Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
1. Классическая физика
LEON N・ COOPER
Henry Ledyard Goddard University professor
Brown University
AN INTRODUCTION
TO THE MEANING
AND STRUCTURE OF PHYSICS
HARPER & ROW, PUBLISHERS
NEW YORK • EVANSTON ・ LONDON 1968, 1970
Л. Купер
ФИЗИКА ДЛЯ ВСЕХ
ВВЕДЕНИЕ
В СУЩНОСТЬ И СТРУКТУРУ ФИЗИКИ
ТОМ 1
КЛАССИЧЕСКАЯ ①ИЗИКА
Перевод с английского кандидата физ.-мат. 〃аук С・ Н. БРЕУСА
Под редакцией
доктора физ.-мат. наук
Ю. А. КРАВЦОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1973
УДК 53 (075)
Книга одного из видных американских физиков, лауреата Нобелевской премии Леона Купера содержит популярное изложение всей физики: от механики Галилея — Ньютона до квантовой механики и теории элементарных частиц. Автор не ограничивается простым рассмотрением тех или иных разделов физики, а анализирует основы физических явлений, выясняет связь между ними. Л. Купер блестяще владеет пером популяризатора, так что даже сложные вещи он преподносит просто, живо и увлекательно. Настоящий, том 1 охватывает «классические» разделы физики: механику, оптику, электричество, молекулярную физику и термодинамику, рассматриваемые с позиций современной науки.
В томе 2 «Современная физика» будут рассмотрены следующие вопросы: теория относительности, элементы квантовой механики, строение атома и атомного ядра, физика элементарных частиц и другие проблемы физики последних лет.
Редакция литературы по физике
от РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
За последнее время издательство «Мир» выпустило немало популярных книг по физике: «Физику для любознательных» Э. Роджерса, «Популярную физику» Дж. Орира, «Историю физики» М. Льоцци и др., рассчитанных на очень широкий круг читателей — школьников- старшеклассников, студентов, преподавателей, инженеров и просто любознательных людей, желающих расширить свой кругозор. С известными оговорками к этой категории можно отнести и ^Фейнмановские лекции по физике» — они предназначены для более узкой и более подготовленной читательской аудитории.
Серию популярных книг по физике продолжает и данная монография, принадлежащая перу Леона Купера, одного из видных американских физиков. Он известен прежде всего как один из основоположников теории сверхпроводимости — явления, которое несколько десятилетий было загадкой для ученых. «Куперовские электронные пары» ——понятие, являющееся ключевым для квантовой теории сверхпроводимости,—вошли в физический лексикон столь же прочно, как, например, «броуновское движение» или «черепковское излучение». Л. Купер удостоен Нобелевской премии по физике за 1972 г.
В предлагаемой вниманию советских читателей книге «Физика для всех» Л. Купер раскрыл еще одну грань своего таланта — он великолепный мастер популярного (но вовсе не тривиального!) изложения идей, на которых строится здание физики. Направленность книги лучше всего характеризуется названием английского оригинала —«Введение в сущность и структуру физики», принятым в русском переводе книги в качестве подзаголовка. Л. Купер сделал, кажется, все возможное, чтобы помочь читателю полнее воспринять то богатство мыслей мира физики, которому каждый культурный человек должен удивляться не меньше, чем богатству красок, звуков, мыслей в живописи, искусстве и литературе. Такому восприятию способствует и использование предельно простых математических средств: автор книги нигде не выходит за рамки доступного человеку со средним образованием и средними способностями к математике. Но еще большего эффекта он достигает манерой изложения. Умелый подбор примеров и сравнений, включение в книгу интересных исторических сведений, использование классических литературных образов, искусная драматизация повествования, образный и сочный язык —— все это делает чтение книги не только полезным, но и увлекательным.
Разумеется, для того чтобы понять мир физических идей, требуется немало труда и настойчивости. Читатель, желающий войти в этот мир,
несомненно, не пожалеет о затраченных усилиях, точно так же, как ему не должно быть жаль усилий, необходимых, чтобы войти в мир искусства и литературы. Книга, конечно, не поднимет неспециалиста до уровня физика-профессионала и не позволит ему читать статьи в физических журналах,— но ведь и умение воспринимать, скажем, музыку не предполагает способности читать партитуру.
Книга Л. Купера не может быть рекомендована как учебник или учебное пособие по физике. Тем не менее она, несомненно, принесет значительную пользу преподавателям физики в школах и вузах: свежие примеры, оригинальные, иногда даже неожиданные аналогии помогут им быстрее ввести слушателей в храм физики. Книга должна понравиться и физикам-профессионалам: они смогут оценить дар автора, сумевшего ясно и увлекательно написать о вещах сложных и труднодоступных.
В США книга Л. Купера выпущена в виде однотомника. Она выдержала уже два издания (1968 и 1970 гг.), причем второе издание является сокращенным вариантом первого. В русском переводе книга выпускается в двух томах. Первый том посвящен классической физике, второй — новой физике XX века. Все приложения и справочные материалы включены в первый том. Перевод выполнен с первого американского издания; из второго издания заимствованы лишь задачи, отсутствовавшие в первом.
Редактор и переводчик искренне признательны Э. Л. Бурштейну, М. Л. Левину и М. А. Миллеру за помощь, оказанную ими при работе над переводом.
Ю. А. Краббов
Моему отцу
ЭТО ПРАВДА, ЧТО ХРАМЫ НЫНЕ ВОЗДВИГАЮТ 8 НАУКЕ, НО ЖАЛЬ, ЧТО ЛЮДИ НЕ МОГУТ ВОЙТИ 8 НИХ
И ДОТРОНУТЬСЯ до ИХ КАМНЕЙ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Считается, что физика очень сложна, и сами физики это признают. Однако если рассматривать отдельно создание новых физических теорий и усвоение того, что сделано другими, то последнее, по-видимому, не требует большей настойчивости или сообразительности, чем изучение, например, поэзии, иностранных языков или любого другого из множества проявлений творческой фантазии человека. Различие лишь в вознаграждении. Музыка или картина могут непосредственно затрагивать наши чувства. В физике же мы не услышим рыдания скрипок и не увидим поражающих воображение образов. Здесь драма развертывается в процессе творчества, а могущество содержится в его результатах, наш же энтузиазм в работе порождается исключительно изяществом, стройностью и эстетической законченностью науки (это, возможно, относится и к безупречному роману). Физические образы, к сожалению, менее привычны, чем те, которые мы видим на картине, в опере или в романе, однако для изощренного вкуса они не менее привлекательны. Я надеюсь, что эта книга поможет войти в мир физики тем, кто, не имея особых технических способностей, хотел бы им полюбоваться, а также познать очевидную связь физики с другими видами человеческой деятельности, которые вместе образуют то, что мы называем цивилизацией.
Меня предупреждали, что книгу написать очень трудно, но чтобы в этом убедиться, нужно было ее написать. Мне помогали в работе многие люди, я пользовался сведениями, заимствованными из множества других книг, в частности: «Аристотель, Галилей и Пизанская башня» Лэйн Купер, «Грань объективности» К. Гиллеспи, «Хрестоматия по физике» У.①.Мэги, «Мир атома» Г. Ворса и Л. Мотца, «Физика», изданной Комитетом по изучению физической науки, «Основы электромагнитной теории Максвелла» А. Борка и «Революция Коперника» Т. Куна.
Я хотел бы выразить свою признательность многим ученым, преподавателям и студентам, которые оказали мне большую помощь при работе над книгой.
Леон Н. Купер
О ПРОБЛЕМЕ ДВИЖЕНИЯ
《Возьми два свинцовых шара (как делал знаменитый Жан Гроти^ прилежный исследователь природы, и я в своих ранних опытах), один из которых 6 десять раз тяжелей другого, 〃 урони их одновременно с высоты 30 футов на деревянную доску или какое-либо иное твердое тело, издающее отчетливый звук; ты сразу же обнаружишь, что более легкий шар упадет на доску не 6 десять раз медленней, но столь одновременно с другим, что звуки падения обоих шаров сольются в один. То же самое случится 〃 с телами равных размеров, но отличающимися по весу, как десять 〃 один. Посему пропорция, приписываемая Аристотелем, чужда истине'».
Симон Стевин (1548—1620)
《Падение куска золота или свинца, или любого другого тела, наделенного весом, происходит тем быстрее, чем больше его вес…》
Аристотель (384—322 羽.до я. э.)
«Существуют вещи абсолютно ложные 〃 вещи, которые лучше проверять опытными фактами, чем любыми логическими заключениями. Если взять две массы, существенно различающиеся по весу, и уронить их с какой-то высоты, то легко заметить, что отношение их времен падения не только не следует отношению их весов, но различие этих времен чрезвычайно мало; так что, если веса отличаются не сильно, скажем одно тело тяжелее другого вдвое, различия во временах либо вовсе нет, либо оно незаметное.
Иоанн Филопон (533 г. н, з.)
1
ПИЗАНСКАЯ БАШНЯ
Если верить Диогену Лаэртскому, Аристотель «шепелявил..., имел тощие ноги, маленькие глазки и выделялся своими нарядами, кольцами и прнаеско访》.Он родился в Стагире в 384 г. до нашей эры; когда ему исполнилось семнадцать, он приехал в Афины, где прожил 20 лет, обучаясь у Платона вместе с другими его учениками. После смерти Платона Аристотель покинул Афины и в возрасте 42 лет, вполне созревший для серьезной деятельности, согласился возглавить школу в Пелле, созданную для тринадцатилетнего сына Филиппа Македонского. Когда через шесть лет Филипп неожиданно умер, школа была закрыта: новый царь Александр больше не нуждался в учителях.
В 335 г. Аристотель возвратился в Афины и основал вблизи города первый «университет»—Ликей. Говорят, Александр подарил ему 800 талантов, что составляло огромную сумму, и приказал рыбакам и охотникам сообщать Аристотелю обо всем, что могло бы его заинтересовать. Создав прообраз современного колледжа, Аристотель ввел в нем правила поведения, установил общее питание для всех студентов и, вероятно, основал музей. Помимо этого он ежемесячно проводил симпозиумы, предвосхищая тем самым современные специальные школы, и в широких масштабах организовал исследования. После смерти Александра (323 г. до н. э.) изменчивая политическая ситуация в Афинах стала для Аристотеля, бывшего признанного фаворита Александра, неблагоприятной. К°гаа ему предъявили традиционное обвинение в безбожии, Аристотель покинул город и тем самым спас Афины от позора второго убийства философа (судьба Сократа была еще свежа в памяти). Через год он скончался.
Своему сыну Никомаху Аристотель советовал выбирать во всем золотую середину. Поэты, говорил он, должны не копировать жизнь, а стремиться ее организовать. Он ввел систему логики, которая используется по настоящее время, и попытался размежевать различные области науки и сделать невозможным, чтобы теоремы в какой-либо области доказывались с помощью принципов из другой области. Он полагал, что каждая наука — геометрия, арифметика и т. д.— должна иметь свои собственные постулаты. Свойства, которые обнаруживаются во всем, Аристотель назвал аксиомами, имея в виду общепринятые высказывания, соглашения. Он очень много и подробно написал по естественной истории; он был не только философом, но и нравоучителем, ученым-политиком, литературным критиком, физиком, биологом, практиком-естествоиспытателем, логиком и учителем. Он разрабатывал методы, придумывал слова, проводил наблюдения, собирал образцы, объединял, подвергал сомнению и осмысливал почти все, что было сделано до него; кажется, что он старался высказать свое
(либо чье-нибудь) мнение по всем вопросам, которые тогда возникали. Быть может, в том и заключалась беда, что лекции Аристотеля представляли собой энциклопедию античной мысли, богатую по разнообразию тем и содержащую столь законченный взгляд на мир; в результате научная мысль в Европе до эпохи Возрождения оказалась полностью под влиянием идей Аристотеля.
После смерти Аристотеля его заметки, сохранявшиеся в течение некоторого времени в пещере неподалеку от его дома, были проданы Александрийской библиотеке, которая стала после упадка греческих городов-государств центром научной мысли. Во втором веке н. э. на Западе появилось несколько оригинальных работ. Это были энциклопедии и комментарии прошедших событий, однако ко времени арабского вторжения в седьмом веке научная деятельность в основном замерла. В течение последующих столетий, т. е. времени, которое мы называем теперь мрачным средневековьем, даже то, что было ранее известно, в основном забылось. Только в нескольких монастырях из поколения в поколение переписывались древние документы. При этом документы терялись, а их содержание искажалось. Из работ Евклида сохранился лишь неполный латинский перевод, сделанный в шестом веке Боэцием, из работ Птолемея — практически ничего, а из трудов Аристотеля — только несколько трактатов по логике.
В десятом-двенадцатом веках, в период общего подъема культуры, были обнаружены написанные на арабском языке различные древние тексты, которые переводились на латынь. Университеты Европы возникли там, где велись неофициальные диспуты, на которых обсуждались найденные тексты, заново изучались переведенные на латынь труды Аристотеля. При переводе допускались ошибки, которые служили источником невообразимой путаницы и привели к появлению ученых новой профессии, а именно людей, пытавшихся докопаться до истинного содержания античных документов. Эти люди, изумленные богатством найденного наследия прошлого, тратили колоссальные усилия и энергию, чтобы понять его, полностью посвящая себя этой деятельности.
В течение этого времени позиция церкви — основной политической и культурной силы в Западной Европе — по отношению к древним текстам резко переменилась. Сначала она относилась к ним подозрительно. В Париже было запрещено преподавание физики Аристотеля, поскольку содержание древних текстов не вполне соответствовало христианской доктрине. Однако благодаря стараниям христианских ученых, наиболее выдающимся из которых был Святой Фома Аквинский (1225—1274), идеи Аристотеля были согласованы с догмами христианской религии, после чего учение Аристотеля о строении Вселенной —— его собственные исследования, критические замечания, записи чужих домыслов и идей — превратилось в один из актов христианской драмы спасения; с этих пор нападки на учение Аристотеля стали расцениваться как нападки на саму церковь.
ВЗГЛЯДЫ АРИСТОТЕЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ
Земля считалась центром Вселенной Аристотеля и его физики. Тяжелые предметы должны падать на Землю, а легкие — подниматься вверх. Аристотель писал:
«Я именую легким то, что всегда стремится двигаться вверх, и тяжелым то, что всегда стремится двигаться вниз при отсутствии какого-либо вмешательства».
Далее:
«... естественное движение Земли, так 双е как и движение отдельных ее частей, направлено к центру Вселенной: вот почему сейчас Земля находится в центре... Легкие тела, подобные огню, движение которых противоположно движению тяжелых тел, стремятся к краю области, окружающей центр» [1].
Вселенная Аристотеля была замкнута, ограничена снаружи небесной сферой и заполнена воздухом, землей, огнем, водой и небесной субстанцией. Между граничной небесной сферой и Землей, расположенной в центре, находились сферы всех планет, Солнца и Луны. Каждая из этих сфер вращалась вокруг Земли, а все пространство между ними было заполнено «пленой» (plenea — подобие эфира, субстанция, прозрачная, как воздух).
Наряду с телами, естественное движение которых было направлено либо вниз, либо вверх, Аристотель ввел понятие небесного вещества (то, из чего состояли звезды и планеты), естественное движение которого —вращение вокруг центра Вселенной. Таким образом, все виды движения разбивались им на два класса: естественное движение, т. е. движение, определяемое природой тела и не требующее никакого внешнего воздействия, и силовое (принудительное) движение, не зависящее от природы тела, а определяемое внешними силами.
Элементы, из которых Аристотель построил свою Вселенную, различались между собой в основном не по материальному содержанию, а по характеру их естественных движений и стремлению занять различные места в пространстве. Если тело не находится в состоянии своего естественного движения, значит, согласно Аристотелю, на него действует внешняя сила. Например, повозка, движущаяся по дороге, не совершает естественного движения к центру из-за действия приложенной к ней силы со стороны лошади. Звезды же и Луна не требуют для своего движения вокруг Земли никакой силы, так как они состоят из небесного вещества и находятся в естественном движении. Таким образом, место, которое занимает тело, имеет абсолютное значение; центр Вселенной отличается от ее Периферии, что означает фундаментальную связь между геометрией пространства и характером движения тел.
Физические теории Аристотеля являлись систематизацией взглядов того времени; они соответствовали фактам в той мере, в какой
Аристотель их понимал. Явления, на которые ссылался Аристотель, были просты: лошадь непрерывно напрягалась, чтобы тянуть повозку по ровной дороге, или камень опускался на дно озера. Из подобных явлений можно было непосредственно заключить, что для толкания повозки требуется сила, а тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие. Казалось, что единственными движениями, которые не требуют внешнего воздействия, являются падение тел (если они тяжелые), подъем их вверх (если они легкие) и вращение вокруг Земли (если тела состоят из небесного вещества). На предмет, движущийся по прямой линии с постоянной скоростью (например, на повозку), должна действовать сила. Таким образом, Аристотель никогда не рассматривал то, что мы называем теперь трением или сопротивлением, как силу, отделенную от движения. Когда это отделение было окончательно проведено, возникло понятие инерции и сложились все современные взгляды на движение тел D.
КРИТИКА ИДЕЙ АРИСТОТЕЛЯ
Когда в Европе получила известность физика Аристотеля, она стала предметом критики со стороны многих ученых-схоластов. В четырнадцатом веке член Парижской школы Никола Оресм оспаривал взгляды Аристотеля об исключительности Земли. Он высказал идею, что движение звезд невозможно установить по их видимым с Земли перемещениям, так как движения звезд и Земли относительны: звезды могут быть неподвижны, а Земля двигаться и наоборот — в любом случае эффект будет один и тот же. «Точно так же,— говорил он,——как человеку, сидящему в движущейся лодке, представляется, что деревья перемещаются мимо него». Теория движения снарядов, предложенная Аристотелем, постоянно подвергалась критике. Было очень трудно понять, почему снаряд продолжает двигаться вверх (неестественное для него движение), когда на него перестает действовать сила. Критики Аристотеля выдвинули теорию, согласно которой тело под действием силы получает некий толчок, impetus (сейчас мы назвали бы его импульсом), который поддерживает дальнейшее его движение.
Постепенно ревизия взглядов Аристотеля привела к конфликту между критиками и большинством ученых, которые расценивали его труды как последнее и, более того, единственное слово в науке. Несмотря на то, что несоответствия в физике Аристотеля были известны
1)Вероятно, грекам не часто представлялись случаи перемещаться настолько плавно (подобно движению в самолете или на океанском лайнере), чтобы невозможно было определить, не выглядывая в окно, движутся они или нет. Подобные случаи сразу же дают почувствовать то, что позднее будет названо законом инерции: чтобы перемещаться с равномерной скоростью, не требуется дополнительной тяги или толкания. Такие ощущения греки могли бы, пожалуй, испытать лишь внутри корабля, движущегося по очень спокойному морю. Однако Эгейское море не отличается спокойствием. (Анализ физики Аристотеля можно найти и в книге Куна [2].)
в течение нескольких столетий и некоторые ученые (например, Пьер Раме) вообще считали, что вся аристотелева физика не научна, для схоластов положения Аристотеля оставались вершиной человеческих знаний. Овладение этими знаниями для них состояло в изучении трудов Аристотеля и комментариев, их интерпретирующих. (Чем невразумительнее был отрывок, тем, очевидно, больше было комментариев.) Ответ на любой вопрос, даже касающийся опыта, мог быть найден в трудах Аристотеля. Это был весьма удобный мир, без неожиданных открытий и каких-либо дилемм. Изучая Аристотеля, труды которого были согласованы с христианским учением, можн о было не бояться за свою душу. И если даже встречались проблемы, не освещенные Ари' ст отел ем, то эти проблемы, скорее всего, не стоили того, чтобы ими заниматься.
Мы не знаем, одобрил бы Аристотель таких ученых, но нам известно, что сам он никогда не относился к своим предшественникам с таким почтением. Предполагают, что изречение «Amicus Plato, sed magis arnica veritas» («Платон мне друг, но истина дороже») принадлежит Аристотелю. Он подвергал беспристрастной критике взгляды своих учителей и всех своих п редшествен н и ков. Мы осведомлены о многих ранних писателях Греции через Аристотеля, который изложил их воззрения с тем, чтобы опровергнуть их. В сфере интеллекта он был подобен восточному принцу, который мог чувствовать себя в безопасности, лишь уничтожив своих братьев. Платон говорил о своем лучшем, наиболее выдающемся ученике, что он ведет себя подобно молодому жеребенку, лягающему свою мать.
Однако для тех, кто так же добросовестно, как сам Аристотель, пытался понять и объяснить мир, было ясно, что Аристотель, как и любой смертный, совершал много ошибок, повторял неверные мнения, писал слишком пространно и неубедительно и, что еще более важно, просто не касался множества достойных внимания проблем. Трудно сказать, были ли они более мудрыми или менее терпеливыми, чем последователи Аристотеля; быть может, они не могли читать и понимать Аристотеля так, как их ученые современники, но в любом случае им приходилось преодолевать силу традиций и веры, чтобы быть услышанными.
Пытаясь объяснить невозможность «пустоты» («пустота — это место, где никому не приходилось бывать»), Аристотель выдвинул свое печально известное рассуждение о падении тел:
«Мы видим, что тела, обладающие большими импульсами тяжести или легкости и являющиеся сходными в других отношениях, быстрее проходят равные расстояния, пропорциональные величинам импульса. Поэтому отношение скоростей тел должно сохраниться и при движении в пустоте. Но это невозможно: почему собственно одно тело должно двигаться быстрее другого? (При движении через плену это возможно, ибо тело с большим импульсом рассекает ее с большей силой, потому что
движущееся тело рассекает среду либо своей формой, либо импульсом, которым его снабжают при метании или толчке.) Следовательно, все тела будут иметь одинаковую скорость. Но это невозможно» [3].
Аристотель утверждал, что скорость падающего тела уменьшается из-за сопротивления среды. Но отсюда следовало бы, что в пустоте, которая не содержит вещества, т. е. не оказывает никакого сопротивления, все тела будут падать с одинаковой скоростью (не исключено, что и бесконечно большой). А это Аристотель отрицал, так как он пытался связать различные естественные движения с определенными элементами Вселенной — легким огнем, тяжелой землей. Следовательно, заключал он, пустота невозможна. Это доказательство в видоизмененной форме было кратко изложено .Лукрецием:
«Все тела, падающие (cadunt) в воде и разреженном воздухе, должны обязательно убыстрять свое падение (casus celerare) пропорционально своим весам (pro ponderibus), так как плотная вода и разреженный воздух не могут одинаково задерживать тела, а могут лишь для более тяжелых тел быстрее освобождать пространство. Однако, с другой стороны, пустота не может... поддерживать что-либо,... по этой причине все тела с различными весами будут обязательно двигаться в ней с равными скоростями» [4].
Трудно сказать, что именно казалось Аристотелю невозможным: существование пустоты по причине того, что тела должны, по его мнению, падать со скоростями, пропорциональными их весам, либо падение всех тел в пустоте с одинаковой скоростью. Его аргументация нигде больше не упоминается при трактовке движения в последующих книгах по физике. Однако эти рассуждения, особенно если представить их в наиболее неблагоприятном свете, оказались слабейшим звеном в той огромной цепи аристотелевой физики, которую выковали он и его комментаторы, и именно на это звено обрушился беспощадный огонь критических нападок. Со временем критика становилась все более резкой, например как в случае Галилея, который передает это утверждение Аристотеля следующим образом: «Железный шар весом в 100 фунтов, падающий с высоты 100 локтей, достигнет Земли раньше, чем шар весом в 1 фунт пролетит один локоть». Такая резкость была просто необходима для пробуждения от летаргии, которая в течение столетий сковывала толкователей Аристотеля. Собственно, Галилей и Симон Стевин разоблачали не столько Аристотеля, сколько своих ученых современников и предшественников, которые в течение пятисот лет основывали все свои размышления, наблюдения и знания только на том, что было написано Аристотелем.
ПЕРЕСМОТР ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Однако в конце концов долго сдерживаемая интеллектуальная активность и подчинение признанному авторитету создали такое непреодолимое давление, что оковы средневекового антропоморфического мира магии и анимизма разлетелись вдребезги. Годы нападок на аристотелеву физику вылились в пересмотр проблемы движения, а это подготовило почву для новой и гораздо более плодотворной атаки. В то время, когда старый мир рушился, появились люди, начавшие создавать тот рациональный научный мир, который с тех пор и господствует среди ученых.
Изменилась сама Вселенная. Коперник поместил Солнце в центр, отведя Земле более скромную роль одной из планет. Джордано Бруно разбил небесную сферу; будучи поборником бесконечного пространства (и сожженный за такую ересь на костре), он сделал Вселенную бесконечной; Земля и Солнце оказались затерянными среди бесчисленного количества других планет и солнц. Разглядывая небо в свой телескоп, Галилей обнаружил, что небесное вещество обладает такими же несовершенствами, как и земное. Движение стало относительным и не связанным с пространством, так как пространство однородно и ни одну точку в нем нельзя предпочесть другой. Оресм писал: «Я полагаю, что локальное движение можно обнаружить только в том случае, когда одно тело изменяет свое положение относительно другого». Вселенная, не имеющая более центра в какой-то фиксированной точке, перестала теперь быть чем-то заполненной и обязательно конечной. Тела в ней двигались равномерно от точки к точке, так как свойства пространства всюду одинаковы.
Вернувшись к атомизму, восходящему к Демокриту и Лукрецию, Гассенди ° предположил, что мир состоит из атомов и их комбинаций, находящихся в пустоте. Ни камни, ни огонь, ни небесное вещество больше не стремились занять свое «естественное» положение в пространстве; перестал существовать мир одушевленных и неодушевленных предметов, наделенных сознанием и волей. Возможно, что бог был первопричиной всех вещей, однако после первого толчка все стало двигаться подобно гигантской машине, подчиняясь строгим законам.
День 1Q ноября 1619 г. был в Баварии холодным; спасаясь от непогоды, Рене Декарт заперся в натопленной комнате. Здесь, по его словам, ему пригрезились три видения, он видел вспышки света и
D Мольер и Сирано де Бержерак были его студентами. Вероятно, в мольеровской пьесе «Брак поневоле» описано личное отношение Гассенди к философам-схоластам, а в фантастическом отчете Сирано «Путешествия к Солнцу и Луне» ——его механицизм. Взгляды Гассенди были не менее еретическими, чем взгляды Бруно, однако как человек он был значительно покладистей. Дюран полагает, что никому не могло прийти в голову сжечь Гассенди на костре, поскольку в юности он имел много друзей, был скромным и регулярно посещал церковь.
слышал раскаты грома. Когда он вышел из комнаты, в его голове уже сложилась мысль создать аналитическую геометрию и использовать математические методы в философии. Декарт решил с чистой совестью вступить в новую жизнь: подвергать все сомнению, отрицать все доктрины и догмы, любые авторитеты, особенно Аристотеля.
«... Я... должен был... отбросить как безусловно ложное все, в чем мог вообразить малейший повод к сомнению...» 15].
С чего же тогда начинать, если во всем следует сомневаться? Можно ли найти что-нибудь, какую-нибудь истину, которая «так тверда и верна, что самые сумасбродные предположения скептиков не могут ее поколебать...?» [6]. Это «что-нибудь», т. е. главный принцип своей философии, Декарт выразил следующими словами: «Je pense, done je suis» или по-латыни: «Cogito ergo sum». («Я мыслю, следовательно, я существую».) Этот принцип не является силлогизмом, а следует непосредственно и неопровержимо из опыта, будучи одной из наиболее ясных и определенных идей, когда-либо высказанных человеком. Справедливость остальных положений следует оценивать, согласно Декарту, по отношению к главному принципу, который требовал ясности и определенности. Новый философский метод Декарта состоял в расчленении сложных восприятий на их составляющие до тех пор, пока эти составляющие не сведутся к простым, ясным и отчетливым идеям. Декарт верил не тому, о чем было написано в книгах или чему его учили, а лишь некоторым вещам, непосредственно и интуитивно очевидным.
« Я заключил, что можно взять за общее правило следующее: все, что мы представляем себе вполне ясно и отчетливо,—— все истинно...» [7].
На основании этого принципа, близкого ему как геометру, Декарт попытался построить свой взгляд на мир.
Он рассматривал всю Вселенную, за исключением, возможно, бога и человеческой души, как механизм. Бог создал материю и наделил ее движением; после этого мир стал развиваться в соответствии с законами механики и без постороннего вмешательства. Из этого мира, устроенного подобно машине и состоящего из материальных частиц, подчиняющихся механическим законам, Декарт решил воссоздать всю Вселенную Коперника такой, какой мы ее наблюдаем:
«Потом я показал, как в силу этих законов (природы) большая часть материи хаоса должна была расположиться так, что образовала бы нечто, подобное нашим небесам,... землю, планеты, кометы; ... как горы, моря, родники и реки могли образоваться естественным путем,.., металлы — появиться... растения — взрасти...» 18].
Видение было всеобъемлющим, как и масштабы задуманного,— получить все наблюдаемые явления, применяя законы механики к
движущимся частицам. Однако исполнение, не такое законченное, как видение, вызвало ряд возражений. В частности, Гоббс обычно утверждал, что «если бы Декарт целиком посвятил себя геометрии, он стал бы величайшим геометром в мире; философом же он был неважным».
Гоббсу вторил Фонтенель: «Именно Декарт... дал нам свой новый метод рассуждения, гораздо более привлекательный, чем сама его философия, большая часть которой или неверна, или весьма сомнительна согласно тем же правилам, которым он нас учил».
Установление связи между поведением частиц и наблюдаемыми на опыте явлениями у Декарта скорее было желанием, чем его осуществлением. Однако, даже признав существование такой связи, следовало выяснить: как ведут себя сами частицы?
Отвергнув все, как ему казалось, недостойные внимания воздействия, Декарт предположил, что частицы материи взаимодействуют между собой лишь при непосредственном соприкосновении. Если это так, то как ведет себя отдельная частица, если на нее ничего не действует? Что произойдет с движущейся частицей в пространстве, в котором нет центра и точки которого не различаются между собой? Хотя Декарт никогда не допускал мысли о существовании пустоты, полагая, например, что «вакуум существует только в голове Паскаля», он считал, что такая частица будет двигаться с постоянной скоростью и по прямой линии. Это и является естественным движением в новой физике и описывается теперь законом инерции, или первым законом движения Ньютона.
Таким образом, к концу шестнадцатого столетия взгляды Аристотеля на мир были существенно пересмотрены. Из замкнутой Вселенная превратилась в открытую, из заполненной —в пустую. Пространство Перестало иметь выделенную точку, его свойства стали одинаковыми Во всех направлениях и оно оказалось заселенным частицами, которые не стремятся Лететь вверх или падать, а движутся от столкновения к столкновению с постоянной скоростью. Вот в таком мире новых представлений и появился Галилей. Даже если бы Галилей никогда не взбирался по ступеням Пизанской башни, ему все равно суждено было кардинально изменить наши представления о движении тел.
2
СОВЕРШЕННО НОВАЯ НАУКА
«ДЕНЬ ТРЕТИЙ
О МЕСТНОМ ДВИЖЕНИИ (DE MOTU LOCALI)
Мы создаем совершенно новую науку о предмете чрезвычайно старом. В природе нет ничего древнее движения, и о нем философы написали томов немало и немалых. Однако я излагаю многие присущие ему и достойные изучения свойства, которые до сих пор не были замечены либо не были доказаны» [1].
Эти слова, принадлежащие Галилею, сказаны им в 1638 г.; в трактате, написанном в виде беседы между Сальвиати, отстаивающим точку зрения автора, нейтральным и непредубежденным Сагредо и Симпличио, выражающим традиционные взгляды, Галилей так сформулировал основы науки механики:
«Некоторые более простые положения нередко приводятся авторами; так, например, говорят, что естественное движение падающего тяжелого тела непрерывно ускоряется. Однако в каком отношении происходит ускорение, до сих пор не было указано; насколько я знаю, никто еще не доказал, что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собою, как последовательные нечетные числа. Было замечено также, что бросаемые тела или снаряды описывают некоторую кривую линию; но того, что линия эта является параболой, никто не указал. Справедливость этих положений, а равно и многих других, не менее достойных изучения, будет мною в дальнейшем доказана; тем открывается путь к весьма обширной и важной науке, элементами которой будут эти наши труды; в ее глубокие тайны проникнут более проницательные умы.
Наш трактат распадается на три части. В первой мы рассматриваем единообразное, или равномерное, движение. Во второй мы описываем естественное ускоренное движение. В третьей речь идет о принужденном движении, или о движении брошенных тел.
О РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ
Прежде всего нам необходимо определить движение равномерное, или единообразное.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Движением равномерным, или единообразным, я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собою.
ПОЯСНЕНИЕ
К существовавшему до сего времени определению (которое называю движением равномерным просто при равных расстояниях, проходимых в равные промежутки времени) мы прибавили слово «любые», обозначая тем какие угодно равные промежутки времени, так как возможно, что в некоторые определенные промежутки времени будут пройдены равные расстояния, в то время как в равные же, но меньшие части этих промежутков пройденные расстояния не будут равны» [2].
Определим скорость тела как отношение пройденного им пути к затраченному на это времени:
изменение расстоянияi、
скорость =・(2.1)
упромежуток времени'‘
При равномерном движении пройденные частицей за любыеПри равномерном движении пройденные частицей за любыескорость постоянна, так как пути,равные промежутки времени, равныскорость постоянна, так как пути,равные промежутки времени, равны
При равномерном движении пройденные частицей за любые
При равномерном движении пройденные частицей за любые
скорость постоянна, так как пути,равные промежутки времени, равны
скорость постоянна, так как пути,равные промежутки времени, равны
^релсЯ» >^релсЯ» >
^релсЯ» >
^релсЯ» >
Фиг. 2.Фиг. 2.Фиг. 3.
Фиг. 2.
Фиг. 2.
между собой (вспомним пояснение Галилея). Кроме того, мы подразумеваем, что направление движения не меняется. Такое равномерное движение —— с постоянной скоростью и неизменным направлением —— является естественным движением в новой физике. Любая неравномерность будет приписываться действию силы.
Если скорость не меняется со временем и сохраняет постоянное значение %, т. е.
V (/) = const = и。，(2.2)
то ее зависимость от времени можно изобразить на графике горизонтальной прямой (фиг. 2). Мы видим (частный случай общего правила, которое будет получено позже), что длина пути, пройденного движущимся с Постоянной скоростью телом, численно равна площади фигуры, находящейся под кривой (в данном случае под прямой, фиг. 3):
расстояние = скорость х время =
=высота х основание = площадь.(2.3)
Можно привести совершенно тривиальны® примеры полученного
правила. Так, автомобиль, движущийся равномерно со скоростью 30 км/ч, проходит за полчаса 15 км. Пуля, летящая со скоростью 1000 м/с, пролетает 5 км за 5 с; ракета, движущаяся со скоростью 12 000 м/с, проходит 60 км за 5 с.
В природе редко наблюдается равномерное движение; как правило, скорость тела изменяется со временем. Можно ввести понятие средней скорости тела за любой промежуток времени:
средняя скорость =средняя скорость =(2.4)(2.4)пройденный путьпромежуток времени
средняя скорость =
средняя скорость =
(2.4)
(2.4)
Допустим, что тело прошло 30 см за 2 с, тогда его средняя скорость за этот промежуток времени равна
(2.5)(2.5)30 см 1 и /~Y^—= 15 см/с.
(2.5)
(2.5)
Однако тело могло при этом пройти за первую секунду 20 см, а за вторую 10 см. Следовательно, в первую секунду
средняя скорость = —j—- = 20 см/с,(2.6)
а во вторую —
средняя скорость = •:詈=10 см/с.(2.7)
Если движение было равномерным в течение первого интервала времени и также равномерным (хотя и с другой скоростью) в течение вто
рого интервала, то график зависимости скорости от времени будет выглядеть так, как показано на фиг. 4, а пройденный путь будет по-прежнему численно равен площади, находящейся под этой ступенчатой кривой (площадь на фигуре заштрихована).
В общем случае можно представить, что скорость тела изменяется
практически произвольно и ее зависимость от времени описывается кривой, представленной на фиг. 5. Такую кривую можно получить, вычисляя значения средней скорости за все меньшие и меньшие промежутки времени и изображая их на графике (в виде горизонтальных отрезков). Введем обозначения:
Af ——промежуток времени, который предполагается малым (как угодно), но не равным нулю,
Ad—изменение расстояния за время А/, считающееся также малым или равным нулю, если тело покоится.
Тогда средняя скоростьп за время А/ равна
/а 八 пройденный путь Ad
средняя скорость (за время Af) =—— = -тт・(2.8)
£ тr \/ промежуток времени А/ '
Как Ad, так и Д/ можно считать обычными числами, например Ad= =2 см или Af=%o с, поэтому
Ad = (средняя скорость) х А/.(2.9)
Площадь под ступенчатой кривой равна площади под гладкой кривой с той точностью, с какой ступенчатая кривая совпадает с гладкой. Естественно ожидать, что при уменьшении величины временного интервала Д/ можно достичь желаемой точности. Это справедливо при
Фиг. 5. Скорость как функция времени.
некоторых ограничениях, налагаемых на свойства гладких кривых. Таким образом, поскольку полное расстояние, пройденное телом, равно сумме расстояний, пройденных им за первый, второй, третий и т. д. временные интервалы:
d = (Ad% + (Ad% + (Ad% 十..・=
=(площадь прямоугольника)］十(площадь прямоугольника)2 十•. •, (2.10) это расстояние численно равно площади всех прямоугольников, которая при уменьшении А/ приближается к площади под гладкой кривой с любой заданной точностью.
