ПРЕДИСЛОВИЕ

М^ДАНЮГА ПВПВОДА

Mtiltiа 1л1\ 1111||фд <ч*Д0ржиг орйпини1ьпые ра・ folы *и；ни»ошушжи11иш1 wtipiin геплопого излучения И вши|ные m ц||шнп нрптпческпе главы автора, где too пин iiiyioiuiift мн юриал изложен систематически с |Ц#Том гш1|н*мешюй гонки зрения, однако по возмож- |рд*1Н Пли пи» к оригинальным статьям классиков. Ее til*>p и составитель Ханс-Георг Шёпф — профессор ®1；д»л#пии физики Технического университета в Дрез- 直飘同 ■ :.

Диппин книга, несмотря на малый объем, охваты- М#1 Ht/iH нее важнейшие работы основателей теории ttiyiniHM i) излучения. В нее включены работы: Г. Кирх- 箕I巾篇 об отношении лучеиспускательной способности fwi к его поглощательной способности; Л. Больцмана О ймконе излучения абсолютно черного тела; В. Вина О ййконе смещения для распределения теплового нз・ Лучения по частотам; М. Планка о связи закона Вина в цггронией излучения в замкнутой полости (эта втмтьи предшествовала его работам по квантованию 範霜iyt俅мнн); Дж. Рэлея о нормальных колебаниях из- йум^1шн в полости и законе распределения, получив- IIIем йипеледствии название закона Рэлея —— Джинса. В Но# пошли также три статьи М. Планка, в которых fодержитсн его замечательное открытие квантования Mi員戶倬ннн* о именно вывод формулы Планка для рав- ||1Ш#пн)н)излучения как усовершенствование закона Кинм » спотнетствии с экспериментальными данными II трАЛонпниями термодинамики, ее вывод на основе ивянпшшшн системы гармонических осцилляторов и iin齡興 ofl элементарных квантах энергии и электриче- гшя. Тиной подбор статей очень удачен, так как они

научных открытий в одной из важнейших областей теоретической физики.

Вводные главы написаны очень интересно и До* ступны широкому кругу читателей. Особая ценность их состоит в том, что автору в результате тщательного изучения первоисточников удалось исправить многие широко распространенные неточности в изложении истории создания теории теплового излучения. В част- мости, он показывает, что «ультрафиолетовая катастрофа》, связанная с именем Джинса, возникшая в 1905 г., не могла играть никакой роли при обсуждетии законов теплового излучения в 1900 г. Очень интересно обсуждение гипотезы «естественного излучения» как основы для возможного применения статистических методов к излучению. Чтение этой книги не только интересно, но и очень поучительно; она дает возможность узнать по первоисточникам, как возникло и развивалось одно из наиболее ярких направлений развития физики этого века — идея квантования излучения.

Перевод выполнен Л. Г. Мищенко при учлстни А* Е. Рубинского. Для двух последних статей М. План- ка использован перевод Р. Б. Сегаля из книги: Макс Планк. Избранные труды. — М.: Наука, 1975.

Д."・ Зубарев

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебных курсах теоретической физики (да и не только этой науки) нередко подходят с совершенно различной степенью тщательности к положениям фи*< зико-математического содержания (или нм подобным)' н к попутным историческим отстунлениям. В первом случае лектор, если только он претендует на чтение серьезного курса, как правило, ие будет преподносить слушателям такого материала, в достоверности которого он предварительно не убедился бы лично, хотя проверка выкладок учебников, предпринимаемая с &TG亜 целью, почти всегда подтверждает их правиль-* кость. Во втором же случае преподаватель слишком часто принимает и передает учащимся исторические сведения без проверки, хотя здесь обращение к перво* источникам могло бы показать, что мы нередко имеем дело с историческими легендами. Я увидел это совершенно отчетливо, когда подготавливал юбилейный до^ млад к 75-летаю квантовой гипотезы Планка, и тогда Ж@ почувствовал необходимость изучения источников ||>»Л1паствующего периода истории физики, с 1860 по 1000 г. Это время развития теории теплового излуче- :算打电 отмеченное именами Кирхгофа, Больцмана, 菖 冒糅得偉* Рз{&无 и Планка. Из работы над трудами этих вг шкпх физиков и родилась данная небольшая книга.

Йе историко-научные притязания достаточно скрои- 甘国 Мы нпдсемся, что нам удалось исправить по край- IlfI мер# самые грубые из распространенных ошибок

в истории вопроса. Объем книги, однако, не позволил показать иа общем фоне общественных и научных явлений личную судьбу и индивидуальный стиль каждого из названных исследователей и всесторонне оценить их вклад в научный прогресс.

Воспроизводя здесь тексты этих авторов, мы не противопоставляем им «современное представление^ как якобы во всех отношениях наилучшее и наиболее понятное. Напротив, мы старались держаться хода мысли оригинальных работ, и тогда материал в известной мере сам собой сложился в очерк теории теплового излучения в историческом аспекте. Из него, как нам кажется, видно, что идеи и методы великих физи* ков, живые в. их первозданности, столь же глубокие, сколь и простые, могут быть чрезвычайно полезны в современном учебном процессе.

Мы всячески приветствовали бы использование данной книги студентами. Мы стремились к тому, чтобы ее содержание можно было понять без специальной подготовки. Это, в частност% послужило одной из причин написания небольшой главы о статин стической теории газов Больцмана. Другой причиной； было, конечно, то важное значение статистики Больцмана, которое она имела для развития теории излучения.

• Само собой разумеется, что и в физике необходим критический подход к классическому наследию. Если классики, с одной стороны, в некоторых пунктах проявляют больше тщательности, чем это свойственно современной учебной литературе, то, с другой стороны, у них есть и места, которые не могли нас удовле* творить в смысле стиля, математического аппарата или логической строгости. Как мы поступали в таких случаях, читатель увидит сам, сравнивая наше изло* жение с оригинальными текстами. Он сможет решить.

нвн寓目貝пкс мы при этом действовали в духе авторов, II «дном случае, а именно, при обсуждении работ Плпнкп, предшсстиовашипх осени 1900 г., мы ограничились перепечаткой wjh^o краткой выдержки из иих. Это оправдиппется тем, что |щзва1шые работы имеют болыпоп объем и в сущности не ведут к цели. Мы сочли, однако, уместным подробно передать их содер^ жшше. В истории пауки нередко оказывалось, что крушине заблуждения порой больше стимулировали научный прогресс, нем некоторые маленькие истины.

В немалом числе случаев только свет поздн^ших. апаний выявлял истины, которые уже содержались в исходных оригинальных работах, но тогда еще не могли быть замечены. Законная задача историко-критического анализа — извлечь нх, хотя бы при этом и пришлось мириться с анахронизмами. Такой характер имеет гл. 6 данной книги, содержащая интерпретацию ш)|нш излучения Вина как теории классического газа снетоных корпускул. Нельзя писать о тепловом излу* *№ннн* игнорируя корпускулярный подход к свету. В тесной связи с этим стоит и проблема флуктуаций. Мм рассмотрели ее в гл. 7, которая тоже выходит за пределы тесных исторических рамок.

Мы, разумеется, оставили в неприкосновенности (*богшпч<мн1н физических величин, избранные авторами 11|шт>лимых irnc ioiL Дли удобетпа читателя важнейшие на hi” мм <(>1*ш Nimuni ни стр. 185 с употреблен* нымн ними и члгтн L При этом в тех случаях, когда 館门覧卩露侔川陽 орш пнильных обозначений не представляв nwh пошожным или желательным, мы считали вполне 11|ншммерным в историческом изложении ориентироваться на продержавшиеся в течение десятилетий обо- шпачения Планка.

Конечно, орфография оригинальных статей по- 鶴с^4у приведена к современной. Это было выполнено

меей женой при подготовке ею рукописи книга* Она же подобрала использованную оригинальную лит^а* туру. Я хотел бы сфдечно поблагодарить ее за существенный вклад в создание данной книги. Я при* ношу также мою благодарность проф. Г.-И. Тредеру (Потсдам — Бабельсберг), который воодушевил меня： на эту работу и в дальнейшем проявлял к ней живой интерес. В заключение выражаю искреннюю б л аю* давность издательству Академн^Ферлаг за чуткое и внимательное сотрудничество.

Дрезден, 30 октября 1976 г. Х.-Г. Шёпф

Часть I

Глава t

ГУСТАВ КИРХГОФИ ЗАКОН ИСПУСКАТЕЛЬНОЙ И ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙСПОСОБНОСТИ ТЕЛА

Повседневный опыт убеждает нас в том, что тепло передается не только посредством теплопроводности, но и путем излучения, и что это тепловое излучение должно быть тесно связано со светом. Солнце (как и все раскаленные тела) посылает нам как тепло, так н свет. Невидимые тепловые лучи отличаются от световых лучей фактически только большим значением длин волн. Таким образом, физика теплового излучения представляет собой связующее звено между термодинамикой и оптикой, и в силу этого она с самого начала была призвана способствовать созданию еди* ной физической картины мира, а тем более впоследствии, когда оптику стали рассматривать как ветвь электродинамики. Этот фундаментальный характер проблемы теплового излучения и заставил Планка в конечном счете обратить на него внимание. Планк не Мог предвидеть, что объединение термо- и электро* динамики разорвет рамки классической физики, а сам он невольно начнет одну нз величайших революций в физике. Но именно это и делает столь интересной историю теории теплового излучения.

Она начинается с Пьера Прево. В 1809 г. Прево установил, что излучение любого тела не зависит от окружающей его среды. Исходя из этого, он развил диалектическое представление о равновесии, при котором нет затухания излучения и при котором испускание пропорционально поглощению (тепла, приносимого излучением извне). Эта концепция стала образцом для всех более поздних теорий динамически равновесных состояний. В частности, она составляет фундамент всей теории теплового излучения. ，

Теория теплового излучения вскоре пришла к по- <ч у л ату о равенстве поглощения и испускания не только для всего излучения в целом, но и для каждой его составляющей. В 1853 г. Ангстрем выдвинул предположение, что тело «в раскаленном состоянии должно испускать излучение всех тех видов, которые оно поглощает при обычной.температуре» [1]. Здесь налицо еще недостаточное понимание явления, так как следовало, конечно, сказать «при той же температуре》. В 1858 г. Балфур Стьюарт провел исследование излучения и поглощения тепла пластинками и пришел к следующему выводу: «Поглощение пластинки равно ее лучеиспусканию, й это справедливо для любого вида теплоты (тепловых лучей)» [2].

Но только Густаву Роберту Кирхгофу принадлежит заслуга раскрыть тонкий и глубокий смысл, скрывавшийся за такого рода представлениями. Его основополагающая работа《06 отношении между испу- скательной и поглощательной способностями тел для тепла и света》(I860 г.) перепечатана (с небольшими сокращениями) в этой книге J). Основанием для ста* тьи Кирхгофа послужило открытие, сделанное за не-» сколько месяцев перед этим Кирхгофом и Вунзеном: они обнаружили, что фраунгоферовы линии поглощения в солнечном спектре совпадают с линиями испускания известных паров и газов. Кирхгоф расценил свое открытие как доказательство того факта (весьма существенного для нашего представления о мире),что материя н вне Земли представлена известными нам химическими элементами. При этом он, разумеется, не мог знать, что в большинстве случаев свечение га* зов вызывается химическим или электрическим возбуждением, и поэтому совпадение линий поглощения й испускания здесь не может быть объяснено теорией теплового излучения.

При каких же условиях можно говорить именно о тепловом излучении? Если излучение падает на эле-

О Роберте Кирхгофе см. статью А. Г. Столетойа [42]： г Прим. ре&

мент поверхности какого-либо тела, то часть его отражается, а остальная часть проникает внутрь. Из поникшего излучения некоторая доля снова выходит на* ружу, а остаток поглощается. В случае теплового из* лучения вся потерянная им при -этом энергия идет исключительно на нагревание тела. Если же, наоборот, излучение идет изнутри тела наружу, то часть его про- иима в тело раньше, а остальная часть производится телом. В случае теплового излучения необходимая для Этого энергия отбирается у тела и оно охлаждается*

Больцман в некрологе, посвященном Кирхгофу, так характеризует его физическое мышление: «Предельное уточнение гипотез, тонкая проработка деталей, спокойное, даже эпическое развитие рассуждения с железной последовательностью, без замалчивания ка* ких бы то ни было трудностей и с освещением малейших неясностей». Хотя Больцман и называет с полным правом статью Кирхгофа о поглощении и испускании ^художественно прекрасной», но как раз именно эта Эпическая форма рассуждений иногда мешает правильно оценить сравнительную значимость отдельных аргументов в доказательстве. В нашем изложении мн сконцентрируем внимание на данном обстоятельстве. ®то тем более необходимо, так как в соответствии со евоими интересами Кирхгоф посвящает много места рассмотрению оптических подробностей, и они почти заслоняют термодинамику.

Предварительно мы напомним несколько необхо* димых для дальнейшего понятий геометрической оп* тики и постараемся изложить их как можно проще. Ограничения, налагаемые геометрической оптикой, позволяют выбрать такие размеры, при которых можно пренебречь явлениями дифракции. Лучи, заполняю* щие пустое пространство, классифицируются по их длинам волн X и направлениям распространения 乱 Т&к как не существует ни абсолютно монохроматического излучения, ни строго параллельного пучка, то мы рассматриваем лучи определенного «вида», длины волн которых лежат в интервале между % и % + d%, а направления — вокруг оси s, образуя конус с узким телесным углом dQ： В точке 力 мы выделяем элемент йоверхности 財 нормаль к которому образует с

осью $ угол 令(острый). Для энергии, которая пере* носится лучами данного вида через dA за время dt, напишем

dF = Я (Л, х, s) dK cos ^ dA dQ di. 一 (1.1) Так как пропорциональность dW величинам dAf d九, dQ, dt здесь очевидна, то выражение (1.1) есть определение «удельной интенсивности» 贪 Оно выбрано так, чтобы при 今=п/2 заведомо выполнялось ecje* етвеннр необходимое условие dW = 0.

Далее, луч можно разложить на две компоненты, линейно-поляризованные по направлениям а н Ь, перпендикулярным друг другу и s. Интенсивности этих компонент аддитивны; складывая их, имеем

£ =先 +先.(1.2)

Для неполяризованного излучения 亂=丽

Пусть теперь в поле излучения находятся два элемента поверхности dAi и d%2, линейные размеры которых малы по сравнению с расстоянием г между ними. Лучи, исходящие из любой точки dAi и достигающие 必2, образуют, как видно из рнс. 1, конуо с осью s и отверстием с телесным углом

dQ[ = d』2 COS 今2〃厶

размер которого с точностью до величин высшего порядка не зависит от расположения точки на d4【. По* атсму и потому, что в вакууме излучение не теряет энергии, от d%【к dA2 передается вся та энергия 4W?ie磊 которая проходит через dA\ и определяется йпдиишйми параметрами:

dl!71 军金或 Я'I <7九 cos f)」dЛ\ 〃Q[ dl …

…死〃а Сон 0i ilA[ еоm 分"儿 d"户.(1.3)

(diMMinpHH онкнчптлыю геометрических величин дает (нчкипшие для следующего полезного замечания: Если в поле излучения энергия dWi^2t записанная в виде (1.3), передается элементом d%i элементу dA^ то dAz передает элементу d4【энергию

-dW2^ \ = Я2 dk cos *&1 dA\ dQi dt, (1.4) т. e. в выражении (1.3) заменяется только ㈱i на ㈱2・ Прежде чем перейти к рассмотрению испускания и поглощения излучения, отметим, что Кирхгоф наад*

нает исследование не с любых излучающих тел. Напротив (и это служит ключом к успеху), он в самом начале вводит предположение о существовании некоторого тела, поглощение которого принимается по определению наиболее простым, так что остается исследовать только его эмиссию. Речь идет об абсолютно черном теле. Оно определяется как тело, которое во

обще не отражает и не пропускает, а полностью поглощает все падающее на него излучение. Испускаемое им «черное» излучение имеет универсальный характер. Оно одинаково для всех черных тел. Таково содержание первой теоремы, выдвинутой Кирхгофом.

Кирхгоф окружает абсолютно черное тело С черными же стенками (рис. 2). Перегородка Sh в кото* рой вырезано отверстие dA^ также должна быть черной. Далее он рассматривает лучи малого интервала длин волн и определенной поляризации; эти лучи, выходя из С, попадают через отверстие d4【на элемент стенки dA* Несомую ими энергию dW\^i можно идентифицировать с энергией излучения, испускаемого с элемента поверхности dA тела С:

dW^^dWl^^dkc^dAdQdt. (1,5)

Ом не зависит от состояния поляризации, а также от природы, формы и ориентации черного тела С. При ITOM множитель <8° в выражении (1.5) представляет Юбой универсальную функцию длины волны и температуры:

⑥。=⑥。& Т). (1.6)

В самом деле, если бы эта величина зависела от места вмиссии и от направления излучения или поляризации, то она была бы, конечно, жестко связана с телом, что проявилось бы в пространстве при вращении тела. Но так как величина dA cos 8 (связанная только с пространством!)) н величина dF«Cn (по теореме Кирхгофа) остаются постоянными, то такого рода зависимость существует не в большей степени, чем зависимость от природы тела,

Кирхгоф под «лучеиспускательной способностью» черного тела понимает dlF%； мы, однако, будем относить этот термин к универсальной функции @°.

Хотя приводимая в начале работы концепция термодинамического равновесия занимает в формулировке самое незначительное место, именно она служит важнейшей предпосылкой для доказательства теоре” мы. Это равновесие, как замечает Кирхгоф, сохраняется, если dA2 заменить сферическим зеркалом, ко、 торое посылает назад рассматриваемый пучок лучей. Так как в обоих случаях С испускает одинаковую энёргик), т© и поглощаемая энергия не может нзме- ниться. Но в обоих случаях поглощаемые лучи оста、 Лйсь темй же самыми, за исключением того, что вместо излучения, испускаемого элементом d』2, мы имеем дело теперь с излучением, отраженным от зер- кала. Таким образом, энергии, поглощаемые С в обоих случаях, должны быть равны друг другу. При этом энергия, испускаемая d』2, не зависит от С, а следова* тельно, не зависит также от С и энергия во втором случае. Но последняя вследствие конструкции вогнутого зеркала есть как раз энергия, испущенная самим телом С в рассматриваемый телесный угол.

'1) То есть со взаимным расположением и формой выбранных •лементов d4$ и d4机 см. работу Кирхгофа, стр. 125* § 1.— Лрт перев, * ■'

Все это доказывает только, что излученная в некоторый телесный угол энергия, проинтегрированная по всем длинам волн и поляризационным состояниям, не зависит от рода излучающего тела. Эту независимость, однако, необходимо еще доказать и для каждого цветового интервала, и для каждого направления поляризации в отдельности. Позднее в пересмотрен* ной редакции своей работы Кирхгоф замечает, что такой результат можно получить сразу, если отверстие dAi перекрыть фильтром, который полностью пропускает излучение одного определенного цветового интервала и опрсделснпой поляризации, а остальное пол* ностью отражает. Тогда проведенное выше рассуждение будет относиться к составляющей излучения, прошедшей через фильтр. Сегодня предположение о фильтре такого рода представляется нам вполне пра* вомерной идеалнзацпей, по мнению же Кирхгофа, оно «ничем не оправдано».

Применим его сейчас в дальнейшем изложении, так как это упростит последующую аргументацию.： Кирхгофа и тем самым яснее выявит существенный； факт: универсальная функция @° (X, Т) имеет определенный смысл также и для любого теплового излучателя^

Если предположить, что в нашем мысленном опыте С является такого рода излучателем, то, конечно, остается справедливым вывод, что должны быть рав* ны между собой оГн' эп<'рпш dW\ и dlF?, которые тело С поглощает либо из пучка, идущего от dA^ либо из излучения, отражсшнио ог вогнутого зеркала (причем в связи с применением 小и』ьтра речь здесь идет об излучении оиредс'жчшо!^ вида):

d% = d 叭. (1.7)

Используя сделанное вначале (стр. 15} «полезное замечание», можно энергию излучения, испускаемого элементом поисрхности dA2 на d4, записать в виде dW^„. При этом учитывается, что оно испускается； черной стенкой. Это тот существенный пункт, который в первую очередь сделал необходимым введение понятия абсолютно черного тела. Для поглощаемой ча*' сти энергии d既в запишем

dW^^^T. x.^dW^ (1.8)

Здесь необходимо особо подчеркнуть, что «поглощательная способность» 加 относится к излучению в направлении —邑 падающему на элемент поверхности С в точке х.

Для энергии излучения, испускаемого элементом поверхности dA в направлении s, можно, обобщая формулу (1.5), написать

d旷нз =⑥(儿 Т, #, s) dk cos ^ dA dQ dt. (1.9) Кроме того, в том же самом направлении из dA выходит излучение, которое не было испущено телом С, а попало в рассматриваемый пучок вследствие отражения и пропускания. Энергия его будет определяться выражением

'dWrt 才=М (儿 7, х, s)眇仇，Г, х, s) dA cos 今 dA dQ dt,

(LIO)

где коэффициент S° появляется в связи с тем，что это излучение было испущено черной стенкой. Излучения с энергиями 〃1忆出川 и dl»,j iiojhh)cti>io отражаются рефлектором обратно к "/1, где доля их 回 поглощается. Таким образом, имеем

d吃=3®叭s + d吃,f)・(Ml)

Если мы подставим все полученные выражения в (1.8), то получим

加 0 = 3(位+ ® 贫)；(1.12)

таким образом

=6° & Т)=6° & Т)(S3)(S3)© (%, Т, %, s)Г-Л (Л, Т, X, s)

=6° & Т)

=6° & Т)

(S3)

(S3)

есть функция, одинакова я д.пя всех тепловых излучателей и зависящая только от 九 “ Г.

В этом месте мы прервем ход рассуждений и обсудим ту его модификацию, которую применяет Кирхгоф в § 11. Здесь (рис. 3) роль поляризационного фильтра выполняет пластина Р, поставленная на пути лучей, ибо ее можно расположить так, чтобы лучи пучка, исходящего нз dA, после отражения от Р были линейно-поляризованы в желаемом направлении.

Пусть зеркальное изображение d/з площадки d%2, даваемое пластиной Р, лежит на стенке полости; мы

предположим дополнительно то же самое относитель" йо dAf — зеркального изображения d4 Если пере* крыть прямой ход лучей, то лучи, идущие из d%3 к dA, будут вести себя так, как будто они исходят из ^Л2. Но их энергия вследствие отражения от Р уменьшается в соответствии с коэффициентом затухания 现.

(L8a)(L8a)Поэтому вместо выражения (1.8) имеем d%=W留 (缈匕.

(L8a)

(L8a)

Если теперь на место dA3 поставить вогнутое зеркало, то для лучей, которые выходят из dA, падают на это зеркало и отражаются обратно, будет иметь место соотношение, аналогичное (1.11). Так как на своем пути эти лучи отражаются от Р дважды, то вместо (1.11)； следует написать

d 吃=必死 2 (d/нсп + dWrt) (Lila)

Наконец, не надо упускать из виду, что от вогнутого зеркала на dA попадают также лучи, которые выходят из dA\

Так как оба конуса на рисунке зеркалыю-симме-* тричны； то только что названные лучи обладают на* чальной энергией dW^ Если пластина Р не поглощает, то ослабление энергии при прохождении через

нее будет характеризоваться коэффициентом (1 — 32), а при отражении от нее — коэффициентом 现；часть & будет поглощаться. Итак, дополнительно принятая в расчет энергия, поглощаемая С, имеет вид

dWz = ^(l-9l}dW^

Так как цветного фильтра не существует, то и теперь составлять баланс энергии надо после интегрирования по %. Тогда вместо выражения (1.7) получим

или после всех подстановок будем иметь

,必笈眇或,к \財缪他+啰川认+ \財歌1 一先)眇队,

(1.12а)

、加阕2何一侬（1 一点）］"=0.、加阕2何一侬（1 一点）］"=0.(1.Н)(1.Н)

、加阕2何一侬（1 一点）］"=0.

、加阕2何一侬（1 一点）］"=0.

(1.Н)

(1.Н)

В этом месте мы сталкиваемся с трудностью, которая возникает в связи с отказом от цветного фильтра. Из равенства нулю интеграла предстоит сделать заключение, что подынтегральное выражение тоже равно нулю. С этой целью Кирхгоф предполагает для коэффициента отражения 现 пластаны специальную форму

^ = psiM(p/簿 (1.15)

и выполняет исключительно красивое математическое преобразование, подобное провсдсипому в § 3 для интеграла того же типа. Расчет Кирхгофа не нуждается в коммментарии. Точно так же мы не будем комментировать физическую аргумептащпо § 3: легко видеть, что она представляет собой упрощенную модификацию проведенного, выше рассуждения.

Формулу (1,15) можно обосновать, опираясь на предположение, что показатель преломления пластины «бесконечно мало отличается от единицы». А это означает, что 32 практически равно нулю, т. е. отражение почти отсутствует. Таким образом, можно ечн-

тать, что в основе теоретивдского эксперимента Кнрх* гофа лежит идеализация, идущая не менее далеко^ <гем применение идеального цветного фильтра.

* Результат такого теоретического эксперимента, ко торый, конечно, совпадает с выражением (1.13), покажется, однако, почти тривиальным, если воспользоваться утверждением, сделанным в последнем пара* графе оригинальной работы Кирхгофа. Речь идет не о «следствии из доказанной теоремы^, а о следствии из определения черного тела, которое мы здесь сформулируем следующим образом: излучение в ненронн” цаемой для него полости с любыми стенками есть излучение черного тела.

Вероятность того, что npoHHKHHFii внутрь полоса через очень маленькое отверстие(/Л луч заметной ин* тенсивности снова отрпзнтс” через dA наружу, нс*, зающе мала. Так как он, согласно условию, не может проникнуть сквозь стенку, то он полностью поглотит^ ся. Если же излучение выходит через dA наружу (при этом нарушением состояния равновесия можно преие-> бречь), то оно ведет себя как излучение, испущенное черным телом.；

Полная энергия излучения данной длины волны, прошедшего через dA, painia n^dMAdt!). Перед этим пзлуч('иие должно было проЛтп через некоторую по* верхность Л, опирающуюся пп контур отверстия (рис. 4). Используя выраячснне (1.4), получаем

л®° = \ £ cos ■&£/◎=，Я* cos 仆 d@*

AN

Здесь ® или ®* — значения интенсивности излучения на поверхности 4 при двух различных положениях полости (и отверстия). Поскольку А может быть любой формы, можно заключить, что ® — постоянная, а так как оставшийся интеграл равен л, то

К& 7) = 0(% Т),(1.16)

套)Нужно проинтегрировать выражение (1.5) по направлен киям лучей следующим образом:

2舞 л/2，

\ 8$ 9 dQ н \ dqp \ cos 令 sin 6 dC =需・

т. е. интенсивность излучения в полости повсюду равна лученспускательной способности черного тела.

Эта идентификация излучения полости е излучением черного тела есть также один из важнейших ре* аультатов рассмотрения, проведенного Кирхгофом. Он Называет путь к экспериментальной реализации черного излучения, введенного вначале в качестве идеализированного объекта: надо просто взять излучение,

исходящее из маленького отверстия полости. Далее, теперь легко можно обосновать (1.13) в виде ® + 十奄Q0 н @°. А именно, при термодинамическом рав・ новесии интенсивность 0 излучения непосредственно на поверхности помещенного в полость тела состоит из интенсивности @ излучения, испускаемого в направлении s, и интенсивности ®0^ излучения ^, от+ раженного и пропускаемого в том же направлении.

Кирхгоф, однако, хочет доказать пс (1.13), а соотношение

(J —(1.17)

т. е. что «отношение лучеиспускательной способности к поглощательной способности для исех тел при одной и той же температуре одинаково». Таким образом, необходимо показать, что

^=1 - X(1.18)

3》Pew идет! конечно, о некогерентном излучении.

В то время как 賓 относится к излучению, которое исходит от тела в направлении s,垓 есть поглощаемая часть того излучения, которое падает на тело, поступая в направлении —s. Если W — отраженная и про* пускаемая часть этого излучения, то соотношение ^ = 1 —W тривиально. Напротив, выражение (1.18)； ни в коем случае не тривиально. В соответствии с этим разъяснение данного пункта занимает в работе* Кирхгофа много места (§ 8—10).

Характерно, что современная учебная литература обходит эту трудность, либо молчаливо вводя выражение (1.18) как определение ^, либо ограничиваясь рассмотрением очень специальных случаев, либо приводя ошибочную аргументацию. Напротив, классиче" ская литература (Кирхгоф, Гельмгольц, Прингсхейм, Планк) рассматривает эту трудность и приводит в принципе следующую аргументацию: исходящий с элемента поверхности стенки dA\ луч после многократных отражений и преломлений от тела С расщепляется на несколько лучей, которые, в конце концов поглощаются черной стенкой, например один'из них в dA2 (рис. 5). Пусть при этом его компонента, линей* но-поляризованная в какой-нибудь плоскости а, переносит энергию 6ttz. Вследствие обратимости оптического хода лучей луч, испущеппый из dA2 в противоположном направлении, попадст на dA^ Если теперь предположить, что его лине Гию-пол яризованная в плен скости а компонента также имеет энергию 6W, тб' 風=風\ чем и доказывается равенство (1.17).

Что касается этого предположения, то все авторы： ссылаются иа теорему взаимности Гельмгольца, ко- торую цитирует также и Кирхгоф. С этой теоремой связано одно любопытное обстоятельство: она нигде- не была доказана с необходимой общностью. Для наших целей мы постараемся обосновать ее следующим образом. Выделим из полости черными перегородками два частичных объема (1) и (2). Сделаем в них два" отверстия с диафрагмами dA3 и dA《так, чтобы обмен1 энергией между объемами (1) и (2) был возможен" только с помощью узких пучков лучей, проходящих между dA\ и d/?。Поставим перед отверстиями такие^ фильтры Ft чтобы в обмене участвовало только почти

монохроматическое излучение. Пусть, далее, эти фильтры будут прозрачны каждый только для одной ——не обязательно одной и той же с двух сторон — линейно- поляризованной компоненты.

Примем, что определенные таким образом лучи переносят в направлении тела энергию dW как через %4力 так и через dA^, а в направлении стенки часть энергии 6W = ydW или соответственно y'd取.Так как

оба объема (1) и (2) посылают друг другу в точности эти значения энергий, то для сохранения термодина^ мического равновесия требуется, чтобы

Y‘ = Y・ (1.19)

Этот результат в каждом случае относится к одной линейно-поляризовашюй компонен т луча, исходящего из стенки. Читатель легко может усовершенствовать это доказательство, если использует аргументацию Кирхгофа (§ 9, 10). Теперь остается оправдать сделанное выше допущение о равных потоках энергии dW.

Предположим для этого, что расстояние между d>li и d4 равно 1 и расстояние между ^Л2 и d/《тоже равно 1 и что все эти элементы поверхности располо*-

жены перпендикуляр ио направлению излучения. Эш не ограничит общности рассуждений. Тогда при ЛА^ ==dxidyt (i=l, 2, 3, 4) рассматриваемая энергия^ притекающая к телу, составит (учитывая сделаниы# вначале вывода)

d% =颦 £q d"i d"3 dy3,

dF2 = ® 厶2 d42 dx4 d%.(

-Но для пучка лучей, попадающих на стенку, опре- деляющее значение в нашей конструкции имеет наяг

меньшая диафрагма. Пусть это будет d/h; следова-* тельно, мы можем ограничить dA《областью, которую вырезает там приходящий б.олее узкий пучок лучей. Но тогда оба выражения (1.20) оказываются равными друг другу, как и должно быть. Чтобы эта лучше по* нять, можно воспользоваться рассуждениями Кирхгофа, приведенными в § 8.

Согласно принципам геометрической оптики, две точки определяют луч. Если луч проходит (рис. 6) через точки (修，〃)，卜з, %), (%* %),(也，坟)или соответственно от (х[ 〃；) до (**：，!/[), то из 8 координат независимыми будут только 4. Остальные будут функциями первых. Их можно рассмотреть, исходя и* принципа Ферма кратчайшего времени прохождения.

При лежо понятвых обозначениях время реального прохождения света из точки 1 в точку 2 составит

夕-12 =歹13+歹34+歹42.

Аналогичное соотношение выполняется и для пути света из точки Г в точку 2‘. Из принципа Ферма вытекает

歹1⑵ < 歹ГЗ +歹34 +歹42’ и, следовательно,

歹У2,一歹г3 一 歹42, < 歹 12 一 歹 13 一 歹42，(1.21)

Стоящее справа выражение есть именно то, которое Кирхгоф использует для определения 力【,у^ 力2,乡2 при заданных хз, уз, х4, у* Время 歹 12 надо идентифицировать со временем 夕"=俨(尤Ь 勿，打,及)，а времена 艺⑶ 歹42 ——с квадратными корнями в оригинальной работе Кирхгофа. Как мы видим, выражение (I.2I) для ре* алыюго пути луча опреде^яег максимум, а не минимум, как шппег Кпрхго(|). Па лу ошибку уже в 1864 г* обратил внимание Клаузиус [3]. Но здесь важно толь* ко то, что в точке экстремума первые производные должны обращаться в нуль, а это (при сделанных Кирхгофом предположениях) ведет к выражению

#3 =/一0歹/d%1 и т. д. (1.22)

По элементарному правилу элемент поверхности можно представить в виде

加"禽=(急' 器-覩體)dx2dy2.

Отсюда, подставляя (1.22) и аналогичные формулы, получаем dx\dyidx3dy3 =

=(石I @打 丽荻一務丽 标е)办dy{dx^dy2.

Такое же выражение подобным образом можно найти для dxsdy2 dx^dy^ этим [см. (1.20)] и доказывается равенство dWi = d取2 =之叱*

' Чтобы доказать правильность теоремы взаимности Гельмгольца, согласно которой для затухания в обоих направлениях распространения имеет место равенство (1.19), Кирхгоф рассуждает не так, как мы. Если исходить из предпосылок Кирхгофа, то равенство проходящих в обоих направлениях излучений можно показать или с помощью нашего мысленного эксперимента, или же, как это делает Кирхгоф, посредством только что разобранного оптико-геометрического рассмотрения. Нам при наших более слабых предпосылках понадобилось и то и другое. Мы, однако, не видим оснований для вводимого Кирхгофом различия в порядке малости «бесконечно малых》эле- ментов.

「лава 2

ЛЮДВИГ БОЛЬЦМАН

И ЗАКОН ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ Т4

Как замечает Кирхгоф, его заключение о существовании универсальной функции 6°(Х, Т)= ®(Х, Т) ставит перед физикой «задачу огромной важности: найти функцию 6° (%, Т)》・ Первый шаг в этом направлении состоял в определении мощности, излучаемой с единицы поверхности 屮

Н (7)=，眾 d% , cos •& dQ = n、眾 d^

В 1879 г. в своей работе 《О связи между тепловым излучением и температурой» [4] Йоз^ф Стефан очень тщательно анализирует ряд измерений Дюлонга и Пти, а также Де ля Провостэ и Десэна. Он устанав* ливает, что измерения находятся в удовлетворительном согласии с предположением

Я(Т) = аП

Первым поводом для этого предположения послу* жили опыты Тиндаля с излучением раскаленной платиновой проволоки. В опытах Тиндаля при нагревании от слабого красного каления (около 625 ℃) до белого (пр11блпз11тсл1»п()1200 ' (；) пптепсинпость излучения возросла н 11/7 ри нг ()i ikhikmiiic же абсолютных температур и чепк'|)t(»ft ("lenciiii сосгапляло 11,6.

Эксперименты иазн/шшлх ранге лнторов касались более низких температур (ст 2()儿с 24() ℃). Термометр с температурой Т【помещали н накуумпроваппый баллон с температурой Т2 V 九.Измерялись скорость охлаждения s = dT/dt. Стефан пишет соотношение

Cv^AtHiTd-H^l + D.

‘)См. примечание на стр. 22.

Здесь С — теплоемкость, 4 — поверхность термометра, Я(Т1)—испускаемая и Н(Т^—поглощаемая мощность, a D учитывает теплопередачу через оставшийся в баллоне воздух. Измерения проводились последовательно с необработанной, зачерненной, посеребренной и позолоченной поверхностью термометра. Если в каждом из этих случаев рассматривать величины % и 哈 соответствующие температурам Ti й П, то при выполнении закона пропорциональности Г4 будет справедливо соотношение

■~iZT^ = -^-(а -az) = const.

