L^-инвариантная функция /(《)в TJ представима ввиде/(С =
где 九(力)—аналитическая функция от t в разрезанной плоскости C\R+. (Указание: воспользоваться теоремой 9.1 и предыдущими частями упражнения.)
Упражнение 9.8. (а) Пусть /(《) — лоренц-ковариантная аналитическая функция от 《G TJ, преобразующаяся по представлению Т)^^ 0 ^)(к^ группы SL(2, С); ее можно рассматривать как полиномиальную функцию /(《，g, w) от дополнительных спинорных переменных ш, w Е С2, причем она однородна степени 2/ no g н однородна степени 2к по w, а условие ковариантности записывается в виде
〃А(&, А「)С； Aw, Azw) = /(«,w); Az, А「е SL(2,。).(9.27)
(Здесь мы использовали аналитическое продолжение условия ковариантности на комплексные преобразования Лоренца.) Доказать, что /(г, w) имеет вид
/(2, g, w) = djk(uew^3h^\
где 九(力)—аналитическая функция от £ G С\К十.(Указание: вначале использовать условие ковариантности (9.27) при А/ = 1 и доказать, что /(《，g, w) зависит от《только как функция от С?; далее использовать условие ковариантности при А「= 1.)
Пусть /(《,g,公)—лоренц-ковариантная аналитическая функция от《G TJ, преобразующаяся по представлению q",")； она представлена в виде однородного полинома степени 2J no g G С2 H однородного полинома степени 2к по ш. Доказать, что /((, g,公)имеет вид
/(«, 公)=b汴@&产九(“ =(9.28а)
=djk^d^3 д^\(9.286)
где h(t) и p(t) — аналитические функции от t е C\R+. (Указание: для доказательства (9.28а) ввести функцию
F(«, w) = W?gT 柒)/(«, 公)
и воспользоваться частью (а) упражнения; при доказательстве (9.286) воспользоваться тождеством
@庆52々(2)三(2公8)2々(叫“.)
В. Вещественные точки расширенной трубы. Из определения труб 球 очевидно, что они не содержат ни одной вещественной точки. Поэтому особенно интересно, что расширенная труба Тп при всех 八 содержит вещественные точки. В частности, отсюда следует, что функции Уайтмана w^, которые определялись первоначально как обобщенные функции, суть не только предельные значения голоморфных функций (в трубе W но и сами являются аналитическими функциями в некоторой вещественной области изменения пространственно-временных переменных.
Для случая двухточечных функций этот результат очевиден из формулы (9.26) для Ti, которая показывает, что вещественные точки в Ti — это в точности все пространственноподобные точки в М.
Описание вещественных точек расширенной трубы Тп дается следующим предложением.
Предложение 9.5 (Йоста). Для того чтобы вещественная точка (£1,…，£冷)е Мп принадлежала расширенной трубе Тп, необходимо и достаточно, чтобы при любом выборе неотрицательных чисел %, не равных одновременно нулю, векторп
0 = £%6(9・29)
был пространственноподобным.
< Необходимость. По условию，А&), где А е 力十(。)，
(«1,, Сп) 6 Т~. Тогда р = А/, где ? = £ 入心 6 TJ. Таким образом, р есть вещественная
точка расширенной трубы 储 и, согласно сделанному выше замечанию, р есть пространственноподобный вектор.
Достаточность. Пусть К есть множество векторов вида р = £ \勺,где Xj > О, £ Xj > 0, а вектор /^ (J = 1, ..., п) пробегает достаточно малую окрестность 〃^ точки ^-.
Упражнение 9.9. Доказать, что определенный выше конус К при достаточно малых окрестностях 〃^ точек ^- является открытым выпуклым конусом в М, состоящим из пространственноподобных векторов. (Указание: вектор р в (9.29) непрерывно зависит от %, поэтому для любой точки А из множества / = {入=(Ai, , Ап)： 尢 > 0, ? % = 1} существует окрестность Q(")точки А в J и окрестности 〃；")точек & в М такие, что вектор £ /ijXj пространственноподобен при 从 6 Q('), Xj 6 〃产.по лемме Бореля из системы
окрестностей Q(丿 можно выбрать конечную подсистему, покрывающую компакт /. Тогда в
качестве искомых 〃^ можно выбрать R 〃}"), где А нумерует окрестности Q(")указанной выше конечной подсистемы.)“
Итак, можно считать, что К есть открытый выпуклый конус в М, состоящий из пространственноподобных векторов и, значит, не пересекающийся с конусом У+. Существует простая геометрическая теорема об отделимости ([Ш5], с. 85), которая применительно к нашему случаю утверждает, что конусы К и V+ можно строго разделить гиперплоскостью, т. е. существует вектор а Е М такой, что
а/〉0 при х G У+, ар < 0 при р Q К.
Аналогичным образом можно разделить конусы —К и У+; следовательно, существует вектор b Е М такой, что
Ьх > 0 при х G Ьр > 0 при р Е К.
Очевидно, векторы а и b неколлинеарны, положительны времениподобны или изотропны, поэтому можно выбрать лоренцеву систему координат так, чтобы
а = а(1, 0, 0, и), Ь = /3(1, 0, 0, —о),
где а, (3, и, V — положительные числа, причем а W 1, о W 1. Из условий ар < 0 и Ьр > 0 при р Е К теперь следует |р°| < р3 при . G К. В частности, мы получили
1, ..., п.1, ..., п.в плоскости (0, 3):в плоскости (0, 3):罔I 3 при J =
1, ..., п.
1, ..., п.
в плоскости (0, 3):
в плоскости (0, 3):
Выберем комплексный лоренцев поворот А 6 力十(。)
Тогда а& =(一増，g,吕，一分碎)e Tf, откуда (§1,&г) G Tn. AТогда а& =(一増，g,吕，一分碎)e Tf, откуда (§1,&г) G Tn. Aследует (A^i,, A^n) е Т~, и, значит,следует (A^i,, A^n) е Т~, и, значит,
Тогда а& =(一増，g,吕，一分碎)e Tf, откуда (§1,&г) G Tn. A
Тогда а& =(一増，g,吕，一分碎)e Tf, откуда (§1,&г) G Tn. A
следует (A^i,, A^n) е Т~, и, значит,
следует (A^i,, A^n) е Т~, и, значит,
Применим полученный результат к функциям Уайтмана. Вещественные точкиПрименим полученный результат к функциям Уайтмана. Вещественные точкирасширенной трубы 2Гп через 必：расширенной трубы 2Гп через 必：называются точками Йоста; множество их мы обозначимназываются точками Йоста; множество их мы обозначим(9.30)(9.30)Точки Йоста образуют непустое открытое подмножество в Мп, содержащееся в области голоморфности функции Уайтмана г(/"九)(2i,2冷).Упражнение 9.10. Доказать, что точка (/i, жп) 6 Мп является точкой Йоста вТочки Йоста образуют непустое открытое подмножество в Мп, содержащееся в области голоморфности функции Уайтмана г(/"九)(2i,2冷).Упражнение 9.10. Доказать, что точка (/i, жп) 6 Мп является точкой Йоста вточности тогда, когдаточности тогда, когда
Применим полученный результат к функциям Уайтмана. Вещественные точки
Применим полученный результат к функциям Уайтмана. Вещественные точки
расширенной трубы 2Гп через 必：
расширенной трубы 2Гп через 必：
называются точками Йоста; множество их мы обозначим
называются точками Йоста; множество их мы обозначим
(9.30)
(9.30)
Точки Йоста образуют непустое открытое подмножество в Мп, содержащееся в области голоморфности функции Уайтмана г(/"九)(2i,2冷).
Упражнение 9.10. Доказать, что точка (/i, жп) 6 Мп является точкой Йоста в
Точки Йоста образуют непустое открытое подмножество в Мп, содержащееся в области голоморфности функции Уайтмана г(/"九)(2i,2冷).
Упражнение 9.10. Доказать, что точка (/i, жп) 6 Мп является точкой Йоста в
точности тогда, когда
точности тогда, когда
/ 0
0
0 -А
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0/
А =
при всех вещественных Xi, ..., Ап, удовлетворяющих условиям
ииXi + ... + Ап = 0, Xi + ... + А/с》0 при к = 1, ..., п — 1
и
и
хотя бы одно из чисел Xi + ... + 入小 отлично от нуля.
Введем еще одно родственное понятие: точка (力i,,力冷)е Мп называется вполне пространственноподобной точкой, если Xj -力卜 есть пространственноподобный вектор при всех j 市 k.
Упражнение 9.11. Доказать, что точки Йоста являются вполне пространственноподобными точками. (Указание: воспользоваться предыдущим упражнением.)
Результат, сформулированный в упражнении 9.11, позволяет получать соотношения между различными функциями Уайтмана.
Упражнение 9.12. (а) Доказать, что при нормальной связи спина со статистикой имеет место следующее соотношение между аналитическими функциями Уайтмана в
…，21) = (-1产2苏〜・宀)⑵，…，2九)，(9.31)
где F есть число полей с полуцелым спином, фигурирующих в каждой части этой формулы. (Указание: равенство выполняется в точках Йоста, где используется локальность полей; учесть также, что w = 0 при F нечетном и (—1)F^F-1^2 = (—1)F/2 при F четном.)
Доказать, что при нормальной связи спина со статистикой имеет место соотношение
苏""—/1) = (一1产+歹/2苏, хпУ，(9.32)
здесь предполагается, что поля g("i), 夕("九)преобразуются по соответствующим неприводимым представлениям 力⑺肉)，...，力"九，小九)группы SL(2,。)； J n F имеют тот же смысл, что и в формулах (9.24), (9.31). (Указание: из упражнения 9.6 и части (а) настоящего упражнения следует:
= (—l)2J+P/2 亠九)⑵，…，2九)(9.33)
при(21, ..., Zn) 6 5^; ограничиться здесь точками (?i, ..., гп) 6 5^ и перейти к граничным значениям %• т 0 в конусе (% — %+i) 6 V~; при этом ((—%十1) — (—%)) также лежит в V~.)
Упражнение 9.13. Предполагая нормальную связь спина со статистикой, доказать соотношение между двухточечными функциями уайтмановского поля 夕(")(力)и его эрмитово сопряженного поля з(")(/)=(9(")(/))*:
〈0 I 93)(/)9(元)3)I (0)〉=〈0 I 9(完)(/)产)⑺ I 0〉.(9.34)
(Указание: воспользоваться упражнением 9.12(6) и тем, что двухточечная функция зависит от /, у только через разность х — у.)
Г. Аналитичность функций Уайтмана в симметризованной трубе. Теорема 9.1 позволила аналитически продолжить функции Уайтмана w^(^i,, 2冷)из
трубы 5^ в расширенную трубу Теперь мы покажем, что локальность полей позволяет аналитически продолжить функции Уайтмана в так называемую симмет- ризованную трубу
U(9.35)
7vesn
здесь Sn — группа перестановок индексов 1,...,八，которая действует на точки (21,2冷)е СМп посредством
7Г(21,2冷)=—^7г-1 (n))•(9.36)
Для простоты формулировок всюду в этом пункте мы будем предполагать нормальную связь спина со статистикой. Для этого случая мы введем понятие фермионной четности перестановки тг:
^fM = П sgn(7Tj -叫，(9.37)
где произведение 口 осуществляется лишь по парам индексов г, j (г < J) таких, что 夕(％)и 夕(”з) — фермионные поля (таким образом, в определении £尸(灰)фигурирует фиксированный моном 夕力i)...夕("九)(力冷)из полей).
Заметим, что числа £f(7f) образуют представление группы S^ (т. е. имеют место соотношения £p(7Ti) £р(7Г2)= £р(тг17Г2)для всех 7Г1,穴2 Е S^) только в том случае, когда все
поля рассматриваемого монома являются либо бозонными, либо фермионными. Дело в том, что £р(7г) зависит не только от тг, но и от разбиения индексов {1, ..., п} на две части — бозонную и фермионную. В общем случае для произведения £f(tfi) £^(^2)имеется модифицированная формула.
Упражнение 9.14. При т, тг G S^ введем
e袋(ь)=П sgn(7U・-朮)，
i<j
где произведение 口〃 осуществляется по парам индексов г, J (г < /) таких, что 屮(比丁(吟) и з("т。))— фермионные поля (здесь также предполагается фиксированным моном 夕("1)(力1)...
9("九)(/九)).Доказать соотношения
£р(7Г1)£р(7Г2)= £；2 '(小穴丁) при всех 7Г1, 7Г2 G 5П.(9.38)
Упражнение 9.15. Доказать, что при нормальной связи спина со статистикой выполнено соотношение
W^X^l, , Х^п) = £р(7Г)W(X1,, Хп)
во всех точках Йоста (/i,, жп) 6 Зп.
Теорема 9.6. В теории Уайтмана с нормальной связью спина со статистикой функции Уайтмана w(^i,, 2冷)допускают однозначное аналитическое
продолжение в симметризованную трубу и удовлетворяют там перестановочному условию )
w(^l,, 27m) = £р(7Г)^(21,, 2rJ,7Г G Sn.(9.39)
Схема доказательства. Ход рассуждений таков же, как и при доказательстве теоремы 9.1. Пусть поле 屮卜貝外 преобразуется по представлению V^-(A)= 匕•(△, Л) группы SL(2, С); положим
俨1'・・・向(&, А「) = И (Az, Аг)0..,0 К (Az, А「).
При 7г е 5П, Л/, Ar е SL(2,。) введем голоморфную функцию от n G 7гЛ(Л/,卜『孑^: f^i^)^ =a「)苏〃m・・・^九)(穴—认(&, Ar) 2).
Теорема будет доказана, если мы убедимся в выполнении условий согласования (для всех 7Г1,7Г2 е S* Л；, Л；, &/, А么 е SL(2,。))：
『MNg ⑺=fNdg ⑺ при 2G7T1A(&, А；)Т^7
Упражнение 9.16. Доказать, что условия согласования эквивалентны редуцированным условиям согласования (для всех тг 6 S^, Л/, А「6 SL(2, С)):
/⑷八…)⑶二 w^-^\z) при г e ^； П7гЛ(Лг, А「)т^；.(9.40)
(Указание: ср. упражнение 9.4; воспользоваться также формулой (9.38).)
Для доказательства редуцированных условий согласования (9.40) будем рассматривать jgArG⑺ как голоморфную функцию /(")(?; Л/, А「) от вектора г G ^7Г и от матриц Ai, Аг Е SL(2, С), определенную на открытом множестве
={(?; Az, AJ е ^； х SL(2,。)x SL(2,。)： г G ttA(Az, А「)т^；}.(9.41)
В следующих трех леммах будет доказана связность (и непустота) открытых множеств 〃(")и то, что при любом тг G S^ равенство
f^\z- At, Ar)= w(z)(9.42)
выполнено в окрестности некоторой точки (г; Л/, А「) 6 В силу теоремы единственности для голоморфных функций этим завершается проверка редуцированных условий согласования и, значит, доказательство теоремы.
Лемма 9.7. Пусть есть множество элементов (Л/, А「) G SL(2,。) х SL(2, С) таких, что пересечение ^7 П 7гЛ(Л/,八「)一1^7 непусто^ тогда。，(亓)является непустым связным открытым множеством (т. е. областью}.
< Для случая, когда тг есть е — единичный элемент группы S^, лемма 9.7 была доказана ранее (см. лемму 9.2). Обозначим через тго следующую перестановку: 7roeУ) = ^ — J + 1. Тогда “("°)содержит элемент (—1, 1) и ^^^ = (—1, 1) •/('); значит, этот случай сводится к предыдущему. Остается рассмотреть случай, когда тг е, тг R тг。.
Упражнение 9.17. (а) Доказать, что если (A；, AQ 〜(А夕，А二)(в смысле упражнения 9.5) и (Л{, Л；) е “⑺，то (А/, К) е
Пусть (Л/, А「)〜(С, 1), где 。имеет вид (9.18а). Доказать, что (Л/, А「) G только при тг = е. (Указание: пусть г 6 豆7, тогда величина 明—* возрастает с ростом j; при преобразовании z z' = А(。，1)-1г имеем 名。—?夕=z^ — z^; заключить отсюда, что g*_ 1 ⑴—沙草―1 ⑴ возрастает с ростом J только при тг = е.)
Пусть (Л/, А「)〜(С, 1), где。имеет вид (9.186). Доказать, что (Л/, А「) G /(")только при тг = тго. (Указание: воспользоваться тем, что /(亓。)=( — 1, 1)гг/(е).)
Пусть тг R е, тг R тг。. Доказать, что каждый элемент (Л/, А「) G /(") эквивалентен элементу вида (К, К-1), где К дается формулой (9.19), а вещественно и 0 < /3 < тг. (Указание: воспользоваться упражнением 9.5. Случаи (Л/, А「)〜(С, 1), где С дается либо формулой (9.18а), либо формулой (9.186), исключаются. Остается случай, когда (Л/, А「)〜 〜(К, К—), где К дается формулой (9.19) с a G К, 0 W /3 W тг, а А(К, К^) дается формулой (9.20). Рассуждая, как в частях (б) и (в) настоящего упражнения, мы исключаем случаи /3 = 0 и /3 = тг, ибо при /3 = 0 А(К, К-1) оставляет инвариантными нулевые компоненты векторов Zj, а при /3 = тг А(К, К] меняет зна仁нулевых компонент векторов 刁.Наконец, при 0 < /3 < тг существует точка г G 9^ С 7rA(К, К~х)~х^~; достаточно взять Zj = (iaj, 0, 0, %), где aj и bj вещественны, aj возрастает с ростом J,电 cos/3 + bj sin /3 возрастает с ростом 穴工)
Из упражнения 9.17(г) следует, что множество есть непустое открытое множество и произвольный элемент (Л/, А「) 6 эквивалентен элементу вида (К, K~l) с a G К, 0 < < /3 < тг. Таким образом, если .庶 есть совокупность всех указанных элементов вида (К, К-1) (с а 6 /?, 0 < /3 < тг), то произвольный элемент (Л/, А「) 6 можно соединить непрерывной кривой в /(")с некоторым элементом из .*, а так как .庶，очевидно, само является связным подмножеством в /("), то этим доказывается связность . А
Лемма 9.8. Множество 0g является областью.
Как и в предыдущей лемме, случай тг = е или тг = тго тривиален (сводится к лемме 9.3). Поэтому можно считать тг R е, тг R тг。. Фиксируем некоторый элемент К вида (9.19), где а е R, 0 < /3 < тг. Согласно упражнению 9.17 (К, К^) G А^. Очевидно, множество точек из 〃("), у которых Л/ = К, Аг = К-1, является (непустым) пересечением двух выпуклых конусов и потому связно. Поэтому достаточно доказать, что произвольную точку из 0g можно соединить непрерывной кривой, лежащей в 夕(")，с некоторой точкой (г; К, К~х\ где г 6 С тгА(К, К~х)~х^~ . Дальнейший ход рассуждений почти дословно повторяет доказательство леммы 9.3, и мы его опускаем. А
Лемма 9.9. Для любого тг е 5П равенство (9.42) имеет место на некотором непустом открытом подмножестве 6 〃⑺.
Фиксируем вещественную точку г области тг夕п, полагая
= (。，。，。，%)，
где bj — вещественные числа, которые возрастают с ростом 7rj. Точка г входит в область аналитичности функции £рМвместе с некоторой комплексной окрестно
стью. Кроме того, точка т вполне пространственноподобна, поэтому из условия локальности следует, что (обобщенная) функция Уайтмана w^1"'^^^) совпадает с £F(7r) 7rl 7r九)(穴一1力) в некоторой вещественной окрестности точки г и, значит, она также аналитически продолжается в некоторую комплексную окрестность точки г, совпадая там с £рМ
Используя ковариантность функций Уайтмана относительно комплексных преобразований Лоренца, мы можем записать полученный результат в виде
еf(7г)аГ)苏九)(ь.以(4, aГ)г)=苏〜…〃九)(2)(9.43)
при 2 G 次，(А/, A「) 6 2/, где 次—некоторая комплексная окрестность точки т, а 2/ — некоторая комплексная окрестность единичного элемента в SL(2, С) х SL(2, С). Поскольку равенство (9.43) — это то же самое, что равенство (9.42), то лемма будет доказана, если мы убедимся, что множество 次 义 2/ имеет непустое пересечение с множеством 〃("). Для этого достаточно показать, что в 夕(")имеются элементы (г; А/, А「)，сколь угодно близкие к (г; 1, 1). С этой целью положим Zj =刁(е) = (iaj, 0, 0, %), А/ = А「(е) = К, Аг = А「(е)= =К—, где aj =在2, а К есть матрица вида (9.19) при а = 0, (3 = г. Нетрудно видеть, что при достаточно малых положительных £ (г; А/, А「) 6 夕(")(ср. указание к упражнению 9.17(f)). Кроме того, (г; А/, А「) т (т; 1, 1) при г т +0. Отсюда следует, что пересечение множеств 次 义 〃 н 〃⑺ непусто. А
Из теоремы 9.6 вытекает важное следствие (Швингер, 1958). Поставим в соответствие каждой точке х = (ж1,, ж4) = (х, ж4) е В = R4 точку 力/ е СМ по правилу
〃 =(Ed,尤)(9.44)
и назовем евклидовыми точками в СМп точки вида
（21,^n）=（/ 1，力冷），（21,^n）=（/ 1，力冷），(9.45)(9.45)
（21,^n）=（/ 1，力冷），
（21,^n）=（/ 1，力冷），
(9.45)
(9.45)
где 力i,...，力冷 е Е. Если Xj 市 х^ при всех j 市 к, то такая точка будет называться неисключительной евклидовой точкой.
Предложение 9.10. Симметризованная труба ^ (е которой аналитичны функции Уайтмана iz/"i‘…'"九)(2i,…,2rz)) содержит все неисключительные евклидовы точки.
Рассмотрим вначале простейшую ситуацию, когда все величины /^ (J = 1, ..., п) различны. Пусть тг — перестановка из Sn такая, что /^ возрастает с ростом 7rj. Тогда, очевидно, имеем (/：, ..., х'^ G 7г^7 с 疗.Обратимся теперь к случаю, когда среди величин /^ имеются по крайней мере две одинаковые. Без существенного ограничения общности можно
полагать, чтополагать, что3 W 力2 W • • • W ^n3 W 力2 W • • • W ^n(9.46)(9.46)
полагать, что
полагать, что
3 W 力2 W • • • W ^n
3 W 力2 W • • • W ^n
(9.46)
(9.46)
(общий случай получается перестановкой номеров J векторов Xj). Рассмотрим конечную совокупность векторов в R3
{xj - xk: j, k = 1, , n; W = ^4}・
По условию все эти векторы отличны от нуля, поэтому можно найти трехмерный единичный вектор s, не ортогональный ни одному из них. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда s есть вектор вдоль третьей оси; тогда имеем:力另一说 R 0, если 吗=х^. Опять без существенного ограничения общности можно предположить, что
(947)(947)М < х^, если j < к и W =遅
(947)
(947)
(общий случай получается подходящей перестановкой номеров J в каждой из групп векторов Xj с одинаковой координатой /^). Рассмотрим комплескное преобразование А 三 А万
вида (9.20) при а = 0, /3 > 0. Из (9.46), (9.47) нетрудно заключить, что при достаточно малом /3 точка Л万("，…，/乙)принадлежит ^7, tак что ("，…，/乙)6 ^n С 安. a
Использованные в доказательстве геометрические аргументы можно применить для доказательства следующего утверждения, которое нам понадобится в § 9.5.
Упражнение 9.18. Доказать, что для любой точки (/i, жп) е £п с /^ 力 Хк при j 丰 к существует единичный вектор s Е Е такой, что
|(s,力分—Xj)\ > c\xi — Xj I при всех 分力九
а также существует перестановка тг индексов 1, ..., п такая, что
min (s,- x^i) > с min |& - Xj\;(9.48)
здесь с — положительная константа, зависящая только от п. (Указание: определить функцию f({eij}icj) от п(п — 1)/2 единичных векторов е叮(г < J) в Е посредством равенства
f({eij}i<j) = sup min|(s, е^-)|;
убедиться, что эта функция непрерывна и строго положительна, а так как ее область определения есть компакт, то /({е^}г<7) > с > 0 для некоторой константы с.)
Д. Глобальная природа локальности. Перестановочное свойство (9.39) является следствием локальности полей. В действительности это свойство эквивалентно аксиоме локальности, так что для теоремы 9.6 имеется обратное утверждение. Для простоты формулировок мы ограничимся случаем одного скалярного поля 夕(力)(когда перестановочное свойство (9.39) превращается в условие симметрии относительно перестановок аргументов).
Предложение 9.11. Рассмотрим теорию скалярного поля 夕(力)，удовлетворяющего всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением аксиомы локальности W.VI, и пусть все функции Уайтмана w^(^i, ..., 2冷)аналитически продолжаются в симметризованную трубу W “ симметричны по ^ь , zn. Тогда выполнена и аксиома локальности (е данном случае аксиома локальной коммутативности).
Покажем, что при вещественных значениях аргументов функции Уайтмана удовлетворяют условию
W(X1, xk, Xk+1,, жп) = w(xi, ,力/c+i, xk, , Xn)(9.49)
при (必—ж/с+1)2 < 0 (k = 1, 2, ..., n — 1). По условию имеем
w(^i, ..., zk, zk+i, zn) = w(^i, ..., zk+i, zk, ..., Zn)(9.50)
в области 安.В частности, это равенство имеет место, если Zj — n* G TJ при j R k, a
Zk — ^fc+1 =工 k —力/c+l(9.51)
есть вещественный пространственноподобный вектор. Действительно, такие точки (句，...，гп) лежат в расширенной трубе ^, и достаточно проверить это для случая, когда
Xk - xk+i = (0, 0, 0, а),
где а < 0. Для этого выберем комплексное преобразование Лоренца Л = Л/з в виде (9.20) при а = 0, /3〉0; нетрудно убедиться, что при достаточно малом /3 K^z 6 ^7, откуда следует г е (аналогичным образом с использованием /3 < 0 доказывается, что г G тг^п, где тг: (1,…，k, k + 1,…) т (1,…，k + 1, к,…，？г)). Предполагая выполненным условие (9.51), перейдем в равенстве (9.50) к пределу (в смысле обобщенных функций по /1,...
...,хп в области (хк — )2 < 0) при Im (刁 —n^+i) т 0 в конусе Im (刁 —n^+i) G V~, где j ^ к. Тогда правая и левая части равенства (9.50) будут иметь соответствующими пределами правую и левую части доказываемого равенства (9.49).
Этот факт нуждается в пояснении. Рассмотрим, скажем,
как обобщенную функцию от переменных ^к = Хк —必+i (Zc = 1, ..., п — 1). Мы знаем, что W(§i,^n-i) является преобразованием Фурье обобщенной функции с носителем в кону
се (厂)义⑺-"(см. формулы (8.34), (8.36)), поэтому она есть граничное значение (в смысле обобщенных функций) аналитической функции 屮(《，...，(n_i) при Im G — 0, ImG Е V~ (J = 1, ..., n — 1) (см. теорему 8.5, которая сама является частным случаем теоремы Б.7). Однако, как видно из доказательства теоремы Б.7, совершенно несущественно, в каком порядке осуществляется предел Im «^ т 0 в конусе Im «^ 6 V~ (или даже в конусе Im «^ 6 6 У-), J = 1, ..., п — 1. Поэтому в рассматриваемой ситуации можно перейти сначала к пределу Im《小 т 0 (в конусе Im ^ 6 V~, при этом Im Q 6 V~ с j 丰 к остаются неизменными). Поскольку нас интересует область §* < 0, то (как было сказано выше) при этом мы пока не уходим из области аналитичности функции W^x, ,《九一i). Переходя затем к пределу Im G т。в конусе ImG Е V~ (J R к), мы получаем требуемое соотношение:
屮(§1…，§九-1) = J^m g 屮(4, • • •, Cfc-1, &,飲十1, • • •, Cn -1)•(9.52)
Аналогичным образом обстоит дело с правыми частями формул (9.49), (9.50):
=11mo VK((i, , (fc-i + ^fc, -^k, €fc + Cfc+i, , Cn-i). (9.53)
Этим завершается доказательство условия (9.49). А
Аргументация, использованная в предложении 9.11, применима и для доказательства результата о глобальной природе локальности (который также сформулирован ниже применительно к случаю одного скалярного поля). Предварительно сделаем пояснительное замечание. Мы уже говорили о том, что постулат локальной коммутативности является одним из самых ограничительных принципов квантовой теории поля. Могло бы возникнуть сомнение относительно экспериментальной обоснованности этого постулата: мы не имеем особых оснований считать, что измерение компоненты эрмитова поля в некоторой точке не влияет на значение компонент этого поля в другой точке, отстоящей от первой на сколь угодно малый пространственноподобный интервал. Оказывается, однако, что можно доказать свойство локальной коммутативности, если сделать на первый взгляд более слабое допущение, что поля коммутируют лишь при достаточно больших пространственных разделениях. Отсюда следует, что если в нелокальной теории справедливы остальные требования релятивистской квантовой теории, то, грубо говоря, коммутатор полей должен быть всюду отличным от нуля. Поэтому неудивительно, что попытки ввести «нелокаль- ность в малом» требуют одновременного отказа и от каких-либо других требований формализма Уайтмана, например от «перенормируемости» (т. е. от условия, что 汾团］(夕 1,pn) — обобщенные функции умеренного роста).
Предложение 9.12. Пусть в теории скалярного поля 夕(力)выполнены все аксиомы Уайтмана, за возможным исключением локальности, вместо которой
постулируется более слабое (на первый взгляд} условие [夕(力)，夕匂)]=0, когда 力 и у изменяются в некоторых (произвольно малых} пространственноподобно разделенных областях. Тогда для поля 夕(力)выполнено также и условие локальности {точнее, локальной коммутативности}.
< В силу трансляционной ковариантности полей мы можем считать, что равенство [夕(力)，s(g)] = 0 имеет место, когда х — у изменяется в некоторой области О и М пространственноподобных векторов. Таким образом, мы исходим из условий
W(X1, xk, xk+i, Хп) = w(xi, ..., xk+i, xk, ..., Xn) (9.54)
при Xk — Xk+\ G〃 (k=l,...,zz — 1). Требуется доказать, что равенство (9.54) справедливо при всех пространственноподобных Xk —/小十1・ Рассмотрим две функции Уайтмана
w(^i, ..., zk, zk+i, ..., 2九)， w(^i, ..., zk+i, zk, ..., Zn). (9.54)
При доказательстве предложения 9.11 мы видели, что точки (?i, гп) принадлежат ^ с П 7г^, если Im (zj —旳・十1) 6 V~ при j ^ к и Zk — n/c+i = ^ есть вещественный пространственноподобный вектор; следовательно, такие точки г входят в область аналитичности обеих функций (9.55). Перепишем равенство (9.54) в терминах разностей &• = Xj — ж^+ь
VK(§i,…，&_ 1, &, &十1,…，金―i) = W^i, , ^k-i + &, —&, & + &+i,…，金―i). (9.56) при §k G 〃，玄 будем подразумевать, что это равенство сглаживается с произвольной основной функцией по переменной ^ из 夕(〃).Тогда по остальным переменным &• (J 力 к) обе части (9.56) являются граничными значениями функций, аналитических в трубе ImG Е V~ СУ R 衣)(см. (9.52) и (9.53)). Из теоремы единственности Б.10 следует, что и сами функции, стоящие в правых частях равенств (9.52), (9.53), должны совпадать (по крайней мере при & 6 夕).Тем самым мы доказали, что функции (9.55) совпадают, если Im (zj — Zj^\) 6 V~ при j ^ к и Zk — Zk+\ 三& G 〃. Но так как обе функций (9.55) аналитичны в П 穴八， то отсюда следует их совпадение в связной компоненте множества ^Стг^, содержащего точки г с Im (刁—刁+i) G V~ при j ^ к и Zk —次十1 G 〃• В частности, функции (9.55) совпадают при всех г таких, что Im (г —旳・十1) 6 V~ при j ^ к и Zk — ^+i — вещественный пространственноподобный вектор. Далее остается воспользоваться аргументацией, использованной в доказательстве предложения 9.11, и заключить, что равенство (9.54) имеет место при (必-xk+i)2 < 0. ►
Без ущерба для общности в условии предложения 9.12 можно было предполагать, что
[9(/)，93)] = 0 при 一 产 < (/ - g)2 < 一次 (9.57)
(где h < I — некоторые положительные числа), поскольку (9.57) непосредственно вытекает из условия предложения 9.12 и пуанкаре-ковариантности полей. В работах Владимирова ([В9], п. 29.6; см. также более раннюю работу (I960)) и Петрины (1961) доказан такой результат. Из трансляционной ковариантности, из спектральности и из условия (9.57) следует обычная локальная коммутативность:[(夕(力)，夕(沙)]=0 при (ж — у)2 < 0. Этот результат наиболее сильный, так как он не предполагает ковариантности относительно группы Лоренца )力]и следует из теоремы о С-выпуклых оболочках из теории функций нескольких комплексных переменных, доказанной Владимировым в упомянутых выше работах.
Замечание. Предложение 9.11 подсказывает следующий подход к (возможно) «нере- нормируемым» квантовополевым теориям. Представим себе теорию (для определенности, одного скалярного эрмитова поля 夕)，в которой требование, что поле 夕(力)есть операторная обобщенная функция над пространством ”М), заменяется более слабым требованием: поле в импульсном пространстве 0(@) есть операторное распределение над пространством 夕(Af). Все аксиомы Уайтмана, за исключением локальности, легко переносятся на такую теорию. Так, в терминах функций Уайтмана условие w. 1 (п. 8.3.А) заменяется теперь условием w^n\pi, ..., pn) G 夕'(АГ2); аналогично в терминах 访[飼(@i, рп) переписываются
другие характеристические свойства W.2-W.6 функций Уайтмана. Соответствующая теорема реконструкции доставляет квантовое поле 夕 как операторное распределение 0(@) над 夕(Af) в импульсном пространстве. Однако в такой теории еще нет аналога аксиомы локальности (поскольку еще не введено /-пространство). Чтобы обеспечить переход к координатному пространству и иметь возможность постулировать более или менее обычную локальность (без какой-либо «нелокальности в малом»), мы введем следующее понятие. Будем говорить, что квантовополевая модель допускает предэкспоненциальный рост (в р-пространстве), если распределения W[n\q^ Qn-1) е 夕/(ЛГ-1) допускают рост более медленный, чем любая exp(w|q|) (где \q\ — евклидова норма вектора q = (qi, Qn-i) G Afn-1); более точно, это означает, что при любом £〉0
[ch(w|q|)「麻叫qi)
есть обобщенная функция умеренного роста (т. е. принадлежит 乡/(川九一1). Учитывая свойство спектральности, получаем
[ch^lQl)]-1^^^!,Qn-1)I (^)"-1) при любом € > 0.
Нетрудно проверить, что ^^-функции [ch(w|q|)] ехр ( £ р^т]) (при любом 〃 G(у-)п-1 и некотором £ = £(〃) > 0) и [сЬ(£|^|)]-1 ехр (— £ 仍勿)(при любом £ > 0 и некотором ту = = 〃(£)6 (У-)п-1) являются мультипликаторами в пространстве ^(Afn-1 | (卜十)"-】).Поэтому условие предэкспоненциальности роста означает
exp (^p^w^^,...^^) е 歹I (L)1)
при всех 〃 三(〃i, Tjn-i) 6 (У-)п-1. Согласно п. Б.1 это эквивалентно тому, что распределения W^n\qi, , Qn-i) и w^](pi,, рп) имеют преобразования Лапласа VT^^i, , (n-i)
и 加飼⑵，...，гп), аналитичные соответственно в трубах Т~_{ (8.41) и 夕7
Теперь мы можем сформулировать условие локальности в теории предэкспоненциаль- ного роста: требуется, чтобы (при любом п = 1, 2, ...) функции Уайтмана w^^i, ..., гп) допускали аналитическое продолжение в симметризованные трубы 疗 и были симметричны ПО Z\, ..., zn.
Возможна и другая, эквивалентная, формулировка локальности в таких теориях: постулируется существование обобщенных граничных значений
W[n\xi, , жп) = lirn W[n\zi, , Zn)g 三Im
в 夕'(〃九),где 〃九 есть множество всех вполне пространственноподобных точек из Мп, причем эти обобщенные граничные значения симметричны относительно перестановок аргументов.
Эквивалентность двух определений локальности вытекает из следующих соображений. Согласно результату Рюэля (1959) (см. [И5], теорема на с. 127) вполне пространственноподобные точки из Мп содержатся в оболочке голоморфности симметризованной трубы 疗， поэтому из условия локальности в первом смысле следует локальность во втором смысле. Обратно, пусть выполнена локальность во втором смысле. Согласно модифицированной теореме Стритера (1962а) (см. [И5], теорема на с. 138) отсюда (даже без предположения о лоренц- ковариантности полей) следует, что функции Уайтмана w^^i, ..., гп) аналитически продолжаются в расширенные трубы В силу симметрии граничных значений в классе 夕'(〃九) семейства функций {w^^i, ..., г^п)} (где тг пробегает перестановки индексов 1, ..., п) образуют, вообще говоря, многозначные аналитические функции в симметризованных трубах 疗，а поскольку 屋—односвязные области (Томозава, 19636), то выполнено условие локальности и в первом смысле.
Как мы видели в предложении 9.11, сформулированное выше условие локальности (в первом смысле) переходит в обычное условие локальности в моделях уайтмановского типа (которые «ренормируемы» по определению, т. е. в них 访[飼(@i, ..., pn) — обобщенные функции умеренного роста). Поэтому все уайтмановские поля составляют частный случай локальных моделей предэкспоненциального роста (в р-пространстве).
ТСР-теорема
А. TCP-инвариантность. В § 8.4 мы рассмотрели дискретные симметрии Р, С, Т для свободных полей. В этом случае можно определить ТСР-оператор 0 как антиунитарный оператор, равный произведению операций Т, С и Р в пространстве векторов состояний:
6 =u(厶)u0(八).
Исходя из определенного закона преобразования полей при Т-, С- и Р-преобра- зовании, нетрудно найти условия на функции Уайтмана для того, чтобы теория была Т-, С-, Р- или TCP-инвариантна. Замечательный результат теории Уайтмана состоит в том, что хотя каждая из симметрий Г, С или Р накладывает некие новые ограничения на функции Уайтмана, симметрия относительно их произведения TCP является следствием основных требований локальной квантовой теории поля и не накладывает никаких новых ограничений. Поэтому можно представить себе теорию, в которой существует TCP-симметрия, но которая не инвариантна ) в отдельности относительно Т, С и Р. (Более того, как показывают экспериментальные данные, такая ситуация имеет место в действительности, если учитывать все типы взаимодействий элементарных частиц; см. по этому поводу, например, Ли, 1966, 1967, Арбузов и Филиппов, 1966, Окунь, 1966; в монографии [К1] можно найти ссылки на более ранние оригинальные работы.) В этом случае определение оператора 0 как произведения операторов U(4), Uc,。(厶)следует рассматривать лишь как наводящее соображение при построении оператора 0.
Другая интересная черта TCP-теоремы заключается в том, что она предписывает некоторый универсальный закон преобразования полей при ТСР-преобразовании ). Как известно, априори допускается свобода в такого рода преобразовании (которая сводится, скажем, к вариации фазовых множителей в законе преобразования полей, преобразующихся по неприводимым представлениям группы Лоренца). Теория Уайтмана в принципе также допускает отклонение от упомянутого универсального закона преобразования полей, однако такая свобода имеет место лишь при наличии подходящей внутренней симметрии полевой алгебры.
Проиллюстрируем сказанное на примере свободного дираковского поля. В этом случае для оператора 0 имеем (согласно упражнению 8.30)
0仪力)0T = 〃)5 2*(一力)=〃^70以一/)，
0仪/)€)T =力^70仪一力)，
где 〃 = fjt^c^s (〃4 = 1). Группа калибровочных преобразований позволяет выбрать фазу 〃 в (9.59) равной единице (если 〃市 1, то можно переопределить 0, вводя новый оператор О', равный произведению 0 и оператора соответствующего калибровочного преобразования). Рассмотрим двухкомпонентный формализм
в представлении, в котором матрица 75 диагональна (см. дополнение Д); тогда формулы (9.59) (при 〃 = 1) приводятся к виду
(9.60)
（"（力）丿一（守
Именно такой закон преобразования спиноров со спином ^ выбирается в ТСР-тео- реме.
Чтобы уяснить закон преобразования произвольных спин-тензорных полей при TCP-операции, рассмотрим спин-тензорные поля, составленные из свободных спинорных полей, например поле
麗倉(力)="(/)…(/)心?(力)…(x)^)(/):;
здесь мы ввели конечный набор свободных дираковских полей ⑦。)，ф^\ ... для того, чтобы получить поля 夕 с произвольным числом пунктирных и непунктирных индексов (различные дираковские поля взаимно антикоммутируют). Очевидно, под действием собственной группы Лоренца (или 5L(2, С)) поле 夕(力)преобразуется по тензорному произведению т экземпляров представления R(i/2，°) и 八 экземпляров D(°J/2). Исходя из закона преобразования (9.60) для дираковских спиноров и учитывая антикоммутативность спинорных полей под знаком нормального произведения, нетрудно, убедиться, что
9咽二置3)… £(t)吋唱潔s)*,
где £ — четность перестановки (1, 2,, m + п) — (т + п, , 2, 1):
((—l)(m+n)/2,если m + п четно,
I 1)(加+几一1)/2, если m + п нечетно.
Таким образом,
6 圖常（力=（Т）"麗哀（-）*，MD
где F — фермионное число поля 夕(т. е. F = 0 или 1 в соответствии с тем, четно или нечетно т + п).
Формула (9.61) и есть универсальный закон преобразования полей в ТСР-тео- реме (мы видим, что он выбран так, как если бы все поля были составлены из дираковских спиноров).
Сформулируем теперь ТСР-теорему.
Теорема 9.13 (TCP-теорема). В теории Уайтмана с нормальной связью спина со статистикой существует (“ единствен) антиунитарный оператор 0,
называемый TCP-оператором, оставляющий вакуумный вектор Фо инвариантным и действующий по формуле
6 夕(叫力)@т = (—1 户卢("%(〃)(—力)*(9.62а)
или, эквивалентно *),
6夕(*)(力)О-=尸")”(叫—1, 1)夕(")(—/))*(9.626)
на поле, преобразующееся по неприводимому представлению D。")группы SZ/(2, С); здесь F^ — спинорное число поля 夕(")：
歹(死) J 0,если 7 + к — целое число,
если 7 + к — полуцелое число,
< Для существования оператора © с требуемыми свойствами необходимо и достаточно, чтобы функции Уайтмана удовлетворяли соотношению
苏^…)(一/九,-/1) = (-1产(一y苏人・K)包，…，/九)；(9.64)
здесь J = Ji + ... + Jn; F =歹("° + ... + 歹九).Приведенное ниже схематическое доказательство этого критерия является модификацией стандартного рассуждения, использованного в дополнении к теореме ГНС (см. предложение 1.30), применительно к случаю антиунитарно реализованной симметрии.
Необходимость условия (9.64) устанавливается применением вакуумного среднего к оператору 6夕("1)(力1)...夕("九)(/九)^一丨 и использованием условий (9.62) (а также инвариантностью вакуума относительно антиунитарного оператора 0). Для доказательства достаточности произвольному моному А вида (8.8) сопоставим моном А\ получающийся из А заменой 夕产⑺ т (—1户尸/(ж) т /(/)• Тогда из (9.64) следует
(Л2Ф0, А%〉= (Л；Фо,弟％〉，
откуда очевидно существование антиунитарного оператора © такого, что ©АФо = 4'3о・
Чтобы завершить доказательство теоремы, остается убедиться в справедливости соотношений (9.64); ранее же (см. упражнение 9.12 (б)) было отмечено, что эти соотношения являются следствием аксиом Уайтмана. А
Упражнение 9.19. Доказать, что оператор © связан с представлением U(a, А) спинорной группы Пуанкаре фо соотношениями: 6U(a, А) 0-1 = U(—а, А), 02 = (7(0, —1).
Упражнение 9.20. Пусть А есть элемент 夕(〃)вида (8.8) и пусть / пробегает все ^(Afn). Доказать, что замыкание множества векторов вида А*Фо получается из замыкания множества векторов вида 厶田。применением TCF-оператора 6. (Указание: воспользоваться TCF-теоремой и упражнением 8.3.)
Б. Слабая локальность. Доказательство TCP-теоремы основывалось на соотношениях (9.64), которые в свою очередь выводились из соотношений
(01夕(^)(^)...03)(/1)|0)=/(01 0 3)(3).*(^)(^)|0),(9.65)
где (力i,…，力冷)—произвольная точка Йоста, F — число полей с полуцелым спином в наборе 夕("»,…，夕(”九)(см. упражнение 9.12). Соотношения (9.65) слабее, чем требования локальности полей; они называются условием слабой локальности
*) В такой записи формула применима к бозе- и ферми-полям, преобразующимся по произвольным (возможно, приводимым) конечномерным представлениям V(")группы SL(2, (7).
26*
полей. Таким образом, справедлива следующая модификация TCP-теоремы, принадлежащая Йосту (1957).
Теорема 9.14 (модифицированная TCP-теорема). В квантовой теории поля, 6 которой выполнены все аксиомы Уайтмана, за возможным исключением локальности, условие слабой локальности эквивалентно существованию ТСР-опе- ратора 0, удовлетворяющего соотношению (9.62) и оставляющего вакуумный вектор инвариантным.
На следующем примере нетрудно убедиться, что условие слабой локальности действительно слабее требования локальности. Пусть 夕(力)—свободное скалярное эрмитово поле массы т
0(力)=j (a* (夕)e1Px +心)「*)(如爲，г+
где, однако, операторные обобщенные функции а(р) и а* (夕)удовлетворяют вместо перестановочных соотношений (8.65) антикоммутационным соотношениям:
[a(0)，a(力+ =。，[a(。)，a*(力+ = 2Gg)(2тг)38g 一g).
Тогда поле 夕(力)не локально; не только коммутатор, но и антикоммутатор
[0(力)，0匂)]+ =0⑴(/-g)三]27rb(02 - m2) e必"一")必2
отличен от нуля для пространственноподобных интервалов х — у. Тем не менее, очевидно, существует антиунитарный оператор 0 со свойствами
0Фо = Wo,60(/)€)-1 =°(一力)，02 = 1.
Следовательно, согласно теореме 9.14 функции Уайтмана удовлетворяют условию слабой локальной коммутативности (т. е. слабой локальности применительно к полям с целым спином).
Упражнение 9.21. Проверить непосредственно, что условие слабой локальной коммутативности выполнено для рассматриваемой модели. (Указание: для функций Уайтмана имеется разложение по спариваниям типа (8.120) для дираковского поля; убедиться далее, что
W^ (х — у) — W^ (у — х) = 0 при (/ - д)2 < 0;
воспользоваться тем, что всякая нечетная лоренц-инвариантная функция в М исчезает при пространственноподобном аргументе.)
В. Классы Борхерса; понятие локального составного поля. Модифицированная TCP-теорема нашла интересное применение при изучении классов локальных между собой полей (Борхерс, I960), которое позволило по-новому подойти к проблеме определения локального составного поля. Грубо говоря, неприводимость полей (доказанная в п. 8.2.В) означает, что всякий линейный оператор в 3f является функционалом от полей, и, таким образом, общее понятие функционала полей становится тривиальным; поэтому более интересным является понятие локального функционала. Дело в том, что квантовые поля не существуют в отдельно взятой точке, и наивное определение, скажем, квадрата 夕2(力)скалярного поля 夕(力)лишено смысла. Общее определение локального составного поля таково. Пусть 夕={夕(")}死^к — система уайтмановских квантовых полей, для определенности, с нормальной связью спина со статистикой. Пусть ⑦={⑦")}^^^ — другая система тензорных или спин-тензорных операторных обобщенных функций, действующих в том же пространстве. Будем
говорить, что поля ?//丁) являются локальными составными полями относительно базисных полей 夕，если расширенная совокупность полей, полученная присоединением полей ?//丁)к исходной системе полей 夕，снова удовлетворяет аксиомам Уайтмана W.I-W.VIII (с прежней областью определения О).
Для того чтобы это определение было оправданным, важно убедиться, что если 2’ — поле, также являющееся локальным составным полем из полей 夕，то поля ⑦ и г)У взаимно локальны и, значит, совокупность полей, получения присоединением полей @ 込 2，к исходной системе полей 夕，также удовлетворяет аксиомам Уайтмана. Это свойство (см. ниже предложение 9.17) называют транзитивностью условия локальности (Борхерс, 1962). Любая совокупность локальных составных полей системы полей 夕，содержащая эту исходную систему 夕，называется борхерсовским расширением системы полей 夕.Совокупность всех локальных составных полей для данной системы полей 夕 называют классом Борхерса полей 夕.Таким образом, класс Борхерса — это максимальное расширение системы полей 夕，которое удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана (и такое максимальное расширение единственно).
Примеры локального составного поля доставляют полиномы Вика свободного поля (п. 8.4.А). Эпштейн (1963) доказал более сильное утверждение: полиномы Вика исчерпывают класс Борхерса свободного поля. (В этой связи см. также результат Баумана, 1982.)
Обратимся теперь к выводу результата Борхерса о транзитивности свойства локальности, а также слабой локальности.
Предложение 9.15. Пусть 夕 ={夕(")} — система квантовых полей, удовлетворяющих всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением локальности, вместо которой постулируется слабая локальность. Пусть ф{х) — другое квантовое поле такое, что объединенная совокупность полей {夕(死)} 〃 {V} удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением локальности. Предположим, что соотношения вида
(о id"» (д)...夕(％)(力卜)吹力)夕(力(力 k+i)...(жп)| о)=
=/(0|九)(力九)以力)0力k)...0("i)(力i)10) (9.66)
выполняются во всех точках Йоста (力i,,力，，力冷)e 3n+i (〃p〃 всех n = 1, 2,... и при любых типах xi, ..., хп полей); здесь F — число спинорных полей е мономе 夕("1)...夕("九)?/；. Тогда у полей 夕〃⑦ имеется общий ТСР-оператор 0, поэтому 2(力)слабо локально, а поля 夕(")(/) и ^(ж) взаимно слабо локальны ).
Из соотношения (9.66) следует равенство в Afn+1:
(019(^)(^)...9(人+1)(з+1)次/)9(人)(以)..“〃1)(/1)|0〉=
=(一1产(一y(01夕("1)(一/1)…队一叫一/П)10)(9.67)
(см. аргументацию в упражнении 9.12). Пусть © есть ТСР-оператор для поля 夕 и пусть
Ф = j 9(人)(/Q…9("1)(/1) /(/1,…，xk) d%i …d4з ⑼，
w = f ^k+^\-xk+x).. .^n\-Xn) g{xk+\,, xn)d4xk+i...d4xn\0)',
такие векторы Ф (или Ф) образуют тотальное множество в гильбертовом пространстве 力 Равенство (9.67) теперь записывается в виде
次/)①)=(—1 户(一分广(")(6①，次一/)Ф), или, с учетом антиунитарности 0:
" 6次/)①)=(_1户(一分广(")旧，次一/)6①),
Значит, © является TCP-оператором и для поля 吵：
0^(ж) 0-1 =1)"产⑺认—
В силу модифицированной TCP-теоремы отсюда следует слабая локальность поля 吵 и взаимная слабая локальность полей 3 H 吵. А
Следствие 9.16. Свойство взаимной слабой локальности транзитивно е следующем смысле. Пусть 夕={夕(")} — система слабо локальных полей {удовлетворяющая всем аксиомам Уайтмана, кроме, может быть, локальности', е частности, для 夕 предполагается цикличность вакуума)', кроме того, пусть 6 力 определены квантовые поля 2⑴ и 2⑵,каждое из которых удовлетворяет условиям предложения 9.15 и, значит, взаимно слабо локально с полем 夕.Тогда поля ?//1) и @⑵ взаимно слабо локальны.
Действительно, в силу предложения 9.15 поля 夕，吵("и 吵偉)имеют общий TCF-оператор и, значит (согласно модифицированной TCP-теореме), все они взаимно слабо локальны.
Итак, для данной системы 夕 слабо локальных полей (удовлетворяющих всем аксиомам Уайтмана, возможно, кроме локальности) можно образовать класс всех взаимно слабо локальных полей, включающий 夕*). В этот класс входят все слабо локальные поля ⑦ с общей областью определения и общим ТСР-оператором.
Покажем, что для взаимно локальных полей также имеет место свойство транзитивности.
Предложение 9.17. Пусть 夕 ={夕⑺} — уайтмановская система локальных полей с нормальной связью спина со статистикой и пусть ⑦。)и ⑦⑫)—пара квантовых полей таких, что объединенная совокупность полей 夕，^^\ ⑦⑫)удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением локальности, вместо которой постулируется, что каждое из полей 少⑴,⑦⑫)взаимно локально "⑦⑴(力士 = 0 =［。(")(/)，⑦⑵(力士(力一疗V。
(знаки ± здесь выбираются в соответствии с правилом (8.13), (8.16) для нормальной связи спина со статистикой). Тогда поля 2⑴ и ⑦⑫)взаимно локальны:
2⑴(/)，⑦⑵(/± = 0 при (/一g)2 V 0(9.68)
так что объединенная система полей 夕，⑦。)，⑦⑫)удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана (с нормальной связью спина со статистикой).
Поля з,吵°),吵(2) удовлетворяют всем условиям, фигурирующим в следствии предложения 9.15, поэтому они взаимно слабо локальны. Отсюда и из локальности полей 夕 и взаимной локальности каждого из полей 吵("，吵&) с 夕 следует, что в точках Йоста (/1,у, г, /к+1,, Хп) 6 Уп+2 выполняются соотношения
(019("1)(/1)...9(人)(з)也⑴(g)也⑵⑶9(人+1)(以+1)...9("叫/九)|0)=
=(-1严2〈019("叫/n)...9(人+1)(з+1)叩⑵⑶也⑴3)9(")(з)...9("1)(/1)|0)=
=土〈01夕("1)(/1)...9(人)(з)也⑵⑶也⑴(g) ^k+l\xk+i).. .^^(Xn^oy, (9.69)
здесь F — число полей с полуцелым спином в мономах, фигурирующих в этих соотношениях; знак «土》означает «—», если поля 吵("и 吵偉)с полуцелым спином, и «+» в противном случае.
Упражнение 9.22. Вывести из (9.69) равенство
〈019("1)(/1)(人)(/Q［电⑴(g),в⑵(力士9(人+1)(以+1)…9("叫/九)|0)= 0(9.70)
при любых xi, ..., xn G Af и (g — /)2 < 0. (Указание: сгладить левую часть (9.70) по у, г с произвольной функцией /(у, г) из 夕(Af?) с носителем в достаточно малой окрестности точки (a, b) 6 М2, где а, b — произвольная пара пространственноподобно разделенных точек из Af; полученная обобщенная функция по остальным переменным /1, жп будет граничным значением функции, аналитичной в трубе
{z е СЛе Im^i е У-, 1шгп е V+, Im(4・一2升 1) G и+
при1 и j = k 1, ..., п — 1}
воспользоваться далее теоремой единственности Б. 10.)
Из (9.70) и цикличности вакуума относительно поля 夕 следует (9.68). А
Следствие 9.18. Если система полей 夕 удовлетворяет аксиомам W.I- W.VIII, а поле ⑦ взаимно локально с 屮(с нормальной связью спина со статистикой), то поле ⑦ само локально. {Достаточно положить ⑦。)=⑦⑫)=⑦ e предложении 9.17.)
В п. 12.1.В мы приведем еще один замечательный результат Борхерса о совпадении 5-матрицы для взаимно локальных полей. Из него, в частности, следует, что в теории поля с нетривиальной 5-матрицей (т. е. при S R 1) поля 夕 н нх асимптотические поля g黑t не могут быть взаимно локальными (так что поле 夕 не может находиться в классе Борхерса свободного поля，п).
Замечание. В начале этого пункта было употреблено интуитивное понятие локального функционала полей. Для того чтобы локальное составное поле можно было рассматривать как локальный функционал от базисных полей, должна быть уверенность, что локальное составное поле в сколь угодно малой области 0 С М в каком-то смысле порождается алгеброй исходных полей в той же области. Наиболее естественный путь для достижения ситуации, в которой понятия локального составного поля и локального функционала от полей вполне можно считать равноправными, — это предположить, что заданной системе полей соответствует сеть локальных полевых алгебр (фон Неймана) 3(〃)，удовлетворяющая условию дуальности с кручением (п. 8.2.Б). (В связи с этим возникает проблема, можно ли в ситуации, когда первоначальная сеть локальных полевых алгебр не удовлетворяет условию дуальности с кручением, использовать процесс борхеровского расширения для «насыщения» локальных полевых алгебр с тем, чтобы новая сеть локальных полевых алгебр удовлетворяла условию дуальности с кручением.)
Связь спина со статистикой
А. Формулировка результатов. Как отмечалось в п. 8.2.Б, теория Уайтмана допускает бозе-ферми-альтернативу: любые два поля 夕(*)и 夕(力)либо коммутируют, либо антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов:
夕(")(/)夕(”)(g) = ^-^F^F^ }+^^^')^)^ ^^х) при (力一у)2 < 0; (9.71) здесь s = {cj(x, Xх)} — симметричная матрица, состоящая из нулей и единиц;歹(”)— спинорное число поля 夕(”)(см. (9.63)). Выше мы нередко делали упрощающее предположение (аксиома W.VIII): связь спина со статистикой является нормальной, т. е. матрица s в (9.71) равна нулю. Оказывается, справедлив следующий замечательный результат (восходящий к Паули, 1940).
Теорема 9.19 (о связи спина со статистикой). В теории Уайтмана, где все поля либо только коммутируют, либо только антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов, имеет место нормальная связь спина со статистикой (те матрица s в (9.71) равна нулю}.
Вообще же теория Уайтмана допускает аномальные перестановочные соотношения между различными полями, и теорема 9.19 обобщается на этот случай нижеследующими леммами 9.21 и 9.23 (из которых она следует как частный случай). Проведенное исследование показывает, что теория с аномальными перестановочными соотношениями обладает дополнительной дискретной группой симметрии, благодаря которой удается переопределить поля так, чтобы они удовлетворяли нормальным перестановочным соотношениям. При этом нужно, однако, сделать одно «техническое» предположение: индекс х, различающий поля, пробегает конечное число значений, скажем, 1, 2, ..., N. (Как обычно, индекс 无 соответствует эрмитово сопряженному полю:夕(*)=夕(*)*.)
Разумеется, вводя производные полей по координатам и определяя различные составные поля (типа виковских полиномов от свободных полей и их аналогов — составных полей данного класса Борхерса в общей теории, см. п. 9.2.В), число локальных полей в теории Уайтмана всегда может быть доведено до бесконечности. То, что мы имеем в виду, означает существование конечного порождающего набора локальных полей. Во всех существующих физических моделях квантовых полей предположение конечности набора «базисных» полей всегда выполняется.
Сформулируем теперь основной результат о приведении перестановочных соотношений к нормальному виду.
Теорема 9.20. Системе уайтмановских полей 夕(”)(х = 1,, TV), не равных
тождественно нулю, можно сопоставить систему взаимно коммутирующих унитарных операторов V^ (х = 1,…，N), оставляющих вакуумный вектор инвариантным и обладающих следующими перестановочными свойствами с 〃о- лями\
『(")夕(弘)(/)=(一1产"，力)0(弘)(力)Vм;(9.72)
здесь а = {&(〃，〃')} — матрица из нулей и единиц такая, что
а(х, хх) х)=奴％ xz) (mod 2).(9.73)
Определим новые поля с помощью так называемого преобразования Клейна\
"(*)(/)=川忆*)『(*)夕(*)(/).(9.74)
Тогда поля 夕'(力)удовлетворяют всем аксиомам Уайтмана (е том числе условию эрмитова сопряжения 夕乂")* =夕乂")“，кроме того, обладают нормальной связью спина со статистикой.
Мы докажем теорему 9.20 в п. 9.3.Г, изучив предварительно свойства матрицы s.
В следующем упражнении приведен простейший пример преобразования Клейна.
Упражнение 9.23. Рассмотрим систему полей, состоящую из скалярного поля 夕 и дираковского спинора 吵，причем эти поля взаимно антикоммутируют на пространственноподобных интервалах:
[夕(力)，认д)]+= 0 при (ж -< 0
(в то время как коммутатор [夕(力)，夕(沙)]и антикоммутатор 砂(/),次g)]+ исчезают при (ж — у)? < 0, как и в случае нормальной связи спина со статистикой). Доказать, что преобразование Клейна можно определить формулами “(/)=吵(力)，"(/) = U(0, — 1)夕(力), где U(0, —1) — оператор унивалентности.
Б. Необходимые условия для аномальных перестановочных соотношений. Удобно выражать перестановочные свойства полей в терминах полилокальных мономов X, составленных из полей и имеющих вид
X = d「)(g) — d7)(^),(9.75)
причем всюду предполагается, что точка (力1,,力冷)в (9.75) пробегает лишь вполне пространственноподобные значения (т. е. (xj —力卜)2 < 0 при j 纟 к). Если X п У два таких монома, то,
XY = (-УУХ(9.76)
(при пространственноподобном разделении аргументов); здесь к есть 0 или 1 в соответствии с формулой
k勿))(mod2),
a m(")(X) есть число вхождения по модулю 2 поля 夕(”)в моном X. Пусть X — пространство всех векторов m = (m⑴，т(~)), компоненты которых равны нулю или единице. Тогда каждому моному X сопоставляется вектор т(Х) в X по указанному выше правилу:
т(Х) = (т⑴(X),, m(N)(X)).(9.77)
В частности, полю 夕(”)сопоставляется вектор е(")= (0,, 1,, 0) (единица на х-м
месте). Теперь формула для к записывается в виде
к =歹(т(Х))歹(т(У)) +G(m(X), т(У)) (mod2),(9.78)
歹(т) = £W")m(") (mod 2),(9.79)
s(m, nV) =(mod2).(9.80)
В дальнейшей записи мы будем опускать mod 2, что соответствует трактовке X как векторного пространства над полем Z? чисел 0 и 1 (сложение в Z? осуществляется по модулю 2, а умножение — по обычной таблице умножения). Для X имеют смысл обычные понятия линейной алгебры (нужно лишь помнить, что единственный ненулевой скаляр равен единице). В частности, набор векторов fi, , f^ из X линейно независим, если сумма любого непустого поднабора векторов из набора fi,,加 не равна нулю.
Ниже мы всюду будем предполагать, что каждое из полей не равно тождественно нулю. Тогда фундаментальные свойства матрицы s(〃，〃') можно выразить следующими ниже леммами 9.21 и 9.23.
Лемма 9.21. Всякое поле 夕（”）имеет нормальные перестановочные свойства со своим эрмитово сопряженным полем 夕（"）* =夕（"）：
夕（"）（力）夕（元）（g） = （一1尸"‘m"%（无）匂）夕（"）（力）при （/-g）? < 0,
т. е. для всех х = 1,, N
以％ 无）=0.（9.81）
В упражнении 9.13 мы видели, что если поле 屮"）имеет нормальное перестановочное свойство со своим сопряженным 夕（“）（т. е. если g（”，亢）=0）, то имеет место соотношение （9.34） （в смысле равенства обобщенных функций в ^（Af2））. Напротив, если предположить, что g（”，м） = 1, то действуя так же, как в упражнении 9.13, вместо （9.34） мы получим
〈о I力）⑺夕了 （g） I о〉+〈о I夕胃⑺夕产（g） |o） = о
（равенство в ^（Af2））. Сгладим это соотношение с произвольной основной функцией /（ж） по ж и комплексно сопряженной функцией по д; получим
〈01（9产,/）（片）,力0〉+〈01（9了, /）（力）,/）I0） = 0,
° "||（力）+ ||（力= 0,
откуда 夕丿"）（力）Фо = 0. Согласно предложению 8.4 отсюда следует 夕（"）（力）=0, что противоречит нашему соглашению, исключающему поля, тождественно равные нулю. А
Лемма 9.22. Если два монома X и Y от полей антикоммутируют при пространственноподобном разделении （аргументов монома X от аргументов монома У）, то либо〈0|Х|0） = 0, либо （0|У |0） = 0.
Пусть а — вектор в М, стремящийся к бесконечности по некоторому пространственноподобному лучу. Будем считать, что аргументы мономов X н У изменяются в произвольных ограниченных областях; тогда при достаточно больших а мономы X и а（а,1）（У） антикоммутируют, так что
〈0|Ха（а」）（У）|0〉+〈0|а（а」）（У）Х|0〉= 0.
Согласно кластерному свойству в пределе а т ос это равенство влечет
〈0|Х|0〉〈0|У|0〉+〈0|У|0〉〈0|Х|0〉=0,
Т'е'〈0|Х|0〉〈0|У|0〉=0. ►
Лемма 9.23. Любая пара полей 夕（"），夕（"'）имеет тот же тип перестановочных соотношений, что и пара полей 夕（"）*,夕т. е.
（9.82）（9.82）g（〃，Xх） = G（无，xz） = G（〃，无'）.
（9.82）
（9.82）
ТогдаТогдаПредположим противное тому, что нужно доказать, т. е. что g（”，>/） +g（亢，>/）Предположим противное тому, что нужно доказать, т. е. что g（”，>/） +g（亢，>/）1.1.мономымономыX =9（"）（/1）*9（"）（/2） h У =）（g2）X =9（"）（/1）*9（"）（/2） h У =）（g2）
Тогда
Тогда
Предположим противное тому, что нужно доказать, т. е. что g（”，>/） +g（亢，>/）
Предположим противное тому, что нужно доказать, т. е. что g（”，>/） +g（亢，>/）
1.
1.
мономы
мономы
X =9（"）（/1）*9（"）（/2） h У =）（g2）
X =9（"）（/1）*9（"）（/2） h У =）（g2）
антикоммутируют при （g・—纵尸 < 0 （J, k = 1, 2）. Тогда в силу леммы 9.22 либо （0|Х|0）= =0, либо 〈0|У|0〉三 0. Но в силу положительной определенности обобщенных функций （0|Х|0） и〈0|У|0〉отсюда （как и при доказательстве леммы 9.21） следует, что либо поле 夕（“）， либо 产）равны нулю, а это противоречит нашему соглашению. А
Следствие 9.24. Матрица s обладает свойствами
以% х)=以％ 元)=s(元,x) = 0, (9.83) и форма s кососимметрична в том смысле, что
s(m, m) = О при всех m е X. (9.84)
Действительно, (9.83) есть непосредственное следствие лемм 9.21 и 9.23. Теперь (9.84) следует из того, что в выражении типа (9.80) для s(m, m) присутствуют лишь недиагональные слагаемые (с м < м7 и с м > >/), которые взаимно сокращаются ввиду симметрии матрицы g (напомним, что сложение производится по модулю 2).
. Приведение формы ㊁ к каноническому виду. Итак, мы имеем дело с кососимметрической формой s на X; возникает естественная проблема приведения ее к каноническому виду.
Назовем подпространство (имеется в виду линейное подпространство) изотропным, если s(m, m‘) = 0 для всех т, т‘ из этого подпространства.
Лемма 9.25. Совокупность J = {т(Х)} векторов в X, соответствующих мономам X с не равными тождественно нулю вакуумными средними (〈0|Х|0)壬 壬 0), образует изотропное подпространство в X.
Пусть X и Y — два произвольных монома с ненулевыми вакуумными средними. Так как т(Х) + т(У) = т(ХУ), то для доказательства линейности множества 3 достаточно убедиться, что вакуумное среднее монома XY не равно тождественно нулю. Предположим противное, т. е. что (0|ХУ |0) = 0, тогда〈0|Ха(а,1)(У)|°〉= 0, где а — вектор на некотором пространственноподобном луче в М. При а т ос получаем〈0|Х|0〉〈0|У|0〉= 0. Полученное противоречие доказывает, что〈0|ХУ 壬 0.
Докажем теперь, что s(m(X), т(У)) = 0. Так как (0|Х|0)壬 0, то число спинорных полей в мономе X четно (см. упражнение 8.5), т. е.歹(т(Х)) = 0; по той же причине F(m(y))= =0. Таким образом, предположение от противного, что s(m(X), т(У)) = 1, означало бы, что мономы X и Y взаимно антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов монома X и аргументов монома У. Но тогда (согласно лемме 9.22) одно из вакуумных средних〈0|Х|0〉，〈0|У|0〉было бы тождественно равным нулю, что противоречило бы условию.
Мы приходим к выводу, что s(m(X), т(У)) = 0. ►
Как обычно, изотропное подпространство в X называется максимальным изотропным, если оно не содержится строго в другом изотропном подпространстве в X. Нетрудно видеть, что всякое изотропное подпространство в X содержится в некотором максимальном изотропном подпространстве в X. Действительно, если данное изотропное подпространство не является максимальным изотропным, то оно содержится в изотропном подпространстве большей размерности, чем данное. Если новое подпространство не является максимальным изотропным, то процесс расширения можно продолжить. Поскольку пространство X конечномерно, в результате конечного числа шагов мы получим максимальное изотропное подпространство, содержащее исходное подпространство.
В частности, изотропное подпространство J в лемме 9.25 содержится в некотором максимальном изотропном подпространстве 耽 в X. Отправляясь от такого подпространства 耽，мы можем привести форму g к каноническому виду.
Лемма 9.26. Пусть 力I — максимальное изотропное подпространство в X. Тогда в X существует базис из векторов си,…，а『，bi, , br, ci, , cs (eOe 2r есть ранг s и 2广 + s = 2~) такой, что векторы аь , ar, сь , cs образуют базис в 恥 и
s(a* 叼)=s(b* bj) = 0, 8(сц, bj) = 8叮，i, J = 1, ..., г; (9.85) 奴戏，m) = О при всех / = 1,, s; m е X.
Таким образом, в этом базисе матрица s имеет клеточную форму
к О о丿
Лемма доказывается стандартными аргументами линейной алгебры; ради полноты мы воспроизведем их здесь. Если Ш1 = !В (т. е. г = 0), то лемма, очевидно, верна. Обратимся к случаю 耽 R !В. Тогда в !В найдется вектор bi 0 耽.Кроме того, в 耽 найдется вектор ai такой, что G(ai, bi) = 1 (ибо в противном случае линейная оболочка множества 耽 и вектора bi была бы изотропным подпространством, что противоречило бы максимальности 力I). Далее действуем по индукции. Пусть уже построены векторы ai, ..., a^ 6 Ш1 и bi, b” 6 G 壮\耽 такие, что
s(a°,叼)=s(b* bg) = 0, cj(a* bg) = b“・ при i, j = 1, ..., z/.
Если линейная оболочка множества 耽 и векторов bi, b” есть все !В, то на этом построение векторов ai, ..., a「，bi, b「завершается. Поэтому предположим, что 9rl — линейная оболочка множества 耽 и векторов bi, , b” — не совпадает с !В. Тогда в !В\9rl существует вектор Ь“+1 такой, что
G(a* b“+i) =b“+i) = 0 при 分=1,,弘
Для этого достаточно взять произвольный вектор b 6 53\0^ и положить
Ь“+1 = Ь - £(&&，Ь) Ьо + &(Ь* 竹必).
Далее, в 耽 найдется вектор & такой, что g(&, b^+i) = 1 (в противном случае линейная оболочка 力I и вектора b“+i была бы изотропным подпространством, в противоречие с максимальностью Ш1). Положим“
0"+1 = В 一〉：g(b分,b)0分.
В результате полученную на предыдущем этапе систему ai, ..., a”，bi, b” мы расширили на два вектора a^+i, b“+i. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока множество 耽 и векторы bi, ..., b「не будут натягивать все Ъ. Остается выбрать векторы ci, ..., cs. Для этого дополним систему векторов ai, ..., ar 6 Ш1 векторами &i, ..., &$ 6耽 до базиса в 耽 и положимг
С% = В% —工&( В 2, A) dr, I = 1,, S.
Очевидно, построенная система векторов ai, , a「，bi, , b「，ci, , cs обладает требуемыми свойствами. A
Упражнение 9.24. В обозначениях леммы 9.26 доказать тождество
s(m, m‘) = ^2(g(07・，m)s(b7, m‘) + ^(bj, m) cj(a7-, m'))
7=i
для всех m, m‘ G 53. (Указание: произвольный вектор т 6 53 можно разложить по базису ai, , a「，bi, , b「，ci, , cs; при этом коэффициент при a7- есть s(m, b^), а коэффициент при %• есть s(m, a；).)
Г. Конструкция преобразования Клейна. Обратимся к доказательству теоремы 9.20.
< Пусть 3 ——подпространство, определенное в лемме 9.25, а 耽一максимальное изотропное подпространство в !В, содержащее J. Согласно лемме 9.26 в !В можно выбрать две системы векторов {ai, ..., a「} и {bi, ..., b「} (где 2т есть ранг g), удовлетворяющие условию (9.85), причем cc^a；、т(Х)) = 0 для всех мономов X с ненулевыми вакуумными средними.
Покажем, что в гильбертовом пространстве 方 существуют г унитарных операторов И, , К, определяющих внутренние симметрии полевой алгебры через
『〃)(/) т (—1 产К。％%®)⑺ 二匕i〃)(/)%T(9.86)
(J = 1, ..., г). Для этого произвольному моному X из полей сопоставим моном
伪(X) =(—1 产 m(x),~)x(9.87)
достаточно, чтобыдостаточно, чтобы(где J = 1, ..., г фиксировано). Согласно общим сведениям о внутренних симметриях ), для того чтобы соответствие X т Д-(Х) определяло симметрию полевой алгебры, унитарно реализованную оператором 匕，оставляющим вакуумный вектор инвариантным, необходимо и
достаточно, чтобы
достаточно, чтобы
(9.88)(9.88)鋁(Х*)=%(Х)*
(9.88)
(9.88)
ии⑼伪(Х)|0〉=〈0|Х|0〉⑼伪(Х)|0〉=〈0|Х|0〉(9.89)(9.89)
и
и
⑼伪(Х)|0〉=〈0|Х|0〉
⑼伪(Х)|0〉=〈0|Х|0〉
(9.89)
(9.89)
для всех мономов X. Свойство сопряжения (9.88) следует из того, что s(m(X*), a7)= =s(m(X), а；), а это в свою очередь следует из (9.82) (ибо т(")(Х*) = т(")(Х)). Свойство (9.89) означает, что s(m(X),叼)=0, если〈0|Х|0〉壬 0; оно имеет место согласно нашему выбору векторов 叮
По построению операторы Vj оставляют вакуумный вектор инвариантным. Нетрудно убедиться, что они взаимно коммутируют, а их квадраты равны единице. Положим
М =才匕"也)(9.90)
7=1
(м = 1,, N). Тогда из (9.87) следует перестановочное соотношение (9.72), где
(9.91)(9.91)a) = £&(е(。％•)&(£(〃')，叼).
(9.91)
(9.91)
7=1
Соотношение (9.73) следует из упражнения 9.24.
Введем в рассмотрение новые поля “(9.74). Проверку свойства “(")* =夕(“) мы предоставляем читателю в качестве упражнения (при этом используются перестановочное свойство (9.72) полей 夕(“)с операторами V("), соотношение V^^ = V("), а также тот факт, что согласно лемме 9.23 m) = s(e("), m) для всех m 6 53). Новые поля 夕«")обладают нормальной связью спина со статистикой. Действительно, пользуясь перестановочными свойствами (9.72) полей с операторами 夕("\ мы получаем при (ж — ?/)2 < 0
Нетрудно видеть, что все остальные аксиомы Уайтмана также выполнены для полей 屮人”). А
Проиллюстрируем преобразование Клейна более сложными примерами.
Упражнение 9.25. Пусть для системы двух эрмитовых скалярных полей ^^(х) и 夕⑵⑺ выполнены нормальные коммутаторы
[^\х\ ^\у)] = О при (ж - у)2 < 0, ”=1,2,
и аномальное перестановочное соотношение между различными полями
[夕⑴⑺，夕⑵(д)]+= 0 при (ж - у)2 < 0.
Предположим, что двухточечная функция 〈0|з("(/)夕(2)(沙)|0〉не равна тождественно нулю. Доказать, что преобразование Клейна можно определить посредством 夕«"=夕("，«&)= =⑵， где V = 1 (соответственно —1) на векторах, полученных действием на вакуум четного (соответственно нечетного) числа сглаженных полей 夕("и 夕偉).(Указание: из леммы 9.22 следует, что вакуумные средние мономов, содержащих нечетное число полей 夕(" и 夕(2), исчезают, поэтому существует унитарный оператор V с указанными выше свойствами.)
Упражнение 9.26. Пусть 夕(力)—эрмитово скалярное поле, а 吵⑴ и 吵⑵ —спинорные поля. Предположим, что между различными полями одновременно имеют место нормальные перестановочные соотношения
[电⑴⑺，93)]=[也⑴⑺，也⑵3)]+ = о при (ж 一疗<0
и аномальное перестановочное соотношение
[吵⑵(/), ^{у)]+ = 0 при (ж - у)? < 0.
Предположим, что вакуумное среднее 〈0|夕(力1)...夕(/九)|0〉поля 夕 некоторого нечетного порядка п не равно тождественно кулю. Доказать, что в этом случае преобразование Клейна можно определить как преобразование, оставляющее поля 吵("и 吵&)неизменными и заменяющее 夕 на 屮'=V屮,где V = 1 (соответственно —1) на векторах, полученных действием четного (соответственно нечетного) числа сглаженных полей 吵偉)и произвольного числа полей о 9⑴.(Указание: по лемме 9.22, примененной к моному X = 夕(力1)...夕(/九)с нечетным п и ненулевым вакуумным средним и к произвольному моному У, содержащему нечеткое число полей 吵&), вакуумное среднее 〈0|У|0〉 тождественно равно нулю, откуда следует существование оператора V с требуемыми свойствами.)
Одновременные перестановочные соотношения.Теорема Хаага
А. Трехмерный вариант теоремы Хаага. Аксиоматический подход в квантовой теории поля позволил взглянуть, как отмечалось во введении, с новой точки зрения на трудности традиционной канонической (или гамильтоновой) формулировки релятивистской квантовой теории. Оказалось, что часто используемое в обычной формулировке квантовополевой теории возмущений так называемое представление взаимодействия, строго говоря, не существует (теорема Хаага). Отсюда следует, что в квантовой теории взаимодействующих релятивистских полей с каноническими «одновременными» перестановочными соотношениями мы всегда имеем дело с представлениями перестановочных соотношений, унитарно не эквивалентных представлениям для свободных полей. Исторически этот вывод имел большое значение как один из первых результатов, предписывающих использование представлений ККС в квантовой теории поля, не эквивалентных фоковским.
Наиболее существенное предположение в гамильтоновой (или лагранжевой) формулировке, которое делается в дополнение к аксиомам Уайтмана, состоит в том, что
определенный смысл приписывается полям в фиксированный момент времени ). В то время как в п. 8.2.А постулировалось, что сглаженные по всем четырем координатам поля 夕(/) имеют смысл (возможно, неограниченных) операторов в пространстве векторов состояний 方，в гамильтоновом подходе мы должны дополнительно потребовать, чтобы поля, сглаженные лишь по трем пространственным координатам
0(九;t) = j °(方,x) Д(%) d3x (h 6 斤(7?3)),
炉
имели смысл операторов, определенных вместе со своими сопряженными на инвариантной области D в Ж. Таким образом, теперь 夕(力)рассматривается как операторная обобщенная функция от х е 7?3, зависящая от х° как от параметра.
Связь между двумя трактовками поля 夕(力)—как операторной обобщенной функции от / и от х — осуществляется формулой
j 9(/)九⑴ "(/°) d% = j 9(九;t) "⑴ dt (9.92)
при всех h 6 #(/?3), u g #(K). При этом достаточно предположить, например, что при всех h 6 #(/?3),① е О векторная функция 夕(九；t) Ф является непрерывной функцией по t, норма которой ограничена полиномом от |t|.
Мы видели (п. 8.2.В), что уайтмановские поля образуют неприводимую систему операторов в гильбертовом пространстве. Поэтому мы будем предполагать, что поля 夕можно выбрать так, чтобы операторы 夕;九；方)в фиксированный момент времени t также образовывали неприводимую систему операторов в Ж. В гамильтоновом формализме для этого следует включить в систему наряду с каждым полем 夕(力)сопряженный ему «обобщенный импульс» тг(х) (в случае свободного скалярного нейтрального поля тг(х) есть не что иное, как производная по времени 9(力)=仇夕(力)поля 夕(力)，т. е. нулевая компонента векторного поля д^(х)). Этого предположения неприводимости достаточно для наших целей (стандартные канонические перестановочные соотношения между полями при равных временах в данном пункте использоваться не будут).
«Картина взаимодействия» в гамильтоновой схеме квантовой теории поля (см., например, [Bl, В4]) базируется на предположении, что поля 夕 14 7rB фиксированный момент времени t связаны унитарным преобразованием со свободными полями 夕(°) и 7г(о). Теорема Хаага показывает, что если к этой привычной схеме добавить требование релятивистской инвариантности (и вообще аксиомы Уайтмана), то теория становится тривиальной: поля оказываются свободными.
Теорема Хаага естественным образом распадается на две части. В первой (приспособленной к гамильтонову формализму) предполагается лишь инвариантность относительно трехмерных евклидовых движений. Эта часть относится как к релятивистской, так и к нерелятивистской теории. Вторая часть (приводимая в следующем пункте) основывается на релятивистской инвариантности и содержит основной результат; при этом существенно используются следствия из теоремы 9.1 для функций Уайтмана.
Теорема 9.27. Пусть 夕(")(/) и 夕；^)(力)—две системы полей в соответствующих гильбертовых пространствах 力 и 力⑼，причем каждая из систем
неприводима в фиксированный момент времени 力° =方(здесь подразумевается существование полей при фиксированном времени). Предположим, что в Ж “力(о)реализованы унитарные представления U(a, R) и U(o)(a, R) группы Е+(3) собственных евклидовых движений трехмерного пространства, при которых поля 夕(”)и 夕;^)преобразуются ковариантно:
U(a, R)0产(力)U(a, а)T = £成)(l)夕年依放+叫
m(9.93)
u(o)(a, R)北)心)U(o)(a, R)T = £成)(『1)若)"方,版+ 叫 •
где T(")(R) — матричное представление группы трехмерных вращений ). Если поля 夕(*)(/) и 夕}^)(力)связаны в некоторый момент времени 力° =方 унитарным преобразованием
0(")依尤)=『3^)9尤)и一,(9.94)
то представления U и U(o) группы Е+(3) унитарно эквивалентны'.
U(a, R) = VU^{a, R)(9.95)
Если предположить еще, что в 力⑼ существует единственный (с точностью до фазы) нормированный вектор W(o)o，инвариантный относительно представления U(o)группы 石+(3), то в Ж также существует единственный (с точностью до фазы) нормированный вектор
% = W ⑼о，(9.96)
инвариантный относительно представления U группы 石+(3).
< Из (9.93) и (9.94) следует, что оператор V~xU{a, H)~xVU^{a, А) коммутирует со всеми операторами 夕；^)(力 х); вследствие неприводимости полей 夕；^)(力)в момент времени ж0 = t рассматриваемый оператор кратен единичному, так что
и а А)二 G(〃, A) VU^{ay R)V~\
где g(〃，А) — комплексное число. Нетрудно видеть, что &(〃，А) задает одномерное (непрерывное) представление евклидовой группы £十(3), следовательно), &(〃，А) = 1. Таким образом, равенство (9.95) доказано. Заключительное утверждение теоремы с очевидностью следует из унитарной эквивалентности представлений U и U⑼. А
Может показаться, что требование единственности состояния, инвариантного относительно трехмерных евклидовых движений, слишком жестко, так как все состояния с нулевым трехмерным импульсом и нулевым спином (например, состояние покоящейся бесспиновой частицы) инвариантны относительно 石+(3). Однако такие «состояния» ненормируемы (они в действительности являются обобщенными состояниями) и потому исключаются из рассмотрения.
Упражнение 9.27. Показать, что в теории Уайтмана вакуумный вектор |0) является единственным (с точностью до множителя) вектором в 方，инвариантным относительно операторов U((0, а), 1) представления группы трехмерных трансляций R3. (Указание: требуется доказать, что из (7((0, а), 1) Ф = Ф и (Ф|0) = 0 следует Ф = 0. Так как Ф = lim £金①，то достаточно считать, что Ф = ЕеФ при некоторой £〉0; здесь Ее — проектор на подпространство, где Р° > £. Чтобы убедиться в равенстве Ф = 0, ввести вектор Фд = U(0, Л) Ф, где Л 力 1 есть чистый лоренцев поворот; тогда носитель преобразования Фурье выражения (Ф, U(a, 1)①а) как функция от переменной а Е М является пустым множеством, так что (Ф, Фд) = 0; с другой стороны, (Ф, Фд) т ||Ф||2 при А т 1.)
Б. Теорема Хаага в релятивистской теории. Вторая (наиболее существенная) часть теоремы Хаага касается релятивистской теории поля. Мы приведем ее в несколько обобщенной формулировке, принадлежащей Холлу и Уайтману. При этом мы ограничимся, для простоты, случаем скалярного нейтрального поля.
Теорема 9.28 (обобщенная теорема Хаага). Пусть даны два скалярных нейтральных уайтмановских поля 夕 и д(о), действующих в соответствующих гильбертовых пространствах 方 и %(о). Предположим, что в каждый момент времени 力° =方 поля 夕(方，х), 9(方，х) и поля 夕(о)(方，尤)，9(0)(方，尤)(существование которых постулируется) образуют две неприводимые системы полей в 方 и 力(о) соответственно. Наконец, предположим, что в момент времени 力° =方 эти две системы полей связаны {зависящим от времени) унитарным преобразованием V = V(t):
0(方,%)=『⑴夕⑼也尤)『⑴t,0(方,%)=『⑴9(0",尤)и⑴t.(9.97)
Тогда первые четыре функции Уайтмана соответствующих полей 夕(力)и 夕⑼(力) 6 обеих моделях совпадают. Если, кроме того,夕(0)(力)—свободное поле массы m > 0, то 夕(力)—также свободное поле массы т, и обе модели совпадают ) (с точностью до унитарного преобразования『).
< Из (9.94) и (9.96) следует, что функции Уайтмана в обеих теориях совпадают в момент времени /° = t:
W[n](t, XI； ； t, Xn) = wjoj(t, XI； ； t, Xn),
TV[n](€b...，€n-i) = ^](6，...，€n-i) при €? = ... = €n-i =0.(9.98)
Пусть S^_ 1 есть множество, состоящее из вещественных точек (&, ..., §九一i) расширенной трубы Z^-i, которые могут быть переведены собственным преобразованием Лоренца в плоскость ^? = ^2 = • • • = €n-i = 0. Из формулы (9.98) и теоремы 9.1 следует, что W^ = W^ на множестве 5п_ь Покажем, что при п < 4 множество 5n_i содержит непустое открытое подмножество в Мп~{, откуда будет следовать равенство W^ =屮]^ в расширенной трубе Z^-i, а значит, и в М^~х (поскольку тогда они являются обобщенными граничными значениями одних и тех же аналитических функций). При п = 2 вещественные точки § расширенной трубы Ti — это в точности пространственноподобные точки в Af; очевидно, они могут быть лоренцевым преобразованием переведены в плоскость §° = 0, так что Si является областью в М. Обратимся теперь к случаям п = 3 и п = 4. Рассмотрим открытое подмножество точек (^i, ..., ^n-i) G М^~х таких, что матрица {—^^} положительно определена; значит, все вещественные линейные комбинации £ 入总 векторов ^i,, ^n_i
7=i
образуют (п — 1)-мерную пространственноподобную плоскость. Отсюда видно, что такие точки (&, ..., ^п-1) являются вещественными точками расширенной трубы. С другой стороны, ортогональное дополнение к указанной выше (п — 1)-мерной плоскости содержит времениподобный вектор ту. В лоренцевой системе отсчета, в которой ?у = 0, мы имеем §?=...
=€n-i =。，так что (б，, €n-i) G 5九—1.
Итак, совпадение первых четырех функций Уайтмана в обеих теориях доказано. Если же з(о)— свободное поле массы т, то уже из равенства W^ =屮］；］на основании предложения 8.8 следует, что 夕—также свободное поле. А
Упражнение 9.28. Показать, что при п > 5 множество точек х = (/i, , хп), которые можно привести преобразованием Лоренца на плоскость равных времен §? = .•• = §Li = 0, уже не образует полной вещественной окрестности в множестве точек Йоста 乡九.Убедиться, в частности, что при п = 5 число независимых скалярных произведений, образованных из векторов §i, , §4, равно десяти, в то время как число независимых скалярных произведений из векторов в плоскости равных времен равно девяти.
В. Истолкование теоремы Хаага. Теорема Хаага означает, что представления взаимодействия, с которого обычно начинают излагать теорию возмущений, на самом деле не существует. Другими словами, не существует хорошо определенного оператора V в пространстве векторов состояний 力，связывающего свободное поле со взаимодействующим полем согласно (9.94). В этой ситуации проанализируем вкратце канонический лагранжев подход в квантовой теории поля.
Каноническая схема квантования исходит из классического лагранжиана %, который является функцией от полей 夕。(力)и их первых производных:
3 = 3 За ⑶,3 = 3 За ⑶,
3 = 3 За ⑶,
3 = 3 За ⑶,
«Сопряженный импульс» к полю 夕。в момент времени t определяется формулой
dt
Например, для свободного скалярного поля с лагранжианом
имеемимеем
имеем
имеем
для свободного спинорного поля с лагранжианом
—гггф(х)⑦⑺—гггф(х)⑦⑺
—гггф(х)⑦⑺
—гггф(х)⑦⑺
«импульс», сопряженный к полю ⑦，есть
冗“(/) = ^(ж) 7° = 分d^(/).
Постулируется, что сопряженные поля 夕。и тга (точнее, сглаженные поля 夕。(/；方)) являются базисными элементами некоторой алгебры, определяемой (в случае бозе- полей) каноническими перестановочными соотношениями )
［0。(方，尤)，夕0(方，y)］=次0(方，X), 7Г0(方，外］=0,
(9.99)
［夕а(方，X), 7Г0(方，у)) = Иоф“Х - У)・
Таким образом, квантовая теория поля формулируется как квантовая механика системы с бесконечным числом степеней свободы (х и у выступают здесь как «номер» обобщенной координаты и обобщенного импульса). Удобно иметь дело также со счетным базисом (вместо континуального). Для этой цели достаточно ввести полную ортонормированную систему функций hy{x) в трехмерном пространстве (например, функций Эрмита Nvе_^2/2нщ^2^3 (х)) и определить «координаты» и «импульсы» поля формулами
Q冷⑴=卜。(方,х) ^(х) d3x, Pn(t) = j 7ra(t, x) ^(x) d3x, (9.100) где n — составной дискретный индекс: n = (a, z/).
Упражнение 9.29. Пользуясь ортонормированностью системы функций А”，показать, что перестановочные соотношения (9.99) в терминах Qn и Рп принимают вид
[Q九⑴，Q*⑴]=[2⑴，旦/⑴]=0, [Q九⑴，Pn>^] = <п/. (9.101)
Далее, мы реализуем абстрактную алгебру элементов Qn и Рп, удовлетворяющих (9.101), как некоторую алгебру неограниченных операторов в гильбертовом пространстве 3f (в пространстве векторов состояний). В случае системы с конечным числом степеней свободы любые два неприводимых представления перестановочных соотношений (9.101), реализованных самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве 方，унитарно эквивалентны (теорема 6.14 фон Неймана). В частности, всегда существует унитарный оператор 『(方2,方1), связывающий операторы Рп и Qn в разные моменты времени:
Qrz(方2)=『(方2, ti)Qn(ti) V-1(t2,方i),
(9.102) 分(方2)=『(方2,力)2(力)(方2,力).
Для систем с бесконечным числом степеней свободы это уже не так. Более того, линейные канонические преобразования (т. е. преобразования переменных Рп и Qn, сохраняющие вид перестановочных соотношений (9.101)), вообще говоря, не соответствуют преобразованию унитарной эквивалентности (см. упражнение 7.24).
Среди бесконечного множества неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений в теории свободных полей выделяется фоковское представление (п. 8.4.А) при помощи дополнительного требования, что в этом представлении имеется единственное нормированное инвариантное состояние 3°, которое уничтожается под действием положительно-частотных операторов:
0(+)(。)30 =0， (9.103)
т. е. требованием существования вакуума. Фоковское представление определено однозначно (с точностью до унитарной эквивалентности). Можно было бы предположить (и неявно это часто предполагается), что в теории взаимодействующих полей одновременные канонические коммутационные соотношения типа (9.101) можно реализовать фоковским представлением. На самом деле теорема Хаага показывает, что это не так, что в любой конечный момент времени мы должны пользоваться нефо- ковскими представлениями перестановочных соотношений (в которых, грубо говоря, в каждом состоянии содержится «актуальная» бесконечность «голых» частиц).
Несоответствие представления взаимодействия в стандартной теории (с локальным гамильтонианом) и общих требований квантовой теории заключается также и в следующем. Генератор сдвига по времени Р° всегда должен обращать в нуль вектор вакуума. Однако если представить Р° в виде интеграла от локальной функции Гамильтона, соответствующей 27*
нетривиальному взаимодействию, то это будет не так, в связи с чем в стандартном подходе и говорят о математическом (или «голом») и физическом вакуумах. Но, согласно теореме Хаага, эти два вакуума не связаны унитарным преобразованием эквивалентности (обстоятельство, которое, как и вышеприведенные соображения, иллюстрируется на простых нерелятивистских моделях — см., например, [В1]). Заметим, однако, что теорема Хаага не исключает существования представления взаимодействия, если нарушить (как это нередко делается, см., например, [Б8]) трансляционную инвариантность модели введением пространственного обрезания взаимодействия. Если для обрезанного таким образом гамильтониана существует представление взаимодействия, то мы имеем дело с так называемым локально фоковским представлением канонических перестановочных соотношений (тогда равенство типа (9.94) имеет место для любой ограниченной области 〃 значений х — при фиксированном t, однако оператор V, осуществляющий унитарную эквивалентность, изменяется с изменением области 夕，так как он определяется пространственным обрезанием взаимодействия). Такая «локальная» трактовка представления взаимодействия в обход теоремы Хаага предложена Гененом (1966а) и Сигалом (1967).
Следует сказать, что наряду с необходимостью учета неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений надо иметь в виду возможность более сингулярного характера самих перестановочных соотношений. Уже для свободного комплексного векторного поля『从(力)перестановочные соотношения имеют вид (см. [Б8], § 11.3)
V"(力)，L(/=I (严 + 崇 %-力 (9」04) Учитывая, что «импульс», сопряженный к『从(力)，есть dV^^/dt, вместо (9.99) имеем
где △ — оператор Лапласа. В принципе коммутатор взаимодействующих полей может быть настолько сингулярен, что его необходимо сглаживать по всем четырем координатам и нельзя рассматривать в фиксированный момент времени как обобщенную операторную функцию от пространственных координат; в этом случае одновременные ККС не имеют смысла.
Замечание. Как мы увидим в § 14.2, трудности, связанные с теоремой Хаага, не возникают, если вместо представления взаимодействия использовать асимптотическое представление, т. е. если при конструировании взаимодействующих полей из свободных приравнивать их не в конечный момент времени t, а при t = —ос (или +ос). Формулу (9.97) (которая, как было сказано, некорректна в применении к взаимодействующим полям) тогда заменяет хорошо определенная формула (см. далее (14.67)). Это, конечно, не исключает появления «расходимостей» при использовании асимптотического представления в теории возмущений. Тем не менее при этом может случиться, что все расходимости сводятся только к «ультрафиолетовым» (связанным с несуществованием в фиксированные моменты времени поля, отвечающего лагранжиану взаимодействия, т. е. с несколько иным кругом явлений, чем теорема Хаага, объясняющая «инфракрасные» расходимости).
Евклидовы функции Грина
А. Группа вращений четырехмерного евклидова пространства. Мы видели (п. 9.1.Г), что функции Уайтмана w(^i, ..., zn) аналитичны в неисключительных евклидовых точках (力：，...，力乙)，определяемых формулами (9.44), (9.45) (где Xj 市力卜， если 7 # 卜).Каждый вектор 力;имеет вещественную трехмерную проекцию Xj и
чисто мнимую временную координату х/0 = гж4. Скалярное произведение пары таких векторов 力'и у' отличается лишь знаком от евклидова скалярного произведения их евклидовых прообразов) х, у е Е (= К，)：
一""=(力，g)=卄^儿=以/'疗• (9.106)
Таким образом, предложение 9.10 открывает интересную возможность сопоставить релятивистской квантовой теории некоторый математический образ, базирующийся исключительно на четырехмерном евклидовом пространстве Е. В евклидовой формулировке роль группы Лоренца (соответственно Пуанкаре) должна играть группа
0(4, R) = 0(4) ортогональных преобразований четырехмерного евклидова пространства Е (соответственно группа 石⑷ движений В).
Группа。(4) есть, очевидно, подгруппа («вещественное сечение») группы 0(4, С), изоморфной (как отмечалось в п. 9.1.А) группе Е(С) комплексных преобразований Лоренца. Поэтому факты, касающиеся группы 0(4), полностью сопоставимы с тем, что мы имели в п. 9.1.А для группы L(C).
Упражнение 9.30. Доказать, что группа 0(4) состоит из двух связных компонент, причем связная компонента единицы (называемая группой вращений пространства Е) есть подгруппа 0+(4) всех элементов из 0(4) с определителем +1.
Очевидно,。+(4) содержит преобразование —1 (полное отражение Е), порождающее центр группы. Группа °+(4) не является односвязной. Она локально изоморфна односвязной группе SU(2) х SU(2), которая, таким образом, является универсальной накрывающей группы 0+(4). Для построения накрывающего отображения SU(2) х х SU(2) на °+(4) сопоставим каждому вектору х Е Е комплексную 2 х 2-матрицу (или кватернион в матричной реализации)金 по формуле
力=―睡=I 9. 14. q力=―睡=I 9. 14. q(9.107)(9.107)
力=―睡=I 9. 14. q
力=―睡=I 9. 14. q
(9.107)
(9.107)
Посредством 金* обозначим сопряженный кватернион:
к _/4 + 汝3 /2+汝1
力(=Рх = £/£)=2 I • 14
\ -X + IX X —
здесь Р — трехмерное отражение:
(9.108)(9.108)Рх = (-Х,力4).
(9.108)
(9.108)
Величина \х\ = (det ж)1/2 называется нормой кватерниона х.
Упражнение 9.31. Доказать следующие тождества:
岡 2 = |ж|2(= %? +*);
tr@7*) = 2(/, у);
еа е从一е从 ед = - 2 8入Npbкер ^а - еье0)，
ел ем - ем ел = 2 口从叩 еа - еа ер);
здесь {e》}x=i,…,4 ——стандартный базис в Е(代=以从)；^巾呻—абсолютный антисимметричный тензор, причем £1234 = 1.
Теперь накрывающее отображение
SU(2) х SU⑵ э (S, %) 一 R(S, %) 6。+⑷(9.109)
можно определить формулой
(R(S, %)力厂=U而U『.(9.110)
Упражнение 9.32. (а) Доказать, что А(&, U「) G °+(4). (Указание: убедиться, что преобразование R(Ui, U「) не меняет нормы векторов; воспользоваться далее связностью группы SU(2) х SU⑵.)
Доказать, что отображение (9.109) есть локальный гомеоморфизм. (Указание: убедиться, что ранг этого отображения в точке Ui = Ur = 1 равен шести).
Доказать, что ядро гомоморфизма (9.109) состоит из двух элементов: Ui = Ur = 1 и Ui = Ur = -1.
Из упражнения 9.32 следует, что SU(2) х SU(2) является универсальной накрывающей для группы。+(4), причем она дважды накрывает。+(4).
Упражнение 9.33. Доказать, что при накрывающем гомоморфизме подгруппа в SU(2) х SU(2) элементов вида {Ui, U" дважды накрывает группу вращений 0+(3) трехмерного пространства (°+(3) рассматривается как подгруппа в 0+(4) элементов, оставляющих вектор в4 = (О, О, О, 1) инвариантным).
Изложенная конструкция позволяет в дальнейшем заменить группу °+(4) группой SU(2) х SU(2). Неприводимые (комплексные) представления группы SU(2) х х SU(2) параметризуются парой。，卜)целых или полуцелых неотрицательных чисел («левым» и «правым» спинами). Такое представление действует в пространстве спиноров ⑦з…％；外симметричных по cq, о^ и по /3；, ,伪卜，согласно (9.10) (с заменой Л/, Лг на S, %):
= £ 口(0必 口 (%)圾用…队.(9.111) 71 -72j s = lt= 1
Аналогичным образом произвольному конечномерному (комплексному) представлению_
МА)三 МА, Л)
группы SZ/(2, С) мы сопоставим представление 『(S, %) — сужение представления У (Л/, Лг) группы SZ/(2, С) х 5L(2, С) (см. п. 9.1.А) на подгруппу SU(2) х х SU(2). (Эта конструкция носит название «унитарного трюка» Вейля, см. [Ж1], §42.)
Б. Свойства функций Швингера. Введем прообраз в Еп множества неисключительных евклидовых точек в СМп:
EJ = {(Ж1,, жп) 6 Еп: xj ^ хк при j ^ к)}.(9.112)
Тогда сужение функции Уайтмана w(^i,, zn) на множество неисключительных
евклидовых точек в СМп определяет некоторую функцию на Е, которую мы назовем функцией Швингера *):
(力 1' • • •'力冷)=區:("1，…，хпУ^(9.113)
здесь, как и в (9.44),力；=(i吟,%j).
Как известно из комплексного анализа, голоморфная функция в комплексной области полностью восстанавливается, если она известна в вещественной окрестности какой-либо точки. Следовательно, функции Швингера в принципе позволяют восстановить функции Уайтмана и, значит, всю уайтмановскую теоретико-полевую модель. Возникает естественная задача — переформулировать характеристические свойства функций Уайтмана непосредственно в терминах функций Швингера. Мы сформулируем здесь результат Остервальдера и Шрадера в этом направлении.
Наряду с подмножеством Е* в Еп нам понадобятся подмножества
Е^={хе Еп: 0<xf <ж^<..
.V/冷},
(9.114)
0T ={У 1： ©〈О,厂 1,
...,八—1 },
(9.115)
а также
М^ ={qeMn~i: ^>0, j= 1,
,八一1}.
(9.116)
Тогда всякой
обобщенной функции 7(%,q^—i) из
次(M^h 次(АГ—
1|麻「）
можно сопоставить обобщенную функцию F(^,, §冷一1) из ^(Е^Т) посредством
преобразования типа Фурье-Лапласа:
Гп-1_
歹(&,…，i) = I exp £("* + 岀％) T(S，…，Qn-i)^4Qi...^4Qn-i.(9.117)
Действительно, ввиду свойства носителя Г преобразование Фурье от Г аналитически продолжается по нулевым компонентам векторов в область (R -近+严m выражение (9.117) представляет собой сужение этого продолжения на множество векторов с нулевыми компонентами 分号，号 е К_, функциональная же трактовка преобразования (9.117) дается формулой
I 反(w1,i) "(Si,Cn-l)泪員…泪&一1 =
=]T(qi,Qn— 1) (Qi, • • •, Qn— 1) ^4^1 • • • ^4Qn— 1,(9.118)
где 〃(£1, i) — произвольная функция из 斤(Е?т), а &(%,..., q^—i) — функция из 斤(加+ ), определяемая формулой
п— 1п— 1侖(％,…，Qn-1) = exp侖(％,…，Qn-1) = expe（©姬+石分）ma,"忆…收吁1.e（©姬+石分）ma,"忆…收吁1.(9.119)(9.119)_ J=1_ J=1
п— 1
п— 1
侖(％,…，Qn-1) = exp
侖(％,…，Qn-1) = exp
e（©姬+石分）ma,"忆…收吁1.
e（©姬+石分）ma,"忆…收吁1.
(9.119)
(9.119)
_ J=1
_ J=1
Преобразования типа (9.117), (9.119) уже рассматривались нами (в п. Б.6 дополнения Б); единственное отличие состоит в том, что в п. Б.4 мы имели дело только с временными компонентами импульсов, опустив пространственные компоненты как несущественные. Поэтому упражнение Б. 14 и предложение Б.15 легко распространяются на наш случай, и мы приходим к следующему выводу.
Предложение 9.29. Отображение 〃 — & (9.119) является линейным непрерывным оператором из пространства ^(Е^-1) е 斤(加； );его нуль-пространство состоит из нуля, а его образ является всюду плотным в 斤(加十 ). Сопряженное отображение T — F (9.118) осуществляет взаимно однозначное соответствие между обобщенными функциями Г е火(质+一 )и обобщенными функциями F е У(Е?—1), которые являются линейными непрерывными функционалами над ”圮—1) в ослабленной топологии.
При этом ослабленная топология на ^(В7!-1) задается совокупностью норм
IhlIZm = II甸匕 &加=。，1，(9.120)
Перечислим теперь важнейшие свойства функций Швингера.
е. 1 (Допустимый характер сингулярности и роста). Функция Швингера s^li^n\xi, , жп) определена на Е* как обобщенная функция из пространства У(Е*). (При п = 0 вводится 0-точечная функция Швингера s^ = 1.)
е.2 {Свойство эрмитова сопряжения}.
=(9.121)
ЗДеСЬТ(х,力4)=(尤，一力4).(9.122)
е.З (Положительная определенность).
V V V [ 联W)(T/g …，Т/1, %,…，^) X m,n=0以…4
X 朮X"(g,, • • •, %Jd%i …泪^》。(9.123) для любой финитной системы / = {力：”)：”"} функций f『[「)из соответствующих пространств g(Eg); при п = 0 /^ есть комплексное число.
е.4 (Евклидова ковариантность).
£ У^Г^ ^1)-^^-1，U-^s^：^{Rx^^ Жп + а)=
=s^i^n\xb 力冷)при всех а е Е S, Ur 6 SU(2). (9.124)
е.5 (Спектральность). В области Eg функция Швингера представима в виде 总」(力1，…，xn) = sj.工力1 -力2,力九一1 - xn), (9.125)
где s]：；；"脑(£1,, grz—i) — обобщенная функция из У(Е?т), являющаяся линей
ным непрерывным функционалом над ^(В7!-1) в ослабленной топологии на ”Е呼
е.6 {Кластерное свойство). Имеет место предельное соотношение
'丛](5圆(/1,,力k，力k+i + 入а, ,力冷+入a) — s肉(//Q х
х s^—网(力k+i, 「x^ f(Txk, , Txi) g(xk^...xn) dxx...dxn = 0 (9.126) для любого вектора а = (а, 0) ^ 0 и любых /(хь ,力卜)е 斤(七匕)，g(力卜+i, 力冷)e 6 ”еk).
В формуле (9.126) для краткости записи опущены индексы у функций Швингера.
е.7 {Перестановочное свойство). Для любой перестановки тг индексов (1,,八) имеет место соотношение
s片:二:7r/7r九)=ёf(")总：广3(力1,…，化n),(9.127)
(£尸(穴)—четность перестановки ферми-полей — определена формулой (9.37)).
Мы видим, что свойства е.1-е.7 полностью дублируют свойства w. l-w.7 функций Уайтмана. Согласно результату Остервальдера и Шрадера они эквивалентны аксиомам Уайтмана, поэтому их называют аксиомами Остервальдера-Шрадера.
Вначале мы докажем импликацию (w)今(е).
Теорема 9.30. Функции Швингера в теории Уайтмана (〃р〃 нормальной связи спина со статистикой) удовлетворяют условиям е.1-е.7.
< Для сокращения обозначений мы ограничимся доказательством для случая одного эрмитова скалярного поля 夕(力).По определению функция Швингера s^n\xi, , хп) является вещественно аналитической функцией в области Е^, и свойства е.4 (евклидовой инвариантности) и е.7 (симметрии при перестановках) непосредственно следуют из свойств инвариантности (следствие 9.4) и симметрии (теорема 9.6) аналитической функции Уайтмана в симметризованной трубе ^.
Чтобы функция Швингера s旧(/i,жп) определяла функционал из 少(Е整)，очевидно,
достаточно, чтобы она удовлетворяла оценке
|s[n](xi,, жп) < а(1 + |x|)m^min\xj - xk\^ [ ж е Е^,(9.128)
где а, т, I — неотрицательные числа. Для доказательства (9.128) воспользуемся оценкой (8.42) для аналитической функции Уайтмана в верхней трубе, из нее для Е< получаем
|sn(xi, , Хп) W А(1 + 岡广•(嗯W — xk\^〔 /6 E<‘(9.129)
Далее, согласно упражнению 9.18 для любой точки х 6 Е整 существует перестановка тг, четырехмерное вращение R и трансляция а такие, что (Rx^i + а, ..., Rx^n + а) G Б< и
min \ {Rxj}^ — (Яж/с)4| > с min \ xj —必|,
где с — положительная константа (зависящая только от п). Теперь симметрия при перестановках и евклидова инвариантность *) функций Швингера позволяют переписать (9.129) в виде (9.128).
Мы показали, что функцию Швингера s^^xi, , жп) можно рассматривать как обобщенную функцию из пространства 。便整)，удовлетворяющую условиям е.4 (евклидовой
инвариантности) и е.7 (симметрии при перестановках). Свойство е.5 (спектральности) выполнено в силу предложения 9^9 (где роль T(§i, ..., ^n-i) и 歹(qi, ...,勺九―i) играют соответственно 5[п](б，, ^n-i) и 屮叫％,,阪―j).
Свойства е.2 и е.З непосредственно вытекают из следующего упражнения.
Упражнение 9.34. (а) Пользуясь условием спектральности, доказать, что векторные обобщенные функции
ф[П](жB , жП)=9(/1)...9(/九)10) 包■ е Tи)(9.130)
допускают аналитическое продолжение по переменным Zj = Xj + iyj в трубу
ух е v+,е =1).(9.131)
Положим
^n\xi, Хп) = Ф[п](^,, х^,(Ж1,, жп) е £<
(соответствующие точки (/[...,力乙)содержатся в трубе (9.131)). Доказать соотношение
〈小氾(/1，力小)，х⑺31，…，Уп)) = s[m+n](Txm, , T/i, gi,…,Уп\ (9.132)
Наконец, кластерное свойство е.6 также есть непосредственное следствие формулы (9.132) и кластерного свойства в теории Уайтмана (см. предложение 7.1). А
Выше функции Швингера s旧(/i, ..., /九)были определены на множестве Е*. Однако в некоторых случаях они естественным образом продолжаются на все Еп некоторыми обобщенными функциями из ^\Еп); эти продолжения обозначаются также посредством s[飼(/1, Хп). Приведем пример свободного скалярного поля.
Упражнение 9.35. (а) Показать, что двухточечная функция Швингера скалярного нейтрального поля 夕(力)является сужением на Е^ следующей обобщенной функции s図(/, g) = S図(/ _ g) G 出(户)：
S図(力一g)=]…* ^^ M; (9.133)
здесь (р, X) — евклидово скалярное произведение. (Указание: достаточно ограничиться областью х^ — х2 < 0, выполнить в (9.133) интегрирование по р4 и результат сравнить с функцией Уайтмана W^{x — у), даваемой формулами (8.72) и (8.50).)
Показать, что к — точечная функция Швингера скалярная нейтрального поля равна нулю при к нечетном, а при четном к (= 2тг) является сужением на Е* следующей обобщенной функции из。便")：
s[2n](^i,, ж2п)=工 S図(力口，Xp2)...s[2](xp^n-1), ХРпУ，(2.134)
здесь Р пробегает перестановки индексов 1, ..., 2п такие, что Fl < F3 < ... < F(2n — 1) и F(2J — 1) < F(2J) (J = 1, ..., п). (Указание: ср. упражнение 8.12.)
Дискретные симметрии С, Р, СР (или Т), если они имеются в теории, очевидно, также могут быть выражены в терминах функций Швингера. Рассмотрим для примера случай заряженного (подлинно) скалярного поля.
Упражнение 9.36. В теории заряженного скалярного поля введем следующие сокращения для функций Швингера:
Доказать, что условия С-, Р- и/или CF-инвариантности в терминах Швингера имеют соответственно следующий вид:
(3.135а)(3.135а)5(Ж1,, Xm\yi, , уп) = S^yi, , уп\Х1, , Хт),
(3.135а)
(3.135а)
5(/1Хm I…，уn^ = 5(g1,Уn I /1, ... , Xm}(3.1356)
S(/lI 伊，Уп) = S(/[Rm I 伊，…，Уп) ■>(3.135в)
В. Теорема реконструкции в терминах функций Швингера. Свойства е. 1-е.7 полностью характеризуют функции Швингера, так что справедлива также теорема (е)今(w), обратная теореме 9.30.
Теорема 9.31 (теорема реконструкции Остервальдера-Шрадера). Всякий набор {обобщенных} функций {5；「二；"脑(力1,一，力冷)}, удовлетворяющий аксиомам е.1-е.7, является набором функций Швингера некоторой системы {夕(")} уайтмановских полей (с нормальной связью спина и статистики).
< Как и в доказательстве теоремы 9.30, мы ограничимся случаем одного скалярного эрмитова поля. Согласно предложению 9.29, свойство е.5 позволяет представить (однозначно) функцию Швингера в области 圮一丨 в виде
Гп-1I 〜
S⑺(§1,…1) = ]ехр 工(*"+%£•) W[n]{q\, qn-i) d^qi.-.d^qn-i, (9.136)
где W^ 6 ^P\M^xy, W^ есть кандидат на преобразование Фурье функции Уайтмана; мы рассматриваем ее как обобщенную функцию из 少(АР—) с носителем на множестве 码》0 (J = 1, ..., п — 1). Покажем, что набор обобщенных функций из ^(Мп)
Г〜
苏飼(g,Xn) = exp —分工 Qj (xj - g+i) VK 旧, qn_x) d^qx.. .d^qn, (9.137) 」L-
обладает характеристическими свойствами функций Уайтмана (поэтому мы заранее назовем их функциями Уайтмана).
Свойство эрмитова сопряжения для функций Уайтмана получается подстановкой представления (9.136) в (9.121).
Обратимся к условию положительной определенности е.З функций Швингера
工 j S^m+n\Txm, , T/1, У1,, Уп) f^(xi, , Xm) f[n](yi, ,如)力/1 ...d4gh》。
m,n=0
для любой финитной системы {/⑺】} функций /[飼 G #(Е^). Очевидно, связь (9.136), (9.137) между обобщенными функциями s^ и w^ может быть переписана в виде
s[n](xi, , жп) = Iехр工(務W + 牝勺)制伺(01Pn) d^pi.-.d^pn, (9.138)
при 0 < xl < X2 < ... < Xn- Подстановка этого представления в (9.123) дает
工 I и)[ш+п\-рш,, -pi, %,…，qn)F^(p^0rn)尸⑺(％,…，qn)d^pi ...d^Pn > 0;
m,n=0
(9.139) здесь w^^^—pm,, —0i, qi, q^) рассматривается как обобщенная функция из прост
ранства
^(Мт+п I X小 х XQ#/(Х小 х Хп),
а
F[n](pi, , рп) = |ехр 才(鍔"+ ^Р^хз) 严(/1,…，xn)dxi...dxn, (9.140)
—функции из #(Xn); при этом множество Хп есть
хп = ^(Р1,, рп) е Мп:工鍔 w 0, к = 1, 2,(9.141)
Упражнение 9.37. Доказать, что отображение /⑺】т F^n\ заданное формулой (9.140), осуществляет линейное непрерывное отображение пространства #(Е^) на всюду плотное подмножество пространства ^(Хп). (Указание: аргументация здесь та же, что и в упражнении Б.14 или предложении 9.29.)
В силу плотности функций (9.140) в 夕(Х^) можно считать F = ｛尸⑺】｝ в (9.139) произвольной финитной последовательностью функций F^ 6 #(X^), а в силу свойств носителя 彷[小+九】можно считать F^ произвольными функциями из "М? (так, чтобы последовательность F^ по-прежнему оставалась финитной). Тем самым доказано условие положительной определенности для функций Уайтмана w^.
По построению функции Уайтмана w^ инвариантны относительно трансляций и трехмерных вращений. Для доказательства пуанкаре-инвариантности достаточно доказать инвариантность относительно чистых лоренцевых поворотов; эту инвариантность можно выразить в инфинитезимальной форме:
W品+玻W品+玻W[n\q^ ...,Qn_i)=0,W[n\q^ ...,Qn_i)=0,а = 1, 2, 3.а = 1, 2, 3.(9.142)(9.142)п— 1
W品+玻
W品+玻
W[n\q^ ...,Qn_i)=0,
W[n\q^ ...,Qn_i)=0,
а = 1, 2, 3.
а = 1, 2, 3.
(9.142)
(9.142)
7=1
Воспользуемся евклидовой инвариантностью функций Швингера, из которой следует
в области E*-i. Подставляя сюда представление (9.138) и используя единственность такого рода представлений, приходим к^соотношению (9.142).
Итак, обобщенные функции W^(^q\, ...,勺九一i) лоренц-инвариантны, а поскольку по построению они имеют носитель в М+ , то на самом деле их носитель сосредоточен в наибольшем замкнутом лоренц-инвариантном подмножестве, содержащемся в Af； , т. е. в V^1. Тем самым доказано свойство спектральности функций Уайтмана.
Для доказательства локальности w.7 воспользуемся тем, что (благодаря условию спектральности) функции Уайтмана w^^xi, ,力九)аналитически продолжаются в нижнюю трубу 夕^ и, значит (благодаря лоренц-инвариантности), в расширенную трубу 夕九.Соотношение (9.138) выражает соотношение между функцией Швингера и аналитической функцией Уайтмана 一 一
(xi, , хп)=苏飼(жь
при (力1,жп) 6 Б< (обозначения те же, что и в формуле (9.113)). Следовательно, функция Швингера в действительности является вещественно-аналитической функцией в области Е<, а так как она к тому же евклидово-инвариантна и симметрична по жь ..., хп, то она вещественно-аналитична по всей области определения
Пусть 7г — некоторая перестановка индексов 1, ..., п. Фиксируем некоторую точку а = =(ai, ,。九)G Е* так чтобы числа 吗 и а" были положительны и возрастали с ростом J. Очевидно, а 6 Б<, так что а' 6 夕/. Некоторым четырехмерным вращением точка а может быть переведена в 穴一1七^, поэтому а! 6 夕^ С 穴一1夕^. Соотношение симметрии «[П](Ж1, , Жп) = S 旧(/7r1,,х^п) в некоторой окрестности 夕 точки а может быть записано в виде равенства
w[n\x'x,, ж^)=苏飼(с,, /黑)，/ е 亿
откуда следует, что функции 加飼⑵，гп) и 加飼(？7ri,2皿)совпадают в комплексной
окрестности точки а! 6 夕^ С 穴一1 夕^ и, значит, всюду в 夕^ П 穴一1 夕Мы приходим к выводу, что функция Уайтмана w^^i,, гп) аналитична в расширенной трубе 夕^ и
симметрична по ?i, гп, поэтому (на основании предложения 9.11) обобщенная функция Уайтмана w^^xi, ,力九)удовлетворяет условию локальности w.7.
Мы проверили все свойства функций Уайтмана, кроме кластерного свойства w.6. На основании теоремы реконструкции Уайтмана 8.6 (и замечания) можно заключить, что обобщенные функции w^](xi,, Хп) действительно являются функциями Уайтмана некоторого
эрмитова скалярного поля 夕(力)，удовлетворяющего всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением единственности вакуума. Остается проверить это свойство. Для этого заметим, что векторы ^n\xi, , хп), определенные равенствами (9.130), (9.131) при (/，...,力九)6 Б<, образуют тотальное множество в гильбертовом пространстве состояний 方(действительно, из ортогональности вектора ① G 方 по всем таким векторам x^^xi, ,力九)следует по принципу аналитического продолжения, что (Ф,夕(力1...夕(/九)3。〉= 0, а это вместе с цикличностью вакуума дает Ф = 0). Выполненное по условию кластерное свойство е.6 для функций Швингера можно записать в виде
(X叫/1,…，/力)，U(Xa, 1)产(g1,…，уП))—
т,力小)，ФоХ^о, X®(伊，…，Уп)) при А ос;
здесь а = (0, 〃)力 0. Благодаря тотальности множества векторов х〔伺(力1，力九)отсюда заключаем
(Ф, U(Ха, 1) Ф) т (Ф, Wo〉〈Wo, Ф) при /X т ос
для всех векторов ①，W G 方.Наконец, лоренц-ковариантность позволяет считать здесь вектор а произвольным пространственноподобным вектором в М.
Итак, кластерное свойство (8.19) также доказано, что завершает проверку аксиом Уайтмана. А
Теоремы 9.30, 9.31 показывают, что возможен подход в квантовой теории поля, имеющий дело с четырехмерным евклидовым пространством, заменяющим четырехмерное пространство- время Минковского. Однако некоторые из аксиом е.1-е.7 носят слишком явные следы формализма Уайтмана и пространства-времени Минковского, а это кажется недостатком с точки зрения самостоятельного евклидова подхода. В особенности это касается аксиомы спектральности е.5, которая (согласно предложению 9.29) фактически постулирует существование преобразования Фурье функций Уайтмана с нужными свойствами носителей. Делались попытки вообще отбросить аксиому е.5; при этом получается система аксиом, более слабая, чем аксиоматика Уайтмана. Так, Глазер (1974) показал, что из аксиоматики Остервальдера- Шрадера, но без аксиомы е.5, также следует существование квантового поля и функций Уайтмана, однако они, вообще говоря, будут более сингулярны, чем это допускает теория Уайтмана (языком для их описания должна быть уже не теория обобщенных функций умеренного роста, а теория гиперфункций *)). Чтобы сохранить допустимый характер сингулярностей, как это предписывает теория Уайтмана, Остервальдер и Шрадер (1975) предложили новую аксиоматику, достаточную, чтобы провести теорему реконструкции в полном объеме: вместо аксиомы е.5 они постулировали некоторое априорное ограничение на рост функций Швингера с ростом числа точек п. Предлагались также другие наборы аксиом евклидовой теории поля, из которых следует формализм Уайтмана (Нелсон, 19736; Хегерфельд, 1974; Фрёлих, 1974;
аксиоматика Нелсона, предложенная на основе работ Симанзика (1969а), является фактически первой во времени).
Дополнение 3
Парастатистики
Свободные параполя и паракоммутационные соотношения. Гипотеза о полной симметрии или полной антисимметрии вектора состояния системы одинаковых частиц является более сильным предположением, чем гипотеза о физической тождественности частиц. Теоретически возможны и другие типы симметрии и соответственно другие парастатистики. В квантовой теории свободных полей возможны перестановочные соотношения третьего порядка относительно компонент поля, определяющие параполя, вместо обычных канонических перестановочных соотношений второго порядка для бозонных и фермионных полей. Как показали Гринберг и Мессиа (1964, 1965), ни одна из известных наблюдаемых частиц не является парачастицей порядка @〉1. В связи с попытками использования парастатистики для построения непротиворечивой спектроскопии адронов в рамках кварковой модели (см. Гринберг, 1964) следует отметить, что согласно анализу ряда работ (см. Говорков, 1982; Боголюбов и др., 1983), гипотеза Гринберга о параферми-статистике кварков не позволяет ввести калибровочную унитарную SU(З)-симметрию, лежащую в основе квантовой хромодинамики, и является, таким образом, физически неприемлемой альтернативой гипотезе цветных ферми- кварков.
Конструкцию свободных параполей удобно строить в пространстве векторов состояний с ортонормированным дискретным базисом. Пусть базисные векторы |①"〉одночастичных состояний нумеруются индексом 沙，пробегающим счетное множество значений. Введем операторы рождения а* вектора состояний |①"〉из вакуума |0) и сопряженные к ним операторы уничтожения аи. Введем также оператор числа частиц в состоянии 沙 формулой
2•(3.1)
где а = — для бозе-частиц, а = + для ферми-частиц и [А, В]а = АВ + аВА. Перестановки nv с операторами рождения и уничтожения не зависят от типа статистики, т. е. от того, коммутируют или антикоммутируют между собой операторы а”； в обоих случаях они имеют вид**
[几从,a“] = du, \dy, ?2从]=5从"(1".(3.2)
Естественно потребовать сохранения этих соотношений и в теории свободных полей, соответствующей обобщенной статистике {парабозе или параферми). При этом в случае необычной статистики первое из равенств (3.1) больше не имеет места, и в качестве пи целесообразно взять (анти)симметризованное выражение типа правой части (3.1). Следуя Грину (1953), мы постулируем более жесткую систему перестановочных соотношений, из которой следует (3.2):
[[а》, а^] —а, а“] = —25入从(1从,(3.3а)
[[а》，а" —а, а" = 0,(3.36)
где а = ±.
Упражнение 3.1. Показать, что из (3.3) вытекает соотношение
[[а》, а" —а,= 2(8从"。入 一 об入iyа^).(3.4)
(Указание: воспользоваться тождеством
[[А В]^ С] + [[С,川6 В] + [[В, 川=0,(3.5)
обобщающим тождество Якоби.)
Из (3.3)-(3.5) вытекает еще одна серия перестановочных соотношений такого типа (так же, как и соотношения, получаемые из них эрмитовым сопряжением).
Ясно, что если для представления операторов ад и а* с вакуумным вектором |0) определить число частиц в состоянии 沙 равенством
几ь +。(3.6)
(константа С будет определяться условием n^lO) = 0), то перестановочные соотношения (3.2) получаются как частный случай из (3.3).
Для каждого знака а существует счетное множество неэквивалентных полей, удовлетворяющих (3.3) и нумеруемых целым положительным числом @ (порядком парастатистики). При заданном @ операторы ау задаются так называемым анзатцем Грина:
(3.7)
где при данном а поля ь£°) удовлетворяют перестановочным соотношениям
6俨工=[b^\ b俨]。=0,(3.8)
а при разных а — перестановочным соотношениям противоположного типа:
也"b/*L = [b^\ b俨二=0,(a R /3).(3.9)
Чтобы выделить однозначное (с точностью до унитарной эквивалентности) представление операторов а” в пространстве Фока, потребуем, чтобы все Ь^ уничтожали вектор вакуума:
b 俨 |0〉= о при всех у и а.(3.10)
Гильбертово пространство 切夕)，в котором действуют операторы ь£*)(°), определяется обычным образом как замыкание множества векторов вида Р(Ь*)|0〉， где Р — произвольный полином от операторов рождения ь£°). В силу (3.7) в пространстве 切扌)можно реализовать представление алгебры исходных операторов а” и а*, в котором наряду с перестановочными соотношениями (3.3) будут удовлетворяться условия
*10)=0(3.11)
И偌亡 10)二优"|0).(3.12)
Упражнение 3.2. Показать, что в представлении с вакуумным вектором |0), в котором имеют место (3.11) и (3.12), оператор числа частиц (3.6) приобретает вид
几"=ь + сф)(3.13)
(т. е. константа С, определяемая условием n^lO) = 0, равна
Нетрудно видеть, что представление алгебры операторов а^ в пространстве 初夕)приводимо.
Это положение имеет место даже для конечномерного случая (т. е. когда индекс 沙 пробегает конечное число значений) и может быть проиллюстрировано на простом примере алгебры Даффина-Кеммера. В этом примере р = 2 и множество возможных значений 沙 тоже равно двум. Мы приведем матричную реализацию алгебры Даффина-Кеммера. Положим
旷=卜分—仍)，a =1,2.(3.14)
По определению
[7f)，7伊]=0，^, ^ = 0,, 3.(3.15)
Упражнение 3.3. Показать, что матрицы
电• = “)+ б?(3.16)
и эрмитово сопряженные к ним матрицы а удовлетворяют перестановочным соотношениям для параферми-полей (т. е. соотношениям (3.3) с а = +).
Чтобы привести тройные перестановки к стандартным соотношениям Даффина-Кеммера (см., например, [У 1], § 5.2), мы определим матрицы /3从 формулами
优=^(。2 +。力， 仇= £(ai+af), /?2 = ^(af-ai), 伪=^(费一°2)・(3.17)
Упражнение 3.4. Показать, что*)
历员外+公员历=g人丛+ g"外.(3.18)
Нетрудно проверить непосредственно ([У1], § 5.2), что представление (3.16), (3.19) перестановочных соотношений (3.3) или (3.18) приводимо. Это представление шестнадцатимерно. Действительно, чтобы удовлетворить (3.15), необходимо определить 7y как кронекеровские произведения
7м } = 7м ^ ^7м} = 1 07м-(3.20)
Оно разлагается на три неприводимых представления алгебры, порожденной операторами а”，а*: одно десятимерное, одно пятимерное и одно одномерное (тривиальное). Отметим, что, за исключением тривиального представления, лишь десятимерное представление обладает единственным вакуумом, удовлетворяющим условию
a\ |0) =a2〔0)= 0.
Этот факт имеет общий характер: в пространстве ^^ содержится в точности одно подпространство 方少)，инвариантное относительно неприводимого действия алгебры операторов а^, а*, в котором имеется единственный вектор вакуума, удовлетворяющий (3.11).
Упражнение 3.5. Показать, что (ненормированный) базис в пространстве 方^) десятимерного представления алгебры Даффина-Кеммера может быть задан (без введения операторов Ь^) формулами
|0〉，若|0〉，4410), а*Ч|0) = -а*а*2|0),
。工河0〉= -а*2^|0), ОУ。河°〉，J, к = 1, 2.
(Указание: воспользоваться тем, что в случае парастатистики порядка @ = 2 перестановочные соотношения (3.3) могут быть заменены более простыми соотношениями:
+ ст dyd^dx = З^д^А^ + (тЗ^а 力,
a》a 从 a” + (га^а^а 入=2(тЬ入从 а”,(3.21)
(3.19)(3.19)а1а м a" +0a"а从a入—°.)
(3.19)
(3.19)
Гринберг и Мессиа (1965) показали, что все неприводимые представления перестановочных соотношений (3.3) в гильбертовом пространстве с единственным циклическим вакуумом, для которого имеет место (3.11), удовлетворяют также соотношению (3.12) с некоторым целым положительным @ и определяются с точностью до унитарной эквивалентности равенствами (3.11), (3.12). Каждое такое представление включается в приводимое представление в пространстве 初少)，задаваемое анзатцем Грина (3.7). Б частности, при @ = 1 получаются обычные статистики Бозе и Ферми.
Замечание о TCP-теореме и связи спина с парастатистикой для локальных параполей. Чтобы сформулировать свойство локальности параполей, воспользуемся следующим обобщением анзатца Грина (3.7). Определим (вслед за Дел'Антонно и др., 1964) локальное параполе А(х) как сумму полей
=£石(3.22)
где В^ удовлетворяют условиям локальности аномального типа:
[В^а\Х), В^\у)]а = 0 при (/ —д)2<0,(3.23а)
(1-坛万)[石В^\у)]_а = 0.(3.236)
Упражнение 3.6. Показать, что из (3.22)-(3.23) следуют локальные паракоммутаци- онные соотношения для параполя
[以(力)，А(у)]_а, А(г)] = 0,(3.24а)
если одновременно
(ж - г)2 < 0 и (у — г)2 < 0.(3.246)
В связи с определением (3.22) заметим, что требованиями (3.22), (3.23) мы накладываем некоторое ограничение на вспомогательные поля В^ в расширенном гильбертовом пространстве 初夕),а не в физическом пространстве векторов состояния 方少),в котором действует параполе А. Особенно сильным является ограничение (3.236), которое фактически эквивалентно предположению об отсутствии взаимодействия между разными полями 石(°). Кроме того, напомним, что только для свободных полей доказано, что анзатц Грина исчерпывает все представления паракоммутационных соотношений ). Более того, введение в самом определении параполя А системы полей В^ фактически сводит параполя к системе обычных (бозе- или ферми-) полей с аномальной (при @〉1) связью спина и статистики — типа тех, что рассматривались в § 9.3 (значит, такая система полей обладает дополнительной симметрией). Поэтому при сделанных «технических» предположениях рассмотрение вопросов о TCF-инвариантности и связи спина со статистикой становится вполне тривиальным: оно попросту сводится к соответствующим вопросам теории Уайтмана. А именно: чтобы установить связь спина с парастатистикой, достаточно заметить, что, для того чтобы поле А обладало определенными трансформационными свойствами по отношению к группе Пуанкаре, следует потребовать, чтобы каждое поле 石(°)обладало теми же трансформационными свойствами. Теперь из (3.22) и леммы 9.21 следует, что параполе А обладает целым (соответственно полуцелым) спином, если оно подчиняется парастатистике Бозе (соответственно Ферми). Как отмечалось в п. 9.2.А, TCF-инвариантность также имеет место в рассматриваемом случае (благодаря тому, что с помощью преобразования Клейна условие локальности системы полей В^ можно привести к нормальному виду). Более того, закон ТСР-преоб- разования полей можно взять в той же форме (см. п. 9.2.А), как и в случае нормальной связи со статистикой.
Для доказательства достаточно убедиться, что функции Уайтмана полей В^а\х) удовлетворяют условию слабой локальности (п. 9.2.Б). Это условие, очевидно, выполнено для функций Уайтмана полей 石(°)(/) с одним и тем же значением а (поскольку такие поля, согласно (3.23а), удовлетворяют обычному условию локальности с нормальной связью спина со статистикой). Общий случай легко следует из (3.236) и свойства факторизации:
〈X⑴•〉（吗L«⑴〉。…3⑺〉。,〈X⑴•〉（吗L«⑴〉。…3⑺〉。,(3.25)(3.25)
〈X⑴•〉（吗L«⑴〉。…3⑺〉。,
〈X⑴•〉（吗L«⑴〉。…3⑺〉。,
(3.25)
(3.25)
где Х^ — произвольный моном, составлений из полей В^а\х) с фиксированным значением а.
Упражнение 3.7. Доказать свойство факторизации (3.25). (Указание: чтобы доказать, например, соотношение
можно воспользоваться соотношением (3.236), из которого следует
(X^.^X^-^U^a, 1)Х(浦〉° 二 ±〈Х(浦U(—а, 1) X⑴...Xd%;
из условия спектральности вывести, что обе части последнего равенства не зависят от а 6 Af и, значит,
^...X^U^a, 1)Х(Р)〉о =〈Х(1)...х5т)〉о〈х5)〉о・)
Дополнение И
Бесконечнокомпонентные поля
И.1. Элементарные представления группы SE(2, С). Концепция бесконечнокомпонентного поля (сокращенно БКП) является результатом отказа от «технического» требования конечномерности представлений группы Лоренца, по которым преобразуются поля (скажем, в формализме Уайтмана). Возникла она на самом раннем этапе теории квантовых полей: в 1932 г. Майорана привел пример бесконечномерного волнового уравнения
(гГмам - М)吵(/) = о
без решений с отрицательной энергией и с неотрицательным квадратом массы, т. е. без «античастиц». Дальнейшее развитие БКП стимулировалось одной из идей теории динамических симметрий — свести составную систему с бесконечным спектром массы ) (например атом водорода, бесконечную серию адронов типа реджевской траектории в кварковой схеме и т. п.) к единому БКП как более «элементарному» объекту (см., например, Барут и Клайнерт, 1967; Фронсдал, 1967; Рюгг и др., 1967; Дельбурго и др., 1967; Будини, 1968). С другой стороны, отказ от требования конечности числа лоренцевых компонент представляет интерес с позиций алгебраического подхода (все более приобретающего универсальное значение для аксиоматического построения квантовой теории поля), поскольку локальные алгебры, построенные на основе локального квантового БКП, могут обладать специфическими свойствами (с некоторыми из них мы познакомимся далее). Заметим, однако, забегая вперед (см. п. И.З), что описание составных систем с помощью БКП встретилось при этом с трудностью, которая, по-видимому, требует ослабления постулата (строгой) локальности ).
