ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Книга выдающегося американского физика-теоретика Джона Арчибальда Уилера «Предвидение Эйнштейна» посвящена одной из фундаментальнейших проблем современного естествознания ——проблеме структуры и свойств пространства, времени и материи, проблеме геометризации взаимодействий и выяснению того, каким образом природа субмикромира определяет природу вакуума, микро- и макромира.

Книга во многом эвристична. В этом и ее сила, и ее некоторая слабость. Неебычность книги — в исключительной смелости мышления автора, в смелости и оригинальности изложенных в ней идей.

Эйнштейн не был полностью удовлетворен созданной им теорией (имеется в виду общая теория относительности), о чем не раз напоминает в этой книге и сам Уилер. Многочисленные попытки Эйнштейна и его последователей развить геометрические идеи общей теории относительности (ОТО) таким образом, чтобы на едином языке геометрии описывать и другие поля, кроме гравитационного, не дали достаточно убедительных результатов. Одним из наиболее оригинальных вкладов в развитие этих идей был вклад Уилера — его геометродинамика. Но геометродинамика, несмотря на явную пользу ряда ее построений, не в состоянии была дать прогноз путей существенного развития идей ОТО. И вот перед нами новая книга Уилера, где идеи геометродинамики существенно развиваются и дополняются, а также получает развитие идея применения топологии в ОТО. Прежде чем высказать, где и как методы топологии приносят несомненную пользу в развитии ОТО, выскажем нашу точку зрения по такому важному вопросу: имеет ли ОТО внутренние противоречия или нет (поскольку обычно ее внутренняя непротиворечивость просто постулируется).

Аппарат ОТО основан на римановой геометрии, т. е. на геометрии континуума определенного класса метрик d^ = glk dx* dx*. Однако именно в ОТО автоматически вводятся неточечные размеры объектов — «частиц». Иными словами, «частицы» в ОТО неточёчны, что противоречит самому духу континуальной римановой геометрии.

В механике Галилея (в инерциальных системах) нет ни одной мировой константы. Можно ввести нефундаментальную массу пробной частицы /п*, т. е. величину с размерностью массы. В механике Ньютона (с учетом гравитации) фигурирует константа тяготения『При введении массы пробной частицы из величин /п* н 丁 нельзя построить величину с размерностью длины. В специальной теории относительности (СТО) вводится скорость света с, но из величин т* и с также нельзя построить какую-либо величину с размерностью длины. Все эти теории могут быть непротиворечиво описаны в рамках континуальных метрик. Ситуация резко меняется, если мы переходим к общей теории относительности. В ней содержатся уже две фундаментальные константы 7 и с и нефундаментальная масса т*. Из этих величин можно построить некоторую длину rg— гравитационнный радиус нефундаментальной массы г^= =2了加*/，2 и величину с размерностью времени x = rg/c. При с-> 0 или т -> 0, т. е. при предельных переходах к механике Ньютона или к СТО,展-> 0. Таким образом, в ОТО всегда присутствует некоторая нефундаментальная длина даже для частиц с нулевой массой покоя

%* = 2T Е*/с4 = кЕ*/4к,

где 乂 = 8兀丁/。4, Е*—энергия «частицы».

Если Е*->0, т. е. когда поле в отсутствие энергии перестает быть гравитационным, то г*->0, и теория вновь становится непротиворечивой, т. е. континуальной. Из этого можно сделать вывод, что в ОТО не может быть использован непосредственно аппарат континуальной римановой геометрии, т. е. ОТО внутренне противоречива. Построения, основанные на континуальной геометрии, приводят в результате к необходимости введения какой-то длины, а следовательно, к необходимости использования дискретной геометрии. Таким образом, сама риманова

непротиворечивая геометрия в применении к физическим проблемам гравитации приводит к противоречиям, т. е. она неприменима для решения этих проблем. Посмотрим, что будет теперь, если мы перейдем к квантовым теориям. В нерелятивистской механике Шредингера из фундаментальных констант hum* фундаментальной длины построить нельзя. Эта теория непротиворечива — она может быть основана на геометрии континуума. Уравнение Шредингера в гравитационном поле Ньютона уже дает возможность построить нефундаментальную длину /* = Я2/^/»*3 и время £* =九3/72^2*5, т. е. эта теория уже несет в себе противоречие. В релятивистской квантовой теории из величин 九，с, т* можно построить комптоновскую длину волны 入* = h/m*cf соответствующую различным энергиям. Хотя эта длина и является нефундаментальной, теория тем не менее становится противоречивой.

Лишь в квантованной ОТО, еще не созданной, содержащей три фундаментальные константы 九，％ 丁，можно ввести фундаментальную длину, которая носит название план- ковской длины

厶=m叫砂〜10-33 ем,

и фундаментальную массу

т* = ]/九с/2T〜2- Ю-5 а, и время

Т£ = £./с >〜«10~43 сек.

Отсюда можно сделать вывод, что только квантованная общая теория относительности — идеально непротиворечивая теория, если вообще теория может быть идеальной. Обычная же ОТО пригодна лишь для асимптотического описания гравитационных взаимодействий, причем уже на небольших относительных длинах (порядка 2+3 7) теория становится практически точной.

Таким образом, внутренне непротиворечивыми теориями, основанными на континуальных интервалах, являются механика Галилея — Шредингера, классическая теория тяготения, классическая СТО. Механика Шредингера в ньютоновом поле тяжести, релятивистская квантовая теория и

классическая теория тяготения Эйнштейна являются противоречивыми. И только квантовая ОТО в этом смысле непротиворечива. Она «работает» в дискретном пространстве- времени с фундаментальными длиной и временем, т. е. в пространстве с квантованным интервалом, исключающим любые расходимости.

Обт единение же квантового принципа с классической геометродинамикой имеет принципиальное значение, однако трудности, вырастающие на пути такого объединения, поражают наше воображение особенно тогда, когда мы пытаемся сравнить то, чего нам хотелось бы в этом направлении достичь, с тем, что уже достигнуто.

Развитие физических представлений о пространстве и времени шло от принципа относительности Галилея и абсолютных пространства и времени Ньютона к принципу относител ьности Эйнштейна и пр остр анству-вр емен и Минковского и далее к принципу общей ковариантности Эйнштейна и искривленному пространству-времени общей теории относительности (ОТО). Однако опирающиеся на эти принципы теории пр остр анства-вр емени не в состоянии были сделать сколько-нибудь глубоких предсказаний о свойствах материи на микроскопическом уровне. Правда, за одним исключением: ОТО объяснила чисто «физическое» гравитационное взаимодействие геометрически ——как свойство искривленного пространства-времени. Именно этот результат вдохновил Эйнштейна на поиски путей геометрического описания не только всех остальных физических взаимодействий, но и их источников и носителей— элементарных частиц. Однако вскоре оказалось, что в ОТО не существует регулярных решений ни для нейтрального, ни для заряженного точечного источника. Перед Эйнштейном возникла задача так переформулировать ОТО, чтобы получить регулярные решения для точечных источников и написать корректные уравнения их движения. Более тридцати лет работы над этой программой самого Эйнштейна, а также его учеников и последователей не привели к успеху.

С другой стороны, микроскопическая теория вещества и поля ——квантовая теория, достигшая замечательной точности в интерпретации и предсказании экспериментальных результатов, опирается далеко не на самые общие пред-

ставления о пространстве и времени. Так, в основу нерелятивистской квантовой механики положены представления о пространстве и времени Ньютона, в основу релятивистской квантовой теории поля (еще не разработанной до конца) положены представления о пространственно-временном многообразии Минковского, а квантовой теории, в основу которой были бы положены представления о пространстве-времени как о римановом многообразии, вообще говоря, не существует. В имеющихся вариантах квантования гравитации используются те же формальные приемы квантования, что и в случае линейных полей в плоском пространстве-времени. В квантовой теории гравитации (когда она будет создана) гравитационное взаимодействие будет интерпретировано в терминах гравитонов, а на сами гравитоны распространятся те же трудности, которые имеют место в теории других элементарных частиц.

Итак； имеются два пути для разработки теории известных в настоящее время четырех элементарных взаимодействий (сильных, электромагнитных, слабых, гравитационных):

строить формальную квантовую теорию в римановом многообразии хорошо зарекомендовавшими себя методами;

искать такое классическое, неквантованное обобщение теории риманова пространства, естественными следствиями которого были выводы квантовой теории.

Именно по второму пути шел Эйнштейн, по этому же пути долгое время шел и Уилер. Им была создана классическая геометродинамика, включающая в себя построенные из одной пустой геометрии эквиваленты массы, зар яда и электромагнитного поля. Но классическая геометродинамика, так же как и единые теории поля Эйнштейна, оказалась несостоятельной, и прежде всего потому, что в ней не содержалось ничего, что послужило бы моделью квантовых чисел элементарных частиц: спина, барионного, лептонного и других зарядов, странности и т. д. Второй причиной неприменимости классической геометродинамики для описания элементарных частиц явилось отсутствие в ней фундаментальной длины, которая естественным образом определяла бы масштабы геометродинамических моделей массы, заряда и поля.

2—635

В предлагаемой вниманию читателей книге обсуждается третий, принципиально новый путь поиска фундаментальной теории пространства, времени и материи. Этот путь — теория су пер пр остр анства, или квантоводинамическая топология.

Перечислим основные проблемы, анализ которых в рамках существующих теорий приводит к идее суперпространства. Клейн, Арновитт, Дезер и Мизнер исследовали проблему нейтральной и заряженной точечной частицы в лагранжевой и гамильтоновой формулировке ОТО и нашли, что в обоих случаях существуют характерные длины: гравитационный радиус для нейтральной частицы и план- ковская длина ——для заряженной частицы. На расстояниях, сравнимых с этими длинами, топология пространства стремится к неевклидовой. С самой частицей связываются две системы отсчета, причем размеры частиц в каждой из них различны. Некоторые выводы о характере топологии на малых расстояниях можно сделать и из анализа последних стадий гравитационного коллапса. Более того, к выводу о возможной неевклидовой топологии можно прнйн та, анализируя общую структуру ОТО. Как мы говорили, в ОТО нет фундаментальной длины, но характерная длина —гравитационный радиус, имеющий определенное значение для определенных масс, — существует. Следовательно, ОТО, выраженная в локальных терминах тензора кривизны, будет точно описывать локальные свойства пространства-времени лишь в предельном случае отсутствия материи либо в случае источников с малой плотностью. Вблизи же концентрированных источников, размеры Которых сравнимы с их гравитационным радиусом, ОТО "будет иметь лишь приближенный характер. Предложенная нами ранее планкеонная модель элементарной частицы в неквантовом приближении может рассматриваться как один из вариантов учета возможного неевклидового характера топологии на малых расстояниях.

Идею теории суперпространства легко понять из сравнения ее с квантовым вариантом нашей планкеонной теории элементарных частиц и вакуума, которую можно представить следующим образом. Непрерывное распределение материи с некоторой плотностью существует в любой точке пр остр анства-вр вмени. Вследствие очень сильного

гравитационного взаимодействия эта материя в определенный момент собственного времени образует топологически отделенные друг от друга замкнутые объекты типа замкнутых моделей Вселенной размерами £«10-33 см и плотностью 1096 г/см3 или более сложной топологии (с 九 ручками). В следующий момент собственного времени происходит полное размыкание этих объектов, и вся дальнейшая эволюция образования нового объекта с новой топологией подчиняется квантоводинамическому закону. Этот объект был назван нами планкеоном. Усредненная по времени наблюдаемая энергия, заключенная во всем пр остр анстве-вр е- мени, есть энергетические флуктуации вакуума. Область вакуума с повышенным возбуждением есть элементарная частица.

Сравним теперь изложенные представления с основными постулатами теории су пер пр остр анства. Элементом суперпространства является пустая 3-геометрия (3)G, оснащенная 九 ручками. Топологическая замкнутость ее не объясняется искривлением пространства-времени материей, а постулируется. Причина искривления, по мнению Уилера, кроется в еще более глубоком уровне строения природы, который может быть назван «уровнем предгеометрии». Усложненная топология каждого элемента суперпространства должна объяснить спин элементарных частиц. Эволюция всего супер пр остр анства подчиняется квантовому：прин- ципу. Области с повышенным возбуждением есть элементарные частицы.

Как видим, различие между теорией суперпространства и квантовопланкеонной теорией заключается только в понимании природы единичного элемента. На наш взгляд, планкеонная теория выглядит более естественной, так как в ней отсутствует крайне геометризованная концепция и сохранен дуализм материи и пространства-времени.

Ни та, ни другая теории еще совершенно не разработаны. Книга Уилера представляет собой лишь предварительный набросок будущей теории. Однако уже на этой стадии, исходя из энергетических возможностей вакуума и элементарных частиц как объектов с неевклидовой топо-

логией, можно попытаться сделать фундаментальные предсказания для физики высоких энергий и, в частности, по-видимому, понять природу крупномасштабных нестационарных процессов во Вселенной (взрывов квазаров и ядер галактики).

Будем надеяться, что изложенная в этой книге программа завоюет себе сторонников и вдохновит их на реализацию идей Джона Арчибальда Уилера, на развитие основного направления теоретической физики ——теории субмикромира.

1 августа 1969 г, Проф. ^. П. Станюкович

В. Г. Лапчинский

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ

Принстон, лето 1968 г.Принстон, лето 1968 г.4 ноября 1915 г. Эйнштейн представил Прусской Академии наук в Берлине свою знаменитую работу «К общей теории относительности». 50 лет спустя Немецкая Академия наук (Западный Берлин) организовала в память об этом трехдневную конференцию, в ходе которой состоялись и юбилейные торжества. Я имел честь произнести речь об Эйнштейне и о его теории. За три года, прошедших со времени конференции, мы получили ряд новых и важных результатов, значительно расширивших наше понимание теории. Мы пришли к выводу, что динамика эйнштейновской теории перерастает в теорию суперпространства, структура и свойства которого приобретают теперь первостепенное значение. Вследствие этого я значительно изменил и расширил ту часть моего доклада на конференции, которая содержала квантовую геометродинамику, чтобы, начиная с § 12, систематизировать наши знания о супер пр остр анстве. Отдельные части содержащегося здесь материала в том или ином виде уже были опубликованы раньше.

Принстон, лето 1968 г.

Принстон, лето 1968 г.

Д. А. Уилер

ЭЙНШТЕЙН И ЕГО ТЕОРИЯ

§ 1. Мечта Эйнштейна

Я глубоко потрясен сознанием всего величия пророческой мечты Эйнштейна, владевшей им на протяжении последних 40 лет его жизни. Я спрашиваю себя, как воплощается сегодня надежда Эйнштейна понять материю как форму проявления пустого искривленного пространства- времени. Его давняя мечта, так и не осуществленная им на протяжении всей его жизни и к осуществлению которой не приблизились еще и сегодня, может быть выражена древним изречением «Все есть Ничто». Сегодня эту мысль можно высказать в виде точной рабочей гипотезы: материя есть возбужденное состояние динамической геометрии. Что означает эта гипотеза и каковы ее следствия? Другими словами, в каком состоянии находится сегодня идея Эйнштейна о чисто геометрическом описании природы?

§ 2. Дома у Эйнштейна ■，

Я хотел бы сказать также не только об Эйнштейне- мыслителе, но и о вдохновлявшем меня многолетнем пребывании Эйнштейна в тихом университетском городке в Нью-Джерси. Разве могу я забыть то великодушие, с которым он относился ко мне, тогда еще новичку в Принстоне, во время наших первых дискуссий о физике? Среди других воспоминаний об этих первых встречах и о более позднем сотрудничестве осталось то глубокое впечатление, которое произвело на меня его восхищение Ньютоном, восхищение проницательностью и научным мужеством Ньютона. Как неоднократно подчеркивал Эйнштейн, Ньютон лучше своих современников сознавал те философские трудности, которые были связаны с его представлениями об абсолютном пространстве, абсолютном времени и абсолютном ускорении. Несмотря на это, он имел мужество разделить не решенные тогда проблемы движения на два

аспекта, причем разделение это он произвел совершенно правильно. Он оставил будущим исследователям все наиболее глубокие вопросы о сущности систем отсчета. Сознавая, что понятие абсолютного ускорения недоступно ему для дальнейшего объяснения, Ньютон искал такие задачи, которые в то время могли быть точно сформулированы и решены. Однако он обладал не только мужеством, но и про- ницательностью в нахождении путей развития современной ему физики.

Дальнейшие дискуссии с Эйнштейном были посвящены сущности электричества, дальнодействию и известному расхождению между Эйнштейном и Ритцем в вопросе о необратимости излучения. Иногда Эйнштейн приглашал моих учеников и меня на чашку чая. Когда мы сидели за чайным столом и у кого-нибудь вдруг вырывался вопрос о его взглядах на космологию или о его последних результатах по единой теории поля, тогда я мог видеть, как глаза молодых людей были устремлены на Эйнштейна. Да и кто не был покорен его искренностью, его учтивостью, его юмором, его удивительно детской дерзостью и невинностью, выражением его лица, обрамленного развевающимися волосами, словно на оживших гравюрах Альбрехта Дюрера?

Эйнштейн и квантовый принцип

В принстонский период между Эйнштейном и Бором все время были значительные расхождения по вопросу о физическом значении квантовых принципов, которые стали общепризнанными благодаря выдающимся работам Бора. Никто из них не мог переубедить друг друга. Почему я все-таки вынужден был впоследствии смириться с тем, что Эйнштейн так и не оценил истинность, простоту и красоту квантовых принципов? В то время Фейнман в своей принстонской докторской диссертации разрабатывал хорошо теперь известные интегралы по траекториям, и я с изумлением и радостью встречал каждый его новый результат.

Когда я однажды излагал эти результаты Эйнштейну, он слушал минут двадцать спокойно и с интересом, лишь иногда прерывая меня замечаниями. Наконец, я подошел,

как мне показалось, к решающему пункту. Я сказал, что, несмотря на кажущееся внешнее отличие фейнмановских интегралов от шредингеровской волновой механики, обе эти ({юрмулировки математически эквивалентны. Заканчивая, я подчеркнул, что никто еще не разработал более красивого и простого способа перехода от классической физики к неопровержимым следствиям квантовой физики, чем это сделал Фейнман. «Не находите ли Вы утверждения квантовой механики очень привлекательными, профессор Эйнштейн?» Эйнштейн отвечал с его обычной доброжелательностью к чужим идеям, однако признался, что не может подготовить себя к принятию столь важного в квантовой теории вероятностного принципа ——выражен ли он в фейнмановской или в какой-либо другой формулировке: «Бог не бросает жребий». Я вынужден был отложить свою защиту квантовой теории, вспомнив, как Эйнштейн смеялся: «Я заслужил право совершать ошибки». К сожалению, я понимал, что большинство из нас вынуждено с ним согласиться. Да, он заслужил это право — и все же его отношение к квантовому принципу было ошибочным\ Но защищал он свою точку зрения чрезвычайно эффектно. Я помню, как на последней лекции Эйнштейна, которую я слушал, он спрашивал: «Если мышь смотрит на Вселенную, изменяется ли от этого состояние Вселенной?»

Геометродинамика Эйнштейна

Нам важно, однако, рассмотреть не ошибки, а дости- жени я Эйнштейна. Ни одно открытие, сделанное за последние 50 лет, не внесло столько принципиально нового в развитие наших представлений о природе пространства, времени и тяготения, как открытие геометрической природы гравитации, сделанное Эйнштейном и представленное им Прусской Академии наук 50 лет назад. Эйнштейн показал, что геометрия нашего физического мира—динамическая геометрия, и вывел закон изменения геометрии во времени. Чтобы выразить главную идею Эйнштейна четче, чем это сделано в названии его теории «Общая теория относительности», мн можем определить другими словами то, что он создал: Эйнштейн дал нам геометродинамику.

Вместо единственной неподвижной инерциальной системы отсчета Ньютона геометр один ами ка Эйнштейна дает нам бесконечное число локально лоренцевых систем отсчета, каждая из которых справедлива в малой области пространства и связана с другими системами отсчета посредством разработанных Гауссом и Риманом понятий кривизн пространства. Геометрия пространства-времени отныне не просто арена, где разыгрывается сражение материи и энергии. Геометрия сама принимает участие в этой битве. Геометрия предопределяет законы движения материи, а материя в свою очередь предписывает геометрии кривизну.

П. следствия эйнштейновской

ГЕОМЕТРОДИНАМИКИ

Экспериментальные подтверждения теории относительности

До сих пор не обнаружено ни одного отклонения от предсказаний общей теории относительности. Наоборот, в экспериментах Дикке и Ролля было показано, что свинцовые и алюминиевые массы при равных начальных значениях координат и скорости имеют траектории, согласующиеся с принципом эквивалентности тяжелой и инертной масс, лежащим в основе теории Эйнштейна. Эти наблюдения фактически подтверждают с точностью 1 : 1011 принцип, по которому различные пробные тела одинаковым образом реагируют на пространство-время. Была изучена в свою очередь и реакция пространства-времени на массу: исследована кривизна геометрии вблизи Солнца путем измерения смещения перигелия Меркурия и отклонения луча света. В последнее время было измерено отклонение геометрии пространства-времени от евклидовой у поверхности Земли: в опытах Паунда и Ребка было обнаружено красное смещение линии резонансного мёссбауэровского поглощения изотопа железа Fe67.

Динамика геометрии

• В эйнштейновском описании природы геометрия не просто искривленное пространство, а искривленное динамическое пространство. Эта динамика неожиданно проявилась даже в самых простейших моделях Вселенной —— в сферических пространствах, заполненных материей с некоторой постоянной плотностью. Знаменитое предсказание Фридмана, что это сферическое пространство вначале расширяется до некоторой максимальной величины, а затем сжимается до сколлапсированного состояния, Эйнштейн некоторое время считал слишком ужасающим, чтобы принять его. Впоследствии открытый Хабблом эффект разбегания галактик убедительно подтвердил это четвертое фундаментальное предсказание геометродинамики.

Динамическая геометрия так же мало связана с материей, как электродинамика с зарядом. Как показал Эйнштейн, геометрия обладает внутренними степенями свободы. Геометрия переносит энергию через пустое пространство. Такое чисто гравитационное излучение интенсивно исследуется в целом ряде прекрасных теоретических работ последнего десятилетия. Более того, Вебер в Мэрилендском университете в настоящее время предпринимает настойчивые попытки зарегистрировать естественное гравитационное излучение космического происхождения. Независимо от того, будет принято космическое гравитационное излучение или нет, в настоящее время конструируют такие искусственные генераторы гравитационного излучения. Геометродинамика Эйнштейна подвергается прин* ципиальной проверке, а впереди — новые испытания.

Геометродинамика вступила в пору экспериментального развития, как это было в свое время с экспериментальной Электродинамикой, и обеим этим ветвям физики суждено дальнейшее развитие.

Все из геометрии?

Таковы блестящие перспективы, которые открываются перед теорией Эйнштейна. Но как они бедны по сравнению с тем, о чем Эйнштейн мечтал многие годы, а именно: объяснить все явления физического мира как проявления пустого искривленного пространства! Он пророчески писал: «... кажется не лишним поднять вопрос о том, в какой степени метод общей теории относительности открывает новые пути для объяснения атомных явлений...» И далее: «... мож- но ли считать приемлемой такую атомистическую теорию вещества и электричества, которая не содержит особенности поля и использует только переменные гравитационного поля (^) и переменные электромагнитного поля в смысле Максвелла (векторный потенциал фи )?»