Именно это соотношение, как обнаруживает Стефан, достаточно хорошо подтверждается, если в него подставить измеренные значения и( и и[.

Измерения, которые Стефан анализирует еще н с других точек зрения, проведены, как мы видим, не с абсолютно черным излучением. Но лишь черное излучение строго подчиняется закону пропорционально* сти Г4. Это показал в 1884 г. Людвиг Больцман в своей работе «Вывод на основании электромагнитной теории света за1ч()нл(71чч|);ша о зависимости теплового излучения от темп('рлiypu»; она приводится нами во inopoii час 1 п дй111нн'| мини.

)[川н iiocipoenibi Iс(ф1ш целесообразно рассматрн* вать вместо иелпчшнл Я', относящейся к потоку энергии, долю плотности энергии излучения, приходящук>* ся на интервал (X,九十壮九).Эту величину обозначают lid%. Мы выведем для общего случая зависимость ме* жду ин®, причем через 僞 будем обозначать удель-* ную интенсивность произвольного поля излучения д соответствии с (1.1).

Для этой цели рассмотрим сначала излучение, рас- простраияющееся в направлении s. Перпендикулярно s возьмем элемент поверхности dA2 и построим на нем цилиндр с образующей d/・ Тогда, в его объеме dV ~ =dA%dl этот вид излучения будет иметь такое коли* чество энергии d吃 сколько ее будет перенесено излучением через &厶2 за время dt = dl/c, так как перенос энергии происходит со скоростью света. Излучение

с энергией dW испускается в направлении к dA2 зле* ментом поверхности d/卜 находящимся на расстоянии г от dP, и определяется, согласно (1.3)1), форму* ЛОЙ

dK =求 dA ~^^ d/= £ dA ^^,

где dQ? = dAi/r2 一 телесный угол, под которым из dV видна поверхность d/卜 После деления на dV и нн* тегрирования по dQa для лучей в интервале (%, % + d%) мы получим суммарную по всем направлениям плотность энергии

ndA = §，贪 dR.(2.1)

Так как наше черное излучение полости изотропно, то

口 = 4冗貸/о.(2.2)

Само собой разумеется, что плотность энергии всего излучения равна

在=,н d%・(2,3)

Людвиг Больцман в 1884 г. устанавливает, что эта величина -

а = оТ， or = const.(2.4)

(2.5)(2.5)В основе аргументации Больцмана лежит тот факт, что излучению приписывается не только энергия, по и давление р. Это, собственно, уже и к тому времени не было 1ювшсстш)м, Еще Кеплер сираведливо считал, Ч1О в xiK)「rr кометы мелкие частицы отталкиваются солнечным излучением. Кроме того, и теория света как квазиупругих колебаний предполагала существование квазимеханических напряжений эфира, а следовательно, и давлений. Из теории Максвелла в ин- т^есующем нас изотропном случае ^ытекала следующая зависимость между давлением и плотностью энергии излучения:

(2.5)

(2.5)

р = uR.

Кроме выражения (2.5), Больцман использует еще дифференциальную форму:

и = Т 咎一р =戶芸(*), (2.S)

К которой мн обратимся ниже. Комбинируя выражения (2.5) и (2.6), приходим к соотношению d〃/祖= =4dТ/7\ откуда путем интегрирования сразу получаем закон Стефана — Больцмана (2.4). Как подчеркивает Больцман, можно провести и обратное доказа* тельство, получив формулу (2.5) для максвелловского давления излучения на ；осиовании закона пропорциональности J (2.4). Действительно, согласно ему, второе уравнение (2.6) запишется в виде o72=d(p/T)/dT, и после интегрирования будем иметь оТ4/з = 〃/з —「. Благодаря этому обстоятельству выводы Больцмана были в свое время восприняты и как подтверждение теории света Максвелла.

Между тем было признано нелишним обосновать существование светового давления и чисто термодинамически. Этой цели послужил мысленный эксперимент Бартоли, в остальном почти неизвестного ученого. Больцман уточнил этот эксперимент в статье, написав ной незадолго до осноппой работы, и вывел с его по” м()“и，ю дифферепцпальпук) форму (2.6). Сегодня 而直 получаем ее ()ч(чи> просто нз дифференциала энтро* ппп:

Надо лишь заметить, что множители, стоящие в правой части при дифференциалах, равны dS/dT и dS/i匕 и воспользоваться соотношениями d(dS/dT)/dV = =d(dS/dV)/dT и W = uV. В 80-е годы прошлого века понятие энтропии, вероятно, еще слишком недостаточно вошло в научный обиход для применения в выводе такого рода. Физики еще вовсе не были готовы к тому, чтобы приписать излучению энтропию. Ведь даже тем* пературу связывали не с самим излучением, а с заключающими его материальными стенками. В противном случае пришлось бы говорить о температуре не* весомого эфира.

Нам, однако, ничто не помешает говорить о температуре излучения в полости, когда мы будем более подробно обсуждать лишь кратко очерченный Больцманом мысленный эксперимент как пример широко распространенного в то время стиля физического мышления.

Пусть полый цилиндр Z содержит абсолютно чер^ ное излучение температуры Т. Пусть, далее, у дна

Рис. 7.

цилиндра находится способный двигаться без трения идеально()т|)ажаю1цпп поршень S (рис. 7, а). Теперь приведем верхнее основаппе Z в соприкосновение с очень большим резервуаром тепла R температуры Т, а поршень внизу с таким же резервуаром Ro темпера^ туры То. Пусть То > 7. Пусть затем S продвинется с бесконечно малой скоростью на отрезок а вверх (рис. 7, б). Таким образом, черное излучение в верхней части устройства будет изотермически сжиматься, в то время как внизу будет возникать черное излучение температуры Г。. Чтобы движение происходило квазистатически, поршень должен нести нагрузку G,

которая (с точностью до бесконечно малой перегрузки) определяется условием

р(То) = р⑺ +G/4%

Во время этого процесса энергия черного излучения внизу возрастает от нуля до {«“(Tq). Кроме того, Это излучение совершает работу

,р dV = Аар (TJ. о

Следовательно, по первому закону термодинамики у резервуара R。должно быть отобрано количеством тепла二

Qo = Ла (и (То) + р (Го)).匕7)

Соответственно резервуару R должно быть леред^ио количество тепла

Q^Aa(u^) + p^

так как в верхней части излучение в полости теряет энергию Ааи(Т) и над ним совершается работа Аар(Т}, 11а третьем этапе дно снова изолируется от 论зер& ny;ipd п нижний обчи^м адиабатически увеличивается спк* пл отрезок х, 1м)кн нс будет достигнута темпера- 汇урп 7\ Одповреметн) nepxunft объем изотермически сжимается на тот же отрезок (рпс. 7,8). При этом процессе нагрузку G необходимо непрерывно уменьшать, чтобы на поршень S с обеих сторон всегда действовала одинаковая сила (с точностью до бесконечно малой перегрузки). Очевидно, что количество тепл2 которое получш резервуар R, будет равно

Qi% (〃⑺+ pS)・

Всего от более теплого резервуара R будет отобрано количество тепла Q% а более холодному р^ер< вуару R отдано тепло

Q= Qj + Q2 « Д (а 4- х) (u (Т) + р (Т))② 8)

&)Л — площадь основания цилиндра.

и будет совершена положительная работа

а+л

Qo — Q= ( G ⑶ d%・

о

Таким образом, устройство работает как тепловая ма・ шина и притом обратимая. Ибо очевидно, что все этапы можно провести в обратной последовательности и в обратном направлении, и тогда при затрате полу* тонной работы от резервуара R будет отобрано коли" 要ество тепла Q, а резервуару /?0 передано Qo.

' Если бы не существовало давления излучения^ то нагрузка G была бы также тождественно равна* нулю (G s 0) и было бы возможно таким способом, не производя никаких изменений во внешней среде, передать тепло от более холодного резервуара к бояее теплому. Так как это противоречит второму закону в формулировке Клаузиуса, то Бартоли пришел к выводу о су1цествовашп1 давления излучения,

Эгог мысленний эксперимент, однако, представ- л я ст собой цикл Карно, п поэтому должно выполнять* с я рашепсгво

Q/T = Qo/7o・(2.9)

Будем теперь рассматривать а и То как постоянные величины, а Т и х = х(Т) как переменные. Тогда из (2.9) с учетом (2.7) следует

o = d 偉)=孚一备(2.10)

Если теперь излучение при температуре Т будет адиабатически расширяться па элемент объема dV = =d[A (а 十 х)]( то работа pdV будет компенсировать- ся только изменением энергии на величину d(P〃). Та* кпм образом, применяя уравнение (2.8), получаем

0 = а[А(а + х)и^)] + р(Т)а[А(а + х)] =

^dQ^ А(а + х) dp9 (2.11)

Тогда, используя (2Д1), (2.8) и (2.10)? мы без затруднений придем к выведенной Больцманом 区映电餘 ренциальной .ф°Рме (2-^1*丄

Глава 3

ВИЛЛИ ВИН И ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ

В протоколе заседания физико-математического отделения Королевской прусской академии наук в Берлине от 9 февраля 1893 г. в п. 5 можно прочитать:

«Господин фон Гельмгольц представил приводимое ниже исследование ассистента Германского фнзнко-технического института господина В. Вина: «"обое。связи мео/сду излучением черного тела и вторым законом термодинамики».

Вин характеризует свою работу (перепечатанную во второй части нашей книги) как усовершенствовав ние выводов Больцмана, понимая под этим учет спектрального распределения энергии 乜(入,Г). Таким 06V разом, статья непосредственно посвящена поставленной Кирхгофом «задаче огромной важности» — нахо*- 八eiHiio завис5иц('й <)г двух переменных универсальной (|)yiii<iinii и (А. Г).卜)iy задачу 30-летипй Вилли Вин сумел разреши 1 ь настолько, что после этого осталось еще определить только одну функцию, зависящую всего лишь от одной переменной. В этом и состоит выдающееся значение выведенного Вином «закона смещения»:

и = Т^^Т) = К~5Ф^Т).и = Т^^Т) = К~5Ф^Т).(3.1)(3.1)

и = Т^^Т) = К~5Ф^Т).

и = Т^^Т) = К~5Ф^Т).

(3.1)

(3.1)

Правда, в такой форме, как ни странно, закон был представлен только в 1900 г. Рэлеем *) н М. Тизеном [5]. Вин же формулирует свой результат следующим образом: пусть для некоторой определенной температуры То нанесено на график спектральное распределение Но в зависимости от Хо・ Чтобы получить распреде^ ление и в зависимости от X при температуре Т, нужно на этом графике начерченную кривую оставить неиз-

См. работу Рэлея во второй части данной книги.

мен ной, а масштабы осей абсцисс и ординат подвергнуть соответственно преобразованиям

ЛГ = Л0Г0,(3.2)

м/Т5 = %/4(3.3)

Но выражение (3.3) с учетом (3.2) можно привести к виду

U (% Т) = н (立偽,То)戸僧・ (3.4)

Так как правая часть должна быть, как и левая, независима от То, то решением этого функционального уравнения будет (3.1).

Сущность преобразования можно сформулировать и по другому: на графике кривой распределения знер・ гпн черного излучения при изменении температуры от 7；)к 7’ все длины волн как бы смещаются в соответствии с (3.2) (чем н объясняется название «закон смещения»). При этом полоса dA, конечно, также претерпевает изменение

Tdk=TQd^(3.4，)

так что для соответствующей спектральной плотности энергии, учитывая (3.3), найдем

=与.(3.5)

!现看

Обратно, закон Вина в форме (3.3) можно получить из правила смещения (3.2), (3.4), используя (3.5).

Чтобы определить неизвестную функцию н(九，Г), одним из тс|)м()Д1111ампков пропикио сюлстпя был придуман ПОДКОДЯ1Ц11Й 11|К>11<*( (\ 11ОС|)(*Д,СТВОМ которого часть черпок» и М1уч<*ппя hi «小川 irii (九()，九()+ d%o) при температуре Ги псревидпк и п п шучсппс с параметрами (X,九 + d九)，Т. В |)(*зулыаи* рассмотрения соответствующего бесконечно малого процесса получим для 乳 дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Как и уравнение (3.1), его общий интеграл содержит произвольную функцию одной переменной.

Решение такого дифференциального уравнения равносильно решению системы двух обыкновенных

дифференциальных уравнений. В соответствии с этим мысленный опыт с самого начала можно построить так, чтобы прийти к двум подобным уравнениям. В нашем случае их интегралами должны были бы быть (3.2) и (3.5)・

Приводя уравнение (3.5), Вин просто ссылается на закон пропорциональности Т4 Стефана, что без пояснения не вполне понятно 】)・ Но как мы увидим, можно довольно просто получить дифференциальное уравнение, проинтегрировав которое, найдем (3.5).

Итак, главное заключается в выводе правила смешения (3.2). Но какой же процесс позволяет установить зависимость, связывающую изменение температуры с длинами воли? По гсппалыюй идее Вина надо рассмотреть обратимое адиабатическое сжатие черного излучения в полости с зеркальными дном и поршнем. Ибо здесь с изменением объема одновременно изменяются из-за отражения от движущегося зеркала в соответствии с принципом Доплера также и длины волн. Изменению объема Vo —匕 по расчетам Вина, соответствует (эффективное) изменение длин волн:

柩о = "/%)%. (3.6)

С другой сторон и. Вин покапынаст, “то нрн этом про ЦСССС ВЫПОЛ11ЯС1 ся COOIIIOIIHJIIIC

V7* VJ^. (3.7)

Таким образом, ход раггу/к/цчшЛ здесь следующий^ -доказательство (З.б) н (3,7). отуди затем получаются выражения (3.2) и (3.4)； л<»1игп1тсльство (3.5), что вместе с предыдущим ведс i к конечному результату (3.3); доказательство обшносгп ^того результата.

Так как сжатие n|)()n< x()/ui г киазистатически, рас* чет изменения 入 при огрпжеппп от движущегося зеркала можно производи!ь н нсрелятивистском приближении. Для этого()бр；1 гимен к рис. 8. Пусть для

падающего луча участок QP = X, так что в точках К и Q фаза одинакова. В момент f = 0 этот луч. отра- кается от движущегося поршня ВВ' в точке Р под углом а. Отраженный луч через время t достигает точ- мн 4。За это же время поршень передвинется до вы・ 二оты СС'・ Свет, отраженный в данный момент времени

з точке О под тем же углом а, имеет при нашем построении ту же фазу, что и свет на фазовой плоско* 二тн ЛЛХ в этот же момент. Поэтому ОА = Xi — длина золны отраженного луча. Из геометрии чертежа по< 】учаем

九一"…"/cos u.

uni

1 + "(c cos a)

3 нерелятивистском приближении изменением угла этражения относительно угла падения можно пренеоречь. Из рис. 8 также следует,

Ki = ct —(九一ct) cos 2a.

После подстановки вышенаписанного значения ct и разложения по v/c до члена первого порядка выра-

жсние для измененной длины волны после однократного отражения примет вид

九1 =九(1 — 2и cos а/с)・

Следовательно, для многократного отражения в том же приближении получим

ЛП = Л(1 —• 2^ cos а/с)" = \ (1 — 2мо cos а/с)・ (3.8)

Легко видеть, что это изменение 九 зависит от а, и хотя в рассматриваемом процессе каждый отдельный ориентированный пучок претерпевает вполне опреде* ленное цветовое смещение, однако глобальное излуче* нне полосы d九 в целом расщепляется на всевозможные цвета. Поэтому в предстоящем выводе смещения спектра надо будет говорить не о действительном смещении, а об эффективном.

Вин обходит эту трудность, связанную с косым падением лучей с помощью искусственной модели: ис* ходя из энергетических соображений, он заменяет черное излучение таким, каждая треть которого распространяется параллельно одной из трех пространственных осей. Это несколько грубое представление, и построенная па основании его аргументация подвергалась В1кк*л(*д<,г1 впп критике •). Однако спорных мо* хкчгтн ：1；ц-с1. молчно и i6('>k;i iь, если слегка моднфици* рова 11. ч|)('л11ы(1；|ццо 1 .；iy(>oi\iir рассуждения Вина.

Для juiii цели мы прежде всего рассчитаем, как дел и ст Вин в другом месте, сколько отражений от поршня претерпевает вытсрассмотреппый луч, пока поршень проходит расстояние бх. На прохождение рас* стояния 6х требуется время 6/ = 6х/с, за которое световой луч проходит отрезок 2 = ebf = с5х/и・ Если бх очень мало по сравнению с высотой (а ——％) цилиндрической полости, то можно сказать, что луч однократно отражается от поршня при прохождении пути А/= 2(а — %)/cos а. Искомое число отражений п составит поэтому

n = 〃AZ = 6%с cos a/2v (g — x).

I) В частности, неясно понятие «нормальная компонента наклонно падающего луча», поскольку такой луч отражается как единый луч определенной длины волны.

Тогда, согласно (3.8), изменение длины волны светового пучка будет равно

баЛ = Хп —九=—Z бх cos a/(a — x)=

= k(6V/V) cos2 a.(3.9) 0

Итак, пучок имеет интенсивность 囂仇上4Л) d仇+ 6aX)金治仇)(以+心5)+

+ (片严•)『/"九(з・10)

При 6 V = 0 речь идет об изотропном черном нзлуне- нии, на что указывает индекс 0. Далее мы опускаем малый член более высокого порядка 6。九46&儿 Мы умножаем теперь (3.10) на dQ = sin adadcp и интегрируем по полному телесному углу 2). При этом замечаем, что (4п/с)記о = и, а также что

，6“ dQ = 471A (6 V/3 V)三 4冗认，(3.11)

и в заключение снова добавляем малый член более высокого порядка 6Zd6Z. Тогда для плотности энер* гии всего излучения, первоначально относившегося к полосе dX, после адиабатического сжатия на 6V получим

Дй=u仇)d (九+ 6分+寮Mdd+断)=

= u(A + 6A)d(A + 6A).(3.12)

Таким образом» наши рассуждения показывают, что, хотя исследуемое излучение после отражения от двпжушл'гося ：M'])K：ij;i теряег своп первоначально мо・ noxpoMaTiriecKiiii характер, тем нс менее его плотность энергии можно рассматривать как ту долю, которую вносит в черное излучение длина волны \ + ЗА. Согласно (3.11), 6ХД = 6V/3V, что, конечно, после интегрирования даст (3.6). Этим смысл закона смеще-

В V = (а — х) X (постоянная площадь основания).

няя полностью разъяснен. Если же за А специально выбрать ту длину волны '机(Т), при которой функция распределения энергии для данной температуры достигает своего максимума, то получим доступный наблюдению эффект

入机(Г) Т = const.(3.13)

Чтобы вывести соотношение (3.7) (公==%九), необходимо учесть, что при адиабатическом сжатии изменение полной энергии W = uV должно быть рав* но затраченной работе:

dW = -pdV = -^dV=-j^-dV. (3.14)

Интеграл равен WV'!3— W<y'o, т. е.

W” = uM，(3.16)

Н так как 〃 = оТ*

TV'h^T^t -(3.16)

это совпадает с (3.7).

Но эти же самые рассуждения будут применимы и для доли энергии VAu составляющей излучения» рас* смотренной выше, если мы будем вычислять оказывав* мое ею парциальное давление. Из-за изотропности излучения его давление составляет △〃/3・ Следовательно, (3.15) справедливо также для An = 口耿.Тогда； применяя (3.16), получим соотношение (3.5):

• ■Ud九 * AuТ4

与а дае \v J 爲

Итак, мы провели все рассуждения, необходимые для вывода закона смещения Вина.

Остается, однако, вопрос, не зависит ли этот результат от специального выбора мысленного опыта? На этот вопрос можно получить отрицательный ответ, еслн обратиться к § 1 работы Вина. Согласно ему, спектральное распределение и (Л, Г) при заданной общей плотности «(Г), т. е. при заданной температуре, однозначно. Оно не зависит от того, каким образом достигнуто данное состояние. Правда, этот результат

м с моей основе не нов. Как мы видели, уже Кирхгоф доказал, что существует только один тип черного излучения и что пространственное излучение в полости «черное». Если строить всю теорию, исходя из понятия пространственного излучения, то, конечно, рассуждение, подобное проведенному Вином в § 1, необходимо. В связи с очевидными методическими преимуществами этому пути сегодня отдают предпочтение, однако часто ошибочно ссылаются на Кирхгофа. Доказательство Вина построено в духе эксперимента Больцмана, подробно нами рассмотренного (гл. 2), так что читатель сам с легкостью сможет его провести и упростить. В- методическом отношении интересно применение цветного фильтра, который мы использовали в гл. 1.

Се временем вместо длины волны чаще стали при* менять частоту

V = сЛ, dv/dA = — с/¥・(3.17)

Переходя к частоте, спектральное распределение знер〃 гии следует определить так, чтобы

uv|dv| = itx|dZ|,

тогда, согласно (3/7),

% = н**2/с・(ЗЛ8)

Таким образом, закон смещения Вина (3.1) можно пргдгтапить в виде

1%『Мр е/7‘)Е 7'/ е/7')・(3.19)

Аналогично можно цыризнть и другие спектральные характеристики. Так, например,

&v=^lc.(3.20)

Здесь прежние обозначения н н 鹿 заменены на 吗 и 僦 Там, где это не может привести к недоразумениям, индексы 兀 или v мы опускаем. Если используется угловая частота со = 2nv, то аналогично будем иметь

% = %/2%% = %/25T.(3.21)

Глава 4

ВИЛЛИ ВИН, МАКС ПЛАНКИ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ

В своей рекомендации принять Вилли Вина в Плены-корреспонденты Берлинской академии (1910 г.) Планк писал, что закон смещения был открыт в то время,

«когда об экспериментальной проверке еще не могло быть речи. Но после того, как ему (Вину), спустя 3 года, удалось совместно с Отто «Пуммером реализовать модель черного тела в удобной для измерений форме, выяснилось, что закон смещения Вина представляет собой совершенно точный закон природы, который в настоящее время служит одной из основ всей теории излучения. Точно так же и другой установленный Вином закон излучения, так называемый закон распределения энергии, оказался если и не вполне всеобщим, то все же применимым в весьма широкой области, а именно для достаточно коротких волн н достаточно низких температур, причем он выдержал испытание самыми чув- ствителыгыми опытами» [6].、

Этому закону излучения (закону распределения энергии) и посвящена настоящая глава. Здесь не в последнюю очередь следует подчеркнуть роль эксперимента. Кнрхгоф и Больцман могли ориентироваться па экспериментальные данные. Но последующие эксперименты, проводившиеся на реальных лучах, не привели тогда к новым более глубоким теоретическим представлениям '). Поэтому, как мы прочли у Планка, в течение некоторого времени ведущее место принад* лежало теории — работам Вина. Однако Вин, не менее одаренный и как экспериментатор, помогает тех- ническп реализовать теоретическую идею — создать

I) Упомянем цитируемую Вином работу цюрихского физика Г. Ф. Вебера (1888 r.)t который предложил для излучения странную формулу:

Пк в 入一 2c exp (а Г — (62Г2Л2)-1)> a, b9 с ^ const.

полость» испускающую действительно черное нзлуне* ние. И этим ведущая роль снова передается экспериментальной физике.

Решающий вклад в разработку упомянутой проблемы внес Германский физико-технический институт в Берлине. Владельцы крупной капиталистической ин* дустрии, понимая важность науки для развития производительных сил, учредили этот институт как исследовательский центр, в котором государство финансировало работы над задачами, имеющими предвидимое техническое значение, даже если их решение и не давало непосредственной прибыли. Проведенные там измерения лучеиспускания не в последнюю очередь по* служили также интересам промышленности, произво* дящей источники излучения.

Это, однако, нисколько не умаляет принципиально важной роли института в истории физики. Измере* Ния спектральной интенсивности позволяют Вину в 1896 г. предложить первую заслуживающую обсужде* мня формулу для фупдаменгалыюп фупкщш излучения 6Q, Т) I и ним самым для【1(入.7)]. Точно так ;кс резулыа iы поных измерений позволяют Планку в 190() г. сформулировать окончательный закон излуче* нпя.

Конечно, сразу же бросается в глаза схожесть экспериментальных кривых спектральной интенсивности с графическим представлением максвелловского закона распределения скоростей. Но не к этому обстоятельству обращается Впп при выводе своей формулы излучения. Вместо этого он развивает на первый взгляд совершенно фантастическую мьцсль. Он пред* полагает, что излучение может каким-то образом ha・ ходиться в термическом равновесии с испускающим и поглощающим газом. Количество молекул газа, скорость которых лежит в интервале (v, v + dv)9 по Максвеллу пропорционально произведению

後…餌 d% х _ const.

Опираясь на это, Вин пишет [7]:

«Мы выдвигаем гипотезу, что каждая молекула испускает коле* б;и|ия с длиной волны, зависящей только от скорости движущей- < я молекулы, н интенсивиость колебаний есть также функция этой (1ч()|)1)Г 1 11.

К этому заключению можно прийти, сделав некоторые специальные предположения относительно процесса излучения, но поскольку такие предположения показались бы здесь пока совер- uighho произвольными, мне представляется сейчас более надежным выставить нужную гипотезу в как можно более простом и общем виде.

Так как длина волны 九 испущенного молекулой излучения есть функция V, то и и есть также функция X.

Таким образом интенсивность 京儿 излучения, длина волны которого лежит между 九 и 九+ d九，пропорциональна

числу молекул, испускающих колебания в этом интервале длни волн;

некоторой функции скорости и, т. е. также функции 儿 Таким образом,

^^F^e-f^,

где- F н (— две неизвестные функции, а Т — абсолютная температура» '}•

С помощью формулы (3.1) для закона смещения отсюда сразу получаем закон распределения энергии Вина

叫=京6-可吃a a = const. (4.1)

' Вин же приходит к этому выводу после почти целой страницы вычислений, и это служит верным признаком того, что его закон смещения в форме (3.1) в то время еще не был известен. В конце своей работы Вин приводит формулу, которая эмпирически была получена Пашеном н отличается от (4.1) только тем, кт。в неб вместо Х° стоит в знаменателе Xй. Неопределенный показатель степени 卩 Пашей намеревался подобрать в соответствии с* результатами своих измерений. Ои пользовался тогда источниками излучения, которые недостаточно точно аппроксимировали черное тело. При абсолютно черном излучении не потре- Совалось бы никакого особого подбора, так как закон пропорциональности Т* с неизбежностью ведет к 卩==5・

Признание, которое получил закон излучения Вина, «было обязано, несомненно, тому, что он удовлетворительно описывал имевшиеся экспериментальные дан- 帙. ——

*) Вин использует вместо 竟 н Г буквы <р н О. Его гипотеза представляет собой модификацию подобной гипотезы, которая уже в 1887—1888 г. привела В. А. Михельсона к закону излучения

歐=с*吹-6 版(—а (#Г)Т).

Последний, одиако, не удовлетворяет закону смещения^'(Цитируется по работе (8].)_*

пые, а не его теоретическому обоснованию. При всей уязвийаети этого обоснования, оно, однако, заключает н себе замечательное рациональное зерно. Здесь впервые предпринято обращение к дисциплине, которая оказалась незаменимой для окончательного решения проблемы излучения, а именно к статистической физике. Перенося статистику газовых молекул на излучение, Вин впервые связывает длину волны излучения с энергией некоторых частиц.

Это, в сущности, та же мысль, которая в 1905 г. приведет Эйнштейна к революционной гипотезе фотонов. Ее здесь можно интерпретировать следующим образом: в модели частиц Вина мы в действительности имеем дело не с газовыми молекулами, взаимодей ствующими с излучением, а с частицами, из которых, как можно себе представить, состоит само тепловое излучение. Эйнштейн в 1905 г. будет ссылаться не на окончательный закон излучения Планка, а на закон Вина. Хотя к тому времени закон Вина уже считался всего лишь приближенной формулой, его фундаментальное физическое значение было совершенно очевидным. К этому мы еще вернемся в гл. 6.

Теперь мы должны описать первые попытки План， ка решить проблему излучения. Мы обращаемся к ним в данной главе потому, что в них ПлаНк прояв-* ляет себя решительным сторонником как раз закона излучения Вина. В отличие от прагматического подхода Вина (1896 г.) Макс Планк почти в то же самое время приступает к проблемам излучения с точки зрения основных принципов. Одним из них он считает необратимый характер теплового излучения. Это на* ходит отражение уже в названии пяти сообщений, которые он делает в академии с 1897 по 1899 г.:《О необратимых процессах излучения». Из явления необратимости «вырастает для теоретической физики фунда・ ментальная задача свести односторонне протекающие изменения к консервативным взаимодействиям» [9, ДО]

По сути дела это представляет собой программу, статистической физики, к которой Планк, хотя н не-

решительно, но постепенно приближается. Сначала он обращается к тому типу необратимости, который, по крайней мере на первый взгляд, не имеет ничего об* щего с термодинамической диссипацией, а именно к невозможности опережающих решений в электродинамике 1). Например, осциллятор Герца излучает волны, но не поглощает их, т. е. ведет себя односторонне, и, пока в идеальной модели отсутствуют трение и электрическое сопротивление, процесс остается консервативным. Если осциллятор привести во взаимодействие с любым полем излучения, замкнутым со всех сторон идеальными зеркалами, то ничто не должно измениться. И, хотя осциллятор будет здесь также н поглощать, Планк предполагает, что поглощаемая энергия будет настолько характерно отличаться от испускаемой, что с течением времени установится стационарное состояние, при котором излучение полости будет обладать искомым распределением энергии и.

Таким путем входит в физику теплового излучения линейный осциллятор, сыгравший в ней впоследствии столь большую роль. Планк продолжает заниматься исследованием одного неподвижного в пространстве осциллятора, взаимодействующего с излучением, также и после того, как Больцман убедил его в шаткости основной концепции. Больцман переносит парадокс обратимости из механики в электродинамику: так как основные уравнения механики инвариантны по отношению к обращению времени, то в механике для каждого движения может существовать такое другое дви-

нхгпнг, при котором все состояния протекают в обрат-* ннй последовательности. Это движение выглядит так, ни к будто фильм с заснятым исходным движением демонстрируется в обратном направлении. Все ска* злнпос справедливо и для электродинамики (если дополнительно изменить направление магнитного поля нп противоположное). Полю излучения, которое переходит в равновесное состояние, должно соответствовать другое поле, которое спонтанно выходит из равновесия.

Но такого рода процессы, подобные фильмам, демонстрируемым в обратном направлении, «неестественны», как показывает феномен необратимости. В то же время «фундаментальная задача» объяснить этот феномен с помощью только механики и электродинамики оказывается непосильной. Для этого требуются какие-то дополнительные гипотезы. Для Планка та・ кой стала гипотеза «естественного излучения». Согласно ей, излучение в полости полностью некоге， рентпо.

Mi»i нс будем здесь вдаваться в принципиальное обсужуц'ппе этого положения. Работы Планка подтверждают правило, что в начальной стадии исследо- ванмя возникающей проблемы такого рода гипотезы в общем виде не фор мул ируются. Наоборот, обычно сначала делаются конкретные частные предположения, облегчающие расчет. И если последний привел к обнадеживающим результатам, то тогда уже формулируется гипотеза для оправдания выдвинутых допущений. Поэтому мы сейчас и обратимся к конкретным соображениям Планка.

Он рассматривает макроскопически наблюдаемые величины типа и, и, ^ и др. как средние значения микроскопических переменных. Этим Планк делает пер* вый маленький шаг в направлении статистической физики. Так как он выделяет фиксированную точку в пространстве, то он оперирует средними значениями по времени. Они отмечаются черточкой сверху. В системе единиц Гаусса (которой в то время благоразум* но пользовались все теоретики), обозначая векторы напряженности электрического и магнитного полей

через £ и Я, получаем

〃=f U3ds =《© + Ej +纥+ Н 什土 + 磅. 0

Очевидно, что Е； нужно представить (как н другие

квадраты) в форме \ 冬❶“①，где Sad& — макроско- о

пически измеримая величина. Напомним, что при ста* ционарном изотропном излучении в полости все шесть средних значений должны быть равны между собой. Поэтому [учитывая (2.2)]

工=半% = 寥凡.(4.2)

Более сложная, но линейная зависимость получается вместо этой в общем .случае, к которому мы сейчас перейдем.

Если микроскопическое поле Е» на очень большом временибм интервале (—歹 < / < 歹)представить интегралом Фурье

旦(/)=，C(©)eto*dw; C(-©) = C*(©),(4.3)

то ножно записать

i+tСО 8

兀窈 0； \ 處(f)df— , \ С (о) С”(<У)13~з')“со А/■

g , d® \ С (со) С* (© + 卩)6一，財 dpi =

=\ do , dh现(0, n)6-‘財=

g \ do ,如[期(0, ц) + 額(一0,川 6一取‘= 0—8

«= \ d唸9 (0-(44)

Формальный смысл здесь ясен: во втором уравнения была вве- п< ни новия переменная интегрирования 卩=со'——со. Среднее по оремрпи в следующей строке снова представляется в виде инте- iptuin Фурье, и в заключение проводятся простые преобразования.

Для понимания физического смысла важно следующее. Чтобы величину 贪® можно было считать макроскопической интенсивностью, она должна сущест- шчню изменяться только за такие промежутки времени, которые велики по сравнению с длительностью колебания 1/со. Вследствие линейной связи то же самое относится и к 3(0. В случае преобразования Фурье это означает:

величина 霞(со, р,) вносит значи-тельный вклад в интеграл Фурье

только при 3 « |ш|.(4.5)

Такого рода сглаживание сильно флуктуирующей во времени микроскопической величины d|xC((o)X ХС*(® + к) ехр(——Дх/) должно достигаться путем усреднения и притом на некотором определенном интервале независимо от выбора времени усреднения т. Эти требования Планк рассматривает просто как входящие в определение естественного излучения.

Обратимся теперь к осциллирующему диполю. Пусть диполь имеет (приведенную) массу т, заряд е, собственную частоту шо и находится в возбуждающем электрическом поле с компонентой Е2 в направлении колебаний. Его уравнение движения имеет вид

m (芝 + 丫之 + s歌)=eEz.(4.6)

Здесь, член ,2 учитывает пока чисто феноменологически затухание из-за потерь энергии на излучение. Энергия осциллятора равна

8 =号(非+ 脸)(4.7)

откуда сразу следует

ft = ©Е* —机丫猊(4.8)

Так как последний член всегда отрицателен и не за- Ш1спт от возбуждающего поля, то он представляет

спонтанную эмиссию. В противоположность этому первый член, зависящий от Е, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому он описывает как вынужденное поглощение, так и вынужденное испускание.

Используя (4.3), можно найти стационарное реше* ние дифференциального уравнения (4.6):

嗡_®2 + 1YS嗡_®2 + 1YSe府 ds.e府 ds.(4.9)(4.9)

嗡_®2 + 1YS

嗡_®2 + 1YS

e府 ds.

e府 ds.

(4.9)

(4.9)

Откуда получим выражение, аналогичное (4.4):

f、— е2 Г гС (со) С* (со + 卩)加'ds dp

2/и2 J J (補—€o2 + jys) (©o — (s 十林)2 — fy (s 十卩))

(4.10)

«Гипотеза, которую мы сейчас вводим как вполне естественную и, пожалуй, единственно возможную» состоит в предположении, что в выражении (4.10) «быстро изменяющуюся» величину C(s)G*(s + 出)' можно заменить «медленно изменяющимся средним значением» SI(g), g). Излучение, «которое удовлетворяет введенной здесь гипотезе》，Планк называет «естественным излучением» [11]. Как мы видим, эта концепция возникла не из принципиальных соображений, а из конкретной потребности продвинуть дальше решение задачи.