Здесь будем под БКП подразумевать поля, преобразующиеся по бесконечномерным неприводимым представлениям группы SL(2,。) (накрывающей группы для 力］)или (что является
более общим случаем) по так называемым элементарным представлениям ) группы SL(2,。). Эти представления параметризуются упорядоченной парой х = (А,从)комплексных чисел А,从 таких, что /X —从 G Z. В дополнении В.5 мы назвали такую пару х индексом, а их множество обозначили через X. Для различных целей пространство представления индекса х можно выбирать разными (неэквивалентными) способами. Особый интерес заключается в представлении Тх группы SL(2,。)в пространстве Dx = Х)(С2) всех комплексных ^^-функций “(g) в С2 = С2\{0}, однородных индекса х или, эквивалентно, однородных бистепени (А — 1,从一1). (Это означает, что они удовлетворяют (В.48) при п = 2.) Топология в 力^ индуцируется естественной топологией из ^(С2). Элемент Л 6 SL(2,。)действует на функцию и 6 Dx по формуле,
(Тх(А)〃)(5 =(ил)
Оператор унивалентности равен
^(Д)|л=-1 = (-1)Л^,(И.2)
так что представление Тх определяет однозначное или двузначное представление собственной группы Лоренца 力]в зависимости от того, четно или нечетно 入一从.(В контексте п. И.2 будем говорить, что тогда соответствующее БКП несет целый или полуцелый спин.) Представление Тх неприводимо при всех % 6 X за исключением случаев х G 三早 или х G 或L т. е. случаев
а) А, /1 = 1, 2, 3, ... или б) А, /1 = —1, —2, —3,(И.З)
причем два таких неисключительных представления Тх и Тх/ эквивалентны в точности тогда, когда х‘ = 土Х・ В исключительном случае х G S^ (т. е. (И.За))力^ содержит конечномерное подпространство 中°")полиномов от ®, с<), однородных степени 2J = А — 1 по ® и однородных степени 2k =从一1 по 公；в этом подпространстве реализуется конечномерное неприводимое представление ①5к)группы SL(2,。). В исключительном случае х G S^ (т. е. (И.36)) представление Тх также приводимо: Dx содержит замкнутое подпространство конечной коразмерности, так что в фактор-пространстве реализуется конечномерное представление, эквивалентное D^,k^ при 2J = —А — 1, 2к =—从—1.
В ряде ситуаций в качестве «носителя» представления индекса х можно (а иногда и следует) выбрать пополнение Dx по некоторой ослабленной (например, гильбертовой) топологии; в этом случае роль пространства 力^ состоит в том, что оно является своеобразным «ядром» (пополненного) представления. Ниже воспользуемся этим замечанием в ситуации, когда в качестве такой ослабленной топологии выбирается (слабая) топология из 夕'(С?); нетрудно видеть, что соответствующим пополнением 力^ является пространство 0^ = обобщенных функций “(g) от g G С?, однородных индекса %. Согласно предложению В.8(6), пространство 0^ канонически изоморфно пространству X)Lx всех линейных непрерывных функционалов над пространством Х)х:
以U(乙4)
мы также воспользуемся этим обстоятельством при определении БКП, преобразующегося по представлению индекса %.
И.2. Понятие квантового БКП. Если допустить, что с одним БКП может ассоциироваться бесконечное множество частиц со сколь угодно большим спином, то для БКП еще в большей мере, чем для обычных конечнокомпонентных полей, становится желательным
включение в рассмотрение неренормируемых моделей (т. е., возможно, более чем полиномиального роста в р-пространстве). Мы ограничимся теориями предэкспоненциального роста, когда еще можно сохранить более или менее обычное условие локальности (как в замечании п. 9.1.Г).
Квантовое поле, преобразующееся по конечномерному представлению Х>“") группы SL(2, С), есть операторное распределение 0(")(@, g,公)над пространством 夕(Af) по импульсной переменной р, являющееся однородным полиномом степени 2J no g G С? и степени 2k по ш. Соответственно мы определяем квантовое БКП, преобразующееся по элементарному представлению группы SL(2,。) индекса х по
0(〃)(@, as) = ^(а) ^\р, а), а е С = С\{0}.(И.5)
Предполагается, что в гильбертовом пространстве 方 имеется общая плотная область определения D, на которой определены операторы
歹(0, G)d4P |d"2幻丨 при всех F G 夕(Af x C2),
причем она инвариантна относительно этих операторов. Очевидно, обычный случай конечнокомпонентного поля, преобразующегося по представлению ^^к\ входит в эту схему как частный случай при х = (А,从)=(2J + 1, 2k + 1) G 三早.
Имеется другое эквивалентное определение. Пусть задан билинейный непрерывный функционал
(/, 〃)Ти) = I 声(0； 〃)/(0)d40(И.6)
над / 6 5 (М), и 6 Х>—х， значениями которого являются (вообще говоря, неограниченные) операторы, определенные на D вместе со своими сопряженными и оставляющие D инвариантной. Тем самым задано и БКП 0(")(@, g) как ядро операторного функционала 0(")(/; и) в том смысле, что соответствие между двумя определениями осуществляется в духе изоморфизма (И.4) (или предложения В.8(6)):
I 0(")(@, 5/(@)д(5&40 |d2Gd2创=0(")(/； 1-х9)(И.7)
при всех / G 5 (М), д G 夕(С?).
Как обычно, з(")обозначает эрмитово сопряженное поле:
^\р, ш) = ^\-р,(И.8)
оно имеет индекс однородности %+ =(Д, А).
Функции Уайтмана БКП в р-пространстве
苏f叫01, si；…；0九，gП)=
=(2穴)4b(01 + +pn) W^"^n\px, 01 +@2,…，01 + …i； , ^n)=
=〈010(〜)(0i, e)…0(〃叫0九，ш)10)(И.9)
являются распределениями из Q)f(Mn х (C2)n) по @i, рп, •一, ^п, удовлетворяющими условиям раздельной однородности индекса Xj по
ai^1； апшп) = 口 ^М x
7=i
Pn； ^1,, шп) при ai, , ап Е С. (И.10)
В терминах функций Уайтмана (И.9) нетрудно переформулировать все характеристические свойства (кроме локальности) из п. 8.3.А: свойство сопряжения, положительную определенность, пуанкаре-ковариантность, спектральность, кластерное свойство. В частности, трансляционная инвариантность уже учтена в первом из соотношений (И.9), в то время как лоренц-ковариантность означает
W^-^^^qr,А(А)阪—1； A^i, 厶3九)=
=W^-^\q^ i； …，^n), A e SL(2, С).(И.11)
Спектральность означает свойство носителя:
supp评(〃・・к)(%,qi； g,…亠九)C (D+)1 X (С2)п.(И.12)
Наконец, для формулировки локальности (в духе замечания п. 9.1.Г) мы ограничиваемся предэкспоненциальным ростом, т. е. предполагаем, что преобразование Лапласа
w^"^n\z^ ^1；; гп, ш) = w^"'^n\zi - г2,, гп-1 - гп； ^1,, ш)=
определено (в смысле п. Б.1) при всех (句，гп) 6 夕^ (здесь имеется в виду, что все выражения в (ИЛЗ) сглажены по сл, , шп с произвольной основной функцией g(si, 以九)G 6 3)((С2)п)). Аксиома локальности теперь означает, что функции Уайтмана (ИЛЗ) аналитически продолжаются по (гь ..., гп) в симметризованные трубы 夕^ и обладают перестановочным свойством типа (9.39):
苏"7rl …"7r九)(2 泊，&7ri；; 2e Ge) = €F(7F)W^"^n\zx, Gl； ... ； Zn, Ш), 7Г G S^. (H.14)
Здесь предполагается, что все поля разделены на «бозонные» (歹(”)=0) и «фермионные» (F^ = 1) (но какой-либо связи спина со статистикой не предполагается; как мы увидим в п. И.4, ее может не быть).
На основании предложений 5.13(a) и 5.14 можно с равным успехом рассматривать функцию Уайтмана в координатном пространстве как частично голоморфное распределение:
苏人・宀)⑵，^i；гп, ш) е 夕(夕£ х (С2)п),(И.15а)
^7 苏； гп, Ш)= о, j = 1, п; Д4 = 0,, 3.(и.156)
И.З. Ковариантная структура двухточечной функции. Бесконечное вырождение массы по спину. Двухточечные функции Уайтмана являются простейшими объектами, отражающими основные принципы теории (а в случае свободных полей полностью определяющими модель). Поэтому изучение свойств БКП естественно начать с двухточечных функций.
Вначале приведем ковариантное представление в импульсном пространстве без учета локальности (но предполагая сильное условие спектральности с массовой щелью 从〉0), а затем в координатном пространстве ).
Лемма И.1. Всякое распределение К(р\ ш, w) е 2f(V^ х С2 х С2), удовлетворяющее условию SL(2, С)-инвариантности
К(А(А)@; Acj, Aw) = К(@; w) при A G SL(2,。)，(И.16)
представимо 6 виде
К(@; ш, w) = •庶ОД 公万g, wpw, V),(И.17)
где V — матрица из SU⑵，построенная из переменных @, g, w：
V = (шрш -wpw)~i/2 〜(И.18)
\ у^р2 UEW WpU 丿
• е ^7[м , ос) х R+ х R+ х SU(2))・(И.19)
Дополняя условие SL(2, С)-инвариантности в лемме И.1 условием однородности по g, w, получаем ковариантную структуру двухточечной функции. При этом обозначаем
о"г = ^ (尢-дч) (分=1, 2).(И.20)
Нетрудно видеть, что при полуцелом(П —(72 двухточечная функция VT("i"2)тождественно равна нулю, поэтому ниже всюду считаем выполненным условие
СГ1 - СГ2 Е Z(И.21)
Предложение И.2. В импульсном пространстве двухточечная функция БКП 夕("1) 〃夕("2), преобразующихся по элементарным представлениям группы SL(2,。) индексов xt 〃 Х2, при *) <72 > 匕i| имеет вид
W^^\p- w) = @万5(*+"i)/2p2 -1®万^尸2 -1@万^『2+6侬£5。2"18(02, 〃)，(и.22)
гдео о о
(И.23) шрш • wpw
»(i) е 峭/х(", 8)X [-1, 1]) = ^.夕(№ 8)X [-1, 1]),(И.24)
X 三 x(〃)=(宁广F 5 (И.25)
Фигурирующее в (И.24) пространство 2^х = (1/Х) •夕/ определяется в духе формулы (3.172) как пространство линейных непрерывных функционалов над X •夕([д?, ос)义 х [—1, 1]), т. е. равенство Н = (1/X)G означает:
(Я, X/) = (G, /) при всех / е 夕([/А ос) х [-1, 1]).
Для разложения двухточечной функции по спину воспользуемся результатом представления распределений на отрезке [—1, 1] в виде рядов по полиномам Якоби 沙).
Теорема И.З. Пусть а, /3〉一1 〃 Х(沙)=(—^—丿(—^—丿 при 沙 G [―1, 1]. Произвольное распределение 九(沙)G 夕 j/x([~ 1，1]) может быть разложено 6 ряд
(И.26) п=0
сходящийся в слабой топологии 夕 j/x([—1，1]). Здесь полиномы Якоби интерпретируются как функционалы на X •夕([—1, 1]), определяемые интегралом
IgM)eX・5([—l, 1]);
{hn} — последовательность комплексных чисел, полиномиально ограниченных по п：
\hn\ <а(1+п)\(И.27)
Обратно, всякая последовательность {hn}, удовлетворяющая (И.27), определяет по формуле (И.26) распределение из 夕j/x([—1，!])•
С помощью теоремы И.З распределение H(s,沙)из предложения И.2 можно разложить в ряд (вначале при ст? > |。1|, а затем точно так же и в других случаях):
Я(5, ^ = 工 P^)i^Hj(sl(И.28)
^>ki |V|cr2l
где P^^) — функции, ассоциированные с полиномами Якоби ([В7], п. 3.3.9):
Р^З)三三月? =j吋爲忆辞X
X(и・29)
Hj(s) e 夕'(“，оо)).(и.зо)
В результате приходим к следующему разложению двухточечной функции по спину (обозначения те же, что и в (Ж.14)):
W^^\p- w)= 工 ^p^+^/2-J-\wpwfXi+^/2-J-xD^ hj(pl (И.31) ^>ki |v|<t2I
где hj(p) — лоренц-инвариантные меры из 5'(V^) (точнее, это — комплексные лоренц- инвариантные меры на У^).
Чтобы отразить свойство локальности, воспользуемся тем, что двухточечная функция V7("i"2)(《；w) в координатном пространстве есть распределение из 夕，(Ti х С2 х С2) со следующими свойствами:
голоморфность по《：
^7 W^^\^ w) = 0, n = 0,, 3;
SL(2, С)-инвариантность:
W(〃e)(a(A) g Aw) = w(〃宀)《G, w) при A e SL(2, C);
раздельная однородность no g, w:
W(〃g)«； as, ^)二 ^^ ^т(Ъ) W^^^- s, w) при a,beC-
спектральность: при《G TJ |y("i”2)(《；w) есть преобразование Лапласа по р от распределения 屮("1"2)(0； w) G 5/(V+ x е2 x e2);
(Д)屮(〜〃2)(；w)干屮(〃2〃1)(一《，w, 5 = o.
Перечисленный набор свойств можно эффективно учесть явно ковариантным представлением, обобщающим представление типа Челлена-Лемана для конечнокомпонентных полей. В следующем предложении F^j•从九(g, w) обозначает ядро SL(2, С)-ковариантного тензорного
билинейного непрерывного функционала ГМ1"，Мп (и, v) над Х)_Х1 х Х)_Х2 (см. п. В.5), преобразующегося по индексам /ц..,/in по неприводимому представлению $)32ni吟；это означает, что F"i屮九(g, w) — симметричный тензор по /ц.../in, имеющий нулевой след:
Предложение И.4. Двухточечная функция БКП 6 координатном пространстве V7("i"2)(《；g, w) (удовлетворяющая условиям (а)-(д)) имеет вид
而(〃e)《s, ^)=£*Г5・小①亠)〃「4九凡⑹； (И.32а) соответственно,
而Зе)® 以亠)二工 Г^-^(^, w)p^...p^Fn(pl (И.326)
Здесь Fn(p) — скалярные лоренц-инвариантные распределения из 夕，(Af) с носителями в V+, допускающие преобразования Лапласа Fn{^) 6 трубе TJ, причем только конечное число Fn отлично от нуля.
Полученные представления можно применить к проблеме «расщепления» массы по спину. Выше упоминалось, что понятие БКП может использоваться как способ описания составных систем. Особый интерес представляют модели, в которых имеется зависимость массы одночастичных состояний от спина такая, что при каждом (дискретном) значении массы число возможных значений спина конечно. Возникает вопрос, может ли соответствующее БКП быть локальным. Оказывается, это невозможно: Гродский и Стритер (1968) доказали «по-до»-теорему, согласно которой из локальности и спектральности в теории БКП следует бесконечная вырожденность массы по спину. В терминах представления (И.31) это означает, что если исключить конечнокомпонентный случай, то ни на каком интервале М2 < s < М/2 ряд (И.31) не может иметь только конечное число отличных от нуля членов. В теореме Гродского-Стритера рассматривался только случай ренормируемых теорий, и результат получался непосредственным применением теоремы Боголюбова-Владимирова (см. упражнение 4.17). Могло возникнуть впечатление, что вырождения по массе можно избежать, переходя к неренормируемым теориям. Оказывается, что результат Гродского-Стритера по-прежнему остается в силе, если выйти в класс неренормируемых теорий предэкспоненциального роста в р-пространстве (которые еще допускают естественную формулировку локальности).
Теорема И.5 (обобщение теоремы Гродского-Стритера). Пусть (б модели БКП предэкспоненциального роста в р-пространстве) W^^2\p\ w) G 夕'(V+ x С2 x С2) есть двухточечная функция (б импульсном пространстве) локальных полей 夕("1) 〃 夕("2), преобразующихся по элементарным представлениям группы SL(2, С) индексов xi 〃 Х2 соответственно. Если 6 области
р > 0, М2 < р2 < М,2, (И.ЗЗ)
{где 0 < М < М) выполнены условия
评(〜〃2)(0； j ^)壬 0
〃 в разложение (И.31) двухточечной функции по спину дает вклад лишь конечное число слагаемых, то xi，Х2 G 三早(〃，значит, пространства представлений индексов 僧, 〃 Х2 содержат инвариантные подпространства однородных полиномов по з, В и w, w). В области (И.ЗЗ) 6 двухточечной функции 川”宀乂目；&, w) присутствует лишь ^конеч- нокомпонентная часть», т. е.屮("1"2)(@； &, w) является полиномом по g,公，w, w.
Тот факт, что составные системы без бесконечного вырождения спектра масс по спину не допускают «элементарного» описания локальным полем, служит указанием на наличие такой внутренней структуры этих систем, которая не реализуема локальными полями.
И.4. Отсутствие ^р_^-ковариантности и связи спина со статистикой в моделях БКП. Здесь мы ограничимся ренормируемыми теориями, т. е. в соответствии с п. И.2 БКП 夕(“)， преобразующееся по представлению индекса х = Х(") группы SL(2, С), рассматривается как операторная обобщенная функция 夕(")(力；и^) над W(M) по переменной ж, линейно и непрерывно зависящая от и^ 6 Х)_х.
Теория БКП контрастирует с формализмом Уайтмана конечнокомпонентных полей в вопросе о TCF-симметрии. В теории Уайтмана (с аксиомой W.VIII (§ 8.2)) имеется антиунитарный оператор © полного пространственно-временного отражения (TCF-оператор), задающий преобразование полей по универсальному закону 夕(力)т 夕'(力)=(i~FV(—1, 1)夕(一/)) (см. (9.626)). Но бесконечные (в рассматриваемом случае — элементарные) представления группы SL(2,。) (или 力］)не обладают аналитическим продолжением на SL(2, С) х SL(2, С) (или L+(C)); из-за этого прежняя формулировка и, конечно, доказательство ТСР-теоремы теперь не проходят. Кстати, формальная эстраполяция 7^(—1, 1) = ( —1)л-1 конечнокомпонентной формулы Х>°")(—1, 1) = (—l)2j на бесконечномерный случай, очевидно, приводит к неоднозначности (при нецелых А,从).
В этой ситуации имеет смысл вместо прежнего универсального закона (9.626) преобразования полей при TCF-симметрии допустить к рассмотрению более общий закон преобразования полей относительно полного отражения пространства-времени, при котором матрицы i~FV(—l, 1) заменяются подходящими SL(2, С)-инвариантными операторами, по- прежнему действующими на спиновые переменные (или спиновые индексы) полей. Для такой «обобщенной TCF-инвариантности» (если она есть) мы будем использовать общий «нейтральный» термин ф+-ковариантности. Итак, под ф+-ковариантностью системы БКП мы подразумеваем, во-первых, существование антиизоморфизма полевой алгебры ^(Af), имеющего смысл полного пространственно-временного отражения и действующего на базисные поля 夕(")(力；и^) «точечным» преобразованием вида
"”)(/；办(—/; А^^им^,(И.34)
где А^ ”)： X)—х т Q-t — некоторые переплетающие (т. е. SL(2, С)-инвариантные операторы *) для представлений Т_х и Т_х/； во-вторых, реализуемость
U(Tst)^\x- u^U^t)-1 =工 s(Q(—/; 4(厶)/))*(И.35)
этого антиизоморфизма посредством антиунитарного оператора U{Ist) с правильным групповым свойством по отношению к заданному представлению собственной группы Пуанкаре )
U(北)U(a, A) U(北)—=U(-a, А).(И.Зба)
Без существенного ограничения можно считать вакуум инвариантным:
и(*)|0〉・(И.366)
Оказывается, что и в таком наиболее общем виде (И.35) (с «точечным» законом преобразования полей) ф+-ковариантность системы БКП может отсутствовать. Цель данного пункта — показать это на простых моделях БКП. Другое специфическое явление, с которым мы также познакомимся на примере, состоит в следующем: система БКП может не быть ф+-ковариантной, но ф+-ковариантность может появиться после борхерсовского расширения исходной системы полей (при этом борхерсовское расширение нетривиально, так как добавленные поля выражаются через исходные базисные поля в /-пространстве нелокально).
Обратимся к примерам БКП. В рассматриваемых моделях мы будем иметь дело с конечной системой {夕(")(力；“)}〃=1,...,к (2 W К < ос) свободных эрмитовых полей, преобразующихся по самосопряженному элементарному представлению ) х = (1/2, 1/2) группы SL(2,。). Эрми- товость полей означает:
")* =9(")(/；й),〃 = 1,, К.(И.37)
Поля з(") свободны в том смысле, что они удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона с массой m > 0 и что (анти)коммутатор [夕(")(力；и),夕("')(沙；о)]土 есть с-число, поэтому такие поля однозначно определяются двухточечными функциями. Прежде чем определить их, мы приведем ряд свойств представления Майорана в Х>—х・ Известно ([Гб], § III.6), что Х)_х является предгильбертовым пространством относительно SL(2, С)-инвариантного скалярного произведения (〃 | о) (где 〃，о G Х)_х). Через Н обозначим гильбертово пространство — пополнение предгильбертова пространства Х>—х・ Замыкания V(A) операторов Т_Х(А) образуют унитарное представление в Н. Далее, в Н существует ([Г.2], п. 2.9.7) ковариантный 4-вектор эрмитовых операторов Гм (从=0, ..., 3), определенных на D-x вместе со всеми полиномами от Гм и коммутирующих с сопряжением и й (ковариантность Гм означает У(А)ГМУ(А-1)= =А(А)什 Т"). Кроме того, оператор Г° строго положителен, так что (за счет умножения на константу) можно считать
Г° > 1.(И.38а)
Из ковариантности Гм следует:
0江"> m при 0? = m2, 0°〉0.(И.386)
Определим теперь свободные эрмитовы БКП 夕(")(力；и) (〃 = 1, ..., К) двухточечными функциями
(01 产(力; ")*%;。)|0〉= e I М^ (l蒜)卜)；-g)三
三]伍 I M")(Pr[開)I。) 2开6>(0°) b(02 - m2) 6一办(U)友0；(И.39) здесь九
M(t) = £(И.40)
—некоторый полином от вещественной переменной t со значениями в множестве эрмитовых К х /С-матриц; предполагается, что det Мп 力 0. Для положительной определенности двухточечной функции достаточно выполнить условие
M(t) > 0 при всех t т.(И.41)
Локальность накладывает условие
7И(Т)干 ТИ⑴二 0;(И.42)
здесь «干》означает «—» для бозе-статистики и «+» для ферми-статистики; при этом п четно и соответственно нечетно.
С помощью теоремы реконструкции Уайтмана нетрудно убедиться, что всякая КхК-мат- рица M(t) (Н.40), полиномиально зависящая от t и удовлетворяющая (И.41), (И.42), однозначно определяет систему свободных эрмитовых бозонных (при четном п) или фермионных (при нечетном п) БКП, преобразующихся по элементарному представлению индекса группы SL(2,。)и имеющих двухточечные функции (И.39).
Построенные поля несут полуцелый спин и могут быть бозонными (при четном п) или фермионными (при нечетном п). Это показывает, что для БКП отсутствует связь спина со статистикой.
Условие (И.35) ковариантности относительно полного отражения пространства-времени (т. е. фактически ф+-ковариантность) в данном случае означает
U(鼠)i〃)(/; ")U(点尸=工 石〃'9")(一/；矶(И.43)
где В =(石"'") есть некоторая вещественная ) К х /С-матрица, U(Ist) — антиунитарный оператор. Условие антиунитарности оператора U&力)(вместе с инвариантностью вакуума) накладывает ограничение на двухточечную функцию:
(019(〃)(/；")9(〃)3；0)10)=工 石〜"石""‘(019(〜)(一羽团9(H)(—g;仍10)，(И.44)
которое в терминах матрицы M(t) записывается в виде
M(t) = BTM(t) В.(И.45)
Выберем M(t) так, чтобы вещественная линейная оболочка матриц Mj (J = 0,, п)
совпадала с множеством всех эрмитовых К х К-матриц. Тогда условие (И.45) означает: ат = =ВтаВ для всех эрмитовых К х /С-матрица а. Легко видеть, что такой матрицы В не существует (ибо в противном случае получилось бы, что ab = Ьа для всех К х К-матриц а, Ь). Значит, соответствующая модель БКП не ф+-ковариантна.
В заключение познакомимся с возможностью восстановления ф+-ковариантности за счет борхерсовского расширения исходной системы полей.
Упражнение И.1. Пусть существует комплексная К х /С-матрица Х(", полиномиально зависящая от вещественного параметра t и удовлетворяющая соотношениям
Х(Т)干又© = 0,(И.46)
X*⑴ 7И⑴—X⑴=M(t);(И.47)
положим
У ⑴=7И ⑴-X ⑴.(И.48)
Доказать, что поля
三 £]0(Q(0；(И.496)
эрмитовы (в смысле (И.37)) и принадлежат классу Борхерса полей 夕(“)，причем
（0№（〃）（/;〃）电（〃‘）3；。）|0）=（《ТИ（人）（江М揣）卜）；0复）（力-g）.（И.50）
и такой, чтои такой, чтоДоказать, что существует антиунитарный оператор U{Ist), удовлетворяющий (И.36)
и такой, что
и такой, что
(И.51)(И.51)U（底）『〃）（/; 〃）U（北尸二吵（〃）（—/; Q
(И.51)
(И.51)
Приведем конкретный пример. Пусть n = 2Z + по, где по есть нуль в бозе-случае или единица в ферми-случае, I 6 Z+. Положим
M(t) = tno^*(t)^(t),(И.52а)
I .
где ^(t) = £ Njt^ — произвольная комплексная К х /С-матрица, зависящая от t как полином степени I, невырожденная при t > m и такая, что
^(-t) = >(t).
Очевидно, при достаточно большом I можно выбрать ^(t) так, чтобы вещественная оболочка матриц Mj (J = 0,, п) совпадала с множеством всех эрмитовых К х /С-матриц. Согласно
сказанному выше, соответствующая система БКП 夕(“)(с двухточечными функциями (И.39)) не ф+-ковариантна. Тем не менее если положить
Х("=伊 oN*(/)>^J,(И.526)
У ⑴=ТИ ⑴-X ⑴=N(tT'J^,(И.52в)
то будут выполнены условия (И.46), (И.47). Согласно упражнению И.1 это означает существование антиунитарного оператора U(Ist), удовлетворяющего (И.36) и такого, что
U(北)『〃)(/; и) U(鼠尸=吵(〃)(一/;团(И.бЗа)
и, как легко видеть,〜〜
U(北)^\х- и) U(北尸="〃)(—/;团(И.536)
где поля 吵(")(/; и) определены формулой (И.49) и принадлежат борхеровскому расширению системы полей 夕(“).Если дополнительно предположить, например, что М = 1 н N&)壬 N&), то У(t)壬 const является матричной рациональной (неполиномиальной) функцией от параметра t, так что поля 吵(”)выражаются через 夕(“)в /-пространстве существенно нелокальным образом.
Глава 10
ПОЛЯ В ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКЕ
Псевдоуайтмановский формализм
А. Псевдогильбертово пространство. К картине полей в пространстве с индефинитной метрикой прибегают, когда пытаются формализовать идею виртуального (или «потенциального») состояния (наподобие того, как с помощью представлений организуют физические состояния квантовых систем). Понятие виртуального состояния можно проиллюстрировать на следующем «классическом» примере. Как известно, состояние свободного классического электромагнитного поля в пространстве-времени М определяется тензором напряженности F入从(化),удовлетворяющим уравнениям Максвелла. Это состояние можно также задать вектором- потенциалом А^х), однако такая характеристика является избыточной, поскольку две конфигурации, скажем, 4从(力)и 厶[(力)вектора-потенциала определяют одно и то же физическое состояние (т. е. эквивалентны), если их тензоры напряженности совпадают:
方№(三队A%4入)=*从(三队A] -
В этой ситуации можно сказать, что конфигурация 4从(力)вектора-потенциала — это виртуальное состояние (классического) электромагнитного поля, тогда как физическое состояние представляет собой класс эквивалентности виртуальных состояний. Можно было бы допустить здесь не произвольные конфигурации 4从(力)，а лишь те, которые удовлетворяют некоему калибровочному условию; тогда мы получим различные (в зависимости от калибровки) представления физических состояний классами эквивалентных виртуальных состояний. Как мы увидим далее, в квантовом случае имеет место сходная ситуация; при этом также пространство векторов виртуальных состояний (для одной и той же «физики») можно выбрать, вообще говоря, многими способами (соответствующими разным калибровкам).
Представление (фундаментальных) квантовых полей в пространстве с индефинитной метрикой развивается в полной аналогии с формализмом Уайтмана. Основное различие состоит в том, что гильбертово пространство векторов физических состояний теперь заменяется псевдогильбертовым пространством векторов виртуальных состояний (которое определяется ниже), поэтому формализм должен включать дополнительные аксиомы, обеспечивающие его физическую интерпретацию.
Пусть X есть комплексное 歹-пространство с гильбертовой топологией. Это значит, что структура ЛВП на 分 определяется нормой ||Ф|| = у (Ф, Ф), где (Ф, Ф) есть скалярное произведение на X, относительно которого 分 является гильбертовым пространством. Подчеркнем, что в определении гильбертовой топологии конкретный выбор скалярного произведения до некоторой степени несуществен: если (Ф, Ф)1 есть другое скалярное произведение в X, то оно задает ту же топологию, когда существуют положительные числа С, Сг такие, что
。•住 Ф) < (Ф, Ф)1 < С'・(①，Ф)
(другими словами, когда нормы ||Ф|| и ||Ф||1 подчинены друг другу). Дальнейшие понятия формулируются таким образом, чтобы они были инвариантны относительно указанной замены гильбертова скалярного произведения в X. (Примером такого понятия служит ограниченный линейный оператор А в 55； эрмитовость же — понятие неинвариантное.)
Псевдогильбертовым пространством назовем『пространство 分 с гильбертовой топологией, на котором дополнительно определено индефинитное скалярное произведение (Ф, Ф) (так что 分 является пространством с индефинитной метрикой, см. п. 1.1.Г); причем индефинитное скалярное произведение и гильбертова топология согласованы следующим образом: всякий линейный непрерывный функционал F на X однозначно представим в виде
^(Ф) = (Ф, Ф), вед (10.1)
где Ф — некоторый вектор из X, и обратно, для любого ① G 分 равенство (10.1) определяет линейный непрерывный функционал 歹(W) на 分.В этом определении индефинитное скалярное произведение является существенным элементом структуры, в то время как гильбертова топология играет вспомогательную роль, поэтому определяющее ее гильбертово скалярное произведение (Ф, Ф) можно варьировать в допустимых пределах. Условие согласования скалярного произведения (Ф, Ф) и гильбертовой топологии можно переформулировать так: существует линейный ограниченный оператор 〃 с ограниченным обратным 〃—】в X, эрмитовый относительно гильбертова скалярного произведения (Ф, Ф), такой, что
(Ф, Ф) = (Ф, 7/Ф) при ①，WeX. (10.2)
Докажем это. Пусть условие согласования выполнено. Из теоремы Рисса (см. пример 2 в п. 1.1.Е) следует, что общий вид линейного непрерывного функционала F на ① дается формулой 歹(W) = (Ф1, Ф); с другой стороны, имеем равенство (10.1). Поэтому формула ①i = =77Ф определяет линейный автоморфизм 77:① т ①.Оператор 77 эрмитов:
(7/Ф, Ф) = (Ф, Ф) = (Ф, Ф)=(科①)=(Ф, 7/Ф),
следовательно, он имеет замкнутый график и (по теореме 1.11) ограничен. Обратный оператор ту-】 также эрмитов и по тем же соображениям ограничен. В результате представление (10.2) доказано. Обратное утверждение — справедливость условия согласования при наличии представления (10.2) — очевидно.
Упражнение 10.1. Доказать, что гильбертово скалярное произведение (Ф, Ф) можно переопределить таким образом, чтобы оператор 〃 в представлении (10.2) удовлетворял дополнительному условию 2 ( )
(Указание: если условие (10.3) в представлении (10.2) tie_ выполнено, то можно ввести новое гильбертово скалярное произведение (Ф, Ф)1 = (Ф,，〃2 田)и новый оператор 771 так, что (Ф, Ф) = (Ф,力3)1； вывести отсюда, что 〃 = Т](г]2)~^2 н 〃； = 1.)
Эрмитов оператор 77, удовлетворяющий условию (10.3), есть разность 〃 = 〃十一〃—ортогональных проекторов (относительно гильбертова скалярного произведения); пару (q, р), где q = dim 77+①，р = dim 〃—①，называют сигнатурой псевдогильбертова пространства ①. Сепарабельные пространства с сигнатурой (сю, р), где р — натуральное число, называют пространствами Понтрягина (см. Понтрягин, 1944).
Упражнение 10.2. Пусть в сепарабельном бесконечномерном псевдогильбертовом пространстве 5ji имеется замкнутое подпространство ①I конечной коразмерности @ (т. е. dim① 1/①I = р < ос), причем сужение скалярного произведения (•, •〉 на ①I неотрицательно определено, и размерность подпространства ①，={① е ①1： (Ф, Ф) = 0} в ①：равна р. Доказать, что 5ji есть пространство Понтрягина с сигнатурой (ос, р). (Указание: 5ji
можно разложить в прямую сумму двух ортогональных (относительно 〈•，•〉) замкнутых подпространств, одно из которых .» есть бесконечномерное гильбертово пространство (со скалярным произведением 〈♦,•〉)， а другое натянуто на векторы ai, ..., ар, bi,...,b, со свойствами (ai, aj) = 〈b* bj) = 0, 〈a* bj) = b“・. Для доказательства выбрать произвольный базис ai, , ap в ①？ и векторы 瓦，…，b'p 6 5ji такие, что 〈电，%〉= 5管，и положить 仇= =% — £〈出，%〉电・ Наконец, определить .庶二{① е ①1： (Ф, bi) = 0, г = 1, , @}.)
Предложение 10.1. Гильбертова топология псевдогильбертова пространства однозначно определяется условием согласования индефинитного скалярного произведения с гильбертовой топологией.
< Пусть ①—псевдогильбертово пространство с индефинитным скалярным произведением (Ф, Ф), причем его гильбертова топология может быть задана скалярным произведением (Ф, Ф); следовательно, имеет место представление (10.2). Пусть далее на ① задано другое гильбертово скалярное произведение (Ф, Ф)1, также согласованное с индефинитным скалярным произведением (Ф, Ф). Поэтому имеет место также представление
(Ф, 3〉= (Ф,力田)1, (Ю.4)
где 力—эрмитов оператор в (①，(•, -)1) с ограниченным обратным. Покажем, что нормы ||Ф|| и ||Ф||1 на ① эквивалентны. Из (10.2) и (10.4) следует: (Ф, Ф)1 = (Ф,刀刀丿 ％. Из
-1
этого представления очевидно, что оператор эрмитов относительно скалярного произведения (•, •), и поскольку он определен на всем ①，то (по упоминавшейся выше теореме 1.11) он ограничен. Отсюда следует существование числа с'〉0 такого, что (Ф, Ф)1 < с'(①，Ф). Аналогично доказывается, что (Ф, Ф) < с〃(①，Ф)1 при числе с" > 0. ►
Некоторые понятия, связанные с гильбертовым пространством, естественно обобщаются на псевдогильбертово пространство 分.Для линейного оператора А с плотной областью определения Da (псевдоэрмитово) сопряженный оператор 厶* дается определяющим соотношением
(А*Ф, Ф) = (Ф, АФ) при ① е %*, Ф 6 Da. (10.5)
Линейный непрерывный оператор 4 в X называется псевдоэрмитовым, если 厶* = =А, т. е. если
(АФ, W) = (Ф, АФ) при ①，W е X. (10.6)
Линейный автоморфизм 〃 пространства 55 называется псевдоунитарным, если он определен на некотором плотном в X линейном подпространстве R U 分 п (взаимно однозначно) отображает его на некоторое подпространство, плотное в X, причем
(〃①)=(①，3) при ①，WeD (10.7)
Если псевдоунитарный оператор 〃 является линейным автоморфизмом пространства X (так что D = 〃D = X), то с помощью теоремы 1.11 о замкнутом графике нетрудно убедиться, что операторы 〃 и 勿一】непрерывны (и в этом случае гильбертовы нормы ||Ф|| = (Ф,①)1/2 и ||Ф|| 1 = ||〃①II эквивалентны).
Упражнение 10.3. Доказать, что псевдоунитарный оператор 2/ унитарен относительно вспомогательного скалярного произведения (•, •) в точности тогда, когда он коммутирует с оператором ту.
Естественным образом определяется псевдоунитарное представление 〃(д) группы Ли G (при этом считается, что 〃(gi)R входит в область определения 〃(^2) при любых gi, 92 G G; кроме того, как и в случае унитарных представлений, постулируется, что все матричные элементы (Ф, 〃(g)W) являются непрерывными функциями от g при любых Ф, Ф G А).
Говоря об алгебре 例(X) всех линейных непрерывных операторов в псевдогиль- бертовом пространстве 55 как о банаховой ^-алгебре, мы всегда подразумеваем, что операторы из 例(X) снабжены нормой, определяемой гильбертовой нормой в X (п. 1.4.А), и что оператор 〃 в представлении (10.2) удовлетворяет условию (10.3). (Тогда оператор 〃 эрмитов и унитарен относительно гильбертова скалярного произведения, поэтому выполнено условие ||4*|| = ||А||, входящее в определение банаховой ^-алгебры.)
Упражнение 10.4. Пусть 21 — банахова ^-подалгебра в алгебре 切(①)всех линейных непрерывных операторов в псевдогильбертовом пространстве ①.Пусть тг есть ^-представление алгебры 21 операторами в некотором гильбертовом пространстве 方(причем все операторы 7г(А) имеют общую плотную область определения X)с 方 такую, что тг(А) X)С Х>). Доказать, что все операторы тг(А) (А 6 21) ограничены и представление тг непрерывно по норме: ||тг(А)|| < ||А|| для всех А е 21. (Указание: убедиться, что для 4 G 21, ||А|| < 1 существует В = В* 6 21 такое, что А^А -\- В2 = 1; для этого достаточно определить В в виде суммы ряда /(А*А), где /(г) — ряд Тейлора функции "\ — z. Заключить отсюда, что ||тг(А)|| < 1 при всех А е 21, ||А|| < 1.)
В качестве примера рассмотрим пространство 5 виртуальных однофотонных состояний в калибровке Гупта-Блейлера. Оно состоит из всех комплексных 4-век- торных измеримых функций /从(夕)на конусе Г^ = {р е М: р° = \р\}, для которых конечен квадрат гильбертовой нормы
|1"12 三(m/) = ]1"(0)|2(如)0,(10.8)
где
|/|2 =+ 開匕 (dp)o = d3p/[(27T)32p0].
Зададим в Xi представление группы Пуанкаре 中'по формуле
(仏(а, А)"产(夕)=е^Лм^(Л-1р).(10.9)
Нетрудно проверить, что 551 является псевдогильбертовым пространством с эрмитовой формой
=-卜% (夕)"7夕)(如)0(10.10)
и что операторы 〃i(a, Л) образуют псевдоунитарное представление группы Пуанкаре.
Мы видим, что «виртуальный» фотон в калибровке Гупта-Блейлера имеет четыре поляризации в отличие от «физического» фотона, имеющего две поляризации. Согласно упражнению 7.17 гильбертово пространство векторов состояний физического фотона есть 力=济/X] где 分：—подпространство векторов " е 5 с поперечной волновой функцией (夕从/从(夕)=0), а 分? — подпространство векторов из 551 с нулевым скалярным квадратом. Этот пример демонстрирует возможное соотношение между пространствами векторов виртуальных и физических состояний.
Гильбертово скалярное произведение (Ф, Ф) в рассмотренном примере инвариантно относительно семимерной «группы Аристотеля», включающей трехмерные вращения и четырехмерные трансляции пространства-времени. В случае более общих ковариантных калибровок свободного электромагнитного поля, гильбертова норма может оказаться не трансляционноинвариантной.
С помощью операций прямых сумм и тензорных произведений можно из заданных псевдогильбертовых пространств конструировать новые. Так, если 分^ (j = 1, ..., n)— конечный набор псевдогильбертовых пространств, в которых гильбертовы и псевдо- гильбертовы скалярные произведения связаны соотношением типа (10.2): (Ф^, Ф^)= =(Ф^, 〃gWg), то в качестве тензорного произведения 55 = ^51 0 ••• 0^5п следует взять гильбертово тензорное произведение и задать в нем индефинитную форму типа (10.2) при 〃 = 〃i ¥ ... ¥ 〃冷.С помощью упражнения 1.44 легко убедиться, что 分 является псевдогильбертовым пространством.
Точно так же по заданному «одночастичному» псевдогильбертову пространству 551 методом вторичного квантования строятся псевдогильбертовы фоковские пространства 夕v(5) и 夕д(5) типа (7.109) виртуальных бозе- и ферми-частиц.
Б. Аксиомы псевдоуайтмановского типа. Естественно предположить, что квантовые поля в формализме с индефинитной метрикой являются операторными обобщенными функциями, значениями которых являются операторы в псевдо- гильбертовом пространстве X; соответственно полевая алгебра 3 есть некоторая ^-алгебра операторов в X. Однако в общем случае такое допущение слишком жестко ). Вместо этого потребуем, чтобы полевая ^-алгебра 3 была реализована полуторалинейными формами на некотором плотном в X линейном подпространстве А. Это значит, что каждому элементу 4 G 3 однозначно сопоставляется полуторалинейная форма (Ф I А I Ф), где ①，W е А; при этом (Ф | А* | Ф) = (Ф | А | Ф). Поскольку произведение полуторалинейных форм не определяется естественным образом, то мы будем считать, что задано следующее конструктивное соответствие между произведением в алгебре 〃 и произведением операторов в X： каждый элемент 4 G 〃 есть предел (в смысле сходимости полуторалинейных форм над D) последовательности операторов Ап в 55, причем произведение АВ есть предел произведения последовательности операторов АПВП. Ситуация, когда полевая алгебра представлена операторами, остается важным частным случаем.
Приведем теперь набор аксиом псевдоуайтмановского подхода.
PW.I (Релятивистская инвариантность). В псевдогильбертовом пространстве X векторов виртуальных состояний задано псевдоунитар- ное представление 〃(а, Л) спинорной группы Пуанкаре фо- Предполагается, что ||〃(а, 1)|| есть непрерывная полиномиально ограниченная функция от а е М.
PW.II (Спектральность). Для любых векторов ①，W е 分 обобщенная функция
(Ф, 〃(а, 1)(10.11)
имеет носитель в верхнем световом конусе『+.
PW.III (Сущеетвование и в сущности единственность вакуума).
В X выделен ^^-инвариантный вектор |0), называемый вакуумным вектором и нормированный условием (0 | 0) = 1.
Если векторы ①，W е 分 таковы, что обобщенная функция (10.11) есть {комплексная) мера по р, то ее вклад, сосредоточенный в точке р = 0, равен (2тг)45(р)(Ф I 0)(0 I
PW.IV (Полевая алгебра). Задана {полевая) ^-алгебра 3, реализованная полуторалинейными формами на некотором плотном в 分 пуанкаре-
инвариантном линейном подпространстве D, содержащем вакуумный вектор. Компоненты 夕;”)фундаментальных квантовых полей 夕(”)являются ^-значными обобщенными функциями 夕;")(/) над пространством Шварца ”М).
Здесь также предполагается, что каждое поле 夕(”)входит в данный набор полей со своим (псевдоэрмитово) сопряженным 夕;")(/)* =夕;")(/). Через 夕(Af) мы обозначаем полиномиальную полевую алгебру, состоящую из всевозможных конечных сумм элементов вида (8.8). Если при этом в (8.8) ограничиваться функциями / е 夕(Ь), где 夕—открытое подмножество в М, то мы получаем подалгебру 彳(b) С ^(М). Элемент А, принадлежащий 彳(夕)для некоторого ограниченного открытого множества Ь, называется локальной величиной из ^(М). Соответственно произвольный элемент из 夕(7И) можно интерпретировать как квазилокальную величину. Как мы увидим в дальнейшем (п. 10.2.Б), вообще говоря, из таких величин нельзя образовать достаточного набора операторов рождения (из вакуума) заряженных физических состояний. Поэтому наряду с ^(М) мы вводим более широкую полевую ^-алгебру 3 Э ^(М) (с единицей), некоторая порождается алгеброй 夕(7И) (в том смысле, что каждый элемент из 3 есть предел последовательности Ап е е ^(М) в смысле сходимости полутора линейных форм на D) и может включать «глобальные» величины.
Вакуумное среднее (8.27) по-прежнему будем называть функцией Уайтмана полей 夕("К夕(死九)(это обобщенная функция из 火(加")).
PW.V (Пуанкаре-ковариантность полей).
〃(а, А)夕尸⑺ 〃(“,А)т =£ 匕胃(广)粛)(А/ + а),(10.12)
т
где 『(”)(А) — конечномерные матричные представления группы SL&, С) (равенство (10.12) понимается в смысле полуторалинейных форм на D, являющихся обобщенными функциями по х).
Аксиома PW.V позволяет задать на полевой алгебре 3 действие группы Пуанкаре фо *-автоморфизмами а(а, Л) (так что формула типа (8.9) выполняется в смысле полуторалинейных форм). Конечно, это действие должно удовлетворять разумному условию неперрывности. По крайней мере мы будем предполагать, что если Ап — А н Вп — В (в смысле полуторалинейных форм над D), то (Ф, Апа(^а^(Вп) Ф)— —(Ф, Аа^д^В) Ф) в смысле обобщенных функций по а е М (здесь ①，W е D). Тогда из условия спектральности PW.II вытекает:
supp ]® I 4a(°,1)(6) I 0) е~гра^а С У+ при А, В 6 ^ Ф 6 D. (10.13)
(Здесь не предполагается, что А п В обязательно являются операторами, так как в противном случае это условие не содержит ничего нового по сравнению с PW.II.) Точно так же, для того чтобы иметь возможность применять условие единственности вакуума в контексте полуторалинейных форм, предположим справедливым следующее добавление к аксиоме PW.III(6).
PW.III. (6‘) Если вектор Ф е D ^ элементы А, В е ^ таковы, что обобщенная функция
卜①14ami)(8) |0)й好泪。
есть (комплексная) мера по р, то ее вклад, сосредоточенный в точке р = 0, равен (2тг)45(р)(Ф | А | 0)(0 | В | 0).
PW.VI (Локальность).
(10.14)(10.14)0产(力)0片)匂)=0片)匂)夕产(力)при (/-у? ＜。，
(10.14)
(10.14)
где матрица а = (сг("’"')) состоит только из чисел ± 1.
PW.VII (Цикличность ваку у м а). Если для некоторой сильно сходящейся последовательности Фп 6 D последовательность (Фп | А | 0) сходится к 0 при всех А 6 夕(ТИ), то limФп = 0).
В случае когда вспомогательное гильбертово скалярное произведение (•, •) трансляционноинвариантно, т. е. все операторы 勿(а, 1) унитарны (и, значит, согласно упражнению 10.3 коммутируют с оператором ту в представлении (10.2)), применима теорема Стоуна, дающая для операторов 勿(а, 1) представление (1.68); соответственно оператор 4-импульса 几(определяемый равенством Р" = —г 勿(а, 1)|а=о) обладает спектральным разложением типа (1.64). Таким образом (на основании теоремы Стоуна), для трансляционной инвариантности вспомогательного гильбертова скалярного произведения (•, •) на ① необходимо, чтобы при любых Ф, Ф 6 5j выражение (10.11) было (конечной комплексной) мерой на М. Вообще говоря, это условие не выполнено и прежние спектральные разложения типа (1.68) и (1.64) для U(a, 1) и 「从 становятся неприменимыми; соответственно теряет смысл также разложение (п. 7.2.Б) векторов состояний по (возможно, несобственным) векторам с определенными инвариантами группы Пуанкаре.
В псевдоуайтмановском подходе вакуумный вектор |0) оказывается циклическим вектором для полевых алгебр 夕(〃)，ассоциированных с произвольными непустыми открытыми подмножествами 0 и М (доказательство теоремы 8.2 переносится сюда без изменений). В то же время неприводимость алгебры 夕(Af) (как следствие условия цикличности вакуума, см. теорему 8.1) имеет место, если потребовать, чтобы в ① существовал единственный (с точностью до множителя) трансляционно-инвариантный вектор, а именно вакуумный вектор |0) (Моркио и Строкки, 1980, теорема 11).
Модели с неодномерным подпространством трансляционно-инвариантных векторов иногда допускают описание альтернативным методом, когда вместо условия существования в ① вакуумного виртуального состояния требуется существование (и единственность с точностью до множителя) вакуумного виртуального обобщенного состояния. Мы не будем здесь формулировать относящиеся сюда понятия в общем случае и введем их для конкретных моделей в гл. 11.
В аксиоме локальности PW.VI не предполагается связь спина со статистикой (ср. условие W.VIII). Теперь она может нарушаться, как показывает следующий пример.
Пусть с(/) — свободное заряженное скалярное поле массы т, которое, однако, предполагается не бозонным, а фермионным. Это значит, что оно удовлетворяет следующим каноническим антикоммутационным соотношениям:
(10.15а)(10.15а)[с(/)，ф)]+ = 0 = [с*(/), с*3)] +，
(10.15а)
(10.15а)
[ф), с*3)]+ =；。力(力一沙)・(10.156)
Соответствующее представление нетрудно построить методом вторичного квантования; в качестве ① 1 выберем то же самое одночастичное подпространство, что и в обычном квантовании свободного заряженного скалярного (бозонного) поля (п. 8.4.Б). Пусть ①=.^a(5ji) есть соответствующее фоковское пространство ферми-частиц со скалярным произведением (•,♦); как и и (8.95), (8.96), положим
Ф)=厶+(-0, Т) + Мр^ 1)，4。，±1)=圭 GM。)干分4(0)),
где А^2(р) и 41,2(0)——операторы рождения и уничтожения ферми-частиц:
[4(0),(р)]+ = bab • (2穴)％(0 - “)以(0).
В ① естественным образом определены оператор N числа частиц и оператор Q заряда (ср. (8.98)). Определим в ① псевдогильбертову структуру формулой (10.2) при 77 = (—1)(n-Q)/2.
Упражнение 10.5. Убедиться, что построенное таким образом поле с(/) удовлетворяет написанным выше аксиомам PW.I-VII. При этом двухточечные функции Уайтмана имеют вид
(0 I с(/) с(у) I 0) = 0 = (0 I с* (ж) c*(g) I 0〉，(10.15в)
(0 I c(/)c*(g) I 0〉= ； D口依一п) = -(0 I с*(ж)ф) I 0〉.(Ю.15г)
Упражнение 10.6. Доказать, что (при любом выборе фазового множителя 少)для построенного выше скалярного фермионного поля с(/) не существует псевдоантиунитар- ногр оператора © (т. е. TCF-оператора) такого, что 6с(/) 6* =%*(—/), 6с* (/)6* = =Нс(—/). (Указание: если бы такой оператор © существовал, то он обладал бы свойством 6〃(а, А) 6* =勿(一а, А), которое доказывается на основе неприводимости полей с, с* точно так же, как доказывается соотношение (7.152в) в упражнении 7.30; из единственности трансляционно-инвариантного вектора в ① отсюда следовало бы 6 | 0〉= g | 0〉(где g — фазовый множитель), и тогда двухточечные функции обладали бы свойством (0 | с(ж) с^(у) | 0〉= = (0|с*(-х)с(-7/)|0),что противоречило бы (10.15г).)
Прежнее доказательство TCF-теоремы 9.13 неприменимо в этом примере из-за неправильной связи спина со статистикой. (Как отмечалось в п. 9.2.А, в формализме Уайтмана TCP-теорема справедлива и при неправильной связи спина со статистикой, поскольку там возможно преобразование Клейна.)
В. Вакуумный сектор и заряженные состояния. Мы должны еще привести дополнительные требования, которые обеспечат физическую интерпретацию формализма с индефинитной метрикой. С этой целью предположим, что из (фундаментальных) полей в пространстве с индефинитной метрикой X построена некоторая ^-алгебра 21, называемая алгеброй наблюдаемых. Основной принцип, по которому выбирается алгебра 21, есть калибровочная инвариантность. Это значит, что на полевой алгебре 3 действует *-автоморфизмами А — 7g (厶)некоторая группа 歹， которую (в этом контексте) назовем большой калибровочной группой. При этом естественно наложить следующее условие (секвенциальной) непрерывности: если Ап А (в смысле полуторалинейных форм над D) в 3, то 7^(АП) — 7g(厶)(в том же смысле) при любом g Е ^. Алгебра наблюдаемых 21 определяется как подалгебра всех ^-инвариантных элементов из 3・ Чтобы алгебра наблюдаемых переходила в себя под действием автоморфизмов &(。,八)группы Пуанкаре 中о, будем предполагать, что фо действует автоморфизмами на ^{g gf = g(&A)), так что выполнено условие 中 о-коварпантностп
= 7д/ при всех g G 歹，(a, A) G Ro・ (10.16)
Кроме того, в соответствии с физическим смыслом наблюдаемые должны преобразовываться по однозначному представлению группы Лоренца, поэтому потребуем, чтобы среди автоморфизмов 7^ (g е G) имелось преобразование q(o,_i), так что
q(o,— i)(4)=4 при А 6 21.(10.17)
Следующая аксиома делает возможной физическую интерпретацию формализма.
PW.VIII (Свойства алгебры наблюдаемых). Определена большая калибровочная группа 歹，действующая ^-автоморфизмами на полевой алгебре 3, причем'.
выполнено условие пуанкаре-ковариантности (10.16);
вакуумный функционал {Q \ A\Q) на алгебре наблюдаемых 21 (те на подалгебре всех ^-инвариантных элементов из 3) есть линейный положительный функционал-.
(0 I АА I 0) > 0 при А 6 21.(10.18)
С помощью конструкции ГНС вакуумное среднее (как положительный функционал) определяет циклическое представление 7rvac алгебры наблюдаемых 21 в некотором гильбертовом пространстве 方vac с циклическим (вакуумным) вектором Фуас; это представление алгебры 21 называется вакуумным.
Предложение 10.2. Вакуумное представление алгебры наблюдаемых не- приводимо\ группа Пуанкаре фо унитарно реализована в 力vac, причем выполнено условие спектральности и единственности (с точностью до множителя} транс-
ляционно-инвариантного вектора в 力v；
Тот факт, что симметрия алгебры 21 относительно группы Пуанкаре фо унитарно реализована в J^vac, следует из предложения 1.30. В силу цикличности вакуума условие спектральности supp J〈① 1, U(a, 1)①2〉е-гра d4a C достаточно проверить для векторов вида % = TTvac(4) Wvac, где Aj G 21; тогда (Ф1, U(a, 1) Ф2) = (0 | А^ а^аЛ^А2) | 0〉. Теперь доказываемое условие спектральности следует из (10.13).
Для доказательства того, что Фvac есть единственный (с точностью до множителя) трансляционно-инвариантный вектор в J^vac, обозначим через Q проектор на подпространство трансляционно-инвариантных векторов из %%ас・ Достаточно проверить, что (Фь Q①2〉= =(Ф, Wvac〉〈Wvac,①2〉 для всех ① 1,①2 Е 方vac・ Как и выше, здесь можно ограничиться векторами вида % = 7rvac(4)Wvaс. Теперь доказываемое равенство следует из того, что вклад меры ］〈0 | А*а(ад)(А2) | 0) е~граd^a в точке р = 0 равен (2тг)45(р)(Фь Q①2〉，и из условия PW.III (6‘).
Наконец, неприводимость представления 7rVac доказывается точно так же, как предложение 8.1 (поскольку выполнены условия цикличности относительно 7rVac(2l) и единственности вакуума). А
фактор-группафактор-группаОбобщая приведенную конструкцию, в принципе можно получить состояния невакуумного сектора. Пусть в группе 歹 выделена нормальная подгруппа 歹о, переходящая в себя при действии группы Пуанкаре 中о； назовем 歹° в этом контексте малой калибровочной группой. Здесь для простоты мы ограничимся случаем, когда
фактор-группа
фактор-группа
(10.19)(10.19)r = f/fo
(10.19)
(10.19)
есть компактная группа Ли; назовем ее эффективной калибровочной группой *). По аналогии с определением алгебры наблюдаемых множество X ^о-инвариантных элементов полевой алгебры 3 мы назовем алгеброй физических величин (при условии, что выполнены нижеследующие условия PW.IX). Поскольку 7^(А) при g G 歹，4 G X зависит только от класса смежности Д е Г элемента д, то, допуская вольность, запишем) Тд(4) =7^(4); тем самым группа Г действует *-автоморфизмами алгебры X.
Следующее естественное предположение состоит в том, что при любых А е Ъ, ①，W G А функция (Ф I 7^(А) Ф) непрерывна по Д 6 Г и что произвольному элементу 4 G X можно сопоставить его усреднение 17/z(A) dh по группе Г, являющееся элементом из 21, причем
фI卜月⑷甸=卜①I 7月(4)]⑦dh(10.20)
г/ г
(здесь dh — инвариантная мера на Г, нормированная на единицу).
Итак, чтобы иметь возможность построения заряженных секторов алгебры наблюдаемых, примем следующую аксиому.
PW.IX (Свойства алгебры физических величин). Задана малая калибровочная группа 歹о, являющаяся Пуанкаре-инвариантной нормальной подгруппой 6 歹 с компактной фактор-группой Г, причем:
автоморфизмы)九(九 6 Г) ^-алгебры X физических величин {определяемой как подалгебра всех ^^-инвариантных элементов из 3) коммутируют с автоморфизмами Q(a,i)группы 中о；
формула (10.20) определяет оператор усреднения (〃о группе Г) иэ алгебры X 6点；
выражение
s(4)=]〈0|W) |0)d瓦4 GX,(10.21)
г
есть линейный положительный функционал на X, т. е.
s^A) > 0 при 4еХ.(10.22)
Опять конструкция ГНС по линейному положительному функционалу s(4) алгебры X позволяет построить циклическое представление тг алгебры X с циклическим вакуумным вектором Фо в некотором (физическом) гильбертовом пространстве 力 так что
s(4) = (Фо, тг(А) %), АеЪ.(10.23)
Очевидно, функционал s(4) фо- и Г-инвариантен, поэтому (как и в предложении 1.30) определены унитарные представления U(a, Л) группы фо и У(Д) группы Г, причем операторы U(a, Л) коммутируют с операторами V(Д); они оставляют вакуумный вектор Фо инвариантным. В то же время подпространство всех трансляционноинвариантных векторов в 方，вообще говоря, может иметь размерность, большую единицы (тогда говорят о вырождении вакуума), а представление тг быть приводимым (это происходит при спонтанном нарушении калибровочной инвариантности, см. п. 10.3.В).
Согласно теории унитарных представлений компактных групп ([В7], п. 1.4.2), физическое гильбертово пространство 3f однозначно разлагается в прямую сумму ортогональных Г-инвариантных подпространств 方(丁){0}
㊉力⑺(10.24)
со следующим свойством: индекс 丁 пробегает некоторое семейство 夕 попарно неэквивалентных (конечномерных) унитарных неприводимых представлений группы Г и подпредставление группы Г в 方(丁)унитарно эквивалентно представлению вида 丁(九)0 1 (при этом изоморфно тензорному произведению пространства представления 丁 с некоторым гильбертовым пространством).
Упражнение 10.7. Пусть (для простоты) алгебра наблюдаемых 21 состоит из ограниченных операторов в ① н является банаховой ^-алгеброй. Доказать, что подпространства 方(丁) инвариантны относительно операторов U(a, Л) и операторов тг(А), А 6 21. (Указание: применить лемму Шура.)
Согласно приведенному упражнению, в случае когда алгебра наблюдаемых есть банахова ^-алгебра, состоящая из ограниченных операторов в X, формула (10.21) дает разложение
卄㊉ тг") (10.25)
представления тг алгебры наблюдаемых 21 на подпредставления 灰(丁)в подпространствах, преобразующихся по представлению, кратному т, группы Г. Множество 夕， фигурирующее в (10.21), называется физическим спектром группы Г. Вакуумное представление 7rvac алгебры 21, очевидно, содержится в представлении тг(°), соответствующем тривиальному представлению то (Я) = 1 группы Г. Состояния, соответствующие векторам из подпространств с г ^ то, назовем заряженными состояниями алгебры наблюдаемых.
В более общем случае, когда в алгебре тг(21) допускаются неограниченные операторы, для приведения ее подпространствами ЖТ нужно добавить «техническое» предположение: для любого элемента 4 е X п любого матричного элемента ттп(Д) (неприводимого представления группы Г) определен интеграл J 丁加冷(九)7九(厶)d九三 =Amn E X. Тогда по-прежнему имеет место разложение (10.25), причем 力(丁) совпадает с замкнутой линейной оболочкой векторов вида тг(Ашп) Wo при фиксированном г. В частности,
方⑼ есть замыкание тг(21) Фо- (10.26)
Для представления тг справедливо следующее предложение.
Предложение 10.3. Будем считать выполненным следующее естественное «техническое» предположение-, для любых элементов А, В из алгебры X физических величин выражение (0 |)九(4а(а/)(5)) | 0) как обобщенная функция по a J М зависит непрерывно от h еГ (как от параметра). Тогда:
симметрия алгебры X относительно группы Пуанкаре фо унитарно реализована 6 力，причем выполнено условие спектральности;
если Фо есть единственный (с точностью до множителя) трансляционноинвариантный вектор 6 力，то представление тг алгебры X неприводимо.
Упражнение 10.8. Доказать предложение 10.3. (Указание: действовать так же, как в доказательстве предложения 10.2.)
Замечание. В заключение стоит отметить, что роль исчисления операторов в псевдо- гильбертовом пространстве, в принципе, можно считать исчерпанной с построением полевой *-алгебры 3 и вакуумного функционала на ней, поскольку основные элементы псевдоуайт- мановского формализма после этого можно переформулировать чисто алгебраически, т. е. в терминах алгебры 3 и вакуумного функционала на ней, в сущности, уже без явного обращения к псевдогильбертову пространству. Единственный «след» индефинитной метрики проявляется в том, что вакуумный функционал на 3 не положителен. Мы не будем здесь специально останавливаться на этой чисто алгебраической формулировке, которую назовем слабой формой псевдоуайтмановского подхода (ее нетрудно вывести из аксиом PW.I-IX).
Г. Физическое подпространство псевдогильбертова пространства. Остановимся подробнее на конструкции физического гильбертова пространства 力 в одном частном, но важном случае. Во-первых, дополнительно предполагается, что эффек-
тивная калибровочная группа Г есть подгруппа в 歹(так что 歹 есть полупрямое произведение подгрупп ^о и Г); во-вторых, автоморфизмы)九(Д е Г) полевой алгебры 3 реализованы псевдоунитарным представлением Д — 乂九)группы Г в X, причем вакуумный вектор |0) инвариантен относительно операторов 乂九).Наконец, будем считать, что элементы полевой алгебры 3 реализованы не просто полуторалинейными формами на А, а операторами на А, оставляющими область R инвариантной.
При сделанных предположениях обозначим посредством X’ множество векторов Ф псевдогильбертова пространства 分 вида Фа = 4|。)，где 4 е X, т. е.
& = %|0); (10.27)
мы назовем 夕 физическим подпространством пространства 分 виртуальных состояний. Скалярное произведение векторов ①厶 н ①в, очевидно, есть 〈①厶，①в)= =(0 I А^В I 0). С другой стороны, имеем
(10.28)(10.28)(10.29)(10.29)s(4) = I (0 I 个)"(『I 0) dh = (0 I А I 0)г
(10.28)
(10.28)
(10.29)
(10.29)
при всех А е Ъ, так что
傳4,①в) = s(A^B) = 5Q4) Wo,小石)Wo)
при всех А, В Е^, где тг — физическое представление алгебры X. Отсюда следует, что сужение на 分‘ скалярного произведения есть неотрицательно определенная форма; следовательно, фактор-пространство D =分'/分〃 есть предгильбертово прост
ранство; здесьранство; здесь分〃 ={①g分‘：（①，①）=0}.分〃 ={①g分‘：（①，①）=0}.(10.30)(10.30)
ранство; здесь
ранство; здесь
分〃 ={①g分‘：（①，①）=0}.
分〃 ={①g分‘：（①，①）=0}.
(10.30)
(10.30)
Более того, формула (10.29) позволяет отождествить пополнение пространства D с физическим гильбертовым пространством. Действительно, из (10.29) легко следует, что отображение, сопоставляющее классу эквивалентности [Фа] в О =冗母"вектора ①4 е X’ вектор тг(4) Wo, определено корректно и сохраняет скалярное произведение. Тем самым D и тг(Х) Фо изоморфны; значит, пополнение пространства D и Ж также изоморфны как гильбертовы пространства и могут быть отождествлены (что мы и сделаем).
Как легко видеть, после такого отождествления операторы тг(4) при А ЕЪ задаются формулами
7г(А)[Ф] = [АФ] при Ф 6 &;(10.31)
аналогично для представления групп фо и Г имеем
UQ Л)[Ф] = [〃(а, Л) Ф], У(Д)[Ф]=歹仇)Ф] при Ф 6 &.(10.32)
Упражнение 10.9. Пусть выполнены предположения, сделанные в начале настоящего пункта.
Доказать, что Фо есть единственный (с точностью до множителя) трансляционноинвариантный вектор в 方 н что представление тг алгебры !В в 方 неприводимо. (Указание: здесь применимы те же аргументы, что и в доказательстве предложения 10.2.)
Доказать, что вакуумное представление 7rvac алгебры наблюдаемых совпадает с подпредставлением 7г(°)алгебры 21 (соответствующее тождественному представлению 々(А) = 1 в разложении (10.25)). (Указание: воспользоваться соотношением (10.26), а также тем, что J^vac есть замыкание 7rvac(^) ^vac； далее, убедиться, что существует изоморфизм J^vac и 方。，однозначно определенный условием: вектор 7rVac(^) Wvac переходит в тг(А) Фо при произвольном А 6 21.)
Упражнение 10.10. Пусть, наряду с предположениями в начале настоящего пункта, выполнены условия: большая калибровочная группа 夕 является абелевой и автоморфизмы 7g
(g 6 夕)полевой алгебры реализованы псевдоунитарными операторами 片(д) в ①，образующими представление группы 夕 и принадлежащими алгебре наблюдаемых 21, причем
(10.33)(10.33)(О I Mg) I 0) = 1 при всех д G g.
(10.33)
(10.33)
Доказать соотношения )
тг(片(д)) Фо = Фо при(10.34)
7r(片(д)) = 1 при д G go.(10.35)
(Указание: условие (10.33) означает 〈3(),万(片(д)) 3。〉= 1; отсюда следует (10.34). Для доказательства (10.35) подействовать оператором тг(片(д)) при g G go на вектор тг(А) Фо при А 6 53; воспользоваться, далее, тем, что 片(д) и А коммутируют, а также соотношением (10.34).)
Доказать, что
(Ф,片(д) Ф) = (Ф, Ф) для всех g G go,①，W G 5y.(10.36)
(Указание: переписать соотношения (10.36) в терминах физического гильбертова пространства и воспользоваться (10.35).)
Абелевы модели с калибровочной инвариантностью2-го рода
А. Поле дипольного духа и градиентная модель. Модели, рассматриваемые в этом пункте, несмотря на примитивность их, не лишены интереса, поскольку в них наглядно проявляются характерные черты теорий с калибровочной инвариантностью 2-го рода.
Полем дипольного душ называется скалярное нейтральное поле х(/) = Х*(/)，удовлетворяющее уравнению 4-го порядка
□2Х(ж) = 0(10.37)
и каноническим коммутационным соотношениям ) (ККС)
【Х(/)，ХЗ)] = I 27Г£(р°) У (р2)^р = -^г^О^х).(10.38)
Размерность поля х по массе равна нулю, т. е. на единицу ниже «канонической» размерности свободного скалярного поля (равной d/2 — 1 = 1, где d = 4 — размерность пространства-времени Минковского), поэтому поле называется также свободным безмассовым субканоническим (или «безразмерным») скалярным полем. Оно получается в результате квантования системы двух скалярных нейтральных полей х(/) и А(/) с квадратичным лагранжианом
ад = ^х^л + ^л2.
Уравнения Лагранжа-Эйлера□ А(]0 39 )
□ А = 0(10.396)
позволяют исключить поле А и получить уравнение (10.37). Одновременные ККС, из которых нетривиальны только
[%А(/), хЗ九。=夕。=；Ь(х —乡)=[%х(/)，A(g)]|)o=Q
вместе с уравнениями движения (10.39) приводят к (10.38).
Будем строить представление поля х(/) методом вторичного квантования, постулируя следующий вид двухточечной функции:
w(rr — g)三〈0 I х(/) хЗ)丨 °〉，(10.40)
где
w(x) = j 27rg(0°) (@2) е-грж d^P = — J )2 In ( — “2/2 + 分0 . /°) =
=-(/)2 {ln|"2/2| + 分 7Г£(/。) 0(/2) } .(10.41)
Здесь мы сталкиваемся с неопределенностью произведения。(目。)》^??) обобщенных функций («инфракрасной расходимостью»): эта обобщенная функция однозначно определена лишь на основных функциях “(0), равных нулю в точке р = 0*). Результат доопределения этого функционала до обобщенной функции из ^z(Af) дается формулой (10.41), содержащей произвольный параметр ” размерности массы (параметр инфракрасной регуляризации). Очевидно, w(x) является присоединенной однородной обобщенной функцией (нулевой степени первого рода):〔
w{px) = w(x) — 1пр при .〉0.(10.42)
Упражнение 10.11. Доказать, что существует вещественная функция h 6 ^(Af) такая, что 九(0) = 1 и
〈。丨 XS) Х(А)丨。〉(三]w(x - у) Цх) Цу) ^х </4^ = 0.(10.43)
(Указание: пусть /(ж) — произвольная вещественная функция из ^(Af) такая, что /(0)= =1, и пусть %(/) = р~4f(p~lx) при р > 0; из условия (10.42) следует, что в качестве h можно выбрать /р при подходящем выборе °.)
Упражнение 10.12. Пусть п — фиксированный вектор из У+ такой, что n2 = 1, и(р)— произвольная функция из ”М) такая, что “(0) = 0. Доказать соотношение
2Тг] е(0°)*(02)М0)d40 = j 嘉(一几3+ ^ u(p)(dp)o.(10.44)
(Указание: при n = (1, 0) доказываемое соотношение получается, если левую часть переписать в виде
-^2 J 2тг(9(р°) 8(р - rn2) “(0)山0 = -^2 J 髪 °)；
общий случай следует из лоренц-инвариантности 访(@).)
Эрмитова форма (01 %(/) %(р) | 0) (f, g е ”М)) на пространстве ^(Af), очевидно, не является неотрицательно определенной. (Это следует из того, что w(p) — преобразование Фурье двухточечной функции — не является (положительной) мерой; это вытекает также из формулы (10.42); ср. с упражнением В.6.) Поэтому представление поля х(/) методом вторичного квантования должно строиться в пространстве с индефинитной метрикой. С этой целью фиксируем вещественную функцию h G ^(Af) с ”0) = 1, для которой 〈0|xS)xS) | 0) = О (см. упражнение 10.11). Фиксируем также вектор n 6 У+ такой, что n2 = 1. Произвольной функции /(ж) G ^(Af) сопоставим пару функций F^\p), F⑵(р) на 1^"
(10.45a)(10.45a)№（0）=（"+嘉）（f（0）-f（。）丽儿…,№（0）=（"+嘉）（f（0）-f（。）丽儿…,(10.456)(10.456)и пару комплексных чисели пару комплексных чиселR3)=〈0|xS)X(/)|0〉，W4) = f(o).R3)=〈0|xS)X(/)|0〉，W4) = f(o).(10.45в)(10.45в)Тогда с помощью упражнения 10.12 получаемТогда с помощью упражнения 10.12 получаем〈。丨 X（f）X（g）l。〉= I ｛歹⑴（@） G⑵（0）+ 歹⑵（0）G⑴（0）｝ （d@）o + 戸G⑷ + 戸G（3）. （10.46）〈。丨 X（f）X（g）l。〉= I ｛歹⑴（@） G⑵（0）+ 歹⑵（0）G⑴（0）｝ （d@）o + 戸G⑷ + 戸G（3）. （10.46）Выберем теперь в качестве одночастичного подпространства гильбертово пространствоВыберем теперь в качестве одночастичного подпространства гильбертово пространство你二炉m^,（如）0）㊉32（^,（如）0）㊉c2你二炉m^,（如）0）㊉32（^,（如）0）㊉c2(10.47)(10.47)со скалярным произведениемсо скалярным произведением+ Ж(0)G⑵(0)} (d@)o + ЖG⑶ + ЖG⑷+ Ж(0)G⑵(0)} (d@)o + ЖG⑶ + ЖG⑷и определим на нем индефинитную форму (F, G〉с помощью правой части (10.46); в результате ① 1 становится псевдогильбертовым пространством.Упражнение 10.13. Доказать, что формулы (10.45) определяют линейное отображение из ^(М) на всюду плотное подпространство в 負i.В ① 1 можно задать псевдоунитарное представление ^(а, А) группы фо таким образом, чтобы функция /{а,А}(/) = /(А~1(/ — а)) переходила при отображении (10.45) в элемент 勿i(a, A) F из ① 1. (Предлагаем читателю в качестве упражнения найти явный вид операторов 勿i(a, А).) Пусть теперь ① =乡t(①i) есть псевдогильбертово фоковское пространство бозе-частиц с операторами рождения и уничтожения a*(F), a(Ff), удовлетворяющими (7.119). Положим по определениюи определим на нем индефинитную форму (F, G〉с помощью правой части (10.46); в результате ① 1 становится псевдогильбертовым пространством.Упражнение 10.13. Доказать, что формулы (10.45) определяют линейное отображение из ^(М) на всюду плотное подпространство в 負i.В ① 1 можно задать псевдоунитарное представление ^(а, А) группы фо таким образом, чтобы функция /{а,А}(/) = /(А~1(/ — а)) переходила при отображении (10.45) в элемент 勿i(a, A) F из ① 1. (Предлагаем читателю в качестве упражнения найти явный вид операторов 勿i(a, А).) Пусть теперь ① =乡t(①i) есть псевдогильбертово фоковское пространство бозе-частиц с операторами рождения и уничтожения a*(F), a(Ff), удовлетворяющими (7.119). Положим по определению4*(0) f(0)d40 =a*(f)，40)f(0)办0 =成尸),4*(0) f(0)d40 =a*(f)，40)f(0)办0 =成尸),(10.48)(10.48)又(0)= Л(р) + A*(-p).又(0)= Л(р) + A*(-p).(10.49)(10.49)Упражнение 10.14. Доказать, что так определенное поле удовлетворяет соотношениУпражнение 10.14. Доказать, что так определенное поле удовлетворяет соотношениям (10.37), (10.38), (10.40).Упражнение 10.15. Пусть В — вектор из ①i, определенный условиямиям (10.37), (10.38), (10.40).Упражнение 10.15. Пусть В — вектор из ①i, определенный условиямив⑴(p)=石⑵(0) = 0, 石⑶=^分， 石⑷二0.в⑴(p)=石⑵(0) = 0, 石⑶=^分， 石⑷二0.(10.50)(10.50)Доказать, что одномерное подпространство 歩i в ①i, натянутое на вектор В, пуанкаре- инвариантно. (Указание:_. _—(0|х(Л^(В)|0) = р(0)(10.51)при всех / G #(Л1).)Доказать, что подпространство 歩=乡力(卷i) в 例，пуанкаре-инвариантно, причемДоказать, что одномерное подпространство 歩i в ①i, натянутое на вектор В, пуанкаре- инвариантно. (Указание:_. _—(0|х(Л^(В)|0) = р(0)(10.51)при всех / G #(Л1).)Доказать, что подпространство 歩=乡力(卷i) в 例，пуанкаре-инвариантно, причем(Ф, ф) =(ф|о)(о|ф) при Ф, Ф е ^.(Ф, ф) =(ф|о)(о|ф) при Ф, Ф е ^.(10.52)(10.52)(в) Положим(в) ПоложимQ =矶石)+a*(м).Q =矶石)+a*(м).(10.53)(10.53)
(10.45a)
(10.45a)
№（0）=（"+嘉）（f（0）-f（。）丽儿…,
№（0）=（"+嘉）（f（0）-f（。）丽儿…,
(10.456)
(10.456)
и пару комплексных чисел
и пару комплексных чисел
R3)=〈0|xS)X(/)|0〉，W4) = f(o).
R3)=〈0|xS)X(/)|0〉，W4) = f(o).
(10.45в)
(10.45в)
Тогда с помощью упражнения 10.12 получаем
Тогда с помощью упражнения 10.12 получаем
〈。丨 X（f）X（g）l。〉= I ｛歹⑴（@） G⑵（0）+ 歹⑵（0）G⑴（0）｝ （d@）o + 戸G⑷ + 戸G（3）. （10.46）
〈。丨 X（f）X（g）l。〉= I ｛歹⑴（@） G⑵（0）+ 歹⑵（0）G⑴（0）｝ （d@）o + 戸G⑷ + 戸G（3）. （10.46）
Выберем теперь в качестве одночастичного подпространства гильбертово пространство
Выберем теперь в качестве одночастичного подпространства гильбертово пространство
你二炉m^,（如）0）㊉32（^,（如）0）㊉c2
你二炉m^,（如）0）㊉32（^,（如）0）㊉c2
(10.47)
(10.47)
со скалярным произведением
со скалярным произведением
+ Ж(0)G⑵(0)} (d@)o + ЖG⑶ + ЖG⑷
+ Ж(0)G⑵(0)} (d@)o + ЖG⑶ + ЖG⑷
и определим на нем индефинитную форму (F, G〉с помощью правой части (10.46); в результате ① 1 становится псевдогильбертовым пространством.
Упражнение 10.13. Доказать, что формулы (10.45) определяют линейное отображение из ^(М) на всюду плотное подпространство в 負i.
В ① 1 можно задать псевдоунитарное представление ^(а, А) группы фо таким образом, чтобы функция /{а,А}(/) = /(А~1(/ — а)) переходила при отображении (10.45) в элемент 勿i(a, A) F из ① 1. (Предлагаем читателю в качестве упражнения найти явный вид операторов 勿i(a, А).) Пусть теперь ① =乡t(①i) есть псевдогильбертово фоковское пространство бозе-частиц с операторами рождения и уничтожения a*(F), a(Ff), удовлетворяющими (7.119). Положим по определению
и определим на нем индефинитную форму (F, G〉с помощью правой части (10.46); в результате ① 1 становится псевдогильбертовым пространством.
Упражнение 10.13. Доказать, что формулы (10.45) определяют линейное отображение из ^(М) на всюду плотное подпространство в 負i.
В ① 1 можно задать псевдоунитарное представление ^(а, А) группы фо таким образом, чтобы функция /{а,А}(/) = /(А~1(/ — а)) переходила при отображении (10.45) в элемент 勿i(a, A) F из ① 1. (Предлагаем читателю в качестве упражнения найти явный вид операторов 勿i(a, А).) Пусть теперь ① =乡t(①i) есть псевдогильбертово фоковское пространство бозе-частиц с операторами рождения и уничтожения a*(F), a(Ff), удовлетворяющими (7.119). Положим по определению
4*(0) f(0)d40 =a*(f)，40)f(0)办0 =成尸),
4*(0) f(0)d40 =a*(f)，40)f(0)办0 =成尸),
(10.48)
(10.48)
又(0)= Л(р) + A*(-p).
又(0)= Л(р) + A*(-p).
(10.49)
(10.49)
Упражнение 10.14. Доказать, что так определенное поле удовлетворяет соотношени
Упражнение 10.14. Доказать, что так определенное поле удовлетворяет соотношени
ям (10.37), (10.38), (10.40).
Упражнение 10.15. Пусть В — вектор из ①i, определенный условиями
ям (10.37), (10.38), (10.40).
Упражнение 10.15. Пусть В — вектор из ①i, определенный условиями
в⑴(p)=石⑵(0) = 0, 石⑶=^分， 石⑷二0.
в⑴(p)=石⑵(0) = 0, 石⑶=^分， 石⑷二0.
(10.50)
(10.50)
Доказать, что одномерное подпространство 歩i в ①i, натянутое на вектор В, пуанкаре- инвариантно. (Указание:_. _—
(0|х(Л^(В)|0) = р(0)(10.51)
при всех / G #(Л1).)
Доказать, что подпространство 歩=乡力(卷i) в 例，пуанкаре-инвариантно, причем
Доказать, что одномерное подпространство 歩i в ①i, натянутое на вектор В, пуанкаре- инвариантно. (Указание:_. _—
(0|х(Л^(В)|0) = р(0)(10.51)
при всех / G #(Л1).)
Доказать, что подпространство 歩=乡力(卷i) в 例，пуанкаре-инвариантно, причем
(Ф, ф) =(ф|о)(о|ф) при Ф, Ф е ^.
(Ф, ф) =(ф|о)(о|ф) при Ф, Ф е ^.
(10.52)
(10.52)
(в) Положим
(в) Положим
Q =矶石)+a*(м).
Q =矶石)+a*(м).
(10.53)
(10.53)
Доказать, что при / G #「(Af) и с е R
гдегде(10.54)(10.55)(10.54)(10.55)exp(Q) exp (小⑺…%卜Р (毋。)=exp (小‘⑺…%)，
где
где
(10.54)
(10.55)
(10.54)
(10.55)
Х‘(/) = Х(/) + с・
=exp ( - Q, x(/)/(/)d%=exp ( - Q, x(/)/(/)d%(Указание: воспользоваться KKC в экспоненциальной форме (т. е. в форме Вейля) ехР(3‘хР (小4 A
=exp ( - Q, x(/)/(/)d%
=exp ( - Q, x(/)/(/)d%
с I exp I i x(/) /(/) d%) exp (zQc);
здесь
x(/) /(/)力力，Q = г/(0)x(/) /(/)力力，Q = г/(0)(10.56)(10.56)
x(/) /(/)力力，Q = г/(0)
x(/) /(/)力力，Q = г/(0)
(10.56)
(10.56)
как следствие соотношений (10.51), (10.53).)
Интересной чертой поля х(/) является возможность построения локальной нормальной экспоненты: ехр(分дх(/))：，а также полилокальных нормальных экспонент
(10.57)(10.57):exp （历鼻电x（4））:
(10.57)
(10.57)
как обобщенных функций умеренного роста по / и по /i,...,/n соответственно (здесь и далее 几^ — произвольные целые числа, g — фиксированная положительная константа). Результатом сглаживания их с основными функциями являются полуторалинейные формы над пространством Х)о всевозможных конечных линейных комбинаций (так называемых когерентных) векторов в ① вида
(10.58)(10.58)①= exp (分］x(/)/(/)备)I 0)，где / G д(Л1).
(10.58)
(10.58)
Для определения выражений типа (10.57) поступим следующим образом. Пусть £ — вектор из У+, введем регуляризованное поле
(10.59)(10.59)X(G(/) = j Q4(@)e—办(1 庵/2)+4*(0)/似力+庵/2)) d%.
(10.59)
(10.59)
Из свойства носителя (supp А^\р) С У+) следует, что U) есть гладкая операторная функция от х. Определим теперь локальную нормальную экспоненту регуляризованного поля:
:exp (土匂x("(/)):exp (土匂x("(/))exp (土分gx⑵⑺)exp (土分gx⑵⑺)(0 I exp (土匂m)(/))10〉'(0 I exp (土匂m)(/))10〉'(10.60a)(10.60a)вообще, при nj 6 Z положимвообще, при nj 6 Z положим:exp (历 ^ 电х("包))：=:exp (历 ^ 电х("包))：=exp (g?「M(Q(g)/ Nexp (g?「M(Q(g)/ N0 exp （加±几氷（ё）包））00 exp （加±几氷（ё）包））0(10.606)(10.606)
:exp (土匂x("(/))
:exp (土匂x("(/))
exp (土分gx⑵⑺)
exp (土分gx⑵⑺)
(0 I exp (土匂m)(/))10〉'
(0 I exp (土匂m)(/))10〉'
(10.60a)
(10.60a)
вообще, при nj 6 Z положим
вообще, при nj 6 Z положим
:exp (历 ^ 电х("包))：=
:exp (历 ^ 电х("包))：=
exp (g?「M(Q(g)/ N
exp (g?「M(Q(g)/ N
0 exp （加±几氷（ё）包））0
0 exp （加±几氷（ё）包））0
(10.606)
(10.606)
Упражнение 10.16. Доказать равенство
(10.61)(10.61)(0 I ехр(±гр%(£)(ж))|0)=(必产厂g%")
(10.61)
(10.61)
(Указание: воспользоваться соотношением
0 exp (小⑺/⑺0 exp (小⑺/⑺0〉= exp0〉= exp〈。I x(/) x(g) I。〉/(/) /3) dx dy ,〈。I x(/) x(g) I。〉/(/) /3) dx dy ,(10.62)(10.62)
0 exp (小⑺/⑺
0 exp (小⑺/⑺
0〉= exp
0〉= exp
〈。I x(/) x(g) I。〉/(/) /3) dx dy ,
〈。I x(/) x(g) I。〉/(/) /3) dx dy ,
(10.62)
(10.62)
которое следует из формул Вика типа (8.75), (8.85).)
Положим теперь
〃(/1,, /n) : ехр гр^2 njX(xj) ： dxi，..dxN〃(/1,, /n) : ехр гр^2 njX(xj) ： dxi，..dxN=lim ( Ф『0 \=lim ( Ф『0 \"(/1,xn) : ехр ig ^^ 电 №(/7) : dx1...dxN W"(/1,xn) : ехр ig ^^ 电 №(/7) : dx1...dxN W(10.63)(10.63)
〃(/1,, /n) : ехр гр^2 njX(xj) ： dxi，..dxN
〃(/1,, /n) : ехр гр^2 njX(xj) ： dxi，..dxN
=lim ( Ф
『0 \
=lim ( Ф
『0 \
"(/1,xn) : ехр ig ^^ 电 №(/7) : dx1...dxN W
"(/1,xn) : ехр ig ^^ 电 №(/7) : dx1...dxN W
(10.63)
(10.63)
при Ф, Ф е х)о, 〃(力1,, /n) е ^(MN).
Упражнение 10.17. (а) Убедиться, что Х)о есть плотное линейное подпространство в ①.(Указание: заменить /(ж) в (10.58) на £ \f*x) и дифференцированием Ф = = Ф(Аь ..., Xn) по Ai,...,入n при Ai = ... = Xn = 0 получить векторы в виде %(/i)... •••Х(加)|0〉.)
б) Отправляясь от формулы типа (10.62), доказать существование предела (10.63).
Формула (10.63) определяет
:ехр ig ^2 7bx(力7): 〃(力1, • • •, /n) dx\.. .dxN
как полуторалинейную форму над Х)о； линейные комбинации таких форм, очевидно, образуют ★-алгебру 3 квантовых полей: ехр (гтр%(ж)): с правилом умножения, вытекающим из определения (10.63):
:ехр I гр £ 电х(д) ) ： ： ехр ^д £ 跋Х(”))：= \ 7 = 1/\ к=1/
N N'/ NN'\
=П ГР(д-м :ехр I гр 工 rijX^Xj) + 工 n'kX匂k) j(10.64)
7 = 1 k = l\ 7 = 1k = l/
где
d(/) = ( — “2/2 + 分0 . /0) — 92/16^2(10.65)
(это и аналогичные равенства ниже понимаются в смысле обобщенных функций по /1,...,岂 n♦
Перейдем к калибровочным преобразованиям поля %. Группой глобальных калибровочных преобразований (или калибровочных преобразований 1-го рода) поля х назовем группу R ^-автоморфизмов алгебры поля х，реализованных в ① псевдоунитарными операторами e^Q。 и действующих по формулам (10.54), (10.55). Отметим, что функции Уайтмана при этих преобразованиях (с с R 0) неинвариантны; например,
(о I х'(/) УЗ) I о) = (о I х(/) хЗ) I。〉+ с2-(10.66)
Эта ситуация возможна благодаря тому, что фоковский вакуумный вектор | 0〉не инвариантен относительно операторов e^Q。： он переходит в пуанкаре-инвариантный вектор e^Q］。〉，лежащий в подпространстве 卷 из упражнения 10.15 (в силу (10.52) разность ezQc\ 0) — | 0) есть вектор с нулевым скалярным квадратом).
Локальными калибровочными преобразованиями (или специальными калибровочными преобразованиями 2-го рода) поля х назовем преобразования х(/) — Х(/) + а(/), где а(/)— гладкое вещественное решение уравнения
□ а(/)=0,(10.67)
причем а(/) принадлежит пространству Шварца «(К^) по переменной х при любом фиксированном значении ж0; такие преобразования образуют абелеву группу 夕。симметрий, псевдоунитарно реализованных в ①.
Упражнение 10.18. При а 6 ^о положим
А(а) = j {а(ж) ^оЛ(ж) — Л(ж) д^а{х)} Sх\(10.68)
x°=const
доказать соотношение
е"9)Х(/)= хЗ) + &(/)•(10.69)
Группы go н go 义 К играют роль соответственно малой и большой калибровочных групп (в смысле п. 10.1.В )); это значит, что алгебра наблюдаемых 21 и алгебра физических величин !В определяются как подалгебры g- и ^о-инвариантных элементов полевой алгебры соответственно. Вытекающее отсюда физическое содержание модели оказывается тривиальным (алгебра наблюдаемых 21 совпадает с алгеброй физических величин !В и порождается полем Л (10.39) с коммутационными соотношениями [А(/), А(д)] = 0; в результате конструкция п. 10.1.В доставляет только одно состояние коммутативной алгебры наблюдаемых — вакуумное состояние).
Более содержательны модели взаимодействия поля х с другими полями. Простейшей из них является градиентная модель, в которой, наряду со скалярным полем х(/)，фигурирует дираковское поле 吵(/). «Классический» вариант модели характеризуется лагранжианом
0(力)=。(分)"乙一тп)吵 + 乙хА"А + ^ Л2 - 必х・
Решение классических уравнений Лагранжа-Эйлера
(分7“ 乙-т)^ = g)"〃x •吵(10.70)
и (10.39) имеет вид 吵(/) = ^一^乂(力)吵⑼(力)，где *(力)есть решение уравнения (10.37), а 吵(°)(/) — решение свободного уравнения Дирака.
В квантовом случае определим поле ⑦(/) формулой
次/) =:Мx(力)：电⑼⑺，(10.71)
где х(/) — свободное поле дипольного духа (реализованное в псевдогильбертовом фоковском пространстве ①)，а 吵(°)(/) — свободное дираковское поле (действующее в фоковском пространстве 方).В результате *-алге6ра полей 吵，吵，х реализована полуторалинейными формами на некотором подпространстве ^ 0 Dq С ^ 0 Jf.
Упражнение 10.19.〜Убедиться, что функции Уайтмана полей 办吵 (с одинаковыми числами вхождения 吵 н 吵)связаны с функциями Уайтмана свободного дираковского поля (см. (8.118)-(8.120)) соотношениями типа )
〈01次/1)...次/九)皿(伊)...@3九)I0)=〈电⑼(з)...电⑼(/九)。⑼(伊)...@(°)3九))0 х
* П d(g -/QT "包一纵尸 П П "(& 一北).(10.72) l^j<k^nl<p<n l<g<n
(Указание: воспользоваться правилом умножения (10.64) и тем, что вакуумное среднее от нормальной экспоненты поля х равно единице.)
Поле 吵 удовлетворяет перенормированному квантовополевому уравнению (аналогичному классическому полевому уравнению (10.70)):
(分7“乙-ш)次/) = g^N(乙x(/) •认/)),(10.73)
где N — знак нормального произведения, определяемого как предел выражения
n次力=办(х(/) + 匂刨/ -力次 g)(10.74)
при у T X.
Упражнение 10.20. Доказать уравнения (10.73).
Определенная выше группа go локальных калибровочных преобразований псевдоунитарно реализована в ① N 方 н действует на поля посредством
Х(/) — Х(/) + а(/),2(х) т「9МХ)2(х).(10.75)
При этом поля 吵(°) и Л = □% остаются ^о-инвариантными; нетрудно видеть, что они порождают алгебру !В физических (т. е. ^о-инвариантных) величин. В качестве большой калибровочной группы выберем ^ = ^о х Г; группа Г = К 义 U(l) с произвольным элементом (с, е°д°) псевдоунитарно реализована в 乃 N 方 н действует на поля преобразованиями
К 二 eiQceiQF^x^ e-iQce~iQF^ = 乂力)+ с,(10.76а)
“二 eiQceiQF^^e-iQce-iQFp 二 6一遂6一雨万认/),(10.766)
где Qf ——фермионный заряд в единицах g (т. е. Qr/g ——оператор в 方，определяемый формулой в (8.121)); при этом
Az(x) = А(/),吵⑼/(/) = 6-29。吵⑼⑺.(10.76в)
Отсюда следует, что алгебра наблюдаемых (т. е. ^-инвариантных величин) 21 состоит из элементов алгебры 泣 инвариантных относительно группы преобразований (10.76в), т. е. фактически относительно группы U⑴(поэтому некомпактность фактор-группы ^/^о ~ Г здесь также не проявляется). В физическом представлении алгебра переходит в алгебру спинорного поля 屮(°) (и 少(°)) в фоковском пространстве 方，а алгебра наблюдаемых — в подалгебру U⑴一инвариантных операторов.
Мы приходим к выводу, что градиентная модель имеет то же физическое содержание, что и модель свободного дираковского поля (см. п. 8.4.В).
Б. Локальная формулировка квантовой электродинамики. В квантовой электродинамике используются калибровки различного типа, и здесь мы ограничимся локальными (лоренц-)ковариантными калибровками. Среди них наиболее употребительны так называемые ^-калибровки ), а также калибровка Лоренца, или Ландау (являющаяся формальным пределом ^-калибровок при £ 一 0).
Напомним формулировку классической электродинамики в ^-калибровке. Полный лагранжиан
3 = Е小设F%F% - АМГ - i eA2(10.77)
состоит из калибровочно-инвариантного лагранжиана 处nv (первых/рех слагаемых) и члена, фиксирующего калибровку (g.f.t., последнего слагаемого); здесь 吵，吵，Ам — фундаментальные поля, в то время как тензор напряженности, ток и вспомогательное поле А равны
F^ = dxA^-d^(10.78)
产(/)=叫(/)7"次/),(10.79)
£N = %А\(10.80)
где е — константа электромагнитного взаимодействия, § — фиксированный параметр калибровки.
Уравнения Лагранжа-Эйлера имеют вид
(7“(分〃 -еАм) -т)^ = 0,(Ю.81а)
а 入 F% = ^ — a 小.(Ю.816)
Из уравнения (10.81а) следует «сохранение» тока: d^j^ = 0, так что из (10.816) с учетом антисимметрии 瓜从 вытекает □ А(/) = 0.
Мы не будем выписывать полностью уравнения канонического формализма классической электродинамики и ограничимся лишь одновременными скобками Пуассона с участием тока или поля А:
叮°(力)，认g)}|川=在5(% —乡)次力 {/(ж), @(g)}lo=go = Teb(x — y)@(g), (10.82а)
{广⑺,A^y)}\xQ=yQ= 0 = {/(х), АЫ}|ж0=?/0,(Ю.826)
{А(/), ^Ы}|жо=2/о = 0 = {А(/), №)}|жо=2/о,(10.83а)
{А(/), А^у)}\х0=у0 =д^-д{х-у\{А(/), Цу)}\х0=у0 = 0.(10.836)
Упражнение 10.21. (а) Пусть
Q =卜。(/)『/(10.84)
—электрический заряд. Доказать равенства
{Q,认/)}=在认/),{Q, 0(/)}=—诏方(/),{Q, Ам(ж)} = 0.(10.85)
Вывести одновременные скобки Пуассона
{%А(/),吵3)}|力0=夕0 = -ге5(х - у)认у),(10.86а)
{%А(/), AQ(y)}\x0=y0 = О, {%А(/), Aj(y)}\x0=y0 = а^(х - у).(10.866)
(Указание: воспользоваться полевым уравнением (10.816), соотношениями (10.82) и скобкой Пуассона
{电⑺，А^У)}\Х^ = —b加• 5(% -乡)・)
Вывести скобки Пуассона при всех временах:
{А(/),认g)} = -ieD^x - у)认力 {А(ж), /(g)} = ieD^x - g) ©(g),(Ю.87а)
{А(/), А^у)}=乙。о(/ - у),{А(/), А(д)} = 0.(10.876)
(Указание: воспользоваться одновременными скобками Пуассона (10.83), (10.86) и уравнением □ А = 0.)
Электродинамический лагранжиан 0広丫 инвариантен относительно калибровочных преобразований 2-го рода:
&(/) = 4(/) + 乙 сф),“(/) = Jea(力)认/)(10.88а)
где а(/) — произвольная вещественная функция в М. В то же время уравнения (10.81) инвариантны относительно специальных калибровочных преобразований 2-го рода, при которых функция а(/) подчиняется уравнению □ а = 0; при этом
N(/) = А(/).(10.886)
Считая, что функция а(/) быстро убывают на пространственной бесконечности, и называя соответствующие калибровочные преобразования локальными, нетрудно убедиться с по-
мощью (10.87), что выражение (10.68) определяет генератор локальных калибровочных преобразований:
{/Х(а),次/)}=分еа(/)次/),{А(а), ^(ж)} = —геа(ж)^(ж),(10.89а)
{A(q), A^(x)} = —%а(/),{入(а), А(/)} = 0.(10.896)
С другой стороны, соотношения (10.85) означают, что электрический заряд есть генератор глобальных калибровочных преобразований (соответствующих постоянным функциям а(/)= =const). В электродинамике физический смысл придается лишь величинам /, инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований ({А(а), /} = 0); величины, удовлетворяющие помимо этого условию глобальной калибровочной инвариантности ({Q, /} = 0), называются наблюдаемыми.
Примерами локально калибровочно-инвариантных величин могут служить объекты типа
У(/1,, xn； yi, , W； 〃)=吵(/1)…次/n)皿(伊)・••方Q/n" x
x exp (一分]Ам(ж) rf (x; /1,…，xN-伊，…，gw" d/)；(10.90a)
здесь 〃"(/) — произвольный внешний ток, удовлетворяющий уравнению
乙/1,, xN;伊，…，ум) = e£ 5(/ — g) — e£ 5(/ — yk).(10.906)
7=1k=l
Очевидно, ток 77м(ж) имеет сингулярности в точках /，...，ум・ При N 丰 N' он не может убывать сколь угодно быстро при |/| т ос (в противном случае, если бы ток 77м(ж) принадлежал, скажем, классу 0c(Af) по ж, интеграл по х от левой части (10.906) был бы равен нулю). Следовательно, выражение (10.90а) не инвариантное при глобальных калибровочных преобразованиях (т. е. при N 力 N), не может быть функционалом от полей в ограниченной области. Напротив, если N = N[ то выражение (10.90а) инвариантно как при локальных, так и при глобальных калибровочных преобразованиях, и если 6, ..., jn изменяются в ограниченной области 夕，то У также может быть функционалом от полей в области 〃. Другой хорошо известный пример наблюдаемой величины представляет тензор напряженности 4从(/) или функционал от него вида ехр (г | Fam (ж) hx^ (ж) dx), где 九“从 G ^(Af) (такой функционал является частным случаем (10.90а) при N = N' = 0).
В квантовой электродинамике в ^-калибровке предполагается, что поля ⑦，⑦，Ам удовлетворяют аксиомам псевдоуайтмановского подхода и перенормированным полевым уравнениям, являющимся квантовыми аналогами классических уравнений (10.78)-(10.81). Вопрос о существовании решения этих уравнений до сих пор остается открытым (лишь в рамках теории возмущений с помощью техники перенормировок доказано существование решения полевых уравнений ); по этому поводу см., например, Брандт, 1970а). Здесь мы подробно остановимся на специфических чертах квантовой электродинамики (в предположении существования ее решений), а именно на условиях калибровочной инвариантности 1-го и 2-го рода.
Локальные калибровочные преобразования в ^-калибровке порождаются локальным псевдоэрмитовым скалярным полем Л(х), которое связано с А^(х) соотношением
д^(х) = <Л(х),
(10.91)
по предположению удовлетворяет уравнению Даламбера □ А⑺=0
(10.92)
и обладает тривиальными ККС:
仆(力),Му)] =0,
(10.93)
и тривиальными функциями Уайтмана: (0|Л(^1)---Л(хп)|0)=01).
(10.94)
Пусть 歹о ——абелева группа локальных калибровочных преобразований, состоящая из вещественных гладких решений а(力)волнового уравнения □ а(х) = 0 таких, что а(力)е 斤(К?) по %. Ей соответствуют ^-автоморфизмы полевой алгебры, реализованной в X псевдоунитарными операторами ехр (гА(а)) (мнимыми экспонентами от операторов А(а) (10.68)):
e"9)⑦(力)ё-/9)=展a(力)吹力)，e1^^ e一/(0)= е-геа^^x\ (10.95а)
e"9)4从(力)"9)= 4从(力)-办q(/)，e"9)A(/)「"9)= л(Ж);(10.956)
причем (в соответствии с (10.94)) потребуем:
(0 I е"9)I 0) = 1 при всех а 6 歹》(10.96)
Глобальные (или 1-го рода) калибровочные преобразования связаны с электрическим током 7从(力)фермионного поля. Относительно 7从(力)делается предположение, что это локальное (составное) поле, инвариантное относительно локальных калибровочных преобразований, причем выполнено модифицированное уравнение Максвелла:、_ 、
少ь№(力)=儿⑺+^")(/)，(Ю.97)
где
"")(/) = -9小(10.98)
—фиктивный ток. В соответствии с (10.91), (10.97) токи jM(x) и 7俨°"(力)сохраняются:、
沙儿(力)=0 = ^4fict\x).(10.99)
В качестве квантового аналога скобок Пуассона (10.85) примем )
—О(Х) = -г ] 夕(力 X]办=—iqxX,(Ю.ЮОа)
g°=const
где X символизирует любое из локальных полей 2(力)，2(力)，厶从(力)，Л(х), jM(x), a qx ——электрический заряд, который несет данное поле:
q 吵=—е, qg = е, QA = «А = Qj = 0・(10.1006)
Равенство (Ю.ЮОа) задает инфинитезимальное калибровочное преобразование полей (1-го рода). В электродинамике обычно постулируют, что оно реализуется псевдоэр-
митовым оператором Q. Это означает, что существует однопараметрическая группа псевдоунитарных операторов ехр (〃Qc) в X (с генератором Q), задающих глобальные калибровочные преобразования полей:
eQXe-Q = £%хсх(10.101)
(X имеет тот же смысл, что и в (10.100а)). Во всяком случае на полевой алгебре действует автоморфизмами группа U(l) по формуле
7^(Х) = ^ХСХ при 九= е”ес, се К.(10.102)
Уравнение (10.100а) проливает дополнительный свет на тот факт, что уравнение Максвелла 从—JM = 0 не может выполняться в квантовой электродинамике ни в какой локальной ковариантной калибровке. Точнее, из этих уравнений следовало бы отсутствие локальных заряженных полей, ибо тогда левая часть (10.100а) записывалась бы в виде интеграла j д^ [Fqj (у), X] d?y от дивергенции векторной (обобщенной) функции с ограничен- g°=const
ным носителем (здесь используется свойство локальной коммутативности полей 4从 и X) и потому обращалась бы в нуль; вместе с (10.100а) это давало бы qx = 0 для всех локальных полей X.
Упражнение 10.22. Пусть 〃 — произвольная ограниченная область в Af; доказать, что для любого глобального калибровочного преобразования существует локальное калибровочное преобразование, совпадающее с 丁九 на полевой подалгебре, ассоциированной с областью 〃. (Указание: пусть h = егес, с G К, тогда существует функция а 6 歹о, равная с в области 夕； сравнить теперь правые части соотношений (10.95) и (10.102) при ж С 夕.)
Свойство, выраженное упражнением 10.22, характерно для любой локальной ковариантной калибровки квантовой электродинамики.
Согласно общей схеме алгебра X физических величин (соответственно, алгебра 21 наблюдаемых) определяется как множество элементов полевой алгебры, инвариантных относительно локальных (соответственно, локальных и глобальных) калибровочных преобразований. Это определение подразумевает справедливость аксиом PW.VIII и PW.IX, обеспечивающих физическую интерпретацию теории. При этом роль Г и ^ играют соответственно группы U⑴ и 歹°xU⑴，а аксиомы PW.VIII и PW.IX фактически сводятся к условию положительности (10.22) функционала s(4) (10.21) на X (которое, в частности, содержит условие положительности (10.18) вакуумного функционала на алгебре наблюдаемых). Для приближения к реальной физической ситуации следует предположить, что в физическом пространстве 方 имеются подпространства 力(几)с любым значением q = ne (n 6 Z) электрического заряда.
Поля F\M(x), 7从(力)，7俨°"(力)，Л(х), фигурирующие в уравнениях (10.97), (10.98), являются наблюдаемыми ), поэтому при переходе к физическому представлению тг им соответствуют операторные обобщенные функции 叭从(力),九(力)，'俨”(力)，八(力) в физическом гильбертовом пространстве У€. Оказывается, Л(х) = 0 и, значит,
夕产 t)⑺=0,(10.103)
так что уравнение (10.97) переходит в обычное уравнение Максвелла.
Предложение 10.4. В физическом гильбертовом пространстве квантовой электродинамики выполняется уравнение Максвелла
少叭厂勿=0■(Ю.104)
< В силу связи между полем А(/) и операторами егХ^ утверждение, что А(/) = 0, равносильно равенству ^(е^^^) = 1 при всех а 6 go. Для доказательства последнего равенства заметим, что, согласно (10.96),
(Фо, тг⑼(产9)- 1)*7г⑼(产(°)- 1)Ф0) = (0|(6一"9)- 1)(产(°)- 1)|0) =0;
отсюда и из положительной определенности скалярного произведения в 方(°) следует: 7r(°)(е2'(а)) Wo = Фо при всех a G go. Далее воспользуемся тем, что операторы егХ^ коммутируют с физическими величинами. Тогда для любых Xi, X? G 53
绅 °, mxi)m/xa))mx2)3。〉= s(xvg)x2)= s(xix2eiA(a))=
=〈0|Хе〃9)|0〉=〈％, тг⑼(Х)7г⑼(е〃9))%〉=〈％, тг⑼(X)%〉
(где X есть усреднение Х1Х2 по группе Г = U(l))・ Таким образом, рассматриваемые матричные элементы оператора ^(е^^^) не зависят от а, что вместе с цикличностью представления тг дает: 7г(егЛ^^) = 1 при всех a G go. А
Не следует, однако, полагать, что тензор напряженности 叭从 порождает всю алгебру наблюдаемых тг(21) в физическом гильбертовом пространстве. (В классической электродинамике помимо функционалов от 马从 наблюдаемыми являются также всевозможные калибровочно-инвариантные выражения с участием фермионных полей типа 屮&出卩\ + ieA^...{d^n + геА^ ^ или (10.90а) при N = N'; аналогичные величины — соответствующим образом перенормированные — должны быть присоединены к алгебре наблюдаемых квантовой электродинамики.) Тем не менее можно допустить, что локальные наблюдаемые, ассоциированные со всевозможными ограниченными областями 自 пространства-времени, порождают всю алгебру наблюдаемых (в том смысле, что алгебры фон Неймана 3灰(21(〃)产 и тг(21)сс совпадают). В отношении же алгебры тг(Х) физических величин подобное предположение (о совпадении (U 穴(汇(自)))或 и (53)сс) неприменимо к теории, в которой имеются заряженные физические состояния. Действительно, всякая физическая величина, ассоциированная с ограниченной областью, будучи локально калибровочно-инвариантной, является (на основании упражнения 10.22) также глобально калибровочноинвариантной, т. е. наблюдаемой величиной; поэтому она может рождать из вакуума только нейтральные состояния. Это соображение применимо к любой локальной ковариантной калибровке. В результате мы приходим к следующему утверждению, выявляющему важную роль существенно нелокальных физических величин в квантовой электродинамике.
Предложение 10.5. В локальной ковариантной калибровке квантовой электродинамики всякая физическая величина, ассоциированная с ограниченной областью пространства-времени, является наблюдаемой “，значит, не несет электрического заряда.
Выше на примере из классической электродинамики уже обращалось внимание на подобное явление: выражение (10.90а) может быть функционалом от поля Ам в ограниченной области (при /1, yN/, изменяющихся в ограниченной области), только если N = N', т. е.
только если это выражение является наблюдаемой величиной. Заметим, что (соответственно перенормированные) выражения типа (10.90а) удобны и для квантовой электродинамики. Так, для построения ковариантного оператора рождения из вакуума (обобщенного) состояния с импульсом —рис зарядом —е (в частности, электрона) может оказаться полезным выражение
%hys(0)= ren| dx егрЖ/0(ж) exp ^―ге | е~гкх A^f^k) F^{k, p) d^k^(10.105a)
при условии
kF(k, p) = 1(10.1056)
(где ren — символ перенормировки, вводящий, возможно, регуляризационный параметр), что соответствует случаю N = 1, N' = 0; при этом внешний источник ^(х, /1), характеризующий фотонное облако, выбран зависящим (наряду с зависимостью от х — xi) от внешнего импульса р.
Предлагаем читателю в качестве упражнения рассмотреть свободное электромагнитное поле в произвольной ^-калибровке ) и, в частности, построить (методом вторичного квантования, как это делалось в п. 10.2.А) его операторную реализацию в псевдогильбертовом пространстве. При этом двухточечная функция определяется равенством
〈0 |小(力)43)|0〉= 2тг] е(@°)(—дх/®?) + (^- l)6\p2)pxp^e~ip(x~y)d4p =
=- y)2-i0(x° - ту0))-1 +
+ ^р-厶乙 In {〃2[ — (/ - ")2 + г0(ж° - g°)]}・ (10.106)
Упражнение 10.23. Вывести (10.106) из условия ковариантности, полевых уравнений
3入4从+办А = 0, eл = 〃4从 DA = 0
и вакуумных средних (0 | Л(ж) Л(у) | 0) = 0 (см. (10.94)), (0 | Л(ж) А^^у) | 0) = id^D^x — у); второе из этих вакуумных средних вытекает из коммутационных соотношений [Л(ж) A^(y)]= =id^DQ{x - у) (ср. (10.956)).
Замечание. Приведенное выше рассмотрение в действительности применимо ко всем абелевым калибровочным теориям (с калибровочной группой U(l) или К), в которых калибровочное (т. е. электромагнитное) поле Ам взаимодействует с полями материи «минимальным» образом ). В локальной ковариантной калибровке по-прежнему справедливы модифицированные уравнения Максвелла и предложения 10.4 и 10.5. (В дальнейшем, в п. 10.3.В, «минимальность» взаимодействия понимается в том смысле, что справедливы обычное уравнение Максвелла (10.104) в физическом гильбертовом пространстве и модифицированное уравнение Максвелла (10.97) в пространстве виртуальных состояний, для определенности, в ^-калибровке.)
В этот класс попадает модель Хиггса (1964а), предложенная в связи с явлением спонтанного нарушения симметрии (п. 10.3.В); ее лагранжиан имеет вид
= 4从尸巾+ 1(〃 一在4)夕『-*(02 -尸)2 + g・f・t・，
где е, А, / — константы,夕—скалярное заряженное поле. (Существование этой модели для четырехмерного пространства-времени на конструктивном уровне также весьма проблематично; для двумерного же пространства-времени проделана существенная работа в направлении конструктивного определения модели; см. Брайджис и др., 1979; 1981.)
Внутренние симметрии
. Симметрии и токи в формализме Уайтмана. Рассматривается группа Ли G внутренних симметрии уайтмановских полей. Это значит, что каждому элементу g G G сопоставлен ^-автоморфизм ад полиномиальной полевой алгебры 彳(7И), имеющий вид
吗(0产(力))=£产死(L)夕了 (吟(Ю.107)
Здесь {夕(")} — некоторый базисный набор уайтмановских полей в гильбертовом пространстве 方，а 丁(д) = (т""'(д)) — матричное представление группы G, где роль матричных индексов играют типы х полей, так что ^-автоморфизмы ад коммутируют с преобразованиями группы Пуанкаре и оставляют полевые подалгебры 彳(夕) (自 С 7И) инвариантными (отсюда название «внутренние симметрии»). Предполагается, что 丁”" (g) = 丁死力(g) (где 元—индекс эрмитово сопряженного поля:(夕("))* = =夕(*)). Кроме того, в случае когда набор полей бесконечен, считается, что поля разбиты на конечные подсемейства такие, что т"”(д) = 0 для индексов х, xz из различных подсемейств (поэтому проблемы суммирования в (10.107) не возникает).
В основном нас будет интересовать случай связной группы G. Пусть 厶，…，In —— базис в (вещественной) алгебре Ли % группы G (так что ［厶，厶］=唱 1т) и T\,...
,Tn — соответствующие генераторы представления 丁
Тк = £т(ехр^)Мо・(Ю.108)
Каждому элементу 1^ сопоставим оператор D^ на полевой алгебре:
Dk{X) = ^^tIk^X)\^(Ю.109)
так что
Dk^\x^ = _ £ г"夕(弘)(力).(ЮЛЮ)
Так как ад — это ^-автоморфизмы алгебры ^(М), то операторы Dk удовлетворяют условиям
5(х*) =5(Х)*, Dk{XY) = XDk(Y^ Dk{X)Y-(10.111)
операторы с такими свойствами называются {^-производными на полевой алгебре. В то же время 。卜 являются генераторами представления алгебр Ли %, поэтому выполнены коммутационные соотношения
［Ok, Di\ =囁Dm.(10.112)
Обратно, пусть формула (10.109) определяет ^-производные на полевой алгебре, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (10.112) (при этом 筮 определены посредством (10.108)). Легко видеть, что тогда группа G действует ^-автоморфизмами полевой алгебры вида (10.107). Другими словами, внутренняя симметрия относительно связной группы полностью определяется набором производных А, , Dn・
Квантовая теория поля заимствует из лагранжева формализма прием построения симметрии по сохраняющимся токам ([Б8], §2). Под сохраняющимся током здесь понимается ковариантное векторное поле JM(x), являющееся локальным функционалом полей Уайтмана и обладающее нулевой дивергенцией: 9A^从(力)=。・ Кроме того, мы ограничимся случаем эрмитовых токов: j^(x) = 7从(力)(в соответствии с тем, что в алгебре Ли % мы выбрал вещественный базис 厶，…，/дг). Всякий такой ток определяет ^-производную D на полевой алгебре по формуле
0(X) = 5 j 夕(力)，闇乐力.(10.113)
£U°=COnst
Входящий в (10.113) интеграл хорошо определен по следующим соображениям. Пусть X — моном вида (8.8), тогда соответствующий коммутатор
[产(/),9(71)...9(/九)]
в силу условия локальности исчезает, если (ж — XjY < 0 при всех J = 1, ..., п. Из упражнения 2.32 следует, что эта операторная обобщенная функция является свертывателем по переменной х 6 R3, поэтому интеграл
][兴/),9(/1)...9(/九)]//(10.114)
определен как операторная обобщенная функция по ж0, xi, ..., хп- Из сохранения тока и правила интегрирования производной (см. упражнение 2.28) следует:
%][兴/)，g(/1)(/九)]// = j [dj^x\g(/i)…3(/九)]Sx = 0,
так что (10.114) не зависит от /° и, значит, переменная /° может рассматриваться как параметр (см. упражнение 2.51(6)), от конкретного значения которого интеграл (10.114) не зависит.
Упражнение 10.24. (а) Доказать, что для любого сохраняющегося эрмитова векторного тока 产⑺ формула (10.113) определяет ^-производную на полевой алгебре.
б) Пусть ^(ж), ..., ^(ж) — набор эрмитовых сохраняющихся векторных токов и 。1, Dn ——соответствующие им производные на полевой алгебре, причем
ОМ芳(А)=國 3•為(А(Ю.115)
при всех k, I = 1, ..., N;从=0,3 (здесь с^ — структурные константы алгебры
Ли 3). Доказать, что производные Oi, ..., Dn удовлетворяют коммутационным соотношениям (10.112).
Из приведенного упражнения становится ясным, как определить внутреннюю симметрию в терминах токов. Для этого следует задать набор 戏⑺(к = 1,…，N) ковариантных эрмитовых сохраняющихся векторных токов с соответствующими производными Dk на полевой алгебре, удовлетворяющими соотношениям (10.110), (10.115). Тогда будут выполнены коммутационные соотношения (10.112), и формула (10.107) будет задавать действие группы G ^-автоморфизмами полевой алгебры. В этом случае мы говорим, что симметрия полевой алгебры относительно (связной) группы G порождена сохраняющимися токами j^ (k = 1, ..., N). Если не оговорено противное, ниже подразумевается, что симметрия задана именно таким способом.
В связи с внутренней симметрией возникает вопрос, является ли она унитарно реализуемой, т. е. существуют ли унитарные операторы V(р) в физическом гильбертовом пространстве 力，непрерывно зависящие от р е G и образующие представление группы G такие, что
%(Х) = V^XV^g)-1 при всех g WG.(10.116)
В противном случае говорят, что симметрия спонтанно нарушена (формулы (8.88) дают пример спонтанно нарушенной симметрии в модели свободного скалярного безмассового поля )). Имеется простой критерий в терминах функций Уайтмана, позволяющий судить об унитарной реализуемости симметрии. Он сводится к условию G-ковариантности функций Уайтмана:
e "‘(g)(9)加"G(g，…，/冷)=加脑(3,…，力冷)；(10.117)
для связной группы G это условие, очевидно, можно переписать в инфинитезимальной форме:
£ 7『%疗》%•』)(/1,…，力冷)=0 при к = 1, N.(10.118)
Упражнение 10.25. Убедиться, что в терминах сохраняющихся токов условие (10.118) означает
j (Фо, [л(ж), Х]ФоМ3ж = 0 при k=l,...,N(10.119)
x°=const
для всех X е 彳(Л1). (Указание: левая часть в (10.118) есть (Фо, Dk(^l\xi)... …9(^)(环))%〉.)
Предложение 10.6. Условие G-ковариантности (10.117) {или (10.118) для связной группы G) необходимо и достаточно для того, чтобы формула (10.107) задавала унитарно реализуемую внутреннюю симметрию уайтмановских полей относительно группы G.
Для доказательства необходимости достаточно убедиться, что вакуум является собственным вектором операторов У(р). Из формул (10.107), (10.116), а также (8.6) следует, что операторы V{g)~xU{a, 1) V(g) U{a, I)-1 коммутируют co всеми операторами полевой алгебры 夕(Af) и потому (согласно предложению 8.1) кратны единичному оператору. Отсюда следует, что векторы V(g)W()являются собственными векторами операторов трансляций U(a, 1), а поскольку вакуум является единственным (с точностью до множителя) таким вектором, то V(g) Фо = X(g) Wo, где А(р) — некоторая комплексная функция на группе G, по модулю равная единице. Очевидно, множители А(р) образуют одномерное унитарное представление группы G. Если А(р)壬 1, то мы переопределим представление V(g), заменив V(g) на 入(g-i) V(g). После такого переопределения равенство (10.116) не нарушится, зато вакуумный вектор станет инвариантным для всех операторов V(р). Теперь применение вакуумного среднего к соотношению (10.116) дает условие (10.117).
Доказательство достаточности (подобно доказательству пуанкаре-инвариантности в теореме реконструкции Уайтмана) повторяет рассуждения в предложении 1.30, являющемся дополнением к конструкции ГНС. Отметим лишь, что в духе этой конструкции операторы V(g) задаются формулой
v(g)x% = bg(x)%,(10.120)
где X G ^(Af), g G G. А
Как видно из доказательства предложения 10.5, без ущерба для общности можно предполагать, что вакуум инвариантен относительно всех операторов V(р) и что
эти операторы действуют согласно формуле (10.120). В случае связной группы представление V(р) однозначно определяется операторами зарядов Qk (к = 1,N),
заданных соотношением
『(ехр (Ш)) = ехр (/к);(10.121)
из (10.109), (10.120) следует
QkX% = -®(Х)%.(10.122)
Операторы Qk, очевидно, эрмитовы: в действительности они в существенном самосопряженны, поскольку векторы вида ХЗ。 (Хе 夕(Af)) являются для них аналитическими векторами. Это следует из того, что представление т(д) группы G и представление {Tk}k=i,...,N алгебры Ли распадаются на конечномерные подпредставления, поэтому из соотношений (10.107), (10.109) следует сходимость рядов
//оо ^XkQk)n
Vlexp (г XkIk]\X^Q = ag(X)^Q = ^ ———ХФ0
при всех A G RN.
Б. Теорема Голдстоуна. Оказывается, вопрос об унитарной реализуемости внутренних симметрий уайтмановских полей тесно связан с условием спектральности.
Лемма 10.7. Пусть 7从(力)—сохраняющийся векторный ток в системе уайтмановских полей, тогда для вакуумного среднего соответствующей ему производной D на полевой алгебре 彳(Af) имеет место формула
〈％, D(X) Фо) = г ] (Фо, (/W F{M^ X - XF{M^ j\x^ Фо) d3x; (10.123) £U°=COnst
здесь F(A) — произвольная функция из Оm(R), равная единице в нуле, М — оператор массы 6 физическом гильбертовом пространстве (причем подынтегральное выражение в (10.123) является свертывателем по х).
Согласно определению (10.113) 〈％, О(Х) %〉=订/⑺小力， где /(/) = (Фо, /°(/), X] Wo〉. Как уже отмечалось в связнр этим определением, /(ж) является свертывателем по х, поэтому преобразование Фурье /(@) зависит от р как от параметра £°°-образом (см. упражнение 2.48(6)). В силу того что (частичному) интегралу при преобразовании Фурье соответствует сужение (см. упражнение 2.28), имеем
поскольку левая часть не зависит от /° и равна —〃0 | О(Х) | 0), то отсюда следует
f(0)片。=-2端％, О(Х) Фо) *0。).
Пусть д(/) обозначает подынтегральное выражение в (10.123), тогда р(р) = F(p2) /(р). Эта обобщенная функция также зависит от р £°°-о6разом (см. упражнение 2.48(a)), поэтому д(/) является свертывателем по х. Имеем
Ig(/) d3x = I e~ipQxQg(p)^_dxp = ] e~ip°x°F^pQ)2) /(目“…必目。=
=]厂办%°f((0°)2)(-2点)@0, 0(X) Фо) b(0°) d” = T〈%, O(X) %).
Тем самым доказана формула (10.123). А
Приведем уточнение леммы 10.7 на случай, когда X 6 夕(〃)， где 夕—ограниченная область. Для определенности рассмотрим алмаз 〃二{/ G Af: |/°| + |х| < г}; тогда при X G 6 夕(〃)подынтегральное выражение д(/) в (10.123) имеет носитель в 夕 + V = {/ G М: |х| W |/°| + г}. Действительно, по построению имеем р(р) = F(p2) /(@), где обобщенная функция /(ж) обладает свойствами supp/(/) U 〃 + V, supp/(@) С V. Согласно упражнению 4.6 (где нужно поменять местами переменные х и р) такими же свойствами обладает и д(/).
Это замечание используется в следующем упражнении.
Упражнение 10.26. Пусть и{х) = а(/°)Ь(х), где а(/°) — функция из 夕「(К) с носителем в интервале |ж°| < £ и с интегралом, равным 1, а Ь(х) — функция из 夕「(К^), равная единице при |х| < г + £. Положим
J =卜°(力)〃(/) d%.(10.124)
Доказать, что для всех X G 夕(〃)，где ^ = {х е М: |ж°| + |х| < г}, формулу (10.123) можно переписать в виде
(Фо, О(Х)%〉= г(Ф0, (JF(M2) X - XF(M2) J) Фо).(10.125)
Теорема 10.8. В теории Уайтмана с сильным условием спектральности (т. е. с массовой щелью} внутренняя симметрия, порожденная сохраняющимися токами, унитарно реализуема. Операторы зарядов Qk представимы в виде интегралов от «плотностей^ з/(力)6 следующем смысле ):
" Qk①)=I"想力)①)/力，(10.126)
a?°=const
где Ф, Ф — произвольные векторы из плотного в 方 линейного подпространства 叭7И) Фо-
Выберем функцию F(A) G 夕л/(К), равную единице при А = 0 и исчезающую при А > /12, где /1 — параметр массовой щели. Тогда F(M2) есть проектор на вакуум, и правая часть формулы (10.123) (где следует подставить D = Dk, J° = J^), а вместе с ней и (Фо, Ok(X)Wo〉，тождественно обращается в нуль. Согласно предложению 10.6 (и упражнению 10.25) это означает, что симметрия унитарно реализуема.
Вначале докажем формулу (10.126) для случая Ф = Фо- Достаточно рассмотреть случай, когда Ф = XWo, где X — моном вида (8.8* Более того, в силу условия спектральности можно предполагать, что носитель функции f{pi, ..., Рп) — преобразование Фурье функция / в (О) — исчезает при @? + ... +@^ < —从(в противном случае переопределим / умножением / на соответствующий мультипликатор, не изменив Ф = Х3°). Тогда (благодаря сильному условию спектральности) X*% есть вектор, коллинеарный %: X*% =〈％, X*%〉• ％. В результате получаем
"热⑺［热X*］ %)
(здесь учтено, что вакуумное среднее тока /攵(/) равно нулю из соображения лоренц- ковариантности). Это показывает, что (Ф, /3(力)田0〉является свертывателем по х с интегралом (по х), равным нулю:
］(Ф,摄⑺ Фо)『/ = — ］〈％,［热⑺，х*］〉『力二分〈％, Dk^ %〉二 0.
Докажем теперь формулу (10.126) в общем случае. Пусть Ф = X%, Ф = У%, где X, У G G 夕(7И). Тогда
"兴⑺①〉="母⑺，y] %〉+〈y*w,式⑺%〉.
Как мы только что доказали, второе слагаемое является свертывателем по х с интегралом (по х) равным нулю. Поэтому
卜W,兴⑺①)『/=卜0母⑺，у] Фо) d3x = T" 以(у) %)，
что вместе с (10.122) приводит к формуле (10.126). А
Таким образом, в теории Уайтмана со спонтанно нарушенной внутренней симметрией не может выполняться сильное условие спектральности. Следующая теорема указывает на наличие в такой теории частицы нулевой массы и нулевого спина (или нулевой спиральности); эта частица называется скалярным голдстоуновским бозоном.
Теорема 10.9 (Голдстоуна). Если внутренняя симметрия уайтмановских полей относительно связной группы Ли, порожденная сохраняющимися токами 7岂力)(卜=1,, N), спонтанно нарушена, то в физическом гильбертовом пространстве имеются векторы Ф нулевой массы и нулевого спина, причем 〈①，7^(力)屮0)壬 ° хотя бы для одного такого вектора Ф и хотя бы одного значения к = 1,, N.
Согласно предложению 10.6 спонтанное нарушение симметрии означает, что условие (10.119) не выполнено хотя бы при одном значении к = 1, N и хотя бы для одного оператора X 6 夕(7И). Зафиксируем это значение к и будем писать jQ и D вместо 兴 и D^.
Оператор X можно считать имеющим вид (8.8). Поскольку (по свойству частичного интеграла, см. упражнение 2.30) левая часть (10.119) есть непрерывный функционал от функции / 6 «(АГ2), фигурирующей в (8.8), и этот функционал не равен тождественно нулю, то он не равен тождественно нулю на функциях / 6 3)(Мп). Другими словами, мы можем считать, что выбранный выше оператор X со свойством (Фо, °(Х) Фо)力 0 принадлежит алгебре 火〃)，где 夕—ограниченное множество в М (например, алмаз). Согласно упражнению 10.26 отсюда следует существование вещественной функции и(х) 6 夕(Af) такой, что
(Фо, (JF(M2) X - XF(M2) J) Фо 力 0,(10.127)
причем левая часть этого неравенства не зависит от выбора функции F(A) 6 夕л/(К), равной единице при А = 0; здесь J — оператор, определенный посредством (10.124). Рассмотрим убывающую последовательность неотрицательных функций 兄(X) 6 夕(К) со значением единица в точке А = 0 и с носителями, стягивающимися в точку А = 0 Тогда Fn{M2) сходится (в слабой операторной топологии) к сумме проектора | 0)(0 | на вакуум и проектора Ео на подпространство векторов в 方 нулевой массы. Подставляя Fn вместо F в (10.127) и переходя к пределу при п ос, получаем
〈％, (JEoX - ХЕ。J) Фо R 0.
Отсюда следует, что вектор 瓦丿田。не равен нулю.
Мы убедились, что замыкание в 方 множества векторов вида EqQ j^(x) и^(ж) d^x) Фо, где и以岔)6 ^(Af), отлично от {0}. Остается показать, что оно преобразуется по представлению группы фо с нулевой массой и нулевым спином. Действительно, обобщенная функция (Wo, j*(支)EojR(n) Wo) 三 (支一у) лоренц-ковариантна, отрицательно-частотна, удовлетворяет волновому уравнению □ УЛм(ж — у) = 0 и уравнению Н入V入以岔—g) = 0. Отсюда следует, что она имеет вид
〈％,广⑺ Ео产(у) ^Q)=icdxd^D^\x-y)=c^ 2^рV^(-P°) ^Р) e-ip^ d4p,
где с > 0. Эта формула показывает, что имеется пуанкаре-инвариантный изоморфизм между пространством векторов вида 瓦(J/从(/) 〃从(/) d，/)田。и плотным подмножеством гильбертова пространства ①田° безмассовой бесспиновой частицы. А
В примере из упражнения 8.18 состояния голдстоуновской частицы порождались действием на вакуум свободного скалярного безмассового поля.
Явление спонтанного нарушения симметрии (т. е. фактически отсутствие соответствующей симметрии вакуума) привлекательно как способ описания приближенных симметрии в элементарных квантовых процессах. Однако безмассовая скалярная частица, предсказываемая теоремой Голдстоуна, создает трудность для физической интерпретации такого механизма, поскольку голдстоуновские частицы экспериментально не наблюдались (напротив, фотон — безмассовый бозон со спином 1 — связан с ненарушенной калибровочной инвариантностью электродинамических процессов). Ниже мы увидим, как устраняется эта трудность в теориях с индефинитной метрикой.
В. Спонтанное нарушение симметрии в абелевых калибровочных теориях. Специфика калибровочных теорий проявляется, в частности, в вопросе о симметрии относительно (глобальных) калибровочных преобразований алгебры X физических величин (в то время как в отношении других симметрий они могут вести себя как обычные теории и также могут обладать голдстоуновским бозоном). Как и в п. 10.2.Б, здесь мы ограничимся абелевыми калибровочными теориями (с калибровочной группой U(l) и с «минимальным» взаимодействием калибровочного поля с полями материи). Малая калибровочная группа 歹о та же, что и в § 10.2. Роль большой калибровочной группы играет 夕=夕。х Р, где (компактная) эффективная калибровочная группа Г порождается подгруппой U(l) и, возможно, некоторой другой подгруппой Н, причем подгруппа U(l) связана с калибровочной инвариантностью 2-го рода данной модели и действует на поля автоморфизмами)九 вида (10.102). По построению (п. 10.1.В) автоморфизмы )九(при Д 6 Г) оставляют состояние s алгебры X инвариантным и реализованы унитарными операторами У(Д) в физическом гильбертовом пространстве 方.Будем говорить, что калибровочная симметрия группы U(l) спонтанно нарушена, если группа операторов V(Д) (九 G U(l)) не содержится в алгебре фон Неймана 穴(汇)或 физических величин (и, значит, также в алгебре наблюдаемых фон Неймана тг(21)сс). Оператор полного заряда в такой теории, не будучи наблюдаемой величиной, имеет чисто фиктивный смысл и не может быть представлен в каком-либо разумном смысле в виде интеграла J，°(力)"3力 от нулевой компоненты тока (поскольку ток в абелевой калибровочной теории является наблюдаемым полем).
В случае неприводимого представления алгебры !В физических величин (как в предыдущем пункте) под спонтанно ненарушенной симметрией понимается симметрия алгебры !В относительно группы ^-автоморфизмов, причем эти автоморфизмы реализуются унитарным представлением группы. В случае когда представление тг алгебры !В может быть приводимым, то (чтобы не учитывать физически неинтересные реализации симметрии) в определении спонтанно ненарушенной симметрии накладывается дополнительное ограничение: операторы представления группы должны принадлежать алгебре фон Неймана физических величин.
Картина спонтанного нарушения симметрии в абелевых калибровочных теориях на уровне нефизического псевдогильбертова пространства 分 обнаруживает значительное сходство с тем, что происходит в теории Уайтмана (п. 10.3.Б); в частности, матричные элементы тока (Ф | jM(p) 10) обладают сингулярностями при р2 = 0, которые можно интерпретировать как наличие в 分 голдстоуновского бозона. Однако
это сходство чисто формальное, и при переходе к физическому представлению голдстоуновский бозон исчезает.
Это один из признаков механизма Хиггса, т. е. эффекта приобретения массы калибровочным векторным полем при спонтанном нарушении калибровочной группы (или путем «поглощения голдстоуновского бозона», как характеризует этот механизм Коулман, 1975а).
В следующих ниже предложениях 10.10 и 10.11 указывается, как проявляется спонтанное нарушение калибровочной симметрии в псевдоуайтмановском формализме на уровне «фундаментальных» полей в локальной лоренц-ковариантной калибровке. Поскольку мы интересуемся в первую очередь спонтанным нарушением симметрии группы U(l), то в отношении другой возможной подгруппы Л С Г мы примем предположение, что симметрия относительно Н не нарушена спонтанно и что автоморфизмы )九(h 6 Н) полевой алгебры 3 реализуются псевдоунитарными операторами в X, оставляющими вакуумный вектор |0) инвариантным.
Предложение 10.10. Пусть в абелевой калибровочной теории (с ^минимальным^ взаимодействием) (компактная} эффективная калибровочная группа Г порождена подгруппами U⑴ и Н и для симметрии относительно Н справедливо сделанное выше предположение, в то время как симметрия алгебры X (физических величин) относительно калибровочной подгруппы U(l) спонтанно нарушена. Тогда:
группа автоморфизмов )九(九 е U(l)) полевой алгебры 3 (& локальной лоренц-ковариантной калибровке) не реализуется группой псевдоунитарных операторов в псевдогильбертовом пространстве X, которые оставляли бы вакуумный вектор 10) инвариантными
существует элемент X полиномиальной полевой алгебры ^{М) такой, что / 、
(0 I О(Х) I 0) = /ор I [/(ж), X] I 0〉歩力 0. (10.128) £U°=COnst
< Для доказательства первого утверждения предположим, что группа автоморфизмов 丁九 (h 6 U(l)) полевой алгебры 3 реализуется группой псевдоунитарных операторов 2/(А) в ①，оставляющих вакуумный вектор инвариантным. Тогда легко видеть, что (017^(Х) 10)= =〈0 I X I 0〉при X G 3,九 G U(l). Кроме того, из условия следует, что такое же равенство справедливо для h G Н; значит, оно справедливо при всех A G Г. В результате мы получаем, что состояние (10.21) на !В есть s(X) =〈0 | X | 0〉. Как и в п. 10.1.Г (см. упражнение 10.9(a)), отсюда следует, что вакуум в физическом гильбертовом пространстве 方 невырожден, что представление тг алгебры !В в 方 неприводимо и что калибровочная группа U(l) реализуется унитарными операторами V(h) в 方(см. формулу (10.32)). Поскольку представление тг неприводимо, то это означает, что калибровочная симметрия группы U(l) не нарушена спонтанно. Полученное противоречие с условием предложения 10.10 доказывает (а).