Мы знаем, что впервые разработал подобную программу в 1870 г. Клиффорд, правда не в таком законченном виде. Он назвал свое сочинение «О пр остр анствен ной теории материи». Он идентифицировал частицы с областями пространства, в которых пространство искривлено сильнее, чем всюду. Хорошей аналогией такого локального

искривления пространства служат крутые холмы среди равнинной местности. Движение частицы в этом случае есть не что иное, как перемещение такого искривления- холма по пространству от одной точки к другой. Клиффорд считал, что «в физике нет ничего иного, кроме изменений кривизны пространства». Мы знаем также, что Клиффорд был вдохновлен знаменитой лекцией Римана, прочитанной в Гёттингене в 1854 г. В ней Риман указывал на связь физики и кривизны пространства, причем не только в макроскопических масштабах, но и на микроскопических расстояниях: «... мера кривизны может обладать тогда в каждой точке любым значением в трех направлениях при том лишь условии, чтобы полная кривизна любой измеримой части пространства не отличалась заметно от нуля».

Эйнштейн продолжил эту грандиозную программу, установив динамический закон развития геометрии во времени. Перед ним были открыты двери, остававшиеся еще закрытыми для Римана и Клиффорда, потому что Эйнштейн уже знал, исходя из специальной теории относительности, что в законы классической физики, выраженные в виде локальных полевых уравнений, пространство и время должны входить совершенно равноправно.

Уравнения движения частиц

Ни одно открытие не укрепило так сильно веру Эйнштейна в чисто геометрическую Вселенную, как открытие Гром- мера, Инфельда и Гоффмана, заключающееся в том, что уравнение движения частицы не нужно вводить в теорию в качестве дополнительного постулата: оно вытекает непосредственно из основного геометродинамического закона.

Ситуация здесь такова, как если бы исследователь тайфунов располагал по отдельности законами движения вихрей («глаза» тайфуна) и законами движения обычной гидродинамики для нормальных воздушных течений и затем вдруг открыл, что законы гидродинамики справедливы в обоих случаях. Точно так же как «глаз» тайфуна оказывается обычным гидродинамическим явлением, из открытия ЭГИГ (Эйнштейна ——Громмера——Инфельда——Гоффмана) следует, что частица — чисто геометродинамическое явление.

Геон

'В 1955 г., в год смерти Эйнштейна, была получена конкретная геометродинамическая модель объекта, заменяющего массу,— геон (рис. 1). Геон — это сконцентрированный сгусток электромагнитного или гравитационного излучения, или обоих вместе, который удерживается как одно целое гравитационным притяжением. Сгусток ведет себя как единый объект. Он оказывает гравитационное воздействие на другие массы. Тем не менее нигде внутри него

Рис. I.1 Физические условия внутри геона и в его окрестности. Л. Фотоны, циркулирующие по круговым орбитам под действием собственного гравитационного притяжения. Б. Радиальный фактор метрики пространства-времени. В. Временндй фактор метрики пространства-времени. Г. Схематическое представление электромагнитных волн в активной области геона. Д. Более подробное представление электромагнитного поля в активной области показывает, что сконцентрированное излучение медленно просачивается через барьер, обладающий некоторым показателем преломления.

нельзя показать пальцем на какую-либо точку и сказать: «Здесь находится настоящее вещество». Геон состоит из пустого искривленного пространства. Геоны, как решения уравнений Эйнштейна, могут быть самой различной величины, так как из констант 7 и с, с которыми имеет дело классическая гравитационная теория, в принципе нельзя составить какую-либо, характерную величину с размерностью длины.

Уже единая теория поля

Гравитационное поле допускает геометрическую интерпретацию; а как обстоит дело с электромагнитным полем? Вплоть до последних дней работал Эйнштейн над тем или иным новым вариантом геометрии или единой теории поля,

Р и с . 2. След, оставляемый электромагнитным полем на геометрии. Л. Силовые линии поля. Б. Тензор энергии-импульса, соответствующий этому полю, проявляется как некоторая масса, искривляющая пространство. В. Геометрия, возникающая вследствие такого искривления.

в которую должно было войти, нар яду с гр авитационным, и электромагнитное поле как проявление кривизны пространства. Однако ни одна из этих попыток не увенчалась успехом. Все эти теории приводили к одинаковому закону движения для заряженных и для нейтральных частиц. Ни один циклотрон не смог бы работать в таком удивительном мире. К счастью, Мизнер, опираясь на работы Райнича (1957 г.), сумел показать, что эйнштейновская теория 1915 г. уже является единой теорией поля в следующем смысле: поле оставляет на искривленном пространстве отпечатки

столь специфических форм, что по ним почти всегда можно узнать все необходимое об электромагнитном поле (рис. 2). При этом можно вовсе не интересоваться электромагнитным полем, так как все необходимое содержится в собственно геометрии. Математически это достигается приведением двух систем уравнений второго порядка, уравнений Максвелла и Эйнштейна, к одной системе уравнений четвер-

Р и с • 3. Заряд в классической геометродинамике интерпретируется как «электрические силовые линии, захваченные топологией пространства». Ручка связывает две области одного и того же почти евклидова пространства, а не два различных эвклидовых пространства. Расстояние между горловинами ручки, измеренное в открытом, почти евклидовом пространстве, с одной стороны, и измеренное вдоль ручки, с другой стороны, может иметь в соответствии с уравнениями поля Эйнштейна различный порядок величины, хотя на рисунке и показано обратное. Геометрия (одно измерение не показано!) ради простоты представлена так, как если бы она была вложена в плоское евклидово 3-пространство. Третье измерение (удаление «за пределы» геометрии) при таком рассмотрении столь же недостижимо, как стратосфера для ползающего по поверхности Земли муравья. Наблюдатель, не вооруженный приборами с достаточной разрешающей способностью, будет принимать одну горловину ручки как положительный заряд, а вторую горловину — как отрицательный заряд. В противоположность этой картине статических идентифицируемых ручек в квантовомеханической картине рассматривается субмикроскопическая пенообразная ручечная структура, находящаяся в состоянии непрерывного изменения.

§11. Топологическая интерпретация заряда25

того порядка. Такой подход подтверждает сущность электромагнитного поля как формы проявления геометрии. Однако когда переходят от принципиальных вопросов к практическим, снова возвращаются к привычному дуализму электромагнитного поля и геометрии.

Топологическая интерпретация заряда

Был предпринят и другой важный шаг на пути геометризации физики. Концепция топологических ручек интерпретирует электрический заряд как электрические силовые линии, всюду свободные от сингулярностей и обладающие конфигурацией, обусловленной топологией многосвязного пространства (рис. 3). Как геон является геометродинамической моделью массы, так и ручка является геометродинамической моделью заряда. В настоящее время нет ни малейшего указания на связь между этой чисто классической моделью заряда и реальными частицами, свойства которых описываются квантовой теорией.

Электрические силовые линии — в чисто геометрическом аспекте ——проходят через ручку многосвязного пространства. При этом окрестность одной горловины воспринимается наблюдателем как положительный заряд, окрестность другой горловины ——как отрицательный заряд.

1П. СУПЕРПРОСТРАНСТВО И БОЛЕЕ ГЛУБОКАЯ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРОДИНАМИКИ

Суперпространство как область действия геометродинамики

Далеко идущие идеи теории Эйнштейна содержат в себе гораздо большее, чем просто уравнение движения, гравитационные волны, единую полевую теорию, топологическую интерпретацию электричества. Они содержат в себе квантовую геометродинамику. И ключом к этим новым идеям является понятие су пер пр остр анства.

Су пер пр остр анство есть арена действия геометродинамики, как пространство-время есть арена действия динамики частиц. Су пер пр остр анство сравнимо с утесом, с вершины которого можно обозреть расстилающийся перед нашими глазами ландшафт теории Эйнштейна, классической и квантовой геометродинамики. Каков этот ландшафт? Какие конструкции и сооружения могут быть на нем возведены? И какие тайны хранит он в своих недрах?

К счастью, нам хорошо известна теория Гамильтона— Якоби. Хотя она целиком принадлежит миру классической физики, все же с ее помощью можно несколько продвинуться в мир квантовой физики.

Выбор допустимой истории как интерференции в области действия динамики

Переход от квантовой физики к классической лучше всего рассмотреть на примере теории движения частиц. Обозначим потенциал через V = /(%)• Энергию частицы обозначим через £. В рамках квантовой теории мы не имеем никакой надежды описать движение частицы в пространстве и времени. В лучшем случае в полуклассическом приближении рассматривают функцию амплитуды вероятности / Медленно меняющаяся \ 彳 Se(x,/)

屮虱招［ амплитудная функция / ' е

И даже в тех случаях, когда функция Гамильтона—Якоби S много больше кванта действия h = 1,05-10-27 г-см2/сек,

это не помогает нам локализовать распределение вероятности. Не поможет нам и то, что «динамическая фаза»— другое название S — удовлетворяет простому закону распространения Гамильтона—Якоби:

dS / dSdS / dS\1/ GS \ 2

dS / dS

dS / dS

⑵⑵%) = -^(17)+u(办

⑵

⑵

Наконец, не помогает и то, что решение этого уравнения для частицы с энергией £ имеет совсем простой вид:

s(尢，f)= —Et+ JV2m[E — V(x)] dx + 3£.(3)

Вероятность все еще всюду отлична от нуля! И во всем пространстве нельзя отыскать хотя бы самый незначительный след мировой линии % = %«)!

Но уже давно существует простая в реализации идея строить из монохроматических волн волновые пакеты. В этом случае волновая функция представляет собой сумму членов следующего вида:

屮(%，力=屮鼠%，f) +屮е+ае(%，力+….(4)

Она затухает практически всюду, и лишь в той области, где фазы отдельных волн совпадают, имеет место интерференция и там локализуется пакет. В этой области

S^ (招') = Se+ae (居 0-(5)

Наконец-то мировая линия (рис. 4)! И к тому же как легко из этого интерференционного условия сконструировать ньютоновский закон движения:

О = S^+AE —S?

—0 = —才 AE + J △%(%)d%+( З^+ае — 3石)‘(6)

7‘ =j篇+‘° (нь9тон).

Здесь % (%) есть скорость в точке %:

3*

Е+АЕ —•» — •—

Рис. 4. «Движение» и «мировая линия» частицы появляются в квантовой механике как следствие интерференции волн, распространяющихся по всему пространству. Вверху: пример потенциальной энергии как функции координат. Внизу: числами ——20, —18,... 十28, ... занумерованы гребни воин функций амплитуды вероятности 屮е (乜 6, пропорциональные меняющемуся амплитудному множителю ^/^^(х^ дня энергии Е・ Пунктирнйми линиями обозначены те же амппитуды для энергии Е + ДЕ. Заштрихованная об* ласть есть область интерференции («волновой пакет»)・ Черные точки отмечают классическую мировую линию (S^-lae = S £).

A ]/2m (£ — V)—

AE

АРе

1

看(импульс)

⑺

~~^ = время прохождения единичного

*отрезка пути

и % есть сокращенное обозначение для зе+ае - ве d3f一

oh

p.

(8)

Поразительно, что нет ни малейшего следа кванта действия в окончательном решении. Тем не менее именно квант действия дает нам основание говорить о «построенной интерференции». Квант действия появится только в том случае, если область распространения волнового пакета будет конечной. В этом случае от понятия мировой линии отказываются, так как в движение частицы от начала и до конца дают вклад все возможные траектории. Так работает квантовая физика!

§ 14. Не четыре, а три измерения

Аналогичные построения справедливы и в случае геометродинамики, динамическим объектом в которой является не пространство-время, а пространство. Геометрическая конфигурация пространства изменяется с течением времени. Однако это пространство, изменяющееся во времени, есть трехмерное пространство. Ничего неожиданного в этом нет; ведь в динамике частиц динамическим объектом является только %, а не % н £ Как объяснить это нашим коллегам-математикам? Выслушав нас, они могут сказать, что именно отсутствие четвертой координаты препятствовало Риману открыть общую теорию относительности. Вначале должны были появиться принцип относительности, пространство-время и четвертое измерение. Да и может ли быть какая-либо иная возможность связи гравитации с кривизной пр остр анства-вр емени (рис. 5)? И как может физик после всего этого изменить свое мнение и снова убрать одно измерение? Ответ прост. В последние годы Дирак, Бергман, Шилд, Пирани, Андерсон, Хиггс, Ар- новитт, Дезер, Мизнер, Де Витт, преодолев многочислен-

ные трудности, показали, что эйнштейновская геометродинамика описывает динамику трехмерной геометрии, а не четырехмерной [ 1, 2].

Что такое 3-геометрия? Чтобы упростить вопрос, давайте сформулируем его на более привычном языке. Что

Рис. 5. Траектория шара и траектория фотона в пространстве (поверхность х, г) искривлены по-разному, но в пространстве-времени (х, z, ct) искривление траекторий одного порядка величины.

такое 2-геометрия? Нет более наглядного образа 2-геометрии, чем, скажем, крыло автомобиля. Если каким- либо способом нанести на его поверхность координатную сетку или как-то обозначить его точки, то поверхность крыла будет примером 2-геометрии. То же самое справедливо и в случае 3-геометрии. В математической записи ⑶ G есть не просто положительно определенная 3 X 3-метрнКа, а эквивалентный класс таких метрик, переходящих друг в друга посредством преобразования. Однако определять каждую точку пространства, ее координаты и метрику в данной точке (расстояние до соседних точек) излишне. Ведь насколько наглядно наше представление о 2-геометрии на примере автомобильного крыла, настолько же нагляден и приемлем в нашем представлении образ 3-геометрии. Долой «точки», да здраЕСтвует «геометрия»!

§ 15. Суперпространство как многообразие

Из концепции геометрии вырастает новое понятие — понятие су пер пр остр анства [3]. Су пер пр остр а нство — это многообразие, каждый элемент которого представляет со-

бой 3-геометрию (рис. 6). 3-геометрия находится на пол пути между точкой и суперпространством: выведенная путем обобщения понятия точки 3-геометрия в свою очередь является всего лишь единичным элементом суперпространства.

屮（GZHe屮（GZHeZS⑹/方+屁S⑹/方+ZS⑹/方+屁S⑹/方+Суперпространство есть арена действия геометродинамики, также как пр остр анство-вр емя Лоренца—Минковского есть арена действия динамики частиц (табл. 1). Мгновенная конфигурация частицы есть событие — отдельная точка в пр остр анстве -вр емен и. Мгновенная конфигурация

屮（GZHe

屮（GZHe

ZS⑹/方+屁S⑹/方+

ZS⑹/方+屁S⑹/方+

Рис. 6. Суперпространство G есть многообразие, в котором каждая «точка» /, В, ... представляет собой 3-геометрию. Подмногообразие представляет собой «классический закон движения геометрии в пространстве», если в пространстве могут быть определены динамические начальные условия. Другими словами, Н состоит из всех тех пространственно-подобных 3-геометрий, которые составляют разрез определенной 4-геометрии (они должны удовлетворять классическим полевым уравнениям Эйнштейна). 3-геометрии из Н можно отличить от других геометрий тем, что для первых выполняется условие интерференции S((3)G)=S'((3)G)=S"((3)d). На нижнем, более детальном рисунке можно видеть встречу волновых гребней в суперпространстве. Волновой пакет в квантовой теории не мзжет быть локализован в сколь угодно малой области. Аналогично и в суперпространстве амплитуда вероятности 屮 при небольшом отклонении от классического хода развития 3-геомэтрии не обращается в нуль вследствие «квантовых флуктуаций геометрии пространства» (более детальное символическое изображение флуктуаций дано иа рис. 8).

Таблица 1

Сравнение геометродинамики с динамикой частиц

Частицы

Геометродинамика

Динамические величины

Частицы

Пространство

Описание мгновенной конфигурации

х, t («событие»)

⑶G 3-геометрия

Закон движения

* = *(/)

^G 4-геометрия

Является ли закон

Да. Каждая точка

Да. Каждое прост-

движения следст-

мировой линии пред-

ранственно-подоб-

вием конфигурации

ставляет собой

ное сечение дает

мгновенную конфи-

мгновенную конфи-

гурацию частицы

гурацию пространства

Область действия ди-

Пространство-время

Суперпространство

намнкн

(совокупность всех

(совокупность всех

точек х, 0

⑶G)

пространства есть 3-геометрия — отдельная точка суперпространства.

Является ли су пер пр остр анство многообразием? Его конструкция достаточно проста. Можно назвать некоторую 3-геометрию «точкой» и рассматривать все подобные точки. Однако почему мы должны ограничивать наше рассмотрение только 3-геометриями с положительно определенной метрикой? Построим «расширенное суперпространство»; точками этого суперпространства назовем и такие 3-геометрии, сигнатура которых отлична от (Ч--1--И). Рассмотрим множество этих точек. Имеет ли появившийся таким образом математический объект разумную топологию? Является ли он многообразием? Нет! В многообразии каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому множеству банахова пространства, и две различных точки обладают различными окрестностями. Иное дело у нас. В важных исследованиях Штерна [4 ] показано, что в каждой точке расширенного су пер пр остр анства существует другая точка, отличная от нее, но не изолированная от первой открытым множеством. Поэтому расширенное суперпространство не является ни пространством Хаусдорфа,

ни многообразием. Ввиду этого едва ли его можно рассматривать как приемлемую арену действия динамики.

В то же время нерасширенное су пер пр остр анство обладает хаусдорфовой топологией, как показал Штерн. Из его математических исследований вытекает, что суперпространство есть приемлемая арена действия геометродинамики.

Физические рассуждения приводят к тому же результату. Требование, чтобы 3-геометр и я обладала положительно определенной метрикой, гарантирует, что ни один световой сигнал не может р аспр остр ан яться по 3-геометрии. Ни один физический эффект не может р аспростр аняться в этом пространстве от одной точки к другой. Любая физическая величина локальна в данной точке и не связана с какой бы то ни было физической величиной, относящейся к другой точке. Они коммутируют. Эти величины могут быть одновременно определены на всей 3-геометрии. Более простого примера «полного наблюдения» в квантовой геометродинамике не существует. С этим тесно связана проблема начальных значений классической геометродинамики.

«Наблюдение»? Не включает ли наблюдение и наблюдателя? Не должен ли наблюдатель реагировать на каждое событие в своем световом конусе прошлого? И следовательно, не дает ли этот световой конус прошлого с метрикой (Н--1-0) приемлемую геометрию, на которую могут быть наложены физические условия? Нет, и по двум причинам. Прежде всего, даже когда геометрия светового конуса прошлого известна полностью, этого еще недостаточно, чтобы можно было предсказать будущее геометрии посредством полевых уравнений Эйнштейна. Можно ли внутри светового конуса прошлого определить 4-геометрию? Да 15]. А вне светового конуса прошлого — в конус будущего? Нет. Область будущего будет испытывать влияние извне, однако это влияние никогда не коснется светового конуса будущего. Предсказания можно делать лишь в прошлое — своего рода «полудинамика». Однако полная динамика невозможна. Ошибка заключена в выборе начальной гиперповерхности. Конус создает несимметричную границу между прошлым и будущим. Как видим, Еыбор этой гиперповерхности не дает возможности предсказать полностью

всю геометродинамическую историю в прошлом и будущем, как это имеет место в случае пространственно-подобной начальной гиперповерхности.

Кроме того, само понятие «световой конус, сходящийся на наблюдателе», неверно интерпретируется. «Наблюдатель» динамической теории не есть и не может быть единичным регистратором событий, и это справедливо как в специальной, так и в общей теории относительности. «Наблюдатель» есть «собиратель зафиксированных данных» [6] множества всюду плотно распределенных приемников, каждый из которых чувствителен лишь одно мгновение. Эти мгновения чувствительности связаны между собой пространственно-подобным интервалом. Взятые все вместе приемники определяют пространственно-подобную гиперповерхность, «одновременность», рудиментарное «время»— переменную, которую невозможно определить более подробно. Впрочем, для ее применений такого определения вполне достаточно. В момент чувствительности каждый детектор (приемник) реагирует на соответствующую измеряемую величину: на близость частицы в динамике частиц, на локальную интенсивность поля в электродинамике, на локальную геометрию в геометр о динамике. Измерения динамических величин могут служить основой динамической теории только тогда, когда детекторы распределены по пр остр анственно-подобной гипер повер хности.

Подведем итог. Где должны быть указаны полные динамические начальные значения? На пр остр анственно-подобной 3-геометр ии, но не на нуль-3-геометрии. Какие «точки» принадлежат топологически приемлемой области действия геометр оди н ами ки ? Пр остр анствен но - подобны е 3-геометрии, но не нуль-3-геометрии. Какая замечательная связь между динамикой и топологией!

§16. Волновой пакет в суперпространстве и его распространение

Перейдем теперь от рассмотрения динамической величины —пространства и области его действия — суперпространства к собственно динамике. Типичная функция амплитуды вероятности определена на всем суперпространстве. Однако из этого еще нельзя вывести динамику. Здесь

нет ничего удивительного, так как уже в классической теории функция Гамильтона—Якоби S((3)G) распределена по всему многообразию. «Динамическая фазовая функция» классической геометродинамики представляет собой в по- луклассическом приближении обычную фазу функции 屮 вида

山(Медленно меняющаяся) 内⑶⑨

S и \ амплитудная функция /• g

Достаточно указать, что 屮 здесь, так же как и S, не локализована. Динамика впервые появится лишь тогда, когда подобных амплитуд вероятности наложится достаточно, чтобы построить из них локализованный волновой пакет [8, 9h

屮=С抻1 + С2屮2 + • • • •(1。)

Там, где фазы отдельных индивидуальных волн совпадают, происходит интерференция [10]:

—S£ ((3)G)=S2((3)G).(11)

3-геометрии, согласующиеся с условиями интерференции, образуют классический геометродинамический закон движения пространства (рис. 6). Поразительно, что каждую 3-геометрию, удовлетворяющую условиям интерференции, можно представить как пространственно-подобный разрез определенной 4-геометрии. Более того, эта 4-геометрия удовлетворяет десяти полевым уравнениям Эйнштейна. Другими словами, достаточно добавить к принципу интерференции только уравнение Гамильтона—^коби для динамической фазы Sf 3 G), чтобы получить всю классическую геометродинамику. Справедливость этого утверждения была доказана Герлахом [11 ].

Уравнение Гамильтона—Якоби в явном виде впервые ввел в литературу Перес [12] в своей огновополагающей работе по гамильтоновой формулировке геометродинамики [13]:

l修8〃一喜g演"(粉)(訝)+⑶r"9)

Здесь g/j — коэффициенты метрики 3-геометрии, g — детерминант этих коэффициентов. Величина ⑶ R есть внут

ренняя скалярная инвариантная кривизна 3-геометрии. Функция Гамильтона—Якоби зависит только от 3-геометрии, а не от того, как эта 3-геометрия выражается через метрические коэффициенты в некоторой системе координат, хотя в (12) S входит таким образом, как если бы она зависела исключительно от метрических коэффициентов:

S = S (glt,纟⑵....g33)・

В таком подходе 3S/6?” представляет собой функциональную производную от S в зависимости от изменения функций gq(%, у, z). Тот факт, что в конечном счете координаты не играют никакой роли, позволяет нам записать уравнение (12) в символическом виде:

｛品『+⑶R = sa3)

Это уравнение «Эйнштейна——Гамильтона——Якоби» содер- жит всю классическую геометродинамику в тех областях, где никаких «настоящих» масс-энергий не содержится. Оно заключает в себе все содержание 10 уравнений Эйнштейна. Уравнение «Эйнштейна ——Гамильтона ——Якоби» нужно в дальнейшем проверить подобно тому, как проверяются уравнения Эйнштейна,——сравнением их предсказаний с экспериментом. Мировая линия в наиболее простом случае физики частиц имеет простой смысл. Это последовательность точек (%, /), в которых еыполняются все интерференционные условия. Существует оо1 подобных точек на мировой линии, когда уы имеем дело с двумерными поверхностями. Динамика Еыделяет эти точки из множества оо2 точек, образующих область действия динамики частиц. Аналогичный смысл имеет 4-геометрия в геометродинамике. Она представляет собой поеледовательность всех тех 3-геометрий, которые удовлетворяют условиям интерференции. В пространственно-подобном разрезе 4-геометрии

f f (%, у, z),(14)

осуществленном тем или иным образом, содержится (ооте3) 3-геометрий, так как

оо з точек (%,从 z),

оо1 возможных значений f в каждой точке, итого: (8 8 3)ВозМОЖНых 3-геометрий.