На том же основании дальше предполагается слабое затухание излучения, т. е. что у《е)о. В соответствии с этим мы аппроксимируем знаменатель (4.10), как показано ниже, и применяем к интегралу по со теорему вычетов теории функций:

卢=f~ \ d“一柩、而近(s, r)X

X {(8 —聞一”/2) (s + So — гy/2) (<о + g ~ ©о + W/2) X

X(s + r + g)o + ”/2)}T = 9 \ d“-加2Mx

X (Res (co = g)0 + £y/2) + Res (© == — g)0 + W/2))・ (4.11)

Для этих вычетов имеем

Кеа (со ®» ± ©о + ”/2)Кеа (со ®» ± ©о + ”/2)班(± So + 4/2;卩)

Кеа (со ®» ± ©о + ”/2)

Кеа (со ®» ± ©о + ”/2)

土 丽(樣 + 兩(士 2s0 + 世 + тy)

(4.12)(4.12)班(土 So； R)

(4.12)

(4.12)

4确(" + JY)'

где мы пренебрегли значениями у и |х, малыми по сравнению с б)о [см. замечание (4.5)]. Мы можем избавиться от множителя р 十 iy в знаменателе, если вычислим [см. последнее уравнение (44)]

dt4埼I"+汴丿'

-8 и(4.13)

(现30t ") + SI (-冊叨e-M加=儡統.

Как легко видеть, в пределах используемых приближений

著=端* & также 22 = со^г2.著=端* & также 22 = со^г2.(4.14)(4.14)

著=端* & также 22 = со^г2.

著=端* & также 22 = со^г2.

(4.14)

(4.14)

Теперь мы опустим индекс 0. Из (4.8) и (4.14) еле- дуег. что осциллятор с собственной частотой s имеет в среднем энергию

豆三 U =机 dz2 — mz2. (4.15)

Отсюда, используя соотношение (4.13), приходим к «фундаментальному уравнению развиваемой здесь теории» [11]:

*=器%*=器%(4.16)(4.16)

*=器%

*=器%

(4.16)

(4.16)

Для обсуждения уравнения (4.16) возвратимся к вы^ ражению (4.8) и относящимся к нему замечаниям. Учитывая (4.15), получаем

喘"瓦I—y" (4.17)

Согласно уравнению (4.17), правая часть уравнения (4.16) представляет среднее значение поглощаемой осциллятором мощности. (Вынужденная эмиссия пала 小(、卩твой усреднения.) Средняя эмиттируемая мощ- iimi，составляет просто ?{/・

С другой стороны, возьмем для той же самой величины выражение из электромагнитной теории диполя Герца

2叁2/3/ = 2小心U[3炉m

[с учетом (4.14) и (4.15)]. Сравнивая с yU, для феноменологически введенной постоянной затухания находим значение

2 е2о2Y = 3 方.

«Фундаментальное уравнение»(4.16) вскрывает почти очевидное сегодня содержание: осциллятор поглощает излучение того же самого диапазона частот, в котором он и испускает. Следовательно, из взаимодействия между осциллятором и излучением ничего нельзя сказать о спектральном распределении последнего. Таким образом метод Планка не приводит к желаемому результату.

Следует, однако, отметить один, хотя и не очень исчерпывающий, но все же весьма значительный ре・ зультат. Чтобы его получить, подставим выражение (4.18) в (4.16) и перейдем к равновесному состоянию dU/dt = 0. Так как здесь справедливо соотношение (4.2), то мы будем иметь U =乳2。3指一2口位.Таким образом, в равновесном состоянии спектральная плотность энергии uv = 2mи, связана со средней энергией U осциллятора с собственной частотой v уравнением

U@, D = ^U(v, ?)• (4.19),

Итак, проблема излучения сведена к физике гармонического осциллятора. Это обстоятельство в ходе дальнейших исследований Планка приобретет огромное значение для истории физики.

一 Далее Планк рассматривает прежде всего един^ ст венный осциллятор в поле излучения. Здесь можно было бы спросить, в каком смысле вообще осциллятору можно приписывать энергию, зависящую от тем* пературы. Мы не будем прослеживать за соображениями Планка по этому вопросу. Удовлетворимся замечанием, что речь идет о средней энергии осцилля^

Чорп. KOTOgfi он обладает в термостатированном теп* липом поле излучения.

Но если признать применимость понятия температуры к осциллятору, то надо согласиться также и с существованием энтропии S осциллятора. И тем более позволительно говорить о плотности энтропии, прихо* дящейся на долю излучения в полосе частот (V, V + dv). Обозначим эту плотность энтропии v(v, Т) Jv. Кроме того, Планк применяет, как это делал Вин [12], понятие энтропии к отдельному монохроматическому линейно-поляризованному пучку лучей.

Как мы уже говорили, любой пучок можно разло* жить на два линейно-поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях пучка, причем интенсивности этих пучков складываются» т. е.

£ = ^i + %・(4.20)

Так как лучи между собой не взаимодействуют, то они транспортируют энтропию точно так же, как и свою эпсргшо. 11оэтому введем в тесной аналогии с величиной 犯 удельную интенсивность излучения энтропии

2 = 21 + %(4.21)

Тогда [см. (1.1)]

dW = & dv cos Q dA dQ dt(4.22)

—энтропия, перенесенная за время dt линейно-поля^ ризованным пучком определенного вида через элемент поверхности dA. Между и, й и з, 6 имеется соответствие также в другом отношении. Так, для стационара кого (изотропного, неполяризованного) черного излу* чспия 記1 =愈 н % = % и в этом случае мы имеем (см. (2.2)]

и = (8эт/с)5?1,й — (8 л/с) 2р(4.23)

С учетом 0.19) отсюда следует

凯=阮=/e-2u.(4.24)

Уже на этой стадии своих исследований Планк де- 方自®1 и постановке задачи некоторое изменение, кото»1 ри« 同 йиичнтельной мере способствовало тому, что уже

к осени 1900 г. он смог вывести окончательный закон излучения. Как выдающийся термодинамик, он пони* мает, что наиболее глубокая связь существует не ме・ жду энергией и температурой, а между энергией и энтропией. Поэтому Планк обращает свое внимание на неизвестную функцию S(U, v). Закон смещения Вина с учетом (4.19) сразу же дает U =、*任卜)、Если вве・ сти в рассмотрение температуру с помощью универ* сального термодинамического соотношения

(4.25)(4.26)(4.25)(4.26)1 dS — 〃 d&

(4.25)

(4.26)

(4.25)

(4.26)

то можно прийти к заключению, что S = F(U/『)・

Но чтобы продвинуться дальше, нельзя обойтись без новых предположений. Поэтому Планк решает те* перь исследовать с точки зрения связи между знтро- пией и энергией закон излучения Вина, находившийся в 1899 г. в центре внимания физиков. Используя форму записи для частоты и учитывая (4.19), Планк вьь ражает закон в виде

% = ^”e-av/r. (4.27)

%=—& ? OV

1-%

П 8冗b/e ■

(4.28)

s=— av

1П bve

(4.29a)

(4.23) имеем

& = -

*av Зе

(4.296)

и вследствие

Отсюда с помощью (4.25) после простого интегрирования получаем

(е — основание натуральных логарифмов)'.

Постоянная 6, как мы увидим, имеет физический смысл кванта действия, постоянной Планка, получившей впоследствии обозначение Л. Таким образом эта постоянная была введена Планком в физику уже в 1899 г. и рассчитана с помощью закона Вина и существовавших результатов измерений.

Но пгорой части данной кннгн приводится этот рас- «нч и уже найденные в 1899 г・ «естественные едннн- нз*, «которые независимо от специфики тел и веществ при imciiho сохраняют свое значение для всех времен п для всех, даже внеземных и не созданных человеком культур». Хотя Планк, разумеется, не мог предвидеть tirriniiioro значения своей постоянной 6, он был, оче- hiuino, с самого начала убежден в ее универсальности и ставил ее в соответствии с этим в один ряд со скоростью света н гравитационной постоянной.

Это можно объяснить, предположив только, что 11ланк в то время был убежден в справедливости за- Kdiia Вина, лежавшего в основе его рассуждений. 1 Ггобы обосновать свое убеждение, Планк делает еще одни шаг в направлении развития идей Больцмана. Вольцман (см. гл. 5) объяснил необратимый характер I силового движения в газах, введя некоторую новую величину и доказав, что она не уменьшается со временем; ее он идентифицировал с термодинамической энтропией. В тесной аналогии с этой так называемой //-теоремой Планк дает (формулы (4.28) н (4.29) как определения энтропии, действительные также и для пс|)авиовесного состояния. Затем он показывает, что НГМ1ШО определяемая упомянутыми формулами энтропия замкнутой системы, состоящей из излучения и осциллятора, не уменьшается со временем. Если пред- (* га вить, что исследуемая здесь система в неравиовес' пом состоянии может иметь различные температуры, *к)тогда производные (4.25) для каждого направлен пня излучения и для осциллятора будут различны.

Рассуждения Планка приводят к необходимости составлять балансы энтропии и энергии. Последний уже имеется в виде уравнения (4.16). В правой часта •1лм стоит относящееся к 襟 спектральное распреде* лрцне 8®. Остается только более общим способом, чем к (4.2), связать последнее с интенсивностью излучения •ft С этой целью мы разложим^, согласно (4.20), та- кпм образом, чтобы вклад в Е： давал только линей- ин поляризованный пучок лучей с интенсивностью 記2・ II 1Н1、，)м пучке электрический вектор Е должен коле- а“ I н и и плоскости, проходящей через ось а и направ-

ление распространения & Тогда перпендикулярно этой плоскости поляризованный пучок с интенсивностью 资l не имеет, согласно определению, компоненты Ех. В линейно-поляризованном пучке лучей величина вектора потока энергии по теории Максвелла равна (г/4л)Е% Из определения этого вектора следует

dW = (с/4л) dE2 cos 6 dA dt;

здесь мы заменили £ на dE, a dW имеет то же самое значение, что и в (1.1). Из сравнения с формулой (l.i), следует

dE2 = (4л/с)反2(W)dv dQ.

Так как Е перпендикулярно s (рис. 9), то вклад луча рассматриваемого направления в 爲 получается пу>

Рис. 9.-Рис. 9.-

Рис. 9.-

Рис. 9.-

тем простого умножения на sin2 в, где в — угол между $ и направлением оси z・ Тогда интегрирование по всем частотам и направлениям дает 皮==»，工 dv・ После выполнения этих простых действий сразу очевиден искомый результат:

2喉= 3v = v$^W sin?е©(4.30)

Наконец, надо еще учесть формулу (4.18)^ и J sin2edfi = 8n/3.

1<>гда баланс энергии (4.16) принимает следующий ИНД：

參=£" \ (鼠-$и) sin20dQ =

= 舒，倒+就一宽一閥dQ,(4.31)

где -

货；=禺； 颠= St2Cos2e + &Usin28. (4.32)

Левая часть (4.31)' описывает прирост энергии осцил-* лятора, следовательно, правая часть в силу закона сохранения энергии — убыль энергии излучения^. А именно, из падающего на осциллятор пучка с ин-> тенсивностью 記=亂 + 記2 HM будет поглощаться, со-* гласно (4.30), только часть ^2 sin2 0. Остальная часть 曲 1 + 記2 cos2 0 проходит мимо резонатора и проявляет* ся снова в интенсивности 宏=舟 + 由 пучка, поки< дающего осциллятор в том же направлении. Дополнительно 贪'содержит интенсивность ”2c-2[/ sin2 0 нзлу* чепня, испускаемого в данном направлении в соответствии с теорией Герца. [В случае равновесного со* стояния нужно пользоваться формулой (4.24)・],

Аналогично получаем баланс энтропии:

■^ =簣 + 需、阳+ %-&-&)"□ (4.33)

при 8f = 2ь Энтропия всей системы складывается из энтропии осциллятора и энтропии поля излучения.

Выражение для последней энтропии, по нашему мнению, не совсем тривиально. Изменение анергии A1F, которое претерпевает луч определенного направления при прохождении мимо осциллятора, спреде-* ляется разностью dW — dWf переноса энергии через два одинаковых элемента поверхности, расположен^ ных до и после осциллятора. То же самое относится и к изменению энтропии AS, и переносу энтропии d£ — 〃2'・ Теперь должно быть понятно отношение

△取 dW — dW

Если надлежащим образом воспользоваться выражениями (1.1) и (4.22), а также LW = (3yc)/(8nv2)X 火(舱——俞')dQ, то получим желаемый результат для А】.

Теперь, рассчитав dS/dt =(dS/dU) (dU/dt) соглас* но (4,29а) и (4.31) и подставив это одновременно с (4.30) в (4.33), получим

dSmwiH — 3丫』〈dQ (0 ] /親/兜2、

~r -飞而戸)In黄7r -优2 In不作丿，(4，34)

Итак, остается доказать, что это выражение не может быть отрицательным > Обозначив логарифмические члены через % и х\ увидим, что для доказательства достаточно, чтобы выполнялось неравенство

х In х ^ xz in х'・

Теперь, согласно (4.32),

хг — х cos2 0 + sin2 0/е.

Таким образом а/ лежит между х и 1/е. При %' = 1/е функция 尤'In / достигает своего единственного минимума, и наше утверждение оказывается правильным.

Этим, разумеется, всего лишь доказано, что выбранное определение энтропии допустимо с точки зрения термодинамики. Обоснование закона излучения Вина потребовало бы, кроме этого и прежде всего также и доказательства необходимости этого определения. Здесь Планк допускает исключительную слабость аргументации. Как можно прочитать во второй части данной книги, он ограничивается сообщением, что ему не удалось создать другую конструкцию энтропии, несмотря на неоднократные попытки. Но фактическая неудача построения некоторого понятия ни в коем случае не доказывает отсутствия такового; в лучшем случае ее можно рассматривать как эвристическое указание на это. Однако, по мнению Планка, «отсюда необходимо сделать заключение, что ...данное определение энтропии излучения, а тем самым и закон распределения энергии Вина представляют собой необходимое следствие распро

странения принципа возрастания энтропии на электромагнитную теорию излучения и что, следовательно, границы применимости этого закона, если такие вообще существуют, совпадают с грани* цами второго закона термодинамики».

Это слова из пятого сообщения Планка《О необраи тимых процессах излучения», представленного Берлин* ской академии 18. 5.1899 г. Без изменения вошли они 7.11.1899 в журнал «Annalen der Physik》.В противовес этому уже 3.2.1899 г. О, Луммер и Е. Прингсхейм [13] сообщили на берлинском коллоквиуме Физиче* ского общества, что ими обнаружены систематические отклонения от формулы излучения Вина в области от 814 до 1426 К для длин волн, лежащих между 1,21 и 4,96 мкм. Так как они еще не могли решить, присутствует ли здесь или пет систематическая ошибка измерений, то был проведен контрольный опыт с расширенным диапазоном измерения. На заседании 3.1 L1899 г. авторы сообщили, что, вероятно, полученные вновь отклонения от формулы Вина 《не вызываются случайными ошибками наблюдении» ).

В своем отчете от 18. 05. 1899 г. Планк ссылается на первую работу Луммера 口 Прингсхейма и рассма^ трпваст ее как свидетельство того, что закон Вина《по меньшей мере очень близок к действительности». В рукописи от 7.11.1899 г. слово «очень» Планк подчеркнул- По-видимому, при подготовке этой рукописи он не обратил внимания на содержание второй работы Л умме- ра и Прингсхейма, так как при корректуре он добавляет замечание о найденных отклонениях от закона Вина. Во всяком случае уже в конце 1899 г. чрезвычайно сильно сформулированное теоретическое высказывание Планка, приведенное выше, не находилось в удовлетворительном согласии с экспериментальной си* туацией. Вероятно, Планк больше доверял результатам Пашена и его сотрудника Ваннера. Эти авторы полагали, что им удалось с поразительной точностью подтвердить закон излучения Вина между 1 и 9 мкм для низких и высоких температур ).

Все-таки Планк считает нужным заново продумать всю проблематику. Он понимает, что в его аргумента-» ции есть слабый пункт, а именно специальное определение энтропии (296), н исследует, что-можно еще сказать по поводу связи между изменением энергии ц энтропии, не прибегая к такому специальному определению [16]. Для упрощение он предполагает, что энергия осциллятора отличается от своего равновесного значения О。лишь на небольшую величину

U = Uo + AU・ (4.35)

Пусть, далее,曲【=龍2 =載о — постоянная равновес* ная интенсивность.

При этом также €2 = Со- Для 記о, Uo выполняются соотношения (4.24) и (4.25), из которых еще следует (d^/d^ = —г @SldU*・ (4.36) С учетом (4.24) из (4.32) получаем

△Я =黑一备=Ue- AU sin2 6,(4.37)

а из (4.31) и выражения sin2QdQ — 8зт/3 имеем

dU/dt=—y^U; 一 (4.38)

это означает, что осциллятор стремится к своему равновесному состоянию и далее от него не отклоняется. Если теперь в ряд Тейлора

£1。=(黑)。■ + 3 (爲Оо(_

подставить (4.37), (4.25) и (4.36), то в результате найдем

/-&=»《Аи {(府)sin2 е + у (爲')()sin' е AU }.

100 до 450 ℃, то по поводу второго, представленного 7.12.1899 г.# неписано: Автор «провел болометрические измерения излучения энергии черным телом между температурами от 400 до 1300 ℃ пр всему спектру. В соответствии с более ранними результатами найдено подтверждение закона Вина с некоторыми отклонения* ми, которые, возможно, в основном происходят от недостаточно совершенной реализации модели черного тела》[14]. Ваннер даже по质тает, что «можно сделать вывод о справедливости закона Ц^на в видимой области до 4000 ℃» [15].

а так как \ sin404/Q = 32n/15, то, применив (4.38), будем иметь

駕\期-%)源=-等［爲)。+式競)。厶。］,

Наконец,

d^_dU^d3_dU^\(dS\ 亠唇1、必］ dt — df dU — dt Lk dU 丿о 十 I dU 丿°

Суммируя оба выражения, получаем в соответствии с (4.33) искомое изменение энтропииз

rfSnoJIB = dt/At/-|(-g-)o.(4.39)

Согласно (4.38)； dU и AU имеют разные знаки. Итак, из принципа энтропии й5Полн > 0, как теперь ясно представляет Планк, ничего больше заключить нельзя кроме того, что вторая производная энтропии по энергии должна быть отрицательной. Если записать

奇= — 〃и)(4.40)

и считать / какой-либо положительной функцией, то рассчитанное на этой основе общее выражение (4.33) для полного изменения энтропии будет всегда положительным, как замечает и Планк, опровергая тем самым слишком категоричное утверждение в своей последней публикации.

Одаако он предпринимает последнюю попытку спасти закон излучения Вина. С этой целью он рассматривает в стационарном поле излучения вместо одного осциллятора N совершенно одинаковых осцилляторов, энергия каждого из которых вначале отличается от равновесного значения UG на одинаковую величину △U. Теперь Планк делает два предположения.

^ осцилляторов ведут себя и в присутствии подя излучения совершенно независимо друг от друга. Тог* да происходящее изменение энтропии должно быть в N раз больше, чем при наличии одного осциллятора, *l ем согласно (4.38),

dSN,noaa = -NdU^ulf(U).

Эта энтропия зависит только от полной энергии Un = NU ансамбля осцилляторов й от величины ее отклонения от стационарного значения AUn = N&U, так что

^.полн = -№^АС/|/(т

Сравнивая оба выражения, получаем функциональное уравнение

f(NS = f(S/M

общее решение которого

f (U) = 1 //U,4 = 4") > 0・(4.41)

С учетом (4.41) из (4.40) после двухкратного интегри* рования следует

3 一 Л(V)В(V)*

Тогда закон смещения Вина в форме (4.26) приводит к (4.29а), т. е. к закону излучения Вина.

После этого результата у Планка «еще больше укрепилось мнение о его значительности, хотя основания, на которые это мнение опиралось, несколько изменились» [16]. Однако, прежде чем Планк 22. 3. 1900 г. отослал в печать эти строки, 2. 2. 1900 г・ Луммер н Прингсхейм на Берлинском коллоквиуме обосновали полностью противоположную точку зрения [17]. Они доложили результаты измерений в диа< пазоне длин волн от 12 до 18 мкм и в интервале тем・ ператур от 85 до почти 1800 К・ И если при низких температурах закон Вина подтверждался, то при вы* соких отклонения были настолько велики, «что их, безусловно, невозможно объяснить ошибками наблюдений». При наиболее высокой температуре отличие измеренных значений от теоретических составляло от 40 (при 12,3 мкм) до 50% (при 17,9 мкм). Авторы приходят к выводу: «Таким образом доказано, что спектральное уравнение Вина — Планка не описывает измеренного нами черного излучения в области от 12 до 18 мкм》・ Так как отклонения от этого спектрального уравнения с произведением КГ становились все больше, то Курльбаум и Рубенс исследовали остаточ<

ные лучи 1) после многократного отражения от плавикового шпата и каменной соли и дошли при этом до значений ЛТ, которые почти втрое превышали значения, достигнутые до этих пор при спектральном раз< ложении.

Только когда эти эксперименты в октябре 1900 г. показали несомненную несостоятельность формулы излучения Вина, Планк решил отказаться от своей теоретической концепции. Но одновременно глубокое проникновение в проблематику излучения позволило ему быстро (хотя, разумеется, и не сразу во всем) преодо^ леть кризис. Таким образом, описанные в этой главе исследования были далеко не напрасными. Они за・ служивают пристального рассмотрения тем более, что закон Вина, как уже было сказано, даже в качестве приближенной формулы имеет глубокое физическое содержание. Его понимание дает одновременно ключ к пониманию последующего пути развития теории- В связи с этим необходимо подробнее остановиться на некоторых основных понятиях статистической фнзнкн. Для наших целей будет достаточно рассмотреть ее простейший вариант — наглядную теорию Больцмана идеального одноатомного газа,'

Эта методика была уже предложена Рэлеем для проверки формулы излучения (см. стр. 165).

Глава 5

ЛЮДВИГ БОЛЬЦМАН И ЭЛЕМЕНТАРНАЯСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗА

Состояние одной молекулы газа, рассматриваемой в качестве материальной точки, можно задать с помощью ее вектора положения х и импульса р, или, другими словами, с помощью точки в 6-мерном фазовом пространстве координат %, у, z, р%, р^,必.

Теория газов Больцмана рассматривает распределение f в фазовом пространстве N газовых молекул 】)， При этом число молекул, которые в момент времени £ находятся в небольшом объеме Ах Др фазового про странства вокруг точки х9 р), есть

М = /(*, Р, 0 Ах Др. (5.1)

Мы разобьем фазовое пространство на очень маленькие ячейки и пронумеруем их. Исходя из этого выбран и способ обозначения: Ns — число молекул, находящихся в s-й ячейке.

Число молекул в ячейке меняется, во-первых, из-за движегшя молекул по инерции и, во-вторых, вследствие столкновений их между собой, т. е. вследствие их взаимодействия, проявляющегося на малых расстояниях. Анализируя этот процесс соударений, Больцман доказал, что выражение

Q = — \ d* , dpfinf (5.2) V —ОО

* (V — объем газа) не может уменьшаться со временем (&◎/成 >0). Таким образом, оно должно достигать

максимума в равновесном состоянии и в этом состоянии / задается, как дальше показал Больцман, распределением Максвелла. Из-за такого поведения величины £2 ее можно рассматривать как аналог энтро* пии газа S; далее будет показано, что Й и S пропорциональны друг другу. Но тогда выражение

ш = —• ^ dpf Inf(5.3)

должно быть пропорционально плотности энтропии $・

Если записать

-\*(〃nf)dp》O,(5.4)

то это не означает, что плотность энтропии не может убывать; убыль, конечно, возможна за счет выноса энтропии. Неравенство (5.4) нужно понимать в том смысле, что энтропия может только производиться, но не уничтожаться. Аналогичным образом справедливо соотношение

、喘 dp = o,(5.5)

означающее, что частицы газа не уничтожаются и не создаются.

Утверждение dG/dt П 0 н соответственно (5.4) выражают содержание уже упоминавшейся Я-теоремы, и читатель узнает аналогию с аргументацией Планка (см. стр. 60). Для нас более важно не это «кинетическое» толкование второго начала, а переход к его в узком смысле «статистической» интерпретации. Ибо именно этот переход, кратко описываемый ниже, осу* ществит в обобщенной форме Планк осенью 1900 г.

Исходным пунктом для Больцмана было уже упоминавшееся (см. стр. 48) утверждение Лошмидта о том, что невозможно доказать второй закон термодинамики с чисто механической точки зрения. Ибо если существует такого рода движение, что dC/df > 0* то согласно законам механики точно так же возможно и другое движение, при котором dQ/dt V 0, Больцман в начале 1877 г. возражает на это [18, 19]; он считает, что обсуждаемое неравенство, согласно кинетической теории газов, выполняется с наибольшей

вероятностью, йо не является абсолютно необходимым. Далее он высказывает предположение, что это обстоятельство, «возможно, могло бы привести к одному интересному методу для расчета теплового равновесия». Несколько месяцев спустя эти качественные аргументы в основополагающей работе Больцмана «О связи между вторым началом механической тео・ рии теплоты и исчислением вероятностей в применении к теоремам о тепловом равновесии» выкристаллизовываются в физическую теорию — в статистическую теорию газа [20, 21].

Мы рассмотрим ее в несколько модернизованном изложении. Представим себе, что в упомянутых выше ячейках фазового пространства распределено N атомов газа, причем все атомы помечены, т. е. предполагается, что они различимы. Каждый способ распределения их Больцман называет комплексией, в то время как сегодня мы говорим о микросостоянии. Таким образом, для характеристики микросостояния (комплексии) необходимо иметь данные о том, какие частицы в каких ячейках находятся. В противоположность этому для характеристики макросостояния необходимы сведения лишь о количестве частиц в каждой ячейке. Число возможных реализаций одного макросостояния из различных микросостояний Больцман называет перестановочностью (Permutabilitat) !)_ и обозначает 取

Обозначив число частиц в отдельных ячейках через Ns, можно определить ф в виде

甲=盗， (5⑹

так как существует М перестановок ^ атомов, но при этом, однако, любая из М! перестановок 必 частиц в s-立 ячейке не ведет к новому микросостоянию. Ис-*

О Введенный Больцманом термин «перестановочность» не стал общепринятым. Ему соответствует современный термин «статистический вес макросостояния», который используется далее при переводе. Менее распространенный, но все же применяемый термин для этой величины ——«термодинамическая вероятность макросостояния». Последняя не есть Есром пюсть в обычном смысле, так как она больше единицы. — Прим. ped.

пользуя справедливую при больших значениях х формулу Стирлинга

In %! = % In 尤一％,(5.7)

получаем

ln^ = NlnN-N-EMln/Vs + £Ns. (5.8) $s

Так как

ZM = M(5.9)

s

то два члена в (5.8) взаимно уничтожаются. Если» принимая во внимание (5.1), заменить суммы интегралами, то, сравнивая (5.8) и (5.2), можно показать, что In ф с точностью до постоянного слагаемого идентичен величине Q, которую Больцман поэтому называет «мерой» статистического веса и которая таким образом получает свою вероятностную интерпретацию.

Так как, согласно кинетической теории, Q достигает своего максимума нрн термодинамическом равновесном состоянии, то, следовательно, это равновесное состояние можно характеризовать как такое макросостояние, которое реализуется наибольшим числом микросостояний, т. е. имеет наибольший статистиче- ский вес Н Это в свою очередь ведет, согласно Больцману, к следующему толкованию перехода к равновесию и роста величины О】). Каждое отдельное соответствующее термодинамическому равновесию микросостояние, которое возникает из произвольного начального состояния по прошествии определенного времени, столь же маловероятно, как и отдельное микросостояние, при котором газ макроскопически отстоит сколь угодно далеко от термодинамического равновесия, 《точно так же как при игре в лото каждая отдельная пятерка номеров так же маловероятна, как и пятерка 12345》.И только потому, что микросостояний, соответствующих термодинамическому состоянию равновесия, гораздо больше, чем других, возникает

ббльшая вероятность того, что со временем образуется равновесное макросостояние и Q увеличивается.

Тот случай, когда все молекулы газа вдруг устремляются в один угол сосуда, по своей крайней невероятности является чисто академическим и «неестественным». Такого рода упорядоченные движения предполагают тесную корреляцию между положением и скоростями частиц газа. Естественное же поведение мы можем, напротив, охарактеризовать отсутствием та* кого рода корреляций. Это и составляет содержание «гипотезы молекулярного хаоса》. Последняя входит как предпосылка в кинетическую теорию Больцмана и играет как в идейном, так и в методологическом отношении такую же роль, как н «гипотеза естественного излучения» Планка. Планк подчеркнуто ставит свою гипотезу параллельно гипотезе Больцмана. Но к этому мы вернемся несколько позже.

Расчет максимума In 里 должен проводиться при дополнительных условиях: необходимо задать число частиц (5.9) и энергию

z分%=%(5.Ю)

S

где 8s ——энергия одной частицы, находящейся в s-й ячейке J). Как известно, для нахождения максимума функции необходимо прибавить к иен эти дополни- 1ельн6 заданные значения, умноженные на коэффициенты Лагранжа —а и —0, и затем написать условие абсолютного экстремума

/^ (1п¥ —а §М —喔%&) =0.

Отсюда сразу получим

Ns = e~a^-(5.11)

Теперь заметам, что

猊$АР = ^替'(5」2)

')Мы пренебрегаем тем, что частицы внутри ячейки могут иметь различную энергию.

определяет число ячеек, которым соответствует величина импульса 〃s・ В числителе здесь стоит объем, за・ нимаемый данными ячейками в фазовом пространстве, а именно объем 6-мерного цилиндра, «основанием» которого служит сферическая оболочка 4乳痛 Ар, а «высотой» — объем газа V. Деление на объем ДхДр одной ячейки дает искомое число.

Если 8s зависит только от pSt то 城sbpNs — число частиц с этой энергией и, следовательно, их вклад UsV^p в общую энергию газа будет определяться формулой

116V аp = Es現 ApNs = es■'^^^"才%-。・(5. 13)

С помощью (5.9) можно исключить а. Получим

У%宀,(5.14)

где

z = /N = 2 е—吟=X 贝心-叫 Др(5.15)

—так называемая статистическая сумма.

Подставим (5.12) в (5.15), помня, что для молекулы (массы т) классического одноатомного газа

% = Е/2/п,

н заменим сумму интегралом

"ехp (一黑)如=4 "m衿•

Тогда для статистической суммы получим у f 2шп \7а V

4( в 丿 Ах Др *

Параметр р можно выразить через среднюю энергию ё одной частицы. В общем случае

ainz叩ainz叩(5.1®(5.1®£%n. £ ^~^

ainz叩

ainz叩

(5.1®

(5.1®

е —~N~ н £ е-。％

следовательно, для нашего случая

Т!・

средней повследствиесредней повследствие(5.17)(5.17)Далее, проведя элементарный расчет времени силы, действующей на стенку ударов молекул, для давления получим

средней по

вследствие

средней по

вследствие

(5.17)

(5.17)

N 2 - N RT

Р = ТтЕ = ТГ~Г・

Здесь второе выражение представляет собой уравнение состояния идеального газа, где R — универсальная газовая постоянная, a L ——число молекул газа в одном моле. Чтобы иметь возможность пользоваться привычными обозначениями и в то же время не нарушать исторической последовательности, мы введем здесь для сокращения записи величину

А = 4-(5.18)

Тогда будем иметь

В=方=与・(5.19)

Таким образом, средняя энергия частицы и тем самым также полная энергия одноатомного газа пропорциональны температуре:

豆=弓左7, IF = ■! NkT.(5.20)

Равновесное распределение, действительно, оказывается максвелловским, т. е.

Ns =奈%" e-吟 А* Др (5.21)

При

Мы установим теперь важную связь между In ф и энтропией 5. Согласно (5.20), имеем

In М = —(限 + In (V7%)) + &・

Причем здесь н в дальнейшем мы вводим постоянные неявно. Учитывая, что В X zsNs =餅N — 3N/2 = const, а также (5.9), представим теперь (5.8) в форме

ln^ = ^ln (VT%) + С2.(5.22)

С другой стороны, для газа, согласно первому закону, квазистатически подведенное количество тепла равно dQ = Л/de + pdV = Nk (у dr + £dV).

Здесь учтены формулы (5.20), (5.17) и (5.18). Тогда окончательное выражение для энтропии имеет вид

S =，岑 + So = NAln (1/Т%) + So =

= Aln^ + C3 = AQ + C4.(5.23)

Теперь мы можем результат проведенного рассмотрения резюмировать словами Больцмана:

«Отсюда следует, что мера статистического веса есть величина, которая в случае теплового равновесия с точностью до постоянного множителя I! слагаем мого идентична энтропии, но которая, однако, сохраняет смысл также и при необратимом процессе, когда она также постоянно возрастает»〔).

Именно на это утверждение будет ссылаться Планк в конце 1900 г. при обосновании своего закона излучения.

')См. [21], стр. 217. Вместо меры статистического веса здесь, очевидно, можно говорить о 1п$, т. е. о логарифме числа возможных реализаций макросостояния из микросостояний.

Глава 6

АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН И КЛАССИЧЕСКИЙГАЗ СВЕТОВЫХ КОРПУСКУЛ

В этой главе мы применим принципы теории газов Больцмана, чтобы подтвердить высказанную уже на стр. 47 мысль, согласно которой внутренний физический смысл закона излучения Вина (а также его трактовка Планком) представляет собой, в сущности, классическую корпускулярную теорию света. Как уже упо* миналось, эта теория восходит к Эйнштейну (1905 г.), а именно к его известной работе «Об одной эвристической точке зрения касательно возникновения и превращения света» [22] !). Аргументация Эйнштейна лежит полностью в рамках закона Вина, и свои выводы он ограничивает только областью его применимости. Эта аргументация совершенно не зависит от квантовой гипотезы Планка (1900 г.) и его окончательного закона излучения. Последний упоминается Эйнштейном в 1905 г. только как закон, лучше всех соответствую* щий экспериментальным данным; при этом закон приводится в элементарной форме (которой Эйнштейн придерживался также и в дальнейших публикациях). Фотоэффект, флуоресценция и фотоионизация не составляют главного в работе Эйнштейна, а служат в первую очередь для подтверждения его принципиальных соображений.

Рассмотрим вместе с Эйнштейном энтропию и энергию излучения, лежащего в интервале частот (V, V + Av)5

Sv = Sv AvV; Wv = uv AvV, (6.1)-

Ч Эта работа перепечатана в т. 56 настоящей се^йй книг [23], благодаря чему она легко доступна.

Подставляя (6.1) в соотношение (4.29а), справедливое в теории Вина, имеем

<叭4e3-*

—一 av Ш вл^Тд^-

Изменение этой энтропии при постоянной энергии % можно записать в виде

S” 一 Sw =為"In /•(6.2)

Принимая во внимание, с другой стороны, что для одноатомного идеального газа энергия W пропорциональна температуре Г, получаем, согласно (5.23), по аналогии с (6.2)

S — So=== kN In = A In •(6.3)

Это наводит на мысль рассматривать излучение в нн- тервале частот (v, v + dv) как газ, состоящий из корпускул света. Их (средняя) энергия была бы равна е = akv9(6.4)

а их число —

Nv = Wv/akv.(6.5)

Окончательный вывод Эйнштейна гласит:

«Монохроматическое излучение малой плотности (в границах применимости ф0РмУлы излучения Вина) ведет себя с точки зрения теории теплоты так, как будто бы оно состоит из независимых друг от друга квантов энергии величиной Rfiv/N^ !)«

Это заключение неудовлетворительно в двух смыслах. Во-первых, оно выведено из совершенно специальной формулы, а во-вторых, не хотелось бы ограничивать аналогию между обычным газом н излучением только монохроматической составляющей последнего. Поэтому желательно развить следствия из эйнштейновской теоремы полностью. В таком случае мы, конечно, отойдем от историчности изложения.

Прежде всего свяжем с излучением частоты v представление о световых корпускулах, энергия которых

Эйнштейн использует буквы ₽, ^ вместо а и Д. Обратите внимание, что 4 = R/L,

задана соотношением (6.4), т. е., отклоняясь несколько от вышеприведенного утверждения, не будем говорить о средней энергии. Тогда, если подставить (6.4) в формулу излучения (4.27) Вина, экспоненциальное выражение ехр(—ov/T) сразу примет форму ехр(—₽е), найденную в теории газов. В то время как в работе Эйнштейна символ Л вообще не появляется, мы будем обозначать в дальнейшем (только в качестве сокращения записи)

ak = ~^ = Л.(6.6)

Далее, мы припишем частицам массу m и используем соотношение е = тс?, которое Эйнштейн в это самое время нашел совсем в другой связи. Импульс световых частиц есть, очевидно, р = тс. Таким образом, если

Zrv = & = рс(6.7)

подставить в закон излучения (4.27) Вина, то он примет вид

%dv = updp = 2 /%削ее'®.(6.8)

Для сравнения напишем аналогичное соотношение (5.13) из теории газов в форме

Up 如=警^ ее-₽ее-°.(6.9)

Различия между двумя очень сходными формулами (6.8) и (6.9) легко объяснимы. В соответствии с появившимся множителем 2 удваивается число состояний (ячеек в фазовом пространстве) нашей классиче* ской корпускулы света. Оказывается, она обладает некоторой внутренней переменной характеристикой (спином), способной принимать только два значения. Это соответствует разложению монохроматического пучка лучей на два пучка, линейно-поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. Кроме того, величине ДхДр 只чейкн фазового пространства отвечает величина h^/b. При сделанных допущениях пока еще нет теоретической необходимости положить h — b9(6.10)

так как в классической теории величина ячейки произвольна. Но, с другой стороны, эта же произвольность позволяет нам сейчас сделать такой выбор (6.10), необходимый для квантовой теории.