Начиная изучение неравномерного движения, Галилей останавливается сначала на одном важном и полезном случае. Он рассматривает
Естественно-ускоренное движение
и пишет:
«... теперь же перейдем к движению ускоренному. Прежде всего необходимо будет подыскать этому естественному явлению соответствующее точное определение и дать последнему
и Так называемая «мгновенная скорость» есть средняя скорость за очень малый (бесконечно малый) промежуток времени (см. приложения, стр. 426).
объяснение. Хотя, конечно, совершенно допустимо представлять себе любой вид движения и изучать связанные с ним явления,... мы тем не менее решили рассматривать только те явления, которые действительно имеют место в природе при падении тел, и даем определение ускоренного движения, совпадающего со случаем естественно-ускоряющегося движения. Такое определение, найденное после долгих размышлений, кажется нам достойным доверия преимущественно на том основании, что результаты опытов, воспринимаемые нашими чувствами, вполне соответствуют выведенным из него свойствам... Отсюда и вытекает определение движения, которым мы будем пользоваться: равномерно- или единообразно-ускоренным движением называется такое, при котором после выхода из состояния покоя в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты [приращения] скорости» [3].
Подобно тому, каксредняя скоростьПодобно тому, каксредняя скоростьможно ввести определениеможно ввести определениеизменение расстояния — Adпромежуток времени — А/изменение расстояния — Adпромежуток времени — А/среднее ускорение =среднее ускорение =изменение скоростиизменение скоростипромежуток временипромежуток времениДу= 17»Ду= 17»(2.11)(2.12)(2.11)(2.12)
Подобно тому, как
средняя скорость
Подобно тому, как
средняя скорость
можно ввести определение
можно ввести определение
изменение расстояния — Adпромежуток времени — А/
изменение расстояния — Adпромежуток времени — А/
среднее ускорение =
среднее ускорение =
изменение скорости
изменение скорости
промежуток времени
промежуток времени
Ду
= 17»
Ду
= 17»
(2.11)
(2.12)
(2.11)
(2.12)
Из определения равномерно-ускоренного движения, т. е. движения, при котором «в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты скорости», следует, что при таком движении ускорение по-
жение.жение.§ 夕2g〃At§ 夕2g〃AtФиг. 6. Равномерно-ускоренное дви-Фиг. 6. Равномерно-ускоренное дви-стоянно и за равные промежутки времени скорость возрастает на одну и ту же величину:
жение.
жение.
§ 夕2g〃At
§ 夕2g〃At
Фиг. 6. Равномерно-ускоренное дви-
Фиг. 6. Равномерно-ускоренное дви-
изменение скорости Аи = а (постоянное ускорение) х АЛ (2.13)
Галилеево равномерно-ускоренное движение есть движение по прямой линии, при котором ско-
рость как функция времени прямо пропорциональна затраченному
промежутку времени:
V (скорость) = % (скорость при % = 0)十 а (постоянное ускорение) х
(2.14)(2.14)X t (время) =% + 〃/,
(2.14)
(2.14)
где а ——постоянное ускорение и о。——скорость тела в начальна访 момент времени (/=0). На фиг. 6 представлен график зависимости скорости от времени. При более сложных движениях ускорение не обязательно постоянно, а график скорости как функции времени может иметь произвольный вид, скажем как на фиг. 5г).
и В обыденной жизни люди часто смешивают понятия ускоренного и быстрого движений. Ускорение означает только изменение скорости, но движение при этом не обязательно быстрое.
Далее Сагредо возражает:
«Так как мой ум вообще не мирится с различными определениями, даваемыми теми или иными авторами, поскольку они все совершенно произвольны, то я могу, никого не задевая, высказать сомнение, в самом деле ли приведенное определение, установленное совершенно отвлеченно, правильно соответствует тому ускоренному движению, которое проявляется при естественном падении тяжелых тел. А так как Автор утверждает, по- видимому, что естественное движение падающих тяжелых тел именно таково, как он его определил, то мне хотелось бы, чтобы были устранены некоторые появившиеся у меня сомнения, после чего я с большим вниманием мог бы отнестись ко всем предложениям и сопровождающим их доказательствам» [4].
Сальвиати пытается убедить Сагредо и других, что движение тела,
выроненного вблизи земной поверхности, является равномерно-ускоренным. До этого Сальвиати опровергал точку зрения Аристотеля по
Фиг. 7. Расстояние численно равно площади прямоугольника плюс площадь треугольника.Фиг. 7. Расстояние численно равно площади прямоугольника плюс площадь треугольника.этому вопросу, так как он был уверен в своей правоте. Далее следует обсуждение некоторых свойств равномерно-ускоренного движения. Остановимся на одном из них, представляющем наибольший интерес. Спрашивается: на какое расстояние продвинется тело за заданный отрезок времени, если оно равномерно ускоряется (т. е. если его скорость v=vQ-\-at)?
Фиг. 7. Расстояние численно равно площади прямоугольника плюс площадь треугольника.
Фиг. 7. Расстояние численно равно площади прямоугольника плюс площадь треугольника.
При равномерном движении расстояние 仇/) в точности численно равно площади под кривой зависимости скорости от времени. Обоб
щим теперь этот вывод: путь, пройденный телом при равномерно-ускоренном движении (или при любом другом виде движения), численно равен площади под кривой зависимости скорости от времени. Для нахождения расстояния, пройденного ра-
вномерно-ускоряющимся телом, следует лишь вычислить эту площадь. Она равна сумме площадей треугольника и прямоугольника, изображенных на фиг. 7. Площадь прямоугольника равна vQt, что совпадает с расстоянием, пройденным телом, равномерно движущимся со скоростью &. Площадь треугольника равна: х/2 (основание) X (высота). Но высота треугольника равна увеличению скорости v за время / из-за ускорения а. Скорость зависит от времени по закону:
(2.15)(2.15)и = “)+ а九
(2.15)
(2.15)
откуда для увеличения скорости (конечная скорость минус начальная)
(2.16)(2.16)получим
(2.16)
(2.16)
v — vQ — at.
Следовательно, площадь треугольника равна
площадь = ^у основания х высота^ =扌/ X а/ = ； а/?. (2.17)
Таким образом, расстояние, пройденное равномерно-ускоряющимся телом за время t, определяется из выражения
треугольника =以十；〃尸,треугольника =以十；〃尸,(2.18)(2.18)расстояние = площадь прямоугольника + площадь
треугольника =以十；〃尸,
треугольника =以十；〃尸,
(2.18)
(2.18)
что совпадает с результатом, выведенным Галилеем.
Используем теперь это выражение для вывода того соотношения, о котором Галилей упоминал во введении. Предположим, что тело начинает падать из состояния покоя. В этом случае его начальная скорость vQ равна нулю, так что
расстояние = 0 + ^■出2 = g 口”(2.19)
Из табл. 1 видно, как расстояние зависит от времени. Путь, пройденный телом за первую секунду, равен х/2 а, за вторую ——7а минус
Таблица 7
Время, с
Расстояние
Расстояние, пройденное за каждую секунду
1
% а
% а
2
% а・4—% а= % 〃・3
3
% а・9
% а-9—% а・4=% а・5
4
% а・16
% а. 16—% а・9=% а・7
расстояние, пройденное за первую секунду, т. е. х/2 〃’3; за третью —— ，2 〃・9 минус расстояние, пройденное телом за первую и вторую секунды б/? а・4), т. е. 1/2 〃・5. Следовательно, расстояния, пройденные
телом
ющим
за равные промежутки времени, относятся друг к другу следу- образом:
вторая секунда — 3 • %" — 3^八、
первая секунда1•力。1J1'
третья секунда —5• 112a_ g(22 П
вторая секунда3• 1/2а3*
т. е. эти расстояния, как писал Галилей, «... относятся между собою, как последовательные нечетные числа...».
Теперь возражает Симпличио:
«Я в достаточной мере убежден, что явление должно происходить именно так, если только принять указанное определение равномерно-ускоренного движения. Но действительно ли таково ускорение, которым природа пользуется при движении тяжелых падающих тел, остается для меня сомнительным; поэтому для поучения меня и других, мне подобных, не мешало бы теперь привести несколько опытов из числа многих проделанных, которые показали бы, что различные случаи падения тел совпадают со сделанными заключениями» [5].
На это Сальвиати отвечает:
«Вы как подлинный ученый предъявляете совершенно основательное требование; оно особенно уместно в отношении таких наук, в которых для объяснения законов природы применяются математические доказательства; таковы, например, перспектива, астрономия, механика, музыка и другие аналогичные науки; в них опыт, воспринимаемый чувствами, подтверждает принципы, являющиеся основою для всех дальнейших построений. Однако мне не хотелось бы, чтобы у вас создалось впечатление, будто мы слишком подробно остановились на первом и основном положении, на котором покоится колоссальное здание бесчисленных выводов, лишь в малой доле затронутых нашим Автором в настоящем сочинении; он сделал достаточно уже одним тем, что открыл пытливым умам запертые до сего времени двери. Что касается опытов, то Автор не упустил из виду их произвести, и чтобы убедиться в том, что ускорение естественно падающих тел происходит описанным выше образом, я много раз в обществе нашего Автора производил следующий опыт» [6].
Далее он описывает эксперимент, который проделал Галилей, чтобы доказать, что движение свободно падающего тела действительно является равномерно-ускоренным.
В этом эксперименте измерялся путь, пройденный падающим телом, в зависимости от времени падения. Следовательно, Галилей доказывал, что движение является равномерно-ускоренным, демонстрируя, что одно из следствий такого движения, а именно, что
расстояние = vQt + ^ 〃尸， (2.22)
согласуется с наблюдениями. Мы можем легко повторить опыт Галилея, воспользовавшись, однако, современной техникой фотографирования через равные промежутки времени, скажем, падающего мяча для игры в гольф (фото 1). В табл. 2 [8] приведены результаты аналогичного опыта (с падающим бильярдным шаром). Измерения проводились через каждую 7зо с. Вычисленные значения ускорения оказались одинаковыми в пределах ошибок измерений. (Последняя цифра в колонке А% весьма ненадежна; она получена с помощью разумной оценки
Таблица 2
Номер интервала
Длина интервала
Ах, см
Средняя скорость А%/А/, см/с
Изменение скорости Ди, с м/с
Ускорение Аь/А/, см/с2
1
7,70
231
32
960
2
8,75
263
31
930
3
9,80
294
32
960
4
10,85
326
34
1020
5
11,99
360
33
990
6
13,09
393
32
960
7
14,18
425
32
960
8
15,22
457
32
960
9
16,31
489
35
1050
10
17,45
524
32
960
И
18,52
556
Среднее: 980
числа долей миллиметра.) Таким образом, мы смогли убедиться, что в пределах ошибок измерений ускорение постоянно, или что расстояние, пройденное падающим телом, равно ^о^+Уа 〃門.Поэтому мы сможем повторить слова Симпличио:
«Я получил бы большое удовольствие, если бы присутствовал при подобных опытах; но вполне полагаясь на ваше умение произвести такие опыты и правильность передачи их результатов, я успокаиваюсь и принимаю последние за правильные и истинные» [9].
Постоянное ускорение, которое обозначается специальным символом g, вблизи земной поверхности равно
g= 980 см/с2 = 9,8 м/с2.g= 980 см/с2 = 9,8 м/с2.(2.23)(2.23)
g= 980 см/с2 = 9,8 м/с2.
g= 980 см/с2 = 9,8 м/с2.
(2.23)
(2.23)
Таким образом, свободно падающее тело пролетает за 1 с 490 см, за 2 с 1960 см и так далее.
ДВИЖЕНИЕ БРОСАЕМЫХ ТЕЛ
В вопросе о движении бросаемых тел позиция Аристотеля, полагавшего, что выпущенное из рук тело падает к центру Земли, если на него не действует сила, была особенно слаба. Действительно, если камень вылетает из пращи, то не ясно, какая сила заставляет его пролететь некоторое расстояние вверх, прежде чем он начнет падать на землю? Аристотель предположил, что воздух, расталкиваемый камнем, смыкается за камнем и толкает его сзади. Однако такое объяснение, по-видимому, не удовлетворяло ни его, ни его последователей.
Пытаясь решить эту проблему, Галилей предположил, что при бросании камня ему сообщается некоторая горизонтальная скорость, ко-
торая остается постоянной (если не учитывать сопротивления воздуха), так как в горизонтальном направлении не действуют никакие силы. В вертикальном же направлении действует сила, которая вынуждает(?) тело падать на землю с постоянным ускорением. Далее Галилей выдвинул предположение, что движение брошенного тела складывается из равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали. Возможно, фото 2 пояснит это утверждение.
Наиболее важным, но интуитивно не очевидным является предположение, что тело, брошенное горизонтально, падает вниз точно так же, как и тело, которое начинает падать одновременно с первым, но без горизонтальной скорости. Единственное различие в движениях этих тел состоит в том, что первое тело, падая по вертикали с постоянным ускорением, одновременно равномерно перемещается по горизонтали: величина горизонтального перемещения = votf(2.24)
величина вертикального перемещения = у at2.(2.25)
Полное смещение складывается из этих двух перемещений, и в результате, как показывает Галилей, основываясь на упомянутых выше предположениях, траектория брошенного тела оказывается параболой.
Сагредо ошеломлен:
«Не могу отрицать, что рассуждение ново, остроумно и доказательно, если исходить из предположения, что движение в поперечном направлении остается всегда равномерным, а естественное падение сохраняет свою особенность ускоряться пропорционально квадрату времени, и что такие движения и скорости слагаются, но не мешают и не препятствуют друг другу
В классическом примере рассматривается падение пушечного ядра с мачты движущегося корабля (фиг. 8). С точки зрения наблюдателя,
Фиг. 8. Падение пушечного ядра с различных точек зрения.
находящегося на берегу, ядро падает с постоянным ускорением и одновременно движется равномерно по горизонтали. Матрос же, стоящий на борту, движется по горизонтали с такой же скоростью, как и ядро,
поэтому с его точки зрения ядро падает вертикально вниз и опускается у основания мачты.
Трактат Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» больше всего поражает своим вполне современным языком. За исключением стиля, неизбежно изменившегося за 300 лет, все те проблемы, которые обсуждает Галилей, и слова, которыми он пользуется,——сила, ускорение, равномерное движение, инерция — абсолютно для нас понятны. И когда Галилей старается подыскать определение какого-нибудь понятия, скажем движущей силы, его поиски направлены по такому пути, который со временем приведет к плодотворным результатам. Так, в процессе доказательства Сальвиати указывает, что ускорение тела, скользящего вдоль гладкой наклонной плоскости, зависит от угла наклона и меньше, чем при свободном падении, т. е. он предполагает, что сила, заставляющая (?) тело скользить вниз по плоскости и зависящая от наклона, пропорциональна ускорению тела. (Это предположение станет позднее вторым законом Ньютона.)
При изучении проблемы движения Галилей использовал метод Евклида. Сначала он вводил определения и постулаты, а затем получал из них определенные следствия. Подобно тому как Евклид установил соотношения в пространстве, Галилей выявил характер движения тел. Физики последующего поколения использовали эти результаты при решении вопроса о том, какая причина заставляет тело равномерно ускоряться вблизи земной поверхности, так как из них выводится зависимость параметров движения от времени. Таким образом, его наблюдения реальных движений тел при различных обстоятельствах вблизи земной поверхности и анализ Галилеем этих движений позволили создать те методы, с помощью которых, по его скромному предсказанию, «в ее (науки) глубокие тайны проникнут более проницательные умы».
3
ЧТО ТАКОЕ СИЛА?
Слово «закон», употребляемое в научной литературе, вряд ли является удачным. Нам неизвестны какие-либо указы или декреты, где были бы установлены те правила, о которых мы пишем; эти правила следует считать скорее придуманными, чем открытыми. О происхождении некоторых из них нам известно из истории; о возникновении же других ничего неизвестно, так как люди, впервые их предложившие, не пожелали сообщить нам, как эти правила пришли им в голову. Однако в процессе научной деятельности непрерывно выдумываются новые правила.
Попытаемся теперь сами придумать закон сил.
В отсутствие сил тело остается в покое или равномерно движется. Как же тогда заметить действие силы? Было бы, конечно, лучше не ограничиваться фразой, что сила действует тогда, когда меняется характер движения тела, так как в таком случае закон инерции не имел бы никакого эмпирического содержания, а просто констатировал бы факт, что тело движется равномерно до тех пор, пока оно так движется. Однако даже такое утверждение нельзя считать полностью бессмысленным. Если рассматривать закон инерции как общепринятое положение, то мы всегда должны искать действие какой-то силы, как только тело изменяет характер своего движения.
Мы убеждены, что сахар не может сам высыпаться из вазы. Поэтому, если мы обнаружим, что сахар рассыпан на столе, мы начнем доискиваться, чьими руками это сделано. Наше первоначальное убеждение основано на наблюдении, что в прошлом нам всегда удавалось найти того, кто рассыпал сахар. Мы настолько в этом уверены, что даже если нам не удастся обнаружить виновника, мы скорее сочтем, что он исчез, чем предположим, что сахар высыпался сам.
К счастью, в природе не так уж много сил, и их можно различать. Действие силы мы ощущаем чаще всего, когда нас тянут или толкают. Мы можем начать с такого интуитивного представления о силе, хотя в дальнейшем мы существенно его уточним. Часто тягу или толчки, которые испытывает тело, можно связать с другими предметами, находящимися с ним в контакте: с рукой, веревкой, водой или воздухом. Кроме того, мы все чувствуем тяжесть своего тела и окружающих нас предметов, которую можно объяснить силой, действующей между Землей и всеми телами.
Договоримся, что мы умеем опознавать (идентифицировать) действие сил в реальном мире. Как же придумать математические объекты, соответствующие этим силам? Их вид зависит от тех свойств, которыми мы желаем охарактеризовать силу. Количество камешков можно описать с помощью положительных целых чисел, длину —— с помощью положительных чисел (не обязательно целых). Подходит ли число для характеристики силы? Мы знаем, что испытываемые нами тяга или подталкивание могут быть более или менее интенсивными, т. е. характеризуются определенной величиной. Это свойство может быть описано числом. Однако сила имеет еще и определенное направление. Если мы хотим описать оба эти свойства (представляющие как раз наибольший интерес), то следует выбрать такой математический объект, который обладает по крайней мере этими двумя свойствами.
Введем некий математический объект, который будем называть силовой стрелкой или просто стрелкой, и обозначим его заглавной буквой со стрелкой наверху:
Более наглядно можно изображать этот объект обычной стрелкой. Ее можно нарисовать в виде отрезка прямой, начинающегося в какой-то
точке (скажем Р) и оканчивающегося острием. Такая стрелка обладает по крайней мере теми двумя свойствами, которыми мы решили характеризовать силу. Ей можно приписать определенную величину (длина) и направление. Поэтому мы говорим, что сила, приложенная в точке Р, каким-то образом связана со стрелкой, длина которой соответствует величине силы (например, 1 см отвечает силе 1 ньютон (1 Н)), а направление —направлению силы:
Стрелка имеет длину:
2с^
Она также имеет направление:
^^2х
Введя эти стрелки, мы обязаны придумать для них определенные правила. Эти правила должны бьиь не только согласованными (противоречия недопустимы), но и должны соответствовать свойствам реальных сил.
Каковы же наблюдаемые свойства природных сил? Наиболее простое — возможность их сложения. Предположим, что к какой-то точке приложены две силы или больше. Можно ли их заменить одной эквивалентной? Мы знаем, что действие двух сил можно уравновесить одной.
Рассмотрим силы, приложенные, как показано на фиг. 10, к точке Р. Или взглянем на три команды, перетягивающие канат, в момент, когда
Фиг. 10.Фиг. 10.Фиг. 11.
Фиг. 10.
Фиг. 10.
все игроки застыли на месте (фиг. 11). Точка Р неподвижна, следовательно, согласно закону инерции, на нее не действует сила. Поэтому силы, приложенные к этой точке и действующие через канаты и веревки (в каждом из описанных случаев на точку Р действуют три силы), должны сложиться так, чтобы суммарная сила равнялась нулю.
Таким образом, закон инерции (т. е. соглашение рассматривать равномерное движение как естественное) налагает ограничения на характер сил, нарушающих естественное движение тел. При другом выборе естественного движения (скажем, как в физике Аристотеля) правила сложения сил будут иными. Безусловное требование заключается в、том, чтобы развиваемая теория была согласована с экспериментом. В принципе допустимо много теорий такого рода, однако на деле довольно трудно построить хотя бы одну.
Поэтому мы должны установить такую операцию для стрелок, которая соответствовала бы правилу сложения сил в природе. Назовем эту операцию сложением стрелок и будем обозначать ее символом + (плюс); внешне она выглядит, как обычное сложение, однако на самом деле эти операции различны. Первое правило сложения гласит, что
В = С (постулат I). (3.1)
Сложение двух стрелок дает в результате третью стрелку, или, на языке физики, сложение двух сил дает третью силу. Подобное правило не всегда справедливо в математике или физике. Так, в результате смешения двух жидкостей можно получить твердое тело, в результате сложения дробей ——целое число, а при смешивании двух ядов — безвредное вещество (например, при смешивании натрия с хлором). Таким образом, хотя утверждение — сложение двух стрелок дает в результате третью стрелку — и выглядит достаточно естественным, оно не является самоочевидным, а представляет собой правило, отражающее эмпирические свойства сил.
В качестве второго правила сложения стрелок мы предполагаем следующее:
Л+ В==В +А (постулат II), (3.2) т. е. порядок сложения стрелок несуществен, или порядок комбинирования сил в природе не имеет значения. В результате прибавления силы А к силе В получается то же, что и при прибавлении силы В к силе А:
А + В В + А
Такое правило не всегда справедливо в математике или в природе. Так, прицеливание, а затем выстрел приводят к иному результату, чем выстрел с последующим прицеливанием; прическу следует приводить в порядок после того, как вы одели свитер. Математические объекты, 2m
которые не подчиняются постулату II, менее известны, однако они существуют и иногда оказываются весьма полезными.
Далее предположим, что в мире стрелок существует нулевая стрелка (у нее нет длины, и она будет обозначаться символом 0), которая характеризует нулевую силу и обладает тем свойством, что добавление ее к любой стрелке не изменяет последнюю.
Таким образом, существует такая стрелка 0, что при любой стрелке Л
0 + Д = Д (постулат III).(3.3)
О + А 二 А
Предположим еще, что для любой стрелки А существует обратная стрелка: —А, т. е.
Д+ (—4) =0(постулат IV).(3.4)
Этот постулат отвечает опыту, так как любая сила в природе может быть уравновешена другой силой.
И наконец, последнее правило гласит, что порядок сложения трех стрелок несуществен:
(才+В) + С = 4+ 市+ С)(постулат V),(3.5)
т. е. результат сложения Д и В с последующим прибавлением С такой же, как и при сложении сначала 6 н С с последующим прибавлением Л.
Решим теперь более конкретную задачу. Имеются две стрелки Л и В и сказано, что они суммируются; какова будет результирующая стрелка? Иными словами, если заданы величины и направления стрелок Л и В, то каковы величина и направление их суммы? Предложенные выше постулаты являются математическим выражением всех качественных свойств систем сил, которые мы могли бы вспомнить, если только мы были достаточно внимательны. Как же придумать правило сложения стрелок, удовлетворяющее всем этим постулатам и отвечающее правилу сложения сил в природе?
Здесь имеются по крайней мере две возможности. Одна состоит в рассмотрении математических объектов и изобретении такого правила, которое было бы согласованным, изящным и приятным на вид. При этом нет абсолютно никакой гарантии, что физические силы будут складываться в соответствии именно с этим правилом. Тем не менее в теоретической физике бытует уверенность (не всегда, разумеется, оправданная), что польщенная природа согласится со всем поистине
изящным. Другая возможность — пойти в лабораторию (естественную) и заняться последовательным сложением нескольких сил, измеряя каждый раз величины Д, В и их суммы и пытаясь обнаружить общие свойства суммы А+В. «Door Meten tot Weten» («Знание через измерение») —вот девиз лаборатории низких температур им. Камерлинга-Он- неса (в Лейдене, Голландия). Так называемые физические законы почти всегда устанавливались с помощью обоих упомянутых подходов.
Проводя подобные измерения, можно прикладывать к течке Р силы Л и В, а затем подбирать такую силу С, чтобы точка Р оказывалась неподвижной (фиг. 12). Однако прежде необходимо более точно договориться о соответствии между реальной силой и изображающей ее стрелкой. Пусть имеется стол, блок без тренияп и небольшой груз,
Фиг. 14. Метод выражения сил через стрелки.
подвешенный за веревку (фиг. 13). Веревка натянута под действием веса, и мы предполагаем, что она действует на точку Р с силой, равной по величине весу груза и направленной вдоль веревки. Иными словами, груз в 2 ньютона (Н) воздействует силой в 2 Н, груз в 3 Н —— силой в 3 Н и т. д. Кроме того, если условиться, что стрелка длиной в 1 см соответствует силе в 1 Н, то реальную систему сил на столе можно представить с помощью стрелок, как показано на фиг. 14. (Этот метод не является ни единственным, ни даже наилучшим, но он прост и не требует больших затрат времени. Что касается его эффективности, то она, как и эффективность других методов, зависит от свойств реальных сил, которые мы выясним позже. Остается открытым только
D Под блоком без трения мы подразумеваем просто хорошо смазанный и легко вращающийся блок.
один вопрос: можно ли, идентифицируя реальные силы и связывая их, как указано выше, со стрелками, создать для них такие правила, которые отвечали бы соотношениям между этими силами?)
Из принципа инерции (тело находится в покое или движется равномерно, если на него не действует сила) мы заключаем, что
(3.6)(3.6)工+后+不=6
(3.6)
(3.6)
т. е. результат сложения трех сил равен нулевой силе (сила отсутствует). Добавляя——С к обеим частям равенства и воспользовавшись тем, что
С + (—С) = 0^ (III и IV постулаты),(3.7)
имеем
(3.8)(3.8)А -\- В = — С,
(3.8)
(3.8)
следовательно, при прибавлении силы А к В получаем силу, которая в сумме с С дает нуль.
Цель подобных измерений — накопить достаточное количество результатов с тем, чтобы выявить некоторое правило для определения величины и направления наблюдаемой силы С при заданных А и В
义g儿心ГФиг. 15. Сила С, уравновешива-ющая сумму сил ы.义g儿心ГФиг. 15. Сила С, уравновешива-ющая сумму сил ы.(фиг. 15). Рассматриваемая проблема сходна с экзаменационным вопросом: «Задана последовательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, ...; требуется определить следующий член этой последовательности». Мы заранее предполагаем, что искомое решение действительно существует. Выдвигая какое-нибудь конкретное правило, мы затем используем его для «предсказания» еще не наблюдавшегося события (т. е. мы проверяем это правило).
义g儿心
Г
Фиг. 15. Сила С, уравновешива-ющая сумму сил ы.
义g儿心
Г
Фиг. 15. Сила С, уравновешива-ющая сумму сил ы.
Проводили мы наблюдения или нет, в конце концов мы должны по-
размышлять, так как известно, что никакие, даже весьма сложные наблюдения не могут дать нам готового правила. Мы надеемся, что, используя результаты проведенных опытов (или вспоминая те свойства сил, которые нам известны из повседневной жизни), нам удастся так ограничить количество возможных правил, что из оставшихся мы сможем подобрать, скажем на основании эстетических соображений, одно самое подходящее.
Весьма разумно предположить, что при сложении двух сил, равных по величине, но направленных в противоположные стороны, результирующая сила равна 0 (т, е. сила отсутствует). Следовательно,
если стрелка Д имеет вид
а стрелка — А имеет вид
то«…• 一>
，<111，'十—，а =С
Представим теперь две силы, действующие в одну сторону. Предположим, что они складываются как числа; это предположение согласуется, видимо, с тем, что мы наблюдаем на опыте. Так, два мальчика одинаковой силы, тянущие что-нибудь в одном направлении, создают, очевидно, усилие, вдвое большее, чем каждый из них. Таким образом,
方+不=2才，(3.9)
или, с некоторой степенью уверенности,
2彳十 3% = 5%・(3.10)
If 十 I一~f = aН~I~I一一—>
Следовательно, разумно допустить, что стрелки, расположенные вдоль одной прямой, складываются, как обычные числа или как две приложенные друг к другу линейки: величина суммы равна сумме их длин, а направление совпадает с исходным.
Используя это допущение, можно ввести правило умножения стрелки на число:
2不=?(3.11)
Мы согласились, что сумма
2А = А + А(3.12)
является стрелкой, у которой:
длина равна удвоенной длине Д, направление совпадает с направлением А.
2хe> - 1——>
Чх •> = •ii1>
Взглянем теперь на стрелки, изображенные на фиг. 16,— они не направлены в противоположные стороны и не смотрят в одну сторону. Чему равна сумма Д+В в этом случае? Каково общее правило
сложения, дающее в частных случаях
<+<+4=04=0
<+
<+
4=0
4=0
•…6 十 I ILA = i+ I 1 1 1)I、
Здесь воины теоретической физики оказываются бессильными, как те герои перед стенами Трои, глаза которых неожиданно застлал туман. Требуемое правило невозможно получить с помощью каких-либо логических умозаключений, так как данная задача неоднозначна. Приходится угадывать и рисковать. С удивлением мы обнаруживаем, что в науке, которую мы привыкли считать дочерью логики и трезвого размышления, повивальная бабка должна сама свершить акт рождения.
Будем угадывать: предположим, что две силы А и В складываются так, как показано на фиг. 17. Это известное теперь правило (которое
Фиг. 16. Ф и г. 17.
называется еще правилом треугольника илп параллелограмма сил) удовлетворяет всем постулатам, выдвинутым ранее для сложения стрелок. Впервые его предложил Симон Стевин (изучавший движение двух падающих шаров), нуждавшийся в этом правиле для решения практических инженерных задач.
Стрелки, подчиняющиеся всем перечисленным правилам, являются фактически векторами 1}, т. е. такими математическими объектами, которые удовлетворяют всем упомянутым выше постулатам и правилам. Подобно тому как различные предметы (яблоки, камни, люди) можно пересчитать с помощью целых чисел, разнообразные физические объекты можно описать при помощи векторов (здесь мы рассматриваем силы; другие объекты такого рода будут введены позже).
Но теперь мы вправе спросить: верно ли полученное правило? Формально оно абсолютно безупречно. А+В равно третьей стрелке С и А+В равно В+А. Аналогичным образом проверяются и все остальные постулаты I——V. Следовательно, можно утверждать, что данное правило является согласованным. Однако мы могли бы ввести и много других правил, которые не привели бы к противоречиям. Когда мы пытаемся выяснить, верно ли данное правило, мы должны проверить не только его математическую согласованность (которая, безусловно, должна иметь место), но и установить, складываются ли при этом два вектора таким образом, чтобы физическая сила, соответствующая век-
D С этого момента векторы по традиции будут обозначаться жирным шрифтом.
тору А, в сумме с силой, описываемой вектором В, давала физическую силу, представленную вектором С. Единственный способ ответить на такой вопрос — экспериментально доказать, что реальные физические силы складываются по правилу, установленному выше. Именно для
решения подобных вопросов физики, как правило, отправляются в лаборатории и проводят необходимые эксперименты.
[Нетрудно представить или осуществить, например, такой эксперимент. Если имеются две силы А и В, действующие на точку Р в направлениях, показанных на фиг. 18, то можно определить (как именно ——обсуждалось ранее) величину и направление силы С, которую следует приложить к точке 尸,чтобы она осталась неподвижной. Полученные величины и направления следует затем сравнить с вычисленными по описанным правилам. Очевидно, они совпадут. Это совпадение ——экспериментальный факт.]
Таким образом, складывая символы на бумаге, можно «предска
зать», какая реальная сила в состоянии уравновесить две другие физические силы. Может показаться, что написанные нами уравнения сами
содержат структуру реального мира, которым можно управлять, манипулируя этими уравнениями. Здесь наиболее существен психологический аспект. Когда впервые выдвигается какое-нибудь правило, как, например, правило сложения сил, поначалу оно является проб
ным; затем, когда с его помощью в течение многих лет удается успешно строить здания и мосты, оно превращается в закон природы. И мы слышим: «Силы ——это векторы». Конечно, силы — не векторы, силы суть силы; однако сопоставление с векторами оказалось настолько плодотворным, что различие между этими понятиями существенно поблекло. Возможность сидя за столом точно предсказывать прочность стального троса, необходимую для поддержания опоры еще не построенного моста,——вот та почти волшебная мощь, которая создает у нас окончательную уверенность, что сила есть вектор./
НЕКОТОРЫЕ СИЛЫ В ПРИРОДЕ
Можно сказать, что после Галилея основная задача физики состояла в опознании различных природных сил. Перечислим некоторые из них.
Сила, притягивающая все тяжелые предметы к Земле. Ее величина по определению равна весу тела на поверхности Земли, а направление совпадает с направлением к центру Земли. Например, на тело весом в 10 Н действует сила величиной в 10 Н, направленная вниз (фиг. 19).
Всевозможные контактные силы, скажем натяжение или тол* кание, которые передаются, например, посредством веревок, руки или от одного тела к другому при соприкосновении. Вообразить существование таких сил, вероятно, легче всего. Декарт, в частности, признавал лишь контактные силы, действующие между частицами при их столкновениях. Рассмотрим, например, тело, которое тянут за веревку.
Фиг. 20.Фиг. 20.Фиг.Фиг.
Фиг. 20.
Фиг. 20.
Фиг.
Фиг.
Величина силы зависит от натяжения веревки, а ее направление такое же, как у веревки. Такую силу можно создать, в частности, с помощью груза, подвешенного через блок, или пружины (фиг. 20).
Силы, возникающие из-за сопротивления среды, например из-за сопротивления воздуха при полете снаряда или самолета, из-за сопротивления воды при движении корабля или противодействия какой- либо поверхности перемещению по ней другой.
Фиг. 21.
Признание последних сил является одной из отличительных черт послегалилеевской физики по сравнению с физикой Аристотеля. Так, Аристотель считал, что тело (скажем, воз с сеном на ровной до
роге) может двигаться равномерно по прямой линии только в случае, если на него действует сила. Безусловно, силу прикладывать нужно —— иначе для чего бы понадобились лошади? — однако если признать
существование силы сопротивления движению повозки со стороны дороги (приложенное усилие зависит от состояния дороги), то можно утверждать, что суммарная сила в этом случае равна нулю (фиг. 21).
Все эти силы сопротивления называются силами трения. Их природа довольно сложна, но все они обладают одним общим свойством: величина их зависит от скорости движения тела относительно среды, а направление всегда противоположно направлению движения тела.
Так, покоящееся на столе тело не испытывает действия сил трения (фиг. 22). Однако если мы попытаемся его сдвинуть, то обнаружим силу (сопротивление), направленную против движения, величина которой
сложным образом зависит от природы поверхностей и других факторов (фиг. 23). Эта сила иногда непосредственно ощутима. Достаточно напомнить, что санки легче тащить по льду озера, чем по траве.
НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, КОТОРЫЕ ОПИСЫВАЮТСЯ ВЕКТОРАМИ
Введенные математические объекты (векторы) существуют независимо от существования сил. Мы могли бы изучать следствия правила сложения векторов, если бы даже жили в таком мире, где нет никаких сил. Известно, например, из алгебры или, как будет показано, из гео-
метрии, что одни и те же математические образы можно использовать для описания различных физических явлений.
Перемещение в пространстве
Ф и г. 24.Ф и г. 24.Наиболее простой физической операцией, которую можно охарактеризовать вектором, является операция перемещения в пространстве. Рассмотрим две точки а и &, лежащие в какой-то плоскости (на
Ф и г. 24.
Ф и г. 24.
пример, два городана карте). Если переместить тело или, например, человека из а в &, то это переме
щение (независимо от того реального пути, по которому оно происходило) можно описать вектором А, который начинается в точке а и оканчивается в & (фиг. 24). Его величина и направление следующие:
величина равна расстоянию между точками а и &,направление совпадает с направлением прямой, проведеннойиз точки а в точку Ь.
(Здесь мы решили ограничиться случаем, когда существенны лишь начальная и конечная точки перемещения. Если же нас интересует
весь фактический путь, по которому проводилось перемещение, то введенного нами вектора недостаточно.)
Если теперь переместиться из точки b в точку с, то это перемещение будет описываться вектором В. Отсюда ясно, что перемещение из а вс, характеризующееся вектором С, связано с перемещениями из а в & и из & в с формулой
А + В = С・ (3.13)
Таким образом, мы получили другую физическую интерпретацию математического объекта — вектора. Мы определили вектор и правило сложения векторов соответственно как перемещение и комбинацию нескольких перемещений в пространстве. Нетрудно проверить, что все перечисленные выше постулаты для векторного сложения в этом случае удовлетворяются.
Выводы Галилея, относящиеся к движению бросаемых тел, можно теперь сформулировать в виде утверждения, что результирующая нескольких перемещений в разных направлениях находится с помощью правила сложения векторов и что величина горизонтального перемещения не зависит от величины вертикального перемещения, как показано на фото 3.
Скорость
Мы определили скорость как изменение расстояния за некоторый промежуток времени, а равномерное движение — как движение с постоянной скоростью по прямой линии. Эти определения можно сформулировать в компактной форме с помощью понятия вектора. По аналогии с определением скорости
—изменение расстояния — Ad〔儿、
—промежуток времени9宀
введем определение вектора скорости:
—изменение вектора перемещения— Ad〔闩、
— промежуток времени 一 А/ *I
где
Ad = изменение вектора перемещения = d2 — dt
(фиг. 25). (Отметим, что, согласно правилу сложения векторов, di+ 十 Ad=dz.)
Фиг. 25.
Из этого определения следует, что вектор скорости есть вектор, величина которого равна скорости, а направление совпадает с направлением движения:
I величина — скорость,
вектор скорости:〈
[направление — направление движения.