Классическая геометродинамика выделяет из бесконечно большого числа всех 3-геометрий только те, которые находятся в области действия геометродинамики. Эта область действия, называемая су перпростр анством, содержит (оо 3)003 3-геометрий, число которых определяется из следующих простейших соображений: су пер пр остр анство содержит оо 3 точек, и в каждой точке — три диагональные компоненты метрики (когда выбирают координатную систему, в которой метрика диагональна). Затем имеется еще оо 3 возможных метрик на одну точку супер пр остр анства, итого — (оо з)83 3-геометрий.

Перед тем как описывать во всей полноте динамическое развитие пространства, следует извлечь из всего множества представленных 3-геометрий все динамически допустимые 3-геометрии. Ничего нового! Давно известно, что ьремя в общей теории относительности—«фиктивная» сущность. Гиперповерхность, проведенная через пр остр анство-вр емя и состоящая из 3-геометрий, может сдвигаться во времени в любой из точек слишком незначительно, чтобы включить какую-либо новую 3-геометрию. Время, определенное таким образом, означает не более и не менее как локализацию 3-геометрии в 4-геометрии. В этом смысле 3-геометрия выступает как «носитель временной информации» [14].

§ 16 а. Пространство-время—понятие, не совсем законное

Есть такая детская игрушка: распечатывают одну коробку, а внутри — новая коробка, распечатывают новую коробку, а внутри — еще одна коробка, и так до тех пор, пока, наконец, целая дюжина корсбок не будет извлечена на свет божий. Можно вложить все эти коробки обратно одна в другую и привести все в первоначалы ый компактный вид. Однако гораздо более изощренно осуществляется вложение 3-геометрий в 4-геометрию. Природа не заботится ни о каком монотонном распределении. Две любые выбранные произвольно динамически допустимые 3-гео-

метрии могут пересекаться однократно или многократно. Если разложить 4-геометрию на составные элементы, то можно получить по аналогии с детской игрушкой невообразимо много 3-геометрий. Обратно, если все эти, подчиняющиеся интерференционным условиям, 3-геометрии объединить, то получится единое образование, жесткость которого не ставится под сомнение. Эта жесткость обусловлена бесконечно большим числом разнообразных и одновременных пересечений и взаимной точностью вложения четко определенных 3-геометрий. Резюмируя, можно сказать:

введенные уравнением (11) 3-геометрии служат основными строительными элементами;

их взаимная связь обусловливает существование 4-геометрии, ее размерность [15] и ее «магическую структуру»；

и в этой структуре каждая 3-геометрия имеет единственную и притом жестко фиксированную локализацию.

Как отличается это, однако, от уже хрестоматийного понимания пр остр анства-вр вмени! Обычно геометрию пространства-времени понимают как объект, построенный из элементов или точек — так называемых событий. У нас же, напротив, 3-геометр и я — первичное понятие, а событие —вторичное: 1) событие лежит на пересечении данной и других 3-геометрий; 2) временная связь данной 3-геометрии с какой-либо другой 3-геометрией будет определяться структурой 4-геометрии, которая, со своей стороны, зависит от взаимного пересечения всех остальных 3-геометрий.

Будем ли мы считать 3-геометрию первичной, а событие вторичным, или наоборот, не играет никакой роли до тех пор, пока мы находимся в рамках классической геометродинамики. Однако появляются значительные отличия, когда мы имеем дело с квантовой геометродинамикой.

В квантовой геометродинамике нет понятия 4-геометрии, и это объясняется довольно просто. Ни одна функция амплитуды вероятности не может распространяться через суперпространство в виде бесконечно узкого волнового пакета. Пакет расплывается (рис. 6). Существует только конечная амплитуда вероятности в некоторой ко-

нечной области суперпространства. Эта область содержит множество 3-геометрий, которое достаточно полно, чтобы образовать любую 4-геометрию. Эту ситуацию можно, объяснить по-разному. Можно сказать, например, что распространение в су пер пр остр анстве следует не по любому классическому пути, а строится из бесконечно большого числа вкладов таких путей. Этому дальнейшему развитию фейнмановской концепции «интегралов по траекториям» уделил особое внимание Мизнер [6]. Но независимо от того, каким образом мы объясняем эту ситуацию, суть дела заключается в следующем. 3-геометрии, обладающие значительной амплитудой вероятности, не могут быть охвачены единой 4-геометрией. «Магической структуры» классической геометродинамики больше не существует. Если при построении суперпространства будут отсутствовать критерии, устанавливающие взаимную связь 3-геометрий, то будет потеряно даже само понятие «временной последовательности событий» в любом смысле.

Это рассмотрение показывает, что понятия, «пространство-время» и «время» являются не первичными, а вторичными образованиями при построении физической теории. Эти понятия удовлетворительны лишь в классическом приближении. Однако они не имеют смысла и не могут применяться в тех областях, где становятся существенными квантовые эффекты. Здесь не будет справедливым любой способ исследования природы, в котором всякое событие в прошлом, настоящем или будущем занимает свое определенное место в большом каталоге, называемом «пространство-время». Нет пространства-врвмени, нет времени, нет «до» и нет «после». Вопрос «что произойдет в следующий момент» теряет всякий смысл.

§ 17. Планковская длина и гравитационный коллапс

Эти необычньге следствия квантового принципа в нормальных обстоятельствах не проявляются. Характеристической длиной квантовой геометродинамики является планковская длина

Vh^ = 1,6 • 10-33 CMt

(15).

По сравнению с ней все практические диапазоны длин просто гигантские. Сравнимая с ней квантовомеханическая протяженность волнового пакета в су пер пр остр анстве также пренебрежимо мала. Можно поэтому обратиться к динамическому развитию геометрии в пространстве — классической геометр о ди н ами ке. Каждая геометрия, обладающая отличной от нуля амплитудой вероятности, в хорошем приближении может быть представлена так, как если бы она принадлежала определенной области суперпространства, обладающей пренебрежимо малой толщиной. Число всех таких 3-геометрий достаточно мало, чтобы быть охваченным единственной 4-геометрией. С другой стороны, их число достаточно велико, чтобы образовать любое мыслимое пространственно-подобное сечение 4-геометрии. В этом приближении имеет смысл говорить о «классических геометр одинамических историях развития пространства». Хотя в обычных рамках динамики оказывается достаточной классическая геометрия, ее методы уже оказываются неприемлемыми в двух случаях, а именно в исследовании гравитационного коллапса и микроскопических квантовых флуктуаций геометрии пространства и влияния их следствий на физику вообще.

По-видимому, первым применением квантовой геометродинамики будет исследование проблемы гравитационного коллапса [18]. В этой проблеме размеры систем, описываемых общей теорией относительности, уменьшаются за конечное собственное время до бесконечно малых размеров. Это явление характерно не только для пространств, заполненных материей, но применимо и к пространству, окружающему материю. За конечное собственное время кривизна пространства растет до бесконечности. Классическая теория в этом случае оказывается не в силах давать предсказания. Фактически предсказания классической теории в проблеме коллапса уже беспомощны, так как предсказание, содержащее бесконечности, не есть предсказание. Волновой пакет в супер пр остр анстве не может следовать классическому пути, когда геометрические размеры меньше квантовомеханической ширины пакета. Это вовсе не новое явление! В физике всегда можно указать пример, когда волна действует в области, размеры которой меньше длины волны. Результат в этом случае — рассеяние

или дифракция. Говорят о некоторой вероятности того или иного результата взаимодействия. Фотоны, фононы или вообще то, что рассматривается, описываются в терминах классических траекторий до и после области взаимодействия. В процессе же самого взаимодействия понятие определенной мировой линии отсутствует. Понятие определенного развития геометрии, полностью определенной 4-геометрии в начальной стадии гравитационного коллапса имеет смысл, однако становится неприменимым на заключительной стадии. На этой стадии «пространство-время» не существует. «Событие» или «временная последовательность событий» оказываются понятиями, лишенными всякого смысла, и вопрос «что произойдет на заключительной стадии гравитационного коллапса»— неверно поставленный вопрос.

Правильная постановка вопроса заключается в исследовании распространения амплитуды вероятности 屮(e)G) в су пер простр анстве. Полуклассический анализ распространения [уравнения (9) и (13) ] при этом годен вплоть до самых последних стадий гравитационного коллапса. А затем, как и в фундаментальной проблеме рассеяния, нужно обратиться к изучению точного волнового уравнения. Как математически корректно сформулировать задачу? В случае проблемь! рассеяния корректная формулировка найдена путем обобщения опытных данных. Если бы таких опытных данных не существовало, то необходимо было бы обратиться к математической формулировке задачи о рассеянии падающей плоской волны, сферической волны и т. д. Аналогично придется поступать и в квантовой геометродинамике, где подобного опыта вообще нет. Математический формализм в этом случае должен послужить тем направляющим звеном, с помощью которого удастся сформулировать и решить до конца проблему гравитационного коллапса!

IV. КВАНТОВЫЕ ФЛУКТУАЦИИ И СТРУКТУРА ЧАСТИЦ

Квантовые флуктуации геометрии пространства

Другим важным применением квантовой геометродинамики являются «квантовые флуктуации геометрии пространства». Какое причудливое сочетание слов! Флуктуации —понятие, хорошо известное. Выражение «квантовые флуктуации» имеет более глубокий смысл. Их можно понимать как такое движение, которое невозможно выморозить при сколь угодно низкой температуре. Такие флуктуации существуют всегда. В молекуле водорода могут испытывать флуктуации как расстояние между атомами, так и их относительные импульсы. Одновременное фиксирование этих двух величин нарушило бы принцип неопределенности. В случае электромагнитного вакуума флуктуируют как электрическое, так и магнитное поля. Если обратить в нуль обе эти динамические сопряженные полевые переменные, то принцип неопределенности снова был бы нарушен. Это справедливо и в квантовой геометр од и н ам и ке. Сопряженные переменные здесь ——«внутренняя кривизна» трехмерного пространства и «внешняя кривизна», которая получается, когда это трехмерное пространство рассматривается относительно объемлющей его четырехмерной геометрии. Обе динамические величины не могут быть одновременно обращены в нуль без нарушения принципа неопределенности Гейзенберга. Вследствие этого пространство на расстояниях порядка квантовой длины описывается именно геометродинамикой независимо от того, каким флуктуациям будут подвержены там электромагнитные полевые величины.

Ни одно из предсказаний квантовой электродинамики не является столь впечатляющим, как предсказание вакуумных флуктуаций электрического поля. Их возмущающее влияние на движение электронов дает значительный вклад в лэмбовский сдвиг [19] (рис. 7).

Чтобы дать количественные оценки флуктуаций геометрии, будем руководствоваться примером осцилляторов в электродинамике. Мы имеем следующее выражение для

энергии осциллятора:

尸 / /Кинетическая \ 丄 / Потенциальная \ \ Р2 丄 тш' энергия 丿十〈энергия丿 / = 2/и 十 2

(16)

Рис. 7. Символическое представление движения электрона в атоме водорода, испытывающего влияние вакуумных флуктуаций электрического поля. Их можно назвать «флуктуациями основного состояния», или «нулевыми флуктуациями». Флуктуирующее электрическое поле £х(0 =(з)е-/⑴以⑴ вызывает отклонение траектории, равное в первом приближении

Среднее отклонение обращается в нуль, но квадратичное среднее не обращается. Действующий на электрон потенциал отличается от заданного значения V(xf у9 г) на величину

△У (%, у, Z)=у〈(А *)2〉V2 V (%, У, Z).

Это возмущение, наложенное на невозмущенное движение, дает значительный вклад в сдвиг уровня Д£ =〈A V(x, у, 2)〉Лэмба —— Резерфорда. И наоборот, экспериментальное исследование лэмбовс- кого сдвига дает возможность сделать определенный вывод о реальности существования вакуумных флуктуаций.

4*

В случае гауссовского распределения ф (х) с радиусом распределения а,

屮(%) = п-'/4 e~xW,(18)

получаем следующее выражение для энергии:

Е = } ti^lmcfi -]——~ ms2a2.(19)

Если бы не было квантовых эффектов, то в выражении (19) отсутствовал бы первый член, и минимальной энергией осциллятор обладал бы в состоянии покоя. Однако с учетом квантовых эффектов такая жесткая локализация привела бы к сколь угодно большой величине импульса и к расходящейся кинетической энергии (в выражении (19) первый член обращался бы в бесконечность). Минимальная энергия £ = (1/2)九з, называемая «энергией флуктуаций», или «пол у квантом», или «нулевой точкой», дает для амплитуды флуктуаций нулевой точки величину а = (h/m о))1/2. Другими словами, осциллятор в основном состоянии

屮(х)=(冲必力产е~ (а/?九W(20)

«резонирует» внутри области с размерами

Электромагнитное поле можно представить как набор независимых «полевых осцилляторов» с амплитудами ^Лг … Пусть максвелловское поле находится в основном состоянии, тогда вероятность того, что первый осциллятор имеет амплитуду J второй — амплитуду 也 третий — % и т. д., есть произведение функций вида (20), в котором каждый сомножитель соответствует своему осциллятору. Нормируя надлежащим образом амплитуду, это бесконечное произведение можно записать в виде

屮(“2 (寻+處+ •••)• (21)

Это выражение справедливо для амплитуды вероятности 屮 конфигурации магнитного поля В (%, у, z), которое может быть записано с помощью фур ье-коэффициентов Е】，玩…

Можно даже вообще отказаться от фур ье-коэффициентов и представить выражение (21) только как функцию магнитных полевых переменных

屮(В(%, у, z)) = ^exp[—Jj 16H3fle忍". (22)

Далее уже не говор ят о магнитном поле, а лишь о вероятности той или иной конфигурации магнитного поля. Так поступают даже тогда, когда поле, как и у нас, находится в основном состоянии.

Легко понять, что в этом случае наиболее вероятной является конфигурация с В (%, у, z) == 0. Аналогично этому рассмотрим конфигурацию, когда магнитное поле равно нулю всюду, за исключением малой области с размерами L. Принимая, что условие div В = 0 выполняется всегда, предположим, что в малой области L амплитуда поля равна АВ. Амплитуда вероятности рассматриваемой конфигурации отличается от соответствующей амплитуды нулевой конфигурации на множитель е_/. Выражение / в экспоненте по порядку величины равно (^B^L^/hc. Конфигурации, для которых / велико по сравнению с единицей, имеют пренебрежимо малую вероятность. И наоборот, если / меньше единицы, то соответствующие конфигурации столь же вероятны, как и нулевая. В этом смысле можно сказать, что флуктуации магнитного поля АВ в области L по порядку величины равны

NB 〜Уйё ID. (23)

Другими словами, поле «резонирует» между конфигурациями, диапазон флуктуаций которых определяется формулой (23). Чем меньше р ассматр иваемые пр остр анственные интервалы, тем больше значения флуктуаций поля.

Дополнительное понимание флуктуаций в геометродинамике получают, рассматривая электромагнитные полевые флуктуации в другой, уже более близкой связи. Рассмотрим измерительный прибор, который одинаковым образом реагирует на магнитное поле во всех точках области L. Как будет реагировать этот прибор на электромагнитные возмущения различной длины волны? Если длина волны меньше Л, то силы, возникающие в различ-

ных частях прибора, взаимно компенсируются. Напротив, длинноволновые возмущения возбуждают в измерительном приборе однонаправленные силы, однако эти силы слишком малы, чтобы произвести заметное действие. Вследствие этого поле, определяемое уравнением

/ Энергия электромагнитной \/ Энергия кванта \

\ волны длины 入 в объеме X3 } ~ [с длиной волны 入 /，

ИЛИ中入3〜也e/入;

или В 〜У he /X2,(24)

мало, если длина волны 入 больше размеров области L. Если 入 сравнимо с L, то воздействие оказывается наибольшим. Это утверждение непосредственно ведет от уравнения (24) к выражению для флуктуаций (23).

Флуктуации, наложенные на классическое поведение

Не существует причин, вынуждающих электромагнитное поле находиться именно в основном состоянии. С помощью антенны можно уловить колебания поля на частоте 10е гц с амплитудой В = ±3,3-10-8 гс, соответствующей электрическому полю 1 мв/м. По сравнению с этим детерминистским описанием поля

邑= 3,3 • IO' ас • cos 104 • 2n(25)

квантовомеханические' флуктуации пренебрежимо малы:

АВ 〜6 • 10-9 J3Ps . см /(3 • 104 сл)2 〜IO'17 ас. (26)

Для детектора размерами 1 см полная величина всех независимых квантовых флуктуаций магнитного поля мала:

АВ 〜6 • 10-9Узрг • Би /(1 ему 〜6 • 10~9 гс. (27)

Однако если рассмотреть еще меньшие области, порядка 0,1 см или меньше, квантовые флуктуации начинают преобладать:

На этом мы и хотели закончить сопоставление квантовых флуктуаций и классических величин в электродинамике.

Подобная ситуация имеет место и в геометродинамике [21 ]. Там также медленно меняющаяся кривизна, определяемая из классической, детерминистской общей теории относительности, накладывается на квантовые флуктуации геометрии. В некоторой области размерами порядка L, описываемой локально-лоренцевой системой отсчета (метрические коэффициенты —1, 1, 1, 1), флуктуации метрических коэффициентов и их производных имеют следующие порядки величин:

флуктуации gik

Ag〜厶*/厶，(29)

флуктуации первых производных от gik

АГ 〜Ag/L 〜L*/厶 2,(30)

флуктуации кривизны пространства

NR 〜Ng”〜L*IN.(31)

Величина

厶* =(斫/сЗ)'/，= 1,6 • lO-зз см(32)

есть так называемая планковская длина. Интересно обратить внимание на порядки величин. В соответствии с классической теорией Эйнштейна кривизна пространства вблизи поверхности Земли по порядку величины равна

R 〜2 P 〜(0,7 • 10-28 см/а) (5 а/см?)〜4 - 10~28 см~2. (33)

Эта величина имеет простой физический смысл. Она определяет создающую «приливное воздействие» компоненту гравитационного поля, которая может быть измерена в свободно падающей кабине лифта или на космическом корабле, движущемся по околоземной орбите [23]. В то же время квантовые флуктуации кривизны пространства в объеме порядка 1 см8 имеют величину

Как видим, квантовыми флуктуациями геометрии пространства при обычных геометрических измерениях можно пренебречь.

В атомной и ядер ной физике соответствующие флуктуации

Ag 〜lO-зз см/10-8 см 〜10-25, (35)

Ag 〜10~33 см/10ТЗ см 〜Ю-20

столь малы, что представление о пространстве как о классическом лоренцевом пространственно-временном многообразии для данных разделов физики оказывается вполне достаточным.

И тем не менее мы не сможем избежать введения квантовых флуктуаций геометрии до тех пор, пока мы Доверяем квантовому принципу и теории Эйнштейна. Они используются наряду с классическими геометродинамическими представлениями, основанными на общей теории относительности. Эти флуктуации расширяют путь, по которому классическое развитие геометрии приходит к теории супер пространства. Другими словами, геометрия всегда содержит элемент неопределенности, хотя в обычной жизни это кажется далеко не очевидным. Рассматривая геометрию на субмикроскопических расстояниях, мы видим, что она многократно «резонирует» между многими конфигурациями. Эта терминология означает не более и не менее как следующее: а) каждая конфигурация 3-геометрии имеет свою собственную амплитуду вероятности 屮=屮(⑶G); б) весь диапазон 3-геометрий, находящихся внутри расширенной полосы в су пер пр остр анстве, определяемой из (29), имеет примерно равные амплитуды вероятности; в) все эти 3-геометрии, рассматриваемые совместно, образуют единственную 4-геометрию, или классическую геометродинамическую историю; г) только тогда, когда можно пренебречь субмикроскопическими флуктуациями (〜10~зз с儿) и когда рассматриваются уже макроскопические свойства 3-геометрий, они проявляются как единое пространственно- временное многообразие, в котором уже справедливы полевые уравнения.

Можно ли экстраполировать геометродинамику за планковскую длину?

Не является ли бессмысленностью применение существующей теории в области длин, на двадцать порядков меньших, чем размеры ядра? Какая фантастическая экстраполяция! И все же в теоретической физике считается традиционной точка зрения в пользу применения именно существующих теорий при подобных обстоятельствах. Конечно, применять давно установленные принципы без предварительного исследования границ, в которых они только и могут быть справедливы, ненадежно. Но только непосредственное расхождение между предсказаниями теории и наблюдениями или между самими принципами может служить достаточным основанием для замены одного из принципов. У физиков не принято от чего-либо отказываться, не заменив его при этом лучшим.

Необходимость систематического изучения всех следствий квантовой геометродинамики обосновывается рядом соображений. Во-первых, такой анализ необходим для разрешения любого противоречия в какой-либо теории, обобщающей предыдущую. Во-вторых, нас воодушевляет на такие исследования один пример из истории физики. Когда в 1850 г. впервые пришли к выводу о справедливости закона Кулона на метровых и миллиметровых расстояниях, никто не думал тогда, что он окажется справедливым и на таких расстояниях, как 10-12 см (1911), 10"^儿 (1933) и 10~i4 см (1954). Это почти невероятное проникновение фундаментальной физической теории в глубь материи кажется нам чудом [ 29].

Электродинамика не содержит никакой естественной длины, как и общая теория относительности (константы у,с) и квантовый принцип (константа h), рассматриваемые по отдельности. Объединение же геометр о ди н ам и к и с квантовым принципом дает элементарную длину L* =(也了/^)%. Значение этой элементарной длины было выяснено Планком еще в 1899 г. Он исследовал излучение черных тел, привлеченный, не в последнюю очередь, универсальностью этого излучения. Излучение оказалось не зависящим ни от величины и формы излучающего тела, ни от свойств стенок сосуда и не поддающимся объяснению в рамках сов-

ременной ему атомной и молекулярной физики и физики твердого тела. При выяснении причин этой универсальности всплыл вопрос и о стандартах длины, массы и времени. Эти стандарты не должны были зависеть от таких случайных величин, как размеры или скорость вращения Земли, плотность воды и т. д. Их необходимо было установить, исходя из принципов, не апеллирующих ни к какой специальной субстанции, включая электрон и другие частицы, ему подобные. Их нужно было ЕЫразить только с помощью фундаментальных констант: скорости света с, ньютоновской гравитационной постоянной G и найденного из закона излучения кванта действия h. Только эти три константы Планк мог принять в качестве фундаментальных. Из этих трех величин можно сконструировать только одну величину с размерностью длины. Это планковская длина, которая и вошла в науку задолго до появления специальной и общей теории относительности. В квантовой геометродинамике она служит мерой флуктуаций геометрии пространства.