Самое важное различие между (6.8) и (6.9) заключается в отсутствии множителя е-。. В предыдущей главе он оказался пропорциональным Т~3/2. Вин с самого начала избавился от этой Т-зависимостп, взяв максвелловское распределение скоростей. В противном случае он пришел бы к формуле излучения

15=e九一8 供?)-%е-атт，

которую не допускают термодинамические соображения. Положение вещей в корпускулярной модели сразу становится ясным, если вспомнить, что множитель Лагранжа а был введен с целью учесть постоянство числа молекул газа. Таким образом, а = 0 означает: в фотонном газе количество частиц переменно!

Для наглядности можно себе представить, что при нагревании стенок эмиссия фотонов увеличивается. Однако нельзя упускать из виду, что, как известно, тот же самый эффект достигается и путем адиабатического сжатия. Так или иначе необходимо предположить—число корпускул увеличивается с температурой. В подтверждение этого подсчитаем полное количество частиц М просуммировав (проинтегрировав) по всем частотам (импульсам). Комбинируя (6.4), (6.5) и (6.1), находим

〃 =2乂 = У \ (Нр/&) dp = -^ \ р2е-рсв dp =

='贝/-阿")如=2 (6.11)

в согласии с тем, что [см. (5.15)] в случае а = 0 число частиц и статистическая сумма равны друг другу. Взяв интеграл, получим

N = ZN = Z16лУТ3斐3 ，16лУТ3斐3 ，(6-12)(6-12)

N = Z

N = Z

16лУТ3

斐3 ，

16лУТ3

斐3 ，

(6-12)

(6-12)

где сильная зависимость числа частиц от температуры сразу же бросается в глаза.

Если рассчитать давление классического фотонного газа по стандартной формуле

p^NkTd\nZldV.(6.13)

вывод которой мы не приводим, то подтвердится соотношение р = 〃/3 1), справедливое для излучения в полости. С другой стороны, формулы (6.12) и (6.13) показывают, что наш газ формально подчиняется уравнению состояния pV = NkT. если под,% понимать зависящее- от температуры выражение (6.12).

Чтобы выразить интенсивность 會 линейно-поляризованного монохроматического пучка через величины, относящиеся к корпускулярной модели, мы вместо формального подхода воспользуемся наглядным рассмотрением. Мы рассчитаем энергию dW, которую переносят корпускулы с энергией в интервале от е = рс До е =(р + dp) с с направлением полета в телесном угле dQ за время dt через элемент поверхности dA. Эти корпускулы занимают в импульсном пространстве объем р22adр, а в координатном пространстве должны находиться, очевидно, в наклонном цилиндре объемом dA cos ^cdt. Произведение этих двух объемов, деленное на 九з, дает число ячеек в фазовом пространстве, Которые заняты исследуемыми корпускулами. Таким образом,

押=叩“cos6#dAdp м(6.14)

если N — среднее число корпускул в одной такой ячейке. При этом число корпускул N не обязательно долж* ро иметь равновесное значение еТ^. Сравнивая с соотношением (1.1), которое можно записать в форме

dW = Я(V)dA cos 6 dt dQ (c/h) dp^ (6.15) получаем

.贪(v) = Nc/?/"=汽£炉佯・(6.16)

Выражение Планка (4.296) для интенсивности из* ^учения энтропии с учетом (6.4), (6.7) и (6.10) примет вид

2 =—4京(^1П 万一万).(6.17)

9 Плотность энергии удобно определить, используя (5.16).

Плотность энтропии излучения рассчитывается тогда следующим образом:

S WT 如£ = _2可^^ "q耳1n『 =

= -2Jfe Jdp(fln(f/i3)-f) (6.18)

(dp = p2dpdQ). Множитель 2 добавлен в связи с тем, что выражение (6.17) относилось к линейно-поляризованному излучению. Далее мы в соответствии с за； дачей модифицировали (5.1) и ввели функцию распределения f = N/力з. Как показывает сравнение с (5.3), речь идет фактически о плотности энтропии Больцмана.

Здесь удалось избежать неудобного по соображениям размерности выражения In f, а присутствие до* полнительного члена —f объясняется тем, что из-за несохранения числа частиц уравнение (5.5) больше недействительно.

Планковская энтропия осциллятора (4.29а) прннн， мает в нашей корпускулярной модели света вид

s =；—左 ~ in《》=х -— ka in q~,(6.19)

если мы положим

《=万.(6.20)

При этом энтропия всей системы, состоящей из излу* чения н осциллятора, будет равна

Snojm =—左〔2 Н ^^~NE! + 冗 In?]• (6.21)

Если последовательно придерживаться гипотезы световых частиц, то необходимо предположить, что осциллятор может изменять свою энергию при эмиссии и поглощении только скачкообразно, а именно на целое кратное е = hv. Далее хотелось бы сделать вывод, что и энергия самого осциллятора состоит из квантов величиной е. Тогда мы пришли бы к правилу квантования Планка, согласно которому осциллятор способен иметь только дискретные состояния энергии % = ns = nh/・(6.22)

Этот вывод ни в коей мере не неизбежен, однако со* отношения (6.20) и (6.21) на него наталкивают. Напрашивается интерпретация п как среднего числа занятых состояний осциллятора в поле излучения с квантами энергии.

Теперь условие равновесия (4.24) вследствие (6.7), (6.16) и (6.20) принимает простой вид

N — п9

т. е. среднее число занятых состояний ячейки фазового пространства с энергией е фотонного газа равно числу занятых состояний осциллятора с частотой v = е/А. Это обстоятельство подкрепляет внушаемую выражением (6.21) точку зрения на роль осциллятора Планка в поле излучения: осциллятор можно интерпретировать как дополнительное состояние, которое искусственно добавлено к фазовому пространству газа световых корпускул. Корпускулы, которые попадают в это состояние, выбывают из активного процесса излучения, чтобы снова принять в нем участие, когда они это состояние покинут. То, что Планк определяет в качестве энтропии одного осциллятора, естественным образом становится понятньш, если рассматривать эту энтропию как составную часть энтропии всей системы. Тогда перед осциллятором ставится только задача имитировать больцмановский процесс столкновений между частицами, который не имеет места в свободном поле излучения из-за отсутствия взанмо, действия. В самом деле, если перейти от «кинетического» к статистическому способу рассмотрения, проведенному в гл. 5, то он с неизбежностью приведет при необходимых модификациях от концепции классического газа световых частиц (без вспомогательной конструкции осциллятора) к закону излучения Вина.

Внутренняя логика предмета и ее раскрытие в историческом процессе познания не идут здесь рядом. Логически концепция световых квантов и, как мы видели, в принципе также и квантование гармонического осциллятора относятся до - некоторой степени к тому наследству, которое физика получила от теории излучения Вина и сохранила в своем арсенале. С исторической же точки зрения можно сказать, что в данном

случае оставлявший наследство ни в коей мере не знал, что именно он завещает. В отношении квантов света это стало ясным только впоследствии (в 1905 г.) благодаря Эйнштейну уже после того, как Планку (в конце 1900 г.) удалось (диалектически) переосмыслить теорию Вина. Напротив, квантование осциллятора исторически не имеет отношения к теории Вина, так как оно было открыто Планком в 1900 г. при интерпретации им своей собственной уже окончательной формулы излучения. Казалось бы, из квантования осциллятора тогда же можно было сделать заключение и о существовании квантов света. Ибо если осциллятор обладает энергией, состоящей из дискретных квантов, то и испускать он может только их. Но при таком дискретном испускании и сам свет должен иметь дискретную природу. Однако от подобного вывода Планк был в то время еще очень и очень далек. Эйнштейн, после того как он в 1905 г. сформулировал квантовую гипотезу света другим способом, только в 1906 г. отчетливо говорит, что «Планк в своей теории излучения ввел в физику новый гипотетический элемент—гипотезу световых квантов» [24]. Планк же таким образом не интерпретировал свою работу.

Это и понятно, ибо гипотеза световых квантов в ее сырой наглядной форме оказывается несовместимой с эмпирически совершенно явными волновыми свойствами света. Так как теория Вина полностью интерпретируема в понятиях такой наглядной классической теории световых частиц, то само собой разумеется, что в ней может содержаться только часть истины. С другой стороны, поскольку в окончательной теории излучения корпускулярный аспект, как известно, сохранен, то и классическая наглядная волновая теория тоже не может быть справедливой без ограничений. Ирония истории состоит в том, что Планк в 1899— 1900 гг. фактически развивает классическую корпускулярную теорию света. Сам он, конечно, считает, что разрабатывает волновую теорию излучения, от которой он опять-таки фактически уходит. При последовательном применении волновой теории проблема из* лучения в полости получает совсем другое решение―： это мы покажем в следующей главе.

Глава 7

ЛОРД РЭЛЕЙИ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛОСТИ

От первоначального представления Вина о части* цах, взаимодействующих с излучением, мы перешли к модели излучения как газа, состоящего из световых квантов. Точно так же, вместо того чтобы рассматривать осциллятор, как это делает Планк, во взаимодействии с излучением, можно считать, что он сам — составная часть излучения, и представлять его как собственные электромагнитные колебания зеркально отражающей полости. Такая трактовка черного излучения восходит к Рэлею. Поводом для основной статьи Рзлея, приведенной во второй части книги, послужило -показавшееся ему странным следствие из закона излучения Вина. А именно, если применимость закона не ограничена, то плотность энергии в определенном цветовом интервале не может бесконечно возрастать с температурой, а должна асимптотически приближаться к конечному пределу (8冗匕/3厂八等).Этот «видимый парадокс》 Планк надеялся еще объяснить с помощью гипотезы «естественного излучения» [16].

В методическом отношении Рэлей исходит из своих исследований колебаний замкнутой воздушной массы. Он ссылается на свою монографию «Теория звука» (1877—1878 гг.)1), которая еще и сегодня (по прошествии 100 лет) имеет практическое значение и рассматривает «вибрации эфира» по аналогии с колебаниями воздуха. Здесь также можно говорить о стоячих волнах, которые образуются вследствие наложен ния волн, падающих и отраженных от стенок. В зависимости от природы волны и стенок граничные уело-

、)См. перевод этой книги [47] и статью Дж. Говарда о творчестве Рэлея [48]. — Прим. ped・

вия определяют наличие у стенки узлов или пучностей. Например, в случае звука, согласно граничному условию, молекулы воздуха у стенки не должны иметь нормальной к ней компоненты скорости. Требование, чтобы стенка была поверхностью узлов, очевидно, может выполняться при заданном объеме V не для любой длины волны X. Таким образом, встает вопрос, сколько вообще волн в интервале (厶，九 + dA) может существовать при данных условиях 】)・ Исключительно из соображений размерности можно ожидать, что число возможных волн пропорционально VLdZ Как мы увидим, если перейти от длины волны к частоте v, выражение

^4dv = -^-V dv (7.1) действительно определяет число возможных стоячих волн в интервале частот (v, v + dv). Но это как раз тот член, который с большими трудностями нашел Планк; этот член после умножения на среднюю энергию U осциллятора с собственной частотой v определяет полную энергию волн данного интервала частот. Таким образом, в связи с новой интерпретацией (7.1) энергию U можно теперь рассматривать как среднюю энергию стоячей волны собственного колебания полости с частотой V).

Чтобы лучше разобраться в этом, представим электрическую и магнитную напряженности поля £ н Н излучения в полости с помощью векторного потенциала А:

Е = -^А, H=rotA,

причем потенциал А в свою очередь удовлетворяет уравнениям

4 = 一4•翳 divA = 0.(7.2)

*) Вопрос, сформулированный таким образом, имеет смысл, если линейные размеры объема очень велики по сравнению с 入, т. е. если в интервале d九 может находиться достаточно много возможных волн.

Для простоты выберем полость в виде куба: 0 < %, V，z W L. На стенках, которые здесь должны быть идеально отражающими, тангенциальная компонента Е и нормальная компонента Н должны по соображениям непрерывности исчезать.

Как легко убедиться, это условие выполняется, если суперпозицию стоячих волн можно представить в виде

А = X 9“ (0 Ап (х, у, г), (7.3)

где Ап имеет следующие компоненты:

/勿* =s a。】 cos

П1ЛХ

丄

sin

〃2冗V

L

sin

п3П2

Any ==г a〃2 sin

П1ЛХ L

cos

〃2冗У

厶

sin

п3лг

，

(7.4)

Anz ^^ Олз sin

〃1冗% L

sin

〃2冗V

cos

〃з冗2

Вектор п имеет здесь целочисленные компоненты "I, 〃2, из = 0, 1, 2, 3,...・ Легко видеть, что члены разложения, соответствующие различным векторам m и л, ортогональны друг другу:

\ \ \dxdydzАп ООО\ \ \dxdydzАп ОООL L L

\ \ \dxdydzАп ООО

\ \ \dxdydzАп ООО

• A-tn==х 0 для tn ^^ /i.(7.5)

Волновое уравнение (7.2) требует, чтобы

2K土臂啜。"白",=。；

слагаемые здесь должны взаимно уничтожаться, в чем можно убедиться, умножая на Ат и интегрируя с учетом (7.5). Таким образом, речь идет о колебаниях с угловыми частотами

*=p" (* + 电 + 吗)；(7.6)

(7.7)(7.7)тогда можно записать

(7.7)

(7.7)

△& +吟-弘=0，

По аналогичным соображениям из второго уравнения (7.2) для каждого 九 имеем

divAn = 0; an{tii + 仪欣政 + аЛз«з = ап^ п = 0. (7.8) Очевидно, для любого заданного вектора п можно найти два вектора а£)и а£), которые перпендикулярны л и друг другу. После того как волну каждого вида мы с помощью этих векторов построим из двух волн, линейно-поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях, мы сможем более подробно и полно сформулировать выражение (7.5):

J dV國)• Д^ = 4nc&m„^iUI\ i, J=l, 2. (7.9)

Нормируя на 4пс2, МЬ1 Тем самым произвольно изменяем величины векторов 噌.Это допустимо, поскольку существенна только величина произведения 9^)〃^)・ Полезно заметить, что при расчете энергии поля 取=白"9 +硏dU =白\ (&郊+ (rot闺2"卩 в результате интегрирования по частям с учетом (7.8), (7.7), (7.9) можно получить

，dV (rot 熊)・ rota?))=

=\ dV 确(grad div 或)一△碘)=4жо^т„б(£)(/)- Тогда для полной энергии поля без труда находим 2

听=92 £(把)2+硝碎)2).(7.10)

л (£)=1

Здесь отчетливо выявляется принципиальное значение, которое гармонический осциллятор имеет для всей проблемы излучения: в энергетическом отношении излучение ведет себя как система невзаимодей-* ствующих гармонических осцилляторов 】)・ Подобно

тому как в корпускулярной модели осциллятор План* ка в известном смысле выступал как дополнительная препарированная ячейка фазового пространства (состояние частицы), так и при только что описанном подходе его следует рассматривать как некую своеоб-* разную разновидность собственного ^колебания (стоячей волны). Таким образом, вполне понятно, почему Планк получил тот самый член, который дан здесь формулой(7.1).

♦ Но если ход рассуждений Планка был очень сложным, то сейчас мы можем проверить соотношение (7.1) простым способом. Если рассмотреть (7.6) в виде

〃2 =齿 + 慰+吗=(2vL/c),

то ясно, что каждой тройке натуральных чисел соответствует некоторая собственная частота полости. Число собственных частот между 0 и v равно тогда числу точек с целочисленными координатами в первом октанте шара радиуса n = 2v£/c или при большом 厶 (см. примечание 1, стр； 83) приближенно равно самому объему восьмой части шара. Точно так же число собственных частот между v и v + dv равно объему восьмой части сферического слоя такого же радиуса и толщины 2Ldv/c. Если еще принять во внимание, что каждой собственной частоте соответствуют два различно поляризованных собственных колебания (две стоячие волны) и что /Л =匕 то мы придем к (7.1). Этот результат получен для куба, однако он должен быть верен независимо от формы полости; иначе, вопреки тому, что нам известно об излучении абсолютно черного тела, uv зависело бы от формы полости 】)•

Вторая основная идея Рэлея сводится к поиску средней энергии U отдельного собственного колебания с помощью метода статистической теории газов Больцмана. В соответствии с этим часть излучения в определенном интервале частот рассматривается как своего рода《газ независимых осцилляторов». Вместо

А' газовых частиц вводится 9lvAv осцилляторов. Фазовое пространство, задаваемое координатами положения х, у, z н импульса р*, р^, рг газовых частиц, заменяется на двумерную фазовую плоскость q, 0 осциллятора. Далее программа расчета протекает точно в такой же поел ед о в ательности, как и в гл. 5. Поэтому справедлива фундаментальная формула (5.16)

Е = и = ^^Г =-豆 EZ. (7.Н) Статистическая сумма Z — ^ e~^s снова заменяется интегралом. Так как энергия одного осциллятора равна (@2 + m2q2) /2, то мы получим

Z = Г i 對 d%f(4叶叫*)/2= (₽v M 州尸.(7.12)

Тогда, согласно (7.11), U = 1/0. Но можно ли здесь вместо 1，В взять значение 力Т, как это было в случае совершенно* специальной системы — одноатомного идеального газа? Оказывается, можно. Нетрудно показать, что р представляет собой параметр, определяющий тепловое равновесие, т. е. 0 есть универсальная функция температуры, для определения которой достаточно исследовать одну подходящую систему.

В нашем случае мы можем использовать более простую аргументацию. Согласно выбранному методу, величина U, во всяком случае, не зависит от частоты, т. е. U= U(T), в то время как закон смещения требует, чтобы U =川(?7『).Но отсюда следует

U = kT (7.13)

(причем эта аргументация не дает, конечно, истинного значения 月=R，L) •

Подставляя (7.13) в фундаментальную формулу Планка (4.19), приходим к так называемому закону излучения Рэлея — Джинса

Uv = 8m2c-3kT9 (7.14)

Закон Рэлея — Джинса несправедлив, так как он при* водит после интегрирования по всем частотам к бес- сMt»icленному результату — бесконечно большой плот-

ности энергии излучения. Поэтому Рэлей ограничивает его применение исключительно областью высоких температур и больших длин волн. Для указанной области закон (7.14) был качественно подтвержден как асимптотический закон уже экспериментами Курль- баума и Рубенса. Как видно из оригинального текста (см. вторую часть данной книги), Рэлей принимает в качестве точного закона излучения не (7.14), а (в нашей записи)

iiv = 8g2c-"Tc-awr. (7.15)

Это неверно, но не бессмысленно, так как не ведет к бесконечному значению полной энергии, т. е. к《у〃ь・ трафиолетовой катастрофе».

Последнюю вызвал не Рэлей, а только Джинс в 1905 г., объявив закон излучения (7.14) обязательным для всех частот; так как природа этому закону, безусловно, не подчинялась, Джинс постулировал, что в излучении не устанавливается термодинамическое равновесие. Вопреки мнению, которого придерживаются даже серьезные авторы, «ультрафиолетовая катастро- фа》, возникшая в 1905 г., не могла играть вообще нн* какой роли при обсуждении закона излучения в 1900 г.

Причина ультрафиолетовой катастрофы лежит, конечно, в независимости средней энергии U от частоты, что в свою очередь служит выражением закона равномерного распределения, который был назван Рэлеем «доктриной Максвелла ——Больцмана» !). В то время

Этот закон равномерного распределения гласит: если энергия статистического объекта (молекулы газа, осциллятора нли чего-либо подобного) имеет форму

В = £%统

а переменные & распределены непрерывно между —8 и 4-оо, то статастическая сумма рассчитывается по формулеа переменные & распределены непрерывно между —8 и 4-оо, то статастическая сумма рассчитывается по формулеООООfООООООfООи средняя энергия при этом составляет-0 In Z f f 5ег—即-=赤T女и средняя энергия при этом составляет-0 In Z f f 5ег—即-=赤T女

а переменные & распределены непрерывно между —8 и 4-оо, то статастическая сумма рассчитывается по формуле

а переменные & распределены непрерывно между —8 и 4-оо, то статастическая сумма рассчитывается по формуле

ООООfОО

ООООfОО

и средняя энергия при этом составляет

-0 In Z f f 5

ег—即-=赤T女

и средняя энергия при этом составляет

-0 In Z f f 5

ег—即-=赤T女

как из классической корпускулярной концепции света следует хотя и неточная, но приемлемая формула нз- лучения (Вина), волновая теория явно ведет к принципиально бессмысленному результату!). Для его разбора прибегнем еще раз к гипотезе «естественного излучения». .

Планк представляет компоненту электрического поля в некоторой фиксированной точке в интервале времени (—ST V / V 歹)в виде ряда Фурье:

Е = ^Ап sin (ют -^ +а^. (7.16)

Тогда в своей сильной формулировке гипотеза гласит, что амплитуды Ап и фазы с^ парциальных колебаний ни в какой мере не проявляют корреляции,《а распределены абсолютно беспорядочно в смысле теории вероятностей» [25]. В слабой формулировке это относится только к амплитудам и фазам колебаний, принадлежащих узкому интервалу частот B=(v, v + Av).

Если гипотезу применять к амплитудам и фазам обсуждаемых в данной главе собственных колебаний %=』u sin (со/ + %)=~^ (% sin со/ + 瓦 cos со口/), (7.17) то потребуется некоторое конкретное уточнение. При такой записи энергия излучения в интервале В составит, согласно (7.10),

в

吟=[(片+/)=丸Av (耳+%=%△w.(7.18)

В своей слабой формулировке уточненная гипотеза предполагает, что в естественном излучении элементы 《газа осцилляторов», соответствующего интервалу частот В, беспорядочно распределены по фазовой плоскости q, q. Таким образом, эта гипотеза в точности соответствует постулату «молекулярного хаоса», т. е. беспорядочному н некоррелированному распределению реальных молекул газа в 6-мерном фазовом пространстве, свойственному «естественному» газу.

!) Когда Рэлей в (17.15) устраняет возникшую трудность с помощью экспоненциального множителя, то это делается ad hoc, без теоретического обоснования.

Так как нндекс 卩 относится к собственной частоте» то сильная формулировка гипотезы исключает систематическую частотную зависимость величин Лц, 口口 и соответственно。口 и。的 Тогда н среднее значение в .(7.18) также должно быть независимым от частоты. Но это ведет, как мы видели, к закону излучения Рэ* лея — Джинса (7.14). Однако, поскольку Планк не приходит к этому несостоятельному закону, можно заключить, что во всяком случае сильную гипотезу естественного излучения он не проводит последовательно.

Нечто подобное можно сказать и о слабой гипотезе, хотя и не столь определенно, как в предыдущем абзаце. Мы будем исходить из того, что неупорядоченность естественного излучения происходит, как известно, от неупорядоченности производящих его элементарных актов. Мы основываемся на слабой гипотезе, когда для отдельных ориентировочных оценок допускаем идеализацию, ограничиваясь монохроматическими волнами. Мы считаем, что они испускаются некоррелированными точечными источниками со слу・ чайными фазами.

Не касаясь поляр из аци онных свойств, представим возбуждение света ® в точке прихода Р как наложение элементарных волн вида

•ф = X Q^exp t (Аг. +。,弘一s/).(7.19)

Здесь й = 2лД, а 加 ——расстояние от 网-го источника до точки Р. Как обычно, интенсивность света

/ =屮屮.=Е 心 + ЕЕ амо^ехр i[k (rM—rN)+aM—aN].

(7.20)

Имеющийся здесь интерференционный член (двойная сумма) при усреднении практически исчезнет; другими словами, измеряемая интенсивность будет описывать* ся формулой

了 =方爲(7.21)

Естественный свет некогерентен.

Однако, несмотря на это, существуют пространн

ствениые флуктуации интенсивности. Пусть Г — интенсивность в точке Р', а 珠——расстояние К・го источника до этой точки, тогда легко найдем

〃，=£ £ 風碌 + EX cimcik exp / (гм 一 r余 +，к 一 啕.

(7.2®

Второй член показывает, что интенсивности в различных точках пространства не совсем независимы друг от друга. Это дает повод для вопроса, не состоит ли ошибка Планка при последнем выводе закона Вина в том, что он рассматривал свои осцилляторы в различных точках поля излучения как полностью независимые друг от друга. Но можно ожидать (и более подробный разбор это подтверждает), что упомянутые корреляции короткодействующие и заполненное излучением пространство можно разбить на участки, которые флуктуируют практически независимо друг от друга. Поэтому метод Планка в этом пункте можно считать оправданным.

Тем не менее метод, который де-факто ведет к классическому газу световых корпускул, уводит нас от волнового аспекта света. Согласно (7.21) и (7.22), средний квадрат отклонения интенсивности в определенной точке равен

丽=(J — — * R(7.23)

Теперь, собственно, уже нельзя говорить об пнтенсив< ности чисто монохроматических волн, как это было предположено в нашем приближении. Наоборот, мы всегда имеем дело с полосой частот Av. Так как число степеней свободы, которые определяют состояние излучения интервала Av, в объеме V равно 9lvAv, то естественно понимать под 了 средний вклад одной из таких степеней свободы в энергию этой полосы частот, т. е. положить 了 пропорциональным U. Это приводит нас к следующей форме квадрата отклонения для энергии рэлеевских собственных колебаний:

込研=(e — U)2 = IA(7.24)

Теперь мы покажем, что эта форма квадрата отклонений, а тем самым и вся классическая волновая

теория света совместимы только с законом излучения (7.14) Рэлея — Джинса. Для этой цели придадим нашим рассуждениям несколько другое направление и прибегнем к фундаментальной формуле (7.11) для 《газа» собственных колебаний. После дифференцирования по § получим

ардт ^е~^ 十 L：

Но нз 1/7 = dS/dU следует

m 6U г 02s、г

При этом мы получаем важное соотношение

9一 0 =唠=_左(舒)「(7.25)

Отсюда в первую очередь следует большое значение используемой Планком второй производной знтро пни по энергии. Хотя вторая производная была введе* на для равновесного состояния, она сразу же дает среднее квадратичное отклонение энергии рэлеевского собственного колебания, или (что то же самое) осциллятора Планка.

Мы комбинируем теперь (7.25) и (7.24) и получаем после интегрирования доказательство нашего утверждения, что (7.24) требует выполнения закона Рэлея — Джинса:

Повторное интегрирование даст

SilnU/e(7.26)

(где постоянная интегрирования е по различным соображениям должна быть пропорциональна v).

Выражение (7.26) противоречит, конечно, опреде* лению энтропии (4.29а) Планка. Из последнего в про, тивоположность (7.24) получаем

晒=i(嶽):：=4・a27)

Правда, в данном случае вышеприведенное обоснование соотношения (7.25) не вполне подходяще, так как оно предполагает использование формул (7.11) и

а этот путь трудно модифицировать так, чтобы он привел к U — bv exp (—aT/v) вместо U = hT. Однако мы покажем в другой связи, что независимо от закона излучения выполняется равенство

一（隸）" =画可,一（隸）" =画可,(7.28)(7.28)

一（隸）" =画可,

一（隸）" =画可,

(7.28)

(7.28)

где, как и раньше, Sv и Wv означают соответственно энтропию й энергию диапазона частот (v, v + Av) излучения полости. Столь же общий характер имеет, поскольку Wv = SUAvU, соотношение

譬■=容二_ (7.29) 0哈 ди2 观 vAv

н равным образом

(№)2 =現心伍期， (7.30)

так как квадраты отклонений независимо флуктуирующих величин складываются. Но (7.28) — (7.30) дают выражение (7.25).

Как теперь можно видеть, Планк неявно делает предположение о господствующей в излучении статистике, а именно о квадратичном отклонении энергии, когда он выбирает выражение для d^/dU2. Непосредственное «определение энтропии» S = S(U) имеет, конечно, точно такое же значение. Оно ведет к определенному ответу на вопрос о спектральном распределении энергии и, таким образом, в достаточной мере учитывает то обстоятельство, что речь идет, собственно, о вопросе из области статистической физики. Но статистика естественного излучения классического волнового характера оказывается идентичной определению энтропии (7.26), которое в свою очередь ведет к закону излучения Рэлея — Джинса.

Напротив, подход Планка уводит его от поставленной цели. То, что этот подход, как мы знаем, соответствует классической корпускулярной модели света, в

нашем рассмотрении явствует из выражения для от・ иосительного квадратичного отклонения

(7.31)имеющихся(7.32)(7.31)имеющихся(7.32)(T=(A%)2/g.

(7.31)

имеющихся

(7.32)

(7.31)

имеющихся

(7.32)

Его можно легко рассчитать с помощью формул. Мы получим

е 1

°Bhh=W =瓦;’

где Nv, как известно, — число корпускул света. Итак, относительные отклонения тем больше, чем меньше число световых корпускул.

В отличие от этого в случае Рэлея отклонение определяется числом собственных колебаний, т. е. стоячих волн. Ибо здесь

ОРзле* =观：兩 *(7.33)

Глава 8

МАКС ПЛАНК

И ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ【)

Если вспомнить, что сильнейшая приверженность Планка к спектральной формуле Вина как раз совпадала по времени с экспериментальными опровержениями ее всеобщности, то будет понятно его затруднительное положение. К тому же уже тогда были выдвинуты и обсуждались эмпирические формулы, которые описывали экспериментальные данные лучше, чем формула Вина, и для Планка было делом чести самому предложить такого рода формулу. Это произошло 19 октября 1900 г. на памятном заседании Физи ческого общества.

Историческое событие идет здесь вслед за обыденным и трагикомическим. Эмиль Варбург открывает заседание деловыми сообщениями, рекомендуя, например, институтским библиотекам приобретать журнал «Fortschritte der Physik》. Затем участники слушают длинный некролог недавно скончавшемуся Рудакова- тому оригиналу проф. Рейнхольду Хоппе. И наконец, настает звездный час науки. В протоколе говорится [26]：

«Г-н Ф. Курльбаум сообщает о поставленных совместно с г-ном X. Рубенсом опытах по испусканию длинных волн черным телом.

На состоявшейся после этого доклада оживленной дискуссии г-н Планк говорит об улучшении спектрального уравнения Вина».

Это улучшение окажется окончательным ответом на вопрос о спектральном распределении энергии, а его интерпретация разорвет рамки классической физики. Один из величайших переворотов в научном

представлении о мире берет свое начало в дискуссионном замечании по докладу на физическом коллоквиуме! Наше восхищение уровнем тогдашних Берлинских коллоквиумов не должно уменьшаться из-за того, что речь идет о подготовленном дискуссионном выступлении. Курльбаум и Рубенс познакомили Планка со своими результатами уже за несколько дней до засе・ дапня. Таким образом, у Планка было время сделать из них свои выводы.

Что касается той формы, в какой это было сделано, то первоначальное сообщение Планка, воспроизводимое в этой книге, отличается от его более поздних формулировок. Но даже если мы будем придерживаться только самой скромной редакции ——первого сообщения, то уже и здесь будет отчетливо видна огромная качественная разница усилий по созданию улучшенной спектральной формулы со стороны Планка и со стороны его конкурентов.

Упомянутые вначале эмпирические формулы можно записать в общем виде

В = СТ5-/-"ехр (—台)•(8.1)

Здесь при 卩=5, р = 1 получается закон Вина, а при И = 4 н р = 1——закон Рэлея (7.15) (с экспоненци

альным членом). Кроме этих формул, были предложены еще другие:

Р= 1；Р = 0,9;Р= 12Р= 1；Р = 0,9;Р= 12Тизен:卩= 4,5,

Р= 1；

Р = 0,9;

Р= 12

Р= 1；

Р = 0,9;

Р= 12

Луммер, Янке:卩=5,

Луммер, Прингсхейм: 卩=4,

или р= 1,3.

В направлении, указанном В. А. Михельсоном и В. Вином ", Луммер и Янке выполняют несколько работ по теоретическому обоснованию формул, используя при этом максвелловское распределение скоростей. В ре зультате своих расчетов авторы, однако, ставят под сомнение пригодность распределения Максвелла для теории излучения. Фактически речь идет не более чем

о попытке аналитически представить эксперименталь* иые кривые. Даже исходя из чисто эстетических соображений, можно было бы держать пари, что такого рода формулы с дробными показателями не могут отражать фундаментального закона природы. Уже Кирхгоф был убежден, что искомая функция, «несом* ценно, имеет простую форму, как и все функции, которые не зависят от свойств отдельных тел》(см. стр. 140 этой книги).

Именно этим руководствуется Планк. В своем дискуссионном выступлении он трижды подчеркивает простоту предлагаемой им формулы. Ведь и подлежащее исправлению спектральное уравнение Вина Планк сам в своей статье в марте 1900 г. привел к наипростейшей форме, а именно:

d2s _ — const 仗 6 dU2 一

Далее, он был глубоко убежден в том огромном зна« чении, какое дифференциальное уравнение (8.2) имеет для подтверждения необратимости обмена энергией между осциллятором и излучением. В отличие от своих коллег Планк не пытается модифицировать уравнение Вина в его явной форме. Вместо этого он решает видоизменить соответствующее ему выражение (8.2). А оно настолько простое, что успех, как кажется, возможен с первой же попытки.

И Планк начинает прежде всего «совершенно про* извольно конструировать выражения для энтропии». Среди прочих его привлекает одно, «которое по своей простоте ближе всего к выражению Вина» и которое действительно оказывается правильным. Оно имеет вид

(8.3)1)(8.4)(8.3)1)(8.4)d2s k

(8.3)1)

(8.4)

(8.3)1)

(8.4)

= — ТЛёТТТГ

Интегрируя уравнение (8.3), получаем

1 dS 万 1 /е 1

')Здесь /г, е, а также А — пока просто некоторые постоянные. Они, конечно, имеют значения, разъясненные нами ранее. Но сейчас они должны считаться неизвестными.

4 Зак. 900

(8.5)(8-6)(8.5)(8-6)8лс А8лс А(8.7)(8.8)(8.7)(8.8)

(8.5)

(8-6)

(8.5)

(8-6)

8лс А

8лс А

(8.7)

(8.8)

(8.7)

(8.8)

• ИЛИ

Закон смещения требует, чтобы E — hv.

Тогда, согласно (4.19), окончательный закон излучения Планка гласит:

Для hv《 々Т, или для длинных волн и высоких температур, он переходит в закон Рэлея — Джинса (7.14), тогда как для противоположного случая hv》АГ его приближением служит закон излучения Вина (4.27)・ Положив b =力 н а = й/Л, мы придем к обозначениям, использованным в гл. 6.

Таким образом, закон излучения Планка фактически оказывается интерполяцией формул Вина и Рэ* лея — Джинса. Возникает вопрос: может быть, Планк и пришел к своему закону путем сознательного интерполирования этих двух выражений? Ответ может быть только отрицательным. Все указывает на то, что Планк в то время либо ие знал работы Рэлея, либо И€ придал ей значения. Он цитирует ее только в 1906 г. в своих «Лекциях по теории теплового излучения» 1). Другие авторы, упоминающие около 1900 г. о работах Рэлея, приводят всегда «разумную» форму (7.15) закона Рэлея (с экспоненциальным членом) и никогда не приводят формулы (7.14), называемой сегодня законом Рэлея — Джинса.