В частности, из этого определения вытекает, что вектор скорости тела может изменяться как при изменении величины скорости тела, так и при изменении направления его движения. Иными словами, вектор скорости не остается постоянным, если тело движется по прямой линии с переменной скоростью либо движется с постоянной скоростью, но по криволинейному пути.
Определим теперь вектор ускорения:
вектор ускорения а —
—изменение вектора скорости — Av — промежуток времени 一=寸
(3.16)
Следовательно, тело ускоряется при движении по прямой линии с нарастающей скоростью или при движении с постоянной скоростью, если направление его движения изменяется. Тело, привязанное к веревке и вращающееся по кругу с постоянной скоростью (фиг. 26), ускоряется, так как направление его движения непрерывно меняется. (Поскольку тело ускоряется, к нему приложена сила, которая в даннсм случае характеризуется натяжением веревки.)
4
«ЛЬВА УЗНАЮТ ПО ЕГО КОГТЯМ»
Исаак Ньютон, родившийся в год смерти Галилея, унаследовал все методы, взгляды и знания, всколыхнувшие научный мир семнадцатого века, и, обогатив эти знания своими собственными открытиями, создал первую великую современную теорию, столь выдающуюся, что она в течение двух последующих столетий определяла развитие физической науки. В своем труде «Математические начала натуральной философии» (опубликованном в 1687 г.) Ньютон обобщил в виде двух законов открытия Галилея, добавил третий закон и выдвинул гипотезу, что все тела притягиваются друг к другу в соответствии с
PHILOSOPHICNATURALISPRINCIPIAMATHEMATICAPHILOSOPHICNATURALISPRINCIPIAMATHEMATICAправилом, которое теперь называется законом всемирного тяготения. Выведенные им следствия из этих постулатов претворились в столь всеобъемлющую систему взглядов на мир ——от движения планет до приливов и отливов,— столь подробную, вплоть до объяснения прецессии земной оси (едва заметное вращение земной оси с периодом 26 000 лет), что люди, подобные Александру Попу, могли восхищенно воскликнуть:
PHILOSOPHIC
NATURALIS
PRINCIPIA
MATHEMATICA
PHILOSOPHIC
NATURALIS
PRINCIPIA
MATHEMATICA
Autore JS. NEKTON,力尿 Coll CwM £詳 MrkRosProleHbre Lhc^j»^ & Socictatib Rcg4k SoJaR.Autore JS. NEKTON,力尿 Coll CwM £詳 MrkRosProleHbre Lhc^j»^ & Socictatib Rcg4k SoJaR.Природа, законы природы были сокрыты в ночи.
Autore JS. NEKTON,力尿 Coll CwM £詳 MrkRosProleHbre Lhc^j»^ & Socictatib Rcg4k SoJaR.
Autore JS. NEKTON,力尿 Coll CwM £詳 MrkRosProleHbre Lhc^j»^ & Socictatib Rcg4k SoJaR.
IMPRIMATUR-S. PEPYS, ReS.Soc. P R ZE S E &%/〃 5, 1686.IMPRIMATUR-S. PEPYS, ReS.Soc. P R ZE S E &%/〃 5, 1686.Бог рек: да будет Ньютон! И вот стал свет [1].
IMPRIMATUR-
S. PEPYS, ReS.Soc. P R ZE S E &%/〃 5, 1686.
IMPRIMATUR-
S. PEPYS, ReS.Soc. P R ZE S E &%/〃 5, 1686.
L 0 N D JTNEJuflix &dMdir Ke“e ac Typia 了ogpbi Slr^tcr. Proftat ipudphics BMiopoh$・ Amq MDCLXXXVILL 0 N D JTNEJuflix &dMdir Ke“e ac Typia 了ogpbi Slr^tcr. Proftat ipudphics BMiopoh$・ Amq MDCLXXXVILЕго творческие способности в математике и физике были настолько велики, что он почти полностью затмил таких своих современников, как Гук или Гюйгенс, которые сами внесли большой вклад в науку и понимали назревающие проблемы. Своим коллегам Нью-
L 0 N D JTNE
Juflix &dMdir Ke“e ac Typia 了ogpbi Slr^tcr. Proftat ipudphics BMiopoh$・ Amq MDCLXXXVIL
L 0 N D JTNE
Juflix &dMdir Ke“e ac Typia 了ogpbi Slr^tcr. Proftat ipudphics BMiopoh$・ Amq MDCLXXXVIL
ф и г. 27. Титульный лист «Начал» тон, «Лев», был «известен своими Ньютона.когтями».
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА НАТУРАЛЬНОЙ
① НЛОСО ① ПН
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
<Ш>—■*
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I
Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавли- ваемая пропорционально плотности и объему ее [2].
Количество материи называется теперь массой и обозначается буквой т. Масса известных нам тел равна, согласно Ньютону, произведению плотности тела на его объем:
масса = плотность х объем.
Так, удвоенный объем какого-либо вещества имеет удвоенную массу, равные же объемы различных веществ обладают различными массами, так как плотности веществ не одинаковы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ II
Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе [3].
Количество движения называется теперь импульсом и обозначается вектором р:
импульс = масса X скорость,(4.1)
р =mv,(4.2)
Таким образом, для вектора импульса
величина = масса х скорость,направление совпадает с направлением движения.
Импульс тела постоянной массы может изменяться при изменении скорости или направления его движения. Поэтому тело, движущееся, например, на север со скоростью 50 км/ч, испытывает изменение импульса, если его скорость возрастет до 60 км/ч или оно повернет на восток, не изменив при этом своей скорости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ IV
Приложенная сила есть действие, производимое над те儿ом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Сила проявляется единственно только в действии и по прекращении действия в теле не остается. Тело продолжает затем удерживать свое новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы [4L
Согласно Ньютону (это станет ясным позднее), сила должна рассматриваться как вектор; далее он пытается различать силу и инерцию, т. е. два понятия, которые до него не были четко разделены.
Затем Ньютон вводит положения, которые он называет аксиомами, или законами движения. Они являются постулатами его теории.
ЗАКОН I
Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.
Брошенное тело продолжает удерживать свое движение, поскольку его не замедляет сопротивление воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело вниз. Волчок, коего части вследствие взаимного сцепления отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает вращаться (равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха. Большие же массы планет и комет, встречая меньшее сопротивление в свободном пространстве, сохраняют свое как поступательное, так и вращательное движения в продолжение гораздо большего времени [5].
Этот постулат есть закон инерции, определяющий естественное движение тел в новой физике.
закон II
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная — тройное, будут ли они приложены разом все вместе или же последовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения тела, бывшему ранее, при противоположности вычитается, при наклонности прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее сообразно величине и направлению каждого из них [6].
Это знаменитый второй закон Ньютона. Он отвечает на вопрос: как изменяется движение тела под действием приложенной к нему силы? Изменение движения (импульса), как и предполагал Галилей, пропорционально моменту силы (по Ньютону момент силы равен произведению силы на время ее действия) и направлено вдоль направления силы, т. е.
FAf = Ар.
В этом одном уравнении содержится весь глубокий смысл теории Ньютона.
Последний закон движения по существу устанавливает характер сил в природе.
закон ш
Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе ——взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны. Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется. Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем. Если лошадь тащит камень, привязанный к канату, то и, обратно (если можно так выразиться), она с равным усилием оттягивается к камню, ибо натянутый канат своею упругостью производит одинаковое усилие на лошадь в сторону камня и на камень в сторону лошади, и насколько этот канат препятствует движению лошади вперед, настолько же он побуждает движение вперед камня. Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в
своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений, как это будет доказано в поучении [7].
Далее приводится несколько следствий, первое из которых явно показывает, что Ньютон рассматривал силы как векторы.
СЛЕДСТВИЕ I
При силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмм ма в то же самое время, как его стороны при раздельных.
Если тело при действии в месте А одной только силы М перенеслось бы в продолжение заданного промежутка времени равномерным движением из 4 в В и если бы при действии в том же месте одной только силы ^ оно перенеслось бы из Л в С, то при действии обеих сил оно перенесется в то же самое время из Л в D по диагонали параллелограмма ABCD.
Фиг. 28 (взято из ⑵).Фиг. 28 (взято из ⑵).
Фиг. 28 (взято из ⑵).
Фиг. 28 (взято из ⑵).
Так как сила N действует по направлению прямой Л С, параллельной BD, то по второму Закону эта сила М нисколько не изменит той скорости приближения к прямой BD, которая была произведена первою силою. Следовательно, тело в продолжение данного времени достигнет до линии BD, была ли сила ^ приложена или нет. На основании такого же рассуждения к концу того же промежутка времени тело должно находиться и где-либо на прямой CD, следовательно, оно должно быть в их пересечении D. Переходит же оно из 4 в D прямолинейно на основании первого закона [8].
Слегка перефразируя слова Ньютона, можно сказать, что результат действия на тело двух сил таков же, как и суммарный результат их действия по отдельности вдоль сторон параллелограмма, или что действие двух сил М и N в течение интервала времени А/ аналогично действию другой силы R в течение того же интервала, т. е. силы
складываются по правилу
M+N = R.
Но оно в точности совпадает с правилом сложения векторов, введенным в гл. 3 (фиг. 29).
Затем Ньютон приводит некоторые пояснения, как ему удалось получить все эти законы.
ПОУЧЕНИЕ
До сих пор я излагал начала, принятые математиками и подтверждаемые многочисленными опытами. Пользуясь первыми двумя законами и первыми двумя следствиями, Галилей нашел, что падение тел пропорционально квадрату времени и что движение брошенных тел происходит по параболе; это подтверждается опытом, поскольку такое движение не претерпевает существенного замедления от сопротивления воздуха. При падении тела сила тяжести в отдельные равные между собою весьма малые промежутки времени, действуя одинаково, сообщает этому телу равные количества движения и производит равные скорости, следовательно, за все время движения она сообщает телу полные количества движения и скорости, пропорциональные времени. Пространства, проходимые в пропорциональные времена, будут относиться как произведения скорости и времени, т. е. как квадраты времени. Телу, подброшенному вверх (вертикально), тяжесть сообщает равномерно количества движения, пропорциональные времени, и уменьшает скорость также пропорционально времени, так что времена подъема до наибольшей высоты пропорциональны той скорости, которая подлежит уничтожению, самые же эти высоты пропорциональны скорости и времени, т. е. пропорциональны квадрату скорости.
Движение тела, брошенного по какой-нибудь прямой (наклонной к горизонту), слагается из движения по этой прямой, происходящего от начального толчка, и из движения, происходящего от силы тяжести. Так, если бы тело Л в своем движении только от толчка описало в данное время прямолинейный путь 48, под влиянием же только силы тяжести, падая вниз,— путь АС, то, дополнив параллелограмм ABCD, получим в точке D место тела в конце рассматриваемого времени. Кривая AED, описанная телом, есть касающаяся прямой АВ в точке Л парабола, ордината коей BD пропорциональна АВ.
От тех же Законов и Следствий зависят известные свойства времен качаний маятников, которые подтверждаются ежедневным опытом с часами.
Из этих же двух Законов и из третьего кавалер Христофер Рен, Иоанн Уаллис S. Т. D. (доктор богословия) и Христиан
Фиг. 30 (взято из [2]).Фиг. 30 (взято из [2]).Гюйгенс, величайшие геометры нашего времени, вывели законы удара и отражения тел и почти одновременно сообщили их Королевскому обществу, причем их выводы, во всем касающиеся этих законов, между собою согласны. По времени обнародования найденного Уаллис был первым, затем следовал Рен, затем — Гюйгенс. Справедливость этих законов была подтверждена Реном перед Королевским обществом опытами с маятниками. Эти
Фиг. 30 (взято из [2]).
Фиг. 30 (взято из [2]).
опыты были затем признаны знаменитым Мариоттом достойными быть изложенными в его книге, целиком посвященной этому предмету [9].
Количество движения (импульс) является фундаментальным понятием теории Ньютона:
импульс = масса х скорость,
p = mv,(4.3)
а ее главной проблемой — вопрос: как изменяется импульс тела под действием приложенных к нему сил? Когда на тело не действует сила, его количество движения (импульс) сохраняется (первый закон). Если же сила действует, импульс тела изменяется таким образом, что произведение силы на время ее действия оказывается равным изменению импульса:
FAf = A(mv).(4.4)
Деля обе части равенства на Д/, получаем
Если масса движущегося тела постоянна (важный частный случай),
то можно написать
匸Av
F==m_ = ma>
(4.6)
так как из (4.6)
Av/Af равно по следует, что
определению ускорению тела.
Av с
Когда F=0,
(4.7)
или
Av = 0,
(4.8)
т. е. тело движется равномерно. Следовательно, первый закон движения является следствием второго, когда приложенная сила равна нулю. Ньютон тем не менее рассматривал эти законы раздельно, подчеркивая тем самым важность первого закона. Этим он демонстрирует свое решение рассматривать все движения тел, используя лишь приложенные к ним силы и изменения их импульсов.
Из уравнения (4.6) можно сразу же получить несколько следствий. Когда сила равна нулю, скорость постоянна, что согласуется с первым законом. Изменение скорости направлено вдоль приложенной силы. В обеих частях уравнения (4.6) фигурируют векторы, так как нельзя написать уравнение, в котором бы вектор приравнивался, например, числу. Если сила постоянна, то постоянно и ускорение; следовательно, тела, падающие вблизи земной поверхности, испытывают действие постоянной силы.
Если к телу прикладывается сила, то это тело изменяет свое движение в направлении действия силы.
Если тело покоилось, то оно начинает двигаться в сторону действия силы (фиг. 31).
Фиг. 31.Ф и г. 32.
Если тело первоначально двигалось со скоростью v0 (фиг. 32),то
скорость тела возрастает, когда направление силы совпадает с направлением скорости v0 (фиг. 33);
Фиг. 33.Ф и г. 34.
скорость тела уменьшается, когда направление силы противоположно направлению скорости v0 (фиг. 34);
величина и направление скорости могут измениться, когда сила направлена под углом к вектору скорости v0 (фиг. 35).
Ф и г. 35.
Фиг. 36.
■^/UiAjUkc. 27=：
Скорость тела можно изменить, не изменяя направления его движения, если к нему приложить силу, направление которой совпадает или противоположно направлению v0. А можно ли изменить направле-
Фиг. 37.
ние движения, не изменяя скорость тела? Да, можно; для этого к нему следует приложить силу, которая не имеет составляющей по направлению движения, т. е. силу, перпендикулярную скорости (фиг. 36). Вектор скорости изменил направление, но величина его осталась прежней. Под действием силы вектор скорости поворачивается, касаясь окружности. Здесь, однако, следует иметь в виду одну тонкость —при повороте вектора скорости направление силы тоже должно поворачиваться, чтобы сила оставалась перпендикулярной скорости. Но это нетрудно осуществить: в качестве примеров можно указать шарик на веревке, камень на конце пращи или планету, вращающуюся по круговой орбите вокруг Солнца (фиг. 37).
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
СИЛЫ И МАССЫ п
Чтобы проводить количественные сопоставления и сравнивать следствия постулатов Ньютона с данными опытов, удобно ввести различные единицы, в которых можно было бы измерять силы и массы.
Длина обычно измеряется в метрах и сантиметрах, а время ——в секундах. Если масса измеряется в
Сила
которая
/ граммах укилограммах величиной в 1 (
2)
,то сила ——в
динах
ньютонах/
口 ) есть по определению такая сила, ньютон у
придает телу с массой 1( 丿 ускорение в 1
смм
(4.9)
1)См. также приложения, стр. 438.
2)Килограммы ——стандартные количества вещества ——хранятся под стеклянными колпаками в Париже, в Вашингтоне и в большинстве физических лабораторий мира.
Таблица 3
Основные единицы
Система С ГС
Система мкс
Длина
сантиметр
метр: в 1 м 100 см
Масса
грамм
килограмм: в 1 кг 1000 г
Время
секунда
секунда: в 1 с 1 с
Сила
дина
ньютон: в 1 Н 105 дин
РАВНОМЕРНОЕ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рассмотрим теперь один вопрос, который сыграл в истории науки важную роль: какая требуется сила для того, чтобы тело вращалось по окружности с постоянной скоростью. Аристотель мог бы сказать: если тело небесное, то никакой силы не нужно, так как естественное движение небесных тел — вращение вокруг центра Вселенной. Однако если считать, что небесное тело состоит из земного вещества, то, согласно послегалилеевской физике, его естественное движение состоит в движении по прямой линии с постоянной скоростью. Поэтому, чтобы заставить тело вращаться по кругу, к нему необходимо приложить силу.
Прежде всего выясним: чему равно ускорение тела, движущегося по кругу радиуса R с постоянной скоростью и? Вектор скорости тела
Фиг. 38.Фиг. 38.
Фиг. 38.
Фиг. 38.
не постоянен (он направлен вверх в точке / и вниз в точке 2), поэтому по определению тело ускоряется (фиг. 38).
Вычислим, например, ускорение за полкруга (точки / и 2 на чертеже). Среднее ускорение за время t по определению равно:
(4.10)(4.10)изменение скорости
(4.10)
(4.10)
среднее ускорение = ——^^
причем в нашем случае
изменение скорости = v2 — v】= J - f
Этот вектор направлен вниз ( J), его величина равна 2и, а время прохождения телом половины круга равно расстояние/скорость=л7?/у.
Таким образом, величина вектора среднего ускорения равна
(4.Н)(4.Н)2и — 2 у2aRJu —冗 R
(4.Н)
(4.Н)
и направлен он вниз.
Сделаем небольшое отступление по вопросу об изменении вектора скорости движущейся частицы (фиг. 39). Будем складывать векторы, перемещая их в пространстве (изобразим вектор—vx так, чтобы его
Фиг. 39.
начало помещалось на конце вектора v2). Это согласуется с правилом сложения векторов в том же духе, как, например, добавление 30 яблок, лежащих в бочке, которая стоит у двери, к 50 яблокам, находящимся в бочке у печи, дает
30 яблок + 50 яблок == 80 яблок.
(Где? Очевидно, в запасе!)
Когда мы прибавляем вектор v2 к —Vi, нам безразлично, к каким точкам пространства относятся эти скорости. Нас интересует только изменение скорости частицы (при ее перемещении в пространстве). Следовательно, можно сказать, что
v2 (в точке 2 пространства) — % (в точке / пространства)=
—V] = Av (как на фиг. 39).(4.12)
В случае же сил, с помощью которых нам удалось ввести понятие векторов, приложенных к одной точке (как в случае яблок, которые берутся из одной и той же бочки), подобного вопроса не возникает.
Выражение (4.11) является приближенным, но оно позволяет представить, как должен выглядеть точный результат. Более точную формулу можно получить таким же образом, как и при выводе (4.11), с той лишь разницей, что временной интервал мы сделаем достаточно малым. Мы надеемся, что при уменьшении интервала А/ полученное ускорение в конце концов перестанет зависеть от точного значения АЛ Оказывается, что эта надежда оправдана.
Вычисление ~у при стремлении А/ к нулюп
За небольшой промежуток времени А/ тело, находившееся в положении /, переместится в положение 2, совершив поворот на угол 0. Этот угол равен пройденному телом отрезку дуги, деленному на радиус окружности (см. приложения, стр. 432). Длина дуги (совпадающая с расстоянием, на которое переместилось тело) равна скорости, умноженной на время:
с длина дуги иА/
ym e= •而麻一=不。(4・13)
Угол 0 понадобится нам при определении вектора v2— vb поскольку он равен углу между vT и v2 (из правила сложения векторов следует, что вектор —Vi параллелен vj. Представим теперь, что v2 и —Vi являются двумя радиусами окруж
ности (фиг. 40) с центром в точке О' и радиусом, равным и (векторы v2 и —vt имеют одинаковые длины, так как скорость тела не меняется по величине). Длина дуги, заключенной между векторами v2 и —Vi, равна
длина дуги между v2 и —Vj = (радиус окружности) х угол 0 =
必看 #AZ= UXk=-^
В пределе очень малых промежутков времени, т. е. при
(4.14)(4.14)АЮ,
(4.14)
(4.14)
длина дуги совпадает с длиной хорды. Справедливость последнего утверждения, которое имеет строгое доказательство, можно достаточно наглядно проиллюстрировать с помощью хорошего чертежа.
Но длина хорды равна по определению величине вектора v2— vT. Поэтому величина ускорения при AQ0 (когда дуга совпадает с хордой) равна
величина вектора (v9 ——vJ мгновенное ускорение =—==
丽=衣(величина).丽=衣(величина).(4.15)(4.15)
丽=衣(величина).
丽=衣(величина).
(4.15)
(4.15)
Направление вектора ускорения такое же, как у вектора v2— vx, который, как видно из фиг. 41, в пределе А/->0 смотрит от тела в центр окружности.
Этот расчет труден для понимания.
За исключением множителя 2/冗,выражение (4.15) совпадает с приближенным выражением, полученным для среднего ускорения тела за полкруга. Таким образом, тело, движущееся по кругу с постоянной скоростью, испытывает ускорение, направленное к центру и равное ®IR (фиг. 42). Отметим, что ускорение перпендикулярно скорости. Этот результат, имеющий важное значение в теории движения планет, был впервые получен Гюйгенсом [10] и Ньютоном [11]. Он является прямым следствием определения вектора ускорения в случае равномерного кругового движения.
Используя второй закон Ньютона, можно сразу же получить выражение для силы, необходимой для поддержания кругового движения тела:
F = ma, (4.16) 尸(величина) = ^^ . (4.17)
Сила направлена от тела к центру окружности. Отсюда, в частности, следует, что планета будет обращаться вокруг Солнца по круговой орбите с постоянной скоростью, если сила направлена от планеты к Солнцу.
Найденные выражения служили основными рабочими формулами, с помощью которых Ньютон пытался понять движение планет. Проблема движения планет, занимавшая умы астрономов в течение 2000 лет, превратилась во времена Ньютона в прикладную научную задачу. Она была идеальной областью для применения ньютоновских законов, и можно сказать, что решение проблемы движения планет с помощью теории Ньютона было высшим достижением науки семнадцатого века. В земных условиях вопрос о силах осложняется тем, что действующие на Земле разнообразные силы (трение, сопротивление воздуха, притяжение, толчки, рывки и т. д.) обычно выступают в сложной комбинации. Не будь этой четко поставленной и решенной проблемы движения планет, было бы трудно говорить о каких-нибудь достижениях теории Ньютона. Без нее законы движения Ньютона, его взгляд на мир могли бы показаться ничуть не лучше, чем, скажем, воззрения Аристотеля, также имевшие определенные успехи. Обратимся поэтому к проблеме движения планет, окончательно сформулированной в трудах Кеплера.
5
ГАРМОНИЯ СФЕР
Когда-то считали, что Земля покоится на слоне, стоящем на спине черепахи, которую в свою очередь уже ничто не поддерживает. Во времена Фалеса Милетского полагали, что Земля имеет форму полусферы, которая опирается на неподвижные колонны. Луна и Солнце двигались над Землей, пересекая небо в назначенное время, исчезая и каким-то образом возвращаясь в положенные исходные точки, чтобы вновь появиться на небе в определенные часы. Первый, кто предположил, что Земля ни на что не опирается, а плавает в пространстве, будучи центром Вселенной и поэтому никуда не падая, был, вероятно, Анаксимандр. Пифагорейцы, возможно сам Пифагор или Парменид, добавили предположение о сферичности Земли, так как они считали, что сфера является наиболее совершенной физической формой. За очень короткое время Земля превратилась в сферу, которая ни на что не опирается и расположена в центре мира. Так зародился тот великий спор о положении Земли во Вселенной, который продолжался в течение последующих 2000 лет.
Пифагорейцы окружили Землю восьмью гигантскими прозрачными сферами, которые несли на себе все наблюдаемые небесные тела и вращались вокруг Земли относительно различных осей с разными скоростями. Введением таких сфер предполагалось объяснить прежде всего наиболее поразительное свойство небесных тел, а именно то, что, несмотря на вращение небесного купола в течение ночи, взаимное расположение звезд не изменяется (как будто они прикноплены к внутренней поверхности вращающейся сферы, из центра которой мы за ними наблюдаем) (фото 4). Ковш Большой Медведицы (фиг. 43) всегда сохраняет форму ковша, как бы он ни двигался и ни вращался.
Среди неподвижных звезд перемещаются Солнце, Луна и те светлые точки, которые мы называем планетами (от греческого слова, обозначающего «скитальцы»). Последние отличаются от звезд не только своей яркостью, но главным образом тем, что они не сохраняют своего положения относительно небесных соседей и, казалось бы, случайным образом блуждают по небу. Это бессистемное блуждание привлекло к ним внимание древних астрономов. (В те времена было известно пять планет: Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн, не считая Луны и Солнца, которые тоже полагались планетами.) Было замечено, что планеты кажутся более яркими, чем звезды, и что их расстояния от
Земли вроде бы меняются. Люди стали связывать планеты с различными стремлениями человека (Венера — любовь, Марс — война; на основании положения планет астрологи предсказывали будущее), так как планеты рассматривались ими как нечто промежуточное между вечным совершенством звезд и земным несовершенством.
Первая основная задача астрономии состояла в разумном объяснении наблюдаемого необычного движения планет (фиг. 44). Помещая
У結Xz义У結Xz义:/a力€-^, -О:/a力€-^, -ОФиг. 44. Траектория Марса относительно неподвижных звезд.В некоторых местах она имеет такой вид, как будто Марс изменяет направление своего движения [1].Фиг. 44. Траектория Марса относительно неподвижных звезд.В некоторых местах она имеет такой вид, как будто Марс изменяет направление своего движения [1].
У結Xz
义
У結Xz
义
:/a力€-^, -О
:/a力€-^, -О
Фиг. 44. Траектория Марса относительно неподвижных звезд.
В некоторых местах она имеет такой вид, как будто Марс изменяет направление своего движения [1].
Фиг. 44. Траектория Марса относительно неподвижных звезд.
В некоторых местах она имеет такой вид, как будто Марс изменяет направление своего движения [1].
Солнце, Луну и планеты на поверхности различных сфер, каждая из которых равномерно вращалась со своей скоростью, пифагорейцы попытались объяснить их движение относительно звезд. Более того, один из них, по имени Филолай, выдвинул предположение, что Земля является одной из планет и вращается вокруг центрального огня совместно с другими небесными телами, включая Солнце. Однако эта идея была слишком вызывающей и смелой (настолько, что, говорят, Платон, который позднее отверг ее, заплатил в переводе на современные деньги примерно 2500 долларов за копию книги Филолая).
В конце концов Платон решил, что Земля неподвижна. Однако сфер, введенных пифагорейцами, оказалось недостаточно для объяснения неправильных траекторий планет. Согласно преданию, имеющему долгую историюх), Платон поставил перед астрономами («теми, кто изучает подобные явления») вопрос: «Какие равномерные и регулярные движения следует допустить, чтобы объяснить видимые перемещения планет?».
Платон и его современники в Греции имели свои представления о «равномерных и регулярных» движениях. Поскольку равномерное движение по кругу считалось наиболее совершенным и наиболее симметричным из всех движений, оно лучше всего подходило для небесных тел. (Как мы увидим позже, такое стремление приписывать наиболее симметричные свойства фундаментальным явлениям природы сохранилось у нас до сих пор.) Таким образом, была поставлена следующая задача: какова та комбинация идеальных круговых орбит, по которым
D Астроном Симплиций, живший в шестом веке н. э., писал в комментариях к трактату Аристотеля «De Caelo», что астроном Юлия Цезаря Сосиген (Sosigenes) цитировал Евдема Родосского (Eudemus of Rhodes) (четвертый век до н. э.) о постановке Платоном этой задачи.
в действительности движутся планеты? Ее можно считать первой отмеченной в истории темой диссертации. Астрономы бились над этой проблемой в течение почти 2000 лет вплоть до Кеплера, создав в итоге одну из наиболее плодотворных научных теорий.
Фиг. 45. Пример системы концентрических сфер, предложенной для объяснения наблюдаемого движения Сатурна [2].Фиг. 45. Пример системы концентрических сфер, предложенной для объяснения наблюдаемого движения Сатурна [2].Сам Платон, насколько известно, не пытался ответить на свой вопрос, но бывший студент его академии Евдокс п, который, вероятно, гораздо лучше учителя разбирался в геометрии, предположил, что для объяснения наблюдаемых перемещений планет достаточно 26 одновременных равномерных сферических движений 2) плюс еще одно, учитывающее положение звезд. Позднее Аристотель довел количество сфер до 28, чтобы исправить некоторые из наиболее очевидных ошибок системы Евдокса. В рамках этих систем оставались свои неясные проблемы, наиболее важной из которых была следующая: почему планеты кажутся более яркими в одни времена года, чем в другие? Если считать, как думали греки, что планеты неизменны, то их переменную яркость невозможно объяснить никакой системой концентрических сфер, в центре которых расположена Земля 3).
Фиг. 45. Пример системы концентрических сфер, предложенной для объяснения наблюдаемого движения Сатурна [2].
Фиг. 45. Пример системы концентрических сфер, предложенной для объяснения наблюдаемого движения Сатурна [2].
Несмотря на всеобщее признание геоцентрических теорий, Аристарх
(220—150? гг. до н. э.) выдвинул предположение, что в центре Вселенной находится Солнце, вокруг которого обращаются по большим окружностям все планеты, в том числе и Земля, поворачивающаяся в свою очередь за сутки вокруг собственной оси и расположенная между Венерой и Марсом. Эта система, внешне поразительно современная, объясняла видимые изменения яркости планет в течение года. Однако она разрушала представления греков о положении Земли во Вселенной и их теорию движения, развитую, например, в трудах Аристотеля. Кроме того, казалось, что система Аристарха противоречит по крайней мере одному опытному факту. Если Земля обращается вокруг Солнца, то видимое направление от земного наблюдателя к неподвижной звезде должно изменяться в течение года ——это явление называется параллаксом (фиг. 46). Угловое расстояние между двумя звездами (обозна-
1)Сартон считает, что эту проблему впервые выдвинул не Платон, а Евдокс.
2)По три сферы для Луны и Солнца и по четыре ——для каждой из пяти планет.
з)Все эти теории основывались на весьма точных измерениях и наблюдениях, хотя тогдашние астрономические инструменты были гораздо проще современных. В течение веков астрономы наблюдали за относительным расположением звезд и планет; к концу второго века до н. э. им даже удалось заметить смещение Полярной звезды, обусловленное прецессией земной оси.
ченными на рисунке цифрами / и 2) будет тоже изменяться подобно тому, как изменяется угловое расстояние между двумя деревьями, растущими у дороги, когда мы проезжаем мимо них на автомобиле. Грекам же никогда не удавалось наблюдать явление параллакса. Поэтому они были поставлены перед дилеммой: нужно было либо предположить, что расстояния до звезд значительно больше размеров земной орбиты, в результате чего изменения угловых расстояний оказываются практически незаметными, либо допустить неподвижность Земли.
Греки выбрали последнее. Аполлоний снова поместил Землю в центре Вселенной, вокруг которого вращались все остальные небесные тела по правильным круговым орбитам, как «требовалось» в задаче Платона. Для объяснения видимых изменений яркости планет Аполлоний сместил центры их орбит относительно центра Земли, т. е. сделал эти орбиты эксцентрическими (фиг. 47).
46.46.
46.
46.
Чтобы объяснить наблюдаемые остановки и возвратные движения планет, Гиппарх ° из Никеи (второй век до н. э.) ввел новое остроумное изобретение — движение по эпициклам. Эпицикл ——это окружность, центр которой находится на круговой орбите планеты, смещенной относительно центра Земли. Планета равномерно движется по эпициклу, центр которого равномерно обращается вокруг эксцентра (фиг. 48).
当^/ис^иклс^
Фиг.Фиг.48.48.
Фиг.
Фиг.
48.
48.
D Гиппарх придумал также несколько приборов, с помощью которых ему удалось провести более детальные и точные наблюдения. В результате он смог усовершенствовать теорию Аполлония, в частности более аккуратно определить эксцентриситеты орбит Солнца и Луны.
① и г. 49.① и г. 49.
① и г. 49.
① и г. 49.
После упадка греческих городов-государств центр интеллектуальной научной жизни переместился в Александрию. Здесь во втором веке нашей эры Клавдий Птолемей написал свой трактат, подытоживший все ранние попытки греков научно объяснить движения звезд и планет. Этот трактат, названный арабами (благодаря которым он, как и
многие другие античные произведения, дошел до нас) «Альмагест», что означает «Величайшая из книг», был создан под влиянием теории Гиппарха и содержал поэтому такие понятия, как деферент, эксцентр и эпицикл. Эта обширная компиляция всех известных тогда астрономических теорий и наблюдений является одной из немногих греческих книг по астрономии, дошедших до средних веков и наших дней и оказавших большое влияние на взгляды всех астрономов вплоть до Коперника.
Система Птолемея, сама по себе чрезвычайно сложная, представ-
ляет собой окончательную попытку упорядочить движения планет в рамках геоцентрической системы. Птолемей поместил Землю в центр, а звезды — на вращающийся сферический купол (фиг. 49).
Перемещения Солнца, Луны и планет слагаются, согласно Птолемею, из сложной комбинации равномерных движений по окружностям, охватывающих Землю: эксцентрических движений (фиг. 50), при которых центры круговых орбит смещены относительно центра Земли; движения по эпициклу, т. е. по окружности, центр которой находится
на круговой орбите (фиг. 51), и равномерного движения относительно смещенной точки (экванта) (фиг. 52). Таким образом, планета Р равномерно вращается вокруг точки D, которая движется равномерно относительно точки Q по круговой орбите с центром в точке О; Земля при этом находится в точке Е.
С помощью таких движений оказалось возможным воссоздать практически любую сложную траекторию планеты (фиг. 53). Используя
это, Птолемей построил систему орбит планет, которая согласовывалась как с его наблюдениями, так и с наблюдениями греческих и других астрономов прошлого. Таким образом, система Птолемея (фиг. 54), кажущаяся нам сейчас слишком сложной, давала тем не Менее ответ на вопрос, поставленный Платоном. Птолемею удалось создать систему орбит, которая описывала видимые перемещения планет и звезд. Она
Фиг. 52.Фиг. 52.
Фиг. 52.
Фиг. 52.
не противоречила традиционной теории движения греков. Система Птолемея удовлетворяла интуитивному ощущению, что Земля неподвижна, и соответствовала наиболее простым наблюдениям, что звезды, Солнце, Луна и планеты движутся. Это была теория, согласующаяся
Фиг. 53. Движение по эпициклу, объясняющее обратный ход планет [3].Фиг. 53. Движение по эпициклу, объясняющее обратный ход планет [3].Ф и г. 54. Очень упрощенный вариант системы Птолемея [3].Ф и г. 54. Очень упрощенный вариант системы Птолемея [3].
Фиг. 53. Движение по эпициклу, объясняющее обратный ход планет [3].
Фиг. 53. Движение по эпициклу, объясняющее обратный ход планет [3].
Ф и г. 54. Очень упрощенный вариант системы Птолемея [3].
Ф и г. 54. Очень упрощенный вариант системы Птолемея [3].
с предположениями и наблюдениями тех времен; ее сложность была результатом попыток создать систему орбит, не противоречащую этим наблюдениям. Но, несмотря на свою сложность, система Птолемея хорошо описывала траектории планет, наблюдавшиеся в течение предшествующих веков, и предсказывала довольно точно их расположение в будущем.
ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КОПЕРНИКА
Планетарная система Птолемея переходила из поколения в поколение вплоть до пятнадцатого века. За это время в нее было внесено множество исправлений и дополнений ——в виде новых окружностей, добавленных к уже имевшимся. Эта система не переставала быть верной и точной; однако она полностью утратила свою эстетическую привлекательность, на которую она могла претендовать ранее. В тринадцатом веке Альфонс X, король Кастилии, признался, что если бы попросили его совета в момент сотворения мира, то он создал бы его по более простому и лучшему плану. Позднее поэт Джон Донн пожалуется:
Мы думали, что небеса наслаждаются своей сферичностью, Своими округлыми пропорциями, охватывающими все.
Но их разнообразные и сложные движения, Которые наблюдались веками, вынудили Человека обнаружить в них так много эксцентрических частей, Так много прямых линий, пересечений,
Которые подобно диспропорциям, обедняющим форму, разорвали Небеса на восемь и сорок частей... [4]曾・
У Николая Коперника (родившегося в Польше в 1473 г.) эта неудовлетворенность стала настолько сильной, что в конце концов он был вынужден заняться коренным и систематическим пересмотром гипотезы, на которой покоилась вся античная космология и физика, т. е. гипотезы, что Земля неподвижна, а звезды и планеты обращаются вокруг нее. Он понял, что траектории движения планет замечательным образом упрощаются, если в центр Мира поместить не Землю, а Солнце. В результате он пришел к выводу, что Земля не является центром Вселенной и не находится в покое, а представляет собой планету, которая за сутки совершает один оборот вокруг собственной оси и движется вместе с другими планетами вокруг Солнца.
Главное возражение Коперника против теории Птолемея состояло в том, что, по мнению Коперника, птолемеевские движения по окружностям настолько произвольно скомбинированы между собой, что результирующее движение, хотя и согласуется с известными опытными данными, но не является равномерным, как предполагалось вначале. Особенно Коперник возражал против некоторых частных допущений теории Птолемея (например, экванта), которые, по его мнению, разрушили желаемую равномерность движения. Ссылаясь на эти допущения, он писал:
«Узнав об этих пороках, я часто размышлял о том, нельзя ли найти более разумное устройство кругов, из которого следовало бы каждое очевидное неравенство и в котором все двигалось бы равномерно вокруг надлежащего центра, как того требует правило абсолютного движения» [5].
1)Буквальный перевод.