Второе утверждение доказывается аналогичным образом. Действительно, если предположить, что для всех X G ^(Af)(O | О(Х) | 0) = 0, то отсюда следует (0 | 丁九(X) | 0) = (0 | X | 0) для всех X 6 ^(Af), h 6 U(l)； в силу условия непрерывности действия 夕 на 3 (приведенное в п. 10.1.В при определении большой калибровочной группы) полученное равенства справедливо для всех X G 3,九 G U(l). Действуя далее, как при доказательстве первого утверждения, получаем, что калибровочная симметрия U(l) не нарушена спонтанно; эта противоречие доказывает (б). А
При спонтанном нарушении симметрии относительно калибровочной группы для псевдогильбертова пространства X имеет место утверждение, аналогичное теореме Голдстоуна. Существенное различие, проистекающее из индефинитности скалярного произведения в X, состоит в том, что из-за возможной неунитарности операторов
трансляции 〃(а, 1) в X утверждение о нетривиальности подпространства в X векторов нулевой массы может не иметь смысла, и о наличии голдстоуновской частицы в X приходится судить по сингулярностям выражений типа (10.11) вблизи светового конуса Г。= {夕 е М: р = 0}. В связи с этим будем говорить, что обобщенная функция /(р) е 〃'(Af) не менее сингулярна, чем 8(夕？)，вблизи светового конуса Го, если либо она не является (борелевской) мерой ни в какой окрестности светового конуса вида |р2| V £ (где £〉0), либо в некоторой окрестности такого вида она задает меру /(р) &4夕=d^p), причем ］ \d^p)\ 市 0. Аналогично, если (p2)fc/(p) (при Го\{О}
некотором k = 1, 2, ...) не менее сингулярна, чем 5(р2) вблизи Го, то мы говорим, что /(р) не менее сингулярна вблизи Го, чем 8(卜)(夕2).
Это определение служит лишь для качественной оценки сингулярности /(@) вблизи Го и не касается вопроса, чему равен «вклад, пропорциональный ^("'(目？)》в обобщенной функции /(0); подробный вопрос вряд ли корректен, если не ограничиваться какими-либо специальными классами обобщенных функций /(@).
Предложение 10.11. Пусть в абелевой калибровочной модели со спонтанно нарушенной симметрией относительно калибровочной группы U(l) выполнено условие предложения 10.10, и пусть ^фундаментальные^ поля в локальной лоренц-ковариантной калибровке действуют в псевдогильбертовом пространстве X виртуальных состояний. Тогда:〜
для некоторого элемента X 6 ^(М) обобщенная функция (0 | Xj°(p) | 0) не менее сингулярна вблизи светового конуса Го, чем 5(р2\,
6 ^-калибровке модели {при £ # 0) для некоторого элемента X 6 叭М) обобщенная функция (0 | ХА°(р) | 0) не менее сингулярна вблизи Го, чем》(夕2), “ вспомогательное скалярное гильбертово произведение (., .) е 分 не может быть трансляционно-инвариантным.
< Утверждение (а) доказывается почти так же, как теорема 10.9 (с той разницей, что вместо физического гильбертова пространства 方 теперь рассматривается нефизическое псевдогильбертово пространство ①)，поэтому мы ограничимся наброском. Из (10.27) следует, что 〈0|О(Х) I 0〉R 0 для некоторого элемента X 6 夕(〃)，где 〃 — некоторое ограниченное множество в М (например, алмаз). Поэтому существует вещественная функция и(х) 6 5 (М) такая qto
'(0 I (JF(M2) X - XF(M2) J) I 0) R0,(10.129)
где оператор J определен равенством (10.124), a F(A) — произвольная функция из ^м(^), равная единице в точке А = 0 (от выбора F левая часть (10.129) не зависит). Неравенство (10.129) можно переписать в виде
j ЯР2)ад［(о I х№(@)I о〉—〈о|х守(—@)|о〉］ м R о. (Юдзо)
Если предположить, что для некоторого У 6 少(М) обобщенная функция (0 | Yj°(p) | 0〉 не является мерой ни в какой окрестности вида |р2| < £ (е〉0), то утверждение (а) становится тривиальным. Поэтому остается рассмотреть случай, когда каждое из выражений в квадратных скобках в (10.130) есть мера в некоторой области вида |р2| < е. Из аксиомы PW.III(6‘) следует, что вклад, сосредоточенный в точке р = 0, равен нулю. Выберем последовательность Fn, как в доказательстве теоремы 10.9, и подставим ее в (10.130). Переходя к пределу при п ос, получаем
Для доказательства (б) следует воспользоваться модифицированным уравнением Максвелла (10.97) в (-калибровке, где Л = L %Ан. Подставляя J°(x) = 一3"歹°"十 ^。八= =(―1 +L)力歹⑺ _ ^-1п л° в (10.128) и учитывая, что 尸⑺⑺,х] есть свертыватель по х, получаем вместо (10.128)
〈о| I [□屋⑺,х]|о"/#о
X° = const
для некоторого элемента X 6 ^(Af). Дальнейший ход рассуждений в точности повторяет доказательство (а), только вместо /°(力)теперь фигурирует □ А°(ж)^В результате получаем, что для некоторого элемента X 6 夕(Af) обобщенная функция (0 | ХА°(р) | 0) не менее сингулярна вблизи светового конуса, чем У(р2). Как отмечено в п. 10.1.Б, в этой ситуации вспомогательное гильбертово скалярное произведение в ① не трансляционно-инвариантно. А
Сингулярность («не менее чем 8(夕？)》) вблизи светового конуса в матричном элементе (Ф | jM(p) | 0) можно интерпретировать как наличие фиктивного «голдстоу- новского бозона»; фиктивность его заключается в том, что он ненаблюдаем (т. е. отсутствует в физическом гильбертовом пространстве).
Предложение 10.12. Пусть ^(х) — сохраняющийся ток {ассоциированный с калибровочной группой U(l)) е физическом представлении в абелевой калибровочной теории (с ^минимальным^ взаимодействием). Тогда в физическом гильбертовом пространстве 力 нет вектора Ф нулевой массы, для которого матричный элемент〈①，夕从(力)3°) 6乩九 бы отличен от нуля.
< Доказательство основано на уравнении Максвелла 队户林=^^ и групповых соображениях. Предположим противное тому, что нужно доказать, т. е. что замыкание в 方 множества векторов вида Ео (J6fM(/) 〃从(/) d，/) ф0 отлично от нуля; здесь Eq — проектор в 方 на подпространство векторов нулевой массы, и^ 6 ”М). Как отмечалось в доказательстве теоремы 10.9, отсюда следует, что рассматриваемое подпространство векторов в 方 преобразуется по неприводимому представлению группы фо с нулевой массой и с нулевым спином; следовательно, в нем можно ввести базис обобщенных векторов \k} (k 6 Г^), нормированных условием (к | к'} = (2тг)3 • 2к°Ь(山—方).Тогда имеем
〈％, /А(х)瓦夕"(g) Фо) = ]〈％,户⑺ I к)(к I 夕"(g) %〉(办)()• (10.131)
Из фо-ковариантности следует: (к | ^и(у) Фо) = егку f^u(к), где /从"(衣) — лоренц-ковариантная тензорная функция от k G Г^, антисимметричная по индексам 从，弘 Очевидно, единственная такая функция есть /""(к) = 0, поэтому обобщенная функция (10.131) равна нулю, а вместе с ней равна нулю обобщенная функция 〈Wo,『"(/)£()『"(g) Wo〉. Это противоречит сделанному выше предположению; тем самым доказательство «от противного» завершено. А
Поясним, почему прежняя аргументация теоремы Голдстоуна теперь неприменима. В теории с калибровочной инвариантностью 2-го рода физическая величина X, несущая заряд (т. е. такая, что О(Х)力 0), не может быть локальной (см. предложение 10.5), поэтому физическая величина X, фигурирующая в условии (Фо, 7r(°(Х)) Фо)力 0, обязательно нелокальна. Тем самым не выполнен один из существенных исходных пунктов доказательства теоремы Голдстоуна.
Глава 11
ПРИМЕРЫ: ЯВНО РЕШАЕМЫЕ ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ
11.1. Свободное скалярное безмассовое поле в двумерномпространстве-времени )
А. Одномерное неканоническое скалярное поле. Двумерное свободное скалярное безмассовое поле 夕(力)интересно по нескольким соображениям. Из-за инфракрасных особенностей функций Уайтмана оно выходит за пределы формализма Уайтмана (и требует модификации формализма допущением индефинитной метрики — в нефизическом представлении и заменой обычного вакуумного вектора на обобщенный — в физическом представлении). Модель позволяет проиллюстрировать важность нелокальных величин, так как среди физически интересных величин имеются существенно нелокальные, т. е. не порождаемые алгеброй локальных величин (например, операторы рождения состояний с ненулевым «топологическим» зарядом). Наконец, эта модель лежит в основе ряда других явно решаемых моделей.
Мы рассматриваем скалярное безмассовое нейтральное поле 夕(力)=夕*(力).По определению оно удовлетворяет волновому уравнению Даламбера
办(/)=(@)2 一(行产)夕⑺=0(11.1)
И ККС= \б^х-у\(11.2)
00(力一g) = 2市]£(夕°)“02)「0(…)办2=^£(/° —д°)伙(力一g)2).(11.3)
При обычной локально-полевой трактовке поля 夕(力)как операторной обобщенной функции мы должны сглаживать произведения 夕(力i)...夕(力冷)с основными функциями из ^(Afn), получая в результате квазилокальные величины. Назовем этот подход локальным квантованием.
Второй (неэквивалентный локальному) метод квантования, который назовем каноническим, состоит в следующем. Пусть S есть пространство всех вещественных «классических» (т. е. с-числовых) решений £(/) волнового уравнения Даламбера таких, что производные 9о§(/)，分1£(力)принадлежат пространству Шварца 斤(К) по 力 1 и зависят 乃00-образом от х° как от параметра. На S определена билинейная невырожденная кососимметрическая форма (или симплектическая форма)
。(£，〃)=] «(ж) д^х) - (dQ^x)) ф')) dx\(11.4)
£U°=COIlSt
так что S можно рассматривать как фазовое пространство некоторой «классической» линейной бозонной системы (подлежащей квантованию). Каждому элементу £ G Е
сопоставляется линейный функционал og на S: og(〃) = о(〃，£); для og определяются скобки Пуассона: {og, 0〃} = о(§, 〃). При каноническом квантовании поля 夕 постулируется, что каждому элементу £ G Е сопоставлен эрмитов оператор 夕& линейно зависящий от £, так что при этом выполнены ККС:
[代，内]=沁(W，〃)•(11・5)
Величины локального подхода содержатся в алгебре канонического квантования; для этого достаточно любой основной функции / е ”(М) сопоставить оператор
]0(力)貝力)//=0& 久力)=j0()(/-g)f(y) dy(11.6)
(определяя тем самым 夕(力)как локальное поле). Однако алгебра канонически квантованного поля существенно шире: в ней есть величины (например, ег^, при определенных £ несущие «топологический» заряд), которые нельзя получить как пределы локальных величин (в слабой операторной топологии физического представления). Поэтому каноническое квантование приводит к более богатой структуре, чем локально-полевой метод.
Существует еще один метод («квантование на световом конусе»), который мы здесь рассмотрим подробнее. Оказывается, он вполне эквивалентен каноническому квантованию (в том смысле, что существует естественный изоморфизм между алгебрами фон Неймана физических величин в физическом представлении). В основе его лежит простое наблюдение: всякое классическое решение £(/) волнового уравнения (введенного выше класса S) представимо в виде
=(1L7)
здесь xR и xL — переменные, ассоциированные со световым конусом:
xR = ^ - хх,力乙=力° +力1;(11.8)
(力R) и £乙(力乙)—пара вещественных ^00-функций, производные которых принадлежат пространству ^『(К). Аналогично будем строить квантовое поле 夕(力)из правой и левой составляющих 夕灭 и 夕'，играющих роль «фундаментальных» полей в данной модели. При этом предполагается, что 夕灭(力灭)и 夕乙(力乙)—операторные обобщенные функции над пространством 乡(К), удовлетворяющие ККС:
[°R(/R),0％r)]=I DR{xR - yR\[°R(/R), /(公)]=0,
1(11.9)
[/(怔),/(卄)]=j Dl(xl -产)，
гдег1
Dr(xr -，)= z j P j exp [—iX(xR - yR)]山入=£(力灭-yR) (11.10) (аналогично DL(xL — yL) получается заменой R на L). Удобство третьего метода квантования состоит в том, что здесь мы по существу имеем дело с двумя независимыми одномерными скалярными полями 夕灭(力灭)и 夕'(力')(каждое из которых может быть названо одномерным неканоническим скалярным полем). Поэтому при построении представления можно сосредоточить внимание на одной составляющей, скажем, правой
Для построения физического представления поля 夕^(s) (s е К) воспользуемся формализмом индефинитной метрики (хотя здесь этот формализм не является необходимым этапом; альтернативная возможность, приводящая к тому же физическому представлению — отправляться от абстрактной алгебры ККС для поля 夕^(s)).
31 Н. Н. Боголюбов и др.
Постулируем вид двухточечной функции:
〈0| 夕實s)夕尺⑴ |0) = WR{s-t\(11.11)
где1
WR{s - t)= 伙入)入—1厂"(s—"dC =—言 In \O + i^s-t)].(11.12)
Входящее сюда произведение 0(Х) А-1 плохо определено (это так называемая «инфракрасная расходимость»); результат доопределения, даваемый этой формулой, содержит массовый параметр х > 0. Поскольку обобщенная функция ^(А) А-1 не положительна (см. упражнение В.6), метрика в пространстве виртуальных состояний не может быть положительно определенной. Пусть /(s) — произвольная функция из 斤(К). Сопоставим ей тройку
F^W = f(X) - /(0)К(a), f⑴=(01产仇)产(/)|0), f⑵=до), (11.13)
где 九(s) — фиксированная функция из ^r(R) такая, что Д(0) = 1 и (0 I 夕R(九)夕R(九)I 0) = 0. Нетрудно видеть, что оператор f 一 F отображает ”К) на плотное линейное подпространство одночастичного гильбертова пространства
Xf =%2(R+，入一1山入)㊉ d
с положительным скалярным произведением
(F G) = JFW0JG⑼(入)入-％П +戸G⑴ + 尸G⑵(11.14)
и с индефинитной формой
(F, G) = JFW0JG⑼0入一小 +戸G⑵ + 尸G⑴.(11.15)
Относительно скалярного произведения (11.15)分书 является пространством Понтрягина с сигнатурой (оо, 1).
Упражнение 11.1. (а) Проверить соотношение
〈0|d^d(g)|0〉=〈fG〉при 力 gG9(K).
Доказать, что в ①f определено псевдоунитарное представление группы трансляции R таким образом, что функция『{&/?}(力五)=/(力五—aR) переходит при отображении / т F в элемент ”『(*) F из ①『.
Убедиться, что векторы F, у которых 尸(°)= О, F^ = 0, трансляционно-инвариантны.
Пусть 分灭=^у (Х『)есть псевдогильбертово пространство бозе-частиц с операторами рождения и уничтожения aR^(F), aR(F). Определим теперь нефизическое представление одномерного неканонического скалярного поля 夕^(s) формулой
^(А) = АЯ(А) + АЯ*(-А),(11.16)
где〜
I4r⑴fW山入=川*(ь)，I4實》)fW dC =川(ь).(11•⑺
Нетрудно видеть, что для любого вещественного числа ся преобразование
%А(夕實S))=夕實s) + *(11.18)
есть каноническое преобразование. Тем самым задается калибровочная группа Г^ = R преобразований правого поля (в терминологии п. 10.1.В Г^ играет роль «большой» и «эффективной» калибровочных групп, в то время как «малая» калибровочная группа здесь тривиальна). Согласно следующему упражнению она реализована псевдоунитарными операторами в 分吨
Упражнение 11.2. Пусть элемент В 6 ^f определен условиями
石⑼(X)三0, 石⑴=^， 石⑵=0(11.19)
и пусть
kR = d(石)+ 产(石).(11.20)
Доказать соотношения:
［夕五(s), kR］ = i,(11.21)
exp (注衣0五)exp (分 j 9五(s) /(s)曲)exp (一注%五)=exp (分］(9五(s) + СR)/(s) ds) (11.22)
при всех / G 9r(К),。五 G К.
Очевидно, поле
*(s)=晶产(s)(11.23)
калибровочно-инвариантно; мы назовем его правой компонентой тока. Алгебру 21д, порожденную им, назовем («правой») алгеброй наблюдаемых. Очевидно, двухточечная функция
(0 I廿⑶俨⑴I 0) = j 0(A)入厂"(5一力)必入=-* (s 一方-分0厂2(11.24)
положительно определена. Поэтому вакуумное представление тг(°)алгебры наблюдаемых 21я есть фоковское представление в соответствующем фоковском гильбертовом пространстве 力^°)(одночастичное подпространство которого есть пополнение множества векторов вида J 済⑶ /(s) ds | 0), / G 斤(К)).
Аналогичное построение можно выполнить для левой составляющей 夕'(力'). Полное нефизическое пространство X, в котором действует скалярное безмассовое поле 夕(力)，есть тензорное произведение 分=分灭¥分'・ Соответственно вся алгебра наблюдаемых есть тензорное произведение 21 = 21я 0 21ь алгебр 21я и 21ь.
Б. Физическое представление. Поскольку рассматриваемая калибровочная группа VR = R (для поля 夕灭)некомпактна, схема п. 10.1.В нуждается в некотором изменении, обеспечивающем сходимость интегралов по калибровочной группе.
Пусть 耽灭 есть множество всевозможных конечных сумм операторов в 分灭 вида
4 = ］ ехр р ］夕實s) /(s)曲)F(/) df;(11.25)
здесь “ — произвольное конечномерное аффинное подпространство в %(К) такое, что функционал / — /(0) = | /(s) ds отображает “ на К; 歹(/) произвольная функция класса 斤(“)，df есть (трансляционно-инвариантная) лебегова мера на ”. Легко видеть, что 耽灭 есть ^-алгебра (без единицы), которая переходит в себя при умножении (слева или справа) на операторы вида exp (г | ^pR(s) /(s) ds) (/ е 少『(R)). Как и в п. 10.1.В, определим на 耽灭(теперь) обобщенный вакуумный функционал sR с помощью интеграла по калибровочной группе:
W(4) = ] (О|7сн(А)|О) dcR,(Н.26а)
который на элементах вида (11.25) равен
sr(A) = I 27M(f(0)) exp (-^WR(s -t)f(s)f(t) dsdt^ F(f) df. (11.266)
Оказывается, при этом выполнено условие положительной определенности:
5*4*4)》。при всех 4 е 耽灭.(11.27)
Для доказательства введем инфракрасно регуляризованное поле g^(s) с двухточечной функцией
〈。小 I s^(s) ^(t) I 0)= W^s-t^^ ^(A)(A + m)-xe~i4s-t｝必入
где m > 0 — параметр регуляризации. Поскольку двухточечная функция Жп($ — t) положительно определена, то поле ^(s) строится вторичным квантованием в гильбертовом пространстве ①^ с вакуумным вектором |0小〉.Пусть *-алге6ра 耽^ определена подобно 耽五， т. е. заменой 夕五 на 夕^ в (11.25). Тогда из положительности метрики в ①小 следует:
От〈От I 4m4m | 0m〉》。При ВСеХ 4m G 力^т ；( 1 1.28)
при этом множитель ат = (Inт()/т)х^ (с произвольным фиксированным то〉0) выбран таким образом, что
S (4) = lim。От〈О/п II 0m〉
на элементах А вида (11.25) (при этом Ат получается подстановкой g^(s) вместо 夕五(s) в (11.25)). Переходя теперь в (11.28) к пределу при m 0, получаем (11.27).
Функционал 8я уже не нормирован (и не может быть нормирован) на единицу, поэтому мы называем его обобщенным вакуумным состоянием алгебры 3灭 физических величин правого поля. Конструкция ГНС (п. 1.5.Г) легко распространяется на обобщенное состояние. Физическое представление тг поля 夕灭 строится в комплексном гильбертовом пространстве 3fR, в котором всюду плотное линейное подпространство образовано векторами Х(4) (А е 耽灭)，линейно зависящими от А и имеющими скалярное произведение
〈Х(4), Х(6)) = sr(A^B), А, В е 耽R(11.29)
Правая составляющая Фя(з) = тг(夕^(s)) в физическом представлении определяется формулой
ехр (〃]①R(s) /(s) ds) X(4) = X(exp (〃] ^pR(s) /(s) ds) 4), A 6 耽尺(11.30a) при всех / 6 ^r(R) или, эквивалентно,
〈XG4),exp(q^Rs)/(s)ds)X(5)〉=
=s^(厶* exp (〃]夕灭⑶/(s) ds) 6), А, В e Ш1я. (11.306) Ниже мы пользуемся сокращенным обозначением:
Еу = ехр р I ①實s) /(s) ds) =тг^ехр(^^R^f(s) ds^ при /е%(К).Правый ток в физическом представлении обозначим через Уд(з):''
产(s) =為①實s)・(И.32)
Как обычно, алгебра тг(^д)сс (соответственно, тг(21д)сс) называется алгеброй фон Неймана физических (соответственно наблюдаемых) величин.
В %R задано унитарное представление UR(aR,广灭)группы К о 7?+ неоднородных линейных преобразований переменной xR:
xr rRxR aR (广灭〉0, aR е R).(11.33)
А именно: пусть ^-автоморфизмы rR^ алгебры 耽灭 определены на элементах (11.25) формулой
^(^,г«)⑷=j ехр р j ^R(rRs + 川)/(s) ds) F(f) df.
ПоложимD D DD
UR(aR, rR)X(A) =X(a(aR,rR)(4)), Ae^R.(11.34)
Упражнение 11.3. Доказать, что формула (11.34) определяет унитарное представление группы К о К+ в 力^ причем
и”,咼①R(xR)uRgR, *尸=①五(*У +，).(и.зб)
Аналогично калибровочные преобразования (11.18) унитарно реализованы в 力灭 операторами ехр (iKRcR), действующими по формуле
^krcrx^=x^cR^y Ae^lR.(11.36)
Упражнение 11.4. Доказать, что формула (11.36) задает унитарное представление калибровочной группы rR = R в 方五 такое, что
/КМ ①气 j)二①五(戸)+ J.(11.37)
В п. 10.1.В представление алгебры наблюдаемых в 方 разлагалось в прямую сумму подпредставлений 7г")в пространствах 方")с «зарядом» г. В рассматриваемом случае из-за некомпактности калибровочной группы представление алгебры наблюдаемых в 3€ разлагается не в прямую сумму, а в прямой интеграл представлений 7г« ), соответствующих значению《灭(правого) заряда QR:
㊉
7гд = j 7г^Л^ d\(R.(11.38)
R
Представление тг(°)есть просто фоковское представление (правого) тока (п. 11.1.А), а представления 穴(《八)при《灭 # 0 являются так называемыми смещенными фоковс- кими представлениями. Они определяются следующей конструкцией.
Пусть 9rlесть множество всевозможных конечных комплексных линейных комбинаций операторов ехр (г | ^я(з) /(s) ds), где / пробегает аффинное подпространство 笑в ㈢(К):
笑= {/ е 华(К)： 7(0)三 j /(s)曲=1}.
Тогда выражение (0 | А^В | 0) (где А, В е ^^^) задает на €П^Л^ положительно определенную эрмитову форму. Действительно, всякая функция / е 笑(°)однозначно записывается в виде /(s) = —dsg(s) при g 6 ^r(R), так что
夕實s) /(s) ds = vR(s) g(s)曲,
Если《R 市 0, тоЕсли《R 市 0, то笑T) =c^ +笑⑼,笑T) =c^ +笑⑼,(11.39)(11.39)и рассматриваемое утверждение при《灭=0 есть следствие положительной определенности скалярного произведения в фоковском представлении для (правого) тока.
Если《R 市 0, то
Если《R 市 0, то
笑T) =c^ +笑⑼,
笑T) =c^ +笑⑼,
(11.39)
(11.39)
где h — фиксированная функция из ^г(7?) такая, что Д(0) = 1. Отсюда легко следует
сооtношение,〜,〜
(11.40)(11.40)(014*610) =(0|4*б|0) при А, В е 汴'
(11.40)
(11.40)
где мы сопоставили оператору 厶=£ с/ exp 0]夕^(s) /(s) ds) из 9rl&八)оператор
А = ^2 cf exp (^ 1 j Dr{s —方)G(s) /⑴ ds d方)exp 卜]夕R(s)(/(s)—《灭九⑶)ds)
「(11.41)
из 9rl(°). Из формулы (11.40) положительная определенность эрмитовой формы (0 I А^В I 0) на 9rl« )становится очевидной.
Определим комплексное гильбертово пространство 方(《八)как пополнение множества векторов У«а)(4), линейно зависящих от А 6 €П^Л^ и образующих предгильбертово пространство со скалярным произведением
(Y^R\A\ Y^R\B)) =〈0|4*石|0), А, В 6 ^Rl (11.42)
Смещенное фоковское представление 穴(«八)для (правого) тока теперь определено в 力«R)формулой
7r(С (exp(5 j vR(s) g(s) ds)) Y^R\A)=
=(exp 0 ] uR(s) g(s) ds) 4), A e €П^Л\(11.43a)
или матричными элементами
〈У(Г(4), N(exp j ^Я(5)g{s) ds^ Y^(B)^ =
=〈0 卜* exp 0 ] oRs) g(s) ds)川 0〉при A, В e ^^\ g 6 ^r(R).(11.436)
Упражнение 11.5. (а) Доказать, что формула
U^R\aR, rR)Y^R\A) = У(Т)伍(^产)4),A G ^R\(11.44)
определяет унитарное представление группы RoR+ B方館勺,причем
u^R\aR,咼 小R)(vR(xR))uT)gR, d尸二
=rR^R\vR(rRxR + aR)), d〉0, deK. (11.45)
Доказать, что генератор трансляций PL^R\ определяемый равенством
и(、аК 1) = ехр (旷户館3五)，(11.46)
строго положителен ) при 《五 R 0. (Указание: пусть А = ехр (г | ^я(5)/(s) ds) при / G G 先«R),《五 # 0; убедиться, что(У^Л\А), U^R\aR, 1)丫館八)(厶)〉является аналитической функцией по aR при Im aR〉0, непрерывной при Im。五》0 и стремящейся к нулю при aR =分丁，т т +ос.)
Сформулируем теперь ряд свойств физического представления правой составляющей поля 夕(力).
Предложение 11.1. (а) Физическое представление правой составляющей 屮R(xR) свободного безмассового скалярного поля 夕(力)в пространстве 3fR неприводимо, а его сужение на алгебру наблюдаемых 21я распадается е прямой интеграл (11.38) попарно неэквивалентных неприводимых представлений 7г^Л^ — смещенных фоковских представлений.
Алгебра наблюдаемых фон Неймана тг(21я)сс совпадает с множеством всех калибровочно-инвариантных операторов из 府(方灭)(те с множеством всех ограниченных операторов в 力^ коммутирующих с операторами exp {iKRcR)). В частности, оператор заряда KR присоединен к алгебре наблюдаемых фон Неймана тт(以а)叱
Группа симметрии R о R+ поля 夕灭(力灭)реализована унитарными операторами UR(aR,广灭)в 勿R, удовлетворяющими (11.34), (11.35) и принадлежащими алгебре наблюдаемых фон Неймана тг(21я)сс, причем генератор трансляций PL строго положителен.
< Из конструкции пространства 方('八)следует, что его можно отождествить с фоковским пространством 芯五(°); для этого достаточно вектору ¥(’^)(4) при А 6 0rl(‘八)сопоставить вектор У⑼(А) (где А С 91 ⑼ определено в соответствии с (11.41)). При таком отождествлении 〜㊉
прямой интеграл 方二］方(《)&1《есть пополнение предгильбертова пространства непрерывных (по норме) вектор-функций W(《) на К с компактными носителями и со значениями в ,^R^. Скалярное произведение в 方 определяется формулой (Ф1,田2〉= J〈Wi(《)，田2(«)〉&1£ Определим в 方 представление 彳 правого поля 夕五(s), полагая
(彳(ехр (分 j 夕五(s) /(s)曲))W)(C = exp (分《］DR(s)(s — t) /(s)九⑴ ds d£)x
义 тг⑼(exp (分］夕八⑻/(s) ds)) W© при /(0) = 0,(11.47a)
(彳(exp 卜C ］夕五(s) A(s) ds)) W)(«) = W(« - «') при «/ G К.(11.476)
Так как 9r (К) есть прямая сумма пространства 先(°) и К •儿 то эти равенства с ККС определяют 彳(exp (J 夕五(s) /(s) ds)) при всех / G 9r(К).
Упражнение 11.6. (а) Доказать, что существует изоморфизм W: J^^ ―方 гильбертовых пространств, сопоставляющий вектору Х(4) 6 方五(при А 6 耽五)вектор-функцию
W⑹=тг⑼(卜cR (eхp (I分6 j9五(s) o(s)曲)4)3五⑼，
где з五(°)--вакуумный вектор в 方五(°).
Доказать, что
彳(ехр 0]夕五(s)/(s) ds)) = VT7r(exp 0]夕五(s)/(s) ds))屮一
при всех / G 9r(К).
Упражнение 11.6 показывает, что представление тг поля 夕五 в 方 унитарно эквивалентно построенному выше представлению 彳 в 济，поэтому в предложении 11.1 мы можем заменить тг на 彳.
Формула (11.47а) показывает, что каждый оператор тг( ехр (г| 屮 R (s) f(s) ds» при / G 先(。) приводится в прямом интеграле семейством операторов тг«)(ехр (分 J 夕五(s)/(s) ds)),《G К. Очевидно, что в новой реализации операторы калибровочных преобразований действуют как операторы умножения W(《)т exp (i(cR) Ф(С), так что алгебра фон Неймана, порожденная операторами exp (iKRcR), изоморфна алгебре 3°°(К, 〃)всех комплексных измеримых существенно ограниченных функций на К (см. [Н2], пп. 6.13 и 26.5). Покажем что операторы калибровочных преобразований содержатся в слабом замыкании системы операторов 彳(ехр (订夕五(s)/(s)ds)), / Е 先⑼.
Упражнение 11.7. (а) Построить последовательность функций 以九(力)в 9r(К) такую, что 以九应 т 1 в 0(К) и
j (О I vR{s) vR(t) I 0) cjn(s) dsdt 0 при ?г т ос.(11.48)
(Указание: положив %(入)=- |А|)|А|-1+1//п, убедиться, что %(Х) т 2тг5(А) и J X\fn(X)\2dX т 0 при п т ос. В качестве cjn(A) можно взять %П(|А|) /П(А), где %П(А) — о
гладкая функция со значениями на интервале [0, 1], равная единице при 2en < А < 1 — 2еп и имеющая носитель при en < А < 1 — £п, где sn — достаточно малое положительное число.)
Доказать, что для последовательности шп 6 9r(К), удовлетворяющей условию (11.48), тг^0^ (ехр (г j vR(s) ш(«) ds)) т 1 при п ос в слабой операторной топологии. (Указание: в силу унитарности рассматриваемых операторов достаточно доказать предел для матричных элементов между гладкими финитными векторами фоковского пространства, при этом можно воспользоваться оценкой типа (7.124).)
Из формулы (11.47а) следует, что для последовательности 以九，построенной в упражнении 11.7, имеет место предельное соотношение (в слабой операторной топологии):
тг^ехр ^гся j d(s) Gn(s) ds)) ехр (iKRcR) при ?г т ос.(11.49)
Это доказывает, что операторы заряда присоединены к алгебре наблюдаемых фон Неймана. Из (11.49) также следует: тг« ) (ехр (分。五 J。五(，)8n(s) ds)) т exp (分《五。五)при п ос, откуда очевидно, что полученные представления 穴('八)для (правого) тока попарно унитарно неэквивалентны.
Покажем теперь, что алгебра 穴(3五)℃ совпадает с алгеброй 府(方五).С этой целью отождествим прямой интеграл 方二]方«)di《с тензорным произведением 方五(°)00g &«)• Так как алгебра наблюдаемых фон Неймана тг(21я)сс порождается элементами вида тг(°)(ехр (分义 х j vR(s) p(s) ds)) 0 и, где 〃 G 0°°(K, di«), а совокупность тг^ (exp (г | vR(s) p(s) ds)) при произвольных g G 9r(К) есть неприводимый набор операторов в 方五(°), то тг(21я)сс = =府(方五⑼)N 3°°(К, &«)• Соответственно ее коммутант есть тг(21я)с = 1 N 3°°р?, &《) (см. [Н2], п.26.5). Наконец, из (11.47) следует, что алгебра фон Неймана 7r(5^)cc поля 夕五(s) порождена алгеброй тг(21я)сс и операторами сдвига 1 ㊂厶，где (Т^и)^)= 〃(《—«'); поэтому ее коммутант состоит из элементов алгебры тг(21я)с = 1 *3°°(К, %《)，инвариантных
относительно сдвигов, т. е. состоит из скаляров:穴(3五)° = С. Значит,穴(3五)℃ =历(方五)，так что алгебра поля ①五(s) действует в 方五 неприводимо.
Тем самым доказаны утверждения (а), (б) предложения 11.1. Утверждение (в) фактически было доказано в упражнениях 11.3 и 11.5 (за исключением того, что операторы UR(aR, rR) принадлежат алгебре наблюдаемых фон Неймана тг(21я)сс, что легко следует из утверждения (б)). А
Аналогичное утверждение справедливо для левой составляющей ①'(力').В физическом гильбертовом пространстве Ж =汇灭㊂力‘ определены оба поля ①灭(力灭)0 1 и 1 0 ①乙(力二)，для которых сохраним прежнее обозначение ①а(力r) и ①乙(力二). Разложение 〔
①(/)=责(①R(力尺)+①气i)) (11.50)
позволяет определить в 力 локальное поле ①(力)(т. е. операторную обобщенную функцию класса У(7И)). В 方 действует также канонически квантованное поле следующим образом. Произвольное классическое решение волнового уравнения £ 6 6 S однозначно представимо в виде
WO) = ^ (с + I Dr{xr - yR) fR{yR) dyR + I Dl(xl - /) /L(/) dyL^ (11.51) где ceR;严，fL 6^(R); соответствующие операторы канонического квантования ①§ = 7г(夕£)определяются формулой
Ф = -с —―^ ^ + I ①А(/А) /R(力A) dxR + I ①'(/') fL(xL) dxL (11.52)
(при этом связь между локальным и канонически квантованным полем по-прежнему осуществляется формулой типа (11.6)).
В 3f можно определить представление группы 彳］о R^ преобразований пространства-времени М вида
х — гЛх + а,(11.53)
где г > 0 — параметр масштабного преобразования, а е М — вектор трансляции, Л — собственное преобразование Лоренца:
/ chx(shx/ chx(shx(A/严=e~xxR,(A/严=e~xxR,shx、ch J，(Лх)ь = exxL.shx、ch J，(Лх)ь = exxL.(11.54a)(11.546)(11.54a)(11.546)
/ chx(shx
/ chx(shx
(A/严=e~xxR,
(A/严=e~xxR,
shx、
ch J，
(Лх)ь = exxL.
shx、
ch J，
(Лх)ь = exxL.
(11.54a)
(11.546)
(11.54a)
(11.546)
Для этого следует положить
U(a, гЛ) = UR{aR,广灭)0 UL{aL,广乙)，U(a, гЛ) = UR{aR,广灭)0 UL{aL,广乙)，где rR = re~x, rLгде rR = re~x, rL(11.55)(11.55)
U(a, гЛ) = UR{aR,广灭)0 UL{aL,广乙)，
U(a, гЛ) = UR{aR,广灭)0 UL{aL,广乙)，
где rR = re~x, rL
где rR = re~x, rL
(11.55)
(11.55)
Из упражнений 11.3, 11.5 следует ковариантность поля Ф(х) в физическом представлении:
U(a, гЛ) Ф(х) U(a, 1 = Ф(гЛх + а),(11.56)
а также условие спектральности: спектр оператора энергии-импульса Р = (Р°, Р1) лежит в замкнутом верхнем световом конусе. (Однако в физическом представлении нет вакуумного состояния поля Ф(х); его заменяет обобщенное вакуумное состояние
S = 5尺 ¥ SL
Наряду с правым и левым зарядами KR, KL введем операторы
К = ~^(KR + KL\ К'=贵(—К^ + К^).(11.57)
Как показывает следующее упражнение, они выражаются через нулевые компоненты сохраняющихся токов
『气力)=/①(力)，『心(力)=£4"%①(力)，(11.58)
где £从"—«абсолютный» антисимметричный тензор (s01 = 1), связанных с введенными ранее (ср. (11.23)) правым и левым токами『灭(力灭)三兀(0灭(力灭))，VL(xL)=
=灰(0乙(力乙))в физическом представлении соотношениями
吟力尺)=击(У°(х) + L(/)), VL{xL)=击(尸(力)-L(/))・(11.59)
Упражнение 11.8. Пусть последовательность un(t) выбрана такой же, как в упражнении 11.7(a). Доказать соотношения
ехр j以九(储)т ехр (分сК),
(11.60)(11.60)x°=const
(11.60)
(11.60)
ехр卜/ j『。(/)g九(储)da?) exp (ic Kf)x°=const
при n ос в слабой операторной топологии. (Указание: воспользоваться пределами типа (11.49).)
Соотношения (11.60) поясняют, в каком смысле следует понимать стандартное определение заряда как пространственного интеграла от нулевой компоненты тока:
К = j V\x) dx1, К = j 『°(/)d储三j &①⑺ d/L (11.61)
x°=constx°=constx°=const
Последняя из формул указывает, что заряд К' имеет «топологическую» интерпретацию: К' есть по существу скачок поля между правой и левой пространственными бесконечностями; поэтому К' называют «топологическим» зарядом. Нетрудно видеть, что при локальном квантовании поле ①(/) инвариантно относительно калибровочных преобразований ехр (idК'), поэтому локальная полевая алгебра поля ①(/) не содержит операторов рождения «топологического» заряда и приводима по этому заряду в физическом пространстве 方(напротив, канонически квантованное поле, очевидно, неприводимо в 弘).
Замечание. Для определенности мы будем считать, что при пространственном отражении поле ①(力)ведет себя как «подлинный» скаляр: Ф(х)—①(厶力)，где Isx = =(х°, — а?); при этом правая и левая компоненты преобразуются по правилу
①R(s) -①气s),①气s) -①實s).
При такой трактовке отражения токи『从 и『少 являются соответственно «подлинно» векторным и псевдовекторным полями, а поле
①‘出=吉(-①R/R)+①'(/'))(11.62)
—псевдоскалярным.
В. Свободные «кварковые» поля; бозонизация фермионов. Пусть Е? есть экспонента вида (11.31) от сглаженного поля ①灭(力灭).Выражение
NEf = exp g j WR(s - t) /(s) f(t) ds 必)石产，(11.63)
где / е У『(К), назовем нелокальной нормальной экспонентой поля ①灭(力灭).Определим N-произведение нелокальных нормальных экспонент NE^, ..., NE弋 формулой
N((N確)…(N磽))三 乂口№硅)=№/+.+/".(11-64)
Очевидно, что это TV-произведение коммутативно.
Упражнение 11.9. (а) Проверить, что операторы (11.63) удовлетворяют условиям
NE^ = 1, NEf = NE^f, NEf • NE^ = C(f g) NE^f+g, (11.65) где
C(力 g) = exp Q WR{s - t) /(s) p(t) ds dt\.(11.66)
Проверить соотношения
(N碎)...(N碎)=П 口(力九尸立(N碎(11.67) j<k\J=1/
Локальные нормальные экспоненты Nexp 〃а①^(s)), а также полилокальные нормальные экспоненты
Nexp %@R(s)))(«1，…,е R, sI,…,snей) (11.68)
от поля ①R(s) определяются как пределы нелокальных нормальных экспонент в смысле операторных обобщенных функций по переменным s, si, ..., sn G К. Формально выражение (11.68) соответствует продолжению операторного функционала NE? на обобщенные функции / = 〃 вида
〃⑴=£ %・8(方-Sj).(11.69)
Для таких 从 примем в качестве определения
N或三 Nexp 卜{%@R(sj =glimo^Xe,(11.70)
где y£(A) = е-1л1£.
Заметим, что, хотя функции /(А) = 口(入)又^(入)не принадлежат классу 9(К), они непрерывны, а их сужения на 土爵принадлежат 乡(土7?十).Нетрудно видеть, что на такие / функционал NE? продолжается по непрерывности (в слабой операторной топологии).
Упражнение 11.10. Показать, что предел (11.70) существует как операторная обобщенная функция по переменным si, ..., sn, причем результат сглаживания NEf с основной функцией есть оператор, определенный на плотном в 方五 множестве векторов вида Х(4), А 6 耽五.(Указание: достаточно убедиться в существовании предела матричных элементов 〈Х(4), NEZ^NE^XB》при % i Т +0,
где А, В 6 耽五.В силу соотношений (11.64) задача сводится к рассмотрению поведения величин Q(/,从 * Хе) ПРИ £ т +0 н 口(从 * %£,沙* Хе" ПРИ % 宀—+0. Величина Q(/,从 * %£), очевидно, имеет предел Q(/,从)，являющийся гладкой функцией по параметрам si, , sn. Величины вида
С(4 * Хе，沙 * Хе" = П П С + F + %貝(Sj
имеют предел при е, У т +0 в смысле обобщенных функций по si, , tn/：
口仇，^) = П П ^ + ^3-tk)ya^k/^-(11.71)
7 = 1 /с=1
произведение таких величин также имеет хорошо определенный предел.)
Упражнение 11.11. (а) Доказать соотношения
NEf = NE%, (^)...(^) = П 口加，从7尸№磁+.®(11.72)
(в смысле операторных обобщенных функций по si, , sn, s；",, s^).
Доказать, что (11.70) является операторной функцией по si, зависящей £°°-образом от si — $2, ..., sn-i — sn как от параметров.
Так как заряд KR есть в некотором смысле линейный функционал от поля Фд (см. формулы (11.60), (11.61)), то нетрудно определить нормальные экспоненты от поля ①R(力R) и заряда KR; для этого положим
N ехр « j ①實力R) /(жя) dxR + icRK^ = J丛 NE*,%九，(11.73)
где шп — та же последовательность, что и в упражнении 11.7(a).
Упражнение 11.12. Доказать соотношения
^exp {icRKR) =ехр (гс跟五)，(11.74)
N((NE/)(Nexp (icRKR))) = ^exp (。川五(邑)+。五长五))=
=exp (今 °五]4(s) ds) (NE,) exp {icRKR) =
=exp ^ c^ j M(s) ^s J exP (icRKR) NE^. (11.75)
Разумеется, в пространстве 力=力灭 0 力'можно строить локальные нормальные экспоненты из ①灭(力灭)и ①'(力').В частности, введем двухкомпонентное поле
(11.76)(11.76)’Nexp [沁(①R(/R) + ^ k']、Nexp 卜q (①气力二)—^ KA)]
(11.76)
(11.76)
(exp (沁M) qR(x) ехр {iacL) qL{x)(exp (沁M) qR(x) ехр {iacL) qL{x)(11.77)(11.77)где а — вещественный параметр. Нетрудно видеть, что компонента qR,L(x) несет правый (левый) заряд, равный а:
(exp (沁M) qR(x) ехр {iacL) qL{x)
(exp (沁M) qR(x) ехр {iacL) qL{x)
(11.77)
(11.77)
ехр [i(cRKR + cLKL)^ q(力)ехр [-i(cRKR + cLKL)^ =
Пусть а 7^ 0 и Н^ = <^(ся, cL) е R^.幣 cR,幣 с' G z}. Очевидно, что операторы ехр \i(cRKR + cLKL)] с параметрами cR, cL из Hg действуют на кварковое поле
тривиально, поэтому в действительности калибровочная группа Г(а)поля q(力)ком-тривиально, поэтому в действительности калибровочная группа Г(а)поля q(力)ком-пактна:пактна:Ед)"©。尸 U⑴ xU⑴.Ед)"©。尸 U⑴ xU⑴.(11.78)(11.78)Нетрудно убедиться, что поле q(力)обладает следующим трансформационным свойством относительно группы 中］。7?+：U(а, гЛ) q(力)U(а, гЛ)-1 = rd exp (—/хТ) q{rAx + а),(11.79)Нетрудно убедиться, что поле q(力)обладает следующим трансформационным свойством относительно группы 中］。7?+：U(а, гЛ) q(力)U(а, гЛ)-1 = rd exp (—/хТ) q{rAx + а),(11.79)гдегдеd = I = q2/4tt,d = I = q2/4tt,(11.80)(11.80)
тривиально, поэтому в действительности калибровочная группа Г(а)поля q(力)ком-
тривиально, поэтому в действительности калибровочная группа Г(а)поля q(力)ком-
пактна:
пактна:
Ед)"©。尸 U⑴ xU⑴.
Ед)"©。尸 U⑴ xU⑴.
(11.78)
(11.78)
Нетрудно убедиться, что поле q(力)обладает следующим трансформационным свойством относительно группы 中］。7?+：
U(а, гЛ) q(力)U(а, гЛ)-1 = rd exp (—/хТ) q{rAx + а),(11.79)
Нетрудно убедиться, что поле q(力)обладает следующим трансформационным свойством относительно группы 中］。7?+：
U(а, гЛ) q(力)U(а, гЛ)-1 = rd exp (—/хТ) q{rAx + а),(11.79)
где
где
d = I = q2/4tt,
d = I = q2/4tt,
(11.80)
(11.80)
Отсюда, в частности, следует, что поле q(/) обладает лоренцевым спином ±/. Кроме того, оно, очевидно, удовлетворяет уравнению Дирака
(11.82)(11.82)р办 q(/) = 0,
(11.82)
(11.82)
где 7м — матрицы Дирака в двумерном пространстве-времени Минковского, взятые
в представлениив представлении7°7°717101 0丿.01 0丿.(11.83)(11.83)
в представлении
в представлении
7°
7°
71
71
0
1 0丿.
0
1 0丿.
(11.83)
(11.83)
Мы назовем q(力)свободным кварковым полем ).
Отметим еще ряд интересных черт этого поля. Поскольку компоненты поля q(力)являются локальными нормальными экспонентами полей ①灭(力灭)，①乙(力乙)， то для свободного кваркового поля естественно определены ^-пpoизвeдeния N(q(*)(力 1 )...«(*)(力冷)),для которых имеет место следующая формула умножения:
N(q(g; mf, mf)... q(xp;崂,崂))• N(q(yr; nf,必)...q(yq;吟 畸)=
0 q
=II IIF成).(0 + ^XR _禽宀成.(0 +泌(叶_滅)产時研)X
x N(q(g; mf, n^)...q{yq;噂,八力)；(11.84) здесь для компонент поля q(力)и ему сопряженного вводится обозначение q(z; mR, mL) по правилу
心；1, 0) = d(z); 心；—1, 0) = d(z)*;
1.85)
q(/;0, 1)=产(/)；q(/;0, -1)=产(/)*.
В соответствии с коммутативностью TV-произведения нормальных экспонент TV-произведение не меняется при перестановке кварковых полей.
Упражнение 11.13. Доказать соотношение
q(/; mR, mL) q(y;几五,nL) = е-。"77"6rq(g; nR, nL) q(/; mR, mL) при (/ — g)? < 0, (11.86) где
a = w(/i — yx}(mRnR — mLnL) + {mRnL — mLnR) = ±1.(11.87)
Из (11.86) следует, что при (полу)целом спине I компоненты кваркового поля, а также сопряженного поля (анти)коммутируют при пространственноподобном разде-
лении аргументов. При других значениях спина соотношение (11.86) есть обобщение бозонно-фермионной альтернативы в условии локальности (в этой ситуации говорят об «обобщенной статистике» кварковых полей).
Согласно упражнению 11.11(6) TV-произведение N(q(*)(力i)... q(*)(力冷))кварковых полей является операторной обобщенной функцией по 力i, зависящей ^^-образом от разностей х\ —力2,…，力冷一1 — хп Е М. Поэтому в TV-произведении кварковых полей можно приравнивать аргументы, получая составные поля.
Упражнение 11.14. Доказать соотношения
N(qR⑺* qR=N(产产⑺)=1,(11.88)
N〈qR〈x)* А/Мх» = iag^VR(xR) = г 證(匕⑺ 一 ^⑺)，(11.89а)
N(q"x)*%q"xX = iaVL(xL) = i 病(匕⑺ + 匕⑺).(11.896)
с одноимен- /3 в (11.75))с одноимен- /3 в (11.75))В частности, TV-произведения компонент кваркового поля q = q^ ными компонентами кваркового поля q^ (получаемого заменой а на образуют кварковое поле q^^y.
с одноимен- /3 в (11.75))
с одноимен- /3 в (11.75))
n（脸）（力）*）（力））=脸+0）（力）,N%）（力）心）（力））=小+0）（/）；（11.90Н）
кроме того,кроме того,启(/)=q(-a)(/)•启(/)=q(-a)(/)•(11.906)(11.906)
кроме того,
кроме того,
启(/)=q(-a)(/)•
启(/)=q(-a)(/)•
(11.906)
(11.906)
Описанная процедура получения кваркового (в частности, фермионного) поля называется бозонизацией кваркового поля. Результирующее представление кваркового поля в физическом пространстве 力 скалярного безмассового поля оказывается приводимым. Это следует из того, что поле q(力)коммутирует с операторами калибровочных преобразований при (ся, cL) е Hg (см. (11.76)). Методом, использованным в предложении 11.1, можно показать, что представление поля q в % разлагается в прямой интеграл попарно неэквивалентных неприводимых представлений (параметризуемых точкой ” двумерного тора, поэтому соответствующие неприводимые представления естественно назвать ^-представлениями). Только одно из них имеет вакуумный вектор (во всех остальных представлениях оператор энергии строго положителен). Для построения этого вакуумного представления введем вспомогательную ^-алгебру 3(a) ограниченных операторов в 方，являющихся линейными комбинациями операторов NE^NE^ exp i(cRKR + cLKL\ где /, p e ㈢便)，&一】J /(s) ds e Z, q—1J g⑴ dt 6 Z.
Упражнение 11.15. (а) Доказать, что алгебра фон Неймана 3/^), порожденная алгеброй 3(а), состоит из всех операторов в 方，коммутирующих с операторами expi(cRKR + + cLKL) при (。五，cL) G 8(a). (Указание: алгебра 3^), очевидно, содержит алгебру фон Неймана, порожденную током Vм(ж), т. е. алгебру наблюдаемых фон Неймана, поэтому из предложения 11.1 следует, что 3/.)содержится в алгебре функций f{KR, KL) от KR и KL. Остается убедиться, что такой оператор f(KR, KL) коммутирует с 3(а) в точности тогда, когда функция /((я, (L) периодична с периодом а по《五 н по (L.)
Доказать, что алгебра фон Неймана, порожденная кварковым полем q(/), совпадает с 3/^). (Указание: при нахождении коммутанта кваркового поля воспользоваться теми же соображениями, что и в части (а) упражнения.)
Зададим вакуумное состояние s(。)на алгебре 3(а)，полагая
sg)(4) = £ /<0<,[7с(厶)dcRdcL\4 G 3g),
'J丿 /(11.91)
где 7г^ — вакуумное представление алгебры наблюдаемых в пространстве 賓®R 区賓(см. предложение 11.1) с вакуумным вектором Ф^ 0 Фд . При этом в результате интегрирования по калибровочной группе в (11.90), очевидно, получается оператор из алгебры наблюдаемых. Функционал s^ положителен (так как при интегрировании по Г(а)неотрицательного оператора получается неотрицательный оператор).
Состояние s^ определяет вакуумное представление тг(а)алгебры 3(a) в некотором гильбертовом пространстве 方(。)с циклическим вектором Wo(a)・ Как и в случае представлений 方(‘八)для тока vR{xR) (п. 11.1.Б), нетрудно убедиться, что в 方(。) действует унитарное представление группы Пуанкаре (а также 中| о 7?+), причем выполнено условие спектральности; кроме того, выполнено условие единственности вакуума. Как обычно (см. предложение 8.1), отсюда следует неприводимость представления 7Г(а).
Теперь вакуумное представление 7v^(q(x)) кваркового поля определим через предел операторов из 3(a)，подобно тому как выше определено q(力)в 方；например:
7rg)(产(力))=1吗 7r(a) (Nexp (沁]①實S)* Xm(s) ds + ^ K^)).(11.92)
Упражнение 11.16. Доказать соотношения
tf(q) Ц q(g;吗,o，(11.93a)
〈％(a), 7T(a)(q(/l；加『，mi)) ...7V(a^q{xn- 7П#, ТП幻)%(a)〉=
=П(0 + 2“(建一)圻广喈
j<kL L
x(0 +分〃(若一/灯广吗叫.(11.936)
(Указание: (11.93а) следует из (11.91); (11.936) следует из (11.93а) и (11.84).)
Случай I = q2/4tt = 1 /2 приводит к свободному безмассовому дираковскому полю 2(力)в двумерном пространстве-времени. Считая, что а = д/^, положим
/ TVexp (г л/2тг 灭(力灭)+ ^
у N exp f г л/2тг气力乙)-丿
Упражнение 11.17. Доказать, что поле 吵(/) удовлетворяет следующим соотношениям:
[也五(/)*,也五(g)] = 5(/五-yR),[产⑺*,严3)]+=5(产一yL),
(11.95)
[吵五(/)*, ^L(y)]+ = 0,砂(/),次g)]+ = 0.
Как и общее кварковое поле q(z), дираковское поле ^(х) приводимо в физическом гильбертовом пространстве 3f скалярного безмассового поля. Вакуумное представление его 7г(а)определяется формулой типа (11.93) при а = д/^7, / = 1/2. С другой стороны, свободное дираковское поле обладает обычным фоковским представлением (которое строится так же, как и в четырехмерном пространстве-времени; см. п. 8.4.В). Непосредственным сравнением можно убедиться, что все функции Уайтмана поля 2(力)для этих двух представлений совпадают, поэтому представление тг(а)(где
&2 = 2тг) есть фоковское представление свободного безмассового дираковского поля, но полученное методом бозонизации ).
Другие "-представления, содержащиеся в разложении поля 吵 в 方 в прямой интеграл неприводимых представлений, не эквивалентны фоковскому (в них оператор энергии строго положителен, так что они являются безвакуумными). Соответствующие состояния можно интерпретировать как «кванты» полей 吵，吵* на фоне (энергетически сколь угодно слабого) солитоноподобного возбуждения вакуума («конденсата») со значениями правого и левого зарядов KR, KL. "-представление параметризуется парой (ехр (г^я), exp (z^L)) комплексных чисел, по модулю равных единице. Его можно получить из фоковского представления с помощью линейного канонического преобразования
/ехр (分，^ aR(xR) \ • 2区
次/)—“(/)=•(11.96)
、exp (分，^ a刀(/L))•吵气/l)y
где aR,L{s) — произвольные вещественные ^00-функции, производные которых принадлежат 9r(К), причем
ехр [г д/2тг (ая,ь(+ос) —ос))] = ехр (分少五丄).(11.97)
В частности, представление, полученное из фоковского представления преобразованием вида (11.96), унитарно эквивалентно фоковскому (в этом случае каноническое преобразование называют собственным) в точности тогда, когда
ехр (分《五丄)=1, где = ая,ь(+ос) — aR,L(—сю).(11.98)
Это условие имеет простой топологический смысл. Оно означает, что каждое из отображений s т ехр (г д/2тг • а五丄(s)) продолжается однозначно (по непрерывности) до гладкого отображения многообразия Kg 三 К U {ос} (диффеоморфного окружности) на единичную окружность (7(1). Целые числа《五丄/^/^ являются числами обертываний (с учетом ориентации) окружности (7(1) расширенной прямой Kg посредством указанных отображений. Эти числа различают связные компоненты группы собственных канонических преобразований вида (11.96) (они определяют заряды, которые несет унитарный оператор в фоковском пространстве, реализующий собственное каноническое преобразование (11.96)).
Упражнение 11.18. (а) Убедиться, что двухточечные функции Уайтмана свободного безмассового дираковского поля 吵(/) (взятого в вакуумном представлении) имеют вид
〈(/)状3)〉о =詣[0 +分(力五—严(11.99а) 〈旷*(/)旷3)〉о = + ^ + ^xL -уь)Г\(11.996)
〈吵五*(/)旷3)〉o = {^(x) ^R{y)\ =〈吵五丄⑺吵五丄(у)〉。= 0(11.99в)
Определим ток свободного дираковского поля формулой (ср. (8.124))
产⑺=0(/) )从次/) := lim {#(/) d次g)-〈屯切)"电(g))。},
где 次/)=吵*(/)7°. Проверить соотношение
产⑺二一*小).(И.100)
Вывести следующее выражение для тока свободного безмассового дираковского поля в терминах ^-пpoизвeдeний полей 吵* н 吵 в тот же момент времени:
(11.101)(11.101)产 ⑺=n з*(X)(勿〃-中 R) 7" 次/)).
(11.101)
(11.101)
(Указание: воспользоваться (11.89) при а =，^ и (11.100).)
В следующей части упражнения рассмотрен пример вещественной локальной экспоненты полей①五工.
Доказать, что поле
МА =/1(11.102)
у ехр [а/2тг (①气i) — j 长五)]у
преобразуется под действием группы 中]о R+ согласно (11.79) при d = Z = —1/2 н удовлетворяет антикоммутационным соотношениям
[xR/R), xR(yR)]+ = ^(жя - yR) n(xr(xr)2Y [xR/R), МОЛ)* =。，
(11.103)
[d(i)，d(/)]+ = d(xL -yL)N{xL(xL)2).
Г. Свободное скалярное безмассовое поле «духа». Рассмотрим скалярное
вместо ККС (11.2)(11.104)вместо ККС (11.2)(11.104)удовлетворяющее ККСудовлетворяющее ККС也(力)，b(y)] = iD^x - у);也(力)，b(y)] = iD^x - у);поле b(z), подчиняющееся волновому уравнению (11.1), но
вместо ККС (11.2)
(11.104)
вместо ККС (11.2)
(11.104)
удовлетворяющее ККС
удовлетворяющее ККС
也(力)，b(y)] = iD^x - у);
也(力)，b(y)] = iD^x - у);
мы назовем его полем «духа». Оно не представляет самостоятельного интереса, но может служить составной частью более содержательных моделей (например модели Швингера). Будем считать, что поле b(z), подобно полю 夕(力)，имеет вид
b(力)=吉(*(力В + b气怔))，(11.105)
где правая и левая составляющие bR,L удовлетворяют ККС
力R), bR(yR)] = iDR(xR - yR\ \bR(xR), bL(yL)] = 0,
(11.106)
\bL{xL\ bL(yL)] = iD^(化丄-g‘).
Нетрудно построить фоковское представление для поля 匕灭(力灭)(и аналогично для 匕乙(力3)), постулируя вид двухточечной функции
〈0|产(5)产⑴ |0) =sR(s —方)=-WR(s-t).(11.107)
Для этого рассмотрим вспомогательное поле 夕^(s) из п. 11.1.А, действующее в псевдогильбертовом пространстве 分.Скалярное произведение (11.15) теперь тоже
является вспомогательным, произведение в 分灭：является вспомогательным, произведение в 分灭：〈f G) =〈f (—1)“1,〈f G) =〈f (—1)“1,(11.108)(11.108)обозначим его через (F, G)i. Введем новое скалярное
является вспомогательным, произведение в 分灭：
является вспомогательным, произведение в 分灭：
〈f G) =〈f (—1)“1,
〈f G) =〈f (—1)“1,
(11.108)
(11.108)
где N — оператор числа частиц, и определим поле bR(s) формулой bR(s)= 〃夕^(s). Ясно, что это поле псевдоэрмитово (относительно нового скалярного произведения) и удовлетворяет первому из коммутационных соотношений (11.106). Точно так же определяются поля bL{s) в 分乙 n b(力)в 分 =分灭 *分4
В псевдогильбертовом пространстве 分灭(или X) подпространство трансляционно-инвариантных векторов бесконечномерно (поскольку операторы калибровочных преобразований полей bR,L(s), как и операторы калибровочных преобразований поля 夕R(s) из упражнения 11.2, не оставляют вакуумный вектор инвариантным).
32 Н. Н. Боголюбов и др.
В п. 11.1.Б мы видели, что для поля 夕灭($) имеется альтернативная реализация тг(夕R(s))=①R(s) в гильбертовом пространстве 汇灭 с одномерным вакуумным обобщенным подпространством. Построим аналог такой реализации для поля «духа» Ь^(5); Ь^(5) в новой реализации будет обозначаться через BR(s). Теперь гильбертово скалярное произведение (11.29) в 汇灭 является вспомогательным, обозначим его через (.,.).
Упражнение 11.19. Пусть 力1五 есть множество всевозможных конечных сумм операторов в ①五 вида (11.25); определим на 耽五 линейное отображение А А = (—1)2VA(—1)2V, которое сопоставляет оператору А вида (11.25) оператор
(11.109)(11.110a)(11.1106)(11.109)(11.110a)(11.1106)j exp J 卜五(s) /(s)曲)歹(/) df.
(11.109)
(11.110a)
(11.1106)
(11.109)
(11.110a)
(11.1106)
Доказать, что формула_D
^Х^А) = Х(4) при AemR или, эквивалентно,
(Х(4), 〃Х(石)=Sr(A^B) при А, В 6 力1五
определяет на 方五 эрмитов оператор ту такой, что ту2 = 1.
Определим на 汇灭 новое скалярное произведение, полагая (Фь 屮2)=(屮1，〃屮2】； полученное таким образом псевдогильбертово пространство обозначим через 分告 В X贫，очевидно, задано представление тг поля Ь^(5):
Вя(8)= 7Г(6Я(8))=访(夕實 S))= 〃① R(s).
Точно так же определяются псевдогильбертово пространство 分与 и поле BL(s)= =гФь(з) в нем. В псевдогильбертовом пространстве 行石=分贫® 分纟 действуют скалярное1 D D
=吉宙尺(力 R)+K/))(11.111)
и псевдоскалярное
R(/)=吉(一6气力r)+6气i))(11.112)
поля.
Заряды полей 石凡'(s) определим равенством К^‘‘ = iKR,L.
Упражнение 11.20. Доказать, что операторы K^,L являются генераторами калибровочных преобразований полей BR,L{s):
exp [i(K^cR K^cL)]石五丄(s) exp [-i(K^cR K^ cL)] = B^L(s)-c^L.(11.113)
(Указание: ср. (11.37).)
Нормальные экспоненты полей BR,L(s) и зарядов К^‘‘ (и их TV-произведения) определяются так же, как в случае полей ①灭丄($); например:
Nexp (〃] gRs)/(s) ds)=
(11.114)(11.114)=exp C j uR(s — t) /(s) /⑴ ds 必)exp 0 ] BR(s) /(s) ds) (cp. (11.63)).
(11.114)
(11.114)
Упражнение 11.21. Доказать, что поле
/ Nexp [г у2тг (吕五(/五)+ j
MA = J券「「/，， 1
у exp [分 \/^Ё— j
обладает трансформационным свойством (11.79) cd = Z = —1/2н удовлетворяет антикомму- тационным соотношениям
民五(/五),xR(yR)]+ = 5(/五-yR)N(xR(xR)2Y [d(/R)*, xR(yR)]+ =。，
[xR/R)*，d")*]+ = b(/R - d) N〈xR(xR)*D()
(и аналогичным соотношениям с участием х"(*))・
Модель Тирринга
А. Решение полевого уравнения. «Классический» вариант модели Тирринга характеризуется лагранжианом
% = йп〃％⑦-幻力“；(11.117)
здесь g — вещественный параметр («константа связи»), ф{х)=(⑦小力)，^2(力))—поле в двумерном пространстве-времени М, преобразующееся по представлению группы Лоренца со спином ±1/2, ф{х) = ^^(ж) 7° — дираковски сопряженное поле, 7"— Т0К'尸勺人(11.118)
Отсюда вытекает полевое уравнение
i^d^ - g^j^ = 0.(11.119)
Из инвариантности лагранжиана относительно компактной двухпараметрической группы Г = U(l) х U(l) калибровочных преобразований
吹力)一 0-с+/з)仪力) (где 产,е» е и⑴)(11.120)
следует сохранение («подлинного» векторного и псевдовекторного) токов 74 H 7'从， где&
产=2寸屮2 =册r〃(11.121)
При этом имеют место следующие одновременные скобки Пуассона между током 7〃 и полем 沙，， с
{尸(力)，⑦匂)儿о『0 =训力1 一峭)W以力).(11.122)
Сохранение токов 俨,严 означает, что jM есть градиент некоторого поля
где
口0=0.
В результате нетрудно написать общее решение «классического» уравнения (11.119): 吹力)=аехр 0 ^^ 夕(力))q(z),(11.123)
где а — фиксированный множитель (определяющий размерность поля ⑦)，q(力)— решение свободного дираковского уравнения (размерность поля q(力)в единицах массы равна нулю).
Упражнение 11.22. (а) Вывести скобку Пуассона при всех значениях ж, у:
(11.124)(11.124){产⑺，也3)}=分(g"" 一 £"")3) duD^x - g)次g).
(11.124)
(11.124)
(б) Положим
Q = j ;°(ж) dx\ Q' = j 严⑺ da?;
力 °=constx°=const
доказать, что
{Q,次/)}=泌(/)，{0,次/)}=—分T认/).(11.125)
Оказывается, приведенные соображения в значительной мере переносятся на квантовую модель Тирринга, если постулировать существование TV-произведений полей ⑦，⑦ со свойствами, подобными свойствам TV-произведений свободных кварковых полей (п. 11.1.В). Поэтому примем ), что все поля под знаком TV-произведения перестановочны и аргументы полей под знаком TV-произведения можно приравнивать. Далее, для написания полевого уравнения постулируется существование сохраняющихся векторных токов 74(/)и 7"(/)=£从"7"(/)，являющихся билинейными функционалами от полей ⑦，⑦.Однако явное выражение (11.118), очевидно, теперь непригодно из-за неизбежных «расходимостей». Вместо этого ток jM(x) теперь характеризуется перестановочными соотношениями с полем ⑦，аналогичными (11.124) (эти соотношения пока не выписываем по той причине, что константы в них подвергаются «квантовым поправкам»). Наконец, постулируется, что поле Тирринга удовлетворяет полевому уравнению
可%2(X)一9产N(儿(力)以力))=0.(И.126)
Поскольку поля под знаком TV-произведения перестановочны, естественно искать решение полевого уравнения в виде, аналогичном классическому решению (11.123):
吹力)=N (аехр р ^^ ①(力))q(力))；(11.127)
здесь а — нормировочный множитель ), Ф(х) — свободное безмассовое скалярное поле, q(力)—некоторое свободное кварковое поле. В методе бозонизации (п. 11.1.В) компоненты кваркового поля
«О) = q(b)O)
являются нормальными локальными экспонентами полей ①灭(力灭)и ①'(力')，а также зарядов KR, KL. Поле ①(力)из соображения ковариантности (а также, из условия, что при отражении оно ведет себя как «подлинный» скаляр) выберем в виде (11.50). Хотя множитель 1/у^ в экспоненте в (11.127) до некоторой степени не существен и сказывается только на определении «константы связи» д, мы включили его в (11.127), поскольку при этом ток
儿(力)=-*乙①(力)=-*乙(力)(11.128)
связан с полем Ф тем же соотношением, что и ток свободного дираковского поля (см. (11.100)). В результате при подходящем выборе множителей а в (11.127) получаем для поля Тирринга выражение
吹力）=吹力）=TV exp ,(a①A(力r)+ b①l(xl)_ ^ pKR + ^Nexp }(/3①r(力r)+ q①二(力二)-J aKR + ^
吹力）=
吹力）=
(11.129)
здесь В = g/V^TT, a а — параметр, который находится ниже. Таким образом, поле Тирринга (с точностью до множителя，〃/27r) составлено из TV-произведений разноименных компонент свободных кварковых полей 夕(。)(力)и 夕(0)(力)：
Так как поле Тирринга выражено через свободные поля ①灭(力灭)，①'(力')и заряды KR, KL, то для него, очевидно, определены TV-произведения с требуемыми свойствами (TV-произведения могут быть выражены через обычные произведения формулами типа (11.84)).
Упражнение 11.23. Доказать, что поле 吵(/) преобразуется относительно группы 中1。k+ согласно формуле (11.79) при
Из упражнения 11.23 следует, что компоненты 21(力)，^2(力)поля (11.129) имеют лоренцев спин соответственно +1/2 и —1/2, если параметры а п /3 подчинены
условиюусловиюа?-俨=2тг,а?-俨=2тг,(11.132)(11.132)
условию
условию
а?-俨=2тг,
а?-俨=2тг,
(11.132)
(11.132)
откуда находим зависимость ) а от «константы связи» д:
Q =Q =р + У11/227rр + У11/227r(11.133)(11.133)
Q =
Q =
р + У11/2
27r
р + У11/2
27r
(11.133)
(11.133)
Упражнение 11.24. Доказать, что компоненты полей 认/),认/) антикоммутируют при пространственноподобном разделении аргументов:
叽/),认д)]+= 0 =叽/),屯(у)]+при (ж - у)2 < 0.(11.134)
Легко видеть, что при калибровочных преобразованиях свободного скалярного безмассового поля поле ⑦ ведет себя следующим образом:
exp ^{cRKR + cLKL)]仪力)exp [ — i{cRKR + cLKL)] = exp [z(—c + c^3)]仪力)， (11.135a) где11
с = - J(Q + P){cR + c‘)， d = & (q — /3)(ся - cL).(11.1356)
Следовательно, калибровочную группу Г поля Тирринга можно отождествить с фактор-группой Т?2/Я:
Г R2/H,(11.136а)
где
Н = ^(cR, cL): ^： (а + ^^(cR + ecL) e Z, £ = ±1}.(11.1366)
Замечание. С равным успехом можно было бы допустить, что поле 吵(/) преобразуется по представлению группы Лоренца со спином 土Z, где I — произвольное ненулевое вещественное число; тогда вместо (11.132) связь параметров а и /3(= g/V^ ) выражалась бы соотношением а? — /3? = 47rz. Результирующее поле можно интерпретировать как взаимодействующее «кварковое» поле (в отличие от свободного «кваркового» поля в п. 11.1.В), для которого условие локальности соответствует «обобщенной статистике».
Очевидно, преобразование
认/) т “⑺=7°次/)(11.137)
переводит поле Тирринга в спинорное поле “(/), соответствующее Z = —1/2 (т. е. с компонентами, преобразующимися по представлению группы Лоренца со спинами —1/2, 1/2). Поле 吵'(/) получается подстановкой
а =/У,{3 = &(11.138)
в (11.129), так что
с/2 — 02 二 _27г.(11.139)
Следовательно,吵'(/) удовлетворяет уравнению
讨ag'3 - g^N^j^x) ^\x^ = 0,(11.140)
где д' =О, т. е.
д' = \/g2 + 47r2.(11.141)
Мы приходим к выводу, что поле Тирринга наряду с уравнением (11.126) удовлетворяет также уравнению
分次/) —(儿(/)次/)) = 0,(И.142а)
где
7,0 = 7°,= —71.(11.1426)
В частности, свободное дираковское поле (11.94), соответствующее р = 0, удовлетворяет также уравнению взаимодействующего поля с д' = 2тг:
分7"％次/) - 2ь7/"№从(/)次/)) = 0.(11.143)
Следует, однако, иметь в виду, что ковариантные свойства этого уравнения иные, чем у уравнения Дирака или Тирринга (11.126) (операторы г^'^д^ — g'i"N(J卩⑺..)в левых частях (11.142а) или (11.143) переводят спиноры с лоренцевыми спинами +1/2, —1/2 в спиноры с лоренцевыми спинами —1/2, +1/2).
Б. Токи и заряды; вакуумное представление. Основное характеристическое свойство тока 7从(力)в полевом уравнении (11.126) выражается коммутационными соотношениями с полем Тирринга, которые нетрудно получить из (11.128), (11.129):
гдегде［尸(力)，2(力=(-2严 +2-В<)%00(/_д)仪力(11.144)
где
где
(11.145)(11.146)(11.147a)(11.145)(11.146)(11.147a)_ а + /3
(11.145)
(11.146)
(11.147a)
(11.145)
(11.146)
(11.147a)
2一声
Из (11.128), очевидно, также следует:
［力(力)，j^y)］ = ^办乙00(/-g).
Обратимся к выражению тока через поле Тирринга.
Упражнение 11.25. Получить соотношения
N(X(/)〃也⑺)=金⑵仙)-2-弘⑺),
N(状⑺〃次⑺)=金⑵仙) + ?Ц(/)),(11.1476)
где
(11-148)
Из (11.147) следует «перенормированное» выражение для тока 7" через поля ⑦，⑦* в тот же момент времени:
尸(力)=№ 出出 N (@* (х)“ 覚i' 2\) 1，2(х» •(11.149)
Введем заряды
Q = I j°(x) dx{, Q‘= 2 I 严(力)d/i (11.150) 力 °=const£U°=COnst
(где интегралы понимаются в том же смысле, что и в (11.61)). С помощью (11.128) получаем
Q = —Q/ = —伕 К：(11.151)
Упражнение 11.26. Вывести коммутационные соотношения
[Q,次/)]=—认力)，[О,次/)] = У3次力).(11.152)
Как и свободное кварковое поле (п. 11.1.В), поле Тирринга, полученное методом бозонизации, приводимо в пространстве физического представления свободного скалярного безмассового поля; оно разлагается в прямой интеграл попарно неэквивалентных неприводимых представлений («^-представлений»). Поле Тирринга 7rvac(/0(x)) в вакуумном представлении 7rvac строится тем же методом, что и вакуумное представление тг(а)свободного кваркового поля 夕(。)(力)，т. е. индуцированием вакуумного состояния поля Тирринга из вакуумного состояния алгебры наблюдаемых (порожденной током) посредством усреднения по калибровочной группе Г = К/» (ср. (11.91)). В результате получаем следующую характеристику вакуумного состояния поля Тирринга:
(11.153)(11.153)
(11.153)
(11.153)
(11.154)(11.154)2^т3,0^п3,0 义2^т3,0^п3,0 义гдегдеX П产(C/Y*/2.(o + ^M -*产守.(0 +分〃(若-"/)户电¥ = y^(am^ + 炉几力 / = y|^ ^m3 + апзУX П产(C/Y*/2.(o + ^M -*产守.(0 +分〃(若-"/)户电¥ = y^(am^ + 炉几力 / = y|^ ^m3 + апзУ(11.155)(11.155)(11.156)(11.156)
(11.154)
(11.154)
2
^т3,0^п3,0 义
2
^т3,0^п3,0 义
где
где
X П产(C/Y*/2.(o + ^M -*产守.(0 +分〃(若-"/)户电
¥ = y^(am^ + 炉几力 / = y|^ ^m3 + апзУ
X П产(C/Y*/2.(o + ^M -*产守.(0 +分〃(若-"/)户电
¥ = y^(am^ + 炉几力 / = y|^ ^m3 + апзУ
(11.155)
(11.155)
(11.156)
(11.156)
где 2(力；тп, п) обозначает компоненты полей ⑦，⑦*:
吹力；1, 0)=次(力)，⑦(力；—1, 0)=讨(力),
吹力;0, 1)=耽(力)，⑦(/;0, -1)=党(/).
Упражнение 11.27. Вывести формулу для функций Уайтмана поля Тирринга в вакуумном представлении:
〈吵(力1； mi, Щ)...^{xk; mk, zzQ〉0 =
Упражнение 11.28. Проверить, что поле Тирринга в вакуумном представлении удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана ) (конечно, с поправкой на двумерность).
Модель Швингера
А. Решение в лоренцевой калибровке. Примером явно решаемой модели с градиентной инвариантностью является двумерная безмассовая квантовая электродинамика, называемая моделью Швингера.
В «классическом» варианте (двумерной) электродинамики специфика безмассо- вости ) проявляется в дополнительной «киральной» симметрии. Наряду с обычной калибровочной инвариантностью 1-го рода относительно преобразований ⑦ обеспечивающей сохранение векторного тока 7从(力)=少⑺屮2⑺,здесь имеется симметрия относительно «киральных» преобразований ⑦—е”"^⑦，из которой следует сохранение псевдовекторного тока
产="也=e4勺".(11.157)
Это обстоятельство имеет решающую роль для явной разрешимости полевых уравнений.
Модель Швингера до некоторой степени сходна с моделью Тирринга. В ней также имеется нетривиальная возможность определить TV-произведение полей, под знаком которого поля перестановочны (и аргументы можно приравнивать). В то же время из градиентной инвариантности проистекает значительное различие. А именно, условие калибровочной инвариантности 2-го рода для тока /从(力)заставляет отказаться от прежней связи ” = е^уjv между сохраняющимися токами, которая имела место в «классическом» варианте и в модели ^Тирринга. Дело в том, что «наивные» выражения для токов j^ =⑦^从⑦ и 7'从=2干屮2, из которых следует связь j，M =旷j》,очевидно, плохо определены и должны быть заменены «перенормированными» токами. В модели Тирринга и, в частности, в модели свободного безмассового дираковского поля «перенормированный» ток 7从(力)выражается через TV-произведения @*(х) и д^(х) (см. (11.147), (11.149), (11.101)). Подобные выражения, очевидно, не обладают калибровочной инвариантностью 2-го рода и должны быть «исправлены» заменой обычных производных ковариантными & + геАм. Такое «исправление» определения векторного тока с учетом градиентной инвариантности является источником аномалии псевдовекторного тока в модели Швингера.
Обратимся к построению модели Швингера из общих принципов квантовой электродинамики (п. 10.2.Б), дополненных предположением о существовании TV-произведений ). Будем рассматривать модель в лоренцевой калибровке (£ = 0):
д^ =0,(11.158)
когда можно положить
在"(/)=旺卢九Pе,(11.159)
где р{х) — некоторое псевдоскалярное нейтральное поле (размерный множитель )) д/тг /е поставлен из соображения удобства). Полевые уравнения запишем в виде
分7从乙仪力)-е^N{А^х) 2(力))=0,(11.160а)
少尸№(力)=叱儿(力)+3У (/))，(11.1606)
ГДе(力)=—9小(力)，(11.160b)
□ A(力)=0.(11.160г)
Поскольку выражение
а(a) = j (a(力)9()A(力)-A(力)a()Q(/))
£U°=COIlSt
является генераторами локальных калибровочных преобразований (где а(力)—произвольное решение уравнения Даламбера класса ^r(R) по х1), то коммутаторы Л(х) с другими полями имеют вид
仆(力)，⑦(/=00(/-g)⑦匂)，(11.161a)
(11.161b)(11.161b)仆(力)，A^y)]=在-1乙0o(/-g)⑦匂)，(11.1616)
(11.161b)
(11.161b)
△(力),a(/ = 0
(ср. (10.95)). Подобно тому как это делалось в модели свободного безмассового скалярного поля (п. 11.1.А), предполагаем, что поле Л(х) образовано из правой и левой составляющих 八灭(力灭)，Ль(хь), и получаем
Л(х)=贵(А實力勺+ А气怔))，N(z)=吉(一AR/R) + A气怔)).(11.162)
Чтобы удовлетворить (11.161в), мы постулируем
[Ля(хя), AR(yR)] = [ARM), А%17)] = [А气怔),А%~)] = 0.(11.163)
Подставляя (11.159) в (11.160а) и учитывая перестановочность полей под знаком
TV-произведения, будем искать решение уравнения (11.160а) в виде
吹力）=吹力）=(11.164)
吹力）=
吹力）=
где а = сц,2 — постоянные множители (возможно, зависящие от зарядов) такие, что а*а = 1; q(力)=q^^ — свободное кварковое поле, которое мы выберем в «бозонизированной» форме (11.76), причем остановимся на простейшем варианте, соответствующем параметру а = л/2тг, когда，〃/27r q(力)есть свободное дираковское поле (11.94).
Выбор а = д/^ обеспечивает те же трасформационные свойства поля 吵(/) при преобразованиях Лоренца, что и у свободного дираковского поля (в этой связи см., например, нижеследующую формулу (11.194)). Кроме того, выполняется свойство «асимптотической свободы». Это означает, что степени главных сингулярностей функций Уайтмана (например,
〈…次/)")(/ + g)...〉o) в точках совпадения пары аргументов (т. е. при g т 0) таковы же, как в свободной теории. Заметим, что, как видно из (11.155), модель Тирринга при g R 0 является примером модели «без асимптотической свободы».
Для «перенормированного» тока в модели Швингера примем выражение типа (11.101) с заменой 91 на ковариантную производную Ai + zeAi:
尸(力)=N3*(x)分"一屮(齿 + ieAi)产仪力)).(11.165)
Подстановка (11.164) в (11.165) дает
尸（力）=_^44（力）一+沙①.尸（力）=_^44（力）一+沙①.(11.166)(11.166)
尸（力）=_^44（力）一+沙①.
尸（力）=_^44（力）一+沙①.
(11.166)
(11.166)
Модифицированное уравнение Максвелла (11.1606) теперь принимает вид
+ А^Ы =—予沙①(力)-(11.167) v
где
加=谈，(11.168)
так что
产%{w(□ + m2)p⑺ + /①，(/)+ eN(z)} = 0.(11.169)
Отсюда находим *)
g (□ + m2) p(x) + 予①+ вЛ7ж) =0.(11.170)
еV
Следовательно, поле。(力)представляется в виде
р{х) = т{х) — В\х),(11.171)
где 丁(力)—нейтральное псевдоскалярное поле массы т,石'(/) — нейтральное псевдоскалярное поле нулевой массы, выражающееся через ①'(/) и Л/(力)соотношением n(力)==(一®(力)+长(力)).(11.172Н)
Соответственно для правых и левых составляющих положим
А气力R)=尢(—①气力勺+ W
/(11.1726)
a'(У) = = (—①气怔)+6气怔)).
Аналогично заряды полей 八灭丄 определим равенствами
Kf = # (-< + К者)，К* = *(—К^ + ^i)(11.173а)
(где К凡'=К^‘‘ и К^‘ — заряды полей ①凡'и BR,L; см. упражнения 11.4 и 11.20). Как и в (11.57), вводим
Кх = ^(к£ + ка，К% = ^(-Kf + ка при Х = ^，瓦 А. (11.1736)
Из (11.1616) получаем коммутатор полей Л(х) и В(х) = ^"(石灭(力灭)+石气力乙))： 仆(力)，б(/=/00(力一g)(И.174)
(на самом деле этот коммутатор определяется из (11.1616) с точностью до произвольной несущественной чисто мнимой константы). Поскольку мы расширили алгебру безмассовых полей введением правых и левых составляющих, то, чтобы удовлетворить коммутационному соотношению (11.174), постулируем следующие коммутационные соотношения между 八凡厶 и BR,L:
[八尺(力R), BR{yR)\ = Dr{xr - gR),
.7r(11.175a)
n气产),BL(yL)]=/ Dl(xl -产)，
[Ля(хя), BL(yL)] = 0 = [Ль(хь), BR(yR)].(11.1756)
Из (11.172) и из коммутационных соотношений (11.9), (11.163), (11.175а), (11.1756) находятся коммутационные соотношения для BR,L:
[BR(xR), BR{yR)\ = iDR{xR - yR\ [BR(xR\ BL{yL)\ = 0,(1 1.175b)
[BL(xL\ BL(/)] =iDL(xL —у)(11.175г)
и взаимная коммутативность полей BR,L и ①灭丄：
[BR^L(x^L\ ①凡气，丄)]=0.(11.175д)
Что касается коммутационных соотношений с полем 丁(力)(являющимся свободным с массой т), то примем
[丁(力)，丁(/ = i Dm(x — g)三 2тг] £(0°) 8(y — m2)ь汕"一")办0，(11.176)
[丁(力)，①凡气严二)]=0 = [丁(力)，BR,L(yR,L)].(11.177)
Конечно, соображение ковариантности допускает произвольную «перенормировочную» константу Z в соотношении
[т(/), т(у)] = у Dm(x - у).(11.178)
Мы положили Z = 1, с тем чтобы одновременные коммутационные соотношения 以入(力),A^y)]\x0=y0 = 0(11.179)
были тривиальны (как при каноническом квантовании).
Упражнение 11.29. Проверить коммутационное соотношение для поля А^х)\
На (ж), А^у)] = гш-2(аЛам - рЛмО)(Вт(ж - у) -。()(/ - g)).(11.180)
В результате подстановки (11.171) в (11.159), (11.164) (при подходящем выборе множителей сц,2 в (11.164)) получаем окончательное выражение для полей в модели Швингера:
4"(/)=一春 俨8(力)-e""%丁(力))，(11.181а)
以/)=N {n ехр 6 (В衿⑺)]篇 Л；Х；)}，(11.1816)
Л(х) = ^(-Ф(Ж) + В(Ж)),(П.181В)
где
严(力尺)=—V^ 7гЛд(хд)Кд ,
V(11.182а)
”气力二)=7гЛь(хь) + -^ Кд .
Очевидно, поля ^R'L{xR,L) удовлетворяют тривиальным коммутационным соотношениям:
[/(/R), /(，)] = [/(/R),"气公)]=["'(怔)，"气公)]=0.(11.1826)
В качестве (псевдогильбертова) пространства, в котором действуют поля, фигурирующие в (11.181), можно взять 汇① *Хв 0 J^T, где 汇①=汇^ ㊂%^ есть гильбертово пространство из п. 11.1.Б; Ьв = Ьв ^ ^в есть псевдогильбертово пространство, построенное в п. 11.1.Г (фигурирующие там вспомогательные поля ①灭丄，действующие в Хв, не следует отождествлять с полями ①R丄,определенными в 汇①)；汇丁 есть пространство фоковского представления поля 丁(力)(см. п. 8.4.А), определяемое двухточечной функцией
(0 I 丁⑺丁(g) I 0) = ； D^\x - у)三 2тг]伙夕°) 8(夕2 - m2)「”。(力一沙)d^p.(11.183)
Для поля 丁(力)нелокальные нормальные экспоненты даются формулой
Nexp 0 丁 (力)ь(力)//)=
=exp 住 I D^\x - g)歹(力)F(y) d?xd?y^ exp 0] 丁⑺歹(力)彦力)，F 6，V(7H);
локальные нормальные экспоненты определяются как соответствующие пределы нелокальных нормальных экспонент (см. п. 11.1.В).
Очевидно, сохраняющийся ток (11.166) может быть записан в виде
尸(力)=-^^(/)-7俨"(力)(11.184)
(где 7俨°"(力)определено согласно (11.160в)). Он порождает глобальные калибровочные преобразования локальных полей:
e]b・°(/),X]d/i =«хХ,(И.185)
где X есть любое из полей ⑦，⑦，Ам, Л, jM, a qx определяется, как в (10.1006).
Упражнение 11.30. (а) Проверить коммутационные соотношения
[产⑺，认g)] = (—а^%(х — у) + yd^Dm(H — у))叭у),(11.186а)
[八(/), А^у)] = ^(aA aM - gx^^Dm^x -у) - Do(^ - у)),(11.1866)
[力(/), A(/)] = 0,(11.186в)
[力(/)，儿3)] = ^ (队%-9з口) Dmix - у).(11.186r)
Убедиться в справедливости соотношений (11.185), а также
eiQcXe-iQC 二 /Qxx,(11.187)
где Q — электрический заряд:
Q = еК^ =] ^оЛ(ж) dx1 = —(11.188)
x°=const
(интеграл понимается в том же смысле, что и в (11.61)).
С другой стороны, псевдовекторный ток ем^(х) обладает аномальной дивергенцией (т. е. не сохраняется):
д户乩七人 x) = ^F(x),(11.189)
где 歹(力)=F01(x) есть напряженность:
ь =sa^F(x),ь(力)=m丁⑺.(11.190)
Поэтому определение псевдовекторного тока /м(ж), порождающего киральную симметрию, должно быть модифицировано:
产(力)=产(浦力)+ ^ 4(力))=-*/①’三-*『气力).(11.191)
В отличие от векторного тока 7从(力)псевдовекторный ток 力从(力)，очевидно не инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований (и не является наблюдаемым полем).
Упражнение 11.31. Проверить соотношения
]，(/)，^Ы] dx1 = 73^Ы，
]，(/)，43)] &储=0 =][严⑺，A(g)] dx1.
Б. Вакуумный функционал. Определяющее представление ^-алгебры локальных полей 2(力)，厶从(力)в пространстве 汇①㊂分石 0 ^т не удовлетворяет всем аксиомам псевдоуайтмановского подхода (§ 10.1); в частности, не выполнена аксиома существования вакуума. (Это обстоятельство аналогично ситуации в случае свободного кваркового поля или поля Тирринга, которые приводимы в пространстве 汇① представления свободного скалярного безмассового поля.) Теперь построим вакуумное «виртуальное» состояние полевой алгебры с помощью неоднократно использованного выше приема индуцирования вакуумного функционала из вакуума подалгебры.
Для этого рассмотрим пространство 汇『 ㊂分。¥%「(неприводимого) фоковского представления токов
『"(/) = 9"①(力)， о"(力)=д^В(х)и поля 丁(力).Оно строится с помощью соответствующих двухточечных функций(0 1卜入(力)『4句)I 0) = idxd^D^x - g) = -(0 I N(力)产匂)I 0)
и (11.183). Введем вспомогательную ^-подалгебру 3 полевой алгебры, порожденной полями『从(力)，а^{х), 丁(力)и операторами вида
Nexp[〃y5F [ (В\х) + д/2 Фд(хд) — а/?(11.192а)
Nехр < г д/тг [ 1—В\х) + л/2 Фь(х^) +Nехр < г д/тг [ 1—В\х) + л/2 Фь(х^) +ь2（力）彦力卜,ь2（力）彦力卜,(11.1926)(11.1926)
Nехр < г д/тг [ 1—В\х) + л/2 Фь(х^) +
Nехр < г д/тг [ 1—В\х) + л/2 Фь(х^) +
ь2（力）彦力卜,
ь2（力）彦力卜,
(11.1926)
(11.1926)
где Fj{x) — произвольные функции из ^Г(7И) такие, что nj = | Fj{x) d?x е Z. Из (11.181) следует, что с точностью до множителя，〃/27r компоненты поля ^(х) можно представить в виде пределов таких операторов. На вспомогательной алгебре 3 действует группа U(l) х U(l) ^-автоморфизмами, оставляющими поля 『从(力)， 。从(力)，丁(力)инвариантными и умножающими операторы (11.192) соответственно на е2721cl и егп2с2 (с，С2 G К). Результат усреднения элементов из 3 по группе U(l) х U(l) принадлежит ^-алгебре, порожденной полями 『从(力)，卄⑺,丁(力)，и формула типа (11.91) определяет на 3 вакуумный функционал:
⑷о =(2；尸]7с(A) dci dc2 о\.(11.193)
Представляя поле、/2тг/〃 2(х) в виде пределов операторов (11.192) (подобно тому, как это делалось для свободного кваркового поля; см. (11.92)), в результате ^той процедуры получаем функции Уайтмана (,..)о локальных полей 4从(力)，2(力)，2(力).
Нетрудно убедиться, что алгебра полей Ам(ж),吵(力)，吵(/) вместе с вакуумным функционалом на нем удовлетворяет аксиомам псевдоуайтмановского подхода, по крайней мере в слабой форме (см. замечание в п. 10.1.В).
Упражнение 11.32. Убедиться, что двухточечные функции Уайтмана спинорного поля в модели Швингера (в лоренцевой калибровке) равны
〈吵，)(/)也Q)〉o = ехр {分7г(。复)(/ — g) — D^~\x - g))}付产(*)(/)吵产(g)〉。，(11.194)
где 〈吵，「)(*)(/)吵『"(у)〉。— двухточечные функции Уайтмана свободного безмассового дираковского поля (см. (11.99)).
В. Физические поля; наблюдаемые. На ^-алгебре, порожденной полями 4从(力)，2(力)，八灭丄(力灭丄)，действует группа 歹о локальных калибровочных преобразований.⑦⑺— ё迎0(力)吹力)， 4(力)- 4(力)-办Q(z),
(11.195) nRiL(岔11工) A尺z(/Az)
где q(力)—произвольное вещественное решение уравнения Даламбера класса ^r{R) по /I Очевидно, поля 丁(力)，八灭丄(力灭丄)и ^L(xR,L)歹о-ннварпантнн. Выберем в качестве алгебры физических величин ^-алгебру X, порожденную полями 丁(力) и ехр (沁R丄(化R丄)).
Естественность такого выбора вытекает из следующего соображения. Рассмотрим «операторное калибровочное преобразование» 4从(力)，^(ж) — A^phys^M(x), ^phys\x), где вместо числовой функции а(力)фигурирует квантовое поле —^ В(х):
4(phys)气力)=4气力)+(/)=^£45"(力)，(11.196a)
/phys)(/)=NKNexp(T^M(z)))・7Xz)]=
Естественно допустить, что поля (11.196) содержат всю физическую информацию модели. С другой стороны, они, очевидно,歹о-пнварпантнн, поэтому порожденную ими алгебру (которая как раз есть X) мы приняли в качестве алгебры физических величин.
Преобразование (11.196) существенно изменяет свойства полей. В то время как поля 4从(力)и 2(力)были соответственно векторным и спинорным и удовлетворяли условию локальности (с нормальной связью спина со статистикой), поля A^hys^{x) и ?/；(Phys)(х) являются соответственно векторным и скалярным (без учета отражения) и обладают свойством локальной коммутативности. (Дело в том, что преобразование (11.196) в сущности нелокально, поскольку поле В{х) не принадлежит локальной полевой алгебре полей Ам и ⑦；поэтому система физических полей выходит за пределы схемы п. 10.2.Б, в основе которой лежит обычный канонический формализм.) Другим отличительным свойством физических полей (11.196) является их коммутативность с электрическим зарядом (11.188). Таким образом, все физические величины электрически нейтральны, и в модели нет электрически заряженных физических состояний ).
Тем не менее алгебра физических полей обладает очевидной симметрией относительно группы U⑴：
厶俨ys)(z) 一 厶俨ys)(z),/phys)(z)一「〃c/phys)(z),(11.197a)
которая является следствием дополнительной симметрии системы полей 4从(力)，2(力)， 丄(xR工) в лоренцевой калибровке:
4(/)一 a^x),-辽吹力)，
I(11.1976)
A凡'(力凡')Ta凡'(力凡')+——7=- c.
(это не обычные электродинамические калибровочные преобразования, при которых поля 八灭丄(力灭丄)остаются инвариантными; см. (10.100)). Следует иметь в виду, что ни ток 『从(力)，порождающий эти преобразования, ни генераторК① не имеют
V ТГV 7Г
отношения к электрическому току и заряду (и вообще не являются физическими величинами).
Точно так же при киральных преобразованиях физические поля ведут себя (в силу упражнения (11.31)) по правилу
厶俨ys)(z) 一 厶俨ys)(z),/phys)(z)一 e»)3/phys)(z),(11.198)
но ни ток 7"(力)=—^^『'"(力)，ни заряд Qf = —^^К^ не являются физическими величинами. Согласно § 10.3 это означает, что киральная симметрия физических полей (как и симметрия (11.197а)) спонтанно нарушена. (Голдстоуновского бозона в физическом гильбертовом пространстве нет, так как нет физического сохраняющегося тока, порождающего эти преобразования.)
В определении наблюдаемых имеются по крайней мере две возможности. В первом варианте (как и в общей схеме п. 10.2.Б) наблюдаемыми называют все электрически нейтральные физические величины; значит, в данной ситуации все физические величины считаются наблюдаемыми. Второй вариант, на котором мы остановимся, учитывает специфику безмассовой электродинамики в лоренцевой калибровке, а именно дополнительные симметрии (11.197а), (11.198).
Постулируется, что «киральные» преобразования (11.198) наряду с преобразованиями (11.197а) порождают эффективную калибровочную группу Г (в смысле п. 10.1.В). Таким образом, по определению алгебра наблюдаемых 21 состоит из тех физических величин, которые инвариантны относительно преобразований (11.197а) и (11.198). Очевидно, она порождается полем 丁(力)(пропорциональным напряженности 歹(力))и фиктивным током 7俨°"(力)• Вакуумное представление алгебры наблюдаемых, очевидно, задается фоковским представлением 7Tvac(丁(力))=丁(力)поля 丁(力) в гильбертовом пространстве 3f =呎丁 (при этом TTvacC?俨°"(力))=0)・ Также легко видеть, что физическое представление алгебры X физических величин (построенное по схеме п. 10.1 .В) разлагается в прямой интеграл
(11.199)(11.199)㊉
(11.199)
(11.199)
少少厶6[0,2万）
неприводимых представлений (^-представлений), реализованных в пространстве 3f и в которых физические поля имеют вид (11.195), где теперь
"R(力r) ="乙(力二)="R(力r) ="乙(力二)=(11.200)(11.200)
"R(力r) ="乙(力二)=
"R(力r) ="乙(力二)=
(11.200)
(11.200)
фиктивный ток『俨”(力)= обычный вид:фиктивный ток『俨”(力)= обычный вид:=勿（力），=勿（力），гдегде『"（力）=-表产9"（力）.『"（力）=-表产9"（力）.
фиктивный ток『俨”(力)= обычный вид:
фиктивный ток『俨”(力)= обычный вид:
=勿（力），
=勿（力），
где
где
『"（力）=-表产9"（力）.
『"（力）=-表产9"（力）.
—произвольные вещественные константы (скажем, из интервала [0, 2тг)). Однако наличие ^-представлений не приводит к новым состояниям алгебры наблюдаемых (по сравнению с вакуумным сектором). Это явилось результатом спонтанного нарушения симметрий (11.197а) и (11.198) и соответственно фиктивности (ненаблюдае- мости) зарядов ”，
Поскольку в физическом представлении тг поле ехр (2тг5A(/)) постоянно:
7г(ехр (2тггЛ(х))) = ехр (—““尺 + “'))，
—9〃А равен нулю и уравнение Максвелла приобретает
Отметим, что последнее соотношение (вместе с определением тока (11.165)) позволяет интерпретировать поле 丁(力)как локальное поле скалярного бозона массы т = е/д/тг, являющегося фермионно-антифермионным связанным состоянием. К этому свободному полю свелась модель Швингера на уровне наблюдаемых.
ЧАСТЬ IV
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ.
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ S-МАТРИЦЫ
Краткий обзор
В точности так же, как в нерелятивистской квантовой механике стандартная теория рассеяния использует некоторое предположение о короткодействии рассматриваемых сил (а кулоновский потенциал требует особого рассмотрения и модификации теории), так и релятивистская квантово-полевая теория рассеяния начинается с гипотезы о спектре масс, соответствующей короткодействию. В этой части мы заменяем требование W.II из аксиом Уайтмана (п. 8.2.А) сильным условием спектральности W.II', которое предполагает существование массовой щели между вакуумом и одночастичным состоянием (с положительной минимальной массой). Мы дополняем также эти аксиомы постулатом W.III' о структуре одночастичных состояний (п. 12.1.А), включающем предположение о существовании оператора А из полиномиальной полевой алгебры, порождающий (данное) одночастичное состояние из вакуума. В пространстве одночастичных состояний (частицы определенного типа) представление квантово-механической группы Пуанкаре фо предполагается неприводимым. Таким образом, частицы характеризуются массой и спином (так же, как и значениями зарядов). ТСР-оператор преобразует частицы в античастицы (с разными знаками зарядов). Если оператор А рождает частицу массы т, то вектор 4(/) Wo (для нелокального «поля» А(ж) = U(/, 1) AU{x, I)-1) удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона (т2 + □) 4(/) Фо = 0 (п. 12.1.Б). Отсюда следует, что если
= I 4(/)如 Dm(x)『力，
то А^Фо = ЛФо- Теорема 12.1 (Хаага-Рюэля) устанавливает существование п-частичных асимптотических состояний
in
①。utА^Фо
in
и двух изометрических пуанкаре-инвариантных операторов Qout, отображающих векторы некоторого вспомогательного фоковского пространства ① на векторы вида ①。" физического пространства 方. Матрица рассеяния дается равенством S = (Qout)*Qm. Она оставляет одночастичные состояния инвариантными (п. 12.1.В). Если 6° — TCP-оператор в фоковском пространстве ① свободных (асимптотических) частиц, а © — TCF-оператор в физическом пространстве 方 взаимодействующих полей, то при предположении асимптотической полноты (П.7.3.Д и 13.1.В) и отождествлении Жп с ①(т. е. при Qm = 1) справедливо равенство S = =0о 10-
Усеченные вакуумные средние (Ai ...Ап)т операторов Aj 6 ^(М) определяются рекуррентной формулой (симметрическим вычитанием произведений низших вакуумных средних из (Ai ...Ак)о, п. 12.2.А). В теориях с массовой щелью (Ai(xi) ...Ап(хп))т является функцией из #(/?35-1))по пространственным переменным %i - х2,, xn_i - хп, зависящей гладким
33 Н. Н. Боголюбов и др.
образом от разности времен (предложение 12.4, п. 12.2.Б). Это (усиленное) кластерное свойство, наряду с некоторым свойством расплывания волновых пакетов, удовлетворяющих уравнению Клейна-Гордона (п. 12.2.В), позволяет доказать сформулированную выше теорему 12.1 (п. 12.2.Г).
В подходе Лемана-Симанзика-Циммермана (LSZ) аксиомы Уайтмана (теории с массовой щелью) дополняются еще тремя предположениями (п. 13.1.В). Требуется, чтобы оператор А, порождающий из вакуума одночастичное состояние с массой т, совпадал с оператором 夕(/), если пробная функция / в импульсном пространстве сосредоточена в достаточно малой окрестности массового гиперболоида @? = m2 (LSZ.I). Постулируется асимптотическая полнота теории (LSZ.II) и существование Т-произведений локальных полей, удовлетворяющих обычным условиям (13.2) (LSZ.III). Вместо функций Уайтмана основным объектом в теории LSZ являются т-функции — вакуумные средние от Т-произведений.
Пусть /(/) — гладкое быстроубывающее в пространственных направлениях решение уравнения Клейна-Гордона. Тогда существуют свободные поля 夕°" массы т и плотное множество векторов ①，W в 方 такие, что
Jim j /(/) % 9(/)d% w )=(①，j /(/) % (/)//w ).
Более того, если (□ + m2)夕(力)=/(/), то имеют место уравнения Янга-Фельдмана:
夕(力)=夕叫/)+=\ D* 飞 х — у)族 y)d4y.
В § 13.2 приводится доказательство Хеппа справедливости этих утверждений. Имеет место редукционная формула LSZ, согласно которой элементы матрицы рассеяния выражаются через ампутированные т-функции (теорема 13.9, п. 13.2.Г).
Альтернативой подхода LSZ является метод расширенной матрицы рассеяния (гл. 14). Эта теория основывается на следующих постулатах (которые мы резюмируем для простоты в случае теории бесспиновых частиц массы т одного типа). S.I. Пусть ①—фоковское пространство свободного поля 3m(/) массы т. В 5j определен унитарный пуанкаре-инвариантный 5-оператор, оставляющий инвариантными вакуум и одночастичные состояния. S.II. Существует формальный ряд
00 ] р
S(x)=工击 x(/n) •••X(g)厶(力1，xn)dxi ...dxn
n=0
по классическому полю x(/)，где Яо = S(x)lx=o = S. Обобщенные операторные функции Нп определены на некоторой плотной области D С ^, входящей в область определения замыканий операторов 3m(/), и принимают значения в области D = SD, где определены замыкания 夕°"(/) при / 6 ”М). Расширенная 5-матрица пуанкаре-инвариантна (S.III), унитарна (S.IV) и причинна (S.V); условие причинности имеет вид S(xi + Х2)= $(Х1) $(Х2), если suppxi 三 suppx2, где 6(%) = S*S(x) ($(°) = !)• Аналогом аксиомы LSZ.I является усиленное условие (S.F) стабильности одночастичных состояний:
для всех ^ в р-пространстве с носителем в достаточно малой окрестности гиперболоида 22
р = т .
Важную роль в теории расширенной 5-матрицы играют радиационные операторы и в пер
вую очередь оператор тока
Среди их свойств упомянем дифференциальное условие причинности (п. 14.1.Г);
У = 0 при х <у.
Взаимодействующее (гейзенбергово) поле 夕(/) определяется в 5-матричном формализме уравнением Янга-Фельдмана:
9⑺=3m(/)+ j D臂(н-у) J(у) dy,
где J(g) = J(g; x = °)； оно эквивалентно представлению
夕⑺=S*T(S 3 m(/)).
Определяя Т-произведение полей 夕 равенством
Т^х^...^Хп)) = S^T^^...^^Xn)\
выводим аксиомы LSZ из постулатов S.I-S.V и S.F (теорема 14.1, п. 14.2.Б). Производящий функционал для Т-произведений может быть записан в форме
3(〃)= Г ехр3(〃)= Г ехр(4(4〃(/)9(/)〃(/)9(/)S*r{sexp (分］〃(/) 3m(/)S*r{sexp (分］〃(/) 3m(/)33*33*
3(〃)= Г ехр
3(〃)= Г ехр
(4
(4
〃(/)9(/)
〃(/)9(/)
S*r{sexp (分］〃(/) 3m(/)
S*r{sexp (分］〃(/) 3m(/)
33*
33*
Глава 12
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА-РЮЭЛЯ
Схема квантовополевой теории рассеяния
А. Одночастичная проблема в квантовой теории поля. Чтобы квантовая теория поля служила базой для теории элементарных частиц, она должна содержать необходимые компоненты релятивистской теории столкновений. Согласно п. 7.3.Д для этого требуется фоковское пространство 分(асимптотически) свободных частиц и два пуанкаре-инвариантных изометрических оператора Qm и Qout из 55 в физическое гильбертово пространство % (для этих операторов мы будем использовать общее обозначение Qex, где символ ех ) принимает два значения: in и out).
В п. 7.2.Б мы обсуждали понятие частицы в релятивистской квантовой теории. Спрашивается, как ввести понятие системы частиц в рамках уайтмановской теории взаимодействующих полей? Интуитивный ответ состоит в том, что при х° — ±оо уайтмановское поле 夕(力)должно действовать как свободное поле и, значит, из него можно составить операторы рождения и уничтожения частиц (первоначально такого рода требования были выдвинуты Леманом, Симанзиком и Циммерманом в 1955 г. и носят название асимптотических условий LSZ). Однако точная формулировка этого интуитивного представления и выяснение вопросов, совместимы ли асимптотические условия с остальными постулатами Уайтмана и в какой мере они являются независимыми требованиями, стали возможны только после работ Хаага (1958; 1959 а, б). Определенное завершение этот круг вопросов нашел в работе Рюэля (1962), поэтому излагаемое ниже построение носит название теории рассеяния Хаага-Рюэля.
Как уже отмечалось (п.7.2.Б), для релятивистской теории рассеяния требуется более детальная информация о спектре знергии-импульса. С этой целью заменим аксиому спектральности W.II (из набора W.I-W.VIII аксиом Уайтмана) ее более сильным вариантом W.IF, а аксиому W.III (о существовании и единственности вакуума) дополним предположением W.III' о структуре одночастичных состояний.
W.IF (Сильное условие спектральности). Спектр оператора энергии-импульса содержится в множестве {0} U V+, где 从〉0.
Параметр 从 называется массовой щелью.
W.IIF (Структура одночастичных состояний). В физическом гильбертовом пространстве 3f имеется конечное или счетное семейство взаимно ортогональных подпространств 分財{называемых одночастичными подпространствами частиц соответствующего типа х), преобразующихся по неприводимым представлениям собственной группы Пуанкаре фо “ переходящих в 分【"] при ТС P-преобразовании. Для любого типа частиц х, имеющегося в модели, существует оператор А 6 ^{М) (〃з полиномиальной полевой алгебры, ассоциированной со всем пространством-временем 7И) такой, что 43° есть ненулевой вектор из 分[用〃厶* G X【^L
Через К обозначим совокупность {〃} всех типов частиц, имеющихся в конкретной модели. Каждый тип частиц х имеет фиксированную положительную массу тм и спин s〃 = 0, 1/2, 1, ... Как и в п. 7.3.В, мы предположили в аксиоме W.IIF, что на множестве К определена операция зарядового сопряжения 〃—无 такая, что х = х и m^ = т^, s元=s〃 (случай х = х не исключается). Из заданных одночастичных подпространств分ммы можем построить гильбертово пространство X асимптотически свободных частиц методом вторичного квантования (п. 7.3.В); разумеется, при этом предполагается нормальная связь спина и статистики. Вакуумные векторы в X п % обозначаются соответственно через |0) и Фо (впрочем, эти вакуумные векторы, равно как и соответственные одночастичные векторы в X и 汇，можно, очевидно, отождествить). По правилам п. 7.3.В каждому вектору Ф 6 55 сопоставляются операторы рождения а (Ф) и уничтожения ам(Ф), действующие в фоковском пространстве 55-
Оператор А, фигурирующий в аксиоме W.IIF, называют решением квантовополевой проблемы одночастичных состояний. Таким образом, квантовополевая теория рассеяния исходит из того, что одночастичная проблема уже решена. В следующем пункте мы покажем, как на этой основе строятся изометрические операторы Qex: X —汇，создающие картину рассеяния.
Упражнение 12.1. Вывести из аксиомы W.III', что для любого типа частиц ” G К существует линейное подпространство 。，［川 С 夕(Af), переходящее в 。，［川 при эрмитовом сопряжении, инвариантное относительно автоморфизмов собственной группы Пуанкаре и такое, что Фо есть всюду плотное подмножество в ①【"L (Указание: пусть 历【"】есть линейная оболочка операторов а(а；л)(^), где А — оператор из условия W.III' и (а, Л) е Ro； тогда можно положить /岗=切岗+团岗*.)
Приведем две типичные ситуации, в которых одночастичная проблема имеет простое решение *).
Вначале предположим, что точка m > 0 является изолированной точкой спектра оператора массы М = U吁眨.Следовательно, существует £〉0 такое, что точка т является единственной точкой из интервала (т — s, m + е), принадлежащей спектру М. Зафиксируем функцию х(夕)G 斤(Af) такую, что х(夕)=1 при 夕2 _ m2 и 丫(夕)=0 при |(夕2) 1/2 — т\》£. Из условия цикличности вакуума тогда следует, что векторы вида х(Р)厶屮0 ПРИ / Е ^(М) образуют плотное множество в подпространстве одночастичных векторов в % с массой т. Но векторы х(Р)厶屮0 можно записать также в виде 石屮。при подходящих В е ^(М) (если А есть сумма вьфажений типа (8.8), то В есть аналогичная сумма, в которой произведена замена /(рь ..., рп) т х(夕 1 + …+ Pn) /(Pi, ,夕冷))・ Таким образом, в рассматриваемом случае одночастичная проблема решается применением аксиомы цикличности вакуума.
Пусть теперь масса т подпространства одночастичных состояний лежит в непрерывном спектре оператора М, но существуют правила суперотбора, разделяющие эти состояния (например, однонуклонное состояние находится в непрерывном спектре, соответствующем двух- и, вообще, многомезонным состояниям, но оно выделяется тем, что его барионное число В равно единице). Точный смысл этого предположения состоит в следующем. Задана компактная калибровочная группа G внутренних симметрии полей, которая унитарно реализована в % п оставляет вакуум инвари-
антным. Пусть представления этой группы в одночастичном подпространстве с массой шив подпространстве непрерывного спектра массы в интервале (т — s, m + е) (где £〉0) дизъюнктны (т. е. не содержат эквивалентных подпредставлений). Будем рассматривать векторы вида 4%, где А — операторы из ^{М\ преобразующиеся по неприводимым представлениям группы G, содержащимся в представлении одночастичных подпространств с массой т. Нетрудно видеть, что соответствующие векторы х(Р) 4% образуют тотальное множество в рассматриваемом одночастичном подпространстве (здесь х(Р) — та же функция, что и в предыдущем примере). Эти векторы, очевидно, также можно записать в виде 6%, где В 6 ^(М), что дает решение одночастичной проблемы.
В рассматриваемой схеме не делается различия между элементарными (или фундаментальными) и составными частицами. Такое различие можно проинтерпретировать в терминах полей, если использовать разделение полей на фундаментальные и составные. Частицы, получаемые из вакуума действием фундаментальных полей в первой степени, называют элементарными (или фундаментальными, несущими один «квант» фундаментального поля); прочие частицы называют составными частицами (или связанными состояниями того или иного числа «квантов» фундаментальных полей). На практике в подобной классификации существенную роль играют внутренние симметрии и «квантовые числа» (заряды) полей.
Б. Конструкция in- и out-состояний. В силу условия W.IIF каждому типу частиц 〃 е К можно сопоставить линейное подпространство А^ С ^(М) такое, что eJ[用* = eJ【*], и eJ[*〕Wo есть плотное линейное подпространство в 分【死](см. упражнение 12.1). При А е eJi"] обозначим через А следующий оператор в фоковском пространстве »
元=磋(4%)+a元(4*%)(12.1)
(ясно, что А линейно зависит от А). Тогда всевозможные векторы вида
Ф(АЬ Ап) = А1...Ап|0),& е"М(12.2)
очевидно, образуют тотальное множество в фоковском пространстве (при п = 0 выражение (12.2) по определению равно |0).
Упражнение 12.2. Пусть Aj G /%】и 禺=U(a, A) AjU(a, А)-1, где (a, A) G фо- Доказать, что
〃(a, А) Ф(АЬ An)=①(&, •••, 4),
где 2/(a, A) — представление спиновой группы Пуанкаре Ro в фоковском пространстве ①.
Сопоставим произвольному оператору А 6 /【*〕 нелокальное (и релятивистски- нековариантное) «поле»
4(力)=U(力，1) 4U(力，I)? хеМ.(12.3)
С помощью таких «полей» 4(力)при х° — ±оо мы рассчитываем построить асимптотические состояния, поэтому остановимся подробнее на их свойствах.
Прежде всего, А(х) зависит от х как от параметра бесконечно дифференцируемым образом (действительно, если А есть сумма выражений типа (8.8), то А(х) есть аналогичная сумма, получаемая заменой основных функций /(力匕…，力冷)на 貝力1 - X, ..., хп - ж)).
Действие А(х) на вакуум дает вектор-функцию, удовлетворяющую уравнению Клейна-Гордона
{д^^^А{х) Фо = О.(12.4)
Действительно, левая часть этого равенства равна U(x, 1)(—“Р^ + 加夕)4%； это есть нуль в силу предположения, что 4W° G
Упражнение 12.3. Пусть гладкая функция (или вектор-функция)①(/) удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона с массой т. Доказать, что тогда при всех t
①⑼二 j ①(/) %。小(/)『力三 j {Ф(х)д0Бт(х) - д0Ф(х) Dm(x)}d3x; (12.5)
здесь Dm(x) — перестановочная функция Паули-Иордана (трехмерное интегрирование — в смысле обобщенных функций — производится по ограниченной области в силу свойств носителя Dm(x)).
Сопоставим теперь оператору А е /【"〕 семейство операторов 4力(方 е К) по правилу一
] А(ж) ^Dm{x)d3x,(12.6)
x°=t
Из упражнения 12.3 следует:
4% = 4% при всех t е R.(12.7)
Итак, операторы 4力 порождают из вакуума то же одночастичное состояние, что и оператор А. Однако, как видно из определения, при t — ±оо они эффективно зависят от локальных полей 夕(力)с бесконечно растущим по модулю значением времени 力°, поэтому естественно допустить операторы 4力 в пределе t — ±оо в качестве претендентов на операторы рождения асимптотических состояний. Действительно, имеет место следующий основной результат.
Теорема 12.1 (Хаага-Рюэля). (а) Для любых операторов Aj 6 /【〜](j = =1,...,八，где n = 0, 1, ...) существуют пределы (е топологии нормы)
in
①。ut(4,An)=力工%4「..4^Wo・(12.8)
) Существуют два линейных изометрических пуанкаре-инвариантных отображения Qex:分—％ ex = in, out, обладающих свойствами (которые однозначно определяют Qex):
Qex(①⑷，，4))=①ех⑷，…，4)(12.9)
при всех Aj е (八=0, 1,7 = 1, 2,,八).
Доказательство теоремы основывается на свойствах усеченных вакуумных средних и будет изложено в § 12.2.
S-матрица и TCP-операторы в асимптотически полной теории. Теорема 12.1, очевидно, решает круг вопросов, связанных с построением матрицы рассеяния, которая (согласно п. 7.3.Д) равна
S= (Qout)*Qin.(12.10)
Из (12.7) следует, что Qex действует как единичный оператор на одночастичные состояния, поэтому
S^ =①(12.11)
для всех Ф из одночастичного подпространства Xi U 分.Это свойство выражает стабильность одночастичных состояний.
Обратим внимание на одно обстоятельство, связанное с формулой (12.9): асимптотическое состояние Фех(Аь ..., А^ зависит от оператора Aj е eJi"/ только через оператор & (см. (12.1)), т.е. через одночастичные состояния 4^3° и 厶^屮0, порождаемые действием Aj и А* на вакуум. Это означает, что если 4； е ^^ и
*• =4 (j = 1, • • •,八)，
Т0 ① ех& ,&)=① ex ⑷
Это обстоятельство лежит в основе доказательства пуанкаре-инвариантности отображений Qex. Приведем еще одно простое применение этого замечания к классам Борхерса локальных полей.
Следствие 12.2. Пусть в одном и том же гильбертовом пространстве % (с фиксированным представлением собственной группы Пуанкаре) действуют две системы уайтмановских полей {夕(")} и {夕'(")}, которые являются взаимно локальными. Пусть каждая из этих систем удовлетворяет также условиям W.IF и W.IIF. Тогда соответственные отображения Qex, а также матрицы рассеяния, определяемые по каждой из этих двух систем полей, совпадают.
Действительно, объединенная система полей {夕(“)} U {夕«“)} также удовлетворяет всем аксиомам, так что это следствие непосредственно вытекает из теоремы 12.1 (или сделанного выше замечания).
По построению 5-матрица инвариантна относительно собственной группы Пуанкаре фо- Другое ее важное свойство — TCP-инвариантность — есть следствие ТСР-теоремы.
Упражнение 12.4. Пусть Aj G /【"引 и Bj = ^厶^^-' где © есть ТСР-оператор.
Доказать, что 场 G М* и что формула
6。①(А,…，4) = Ф(ВЬ Вп)(12.12)
определяет антиунитарный оператор б。в ① такой, что
©о|О) = |0), ©оЛво-1 = В при岗.(12.13)
Доказать соотношения
6о〃(а, Л) ©о1 = 〃(—а, Л) при (а, Л) е фо,(12.14)
©о = 〃(。, -1)(12.15)
(свойства (12.13)-(12.15) означают, что б。имеет смысл TCF-оператора свободных частиц; см. п. 7.3.Г).
Доказать соотношения
①。黑(В,丛)=©Ф^(А1, Ап),(12.16)
которые устанавливают связь между TCF-операторами © и ©о：
С黑t ©о = бс"・(12.17)
Вывести отсюда TCF-инвариантность 5-матрицы:
60s6「= S*.(12.18)
(Указание: для получения (12.18) перемножить равенство Qm©o = @^out и равенство, получающееся из Qout©о = 6am эрмитовым сопряжением.)
Чтобы обеспечить полную корпускулярную интерпретацию теории, мы должны к сформулированным постулатам добавить требование асимптотической полноты
力П =汇out ="
Благодаря TCP-теореме это требование эквивалентно следующему, на первый взгляд более слабому, условию:
(12.20)
(см. ниже упражнение 12.5). Условие (12.20) дает возможность естественным образом отождествить фоковское пространство 分 с физическим гильбертовым пространством Ж посредством изоморфизма Qm: X —方，что обычно и делается. Это означает, что мы параметризуем физическое гильбертово пространство векторами фоковского пространства падающих частиц. После указанного отождествления оператор Qm становится равным единице, а ^-матрица равна (Qout):
Qin = 1,(С。")* = S.(12.21)
В асимптотически полной теории имеется интересное выражение для 5-матрицы в терминах TCP-операторов. Если сделано вышеуказанное отождествление 分 и 方， то упомянутое выражение для 5-матрицы имеет вид
5 = ©-10.(12.22)
Упражнение 12.5. (а) Доказать эквивалентность условий (12.19) и (12.20). (Указание: воспользоваться соотношениями (12.16).)
Вывести равенство (12.22). (Указание: воспользоваться соотношениями (12.17), (12.21).)
Условие асимптотической полноты не зависимо от остальных постулатов Уайтмана, как показывает следующий пример *), в котором оно не выполнено.
Упражнение 12.6. Пусть 夕(力)—эрмитово скалярное обобщенное свободное поле с двухточечной функцией
苏2)(/, у)=：。堂)(力—у) + ： j — д)а(4)如；м
здесь 0 < m < М,.(从)—непрерывная неотрицательная функция, не равная тождественно нулю. Доказать, что в этой модели условие асимптотической полноты не выполнено:
方E二赞。世力黄(12.23)
Проверить также, что Qm = Qout и S = 1. (Указание: для проверки соотношений (12.23) убедиться, что одночастичные состояния с массой, большей т, ортогональны фоковскому подпространству ① С 方，описывающему состояния свободного поля массы т.)
12.2. Существование асимптотических состояний
А. Усеченные вакуумные средние. Наличие массовой щели в спектре энергии- импульса позволяет доказать усиленное кластерное свойство для функций Уайтмана, которое играет решающую роль в доказательстве теоремы 12.1. Для формулировки этого свойства нам понадобится понятие усеченных вакуумных средних.
Вакуумное среднее〈3°, ^41... АпФо) произведения элементов 4〔, ..., Ап полиномиальной полевой алгебры ^(М) мы будем обозначать также через (Ai... A^q. Для определенности мы полагаем, что каждый оператор Aj содержит либо четное число ферми-полей (тогда он считается бозонным), либо нечетное (считается фермионным):
/7(0, _1)&и(о, -I)- = ±&・.
Определим усеченные вакуумные средние (Ai ...Ап)т рекуррентными соотношениями:
〈41... Ап^о =〉: вр(тг)〈厶八…厶俨力丁;(12.24)
здесь суммирование производится по всем разбиениям индексов 1,,八 на группы (кластеры), причем в каждой группе индексы возрастают слева направо; £р(тг)— фермионная четность перестановки тг: (1,, п) — (/],•••, /£") (см. (9.37)). Типичное
разбиение таково:
{1, п} =U U {己,心};(12.25)
здесь и (= 1,, п) есть число кластеров; верхний значок s в обозначении /^ есть
порядковый номер этого числа в q-м кластере; числа к\, ..., ку назовем длинами кластеров. Написанные рекуррентные соотношения позволяют выразить усеченные вакуумные средние через обычные; например, для бозе-операторов имеем
(4尸=(41)0,〈4142尸=〈4142)0 -〈41)0(42)0,
(414243)7 =(414243)0 一(4142)0(43)0 _(41/"3)0(/"2)0_
-〈4243)0〈4)0 + 2(4)0(42)0〈43)0, и т. д. Аналогичным образом определяются усеченные функции Уайтмана'.
區：.»"(力1‘ 力几)=〈Л(g)・“「)(X)〉T(12.26)
(это обобщенные функции по переменным 力i, ..., xn).
Упражнение 12.7. Пусть Aj Gи пусть Aj определено формулой (12.1). Доказать соотношение
〈4 …就〉0 = 工^(6出4:产..〈旬4产；(12.27)
здесь суммирование производится по всем разбиениям индексов 1, ..., п на кластеры длины 2, так что п = 2у (при п нечетном правая часть (12.27) по определению равна нулю); в остальном обозначения те же, что и в (12.24).
Нас интересуют свойства усеченного вакуумного среднего (Ai(x)... Ап(хп))т нелокальных полей 4g(力)，определенных формулой (12.3) при Aj е ^(М). Очевидно, что это ^^-функция по переменным 力i, ..., хп. Далее, она трансляционноинвариантна и, значит, зависит только от разностей х\ — Ж2, ..., хп_\ — хп. Из определения вакуумных средних (Ai(x)... An(xn))Q следует, что они полиномиально ограничены по хь ..., хп, поэтому усеченные вакуумные средние (по крайней мере) полиномиально ограничены и определяют обобщенные функции умеренного роста; для них определено преобразование Фурье:
(А1(Ж1) ...4„(жп))т = J ехр ^-iY^PjX^A^pi)Ап^рп)^ d^ ...d4Pn-
Приведем теперь менее очевидные утверждения об усеченных вакуумных средних.
Лемма 12.3. Усеченные вакуумные средние имеют следующие свойства'.
локальность — если 4k 6 彳(夕)，厶卜+i G 夕(Q) и 0 Q, то
〈厶1 ...AkAk+i ...An)T = ±〈4iAk^iAk... Ап)т;(12.28)
6 правой части стоит знак «-», если 4 и 丛+i — фермионные операторы, и «+» 6 противном случае^
спектральность — носитель ^Ai(pi)... An(pn)) содержится в подмножестве 6 Мп, определяемом условиями
夕1 + ... + 夕冷=О, Р\ + ... + Pk ^ пРи 卜=1,...,八一1(12.29)
(从 — массовая щель).
< (а) При п = 2 утверждение очевидно. Далее действуем по индукции. Предположим, что доказываемое утверждение справедливо для любого набора т операторов, где т < < п — 1. Покажем, что тогда справедливо (12.28). Рассмотрим некоторое слагаемое в (12.24) с числом кластеров 沙》2. Возможны два варианта. Если к н к + 1 попали в один кластер, то по предположению индукции аналогичное слагаемое в разложении типа (12.24) для (Ai ... Ak+\Ak ... An)Q отличается только знаками 土. Если же к н к + 1 попали в разные кластеры, то, очевидно, такое же слагаемое — с точностью до знака — имеется и в разложении типа (12.24) для (Ai... А^+\Ак , Ап)о- Мы получили
(T41…74kt4/c+i ...,4九)0 =(41… 4к4k+14九)+
где многоточия обозначают одно и то же выражение. Теперь (12.28), очевидно, следует из аксиомы локальности.〜〜
Тот факт, что (Ai(pi)... Ап(рп)) сосредоточено на плоскости @i + ... +@九=0, следует из трансляционной инвариантности. Далее будем действовать по индукции. Поскольку при п = 1 утверждение тривиально, требуется показать, что для любого к = 1,, п — 1
i(pi)Ап(рп))Т = 0 при
01 +
если такое свойство имеет место для усеченных вакуумных средних < п нелокальных полей. Так как единственное состояние в области импульсов р 0 У^ есть вакуум, то в области (12.30) справедливо представление
〈4(01)…^п (Pn) )q =(4(01)…4/С (0Q〉()〈4k + 1(0k+1)…4 九(0九))。.(12.31)
Подставим вместо каждого сомножителя в правой части его представление через усеченные средние; в результате (Ai(pi)... An(pn))0 можно записать в виде суммы типа (12.24):
(Ai(pi)... ап(рп))0 =工匕(тг)立〈n以(0以)..."。(0虑。))\(12.32)
однако теперь суммирование производится по всем разбиениям индексов 1,, п на кластеры (с числом кластеров 沙》2), причем каждый кластер {/^,, Z^。} целиком содержится
либо в {1, ..., к}, либо в {k+ 1, ..., п}. Покажем, что равенство (12.32) остается справедливым, если считать, что сумма здесь распространяется по всем разбиениям индексов 1, ..., п с числом кластеров 沙》2. Действительно, убедимся, что любое добавленное слагаемое исчезает в области (12.30). Пусть это слагаемое соответствует разбиению (12.25); имеем
Р/с + 1 + . . . + Рп = У^ (02±а + 0后а + 1 + . . . + 0虑а )；(12.33)
суммирование здесь производится только по тем кластерам разбиения (12.25), которые имеют непустое пересечение {lf^, Z 炉..., Z^。} с {k+ 1, ..., п}. Очевидно, 〉1 хотя бы для одного такого пересечения (иначе это противоречило бы предположению, что разбиение (12.25) отсутствует в (12.32)). Как следует из разложения (12.33), область (12.30) содержится в объединении областей U〃a，гДе 〃а определяется условием
Ра +0 F+ при sa = 1,
0炉 +...+0梦при Sa〉1.
В силу предположения индукции (А^(Pi^)... А^^ (р^^^ = 0 в 0。； значит, слагаемое, соответствующее рассматриваемому разбиению (12.25), равно нулю в области (12.30).
Мы показали, что в области (12.30) имеется разложение (12.32), где суммирование производится по всем разбиениям на 沙》2 кластеров. С другой стороны, согласно формуле (12.24) разность между левой и правой частями (12.32) тождественно равна (Ai(pi)An(pn))T. Следовательно, ^Ai(pi)Ап(рп)^т = 0 в области (12.30), чем завершается индуктивное рассуждение. А
Рассмотрим случай, когда каждый оператор Aj является сглаженным мономом из полей「
4 夕(6,1)(6，&)方(6」，…•(12.34)
Мы можем записать усеченное вакуумное среднее в виде
(41 …аП)Т = ] 0(g1,1,I …ICn,rn) X
* [[力(6,1,…，(12.35)
где 。 — обобщенная функция из У(7И"+…+『九),которую мы назовем п-кластер- ной усеченной функцией Уайтмана. В частности, если все rj равны единице, то n-кластерная усеченная функция Уайтмана v{x\ | ... | 力冷)совпадает с введенной ранее усеченной функцией Уайтмана w^T{x\, ..., хп). Приведенные выше свойства усеченных вакуумных средних можно выразить на языке обобщенных функций о, как видно из следующего упражнения.
Упражнение 12.8. Доказать следующие свойства для обобщенных функций о (12.35): (а) локальность:
。(…I &/-•♦, &,г/e I /+1,1,…,&+1,гк + 1 I …)-土。(…J &+1,1,…,&+1,г后 + 1 II …)，
если &。- &十1,万)2 < 0 при a = 1,, rk; /3=1,, rk+i;
спектральность: носитель vf^pi^... | ...pn,^ содержится в пересечении множеств
工工Pj,a =。， 工工Pj,a G V力， где k = 1,,几一1. 7 = 1 a = l7 = 1 a = l
Кластерное свойство формулируется в терминах усеченных вакуумных средних следующим образом.
Упражнение 12.9. Доказать, что {А\(х\) А2(Х2)}Т0 при |%i - х2| сю (ж?, ^ фик
сированы).
Б. Усиленное кластерное свойство. Наличие массовой щели позволяет существенно усилить кластерное свойство.
Предложение 12.4. Для любых Ai, , Ап 6 夕(Af) усеченное вакуумное среднее (Ai(xi)... Ап(хп))т является элементом из S(R3S—D) по переменным
%1 —尤2,…，xn_i — хп, зависящим 气^-образом от 力，一力?，…，力^_i — 力g. Более того, для любого дифференциального полинома р{д/дх), любого а из интервала О V а V 1 и любого натурального N существует число с такое, что
I"(/)“〃传)〈4Е)…4(力< с(12.36)
при всех х из конуса Q:
Q = {/ G Мп:⑶-х^| W а|& - Xj\, i, j = 1,, n}(12.37)
здесь
d(x) = sup \xi — Xj\(12.38)
—диаметр (e евклидовой метрике) конфигурации х = (жь ,力冷)точек в М.
Доказательство предложения разобьем на отдельные леммы.
Первая лемма — чисто геометрическая. Через I мы будем обозначать непустое подмножество индексов {1,,八}, не совпадающее со всем множеством {1, ..., n}; J есть (непустое) дополнение I в {1,, п}; 8/(力)есть расстояние (в евклидовой мет
рике) между множествами точек {力分}分е/ и {xj}jEj\
8/(/)=inf z一力儿(12.39)
Лемма 12.5. Множества
Qi = {xe Q：加(力)》^次/)}(12.40)
покрывают конус Q. Существует число а > 0 такое, что точки а + 力勿 〃 6 + 力^ разделены пространственноподобным интервалом, каковы бы ни были х 6 Qi, iel,jEJ, а, ЬеМс\а\< ad(x), \b\ < ad(x).
Пусть диаметр d(/) совпадает с расстоянием между Xi и Xj. Спроектируем все Хк на вектор 力分—Xj. Появятся не более п точек на отрезке, и весь отрезок разобьется не более, чем на п — 1 интервал. Значит, найдется интервал длины > d(x)/n. Плоскость, перпендикулярная к 力分-Xj и проходящая через этот интервал, разделит точки жь ..., хп на две части, которые определяют требуемое разбиение J U J множества индексов {1, ..., п}. Итак, доказано, что множества Qi покрывают Q.
При х е Qi с d(/) ^ 0, i е I, j е J, a, b е М имеем
(а + & — 6 — Xj)2 = (& — Xj)2 + 2(& — Xj)(а — b) + (а — b)2 <
W (а2 - 1)M - Xj\2 + 2\xi - Xj\\a — b| + |а — b\2 <
* 游⑺ + 2d(/)(同 + I") + (同 + |b1)2.
Ясно, что правая часть этого соотношения отрицательна, если \a\/d(x) и \b\/d(x) достаточно малы. А
В дальнейшем можно считать, что операторы Aj являются сглаженными мономами от полей, и, значит, мы можем пользоваться языком n-кластерных усеченных функций Уайтмана о (12.35).
Лемма 12.6. Пусть индексы в каждой группе / = {厶，…，/卜} и J = {/卜+i,… ,1п} разбиения множества {1,, п} расположены в порядке возрастания “
пусть тг 〃 т/ — перестановки, переводящие (1,, п) в (厶，…，/卜，/卜+i,…，/冷)
и Qk+i,…,ln,厶,…,/к) соответственно. Тогда для любых / 6 斤(АГ"…+『九)и N > Q существует cN{f) такое, что
I ] ®(£) — £尸0)。万(0) ЛЮ М W Cn(/) d(x[N,(12.41а)
I ](。®。方®)Ш M W Cn(/) d(力厂弋 (12.416)
при всех x e Qr, здесь no определению
0穴(f) =。(以1,1，&1 产7rli …I&7Z产7r九),
fx (C) = / (€1,1 —力 1,, £1,门—力 1 I I €n,l —力 7Z，£п,Гп —力 7z)・
< Пустьn 「九
l€l2 = EEl^l2
и пусть § + 于 есть точка ? G МГ1+"'+Гп с координатами 爲。=&。+ g. По лемме 12.5 при 同 < ad{x) и d(/)力 0 имеем
(8а — 6,/з)2 < °， где г е I, J е J, а=1,/3 = 1,
Из свойств локальности обобщенной функции о (упражнение 12.8) следует, что носитель 。(§ + 于)—£р(тг)。7?(§ + 于)содержится в множестве |§| > crd(/); значит, левая часть (12.41а) равна
](。代 + 可—£р(тг) М£ + 可)s(同/d(/)) /(О d§；(12.42)
здесь s(t) — гладкая функция вещественной переменной t, равная нулю при |t| < 1 /(2а) и единице при |t| > 1/а. Обобщенную функцию v^) - £^(^) ^(0 можно представить в виде конечной суммы производных полиномиально ограниченных непрерывных функций; в результате абсолютная величина (12.42) мажорируется выражением
const • £](1 + lei + d^r\Daf^\\^u^\/d^\d^.
|q| + |/3|<M 图》bdO)/2
Поскольку Daf^) убывает быстрее любой отрицательной степени |§|, это выражение в свою очередь мажорируется величиной вида cN(f) d(x)~N при любом N. Это доказывавает оценку (12.41а). Вторая оценка (12.416) совершенно аналогична. А
Лемма 12.7. При тех же условиях, что и в предыдущей лемме, имеет место оценка,
UШ 闵 W 4⑺ d()N,力 6 Q/.(12.43)
< Пусть х(0)G 〃Л1(М), причем х(0)= 0 в окрестности V~ и х(0)= 1 в окрестности У^. Определим /'(§) в терминах преобразования Фурье:
/(01,1,…，Pn,rn) = X -ЕЕ0тг7，а I /(01,1,, Рп,гп)-
\ 7 = 1 а = 1/
Тогда из свойства носителя 万(упражнение 12.8) следует:
I。式а Л (8 ^ = I ^(0 А (О 國，I % (8 Л (8 d§ =。・
Заменяя в лемме 12.6 / на /7 и пользуясь (12.41), получаем оценку (12.43) при с^(/)= =2cn (/)• A
Лемма 12.8. Для любых мономов Aj (12.34) усеченное вакуумное среднее (Ai(xi)... Ап(хп))Т, а также его производные по х любого порядка убывают при d(力)—оо 6 конусе Q быстрее любой отрицательной степени d(力)).