В более поздних воспоминаниях [впервые в своем нобелевском докладе (1920 г.))] Планк представ-

лист другую версию открытия своей формулы излу* чсння. А именно, он ссылается не на закон Рэлея ―■ Джинса, а на одно обстоятельство, которое в общем сводится к тому же. Рубенс сообщил ему о результатах своих измерений, согласно которым с возрастанием температуры интенсивность становится пропорциональной Т, или, другими словами, выполняется соотношение lim (Я/Г) = const. Тем самым также и U 7->оо

асимптотически приближается к виду const-Г, что соответствует закону Рэлея ——Джинса£). Все это, как мы видели выше, равнозначно формуле R = =(d2S/dU2)^ =—const U2y в то же время из (8.2)' следует R = —const U. По этому поводу позднее (в своем нобелевском докладе) Планк говорит:

«Таким, образом, для функции R путем непосредственных опытов были определены две простые границы: для малых энергий — пропорциональность энергии, для больших энергий ——пропорциональность квадрату энергии. И поэтому для общего случая са* мым простым было положить величину R равной сумме члена с первой степенью и члена со второй степенью энергии так, чтобы для малых энергий решающим был первый член, а для больших энергий ——второй. Таким образом была найдена формула излу* чеиия» [28].

Если все это так напрашивалось само собой, то хочется спросить, почему «совершенно произвольно конструировались выражения для энтропии», из которых потом одно, переходящее для малых значений U, в выражение Вина, было избрано вследствие своей простоты. 0 поведении при больших U в первом со* общении Планка не упоминается. Опыт показывает,

что наш ум не сразу схватывает то, что, казалось бы, лежит на поверхности. Чаще всего это удается лишь после нескольких неудачных подходов к решению задачи. По-видимому, так было и в данном случае, при* чем, как очевидно, Планк очень быстро понял характер своего исходного уравнения (8.3).

Физический смысл уравнения (8.3), конечно, гораздо глубже, чем можно было бы заключить из последней цитаты. Как мы видели в конце гл. 7, величина R, которая играет здесь определяющую роль, равна с точностью до постоянной квадрату отклонения энергии. Оба граничных случая соответствуют каким-то двум различным причинам, вызывающим отклонения. И именно тогда, когда эти причины действуют независимо друг от друга, квадраты отклонений можно суммировать, что как раз и делает Планк. Физическое содержание его исходного положения, а тем самым и его формулы излучения заключено в том, что флуктуации энергии ведут себя так, как будто они вызываются двумя не зависящими друг от друга причинами. Это положение очень четко развил еще в 1909 г. Эйнштейн [29]. Он подчеркивает то, что мы пояснили в гл. 7: речь здесь идет об отклонениях из-за интерференции и из-за движения независимых частиц. Отсюда, пишет Эйнштейн, «неопровержимо следует, что природа излучения должна быть не такой, какой мы ее считаем в настоящее время». За словами Эйнштейна скрывается, как мы теперь называем, дуализм природы света. Поэтому можно присоединиться к мнению М. Штрауса, который в своей заслуживающей прочтения работе《Макс Планк и возникновение квантовой теории» пишет:

«Закон излучения Планка представляет собой синтез двух, казалось бы, несовместимых теорий, которые на протяжении столетий противостояли друг другу. Но так как в формуле Планка обе эти теории содержатся как предельные случаи (hv/kT — 8 и hv/kT -► 0), то будет правильнее назвать этот синтез диалектическим снятием противоречия между обеими классическими теориями. .

Таким образом, Планк, сам того не предполагая, стал, в сущности, основоположником современного представления о «дуализме» материи, нашедшем позже свою адекватную м атемэтическую формулировку в квантовой теории поля» [30].

Глава 9

МАКС ПЛАНК И КВАНТОВАНИЕГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Несмотря на то что Планк посвятил не один год выводу закона излучения, его формула (8.7) вначале считалась всего лишь «удачно угаданной интерполяционной формулой». Поэтому, как само собой разумеется, Планк 《со дня ее получения трудился над задачей придать ей подлинно физический смысл» [31], т. е. «вывести ее дедуктивным путем» [32]. Это удалось ему, как он сказал впоследствии, «после нескольких недель самой напряженной работы в моей жизни» [31]. В результате появилась публикация «О законе распределения энергии в нормальном спектре», приведенная в данной книге. В другой форме результат был доложен уже 14. 12. 1900 г. опять-таки на Берлинском коллоквиуме Физического общества〔).

Этот день считается днем рождения квантовой теории, так как именно тогда впервые публично была высказана идея существования конечных квантов энергии гармонического осциллятора. Как мы выяснили выше, квантование гармонического осциллятора в принципе подсказывалось уже законом излучения Вина. Но теперь эти анахронистические замечания можно забыть, так как в действительности квантовая гипотеза сформировалась совершенно другим путем.

Она почти незаметна в чрезвычайно лаконично сформулированном утверждении Планка, что «полную энергию Un некоторого (ниже определяемого более точно) ансамбля из ^ тождественных осцилляторов необходимо рассматривать не как непрерывную неограниченно делимую величину, а как величину дискрет-

J) Речь идет о работе [32].

ную, составленную из целого числа конечных порций энергии» 1).

Планк с самого начала ясно понимает, что это «самый существенный пункт всех рассуждений» [33]. Тем более разочаровывает сегодняшнего читателя краткость, с которой Планк упоминает о подходе, ломающем рамки классической физики. Нельзя считать, нто он находился здесь в самом начале своего исследования. Напротив, следует спросить, во-первых, каким путем пришел Планк к такому утверждению. И, во-вторых, встает также вопрос, в чем именно он усмотрел тогда необходимость этого предположения, в которой он был, конечно, убежден, ибо иначе не могло быть п речи о выводе закона излучения. Но на чем бы ни основывалось убеждение Планка, к этому мен менту он уже более нс сомневался в огромной важности квантовой гипотезы). Она, однако, не была непосредственной темой анализируемой здесь работы, ибо внимание Планка было сконцентрировано на его старой теме — определить энтропию S осциллятора как функцию энергии U.

Так как предыдущие попытки не привели к цели, то теперь эта задача встает перед ним как вопрос более глубокого истолкования энтропии. Он праиходит к этому следующим образом. Ведь величину энергии U надо было определить только как среднюю по времени, или, как считает теперь Планк, с тоикн зрения статистики,

г сато то же самое, определить ее как мгновенное среднее значе* ние энергий большого числа одинаковых осцилляторов, находящихся в рассматриваемом стационарном поле излучения на достаточно больших взаимных расстояниях, чюбы ие оказывать влияния друг на друга. Поскольку в этом случае энтропия от* дельного осциллятора обусловливается характером мгновенного распределения энергии по многим'^осцилляторам, то я предположил, что эту величину можно, по-видимому, рассчитать путем введения в электромагнитную теорию излучения вероятностного метода, значение которого для вт盟ого закона термодинамика впервые раскрыл г-н Л. Больцман» [33].

】)См. стр. 173 данной книги.'

Ранее Планк «не задумывался» над этими идеями Больцмана. В них не было для него «ничего притягательного, потому что каждый вероятностный закон допускает и исключения», а Планк «считал в то время, что второй закон справедлив без исключений» [35]. Правда, уже в докладе от 19.10.1900 г. имеется крат* кая ссылка на теорию вероятностей, которая «наводит на мысль» считать энтропию S логарифмической функцией энергии U. Однако это замечание могло относится и к той плапковскои трактовке энтропии, в которой мы увидели аналогию /7-теоремы Больцмана.

Под давлением объективной реальности Планк теперь решительно выбрасывает за борт свои предубеждения и принимает, как мы уже подчеркнули, больц- мановский переход от «кинетического» образа мышления к «статистическому» обоснованию понятия энтропии. В этом заключается основная тема обсуждаемой работы. Ее можно расценить как творческое обобщение идей Больцмана. Be/и» если не касаться смелого применения Рзлесм .kikoii.i p;iini（）M（*|）ii（）ro pnciiределс- шгя к кс.：н、6，ш〕”м ）（|）npat io ciатпстпчсская термодинамика ограни'швалась «весомой материей», ирепму- mccniciiiK） газами. И тем, что Планк это ограничение снимает, он также вносит очень значительный, но большей частью недооцениваемый вклад в общую статистическую физику.

При этом речь идет сразу о центральном пункте, а именно об утверждении Больцмана, что энтропия равна логарифму величины 航 другими словами, числу возможностей осуществления макросостояния из мик- росостояпий, с точностью до постоянного множителя н слагаемого. Определение аддитивной постоянной и тем- самым абсолютного значения энтропии оставалось задачей дальнейших исследований. Постоянный же множитель в больцмановской статистике газа равен R/L. Хотя Больцман не записывает его в явном виде, но это очевидно из контекста [см. （5.23）]. Разумеется, величины R н L, характеризующие состояние газа, не имеют никакого отношения к теории излучения.

Поэтому Планк вводит для энтропии S^ своего ансамбля из ^ осцилляторов, взаимодействующего с из-

лучением, выражение

S^ — kln^ + const(9.1)

с пока еще неопределенной постоянной 々,где 2В долж* но быть вероятностью того, «что N резонаторов обладают суммарной энергией Un》i)・ В соответствии с только что повторенным утверждением Больцмана одновременно предполагается, что «вероятность каждого отдельного состояния (макросостояния) пропорциональна числу Ш соответствующих ему комплек* сий [микросостояний], или, другими словами, что какая-нибудь определенная комплексия столь же ве< роятна, сколь и любая другая комплексия» [33]. По* этому, учитывая произвольность аддитивной постоянной, Планк пишет:

SnUh 釈.(9.2)

О том, в каком объеме Планк обобщил идеи Больцмана, говорит тот факт, что в соотношение (9.2) входит только число 釈 возможностей реализации макросостояния из микросостояний, но при этом не ис* пользуется специальное определение этих понятий. В самом деле, у Планка для его ансамбля осцилляторов определение должно строиться, конечно, по-другому, чем у Больцмана в статистике газа. На этом примечательном пункте мы еще остановимся. Как бы то ни было, опубликованная 9. 1. 1901 г. работа Планка 《06 элементарных квантах материи и электричек ства», которая приведена во второй части данной кни* ги, показывает, что Планк с самого начала отчетливо осознает универсальный характер зависимости между энтропией и вероятностью: «Если в газе имеются излучающие осцилляторы, то энтропия всей системы пропорциональна логарифму числа всех возможных комплексий, образуемых скоростями и излучением, вместе взятыми» ).“

Как явствует из оригинального текста, из вышесказанного сразу следует универсальное значение постоянной А, которую мы отныне должны рассматри*

вать как первичную, в то время как газовую постоян^ ную R следовало бы считать производной. И так как постоянную k можно определить из измерений излучения, то Планк теперь оказывается в состоянии рассчитать ряд фундаментальных физических постоянных, причем их точность у него «намного превышаем все прежде вычислявшиеся значения этих величин». Например, для числа Лошмидта L до определения Планка вообще существовали только ориентировоч-« ные оценки. О том, насколько был прав Планк в при* веденном выше утверждении, особенно наглядно свидетельствует полученное им значение, элементарного заряда е = 4,69* 10一|° эл. стат. ед. Существовавшие в то время значения находились в пределах от 1,29-10~10 до 6,5*10一1° эл. стат. ед. Резерфорд и Гейгер в 1908 г., выполнив безукоризненные измерения, получили 4,65- 1О10 эл. стат. ед. (Сегодняшняя величина равна 4,80 • 10一1° эл. стат, ед.)

В своих расчетах Планк поднимается на более высокую ступень познания, чем Больцман, у которого величины давались «с точностью до постоянных», численное зпачсппе которых лежало вне его интересов. Таким образом, постоянная Больцмана k есть, в сущности, постоянная Планка; точно так же и соотношение S == felnSB введено в физику [в форме (9.2)] и применено в своем всеобщем значении именно Планком.

Теперь мы сделаем небольшое отступление н с помощью это< го соотношения докажем справедливость формулы для флуктуад ций (7.28). При доказательстве используется в принципе идея Эйнштейна, которая заключается в применении соотношения для вероятности, т. е. обратного соотношению для энтропии:

肥=8S/.

Далее считают, что

S = £Sy•V

—энтропия не осциллятора, а всего излучения в полости. Разложим энтропию Sv парциального излучения в интервале (v, v-f-dvj' в окрестности равновесного состояния в ряд Тейлора и ограни* чимся квадратичным членом: .

Sv = S: + (l/?)А叭 + x富)严)2.

Так как в замкнутой системе, согласно закону сохранения энер* гии, £ △% = 0> то в этом приближении

V

如=如oexp(—nZK]

где

В a%, a 一吁｝(%网嗡).

(Производная должна быть отрицательной.) Среднее квадратичное отклонение тогда равно

卜А%)2 8»d%\ ^dWv卜А%)2 8»d%\ ^dWv

卜А%)2 8»d%\ ^dWv

卜А%)2 8»d%\ ^dWv

Подставляя сюда найденное выражение для W, получаем

(A昭1=-丽In卜 徽0(A昭1=-丽In卜 徽0

(A昭1=-丽In卜 徽0

(A昭1=-丽In卜 徽0

Таким образом доказана справедливость выражения (7.28):

阿^二-4爲)：

Объединив с точки зрения термодинамики «весо* Мую》материю и《невесомое》излучение и поставив их в конкретное соответствие друг с другом, Планк,，в сущности, вышел за рамки《чгнетой физики>, так как, с одной стороны, он дал свидетельство материального единства мира, а с другой — нанес удар по господствовавшему в то время механистически-метафизиче* скому представлению о материи. Сегодня, оглядываясь назад, мы видим, что квантовая гипотеза Планка имела именно эту направленность.

Вернемся теперь к поставленному вначале вопросу: каким путем Планк пришел к этой гипотезе. Как мы помним, он свел вывод формулы излучения к задаче определения функции У = S(U)・ Совершенно очевидно, что эта задача представлялась Планку так, как

он позже формулирует ее в своих воспоминаниях, а именно как «вопрос, можно ли истолковать как некоторую вероятность выражение для W, которое получается [из соотношения Sn = NS =女 In SB], если для энтропии S ввести значение, соответствующее найденному закону излучения» [36]. Поэтому мы поступим правильно, если проведем в обратном направле- кии ход рассуждений перепечатанной во второй части данной книги работы Планка о распределении знер* ГИИ.

Итак, исходным пунктом пусть будет функция энтропии^"

S = U(1+片)1п(1+丹)一Зп 閉，(9.3)

которая получается путем интегрирования (8.4) как «значение, соответствующее найденному закону мзлу- чения». Средняя энергия U и энтропия S одного осциллятора связаны с соответствующими величинами Un и Sn ансамбля N тождественных осцилляторов формулами，

Un=NU, Sn = NS・(9.4)

Представляется естественным в выражение для S&, вытекающее из (9.3), ввести сокращения

NUUKt

p =="，

е е

и тогда оно примет вид

Sn = H(N + Р) In (1 + 方)—Р In 备|・

Далее попытаемся найти более симметричную форму и в результате получим

SN = k [(N + Р) ki(N + Р) - Р ЕР - NIn N]. (9.6)

С помощью формулы Стирлинга (5.7) вместо (9.6), можно написать

В учебниках по комбинаторике можно найти вы* ражение, очень сходное со стоящим здесь под знаком логарифма, а именно〔)：

("+ 尸一1)[一-(N—1)1-1 ，

Оно дает число возможностей разместить Р неразличимых элементов в N различимых ящиках. Это легче всего понять, если наглядно представить себе каждую комплексию рисунком. Так, например, кар« тина

..II....II...

изображает распределение Р=15 элементов по ^—5 ящикам таким образом, что с первого по пятый ящик по порядку находятся соответственно 2, 6, 4, 0, 3 элемента. Тогда общее число перестановок точек и штрихов будет равно (Р + N—1)!, причем Р! перестановок точек н (N— 1)! перестановок штрихов не меняют картины.

После того как мы таким образом выяснили статистический смысл 9?» уравнение (9.5) неизбежно интерпретируется как квантовая гипотеза для гармони* ческого осциллятора. Р подлежащих размещению элементов—это дискретные элементы энергии величиной е; из них состоит полная энергия Un ансамбля осцилляторов, которую таким образом уже нельзя считать неограниченно делимой. Эти Р элементов энергии нужно теперь распределить между N осцилляторами.

Так как число N произвольное, то надо допустить, что и каждый отдельный осциллятор может иметь только дискретные уровни энергии:

гп-пв — nhv(6.22)

(причем выполнения последнего уравнения требует, как известно, закон смещения).) Правда, только в 1906 г. Эйнштейн впервые дал эту недвусмысленную

интерпретацию в упоминавшейся уже здесь (стр. 81) работе:

«Итак, следующее положение мы должны считать лежащим в основе теории излучения Планка: энергия каждого элементарного резонатора [т. е. осциллятора] может принимать только такие значения, которые являются целыми кратными (R/N)pv [т. е. ”v]》 [24].

В противоположность этой формулировке анализируемые здесь рассуждения Планка еще не свободны от некоторой неясности. Так, в докладе от 14.12.1900 г・ говорится:

«Если вычисленное так частное (Р = U^/hv) окажется не целым, то для Р надо взять ближайшее целое число» [33]. Это выглядит так, как будто Планк видел тогда в квантовой гипотезе только формальный вычислительный прием. Но это фактически лишает фундамента все рассуждения Планка. То же самое можно сказать п о различных вариантах более позд* них предположений Планка, согласно которым только обмен энергией между излучением и осциллятором происходит дискретными порциями.

Тем не менее поскольку с квантованием гармонического осциллятора (е〃 — nhv) планковский вывод формулы излучения связан совершенно неразрывно, то приоритет этого квантования, следовательно, по справедливости принадлежит Планку. Хотя и не в явной форме, но де-факто Планк его осуществил. Не следует относиться слишком строго к обнаружившимся здесь неясностям. В известном смысле они сыграли даже положительную роль, так как возможно благодаря им Планк не сошел преждевременно с избранного пути. Вполне вероятно, что он мог бы иметь к этому повод, если бы уже тогда осознал, насколько радикально квантовая гипотеза порывает с классической механикой. Ведь, согласно принципам последней, осциллятор может принимать какие угодно значения энергии. Но прежде всего энергия там задается квадратом амплитуды и не находится в линейной за* виси мости от частоты.

Разумеется, нельзя доказать, действительно ли Планк, как мы здесь изобразили, пришел де-факто

к квантованию осциллятора путем преобразования из* бранного выражения (9.3) для энтропии и его стати* стической интерпретации. Косвенное указание на это !(конечно, не бесспорное) можно увидеть в том, что Планк не использует важного больцмановского принципа, согласно которому равновесное состояние идентично макросостоянню с максимальным статистиче- .ским весом 昭.В описанном нами способе ато действие тельно излишне, так как интерпретируемая формула (9.3) с самого начала отнесена к равновесному со* •стоянию, и здесь уже пет никаких свободных пара* метров, по которым можно было бы проводить вариации. В соответствии с этим и определение макросе* стояния у Планка отличается от больцмановского. Оно определяется просто как состояние, в котором N ре- вонаторов обладают вместе энергией Un, так как 血 и есть вероятность именно такого состояния.

Чтобы иметь возможность сравнить планковское построение понятий с больнмановскнм, мы должны .идентифицировать больцмановские частицы с план， ковскими осцилляторами, как это уже делалось в гл. 7. Однако здесь не надо' заменять координаты по〃дже・ ния и импульс молекулы газа на канонические переменные q п q осциллятора. Напротив, теперь в отличие от классической трактовки состояние полностью задается энергией осциллятора пе. При таком условии макросостояние по Больцману определяется числом осцилляторов с энергией пе. Относительно же микро* состояния расхождений между трактовками Больц* мана и Планка нет, Ибо когда по Планку микросо* стояние определяется некоторым распределением Р элементов энергии по N осцилляторам, то мы знаем, какие осцилляторы имеют энергию пе, н наоборот, этими сведениями задается распределение элементов энергии.

Определение макросостояния по Больцману ведет» очевидно, к уравнению (5.8), которое мы сейчас запишем в следующем виде: *

SLA『NlnN-玄 (9.8)

Чтобы придти к равновесному состоянию, нужно было бы найти максимум выражения (9.8) при дополнительных условиях постоянства N н заданной энергии ансамбля осцилляторов Uw = Ре. Дополнительные ус* ловия запишем в виде

g。

£ N“ = N, £ nNn = P.(9.9)

Исключительно интересно, что Больцман именно эту задачу из чисто эвристических соображений рассматривает в самом начале статьи, которую Планк цитирует в качестве своего важнейшего источника 】)■ [Только там написано «частица» вместо осциллятора и «живая сила» (кинетическая энергия) вместо энергии.] В случае больших значений q Больцман остроумным способом вычисляет для равновесного состояния.：•■

心=希(电户 (9」。)

Если подставить (9.10) в (9.8), то с учетом (9.9) получится в точности уравнение Планка (9.6), которое в свою очередь сразу ведет к закону излучения!

Отсюда можно как будто увидеть соответствие между числом всех комплексий, которое применяет Планк, н меньшим числом комплексий (микросостояний), которые относятся к больцмановскому случаю равновесия. Это, однако, неудивительно, ибо при больших значениях N н Р максимум SN так резок, что эта разница оказывается в пределах точности приближенной формулы Стирлинга.

Больцмановская модель частиц» которые могут обладать только энергией пе, особенно интересна тем, что на нее Планк, несомненно, обратил внимание. По этому мыслима также н следующая версия введения квантования энергии осциллятора. В исходной формуле (9.3) Планку должна была броситься в глаза характерная зависимость от U/е. Но она выступает и в решающем правиле квантования (9.5), которое

1) Речь идет о цитируемой на стр. 182 основополагающей работе Больцмана [20].

опять-таки (только там используются другие обозначения) явно лежит в основе модели Больцмана. Поэтому нельзя исключить предположения, что Планк мог в первую очередь попытаться с помощью формул Больцмана выяснить, не ведет ли больцмановская модель к желаемому выражению для энтропии, что в самом деле и имеет место. Тогда решающая формула (9.5), возможно, не была введена (как это мы раньше предположили) в качестве формального сокращения, интерпретированного лишь потом в смысле существования дискретных квантов энергии, а была обязана идеям Больцмана. Если Планк пришел к цели таким путем, то можно предположить, что после этого он обратил внимание на возможность интерпретировать выражение (9.6) для энтропии в смысле формулы комбинаторики (9.7).

Но более вероятной кажется нам еще одна версия. Хотя больцмановская модель и могла бы, как мы это описали, подтолкнуть Планка к квантовой гипотезе, однако он не мог считать подходящим для своего ансамбля осцилляторов больцмановское определение макросостояния. Действительно, этот ансамбль у него в известном смысле виртуальный, имеющий цель только смоделировать единственно интересное с физической точки зрения среднее по времени значение энергии одного осциллятора, находящегося в поле излучения. Поэтому вопрос, сколько таких виртуальных осцилляторов обладают определенной энергией, был ли* шен для Планка физического смысла, интерес представляла только общая энергия ансамбля.

Еще два довода св и детел ьствуют в пользу того, что Планк исходил из модели Больцмана, но по указанным соображениям макросостояние ансамбля осцилляторов описывал их общей энергией. Во-первых, фор* мула (9.7) для статистического веса 9? определяемого таким образом макросостояния приводилась также и Больцманом (в другой записи и в другой связи) при обсуждении его модели. Во-вторых, Планк в начале своего первого сообщения (доклада от 14. 12. 1900 г.) развивает в отличие от вышеприведенного метода программу для вычисления равновесного распределения на базе модифицированного понятия макросостояния,

причем делает это в соответствии с идеей Больцмана путем максимизации статистического веса 8?.

Так как при описании только одного ансамбля осцилляторов, как мы видели, не существует никакого свободного параметра, Планк рассматривает совокупность такого рода ансамблей. Пусть N& — число осцилляторов с частотой V = v(e) и, согласно (9.5), Р^е — соответствующая им общая энергия. Общую энергию всех осцилляторов

2 Рее = W = const(9.11)

е

можно распределить, согласно (9.7), следующим чис* лом различных способов:

低+Р е -1Н口 (% - 1)[Р以.

е

По Планку стационарное состояние — это такое состояние, для которого 1пЭ?о имеет максимум при выполнении условия (9.11). Учитывая надлежащим образом обобщенную связь между энтропией (9.6) и величиной (9.7) с параметром Лагранжа —р, придем к решению задачи на экстремум:

說 Z KNe+Pj 1П (М+А)-М 1П Ne—Pjn AT叽]=

Б

= к(М + Ре) — 1пРв —卽=0, ИЛИ

^-^Т'(9・12)

Тогда средняя энергия осциллятора с частотой v = =『(е) в стационарном поле излучения будет определяться формулой

а закон смещения Вина даст снова е = hvt р = 1"7. Поскольку, по словам Планка, было бы «затруднительно выполнить весь этот расчет» [33] (что не вполне соответствует действительности), то он указывает на «исключительно легкое решение», которое приведено

во второй части нашей книги. Дальнейшие вычисления были для Планка излишни, так как он сразу увидел сходство интерпретируемого выражения для энтропии (9.3) с комбинаторной величиной 紀[формула (9.7)], значение которой ему уже было известно.

Но, как бы то ни было, нам еще остается ответить на поставленный вначале вопрос, почему Планк рассматривал решающее правило квантования (9.5) как «необходимое». Относительно этого можно найти несколько косвенных указаний. Как видно из текста, речь идет о «нахождении вероятности того, что N резонаторов обладают вместе энергией С^» 】)・ В своем последнем изложении истории открытия кванта действия Планк заменяет слова из воспроизводимой намн работы «Для этого необходимо...» на следующее предложение: 《Так как величину вероятности можно найти только путем подсчета отдельных событий, то прежде всего необходимо было представить энергию Un в виде суммы дискретных одинаковых элементов е» [35], Соответственно и в своем нобелевском докладе он делает следующее замечание: сВычислёние вероятности физического состояния основывается на подсчете того конечного числа равновероятных отдельных случаев, которыми осуществляется рассматриваемое состояние» [37]. Таким образом, для Планка необходимость правила квантования диктовалась требованием подсчета числа отдельных событий. Планк с самого начала придерживался этой точки зрения, что подтверждается также и следующим предложением, которым он предваряет правило квантования в своем докладе от 14. 12.1900 г.: если Un «рассматривать как бесконечно делимую величину, то распределение возможно бесконечным количеством способов» [33]. В данной связи это может только означать, что прове* сти подсчет нельзя.

Приведенные примеры усиливают впечатление, что Планк в 1900 г. при формулировке квантовой концепции руководствовался формальной точкой зрения. При этом стимулом прогресса оказалась ошибка. Ибо для рассмотрения вероятности совсем не необходимо, что*

弓 См. стр. 173 настоящей книги.

бы множества отдельных случаев были счетными. Достаточно, чтобы они были «измеримы», так что адекватную основу для расчетов теории вероятности представляет «теория измерений».

Но даже если мы в нашем случае примем, что множество распределений счетно, и предположим, что осциллятор обладает только дискретными энергетическими уровнями, то отсюда вовсе не будет следовать эквидистантность этих уровней, т. е. равенство план- ковских элементов энергии. Напротив, такое предположение представляет собой в сущности самостоятель^ ную гипотезу. Планк не выдвинул ее особо, вероятно, потому, что ему a priori казались равновероятными «ступени» (en+i — ert) = (п + 1)е — ne = е при распределении осцилляторов по энергетическим уровням. Мы процитируем отрывок из монографии Криса о принципах теории вероятностей, поскольку Планк ссылается на эту книгу: 《В качестве основного положения нашей теории необходимо принять утверждение, что все предположения, которые охватывают равные н индифферентные первичные возможности, являются равновероятными» [38]. При этом «индифферентные», согласно Крису, означает, что эти возможности не имеют никакого логического предпочтения друг перед другом, а «первичные» — что они не могут быть сведены к другим.

Но Планк не пользуется этим утверждением Криса для оправдания априорного главного предположения своей статистики. У Планка обоснование звучит не-* сколько по-другому, а именно:《Какая-либо определенная комплексия столь же вероятна, сколь и любая другая определенная комплексия» !)« Справедливость этого положения можно установить только опытом, что в свою очередь позволило бы «сделать дальнейшие заключения относительно конкретной природы колебаний осциллятора, а именно относительно характера проявляющихся при этом „индифферентных и сравнимых по величине первичных возможностей" по терминологии Криса».

I) См. стр. 175 настоящей книги.

Как показывает замечание Планка, он, несмотря на свою спорную формальную аргументацию, по-види* мому, все же ясно сознает, что априорное предположение о равновероятных случаях не есть просто некая абстрактная фикция, а представляет собой гипотезу относительно самой физической реальности. Поэтому оно содержит в себе дальнейшие утверждения об этой реальности. Это справедливо прежде всего в отношении центрального положения планковской гипотезы — концепции дискретных квантов энергии.

Если бы речь шла о фикции, придуманной по формальному поводу для облегчения «подсчета», то было бы целесообразно провести в конечном результате предельный переход к непрерывному распределению. Конкретно это бы означало, что нужно положить в формуле излучения Планка й = 0, после чего она пе」 решла бы в закон Рэлея — Джинса. Именно этого по упомянутой причине позднее, в 1905 г., настоятельно требовал Джинс [39]. Его требование было бы законным, если бы «возможности» — элементы, определяемые конечной величиной й, — были бы не «первичными», а сводимыми к сколь угодно малым. Но это, конечно, путь классической механики, который ведет к закону равномерного распределения. Здесь появляется еще одно счастливое обстоятельство: Планк в конце 1900 г., как новичок в области статистической физики, либо совершенно не знал закона равномерного распределения, либо не видел, в каком удиви* тельном противоречии находится он с его статистическим методом.

Как уже упоминалось, в 1906 г. Эйнштейн со всей ясностью раскрывает следствия этого метода. Но npib мерно к этому же времени Планку и самому удается достичь прогресса в данном направлении. В своих «Лекциях по теории теплового излучения» он рассматривает «первичные возможности» Криса как ячейки в фазовой плоскости осциллятора. Он устанавливает, что в этой плоскости кривая равной энергии U есть эллипс площадью U/v. Если теперь покрыть такими эллипсами всю фазовую плоскость так, чтобы все кольца, образованные двумя последовательными эллипсами, имели равную площадь \U/v = ft, «то мы

получим такого рода участки энергии, которые соответствуют равным вероятностям и поэтому должны считаться элементами энергии». Таким образом, «элементарный квант действия предстает здесь перед нами в новом значении, а именно как величина злементар- ной области на поверхности состояний осциллятора» [40]. '

Об «особой природе колебаний осциллятора», разумеется, и в 1906 г. еще не могло быть сказано ничего определенного. На этот вопрос дала ответ только квантовая теория, в которой правило квантования £〃 = nhv (несколько модифицированное) выводится из новых общих принципов. С возникновением квантовой теории и ее понятием состояния классическое фазовое пространство становится излишним. Тем не менее оно не бесполезно, и высказанное уже в первой публикации предположение Планка о «первичных возможностях», как и замечания по тому же поводу в 1906 г., имеют глубокий смысл. Согласно соотношениям неопределенности Гейзенберга, локализация осциллятора внутри планковской элементарной области величиной h оказывается физически бессмысленной. Соответственно для неопределенного с классической точки зрения объема ДхАр элементарной ячейки в фазовом пространстве получается значение Л3 (так как здесь у осциллятора три степени свободы вместо одной). Это положение выявилось уже при корпускулярном истолковании формулы излучения Вина.

Остается еще только показать, как в свете окончательного планковского закона излучения соотносятся друг с другом корпускулярный и волновой аспекты излучения. Мы можем придерживаться концепции Рэлея и в соответствии с ней рассматривать осциллятор Планка как собственные колебания полости. Неклас- спческий характер теории выражается тогда в требовании, чтобы состояние такого колебания задавалось его энергией £〃 = 〃£ = nhv. В остальном мы можем действовать уже известным способом. Статистическая сумма представляется геометрической прогрессией

Z = Е e-便"=X (е-饱)"=•」帀, л п

и мы получаемU =и мы получаемU =*EZ=V*EZ=Vв согласии с (8.5)】)・

и мы получаем

U =

и мы получаем

U =

*EZ=V

*EZ=V

Очевидно, что Планк выбрал не этот путь. Его подход больше соответствует другой альтернативе, к которой мы придем, если будем интерпретировать кванты энергии электромагнитных собственных колебаний как фотоны. Тогда остается принять, что 9lvdv = Sleds, т. е. число возможных собственных ко лебаний в-.полосе частот (v# v + dv) равно числу со-* стояний фотонов, принадлежащих интервалу знер・ гий (£, е + de). Неклассический характер теории выражается здесь в принципиальной неразличимости корпускул света.

Принцип неразличимости имеет глубокие физические корни: частицы теряют свою индивидуальность. Поэтому, собственно говоря, речь теперь идет уже не о наглядно представимых частицах, за которыми можно индивидуально прослеживать по их траекториям. Соотношения неопределенности Гейзенберга исключают применимость понятия траектории. Пространство и время становятся непригодными в качестве principium individuationis (основы для идентификации) .

В нашем рассмотрении, однако, понятие частицы приведет к правильным результатам, если только последовательно учесть ограничения, налагаемые прнн・ ципом неразличимости. Но этим, конечно, мы лишаем почвы столь успешно применявшуюся статистику Больцмана. Ибо ее определение микросостояния ис* ходит из вопроса, какие частицы находятся в n-м со* стоянии, и тем самым принципиально предполагает их различимость.

При этих обстоятельствах статистика Больцмана должна быть заменена другой — статистикой Бозе — Эйнштейна. Но она в значительной степени предвосхищена методом Планка. Ведь фактически он работает с распределением неразличимых элементов.

Вывод, в принципе соответствующий этому, впервые опуб* ликовал А. Эйнштейн [41]..

У него это элементы энергии осциллятора. Если же интерпретировать их как фотоны, то статистика Планка приводит к распределению энергии в газе с пере* менным числом частиц, который отличается от рассмотренного в гл. 6 классического газа световых корпускул только неразличимостью частиц. Если теперь обозначить через АР& число частиц в интервале энергий (е, е + Де), то в обоих случаях закон распределения (закон излучения) примет вид

ueV ^8 = ^P^.(9.14)

Чтобы внести окончательную ясность, коснемся еще раз классического случая различимых частиц. Во- первых, мы должны распределить N частиц по энергетическим интервалам. Для этого существует

H(APJ

возможностей реализации.

Во-вторых, необходимо распределить АР^ частиц по Э1еДе состояниям соответствующего энергетического интервала. Как легко показать методом совершенной индукции, число возможных реализаций составит

2Ве = («Пе Ае)Л₽в.(9.16)

Итак, в общей сложности

др

28 = ®общ ~ П 噌)户•(9.17)

Если при условии постоянства полной энергии

W = ^^pe&(9.11а)

найти максимум 1п2В, то с помощью формулы Стирлинга легко получим ДРе = 9}еДее~₽с, что вместе с (9.14) ведет к закону Вина.

Если повторить все рассуждения для неразличимых частиц, то получим просто 23i = 1, тогда как для 叫 мы должны использовать применяемую Планком формулу в виде 叫=嗨^t?需仆芈.Максимум

In П2Ве при дополнительном условии (9.11а) уже вычислен выше с применением других обозначений. Согласно (9.12), он составляет

^ = ^ъ-^-—,(9.18)

что вместе с (9.14) приводит к закону излучения Планка.

Если при классическом подходе метод собственных колебаний и метод газа световых корпускул ведут к различным результатам (к закону Рэлея — Джинса или к закону Вина), то при внесении обсуждавшихся нами неклассических коррекций оба метода приводят к закону излучения Планка. Таким образом, этот закон можно интерпретировать двумя эквивалентными способами:

Число состоя-Среднее числоЭнергия одной

ннП частицзапятыхчастицы втав “нтерналесостоянийкого рода

энергийтакого родасостоянии

Энергия

（C心力（"土 ""）

uvV dw =

8nv2V dw1.

=〃 .. •

интервалаЧисло волнСредняя энергияодной

частотв данномтакой волны

V, w + dwинтервале

ЛИТЕРАТУРА )

Angstrom A. Ann. Phys., 94, 144 (1853).

Stewart Н, Trans. Roy. Soc. Edinburgh, 1858.

Clausius R., Ann. Phys., 121, 13 (1864).

Stefan Л, Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt II, 79, 391 (1879).

thiesen AL, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 66 (1900).

Physiker iiber Physiker, Akademie-Verlag, Berlin 1975, S. 187<

Wien 步.，Uber die Energieverteilung im Emissionsspektrum des schwarzen Korpers, Ann. Phys., 58, 662 (1896).

Lummer O., Jahnke £., Ann.. Phys., 3, 285 (1900).

Planck M.t Uber irreversible Stranhlungsvorgange, 1. Mitt., Sitzungsber. preufi. Akad. Wiss. Berlin (1897), S. 57—68.