Чтобы сделать более весомым свое предположение о том, что Земля движется, Коперник упоминает древних философов, придерживавшихся такого же мнения:
«... нашел я сперва у Цицерона, что Никетас допускал движение Земли, ... у Плутарха усмотрел я, что и иные были того же мнения... Побуждаемый этим, и я, в свою очередь, начал придумывать движение Земли, и хотя мнение это казалось мне неправдоподобным, я, тем не менее, полагал, что, подобно тому как до меня позволялось придумывать произвольные круги
Фиг. 55. Коперниковские орбиты, по которым движутся Земля и другие планеты вокруг Солнца, и большая неподвижная сфера, на которой находятся звезды.
для объяснения небесных явлений, так и мне позволено попытаться, не найду ли я для истолкования этих движений более правдоподобные объяснения, предполагая движение Земли... Я после долгих и многократных исследований пришел, наконец, к заключению, что если отнести движения прочих блуждающих светил к кругу, по коему движется Земля... то не только представляемые ими явления будут вытекать, как следствия, но что самые светила и пути оных по последовательности или величине своей и само небо явятся в такой между собой связи, что нигде, ни в одной части нельзя чего-либо изменять, не запутывая остальных частей и всего целого. На этом основании ... я излагаю положения всех орбит, а равно и принимаемые мною движения Земли» [6].
3 № 3152
Фиг. 57.Фиг. 57.
Фиг. 57.
Фиг. 57.
Теория Коперника качественно упростила орбиты Меркурия и Венеры, известных как утренние и вечерние звезды,— иногда они появляются на небе непосредственно перед восходом Солнца или исчезают за горизонтом вскоре после его захода. Это явление легко понять, приняв систему Коперника. Обе эти планеты вращаются вблизи Солнца, и если наблюдать их с Земли, они будут следовать за Солнцем в моменты его восхода или захода (фиг. 56).
В рамках же системы Птолемея допущение, что Меркурий, Венера и Солнце движутся по независимым орбитам, приводит к неизбежному заключению, что эти тела могут иногда появляться на небе независимо друг от друга. Поэтому Птолемей был вынужден предположить, что эти планеты каким-то
образом привязаны к Солнцу и движутся вместе с ним (фиг. 57). Было только непонятно, почему именно эти две планеты должны быть привязаны к Солнцу, в то время как остальные могут свободно скитаться по небу?
О своей системе Коперник говорил:
«Первая из сфер, заключающая в себе все прочие, есть сфера неподвижных звезд; она неподвижна, и к ней мы относим все движения и положения звезд. Хотя некоторые допускают движение и этой сферы, но мы докажем, что и это движение выводится из движения Земли...» [7].
Затем, описывая сферы планет и их периоды обращения и полагая, что Земля является одной из шести планет, а Луна просто ее спутник, Коперник заключает:
《В середине всех этих орбит находится Солнце; ибо может ли прекрасный этот светоч быть помещен в столь великолепной храмине в другом, лучшем месте, откуда он мог бы все освещать собой?» [8].
Система отсчета
Можно, конечно, считать, что различие между системами Коперника и Птолемея объясняется их выбором системы отсчета. Птолемей исходил из того, что наблюдения проводятся с Земли, и поэтому отдавал предпочтение неподвижной Земле. Коперник же полагал, что движение планет удобнее рассматривать, как бы находясь на Солнце. Поскольку в настоящее время считается, что вопрос «Движется Земля или нет?» лишен смыслаJ), мы заменим его другим: где удобнее всего находиться, если мы хотим описать движение солнечной системы? Еще Оресм указывал, что характер видимого движения тела зависит от движения наблюдателя. Матросу, находящемуся на борту корабля, кажется, что ядро, уроненное с верхушки мачты, падает по вертикальной прямой, а наблюдателю, стоящему на берегу, это же движение представляется в виде параболы. Если учесть движение наблюдателей, то окажется, что они оба наблюдают за одним и тем же движением. Однако для одного из них оно выглядит проще, чем для другого. То же самое можно сказать и о выборе системы отсчета для описания движений небесных тел.
Но во времена Коперника вопрос о том, движется Земля или нет, считался очень значительным и серьезным. Коперник сам понимал, что гипотеза движущейся Земли могла показаться абсурдной. Вся средневековая космология и физика опирались на представление, что Земля — центр Вселенной. Люди думали, что такие тела, как, например, камни, падают на землю благодаря тому, что они стремятся к центру Вселенной. Если же Земля быстро движется, то вряд ли можно допустить, что она занимает какое-то предпочтительное положение в пространстве. Тогда непонятно, почему предметы падают на нее? Тот факт, что для нас этот вопрос представляется чрезвычайно простым (может даже показаться, что никакого вопроса и нет), говорит лишь о том, насколько глубоко восприняли мы современные представления об инерции тел и однородности пространства. Если бы, например, тяжелую и инертную Землю действительно требовалось толкать, чтобы привести ее в движение (а именно так думали во времена Коперника), поверили бы мы, что она движется со скоростью 30 км/ч по орбите вокруг Солнца?
Возражения против теории Коперника
Чтобы построить свою упрощенную систему планетарных движений, Коперник должен был полностью отказаться от той картины мира,
1)Мн можем установить вращение Земли вокруг ее оси (относительно неподвижных звезд), но не ее равномерное движение в пространстве.
которая создавалась еще со времен Аристотеля. Он ожидал резких возражений, и это было одной из причин столь длительного откладывания им публикации книги, что он не увидел ее напечатанной вплоть до своей смерти.
Предвидя многие возражения, Коперник попытался ответить на них заранее. Так, на вопрос, почему летящие птицы не отстают от быстро вращающейся Земли, он ответил, что атмосфера увлекается при ее движении. Возражение, что быстро вращающаяся вокруг собственной оси Земля разлетится подобно слишком сильно раскрученному маховику, Коперник парировал так: «Но почему же не предполагать этого в еще большей степени относительно Вселенной, движение которой должно быть настолько же быстрее, насколько небо больше Земли?» На это сторонники теории Птолемея могли, конечно, возразить, что небесные тела состоят из тонкой и бестелесной субстанции, естественное движение которой — вращение по кругу. Земля же, по их мнению, слишком тяжела, инертна и неповоротлива, чтобы двигаться. (Предположение, что небесные тела состоят из тяжелого земного материала, стало приниматься всерьез уже позже, когда Галилею удалось с помощью своего телескопа рассмотреть поближе Луну и планеты.)
Было много и других аргументов, контраргументов и бранных нападок. Лютер обзывал Коперника невеждой и еретиком. Его теория была объявлена «ложной и противоречащей Священному Писанию». Там сказано, что движется Солнце, а не Земля:
Иисус воззвал к Господу в тот день, в который предал Господь Бог Аморрея в руки Израилю, когда побил их в Гаваоне, и они побиты были пред лицем сынов Израилевых, и сказал пред Израильтянами:
«Стой, солнце, над Гаваоном, и луна, над долиною Аиалон- скою!»
И остановилось солнце, и луна стояла, доколе народ мстил врагам своим. Не это ли написано в книге Праведного: «стояло солнце среди неба, и не спешило к западу почти целый день»? [9].
Спор вокруг новой системы продолжался в течение более ста лет. Гамлет (1600 г.) рассматривал движение Солнца как одну из тех непреложных истин, которые так же верны, как и его любовь к Офелии 1}:
Не верь, что звезды — огонь, Не верь и солнца движенью, Не верь, что правда не лжет, Но верь в мою любовь НО].
Однако уже в 1611 г. Джон Донн сожалел об упадке старой космологической системы.
1} Мы приводим здесь стихи Шекспира в переводе А. Радловой, которая близко следовала тексту оригинала. Другие русские переводчики, по-видимому,уже не сомневались в том, что Земля вращается вокруг Солнца, и поэтому строчку «Doubt that the sun doth move» передали как «Не верь дневному свету» (Б. Пастернак) или «Не верь, что солнце ясно» (М. Лозинский).— Прим, перев.
И в сфере звезд, и в облике планет, На атомы Вселенная крошится. Все связи рвутся, все в куски дробится. Основы расшатались, и сейчас Все стало относительным для нас [11] п.
В конце концов идея движущейся Земли была принята, хотя дли полного утверждения гелиоцентрической системы потребовалось в дальнейшем создание новой физики. С точки зрения этой физики (которой придерживались Кеплер и Ньютон) для динамического анализа солнечной системы гораздо предпочтительней оказалась система Коперника.
Датский астроном Тихо Браге (родившийся в 1546 г.) не сомневался в простоте гелиоцентрической системы, однако эта простота не казалась ему достаточной причиной для признания движения Земли. По его словам, Земля «слишком массивна», чтобы начать двигаться. (Теперь мы говорим, что она слишком массивна, чтобы остановиться.)
Его отказ признать теорию Коперника не помешал ему в течение длительного времени заниматься измерениями положений звезд и планет. Он начал свои наблюдения, имея в распоряжении лишь один инструмент, состоявший из двух скрепленных планок, одна из которых была направлена на неподвижную звезду, а другая ——на планету, так что можно было измерить их угловое расхождение. Позднее он сконструировал огромные секстаны и звездные компасы, с помощью которых он проводил в течение более 20 лет поразительно точные измерения положений планет на небе. Браге определил и записал координаты тысячи звезд с гораздо большей точностью, чем это делали когда- либо до него, а его двадцатилетние измерения угловых положений планет не содержали ошибок, превышающих У1б градуса, т. е. угол, под которым виден прокол тонкой иглой на расстоянии вытянутой руки.
Его многолетние записи координат планет явились тем сырым материалом, при помощи которого можно было получить более точную систему кривых, описывающих орбиты планет. Вскоре из его измерений, гораздо более точных, чем те, которыми пользовался Коперник, стало ясно, что предложенные Коперником орбиты являются весьма приближенными. Сразу же после этого открытия начались поиски более точных орбит, завершенные после смерти Браге одним из его учеников, немецким астрономом, астрологом и мистиком Кеплером.
ПЛАНЕТАРНАЯ СИСТЕМА КЕПЛЕРА
Иоганн Кеплер, родившийся в 1571 г., был полной противоположностью Браге. Браге был наблюдателем, собиравшим данные и фиксировавшим все, что он видел. Кеплер же был теоретиком, увлеченйым мощью математики; подобно Пифагору, он испытывал благоговение
1)Перевод Б. Томашевского.
перед числами и был зачарован головоломками, относящимися к числам и размерам. После изучения астрономии Кеплер загорелся желанием найти такую математическую схему, которая описывала бы движения планет. Он говорил: «Я отдавал всю энергию своего ума размышлению над этой проблемой». Он посвятил большую часть своей жизни анализу составленных Браге таблиц положений планет, чтобы построить систему кривых, по которым движутся планеты.
Кеплер начал свой многолетний анализ таблиц с исчерпывающего исследования движения Марса. По какой траектории перемещался 上\арс за время двадцатилетних наблюдений Браге? Была ли эта траектория простой, повторяющейся чтобы, определив ее однажды, всегда можноКыло уверенно предсказать положение Марса? Все измерения Брагевыли сделаны, естественно, с Земли. Однако было не ясно, в каком случае траектории планет окажутся проще: если считать, что Земля неподвижна, или, подобно Копернику, полагать, что Земля движется? Кеплер верил, что идея Коперника в основном верна и что Земля вращается вокруг собственной оси, двигаясь одновременно по орбите вокруг Солнца.
Кеплер, как и все до него, начал поиски возможных орбит с различных систем окружностей, движущихся по другим окружностям. Если бы таким путем легко было добиться соответствия с экспериментом, Кеплер скоро достиг бы желаемого результата. Однако поставленная задача оказалась значительно сложнее. Кеплер испробовал бесчисленное количество вариантов, причем каждая попытка была сопряжена с длительными и изнурительными вычислениями. Каждый раз он должен был переводить измеренные Браге углы между планетами и звездами в определенный час ночи в координаты планет в системе, где Солнце неподвижно, а Земля обращается вокруг него.
После примерно 70 попыток построить с помощью системы окружностей траекторию Марса при различных положениях Солнца Кеплеру, наконец, удалось найти такую орбиту, которая довольно хорошо отвечала наблюдениям. Однако вскоре он с ужасом обнаружил, что если продолжить траекторию Марса за те экспериментальные точки, к которым он ее подгонял, то окажется, что она разойдется с данными наблюдений на 2/1б градуса, т. е. на угол, который пробегает секундная стрелка за 0,02 с. Может быть, ошибся Браге? Может быть, в холодную зимнюю ночь мороз сковал его пальцы или притупил его зрение? Кеплер, который знал методы Браге и его аккуратность, мог положиться на точность его измерений; он заключил, что Браге не мог ошибиться на такую величину, и отверг кривые, которые сам же получил. Вряд ли он смог бы воздать Браге, как наблюдателю, большую честь. И Кеплер не ошибся, потому что Браге оказался прав.
«Эти восемь минут (2/15 градуса)... дадут нам средство преобразовать астрономию»,——с этой мыслью Кеплер начал свои поиски заново. Теперь он попытался решить проблему, полагая, что скорость движения планеты из орбите вокруг Солнца переменна, тем самым отвергнув ту древнюю и привычную догму, которая привела Коперника к отказу
от системы Птолемея. При своих расчетах Кеплер пользовался воображаемой «спицей колеса», соединяющей Солнце с планетой (с ее помощью ему и удалось сделать свое первое великое открытие). Он обнаружил, что спица движется таким образом, что заметает равные площади за равные промежутки времени (фиг. 58). Сейчас этот вывод
Фиг. 58.Фиг. 58.называется вторым законом Кеплера. После этого открытия Кеплер окончательно отказался от попыток построить траектории планет с помощью комбинации окружностей и начал пробовать в качестве орбит всевозможные овалы. В результате длительных вычислений он получил свой наиболее важный результат, так называемый первый закон. Кеплер уста
Фиг. 58.
Фиг. 58.
новил, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из _ фокусов которых находится Солнце (фиг. 59).
После многолетних трудов ему у& лось наконец ндйти те простые траектории, которые согласовывались с известными движениями всех планет. Более того, оказалось, что планеты перемещаются по этим траекториям таким образом, что воображаемые линии соединяющие их с Солнцем, заметают за равные промежутки времени равные площади.
Затем Кеплер попытался найти связь между размерами орбит и временами полного обращения планет вокруг Солнца, называемыми периодами обращения. Со времен греков полагали, что планеты, имеющие большие орбиты, затрачивают на их полное прохождение большие времена. После множества попыток Кеплер наконец нашел то, что хотел найти: куб радиуса орбиты пропорционален квадрату времени обращения. Случайно обнаружив эту закономерность, Кеплер был поражен той точностью, с которой она выполняется.
В табл. 4 приведены значения этого отношения по данным современных измерений радиуса R и периода Т・ Радиус эллиптической прбиты определяется как половина ее большой оси.
Таблица 4
Планета
R, а е.д 1)
Т, с
R3/「2, 1(рз
Меркурий
0,387
7,60-106
0,998
Венера
0,723
1,94-Ю7
0,995
Земля
1,000
3,16・107
1,00
Марс
1,523
5,94-107
0,996
Юпитер
5,202
3,74-108
0,994
Сатурн
9,554
9,30-108
0,990
Уран
19,218
2,66-109
1,00
Нептун
30,109
5,20-Ю9
0,990
Плутон
39,60
7,82-109
0,987
1) Астрономическая единица длины (а.е.д.) определяется как полусумма максимального и минимального расстояний от Земли до Солнца (очень близка к радиусу земной орбиты). 1 а.е.д. = 1,495-1013 см. Для эллиптической орбиты R есть полусумма ее главных полуосей.
Кеплер был в восторге и не пытался скрывать это:
«То, что шестнадцать лет тому назад я решил искать, ради чего я пришел к Тихо Браге... наконец найдено , и это открытие превзошло все мои самые смелые ожидания... Жребий брошен, книга закончена, и меня не волнует, прочтут ее сейчас или в будущем наши потомки — она может ждать своего читателя в течение столетия, подобно тому как Всевышний ждал наблюдателя своих творений в течение шести тысяч лет» [12].
Вот те три закона Кеплера, которые явились решением проблемы движения планет:
Каждая планета обращается по эллиптической орбите вокруг Солнца, которое находится в одном из ее фокусов.
Линия, соединяющая Солнце с планетой, заметает за равные времена равные площади.
Ш. Для всех планет отношение куба радиуса к квадрату периода обращения одинаково:
戸=const.(5.1)
Эти законы представляли собой выдающееся достижение. Результаты двадцатилетних наблюдений и тысяч измерений оказались сконцентрированными в простой системе кривых и правил. Всякий, кто захотел бы в будущем создать свою систему мира, должен был позаботиться, чтобы она содержала в себе эти три закона, описывающие движения планет. После Кеплера (признанного законодателем небес) возникал только один вопрос: какая из теорий дает правила Кеплера? Что же касается других вопросов, связанных с движением планет, то все они отпали сами собой, так как планеты перестали двигаться
равномерно, обращаться по правильным окружностям и соблюдать при движении гармоничные пропорции... Но, возможно, что
«Есть музыка и в красоте, и беззвучная мелодия, которую играет Купидон, гораздо слаще, чем звук инструмента; потому что музыка имеется во всем, где есть гармония, порядок или пропорций; потому-то мы можем наслаждаться гармонией сфер» [13].
6
НЬЮТОНОВСКАЯ СИСТЕМА МИРА
За время между Кеплером и Ньютоном научная мысль в Европе значительно развилась. Кеплер придумывал невидимые спицы, которые соединяли Солнце с планетами и влекли их по орбитам; Тихо Браге отрицал теорию Коперника, так как Земля, по его мнению, была слишком массивна, чтобы когда-либо прийти в движение. Люди не могли понять, почему, если Земля перемещается, они не ощущают этого движения. Во время же Ньютона сформировался новый взгляд на проблему движения тел. В дискуссиях по этой проблеме большая часть усилий была направлена теперь на отыскание закона сил, действующих между Солнцем и планетами, из которого получал匚二ь> бы найденные Кеплером орбиты планет.
Место старого вопроса: «Как движутся планеты?» занял новый: «Почему они остаются на своих орбитах?». Массивность планет скорее мешает им остановиться, чем начать двигаться; к этому времени уже было признано, что естественное движение тел ——это равномерное движение Декарта и Галилея. Постепенно созрело убеждение, что существуют какие-то законы, которые управляют движением тел и остаются справедливыми как на Земле, так и на небе. А может быть, эти же законы управляют движением планет? Если это так, то какие именно силы вынуждают планеты двигаться по кеплеровским орбитам?
Попытка объяснить движения небесных тел с помощью правил, основанных на земных наблюдениях, была сопряжена с определенным риском. Успех такой попытки можно расценивать как одно из величайших достижений науки семнадцатого века. В 1687 г. Ньютон опубликовал свои «Начала», в которых он разработал систему, описывавшую движения планет и в сущности любые другие движения чрезвычайно детально. С тех пор его имя стало неразрывно связано с этим монументальным и, впервые, строгим взглядом на мир как механическую систему, или машину, правила работы которой нам известны и чье поведение поэтому можно проследить, предсказать или проконтролировать, опираясь на эти правила.
Ньютон начал свои исследования движений планет с изучения орбиты Луны. Орбита Луны практически круговая, поэтому все связан-
ные с ней расчеты относительно просты. Если бы на Луну не действовала никакая сила, она двигалась бы прямолинейно (первый закон); однако Луна обращается по окружности вокруг Земли. Следовательно, если верить первому закону, к ней приложена какая-то сила, действующая, возможно, между Землей и Луной. Ньютон пишет:
«...без такой силы Луна не могла бы удерживаться на своей орбите. Если бы эта сила была меньше соответствующей ее орбите, то она отклоняла бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то отклоняла бы ее более, чем следует, и приблизила бы ее от орбиты к Земле» [1].
Какова в таком случае природа силы, заставляющей Луну обращаться вокруг Земли? Гораздо позднее Ньютон рассказал Генри Пембертону, с которым он часто беседовал на закате своей жизни, что однажды, раздумывая над этой проблемой, он увидел падающее яблоко и, пораженный этим, погрузился
«...в размышления о мощи силы тяготения, которая не обнаруживает малейшего уменьшения даже в наиболее удаленных местах от центра Земли, куда мы в состоянии подняться: ни в верхних этажах самых высоких зданий, ни на вершинах высочайших гор; тогда он подумал, не разумно ли допустить, что действие этой силы распространяется гораздо дальше, чем обычно думают, скажем, до самой Луны. А если так, то сила тяготения должна оказывать влияние на ее движение, более того, может быть, именно она удерживает Луну на орбите» [2].
В то время было известно, что ускорение яблока и любого другого свободно падающего предмета вблизи поверхности Земли, обусловленное ее притяжением, приблизительно равно 980 см/с2. Может быть, Луна тоже свободно падающее тело, но находящееся от Земли так далеко и движущееся так быстро, что, «падая», оно никогда не попадает на Землю и в результате вращается по стационарной орбите? Поэтому интересно было выяснить, совпадает ли ускорение Луны с ускорением предметов непосредственно вблизи земной поверхности.
Вычисление ускорения Луны
Луна, двигаясь с постоянной скоростью вокруг Земли, испытывает ускорение, направленное к центру вращения (как и любое тело, вращающееся с постоянной скоростью вокруг центра). Величина ускорения, как мы уже выяснили, равна */R (фиг. 60). Так как Луна удалена от Земли на расстояние примерно 384 000 км° и обращается вокруг нее за 27,3 суток (2,36-106 с), ускорение Луны составляет
(6.1)(6.1)№1 / 2冗R‘4冗2R
(6.1)
(6.1)
〃=五=衣(—"т^) =—7Г~ = О'27 см/с2,
1)В качестве расстояния от Земли до Луны Ньютон брал величину 60 земных радиусов, которая была найдена с помощью триангуляционных измерений.
что гораздо меньше величины 980 см/с2, характеризующей ускорение тел, свободно падающих вблизи Земли.
Из этого грубого расчета видно, что ускорение Луны гораздо меньше того ускорения, которое она испытывала бы, находясь около поверхности Земли. Из этого можно было бы заключить, что сила, с которой Земля притягивает тела, уменьшается при их удалении, либо предложенный закон движения вообще неверен и непригоден на больших
Фиг. 60.
расстояниях порядка расстояния между Землей и Луной или применительно к таким огромным телам, как Луна. Ведь этот закон был выведен по существу на основании весьма ограниченных наблюдений. С другой стороны, можно было допустить, что второй закон движения выполняется всегда, а полученное значение для ускорения Луны объясняется изменением величины силы.
Ньютон выбрал последнее предположение; много лет спустя он разъяснил, что закон сил был получен им с помощью обращения третьего закона Кеплера. Он допустил, что Солнце притягивает каждую планету с такой силой, которая как раз и удерживает ее на орбите, и что характер этого притяжения каким-то образом сходен с характером притяжения Луны Землей. В результате ему удалось, используя правило Кеплера о постоянстве отношения квадрата периода обращения к кубу радиуса ее орбиты для всех планет:
吝=const, (6.2)
получить закон изменения силы притяжения с расстоянием.
Нельзя сказать, что эти предположения высказывал один Ньютон. Они витали в воздухе; думается, что Гук, Рен, Г аллей и все остальные образованные ученые того времени были в принципе готовы совершить Го же открытие.
ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
Воспроизведем теперь вывод Ньютона, предположив, что каждая из планет движется по круговой орбите (это утверждение, хотя и противоречит правилу Кеплера, приближены верно, так как
эллиптические орбиты планет близки к круговым) и ее ускорение
4(6.3)
обусловлено силой, действующей между Солнцем и этой планетой, и направлено к Солнцу (центру окружности). Идея вывода состоит в том, что соотношение
(расстояние до Солнца)3 —欠3
(6.5)(6.5)будет выполняться только при определенном выборе действующей силы. Из второго закона можно получить выражение для силы, приложенной к планете со стороны Солнца:
(6.5)
(6.5)
尸=mИН£，
где МпЛ — масса планеты. Скорость планеты и можно выразить через радиус орбиты R и период Т:
(6.6)(6.6)—пройденный путь — 2зтК
(6.6)
(6.6)
— время — Т
4JT2R24JT2R2ИЛИ
4JT2R2
4JT2R2
(6.7)
(6.8)(6.8)Подставляя это соотношение в уравнение (6.5), получаем
(6.8)
(6.8)
(эта формула отражает только второй закон 尸=ma и факт почти кругового движения планет вокруг Солнца).
Теперь можно воспользоваться правилом Кеплера. Для всех планет
илиСледовательно,илиСледовательно,丁2 — R3. (const)'丁2 — R3. (const)'(6.2)(6.9)(6.10)(6.2)(6.9)(6.10)^ = const,
или
Следовательно,
или
Следовательно,
丁2 — R3. (const)'
丁2 — R3. (const)'
(6.2)
(6.9)
(6.10)
(6.2)
(6.9)
(6.10)
一 4 Л2 %
—const R2
Таким образом, сила, действующая между Солнцем и планетой, равна постоянной (одинаковой для всех планет), умноженной на массу планеты и деленной на квадрат расстояния от Солнца до планеты (закон обратного квадрата расстояния).
Вот тот закон, который вытекает из третьего правила Кеплера. Ньютон же в то время интересовался силой, действующей между Зем-
лей и Луной. Он выдвинул свое знаменитое теперь предположение, что сила, с которой Солнце притягивает планеты, является просто частным случаем силы, действующей между двумя любыми телами и равной по абсолютной величине
戶—G"i附2
Здесь G—постоянная, одинаковая для всех систем, а Mi и М2 — массы тел (фиг. 61). В формулу (6.10), полученную с помощью правила Кеплера, входит только масса планеты. Ньютон предположил далее,
61.61.
61.
61.
что сила пропорциональна также и массе Солнца. Такое предположение выглядело весьма изящным. Выражение для силы, действующей между Солнцем и планетой, приняло тогда вид:
(6.И)(6.И)Р — С Мс 〃пл
(6.И)
(6.И)
R2
где Мс — масса Солнца.
Таким образом, Ньютон пришел к замечательному выводу, что гравитационная сила пропорциональна массе планеты (или любого другого тела), на которую эта сила действует. Но ведь масса — это мера инерции тела, его способности противиться всякому изменению движения. Ньютону не удалось объяснить, почему гравитационная сила должна быть пропорциональна этой массе ° (другие силы — толчки, рывки, сила трения, электрические силы,— о которых мы будем говорить позже, не обладают таким свойством).
Глубокая связь между гравитационной силой и инерцией явилась в дальнейшем отправной точкой теории гравитации Эйнштейна.
Далее Ньютон мог рассуждать так: если сила, действующая между Солнцем и планетами, есть частный случай сил взаимодействия между любыми телами, то эта сила должна действовать как между Землей и предметами, находящимися вблизи ее поверхности, таки между Землей и Луной. Если притяжение Земли спадает пропорционально \R, то так же должно уменьшаться и ускорение. Луна находится от Земли на расстоянии, приблизительно равном 60 земным радиусам, следовательно, ее ускорение должно примерно равняться
98098060-6060-60см/с2==0,27 см/с2.см/с2==0,27 см/с2.(6.12)(6.12)
980
980
60-60
60-60
см/с2==0,27 см/с2.
см/с2==0,27 см/с2.
(6.12)
(6.12)
I)Однако этот вывод серьезно беспокоил Ньютона, так что он провел целую серию экспериментов с маятниками, которые подтвердили, что отношение гравитационной силы к массе для различных материалов остается постоянным с точностью до 1/1000.
Ньютон совершил свое открытие в двадцатичетырехлетнем воз； расте, в те годы, когда он из-за чумы покинул Кембридж. Позднее он писал:
«...В этом же году я начал думать о тяготении, простирающемся до орбиты Луны, и ... из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоя- “ я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояний от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, требующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они почти отвечают друг другу. Все это происходило в два чумных года, 1665 и 1666, ибо в это время я был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после» 13].
Величина гравитационной силы
Если сила притяжения, введенная Ньютоном для объяснения движения планет, существует между любыми двумя телами, то спрашивается: можно ли ее заметить для двух тел, находящихся на Земле? Ньютон отвечал: «Сила гравитации между ними настолько мала, что наши органы чувств не способны ее ощутить». Для вычисления этой
нию от центров их
С Ф>3 J
S4MMim^vwjwik^ilt8h.i^ 3】|彳瓦〔72・ 7&зЬ.,9?・ i&i8h.j$碑^^ SattOitum 2 ctnmjwir»
ExOifirvahnihu
Qdfint
ВогеШ
Tounlei 户 Мстмтг- Ilamftedii/vrAfkrML ftauAfer EcB^iSettL £^Сму*жи^спмк*<
也 力"8
ч* У・
ЧИ7.
[4*ь》
4
蠢I *4,7*. . JemMuou
曖poduVL ^latuu fNM^Ne /гмилм Mrлкияж, ^Mertm^Ut-» "it S«km cigtrt.
Masurium & Venaem cira Solan revolvi ex eoram 曲亦bus hn^ibu demonftmur. Plcnifiuae lucernes ulmSokm fid fimr, dimidiati r^kiae Sdis, ЫЗ 由 &1соцрвН1йите^ша^п|о. dum nuculuum rxmnunquam tranftuntts. Ex Martis quoque pfan fade prope Solis cot^unaionem, & gibboG in quadracuriv, cerium eft quod nSokm ambit. De Jove ctUm & Suurno idem exa mшбЬшfenperplcnisdonodhatur.
Hypoch.VU« Т/ mmm 彼中 frkriori叫 & (velS^fdr. uTer^nvtl) TflrrfciraSofenttntpvra^rndtea 哑 加 nttiww/ep fNMllW4 ЯшЬкгЬм 电Шея 4 S%.
Нак i 2(^^0 invenu ratio in confeflb eft apud omne& 口. dem шфк ta temporal perioefia, ccdemq； oibMn jmenibna, five №necs «кеа Tatam^five lidaii dre^okm rcv<dvanrur. Ac de menfiira ejuidem temporum periodico^um convenic inter Aftto nomos univerfbi. Ma庇iodines ашет ОгЫшп 心如解 & 禽必 1Шш onnitim diligenuflim^ ex Obfctvationibus <kt#iminavmi(tt: & (ЫЬишх mcdiocra, qux ccmporibus periodic" refpondent» non
Фиг. 62. Страница из «Начал» Ньютона.
силы необходимо знать величину G. Ньютон не мог определить G из измерений силы притяжения, действующей между Землей и телом заданной массы, так как масса Земли была неизвестна. Тем не менее он полагал, что величина G достаточно мала, ибо, по его мнению, два тела нормальных размеров, находящиеся на Земле, не должны действовать друг на друга с легко ощутимой силой.
В 1798 г., т. е. более чем через 100 лет, Кэвендиш провел лабораторные измерения гравитационного взаимодействия двух тел и вычислил на основании этих измерений постоянную G. Его прибор состоял из двух небольших шаров / и 2, укрепленных на противоположных концах горизонтально расположенного легкого стержня, подвешенного за середину на тонкой вертикальной нити. К нити было прикреплено маленькое зеркальце, которое отражало направленный на него луч света,
Фиг. 63. Схема установки Кэвендиша.Фиг. 63. Схема установки Кэвендиша.
Фиг. 63. Схема установки Кэвендиша.
Фиг. 63. Схема установки Кэвендиша.
фиксируя тем самым любые незначительные повороты. Кроме этого Кэвендиш использовал два дополнительных массивных шара (Л нВ), которые он расположил относительно первых так, как указано на фиг. 63.
Отметив равновесное положение отраженного луча света, Кэвендиш переместил большие массы в положения А' и В'. Если в первом
положении гравитационная сила притяжения между легкими и тяжелыми шарами действовала по часовой стрелке, то во втором положении —против нее. В результате вся система повернулась на некоторый угол, который удалось измерить. Независимо Кэвендиш определил силу, необходимую для поворота нити на заданный угол. Таким образом ему удалось измерить гравитационную силу, дей
ствующую между легкими и тяжелыми шарами, и тем самым найти величину G. По данным современных измерений ° она равна
6,67-10~8 дин-см2/г2.
(6.13)
Зная G и ускорение предметов, падающих вблизи земной поверхности, можно вычислить массу Земли Мз2)^
Мз =5,96・1027 г.
(6.14)
Вычислим теперь силу, действующую между двумя предметами с одинаковыми массами в 1000 г, находящимися на расстоянии 100 см друг от друга:
尸=6 器甯= 6,67・10- дин.
(6.15)
1)Этот эксперимент довольно сложно осуществить. Кэвендиш получил для G значение 6,71 • 10~8 дин* см2/г2. Сравним это значение с более поздними измерениями:
Кэвендиш, 1798 г. [4] —6,71-10~8
Пойнтинг, 1892 г. [5]—6,698* 10~8
Бойс, 1895 г.⑹一(6,658±0,006)・10-8
Хейл, 1930 г. [7] — (6,670±0,005)-10~8
Хейл и Чрновский, 1942 г. [8] — (6,673^0,003)-10~8.
Замечание. Бойс выбрал для G значение 6,658-10~8, хотя его измеренные значения лежат в пределах (6,663±Ь,006)・ 10~8 (при этом максимальная погрешность равна ±0,018). Сам он не оценивал ошибок измерений.
Полагая, что радиус Земли известен (его можно определить разл:. яыми способами; наиболее простой из них ——измерение земной окружности), напишем
= g = 980 см/с2.
Отсюда для массы Земли имеем:
Мз
_gR2_980.(6,37・108)2 =6,67 • 10-8
=5,96・咿-
Объяснение результата Галилея
Из полученного закона тяготения следует также, что без учета сопротивления воздуха все тела должны падать на землю с одинаковой скоростью, не зависящей от их масс. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела связано с действующей на него силой по формуле
МтелаМтела(6.16)
Мтела
Мтела
Сила притяжения Земли пропорциональна массе тела и равна
(6.17)(6.17)г — С "телаМ3
(6.17)
(6.17)
В результате для ускорения тела получим выражение
МтелаМтелаG 附 телаМ 3G 附 телаМ 3МтелаАМтелаАGM3GM3(6.18)(6.18)
Мтела
Мтела
G 附 телаМ 3
G 附 телаМ 3
МтелаА
МтелаА
GM3
GM3
(6.18)
(6.18)
в которое не входит масса этого тела. Таким образом, все тела испытывают одинаковое ускорение. Если принять во внимание, что гравитационная сила пропорциональна массе тела и что эта же масса характеризует его инерцию, то становится более понятным, почему именно все тела падают с одинаковым ускорением вблизи поверхности Земли.
Мы устанавливаем теперь, что ускорение тела вблизи земной поверхности, равное 980 см/с2, определяется выражением
g = G空. (6.19)
Здесь Мз и G — постоянные, однако величина R должна изменяться при приближении к центру Земли или при удалении от него. Иными словами, ускорение свободного падения должно различаться на вершине горы и в долине; более того, можно даже измерить различие в значениях g на соседних этажах какого-нибудь здания, хотя в этом случае измерения нужно проводить с точностью порядка 0,0000001.
Таблица 5
Некоторые постоянные
Обозначение
сгс
мкс
Среднее ускорение силы тяжести вблизи поверхности Земли
Гравитационная постоянная
g
G
980 см/с2
6,67-10~8 см3/г-с2
9,8 м/с2
6,67* 10~п м3/кг«с3
Вес
Весом тела W называется гравитационная сила, действующая между этим телом и Землей. Выражение для веса можно записать в виде
呼=嘴 Мтела(6・20)
(6.21)(6.22)(6.21)(6.22)или, используя определение g: ~ GM3
(6.21)
(6.22)
(6.21)
(6.22)
представить его в привычной форме:
吟％g・
Из определения g следует, что вес тела различен в разных местах Земли. Это действительно так, что нетрудно проверить. Если бы тело оказалось на Луне, оно притягивалось бы ею слабее, так как масса Луны меньше массы Земли. Масса тела характеризует свойство самого тела. Вес же определяется не только его массой, но и параметрами окружающих его тел — величиной массы тела, на котором предмет находится (Земли, Луны и т. д.), и расстоянием до центра этой массы. На ракете в космосе предметы имеют пренебрежимо малый вес, однако их инерция (т. е. сопротивляемость изменению движения) остается прежней.
Верх и низ
Гравитационная сила притягивает тело к центру Земли. Именно благодаря этой силе яблоки падают на землю, будь то в Англии, Соединенных Штатах или Китае. Отсюда проистекает детское убеждение» что на другой стороне Земли люди стоят вверх ногами.Верх и низ опре・ /、деляются по отношению к центру
/\Земли (фиг. 64). Если бы человеку
/\пришлось пробивать туннель, про-
I吃 Iходящий через центр Земли, то
\/сначала он спускался бы вниз, пока
、/не добрался бы до центра, а потом
направление его движения изменилось бы на противоположное п.
Фиг. 64.Сила гравитации обладает тем
свойством, что она сохраняет свое численное значение, если человек перемещается по поверхности, точки которой равно удалены от центра притяжения, но медленно изме-
D Данте отмечает это явление, когда он описывает свое прохождение через самое глубокое место ада (центр Земли). С точки зрения теории Ньютона, сила притяжения в центре Земли обращается в нуль, т. е. человек испытывал бы в этой точке ощущение невесомости. По Аристотелю, сила сохраняет свое численное значение, но изменяет здесь свое направление скачком. Именно такое явление описывает Данте, живший в тринадцатом веке.
няется в направлении, проходящем через центр, что, однако, практически не^ощущается в обычных условиях.
С помощью более хитроумных методов, таких, как дифференциальное исчисление (специально разработанное для этих целей), и методов,
Фиг. 65.Фиг. 65.
Фиг. 65.
Фиг. 65.
сходных с использованным нами, Ньютону удалось показать, как из трех законов движения и закона всемирного тяготения вытекает, что планеты обращаются по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце, и что их движение подчиняется остальным законам Кеплера: закону равных площадей и 72//?3=const. Он установил, что в общем случае существуют три типа траекторий движения тела под действием гравитационной силы, определяющихся начальной скоростью и положе
нием тела.