Из (12.35) следует, что усеченное вакуумное среднее (Ai(xi)... Ап(хп))Т, а также любую его производную по х можно записать в виде J о(§) /%(§) d§ при подходящей основной функции /(§)• Согласно леммам 12.6 и 12.7 выражения ](。(§) 一 £尸(穴)。穴(§))/力(§) &§ и j^(8^(a аз а значит, и J o(§)/%(§)&§ стремятся к нулю при х 6 Qi, d(x) т ос быстрее любой отрицательной степени d(/). Поскольку множества Qi покрывают Q, это доказывает лемму. А
Предложение 12.4 теперь непосредственно следует из леммы 12.8.
Следствие 12.9. При любых fj 6 ”М) обобщенная функция
I wT(pr, , Рп) fj(-Pi) fn(-Pn) d4pr 口 山夕?(12.44)
J =2
по переменным 夕2,…，Pn 6 действительности является функцией из 斤(R3S—D).
Согласно упражнению 12.4 усеченное вакуумное среднее вида
j J(g — yi, , хп - уп)力(伊)Ом)力伊…d4gh(12.45)
зависит только от разностей /i - /2, •…，力九一i - жп и является функцией из 乡(/?3(九-1)) по %1 — %2, • • •, хп-1 — хп. Полагая х^ = ... = х^ = 0 и записывая (12.45) в терминах фурье- преобразования, получим результат, сформулированный в следствии.
В. Расплывание релятивистских волновых пакетов. Нам понадобится еще один вспомогательный результат, касающийся поведения при больших временах отрицательно-частотных решений 歹(力)уравнения Клейна-Гордона с положительной массой т:,
歹(力)=£Т(з^—рх)Мр) d3p, G 2 + p2 ；(12.46)
здесь h(p) — «достаточно хорошая» функция. Очевидно, для положительно-частотных решений будет справедлив аналогичный результат.
Лемма 12.10. Фиксируем натуральное число к。. Существуют натуральные числа L, М и константа с такие, что для всех решений уравнения Клейна- Гордона вида (12.46) при Д е 斤(炉)имеются оценки
sup(|x|fc|F(t, х)|) w c\\h\\L^M^ + 用)—з/2+k, к = о, 1,, к。；(12.47)
I 尸(方，x)\d3x < c\\h\\LM^ + 用У.(12.48)
Вообще говоря, эти оценки справедливы, если предположить, что Д е ^l,m{^) (см. п. 1.1.В).
Введем непрерывное ограниченное решение уравнения Клейна-Гордона:
Тз(] L)3 d32
Тогда F{x) представляется в виде трехмерной свертки
F(t, х) = T(t, х) * v(x),(12.49)
где
v(x) = J ефХ^(1 + g)峭(p) &0.
Таким образом, задача сводится к получению оценок для Т(х).
Напишем представление
7(/) = ] ( ] ё「(2。『办)ё…*；
в нем, очевидно, можно переставить порядок интегрирования:
Т(х) = ] а%-。{ ] 6一2“("十2°)-財 ^^ } da = const • ] D^\x — гаео) о?е~а doc оо
=const ] (|х|2 — (ж0 — ia)2)-1^2Ki ^m yj|x|2 — (ж0 — га)2 ^ a e~a da, (12.50) о
где eo ——орт вдоль оси времени; в последнем равенстве мы воспользовались явной формулой для функции D^\x) (см. дополнение Е). Из известных асимптотических оценок для функции Макдональда 1-го рода Ki(n) при Re г > 0:
?К1(2)т 1 При 2 т 0, дДе“К1(2)т J^ При 2 Toe
(см., например, [БЗ], т. 2, п. 7.4.1), следует оценка
|К⑶I W const • (|n|T/2 + |?|Т)е—Re” ПрИ Re?〉0.(12.51)
Поскольку при 5>0иИег>0
Re < \Im(z2)\-%2Rez)se-Rez W const • |Im (?)ps
(где const зависит от s), из (12.51) следует:
\z~xK\{z)\ < const • {|Im (z2)\~3^2 + |Im (г2)|-2} при Re г > 0.(12.52)
Это позволяет оценить интеграл (12.50):
|Т亿 х)| W const • I (|а『з/2 + \at\~2)ae~ada W const • (|t|-3/2 + |t|-2). о
Так как T(t, x) равномерно ограничено, то отсюда следует
|Т(力 х)| w const • (1 + I")—3/2.(12.53)
В области |х| 〉2|t| справедливо более сильное ограничение. Положим z = m х х，図2 — (t — га)2 • Тогда при |х|〉2|t| имеем |г| > const • а и Re г >，Re (г2) 〉у |х|, так что неравенство (12.51) дает:
IJ К⑶I W const • (а-"? + @-2) 因/2 при |х| > 2|t|, откуда
(12.54)(12.55)(12.56)(12.54)(12.55)(12.56)|T(t, х)| < const • j (а-3/2 + а~2) е~т^/2ае~а da W о
(12.54)
(12.55)
(12.56)
(12.54)
(12.55)
(12.56)
W const •при 因〉2用.
Отсюда и из (12.53), очевидно, следует
\x\k\T(t, х)| W const • (1 + |t|)-3/2+\ О W k W 岛.
Точно так же, комбинируя (12.54) с оценкой (12.55), получаем
IT(t, %)1 SX C const • j 6-小""2d3/+ const • j (1 + I力)-3/2d3/ w |x|>2|t||x|<2|t|
W const • (1 + 罔)3/2.
Теперь нетрудно оценить свертку (12.49). Воспользовавшись неравенствами
|建 W 2fc(|x — " + |川)W 2k(1 + |x-")(1 + I*),
получаем с помощью (12.55)
^\x\k\F(t, x)| w const (j (1 + |")|。(力『g)(i + 罔)—з/2+k
при 0 < k < ко； аналогично из (12.56) следует
j |F(t, x)\d3x < constQ |o(力『у)” + 罔)з/2. a
В качестве упражнения приведем одно дополнение к лемме 12.10.
Упражнение 12.10. Пусть 九(р) — функция из 夕(К^), К С R3 есть некоторая окрестность множества {&~1(р)р: р G supp/z} и пусть F(x) определена формулой (12.46). Доказать, что для любых I, т Е Z+ существуют числа Q；m > 0 такие, что
口用以 w Gm(12.57)
где°
Q = {xeM: х^х^К}.(12.58)
(Указание: пусть 〃 G Q, \и\ = 1, тогда
F{Xu) = j е"$3м(5)曲，
где ^u(s) — функция класса 9(К) по s, зависящая непрерывно по и в топологии 9(К); вывести отсюда, что \Xmf{Xu)\ < cm равномерно по и; для производных от F оценка аналогична.)
Лемма 12.10 используется нами в следующей ситуации.
Лемма 12.11. Пусть фиксирован некоторый набор операторов
4, Ап 6 彳(TH)
и некоторый набор положительных масс mi, , тп (еОе 八》2). Для любого полинома 夕(力)от х J М, любых дифференциальных полиномов q{d/dx\ q\d/dx) и любого компакта В с L^ существует число с такое, что при всех t е R, А Е В имеет место ограничение
34 Н. Н. Боголюбов и др.
]0(力)(q(糸)Н 0д(有))d(鼎)〈4(Ag)…Angn»1 d& …dXn w
W c(l + 用厂3(吋2)/2+&(12.59)
здесь к — степень полинома 夕(力).
< Отметим, что интеграл в (12.59) (понимаемый в смысле обобщенных функций) существует в силу компактности носителя Dm(t, х) по х. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда q(d/dx) имеет вид произведения 口 qj(d/dxj) дифференциальных полиномов
по каждой переменной Xj. Фиксируем натуральное число N и введем функции
Fj(t,芍)=(1 — NQj ^SxJ^) °吃(力7)，
где Д7- — оператор Лапласа по переменной Xj. Функция Fj(x), очевидно, является решением уравнения Клейна-Гордона (при т = т7); при достаточно большом N ее отрицательночастотная часть имеет вид (12.46) с 九(р) 6 %鹏(密). Аналогичное представление имеет положительно-частотная часть функции %(/)• Поэтому каждая из функций Fj(x) удовлетворяет оценкам (12.47), (12.48). Левую часть (12.59) можно переписать в виде
ГТ ^(^-) u(xi, , хп； A)<ixi ...dxn,(12.60)
\ J = 1/ж? = -=жп=^
гдеп
"(/1, хП- а) = П (I - △产0(/)d(紛(4(a/1)...4(А/九)产.
7=1
Учитывая трансляционную инвариантность усеченного вакуумного среднего, мы можем для сужения 〃(/1, ..., жп; А) на плоскость х^ = ... = х^ = t написать представление
з
u(xi, , Хп； Л)|жо = т=жо =t =工尸° П(Н)旳 Оа(%1 —陋，1 — %n； А),(12.61)
\а\^к7 = 1
где va ——функции только от разностей %i — %2, •…，xn-i — хп и от Л. Согласно предложению 12.4 va G 乡(/?3(九-1)) по переменным %i — %2, • • •, xn-i — хп. Во всяком случае предложение 12.4 дает для va следующее ограничение, справедливое при всех Л 6 В:
I ®а(&,…，^n-1, А)| d& …d/—1 w Cl при Лев.(12.62)
Подстановка (12.61) в (12.60) позволяет мажорировать (12.60) выражением
п —2
[Е 罔 °。函产+°2+『№亿不)1 Y[\Fj(t, x3)\\Fn^ xn)|x \a\^k7=2
x 1^(X1 - x2,, Xn-1 - xn； A)\dxi ,...dxn.(12.63)
Воспользуемся здесь для функций ^(t, х7) при J = 1, ..., п — 1 оценкой (12.47) и для Fn(t, хп) оценкой (12.48). В результате (12.59) при Л е В мажорируется выражением
л(1 + 罔厂3ST)/2+[ I 凡亿 ^)|品& …Yi； A)|^i...^n-i^n w A(1 + |t|)-3(n-2)/2+\
что доказывает оценку (12.59). A
Результаты следующего упражнения являются непосредственным следствием леммы 12.8.
Упражнение 12.11. При Aj 6 ^(М), t Е R, А Е положим
(12.64)(12.64)智а = j Aj (Ас) %。叫(/) Sx.x°=t
(12.64)
(12.64)
Доказать, что для любых Ai, , Ап е 少(Af) (n = 2, 3, ...) и любого компакта В С L^ имеет место оценка
\(^...^^\ w const (1 + 用厂35—2)/2при А е 石；(12.65)
та же оценка имеет место, если некоторыета же оценка имеет место, если некоторыеизиз(б) Пусть(б) Пусть4；а заменить на 糸厶了.4；а заменить на 糸厶了.(ch〃sh〃(ch〃sh〃о 1 о оо 1 о оо о1 оо о1 оsh〃ООch〃sh〃ООch〃〃 е к.〃 е к.(12.66)(12.66)
та же оценка имеет место, если некоторые
та же оценка имеет место, если некоторые
из
из
(б) Пусть
(б) Пусть
4；а заменить на 糸厶了.
4；а заменить на 糸厶了.
(ch〃
sh〃
(ch〃
sh〃
о 1 о о
о 1 о о
о о
1 о
о о
1 о
sh〃ООch〃
sh〃ООch〃
〃 е к.
〃 е к.
(12.66)
(12.66)
Доказать, что если некоторые k (1 W k W ?г) из операторов 厶了 в усеченном вакуумном среднем {А^к... А^Л)Т заменить на операторы 备考八,то результирующее выражение мажорируется по модулю выражением const • (1 + 罔)一3(九一2)/2+“ равномерно по ту на любом фиксированном компакте в R.
Г. Доказательство основного результата. Приведем теперь доказательство теоремы 12.1.
< (а) Положим ①力=А；...%^”。. Для существования предела (12.8) достаточно, чтобы выполнялась оценка
I協制卜 const. (1 + 用尸，(12.67)
так как тогда | II ^ Ф^ II </t < ос и можно положить, например,①= Ф° + J ①力)dt. Имеем0
|16 叫「 =(6 (箫…仆)6 ⑷
Разложим правую часть в сумму произведений усеченных вакуумных средних, составленных из операторов Aj,厶^". Очевидно, все (усеченные) вакуумные средние вида (А^1)Т равны нулю в силу условий 747 Vo G ①［川，t4；*)Wo G 分［川，поэтому достаточно учитывать кластеры длины 2. Рассмотрим сначала произвольное слагаемое в разложении, которое состоит только из усеченных вакуумных средних длины 2. Очевидно, по крайней мере один из сомножителей будет иметь вид 〈3°, ... £ 厶}*)"3。〉 и будет равен нулю в силу (12.7), поэтому такие слагаемые дают нулевой вклад. Остается рассмотреть слагаемые, содержащие не менее двух кластеров длины 3 или не менее одного кластера длины > 4. Согласно оценке (12.65) (при Л = 1) такие слагаемые ограничены по модулю выражением (1 + |t|)-3. Это доказывает оценку (12.67).
Существование операторов Qex с требуемыми свойствами (кроме лоренц-инвариантности) есть непосредственное следствие формулы
(Фех(Л1, 4Q,①ex(q,А；))=〈①(А,…，4Q, Ф(А；, А；))(12.68)
при любых Ai 6 “I”"，Aj 6 ео/［"2】，поэтому достаточно доказать эту формулу. Левая ее часть есть предел при t т 干ос выражения
〈4萨…〈4萨…(12.69)
〈4萨…
〈4萨…
Для нахождения предела разложим (12.69) по усеченным вакуумным средним. Согласно рассуждениям, использованным при выводе оценки (12.67), при 力 т ос исчезают все члены, кроме тех, которые соответствуют кластерам длины 2. Используя результат упражнения 12.7, получаем, что выражение (12.69) при t т 干ос стремится к правой части доказываемого равенства (12.68).
Остается доказать пуанкаре-инвариаптность отображений Qex. Вначале мы покажем, что несмотря на явное использование системы отсчета в определении операторов 4% (12.6), асимптотические состояния в действительности не зависят от выбора системы отсчета. На базе другой лоренцевой системы отсчета, отличающейся от стандартной преобразованием А 6 L], мы должны были бы рассмотреть вместо операторов 4% операторы
А^,л = ] 5(жп — t){A(x) пм 办 Dm(x)} d%,
где n = Лео； ^,л, очевидно, может быть определено также формулой (12.64).
Упражнение 12.12. Доказать, что А^,ЛФо не зависит от Л при А 6
Рассуждение, использованное в части (а), достаточно, чтобы показать существование
пределовпределовlim А1Л... А^ЛФ0.lim А1Л... А^ЛФ0.(12.70)(12.70)
пределов
пределов
lim А1Л... А^ЛФ0.
lim А1Л... А^ЛФ0.
(12.70)
(12.70)
Утверждение о независимости асимптотических состояний от системы отсчета означает, что состояние (12.70) не зависит от Л. При Л из группы вращений трехмерного пространства это утверждение тривиально, поэтому достаточно ограничиться случаем, когда Л есть чистое преобразование Лоренца, например, в плоскости (0, 3), т. е. имеет вид (12.66). Введем вектор
①力,а 二 Л1，Л... А^ЛФ0
и покажем, что для любого компакта Т С R существует число с такое, что
||Дф^Л||2<с(1 + |^|)-1 при teR,(12.71)
Отсюда будет следовать
同叫 < ]%①勺用Wd(l +用尸/2切1一оПри …2 0
что будет доказывать равенство выражений (12.70) и (12.8).
Обратимся к выводу оценки (12.71). Действуя, как и ранее, разложим скалярный квадрат
по усеченным вакуумным средним. Усеченные вакуумные средние, не содержащие производных д/дт], оцениваются согласно (12.64). Рассмотрим далее слагаемое в разложении, один из кластеров которого включает два оператора вида 备厶；*)'^. Очевидно, имеет смысл ограничиться кластером длины > 4 (в противном случае мы имеем нуль на основании упражнения 12.12). Такое вакуумное среднее мажорируется выражением const • (1 + |t|)-1 (согласно упражнению 12.11(6)). Остается еще одна возможность, когда в некотором слагаемом указанного разложения имеются два кластера, содержащие по одному оператору вида 备 A^t,A\ здесь также имеет смысл рассматривать только кластеры длины > 3. Согласно упражнению 12.11(6) соответствующие усеченные вакуумные средние ограничены по модулю выражением const • (1 + l#)-"?' так что соответствующее слагаемое разложения ограничивается по модулю выражением const • (1 + |t|)-1. В результате приходим к оценке (12.71).
Теперь не представляет труда доказать пуанкаре-инвариантность операторов Qex. Поскольку инвариантность Qex при трансляциях и трехмерных вращениях очевидна, то достаточно рассмотреть преобразования Лоренца вида (12.66). Из определений (12.8), (12.64) следует
и(0, Л)①ех(4,…
татетатегде Aj = U(0, Л) AjU(0, Л)-1. В силу доказанной выше независимости асимптотических состояний от системы отсчета мы можем здесь в правой части опустить символ Л; в резуль-
тате
тате
U(0,厶)①ех(А,…，4)二①ех(&,…，%).
С помощью упражнения 12.2 можем записать эти соотношения в операторном виде
(7(0, A)Qex = Qex^/(0, Л),
что доказывает лоренц-инвариантность операторов Qex. А
Глава 13
ФОРМАЛИЗМ ЛЕМАНА-СИМАНЗИКА-ЦИММЕРМАНА
Основные понятия
А. Т-произведения полей. Квантовополевая теория рассеяния значительно упрощается, если допустить, как это сделали Леман, Симанзик и Циммерман, что существует соответствие между частицами и полями. Такая схема, являющаяся частным случаем подхода Уайтмана, называется формализмом LSZ （Лемана-Симанзика- Циммермана）. Существенным элементом ее является понятие хронологических произведений и функций Грина, которые мы здесь изложим.
Формально Т-произведение （или хронологическое, или упорядоченное по времени произведение） Т（夕丿J）（力i）…夕;:九）（力冷））и анти-Т- （или Т-） произведение Т（夕;（力i）... …夕;力冷））уайтмановских полей определяются посредством
7е（:）（д）…化f（力九））=
=£ £尸（外伙— $）…伙力I）—力結夕W（力7Г1）..・М；”）（Ю（13.1а）
亍（夕『0（力1）・"二）（力九））=
=£ ёf（兀）。片7r'（力7Г1）…0片3（力万几），（13.16）
где суммирование распространяется по всем перестановкам тг индексов 八. Однако эти формулы не годятся в качестве точного определения. Дело в том, что в них фигурируют произведения операторных обобщенных функций с разрывными функциями, а такие объекты в теории Уайтмана, вообще говоря, не определены （для определения произведений следует дополнительно предположить существование полей в фиксированные моменты времени）. Другой недостаток выражений （13.1） — то, что даже в случае, когда они хорошо определены, они могут обладать неприемлемыми свойствами （типа зависимости от лоренцевой системы координат）. Хорошо известным примером такого рода является Т-произведение свободного векторного поля: нетрудно убедиться （см., например, [Б8], § 15）, что Т-произведение Т（4入（力）4〃（у））, вычисленное по формуле （13.1а）, нековариантно, но эту нековариантность легко устранить, если к полученному выражению прибавить слагаемое, сосредоточенное на плоскости 力° = у°.
Поэтому удобнее определить Т-произведение набором свойств, которыми оно должно обладать. Характеристические свойства Т-произведений （как операторных обобщенных функций умеренного роста） таковы ）.
(13.2а)(13.2а)Перестановочное свойство'.
(13.2а)
(13.2а)
T(夕7Г1…夕7ГТг) = £下(灰)T(01…夕Tz) для любой перестановки тг.
Пуанкаре-ковариантностъ\
U(a, A)T(d「)(g)..・d”(^))U(a,厶尸=
=£ "寫(а一)…" ^(厂)7(^"/1+。)...<：)(" + 叫(13.26)
при всех (а, Л) 6 фо-
Причинность'.
T(夕I 夕几)=T(夕1…0k)T(夕k+1几)，(13.2в)
если) ｛力i,,力卜｝ > ｛力k+i, , Xn｝.
Свойство эрмитова сопряжения-.
7(夕1...,^)*=?(d.../).(13.2г)
Унитарность-, при n = 1, 2,
/ к!(几 _ к)! / Ер®)'(夕7Г1 • • •屮кк) Т(07г(к+1) • • •夕7T7Z)= °( 13.2д)
к=07г
(в последней формуле использовано соглашение: при п = О Т (夕i …夕冷)считается равным единице).
В качестве мотивировки этих свойств можно сказать, что все они получаются формальными манипуляциями над выражениями типа (13.1) (хотя эти манипуляции нельзя считать доказательством по указанным выше причинам).
Следующее упражнение устанавливает связь данного определения Т-произве- дения с эвристической формулой (13.1).
Упражнение 13.1. Показать, что
7(夕1 夕九)=夕1夕九при/?〉"〉...〉/：,(13.3а)
屮Q=屮\屮пприх^ < Х2 < ... < х^.(13.36)
(Указание: применить индукцию по п, воспользовавшись соотношением (13.2в).) Вакуумные средние
疗"山，…，/几)=(0]T(d「)(g)…0『з(^)]。)，(13.4a)
走「)(3,=(0 ⑵(犷)(/1)…否了(^)|0)(13.46)
называются причинными (или хронологически упорядоченными) и соответственно антихронологически упорядоченными n-точечными функциями Грина полей 0,夕(*九).
Из аксиом Уайтмана доказать существование Т-произведений полей в общем случае не удается, поэтому существование Т-произведений принимается в формализме LSZ в качестве дополнительного постулата. Значение его становится ясным из формул редукции （§ 13.2）. Другой веский аргумент в пользу этого постулата предоставляет лагранжева квантовая теория поля, в которой Т-произведения играют фундаментальную роль; там они строятся во всяком случае по теории возмущений （см. ［Б8］）.
Если все рассматриваемые поля являются бозонными, то перестановочное свойство, очевидно, выражает симметрию Т-произведений по индексам:
Т（夕7Г1 …夕7T7z） = Т（夕 1 …夕7i）・ （13.5）
В этом случае операторные обобщенные функции Т（夕;；，（力i）…夕;（力冷）） однозначно определяются результатами сглаживания их с основными функциями вида 〃（死1），（力 j …〃（死九乂九（力冷），где 〃（死）"—финитное семейство функций из 斤（Af）, которое мы назовем классическим источником. Сопряженный источник определяется посредством （力）=〃（元*（力）（ниже в формуле （13.29） будет дано более общее определение сопряженного источника, пригодное и для ферми-полей）. Для краткости будем писать J 〃（力）夕（力）dz вместо £ J 〃（"乂 （力）夕;"）（/） dz; введем также обозначение
= £ ［产九勺/九）•产i"i（g） T （3）…0f"（X）） dg ...d/冷.（13.6） 死1...死九
Всю совокупность Т-произведений удобно характеризовать производящим функционалом
ОО .п
S（〃）= техр и］〃（力）0（力）dz）三 £ “ 7《］〃（力）0（力）dz） ）,（13.7）
n=0
который нужно рассматривать как формальный ряд по классическому источнику 〃 =（〃（*））" （таким образом, только каждому отдельному слагаемому ряда （13.7） приписывается смысл оператора）. Аналогичным образом определяется производящий функционал
£（〃）= Техр〃（力）夕（力）（13.8）
Т -произведения теперь выражаются через вариационные производные S （〃） по источнику:
T （0尸）（/1）5F （册 .（13.9）
Характеристические свойства Т-произведений в терминах производящих функционалов могут быть записаны следующим образом.
^Начальные условия^'.
s（〃加=0= 1，^^8（〃）1片0 =寸）（吟（13.10a）
Пуанкаре-ковариантность:
U（a, *5⑺ U〈а, Л）"1 =Т（Жл）） при （а, Л） 6 ф0,（13.106）
где
谓）（/）=£嗫丿（a一）产7A“ - a））.
(б) Причинность-.
£(£ + 〃) = £(<
§£(〃)， если supp ^ > supp 77.
(13.10b)
Свойство сопряжения'.
Унитарность-.
Упражнение 13.2. Доказать
Упражнение 13.3. Доказать
£(〃)*=弓(-〃+).
£(〃)*£(〃+) = 1.
эквивалентность свойств (13.2) и (13.10).
соотношения которые мы будем записывать
(13.10г)
(13.10д)
в виде одного
равенства-z 、〜、，〜、
s(—〃) S(〃)= 1 = S(〃) S(—〃)，
(13.11)
которые мы будем записывать в виде одного равенства
(13.12)
и которые, конечно, понимаются в смысле формальных рядов по ту. (Указание: в силу условия S(0) = 1 существует формальный ряд ^(ту) — 】 такой, что 3(77) — 13(77) = 1 = ^(77) ^(ту)-1.)
Проиллюстрируем понятие Т-произведения на примере свободного скалярного поля.
Упражнение 13.4. Пусть 夕(力)—свободное эрмитово скалярное поле массы т.
Определим двухточечную причинную функцию Грина поля 夕(力)，полагая
T図(/, g) = A D^x - у) = 0(/° -g^⑼9⑺3⑹⑼+伏鳩一/)〈0193)9(/)|0)=
=I {。(/° — g°) D^\x -y) + e(g° — i) D^\y — /)}• Доказать формулу
7図(羽 g) = ：01(/ _ g)=分[2]；公0；(13.13)
вывести отсюда, что причинная функция Грина удовлетворяет уравнению
(□ + т)т[2\х, д)二} 5(/ - g).(13, 14)
(Указание: выполнить в (13.13) интегрирование по @° и сравнить с определением.)
Определим формальный ряд по источнику 77
：ехр И д(/) 〃(/) dx}:二 £ &: g(/i)夕(/九):〃(/i)〃(/九)dxi ...dxn.
Доказать равенство формальных рядов
eхp (分 I 9(/)〃(/) d/) =
=exp (—g I D^\x - у)г](х)т](у) dx ^ : exp (卜夕(力)〃(/) d/) : .(13.15)
(Указание: воспользоваться формулой (8.85).)
(一)
(в) Определим производящий функционал Т-произведений поля 夕 формулой
£(〃)= ехр
(13.16а)
£(〃)= ехр
(13.166)
Доказать, что при этом выполнены характеристические свойства (13.10). (Указание: при доказательстве унитарности воспользоваться соотношением
S(〃)= exp (-^Df^v(x - y)r](x)r](y)dxdy^ ехр 卜]夕(力)〃(/) d/}
(13.17)
где
О即'(/ ~У)= _。3° —力°) Dm(岂- у) = В^(ж — g) — D^\x - у)=
Г е-гр{х-у)I
J р2 — т2 —辽0。
—так называемая опережающая функция Грина свободного скалярного поля.)
Доказать формулы для причинных функций Грина:
т[飼(/1, жп) = 0 при п нечетном,Т[2П](ЖЬ , Ж2п)=工 丁図(力口，/Р2)…丁図(/P(2n—1), /Р(2п))
(Р имеет тот же смысл, что и в формуле (8.75)),
Т[п\х\,, хп) = 丁叫3,, Хп).
(-)
Доказать формулу Вика для Т -произведений:
(_)
7 (9(/1)...9(/九)) =,Xpk) : 3(/p(k+i)) • • • ^(Xpn):
k=Q P
(P означает то же, что и в формуле (8.85)).
Предложение 13.1. Условие причинности (13.10в) эквивалентно (е смысле формальных рядов по классическим источникам £ 〃 〃)
J^y {S(〃厂气(w + 〃)} =。 "p" supp< <
(13.18)
(13.19а)
(13.196)
(13.20)
условию
(13.21)
где “力—(сколь угодно малая) окрестность точки х.
< Равенство (13.21) есть некоторая цепочка соотношений между операторными обобщенными функциями умеренного роста; поскольку такие обобщенные функции однозначно определяются своими значениями на финитных основных функциях, то при доказательстве (13.21) достаточно считать, что § н 〃 一 источники с компактными носителями (тогда условие suppg < “ж можно заменить условием suppg < х).
Очевидно, (13.21) равносильно цепочке соотношений (при n = 1, 2,...)
5П
b〃(/i) ...5〃(/九) в открытом множестве
{35)73(8 + 〃)}1片。=0
(13.22)
{(/1,, хп) G Af"： Xj > suppg хотя бы для одного J}.
(13.23)
Нетрудно видеть, что для любой точки этого множества существует непустое во J множества индексов N = {1, ..., п} такое, что
подмножест-
{xa}aeJ > suppg U {x(3}f3EN\j.(13.24)
Таким образом, множества (13.24) (которые являются открытыми) покрывают множество (13.23), так что достаточно доказать (13.22) на каждом из множеств (13.24). Другими словами, требуется доказать, что для любых к = 1, 2, ... и m = 0, 1,2,...
初切)…初(爲/)…X +叫L = 0(13・25)
В области {/1, ..., xk} > suppg U {yi, ..., уш}, т. e. что
例"=°("26)
если supply > suppg U supp?/. Но для таких §, ту, т/ (согласно условию причинности (13.10в)) имеем,,,,
3(〃 + 〃)= S(〃) S(〃 ),£(§ + 〃 + 〃)= S(〃) S(§ + 〃)
и, значит,
s(〃 + ^-^ + 〃 + d) = ^Ыг1^ + //).
Отсюда следует (13.26). Обратно, из (13.21) нетрудно вывести (13.10в). А
Производящий функционал Т-произведений можно ввести по формулам (13.6), (13.7) и в общем случае, включающем фермионные поля. Однако поскольку Т-про- изведение антисимметрично по фермионным полям, классические источники фермионных полей уже нельзя считать обычными числовыми функциями. Мы будем считать их просто символами 〃(”)"(/), зависящими от х и коммутирующими с бозонными полями и бозонными источниками и антикоммутирующими с фермионными полями и фермионными источниками ). Теперь не только весь ряд (13.7), но и отдельные слагаемые не имеют смысла операторов (кроме как после подстановки 〃 =0). Как правило, мы будем использовать левую вариационную производную 8/8〃(力)формальных рядов по фермионным источникам, которая определяется формулами
产叫у) = 8^51т8(х-力(13.27а)
ВД {▲⑺玖叫=(*"⑺+ 一产4⑺牆，(13.276)
где Na (= 0 или 1) есть степень по модулю 2, в которой фермионные поля и фермионные источники входят в выражение 4(〃). Для высших вариационных производных становится существенным порядок производных; мы будем пользоваться правилом
ь”5) 三 ь 54(〃)
b〃(/i)5〃(/九)-b〃(g)…5〃(/九)•
Характеристические свойства (13.10) производящего функционала Т-произведений распространяются и на общий случай. При взятии эрмитова сопряжения в (13. Юг) следует пользоваться правилами типа
(4〃("1"1(/1)("九"九(力九))* = 〃("九""力冷)…〃(々Ri (/1)4*(13.28)
(где А — оператор или операторная обобщенная функция). Сопряженный источник 〃+ определяется формулой
〃+("(/) = (—1 广〃(元 *(/),(13.29)
где F = 0 или 1 соответственно на бозонных и фермионных компонентах источника. Кроме того, следует пояснить смысл выражения suppg > supp ту в условии причинности (13.10в). Теперь оно означает, что соответствующие равенству (13.10в) формальных рядов соотношения между операторными обобщенными функциями
货⑷入 j^^(£(s+⑺г®以叫=0
(где m, n = 0, 1, 2, ...) выполняются только в области ｛力腕，хт｝三｛gi, , Уп｝-
При аналогичном понимании условия suppg < “力(или suppg < 力)предложение 13.1 переносится на общий случай, включающий ферми-поля.
Б. Запаздывающие произведения. Объектами, тесно связанными с Т-про- изведениями и играющими первостепенную роль в изучении аналитических свойств амплитуды рассеяния, являются запаздывающие произведения. Формально запаздывающее (или R-) произведение полей 夕(")(/),夕("»(力i),...,夕("九力冷)определяется формулой *)
R(0("九)(力九)("i)(力i);0(")(/))=
=(一分严 £ ёf(外伙力。一璃)^(41 -42)---^(4(n-i)-4n) x
•，历(”")(》),卧"唄力万 1)*5(/)］干］干干；(13.30) здесь, как обычно, выражение ［А,石］干 есть коммутатор, если хотя бы один из операторов А, В — бозонного типа, и антикоммутатор, если оба оператора А, В — фермионные; сумма распространяется по всем перестановкам индексов 1,...,八. Выражение (13.30) страдает тем же недостатком — неопределенностью, как и формула (13.1).㈠
Считая, что Т -произведения полей уже заданы в соответствии с условиями (13.2), можно дать корректное определение запаздывающего произведения:
П пк
R3n …屮3 夕)=汴£ £ kjNk)! £ £ 亍…屮2 = (13.31а)
k=Q k=Q7г
=土淤 £ к；Р— к)! £ £f(k)亍(屮屮n・・・Wk+\)T(屮k・・・wC(13.316)
k=Q
(здесь «±» есть знак «—», если оба оператора 夕 и 屮、…屮п — фермионные, и «+» в противном случае). Формулы (13.31), очевидно, позволяют рекуррентным образом (_)
восстановить Т -произведения по запаздывающим произведениям.
По определению запаздывающие произведения (13.31) симметричны по бозонным полям из совокупности 夕;J)(力 1),,夕;:")(力冷)и антисимметричны по фермионным
полям из той же совокупности. Поэтому их удобно характеризовать производящим функционалом
况产(力;〃)=±吉£ ]产九勺/九)…产血(g) x
X R(dj)(/ 1)…0；："(力冷)；0;")(/)) dxi ...dxn.(13.32)
Это формальный ряд по источнику 〃(力)，а коэффициентные функции этого ряда являются операторными обобщенными функциями переменных х,力i, хп:
的)…9『"(g)；屮产⑺)=м(х”)，”(с“)\.м(з)，у⑺「才(13・33)
Нетрудно видеть, что определение (13.31) теперь можно переписать в виде
况产(/;〃) = т£(〃尸 ^^・(13.34)
Характеристические свойства запаздывающих произведений (в терминах функционала 况)таковы.
«Начальное условие^-.
况产(力;〃加=0 =0产(力).(13.35а)
Свойство эрмитова сопряжения-.
况产(/;〃)* =况产(力;〃+).(13.356)
Пуанкаре-ковариантность'.
U(a, а)况产(力;〃)U(a,А尸=£"胃(а-1)况俨(人力 +a;〃(^))(13.35b)
при (а, Л) 6 фо-
Условие разрешимости:
b#」"g)况产(力;〃)干号初况片)句；〃)=-H门匂;〃),况产(力;〃力干•(13.35Г)
Причинность-.
5^况(力；〃)=о при х<у.(13.35д)
Упражнение 13.5. Вывести свойства (13.35) из (13.10). (Указание: при доказательстве свойства причинности воспользоваться равенством
殴(/; 〃)= 一 分5I^у {3(〃尸3(8 + 〃)}[=0(13.36)
и предложением 13.1.)
Справедливо и обратное утверждение: если задан формальный ряд 殴(力；ту) со свойствами (13.35), то можно показать, что он однозначно определяет ряд S(〃)，связанный с 殴(力；ту) формулой (13.34) и удовлетворяющий условиям (13.10).
Очевидно, условие причинности (13.35д) есть просто свойство носителя Н-про- изведений:
suppR(0几(/)1(/1);0(力))C
C {(力，力 1,,力冷)e Mn+1: Xj — x e V~ при j = 1,, n}.(13.37)
Следующее упражнение (вместе с (13.37)) устанавливает связь определения (13.31) Д-произведений с эвристической формулой (13.30).
Упражнение 13.6. Доказать, что
A(3n(/n) •••91(/1)；9⑺)=(一炉［9П的)…［92(/2),［⑺⑺，9⑺］干］干…］干(13.38)
при /^ < /：—1 < ... < ж? < ж0. (Указание: из (13.35г) и (13.35д) следует
丽芻殴(/; 〃)=—分阳(g; 〃)，Эф; 〃)］干 при х>у,(13.39)
воспользоваться далее формулой (13.33).)
Вакуумное среднее
4匕:3；/)=(。画化(了(力几)■一Л(3)；0产(力))1。〉(13.40)
называется (n + 1-точечной) запаздывающей функцией Грина (или г-функцией) полей 夕(")，夕("1),…，夕(”九).Очевидно, оно обладает тем же свойством носителя, что и запаздывающее произведение.
Упражнение 13.7. Пусть 夕⑺ — свободное скалярное эрмитово поле массы т. Доказать формулы
а(9з)；9⑺)=户3；/)=。£(/-力(13.41a)
A(9九(/九)…9(/1);9(/))=0 при n > 2;(13.416)
здесь
0黒’(/ -у) = ё(/° -д°)0力(/ -у) =0^(/ -у) - D口(y -X)=
e-ip(x-y)e-ip(x-y)@2 — ТП? + 広 0。@2 — ТП? + 広 0。d40d40e=+0e=+0(13.42)(13.42)
e-ip(x-y)
e-ip(x-y)
@2 — ТП? + 広 0。
@2 — ТП? + 広 0。
d40
d40
e=+0
e=+0
(13.42)
(13.42)
—так называемая запаздывающая функция Грина свободного скалярного поля. (Указание: с помощью формулы (13.17) показать, что
S(§ + 〃) = S(〃)( 1 +г 夕⑺式力)dx + i\ D^(x - g) §(/) 〃(g) d/dg +
где «...» — члены порядка > 2 no ^; далее воспользоваться формулой (13.36).)
Аналогичным образом определяются опережающие (или 4-) произведения полей'.
4(0『"(力)・・・。『0(力1)；夕尸(力))=
=(1343)
Они обладают теми же свойствами симметрии по индексам 1,, п, что и запазды
вающие произведения, а свойство носителя их выражается так:
supp4(0几(/冷)…0i(/1);0(力))C
C {(力，力 1,力冷)6 Af^+i： Xj - X e『+ при j = 1,, n}.(13.44)
Вакуумное среднее
货：:厂)(3；/)=^\A^n4xnY--^4xx\ 0产(力))1。〉(13.45)
называется (n + 1-точечной) опережающей функцией Грина (или a-функцией) полей 0(")，夕("k.
Аналог формулы (13.30) таков:
4(9竹)...9尸)；*))=/£ еf(7г)о(/3 一/°)仇总2 - "i)...e(/黑一总1))*
X [^тгп^п, [^772(^2), [^771(^1),夕(/)]干]干...]干.(13.46)
Упражнение 13.8. Пусть 夕(力)— свободное скалярное эрмитово поле массы т. Доказать формулу
49з)；9(/))=a図3；/)=。即'(/ -g).(13.47)
Ниже для преобразования Фурье Т-произведения Т^\(х\)…夕冷(力冷))мы используем сокращенное обозначение:
T^p.l^M) = ^е^х^^^
аналогично определяются R^n(pn)... ^^рг\, ^(р)) и А^п(рп)... ^^рг\, ^(р))— преобразования Фурье запаздывающих и опережающих произведений.
Имеются важные соотношения, связывающие фурье-преобразование т-функций с фурье-преобразованием г- и a-функций в некоторых областях р-пространства. При этом для любого подмножества J С {1,, п} мы вводим обозначение
Pj = £р»(13.48)
Предложение 13.2. Справедливы соотношения
户"死凶仇，…，九夕)=1)5"人")仇，…，夕i；夕)(13.49а)
при pj ?『+ для всех J С {1,,八},
彳("看叫2…p)=s严g(""人")(2…夕1；夕)(13.496)
при pj ? V~ для всех J С {1,, п}.
< Для доказательства (13.49а) достаточно взять вакуумное среднее от соотношения (13.31а); тогда в силу условия спектральности все слагаемые в сумме, за исключением к = п, обратятся в нуль. Формула (13.496) доказывается аналогично. А
Соотношения типа (13.49) являются отправной точкой для изучения аналитических свойств причинной функции Грина в р-пространстве, поскольку из свойств носителя (13.37) и (13.44) следует, что обобщенные функции г и а являются граничными значениями функций, аналитичных в трубах (в действительности, единой аналитической функции); мы вернемся к этому вопросу в гл. 16.
В. Аксиомы LSZ. Исходные положения LSZ (в современном изложении) складываются из двух частей: аксиом Уайтмана W.I-W.VIII и дополнительных требований ). Эти дополнительные требования (LSZ.I-LSZ.III), определяющие специфику формализма LSZ, таковы.
LSZ.I (Связь между частицами и полями). В дополнение к сильному условию спектральности предполагается, что массы одночастичных состояний 6 физическом гильбертовом пространстве 方 образуют конечную (или локально конечную) последовательность О V g < m2 < ... Каждому полю 夕(”)с ненулевыми матричными элементами между вакуумным вектором и одночастичными векторами соответствует параметр тм такой, что векторы вида
0产(/)/"(/)dx Фо(13.50)
являются (не равными тождественно нулю) векторами с фиксированной массой ) тм, если fl 6 ” М) и носитель /"(夕)содержится в области
= {р е М: р2 < т^}(13.51)
(здесь т, — некоторый параметр, превосходящий т为).Замкнутая линейная оболочка векторов вида (13.50) исчерпывает подпространство 61 одночастичных состояний в 汇.
Интерпретация частиц как элементарных частиц или как связанных состояний (подобно общему случаю, рассмотренному в п. 12.1.А) осуществляется в соответствии с разделением полей з("), рождающих эти частицы, на фундаментальные и составные.
Упражнение 13.9. Доказать, что из условия LSZ.I следует существование таких свободных полей з；^) массы т^ (действующих в фоковском пространстве ① над одночастичным подпространством 5), что
〈%, 0产(0)0片)(")%〉=〈010^(0)0^2>/)10〉(13.52)
в области 0 6 G^. В частности, для скалярного поля 夕(力)представление Челлена-Лемана имеет вид
〈％,夕(力)夕匂)Wo〉= Z ： D^Xx — g) + ： j。，—)(/ - У)dp@) (Z > 0, m > m). (13.53)
Аксиома LSZ.I позволяет применить конструкцию Хаага-Рюэля для построения асимптотических состояний; при этом роль операторов рождения одночастичных состояний из вакуума играют операторы Ё〕0产(力)尸(力)前， где fl 6 ”М), supp 尸 и G*.“
Из следующей аксиомы LSZ следует унитарность 5-матрицы.
LSZ.II (Условие асимптотической полноты).
小=% =方。".(13.54)
Отсюда также следует, что в гильбертовом пространстве физических состояний % действуют две (различные при S # 1) неприводимые системы свободных полей — in-поля и out-поля:
0eх(死)(/)=Qex0:^)(/)Qex*,ex =m，ойt(13.55)
(см. упражнение 13.9). 5-матрица связывает между собой асимптотические поля. Примем, как в п. 12.1.В, соглашение Qm = 1, Qout = S*. Соотношение
夕。"(*)(/) = s* 夕也(飞力)s(13.56)
вместе с условием S|0) = |0) полностью определяет 5-матрицу через асимптотические поля. В частности, элементарному процессу
% + ... + 貝卜—> 无k+i + ... + xn(13.57)
(где «квантовые числа» х частиц параметризуются «типами» полей 夕(")) соответствует матричный элемент 5-матрицы между обобщенными векторами состояний с определенными импульсами частиц:
{^^Ч-рк^ 0也(元九)(_рп) ф0, S0in(4)(―夕卜)0E3)(力)％〉=
=(0。"(元k+i)(一夕卜+1)…0。ut(元叫一夕,)%, 0Е(%)(一夕卜)…0in3)(一2])%).(13.58a)
Правую часть этого соотношения мы условимся также записывать в виде
(0|0。m^)仇)...0。出(%+1)価+])0E(%)(一2J..0e3)(一2])]0)(13.586)
(в этой записи подразумевается, что out-поля действуют слева на «бра-вектор», как в формуле (13.58а)).
В действительности выражение (13.586) имеет также непосредственный смысл. Пусть X) есть множество векторов гильбертова пространства 方，входящих в область определения любой натуральной степени (р°)п оператора энергии.
Упражнение 13.10. (а) Доказать, что 幻 есть множество векторов W G 方 таких, что вектор-функция U^ Ф зависит от a G Л1 £°°-о6разом.
Доказать, что для любой функции / G ^(Af) оператор 7^x(”)(/) определен (вместе со своим сопряженным) на области X)и переводит ее в себя. (Указание: из оценки (7.124) для (бозонных) операторов рождения и уничтожения следует, что дех(”)(/)(*) определены (по замыканию) на области определения оператора，N〃 , где N” — число частиц типа м; так как Ж W m~iPQ, то ^ех(^)(/)(*)определен на X). Из соотношения
U(a)，х(〃)(/)(*)з 二,x(〃)(/a)(*)ug)弘
где /а(ж) = /(ж - а), следует, что ^ех(^)(/)(*)переводит X)в себя.)
Из упражнения 13.10 следует, что выражения 0ех(”)(@) являются операторными обобщенными функциями на области определения X), причем для любой функции /(@i, pn) G G ^(Мп) оператор
]0exi 8九(〃九)(0九)Кт，Рп)办01 d,Pn
переводит X)в себя.
В следующем упражнении рассматривается связь амплитуд процесса (13.57) и TCP-преобразованного процесса
Хп + …+ 〃k+i т 无卜 + …+ 无i・(13.59)
35 Н. Н. Боголюбов и др.
Упражнение 13.11. (а) Доказать закон преобразования для асимптотических полей при TCF-преобразовании:
6夕。％(〃)(/) б— = (—1 户产(〃%cj；t(〃)(_/)(13.60)
(ср. (9.62)).
Доказать следующие соотношения (выражающие свойство ТCF-инвариаитности 5-матрицы):
(О I，"(〃九)(/) ，ut(人+ 1) (@k+i) 0in(人)(_0k) 0gQ)(—01) I 0)=
={-^F/^J(Q\^^\pxY..^^k\pk^'^^(13.61)
(обозначения те же, что и в формуле (9.64)). (Указание: воспользоваться равенствами (13.60).)
Наконец, третья аксиома обеспечивает использование аппарата функций Грина.
LSZ.III (Существование Т-произведений). Т-произведения Т(夕；；'(力1)... …夕;”"(力冷))являются операторными обобщенными функциями умеренного роста, удовлетворяющими всем условиям (13.2). Результаты сглаживания 〃х с основными функциями являются операторами, определенными вместе со своими сопряженными на области D (того же типа, что в аксиоме Уайтмана W.IV) “ оставляющими ее инвариантной.
В следующем параграфе мы займемся следствиями из перечисленных аксиом.
13.2. Асимптотические условия и формулы редукции
А. Асимптотические условия LSZ. Леман, Симанзик и Циммерман (1955) сформулировали асимптотическое условие в терминах слабой сходимости для операторов *)
j /(/)90 в(")(力)/力，(13.62)
XQ = t
где /(ж) — решение уравнения Клейна-Гордона в классе 斤(7?з),匸 е. имеющее вид
貝力)=]@。*+(p)+ S(p))婴，(13.63)
G 三以死=Jp2 + 加^ ；(13.64)
входящие сюда функции 九±(р) принадлежат классу 斤(7?з). Постулировалось, что
力工％j /(/)^0(死)(力)歩力3)=j /(力)^0ex(〃)(/)//3)(13.65)
' 力。=力/\ 力。=力/
на некотором плотном в X множестве векторов Ф, Ф. Входящие сюда асимптотические поля 夕ех(*) удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона
к产)дeх(〃)(/)三(办%+m"0eх(死)= 0.
Введем
衣产)夕(*)(/) = /")(/);(13.66)
это так называемое токоподобное поле. С помощью асимптотического условия получается соотношение между квантовым полем 夕(力)и асимптотическими полями 夕ех：
0(飞力)=夕e(火力)+ ]0把(/-у)产"X)d4y =(13.67a)
=0。ut(叫力)+]0工：(力一g)力叫力)d4g (13.676) ret
(где Dmy (力)—запаздывающая и опережающая функции Грина свободного скалярного поля). Вычитая эти уравнения одно из другого, получим связь между асимптотическими полями:
夕。ut(〃)(z) = *(〃)+]_ y)j5)(y)d4y(13.68)
(где Dm{x) — перестановочная функция Паули-Иордана). Соотношения (13.67), (13.68) называются уравнениями Янга-Фельдмана.
Следуя Хеппу (1965а), мы покажем, как можно вывести асимптотическое условие и формулы Янга-Фельдмана из аксиом LSZ. Для этого (с помощью формул типа (12.6)) введем операторные обобщенные функции
"(")(/)= I DM9Q^\x + y)d3y,(13.69)
yQ=t
т. е.
/*)(°)= {%У+ 々丁 e_(0°+^)力} 0(*)(夕)，(13.70)
и положим, как обычно,
"(*)(/) = ] “(*)(力)貝力)泪力 при / 6 Я^)«(13.71)
Тогда по теореме 12.1 (Хаага-Рюэля) существует предел (в сильной топологии в %)
力工% ①力=Фех,(13.72)
Где①力="出)(力)…"("叫倉)|0),(13.73)
Фех = ух(*1)(力夕 ex(〃n) (/n)| 0)(13.74)
при условии, ЧТО fj е "G^J.
Упражнение 13.12. Доказать, что при 方 G #(Af) выражение〈。|夕(*"“(力)夕“匆寸力)|。〉 имеет предел при t т 干ос; если mi 力 7n2, то этот предел равен нулю. (Указание: рассматриваемое выражение состоит из четырех слагаемых вида
I /(土旬⑺ ±“2(。))力评(0)歹(0)dm
которые после интегрирования по @° записываются в виде
I /(土旬⑺±“2(Р))%(р) d3p,где Цр) е #(戸)
на основании следствия 12.9; далее воспользоваться известной теоремой Римана о преобразовании Фурье интегрируемых функций; см. [ТЗ], т. 3, гл. XIX, п. 717.)
Лемма 13.3. Пусть fj 6 斤(G〃J, / 6 斤(Af). Тогда
』% d()⑴0力⑵)(力d(^)(九) 10)=
=。ex(*)(/)0ex(刊)(力)…夕ex(〃n)(%)I 0)(13.75)
6 слабой топологии в Ж.
Обозначим выражение под знаком предела и правую часть (13.75) через W” и Фех. Вначале покажем, что вектор-функция Ф^ ограничена по норме. Для этого разложим (Ф^, W%〉 по усеченным вакуумным средним. Как и в доказательстве теоремы Хаага-Рюэля (п. 12.2.Г), n-точечные усеченные вакуумные средние с п > 3 стремятся к нулю при т ос. Двухточечные вакуумные средние при 力 т ос также имеют пределы (см. упражнение 13.12), поэтому (Ф^, W%〉имеет предел и, значит, ограничено. Теперь достаточно доказать предел
Ji%〈①，期〉=(Ф, Фех)(13.76)
для векторов вида Ф = Фех (13.74), поскольку такие векторы образуют тотальное множество в 力 Воспользуемся тем, что
Фех = Ji% 炉
по норме; тогда равенство (13.76) будет следовать из предела
lim (Ф\ 期〉=(Фех, Фех),
которое доказывается тем же рассуждением, что и доказательство существования предела lim (Ф^, W%〉 (т. е. разложением по усеченным вакуумным средним и применением упражне
ния 13.12 к двухточечным вакуумным средним). А
Теперь мы исследуем скорость стремления к пределу в (13.72) в предположении, что носители fj попарно не пересекаются в пространстве скоростей, т. е. что
£乩#£门 ПРИ 〃#九 если pi 6 supp/г, I = 1,, п. (13.77)
В этом случае мы будем называть функции 力 непересекающимися в пространстве скоростей. Оказывается, для таких 力 выражение под знаком предела в (13.72) отличается от правой части на величину o(\t\~N), где N — произвольное натуральное число. Точнее, справедлива следующая лемма.
Лемма 13А Для неперекрывающихся функций /1, ..., /п в пространстве скоростей, где 力 6 夕(G〃J, имеют место неравенства *) при всех N > Q:
||® (0了(力)『(爲))叫W ^(1 +用「(13.78)
(eOe cN < оо).
Разложим квадрат левой части (13.78) в сумму произведений усеченных вакуумных средних. Как и в доказательстве теоремы Хаага-Рюэля, все одноточечные функции и все произведения, содержащие только двухточечные функции, равны нулю. Поэтому следует учитывать только /-точечные усеченные функции с Z》3. Типичное слагаемое может быть записано в виде
WT(P1, , pi)f\(p\)...fk(pk) fk+l(~Pk+l) ...fi(-pi) X
x U (4 j" e~2(吃±%)] d^pi ... d^pi,(13.79)
где Uj =. В силу условия I > 3 общий случай сводится к одной из следующих трех
возможностей:
а) к》3,6) Z — к》3, в) к》1, Z — к》1.
Остановимся подробно на первой возможности к》3. Тогда для некоторой пары значений j = 1, 2,, к знаки у 土сс^・ в (13.79) одинаковы. Для определенности мы будем предполагать,
что перед gi и &2 стоит знак «+» (остальные случаи совершенно аналогичны). Учитывая трансляционную инвариантность, мы можем переписать (13.79) в виде
I
[Fg ・.・，pi)e~at П &仍，(13.80)
где
歹(02,…，化)=]WT(P1, , pz) /l(pi)A(Pfc) A + 1(-Pfc + 1) /z(-pz) X
3 = 1 ''3=2
есть функция из «(尺弘％-】))(в силу следствия 12.9); более того, это функция 3)(i?3^-1^), так как fj 6 夕(G〜)；кроме того, мы положили
a(p1，…，化)Л (工门)+g2(p2)+ 工土山(&).\7=2/k=3
Это гладкая функция от р2,... тей, тоас _ 阪―Это гладкая функция от р2,... тей, тоас _ 阪―,р「Так как /1 и 力 не перекрываются в пространстве скорос-
Это гладкая функция от р2,... тей, то
ас _ 阪―
Это гладкая функция от р2,... тей, то
ас _ 阪―
3=2
в точках носителя F. Отсюда следует, что существует такое разбиение единицы ai(p2, ..., pz), з.
т. е. тройка ^^-функций а° с суммой £ а分三 1, что ^Q/др^ 力 0 при (р2, ..., рг) GsuppF ・ао.
Тогда замена переменных @$ т С регулярна в окрестности supp F • а* следовательно, функ-
(02,…，化)8(p2,…，化)e0U d3pj
принадлежит #(K) по переменной t при t = 1, 2, 3. Отсюда следует, что выражение (13.79) убывает быстрее любой отрицательной степени |t| при 力 т ос, что завершает доказательство оценки (13.78).
Случай (б) совершенно аналогичен (а). Наконец, рассмотрим случай (в). Из аксиомы LSZ.I следует, что в области @i G G^x имеем %&} wT(pi, , рп) = 0, так что мы можем ограничиться случаем знака «-» перед gi в экспоненте (13.79). По аналогичной причине мы можем считать, что ±з в (13.79) означает +д. Как и в случае (а), мы записываем (13.79) в виде (13.80), где теперь
a(p2,…'化)=-G1 工匕 +⑵(化)+工 土心(&)•\ 7=2/к=2
Так как 力(@1) и fi^pi) не пересекаются в пространстве скоростей, то
翳(у)翳(у),11 , 1 / п+5化=石a+則化?°,11 , 1 / п+5化=石a+則化?°
翳(у)
翳(у)
,11 , 1 / п
+5化=石a+則化?°
,11 , 1 / п
+5化=石a+則化?°
в точках носителя F (заметим, что в (13.79) аргументом для /% является —0%). Дальнейшая аргументация та же, что и в случае (а). А
Векторы, которые могут быть записаны в виде (13.74) с функциями 力 6 夕(G±J, не пересекающимися в пространстве скоростей, — это векторы фоковского пространства %т с попарно неколлинеарными импульсами частиц; здесь
G^ = {ре М ±р° > 0, 0<р2 < т^}.(13.81)
Через Dqx (ex = in, out) мы обозначим множество линейных комбинаций всевозможных таких векторов. Из определения пространства Фока релятивистских частиц (п. 7.3.А), очевидно, следует, что Dex является всюду плотным пуанкаре-инвариант- ным подмножеством в 方ех _ %.
Оказывается, операторы А из полиномиальной полевой алгебры можно определить (по замыканию) на векторах из D^. Имеем
①。ut =①力—j Ф5 ds,(13.82)
t
поэтому ПОЛОЖИМа
4①。ut = 4①力_j A生①s ds(13.83)
t
(аналогично определяется АФ1П). Воспользуемся здесь оценкой
m為炉1卜1叫(13.84)
По лемме 13.4 первый сомножитель в правой части этого неравенства убывает быстрее любой отрицательной степени |s| при s — оо; что касается второго сомножителя, то нетрудно убедиться (используя определение Ф5), что он полиномиально ограничен по s. В результате || А ^ Ф51| убывает быстрее любой отрицательной степени \s\, и потому определение (13.83) имеет смысл. В частности, если А есть сглаженный моном типа (8.8), то, уточняя оценку для || А*А Ф5
(где с, I, т, L — некоторые числа), нетрудно видеть, что АФех — 0 при /0
в ^(7И), т. е. что выражения типа 夕;；)(力1)…夕;:脑(力冷)можно рассматривать как операторные обобщенные функции, определенные также на Dqx.
На этой основе можно теперь вывести асимптотическое условие LSZ.
Теорема 13.5. (а) Пусть Фех 6 D^ и fj 6 斤(G〃J при j = 1,,八.Тогда имеет место предельное соотношение (б смысле сходимости по норме в 方)：
lim)(力)…d("脑(/п) Фех =夕 ех(〃1)(力)夕 ex(〃n) фех(13.85)
力一力ex
(方ex = —оо при ex = in U 方ex =十改佇〃 ex = out).
Пусть Фех 6 D^, / 6 斤(Af), тогда
Ji疆 “(*)(/) Фех =夕ех(〃)(/)①ex(13.86)
6 слабой топологии в 力
< (а) Для определенности положим ex = out. Согласно (13.83) имеем:
w I卜з(力)."(^)%)£炉I辰 (13.87) t
Оценка типа (13.84) показывает, что подынтегральное выражение в (13.87) может быть мажорировано функцией CnU + |t|)L(l + |s|)~N, Где 力 фиксировано, a N произвольно. Отсюда следует, что левая часть (13.87) стремится к нулю при t т +ос. Предельное соотношение (13.85) теперь следует из того, что (по теореме Хаага-Рюэля)
d(Q)(力)…d(〃叫%)岁 T 9。"(人)(九)…3。世(〃叫%)①out при t T +8 по норме.
Оценка типа (13.87) дает
^^\f) Фех - '〃)(/)①II т 0 при t т tex.
По лемме 13.3 中认")⑴①1 - 7^(〃)(力①ex при 力 т ±ех в слабой топологии, откуда следует (13.86). А
Замечание. Конкретный вид множителей (以±夕。)/2G в (13.70) в действительности не очень существен; важно лишь, что (s+夕。)/2s равно единице на Г+ и нулю на Г~, a (s —夕°)/2G равно нулю на Г+ и единице на Г~. В некоторых случаях удобнее пользоваться множителями с определенными свойствами носителя. Введем произвольную вещественную функцию А(")(夕)из класса Ом(М) со свойствами:
supp А(")и G+,А(")(夕)=1 при р° = G〃(p),
и определим (при / е 斤(加))операторы
。(")(/；方)=%(")(/)/(/；方)d力，(13.88)
где
/(力；方)=］「分网仆⑺⑶&科一^g加+A⑵火一如&科+^⑺))/^)^售(13.89)
Повторяя почти дословно доказательство теоремы Хаага-Рюэля (п. 12.2.Г), легко показать, что при 力 6 外加)имеет место предел (по норме)
宀% 夕 ％)(力⑴…片脑(九；川 0)=夕 ex®)(力夕 ex(%0 (/n)| °) .(13.90)
Для основных функций fj 6 O(G±), не перекрывающихся в пространстве скоростей, вектор (13.90) принадлежит D^. Считая, что fj е ^(7И) и Фех е D^, мы получаем наряду с (13.85) предельное соотношение в топологии нормы:
9>)(力⑴…0⑵叫з；"①eх = ^x8)(力)…产(*叫%)①eх. (13.91)
Б. Уравнения Янга-Фельдмана. Покажем теперь, что формально написанные уравнения Янга-Фельдмана (13.67) также могут быть осмыслены как равенства на Dqx; при этом четырехмерные свертки понимаются в смысле пределов (векторных обобщенных функций):
Гр—ipx〜
]/3•匂)d4g ①=_g吧。 J(0° ± 辽)2 一 状一加2 八0)① d4P.
Теорема 13.6. При Фех 6 D^ и т = тм выполняются уравнения Янга- Фельдмана
ininin f retin
夕(死)(力)①。ut 二夕out(〃)①。ut + padv (x _ ^) j^\y) фо^ ^yt(13.92)
< Мы ограничимся случаем ex = out. Произвольную функцию / 6 9(Л1) можно разложить в сумму / = /1 + /2 так, что supp /1 6 G^, a supp /2 содержится в множестве |р2 — m21〉а (а〉0). Обозначим
=6'")(力)①
С помощью оценки типа (13.87) легко видеть, что
|f⑴一糸 d(〃)(力)叫 一о при
быстрее любой отрицательной степени t. С другой стороны, как следствие из доказательства теоремы Хаага-Рюэля
II偌…)(力))叫 Wconst・(l + |")-3/2, поэтому
||F(t)|| w const • (1 + 用)一3/2.(13.93)
Отсюда получаем
^Щ Ф°^ - ^МЩ Ф°^ = - lim [尸(s)ds = — lim lim [ e~£tF{t)dt (13.94) t一>Т~оо Js—>T~0 t~>Т~оо J
00
(первое равенство написано на основе теоремы 13.5, второе — на основе оценки (13.93)). Воспользуемся определением F(t):
lim [ e-£SF(s) ds =
j+oo J
Нетрудно видеть, что
一]』(J* 一 )5一「(宀齐3)dsT 一"一汨2)p2. 而一0) 0
при t т +ос в топологии 9(7И), поэтому
宀％J(0。——0)У)(0)①
о
Подставляя это в (13.94), мы видим, что уравнение (13.92) выполнено при сглаживании с основной функцией 力(/)・
Поскольку
（00 _辽产）^ _ m2（p2 -川）拉一0）-融-0）ПpИ g t +0
в топологии 9（7И）, то имеем тождество
*）（/2）= ] D’et （岔—и） j"）匂）力（力）dx dy.
Так как по построению носитель Д не пересекается с массовой оболочкой, то 夕°"（”）（/2）= О, так что уравнение （13.94） выполняется также при сглаживании с 力（力）・ А
В. Частичные формулы редукции. Леман, Симанзик и Циммерман нашли следующую интересную формулу, подсказанную теорией возмущений:
（010产3）…0产価）0匕b^+）..需（_0川0）=
= 口 躡с ⑵）I Kg …KXn （О I Т（夕 1（力 1）夕7Z（力тг））。）X
X 口…口 dxx...dxn （13.95） 2=1 片k+1
（здесь импульсы pi e G+ , ..., pn e G±九 попарно неколлинеарны）. Согласно этой формуле вычисление матричного элемента оператора рассеяния между двумя обобщенными векторами состояний с определенными импульсами частиц можно разбить на два этапа: вычисление преобразования Фурье ампутированной *） причинной функции Грина взаимодействующих полей и сужение полученного выражения на массовую оболочку. Обширный класс соотношений, в которых происходит подобная замена «частицы поля», принято вслед за Леманом, Симанзиком и Циммерманом называть формулами редукции. В этом пункте мы выведем некоторые важные для дальнейшего формулы редукции, в которых переход от частиц к полям производится только для части импульсов. 〜
Сужение обобщенной функции 戸（夕）из £（7И） на массовую оболочку Г+ хорошо определено, например, в том случае, когда 歹（夕）в окрестности Г+ можно рассматривать как обобщенную функцию от р, непрерывно зависящую от параметра А = =р° — s（p） （случай нескольку импульсов аналогичен）. Вообще же операция сужения обобщенной функции 歹（夕）на массовую оболочку Г+ и эквивалентная ей операция умножения 歹（夕）на 8^（夕）не определены. Мы будем определять такое умножение посредством
j c（p）戶0）7（-p）必夕=』% ] 二忙5?力戸（夕）f（一夕）山夕（13.96）
邑 том случае, когда предел в правой части существует для всех основных функций / е 斤（G£）и зависит только от сужения / на Г~. Тогда мы будем пользоваться для правой части координатным представлением
]麓（夕）戸（夕）f（一夕）d4夕=jь（力）"（力）泪力，（13.97）
где
"(力)=］躡(一夕)?(夕)ёТ0"d4。(13.98)
(разумеется, правая часть равенства (13.97) сама по себе не определена, так как и(х), вообще говоря, не есть основная функция, и формула (13.97) выполняет роль определения). Аналогично определяются произведения 歹(夕)с 5~ (р),歹(夕)с 27r£(夕°) 8(夕2 — m2) = 8^(夕)—J" (p). Умножение обобщенных функций от нескольких импульсов на 口 8^。(夕力(как в формуле (13.95)) выполняется последовательно по i= 1
каждому импульсу; если не оговорено противное, то подразумевается, что такое произведение не зависит от порядка умножения.
Упражнение 13.13^Доказать, что данное выше определение произведения 2тг£(р°) х х Ь(@2 — т2) и (о? — т2)歹(0)можно записать в виде
—j 2тгг£(р°) 5(р2 — т2){(р2 — m2) F(p)} /(—@) &4@ = ( J半 一 Jm )］歹(力)/(力；力)&力，
〜J(13.99)
где f(@) e 9(G打
Также весьма полезным для вывода формул редукции оказывается понятие существенного носителя основной функции. Пусть /丁(力)есть функция из ^(7?п) по переменной х, непрерывно зависящая от вещественного параметра г, стремящегося к оо (случай нескольких параметров аналогичен). Будем говорить, что существенный носитель основных функций /т при 丁 — оо сосредоточен в открытом множестве 夕 С Rn, если
tn j F(x) /т(ж) dx 0 при 丁 т оо
для любого N и для любой обобщенной функции F е ^(7?п), равной нулю в Ь. Это понятие позволяет при вычислении предела lim J 歹1(力)%(力)dx заменять с точностью до 0(丁一~) обобщенную функцию 尸1 (力)другой обобщенной функцией 用(力)， совпадающей с 歹i(z) в 自.
Упражнение 13.14. Показать, что если Q = Rn\€ есть канонически замкнутое регулярное множество (см. дополнение А.2) и
TN\\fr\\?jm о при
для всех натуральных I, т, то существенный носитель функций /т при т т ос сосредоточен в夕.
Лемма 13.7. Пусть f,gW”M), тогда существенный носитель функции /(力；方)g(y) при 方—оо (соответственно при t — —оо) сосредоточен в множестве К+ = {(/, у) 6 届： 力о〉у。} ^соответственно в множестве К~ = {х, g) 6 М2: 力。< у°})・
< Для любых полиномов Pi(/), Qi{d/dx) имеем )
~(/)Qi 医)/3 ^) = | e-ipxFi (一鳴){/5°3飞1 (—初 f(0)}d40 = =
где L есть степень полинома Fi； щ — некоторые функции из 9（7И）. Проинтегрировав по р°, имеем также厶
Pi（/）Q 医）/3 t） = ^2tk \ V1（P^ 丿-t） e认Pit）（1зр,2=0」
где vi 6 乡（/?4）. Пользуясь оценкой типа （12.47） для решений уравнения Клейна-Гордона, получаем следующую оценку при любом N > 0:
（13.100）（13.100）|n⑺ & （ж） f^ ^| <c^^ + ^^^1 + 1ж° - ^~N^力〉°・
（13.100）
（13.100）
В результате для любых полиномов ~, В, Qi, Q2 мы получаем оценки с любым N > L: （,%」'1（АВЗ）& 忌）Q （备）/3 "g（g）| w
W 4 SUp {（1 + У （1 + |i —幻-Ri + 川|）-N} <
（х,у）ек~
W 厶 sup { （1 +力产（1 + \xQ — yQ — t\） N} W C;v（l + 力产 N при t > 0.
（х,у）ек~
Таким образом, ||/（力；t）д（у）\\цт т 0 быстрее любой отрицательной степени t при t т +ос, откуда следует утверждение леммы. А
В следующей теореме приведены редукционные формулы, используемые при исследовании аналитических свойств амплитуд двухчастичных процессов, определяемых посредством
（0|0。"（"4）（夕4）0。阳3）（3）0in（*2）（一02） 0in（*i）（一0］）］0）—
-（01 0e（"4）（夕4）0е（〃3）（曲）0E（"2）（一他）0ES）（一2 j ］0）=
=г（27Г）45（p1 + 夕2 一03 —04）夕（"4々*2*1）（夕4,夕3,一02,一0 1）, гДе Pj G G^,.
Теорема 13.8. Имеют место соотношения *） при pj 6 G^: （27Г）45（Р1 + 夕2 ―爲一夕4）夕（""2*1）（夕％ 夕3,—夕2, -Р1）=
=^2（P2）5^3（p3）{（pl - m^Xpl - тх
xа^\рзy, 0（汝）（一02））0（々）（一夕1）10）},
=-4U 0 1）整2（夕 2）｛（诉-m?）（场-履）40（"2）（一2 2）； 0%）（一0 1））1 0）｝,
亍（汝）（一夕2）0ms）（一0 1）10）=
（13.101）（13.101）（13.102）（13.102）（13.103）（13.103）（13.104）（13.104）=5^pi）｛（pl - m^（pl - т^ A（^2\^ 0（吃）（—夕 1）） 10〉｝.
（13.101）
（13.101）
（13.102）
（13.102）
（13.103）
（13.103）
（13.104）
（13.104）
< Пусть fj G 9(G£/ при / = 3, 4 н % G 9(G^) при j = 1, 2; тогда имеем по определению
分］(27Г户Ь(01 +02 — 03 — @4)夕(04, 03, —02, —01)3—@4)£(—03)$(02)J1(01)^401 …&4@4 =
=(lim — lim ) lim ［〈019(力)9⑺9(g)9(力)10〉/3(/； s)力(g；方)厶电.(13.105) \ s^ + oo ST —ОО,力т —OO J
Воспользуемся леммой 13.7 и тем, что
9(/)з(д) = -га^X^ 93)) 土 93)9⑺ при х〉yQ.
В результате можно записать
(lim - lim ) lim (一初［〈019(力)4(9(/)；9(g))9(力)1о)/3(/； s)力(g；方)d力电 土 \ S — +OOST —8丿 t—_gJ
土 (0I^in(/4)9e(力)(9。*力)-9r/3))9r力)⑼.(13.106)
Учитывая носитель /з, имеем
〈ОМ'，％)^,%) = (0 |^in(/4)^in(/2)10)(01，
так что второе слагаемое в (13.106) равно нулю; в первом же слагаемом по лемме 13.7 lim
можно заменить на lim — lim . Упражнение 13.13 позволяет теперь записать равенст- 力 Т —СЮ 力— + сю
во (13.105) в виде
分］(27Т)力01 +02 — 03 — 04)夕(04, 03, —02, —01)加一04)石(一03)拉02)/1(01)质01 … 由04 =
=分］吼2(死)福(03){就-"力笳-加力〈010(力)4(0(03)； 0(-02)) 0(一01) 10)} X
* 加一04)糸(一03)石(02)齐(01)d401 …d404.
Докажем теперь формулу (13.103). При 方 G ^(G^) имеем
j {^°Ut(-p2)^°Ut(-pi)-@2)0in(_m川 o〉£s)齐 3)&如 &4此=
=f lim - lim ) lim ［夕⑺夕(沙)10〉力(力；s)力(g；力)d/出・(13.107) \ s^ + oo ST —OO, 力T —OO J
Воспользовавшись леммой 13.7, мы можем переписать правую часть в виде
(lim - lim ) lim (一初［4(9(/)；9(g))10)力(/；s)力(g；方)厶电土
\ s^+oo ST —ОО,力т —OOJ
± ( lim — lim ) lim ［9(д)9(/)丨0)力(/；s)力(g；方)d/d沙.
\ s^ + oo ST —ОО, 力 т —OO J
Второе слагаемое здесь, очевидно, равно нулю (так как J 夕(力)/2(力，s)d/|O〉не зависит от s), а в первом слагаемом мы можем (по лемме 13.7) заменить lim на lim - lim . В резуль- t—> --0еt—> ——oo t—>+。0
тате (с учетом упражнения 13.13) (13.107) записывается в виде
一分］吼1(01)吼2(02){(届一浦)(后一謁)4(0(-02)； 0(一01)) I0〉} ^(02)J1(01)a401 d402,
что доказывает (13.103).〜Наконец, для доказательства (13.104) сгладим правую часть с функциями /1 е 乡(G^),五 е 9(G〃2)：
］J(-P2)^m(-pi) 10) Л(Р2)/1(Р1) dpi dp2 =宀又)К 力夕⑺夕3)|0〉/2(力)力(g； t) dx dy.
Опять с помощью леммы 13.7 это выражение преобразуется к виду
lim (一初［к»(9(/);93))/2(/)力 3； "d/dg 土 lim 9(力；W(力) ］0).
右 Т —СЮJ右 Т —СЮ
Второе слагаемое здесь равно нулю в силу того, что
/0)丨 °〉= ° при р < т^(13.108)
(согласно аксиоме LSZ.I). В первом же слагаемом lim может быть заменено на lim — t—> - oot—> - 0о
—lim . В результате мы приходим к формуле (13.104). А
Теми же рассуждениями доказывается следующий результат.
Упражнение 13.15. Показать, что если Фех, Фех 6 D^, то справедливы следующие редукционные формулы (в смысле обобщенных функций по р, pi, , рп\.
〈①。"，{0仇)7(0一仇_1) ...013))干 7(01仇—1) ...0i(0i)) 0力优)} Ф1n)=
=—2тг辽(曲 b就-底){(忌-碣)〈①叫 7(0九仇)0…仇—1) ...0i(0i)) Ф1П)},(13.109)
〈①吗［0^仇)，秋风一仇一)…0］3)；0(0))］干w吟二
=—2穴£(成)5就—??4){(冠—??4)〈①m, R^n(pn) ^n-i(pn-i)^1 (pi); ^(p)) Ф1П)}, (13.110)
〈①。"，［0尸仇)，4(0*i仇—i)...0i3)；0(@))］干旷〉=
=—2穴£(成)5(0^ —?т4){(0^ —??4)〈①。", A(^n(pn) ^n-i(pn-i) ...^1(P1)；。(0)) ^out)}, (13.111) (Здесь, например в равенстве (12.109), подразумевается, что 夕°"(/) действует слева на «бра- вектор» ① °".)
Г. Редукционные формулы для матрицы рассеяния. Перейдем теперь к редукционной формуле (13.95). Она получается многократным последовательным применением формулы (13.109). Попарная неколлинеарность импульсов существенно облегчает переход на массовую оболочку. Для получения результатов относительно поведения преобразования Фурье ампутированной причинной функции Грина нам понадобится следующая лемма.
Лемма 13.9. Пусть ti, , tn — вещественные переменные, пробегающие сектор ti = t = max 方|, и пусть основные функции 力 е ®(G+ ) имеют
J = ,п5
непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Тогда существенный
носитель основной функции *) 口 力•(力厶 匕)пРи 方—00 сосредоточен в множест- 1
ее Ф = {(力 1,, Хп) 6 Мп:力 1 - Xj 6 M\U при 7 = 2,,八}, где U = {х е М:
力° > р\х\} (° — произвольное фиксированное число из интервала Q < р < 1}.
< Достаточно показать, что
* sup JlPj^x^Qj (^77) fj(xj- tj) т0 при 力 тос, ж： Xl-XkEu 昌
где Pj и Qj — произвольные полиномы и к = 2, ..., п. Для определенности мы рассмотрим случай п = 2. Так как для функций fj(xj;匕)имеют место оценки типа (13.100), то, очевидно, достаточно показать, что
tL sup 1F(/1,/2；方1,方2)1(13.112)
X[—X2EU
стремится к нулю при 力 т ос для всех натуральных L, где
Рассмотрим вначале случай 力一友〉〃力(t = max{|ti|, |^|} = ti), где 77 — фиксированное положительное число. В этом случае оценка типа (13.100) позволяет мажорировать (13.112) выражением вида
Qv(i + 力严(1 + ⑶—幻—N(1 + 园-t2\yN W 4(1 + \t\rN+M(13.113)
при некотором M и любом ^; здесь использовано, что /? — /?〉О и 友一力1 〉〃九
Теперь мы будем считать, что 力一友 < 〃力 где ту — положительное число, которое будет зафиксировано ниже. Пусть Kj есть окрестность множества {丐出•： pj 6 supp fj}, j = =1, 2. Согласно условию леммы K\ и К? можно выбрать непересекающимися ограниченными множествами; более того, можно считать, что существует такое положительное ту из интервала 0 < 77 < 1, что расстояние между множествами К\ и аК? при всех 77 < а < 1 превосходит некоторое положительное число г. Результат упражнения 12.10 позволяет усилить оценку (13.100):
回力)％ (柒)方⑺I < CnU + ①I + \tj\rN при Xj 0 tjKj.
Поэтому, если дополнительно считать, что в (13.112) либо %i 0 力 1К1, либо %2 0 力2K2, то требуемая оценка становится тривиальной. Остается рассмотреть случай %i G £iKi, %2 G 力2%・ Тогда |%2 — Xi I > rt и (так как %i — %2 ^ U) /? — /?》prt, где p п г — фиксированные числа. Опять для F имеем оценку типа (13.113), что завершает доказательство. А
Основной результат настоящего раздела формулируется следующим образом.
Теорема 13.10. Ампутированная причинная функция Грина в импульсном пространстве 口 (-р^ + m^) т(рь , Pk^ -夕k+i,…，-夕冷)становится ^^-функцией по переменным 夕，一&i,…，夕^ — s冷 в окрестности начала координат после (замены переменных 書一書—cjju) сглаживания с произвольной основной функцией ^(рр , рп) из 5(”)，где
"={(，，…，Яг)еН叫以丁夕―以九 при j^k}・(13.114)
Для попарно неколлинеарных импульсов 夕i,…，夕冷 e『+ амплитуда рассеяния связана с причинной функцией Грина соотношением
(о I 0。阳羽)30out(*Q (%) 0in(*M)(―狄+1) 0in(*”)(—pn) I 0〉=
=(-*"(口 彼(>j{(口 (pj-m^T^' -^Xpi, ...,pk, -pk+i, -pn)j>- (13.115)
< Как уже отмечалось, формула редукции (13.115) получается многократным применением формулы (13.109). Остается доказать, что обобщенные функции
П 就一碣)〈。10°"(01) •••0°"(0k)7(0(±0k+1)…0(土制))0r-02 + 1)0П)I。〉
片 k+1(13.116)
являются классами £°° по р^+1 — Шк+\, ..., ^ — ui в окрестности нуля после интегрирования с основной функцией ^(рр , рп) из 夕(/) и интегрирования по 仪 ...，能做十、，...，蒔 Достаточно ограничиться случаем, когда 吵(р「...，р^) имеет вид произведения 口 ^j {р-).
(Действительно, существенно только свойство носителя, и общий случай не намного сложнее: если носитель 吵 содержится в прямом произведении множеств, не пересекающихся в пространстве скоростей, то доказательство совершенно аналогично; общий случай сводится к этому подходящим разбиением единицы в Ж)
Доказываемое утверждение означает, что выражение
I(tk+i,7(9(以+1)(◎))产(力+])R%)%)义
* II 系 方(3；芍)"3 (13.117)
является основной функцией класса ^{Rl~k) по переменным t^+i, ..., ti, если носители функций fj 6 夕(G^3)не пересекаются в пространстве скоростей. Поскольку все производные по tj от бесконечно дифференцируемой функции (13.117) вновь имеют вид (13.117), то достаточно показать, что при любом натуральном N
九+1,…，力)т 0 при t = max \tj \ ос.
Для определенности рассмотрим сектор tfc+i = t (остальные секторы совершенно аналогич- % (—)
ны). По лемме 13.9 существенный носитель функции 口 fj{xj;匕)при 力 т ос сосредоточен в множестве」
〃 ={(хк+1, Xi) е Ml~k: хк+1 - Xj 0 и, j = к^2,I}.
Тогда с точностью до членов o(t~N), где N произвольно, мы можем в (13.117) заменить 7(夕(/小十1)... 3(/%)) на з(//с+1) 7(夕(/小十2)• • •夕(力2)), так как оба выражения совпадают в 〃.
Остается доказать, что выражение
T(九+ 1,力)=I〈9。"(九)…")ut(力)%,9(з+ 1)7(9(以+2)(◎)) X
х^п(//+1)...^п(/п)Фо) П ^fk^tj)dXj (13.118)j=k+l 3
убывает при 力 т ос быстрее любой отрицательной степени t. Неравенство Шварца позволяет мажорировать модуль (13.118) выражением
糸(]9(以+1)(/(以+1； /)d/k+i)9。"(九)…3。世(力)% x
义 "T(3(以+2)(/П))П 7(g；芍)dgse(力+i)…3e(%)% • (13.119) "」j=k+2
Как следует из доказательства формулы (13.85) (или ее аналога — формулы (13.90)), первый сомножитель в (13.119) стремится к нулю быстрее любой отрицательной степени t; второй же сомножитель полиномиально ограничен по 方.В результате (13.118) убывает быстрее любой отрицательной степени t. А
Обратим внимание, что через одну и ту же функцию Грина выражаются амплитуды различных реакций (называемых каналами, ассоциированными с данной функцией Грина). Например, через четырехточечную причинную функцию Грина 丁(*j*4)(夕 1, , р4) выражаются амплитуды шести элементарных процессов
xj + 〃卜一> х/ + xm,(13.120)
где 0，卜，％，加)есть перестановка чисел 1, 2, 3, 4. Это обстоятельство лежит в основе перекрестного соотношения (т. е. связи посредством аналитического продолжения между амплитудами, скажем, каналов xi + Х2 хз + х< и xi + хз Х2 + 无4, возможно, отличных друг от друга и не связанных между собой обычной симметрией типа СРТ и т. п.). Как мы видели в п. 7.3.Е, кинематику процессов (13.120) удобно описывать инвариантными переменными s,方，и (7.181), где импульсы пробегают массовую оболочку процессов (13.120):
Pi + 夕2 + 夕з + 夕4 = о,(13.121)
仍飞嗎,，L1,…，4.(13.122)
Роль квадрата полной энергии в системе центра масс процессов
〃1 + Х2 ~死3+死4,死 1+ 死3~死2 + 死4,死 1+ »4 ~死2 + 死3(13.123)
играют соответственно переменные s,方，“，поэтому эти процессы (или ТСР-пре- образованные процессы) называют соответственно s-, t- и-каналами.
Из теоремы 13.10 следует формула Циммермана (1959) об одночастичных особенностях причинной функции Грина.
Упражнение 13.16. Доказать, что для попарно неколлинеарных импульсов р、，...，р^ в окрестности массовой оболочки / = m^ имеет место равенство
厂(01, , 0九)=lim ^J^(pj —碣 + 辽)П(0” 碣)т(рь , pn) >(13.124)
(причем выражение в фигурных скобках зависит £°°-о6разом от 讲 土 е,...，成土 以九 в окрестности нуля). ^У к а з а н и е: пусть носители fj 6 夕(G^,) попарно не пересекаются в пространстве скоростей. Будем считать, что функции %(/; t) выбраны в виде
Тогда при 1 к < п функция
F(ti, ..., tn) = 丁(力1力九)][fj(g； G) ][ fj(3； —tj) dxi ... dxn片 1j=k+\
является функцией класса a ^^ 歹(力i,, tn) G ^(Rn\, кроме того,
九电小..a力_1f(館")= ° (при iwy 叫
Получить отсюда формулу
F(O) = £limo(-ir I 如…J dtne-^...^_^ о о
и привести ее к виду
F(0) = Ji半° 卜3,F(0) = Ji半° 卜3,• , 0储 Pk+l,• , 0储 Pk+l,к 2 _2〜
F(0) = Ji半° 卜3,
F(0) = Ji半° 卜3,
• , 0储 Pk+l,
• , 0储 Pk+l,
j=k+i 円_77b 十 2£，
Физически интересны реакции, в которых две частицы переходят в несколько частиц. В этом случае амплитуда рассеяния может быть получена переходом на массовую поверхность в преобразованиях Фурье опережающих функций Грина. Возможность такого перехода обусловлена следующей теоремой, которая доказывается так же, как и теорема 13.10 (теперь используется формула (13.111), а также (13.103)).
Теорема 13.11. Ампутированная опережающая функция Грина в импульсном пространстве
口(-W +時)"1)(，夕3,-夕2；-01)
принадлежит классу 乃°° по 夕，—з§ после {замены переменных 夕，一夕，一з§ “) интегрирования по рр , рп с основной функцией из ⑨(“)(“ определено формулой (13.114)). Для процесса >q + 〃2 — 无з + … + 无冷 & области попарно неколлинеарных импульсов частиц справедлива формула редукции
(0 I 0。m死九)(рп)... 0。出(々)3)0in(*2)(一02)0in3 )(_pi) I 0)=
〃f［躡件―W + 時)G(""“(K，…，夕з,—夕2；—夕(13.125)
Последовательное применение формул (13.110), (13.111) позволяет получить формулы редукции для матричных элементов поля, а также для запаздывающих и опережающих произведений. В частности, матричные элементы запаздывающих произведений между in-состояниями выражаются через запаздывающие функции Грина (r-функции). Это позволило Глазеру, Леману и Циммерману (1957; см. также Штейнман, 1968) переформулировать теорию LSZ в терминах одних г-функций.
36 Н. Н. Боголюбов и др.
Глава 14
S-МАТРИЧНЫЙ МЕТОД
S-матричная формулировка основных требованийлокальной теории
А. Понятие расширения S-матрицы за массовую оболочку. Специфическим вариантом теории LSZ является 5-матричный метод, предложенный в работах Боголюбова, Медведева и Поливанова. Он представляет собой развитие первоначальной идеи Гейзенберга (1943), согласно которой содержание релятивистской квантовой теории может быть изложено на языке 5-матрицы. Возник 5-матричный метод на пути обобщения лагранжевой квантовой теории поля (хотя в нем отсутствует какое- либо упоминание о лагранжиане). Он исходит из допущения некоего более первичного объекта, чем гейзенберговы поля и их Т-произведения (являющиеся основными понятиями формализма LSZ). Роль такого фундаментального объекта выполняет расширение 5-матрицы за массовую оболочку, на базе которого уже строятся квантовые поля и их Т-произведения. В 5-матричном методе значительно упрощается вывод формул редукции (аппарат формальных вариационных производных превращает вывод разнообразных формул редукции в автоматическую операцию). Другая существенная черта 5-матричного метода — это то, что он хорошо приспособлен для трактовки динамических уравнений квантовой теории поля (см., например, [31]).
Перейдем к изложению 5-матричного метода. Прежде всего постулируется, что оператор рассеяния S является унитарным пуанкаре-инвариантным оператором в фоковском пространстве 分 некоторой системы свободных релятивистских частиц (типа п. 7.3.В); для определенности X отождествляется с гильбертовым пространством падающих частиц. В X действует неприводимая система (уайтмановых) свободных (или in-) полей gm (女)(/) с каноническими перестановочными соотношениями (при нормальной связи спина со статистикой)
回2)*厂(力)匂)]干=片)(/一)(14.1)
и с двухточечными функциями типа (13.52)
〈010厂(气力)0厂(力气)|。)= ： %7)(")(力一力(14.2)
Как обычно out-поля связаны с in-полями формулой
0。ut(〃)(/)= 5*夕E(*)(/)£(14.3)
- g) есть лоренц-ковариантное решение уравнения Клейна-Гордона с массой
т = т*〉0;
оно представимо в виде
D^Xx-y) = Q^ (-г ^Dm(x- g),(14.4)
где Q]^")(-分理)—лоренц-ковариантный полином по д/дх со свойствами )
Q产(T柒)=(一尸飞广g柒)，(14.5a)
(где 歹(〃)=0 или 1 в зависимости от того, является ли поле 3m(”)бозонным или фермионным),
С 二 卜房｝(14.56)
)есть отрицательно-частотная часть 0厂)：
D\L“y) = Q『)(-г 柒"M)(—力(14.6)
Аналогично определяются:
D；尸)(—* = ◎尸)(-г 理)0^(/ —力(IM
D^4x-y) = Q产)(-г 理)D^x-yY(14.8)
届&(")(一 g);0l)(-г 柒"渉(一力(14.9)
Будем говорить, что задано расширение 5-матрицы за массовую оболочку, если определены формальные (левые) вариационные производные 5-матрицы по асимптотическим in-полям
匹；；3）包）...匹；了叫环）匹；；3）包）...匹；了叫环）(14.10)(14.10)
匹；；3）包）...匹；了叫环）
匹；；3）包）...匹；了叫环）
(14.10)
(14.10)
удовлетворяющие перечисленным ниже условиям. Предполагается, что (14.10) является операторной обобщенной функцией по 力i,…，力冷)(с областью определения в фоковском пространстве X). Выражение (14.10) симметрично по переменным бозонных полей и антисимметрично по переменным фермионных полей; оно называется бозонным (соответственно фермионным) оператором, если набор gm(*i), 「夕m(死九) содержит четное (соответственно нечетное) число фермионных полей.
Далее, предполагается, что преобразование Фурье от (14.10) допускает сужение на массовую оболочку по импульсу pj, сопряженному к любой из переменных Xj (например, с помощью процедуры сужения обобщенных функций на массовую оболочку, описанной в п. 13.2.В). Задание такого сужения выражается в координатном пространстве сверткой с перестановочной функцией Dmj (xj). Таким образом, предположение о существовании сужения на массовую оболочку, скажем, по pi, мы записываем в виде существования свертки
]Dmi (力 1]Dmi (力 11丿55；3）（"）^了2）（妆）…环f-）（环）「1丿55；3）（"）^了2）（妆）…环f-）（环）「(14.11)(14.11)
]Dmi (力 1
]Dmi (力 1
1丿55；3）（"）^了2）（妆）…环f-）（环）「
1丿55；3）（"）^了2）（妆）…环f-）（环）「
(14.11)
(14.11)
Для вариационной производной (14.10) постулируется правило, связывающее сужение ее по импульсу, скажем, pi, на массовую оболочку с вариационными производными более низкого порядка; а именно, имеет место следующая формула коммутации:
in（M）/ 、Ls
化环У〃2）（/2）...环；：（^）（吋）
=£j 丨［0厂（"）（/1），。；2"（诉）］千 65；5（壮）b@；（以i2）...6@了叫环）m，（14・12）
где, как обычно, знаки 干 расставляются в зависимости от «статистики» операторов. Это соотношение лежит в основе формул редукции 5-матричного подхода (см., например, ниже упражнения 14.4 и 14.10).
Эквивалентный способ трактовки расширения 5-матрицы за массовую оболочку достигается введением производящего функционала для операторных обобщенных функций (14.10), который мы назовем S-матрицей, расширенной за массовую оболочку.
S(x) = £ I ^п} М • • • Xi^4x{) Я(М1 (Х1, ..., xn)dx{ ...dxn, (14.13) n=0
Это формальный ряд по классическому полю 乂(力)с операторными коэффициентными функциями. Как и в случае классического источника 〃(力)(п. 13.1.А), бозонные компоненты х；“)(力)классического поля (которые можно считать обычными функциями, скажем, из класса 3("), определенного в следующем пункте) коммутируют со всеми компонентами классического поля и со всеми операторами, в то время как фермионные компоненты классического поля (являющиеся просто символами) антикоммутируют между собой и с фермионными операторами *). Пользуясь теми же правилами вариационного дифференцирования, что и в п. 14.1.А, мы можем записать формальные вариационные производные 5-матрицы через обычные вариационные производные функционала S(x)：
(14.14)(14.15)(14.16)(14.14)(14.15)(14.16)(14.17)(14.17)=^S(x)
(14.14)
(14.15)
(14.16)
(14.14)
(14.15)
(14.16)
(14.17)
(14.17)
При этом, разумеется, имеет место «начальное условие» S(x)k=o = S.
Удобно пользоваться также формальным рядом s(x) = s*s(x)；
для него «начальное условие» принимает универсальный вид:
S(X)lx=o = 1・
Расширение за массовую оболочку сопряженного оператора S* к 5-матрице
определяется формальным рядом
s*(x) = s(x+)* 三
三亡 吉］"人小川4（力1，一，^）*次3）（/1）."/吗^）前1（14.18）
n=0
где сопряженное классическое поле у+ определено равенством
(14.19)(14.19)О) = х尸 О)
(14.19)
(14.19)
(ср. с соответствующим определением (13.29) сопряжения для классического источника 〃(/))• Для формальных вариационных производных от S по in-полям имеем
/；；3）е）...匹；:（^）/；；3）е）...匹；:（^）—三 bns*(x)e0 -双『1)(/1)...改片)(/П)—三 bns*(x)e0 -双『1)(/1)...改片)(/П)х=ох=о(14.20)(14.20)
/；；3）е）...匹；:（^）
/；；3）е）...匹；:（^）
—三 bns*(x)
e0 -双『1)(/1)...改片)(/П)
—三 bns*(x)
e0 -双『1)(/1)...改片)(/П)
х=о
х=о
(14.20)
(14.20)
В дальнейшем следует различать соотношения «вне массовой оболочки» и «на массовой оболочке» между операторами S, S* и их формальными вариационными производными. Соотношения «вне массовой оболочки» — это фактически тождества между формальными рядами по классическому полю х； только такие соотношения допускают дальнейшее дифференцирование по асимптотическим полям. Соотношения «на массовой оболочке» — это обычные операторные равенства (или соотношения, справедливые при подстановке X = 0 в формальные ряды по %). Таким образом, придерживаясь сложившейся традиции, мы здесь используем термины «вне массовой оболочки» и «на массовой оболочке» в переносном смысле *) (в отличие от буквального употребления, например, в п. 13.2.В). Разумеется, не всякое соотношение «на массовой оболочке» справедливо «вне массовой оболочки». (Примером соотношения, выполняющегося только «на массовой оболочке», служит приведенное ниже соотношение (14.35).)
Имея в виду правила (14.14), (14.20) сведения формальных вариационных производных по асимптотическим полям к обычным вариационным производным по классическим полям, мы можем определять более сложные производные по обычным правилам. Например, формула
52 s bS* bS b"n⑺ b"n(g)十 b"n⑺ b*3)
есть другое выражение тождества
也卜*(х) fg) = s*(x)双：力；孔 +fw
Приведем еще некое пояснение к определению расширения 5-матрицы за массовую оболочку. Из теории вторичного квантования известно (см. [Б4] и Березин, 1967), что всякий линейный ограниченный оператор в фоковском пространстве ① можно разложить в ряд по нормальным произведениям операторов рождения и уничтожения. В частности, S можно представить в виде
S =Е 宀）小・小（—仇）：九，（14.21）
n=0九
% Irb
(Во всяком случае ряд S = £ S^ сходится в смысле сходимости матричных элементов £ (Ф, S^W〉между финитными векторами Ф, Ф фоковского пространства ①,так как конечное число членов ряда £〈①,S^W〉 отлично от нуля.) Поскольку преобразование Фурье свободного поля 0(")(@) содержит ^-функцию b(@2 - т2), то коэффициентные функции
a(pi, , рп) существенны для этого разложения только на массовой оболочке pj =向. Однако предположим, что эти коэффициентные функции тем или иным способом продолжены за массовую оболочку и являются обобщенными функциями умеренного роста в Afn; тогда выражение (14.21) можно формально переписать в /-пространстве:
S 二 £ 8 ]£ , ХП):9г("1)(/1):dxx ...dxn. n=0
Мы можем ввести теперь 5-матрицу, расширенную за массовую оболочку:
S(X)= £^ [工 ^^1^ xn) : ^^\X1)+X^\x^ n=0 j九
1 (xn) : dX1 ...dxn, (14.22)
где x — классическое поле. Правило (14.14) позволяет теперь вычислять формальные вариационные производные 5-матрицы по асимптотическому полю. Однако ввиду сложности трактовки областей определения (рядов) операторов на этом языке, мы рассматриваем приведенную конструкцию лишь как наводящее соображение.
Б. О выборе класса основных функций. Предположение о существовании сужений на массовую оболочку преобразований Фурье формальных вариационных производных (14.10) (которое занимает столь важное место в 5-матричном подходе) можно учесть автоматически подходящим выбором пространства основных функций. Рассмотрим подробно формальную вариационную производную 8S/8夕()(/). Для нее должны быть определены результаты сглаживания J §夕窗⑺〃(力)^х с Решениями 〃(/) уравнения Клейна-Гордона вида
и{х) = I Dm{x - у) f{y) d^y, где / G ”加). (14.23) (Действительно, в р-представлении определение такого сглаживания равносильно определению произведения с обобщенной функцией 8(夕2 — m^) или сужению на массовую оболочку.) Естественно поэтому допустить, что пространство основных функций, над которым задана операторная обобщенная функция 8S/8夕(")(/), шире, чем ”М), и содержит, в частности, решения уравнения Клейна-Гордона вида (14.23). В качестве такого пространства удобно выбрать пространство /("), определяемое следующим образом: функции 〃(力)=〃(力°, х) из 歹(*)являются комплексными функциями класса 斤(К?) От вектора х, зависящими ^^-образом от х°, причем
К^и(х)=(办9" + т：) 〃(/) 6 ^(М). (14.24) Ясно, что так определенное пространство /(*) удовлетворяет приведенным выше условиям.
Упражнение 14.1. (а) Доказать, что всякая функция и{х) из .笋(〃)однозначно представима в любой из следующих форм:
〃(/) = 〃m(/) + j D^{x - у) f{y) dy = 〃。"⑺ + j。工v(/ _ g) 〃g)电， (14.25) где m = m^, / = k" e9(网a 〃ex(/)является фундаментальным решением уравнения Клейна-Гордона класса *) ^(/?3), причем
心R/) =+ I _ g) 〃g).(14.26)
(Указание: рассмотреть разность между и(х) и функциями, определяемыми свертками в (14.25).)〜
(б) Доказать, что всякая функция из 夕(”)представима (неоднозначно) в виде
〃(/) = I。£(力-д) /(「％) dy + I 炉弋力 _ g) /(а%)湫(14.27)
где fr,a G 9(Af). (Указание: представить 〃т(/) в виде | D(x - у) h(y) dy с A G ^(Af).)Из представлений (14.25) видно, что /(*) изоморфно прямой сумме 斤(7И)㊉где fr,a G 9(Af). (Указание: представить 〃т(/) в виде | D(x - у) h(y) dy с A G ^(Af).)Из представлений (14.25) видно, что /(*) изоморфно прямой сумме 斤(7И)㊉㊉斤(7?з)㊉斤(r3)； с помощью этого изоморфизма на /(*)㊉斤(7?з)㊉斤(r3)； с помощью этого изоморфизма на /(*)(пространства Фреше). Эквивалентным образом топология на(пространства Фреше). Эквивалентным образом топология наопределяется топологияопределяется топология歹（女）歹（女）ределена как индуктивная топология относительно отображения—/(”)(сопоставляющего по формуле (14.27) паре функций /(『)，ределена как индуктивная топология относительно отображения—/(”)(сопоставляющего по формуле (14.27) паре функций /(『)，может быть оп- ㊉斤(7И)- ункцию ").может быть оп- ㊉斤(7И)- ункцию ").Теперь требование о существовании сужения операторной обобщенной функ-Теперь требование о существовании сужения операторной обобщенной функ-ЦИИ I gSЦИИ I gS5S59(")(ж)5S59(")(ж)6夕2(/) ^Х на массовую оболочку р2 = т^ мы заменяем условием, что,6夕2(/) ^Х на массовую оболочку р2 = т^ мы заменяем условием, что,есть операторная обобщенная функция, определенная на пространстве /(")есть операторная обобщенная функция, определенная на пространстве /(")основных функций.Аналогично для формальных вариационных производных более высокого порядка следует ввести пространство 歹(々…"九)комплексных функций и(х\, , хп), которые принадлежат /(%) по каждой из переменных Xj； точнее, такие функции допускают представлениеосновных функций.Аналогично для формальных вариационных производных более высокого порядка следует ввести пространство 歹(々…"九)комплексных функций и(х\, , хп), которые принадлежат /(%) по каждой из переменных Xj； точнее, такие функции допускают представлениеИЕ[0患v（3 - W）…0优乂力几一^） XИЕ[0患v（3 - W）…0优乂力几一^） XУп) dy 1... dynУп) dy 1... dyn(14.28)(14.28)
где fr,a G 9(Af). (Указание: представить 〃т(/) в виде | D(x - у) h(y) dy с A G ^(Af).)
Из представлений (14.25) видно, что /(*) изоморфно прямой сумме 斤(7И)㊉
где fr,a G 9(Af). (Указание: представить 〃т(/) в виде | D(x - у) h(y) dy с A G ^(Af).)
Из представлений (14.25) видно, что /(*) изоморфно прямой сумме 斤(7И)㊉
㊉斤(7?з)㊉斤(r3)； с помощью этого изоморфизма на /(*)
㊉斤(7?з)㊉斤(r3)； с помощью этого изоморфизма на /(*)
(пространства Фреше). Эквивалентным образом топология на
(пространства Фреше). Эквивалентным образом топология на
определяется топология
определяется топология
歹（女）
歹（女）
ределена как индуктивная топология относительно отображения
—/(”)(сопоставляющего по формуле (14.27) паре функций /(『)，
ределена как индуктивная топология относительно отображения
—/(”)(сопоставляющего по формуле (14.27) паре функций /(『)，
может быть оп- ㊉斤(7И)- ункцию ").
может быть оп- ㊉斤(7И)- ункцию ").
Теперь требование о существовании сужения операторной обобщенной функ-
Теперь требование о существовании сужения операторной обобщенной функ-
ЦИИ I gS
ЦИИ I gS
5S59(")(ж)
5S59(")(ж)
6夕2(/) ^Х на массовую оболочку р2 = т^ мы заменяем условием, что,
6夕2(/) ^Х на массовую оболочку р2 = т^ мы заменяем условием, что,
есть операторная обобщенная функция, определенная на пространстве /(")
есть операторная обобщенная функция, определенная на пространстве /(")
основных функций.
Аналогично для формальных вариационных производных более высокого порядка следует ввести пространство 歹(々…"九)комплексных функций и(х\, , хп), которые принадлежат /(%) по каждой из переменных Xj； точнее, такие функции допускают представление
основных функций.
Аналогично для формальных вариационных производных более высокого порядка следует ввести пространство 歹(々…"九)комплексных функций и(х\, , хп), которые принадлежат /(%) по каждой из переменных Xj； точнее, такие функции допускают представление
ИЕ[0患v（3 - W）…0优乂力几一^） X
ИЕ[0患v（3 - W）…0优乂力几一^） X
Уп) dy 1... dyn
Уп) dy 1... dyn
(14.28)
(14.28)
с произвольными f\a...a) q "M? (топология на /"i…"九)определяется как индуктивная топология). Итак, мы постулируем, что формальные вариационные производные (14.10) определены над пространством /吃…"九)основных функций.
В. Аксиомы S-матричного подхода. Не всякое расширение 5-матрицы за массовую оболочку представляет интерес с точки зрения локальной квантовой теории. Ниже перечислены требования, которым должно удовлетворять интересующее нас расширение.
S.I (Постулат релятивистской квантовой теории столкнове- н и й). В фоковском пространстве 分 системы свободных (падающих) релятивистских частиц действует {конечный или счетный) неприводимый набор свободных уайтмановских полей (in-полей) °m(")(z) с каноническими перестановочными соотношениями (14.1) и с двухточечными функциями (14.2). В X определена S-матрица — унитарный пуанкаре-инвариантный оператор, оставляющий инвариантным вакуумный вектор, а также векторы одночастичных состояний ).
S.II (Расширение 5-м атри цы за массовую оболочку). Существует формальный ряд S(x) (14.13) по классическому полю 乂(力)с операторными
коэффициентными функциями, причем выполнено «начальное условием (14.15). Коэффициентные функции H("j・"九乂•"九(力i, ..., xn) являются операторными обобщенными функциями над соответствующими пространствами .夕("i・・."九) основных функций. Будучи сглажены с основными функциями, они являются операторами, определенными на некотором пуанкаре-инвариантном линейном подпространстве D, плотном в ^, и принимающими значения в D = SD; сопряженные операторы действуют из D в D. Предполагается также, что пространства D и D входят в область определения замыканий операторов 夕厂(")(/)，，"(”'(/)，заданных первоначально (при / 6 ^(7И)) на соответствующих финитных векторах in- или oui-состояний.
S.III (Пуанкаре-инвариантность расширенной 5-м атрицы).
U(d A) S(x) U(。，Д)-1 = S(x(a,A)) при всех (а, Л) 6 中о,(14.29)
S.IV (Расширенная унитарность).
S(X)S(X)= 1.(14.30)
S.V (Причинность, или микропричинность).
S(X1+Х2)= S(X1) S(X2) если*) suppуi > suppy2 (14.31)
(S(X)связано с S(x) формулой (14.16).)
Подобно аксиоме Уайтмана W.IV, аксиома S.II изобилует «техническими» предположениями, для которых остается та же мотивировка, что и в формализме Уайтмана. Условие причинности S.V обобщает лагранжеву формулировку квантовой теории поля, где 5-матрица формально задается Т-экспонентой в представлении взаимодействия, что отражает наше интуитивное представление о причинности. Эти вопросы подробно обсуждаются в книге [Б8], и мы не будем здесь останавливаться на них.
Упражнение 14.2. (а) Доказать соотношение
S(X)S*(X)= 1,(14.32)
благодаря которому условие унитарности может быть записано также в виде S*(x) = S(x)~L (Указание: см. упражнение 13.3.)
(б) Доказать соотношение
^^J ($(Х)Т$(Х + Х1)) = 0 при suppxi，/.(14.33)
(Указание: см. аналогичное предложение 13.1.)
Упражнение 14.3. Рассмотрим 5-матричную теорию с одним вещественным скалярным полем. Доказать, что
для любого решения и{х) уравнения Клейна-Гордона (массы т) класса 9(/?з). (Указание: воспользоваться соотношением [^1П(/), 5]| 0) = 0, следующим из условия стабильности вакуума и одночастичных состояний, и формулой коммутации (14.12).)
Результат упражнения 14.3 можно выразить так: J е1Px 沁弋力)d‘/ ПрИ действии на вакуум не дает вклада на массовой оболочке @? = т2.
Чтобы иметь аналог аксиомы LSZ.I (или ее следствия (13.108)), мы добавим еще одну аксиому (усиливающую результат упражнения 14.3).
S.F (Усиленное условие стабильности одночастичных с о стоян и й). Существуют параметры т］ > такие, что
］产丽"(力)""1°)=0(14・34)
для всех функций и е .夕(死)，фурье-образ которых имеет носитель при р2 < т^.
Г. Радиационные операторы; ток. В силу постулата S.II выражение
8乃 s^n — k s
59叫/1)…环叫以)89叫з十］)…环叫/九)
после сглаживания с основной функцией становится оператором, который (вместе со своим сопряженным) определен на области D и переводит ее в себя. Поэтому такие операторы порождают алгебру (с инволюцией), которую мы назовем алгеброй радиационных операторов *). Аксиомы 5-матричного метода (кроме обычных положений релятивистской теории рассеяния) в сущности представляют собой бесконечную систему соотношений между радиационными операторами («на массовой оболочке»). Например, условие причинности есть следующая система соотношений («на массовой оболочке»):
если ｛力i,...,力卜｝三｛力k+i, ..., xn^.
В формализме LSZ справедлива формула (13.115), дающая теоретико-полевое выражение для 5-матричных элементов. Аналогичная формула имеет место в S-матричном методе; теперь роль ампутированных Т-произведений полей играют радиационные операторы.
Упражнение 14.4. Доказать, что если импульсы входящих частиц попарно неколлинеарны импульсам выходящих частиц, то имеет место следующая формула редукции:
(О I 0；2】)3)…0『人)加)S^^\-Pk+^..^^I 0)=
w5…瓦小-pQxw5…瓦小-pQx0 ) dx\ ... dxn',0 ) dx\ ... dxn',(14.36)(14.36)
w5…瓦小-pQx
w5…瓦小-pQx
0 ) dx\ ... dxn',
0 ) dx\ ... dxn',
(14.36)
(14.36)
здесь pi, ..., pn G V+. (Указание: воспользоваться формулой коммутации (14.12) и стабильностью вакуума〈0|S* = (01.)
мулоймулойСреди рациональных операторов особую роль играет ток, определяемый форСреди рациональных операторов особую роль играет ток, определяемый форJ（叫力）=TS*J（叫力）=TS*3s3s(14.37)(14.37)
мулой
мулой
Среди рациональных операторов особую роль играет ток, определяемый фор
Среди рациональных операторов особую роль играет ток, определяемый фор
J（叫力）=TS*
J（叫力）=TS*
3s
3s
(14.37)
(14.37)
Происхождение этого названия можно найти в лагранжевой форме квантовой электродинамики. Лагранжиан взаимодействия в этом случае пишется в виде
3(/)=一严(/)A4力)， где 严(/) = e^(ж) 7m^(ж) = - a£/)
—электромагнитный ток. Положив, как обычно,
S = т{ ехр (分]3(/) d%)},
нетрудно убедиться, что в первом порядке теории возмущений (по константе связи е)
радиационный операторрадиационный оператор• с* 8S2b在而• с* 8S2b在而с точностью до знака совпадает с электромагнитным током.
радиационный оператор
радиационный оператор
• с* 8S
2b在而
• с* 8S
2b在而
Конечно, как и в случае 5-матрицы, рассмотрение тока «вне массовой оболочки» равносильно введению формального ряда по классическому полю х：
J(叫力；х) = TS*(x) ^^ 三-心(x)T ^^J.(14.38)
Упражнение 14.5. Доказать формулу
夕产(行⑺三 S*@2)⑺ s = @2)⑺ + £ [ 〃")(/ — g) ”')'3) My.
(Указание: применить формулу коммутации (14.12) к [，"(/), S].)
Ток обладает следующими характеристическими свойствами.
Свойство эрмитова сопряжения:
尸)2(/;x)* = …(/;x+).
Пуанкаре-ковариантность:
U(a, А"(叫力;x)U(a，А尸=£"胃(А一1)")"А力 +a； X(a9) при (а, Л) 6 фо-
Условие разрешимости-.
以片）（g）干 年⑺-U匂'X），J（/，X）］干.
(г) Причинность'.(г) Причинность'.bJ(;)y； х) =0х^双广3)~bJ(;)y； х) =0х^双广3)~Свойства (14.40в), (14.40г) обычно записывают просто в виде
(г) Причинность'.
(г) Причинность'.
bJ(;)y； х) =0х^
双广3)~
bJ(;)y； х) =0х^
双广3)~
車F = ° при 力
(14.39)(14.40a)(14.406)(14.40b)(14.40г)(14.41)(14.42)(14.39)(14.40a)(14.406)(14.40b)(14.40г)(14.41)(14.42)имея в виду, что эти равенства выполняются «вне массовой оболочки» (т. е. допускают дальнейшее формальное дифференцирование по 夕т).
(14.39)
(14.40a)
(14.406)
(14.40b)
(14.40г)
(14.41)
(14.42)
(14.39)
(14.40a)
(14.406)
(14.40b)
(14.40г)
(14.41)
(14.42)
Упражнение 14.6. Вывести свойства (14.40) из аксиом 5-матричного подхода. (Указ а н и е: при доказательстве причинности (14.40г) воспользоваться упражнением 14.2(6).)
Заметим, что ток полностью характеризует теорию. Действительно, нетрудно убедиться, что 6(%) однозначно определяется через J(x; х)； в следующем параграфе будет показано, как квантовые поля и их Т-произведения строятся из функционала 6(%).
Упражнение 14.7. Доказать, что ток удовлетворяет условию локальности
厂)…(〃%)「0при (ж — у)2 < 0,(14.43)
а также соотношению
(14.44)(14.44)(14.45)(14.45)Ь"(/) _ [ 0 ПРИ 力 S У
(14.44)
(14.44)
(14.45)
(14.45)
5,2)(g) I —矶/(浦)3), /(〃)(/)]干 при х>у.
(Указание: воспользоваться условиями разрешимости и причинности.) Вариационная производная
59叫/1)…59叫/九)
называется запаздывающим радиационным оператором, так j<aK из свойства причинности следует, что его носитель сосредоточен при х — Xj е『+ (7 = 1, ..., п). Для определения опережающих радиационных операторов введем операцию формального дифференцирования по out-полям:
(〃)(/)— Ь ⑺①
здесь Q — произвольное алгебраическое выражение, составленное из операторов S, и их формальных вариационных производных по in-полям.
При таком определении для out-полей справедлива формула коммутации типа (14.12).
Упражнение 14.8. Доказать формулу коммутации с out-полями:
Упражнение 14.9. (а) Показать, что в терминах out-полей определение тока записы
(14.48)(14.49)(14.48)(14.49)вается в виде
(14.48)
(14.49)
(14.48)
(14.49)
(б) Доказать соотношение
2产(〃%)=环…)•
С помощью упражнения 14.9 (б) условие причинности (14.42) можно переписать
в следующей форме:
^У^у =° 叩以力三〃(14.50)
Ь”(/)Ь”(/)Теперь опережающий радиационный оператор можно определить как
Ь”(/)
Ь”(/)
(14.51)
Из условия (14.50) следует, что его носитель сосредоточен при 力一力^ е V~ (j =
Упражнение 14.10. Для амплитуды процесса 2 п — 2 в области, где импульсы входящих частиц попарно неколлинеарны импульсам выходящих частиц, доказать формулу редукции:
〈01 0；：5 仇)…0；卜)(0з)S^\-P2) 0『吸予)10)=
=—(一炉 工 力二不G仇)...力0i) ]时^及国“+…+^九)
〜乂1(/1)\
匕32
здесь pi, , pn G V+. (Указание: переписав левую часть в виде
(о I 0广(^)仇)•吟ut(〃％3)S^^X-p2) ^^Ч-pi) 10〉，
воспользоваться далее формулой коммутации (14.47) и стабильностью однозначных состояний.)
С помощью смешанных формальных вариационных производных тока по in- и out-полям определяются так называемые обобщенные запаздывающие радиационные операторып
Ьзех1(\) "ZexnQQ(]4.52)
(где exj = in или out). Очевидно, запаздывающие (соответственно опережающие) радиационные операторы получаются при подстановке exj = in (соответственно exj = out) в (14.52). В формализме LSZ также можно ввести аналогичное понятие обобщенных запаздывающих произведений полей (мы вернемся к этому в § 16.1, где будет установлено соответствующее свойство носителя обобщенных запаздывающих произведений; тем же свойством носителя обладают обобщенные запаздывающие радиационные операторы *)).
Оказывается, условия разрешимости (14.41) и причинности (14.42) для тока можно трактовать как динамические уравнения квантовой теории поля (Медведев и Поливанов, 1961, 1964; Медведев, 1961, 1964, 1965). Существенным моментом этой программы является продолжение соотношения (14.44) в область, включающую совпадающие аргументы (т. е. для всех х, у Е Af):
бУ j)=—历(力° — g°)[J(g)，丿(/)]干 + А(/, g);(14.53)
здесь 0(/° - yQ)[J(y), J(/)]干 есть некоторым образом регуляризованное произведение (анти)- коммутатора [J(g),丿(力)]干 с разрывной ^-функцией, а А(/, у) — квазилокальный оператор с носителем при /二 у. На этом пути удалось, в частности, воспроизвести результаты обычной лагранжевой теории возмущений. Интересно, что роль лагранжиана и контрчленов в каждом порядке теории возмущений в рассматриваемой схеме играет квазилокальный оператор А(/, у) (также задаваемый в каждом порядке теории возмущений); тем самым в квазилокальном операторе сосредоточена вся динамика модели.
Поля в асимптотическом представлении
А. Конструкция квантовых полей и их Т-произведений. Для перехода к формализму LSZ определим квантовое поле 夕(")(/) с помощью уравнения типа Янга-Фельдмана
0产(/)=+ e I0最(")(/-g)丿(力"加dy.(14.54)
Формула (14.54) определяет операторную обобщенную функцию умеренного роста. Действительно, результат сглаживания 夕,")(/) с основными функциями е 6 ”7И) можно записать в виде
£ I0产(力)/(""(/)dz = £ ]0厂(")(/)尸⑺dx +
+ £ ]。尸”)(/； У)"% 匂)Й (14.55)
0沪(吸(叫/)0步(“")(/-(14.56)
есть элемент пространства /"), так что соотношение (14.55) имеет смысл.
Упражнение 14.11. Доказать формулу
夕产⑺=夕产(〃)(/)+ £ D；『")(岔—呜 匂)dg.(14.57)
(Указание: воспользоваться соотношением。询(")(/)— D^^^'\x) = D^^\x) и формулой (14.47).)
Мы покажем, что поля 夕(*)удовлетворяют всем аксиомам LSZW, и для этого нам следует еще определить Т-произведения полей 夕(”).Предварительно напомним некоторые факты, касающиеся Т-произведений свободных полей °т.
Производящий функционал Т -произведений свободных полей имеет вид
£о(〃)= Г ехр 01 〃(死)°m (力)dz)=
=exp I - ^ £ I Df^^ \x - y) Tf^\x) ^^1，(y) dxdy\ : exp (〃] t;(x)(/;in(x) dx^ :, 窈(14.58a)
亏o(〃)= exp(* ^ I Di^\x - у) ^1^) r]^^l\y) dx dy\ x
x : exp ^z I 7/(x)(/;in(x) dx^ : .(14.586)
Упражнение 14.12. Показать, что функционалы (14.58) удовлетворяют характеристи
ческим свойствам Г -произведений (13.10). (Указание: использовать ход рассуждений упражнения 13.4.)
Пусть 0 — некоторое алгебраическое выражение, составленное из полей °т("), например,
夕=］F(xi, ,力冷)夕;力i)…夕;(力冷)dx\ ...dxn,(14.59a)
где F — коэффициентная функция. Тогда виково Т-упорядочение функционала 夕 определяется формулой
丁夕=］歹(力 1,, Xn^T^^^^xi)夕；：("脑(力冷))dx\, dxn.(14.596)
Упражнение 14.13. (а) Доказать формулу
7(&n(〃)(/)〃)=@п(〃)(/)(т〃)+工 Г }。：『("/)(/一=
J\У)
(14.60)(14.60)=土（7〃）52）⑺ + еT j哈 Т 环,?）3）电，
(14.60)
(14.60)
где знак (+ или —) выбирается в зависимости от «статистики» операторов 3m(”)и 夕. б) Доказать формулу (в смысле формальных рядов по источнику ту):
=Т^ехр Qnret(77； g)京匂)旬 〃)丁(exp (分］〃(/) 3m(/) d/)).(14.61)
(Указание: достаточно выбрать 〃 в виде формального ряда ехр (分］§(/) 3m(/) d/) по источнику 貿/)•)
in-полям:5msin-полям:5ms(14.62)(14.62)В формулах (14.60), (14.61) вариационные производные понимаются буквально (т. е. в соответствии с правилами типа (13.27). Поскольку для 5-матрицы определены формальные вариационные производные по in-полям, мы можем аналогичные формулы принять для определения выражений типа Т^1п(х\)... ^ш{хп) А), где А обозначает некоторую формальную вариационную производную 5-матрицы по
in-полям:5ms
in-полям:5ms
(14.62)
(14.62)
А именно, такие выражения определяются рекуррентным образом:
ТА = А,(14.63а)
Т^\Хп)...^\Х{)А^
X^-(14.636)
Точно так же, если В обозначает некоторую формальную вариационную производную от S* по in-полям:^
В = а 二 i1V(14.64)
то антихронологически упорядоченные произведения Т^1п(х\)...(рш{хп) В) определяются следующей рекуррентной процедурой:
ТВ = В,(14.65а)
Т^\Хп)...^\Х1)В)=^^
4九,L九九
х 闻:彳一"吋1)…0；："(力1)б)dg. (14.656)
Операторы под знаком Т -произведения коммутируют или антикоммутируют в соответствии с их «статистикой».
Упражнение 14.14. Доказать формулы
xxТ( ехр (分］〃(/) 3m(ж) dx^ S)= Т( ехр (分 j 〃(/) 3m(ж) d/))
x
x
x exp Qnadv(77； g)台/匂)dg) S =
exp Qnret(77； g) ^/匂)dg) S)T(exp (屮⑺ 3m(/)d/));(14.66a)
T(S* exp (分 j 77(/) 3m(/) d/)) = (T exp (分］〃(/) 3m(/) d/)) x
义 exp (—］。『小 g) b/з)dy^ S*
=(exp (—］ Qadvg；沙)^/⑹出)$*) Г ехр 卜］〃⑺ 3m(/)&/).(14.666)
Подобно уравнению (14.54), формулы (14.66) хорошо определены, в чем можно убедиться, взяв вариационные производные от этих равенств по 〃 при 77 = 0 и сгладив их с основными функциями из ^(Мп).
С помощью данных определений мы можем переписать определение (14.54) квантового поля в виде
夕(力)=S*T(S 夕 m(z)).(14.67)
Аналогичные выражения положим в качестве определения Т -произведений квантовых полей 夕(/)：
Т(夕(力i).••夕(力冷))=S^T(S^in(x^ ...^1п(хп)),(14.68а)
亍(夕(g).••夕(/九))=亍(产(/1)…d"力九)s*) S.(14.686)
Запишем это определение Т -произведении в виде
£(〃) = Гехр р j 〃(力)夕(力)dz) = S*T(Sexp 0 ］ 〃(力)°m(力)d/)),(14.69a)
S(〃) = T exp (〃 j 〃(力)夕(力)dx^ = T ( exp «］ 〃(力)°m(力)dz) S*) S.(14.696)
(Выражения (14.67) и (14.68) называются квантовыми полями и их Т -произведениями в асимптотическом (точнее, в in-) представлении.
Упражнение 14.15. Доказать формулы
S(〃)= S*So5) S(x)二 ^S^) SoS),(14.70a)
Ш =募⑺ S*(—К) S = S*(—x) *oS) S,(14.706)
где
X尸)(g) = О产⑺—(14.71)
X片%)=0尸g)三 ^ ]产乂⑺0小-g)电(14.72)
(Указание: использовать соотношения (14.66).)
Упражнение 14.16. В 5-матричной теории скалярного эрмитова поля 夕(力)доказать формулу
К^К^Т^х)奴力=i K产)Ь(/ - g) - S* /叫龍叫g) .(".73)
^Указание: воспользоваться соотношением
s*7(sdn(/)9e3))=9r/)93)+ 以/)9е@)_ 9r/)3E3)+
+ I Dre\x-y)-^ 0『/ — “)o% _ 心 s* 8夕叫/；^叫〃)dxrdyr^
Б. Выполнение аксиом LSZ. Проверим, что определенные выше Т -произведения полей 夕(”)обладают характеристическими свойствами (13.10). «Начальное условие» (13.10а) и пуанкаре-ковариантность очевидны из определения (14.69), свойство сопряжения (13.Юг) также непосредственно следует из формул (14.70). Докажем причинность (13.10в). Пусть suppg > supp〃. Положим 乂1(力)=^adv(Cj 力)， X2(z)=。侬(〃；x). Имеем
S(W + 〃)= S*T(Sexp «] (£(力)+ 〃(力))°m(力)dz))=
=S*So(W) T(exp Q^adv«； У)b/@)dg) exp 0]〃(力)夕也(力)前)S)=
=S*So(W)T《xp 0] 〃(力)(""/)+x《力))&力)S(xi)} Так как
j 〃(力)Xi(z)"力=£ j padv (mm )(力-g) ’)"(g) 8"” (力)dxdy = 0
(из-за условия suppg > supp〃)，то последнее равенство можно переписать в виде
£(£ + 〃)= S*So(W)T(exp р] 〃(力)夕也(力)加)S(xi))=
=S*So(0(exp (]。『〃；y)_^__dy^ s^ £o(〃)= s*So(£)S(xi +X2)So(〃)・
Поскольку suppyi > SUPPX2, то S(X1 +Х2)= S(X1)S*S(X2)(в силу условия причинности (14.31)). В результате получаем
£(£ + 〃)= S*So® S(xi) S*S(X2)%(〃)= Ж) S(〃)，
что доказывает причинность (13.10в).
Остается доказать унитарность (13.10д) или эквивалентное равенство (13.11). Определив 乂(力)по формуле (14.71), имеем
*(—〃)£(〃) = (S&) Но(-〃) S)(S*So(〃)S(x)) = 1；
здесь использовалось то, что So(〃) удовлетворяет соотношению (13.11) (согласно упражнению 14.12), а также условие расширенной унитарности (14.30).
Таким образом, свойства (13.10) выполнены.
Упражнение 14.17. Доказать, что построенные квантовые поля 夕(")(力) удовлетворяют условию локальности. (Указание: если suppg 〜supp 77, то S(§ + ту) = S(§) S(〃)= =S(?7)S(§); взять в последнем равенстве слагаемые, билинейные по ^ и 77.)
Итак, мы построили систему квантовых полей 夕(*)(/) и проверили для них выполнение всех аксиом LSZW за исключением цикличности вакуума и условия асимптотической полноты. Очевидно, для доказательства этих условий достаточно убедиться, что исходные свободные поля 夕out(")(/) в точности являются асимптотическими полями для полей 夕(*)(/) (что оправдывает использование для них обозначений in и out). Согласно уравнениям Янга-Фельдмана (13.92) (для вывода которых были несущественны цикличность и асимптотическая полнота) асимптотическое in-поле дается на векторах Ф1П е。小 выражением
{*)(/)—] О胃(力—у)匂)匈}①Е(14.74)
(где т =加死).Подставим сюда вместо д(") выражение (14.54) и воспользуемся тождеством
]。£(力-y^D^Xy- 2)) dy =- 2).
В результате для (14.74) получаем
{0产(/)-£ ]0農/g 匈}E
Таким образом, асимптотическое in-поле совпадает с °m(”)на。小(а по замыканию и на всей области определения О). Случай out-поля аналогичен.
Полученный результат можно резюмировать следующим образом.
Теорема 14.1. В S-матричной теории (е которой выполнены аксиомы S.I-S.V и S.F) формулы (14.67), (14.68) определяют квантовые поля 夕(”)“
(一)
〃х Т -произведения, удовлетворяющие всем аксиомам LSZW.
Мы описали переход от 5-матричного подхода к формализму LSZ. В принципе возможен обратный переход — от формализма LSZ к 5-матричному методу (в случае скалярных полей отправная точка — формулы типа (14.73), определяющие формальные вариационные производные 5-матрицы); однако здесь остаются трудности с приведением в соответствие «технических» условий.
37 Н. Н. Боголюбов и др.
ЧАСТЬ V
ПРИЧИННОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНОСТЬ -ИСТОКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
Краткий обзор
Из вакуумных средних произведений четырех полей можно составить 32 разные обобщенные запаздывающие функции (ОЗФ). Для их описания удобно ввести два типа вариационных производных, определяемых следующим образом.
Пусть S(〃) — производящий функционал (13.7) для Т-произведений, а 歹(〃)——произвольный формальный ряд по классическому источнику 〃(/) с операторными «коэффициентными функциями». Тогда положим
5F _ 6F5F _ 6F5F^х, +)5F^х, +)二 £（〃）一 爲 h5）f5）s（〃）T] s（〃）,二 £（〃）一 爲 h5）f5）s（〃）T] s（〃）,殴(/；?7)=-分S(〃)殴(/；?7)=-分S(〃)二 2 bs(〃) b〃(/, -)—6〃(/, +)二 2 bs(〃) b〃(/, -)—6〃(/, +)s(〃)s(〃)
5F _ 6F
5F _ 6F
5F^х, +)
5F^х, +)
二 £（〃）一 爲 h5）f5）s（〃）T] s（〃）,
二 £（〃）一 爲 h5）f5）s（〃）T] s（〃）,
殴(/；?7)=-分S(〃)
殴(/；?7)=-分S(〃)
二 2 bs(〃) b〃(/, -)—6〃(/, +)
二 2 bs(〃) b〃(/, -)—6〃(/, +)
s(〃)
s(〃)
и определим для любой перестановки J, к, I, п индексов 1, 2, 3, 4 обобщенные функции
"=（°1й4тч ^я^（^）^ 创片」0〉，
=（叫心：+）阿金 +）阿上 +）货®； #L=o]o〉，Г加（e） = （° I К, +）阿金-）阿*, 一）货（^； " L=/0），a加（C）= （° I б", 一） <М上 +）阿上 +）货（^； # L=° I °}
(Для упрощения обозначений здесь взяты бозонные поля.) Основной результат главы 16 состоит в доказательстве утверждения, что при выполнении «линейных постулатов» преобразования Фурье ОЗФ являются граничными значениями единой аналитической функции, область голоморфности которой содержит комплексные окрестности физических областей всех двухчастичных процессов, которые можно построить из данных четырех частиц. Существенную роль в доказательстве играют следующие условия стабильности. Если mj — масса частицы J, rn* = min — масса одночастичного состояния в канале jk т In (если таковое имеется), Mjk = Min (> m^) — порог в этом канале, Mj — порог «канала» J т kin, то предполагается справедливость неравенств
mg < тк + mi + тп, М* W mj + тк, Mj <+ 加小
(в случае отсутствия одночастичного полюса в канале jk т In в последнем неравенстве т* необходимо заменить на М%)・ Попутно устанавливаются тождества Штейнмана
rjn(x) - rik(x) = aki(x) - anj(x).
При сужении ампутированной функции Грина на массовую поверхность и при некоторых дополнительных ограничениях на массы и пороги (которые имеют место в случае 7Г7Г- и 7г^-, но не ^^-pacceяния) в гл. 15 выводятся дисперсионные соотношения по энергии для амплитуды рассеяния при фиксированном (в некотором интервале) значении инвариантного квадрата переданного импульса t. В случае инвариантной амплитуды Т пион-пионного, скажем 7Г°7Г°-, рассеяния вперед (при энергии Е падающей частицы в лабораторной системе) дисперсионное соотношение имеет вид
T(S, t) s=2m(E+m)I t=QT(S, t) s=2m(E+m)I t=Q三/(£) = /⑼+芈]三/(£) = /⑼+芈]炉"/2 一"2 ”旧)dE1E\E,2 - E2 - гО)炉"/2 一"2 ”旧)dE1E\E,2 - E2 - гО)
T(S, t) s=2m(E+m)I t=Q
T(S, t) s=2m(E+m)I t=Q
三/(£) = /⑼+芈]
三/(£) = /⑼+芈]
炉"/2 一"2 ”旧)dE1E\E,2 - E2 - гО)
炉"/2 一"2 ”旧)dE1E\E,2 - E2 - гО)
или
万J(砂2 一炉一2)，
где (Ttot(E) (= Im Т/(2m ^E2 — m2 )) есть полное сечение 7г°7г°-взаимодействия, которое (возможно, после усреднения по конечному интервалу энергий [Е — b/2, Е + Ь/2]) ограничено сверху величиной const • (InE)2 (называемой границей Фруассара, п. 17.1.А).
При доказательстве дисперсионного соотношения используется аналитическое продолжение по переменной (^ = р^ — т^ = р^ — т^ от отрицательных значений до точки 《=0. Та же идея используется при выводе результатов в более сложной ситуации, рассматриваемой в гл. 16. Именно это обстоятельство побудило нас изложить материал пятой части скорее индуктивно — от частного к общему, — чем дедуктивно: схема доказательства в гл. 16 (особенно в § 16.3) во многом дублирует более подробные рассуждения из гл. 15 для амплитуд рассеяния.
Использование унитарности 5-матрицы позволяет аналитически продолжить по t дисперсионное соотношение (в круг |t| < /Д не зависящий от s), а при физических s аналитически продолжить по t амплитуду и ее абсорбтивную часть соответственно в так называемые малый в большой эллипсы Мартена (дополнение К). Совместное применение аналитичности и унитарности лежит и в основе вывода оценок поведения сечений двухчастичных процессов при s т ос (и. 17.1.А), в то время как для утверждений типа теоремы Померанчука (п. 17.1.Б) существенно перекрестное свойство. Для инклюзивных процессов (например, 〃2 T т 〃з + ..., где 〃з — детектируемая частица, а многоточие символизирует произвольный допустимый комплекс частиц) также можно установить некоторые аналитические свойства дифференциальные сечений и асимптотические оценки при s т ос (§ 17.2).
Глава 15
АНАЛИТИЧНОСТЬ ПО ПЕРЕДАННОМУ ИМПУЛЬСУИ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Малый эллипс Лемана
Вводные замечания. Амплитуды процессов в релятивистской квантовой теории обладают определенными аналитическими свойствами по импульсным переменным. Эти свойства устанавливают связи между экспериментально наблюдаемыми величинами и поэтому имеют важное значение для теории взаимодействий элементарных частиц, сравнимое со значением аналитичности в квантовой механике. Так, полюсные сингулярности указывают на наличие связанных состояний в данном канале (вообще, локализация особенностей амплитуд определяется физическими параметрами — массами частиц и резонансов, энергиями связанных состояний, порогами реакций и т. п.). Дисперсионные соотношения, выводимые из аналитичности, выражают амплитуду упругого процесса через ее мнимую часть (которая при рассеянии вперед выражается — по оптической теореме — через полное сечение). Одной из специфических особенностей релятивистской 5-матрицы (в отличие от обычной квантовомеханической) является перекрестное свойство, приравнивающее значение амплитуды процесса (в физической области) к амплитуде некоторого другого (кроссинг-)процесса в нефизических точках; понимания соотношений такого рода можно достичь лишь выходом в комплексную область и аналитическим продолжением физической амплитуды.
В этой связи особое значение приобретают аналитические свойства, следующие из принципов квантовой теории поля. На их основе удается получить ряд точных результатов об асимптотическом поведении амплитуд при высоких энергиях. С другой стороны, аналитичность может служить исходным пунктом при построении моделей и приближенных схем (таких как модель полюсов Редже, дуальные резонансные модели) для процессов столкновений (см., например, [АЗ, Н5]).
Вывод аналитических свойств амплитуды рассеяния основывается на формулах редукции, согласно которым амплитуда рассеяния есть (с точностью до постоянного множителя) ампутированная (например причинная) функция Грина в импульсном представлении, суженная на массовую оболочку. Формулы совпадения типа (13.49) (в областях импульсного пространства) с запаздывающей или с опережающей (и, как мы увидим в гл. 16, с обобщенной запаздывающей) функциями Грина позволяют совершить выход в комплексную область в импульсном пространстве. Таким образом приходят к некоторой (называемой примитивной) области аналитичности функции Грина. С помощью техники аналитического расширения областей на этом пути удается получить ряд важных качественных результатов об аналитических свойствах амплитуд двухчастичных процессов (см. гл. 16).