Planck AL, Phys. Abh. u. Vortr., Braunschweig, 1958, Bd. 1, S. 493.

Planck AL, Uber irreversible Strahlungsvorgange, Ann. Phys., 1, 69—122 (1900).

Wien Ж, Teinperatur und Entropie der Strahlung, Ann. Phys., 52, 132 (1894).

Lummer O., Pringsheim £., Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 1, 23—41 (1899).'

Paschen 左，Sitzungsber. preuB. Akad. Wiss. Berlin, 894 (1899).

Wanner H., Ann. Phys,, 2, 157 (1900).

Planck Al., Entropie und Temperatur strahlender Warme, Ann. Phys., 1, 719—737 (1900).

Lummer O., Pringsheim E, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 163—180 (1900).

Boltzmann £♦, Uber die Beziehung eines allgeineinen mechani- schen Satzes zum zweiten Hauptsatz der Warmetheorie, Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt II, 75, 67—73 (1877).

Brusch S. G., Kinetische Theorie II, Wissenschaftliche Taschen- biicher, Bd. 67, Akadeinie-Verlag, Berlin 1970, S. 240—247.

Boltzmann L., Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 76, 373— 435 (1877).

Boltzmann L., Wiss. Abh., Bd. 2, Leipzig 1909, S. 164—223.

Einstein 4, Ann. Phys., 17, 132 (1905). (Имеется перевод: Эйнштейн Л. Собр. научных трудов. Т. 3.——М.: Наука, 1966, стр. 92—107.)

Ter Haar D, Quantentheorie, Akadeinie-Verlag, Berlin, 1970.

Einstein /., Zur Theorie der Lichterzeugung und Lichtabsorp- tion, Ann. Phys., 20, 203 (1906). (Имеется перевод: Эйнштейн Л. Собр. научных трудов. Т. 3.——М.: Наука, 1966, стр. 128—133.)

Planck М., Uber die Natur des weissen Lichts, Ann. Phys., 7, 390—400 (1902).

Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 181 (1900).

Kurlbauni E, Rubens H., Sitzungsber. preuB. Akad. Wiss., Berlin, 932, 941 (1900).

Planck AL, Die Entstehung und bisherige Entwicklung der Quantentheorie, Leipzig 1920. (Имеется перевод: Планк AL, Возникновение и постепенное развитие теории квант. — В кн.: М Планк. Единство физической картины мира. — М.: Наука, 1966, стр. 138—151.)

Einstien Л., Zum gegenwartigen Stand des Strahlungsproblems, Phys. ZB” 10, 185—193 (1909). (Имеется перевод: Эйнштейн Л. Собр. научных трудов. Т. 3. — М.: Наука, 1966, стр. 164—179.)

Strauss М, Forschen und Wirken, Festschrift zur 150-Jahr-Feier der Humboldt-Universitat zu Berlin, Berlin, 1960, S. 381.

Planck M, Nobelvortrag, 1920.

Planck Al., Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 237"— 245 (1900).

Planck AL, Vortrag vom 14. 12.1900. Pl. I, 700.

Hermann A, Fruhgeschichte der Quantentheorie, Mosbach, 1969, S. 25.

Planck М, Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums, «Fassung aus letzter Hand》, Naturwissen- schaften, 31, 16Al59 (1943); Pl. Ill, 264.

Planck M, Wissenschaftlicne Selbstbiographie, Leipzig, 1948. (Имеется перевод: Планк, M Академические речи. — В кн.: М. Планк. Единство физической картины мира.——М.: Наука, 1966, стр. 207—230.)

Anmerkung zum Nobelvortrag 21; Pl. Ш, 134.

Kries Л, Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Freiburg 1886, S. 157.

Jeans' J. "., A comparison between two theories of radiation. Nature, 72, 293 (1905).

Planck M, Vorlesungen fiber die Theorie der Warmestrahlung, Leipzig 1906, S. 156. (Имеется перевод: Планк AL, Теория теплового излучения. — М. — Л.: ОНТИ, 1935, стр. 204.)

Einstein 4, Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Warmen, Ann. Phys., 22, 183 (1907). (Имеется перевод: Эйнштейн А. Собр. научных трудов. Т. 3.— М.: Наука, 1966, стр. 134—148.)

42*. Столетов А, Г. Г устав Роберт Кирхгоф. Собр. соч., Т. 2.— I Л *「остехнздат ]94]

43*. Cohen Ё. G, Berlin Т. М, Note on the derivation of the Boltz- man equation from the Liouville equation, Phys., 26, № 9, 717—729 (I960).

44*. Зубарев Д. ". Современные методы статистической теории неравновесных процессов. — В кн.: Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики. Т. ' 15. — М.： ВИНИТИ, 1980, стр. 131—226.

45*. Больцман Л. Лекции по теории газов. — Мл Гостехиздат, 1956.

46*. Больцман Л. Статьи и речи. — М.: Наука, 1970.

47*. Стрэтт Дж. В. (Лорд Релей). Теория звука. Т. 1, 2. — М.—Л.; Гостехиздат, Т. 1, 1940, Т. 2, 1944.

48* Говард Дж. Джон Уильям Стретт, УФН, 88, № 1, 149—160 (1966).•

49*. Планк А1. Введение в теоретическую физику. Теория тепло- тн. —М.: ОНТИ, 1935, ч. 5.

60*. Планк, М. Теория теплового излучения. — М. — Л.: ОНТИ# 1935.

51*. Планк М. Единство физической картины мира. Сб. статей. — М.: Наука, 1969.,

52*. Планк М. Избранные труды. — М.: Наука, 1975.

63*. Кляус Е. М.& Франкфурт У. 〃・ Макс Планк. — М.: Наука, 1980.

Часть 2

ОБ ОТНОШЕНИИ МЕЖДУ ИСПУСКАТЕЛЬНОЙИ ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТЯМИ ТЕЛДЛЯ ТЕПЛА И СВЕТА

Густав Кирхгоф

Gustav Kirchhoff, Анн. Phys., 19, 275—301 (18G0)

Тело, находящееся внутри оболочки, температура которой равна его собственной, не меняет своей температуры из-за теплового излучения, следовательно, оно поглощает за определенное время ровно столько лучей, сколько испускает. Из этого уже давно был сделан вывод, что при одной и той же температуре отношение между поглощательной и испускатсльпой способностью для всех тел одинаково. При этом предполагалось, что тела испускают лучи только одного вида. Это положение было подтверждено опытами де ля Провостэ и Десэпа для многих случаев, в которых испускаемые лучи можно было считать по крайней мерс приблизительно однородными постольку, поскольку излучение было темным. Справедливо ли подобное правило, когда тела испускают одновременно лучи разного вида (что, строго говоря, почти всегда имеет место), —об этом до сих пор ничего не было выяснено пн путем теоретического рассмотрения, ни посредством опытов. Я обнаружил, что высказанное утверждение остается в силе также и в этих случаях, если только под пспускательной способностью понимать интенсивность испускаемых лучей одного вида и относить поглощательную способность к лучам того же вида. Отношение испускательной способности к поглощательной способности^ — если эти понятия при* менять в указанном смысле,——для всех тел при одинаковой температуре одинаково. Я приведу здесь теоретическое доказательство этого утверждения и затем выведу несколько достойных внимания следствий, которые из пего непосредственно вытекают и которые частично объясняют известные явления.

Всякое тело испускает лучи, характер и интенсивность которых зависят от его природы и его температуры. К этим лучам при известных обстоятельствах могут добавляться еще и другие, что имеет, например, место, если тело в достаточной степени наэлектризовано или если оно фосфоресцирует или флуоресцирует.

Такие случаи здесь должны быть исключены. Если на тело извне падают лучи, то оно поглощает некоторую часть их и превращает ее в тепло. К такому поглощению может при известных условиях добавляться еще н другое, например, если тело — поглотитель света или если оно флуоресцирует. Здесь предполагается, что все поглощаемые лучи превращаются в тепло.

Вообразим, что перед некоторым телом С (рис. I)1) поставлены два экрана Si и S2, в которых имеются два отверстия I и 2, размеры которых бесконечно малы по сравнению с расстоянием между ними и каждое из которых имеет центр. Через эти отверстия от тела С проходит пучок лучей. Рассмотрим ту часть его, у которой длины воли лежат между 厶 н 入+ 丸 и разложим ее на две поляризованные компоненты, плоскости поляризации которых а и 6 взаимно перпендикулярны и проходят через ось пучка. Пусть интенсивность поляризованной в плоскости а компоненты есть EdA, где Е ——испускательная способность тела.

На тело С в обратном направлении через отверстия 2 и 1 падает пучок лучей с длиной волны 入，который поляризован в плоскости Q； из него тело поглощает некоторую часть, остальное же частично пропускается, частично отражается; отношение интенсивности поглощенных лучей к интенсивности падающих пусть будет Д; оно называется поглощательной способностью тела.

Величины £ и Л зависят от природы н темпера-* туры тела С, от положения и формы отверстий 1 и 2, от длины волны X и направления плоскости а. Надо доказать, что отношение £* к Д не зависит от при*

〔)См. рис. 2 на стр. 16 данной книги.

роды тела; тогда отсюда будет само собой следовать, что это отношение также не меняется с изменением направления плоскости а, а его зависимость от положения и формы отверстий 1 и 2 может быть легко найдена, так что остается неизвестным только, как оно зависит от температуры и длины волны X.

Доказательство, которое будет дано для высказанного здесь утверждения, покоится на предположении, что мыслимы такие тела, которые при бесконечно малой толщине полностью поглощают все падающие на них лучи, т. е. не отражают и не пропускают их. Я буду называть такие тела абсолютно черными、или, короче, просто черными. Необходимо исследовать в первую очередь излучение таких черных тел.

Пусть С — черное тело, его испускательную способность, которая в общем случае обозначается Е, обозначим е. Требуется доказать, что величина « остается неизменной, если С заменить каким-либо другим черным телом той же самой температуры.

Вообразим себе тело С заключенным в черную оболочку, часть которой составляет экран Si； второй экран, как и первый, сделан из черного вещества, и оба они соединены между собой сплошными черными боковыми стенками (рис. 2))* Отверстие 2 представим сначала закрытым черной же площадкой, которую я буду называть площадкой 2. Вся система должна обладать одинаковой температурой и быть защищена от потери тепла наружу посредством непроницаемой для тепла оболочки, например посредством замкнутой полностью отражающей поверхности. Тогда температура тела С будет оставаться постоянной, следовательно, сумма интенсивностей лучей, которые на него падают (и которые оно, согласно предположению, полностью поглощает), должна быть равна сумме интенсивностей лучей, которые оно испускает. Теперь представим себе, что площадка. 2 удаляется и открывшееся отверстие закрывается поставленным не* посредственно за ним элементом идеально отражающей сферической поверхности, центр которой находится в центре отверстия 1. Температурное равновесие

二С^дет сохраняться и в этом случае. Существовавшее равенство интенсивностей лучей, испускаемых телом С, и лучей, попадающих на него, должно иметь место и теперь. А так как тело С испускает теперь те же ;лучи, что и в ранее описанном случае, то отсюда еле- 抽ет, что интенсивность лучей, которые падают на 5 ^ело С, в обоих случаях одна и та же. С удалением Площадки 2, тело С лишается тех лучей, которые пло・ ■дадка посылала сквозь отверстие 1; зато помещенное ■ отверстие 2 вогнутое зеркало отбрасывает обратно К телу С те лучи, которые оно само посылает через Отверстия 1 и 2. Отсюда вытекает, что интенсивность :Нунка лучей, посылаемого телом С через отверстия 1 ；М 2, равна интенсивности того пучка лучей, который ^испускает черная площадка 2 при той же температуре з&ерез отверстие 1. Следовательно, эта интенсивность 二не зависит от формы и прочих свойств черного тела С. ^Высказанное положение было бы этим доказано, если 弟ы все лучи обоих сравниваемых между собой пучков ^ИМелм длину волны 入 и были бы поляризованы в плоскости а. Учет разнородности лучей требует несколько «более cлoжнqгo рассмотрения.

匕? § 3. Не меняя изображенного на рис. 2 расположения предметов, представим себе между отверстиями 窗 и 2 маленькую пластинку 尸(рис. 3尸)，которая в {видимых лучах дает цвета тонких пленок и которая ：^настично вследствие своей малой толщины, а ча* ；&тннно вследствие своих природных свойств) не но Пускает и не поглощает заметного количества лучей. Пусть пластинка расположена так, что пучок лучей, (Проходящий через отверстия 1 и 2, падает на нее под 等глом поляризации, и плоскость падения есть плоскость а. Пусть стенке, соединяющей друг с другом Экраны Si и S2, придана такая форма, что зеркальное ^изображение отверстия 2, даваемое пластинкой Р, •находится на ней; представим себе на месте этого Зеркального изображения совпадающее с ним по "форме отверстие, которое я назову отверстием 3. Пусть /Отверстие 2 закрыто черной площадкой, имеющей тем* 睡ературу всей системы, а отверстие 3 закрыто сначала

g* 1)Смирне. 3 на стр. 20 данной книга.

точно такой же площадкой, которую я буду называть площадкой 3, а в другом случае — полностью отражающим вогнутым зеркалом, центр которого лежит в той точке, в которую пластинка Р отбрасывает зеркальное изображение центра отверстия 1. В обоих случаях имеет место тепловое равновесие; согласно рассмотрению, проведенному в предыдущем пара* графе, отсюда следует, что сумма интенсивностей лу・ чей, которых тело С лишается из-за удаления пло・ щадки 3, равна сумме интенсивностей лучей, которые будут к нему направляться при установке вогнутого зеркала. Пускай черный экран 53 (с температурой, равной температуре системы) поставлен так, что ни один из лучей, испускаемых площадкой 3, не достигает отверстия 1. Тогда первая сумма представляет интенсивность лучей, которые вышли из площадки 3, отразились от пластинки Р и прошли через отверстие 1; обозначим ее через Q. Вторая сумма состоит из двух частей. Первая часть ——интенсивность лучей, исходящих из тела С, она равна

\ d力e产， о

где г представляет собой величину, зависящую от свойств пластинки 戶 и длины волны X; вторая часть — интенсивность лучей, которые вышли из части черной стенки, соединяющей экраны Si, и S2, прошли сквозь пластинку Р, отразились от вогнутого зеркала и по* том от пластинки 尸.Эту часть обозначим через R. Исследовать более подробно величину R нет необходимости. Достаточно заметить, что R, так же как и Q, не зависит от свойств тела С. Введенные величины связаны уравнением

fdAer2 + R = Q.

Если теперь заменить тело С каким-либо другим телом с той же самой температурой и обозначить для него через е' то, что мы для первого тела обозначали

как с, то будет также* выполняться уравнение

\dA£r2 + R = Q. О

Отсюда вытекает

jdA(e —е” = о. О

Предположим теперь, что коэффициент преломления пластинки Р бесконечно мало отличается от единицы. Тогда из теории цветов тонких пленок следует

г = р sin2-^-.

где р обозначает величину, пропорциональную толщине пластинки Р н не зависящую от X, а р — величину, не зависящую от толщины пластинки. Вследствие этого выведенное уравнение принимает вид

,М (е — е) р2 sin4 -у — 0.

「о

Так как это уравнение должно выполняться для любой толщины пластинки Р, т. е. для любого значения р, то можно заключить, что для каждого значе* ния九

е — е' = 0.

Чтобы доказать это, заменим в уравнении sin4 р/Ъ на 右(cos 4 £ — 4 cos 2 导 + 3)

и продифференцируем уравнение 2 раза по р. После этого получим

i厶 У)р2 (cos 4-£—cos 2-{-)=0. о

Введем теперь вместо X новую величину а, т. е.

2

Т = а,

5 Зак. 900

и положим

(е —е，)р2 = /(а).

Тогда найдем

любуюлюбую\ daf (a) (cos 2pa — cos pa) = 0.

любую

любую

Примем во внимание, что если <р(а)： означает функцию а, то

,Ja<p(a) cos 2ра =右 \ da <р (备)cos pa оо

(в чем можно убедиться, если вместо а подставить а/2) ;тогда можно записать“

\ da Q (备)一2/ (a)) cos pa = 0.

Умножим это уравнение на dp cos xp,

,dp cos рх J da <р (a) оо,dp cos рх J da <р (a) оогде x — произвольная величина, и проинтегрируем его от р = 0 до р = оо. Согласно преобразованию Фурье, которое выражается уравнением

,dp cos рх J da <р (a) оо

,dp cos рх J da <р (a) оо

cos pa= ~-(р(х),

получаем/

f(专) = 2f(»，

ИЛИ

f (专)=2f(a)・

Отсюда следует, что функция f(a)、либо равна нулю при всех значениях а, либо должна становиться бесконечно большой, если а стремится к нулю. Если а стремится к нулю, то 九 стремится к бесконечности. Вспом* нив значение f(a) и учтя, что р — правильная дробь и что ни е, ни е‘ не могут обращаться в бесконечность.

когда 入 бесконечно возрастает, легко понять, что вто* рой случай не может иметь места и что, следователь- мо, для всех значений 九 должно выполняться равенство

一е = е'

Если пучок лучей, испускаемый телом С че-* 手ез отверстия 1 и 2, частью лннейно-поляризован, то "плоскость поляризации поляризованной части должна вращаться, если тело С поворачивать вокруг оси пуч* ка. Поэтому такое вращение должно было бы изменять значение е. Так как, согласно доказанному уравнению, такого изменения произойти не может, то, еле* довательно, пучок лучей не имеет линейно-поляризованной части. Можно доказать, что ои не обладает также и частью, поляризованной по кругу. Однако это доказательство здесь не будет приведено. Но даже без него можно допустить, что мыслимы черные тела» в структуре которых не заключено никакой причины, по которой они в каком-либо направлении должны были бы испускать больше поляризованных по кругу лучей одного рода, чем поляризованных по кругу лу* .чей другого рода. Следует предположить, что черные тела, рассматриваемые далее, обладают этим свой* ством; они испускают во всех направлениях неполя- ризованные лучи.

Величина, обозначенная через % зависит» кроме температуры и длины волны, также от формы и относительного расположения отверстий 1 и 2. Если обозначить через 功i и 切2 проекции отверстий на плоскости, перпендикулярные оси рассматриваемого пучка лучей, а через s расстояние между отверстиями, то получим

Г WjW2

Где I — функция только длины волны и температуры.

Так как форма тела С произвольна, то его можно представить в виде поверхности, которая за* лолняет отверстие 1 н которую я назову площадкой 1; Зкран Si можно тогда считать отсутствующим. От： 専крана 5г тоже можно отказаться, если пучок лучей, Ж которому относится е, определить как такой, кото-

рый падает с площадки 1 на площадку 2, в точности заполняющую отверстие 2.

Следствие, которое непосредственно вытекает из последнего уравнения и будет использоваться в дальнейшем, заключается в том, что значение е остается неизменным, если отверстия 1 и 2 поменять местами.

Теперь надо доказать положение, которое можно рассматривать как обобщение высказанного в последнем параграфе.

Между обеими черными площадками 1 и 2 одинаковой температуры представим себе тела, которые различными способами преломляют, отражают п поглощают лучи, посылаемые этими площадками друг другу. Некоторые пучки лучей с площадки 1 могут достичь площадки 2. Выберем из них один и рассмотрим ту его часть у площадки 1, длины волн которой лежат между А н 入 + dA, разложим эту часть на две компоненты, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных (в остальном произвольных) плоскостях 〃i II 6ь То, что из первой компоненты доходит до площадки 2, разложим на две компоненты, поляризован* ные в двух взаимно перпендикулярных (в остальном произвольных) плоскостях 〃2 11 &2- Интенсивность поляризованной в плоскости @2 компоненты пусть будет KdA. Из пучка лучей, проходящего тем же самым пу* тем от площадки 2 к площадке 1, рассмотрим часть, длины волн которой лежат между X и X + dX, и разложим ее па две компоненты, поляризованные в плоскостях 。2 и /?2・ То, что из первой компоненты попадает на площадку 1, разложим на две компоненты, поляризованные в плоскостях си и 仇・ Интенсивность компоненты, поляризованной в плоскости 。卜 пусть будет K'dl Тогда

k =昭.

Доказательство этого равенства будет вестись прежде всего в предположении, что рассматриваемые лучи на своем пути не претерпевают ослабления, другими словами, что преломления и отражения происходят без потерь, поглощение отсутствует и лучи, исходящие из площадки 1 и поляризованные в плоскости а】, прихо-

дят к площадке 2 поляризованными в плоскости Q?, и наоборот.

Через центр площадки 1 проведем плоскость, перпендикулярную оси выходящего или приходящего пучка лучей, и расположим на ней прямоугольную сн'・ с гему координат с началом в центре площадки; пусть 力1 н yi ——координаты точки этой плоскости (рис. 4)*). На единице расстояния от этой плоскости представим себе другую, ей параллельную, и на ней систему координат, оси которой параллельны предыдущей, а начало лежит на оси пучка лучей. Пусть %з н Уз — координаты точки этой плоскости. Аналогичным способом построим плоскость, проходящую через центр площадки 2 перпендикулярно оси выходящего или падающего пучка лучей, и введем на ней прямоугольную / систему координат с началом в центре площадки; х2 и »2 ——координаты точки этой плоскости. На единице расстояния от этой плоскости введем, наконец, параллельно ей четвертую плоскость и на ней систему координат с осями, параллельными осям Х2, ^2, и с началом координат, на оси пучка лучей. х<, »4 ——координаты точки этой четвертой плоскости.

Пусть ИЗ произвольной ТОЧКИ (Х1, У1)' какой-либо луч идет в произвольную точку (%2, У2)・ Время, которое ему требуется, чтобы дойти от первой точки до второй, обозначим через Т・ Оно будет функцией хь у% 寞2, ,2； эту функцию будем предполагать известной. Если точки (х3, %) и (尤4,弘)лежат на пути данного луча, то (для простоты принимаем скорость распространения луча в пустом пространстве за единицу) время, которое потребуется лучу для прохождения от .точки (%з, »з) до точки (尤击 |М), будет равно

7 — “1 + (*1 — %з)2 +(У1 — Уз)?—

-“1 + (x2 -%4产+ (必—"4产.

Предположим, что точки (也,Уз) н (%% yQ заданы, а точки (xi, yi) и ：(耳 步)неизвестны. Тогда последние можно найти из условия минимума только что приведенного выражения. Если представить, что 8 ко*

Q См. рнс. 6 на стр. 26 данной книги.

ординат 尤 1, уь %2, J2,尤з, Уз,尤飢？/4 бесконечно малы, то условия расположения точек (%〔, у», (х2, У2), (%з, Уз)； К%4, ^4)на одном луче будут описываться следующими

дТдТуравнениями:

дТ

дТ

'дТ

*3 ="一丽，%4 =%2

дТ

/=—-丽，%=物

Пусть теперь (力i,yi) — точка проекции площадки 1 на плоскость %i, pi, a dx\dy\ — бесконечно малый элемент этой проекции [на нем расположена данная точка (无I，!/】)]・ Будем считать, что этот элемент более высокого порядка малости по сравнению с площадками 1 и 2. (*з, уз)—точка, лежащая на пути луча, исходящего из (%i, у» и достигающего поверхности 2$ d&,必/з — элемент поверхности, на котором расположена точка (хз, рз). Размеры этого элемента того же порядка, что н элемента dx、d中.Интенсивность лучей данных длин волн и выбранных направлений поляризации, вышедших из dxidyi и проходящих через dx^dy^ описывается, согласно § 5, выражением

d九 Idx\ dp】dx3 dy3.

При сделанном предположении поток лучей без затухания достигает поверхности 2 и интенсивность его будет равна К dA. Величина К выражается интегралом в соответствующих пределах:

/ Ц 5 $ dxidyidxsdy颦

Здесь интегрирование по 九з и уз распространяется на те значения, которые получаются для них согласно соответствующим уравнениям, когда 修 н у\ сохраняют постоянные значения, а 无必 у2 принимают все значения точек проекции площадки 2 на плоскость %2, Р2； затем проводится интегрирование по %% у\ для проекции площадки 1. Но в указанных пределах двои* ной интеграл

"必抽=V (鶴紀_繇龍■)勾3

^; нли, согласно уравнениям для хз,，з, равен

・ СС[ м 9т — 32T。2丁 、

；г J ) l。修 6*2 3gl 0y& дхСду2 dxt dyx 丿“冷 “2,

；'-:тде интегрнроаание распространяется на всю проек- % цию площадки 2. Отсюда следует

—/ J J J J 4 dxi dXi 両I 板—

-^r^Sd 兩〃 “如

где интегрирование производится по проекциям площадок 1 и 2.

Если таким же способом рассмотреть величину К' и учесть, что лучу для прохождения расстояния между двумя точками в одном н в другом направлении требуется одно и то же время, то получим для К' то же самое выражение, что и для К・

I Таким образом, высказанное предположение досказано при том ограничении, которое было принято вначале. Однако это ограничение сразу снимается одним замечанием Гельмгольца из его книги «Physiolo- gische Optik》, стр. 169« Гельмгольц (используя несколько другие обозначения) говорит:

f <Пусть луч света попадает после сколь угодно многих преломлений, отражений и т. д. из точки 1 в точку 2. В точке 1 проведем через его направление две любые взаимно перпендикулярные плоскости а* и 匕“ по которым можно разложить его колебания.

：'Две такие же плоскости 为 и 尻 проведем через луч в точке 2.

;Тогда можно доказать следующее： если количество света i, поляризованного в плоскости аь исходит из точки 1 в направлении рассматриваемого луча и из него количество света 4, поляризованного в плоскости 。2, попадает в точку 2, то справедливо и обратное: если количество света i. поляризованного в плоскости 饱，исходит из точки 2, то в точку 1 попадает точно такое

;же количество света 4, поляризованного в плоскости at» *)•

У ') Утверждение Гельмгольца, как он сам замечает, неверна .Ьсли плоскость поляризации, согласно открытию Фарадея, испытывает вращение, вызываемое магнитными силами. Поэтому при дальнейшем рассмотрении нужно считать, что магнитные силы ие действуют. Гельмгольц ограничивает также свое утверждение

-Предположением, что свет не испытывает изменений своей преломляемости, как это бывает при флуоресценции. Такое ограничение перестает быть необходимым, если при применении теоремы имеются в виду лучи только одной длины волны.

Принимая во внимание это утверждение и полагая k/i = у для обоих лучей, которые распространяются между точками （修，t/i） и （独，奥）в прямом и обратном направлении, получаем для К н К' выражение, отличающееся от найденного только коэффициентом у под знаком интеграла.

Равенство К н К' справедливо, согласно доказанному, также и тогда, когда отношение 丫 имеет разные значения для лучей, на которые может быть разделен один из сравниваемых пучков. Оно, например, не нарушается, если часть пучка лучей задерживается каким- либо экраном.

Для тех же самых пучков лучей, которые сравнивались друг с другом в предыдущем параграфе, справедливо также следующее утверждение. Из пучка лучей, идущего от точки 1 к точке 2, рассмотрим в точке 2 ту часть, длины волн которой лежат между Л и 入 + d入,и разложим ее па две компоненты, поляризованные в плоскостях & и 尻；пусть интенсивность первой компоненты равна "dA. Из пучка лучей, идущего от точки 2 к точке 1, рассмотрим в точке 2 часть с длинами волн между А н 九 + dA и разложим ее на две компоненты, поляризованные в плоскостях。2 и 匕2・ Пусть то, что из первой компоненты приходит в точку 1, равно H'dk. Тогда

Н = Н、

Доказательство этого утверждения следующее. Пусть К и ^, имеют те же значения, что н в предыдущем параграфе; L и Lf — величины, которые образуются из К и А', если поменять местами плоскости Qi и 匕i・ Тогда L = U 丛 К = К. Далее

[” = K + L「

так как лучи, плоскости поляризации которых взаимно перпендикулярны, не интерферируют, когда приводятся в общую плоскость поляризации, если только они являются частями неполяризованного пучка, а поверхность 1 испускает, согласно § 4, неполяризован- пые лучи.

Наконец, получаем 1

"=昭+厶,

так как лучи, плоскости поляризации которых взаимно перпендикулярны, не интерферируют. Из этих уравнений следует

Н = Н'・

Возьмем рис. 2 (стр. 16), рассмотренный нами в § 3; пусть все обозначения останутся прежними, за исключением того, что тело С не черное, а любое. Отверстие 2 закроем площадкой 2. Эта площадка посылает через отверстие 1 к телу С пучок лучей, который тело частично поглощает, а частично вследствие преломлений и отражений рассеивает по разным направлениям. Из данного пучка лучей рассмотрим между площадками 2 и 1 часть лучей с длинами воли между 九 н 九 + d九 н разложим ее на две компоненты, поляризованные в плоскости айв перпендикулярной к пей плоскости. То, что из первой компоненты не поглощается телом С, т. е. то, что попадает на черную оболочку, в которую заключено тело С, обозначим M'd儿 Из лучей, которые посылаются частями этой оболочки к телу С, некоторые будут попадать через отверстие 1 на площадку 2; другими словами, через посредство тела С создается такой пучок лучей, который идет через отверстие 1 к площадке 2. Рассмотрим из него часть лучей с длинами волн между X и 九 + d九 и разложим ее на две компоненты, поляризованные в плоскости айв перпендикулярной к ней плоскости. Интенсивность первой компоненты пусть будет равна Md九 Тогда

M=Mf.

Справедливость этого равенства вытекает из утверждения предыдущего параграфа, если его применить к каждому из всех тех пучков лучей, которыми площадка 2 обменивается через посредство тела С с элементами черной оболочки, окружающей тело С. Тогда сумма соответствующих уравнений дает данное равенство.

Обратимся снова к рис. 3 (стр. 20), описанному в § 3, только пусть теперь тело С будет не черное, а любое. Тогда точно так же в обоих представленных там случаях будет иметь место тепловое равно*

весне, и живая сила 4» которой тело С лишается при удалении черной площадки 3, будет равна живой силе, которая подводится к телу С заменившим эту пло* щадку вогнутым зеркалом. Используемые в § 3 обозначения сохраняют здесь прежний смысл; обозна* >(ения Е и А применяются в том же смысле, что и в § 1. Живая сила, которой лишается тело С при удалении поверхности 3, при учете сказанного в § 7 бу* дет определяться выражением

,dAerA. о

Живая сила, которую тело С приобретает через по* средство вогнутого зеркала, состоит из трех частей. Первая часть — это живая сила лучей, испускаемых самим телом С:

\dKEr2A. О

Вторая часть ——это живая сила лучей, которые вышли из противолежащей зеркалу черной стенки, прошли сквозь пластинку Р, претерпели одно отражение от вогнутого зеркала и второе от пластинки; она, согласно § 9, равна

JdAer(l-r) Я. о

Наконец, третья часть — это живая сила лучей, которые из различных точек черной оболочки, окружающей тело С, упали на него, были им отброшены на площадку 2 вследствие отражений или преломлений м возвращены обратно через отверстие 1 посредством одного отражения от пластинки А, второго от вогнутого зеркала и третьего снова от пластинки Р, Если

I) Здесь и далее мы сохраняем устаревший термин «живая рила% равнозначный 豊 даином случае энергии. — Прим, ред, .

использовать обозначение М, разъясненное в § 10, то эта часть живой силы будет равна

^dkMr2A.'

о

Может возникнуть сомнение в правильности выражений для первой н третьей частей, если тело С расположено как раз так, что конечная часть пучка лучей, поеылаемого площадкой 2 через отверстие 1 телу С, отражается им обратно к площадке 2. Поэтому такие случаи мы пока исключим.

Согласно § 10, М = Mf и по определению

ЛГ = е(1 — 4).

Тогда для третьей части имеем jd\e(l-71)产？1, о

и в результате получаем уравнение

jdZ,(£ — /e)42 = 0. о

Проводя те же рассуждения, как и в § 3 по поводу аналогичного уравнения, можно прийти к выводу, что для каждого значения 厶

Е

или, если подставить значение е из § 5,

Е . WiW2

Таким образом, утверждение, которое требовалось доказать, доказано в предположении, что из пучка лу， чей, попадающих от площадки 2 через отверстие 1 на тело С, ни одна конечной величины часть не возврат шается назад телом С к площадке 2. Это утверждение справедливо и без такого ограничения, как явствует из следующего: если упомянутое предположение не

выполняется, то надо только бесконечно мало повернуть тело С, чтобы оио выполнилось, а при такого рода повороте величины Е и Л претерпят лишь бесконечно.малые изменения.

Величина, обозначенная через /, как замечено в § 5, есть функция длины волны и температуры. Нахождение этой функции представляет задачу огромной важности. На пути экспериментального определения функции / стоят большие трудности. Несмотря на это, существует надежда определить ее опытным путем, так как она, без сомнения, имеет простую форму, как и все полученные до настоящего времени функции, не зависящие от свойств отдельных тел. Только после решения такой задачи можно будет полностью увидеть плодотворность доказанного утверждения; но уже и сейчас из него можно сделать важные заключения.

Если взять определенное тело (например, платиновую проволоку) и постепенно его нагревать, то оно будет испускать лучи с длинами волн, большими, чем у видимых лучей, до тех пор, пока не достигнет определенной температуры. При определенной температуре появляются лучи с длиной волны, соответствующей крайнему красному цвету. При все большем и большем повышении температуры добавляются лучи все меньших и меньших длин волн таким образом, что при каждой температуре возникают лучи соответствующей длины волны, в то время как интенсивность лучей более длинных волн растет. Если при* менить доказанное утверждение к данному случаю, то увидим, что функция / для некоторой длины волны равна нулю для всех температур ниже определенной температуры, соответствующей данной длине волны 】)， и возрастает при более высоких температурах. Отсюда следует, если применить это утверждение и к другим телам, что все тела при постепенном повышении их температуры начинают испускать лучи одной и той же длины волны при одной и той же температуре, т. е; при одной и той же температуре накаляются докрас-

') Фактически функция Е/А не исчезает полностью для конечных длин волн и конечных температур, а приближается к нулю только асимптотически. — Прим. ped. немецкого издания.

на, при более высокой, но одинаковой для всех начинают испускать желтые лучи и т. д. Интенсивность же лучей определенной длины волны, которые различные тела испускают при одинаковой температуре, может, однако, сильно различаться. Она пропорциональна поглощательной способности тел для лучей данной длины волны. Поэтому при одинаковых температурах мет талл светится ярче, чем стекло； а последнее ярче, чем газ. Тело, которое при самых высоких температурах остается совершенно прозрачным, никогда не будет светиться. Я помещал в согнутое из платиновой проволоки кольцо диаметром примерно 5 мм немного фосфорнокислого натрия и накаливал его в слабо светящем пламени бунзеновской горелки. Соль расплавлялась, образовывала жидкую линзу п оставалась при этом полностью прозрачной, но она также п совсем не светилась, в то время как соприкасавшееся с ней кольцо испускало ярчайший свет.

Из утверждения, доказанного в первой части данной работы, следует, что тело, которое из потока с одним лнаправлением полярвзацпн поглощает больше лучей, чем из потока с другим направлением поляризации, испускает в таком же отношении больше лучей первого направления поляризации, чем второго* Согласно этому, раскаленное непрозрачное тело, имеющее гладкую поверхность, должно испускать в направлениях, наклонных к данной поверхности, свет, который частично поляризован, а именно перпендикулярно плоскости, проходящей через луч и нормаль к поверхности (что, как известно, и имеет место в действительности) ,ибо из падающих лучей, которые поляризованы перпендикулярно плоскости падения, тело отражает меньше, а поглощает больше, чем из лучей, плоскость поляризации которых совпадает с плоскостью падения. С помощью доказанного утверждения легко определить характер поляризации испускаемых Лучей, если знать закон отражения падающих лучей-

Турмалиновая пластинка, грани которой отшлифованы параллельно оптической оси, при обычной тем， пературе поглощает перпендикулярно падающие на нее лучи сильнее в том случае, когда их плоскость поляризации параллельна оптической оси, чем когда

она перпендикулярна этой оси. Если предположить, ято турмалиновая пластинка сохраняет это свойство и в раскаленном состоянии, то тогда ежа в этом состоянии должна испускать в перпендикулярном к ней направлении лучи, которые частично поляризованы, и именно в плоскости, проходящей через оптическую ось, т. е. в плоскости, перпендикулярной так называемой плоскости поляризации турмалина. Я проверил на опыте это бросающееся в глаза следствие, вытекающее из изложенной теории, и оно подтвердилось. Употреблявшиеся турмалиновые пластинки, внесенные в пламя буизеиовской горелки, длительное время выдерживали умеренное каление, не претерпевая оста・ «точных изменений; после охлаждения они оказались лишь слегка помутневшими по углам. Свойство поля* ризовать проходящий свет присуще им также и в раскаленном состоянии, хотя и в значительно меньшей степени, чем при низкой температуре. Это можно было обнаружить, если смотреть через двоякопрелом- ляющую призму и через турмалиновую пластинку на платиновую проволоку, накаляемую в том же пламени, что и пластинка. Два изображения платиновой проволоки имели неодинаковую яркость, однако различие было гораздо меньше, чем когда турмалиновая пластинка находилась вне пламени. Двоякопрелом- ляющая призма располагалась так, чтобы разность яркостей двух изображений платиновой проволоки была максимальной; предположим, что более ярким было верхнее изображение. Затем, после удаления платиновой проволоки, сравнивались друг с другом оба изображения турмалиновой пластинки. Верхнее изображение было, правда, не очень резко, но все же, несомненно, более темным, чем нижнее; эти два изображения выглядели как два одинаковых раскаленных тела, из которых верхнее обладало более низкой температурой, чем нижнее.