Первый тип — эллиптические орбиты (планета вначале находится не очень далеко от Солнца или движется не слишком быстро) (фиг. 65). Два других типа — незамкнутые орбиты: параболические (фиг. 66) (планета вначале движется быстро или вдали от Солнца и поэто-
му не захватывается им) и гиперболические (фиг. 67) (планета вначале движется очень быстро, так что Солнце лишь слегка искривляет ее траекторию). В случае параболической или гиперболической орбиты тело появляется только один раз и исчезает навечно. Таким образом,
кометы, случайно «заглядывающие в гости» в солнечную систему, должны двигаться по орбитам последних двух типов; кометы же, которые периодически возвращаются (например, комета Галлея), движутся, очевидно, по сильно вытянутым эллипсам, как изображено на фиг. 68. Шекспир, живший до Ньютона, мог сказать в трагедии «Юлий Цезарь» устами Кальпурнии:
При смерти нищих не видны кометы: Огнем вещает небо смерть владык...
или устами Бедфорда в I акте трагедии «Король Генрих VI»:
Кометы, вестницы судьбы народов, Взмахните косами волос хрустальных...
Современные поэты должны подыскивать для описания комет другие метафоры, так как после Ньютона эти небесные тела превратились в почитаемых, хотя иногда и временных обитателей солнечной системы.
Фиг. 68. Орбита кометы Галлея.
Даты указывают приблизительные положения кометы в эти годы.
Ньютону также удалось проанализировать множество более сложных явлений, таких, как, например, небольшие возмущения планетных орбит. Эти отклонения траекторий планет от эллиптической формы могут быть объяснены взаимодействием между самими планетами. Земля притягивается не только к Солнцу, но и к каждой из планет (с разной, конечно, силой). Эти взаимодействия достаточно слабы, так как массы планет значительно меньше массы Солнца. Их эффект проявляется в виде возмущений (небольших отклонений) основных орбиталь* ных движений. Эти возмущения легко наблюдать и предсказывать, если учесть взаимное притяжение планет.
Исследование этих возмущений привело к неожиданному открытию новых планет. 13 марта 1781 г. Вильям Гершель, проводя обычные наблюдения неба, обнаружил седьмую планету (названную позднее Ураном). Однако всеобщее удивление вызвало не столько открытие седьмой планеты (Кеплер уже давно умер), сколько то, что, когда рассчитали ее орбиту, оказалось, что Уран ведет себя не так, как нужно. Даже когда учли влияние близких больших планет, Юпитера и Сатурна, орбита Урана не совпала с расчетной.
Англичанин Адамс и француз Леверрье независимо пришли к одному и тому же выводу, что за Ураном, но не слишком далеко от него, должна существовать еще одна неизвестная планета, искажающая его орбиту. 23 сентября 1846 г. немецкий астроном Галле обнаружил эту планету в том месте неба, которое ему указал Леверрье. Ее назвали Нептун.
Теория возмущений
Если бы планеты не взаимодействовали между собой, то под действием притяжения Солнца каждая из них двигалась бы по эллиптической орбите вокруг Солнца. Пусть две массы Р и К находятся друг от друга на достаточно малом расстоянии, так что необходимо принимать во внимание действующую между ними силу. Тогда помимо притяжения Солнца масса Р будет испытывать силу, направленную к ^, а масса К, согласно третьему закону Ньютона,——силу, равную первой по абсолютной величине, но направленную в противоположную сторону. В результате обе массы сместятся со своих невозмущенных эллиптических орбит и будут двигаться по новым, возмущенным траекториям вокруг Солнца.
6 唱
Фиг. 69. Простая иллюстрация эффекта возмущения.
Допустим, что Р — планета, а К — комета. (Как правило, масса кометы значительно меньше массы планеты п.) Тогда влияние их взаимодействия на движение К будет гораздо более сильным. Известно, что никто еще не наблюдал возмущение орбиты планеты, вызванное кометой, но очень часто случается, что траектория кометы чрезвычайно искажается при прохождении ее вблизи какой-нибудь планеты. Бывает, что эллиптическая (замкнутая) орбита кометы превращается в гиперболическую (открытую), так что кометы иногда покидают солнечную систему из-за взаимодействия с планетами (фиг. 69).
Ньютон объяснил также приливы, происходящие под действием гравитационного притяжения Луны и Солнца. Ему удалось показать, что сплющенная у полюсов форма земного шара обусловлена враще-
D Обычно масса комет лежит в пределах 1016—1021 г. Масса же Земли порядка 6-102? г.
нием Земли п. Наконец, он объяснил очень сложное движение земной оси (слабо заметная прецессия с периодом в 26 000 лет). И все это он сделал, опираясь только на законы движения и всемирного тяготения.
Мы не знаем, когда Ньютон получил эти результаты. Дело в том, что после известных двух чумных годов (1665—1666), когда он был «в расцвете» своих «изобретательских сил》, он не опубликовал практически ни одной работы по этим вопросам. Другие ученые в Англии и на континенте работали в это время над теми же проблемами. Можно ли доказать, что планеты будут двигаться в соответствии с законами Кеплера, если допустить существование силы взаимодействия между Солнцем и планетами, спадающей с расстоянием как I//?2? К 1684 г. несколько членов Королевского общества показали (таким же способом, как это сделали мы), что в случае круговых орбит третий закон Кеплера выполняется. Гук утверждал, что ему удалось получить кеплеровские эллиптические орбиты из закона обратного квадрата расстояния для силы тяготения, но нигде не привел подробностей. В это время Галлей решил съездить в Кембридж и посоветоваться с Ньютоном по этому вопросу. В августе 1684 г. он явился к нему и, согласно описанию этого визита Джоном Кондуитом (который позднее женился на племяннице Ньютона), «сразу же, не рассказывая ему о своих размышлениях и исследованиях Гука и Рена, изложил цель своего визита, спросив, по каким траекториям должны двигаться планеты, если предположить, что сила тяготения спадает обратно пропорционально квадрату расстояния. Ньютон сразу же ответил:《По эллипсами. Радостно пораженный, Галлей поинтересовался, откуда он это знает. «Как откуда? Я это вычислил»,——ответил Ньютон. Когда же Г аллей попросил показать эти вычисления, Ньютон не смог их найти, но пообещал прислать их ему» [9].
В книге профессора Гиллеспи говорится:
«В то время как другие пытались найти закон тяготения, Ньютон потерял его. Только благодаря настойчивым просьбам Галлея он повторил свои вычисления заново и связал их с некоторыми теоремами из своего курса «О движении» (посвященного фактически законам Ньютона), который он читал в то время... Кроме доказательства теоремы, предложенной ему Галлеем, Ньютон написал《Математические начала натуральной фило- софии» [10].
1)Когда Ла Кондамин измерил сплющенность земного шара, совершив двухгодичное кругосветное путешествие, Вольтер с присущей ему «деликатностью» написал:
Vous avez trouve par de longs ennuis
Ce que Newton trouva sans sortir de chez lui.
Это можно перевести так:
То, что Вы открыли, совершив утомительное путешествие, Ньютон нашел, не выходя на улицу.
В 1687 г. эта книга вышла в свет благодаря помощи Галлея (который оплатил часть стоимости издания). Именно с этого момента взгляды людей на мир стали меняться.
Пример 1. Спутники Земли. Пусть спутник обращается вокруг Земли (сферической формы) по круговой орбите радиуса R. Спрашивается: за какое время он совершает полный оборот? Луна, находящаяся от Земли на расстоянии 384 000 км, оборачивается вокруг нее за 271/4 сут. Применим третий закон Кеплера, ТЧК= const. Постоянную можно определить с помощью данных, относящихся к Луне:
со"=靄僞窑= 1,35 ・1。7 СУТ2/КМЗ.
Следовательно, для спутника
^=1,35.107.
(6.23)(6.23)(6.24)(6.24)Спутники серии «Джемини» летали на высоте порядка 160 км над
(6.23)
(6.23)
(6.24)
(6.24)
Землей (R=6500km). Для них Т2= = 1,35-10-14(6500)3^3,7.10-3сут2,
Т^0,061 сут^88 мин. (6.25)
Пример 2. Геостационарный спутник《Синком》. На какой высоте должен находиться «Синком» —— спутник, который неподвижно висит над определенной точкой Земли?
Земля совершает полный оборот вокруг своей оси за 1 сут. Если спутник имеет орбиту с таким
7cHнком7cHнкомRRСинкомСинком1R%27% — (384 000)3/21R%27% — (384 000)3/2RR384 000(27%)%384 000(27%)%42 700 км,42 700 км,(6.26)(6.26)же периодом и вращается в том же направлении, что и Земля, то он все время будет находиться над одним и тем же местом Земли. Такая орбита возможна:
7cHнком
7cHнком
R
R
Синком
Синком
1R%27% — (384 000)3/2
1R%27% — (384 000)3/2
R
R
384 000(27%)%
384 000(27%)%
42 700 км,
42 700 км,
(6.26)
(6.26)
т. е. «Синком» должен находиться на высоте примерно 36 300 км над поверхностью Земли (величины с индексом «Л» относятся к Луне). Как видно из фиг. 70, трех таких спутников вполне достаточно для создания эффективной всемирной системы связи.
ОПЫТ, ЗАКОН, СИСТЕМА
7
ОПЫТ И ЗАКОН
Человек возвещает миру о своем появлении криком； вспышка света, шлепок сопровождают его вступление в мир ощущений. Исходный материал науки — наш опыт познания реального мира, т. е. мира, который есть, а не того, который мог бы быть. Приобретенный первичный опыт каким-то образом упорядочивается в мозгу человека, и именно этот порядок составляет содержание науки. Разнообразные явления природы человек оценивает с точки зрения так называемого здравого смысла, который используется им каждодневно и опирается на определенные предположения относительно окружающего его внешнего мира. Некоторые из них, по-видимому, одинаковы и для людей и для животных. Другие более специфические. Мы принимаем их, как правило, бессознательно, так как некоторые из них настолько глубоко запрятаны, что мы сами не всегда подозреваем об их существовании.
Главное из этих предположений ——вера, что мир вне нас, вне нашего сознания реально существует. Эта вера настолько очевидна, что ее разделяют практически все, за исключением животных, находящихся на наинизшей стадии процесса эволюции, и некоторых философов (их место в этом процессе указать затруднительно). Возможно, новорожденный не знает, что такие ощущения, как ощущения света, звука, прикосновения, запаха и вкуса, которые он испытывает, порождаются предметами, находящимися за пределами его сознания. Возможно, он не знает, где кончается он сам и начинается что-то другое. Когда он впервые осознает, что часто повторяющееся сочетание ощущений связано с другим лицом — матерью, ребенок совершает открытие, которому нет равного. Тем не менее каждый из нас, кто рос и развивался, совершил в свое время это открытие.
То, что мы называем стулом, есть понятие, образованное единством наших ощущений: зрительными образами, осязанием и ощущением поддержки, которое мы испытываем, когда садимся. Мы просто верим, что все эти ощущения происходят от действия одного и того же предмета —стула. Нет никаких других доказательств его существования. Мы могли бы испытать те же ощущения во сне или во время галлюцинаций. Мы предполагаем существование какого-нибудь предмета (электрона, стула или нейтрино) для объединения разнообразных данных такого рода опыта. Возможно, что это наиболее простое, но в то же время и наиболее важное из всех предположений, которые мы делаем.
Не всегда легко выделить какой-то один предмет как источник различных ощущений. Долгое время люди думали, что утренняя и вечер* «яя звезды ——разные небесные тела. Вероятно, впервые их отождествили как планету Венера только астрономы древнего Вавилона. Западные альпинисты рассказывали о том, как были удивлены их проводники
шерпы, когда тем сообщили, что пики различной формы, которые они видели в течение всей своей жизни из разных мест, являются просто различными проекциями одной и той же горы.
«Поднявшись в долину, мы увидели в конце нее линию основного водораздела. Я сразу же узнал вершины и перевалы, так хорошо знакомые нам со стороны Ронгбука (с севера): Пумори, Лингтрен, Лхо Ла, пик Северный и западное плечо Джомолунгмы. Удивительна, что Ангтаркай, который, как и я, хорошо знал эти горы с противоположной стороны и провел многие годы детства в этой долине, пригоняя сюда стада яков, никогда не считал их одними и теми же; он не узнал их и сейчас, пока я не назвал ему каждую вершину» [1].
Ребенок довольно быстро усваивает, что его ожидает, если он испытывает те или иные ощущения (к неудовольствию слишком усердных родителей). Обычно ему достаточно обжечься один раз, чтобы понять, что пальцы следует держать подальше от огня. Нетрудно догадаться, почему ребенок непроизвольно верит, что в мире существует определенный порядок. Животные, которые способны уяснить, что в мире повторяются одни и те же ситуации, выживают гораздо чаще, чем те, которые не могут или не желают понять это. «Животное-философ», рассуждающее: «тигр съел моего брата, но из этого вовсе не следует, что он съест и меня (если ему представится такой случай)», скорее всего, окажется в желудке следующего голодного тигра. Таким образом, оценка мира оказывается связанной с шансами выжить. Те, кому удается приспособиться к мировому порядку (точно так же, как привыкают к определенной температуре, влажности и другим условиям окружающей среды), выживают чаще.
Мы все разделяем веру — будем называть ее инстинктивной,— что в мире существует определенный порядок. Однако эту веру мы воспринимаем по-разному, и именно этим люди различаются между собой, а животные так сильно отличаются от людей. Человеческое мышление (согласно Пирсу, это активность, которая возникает, когда мозг ощущает неудовлетворенность, и исчезает, когда эта неудовлетворенность проходит) развивалось по разным направлениям, иногда плодотворным, а иногда нет. Что касается мозга животного, то в нем, как нам кажется, образуются по меньшей мере простые ассоциации: если животное обожгло лапу о раскаленный уголь, то в следующий раз оно не поикоснется к нему. Если каждый раз перед кормлением включать звонок, то через некоторое время у животного можно будет вызывать выделение слюны по звонку. Мы не знаем, способны ли животные на большее, но, нисколько не умаляя их достоинств, мы все же можем допустить такое состояние их ума, при котором никогда не возникают какие-либо вопросы.
Человек же, хотя и является обыкновенным двуногим без оперения, не желает, как правило, оставаться в таком пассивном состоянии. Демоны, духи, рок, механистические законы природы — чего только
彼 придумывалось для «объяснения» взаимосвязи между событиями. Часто с появлением какого-нибудь объяснения люди начинали путать тго с реально наблюдаемыми событиями. Вера, которая постоянно внушается, приобретает самостоятельную жизнь. К сожалению, люди смертны, но их идеи и предрассудки живут веками, и, если последние затрагивают наши чувства, бывает чрезвычайно трудно отличить то, 期тс мы видим, от того, что мы желаем видеть.
Кажется, что понять мир несложно, но это требует и особого восприятия, которое приобретается лишь с годами, и вместе с тем непосредственности, свойственной ребенку. Например, ребенок включает телевизор и видит на экране движущиеся картинки. В этом для него нет ничего необычного; он удивится, разве только если экран не засветится после нажатия кнопки. Для детского ума все связи и корреляции равнозначны, так как ребенок не обладает врожденным опытом. Для него нажатие кнопки и последующее появление изображения ничуть не примечательнее, чем звучание голоса после открытия рта.
Если и существует так называемый научный метод, то в качестве одного из своих элементов он обязательно должен содержать непосредственность и непредвзятость — живой интерес, умение и страстное желание видеть мир таким, как он есть, желание, которое обуревало Декарта, когда он сравнивал свою библиотеку с препарируемым теленком, Галилея, когда он разглядывал небо в свой телескоп, или Арнсто* теля, наблюдавшего за пчелами:
«Существует тип шмелей, которые сооружают на камнях или подобных предметах конусообразные гнезда из глины, предварительно смачивая ее чем-то, напоминающим слюну. И это гнездо, или улей, оказывается настолько прочным и твердым, что его трудно сломать даже острой палкой. В нем насекомые откладывают свои яйца, из которых образуются белые личинки, закутанные в черные оболочки. Помимо оболочек здесь имеются соты из воска, имеющего более желтоватый оттенок, чем сотовый воск пчел» [2].
Далее, этот научный метод подразумевает стремление ученого постоянно сравнивать свои теоретические выводы с наблюдаемыми фактами. Потому что, как говорит Аристотель, критикуя, вероятно, одного мз своих более известных наставников:
«Отсутствие опыта ограничивает наши возможности дать общую оценку фактов. Следовательно, те, кто в своей деятельности тесно связан с природой и ее явлениями, становятся все более способными взять в качестве основ своих теорий такие принципы, которые допускают широкое и последовательное развитие; те же, кто из-за привязанности своей к отвлеченным дискуссиям пренебрегают опытными фактами, часто выдвигают слишком поспешные выводы на основании единичных наблюдений» [3].
Тем не менее видеть мир таким, какой он есть, часто бывает очень трудно, если сильно какое-нибудь убеждение (а мы живем в мире, где не ощущается недостаток укоренившихся предрассудков). Так называемый «человек науки» должен поэтому развивать в себе ту объективность, которая выделяла бы его среди других людей и позволяла бы ему, подобно художнику, быть истинным наблюдателем. Дженнер, открывший вакцину против оспы, выхватил из бесчисленного множества мнений и предрассудков один только факт, что женщины-доярки не подвержены этой болезни. Он должен был обладать глазом художника, способным выделить самое существенное из множества разрозненных фактов. Говорят, когда Фалес сообщил жителям Милета, что Солнце и звезды состоят из огня, они смотрели на него с ужасом, так как всегда почитали эти небесные тела за богов. И когда Галилей сказал, что на Солнце имеются темные пятна, а у Юпитера есть спутники, некоторые из его современников даже не пожелали взглянуть в телескоп, чтобы убедиться в этом. Галилей писал Кеплеру: «Что делать — смеяться или плакать?» В этом отношении лик науки суров. В нем должен отражаться мир без всяких иллюзий, подобно тому, как в величайших произведениях искусства отражается без всяких прикрас мир человеческих переживаний и жизненного опыта.
Эта потребность в достоверных наблюдениях, из которых, как из сырья, мы строим наше представление о мире, заставила ученых уединиться в своих лабораториях и создала среди широкой публики образ человека в белом халате. Лаборатория — это место, где можно провести некоторые наблюдения с большей точностью и с меньшими помехами, чем на улице. Может создаться впечатление, что показание прибора объективно и не зависит от наблюдателя, но для этого необходимо еще, чтобы глаз наблюдателя и разум исследователя были объективны сами по себе. Иногда случается, что слабое дрожание стрелки прибора вызывает у ученого, чьи теория, карьера и репутация поставлены на карту, такую бурю эмоций, что она приводит к забвению объективности.
Человек, пытающийся рукой измерить температуру воды, не всегда в состоянии оценить ее точно. Если же измерения проводятся прибором, он может определить температуру более аккуратно. В любом из этих двух случаев человек может ошибиться, однако из опыта он знает, что измерение температуры с помощью хорошего прибора оказывается, как правило, более точным, чем измерение рукой. Мы можем грубо отсчитывать время по ударам нашего пульса, как это когда-то делал Галилей. Однако точность такого метода ограниченна, и мы можем увеличить ее, используя маятник, обычные часы или современные квантовые часы, ход которых стабилизирован колебаниями водородных атомов и которые ошибаются всего лишь на 1 с за 100 000 лет.
Измерения нужны для науки по нескольким причинам. Первая — уже отмеченное нами стремление ученых отделить наблюдаемые факты от предубеждений; этого можно добиться, например, применением приборов, т. е. неодушевленных механизмов. Следует, однако, всегда
помнить, что человеческий глаз часто способен провести такое разделение не хуже любого прибора. Вторая причина — вполне понятное желание осуществить измерения более точные, чем измерения при помощи наших органов чувств. И наконец, третья причина связана с полезностью таких измерений, которые могут быть повторены в других местах другими людьми; этому часто помогают различные приборы, точно скопировать которые не представляет большого труда. Таким образом, если мы говорим, что в науке взвешивают и измеряют, то мы имеем в виду, что ученые стараются познать мир таким, какой он есть, т. е. проводить точные исследования, которые можно повторить в любом другом месте земного шара, если создать сходные условия.
Однако простое собрание фактов без всякой системы напоминает беспорядочный библиографический кабинет, словарь случайных слов или тот скучный и бесполезный каталог, который иногда путают с наукой. Что же в самом экспериментальном материале свидетельствует о существовании закономерностей? Что создает ту уверенность, которая заставила Кеплера в течение многих лет вычислять и пересчитывать орбиты планет или вынудила Галилея потратить всю свою жизнь на разрешение проблемы движения? У нас нет никакой гарантии (и это по существу не удивительно) того, что мы обязательно обнаружим какие-нибудь взаимосвязи вроде тех, которые удалось установить между вращением Луны на своей орбите и движением брошенного вблизи земной поверхности тела. Что же тогда заставляет нас верить, что раскрытые нами закономерности окажутся проще, чем сами наблюдаемые явления, а символы, которые мы пишем на бумаге, позволят не только познавать, но и преобразовывать мир?
В письменности всегда содержится некоторая доля тайны, а во времена, когда она еще не стала общедоступной, сам акт писания считался волшебством. Чтобы постичь таинство рун (письменности), древнегерманскому богу Вотану, как и многим современным исследователям, пришлось преодолеть мучительные страдания. Греческая Ode (ода), английская Rune (руна) и германская Lied (песнь) первоначально звучали, как волшебное заклинание. Комедийный (comic-strip) супермен поражал своих врагов, произнося соответствующую фразу; другой умножал свои силы с помощью слова «Сезам». В некоторых наиболее примитивных магиях можно обнаружить попытки приписать числам мистические свойства, уверенность в том, что соотношения между символами равнозначны соотношениям между предметами в реальном мире и что манипулирование этими символами дает власть над упрямой природой.
До нас дошло древнеегипетское «Заклинание для получения разрешения на переправу», взятое из «Книги мертвых», которая основана на «Текстах пирамид». Профессор Нойгебауэр пишет:
«Больной король пытается убедить перевозчика разрешить ему пересечь канал «нижнего мира», чтобы попасть на Восточную сторону. Но перевозчик возражает: «Тот великий бог (на другой
стороне) спросит: Ты привез мне человека, который не может пересчитать свои пальцы?» Но больной король оказывается большим «колдуном» и цитирует стих, содержащий перечень его десяти пальцев, тем самым удовлетворяя всем требованиям перевозчика.
Мне кажется очевидным, что мы имеем дело с таким уровнем развития цивилизации, когда умение пересчитать свои пальцы считалось большим достижением мистического характера, сходным с умением написать имя бога. Эта связь между числами (и их названиями) и магией сохранялась в течение веков, и она содержится в философиях Пифагора и Платона, в каббалистике и других разновидностях религиозного мистицизма» [4].
В философии пифагорейцев, возникшей под влиянием мистики Востока, можно найти, вероятно, первое упоминание той идеи, которая со временем стала лейтмотивом всей физики, а именно, что закономерности реального мира каким-то образом связаны с закономерностями и соотношениями между числами.
Фиг. 71.Фиг. 71.Фиг. 72.Фиг. 72.Фиг. 73.Фиг. 73.Мы знаем, что в шестом веке до новой эры, когда пифагорейская
Фиг. 71.
Фиг. 71.
Фиг. 72.
Фиг. 72.
Фиг. 73.
Фиг. 73.
школа процветала, числа как таковые не были еще известны. Соотношения между числами изучались с помощью камешков или точек на песке. Эти камешки или точки можно было сгруппировать в различные конфигурации. В частности, изучались квадратные и треугольные построения (фиг. 71); вероятно, именно благодаря этим построениям стали известны соотношения между сторонами квадратов и треугольников. Например, изучение двух квадратных построений 4x4 и 3x3 (фиг. 72) может привести к следующей формуле:
4x4—ЗхЗ = 2х4—1,
которая записывается в обобщенном виде (полученном гораздо позже) как
пхп —(п—1)Х(п— 1) = 2п— 1.
Больше всего привлекала внимание пифагорейцев так называемая монада (фиг. 73) — особое расположение камней, имеющее наиболее
совершенную форму, которую они подробно изучали (к удивлению многих более поздних ученых, в частности Аристотеля). Это построение, состоящее из десяти точек, пережило насмешки Аристотеля и лоявилось недавно в статье 33-х авторов, названной «Исследование гиперона со странностью минус три» (фиг. 74).
ЧАСТИЦА СТРАННОСТЬ
(IB8D) -X
訟 1532 -*
§ /385 -• е
° 1238 -••
*-3/2 -7 -僮 0 +施储 */2
Фиг. 74. Зависимость массы от третьей компоненты изотопического спина для декуплета частиц 3/2+ [5].
Одно из открытий Пифагора состоит в установлении связи между длинами гипотенузы и катетов в прямоугольном треугольнике (фиг. 75), которую сейчас мы записываем в виде
废+ь2 =炉.
① и г. 75.① и г. 75.Согласно преданию, Пифагор пожертвовал музам сотню быков в благодарность за эту самую знаменитую теорему древности.
① и г. 75.
① и г. 75.
Говорят, однажды, проходя мимо кузницы, Пифагор услышал различные звуки, которые издавали металлические стержни разной длины под ударами кузнечного молота. Ему пришла в голову удивительная мысль: однородные стержни, длины которых находятся в простых отношениях, издают гармоничные звуки. Если можно говорить о каком-то начале развития физики, то оно имело место именно в этот мо-
мент. Потому что Пифагор понял, что связь между двумя свойствами реального мира — звуком, который издает металлический стержень, и длиной последнего — может быть отражена с помощью соотношений между целыми числами. Однородные стержни, длины которых находятся в простых отношениях, издают гармоничные звуки: отношение 12 к 6 соответствует октаве, 12 к 8 — квинте, 8 к 6 — кварте и т. д.
Поверие, что музыка обладает реальной силой, очень древнее: Орфей завораживал людей и животных, играя на лире. Пифагорейцы, воспитанные в духе мистики, узнав о существовании связи между гармонией музыки и гармонией чисел, пленились этой идеей. Они попытались упорядочить наблюдаемые в мире явления, используя представление о гармоничных пропорциях. Применительно к астрономии они выдвинули предположение, что сферы, на которых находятся звезды и планеты, вращаются со скоростями, значения которых относятся как целые числа. Блуждая по небу, планеты как бы издают различные гармоничные звуки. Согласно Гипполиту, «Пифагор был убежден, что Вселенная, созданная по законам гармонии, поет; он был первым, кто свел движение семи небесных тел к ритму и пению».
Теперь мы знаем, что планеты, к сожалению, не поют никаких п^- сен ——ни священных, ни нечестивых. Они не движутся ни в соответствии с гармонией Пифагора, ни по эпициклам Гиппарха, кругам Коперника и даже ни по эллипсам Кеплера. Оказалось, что они движутся по орбитам почти эллиптической формы, настолько сложным, что у них нет специального названия, и их вовсе не легко описать; однако эти орбиты подчиняются двум правилам, настолько простым и изящным, что Ньютону понадобились всего две строчки, чтобы написать их на бумаге. Поскольку планеты движутся в соответствии именно с этими правилами, а не с какими-либо другими, мы можем при желании сказать, что пифагорейцы ошибались. Однако пифагорейцы оказались абсолютно правы, веря, что все явления природы в самой ее основе связаны между собой с помощью удивительно простых закономерностей и что эти закономерности можно как-то описать, используя соотношения между числами.
Теория Платона пропитана верой в существование идеальных форм, содержащихся в потоке явлений; правил, в соответствии с кото* рыми движутся планеты; элементарных атомных образований в виде твердых геометрических фигур, в основном треугольников, форме которых они обязаны своим существованием. Возможно, не так уж важно, существует ли порядок в самом мире и мы обнаруживаем его (открываем законы природы), как мог бы сказать Платон, или мир устроен так, что мы можем навязывать ему этот порядок. Однако эта дерзкая, наивная и не всегда очевидная, если учесть бесконечное разнообразие нашего опыта, вера в то, что в мире может быть обнаружен порядок, именно эта вера воодушевляла ученых от Фалеса до Кеплера и вплоть до современных авторов журнала «Physical Review Letters» 】)
1)Американский физический журнал.——Прим. ред.
воздвигать здание науки. Современная наука тесно связана с подобным складом нашего мышления ——верой в возможность представить естественные закономерности в виде набора принципов и методов,— тем складом мышления, который выразился во фразе Альберта Эйнштейна, которую он произнес, увидев в возрасте четырех или пяти лет стрелку компаса: «Что-то глубоко скрытое должно существовать позади вещей».
8
язык ФИЗИКИ
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ЛИ НАУКА ①НЗНКА?
Говорят, что в науке взвешивают, измеряют и имеют дело с числами. При этом, очевидно, подразумевают, что в остальных областях своей деятельности люди заняты менее стоящими вещами. Однако при упоминании о десятичных числах людям на память приходят душные классы, где они изучали математику, их глаза начинают слипаться, а мозг— засыпать. Конечно, верно, что в физике имеют дело с числами и иногда с чрезвычайно точными измерениями. Люди поражаются, когда в результате неимоверно сложных вычислений, скажем количества магнетизма, содержащегося в электроне (и отнесенного к определенной стандартной величине щ), получается значение Не^Но~ 1,0011596..., в то время как измерения дают [ie/|i0= 1,001165+0,000011, где 士 обозначает, что из-за ошибки измерений истинное значение 卩/No лежит в пределах от 1,001176 до 1,001154. Или когда вычисленная с помощью законов Ньютона величина периода обращения Меркурия отличается от экспериментальной на 3/4 с за 8 000 000 с п. Принято считать, что теория верна, если ее результаты находятся в точном численном согласии с наблюдениями. Между тем щедрое употребление чисел во всей физике скорее скрывает, чем выявляет их действительное значение.
Мы уже воздали должное Кеплеру, который так серьезно отнесся к небольшому расхождению (всего лишь на 8 минут дуги) между одной из траекторий Марса, рассчитанных им, и орбитой Марса, наблюденной Тихо Браге. Это расхождение в конце концов привело Кеплера к открытию своего знаменитого закона: планеты обращаются по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Если бы Тихо Браге проводил свои измерения с еще большей точностью, то Кеплеру стало бы очевидно, что для точного описания орбиты Марса не годятся и эллипсы. Отказался бы он в этом случае от эллиптических орбит? Если да, то он отказался бы от одного из наиболее важных результатов в истории науки.
и Эта ошибка в 3/4 с исправляется в общей теории относительности Эйнштейна.
То, что орбиты планет очень близки к эллипсам, является в данном случае не менее важным результатом, чем заключение, что орбиты имеют строго эллиптическую форму. Такая закономерность весьма примечательна; она может быть ключом к пониманию более строгих законов, или, чего нельзя исключить заранее, в ней содержится все, что можно сказать о вещах, и в таком случае мы приближаемся к пределу наших знаний. Априори у нас нет никакой гарантии, что все соотношения в реальном мире можно описать с неограниченной точностью.
Тем не менее :ем известно, что математика широко применяется в физике. Она является языком физики, что хорошо разъяснил Галилей:
«Метод, который мы будем использовать в этом трактате, состоит в утверждении только таких вещей, которые следуют из сказанного ранее... Этому методу обучили меня мои учителя математики».
«Утверждение только таких вещей, которые следуют из сказанного ранее» — именно это приводит к системе, в которой каждый элемент имеет строго определенное значение и связан со всеми остальными элементами. Пифагор заметил, что связь между нотами, издаваемыми металлическими стержнями, и длинами этих стержней описывается отношениями между целыми числами. С тех пор физики ввели большое число разнообразных математических структур, с помощью которых они пытались описать мир реальных вещей.
В математике (в отличие от арифметики) занимаются изучением структур, полученных из соотношений между различными, строго определенными, но обычно абстрактными объектами. Математика сходна с игрой, в которой все правила заранее обусловлены и все ситуации вытекают как следствия. Например, в шахматах имеется поле деятельности (шахматная доска) и объекты, которым разрешены лишь определенные передвижения. Любая ситуация, которая может возникнуть на шахматной доске, является следствием исходной. В математической игре ученый начинает с заданных объектов и определенных правил, а затем исследует те ситуации и структуры, которые получаются как следствия этих правил. Сами правила математик может выбирать по собственному вкусу; они не обязаны чему-либо соответствовать ни в реальном, ни в воображаемом мире, а должны лишь быть согласованными. Отличительная черта математика состоит, по мнению Бертрана Рассела, в том, «что он не знает, о чем говорит». Однако, если правила слишком просты, структура математической системы может оказаться тривиальной, подобно тому, как игра становится неинтересной, если она проста (например, игра в крестики- нолики, в которой всегда выиграет тот, кто знает правильные ходы).
Когда говорят о математике, чаще всего имеют в виду арифметику, а иногда и геометрию. Дело в том, что математика началась именно с изучения структуры чисел и геометрии. Это вполне естественно, так как сам счет настолько примитивен, что люди, вероятно, овладели чис-
лами до того, как они научились говорить, т. е. стали людьми. Животные, которых проще обучить счету, чем научить понимать слова, добились в этом отношении большего прогресса, чем некоторые представители человечества. Австралийские аборигены (вотчанды) считают до двух: ко-оте-он (один), у-тай-ре (два), боолта (много) и боол-та-бат (очень много). Бразильские гуарани продвинулись дальше, считая: один, два, три, четыре, бесчисленное количество. Не способность ли считать впервые отделила нас от природы? «Честному человеку,— жалуется Торо,— с лихвой хватит для счета его десяти пальцев. В крайнем случае он может еще добавить пальцы на ногах, но не более. Я говорю: пусть ваши дела будут, как два или три, но не как сто или тысяча; считайте не до миллиона, а до полдюжины и старайтесь умещать все свои счета на ногте большого пальца» [1].
Возможно, одна из причин, которые побудили человека научиться считать, была необходимость следить за количеством животных. Осталось ли к концу дня то же количество овец, которое было утром? Камешки (слово «calculus» ——исчисление — обозначает по-латыни «маленький камень»), сложенные в кучку в начале дня, из которых каждый соответствовал одной овце, помогали установить, все ли овцы вернулись с пастбища вечером. Этот метод, будучи простым и эффективным, еще более примитивен, чем счет. Он предполагает только способность установить, что камешков ровно столько же, сколько овец, независимо от действительного количества камешков и овец. Успех этого метода, столь же простого, сколь и практичного, связан с фундаментальным свойством того мира, в котором мы живем. Ни камни, ни овцы не могут растворяться в воздухе. Люди интуитивно понимают, что этот метод не годится, если овцы будут подобны мыльным пузырям. В настоящее время мы могли бы назвать такую особенность мира законом сохранения овец. С некоторыми оговорками относительно антивещества можно считать, что аналогичные законы выполняются для нуклонов и других частиц. Если бы мы жили в мире, где нечего было бы считать, то арифметика, вероятно, не появилась бы раньше других наук; мы не обладали бы примитивными и интуитивными представлениями о числах, и их открытие оказалось бы скорее утомительным путешествием в сферу абстрактного мышления, чем просто детской забавой.
Геометрия возникла из необходимости устанавливать границы и площади земельных участков. (Само слово «геометрия» обозначает измерение земли; многие так называемые геометрические теоремы были впервые установлены эмпирически.) Легко сосчитать, сколько раз мерка укладывается вдоль границы поля. Конечно, возможность таких измерений обусловлена определенными предположениями о свойствах мира. Мерка во время измерений не должна укорачиваться, а поле должно сохранять свою форму. Хотя подобные предположения не всегда осознаются, следует напомнить, что мы можем проводить измерения лишь потому, что мы живем в мире, в котором мерки не укорачиваются, а поля сохраняют свою форму. В жидком мире, в котором отсутствовали бы твердые тела, подобные мерке, нам было бы
гораздо сложнее проводить измерения, дающие определенные результаты.
Вероятно, подобные вопросы не очень волновали наших предков, как, впрочем, они не часто тревожат и нас. Мы предполагаем, что длина и форма тела сохраняются при его перемещениях и поворотах в пространстве. На первый взгляд, это предположение выглядит очевидным и даже не очень нужным; в действительности, однако, это не так: ведь можно представить себе мир, в котором оно не выполняется. Кроме того, мы, как правило, склонны считать (правда, это предположение здесь нам не требуется), что длина тела не зависит от того, движется ли оно или находится в покое. Позднее мы увидим, что от этого допущения придется отказаться.
Представим теперь, что у нас есть стержни, из которых можно соорудить треугольники, квадраты, параллельные линии и т. д.; допустим еще, что мы можем фиксировать траектории световых лучей для построения прямых линий любой длины и что мы в состоянии конструировать любые требуемые геометрические фигуры. Мы склонны полагать, что твердые тела существуют, а треугольник остается тем же самым треугольником, если мы переносим его в другое место пространства или если он движется. Можно сказать, что те свойства, которые мы приписываем миру, не являются для него обязательными, но то, что мы наблюдаем, скорее всего истинно. Если бы мы жили в мире без твердых тел, то в принципе мы могли бы выбрать и использовать те же самые предположения (хотя это было бы и не просто).
Фиг. 76.
Рассмотрим следующий невероятный пример, который, правда, может представлять определенный интерес при изучении малых областей пространства порядка размеров ядра. Допустим, что существует мир, не обладающий тем отмеченным выше свойством жесткости, которое позволяет нам измерять расстояния, остающиеся всегда неизменными. Представим, что свойства этого мира сходны со свойствами резиновой оболочки, которая непрерывно расширяется, сужается, извивается, так что ее форма в любой момент абсолютно непредсказуема (фиг. 76). Предположим далее, что некие подобные нам существа насе-
ляют этот мир и некоторые из них решили от нечего делать разобраться в его природе.