В этой главе мы займемся более простой задачей об аналитических свойствах двухчастичных процессов по одной из инвариантных переменных s = (pi + 夕2产 или t = (pi + 夕з)2 при фиксированной другой (разумеется, в контексте обобщенных функций следует подразумевать сглаживание с основной функцией по этой «фиксированной» переменной).
Для нахождения свойств аналитичности амплитуды по переменной t (при фиксированной s), достаточно воспользоваться частичной формулой редукции (типа (13.95)) по импульсам —pi,—夕2 входящих частиц и тем самым выйти по 夕 1,夕2 в комплексную область; при этом импульсы 夕3,夕4 выходящих частиц, а также переменная s принимают только физические значения ). Такое рассмотрение (п. 15.1.В) дает для области аналитичности (по 方)амплитуды процесса
〃1 + 覚？ —> 〃з + Х4(15.1)
так называемый малый эллипс ) Лемана 石(s) = Ei2,34(s)：
石(s)=石12,34 = {方 e c： It -方 min(s)| + I方一方 max (s) I V 4K12(S)衣34($)力(S)},(15.2)
окружающий интервал 饮min(s),方max(s)] физических значений для 方；здесь
力(s)=力 12(s) V 力34(s)(15.3)
回丿―j +^2(S)[S-(M1-M2)2]/，34(+ <(s)[s-(M3-M4)2]J
(15.4) (Ki2(s) и K34(s) определены в (7.187)).
Малый эллипс Лемана определяется как массами частиц mMj = mj, участвующих в реакции, так и порогами 此^ = Mj (> g), ассоциированными с соответствующими полями. При этом Мм определяется как нижняя граница непрерывного спектра массы в подпространстве J^^^-замыкании множества векторов вида
£夕产(尸)%, где fl 6 ^М) I
(Мм > mM согласно аксиоме ) LSZ.I). Мы ограничимся характерным случаем, когда спектр масс в力%) не содержит в интервале (0, Mj) других дискретных точек, кроме mj. (Обобщение на случай нескольких дискретных точек не вызывает затруднений; впрочем, подействовав на поле 夕(")(/) клейнианами с соответствующими массами, мы можем вообще исключить лишние одночастичные вклады.)
Точно так же определяются порог непрерывного спектра массы ММ1 ,„Мгг и дискретная массае (О, М^、…貝几)(или дискретные массы, если их несколько)
в пространстве 汇("i・・・"九),определенном в упражнении 8.3 (согласно этому упражнению ММ1 ,„Мгг и пг死 1...死九 не зависят от порядка следования индексов 〃i, хп). Для характеристики реакции (15.1) существенны параметры 加切=mMjMj = т%% и Mij = MMjMj = М%% (где 1 < г < j < 4). Мы будем предполагать, что )
盯啕=Шк1, M^j = Mki (> 加就)，(15.5)
где i, j, к, / — произвольная перестановка индексов (1,, 4).
В случае упругого процесса 〃i + 农—〃i + 〃2， очевидно, выполнены условия
Ш1 =加3， 加2 =加4, Ml = М3, М2 = Mj.(15.6)
Вообще при выполнении условий (15.6) мы назовем процесс (15.1) квазиупругим. Сюда попадает важный класс процессов, в которых начальные и конечные частицы связаны преобразованием симметрии (например, изотопической).
Наконец, напомним, что в рассматриваемой нами теории рассеяния все частицы считаются стабильными и процессы распада исключены (п. 7.3.Д). В частности, исключены процессы % — xj + 无卜 + 无％ (где z, j, k, I — произвольная перестановка индексов 1, ..., 4). Для этого мы предположим, что выполнены условия
mi < mj + mk + mi,(15.7)
которые энергетически запрещают такие распады. Следуя Эпштейну (1966), для нужд этой и следующей глав мы дополним этот список (под общим названием условий стабильности) следующими предположениями:
Mjk < mj + mk,(15.8)
Mj < mjk + mk,(15.9)
имеющими прозрачный смысл. При отсутствии дискретной массы т* условие (15.9) следует изменить так:
Mj « Mjk + mk.
Упражнение 15.1. (а) Вывести из (15.8), (15.9), что
\mj - mk\ < mjk < m7- + 加储\mj - mk\ < Mjk W m7- + mk,(15.10)
\Mj - Mk\ < mjk < Mj + Mk,\Mj - Mk\ < Mjk < Mj + Mk,(15.11)
(Указание: воспользоваться тем, что g < Mj, mjk < M*)
(б) Вывести (15.7) из (15.5), (15.8), (15.9).
Упражнение 15.2. Рассмотрим процесс
无2 + 无zn(15.12)
с импульсами частиц
~Pj е г^з， ~Рк е г葭，Pi е「^，目小 е「^力・(15.13)
Доказать, что
(15.14) (仍• +@%)2 < (加7 — б"? < 儿碎，(仍• +3n)2 < (加7 — mm)2 <
Б. Представление ИЛД для запаздывающих и опережающих (анти)ком- мутаторов. В этой главе неоднократно используется представление ИЛД для запаздывающих и опережающих (анти)коммутаторов, и здесь мы переформулируем результаты § 4.3 применительно к квантовополевому контексту.
Прежде всего можно написать представление ИЛД для обычного (анти)комму- татора полей 夕2一1(电一1) и 夕2(电)：
(01(夕1)…收一2(例-2)[02 — 10 — 1), 02(R)]干收 + lO + l) ...^n(Pn))0 =
=(27t)45(pi + +pn) I £伪？一夕『)8((仞一»2 — X) X
x Ф(Р1,, P/-2,儿 Р/+1,, Pn, A) d^pi dA. (15.15)
(вместо полей 夕^ при j = 1,, Z — 2, Z + 1,, п здесь могут стоять также асимпто
тические поля 夕
Для доказательства заметим, что благодаря трансляционной симметрии обобщенная функция
(013)…0J2山—2)[田(⑨一1),⑴(⑨h干收 + iO + i)…0rz (0几))0
является ^00-функцией от x/_i. Следовательно, ее можно сузить на плоскости х/-1 = 0 и левую часть (15.15) выразить через это сужение:
(01(夕1)…收一2(例-2)[02 — 10 — 1), 02(R)]干收 + lO + l) ...^n(Pn))0 =
=(27?)4"夕1 + +рп)р(рЬ , P/-2, Pl, , Pn), (15.16) где
P(P1,, Pl, , Pn) = j £加3〈01(夕 1)…。/―2(仞一2)[⑺一1(。)，^PlM] ...^n(pn))Qdxi
(15.17)
—обобщенная функция из 驴(М71-、). Из условия локальности следует, что обобщенная _функция под знаком фурье-интеграла в (15.17) имеет ьюситель в световом конусе V, так что д(р\, ..., pj ..., pQ принадлежит классу о(『) по импульсу 夕%. Далее, из (сильного) условия спектральности следует, что носитель обобщенной
1))...^仇)〉0(15.18)
принадлежит множеству в Мп, определяемому посредством
仞 + 仞+1 + • • • + Pn G {°}^м^(15.19)
в то время как носитель
(01(夕1)…收一2(例-2)02(R)02 -10 —1)…0九(0几))0(15.20)
заключен в множестве точек таких, что
仞—1 + 仞+1 + • • • + Pn G {°} U『R,(15.21)
где М' и М — нижние границы спектров масс в ортогональном дополнении к вакууму соответственно в подпространстве
%(元1…元Z —2元Z -1) C %(々…*九)и%(元1…元z —2元Z)C %(々—J.
Таким образом, носитель p(pi, , pi, , рп) содержится в объединении множеств (15.19) и (15.21). Однако (согласно следующему упражнению) точку 0 следует отсюда исключить, и мы приходим к выводу, что носитель р(рь , pi, , pn) заключен в множестве точек таких, что
Pi G [—(夕 1 + …+ P/-i) + "^м][—(仞+1 + …+ Pn) +『髙・(15.22)
Упражнение 15.3. Доказать, что p(pi, , рп) = 0, если pi находится вне множества (15.22). (Указание: разложить (15.18) и (15.20) по усеченным вакуумным средним; тогда слагаемые, в которых поля 夕％_1 и 夕％ попадают в разные кластеры, взаимно уничтожаются в (15.16). К остальным слагаемым применить свойство спектральности из упражнения 12.8.)
Наряду с (15.22) мы, очевидно, имеем обычное условие спектральности; носитель 9(夕 1,…，夕2,Pn) принадлежит множеству точек таких, что
Pi ++pj G {0} U V+при/ = 1,—2,
Pj ++ рп {0} U『工ПРИ/ = / + 1,...,八
(从7 > 0 — массовые параметры). Мы будем предполагать, что хотя бы один из импульсов pi + ... + 夕2—2, p/+i + ... + Рп отличен от нуля (так как в противном случае (15.16) сводится к вакуумному среднему (анти)коммутатора [^/_i(p/_i),收⑺)], которое нас здесь не интересует). Тогда вместе с (15.23) имеем
Pi + …+ Р/-2 -仞+1 —…一рn G『+•(15・24)
Сравнение условия носителя (15.22) с (4.1096) показывает, что мы здесь имеем дело с ситуацией п. 4.3.В (несущественное различие состоит в том, что теперь 9(夕 1,…，夕2,…，Рп) есть обобщенная функция еще и от других импульсов, кроме pi； однако вывод представления ИЛД остается справедливым и в этой ситуации).
В результате мы приходим к представлению ИЛД (15.15) для (анти)коммута- тора, где спектральная функция 屮⑺，...，夕%一2,力，p/+i,, рп； А) есть обобщенная
функция из 少(М1—' х К+), обладающая обычным свойством носителя (15.23) по pi, , р/-2, Pz+ь , Рп； кроме того, при любом £〉0 W может быть выбрана с носителем по переменным 夕;е М, X》0 в s-окрестности (в 7И х 7?+) множества
adm = adm(pi + ... + 仞一2,仞+1 + …+夕冷)， где
adm = {(儿 A) 6 7И X 反+：讨 G Q[-(P1 + …+仞—2), -(仞+1 ++Pn)],
A》x2(pi ++p/-2 +pL Pi + 仞+1 ++Pn)},(15.25)
〃(夕I + ...+pi-^+pi 勿 + 仞+1 + ••• +Pn) = 0 V(2И — Js + …+ 夕2—2 +%)2 ) V
V - J(% + 仞+1 + …+夕冷)2 )• (15.26)
Действуя далее, как в п. 4.3.Г, мы получаем представления для запаздывающего и опережающего (анти)коммутаторов полей 夕%_i и 夕％
〈01(夕1)…收―2山—2)Н(02 —1О —1)； 02(例))02 + 10 + 1) ...^n(Pn))0 =
=(27Г)45(Р1 + +pn) hr(pb, P/-2, Pl,, PnY(15.27a)
〈。1(夕1)…收―2(例—2)4(02 — 10 — 1)； 02(R)) ^Z + l(PZ + l)---^n(Pn))0 =
=(2tt)45(pi + ... +pn)力(夕 1,, P/-2, Pl,, Pn),(15.27a)
где
hr,a(Pb -，Pn)=\ ：%二/。仁^&^；7)匕7 山勿 dj; (15.28) при этом Ф есть подходящее продолжение спектральной функции из представления (15.15) до обобщенной функции из пространства У (4 х [0, оо]), а множество А состоит из точек (pi, ,夕%一2,力，p/+i,,夕7z), удовлетворяющих условиям (15.23) и
Pi G 0—(夕 1 + ••• + 夕2一2),—(仞+i + ••• + Pn)]-(15.29)
Как мы знаем из п.4.3.Г, hr^a(p\, , pi, , рп) являются граничными значениями (соответственно при Imp/ — 0, Imp/ е『士) единой аналитической функции h(p、，，pi, , Рп) по импульсу pi (и обобщенными функциями по остальным импульсам). Для нее имеет место представление, аналогичное (15.28), а область аналитичности определяется условием
(р/ - р^)2 — X #。 при (儿 А) 6 adm.(15.30)
Замечание. Можно считать, что спектральная функция ИЛД обладает теми же свойствами лоренц-ковариантности, что и hr；a(pi, Pi, • • •, Рп)- Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти в систему отсчета, в которой вектор (15.24) направлен вдоль оси времени:
01 ++02 —2 —02+1 --Рп =
Поскольку конструкция спектральной функции (в пп. 4.3.А и 4.3.Б) сохраняет свойства ковариантности относительно группы вращений, то в избранной системе Ф обладает теми же свойствами ковариантности относительно вращений, что и hr；a- Возвращаясь к исходной системе отсчета, мы приходим (согласно следствию 3.16) к упомянутым свойствам лоренц- ковариантности Ф.
Выше было сказано, что для любого числа £〉0 носитель Ф может быть выбран по переменным @J X в е-окрестности множества adm. В действительности здесь £ можно считать зависящим от импульсов @i + ... +@%_2 и pz+i + ... + рп (хотя и не произвольным образом). Для определенности рассмотрим ту же систему отсчета (15.31). Фиксируем произвольным образом числа £ > 0, ^ > 0 и положим
△(сг) = £СГ-N.(15.32)
Тогда из конструкции спектральной функции (п. 4.3.Б) применительно к данному случаю следует, что носитель Ф по р{, А может быть выбран в △((т)-окрестностн множества adm.
Аналитичность по 九 Перейдем к доказательству аналитичности амплитуды двухчастичного процесса (15.1) в малом эллипсе Лемана; для простоты спины частиц предполагаются равными нулю.
Из определения (13.101) и формулы редукции (13.103) следует представление для амплптудн:
(27Г)45(Р1 + 夕2 +夕3 + 夕4)夕(夕4,夕3,夕2,夕 1) =5ш2^ Х
X {(夕彳—涡)(场一碣)(0卅(夕4)湾"(夕3)4(02(夕2)； 013)))0}.(15.33)
Сюда входит ампутированный опережающий коммутатор KX{KXiA^^x^)\ 夕i(力1)), для которого имеем представление типа (15.276), (15.28):
(P1 - ^1)(p2 -m分(词"(夕4)0家(3)4(02位2)； 013)))0=
гдегде=(27Г)45(Р1 + ... +Р4)м夕4,夕з, Pi),(15.34)
где
где
介(夕4’ 夕3’ Pi) = j(0? _ @F，?^)2,，，〃尸 _入 d4Pl d\X. (15.35)
В отличие от рассмотрения п. 15.1.В, при выводе представления (15.35) следует исходить из представления ИЛД для коммутатора токоподобных полей [32(力2), ji(^i)]= =Kg К力2 [夕2(力2),夕 1(力 1)] (а не для коммутатора обычных полей). Поэтому роль массовых параметров М' и М из п. 15.1.В теперь играют соответственно М\ и М2 (нижние границы спектра масс соответственно состояний 力(/i)|0) и ^2(/2) 10))-
На основании предыдущего пункта представление (15.35) приводит к аналитичности 九(夕4,夕з, pi) no pi в области, характеризуемой условием
3 - Pi)2 — X #。 при всех pi G Q[—夕з —夕4, 0], А > 諸仇 + 夕4 + 办，订)，
гдегде(15.36)
где
где
"(曲 + 04 +办，办)=0V ("2 - J(02 + 夕4 +M)2 ) V ("I - ^^ )•(15.37)
Для нахождения пересечения области аналитичности Д(р<, рз, pi) с комплексной массовой оболочкой (夕彳=т:, р^ = ш^) перейдем в систему центра масс векторов 夕з,夕4 (где р3 + р4 = 0). Соответствующие импульсы pi, , р< на частично комплексифицированной массовой оболочке процесса (15.1), очевидно, имеют параметризацию типа (7.185), однако теперь 几12 является вектором на комплексной квадрике CS?:
CS2 = {пе С3: л2 =(八 1)2 + (八2)2 +(八3)2 = 1}.(15.38)
Условие (15.36) теперь означает:
几 12 备 # 2kJs)|〃| [抬2(s)+ 必3一(川 + E1(S))2 + N (15.39a) при всех pi, А таких, что
夕Т +穿+M1IW穿， 入》必仇+夕4 +办,办).(15.396)
Это условие выделяет некоторую область аналитичности по 几12 на квадрике CS?.
Упражнение 15.4. Доказать, что условия (15.39) равносильны следующему:
|Re〃i2〔 < 32(s),(15.40)
где2
力12(6)= inf 2Ki2；s)W| K%2(6)+ |0『-卜。+ 飞 74n2)+ С® s)，(15.41)
где нижняя грань берется по множеству точек) v Е М таких, что |о°| + |в| < д/s /2, а
〃(。，s) = 0 V〃(。，s) = 0 Vо° +о° +向2向2(15.42)(15.42)
〃(。，s) = 0 V
〃(。，s) = 0 V
о° +
о° +
向2
向2
(15.42)
(15.42)
(Указание: правая часть (15.41) принимает (все) значения в интервале [xi2(s), ос), когда р^ А изменяются в множестве (15.396), поэтому при |Re〃i2〔 < /i2(s) неравенство (15.39а) соблюдается. Если |Re〃i2〔 > /i2(s), то правая часть (15.39а) принимает значение |Re〃i2〔 при некоторых pi°, |р[, А. Остается выбрать —pj вдоль Re Л12, чтобы вместо неравенства в (15.39а) имело место равенство.)
Упражнение 15.5 (Леман, 1958 )). Доказать, что величина, определенная в (15.41), имеет значение, приведенное в (15.4).
В силу лоренц-инвариантности амплитуда T(s,方)процесса является распределением по s при s > Sphys и аналитической функцией по t в области, которую пробегает t (см. (7.189)), когда 几34 пробегает S?, а 几 12 — часть квадрики CS?, характеризуемую условием (15.40).
Поясним это. В выбранной выше системе с дополнительным уточнением, что вектор л34 направлен вдоль оси ез,九(@4, @з, pi) записывается в виде
九(04, 03, 01) = “з(0з)“4(04)»(〃12, S),
где »(〃12, s) — распределение по s при s > Sphys и аналитическая функция от 〃12・ Вместо того чтобы иметь дело с функцией на квадрике, мы можем доопределить H(N, s) по трехмерному вектору N в области ReNN > 0, полагая H(N, s) = HKNNy'/’N, s). Лоренц-
инвариантность 九(@4, @з, pi) теперь сводится к О+ (2)-инвариантности H〈N, s) по координатам ^1, N2. Согласно предложению 5.15 (и примечанию к нему) зависимость H(N, s) от ^1, № сводится к аналитической зависимости от скалярного квадрата (^1)2 + (№尸= =NN — (NS)?. В результате H(〃i2, s) зависит только от s (как распределение) и от третьей проекции nf2 (как аналитическая функция):
Я(Л12, s) = Я(п?2, s)；
мы приходим к сделанному выше утверждению об амплитуде T(s, t), которое в выбранных координатах означает, что H(〃i2, s) зависит только от s (как распределение) и от третьей проекции п?2 вектора 〃12 (как аналитическая функция): H(〃i2, s)=方(几；2, s).
Упражнение 15.6. (а) При а > 0 положим
О1(а) = {л е С52: |Ren| < ch а}.(15.43)
Доказать, что
01(a)= U。十(3, A)国(河6，(15.44)
0</3<Q
где Аз(分炉)——комплексное вращение вокруг оси ез
на угол г/3:
/ ch/3
分 sh/3 0\
Аз(/)二一分sh/3
ch/3 0 .
(15.45)
\ 0
0
(Указание: всякий вектор из 9rlm) имеет вид 〃二 ch/3〃 + 分sh f3b с f3 E [0, а); здесь а и b — пара ортонормированных векторов из R3, которую можно записать в виде a = Явь b =区电, где R е О+(3, А).)
) Доказать, что
01(a) = U 0+(3, А)必(/)0+(3, A) ei・(15.46)
(Указание: при любых 凡 R G 0+(3, A) |Im RR^iP) В!е\ | = |1ш Яз(г0) В!е\ | < ch/З х х \В!е\ I = ch/3, поэтому правая часть (15.46) содержится в 0rl(а); обратное включение очевидно из (15.44).)
) Доказать, что множество комплексных чисел
{z = х + iy: z = тп, т е S2, 〃 G 3^(a)},(15.47)
есть эллипс
(备)+ (矗)< 1
с фокусами в точках ±1 и с большой полуосью ch а. (Указание: согласно части (а) упражнения (15.47) есть множествоточек вида г = тЯз^(3) ei, где m е52,0</3 < а, т. е.
это есть множество точек г = ch /3 xi+ 分sh/3/2, где * + / < 1, 0 W /3 <a.)
Таким образом, множество значений cosJ =几 12^34, когда 几34 пробегает S? (или принимает только фиксированноезначение), а 几 12 пробегает часть(15.40)квадрики,
еСТЬ ЭЛЛИПС|cos"1| + |cos^+ 1| < 2&2(s)・(15.48)
Переходя к переменной t по формуле (7.189), мы видим, что инвариантная амплитуда T(s,方)аналитична в эллипсе
E12(s) = {方 G С： \t -方 min(s)| + I方一方 max (s) I V 4K12(S)衣34($)力 12(S)}・(15.49)
Остается заметить, что мы могли бы исходить из формулы редукции по импульсам 夕з,夕4 конечных частиц, оставляя импульсы pi,夕2 физическими. В результате мы получили бы для области аналитичности по cosJ такой же эллипс (15.48), но с
588 Гл. 15. Аналитичность по переданному импульсу 〃 дисперсионные соотношения большой полуосью 力34(s) вместо 力i2(s)・ Наибольшая из величин 力i2(s),力34(s) как раз соответствует эллипсу (15.2). В результате приходим к следующему результату Лемана.
Теорема 15.1. Инвариантная амплитуда T(s,方)из представления (7.201) для двухчастичного процесса (15.1) является распределением по s при s > Sphys и аналитической функцией по t в малом эллипсе Лемана (15.2).
Дисперсионные соотношения
А. Основные этапы вывода дисперсионных соотношений. Отправной точкой при установлении аналитических свойств двухчастичной амплитуды по переменной s (при фиксированном 方)служит формула частичной редукции (типа (13.102)), осуществляющая выход в комплексную область по импульсам 夕2,夕4； при этом импульсы pi, рз (а с ними и 方)остаются физическими. Однако получаемая таким образом область аналитичности по 夕2,夕4 не пересекается с комплексифицированной массовой оболочкой р^ = т^, pl =加彳.
Метод, предложенный Боголюбовым, состоит в следующем. Замечается, что при некоторых отрицательных значениях р^ и 夕彳(т. е. при «нефизических массах») и при некоторых значениях t имеется достаточно обширная область аналитичности по s (именно, плоскость с двумя вещественными разрезами), позволяющая написать при этих нефизических массах дисперсионное соотношение по s (пп. 15.2.Б, 15.2.В). Тем самым амплитуда выражается через свои скачки на разрезах (отличающихся множителем от абсорбтивных частей амплитуды соответственно s- и и-каналов). Дальнейшая программа сводится к установлению аналитических свойств абсорбтивных частей амплитуды по переменным 夕^，夕彳 и продолжению дисперсионного соотношения к физическим значениям масс. Здесь пригодны методы § 15.1, которые выявляют аналитичность абсорбтивной части сразу по трем переменным, р^ 夕彳，九 Результирующая область аналитичности (п. 15.2.Г) оказывается больше, чем для амплитуды (благодаря тому, что абсорбтивная часть — в отличие от амплитуды — удовлетворяет двукратному представлению ИЛД); в частности, область аналитичности абсорбтивной части по t при физических значениях р^ Р4 есть так называемый большой эллипс Лемана 常(s). Последний этап (п. 15.2.Д) — аналитическое продолжение по 脸，脸 в дисперсионном соотношении — можно провести не для всех процессов и не для всех значений 方.При определенном ограничении на массы и пороги s- и u-каналов имеется интервал (丁也，Ттах) физических значений 方，для которых справедливо дисперсионное соотношение по s при физических значениях масс.
Ввиду известной громоздкости вывода дисперсионных соотношений мы ограничимся случаем скалярных частиц (хотя методы и результаты переносятся на случай частиц произвольного спина).
Б. Выход в комплексную область по импульсам @2, @4・ Воспользуемся формулой редукции (13.102) при pj 6 (j = 1, 2), р$ 6 G+ (j = 3, 4):
(27?)4"夕1 + 夕2 +夕3 + 夕4)夕(夕4,夕3,夕2,夕 1) = S~2(p2)5^p^ X
X {(曷-Ч)(p4 -啮)(03(曲)4(04(°4)； 02(°2)) 013))0}. (15.50)
Представление ИЛД, примененное к опережающему коммутатору, выражает амплитуду как граничное значение аналитической функции по 夕2：
夕(夕4,夕з,夕2, Pi)=麻2(偌)躡4旧)limP2 + П，P1),(15.51)
Де伙夕3,夕2,= j ：)：/£：)圆％ diA.(15.52)
Аналогичное представление, очевидно, имеет место для матричного элемента коммутатора токоподобных полей /4 и /2：
(03(曲)[又(夕4),彳2(夕2)]01(01))0 = (27Г)45(p1 + ... +04)仪曲,夕2,夕 1),(15.53)
где
9(爲，夕2,夕 1) = j ^-р^5^-р^ - А)Ф(р3, Pi Pi,入)山痴办・ (15.54) Точки 夕2 из прошлой и будущей труб = 7И + гУ^ заведомо попадают в область аналитичности 九(夕з,夕2, Pi) (по 夕2), где имеет место инвариантное представление
М夕з,夕2, Pi)=躡з(夕3)%i3)T(s,方，Q,⑴；(15.55)
здесь
夕1ЕГ/1，рз ^ Г+з, pi и рз неколлинеарны,(15.56)
Q =场， G = *•(15.57)
Инвариантная амплитуда T(s,方，《2, G) является распределением по t и аналитической функцией по s,《2, G в области в С3, содержащей по крайней мере множество значений (s, Q, G), принимаемых величинами (pi + 夕2尸，Р^ 诉，когда pi е Г~1, рз е е Г+з,夕2 G Tj U Т「при фиксированном значении 力=(pi + рз)2 < (mi — m3)2.
При выводе представления (15.55) можно перейти в систему отсчета, связанную с @2 и 0з, например, полагая, что —@i и р3 направлены соответственно вдоль векторов ео и ез. Тогда условие лоренц-инвариантаости сводится к О+ (2)-инвариантности 九(@з, @2, Pi) по компонентам @3 и @^ вектора @2・ Дальнейшая аргументация такова же, как в п. 15.1.В. Достаточно ограничиться точками, где @3 # 0; перейдя в инфинитезимальном условии О+ (2)-инвариантности от @3, @^ к новым переменным (@3)? + (@^)? и @^, убеждаемся, что 九(0з, 02, 01) зависит от @3, @^ только через комбинацию (@3尸 + (目办乙 Теперь остается выразить 或 0?, 区(@3)2 + (р2)2 через инварианты s, t, Q, G・
В соответствии с п. 15.1.А 罔2 будет обозначать нижнюю границу непрерывного спектра масс в подпространстве векторов вида
I 32(力 2)夕 1(力 1) 〃(•，X2)dx{ dx2\o).
Кроме того, мы предполагаем, что в интервале (0, М12) имеется не более одной дискретной точки 加12 оператора массы в рассматриваемом подпространстве (другими словами, имеется не более одного связанного состояния *) в s-канале). Тогда для первого слагаемого в левой части (15.53) мы можем написать инвариантное представление
(03(曲)入(夕4)/2(夕2)01(夕1))0 = (2外"3 + +p4)X
х 躡з仇)％Qi中(s - тп%)瓦(成 *) + ±4(s,方,咸 *)}• (15.58)
Величины Bs(Р2, Р4) и 4s(s,方，р^ 夕彳)снабжены еще нижним индексом s (который не следует отождествлять с переменной s), указывающим на отношение их к s- каналу. В инвариантной амплитуде явно выделен вклад от (возможного) связанного состояния в s-канале, поэтому носитель As сосредоточен при s》"；2・ Для второго слагаемого левой части (15.53) имеем подобное представление: (03仇方2(夕2方4(夕4)01(夕1))0 = (27Г)45(p1 + …+ 。4)X
X 躡3(3)%13){"" - mi4)Bu冠,*) + ^ 4(",方,或 *)},(15.59)
причем носитель Аи сосредоточен при и》М^. Напомним, что (согласно (7.184)) переменные s,方，и здесь связаны соотношением
S + 方 + 〃 = 772； +《2 + ^з +《4・(15.60)
В связи с разложениями (15.58), (15.59) следует еще заметить, что 石$(《2, G) и Ви《2, G) не зависят от t
Поясним это для Bs. Пусть связанное состояние в s-канале соответствует бесспиновой частице с in-операторами рождения и уничтожения а* (р), а(@). Тогда его вклад в (15.58) равен〜
]^AP^j^P^(^^\{a^lAp^^(15.61)
Входящие сюда форм-факторы имеют инвариантные представления вида
〈砒0)32(02)01(01)〉0 = (2tf)4J(pi +02+0)际(01)91 (向.
Подставляя их в (15.61) и выполняя интегрирование по @, мы получаем следующее выражение для (15.61):
(2тг)%(01 +@2 +03 +@4)魏з(0з)麻 1(01)%12(01 +@2)gi(@i)g2(向.
Обратимся к представлению (15.52). На основании п. 15.1.Б 九(夕з,夕2, Pi) аналитична по 夕2 в точках, удовлетворяющих условию
(夕2—%)2 —х#。 при всех % G Q[—夕3,—夕 1],入》储3+%, % + 夕3), (15.62)
где
〃(0 1 +%, % +03)= 0 V (m12 - J(2 +砲2 ) V (m14 - J(M +3)2 )•(15.63)
Оказывается, эта область аналитичности не содержит точек с физическими значениями 方，夕^,夕彳.
Действительно, т^ (а также М12) не превосходит (mi + m2) А (m3 + Ш4), значит, т^ не превосходит полусуммы масс всех частиц в реакции. Фиксируем точку @3 = - ^ 3 +@з)・ Тогда Ш12 -，(01 + 0$)2 W Ш12 - 2(Ш1 + Шз) < 2 (ш2 + ш4). Аналогично Ш12 -，(Х + 0з)2 и, значит, ” в (15.63) не превосходит ^ (m2 + 7n4). Рассмотрим теперь фигурирующее в (15.62) выражение (02 — pj при том же значении @$. При физических значениях t,目^, @： это положительное число, не меньшее J (硒 + з)?; следовательно, в таких точках условие (15.62) не выполнено. Очевидно, что этот вывод не связан с наличием или отсутствием связанных состояний в s- или ^-канале, так как замена 7n12 на Mi2 и mu на Ми не отражается на этом рассуждении.
В этом пункте мы ограничимся нефизическими (точнее, отрицательными) значениями параметров Q, &
Лемма 15.2. Инвариантная амплитуда T(s,方，Q, G) (15.55) аналитична по s,《2, G & точках, удовлетворяющих условиям
IGI <G,(15.64)
Ims# 0(15.65)
{здесь Q, G，方 V О)・
< Пусть условия (15.64), (15.65) выполнены. Достаточно указать четверку 4-векторов (01,…，04) (с суммой 0) таких, что выполнены условия (15.56), (15.57), @2 Е Tj U TJ (разумеется, при этом t = (pi + 必尸=(@2 +夕4尸，s = (pi +@2尸). Для определенности мы будем считать Im s = 5 > 0. Очевидно, существует интервал 0 < 5 < 5o(t, Q, G) значений Ь, при которых наряду с (15.64) выполняются также неравенства
—G — 52 I <《2 -贯 +.
Будем интерпретировать его как неравенство треугольника. Тогда из него следует существование двух векторов р2, р4 6 R3 таких, что
|р2 +Р^ =\р^ =- К |〃|2 = -(4 - К
Положим теперь
02 =(—泣 02)，04 = ” р4).
Ясно, что @2 Е Т+,(02 +04)= £, 2^ = (2, Р4 = G・ Заметим, что пока b не фиксировано; ниже мы воспользуемся тем, что оно может быть сколь угодно малым; векторы же р2 = р2(5) и р4 = р4(Ь) можно выбрать как функции от Ь, имеющие пределы при b т 0. Далее положим б 二(-匆dl} 03 =協,"Pl -Р2 ~Р^
где р] — вектор из К^ такой, что
|Pi『=(±) - шь Е+02+Р『=(匆)-mt |Pi +Р2|2 = (^) - 52 - Res. (15.66)
Если такой вектор р] существует, то тем самым мы построили искомую четверку импульсов 01, ...,04・ Условия (15.66) определяют расстояния от точки р{ до трех («почти фиксированных» в пределе b т 0) точек в R3, а так как эти расстояния неограниченно возрастают и разность между ними стремится к нулю при b т 0 то ясно, что такая точка р] существует при достаточно малом b/b. А
Замечание. Из доказательства леммы 15.2 можно извлечь еще такой вывод: для достаточно малой окрестности в С 义 К^ произвольной вещественной точки (s(o), t(0),《2(0), G(o)), удовлетворяющей условию (15.64), существует непрерывное отображение (s, t, Q, (4) т т(01,02,03,04), где (01, ...,04)есть четверка 4-импульсов с суммой 0, удовлетворяющих условиям (15.56), (15.57), t = (@i +@з){ s = (pi +@2尸，причем Ini02 = 0 (е V+, G V~), если выполнено соответствующее условие Im s = 0 (< 0, > 0).
В. Дисперсионное соотношение при нефизических «массах». Мы видели, что при 方，《2, G в области (15.64) амплитуда T(s,方，《2, G) аналитична по s (по крайней мере) в плоскости с разрезом по вещественной оси. Это необходимое свойство для написания дисперсионного соотношения, которое выражает Г через ее скачок на вещественной оси. Но из приведенных выше рассуждений еще не следует полиномиальная ограниченность амплитуды по |s| и по |Ims\~{, что также необходимо для определения дисперсионного интеграла. Кроме того, требуется еще установить связь скачка амплитуды с коммутатором (15.53). Для получения необходимой информации воспользуемся представлением ИЛД (15.52).
Ниже мы считаем, что импульс 夕2 содержится в трубе Tj или Т「 （каждая из которых входит в область аналитичности амплитуды） и что переменные 方，《2, G отрицательны и пробегают область （15.64）; при этом переменная s пробегает полуплоскость Ims < 0 или Im s〉0 （в зависимости от того, содержится ли 夕2 в TJ или в Т「）・ Перейдем в соотношении （15.52） в лабораторную систему частицы 1 （где Pj = 0） и направим ось 3 вдоль р3. Для импульсов в этой системе имеем следующие выражения через инварианты s,方，《2, G：
Pi =（一0，0，0）， 曲=「+紀+ 叫 0,0，（（川）2 -废y/2）, 儿./+ G，^ = ^3抗 + 5 + 一"-g），Ы2 = «-e2, （15.67）
P4 =一（诉+03 +成，p4 =一（向+夕扌+。1），（p4产=（出户 - G.
Поскольку t < 0, то в этой системе координаты 夕，，夕：всех импульсов регулярно выражаются через инварианты s,方，《2, G・ Зависимость от импульса 夕2 в （15.52） сосредоточена в выражении （（夕2 —夕厶尸一入）一L в котором величины （夕2尸，夕g,夕扌 регулярно зависят от инвариантов, в то время как двумерное скалярное произведение Р2Р2 не выражается через них （здесь посредством р обозначена проекция 4-вектора р на плоскость （1, 2））. Чтобы исключить это скалярное произведение, воспользуемся инвариантностью спектральной функции W（夕3,夕｝ pi, А）. Сделаем в （15.52） замену переменной р^ —兄一】（夕）夕2 и проинтегрируем по 夕 от 0 до 2тг, где R（夕）—вращение на угол 夕 в плоскости （1, 2）. В силу лоренц-инвариантности спектральной функции имеем
М夕з,夕2, Pi） = ］ У（5,方，Q, G；痴，X） W（夕3,痴，夕 1,入）山痴山入 （15.68） где2 万
y（s,方，Q, G； %，入）=j ［（r（夕）。2 - %产一入尸山夕・ （15.69） о
Явный вид У находится с помощью интеграла ）
27r
I （а + bcos夕 + csin夕）—％夕=（а?-庐一с?） — "?,（15.70）
0
так что
y（s,方，Q, G；心 A） = G（s,方，Q, G；心 A）-1/2,（15.71）
где
G（s,方，G；心 A）=
=（G +（P2）2 - 2夕3痴° + 2禽点-A）2 -4［（p^）2 + （夕》2］［侬1）2 + （彦产］（15.72） （детали, связанные с выбором знака корня в （15.71）, обсуждаются ниже после формулы （15.77））.
Обратимся к свойствам функции У. Из представления （15.69） видно, что она аналитична в трубах Т^, следовательно （как и амплитуда в лемме 15.2）, она аналитична по s при Im s # 0. Поскольку G（s,方，《2, G；夕｝入）есть квадратичный полином
no s с вещественными коэффициентами (зависящими ^^-образом от остальных переменных), то из аналитичности 】/? по s при Im s 0 следует, что оба корня этого полинома вещественны и что У допускает равномерную оценку по s типа \Y\ < 411msi— 1. По остальным переменным она принадлежит классу £°°. Более того, по (夕｝ А) она принадлежит классу 斤(Q[—夕з, —pi] х [0, оо]) и, как нетрудно убедиться, любая ее полунорма в этом классе функций ограничена по модулю выражением вида
4(1 + |s|)m|Ims|-z(15.73)
равномерно по s (то же имеет место при замене У любой ее производной по параметрам t,《2, G в области (15.64)). Из представления (15.68) теперь следует, что T(s,方，《2, G) после сглаживания с произвольной основной функцией по переменным 方，《2, G класса ® в области (15.64) становится аналитической функцией по s при Ims # 0 с оценкой типа (15.73). Согласно п. Б.5 для нее существуют граничные значения при Im s — ±0 в классе У (Kg) и справедливо дисперсионное соотношение, выражающее ее через скачок класса 乡‘便^).
Таким образом, мы получили дисперсионное соотношение для T(s,方，《2, G)：
T(s,方，G，G) = ^ ] 4,匕⑴曲(15.74)
где величина 4(s,方，《2, G) называемая абсорбтивной частью амплитуды, является обобщенной функцией по s класса У(Коо) (см. п. А.З) и распределением (класса ®х) по 方，《2, G в области (15.64). Она пропорциональна скачку амплитуды T(s, t,《2, G)：
4(s, t, Q, G) = = (T+(s,方，G，G) - T—(s, t, Q, G)),
(где 毒—граничные значения Т при Ims — ±0 — определены в соответствии с п. Б.5).
Остается установить связь абсорбтивной части амплитуды с матричным элементом коммутатора:
蹣з仇)％i3)4(s,方，G，G) = 2 9(夕з,夕2, Pi).(15.75)
Для этого заметим, что из перечисленных свойств функции У следует существование ее граничных значений 海(s, t, Q, G； 0$，А) в классе (более того, в классе «'(Kg)) при Im s т ±0:
匕(s, t, G，G；向 A) = G(s 土 2, t, G，Cl；向 A)-1/2.(15.76)
Для них мы имеем также выражения
277
lim [ [(А(з)(02 + 汕—曲2 —入『必夕・(15.77)
土 о
Действительно, из формулы (15.70) следует, что интеграл в (15.77) есть выражение вида Qi"?, где Q — квадратичный полином по s, коэффициенты которого стремятся к коэффициентам полинома G(s, t,《2,《4； @$, А) при у т 0. Остается убедиться, что в (15.71) и (15.77) мы имеем дело с одной и той же ветвью корня G-】"； для этого достаточно проверить, что (15.71) и (15.77) имеют одинаковые фазы в точках регулярности по s, а это опять же следует из формулы (15.76) и из того, что стремлению у 0, у Е V干，соответствует стремление Ims т ±0 (см. замечание в п. 15.2.Б; сделанный там вывод не зависит от выбора лоренцевской системы отсчета и, в частности применим в используемой здесь лабораторной системе). Используя выражения (15.77) для У±, мы можем теперь с помощью представления (15.68) написать для скачка 九(@з, 02, @1) при Im s = 0 выражение
38 Н. Н. Боголюбов и др.
27r
27Г II 2£(Р2 — 0$°)Ь((А(3)02 —曲2 -入)W(02,向 01,入)&4倣必入&夕， 0
откуда следует формула (15.75).
Подставив в (15.75) выражения для д, следующие из (15.58), (15.59), мы получаем соотношение
4(s, t, Q, G) = k(s -啮2)瓦(Q，G) - k(〃 -啮4)丛(Q, G) +
+ 4s(s,方，Q, G) — 4〃(也方，Q, G), (15.78) причем это равенство имеет место лишь при s # оо (так как в окрестности s = оо правая часть его — в отличие от левой — не определена). Первые два слагаемые в (15.78), имеющие происхождение от наличия связанных состояний в з- и и-кана- лах, дают полюсной вклад в амплитуду рассеяния, соответственно, в точках s = т^2, и =
Зафиксируем полученный предварительный результат в доказательстве дисперсионных соотношений.
Лемма 15.3. Амплитуда двухчастичного процесса выражается формулами (15.51), (15.55). При этом инвариантная амплитуда T(s,方，《2, G) аналитична при 方 V 0 〃о s,《2, G 6 области, которая содержит все точки, удовлетворяющие условию (15.64), (15.65). В этих точках справедливо дисперсионное соотношение (15.74), где абсорбтивная часть 4(s, t,《2, G) амплитуды является обобщенной функцией по s класса 少(RQ 〃 распределением по 力，厶，G 6 области (15.64); при s # оо имеет место соотношение (15.78).
Г. Аналитические свойства абсорбтивной части амплитуды. Для выражения (15.58) воспользуемся дважды (по pi и по рз) формулой в редукции (13.104):
х{ — °^)〈4 03(曲)；04(Р4))4 02(Р2)； 01(?1))〉о}(15.7 9)
Двукратное применение представления ИЛД к опережающим коммутаторам приводит к формуле
(03 (夕 3)/4(。 4)%(° 2)013))0 = (2"8(01 + …+。4)脱3(夕3)时13) *s(。4,…，夕1),
где
(15.81)(15.81)/ g、_-3(以，必，01 +02,入 向d4PA必入d4档必从
(15.81)
(15.81)
S 1 J - 0上一分。)2 - (?4 -S X
множест-множест-По переменной pi + 夕2 носитель а8(р^,, pi) (а также Ф) сосредоточен на
множест-
множест-
ве Г~12 U V^i2, Согласно п. 15.1.Б из представления (15.81) следует аналитичность as(p4, , pi) по 夕2,夕4 в области, определяемой условиями
(夕 2—%)2—х#。 при всех P2^Q[~P3 -Р4, 0], х》渴2(夕з + 夕4+%, %), (15.82а)
(夕 4—/4)2—〃#。при всех 夕IeQ[。，—夕1 —夕2〕，从》*4(必夕1 + 夕2+协)，(15.826)
где
%2(夕3 + 夕4 +%, Р2)= 0 V ("1 — J(夕3 + 夕4 +夕力2 ) V (”2 — y^ ), (15.83a) 々4(协，夕1 + 02 +协)=0 V ("2 - '(pi + 02 +%)2 ) V (Mt - y^), (15.836)
Перейдем к характеристике области аналитичности в инвариантном представле
нии:
as(夕4,Pi) = tM(s - Ms(Q, G) + 4(s,方，Q, G)・(15.84)
Для наших целей достаточно считать лишь одну из переменных《2, G независимой, поэтому мы положим
6=時 + 以 3=2,4,(15.85)
при этом нас интересуют главным образом вещественные значения параметра《W О (массовой оболочке теперь соответствует его значение 0). В системе центра масс G°i + 夕2 = 0) импульсы допускают параметризацию типа (7.185). Теперь нулевые компоненты 石^(s,《)и квадраты трехмерных импульсов К^з,《)，К氯s,《)зависят еще от параметра《：
E3(s, с =露1，M(S, С =
K?2(s, Q = ± (s? + " + 豈—2sm； - 2sQ — 2m沁)，
(15.87)
左4(5, Q = ±(52 + ^3 + <4 - 2s歷-2sG — 2加沁).
(Заметим, что К；? и К^4 могут принимать также отрицательные значения.) Поскольку мы теперь допускаем комплексные импульсы, трехмерные векторы 几12 и л34 принадлежат комплексной квадрике CS?.
С помощью рассуждений п. 15.1.В находим, что as(p4, , pi) аналитично по 几 12
при K；2(s, Q > 0,
(15.88a)
при K?2(s, Q < 0,
(15.886)
;(15.89)
в области
|Re〃i2| < 力i2(s, Q
|Imni2| < 力i2(s, Q где
&2(s，<)= mf ^^Й + И
нижняя грань берется по множеству точек v еМ таких, что |о°| + |и| < дД/2; 〃(о, s) определяется формулой (15.42). Для 力 12 имеем формулу типа (15.4):
*2(s，° = sgnK；2 + 鼎(s•(1590)
Точно так же а8(р^,, pi) аналитично по 几34 в области
|Ren34| < 力34(5, QприК気s, Q > 0,(15.91a)
|Imn34| < 力34(5, QприK^4(s, Q < 0,(15.916)
*4(s，Q = sgn 抬4 + 黑(s ｝猾：撫)■( 15・92)
Упражнение 15.7. Учитывая определение (15.43), доказать, что множество комплекс
ных чиселных чисел{z: 2 = тп, т G 员(а), п G ^(а7)}{z: 2 = тп, т G 员(а), п G ^(а7)}(15.93)(15.93)
ных чисел
ных чисел
{z: 2 = тп, т G 员(а), п G ^(а7)}
{z: 2 = тп, т G 员(а), п G ^(а7)}
(15.93)
(15.93)
(15.95)(15.95)и с большой полуосьюи с большой полуосью21Kl2〔 • IK34I ch(&i2 + Q34),21Kl2〔 • IK34I ch(&i2 + Q34),(15.96)(15.96)гдегдеприприshcq2shcq2приприпри K34 > О,при K34 > О,при К34 < 0.при К34 < 0.К12 > 0,}sn Q34 =К12 < 0,К12 > 0,}sn Q34 =К12 < 0,(15.97)(15.97)
(15.95)
(15.95)
и с большой полуосью
и с большой полуосью
21Kl2〔 • IK34I ch(&i2 + Q34),
21Kl2〔 • IK34I ch(&i2 + Q34),
(15.96)
(15.96)
где
где
при
при
shcq2
shcq2
при
при
при K34 > О,
при K34 > О,
при К34 < 0.
при К34 < 0.
К12 > 0,}
sn Q34 =
К12 < 0,
К12 > 0,}
sn Q34 =
К12 < 0,
(15.97)
(15.97)
есть эллипс с фокусами в точках ±1 и с большой полуосью ch(a + с/). (Указание: пользуясь формулой (15.46), множество (15.93) можно записать в виде
(15.94)(15.94)U {z: г = тЯз(г/3) и, т е S2, л G ^(а7)}，
(15.94)
(15.94)
0W/3<a
входящий сюда вектор Rs(if3) л принадлежит 3^(а + с/), так как
|Im %(分/3) 〃| < ch/3 • |1ш л| + sh/3 • |Re 〃| < sh (а + с/).
На основании упражнения 15.6 (в) множество (15.93) содержится в эллипсе с фокусами ±1 и с большой полуосью ch(a + с/). Обратно, всякая точка из этого эллипса представима в виде г =加A3(分т) q, где 0<)<& + □/; ее, очевидно, можно записать в виде г =加Аз(分/3) R^P') q, где О W /3 < а, О W 0 < с/, так что г принадлежит множеству (15.94).)
Из упражнения 15.7 следует, что при s > 加^ 4s(s,方.《2, G) аналитична no t n《в области, содержащей точки《W 0,方 е 步i2,34(s, Q, где 常 12,34($, Q — большой эллипс Лемана с фокусами в точках
红(s, 0 = ^? + ^i - 2Ei(s, Q 石3(吼 Q 士 2Ki2(s, Q K34(s, Q
посред-посред-К；2 伙—К® +К；2 伙—К® +к^е(-к^4)+к^е(-к^4)+(М -時)(№ - 62)(Mf —展)(用—G)s — {М^ — М^(М -時)(№ - 62)(Mf —展)(用—G)s — {М^ — М^>0,>0,>о.>о.(15.98)(15.98)
посред-
посред-
К；2 伙—К® +
К；2 伙—К® +
к^е(-к^4)+
к^е(-к^4)+
(М -時)(№ - 62)
(Mf —展)(用—G)s — {М^ — М^
(М -時)(№ - 62)
(Mf —展)(用—G)s — {М^ — М^
>0,
>0,
>о.
>о.
(15.98)
(15.98)
Большой эллипс Лемана непуст, если оба числа Q12, &34，определяемые ством (15.97), положительны, что равносильно условиям
Мы будем предполагать, что они выполнены при всех《< 0, s G {m^2} U [М^2, оо).
Упражнение 15.8. Пусть
(15.99)(15.99)m§ W mk при J = 2, 4 и k = 1, 3.
(15.99)
(15.99)
Доказать, что для выполнения условий (15.98) при《W 0 необходимо и достаточно, чтобы они выполнялись при《=0:
抬2（s）e（—蜀2（s）） +抬2（s）e（—蜀2（s）） +嗚（s）e（—“（s））+嗚（s）e（—“（s））+(Mf — ml) (М2 —哂)s — (TVfi — M?)'(M^ -呜(用-嗎)s - (А/з _ ^4)2(Mf — ml) (М2 —哂)s — (TVfi — M?)'(M^ -呜(用-嗎)s - (А/з _ ^4)2>0,>0,〉0.〉0.(15.100)(15.100)
抬2（s）e（—蜀2（s）） +
抬2（s）e（—蜀2（s）） +
嗚（s）e（—“（s））+
嗚（s）e（—“（s））+
(Mf — ml) (М2 —哂)s — (TVfi — M?)'
(M^ -呜(用-嗎)s - (А/з _ ^4)2
(Mf — ml) (М2 —哂)s — (TVfi — M?)'
(M^ -呜(用-嗎)s - (А/з _ ^4)2
>0,
>0,
〉0.
〉0.
(15.100)
(15.100)
при s = Ш12 и s > М^2. (Указание: из (15.99) следует, что К；2 и 抬4 убывают при возрастании £)
Вещественные точки большого эллипса Лемана 常 12,34($, Q образуют интервал (Xi(s, Q, X2(s, Q) с концами
Xi,2(s, Q =加彳 + mf — 2Ei(s, Q 石3(吼 Q 干 2X(s, Q,(15.101)
八 "".(由(a12+q34) При к否к^)。，
[sh(Qi2+&34) при K^K^ < 0,
или (учитывая (15.97))
X(s, Q = 1k1211K34丨/ 12/34 +J1k12力12y一k否j|k34/34户一爲•(15.102)
Подставляя сюда (15.90), (15.92), получаем
A / e = (Mf - тя；)(7и^ - G)(坦1 一 咽)(屈 一 G) / I
s - (Mi - M2)2 s - (M3 - M4)2
II-(2)"II_ 歷)(屈 _//1 r
+ 产12+ s —]^34 + s _ (M3 - M4)2 J
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 15.4. Пусть при {фиксированном) s > М^2 выполнены условия (15.100). Тогда абсорбтивнан часть 4s(s,方) амплитуды процесса (15.1) аналитична по t в большом эллипсе Лемана 常(s)=步 12,34($) с фокусами
红(s) = ml + ml- 2Ei(s) ^(s) 士 2K质，)Кз4(，)(15.104)
и с вещественным интервалом (Xi(s), X2(s)) (концы которого определены посредством (15.101), (15.103) при Q =加^, G =加彳).
В частности, при s > Sphys большой эллипс Лемана можно записать в виде
гдеX(S)= Xi2,34(S)=гдеX(S)= Xi2,34(S)=衍 2,34(S)= {t Е С： \t -方 min(S)| + I方一方 max(S)I V 4K12($) &4(S)X(S)},(15.105)
где
X(S)= Xi2,34(S)=
где
X(S)= Xi2,34(S)=
(Mf — mf)(M2 — m2) (Mf — m|)(M4 — ml) ^2抬2(S)(S —(站—M)2) ^W^W^WJ +
K^s^s-M^)K^s^s-M^)+ ^4(S)(S-(M3-M4)2)+ ^4(S)(S-(M3-M4)2)(15.106)(15.106)
K^s^s-M^)
K^s^s-M^)
+ ^4(S)(S-(M3-M4)2)
+ ^4(S)(S-(M3-M4)2)
(15.106)
(15.106)
Относительно значений s в окрестности т^2 мы знаем (из представления (15.84)), что as(p4, , pi) зависит лишь от 《п не зависит от 方，так что для таких s область аналитичности абсорбтивной части (при выполнении условий (15.98)) содержит точки 《< 0, t Е С. Что касается значений s 》"；2， то область аналитичности As(s, t,《2, G) содержит по крайней мере вещественные точки 《W 0,方 е (с,及)， ГДеС = sup Xi(s, Q,丁2 = inf X2(s, Q；(15.107)
«оCW。
S>Mi2S>M?2
очевидно, что этот интервал (丁匕 丁2)непуст лишь при условии
71 < Т2・71 < Т2・(15.108)
71 < Т2・
71 < Т2・
Упражнение 15.9. (а) Доказать, что
& W0・(15.109)
Указание: lim X2(s,《)=0.)
(б) Доказать, что в случае квазиупругого процесса имеет место равенство
T2 = 0.T2 = 0.(15.110)
T2 = 0.
T2 = 0.
(Указание: в рассматриваемом случае Х2® 0 = 2(Mf-mf){М^-тп^-О[s - (Mi -此尸尸.) (в) Пусть выполнены условия (15.99). Доказать, что тогда
п = sup xi(s, °).(15.Ill)
(Указание: из условия (15.99) следует, что Е\ (s,《)и Ез($,《)убывают при возрастании《； вместе с ними убывают также 蜀2(s,(),抬仙，《)и (в силу (15.103)) X(s,《)；следовательно, верхняя грань по《в (15.107) достигается при《=0.)
Лемма 15.5. При выполнении условий (15.98), (15.108) абсорбтивная часть (15.84) амплитуды двухчастичного процесса (продолженная за массовую оболочку), аналитична по (方，Q в области, содержащей точки t 6 (с, 丁2), С < 0. Более того, при любых Л < 0, t е (с, 丁2)область аналитичности 4s(s,方，Q, G) no《содержит множество
Л < Re(^ < £,|Im《| < £,Л < Re(^ < £,|Im《| < £,(15.112)(15.112)
Л < Re(^ < £,|Im《| < £,
Л < Re(^ < £,|Im《| < £,
(15.112)
(15.112)
где £ = e(A, t) > 0 зависит {непрерывно) от К, t и не зависит от s.
< Первое утверждение леммы было установлено выше. Из него следует, что множество вида (15.112) входит в область аналитичности As(s, t,《2,《4) по 《 при любых Л < 0, t 6 G (丁1, ^), s》Mf2, однако с £ = £(Л, t, s) 〉0, (непрерывно) зависящим от Л, t, s. Таким образом, остается доказать, что £ можно выбрать не зависящим от s. Очевидно, на любом конечном интервале △ изменения s зависимость £ от s можно устранить (заменой £ на inf е), поэтому ниже мы некоторым образом фиксируем so и считаем, что s > sq.
До сих пор для характеризации области аналитичности по t,《мы ограничивались вещественными £ Зафиксируем £ G (/,《2), Л < 0 и будем считать теперь 《комплексным в прямоугольнике (15.112) с некоторым параметром £ из фиксированного интервала 0 < < £ < £о- Теперь вместо (15.88), (15.89) относительно области аналитичности as{p^, , pi) по 〃12 можно утверждать, что (при достаточно большом so и s > s°) она содержит по крайней мере точки из CS? такие, что
|Re〃 121V gi2(s, С，(15.113)
где
gi2(s, С = inf 疝 Re К]2([ C K；2(s, С + I例2 -卜 + ^y^G) + 諸(储 s) (15.114)
(обозначения те же, что и в (15.89)). Учитывая явный вид K；2(s,《)，нетрудно оценить снизу правую часть (15.114) при s〉so：
gi2(s, С > inf 2|例 к/s, Re С
xxK『2(s, Re «) + I例2 —K『2(s, Re «) + I例2 —ii(15.115)(15.115)
x
x
K『2(s, Re «) + I例2 —
K『2(s, Re «) + I例2 —
i
i
(15.115)
(15.115)
(где константа Ci зависит от t, Л, £0, so). Нижняя грань в (15.115) по тем v, у которых |例〉а
(где а〉0 — фиксированная константа), легко оценивается снизу выражением
32(s, Re«) - СУ2.(15.116)
Чтобы получить такую же оценку для gi2(s,《)，остается рассмотреть множество тех о в (15.115), у которых |в| < а. Оно распадается на три части (при достаточно большом s°):
-■^ + I例 W J W --^ + J^ + I例2 ,-■^ + I例 W J W --^ + J^ + I例2 ,где м = М2 - у ^ + ^2 - |^|2, (15.117а)
-■^ + I例 W J W --^ + J^ + I例2 ,
-■^ + I例 W J W --^ + J^ + I例2 ,
-穿 + JtW^ + I例2 < J〈穿 _ Jywf + I例2, где ” = о,(15.1176)
专^ - JM^ + I例2 < J < ^^ - I例，где м = Mi - у (^^ - о。) - I例2 •(15.117в)
В интервале (15.117а) переменная w = д/s /2 +。° ограничена равномерно по s, и выражение под знаком inf в (15.115) на этом интервале приводится к виду
2|例 к/s, Re С 卜 Г 一 *) Re & * 网 + 疗 + ^^F + 諸① s)—;
получаем, что нижняяполучаем, что нижняяслагаемое —C\es~x здесь можно объединить с — (1 — ^^) Re《2, и мы грань в (15.115) по множеству (15.117а) ограничена снизу выражением
получаем, что нижняя
получаем, что нижняя
Ki2(s, Re«)TKi2(s, ReC + C3£s-1)^i2(s, ReC + C3£s-1),(15.118)
где С*з — некоторая константа. На втором интервале (15.1176) выражение под знаком inf в (15.115) есть квадратичный полином по о°, принимающий минимум на одном из концов интервала (т. е. либо на множестве (15.117а), либо (15.117в)), поэтому его можно отдельно не рассматривать. Наконец, для нижней грани по множеству (15.117в) имеем нижнюю оценку типа (15.118), только теперь вместо добавки к Re《следует сделать добавку к mf:
K】2(s, ReC-{K2(s, Re0g2(s, ReC|叫一叫十期厂J・(15.119)
Оценки (15.116), (15.118), (15.119) в совокупности дают оценку для p12(s,《)в (15.114):
gi2(s, с》32(s, ReC —Ces—2.(15.120)
Аналогично, в той же области изменения s, t,《，функция as(p^, ..., @i) аналитична по “34 на множестве
|Re〃34|< g34(s, С，(15.121)
где/9
g34(s, С > /34(s, Re。- C&s—2.(15.122)
Из (15.120), (15.122) следует, что область аналитичности As(s, t, (2,《4) по t при s > so и при 《из прямоугольника (15.112) содержит множество, отличающееся от большого эллипса Лемана 歩12,34($, Re () сколь угодно мало (при достаточно малом е) и равномерно по s > so； в частности, при достаточно малом £ она содержит точку t (вместе с некоторым интервалом в (п, 丁2)), общую точку всех эллипсов 歩i2,34(s, Re С при s > Mf2, Re ( < £. Это завершает доказательство леммы. А
Замечание. По построению функций gi2(s,《)，g34(s,《)неравенства (15.113), (15.121) обеспечивают выполнение условий (15.82). Можно было бы наложить более сильные условия На 〃12, 〃34：°丨,
|(Р2-Р2)2-А|1(04 — “)2 —屈〉几5—1(15.123)
при всех 0；, @3, А,从，s из носителя спектральной функции в представлении (15.81) (о носителе спектральной функции Ф см. замечание п. 15.1.Б). Для выполнения их по прежнему достаточно предположить, что “12 и л34 удовлетворяют неравенствам (15.113), (15.121), но
(15.115), но с не существен, удовлетворять(15.115), но с не существен, удовлетворятьс измененными р12, р34. Например, p12(s,《)теперь имеет оценку снизу типа несколько большей константой Сь Ясно, что эффект этого изменения gi2, Р34 так как (после переопределения констант 。и 。/) они по-прежнему будут оценкам типа (15.120), (15.122).
(15.115), но с не существен, удовлетворять
(15.115), но с не существен, удовлетворять
Для абсорбтивной части
(夕4,…，Pl) = 7t5(u - m彳4)石〃(«2, G) + ЛХ〃，方，G，G)，(15.124)
связанной с u-каналом и определяемой формулой (15.59), справедливы аналогичные результаты, которые получаются заменой обозначений.
Теперь переменная и (связанная с s,方，《соотношением (15.60)) принимает значения и = mf4 п 〃》М^4. Чтобы большой эллипс Лемана 常 14,23(〃，Q, связанный с u-каналом, был непуст, будем считать выполненными условия, аналогичные (15.98):
К^4 伙—К?4)+К^4 伙—К?4)+(7Wf 一*)(用-G)и — {Mi — М^(7Wf 一*)(用-G)и — {Mi — М^>0,>0,<^(-О +<^(-О +(М — 《2)(州j 一万^)〃 —(М2 — М3)2(М — 《2)(州j 一万^)〃 —(М2 — М3)2>0,>0,(15.125)(15.125)
К^4 伙—К?4)+
К^4 伙—К?4)+
(7Wf 一*)(用-G)и — {Mi — М^
(7Wf 一*)(用-G)и — {Mi — М^
>0,
>0,
<^(-О +
<^(-О +
(М — 《2)(州j 一万^)〃 —(М2 — М3)2
(М — 《2)(州j 一万^)〃 —(М2 — М3)2
>0,
>0,
(15.125)
(15.125)
при《W 0, 〃 G {加彳4} U ["3，°0)； здесь К,4(〃，《)и К^з(〃，《)определяются посредством
К?4(〃，Q =金("2 + 加扌 + 齧—2шп彳-2〃G - 2mM4),
(15.126)
抬з(〃' C =击("2 + ^ + mf — 2〃Q - 2〃滤-2G呜.
При 《W0,〃》Mp4 абсорбтивная часть u-канала Au(u,方，《2, G) аналитична по t в большом эллипсе Лемана 步 14,23(〃，Q с фокусами в точках
厶(",Q =m彳 + 废-2抄(",Q 旦(",Q±2Ki4(", е&3з, Q (15.127)
и с вещественным интервалом (xl(〃，Q, Х$(〃，Q) с концами
乂2(〃，0 = ^? + ^i- 2衣(〃，Q 旦(〃，Q 干 2*(", Q.(15.128)
ЗдесьI 2 片I 2 广
乡(〃，Q = "+^G, E^ q =(15.129)
c - ?т4)(7И^ - G) - G)(Mf -底)/ I
№ '丿— и-(Mr- M4)2u-(M2- M3)2
(15.130)(15.130)I (" 一濡)(用—G) /7>-2 I —《2)(州1 —加翁 /
(15.130)
(15.130)
14 + u-(Mi- M4)223 +и-(М2- Мз)2
В частности, при《=0, 〃〉"phys = (^1 + m<)2 V (m2 + m3)2 большой эллипс Лемана 步 14,23(〃)имеет вид
#14,23(〃)= {方 е с： \t -点in(〃)l + 汝一点ax(")1 V 4Kl4(〃) &3(〃) Xi4,23(〃)}, ( 15.13 1)
гдегдеt max (“)= m； + ш| — 2石| (“) Е'з(и) 士 2К；4(〃) К，з(")‘t max (“)= m； + ш| — 2石| (“) Е'з(и) 士 2К；4(〃) К，з(")‘(15.132)(15.132)
где
где
t max (“)= m； + ш| — 2石| (“) Е'з(и) 士 2К；4(〃) К，з(")‘
t max (“)= m； + ш| — 2石| (“) Е'з(и) 士 2К；4(〃) К，з(")‘
(15.132)
(15.132)
Х14,23(〃)=Х14,23(〃)=(Mf — mf)(M4 — Ш4)(М2 — Ш2)(Мз — Шз) 1/2 丄К；4(〃)3 — (7И1 — MJ2)抬з(〃)(〃 一(^2 — Мз)2)+(Mf — mf)(M4 — Ш4)(М2 — Ш2)(Мз — Шз) 1/2 丄К；4(〃)3 — (7И1 — MJ2)抬з(〃)(〃 一(^2 — Мз)2)+「 (7Wf -涡)(寤-叫)KUu){u-{Mx-M^「 (7Wf -涡)(寤-叫)KUu){u-{Mx-M^-1/2 -1-1/2 -1(М2 — Ш2)(Мз — ml)+ 抬 з(〃)3-(М- ТИз)2)(М2 — Ш2)(Мз — ml)+ 抬 з(〃)3-(М- ТИз)2)]1/2]1/2(15.133)(15.133)Интервал (丁；，丁厶)общих вещественных и > М^ определяется формуламиИнтервал (丁；，丁厶)общих вещественных и > М^ определяется формуламиточек эллипсов 常14,23(〃)точек эллипсов 常14,23(〃)прие4演,прие4演,ПоложимПоложимq = sup Xi(〃，Q，«ои>М24Tmin = 丁 1 V 丁],q = sup Xi(〃，Q，«ои>М24Tmin = 丁 1 V 丁],丁2 = mf Х2З, Q・ «оTmax = 丁2 八丁2.丁2 = mf Х2З, Q・ «оTmax = 丁2 八丁2.(15.134)(15.135)(15.134)(15.135)
Х14,23(〃)=
Х14,23(〃)=
(Mf — mf)(M4 — Ш4)(М2 — Ш2)(Мз — Шз) 1/2 丄
К；4(〃)3 — (7И1 — MJ2)抬з(〃)(〃 一(^2 — Мз)2)+
(Mf — mf)(M4 — Ш4)(М2 — Ш2)(Мз — Шз) 1/2 丄
К；4(〃)3 — (7И1 — MJ2)抬з(〃)(〃 一(^2 — Мз)2)+
「 (7Wf -涡)(寤-叫)
KUu){u-{Mx-M^
「 (7Wf -涡)(寤-叫)
KUu){u-{Mx-M^
-1/2 -
1
-1/2 -
1
(М2 — Ш2)(Мз — ml)
+ 抬 з(〃)3-(М- ТИз)2)
(М2 — Ш2)(Мз — ml)
+ 抬 з(〃)3-(М- ТИз)2)
]1/2
]1/2
(15.133)
(15.133)
Интервал (丁；，丁厶)общих вещественных и > М^ определяется формулами
Интервал (丁；，丁厶)общих вещественных и > М^ определяется формулами
точек эллипсов 常14,23(〃)
точек эллипсов 常14,23(〃)
прие4演,
прие4演,
Положим
Положим
q = sup Xi(〃，Q，«о
и>М24
Tmin = 丁 1 V 丁],
q = sup Xi(〃，Q，«о
и>М24
Tmin = 丁 1 V 丁],
丁2 = mf Х2З, Q・ «о
Tmax = 丁2 八丁2.
丁2 = mf Х2З, Q・ «о
Tmax = 丁2 八丁2.
(15.134)
(15.135)
(15.134)
(15.135)
показывает, что при выполнении услопоказывает, что при выполнении услоТогда приведенное выше рассмотрение
показывает, что при выполнении усло
показывает, что при выполнении усло
(15.136)(15.136)вий (15.98), (15.125), а также
(15.136)
(15.136)
Tmin V Tmax
все величины,石$«2, G),石“(G，G), 4s(s,方，Q,《4), Au(u,方，Q,《4)，входящие в правую часть дисперсионного соотношения (15.74), аналитичны по 方，《в области, содержащей ТОЧКИ t е(Tmin, Tmax),《W °； более ТОГО, при любых Л < 0, t е(Tmin, Tmax) область аналитичности по《содержит множества вида (15.112).
Упражнение 15.10. Пусть для квазиупругого процесса выполнены условия m2 < mi и
+ (s _ (Mi - M2)2)22 P s = M12 A M14.
Доказать, что тогда
「2 /、 (Mf — mf)(M2 — Ш2)"| Icu 1
Tmin = —4 K12(S)+~7T7 八7 )2， Tmax = 0.(15.138)
(Указание: из (15.137) следует, что верхняя грань в (15.111) достигается при s = Mf2； аналогичное утверждение справедливо и для т；.)
Д. Дисперсионное соотношение на массовой оболочке. Перейдем к аналитическому продолжению по массам в дисперсионном соотношении (15.74); при этом (как и в предыдущем разделе) посредством (15.85) мы вводим один массовый параметр《вместо Q, G・
Прежде всего следует придать смысл правой части (15.74), когда《изменяется в прямоугольнике (15.112).
Лемма 15.6. При выполнении условий леммы 15.5 абсорбтивная часть 4s (s, t,《2, G) амплитуды двухчастичного процесса {продолженная за массовую оболочку) является обобщенной функцией класса ^([М^, оо)) по s, зависящая
-образом от параметра t 6 (п,及)“ аналитическим образом от 《из прямоугольника (15.112), где s > 0 — положительный параметр (непрерывно зависящий от Л, t). В случае квазиупругого процесса то же самое справедливо, если t пробегает полузамкутый интервал (с, 0].
< В лемме 15.5 было доказано аналогичное утверждение, но только в классе 夕'(К) по переменной s, так что остается доказать свойство умеренности роста As(s, t, Q, (4) по s. Поскольку здесь существенны лишь большие s, мы фиксируем (как и в доказательстве леммы 15.5) достаточно большое so и будем считать, что s > sq.
Представление (15.81) в системе центра масс (и в параметризации типа (7.185)) можно переписать в виде
4(s, t,(2, G) = I W(〃12, 〃34, «； S, pl, pL a,从)次u, pL s, a,从)&4倣必入&4“必从，(15.139) где
W(%2, "34, e；從向 S,入4)=[77Б")八2一ydR.(15.140)
J [(&2 - 02)-入]A04 - 04)- 0+⑶
Здесь использована возможность усреднения по группе О+(3), предоставляемая О+(3)-ин- вариантностью спектральной функции 帆р]目厶，s, А,从)по р$, р] (Мы по-прежнему считаем, что G，G выражаются формулой (15.85) через один массовый параметр £) Функция С(0；, 0$, s, А,从)учитывает свойство носителя спектральной функции: это мультипликатор в пространстве
W(M хМх [s0, оо) х [0, оо] х [0, оо]),(15.141)
обладающий свойствами С•吵=吵 и Q = 0 в Д(5)-окрестности носителя 吵 по переменным @1, % А,从(см. замечание в п. 15.1.Б).
Как было указано в замечании предыдущего пункта, при s > so и 〃12, 〃34, удовлетворяющих (15.113), (15.121), знаменатели в (15.140) обладают оценкой (15.123). С другой стороны (в силу 0+(3)-инвариантности), функция (15.140) зависит от 几⑵ 〃34 только через скалярное произведение ) 〃12〃34 и, значит,
VK(〃i2, 〃34, С； U, pL s, А,从)=w(t, (; 〃，pL s, А,从).
Как видно из доказательства леммы 15.5, при достаточно малом £〉0 здесь t может принимать значения в (достаточно малой) окрестности произвольной точки из (п, &))•
Пусть /(s) — произвольная основная функция из ^([so, сю)). Тогда из упомянутой оценки для знаменателей в (15.140), очевидно, следует, что произведение /(s) w(t,《；@；, @$, s, А,从) является основной функцией из пространства (15.141) по переменным @；, @$, s, А,从，зависящей от t,《как от параметров (зависимость от 《аналитическая, а от t — класса £°°). Теперь утверждение леммы следует из равенства
j 4s(s, t,(2, <4)/(s) dis = j /(s) w(t, «；U,0$, s, A,从)吵(U,@6, s, A, /1) d^ d4p3 dis diXdi/л. A
Выше мы для простоты предполагали, что《2 и G связаны соотношением (15.85).
Очевидно, мы могли бы считать их независимыми в области
AvReQvn^, |ImG|V£, |嘉 一 Q — n^ + ??4| V £,(15.142)
где £ = e(A,方)(непрерывно) зависит от Л < 0 и t е (Ут®, Ттах) (а в случае квазиупру- гого процесса при t е (ттЕ, 0]); при этом вывод леммы 15.6 остается справедливым. Утверждение, аналогичное лемме 15.6, имеет место и для Аи(и,方，Q, G). Поэтому правая часть соотношения (15.78) является обобщенной функцией из З'(К) по s, зависящей ^^-образом от t е (тщ®, Ттах) (или от t е (rmin, 0] для квазиупругого процесса) и аналитически от《2, G в области (15.142). Обозначим через 4")(s,方，《2, G) ее продолжение до обобщенной функции из У(Коо) по s; такое продолжение можно осуществить конструктивным приемом (см. упражнение А.5), в результате которого А^(з, t,《2, G) наследует ^00-зависимость от t и аналитическую зависимость от 《2, G・ С другой стороны, в п. 15.2.В была построена абсорбтивная часть
амплитуды 4(s,方，《2, G)，являющаяся обобщенной функцией класса У(Коо) по s и обобщенной функцией по 方，《2, G в области (15.64).
Из (15.78) и из построения А^ следует, что при одновременном выполнении условий t е (rmin, Tmax), (15.64), (15.142) разность А — 4(1)сосредоточена в s = оо; следовательно (на основании упражнения А.7), при замене А на 4(D в дисперсионном соотношении (15.74) правая часть изменяется на полином по s. Пусть степень этого полинома есть 八一1, тогда
裁 T(s, t,《2, G) =ds'.(15.143a)
Эта формула осуществляет аналитическое продолжение ^й T(s,方，《2, G) по s с Im s > 0 (или с Im s < 0) и по《2, G в области (15.142). Из принципа однозначности аналитического продолжения (и односвязности рассматриваемой области изменения s,《2, G) следует, что функции Т(з,方，《2, G)， определяемые равенствами (15.55) (при Im夕2 G L) и (15.143а) (при Ims〉0), совпадают в пересечении областей определения. В частности, при《2 — m^, G —加彳 мы получаем для амплитуды рассеяния на массовой оболочке соотношение
紛 T(s,方)-制4⑴吋_心,呜曲/ =0 при ims^O. (15.1436)
Из него следует, что выражение в квадратных скобках есть полином no s с коэффициентами, зависящими ^^-образом ) от 方.На основании упражнения А.7 этот полиномиальный вклад можно включить в дисперсионный интеграл, и мы получаем дисперсионное соотношение
T(s,方)=^ ] Т)?曲/ при Im s^O.(15.144)
Здесь 4(s,方)отличается от 4(D(s,方，т^, ml) на обобщенную функцию, сосредоточенную в точке s = оо.
Согласно п. Б.5 A(s, t) в дисперсионном соотношении (15.144) можно выбрать с нулевым интегралом (по s); тогда (на основании упражнения Б.13) 2гА(з,方) совпадает со скачком класса 出(RQ (по s) амплитуды T(s,方).
В абсорбтивной части можно выделить s- и u-канальные вклады (а также вклады одночастичных промежуточных состояний; ср. (15.78)):
4(s,方)=тг瓦8(s - mf2) - ^Bu5(u — mf4) + As{s,方)-Au(u,方)， (15.145) где 4s(s,方)и Au(u,方)сосредоточены соответственно при s > М^2 и и > М^4; мы здесь считаем, что они подходящим образом продолжены в точку s = оо (или и = оо), так что принадлежат соответствующим классам ^([М^, сю]) (по s) и ^([М^ оо]) (по “). Разбиению (15.145) соответствует разбиение на части дисперсионного интеграла:
涡 2-s區-J万 J s' — sur-u 叩以 卢
(15.146) Ясно, что одночастичным промежуточным состояниям соответствуют полюсные вклады в амплитуду.
В итоге имеем доказательство следующего результата.
Теорема 15.7. При выполнении условий (15.98), (15.125), (15.136) и при t е 6 (rmin, ттах) (а 6 случае квазиупругого процесса при ) t 6 (rmin, 0]) амплитуда T(s,方)двухчастичного процесса (15.1) является обобщенным граничным значением {при Ims — +0) аналитической функции T(s,方)по s при Ims # 0, удовлетворяющей дисперсионному соотношению (15.146). Входящие в него s- и и-каналъные абсорбтивные части As{s,方)，Аи(и,方)являются обобщенными функциями соответственно класса ^([М^，оо]) по s и ^([М^, оо]) по и, зависящими -образом от t как от параметра.
В случае рассеяния частиц со спином имеет место аналогичное утверждение для инвариантных амплитуд Tp(s, t) (разложения амплитуды по полиномиальному базису стандартных ковариантов). В этом случае 石.$(力)и Bp；u(t) зависят полиномиально от t.
В качестве иллюстрации рассмотрим три процесса с участием тг-мезонов и нуклонов (т. е. протонов и нейтронов) )
7г + 7г — 7г + 7г,(15.147а)
7T + N — 7T + N,(15.1476)
N + N — N + N.(15.147b)
Здесь в предположении точной изотопической инвариантности массы mN нуклонов считаются одинаковыми (одинаковы и массы m7r тг-мезонов).
В первом процессе т^ = т7V, Mj = Зт^ для всех j = 1,, 4; Mi2 = Mi4 =
=2m7V. (Одночастичных вкладов и, значит, параметров mi2, mu нет.) Дисперсионное соотношение имеет место для t е (тщ®, 0], где rmin = —28т^.
Во втором процессе mi = m3 = mN,加2 =加4 =加穴,"1 = М3 = m^ + mN, M?= =M4 = Зт^, Mi2 = M14 = m^ + mN, mi2 = m^ = mN. В этом случае дисперсионное соотношение имеет место при t е (тщ®, 0], где (согласно формуле (15.138))
._ _建2吗+"7r 2
Tmm -3寸
В третьем процессе mj = mN, Mj = m^ + mN при j = 1,, 4;罔2 = 2加代，
Mu = Dm7V. В этом случае
Tmin = —4тП7V (2?TIn + 加穴)+ 4)72^
было бы отрицательно только при m^/mN > д/5 — 1. В действительности это неравенство не выполнено, поэтому вывести дисперсионное соотношение для TVTV-рассеяния в рамках аксиоматического подхода не удается ).
Мы отсылаем читателя к обзору Зоммера (1970), где приведена таблица двухчастичных процессов сильных взаимодействий, для которых доказаны дисперсионные соотношения.
Упражнение 15.11. Доказать равенство
(15.148)(15.148)Im T(s, t) = A(s, t) при (s, t) e Gphys
(15.148)
(15.148)
мнимой и абсорбтивной частей (инвариантной) амплитуды в физической области упругого двухчастичного процесса 死 + g т 羽 + g с бесспиновыми частицами. (Указание: воспользоваться соотношением
(2穴)力04 + …+ @1) • 2汀m夕(а, Оз, 02, 0i)=
=(О I。也(折2)(04)0ing)@3)(T _ J) 0ig2)S) 丁21)3)I °〉，(15.149)
где iT = S — 1, которое установлено в упражнении 7.38. Следует доказать, что правая часть (15.149) совпадает с умноженным на 5^2 (р4)•帀^⑺)выражением
(2穴)力01 ++ @4)•以 1(0з)麻 1(01) • 2zA(s, t,诡哀)=
=г(2тг)45(p1 ++p4)p(pз, 02, б)=分(010(""(03)［产2)(04),小"2)(02)］ 0("i)(0i) |0).
Для этого для правой части (15.149) воспользоваться формулами редукции типа (13.102), а также соотношением
在(0(后2)(04)； ^\P2^-R^\P,y, 0(〃2)(优))=分［0(后2)(04),0(〃2)(02)］.)
Замечание. Мандельстам (1958) предложил для амплитуд двухчастичных процессов так называемое двойное дисперсионное соотношение'.
力0
+不J曲J山(s/ _s)(，一方)+
ос ооz zоо ооz z
［出喝Т)［du'［曲/ 产s"，/S)(15.150)
吟3硏4吟4吟2
Замечательным свойством представления Мандельстама является полное равноправие переменных s, t, и, вследствие чего амплитуды s-, t-, “-каналов оказываются различными граничными значениями единой аналитической функции T(s, t, а). Из (15.150) также вытекают приведенные в этой главе результаты об аналитичности раздельно по переменным s, t. Однако представление (15.150) не было выведено из общих принципов квантовой теории поля (Мандельстам, 1959, проверил его только для диаграммы Фейнмана в четвертом порядке по константе связи) и потому является гипотезой.
Глава 16
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙФУНКЦИИ ГРИНА
Обобщенные запаздывающие функции
А. Обобщенные запаздывающие произведения. Согласно предложению 13.2 причинная функция Грина совпадает в некоторых областях р-пространства с запаздывающей и опережающей функциями Грина; тем самым для нее открывается выход в комплексную область импульсов. Для более систематического использования этой возможности вводят понятие обобщенных запаздывающих произведений полей.
В 5-матричном методе (п. 14.1.Г) обобщенные запаздывающие радиационные операторы вводились с помощью двух типов формальных вариационных производных —по in- и по out-полям. Соответственно в формализме LSZ наряду с обычной вариационной производной 8/8〃(力)по классическому источнику 〃(力)мы определим вариационную производную нового типа, которую обозначим 8/8〃(力，+); она действует по правилу
丽餐 С(〃) = G)合［£(〃)。⑺ £(〃尸］S(〃) (16.1)
(здесь S(〃) — производящий функционал для Т-произведений полей, С(〃) — произвольный формальный ряд по классическому источнику с операторными «коэффициентными» обобщенными функциями). Для прежней производной мы примем также обозначение 8/8〃(力，—):
5鼠—)Cg = ВД °(办 (16.2)
Следующее упражнение оправдывает использование термина «производная» для выражения (16.1).
Упражнение 16.1. Доказать, что b/^(ж, +) подчиняется законам дифференцирования типа (13.276).
Упражнение 16.2. Доказать формулу
殴 3 ⑺(16.3)
Приведем важнейшие свойства вариационных производных.
Упражнение 16.3. Доказать следующие свойства (где а = 土)：
(Ь ь〃3」)干 5〃3二)Ь〃(*))05)=沁［b〃(： c)院3； 〃)'05)］千，(16・4b)
(Указание: при доказательстве (16.4в) выразить b/b?7(g, —а) через д/дт](у, а) по формуле (16.4a).)
Назовем мономом Штейнмана выражение вида
号К一砒Q)，(I时)
где индексы ап, ..., а2 принимают значения ± (мы будем называть их знаками дифференцирований). Операторнозначные обобщенные функции
m^(力小源)2(/2,。2)01(/1,。1))三初(广"九)…励(/："2)况(伫' 〃)1片0 (166) будем называть обобщенными запаздывающими произведениями штейнмановского типа (сокращенно ОЗП), а их вакуумные средние
r(жП, аП-;/ 1, 6)=(01r(0九(力八，0九)…01(/1,内))10),(16.7)
являющиеся обобщенными функциями из ^(ЛГ2), будем называть обобщенными запаздывающими функциями (Грина) штейнмановского типа (сокращенно ОЗФ). Отметим, что в формулах (16.6), (16.7) считается, что
01 = 一02・01 = 一02・(16.8)
01 = 一02・
01 = 一02・
Рассматриваемый класс ОЗФ ввел (иным способом) Штейнман (I960). Рюэлем (19616) (см. также Араки, 19616) был предложен, вообще говоря, более широкий набор п-точечных обобщенных запаздывающих функций, сопоставляемых клеткам на плоскости Еп = ={(si, , sn) е Яп: si + ... + s九=0}. (Клетки — это непустые выпуклые открытые конусы в Еп, на которые разбивается Еп — за вычетом конечного числа плоскостей — всевозможными плоскостями £ Sj = 0, где J — произвольное собственное ) подмножество в {1, ..., п}.)
ОЗФ штейнмановского типа соответствуют клеткам, являющимся симплициальными конусами. В особо интересующем нас случае п = 4 (и, вообще, при п < 4) все клетки являются симплициальными конусами, и оба набора обобщенных запаздывающих функций — штейнма- новский и рюэлевский — совпадают.
Упражнение 16.4. Убедиться, что запаздывающее 〃(夕九(力九)...夕2(力2)；夕1(力1)) (13.33) и опережающее A(^n(xn)... ^2(^2)； 31(/1)) (13.43) произведения являются частными случаями ОЗП, соответствующими двум наборам знаков:
(Тп = • • • — <^2 = ——, (6) (тп = = (Т2 = — (16.9)
Упражнение 16.5. Доказать соотношение
R^n(xn, егп) ... T；2(^2, cГ2) 31(/1, cГ1)) = 土r(9九(/n，Ст九)…91(/1, 6)92(/2,02))・ (16.10)
(Указание: применить формулу (16.4г).)
Согласно формуле (16.6) ОЗП выражаются через Т-произведения полей. В следующем упражнении рассмотрены некоторые свойства таких представлений.
(16.11)(16.11)Упражнение 16.6. (а) Доказать, что моном Штейнмана (16.5) есть линейная комбинация выражений вида
(16.11)
(16.11)
⑺ь〃(/7r1)…ь〃(/7r J … ⑺丿ь〃(/7r(ki+i))…ь〃(/7mM
где ki, , к” — целые числа такие, что 1 W ki < 衣2 < • • • W к” =几；тг — перестановка чисел {*..., п}. Кроме того, здесь вариационная производная 1-го порядка 6，］6“"心 допускается в виде крайнего справа (соответственно второго слева) сомножителя некоторых слагаемых этого разложения только, если(тп = + (соответственно ап = —). (Указание: действовать индукцией по п.)
Получить дальнейшее ограничение на выражения (16.11) с 沙》2, участвующие в разложении монома Штейнмана (16.5):
crmin{7rl,...7rfc1} = —,crmin{7r(fciy_1 + l),...,7rn} = +•(16.12)
(Указание: доказывать по индукции, воспользовавшись частью (а) упражнения.)
Доказать, что ОЗП (16.6) есть конечная линейная комбинация выражений вида
т(9т?1 …屮…7(977(k"_1 +1) • • •9开九)(16.13)
(с теми же обозначениями, что и в (16.11)), причем при 沙》2 выполнено условие (16.12). (Указание: применить часть (б) упражнения.)
Установим связь ОЗФ с причинными функциями Грина. Мы примем, что каждому собственному подмножеству J С {1,...,八} сопоставлен знак。丿=± по правилу
°min J,°min J,если 1 ? J,если 1 ? J,I —^"min {еСЛП 1 G J.I —^"min {еСЛП 1 G J.(16.14)(16.14)
°min J,
°min J,
если 1 ? J,
если 1 ? J,
I —^"min {еСЛП 1 G J.
I —^"min {еСЛП 1 G J.
(16.14)
(16.14)
Предложение 16.1. Имеют место следующие свойства совпадения-.
冗夕冷，Pl) = ( —叭 Рп,。储；Pl,内)，(16.15)
если £ pj £ 丿для всех собственных подмножеств J С {1,, п}.
< Согласно упражнению 16.6 правая часть (16.15) есть линейная комбинация вакуумных средних фурье-преобразований выражений (16.13). Одно из слагаемых, соответствующее 沙=1, очевидно, есть т(рп, ..., pi). Покажем, что в рассматриваемой области слагаемые с 沙》2 не дают вклада. Рассмотрим для определенности случай, когда индекс 1 отсутствует среди группы J = {тг(к"_1 + 1), ..., тгп} индексов крайнего правого сомножителя (16.13). В силу условия спектральности это слагаемое не дает вклада в правую часть (16.15) при pj 0 V~, т. е. (в силу (16.12) и определения (16.14)) при pj 0 —!/。丿 и, значит, также в интересующей нас области. Аналогично рассматривается второй возможный случай, когда индекс 1 отсутствует среди группы индексов крайнего левого сомножителя в (16.13). А
Б. Носители в ж-пространстве. Для ОЗП и ОЗФ имеем следующее свойство носителей.
Предложение 16.2. Носитель монома Штейнмана (16.5) (а также ОЗП (16.6) и ОЗФ (16.7)) содержится в множестве
П U {(•，…，力几)ем"： xk-XjEV^}.(16.16)
k=2 j<k
< Разобьем последовательность 1, ..., п на отрезки /i = {1},厶={2, А^}, •—，Л = ={k\-i + 1, ..., k\}, ..., Iu = {ku_\ + 1, ..., n} таким образом, что q одинаково на каждом отрезке и противоположно на соседних отрезках. Пусть для определенности сп = — и, значит, 。2 = + (другой случай аналогичен). Тогда выражение
при 沙 нечетном или
при 沙 четном равно
(16.17)(16.17)п П,
(16.17)
(16.17)
А=1 jEl\々一...一々"一и
где &у определяется рекуррентно:
$2(〃 §1, &) = S(〃 + §1 +&)3(〃 + &)Т,
Sx+1(〃 &,…，G+1) =3(〃 + 6+1) - 1g入5 + &+1, 6，, G)S(〃 + G+1) при а четном,
=^ + ^+^^\^ + ^+^ €B ^^^ + ^+1)~1 при а нечетном.
Таким образом, доказываемое утверждение означает, что носитель выражения (16.17) содержится в множестве (16.16), которое мы обозначим через Ау.
Будем действовать индукцией по 沙.Для 沙=2 утверждение следует из (16.4г) и свойства причинности (13.35д). Предполагая справедливость утверждения для 6д при 入 < 沙，покажем, что оно справедливо для S”. Из рекуррентного соотношения для следует, что носитель (16.17) содержится в множестве A^-i х Mk^~k^~l. Для определенности мы считаем далее, что 沙 нечетно. Тогда S” представляется в виде произведения 沙—1 пар операторов:
$"(〃 &, •••,&) = {S(〃+ &)Ts(〃 + &—i+&)}••• {S(〃+ &—i+&)TsS + &)}・ (16.18)
Покажем, что это выражение не зависит от &, если
supp& > suppG при всех А = 2, 4, ..., I/ — 1.(16.19)
Из предположения индукции следует, что выражение (16.17) сосредоточено при Xj — х Е V~, если J принадлежит группе 1M с нечетным номером 从〈沙，а х принадлежит объединению suppgx при А = 2, 4, ..., I/ — 1; если выполнено (16.19), то такой аргумент Xj автоматически удовлетворяет условию supp^ > Xj. Поэтому доказательство независимости (16.18) от §" в области (16.19) сводится к доказательству независимости (16.18) от §“ в меньшей области
supp& > supp ^д при всех X < v.(16.20)
Но тогда независимость от §“ произведения каждой пары операторов в (16.18) следует из предложения 13.1 (которое есть переформулировка условия причинности для 3(〃)).
Из независимости (16.18) от §“ в области (16.19) следует, что носитель (16.17) сосредоточен при__
Xk - Xj е v~, где к е 厶，j е I2 и д и ... и 厶一i.
Вместе с предположением индукции это означает, что носитель (16.18) содержится в А^, что завершает второй шаг индукции (для нечетного 沙；случай четного 沙 аналогичен). А
Пусть ап, ..., ai — произвольный набор знаков, удовлетворяющих (16.8), и рп,
,z/2 — набор чисел из последовательности 1,,八 таких, что “$ < j и а^ = —о» Сопоставим этим наборам множество, которое мы назовем элементарным конусом в М^\
= {(&,…，力几)еЛГ：勺•一力匕=…，吓(16.21)
Теперь свойство носителя ОЗП (или ОЗФ), выраженное предложением 16.2 означает, что ОЗП (16.6) (или ОЗФ (16.7)) сосредоточено в объединении
39 Н. Н. Боголюбов и др.
= U ХК(16.22)
элементарных конусов; фигурирующие в (16.22) конусы мы назовем конусами, подчиненными данному ОЗП (или данной ОЗФ).
Свойство носителя ОЗФ является отражением более глубокого факта (доказанного Бро- сом, 1965): каждому элементарному конусу можно сопоставить обобщенную функцию, сосредоточенную в этом конусе так, что всякая ОЗФ представима в виде линейной комбинации подмножества обобщенных функций — именно, тех, которые сосредоточены в конусах, подчиненных данной ОЗФ. В п. 16.2.Б мы рассмотрим этот вопрос для случая п = 4.
Из свойства носителя следует, что преобразование Фурье ОЗФ (16.7) аналитически продолжается в трубу, основание которой является внутренностью на плоскости
п = {(%,…，小 М % + …+ …0}(16.23)
конуса X/ о, сопряженного Xan...ai.
В следующем упражнении описываются конусы Х}^二
Упражнение 16.7. Для любого j Е {1, ..., п} пусть Nj есть множество тех чисел из {1, ..., п}, которые либо равны J, либо переходят в J при однократном или многократном применении отображения 沙：k т Uk (где 沙小—набор чисел, фигурирующий в (16.21)):
& = "} и 厂{力 и U 厂(••"％•}•••)•(16.24)
(В частности, Ni = {1,, п}, Nn = {几}•) Доказать, что конус, сопряженный элементарному
конусу (16.21), имеет вид
х當二；：* = {(%,…，阪)еп： qNj J = 2,(16.25)
(Указание: сделать замену переменных
(%,•••, Qn) — (ri, ..., гп)
так, чтобы выполнялось тождество
工 qjXj =门g + 工 r^Xj -力勺)；(16.26)
7=17=2
для этого следует положить
qk = гк - г^-1^), к = 1, п.(16.27)
получить в(16.28)получить в(16.28)Просуммировать эти равенства по к Е Nj； учитывая, что Nj = {j} U 广、(Nj),
получить в
(16.28)
получить в
(16.28)
результате
Наконец, из (16.26), (16.28) получить (16.25).)
Лемма 16.3. Для конуса, сопряженного Xan_ai, имеет место следующее выражение'.
ХГ...6 = {(%,…，Qn) е П: qLj е。巧，при j = 2,п},(16.29)
где Lj (при 2 < j < п) определяется посредством
5 = Ы U {к: j <к4 TliI Ок =—内}・(16.30)
< Обозначим временно правую часть (16.29) посредством Р и вначале покажем, что
X)内 С Р. Из (16.22) следует, что X)九..д есть пересечение всех сопряженных кону-
сов Х}^二^： конусам, подчиненным данному ОЗП. Следовательно, X)九…есть множество точек (qi, , qn) 6 П, удовлетворяющих всевозможным условиям
qNj е У^ е = 2,(16.31)
где Nj определяется (по заданному Х}^二^：) соотношением (16.24). Очевидно, включение Х^九…ci С Р будет доказано, если мы убедимся, что для любого j = 2,, п среди мно
жеств Nj, фигурирующих в (16.31), имеется Lj. С этой целью определим набор 沙九，...，沙2, полагая 沙小=J, если j<k^nnak = — а7-, и считая, что 沙小=沙 i или 沙2 для остальных k》2, так чтобы выполнялось условие 。“石=―外 при всех к = 2,…，п. Очевидно, при таком выборе 沙九,...,沙2 имеем Nj = Lj. Это построение завершает доказательство включения s С Р.
Для доказательства обратного включения возьмем произвольную точку (qi, qn) G Р, тогда индукцией по п — к легко убедиться, что
qkпри всех к = 2,...，儿(16.32)
Пусть теперь J — произвольное подмножество в {2, ..., п}; покажем, что
qj Е Vaj.(16.33)
Для этого положим J = min J (так что <7j = g) и представим левую часть соотношения (16.33) в виде
q% + 工(一外)+ £ Qk,k£Lj\JkEJ\{j}
здесь первое слагаемое принадлежит V^3 благодаря условию (qi, qn) 6 Р; остальные слагаемые принадлежат Vaj в силу (16.32). Тем самым доказано соотношение (16.33). Из него, очевидно, следует выполнение всех условий (16.31), что доказывает включение Х^…内 D Р- ► Упражнение 16.8. Доказать, что конус X)九…^ можно также записать в виде
X*…={(Qi,...,Qn)en： qjG?J
для всех собственных подмножеств J С {1,, п}}.(16.34)
(Указание: выше было уже доказано, что точки из X)九…^ удовлетворяют соотношению (16.33) для подмножеств J С {2,, п}; при доказательстве подобного соотношения для
подмножеств J, содержащих единицу, воспользоваться условием qi + ... + q九=0.)
Для преобразования Фурье ОЗФ
г{хп, о■冷；；力1,е 2=1d力冷=
=(27T)4b(01+...+0九)6仇，0九；0i,内)(16.35)
из предложения 16.2 и леммы 16.3 получаем следующий результат.
Предложение 16.4. G{pn, ап; ...; pi, сч) есть обобщенное граничное значение (е классе У(П)) функции G(pn, ап; ...; pi, ai), аналитичной в трубе П + + ^Qan...cri, a。。
Q*“1 = {(%,…，Qn) е П: qLj 6 产，j = 2,, n} =(16.36a)
={(Qi,, Qn) EH: qj e Vaj для всех собственных подмножеств
J С {1,n}}.(16.366)
Различные ОЗФ (как штейнмановского, так и рюэлевского типа) для фиксированного набора полей 31(/1), ,夕九(/九)удовлетворяют некоторым условиям совпадения (с точностью до 土) в областях р-пространства. Применение теоремы «об острие клина» к этим условиям показывает, что все ОЗФ в р-пространстве являются (с точностью до знаков 土) различными граничными значениями единой аналитической функции, определенной в так называемой примитивной области голоморфности n-точечных функций Грина; эта область содержит некоторую окрестность точки (ki, ..., kn) = (0, ..., 0) на комплексной плоскости ki + ... + к九=0 и объединение труб с основаниями вида (16.366). Ниже мы рассмотрим подробно случай п = 4.
Четырехточечные функции Грина
А. Обозначения. Далее в этой главе мы считаем фиксированной четверку квантовых полей 夕i(/i)=夕力i),,夕4(力4)=夕(％)(力《)• Чтобы упростить обозначения, мы сделаем (на самом деле несущественное) предположение, что эти поля являются полями бозонного типа. Символ П (соответственно СП) обозначает теперь плоскость в Л!’ (соответственно в СМ4) ,определенную уравнением
ki + ... + 卜4 = 0. (16.37)
Пусть числа j, k, I,八 образуют произвольную перестановку индексов 1,, 4.
Тогда для четырехточечных ОЗФ мы примем другие, более экономные обозначения:
广冷(力)=r^Xj,-;力k,-;电，-;力冷，+), (16.38a)
dn^ = r(xj, +;力卜，+; //, +;力九，-), (16.386) rjn^ = r(xj, +;力卜，-;力％, -; Nn, +), (16.38b) a；%(力)=M叼,-；力+；力2, +；力(16.38г)
где 力三(力i,...,力4)G Af4. Симметричность правых частей (16.38а) и (16.386) относительно j, к, I нашла отражение в том, что эти индексы не участвуют в обозначениях; равным образом обозначения (16.38в) и (16.38г) учитывают симметрию по к, I. В результате мы имеем набор из 32 (= 4 + 4 + 4 • 3 + 4 • 3) четырехточечных ОЗФ, ассоциированных с мономом 夕《力i)...夕4(力4). Любую из этих функций Грина мы будем обозначать общим символом Z (который таким образом принимает «значения» гп, ап, г^п, j n) •
На основании предложения 16.2 имеем следующие свойства носителей:
supp rn с = {x e Af4： Xj — e V~, Xk — xn e V~, xi — xn e V~}
,(16.39a)
supp an
(16.396)
supprJn
и х；ы U XJZn,
(16.39b)
supp ajn
u X%冷и X机,
(16.39г)
где
x^kn = {^ e 7И4： Xj-Xk 6 F+,
Xk-xne V~, Xn-Xi e『+},
(16.40a)
=
—Ajkn —八 Ink*
(16.406)
Функции Грина Gz в р-пространстве определяются фурье-преобразованием
I Z(力 1,,力4)е“01 力1+・・・+。4力4)d/id力4 = (2tt)45(pi + …+夕4) Gz{p\, ,夕，(16.41)
Согласно предложению 16.4 Gz(р) есть граничное значение (в классе У (II)) аналитической функции Gz(к) в трубе
H + 5QZ U СП(16.42)
с основанием вида
Qn = {Q^ П:务 6 У, qk G У, qi G У},(16.43а)
爲一爲，(16.436)
Qrjn = {Q Е П: qj 6『+, qj +qk E V~,⑦• + 勿 G V~},(16.43b)
Q% = —%®(16.43r)
Чтобы наглядно представить себе эти конусы, изобразим соответствующие клетки — точки конусов с пространственными компонентами, равными нулю: % = ... = ^4 = 0. Нулевые компоненты обозначим через si = q?, ..., S4 =必 они пробегают плоскость si + ... + S4 = 0 в К’. Очевидно, достаточно изобразить пересечения клеток двумя плоскостями S4 = ±с (с > 0).
Упражнение 16.9. (а) Доказать соотношения
Q；； = {х е Af4: хп - хк е V+, хп- Xi е V+,Xj + хп - хк - xi е У+},(16.44а)
Qki = {^ е Af4： Xj - xi е v+, хп - xi е v+,Xj + xn - xk - xi e v+},(16.446)
QJn c Qki = {/ e Af4： Xj - xi e v+, xn - xi e v+, xn - xk e v+},(16.44b)
Q^ + Q& = {qen： % GV十，，Qj^qi^V-}.(16.45)
(Указание: равенства (16.44a) и (16.446) следуют непосредственно из определений (16.43в) и (16.43г); при доказательстве (16.45) воспользуемся тем, что левая часть этого соотношения есть внутренность на плоскости П конуса, сопряженного конусу (16.44в).)
Для процесса 羽 + g т 无з + 无4 в области попарно неколлинеарных импульсов (бозе-) частиц ) доказать следующую формулу:
〈0 I帝"(03)ЙП(Р2)。俨3)10)=
=—<；1(01)ь；；2(02)以3(03)醺4(04)(2穴)4 5(01 ++04)X
4
X口 欣―?T^)Gf(0 + 〃q).(16.46)
(Указание: воспользоваться формулой редукции (13.125).)
Б. Области совпадения в р-пространстве. Относительно спектра масс мы при
мем те же допущения, что и в п. 15.1.А. Пороговым массам Mj (j = 1, ..., 4) и Mjn (1 < 7 < n ^ 4) сопоставим подмножества в СП:
力= {ke СП:碎》Mf},(16.47а)
7> = {к е СП: (& + 3)2》м^.(16.476)
Через 7 обозначим их объединение:
U U ( U 7>\(16.48)
Предложение 16.5. Четырехточечные ОЗФ удовлетворяют условиям
(/ —時){G氯夕)-G^(〃)} = 0 при p^ < Mj,(16.49а)
(齿—m^{(G^p) - G^n(p)} = 0 при р2 < 必，(16.496)
(电 + 仞)2 -呜){乌/)-Gfk(p)} = 0 при (沔 + 仞)2 < 吗. (16.50)
< Из формулы (16.4а) следует
^п(ж) — т>(/)=— 〃[用(g), R(xk, -;-; хп, +)]〉о,
так что (16.49а) есть следствие этой формулы и спектральных условий. Аналогично доказывается (16.496). Соотношение (16.50) выводится из равенства
^п(ж)-矶⑺=〃[〃(◎,—； Xj, +), R(xk, -; хп, +)])o,(16.51)
вытекающего из (16.4в), также применением спектральных условий. А
Вид условий совпадения упрощается, если вместо G^(р) ввести обобщенные функции Gz(p), отличающиеся множителем от Gz(p):
4
*(0)=口优-時)П ((沔+。产-時k)GZ(p)；(16.52)
назовем их приведенными функциями Грина (в дальнейшем мы будем иметь дело с ними).
Первые четыре сомножителя соответствуют переходу к ампутированным функциям Грина, последующие сомножители компенсируют полюсные сингулярности амплитуды. Если в каком- то канале нет связанного состояния (и, значит, массы т^), то нет и соответствующего множителя(07 +@k)2 —凭卜 в определении приведенной функции Грина.
Каждое условие совпадения (как видно из рисунка) связывает ОЗФ, соответствующие смежным клеткам (границы которых имеют общий отрезок). Из этих условий
следует, что Gz(p) являются различными обобщенными граничными значениями единой аналитической функции 匕(к).
Действительно, рассмотрим область
б = {ре 7И4: Pj < mJ, j = 1, ..., 4;(乃• + 夕 к)2VM^, 1 W ^ V к w 4},(16.53)
в которой все Gz(p) совпадают. Теорема «об острие клина», примененная к парам @^(к) и 匕^(夕)，。，冷(к) и О,冷(к), показывает, что эти функции аналитичны в некоторой комплексной окрестности “(Ь) множества 〃，причем функции в каждой паре аналитически продолжают друг друга. Далее, пусть Gz(р) и Gz (р) — пара ОЗФ, соответствующих смежным клеткам, и пусть 〃％% есть их область совпадения (т. е. либо pj < Mj при некотором j, либо (pj + 夕卜尸 < 呼卜 при некоторых j, k). Опять же по теореме «об острие клина» функции Gz(к) и Gz (к) аналитически продолжают друг друга в область «острия клина» J^(fiz,z'\ соответствующую обобщенному маршруту (П + iQz, ^z,z，, П + zQz，). Отсюда, в частности, следует, что Gz{к) и Gz，(k\ соответствующие смежным клеткам, а значит, все функции G%(k), совпадают в “(〃). Тем самым они определяют единую функцию G(k), аналитическую, по крайней мере, в области
U(U + ®z) U ”(MZ)U”(G，(16.54)
ZZ,Z‘ смежные
называемой примитивной областью аналитичности. Таким образом, справедлив следующий результат.
Предложение 16.6. Приведенные функции Грина Gz{p) являются различными граничными значениями единой функции 匕(к), аналитической в примитивной области (16.54).
Учитывая формулы редукции (см. упражнение 16.96), мы видим, что амплитуды различных каналов связаны друг с другом посредством аналитического продолжения. Однако в таком виде процесс аналитического продолжения требует выхода за массовую оболочку; его называют «обобщенным» перекрестным соотношением (в отличие от обычного перекрестного соотношения, по поводу которого см. § 16.3).
Предложение 16.6 представляет собой перевод условий совпадения на язык аналитических функций.
Этот этап исследования аналитических свойств функций Грина и амплитуд рассеяния, в основе которого по существу лежат принципы локальности и спектральности, называют иногда линейной программой, чтобы подчеркнуть линейный характер используемых соотношений. В дополнении К мы познакомимся с применением нелинейных условий для целей аналитического продолжения.
Поскольку области П + iQz, 〃厶‘，^z в (16.54) являются звездными (см. п. 5.2.Д), то области «острия клина» /(〃) и ”(0ZZ)также можно считать звездными (иначе мы могли бы заменить, скажем, “(Ь) на U 广”(自))・ Тогда 0<г<1
согласно следствию 5.36 однолистная оболочка голоморфности Н(О) области (16.54) существует и является звездной.
Задача голоморфного расширения, к которой приводит отдельно взятое условие совпадения (16.49), рассматривалась в п. 5.2.Е. Пусть, например, Z = rn, Z‘ = тогда на основании предложения 5.37 Н(О) содержит выпуклую оболочку труб П + 〃Q^ и П + iQ^n с «аналитическим разрезом» по 力：
Н»Н(1! + 5)\%・， где введены обозначения
研=& + Q^ 弓= Qn + Q%・(16.55)
Таким образом, множества “(自％'%') в (16.54), соответствующие условиям совпадения (16.49), могут быть заменены областями голоморфности (П + 5K；广)\力， представляющими собой трубы с «аналитическими разрезами» по %. В следующем пункте подобная замена будет продлена для остальных множеств ©'、〃 (соответствующих условиям совпадения (16.50)).
Замечание. Из лоренц-ковариантности следует, что приведенная функция Грина аналитична в объединении всех областей, получаемых из (16.54) действием всевозможных преобразований собственной комплексной группы Лоренца L+(C) (или ее универсальной накрывающей SL&, С) х SZ；(2, С)); эту новую область иногда тоже именуют примитивной областью аналитичности. Сформулированное утверждение относится к тому же типу, что и теорема 9.1 Баргмана-Холла-Уайтмана. Однако теперь доказательство намного проще, так как область (16.54) содержит начало координат, и поэтому здесь непосредственно применимо предложение 5.9. В случае скалярных полей предложение 5.15 позволяет выразить 匕(к) как аналитическую функцию от скалярных произведений kikj (1 W 5 W 7 W 3) или, эквивалентно, как функцию из инвариантов s,方，k^,,卜彳(как отмечалось в п. 9.1.А, группа L^{C) изоморфна группе О(+)(4, С)).
Тождества Штейнмана. Заменой индексов j ^ п, I ^ к в (16.51) получается равенство
广冷式力)-。就(力)=i([R(xk, -; хп, +), R(⑨，-;Xj, +)])o, сравнение которого с (16.51) приводит к соотношению между ОЗФ, называемому тождеством Штейнмана:
rjn^ - а必(力)=。就(力)-rnj(x).(16.56)
Отсюда для приведенных функций Грина имаем
言^ + ^-(р)=纵⑺ + 雙I ⑺.(16.57)
Перебирая перестановки (j, к, I, п), получаем шесть таких (различных) соотношений, причем каждая ОЗФ с двумя нижними индексами входит только в одно из этих тождеств. Четверку ОЗФ, связанных тождеством Штейнмана, называют (штейнмановским) квартетом. Согласно сказанному имеется шесть квартетов.
На рисунке квартеты соответствуют четверкам клеток, в которых каждая из компонент si, ..., S4 имеет фиксированный знак (две компоненты положительны и две отрицательны).
Каждая из ОЗФ , входящих в тождество (16.56), имеет носитель в объединении двух из четверки элементарных конусов Х^кп, X/瓦，Х^^, XQ^, именно:广加(соответственно a^i) имеет носитель в объединении и (соответственно Х^叮 и XJZn). Этот факт находит отражение в следующей лемме.
Лемма 16.7. Квартету Штейнмана можно сопоставить четверку (трансляционно-инвариантных) обобщенных функций 方卜冷，fjin, fnkj, fnij с носителями 6 соответствующих элементарных конусах XJ^, XJZn, X^k-, X^ - так, что всякая ОЗФ данного квартета представляется в виде суммы пары таких обобщенных функций с носителями в элементарных конусах, подчиненных этой ОЗФ.
< Достаточно рассмотреть один какой-либо квартет, например 门4, ni,。23,。32・ Для соответствующей четверки элементарных конусов введем упрощенные обозначения:
Любая пара этих конусов имеет одно и то же пересечение:
X。П Xj = Хо при 1 < г < J < 4,(16.58)
где____
Xq = {х е ”：力1 —力2 е У+, /4-/26 V+, Xi — хз е У+,對—g е У+}.
Ищем четверку обобщенных функций 力，...，力 с носителями supp fj С Xj таких, что
Г14 = /1 + /2, П1 = /з + a, a23 =力 + /4,a32 =力+/3.(16.59)
Очевидно, необходимым условием разрешимости системы как раз является тождество Штейн- мана. Это тождество и достаточно (поскольку при произвольном выборе 力 тройка этих уравнений служит для определения 力，/з, /4, четвертое же уравнение тогда выполнится автоматически). Остается обеспечить выполнение свойства носителей. Для этого заметим, что носитель 厂弘 содержится в объединении двух канонически замкнутых регулярных множеств Xi н Х2, поэтому (согласно предложению А.2) ru представляется в виде суммы пары обобщенных функций 力 н /2 c носителями в Xi н Х2 соответственно. Считая, что 力 и /2 выбраны с нужным свойством носителя, определим /3 последним из уравнений (16.59), откуда следует/、
supp /3 U Xi U Х3.(16.60а)
С другой стороны, вне К2 /1 =门4 и, значит, /3 = а32 -门4 = ni -。23, так что
supp /з С Х2 и Хз и Х4.(16.606)
В силу (16.58) пересечение множеств, стоящих в правых частях соотношений (16.60), есть Х3, следовательно, supp /3 С Х3. Подобным же образом, определяя /4 из третьего уравнения (16.59), получаем supp /4 С Х4. А
Равенства типа (16.59) называют «разрешением» тождеств Штейнмана (так как тождества Штейнмана следуют из них). В р-пространстве эти равенства принимают вид
贫4 =加+仇，贫1 =加+九4,/3 =优+九4,俄2 =加+加，(16.61)
где hj (p) — обобщенная функция на П, аналитически продолжающаяся в трубу П + гintX* 0 = 1,, 4). Условия совпадения типа (16.50) для рассматриваемого
квартета сводятся к двум соотношениям:
加(°)-九4(夕)=опри(夕 1+ 夕2产 < Mf2,(16.62а)
仇(夕)-б3(夕)=опри(夕 1+夕3产 < 喏3，(16.626)
Оказывается, условие совпадения (16.62а) (и аналогично (16.626)) приводит к задаче голоморфного расширения, рассмотренной в п. 5.2.Е. Действительно,九1(夕) и 九4(夕)аналитически продолжаются в трубы П + zQi и П + iQ^ соответственно, где
Qi = int口X： = {q е 口： ％ е V+,备 6 V~, «з + «4 G『十}，
Q4 = intnXf = {q G 口： q2 G 卜一，《4 G『十，《3 + «4 G『一}•
В новых переменных k\= k^A-価，k\ = k\, kg = —кз эти конусы записываются в виде Q = {团，必必)eм丄《G『+,必g『+,必g『+},
Q = {(《，必必)е ЛТ3：《G『—，(《+或)g『+,(《+必)е『+},
а область совпадения в (16.62а) есть {(夕|,夕} Рз)加% (р^)2 < М^. На основании предложения 5.39 отсюда заключаем, что /ц (夕)и 九4(夕)обладают общим аналитическим продолжением в выпуклую оболочку труб П + zQi и П + iQ^ с «аналитическим разрезом» по {k 6 СП:(爲尸 > ”否} = 712- Аналогичное рассуждение, примененное к условию совпадения (16.626), показывает, что 九2(夕)и 九з(夕)имеют общее аналитическое продолжение в трубу П + “Q2 + Q3) с аналитическим разрезом по 713.
Упражнение 16.10. Доказать соотношения
Qi + Q4 = intnX^ = Q2 + Q3,(16.63а)
Qu + Qli = intnX^ = Q23 + Q?2-(16.636)
(Указание: при доказательстве (16.63a) учесть (16.58) и Qj = intn^* ； при доказательстве первого соотношения в (16.636) воспользоваться соотношениями (16.44а) и Q[4 + Q^ = =intn(Q?： n 谓；)*; второе соотношение в (16.636) доказывается аналогично.)
В результате все обобщенные функции, фигурирующие в (16.61), аналитически продолжаются в трубу
П + zintnX* =П + 〃Q；4 + Q3) =П + 〃(Q% + Q般)
с двумя разрезами — по 712 и 713.
Аналогичный вывод, очевидно, имеет место для любого квартета. При 1 < 7 V < п ^ 4 введем конус
&% = q^ + qk・ = Q^ + QK(i6・64)
Тогда условия совпадения типа (16.50) между членами данного штейнмановского квартета означают, что G(p) аналитически продолжается в трубу П + 5Ag冷 с двумя разрезами — по 力卜 и 7夕.
Упражнение 16.11. Доказать соотношения
п + г«；п = (П + 分 Q^)\y (п + г^\ъ- = (П + г^)\7，(16.65а)
(П + iAjn)\(yjk U %•%) = (П + ikjn)\y,(16.656)
(П + 分(Q% + Q&))\)= (П + iM + Qh))\^k,(16.65b)
Итак, все условия совпадения (16.49) и (16.50) можно выразить в терминах приведенной функции Грина (связанной с ОЗФ — после перехода к обобщенным граничным значениям — формулой (16.52)) следующим образом.
Теорема 16.7. Приведенная функция Грина 匕(к) (продолженная в комплексную область) аналитична в звездной области
D = (11 +记八％(16.66)
где S — объединение всех конусов (16.55) и (16.64)):
(16.67)
Г. Аналитичность вблизи физических точек. Физическая точка р не может находиться сразу на двух разрезах 力卜；это следует из условии стабильности (п. 15.1.А). Действительно, пусть
Pj е ， Pk е ^mk? 仞 е ^皿， 夕冷 е 九，(16.68)
тогда (仍• +оk产》(® + W)2》時к，(沔+仞产 w (mj -砌尸 < 吗，(沔+0冷产W W (mj —加冷)2 < М^. Таким образом, точка р вида (16.68) может находиться только на одном из разрезов (力卜)рассматриваемого типа.
Теорема 16.8. Пусть 彳 есть множество всех вещественных точек р е П, каждая из которых не лежит ни на одном из разрезов 力(1 < j < 4) и принадлежит не более чем одному из разрезов 力卜(1 < j < /с < 4) (е частности, р может быть произвольной физической точкой). Тогда область аналитичности приведенной функции Грина G{k) содержит множество М\), где 现—некоторая комплексная окрестность (е СП) множества 夕.
< Фиксируем произвольным образом точку Р G 夕.Случай, когда Р не принадлежит ни одному из разрезов 7^, тривиален, так как тогда Р находится в области 夕(16.53) и, значит, входит в H(D) вместе с комплексной областью 〃「(〃) (см. (16.54)). Поэтому дальнейшее рассмотрение проводится только для точки Р Е ^, лежащей в точности на одном разрезе, для определенности, на 712. Кроме того, мы считаем, что Fi + /^ 6 V~ (случай 兄 + 昌= =—(Pi + A) G V~ симметричен). Из теоремы 16.7 заключаем, что область аналитичности функции G(k) содержит множества (П + 分Ai4)\), (П + гЛ2з)\7- Пусть 次—достаточно малая комплексная окрестность точки F в СП такая, что 次\丁 =次\)12, и пусть
次土={k G 次：±Im(ki+妙)2〉0}.(16.69)
Следовательно, область аналитичности функции G(k) содержит четыре (разъединенных) множества видае ।…
(П±гЛ14)П ^ .(16.70)
Покажем теперь, что области (П 土 /Ли) П 次* с одинаковым знаком £ = ± можно соединить друг с другом в области аналитичности. Рассмотрим сначала пару областей (П + /Ли) П 门次+ и (П - /Ли)门次+ . Первая из них содержит (П + zQ[4) С ①十，причем для точек к = р + iq Q (П + zQ[4)门次+ , очевидно, имеем @i + 此 Е V~ (в силу определения 次)и qi + q2 G V~ (в силу определения Q[4), поэтому Im (ki + fe)2〉0. Таким образом,
(П + /Ам) П 次+ N (□ +分QfQ П 次.(16.71a)
Аналогично показывается включение
(□—込 14)П 次+ N (口 +分Qfi) П 次.(16.716)
При этом точка Р лежит в (вещественной) области совпадения граничных значений функции 力(衣)со сторон zQ[4 и iQh Действительно, по условию точка Р удовлетворяет всем ограничениям, фигурирующим в условиях совпадения (16.49), (16.50), кроме одного: (01 + 02)? = (0з + 04)? < Mf2. Исключая условия, где фигурирует пороговая масса Mf2, мы назовем остальные условия допустимыми. Тогда из рисунка в п. 16.2.А видно, что мы можем написать между приведенными функциями Грина Gz цепочку допустимых условий совпадения, которые приводят к равенству
金似0)=第1(0)при 0 G 次 П П.(16.72)
По теореме «об острие клина» из (16.71), (16.72) следует, что область аналитичности функции G(k) содержит (возможно, при некотором уменьшении первоначально выбранной окрестности 次 точки Р) область
(п + 分(Q；4 + Q?1)) п 次=(□ + 分(Q；4 + Q?i)) n 次+•(16.73)
В результате мы соединили друг с другом области из левых частей (16.71) областью (16.73), также содержащейся в области аналитичности функции 4(к). Если бы вместо 次+ здесь
фигурировала труба, то мы могли бы еще раз применить теорему «об острие клина» к полученной тройке областей и таким образом прийти к выводу об аналитичности G(k) в окрестности вида 次+ . Чтобы заменить 次+ трубой, совершим подходящую замену переменных.
Введем вместо к? новую переменную 21 = (ki + fe)2 и в качестве переменных Zj (2 < J < 12) выберем остальные координаты на СП. Тогда при достаточно малом выборе окрестности 次 точки Р отображение ^: k z является биголоморфным и переводит вещественные точки в вещественные. При отображении 夕 область 次+ переходит в пересечение 夕(次)с трубой 夕у, основание которой есть Y = {у е R12: gi 〉0}. Кроме того, за счет выбора достаточно малой окрестности 次 можно считать, что 夕 сколь угодно мало отличается от вещественно неоднородного линейного отображения, поэтому образы областей (□ 土分Ai" С 次+ , (П + z(Qu + QJi)) С 次+ при отображении 夕 содержат пересечения 夕(次)П 夕у с трубами вида 夕夕一衣，夕* , где К и Kf — некоторые открытые выпуклые конусы в №, причем К' имеет непустое пересечение с К П Y, (—К) С У. По построению функция G(g-i(2)) аналитична в пересечении 夕(次)с трубами ^KnY, ^~K^Y и 夕* = =夕* с，. За счет дальнейшего уменьшения 次 мы на основании теоремы «об острие клина» (или предложения 5.34) приходим к выводу, что функция 匕(夕一1(2)) аналитична в пересечении 夕(次)С Трубой 夕У — выпуклой оболочкой Труб 夕KCY И 夕(-К)СУ.
Показано, что функция G(k) аналитична в 次+ . При этом мы пользовались теоремой «об острие клина». Из замечания к этой теореме в п. 5.1.Г, а также из перестановочности операций регулярной замены координат и перехода к обобщенному граничному значению, подобно тому, что было установлено в предложении Б. 12, следует: функция 匕(к) имеет обобщенное граничное значение в области 次 С □, совпадающее с (15.72), и, вообще,
lim 存(0 + 分4)= Gz(p) в 以(次 П П)(16.74а)
q—0, Im s>0
при условии, ЧТО
QZ С {qen： qi+q2ev-}(16.746)
(при выводе (16.72) мы видели, что всякая приведенная функция Грина Gz (р) связана с Qu в 次 С И цепочкой допустимых условий совпадения).
Аналогичное рассуждение, примененное к другой паре областей в (16.70), показывает, что U(k) аналитична в 次Если фиксированная точка Р не лежит на самом пороге, т. е. если (С + £)2〉Mf2, то утверждение теоремы для нее доказано (ибо пересечение достаточно малой окрестности точки Р с 712 как раз имеет вид 次+ U 次一).
Остается рассмотреть случай пороговой точки (R + 乌尸=Mf2. В этом случае 次 \)12 отличается от 次+ U 次-множеством точек k G 次，для которых (ki + fe)2 вещественно и меньше Mf2. Вещественные точки к, удовлетворяющие этому условию, находятся в области H(D), где G(k) аналитична (см. начало доказательства теоремы). Тот факт, что и комплексные точки k G 次，удовлетворяющие условию (ki + fe)2 < Mf2, принадлежат H(D), следует (возможно также после некоторого уменьшения 次)из предложения 5.26 (в котором роль функции / играет (ki + fe)2, а граничной точкой w области K(D) является Р). А
Теорема 16.8 позволяет связать амплитуды двухчастичных процессов с ампутированной функцией Грина на комплексной массовой оболочке
С^ = {ке СП:写=時，j = 1,…，4}.(16.75)
Пусть S, T, U — физические области процессов в s-, t- и u-каналах. По теореме 16.8 существуют комплексные окрестности “(S), “(Т), “(U) этих множеств на СШ1, обладающие тем свойством, что множества
S± = “(S)П{к е СШ1:±Ims〉0},(16.76а)
Т± = “(Т)П{к е СШ1:±Imt>0},(16.766)
П{к е cm：±Im〃〉0}(16.76b)
попадают в область Н(О), в которой аналитична приведенная функция Грина 匕(к). Возьмем для определенности точку Р Е S такую, что Q е V~,乃 е V~, Р3 е『+, Pi 6『+. Тогда из формул (16.74) следует:
44一Ё屮考一崎G处）一Ё屮考一崎G处）limlim4
4
4
一Ё屮考一崎G处）
一Ё屮考一崎G处）
lim
lim
В 勿(次n П), (16.77)В 勿(次n П), (16.77)lim ГТ 篋-G(k)=
В 勿(次n П), (16.77)
В 勿(次n П), (16.77)
J = 1
где 次—достаточно малая комплексная окрестность точки Р (при этом мы перешли от приведенной функции Грина к ампутированной, поскольку множители (pj + 夕к)? — mjfc, фигурирующие в (16.52), здесь не обращаются в нуль).
Следствие 16.9. Формула редукции (16.46) (по-прежнему для бозе-частиц 6 области попарно неколлинеарных импульсов) в терминах аналитически продолженной ампутированной функции Грина принимает вид
(0|^Г(Р4)^Г(РЗ)ЙП(Р2)^П(Р1)|0)= —2麻仙)^(夕2)X
4
X 蹒з 仇)躡4(。4)(2?г)4 83 + …+ p4)q_0唔s〉0 П (写-時)G(k)• (16.78)
Здесь, как и при выводе формулы (16.74а), можно пользоваться для перехода к обобщенному граничному значению любой регулярной заменой координат в окрестности точки р. В частности, можно в качестве первых шести локальных координат выбрать s,方，pj (7 = 1, ..., 4); тогда множители 5^ (pj) будут означать фиксацию А^ = т^, т. е. переход в ампутированной функции Грина на комплексную массовую оболочку С9Л; после этого предел в (16.78) станет пределом при Im к — 0, к е S+.
Аналогичным образом амплитуды t- и u-каналов связаны с обобщенными граничными значениями ампутированной функции Грина при Im к — 0, к е Т+ и соответственно при Im к — 0, к е U+.
16.3. Перекрестное соотношение
А. Формулировка результата. Области аналитичности S^, Т士，U± ампутированной функции Грина на массовой оболочке образуют некоторое открытое множество в СШ1 и физические амплитуды (с точностью до множителя) являются различными обобщенными граничными значениями этой функции. В такой ситуации имеет смысл говорить об единой аналитической функции только, если эти области связаны друг с другом в том смысле, что они являются частями некоторой большей области аналитичности ампутированной функции Грина на комплексной массовой оболочке. Оказывается, этот факт действительно имеет место, и амплитуды s-, t-, u-каналов связаны между собой аналитическим продолжением на массовой оболочке. Как отмечалось в п. 16.2.Б, в этом заключается перекрестное (или кроссинг-) соотношение.
Информация типа кроссинга содержится в дисперсионном соотношении. Если при фиксированном t < 0 справедливо дисперсионное соотношение, то амплитуда T(s,方) аналитична в комплексной s-плоскости с двумя разрезами (—00, sj и [$2, 00) (где si < $2), причем физические амплитуды Т§ ■ Ти s- к u-каналов являются граничными значениями T(s,方)соответственно на правом верхнем и левом нижнем разрезах в s-плоскости. Таким образом, имеется путь, соединяющий Ts и Ти.
В общем случае можно доказать несколько более слабое свойство: физическая амплитуда s-канала при любом фиксированном значении t < 0 является граничным
значением функции T(s,方)，аналитичной по s, в верхней полуплоскости, за исключением некоторой конечной области, зависящей от 方 ).
Точнее, справедлив следующий результат Броса и др. (1965).
Теорема 16.10. Инвариантная амплитуда двухчастичного процесса T(s,方) аналитична в области Qsn (на комплексной массовой оболочке СШ1), являющейся комплексной окрестностью в ОШ множества
{k 6 СШ1: t < 0, Ims〉0, |s|〉兄⑴},(16.79)
где R(t) — некоторое положительное число {непрерывно зависящее от 方).
Область Qsn соединяет S+ и U~ в СШ1. Аналогичное рассмотрение (при замене s j 〃) дает комплексную окрестность Qns множества {к е СШ1: t < 0, Im 〃〉0, \и\ < 兄(方)} на массовой оболочке, в которой аналитична ампутированная функция Грина. Меняя каналы, получаем комплексные окрестности С$力，С力$, С〃力，С力〃，связывающие соответствующие пары из набора областей S±, Т±, U±. В результате физические амплитуды оказываются различными граничными значениями единой аналитической функции, определенной в области на СШ1, являющейся объединением S± , Т± , U±, Csa, Cas, Cs力，C力s, ^ut, ^tu•
Доказательство теоремы 16.10 повторяет ход рассуждений в § 15.2 при выводе дисперсионных соотношений (различия в основном происходят из-за того, что теперь мы манипулируем с другим объектом, продолжающим амплитуду за массовую оболочку, а именно с ампутированной функцией Грина). Как и в § 15.2, мы ограничимся случаем скалярных полей (т. е. бесспиновых частиц).
Сначала (см. п. 16.3.Б) по аналогии с п. 15.2.Б фиксируются импульсы 向，кз, так что
к3 еМ, ^ < М^ kl < М^ 方三(瓦 + кз)2 v 0.(16.80)
Тем самым в СП выделяется четырехмерная комплексная плоскость Lo с ^2 в качестве независимой координаты. Оказывается, точки с Im k2 G『士 находятся в области аналитичности ампутированной функции Грина. Отсюда (как и в п. 15.2.В) следует, что ампутированная функция Грина при фиксированном t аналитична по s в верхней полуплоскости при некоторых нефизических (отрицательных) значениях «квадратов масс»
6 =佇， j= 1,(16.81)
Следующий этап (п. 16.3.В) заключается в аналитическом продолжении по параметрам 《/•. Хотя здесь (в отличие от п. 15.2.Г) не вводится абсорбтивная часть амплитуды, по аналогии с п. 15.2.Г теперь фиксируется импульс
瓦 + 卜2 = о(16.82)
—вещественный времениподобный вектор. Кроме того, фиксируется импульс
阮 + кз = 丁(16.83)
—вещественный пространственноподобный вектор. Равенства (16.82), (16.83) выделяют в СП четырехмерную комплексную плоскость с независимой переменной к?. Вообще говоря, эта плоскость не пересекается с оболочкой голоморфности примитивной области аналитичности (поскольку точки, удовлетворяющие (16.82) при а2 > М^2, находятся на «аналитическом разрезе» по 712). Тем не менее пересечение
этой плоскости с границей области аналитичности (со стороны Im (ki + 卜2)G V+) содержит довольно обширное многообразие. Голоморфное расширение (методом ИЛД) многообразий на границе позволяет получить область аналитичности по переменным s,《，которая пересекается с массовой оболочкой. Симметричное рассмотрение в u-канале (при фиксированных к\ + к^ и к\ + 卜4) дает аналогичную область в переменных “，《.
Наконец, в п. 16.3.Г с помощью голоморфного расширения объединения области (по переменным s,《при фиксированном 力)，полученной на втором этапе, строится область на массовой оболочке.
Б. Случай мнимых «масс». Учитывая лоренц-инвариантность (см. замечание в п. 16.2.Б), выразим приведенную функцию Грина в терминах инвариантов:
言(k)=G(s,力，G，...，G)・(16.84)
Массовой оболочке соответствуют значения параметров &• = т^. Вне массовой оболочки достаточно считать независимым только один из этих параметров, скажем 《=《2 —加^, полагая
&• =《 +時 0=1, ..J).(16.85)
В этом случае пишем g(s,方，《)вместо (16.84).
Лемма 16.11. Приведенная функция Грина @(s, t, Q аналитична в комплексной окрестности множества
{(s,方，Q е С3: t < 0, Ims〉0,《V Z⑴},(16.86)
где Z(力)—некоторая отрицательная непрерывная функция от t
< Выделим в СП четырехмерную комплексную плоскость А, как указано в (16.80). Убедимся, что точки многообразия
L^ = {к е &: Imfe е L}
принадлежат H(D) — области аналитичности приведенной функции Грина. Для этого воспользуемся модифицированным принципом непрерывности (п. 5.2.В). Пусть Lt — плоскость в СП, получаемая из Lo заменой к\ и кз на к\ + zteo н кз + 分力е。，где t > 0. Тогда многообразия Lj = {к Е 力力：link? G У+} находятся в примитивной области аналитичности D (точнее, в трубе П + 分Qf). Кроме того,力^ имеет непустое пересечение с D, так как в D входят комплексные окрестности всех точек из 口\丁 (см. теорему 16.8). Поскольку Lj т Lq при t т +0, то из теоремы 5.27 (при к = 4) следует Lq с Я(В).
Предположим дополнительно, что ki и кз лежат в пространственноподобной плоскости и неколлинеарны. Это накладывает на《，«з н 力 условия
С1 < 0, Сз < о, t < 0,(16.87а)
I—а/_«з I < a/—t <+ а/-Сз •(16.876)
Подобная ситуация уже встречалась в п. 15.2.Б, где было показано (см. лемму 15.2), что образ множества Lq при отображении в пространство лоренц-инвариантов содержит все точки, которые наряду с (16.87) удовлетворяют условиям (15.64), (15.65). Накладывая условие (16.85), мы приходим к утверждению, сформулированному в лемме. А
Аналитическое продолжение по массовым переменным. Теперь фиксируется вещественный пространственноподобный вектор г с t = г2 < 0, тем самым уравнение (16.83) выделяет в СП восьмимерную комплексную плоскость I с независимыми переменными к\,卜2・ Плоскость I содержит несколько труб, входящих в
область D (16.66). А именно, пусть перестановка (j, k, I, п) индексов (1, 2, 3, 4) такова, что
либо {j, к} = {1, 3}, либо {j, к} = {2, 4}
(очевидно, имеется восемь таких перестановок). Так как область D содержит множества (16.65в) и 力卜 не пересекается с плоскостью I, то пересечения конусов П + i{Q^n + Q^i) с I содержатся в О. В результате мы приходим к выводу, что в D П Z находится восемь конусов, которые (с учетом равенства (16.45)) имеют вид
{к 6 СП:阮 + кз = г, qj 6『+,⑦• + 勿 G『―}•(16.88)
В пределах такой трубы ни одна из переменных G не может принимать физического значения т^ (поскольку qi, ..., «4 G V+ U 『一).Для достижения физических значений масс необходимо рассмотреть по крайней мере пару указанных труб с противоположными знаками нулевых компонент векторов Qi, ..., Q4, причем эти трубы должны быть соединены на плоскости (16.83) частью области аналитичности.
Для определенности рассмотрим две трубы
А = {к е СП:瓦 + кз = г, % 6 V~, % + q2 G『十}，(16.89a)
В = {к e СП:阮 + кз = т, «2 G『―，％ + q2 G『+}(16.896)
на плоскости l, соответствующие выборам перестановок (j, к, I, п) в виде (3, 1, 2, 4) или (4, 2, 1, 3). Их выпуклая оболочка, очевидно, есть
/+ = {k G СП: ki + кз = т, % + q2 G『+}•
По теореме 16.8 имеется некоторая комплексная окрестность “ (на плоскости /) множества
{夕 6 П: pi +рз = г, р2 < М^, j = 1,, 4, 〃 V Mf4} (16.90)
такая, что область “+ = “ С /+, а следовательно (см. упражнение 5.27(г)), и ее оболочка голоморфности Я(А U В U “+) (на плоскости /) содержатся в H(D). Выполняя голоморфное расширение 4 U 8 U “+, мы сможем доказать следующее утверждение.