В заключение приведем здесь еще одно следствие из доказанного утверждения. Если некоторое пространство окружено телами одинаковой температуры и через эти тела лучи не могут проникать, то каждый пучок лучей внутри этого пространства будет по своим свойствам и интенсивности таким, как если

бы он был испущен абсолютно черным телом той же температуры, т. е. он не зависит от свойств и формы тел и определяется только температурой. Со спра* ведливостью этого утверждения легко согласиться, если учесть, что пучок лучей, имеющий ту же самую форму, что и выбранный, но противоположное направление, после бесконечного числа отражений от пред* полагаемых тел полностью поглощается. Внутри непрозрачного раскаленного тела определенной температуры сохраняется вследствие этого также всегда одинаковая яркость, каковы бы ни были в остальном свойства этого тела.

Гейдельберг, январь I860.

ВЫВОД НА ОСНОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ СВЕТА ЗАКОНА СТЕФАНА [1], КАСАЮЩЕГОСЯ ЗАВИСИМОСТИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Людвиг Больцман

Ludwig Boltzmann, Ann. Phys., 22» 291—294 (1884)

Максвелл [2] на основании своей электромагнитной теории света пришел к выводу, что луч света или излучаемого тепла при перпендикулярном падении на поверхность должен оказывать на единицу поверхности давление, которое равно содержащейся в единице объема эфира энергии, обязанной движению света. Пусть абсолютно пустой объем окружен со всех сторон непроницаемыми для теплового излучения стен* ками с абсолютной температурой f; обозначим содержащуюся в единице объема эфира энергию, связанную с тепловым излучением, через 屮(。；при этом мы должны принять во внимание, что не все тепловые лучи, оказывающие давление на стенку, падают на нее перпендикулярно. Здесь проще всего по аналогии с методом, примененным Крёнигом [3] в теории газов, рассмотреть объем в форме куба, грани которого параллельны трем осям прямоугольной системы координат. Результат, лучше всего соответствующий среднему состоянию, получается, если предположить, что параллельно каждой из трех осей координат распространяется по i/з теплового излучения. Тогда на каж^ дую грань будет оказывать давление только 】/з всех лучей, и давление на единицу поверхности стенки будет определяться согласно закону Максвелла;

〃/)=9«);

эту формулу можно получить также путем следующего рассуждения.

Результат Максвелла справедлив, когда луч падает на поверхность перпендикулярно и ею погло-

щается. Если бы он падал почти перпендикулярно и отражался под тем же углом, то давление было бы в 2 раза больше; если же он образует с нормалью угол 8 и отражается с неизменной интенсивностью • под тем же углом, то тогда, как и при ударе о поверхность наклонно падающей газовой молекулы, в расчет принимается только живая сила 】)нормальной к поверхности компоненты движения, которая равна полной живой силе луча, умноженной на cos2 8. (Как количество движения, так и падающий поток умножаются на cos 8.) Если мы обозначим всю живую силу лучей в единице объема снова через *ф(/), то живая сила тех лучей, которые образуют с нормалью к рассматриваемой поверхности углы, лежащие между 8 и 8 + 43, и распространяются в направлении к этой поверхности, равна ^-屮(/) sin 8 d8. Точно такую же величину имеет живая сила тех лучей, которые распространяются вдоль тех же прямых, но по направлению от поверхности. Полная энергия лучей обоих направлений составляет, следовательно, •ф (f)sin 8d8, и на единицу поверхности они оказывают, согласно вышесказанному, давление, равное 巾(f)cos? 8 sin 8d仇 Чтобы учесть все вообще имеющиеся лучи, мы должны проинтегрировать это выражение от нуля до л/2, что и даст ранее написанное значение |/з*ф(0-

В своей статье по поводу открытой Бартоли связи теплового излучения со вторым началом термодинамики [4] я показал, что для функций -ф и /2) из второго начала вытекает соотношение

/ = / ^ *ф dt[伊,или в дифференциалах

tdf — f di —^ dt.

Если подставить f =当 *ф, как это следует из электромагнитной теории света, то получим

/dip/3 = 4*ф 成/3,

1) См. примечание на стр. 138. — Прим. ред.

3 屮 U)—величина, обозначеииая там как 4(р(/)/с/.

и после интегрирования будем иметь 屮=以4

—закон, который, как известно, сравнительно недавно эмпирически установлен Стефаном и находится в хорошем соответствии с наблюдениями^ Таким обра， зом, из электромагнитной теории света и второго закона термодинамики непосредственно следует закон Стефана, связывающий тепловое излучение с температурой,——достойный внимания результат, хотя, конечно, совершенно очевидно, что приведенный здесь расчет имеет весьма ориентировочный характер.

Легко видеть, что н обратно, из второго закона н закона излучения Стефана вытекает как следствие, что в пространстве, окруженном непроницаемыми для тепла стенками одинаковой температуры, давление теплового излучения на единицу поверхности равно i/з энергии излучения, содержащейся в единице объема, и что, следовательно, пучок лучей, падающий перпендикулярно на плоскую поверхность единичной площади, оказывает на нее давление, которое равно энергии, содержащейся в единице объема пучка, при уело- аии, что он поглощается этой поверхностью; если же он от нее с неослабленной интенсивностью отражается, то это давление в 2 раза больше, т. е. равно энергии, содержащейся в единице объема в падающем и отраженном пучке. Согласно теории излучения, давление, как мне кажется, в противоположность точке зрения Хирна, приводимой в упомянутой работе Вар< толи, должно быть во всех этих случаях в 2 раза боль*, ше, чем здесь найденное. Мне, впрочем, кажется, что используя гипотезы, подобные гипотезам Кирхгофа в его известной работе о равенстве поглощательной и испускательной способности тел [5], можно также доказать, что этот закон для абсолютно черных тел дол* жен выполняться не только для полного излучаемого количества тепла, но также и для каждого отдельного вида излучения, так что при всех температурах все излучение определенного вида, испущенное мереным телом, должно составлять одинаковую часть от всего количества испущенного тепла, как это наряду с другими предполагал и Лехер [6].

$ Я приведу здесь еще несколько более простой вы- ±вод уравнения зависимости -фи / для процесса Бар- .толи. Пусть в полом цилиндре из абсолютно черной ?;не пропускающей тепло оболочки имеется подвижный Поршень S, который в исходном положении касается :основания В цилиндра с площадью, равной единице» \н температурой £о； затем поршень отодвигается от ос- кования на расстояние а (он находится справа от ос- снования В). Все тепло, содержащееся в виде нзлу・ 'Пенин между В и. S и равное Qp(fo), а также тепло, затраченное на движение S и равное а/(/о), поступает %з основания В. Тепло мы измеряем в единицах работы. Отделим теперь от В посредством второго поршня Т пространство между В и S так, чтобы его состояние теперь менялось адиабатически, и дадим возможность поршню S, который, как и оболочка цилиндра, должен содержать бесконечно малое количество тепла, продвинуться дальше еще на отрезок х. ГГогда для этого изменения состояния будет вы пол- няться условие

d [(а + 尤)曲(f)] = —— 〃/) dx.

Пространство справа от S и ограничивающая его с противоположной стороны крышка G цилиндра должны все время иметь температуру /, которая в конце концов устанавливается и слева. Все тепло ：(а + %)[屮(f) +f (£)] справа от S, полученное как за счет совершения работы, так и вследствие сокращения объема, должно быть воспринято крышкой G. Этот .процесс обратим. Таким образом, имеем

(а + %)[屮(/) + f (/)]〃 = а 怖(О + f Со)恢=с.

Мы будем рассматривать а н %, а также с как по- ^стоянные величины, ахи/ как переменные. Если ^прибавить к обеим сторонам первого уравнения d[(a + x)f(£)], то получим, принимая во внимание дифференциал последнего уравнения, следующий результат:

少⑺山+ f0力= ZdfS,

нто согласуется с вышеприведенным уравнением.

L2.& 4s 6L2.& 4s 6

L2.& 4s 6

L2.& 4s 6

ЛИТЕРАТУРА

Stefan J., Wien. Вег.» 79, 391 (1879).

Maxwell G., Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford, Clarendon Press, 2, 391 (1873).

Krdnig 4 Grundziige dcr Theorle der Gase, Berlin bel

A. ,W. Hain, Pogg. Ann., 99, 315 (1856).

Boltzmann 厶.,Wied. Ann., 22, 38 (1884).

Kirchhoff G, Pogg. Ann., 109, 275 (I860); Berl. Ber. (1961).

Lecher, Wien. Ber., 85, 441 (1882); Wied. Ann., 17, 477 (1882).

НОВОЕ О СВЯЗИ МЕЖДУ ИЗЛУЧЕНИЕМЧЕРНОГО ТЕЛА И ВТОРЫМ ЗАКОНОМТЕРМОДИНАМИКИ

Вилли Вин

Willy Wient Sitzungsber. preuB. Akad. Wiss. Berlin, 55 (1893)

Больцман [1] доказал, исходя из предложенного Бартоли процесса, что из второго закона термодинамики следует существование давления, которое оказывает излучение на облучаемую поверхность. Существование такого давления вытекает также из электромагнитной теории света, и Больцману удалось в этой связи вывести закон излучения Стефана для черного тела.

Эти выводы можно еще усовершенствовать, если не ограничиваться рассмотрением излучения как целого, а представить его разложенным по длинам волн.

В основу нашего рассмотрения будут положены мысленные эксперименты, которые, как у Больцмана, а ранее у Кирхгофа и Клаузиуса, настолько близки к .действительности, что их реальное осуществление должно быть возможно, по-видимому, с неограниченной степенью точности.

В качестве исходных предпосылок мы примем прежде всего справедливость электромагнитной теории света, согласно которой давление, оказываемое лучом света в направлении распространения, равно энергии данного луча. Затем мы допустим возможность существования абсолютно черных и идеально отражающих тел, которые могут давать полностью рассеянное отражение падающих на них лучей, как это приближенно выполняется при полном отражении от белых тел. Кроме того, мы считаем справедливым второй закон термодинамики, в частности считаем, что путем излучения, испускаемого твердыми телами ва счет их запаса тепла, нельзя получить из теплоты работу без каких-либо других затрат работы, потерь температуры или изменений состояния. И наконец, мы

предполагаем применимость принципа Доплера к световым лучам.

Излучение, создаваемое черным телом в замкнутом пространстве с зеркальными стенками, будет иметь всевозможные направления. В этом случае наиболее близкое к существующим условиям усреднение получается, если, следуя Больцману, предположить, что в кубическом объеме параллельно каждой паре граней распространяется одинаковая доля, т. е.】/з всего излучения. Уменьшение объема увеличивает плотность энергии (количество энергии в единице объема) вследствие сосредоточения всего запаса энергии в меньшем пространстве и за счет работы по преодолению давления лучей. При обратном процессе затраченная работа полностью возвращается, если скорость, с которой производятся изменения объема, остается бесконечно малой по сравнению со скоростью света, чтобы изменения плотности всегда выравнивались по всему пространству.'

Тогда можно представить себе процесс, в котором увеличение адотности знергнн достигается, с одной стороны, за счет повышения температуры, а с другой ——за счет уменьшения объема. Согласно второму закону, при одинаковой плотности полной энергии должна быть одинакова и плотность энергии для каждой отдельной длины волны. Длины волн излучения, уплотненного из-за уменьшения объема, изменяются только в результате эффекта Доплера. Это изменение можно рассчитать. Тем самым становится известным также н изменение, обусловленное повышением температуры.

§ 1・ Описание процесса

Представим себе цилиндр, в котором находятся два подвижных поршня В и С. Пусть площадь его поперечного сечения равна единице. Поршни должны быть снабжены клапанами, которые в закрытом со< стоянии светонепроницаемы. Отсеки 1, 2, 3 совершенно пусты. / н Q — черные тела различной абсолют* ной температуры 也 н 仇 > 力.Они таких размеров, что их запас тепла бесконечно велик по сравнению

а^ энергией, отдаваемой в отсеки 1, 2, 3 в виде излучения. Предполагается, что внутренняя поверхность Жилиндра, поршни и клапаны обладают свойством от> 制а*ать все падающее на них излучение так, чтобы рри этом не выделялось какого-либо предпочтитель-

юго направления, т. е. излучение было полностью рассеянным. Если допустить, что мыслимы идеальные 1еркала, то тогда нельзя ничего возразить и против

Е

иожности создания с любой степенью точности та- тел, которые можно было бы назвать совершенно ыми. Если оба клапана С и В закрыты, то лучи- & энергия объема 2 находится в замкнутом про- анстве с изолирующими стенками и остается ненз- 1НОЙ.

Пусть в начале нашего процесса клапан В открыт, 'закрыт. Тогда А излучает в отсеки 1 刀 2, а。一 гсек 3. Плотность энергии в отсеке 3 больше, чем гсеке 2, так как температура D выше, чем темпе- ура А. Теперь закроем клапан В. Будем двигать шень В к С со скоростью и, которая бесконечно 贬>ала по сравнению со скоростью света с. Тогда плотен ость энергии в отсеке 2 повысится как из-за умень- ^иеннн объема, так и вследствие произведенной работы ^по преодолению давления. Продвинем поршень В на- рстолько, чтобы плотность энергии в отсеках 2 и 3 встала одинаковой. Тогда из второго закона можно Заключить, что распределение энергии в спектре лу* Йчей обоих отсеков будет тоже одинаковым.

, Если бы это не имело места, то должны были бы Существовать лучи некоторой определенной длины 降олны, которые в отсеке 3 обладают большей энер* тгией, чем в отсеке 2. Мы можем поместить тогда пе- 駐ед клапаном С тонкую прозрачную пластинку, кото ая преимущественно пропускает лучи рассматриваемой длины волны, а другие преимущественно отра- ^кает, и после этого открыть клапан. Тогда из отсека 整 в 2 будет протекать больше энергии, чем в обратном р1аправлении, и плотность энергии в отсеке 2 станет Дольше, чем в 3・ Теперь закроем клапан С, уберем Иластинку и позволим поршню С под действием из- |^ытка давления в отсеке 2 двигаться и совершать ра- |^оту, пока плотность энергии в обоих отсеках не вы<

равняется. Пусть Q — полученная при этом работа. Затем,снова откроем клапан С и приведем поршень в начальное положение. При этом работа совершаться пе будет, так как давление с обеих сторон теперь одинаково. Далее вернемся при закрытых клапанах С и В к первоначальному расположению, при этом получим обратно работу, затраченную при первом движении поршня В. Если, наконец, снова открыть клапан В, то исходное состояние будет достигнуто полностью, п при этом нз теплоты будет получено количество работы Q без какого бы то ни было изменения состояния, которое могло бы служить компенсацией. Так как это противоречит второму закону термодинамики, то, значит, спектральное распределение энергии в отсеках 2 и 3 должно было быть одинаковым, когда в них были равны плотности энергий. Следовательно, если мы знаем распределение энергии в излучении, создаваемом Л, и изменение, которое оно претерпело при движении поршня В, то мы знаем также н распределение энергии в излучении более нагретого тела D.

§ 2. Расчет изменения распределения энергии на основании принципа Доплера

Пусть V — скорость поршня, ас — скорость света. Вследствие движения поршня В навстречу излучению длины волну согласно принципу Доплера, укорачиваются. Период колебаний Т перпендикулярно падающего и однократно отраженного луча изменяется согласно уравнению

『二 с —2- г

Так как Т = 入/c, Т' = А'/с, где 入 и V — длины волн, то

с

При наклонно падающих лучах играет роль только нормальная компонента. При равномерней распределенных направлениях излучения можно опять предпо*

/ложить, что в кубическом объеме над поршнем В совокупность всех нормальных к нему компонент обладает % частью всей энергии излучения. Излучение, идущее от движущегося поршня, отражается от покоящихся стенок диффузно н, таким образом, нарушенная равномерность распределения сразу же снова восстанавливается.

Пусть 屮（А）—существующая первоначально в отсеке 2 плотность энергии, представляющая собой функцию длины волны, так что 屮dK — энергия лучей с длинами волн между 入 и А + 2%. После однократ- пого отражения от движущегося поршня длины волн нормально падающих лучей укоротятся на некоторую величину й. Пусть новое распределение энергии будет fi （Z）. Если представить 屮（入）в качестве ординаты, а 入一в качестве абсциссы, то точки новой кривой 厶（入）мы получим, если для каждого значения 入 оставим 2/з отвечающей ему ординаты 屮（А） в соответствии с оставшимися без изменения 2/3 энергии. Последнюю же i/з надо заменить на 】/з ординаты 屮，которая относится к А + 九 потому, что i/з энергии уменьшила свои длины волн на й. Таким образом,

—=[-（%）+4 中仏+m.

При малом А имеем

9 （九+九）=中仇）+力①'仇）,

и после однократного отражения от поршня В получаемт

斤仇） = q）G + q）；

тогда после п-кратного отражения находим

f”仇）=<р（%+粤）=f（Q,

если nh также мало по сравнению с X.

Далее отсюда следует

/ （Л）=?（九）+ -^屮'（X）=等中（九）+ g中（A+泌）.

Изменение энергетического распределения таково, как будто нормально падающие лучи, представляющие 1/з всей энергии, сократили свои длины волн на величину пй.

Таким образом, мы должны рассматривать п как число, которое показывает, как часто в данном кубе нормально падающие на поршень лучи при своем прохождении взад и вперед по отсеку 2 отражаются от движущегося поршня за то время, пока поршень продвигается на определенный отрезок пути.

Если а —尤—— расстояние от поршня В до С, то, пока поршень В передвинется на d尤，произойдет n-кратное отражение, где

— d* с“ —2 (а — х) и

предположению п много больше единицы). Тогда должно быть много больше 2(а — *)/dx; однако

при этом dx должно быть мало гго сравнению e2(а-尤).

После однократного отражения имеем

)2 (а-用 и九.)2 (а-用 и九.После n-кратного отражения получаем d% I 軌=(—}=(?

)2 (а-用 и

九.

)2 (а-用 и

九.

Это можно записать в виде

.d% 丄

Отсюда при с -> оо-

Л„ = (е-2°) 2 ©г)и \ = е I А.Л„ = (е-2°) 2 ©г)и \ = е I А.

Л„ = (е-2°) 2 ©г)и \ = е I А.

Л„ = (е-2°) 2 ©г)и \ = е I А.

Очевидно, что при обратном ходе поршня уравнение имеет вид

a=(白含)“〃 = /一心.

Таким образом, Лп также возвращается к первоначальному значению. Значит, процесс и в этом отно, шеннн обратим. Подставим теперь

九门=А + пЛ,

где nh ——бесконечно малая того же порядка, что Йх; тогда, пренебрегая малыми величинами второго порядка, получаем

Мы имели

f (А)=屮(厶 + 鲁)=<Р (^ + dA)・

Теперь мы должны подставить

3(а — х)入，

Каждое значение X уменьшается на эту величину, когда х увеличивается на dx.

Интегрируя, получаем

In 入=5 In (а — х)十 In С,

In c = In %—eа，

где значение 九。соответствует 尤=0. Итак,

=V气儿•

Далее, пусть Е — количество энергии в отсеке 2, когда В находится в положении х. Тогда плотность

энергии равна

屮屮а — %а — %

屮

屮

а — %

а — %

Если * увеличивается на dx, то вследствие уменьшения объема и за счет совершаемой .работы плотность тоже возрастает: ..

吾小=｛窑еT +法彳｝"=倍+寸）

Давление на поршень составляет

1 ,至也

Произведенная работа равна

Отсюда находим

四=4詫т〃，

In 巾=—In [(а —尤)%] + In G, In G = In 寸о + In (а"),

где -фо — значение при x = 0. Таким образом,

и, согласно ранее полученному для одинаковых значений 尤，

■ ■杀=X4 *

ОЛ =仇九°.ОЛ =仇九°.Но в соответствии с § I распределение энергии 取 которая испускается телом с более высокой температурой 2, будет таким же. Если 仆о ——значение 8, которое соответствует яро, то, согласно Стефану и Больцману,』

ОЛ =仇九°.

ОЛ =仇九°.

Отсюда следует

В нормальном спектре испускания черного тела при изменении температуры каждая длина волны сме^ щается таким образом, что произведение температуры на длину волны остается постоянным.

Если распределение энергии задано как функция длины волны для некоторой температуры В。，то те・ перь его можно получить для любой другой темпера，

.туры 8. Представим снова 入 как абсциссу, а 屮(九)как ординату. Площадь между кривой и осью абсцисс есть полная энергия г|). Теперь надо сначала изменить каждое Л так, чтобы произведение АН оставалось постоянным. Если на месте первоначального значения 入о вырезать узкую полоску шириной d^o и площадью Фо^Ао, то после изменения этот отрезок передвинется на место 九，и вместо ширины d^0 теперь получим

d 九=率" dao.

Но так как количество энергии q)o^o должно оставаться постоянным, то

屮dA = (Роd/，屮=中0 =①。*・

Но, кроме того, каждое значение ср меняется с температурой по закону Стефана в отношении ^1^ поэтому новая ордината будет

屮=屮。确.

Таким способом можно получить все точки новой энергетической кривой.

Этот результат согласуется со смещением максимума энергии, полученным Г. Вебером [2] из его закона излучения.

ЛИТЕРАТУРА

Boltzmann £.. Wied. Ann., 32, 31, 291 (1884).

Weber Я. F. Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 933 (1888).

О НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССАХ ИЗЛУЧЕНИЯ

Макс Планк

Max Planck, Ann. Phys., ly 69—122 (1900)

(Обработано автором по протоколам заседаний Берлинской академии наук от 4 февраля 1897 г., 8 июля 1897 г.» 16 декабря 1897 г., 7 июля 1898 г., 18 мая 1899 г. и по докладу, сделанному на 71-м собрании естествоиспытателей в Мюнхене.)

§ 23. Распределение энергиив нормальном спектре

формула

口 穴一而 马=力-6口 穴一而 马=力-6(55)(55)

口 穴一而 马=力-6

口 穴一而 马=力-6

(55)

(55)

представляет полученный В. Вином [1] закон распре- деления энергии; его по меньшей мере приближенное соответствие действительности в последнее время йод-* тверждено продолжающимися исследованиями Ф. Пашена [2, 8], Ф. Пашена и X. Ваннера [3], О. Лум- мера и Е. Прингсхейма [4] (см. также [5, 6])【)・

Вин вывел свой закон, исходя из определенных предположений о количестве центров излучения, находящихся в единице объема, и о скорости их двнже- ния. В предложенной здесь теории эти величины не играют роли, и закон выводится как необходимое следствие из данного в § 17 определения электромагнитной энтропии излучения. Таким образом, вопрос о правильности закона совпадает с вопросом о правильности такого определения. Я неоднократно пытался как-либо изменить или обобщить выражение

'(41) для электромагнитной энтропии осциллятора, ко^ торое в свою очередь приводит к выражению (43) для энтропии излучения; я хотел, чтобы оно при этом продолжало удовлетворять всем теоретически обоснованным законам электродинамики и термодинамики, однако мне это не удалось сделать. Так, например, энтропию осциллятора (41) можно было бы в более об- 叫6( виде определить следующим образом:

с U . U

где f(v)' и (p(v)—неопределенные положительные функции частоты колебаний v. Хотя принцип увеличения энтропии и выполнялся бы тогда при рассмотренных в § 18 электромагнитных процессах, однако для обратной величины температуры осциллятора вместо (5) получалось бы выражение

丄—J . ] eU

следовательно,

u==^L.e

и в качестве закона распределения энергии из (49) вместо (51) следовало бы

Пу)

£ =当也「.(56)

Это как раз та форма закона распределения энер* гии, к которой на основе вышеупомянутых предполо^ жений пришел Вин и относительно которой он пока-* зал, что из нее путем надежно обоснованных заключений выводится данная нм частная форма.

Если же пытаться взять за основу какую-либо отличающуюся от (56) форму закона распределения энергии н, исходя из нее, проводить обратный расчет выражения для энтропии, то это неизбежно приводит к противоречию с доказанным в § 18 законом увеличения энтропии.

Отсюда, по-вндимому, надо заключить, что данное 刀 § 17 определение энтропии излучения, а тем самым

и закон распределения энергии Вина представляют собой необходимое следствие приложения принципа увеличения энтропии к электромагнитной теории света и что границы применимости этого закона, если они вообще существуют, совпадают с границами применимости второго закона термодинамики. И именно поэтому, конечно, дальнейшая экспериментальная проверка закона Внна приобретает особенно большой принципиальный интерес.

Числовые значения

Значения универсальных постоянных а и 6 можно вычислить с достаточно хорошим приближением на основе существующих результатов измерений.

Если через St обозначить всю энергию, которая излучается в воздух с 1 см2 черного тела при темпера^ туре / ℃ в 1 с, то, как нашел Ф. Курльбаум [7],

SiQj —So = O,O1763 г-кал.

С другой стороны, согласно (52), полная испускаемая по всем направлениям полупространства энергия с единицы поверхности черного тела в единицу времен» выражается формулой

2其 Я/2

\ К cos 2 dQ = К \ dg ] cos 2 sin 2 d8 = "К = ?:?-• о

Следовательно, если принять механический эквивалент тепла равным 419-105, то в абсолютной сн・ стеме СГС

乌У 訪逐氏= 0,01763・419・105,

или, так как с = 3* 1010,

4=1,278. Ю'5,(57)

Далее Ф. Пашен [8] получил в качестве среднего зна・ чения из лучших результатов своих наблюдений вели* чину постоянной в показателе формулы Вина (55).

равную 14455 мкм-℃. При переводе в сантиметры это дает

ас= 1,4455, или

а = 0,4818 • 1010с-℃,

и отсюда, согласно (57),

Ъ — 6,885 • 10一" эрг • с.

Естественные единицы измерения

Все до сих пор употребляемые системы единиц, в том числе и так называемая абсолютная система СГС, обязаны своим происхождением совпадению случайных обстоятельств, поскольку выбор единиц, лежащих в основе каждой системы, делался исходя не нз всеобщих, обязательных для любых мест п времен точек зрения, а в основном из специальных потребностей пашей земной культуры. Так, единицы длины и времени выведены из современных данных о размерах и движении пашей планеты; далее, единицы массы и температуры получены из плотности и фундаментальных точек воды как жидкости, играющей важнейшую роль па поверхности Земли, взятых при давлении, соответствующем среднему действию окружающей нас атмосферы. При такой произвольности принципиально ничто бы не изменилось, если бы, например, за единицу длины была принята длина волны линии Na. Выбор из многих химических элементов именно Na опять- таки можно было бы оправдать его довольно большой распространенностью на Земле или бросающейся в глаза его двойной спектральной линией, которая, впрочем, не единственная в своем роде. Поэтому вполне вероятно, что в другое время в изменившихся внешних условиях каждая из принятых теперь систем единиц частично или полностью могла бы потерять свое первоначальное естественное значение.

В связи с этим небезынтересно заметить, что существует возможность с помощью обеих постоянных а и bt входящих в выражение (41) для энтропии излу*

чения, получить единицы длины, массы, времени к температуры, которые независимо от специфики тел и веществ неизменно сохраняют свое значение для всех времен и для всех культур, в том числе внезем* ных и не созданных человеком, и которые поэтому можно назвать «естественными единицами измерения»#

Основу для установления четырех единиц длины, массы, времени и температуры составляют две уже упомянутые постоянные а н Ь, ватем величина скорости распространения света с в вакууме и гравита* ционная постоянная f. В системе СГС (сантиметр, грамм, секунда, градус Цельсия) числовые значений этих четырех постоянных следующие [9]:

а = 0,4818- 1О_,ос-℃»

b = 6,885 • 10~27 см2 • г/с,

с = 3,00 • 1010 см/с, /«=6,685. Ю~8см8/г-с2.

Если теперь выбрать систему «естественных единиц» так, чтобы в ней каждая из четырех написанных выше постоянных приняла значение 1, то получим в качестве единицы длины величину

"^f = 4,13 • 10一羽 cmj

* качестве единицы массы

'д/^^5,56.10"8 г;

в качестве единицы времени

^/5"= 1,38-IO'43 с；

в качестве единицы температуры

Эти величины сохраняют свое естественное значе* ние до тех пор, пока справедливы законы тяготения.

/распространения света в вакууме и оба начала термо- ^динамики, и, следовательно, их измерение должно да* :вать всегда одни и те же результаты, какими бы учеными и какими бы методами они ни были получены.

УЛИТЕРАТУРА

t・ Wien W.t Wied. Ann., 58, 662 (1896).

Paschen F., Wied. Ann., 60, 662 (1897); Sitzungsber. deutsch. 卜 Akad. Wiss.» Berlin, 405, 893 (1899).

悟“ Paschen R, Wanner H., Sitzungsber, deutsch. Akad, Wiss., Ber* :Ни, 5 (1899).

部.Lummer О., Pringsheim J Verhandlungen deutsch. phys. Ges., g 1,23,215 (1899).

斑.Beckmann H., Inaug.-Dlss., Tubingen, 1898.

『6 Rubens H., Wied. Ann., 69, 582 (1899).

Kurlbaum F・，Wied. Ann., 65, 754 (1898).

&& Paschen F.. Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 419 7 (1899).

:R Richarz F” Krlgar-Menzel O., Anhang zu den Sitzungsber. L deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 107, 110 (1898); im Auszug: Wied, 土 Ann” 66, 190 (1898).

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУЗАКОНА ПОЛНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Лорд Рэлей

Lord Rayleigh, Philos. Mag., 49, 539—540 (1900}

Под полным излучением я понимаю излучение идеального черного тела. Это излучение, согласно Стьюарту 1) и Кирхгофу, представляет собой определенную функцию абсолютной температуры 0 н длины волны А. Весьма веские (по моему мнению [1]) аргументы были приведены Больцманом и Вином в пользу за* ключения о том, что функция вида

СБФ (0Л) dX (1)

выражает энергию той части спектра, которая лежит между X и X + 认・ Позднее была сделана попытка [2]1 конкретизировать эту зависимость посредством определения функции Ф. Вии пришел к заключению, что действительный закон имеет вид

c^e-^dK, ⑵

где С[ и с?——постоянные. С точки зрения теории этот результат мне кажется не более чем догадкой. Он был, однако, поддержан Планком [3] на основании общих термодинамических соображений.

С экспериментальной стороны закон Вина (2) по* лучил важное подтверждение. Пашен нашел, что его наблюдения хорошо описываются этой формулой, если положить

с2== 14455

н 0 измерять в градусах Цельсия, а % — в тысячных долях миллиметра. Тем не менее этот закон кажется трудно приемлемым, в особенности из-за того, что, со-

')Работа Стьюарта не была в достаточной мере оценена на

континенте.

гласно ему, излучение определенной длины волны при повышении температуры стремится к некоторому предельному значению. Для видимого света этот предел, правда, остается недоступным. Но если мы возьмем X = 60 мкм, например, лучи, которые (согласно заслуживающим внимания исследованиям Рубенса) отбн， раются при отражениях от поверхности сильвина, то мн увидим, что для температур выше 1000 градусов ^абсолютных) излучение возрастает очень слабо.

Это вопрос, который требует экспериментального решения. Однако я отважусь предложить одну модификацию (2), которая a priori представляется мне более вероятной. Рассмотрение этой темы осложняется /трудностями, вносимыми доктриной Больцмана ―' Максвелла о распределении энергии. Согласно этой доктрине, все собственные колебания должны быть равноправны. И хотя эта доктрина по каким-то пока еще необъяснимым причинам ие имеет всеобщей значимости, ее, по-видимому, можно применить к более низким частотам. Рассмотрим в качестве нллюстрз- Инн случай зажатой пружины, совершающей поперечные колебания. По закону Больцмана—Максвелла энергия должна быть равномерно распределена по всем типам волн, частоты которых относятся как 1, 2, 3,・・・・ Если k — величина, обратная X, т. е. пропорциональная частоте, то энергия, лежащая в пределах между k и k + dk (при достаточно больших зна・ чениях 归),весьма просто определяется через dk.

Если мы перейдем к трехмерному случаю, напри-* мер к колебаниям кубической массы воздуха, то для Л2 получим уравнение («Theory of Sounds», § 267)

炉==р2 + g2 + 产，

где p, q, г — целые числа, которые означают число единичных отрезков в трех направлениях. Будем рассматривать р> q н г как координаты точек кубической решетки; тогда k — расстояние точки от начала координат. Количество точек, лежащих между 々 н 4 + + d电 пропорционально объему соответствующего сферического слоя, н его можно представить как ^'力论;. а это выражает распределение энергии по закону

Больцмана — Максвелла, если речь идет о длинах волн или частоте. Если мы применим этот результат к излучению, то получим, так как энергия волн каждого тапа пропорциональна 6,

0 奴时(3)

пли в другой записи

CLd\(4)

Некоторым подтверждением правильности выражения (4) можно считать то, что оно имеет форму, предписанную (1). Есть основание полагать, что (4) может скорее, чем

LdA⑹

[входящее в (2)], соответствовать действительности, когда Л6 велико. Если мы введем экспоненциальный множитель, то окончательное выражение будет иметь вид

—....._•♦ЙМ1Е»

e餌以.⑹

Если за независимую переменную взять 4, что, пожалуй, более предпочтительно, то (6) превращается в формулу

с® 好е-сп& dh・(7)

Я не в состоянии сказать, описывает ли (6) данные наблюдений так же хорошо, как и (2). Остается надеяться, что на этот вопрос дадут ответ великолепные экспериментаторы, которые занимаются этой проблемой.

ЛИТЕРАТУРА

Lord Rayleigh F. R S., Philos. Mag., XLV, 522 (1898).

Boltzmann L, Wien 呼.，Wied. Ann., LV1H, 662 (1896).

Planck M” Wied. Ann., lf 74 (1900).“

ОБ ОДНОМ УЛУЧШЕНИИСПЕКТРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВИНА

Макс Планк

Max Planck, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 202—204 (1900)

；(Доложено на заседании от 19 октября 1900 г.)

Сообщенные на сегодняшнем заседании Курль- баумом интересные результаты, полученные им и Рубенсом при измерении энергии самых длинных волн спектра» убедительно подтвердили точку зрения, впер* вые высказанную Луммером и Прингсхеймом на основе их наблюдений, что закон распределения энергии Вина не обладает той общностью, которая ему до сих пор многими приписывалась; этот закон скорее имеет характер предельного случая, и его исключительно простая форма обязана лишь ограничению его применимости на область малых длин воли н низких темпер атур |)・ Так как сам я в этих же стенах защищал мнение о строгой необходимости закона Вина, то я позволю себе здесь коротко изложить, как развитая мною электромагнитная теория излучения соотносится 'с наблюдаемыми фактами.

Согласно этой теории, закон распределения энергии определен, если определена энтропия S линейного осциллятора, возбуждаемого облучением, как функция колебательной энергии U этого осциллятора. Между прочим, в моей последней работе [1] по этому вопросу я подчеркивал, что закона возрастания энтропии самого по себе недостаточно, чтобы полностью задать эту функцию; к мнению о всеобщности закона Вина я пришел в результате специального рассмотрения, а именно в результате вычисления бесконечно малого увеличения энтропии некоторой системы из п одинаковых осцилляторов, находящейся в стационар-

< ')Пашен также установил заметные отклонения от закона Вин% как он сообнхил мне об этом в письме.