Можно ли всерьез принимать такую малую длину, как 10~зз с%? Можно ли вообще представить себе физику, приемлемую для масштабов длин, на 20 порядков меньших, чем размеры ядра? Что может быть более гротескным? Есть только три числа, которые еще более гигантские, чем 1020: коэффициент 1040, укагывающий на соотношение электрических и гравитационных сил; коэффициент 1040, указывающий на соотношение размеров наблюдаемой Вселенной и элементарной частицы; наконец, 1G80— число элементарных частиц в наблюдаемой Вселенной. Эддингтон [26], Дирак [27], Иордан [28], Дикке [29] и Хаякава [30] считают невероятным, чтобы эти гигантские числа играли в физике независимую роль. Они подчеркивают, что соотношения между ними не могут быть чисто случайными [31 ]; едва ли мог бы существовать какой-либо «закон больших чисел», если бы не существовало глубокой связи между космологией, общей теорией относительности и физикой элементарных частиц. Но откуда начать исследование этой проблемы? Нужно ли спрашивать, почему во Вселенной так много элементарных частиц? Нет. Физика может объяснить законы движения, но объяснение начальных условий вне пределов физики. Или, может быть, начать с объ-

яснения структуры заряда или характерных размеров элементарных частиц? Путь многообещающий, однако это лежит за пределами наших теперешних возможностей. Только одна величина, непосредственно связанная с большими числами, имеет в существующей теории ясную и доступную интерпретацию — это планковская длина. Откуда же еще, если не отсюда, можно начинать исследования?

Многим кажется довольно очевидным, что физические эксперименты следует ограничить расстояниями 10~13 см, так как финансирование строительства новых ускорителей уже превышает 100 миллионов долларов в год. Часто даже говорят, что нет никакого смысла в исследованиях ультрамалых расстояний, так как экспериментально проверить их невозможно. К счастью, опыт нас учит, что не всякое большое открытие находит немедленное применение. Нужно ли было ждать, пока закалка металлов войдет в повсеместную практику, и лишь тогда взять в руки микроскоп и объяснить ее на основе теории дислокаций? Нужно ли было ждать, пока дислокации будут окончательно поняты, и лишь тогда заняться изучением атома? Her. Путь познания шел не вниз:

1 10"4 см-^\0г3 см, а вверх:

10-8 c%->IO" см _>. 1 с^.

Вначале нужно было знать хоть что-то об атоме, чтобы понять дислокации. Затем нужно было изучить дислокации, чтобы понять сущность процесса закалки. Не исключено, что только физика области 10~33 см поможет нам понять физику элементарных частиц [32 ]. И, видимо, квантовая геометр од и нами ка явится первым существенным вкладом в физику 10-33 см [33]. Но каков этот вклад?

Каждая новая перспектива, открывающаяся перед нашей теорией, обязана одному принципиальному утверждению. Геометрия на малых расстояниях очень сильно флуктуирует. Эта идея открывает принципиально новые пути исследования природы электрического заряда, вакуума и элементарных частиц.

Квантовогеометрические флуктуации и электричество как заключенные в топологии пространства силовые линии

Чтобы достигнуть нового понимания природы электричества, достаточно поставить под сомнение старое представление о топологии нашего пространства: «пространство в малом евклидово». Это представление справедливо только для повседневного опыта. Тому, кто летит над океаном на высоте нескольких миль, кажется, что поверхность океана ровная, т. е. обладает указанной евклидовой топологией. Но тот, кто в это же самое время находится в маленькой лодке среди океанских волн, видит совершенно противоположное. Он видит вокруг себя постоянно образующиеся и разбивающиеся в брызги гребни волн. Он понимает, что на сантиметровых и миллиметровых расстояниях поверхность воды еще более сложна и многосвязна. Неспокойный океан служит наилучшей аналогией геометрии на расстояниях порядка планковской длины, где тоже нет ни одной спокойной области. Более того, если даже уравнения гидродинамики нелинейны, то насколько более сложными должны быть уравнения в случае геометродинамики! Какой разительный контраст с линейностью электродинамики! Предсказываемые флуктуации потенциала

^A~Vhc/L(36)

И ПОЛЯ

АЕ 〜]/瓦7丄2(37)

описываются этими формулами независимо от того, какой масштаб длин L мы выбираем. В электродинамике нет никакой естественной границы, которая разделяла бы большие и малые флуктуации. Противоположная ситуация имеет место в случае метрики, когда флуктуации выражаются в виде

△g〜L*/L.

Положив Ag порядка единицы или даже больше, мы получим столь разительные изменения в геометрии, что выражение «искривленное пространство» теперь едва ли уже при-

менимо. Более пр едпочтител ьным будет выражение «изменение топологии».

В математике в отличие от реальности рассматривать преобразование одной топологии в другую ——операция, далеко не тривиальная. Дрожащая капля воды делится. В этот момент изменяется ее топология. В некоторой точке намечается место, где происходит разделение капли уже на две массы жидкости. У этой точки уже нет полной окрестности, которой обладают все другие точки поверхности. Эта критическая точка не может уже принадлежать «многообразию» в математическом смыгле слова. До деления поверхность капли представляет собой многообразие. После деления она снова представляет собой многообразие, состоящее из двух отдельных областей. В момент деления поверхность капли не есть многообразие. Однако капле совершенно безразлично, какие определения вводятся для описания ее поверхности. Она делится вопреки всяким определениям. Наше определение «многообразия» не может служить ограничением для возможного объективного процесса изменения топологии пространства.

В настоящее время не существует каких-либо принципов, исходя из которых можно было бы установить преимущество одной топологии перед другими. Наоборот, характер полевых уравнений в общей теории относительности чисто локальный. Уравнения поля не дают каких-либо предсказаний относительно глобальной топологии, и это неоднократно подчеркивал Эйнштейн. Сущность физики, скорее, заключена в словах: «Все, что может происходить, происходит». Альфа-частица проникает в классически запрещенную область. Боковая ветвь цепной молекулы вызывает «тормозное вращение», похожая на зонтик молекула аммиака «выворачивается наизнанку», несмотря на очевидное нарушение закона сохранения энергии； так же трудно возразить против вывода о том, что может изменяться и действительно изменяется топология пространства.

Если эти общие рассуждения справедливы и флуктуации геометрии, так же как топология и кривизна пространства, переменны, то вывод этот является решающим для физики на субмикроскопических расстояниях, для физики су пер пр остр анства. Суперпространство должно быть расширено от совокупности положительно определенных 3-гео-

метрий, обладающих одной топологией, до совокупности положительно определенных 3-геометрий, характеризуемых в свою очередь совокупностью различных топологий. В су пер пр остр анстве амплитуда вероятности 屮((3)G) размазана по полосе конечной ширины, что дает детерминистскую историю классической геометродинамики. А это заключение ведет уже к новым следствиям (рис. 6). Геометрия в малом колеблется не только от одного вида кривизны к другому, но и от одного типа микротопологии к другому (рис. 8).

Структуры, оснащенные ручками, гораздо более многочисленны, чем 3-геометрии, обладающие простейшей топологией. Другими словами, пространство «резонирует» между многими пенообразными структурами [35]. Пространство квантовой геометр один ами к и можно сравнить со слоем слегка волнующейся пены. Слабо изменяющаяся поверхность этого пенного ковра соответствует классической детерминистской геометродинамике. Беспрерывные микроскопические изменения внутри пенного ковра, где все время исчезают ячейки пены и возникают новые, символизируют квантовые флуктуации геометрии. Эти микроскопические флуктуации геометрии непрерывно меняют связность пространства. Теперь нельзя больше говорить о том, что пространство на малых расстояниях евклидово.

Структура геометрии на малых расстояниях ни в одном разделе физики не играет такой роли, как в теории электричества. Электрические силовые линии сходятся в малую область пространства и уже не выходят оттуда. В этой области должно происходить что-то необычное. Либо здесь отказывают уравнения Максвелла, либо эта область заполнена какой-то новой субстанцией, каким-то электрическим желе, своего рода «магической жидкостью», недоступной для дальнейшего объяснения. И никому еще не удавалось избежать либо первого, либо второго вывода. Это объясняется просто. При исследовании проблемы заряда евклидов характер топологии области, содержащей заряд, принимался аксиоматически. Если же отказаться от этого требования, но оставить в силе полевые уравнения Максвелла для пустого пространства, то можно прийти к совершенно новым результатам. Область, содержащая заряд, может быть представлена как горловина некоторой ручки

(см. рис. 3). Электрические силовые линии входят в одну горловину с тем, чтобы выйти обратно из другой горловины, которая обязательно существует в каком-либо месте

Рис. 8. Симзопическое представление трех различных функций вероятности Ф((3)О). Вверху изображена ф0 дня нормальных флуктуаций. На среднем рисунке —屮а макроскопической классической гравитационной волны на фоне флуктуаций. Внизу—屮в локального возбуждения на фоне флуктуаций. Комплексное число 屮 дает амплитуду вероятности появления геометрии (3)G. 3-геометрии, дающие наибольший вклад в полную амплитуду вероятности, в масштабе планковской дпины многократно связаны друг с другом (пенообразная структура пространства в малом).

пространства. Таким образом, приходим к новому пониманию электричества: классический геометродинамический электрический заряд есть совокупность силозых линий, заключенных е топологии пространства.

Представим себе, что мы вначале изучали топологию, затем открыли для себя уравнения Максвелла для пустого

Понятие электрического заряда в классической и квантовой геометродинамике

Таблица 2

Классическая

Квантовая

Можно ли интерпретировать

Да

Да

заряд как захваченные топологией пространства линии?

Нужно ли вводить «истинный»

Нет

Нет

заряд?

Природа топологии

Ручка в 3-геометрии

Ручка в 3-геометрии

Где находятся ручки?

Связывают два противоположных заряда

Распределены по всему пространству

Размеры ручек

Гигантские по сравнению с 10~33 см

Сравнимы с 10"33 см

Состояние ручки

Классически детерминированное развитие во времени. Микроскопические величины. Эти величины устанавливаются с помощью начальных условий. До сих пор микроскопическая ручка еще не наблюдалась, хотя она и соответствует некоторому решению полевых уравнений Эйнштейна

Флуктуации; следствие недетерминированной геометрии; имеет место неисчезающая вероятность достаточно различных 3-геометрий. 3-геометрии, содержащие ручки почти всюду (масштаб 10-33 см), реализуются чаще всего (пенообразная структура). Ручки не должны вводиться дополнительно, они существуют уже сами по себе (нулевые флуктуации вакуума) и не могут быть уничтожены в принципе

Продолжение табл. 2

Классическая

Квантовая

Может ли ручка затягиваться?

Да. Отверстие радиуса затягивается вследствие гравитационного коллапса через промежуток времени а/с (10~10 сек для а = 3 см)

Строго говоря, вопрос не определен. Детерминированная геометродинамика в малом не имеет никакого значения в квантовой геометродинамике. Однако, выражаясь языком, принятым в квантовой теории поля, можно сказать, что «виртуальные ручки» будут постоянно возникать и исчезать, так как пространство «резонирует» между различными пенообразными 3-геометриями

Заряд определяется как поток через ручку

Не изменяется со временем. Инвариант движения

Поток через ручку, его форма и величина определяются квантовыми флуктуациями. Пор ядок величины флуктуаций заряда составляет

(力с)"〜12е,

не является инвариантом и не квантуется

Отношение заряда элементарной частицы к геометродинамическому заряду

Нет никакой связи с классическим геометродинамическим зарядом

Нет никакой связи с зарядом элементарной «флукт} ирующей ручки». Элементарная частица есть коллективное возбуждение геометрического континуума (геометродинамиче- ский экситон). Однако не разработаны еще методы, с помощью которых можно было бы рассчитать заряд, связанный с этим экситоном

пространства и, наконец, открыли заряд. В этом случае мы воспримем заряд как экспериментальное доказательство того, что пространство на малых расстояниях многосвязно (табл. 2). Против этого невозможно возразить. С этой точки зрения наличие электрических зарядов 6 природе является прямым указанием на реальность предсказываемых квантовой теорией и связанных с топологией пространства флуктуаций геометрии на расстояниях планковской длины.

Квантовогеометродинамическими ручками оснащены все области пространства. Эти ручки так же, как и потоки силовых линий через них, субмикроскопические и возникают спонтанно вследствие квантовых флуктуаций. Конечно, можно и дальше исследовать этот вопрос, чтобы выяснить, какова первоначальная причина появления микроскопических ручек, оснащенных потоком силовых линий, подчиняющимся классическим полевым уравнениям. Однако классический электрический заряд не имеет ни малейшего отношения к действительным зарядам, существующим в квантовом мире, и поэтому мы не будем рассматривать его более подробно.

Энергия вакуума

Поскольку флуктуации геометрии позволяют ввести новые представления о природе электричества, они проливают также новый свет и на природу энергии вакуума. Из квантовой электродинамики, экспериментальной и теоретической, хорошо известно, что в области с размерами 厶:

вакуумные флуктуации энергии равны по порядку величины hc/Ц

эффективная плотность энергии порядка hc/L3.

Электродинамика, однако, не знает никакой нижней границы для величины L. В квантовой геометродинамике справедливы эти же соотношения, но в ней имеется естественная граница: планковская длина. Если 厶 сравнима с L* = у А^/с3 = 1,6-10~33 см или даже меньше, дальнейшее применение линейной теории бессмысленно. Другими словами, в известном смысле можно говорить о следующем:

предельная величина элементарных флуктуаций энергии порядкаЛс/Д*, или в энергетических единицах 10~6 г,

или 10+28 38. др。примерно на 20 порядков больше массы элементарной частицы и на 9 порядков выше максимальной зарегистрированной энергии первичных частиц в космических лучах;

эти флуктуации имеют место во всем пространстве;

характерная величина плотности энергии, связанной с этими флуктуациями,

hclL*^-^cbih^ ~ 1095 с/см?

просто гигантская по сравнению с плотностью ядер ной материи, составляющей 1014 г/см3 [37];

связанные с этими флуктуациями геометродинамические плотности волновой энергии [38] имеют тот же порядок величины.

Любое наблюдение показывает, что средняя плотность энергии в пространстве по сравнению с этими чудовищными величинами пренебрежимо мала. Эта неестественная энергия должна поэтому как-то компенсироваться. Нильс Бор много занимался проблемами компенсации. Новый свет на проблему компенсации был пролит в связи с исследованием флуктуаций порядка планковской длины. Две одинаковые флуктуации, каждая порядка у ha^ 〜IO—?, находясь друг от друга на расстоянии порядка L* и гравитационно взаимодействуя друг с другом, имеют энергию связи

0了加1加2L\ 7 / Jhe

「 ^^ -—— ,^^f ——' '一，^^r - ■■ ，

rpa q,2L*L*

которая отрицательна и по порядку величины равна 10~5 Эта энергия связи между двумя соседними флуктуациями по знаку и величине точно такая, чтобы скомпенсировать каждую отдельную флуктуацию. Было бы удивительно, если бы подобный механизм не играл роли в компенсации энергии вакуума.

Несмотря на всю мистику, с которой сопряжен такой процесс компенсации, должен быть сделан следующий вывод: индивидуальные компоненты вакуумной энергии, аномально велики, однако, коллективно скомпенсированные, они оказываются вполне нормальными.

§ 23. Частица—геометродинамический экситон

Квантовые флуктуации геометрии порождают не только новые взгляды на природу электричества и вакуумных флуктуаций энергии, но и новую концепцию элементарных частиц как возбужденных квантовых состояний геометрии пространства.

Плотность элемента ядер ной материи (1014 г/см3) пренебрежимо мала по сравнению с плотностью энергии вакуумных флуктуаций (〜1(?з г/см3). Элементарная частица значит для вакуума неизмеримо меньше, чем облако (〜ICT。г/см3) для динамики атмосферы (^10~3 г/.см3). Едва ли какой-либо другой факт более красноречиво показывает, что элементарные частицы не могут быть отправной точкой при описании природы.

С точки зрения геометр о ди н ами к и в качестве первичной субстанции не могут служить ни частицы, ни набор взаимодействующих волноеых полей; таковой служит геометрия пустого пространства. При таком рассмотрении частицы——не фундаментальные флуктуации геометрии с длиной 10~33 см, а области пространства, много большие 10-33 см, в которых характер элементарных флуктуаций иной. Короче говоря, элементарные частицы есть квантовые состояния возбужденной геометрии ——это квантовогеометродинамические экситоны. Математически вакуум описывается амплитудой вероятности ф0— фо (⑶G), в то время как состояние с одной или многими частицами описывается функционалом 屮 =屮((3)G).

При такой интерпретации физика элементарных частиц оказывается новой и изящной разновидностью химии. Вначале была химия атомов и молекул, великолепная в своей многогранности и истинности. Все в ней базировалось на единственном динамическом объекте — электроне. Затем появилась «ядер на я химия» с ее энергиями и реакциями, объяснение которых покоилось на другом элементарном динамическом объекте — нуклоне. Сегодня мы имеем дело с химией собственно элементарных частиц. Несмотря на поражающие успехи в этой области, такие, как классификация элементарных частиц по супермультиплетам, исследование массовых соотношений и взаимных превращений частиц, мы все еще не можем указать лежащий в их

основе динамический объект. После нашего рассмотрения можно сказать, что таким объектом является геометрия.

Когда Берцелиус в начале XIX столетия заявил, что химические силы являются лишь проявлением сил электрических, это вызвало целую бурю возражений, которые в конце концов привели его гипотезу к забвению. Например, гомеополярная связь: как можно совместить наблюдаемое сродство с известным отталкиванием одноименных электрических зарядов? Гомеополярные, ионные, вандер ваальсовы и валентные силы: как можно вообще согласовать все разнообразие этих сил и их свойств с простыми электрическими силами? Когда в 1897 г. Дж. Дж. Томсон открыл электрон, начался настоящий переворот в пользу электрического объяснения химических сил. Как только была найдена первичная динамическая сущность, раскрытие тайн химической связи не заставило себя ждать. Вначале было не совсем ясно, какое место среди этих сил должно быть отведено квантовому принципу. В середине 20-х годов случилось так, что физик, стоя на берегу Ганга, кричал коллегам, работающим в лаборатории на другом берегу реки: «Ваша химия кончилась. Все Ваши чудеса можно объяснить с помощью одних только электронов и квантовых чисел». А с другого берега реки ему тотчас отвечали: «На каком основании Вы связываете свои круговые и эллиптические орбиты с химическими силами? Никогда не забывайте, что электрические силы — это электрические силы, а химические силы — это химические силы». Закон Кулона нужно было дополнить концепцией амплитуды вероятности, прежде чем Гайтлер и Лондон смогли объяснить природу валентных сил. Сегодня никто уже не сомневается, что уравнение Шредингера в принципе содержит всю химию. Однако вычислять для каждого химического соединения волновую функцию, а затем восстанавливать по ней действительную картину процесса—— далеко не наилучший вариант эффективных расчетов в химии. Не анализ конфигурационных пространств с 600 измерениями, а исследование закономер ностей взаимодействий между молекулами ——вот наиболее плодотворный путь в химии. Иначе и быть не может, так как энергия связи химических соединений много меньше энергии, характеризующей молекулы до и после реакции.

В «химии» элементарных частиц значительно преуспели в искусстве исследования различных закономерностей [40]. Теория групп применяется здесь гораздо шире, чем в химии молекул. В то же время возможность вывести закономерности спектра масс частиц из фундаментальных принципов, скажем из геометродинамики, здесь значительно более проблематична, чем возможность рассчитать энергию связи молекулы с помощью уравнения Шредингера. Энергия 10一27+]0-24 & которую нужно получить из теории, на двадцать порядков меньше характеристической энергии теории (энергия связи на 20 порядков больше массы покоя). И все же было бы неразумно заранее отвергать возможность существования вычислительных методов, которые позволили бы надежно рассчитывать малые эффекты на гигантском энергетическом фоне, как это делается в теории свер х пр сводимости (10~4 % на фоне 10 эв).

Какова возможная экспериментальная проверка геометродинамической интерпретации частиц (табл. 3)? От геометродинамики следует ожидать, скорее всего, качественных предсказаний и развития новых концепций в теории, а не точных вычислений. Гравитационный коллапс [18] является именно тем физическим процессом, анализ которого в конце концов позволит установить связь между частицами и геометрией. И самым вдохновляющим в выяснении значения планковской длины является понятие заряда как силовых линий, заключенных в топологии пространства.

Новые достижения стимулируют дальнейшие исследования [42].

На основе каких фундаментальных принципов можно установить связь между всеми существующими вариантами вывода уравнений поля Эйнштейна и как совершить переход от этих постулатов к уравнению Гамильтона— Якоби?

Как достичь более глубокого понимания структуры су пер пространства?

Как будет проложена в геометродинамике пограничная линия, разделяющая динамический закон и начальные условия, — линия, которая красной нитью проходит через всю физику?

Основной объектГеометрия пространстваОсновной объектГеометрия пространстваТопология пространстваТопология пространстваЧастицаЧастицаЗарядЗарядСпинСпинВзаимодействиеВзаимодействиеНе электрон или какая-либо другая частица, а собственно геометрия

Основной объект

Геометрия пространства

Основной объект

Геометрия пространства

Топология пространства

Топология пространства

Частица

Частица

Заряд

Заряд

Спин

Спин

Взаимодействие

Взаимодействие

Не определенная и не классическая; флуктуирует всюду, в масштабе планковской длины, между конфигурациями с различной субмикроскопической кривизной и различными топологиями

Геометрии, реализующиеся со значительной вероятностью, во всем пространстве многократно связаны (пенообразная структура)

Не посторонний физический объект, движущийся в пространстве, а возбужденное состояние самой геометрии. Столь же несущественное для физики вакуума, как облако несущественно для физики атмосферы

Не локализованная волна в геометрии и даже не с> бмикроскопическая ручка в геометрии , рассматриваемая в масштабе планковской длины, а экситоноподобное изменение фазовых соотношений в амплитуде вероятности большого числа таких ручек

Не точка» в которой отказывают уравнения Максвелла, а также не таинственное желе, внесенное в геометрию извне, а элект^ рические силовые линии, заключенные в топологию пространства (табл. 2)

Не динамический объект, вводимый в геометрию, а результат неклассической двузначности ,связанной с собственно геометрией. Некоторой многосвязной геометрии, оснащенной альтернированным полем реперов или «спиновой структурой», будут соотве" ствовать различные амплитуды вероятности

Сильные, слабые и умеренные взаимодействия по своему характеру отличаются друг от друга не больше, чем различаются между собой ионные, вандерваальсовы и валентные силы. Они представляют собой относительно малый результирующий эффект от изменения энергии нулевых флуктуаций, имеющей место на субмикроскопических расстояниях

Эти вопросы ——лишь предгорья могучего хребта: является ли элементарная частица возбужденным состоянием геометрии пространства?

На протяжении всей жизни Эйнштейн мечтал создать теорию, суть которой он не раз формулировал в своих работах: в мире нет ничего, кроме искривленного пространства [43]. Геометрия, лишь слегка искривленная, описывает гравитацию. Геометрия, искривленная несколько по-другому, описывает электромагнитную волну. Геометрия с новым типом возбуждения дает магический материал —— пространство ——для построения элементарной частицы. И ничего инородного, «физического» в этом пространстве нет. Все, что есть в мире, состоит из геометрии. Не это ли воплощенная в плоть и кровь мгчта Эйялгейяа?

СТРУКТУРА ЭЙНШТЕЙНОВСКОЙ

ГЕОМЕТРОДИНАМИКИ

§ 24. “Вывод" уравнения ,,Эйнштейна — Гамильтона — Якобим

Можно ли, не постулируя вида уравнения (12) или (13) и не прибегая к формализму эйнштейновских полевых уравнений, вывести уравнение Эйнштейна ——Гамильтона — Якоби, исходя только из разумных фундаментальных принципов? По-видимому, такой вывод должен существовать, так как для полевых уравнений уже известно пять различных вариантов их вывода:

первоначальный вывод Эйнштейна, основанный на принципе соответствия с ньютоновской гравитационной теорией;

вывод Вейля, основанный на построении полного набора дифференциальных выражений, содержащих производные от gik не выше второго порядка и линейных по старшим производным;

вывод Гильберта на основе вариационных принципов;

интерпретация Картана [44 геометродинамического содержания полевых уравнений [45];

вывод Гупта, Тирринга и Фейнмана, основанный на полевой теории безмассовых частиц со спином 2 в плоском пространстве.