Лемма 16.12. Приведенная функция Грина p(s, t, Q аналитична в пересечении комплексной окрестности множества
{(з, t<) 6 С3: t < 0, s>sQ(t), I arg(A - <)| < i?(t)}(16.91)
с полупространством Ims > 0; здесь so(方)“ ”(方)—некоторые непрерывные положительные функции от t,
А = min 欣).(16.92)
Получение необходимой информации об Я(А U В U “+) можно значительно упростить, если воспользоваться приемом аналитического продолжения на границе (см. упражнение 5.30). Наряду с вектором 丁 фиксируем положительный времениподобный вектор а такой, что
от = ^ (碍—m2 — ш| + 碣);от = ^ (碍—m2 — ш| + 碣);(16.93а)(16.93а)
от = ^ (碍—m2 — ш| + 碣);
от = ^ (碍—m2 — ш| + 碣);
(16.93а)
(16.93а)
для определенности будем считать, что 丁 выбран вдоль оси вз, а а — в плоскости векторов во, вз лоренцевой системы отсчета:
丁 = (О, 0, 0, х/3^),
濟+ 嗎)2 )/2 ° ° —т； + m^jjr^ — %) 06.936)
Определим четырехмерную комплексную плоскость lf в СП уравнениями (16.82), (16.83). Пусть Л/, В' \х J^ — части труб (16.89) и области Jf, лежащие в 〃. Так как область A U В U “+, очевидно, прилегает к 4’ U 石‘ U со стороны iQ, где Q = {q G И: % + «з = 0, qi + q2 G『+}，то (согласно упражнению 5.30) то же самое верно и при переходе к оболочкам голоморфности. Это означает, что
Я(А ими «) D Z+ n %(Н(4 U В и ”))，(16.94)
где 队Н〈A' U Bz U “')) есть некоторая комплексная окрестность на плоскости I множества H(Af U Bz U
Задача свелась к построению голоморфного расширения области Az U Bz U На плоскости lf независимой переменной является только к\. Чтобы уменьшить число независимых компонент, наложим дополнительное ограничение (более слабое, чем (16.85))
G — Сз =加彳—呜(16.95)
которое (в силу равенства ki + 卜2 = 丁) означает фиксацию проекции к\ на г:
к\тк\т—mf + m3 + t—mf + m3 + t22(16.96)(16.96)
к\т
к\т
—mf + m3 + t
—mf + m3 + t
2
2
(16.96)
(16.96)
При этом из (16.93), (16.96) автоматически фиксируется проекция 卜2 на г:
(16.97)(16.97)衣2Tm2 - Ш4 - t
(16.97)
(16.97)
откуда следует
Q — G =履—時•(16.98)
Через I, А, В, “ ниже обозначаются пересечения множеств 〃，4‘，В', W с комплексной гиперплоскостью (16.96), а набор kj = (к,, к；,唸 задает первые три компоненты векторов А^ (7 = 1，• • •，4). Пересечение I с массовой оболочкой характеризуется дополнительными уравнениями к；=加彳，% = m^, или, эквивалентно,
(3)2 =店⑴，(爲产=后⑴，(16.99)
ГДе 山=小(凋一小 МЬЧ-(滋-%*.(16.100)
Независимой переменной на / выберем 3-вектор
г = кх -店⑴-『(0 +。°)2 讯(16.101)
с помощью которого уравнение к^ — к^ = mf — m^ выглядит особенно просто:
沖=0.(16.102)
与 терминах переменной г трубы А и В имеют вид К?— 〃『+ и R3 十〃『* где У+ — верхний световой конус в трехмерном пространстве-времени, а область “
40 Н. Н. Боголюбов и др.
есть некоторая комплексная окрестность (в I) дополнения (в ReZ) к вещественному замкнутому множеству
U6(16.ЮЗ)
(小步一))a (術-(加*),(16.104а)
⑴=(7Wf -(加^ — ^彳_人(風_(m彳__毋)(16.1046)
Действительно, условие (pi)2 < j〃；(力)соответствует паре неравенств @； < Mf,目^ < М^ в (16.90), в то время как условие (-万i + а)2 < j〃^(" заменяет неравенства @^ < М， 向 < Ml，Кроме того, мы предполагаем, что s достаточно велико, например таково, что
<7°〉j〃 1 ⑴ + j〃2⑴；(16.105)
это позволяет в (16.103) опустить условие
(2万 1 -万У < Mu - + (m； + mi - m3 - m4)2,
соответствующее неравенству и < Mf4 в (16.90).
Легко видеть, что (16.103) содержится в множестве
卜e Rei k ё j⑴-曾+(疗g。 +已⑴)и
и (届⑴一啜？+ 3)2 ео-办('},(16.106)
если положить
优2⑴= △ + (」齊⑴"犯))，
с(16.107)
△ = J"?⑴—山⑴)人G%⑴-馮⑴)=min (MJ -時).
Действительно, предполагая для определенности, что 从1(力) > 从2(力)，имеем ^2(t)= =/4(" + △, так что j〃(力)W j〃i(£) и, значит, первое из множеств в (16.103) заключено в первом из множеств в (16.106). Для доказательства того, что второй из гиперболоидов в (16.103) содержится в (16.106), достаточно убедиться, что радиус р шара, по которому второй из гиперболоидов в (16.103) пересекает плоскость 声° = 0, не превосходит радиуса /У, по которому гиперболоиды в (16.106) пересекают ту же плоскость. Нетрудно видеть, что неравенство р ^ р' обеспечено тем, что ^2(t)(= 山(t) + △) W j〃^(力)+ /4(" — /4(".
Заменив область “， вообще говоря, меньшей, которая есть окрестность (в I) дополнения в (Re I) к множеству (16.106), мы приходим к симметричной задаче типа ИЛД. Соответствующая оболочка голоморфности согласно предложению 5.44 *) есть
{к 6 I： (г)2 - (г1 - V1)2 - (г2 - °2)2 ?［諸(|о|), оо)
при всех V е R2 с \v\ < R(s, t)};(16.108)
здесь
R(s，方)=+(I届⑴-后(力+ 3产)，
〃(同)=0 V -(足(S,方)-『)1/2).
Для наших целей достаточно ограничиться точками г с г0 = г2 = 0; такие точки множества (16.108) определяются условием
—俨—/)2 ?［储(®|) + ®2)2, 00) При V 6 R2,®|，R(S,方)，
или, эквивалентно,
-伍1 -力)2 ? ［х2(|х|), оо) при X e R,-伍1 -力)2 ? ［х2(|х|), оо) при X e R,|力| < R(s, t).|力| < R(s, t).(16.109)(16.109)
-伍1 -力)2 ? ［х2(|х|), оо) при X e R,
-伍1 -力)2 ? ［х2(|х|), оо) при X e R,
|力| < R(s, t).
|力| < R(s, t).
(16.109)
(16.109)
(16.110)(16.110)Это условие, очевидно, означает 〜
(16.110)
(16.110)
г1 х + iy
при всех х, у е R, \х\ W R(s, t), \у\ > 〃(|力|)・
Переменные х, у пробегают изображенное на рисунке (заштрихованное) множество, ограниченное вертикальными прямыми х = ±R(s,方)и дугами окружностей 力2 + (у ± 丿〃(方))2 = i?2(s,方).Будем считать, что s достаточно большое, чтобы указанные окружности пересекались с прямой у = 0. Учитывая предыдущее ограничение (16.105), будем считать, что s > s°(力)，где s°(力) фиксировано так, чтобы соответствующее ему значение ст。(см. (16.936)), которое мы обозначим через оо⑴， удовлетворяло условию
00 ⑴ > 2^〃 ⑴.
Тогда область изменения переменной г1 в (16.110) содержит по крайней мере угол
I arg (г1 - 〃s, t))| < 伙s,方)，(16.111)
где0(s,方)> О,
d(s,方)=屈(s,方)-j"2⑴ =
=("⑴一届⑴+届)2△
a 夕(s,方)〉0 возрастает с ростом s; поэтому существует ”(方)такое, что 0 < ”(方)< < 方)при S > So(".
В результате этого рассмотрение мы пришли к выводу, что некоторое голоморфное расширение области 4 U 石 U “ содержит точки вида
{』:阮={^^-^t^a^r^O,叱片)}， (16.112)
где г1 пробегает угол, определенный (16.111). Легко видеть, что при этом (г1)2 пробегает область, содержащую угол {z е С: | arg (2 —附s, t))| < ”(方)}・ Соответственно, для точек множества (16.112) величина《2 =卜^ =卜彳 + 加^ —加彳 пробегает область,
содержащую угол | arg (m^ + △ — Q)| < ”(方)；это доказывает, что H(Af U 石‘ U “') содержит точки вида (16.91). Вместе с включением (16.94) этот вывод завершает доказательство леммы 16.12.
Меняя роли импульсов 卜2 и 卜4, мы можем точно так же доказать следующее утверждение (где 〃о(方)——некоторая положительная непрерывная функция от 方).
Лемма 16.13. Приведенная функция Грина p(s, t, Q аналитична в пересечении комплексной окрестности множества
{(s,方，Q е С?：方 < °, 〃 > “° ⑴，丨 argQ — Q |v "⑴}(16.113)
с полупространством Im u < 0.
Поскольку здесь ”(方)не конкретизируется, то оно считается таким же, как в предыдущей лемме (другими словами, в качестве ”(方)выбирается наименьшее из двух значений в этих леммах).
Г. Переход на массовую оболочку. Леммы 16.12 и 16.13 содержат информацию об аналитичности g(s, t,《)на массовой оболочке (^ = ш^) соответственно в з- и u-каналах. Но в такой форме эти области не соединены друг с другом. С другой стороны, при нефизических《имеется область аналитичности в s-плоскости, соединяющая положительную и отрицательную полуоси. Этого достаточно, чтобы доказать теорему 16.10 (и, значит, перекрестное свойство).
С этой целью мы выполним голоморфное расширение полученной области по переменным s,《при фиксированном t < 0. При Im s > 0 и при 《в области
I arg (А - Q |< "⑴，《？ (-оо, Z ⑴],(16.114)
перейдем к новым переменным
= ln(s — so⑴)，7 = In (w +，歩-1 ), где = 2 (△+力^))'()- 】• (16.115) Отображение C w переводит область (16.114) в комплексную плоскость с разрезами по полуосям (—оо, — 1] и [1, оо); эта новая область при отображении w — w + vw2 — 1 переходит в верхнюю полуплоскость, которая в свою очередь при переходе к《/ отображается в полосу 0 < Im ^ < тг. Заметим, что при отображении 《—0 точки вблизи разреза (—оо, Z&)] переходят в часть окрестности вещественной прямой, лежащую в верхней полуплоскости. Через 〃夕(О V 夕 V тг) обозначим образ физической точки《=0 при отображении《—0.
Из лемм 16.11 и 16.12 следует, что область аналитичности g(s,方，《)в переменных s', 0 содержит часть окрестности (в С2) трубы
О V Im s' V тг, Im=О,
лежащую в полупространстве Im ^ > 0, и соответственно часть окрестности трубыIm s' = 0,0 < Im 7 < тг,
лежащую в полупространстве Ims' > 0. Согласно упражнению 5.7 g(s,方，《)аналитична также в трубах
О V Im s' V 认 0 < Im ^ < тг -
при всех 0 < ф < tv. Мы ограничимся здесь каким-либо одним фиксированным значением ⑦ V тг —夕.В терминах исходных переменных мы получаем, что g(s,方，《) аналитична в прямом произведении угла 0 < arg (s — s°(方))V ⑦ н множества
W=^eC: a(t) < Re< < 6(t), |1т《|< 騎⑴，g (а ⑴,Z(")},(16.116)
представляющего собой прямоугольник в (^-плоскости, из которого выброшен интервал (а(“，Z&)]. Здесь 8(方)> 0, а числа а«) и Ь«) таковы, что а(方)< Z&), О < b⑴ < Л.
Аналогичным образом с помощью лемм 6.11 и 6.13 (вместо 6.12) мы получаем область аналитичности в переменных и,《.Следующая лемма объединяет оба результата.
Лемма 16.14. При любом t < 0 приведенная функция Грина р(з,方，《)аналитична 6 объединении областей
{(з, Q 6 С2: 0 < arg (s - so(t)) < г^, С eW],(16.117а)
{(s,(^) 6 С2: 7г - ^ < arg (uo(t) - u) < 7Г,《G VK}.(16.1176)
4
Напомним, что здесь 〃=—s—方+#(《 + 時).
Удобно заменить прямоугольник, фигурирующий в (16.116), несколько меньшим множеством, а именно областью между двумя симметрично расположенными дугами, соединяющими точки а«) и Ь«) в IV и лежащими (за исключением концов а(方) и Ь(") соответственно в верхней и нижней полуплоскостях. Положим
1), где 苏=2(胤爲 zft『%) / "T；
2"'(方)—угол между дугами в точках пересечения а(方)и Ь(". В результате этого построения точки《при 0 < Im ^,х < тг попадают в область Ж Значение《〃，соответствующее точке《=。，обозначим через 分夕'(О V 夕'V тг).
Теперь нетрудно видеть, что при достаточно большом значении c(t) > 0 области (16.117) содержат соответственно подобласти
{(s, Q: 0 < arg (s - с⑴-58(方))V 认 0 < Im《〃 < тг},(16.118а)
{(s, Q: 7г —⑦ V arg (s + с⑴一58⑴)V 7г, 0 < Im < тг}.(16.1186)
Введем переменную〃〔
s = —(s — 58(方)) ,
тогда области (16.118) записываются в виде
{(s, 0 6 С2: s〃 G G⑴，0 < Im《〃 < 7г},(16.119а)
{(s, 0 6 С2: s〃 G G⑵，0 < Im《〃 < 7г},(16.1196)
где G⑴и G⑵ —две области в верхней полуплоскости Im s〃 > 0, прилегающие соответственно к вещественным интервалам (— l/c(t), 0) и (0, l/c(t)).
Области (16.119) аналитичности в з- и u-каналах все еще не соединены между собой. Чтобы соединить их, воспользуемся еще раз леммой 16.11, согласно которой G(s,方，《)(при фиксированном t < 0) аналитична в любой из областей вида
{(s,《6 С2: s〃 G G『，0 < Im《〃 < y{r)} (16.119b)
при любом г > 0; здесь Gr = {s〃 6 С: |s〃| > г, Ims〃 > 0}, а у(『)—достаточно малое положительное число. Остается выполнить голоморфное расширение объединения всех областей (16.119). Поскольку это объединение есть полутрубчатая область,
то на основании предложения 5.35 интересующее нас голоморфное расширение имеет вид
{(s, Qed： ims〃〉0, 0 <Im《〃 <y(s〃)},
где y(s〃) — некоторая неотрицательная супергармоническая функция в верхней полуплоскости, которая (во всяком случае) равна тг при s〃 е G^ U G(2). Отсюда можно заключить, что
lim У(5〃)=7г.(16.120)
s〃—0, Im s〃〉0
Упражнение 16.12. Доказать соотношение (16.120). (Указание: применить к функции —y(s〃) неравенство (5.39), считая, что радиус круга равен Я, а центр находится в точке 分(А + е) (е〉0). Устремляя R к бесконечности, а £ к нулю, вывести неравенство
ОО,1/С
У > lim — [ Im '，J~dx > [ Im —Lr dx.
Отсюда и из того, что У($〃) < тг, получить (16.120).)
Из соотношения (16.120) следует, что при любом значении у е (0, тг) существует достаточно малое число г = г(у) > 0 такое, что область аналитичности для р(з,方，《) содержит область
{(s, О 6 С2: s" wGr, 0 < Im《〃 < у}.(16.121)
Выберем здесь у > 夕'.Выделяя теперь в (16.121) и в (16.117) точки с 《=0 (т. е. с 《〃=〃夕')，мы получаем, что (при любом фиксированном t < 0) область аналитичности приведенной функции Грина g(s,力，m^) (а вместе с ней и ампутированной функции Грина) содержит точки вида (16.79). Это завершает доказательство теоремы 16.10, а также перекрестного свойства.
Дополнение К
Роль унитарности
К.1. Парциальное разложение амплитуды упругого двухчастичного процесса. Пусть В есть произвольный ограниченный пуанкаре-инвариантный оператор в двухчастичном подпространстве ①У»"?】 (фоковского пространства), соответствующем упругому процессу
〃1 + ”2 т 〃1 + "2(К. 1)
двух бесспиновых частиц. Согласно п. 7.3.Е в области s〉sphys = (mi + m2)2 оператор В можно характеризовать обобщенной функцией B(s, г) G ^((Sphys, ос) х [-1, 1]):
(о 14 (М) А (向)ВАГ 3)厶^ (02) 10)=
=（2冷%（01 +02 一向一曲吼2（01）“2（02）“2（〃）“2（06）石（5, 2）；（к.2）
здесь переменнаяздесь переменная2k2(s)2k2(s)(к.з)(к.з)
здесь переменная
здесь переменная
2k2(s)
2k2(s)
(к.з)
(к.з)
есть косинус угла рассеяния в системе центра масс:
г = cos® = пп ;
k(s) = Ki2(s) — длина трехмерного импульса частицы в той же системе. Пусть
(К・4)(К・4)f 1 при Ml 力 ”2,
(К・4)
(К・4)
［2 при Ml = ”2 •
B(s, г)=B(s, г)=B(S)n(2),B(S)n(2),Разложим 4 代；B(s, г) в ряд по полиномам Лежандра )
B(s, г)=
B(s, г)=
B(S)n(2),
B(S)n(2),
(К・5)
где обобщенные функции B/(s) 6 ^((Sphys, ос)) даются формулой
Ряд (К.5) называют парциальным разложением, a B/(s) — парциальными коэффициентами оператора В.
Предложение К.1. Парциальные коэффициенты B/(s) ограниченного пуанкаре- инвариантного оператора В являются измеримыми (б существенном) ограниченными функциями от s е (sphys, ос):
\Bi(S)\ < ||В||,(К.6)
причем
(B^i(s)=瓦⑥，宙玄)心)=B(s) R(s)(K.7)
и
B(s) > 0,если В > 0.(К.8)
◄ Пусть
①二］A*(P1) A* (p2)|0)F(pi, 02)&401 &4@2,
где F(pi, @2)G ^(Af2) (в случае >q = ”2 функция F(pi, @2)симметрична no @i, @2), тогда
||Ф||2 = N I |F(pi, 02)『(d0i)m (也)小2・
Перейдем от (рь 夕2) Е Г^1 х Г^2 к новым переменным р 6 ^1+^^, п 6 S{ полагая
0 = 01 +02, Aj@i = (Ei(s), k(s)〃)，F(P1, 02)= /(0,几)；
здесь А"1 — лоренцев поворот, переводящий вектор р в д/s ео (см. (7.49)). Скалярный квадрат вектора Ф теперь равен
11Ф1|2 = ］ 1/(。，叫2 ［二^ “40 ^^И,
где d^n = dcosOdg — элемент площади на сфере S?. Эта формула устанавливает изоморфизм
①/］次pf^fd4P①/］次pf^fd4P(К・9)(К・9)
①/］次pf^fd4P
①/］次pf^fd4P
(К・9)
(К・9)
между ①У»"?】и прямым интегралом гильбертовых пространств 方,，каждое из которых есть 0?(S?) или (в случае mi = g) 0j(S?) (подпространство четных функций /(л) = /(—л) в 炉s)).
Оператор В сохраняет суммарный импульс частиц р = pi +02, значит он коммутирует с любой ограниченной функцией от оператора р. Отсюда следует (согласно [Н2], п.41.2.1), что оператор В разлагается в прямом интеграле (К.9) измеримым семейством {Вр} (в существенном) ограниченных операторов ) в 0；十)，)，причем
(vrai-) sup||Bp|| = ||В||.
Для нахождения явного вида Вр воспользуемся представлением (К.2):
〈В, ВФ) = I 广(0,歩)B(s, пп) /(0, п) (]6；fh) &40 dC〃da»,
откуда следует, что ядро оператора Вр есть
С другой стороны, функции ^ (2Z + 1) Pi(nfп) являются ядрами взаимно ортогональных конечномерных проекторов в пространстве ^2(52). Это следует, например, из представления
± 而ЙУГ⑺(К.10)
([B7], n. III.4.2, формулы (2), (5)), где Y^^n) (при I G Z+, m е Z, \т\ W Z) — сферические функции, которые образуют ортонормированный базис в 炉，)и которые в сферических координатах определяются формулой
ITS) = (ТГ «察1 4o(e)i(К.11)
(力*九(。)—матричные элементы
点九⑼=^т^(1) (^ехр (穹■))卜〉(К. 12)
оператора Х>")(ехр (分0//2)) представления группы SU(2) со спином I в так называемом каноническом базисе; см. [В7], § III.3). Поэтому формула (К.5) дает разложение операторов Вр по ортогональным проекторам, причем коэффициентами этого разложения служат как раз парциальные коэффициенты B/(s). Отсюда, очевидно, следует доказываемое предложение. А
Применим полученный результат к амплитуде процесса (К.1). Для матрицы рассеяния S в фоковском пространстве обозначим через гТ часть оператора S — 1, принадлежащую подпространству ①У”"?】 (проектор на которое обозначим через Е^ъ^у.
iT = E^^2\S- 1)e中‘〃2].(К.13)
По определению инвариантной амплитуды имеем
(о I Л2(р0Л1 (向)ТА^(01) 4^(02) I о)=
=(2тг 广 Ь(01 +02 — 〃 一向銹1(01)視(02)銹1(〃)視(向 T(s, ".(К.14)
Допуская общепринятую вольность в обозначении, будем вместо T(s, £(?)) писать T(s, z). Парциальное разложение для Т имеет вид
T(s，2)=£(2Z+ 1)力(s)Q(n).(К.15)
2=0
Согласно предложению К.1 парциальные коэффициенты 力(s) являются ограниченными измеримыми функциями от s. Из унитарности 5-матрицы следует
ТТ w i(T* - Г),(К.16)
откуда (опять на основании предложения К.1) получаем
|/z(S)|2<2Im/z(S)(К.17)
и, в частности,
I力(s)l W2,(к.18)
О w Im 力(s) w 2.(К.19)
Неравенства (К.17) совместно с аналитичностью амплитуды по t в эллипсе Лемана (п. 15.1.В) приводят к следующему выводу.
П р ед л оже н и е К.2. (а) Амплитуда T(s, ?) процесса (К.1) 6 физической области есть локально квадратично интегрируемая функция переменной s G (sphys, ос), зависящая -образом (б топологии 3?(/), где / — произвольный компактный интервал 6 (sphys, ос)) от z е [-1, 1] как от параметра.
При любом т < 0 и s > Smin(T)*) амплитуда T(s, t) процесса (К.1) 6 физической области есть локально квадратично интегрируемая функция переменной s G (smin(T), ос), зависящая ^°°-образом (б топологии 0?(/), где / — произвольный компактный интервал в (Smin(T), ос)) от t е [г, 0] как от параметра.
< Согласно теореме 15.1 для любой основной функции o(s) 6 夕((sphys, ос)) функция j T(s, ?)o(s)ds аналитична по г в некотором эллипсе (зависящем от o(s)) с фокусами ±1. С другой стороны, имеем разложение Лежандра
j T(s, г) v^s) ds = ^⑵ + 1) ( ] ^^ 力(s) Ms)曲)П(2)・(к.20)
Из теории разложения аналитических функций в эллипсе по полиномам Лежандра ([СЗ], теорема 9.1.1) известно, что коэффициенты разложения ограничены убывающей экспонентой по I:
] 力(s)°(s)ds <Cnexp(—хМ(K.21)
(где Xn 〉°)， и что ряд (К.20) сходится равномерно по г на любом компакте в эллипсе аналитичности.
Пусть I — произвольный компактный интервал в (sphys, сю). Покажем, что ряд (К.20) сходится в 3?(/) по s равномерно по г в некотором эллипсе Е с фокусами ±1. Для этого достаточно оценить норму Ц...Ц в 0?(/) каждого слагаемого ряда. С этой целью выберем неотрицательную функцию o(s) G 夕((sphys, ос)), равную 1 на /; тогда
⑵+1)号乎加s)Q⑶ 2< 2(2Z + I)2 I (^^) • Im Ш • I7(s) ds • sup |Л(г)|2.
0 ⑺(к.22)
Если здесь эллипс Е выбран достаточно малым, то в силу (К.21), а также в силу неравенств )
旧(力 W 4 (厄—У^ 厄+") при г е с(к.23)
Q(chx) W J，при х》1(К.24)
выражение (К.22) ограничено сверху величиной типа с'ехр(—х")・ Поэтому ряд (К.15) сходится в топологии 3?(/) равномерно no n G Е, что доказывает часть (а) предложения К.2.
Для доказательства части (б) будем считать параметром не переменную г, a t, которая пробегает достаточно малую комплексную окрестность G интервала [г, 0]. Тогда для членов ряда (К.12) имеем оценку типа (К.22), которая показывает, что ряд (К.12) сходится в топологии 3?(/) (где I — компактный интервал в (Smin(7), ос)) равномерно по 力 G G. А
Из предложения К.2, в частности, следует, что для процесса (К.1) хорошо определены дифференциальное упругое сечение
"二备仆"(k.25)
и упругое сечение〔
Cei(s) = % ]柒靠 dcose；(К.26)
они являются локально интегрируемыми функциями от s. Таким же свойством обладает и полное сечение взаимодействия частиц mi, g, которое (в соответствии с оптической теоремой) есть]
6ot(s) = 2 代 衣⑻ ImT(s, cos6>)|COS0=i.(K.27)
(Множитель 1 /N в формуле (К.26) проистекает из-за того, что упругое рассеяние тождественных частиц на угол ^ и на угол 不一9 представляет одно и то же физическое событие.)
Следующее важное свойство амплитуды рассеяния (точнее, ее мнимой части) основывается на неравенствах для полиномов Лежандра:
I勞П(2)| W 勞Q(n)|z=iпри Z, nez+, 2 G [—1,1].(к.28)
Это следует из того, что полиномы Лежандра являются выпуклыми линейными комбинациями полиномов Чебышева 及⑶ =cos (Zcarccos г):
Sc-2%(2k)!(2(Z —к))!
4(к!尸((「к!)?⑶(К.29)
(см. [СЗ], формула (4.9.4)), и из соответствующих неравенств для полиномов Чебышева, которые проверяются непосредственно (см. следующее упражнение).
Упражнение К.1, (а) Доказать неравенства для полиномов Чебышева
|£(力 У^К+") при zee.(К.ЗО)
dxTk(chx) < kTk(chx) при % > 0.(К.31)
(Указание: (К.ЗО) следует из очевидных соотношений
\Tk{cos 3)\ = I cos (k0)| W ch(klme)= Tfc(ch Im ^);
(К.31) следует из тождества 7^(chx) = ch к»)
Доказать неравенства
|а?Т^(г)| <а^Т^О|е = (|г-1| + |г+1|)/2 при 2 6 С(К.32)
(Указание: при п = 0 неравенство доказано в части (а) упражнения. Далее действовать индукцией по п, воспользовавшись тем, что производная полинома Чебышева есть выпуклая линейная комбинация полиномов Чебышева:
&£(?)=端^ = k t ⑶，
八、р=о
где d = arccos z.)
Доказать следующее неравенство для полиномов Лежандра:
(К.ЗЗ)(К.ЗЗ)/4⑶ I W 奘 Q(H|£=(|z—l| + |z+l|)/2При ZEC,
(К.ЗЗ)
(К.ЗЗ)
а также неравенство (К.24). (Указание: неравенство (К.ЗЗ) следует из того, что полиномы Лежандра являются выпуклыми линейными комбинациями полиномов Чебышева, и из неравенств (К.32). Неравенство (К.24) получается из «начального условия» Q(l) = 1 и неравенства NxQ(chx) W ZB (ch%), которое в свою очередь следует из соответствующих неравенств (К.31) для полиномов Чебышева.)
Упражнение К.2. Пусть функция /(г) аналитична в области О и С, содержащей отрезок [— 1,矶 где а〉1, причем на отрезке [—1, 1] (значит, и в любом эллипсе в области D с фокусами в точках ±1) она разлагается в ряд по полиномам Лежандра с неотрицательными коэффициентами:
/⑶二工 ⑵ + 1) ciPi^z), ci ^ 0 при всех I. (К.34) 2=0
неравенствомнеравенствомДоказать, что тогда функция /(г) аналитична в эллипсе \z - 1| + |г + 1| < 2а. (Указание: пусть Е = {z е С: |г - 1| + |г + 1| < 26}, где 5 < ос, есть максимальный эллипс с фокусами ±1, в котором /(г) аналитична. Достаточно доказать, что функция /(г) не продолжается аналитически ни в какую комплексную окрестность точки z = Ь. Для этого воспользоваться
неравенством
неравенством
|ап/(г)|<ГЖ)|е=(|.-1|+|.+1|)/2, 2GE,
которое вытекает из (К.ЗЗ), (К.34). Отсюда следует, что радиус сходимости ряда Тейлора функции /(г) в любой точке г 6 В не меньше, чем соответствующий радиус сходимости в точке ^ = (|г — 11 + |г + 1|)/2.)
Неравенства (К.ЗЗ) вместе с (К.19) приводят к соответствующим неравенствам для мнимой части амплитуды.
Лемма К.З. Мнимая часть амплитуды T(s, t) упругого процесса (К.1) 6 физической области удовлетворяет неравенству
|<ImT(S,切 W <ImT(s, t)|,=0(К.35)
при всех ri е Z+, t е [т, 0] {где т < 0 произвольно), s G (smin(T), ос).
< Из доказательства предложения К.2(6) следует представление
屮ImT(s, t) =£ ⑵+ l)Im力(s)(2储⑻厂3”C)|z三乞⑴，
в котором ряд сходится в 02(/) при любом t 6 [т, 0] (где г < 0, а / — произвольный компактный интервал в (Smin(7, сю)). Теперь (К.35) непосредственно следует из неравенств (К.19), (К.ЗЗ). А
Замечание. Предложение К.2 дает «локальную» характеристику амплитуды T(s, t) как функции от s. Можно сформулировать соответствующее утверждение «глобального» типа. Мы ограничимся пока следующим результатом для мнимой части (поскольку существенные детали доказательства уже были приведены в § 15.2 )): для любых г < 0, so > Smin(T) существует 沙〉0 такое, что s~y~x\xn T(s, t) является абсолютно интегрируемой функцией от s G (so, ос) при любом t G (г, 0]:
s-^^mT^s, t) е 0i((so, оо)).(К.36)
Очевидно, благодаря неравенству (К.35) при п = 0, достаточно доказать (К.36) при t = О (для некоторых 沙〉0, so > sphys)- В силу неотрицательности Im T(s,力)|力=о доказываемое утверждение эквивалентно полиномиальной ограниченности (при s〉s°) свертки o(s)ImT(s, t)|i=o, где o(s) — произвольная фиксированная неотрицательная функция из 夕(К) с интегралом 1. А этот факт был уже доказан в лемме 15.6 (здесь мы пользуемся тем, что As(s,力)力=о = ImT(s,力)|力=o при s 〉sphys согласно упражнению 15.11). В следующем пункте мы убедимся, что s~u~1ImT{s, t) (как элемент из ^\(5о, ос)) по s) зависит от параметра t непрерывным (и даже аналитическим) образом, а в п. 17.1.А увидим, что можно положить 沙=2.
Заметим еще, что результаты этого пункта нетрудно распространить на случай неупругого двухчастичного процесса宀 …
”1 + "2 -”3 + "4,(К.
поскольку для парциальных амплитуд gi(s) этого процесса имеет место ограничение типа (К.17)9
Is(s)|2 W2Im力(s);(к.38)
здесь, как и выше,力(s) — парциальные амплитуды упругого процесса (К.1) (см. Зоммер, 1967 г).
К.2. Аналитическое продолжение по t дисперсионного соотношения. Предполагая, что для процесса (К.1) имеет место дисперсионное соотношение при t 6 (ттЕ, 0], мы запишем его в виде
心皿 丄、 1「 As(sz, t) ds' , 1「 Au^, t) du' ,“се、
回 ds T(s, t) = - ] sT0严 + 不](do严 + полюсные члены; (К・39)
здесь 沙 6 Z+ выбрано четным и достаточно большим. Как отмечалось выше, абсорбтивная часть As^, t) в физической области совпадает с мнимой частью амплитуды T(s\ t), поэтому согласно результатам предыдущего пункта при достаточно больших 沙，so〉Sphys ($/)—"—14s(s[力)ЯвЛяется интегрируемой функцией от sf G [so, ос). Аналогично Аи(и', t) в физической области “-канала совпадает с мнимой частью амплитуды перекрестного процесса, и (у!)~и~хАи(и', t) есть также неотрицательная интегрируемая функция от v! G [“о, ос) (где uq〉Sphys достаточно большое). Оказывается, свойство (К.35) мнимой части амплитуды позволяет аналитически продолжить дисперсионное соотношение в область комплексных t.
Лемма К.4. Пусть £(§) — семейство интегрируемых функций переменной § е J 三 =(-ос, si] U [§2, +ос), зависящих ^°°-образом от параметра t G [-£, 0] 6 топологии пространств 3】(J П I), где / — произвольный ограниченный интервал 6 R *), причем выполнены два условия:
при всех п е Z+, t е [-£, 0] функции % Ft® удовлетворяют неравенству
\d^Ft^\^d^FT^\T=0-(К.40)
существует функция хК§) 〃з пространства £(J) {комплексных непрерывных ограниченных функций от переменной аналитически зависящая (б топологии 6( J), определяемой sup-нор^ой) от комплексного параметра t 6 круге |t| < 仏 такая, что все ее производные по t при t = 0 неотрицательны, Хо(§) = X力(§)丨力=о ограничена снизу положительным числом {скажем, а) 〃 функция
(£,x%)m]w(8xK8d§
J аналитична по t в круге |t| < р.
Тогда 兄(§) аналитически продолжается (б топологии 夕北丿))по t в круг |t| < р на комплексной плоскости.
За счет уменьшения а и £ можно считать, что
хМ§)》。при t е [-£, 0],(К.41)
эта возможность обусловлена тем, что при всех t 6 [—£, 0]
Хо(Н —< 罔 ％Хт(Н1т=о・
при всех (К.42а)при всех (К.42а)п е z_|_, t е [—£, о]п е z_|_, t е [—£, о]aг£®沙⑺；aг£®沙⑺；Для доказательства леммы достаточно проверить следующие утверждения:
при всех (К.42а)
при всех (К.42а)
п е z_|_, t е [—£, о]
п е z_|_, t е [—£, о]
aг£®沙⑺；
aг£®沙⑺；
n-я производная 3『兄(§) от Е(§) существует в топологии 0^(/)(К.426)
(и, значит, совпадает с n-й производной 3『£(§) от £(§) в топологии любого пространства 0i(J П /), где /-ограниченный интервал в К);
同£IM(J)w 厶加/厂 при d < 〃(К.42в)
где А — константа, не зависящая от п (например, А может быть выбрана из условия 曜⑵,xMr| W ^加(d)f)・
Будем действовать индукцией по п. При п = 0 утверждение тривиально. Предполагая справедливость утверждения для п к, докажем его для п = к + \. В силу предположения
индукции выраженияиндукции выражения以Т(8 =(方-丁尸(玻 £(8 -郃 4(H)
индукции выражения
индукции выражения
(где t, г 6 [—£, 0],力 R т) являются функциями из 01 (J); кроме того, в силу условия (а) леммы 月九о(§) при 力 С (—£, 0) есть неотрицательная функция. Поэтому для любой основной функции и® G 夕(J)имеем
|(a^+1FT|T=0, 〃)| =齊 1(瓦о, и)\ < lim (及0, |〃|) w a-1 sup \u\ lim (R,o, xD， (K.43)
где
回(反0, x" W 回；｛侬凡 X" 一财4, ХТ)二。｝ + 回 国*丄=0,三期). (K.44) Второе слагаемое в правой части (К.44) в силу предположения индукции имеет предел —(а^4|т=о, дТХт\т=о) W о, поэтому
呵(瓦о, Х/ W ｛(玻兄，Х/ —(郃Xj-。｝. (К.45)
В силу того, что £ к раз дифференцируема по t в классе 0】(J) и что xt аналитична по t в классе £(J), функция (£, х力)衣 раз дифференцируема по t и удовлетворяет правилу дифференцирования Лейбница
欧5, X/ = £ @!”@)!(岁凡疗AJ欧5, X/ = £ @!”@)!(岁凡疗AJ(К.46)(К.46)
欧5, X/ = £ @!”@)!(岁凡疗AJ
欧5, X/ = £ @!”@)!(岁凡疗AJ
(К.46)
(К.46)
В силу предположения индукции справедливо также следующее равенство:
По условию леммы левая часть здесь неотрицательна, поэтому прибавление этого выражения к правой части (К.45) не нарушит неравенства:
回(&о, х/ W 回} {吹见 X/ —硝a, xJ-。} = a3(E, xMr・
Из (К.43) теперь, очевидно, следует, что (К.42а) и (К.42в) справедливы для п = к + \. Остается доказать (К.426), т. е. что
&式К в ^(J) при 九
Поскольку по условию леммы
马,式8-建+1£ в топологии 勿(/п /) при т т 力
(где / — произвольный ограниченный интервал в К), то достаточно доказать оценку
(К・47)(К・47)|В,т(Н1 W МН (почти всюду на J)
(К・47)
(К・47)
для всех т 力力 где Ь(§) — некоторая неотрицательная функция из 夕北丿).Для этого положим Ь(§) = а^+14(§)|т=о； тогда при всех и е 夕(J) имеем
\Bt,T^\ = \t-r\-x [(理#4j〃)“ W(b, |〃|),
откуда, очевидно, следует (К.47). Тем самым доказано также (К.426). А
Теорема К.5 (Мартена). Амплитуда T(s, t) упругого процесса (К.1) аналитична по переменным (s, t) 6 комплексной области
{(s, t) G С2: |t| < /Д |s| > Я2, s 0 [М?2, ос), и 0 [М?4, ос)},(К.48)
где 4，_К — некоторые положительные параметры, причем при некоторых so〉sphys и у е Z+，-"一/⑸力)G 0《s(), ос)) при |t| < /12.(К.49)
Если для процесса (К.1) имеет место дисперсионное соотношение 6 некотором интервале t G(7min, 0], то оно справедливо 〃 6 области
{(s, t) G С2: |t| < /12, s 0 [М?2, ос), и 0 [Ми, ос)},(К.50)
где 从—некоторый положительный параметр.
Вначале предположим, что для процесса (К.1) справедливо дисперсионное соотношение. Чтобы иметь дело с абсорбтивными частями амплитуд в физической области, мы выберем достаточно большие si, щ〉sphys и вычтем из T(s, t) вклад
1 f1 Л5(у, t) ds' 1 f1 Au^u', t) du'( n
——、— + —、— + полюсные члены.(К.51)
7Г J S — S 7Г J U — U
*2Mh
По теореме 15.4 абсорбтивные части 4s(s', t), Au(u', t) аналитичны no t в больших эллипсах Лемана, пересечение которых при s', и' в области интегрирования в (К.51) содержит некоторую общую комплексную окрестность |t| < /У? точки t = 0. Поэтому достаточно доказать теорему для Ti(s, t), равной разности между T(s, t) и (К.51); тогда в силу (К.39)
(К.52)(К.52)1А _丄『 4M “曲/ 丄『人(认“加
(К.52)
(К.52)
回 ds 0J — s — К))"】+ 不 J (J — 〃 + Я))"】°
Выберем далее некоторую точку so из интервала (sphys, si) такую, что so〉2(mf + m^)- -〃i +/У? (это можно сделать, если si, щ выбраны достаточно большими). Тогда из аналитичности амплитуды F(s, t) в малом эллипсе Лемана (т. е. из теоремы 15.1) следует
существование положительного параметра ijl < ^ такого, что левая часть (К.52) при s = so аналитична по t в комплексном, круге |t| < /А Положим
Е(8 =砍—si)怎 t) + e(—§ - 〃i)同—1人(弋 t),
T 妆(宀Г + ^Q+2*+tn—J 卜 -
где p — произвольный параметр из интервала (/i2, so + ш — 2(mf + m^)). Нетрудно убедиться, что все условия леммы К.4 выполнены; следовательно, функции Е(§) аналитически продолжаются (в топологии 0】(К)) по t в круг |t| < д?. В таком случае формула (К.52) дает аналитическое продолжение }a；Ti(s, £) в область (К.50). Это (вместе с аналитичностью по t производных ^fTi(s, t)|s=so в круге |t| < 川)означает, что амплитуда T(s, t) аналитична и удовлетворяет дисперсионному соотношению в области (К.50).
В общем случае теорема доказывается применением вместо дисперсионного соотношения квазидисперсионного соотношения (см. п. 16.3.А); при этом на первоначальном этапе выбираются достаточно большие si, tq, Я2, a Ti(s, t) определяется как разность между T(s, t) и вкладов от квазидисперсионных интегралов по окружности \sf\ = Я2 и отрезкам Я2 < < s' < si, 2(mf + 加办 + В2 - t < и' < ui. Тогда по-прежнему имеет место соотношение (К.52). Дальнейшая аргументация остается без изменения. А
В случае квазидисперсионных соотношений метод доказательства теоремы не дает информации о величине 从，однако для процессов, для которых доказаны дисперсионные соотношения, он может быть использован при вычислении параметра 从.Выбирая si, щ, so оптимальным образом, Зоммер (1967а) показал, что, например, для процессов сильного взаимодействия 7Г7Г, тгК, КК, КК параметр 〃 определяется пороговой массой в t-канале:
从=Mb = 2m7V.(К.53)
Для процессов типа 7г^, тгЛ указанный метод дает заниженную величину 从，однако Бессис и Глазер (1967) показали, что и в этом случае 从 определяется равенством (К.53); для этого они использовали нефизическое значение so 6 ((mi — m2)2, (mi + m2)2) (предварительно, действуя в духе § 16.3, они выполнили вспомогательное явное голоморфное расширение области аналитичности T(s, t) по двум переменным s, t).
Следствие К.6. Существует so〉sphys, такое что при s > so амплитуда T(s, t) упругого процесса (К.1) 〃 ее абсорбтивная часть As(s, t) аналитичны по t соответственно в малом°°
|£ + 4M(s)| +罔 <4M(s)g(s)(К.54)
〃 большом,
|力 + 4储(s)| + I力 < 4k?(s) y(s)(К.55)
эллипсах Мартена^ здесь^2
’(К56)
У⑶=1 +危亓(К57)
Действительно, абсорбтивная часть As(s, t) аналитична по t в большом эллипсе Лемана и (по доказанному выше) аналитически продолжается в точки г 6 (0, д?); кроме того, она имеет неотрицательные коэффициенты Im 力(s) парциального разложения. В силу свойства рядов по полиномам Лежандра с неотрицательными коэффициентами (см. упражнение К.2), парциальное разложение для As(s, t) (сглаженное по переменной s с произвольной неотрицательной основной функцией o(s) с произвольно малым носителем в окрестности фиксированной точки s' сходится в наименьшем замкнутом эллипсе с фокусами tmin =-《/^(s'), tmax = 0, содержащем точку г 6 (0, д?), что доказывает аналитичность 4s(s, t) по t в большом эллипсе Мартена. С помощью оценки типа (К.22), а также части (а) упражнения К.З нетрудно убедиться, что из аналитичности As(s, г) по г в эллипсе с фокусами ±1 и с большой полуосью ch20s следует аналитичность T(s, г) по г в эллипсе с фокусами ±1 и с большой
полуосью ch%. Поэтому из аналитичности As(s, г) по г в большом эллипсе Мартена |г + 11 + |г — 11 < 2y(s) следует аналитичность T(s, г) по г в малом эллипсе Мартена |г + 1| + |г - 1| < 2g(s).
Упражнение К.З. (а) Доказать следующее неравенство для полиномов Лежандра:Q(chx)》а⑵ + l)T/2Jx при % > О,
где а — некоторая положительная константа. ^Указание: из (К.29) при г = ch%, х〉。 CWT：
卜.丿卜.丿
далее воспользоваться формулой Стирлинга
п! = д/2тг ехр {(几 + ^ Inn — n| (1 + О(п-1)) при п т ос.)
б) Доказать, что для любых г 6 (0, д?), и достаточно большом so существует константа b〉0 такая, чтоg
j х/2НТ - Im fi^s-^1 e26sl ds < b(K.58)
_SO
при всех I e Z+. Здесь
ch 2仇=1 + Г x , eQs = ch 2 仇 + sh 2优〉1 + J 72TT〉1 + 2 a / .
2k [s)у k ⑻V s
(Указание: по теореме К.5 s-I/-1As(s, г) G ^^(so, сю)); подставить сюда разложение As(s,力)по полиномам Лежандра и воспользоваться неотрицательностью всех членов ряда, а также частью (а) упражнения.)
Замечание. Амплитуда произвольного (возможно, пеупругого) процесса (К.37) при s > so также аналитична по t в соответствующем малом эллипсе Мартена
\t — tmin(s) I + I力一力max(s)| W 4K12(S)K34(S)\t — tmin(s) I + I力一力max(s)| W 4K12(S)K34(S)(K.59)(K.59)
\t — tmin(s) I + I力一力max(s)| W 4K12(S)K34(S)
\t — tmin(s) I + I力一力max(s)| W 4K12(S)K34(S)
(K.59)
(K.59)
где параметр 从=从12 тот же, что в теореме Мартена для упругого процесса (К.1). Как и в случае упругого процесса, это утверждение есть непосредственное следствие оценки (К.38) для парциальных амплитуд процесса (К.37).
Глава 17
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ
ДЛЯ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Ограничения на поведение сеченийпри высоких энергиях
А. Граница Фруассара. Аналитические свойства амплитуд, скомбинированные с условием унитарности 5-матрицы, приводят к ряду ограничений на поведение сечений элементарных процессов при высоких энергиях (точнее, при стремлении энергии сталкивающихся частиц к бесконечности). Одной из первых полученных таким образом оценок явилась граница Фруассара для полного сечения взаимодействия двух частиц ):
Otot(s) W const • In2 s.(17.1)
Для более общей формулировки этого результата ) следует ввести полное сечение, усредненное по некоторому интервалу значений s:
$ + △/2
3tot(s)=夫 I atot(sf) dxf,(17.2)
$ — △/2
где s〉so > Sphys + △/2, a A — фиксированный (произвольным образом) положительный параметр. Точно так же знак над другими физическими величинами указывает на подобное усреднение по s. Как и в следствии К.6, в дальнейшем s° выбирается достаточно большим.
Упражнение 17.1. Доказать, что aei(s) и 3tot(s) (при s〉s°) являются непрерывными функциями, притом положительными, если T(s, t)壬 0. (Указание: непрерывность aei(s) и atot(s) есть следствие того, что в силу предложения К.2 aei(s) и atot(s)——локально интегрируемые функции. Положительность aei(s) и atot(s) доказывать методом от противного: если 3ei(s‘)= 0 в некоторой точке s' 〉so, то T(s, t) = 0 на некотором непустом открытом множестве точек (s, t) 6 R2; далее воспользоваться обобщенной теоремой единственности Б.10.)
Предложение 17.1. Для полного сечения взаимодействия и дифференциального сечения упругого рассеяния пары частиц хь Х2 имеют место оценки сверху.
3tot (s) W const • In2 s,(17.3)
鹰靠 «const •啤尹 при о < ^ < ^,(17.4)
牆。rlst ・sh14 s.(17.5)
< В физической области упругого процесса >q + ”2 т "i + "2 имеем разложение
ImT(s, n)|z=i =明£(2Z+l)Im力(s)(17.6)
2=0
(см. (К.15)). Из оценки (К.58) следует
Im 加 s) W 加⑵ + I)Т/2 (s+ 合)(1 + 2 j, +入/2 )(17-7)
при всех I 6 Z+, s > so (здесь г 6 (0, д?) фиксированно, а 从一параметр, фигурирующий в теореме К.5). Пусть а〉(у + 3/4)/2 д/т; разобьем слагаемые ряда (17.6) на две группы: с I W а д/s 1ns, для которых воспользуемся оценкой (К.19) (а также тем, что в случае тождественных частиц 力(s) = 0 при нечетных Z), и с I > а^Д Ins, для которых применим (17.7). Тогда
Imf(s, г)|г=1 < ^Д7~^^р(2 + « У« bs)2 + Ь'sy+x ] 6 (1 + 2 j$ +入/2 ) 或・ In s
Первое слагаемое в правой части (17.9) ведет себя при s т ос как 16тга25 In2 s. Второе слагаемое ведет себя как sin2 s • о(1), поэтому
Im T(s, 0) W const • s In2 s,
откуда следует (17.3). Попутно мы получаем
叵4(17」0)
Для оценки дифференциального сечения воспользуемся парциальным разложением (К.15) и неравенством (К.17):
'+△/2 г/2/ оо
Л ]Т(『，2)dsf ^2^(21+1Х1тМ3))^2\Р^ .(17.11)
$ — △/2'z=。/
Заменяя здесь \Pi(z)\ на 1 и используя для оценки полученного ряда тот же метод, что и при оценке (17.6), получаем
$+△/2
夫 j |Т(5\ z)|2 ds' < const • s2 In4 s при всех г G [—1, 1],(17.12)
$ — △/2
откуда (при г = 1) следует (17.5). Если же применить неравенство
\Pi(z)\ < У2 |7Г/V1 - г2 |-1/2 при 2 G [—1,1](17.13)
([СЗ], теорема 7.3.3), то аналогичным образом из (17.11) выводим $+△/2
夫 ] \T(s , z)^ ds < const • s3^2 In3 s • (1 — г2)-1//2 при г 6 [—1, 1],(17.14)
$ — △/2
что доказывает (17.4). А
Очевидно, стандартная формулировка (17.1) оценки Фруассара несколько сильнее, чем доказанное выше соотношение (17.3). Она следует из (17.3), если дополнительно предположить, что сечение не слишком сильно колеблется на любом интервале энергии фиксированной длины, например, в следующем смысле:
infsup> const > 0.(17.15)
s-A/2<s,<s+A/2/ s-A/2<s,<s+A/2
Следует, однако, заметить, что формулировка (17.3) в терминах усредненного сечения 3tot(s) вполне достаточна для феноменологии, поскольку в реальном эксперименте измеряют именно величины (в данном случае сечения), усредненные по некоторому энергетическому интервалу (длина которого определяется разрешающей способностью установки и, конечно, растет с s).
Обычно при выводе оценки (17.1) делают «техническое» предположение о поведении абсорбтивной части амплитуды в «нефизических» точках:
(17.16а)(17.166)(17.17)(17.16а)(17.166)(17.17)/力)1力W const • s" — e, S〉Sphysгде выбирают沙=2,
(17.16а)
(17.166)
(17.17)
(17.16а)
(17.166)
(17.17)
a £ > 0 сколь угодно мало. Отсюда получают (17.1), а также
s — oo In S
(см. Локашук и Мартен, 1967; Синг и Рой, 1970).
Из (17.3), очевидно, вытекает
3el(s) W Const • In2 S.
Как видно из вывода оценки (17.12), такая же оценка имеет место, если считать фиксированным 方 < 0:
$+△/2
夫 I \T{sf, t)\2dsf < const • s2 In4 s.(17.19)
s-A/2
Это позволяет уточнить глобальную характеристику амплитуды по переменной s (ср. замечание в п. К.1).
Следствие 17.2. При любом 2 G [—1, 1] имеем
2T(s, z) 6 %2((so, oo));(17.20a)
точно так же при любом t < О
s-2T(S,方)G 幺2(®, оо));(17.206)
где si > SmE⑴.
Следствие 17.3. В дисперсионном или квазидисперсионном соотношении при фиксированном t < 0 достаточно не более двух вычитаний ) (т. е. z/ W 2).
Действительно, рассуждая, как в доказательстве теоремы К.5, вычтем из T(s, t) вклад от (квази)дисперсионного интеграла по конечным нефизическим отрезкам (и по окружности — в случае квазидисперсионного соотношения). Полученная величина Ti(s, t), очевидно, также удовлетворяет (17.206) и, кроме того, соотношению (К.52), которое теперь можно записать в виде
0(6, Г (打 ¥^ + Е Г О/ ^ПУ +”(力(".2D
где 0力(s) — полином по s степени W 沙一1. Свертки в (17.2) хорошо определены, поскольку в силу (17.206) (s/)~2As(s/, t) G 02(®, ос)) и, значит,
I (s')—24s(s', t^s - s - iO)-1 dsf еу2(К). si
Поэтому первое слагаемое в правой части (17.21) также удовлетворяет условию (17.206); аналогичным свойством обладает второе слагаемое в (17.21). Теперь из условия 2Pt(s) 6 6 3?((si, ос)) получаем, что степень полинома @力(s) по s не превосходит единицы; это доказывает, что 沙 можно считать равным двум.
Механизм получения границы Фруассара имеет прозрачный физический смысл. Для сравнения рассмотрим рассеяние точечной классической частицы на неподвижном непроницаемом шарике радиуса г. Тогда полное сечение рассеяния а есть = тгг2. С другой стороны, рассеяние, очевидно, происходит, только если угловой момент частицы L не превосходит Lmax = kr, где к — импульс частицы. Тем самым радиус взаимодействия, определяющий полное сечение, просто связан с максимальным угловым моментом при рассеянии. Нечто подобное имеет место при столкновении релятивистских квантовых частиц высокой энергии (скажем, в системе центра масс). Предположим для простоты, что асимптотическое поведение полного сечения при s — оо определяется границей Фруассара:
5 ln2s < 3tot(s) W с2 1n2 s,(17.22)
где ci и C2 — некоторые положительные константы (в этом случае говорят, что граница Фруассара насыщается). Как видно из доказательства границы Фруассара, члены парциального разложения с I > le^(s)=。石 1ns дают вклад, пренебрежимый по сравнению с (17.22); основной вклад »卜一？(s) *仟(s) в границу Фруассара дают слагаемые с I W le^(s). Таким образом, в этом случае в соответствии с классической картиной естественно определить эффективный радиус взаимодействия из условия
(17.23)(17.23)/eff（s）=k（5）%任（5）.
(17.23)
(17.23)
В общем случае мы можем сохранить равенство (17.23) в качестве определения; однако вместо асимптотического равенства Qff(s) = const • дД 1ns теперь можно утверждать лишь, что
%eff(s) W const • дД 1ns. (17.24)
Понятие эффективного углового момента вместе с оценкой (17.24), очевидно, полезно для получения различных асимптотических соотношений. Мы воспользуемся им при доказательстве следующего результата.
Предложение 17.4. Если выполнено условие
(17.25)(17.25)3tot(s)》bs~k (где s > s。)
(17.25)
(17.25)
〃р〃 некоторых b > 0, к > 0, то сечения взаимодействия пары частиц удовлетво
ряют соотношениям?
w const • W Ins •端 при 0 < ^ < ^,w const • W Ins •端 при 0 < ^ < ^,(17.26)(17.27)(17.26)(17.27)(3tot(s)) > const • In2 S • 3el(s),
w const • W Ins •端 при 0 < ^ < ^,
w const • W Ins •端 при 0 < ^ < ^,
(17.26)
(17.27)
(17.26)
(17.27)
(17.28)(17.28)牆^|…1 Wc0rlst ・sln2 s ・3el(s)・
(17.28)
(17.28)
< Из неравенства Коши-Буняковского-Шварца следует
/\ / oos+A/2、
%Wa л/s In s/%Wa л/s In s/2 E ⑵+1)工⑵+1)夫I力⑺12
%Wa л/s In s/
%Wa л/s In s/
\ Z<a v^ In s丿 \ 2=0s-A/2/
(17.29)
Согласно оценкам, сделанным при выводе границы Фруассара, для любого п > 0 и достаточно большого а добавление к сумме в левой части (17.29) слагаемых с I〉а^Д In s изменяет ее на величину, сколь угодно малую (при s т ос) по сравнению с s-n-1. В результате получаем
(3tot(s) + 0(S-n))2 W const • In2 S • 3el(s)・
При n ^ k отсюда и из (17.25), очевидно, следует (17.26). Отметим, что из (17.25), (17.26)
следует такжеследует также3ei(s) > bfs~k3ei(s) > bfs~k(17.30)(17.30)
следует также
следует также
3ei(s) > bfs~k
3ei(s) > bfs~k
(17.30)
(17.30)
при некоторых Ъ' > 0, к' > 0. Аналогичное применение неравенства Коши-Буняковского- Шварца к парциальному разложению амплитуды приводит к соотношениям (17.27), (17.28), причем члены, малые по сравнению с s~n (где п достаточно велико), пренебрежимы в силу (17.30); кроме того, при выводе (17.27), как и при выводе (17.4), используется неравенство (17.13) для полиномов Лежандра. А
В силу (17.18) предложение 17.4, вообще говоря, улучшает оценки Фруассара, за исключением того случая, когда граница Фруассара для полного сечения насыщает
ся, т. е. когдася, т. е. когдаlimlim3tot(s)3tot(s)О；О；(17.31а)(17.31а)
ся, т. е. когда
ся, т. е. когда
lim
lim
3tot(s)
3tot(s)
О；
О；
(17.31а)
(17.31а)
в этом случае благодаря (17.26) имеем также
limlim3el(S)In2 s3el(S)In2 sо,о,(17.316)(17.316)
lim
lim
3el(S)In2 s
3el(S)In2 s
о,
о,
(17.316)
(17.316)
и оценки (17.26)-(17.28) переходят в (17.3)-(17.5).
Замечание. Условие (17.25), входящее в предложение 17.4, является довольно естественным предположением. В качестве мотивировки его приведем один родственный результат, относящийся к оценкам сечений снизу. Джин и Мартен (1964) установили для амплитуды рассеяния вперед оценку снизу типа )
$+△/2
(17.32а)(17.32а)s叵卢夫j |Т(/, t)|2^|,=o>O
(17.32а)
(17.32а)
$ — △/2
при некотором к。(если для данного процесса справедливо дисперсионное соотношение, то можно считать к。= 2; общий случай основывается на квазидисперсионном соотношении). Отсюда и из неравенства
$+△/2
夫 I |Т(/, t)|2 ds\t=Q + o(s~n) w const • s2 In2 s • aei(s) $ — △/2
(при любом n〉0), которое возникает в ходе доказательства (17.28) (и не использует (17.25)), следует оценка типа
ПЫ s》3ei(s)〉0,(17.326)
а также /
血 Sk，atot(s)〉0.(17.32b)
Это означает, что неравенство типа (17.25) выполняется по крайней мере на некоторой последовательности точек sn т ос.
Следствие 17.5. (а) Имеет место соотношение
阿(sh? s尸生w const •阿彌⑶,阿(sh? s尸生w const •阿彌⑶,(17.33а)(17.33а)
阿(sh? s尸生w const •阿彌⑶,
阿(sh? s尸生w const •阿彌⑶,
(17.33а)
(17.33а)
где const — некоторая положительная константа.
некоторых(17.336)некоторых(17.336)У, kf > 0), тоУ, kf > 0), то理⑶П"品〔…， const .理為⑶理⑶П"品〔…， const .理為⑶б) Если 3ei(s) удовлетворяет неравенству типа (17.30) {при
некоторых
(17.336)
некоторых
(17.336)
У, kf > 0), то
У, kf > 0), то
理⑶П"品〔…， const .理為⑶
理⑶П"品〔…， const .理為⑶
(еОе также const e K+).
Б. Сравнение сечений взаимодействия частицы и античастицы с одинаковой мишенью. Благодаря перекрестному свойству оказываются взаимосвязанными асимптотические поведения сечений взаимодействия пар частиц xi + Х2 и xi + 无2 (где во втором случае одна из частиц заменена античастицей).
В частности, при некоторых дополнительных условиях разность полных сечений взаимодействия пар xi + Х2 и xi + 无2 стремится к нулю при s — оо (результаты такого рода носят общее название утверждений типа теоремы Померанчука; см., например, ниже предложение 17.10 и следствие 17.11).
Вначале мы докажем одно сравнительно общее неравенство. При этом мы условимся величины (например, полные сечения), относящиеся к парам частиц 〃1 + 〃2 н 〃1 + 无2 различать верхним символом (+) и соответственно (—) (например, j，s),(7^(3)). Введем еще обозначения
с(士) = lim 話)(s), 。(士)= ПН 喝)(s). (17.34)
Лемма 17.6. Если。㈠ W c(+)“。㈠ < oo, то
Поскольку при С^ = с(+)неравенство (17.35) тривиально, будем считать, что С^ < < с(+). Пусть o(s) — произвольная фиксированная неотрицательная функция из 夕(К) с интегралом 1. Мы покажем, что при любом b из интервала 0 < b < с(+)— С^ и при достаточно больших s справедливо неравенство
|o(s) * (s—2丁(一)(s, 0))| > i bs—i Ins. (17.36)
Очевидно, этого достаточно для доказательства (17.35).
Воспользуемся (квази)дисперсионным соотношением для амплитуды T^~\s, 0). Очевидно, вклад от ограниченных участков интегрирования в (квази)дисперсионном интеграле имеет порядок O(s~i) при s — 8, поэтому достаточно доказать оценку типа (17.36) для разности Г：)(s, 0) между Т(—)(s, 0) и этим вкладом. Для T^~\s, 0) дисперсионное соотношение принимает вид (17.21), где нужно поменять местами каналы s и и. Поскольку @o(s) = @力(s)|力=0 есть полином по s степени W 沙一1 = 1 (см. следствие 17.3), то этот полином не существен
для оценки типа (17.36); мы вычтем его из T^~\s, 0). Параметры si и ш в (17.21) выберем достаточно большими, так чтобы
(и)~х As(u , 0) > с при и'》ui,(17.37а)
(s,)-1X(s，, 0) < С(Ч +е при / > si,(17.376)
где с' < с(+)и £ — положительные параметры такие, что 5 < с7 — С^ — е. Таким образом, при достаточно больших s имеем
1"s) * ((s-2з(-)(s, 0)) I2/。［ 〃* s) - / ］v(/)(/尸4(/，0)加，(17.38) где1
V(s)=。⑻ * (s + 分。)•(17.39)
Первое слагаемое в правой части (17.38) легко вычисляется. Для оценки второго слагаемого нам понадобится следующее свойство функции V(s).
Упражнение 17.2. Доказать, что функция V(s) (17.39) (из пространства «(Kg); см. дополнение А.З) удовлетворяет оценке вида
|V(s)| W (1 + s2)~1/2 + a(l + S2)-1.
Отсюда при достаточно больших s получаем
|“S)*((S-2*(-)(s, 0))1 >
> 土［(s『［(1 + (/-S)2)-1/2 + a(l + (J — s)2)「曲］=
=^p {(d — C^ + £)Ins +。⑴} При s т ОС. Тем самым доказана оценка (17.36). А
Из леммы 17.6 вытекает следующий результат качественного характера.
Предложени
е 17.7. (а) Если сечение 3〔盡(s) ограничено снизу
положитель-
ной величиной'.
3【盡(s) > const > 0,
(17.40)
то сечение ЗЦ($)
не стремится к нулю при s — оо, т. е.
^^(8)> 0.
(17.41)
(б) Если
з］盡(S)т ОО при S Т ОО,
(17.42)
то сечение а^\з)
не ограничено сверху, т. е.
ЕН ^(8)= ОО.
(17.43)
Будем доказывать утверждение (а) методом от противного. Предположим, что a^(s) т 0 при s т ос. Тогда С^ = 0 и, значит, выполнено условие леммы 17.6, так что
7^(-)
理(SMs尸為У〉°-(17.44)
Отсюда и из неравенства (17.33а) следует
С(-)> 叵 3『(s)〉0.
Полученное противоречие завершает доказательство от противного. Утверждение (б) доказывается тем же методом. А
Дальнейшие результаты опираются на классическую теорему Фрагмена-Линделёфа из теории функций комплексной переменной.
Теорема 17.8 (Фрагмена-Линделёфа). (а) Пусть область О и С представляет собой верхнюю полуплоскость Im г > 0, из которой, возможно, удалено некоторое ограниченное множество. Пусть /(?) — аналитическая функция 6 D, непрерывная 6 замыкании D, причем\f(z)\ < a^z^ при х е D(17.45)
и
|/(г)| W А при г 6 2D,(17.46)
где а, а, А — некоторые положительные числа 〃 @ < 1. Тогда
|/(г)| W А при z Е D.(17.47)
(б) Предположим дополнительно, что существуют пределы
上以/(/) = /(±ос);(17.48)
тогда они совпадают:
〃±х)三/(g);(17.49)
кроме того,
/⑶ т /(ос) при z Е D, |г| т ос.(17.50)
Доказательство имеется в [Т4], пп. 5.6.1 и 5.6.4. Эта теорема будет применяться нами к полиномиально ограниченным функциям /(г) в D, для которых условие (17.45) заведомо выполнено.
Упражнение 17.3. Пусть функция /(г) аналитична в области D = {z Е С: Im г > 0, |г|〉1}, непрерывна и полиномиально ограничена в ее замыкании и
lim |/(ж)| = А.
Доказать, что тогдаДоказать, что тогдаlim |/(г)| = 4— zEDlim |/(г)| = 4— zED
Доказать, что тогда
Доказать, что тогда
lim |/(г)| = 4
— zED
lim |/(г)| = 4
— zED
(Указание: при любом е〉0 существует достаточно большее а > 0 такое, что \z{z + ш)-1 х х /(г)| < А + £ при всех г G 3D. Далее, воспользоваться частью (а) теоремы 17.8.)
Лемма 17.9. Имеет место следующее соотношение-.
Ito向”)-也%))2, "/( STOCIto向”)-也%))2, "/( STOC(17.51)(17.51)
Ito向”)-也%))2, "/( STOC
Ito向”)-也%))2, "/( STOC
(17.51)
(17.51)
хотя 6乩 при одном из двух значений символа (士) в левой части неравенства. < Ход доказательства таков же, как в лемме 17.6. Положим
Ь =理同書⑶一总;)(s)1;
при b = 0 неравенство (17.51) тривиально, поэтому мы будем считать, что 0 < 5 < ос. Тогда при достаточно больших s функция a^(s) — 3；^ (s) (будучи непрерывной) знакопостоянна; для определенности мы считаем, что она положительна. Значит, для любого 6’ из интервала 0 < bf < b существует достаточно большое si такое, что
(17.52)(17.52)As(s) - Au(s) > sbr при s'》Si.
(17.52)
(17.52)
Пусть o(s) — произвольная фиксированная неотрицательная четная функция из 夕(К) с интегралом 1 и пусть В есть наибольшая из двух величин
lim |(slns)-1(v(s) * s~2T^\s, 0))|.
Мы покажем, что,,
В > тг-1^.(17.53)
Очевидно, этого достаточно для доказательства леммы. Случай 石=ос тривиален, поэтому мы считаем В < ос. Введем в рассмотрение функцию
№) = (2卜)Т Г (⑺о)+(，тУ；2о)“}…
Очевидно, она аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость Im s〉0, полиномиально ограничена и непрерывна при Im s > 0, |s| > 1. Аргументация в доказательстве леммы 17.6 показывает, что разность между /(s) и (slns)-1{v(s) * (s-2T^+\s, 0))} стремится к нулю при s т 8. Точно так же разность между /(2тп； + 2т^ — s) = /(〃) и (slns)-1{v(s) * (s~2t(-)(s, 0))} стремится к нулю при s т ос. Из определения величины В
舸 e//(s)|舸 e//(s)|=В,=В,теперь следует
舸 e//(s)|
舸 e//(s)|
=В,
=В,
поэтому в силу упражнения 17.3
lim|s|^oo, Im s〉0lim|s|^oo, Im s〉01Ж11Ж1=в.=в.(17.55)(17.55)
lim
|s|^oo, Im s〉0
lim
|s|^oo, Im s〉0
1Ж1
1Ж1
=в.
=в.
(17.55)
(17.55)
С другой стороны, из (17.54), очевидно, следует
С小?-(Т1пТ)j u(s) { J Q)器:二)+(5，)¥\，)) ds'}曲=
при всех г > 0, что вместе с (17.52) влечет
lim |/(гт)| > тг-1^.
Отсюда и из (17.55) следует доказываемое неравенство (17.53). А
Из леммы 17.9 с очевидностью вытекает следующий результат типа теоремы Померанчука.
Предложение 17.10. Если 7(土)I оО(17.56)
для обоих значений символа (士)，то
^I^M-^^)1=0.(17.57)
Если дополнительно предположить существование {конечного или бесконечного) Предела同志)⑶ I，(17.58)
то этот предел равен нулю.
Неравенство (17.33а) позволяет заменить условие (17.56) соответствующим условием в терминах упругих сечений 3；^)(s); таким образом, полу чаем несколько иной вариант утверждения.
Следствие 17.11. Если оба упругих сечения 丿(s) стремятся к нулю при s — оо, то имеет место равенство (17.57); в частности, если дополнительно существует (конечный или бесконечный) предел (17.58), то он равен нулю.
Инклюзивные процессы
А. Физические характеристики инклюзивных процессов. С ростом энергии столкновения пары элементарных частиц более заметную роль играют процессы рождения частиц . . .
Число возможных каналов резко возрастает, поэтому теоретическое и экспериментальное исследование каждого отдельного канала становится все более громоздкой задачей. В связи с этим представляет интерес изучение реакций, в которых в конечном состоянии детектируется одна или несколько частиц определенного типа, например, . . ас、
г ' 唱+"2 一々 + ...,
Xj + Х2 -> ”3 + Х4 + ... (17.61)
и т. п., где многоточие означает любой допустимый комплекс частиц. Совокупность всех реакций (17.59) с фиксированным подкомплексом детектируемых частиц в комплексе {хз, ..., хп} выходящих частиц называется инклюзивным процессом (в то время как фиксированный многочастичный канал (17.59) называется эксклюзивным процессом). Инклюзивные процессы более просты для теоретического и экспериментального анализа, давая в то же время содержательную информацию о взаимодействии частиц.
Уже первые экспериментальные исследования инклюзивных процессов, выполненные в 1968 г. на Серпуховском ускорителе (Бушнин и др., 1969), привели к открытию нового явления масштабной инвариантности сечений, которое заключается в том, что относительные поперечные сечения образования адронов при высоких энергиях являются универсальными функциями приведенного импульса k(s)/kmax(s), практически не зависящими от энергии сталкивающихся частиц. Примерно в то же время в Стенфорде на SLAC были выполнены эксперименты по глубоконеупругому рассеянию электронов на протонах; соответствующие сечения глубоконеупругих процессов также обнаружили масштабно-инвариантное поведение структурных функций (Блум и др., 1969; Брейденбах и др., 1969; теоретический анализ был дан Бьеркеном, 1969). Дальнейшее изучение других инклюзивных процессов привело к открытию целого ряда закономерностей и, в частности, выявило универсальный характер масштабной инвариантности.
В этом параграфе мы вкратце рассмотрим некоторые применения развитого выше аппарата к инклюзивным процессам. Основными величинами, характеризующими как инклюзивные, так и эксклюзивные процессы, являются сечения. Через 〃(1), 〃(『)мы обозначим возможные различные типы рождающихся частиц при столкновении частиц xi и 〃2・ Тогда произвольный эксклюзивный процесс
+ 〃2 T №〃⑴ + + Nr^ = Nx (17.62) можно отождествить с мультииндексом N = (Ni, Nj где Ni, Nr е Z+; при этом ,
I N| = Ni + ... + Nr
есть полное число частиц в конечном состоянии. Для краткости процесс (17.62) будет записываться также в виде 〃i〃2 — № если нет запретов по квантовым числам, то он открывается при
Sphys,2=(加1+加2)V(17.63)
где т⑺—масса частицы типа 〃(。). Элемент объема импульсного пространства выходящих частиц обозначим посредством
d^N = 口 П {dppj)m(P),(17.64)
0=1 J=i
где ppj — импульс J-й частицы в 0-й группе частиц типа 〃(°).
В соответствии с формулами (7.175) дифференциальное и полное сечения эксклюзивного процесса (17.62) имеют вид
/г Nr \
曰=4ТЙ)(2"方卜 +2 ? ^PP^\4PN I 以 Pi)|2，(17.65)
0死 1死2T2（S）=丽］0死 1死2T2（S）=丽］d三nd三n(17.66)(17.66)
0死 1死2T2（S）=丽］
0死 1死2T2（S）=丽］
d三n
d三n
(17.66)
(17.66)
Определим также дифференциальное сечение относительно импульсов некоторого подкомплекса выходящих частиц. При К，N можно представить (17.64) в виде
(17.67а)(17.67а)d^ = d^K 0 d^N—K；
(17.67а)
(17.67а)
тогда положим по определению
“C>q 〃2 ~>N1“C>q 〃2 ~>N1“C>q 〃2 ~>Nd三n“C>q 〃2 ~>Nd三n(17.676)(17.676)
“C>q 〃2 ~>N1
“C>q 〃2 ~>N1
“C>q 〃2 ~>Nd三n
“C>q 〃2 ~>Nd三n
(17.676)
(17.676)
Дифференциальные сечения симметричны по импульсам частиц одного типа, поэтому их удобно задавать производящим функционалом )
7( г Nr\
G({A}; 01, 02)= £ 青［个1 П П 心)以 d^N (17.68)
где h = {九(°)} — совокупность функций 九⑺(目)на「^⑺(например, класса 0MlМ) по р); при этом
厶％〃2-2 = 5陶6= b^G
0 一可心。=口口加(。)(0外)仁
p 7
В этих обозначениях инклюзивный процесс
(17.69)(17.69)Xj + Х2 -> К>С + …
(17.69)
(17.69)
(или просто 〃i〃2 т К...) есть совокупность эксклюзивных процессов 〃i〃2 т М где N ^ К (это означает, что Np > Кр при всех р = 1, , г);唱，g, К фиксированы. В записи (17.69) все продукты реакции разделяются на «детектируемые» частицы и «все остальное» (в зависимости от числа детектируемых частиц мы будем называть
инклюзивные процессы «одночастичными», «двухчастичными» и т. д.). Дифференциальное и полное инклюзивные сечения определяются следующим образом:
N^K
K!(N—К)! 8…f
(17.70)
° Ml М2 ^K...
_ 1
一m
(17.71а)
°'死1死2 一
-k…=
二,/ 0 Ml 处2 一m
(17.716)
N^K
Таким образом, полное инклюзивное сечение — это часть полного сечения взаимодействия частиц Xi, Х2, равная сумме полных сечений эксклюзивных процессов (17.62), содержащих фиксированный подкомплекс Ки «детектируемых» частиц. В частности, полное сечение взаимодействия частиц xi и Х2 соответствует случаю К = 0 (когда нас интересует только факт взаимодействия сталкивающихся частиц с любым нетривиальным исходом):
=0死1死2—…=): 0死1死2一m(17.72)
Отношения3
wg =嘗(17.73)
w(N\K...) = 丁 2T(17.74)
дают вероятности конкретного эксклюзивного канала xi^2 7V в «О-частичном» инклюзивном процессе 〃i〃2 — ••• и соответственно в «|1Г|-частичном» инклюзивном процессе 〃i〃2 — К Мы условимся под 〈/(AQ) понимать среднее, вычисленное с помощью вероятностей (17.73):
Ц 工 КМ …(17.75)
N
В частности, величина (Np) есть средняя множественность частиц типа 〃(°) в инклюзивном процессе / + 农—...
Согласно следующему упражнению совокупность всех инклюзивных сечений содержит ту же информацию, что и совокупность всех эксклюзивных сечений.
Упражнение 17.4. Вывести выражение для эксклюзивных сечений в терминах инклюзивных:
农—>nd己n农—>nd己n£(-1严fOWK—№1£(-1严fOWK—№1M(K -AQ!如〃也"M(K -AQ!如〃也"三工OWK—№1三工OWK—№1（一1产川N!（一1产川N!/ de—>к J d^K/ de—>к J d^K(17.76)(17.76)
农—>n
d己n
农—>n
d己n
£(-1严f
OWK—№1
£(-1严f
OWK—№1
M(K -AQ!如〃也"
M(K -AQ!如〃也"
三工
OWK—№1
三工
OWK—№1
（一1产川N!
（一1产川N!
/ de—>к J d^K
/ de—>к J d^K
(17.76)
(17.76)
(где 0 = (0,, 0), 1 = (1,, 1)). ^Указание: правая часть доказываемого равенст
ва (17.76) с использованием определения (17.70) записывается в виде
11Л1>0 0w"lЛ1>0 0w"l(7V+41 + L)!(7V+41 + L)!d ^N+M+Ld ^N+M+L
1
1
Л1>0 0w"l
Л1>0 0w"l
(7V+41 + L)!
(7V+41 + L)!
d ^N+M+L
d ^N+M+L
Это выражение совпадает с левой частью в (17.76), так как здесь в сумме по Af и £ остается только одно слагаемое с Af = 0, £ = 0. То, что остальные слагаемые на дают вклада, видно из простого примера числовой последовательности ап:
ОО 1сюоо
m=0 Z=0m=0m=0
В рассматриваемом случае справедливо аналогичное тождество с мультииндексами Af, L вместо индексов т, Г.
工 工 ^-^Цам+ь =
В то время как полные инклюзивные сечения имеют простой смысл (в соответствии с формулой (17.716)), дифференциальные инклюзивные сечения (17.70) являются отчасти искусственными величинами ), так что в их терминах довольно сложно учитывать законы сохранения аддитивных физических величин (например зарядов, импульсов). Поэтому в феноменологии более употребительно родственное понятие дифференциального инклюзивного спектра (называемого иначе функцией распределения инклюзивного процесса), равного сумме относительных дифференциальных сечений соответствующих эксклюзивных процессов:
dT%］戈2—>К... — \、def”］”?>N77、
N^K
Полный инклюзивный спектр есть
= G I ^^- Нк；(17.78а)
丁死1死2一K…=((N_*)! k!)0历卜(17.786)
Упражнение 17.5. (а) Пусть Q^ — электрический заряд) частицы типа 〃(°)(р = =1, ..., г). Доказать «правило сумм» по заряду для инклюзивных процессов
Qi + «2 = V Q3〈N。〉= V(17.79)
(б) Доказать следующие «правила сумм» по импульсу для инклюзивных процессов:
(讨+泣)atot = f ［喏而勺农〜(叽.，(17.80)
(讲+0?)(讲+或)=£ ｛］時若dT…+2］党若+
+ 工［P^) P% "7〃1〃2一〃(。1(").」(17.81)
Совокупность всех инклюзивных спектров заключает в себе ту же информацию, что и совокупность всех инклюзивных (или всех эксклюзивных) сечений. Действительно, в терминах производящего функционала (17.68) связь между инклюзивными спектрами и эксклюзивными сечениями может быть записана в виде соотношений
"7勺-^K"7勺-^Kb岡b岡(17.82)(17.82)
"7勺-^K
"7勺-^K
b岡
b岡
(17.82)
(17.82)
откудаоткудаG{A} = 12 m I [пп (小“仇厂1)而〜农一к...,(17.83)
откуда
откуда
сечений по угловым пе-амплитуда эксклюзивногосечений по угловым пе-амплитуда эксклюзивного0 二 (K-N)! J F^&=К—№(17.84)
сечений по угловым пе-
амплитуда эксклюзивного
сечений по угловым пе-
амплитуда эксклюзивного
Б. Аналитические свойства дифференциальных ременным. С помощью формулы редукции (13.103) процесса 唱发 т N может быть записана в виде
/г Nr、
-^1)(Р2 -Ч) х-^1)(Р2 -Ч) х(27Г)4《夕1 + 夕2 —ЕЕPpj]夕(次I夕1，02)=躡13)躡2仇)
-^1)(Р2 -Ч) х
-^1)(Р2 -Ч) х
\0=1 J=1丿
Х(°|(Й П4(02(-?2)； ^1(-Р1)) 0》(17.85)
В системе центра масс векторы pi и 夕2 на массовой оболочке определяются длиной k(s) их трехмерных частей и вектором л =几 12 на сфере S? (см. (7.185)-(7.187)). На основании представления ИЛД для опережающего коммутатора мы тем же методом, что и в п. 15.1.В, получаем, что выражение в фигурных скобках в (17.85) аналитически продолжается по л в область
{пеС$2： |Ren| V/i2(s)} (17.86)
на комплексной сфере CS?, где 力i2(s) определяется посредством (15.4). Так как эта область инвариантна относительно комплексного сопряжения 几—几，то таким же свойством обладает и дифференциальное сечение процесса (17.62).
В результате мы заключаем, что дифференциальное сечение da^^2^^/d^^ произвольного эксклюзивного процесса аналитично по л в комплексной области (17.86). Зафиксируем некоторую частицу 死3 в конечном состоянии и обозначим через 2 = cosJ косинус угла между импульсами частиц xi, хз в системе центра масс. Для записи дифференциального сечения относительно cosJ, определяемого формулой
N6 -cose)青 (17.87)
сначала проинтегрируем N^3 青 do覚、覚2TnId^N по всем импульсам выходящих частиц, кроме фиксированной. Получим некоторую 0(3)-инвариантную функцию Д(р3л; s), зависящую от векторов р3 и л через скалярное произведение. Дальнейшее явное интегрирование по угловым переменным в интеграле
[8 (自"-c°s(9)从p3几；s)(d23)д
приводит к интегралу
［以|Рз&〃； S)|p312dlpз|
J(2тгУ2 洒
В результате для (17.87) получаем представление с фиксированным направлением вектора 网 вдоль орта ез：
凡= 5&,(17.88)
а именно,
Е I九他(17.89)
где
认心(2斤方U-EE端)8 (才玄pj ^^ If(g)i
\0=1 片1 /J = 1/ 1р3 = |Рз1 e3
(17.90)
(под знаком 口‘ стоят элементы объема импульсного пространства всех конечных частиц, кроме выделенной 々).Согласно сказанному выше (относительное) дифференциальное сечение (17.89) аналитично по л в области (17.89). С другой стороны, оно зависит от л только через п3 = cos0. Отсюда следует (см. соответствующую аргументацию при выводе теоремы 15.1), что величина (17.89) аналитична по переменной 2 в малом эллипсе Лемана
(17.91)(17.91)〔2 + 1| +〔2 — 1| V 2力 12(S)・
(17.91)
(17.91)
Таким же свойством аналитичности обладают инклюзивные (относительные дифференциальные) сечения
…"C0S°) Q $
и инклюзивные спектры
朱* = 小(屐-cosJ)击％* 0(17.93)
(поскольку все эти величины являются линейными комбинациями величин типа (17.89)).
Для дальнейшего расширения области аналитичности воспользуемся унитарностью 5-матрицы, из которой следует (в системе центра масс):
21mT(s, z)\z=nn/ = £ 靑］7(夕“ I s,球)T(pn I s,几)八及(17.94)
гдегдеN
где
где
/『 Nr、/ r Nr、
Zn= (2"8 &-EEPpjH EE Pp'd三 №(17.95)
\0=1 J=i/ \ 0=1 J=i/
T〈Pn 丨 s,几)三 T(pN I 夕2, Pi)|P1+p2=o.(17.96)
Подставляя сюда разложение амплитуды в ряд по сферическим функциям (где N = Мп определяется посредством (К.4))
Т(次 I S, п) = 4兀£ дЖП Tim(PN； s) УГ5) (17.97)
и учитывая тождество (К. 10) в разложении (К. 15), получаем
I
21m 力(s)=Е^Е 1\Tlm(PN； s)12 dAs,м(17.98)
Nm= — l
при этом использовано следствие однозначности разложения по функциям У^1'^) х х Y1m(п) как всей суммы по 7V в (17.94), так и любого отдельного слагаемого этой суммы:
I
](^2/+ 1) • Т〃7nl (夕№ s) Т[т2(РМ，s) "As,n = 8〃/87nlm2〉: ] |T27n(夕tv； s) 12 dAs,M
отсюда следуют неравенства
£ \\Tim{pN\ s)|2dAs^<27V!Im/z(s).(17.99a)
m= — l
Заметим, что £ \Tim(pN; s)『есть О+(3)-инвариантная функция от импульсов, т= — 1
поэтому интеграл в (17.99а) можно заменить соответствующим интегралом в системе (17.88); в результате получим (ср. с переходом от (17.87) к (17.89)). В результате получим/
I 弍 \Т1тЫ s)\22dXs,N^2N\ Im f^s).(17.996)
Отсюда и из оценки (К.58) вытекает следующий результат.
Предложение 17.12. При s〉so {где so выбрано, как в следствии К.6) амплитуда T{pN | pi,夕2) процесса (17.62) в системе центра масс есть аналитическая функция вектора л = рх/\р{ | е области
{п 6 OS?： |Ren| < g(s)}(17.100)
на комплексной сфере Cs? (где g(s) определяется посредством (К.56)).
< Каждое слагаемое ряда (17.97) аналитично по л на CS? (фактически Y^^n) есть полином по л, суженный на CS2). Кроме того, имеет место оценка
工 WW|2< ^^(iRenl + IImnlf при n е CS2. (17.101)
Упражнение 17.6. Доказать неравенство (17.101). ^Указание: воспользоваться
тождеством (К. 10) с учетом свойства сопряжения Y^^n)=匕一小(否)и оценкой (К.24), где ch* = \п^ = |Re л|2 + |1ш л|2 = 2|Re л|2, ch ^ = |Re л|, exp ^ = |Re〃| + |Im〃|)
Для произвольной неотрицательной функции o(s) из 夕((so, ос)) с носителем на достаточно малом отрезке [si, S2] мы определим полунорму ||尸||。на функциях от переменных pn，s：
I尸^ = I W@M s)\2 dASjNv{s) ds.
Тогда члены ряда (17.97) оцениваются следующим образом:
工，市T ||小(次；5)|m匕7叫w(醤厂£ H+l) [ Im/z(S)^)d1/2(IRenI + IImnI)z.
Из оценки (К.58) выражение в квадратных скобках оценивается сверху выражением 4，2/ + 1 ехр (2/02), где ch2^2 = У($2) (см. (К.57)), Av не зависит от I, г сколь угодно близко к д? (т < 从2). Если |Reп\ < ch仇=g(si) (см. (К.56)), то п принадлежит пересечению всех областей (17.100) при всех s 6 supp v. Пусть b〉仇一仇 выбрано так, что b т 0 при $2 т si. Тогда достаточно убедиться, что рассматриваемый ряд по I сходится при |Reп\ < < ch (仇—2b). Имеем: |Re п\ + |Im п\ < ехр (仇—2b) < exp (^2 — b), так что ряд сходится. Из оценки (К.58), очевидно, следует, что этот ряд сходится, если л принадлежит пересечению областей (17.100) при всех s G supp о. А
Для дифференциальных сечений имеем аналогичный результат.
Предложение 17.13. При s〉so относительное дифференциальное сечение da^^^N/dcos 0 процесса (17.62), а также инклюзивные относительные дифференциальные сечения и спектры
dcos 0' dcos О
аналитичны по переменной z = cos 0 (где 夕—угол между импульсами частиц 唱，〃з 6 системе центра масс) в малом эллипсе Мартена
|2+1| + |2—1| <2g(s).(17.102)
< Как уже отмечалось, d(j^^^^/dcos0 зависит от п только через cos。，поэтому достаточно доказать, что оно аналитически продолжается по л в область (17.100). Для этого подставим (17.97) в (17.89):
= 4 з £ £，赤^х
dcos。 M3(s)乙乙 v v 'l,m
x j Tv^{pN- s)Tlm(pN-, s)审SyT⑺ gw(".ЮЗ)
и воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца:
，2Z+ 1，2Z+ 1w 工，2/+1 \Tlm{pN\ S^dXs^< ± 工⑵ + DQRe川 + |Im〃|)“w 工，2/+1 \Tlm{pN\ S^dXs^< ± 工⑵ + DQRe川 + |Im〃|)“\ 2 - 『'SU\ 2 - 『'SU2w2w9\l/2\Tlm(P^\ S)I d入s,n]9\l/2\Tlm(P^\ S)I d入s,n]2.(17.104)2.(17.104)工工\/2〃 + 1 v^m ] |T〃W(0M S)| • |Un(@M S)| • X”⑺I -\Yr(n)\dXSjN w г /、l/2-i2
，2Z+ 1
，2Z+ 1
w 工，2/+1 \Tlm{pN\ S^dXs^
< ± 工⑵ + DQRe川 + |Im〃|)“
w 工，2/+1 \Tlm{pN\ S^dXs^
< ± 工⑵ + DQRe川 + |Im〃|)“
\ 2 - 『'SU
\ 2 - 『'SU
2
w
2
w
9\l/2
\Tlm(P^\ S)I d入s,n]
9\l/2
\Tlm(P^\ S)I d入s,n]
2
.(17.104)
2
.(17.104)
Из соотношения (17.996) и оценки (К.58) теперь следует, что ряды в (17.103) [после интегрирования по s с произвольной неотрицательной функцией o(s) 6 夕((so, ос))] сходятся, если п принадлежит областям (17.100) при всех s G supp о. А
В. Асимптотические оценки. Из аналитичности амплитуды по л вытекает, что в разложении (17.97) при больших s фактически основной вклад дают слагаемые с j < Zeff(5)(W а д/s 1ns). Как и в п. 17.1.А, мы используем это соображение для асимптотических оценок сверху эксклюзивных и инклюзивных дифференциальных сечений в физической области при s — оо.
Предложение 17.14. Если эксклюзивные и инклюзивные сечения cr〃i〃2TM о〃1〃2тк…^меют оценку снизу вида
42 Н. Н. Боголюбов и др.
(〃p〃 некоторых положительных b, k, s/ то при любом из двух значений 8 = 0 или 5 = 1 имеют место соотношения
“С”1 ”2~》N dcos。
dcos。
-*K dcos。
W constm s N/2^^-M(17.107)
ms • sinU)
W const. —6/2 0死1死2一衣…，(17.108)
In s • smd丿
w constsln 3/2 点^一K...,(17.109)
In s • sin U)
0死1死2—2(5)^ bs £0死1死2—2(5)^ bs £где s》si, где s》siгде s》si, где s》si(17.105)(17.106)(17.105)(17.106)
0死1死2—2(5)^ bs £
0死1死2—2(5)^ bs £
где s》si, где s》si
где s》si, где s》si
(17.105)
(17.106)
(17.105)
(17.106)
< Эти соотношения доказываются одинаковым методом, поэтому для определенности мы ограничимся доказательством (17.108). Воспользуемся соотношениями (17.103), (17.104):
s+^/22
Для доказательства неравенства (17.108) при b = 1 заметим, что левая часть равенства (17.103) зависит от п только через cos。，т. е. только через проекцию вектора п на 鱼 (в системе (17.88)). Поэтому равенство не нарушится, если в правой части (17.103) заменить п на Rn, где R — элемент группы。十(2) вращений в плоскости, ортогональной ез, и усреднить по А. В результате в (17.103) остаются только слагаемые с mf = т. При мажорировании членов полученного ряда используется неравенство
咁(17.113)
которое вытекает из формулы (К. 10) и неравенства (17.13):
27r
|匕小(〃)|2 = 2； *，］ P/(cos2 0 + sin2 0 cos 9?)<
о
W , 6 2? 1 I (1 - (cos26> + sin26>|cos^|)2)-1/4^ < о
о здесь
J (1 — I coss|)T/4ds W 4 J&夕=4тг.
оо
Последующее применение неравенства Коши-Буняковского-Шварца приводит к соотношению
аналогичному (17.110). Далее те же соображения, что и в случае 5 = 0, приводят к неравенству (17.108) при Ь = 1. А
Полученные оценки носят общий характер и не зависят от каких-либо модельных предположений. В частности, границы типа
W const Ю 弓需(17.114)
для инклюзивных спектров (вытекающие из (17.109) и границы Фруассара (17.3)) представляют интерес для феноменологии как указание, до какой степени может нарушаться масштабная инвариантность инклюзивных спектров без противоречия с общими принципами.
Библиографические указания
Глава 1. Для дальнейшего ознакомления с линейными нормированными пространствами (§ 1.1) и их применениями см. монографии [К2, Д1]. Наиболее обстоятельно теория ЛВП (§ 1.2) изложена в книге [Ш5]; по поводу пространств Фреше (§ 1.3) см. [ИЗ, Р2, т. 1, Р4]. Оригинально представлена теория счетно-нормированных пространств в [Г4, Г5]. О неограниченных операторах в гильбертовом пространстве и о спектральной теории (§ 1.4) см. [Аб, Р2]. Математическими руководствами по теории алгебр С* и фон Неймана (§ 1.5) являются монографии [ДЗ, Д4, Н2] (см. также [Р2, РЗ, С2, ЭЗ, Б12]). Общим банаховым алгебрам (особенно с инволюцией) мы не уделили должного внимания (они естественно появляются в квантовой теории с индефинитной метрикой); обстоятельное изложение их имеется в книгах [РЗ, Н2]. По вопросам классификации алгебр фон Неймана см. Араки и Вудс (1968), Араки и др. (1971), Араки (1975), Конн (1973, 1976). Среди тем, примыкающих к содержанию этой главы (а также гл. 8, 10), заслуживают внимания топологические (небанаховы) *-ал- гебры (Васильев, 1970; Пауэрс, 1971, 1974; Ласснер, 1972; Ласснер и Тиммерман, 1972); со специальной алгеброй Борхерса (Борхерс, 1961, 1972; Ингвасон, 1973) мы встретимся в гл. 8.
Глава 2. Систематическое изложение теории обобщенных функций имеется в монографиях Шварца [Ш2], Гельфанда и др. [ГЗ, Г4] и Владимирова [В10]. Обобщенные функции как линейные функционалы над гладкими (финитными) функциями впервые ввел Соболев (1936). Шварц (1945) (см. также [Ш2]), развивая идеи Соболева и привлекая общую теорию топологических векторных пространств, создал современную теорию распределений и обобщенных функций как линейных функционалов над пространствами 夕 н 乡.Эквивалентное определение обобщенных функций из 夕‘ как функционалов над классами £(@, q; т) использовано Боголюбовым (см., например, [Б.8] §§ 18, 19). Подход к обобщенным функциям как к классам фундаментальных последовательностей (п. 2.1.Б) развивался Микусинс- ким [М10]. Баргман (1967) нашел интересный изоморфизм между пространством обобщенных функций 乡/ и некоторым пространствам целых аналитических функций. Замечание о невозможности естественно определить произведение двух произвольных обобщенных функций (п. 2.3.А) принадлежит Шварцу (1954); ему же ([Ш2]) принадлежат понятия мультипликатора (п. 2.3.А), свертывателя (п. 2.5.В), обобщенной функции интегрируемого типа (п. 2.5.Г) (названной им распределением класса 夕 JJ. Проблема деления на полином (п. 2.3.Б) в случае обобщенных функций одной переменной решена Шварцем [Ш2], а для нескольких переменных Мальгранжем (1953), Эренпрайсом (1954) и Хермандером (1958). Теорема о ядре(П.2.4.А) для пространств 夕 н 乡 доказана Шварцем (1952а). Шварц (1953/54) ввел также понятие ядерного отображения. Общее определение ядерных пространств дано Гротендиком (1955). Доступное изложение этих вопросов имеется в книге [Г5], а также в [Р2] (дополнение к § V.3). В разделе о свертке (п. 2.5.Д) мы многое почерпнули (помимо [Ш2]) из книги [В10], хотя пользовались несколько иным определением свертки. Другое изложение умножения обобщенных функций, отличное от п. 2.6.В, читатель найдет в [Р2] (§ IX.10). Относительно умножения причинных функций в квантовой теории поля см. Боголюбов и Парасюк (1957), Хепп (19666), Спир [С6]. Векторные и операторные обобщенные функции (§ 2.7) были введены Уайтманом и Гордингом (1952 г., опубликовано в 1965); см. также Шварц (1957, 1959) и [С8], § 3.1. Гельфанд и Костюченко (1955) развили подход к обобщенным собственным векторам (отличный от изложенного в п. 2.7.В), который основывается на понятии оснащенного гильбертова пространства (см. также [Г5]). Существование полной системы обобщенных собственных функций можно формулировать и в терминах пары гильбертовых пространств (см. Березанский, 1959; Кац, I960). Различным применениям теории оснащенных гильбертовых пространств в квантовой теории посвящены работы Бёма (см. его лекцию (1967) и ссылки в ней на более ранние работы), Гроссмана (1965, 1966, 1967) Антуана (1969).
Дополнение А. В связи с п. А.2 книгу [М3], гл.1. Понятие регулярного множества (хотя и не тождественное использованному нами) восходит к Уитни (1934); см. также [В9], пп. 3.5, 3.8, где приведено утверждение, аналогичное следствию А.2.
Дополнение Б. Классическая теория преобразования Лапласа изложена в монографии [Вб]. Излагаемый здесь подход к преобразованию Лапласа предложен Шварцем (19526) и Лионом (1952/53), которым принадлежат результаты п. Б.1. Результаты пп. Б.2-Б.4 получены Владимировым (1968; 19736; [В9], § 26) и Бросом и др. (1967); см. также [С8], § 2.3 и лекции Эпштейна (1966), § 2.4. Для функций, аналитичных в трубчатых областях и имеющих менее чем экспоненциальный рост (в частности, для преобразования Лапласа обобщенных функций с носителями в остром конусе), Владимировым (1969а, 1972) получено интегральное представление типа Коши-Бохнера. Способ регуляризации (или «вычитанный») в дисперсионных соотношениях в п. Б.5 излагается впервые. В п. Б.6 приведен результат Остервальдера и Шрадера (1973; см. также Остервальдер, 1973а). По поводу обращения преобразования Лапласа см. также работу Зиновьева (1979).
Дополнение В. При построении ООФ от одной вещественной переменной (п. В.2) методом «аналитической регуляризации» (восходящим к Риссу, 1949) мы следовали книге [ГЗ], (которая вообще может служить справочником по ООФ). ООФ от комплексных переменных рассматриваются в добавлении в [Гб]. Для приложений к квантовой теории поля представляют интерес ООФ и присоединенные ООФ, связанные с квадратичными формами ([ГЗ], § III.2).
Глава 3. О конечномерных представлениях группы вращений и группы Лоренца (§ 3.1) см. [Вб, В7, Г2, Hl, С8], а также Баргман (1962). О представлениях класса 1 (в пространстве симметричных тензоров) групп вращений 5О(п) см. [В7], Баргман и Тодоров (1977). Детальная трактовка гомоморфизма 力]т SL(2,。) имеется у Макферлена (1962). Общий вид лоренц-инвариантных обобщенных функций одного 4-вектора (§3.2) был найден Мете (1954) (см. также 1955, 1957); краткое изложение имеется у Гординга и Лиона (1959). В п. 3.3.Б мы следовали дополнению С в статье Оксака и Тодорова (1969). Лемма 3.9, а также общий вид вращательно-инвариантной обобщенной функции одного вектора (пример 1 из п. 3.4.1) предложены Шварцем (1954/55). Доказательство предложений 3.10-3.14 см. в статье Оксака (1976). Хеппом (19646) был получен пример 2 из п. 3.4.1, а также обоснован (для скалярного случая) метод перехода к системе покоя переменного вектора из V+ (и. 3.4.В).
Дополнение Г. Фундаментальным руководством по теории непрерывных групп является книга Понтрягина [П1]. Содержательно и свежо (в первоначальном варианте — в виде лекций) написана книга Желобенко [Ж1]; очень удачен меньший по объему обзор Гюрсея (1964). Из общих руководств, специально адресованных физикам, можно рекомендовать [Вб, Л4, XI], Мишель (1970), [Б2, Э1]. Полупростым алгебрам Ли посвящена книга [Г9]; здесь (§ 3.5) можно найти доказательство теоремы Г.1 (Картана-Леви-Мальцева). Доказательство теорем Ли (п. Г.5) см. в [П1], а также в упомянутом обзоре Гюрсея. Обстоятельные монографии [Г2, Н1] посвящены представлениям группы вращений и группы Лоренца. По бесконечномерным представлениям группы Ли имеется ряд монографий справочного типа: [ЖЗ, К.8, К.9]; см. также [В7, Ж2], Наймарк (1964). Применению компактных групп к описанию симметрии элементарных частиц посвящена книга [НЗ] (элементарное изложение этих приложений см. в лекциях Боголюбова, 1967). Эти группы сохраняют свое значение и для современной систематизации элементарных частиц и их взаимодействий (см., например, обзоры Лангакера, 1981, Сланского; 1981). Коприсоединенное представление (п. 7.Г) нашло интересные применения (Кириллов, 1962; [К.8], § 15) в теории представлений, а также в квантовой теории (в так называемом подходе геометрического квантования, инициатором которого был Сигал, 1960; см. также Сурьё, 1966; Костант, 1966, 1970. [Bl 1]).
Глава 4. Рассматриваемое здесь интегральное представление было первоначально предложено Йостом и Леманом (1957) для «симметричного случая» (п. 4.3.В); общий случай был рассмотрен Дайсоном (19586). В нашем изложении мы следовали подходу Дайсона с учетом аргументации Уайтмана (19606); в п. 4.2.В использовался § 31 из [В9]. Простой вывод «симметричного» представления ИЛД см. в статье Владимирова и Завьялова (1980).
Имеются и другие выводы представления ИЛД, частично или полностью основанные на теории аналитических функций нескольких комплексных переменных ([В9], § 32; Брос и др., 1966). В статье Владимирова и Жаринова (1970) представление типа ИЛД обобщается на случай, когда вместо световых конусов V士 взяты конусы ±。，где 。— произвольный острый конус в Rn. На этом пути удается обосновать представление типа Наканиши (1961) для амплитуды релятивистского двухчастичного рассеяния в приближении плоских диаграмм (Жаринов, 1971). Обобщения представления ИЛД для классов распределений, более широких, чем шварцево пространство 乡'(/?九)，имеются в работах Джаффе (1966, 1967), Лазура и Химича (1977а), Завьялова Б. И. (1981). Другое обобщение представления ИЛД имеется у Сенеора (1969). Представление ИЛД было предложено как эффективное средство получения аналитических свойств амплитуды рассеяния (см. об этом в части V). Дальнейшие применения оно нашло в работе Боголюбова и др. (1972) для анализа автомодельного поведения структурных функций глубоконеупругого рассеяния электрона на протоне из принципов причинности и спектральности (см. также Завьялов Б. И., 1973; Вицорек и др., 1973), а также для анализа сингулярностей коммутаторов полей на световом конусе (см. Завьялов Б. И., 1973, 1974, 1977, Брюнинг и Штихель, 1974; Владимиров и Завьялов, 1979, 1980, 1982). Результат упражнения 4.17 был доказан другим методом Боголюбовым и Владимировым (1958-1959); из представления (4.136) следует, что обобщенные функции 九±(@) преобразуются по конечномерному представлению группы Лоренца (или «конечноковариантны» в терминологии Броса и др., 1967). После перестановки переменных @ н / этот результат имеет квантовополевую интерпретацию: даже без предположения о лоренц-ковариантности полей из аксиом спектральности и локальности в теории Уайтмана следует, что двухточечная функция Уайтмана автоматически «конечноковариантна». Впоследствии этот результат был обобщен на n-точечные функции (Стритер, 1962а; Брос и др., 1967; Боголюбов и Владимиров, 1971). Применение результата к теоретико-полевым моделям см. у Стритера (1972).
Глава 5. Классическим результатам комплексного анализа посвящены систематические изложения Бохнера и Мартина [Б11], Владимирова [В9], Шабата [Ш1]. Монография [В9] для нас интересна своей ориентацией на теорию поля. С другими методами комплексного анализа можно познакомиться в [Г1, У2]. Теорема «об острие клина» (п. 5.1.Г) была получена Боголюбовым (1956); ее полное доказательство впервые появилось в монографии [Б6] (дополнение А, теорема 1). Название теоремы «об острие клина» было предложено Бремерманом и др. (1958); в этой работе также дается доказательство теоремы, хотя и при более сильных предположениях непрерывности для граничных значений. В первоначальном варианте теоремы рассматривался только случай «противоположных конусов» Qi и Q2 = —^1 (при этом область «острия клина» является полной комплексной окрестностью вещественной области совпадения 夕).Эпштейн (I960) распространил теорему на случай «наклонных конусов» Qi и 口2 (когда Ci + 口2 R Rn). В нашем доказательстве мы воспользовались идеей Эпштейна (1966) (которая, как указывает Эпштейн, восходит к Мальгранжу и Цернеру) сведения теоремы 5.12 к лемме 5.11. С другими доказательствами теоремы «об острие клина» можно познакомиться в работах Владимирова (1962; |В9], § 27), в книге ([С8], § 3.5; здесь использованы идеи Дайсона, 1958а, а также Глазера). По поводу дальнейших обобщений см. Браудер (1963), Мартино (1964), Борхерс (1964), Араки (1963в), Кольм и Нагель (1968). Предложение 5.15 является аналогом теоремы Холла и Уайтмана (1957) о лоренц-инва- риантных аналитических функциях в трубе будущего Т^ = Мп + 分(卜十)72; эта теорема была впоследствии обобщена Хеппом (1963в) (у Хеппа вместо нашего «технического» условия (5.35) требуется J-насыщенность области D, что ограничивает применимость предложения). В той же работе Хеппа доказано предложение 5.16 (для более общей ситуации). Характеристика областей голоморфности (п. 5.2.А) принадлежит Картану и Туллену (1932); связь голоморфной выпуклости с псевдовыпуклостью ) (п. 5.2.Б) была установлена Ока (1953) и Бремерманом (19546, 1956). Модифицированный принцип непрерывности (п. 5.2.В) есть несколько иная форма так называемой «сильной теоремы о диске» Бремермана ([В9], п. 17.3), в которой вместо
вещественной аналитичности по параметру деформации t требуется, чтобы деформация по параметру t сводилась к сдвигу «диска» на вектор A(t) b, лежащий на одномерной комплексной прямой. Предложение 5.34 (Бохнера) и 5.36 (Хартогса), а также следствие 5.38 относятся к самым первым результатам об оболочках голоморфности (точнее, о голоморфных расширениях, см. [Б11]; интерпретация в терминах оболочек голоморфности была дана впоследствии; см. [Б11], пп. 21.1, 21.2 — в связи с предложениями 5.34, 5.36; другое доказательство следствия 5.38 приведено у Эпштейна (1966), § 2.3). Предложение 5.35 было доказано Бремерма- ном (1954а). Более полная информация о методах построения оболочек голоморфности имеется в книге [В9] (§§ 21, 27, 33 и др.). В связи с голоморфными расширениями отметим теорему Владимирова (I960; [В9], § 28) о С-выпуклой оболочке (она применяется, в частности, для доказательства результата Владимирова и Петрины, упоминаемого в п. 9.1.Д); аналогичный результат для частного случая световых конусов — теорема «об алмазе» — был затем получен Борхерсом (1961). О применениях комплексного анализа в квантовой теории поля см. статьи Боголюбова и Владимирова (1958, I960), Уайтмана (19606, 1960/61), Эпштейна (1966), Владимирова (1973а).
Глава 6. Алгебраическая формулировка квантовой теории (§ 6.1) была предложена фон Нейманом (1936) и (на языке С*-алгебр) Сигалом (1947, 1959а, б). Требование, чтобы наблюдаемые порождали (при замыкании относительно алгебраических операций и сходимости по норме) некоторую С*-алгебру, является весьма сильной и неинтуитивной гипотезой. Поэтому в собственно аксиоматических изложениях, которые ставят своей целью построить физическую теорию на основе элементарных, эмпирически обоснованных предположений, эта гипотеза расчленяется на несколько предположений, расположенных по убывающей степени мотивированности ([В2, Ml], Шерман, 1956; Плимен, 1968). Связь С*-формулировки с более общим статистическим подходом изучалась Яухом и Пироном (1963), Дэвисом (1970), Дэвисом и Льюисом (1970), Эдвардсом (1969, 1971), Холево (1976), [Х7]. Алгебраическая формулировка была всесторонне проанализирована в контексте локальной квантовой теории поля Хаагом (1958, 1959а), Араки (1961/62), Хаагом и Шроером (1962) и особенно Хаагом и Кастлером (1964) (см. также обзоры Уайтмана, 1964, Робинсона, 1965, Генена, 19666, Хаага, 1970, Поливанова и др., 1973). Хааг и Кастлер (1964) ввели понятие физической эквивалентности представлений, совпадающее с понятием Фелла слабой эквивалентности (Фелл, I960). На существование правил суперотбора в физике элементарных частиц впервые было обращено внимание Виком и др. (1952) (об их роли в теории симметрии см. у Хагедорна, 1959). Понятие сектора как множества чистых состояний, ассоциированных с неприводимым представлением алгебры наблюдаемых, также предложено в упоминавшейся статье Хаага и Кастлера. Определение (6.4) вероятности перехода между чистыми состояниями предложено Робертсом и Рёпшторфом (1969) (по поводу вероятности перехода для произвольных состояний см. Ульман, 1976). Правила суперотбора (§ 6.2) обсуждались Уайтманом (Уайтман и Барут, 1959; Уайтман, 1964; [С8], § 1.1), Харатяном (1968, 1973), Суш ко и Хоружим (1970). О правилах суперотбора в физике элементарных частиц см. в обзоре Тодорова Т. С. (1975). О связи правил суперотбора с инфракрасной проблемой в квантовой хромодинамике см. Строкки (1976а). Общему исследованию правил суперотбора в локальной теории посвящены работы Доплихера и др. (1969, 1971, 1974), Хоружего (1975, 1975-1976). В разделе о симметрии (§ 6.3) существенно использована работа Робертса и Рёпшторфа (1969), а также Кади- сона (1965). Геометрическое доказательство теоремы 6.8 (Вигнера) о симметриях имеется в книге [Вб]; впоследствии оно было модифицировано Баргманом (1964); элементарное доказательство было также предложено Виком (1966). Излагаемое алгебраическое доказательство теоремы Вигнера (п. 6.3.Б) публикуется впервые (другое алгебраическое доказательство для более общей ситуации имеется в [Б12]; см. там теорему 3.2.8). Брачи и др. (1975) распространили теорему Вигнера на псевдогильбертовы пространства с индефинитной метрикой (наше доказательство применимо и к этому случаю). В связи с предложением 6.13, принадлежащим Баргману (1954), см. также Партхасарати (1969), Симмс (1971), де Сварт (1974). Теорема единственности 6.14 была получена фон Нейманом (1931) (в этой связи см. также Йост, 1974). В приведенном доказательстве (п. 6.4.В) мы следовали [ЭЗ], п. 3.1.3. Излагаемая конструкция С*-алгебр ККС (п. 6.4.В) была предложена Сигалом (1961, 1962, [С4]). Критерий унитарной
реализуемости линейных симплектических преобразований был дан Шейлом (1962) (см. также [Б4], п.4.3). По поводу дальнейших результатов для систем ККС с бесконечным числом степеней свободы см. Араки и Вудс (1963), Лупиа и Миракль-Соль (1966), Чайкен (1967, 1968), Манюсо (1968а, б), Манюсо и Вербер (1968), Завьялов и Суш ко (1969, 1973), Араки (1971), Холево (1971, 1972), [ЭЗ], Кари и др. (1982).
Глава 7. Материал о группе Пуанкаре и ее алгебре Ли (§ 7.1) имеется в работах Уайтмана (1960а), Йооса (1962), Мишеля (1964), [С8, И5]. Формулировка принципа релятивистской инвариантности (п. 7.2.А) восходит к Вигнеру (1939; см. также [Вб]). Постулаты спектральности, а также существования и единственности вакуума (п. 7.2.Б) были впервые четко сформулированы Уайтманом (1956) в наборе аксиом квантовой теории поля. Об энергии и импульсе как наблюдаемых см. Борхерс (1966). Роль условия единственности вакуума и его связь с кластерным свойством указаны в статье Хеппа и др. (1961); она обсуждалась также Рее и Шлидером (1962), Иорданом и Сударшаном (1962). Приведенное доказательство предложения 7.1 близко к доказательству Йоста ([И5], § III.6), фактически не использующему аксиому локальности. Обсуждение вопроса о существовании и роли вакуумного состояния обсуждается у Борхерса (1962, 19656), Борхерса и др. (1963). Классификация неприводимых представлений собственной группы Пуанкаре была получена Вигнером (1939; см. также 1964). Абстрактная формулировка метода индуцированных представлений, которым фактически пользовался Вигнер (п. 7.2.В), дана Макки (1952, 1958) (см. также Брюа, 1956); подробному изложению метода посвящены книги [М2, М9]. Обстоятельный обзор по унитарным представлениям группы Пуанкаре дан в цитированной выше статье Йооса (1962); см. также Широков Ю. М. (1957-1959; 1960а, б), Уайтман и Барут (1959), Уайтман (1960а), Мусса и Стора (1965), Гийо и Пети (1966). Относительно физических применений представлений класса (г) (с @? < 0) см., например, Йоос (1965). Свойства спектрального разложения операторов трансляций в релятивистской теории изучались Ульманом (1961). Явно ковариантная реализация «физических» неприводимых представлений в терминах спин-тензорных волновых функций дана Йоосом (1962) в массивном случае и Цванцигером (1965) в безмассовом случае (этот формализм принят во многих работах, имеющих дело с произвольным спином; см., например, Барут и др., 1963; Хепп, 1964а; Вайнберг, 1964а, б; [С8]; Коэн-Таннуджи и др., 1968; Мутце, 1975). В связи с интересным вопросом, не затронутым в этой главе, — о разложении прямого произведения неприводимых представлений группы Пуанкаре — см. Чжоу Гуан Джао и Широков (1958), Ломонт (I960), Широков М. И. (1961), Жакоб и Вик (1959), Вик (1962), Мусса и Стора (1965; в этой статье имеются дополнительные ссылки), Шааф (1970). Отметим также, что в последние годы интенсивно исследуются так называемые суперсимметричные модели теории поля. В них используется новое понятие инвариантности относительно супергрупп (и супералгебр), полученных из группы Пуанкаре (и ее алгебры Ли) добавлением образующих фермионного типа; см. об этом обзоры Огиевецкого и Мезинчес- ку (1975), Becca (1976), Салама и Страсди (1978), [С9].
Метод вторичного квантования (пп. 7.3.А, 7.3.Б) был предложен Фоком (1932). Он стал объектом специального математического рассмотрения в работах Кука (1953), Сигала (1956, 1958), Березина [Б4]; см. также [Р2], §IX.7. В работах Березина (1967, 1971) изучены свойства разложений ограниченных операторов в пространстве Фока в ряд по нормальным произведениям операторов рождения и уничтожения. О выборе фаз в операциях пространственного отражения и обращения времени (п. 7.3.Г) см. у Файнберга и Вайнберга (1959), Граверта и др. (1959), Вигнера (1964), Партхасарати (1969). Математическое рассмотрение связи зарядового сопряжения и других дискретных симметрий с градиентными преобразованиями, соответствующими сохранению барионного и лептонного зарядов (на основании теории расширении групп) см. у Мишеля (1964). То, что обращение времени реализуется антиунитарным оператором, было впервые отмечено Вигнером (см. [Вб]). Вигнер (1960а, б) исследовал также нормальную форму антиунитарных операторов и их феноменологические свойства.
О дискретных симметриях (F, Г, СР) и их нарушениях в физике элементарных частиц см. Ли и Янг (1956), [Н6, К1], Ли Ц. (1966, 1967), [Л4], Окунь (1966), Арбузов и ①нлнп- пов (1967), Вик (1967), Кляйнкнехт (1974), [01, 02], Чау (1983). Принципы, лежащие в
основе квантовой теории рассеяния (п. 7.3.Д), излагаются в работах Хаага (19596), Бренига и Хаага (1959), Хеппа (1966а), Араки (1969), Гольдбергера и Ватсона [Г8], Ягольницера [Я1]. Предложение 7.6 было доказано Хеппом (19646, 1966а). В качестве стандартных ковариантов в разложении (7.200) можно выбрать коварианты разложений, свободных от так называемых кинематических сингулярностей (о них см. у Вильямса, 1963, Хеппа, 1964а, Мау и Мартена, 1968, Коэн-Таннуджи и др., 1968, Гертина, 1971).
Дополнение Д. Теория Дирака излагается во многих книгах по релятивистской квантовой теории (см., например, [Б8, Кб, Ш4, Б13]). Математическую трактовку алгебр Клиффорда можно найти в [А4] (п. 5.4), а также у Рашевского (1955, 1958). Следствие Д.2 известно как лемма Паули (1936). Дискретные преобразования дираковских спиноров рассматриваются во многих монографиях (в частности, в [М13, 02]); подробно этот вопрос изложен в серии работ Виноградски (1957-1959) (где, однако, используется «евклидово» определение 7-матриц, при котором [)", 7М]+ = б""). Уравнение Дирака и четырехкомпонентные спинорные функции рассматриваются в обзоре Йооса (1962) с точки зрения представления группы Пуанкаре.
Глава 8. Содержание этой и последующей глав во многом перекрывается с монографиями [С8, И5], написанными основоположниками квантовополевого аксиоматического метода. В первоначальном варианте алгебраический подход к локальной квантовой теории поля формулировался в терминах алгебр фон Неймана ограниченных операторов: Хааг (1959а, б), Араки (1961/62), Хааг и Шроер (1962) (см. у них, в частности, обсуждение независимости аксиом), Уайтман (1964). Формулировка в терминах сети абстрактных С*-алгебр (п. 8.1.А) принадлежит Хаагу и Кастлеру (1964) (в этой связи см. Кастлер, 1964; лекции Робинсона, 1966, Хаага, 1970). Выявление физического смысла условия локальности (п. 8.1.Б) восходит к Бору и Розенфельду (1933, I960) (в этой связи см. Бениофф и Экштейн, 1977). Условие положительности энергии в этом подходе дано Доплихером (1965). В работах Доплихера и др. (1969) не только изучается конструкция алгебры локальных наблюдаемых из полевой алгебры на основе принципа калибровочной инвариантности (1-го рода), но и намечена весьма нетривиальная обратная задача реконструкции полевой алгебры. Основной публикацией по формализму Уайтмана является статья Уайтмана и Гординга (1965), которая на самом деле соответствует работе, начатой в 1952 г. и частично изложенной в статьях и лекциях Уайтмана (1956, 1959, 1963). Уайтман (1956) первоначально использовал в качестве основных функций от ж-переменных финитные функции из класса Шварца 夕(7И), однако поскольку общность, достигаемая этим, не так интересна, то в дальнейшем (вслед за Шмидтом и Бауманом, 1956) было принято более удобное пространство типа 乡(инвариантное при переходе от х- к р- переменным). Наряду с монографиями [С8, И5] имеется ряд обзоров по формализму Уайтмана (Араки, 1961а; Уайтман, 1963, 1976; Тодоров, 1964, 1965; Хепп, 1966а; Стритер, 1975). Условия существенной самосопряженности полевых операторов, при которых можно установить соответствие с локальными алгебрами фон Неймана (п. 8.2.Б), приводились Борхерсом и Циммерманом (1964), Гачком (1965, 1966а, б), Березанским (1966). По поводу условия дуальности см. Араки (19636), Доплихер и др. (1969), Хоружий (1969, 1970), Бизоньяно и Вихман (1975). В связи с пп. 8.2.В, 8.2.Г отметим, что имеется ряд общих результатов о совпадении или различии локальных алгебр фон Неймана, соответствующих различным областям пространства-времени (см. Борхерс, 1962; Уайтман, 1964); на этом основании делается вывод, что локальные алгебры фон Неймана — бесконечного типа (Кадисон, 1963; Генен и Миера, 1963; Уайтман, 1964). Разделяющее свойство вакуумного вектора для локальных полевых алгебр (см. предложения 8.3, 8.4) было замечено Бургойном (1958), а также Йостом (1961). Спектральные представления для двухточечных функций Грина (тесно связанных с двухточечными функциями Уайтмана, п. 8.3.Б) было получено Камефучи и Умэдзавой (1951), Челленом (1952) и Леманом (1954). В связи с ковариантными представлениями для двухточечных функций Уайтмана см. также Челлен (I960, 1968/69), Лович и Томозава (1962), Штейнман (19636). Представление Челлена-Лемана находит применения, в частности, в теории возмущений. В качестве примера укажем, что суммирование некоторых диаграмм Фейнмана под знаком спектрального представления позволяет избежать появления нефизических особенностей в функциях Грина (см. Боголюбов и др., 1959). Замечание о несуществовании нетривиального уайтмановского поля, имеющего хорошо определенные значения в каждой
точке (упражнение 8.8), принадлежит Уайтману (1964) (см. также Визимирски, 1966). В этой связи интересен результат Борхерса (1964), согласно которому достаточно сглаживать квантовые поля 夕(力)только по временной координате /° (пространственный же вектор х можно рассматривать как параметр). Теорема реконструкции (п. 8.3.В) дана в первоначальной работе Уайтмана (1956); она позволила заключить всю информацию о квантовополевой модели в набор всех функций Уайтмана. Используемая в процессе реконструкции алгебра основных функций была введена Борхерсом (1962); ее математическая структура подробно исследована в работах Ульмана (1962), Морена (1963а, б), Ласснера и Ульмана (1968), Борхерса (1965а, б, 1972), Висса (1972), Ингвасона (1973), Борхерса и Ингвасона (1975), Хегерфельда (1975), Брюнинга (1978). Висс (1973) предложил обобщение формализма Уайтмана, отправляясь не от (мультипликативно) положительного линейного функционала, а от неотрицательно определенной эрмитовой формы на алгебре Борхерса. Стандартное изложение свободных скалярных и дираковских полей (пп. 8.4.А-8.4.В) имеется в любом учебнике по квантовой теории поля (см., в частности, [Б9, Ш4, Б5, Кб]). Компактный обзор результатов с точки зрения лагранжева формализма содержится в гл. 2 монографии [И5]. Уравнения для полей с высшими спинами изучались в работах Даффина (1938), Кеммера (1939), Белинфанте (1939), Фирца и Паули (1939), Гординга (1944), Баргмана и Вигнера (1948), Гельфанда и Яглома (1948а, б) (см. также [У1, Г2. Н1]; Хариш-Чандра, 1947; Фолди, 1956; Вигнер, 1963; Вайнберг, 1964а, б; Парк и Еле, 1965). Трудности полевых теорий с высшими спинами обсуждались Уайтманом (1968, 1973). Предложение 8.8 (согласно которому двухточечная функция полностью определяет свободное поле в общей теории Уайтмана) доказано Федербушем и Джонсоном (I960), а также Йостом и Шроером (Йост, 1961); другие рассмотрения имеются у Гринберга (1959), Гачка (1961); случай нулевой массы доказан Полмайером (1969). Простая иллюстрация явления спонтанного нарушения внутренних симметрий на примере преобразований (8.88) свободного безмассового скалярного поля рассматривалась Стритером (1965а). Сеть локальных алгебр фон Неймана, соответствующая свободному скалярному полю, была исследована Араки (19636; 1964а, б), Кадисоном (1963), Гененом и Миера (1963), Кастлером (1965), Лангерхолком и Шроером (1965), Дел'Антонно (1968), Дадашяном и Хоружим (1978, 1981). В частности, Араки доказал свойство дуальности (см. также Остервальдер, 19736). Обобщенные свободные поля были введены Гринбергом (1961) (фактически это интегралы по массе от свободных полей; см. Лихт, 1963). Условия на носитель поля в р-пространстве, при которых это поле является обобщенным свободным полем, впервые сформулированы Дел'Антонно (1961а).
Дополнение Е. Сводка важнейших сингулярных функций квантовой теории поля заимствована из монографии [Б8].
Дополнение Ж. Аналогичные ковариантные представления рассматривались в работе Оксака и Тодорова (1969).
Глава 9. Холлом и Уайтманом (1957) было дано представление для лоренц-инвариантных голоморфных функций в трубе будущего Т^ (а также в Т~). В этой работе было впервые опубликовано доказательство Баргмана теоремы 9.1 для скалярного случая. Уайтман (1960/61) и Йост (1961) обобщили теорему на случай ковариантных функций, преобразующихся по произвольному конечномерному представлению группы Лоренца. Различные обобщения теоремы Холла и Уайтмана имеются у Хеппа (1963а, в, 1964а), Минковского и др. (1965), Зайлера (1966). Вещественные точки расширенной трубы (п. 9.1.В) были описаны Йостом (1957). Описание расширенной трубы можно найти у Уайтмана (1960/61). Однозначность функций Уайтмана в симметризованной трубе (п. 9.1.Г) была доказана Томозавой (19636), а также Рюэлем ([И5], дополнение И); этот факт следует также из результата Томозавы об односвязности симметризованной трубы. В случае п = 2 симметризованная труба 夕『совпадает с расширенной трубой 夕2・ При п > 3 это уже не так. Оболочка голоморфности 夕^ была найдена Челленом и Уайтманом (1958) (см. также Рюэль, 1961а). Интегральные представления для 3-точечной функции Уайтмана предлагались Челленом и Толлом (I960), Стритером (1960а, б). В связи с описанием расширенных труб при п = 4 и п = 5 см. работы Манохарана (1962), Мёллера (1962), Брюнинга (1971). В общем случае оболочка голоморфности
симметризованных труб 夕^ явно не описана. Глобальная природа локальности (предложение 9.12) была высказана Уайтманом (1959) в качестве гипотезы и доказана Уайтманом (1960/61) совместно с Йостом и Штейнманом (см. также Томозава, 1963а; [С8], §4.1). В работах Владимирова (I960) и Петрины (1961) получен более сильный результат (лоренц- ковариантность не предполагается). Дальнейшее усиление результата дано Полмайером (1968) (см. также Борхерс и Полмайер, 1968); оказывается, для того чтобы выполнялась строгая локальность, достаточно предположить (в рамках понятия почти локального поля, введенного Стритером, 1964), что матричные элементы коммутаторов полей убывают быстрее, чем ехр (—е|х — у^) (0〉1) на пространственной бесконечности. Связь между неперенормируе- мостью (в традиционном понимании) и нелокальностью входит в идеологию лагранжевой теории возмущений (см. [Б8], § 32). Шроер (1964) на простой модели дал наглядную иллюстрацию этому. Один из подходов к неренормируемым теориям состоит в выборе классов обобщенных функций, совместимых с условием микропричинности (Мейман, 1964; Джаффе, 1966, 1967; Ефимов, 1968, [Е1]; Соловьев М. А., 1971, 19806, в). Другой подход сосредоточивает внимание (в духе «теоремы реконструкции») на функциях Уайтмана в р-пространстве (Бардакси и Шроер, 1966; Гюттингер, 1966; Хоружий, 1967, 1968/69, Иофа и Файнберг, 1969а, б; Тейлор Дж. Дж., 1971; Константинеску, 1971; Файнберг В. Я., 1972; Бюмерштеде и Люке, 1974; Лазур и Химич, 19776; Файнберг н Соловьев, 1978). Эти работы распространяют формализм Уайтмана на неренормируемые теории, однако они различаются ограничениями на допустимый рост функций Уайтмана в р-пространстве и трактовкой локальности. Определение класса неренормируемых теорий предэкспоненциального роста в р-пространстве, приведенное в замечании п. 9.1.Д, восходит к Шроеру (1964), который назвал такие теории неренормируемыми 1-го рода. Не вдаваясь в обсуждение многочисленных попыток выйти за рамки локальной теории, отметим, что некоторые из них связаны с обобщениями или с изменениями самой группы инвариантности (см., например, Снайдер 1947а, б; Инграхам, 1962а, б; Блохинцев и Колеров, 1964; Кадышевский, 1972, 1978, 1979; доклады в сб. [Т7]).
В стандартной лагранжевой теории поля TCP-теорема возникла в тесной связи с проблемой спина и статистики: Швингер (1951), Людерс (1954, 1957, 1961), Паули (1955) (см. также историю вопроса в статье Йоста (I960) и в книге [С8], гл. 4). Доказательство TCF-теоремы и ее обобщения в уайтмановском подходе (пп. 9.2.А, 9.2.Б) принадлежат Йосту (1957). Связь между TCF-инвариантностью и слабой локальной коммутативностью обсуждалась далее Дайсоном (1958а). Согласно Йосту (1963) любой TCF-инвариантной релятивистской 5-матрице можно, по крайней мере формально, сопоставить слабо локальное квантованное («интерполирующее») поле. Возможности дальнейшей экспериментальной проверки TCF-инвариантности в физике элементарных частиц обсуждались Ли и др. (1957), Широковым М. И. (1962), Окунем (1966), Биленьким (1966), Гурденом (1967), Потом (1978); см. также [К1, ЛЗ, 03]. Пример пропагатора KQK° показывает, что следствия TCF-инвариантности в этом случае фактически совпадают со следствиями только лоренц-инвариантности (Липшуц, 1966). Классы эквивалентности локальных полей (п. 9.2.В) были введены Борхер- сом (I960) (в этой связи см. лекции Уайтмана, 1963, работы Акария, 1962, Араки, 1963а). Примеры взаимно локальных полей с одной и той же 5-матрицей приведены Камеручи и др. (1961) (и в цитированных там работах). По поводу других признаков тривиальности 5-матрицы см. Бардакси и Сударшан (1961), Гринберг и Лихт (1963), Акария (1963), Акс (1965). Они показывают, что в локальной теории не может быть нетривиальной 5-матрицы, допускающей лишь конечное число неупругих процессов. В алгебраическом подходе Эпштейн (1967) доказал TCF-инвариантность 5-матрицы при дополнительном предположении о структуре одночастичных состояний, которые исключают бесконечное вырождение массы по спину (подобные условия накладывались раньше Хаагом и Свиекой, 1965, Араки и Хаагом, 1967).
Теорема о связи спина со статистикой свободных полей с произвольным спином была доказана Фирцем (1939) и Паули (1940). Доказательства теоремы 9.19, основанные на общих постулатах, приведены в работах Людерса и Зумино (1958), Бургойна (1958) и Дел'Антонно (19616). Связь теоремы о спине с кластерным свойством обсуждается у Фруассара и Тейлора (1967). Перестановочные соотношения между разными полями обсуждались в рамках обычной теории Людерсом и Зумино (1958), а в рамках аксиоматического подхода (теорема 9.20) — Араки (1961в). Преобразование Клейна, использованное в этих работах, было
введено Клейном (1938) в другом контексте. В нашем доказательстве теоремы Араки 9.20 (пп. 9.3.Б-9.3.Г) мы следовали Йосту ([И5], п. V.3.C).
Существование неэквивалентных представлений ККС с бесконечным числом степеней свободы было обнаружено Сигалом (I960, не опубликовано), который построил простой пример унитарно нереализуемого (т. е. несобственного) линейного канонического преобразования операторов рождения и уничтожения. Вслед за этим ван Хов (1952) привел пример несобственного неоднородного линейного канонического преобразования (точнее, пример смещенного фоковского представления). Поскольку пример ван Хова (модель взаимодействия поля с классическим источником) имеет непосредственный физический смысл, то из него стало ясно, что выбор представления ККС определяется взаимодействием. Теорема Хаага (1955) (п. 9.4.А) еще более убедительно продемонстрировала значение нефоковских представлений для гамильтонова подхода в квантовой теории поля (об этом см. [В1], Араки, 19606). Обобщенная теорема Хаага (п. 9.4.Б) дана в формулировке Холла и Уайтмана (1957). Физическое истолкование торемы Хаага имеется в лекциях Уайтмана (1967а, б) (см. также [С8], §4.5). Фабри и др. (1967) предложили теорему о невозможности описания «нарушенной симметрии» зависящим от времени унитарным оператором (см. об этом [Г12]). В связи с тем, что фоковские представления не исчерпывают физически интересных представлений ККС и КАС, возникла нетривиальная проблема классификации представлений ([Ф5]; Гординг и Уайтман, 1954а, б; Уайтман и Швебер, 1955; Сигал 1958; Гельфанд [Г5], § IV.3; Вайдлих, 1963; Араки и Висс, 1964; Чайкен, 1967, 1968; Завьялов и Суш ко, 1969; Голодец, 1969; Пауэрс и Штёрмер, 1970; Араки, 1971). Пример появления нефоковского представления в статистической механике дан Боголюбовым [Б7] (см. также Хааг, 1962): было показано, что физическое представление в теории сверхпроводимости строится из фоковского с помощью (несобственного) линейного канонического преобразования, перепутывающего операторы рождения и уничтожения.
Переход (посредством так называемого «викова поворота») от пространства-времени Минковского к четырехмерному евклидову пространству широко использовался для интегралов Фейнмана. Швингер (1958, 1959) и Накано (1959) предложили рассматривать евклидову формулировку (п. 9.5.А) как самостоятельный подход к квантовой теории поля. Симанзик (1964, 1966, 1969а, б), а затем Нельсон (1973а-г) установили связь евклидовой формулировки с теорией случайных (марковских) полей. Характеристические свойства функций Швингера (п. 9.5.Б) и теорема реконструкции (п. 9.5.В) появились в работах Остервальдера и Шрадера (1973) и Остервальдера (1973а). В работах Хегерфельда (1974), Фрёлиха (1974), Остервальдера и Шрадера (1975) предлагались другие наборы аксиом евклидовых полей, достаточные для реконструкции квантовых полей. Евклидова формулировка получила широкое применение в конструктивной квантовой теории поля (подробнее об этом см. в [С1, Г7]). О конформно-инвариантных евклидовых полях см. Тодоров (1973, 1976), Мак (1975), [Тб] и цитируемую там литературу.
Дополнение 3. Хотя теоретическая возможность статистик более общих, чем бозонная и фермионная, обсуждалась еще в 30-е годы, эффективный аппарат параполей был создан лишь в 50-е годы. Вигнер (I960) рассмотрел пример парабозе-осциллятора. Квантовая теория свободных параполей (п. 3.1) была развита Грином (1953). Парастатистики исследовались Волковым Д. В. (1959, I960), Черниковым (1962), Камефучи и Такахаши (1962), Камефучи и Страсди (1963), Галиндо и Индюреном (1963), Мессиа и Гринбергом (1964), Гринбергом и Мессиа (1964, 1965), Гринбергом (1966), Говорковым (1967); см. также [04]. Аксиоматический подход уайтмановского типа к парастатистикам и связь спина с парастатистикой (п. 3.2) обсуждались Дел'Антонно и др. (1964). Эквивалентность локальности и паралокальности для свободных параполей доказана Араки и др. (1966). В рамках алгебраического подхода парастатистики исследовались в работах Дрюля и др. (1970), Доплихера и Робертса (1972), Доплихера и др. (1971, 1974), Робертса (1976а). Новые типы обобщенных статистик и их связь с представлениями (супер)алгебр Ли указаны в работах Ганчева и Палева (1980), Палева (1982) (см. также приведенную там литературу).
В связи с возникшей в рамках модели адронов Гелл-Мана и Цвейга (см. [К10]) известной проблемы статистики кварков Гринберг (1964) предложил использовать для кварков параферми-статистику порядка р = 3. Эта гипотеза позволяла объяснить свойство полной
симметрии спин-унитарной волновой функции барионов, что соответствовало возможности расположить до трех спиновых кварковых состояний на одном и том же квантовом уровне. Однако последовательное решение проблемы статистики кварков было дано Боголюбовым, Струминским и Тавхелидзе (Боголюбов и др., 1965) и независимо Ханом и Намбу (1965), которые предложили для кварков новое квантовое число, впоследствии названное цветом. По отношению к новому квантовому числу, принимающему (для каждого типа кварков с определенным электрическим зарядом, изоспином и странностью) три значения, все наблюдаемые адроны являются нейтральными (или «бесцветными») (см. Тавхелидзе, 1965). Введение цветных кварков как фундаментальных частиц, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака, позволило решить ряд принципиальных проблем теории элементарных частиц, а понятие «цвета» легло в основу квантовой хромодинамики (QCD) — калибровочной теории сильных взаимодействий (Намбу, 19666), в которой находит естественное место гипотеза «конфайн- мента» (или невылетания) кварков (см., например, Бендер, 1981; обсуждение возможности вылетания кварков см. в работе Арбузова и др., 1983). Согласно работам Говоркова (1982, 1983), Боголюбова и др. (1983), максимальной калибровочной симметрией, допускаемой теорией локальных параполей, является специальная ортогональная группа 0+(3) (в отличие от квантовой хромодинамики с унитарной калибровочной группой SU(3) такая теория будет обладать не восемью, а тремя калибровочными бозонами). Этот вывод означает, что гипотеза параферми-статистики кварков не эквивалентна (и потому не является реальной альтернативой) теории цветных ферми-кварков. Дополнительные соображения о соотношении теории параполей и теории цветных кварков см. у Гринберга и Нельсона (1977), Говоркова (1977, 1979, 1982) (в обзоре Говоркова, 1983, имеется более обстоятельное обсуждение литературы).