ном поле излучения. Расчет [1] проводился двумя различными способами и привел к уравнению

dUn • AU拄・ f (%) = ndU ・MJ・f (U), где

U” = 〃U и f ((/) — —-g--^-；

отсюда следует закон Вина в форме d2s 一 const d— = 丁.

В этом (функциональном уравнении выражение в правой частя представляет, конечно, упомянутое выше изменение, энтропии, ибо здесь и одинаковых процессов происходят независимо друг от друга, а потому изменения их энтропии должны просто складываться. Наряду с этим я допускаю возможность, хотя это н нелегко себе представить и, во всяком случае, трудно доказать, что выражение слева не имеет того всеобщего значения, которое я ему раньше приписывал. Другими словами, значений Uni dUn и ^Un совершенно недостаточно, чтобы определить нужное нам изменение энтропии; для этого еще должно быть известно также и само значение U. Следуя этой мысли, я в конце концов начал совершенно произвольно конструировать выражения для энтропии, которые хотя и были сложнее, чем выражение Вина, однако, как н оно, по-видимому, удовлетворяли всем требованиям тер м оди н а м и ческой и электромагнитной теорий.

Среди полученных таким образом выражений меня особенно привлекло одно, которое в смысле простоты было ближе всех к выражению Вина и которое — в связи с тем что последнее недостаточно соответствовало наблюдениям, — заслуживало белее вя^матель-* ного исследования. Оно получается, если положить f)

d2sа

• 市=刀邓斗方＞，

Это самая простая форма из всех, которые приводят к выражению S в виде логарифмической функции

')Я исхожу из второй производной S по U* так как эта величина имеет простой физический смысл [1].

от U (чего требует теория вероятностей) и которые, кроме того, при малых значениях U переходят в вышеприведенное выражение Вина. С использованием отношения

dS _ 1諒=Т

и закона «смещения» Вина 】)отсюда получается формула излучения, содержащая две постоянных величины,

Она, насколько я сейчас могу судить, столь же удовлетворительно описывает опубликованные результаты наблюдений, как и лучшие из до сих пор предложенных спектральных уравнений, а именно уравнения Тн- зена [2]), Луммера — Янке [4] и Луммера — Прингсхейма [5]. (Поясняется приведением нескольких числовых данных.) Поэтому я позволяю себе обратить ваше внимание на эту новую формулу, которую я с точки зрения электромагнитной теории излучения считаю самой простой после формулы Вина.

ЛИТЕРАТУРА

Planck М, Ann. Phys., 1, 730 (1900).

Thiesen М, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 67 (1900),

Planck AL, Ann. Phys., 3, 719 (1900).

Lummer O., Jahnke £., Ann. Phys., 3, 288 (1900).

Lumtner O.. Pringsheim E, Verhandlungen deutsch. phys. Ges.. 2, 174 (1900).

чД *&以MaчД *&以Ma

чД *

&以

Ma

чД *

&以

Ma

ct^ См^“ cUa *?VUA^l^4y Дсл^ NiAlU-^X^内 Мпил<^

О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ

В НОРМАЛЬНОМ СПЕКТРЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

Макс Планк,Max Planck, Ann. Phys., 4, 553—563 (1901)

[В другой форме доложено на заседании Немецкого физического общества 19 октября и 14 декабря 1900 г.. Verhandlungen, 2. 202.

237 (1900).]

Введение

Новейшие спектральные измерения О. Луммера и Э. Прингсхейма [1], а еще более убедительно нзме- рения Г. Рубенса и Ф. Курльбаума [2], подтвердив- хине одновременно результат, полученный ранее Г. Бекманом [3] I показали, что аакон распределения энергии в нормальном спектре, выведенный сна- .чала В. Вином из молекулярно-кинетических соображений, а позднее мною, из теории электромагнитного Излучения, не является всеобщим.

Следовательно, в любом случае теория нуждается р улучшении, и в дальнейшем я попытаюсь это сделать на основе развитой мной теории электромагнитного излучения. Для этого прежде всего необходимо в цепочке заключений, ведущих к закону распределен ния Вина, разыскать звено, поддающееся изменению. Затем это звено из цепочки удалить н создать вместо него подходящую замену. 、

То, что физические основы электромагнитной тео” рии излучения, включая гипотезу о «естественном излучении», способны выдержать даже весьма острую критику, я показал в моей последней статье по этому Поводу [5]; и так как вычисления, насколько я знаю, также не содержали никаких ошибок, то остается утверждать, что закон распределения энергии в нор*, мальном спектре будет полностью определен, если удастся вычислить энтропию S облучаемого, монохро*

J, См. также [4].

магически колеблющегося осциллятора 9 как функцию его колебательной энергии U. Ибо тогда из соотношения dS/dU = l/令 получится зависимость энергии U от температуры 9, а так как энергия U, с дру-* гой стороны, связана с плотностью излучения соответствующей частоты ), то получится также и зависимость этой плотности излучения от температуры. Нормальное распределение энергии — это такое, при котором плотности излучения всех различных частот обладают одинаковой температурой.

Вся проблема тем самым сводится к задаче определения S как функции U; решению этой задачи посвящена самая существенная часть iniжеследующего исследования. В первой моей работе по данному вопросу я ввел S непосредственно путем определения (без дальнейшего обоснования) в виде простой функции от U и ограничился тем, что показал, что такое выражение для энтропии удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к пей термодинамикой. Я тог- «цА считал, что такое выражение является единственно возможным, и поэтому закон Вина, из него вытекающий, обязательно является всеобщим законом. При позднейшем более тщательном исследовании [5] мие показалось, однако, что должны быть также еще другие выражения, удовлетворяющие тем же требованиям, и что поэтому, во всяком случае, необходимо еще одно условие, чтобы можно было однозначно вычислить S. Я был уверен, что мне удалось найти такое условие в виде утверждения, которое мне непосредственно тогда представлялось убедительным. А нмен« но, пусть имеется система из N одинаковых осцилляторов, расположенных в том же самом стационарном поле излучения, и пусть состояние этой системы близко к состоянию теплового равновесия. При бесконечно малом необратимом изменении [состояния] этой системы связанное с ним увеличение полной энтропии S^ = NS зависит только от полной энергии системы UN = NU и от ее изменения, но не зависит от энер-

гии U отдельных осцилляторов. Это утверждение снова ведет с необходимостью к закону распределения энергии Вина. Но так как последний теперь не под* тверждается опытом, то мы вынуждены прийти к заключению, что и это наше утверждение не является всеобщим и поэтому должно быть удалено из теории ().

Следовательно, необходимо ввести другое условие, позволяющее выполнить вычисление S, а чтобы это сделать, необходимо более тщательно рассмотреть смысл понятия энтропин. Указание на то направление, которому должны следовать наши рассуждения, можно получить, принимая во внимание несостоятельность ранее сделанного предположения. Ниже описаи путь, ведущий к новому более простому выражению для энтропии и одновременно с этим также к новой формуле закона излучения, которая, по-видимому, не противоречит пн одному из фактов, установленных до настоящего времени.

Вычисление энтропии осцилляторакак функции его энергии

Энтропия обусловлена беспорядком, и этот беспорядок, согласно электромагнитной теории излу* чения, присутствует в монохроматических колебаниях осциллятора, даже если последний длительно находится в стационарном поле излучения; он заключается в нерегулярности, с которой осциллятор постоянно изменяет свою амплитуду и фазу, поскольку мы рассматриваем промежуткн времени, большие по, сравне- нню со временем одного колебания, но малые по сравнению со временем измерения. Если бы амплитуда и фаза были абсолютно постоянными, т. е. колебания совершенно однородными, то никакой энтропии не было бы, а колебательная энергия могла бы совершенно свободно превращаться в работу. Сообразно с этим под постоянной энергией U одного-единствен-

I) Это утверждение уже было подвергнуто критике» см, ра“ боту [6] и работу [13].>

но го стационарно колеблющегося осциллятора надо понимать ее среднее по времени значение, или, что ведет к тому же самому, среднее значение энергий в одно и то же время большого числа ^ одинаковых осцилляторов, находящихся в том же самом стационарном поле излучения и достаточно далеко удален* пых друг от друга, т. е. не взаимодействующих друг с другом непосредственно. В этом смысле мы и будем в дальнейшем говорить о средней энергии одного* единственного осциллятора. Тогда полной энергии

Un=NU (1)

такой системы ^ осцилляторов соответствует определенная полная энтропия

S"=NS, (2)

где S — средняя энтропия одпого-едииственного осциллятора; эта энтропия S^ определяется тем беспорядком, с которым полная энергия Un распределяется между отдельными осцилляторами.

Теперь положим энтропию Sn системы (с точностью до оставшейся произвольной аддитивной постоянной) пропорциональной логарифму вероятности того, что ^ осцилляторов все вместе обладают энер* гией Un； следовательно,

Sn =左 In 步 + const. (3)

Такое утверждение, по моему мнению, приводит по существу к определению названной вероятности W9 ибо в предпосылках, лежащих в основе электромагнитной теории излучения, нет никакой точки опоры, позволяющей говорить о такой вероятности в определенном смысле. В пользу нашего определения говорит прежде всего его простота и его близкое сходство с известным определением из кинетической теории газов [7].

Теперь речь идет о том, чтобы найти вероятность W того, что N осцилляторов обладают колебательной энергией Un・ Для этого необходимо представить себе U& не в виде непрерывной, неограниченно делимой величины, а в виде величины дискретной, состоящей из целого числа конечных равных частей.

Ec/u мы такую часть назовем элементом энергии е, 3。можно положить

U&=P%⑷

где Р ——целое, вообще говоря, большое нисло, тогда Как значение е еще надо установить.

Теперь очевидно, что распределение Р элементов энергии по N осцилляторам можно осуществить некоторым конечным вполне определенным числом раз- ■личных способов. Каждый подобный способ распре- .деления назовем «комплексией» 】),используя термин, применяемый для подобного понятия Л. Больцманом. Обозначив осцилляторы цифрами 1, 2, 3, •••, N, за・ пишем их в виде ряда и под каждым осциллятором проставим число элементов энергии, доставшееся ему при некотором произвольном их распределении^ Для каждой комплексии получим,

1 2 3. 4 5 6 7 8 9 10

7 38 11 0 9 2 20 4 4—Г"

Здесь N= 10, Р =3 100. Число й всех возможных комплексий, очевидно, равно числу всех возможных числовых изображений, которые можно получить для нижнего ряда при определенных N n Р. Ради ясности следует еще заметить, что две комплексии считаются различными, если соответствующие числовые нзобра- ■жения содержат те же самые числа, но в различной последовательности.

Так, для числа всех возможных комплексий, со* гласно комбинаторике, получаем

^(^ +1)^ + 2).... (N + P-1) _ (^ + ^-1)(

切一1.2.з…_ WT•

I Формула Стирлинга дает в первом приближении ^! = №,

^следовательно, в соответствующем приближении

(" + P)N+P

NnPp •■

】)См. стр. 68. — Прим, ред.

Гипотеза, которую мы теперь хотим положить в основу далънейшегр расчета, гласит следующее: ве-* роятность того, что N осцилляторов в совокупности обладают колебательной энергией Un, пропорциональ-« на числу 9? всех возможных комплексий распределения энергии Un среди N осцилляторов, или, другими словами, любая определенная комплексия так же вероятна, как и любая другая определенная комплексия- Осуществляется ли эта гипотеза на самом деле, можно проверить в конечном счете только опытным путем. Но зато становится возможным и обратное: в том случае, если опыт однажды решит в ее пользу, из справедливости этой гипотезы можно будет извлечь дальнешие заключения относительно конкретной при* роды колебаний осциллятора, а именно относительно характера возникающих при этом, по выражению Криса [8], «индифферентных и по своей величине сравнимых первоначальных возможностей». При теперешнем состоянии вопроса дальнейшее продвижение в этом направлении должно, конечно, казаться еще преждевременным.

Согласно введенной гипотезе, в связи с определением (3) энтропия рассматриваемой системы осцилляторов при удобном определении аддитивной постоянной равна

Sw=A4nffl = k{(N + P)ln(N + P)-Wln М-Р kiP},

(5)

и с учетом (4) и (1) имеем

Sl 4N { (1 +弓)In (1 + 9 -弓m弓}.

Следовательно, согласно (2), энтропия S одного осциллятора как функция его энергии U равна

5 =4{(1 +丹山(1+等)一m喘}.(6)

1L Введение закона смещения Вина

Вслед за законом Кирхгофа о пропорциональности излучательной и поглощательной способностей хак называемый закон смещения, открытый В. Вином

[9] и названный его именем, включающий в себя как частный случай закон Стефана — Больцмана о зависимости [энергии] полного излучения от температуры, образует самую ценную составную часть в хорошо обоснованном фундаменте теории теплового излучения. В форме, приданной ему Тизеном [10], он гласит:

EdK =探中(九1&) d儿

где Л —— длина волны, Ed九 ——объемная плотность «чер-* ного》излучения 1), приходящегося на спектральный участок от 入具о А + d応 仆一температура и 巾(х) — известная функция единственного аргумента %.

Теперь выясним, что же можно узнать из закона смещения Вина о зависимости энтропии S нашего осциллятора, от его энергии U и от его собственной частоты в том общем случае, когда осциллятор находится в произвольной диатермической среде. С этой целью прежде всего обобщим формулировку закона, данную Тнзсиом, на случай излучения, находящегося в произвольной диатермической среде со скоростью распространения света с. Так как нам предстоит рассматривать не полное излучение, а монохроматическое, то будет необходимо при сравнении различных диатермических сред вместо длины волны X ввести частоту V.

Итак, обозначим объемную плотность лучистой энергии, относящейся к спектральной области от v до V + dv, через nd”，тогда надо писать udv вместо Ed、 c/v вместо 入 н edv/v2 вместо dk После чего получим

11=巒5 屮(§)• ■

Согласно известному закону Кирхгофа ——Клаузиуса, энергия, излучаемая в диатермическую среду с единицы поверхности черного тела в единицу времени при определенной температуре 仆 и определенной частоте V, обратно пропорциональна квадрату скорости

9 Возможно, еще удобнее было бы говорить о «белом» излучении, имея в виду надлежащее обобщение того* что теперь понимают под «совершенно белым светом》.

распространения с2; значит, объемная плотность энергии и обратно пропорциональна с3, и мы получаем

0s $ / 分、

где постоянные, содержащиеся в функции 厶 от с не зависят.

Вместо этого мы могли бы также написать, понимая под f каждый раз (здесь и в дальнейшем) новую функцию одиого-едииствепного аргумента:

• "=~(《)・⑺

Отсюда, между прочим, видно, что, как известно, лучистая энергия, содержащаяся при определенной температуре и частоте в кубе с ребром, равным длине волны, есть иХ3 и для всех диатермических сред опа одна и та же.

Чтобы теперь перейти от объемной плотности излучения и к энергии U находящегося в поле излучения осциллятора, колеблющегося стационарно с той же самой частотой v, используем соотношение, приведенное под номером (34) в моей работе о необратимых процессах излучения [11], т. е.

8n兇8n兇

8n兇

8n兇

(优 ——интенсивность монохроматического липейно-по- ляризоваиного луча). Отсюда, используя известную формулу

находим

Из формул (8) и (7) следует выражениеu=力图.

в которое с вообще не входит. Вместо этого выражения мы могли бы также написать

8=4 (二).

(9)(9)(Ю)(Ю)и, значит,5 =n(1+蜘式13и, значит,5 =n(1+蜘式13hv 丿 Av /zv Jhv 丿 Av /zv J

(9)

(9)

(Ю)

(Ю)

и, значит,

5 =n(1+蜘式13

и, значит,

5 =n(1+蜘式13

hv 丿 Av /zv J

hv 丿 Av /zv J

Введем, наконец, еще.энтропию осциллятора S, полагая

1 _ dS

Тогда получим

dU ” / I w 丿

и, проинтегрировав, найдем

6=呜)，

е. энтропия колеблющегося в произвольной диатермической среде осциллятора зависит от единственной переменной U/v и помимо ее содержит только

Это есть самая простая.Это есть самая простая.универсальные постоянные.

Это есть самая простая.

Это есть самая простая.

известная мне .формулировка закона смещения Вина.

Если мы сопоставим с законом смещения Вина в последней формулировке выражение для энтропии (6), то увидим, что элемент энергии е должен быть пропорционален частоте v; следовательно,

е — Av .

Здесь h п k — универсальные постоянные. Подставляя в (9), получаем

и=и=e(1 +令).Ave(1 +令).Av(И)(И)

и=

и=

e(1 +令).

Av

e(1 +令).

Av

(И)

(И)

Q到Q到

Q到

Q到

и из (8) следует искомый закон распределения знер・ ГИИ：、

8几力哦1

или, если с помощью приведенных в § 7 подстановок Вместо частоты v ввести снова длину волны А,

(13)

г Выражение для интенсивности и для энтропии распространяющегося в диатермической среде излучения, как и закон увеличения полной энтропии при нестационарных процессах излучения, я намерен вывести в другом месте.

III. Числовые значения

Значения обеих универсальных постоянных h и k вычисляются весьма точно, если использовать имеющиеся намерения. Ф. Курльбаум [12] нашел, что если обозначить через S» полную энергию, излучаемую в воздух черным телом в 1 с с 1 см2 при t ℃, ТО

Sioo — So = 0,0731 Вт/см2 = 7,31 • 105 эрг/(см2 • с).

Отсюда для объемной плотности полной энергии излучения в воздух при абсолютной температуре, равной 1, получим

'3・城植霖合734) =7,061 • 10-15 эрг/(см3 • град4).

С другой стороны, согласно (12), объемная плотность полной лучистой энергии при 令=1 равна

2"3"

+ е 為 +е 為 + ...

и после почленного интегрирования имеем

〃=警・6(3)(1+*十 g + *+ …)=

"露 - • 1,0823.

Если сюда подставить и = 7,061 • 10~1Б, то, так как с = 3-1010, мы найдем

% = 1,1682 • 1(Я.(14)

О. Луммер и Э. Прингсхейм [1] нашли, что произведение 入巾今(где 入加一длина волны, на которую приходится максимум Е в воздухе при температуре 仆) равно 2940 мкм-град. Следовательно, в абсолютных единицах имеем

厶融=0,294 см • град.

С другой стороны, если производную от Е по 入 положить равной нулю, причем 入=九加，то из (13) следует .

и из этого трансцендентного уравнения находим

%" = 4,9653 *

Таким образом,

《=当將謬” = 4,866・КГ”・

Отсюда и из (14) для универсальных постоянных получаем значения

/1 = 6,55 • 10-27 зрг. С,(15)

А = 1,346 • 10-16 эрг/град.(16)

Это те же самые числа, которые я приводил в моем предыдущем сообщении.

Предстйвлена 7 января 1901 г.

ЛИТЕРАТУРА

Lummer О., Pringsheim Е, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2, 163, 176 (1900).

Rubens //., Kurlbautn 几 Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss. Berlin voin 25 Oktober, 1900, S. 929.

Beckmann "., Inaug.-Dissertation, Tubingen, 1898.

Rubens "., Wied. Ann., 69, 582 (1899).

Planck M., Ann. Phys., 1, 719, 730 (1900).

Wien 呼.,Rapport fur Pariser KongreB, 2, 40 (1900).

Boltzmann L. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 76f 428 (1877).

Kries J oh., Die Prinzipicn der Wahrscheinliclikeitsrechnung, Freiburg 1886, S. 36.

Wien 旣，Sitzungsber. deutsch. Akad. Wiss. Berlin vom 9. Februar 1893, S. 55.

Thie sen M, Verhandlungen deutsch. phys. Ges., 2t 66 (1300).

Planck M” Ann. Phys., 1, 99 (1900).

Kurlbautn 戶.，Wied. Апщ 65, 759 (1898).

Lummer O・,Rapport fur Pariser KongreB, 2, 92 (1900).

ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КВАНТАХ МАТЕРИИИ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

Макс Планк

Max Planck, Ann. Phys., 4, 564—566 (1901)

[Из докладов на заседании Немецкого физического обществ^ Verhand 1 ungen, 2, 244 (1902).]

В своем основополагающем труде《О соотношений между вторым началом механической теории теплоты н исчислением вероятностей в применении к законам теплового равновесия» Л. Больцман [1] выразил зн・~ тропию находящегося в равновесии одноатомного газа через логарифм вероятности его состояния, при этом он доказал соотношение〔)

j-^-=4 q==4 in ф.

Здесь dQ ——подводимое извне тепло, измеренное в механических единицах, Т — средняя живая сила [ки* нетическая энергия] атома н ◎ = In% ——натуральный логарифм вероятности стационарного распределения скоростей атомов, измеряемой чйслом 明 возможных «комплексна》.

Если /и — масса 1 грамм-атома, (о — отношение массы действительного атома к массе грамм-атома и с2 — средний квадрат его скорости, то имеем

Т — 3机С?

и далее,

23R6

с =—.

где R ——так называемая абсолютная газовая посто* янная (8,ЗЫ07 эрг/(г-моль*град) для кислорода с

I) См. [1], стр. 428.

атомным весом 16), 8 — температура; следовательно, энтропйя газа равна

，手= <oRln 孰

С другой стороны, в развиваемой мной электромаг* нитной теории теплового излучения для энтропии большого числа линейных осцилляторов, колеблющихся независимо друг от друга и находящихся в стационарном поле излучения, получаем следующее выражение I):

'ftlnSH,

где Я — число возможных комплексий, k = 1,346 X 文 10-16 (эрг/град)).

Проявляющаяся здесь взаимосвязь между энтропией и вероятностью имеет физический смысл, пожалуй, ;только в том случае, если она справедлива не только для скоростей атомов и колебаний осцилляторов в отдельности, но и для обоих процессов, взятых вместе. Значит, если в газе имеются также излучающие осцилляторы, то энтропия всей системы должна быть пропорциональна логарифму числа всех возмож* ных комплексий, образуемых скоростями и излучением, взятыми вместе. Но так как по электромагнитной теории излучения скорости атомов совершенно не зависят от распределения лучистой энергии, то общее число комплексий попросту равно произведению чисел, относящихся соответственно к скоростям и к излучению, откуда полная энтропия имеет вид

/1п(фЭ1) = /1пф + /1пЭ1,

где f — коэффициент пропорциональности. Первое слагаемое есть кинетическая энтропия, второе — зн・ .тропия излучения. Сравнивая с предыдущими выра- йкениями, получаем

f = SR = к

или з = k/R = 1,62-10-24, т. е. действительная молекула в 1,62-10~24 раз больше грамм-молекулы, или атом водорода весит 1,64-10~24 г, так как Н = 1,01, или на 1 грамм-молекулу всякого вещества прнхо*

дится 1/(о = 6,175-1023 действительных молекул. По подсчетам О. Е. Майера [2] это число равно 640* 1021; значит, числа почти совпадают.

Постоянная Лошмидта 91, т. е. число молекул газа в 1 см3 при 0 ℃ и при давлении 1 атм, равна

Друде [3] нашел, что 91 = 2,1 • Ю10 см~8.*

Постоянная Больцмана — Друде а, т. е. средняя живая сила атома при абсолютной температуре 1°, равна

a = 9R = 9 = 2,02 • Ю-16.

Друде [3] нашел, что а = 2,65-10^16 эрг/град.

Элементарный квант электричества е, т. е. электрический заряд положительного одновалентного иона или электрона, если через е обозначить известный заряд одповалентпого грамм-попа, равен

е —е(о= 4,69 • Ю^10 эл. стат. ед.

Рнх叩н [4] нашел величину 1,29・10"°, Дж. Дж. Томсон [5]—новейшее значение 6,5* 10~10.

Все эти соотношения справедливы не приблизительно, а абсолютно, если только теория вообще пра・ вильна. Поэтому точность рассчитанных чисел по существу определяется точностью сравнительно самой ненадежной величины — постоянной излучения k и далеко превосходит, таким образом, все определения этих величин, имеющиеся до настоящего времени. Их проверка прямыми методами становится столь же важной, сколь н необходимой задачей дальнейшего исследования.

Представлена 9 января 1901 г.

ЛИТЕРАТУРА

Boltzmann £., Siizungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. II, 76, 373 (1877).

Meyer 0. £,, Die kinetische Theorie der Gase, 2 AufL, 337 (1899).

Drude P., Anti. Phys., 1, 578 (1S00).

Richarz E, Wied. Ann., 52, 397 (1894).

Thomson Л /., Philos. Mag., 46. 528 (1898).

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА ОБОЗНАЧЕНИЙ

Е7价 ффЕ7价 фф^^.7 u U^^.7 u U

Е7价 фф

Е7价 фф

^^.7 u U

^^.7 u U

Ниже мы сопоставляем некоторые обозначения, нспоньзуемме авторами в приведенных здесь работах (левая сторона), с обо-

значениями, принятыми нами (права】

I сторона).

КирхгофА

4

£d%

吗m

ed九

“ w НСП

/

世

Md%

爪

г

挑

s

г

叫

dA cos О

w2

d力 2 cos %

Больцманf

P

7

〃

Рэлейс?ас

在л » const V

р. q, Г «I, «2, «3

67

Пмнк £,瓜 収

К\ Xv

О

竄死-e爲

取现

ег

оi/ь

В работе «Об одном улучшении спектрального уравнения Вина» Т обозначает абсолютную температуру. В работе «О。элементарных квантах》, напротив, 7 =豆,т. е. средняя (кинетическая) энергия атома.加—масса грамм-атома, а не атома.

УКАЗАТЕЛЬ

Ангстрем 13

Бартоли (Bartoli) 32, 35, 145, 146, 149

Бекман (Beckmann) 170

Бозе — Эйнштейна статистика 118

Больцман (Boltzmann) 14, 29— 35, 43, 44, 149, 150, 164, 174, 182

Бунзен (Bunsen) 13

Ваннер (Wanner) 61, 62

Варбург (Warburg) 95

Вебер ^Weber) 44, 157

Вероятность 102, 103, 105, 107, 114, 173, 175, 182

Вин (Wien) 36—47, 55, 77, 82, 96, 97, 158, 159, 164. 170

Второй закон термодинамики 35. 36, 61, 67, 102, 103, 145, 151

Газовая постоянная 72 ,105

Гейгер (Geiger) 105

Гельмгольц (Helmholtz) 24, 36, 135

Герц (Hertz) 59

Герца диполь 48, 51, 54'

Десэн (Desains) 29, 124

Джинс (Jeans) 88, 116

Доплера принцип 3& 150, 152

Друде (Drude) 184

Дюлом (Dulong) 29

Единицы естественные 57* 161— 163 —

Закон、излучения Внна 44. 46* . 56, 60—65, 74, 75. 80, 82, 95. 97, 98, 101, 117, 119, 158— 160, 164, 167. 168, 170, 172

Планка 98, 120, 169, 178M 179

Рэлея — Джинса 87, 90» 92, 98, 116, 120, 166

—испускания—поглощения 12, 23, 124, 146

—пропорциональности Т4 29» 31. 38, 146, 149, 176

—равномерного распределения 88, 116, 165

—смещения 36, 37, 43, 44, 56* 64, 87, 113, 166, 164, 169, 175, 178

—Стефана — Больцмана см. Закон пропорциональности Г4

Излучение в полости 22, 23, 3% 34, 41, 45, 48, 50, 54,阻 78> 81, 83

—естественное 49, 51, 70, 82.

89, 170

—тепловое 12, 14

Излучения давление 31» 35, Н4# 149、

—интенсивность 15, 22, 30, 41* 45, 57, 78

Испускание вынужденное 52

Карно цикл 35

Квантов гипотеза 74, 80, 81. 101—120

Кванты энергии 75, 80t 10& 108» 116, 117* 173, 174

Кеплер (Kepler) 31

Кирхгоф (Kirchko") 12—28, 36, 43, 97, 146, 149, 164

Клаузиус (Clausius) 27, 35, 149

Комплехсия 68, 104, 108, 111, 115, 174, 175, 183

Константа h 56, 76, 108, 109, 113, 116, 117, 178, 180

Корпускулы света 74—81, 91, 119

Крёниг (Kr6nig) 144

Кр〃с (Kries) 115, 116, 175

Курдьбаум (Kurlbaum) 64, 88, 95, 160, 167, 170, 179，

Jlexep (Lecher) 146

Лошмидт (Loschmidt) 67

Лошмидта число 105». 184

Луммер (Lummer) 44, 61, 64,

96.170, 180

Л учеиспускательнаяспособ

ность 17, 23, 124

Майер (Meyer) 184

Макросостояние 68—70, 104, НО

Максвелла распределение скоростей 45, 67, 72, 77, 96

一 теория света см. Электромагнитная теория света

Микросостояние 68, 69, 104,111

Михельсон (Michelson) 46, 96

Необратимость 47—49, 97

Неразличимость 118

Перестановочность 68, 103, 110, 113

Планк (Planck) 12, 24, 44, 45, 47—65, 67, 70, 74, 81, 82. 86, 90—93, 95—120, 164

Плотность энергии излучения 31, 36, 41

—энтропии 54, 67

Поглощательная способность

124

Поглощение вынужденное 52

Прево {Prevost) 12

Прингсхейм ( Pringsheim} 24, 61, 64, 96, 167, 169, 180

Провостэ (Provostaye) 29, 124

Пти (Petit) 29

Равновесие динамическое 12

Резерфорд (Rutherford) 105

Рихарц (Richarz} 184

Рубенс (Rubens) 64, 88, 95, 99, 167, 170

Рэлей (Rayleigh) 36, 82, 86, 88, 98, 117

Соотношения неопределенности 118

Статистика Бозе — Эйнштейна 118

Статистическая сумма 7L 87, 117

—физика 47, 49, 93, 103

Стефан (Stefan) 29, 30, 146

Стьюарт (Stewart) 13, 164

Счетность 115

Осциллятор линейный гармонический 48, 54, 85, 92, 101— 120

Осцилляторов ансамбль 63, 101, 104, 108, 112, 167, 173

Отклонение квадратичное 91 — .，94,100,106

Теорема взаимности 24

Тизен (Thiesen) 36, 96, 169, 176

Тиндаль (Tyndall) 29

Томсон (Thomson) 184

Ультрафиолетова я катастрофа 88

Парадокс обратимости 48, 67

Пашен (Paschen) 46, 61, 160, 164

Фазсвое пространство 66, 78, 80, 87, 89

Ферма принцип 26

Фотоэффект 74

Фундаментальное уравнение 53

Хирн (Hirn) 146

//-теорема 57, 67, 103

Штраус (Slrauss\ 100

Эйнштейн (Einstein) 47. 74—

81. 100. 108, 116

Электромагнитная теория света

32, 68, 144. 149. 183

Энтропия излучения 32, 74, 78, 169, 160

一 определение 56, 60, 62, 92

—осциллятора 54, 79, 97, 107, 159, 170. 172а 175

Янке (Jahnke), 96

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие • • 7

ЧАСТЬ 1

Глава 1. Г устав Кирхгоф н закон испускательной и поглощательной способности тела12

Глава 2. Людвиг Больцман и закон пропорциональности Р 29

Глава 3. Вилли Вин и закон смещения36

Глава 4. Внлли Вин, Макс Планк и закон распределения энергии • •41

Глава 5. Людвиг Больцман н элементарная статистическая теория газа66

Глава 6. Альберт Эйнштейн и классичсскиий газ световых корпускул74

Г/ава 7. Лорд Рэлей н собственные колебания в полости .・ 82

Глава 8. Макс Планк и окончательный закон излучения •・ 95

Глава 9. Макс Планк и квантование гармонического осциллятора 101

Лшература120

ЧАСТЬ 2

Г. Кирхеоф. Об отношении между испускательной и поглощательной способностями тел для тепла и света124

Оглавление

Л. Больцман. Вывод на основайии электромагнитной

теории света закона Стефана, касающегося зависи- мостн теплового излучения от температуры . . . . 144 Литература14§

В. В. Вин. Новое о связи между излучением черного тела н вторым закономтермодинамики149

Литература 157

4. М. Планк. О необратимых процессах излучения • • 158

Литература .163

б. Лорд Рэлей, Замечания по поводу закона полного излучения . . .* 164

Литература: 166

6. М. Планк. Об одном улучшении спектрального уравнения Вина167

Литература . . 169

!7. М. Планк. О законе распределения энергии в нормальном спектре излучения.......... 170

Литература181

8. М. Планк. Об элементарных квантах материн и электричества . 182

'Литература 184

Сравнительная таблицаобозначений185

Указатель 186

Хапс-Георг ГНбпф

От КИРХГОФА до Ш1ЛПКЛ

Ст. научн. редактор Е. МайковаМл. научи, редакторы Г. Сорокина, Р. ЗацепинаХудожник В. ЛогиновХудожествен и ы ft редактор Л. Вез ручей ковТехнический редактор Г. А л юл и паКорректор 1L Гнр$【.

ИБ № 2459

Сдано в набор 20,11.80. Подписано к печати 21 05.81. Формат 84Х108%2.бумага типографская № 2. Гарнитура латинская. Печать высокая.Объем 3,0() бум. л. Уел. иеч. л. IQ.U& Уел. кр.-отт. 10.28. Уч.-изд. л. 8,38.Тираж 16 700 экз» Зак. 900. Цена 65 коп. Изд. № 2/125U.

ИЗДАТЕЛЬСТВО《МИР» Москва, 1-й Рижский иер.. 2.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена ТрудовогоКрасного Знамени Ленинградского объединения «Техническая Киша»им. Eureнпи Соколовой Союзполиграфпрома при Государствен.«ом комитетеСССР но делам издательств, полиграфии и киижной торговли. 1930з2,г, Леиинград, Л・52. Изманловскнй проспект» 29.

I) Мы несколько усилили предположение Планка, чтобы

1) Кинетическая теория газов подробно нзложепл Ги)льцма- ном в его замечательных лекциях [45]« См. также сто статьи и речи [46]. — Прим. ре。.

I) Равным образом, если бы мы захотели трактовать излучение как газ, состоящий из корпускул света, мы опять-таки были бы вынуждены энергию каждого осциллятора составлять из дис

I) Это замечание не делает, конечно, излишним математическое доказательство. Вейль в 1912 г., к счастью, дал такое дока

I) В работе, представленной в январе 1901 г. (см. стр 176 данной книги), Планк указывает на М. Тизеиа как на автора окончательной формулировки закона смещения Внна» хотя последняя была опубликована также н Рэлеем.

I) См. стр. 173 настоящей книги.

I) При больших ^ единицей можно пренебречь.

I) Выражение для закона смещения Вина весьма просто:

S = f (')，

где 『 — частота колебаний осциллятора. В дальнейшем я оста* невлюсь на этом в другой связи.

，)В оригинале используется термин «резонатор» (Resonator), однако в соответствии с принятой в настоящее время терминологией мы его заменили иа термин «осциллятор».——Прим. ped.

1) См. формулу (5) нз статьи 7.

ХЕ Шёпф

От КИРХГОФАДО

VON KIRCHHOFF

BIS PLANCK

Theorie der Warmestrahlung in historisch-kritischer Darstellung von

HANS-GEORG SCHOPF

Akademie-Verlag* Berlin 1978

ХЕ Шёпф

От КИРХГОФА, до ПЛАНКА

Перевод с немецкого под редакцией д-ра физ--матв наук Д. Н. ЗУБАРЕВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

ББК 22.317

Ш48

УДК 535. 23

Шёпф Х.-Г.

Ш48 От Кирхгофа до Планка. Пер. с нем./Пер Л. Г. Мищенко; Под ред. н с предисл. Д. Н. Зу барева, —М.: Мир, 1981.— 192 с., ил. 9.

Книга проф. Х.-Г. Шёпфа (ГДР) представляет собой краткс взложеине истории развития теории теплового излучения. Авто очень интересно преподносит ее читателям： в первой части он 次 лагает теорию теплового излучения с современно靑 точки зрей»} во вторую часть включает оригинальные работы основоположнике теории теплового излучения — Кирхгофа, Больцмана, Вина, Рэле： Планка.

Книга позволяет читателям (от студентов- физико в до широки кругов научных сотрудников в области физики) познакомиться с о; ной из наиболее ярких идей нашего века — идеей квантования н； лучения.

Ш 縹訳吧 66—81, ч, 11704020000 ББК 22.317 + 22.：

041(01)—81530.1 -F 53(08

Редакция литературы по физике

© Akademie-Verlag• Berlin 1978