Ясно, что для этих существ бесполезно придумывать линейки, прямые линии, треугольники или пытаться измерять расстояния в их особом мире, так как расстояние между любыми двумя точками будет непрерывно изменяться, и измерение его в какой-то момент времени не будет иметь ничего общего с измерением в любой другой момент. Для обитателей такого мира покажется бессмысленным, например, утверждение, что расстояние от города А до города В на 2 километра больше, чем от А до города С, так как любой из них, начав путешествие, может обнаружить, что в данный момент город А ближе к В, чем к С; поэтому в таком мире лучше вообще не говорить о каких-либо расстояниях.
В этом мире понятия расстояния, прямых линий и т. д. потеряли бы всякий смысл, введение этих понятий считалось бы дурным тоном для физика. Нельзя, однако, полагать, что в этом мире не существовало бы никакого порядка. Его обитатели могли бы установить некоторые понятия геометрии Евклида, например понятия «внутри» и «снаружи». На фиг. 76 изображена точка, расположенная внутри криволинейного контура, и как бы ни искажался контур, точка всегда остается внутри него. Жители этого мира могли бы огораживать свои владения или держать преступников в тюрьме, хотя никто из них никогда бы не смог сказать, сколькими акрами он владеет или какой величины тюремная камера — больше или меньше, чем мир снаружи.
От арифметики и геометрии постепенно математики переключили свое внимание на исследование многих других вопросов. Выбирая тему для своих занятий, математик сталкивается с проблемой, которая возникает обычно перед художником, когда он обдумывает тему своей будущей картины. Как математик, так и художник, принимая решение, следуют, помимо прочих вещей, предыстории своей сферы творчества, вспоминают уже обследованные области, те из них, которые кажутся бесплодными, и те, что, может быть, приведут к новым и ценным результатам.
Не вступая в противоречие с традицией и с современной практикой, можно сказать, что главная задача теоретической физики заключается в том, чтобы установить систему (с ясно определенными и логически связанными между собой элементами, почти как в математической системе), какая-то часть которой соответствует исследуемой области реального мира. Конечная же цель — нахождение той единственной системы, которая настолько содержательна, что описывает все явления в природе. Результатом явится то, что соотношения между материальными объектами в реальном мире окажутся отраженными в соотношениях между абстрактными объектами в мире математики. Каждая из обсуждаемых в дальнейшем теорий является попыткой именно такого рода.
Представим, что мы находимся на стадионе во время бейсбольного матча и абсолютно не знакомы с правилами этой игры. Мы наблюдаем
ООООооо6о6ооооооооФиг. 77.Фиг. 77.Фиг. 78. «Здесь, очевидно, есть какой- то порядок, но я не понимаю цели».Фиг. 78. «Здесь, очевидно, есть какой- то порядок, но я не понимаю цели».
О
О
О
О
о
о
о6
о6
о
о
о
о
о
о
о
о
Фиг. 77.
Фиг. 77.
Фиг. 78. «Здесь, очевидно, есть какой- то порядок, но я не понимаю цели».
Фиг. 78. «Здесь, очевидно, есть какой- то порядок, но я не понимаю цели».
на поле много сложных и порой нелепых ситуаций. Мы смогли бы заметить, что некоторая последовательность событий иногда повторяется. Бьющий ударяет по мячу, полевой игрок ловит его, и это происходит не так уж редко, но в зависимости от обстоятельств он бросает мяч в сторону участка поля, который мы могли бы назвать первым «домом».
ООЧерез некоторое время мы смогли бы уже мысленно представлять некую абстрактную команду, состоящую из правого, центрального и левого полевых игроков и т. д. (фиг.77). В любой реальной команде игроки, занимающие все эти места, сильно различаются по своим личным качествам. Однако несмотря на то, что игроки разных команд могут различаться по росту, по своим взглядам и личным достоинствам, несмотря на то, что стопперы «Ги
О
О
гантов» и «Ловкачей» ——разные люди, все они, как одна команда, взаимодействуют во время игры по схеме, не зависящей от их индивидуальных характеров. В этом смысле любая реальная (т. е. существующая) команда является реализацией той абстрактной команды, которую мы себе представили и изобразили здесь на рисунке. Если наблюдать за игрой в течение длительного времени, то можно отгадать все правила игры. Однако в жизненной игре нет написанного где-то свода правил, с которым мы можем сравнивать наши догадки. Для проверки наших построений существует только один критерий —их соответствие нашему опыту.
На первый взгляд может показаться, что сама проблема теоретической физики ——построение математической системы, хотя бы частично отражающей явления природы,——будет не менее сложной и не более понятной, чем сам мир, так как число правил, управляющих этой системой, окажется не меньше, чем число реальных событий.
Если бы это было так, то заниматься наукой не имело бы смысла. Оказывается, однако, что мы все-таки можем найти математические
системы, описывающие явления природы, причем такие системы, которые содержат лишь небольшое число простых правил. В этом проявляется одно из наиболее замечательных свойств нашего мира, предугадать которое заранее вряд ли было возможно.
При желании мы можем сказать, что те прости. правила, в соответствии с которыми должны протекать, как можно думать, все явления на свете, сходны по духу со следующей вездесущей идеей Платона, означавшей для него то же, что числа для Пифагора: за событиями реального мира скрываются определенные закономерности. Замечательным примером подобной математической системы является система, предложенная Евклидом, которая упорядочила наши представления о пространстве.
9
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА
«ЭЛЕМЕНТЫ» ЕВКЛИДА
Геометрия, подобно латыни, с течением веков стала синонимом испытания юного поколения и свидетельством бесчеловечного отношения к нему со стороны взрослых. Много утекло воды с тех пор, как Платон начертал на дверях своей Академии: «Да не войдет никто, не знающий геометрии», или Эдна Винсент Миллей написал: «Только Евклид видел красоту в пустоте» [11. Что же содержится в элементах Евклида, если они стали образцом для науки Галилея и Ньютона и философии Декарта, почему они, являя собой драгоценный пример математической и физической систем, остаются загадкой для школьников, у которых упоминание имени Евклида вызывает лишь болезненное ощущение?
Во времена, когда мир был полон неопределенности, геометрическое доказательство считалось примером истинного доказательства. Диспуты на рыночной площади возникают из ничего и кончаются ничем. В политических спорах победа достается то одной, то другой стороне, порхая между ними подобно бабочке, не находящей безопасного места для отдыха. Но в геометрии стоит только признать постулаты, как из них с неотвратимостью следует вся теория. Говоря словами учебника геометрии, «каждое доказательство состоит из ряда утверждений, каждое из которых имеет строгое обоснование». Казалось, что с помощью такого метода можно достичь определенности.
Конечно, такого рода определенность содержалась не только в геометрии, но и, например, в силлогизмах Аристотеля. Не вызывает сомнений следующее заключение: так как все люди смертны, а Сократ —— человек, следовательно, Сократ тоже смертен. Однако, хотя силлогизм и содержит определенность, в нем нет ничего неожиданного. Если допустить правильность двух первых утверждений, то третье последует
само по себе. Если же принять пять постулатов Евклида, начинающихся словами: «Допустим, что можно 1) соединить две любые точки прямой линией» и заканчивающихся знаменитым постулатом о параллельных прямых, то мы получим такие неочевидные (нетривиальные) следствия, что сумма углов треугольника равна 180° или что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Очевидно, именно этот элемент неожиданности и составляет наиболее привлекательную черту геометрии Евклида. Создается впечатление, что определенность может быть достигнута здесь нетривиальным образом.
Отмечая заслуги Евклида, стоит напомнить, что в большей части соотношения в его геометрии были впервые получены не им самим, а его предшественниками, вероятно, во время измерений земельных участков. Поэтому «Элементы» Евклида следует считать не началом, а кульминацией чуть ли не тысячелетних исследований по геометрии. Другие до него доказали отдельные теоремы или целые цепочки из них. Задолго до Евклида было известно, что сумма углов треугольника равна 180°. И, конечно, Пифагор, живший по крайней мере за 300 лет до Евклида, знал, что сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы.
Для завершения геометрии требовалось только показать (это и удалось Евклиду), что все эти известные и разнообразные соотношения вытекают как следствия определенных и очень простых предположений. Подумав, можно заключить, что в таком случае эти предположения должны содержать в себе всю структуру геометрии в целом. Евклид как раз и раскрыл эту структуру, т. е. внутреннюю связь между отдельными теоремами и между постулатами и всеми теоремами.
Он начинает с 23 определений, в которых пытается описать изучаемые им объекты. Эта попытка не совсем успешная. Например, Евклид говорит (определение 1): «Точка ——это то, что не имеет частей», или (определение 2): «Линия ——это длина без ширины». А в четвертом определении, смысл которого не удалось понять до сих пор, он утверждает: «Прямая — это линия, которая лежит равномерно со своими точками» °. И так далее до определения 23: «Параллельные линии ——это прямые, лежащие в одной плоскости, которые, будучи продолжены в обе стороны до бесконечности, никогда не пересекаются». Если все эти определения не покажутся читателю до конца ясными, то в этом винить его нельзя, так как сами математики потратили два тысячелетия для выяснения их смысла. Далее Евклид просит всех согласиться с пятью постулатами, говоря: «Допустим, что можно 1) соединить две любые точки прямой линией» и т. д. Затем следуют 5 аксиом: (1) предметы, равные одному и тому же предмету, равны между собой; (2) если равные количества добавить к равным, то целые будут равны; и так далее до (5) целое больше своей части. Эти аксиомы, или общепринятые поло-
1)Возможно, смысл этого определения таков: «Прямая — это линия, которая не искривлена».
жения, отличаются от постулатов тем, что они представляют собой соглашение о том, как понимать используемый язык (такие слова, как «равно», «добавить», «вычесть» и т. д.). Аксиомы в отличие от постулатов, относящихся только к геометрии Евклида, распространяются, очевидно, на любые системы (это отличие впервые отметил Аристотель). Так как Евклид просит согласиться с его постулатами, то, вероятно, можно от них отказаться и заменить их другими.
Вся система возводится на основании этих правил и аксиом, или, как говорится в учебнике геометрии, «каждое положение базируется на аксиоме или постулате, или на ранее доказанной теореме». Сумма углов треугольника равна 180°, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы; эти и все остальные теоремы геометрии вытекают с определенностью, не вызывающей ни малейшего сомнения. Именно эта определенность, свойственная геометрии, возбудила надежды философов и других ученых достигнуть во всем такой же определенности. Например, Декарт писал:
«Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же п ос л едов ател ьн ости» [2].
Но хотя сама структура геометрии кажется ясной, в отношении смысла ее определений и постулатов высказывались самые различные мнения. Являются ли они, как сказал бы Декарт, чем-то таким, «что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не сможет дать повод к сомнению» [3]? Или, как выразился бы Аристотель, они являются «чем-то, что вразумительно и внутренне известно»? Или они, как заявлял Иммануил Кант, суть «положения, повсеместно признанные достоверными... и тем не менее независимые от опыта» [4]? Если же нет, то спрашивается: в каком смысле мы должны принимать их или отказываться от них?
ЕВКЛИДОВО ЛИ ПРОСТРАНСТВО?
Существует несколько вопросов, которые кажутся абсолютно неразрешимыми, например: «Искривлено ли пространство?», «Пересекаются ли параллельные линии на бесконечности?» и т. д. Когда задаются такие сбивающие с толку вопросы, возникает подозрение, часто оправданное, что в их формулировке уже содержится противоречие. Так, все попытки сочетать понятия несокрушимой стены и непреодолимой силы обречены на неудачу, так как эти два понятия не могут, очевидно (а может быть, и не столь очевидно), не вступить в противоречие в одном и том же мире. Источником большинства трудностей в вопросах, касающихся пространства, является путаница в понимании
смысла геометрических определений и постулатов. Так как мы считаем геометрию образцом математической или физической системы, имеет смысл поговорить о смысле и интерпретации ее определений и постулатов.
Рассмотрим такое проетое понятие, как прямая линия. Что такое прямая линия? Евклид утверждает, что (определение 4): «Прямая — это линия, лежащая равномерно со своими точками». Далее (постулат 1)： «допустим, что любые две точки можно соединить прямой»; это утверждение мы понимаем как: «Допустим, что любые две точки можно
соединить одной и только одной прямой». Кажется, что при таком определении исключается случай, изображенный на фиг. 79. Говоря словами Евклида или его непосредственных последователей: «Две прямые не могут замкнуть часть пространства». Любой опрос общественности с участием не только логиков выявил бы согласие с этим утверждением, тем более что линии, изображенные на рисунке, выглядят действительно кривыми.
Но представим себе, что линии, которые считались нами прямыми, являются на самом деле кривыми, нарисованными, например, на поверхности сферы (фиг. 80). Такими «прямыми» без труда можно замкнуть часть пространства. Какой же тогда смысл говорить, что то, о чем мы «думаем» как о прямой линии, «на самом деле» оказывается кривой? Нам следовало бы прежде всего выяснить, что такое прямая линия в физическом мире. Или, другими словами:《Как в действительности построит ь прямую линию?»
Сами собой напрашиваются несколько способов. Можно, например, изо всех сил натянуть струну и сказать: «Вот прямая линия», или спроецировать луч света и тоже сказать: «Это прямая линия». Однако, поступая так, мы делаем неявное предположение, что объекты реального мира, такие, как луч света или натянутая струна, обладают свойствами прямой линии геометрии Евклида.
Но ведь можно вообразить, что мы живем в мире, в котором лучи света и натянутые струны искривлены. Говоря, что прямые, образованные лучами света или струнами, обладают свойствами геометрии Евклида, мы делаем определенное предположение о свойствах нашего мира; это предположение может быть верным, а может быть и неверным; справедливость этого предположения можно проверить лишь с помощью наблюдений, так как мы с одинаковым успехом в состоянии
вообразить как мир, где лучи света распространяются по «прямым», так и мир, где они распространяются по «кривым» линиям.
Отождествление световых лучей с прямыми линиями настолько укоренилось в нашем сознании, что иногда из-за этого мы приходим к неверным выводам. Когда мы опускаем весло в воду (фиг. 81), мы видим его надломленным. Наши глаза и мозг предпочитают видеть его надлом
ленным, нежели допустить, что свет в этом случае не распространяется
по прямой.
Это затруднение снова возвращает нас к Евклиду. Рассмотрим еще раз его определение прямой. Он говорит (определение 4): ^Прямая — это линия, лежащая равномерно со своими точками». Но что это значит?
Фиг. 81.Фиг. 81.(Геометры до сих пор выдвигают всевозможные догадки о смысле этого определения.) Томас Хит, переводя «Элементы» Евклида, полагает, что Евклид знал определение прямой, данное Платоном: «Прямая — это линия, имеющая середину впереди обоих своих
Фиг. 81.
Фиг. 81.
концов», которое означает, что всегда можно выбрать такое поло-
жение глаза, когда прямая будет выглядеть точкой. Однако это опре-
деление справедливо только в том случае, когда лучи света распространяются по прямой. Евклид проявил гениальность, обнаружив трудность в определении Платона, и попытался избавиться от нее, отказавшись связать свое определение с каким-либо физическим явлением. Он знал (поскольку он написал трактат по оптике), что свет не всегда распространяется по прямой, т. е. траектории световых лучей не всегда удовлетворяют его постулатам.
Как же в таком случае поступить? Представим, что мы живем в мире, в котором свет не распространяется по прямой. Например, допустим, что мы живем на поверхности сферы (что на самом деле верно), но наши действия настолько ограниченны, что никакие явления не выходят за ее пределы: траектории бросаемых нами мячей, натянутые струны, лучи света и т. д. всегда параллельны этой поверхности. При такой ситуации нам никогда не удастся построить линию, обладающую свойствами евклидовой прямой. Должны ли мы отсюда заключить, что параллельные линии пересекаются на бесконечности, что наше пространство искривлено и является неевклидовым? Хотя такой вывод мог бы оказаться более плодотворным, нам все-таки не следовало бы его делать. К этому вопросу мы вернемся позднее.
ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СИСТЕМА
В конце девятнадцатого века Давид Гильберт сформулировал геометрию как строго математическую, или логическую, систему. Многие
предположения Евклида, например касающиеся понятия конгруэнции и т. д., отражают физические свойства пространства. Столь длительное время, потребовавшееся для отделения геометрии как математики от геометрии как науки о физическом пространстве, свидетельствует о тех трудностях, с которыми связано такое отделение.
Рассматривая геометрию как математическую систему, начнем с определений исходных объектов. Как правило, эти определения весьма туманны. «Точка — это то, что не имеет частей». Помогает ли оно понять, что же такое точка? «Линия — это длина без ширины». Понятно ли подобное определение? С точки зрения математической системы такие определения не только туманны, но и абсолютно ненужны. Совершенно не существенно, что такое точка или линия. В геометрии как математической системе имеют дело с исходными объектами, которые называются точками, линиями и т. д. и определять которые не нужно. (Для краткости их можно называть «неопределяемыми объектами».) Важно, что между ними существуют определенные соотношения, например: «Любые две точки можно соединить одной и только одной прямой линией». Вводя соотношения между «неопределяемыми объектами», все остальные соотношения мы можем доказать (теоремы). Структура такой системы не зависит от того, что же на самом деле представляют собой точки или линии.
Такую постановку вопроса нетрудно понять. Рассмотрим игру в шахматы. В этой игре имеются определенные фигуры: ладьи, слоны, кони, ферзи, короли, пешки. Фигуры подчиняются известным правилам: каждая из них может передвигаться строго определенным образом, и, когда начинается игра, фигуры занимают на доске определенные позиции. И хотя любой из нас приблизительно представляет, как должен выглядеть конь, или ферзь, или король (такие сведения нужны, иначе мы не узнаем фигур, глядя на доску), совершенно ясно, что игра в шахматы не изменится, будет ли форма коня традиционной вычурной, или современной абстрактной, или предельно простой и удобной для игры.
Если, обучая ребенка игре в шахматы, мы объясняем ему, что конь — это человек, сидящий верхом на лошади, король носит корону, в ладье есть башни и т. д., то мы делаем это только из педагогических соображений, облегчая запоминание фигур. Для игры в шахматы важно только, что все фигуры находятся во время игры в определенных между собой отношениях, так как каждая из них может ходить лишь строго определенным образом. Любая последующая позиция на доске является следствием таких правил и не зависит от того, сделаны ли фигуры из слоновой кости, стали или обычных пробок с воткнутыми в них палочками (фиг. 82).
Точно так же обстоит дело в геометрии Евклида, если рассматривать ее как математическую систему или как образец любой математической системы. Совершенно безразлично, является ли прямая линия длиной без ширины или идеализированным бесконечно тонким стерж-
нем, можно ли ее осуществить с помощью натянутой струны или пучка света. Подобные представления о прямой помогают нам интуитивно ощущать ее свойства, однако они же могут ввести нас в заблуждение. Потому что для геометрии важно только, чтобы те объекты, которые мы называем прямыми линиями, и те, которые считаются точками, удовлетворяли ее постулатам. Если эти объекты выглядят, как изображено
Фиг. 82.
на фиг. 83, то ясно, что они не удовлетворят постулатам, если же — как на фиг. 84, то возможно, что удовлетворят.
Следовательно, в геометрии как математической системе имеются свои фигуры — линии, точки и т. д. Имеются и свои правила —— постулаты. Используя правила «передвижения фигур» или построения новых (например, треугольников), можно получить все теоремы, образующие
Фиг. 83. Ф и г. 84.
великолепную и тонкую структуру, каждой элемент которой связан с остальными ясным и определенным образом. Конечно, наш интерес к этой системе (причина, почему нас интересуют прямые, точки, треугольники и т. д.) объясняется возможностью связать ее с некоторыми объектами реального мира. И первые представления о прямых и точках возникли, несомненно, в результате абстрагирования от таких объектов, которые почти не имеют ширины и почти не имеют частей. Но как математическая система геометрия не зависит от подобных ассоциаций. Принимаются в расчет лишь отношения между «неоп р еде л я емыми объектами», и интересуются только структурой как таковой.
ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА КАК ФИЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Геометрия Евклида как математическая система ничего не говорит о мире, в котором мы живем. Такая система теорем может быть самосогласованной и верной, а может оказаться противоречивой и ошибочной независимо от свойств реального мира, подобно тому как в шахматах невозможность поставить мат черному королю с помощью белого коня и короля не зависит от того, сделаны ли конь и король из слоновой кости в традиционном стиле или выполнены из стали в современной манере.
Тем не менее утверждение, что геометрия имеет определенное отношение к реальн му миру, довольно наглядно. Рассмотрим треугольник (фиг. 85). Если отрезать его
Ауглы Л, В и С и сложить их вме-
сте, то мы обнаружим, что они образуют прямую, или угол в 180°.
/\Мы получим этот результат каж-
厶夕\厶Дьш раз, сколько бы треугольников
(\ \ \ J с8 (! мы ни вырезали из куска картона.
с、「…”"-事 Следовательно, можно высказать очевидное утверждение, касающее- ① н85.ся свойств нашего мира и состоя
щее в том, что если нарисовать на куске картона треугольник, затем вырезать его углы и сложить их вместе, то они образуют прямую линию, т. е. линию, которая параллельна краю линейки. В этом смысле теорема «Сумма углов треугольника равна 180°» имеет прямое отношение к реальному миру.
Мы можем сделать геометрию физической системой, указав, каким образом реализуются в нашем мире те «неопределяемые объекты» теории, которые так смело, но не совсем успешно пытался определить Евклид. Необходимо договориться, какой смысл мы вкладываем в понятия точки и прямой линии. Как позже прозорливо отметил Ньютон, этот вопрос сам по себе не является геометрическим. Он пишет:
«Геометрия не учит тому, как проводить эти линии, но предполагает выполнимость этих построений. Предполагается также, что приступающий к изучению геометрии уже ранее научился точно чертить круги и прямые линии; в геометрии показывается лишь, каким образом при помощи проведения этих линий решаются разные вопросы и задачи. Само по себе черчение прямой и круга составляет также задачу, но только не геометрическую» [5].
Построения точки и прямой не являются задачами геометрии. В геометрии предполагается, что объекты (точки и прямые) заданы и обладают свойствами, определяемыми постулатами. Если в реальном мире можно реализовать такие объекты, то, поскольку они удовлетворяют
правилам, соответствующие теоремы геометрии тоже будут выполняться.
Следовательно, когда мы говорим о геометрии как о физической системе, мы подразумеваем, что нами реализованы объекты, которые можно назвать точками, и объекты, которые называются прямыми (фиг. 86), причем эти объекты удовлетворяют геометрическим постулатам. Например, две точки можно соединить только одной прямой.
Фиг. 86.
Теперь геометрия будет обладать свойствами физической теории. Между введенными таким образом объектами выполняются соотношения, справедливые в геометрии: сумма углов треугольника равна 180° и сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы.
Наиболее тонким вопросом такой теории является ее интерпретация: каковы связи между объектами реального мира и «неопределяемыми объектами» математической системы? Как доказать, что этот объект обладает свойствами прямой линии, а это сооружение —— свойствами треугольника? В случае геометрии такая интерпретация довольно очевидна. Но в более сложных физических теориях вопрос о связи между абстрактными объектами математического мира и соответствующими объектами реального мира является наиболее трудной проблемой принципиального характера.
ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА КАК ОБЩЕЕ СОГЛАШЕНИЕ
В каком тогда смысле пространство может быть неевклидовым? Имя Евклида сохранилось бы в веках даже в том случае, если бы он не сделал ничего, кроме введения своего пятого постулата (названного позднее «постулатом о параллельных прямых»). Постулат звучит так: «...если прямая, пересекающая две другие прямые, образует с ними на одной стороне внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые, продолженные до бесконечности, пересекутся с той стороны, с которой сумма углов была меньше двух прямых». В другой формулировке этот постулат означает, что в заданной плоскости через заданную точку можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой. (Существование хотя бы одной прямой, параллельной заданной, является следствием остальных постулатов.) Евклид предчувствовал, что этот постулат необходим, например для доказательства теоремы о сумме углов треугольника. После Евклида он стал предметом споров, продолжавшихся в течение многих
веков. Геометры, начиная с Птолемея и Прокла и кончая математиками девятнадцатого века, пытались доказать, что пятый постулат есть следствие остальных четырех.
Эти затруднения объясняются тем, что человеческое мышление стремится привязаться к пространству, которое само по себе евклидово и состоит из физических стержней и точек, удовлетворяющих постулату о параллельных прямых. Только в девятнадцатом веке, когда Лобачевский и Бояи показали, что можно построить замкнутую геометрическую систему, в которой через данную точку проходят несколько прямых, параллельных заданной, стало ясно, что пятый постулат является независимым.
К концу девятнадцатого века были созданы две системы неевклидовой геометрии. Первая из них ——риманова геометрия — есть геометрия на поверхности сферы. В этом случае нельзя провести ни одной прямой, параллельной заданной. Прямые определены здесь как линии, проходящие через полюса сферы. Вторая — это геометрия Лобачевского и Бояи, в которой постулируется, что через точку можно провести много прямых, параллельных данной.
Как же все-таки установить, в каком пространстве мы живем — евклидовом или неевклидовом? Возможно, что проще всего это сделать, воспользовавшись непосредственным следствием постулата о параллельных прямых. В геометрии Римана, или геометрии на поверхности сферы, сумма углов треугольника больше 180°, причем отличие от 180° растет с увеличением размеров треугольника. В геометрии Евклида эта сумма точно равна 180°, а в геометрии Лобачевского она меньше 180°. Следовательно, нужно просто взять треугольник (как можно больших размеров), стороны которого состоят из тех линий, которые в природе считаются прямыми, и определить, больше или меньше 180° сумма его углов. Такой эксперимент был впервые предложен Швейкартом. Гаусс попытался определить, используя обычный метод триангуляции и топографические приборы, равна ли сумма углов треугольника 180° или нет. С помощью этих измерений, проведенных для треугольника, вершины которого образовывали три горы, расположенные на расстояниях примерно 100 км друг от друга, Гауссу не удалось заметить никаких отклонений от 180°.
Чтобы определить, являются ли лучи света евклидовыми прямыми, были проведены измерения, в которых в качестве вершин треугольников использовались неподвижные звезды. Например, Лобачевский измерял углы треугольника, основание которого совпадало с диаметром земной орбиты, а вершина находилась в месте положения Сириуса. И опять никаких отклонений от 180° не было обнаружено. Лобачевский писал:
«Тем не менее новая геометрия, основы которой заложены в этой работе, хотя и неприложима к явлениям природы, но может быть объектом нашего воображения; не будучи используемой в реальных измерениях, она открывает новую область для приложений геометрии к математическому анализу и наоборот» [6].
Однако даже треугольник, образованный диаметром земной орбиты и звездой Сириус, мал в сравнении с треугольниками, которые можно вписать во всю известную нам Вселенную. И возможно, что измерения углов такого гигантского треугольника, стороны которого образованы световыми лучами, покажут, что их сумма больше или меньше 180°. Допустим, что мы произвели съемку лучами света, идущими от одного конца Вселенной к другому, и обнаружили, что сумма углов треугольника отличается от 180°. Обязаны ли мы тогда заключить, что наше пространство неевклидово? Оказывается, что нет. Наш вывод будет полностью зависеть от выбранной точки зрения.
Снова предположим, что мы привязаны к двумерной поверхности сферы и не можем ее покинуть. Далее вообразим, что траектории световых лучей или натянутые струны в этом мире повторяют форму 、поверхности сферы, образуя большие окружности. Если бы на поверхности этой сферы мы провели триангуляционные измерения с помощью, например, световых лучей, то мы бы обнаружили, что сумма углов треугольника больше 180°. В таком случае, как отметил Пуанкаре, мы могли бы высказать две различные точки зрения. Первая ——что мы живем в неевклидовом пространстве, т. е. в пространстве, в котором нельзя провести ни одной прямой, параллельной заданной. Вторая —— что мы просто неправильно выбрали прямые линии, т. е. что световые лучи или натянутые струны, которые мы считали прямыми, на самом деле искривлены и поэтому не обладают свойствами евклидовых объектов.
Взглянув снаружи на поверхность нашей сферы, которая находится в трехмерном евклидовом пространстве, мы сразу же обнаружим, что имеем дело с кривыми на поверхности сферы, а не с «настоящими» прямыми. Поэтому мы можем встать на ту точку зрения, что «настоящее» пространство евклидово, нонам так повезло (или не повезло), что мы живем на поверхности сферы, не позволяющей нам реализовать такие объекты (прямые), которые обладают свойствами евклидовых объектов и удовлетворяют постулатам Евклида.
Следовательно, вопрос ——является ли пространство евклидовым или нет ——становится вопросом соглашения. Если мы, например, решим, что лучи света распространяются по прямым линиям, а затем из измерений обнаружим, что сумма углов треугольника, образованного этими лучами, отличается от 180°, мы можем отказаться считать лучи света прямыми и попытаться заменить их чем-нибудь другим. Ясно, что мы всегда вправе так поступить; именно эта возможность и является источником большинства трудностей, связанных с вопросом об евклидо- вости пространства.
Если из какой-нибудь новой физической теории вытекает неевкли- довость пространства, то ее можно интерпретировать, полагая, что в мире, в котором мы живем, такие вещи, как траектории световых лучей, не обладают свойствами евклидовых прямых.
Трудности такой интерпретации (если мы желаем допустить, что световые лучи распространяются криволинейно) проистекают из-за
того, что в принципе мы можем себе представить наш мир, в котором распространяется свет, погруженным в пространство, где прямые линии существуют. Так, если свет распространяется по поверхности сферы, можно вообразить, что эта сфера погружена в трехмерное евклидово пространство. В результате «настоящее» пространство окажется евклидовым. Нам же просто не повезло, что мы живем на поверхности сферы.
До тех пор пока спор касается лишь соглашения, ни одна из спорящих сторон не сможет одержать верх. Однако физическая теория, опирающаяся на неевклидовость пространства, содержит в себе нечто большее, чем просто соглашение. Она утверждает, что соглашение считать пространство евклидовым вряд ли является плодотворным. Какой смысл, например, считать евклидовым такое пространство, в котором световые лучи распространяются так, будто они движутся вдоль поверхности сферы; если натянутые струны изгибаются, как будто они лежат на этой поверхности; если п ре достав ленные самим себе частицы перемещаются как бы вдоль этой поверхности; если в конце концов вообще невозможно реализовать такие объекты, которые обладали бы свойствами евклидовых прямых? Конечно, при желании мы все-таки можем считать наше пространство евклидовым, но оно будет таким евклидовым пространством, в котором окажется невозможным реализовать объекты, обладающие евклидовыми свойствами. Проявив упрямство, мы все же можем назвать «настоящее» пространство евклидовым. Однако такая интерпретация будет еще менее плодотворной. Таким образом, если наша деятельность ограничена поверхностью сферы, то проще (но необязательно) считать пространство неевклидовым, обладающим свойствами геометрии на сфере, нежели говорить, что мы живем в таком евклидовом пространстве, в котором невозможно реализовать прямые линии.
Если бы вся наша деятельность была ограничена поверхностью сферы, если бы световые лучи и т. д. двигались вдоль линий, изображенных на фиг. 87, то в таком мире две《прямые》замыкали бы часть пространства, сумма углов «треугольника» была бы больше 180° и
Фиг. 87,
т. д. Мы могли бы считать, что пространство «на самом деле» евклидово, но свет, к сожалению, не распространяется в нем по прямой линии и отклоняется от «истинной прямой» на величину, зависящую от длины пути (фиг. 88). Эту величину можно определить по следующей формуле (фиг. 89):
Фиг. 88.Фиг. 88.отклонение = Rотклонение = R
Фиг. 88.
Фиг. 88.
отклонение = R
отклонение = R
В таком мире ваш коллега не удивился бы, если бы вы напомнили ему: «Хорошо известно, что лучи света (как и все остальное) не распространяются прямолинейно. Для построения прямой необходимо спроецировать луч света, а затем подправить его направление».
Теории тяготения Ньютона и Эйнштейна (общая теория относительности) различаются между собой главным образом взглядом на геометрические свойства пространства и времени. В теории Ньютона считается, что пространство евклидово, а частицы могут двигаться криволинейно только под действием сил. В общей же теории относительности предполагается, что пространство-время неевклидово, а частицы всегда перемещаются вдоль путей, которые при заданной кривизне пространства совпадают с линиями кратчайших расстояний между любыми двумя точками. Хотя эти воззрения существенно расходятся, результаты обеих теорий в большинстве случаев практически совпадают — это лишний раз показывает, до какой степени условен выбор точки зрения. Этот выбор определяется исключительно тем, насколько плодотворны результаты того или иного соглашения. Каждое такое соглашение — плод человеческой мысли, и его адекватность действительному миру проверяется по тому, насколько успешно с его помощью можно организовать явления природы.
Пуанкаре верил, что наиболее удобным соглашением является соглашение об евклидовости пространства, однако спустя всего лишь
15 лет Эйнштейн предложил свою общую теорию относительности, в которой он постулировал неевклидовость пространства. Тем не менее ее вряд ли можно считать «более удобной». Общая теория относительности, хотя и поражает своей красотой и изяществом, никогда не была «удобной» теорией. Многочисленные попытки расчетов с использованием неевклидовой геометрии давали лишь малые поправки к результатам теории Ньютона, которая, без сомнения, более «удобна», так как евклидова геометрия гораздо проще, чем любая другая.
МИР НЬЮТОНА
10
СИЛЫ И ДВИЖЕНИЯ
Мир, сотворенный Ньютоном в его «Началах» и освоенный в течение последующих двухсот лет философами, учеными и, наконец, каждым из нас, начинается с определения пустоты, неизменной и однородной от точки к точке:
«Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным» [1].
И в этой пустоте движутся частицы, твердые, обладающие массой и неделимые, подобные идеальным бильярдным шарам. Как и бильярдные шары, они состоят из определенного количества вещества, занимают определенное место в каждый заданный момент времени и описывают в пространстве определенную траекторию. Нахождение этих траекторий и составляет главную задачу теории.
Декарт предполагал, что существуют только такие силы, которые действуют при столкновениях частиц,— контактные силы, легко доступные нашему пониманию. Ньютон пришел к выводу, что к таким силам- следует добавить еще и силу тяготения (что было предметом длительного спора между последователями Ньютона и Декарта), под действием которой две частицы, находящиеся на любом расстоянии друг от друга, всегда испытывают взаимное притяжение. Галилей и Декарт полагали, что в отсутствие сил частица или движется равномерно, или находится в покое; Ньютон ввел это предположение в качестве своего первого закона движения. Обобщая идею Галилея на случай, когда действуют силы, он предложил второй закон: сила равна массе тела, умноженной на его ускорение. И наконец, он предположил, что все силы независимо от их природы (силы тяготения или любые другие) подчиняются третьему закону: действие равно противодействию.
Эти законы составляют исходный материал ньютоновского мира. Можно ли с помощью нескольких таких камней воздвигнуть здание настолько емкое, что оно способно вместить в себя весь запас человеческого опыта? Можно ли с помощью этих нескольких определений и постулатов создать математический мир, хорошо отражающий мир действительный, или, как мог бы сказать Платон, математическую сущность, хорошей тенью которой является наш мир?
Движение произвольной системы частиц можно определить, непосредственно применяя к ним и действующим на них силам второй закон (эта процедура не всегда проста). Например, частица, испытывающая действие однородной силы (подобной силе притяжения вблизи поверхности Земли), движется по параболе; планеты или кометы из-за
притяжения Солнца перемещаются по эллиптическим (или круговым), параболическим и гиперболическим орбитам и т. д. Из первого закона можно определить силу, которая необходима для уравновешивания любого числа сил, т. е. найти условия равновесия сил, приложенных к одной точке.
После выхода «Начал» было опубликовано много изящных работ, развивавших теорию Ньютона (вариации на ту же тему); некоторые из них выжили и оказались шире механики. Например, мы показали, что точки, которым мы приписываем свойства масс, движутся вокруг центра сил по эллипсам, скажем планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. При этом мы фактически предполагали, помимо прочего, что планету, которая по обычным масштабам очень велика, можно считать точкой, или частицей. Выясним теперь, как с помощью частиц и законов их движения получить законы движения твердых тел больших размеров, как с помощью элементарных частиц Декарта и Ньютона построить тела, обладающие свойствами жидкости или газа. Короче говоря, попытаемся построить мир столь же разнообразный, как и мир, в котором мы живем.
Для этого удобно ввести такие величины, как импульс силы, энергия и работа. Они строятся из известных уже материалов — времени, массы — с использованием законов движения (исходных постулатов), подобно тому, как треугольники или окружности получаются в геометрии Евклида из его исходных определений и постулатов. Новые величины оказываются очень удобными в работе, иногда даже более удобными и общими, чем те величины, из которых они сконструированы.
11
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
ТРЕТИЙ ЗАКОН
Задача о поведении двух сталкивающихся частиц стара, как мир; вместе с решением задачи о движении свободно падающих и бросаемых тел ее решение легло в основание теории движения. Предложив принцип инерции, Декарт удачно сформулировал закон движения изолированной частицы, летящей в пустоте и не испытывающей действия остальных частиц, но ему не удалось ответить на вопрос: что происходит, когда две частицы сталкиваются? Над этой проблемой много размышлял Галилей, который нашел ее весьма запутанной. Не окажется ли сила, действующая при столкновении, бесконечно большой? Такой вывод казался Галилею неправдоподобным:
«Я вывел заключение, что вопрос о силе удара представляется весьма темным, и никому из числа ранее занимавшихся им не удалось проникнуть в сущность этого предмета, полную мрака и далекую от обычных человеческих представлений. Одно из удивительнейших заключений, оставшихся в моей памяти, состоит в том, что сила удара неопределенна, чтобы не сказать — бесконечно велика» [1].