Дополнение И. По поводу дальнейшей информации об элементарных представлениях группы SL(2,。)(п. И.1) и комплексных полупростых алгебр Ли) см. [Гб], Желобенко (1968), Костант (1975) (см. также [К9, Ж2, ЖЗ]). Первый пример бесконечномерного неприводимого представления группы SL(2,。) был построен Майораном (1932), который предложил уравнение для БКП, спектр решений которого не содержал отрицательных времениподобных импульсов (но зато содержал также пространственноподобные импульсы, так что спектральное условие нарушалось; впоследствии Дирак (1971, 1972; [Д5]) построил уравнения для БКП со спектром в У+). Из примера Майорана и последующих публикаций Гельфанда и Яглома (1948а, б) было ясно, что связь спина со статистикой для БКП отсутствует (в связи с уравнениями для классических БКП см. Рюль, 1967; Комар и Сладь, 1969). Вторично квантованные свободные БКП рассматривались Фельдманом и Метьюсом (1966, 1967); эти поля либо обладают бесконечным вырождением массы по спину, либо нарушают локальность. Абере и др. (1967) построили примеры квантовых БКП, нарушающих связь спина со статистикой и ОРТ-теорему, но при этом спектр содержал пространственноподобные импульсы, так что условие спектральности не было выполнено. Простой пример нарушения связи спина со статистикой для БКП (преобразующегося по приводимому представлению группы Лоренца) с выполненным условием спектральности привел Стритер (19676). Ковариантное представление для двухточечной функции типа (И.22) было предложено Тодоровым и Зайковым (1969) и доказано в работе Оксака и Тодорова (1969), где выведено также разложение (И.31) и доказана теорема И.З. Иверсон и Мак (1971) рассмотрели случай нулевой массы, когда возникают дополнительные ковариантные структуры.
Предложение И.4 доказано в работе Оксака и Тодорова (1971). В работе Гродского и Стритера (1968) получен весьма общий результат о бесконечном вырождении массы по спину для БКП (в этой связи см. также Абарбанел и Фришман, 1968; Биртер и Битар, 1969). Оксак и Тодоров (1971) распространили теорему Гродского и Стритера на случай локальных неренормируемых теорий предэкспоненциального роста в р-пространстве (теорема И.5). В п. И.4 приведены в несколько более общей форме примеры из работы Оксака и Тодорова (1968). О CFT-инвариантности классических БКП см. работу Сладя (1971). Отметим также некоторые из применений БКП — для алгебраизации динамической структуры квантовых систем (Барут и Клайнерт, 1967; Намбу, 1967; Дельбурго и др., 1967), для альтернативной формулировки уравнения Бете-Солпитера (Кириакопулос, 1968; Будин и, 1968; Фронсдал, 1968; Ициксон и др., 1970). По поводу обзоров теории БКП см. Намбу (1966а), Рюгг и
др. (1967), Стоянов и Тодоров (1968) (здесь, в частности, разбирается уравнение Майорана), Стритер (1968), Такабаяши (1969).
Глава 10. Квантование в пространствах с индефинитной метрикой было предложено в начале 40-х годов (Дирак, 1942; Паули, 1943). Тот факт, что связь спина со статистикой может нарушаться (пример в п. 10.1.Б), был замечен Паули (I960). Параллельно началось математическое изучение операторов в пространствах с индефинитной метрикой (Понтрягин, 1944; Иохвидов и Крейн, 1956, 1959; Лангер, 1962, 1963). Изложение математической теории ) можно найти в лекциях Крейна (1965) и в [Б10]. В аксиоматическом плане формализм индефинитной метрики намечен в ранней статье Уайтмана и Гординга (опубликованной в 1965 г.) и по-прежнему привлекает внимание главным образом в связи со специфическими проблемами лоренц-ковариантного канонического квантования калибровочных полей (Строкки, 1966-1968, 1970, 1978; Ловенштейн, 1971; Феррари и Пикассо, 1971; Наканиши, 1972; Строкки и Уайтман, 1974; Феррари и др., 1974, 1977). При этом выяснилось, что трансляционная инвариантность вспомогательного (гильбертова) скалярного произведения и единственность (с точностью до множителя) трансляционно-инвариантного вектора являются скорее исключением, чем правилом, отсутствуя в физически интересных моделях с инфракрасными особенностями функций Грина (на это указали Феррари, 1974; Строкки, 19766; Моркио и Строкки, 1980). Замкнутые изложения подхода даны в работах Строкки и Уайтмана (1974), Строкки (1978), Моркио и Строкки (1980), которым мы в значительной мере следовали в п. 10.1.Б. Наибольшие изменения внесены нами в конструкцию физических состояний (аксиома PW.IX, п. 10.1.В); при этом мы систематически пользуемся принципом калибровочной инвариантности и конструкцией состояний методом интегрирования вакуумного функционала по калибровочной группе. В п. 10.1.Г устанавливается связь с традиционным (менее общим) методом, основанным на выделении «физического» подпространства в псевдогильбертовом пространстве. К недостаткам псевдоуайтмановского формализма следует отнести то обстоятельство, что аналог уайтмановской теоремы реконструкции требует дополнительных топологических условий (см. Шайбе, 1960; Строкки, Ингвасон, 1977; Моркио и Строкки, 1980). Полевые теории в индефинитной метрике допускают формулировку и в терминах *-алге6р ограниченных операторов (аналогичную С*-формулировке теории поля в положительной метрике); см. об этом у Дадашяна и Хоружего (1983). О применении индефинитной метрики в теории перенормировок см. в работах Завьялова О. И. (1973, 1975), Завьялова и Медведева (1974).
Модель поля дипольного духа (п. 10.2.А) была введена в контексте теорий с индефинитной метрикой Феррари (1974). Как мы видели, алгебра наблюдаемых в этой модели тривиальна. Нарнхофер и Тирринг (1978) проиллюстрировали на этом примере свое расширительное толкование «физического содержания» модели (понимая под этим поведение системы при включении взаимодействия с другими системами). Градиентная модель (п. 10.2.А) использовалась Цванцигером для подкрепления некоторых положений квантовой электродинамики (сокращенно, QED). Среди первых работ, заложивших основы QED, можно выделить статью Иордана и Паули (1928) о квантовании свободного электромагнитного поля. Слабая форма калибровочного условия, требующая выполнения равенства д^А^^Ф = 0 на физических векторах и позволяющая исключить продольные и скалярные фотоны в ковариантной калибровке QED (в так называемой калибровке Гупта-Блейлера), дана Гупта (I960) и Блейлером (I960). Подробные изложения QED содержатся в монографиях [А7, Б8, Б13, Я2]. Лагранжианы со вспомогательными полями, фиксирующими класс калибровок, имеются, в частности, у Нака- ниши (1966, 1972-1974), Лаутрупа (1967), Симанзика (1971). Аксиоматический подход к локальной QED проанализирован в работе Строкки и Уайтмана (1974) (см. также Строкки, 1978), на которую так или иначе опиралось большинство последующих работ. Строкки и Уайтман доказали правило суперотбора по электрическому заряду для локальных наблюдаемых. Другой важный результат, полученный в этом направлении, родствен результату Вегнера (1971), относящегося к обобщенной модели Изинга и теореме Элизур (1975) (согласно
которой в статистической физике калибровочно-инвариантных полевых моделей на решетке (Вильсон, 1974) локальная калибровочная инвариантность не может спонтанно нарушаться без введения членов, фиксирующих калибровку). А именно, Мэсон и Цванцигер (1975) показали, что в псевдогильбертовом пространстве QED нет векторов локализованных состояний с ненулевым электрическим зарядом, которые удовлетворяли бы дополнительному условию Гупта-Блейлера, выделяющему физическое подпространство (см. также Цванцигер, 1976); Феррари и др. (1977) распространили вывод на произвольные локальные калибровки в QED (а Строкки, 19766 — на квантовую хромодинамику). В нашем изложении принципов QED (п. 10.2.Б) основной акцент делается на алгебраическую формулировку локальной и глобальной инвариантностей (роли которых существенно различны как роли малой и эффективной калибровочных групп в более общем контексте п. 10.1.В). Этим достигается известная компактность, поскольку приведенные выше результаты теперь, в сущности, автоматически следуют из наших определений наблюдаемых и физических величин. (Предполагается, что глобальная калибровочная инвариантность не нарушена спонтанно.) При этом мы в значительной мере ориентировались на ситуацию, реализующуюся в градиентной модели из п. 10.2.А (Цванцигер (1978а) не случайно назвал эту модель «решаемым уроком» для QED). Нужно заметить, что всякое изложение этой, казалось бы, вполне конкретной модели (QED) по необходимости носит предположительный характер, поскольку (как упоминалось в тексте) до сих пор вопрос о математическом существовании (или несуществовании) четырехмерной QED остается открытым. Более ранние варианты нашли отражение в лекциях Тодорова (1979), Минчева и Тодорова (1981, 1985). Отчасти близкая точка зрения была принята дЭмилио и Минчевым (1982а-в), продемонстрировавшими, что использование только физических величин (определяемых на основе принципов локальной инвариантности и глобальной ковариантности) позволяет упростить вывод стандартных (пертурбативных) результатов об инфракрасных расходимостях в электродинамической 5-матрице. В их работах роль оператора рождения электрона играет «физическое» нелокальное заряженное поле типа (10.105а) при специальном выборе обобщенной функции F(k, р) (а именно,尸从(k, р) = р^/(рк)); аналогичное «физическое» заряженное поле (при выборе F以к, @) = р^/{рк - /0)) вводится в работе Оджима и Хата (1979). Мотивировку такого выбора «фотонного облака» электрона можно найти у Киббла (1968). Нелокальные заряженные объекты типа (10.90а), инвариантные относительно произвольных калибровочных преобразований 2-го рода с исчезающей на бесконечности фазой, вводились Дираком (1955), Мандельстамом (1962), Бялыницки-Бирулей (1976). Штейнман (1976) предпринял формулировку QED в терминах только локальных наблюдаемых. Случай свободного электромагнитного поля в различных калибровках (с точки зрения формализма индефинитной метрики) подробно разобран в упоминавшейся статье Строкки и Уайтмана, а также у Бонгартса (1977, 1982) (детали, связанные с лоренцевой калибровкой, обсуждались Наканиши, 1966; Ридо, 1975). Роль конформной инвариантности уравнений Максвелла обсуждалась в многочисленных публикациях (начиная с 1909 г.). Конформноинвариантная QED рассматривалась Маком и Тодоровым (1973), Крайстом (1974), Минчевым и др. (1976) и в ряде других работ (см. [Тб]). Тонкости определения электрического заряда (как интеграла от плотностей заряда) наряду с работой Строкки и Уайтмана рассматриваются у Орцалези (1970), Рекварда (1976), Рее и Рекварда (1980). Обсуждение роли закона Гаусса имеется у Стритера (1974а), Робертса (19766), Строкки (1976в, 1981) (у Строкки (1981) дается также обзор более ранних работ). Работы Блоха и Нордсика (1937), Енни и др. (1961), выявившие структуру инфракрасных расходимостей 5-матричных элементов в теории возмущений QED, заложили основу для последующих обсуждений инфракрасной проблемы и конструкций физических состояний: Чунь (1965), Соловьев Л. Д. (1965, 1973), Киббл (1968), Кулиш и ①аддеев (1970), Фрёлих (1973), Пронько и Соловьев (1974), Аппелквист и Караццоне (1975), Цванцигер (1975, 19786, 1979а, б), Халлер (1978), Жэрвэ и Цванцигер (1980), дЭмилио и Минчев (1982а-в). Берже и Шимановский (1982). В ряде работ (Фрёлих и др., 1979а, б; Бухгольц, 1982) обсуждается возможность спонтанного нарушения лоренцевой инвариантности в заряженных секторах. При этом делается слишком упрощенное предположение, что алгебра наблюдаемых порождена тензором напряженности электромагнитного поля (тогда как отсутствие подобного нарушения упирается в существование достаточно обширной алгебры наблюдаемых). Геометрическая точка зрения на вектор-
потенциал электромагнитного поля как на синхронизатор фаз электрически заряженных полей в соседних точках восходит к Вейлю (1918, 1929). Теория Янга-Миллса (см. Янг и Миллс, 1954; Утияма, 1956) распространила ее на неабелев случай. Что касается квантования неабелевых калибровочных теорий, то практически все результаты, относящиеся к локальным ковариантным калибровкам, получены методом возмущений и потому выходят за рамки нашего изложения. Наиболее полно и систематично эти вопросы излагаются в [С5, К12, И4]. Формулировка калибровочных теорий в подходе Дирака [Д5] к динамическим системам со связями дана Фаддеевым (1969) (см. также [Х2] и лекции Тодорова, 1979, где имеется более полный список литературы). Локальный операторный формализм перенормировок калибровочных теорий изложен в статье Куго и Оджима (1979). С конструктивным подходом к калибровочным теориям можно познакомиться в лекциях Фрёлиха (1979) и в [32]. Геометрия (классических) евклидовых полей Янга-Миллса изложена в [А5]. О применениях расслоенных пространств к калибровочным теориям см. у Даниэля и Виалле (1980), Дориа (1981), Бабилона и Виалле (1981) и в [М12]. Обзор применения голоморфной геометрии к калибровочным полям дан Маниным (1981). По поводу еще одного интересного вопроса классической теории калибровочных полей — описания монопольных решений см. т'Хофт (1974), Поляков (19746, 1975), Коулман (1977), [Д2, М12], Уорд (1981), Хитчин (1982), Росси (1982) и цитируемые там ссылки.
Связь между непрерывными группами симметрии и локальными сохраняющимися токами (п. 10.3.А) восходит к классической лагранжевой теории поля (где она устанавливается теоремой Нётер; см. например, [Б8], § 2). Квантовополевая «теорема Нётер» в рамках теории перенормировок рассмотрена рядом авторов (Ловенштейн, 1971; Лэм, 1972а, б); соответственно в калибровочных теориях тождества Уорда-Такахаши выведены Тейлором Дж. К. (1971) и Славновым А. А. (1972). Свойства трансляционно-неинвариантных токов (отвечающих более широкому классу симметрии, чем внутренние) рассматривались Феррари (1973), Галь-Эзером и Рее (1974, 1975), Гарбером и Рее (1976). Теоретико-полевые механизмы спонтанного нарушения симметрии были первоначально разработаны в статистической физике (см. Боголюбов, 1958, 1961, [Б7] и цитируемую там литературу), а затем перенесены в квантовую теорию поля (п. 10.3.Б) в работах Намбу (I960), Намбу и Иона-Лазинио (1961), Голдстоуна (1961). В первых вариантах теоремы Голдстоуна (см. Голдстоун и др., 1962; Кастлер и др., 1966) было доказано лишь отсутствие массовой щели (а не наличие безмассовой частицы) при спонтанном нарушении симметрии. Доказательство теоремы 10.9 было дано Эзавой и Свие- кой (1967) на основе интенсивного использования представления ИЛД (и, значит, локальности) (их идея использована в приводимом нами доказательстве). Доказательство теоремы 10.8 было дано в лекциях Свиеки (1970). Связь между разными трактовками понятия нарушенной внутренней симметрии устанавливается в теореме Коулмана (Коулман, 1966; Дел'Антонно, 1967; Ландау и Вихман, 1970; в этой связи см. также Ландау Л. Дж., 1970; Краус и Ландау, 1972; Галь-Эзер и Рее, 1974, 1975). По поводу дальнейших обсуждений теоремы Голдстоуна и ее обобщений см. Стритер (1965а, б), Строкки (1966), Фабри и др. (1967), Генен и Вело (1967), Васильев (1966, 1973), Булинский (1969), Рее (1971),①еррарн (1973), Йоос и Веймар (1976), Фубини (1982), [ВЗ, Г12]. Механизм Хиггса был предложен в работах Хиггса (1964а, б; 1966), Энглерта и Браута (1964), Гуральника и др. (1964). По поводу перенормировок и физических следствий этих теорий см. статьи Ли и Зин-Жюстена (1972-1973), Наканиши (1973), Вайнберга (1973), Ли Б. В. (1974), Крейца и Тудрона (1978), [К7]. В п. 10.3.В представлены в несколько иной форме результаты Феррари (1974) и Строкки (1977). Подробнее о механизме Хиггса см. [К7], Наканиши (1973), Стритер (1978), Де-Анжелис и др. (1978), Брайджис и др. (1979), Первушин (1979, 1980). Выявлению калибровочно независимого содержания механизма Хиггса посвящена работа Фрёлиха и др. (1980); в обзоре Минчева и Тодорова (1985) с этой точки зрения излагается модель электрослабых взаимодействий Салама-Вайнберга (см. также [Т1]). Следует отметить результат Свиеки (1976) (полное доказательство см. у Бухгольца и Фреденхагена, 1979), согласно которому из уравнения Максвелла 3".笋入从=^^ вместе с предположением о наличии массовой щели (и массивности всех частиц, в том числе «фотона») следует, что полный заряд тождественно равен нулю. Этот вывод дает весьма общее объяснение безмассовости фотонов в QED — с одной стороны, и экранирования заряда в модели Хиггса — с другой.
Глава 11. Двумерная модель в §11.1 (в особенности, простая зависимость между фермионным током и свободным скалярным безмассовым полем) привлекала внимание в ЗО-е годы в связи с идеей нейтринной теории света. Последующий интерес к ней стимулировался изучением инфракрасной проблемы. В статьях Шроера (1963), Тарского (1964), Хаджииванова и Стоянова (1979), а также в лекциях Уайтмана (1967а) эта модель и связанная с ней двумерная градиентная модель исследованы в формализме индефинитной метрики (п. 11.1.А). Моркио и Строкки (1980) обратили внимание на некоторые тонкости в этой конструкции — на неединственность вакуума, калибровочную инвариантность (при этом они рассматривали только один заряд Q; второй же — «топологический» — заряд Q' возникает при расщеплении поля 夕 на правую и левую составляющие). Инвариантная конструкция поля в физическом гильбертовом пространстве (п. 11.1.Б) предложена в статье Оксака (1981). Алгебра наблюдаемых (порожденная током) в физическом представлении полей 夕五，夕厶 разлагается в прямой интеграл неприводимых представлений; это так называемые смещенные фоковские представления для тока, построенные ранее Стритером и Уайльдом (1970) (обсуждение таких представлений в более общей ситуации см. в работе Бессараб-Хорват и др., 1979).
Модель (безмассовая) Тирринга (Тирринг, 1958; Тирринг и Весе, 1964) была предложена в качестве нетривиального явно решаемого примера в теории поля. Глазер (1958) предложил трактовку модели Тирринга, основанную на вспомогательном нефизическом гильбертовом пространстве со знаконеопределенной энергией (в этой связи см. Прадхан, 1958; Скарф, 1959а, б; Скарф и Весе, 1962; [Б4]; Астахов и др., 1967; Рихсенар, 1982). В подходе Джонсона (1961) постулируются сохранение векторного и псевдовекторного токов и коммутаторы между токами и полем Тирринга; таким образом можно построить все функции Уайтмана для модели Тирринга (Клайбер, 1964, 1968) и записать замкнутое выражение для поля Тирринга в теминах свободного фермионного и свободных скалярных полей (Лойтвилер, 1965). Наше изложение модели Тирринга (§ 11.2) основано на работах Клайбера (1968) (где развита техника инфракрасного обрезания), Свиеки (1977) (где используются формулы бозонизации типа Скирма-Мандельстама в псевдогильбертовом пространстве с индефинитной метрикой) и Оксака (1981) (где рассматривается бозонизация фермионов в физическом гильбертовом пространстве). В связи с формулами бозонизации (с которыми мы вначале познакомились в п. 11.1.В на примере свободного безмассового спинорного поля) отметим, что возможность конструирования фермионов из бозонов была отмечена Скирмом (1961) при изучении двумерной квантовой модели, получившей впоследствии название sine-Gordon (сокращенно SG). Более определенный результат был получен Коулманом (19756), доказавшим эквивалентность модели SG и массивной модели Тирринга (сокращенно МТ). Мандельстам (1975) предложил явные формулы, выражающие МТ через поле SG (по поводу придания математического смысла таким формулам см. Погребков и Сушко, 1975, 1976; Суш ко, 1978). Бозонизация в модели Тирринга (безмассовой) вполне аналогична, хотя она усложняется дополнительными инфракрасными трудностями (в связи с этим отметим работу Дел'Антонно и др., 1972, а также Стритера и Уайльда, 1970, Стритера, 19746, где выполнен промежуточный этап бозонизации поля Тирринга — в терминах свободного тока и искусственно добавленных операторов рождения зарядов). Как отмечалось в п. 11.1.В, для свободного безмассового спинорного поля ^-представления получаются из фоковского представления преобразованием (11.96), причем они унитарно эквивалентны фоковскому в точности тогда, когда числа 《五'厶/\/5 7r целые. Преобразования последнего типа (трактуемые как калибровочные) вводились также Роте и Свиекой (1977), Красниковым и др. (1980) в ином контексте (для модели Швингера). В гамильтоновом формализме модель Тирринга построена в работах Воловича и Суш ко (1971), Арефьевой и др. (1975), Погребкова (1973).
Двумерная безмассовая QED (§ 11.3), предложенная Швингером (1962), служит моделью невылетания («конфайнмента») заряженных частиц. Швингер (1963) нашел явный вид функций Грина. Формальное операторное решение модели Швингера было предложено Тиррингом и Вессом (1964). Обстоятельный анализ модели Швингера в различных калибровках (в том числе лоренцевой и кулоновой) дан в статье Ловенштейна и Сенеки (1971), которая была использована нами в § 11.3. В работе Капри и Феррари (1981) модель Швингера изучается в произвольной ковариантной калибровке. По поводу гамильтонова подхода к модели Швингера см. работы Кашера и др. (1974), Данилова и др. (1980, 1982), Ито (1980). Методом функцио-
нального интегрирования модель Швингера изучалась Роте и Свиека (1978), Красниковым и др. (1980), Куликовым (1983); в этих работах значительное внимание уделено аномалии псев- довекторного тока (об аномалиях аксиального тока в четырехмерной QED см. Адлер, 1970). Явно решаемыми являются также модели Федербуша (см. Федербуш, 1961а, б; Уайтман, 1967а; Рихсенар, 1982), Лиувилля и ее обобщения — суперсимметричная модель Лиувилля и модель Тода (Джорджадзе и др., 1979; Лезнов и Савельев, 1979; Гуцвилер, 1980-1981; Куртрайт и Торн, 1982; Братен и др., 1982; Д'Хокер и Джекив, 1982; Лезнов и Федосеев, 1983; Лезнов и Хрущев, 1983; Олив и Турок, 1983; Мансфилд, 1983; Жэрвэ и Невё, 1983). Более широкий класс составляют так называемые вполне интегрируемые двумерные квантовые модели, куда попадают модели МТ, SG, киральные поля. Первоначально модель МТ изучалась Березиным и Суш ко (1965), которые диагонализовали гамильтониан и построили 5-матрицу в нефизическом представлении. В последующих работах были, в частности, построены 5-матрицы для указанных моделей (по поводу этих моделей см. Дашен и др., 1975; Фаддеев и Корепин, 1975; Фрёлих, 1975, 1976а, б; Фрёлих и Парк, 1977; Замолодчиков, 1977; Разумов, 1977; Каровский и Вейс, 1978; Берг и Вейс, 1978; Берг и др., 1979; Корепин, 1979; см. также обзоры Фаддеева и Корепина, 1978; Фаддеева, 1979; Изергина и Корепина, 1982). Значительный прогресс в изучении общих двумерных моделей достигнут в конструктивном подходе; см. об этом [С1], Фрёлих (1978), [Г7].
Глава 12. Основные результаты этой главы принадлежат Хаагу (1958) и Рюэлю (1962). Рюэль освободил первоначальное доказательство Хаага от «технических» предположений и, в частности, доказал усиленное кластерное свойство (предложение 12.4). Другие варианты кластерного свойства доказывались Араки (1960а), Йостом и Хеппом (1962), Араки и др. (1962). Лемма 12.10 также была доказана Рюэлем; приводимое нами доказательство дано Йостом (1966). Доказательство Рюэля пуанкаре-инвариантности 5-матрицы (теорема 12.1, часть (б)) было дополнено в статье Стритера (1967а), которая использовалась нами. Изложения теории Хаага-Рюэля имеются также в [И5] (гл. VI), [Р2] (§ XI.16). Бухгольц (1975, 1977) распространил теорию Хаага-Рюэля на безмассовые частицы; Стритер (1964) — на почти локальные поля; Иофа и Файнберг (19696) (см. также Файнберг, 1972; Штейнман, 1970; Бюмерштеде и Люкке, 1974; Соловьев М. А., 1980а) — на неренормируемые теории. Теория рассеяния в терминах локальных алгебр была дана Араки и Хаагом (1967) (в этой связи см. обзор Араки, 1969). Они показали, что принципиально теорию рассеяния можно формулировать в терминах одних только наблюдаемых (без использовании операторов фермионного типа или изменяющих заряд), хотя такая формулировка была бы более громоздкой.
Глава 13. Т-произведения квантовых полей и их вакуумные средние — причинные функции Грина (§ 13.1) были введены Дайсоном (1949) и Швингером (1949). Причинные функции Грина изучались Циммерманом (1954а-г). Как отмечено в п. 13.1.А, «наивные» определения типа (13.1), вообще говоря, страдают неопределенностью, имеющей ту же природу, что и ультрафиолетовые расходимости в теории возмущений. Излагаемый «аксиоматический» подход к Т-произведениям (п. 13.1.А) был предложен Боголюбовым (1955) как метод построения схемы перенормировок (см. [Б8], гл. IV, V; эти идеи развивались также в работах Степанова, 1963, 1965; Хеппа 19666, 1971; Циммермана, 1970; Эпштейна и Глазера, 1971, 1973; Ширкова, 1976). Запаздывающие произведения (п. 13.1.Б) введены Леманом и др. (1957) (см. также Полкинхорн, 1956, 1957). Связь запаздывающих функций с функциями Уайтмана обсуждалась Штейнманом (I960, 1963а, б, 1968). Первоначальная формулировка подхода, называемого формализмом LSZ (Леман и др., 1955, 1957), включала асимптотическое условие (13.65) в качестве аксиомы. Несколько модифицированный подход разрабатывался в работах Нишиджимы (1957-1959). Играющие важную роль в подходе LSZ формулы (13.67) были впервые написаны Янгом и Фельдманом (I960) и Челленом (I960), которые получили их интегрированием гейзенберговых уравнений движения. В работах о связи между формализмами LSZ и Уайтмана Хепп (19636, 1965а, 1966а) показал, что асимптотическое условие, а также уравнения Янга-Фельдмана и формулы редукции выводятся из формализма Уайтмана при дополнительных предположениях (п. 13.1.В). Результаты Хеппа изложены в § 13.2. Хепп (1964в) доказал также кластерное свойство для 5-матричных элементов при пространственноподобном разделении аргументов. Структура одночастичных особенностей
функций Грина и 5-матричных элементов исследовалась Циммерманом (1959, I960), Стритером (19626), Хеппом (19656); по поводу многочастичной структуры см. Симанзик (I960), Брос (1970), Лассаль (1974), Брос и Лассаль (1975). Глазер и др. (1957) переформулировали теорию LSZ в терминах r-функций (см. также Штейнман, 1968, 1972). Теория возмущений в формализме LSZ рассматривалась Нишиджимой (I960), Мураскиным и Нишиджимой (1961), Фридом (1962), Штейнманом [Ш8]. Проблема связанных состояний обсуждалась Циммерманом (1958), Нишиджимой (1958), Бауманом (1958); в частности, Циммерман показал, что всякое связанное состояние с нулевым спином может быть описано локальным скалярным полем. Формулировка квантовой электродинамики в формализме LSZ имеется у Накани- ши (1974). Обзор техники LSZ и ее применений дан в [Б1].
Глава 14. 5-матричный метод Гейзенберга (1943) в релятивистской квантовой теории был предшественником и даже родоначальником аксиоматического 5-матричного метода (или метода микропричинной 5-матрицы), изложенного в гл. 14. Этот подход позволил, однако, получить динамические соотношения между 5-матричными элементами лишь после введения в теорию вариационных производных по классическим полям (см. Боголюбов, 1952 и обзор Боголюбова, 1958), в терминах которых удалось сформулировать условие микропричинности (Боголюбов, 1955; Боголюбов и Ширков, 1955; [Б8]). До этого на роль причинности обращали внимание Штюкельберг и Ривье (I960), Штюкельберг (1951), не предложив, однако, законченной формулировки. Совместное использование свойств причинности и спектральности позволило доказать дисперсионные соотношения для упругого пион-нуклонного рассеяния (Боголюбов, 1956; [Б6]). В процессе доказательства дисперсионных соотношений 5-матричный подход был сформулирован как самостоятельное направление (см. [Б6]) и получил дальнейшее развитие в работах Медведева, Поливанова, Суханова и других авторов. Один из основных результатов этого направления состоит в выявлении динамической роли условия причинности, которое записывается в виде (14.53) и трактуется как уравнение движения (Медведев и Поливанов, 1961, 1964; Медведев, 1961, 1964). Формально 5-матричная формулировка может быть приведена к лагранжевой или к гамильтоновой формам (Суханов, 1965; Медведев, 1966; Медведев и др., 1971), различия между которыми проистекают из различия между виковским и дайсоновским Т-произведениями (обсуждение этого вопроса см. у Суханова (1961, 1964), Медведева и Суханова (1975); в работе Медведева и др. (1968а) введено также понятие квазинормального произведения и исследована связь с виковским произведением). Обсуждение трудностей, связанных с адиабатической гипотезой (проявляющихся, в частности, в неоднозначности сужения обобщенных функций в р-пространстве на массовую оболочку), и конструктивные рецепты даны Медведевым и Поливановым (1967а). (В связи с этой проблемой в п. 14.1.Б нам пришлось расширить класс допустимых основных функций.) Исследованы также проблема перенормировок в матричном методе (Медведев и др., 19686, 1972; см. обзор Медведева и Поливанова, 1969) и специфические особенности квантования моделей взаимодействия с производными (Медведев и Поливанов, 19676; Медведев и др., 1968в). Связь с формализмом LSZ обсуждалась в работах Файнберга В. Я. (1961), Суханова (1964), Медведева (1965), Медведева и др. (1972). В частности, было показано (Медведев, 1965), что поле, определенное равенствами (14.54), (14.67), является локальным. Связь с алгебраическим подходом исследовалась Славновым Д. А. (1977), Ильиным и Славновым (1978). Квантовая электродинамика в 5-матричном подходе рассматривалась Пью (1965-1966), Соловьевым Л. Д. (1973), Пронько (1974), Бажановым и др. (1979). 5-матричный метод возмущений, а также вопрос о допустимом числе производных в квазилокальных операторах для соответствия с теорией LSZ рассматривался Медведевым и Поливановым (1961, 1964), Сухановым (1966). В работах Пью (1963, 1965-1966), Файнберга В. Я. (1964), Рорли- ха (1964), Рорлиха и Вилнера (1966), Рорлиха и Рея (1966), Ченя и др. (1966), Ченя (1967), Рея (1968) разрабатывались другие регуляризованные формы основных уравнений (краткий обзор имеется в [Б5], §4.4). Важное понятие радиационного оператора было введено в [Б6] (§ 2). В [Б5] (п. 3.3.6) было дано определение радиационных операторов (штейнмановского типа), аналогичное штейнмановским мономам в теории LSZ. Конструкция и свойства радиационных операторов (рюэлевского типа) рассматривались Медведевым и др. (1977а, б), Павловым (19786). С 5-матричным методом можно познакомиться по обзорам Медведева
и Поливанова (1964), Поливанова (1965), Медведева и др. (1972), Завьялова [31] (§ 1.3). В нашем изложении 5-матричного подхода изменены некоторые стандартные детали. Мы не настаиваем на разложении (14.21) по нормальным произведениям, а трактуем вариационные производные по асимптотическим полям как формальные. У нас допускается случай произвольного спина, а исходное условие причинности формулируется в виде (14.31) (вместо (14.40г)).
Глава 15. Начало изучению аналитических свойств релятивистских амплитуд было фактически положено в работе Гелл-Мана и др. (1954), где было предложено дисперсионное соотношение для двухчастичного упругого рассеяния (см. также Гольдбергер, 1955; Гольдбергер и др., 1955). В рамках квантовой теории поля дисперсионные соотношения для 7г^-pacceяния были впервые обоснованы Боголюбовым (1956); полное доказательство было дано в монографии [Б6]. Другие доказательства были даны Симанзиком (1957) (для рассеяния вперед), Бремерманом и др. (1958). Предложенная в [Б6] схема доказательства (см. п. 15.2.А) по существу сохранилась в дальнейших работах, хотя и подвергалась усовершенствованиям, главным образом благодаря применению представления ИЛД. Леман (1958) доказал аналитичность по t амплитуды рассеяния (п. 15.1.В) и абсорбтивной части (п. 15.2.Г) в физической области. Более общие результаты об аналитических свойствах абсорбтивной части были получены в работе Владимирова и Логунова (1959), где, в частности, доказаны дисперсионные соотношения для ряда процессов виртуального рассеяния, когда одна или две частицы находятся вне массовой оболочки (в этой связи см. также Логунов и Соловьев, 1959; Эмэ и Тейлор, 1959). Кроме того, Хеппом (19646) было показано (см. пп. 15.2.В, 15.2.Г), что использование представления ИЛД позволяет избежать некоторых априорных «технических» допущений о полиномиальной ограниченности (по s) амплитуды T(s, t, G，G) в нефизической области, которые делались раньше. Вслед за доказательством в случае 7г^-pacceяния были получены дисперсионные соотношения для ряда упругих процессов типа комптоновского рассеяния на нуклонах (Боголюбов и Ширков, 1957), для (неупругих процессов) фоторождения пионов на нуклонах (Логунов и др., 1957; Чу и др., 1957), а также для процессов с участием странных частиц (Окубо, 1958; Поливанов, 1958; Джин, 1959; Тодоров, I960). Логуновым (1958) было получено дисперсионное соотношение для неупругих процессов 2 т 3; в частности, для двойного комптон-эффекта @ + 丁 т @ + 2) была указана область параметров, при которых ненаблюдаемая область энергий в дисперсионном интеграле отсутствует. Подробный вывод и обобщения даны в работах Логунова и Тавхелидзе (1958), Логунова и др. (1958). Это направление получило дальнейшее развитие в работах Логунова и др. (19776, 1979), где доказаны дисперсионные соотношения для упругого процесса с двумя безмассовыми частицами (например, 2)+ N т 2)+ N) и так называемая «обобщенная оптическая теорема», высказанная Мюллером (1970); она связывает один из скачков амплитуды 3 т 3 с инклюзивным спектром инклюзивного процесса 羽 + ”2 т "з + … Подход Мюллера получил развитие также в работах Стаппа (1971), Кахила и Стаппа (1972). В связи с дисперсионными соотношениями изучалась также проблема спектрального представления трехточечных функций (Намбу, 1958; Эмэ, 1958; Дезер и др., 1959). Йост (1958) построил контрпример, показывающий невозможность получения в общем случае спектрального представления для вершин только на основе локальности и спектральных условий. Поэтому было предложено дисперсионное соотношение для вершины, соответствующей реальному процессу распада частицы на две частицы (причем массы распадающихся частиц рассматриваются как свободные энергетические переменные); см. Гольдбергер и Трей- ман (1958) (распад тг т 从 + 丁)，Тодоров и Хрусталев (1959) (процессы распада К-мезона и гиперона на два адрона: К т 2тг, У т N + тг). По поводу вывода дисперсионных соотношений в классе неперенормируемых теорий предэкспоненциального роста в р-пространстве см. Лазур и Химич (1981).
Наряду с аналитичностью, выводимой только из общих принципов квантовой теории поля, определенный интерес представляют аналитические свойства амплитуд в теории возмущений. Эффективный прием исследования аналитичности фейнмановских диаграмм (метод мажорирования), дающий информацию об аналитических свойствах амплитуды данного процесса во всех порядках, был предложен Намбу (1957) и Симанзиком (1958). Он получил
дальнейшее развитие и применение в работах Наканиши (1959, 1962-1964), By (1961), Логунова и др. (1962), Лю-И-Ченя и Тодорова (1963), Мествиришвили и Тодорова (1963), Чоу (1966). Как отмечалось на с. 605, на этом пути удалось доказать «пертурбативные» дисперсионные соотношения для некоторых процессов, для которых дисперсионные соотношения не доказаны из общих принципов. Другой метод акцентирует внимание на топологии особенностей конкретной диаграммы (см. работы Ландау Л. Д. (1959), Полкинхорна и Скритона (I960), Куткоски (I960),①аулера (1963), Петрины (1963),①едербуша (1965), Вестуотера (1967), Риска (1968), Понцано и др. (1969), Голубевой (1976)). По поводу обзоров аналитических свойств в теории возмущении см. [И2, Ф2, Х8, Т5].
Обзоры дисперсионных соотношений и их применений имеются у Лемана (1959), Гольдбергера (I960), Онэ (I960), Зоммера (1970); см. также [Х6, Ш7, Г8, Б1, Б6]. Некоторые применения затрагиваются в дополнении К и гл. 17. Из других приложений отметим дисперсионные правила сумм для сильных взаимодействий (Соловьев Л. Д., 1966; де Альфаро и др., 1966). Синтез аналитичности амплитуды с реджевской теорией (Редже, 1959; Чу и Фрау- чи, 1961; Фруассар, 1961; Грибов, 1962а, б) нашел отражение в правилах сумм при конечных энергиях (Логунов и др., 1967а; Иги и Мацуда, 1967; Гатто, 1967), в модели Венециано (1968) и ее обобщениях. С этими темами можно познакомиться в обзорах Мандельстама (1970), Хара (1972), Венециано (1974), [АЗ, Ш5].
На основе идеи аналитичности возник еще один 5-матричный подход (отличный от метода микропричинной 5-матрицы, изложенного в гл. 14): Чу [41, 42], Стапп (1968), Чендлер (1968-1969), Чендлер и Стапп (1969), Фам [①1], Костер и Стапп (1970), Чу и Розенцвейг (1978), Ягольницер [Я1]. Поля в этом подходе подвергаются остракизму, так что это уже не теория поля, а «чистая» теория 5-матрицы. В зависимости от акцентов, которые делаются в исходных положениях, этот подход называют либо методом аналитической, либо макропричинной 5-матрицы.
Глава 16. На роль ОЗФ обратил внимание Полкинхорн (1956, 1957). Изучение ОЗФ фактически началось с работы Йоста (1958) о трехточечной функции Грина, где эффективно использован полный набор из шести ОЗФ. Рассматриваемый нами класс ОЗП и ОЗФ (§ 16.1) был введен иным способом Штейнманом (I960, 1963а). Излагаемая нами конструкция основывается на аналогии с конструкцией обобщенных запаздывающих операторов (п. 14.1.Г) (предложенной в [Б5], п. 3.3.6). Полный (для п > 5) набор ОЗФ был построен Рюэл- лем (19616), а также Араки (1961а, б) (см. также Араки и Бургойн, I960). Помимо работ Штейнмана (I960, 1963а) в § 16.1 были использованы лекции Броса (1965) и Эпштейна (1966). Для дальнейшего ознакомления со свойствами ОЗП и ОЗФ см. работы Медведева и др. (1977а, б), Павлова (19786) (здесь фактически рассматриваются запаздывающие радиационные операторы, свойства которых вполне аналогичны свойствам ОЗП). Результаты §§ 16.2, 16.3 были получены Бросом и др. (1964, 1965) (см. также лекции Эпштейна, 1966). Эпштейн и др. (1969) вывели результаты об аналитичности процессов 2 T 2 нз аксиом алгебраического подхода. Результаты об аналитичности амплитуд 2 T 2 по двум переменным (s, t) были получены также Мандельстамом (I960) и Леманом (1966). Метод ОЗФ использовался Бросом и др. (1972) для изучения аналитических свойств n-точечных функций. Для процесса 3 т 3 (вперед) с двумя безмассовыми частицами в работе Логунова и др. (1977) была развита техника, позволяющая доказать дисперсионное соотношение. Более общие результаты были получены Музафаровым и Павловым (1978), Павловым (1978а), Логуновым и др. (19796), Медведевым и др. (1982).
Дополнение К. Основной результат (теорема Кб) был получен Мартеном (19666). Фигурирующий в этой теореме параметр 从 уточнялся для конкретных процессов Зоммером (1967а), Бессисом и Глазером (1967). Обобщение результата Мартена на неупругие двухчастичные процессы были сделаны Зоммером (1967в, г), а для частиц со спином в работах Зоммера (19676), Мау и Мартена (1968, 1970), Белла (1969), Ежелы и Мествиришвили (1971). Для дальнейшего ознакомления с затронутыми вопросами см. обзоры Мартена [М4], Зоммера (1970), Логунова и др. (1972).
Глава 17. Ограничения (17.3)—(17.5) были получены Фруассаром (1961) в предположении справедливости представления Мандельстама. Теорема Мартена (п. К.2) позволила вывести эти оценки из аксиом квантовой теории поля. (Гринберг и Л оу (1961) заметили, что для этого достаточна аналитичность амплитуды по t в эллипсе типа (К.54); из аналитичности в эллипсе Лемана они получили более слабое ограничение. С другой стороны, из представления Мандельстама, Киношита и др. (1964) получили также более сильное ограничение чем (17.4), зато и более сингулярное по sin。.) Следствие 17.3 о числе вычитаний в дисперсионном соотношении было получено Джином и Мартеном (19646), Мартеном (1966а). По поводу обобщений оценок на случай рассеяния частиц со спином см. Хара (1964), Корниль (1964), Мау и Мартен (1968, 1970), Белл (1969), Ежела и Мествиришвили (1971) (по поводу техники оценок см. также Ежела, 1980). Неравенство (17.26) получил Мартен (19636); неравенства (17.27), (17.28) получили Логунов и др. (1968). В связи с неравенствами (17.32) см. Джин и Мартен (1964а), Сугавара (1965), Вернов (19736). По поводу нижних границ для амплитуды рассеяния на ненулевой угол см. Черулус и Мартен (1964), Киношита (1964), Мартен (1965а). Использование положительности позволяет получить численные оценки для амплитуд рассеяния; см. Коммон и Индюрен (1970), Оберсон и др. (1974-1975), Лопе и Меннесье (1977). Мартен (1963а, б), Макдоуэл и Мартен (1964), Бессис (1966) получили некоторые ограничения для дифференциального пика. Мартен (1965а) получил ограничение снизу на формфактор при 力 т ос (в этой связи см. также Волков и др., 1969; Балуни и Бродхерст, 1977). Джаффе (1966) распространил результат Мартена на класс локализуемых неперенормируемых теорий. В первоначальной форме теорема Померанчука (1958) содержала предположение, что полные сечения стремятся к константам при s т 8. Сугавара и Каназава (1961), Вайнберг (1961) доказали теорему при более слабых предположениях, а Мейман (1962) предложил гибкую формулировку, использующую «эталонные» функции для асимптотик сечений при s т 8. Предложение 17.10 (типа теоремы Померанчука) доказано Мартеном (19656). Предложение 17.7 и ряд других асимптотических теорем доказаны Волковым и др. (1970). Теоремы типа Померанчука были распространены на дифференциальные сечения в работах Логунова и др. (1963, 1966, 1972) (где был применен метод «эталонных» функций) и ван Хова (1963). Вернов (1970) получил соотношение между амплитудами T(±)(s, 0) в виде числового неравенства для некоторого функционала от их отношения. Ряд других асимптотических теорем для амплитуд рассеяния получены в работах Джина и Макдоуэла (1965), Киношита (1965), Идена (1966), Вернова (1967, 1973а, б), Жэрвэ и Индюрена (1967-1968), Балуни и др. (1970), Корниля (1970), Фишера и др. (1976). По вопросам, затронутым в § 17.1, имеются обзоры Идена (1964), Логунова и др. (1966, 1972, 1978), Эпштейна (1968), Мартена [М4], Мартена и Чуня [М5]. Обсуждение асимптотических теорем в рамках тех или иных моделей см., например, в работах ван Хова (1964), [И1], Мандельстама (1970), Ширкова (1970), Хара (1972), Тюрина и Хрусталева (1975), Соловьева и Щелкачева (1975), [АЗ, Ш6].
Изучение инклюзивных процессов было предложено Логуновым, Мествиришвили и Нгуен Ван Хьеу (Логунов и др., 19676) и Бьёркеном (1968) (который обратил внимание на важность исследования глубоконеупругих лептон-адронных процессов). Термин «инклюзивный процесс» (а также «эксклюзивный») ввел Фейнман (1969). В работе Логунова и др. (19676) рассматривалось суммарное дифференциальное сечение процессов с одной выделенной конечной частицей, и для этого сечения в рамках аксиоматического подхода были получены высокоэнергетические оценки сверху. Кроме того, была установлена аналитичность сечения процесса по угловой переменной г = cos。. (Ранее для «эксклюзивного» процесса 2 т 3 аналитичность по cos。в эллипсе Лемана была доказана Асколи и Мингуци, I960). Высокоэнергетические оценки несколько иного типа (с сингулярностями не только при cosO = =±1, но и при cos。= 0) были получены также Тиктопулосом и Трейманом (1968а, б). После экспериментального открытия масштабной инвариантности в инклюзивных процессах был предложен ряд моделей, объясняющих это явление; среди них — гипотеза предельной фрагментации (Бенеке и др., 1969), партонная модель (Фейнман, 1969, [ФЗ, К10], Альта- релли, 1982). Методы квантовой теории поля нашли новое эффективное применение (см., в частности, Брандт, 19706; Гросс и Весе, 1970; Препарата, 1972; Вильсон и Циммерман, 1972).
Теоретико-полевой анализ принципа автомодельности в глубоконеупругих лептон-адронных процессах (см. обзор Матвеева и др., 1971) был дан Боголюбовым и др. (1972) на основе представления ИЛД. В последующих работах Вицорека и др. (1973), Завьялова Б. И. (1973, 1977), Брюнинга и Штихеля (1974), Смирнова (1978), Владимирова и Завьялова (1980, 1982) были построены весьма общие классы асимптотик, совместимых с общими принципами (с локальностью и спектральностью). Новый стимул получила конформно-инвариантная квантовая теория поля (Мак и Салам, 1969; Бульвар и др. 1970; Мигдал, 1971; Тодоров, 1972; Мак и Тодоров, 1973; Рюль, 1973; Поляков, 1974а, Шроер и др., 1975; Фрадкин и Пальчик, 1976; обширная библиография по конформной инвариантности имеется в монографии [Тб] и в лекциях Петковой и др., 1983). В § 17.2 отражены только самые общие теоретикополевые результаты об инклюзивных процессах, не основанные на каких-либо модельных предположениях. Предложения 17.13 и 17.14 были получены в работе Логунова и др. (19676), предложение 17.12 — в работах Ежелы и др. (1971), Ежелы (1971). В работах Ежелы и др. (1971, 1973) исследуется дифференциальное инклюзивное сечение по двум угловым переменным (仇夕)и анализируются гипотезы пионизации, масштабной инвариантности и предельной фрагментации (с точки зрения аналитичности и унитарности); получены ограничения для моментов инклюзивных распределений по энергии детектируемых частиц при фиксированном угле вылета. Результаты в этом направлении были получены также Тикто- пулосом и Трейманом (1972). При дополнительном предположении, что область аналитичности инклюзивного дифференциального сечения по cos 0 в инклюзивном процессе >q + 〃2 T т 〃з + ... определяется t-канальным порогом, Логунов и др. (1974, 1978) получили более сильные ограничения сверху, а также нижнюю границу убывания с ростом поперечного импульса (в этой связи см. также работу Архипова и Саврина, 1977). Отметим, что такой областью аналитичности обладают дифференциальные сечения, моделируемые отдельными диаграммами (Рчеулишвили и Самохин, 1975), или суммами диаграмм лестничного типа (Дьяконов и Рочев, 1977). Аналогичное требование аналитичности для упругого двухчастичного процесса (более слабое, чем аналитичность из представления Мандельстама) использована в работе Логунова и др. (1979а) для моделирования экспериментально наблюдаемых нижних границ дифференциальных сечений рассеяния адронов вперед при больших s. Асимптотическая связь между процессами глубоконеупругого рассеяния и инклюзивной аннигиляции исследована в работе Петрова (1977). Более подробное обсуждение результатов об инклюзивных процессах (в том числе полученных теоретико-полевыми методами) можно найти в обзорах Логунова и др. (1978, 1983). По поводу обзоров применений квантовой хромодинамики (в частности, методов ренормгруппы и операторных разложений) к инклюзивным процессам см. Полицер (1974), Крюзер (1976), Докшицер и др. (1980), Мюллер (1981), Венециано (1982), Радюшкин (1983), Тейлор Дж. К. (1983).
Список литературы
Книги
А1. Адлер С., Дашен Р. Алгебры токов и их применения в физике частиц. — М.: Мир, 1970.
А2. Axiomatic approach to quantum field theory and many body problem. Fifth Winter School of Theoretical Physics (Karpacz, 1968). — Wroshw: University of Wroshw, 1968/69, v. 1, 2.
АЗ. “с Альфаро В, Фубини С., Фурлан Г., Росетти К. Токи в физике адронов. — М.: Мир, 1976.
А4. Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Мир, 1970.
А5. Atiyah M.F. Geometry of Yang-Mills fields. Lezione Fermiane. — Piza: Scuola Normale Superiore, 1979.
Аб. Ахиезер ". 〃.， Глазман И. M. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. —М.: Наука, 1966.
А7. Ахиезер Н.И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1981.
Б1. Бартон Г. Дисперсионные методы в теории поля. — М.: Атомиздат, 1968.
Б2. Барут А., Рончка Р. Теория представления групп и ее приложения. — М.: Мир, 1980, т. 1, 2.
БЗ. Бейтман「.，Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973, т. 1, 2.
Б4. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. — М.: Наука, 1965.
Б5. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969.
Б6. Боголюбов Н.Н., Медведев Б. В., Поливанов М.К. Вопросы теории дисперсионных соотношений. — М.: Физматгиз, 1958.
Б7. Боголюбов Н.Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод в теории сверхпроводимости. —М.: Изд-во АН СССР, 1958.
Б8. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984.
Б9. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантованные поля. — М.: Наука, 1980.
Б10. Bognar J. Indefinite inner product spaces. — В: Springer-Verlag, 1974.
Б11. Вохнер С., Мартин Т. Функции многих комплексных переменных. — М.: ИЛ, 1951.
Б12. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. —М.: Мир, 1982.
Б13. Бъёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978, т. 1, 2.
Вайтман А. Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей. — М.: Наука, 1968.
Varadarajan U.S. Geometry of quantum theory. — Princeton: Van Nostrand, 1968, v. 1, 2.
Васильев A.H. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.
Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947.
Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. — М.: ИЛ, 1947.
Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961.
Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. — М.: Наука, 1965.
Винер 〃.，Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. — М.: Наука, 1964.
Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. — М.: Наука, 1964.
В10. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1964.
Bl 1. Woodhouse N. Geometric quantization. — Oxford: Clarendon Press, 1980.
Г1. Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969.
Г2. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращения и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958.
ГЗ. Гельфанд М.М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции, вып. 1). — М.: Физматгиз, 1958.
Г4. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций (обобщенные функции, вып. 2). — М.: Физматгиз, 1958.
Г5. Гельфанд И.М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 4). — М.: Физматгиз, 1961.
Гб. Гельфанд И.М., Граев М. И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений (Обобщенные функции, вып. 5). — М.: Физматгиз, 1962.
Г7. Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики: Подход с использованием функциональных интегралов. — М.: Мир, 1984.
Г8. Гольдбергер М.Л「Ватсон К.М. Теория столкновений. — М.: Мир, 1967.
Г9. Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. — М.: Мир, 1981.
ПО. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Наука, 1971.
П1. Грауэрт Г., Ли б И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Мир, 1971.
Г12. Гриб А.А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля. — М.: Атомиздат, 1978.
ПЗ. Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics. Lectures at the Istanbul Summer School of Theoretical Physics (1962) / Ed. Giirsey F. — N. Y., L.: Gordon and Breach, 1964.
Д1. Данфорд 〃.，Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
Д2. Jaffe A., Taubes С. Vortices and monopoles. Structure of static gauge theories. — Boston: Birkhauser, 1980.
ДЗ. Dixmier J. Les algebres d'opCrateurs dans 1'espace Hilbertien (Algebres de von Neumann). —P.: Gauthier-Villars, 1969.
Д4. Диксмъе Ж. С*-алгебры и их представления. — М.: Наука, 1974.
Д5. Дирак П.А.М. Лекции по квантовой механике. — М.: Мир, 1968.
Д6. Дирак П.А.М. Пути физики. — М.: Энергоатомиздат, 1983.
Е1. Ефимов Г. В. Нелокальные взаимодействия квантованных полей. — М.: Наука, 1977.
Ж1. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М.: Наука, 1970.
Ж2. Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.— М.: Наука, 1974.
ЖЗ. Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. — М.: Наука, 1983.
Завьялов О. И. Перенормированные диаграммы Фейнмана. — М.: Наука, 1979.
Зайлер Э. Калибровочные теории: Связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой. — М.: Мир, 1985.
И1. Иден Р. Соударения элементарных частиц при высоких энергиях. — М.: Наука, 1970.
И2. Eden R.J., Landshoff Р. И, Olive D.I., Polkinghorne J. С. The analytic S-matrix.— Cambridge University Press, 1966.
ИЗ. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
И4. Ициксон К., Зюбер Ж-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984, т. 1, 2.
И5. Йо ст Р. Общая теория квантованных полей. — М.: Мир, 1967.
KI. Kabir Р.К. The СР puzzle: strange decays of the neutral kaon. — N. Y.: Academic Press, 1968.
K2. Канторович 〃. В, Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. —М.: Наука, 1977.
КЗ. Cargese lectures in physics, 1969 / Ed. Kastler D. — N. Y.: Gordon and Breach, 1970, v. 4.
K4. Cargese lectures in physics, 1975, Part A.: Weak and electromagnetic interactions at high energy. — N. Y.: Gordon and Breach, 1976.
K5. Kastler D. Introduction a relectrodynamique quantique. — P.: Dunod, 1961.
Кб. Kamo T. Теория возмущенных линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
К7. Квантовая теория калибровочных полей (НФФ, вып. 8) / Под ред. Н. П. Коноплевой.— М.: Мир, 1977.
К8. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978.
К9. Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша-Жордана представлений групп. — Киев: Наукова думка, 1979.
К10. Клоуз Ф. Кварки и партоны. — М.: Мир, 1982.
КН. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. —М.: Наука, 1976.
К12. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М.: Атомиздат, 1980.
К13. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2: Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.
К14. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973.
Л1. Lectures in Theoretical Physics. Lorenz Group, Summer Institute for Theoretical Physics. University of Colorado (Boulder, 1964) / Eds. Brittin W. E., Barut A. O. — The Colorado University Press, 1965, v. VIIA.
Л2. Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory, 1970 Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics / Eds. Deser S., Grisaru M., Pendleton H.— Cambridge (Mass.) e. a.: The M. I. T. Press, 1970, v. 1, 2.
ЛЗ. 〃〃 Ц., By Ц. Слабые взаимодействия. — M.: Мир, 1968.
Л4. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применения в физике. — М.: Гостехиздат, 1957.
Ml. Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. — М.: Мир, 1965.
М2. Mackey G. W. Induced representations of groups and quantum mechanics. — N. Y.: Benjamin, 1968.
М3. Малъгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
М4. Martin A. Scattering theory: unitary, analyticity and crossing. — N. Y.: Springer, 1969 (русский перевод: [01], с. 11-130).
M5. Martin A., Chung F. Analiticity properties and bounds of the scattering amplitudes.— N. Y.: Gordon and Breach, 1969.
Мб. Материалы Междунар, совещ. по пробл. множественного рождения и инклюзивным реакциям при высоких энергиях. (Серпухов, 1976). — Серпухов, ИВФЭ, 1977.
М7. Междунар, зимняя школа теорет. физики при Объед. ин-те ядерных исслед. (Дубна, 1964). - Дубна: ОИЯИ, 1964, т. 1-3.
М8. Междунар, конф, по мат. пробл. квантовой теории поля и квантовой статистики (Москва, 1972), ч.1, II. Тр. МИАН, т. 135, 136. - М.: Наука, 1975.
М9. Менский М. Б. Метод индуцированных представлений: Пространство-время и концепция частиц. — М.: Наука, 1976.
М10. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных функций. — М.: ИЛ, 1959/63, т. 1, 2.
Ml 1. Мишель Л., Шааф Ф. Симметрия в квантовой физике, НФФ, вып. 3. — М.: Мир, 1974.
М12. Monopoles in quantum field theory / Eds. Craigie N., Goddard P., Hahm W. — Singapore: World Scientific Publ. Co., 1982.
M13. Мэтьюс П. Релятивистская квантовая теория взаимодействия элементарных частиц.— М.: ИЛ, 1959.
Н1. Наймарк М.А. Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958.
Н2. Наймарк М.А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968.
НЗ. Нгуен ван Хъеу Лекции по теории унитарной симметрии элементарных частиц. — М.: Атомиздат, 1967.
Н4. Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.
Н5. Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц. — М.: Наука, 1972.
Н6. Новые свойства симметрии элементарных частиц. — М.: ИЛ, 1957.
01. Общие принципы квантовой теории поля и ее следствия / Под ред. В. А. Мещерякова. —М.: Наука, 1977.
02. Окунь Л. Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц. — М.: Физматгиз, 1963.
03. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. — М.: Наука, 1981.
04. Ohnuki У., Kamefuchi S. Quantum field theory and parastatistics. — B. e. a.: University of Tokyo Press, Springer-Verlag, 1982.
П1. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — M.: Наука, 1973.
Pl. Relations de dispersion et particules elementaires. Ecole d'6t£ de physique theorique, Universite de Grenoble (Les Houches, I960) / Eds. de Witt C., Omnes R. — P.: Hermann, 1960.
P2. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. — М.: Мир, 1977/82, т. 1-4.
РЗ. Rickart С.Е. General theory of Banach algebras. — Princeton: Van Nostrand, 1960.
P4. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
Р5. Рюэль Д. Статистическая механика. — М.: Наука, 1971.
С1. Саймон Б. Модель Р(з)2 евклидовой квантовой теории поля. — М.: Мир, 1976.
С2. Sakai S. C*-algebras and VK*-algebras. — В. e. a.: Springer-Verlag, 1971.
СЗ. Сегё Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962.
С4. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. — М.: Мир, 1968.
С5. Славное А. А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей.— М.: Наука, 1978.
С6. Speer E.R. Generalized Feynman amplitudes. — Princeton (N. Y.): Princeton University Press, 1969.
C7. Статистическая физика и квантовая теория поля / Под ред. Н. Н. Боголюбова. — М.: Наука, 1978.
С8. Стриттер Р., Бейтман А. РСТ, спин и статистика и все такое. — М.: Наука, 1966.
С9. Supersymmetry and supergravity / Ed. Jacob M. — Singapore: Word Scientific, 1986.
Tl. Тейлор Дж. Калибровочные теории электрослабых взаимодействий. — М.: Мир, 1978.
Т2. Теоретико-групповые методы в физике / Под ред. М. А. Маркова. — М.: Наука, 1983, т. 1, 2.
ТЗ. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948.
Т4. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980.
Т5. Todorov /. Т. Analytic properties of Feynman diagrams in quantum field theory. — L.: Pergamon Press, 1971.
T6. Todorov /.7., Mintchev M. C., Petkova V. B. Conformal invariance in quantum field theory. — Pisa: Scuola Normale Superiore, 1978.
T7. Tp. Междунар, совещ. по нелокальной квантовой теории поля. — Дубна: ОИЯИ, 1968.
У1. Умэдзава X. Квантовая теория поля. — М.: ИЛ, 1958.
У2. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.
Ф1. Фам Ф. Особенности процессов многократного рассеяния. — М.: Мир, 1976.
Ф2. Фам Ф. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. — М.: Мир, 1970.
ФЗ. Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами. — М.: Мир, 1975.
Ф4. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
Ф5. Friedrichs К. О. Mathematical aspects of quantum theory of fields. — N. Y.: Interscience Publ., 1953.
XI. Хамермеш M. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.
Х2. Hanson A.J., Regge Г, Teitelboim С. Constrained Hamiltonian systems. — R.: Academia Naz. dei Lincei, 1976.
ХЗ. Хенли 3., Тирринг В. Элементарная квантовая теория поля. — М.: ИЛ, 1963.
Х4. Хепп К. Теория перенормировок. — М.: Наука, 1974.
Х5. Хепп К., Эпштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля. — М.: Атомиздат, 1971.
Х6. Hilgevoord /. Dispersion relations and causal description. An introduction to dispersion relations in field theory. — Amsterdam: North-Holland, 1960.
X7. Холе во А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М.: Наука, 1980.
Х8. Хуа Р., Теплиц В. Гомология и фейнмановские интегралы. — М.: Мир, 1969.
Chew G. F. S-Matrix Theory of Strong Interactions. — N. Y.: Benjamin, 1962.
Чью Дж. Аналитическая теория 5-матрицы. — М.: Мир, 1968.
Ш1. Шабат Б. В. Комплексный анализ. — М.: Наука, 1976, т. 2.
Ш2. Schwartz L. Theorie des distributions. — P.: Hermann, 1957/59, t. 1, 2.
ШЗ. Шварц Л. Анализ. — M.: Мир, 1972, т. 1.
Ш4. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. — М.: ИЛ, 1963.
Ш5. Шефер X. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
Ш6. Шелест В.П., Зиновьев Г.М., Миранский В.А. Модели сильновзаимодействующих элементарных частиц. — М.: Атомиздат, 1975, 1976, т. 1, 2.
Ш7. Ширков Д. В., Серебряков В. В., Мещеряков В. А. Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях. — М.: Наука, 1967.
Ш8. Штейнман О. Метод возмущений в аксиоматической теории поля. — М.: Мир, 1974.
Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. — М.: Мир, 1983, т. 1, 2.
Elementary Particle Theory. Novel Symposium 8(1968). Relativistic Groups and Analyticity / Ed. Svartholm N. — Stockholm, 1968.
Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля.— М.: Мир, 1976.
Я1. lagolnitzer D. The S-matrix. — Amsterdam e. a.: North-Holland, 1978.
Я2. Jauch J.M., Rohrlich F. The theory of photons and electrons. — N. Y.: Springer, 1976.
Статьи
Ааронов, Бом (1959) (Aharonov У., Bohm D.) Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory. — Phys. Rev., v. 115, p. 485.
Ааронов, Бом (1963) (Aharonov У., Bohm D.) Further discussion of the role of electromagnetic potentials in quantum theory. — Phys. Rev., v. 130, p. 1625.
Абарбанел, Фришман (1958) {Abarbanel H.D. /., Frishman У.) Construction of local quantum fields describing many masses and spins. — Phys. Rev., v. 171, p. 1442.
Абере 〃 dp. (1967) (Abers E., Grodsky I. Г, Norton R.E.) Deseases of infinite-component field theories. — Phys. Rev., v. 159, p. 1222.
Адлер (1970) (Adler S.) Perturbation theory anomalies. — [Л2], p. 1-164.
Акария (1962) {Acharya A.) Some Borhers-type theorems in quantum field theory. — Nuovo Cim., v. 23, p. 580.
Акария (1963) {Acharya A.) Some consequences of «minimal» analyticity and unitarity in field theory. — Nuovo Cim., v. 27, p. 1151.
Akc (1965) {Aks S.) Proof that scattering implies production in quantum field theory. — J. Math., Phys., v. 6, p. 516.
Алътарелли (1982) {Altarelli G.) Partons in quantum chromodynamics. — Phys. Rep., v. 81, p. 1.
“с Альфаро 〃 dp. (1966) (de Alfaro K, Fubini S., Rossetti G, Furlan G.) Sum rules for strong interactions. — Phys. Lett., v. 21, p. 576.
Антуан (1969) {Antoine /./.) Dirac formalism and symmetry problems in quantum mechanics, I. General Dirac formalism; II Symmetry problems. — J. Math. Phys., v. 10, p. 53, 2276.
Аппелквист, Карацоне (1975) (Appelquist Г, Carazzone /.) Infared singularities and massive fields. — Phys. Rev., v. D11, p. 2856.
Араки (1960a) (Araki 〃.)On asymptotic behaviour of vacuum expectation values at large spacelike separation. — Ann. of Phys., v. 11, p. 260.
Араки (19606) (Araki 〃.)Hamiltonian formalism and canonical commutation relations in quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 1, p. 492.
Араки (1961a) (Araki 〃.)Wightman functions, retarded functions and their analytic continuations. —Suppl. Prog., Theor. Phys., v. 18, p. 83.
Араки (19616) (Araki 〃.)Generalized retarded functions and analytic continuation in momentum space. — J. Math. Phys., v. 2, p. 163.
Араки (1961в) (Araki Я.) On the connection of spin and commutation relations between different fields. — J. Math. Phys., v. 2, p. 267.
Араки (1961/62) {Araki 〃.)Einfiihrung in die axiomatische Quantenfeldtheorie, I, II. Lecture notes. — Ziirich: ETH.
Араки (1963a) (Araki 〃.)A generalization of Borchers theorem. — Helv. Phys. Acta, v. 36, p. 132.
Араки (19636) (Araki 〃.)A lattice of von Neumann algebras associated with the quantum theory of a free Bose field. — J. Math. Phys., v. 4, p. 1343.
Араки (1964a) (Araki 〃.)Von Neumann algebras of local observables for free scalar field. — J. Math. Phys., v. 5, p. 1.
Араки (19646) (Araki 〃.)Type of von Neumann algebra associated with free field. — Prog. Theor. Phys., v. 32, p. 956.
Араки (1969) (Araki 〃.) Local quantum theory. — In: Local Quantum Theory. Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi», corso 45 / Ed. Jost R. — N. Y., L.: Academic Press, p. 65-96.
Араки (1971) {Araki 〃.)On representations of the canonical commutation relations. — Commun. Math. Phys., v. 20, p. 9.
Араки (1975) (Araki 〃.)Relative Hamiltonian for states of von Neumann algebras. — [M8] ч. I, c. 18-25.
Араки, Бургойн (I960) (Araki 〃.，Burgoyne N.) Properties of the momentum space analytic functions. — Nuovo Cim., v. 18, p. 342.
Араки, Висс (1964) (Araki 〃.， Wyss W.) Representations of canonical anticommutation relations. —Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 136.
Араки, Вудс (1963) (Araki 〃.，Woods E.J.) Representation of the canonical commutation relations describing a non-relativistic infinite Bose gas. — J. Math. Phys., v. 4, p. 637.
Араки, Вудс (1968) (Araki 〃.，Woods E.J.) A classification of factors. — Publ. R. I. M. S., Kyoto Univ., v. 4, p. 51.
Араки, Хааг (1967) (Araki 〃.，"aag A.) Collision cross sections in terms of local observables.— Commun. Math. Phys., v. 4, p. 77.
Араки 〃 dp. (1962) (Araki 〃.，Hepp K., Ruelle D.) On the asymptotic behaviour of Wightman functions in space-like directions. — Helv. Phys. Acta, v. 35, p. 164.
Араки 〃 dp. (1966) (Araki 〃.，Greenberg O. W., Toll J. S.) Equivalence of locality and paralocality in free parafield theory. — Phys. Rev., v. 142, p. 1017.
Араки 〃 dp. (1971) (Araki 〃.，Smith M.S. B., Smith L.) On the homotopical significance of the type of von Neumann algebra factors. — Commun. Math. Phys., v. 22, p. 71.
Арбузов Б.А., Филиппов A. T. (1967) О возможном механизме несохранения СР. — В сб.: Физика высоких энергий и теория элементарных частиц (Ялта, 1966). — Киев: Наукова думка, с. 597-609.
Арбузов 〃 др. (1983) (Арбузов Б. А., Байков В. А., Боос 3.3., Куренной С. С.) Инфракрасная область квантовой хромодинамики, массы и хромомагнитные моменты кварков. — ЯФ, т. 38, с. 1340.
Арефьева 〃 др. (1975) {Arefieva /.山.，Pogrebkov А. К., Sushko U.N., Volovich /. 1Л) The renormalized Hamiltonians, the local fields, and the scattering theory for some translation- ally invariant models of quantum field theory. — [M8], ч. I, c. 95-103.
Архипов А. А., Саврин В. И. (1977) Поведение инклюзивных сечений в области больших поперечных импульсов и сингулярность взаимодействия. — ТМФ, т. 30, с. 315.
Асколи, Мингуци (I960) (Ascoli A., Minguzzi A.) Analytic properties of production amplitudes. —Phys. Rev., v. 118, p. 1435.
Астахов 〃 dp. (1967) (Астахов А. В., Завьялов О. И., Суханов А.Д.) 5-матрица в четырехфермионной модели Тирринга. — ЖЭТФ, т. 52, с. 780.
Бабилон, Биалле (1981) (Babilon О., Viallet С. М.) The Riemannian geometry of the configuration space of gauge theories. — Commun. Math. Phys., v. 81, p. 515.
Бажанов 〃 dp. (1979) (Бажанов В. В., Пронъко Г.П., Соловьев Л.Д.) Аксиоматический метод Боголюбова в квантовой электродинамике. — В сб.: Тр. Междунар, симпозиума по фундаментальным проблемам теоретической и математической физики. — Дубна: ОИЯИ, с. 195-214.
Балуна, Бродхерст (1977) (Baluni И, Broadhurst D.J.) General bounds on form factors and propagators from analyticity and unitarity; application to the nucleon renormalization constant. — Phys. Rev., v. D15, p. 230.
Балуни 〃 dp. (1970) (Балуни 8 3., Вернов Ю. С., Думбрайтс О. В., Мнацаканова М.Н.) Разность полных сечений и отношение дифференциальных сечений тг±р-рассеяния вперед при высоких энергиях. — ТМФ, т. 5, с. 235.
Баргман (1954) (Bargmann У.) On unitary ray representations of continuous groups. — Ann. of Math., v. 59, p. 1.
Баргман (1962) (Bargmann У.) On the representations of the rotation group. — Rev. Mod. Phys., v. 34, p. 829.
Баргман (1964) (Bargmann У.) Note on Wigner's theorem on symmetry operations. — J. Math. Phys., v. 5, p. 862.
Баргман (1967) (Bargmann У.) On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform, II. A family of related function spaces. Application to distribution theory. — Commun. Pure Appl. Math., v. 20, p. 1.
Баргман, Вигнер (1948) (Bargmann И, Wigner E.P.) Group theoretical discussion of relativistic equations. — Proc. Nat. Acad. Sci., v. 34, p. 211.
Баргман, Тодоров (1977) (Bargmann И, Todorov I. T.) Spaces of analytic functions on a complex cone as carriers for the symmetric tensor representations of SO(n). — J. Math. Phys., v. 18, p. 1141.
Бардакси, Сударшан (1961) (Bardakci К., Sudarshan E. C.G.) Local fields with terminating expansions. — Nuovo Cim., v. 21, p. 722.
Бардакси, Шроер (1966) {Bardakci К., Schroer В.) Local approximation in renormalizable and nonrenormalizable theories, I, II. — J. Math. Phys., v. 7, p. 10, 16.
Барут, Клайнерт (1967) (Barat A. O., Kleinert 〃.) Current operators and Majorana equation for the hydrogen atom from dynamical groups. — Phys. Rev., v. 157, p. 1180.
Барут 〃 dp. (1963) (Barut A. O., Muzinich /., Williams D. N.) Construction of invariant scattering amplitudes for arbitrary spins and analytic continuation in total angular momentum.— Phys. Rev., v. 130, p. 442.
Бауман (1958) {Baumann K.) Retardierte Produkte und Bindungszustande. — Zs. Phys., Bd 152, S.448.
Бауман (1975) (Baumann K.) When a field theory is a generalized free field. — Commun. Math. Phys., v. 43, p. 211.
Бауман (1982) {Baumann K.) All massless scalar fields with trivial S-matrix are Wick polynomials. —Commun. Math. Phys., v. 86, p. 247.
Белинфанте (1939) (Belinfante 尸./.) The undor equation of the meson field. — Physica, v. 6, p. 870.
Белл (1969) (Bell /. S.) Froissart bounds with any spin. — Nuovo Cim., v. 61A, p. 541.
Бенеке 〃 dp. (1969) {Benecke Chou T.T「Yang C.N., Yen E.) Hypothesis of limiting fragmentation in high-energy collisions. — Phys. Rev., v. 188, p. 2159.
Бендер (1981) {Bander M.) Theories of quark confinement. — Phys. Reports, v. 75, p. 205.
Бениофф, Экштейн (1977) (Benioff P., Ekstein 〃.)Possible experimental test of local commutativity. —Phys. Rev., v. D15, p. 3563.
Берг, Вейс (1978) (Berg В., Weisz Р.) Exact S-matrix of the chiral invariant SU(N) Thirring model. — Nucl. Phys., v. B146, p. 205.
Берг 〃 dp. (1979) (Berg 5., К arowski M., Weisz P.) Construction of Green's functions from an exact g-matrix. — Phys. Rev., v. D18, p. 2477.
Березанский Ю.М. (1959) О разложении по собственным функциям самосопряженных операторов. — Укр. мат. журн., т. 11, № 1, с. 16.
Березанский Ю.М. (1966) О самосопряженности полевых операторов и интегральных представлениях функционалов типа Уайтмана. — Укр. мат. журн., т. 18, № 3, с. 3.
Березин Ф.А. (1967) Об одном представлении операторов с помощью функционалов. — Тр. Моск. мат. о-ва, т. 17, с. 117.
Березин Ф.А. (1971) Невинеровские континуальные интегралы. — ТМФ, т. 6, с. 194.
Березин Ф.А., Сушко В. Н. (1965) Релятивистская двумерная модель самовзаимодействую- щего фермионного поля ненулевой массы покоя. — ЖЭТФ, т. 48, с. 1293.
Берже, Шимановский (1982) (Berger М. С., Szymanowski £.) Classes of invariance and infrared divergences in scalar electrodynamics. — Phys. Rev., v. D26, p. 3550.
Бес араб-Хоре am 〃 др. (1979) (Basarab-Horwath P., Str eat er R.F., Wright J.) Lorentz covariance and kinetic charge. — Commun. Math. Phys., v. 68, p. 195.
Бессис (1966) (Bessis J.D.) On the connection between the zeros of the amplitude near t = 0 and the slope of the diffraction peak. — Nuovo Cim., v. 45A, p. 974.
Бессис, Глазер (1967) (Bessis J.D., Glasser У.) An extension of the 7г-^ and тг-Л dispersion relations. — Nuovo Cim., v. 50A, p. 568.
Бём (1967) (Bohm A.) Rigged Hilbert spaces and mathematical description of physical systems.— In: Lectures in Theoretical Physics, v. IXA. Mathematical Methods of Theoretical Physics. Summer Institute for Theoretical Physics, University of Colorado, Boulder (1966) / Eds. Brittin W. E., Barut A. O., Guenin M. — N. Y.: Gordon and Breach, p. 255-317.
Бизоньяно, Вихман (1975) (Bisognano /./., Wichmann E.H.) On the duality condition for a Hermitian scalar field. — J. Math., Phys., v. 16, p. 985.
Биленький C.M. (1966) О возможном методе проверки CFT-инвариантности в р—р-рассея- нии. — Письма в ЖЭТФ, т. 3, с. 118.
Бартер, Битар (1969) (Bierter 呼.，Bitar К.М.) On interacting local quantum fields describing many masses and particles. — Nuovo Cim., v. 60A, p. 330.
Блейлер (I960) {Bleuler K.) Eine neue Methode zum Behandlung der longitudinalen und skalaren Phototen. — Helv. Phys. Acta, v. 23, p. 567.
Блох, Нордсик (1937) {Bloch 尸.，Nordsieck A.) Note on the radiation field of the electron.— Phys. Rev., v. 52, p. 54.
Блохинцев, Колеров (1964) (Blokhintsev D.I., Kolerov G.I.) Acausality and dispersion relations. — Nuovo Cim., v. 34, p. 163.
Блум 〃 dp. (1969) (BCD2M2TBFHK) High-energy inelastic e-p scattering at 6° and 10°.— Phys. Rev. Lett., v. 23, p. 930.
Боголюбов H. H. (1952) Уравнения в вариациях квантовой теории поля. — ДАН СССР, т. 82, с. 217.
Боголюбов Н. Н. (1955) Условие причинности в квантовой теории поля. — Изв. АН СССР. Сер. физ., т. 19, с. 237.
Боголюбов Н.Н. (1956) Доклад на Международном конгрессе по теоретической физике.— С и ат л (не опубликован).
Боголюбов (1958)〈Bogoljubou N. N.) Uber die Verwendung von Variationsableitungen bei Problemen der statistischen Physik und der Quantentheorie der Felder. — Fortschr. Phys., Bd 6, S.426.
Боголюбов Н. Н. (1961) Квазисредние в задачах статистической механики. — Дубна (Препринт / ОИЯИ: Д-781); [С7], с. 7-80.
Боголюбов Н. Н. (1967) Теория симметрии элементарных частиц. — В сб.: Физика высоких энергий и теория элементарных частиц (Ялта, 1966). — Киев: Наукова думка, с. 5-112.
Боголюбов Н.Н., Владимиров В. С. (1958) Об аналитическом продолжении обобщенных функций. — Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 22, с. 15.
Боголюбов Н.Н., Владимиров В. С. (1958-1959) Одна теорема об аналитическом продолжении обобщенных функций. — Науч, док л. высш. шк. (физ.-мат. науки), 1958, № 3, с. 26; 1959, №2, с. 179.
Боголюбов, Владимиров (1995) (Bogoliubow N.N., Vladimirov U.S.) On some mathematical problems in quantum field theory. — In: Proc, of the International Congress of Mathematicians, 1958 / Ed. Todd J. A. — N. Y.: Cambridge University Press, p. 19-32.
Боголюбов H. H., Владимиров В. С. (1971). Представления n-точечных функций. — Тр. МИАН, т. 112, с. 5.
Боголюбов, Парасюк (1957) (Bogoliubow N.N., Parasiuk О.A.) Uber die Multiplikation der Kausalfunktionen in der Quantentheorie der Felder. — Acta Math., Bd 97, S. 227.
Боголюбов H. H., Ширков Д. В. (1955) Вопросы квантовой теории поля. — УФН, т. 55, с. 149.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. (1957) Дисперсионные соотношения для комптоновского рассеяния на нуклонах. — ДАН СССР, т. 113, с. 529.
Боголюбов 〃 др. (1959) {Боголюбов Н.Н., Логунов А. А., Ширков Д. В.) Метод дисперсионных соотношений и теория возмущений. — ЖЭТФ, т. 37, с. 805.
Боголюбов 〃 др. (1965) {Боголюбов Н.Н., Струминский Б. В., Тавхелидзе А.Н.) К вопросу о составных моделях в теории элементарных частиц. — Дубна (Препринт / ОИЯИ: Д-1968).
Боголюбов 〃 др. (1972) {Боголюбов Н.Н., Владимиров В. С., Тавхелидзе А.Н.) Об автомодельной асимптотике в квантовой теории поля, I, II. — ТМФ, т. 12, с. 3, 305.
Боголюбов 〃 др. (1983) (Bogoljubov N.N., Matveev V.A., Tavkhelidze A.N.) Colour quarks.— In: Gravitation and Elementary Particle Physics / Ed. Logunov A. A. — M.: Mir, p. 220-285.
Бонгартс (1977, 1982) (Bongaarts P. J. M.) Maxwelfs equations in axiomatic quantum field theory, I. Field tensor and potentials. — J. Math. Phys., v. 18, p. 1510; II. Covariant and noncovariant gauges. — Ibid., v. 23, p. 1881.
Вор, Розенфельд (1933) (Bohr N., Rosenfeld L.) Zur Frage der Messbarkeit der electromagneti- schen Feldgrdssen, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat. — Fys. Medd., v. 12, № 8.
Вор, Розенфельд (I960) (Bohr N., Rosenfeld L.) Field and charge measurements in quantum electrodynamics. — Phys. Rev., v. 78, p. 794.
Борхерс (I960) {Borchers 〃./.) Uber die Mannigfaltigkeit der interpolierenden Felder zu einer kausaler S-Matrix. — Nuovo Cim., v. 15, p. 784.
Борхерс (1961) {Borchers 〃./.) Uber die Vollstandigkeit lorentzinvarianter Felder in einen zeitartigen Rdhre. — Nuovo Cim., v. 19, p. 787.
Bopxepc (1962) (Borchers 〃./.) On structure of the algebra of field operators. — Nuovo Cim., v. 24, p. 214.
Борхерс (1964) {Borchers "./.) Field operators as ^00-functions in spacelike dimensions.— Nuovo Cim., v. 33, p. 1600.
Борхерс (1965a) {Borchers 〃./.) On the structure of the algebra of field operators, II. — Commun. Math. Phys., v. 1, p. 49.
Bopxepc (19656) (Borchers 〃./.) On the vacuum state in quantum field theory, II. — Commun. Math. Phys., v. 1, p. 57.
Bopxepc (1966) (Borchers 〃./.) Energy and momentum as observables in quantum field theory.— Commun. Math. Phys., v. 2, p. 49.
H. H. Боголюбов и др.
Борхерс (1972) {Borchers 〃./.) Algebraic aspects of Wightman field theory. — In: Statistical Mechanics and Field Theory / Eds. Sen R. N. and Weil C. — N. Y., p. 31-80.
Борхерс, Ингвасон (1975) {Borchers H.J., Yngvason /.) On the algebra of field operators. The weak commutant and integral decomposition of states. — Commun. Math. Phys., v. 42, p.231.
Ворхерс, Полмайер (1968) (Borchers H.J., Pohlmeyer K.) Eine scheinbare Abschwachung der Lokalitatsbedingung, II. — Commun. Math. Phys., v. 8, p. 259.
Борхерс, Циммерман (1964) {Borchers H.J., Zimmermann W.) On the self-adjointness of field operators. — Nuovo Cim., v. 31, p. 1047.
Bopxepc 〃 dp. (1963) (Borchers H.J., Haag A., Schroer B.) The vacuum state in quantum field theory. — Nuovo Cim., v. 29, p. 148.
Брайджис 〃 dp. (1979) (Bridges D. C., Frohlich /., Seiler E.) Diamagnetic and critical properties of Higgs lattice gauge theories. — Nucl. Phys., v. B152, p. 521.
Брайджис 〃 dp. (1981) (Brydges D. C., Frohlich /., Seiler E) On the construction of quantized gauge fields, III. The two dimensional Abelian Higgs model without cutoffs. — Commun. Math. Phys., v. 79, p. 353.
Брандт (1970a) (Brandt R. A.) Field equations in quantum electrodynamics. — Fortschr. Phys., Bd 18, S.249.
Брандт (19706) (Brandt R. A.) Electroproduction structure functions, integral representation and light-cone commutators. — Phys. Rev., v. DI, p. 2808.
Братен 〃 dp. (1982) {Braaten E, Curtright Г, Thorn C.) Quantum Backlund transformation for the Liouville theory. — Phys. Lett., v. 118B, p. 115.
Браудер (1963) {Browder F.E.) On the «edge of the wedge» theorem. — Canad. J. Math., v. 15, p. 125.
Брачи 〃 dp. (1975) (Bracci L, Morchio G, Strocchi 尸.)Wigner's theorem on symmetries in indefinite metric spaces. — Commun. Math. Phys., v. 41, p. 289.
Брейденбах 〃 dp. (1969) (BFKBCD2MT) Observed behavior of highly inelastic electron proton scattering. — Phys. Rev. Lett., v. 23, p. 935.
Бремерман (1954a) (Bremermann 〃./.) Die Holomorphiehiillen der Tuben- und Halbtubengebie- te. — Math. Ann., Bd 127, S. 406.
Бремерман (19546) (Bremermann 〃./.) Uber die Aquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und der Holomorphiegebiete im Raum von n Komplexen Veranderlichen. — Math. Ann., Bd 128, S.63.
Бремерман (1956) (Bremermann H.J.) Complex convexity. — Trans. Amer. Math. Soc, v. 82 p. 17.
Бремерман 〃 dp. (1958) (Bremermann H.J., Oehme A., Taylor /. G.) A proof of dispersion relations in quantized field theories. — Phys. Rev., v. 109, p. 2178.
Брениг, Хааг (1959) (Brenig 呼.，Haag A.) Allgemeine Quantentheorie der Stossprozesse.— Fortschr. Phys., Bd 7, S. 183.
Брос (1965) (Bros /.) Axiomatic field theory. — In: Elementary Particles and High Energy Physics. — Vienna, p. 85-120.
Брос (1970) (Bros /.) Some analyticity properties implied by the two-particle structure of Green's functions in general quantum field theory. — In: Analytic Methods in Mathematical Physics / Eds. Gilbert R. P., Newton R. G. — N. Y. e.a.: Gordon and Breach, p. 85-133.
Брос, Лассаль (1975) (Bros /., Lassalle M.) Analyticity properties and many-particle structure in general quantum field theory, II. One particle irreducible n-point functions. — Commun. Math. Phys, v. 43, p. 279.
Брос 〃 dp. (1961) (Bros /., Messiah A., St or a A.) A problem of analytic completion related to the Jost-Lehmann-Dyson formula. — J. Math. Phys., v. 2, p. 639.
Брос 〃 др. (1964) (Bros /., Epstein 〃.，Glasser У.) Some rigorous analyticity properties of the four-point function in momentum space. — Nuovo Cim., v. 31, p. 1264.
Брос 〃 dp. (1965) (Bros /., Epstein 〃.， Glaser У.) A proof of the crossing property for two- particle amplitudes in general quantum field theory. — Commun. Math. Phys. v. 1, p. 240.
Брос 〃 dp. (1966) (Bros /., Itzykson C., Pham 尸.)Representations integrales de fonctions analytiques et formule de Jost-Lehmann-Dyson. — Ann. Inst. H. Poincare, t. A5, p. 1.
Брос 〃 dp. (1967) (Bros /., Epstein 〃.，Glaser У.) On the connection between analyticity and Lorentz covariance of Wightman functions. — Commun. Math. Phys., v. 6, p. 77.
Брос 〃 dp. (1972) (Bros /., Glaser И, Epstein 〃.) Local analyticity properties of the n-particle scattering amplitude. — Helv. Phys. Acta, v. 45, p. 149.
Брюа (1956) (5厂〃用“力尸.)Sur les representations induites des groupes de Lie. — Bull. Soc. Math. France, t. 89, p. 97.
Брюнинг (1971) (Bruning E.) Uber das Holomorphiegebiet der Vier-Punkt-Funktion. — Commun. Math. Phys., v. 23, p. 231.
Брюнинг (1978) (Brunning E.) On the characterization of relativistic quantum field theories in terms of finitely many vacuum expectation values, I, II. — Commun. Math. Phys., v. 58, p. 139, 166.
Брюнинг, Штихель (1974) (Briinning E., Stichel P.) On the equivalence of scaling, light-cone singularities and asymptotic behaviour of the Jost-Lehmann spectral function. — Commun. Math. Phys., v. 36, p. 137.
Будина (1968) (Budini P.) Majorana equation for composite systems. — В сб.: Вопросы теории элементарных частиц. Тр. Междунар, семинара по теории элементарных частиц (Варна, 1968). - Дубна, с. 214-228.
Булинский А. В. (1969) Теорема Голдстоуна в аксиоматических формулировках. — Вестн. МГУ. Сер. 3,①нзнка, № 2, с. 75.
Бульвар 〃 др. (1970) {Bulware D. G., Brown £.S., Peccei R.D) Deep inelastic electroproduction and conformal symmetry. — Phys. Rev., v. D2, p. 293.
Бургойн (1958) (Burgoyne N.) On the connection of spin with statistics. — Nuovo Cim., v. 8, p. 607.
Бухгольц (1975) {Buchholz D.) Collision theory for massless fermions. — Commun. Math. Phys., v. 42, p. 269.
Бухгольц (1977) (Buchholz D.) Collision theory for massless bosons. — Commun. Math. Phys., v. 52, p. 147.
Бухгольц (1982) {Buchholz D.) The physical charged space of quantum electrodynamics.— Commun. Math. Phys., v. 85, p. 49.
Бухгольц, Фреденхаген (1979) (Buchholz 0., Fredenhagen K.) Charge screening and mass spectrum in abelian gauge theories. — Nucl. Phys., v. В154, p. 226.
Бушнин 〃 dp. (1969) (BD3GK4P2RS2) Negative particle production at the 70 GeV IHEP accelerator. -Phys. Lett., v. 29B, p. 48.
Бьёркен (1968) (Bjorken J.D.) Current algebra at small distances. — In: Selected Topics in Particle Physics. Scuola Intern, di Fisica «Enrico Fermi», corso 41 (Varenna, 1967). — N. Y., L.: Academic Press, p. 55-81.
Бьёркен (1969) (Bjorhen /.D) Asymptotic sum rules at infinite momentum. — Phys. Rev., v. 179, p. 1547.
Бюмерштеде, Люкке (1974) (Biimmerstede /., Liicke W.) Haag-Ruelle-Hepp scattering formalism for essentially local nonlocalizable fields. — Commun. Math. Phys., v. 37, p. 121.
Бялыницки-Бируля (1976) (Bialynicki-Birula /.) Charge conservation and gauge invariance.— In: Mathematical Physics and Physical Mathematics / Eds. Maurin K, R@szka R.— Warszawa: PWN, p. 39-51.
Вайдлих (1963) (Weidlich 呼.)On the inequivalent representations of canonical commutation relations in quantum field theory. — Nuovo Cim., v. 30, p. 803.
Вайнберг (1961) (Weinberg S.) Cross sections and high energies. — Phys. Rev., v. 124, p. 2049.
Вайнберг (1964a) (Weinberg S.) Feynman rules for any spin. — Phys. Rev., v. 133B, p. 1318.
Вайнберг (19646) (Weinberg S.) Feynman rules for any spin, II. Massless particles. — Phys. Rev., v. 134B, p. 882.
Вайнберг (1973) (Weinberg S.) General theory of broken local symmetries. — Phys. Rev., v. D7, p. 1068.
Вайнберг (1979) (Weinberg S.) Cosmological production of baryons. — Phys. Rev. Lett., v.42, p. 850.
Васильев A.H. (1966) Нарушение симметрии в схеме аксиоматики Уайтмана. — ЖЭТФ, т. 50, с. 954.
Васильев А.Н. (1970) О теории представлений топологической (не банаховой) алгебры с инволюцией. — ТМФ, т. 2, с. 153.
Васильев А.Н. (1973) Следствия выпуклости преобразований Лежандра (обобщенная теорема Голдстоуна). — ТМФ, т. 15, с. 320.
Вегнер (1971) (Wegner 尸.)Duality in generalized Ising models and phase transitions without order parameters. — J. Math. Phys., v. 12, p. 2259.
Вейль (1918) (Weyl 〃.)Gravitation und Elekrizitat. Sitzungsberichte der Konigl. Preuss. Ak. Wiss., Bd 26, S.465.
Вейль (1929) (Weyl 〃.)Electron und Gravitation, I. — Zs. Phys., Bd 56, S. 330.
Венециано (1968) (Veneziano G.) Construction of crossing-symmetric Regge-behaved amplitude for linearly rising trajectories. — Nuovo Cim., v. 57A, p. 190.
Венециано (1974) (Veneziano G.) An introduction to dual models of strong interactions and their physical motivations. — Phys. Reports, v. 9C, p. 199.
Венециано (1982) (Veneziano G.) Quantum chromodynamics. — In: From Nuclei to Particles, Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi», corso 79. — Amsterdam e. a.: North-Holland, p. 304-317.
Вернов Ю. C. (1967) Асимптотика амплитуды упругого рассеяния и отношение ее вещественной и мнимой части. — ЖЭТФ, т. 53, с. 191.
Вернов Ю. С. (1970) Соотношения между амплитудами упругого рассеяния вперед между частицами и античастицами при конечных энергиях. — ТМФ, т. 4, с. 3.
Вернов Ю. С. (1973а) Аналитичность и свойства амплитуд упругого ие-, Ре-рассеяния при высоких энергиях. — ТМФ, т. 16, с. 423.
Вернов Ю. С. (19736) Ограничения снизу на амплитуду упругого рассеяния вперед. — ТМФ, т. 17, с. 199.
Весе (1976)(吃ss /.) Supersymmetry. — Acta Physica Austriaca, Suppl., № 15, p. 475.
Becmyomep (1967) (Westwater M.J.) Cuspidal points on Landau singularities. — Helv. Phys. Acta, v. 40, p. 389.
Вигнер (1939) (Wigner E.P.) On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group.— Ann. of Math., v. 40. p. 149.
Вигнер (I960) (Wigner E.P) Do the equations of motion determine the quantum mechanical commutation relations? - Phys. Rev., v. 77, p. 711.
Вигнер (1960a) (Wigner E. P.) Normal form of antiunitary operators. — J. Math. Phys., v. 1, p. 409.
Вигнер (19606) (Wigner E.P.) Phenomenological distinction between unitary and antiunitary symmetry operators. — J. Math. Phys., v. 1, p. 414.
Вигнер (1963) (Wigner Е.Р) Invariant quantum mechanical equations of motion. — In: Theoretical Physics. Lectures at Trieste Seminar, 1962. — Vienna: IAEA, p. 59-82.
Вигнер (1964) (Wigner E. P.) Unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group including reflections. — [ПЗ], p. 37-80.
Визимирски (1966) (Wizimirshi Z.) On the existence of the field of operators in the axiomatic quantum field theory. — Bull, de Г Acad. Polon. Sci., Serie des sciences math., astr. et phys., t. 14, p. 91.
Вик (1962) (Wick G. C.) Angular momentum states for three relativists particles. — Ann. of Phys., v. 18, p. 65.
Вик (1966) (Wick G. C.) On symmetry transformations. — In: Preludes in Theoretical Physics, in Honor of V. F. Weisskopf / Eds. De-Shalit A., Feshbach H., van Hove L. — Amsterdam: North-Holland, p. 231-239.
Вик (1967) (Wick G. C.) Discrete symmetry problems. — В сб.: Физика высоких энергий и теория элементарных частиц. Междунар, школа по теорет. физике (Ялта, 1966). — Киев: Наукова думка, с. 227-236.
Вик 〃 др. (1952) (Wick G. С., Wightman 4.S., Wigner Е. Р.) The intrinsic parity of elementary particles. — Phys. Rev., v. 88, p. 101.
Вильсон (1974) (Wilson K.) Confinement of quarks. — Phys. Rev., v. DIO, p. 2445.
Вильсон, Циммерман (1972) (Wilson К., Zimmermann W.) Operator product expansions and composite field operators in the general framework of quantum field theory. — Commun. Math. Phys., v. 24, p. 87.
Вильямс (1963) (Williams D.N.) Lawrence Radiation Laboratory Report. UCRL-11113.
Виноградски (1957) (Winogradzki /.) Spineurs du second rang a composantes invariantes et formalisme spinoriel incluant les parities. — J. Phys. Rad., v. 18, p. 387.
Виноградски (1958) (Winogradzki /.) La representation spinorielle du groupe de Lorenz general. —Cahiers de Physique, v. 12, p. 261.
Виноградски (1959) (Winogradzki /.) Sur la conjugaison de charge et deux transformations analogues. — Compt. Rend., v. 248, p. 1480.
Bucc (1972)(吟ss W.) The field algebra and its positive linear functionals. — Commun. Math. Phys., v. 27, p. 223.
Bucc (1973)(吟ss W.) Quantum field theory in terms of sesquilinear forms. — J. Math. Phys., v. 14, p. 1271.
Вицорек 〃 dp. (1973) (Вицорек 3., Матвеев В. А., Робашик Д., Тавхелидзе А.Н.) Автомодельность и асимптотика на поверхности масс на основе представления Дайсона-Йоста- Лемана. — ТМ①，т. 16, с. 315.
Владимиров В. С. (I960) О построении оболочек голоморфности для областей специального вида. — ДАН СССР, т. 134, с. 251.
Владимиров В. С. (1962) О теореме «острие клина» Боголюбова. — Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 26, с. 825.
Владимиров В. С. (1968) Обобщенные функции с носителями, ограниченными со стороны выпуклого конуса. — Сиб. мат. журн., т. 9, с. 1238.
Владимиров В. С. (1969) Обобщение интегрального представления Коши-Бохнера. — Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 33, с. 90.
Владимиров В. С. (1972) О представлении Коши-Бохнера. — Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 36, с. 534.
Владимиров В. С. (1973а) Аналитические функции многих комплексных переменных и квантовая теория поля. — [С7], с. 392-410.
Владимиров В. С. (19736) Преобразование Лапласа обобщенных функций медленного роста. —В сб.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, т. 1, с. 61-84.
Владимиров В. С., Жаринов В. В. (1970) О представлении типа Йоста-Лемана-Дайсона.— ТМФ, т. 3, с. 305.
Владимиров ВС, Завьялов Б. И. (1979) О тауберовых теоремах в квантовой теории поля.— ТМ①，т. 40, с. 155.
Владимиров В. С., Завьялов Б. И. (1980) Тауберовы теоремы в квантовой теории поля.— В сб.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, т. 15, с. 95-130.
Владимиров В. С., Завьялов Б. И. (1982) Автомодельные асимптотики причинных функций и их поведение на световом конусе. — ТМФ, т. 50, с. 163.
Владимиров В. С., Логунов А. А. (1959) Об аналитических свойствах обобщенных функций квантовой теории поля. — Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 23, с. 661.
Волков 〃 др. (1969) (Волков Г. Г., Ежела В. В., Мествиришвили М.А.) Нижняя граница убывания формфакторов. — ЯФ, т. 9, с. 857.
Волков 〃 др. (1970) {Волков Г. Г., Логунов А. А., Мествиришвили М.А.) О равенстве полных сечений взаимодействия частиц и античастиц при высоких энергиях. — ТМФ, т. 4, с. 196.
Волков Д. В. (1959) О квантовании полей с полуцелым спином. — ЖЭТФ, т. 36, с. 1560.
Волков Д. В. (I960) 5-матрица в обобщенном методе квантования. — ЖЭТФ, т. 38, с. 518.
Волович И. В., Сушко В. Н. (1971) Конструктивная теория поля; взаимодействие (^7^)2 —— модель Тирринга, I. Локальное поле. — ТМФ, т. 9, с. 211.
By (1961) (Wu Т. 7.) Domains of definition for Feynman integral over real Feynman parameters.— Phys. Rev., v. 123, p. 678.
Галиндо, Индюрен (1963) (Galindo A., Yndurain F.J.) On parastatistics. — Nuovo Cim., v. 30, p. 1040.
Галь-Эзер, Pee (1974) (Gal-Ezer E., Reeh 〃.)Coleman and Coleman-Okubo theorems in relativistic quantum field theory. — Fortschr. Phys., Bd 22, S. 481.
Галь-Эзер, Pee (1975) (Gal-Ezer E., Reeh 〃.)Charges as intervals over densities: an alternative formulation of Coleman's theorem. — Commun. Math. Phys., v. 43, p. 137.
Ганчев, Палев (1980) (Gantchev A., Palev T.) A Lie superalgebraic interpretation of the paraBose statistics. — J. Math. Phys., v. 21, p. 797.
Гарбер (1975) {Garber W. D.) The connection of duality and causal properties for generalized free fields. — Commun. Math. Phys., v. 42, p. 195.
Гарбер, Pee (1976) (Garber W.D., Reeh 〃.) Non-translationally covariant currents and associated symmetry generators (Preprint / Gottingen).
Гатто (1967) {Gatto A.) New sum rules from superconvergence. — Phys. Rev. Lett., v. 18, p. 803.
Гачок В.П. (1961) Одно обобщение теоремы Хаага. — Укр. мат. журн., т. 13, с. 22.
Гачок В. П. (1965) О проблеме моментов в квантовой теории поля. — ДАН СССР, т. 165, с. 506.
Гачок (1966а) (Gachok У. Р.) Quasi-analytic functionals and self-adjointness of field operators.— Nuovo Cim., v. 45, p. 158.
Гачок (19666) (Gachok V.P.) A description of all self-adjoint extensions of the field operators.— Киев (Препринт / ИТФ: 66-5).
Гейзенберг (1943) (Heisenberg W.) Die «Beobachtbaren Grdssen» in der Theorie der Elemen- tarteilchen. — Zs. Phys., Bd 120, S. 513.
Гейзенберг (1952) (Heisenberg W.) Mesonerzeugung als StoBwellenproblem. — Zs. Phys., Bd 133, S.65.
Гелл-Ман 〃 dp. (1954) (Gell-Mann M., Goldberger M.L., Thirring W.) Use of causality conditions in quantum theory. — Phys. Rev., v. 95, p. 1612.
Гельфанд М.М., Костюченко А. Г. (1955) О разложении по собственным функциям дифференциальных и других операторов. — ДАН СССР, т. 103, с. 349.
Гельфанд М.М., Яглом А.М. (1948а) Общие релятивистски-инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца. — ЖЭТФ, т. 18, с. 703.
Гельфанд И.М., Яглом А.М. (19486) Теорема Паули для общих релятивистски-инвариант- ных уравнений. — ЖЭТФ, т. 18, с. 1094.
Генен (1966а) {Guenin М.) On the interaction picture. — Commun. Math. Phys., v. 3, p. 120.
Генен (19666) {Guenin M.) Algebraic methods in quantum field theory. — In: Lectures in Theoretical Physics. Lectures delivered at the Summer Institute for Theoretical Physics (University of Colorado, Boulder, 1966) / Eds. Barut A. O., Brittin W. E., Guenin M.— Boulder: The Colorado University Press, v. 9A, p. 187-253.
Генен, Вело (1967) {Guenin M., Velo G.) Automorphisms and broken symmetries in algebraic quantum field theories. — Nuovo Cim., v. 47A, p. 36.
Генен, Миера (1963) {Guenin M., Misra B.) On the von Neumann algebras generated by field operators. — Nuovo Cim., v. 30, p. 1272.
Гертин (1971) {Guertin R. F) Theorem on invariant amplitudes. — J. Math. Phys., v. 12 p. 612.
Гийо, Пети (1966) (Guillot /. C., Petit J.L.) Nouvelles formes des representations unitaires irreductibles du groupe de Poincare, I, II. — Helv. Phys. Acta, v. 39, p. 281, 300.
Глазер (1958) (Glaser У.) An explicit solution of the Thirring model. — Nuovo Cim., v. 9, p. 990.
Глазер (1974) (Glaser У.) On the equivalence of the Euclidean and Wightman formulations of field theory. — Commun. Math. Phys., v. 37, p. 257.
Глазер 〃 dp. (1957) {Glaser K, Lehmann 〃.，Zimmermann W.) Field operators and retarded functions. — Nuovo Cim., v. 6, p. 1122.
Глушков B.M. (1957) Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта. -УМН, т. 12, с.З.
Говорков А. Б. (1967) Замечание о пара- и суперстатистиках. — В сб.: Физика высоких энергий и теория элементарных частиц, Междунар, школа по теорет. физике (Ялта, 1966).— Киев: Наукова думка, с. 770-777.
Говорков А. Б. (1977) Цветные степени свободы в физике адронов. — ЭЧАЯ, т. 8, с. 1056.
Говорков А. Б. (1979) Унитарное квантование. — ТМФ, т. 41, с. 318.
Говорков А. Б. (1982) Парастатистика и калибровочные симметрии. — ТМФ, т. 53, с. 283.
Говорков А. Б. (1983) Парастатистика и внутренние симметрии. — ЭЧАЯ, т. 14, с. 1229.
Голдберг (1969) (Goldberg 〃.)Remark on the «types» of the elementary particles. — Nuovo Cim., v. 60A, p. 509.
Голдстоун (1961) (Goldstone /.) Field theories with «superconductor» solutions. — Nuovo Cim., v. 19, p. 154.
Голдстоун 〃 dp. (1962) {Goldstone /., Salam A., Weinberg S.) Broken symmetries. — Phys. Rev., v. 127, p. 965.
Голодец В. Я. (1969) Классификация представлений антикоммутационных соотношений.— УМН, т. 24, №4, с.З.
Голубева В.А. (1976) Некоторые вопросы аналитической теории фейнмановских интегралов. —УМН, т. 31, вып. 2, с. 135.
Гольдбергер (1955) (Goldberger М. A.) Causality conditions and dispersion relations, I. Boson fields. — Phys. Rev., v. 99, p. 979.
Гольдбергер (i960) (Goldberger M. L.) Introduction to the theory and applications of dispersion relations. — [Pl], p. 15-158.
Гольдбергер, Трейман (1958) (Goldberger M. L., Treiman S. B.) Decay of the pi meson. — Phys. Rev., v. 110, p. 1178.
Гольдбергер 〃 др. (1955) (Goldberger М. A., Miyazawa 〃.，Oheme A.) Applications of dispersion relations to pion-nucleon scattering. — Phys. Rev., v. 99, p. 986.
Гординг (1944) (Garding L.) On a class of linear transformations connected with group representations. — Medd. Lunds Mat. Sem., v. 6.
Гординг, Лион (1959) {Garding L., Lions J. L), Functional Analysis. — Suppl. Nuovo Cim., v. 14, p. 9.
Гординг, Уайтман (1954a) (Garding L., Wightman Д. S.) Representations of the anticommutation relations. — Proc. Nat. Acad. Sci., v. 40, p. 617.
Гординг, Уайтман (19546) (Garding L., Wightman Д. S.) Representations of the commutation relations. — Proc. Nat. Acad. Sci., v. 40, p. 622.
Граверт 〃 dp. (1959) {Grawert G., Liiders G., Rollnik 〃.) The TCP theorem and its applications. —Fortschr. Phys., v. 7, p. 291 (русский перевод: УФН, т. 71 (I960), с. 289).
Грибов В. Н. (1962а) Парциальные волны с комплексными орбитальными моментами и асимптотическое поведение амплитуды рассеяния. — ЖЭТФ, т. 41, с. 1962.
Грибов В. Н. (19626) Аналитические свойства амплитуд парциальных волн и асимптотическое поведение амплитуды рассеяния. — ЖЭТФ, т. 42, с. 1260.
Грин (1953) {Green ". S.) A generalized method of field quantization. — Phys. Rev., v. 90, p. 270.
Гринберг (1959) (Greenberg O. W.) Haag's theorem and closed operators. — Phys. Rev., v. 115, p. 706.
Гринберг (1961) {Greenberg O. W.) Generalized free fields and models of local field theory.— Ann. of Phys., v. 16, p. 158.
Гринберг (1962) {Greenberg O. W.) Heisenberg fields which vanish on domains of momentum space. — J. Math. Phys., v. 3, p. 859.
Гринберг (1964) {Greenberg O. W.) Spin and unitary-spin independence in a paraquark model of baryons and mesons. — Phys. Rev. Lett., v. 13, p. 598.
Гринберг (1966) (Greenberg O. W.) Parafield theory. — In: Mathematical Theory of Elementary Particles (Conference, Dedham (Mass.), 1965) / Eds. Goodman R., Segal I. — Cambridge (Mass.): M. I. T. Press, p. 29-44.
Гринберг, Лихт (1963) (Greenberg О. W., Licht A.L.) Quantum field-theory model whose truncated vacuum expectation values vanish beyond some order. — J. Math. Phys., v. 4, p. 613.
Гринберг, Ло у (1961) {Greenberg О. W., Low E. F.) Limit on high-energy cross section from analyticity in Lehmann ellipses. — Phys. Rev., v. 124, p. 2047.
Гринберг, Мессиа (1964) (Greenberg О. W., Messiah A.M.L^) Symmetrization postulate and its experimental formulation. — Phys. Rev., v. 136B, p. 248.
Гринберг, Мессиа (1965) (Greenberg О. W., Messiah A.M.L.) Selection rules for parafields and the absence of paraparticles in nature. — Phys. Rev., v. 138B, p. 1155.
Гринберг, Нельсон (1977) {Greenberg О. W., Nelson С.Д.) Color models of hadrons. — Phys Reports, v. 32C, p. 70.
Гродский, Стритер (1968) (Grodsky I. 7., Str eat er R. F) No-go theorem. — Phys. Rev. Lett., v. 20, p. 695.
Гросс, Весе (1970) (Gross D. /., Wess /.) Scale invariance and the high energy behaviour of scattering amplitude. — Phys. Rev., v. D2, p. 753.
Гроссман (1965) {Grossmann A.) Hilbert space of type S. — J. Math. Phys., v. 6, p. 54.
Гроссман (1966) (Grossmann A.) Elementary properties of nested Hilbert spaces. — Commun. Math. Phys., v. 2, p. 1.
Гроссман (1967) {Grossmann A.) Fields at a point. — Commun. Math. Phys., v. 4, p. 203.
Гротендик (1955) {Grothendieck Д.) Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires.— Mem. Am. Math. Soc., № 16.
Гупта (I960) (Gupta S. N.) Theory of longitudinal photons in quantum electrodynamics. — Proc. Phys. Soc., v. A63, p. 681.
Гуральник 〃 dp. (1964) (Guralnik G. S., Hagen C. A., Kibble T. W.) Global conservation laws and massless particles. — Phys. Rev. Lett., v. 13, p. 585.
Гурден (1967) (Gourdin M.) TCP invariance, time-reversal invariance and K-meson decay.— Lectures given at Third Tokyo Summer Institute, 1967 (Preprint / Orsay).
Гуцвиллер (1980-1981) {Gutzwiller M. C.) The quantum mechanical Toda lattice. — Ann. of Phys., v. 124 (1980), p. 347; II. Ibid., v. 133 (1981), p. 304.
Гюрсей (1964) (Giirsey 尸.)Introduction to group theory. — In: Relativity, Groups and Topology, Summer School of Theoretical Physics (Les Houches, 1963) / Eds. de Witt C., de Wit B., N. Y.: Gordon and Breach, p. 89-161 (русский перевод: В сб.: Введение в теорию групп.— М: Мир, 1967, с. 25-113).
Гюттингер (1966) (Gilt tinge г W.) Generalized functions and dispersion relations in physics.— Fortschr. Phys., Bd 14, S. 483.
Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. (1978) Алгебры наблюдаемых свободного поля Дирака.— ТМФ, т. 36, с. 166.
Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. (1981) Условные ожидания на алгебрах фон Неймана и причинная независимость квантовых полей. — ТМФ, т. 46, с. 147.
ДаОашан К. Ю., Хоружий С. С. (1983) О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой. — ТМФ, т. 54, с. 57.
Дайсон (1949) (Dyson F.J.) The radiation theories of Tomonaga, Schwinger and Feynman.— Phys. Rev., v. 75, p. 486.
Дайсон (1958a) (Dyson 尸./.) On the connection of weak local commutativity and regularity of Wightman functions. — Phys. Rev., v. 110, p. 579.
Дайсон (19586) (Dyson 尸./.) Integral representations of causal commutators. — Phys. Rev., v. 110, p. 1460.
Данилов 〃 dp. (1980) (Данилов Г. С., Дятлов И. Т., Петров В. Ю.) Конфигурации поля с топологическим числом и механизм экранирования заряда в двумерной безмассовой электродинамике; гамильтонова формулировка. — ЖЭТФ, т. 79, с. 2017.
Данилов 〃 др. (1982) (Данилов Г. С., Дат 几о в "7., Петров В. Ю.) Структура вакуумных состояний и механизм экранирования заряда в двумерной безмассовой электродинамике. —ЖЗТ①，т. 83, с. 859.
Даниэль, Виалле (1980) (Daniel М., Viallet С.М.) The geometrical setting of gauge theories of the Yang-Mills type. — Rev. Mod. Phys., v. 52, p. 175.
Даффин (1938) (Duffin R.J.) On the characteristic matrices of covariant systems. — Phys. Rev., v. 54, p. 1114.
Дашен 〃 dp. (1975) (Dashen R. F., Hasslacher B., Neveu A.) Particle spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques. — Phys. Rev. v. D11, p. 3424.
Де-Анжелис 〃 dp. (1978) (Oc Angelis G.E, De Falco D., Guerra 尸.)Note on the Abelian Higgs- Kibble model on a lattice: absence of spontaneous magnetization. — Phys. Rev., v. D17, p. 1624.
Дезер 〃 dp. (1959) (Deser S., Gilbert W., Sudarshan E. C. G.) Structure of the vertex function.— Phys. Rev., v. 115, p. 731.
Дел' Антонио (1961a) {DeW Antonio G. F) Support of a field in p-space. — J. Math. Phys., v. 2, p. 759.
Де儿'Антонио (19616) (DeWAntonio G.E) On the connection between spin and statistics.— Ann. of Phys., v. 16, p. 153.
Дел^ Антонио (1967) {DeW Antonio G.尸.)Restriction on the integrals of local currents. — Nuovo Cim., v. 47A, p. 1.
Де川Антонио (1968) {DeWAntonio G.E) Structure of the algebras of some free systems.— Commun. Math. Phys., v. 9, p. 81.
Дел'Антонио 〃 dp. (1964) {DeWAntonio G.E, Greenberg O. W, Sudarshan E. C. G.) Parastatistics: axiomatic formulation, connection with spin and statistics and TCP theorem for a general field theory. — [ПЗ], p.403-407.
Де儿'Антонио 〃 dp. (1972) (DeW Antonio G. £, Frishman Y., Zwanziger D.) Thirring model in terms of currents: solution and light-cone expansion. — Phys. Rev., v. D6, p. 988.
Делъбурго 〃 dp. (1967) (Delbourgo E, Rashid M.A., Salam A., Strathdee /.) Green's functions for Regge trajectories. — Phys. Lett., v. 25B, p. 475.
Джаффе (1966) (Jaffe A.) Form factors at large momentum transfer. — Phys. Rev. Lett., v. 17, p. 661.
Джаффе (1967) (Jaffe A.) High energy behavior in quantum field theory, I. Strictly localizable fields. — Phys. Rev., v. 158, p. 1454.
Джин (1959)(力〃 У. S.) Dispersion relations for associated production. — Nuovo Cim., v. 12 p.445.
Джин, Макдоуэл (1965) (Jin У. S., Macdowell S.) Phase representation of the forward scattering amplitude. — Phys. Rev., v. 138B, p. 1279.
Джин, Мартен (1964a) Qin У. S., Martin A.) Connection between the asymptotic behavior and the sign of the discontinuity in one-dimensional dispersion relations. — Phys. Rev., v. 135B, p. 1369.
Джин, Мартен (19646)(力〃 У. S., Martin A.) Number of subtractions in fixed-transfer dispersion relations. — Phys. Rev., v. 135B, p. 1375.
Джонсон (1961) (Johnson K.) Solution of the equations for Green's functions of a two-dimensional relativistic field theory. — Nuovo Cim., v. 20, p. 773.
Джорджадзе 〃 dp. (1979) (Джорджадзе「. 〃.，Погребков А. К., Поливанов M. К.) Сингулярные решения уравнения □g + TT^/Zexps = 0 и динамические особенности. — ТМФ, т. 40, с. 221.
Дирак (1942) (Dirac P.A.M.) The physical interpretation of quantum mechanics. — Proc. Roy. Soc., v. A180, p. 1.
Дирак (1955) (Dirac P.A.M.) Gauge invariant formulation of quantum electrodynamics. — Canad. J. Phys., v. 33, p. 650.
Дирак (1971) (Dirac P.A.M.) A positive-energy relativistic wave equation. — Proc. Roy. Soc., v. A322, p. 435.
Дирак (1972) (Dirac P.A.M.) A positive-energy relativistic wave equation, II. — Proc. Roy. Soc., v. A328, p. 1.
Докшицер 〃 dp. (1980) (Dokshitzer Yu. L., Diakonov D. /., Troyan S. /.) Hard processes in quantum chromodynamics. — Phys. Reports, v. 58, p. 269.
Доплихер (1965) (Doplicher S.) An algebraic spectrum condition. — Commun. Math. Phys., v. 1, p. 1.
Доплихер, Робертс (1972) (Doplicher S., Roberts J. E) Fields, statistics and non-abelian gauge groups. — Commun. Math. Phys., v. 28, p. 331.
Доплихер 〃 dp. (1969) (Doplicher S., Haag R., Roberts J. E.) Fields, observables and gauge transformations, I, II. — Commun. Math. Phys., v. 13, p. 1; v. 15, p. 173.
Доплихер 〃 dp. (1971, 1974) (Doplicher S., Haag A., Roberts J. E.) Local observables and particle statistics, I, II. — Commun. Math. Phys., 1971, v. 23, p. 199; 1974, v. 35, p. 49.
Дориа (1981) (Doria F.A.) The geometry of gauge field copies. — Commun. Math. Phys., v. 79, p. 435.
Дрюль 〃 др. (1970) (Drilhl К., Haag A., Roberts /.Е) On parastatistics. — Commun. Math. Phys., v. 18, p. 204.
Д' Хокер, Джекив (1982) (D" Hoker E., Jackiw A.) Classical and quantum Liouville field theory.— Phys. Rev., v. D26, p. 3517.
Дьяконов В. Ю., Рочев В. Е. (1977) Аналитические свойства инклюзивного сечения по cos。 в лестничной модели с асимптотически постоянным полным сечением. — ТМФ, т. 32, с. 131.
Дэвис (1970) (Davies Е. В.) On the repeated measurements of continuous observables in quantum mechanics. — J. Funct. Anal., v. 6, p. 318.
Дэвис, Льюис (1970) {Davies E. B., Lewis J. T.) An operational approach to quantum probability. —Commun. Math. Phys., v. 17, p. 239.
Ежела В. В. (1971) Аналитические свойства амплитуд и дифференциальных сечений процессов множественного рождения по двум угловым переменным. — Серпухов (Препринт / ИФВЭ: СТ① 71-36).
Ежела В. В. (1980) Интегральные представления разложений по функциям Вигнера. — ТМФ, т. 44, с. 138.
Ежела В. В., Мествиришвили М.А. (1971) Ограничения на рост амплитуд бинарных процессов. —ТМФ, т. 7, с. 195.
Ежела 〃 др. (1971) {Ежела В. В., Логунов А. А., Мествиришвили М.А.) Условие унитарности и убывание дифференциального сечения процесса множественного рождения с ростом энергии. — ТМФ, т. 6, с. 42.
Ежела 〃 др. (1973) {Ежела В. В., Логунов А. А., Мествиришвили М.А., Петров В. Д.) Инклюзивные процессы при высоких энергиях. — ТМФ, т. 15, с. 153.
Енни 〃 др. (1961) (Yennie D. R., Frautschi S. С., Suura Я.) The infrared divergence phenomena and high-energy processes. — Ann. or Phys., v. 13, p. 379.
Ефимов (1968) (Efimov G. У.) On a class of relativistic invariant distributions. — Commun. Math. Phys., v. 7, p. 138.
Ефремов (1968/69) (Efremov А. У.) On the Lie fields. — [A2], p. 98-109.
Жакоб, Вик (1959) (Jacob M., Wick G. C.) On the general theory of collisions for particles with spin. — Ann. of Phys., v. 7, p. 404.
Жаринов В. В. (1971) О представлении Наканиши. — ТМФ, т. 6, с. 151.
Желобенко Д. П. (1968) Анализ неприводимости в классе элементарных представлений полупростой комплексной группы Ли. — Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 32, с. 108.
Жэрвэ, Индюрен (1967-1968) (Gervais /.-£., Yndurain 尸.)New criterion of non-oscillating high-energy behavior of scattering amplitudes. — Phys. Rev., 1967, v. 167, p. 1289; II. Applications. — Ibid., 1968, v. 169, p. 1187.
Жэрвэ, Неве (1983) (Gervais /.-£., Neveu A.) New quantum treatment of Liouville field theory.— Nucl. Phys., v. B224, p. 329.
Жэрвэ, Цванцигер (1980) (Gervais /.-£., Zwanziger D.) Derivation from first principles of the infra-red structure of QED. — Phys. Lett., v. 94B, p. 389.
Завьялов Б. И. (1973) Автомодельная асимптотика электромагнитных форм-факторов и их фурье-образов в окрестности светового конуса. — ТМФ, т. 17, с. 178.
Завьялов Б. И. (1974) «Квазиасимптотика» обобщенных функций и автомодельность электромагнитных форм-факторов. — ТМФ, т. 19, с. 163.
Завьялов Б. И. (1977) Бьёркеновская асимптотика форм-факторов глубоконеупругого рассеяния и общие принципы теории поля. — ТМФ, т. 33, с. 310.
Завьялов Б. И. (1981) Представление Йоста-Лемана-Дайсона в пространствах S厶.— ТМФ, т. 42, с. 147.
Завьялов О. И. (1973) Полином Вика в пространстве с индефинитной метрикой. — ТМФ, т. 16, с. 145.
Завьялов О. И. (1975) {Zavialov О. /.) Renormalization and indefinite metric. — [M8], ч. I, с. 120-126.
Завьялов О. И., Медведев П. Б. (1974) Я-операция в Л(/；4-теории как следствие индефинитной метрики в расширенном пространстве состояний (низшие порядки). — ТМФ, т. 18, с. 27.
Завьялов О. П., Сушко В. Н. (1969) Канонические переменные в физике бесконечных систем. —ТМФ, т. 1, с. 153.
Завьялов О. И., Сушко В. Н. (1973) Неэквивалентные представления соотношений коммутации в физике бесконечных систем. — [С7], с. 411-438.
Зайлер (1966) (Seiler A.) Reel-analytische kovariante Funktionen und ihre analytische Fortset- zung ins Komplexe. — Helv. Phys. Acta, v. 39, p. 641.
Замолодчиков (1977) (Zamolodchikov A.B.) Exact two-particle S-matrix of quantum sine- Gordon solitons. — Commun. Math. Phys., v. 74, p. 111.
Зиновьев Ю. M. (1979) Неунитарные представления МЯ(2), группы аж + 5 и преобразования Лапласа. — ТМФ, т. 38, с. 153.
Зоммер (1967а) (Sommer G.) Dispersion relations for complex value of t from axiomatic field theory. — Nuovo Cim., v. 48A, p. 92.
Зоммер (19676) (Sommer G.) Extension of the axiomatic analyticity domain: pion-nucleon scattering. — Nuovo Cim., v. 52A, p. 373.
Зоммер (1967b) (Sommer G.) Extension of the axiomatic analyticity domain: kaon-kaon and pionkaon scattering. — Nuovo Cim., v. 52A, p. 850.
Зоммер (1967г) (Sommer G.) Simultaneous s—t analyticity for inelastic two-body reactions from axiomatic field theory. — Nuovo Cim., v. 52A, p. 866.
Зоммер (1970) (Sommer G.) Present state of rigorous analytic properties of scattering amplitudes. —Fortschr. Phys., Bd 18, S. 577.
Иверсон, Мак (1971) (Iverson G., Mack G.) Quantum fields and interactions of massless particles: the continuum spin case. — Ann. of Phys., v. 64, p. 211.
Иги, Мацуда (1967) (Igi К, Matsuda S.) New sum rules and singularities in the complex J plane. — Phys. Rev. Lett., v. 18, p. 625.
Иден (1966) (Eden R.J.) Use of unitarity in proving Pomeranchuk's theorem on cross sections at high energies. — Phys. Rev. Lett., v. 16, p. 39.
Иден (1971) {Eden R. /.) Theorems on high energy collisions of elementary particles. — Rev. Mod. Phys., v.43, p. 15 (русский перевод: [01], с. 131-180).
Изергин А. Г., Корепин В. Е. (1982) Квантовый метод обратной задачи. — ЭЧАЯ, т. 13, с. 501.
Ильин В. А., Славное Д.А. (1978) Алгебра наблюдаемых в 5-матричном подходе. — ТМФ, т. 36, с. 32.
Ингвасон (1973) (Yngvason /.) On the algebra of test functions for field operators. — Commun. Math. Phys., v. 34, p. 315.
Ингвасон (1977) (Yngvason /.) Remarks on the reconstruction theorem for field theory with indefinite metric. — Rep. Math. Phys., v. 12, p. 57.
Инграхам (1962a) (Ingraham R. L.) Stochastic Lorentz observers and the divergences in quantumfield theory. — Nuovo Cim., v. 24, p. 1117.
Инграхам (19626) (Ingraham R. L) Relativistic invariance and the tacit uniqueness postulate in quantum field theory. — Nuovo Cim., v. 26, p. 328.
Иордан, фон Нейман (1935) (Jordan P., von Neumann /.) On inner products in linear metric spaces. — Ann. of Math., v. 36, p. 719.
Иордан, Паули (1928) (Jordan Р, Pauli 呼.)Zur Quantenelektrodynamik ladungsfreier Felder.— Zs. Phys., Bd 47, S. 151.
Иордан, Сударшан (1962) (Jordan Th. K, Sudarshan E. C. G.) Reduction of operator rings and the irreducibility axiom in quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 3, p. 587.
Иофа M. 3., Файнберг В. Я. (1969a) Вайтмановская формулировка для нелокализуемой квантовой теории поля, I. — ЖЭТФ, т. 56, с. 1644.
Иофа М. 3., Файнберг В. Я. (19696) Вайтмановская формулировка для нелокализуемых теорий поля, II. Теория асимптотических полей и частиц. — ТМФ, т. 1, с. 187.
Иохвидов 〃. С., Крейн М. Г. (1956, 1959) Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, I, II. — Тр. Моск. мат. о-ва, 1956, т. 5, с. 367; 1959, т. 8, с. 413.
Ито (1980) (Ito К. R.) Construction of two-dimensional quantum electrodynamics. — J. Math. Phys., v. 21, p. 1473.
Ициксон 〃 dp. (1970) (Itzykson C., Kadyshevsky V. G., Todorov I. T.) Three-dimensional formulation of the relativistic two-body problem and infinite-component wave equations.— Phys. Rev., v. DI, p. 2822.
Йоос (1962) (/oos 〃.)Zur Darstellungstheorie der inhomogenen Lorentz-gruppe als Grundlage quantenmechanischer Kinematik. — Fortschr. Phys., Bd 10, S. 65.
Йоос (1965) (/oos 〃.)Complex angular momentum and the representations of the Poincare group with space-like momentum. — [Л1], p. 132-138.
Йоос, Веймар (1976) (Joos 〃.，Weimar E.) On the covariant description of spontaneously broken symmetry in general field theory. — Nuovo Cim., v. 32A, p. 283.
Йост (1957) (Jost R.) Eine Bemerkung zum CTP-Theorem. — Helv. Phys. Acta, v. 30, p. 409.
Йост (1958) (Jost R.) Ein Beispiel zum Nukleon-Vertex. — Helv. Phys. Acta, v. 31, p. 263.
Йост (I960) (Jost R.) Das Pauli-Prinzip und die Lorentz-Gruppe. — In: Theoretical Physics in the Twentieth Centure / Eds. Fierz M., Weisskopf V. E. — N. Y.: Interscience Publ., p. 107-136 (русский перевод: В сб.: Теоретическая физика XX века. — М: ИЛ, 1962, с. 128-161).
Йост (1961) (Jost A.) Properties of Wightman functions. — In: Lectures on Field Theory and Many-Body Problems / Ed. Caianiello E. R. — N. Y., L.: Academic Press, p. 127-145.
Йост (1963) (Jost R.) TCP-Invarianz der Streumatrix und interpolierende Felder. — Helv. Phys. Acta, v. 36, p. 77.
Йост (1966) (Jost A.) Uber das zeitliche Verhalten von glatten Losungen der Klein-Gordon Gleichung. — Helv. Phys. Acta, v. 39, p. 21.
Йост (1974) (Jost A.) Die Heisenberg-Weylschen Vertauschungsrelationen: zum Beweis des von Neumannschen Satzes. — In: Physical Reality and Mathematical Description. — Dordrecht- Boston, p. 234-238.
Йост, Леман (1957) (Jost A., Lehmann 〃.) Integral-Darstellung kausaler Kommutatoren.— Nuovo Cim., v. 5, p. 1598.
Йост, Xenn (1962) (Jost A., Hepp K.) Uber die Matrixelemente des Translationsoperators.— Helv. Phys. Acta, v. 35, p. 34.
Кадисон (1963) (Kadison A.) Remarks on the type of von Neumann algebras of the local observables in quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 4, p. 1511.
Кадисон (1965) (Kadison R. У.) Transformation of states in operator theory and dynamics.— Topology, v. 3, Suppl. (2), p. 177.
Кадышевский В. Г. (1972) Квантовая теория поля и импульсное пространство постоянной кривизны. — В сб.: Проблемы теоретической физики. — М.: Наука, с. 52-95.
Кадышевский (1978) (Kadyshevsky У. G.) Fundamental length hypothesis and new concept of gauge vector field. — Nucl. Phys., v. B141, p. 477.
Кадышевский В. Г. (1979) Новый подход к теории электромагнитных взаимодействий.— ЭЧАЯ, т. 11, с. 5.
Камефучи, Страсди (1963) (Kamefuchi S., Strathdee /.) A generalization of field quantization and statistics, II. Interacting fields. — Nucl. Phys., v. 42, p. 166.
Камефучи, Такахаши (1962) {Kamefuchi S., Takahashi У.) A generalization of field quantization and statistics. — Nucl. Phys., v. 36, p. 177.
Камефучи, Умэдзава (1951) (Kamefuchi S., Umezawa 〃.)The vacuum in quantum electrodynamics. —Prog. Theor. Phys., v. 6, p. 543.
Камефучи 〃 dp. (1961) {Kamefuchi S., O'Raifeartaigh L, Salam A.) Change of variables and equivalence in quantum field theories. — Nucl. Phys., v. 28, p. 529.
Капры, Феррари (1981) (Capri 4.Z., Ferrari A.) Schwinger model, chiral symmetry, anomaly and ^-vacuums. — Nuovo Cim., v. 62A, p. 273.
Кари 〃 dp. (1982) {Carey 4L, Hurst C.A., O'Brien D.M.) Automorphisms of the CAR's and index theory. — J. Funct. Anal., v. 48, p. 360.
Каровский, Вейс (1978) (Karowski M., Weisz 尸.)Exact form factors in (1 + l)-dimensional field theoretical model with soliton behaviour. — Nucl. Phys., v. B193, p. 455.
Картан, Туллен (1932) (Cartan H., Thullen P.) Regularitats- und Konvergezbereiche. — Math. Ann., Bd 106, S. 117.
Кастлер (1964) (Kastler D.) A C*-algebra approach to field theory. — In: Proc, of a Conference on the Theory and Applications of Analysis in Function Space, held at Endicott House in Dedham (Mass.), 1963 / Eds. Martin W. T., Segal I. — Cambridge (Mass.): M. I. T. Press, p. 179-191.
Кастлер (1965) (Kastler D.) The C*-algebras of a free boson field. I. Discussion of the basic facts. — Commun. Math. Phys., v. 1, p. 14.
Кастлер 〃 dp. (1966) (Kastler D., Robinson D. W., Swieca J.A.) Conserved currents and associated symmetries. — Commun. Math. Phys., v. 2, p. 108.
Кахил, Cmann (1972) (Cahill К. E., Stapp H. P.) A basic discontinuity equation. — Phys. Rev., v. D6, p. 1007.
Кац Г. И. (I960) Обобщенные элементы гильбертова пространства. — Укр. мат. журн., т. 12, с. 13.
Каш ер 〃 др. (1974) (Casher А., Ко gut /., Susskind L.) Vacuum polarization and the absence of free quarks. — Phys. Rev., v. D10, p. 732.
Кеммер (1939) {Kemmer N.) The particle aspect of meson theory. — Proc. Roy. Soc., v. A173, p. 91.
Киббл (1967) {Kibble T. W.) Symmetry breakdown in non-abelian gauge theories. — Phys. Rev., v. 155, p. 1554.
Киббл (1968) {Kibble T. W.) Coherent soft-photon states and infrared divergences. I. Classical currents. — J. Math. Phys., v. 9, p. 315; II. Mass-shell singularities of Green functions.— Phys. Rev., v. 173, p. 1527; III. Asymptotic states and reduction formulas. — Ibid., v. 174, p. 1882; IV. The scattering operator. — Ibid. v. 175, p. 1624.
Киношита (1964) (Kinoshita T.) High-energy p-p elastic scattering. — Phys. Rev. Lett., v. 12, p. 257.
Киношита 〃 dp. (1964) (Kinoshita 7., Loeffel J. /., Martin A.) Upper bounds for the scattering amplitude at high energy. — Phys. Rev., v. 135B, p. 1464.
Кириакопулос (1968) (Kyriakopoulos E.) Dynamical groups and the Bethe-Salpeter equation.— Phys. Rev., v. 174, p. 1846.
Кириллов A. A. (1962) Унитарные представления нильпотентных групп. — УМН, т. 14, вып. 4, с. 57.
Клайбер (1964) (Kliber 5.) Analyticity with respect to the coupling constant in certain twodimensional field theoretic models. — Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 555.
Клайбер (1968) (Kliber B.) The Thirring model. — In: Lectures in Theoretical Physics / Eds. Barut A. O., Brittin W. E. — N. Y.: Gordon and Breach, p. 141-176, v. 10A.
Клейн (1938) (Klein O.) Quelques remarques sur le traitement approximatif du probleme des electrons dans un reseau cristallin par la mecanique quantique. — J. Phys. Rad., v. 9, p. 1.
Кляйнкнехт (1974) (Kleinknecht K.) Weak decays and CP violation. — In: Proc, of the 17th International Conference on High Energy Physics (London, 1974) / Ed. Smith J. R.— Chilton, Didcot: Science Research Council, p. 23-57.
Кольм, Нагель (1968) (Kolm A., Na^el B.) A generalized edge of the wedge theorem. — Commun. Math. Phys., v. 8, p. 185.
Комар А. А., Сладь Л. M. (1969) Замечание относительно спектра масс бесконечномерных релятивистских инвариантных уравнений. — ТМФ, т. 1, с. 50.
Коммон, Индюрен (1970) (Common А. К., Yndurain F.J.) Constraints on the derivatives of the 7Г7Г scattering amplitude from positivity. — Commun. Math. Phys., v. 18, p. 171.
Конн (1973) (Cannes A.) Classification des facteurs de type III. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., v. 6, p. 133.
Конн (1976) {Cannes A.) Classification of injective factors. — Ann. of Math., v. 104, p. 73.
Константинеску (1971) (Constantinescu 尸.)Analytic properties of nonstrictly localizable fields. — J. Math. Phys., v. 12, p. 293.
Корепин В. E. (1979) Непосредственное вычисление 5-матрицы в массивной модели Тирринга. —ТМФ, т. 41, с. 169.
Корниль (1964) (Cornille Я.) Bounds for the high-energy nuclean-nucleon scattering amplitude at angle 8 # 0 or тг and at fixed momentum transfer # 0. — Nuovo Cim., v. 31, p. 1101.
Корниль (1970) (Cornille H.) Constraints on the asymptotic behaviour of symmetric and antisymmetric amplitudes from positivity and unitarity. — Nuovo Cim., v. 70, p. 165.
Костант (1966) (Kostant B.) Orbits, symplectic structures and representation theory. Proc, of US-Japan Seminar on Differential Geometry (Kyoto, 1965). — Tokyo.
Костант (1970) (Kostant B.) Quantization and unitary representations. Leet. Not. Math.— B. e. a: Springer-Verlag, v. 170, p. 87.
Костант (1975) (Kostant 5.) On the tensor product of a finite and infinite dimensional representations. — J. Funct. Anal., v. 20, p. 257.
Костер, Cmann (1970) {Coster /., Stapp H.J.) Physical region discontinuity equation. — J. Math. Phys., v. 11, p. 2743.
Коулман (1966) {Coleman S.) The invariance of the vacuum is the invariance of the world.— J. Math. Phys., v. 7, p. 787.