Центральным, отправным пунктом предполагаемого вывода должно быть, по-видимому, требование «общности». Исходя из накопленного опыта, необходимо потребовать, чтобы искомое уравнение Гамильтона — Якоби (естественно, совместимое с интерференционным принципом) заключало в себе любую 3-геометрию, которая может быть вписана в 4-геометрию.

В какой мере это «условие общности» будет нарушено, если дифференциальный оператор в выражении (13) оставить прежним, а выражение (3)7? заменить квадратом или какой- либо другой функцией скалярной кривизны? Даже не имея прямого ответа на этот вопрос, можно сказать, что конкретный вид уравнения непосредственным образом зависит от

4-мерного характера пр остр анства-вр емени. Геометродинамика проще всего может быть записана в виде следующего утверждения:

(Кривизна) = (Плотность массы-энергии).

При этом вовсе не предполагается наличие какой-либо «истинной» массы-энергии. В правой части записанного таким образом уравнения стоит величина, указывающая на тензорный характер уравнения. Она зависит не только от выбора точки, но и от направления единичного 4-вектора в данной точке. Это обстоятельство помогает выяснить структуру выражения для кривизны, стоящего в левой части уравнения [44, 45]. Оно должно быть связано с кривизной 4-геометрии в плоскости, нормальной рассматриваемому 4-вектору. Однако мы рассматриваем условия не только в данной точке, но и в (оо)3 точек, образующих пространственно-подобную 3-геометрию. Эта 3-геометрия может быть и не «свободной от внешней кривизны» в рассматриваемой точке. («Тензор /Q внешней кривизны» или «вторая фундаментальная форма» обращаются в нуль.) Это доказано! Далее, искомая кривизна может быть выражена через скалярный инвариант кривизны(3)/?, определенный для каждой точки 3-геометрии. Неисчезающая «внешняя кривизна» 3-геометрии относительно объемлющей 4-геометрии вносит дополнительный вклад, и он должен быть учтен при определении кривизны 4-геометрии в касательной плоскости, формула для которой теперь имеет вид:

(Sp К)2 — SpK?+%R (формула Гаусса — Кодаччи).

Почему берут именно эту билинейную форму тензора К〃 внешней кривизны, а не какую-либо другую? Это станет ясно, когда будет рассмотрен частный случай плоской 4-гео- метр ии. В этом частном случае корректирующие члены, добавленные к выражению <3)7?, должны быть точно скомпенсированы, Пусть 3-геометрия, обладающая в данной точке главными осями кривизны ргр2，р3, вложена в 4-геометрию. Скалярная кривизна(3)R равна

Различие в знаке по сравнению с хорошо известным выражением ⑶R = 6/"2 для шара радиуса а вызвано тем, что

измеряются «радиусы кривизны» в 4-геометр и и с сигнату-

рой (——1--(-+)• Тензор внешней кривизны тогда можно

записать в виде

К =

Попытаемся получить из этого тензора выражение, которое:

было бы линейно по обратным величинам р?;

не содержало бы членов вида 1/рх2 и т. д.;

компенсировало бы OR.

Эти три требования ведут к единственному виду указанной выше формулы. Приведенные выше рассуждения ни на шаг не продвинули нас в выводе уравнения Эйнштейна — Гамильтона — Якоби, однако они помогают в поиске путей и методов этого вывода.

§ 25. О связи метода Гамильтона—Якоби с обычными аналитическими решениями полевых уравнений

Вывод о том, что уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться весьма многообещающим для обоснования общей релятивистской теории, вовсе не означает, что полевые уравнения потеряют свое значение для решения задач теории. Уравнение Гамильтона — Якоби и уравнение движения в геометрсдинамике, равно как и в динамике частиц, тесно связаны между собой. В простейших случаях эти два метода просто нераздельны. Уравнение Лагранжа

d?x dV或 2• дх

может быть решено прямыми численными методами. В формализме Гамильтона— Якоби это уравнение можно запи-

сать следующим образом:

dS1ГdS1Г+ V (%，/)♦+ V (%，/)♦

dS

1Г

dS

1Г

+ V (%，/)♦

+ V (%，/)♦

Оно также может быть решено прямыми численными методами [континуум (%, /) выражают посредством системы / = =пт, х — m3; дифференциальное уравнение переходит в уравнение в конечных разностях]. Однако наиболее эффективный метод решения этого дифференциального уравнения, как известно, заключается в обратном переходе к уравнению Лагранжа. Вначале вычисляют S(%, f), однако не всюду, а только вдоль классической мировой линии или истории развития 〃：

二_dxH

%dt~

и затем

s(t)^S(xH (0, /)=[[十 ГП*-，％©, £)]必,

или в случае функции Лагранжа общего вида:

s(/) = S (хя (0，£)=，丄(工"，хн, f) df.

Знание S вдоль мировой линии дает нам возможность определить функцию Гамильтона — Якоби S внутри малой окрестности вдоль мировой линии с помощью следующих соотношений:

Изменение действия S \@厶

с изменением простран- = (Импульс) = —~ (вообще), ственной координаты /дх

=тхн (/)=тхн (/)(в нашем случае)(в нашем случае)

=тхн (/)

=тхн (/)

(в нашем случае)

(в нашем случае)

И

/ Изменение дейст- \. dL

вия с изменением I = (Энергия) = х—；L (вообще),

\ времени //°х

=—— 加硝 + V (хн ⑴，f) (в нашем 2случае).

Функция Гамильтона — Якоби S(x, /) в точке x = x/f (/*) + 3%, £ = f* + &, находящейся уже не на мировой линии, будет равна

s (招方)=$(产)+ (*)又 + (_^)旣

S(尢，f) представляет собой «классическую фазу» или, будучи умноженной на 九，фазу квантовомеханической волновой функции.

Для бесконечно мяло смещенной мировой линии снова можно провести указанное вычисление и получить новую функцию Shob в окрестности новой мировой линии. Интерференционное условие между «старой» и «новой» волной

S (%, f) — Shob (居 О приводит к обычному решению уравнения движения и к общей истории развития ", принадлежащей этому решению. Совершенно аналогично поступают и в геометродинамике!

С помощью известного решения уравнений поля Эйнштейна определяют функцию Гамильтона ——Якоби S(C)G) внутри малой области в суперпространстве. Начнем с самого простого — с известных аналитических решений уравнений поля. Пусть 4-геометрия дана в виде

d$2 = gas * d%。，

причем метрические коэффициенты 且邓 суть известные функции четырех координат %卜.Определенная таким образом 4-геометрия включает в себя и динамическую историю развития Н 3-геометрии пространства. Она определяет также многообразие Н в суперпространстве. Как определить внут-

ри этого многообразия значение функции Гамильтона — Якоби? Вначале определяют эквивалент начального времени /0 одночастичной проблемы. Вообще говоря, каждой точке 3-пространства соответствует свое значение f о(х, у, z). Многообразие £()(%, у, z) представляет собой пространственно-подобную начальную гиперповерхность о0» являющуюся сечением данной 4-геометрии. Затем определяют эквивалент точки (%"(/()), /о) вдоль классической истории развития. Это «мгновенное состояние геометрии пространства» на гиперповерхности о0» которая с помощью метрики вида ds2 (%) = [goo (謂寄)+ 2g。俏(黑)+ gm』dxm dxn

определяет 3-геометрию(3)G °. Аналогично определяют эквивалент одночастичных координат tuxH(t). При заданном £ = /(%, у, z) пр останствен но- подобн а я гиперповерхность оказывается определенной, так что можно затем определить метрику 厶2(<?), определяющую 3-геометрию «вдоль классической истории развития //». Значение классической фазовой функции вдоль классической истории развития определяется четырехмерным интегралом, причем границы интегрирования лежат на гиперповерхностях а 0 но. Интеграл имеет форму

s (0) = j L (廿)小工.

Плотность функции Лагранжа L дана Арновиттом, Дезером и Мизнером (см. [2], а также «Геометродинамику» Уилера). В су пер пр остр анстве рассматривают «точку»(3)G, смещенную относительно лежащей на Н «точки» <3)G*. Каково значение S для этой новой 3-геометрии? Различие между двумя 3-геометриями наиболее просто можно охарактеризовать посредством различия метрических коэффициентов в соответствующих точках:

^gmn (х, у, z)=g 加 “(％, у, z, ^ — gmn (х,弘 z,。*)・

Чтобы получить затем изменение функции Гамильтона — Якоби, необходимо умножить приращение Зд俏〃 на сопряженный геометродинамический импульс «""(%, у, z) в точке (3)G* классической истории развития и проинтегрировать.

Детали определения и расчета 冗加〃 можно найти в нашей 《Геометродинамике》. Внутри тонкого слоя в суперпространстве можно записать

S ((3)G) = S (о*) + j 炉咤gmdx.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

СТРУКТУРА СУПЕРПРОСТРАН СТ В А

§ 26. Связь структуры уравнения Эйнштейна——Гамильтона—Якоби со структурой суперпространства

Пр остр анство-вр ем я — арена действия динамики частиц. Су пер пр остр анство ——арена действия геометродинамики. Наши знания относительно этих двух «арен действия» пока далеко не одинаковы. В динамике частиц структура пространства-времени предполагается известной: всюду плоское многообразие Минковского — Лоренца. В геометродинамике, напротив, структура суперпространства удовлетворяет специального вида уравнению — «уравнению Эйнштейна — Шредингера». Символически мы запишем это уравнение в виде

Выяснение структуры этого уравнения и есть по сути дела выяснение структуры самого суперпространства.

Если данная 3-геометрия не обладает максимальной симметрией, целесообразно идентифицировать ее не с одной точкой, а с целым классом точек в суперпространстве. Следуя замечанию Смайлса, можно благодаря такой идентификации избежать введения в суперпространство «конических сингул яр ностей».

Из принципа соответствия квантовой и классической теорий непосредственно следует

,/ Медленно меняющаяся、)

屮амплитуда )е •

Напротив, находясь в рамках классической теории, трудно или почти невозможно указать форму квантовомеханического волнового уравнения [47]. Пример частицы, движущейся в заданном внешнем электромагнитном поле, лучше всего иллюстрирует это утверждение. Исходя только из уравнения Гамильтона — Якоби

невозможно указать различие между уравнениями Шредингера, Клейна ——Гордона, Дирака или каким-либо другим волновым уравнением для частиц с высшим спином. Все они при переходе к полуклассическому предельному случаю ведут к одному и тому же уравнению Гамильтона — Якоби. В геометродинамике ситуация аналогичная. Никто не сможет указать последовательный путь перехода от уравнения Эйнштейна ——Гамильтона —— Якоби (12), (13)

к уравнению Эйнштейна ——Шредингера [48].

Разнообразие форм волновых уравнений в случае частиц резко ограничено, поскольку эксперимент или какие- либо другие факты заранее дают нам знание спина частицы [49 ]. Другими словами, чтобы установить необходимое волновое уравнение, нужно наряду с заданием уравнения Гамильтона — Якоби задать и «структуру конфигурационного пространства». Возникает вопрос: какова же в этом случае структура суперпространства?

Расшифрована ли структура суперпространства? Только в очень немногом и только в самое последнее время! По крайней мере можно указать три этапа такого анализа. Во-первых, уже известна структура су пер простр анства в рамках классической геометродинамики:

супер пространство обладает топологией Хаусдорфа (Штерн [4 ]);

супер пространство оснащено индефинитной метрикой, определяемой выражением [50]

+ Siigjk ~ g〃g加

и удовлетворяющей уравнению Гамильтона ——Якоби [12 ].

Во-вторых, в структуре су пер пр остр анства исследуются те признаки, которые играют определяющую рель, когда топология пространства изменяется. В-третьих, можно надеяться, наконец, исследовать такие глубокие свойства су-

перпространства, которыми обусловлена размерность и метрическая структура нашего пространства, а также свойство электромагнитного и нейтринных полей распространяться именно со скоростью света. Полезно поэтому обсудить структуру суперпространства на каждом из указанных трех этапов более детально.

Этап 1: классическая геометродинамика; топология не меняется

В классической геометр од и н ам и ке топология пространства не меняется. Пространство может «иметь тенденцию» к изменению топологии, однако в рамках классической теории это изменение фактически не осуществляется [51 ]. Тенденция к изменению топологии особенно явно проявляется в тех случаях, когда где-либо в пространстве развивается кривизна, не имеющая верхней границы (гравитационный коллапс [18]). Чтобы иметь возможность анализировать явление коллапса вплоть до состояния изменения топологии, мы обязаны выйти за рамки классической теории. Находясь же в рамках классической теории, мы обязаны ограничивать анализ любой динамической проблемы рамками фиксированной топологии. Какие топологии при этом могут быть приемлемыми?

В теории Эйнштейна оказывается наиболее приемлемой топология, соответствующая геометрии, порождаемой некоторым гравитирующим центром, например Солнцем. Геометрия, искривленная на малых расстояниях, оказывается асимптотически плоской на большом удалении от гравитирующего источника. Топология же в отличие от геометрии будет евклидовой: Е§ или R X R X R. Эйнштейн, однако, исследовал пространство в более широких масштабах, т. е. пространство, объемлющее все звезды. В этом случае пространство даже в довольно большой области вокруг одной звезды становится лишь малым элемейтом всего большого пространства, обладающего топологией 3-сферы — топологией S3 [52 ]. Аргументы в пользу замкнутого пространства, приведенные Эйнштейном, достаточно убедительны [53].

Однако получены и новые аргументы в пользу замкнутого пространства, когда выяснилось, насколько трудно

определить «открытое, асимптотически плоское пространство» в связи с квантовой геометр од и н ами кой; каждая <3)G, которая реализуется с преобладающей вероятностью, в масштабе планковской длины всюду обладает разного рода складками и другими геометрическими структурами. И эти структурные особенности не исчезают с расстоянием ни в одном направлении, какие бы далекие области пространства мы ни рассматривали. Учитывая последнее, трудно вложить какой-либо определенный смысл в понятие «асимптотически плоский». С другой стороны, более известен и приемлем пример пространства открытого, но не асимптотически плоского, а всюду хаотичного независимо от расстояния [54 ]. Так как в настоящее время невозможно указать преимущества открытого пространства, то на современном уровне знаний кажется вполне справедливым вообще исключить из рассмотрения все открытые пространства. Этот метод имеет уже то преимущество, что делает возможной классификацию различных типов замкнутых 3-геометрий посредством классифицирующих чисел, подобных числам Бетти [55 ]. В противоположность этому понятие «асимптотически плоский» в тех случаях, когда оно встречается, оказывается трудноопределяемым [56].

Из многообразия с топологией Е3 можно вырезать элемент в форме параллелепипеда и получить топологию 3-тора—топологию Sr X Sx X Sj_. Однако в многообразии с такой топологией, как это следует из неопубликованных работ Брилла и Авеца, для проблемы начальных значений классической геометродинамики в известных случаях имеют место трудности. Возможно, эти трудности указывают на неприемлемость топологии типа St X Sr X St. Образно говоря, топология S] X S] X S], по-видимому, обладает «дефектными генами», унаследованными от «родительской» топологии Е3.

Другой «дефектный ген», который также следовало бы исключить, — неориентируемость топологии. Для нас существенно, чтобы никакие перемещения правоориентированных объектов в пространстве не переводили их в левоориентированные при возвращении их в исходную точку.

Этим двум достаточно конструктивным правилам отбора «приемлемых топологий» удовлетворяют топологии 3-сферы 同)，3-сферы с ручкой (S2 X S】=%), 3-сферы с

/г ручками (W^. Приведенный выше перечень является польым набором топологий, удовлетворяющих «правилам отбора» [55].

Фиксированная топология исключает геометродинамическую интерпретацию частиц и полей

Выбирая в качестве примера «приемлемой топологии» топологию S3, можно сбсудить и количественно оценить на классическом уровне широкий круг физических процессов. Среди них: гравитационное излучение [38], гравитационные геоь ы [20 ], теория притяжения планет, эволюция и разрушение геонов [20 ], модель расширяющейся, а затем сжимающейся Вселенной [57], мсдели других вселеньых, эволюционирующих по более слож! ым законам [38 ]. Однако возможности физики при рассмотр ей и и какой-либо из этих проблем весьма ограничег ы. В ней нет места для частиц, не может быть проанализирована до псследиих стадий проблема коллапсирующих звезд. На пергый взгляд эти ограничения, казалось Сы, не связа! ы между ссбой, поскольку в классической теории между ними нет прямой зависимости. С этой точки зрения геометрия пространства окасывает- ся связанной с некоторой вполне определенной топологией. В чисто квантовогеометродинамической модели физики это не так. В ней а) частица представляет собой пространство, резонирующее между двумя различными топологиями [58], и б) последняя стадия гравитационного коллапса представляет собой пример явнсй связи макроскопического движения и микрсскспической тспслогии (водспад и пугырьки пены). Если же исключить из рассмотрения возможность изменения топологии, как это имеет место в классической теории, то исключается и любсе понимание концепции элементарных частиц на основе предлагаемых здесь идей. В этом случае частицы окажутся чуждыми для нашей теории материальными объектами, а пространство будет играть роль лишь носителя событий, а не структурного материала. К частицам и полям в этом ограниченном пространстве будет применима концепция собственных степеней свободы, выходящая за пределы геометрии. В особенности электромаг-

нитное поле будет рассматриваться как самостоятельная сущность, вне рамок геометрии.

Была сделана попытка рассмотреть электромагнетизм как аспект геометрии. Однако такой шаг в принципе ограничен рамками классических идей, не учитывающих субмикроскопические флуктуации геометрии и топологии пространства. Эта попытка хорошо известна, однако результатов в ней было получено мало. Уравнения второго порядка Максвелла и Эйнштейна можно привести к системе уравнений четвертого порядка, которые будут зависеть только от геометрических величин [59]. Поле Максвелла может быть затем определено по тем характерным «следам», которые оставляются полем на геометрии пространства. В известном смысле эти «следы» и есть электромагнитное поле; отсюда и название «уже единая теория поля» для теорий гравитации и электромагнетизма. Однако хотя эта теория и воспроизводит динамическое содержание уравнений Максвелла и Эйнштейна во многих отношениях, все же выяснилось, что в ней не содержится проблема начальных значений. Одних только геометрических измерений на пространственно-подобной начальной гиперповерхности не всегда оказывается достаточно, чтобы полностью определить все будущее развитие геометрии во времени [60]. Иными словами, в «уже единой теории поля» не удается сохранить точное разделение «уравнений движения» и «проблемы начальных значений для этих уравнений». И все же, исходя из имеющегося опыта в области теории Гамильтона — Якоби и квантовой теории, следует настаивать на таком разделении. Поэтому электромагнитное поле, равно как и элементарные частицы с массой, отличной от нуля, едва ли может быть чем-нибудь иным, кроме как инородным материальным объектом, внесенным в пространство. И это справедливо до тех пор, пока не принимается во внимание микроскопическая геометрия пространства.

Формализм пинородного, физического** поля

В этом негеометрическом, «носитель»-подходе к физике степени свободы «инородного, материального» объекта рассматриваются как дополнение к геометрии. Простейшим примером, в котором рассматриваются такие объекты, яв-

ляется теория волнового электромагнитного поля (без источников). В этом случае функцию Гамильтона — Якоби и амплитуду вероятности Шредингера записывают в виде

S = S[gjh(x,协 z), 4(居协 z)] или 屮=屮3优，4).

Это справедливо и в случае нескольких полей. Собственно, уже на этом уровне анализа допустимо геометрическое рассмотрение. Функция Гамильтона — Якоби, которая зависит только от компонент метрики и электромагнитного векторного потенциала, должна быть представлена как функция 3-геометрии(3)G и 2-формы В =2а. Далее, S не может изменяться, когда «натянутая на координаты поверхность» смещается в пространстве таким образом, что точка Р, имевшая ранее координаты %', характеризуется теперь координатами (%，一 F). Аналогично S не меняется и для точки Р + dP, имевшей ранее координаты (尢* + d%“)，а теперь характеризующейся координатами

-一篇也

Расстояние между двумя этими точками остается неизменным:

ds2 = g〃 (%s)d%t dN =

=g于в (%$ —衿(d/ — ^mdxm) (dN — % d/).

Изменение метрических коэффициентов при смещении координат в первом приближении составляет

3gLg?* _g〃.=偿9Т + е.，+ %,尸如/ + 5,；

здесь индексом (|/) обозначена ковариантная производная в пространстве 3-геометрии по j-й компоненте. Аналогично определяется изменение электромагнитного векторного потенциала

34 =附一4=4* + 42・

Эти приращения метрических коэффициентов и вектор- потенциала, определенные по всему пространству, естественно, изменяют и функцию Гамильтона — Якоби, что

можно выразить с помощью функциональных производных от S:

Явное смещение координат можно, получить и без каких- либо физических изменений. Величина 3s поэтому должна независимо от выбора смещения 耳 стремиться к нулю. В справедливости этой координатной инвариантности легко убедиться. Приведенные выше функциональные производные легко интерпретировать физически. Геометродинамический импульс [2, 3]

К^ =

есть величина, сопряженная геометродинамической полевой координате g〃. Он тесно связан с «внешней кривизной» К" 3-геометрии, вложенной в 4-многообразие. Другая производная

есть электродинамический импульс, сопряженный вектор- потенциалу 4 и описывающий электрическое поле. Эта величина удовлетворяет условию [61 ]

呼.=0.

Условие же координатной инвариантности можно выразить тогда в следующей форме:

o = BS = f 陋(& |/ + 5,) + ®(4,咨 + Лб-)]^.

Интегрируя по частям, переставляя индексы и используя условие, наложенное на дивергенцию, получим

0 = j I - 2 崗 + ⑥(Л/ 一 4, /)]方3%.

Это условие должно быть справедливо при любых координатных преобразованиях, поэтому выражение в квадратных скобках как множитель при независимых переменных дол ж-

но обращаться в нуль. Таким образом находят те три уравнения поля Эйнштейна, которые связывают кривизну пространства с вектором Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии [62]:

2疇=® х в%.

Стоит заметить, как много информации относительно вектора Пойнтинга получено с помощью лишь наложения на S основного требования, заключающегося в том, что S не должно зависеть от g^ и Ah а должно быть функцией только не зависящих от координат величин, образованных из метрических коэффициентов [63].

Можно ли выразить электродинамику на геометрическом языке? Да. Можно ли увидеть «отпечатки» электромагнитного поля на геометрии пространства? Да. Можно ли трактовать классический геометродинамический заряд как силовые линии, заключенные в топологии пространства? Да. Можно ли сформулировать «необходимость» существования электромагнетизма и других «материальных» объектов, исходя из геометрии? Нет. Этот ответ справедлив только в рамках классической геометродинамики с ее никогда не меняющейся топологией.