Трудность здесь состоит в том, что во время столкновения сила нарастает настолько быстро, что оказывается невозможным проследить за ее изменением со временем. Однако, как мы увидим позже, произведение FAf остается величиной конечной, так как при возрастании силы время ее действия уменьшается. [Это один из многочисленных отношение двух величин остается конечным, в то время как сами величины становятся бесконечно большими или бесконечно малыми; такие случаи в истории науки не раз бывали источником печальных заблуждений. Некоторые парадоксы Зенона (см. приложения, стр. 429) объясняются тем, что, хотя временные и пространственные интервалы становятся бесконечно малыми, их отношение остается конечной величиной. Используемые в настоящее время методы (вычисления пределов) для разрешения
случаев, когда произведение или
加厶々T纟 е^4лЛен£ ^hq2
Фиг, 90. К третьему закону Ньютона (о природе сил).
подобных парадоксов технически довольно просты. Однако то обстоятельство, что для создания этих методов потребовалось несколько тысячелетий, подсказывает нам, что в них содержатся некие тонкости, которые нелегко уловить.]
В 1668 г. Лондонское Королевское общество предложило исследовать проблему столкновений; решения были представлены математиком Джоном Уаллисом, строителем собора Святого Павла сэром Христофором Реном и голландским физиком Христианом Гюйгенсом. Некоторые их умозаключения и эксперименты обсуждались Ньютоном в его «Началах». Ньютон тоже предложил решение, по существу не отличавшееся от других. Однако ему удалось связать задачу о столкновениях, казавшуюся до него самостоятельной, с другими проблемами движения и решить их все с помощью трех постулатов.
Относящийся к данной проблеме постулат ——третий закон движения Ньютона ——фактически определяет характер сил, действующих в природе. Второй закон Ньютона связывает изменения движения с приложенными силами. Ньютон постулирует, что между всеми телами действуют силы одной природы — силы тяготения. Об остальных же силах (тяга, толчки и т. п.) он утверждает лишь то, что сказано в его
третьем законе: если в какой-то момент времени тело (назовем его телом /) действует с силой на другое тело (тело 2), то тело 2 будет одновременно действовать на тело 1 с равной и противоположно направленной силой независимо от природы действующих между телами сил. Используя обозначения, введенные на фиг. 90, можно написать
Третий закон. Всегда
F? на / + F/ на 2 =0・
В комической ситуации человек, выпрыгивающий из лодки (фиг. 91), испытывает на себе действие третьего закона. Чтобы выбраться из лодки на пристань, ему нужна сила, которая могла бы ускорить его.
Фиг. 91.Фиг. 91.Он надеется получить ее от лодки. Для этого (если взаимодей
Фиг. 91.
Фиг. 91.
ствие между человеком и лодкой、 подчиняется третьему закону Ньютона) он толкает ее с силой, равной по величине и противоположно направленной требуемой ему силе. Если бы лодка была бесконечно тяжелой, то все было бы в порядке, однако в этом случае ее нельзя было бы считать лодкой. Маленькая же лодка под действием силы, с кото-
рой человек толкает ее, начнет ускоренно двигаться от него (второй закон). И как раз в тот момент, когда прыгун окажется между лодкой и пристанью, т. е. когда ему больше всего понадобится толчок, лод-
ки не окажется на месте.
Можно рассматривать третий закон в качестве постулата, позволившего Ньютону вывести результаты, ранее полученные Реном, Гюйгенсом и Уаллисом. Собственное мнение Ньютона о форме, которую он придал третьему закону, содержится в его «Поучении». Непосредственным следствием этого закона, характеризующего природу сил, является одна из наиболее знаменитых теорем механики — закон сохранения импульса. Последний оказывается настолько глубоким, что он остается в физике даже тогда, когда ньютоновская механика уже не используется. Он является одним из тех законов, которые, будучи получены в качестве специальных теорем, в дальнейшем оказываются гораздо более важными и общими, чем постулаты, из которых они были выведены. Можно построить всю физику, полагая, что закон сохранения импульса является одним из исходных постулатов; в таком случае допущения, подобные третьему закону, окажутся при определенных оговорках теоремами.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Импульс, или количество движения,— фундаментальное понятие ньютоновской физики. Для частицы с массой т он определяется следующей формулой:
Определение. p=mv.
/ Второй закон Ньютона связывает действующую силу с изменением импульса:д а
)FAf = Др.
Деля (11.1) на А/, получаем
Если сила, действующая на частицу, равна нулю, изменение импульса также равно нулю. Это первый закон Ньютона.
Импульс силы
Изменение количества движения определяется произведением величины силы на время ее действия. Так, сила большой величины, действующая непродолжительно, может изменить импульс частицы так же, как и слабая сила, но действующая более длительное время. Оказывается полезным определить произведение силы, приложенной к телу, на время ее действия как импульс силы п.
Определение. Импульс силы=РА/.
Если сила постоянна по величине и направлению, то величина полного импульса силы за время / есть:
полный импульс силы^//.(11.3)
Численно она совпадает с площадью, заштрихованной на фиг. 92. Как правило, сила изменяется со временем. Если ее направление при этом
Фиг. 92.Ф и г. 93.
остается постоянным, то величина полного импульса силы определяется площадью под кривой, которая описывает зависимость силы от
времени. Эту площадь можно приближенно вычислить, разбивая отрезок времени на п малых интервалов п (фиг. 93). Тогда величина полного импульса силы будет равна сумме отдельных импульсов за время А/ при стремлении Д/ к нулю:
полный импульс =尸 1 (А% + 3 (А/%十・・・十尸〃(△/)“・ (И.4)
При уменьшении временных интервалов А / эта величина будет с любой желаемой точностью совпадать с площадью под кривой зависимости силы от времени. В наиболее общем случае, когда сила изменяется как по величине, так и по направлению, вектор полного импульса силы определяется как векторная сумма импульсов за малые временные интервалы (Д/)1,..., (ЛОп, на которые был разбит весь отрезок времени.
Определение. Полный импульс силы =
= F'(A〃 + F2(A/)2+・・・+F〃(A 0r
Из определения видно, что полный импульс силы — вектор.
Теорема 11.1. Полный импульс силы, приложенной к телу, равен полному изменению его количества движения.
Эта теорема сразу же следует из второго закона:
FAf = Ap.(11.5)
При этом существенно помнить, что написанное уравнение должно выполняться в любой момент времени 2). Поэтому если обозначить силу, действующую в момент 九,через Fn то изменение количества движения за интервал (Д/)1 будет равно
(11.6)(11・7)интер-(Н・8)(11.6)(11・7)интер-(Н・8)F】(M】 = (Ap)「
(11.6)
(11・7)
интер-
(Н・8)
(11.6)
(11・7)
интер-
(Н・8)
Такие же формулы справедливы и для (А/)?,...:
F2(A/)2 = (Ap)2,F3 (А/)з = (Ар)з，
F〃(A/)〃 = (A%・
Здесь, как и раньше, отрезок времени был разбит на п малых валов (A/)i,・・., (А/)„. Сложив все эти уравнения, получим
F】Q)i + F2 (А% 十・•・ + F〃 Q)〃 = (Ар)】+ (Ар% + ・・• + (Др)„.
Левая часть этого уравнения равна по определению полному импульсу
1)Как правило, физики используют именно букву п для обозначения какого-то фиксированного, но при этом произвольного целого числа.
2)По-видимому, не все можно осознать при первом знакомстве с законами движения. Довольно часто случается, что при доказательстве теорем или при выводе следствий из системы постулатов обнаруживается точный смысл самих постулатов.
силы, а правая — полному изменению количества движения. Следовательно,
полный импульс силы = полному изменению количества движения, что и требовалось доказать.
Полное изменение количества движения (конечный импульс минус начальный) можно представить в виде
полное изменение количества движения = рк — рн.(11.9)
Если масса тела остается постоянной, то его конечный и начальный импульсы соответственно
mvK и 团外，(11.10)
и теорема принимает вид
полный импульс силы = т (vK——vH) (масса постоянна). (11.11)
Пример 1. Предположим, что бейсбольный мяч весом в 0,5 кг, летевший на отбивающего со скоростью 72 км/ч, отскакивает после его
удара точно в сторону подающего со скоростью 144 км/ч. Пока по
дающий размышляет, приземлить ему мяч или нет, производитель бейсбольных мячей, сидящий на трибуне, пытается вычислить силу удара отбивающего.
Эту силу определить не просто. Ясно, что она действует весьма непродолжительно и ее величина резко изменяется со временем. Однако импульс силы, действую
щий со стороны биты на мяч (площадь под изображенной на фиг. 94 кривой), легко вычислить с помощью
теоремы 11.1. Так как масса мяча не изменяется,
полный импульс силы ~ т (vK — vH).
Масса мяча равна 0,5 кг. Конечная скорость ——
J по величине: 144 км/ч = 40 м/с, \ по направлению: <—.
Начальная скорость —
по величине: 72 км/ч = 20 м/с, по направлению: >.
Следовательно, величина полного импульса равна
0,5 кгх[40—(—20)] м/с = % (40+20)Н・с = 30Н・с.
Теперь фабрикант оценивает, что бита касалась мяча не более 1/10 с
(это значение довольно произвольно), откуда он заключает, что сила, действовавшая на мяч, импульс которой равнялся 30 Н-с, была в какой-то момент касания не меньше 300 Н.
Пример 2. Зачем нужны предохранительные ремни? Во время автомобильной катастрофы машина, двигавшаяся со скоростью 108 км/ч, останавливается, скажем, за 2 с. Что происходит при этом с пассажиром? Если пассажир останавливается вместе с машиной и остается на своем месте, то на него должна была бы подействовать сила, величину которой можно вычислить следующим образом.
Допустим, что масса пассажира 70 кг. Так как конечный импульс пассажира равен нулю, изменение его импульса составляет
Рк—PH = ^vK—mvH =
=0—70 кг х м/с по величине
\в направлении начального импульса = 2100 Н.с
в направлении, обратном направлению начального импульса. Такое изменение импульса производит постоянная сила, действующая в течение 2 с, следовательно,
FAf = 2100 Н-с,) направление силы противоположно
厂 2100 Н-с тт > направлению начального импульса F = FT~=l°50 Н 丿(巾95).)
Таким образом, чтобы остановить пассажира вместе с автомобилем, к нему необходимо приложить силу в 1050 Н, которая значительно больше, чем сила трения, возникающая между сиденьем автомобиля и брюками пассажира.
Если к пассажиру не прикладывается сила, он продолжает двигаться равномерно по прямой линии, в то время как автомобиль, в котором он находится, резко тормозится. К моменту, когда пассажир натыкается на ветровое стекло или приборную панель, автомобиль уже успевает немного замедлиться. Нетрудно вычислить, через какой промежуток времени Z после начала торможения пассажир разбивает ветровое стекло. Пусть di и d? — расстояния, которые проходят соответственно пассажир и ветровое стекло за время t (фиг. 96). Тогда dx=d2+ +0,5 м. Так как пассажир движется равномерно со скоростью 30 м/с
или一0,5 м = —м/с?) /2,или一0,5 м = —м/с?) /2,т. е.т. е.Следовательно,Следовательно,Фиг. 97. «Но они действительно спасают жизнь. Это, должно быть, исключение из правила».Фиг. 97. «Но они действительно спасают жизнь. Это, должно быть, исключение из правила».
или
一0,5 м = —м/с?) /2,
или
一0,5 м = —м/с?) /2,
т. е.
т. е.
Следовательно,
Следовательно,
Фиг. 97. «Но они действительно спасают жизнь. Это, должно быть, исключение из правила».
Фиг. 97. «Но они действительно спасают жизнь. Это, должно быть, исключение из правила».
(будем считать, что сиденье очень скользкое и не оказывает никакого сопротивления движению), то
& = ц/ = (30 м/с)/.
Ветровое стекло ускоряется (если хотите, замедляется) с постоянным ускорением в
=15 м/с2.
2 e/
Поэтому расстояние, которое оно проходит за время t (вспомните результат Галилея для случая, когда ускорение направлено в сторону, противоположную направлению начальной скорости), равно
d2 = %/ ——^а/? =(зом/с) t~(15 м/с2) /2.
Отсюда
& =厶一0,5 м = (30 м/с) t — 0,5 м = (30 м/с) f — (^ м/с2^ 伊，
/=/1^7以
За V4 с автомобиль замедлится на
15 м/с2~с ^ 4 м/с.
Поэтому, чтобы пассажир, приблизившийся к ветровому стеклу, замедлился до скорости автомобиля за % с, на него должна подействовать сила
尸=嘗=70 кг-4м/с—=1120Н
помимо силы в 1050 Н, необходимой для остановки пассажира вместе с автомобилем. Иными словами, суммарная сила, приложенная к пассажиру, равна 2170 Н! Вот для чего нужны привязные ремни.
Импульс системы многих тел
Импуйьс одного тела равен произведению его массы на скорость. Допустим теперь, что имеется N тел; полный импульс такой системы определяется как сумма всех отдельных импульсов:
Р = Р1 + Р2 + Рз+ ... +Рм(11.12)
Для двух тел
P = Pi + P2・(11.13)
В качестве примера рассмотрим два тела (фиг. 98). Полный импульс тел / и 2 равен векторной сумме pi и р2 (фиг. 99). В следующем примере полный импульс двух тел, имеющих равные, но противоположно направленные импульсы, обращается в нуль (фиг. 100).
八① н г. 98.八① н г. 98.Фиг. 99.Фиг. 99.0^> <^~®0^> <^~®① н г. 100.① н г. 100.
八
① н г. 98.
八
① н г. 98.
Фиг. 99.
Фиг. 99.
0^> <^~®
0^> <^~®
① н г. 100.
① н г. 100.
Теперь, используя третий закон Ньютона, докажем следующую теорему:
Теорема 11.2 (закон сохранения импульса). В отсутствие внешних сил полный импульс системы частиц остается постоянным.
Доказательство. Проведем доказательство для частного случая двух тел °, так как оно содержит основную идею и может быть легко обобщено на случай многих тел.
Пусть тело / обладает импульсом р^ а тело 2 — импульсом р2. Полный импульс системы двух тел
P = Pi + P2 (определение полного импульса). (11.14)
Необходимо доказать, что любое изменение импульса тела 1 равно и направлено противоположно изменению импульса тела 2. Это можно сделать следующим образом.
Рассмотрим тело 1. Любое изменение его импульса происходит под действием на него силы со стороны тела 2, которую обозначим F2 на i (так как, кроме этих двух тел, других тел нет). Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса тела /
(Apk = F2 на №)•(11-15)
В течение этого же промежутка времени тело / действовало с силой
D Сейчас мы рассматриваем частный случай двух тел для иллюстрации основных идей. Позднее мы проведем доказательство в общем случае, чтобы продемонстрировать некоторые особенности метода.
Fj на 纟 на тело 2, в результате чего импульс последнего изменился на величину
0Р)2 = F/ на 2 (А/)・
(11.16)
Полное изменение импульса системы равно
АР = (Ар)—(Ар)2， или, используя полученные выражения,
(1L17)
АР =『2 на / + F/ на 2)(А/)・
(11.18)
Если действующие силы подчиняются третьему закону, то F? на / равна по величине и противоположна по направлению силе F； на 2,
т. е.
сила
(11.19)
F2 на / + F/ на 2 = 0・
Отсюда следует, что
(11.20)
АР = 0, что и требовалось доказать.
(11.21)
Так как изменение полного импульса (количества движения) равно нулю за любой интервал времени, импульс системы сохраняет свое первоначальное значение. (Если импульс не изменяется, то его значе-
乡 с 乂叫&гс〃“乡 с 乂叫&гс〃“ние равно начальному.)
乡 с 乂叫&гс〃“
乡 с 乂叫&гс〃“
Ф и г. 101. Необходимо учитывать все тела, вызывающие действие сил. В случае ядра, падающего на Землю, сила тяготения действует на ядро, а к Земле приложена такая же, но противоположно направленная сила. Земля, однако, практически не смещается.—
Полученный результат чрезвычайно важен. Мы показали, что существует величина, называемая полным импульсом системы, которая остается постоянной независимо от того, что происходит с системой (и какой бы сложной она ни была). Если тела сталкиваются, если происходит взрыв, чтобы ни случилось, импульс остается прежним. Мы увидим, что этот результат позволяет проанализировать движение тел, даже когда силы неизвестны. Он является одним из многих общих результатов, лежащих в основе физики, которые гласят, что движение тел подчиняется определенным общим правилам, вытекающим из характера действующих сил, даже если подробности движения и природа сил нам неизвестны. В данном случае полный импульс системы сохраняется, так как любые силы независимо от их природы подчиняются третьему закону Ньютона. 一 ~
Теорема о сохранении импульса оказывается более фундаментальной, чем третий закон, из которого она следует. С точки зрения современной физики закон сохранения импульса непосредственно связан с тем, что пространство однородно — его свойства не меняются при переходе от одной точки к другой. Он остается справедливым даже тогда, когда у нас нет достаточных оснований считать, что действующие силы являются строго ньютоновскими. Та последовательность, в которой исторически рождались те или иные предположения, не всегда соответствует их действительной значимости.
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
В СЛУЧАЕ СТОЛКНОВЕНИЙ ЧАСТИЦ
Используя закон сохранения импульса, можно проанализировать движение частиц при столкновениях, не зная в подробностях действующие между ними силы. Позже мы увидим, что столкновения бывают различных типов. Некоторые из них можно исследовать до конца, используя только закон сохранения импульса, другие нельзя. Однако и в этих случаях, предп лагая некоторые дополнительные свойства сил, удается выяснить многое о движении тел, не детализируя характера сил.
Начнем с простейшего случая движения вдоль одного направления. Вообразим две частицы — для наглядности, например, два бильярдных шара. (Несмотря на наглядность, сравнение с бильярдными шарами на столе является несколько условным, так как шары вращаются. Было бы правильнее представлять два частицеподобных предмета — ледяные шайбы на поверхности замерзшего озера или бильярдные шары в межпланетном пространстве,— которые только перемещаются в пространстве, но не совершают других движений вроде вращения. Однако теория столкновений без бильярдных шаров, как и теория вероятности без рулетки, подобна трапезе без вина.)
Представим себе два бильярдных шара (сначала покоящихся), которые касаются друг друга, а затем разлетаются под действием силы, возникающей между ними. Нас не интересует вопрос, что это за сила. Она может появиться благодаря небольшому взрыву, пружине или любой другой причине. После взрыва шары движутся в разные стороны друг от друга. Можно ли, не зная подробностей воздействия, что-нибудь сказать о движении шаров после взрыва? Если бы мы попытались ответить на этот вопрос, опираясь непосредственно на законы Ньютона, нам следовало бы точно знать силу, действовавшую на бильярдные шары во время взрыва, что весьма затруднительно, так как величина этой силы достигает очень большого значения за чрезвычайно короткий промежуток времени и изменяется со временш по сложному закону. Однако мы можем справиться с задачей, используя закон сохранения импульса.
Анализ движения двух частиц равной массы, находившихся 6 начальный момент в покое
Перед взрывом (фиг. 102)
% = 0Pi = mVi = 0,(11.22)
va = 0р2 =mv2 = 0.(11.23)
Следовательно, полный импульс системы двух частиц
Р = Рт + Ра = °・(11.24)
Он остается неизменным, как бы частицы ни взаимодействовали между сабой (фиг. 103, 104).
Будем обозначать (фиг. 104) скорости после взрыва через v{ и v；.
После взрыва тело / движется со скоростью v；, а тело 2 — со скоростью
0®Фиг. 102,Перед взрывом.0®Фиг. 102,Перед взрывом.Фиг. 103.Во время взрыва.Фиг. 103.Во время взрыва.① н г. 104.После взрыва.① н г. 104.После взрыва.
0®
Фиг. 102,Перед взрывом.
0®
Фиг. 102,Перед взрывом.
Фиг. 103.
Во время взрыва.
Фиг. 103.
Во время взрыва.
① н г. 104.После взрыва.
① н г. 104.После взрыва.
v；・ Между V； и V； существует связь, так как полный импульс системы после взрыва, согласно теореме 11.2,
Р，= р;+р； =mv；+/nv； =0(11.25)
(импульс системы после взрыва совпадает с ее импульсом До взрыва, который равнялся нулю). Следовательно,
/nVi + mv2 = 0,(11.26)
или
v； = -v；・(11.27)
Таким образом, шары будут разлетаться в разные стороны с одинаковой скоростью независимо от конкретных свойств силы, разделившей их и.
В общем случае многих частиц закон сохранения импульса записывается в виде одного уравнения, которое всегда выполняется:
Р1 + Р2 + Рз+ ••• +Pn = const.(11.28)
Иными словами, полный импульс системы остается постоянным.
При решении задачи, которую принято называть проблемой столкновений, обычно говорят о начальном импульсе, или импульсе до
и Если массы частиц не равны друг другу, & 砂==—%
столкновения, и о конечном импульсе, или импульсе после столкновения. При столкновении частицы, как правило, взаимодействуют друг с другом очень короткий промежуток времени, в течение которого и происходит изменение их импульсов. Перед столкновением все частицы движутся согласно первому закону Ньютона, и после столкновения их движение снова подчиняется этому закону. Импульсы же частиц изменяются только во время самих столкновений.
Для системы двух частиц закон сохранения полного импульса записывается в общем случае в следующем виде:
Pi + Pz = P； + P；・ (1L29)
Отсюда видно, что, зная любые три импульса, можно определить четвертый. Например, если известны pi, р2 и р{, можно найти р；, т. е. конечный импульс второй частицы:
₽2 = Р1 + Рг — Pl- (11.30)
Так, при ядер ном столкновении, в котором участвуют два налетающих и два разлетающихся ядра (хотя система и не является ньютоновской, считается, что закон сохранения полного импульса выполняется), импульс одной из частиц обычно определяется путем измерения импульсов остальных трех ядер.
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Закон сохранения импульса дает соотношение, связывающее начальные и конечные импульсы частиц, участвующих в столкновении. Для системы из двух частиц это соотношение позволяет определить любой из импульсов, если известны три остальных. Оно было получено в предположении, что силы ньютоновские (т. е. подчиняется третьему закону). Обладают ли силы дополнительными общими свойствами, не зависящими от их конкретной природы, которые позволили бы нам получить другие величины, остающиеся постоянными во время движения? Изучение этого вопроса приводит нас к понятиям консервативных сил, работы и энергии, к обсуждению которых мы сейчас переходим.
Работа
Работа, производимая над частицей, равна произведению величины приложенной к ней силы на расстояние, проходимое частицей в направлении этой силы, или
Определение. Работа=силаХрасстояние, пройденное в направлении силы.
Это определение работы согласуется в некотором смысле с житейским понятием работы. Мы обычно говорим, что человек произвел большую работу, если он передвинул более тяжелый груз. Далее, мы
считаем, что он совершил примерно двойную работу, если передвинул груз на вдвое большее расстояние. Однако бывают случаи, когда человек мог бы сказать, что он работал — например, стоял и держал в руке чемодан,— но в смысле данного выше определения его работа равна нулю, так как чемодан оставался на месте. Это определение является одним из многочисленных примеров использования слов, заимствованных из житейской практики, в которые вкладывается
Сила.
Фиг. 105. Работа равна произведению силы на пройденный телом путь, если сила постоянна, а тело движется в направлении силы.
специальный технический смысл. Техническое значение этих слов имеет лишь ограниченную связь с их общепринятым значением. Можно, конечно, придумывать новые слова. Однако, если мы будем обозначать вводимые понятия совершенно отвлеченными словами, то эти понятия полностью потеряют какую-либо связь с общежитейскими понятиями и не будут вызывать у нас никаких ассоциаций — ни верных, ни неверных х). Необходимо подчеркнуть, что, говоря о работе, мы подра-
Фиг. 106.Фиг. 106.
Фиг. 106.
Фиг. 106.
зумеваем только такую работу, которая определена выше или будет определена в дальнейшем.
Принятое нами определение соответствует лишь самому простейшему случаю. Оно применимо только тогда, когда сила постоянна и действует в направлении движения (фиг. 105). Если сила задается в f Динах \ пасстояние — в /сантиметрах) (ньютонах丿，Р\ метрах ，
то работа будет иметь размерность (д^^^ь}
Если сила постоянна по величине, но ее направление не совпадает с направлением движения, то работа определяется как произведение величины проекции этой силы на направление движения и пройденного расстояния. На фиг. 106 изображен именно такой случай. Здесь величина F“ равна 户 cosO, а величина F丄 равна F sinO (см. при-
1)Примером придуманного термина является слово «энтропия», о котором будет говориться позже.
ложения, стр. 436). Сила F раскладывается на две компоненты, векторная сумма которых совпадает с F. Одна из них, F丄,перпендикулярна направлению движения, другая, F^, параллельна ему:
F 丄+ Fx = F・(И.31)
Определение работы в зт(ж случае имеет вид:
работа = F)j Xпройденное расстояние.(11.32)
Таким образом, мы можем обобщить данное ранее определение работы:
Определение. Если к телу приложена постоянная сила, то производимая над ним работа равна величине компоненты силы е направлении движения, умноженной на пройденное телом расстояние.
Из этого определения видно, что при заданной величине силы работа будет максимальной, если сила действует в направлении, совпадающем
八 CilAcu八 CilAcuФиг. 108.Фиг. 108.Фиг. 107.Фиг. 107.
八 CilAcu
八 CilAcu
Фиг. 108.
Фиг. 108.
Фиг. 107.
Фиг. 107.
с направлением движения тела. Если сила действует по направлению движения тела, она ускоряет его. Если же против, то замедляет.
Отметим три частных случая, нередко встречающихся в практике, когда работа производится постоянными силами.
Сила действует в направлении движения (фиг. 107):
произведенная работа =尸d・(11.33)
Сила перпендикулярна движению (фиг. 108):
произведенная работа =尸“ d = 0(11.34)
(F|j =Fcos90°=0, так как cos 90° = 0).
е=/80°е=/80°<—^——><—^——>
е=/80°
е=/80°
<—^——>
<—^——>
Фиг. 110.Фиг. 110.3.3.Фиг. 109.
Фиг. 110.
Фиг. 110.
3.
3.
Сила действует против движения (фиг. 109):
произведенная работа =巧| d = — Fd(11.35)
(F|l == F cos 180° = — F, так как cos 180° = —1).
Из определения работы следует, что возможны случаи, когда сила, действующая на тело, не производит работу. Так будет, если направление силы перпендикулярно направлению движения тела (фиг. НО). Однако мы знаем, что эта сила изменит направление движения тела. Поэтому, чтобы далее не производилась работа, сила тоже должна изменить свое направление, оставаясь перпендикулярной направле-
Ф и г. 111.
нию движения. Этого нетрудно добиться. Достаточно представить себе, например, шар, привязанный к концу веревки постоянной длины (фиг. 111).
Завершим определение работы, рассмотрев общий случай, когда сила не остается постоянной во время движения. Для нахождения работы в такой ситуации необходимо изобразить на графике кривую
Фиг. 112. Полная работа, ^=(F||)1(Ad)i4-(F||)2(Ad)2+« • -+(^10» (А砌小 становится равной площади под кривой при стремлении Ad к нулю.
зависимости величины компоненты силы в направлении движения от расстояния (фиг. 112). Тогда произведенная рабата будет равна площади заштрихованной области, находящейся под кривой. Это означает, что если перемещать тело на очень маленькое расстояние с одной Силой, затем на следующее малое расстояние с другой силой и так далее, то полная работа будет равна сумме работ, произведенных при каждом небольшом перемещении. В частном случае постоянной силы заштрихованная область на графике будет прямоугольником, н
работа, как и было определено ранее, будет равна произведению силы на расстояние.
Мы прнхопм, таким образом, к следующему общему определению работы, произведенной силой над телом:
Определение. В случае постоянной силы работа равна произведению силы в направлении движения на пройденное телом расстояние', если величина силы изменяется 6 процессе движения, работа численно равна площади области, находящейся под кривой зависимости компоненты силы, параллельной движению, от пройденного телом расстояния.
Пример /• Сизиф тащит свой камень на расстояние 3 м вдоль ровного участка ада и прикладывает к камню усилие в 400 Н. При этом он совершает работу (400 Н) х (3 м) = 1200 Дж. Однако на девятом круге, когда он тащит камень по льду замерзшего озера, Сизиф практически не совершает работы, так как не прикладывает к камню почти никакой силы. (Вообще говоря, Сизиф должен был выбирать иной, более трудный путь, путь, на котором не встречались бы подобные «препятствия».)
Пример 2. Хорошая пружина обладает тем свойством, что ее возвращающая сила пропорциональна величине растяжения (закон Гука1}). Спрашивается: какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть
2gh@ж€НЛ^ 夕 &^
Фиг. 113.
пружину на 50 см, если при растяжении на 1 см она сопротивляется с силой в 103 дин? График зависимости величины силы от растяжения представлен на фиг. 113. Произведенная работа равна площади
D После длительного спора ряда современников с довольно вспыльчивым Ньютоном по вопросу приоритета в открытии тех или иных законов (кто выдвинул идею первым?) история в конце концов приписала почти все из них Ньютону (иногда не очень справедливо). Говорят, например, что Гук, пытаясь экспериментально определить закон изменения силы тяжести с высотой, измерял величину g у подножия и на вершине горы. С помощью прибора, которым он располагал, ему не удалось заметить никаких изменений. Мы приписываем, однако, имя Гука «закону», определяющему силу для «идеальной» пружины:
(
число, зависящее \
от материала, из которого)Х(растяжение), изготовлена пружина /
заштрихованного треугольника, ограниченного вертикальной прямой, соответствующей 50 см:
^ = у х 50 смх5 -104 дин = 1,25 х 10е эрг.
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия частицы (понятие, сходное с vis viva, или живой силой, схоластов), часто обозначаемая буквой Т, определяется как произведение половины массы частицы на ее скорость в квадрате, или:
Определение. Кинетическая энергия =% то2.
Понятия живой силы и движущей силы (последняя называется теперь импульсом) были предложены еще при ранних попытках понять движение тел, и оба назывались силами движения. С современной точки зрения движущая сила, или импульс, связана с величиной силы, необходимой для изменения движения в течение заданного интервала времени, а кинетическая энергия, или живая сила,— с величиной силы, необходимой для изменения движения на заданном расстоянии.
Теорема 11.3. Работа, произведенная над телом, равна изменению его кинетической энергии.
Эта теорема справедлива всегда—при любом направлении силы относительно направления движения, как для постоянной, так и переменной во времени силы и т. п. Однако мы докажем ее лишь для простейшего случая постоянной силы, действующей в направлении движенияп.
}；Фиг. 114.
.t— I
—Y——И
Доказательство. Рассмотрим тело, которое под действием силы F перемещается из состояния покоя на расстояние d (фиг. 114). Сила направлена вдоль движения. Поэтому все векторы можно рассматривать как числа. По определению, произведенная работа W равна величине силы 尸,умноженной на расстояние d:
W=Fd.(11.36)
Изменение кинетической энергии равно разности между конечной и
D Во всех случаях, когда мы приводим простейшие доказательства, мы подразумеваем, что они содержат в себе все основные идеи полных доказательств. Последние требуют лишь технического усовершенствования этих идей и не приводятся в книге, так как либо не представляют для нас интереса, либо выходят пока за рамки наших возможностей.
начальной энергиями. Так как начальная кинетическая энергия рав* нялась нулю (тело находилось в покое), то
изменение кинетической энергии = конечная кинетическая энергия— начальная кинетическая энергия =(11.37)
=% mu? —0 = % ma2.
Для вычислеьзя % т^ необходимо найти и (скорость тела после прохождения расстояния d). Ее можво определить из второго закона Ньютона. Т)к как сила, приложенная к телу, постоянна, ускорение будет тоже постоянным и, согласно второму закону, равным
а = ^・(11.38)
При постоянном ускорении скорость связана со временем по формуле
на 九(11.39)
Но чему равно время, за которое тело проходит расстояние d с постоянным ускорением? На этот вопрос ответил еще Галилей, который получил зависимость пройденного пути от времени:
d = ^at2.(11.40)
Из этого выражения1) можно получить зависимость времени от расстояния:
(11.41)
Теперь мы располагаем всем необходимым; скомбинируем полученные формулы следующим образом. Конечная скорость
и = 〃九(11.42)
НО
%= /等.(11.43)
Поэтому
v = a ^ ^ = К 2^d.(11.44)
Далее,
"鳥(И.45)
так что
。=/ 2^d・(Н.46)
D Вопрос о том, почему нужно брать +厂，а не —У, обсуждается в приложениях, стр. 424.
Используя это выражение, получаем
изменение кинетической энергии = у /п№ =
= %т(МЦТтх2^ =
=Fd = произведенная работа,(11.47)
что и требовалось доказать.
Пример. В качестве упражнения рассмотрим вопрос, который обычно задают при сдаче экзаменов для получения водительских прав. Тормозной путь автомобиля, движущегося со скоростью 50 км/q* равен, например, 10 м. Чему равен тормозной путь этого же автомобиля, движущегося со скоростью 100 км/ч? Правильный ответ хорошо известен и гласит: 40 м. Мы в состоянии теперь обосновать этот ответ.
Очевидно, что при нажатии на тормоза к шинам со стороны дороги прикладывается сила, максимальное значение которой определяется их прокручиванием относительно обода. Обозначим ее буквой 尸.Для остановки автомобиля необходимо изменить его кинетическую энергию от начальной величины, % mv2t до конечнойг 0. Согласно теореме, изменение кинетической энергии равно произведенной работе. Следовательно, произведение максимальной силы на тормозной путь равно величине начальной кинетической энергии, % 加照 Поэтому длина тормозного пути определяется из следующего выражения:
—Fd = конечная кинетическая энергия — начальная厶只、
кинетическая энергия =—1/2 加i^.(Il・4“)
(Работа отрицательна, так как сила направлена против движения.) Таким образом,
Масса автомобиля и максимальная сила входят в это уравнение как постоянные. Отношение длин тормозных путей для двух различных начальных скоростей,力 и у2, равно
生_—史竺史!1= 石=而芽河一〈五丿♦生_—史竺史!1= 石=而芽河一〈五丿♦(11.50)(11.50)
生_—史竺史!1= 石=而芽河一〈五丿♦
生_—史竺史!1= 石=而芽河一〈五丿♦
(11.50)
(11.50)
т. е. отношение этих длин пропорционально квадрату отношения скоростей. Следовательно, если скорость возрастет вдвое, длина тормозного пути увеличится вчетверо, денежное допущение, использованное в этом выводе, состоит в том, что максимальная сила, приложенная к шинам со стороны дороги, не зависит от начальной скорости автомобиля, что довольно близко к истине.
Обсуждение теоремы 11.3. Необходимо отметить следующие моменты, относящиеся к теореме 11.3.
В теореме ничего не говорится о том, как быстро производится работа, или о времени, затраченном на нее. Утверждается, что независимо от затраченного времени изменение кинетической энергии равно произведенной работе.
Мы видим, что работа, совершаемая над телом, увеличивает его кинетическую энергию, если сила направлена по движению, и уменьшает ее, если сила направлена против движения.
Если сила перпендикулярна направлению движения, как в случае шара, вращающегося на конце веревки, то она не совершает над телом никакой работы, й его кинетическая энергия не изменяется — это случай вращения по окружности вокруг центра сил.
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
Вернемся теперь к изучению столкновений частиц. Рассмотрим, в частности, столкновение двух частиц, чтобы проиллюстрировать полезность понятия кинетической энергии при классификации подобных столкновений. Результаты, которые мы получим, снова окажутся более общими, чем сама теория столкновений ньютоновских частиц (в этом заключается одна из причин, почему к этим результатам проявляется повышенный интерес). В дальнейшем мы используем их при изучении столкновений таких неньютоновских объектов, как атомные ядра. До этого мы исследовали столкновения, используя теорему о сохранении импульса, справедливую, если силы ньютоновские, или если действие равно противодействию. Теперь мы покажем, что если наложить более жесткие ограничения на силы, действующие между частицами (при этом, однако, остается еще достаточно широкий класс возможных сил, часто встречающихся на практике), то при столкновении будет выполняться закон сохранения кинетической энергии.
Теорема 11.4. Если силы, действующие между двумя телами, таковы, что 〃无 величина 〃 направление зависят только от расстояния между телами, то кинетическая энергия до столкновения будет равна кинетической энергии после столкновения.
Так как кинетическая энергия во время столкновения не обязательно остается постоянйой, следует договориться, что мы понимаем под выражениями «до столкновения», «во время столкновения» и «после столкновения». Сделаем это следующим образом. Предположим (это допущение вводится лишь из соображений простоты), что силы обращаются в нуль, когда тела достаточно далеко удалены друг от друга. Такое предположение представляется довольно реалистичным, если иметь в виду столкновение двух тел, так как мы полагаем, что тела не действуют друг на друга ни до, ни после соприкосновенйя.
В качестве примера силы, удовлетворяющей первому требованию, но не удовлетворяющей второму, можно назвать гравитационную силу, которая зависит лишь от расстояния между двумя телами, но не обращается в нуль ни при каком значении этого расстояния. Последнее обстоятельство, однако, не вызывает серьезных затруднений, и позже будет показано, как их можно преодолеть. В качестве примеров сил, зависящих не только от расстояния между двумя телами, можно привести силу трения между телом и столом или силу, с которой воздух действует на тело, движущееся в нем. Такие силы всегда направлены против движения, поэтому их направление зависит не только от поло- его движения, т. е. они не удовлетворяют первому требованию.
Проведем доказательство теоремы для случая, когда силы, действующие между двумя частицами, т. е. силы, с которой одна частица воздействует на другую, направлены вдоль линии, соединяющей частицы. Такие силы называются центральными. Теорему можно распространить и на случай нецентральных сил.