Коулман (1975a) (Coleman S.) Secret symmetry: an introduction to spontaneous symmetry breakdown and gauge fields. — In: Laws of Hadronic Matter, 1973 International School of Subnuclear Physics, course 11, part A, Erice / Ed. Zichichi A. — N. Y., L.: Academic Press, p. 139-215 (русский перевод: [K7], с. 23-119).
Коулман (19756) {Coleman S.) Quantum sine-Gordon equation as massive Thirring model.— Phys. Rev., v. D11, p. 2088.
Коулман (1977) {Coleman S.) Classical lumps and their quantum descendants. — In: New Phenomena in Subnuclear Physics, 1975 International School of Subnuclear Physics, course 13, part A. Erice / Ed. Zichichi A. — N. Y., L.: Plenum Press, p. 297-421.
Коэн-Таннуджи 〃 dp. (1968) {Cohen-Tannoudji G., Morel A., Navelet 〃.) Kinematic singularities, crossing matrix and kinematical constraints for two-body helicity amplitudes. — Ann. of Phys., v. 46, p. 239.
Крайст (1974) {Christ N.) Application of conformal symmetry to quantum electrodynamics.— Phys. Rev. v. D9, p. 946.
Красников 〃 dp. (1980) {Красников H. В., Матвеев В.Л「Рубаков В. А., Тавхелидзе A.H., Токарев В. Ф.) Структура основного состояния в двумерной безмассовой квантовой электродинамике. — ТМФ, т. 45, с. 313.
Краус, Ландау (1972) (Kraus К., Landau L.J.) Conserved currents and symmetry transformations in local scattering theory. — Commun. Math. Phys., v. 24, p. 243.
Крейн M. Г. (1965) Введение в геометрию индефинитных J-пространств и теорию операторов в этих пространствах. — В сб.: Вторая летняя математическая школа (Кацавели, 1964).— Киев: Наукова думка, т. 1, с. 15-92.
Крейц, Тудрон (1978) (Creutz М., Tudron 7.) Higgs mechanism in the temporal gauge. — Phys. Rev., v. D17, p. 2619.
Крюзер (1976) {Crewther R.) Asymptotic behaviour in quantum field theory. — [K.4], p. 435-457.
Куго, Оджима (1979) {Kugo Г, Ojima /.) Local covariant and operator formalism in non-abelian gauge theories and quark confinement mechanics. — Suppl. Prog. Theor. Phys., №66, p. 1.
Кузьмин В. A. (1970) CF-неинвариантность и барионная асимметрия Вселенной. — Письма в ЖЗТ①，т. 12, с. 335.
Кук (1953) (Cook J.M.) The mathematics of second quantization. — Trans. Amer. Math. Soc., v. 74, p. 222.
Куликов A. В. (1983) Бозонизация фермионов в двумерных моделях. — ТМФ, т. 54, с. 314.
Кулиш 〃. 〃.，Фаддеев Л.Д. (1970) Асимптотическое условие и инфракрасные расходимости в квантовой электродинамике. — ТМФ, т. 4, с. 153.
Kypmpaum, Торн (1982) (Curtright T.L., Thorn С. В.) Conformally invariant quantization of the Liouville theory. — Phys. Rev. Lett., v. 48, p. 1309 (E: p. 1768).
Куткоски (I960) (Cutkosky R. E.) Singularities and discontinuities of Feynman amplitudes.— J. Math. Phys., v. 1, p. 429.
Лазур В. Ю., Химич И. В. (1977а) Доказательство интегрального представления Йоста- Лемана-Дайсона для причинного коммутатора в рамках локализуемых теорий. — Укр. мат. журн., т. 29, с. 599.
Лазур В. Ю., Химич И. В. (19776) Аналитичность и поведение амплитуды рассеяния при высоких энергиях в локализуемой квантовой теории поля. — Укр. физ. жури., т. 22, с. 1062.
Лазур В. Ю., Химич И. В. (1981) Слабое взаимодействие и дисперсионные соотношения.— ТМ①，т. 48, с. 216.
Лангакер (1981) {Langacker Р.) Grand unified theories and proton decay. — Phys. Reports, v. 72, p. 185.
Лангер (1962) (Langer 〃.) Zur Spektraltheorie J-selbstadjungierter Operatoren. — Math. Ann., v. 146, p. 60.
Лангер (1963) (Langer 〃.)Eine Verallgemeinerung eines Satzes von L. S. Pontrjagin. — Math. Ann., Bd. 152, S. 43.
Лангерхолк, Шроер (1965) (Langerholc /., Schroer B.) On the structure of the von Neumann algebras generated by local functions of the free Bose field. — Commun. Math. Phys., v. 1, p.215.
Ландау Л.Д. (1959) Об аналитических свойствах вершинных частей в квантовой теории поля. — ЖЭТФ, т. 37, с. 62 (английский перевод: Nucl. Phys., 1959, v. 13, р. 181).
Ландау Л.Дж. (1970) {Landau L.J.) Asymptotic locality and the structure of local internal symmetries. — Commun. Math. Phys., v. 17, p. 156.
Ландау, Вихман (1970) {Landau L.J., Wichmann Е. 〃.)On the translation invariance of local internal symmetries. — J. Math. Phys., v. 11, p. 306.
Лассаль (1974) (Lassalle M.) Analyticity properties implied by the may-particle structure of the n-point function in general quantum field theories, I. Convolution of n-point functions associated with graph. — Commun. Math. Phys., v. 36, p. 185.
Ласснер (1972) (Lassner G.) Topological algebras of operators. — Rep. Math. Phys., v. 3, p. 279.
Ласснер, Тиммерман (1972) (Lassner G., Timmermann W.) Normal states on algebras of unbounded operators. — Rep. Math. Phys., v. 3/4, p. 295.
Ласснер, Ульман (1968) (Lassner G., Uhlmann A.) On positive functional of algebras of test functions for quantum fields. — Commun. Math. Phys., v. 7, p. 152.
Лаутруп (1967) (Lautrup B.) Canonical quantum electrodynamics in covariant gauges. — Kgl. Danske Videnskab. Selsk., Mat.-Fys. Medd., v. 35, №11.
Лезнов, Савельев (1979) (Leznov A.N., Saveliev M. У.) Representation of zero curvature of the system of non-linear partial differential equations xa,zz = exp (kx)a- — Lett. Math. Phys., v. 3, p. 489.
Лезнов A.H., Федосеев И. A. (1983) Двумерные точно интегрируемые динамические системы в квантовой области. — [Т2], т. 2, с. 344-349.
Лезнов А.Н., Хрущев В. В. (1983) Суперсимметричное уравнение Лиувилля в квантовом случае. — [Т2], т. 1, с. 328-333.
Леман (1954) {Lehmann Я.) Uber Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormie- rungskonstanten quantisierter Felder. — Nuovo Cim., v. 11, p. 342.
Леман (1958) (Lehmann 〃.)Analytic properties of scattering amplitudes as functions of momentum transfer. — Nuovo Cim., v. 10, p. 579.
Леман (1959) (Lehmann 〃.)Scattering matrix and field operators. — Nuovo Cim. Suppl, v. 14, p. 153.
Леман (1966) {Lehmann 〃.)Analytic properties of scattering amplitudes in two variables.— Commun. Math. Phys., v. 2, p. 375.
Леман 〃 dp. (1955) (Lehmann 〃.，Symanzik K., Zimmermann W.) Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien. — Nuovo Cim., v. 1, p. 205.
Леман 〃 dp. (1957) (Lehmann 〃.，Symanzik K., Zimmermann W.) The formulation of quantized field theories, II. — Nuovo Cim., v. 6, p. 319.
〃〃 Б.-В. (1974) {Lee B. W.) Renormalization of gauge theories — unbroken and broken. — Phys. Rev., v. D9, p. 933.
Ли, Зин-Жюстен (1972-1973) (Lee В. W., Zinn-Justin /.) Spontaneously broken gauge theories, I. Preliminaries; II. Perturbation theory and renormalization; III. Equivalence; IV General gauge transformations. — Phys. Rev., v. D5 (1972), p. 3121, 3137, 3155; v. D7 (1973), p. 1049.
〃〃 Ц. (1966) (Lee T. D.) Weak interactions and questions of С, P, T-noninvariance. — In: Oxford International Conference of Elementary Particles, 1965. — Oxford: Rutherford High Energy Laboratory, p. 225-239.
Ли Ц. (1967) (Lee T. D.) Time reversal symmetry, Physikertagung (Munchen, 1966). — Stuttgart: B. G. Teubner, Teil 2, S. 243-261.
Ли, Вик (1966) (Lee T. D., Wick G. C.) Space inversion, time reversal and discrete symmetries in local field theories. — Phys. Rev., v. 148, p. 1520.
Ли, Ян (г) (1956) (Lee T. D., Yang C. N.) Question of parity conservation in weak interactions.— Phys. Rev., v. 104, p. 254.
Ли 〃 dp. (1957) {Lee T. D., Oehme A., Yang C. N.) Remarks on possible noninvariance under time reversal and charge conjugation. — Phys. Rev., v. 106, p. 340 (русский перевод: в сб. [Н6]).
Н. Н. Боголюбов и др.
Лион (1952/53) {Lions /. L) Supports dans la transformation de Laplace. — J. Analyse Math., v. 2, p. 369.
Липшуц (1966) (Lipshutz N. R.) Invariance principles and the KQ- KQ propagator matrix.— Phys. Rev., v. 144, p. 1300.
Лихт (1963) {Licht A.L.) Strict localization. — J. Math. Phys., v. 4, p. 1443.
Лихт, Тол (1961) {Licht A. I., Toll J. S.) Two-point function and generalized free fields. — Nuovo Cim., v. 21, p. 346.
Ловенштейн (1971) {Lowenstein /. 〃.)Normal-product quantization of currents in Lagrangian field theory. — Phys. Rev., v. D4, p. 2281.
Ловенштейн, Свиека (1971) {Lowenstein /., Swieca /.) Quantum electrodynamics in two dimensions. — Ann. of Phys., v. 68, p. 172.
Лович, Томозава (1962) (Lovitch £., Tomozawa У.) The spectral representation of the two-point function and local commutativity. — Nuovo Cim., v. 24, p. 1147.
Логунов A.A. (1958) Дисперсионные соотношения для реакций с переменным числом частиц. —ДАН СССР, т. 120, с. 501.
Логунов, Соловьев (1959) (Logunov A. A., Soloviev L. D.) Dispersion relations for virtual photoproduction. — Nucl. Phys., v. 10, p. 60.
Логунов, Тавхелидзе (1958) {Logunov A.A., Tavkhelidze A.N.) Generalized dispersion relations. —Nuovo Cim., v. 10, p. 943.
Логунов 〃 dp. (1957) (Logunov A. A., Tavkhelidze A.N., Soloviev L. D.) Photoproduction processes and dispersion relations. — Nucl. Phys., v. 4, p. 427.
Логунов 〃 dp. (1958) (Logunov A.A., Bilenkij S.TW., Tavkhelidze A.N) On the theory of dispersion relations. — Nuovo Cim., v. 10, p. 953.
Логунов 〃 dp. (1962) {Логунов А.А., Тодоров И.Т., Черников H.A.) Обобщение теоремы Симанзика о мажоризации диаграмм Фейнмана. — ЖЭТФ, т. 42, с. 1285.
Логунов 〃 др. (1963) {Logunov A. A., Nguyen van Hieu, Todorov I. Г, Khrustalev О. A.) Asymptotic relations between cross sections in local field theory. — Phys. Lett., v. 7, p. 69.
Логунов 〃 dp. (1966) {Логунов А. А., Нгуен Ван Хьеу, Тодоров И. 7.) Асимптотические соотношения между амплитудами рассеяния в локальной теории поля. — УФН, т. 88, с. 51.
Логунов 〃 др. (1967а) (Logunov A. A., Soloviev L. D., Tavkhelidze A.N.) Dispersion sum rules and high energy scattering. — Phys. Lett., v. 24B, p. 181.
Логунов 〃 dp. (19676) {Logunov A. A., Mestvirishvili M.A., Nguyen van Hieu) High-energy behaviour of inelastic cross sections. — Phys. Lett., v. 25B, p. 611.
Логунов 〃 dp. (1968) (Logunov A.A., Nguyen van Hieu, with collaboration by Mestvirishvili M.A., Nguyen ngoc Thuan). — In: Topical Conference on High-Energy Collisions of Hadrons. — (Geneva, 1968) (Sci. Rep. / CERN: 68-7), v. 2, p. 74-92.
Логунов 〃 dp. (1972) {Логунов А. А., Мествиришвили M.A., Хрусталев О. А.) Ограничения на поведение сечений упругих и неупругих процессов при высоких энергиях, I; II.— ЭЧАЯ, т. 3, с. 3; с. 515 (сокращенный вариант: ТМФ, 1971, т. 9, с. 3; с. 153).
Логунов 〃 др. (1974) {Логунов А.А., Мествиришвили М.А., Петров В.Д.) О некоторых новых ограничениях на функцию распределения инклюзивного процесса. — ТМФ, т. 21, с. 305.
Логунов 〃 др. (1977) {Логунов А. А., Медведев В. В., Мествиришвили М.А., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А.Д.) Дисперсионное соотношение для амплитуды 3 т 3 рассеяния вперед и обобщенная оптическая теорема. — ТМФ, т. 33, с. 149.
Логунов 〃 др. (1978) (Logunov A. A., Mestvirishvili М.А., Petrov V.A.) General principles of quantum field theory and strong interactions at high energies. — Ann. of Phvs., v. 114, p. 46 (см. также [01], c. 181-276).
Логунов 〃 др. (1979а) {Логунов А. А., Мествиришвили 7И. Д., Рчеулишвили Г. Л., Самохин т4.〃.) Особенность амплитуды в cos ^-плоскости и рассеяние при высоких энергиях. —ТМФ, т. 39, с. 147.
Логунов 〃 др. (19796) {Логунов А. А., Музафаров 〃.7И., Павлов В. П., Суханов А.Д.) Аналитическая структура амплитуды процесса 3 т 3 вперед. — ТМФ. т. 40, с. 179.
Логунов 〃 др. (1983) {Логунов А.А., Мествиришвили М.А., Петров В.Д.) Инклюзивные процессы и динамика сильных взаимодействий. — ЭЧАЯ, т. 14, с. 493.
Лойтвилер (1965) (Leutwyler Я.) Symmetry breaking solutions of the Thirring model. — Helv. Phys. Acta, v. 38, p. 43.
Ломонт (I960) (Lomont J. S.) Decomposition of direct products of representations of inhomogeneous Lorentz group. — J. Math. Phys., v. 1, p. 237.
Лопе, Меннесье (1977) {Lopez C., Mennessier G.) Bounds on the 7г°7г° amplitude. — Nucl. Phys., V.B118, p.426.
Лукашук, Мартен (1967) {Lukaszuk £., Martin A.) Absolute upper bounds for 7Г7г scattering.— Nuovo Cim., v. 52A, p. 122.
Лупиа, Миракль-Соль (1966) (Loupias G, Miracle-Sole S.) C*-algebres des systemes canon- iques. — Commun. Math. Phys., v. 2, p. 31.
Лэм (1972a) (Lam Y.M.P.) Perturbation Lagrangian theory for scalar fields — Ward-Takahashi identity and current algebra. — Phys. Rev., v. D6, p. 2145.
Лэм (19726) (Lam У. M. P.) Perturbation Lagrangian theory for Dirac fields — Ward-Takahashi identity and current algebra. — Phys. Rev., v. D6, p. 2165.
Лю-И-Чень, Тодоров И. T. (1963) Интегральное представление вершинной части в теории возмущений. — ДАН СССР, т. 148, с. 806.
Людерс (1954) (Liiders G.) On the equivalence of invariance under time reversal and under particle-antiparticle conjugation for relativistic field theories. — Kgl. Danske Viderskab. Selskab., Mat.-Fys. Medd., v. 28, № 5.
Людерс (1957) (Liiders G.) Proof of the TCP theorem. — Ann. of Phys., v. 2, p. 1.
Людерс (1961) (Liiders G.) TCP theorem and related problems. — In: Lectures on Fieid Theory and the Many-Body Problem / Ed. Caianiello E. R. — N. Y.: Academic Press, p. 1-26.
Людерс, Зумино (1958) (Liiders G., Zumino B.) Connection between spin and statistics. — Phys. Rev., v. 110, p. 1450.
Майорана (1932) (Majorana E.) Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbit- rario. — Nuovo Cim., v. 9, p. 335.
Мак (1975) (Mack G.) Osterwalder-Schrader positivity in conformal invariant quantum field theory. — In: Trends in Elementary Particle Theory. Lecture Notes in Physics / Eds. Roll- nik H., Dietz K. — B.: Springer-Verlag, v. 37.
Мак, Салам (1969) {Mack G., Salam A.) Finite component field representations of the conformal group. — Ann. of Phys., v. 53, p. 174.
Мак, Тодоров (1973) (Mack G., Todorov I. T.) Conformal invariant Green functions without ultraviolet divergences. — Phys. Rev., v. D8, p. 1764.
Макдоуэл, Мартен (1964) (Macdowell S., Martin A.) Unitary bounds of the scattering amplitude and the diffraction peak. — Phys. Rev., v. 135B, p. 960.
Макки (1952) {Mackey G. W.) Induced representations of locally compact groups, I. — Ann. of Math., v. 55, p. 101.
Макки (1958) {Mackey G. W.) Unitary representations of group extensions, I. — Acta Math., v. 99, p. 265.
Макферлен (1962) (Macfarlane A. J.) On the restricted Lorentz group and groups homomorphi- cally related to it. — J. Math. Phys., v. 3, p. 1116.
Мальгранж (1953) (Malgrange 5.) Equations aux derivees partielles a coefficients constants, I. Solution elementaire. — Compt. Rend. (Paris), v. 237, p. 1620.
Манделъстам (1958) (Mandelstam S.) Determination of pion-nucleon scattering amplitude from dispersion relations and unitarity. General theory. — Phys. Rev., v. 112, p. 1344 (русский перевод: В сб.: Новый метод в теории сильных взаимодействий. Двойные дисперсионные соотношения. — М.: ИЛ, I960).
Манделъстам (1959) (Mandelstam S.) Analytic properties of transition amplitudes in perturbation theory. — Phys. Rev., v. 115, p. 741.
Манделъстам (I960) (Mandelstam S.) Some rigorous analytic properties of transition amplitudes. —Nuovo Cim., v. 15, p. 658.
Манделъстам (1962) (Mandelstam S.) Quantum electrodynamics without potentials. — Ann. of Phys., v. 19, p. 1.
Манделъстам (1970) (Mandelstam S.) Dynamical applications of the Veneziano formula. — [Л2], v. 1, p. 165-281.
Манделъстам (1975) (Mandelstam S.) Soliton operators for the quantized sine-Gordon equation. —Phys. Rev., v. D11, p. 3026.
Манин Ю. И. (1981) Калибровочные поля и голоморфная геометрия. — В сб.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, т. 17, с. 3-55.
Манохаран (1962) (Manoharan А. С.) The primitive domains of holomorphy for the 4 and 5 point Wightman functions. — J. Math. Phys., v. 3, p. 853.
Мансфилд (1983) {Mansfield P) Light-cone quantization of the Liouville and Toda field theories. —Nucl. Phys., v. B222, p. 419.
Манюсо (1968a) (Manuceau /.) Etude de quelques automorphismes de la C*-algebre du champ de bosons libres. — Ann. Inst. H. Poincare, v. 8, p. 117.
Манюсо (19686) (Manuceau /.) C*-algebre de relations de commutation. — Ann. Inst. H. Poincare, v. 8, p. 139.
Манюсо, Вербер (1968) (Manuceau /., Verbeure A.) Quasifree states of the CCR. — Commun. Math. Phys., v. 9, p. 293.
Мартен (1963a) {Martin A.) Unitarity and high-energy behavior of scattering amplitudes.— Phys. Rev., v. 129, p. 1432.
Мартен (19636) (Martin A.) A lower bound for elastic cross-sections in the very high energy region. — Nuovo Cim., v. 29, p. 993.
Мартен (1965a) (Martin A.) Minimal interactions at very high energy. — Nuovo Cim., v. 37 p.671.
Мартен (19656) (Martin A.) A general proof of the Pomeranchuk theorem and related theorems. —Nuovo Cim., v. 39, p. 704.
Мартен (1966a) (Martin A.) Improvement of the Greenberg-Low bound. — Nuovo Cim., v. 42A., p. 901.
Мартен (19666) (Martin A.) Extension of the axiomatic analyticity domain of scattering amplitudes by unitarity, I, II. — Nuovo Cim., v. 42A, p. 930; v. 44A, p. 1219.
Мартино (1964) {Martineau A.) Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes.— In: Theory of Distributions. — Inst. Gulbenkian Cienc., Lisbon, p. 193-326.
Матвеев 〃 dp. (1971) {Матвеев В. А., Мурадян P. M., Тавхелидзе A. H.) Автомодельность, коммутаторы токов и векторная доминантность в глубоконеупругих лептон-адронных взаимодействиях. — ЭЧАЯ, т. 2, с. 5.
Мау, Мартен (1968) (Mahoux G., Martin A.) Extension of axiomatic analyticity properties for particles with spin, and proof of superconvergence relations. — Phys. Rev., v. 174 p. 2140.
May, Мартен (1970) (Mahoux G., Martin A.) Extension of analyticity domains of functions with positivity properties and axiomatic proof of superconvergence relations. — In: Analytic
methods in mathematical physics / Eds. Gilbert R. P., Newton R. G. — N. Y. e. a.: Gordon and Breach, p. 265-277.
Медведев Б. В. (1961) О функциональном разложении матрицы рассеяния по нормальным произведениям асимптотических полей. — ЖЭТФ, т. 40, с. 829.
Медведев Б. В. (1964) Уравнения для радиационных операторов. — ЖЭТФ, т. 47, с. 147.
Медведев Б. В. (1965) К аксиоматическому построению матрицы рассеяния. 3. Гейзенбергово и асимптотическое представление. — ЖЭТФ, т. 48, с. 1479.
Медведев Б. В. (1966) К аксиоматическому построению матрицы рассеяния. 4. Лагранжева форма теории. — ЖЭТФ, т. 49, с. 1518.
Медведев Б. В., Поливанов М. К. (1961) Степени роста матричных элементов в аксиоматическом методе. — ЖЭТФ, т. 41, с. 1130.
Медведев В. В., Поливанов М. К. (1964) К аксиоматическому построению матрицы рассеяния. —[М7], т. 1, с. 77-139.
Медведев В. В., Поливанов М. К. (1967а) О формулировке адиабатической гипотезы в аксиоматической теории поля. — ДАН СССР, т. 177, с. 816.
Медведев В. В., Поливанов М. К. (19676) Модель взаимодействия с производными, допускающая точное решение. — ЖЭТФ, т. 53, с. 1316.
Медведев 6 8, Поливанов М. К. (1969) К вопросу о перенормировке операторов поля.— В сб.: Проблемы теоретической физики. — М.: Наука, с. 125-139.
Медведев, Суханов (1975) (Medvedev В. У., Sukhanov A.D.) T-products in Bogoliubov's axiomatics. —[M8], ч. I, c. 198-200.
Медведев 〃 др. (1968a) {Медведев 6 8, Поливанов M. К., Суханов А.Д.) Проблема динамического аппарата квантовой теории поля в аксиоматическом методе. — ЖЭТФ, т. 55, с. 179.
Медведев 〃 др. (19686) {Медведев В. В., Поливанов М. К., Суханов А.Д.) Перенормировка оператора поля в аксиоматической теории поля. — ЖЭТФ, т. 55, с. 512.
Медведев 〃 др. (1968в) (Медведев В. В., Поливанов М. К., Суханов А.Д.) К вопросу об унитарности 5-матрицы в теориях с производными. — ЯФ. т. 8, с. 396.
Медведев 〃 др. (1971) (Медведев В. В., Павлов В. П., Суханов А.Д.) Лагранжиан и матрица рассеяния. — ТМФ, т. 8, с. 153.
Медведев 〃 др. (1972) {Медведев В. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А.Д.) Метод расширенной 5-матрицы в квантовой теории поля. — ТМФ, т. 13, с. 3.
Медведев 〃 др. (1977а) {Медведев В. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А.Д.) Алгебраическая структура совокупности обобщенных запаздывающих операторов. — [Мб], с. 187-197.
Медведев 〃 др. (19776) (Медведев В. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А.Д.) Условие причинности Боголюбова и носители обобщенных запаздывающих операторов.— [Мб], с. 198-204.
Медведев 〃 др. (1982) (Медведев В. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А.Д.) К аналитическим свойствам n-частичных амплитуд. — ТМФ, т. 52, с. 163.
Мейман Н. Н. (1962) Об асимптотическом равенстве полных сечений частицы и античастицы. -ЖЗТ①，т. 43, с. 2277.
Мейман Н. Н. (1964) Принцип причинности и асимптотическое поведение амплитуды рассеяния. —ЖЗТ①，т. “7, с. 1966.
Мессиа, Гринберг (1964) (Messiah A.M.L., Greenberg О. W.) Symmetrization postulate and its experimental foundation. — Phys. Rev., v. 136B, p. 248.
Мествиришвили M.A., Тодоров И. T. (1963) Аналитические свойства мезонно-нуклонной вершинной части и амплитуды рассеяния псевдоскалярных мезонов в теории возмущений.— ДАН СССР, т. 148, с. 562.
Мете (1954) (Methee Р. D) Sur les distributions invariantes dans le groupe des rotations de Lorentz. — Comment. Math. Helv., v. 28, p. 225.
Meme (1955) (Methee P. D.) Transformee de Fourier de distributions invariantes. — Compt. Rend., v. 240, p. 1179.
Meme (1957) (Meth% P. D.) Liquation des ondes avec second membre invariant. — Comment. Math. Helv., v. 32, p. 153.
Мёллер (1962) (Moller N. Я.) The analyticity domain of the five point function. — Nucl. Phys., v. 35, p. 434.
Мигдал (1971) (Migdal A. A.) Conformal invariance and bootstrap. — Phys. Lett., v. 37B, p. 387.
Минковский 〃 dp. (1965) {Minkowski P, Williams D. N., Seiler R.) On Stapp's theorem. — [Л1], p. 173-189.
Минчев M. X., Тодоров И. T. (1981) Аксиоматический подход в теории калибровочных полей и механизм Хиггса. — В сб.: XIV Междунар, школа молодых ученых по физике высоких энергий (Дубна, 1980). — Дубна: ОИЯИ, с. 150-174.
Минчев М. X., Тодоров И. Т. (1985) Аксиоматический подход к локальной калибровочной квантовой теории поля и спонтанное нарушение симметрии. — ЭЧАЯ, т. 16, с. 59.
Минчев 〃 др. (1976) (Mintchev М. С., Petkova У. В., Todorov /. Т.) Scale and conformal covariance in quantum electrodynamics. — Rep. Math. Phys., v. 9, p. 355.
Мишель (1964) (Michel L.) Invariance in quantum mechanics and group extension. — [ПЗ], p. 135-200.
Мишель (1970) (Michel L.) Applications of group theory to quantum physics. Algebraic aspects, Lecture Notes in Physics. — B. e. a.: Springer-Verlag, v. 6 (русский перевод: [МН], с. 7-110).
Морен (1963а) (Maurin К.) Mathematical structure of Wightman formulation of quantum field theory. — Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. math., astr. et phys., v. 11. p. 115.
Морен (19636) (Maurin K.) On some theorem of H. J. Borchers. — Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. math., astr. et phys., v. 11, p. 121.
Моркио, Строкки (1980) (Morchio G., Strocchi 尸.)Infrared singularities, vacuum structure and pure phases in local quantum field theory. — Ann. Inst. H. Poincare, v. A33, p. 251.
Музафаров Л. M., Павлов В. П. (1978) Аналитичность амплитуды 3 т 3 вперед в окрестности физической области. — ТМФ, т. 35, с. 181.
Мураскин, Нишиджима (1961) (Muraskin М., Nishijima К.) Time-ordered Green's functions and perturbation theory. — Phys. Rev., v. 122, p. 331.
Мусса, Cmopa (1965) (Moussa P., St ora A.) Some remarks on the product of irreducible representations of the inhomogeneous Lorentz group. — [Л1], p. 37-69.
Мутце (1975) (Mutze U.) Unified free quantum fields for massive and massless particles.— Fortschr. Phys., Bd 23, S. 113.
Мэсон, Pee (1971) (Maison D., Reeh 〃.)Non-existence of Goldstone bosons with non-zero helicity. — Commun. Math. Phys., v. 24, p. 67.
Мэсон, Цванцигер (1975) (Maison D., Zwanziger D.) On subsidiary condition in quantum electrodynamics. — Nucl. Phys., v. B91, p. 425.
Мюллер (1970) (Mueller A.H.) 0(2, 1) analysis of single-particle structure at high energy.— Phys. Rev., v. D2, p. 2963.
Мюллер (1981) {Mueller A.H.) Perturbative QCD at high energies. — Phys. Reports, v. 73, p. 237.
Наймарк M.A. (1964) Бесконечномерные представления групп и смежные вопросы. — В сб.: Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование, 1962. — М.: ВИНИТИ, с. 38-62.
Найт (1961) {Knight /. 7И.) Strict localization in quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 2, p. 459.
Наканиши (1959) (Nakanishi N.) On the validity of dispersion relations in perturbation theory.— Prog. Theor. Phys., v. 21, p. 135.
Наканиши (1961) (Nakanishi N.) Integral representations for scattering amplitudes in perturbation theory. — Prog. Theor. Phys., v. 26, p. 337, 927.
Наканиши (1962-1964) (Nakanishi N.) Fundamental properties of perturbation theoretical integral representations. — Phys. Rev., (1962) v. 127, p. 1380; J. Math. Phys., (1963) v. 4, p. 1385, (1964) v.5, 1458.
Наканиши (1966) {Nakanishi N.) Covariant quantization of the electromagnetic field in the Landau gauge. — Prog. Theor. Phys., v. 35, p. 1111.
Наканиши (1972) {Nakanishi N.) Indefinite-metric quantum field theory. — Prog. Theor. Phys., v. 51, p. 1-95.
Наканиши (1973) (Nakanishi N.) Indefinite-metric quantum theory of genuine and Higgs-type massive vector fields. — Prog. Theor. Phys., v. 49, p. 640.
Наканиши (1974) {Nakanishi N.) The Lehmann-Symanzik-Zimmermann formalism for manifestly covariant quantum electrodynamics. — Prog. Theor. Phys., v. 52, p. 1929.
Накано (1959) {Nakano T.) Quantum field theory in terms of Euclidean parameters. — Prog. Theor., Phys., v. 21, p. 241.
Намбу (1957) (Nambu У.) Parametric representations of general Green's functions. — Nuovo Cim., v. 6, p. 1064.
Намбу (1958) (Nambu У.) Dispersion relations for form factors. — Nuovo Cim., v. 9, p. 610.
Намбу (I960) {Nambu У.) Axial vector current conservation in weak interactions. — Phys. Rev. Lett., v. 4, p. 380.
Намбу (1966a) (Nambu У.) Relativistic wave equations for particles with internal structure and mass spectrum. — Suppl. Prog. Theor. Phys., № 37-38, p. 368.
Намбу (19666) (Nambu У.) A systematics of hadrons in subnuclear in Theoretical Physics / Eds. de-Shalit A., Feshbach H., van Hove L., — Amsterdam: North-Holland, p. 133-142.
Намбу (1967) (Nambu У.) Infinite-component wave equations with hydrogen like mass spectra.— Phys. Rev., v. 160, p. 1171.
Намбу, Иона-Лазинио (1961) {Nambu У., Yona-Lasinio G.) Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity, I, II. — Phys. Rev., v. 122, p. 345; v. 124, p. 246.
Нарнхофер, Тирринг (1978) (Narnhofer 〃.， Thirring W.) The taming of the dipole ghost.— Phys. Lett., v. 76B, p. 428.
Фон Нейман (1931) (von Neumann /.) Die Eindeutigkeit der Schrddingerschen Operatoren.— Math. Ann., Bd 104, S. 570.
Фон Нейман (1936) (uo〃 Neumann /.) On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. — Мат. сб., т. 1, с. 415.
Нельсон (1959) {Nelson Е) Analytic vectors. — Ann. of Math., v. 70, p. 572 (русский перевод: Математика, 1962, т. 6, № 3, с. 89).
Нельсон (1973а) {Nelson Е.) Quantum fields and Markoff fields. Proc. AMS Summer Institute on Partial Differential Equations, held at Berkeley (Calif.), 1971. — Providence (R. I.).
Нельсон (19736) (Nelson E.) Construction of quantum fields from Markoff fields. — J. Funct. Anal., v. 12, p. 97.
Нельсон (1973b) {Nelson E.) The free Markoff fields. — J. Funct. Anal., v. 12, p. 211.
Нельсон (1973г) (Nelson E) Probability theory and Euclidean field theory. — In: Constructive Quantum Field Theory. / Eds. Velo G., Wightman A. S. — B. e. a.: Springer-Verlag, p. 94-124 (русский перевод: В сб.: Конструктивная теория поля. — М.: Мир, 1977 с. 74-98).
Нишиджима (1957) {Nishijima К.) On the asymptotic conditions in quantum field theory.— Prog. Theor. Phys., v. 17, p. 765.
Нишиджима (1958) (Nishijima K.) Formulation of field theory of composite particles. — Phys. Rev., v. 111, p. 995.
Нишиджима (I960) {Nishijima K.) Asymptotic conditions and perturbation theory. — Phys. Rev., v. 119, p. 485.
Оберсон 〃 Or (1974-1975) (Auberson G, Epole L, Mahoux G., Simao F.R.A.) Rigorous absolute bounds for pion-pion scattering, I. Solving a first extremum problem. — Nucl. Phys., 1974, v. B73, p. 319; II. Solving modified Szegd-Meiman problem. — Ann. Inst. H. Poincare, 1975, v. 22, p. 317; III. Dispersion relations on algebraic manifolds and computation of bounds. — Nucl. Phys., 1975, v. B94, p. 311.
Огиевецкий В.И., Мезинческу Л. (1975) Симметрии между бозонами и фермионами и суперсимметрия. —УФН, т. 117, с. 637.
Огиевецкий В.И., Чжоу Гуан Чжао (1959) Свойство зарядовой симметрии и представления расширенной группы Лоренца в теории элементарных частиц. — УФН, т. 36, с. 264.
Оджима, Хата (1979) (Ojima /., Hata Я.) Observables and quark confinement in the covariant canonical formalism of Yang-Mills theory, II. — Z. Phys. C., Bd 1, S. 405.
Ока (1953) (Oka K.) Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, IX. Domains finis sans point critique interieur. — Jap. J. Math., v. 23, p. 97.
Оксак (1976) {Oksak A.I.) On invariant and covariant Schwartz distributions in the case of a compact linear group. — Commun. Math. Phys., v. 46, p. 269.
Оксак А. И. (1981) Нефоковские линейные бозонные системы и их применения в двумерных моделях. — ТМ①，т. 48, с. 297.
Оксак, Тодоров (1968) (Oksak A.I., Todorov /. Т.) Invalidity of ТСР-theorem for infinitecomponent fields. — Commun. Math. Phys., v. 11, p. 125.
Оксак, Тодоров (1969) {Oksak 厶./., Todorov I. T.) On the covariant structure of the two-point function. — Commun. Math. Phys., v. 14, p. 271.
Оксак А. И., Тодоров И. T. (1971) Двухточечные функции локальных бесконечнокомпонентных полей. — ТМФ, т. 7, с. 153.
Окубо (1958) (Okubo S.) Dispersion relations for the photoproduction of K-mesons. — Prog. Theor. Phys., v. 19, p. 43.
Окунь Л. Б. (1966) Нарушение CF-инвариантности. — УФН, т. 89, с. 603.
Олив, Турок (1983) (Olive D.I., Tur ok N.) Algebraic structure of Toda systems. — Nucl. Phys., v. B220, p. 491.
Онэ (I960) (Omnes R) Demonstration des relations de dispersion. — [Pl], p. 317-383.
Орцалези (1970) (Orzalesi C.A.) Charges and generators of symmetry transformations in quantum field theory. — Rev. Mod. Phys., v. 42, p. 381.
Остервальдер (1973a) {Osterwalder K.) Euclidean Green's functions and Wightman distributions. —In: Constructive quantum field theory / Eds. Velo G., Wightman A. S. (Lecture Notes in Physics). — B. e. a.: Springer-Verlag, p. 71-93, v. 25 (русский перевод: В сб.: Конструктивная теория поля. — М.: Мир, 1977, с. 48-73).
Остервальдер (19736) {Osterwalder К.) Duality for free Bose fields. — Commun. Math. Phys., v. 29, p. 1.
Остервальдер, Шрадер (1973) {Osterwalder К., Schrader R) Axioms for Euclidean Green's functions. — Commun. Math. Phys., v. 31, p. 83.
Остервальдер, Шрадер (1975) {Osterwalder К., Schrader S.) Axioms for Euclidean Green's functions, II. — Commun. Math. Phys., v. 42, p. 281 (русский перевод: В сб.: Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход. — М.: Мир, 1978, с. 9-45).
Павлов В. П. (1978а) Аналитическая структура амплитуды 3 т 3 вперед. — ТМФ, т. 35, с. 3. Павлов В. П. (19786) Теория обобщенных запаздывающих операторов. — ТМФ, т. 37, с. 154. Палев (1982) (Paleu T.D.) Рага-Bose and рага-Fermi operators as generators of orthosymplectic Lie superalgebras. — J. Math. Phys., v. 23, p. 1100.
Парк, Еле (1965) (Parke W. C., Jehle 〃.)Covariant spinor formulation of relativistic wave equations under the homogeneous Lorentz groups. — [Л1], p. 297-397.
Партхасарати (1969) (Parthasarathy K.R) Projective unitary antiunitary representations of locally compact groups. — Commun. Math. Phys., v. 15, p. 305.
Паули (1936) (Pauli W.) Contributions mathematiques a la theorie des matrices de Dirac.— Ann. Inst. H. Poincare, v. 6. p. 109.
Паули (1940) (Pauli W.) Connection between spin and statistics. — Phys. Rev., v. 58, p. 716 (русский перевод: В кн.: В. Паули. Релятивистская теория элементарных частиц. — М.: ИЛ, 1947).
Паули (1943) (Pauli W.) On Dirac's new method of field quantization. — Rev. Mod. Phys., v. 15 p. 175.
Паули (I960) (Pauli W.) On the connection between spin and statistics. — Prog. Theor. Phys., v. 5, p. 526.
Паули (1955) (Pauli W.) Exclusion principle, Lorentz group and reflection of space-time and charge. — In: Niels Bohr and the Development of Physics / Ed. Pauli W. — N. Y.: McGraw- Hill, p. 30-51 (русский перевод: В сб.: Нильс Бор и развитие физики. — М.: ИЛ, 1958).
Пауэрс (1971, 1974) (Powers А. 7.) Self-adjoint algebras of unbounded operators, I. — Commun. Math. Phys., v. 21, p. 85; II. Trans. Amer. Math. Soc., v. 167, p. 261.
Пауэрс, Штёрмер (1970) {Powers А. Г, St0rmer E) Free states of the canonical anticommutation relations. — Commun. Math. Phys., v. 16, p. 1.
Первушин В. H. (1979) Квантовая топология калибровочных полей. — В сб.: Проблемы квантовой теории поля. Тр. V Междунар, совещ. по нелокальным теориям поля (Алушта, 1979). - Дубна: ОИЯИ, с. 223-232.
Первушин В. Н. (1980) Квантовая хромодинамика как микроскопическая теория сверхтекучести. —ТМФ, т. 45, с. 394.
Петкова 〃 др. (1983) (Petkova У. В., Sotkov G., Todorov /. 7.) Physical meaning of intertwining maps between exceptional representations of the conformal group. Lecture at the 1982 Varna School.
Петрина Д. Я. (1961) О невозможности построения нелокальной теории поля с положительным спектром оператора энергии-импульса. — Укр. мат. журн., т. 13, №4, с. 109.
Петрина Д. Я. (1963) Аналитические свойства вкладов диаграмм Фейнмана. — ДАН СССР, т. 149, с. 808.
Петров В. А. (1977) Об асимптотической связи между процессами глубоконеупругого рассеяния и инклюзивной аннигиляции. — ТМФ, т. 33, с. 280.
Пламен (1968)〈Plymen R.J.) C*-algebras and Mackey's axioms. — Commun. Math. Phys., v. 8, p. 132.
Погребков A. К. (1973) Модель Тирринга. Асимптотическое поле и 5-матрица. — ТМФ, т. 17, с. 47.
Погребков А. К., Сушко В. Н. (1975) Квантование (sin т；)2-взаимодействия в терминах фермионных переменных. — ТМФ, т. 24, с. 425.
Погребков А. К., Сушко В. Н. (1976) Квантовые солитоны и их связь с фермионными полями при (sin т；)2-взаимодействии. — ТМФ, т. 26, с. 419.
Поливанов М. К. (1958) Вопросы порождения тяжелых мезонов и гиперонов с точки зрения дисперсионных соотношений. — ДАН СССР, т. 118, с. 679.
Поливанов (1965) (Polivanov М. С.) Causal S-matrix in the axiomatic approach. — In: High Energy Physics and Elementary Paritcles. Lectures at Trieste Seminar, 1965. — Vienna: IAEA, p. 121-136.
Поливанов 〃 dp. (1973) {Поливанов M.K., Сушко B.H., Хоружий С. С.) Аксиомы алгебры наблюдаемых и понятие поля. — ТМФ, т. 16, с. 3.
Полицер (1974) (Politzer H.D.) Asymptotic freedom: an approach to strong interactions. — Phys. Reports, v. 14C, p. 129.
Полкинхорн (1956) (Polkinghorne /. C.) General dispersion relations. — Nuovo Cim., v. 4, p. 216.
Полкинхорн (1957) (Polkinghorne /. C.) Causal products in quantum field theory. — Proc. Camb. Phil. Soc., v. 53, p. 260.
Полкинхорн, Скритон (I960) (Polkinghorne /. C., Screaton G. A.) The analytic properties of perturbation theory, I, II. — Nuovo Cim., v. 15, p. 289, 925.
Полмайер (1968) {Pohlmeyer K.) Eine scheinbare Abschwachung der Lokalitatsbedingung.— Commun. Math. Phys., v. 7, p. 80.
Полмайер (1969) {Pohlmeyer K.) The Jost-Schroer theorem for zero mass fields. — Commun. Math. Phys., v. 12, p. 204.
Поляков A. M. (1974a) Негамильтонов подход к конформной квантовой теории поля. — ЖЭТФ, т. 66, с. 23.
Поляков А.М. (19746) Спектр частиц в квантовой теории поля. — Письма в ЖЭТФ, т. 20, с. 430.
Поляков А.М. (1975) Изомерные состояния квантовых полей. — ЖЭТФ, т. 68, с. 1975.
Померанчук И. Я. (1958) Равенство полных сечений взаимодействия нуклонов и антинуклонов при больших энергиях. — ЖЭТФ, т. 34, с. 725.
Понтрягин Л. С. (1944) Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой.— Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 8, с. 243.
Понцано 〃 др. (1969) (Ponzano G, Regge Г, Speer Е. R., Westwater M.J.) The monodromy rings of a class of self-energy graphs. — Commun. Math. Phys., v. 15, p. 82.
Пот (1978) (Poth 〃.)Test of CPT with antiprotons. — Phys. Lett., v. 77B, p. 321.
Прадхан (1958) {Pradhan T.) On the one-dimensional spinor model of Thirring. — Nucl. Phys., v. 9, p. 124.
Препарата (1972) (Preparata G.) Lectures in light-cone physics. — In: Proc, of the 7th Finnish Summer School in Physics (Loma-Koli, Finland, 1972). — University of Helsinki, p. 209-277.
Пронько「. 〃. (1974) Низкоэнергетические теоремы в 5-матричной электродинамике. — ТМФ, т. 18, с. 203.
Пронько「. 〃.，Соловьев Л.Д. (1974) Инфракрасная асимптотика функции Грина. — ТМФ, т. 19, с. 172.
Пью (1963) (Pugh R.E) Finite formulation of quantum field theory. — Ann. of Phys., v. 23, p. 335.
Пью (1965-1966) (Pugh R.E) 5-operator theory, I. Formulation; II. Quantum electrodynamics.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 740; 1966, v. 7, p. 376.
Радюшкин A. В. (1983) Анализ жестких инклюзивных процессов в квантовой хромодинамике. —ЭЧАЯ, т. 14, с. 58.
Разумов А. В. (1977) Преобразование Н. Н. Боголюбова и квантование солитонов. — ТМФ, т. 30, с. 18.
Рашевский П. К. (1955) Теория спиноров. — УМН, т. 10, вып. 2, с. 3.
Рашевский П. К. (1958) О математических основах квантовой электродинамики. — УМН, т. 13, вып. 3, с. 3.
Редже (1959) (Regge 7.) Introduction to complex orbital momenta. — Nuovo Cim., v. 14, p. 951.
Pee (1971) (Reeh 〃.)Remarks concerning a spontaneous breakdown of dilations. — Nuovo Cim., v. 4A, p. 566.
Pee, Реквард (1980) {Reeh 〃.，Requardt M.) Some properties of the electric charge operator.— Rep. Math. Phys., v. 17, p. 55.
Pee, Шлидер (1961) {Reeh 〃.，Schlieder S.) Bemerkungen zur Unitaraquivalenz von Lorentzin- varianten Feldern. — Nuovo Cim., v. 22, p. 1051.
Pee, Шлидер (1962) (Reeh 〃.，Schlieder S.) Uber den Zerfall der Feldoperator-algebra im Faile einer Vakuumentartung. — Nuovo Cim., v. 26. p. 32.
Рей (1968) (Wray /. G.) Current formalism, I. Ordering theorems for currents; II. The S-matrix in perturbation theory. — J. Math. Phys., v. 2, p. 537, 552.
Реквард (1976) {Requardt M.) Symmetry conservation and integration over local charge densities in quantum field theory. — Commun. Math. Phys., v. 50, p. 259.
Pudo (1975) (Rideau G.) On the realization of the Landau gauge. — Lett. Math. Phys., v. 1, p. 17.
Puck (1968) (Risk C.) Analyticity of envelope diagrams. — J. Math. Phys., v. 9, p. 2168.
Pace (1949) (Riesz M.) L'intCgrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy. — Acta Math., v. 81, p. 1.
Рихсенар (1982) (Ruijsenaars S.N.TW.) Scattering theory for the Federbush, massless Thirring and continuum Ising model. — J. Funct. Anal., v. 48, p. 135.
Робертс (1976a) {Roberts /. E.) Statistics and the intertwiner calculus. — In: C*-Algebras and their Applications to Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi», 1973, corso 60 / Ed. Kastler D. — Amsterdam e. a.: North-Holland, p. 203-225.
Робертс (19766) {Roberts /. E.) Local cohomology and superselection structure. — Commun. Math. Phys., v. 51, p. 107.
Робертс, Рёпшторф (1969) {Roberts J. E., Roepstorff G.) Some basic concepts of algebraic quantum theory. — Commun. Math. Phys., v. 11, p. 321.
Робинсон (1962) {Robinson D. W.) Support of a free field in momentum space. — Helv. Phys. Acta, v. 35, p. 403.
Робинсон (1964) (Robinson D. W.) On a soluble model of relativistic field theory. — Phys. Lett., v. 9, p. 189.
Робинсон (1966) (Robinson D. W.) Algebraic aspects of relativistic quantum field theory. — In: Axiomatic Field Theory. Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics, v. 1, 1965 / Eds. Chretien M., Deser S. — N. Y. e. a.: Gordon and Breach, p. 389-516.
Рорлих (1964) (Rohrlich 尸.)Functional differential calculus of operators. — J. Math. Phys., v. 5, p.324.
Рорлих,, Вилнер (1966) (Rohrlich 尸.，Wilner M.) Functional differential calculus of operators, II. — J. Math. Phys., v. 7, p. 482.
Рорлих,, Рей (1966) (Rohrlich 尸Wray J. G.) Ordering theorems. — J. Math. Phys., v. 7, p. 1967.
Росси (1982) (Rossi P.) Exact results in the theory of non-abelian magnetic monopolies. — Phys. Reports, v. 86, p. 317.
Pome, Свиека (1977) (Rothe K.D., Swieca J.A.) Gauge transformations and vacuum structure in the Schwinger model. — Phys. Rev. v. D15, p. 541.
Pome, Свиека (1978) (Rothe K. D., Swieca J. A.) Quantization ambiguity and non-trivial structure. —Nucl. Phys., v. B138, p. 26.
Рчеулишвили Г. Л., Самохин 厶.〃.(1975) Об аналитических свойствах дифференциального сечения неупругого процесса. — ТМФ, т. 25, с. 425.
Рюгг 〃 др. (1967) (Ruegg Я., Rilhl 收，Santhanam 7. S.) The SU(6) model and its relativistic generalizations. — Helv. Phys. Acta, v. 40, p. 9.
Рюль (1967) (Rilhl W.) Complete sets of solutions of linear Lorentz covariant field equations with an infinite number of field components. — Commun. Math. Phys., v. 6, p. 311.
Рюль (1973) (Rilhl 取)On conformal invariance of interacting fields. — Commun. Math. Phys., v. 34, p. 149.
Рю эль (1959) {Ruelle D.) Analyticity of Wightman functions at completely space-like points.— Helv. Phys. Acta, v. 32, p. 135.
Рю эль (1961a) {Ruelle D.) Domain of holomorphy of the three-point function. — Helv. Phys. Acta, v. 34, p. 587.
Рю эль (19616) {Ruelle D.) Connection between Wightman functions and Green functions in p-space. — Nuovo Cim., v. 19, p. 356.
Рюэль (1962) {Ruelle D.) On the asymptotic condition in quantum field theory. — Helv. Phys. Acta, v. 35, p. 147.
Салам, Страсди (1978) (Salam A., Strathdee /.) Supersymmetry and superfields. — Fortschr. Phys., Bd 26, S.57.
Сахаров А.Д. (1967) Нарушение CF-инвариантности, С-асимметрня и барионная асимметрия Вселенной. — Письма в ЖЭТФ, т. 5, с. 32.
Сахаров А.Д. (1979) Барионная асимметрия Вселенной. — ЖЭТФ, т. 76, с. 1172.
Де Сварт (1974) (de Swart /./.) Projective representations of connected linear Lie groups. — In: Proc, of the Third International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, v. 2, Centre de Physique Theorique. — Marseille: CNRS, p. 379-387.
Свиека (1970) (Swieca /.) Goldstone theorem and related topics. — [КЗ], p. 215-233.
Свиека (1976) (Swieca J. A.) Charge screening and mass spectrum. — Phys. Rev., v. D13, p. 312.
Сенека (1977) (Swieca J. A.) Solitons and confinement. — Fortschr. Phys., Bd 25, S. 303.
Сенеор (1969) (Seneor A.) A generalization of Dyson's formula. — Commun. Math. Phys., v. 11, p. 233.
Сигал (1947) (Segal I.E.) Postulates for general quantum mechanics. — Ann. of Math., v. 48 (2), p. 930.
Сигал (1956) (Segal /. E) Tensor algebras over Hilbert spaces, I, II. — Trans. Amer. Math. Soc., v. 81, p. 106; Ann. of Math., v. 63 (2), p. 160.
Сигал (1958) (Segal /. E) Distributions in Hilbert space and canonical systems of operators.— Trans. Amer. Math. Soc., v. 88, p. 12.
Сигал (1959a) (Segal I.E.) Caracterisation mathematique des observables en theorie quantique des champs et ses consequences pour la structure des particules libres. — In: Colloque Internationale sur les Problemes Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs (Lille, 1957). - P.: C.N.R.S., p. 57-103.
Сигал (19596) (Segal /. E.) Foundations of the theory of dynamical systems of infinitely many degrees of freedom, I. — Kgl. Danska Videnskab. Selskab., Mat.-Fys. Medd., v. 31, № 12.
Сигал (I960) (Segal /.) Quantization of nonlinear systems. — J. Math. Phys., v. 1, p. 463.
Сигал (1961) (Segal /. E.) Foundations of the theory of dynamical systems of infinitely many degrees of freedom, II. A generating functional for the states of a linear boson field. — Canad. J. Math., v. 13, p. 1.
Сигал (1962) (Segal I.E) Foundations of the dynamics of infinite systems, III. Mathematical characterization of the physical vacuum for a linear Bose-Einstein field. — Illinois Math., v. 6, p. 500.
Сигал (1967) (Segal /. E.) Notes towards the construction of nonlinear relativistic quantum fields, I. The Hamiltonian of two space-time dimensions as the generator of a C*-auto- morphism group. — Proc. Nat. Acad. Sci., v. 57, p. 1178.
Симанзик (1957) (Symanzik К.) Derivation of dispersion relations for forward scattering.— Phys. Rev., v. 105, p. 743.
Саманзик (1958) (Symanzik K.) Dispersion relations and vertex properties in perturbation theory. — Prog. Theor. Phys., v. 20, p. 690.
Симанзик (I960) (Symanzik K.) On the many-particle structure of Green's functions in quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 1, p. 249.
Симанзик (1964) (Symanzik K.) Application of functional integration to Euclidean quantum field theory. — In: Proc, of Conf, on the Theory and Applications of Analysis in Function Space, held at Endicott House in Dedham (Mass.), 1963 / Eds. Martin W. T., Segal I. — Cambridge (Mass.): M. I. T. Press, p. 197-206.
Симанзик (1966) (Symanzik K.) Euclidean quantum field theory, I. Equations for a scalar model. — J. Math. Phys., v. 7, p. 510.
Симанзик (1969a) (Symanzik K.) Euclidean quantum field theory. — In: Local Quantum Theory. Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi», corso 45 / Ed. Jost R. — N. Y., L.: Academic Press, p. 152-226.
Симанзик (19696) (Symanzik K.) Euclidean quantum field theory. — In: Coral Gables Conference on Fundamental Interactions at High Energy / Eds. Gudehus T., Kaiser G., Perlmutter A.— N. Y., p. 19-32.
Симанзик (1971) (Symanzik K.) Lectures in Lagrangian quantum field theory. — Internal Bericht, DESY.
Симмс (1971) (Simms /.) A short proof of Bargmann's criterion for the lifting of projective representations of Lie groups. — Rep. Math. Phys., v. 2, p. 283.
Синг, Рой (1970) (Singh V., Roy S.M.) Upper bounds on the elastic differential cross section.— Ann. of Phys., v. 57, p. 461.
Скарф (1959a) {Scarf F.L.) Anticommutator for a nonlinear field theory. — Phys. Rev., v. 115, p. 463.
Скарф (19596) (Scarf F.L.) Equations of motion for renormalized fields. — Nuovo Cim., v. 14, p. 849.
Скарф, Весе (1962) {Scarf F.L., Wess /.) A consistent operator solution of the Thirring model.— Nuovo Cim., v. 26, p. 150.
Скирм (1961) (Skyrme T. H.R) Particle state of a quantized meson field. — Proc. Roy. Soc., V.A262, p. 237.
Славное A. A. (1972) Тождество Уорда в калибровочных теориях. — ТМФ, т. 10, с. 152.
Славное Д.А. (1977) Принцип причинности и теория рассеяния. — ТМФ, т. 30, с. 147.
Сладь Л.М. (1970) К вопросу о CFT-инвариантных теориях бесконечнокомпонентных полей. —ТМФ, т. 2, с. 67.
Сланский (1981) (Slansky A.) Group theory for unified model binding. — Phys. Reports, v. 79 p. 1.
Смирнов В. A. (1978) О связи между асимптотическим поведением электромагнитных формфакторов и сингулярностями их фурье-образов. — ТМФ, т. 35, с. 273.
Снайдер (1947а) (Snyder Я.) Quantized space-time. — Phys. Rev., v. 71, p. 8.
Снайдер (19476) (Snyder H.) Electromagnetic field in quantized space-time. — Phys. Rev., v. 72 p. 68.
Соболев (1936) (Soboleff S.L.) Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales. — Мат. сб., т. 1, с. 39.
Соловьев Л.Д. (1965) {Soloviev L.D.) Low energy photons in elementary particle collisions.— Nucl. Phys., v. 64, p. 657.
Соловьев Л.Д. (1966) Дисперсионные правила сумм и SU(б)-симметрия. — ЯФ, т. 3, с. 188.
Соловьев Л.Д. (1973) Аксиоматический метод в квантовой электродинамике. — ТМФ, т. 15, с. 59.
Соловьев Л.Д., Щелкачев А. В. (1975) О росте полных сечений при высоких энергиях.— ЭЧАЯ, т. 6, с. 571.
Соловьев М.А. (1971) О выборе класса обобщенных функций, совместимом с локальностью.— ТМФ, т. 7, с. 183.
Соловьев М.А. (1980а) Теория Рюэля и теория квазианалитических классов функций.— ТМ①，т. 42, с.З.
Соловьев М.А. (19806) Релятивистски-инвариантная формулировка причинности в нелокальной теории экспоненциального роста. — ТМФ, т. 43, с. 202.
Соловьев М.А. (1980в) Пересечение пространств Джаффе. — ТМФ, т.45, с. 147.
Стапп (1968) (Stapp Н.Р) Crossing, hermitian analyticity and the connection between spin and statistics. — J. Math. Phys., v. 9, p. 1546.
Cmann (1971) (Stapp H.P) Inclusive cross sections are discontinuities. — Phys. Rev., v. D3, p.3177.
Степанов Б.М. (1963) К вопросу о построении 5-матрицы. — ДАН СССР, т. 151, с. 84.
Степанов Б.М. (1965) О построении 5-матрицы по теории возмущений. — Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 29, с. 1037.
Стоянов, Тодоров (1968) {Stoyanov D. 7>., Todorov /. 7.) Majorana representations of the Lorentz group and infinite-component fields. — J. Math. Phys., v. 9, p. 2146.
Стритер (1960a) {Streater R.F.) Some integral representations in field theory. — Nuovo Cim., v. 15, p. 937.
Стритер (19606) (Streater R.F.) Double commutator in quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 1, p. 231.
Стритер (1962a) {Streater R.F.) Analytic properties of product of field operators. — J. Math. Phys., v. 3, p. 256.
Стритер (19626) {Str eat er R.F) Fields satisfying the asymptotic condition. — Nuovo Cim., v. 25, p. 274.
Стритер (1964) {Streater R.F) Almost local field theories of the S-matrix. — Phys. Rev., v. 136B, p. 1748.
Стритер (1965a) {Streater R.F.) Spontaneous breakdown of symmetry in axiomatic theory.— Proc. Roy. Soc., v. A287, p. 510.
Стритер (19656) {Str eat er R.F.) Generalization of Goldstone theorem. — Phys. Rev. Lett., v. 15, p.475.
Стритер (1967a) {Streater R.F) Uniqueness of the Haag-Ruelle scattering states. — J. Math. Phys., v. 8, p. 1685.
Стритер (19676) {Streater R.F) Local fields with the wrong connection between spin and statistics. — Commun. Math. Phys., v. 5, p. 88.
Стритер (1968) {Str eat er R.F.) Infinite-component fields and mass plitting. — [Э2], p. 149-156.
Стритер (1972) {Str eat er R.F) Connection between the spectrum condition and the Lorentz covariance. — Commun. Math. Phys., v. 26, p. 109.
Стритер (1974a) {Streater R.F.) Gauge theories of superselection rules. Schladming Lectures / Ed. Urban P. — B.: Springer.
Стритер (19746) (Streater R.F.) Currents and charges in the Thirring model. — In: Physical Reality and Mathematical Description / Eds. Enz С. P., Mehra J. — Dordrecht, Boston: Reidel, p. 375-386.
Стритер (1975) {Str eat er R.F.) Outline of axiomatic relativistic quantum field theory. — Rep. Prog. Phys., v. 38, p. 771.
Стритер (1978) {Streater R.F.) Spontaneously broken symmetry. — In: Many degrees of freedom in field theory / Ed. Streit L. — N. Y.: Plenum Press, p. 197-223.
Стритер, Уайльд (1970) {Str eat er R.F., Wilde /.尸.)Fermion states of a boson field. — Nucl. Phys., v. B24, p. 561.
Строкки (1966) (Strocchi 尸.)On the physical implications of gauge invariance. — Nuovo Cim., v. 42, p. 9.
Строкки (1967) (Strocchi 尸.)Gauge problem in quantum field theory. — Phys. Rev., v. 162, p. 1429.
Строкки (1968) (Strocchi 尸.)Gauge problem in quantum field theory, II. Difficulties of combining Einstein equations and Wightman theory. — Phys. Rev., v. 166, p. 1302.
Строкки (1970) (Strocchi 尸.)Gauge problem in quantum field theory, III. Quantization of Maxwell equations and weak local commutativity. — Phys. Rev., v. D2, p. 2334.
Строкки (1976a) (Strocchi 尸.)Superselection rules and infrared problem in Yang-Mills theories. —Lett. Nuovo Cim., v. 16, p. 397.
Строкки (19766) (Strocchi 尸.)Locality, charges and quark confinement. — Phys. Lett., v. 62B, p. 60.
Строкки (1976b) (Strocchi 尸.)Gauge groups in local field theory and superselection rules.— In: Group Theoretical Methods in Physics / Eds. Janner A. et al.; Springer Lecture Notes in Physics. — B.: Springer-Verlag, v. 50.
Строкки (1977) (Strocchi 尸.)Spontaneous symmetry breaking in local gauge quantum field theory; the Higgs mechanism. — Commun. Math. Phys., v. 56, p. 57.
Строкки (1978) (Strocchi 尸.)Local and covariant gauge quantum field theories. Cluster property, superselsction rules and infrared problem. — Phys. Rev., v. D17, p. 2010.
Строкки (1981) (Strocchi 尸.)Gauss' law in quantum field theory. — In: Field Theory, Quantization and Statistical Physics / Ed. Tirapegui E. — Dordrecht: Reidel, p. 227-236.
Строкки, Уайтман (1974) (Strocchi 尸.，Wightman Д. S.) Proof of the charge superselection rule in local relativistic quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 15, p. 2198 (E: 1976, v. 17, p. 1930).
Сугавара (1965) (Sugawara M.) Resonances and high-energy limit of scattering. — Phys. Rev. Lett., v. 14, p. 336.
Сугавара, Каназава (1951) {Sugawara M., Kanazawa A.) Subtractions in dispersion relations.— Phys. Rev., v. 123, p. 1895.
Сударшан (1968) {Sudarshan E. C. G.) A new formulation of relativistic quantum theory of fields with applications to particles travelling faster than light. — [Э2], p. 335-343.
Сурьё (1966) (Souriau J.-M.) Quantification geometrique. — Commun. Math. Phys., v. 1, p. 374.
Суханов А.Д. (1961) О гамильтониане взаимодействия в квантовой теории поля. — ЖЭТФ, т. 41, с. 1915.
Суханов А.Д. (1964) О связи операторов в представлении Гейзенберга и взаимодействия в локальной квантовой теории поля. — ЖЭТФ, т. 47. с. 1303.
Суханов А.Д. (1965) Уравнение движения для «половинной» 5-матрицы и его следствия.— ЖЭТФ, т. 9, с. 1812.
Суханов А.Д. (1966) «Квазилокальные» гейзенберговы операторы и проблема перенормировки в квантовой теории поля. — ЖЭТФ, т. 51, с. 1195.
Сушко В.Н. (1978) Фермионизация (sin ^)2-взаимодействия в ящике. — ТМФ, т. 37, с. 171.
Сушко В. Н., Хоружий С. С. (1970) Векторные состояния на алгебрах наблюдаемых и правила суперотбора, I. Векторные состояния и гильбертово пространство, II. Алгебраическая теория правил суперотбора. — ТМФ, т. 4, с. 171, 341.
Тавхелидзе (1955) (Tavkhelidze Д.) Higher symmetries and composite models of elementary particles. — In: High Energy Physics and Elementary Particles. Lectures at Trieste Seminar, 1965. — Vienna: IAEA, p. 753-762.
Такабаяши (1969) (Takabayashi T.) Group of relativistic internal motion, its unitary representation and wave equation. — Prog. Theor. Phys., v. 42, p. 423.
Тарский (1964) {Tarski /.) Representation of fields in a two-dimensional model theory. — J. Math. Phys., v. 5, p. 1713.
Тейлор Дж. Дж. (1971) (Taylor J. G.) Local commutativity for nonlocalizable fields. — Ann. of Phys., v. 68, p. 484.
Тейлор Дж. К. (1971) (Taylor J.C.) Ward identities and charge renormalization of Yang-Mills field. — Nucl. Phys., v. B33, p. 436.
Тейлор Дж. К. (1983) (Taylor J. C.) Fundamentals of QCD. — In: Proc, of the CERN School of Physics (Cambridge, 1982). — Sci. Rep. CERN: 83-5.
Тиктопулос, Трейман (1968a) (Tiktopoulos G., Treiman S. B.) High energy bound for production reactions. — Phys. Rev., v. 167, p. 1408.
Тиктопулос, Трейман (19686) (Tiktopoulos G., Treiman S. B.) Angular dependence of scattering at high energies. — Phys. Rev., v. 167, p. 1437.
Тиктопулос, Трейман (1972) (Tiktopoulos G., Treiman S. B.) Bounds on inclusive cross sections. —Phys. Rev., v. D6, p. 2045.
Тирринг (1958) (Thirring W.) On interacting spinor fields in one dimension. — Nuovo Cim., v. 9, p. 1007.
Тирринг, Весе (1964) Solution of a field theoretical model in one space one time dimension.— Ann. of Phys., v. 27, p. 331.
Тодоров (I960) (Todorov I. T.) Analytical properties of the scattering amplitude for inelastic processes involving strange particles. — Nucl. Phys., v. 18, p. 521.
Тодоров И. (1964) Аксиоматический подход в квантовой теории поля. — [М7], т. 1, с. 5-76 (немецкий перевод: Fortschr. Phys., 1965, Bd 13, S. 649).
Тодоров (1965) (Todorov /.) On some recent achievements in the axiomatic approach to quantum field theory. — Acta Phys. Hung., v. 19, p. 199.
Тодоров (1972) {Todorov I. T.) Conformal invariant quantum field theory. — In: Strong interaction physics, Lecture Notes in Physics. — B.: Springer-Verlag, v. 17, p. 270-299.
Тодоров (1973) (Todorov I. T.) Conformal invariant Euclidean quantum field theory. Lectures presented at XII International Universitatswochen fiir Kernphysik, Schladming, 1973. — Acta Phys. Austriaca, Suppl., v. 11, p. 241.
Тодоров (1976) (Todorov I. T.) Conformal expansions for the Euclidean Green functions. — In: Mathematical Physics and Physical Mathematics / Eds. Maurin K., R@czka R. — Dordrecht: Reidel, p. 57-95.
Тодоров (1979) (Todorov I. T.) Topics in gauge theories. — В сб.: XII Междунар, школа молодых ученых по физике высоких энергий (Приморско, Болгария, 1978), Д 1, 2-12450. — Дубна: ОИЯИ, с. 317-392.
Тодоров, Зайков (1969) (Todorov /. Г, Zaikov R.P) Spectral representation of the covariant two-point functions and infinite-component fields with arbitrary mass spectrum. — J. Math. Phys., v. 10, p. 2014.
Тодоров, Хрусталев (1959) (Todorov /.7., Khrustalev O.A.) Spectral representations for some vertex parts. — Nucl. Phys., v. 13, p. 675.
Тодоров T. C. (1975) Алгебраический подход и суперотборная структура элементарных частиц. —В сб.: Высокие энергии и элементарные частицы (Варна, 1974). — Дубна: ОИЯИ, с. 95-115.
Томозава (1963а) (Tomozawa У.) A note on local commutativity. — Nuovo Cim., v. 27, p. 543; II. Ibid., 28, 667.
Томозава (19636) (Tomozawa У.) Local commutativity and the analytic continuation of the Wightman functions. — J. Math. Phys., v. 4, p. 1240.
Тюрин H.E., Хрусталев О. A. (1975) Продолжение амплитуды рассеяния в перекрестный канал в случае растущих полных сечений. — ТМФ, т. 24, с. 291.
Уайльд (1976) (Wilde I.F.) Aspects of algebraic quantum theory. — Sao Paulo (Brazil) (Preprint / Institute di Fisica).
Уайтман. (1956) (Wightman Д.S.) Quantum field theory in terms of vacuum expectation values. —Phys. Rev., v. 101, p. 860.
Уайтман (1959) (Wightman Д.S.) Quelques problemes mathematiques de la theorie quantique relativiste. — In: Colloque Internationale sur le Problemes Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs (Lille, 1957). — P.: C.N.R. S., p. 1-38.
Уайтман (1960a) (Wightman Д. S.) L'invariance dans la mecanique quantique relativiste. — [Pl], p. 159-226.
Уайтман (19606) (Wightman Д.S.) Analytic functions of several complex variables. — [Р1]. p. 227-316.
Уайтман (1960/61) (Wightman Д.S.) Quantum field theory and analytic functions of several complex variables. — J. Indian Math. Soc., v. 24, p. 625.
Уайтман (1963) (Wightman Д.S.) Recent achievements of axiomatic field theory. — In: Theoretical Physics, Lectures at Trieste seminar, 1962. — Vienna: IAEA, p. 11-58 (русский перевод второй части: [Bl], с. 145-180).
Уайтман (1964) (Wightman Д.S.) La theorie quantique locale et la theorie quantique des champs. — Ann. Inst. H. Poincare, v. 1A, p. 403.
Уайтман (1967a) (Wightman Д. S.) Introduction to some aspects of the relativistic dynamics of quantum fields. — In: High Energy Electromagnetic Interactions and Field Theory, Cargese Lectures in Theoretical Physics, 1964 / Ed. Levy M. — N. Y.: Gordon and Breach, p. 171-291 (русский перевод: [Bl], c. 9-144).
Уайтман (19676) (Wightman Д.S.) Progress in the foundations of quantum field theory. — In: Proc, of the 1967 Intern. Conf, on Particles and Fields (Rochester, 1967) / Eds. Hagen C. R. Guralnik G., Mathur V. S. — N. Y. e. a.: Interscience Publ. (Wiley), p. 187-232.
Уайтман (1968) (Wightman Д. S.) The stability of representations of the Poincare group. — In: Symmetry Principles at High Energy, The 5th Coral Gables Conf., 1968 / Eds. Perlmutter A., Hurst C. A., Kur§unoglu B. — N. Y.: Benjamin, Inc., p. 291-314.
Уайтман (1973) (Wightman Д.S.) Relativistic wave equations as singular hyperbolic systems. —In: Proc. AMS Summer Institute on Partial Differential Equations (Berkeley, Calif., 1971), Providence (R. I.).
Уайтман (1976) (Wightman Д.S.) Hilberfs sixth problem: mathematical treatment of the axioms of physics. — In: Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems (Symposium in Pure Mathematics, 28), Providence (R. I.). — Amer. Math. Soc., p. 147-240.
Уайтман, Барут (1959) (Wightman 4.S., noted by Barat A. O.) Relativistic invariance and quantum mechanics. — Nuovo Cim. Suppl., v. 14, p. 81.
Уайтман, Гординг (1965) (Wightman A.S., Gar ding L.) Fields as operator-valued distributions in relativistic quantum field theory. — Arkiv Fys., v. 28, p. 129.
Уайтман, Швебер (1955) (Wightman A.S., Schweber S.) Configuration space methods in relativistic quantum field theory. — Phys. Rev., v. 98, p. 812.
Уитни (1934) (Whitney 〃.)Analytic extension of differentiable functions defined in closed sets. — Trans. Amer. Math. Soc., v. 36, p. 63.
H. H. Боголюбов и др.
Ульман (1961) (Uhlmann Д.) Spectral integral for the representation of the space-time translation group in relativistic quantum theory. — Ann. of Phys., v. 13, p. 453.
Ульман (1962) (Uhlmann A.) Uber die Definition der Quantenfelder nach Wightman und Haag.— Wiss. Zeits. Karl-Marx-Univ., Bd 11, S. 213.
Ульман (1976) (Uhlmann A.) The «transition probability» in the state space of a *-algebra.— Rep. Math. Phys., v. 9, p. 273.
Уорд (1981) (Ward A.S.) A Yang-Mills-Higgs monopole of charge 2. — Commun. Math. Phys., v. 79, p. 317.
Утияма (1956) (Utiyama A.) Invariant theoretical interpretation of interaction. — Phys. Rev., v. 101, p. 1597.
Фабри 〃 dp. (1967) (Fabri E., Picasso L.E., Strocchi 尸.)Broken symmetries in quantum field theory. — Nuovo Cim., v. 48A, p. 376.
Фаддеев Л.Д. (1969) Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов. — ТМФ, т. 1, с. 3.
Фаддеев Л.Д. (1979) Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля. — В сб.: Проблемы квантовой теории поля, Тр. V Междунар, совещ. по нелокальным теориям поля (Алушта, 1979). — Дубна: ОИЯИ, с. 249-299.
Фаддеев Л.Д., Корепин В. Е. (1975) Квантование солитонов. — ТМФ, т. 25, с. 147.
Фаддеев, Корепин (1978) {Faddeev L.D., Korepin V.E.) Quantum theory of solitons. — Phys. Reports, v. 42C, p. 1.
Файнберг В. Я. (1961) Об условиях причинности в квантовой теории поля. — ЖЭТФ, т. 40, с. 1758.
Файнберг В. Я. (1964) Уравнения квантовой теории поля в аксиоматическом подходе. — [М7], т. 1, с. 140-170.
Файнберг В. Я. (1972) О квантовых теориях с неполиномиальным ростом матричных элементов. —В сб.: Проблемы теоретической физики. — М.: Наука, с. 119-145.
Файнберг, Соловьев (1978) (Fainberg У. Ya., Soloviev М.А.) How can local properties be described in field theories without strict locality? — Ann. of Phys., v. 113, p. 421.
Файнберг Дж. (1967) (Feinberg G.) Possibility of faster-than-light particles. — Phys. Rev., v. 159, p. 1089.
Файнберг, Вайнберг (1959) (Feinberg G., Weinberg S.) On the phase factors in inversion.— Nuovo Cim., v. 14, p. 571.
Фаулер (1963) (Fowler M.) Second-type singularities in perturbation theory. — Nuovo Cim., v. 27, p. 952.
Федербуш (1961a) (Federbush P.) A two-dimensional relativistic field theory. — Phys. Rev., v. 121, p. 1247.
Федербуш (19616) {Federbush P.) Operator equations in two field theory models. — Prog. Theor. Phys., v. 26, p. 148.
Федербуш (1965) {Federbush P.) Calculation of some homology groups relevant to sixth-order Feynman diagrams. — J. Math. Phys., v. 6, p. 941.
Федербуш, Джонсон (I960) {Federbush P. G., Johnson K.A.) The uniqueness of the two-point function. — Phys. Rev., v. 120, p. 1926.
Фейнман (1969) {Feynman R.P) Very high-energy collisions of hadrons. — Phys. Rev. Lett., v. 23, p. 1415.
Фелл (I960) (Fell J.M. G.) The dual spaces of O*-algebras. — Trans. Amer. Math. Soc., v. 94, p. 365.
Фельдман, Метьюс (1966) {Feldman G., Matthews P. T.) Unitarity, causality and Fermi statistics. — Phys. Rev., v. 151, p. 1176.
Фельдман, Метьюс (1967) (Feldman G., Matthews Р. 7.) Multimass fields, spin and statistics.— Phys. Rev., v. 154, p. 1241.
Феррари (1973) {Ferrari A.) On Goldstone's theorem for a class of currents not covariant under translations. — Nuovo Cim., v. 14A, p. 386.
Феррари (1974) {Ferrari A.) Some comments on the Higgs phenomenon. — Nuovo Cim., v. 19A, p. 204.
Феррари, Пикассо (1971) {Ferrari A., Picasso L.E.) Spontaneous breakdom in quantum electrodynamics. —Nucl. Phys., v. B31, p. 316.
Феррари 〃 dp. (1974) (Ferrari A., Picasso £., Strocchi 尸.)Some remarks on local operators in quantum electrodynamics. — Commun. Math. Phys., v. 35, p. 25.
Феррари 〃 dp. (1977) (Ferrari A., Picasso £., Strocchi 尸.)Local operators and charged states in quantum electrodynamics. — Nuovo Cim., v. A39, p. 1.
Фирц (1939) (Fierz M.) Uber die relativistische Theorie kraftfreier Teilchen mit beliebigen Spin.— Helv. Phys. Acta, Bd 12, S. 13.
Фирц, Паули (1939) (Fierz M., Pauli W.) On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field. — Proc. Roy. Soc., v. A173, p. 211.
Фишер 〃 dp. (1976) (Fischer /., Kolar P., Vroc /.) Asymptotic correlation between total cross sections and forward scattering amplitudes. — Czechoslovak J. Phys., v. B26, p. 86.
Фок (1932) (Foch У.) Konfigurationsraum und zweite Quantelung. — Zs. Phys., Bd 75, S. 622 (русский перевод: [Ф4], с. 25-51).
Фолди (1956) (Foldy L.) Synthesis of covariant particle equations. — Phys. Rev., v. 102, p. 568.
Фрадкин, Пальчик (1976) (Fradkin E. S., Palchik M. M.) Conformally invariant Green functions of scalar and tensor fields and conserved current. — Nuovo Cim., v. 34A, p. 438.
Фрёлих (1973) (Frohlich /.) On the infrared problem in model of scalar electrons and massless, scalar bosons. — Ann. Inst. H. Poincare, v. 19A, p. 1.
Фрёлих (1974) (Frohlich /.) Schwinger functions and their generating functionals, I. — Helv. Phys. Acta, v. 47, p. 265.
Фрёлих (1975) (Frohlich /.) Poetic phenomena in (two-dimensional) quantum field theory: nonuniqueness of the vacuum, the solitons and all that. — In: Les Methodes Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. Colloques Internationaux. — P.: C.N.R. S., № 248, p. 111-130.
Фрёлих (1976a) (Frohlich /.) New superselection sectors in 2-dimensional Bose quantum field models. — Commun. Math. Phys., v. 47, p. 269.
Фрёлих (19766) (Frohlich /.) Quantum «sine-Gordon» equation and quantum solitons in two space-time dimensions. — In: Renormalization Theory / Eds. Velo G., Wightman A.— Dordrecht: Reidel.
Фрёлих (1978) (Frohlich /.) An introduction to some topics in constructive quantum field theory. — In: Many Degrees of Freedom in Field Theory / Ed. Streit L. — N. Y.: Plenum Press, p. 1-50.
Фрёлих (1979) (Frohlich /.) Lectures on Yang-Mills theories. — Bures-sur-Yvette: IHES.
Фрёлих, Парк (1977) (Frohlich /., Park У.7И.) Remarks on exponential interactions and the quantum sine-Gordon equation in two space-time dimensions. — Helv. Phys. Acta, v. 50 p. 315.
Фрёлих 〃 dp. (1979a) (Frohlich /., Morchio G., Strocchi 尸.)Charged sectors and scattering states in quantum electrodynamics. — Ann. of Phys., v. 119, p. 241.
Фрёлих 〃 dp. (19796) (Frohlich /., Morchio G., Strocchi 尸.)Infrared problem and spontaneous breaking of the Lorentz group in QED. — Phys. Lett., v. 89B, p. 61.
Фрёлих, 〃 др. (1980) (Frohlich /., Marchio G., Strocchi 尸.)Higgs phenomenon without a symmetry breaking order parameter. — Phys. Lett., v. 97B, p. 249.
Фрид (1962) {Fried H.M) Axiomatic perturbation theory for retarded functions. — J. Math. Phys., v. 3, p. 1107.
Фронсдал (1967) {Fronsdal C.) Infinite multiplets and local fields. — Phys. Rev., v. 156, p. 1652.
Фронсдал (1968) (Fronsdal C.) Two-particle systems and infinite-component fields. — В сб.: Вопросы теории элементарных частиц, Тр. Междунар, семинара по теории элементарных частиц (Варна, 1968). — Дубна: ОИЯИ, с. 229-254.
Фруассар (1961) (Froissart М.) Asymptotic behavior and subtractions in the Mandelstam representation. —Phys. Rev., v. 123, p. 1053.
Фруассар, Тейлор (1967) {Froissart M., Taylor J.R) Cluster decomposition and the spinstatistics. —Phys. Rev., v. 153, p. 1636.
Фубини (1982) (Fubini S.) Spontaneous breaking of symmetries. — In: From Nuclei to Particles, Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi» (Varenna, 1980), corso 79. — Amsterdam e. a.: North-Holland, p. 318-332.
Хааг (1955) (Haag R) On quantum field theories. — Kgl. Danske Videnskab. Seisk., Mat.-Fys. Medd., v. 29, №12.
Хааг (1958) (Haag A.) Quantum field theories with composite particles and asymptotic conditions. —Phys. Rev., v. 112, p. 669.
Хааг (1959a) (Haag A.) Discussion des «axiomes» et des properietes asymptotiques d'une theorie des champs localaux avec particules composees. — In: Colloque International sur les Problemes Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs (Lille, 1957). — P.: C.N.R. S., p. 151-162 (русский перевод: Математика, 1962, т. 6, №4, с. 134).
Хааг (19596) (Haag A.) The framework of quantum field theory. — Nuovo Cim. Suppl., v. 14, p. 131.
Хааг (1962) (Haag A.) The mathematical structure of the Bardeen-Cooper-Schrieffer model.— Nuovo Cim., v. 25, p. 287.
Хааг (1963) (Haag A.) Bemerkungen zum Nahwirkungsprinzip in der Quantenphysik. — Ann. der Phys., Bd 7, S. 29.
Хааг (1970) {Haag R.) Observables and fields. — [Л2], v. 2, p. 1-89.
Хааг, Кастлер (1964) (Haag A., Kastler D.) An algebraic approach to quantum field theory.— J. Math. Phys., v. 5, p. 818.
Хааг, Свиека (1965) (Haag A., Swieca J. A.) When does a quantum field theory describe particles? —Commun. Math. Phys., v. 1, p. 308.
Хааг, Шроер (1962) (Haag A., Schroer B.) Postulates of quantum field theory. — J. Math. Phys., v. 3, p. 248.
Хагедорн (1959) (Hagedorn R) Note on the symmetry operators in quantum mechanics. — Nuovo Cim. Suppl., v. 12, p. 73.
Хаджииванов, Стоянов (1979) (Hadjiivanov 厶.，Stoyanov D. Tz.) On the free scalar massless field in two-dimensional space-time. — Rep. Math. Phys., v. 15, p. 361.
Халлер (1978) {Haller K.) The Gupta-Bleuler condition and infrared coherent states. — Phys. Rev., v. D18, p. 3045.
Хан, Намбу (1965) (Han M. K, Nambu У.) Three-triplet model with double SU(3) symmetry.— Phys. Rev., v. 139B, p. 1006.
Xapa (1964) (Hara У.) Analyticity properties of helicity amplitudes and the construction of kinematical singularity-free amplitudes for any spin. — Phys. Rev., v. 136B, p. 507.
Xapa (1972) (Hara У.) Regge pole model and hadron physics. — Suppl. Prog. Theor. Phys., №51, p. 96.
Харатян С. Г. (1968) Коммутативность правил суперотбора и полный набор наблюдаемых.— ДАН СССР, т. 180, с. 564.
Харатян С. Г. (1973) Алгебры наблюдаемых фон Неймана с неабелевым коммутантом и правила суперотбора. — ТМФ, т. 14, с. 306.
Хариш-Чандра (1947) (Harish-Chandra) On relativistic wave equations. — Phys. Rev., v. 71, p. 793.
Хегерфелъд (1974) (Hegerfeldt G. C.) From Euclidean to relativistic fields and on the notion of Markoff fields. — Commun. Math. Phys., v. 35, p. 155.
Хегерфелъд (1975) (Hegerfeldt G. C.) Extremal decomposition of Wightman functions and states on nuclear *-algebras by Choquet theory. — Common. Math. Phys., v. 45, p. 133.
Xenn (1963a) (Hepp K.) Lorentz-kovariante analytische Funktionen. — Helv. Phys. Acta, v. 36, p. 355.
Xenn (19636) (Hepp K.) On the asymptotic condition in a local relativistic quantum field theory.— Acta Phys. Austriaca, v. 17, p. 85.
Xenn (1963b) (Hepp K.) Klassische komplexe Liesche Gruppen und kovariante analytische Funktionen. —Math. Ann., Bd 152, S. 149.
Xenn (1964a) (Hepp K.) Lorentz invariant analytic S-matrix amplitudes. — Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 55.
Xenn (19646) {Hepp K.) On the analytic properties of the scattering amplitude in relativistic quantum field theory. — Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 639.
Xenn (1964b) {Hepp K.) Spatial cluster decomposition properties of the S-matrix. — Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 659.
Xenn (1965a) (Hepp K.) On the connection between the LSZ and Wightman quantum field theory. — Commun. Math. Phys., v. 1, p. 95.
Xenn (19656) {Hepp K.) One-particle singularities of the S-matrix in quantum field theory.— J. Math. Phys., v. 6, p. 1752.
Xenn (1966a) {Hepp K.) On the connection between Wightman and LSZ quantum field theory.— In: Axiomatic Field Theory / Eds. Chretien M., Deser S. — N. Y. e. a.: Gordon and Breach, p. 135-246 (русский перевод: [X5], c. 11-114).
Xenn (19666) (Hepp K.) Proof of the Bogoliubov-Parasiuk theorem on renormalization. — Com- mun. Math. Phys., v. 2, p. 301.
Xenn (1971) (Hepp K.) Renormalization theory. — In: Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. Summer School of Theoretical Physics (Les Houces, 1970) / Eds. de Witt C., Stora R. — N. Y.: Gordon and Breach, p. 429-500.
Xenn 〃 dp. (1961) (Hepp K., Jost A., Ruelle D, Steinmann O.) Necessary restrictions on Wightman functions. — Helv. Phys. Acta, v. 34, p. 542.
Хермандер (1958) (Hormander L.) On the division of distributions by polynomials. — Arkiv Mat., v. 3, p. 555 (русский перевод: Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 117).
Хиггс (1964а) (Higgs Р. W.) Broken symmetries, massless particles and gauge fields. — Phys. Lett., v. 12, p. 132.
Хиггс (19646) (Higgs P. W.) Broken symmetries and the masses of gauge bosons. — Phys. Rev. Lett., v. 13, p. 508.
Хиггс (1966) (Higgs P. W.) Spontaneous symmetry breakdown without massless bosons. — Phys. Rev., v. 145, p. 1156.
Хитчин (1982) {Hit chin N.J) Monopoles and geodesics. — Commun. Math. Phys., v. 83, p. 579.
Ван Хов (1952) (van Hove L.) Les difficultes de divergence pour un modele particuler du champ quantifie. — Physica, v. 18, p. 145.
Ван Хов (1963) (van Hove £.) An extension of Pomeranchuk's theorem to diffraction scattering.— Phys. Lett., v. 3, p. 252.
Ван Хов (1964) (van Hove L.) High energy collision of strongly interacting particles. — Rev. Mod. Phys., v. 36, p. 655.
Холе во А. С. (1971) Обобщенно-свободные состояния С*-алгебры канонических соотношений коммутации. — ТМФ, т. 6, с. 3.
Холево А. С. (1972) О квазиэквивалентности локально нормальных состояний. — ТМФ, т. 13, с. 184.
Холево А. С. (1976) Исследования по общей теории статистических решений. — Тр. МИАН, т. 124.
Холл, Уайтман (1957) {Hall О., Wightman 4.S.) A theorem on invariant analytic functions with applications to relativistic quantum field theory. — Kgl. Danske Videnskab. Selsk., Mat.-Fys. Medd., v. 31, № 5.
Хоружий С. C. (1967) Локальные свойства неперенормируемых теорий. — ДАН СССР, т. 177, с. 306.
Хоружий (1968/69) (Khoruzhy S. S.) Some topics in axiomatic nonrenormalizable field theory.— [A2], v. IB, p. 23-55.
Хоружий С. C. (1969) Расширенная локальность и другие свойства локальных 1У*-алге6р.— ТМФ, т. 1, с. 95.
Хоружий С. С. (1970) О структуре локальных VK*-алгебр релятивистской квантовой теории.— ТМФ, т. 2, с. 350.
Хоружий С. С. (1975) О принципе суперпозиции в алгебраической квантовой теории. — ТМФ, т. 23, с. 147.
Хоружий С. С. (1975-1976) Поля и алгебры наблюдаемых в моделях с правилами суперотбора, I. Модель с абелевой калибровочной группой; II. Модель с неабелевой калибровочной группой. — ТМФ, 1975, т. 25, с. 291; 1976, т. 26, с. 3.
Т'Хофт (1974) QtHooft G.) Magnetic monopoles in unified gauge theories. — Nucl. Phys., v. B79, p.276.
Хури, Киношита (1965) {Khuri N. N., Kinoshita T.) Real part of the scattering amplitude and the behavior of the total cross section at high energies. — Phys. Rev., v. 137B, p. 720.
Цванцигер (1965) (Zwanziger D). Invariant amplitudes for massless particles and universal electromagnetic coupling. — [Л1], p. 190-224.
Цванцигер (1975) (Zwanziger D.) Scattering theory for quantum electrodynamics, I. Infrared renormalization and asymptotic fields; II. Reduction and cross section formulas. — Phys. Rev. v. D11, p. 3481, 3504.
Цванцигер (1976) {Zwanziger D.) Physical states in quantum electrodynamics. — Phys. Rev., v.D14, p. 2570.
Цванцигер (1978a) {Zwanziger D.) The lesson of a soluble model of quantum electrodynamics.— Phys. Rev., v. D17, p. 457.
Цванцигер (19786) (Zwanziger D.) Gupta-Bleuler and infrared-coherence subsidiary conditions. —Phys. Rev., v. D18, p. 3051.
Цванцигер (1979a) {Zwanziger D.) Infrared catastrophe averted by Hertz potential. — Phys. Rev., v. D19, p. 3614.
Цванцигер (19796) (Zwanziger D.) Energy and momentum spectral function of coherent bremsstrahlung radiation. — Phys. Rev., v. D20, p. 2011.
Циммерман (1954a) (Zimmermann W.) Uber den Zusammenhang von Bethe — Salpetergleichung und Tamm — Dancoffmethode. — Nuovo Cim. Suppl., v. 11, p. 43.
Циммерман (19546) (Zimmermann W.) Zum Renormierungsprogramm der Feldphysik. — Nuovo Cim., v. 11, p. 416.
Циммерман (1954в) {Zimmermann 呼.)Einzeitige Verfahren der Feldphysik. — Nuovo Cim., v. 11, p. 559.
Циммерман (1954г) (Zimmermann W.) Yang — Feldmanformalismus und einzeitige Wellenfunk- tionen. — Nuovo Cim., v. 11, p. 577.
Циммерман (1958) (Zimmermann W.) On the bound state problem in quantum field theory.— Nuovo Cim., v. 10, p. 597.
Циммерман (1959) (Zimmermann W.) One-particle singularities of Green functions in quantum field theory. — Nuovo Cim., v. 13, p. 503.
Циммерман (I960) {Zimmermann W.) One-particle singularities of Green's functions in quantum field theory, II. — Nuovo Cim., v. 16, p. 690.
Циммерман (1970) {Zimmermann W.) Local operator products and renormalization in quantum field theory. — [Л2], v. 1, p. 395-589.
Чайкен (1967) (Chaiken J.M.) Finite-particle representations and states of the canonical commutation relations. — Ann. of Phys., v. 42, p. 23.
Чайкен (1968) {Chaiken J.M.) Number operators for representations of the canonical commutation relations. — Commun. Math. Phys., v. 8, p. 164.
Чау (1983) (Chau L.-L.) Quark mixing in weak interactions. — Phys. Reports, v. 95, p. 1.
Челлен (I960) {Kallen G.) Formal integration of the equations of quantum theory in the Heisenberg representation. — Arkiv Fys., v. 2, p. 371.
Челлен (1952) {Kallen G.) On the definition of renormalization constants in quantum electrodynamics. —Helv. Phys. Acta, v. 25, p. 417.
Челлен (I960) (Kallen G.) Properties of the vacuum expectation values of field operators. — [PI], p. 387-454.
Челлен (1968/69) (Kallen G.) Gradient terms in commutators of currents and fields. — [A2], v. 2, p. 5-68.
Челлен, Толл (I960) {Kallen G., Toll /.) Integral representations for vacuum expectation of three scalar local fields. — Helv. Phys. Acta, v. 33, p. 753.
Челлен, Уайтман (1958) {Kallen G, Wightman Д. S.) The analytic properties of the vacuum expectation value of a product of three scalar local fields. — Kgl. Danske Videnskab. Selsk., Mat.-Fys. Skr., v. 1, №6.
Чендлер (1968-1969) {Chandler C.) Causality in S-matrix theory. — Phys. Rev., 1968, v. 174B, p. 1749; II. Helv. Phys. Acta, 1969, v. 42, p. 759.
Чендлер, Cmann (1969) {Chandler C., Stapp "./.) Macroscopic causality conditions and properties of scattering amplitudes. — J. Math Phys., v. 10, p. 921.
Чень (1967) {Chen T. W.) Asymptotic quantum field theory. — Ann. of Phys., v. 42, p. 476.
Чень 〃 dp. (1966) (Chen T. W., Rohrlich 尸.，Wilner M.) Role of causality in quantum field theory and the dynamical postulate. — J. Math. Phys., v. 7, p. 1365.
Черников (1962) {Chernikov N.A.) The Fock representation of the Duffin-Kemmer algebra.— Acta Phys. Polon., v. 21, p. 51.
Черулус, Мартен (1964) (Cerulus 尸.，Martin A.) A lower bound for large angle elastic scattering at high energies. — Phys. Lett., v. 8, p. 80.
Чжоу Гуан Чжао, Широков М. И. (1958) Релятивистская теория реакций с поляризованными частицами. — ЖЭТФ, т. 34, с. 1230.
Чоу (1966) (Chow У.) Majorization of Feynman graphs. — J. Math. Phys., v. 7, p. 1158.
%, Розенцвейг (1978) (Chew G.F., Rozenzweig C.) Dual topological unitarization: an ordered approach to hadron theory. — Phys. Reports, v. 41C, p. 263.
Чу, Фраучи (I960) (Chew G. F., Frautschi S. C.) Regge trajectories and the principle of maximum strength for strong interactions. — Phys. Rev. Lett., v. 8, p. 41.
Чу 〃 др. (1957) {Chew G., Goldberger M.L., Low F.E., Nambu У.) Application of dispersion relations to low-energy meson-nucleon scattering. — Phys. Rev., v. 106, p. 1337.
Чунь (1965) (Chung V.) Infrared divergence in quantum electrodynamics. — Phys. Rev., v. 140B, p. 1110.
Шааф (1970) {Schaaf M.) The reduction of the product of two irreducible unitary representations of the proper orthochronous quantum mechanical Poincare group. Lecture Notes in Physics. B.e.a.: Springer-Verlag, v. 5 (русский перевод: [Ml 1], с. 111-247).
Шайбе (I960) (Scheibe E.) Uber Feldentheorien in Zustandsraumen mit indefiniter Metrik, mimeographed notes of the Max-Planck. — Institut der Physik und Astrophysik. — Miinchen.
Шварц (1945) (Schwartz L.) Generalisation de la notion de fonction, de derivation, de transformation de Fourier et applications mathematiques et physiques. — Ann. de rUnlversite de Grenoble, v. 21, p. 57.
Шварц (1952a) (Schwartz L.) Theorie des noyaux, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1950 (Providence, R. I., Amer. Math. Soc.) (русский перевод: Математика, 1959, т. 3, № 3, с. 67).
Шварц (19526) (Schwartz £.) Transformation de Laplace des distributions. — Medd. Lunds Univ. Mat. Semin. (Suppl., p. 196.)
Шварц (1953/54) (Schwartz L.) Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Seminaire de rinstitut H. Poincare.
Шварц (1954) (Schwartz L.) Sur Pimpossibilite de la multiplication des distributions. — Compt. Rend., v. 239, p. 847.
Шеарц (1954/55) (Schwartz L.) Seminaire L. Schwartz. — Secr. Math. (Paris), № 7.
Шварц (1957, 1959) (Schwartz L.) Distributions a valeurs vectorielles, I, II. — Ann. Inst. Fourier Grenoble, 1957, v. 7, p. 1; 1959, v. 8, p. 1.
Швингер (1949) (Schwinger /.) Quantum electrodynamics, II. Vacuum polarization and self energy. — Phys. Rev., v. 75, p. 651.
Швингер (1951) {Schwinger /.) The theory of quantized fields, I. Phys. Rev., v. 82, p. 914.
Швингер (1958) {Schwinger /.) On the Euclidean structure of relativistic field theory. — Proc. Nat. Acad. Sci., v. 44, p. 956.
Швингер (1959) {Schwinger /.) Euclidean quantum electrodynamics. — Phys. Rev., v. 115, p. 721.
Швингер (1962) {Schwinger /.) Gauge invariance and mass, I, II. — Phys. Rev., v. 125, p. 397; v. 128, p. 2425.
Швингер (1963) {Schwinger /.) Gauge theories of vector particles. — In: Theoretical Physics. Lectures at Trieste Seminar (1962). — Vienna: IAEA, p. 89-134.
Шейл (1962) (Shale D.) Linear symmetries of free boson fields. — Trans. Am. Math. Soc., v. 103, p. 149.
Шерман (1956) (Sherman S.) On Segal's postulates for general quantum mechanics. — Ann. of Math., v. 64(2), p. 593.
Ширков Д. В. (1970) Свойства траекторий полюсов Редже. — УФН, т. 102, с. 87.
Ширков (1976) {Shirkov D. У.) Causality and renormalization group. — Lett. Math. Phys., v. 1, p. 174.
Широков M. И. (1961) Релятивистская общая теория реакций типа а + Ъ с + d + е... — ЖЗТ①，т. 40, с. 1387.
Широков М. И. (1962) Проверка PC и РСТ-инвариантностей в процессах распада. — УФН, т. 78, с. 471.
Широков Ю.М. (1957-1959) Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской квантовой механики, I. Общие свойства неоднородной группы Лоренца. — ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 861; II. Классификация неприводимых представлений неоднородной группы Лоренца.— ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 1196; III. Неприводимые представления классов Д)и Оо и не
вполне приводимые представления неоднородной группы Лоренца. — ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 1208; IV. Пространственные отражения в квантовой теории. — ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 717; V. Неприводимые представления неоднородной группы Лоренца, включающие отражения в пространстве и во времени. — ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 879.
Широков Ю.М. (1960а) (Shirokov Yu.M.) Space and time reflections in relativistic theory.— Nucl. Phys., v. 15, p. 1.
Широков Ю.М. (19606) {Shirokov Yu.M.) Types of symmetry of elementary particles. — Nucl. Phys., v. 15, p. 13.
Шмидт, Бауман (1956) (Schmidt W., Baumann K.) Quantentheorie der Felder als Distributions- theorie. — Nuovo Cim., v. 4, p. 860.
Шроер (1963) (Schroer 5.) Infrateilchen in der Quantenfeldtheorie. — Fortschr. Phys., Bd 11, S. 1.
Шроер (1964) (Schroer B.) The concept of nonlocalizable fields and its connection with nonrenor- malizable field theories. — J. Math. Phys., v. 5, p. 1361.
Шроер 〃 dp. (1975) (Schroer B., Swieca J. A., Volkel A.H.) Global operator expansions in conformally invariant relativistic quantum field theory. — Phys. Rev., v. D11, p. 1509.
Штейнман (I960) (Steinmann O.) Uber den Zusammenhang zwischen Wightmanfunktionen und retardierten Kommutatoren, I, II. — Helv. Phys. Acta, v. 33, p. 257, 347.
Штейнман (1963a) (Steinmann O.) Zur Definition der retardierten und zeitgeordneten Produk- te. — Helv. Phys. Acta, v. 36, p. 90.
Штейнман (19636) (Steinmann O.) Structure of the two-point functions. — J. Math. Phys., v. 4, p. 583.
Штейнман (1968) (Steinmann O.) A rigorous formulation of LSZ field theory. — Commun. Math. Phys., v. 10, p. 245.
Штейнман (1970) (Steinmann O.) Scattering formalism for nonlocalizable fields. — Commun. Math. Phys., v. 18, p. 179.
Штейнман (1972) (Steinmann O.) Connection between Wightman and LSZ field theory. — In: Statistical Mechanics and Field Theory / Eds. Sen R. N., Well C. — N. Y., p. 269-291.
Штейнман (1976) (Steinmann O.) Haag-Kastler formulation of quantum electrodynamics.— Nucl. Phys., v. B107, p. 339.
Штюкельберг (1951) (Stueckelberg E. C. G.) Relativistic quantum theory for finite time intervals. —Phys. Rev., v. 81, p. 130.
Штюкельберг, Ривъе (I960) (Stueckelberg E. C. G., Rivier D.) Causalite et structure de la matrice S. — Helv. Phys. Acta, v. 23, p. 215.
Эдвардс (1969) (Edwards C.M^ The operational approach to algebraic quantum theory, I.— Commun. Math. Phys., v. 16, p. 207.
Эдвардс (1971) (Edwards С.7И.) Classes of operations in quantum theory. — Commun. Math. Phys., v. 20, p. 26.
Эзава, Свиека (1967) (Ezawa 〃.，Swieca J. A.) Spontaneous breakdown of symmetries and zeromass states. — Commun. Math. Phys., v. 5, p. 330.
Эккер (1970) {Ecker G.) Quantum field theory with space-like momentum spectrum. — Ann. of Phys., v. 58, p. 303.
Элизур (1975) (Elithur S.) Impossibility of spontaneously breaking local symmetries. — Phys. Rev., v. D12, p. 3978.
Д'Эмилио, Минчев (1982a) (d'Emilio E, Mintchev M.) The asymptotic limit of the electron field in quantum electrodynamics. — Lett. Nuovo Cim., v. 34, p. 545.
Д'Эмилио, Минчев (19826) (d'Emilio E., Mintchev M.) Locally gauge invariant charged states in quantum electrodynamics. — Nuovo Cim., v. 69A, p. 43.
Д'Эмилио, Минчев (1982в) (d'Emilio Е., Mintchev М.) A nonperturbative approach to the infrared behaviour in physical charged sectors of gauge theories. — Phys. Rev., v. D27, p. 1840.
Эмэ (1958) (Oehme A.) Vertex function in quantized field theories. — Phys. Rev., v. Ill, p. 1430.
Эмэ, Тейлор (1959) {Oehme A., Taylor J. G.) Proof of dispersion relations for the production of pions by real and virtual photons and for related processes. — Phys. Rev., v. 113, p. 371.
Энглерт, Браут (1964) (Englert 尸.，Brout A.) Broken symmetry and the mass of gauge vector mesons. — Phys. Rev. Lett., v. 13, p. 321.
Эпштейн (I960) (Epstein 〃.)Generalization of the «edge of the wedge» theorem. — J. Math. Phys., v. 1, p. 524.
Эпштейн (1963) (Epstein 〃.) On the Borchers class of a free field. — Nuovo Cim., v. 27, p. 88.
Эпштейн (1966) (Epstein 〃.)Some analytic properties of scattering amplitudes in quantum field theory. — In: Axiomatic Field Theory / Eds. Chretien M., Deser S. — N. Y. e. a.: Gordon and Breach, p. 1-134 (русский перевод: [X5], c. 115-235).
Эпштейн (1967) (Epstein 〃.)CPT invariance of the S-matrix in a theory of local observables.— J. Math. Phys., v. 8, p. 750.
Эпштейн (1968) (Epstein 〃.)Rigorous theoretical considerations on high energy scattering.— In: Topical Conference on High-Energy Collisions of Hadrons (Geneva, 1968) (Sci. Rep. / CERN: 68-7), v. 1, p. 290-315.
Эпштейн, Глазер (1971) (Epstein 〃.，Glaser V.) Le role de la localite dans la renormalisation perturbative en theorie quantique des champs. — In: Statistical Mechanics and Quantum Field: Theory (Les Houches, 1970) / Eds. de Witt C., Stora R. — N. Y.: Gordon and Breach, p. 501-545.
Эпштейн, Глазер (1973) (Epstein 〃.，Glaser И) The role of locality in perturbation theory.— Ann. Inst. H. Poincare, v. 19A, p. 211.
Эпштейн 〃 dp. (1969) (Epstein 〃.，Glaser И, Martin A.) Polynomial behaviour of scattering amplitudes at a fixed momentum transfer in theories with local observables. — Commun. Math. Phys., v. 13, p. 257.
Эренпрайс (1954) {Ehrenpreis L.) Division by a polynomial of derivation. — Amer. Math. J., v. 76, p. 883.
Ян⑵,Миллс (1954) (Yang C.N., Mills A.) Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. — Phys. Rev., v. 96, p. 191.
Ян⑵,Фельдман (I960) (Yang C.N., Feldman D.) The S-matrix in the Heisenberg representation. —Phys. Rev., v. 79, p. 972.
Яух, Пирон (1963) (Jauch J.M., Piron C.) Can hidden variables be excluded in quantum mechanics? — Helv. Phys. Acta, v. 36, p. 827.
Предметный указатель
Автоморфизм
-группы 177
——внутренний 177
-локализованный 372
С*-автоморфизм 45
Аксиомы
-A.I-V 256, 259, 297, 298, 345
-LSZ. I-III 544-546
-Остервальдера-Шрадера 424, 425
-PW.I-IX 449-454
-S.I-V, Г 567, 568
-W.I-VII, VIII 348, 349
Алгебра 43
-ассоциативная 44
-банахова 44
-Даффина-Кеммера 431
-квазилокальных наблюдаемых 346
-Клиффорда 334
—Ли 180
——абелева 180
——нильпотентная 181
—— (полу)простая 181
—— разрешимая 181
-локальных наблюдаемых 345
-наблюдаемых 254
——Иордана 255
——фон Неймана 260
фон Неймана (1У*-алге6ра) 55
нормированная 44
полиномиальная 350
физических величин 347
С*-алгебра 44
абстрактная 45
конкретная (или операторная) 45
★-алгебра 44
Алмаз 195, 204
Амплитуда
инвариантная 334
спинорная 328
Анзатц Грина 431
Базис
Майорана 338
Паули 338
Барьер 236
Биекция 272
Бикоммутант 56
Бистепень 130
БКП 434
Вакуум 298
Валентность 143
Вектор 14
вакуумный 298, 313
времениподобный 135
единичный 254
изотропный 135
пространственноподобный 135
циклический 48
Вероятность перехода 256
Вращение вигнеровское 307
Генератор (инфинитезимальный) 182
Гиперболоид допустимый 209
Гипотеза
дискретных правил суперотбора 262
коммутативных правил суперотбора 266
Гомоморфизм
групп 177
Иордана 277
накрывающий 138, 180
топологический 33
С*-алгебр (т. е. С*-гомоморфизм) 45
Граница
подмножества 220
①руассара 641
График оператора 35
Группа 176
абелева 177
калибровочная 268
-Ли 179
——комплексная 180
——накрывающая 180
——универсальная накрывающая 180
Лоренца 135
——собственная 136
комплексная 385
малая 304
односвязная 179
производная 177
Пуанкаре 293
——собственная 293
——спинорная 293
связная (линейно) 179
симметрии 279
топологическая 178
Делитель нормальный 177
Диффеоморфизм 66
Дифференцирование алгебры 180
Дополнение ортогональное 22
Дуальность (с кручением) 353
Идеал 181
Изоморфизм
гильбертовых пространств 40
групп 177
Иордана 277
ЛВП 33
линейных пространств 15
локальный 138
С*-алгебр (т. е. С*-изоморфизм) 45
Изотония 345
Инварианты стандартные полиномиальные
162
Индекс однородности 130
КАС 319
Квантование вторичное 315
ККС 283
Класс
Борхерса 404
левый (правый) смежный 178
Клейниан 364
Коварианты стандартные полиномиальные 155, 167
Коммутант 55
с кручением 353
Компакт 30
Компонента (связная) 89
Константы структурные 180
Конструкция ГНС 50
Контейнер голоморфный 241
Конус 84
острый 84
полиэдральный 84
световой 113, 190
симплициальный 84
сопряженный 110
усеченный 108
элементарный 609
s-, t-, “-канал 560
ЛВП 28
Лемма
Цорна 16
Шура 49, 184
Локальность 349
слабая 403
Луч (единичный) 254
Маршрут аналитического продолжения 221
обобщенный 223
Матрица рассеяния (5-матрица) 326
Мера спектральная 43
Метрика 18
Микропричинность 349, 568
Множество
времениподобно выпуклое 205
канонически замкнутое 97
локально компактное 30
регулярное 97
тотальное 21
Моном
-Вика 368
полилокальный 356
Штейнмана 607
Мономорфизм групп 177
Мультииндекс 30
Мультипликатор 97
Наблюдаемая 255
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
20
Норма 18
следовая 54
Носитель 63, 64
существенный 554
Нуль-пространство 16
Область 60
голоморфно выпуклая 235
голоморфности 222
звездная 246
«острия клина» 223
полутрубчатая 244
псевдовыпуклая 237
Рейнхарта 245
——логарифмически выпуклая 245
——полная 245
трубчатая 244
J-насыщенная 230
Обобщенная функция 59
——векторная 92
—— запаздывающего типа 113, 190
——интегрируемого типа 80, 81
—— однородная 122, 130
——операторная 93
——опережающего типа 190
Оболочка
голоморфности (однолистная) 241
линейная 15
логарифмически выпуклая 245
причинная 201
ОЗП 607
ОЗФ 607
00 ① 122
Оператор
антилинейный 15
антиунитарный 41
замкнутый 38
запаздывающий радиационный 571
Казимира 188
конечного ранга 54
линейный 15
обобщенный запаздывающий радиационный 572
опережающий радиационный 571
положительный 39
присоединенный 260
псевдоунитарный 447
радиационный 569
-рассеяния (5-матрица) 326
рождения 315
с абсолютно сходящимся следом (ядер- ный) 54
самосопряженный 39
——существенно (в существенном) 39
симметрический (эрмитов) 39
строго положительный 39
суперотборный 267
унитарный 40
уничтожения 316
TCF-оператор 401
Орбита 177
Отображение
аффинное 272
открытое 33
экспоненциальное 182
Параметры допустимые 209
Параполе 430
Парастатистика 430
Подгруппа
инвариантная 177
стационарная 178
Подмножество
нераспадающееся 257
плотное 29
^(В)-ограниченное 216
Подпредставление 50, 184
Подпространство
инвариантное 50
линейное 15
Поле
бесконечнокомпонентное 351,
бозонное 352
гейзенбергово 415
дираковское 373
майорановское 376
Поле обобщенное свободное 376
составное 405
токоподобное 547
фермионное 352
физическое 347
фундаментальное 347
Поликруг 21
Полином
-Вика 368
Лежандра 631
Чебышева 634
Якоби 305
Полирадиус 217
Полунорма 18
Порядок парастатистики 431
Последовательность Коши (или фундаментальная) 18
Правило
суммирования Эйнштейна 134
суперотбора 267
Представление 48, 177
асимптотическое 576
вполне приводимое 184
Дирака 145
ИЛД 191
КАС 319
ККС 283
коприсоединенное 185
кратное 259
Майорана 442
Мандельстама 605
неприводимое 184
присоединенное 185
разложимое 184
слабое интегральное 99
точное 50
унитарное 184
——проективное 282
факториальное (типа I) 259
физическое 259
фоковское 318, 319
циклическое 48
Челлена-Лемана 360
Шредингера 284
Представления
дизъюнктные 259
феноменологически эквивалентные 258
Преобразование
калибровочное 351
Клейна 408
Лапласа 104
линейное 15
Лоренца 135
симплектическое 290
Преобразование Фурье 76, 77
Принцип
Гюйгенса 201
максимума модуля 220
непрерывности 238
——модифицированный 239
причинной независимости Эйнштейна
346
причинности 355
склеивания распределений 65
Продолжение
аналитическое 221
непосредственное аналитическое 222
обобщенное аналитическое 223
Проектор 40, 44
Проекция естественная 15
Произведение
запаздывающее 540
нормальное 368, 375
обобщенное запаздывающее 607
опережающее 542
полупрямое 178
прямое 178
скалярное 20
тензорное 17
——линейных пространств 17
——обобщенных функций 74
——операторов 40
А-произведение 542
^-пpoизвeдeниe 491
Я-произведение 540
Т-произведение 534
Производная 470
Пространство
банахово 18
векторное 14
гильбертово 21
линейное 14
локальное выпуклое 28
метрическое 18
Минковского 134
нормированное 18
однородное 178
полное 18
Понтрягина 446
предгильбертово 20
псевдогильбертово 446
связное 178
с индефинитной метрикой 20
сопряженное 26, 33
физическое 259
Фока 314
-Фреше (F-пространство) 29
хаусдорфово 178
G-пространство 177
Процесс
инклюзивный 650
квазиупругий 582
эксклюзивный 650
Радикал (алгебры Ли) 181
Разложение
единицы 63
парциальное 631
Распределение 60
голоморфное 227
медленного роста 59
плюрисубгармоническое 234
частично голоморфное 227
Расстояние по лучу 232
Расширение
борхеровское 405
голоморфное (непосредственное) 222
группы 178
——центральное 178
Решение фундаментальное (задачи Коши)
196
Свертка 78, 83
Свертыватель 79
Свойство кластерное 299
Связь спина со статистикой 312
Сектор 257
Сеть (С*-алгебр) 345
Сечение 330
дифференциальное 329
——упругое 634
инклюзивное 652
полное 634
упругое 634
Симметрия 271
Система
Вейля 285
зацепляющаяся 262
стандартная лоренцевская 134
Соотношение
дисперсионное 118, 603
квазидисперсионное 622
Состояние 254, 255
векторное 257
виртуальное 445
смешанное 255
физическое 256
чистое 255
Спектр
инклюзивный 653
элемента 46
Спин 168, 302
Спин-тензор 142
Спинор
Дирака 337
Майорана 338
Структура ЛВП 28
——индуцированная 33
Сужение обобщенной функции 89
Тень причинная 201
Теорема
Баргмана-Холла-Уайтмана 387
Бэра «о категориях» 30
Вейерштрасса 31
Вигнера 274
Голдстоуна 473
-Гродского-Стритера 440
обобщенная 440
-единственности
——для аналитических функций 219
——обобщенная для аналитических функций 115
——фон Неймана 285
Мартена 638
о бикоммутанте 56
о замкнутом графике 35
о монодромии 222
о связи спина со статистикой 408
«об острие клина» 223, 224
об открытом отображении 36
-Ока 239
оптическая 634
Померанчука 646
реконструкции
——Остервальдера-Шрадера 427
——Уайтмана 363
Стоуна 43
-Фрагмена-Линделёфа 648
-Хаага 415, 416
—— обобщенная 417
TCF-теорема 402, 403
модифицированная 404
Ток 569
Топология
ЛВП 29
сильная операторная 55
слабая операторная 55
(т-слабая операторная 55
Точка
барьерная 236
вполне пространственная 392
евклидова 396
——неисключительная 396
Йоста 392
Труба
будущего 113
нижняя 359
прошлого 359
расширенная 387
симметризованная 393
Уравнение
Даламбера 194, 195
Дирака 338
Клейна-Гордона 364
Коши-Римана 103
Максвелла 468
——модифицированное 466
Янга-Фельдмана 547
Усеченные вакуумные средние 522
Условие
асимптотической полноты 327
слабой локальности 403, 404
Фактор 57
Фактор-группа 178
Фактор-представление 184
Фактор-пространство 178
орма
полуторалинейная 20
——невырожденная 20
——положительно (неотрицательно) определенная 20
эрмитова 20
Формула
Асгейрсона 201
редукции 553
Сохоцкого 68
Функционал
билинейный 73
векторный 49
локальный 404
ограниченный 26
положительный 47
——неразложимый 48
(секвенциально) непрерывный 60
Уайтмана 363
характеристический 288
Функция
аналитическая 104
гармоническая 230
голоморфная 103
Грина
——ампутированная 553
——запаздывающая 542
——опережающая 543
——приведенная 614
——причинная 535
Функция многозначная аналитическая 222
обобщенная запаздывающая 607
плюрисубгармоническая 232
плюрисупергармоническая 232
распределения (инклюзивного процесса) 653
спектральная 191
субгармоническая 230
супергармоническая 232
сферическая 632
Уайтмана 357
——усеченная 522
——п-кластерная 524
Швингера 423
Центр
алгебры 57
группы 177
Цепь 16
Часть абсорбтивная 593
Щель массовая 300
Экспонента
локальная нормальная 491
нормальная 491
Эллипс
Лемана (малый, большой) 581, 596
Мартена (малый, большой) 640
Эпиморфизм групп 177
Ядро
гомоморфизма 177
полилинейного функционала 124, 132
слабого интегрального представления 100
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Список принятых обозначений 5
Введение 7
Место аксиоматического подхода в квантовой теории поля (7). План изложения (9)
ЧАСТЬ I
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗАИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Краткий обзор 11
Глава 1. Предварительные сведения из функционального анализа 14
Нормированные пространства 14
А. Линейные пространства (14). Б. Прямая сумма и тензорное произведение линейных пространств (16). В. Понятие нормированного пространства (18). Г. Гильбертовы пространства (19). Д. Прямая сумма и тензорное произведение гильбертовых пространств (23). Е. Линейные функционалы и сопряженные пространства (25).
Локально выпуклые пространства 27
А. Эквивалентные системы полунорм. Структура ЛВП (27). Б. Пространства ①peine (29). В. Примеры (30).
Линейные операторы и линейные функционалы в пространствах Фреше32
А. Непрерывные отображения ЛВП (32). Б. Принцип равномерной ограниченности. Слабая и ^-слабая топологии (34). В. Теоремы о замкнутом графике и об открытом отображении (35).
Операторы в гильбертовом пространстве 37
А. Понятие (неограниченного) самосопряженного оператора (37). Б. Изометрические, унитарные и антиунитарные операторы (40). В. Спектральная теория самосопряженных и унитарных операторов (41).
Алгебры с инволюцией. С*-алгебры 43
А. Определение и простейшие свойства (43). Б. Спектр (45). В. Положительные функционалы (47).
Глава 2. Техника обобщенных функций 58
Понятие обобщенной функции 58
А. Функциональное определение (58). Б. Определение в терминах фундаментальных последовательностей (61). В. О локальных свойствах обобщенных функций (63).
Преобразование аргументов и дифференцирование 65
47 Н. Н. Боголюбов и др.
А. Замена переменных в обобщенной функции (65). Б. Дифференцирование обобщенных функций. Примеры (66).
Умножение обобщенной функции на гладкую функцию А. В чем проблема умножения обобщенных функций? Понятие мультипликатора (68). Б. Проблема деления (70).
Теорема о ядре. Тензорное произведение обобщенных функций А. Билинейные функционалы над пространствами типа 乡(73). Б. Тензорное произведение (74).
Преобразование Фурье и свертка А. Преобразование Фурье основных функций (76). Б. Преобразование Фурье обобщенных функций (77). В. Свертыватели (78). Г. Обобщенные функции интегрируемого типа (80). Д. Свертка обобщенных функций (83).
Обобщенные функции, зависящие от параметра А. Общие сведения (85). Б. Сужение обобщенной функции (87). В. Еще об умножении обобщенных функций (89).
Векторные и операторные обобщенные функции А. Обобщенные функции со значениями в гильбертовом пространстве (91). Б. Операторные обобщенные функции (93). В. Понятие обобщенного собственного вектора (95).
Дополнение А. Обобщенные функции на подмножествах в Rn А.1. Обобщенные функции на открытом подмножестве (96). А.2. Обобщенные функции на канонически замкнутых регулярных подмножествах (97). А.З. Применение: обобщенные функции на компактифицированных множествах [а, оо], Коо, [—ОС, +ос] (100).
Дополнение Б. Преобразование Лапласа обобщенных функций Б.1. Преобразование Лапласа как аналитическая функция в комплексной области (103). Б.2. Случай обобщенной функции с носителем в остром конусе (НО). Б.З. Пример: обобщенные функции запаздывающего типа (113). Б.4. Граничные значения преобразования Лапласа (114). Б.5. Пример: «математика» дисперсионных соотношений (118). Б.6. Сужение преобразования Лапласа (120).
Дополнение В. Однородные обобщенные функции
В.1. Однородные обобщенные функции в R (122). В.2. Случай одной вещественной переменной (124). В.З. Продолжение однородных обобщенных функций (126). В.4. Применение к ковариантным однородным обобщенным функциям (128). В.5. Однородные обобщенные функции в комплексной области (130).
Глава 3. Лоренц-ковариантные обобщенные функции
Группа Лоренца
А. Геометрия пространства Минковского (134). Б. Определение общей группы Лоренца и ее связных компонент (135). В. Универсальная накрывающая группы 力] (137). Г. Конечномерные представления группы SL(2,。) (141). Д. Просто приводимые конечномерные представления группы SL(2,。). Пространственное отражение (144).
Лоренц-инвариантные обобщенные функции в пространстве Минковского А. Определение (148). Б. Четные инвариантные обобщенные функции. Инвариантные обобщенные функции с носителем в точке (148). В. Нечетные инвариантные обобщенные функции (152).
687376859196103122134134148155687376859196103122134134148155Лоренц-ковариантные обобщенные функции в пространстве Минковского
68
73
76
85
91
96
103
122
134
134
148
155
68
73
76
85
91
96
103
122
134
134
148
155
А. Определение (155). Б. Структура ковариантной обобщенной функции (156).
Случай нескольких векторных переменных
А. Обобщенные функции, инвариантные относительно компактной группы (160). Б. Обобщенные функции, ковариантные относительно компактной группы (166). В. Применения к лоренц-инвариантным и лоренц-ковариантным обобщенным функциям (172).
Дополнение Г. Словарь по группам Ли и их представлениям
Г.1. Абстрактные группы. Алгебраические свойства (176). Г.2. Группы Ли (178). Г.З. Алгебры Ли (180). Г.4. Связь между группами Ли и алгебрами Ли (181). Г.5. Локальная группа Ли. Каноническая параметризация. Теоремы Ли (182). Г.6. Линейные представления (184). Г.7. Присоединенное и коприсоединенное представления. Форма Киллинга (185).
Глава 4. Представление Йоста-Лемана-Дайсона
Связь уравнения ИЛД с волновым уравнением
А. Предварительные замечания (189). Б. Набросок вывода (190). В. Выход в шестимерное пространство (192).
Свойства решений из 乡/ уравнения Даламбера
А. Обозначения (194). Б. Фундаментальное решение задачи Коши (195). В. Задача Коши на пространственноподобной гиперповерхности; принцип Гюйгенса (198). Г. Формула Асгейрсона и ее применение (201).
Вывод формулы Йоста-Лемана-Дайсона
А. Конструкция спектральной функции (203). Б. Дальнейшие свойства носителя спектральной функции (207). В. Примеры (210). Г. Представления для обобщенных функций запаздывающего и опережающего типов (212).
Глава 5. Аналитические функции нескольких комплексных переменных
Свойства голоморфных функций. Плюрисубгармонические функции
А. Пространство голоморфных функций (216). Г. Голоморфность и аналитичность (218). В. Аналитическое продолжение (219). Г. Обобщенный принцип аналитического продолжения; теорема «об острие клина» (223). Д. Голоморфные распределения (227). Е. Инвариантные и ковариантные аналитические функции (228). Ж. Плюрисубгармонические функции (230).
Области голоморфности
Д. Голоморфная выпуклость (235). Б. Псевдовыпуклость (237). В. Модифицированный принцип непрерывности (239). Г. Однолистные оболочки голоморфности (241). Д. Инвариантные области (243). Е. Пример голоморфного расширения (246).
ЧАСТЬ II
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
Краткий обзор
Глава 6. Алгебра наблюдаемых и пространство состояний
Алгебраическая формулировка квантовой теории
160176189189194203216216160176189189194203216216235235252254254252254254А. Алгебра наблюдаемых. Состояния (254). Б. Вероятность перехода (256). В. Связь с представлениями (257).
160
176
189
189
194
203
216
216
160
176
189
189
194
203
216
216
235
235
252
254
254
252
254
254
Правила суперотбора 261
А. Роль чистых векторных состояний (261). Б. Стандартные правила суперотбора (265). В. Связь с калибровочными группами (268). Г. Пример неабелевой калибровочной группы (269).
Симметрии в алгебраическом подходе 271
А. Понятие симметрии (271). Б. Доказательство и обсуждение теоремы Вигнера (274). В. Группы симметрий (279).
Канонические коммутационные соотношения 283
А. Роль представления Шредингера (283). Б. Бесконечное число степеней свободы (286). В. Доказательство теоремы единственности фон Неймана (290).
Глава 7. Релятивистская инвариантность в квантовой теории 293
Группа Пуанкаре 293
А. Определение (293). Б. Отражения (294). В. Алгебра Ли группы Пуанкаре (295).
Унитарные представления собственной группы Пуанкаре 297
А. Условие пуанкаре-инвариантности (297). Б. Классификация неприводимых представлений группы фо- Принцип спектральности (297). В. Описание представлений, соответствующих частицам с положительной массой (302). Г. Явно ковариантная реализация «физических» неприводимых представлений (307).
Пространство Фока релятивистских частиц 312
А. Пространство вторичного квантования (312). Б. Связь с каноническими (анти)коммутационными соотношениями (315). В. Ковариантные операторы рождения и уничтожения (320). Г. Симметрии общей группы Пуанкаре (323).
Д. Релятивистская матрица рассеяния (326). Е. Кинематика двухчастичных процессов (331).
Дополнение Д. Четырехкомпонентные спиноры и уравнение Дирака 334
Д.1. Алгебра Клиффорда над пространством Минковского (334). Д.2. Спинорное представление группы Лоренца; различные реализации 7-матриц (336).
Д.З. Уравнение Дирака; представления группы Пуанкаре со спином 1/2 (338).
ЧАСТЬ III
ЛОКАЛЬНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА
Краткий обзор 342
Глава 8. Формализм Уайтмана 345
Квантовополевые системы 345
Идея локализации (345). Б. Принцип локальной коммутативности (346).
«Фундаментальные» поля и «физические» поля (347).
Определение и свойства локального квантового поля 348
А. Аксиомы Уайтмана (348). Б. Обсуждение аксиом (349). В. Неприводимость полей (354). Г. Разделяющее свойство вакуумного вектора (355).
Функции Уайтмана 357
А. Характеристические свойства функций Уайтмана (357). Б. Представление Челлена-Лемана для скалярного поля (359). В. Восстановление теории по функционалу Уайтмана (361).
Примеры: свободные и обобщенные свободные поля 364
А. Свободное скалярное нейтральное поле (364). Б. Свободное скалярное заряженное поле (369). В. Свободное дираковское поле (373). Г. Обобщенные свободные поля (376).
Дополнение Е. Сводка инвариантных решений и функций Грина уравнения Клейна-Гордона 378
Дополнение Ж. Общий вид ковариантной двухточечной функции 379
Ж.1. Ковариантное разложение, согласованное с локальностью (379). Ж.2. Разложение по спину (381).
Глава 9. Аналитические свойства функций Уайтмана в координатном пространстве 384
Теорема Баргмана-Холла-Уайтмана и ее следствия 384
А. Комплексные преобразования Лоренца (384). Б. Лоренц-ковариантные аналитические функции в трубе прошлого (386). В. Вещественные точки расширенной трубы (391). Г. Аналитичность функций Уайтмана в симметризованной трубе (393). Д. Глобальная природа локальности (397).
TCF-теорема 401
А. TCF-инвариантность (401). Б. Слабая локальность (403). В. Классы Борхерса; понятие локального составного поля (404).
Связь спина со статистикой 407
А. Формулировка результатов (407). Б. Необходимые условия для аномальных перестановочных соотношений (409). В. Приведение формы g к каноническому виду (411). Г. Конструкция преобразования Клейна (413).
Одновременные перестановочные соотношения. Теорема Хаага 414
А. Трехмерный вариант теоремы Хаага (414). Б. Теорема Хаага в релятивистской теории (417). В. Истолкование теоремы Хаага (418).
Евклидовы функции Грина 420
А. Группа вращений четырехмерного евклидова пространства (420). Б. Свойства функций Швингера (422). В. Теорема реконструкции в терминах функций Швингера (427).
Дополнение 3. Парастатистики 429
Свободные параполя и паракоммутационные соотношения (429). 3.2. Замечание о TCP-теореме и связи спина с парастатистикой для локальных параполей (433).
Дополнение И. Бесконечнокомпонентные поля 434
И.1. Элементарные представления группы SL(2, С). (434). И.2. Понятие квантового БКП (435). И.З. Ковариантная структура двухточечной функции. Бесконечное вырождение массы по спину (437). И.4. Отсутствие ф+-ковариантности и связи спина со статистикой в моделях БКП (440).
Глава 10. Поля в индефинитной метрике 445
Псевдоуайтмановский формализм 445
А. Псевдогильбертово пространство (445). Б. Аксиомы псевдоуайтмановского типа (449). В. Вакуумный сектор и заряженные состояния (452). Г. Физическое подпространство псевдогильбертова пространства (455).
Абелевы модели с калибровочной инвариантностью 2-го рода 457
А. Поле дипольного духа и градиентная модель (457). Б. Локальная формулировка квантовой электродинамики (463).
Внутренние симметрии 470
А. Симметрии и токи в формализме Уайтмана (470). Б. Теорема Голдстоуна (473). В. Спонтанное нарушение симметрии в абелевых калибровочных теориях (476).
Глава 11. Примеры: явно решаемые двумерные модели 480
Свободное скалярное безмассовое поле в двумерном пространстве-времени480
А. Одномерное неканоническое скалярное поле (480). Б. Физическое представление (483). В. Свободные «кварковые» поля; бозонизация фермионов (491).
Г. Свободное скалярное безмассовое поле «духа» (497).
Модель Тирринга 499
А. Решение полевого уравнения (499). Б. Токи и заряды; вакуумное представление (503).
Модель Швингера 504
Решение в лоренцевой калибровке (504). Б. Вакуумный функционал (509).
Физические поля; наблюдаемые (510).
ЧАСТЬ IV
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯS-МАТРИЦЫ
Краткий обзор 513
Глава 12. Теория рассеяния Хаага-Рюэля 516
Схема квантовополевой теории рассеяния 516
А. Одночастичная проблема в квантовой теории поля (516). Б. Конструкция in- и out-состояний (518). В. 5-матрица и TCF-операторы в асимптотически полной теории (519).
Существование асимптотических состояний 521
Усеченные вакуумные средние (521). Б. Усиленное кластерное свойство (524).
Расплывание релятивистских волновых пакетов (527). Г. Доказательство основного результата (531).
Глава 13. Формализм Лемана-Симанзика-Циммермана 534
Основные понятия 534
Т-произведения полей (534). Б. Запаздывающие произведения (540).
Аксиомы LSZ (544).
Асимптотические условия и формулы редукции 546
Асимптотические условия LSZ (546). Б. Уравнения Янга-Фельдмана (551).
Частичные формулы редукции (553). Г. Редукционные формулы для матрицы рассеяния (557).
Глава 14. S-матричный метод 562
5-матричная формулировка основных требований локальной теории 562
А. Понятие расширения 5-матрицы за массовую оболочку (562). Б. О выборе класса основных функций (566). В. Аксиомы 5-матричного подхода (567).
Г. Радиационные операторы: ток (569).
Поля в асимптотическом представлении 573
А. Конструкция квантовых полей и их Т-произведений (573). Б. Выполнение аксиом LSZ (576).
ЧАСТЬ V
ПРИЧИННОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНОСТЬ - истокиАНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
Краткий обзор 578
Глава 15. Аналитичность по переданному импульсу и дисперсионные соотношения 580
Малый эллипс Лемана 580
А. Вводные замечания (580). Б. Представление ИЛД для запаздывающих и опережающих (анти)коммутаторов (582). В. Аналитичность по t (585).
Дисперсионные соотношения 588
А. Основные этапы вывода дисперсионных соотношений (588). Б. Выход в комплексную область по импульсам 竺，@4 (588). В. Дисперсионное соотношение при нефизических «массах» (591). Г. Аналитические свойства абсорб- тивной части амплитуды (594). Д. Дисперсионное соотношение на массовой оболочке (601).
Глава 16. Аналитические свойства четырехточечной функции Грина 606
Обобщенные запаздывающие функции 606
А. Обобщенные запаздывающие произведения (606). Б. Носители в /-пространстве (608).
Четырехточечные функции Грина 612
Обозначения (612). Б. Области совпадения в р-пространстве (614).
Тождества Штейнмана (616). Г. Аналитичность вблизи физических точек (618).
Перекрестное соотношение 621
Формулировка результата (621). Б. Случай мнимых «масс» (623).
Аналитическое продолжение по массовым переменным (623). Г. Переход на массовую оболочку (628).
Дополнение К. Роль унитарности 630
1. Парциальное разложение амплитуды упругого двухчастичного процесса (630). К.2. Аналитическое продолжение по t дисперсионного соотношения (636).
Глава 17. Некоторые следствия для высокоэнергетических элементарных процессов 641
Ограничения на поведение сечений при высоких энергиях 641
А. Граница Фруассара (641). Б. Сравнение сечений взаимодействия частицы и античастицы с одинаковой мишенью (646).
Инклюзивные процессы 650
А. Физические характеристики инклюзивных процессов (650). Б. Аналитические свойства дифференциальных сечений по угловым переменным (654). В. Асимптотические оценки (657).
Библиографические указания 660
Список литературы 680
Предметный указатель 731
Научное издание
БОГОЛЮБОВ Николай НиколаевичЛОГУНОВ Анатолий АлексеевичО КС А К Анатолий ИвановичТОДОРОВ Иван Тодорович
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Редактор А.Д. СухановОригинал-макет: Л.К. ПопковаОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 23.05.05. Формат 70х 100/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 60,28. Уч.-изд. л. 64,5. Тираж экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
*) Мы различаем матрицы Паули в формулах (3.24) и (3.34), поскольку они относятся к объектам с различными трансформационными свойствами (относительно группы SL(2, С)), числовое совпадение этих матриц происходит из-за специального выбора базиса.
I 丽［〈。丨 Х/@)丨 0〉—〈0 丨 Х*№(—0)丨 0〉］ d40 R о, г0\{0}
УДК 539.1.01
ББК 22.31
Б 74
Г Г Издание осуществлено при поддержке р и Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 04-01-14118д
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., О к с а к А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля / Под общ. ред. А.Д. Суханова. — 2-е изд. — М.: ①НЗМАТЛНТ, 2005. - 744 с. - ISBN 5-9221-0612-0.
Посвящена систематическому изложению результатов аксиоматического направления в квантовой теории поля. Часть I содержит необходимые сведения из функционального анализа и теории обобщенных функций, а также элементы теории функций нескольких комплексных переменных. Центральное место (части II-IV) занимают различные подходы в аксиоматической квантовой теории поля — алгебраический подход, формализмы Уайтмана и Лемана- Симанзика-Циммермана, S-матричный метод. Здесь изложены фундаментальные результаты квантовой теории поля — TCP-теорема, связь спина со статистикой, теорема Хаага, теорема Голдстоуна и др. Включены разделы, посвященные теориям с индефинитной метрикой. Общая теория проиллюстрирована на явно решаемых двумерных моделях. Часть V содержит применения развитого аппарата к аналитическим свойствам амплитуд рассеяния и к теории взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях. Многочисленные упражнения составляют неразрывную часть текста.
Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся по квантовой теории поля и математической физике.
ISBN 5-9221-0612-0
© ФИЗМАТЛИТ, 2005