§ 30. Этап 2: пространство, резонирующее между 3-геометриями различных топологий

В квантовой геометродинамике открываются новые перспективы. Концепция пространства, резонирующего между различными пенообразными структурами, является принципиально новым шагом. Ни одно явление в природе не подтверждает столь решительным образом многосвязный характер пространства на субмикроскопических расстояниях, как сам факт существования электрического заряда. Не менее впечатляющим фактом является преобладание спина 1/2 в мире элементарных частиц. «Не пригоден любой вариант теории элементарных частиц, в котором не предусмотрено места для спина〔厶》. Эту цитату из нашей книги 1962 г. [64 ] мы продолжим теперь: «Какова интерпретация спина % в чисто геометрическом описании? Еще более важное место уделяется вопросу: как будет интерпретировано кван-

товой геометродинамикой нейтрино? Это единственная частица со спином х/2, которая представляет собой чистое поле (нет массы покоя, световая скорость распространения). На эти вопросы нет какого-либо ясного и удовлетворительного ответа и до настоящего времени». И поскольку такого ответа нет, то 《можно ли считать чистую квантовую геометродинамику приемлемой для физики элементарных частицЪ. К счастью, особенно благодаря работам Джона Милнора [65], достигнут значительный прогресс в понимании «спин-многообразия». Понятие «спин-многообразие» является новой и интересной интерпретацией спинорных полей в пространстве резонирующих микротопологий квантовой геометродинамики. Это понятие связано с амплитудой вероятности 3-геометрий, оснащенных обладающими неклассической двузначностью ^спиновыми структурами», но в остальном идентичных.

§ 31. Время или отношение ,, положение-поворот * •

Описание состояния объекта, характеризующегося ориентацией и указывающего, четным или нечетным числом поворотов на 2n может быть переведено некоторое стандартное положение относительно окрестности в свое первоначальное состояние. Понятие «время» математически может быть выражено с помощью единичных кватернионов или вер сор ов*.

Как связаны между собой спин и топология? Рассмотрим некоторый куб (рис. 9). К одному из его углов привяжем длинный эластичный шнур. Второй конец шнура прикрепим к ближайшему углу комнаты. Семью другими эластичными шнурами свяжем таким же образом остальные углы куба с соответствующими углами комнаты. Выберем теперь ось вращения, проходящую через середину куба, и повернем

* По значению латинского корня это значит «переворачивающий» аффинор, сохраняющий значение скалярного произведения любых двух векторов. Версор, не сводящийся к тождественному преобразованию, имеет одно и только одно неизменяемое направление. Векторы этого направления под действием версора либо вовсе не изменяются, либо обращаются каждый в противоположную сторону. Термин принадлежит Гамильтону (47. R. Hamilton, Lectures on quaternions. Dublin, 1853).— Прим, ne рев.

наш куб вокруг этой оси на 360°. Куб возвратится в свое первоначальное положение. А шнуры — нет, они теперь скручены. Легко убедиться, что раскрутить шнуры без

Р и с . 9. Эластичные шнуры, прикрепленные к внутреннему кубу, дают представление о «версии» или об «отношении положение-поворот» куба к его окрестности.

поворота куба невозможно. Следовательно, чтобы описать взаимоотношение куба и его окрестности, необходимо задать не только положение куба, но и что-то еще. Полное описание достигается с помошью спинора

Если ось вращения имеет в системе координат (%, у, z) углы а, р, т，то спинор s после поворота на угол 0 переходит в спинор s' — qs. Кватернион q для произвольных систем отсчета известен:

(где ij = —ji=k и т. д.)

==cos q- 0 — i sin -5- 0 (% cos a -j— % cos , -p % cos 哈 ^：

(где I = (—I)%, ахау = —oyox = t oz И T. Д.) (cos -^-6 + isin -^-6 cos 7sin — 0(cos，— icos a)|

sin £ 0 (—cos g — i cos a)(cos ^6—isiriy0cos 7

Важным свойством кватерниона является перемена знака спинора после поворота на 360°: q (360°) • s = —s. Поворот на ЕбО° изменяет взаимосвязь куба и его окрестности, что лучше всего можно охарактеризовать термином «отношение положение-поворот». Спинор учитывает это «отношение». Два последователь! ых вращения на 360° переводят куб в его первоначальное отношение «положение-поворот» со своей окрестностью. Создается впечатление, что в этом случае шнуры должны быть скручены вдвое сильнее, чем до вращения. Тем не менее они могут полностью раскрутиться, как это легко проверить на опыте или же понять с помощью простых рассуждений [66, 67].

Возьмем любое положение куба, назовем его «стандартным отношением положение-поворот» к своей окрестности и припишем ему значение спинора

0

1

Поступим так со всеми точками пространства. Нужно только учитывать, что «стандартное положение» меняется от точки к точке непрерывно.

Рассмотрим теперь частный случай ориентируемой 3-геометрии [68 ], оснащенной ручкой. В принципе мн можем перемещать куб из точки А в точку В либо «через непосредственно окружающее куб пространстве», либо «через ручку». Возьмем два совершенно одинаковых куба и направим один из них по одному пути, а второй — по другому. А затем исследуем, каким отношением положение-поворот обладают эти два куба, достигшие точки В [67]. Если их отношения различны, то изменяют определение стандартного положения в ручке, используя вращение. Изменяя параметры руч-

ки, добиваются, чтобы поворот нарастал непрерывно от 0° в точке А, находящейся у одной горловины ручки, до 360° в точке В , находящейся у другой горловины. Вне ручки с каждой точкой связана тройка осей а, Ь, с, определяющих направление осей куба, когда он находится в стандартном положении. Изменения, произведенные внутри ручки, не должны оказывать влияние на тройку осей при ее прохождении через ручку. Оси изменяют свое направление так же непрерывно, как и вне ручки. В месте выхода из ручки сшивание с текущей тройкой осей ручки происходит так же непрерывно, как и со старой тройкой в месте входа. Таким способом можно построить всюду непрерывное поле стандартных отношений положение-поворот. Равным образом и спинорное поле всюду непрерывно и имеет значение

в то время как любэй скачок непрерывности, если бы он имел мезто, привгл бы к отрицательным значениям спинора. Теперь мэж ю все изложенное выше сформулировать на математическом языке.

Мы получили запечатленную на многообразии «спиновую структуру». Эта структура определяется с помощью пэля координатных ортов или «класса гомотопно эквнва- лентнык полей».

В результате этого мы имеем наложенное на много- образие «спинорное поле». Это спинорное поле определяется в зависимости от данной «спиновой структуры». Естественно, можно получить и другие наложеяныг спинорные поля, компоненты которых непрерывно меняются от точки к точке.

2я -возможные спиновые структуры в «-связном пространстве

Рагсмэтрим теперь другое замкнутое ориентируемое 3-мчогообразие, оснащенное той же топологией и метрикой. Мэж то предположить, что в этом новом многообразии содержится приемлемая спиновая структура и поле реперов,

эквивалентное реперам в старом многообразии. Может случиться, что это предположение реализуется в некотором, взятом наугад многообразии. В этом случае два одинаковых куба, будучи перемещенными по «двум неэквивалентным путям от Л до В», обладали бы одинаковыми отношениями положение-поворот. А может случиться, что предположение окажется неверным, вследствие чего оба куба, ориентированные по соответствующим полям реперов, после прохождения пути от Л до В не будут большэ эквивалентными по отношению к повороту на 36Э°. Эта неэквивалентность отношений положение-поворот в принципе может быть установлена посредством физических измерений [67 ]. Спиновая структура первоначального многообразия теперь не имеет места в новом многообразии. Чтобы исправить это положение, необходимо изменить ориентацию поля реперов в отношении поворота на 36Э° внутри ручки либо осуществить другое, равноценное изменение. Различие между новый и старый многообразиями можно сфэрмулировать в следуюдей фэрме: два мчогоэбразия имеют одинаковую топологию и метрику, но неодиакэвую спи 1эвую структуру. Это различи? мзжду дзумя мчэзээ5р2зи1м'л н”“тг не только м2/пзм2тич2ский, но и фАзияеский хлрлктзр.

Многолигтный характер супгрлрэзтранства

С точки зрения физики определение замкнутого ориеч- тируемэго 3-мчогоэбразия с пэмэцью задания только его топэлогии, ди})})гречциальчой структуры и мггрики ецэ не полно. Неэбходимэ задать и его спи ювую структуру, которая, как и метрика, является в принципе наблюдаемэй величиной. Пээтому в квантовой геэмзгродичамике оказывается недостаточны л определять амплитуду веооятчости в терминах ранее опредэлэччэй 3-геэмггрии ⑴仪 Нужно ввезти ецэ одич парамэгр. Такой двузчаччыл парамзгр, wk, вводится для n-ручеччык многообразий с тем, чтобы различать два неэквивалентны к вида спл чэвы < структур внутри ручек. В новэй, рагшлреяной концепции 3-геэмгт-

рии（3）G этот новый параметр является дополнительным по отношению к континуальной бесконечности параметров, определявших до этого отдельно взятую 3-геометрию. Поэтому

（3%=（（3）спреж；叫，耽，...，叫）

и

屮（⑶G）=屮（（3）Gnpe*；叫，g,...,叫）.

В тех областях су пер простр анства, где имеют место 3-геометрии, оснащенные 九 ручками, суперпространство приобретает многолистный характер, причем количество листов есть 2" （рис. 10）.

4^（61^ Ле +4。+ ■

Рис. 10. Многолнстннй характер суперпространства.

Естественно предположить далее, что новый параметр принимает значения +1 и —1. Поскольку одна «спиновая структура» не является более предпочтительной по отношению к другой, а также поскольку не предложено до сих пор какого-либо метода их различать, то совершенно безразлично, какой «спиновой структуре» будет приписано значение —1, а какой +1 •

Термин «спиновая структура» может ввести в заблуждение. Может возникнуть предположение, что многообразие с «наложенным спинорным полем» представляет собой нечто особенное. Может, кроме того, появиться надежда наложить на 3-геометрию и другие поля с трансформационными свойствами, соответствующими не спинорной группе SU⑵， а группе SU(п) или даже SL(n). Однако существенным пунктом всего нашего анализа является не спинорное поле, а поле реперов и их отношение положение-поворот. В концепции «спиновой структуры» нет ничего такого, что нельзя было бы выразить без всяких натяжек в терминах «реперной структуры». Далее, не существует даже малейших указаний на то, что в замкнутом ориентируемом 3-многообразии могут существовать какие-либо другие структуры, допускающие световую скорость. Следовательно, мы рассматриваем ⑶ G в ее новом смысле как полное множество таких переменных, от которых зависит 屮 и полное описание конфигурации пространства. Это означает, что мы рассматриваем новые (3)G как множество коммутирующих наблюдаемых, являющееся полным в смысле квантовой механики и потому пригодное для анализа амплитуды вероятности.

Мы не вводим в геометрию никакого спинорного поля. Совсем наоборот. Мы выводим спинорное поле из геометрии. 3-геометрия, дополненная «спиновой структурой» [что может быть выражено, например, с помощью записи (5, g., g) = (+1, +1, +1, —1, +1) ], есть объект, уже содержащий спинорное поле, и мы только устанавливаем факт его существования.

Так как спин % должен естественным образом содержаться в пространстве квантовой геометродинамики, то едва ли он может быть чем-либо иным, как «неклассической двузначностью», т. е. понимать его следует так, как и понимал Паули спин с самого начала. Уже в нашем формализме неклассическая двузначность неизбежна. Одна 3-геометрия с параметром 畋=+1 н другая, тождественная по остальным свойствам, 3-геометрия с параметром wk =——1 будут обладать различными амплитудами вероятности. Означает ли это обстоятельство, что квантовая геометродинамика может послужить основой формального аппарата для общего описания полей со спином % вообще и нейтринного поля в частности? Это предположение. Вышеизложенная

интерпретация спина в рамках общей теории относительности Эйнштейна и квантового принципа Планка является пока единственной. Правильный ли это путь? Трудно найти другой вопрос, более решающий для программы «все из геометрии».

§ 34. Электромагнетизм — статистический аспект геометрии? Другие вопросы

Можно было бы и не обсуждать дальше вопрос о приемлемости изложенного способа геометрического описания спинорного, а следовательно, и нейтринного полей и о правильности этого способа вообще, если бы не целый ряд немедленно возникающих при такой интерпретации новых вопросов.

Если в 3-геометрии возникает новая ручка и вследствие этого увеличивается число параметров, то какое краевое условие в суперпространстве связывает амплитуду вероятности первоначальной топологии с амплитудами вероятности 屮+ и 屮一 вновь возникшей топологии?

Было бы желательно написать для каждой, отдельно взятой появившейся ручки ее собственные амплитуды, например 屮 и 屮+• Но, принимая во внимание фантастическое число ручек в пространстве (〜Ю^/сл^), достичь такого описания невозможно. Точно так же невозможно описать ориентацию каждого из ~1023 спинов ферромагнетика. Но в этом случае говор ят о «плотности намагниченности» и о «магнонах» как квантах возбуждения этой плотности [71 ]. Какие концепции и величины эквивалентны этим понятиям в геометродинамике? Какие статистические методы окажутся наиболее приемлемыми для описания «отношения перехода» 少十/屮，характеризующего каждую ручку из множества всех возникающих в геометрии ручек?

Понятие «намагниченность» не имеет никакого смысла на субатомарных расстояниях. Может быть, и понятие «электромагнитное поле» тоже не имеет никакого физического смысла на субмикроскопическом уровне? Другими словами, существует ли среди множества параметров, наилучшим образом описывающих 10" «отношений перехода» на 1 см3, такое определенное множество статистических параметров, которое можно идентифицировать с электромагнитным полем?

Пример 2-геометрии

Трудно говорить о физической сущности изменения топологии в 3-пространстве, не исследовав в качестве первого примера математические аспекты изменения топологии в 2-пространстве. Су пер пр остр анство, построенное на 3-геометриях, не является в математическом смысле объектом, подобным су пер пр остр анству, «построенному на 2-геометриях». Изучению этих математических объектов были посвящены работы Римана, того самого Бернгарда Римана, который пришел к выводу, что искривленное пространство— это часть физики, и который разработал математические методы описания не только кривизны (тензор кривизны Римана Ra”6), но и топологии (числа Бетти R“).

В работе 1857 г. Риман показал, что все алгебраические 2-геометрии, обладающие топологией 2-сферы, эквивалентны друг другу с точностью до конформных преобразований (умножение всех трех коэффициентов на общий множитель X, зависящий от координат). Эквивалентный класс конформно эквивалентных 2-геометрий с данной топологией (S2 или «класс g = 0») состоит из одного-единственного объекта. Он представляет собой «точку» в пространстве, не являющемся, однако, су пер пр остр анством в смысле нашего определения. Это пространство — «редуцированное суперпространство» в том смысле, что из него удалено (оо 2)°° степеней свободы для 入.

2-геометрии с топологией тора (^, или «ручка %», или «класс g = 1»), как показал Риман, не все являются эквивалентными с точностью до конформных преобразований. Рассматривая эквивалентные 2-геометрии топологии Т2, можно получить комплексный континуум 2-геометрий размерности 1 (действительная размерность 2) [72]. 2-геометрии, оснащенные большим числом ручек (топология Wg, «класс g》2»), после удаления конформных степеней свободы представляют собой семейство объектов, описываемых (3g — 3) комплексными параметрами (6g— 6 действительных параметров). Редуцированное су пер пр остр анство, построенное на множестве всех эквивалентных замкнутых ориентируемых 2-геометрий с различными топологиями, будет состоять из целого ряда независимых пространств, первое из которых имеет размерность 0, второе — размерность 1,

следующее — размерность 3, следующее — размерность 6 и т. д. Однако со времени Римана благодаря усилиям многих исследователей в анализе этой проблемы достигнуты значительные успехи. Сегодня мы знаем, особенно благодаря работам Липмана Берса, как можно сконструировать единственное бесконечномерное редуцированное суперпространство, которое содержало бы явно неоднородные элементы [74]. Отличная модель для математической разработки су пер пр остр анства общей релятивистской теории! И все же, несмотря на риск чрезмерно высоких требований к математике, эта модель должна быть еще расширена. Физическое су пер пр остр анство не должно содержать никакого «удаленного из теории конформного множителя». Скорее всего, оно должно включать еще дополнительно и параметры wk «спиновой структуры». Как соединить непрерывным образом отдельные элементы такого супер пр остр анства? Это очень важная проблема, являющаяся сердцем геометродинамики!

§ 36. Другие аспекты суперпространства

Почему уделяется столько внимания структуре суперпространства? Почему не говорят о точной форме «уравнения Эйнштейна — Шредингера»? В случае одной частицы, движущейся в плоском пространстве, волновое уравнение выведено Шредингером относительно легко. Простейшее рассмотрение инвариантности оператора V2относительно трансляций и вращения показывает, что этот простой дифференциальный оператор является единственным, который вообще может быть введен в рассмотрение. Чтобы в этом убедиться, достаточно обратиться к принципу соответствия с классической физикой. Можно надеяться на то, что существуют аналогичьые фундаментальные принципы, с помощью которых будет детализирована математическая структура тех выражений, которые мы до сих пор записывали исключительно в символическом виде

V绅

(6 (3)G )2 •

Точная же формулировка всей этой проблемы невозможна до тех пор, пока не будут выяснены трансформационные

свойства суперпространства так же хорошо, как это имеет место в случае 3-пространства. Поэтому-то и был сделан акцент на исследование структуры суперпространства.

Исследование этой глубокой проблемы возможно в нескольких аспектах, шесть из которых целесообразно здесь перечислить. Мы назовем их: «метрика», «остаточная причинность», «начальное значение», «сопряженный импульс», «коллапс» и «предгеометрия».

По-видимому, не существует более конструктивного метода исследования структуры супер пр остр анства, чем исследование его метрики, которая имеет вид

("^■) (g*g〃 + g〃gjk — gtjgh\.

За расширенным обсуждением этой метрики мы отсылаем к работе Де Витта [2].

Этой метрике можно поставить в соответствие «световой конус», наличие которого приводит к анизотропному распространению в суперпространстве. Характер этой анизотропии изменяется от точки к точке в зависимости от того, положительна или отрицательна скалярная кривизна R [3 ]. Вследствие анизотропии распространения суперпространство обладает своего рода «остаточной причинностью». Мизнер по этому поводу указал на необходимость всегда помнить об «остаточной причинности» при обсуждении вопроса о том, что на расстояниях порядка планковской длины теряют смысл понятия «раньше» и «после». Можно сказать еще более определенно: принцип причинности способствовал анализу структуры плоского пр остр анства-вр емен и; он будет способствовать также и исследованию структуры супер пр остр анства,

§ 37. Касательные векторы суперпространства и классическая проблема начальных значений

В классической механике частицы считается совершенно естественным, что х0 и (dx/dt) 0 могут принимать любые значения. Эти начальные условия определяют всю будущую историю частицы. Каким образом должны быть заданы аналогичные начальные значения в классической геометроди-

намике? Можно сформулировать так. Возьмем континуальное однопараметрическое семейство 3-геометрий, которое в данной координатной системе определено с помощью метрических коэффициентов gik (%, у, z;入).Это однопараметрическое семейство служит для задания начальных условий —— аналога %。и (dx/dt) 0 в задаче механики частицы. В этом случае (3)G0 определяется классом метрик, эквивалентных gik (%, у, z; 0), a (d(3)G/d入)° определяет «касательный вектор в су пер простр анстве» выражением 闷炳(％, у, z;入)燄 h=o, соответствующим группе координатных преобразований.

С помощью одних только координатных преобразований можно легко имитировать изменение геометрии. Координаты можно преобразовать таким образом, чтобы точка Р, имевшая ранее значение координат 炉，характеризовалась теперь координатами (/ — X?). Векторное поле ? есть функция, непрерывно меняющаяся от точки к точке. В результате такого преобразования метрика получает приращение

匾+人(5—5》

Производная (d(3)G/d入)()есть 口丹々 + Zkn, соответствующая группе координатных преобразований. Но эта величина может быть обращена в нуль соответствующими преобразованиями координат, что очевидно из самой ее природы. Следовательно, мы имеем в этом случае не истинное изменение геометрии, т. е. далеко не всякое поле значений (//")оможно допустить без риска впасть в заблуждение, даже если эти величины имеют вполне правдоподобный вид. Желательно, чтобы объекты, названные в «Геометродинамике» [2 ] 3-геометрией (с «приемлемой» топологией) и «соседней» 3-геометрией, были бы в состоянии — это наше предположение (центральная гипотеза)——описать все будущее и прошлое пространства, т. е. полную 4-геометрию. В тех случаях, когда описание так называемой «соседней» 3-геометрии оказывается ложным, вполне может быть, что определялась не «соседняя» 3-геометрия, а просто еще раз была описана 3-геометрия первоначальная. Это значит, что в нашем распоряжении была лишь половина начальных значений, необходимых для предсказания динамики. Данная ситуация в рамках 4-геометрии может быть переформу-

лирована следующим образом. Сделаем пространственноподобный разрез 4-геометрии. В результате получим 3-геометрию, которая является наиболее существенным элементом при задании начальных значений. Однако такого разреза недостаточно, чтобы отличить данную 4-геометрию от других 4-геометрий, имеющих в разрезе аналогичные 3-геометрии. Чтобы полностью определить одну 4-геометрию, построим в каждой точке 3-геометрии векторы Хпа, являющиеся непрерывными функциями пространственных координат. Новая гиперповерхность, определенная концами векторов, обладает координатами, связанными непрерывным образом с координатами первоначальной гиперповерхности. Определим далее на новой гиперповерхности метрические коэффициенты gik (%, у, z; X). Можно было бы сказать, что новая гипер повер хность по отношению к старой «сдвинута вперед». Но так ли это? Да, это так, если нормальные компоненты 入九。 нигде не обращаются в нуль. Оганиан (Н. Ohanian) и Беласко (Е. Belasco) (не опубликовано) указали, что на гиперповерхности возможно существование целых областей, где нормальная компонента 入九& обращается в нуль. В этом случае действительное смещение гиперповерхности имеет место ненавсей(4) G. Второй составляющей при задании начальных значений, производной (3g,〃3入)о, оказывается просто недостаточно, если иметь в виду эллиптическое уравнение для начальных значений [75]. Это можно объяснить исходя из того факта, что (3g?^/3入)о в нашем случае может быть записана в виде (匕庆 + 3/)・ А именно, в других областях сдвинутые по времени вперед 3-геометрии существуют, что приводит к невозможности представления (3g^月/3入)о в виде (С“々 + 匸尼卩).Можно показать, что это имеет место всегда, кроме некоторых специальных случаев (проблема начальных значений в центр ал ь- но-симметричной задаче; gik зависят не от 入，а от 入2). Во втором случае рассматриваются 3纟》月/3入？.

Форма, в которой мы резюмируем изложенное выше, очевидна. Пусть дана точка в су пер пр остр анстве и «полностью выделенное направление» в этой точке. Тогда (гипотеза!) этой информации совместно с уравнениями Эйнштейна достаточно, чтобы полностью определить 4-геометрию. Понятие «точка в суперпространстве», как и ранее, удовлетворяет требованию, чтобы 3-геометрия (точка в супер-

пространстве） обладала приемлемой топологией. Понятие «полностью выделенное направление» удовлетворяет требованию, чтобы в 3-геометрии не было ни одной точки, в которой величина （3g"戏）（）или же （3目"3入乞）。， если первая величина обращается в нуль, не могла бы быть выражена в виде （G•田 + Сй|/）. Короче говоря, представляет ли собой су пер пр остр анство новый подход к классической проблеме начальных значений? И наоборот, поясняет ли что-либо проблема начальных значений в концепции «направления» в су пер пр остр анстве?

Су пер пр остр анство построено на понятии 3-геометрии, но динамически сопряженная к 3-геометрии величина есть геометродинамический импульс с компонентами 霏〃.Из этих объектов, также обладающих различными топологиями, может быть построено «сопряженное суперпространство». Каковы свойства этого супер пр остр анства?

Ни один кризис в физике не вызывал к себе столько упорного и постоянного внимания, как кризис в исследовании гравитационного коллапса. Ни одно явление в физике не связывает так непосредственно микромир и макромир, как явление гравитационного коллапса. Чего можно достичь в понимании причин и следствий гравитационного коллапса, исходя из концепции су пер пр остр анства?

Как далеко можно продвинуться в анализе свойств су пер пр остр анства, не затрагивая более глубокой проблемы «предгеометр ии»?

§ 38. Этап 3: предгеометрия

Вейль писал [76]: «... более обстоятельное исследование некоторой поверхности могло бы показать, что то, что мы рассматриваем как простейший элемент поверхности, в действительности может быть оснащено малыми ручками, которые существенно влияют на характер взаимодействия этих элементов. Под микроскопом еще большей разрешающей способности мы смогли бы заметить дальнейшие топологические усложнения, и так далее до бесконечности^. Очевидно, что в этом случае трудно сохранить в силе понятие размерности на самых малых расстояниях [77]. Если природа электромагнетизма и других полей связывается с квантовомеханическим резонансом пространства между

различными топологиями, то почему и понятие метрики не может рассматриваться с этой, более глубокой точки зрения, основанной на топологических или предтопвлоги- ческих ——в каждом случае предгеометрических — идеях («расстояние между Л и В» в конечном счете будет определяться «разветвлением взаимосвязи А и В»)? Однако этот вопрос в принципе нельзя обсуждать без рассмотрения квантового принципа и «последовательности творения». Мы понимаем здесь под «последовательностью творения» степень фундаментальности первичных принципов: не геометрия, а затем квантовый принцип, а наоборот, сначала квантовый принцип, а уже затем геометрия!

Достаточно представить себе это во всей глубине, чтобы понять, с какими колоссальными трудностями можно столкнуться, если рассматривать квантовую геометродинамику как «окончательную» теорию. Прогресс в физике никогда не связывали с «окончательными» теориями. Нет никаких оснований думать, что теперь ситуация может быть иной. Если даже и появилась возможность ставить подобного рода «окончательные» вопросы, то это еще не значит, что они могут быть теперь же решены! Не говор я о том, могут ли они быть решены вообще! В нашей проблеме есть целый ряд других, физически очень интересных вопросов, которые могут быть рассмотрены с помощью уже известных методов анализа [78].

ПРИЛОЖЕНИЕ В

СТРУКТУРА КВАНТОВОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

ПРОБЛЕМЫ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

§ 39. Начальные условия

Классическая проблема начальных значений уже обсуждалась. Что можно сказать об этой проблеме в рамках квантовой геометродинамики? Сколько информации нужно иметь относительно ф((3,О) в определенном подмногообразии суперпространства, чтобы можно было предсказать амплитуду вероятности во всем суперпространстве? Здесь следует напомнить, что волновое уравнение Эйнштейна ——Шредингера —уравнение второго порядка; следовательно, немедленно возникает вопрос: для того чтобы полностью определить 屮 во всем су пер пр остр анстве, обязательно ли знание на гиперповерхности суперпространства не только 屮， но и ее нормальной производной? Нет, как заключил Лейт- вилер в своей чрезвычайно интересной работе [79]. Им установлено в рамках упрощенной модели, что естественные свойства самого су пер пр остр анства приводят к естественным краевым условиям. Это позволяет понизить порядок уравнения со второго до первого.

Более глубокие принципиальные вопросы возникают в связи с собственной структурой су пер пр остр анства. Арена действия динамики не пространство, а суперпространство. Такое развитие теории на первый взгляд кажется довольно бессмысленным. Да и может ли кто-нибудь делать какие-либо физические предсказания, если результат зависит от того, что происходит в бесконечно удаленных областях суперпространства? Но, по-видимому, ничто так не совместимо с духом научного поиска, как исследование заведомо познаваемого. Все-таки ближайшее рассмотрение показывает, что мы не порываем даже с традиционным духом механики, а лишь с ее деталями. В классической динамике всегда проводят различие между (а) уравнениями движения, которые надеются понять и исследовать, и б) происхождением начальных условий для этих уравнений движения —— происхождением, которое невозможно исследовать 180].

В квантовой геометродинамике имеется такая же граница между познаваемым и непознаваемым, только граница эта проходит в другом месте [81 ]. По-видимому, не исключена возможность в конце концов узнать: (а) как конкретно записывается «уравнение Эйнштейна ——Шредингера», а также форма соответствующего ему суперпространства; (б) что же касается первоисточника начальных условий, то познание его лежит, по-видимому, вне пределов наших возможностей. К счастью, ни в классической динамике, ни в квантовой геометродинамике задача нахождения всех начальных условий, дающих возможность делать необходимые предсказания, еще далеко не закончена. А как неоднократно подчеркивал Вигнер [82 ], задача физики заключается в предсказании лишь взаимосвязи в наблюдениях.

L Rosenfeld L., Ann. Physik, 5, 113 (1930); Z. Physik, 65, 589 (1930); Ann. Inst. Henri Poincare, 2, 25 (1932); Bergmann P. G., Phys. Rev., 75, 680 (1949); Bergmann P, G., Brunings J. H, Al・， Rev. Mod. Phys., 21, 480 (1949); Bergmann, Penfield, Schiller, Zatz- kis, Phys. Rev., 78, 329 (1950); Dirac P. A, M・,Gan. J. Math., 2, 129 (1950); PIrani 尸.A. E・，Schild /・，Phys. Rev., 79, 986 (1956), Bergmann P・，Helv. Phys. Acta, Suppl. IV, 79 (1956); Nuovo Cimento, 3, 1177 (1956); Rev. Mod. Phys., 29, 352 (1957); Misner C・ W.; Rev. Mod. Phys., 29, 497 (1957); DeWitt B. S・，Rev. Mod. Phys., 29, 377 (1957); Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. (London), A246, 326, 333 (1958); Phys. Rev., 114, 924 (1959); DeWitt 8. S., The Quantization of Geometry, глава в книге: Gravitation: An Introduction to Current Research, Ed. Witten L., N. Y., Wiley. 1962; Schwinger J., Phys. Rev., 130, 1253 (1963); 132, 1317 (1963); Feynman R・ P., Размноженное письмо к Вайскопфу, датированное 4 января——11 февраля 1961 г.; Acta Phys. Polon., 24, 697 (1963); Lectures on Gravitation (размноженные стенограммы Мориниго и Вагнера), California Institute of Technology, 1963; статья в книге Proceedings of the 1962 Warsaw Conference on the Theory of Gravitation, PWN-Editions Scientifiques de Pologne, Warsawa, 1964; Gupta S. N.t статья в книге: Recent Developments in General Relativity, N. Y., Pergamon, 1962; Mandelstam S., Proc. Roy. Soc. (London), A270, 346 (1962); Ann. Phys., 19, 25 (1962); Anderson J. L., в сб.: Proceedings of the 1962 Eastern Theoretical Conference, Ed. Rose M. E., N. Y., Gordon and Breach, 1963, стр. 387; Хриплович И. 6・,Гравитация и конечная перенормировка в квантовой электродинамике, препринт СО АН СССР, Новосибирск, 1965; Leutwyler Я., Phys. Rev., 134, В115 (1964), DeWitt В. S・，Dinamical Theory of Groups and Field, в сб.: Relativity, Groups and Topology, Eds. DeWitt C., DeWitt B., N. Y.,Gor・ don and Breach, 1964； Weinberg S., Phys. Rev., 140, B516 (1965); 135, В1049 (1964); 138, B988 (1965); Марков M. Л., Progr. Theor. Phys., Yukawa Suppl., 1965, стр. 85.

Higgs P. M・，Phys. Rev. Letters, 1, 373 (1958)； 3,66 (1959); Arnowitt R., Deser S., Misner C W・，ряд публикаций, приведенных в сб: Gravitation: An Introduction to Current Research. Ed. Witten L., N. Y., Wiley, 1962 (русский перевод в «Эйнштейновском сборнике 1967», изд-во《Наука», М., 1967); Peres 4., Nuovo Cimento, 26, 53 (1962); Baierlein R. F., Sharp, D.方.，Wheeler J. 4., Phys. Rev., 126, 1864 (1962); Princeton A. B. Senior Thesis von D. H. Sharp, май 1960 (не опубликовано); Wheeler J. Л., Geometrodynamics, N. Y., Academic Press, 1962 (русский перевод 1-го изд. см, Дж. Уилер, Гравитация, нейтрино и Вселенная, пер. с англ, под ред. Д. Иваненко, M.t ИЛ, 1962; в дальнейшем цитируется «Геометродинамика»); он же, Geometrodynamics and the Issue of the Final State

(в дальнейшем цитируется ^Геометродинамика и конечное состояние»), глава в книге: Relativity, Groups and Topology, Eds. DeWitt C., DeWitt B., N. Y., Gordon and Breach, 1964; DeWitt B., Phys. Rev., 160, 1113; 162, 1195, 1239 (1967).

Wheeler J. Л., Геометродинамика и конечное состояние; De Witt В., последняя работа в [2].

Stern М. D.f Regularity of the Topology of Superspace Princeton A. B. Thesis, май 1967 (не опубликовано); Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. А. (готовится к печати).

Penrose R., An Analysis of the Structure of Spacetime, Adams Prize Essay (размножено для ограниченной рассылки, Princeton University, декабрь 1966). Дается прекрасное описание, как следует задавать геометрическую информацию в световом конусе прошлого с достаточной полнотой, чтобы с помощью полевых уравнений Эйнштейна можно было определить внутри конуса полную 4-геометрию. Рассмотрен только аналитический случай (когда различие между «внутри» и《вне» светового конуса становится несущественным), однако из общих соображений следует ожидать, что рассматриваемое задание в неаналитическом случае позволит определить 4-геометрию только внутри светового конуса прошлого. Когда световой конус вместо прошлого направлен в будущее, то естественно привести аналогичные соображения, которые содержали бы смену понятий «прошлое» и «будущее», как это было подробно изложено в тексте. В случае, когда мы рассматриваем изложенные вопросы в рамках пространства переменной кривизны, возникают трудности с формулировкой проблемы начальных значений на «световом конусе». В этом случае световой конус развивается, скорее всего, как слой, и единичный локальный взрыв может быть услышан в этом случае несколько раз!

Обсуждение понятия «наблюдателя» как «собирателя запечатленных данных» можно найти, например, в книге: Taylor Е. F., Wheeler J. Л., Spacetime Physics, San Francisco, Freeman, 1966. (Русский перевод: 3・ Тейлор, Дж. Уилер, Физика пространства- времени, изд-во «Мир», М., 1969.)

Представление общей пространственно-подобной гиперповерхности как многообразия, на котором могут быть определены величины квантовой теории поля, можно найти в статье: Тomonaga S., Progr. Theor. Phys., 1, 34 (1946); Schwinger J., Phys. Rev., 74, 1449 (1948).

Wheeler J. 4., Геометродинамика и конечное состояние.

De Witt В. S., см. последнюю работу в [2].

Это только символическая запись интерференционного условия. В действительности, функция Гамильтона —— Якоби S зависит не только от (3)G, но и от бесконечно большого числа параметров, разных для различных решений уравнения Гамильтона — Якоби. Поэтому мы записываем в случае задачи с одной степенью свободы S = S0(x, Е) + BE, а для задачи с п степенями свободы S =

^(，(^!, …，л:疝 ％,・••，ап) 4~ ^(«!，・・•，a J В геометродинамике в каждой точке пространства имеются две степени свободы, которые мы обозначим через а, ?• Поэтому бесконечно большое число свободных параметров, имеющихся в нашем распоряжении, может быть

выражено в виде двух произвольных функций а (и, о, ш) и В(〃，о, ш). со8 (число точек) будет выражено посредством со8 возможных значений (и, р, з). Многообразие (w, р, д) может быть, но не обязательно должно быть эквивалентным многообразию точек (%, у, г) в геометрии («другие возможности параметризации уравнения Гамильтона —Якоби»). В любом случае мы записываем S как функционал а и Р，т. е. S = So [(3)G; а(«, и,侬)，g(u, и,陋)]+ 5 [а(〃，и, w)f В(〃，и,叫.Интерференционное условие с учетом сказанного внра・ зим^через функциональные производные

Это'"условие представляет собой точную форму приведенного в тексте уравнения (11). Но имеются и другие возможности записи уравнения, выражающего интерференционное условие.

Gerlach. Ulrich, Bull. Am. Phys. Soc. for The Washington Meeting of April 1966, том DE7, стр. 340.

Peres A., Nuovo Cimento, 26, 53 (1962). В этой работе единица длины

М 16л L^ —16冗九[/сз .

См. ссылки [1] и [2].

Baierlein R・尸・，Sharp D・ Ям Wheeler /. Л., Phys. Rev., 126» 1864 (1962).

Выражение «размерность» можно понимать как условие «вложения» всех 3-геометрий в одну 4-геометрию. Для вывода уравнения Эйнштейна — Гамильтона — Якоби из фундаментальных принципов это условие является естественной отправной точкой (см. приложение А).

Мisner С.步・,Rev. Mod. Phys., 29» 497 (1957); см. также Leutwyler 〃・，Phys. Rev., 134, Bl 155 (1964) и DeWitt В. S., последняя работа в [2].

Planck М・,Sitzeber. preuss. Akad. Wiss. Berlin, Math.-phys. KL, 440 (1899); Wheeler J. А., Геометродинамика.

Хорошие обзоры проблемы гравитационного коллапса содержатся в работах Harrison В. К・，Г home К・，Wakano Af・，Wheeler J. 4・，Gravitation Theory and Gravitational Collapse, Chicago University Press, 1965 (русский перевод: 〃冗• Уилер, Б. Гаррисон, Af. Вакано. К・ Торн, Теория гравитации и гравитационный коллапс, изд-во «Мир», М., 1967); Дороилкевич А. Б,, Зельдович 牙 £, Новиков И. Д., ЖЭТФ, 49, 170 (1965) [английский перевод: Soviet Phys. JETP, 22, 122 (1966)]; Зельдович Я. 6・，Новиков И. “., УФН, 84, 447 (1965) [английский перевод: Soviet Phys. Uspekhi, 7, 763 (1965); 8, 522 (1965)]. (См・ также: Зельдович 兄.5М Нови- ко8 И. Д., Релятивистская астрофизика, изд-во《Наука》,М・,1967.— Перее.)w

Квэнтовоэлектродинамический расчет основной части лэм- бовского сдвига в водороде с точки зрения вакуумных флуктуаций см. в работах: Welton Т. A., Phys. Rev., 74, 1157 (1948); Dyson F. J

Advanced Quantum Mechanics, Cornell University, 1954 (размножено), стр. 54.

Wheeler J. A・,Геометродинамика.

Wheeler J・ Л м Геометродинамика и конечное состояние, DeWitt В. S., последняя работа в [2], а также The Quntization of Geometry, в сб.: Gravitation: An Introduction to Current Research, Ed. Witten L・，N. Y・，Wiley, 1962.

См. ссылку [17].

Простое обсуждение идентичности компоненты гравитационной силы, создающей «приливное воздействие», и римановой кривизны имеется в книге: Taylor Е.尸・,Wheeler J. Л., Spacetime Physics, San Francisco, W. H. Freeman. 1966 (русский перевод: Э. Тейлор, Дж. А. Уилер, Физика пространства-времени, изд-во «Мир», М., 1969).

Wigner Е. Р., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure Math., 13, № 1 (I960) [русский перевод: E. Вигнер, Непостижимая эффективность математики в естественных науках, УФН, 94, 535 (1968)].

См. ссылку [17].

Eddington A. S,, Relativity Theory of Protons and Electrons, Cambridge University Press, 1936; Fundamental Theory, Cambridge University Press, 1946, а также Proc. Cambridge Phil. Soc., 27 (1931).

Dirac P. Л. M・,Nature, 139, 323 (1937); Proc. Roy. Soc. (London), A165, 199 (1938).

Jordan 户・，Schwerkraft und Weltall, Braunhschweig, Vieweg und Sohn, 1955; Z. Physik, 157, 112 (1959).

Dicke H. R., Science, 129, 3349 (1959); The Theoretical Significance of Experimental Relativity, N. Y., Gordon a. Breach, 1964, стр. 72.

Hayakawa S., Progr. Theor. Phys., 33, 538 (1965); Progr. Theor. Phys., Suppl., 532 (1965).

Аргументы Эддингтона, Дирака, Иордана, Дикке и Хаякавы можно рассматривать как вполне убедительные, и в связи с этим можно предположить, что между числами Ю20, 1040, 10 80 существует некоторая физическая связь. При этом вовсе не обязательно делать предположение о возможности «изменения во времени» физических констант, как это уже неоднократно делалось. Против такого предположения говорят результаты экспериментов, выполняемых со все большей точностью, и нет еще ни одного факта, который свидетельствовал бы в пользу «изменения констант». Соответствующие наблюдения описаны, например, в работах: Dicke R・ Н., Nature, 183, 170 (1959); Nature (November 1961); Dicke R."・,Peebles P. J, E.. J. Geophys. Res., 67, 10, 4063 (1962); Phys. Rev.. 128, 5, 2006 (1962). В этих наблюдениях не было зафиксировано никакого изменения во времени относительных интенсивностей распада для всех исследованных радиоактивных процессов. В принципе «изменение констант» можно проверить достаточно просто по изменению во времени величины, обратной постоянной тонкой структуры а'1^ =力с/©2 = 137,03. Для этого необходимо сравнить водородную линию 21cM (с красным смещением, так как она была излучена уда-

ленными и быстро разбегающимися галактиками) с длиной волны в оптическом спектре, обладающей таким же красным смещением- Отношение этих двух волн А пропорционально а"1. Коэффициент пропорциональности есть известная функция порядкового номера химического элемента в источнике и соответствующих квантовых чисел:

R = ст】X (Функция целых чисел).

Если принять предположение, что физические константы могут изменяться пропорционально времени (или по какому-либо другому закону), то это изменение должно обнаружиться при определении R. В случае, если источник удален на 1,4 • 109 световых лет (отношение скоростей ^ = v/c = 0,1), то значение R должно отличаться не менее чем на 1 % от R, измеренного с лабораторным источником, что позволит сделать уверенное заключение об изменении констант.

Автор благодарен проф. Минковскому из Беркли за предоставленную возможность ознакомиться с результатами наблюдений (28 июля 1967 г.): а) Практически безнадежно наблюдать линию 21си от звездных систем, удаленных настолько, чтобы для них § 〜0,1* б) Результаты наблюдений 30 более близких объектов приведены в статьях: Dieter, Epstein, Lilley, Roberts. Astrophys. J., 67, 270 (1962); Roberts, Astrophys. J., 142, 148 (1965). В пределах ошибок измере* ний было установлено постоянство красного смещения линий 21 см и оптических линий. Исключение ошибок затруднительно, так как индивидуальные движения достигают 30% средней скорости разбегания V = 1600 км/сек(3 = 0,005). Несмотря на это, из результатов наблюдений можно с уверенностью заключить, что возможное изменение а"1 должно быть меньше 1%. Почти все имеющиеся теории, предсказывающие изменение во времени постоянной тонкой структуры, ожидают, однако, величину отклонения в пределах этих границ, так как в этом случае промежуток времени составляет лишь 1/200 от хаббловского времени, в) Вместо того чтобы сравнивать длину волны линии 21 см с длинами волн оптического диапазона,, можно измерить отклонение постоянной тонкой структуры на линиях оптического диапазона. Относительное расщепление А入/入 не должно зависеть от красного смещения источника, если а"1 постоянно. Результаты подобного рода наблюдений позволяют с уверенностью говорить, что изменение постоянной тонкой структуры должно быть менее 1 %: Minkowski R・,Astrophys. J., 123, 373 (1956); Baade W., Minkowski R・，Astrophys. J., 119, 206 (1954).

32・ Кварки, которые были введены в теорию в качестве необходимых элементов для объяснения удивительных закономерностей физики элементарных частиц, иногда всерьез принимаются как «первичные строительные кирпичики материи». См., например, работы: Gell-Mann М., Nereman У., Eds., The Eightfold Way, N. Y., Benjamin, 1964; Dyson F., Ed., Symmetry Groups in Nuclear and Particle Physics, N. Y・,Benjamin, 1966. Изложенная точка зрения может быть верной, а может быть и неверной. Если принять эту точку зрения и учитывать также единственно возможное в рамках квантовой геометродинамики описание процессов, протекающих на малых расстояниях, то оказывается, что представления о процессах

в этих малых областях недостаточно для того, чтобы найти конкретный путь к истолкованию частиц и кварков. Точка зрения, что кварков в вышеизложенном, буквальном смысле нет, принята рядом исследователей, см., например, Heisenberg, Diirr, в книге: Heisenberg 步・，Introduction to the Unified Field Theory of Elementary Particles, N. Y., Wiley, 1966 (русский перевод: В. Гейзенберг, Введение в единую полевую теорию элементарных частиц, пер. с англ, под ред. Д. Иваненко, изд-во《Мир》, М・,1968); Dilrr Н. Р・,On the non-linear spinor theory of elementary particles, Acta Phys. Austri- аса, Suppl. Ill (1966). [Однако см. работы Д. Иваненко, Д. Кур- гелаидзе, А. И. Наумова, развивших нелинейную теорию кварков («Современные проблемы гравитации», Тбилиси, 1967, и др. статьи).— Перее.]

Дюрр изложил свою точку зрения еще более наглядно (частное сообщение, июнь 1967). Для этого он использовал факт существования хорошо установленных первых энергетических уровней для атомов углерода и железа. Он учитывал следующее: а) уровни энергии и амплитуды перехода измерены точно; б) свойства симметрии многоэлектронных систем изучены хорошо; в) фактические процессы, происходящие внутри атома, совершенно не известны. Дюрр показал затем, что и группы более высокой симметрии заслуживают внимания. Это обсуждение вылилось в выяснение вопроса: может ли беспристрастный исследователь прийти к выводу, что атом состоит из кварков?

Сильнейший аргумент против применимости общей теории относительности на малых расстояниях, по-видимому, дал Оппенгеймер в статье: «On Albert Einstein» (N・ Y. Review, 17 марта 1966, стр. 4—5): «Кроме того, Эйнштейн поставил перед собой грандиозную цель: объединить теории электромагнетизма и тяготения таким образом, чтобы объяснить кажущуюся, иллюзорную с его точки зрения дискретность природы — существование в ней частиц. Тогда уже было, по-моему, ясно, как ясно и теперь: факты, которыми он оперировал, были слишком скудными, он не учитывал слишком многое из того, что стало известно физикам к тому времени, но почти не было известно в студенческие годы Эйнштейна. Поэтому его подход казался безнадежно ограниченным и с исторической точки зрения, скорее, был результатом случайности. И хотя упорство, с которым Эйнштейн стремился к своей цели, привлекало к нему симпатию, или, вернее, любовь, всех окружающих, он в значительной степени утратил контакт с современной физикой просто потому, что вещи, которые следовало знать, появились слишком поздно в жизни ученого, чтобы заинтересовать его》.

Дальнейшее обсуждение принципов изменения топологии см. в § 27.

См. Геометродинамику.

После Римана уже невозможно было считать как само собой разумеющееся, что пространство на малых расстояниях имеет евклидов характер. В лекции 《О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной 10 июня 1854 г«, Риман указывал, что пространство на субмикроскопических расстояниях может быть значительно искривлено, несмотря на то, что в наблюдениях, оперирую-

щих с привычными расстояниями, оно оказывается плоским. Английский перевод лекции, выполненный Клиффордом, появился в Nature, 8, 14 (1873). Сам Клиффорд пошел еще дальше в своей лекции 21 февраля 1870 г. в Кембриджском философском обществе 《On the Space-Theory of Matter». Он высказал предположение, что частицы есть не что иное» как искривленное пустое пространство, отличающееся от окружающего пространства значением локальной кривизны, а может быть и топологии.

В своей книге《Was ist Materie» (Berlin, Springer, 1924, особенно стр. 57 и 58) Герман Вейль снова указал на то, что пространство на малых расстояниях может быть многосвязным, и сделал вывод: «Требование, чтобы электрический заряд в электроне был распределен в конечной области пространства, теряет свою силу, так как в противном случае электрон обладал бы бесконечно большой инертной массой. Вообще нельзя говорить： здесь есть заряд, а только можно сказать: эта находящаяся в поле замкнутая поверхность включает заряд». Вейль делает в дальнейшем вывод: гигантское различие между электрическими и гравитационными силами приводит к тому, что «для внутренней природы электрона имеет существенное значение полное число электронов, содержащихся во всей Вселенной». Эйнштейн и Розен [Phys. Rev., 48,73 (1935)] предложили концепцию двух почти евклидовых пространств,связанных друг с другом мостом или трубкой, через которую проходят электрические силовые линии. При этом в «верхнем» пространстве появляются «заряды» одного знака, а в «нижнем» пространстве — заряды противоположного знака. Уилер [Phys. Rev., 97, 511 (1955)] предложил концепцию «ручек», получающихся путем соединения двух плоских поверхностей в одно евклидово пространство. Непосредственным результатом этой концепции является вывод о равных количествах положительного и отрицательного электричества во В селенной. Другое следствие концепции ручек, как показал в 1957 г. Мизнер, используя уравнение Максвелла для пустого пространства, заключается в том, что заряд или поток через ручку остается неизменным с течением времени. Доказательство {Misner С.吼，Wheeler J. Д., Ann. Phys., 2, 525, 1957; русский перевод см. Дж. Уилер. Гравитапия, нейтрино и Вселенная, пер. с английского под ред. Д. Иваненко, М., ИЛ, 1962, стр. 217—322) имеет силу независимо от того, насколько скручены силовые линии или какой степенью симметрии обладает геометрия ручек. Оно не зависит также от того, насколько быстро может меняться со временем поле или сама геометрия, Мизнер показал в этой работе удивительную связь, которая существует между теорией Максвелла в пустом многосвязном пространстве и математикой дифференциальных форм и групп гомологий. В соответствии с классическими уравнениями электродинамики и геометродинамики Мизнер рассматривал детерминированное во времени развитие полей и геометрии. Введение ручек и исследование свойств не отдельных частиц, а всего пространства на основе теории флуктуаций было дано Уилером (Am. Phys., 2, 604, 1957) и развито затем в «Геометродинамике».

Не кто иной, как Казимир [Proc. Ned. Akad. Wet., Amsterdam, 60, 793 (1948)], впервые указал на связь вакуумных энергети-

ческих флуктуаций и макроскопической физики, предсказав наличие сил взаимодействия между двумя параллельными металлическими пластинками. Мы не приводим здесь обширный список литературы. в котором исследуются свойства этих сил. Эти флуктуации, вызывающие микроскопические силы, на расстояниях порядка Ю"12 см проявляются в лэмбовском сдвиге, теория которого с достаточной полнотой разработана в квантовой электродинамике в послевоенное время (см. рис. 7 и ссылку [19]).

Brill D. R., Hartle J. В., Phys. Rev., 136, B271 (1964).

Исторический обзор, в котором химия и атомная физика рассматриваются как два периода в развитии естествознания, можно найти в книге: Palmer W. G., A History of the Concept of Valency to 1930, Cambridge University Press, 1956, и особенно в книге:Lagows- ki J. J・，The Chemical Bond, Boston, Houghton Mifflin, 1966.

О справедливости этого см. в работах, приведенных в [32].

Bardeen J・，Cooper L. M, Schrieffer F. R・，Phys Rev., 108, 1175 (1957).

Данный здесь перечень тем детализируется в приложениях.

Schilpp Р. Д., ed. Albert Einstein: Philosopher-Scientist, Evanston, Illinois, Library of Living Phylosophers, 1949, стр. 81. Приведено следующее замечание Эйнштейна: «Если мы хотим иметь полевое уравнение обобщенного поля, то мы обязательно должны потребовать, чтобы частица могла быть описана всюду регулярным решением полного уравнения поля. Только в этом случае общая релятивистская теория будет полной теорией».

Cartan Е・,Lemons sur la geometric des espaces de Riemann, Paris, Gauthier-Villars, 2 AufL, 1959, гл. 8.

Wheeler J. Д., Геометрическая интерпретация эйнштейновских полевых уравнений в гл. 4 книги: Gravitation and Relativity, Eds. Chiu H. У., Hoffmann W.尸・，N. Y., Benjamin, 1964 (русский перевод: «Гравитация и относительность», под ред, X. Цзю и В. Гоффмана, изд-во «Мир», М., 1965).

Обоснование того факта, что пропагатор частицы с нулевой массой покоя и спином 2 имеет главную часть вида

犷2(g!，agW + gkBgM -g^g^),

можно найти в работе: Weinberg S., Phys, Rev., 138, В988 (1965), а также (в развернутом виде): Deser S., Ford К. 呼・，Eds., Brandeis Summer Institute in Theoretical Physics, 1964, том. 2; Lectures on Particle and Field Theory, Prentice-Hall, 1965.

См., например, Pauli W., Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik, Handbuch der Physik, том 24, 1933, стр. 1, перепечатано в переработанном виде в: Handbuch der Physik, том 5, 1958, стр. 1 (русский перевод: Паули В., Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, М.—Л., 1947).

Обсуждение проблемы факторизации см. DeWitt В., последняя работа в [2], а также ссылки на более ранние работы, цитируемые там.

Об определении волнового уравнения из 1) принципа Лоренц-ковариантности и 2) из тех или иных соображений относительно спиновых квантовых чисел см. работы: Wigner Е. Р., Ann.

Math., 40, 149 (1939); Bargmann V., Wigner E. P・,Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34, 211 (1946).

50・ Об анализе метрики суперпространства см. DeWitt В., последняя работа в [2] и другие работы, цитируемые Де Виттом; см. также Weinberg S・[46] о пропагаторе в линейной теории гравитации в калибровке Де Дондера; неожиданно, что этот пропагатор имеет форму метрики суперпространства (только индексы 0, 1, 2, 3 вместо 1, 2, 3).

Вывод, что топология пространства в рамках классической геометродинамики не должна меняться, можно найти в статье: Geroch R. Р・,J. Math. Phys., 8, 782 (1967).

Модель замкнутой Вселенной с топологией S3, состоящей из 720 идентичных элементов, каждый из которых порождает геометрию Шварцшильда («решетчатая Вселенная»), можно найти в работе: Lindquist R.步・，Wheeler J・ Л., Rev. Mod. Phys., 29, 432 (1957); дальнейшее обсуждение см. в книге «Геометродинамика и конечное состояние», стр. 370—379.

Einstein 4・,конец главы о принципе Маха в книге: The Meaning of Relativity, Princeton University Press, 3 Aufl., 1950 (русский перевод: Альберт Эйнштейн, Собрание научных трудов, том II, изд-во «Наука», М., 1966).

Некоторые решения уравнений Эйнштейна см. в статье: Harrison В. К., Phys. Rev., 116, 1285 (1959), а также в его принстонской докторской диссертации: Exact Three-Variable Solutions of the Field Equations of General Relativity, 1959 (не опубликовано).

Мы считаем, что справедливо предположение Пуанкаре о том, что каждое простое связное компактное дифференцируемое трехмерное многообразие гомеоморфно 3-сфере. См. Papakyria- kopoulos С. D., The theory of differentiable manifolds since 1950, Proc. International Congress of Mathematicians, 1958, Cambridge University Press, 1960, стр. 433—440; см. также Milnor J., Topology from the Differentiable Viewpoint, University of Virginia Press, 1956; библиографию, цитируемую Милнором, а также: Derwent 丿., J. Math, and Meeh., 15, 329 (1966).

Следует обратить внимание на различие понятий «асимпто- тически-плоский», которое часто рассматривается в рамках классической 4-геометрии, и «плоскости» в смысле теории Гамильтона — Якоби и квантовой геометр оди на ми ки 3-геометрий. Пример шварц- шильдовой геометрии иллюстрирует это различие особенно рельефно. Масса тяготеющего центра однозначно определяет, насколько быстро стремится к плоской 4-геометрия, но подобный же расчет для пространственно-подобной 3-геометрии, являющейся разрезом 4-геометрии, дает в зависимости от выбора разреза различные значения для действующей массы. В 4-геометрии

ds2 == — (1 — 2m/r)必纟 + (1 — 2/n/r)"1 dr?十戸 ®/ + sin2 0 dg?) рассматривают пространственно-подобный разрез на больших расстояниях

f = % + (8аг)“，так что

dt = (2а/，)％ d，.

В этом разрезе имеет место 3-геометрия, у которой коэффициент при ”2 имеет значение 1 + [2(/и — а)/г]. Зависимость «эффективной массы» (加一а) от выбора разреза с помощью параметра а указывает на опасность возможного неправильного понимания использующейся здесь концепции 3-геометрии как «асимптотической плоскости».

Эффективная масса-энергия во Вселенной Тауба вся обязана возбуждению колебаний гравитационного излучения, обладающих максимальной длиной волны, которая вообще может иметь место во Вселенной. Относительно метрики этой модели см. Taub Л.,Ann. Math., 53, 472 (1959); Misner С.步・，J. Math. Phys., 4, 924 (1963).

Когда говорят, что частица может быть представлена как «пространство, резонирующее между различными топологиями», то под этим понимают следующее: «геометродинамический экситон можно представить как состояние возбуждения топологии пространства, резонирующей от одного вида топологии к другому», что соответствует амплитуде вероятности, лишь ненамного отличающейся от вакуумного состояния ф((з)б), и ортогональной к последней.

Систематическое изложение «единой теории поля» см. в работе: Misner С.呼・，Wheeler J. Л., Ann. Phys., 2, 525 (1957), где сделаны ссылки на более ранние работы Райнича.

Тензор электромагнитного поля в «единой теории поля» в соответствии с полевыми уравнениями Эйнштейна можно представить в виде функции «корня Максвелла» от тензора Риччи и дуального ему тензора:

尸H=(”R"“)炉 cosa + *(T/，”)mSina.

Там, где есть поле, изменение от точки к точке величины а, характеризующей электромагнитное поле, полностью определяется уравнениями Максвелла. Рассмотрим теперь пространственно-подобную начальную гиперповерхность. На этой гиперповерхности рассмотрим две области (I и II) с полем, связанные между собой областью III, свободной от электромагнитного поля. Далее, в случае электродинамики можно полностью описать ситуацию внутри каждой из этих областей. Однако охарактеризовать область II относительно области I с помощью чисто геометрических измерений, ограниченных данной гиперповерхностью, нельзя. В то же время такая относительная характеристика очень важна для каждой более поздней точки в пространстве-времени, которая может быть получена возбуждением либо области I, либо области II. В этом смысле проблема начальных значений в единой теории поля не сводится к чисто геометрической формул决овке. Подробнее об этом см. в написанной Виттеном главе книги: Gravitation: Ап Introduction to Current Research, N. Y・， Wiley, 1962.

Как известно, условие дивергенции следует из инвариантности функции Гамильтона — Якоби относительно калибровочного преобразования Л^в = Л^ + d入/dM, откуда

0 = oS = f ( &京)SA/d3x = C (承 d入/d%‘) d3x = — f 以/入 d$%・

Равенство нулю этого выражения при любых 入 и дает искомое условие. Следует подчеркнуть, что обращающаяся в нуль величина ^* не контравариантный вектор, а вектор, умноженный на]/以(«векторная плотность»). Если бы мы рассматривали контравариантный вектор, то нужно Снпо бы брать ковариантную производную, а не обычную» что усложнило бы обозначения.

Символ (6 х В), обозначает здесь ковариантную векторную плотность ^‘ 8用.

Герман Вейль уже давно заметил [Math. J., 23, 271 (1925)]: 《В геометрических и физических применениях показано, что некоторая величина должна быть охарактеризована не только заданием ранга тензора, но и условиями симметрии». Другими словами, каждая физическая величина должна быть охарактеризована неприводимым тензором, или, как считают Веблен и Черн, посредством «геометрического объекта». Вейль понимал эти геометрические объекты как локальные. Однако можно говорить о естественном расширении его точки зрения до понятий функционала S или 屮，которые зависят глобально от 3-геометрии и 2-формы, вложенной в эту 3-геометрию.

Геометродинамика, стр. 88.

Milnor /., A survey of cobordism theory, L'enseignement mathematique, 8, 16 (1962); Spin structures of manifolds, там же, 9, 1S8 (1963); On the Stiefel-Whitney numbers of complex manifolds and of spin manifolds, Topology, 3, 223 (1965); Remarks concerning spin manifolds, в сб.: Differential and Combinatorial Topology, Ed. Cairns S. S., Princeton University Press, 1965, стр. 55; Lichne- rowicz /・，Compt. Rend., 252, 3742 (1961); 253, 940, 983 (1961); обзор этих результатов дан в третьей части написанной Лихнерови- чем главы: Propagateurs, Cornrnutateurs et Anticommutateurs en Relativite Generale, в сб.: Relativity, Groups and Topology, N. Y・， Gordon and Breach, 1964; Anderson D. W«, Brown E."・，Peterson 尸.P・，Spin Cobordism., Bull. Am. Math. Soc., 72, 256 (1966); SU- cobordism, KO-characteristic numbers and the Kervaire invariant, Ann. Math,, 83, 54 (1966); Hsiang W. C., Sanderson B. /., Twistspinning spheres in spheres, Illinois J. Math. 9, 651 (1965). Автор выражает благодарность Милнору, Пенроузу и Героху за дискуссию» способствовавшую выяснению понятия «спиновая структура».

Возьмем ремень и растянем его на столе. Один конец ремня закрепим, а другой конец скрутим на два поворота (720°). Теперь спокойно отпустим скрученный конец — и ремень полностью раскрутится. При скручивании ремня на один оборот (360°) раскручивания нет. (В тексте и здесь различие в поведении шнуров и ремня при различном скручивании обязано их упругим свойствам.——Перее.) А теперь сравним поведение ремня со шнурами в нашем примере. Предварительно скрутив все наши восемь шнуров, выбросим их, скажем в окно. Шнуры, конечно, раскрутятся и примут, как и ремень при скручивании на 720°, свою первоначальную форму. Шнуры (назовем их «псевдоремнями») пусть также обладают различным поведением при разных углах (360 и 720°) скручивания. Другой пример привели Пенроуз и Риндлер (две скатывающиеся одна за другой кегли), в котором также поворот на 720° восстанавливает первоначальное «отношение положение-поворот» к своей окрестное-

ти. Этот пример будет приведен в дополнении к книге, которую Пенроуз и Риндлер собираются вскоре выпустить. Автор благодарит их за разрешение ознакомиться с рукописью этой книги.

Следует отметить возможность непосредственного определения «отношения положение-поворот» объекта к своей окрестности, измеряя, например, контактный потенциал между вращающимся н закрепленным металлическими стержнями: Aharonov У-, Sussi- kind Phys. Rev., 158, 1237 (1967).

См. об ориентируемости в § 27.

Абстрагирование геометрии не ново. Вначале искривленное пространство-время Эйнштейна было вместилищем геодезических линий. Как иначе, спрашивается, мог он предсказать движение планет? Позднее Эйнштейн, Громмер. Инфельд и Гоффман выбросили геодезические линии. Они показали, что полевые уравнения сами содержат в себе всю информацию о временном развитии геометрии и о движении концентрированных масс-энергий.

Об истории понятия «спин» см. Нобелевскую лекцию Паули, 1945 г»: Exclusion Principle and Quantum Mechanics, а также соответствующее обсуждение: Fierz M・，Weisskopf У. W.t Theoretical Physics in the Twentieth Century: A Memorial Volume to Wolfgang Pauli, N. Y., Interscience, 1960 (русский перевод: Теоретическая физика XX века, ИЛ, М., 1962).

См., например, Kittel С., Introduction to Solid-State—Physics, 3 Aufl., N. Y., Wiley, 1966 (русский перевод 2-го изд.: У. Кит- тель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, М., 1963).

С помощью двух разрезов тор можно превратить в лист; расположим этот лист в комплексной плоскости под некоторым углом в начале координат. Обозначим смежный угол, который может быть любым, через 1 + iO, выбрав при этом удобный масштаб (ком- формное отображение). Положение другого смежного угла определится тогда полностью (t = t^ + it2). Точно так же полностью определяется и 2-геометрия в соответствии с группой конформных преобразований. Величину -с тогда можно отождествить с упомянутым в тексте комплексным параметром.

Обзор и ссылки в работе см.: Rauch Н. £., A transcendental view of the space of algebraic Riemann surfaces, Bull. Am. Matt. Soc., 71, 1 (1965). Автор благодарит проф. Эренпрайза за обсуждение этой темы, за данную и следующую ссылки.

Lipman 8., On the moduli of Riemann surfaces; лекции в Институте математических исследований (Швейцарская высшая техническая школа, Цюрих, 1964), записанные Сибнерами (L. М. und R・ F. Sibner) и размноженные.

Относительно уравнений для начальных значений в классической геометродинамике см. Darmois G・，Les equations de la gravitation einsteinienne, Paris; Gauthier-Villars, 1927; Stellmacher K・ S., Math. Ann., 115, 136 (1937); Lichnerowic? 4・，J. Math. pure, appl., 23, 37 (1944); он же, Helv. Phys. Acta, Suppl,, 4, 176 (1956); Theories relativistes de la gravitation et de relectromagnetisme, Paris, Masson et Cie, 1955; Foures-Bruhat У., Acta Math., *8, 141 (1952); J. Rational Meeh . Anal., 5, 951 (1956); глава, написанная Foures-

Bruhat Y. (теперь Choquet Y.,), в книге: Ed. Witten L., Gravition: An Introduction to Current Research, N. Y., Wiley, 1962.

Weyl H・，Philosophy of Mathematics and Natural Science (немецкий оригинал, 1927 г.).

Геометродинамика и конечное состояние, стр. 495—499.

Подробный перечень тем, нуждающихся в дальнейшем исследовании, можно найти в «Геометродинамике и конечном состоянии».

Leutwyler "♦, Battelle Rencontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics, N. Y・,Benjamin, 1968.

В этой связи вспомним слова Уильяма Джеймса, сказанные им более пятидесяти лет назад: «Действительность пребывает в море возможностей, одна из которых и осуществляется...». Автор благодарит ван де Ватера за эту цитату.

Wheeler J. A.. Our Universe: The Known and the Unknown, Am. Scientist, 56, 1(1968); Am. Scolar, 37, 248 (1968).

Wigner E. P・，Symmetries and Reflections, Indiana University Press, 1967; а также Jauch J. M・，Wigner E. P., Yanase M. M・， Nuovo Cimento, 48, 144 (1967); DeWitt В., последняя работа в [2]; Everett H・，Rev. Mod. Phys., 29, 454 (19 57); Wheeler J. Л., Rev. Mod. Phys., 29, 463 (1957); Геометродинамика, стр. 75.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию 5

Из предисловия 13

Эйнштейн и его теория 15

§ 1・ Мечта Эйнштейна '15

Дома у Эйнштейна 15

Эйнштейн и квантовый принцип 16

Геометр оди н а ми ка Эйнштейна 17

Следствия эйнштейновской геометродинамики •・•19

Экспериментальные подтверждения теории относительности 19

Динамика геометрии 19

Все из геометрии? 20

Уравнения движения частиц 21

Геон 22

Уже единая теория поля23

Топологическая интерпретация заряда • ・ • •25

Суперпространство и более глубокая структура геометродинамики 26

Суперпространство как область действия геометродинамики 26

Выбор допустимой истории как интерференции в области действия динамики 26

Не четыре, а три измерения 29

Суперпространство как многообразие . . . .30

Волновой пакет в суперпространстве и его распространение 34

§ 16а. Пространство-время — понятие, не совсем законное 37

Планковская длина и гравитационный коллапс. . 39

Квантовые флуктуации и структура частиц ・ ・. ・ •42

Квантовые флуктуации геометрии пространства 42

Флуктуации, наложенные на классическое поведение 46

Можно ли экстраполировать геометродинамику за планковскую длину? 49

Квантовогеометрические флуктуации и электричество как заключенные в топологии пространства силовые линии 52

Энергия вакуума 58

Частица—геометродинамический экситон . .60

Приложение А. Структура эйнштейновской геометродинамики 65

«Вывод» уравнения «Эйнштейна ——Гамильтона —— Якоби» 65

О связи метода Гамильтона — Якоби с обычными аналитическими решениями полевых уравнений 67

Приложение Б. Структура суперпространства ・•・•72

Связь структуры уравнения Эйнштейна ——Гамильтона — Якоби со структурой суперпространства 72

Этап 1: Классическая геометродинамика； топология не меняется 74

Фиксированная топология исключает гесмэтроди- намическую интерпретацию частиц и полей ・ ・• 76

①。上 маоизм «инородного, физического» поля . .77

Этап 2: пространство, резонирующее между 3-геометриями различных топологий 80

Время или отношение «положение-поворот» . ・81

2Л-возможные спиновые структуры в и-связном пространстве 84

Многолистный характер суперпространства • • . 85

Электромагнетизм ——статистический аспект геометрии? Другие вопросы 88

Пример 2-геометрии 89

Другие аспекты суперпространства 90

Касательные векторы суперпространства и классическая проблема начальных значений .91

Этап 3: предгеометрия 94

Приложение В. Структура квантовогеометрической проблемы начальных значений 96

9898§ 39. Начальные условия 96

98

98

Литература

ДЖ. А. УИЛЕР

ПРЕДВИДЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА

Редактор 〃• Самсоненко. Художник В. Д. Медников. Художественный редакторВ. М. Варламин. Технический редактор "・ 片. Турсунова. Корректор". В. Спичкина

Сдано в производство 16'Х 1969 г. Подписано к печати 6'Ш 1970 г. Бум. № 1 84х【081/з2・==1，75 бум. л. Печ. ys. 5,88 л. Уч. -изд. л. 5,47・

Изд. № 27/5500. Цена 39 к. Зак. 635

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва, l-й Рижский пер.. 2

Ярославский полиграфкомбииат Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Ярославль, ул. Свободы, 97

ЛЖЛ. УИЛЕР

ШИШТЕЙИ^

〃м・ А. Уилер

Предвидение Эйнштейна

Перевод с немецкого

в. г. лапчинского

Под редакцией

К. П. СТАНЮКОВИЧА

Издательство «Мир》

Москва 1970

Эйнштейн, Юкава и Уилер в Маркванд-парке, Принстон, 1954.

JOHN ARCHIBALD WHEELER

EINSTEINS VISION

Wie steht es heute mit Einsteins Vision alles als Geometrie aufzufassen?

SPRINGER-VERLAG BERLIN-HEIDELBERG-NEW YORK 1968

УДК 52十53

Книга выдающегося американского физика Д. А. Уилера посвящена элементарному изложению геометродина ми ки — воплощению мечты Эйнштейна «свести всю физику к геометрии». Автор начинает с элементарных понятий динамики и частной теории относительности, затем переходит к метрике и ее связи с распределением масс, а затем к топологии и «динамической геометрии», геометродинамике. Он подробно рассматривает простейшую задачу геометродинамики —гравитационный коллапс — и в заключение знакомит читателя с применением изложенных идей к проблеме структуры элементарных частиц. В приложениях собраны необходимые сведения о «арене действия» геометродинамики —— суперпространстве и его свойствах.

Книга представит большой интерес для физиков, астрономов, математиков, — как специалистов, так и студентов старших курсов и аспирантов.

Редакция космических исследований 9астрономии и геофизики

Инд. 264

90・70—