Доказательство1}. Представим две частицы, приближающиеся
Ф и г. 116.Ф и г. 116.вдоль линии АВ и разлетающиеся вдоль CD. Силы, с которыми частицы взаимодействуют друг с другом, направлены вдоль линий, соединяющих эти частицы, т. е. вдоль АВ для налетающих и вдоль CD для разлетающихся частиц (фиг. 115). Суть доказательства состоит в сле-
Ф и г. 116.
Ф и г. 116.
дующем. За любой промежуток времени (скажем, А/) первая частица проходит путь A%i, а вторая — Дх2. На фиг. 116 изображены сближающиеся частицы.
Обозначим силу, с которой частица 2 действовала на частицу / в течение этого промежутка времени, через F2 на ъ а силу, с которой первая действовала на вторую, через F〔 на 2. Используя третий закон Ньютона, можно написать
F2Ha/ = — F/ на 2* (11.51)
D Доказательство будет сложным.
равно а [так что сила, зависящаяравно а [так что сила, зависящаяФиг. 118. Знак работы, совершаемой налетающими частицами, противоположен знаку работы, совершаемой разлетакмцимися частицами.Фиг. 118. Знак работы, совершаемой налетающими частицами, противоположен знаку работы, совершаемой разлетакмцимися частицами.
равно а [так что сила, зависящая
равно а [так что сила, зависящая
Фиг. 118. Знак работы, совершаемой налетающими частицами, противоположен знаку работы, совершаемой разлетакмцимися частицами.
Фиг. 118. Знак работы, совершаемой налетающими частицами, противоположен знаку работы, совершаемой разлетакмцимися частицами.
Величину этой силы обозначим через F. Поэтому рябота, совершенная над системой (т. е. работа над частицей / плюс работа над частицей 2), определяется из выражения
произведенная работа над сближающимися частицами 八^ 口力、 за время Д / = — F ((Ax)i + (Д^)2)-
(Работа отрицательна, так как в этом случае силы направлены против движения. Далее, векторы складываются как числа, потому что мы
^—^——>
nacte 1<
Фиг.Фиг.117.
Фиг.
Фиг.
ограничились случаем сил, действующих вдоль линии, соединяющей частицы.) Но (A%)i+(A%)2 есть как раз изменение расстояния d между двумя частицами, т. е. Ad・ Поэтому
произведенная работа над сближающимися частицамиза время Af =—尸(d)(Ad)・
Это выражение показывает, что если расстояние между частицами 'только от d, есть F(d)J, то работа,
совершаемая над частицами, которые сближаются на небольшое рас* стояние Ad, равна —尸(d) (Ad) (фиг. 117). Разлетаясь, частицы, находящиеся на расстоянии d, совершают друг над другом следующую работу:
произведенная работа над разлетающимися частицами за время kt = + F (d) (Ad), (11.54) поскольку при разлете расстояние между частицами не уменьшается, а возрастает; при сближении направление силы и направление движения совпадают, а при разлете они противоположны друг другу (фиг. 118). (В этом соль доказательства; для сил типа силы трения или сопротивления воздуха именно это условие не выполняется.) Таким образом, работа, совершаемая при уменьшении d на Ad, равна
тогда как при увеличении d на Ad она равна
+ F(d)Ad (разлет).(11.56)
Сложив эти выражения, получим нуль. Поскольку такое же рассуждение можно провести для любых расстояний между частицами, суммарная работа равна нулю. Следовательно, по теореме 11.3, и полное изменение кинетической энергии системы равно нулю, что и требовалось доказать.
Поясним сказанное, рассмотрев, к примеру, столкновение двух бильярдных шаров. При столкновении шаров сила между ними действует лишь во время их соприкосновения. Она очень велика и стремится развести шары. (Сталкиваясь, шары немного сжимаются, и именно благодаря сопротивлению по отношению к этому сжатию появляется сила, стремящаяся их снова развести.) Разойдясь, шары вновь принимают свою первоначальную форму; именно из-за способности шаров распрямляться действующая между ними сила зависит только от расстояния между центрами шаров (фиг. 119). Если бы они не были
ф и г« 119. Силы, действующие между упругими бильярдными шарами, зависят лишь От расстояния между шарами.
упругими и деформировались, как два мягких тела, то силы, действующие во время расхождения шаров и при их сближении (при одинаковых расстояниях между их центрами), были бы совершенно различными. Таким образом, эти силы зависели бы не только от расстояния между центрами шаров, но еще и от того, сближаются или разлетаются частицы (фиг, 120).
ОО ф о о
Фиг. 120. Силы, действующие между двумя глиняными шарами (неупругими), зависят также от предыстории движения шаров.
Так возникло понятие упругие столкновения. При таких столкновениях упругое тело принимает после соударения свою первоначальную форму, т. е. сила, распрямляющая тело, равна силе, сжимающей его. Силы взаимодействия между такими телами зависят лишь от расстояния между ними. Теперь мы можем сформулировать нашу теорему в следующем виде:
Теорема 11.4. При упругих столкновениях кинетическая энергия остается постоянной.
Упругие столкновения представляют большой интерес, в част^ ности потому, что почти все столкновения между элементарными, или ядерными, частицами являются упругими. Причину такого характера столкновений нетрудно понять. Неупругость связана с необратимыми изменениями формы тела. Если тело не имеет внутренней структуры, его нельзя деформировать. Когда пытаются выделить элементарные или фундаментальные частицы, стараются иметь дело с такими объектами, которые совсем не обладают или почти не обладают внутренней структурой. Поэтому при изучении столкновений между такими частицами часто считают, что последние не имеют внутренней структуры, и так как деформироваться в этом случае нечему, соударения являются упругими. При исследовании таких столкновений можно воспользоваться тем, что полный импульс частиц сохраняется, а также тем, что кинетическая энергия до столкновения равна кинетической энергии после столкновения. Как мы увидим, эти два общих результата имеют важнейшее значение при изучении столкновений между элементарными частицами, если неизвестен характер взаимодействия между ними.
О о о о
Фиг. 121.
Пример. В качестве интересного примера рассмотрим лобовое столкновение двух тел равной массы, когда одно из них вначале покоилось. (Такое столкновение иногда происходит на бильярдном столе, фиг. 121.) В этом случае
Р1 = т%, p2 = mv2 = 0.(11.57)
Соударение происходит вдоль прямой, поэтому все векторы складываются как числа, т. е.
Pi + P2 = Pi + pi(И.58)
mv1 = mvj + mv^, или
Ui = S + %•
илиилиСледовательно, сумма конечных скоростей равна начальной скорости. Далее, если столкновение упругое, начальная кинетическая энергия должна равняться конечной, т. е.
или
или
甯=(吩2+(u护.
Таким образом, мы имеем два уравнения:
Ui = u； + D： (закон сохранения импульса),
欢=(%)2 + (и；)2 (закон сохранения кинетической энергии).
Могут ли они выполняться одновременно? Если считать, что бильярдные шары не могут проходить друг сквозь друга, то единственное решение этой системы имеет вид
* = 0
и
t^H 0]・
(Показать, что полученное решение удовлетворяет обоим уравнениям, нетрудно, но гораздо сложнее доказать, что оно единственное) Из него следует, что после столкновения первый шар останавливается, а второй начинает двигаться со скоростью, которую первоначально имел первый шар.
Открытие нейтрона
В 1932 г. Чэдвик исследовал свойства незаряженных частиц, излучаемых куском бериллия, который подвергался бомбардировке альфа- частицами. Когда частицы пропускаются через газ, естественно ожидать, что между этими неизвестными частицами и ядрами атомов газа
Фиг. 122.Фиг. 122.
Фиг. 122.
Фиг. 122.
должны происходить лобовые столкновения, подобные описанным выше. Для выделения именно таких столкновений детектор помещался на линии выхода испускаемых бериллием частиц (фиг. 122). Поскольку Чэдвик не знал ни массу, ни скорость изучаемых частиц, для получения необходимой информации он пропускал эти частицы через два различных газа с известными массами атомов. Он использовал водород (ядра которого имеют массу тр, т. е. массу протона) и азот (масса ядра равна 14 тр). В случае водорода
12I 2(11.59)
откуда следует, что
殆=鳥〃("6о)
(Различие между этой и ранее рассмотренной задачей состоит в том, что массы сталкивающихся частиц не равны между собой.)
Для азота получим таким же способом:
，2m
"N 一九十14m〃"
Деля (11.60) на (11.61), имеем
哈 加+14加P 求 т + тР *
(11.61)
(11.62)
Чэдвик измерил отношение скоростей вылетающих из газа ядер и получил значение порядка 7,5, т.е.
или
Г一 弋^ 7,5(11.63)
tn « mp.(11.64)
Таким путем он пришел к выводу о существовании нейтрона, или незаряженной частицы, масса которой приблизительно равна массе про тона.
12
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Если подумать, то может показаться странным, что кинетическая энергия при упругих столкновениях, оставаясь одной и той же до и после столкновения, должна изменяться в процессе самого столкновения. Например, при столкновении двух одинаковых частиц, сближающихся с равными скоростями, существует момент времени, когда обе частицы полностью останавливаются (момент времени, разделяющий сближение и разлет частиц), и кинетическая энергия системы обращается в нуль, как бы совсем исчезая.
В отличие от кинетической энергии импульс системы остается постоянным до, во время и после столкновения. Конечно, ниоткуда не следует, что кинетическая энергия тоже должна оставаться постоянной, однако факт ее исчезновения и появления естественным образом подводит нас к вопросу: не существует ли нечто такое, что нарастает при уменьшении кинетической энергии, причем сумма кинетической энергии и этого нечто остается в течение всего столкновения постоянной?
Оказывается, что это нечто существует, и в случае сил, величина и направление которых зависят лишь от положения частиц системы, оно развивается в понятие, применимость которого выходит далеко за рамки проблемы столкновений, и настолько мощное, что оно определяет развитие будущих разделов физики и сохраняется даже тогда, когда механика в форме Ньютона уже неприменима. Это понятие называется потенциальной энергией. Это очень удачное название, так как вызывает у человека верные ассоциации. Понятие кинетической энергии, которую можно было бы назвать энергией движения, весьма наглядно, потому что оно связано со скоростью частицы. Понятие же потенциальной энергии, связанное с определенной внутренней структурой системы, менее наглядно, но оно характеризует способность (потенцию) превращения ее в энергию кинетическую.
Легче всего представить потенциальную энергию, если сравнить ее с запасенной энергией, которая способна переходить в энергию движения. За примерами далеко ходить не надо. Сжатая пружина обладает потенциальной энергией, которая переходит в энергию движения, если пружину освободить. Можно сказать, что поднятый на некоторую высоту груз тоже содержит потенциальную энергию в том смысле, что, если его отпустить, он начнет падать и будет набирать кинетическую энергию.
Начнем наши поиски потенциальной энергии с нахождения такой величины, которая остается постоянной во время движения, даже если кинетическая энергия при этом изменяется. Эту величину можно найти с помощью теоремы 11.3:
Wа^ ь (работа, произведенная над телом, при его перемещении из точки а 6 точку Ъ)=изменению кинетической энергии тела=кинетической энергии 6 точке Ь минус кинетическая энергия 6 точке а=Ть—Та. Величина, которая остается постоянной в процессе движения, получается из этого равенства путем совершенно тривиальной, на первый взгляд, перестановки слагаемых:
Ta = Tb-Wa^b. (12.1) Это соотношение означает, что начальная кинетическая энергия равна конечной энергии за вычетом работы, произведенной над телом. Начальная кинетическая энергия не зависит от последующего движения, поэтому она не изменяется в процессе движения. Это и есть та величина, которая остается постоянной.
Нельзя ли в таком случае определить разность потенциальных энергий как отрицательную работу, произведенную над телом? Оказывается, это можно сделать, не вводя при этом никаких ограничений на природу сил. Например, мы не обязаны ограничиваться силами, величина и направление которых зависят только от положения тел в системе, или силами, которые подчиняются третьему закону Ньютона, Таким образом, подобное определение возможно даже тогда, когда кинетическая энергия до столкновения не равна кинетической энергии после столкновения.
Представим брусок, скользящий по столу. Предположим, что его начальная кинетическая энергия равнялась Т. Сила трения, действующая между столом и бруском, замедляет его движение до тех пор, пока он не остановится, так что конечное значение кинетической энергии равно нулю. Из приведенной выше общей теоремы следует, что работа, произведенная над телом, равна начальной кинетической энергии со знаком «минус»:
Ta = -Wa^b, (12.2)
причем 7\, разумеется, является постоянной величиной (фиг. 123). Все эти рассуждения представляются весьма правдоподобными.
Однако определенная указанным образом разность потенциальных
Фиг. 123. Работа, произведенная над телом, равна — Fd\ начальная кинетическая энергия равна 】/? mv^ конечная кинетическая энергия равна нулю, поэтому работа, произведенная над телом, равна Та=0 + Fd=Fd,
энергий фактически необратима (во всяком случае, в том смысле, как нам этого хотелось бы) и не допускает никаких дальнейших интересных обобщений. Брусок, остановившись на столе, продолжает покоиться. Тем не менее можно обеспечить способность потенциальной энергии восстанавливаться и превращаться в кинетическую энергию, если
Фиг. 124. Брусок на идеально гладком столе, замедляющийся под действием постоянной силы со стороны веревки, на которой висит груз.
(Идеально гладкий стол был частью мысленного технического вооружения всех физиков-ньюто- нианцев.)
ограничиться рассмотрением сил, аналогичных силам, действующим при упругих столкновениях, т. е. зависящих только от положения тела. Тем самым мы исключим случаи, подобные рассмотренному выше, где сила, останавливающая брусок, всегда направлена против его движения. Когда брусок останавливается, сила исчезает и не появляется до тех пор, пока мы снова не начнем его двигать. Если бы сила, действующая на брусок, зависела только от его положения, она продолжала бы действовать и после остановки бруска, возвращая его в исходное положение с начальной кинетической энергией. Укажем, например, на поведение того же бруска на идеально гладком столе под действием постоянной силы, зависящей только от его положения. Такой опыт можно осуществить с помощью системы, показанной на фиг. 124.
В качестве другого примера исследуем движение частицы, вертикально подбрбшенной вблизи земной поверхности. Движение частицы вверх замедляется ПОД действием постоянной силы тяжести, которая удс&летворяет тому условию, что она зависит только от положения частицы d. (Сила тяжести, будучиВ качестве другого примера исследуем движение частицы, вертикально подбрбшенной вблизи земной поверхности. Движение частицы вверх замедляется ПОД действием постоянной силы тяжести, которая удс&летворяет тому условию, что она зависит только от положения частицы d. (Сила тяжести, будучиФиг. 125.Фиг. 125.простейшим примером таких сил, постоянна как по величине, так и по направлению.) В отличие от силы трения она не изменяет своего направления при изменении направления движения частицы.Предположим, что частица подброшена вверх из точки а (фиг. 125) с начальной кинетической энергией То Работа, совершенная силой тяжести над частицей при подъеме с нулевой высоты до вы-простейшим примером таких сил, постоянна как по величине, так и по направлению.) В отличие от силы трения она не изменяет своего направления при изменении направления движения частицы.Предположим, что частица подброшена вверх из точки а (фиг. 125) с начальной кинетической энергией То Работа, совершенная силой тяжести над частицей при подъеме с нулевой высоты до вы-соты %, равна — mgx. Когда эта работа (взятая с обратным знаком) оказывается равной начальной кинетической энергии, частица останавливается:соты %, равна — mgx. Когда эта работа (взятая с обратным знаком) оказывается равной начальной кинетической энергии, частица останавливается:mg% = Т〃・mg% = Т〃・(12.3)(12.3)Следовательно,максимальная высота подъема Ь = ^|・Следовательно,максимальная высота подъема Ь = ^|・(12.4)(12.4)
В качестве другого примера исследуем движение частицы, вертикально подбрбшенной вблизи земной поверхности. Движение частицы вверх замедляется ПОД действием постоянной силы тяжести, которая удс&летворяет тому условию, что она зависит только от положения частицы d. (Сила тяжести, будучи
В качестве другого примера исследуем движение частицы, вертикально подбрбшенной вблизи земной поверхности. Движение частицы вверх замедляется ПОД действием постоянной силы тяжести, которая удс&летворяет тому условию, что она зависит только от положения частицы d. (Сила тяжести, будучи
Фиг. 125.
Фиг. 125.
простейшим примером таких сил, постоянна как по величине, так и по направлению.) В отличие от силы трения она не изменяет своего направления при изменении направления движения частицы.
Предположим, что частица подброшена вверх из точки а (фиг. 125) с начальной кинетической энергией То Работа, совершенная силой тяжести над частицей при подъеме с нулевой высоты до вы-
простейшим примером таких сил, постоянна как по величине, так и по направлению.) В отличие от силы трения она не изменяет своего направления при изменении направления движения частицы.
Предположим, что частица подброшена вверх из точки а (фиг. 125) с начальной кинетической энергией То Работа, совершенная силой тяжести над частицей при подъеме с нулевой высоты до вы-
соты %, равна — mgx. Когда эта работа (взятая с обратным знаком) оказывается равной начальной кинетической энергии, частица останавливается:
соты %, равна — mgx. Когда эта работа (взятая с обратным знаком) оказывается равной начальной кинетической энергии, частица останавливается:
mg% = Т〃・
mg% = Т〃・
(12.3)
(12.3)
Следовательно,
максимальная высота подъема Ь = ^|・
Следовательно,
максимальная высота подъема Ь = ^|・
(12.4)
(12.4)
Достигнув максимальной высоты и остановившись, частица не повисает в воздухе. Она начинает падать и, когда долетает до Земли, набирает такое же количество кинетической энергии, какое у нее было вначале. Направление движения, однако, изменилось на противоположное. Таким образом, кинетическая энергия, уменьшавшаяся при движении частицы вверх, увеличивается при ее движении вниз. И когда частица возвращается в исходное положение, ее кинетическая энергия полностью восстанавливается. Подобная возможность восстановления кинетической энергии и придает смысл понятию потенциальной энергии.
Определим разность потенциальных энергий [см. уравнение (12.1)] как отрицательную работу, произведенную над телом при перемещении его из одной точки в другую, но будем считать, что это определение справедливо лишь тогда, когда силы зависят только от положения, поскольку именно для этого класса сил понятие потенциальной энергии приобретает особую ценность.
Определение. Разность потенциальных энергий 6 точках 〃〃匕= =—работе, произведенной над телом при перемещении еао из точки а в точку Ь.
1)В данном случае зависимость от положения тривиальная, т. е. нет никакой зависимости. Важно, Ч1обы сила не зависела от каких-либо других факторов, например от направления движения.
При указанных условиях кинетическая энергия, теряемая телом, может вновь восполняться, и при этом можно говорять о сохранении полной энергии. По этой причине силы, эавиеящие только от положения, называются консервативным и силами. Это такие силы, под действием которых механическая энергия сохраняется, подобно тому, как консервативным в политике считается тот, кто хранит традиции прошлого.
В качестве иллюстрации снова рассмотрим поведение частицы, находящейся под действием силы земного притяжения. Разность ее потенциальных энергий в точках и равна
—работе, совершенной над частицей при перемещении ее из % в &=(12.5)
=—(—mg) (/—%J = mg%—mg%.
Подставляя (12.5) в (12.1) и раскрывая выражения для кинетической энергии, получаем
；mvf+mgx1 = ^加嗚 + mg/.(12.6)
Предположим, что частица была подброшена с поверхности Земли со скоростью у0. В этом случае %i=0, и (12.6) записывается в виде
у mvl = j mu2 + tngx.у mvl = j mu2 + tngx.(12.7)(12.7)
у mvl = j mu2 + tngx.
у mvl = j mu2 + tngx.
(12.7)
(12.7)
Таким образсм, скорость и оказывается зависящей только от положения частицы. Можно, например, спросить: какое расстояние пройдет частица до остановки и начала падения? На максимальной высоте скорость частицы обращается в нуль (о=0). Поэтому
^tnvl=mgx^KZ t(12.8)
или
(12.9)
扭g%Maicc=mg扭g%Maicc=mgНа этой высоте скорость, а следовательно, и кинетическая энергия частицы равны нулю. Потенциальная же энергия частицы достигает здесь своего максимального значения, причем оно равно по величине начальному значению кинетической энергии, что легко показать с помощью полученных уравнений:
扭g%Maicc=mg
扭g%Maicc=mg
(12.10)
Затем частица начинает падать и со временем достигает поверхности Земли. Непосредственно перед ударом о Землю расстояние ее до поверхности обращается в нуль и скорость частицы достигает первоначального значения. Однако направление скорости в полете изменилось.
Теперь частица движется вниз, а не вверх. Тем не менее этот факт не сказывается на величине кинетической энергии, которая пропорциональна квадрату скорости, т. е. не зависит от направления движения. В данном случае можно считать, что в процессе движения кинетическая энергия сначала переходит в потенциальную, а затем наоборот, причем их сумма всегда остается постоянной величиной.
Для систем, состоящих из многих частиц, подобные представления не всегда очевидны. Кинетическая энергия может перейти в потенциальную и остаться в такой форме. Например, если забросить тело на какую-нибудь площадку, чтобы оно осталось на ней, кинетическая энергия тела перейдет в потенциальную; обратное же превращение ве произойдет до тех пор, пока мы не столкнем тело с площадки.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ЭНЕРГИИ
Быть может, наиболее важное свойство потенциальной энергии устанавливается следующей теоремой •
Теорема 12.1. Если силы, действующие на тело, консервативные9 то величина работы, затраченной на перемещение его из одной точки 6 другую, зависит только от положения начальной и конечной точек, или разность потенциальных энергий в двух точках зависит лишь от положения этих точек.
Чтобы оценить важность этой теоремы, рассмотрим случай, когда силы не являются консервативными. В этом случае работа, произведенная над телом, будет зависеть не только от его начального и конеч-
/*；Фиг, 126. Работа, проделанная над
/、、 бруском, равна произведению величи/нн силы трения на длину пройденного
(尸\ пути.
•^=фi
него положений, но и от пути, по которому перемещалось тело. Представим, например, брусок, движущийся с трением по столу. Так как сила трения всегда направлена против движения тела, работа, произведенная над бруском, будет равна величине силы, умноженной на волную длину пути (фиг. 126). Поэтому, если брусок перемещался из точки а в 6 по прямой, работа будет минимально возможной; если же он перемещался по криволинейному пути, произведенная над ним работа будет больше. Если попытаться определить потенциальную энергию в этом случае, она окажется зависящей не столько от начального и конечного положений тела, сколько от длины пути, пройденного им при перемещении из точки а в точку Ь. Другими словами,
работа, произведенная над телом, будет зависеть от истории его движения, т. е. от того, как оно перемещалось по столу.
Если хорошенько вдуматься в смысл полученного результата, станет ясно, насколько замечателен тот факт, что все-таки бывают случаи, когда работа, произведенная над телом, оказывается независящей от пути, по которому оно перемещалось, а определяется лишь положением тела в заданный момент. Такие случаи как раз и соответствуют консервативным силам. Проиллюстрируем доказательство, рассмотрев опять движение частицы под действием силы тяжести. Но теперь мы не будем ограничиваться лишь подбрасыванием частицы вверх из точки а до точки 6. Представим, что она может двигаться из а в b по любому из нескольких возможных путей. В частности, рассмотрим движение по прямолинейному пути, изученное ранее, и по замкнутому пути, показанному на фиг. 127.
Фиг, 127. Два пути, по "которым частица, находящаяся под действием однородной гравитационной силы вблизи земной поверхности, может перейти из точки а в точку 6.
Работа при перемещении частицы из а в 6 по прямой линии (расстояние между аиЬ обозначено через 用)равна ——mgh, как было показано ранее. Вычислим теперь работу вдоль ломаного пути aceb. Этот путь не является совершенно произвольным, но расчет работы вдоль него хорошо поясняет основную идею доказательства. На первом отрезке от а до с сила притяжения перпендикулярна направлению движения тела ——и в этом вся суть. Вдоль этого отрезка сила притяжения не совершает никакой работы; этим она в корне отличается от силы трения, которая совершала бы работу вдоль любого отрезка пути. На втором отрезке, от с до с, гравитационная сила направлена против движения и совершает работу, равную —mgh. Наконец, на последнем участке сила притяжения снова перпендикулярна направлению движения тела и не совершает работы. Поэтому работа вдоль всего пути aceb равна ——mgh, как и вдоль прямолинейного пути.
Путь произвольной формы можно разбить на большое число прямолинейных отрезков, каждый из которых будет либо горизонтальным, либо вертикальным (фиг. 128). Работа вдоль каждого горизонтального участка равна нулю, а вдоль каждого вертикального — произведению ——mg на длину этого участка. Но суммарная длина всех верти-
кальных отрезков от точки а до точки 6 всегда равна 瓦 поэтому полная работа на пути любой формы равна —mgh. Если сила не постоянна по величине и направлению, ее следует разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие на каждом отрезке ломаной кривой,
фиг. 128. Любой криволинейный йуть можно приближенно представить в виде большого числа вертикальных и горизонтальных отрезков.фиг. 128. Любой криволинейный йуть можно приближенно представить в виде большого числа вертикальных и горизонтальных отрезков.после чего, правильно сложив все элементарные работы, мы получим тот же результат.
фиг. 128. Любой криволинейный йуть можно приближенно представить в виде большого числа вертикальных и горизонтальных отрезков.
фиг. 128. Любой криволинейный йуть можно приближенно представить в виде большого числа вертикальных и горизонтальных отрезков.
В качестве хорошей иллюстрации могущества этой теоремы рассмотрим движение бусинки, соскальзывающей без трения вдоль проволоки произвольной формы, как показано на фиг. 129. Исследование такого рода задач привело физиков восемнадцатого века к введению понятия энергии. По
определению, движение без трения обозначает, что проволока не оказывает на бусинку никакого воздействия вдоль направления ее движения. Сила, с которой проволока действует на бусинку, перпендикулярна направлению движения — эта сила вынуждает бусинку оставаться на проволоке. Однако
сила, которая все время перпендикулярна направлению движения, не совершает никакой работы °. Работу совершает лишь гравитационная сила, всегда направленная вниз. Однако направление движения частицы непрерывно изменяется, так что для вычисления работы гравитационной силы необходимо разбить действительный путь на маленькие отрезки, спроектировать силу на направление движения на каждом отрезке
и сложить все элементарные работы. Если путь сложен, задача нахождения работы тоже сложна. При этом, если мы хотим узнать все подробности движения, эту сложную задачу следует решать с использованием второго закона Ньютона.
Предположим, однако, что нас интересует лишь скорость частицы в точке & если она вначале покоилась, скажем, в точке а. Если исполь
зовать полученный выше результат, то вычисления в этом случае зай мут лишь несколько строк. Из теоремы 11.3 следует, что
(12.11)(12.11)Тъ——Т〃 = работе, совершенной над бусинкойпри перемещении ее из а в 瓦
(12.11)
(12.11)
D Это можно описать другими словами: «Представим ситуацию, когда частица вынуждена перемещаться вдоль сложного пути под действием сил, не совершающих никакой работы, т. е. сил, всегда пер пендику л я р ных направлению движения».
В точке а бусинка покоилась, так что 0包=0 и Т@=0・ Поэтшу
(12.12)(12.12)(12.13)(12.13)Т6 = -~ mvl = работе, совершенной надбусинкой при перемещенииее из а в b = tngh.
(12.12)
(12.12)
(12.13)
(12.13)
Следовательно, скорость в точке 6 vb=V2gh.
Мы привели эти вычисления так подробно, чтобы подчеркнуть один замечательный факт. Всё, что нам потребовалocbz для вычисления конечной скорости, была работа, совершенная над частицей. Чтобы найти эту работу непосредственно вдоль искривленного пути, соответствующего форме проволоки, необходимо было решать очень сложную задачу, чего мы постарались избежать. Мы воспользовались тем, что работа, произведенная над частицей при перемещении ее из а в &, не зависит от пути, и вычислили ее, выбрав наиболее простой путь — из а в с вертикально вниз, где работа, совершенная на длине 九，равна /ng儿 а затем из с в & по горизонтальному пути, где работа равна нулю, так как сила перпендикулярна направлению движения.
В этом суть достигнутого нами упрощения. Если силы консервативные, то для вычисления их работы над частицей, которая перемещается из одной точки в другую, нет необходимости следовать вдоль действительной траектории частицы, а можно выбирать любой путь. Избрав самый простой из них, мы легко находим величину работы.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯЗАКОН СОХРАНЕНИЯМЕХАНИЧЕСКОЙМЕХАНИЧЕСКОЙ
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКОЙ
МЕХАНИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ
Полученный важный результат ——совершаемая работа зависит только от начального и конечного положений тела — может быть представлен более формально: величина работы консервативных сил при перемещений тела из точки а в точку 力，взятая со знаком минус (или разность потенциальных энергий в точках а и Ь), является функцией ° только а и 瓦
Сказать, что нечто является функцией только (зависит только от) какой-то величины, равносильно очшь сильному и жесткому утверждению, которое, правда, оставляет некоторый произвол, так как число возможных функций велико. В данном случае такое утв^)ждение соответствует вовсе не очевидному предположеншо, что работа не зависит ии от пути, ни от начальной скорости и т・ д. Она зависит только от
1)Общее рассмотрение свойств функций включено в приложения, см. стр. 417・
начальной и конечной точек. Поэтому можно написатьп, что разность потенциальных энергий в точках а и &, определенная как минус работа, произведенная над телом при перемещении его из а в Ь,=
= У(Ь)-У(а),(12.14)
где V обозначает потенциальную энергию, зависящую только от точки, в которой она определяется. (Тем самым мы приписываем каждой точке пространства определенное свойство, оказывающее влияние на движение тел. Позднее из этого мы разовьем понятие поля.) Тогда соотношение
(12.15)(12.16)(12.17)силы, дан-(12.18)(12.15)(12.16)(12.17)силы, дан-(12.18)Т@ = Ть минус произведенная над телом работа при перемещении его из а в 6 можно записать в виде
(12.15)
(12.16)
(12.17)
силы, дан-
(12.18)
(12.15)
(12.16)
(12.17)
силы, дан-
(12.18)
Ta = Tb + V(b}-V(a)9 или
Tb+V(b) = Ta + V(d).
Для частицы, движущейся под действием гравитационной ное уравнение принимает вид
g m囁 + mgxb = ^ 团呜 + mg%.
До сих пор мы имели дело лишь с разностью потенциальных энергий в двух точках. Попытаемся теперь приписать некий смысл понятию потенциальной энергии в одной точке, т. е. U(P). Определим потенциальную энергию в точке Р как разность потенциальных энергий в какой-то фиксированной (но произвольной) точке О и точке Р. Положение точки О можно выбирать из тех соображений, чтобы потенциаль-
1)Из теоремы 12.1 ср азу* же следует, что работа консервативных сил по перемещению тела из а в b является функцией только а и &, т. е.
步=m(a, ь).
Рассмотрим два пути, соединякицих а иЬ (фиг. 130). Так как работа вдоль верх- йего пути равна работе вдоль нижнего, можно написать
呼依 b) = W(at c) + W(cf b)・
Можно доказать, что это уравнение удовлетворяется, если
呼(Q, Ь) = ”(с) — F ⑷]+ ”(匕)_ 呼(с)] = IT 0) - W(a).
Более того, данное решение является единственным.
ная энергия имела наиболее простой вид, так как смещение фиксированной точки изменяет потенциальную энергию на постоянную величину, не зависящую от положения точки Р (фиг. 131).
Предположим, что в качестве фиксированной точки мы выбрали сначала точку О; тогда потенциальная энергия в %i равна работе со знаком минус на пути от О до хь потенциальная энергия в %? равна работе со знаком минус на пути от О дох2 и т. д. Если теперь зафиксировать точку О', то потенциальная энергия в %i будет равна работе Со знаком минус между О' и О плюс работа со знаком минус между О и %1. Потенциальная энергия в точке %2 будет равна работе со знаком минус на пути от О' до О плюс работа со знаком минус от О до х2 и т. д.:
потенциальная энергия в\ / потенциальная энергия в\ точке % с фиксированной ] = ( точке х с фиксированной )— точкой Оточкой О /
—(работа, совершенная на пути от О' до О).
Но работа на пути от О' до О не зависит от точки х. Следовательно, при замене фиксированной точки О на О' потенциальная энергия во всех точках изменяется на постоянную величину, равную работе со знаком минус на пути от О' до О. Это означает, что если мы вычислим потенциальную энергию относительно одной фиксированной точки, а затем вычислим ее же относительно другой точки, то значения потенциальных энергий в этих двух случаях будут различаться на постоянную величину. Выбор фиксированной точки несуществен, так как при практическом использовании потенциальной энергии приходится всегда вычитать значение потенциальной энергии в одной точке из ее значения в другой точке, так что постоянная выпадает из уравнений и.
Таким образом, нам удалось найти ту величину, которая независимо от изменений кинетической энергии остается постоянной при движении системы:
кинетическая энергия + потенциальная энергия.
Мы можем теперь ввести следующее определение механической энергии £:
D V0)—у(а)= [V(6)+const]—[V(a)+const].
Определение. Механическая энергия E=T+V.
Именно механическая энергия системы Е остается постоянной при движении.
Из определения потенциальной энергии следует, что она измеряется в тех же единицах, что и работа (поскольку потенциальная энергия равна работе со знаком минус при перемещении из одной точки в другую). Следовательно, потенциальная энергия измеряется в эргах (СГС) и джоулях (МКС). Потенциальная энергия частицы с массой 10 г, покоящейся на высоте 10 см над поверхностью Земли (фиксированная точка выбрана на поверхности), равна:
V = mgx= 10 г-980 см/с2 -10 см =
= 98 000 г.см2/с2 = 98 000 эрг.(12.19)
Из теоремы 11.3 следует (работа, произведенная над телом, равна изменению его кинетической энергии), что кинетическая энергия тела тоже измеряется в единицах работы (эрг, джоуль). Так, кинетическая энергия тела массой 10 г, движущегося со скоростью 10 см/с, равна
Т =у mv2 =у Ю г-(10 см/с)2 = 500 г-см2/с2 = 500 эрг. (12.20)
Таким образом, механическая энергия £, будучи суммой Т и V, тоже должна измеряться в тех же единицах работы (эрг, джоуль).
Частица с массой 10 г, на которую действует сила притяжения Земли, обладает энергией
Е =~mvl + mgx,(12.21)
где % — расстояние частицы от поверхности Земли, a vx — ее скорость в точке %. Если она покоится на высоте 10 см над поверхностью Земли, то
Е = 0+10 г -980 см/с2 -10 см = 98 000 эрг. (12.22)
Если теперь отпустить частицу, то, достигнув Земли, она наберет кинетическую энергию, равную начальной потенциальной, так как потенциальная энергия частицы на поверхности Земли равна нулю, а полная энергия должна оставаться постоянной. Таким образом,
£ = ^- т^о + 0 = 98 000 эрг,(12.23)
откуда
2-98 000 г-см2/с2 —2-98 000 г-см2/с2 —10 г10 г
2-98 000 г-см2/с2 —
2-98 000 г-см2/с2 —
10 г
10 г
(12.24)(12.24)= /19600 см2/с2= 140 см/с.
(12.24)
(12.24)
Мы теперь в состоянии сформулировать для ньютоновских систем
Закон сохранения энергии. Если на систему действуют консервы тивные силы, то энергия системы, определенная как сумма кинетине* ской и потенциальной энергий, остается постоянной при ее дви* жении.
Как и в случае импульса, энергия для механических систем, определенная указанным выше образом, оказывается гораздо более общим понятием, чем те исходные предпосылки, на основании которых она была введена. Понятие энергии и закон сохранения энергии остаются справедливыми в обобщенном виде для систем, которые не являются ньютоновскими, и для сил с гораздо более сложной структурой, чем рассмотренные нами. Таким образом, понятия импульса и энергии, введенные в теории движения ньютоновских или декартовых частиц, в действительности оказываются более глубокими, чем сама теория.
Энергию системы многих частиц можно определить следующим образом:
Е = А + 7\ + ・・・十 Tn+ У (%],・・・，％№)• (12.25)
Иначе говоря, эта энергия равна сумме кинетических энергий всех частиц плюс потенциальная энергия, которая зависит от положений всех частиц. С помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, можно показать, что введенная таким образом энергия остается постоянной при движении системы из многих частиц.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ НЕКОТОРЫХ
ПРОСТЫХ СИЛОВЫХ СИСТЕМ
Изучим теперь несколько часто встречающихся и используемых консервативных систем. Начнем с частицы, на которую действует постоянная сила, например частицы, находящейся вблизи поверхности
? JI ① н г. 132.
Земли под действием однородной гравитационной силы (фиг. 132). Работа, затраченная на перемещение частицы из нулевой точки %=0 в точку %, равна —mgxt следовательно, потенциальная энергия частицы
V (х) = mgx.(12.26)
Если рассмотреть ряд плоскостей, параллельных земной поверхности, то на каждой из них потенциальная энергия будет постоянной, так как последняя зав映ит лишь от расстояния частицы до Земли. Эти пло-
скости можно назвать эквипотенциальными плоскостями (эквипотенциал ями). Полезно напомнить, что частицу можно перемещать по этим плоскостям, не совершая работы.
Определим теперь потенциальную энергию частицы, находящейся под действиш реальной силы притяжения Земли. На частицу с массой m действует сила
Г = ^ (величина), 専.27) к центру Земли (направление),
так, как показано на фиг. 133.
Фиг. 133.Фиг. 133.
Фиг. 133.
Фиг. 133.
Удобно начать с определения эквипотенциальных поверхностей. Как и ранее, потенциальная энергия на этих поверхностях должна быть постоянной, или, что то же самое, работа по перемещению частицы от одной точки поверхности к другой должна быть равна нулю. В случае силы, всегда направленной к центру Земли подобно гравитационной силе, найти такие поверхности не представляет труда. Любая сферическая поверхность относительно центра Земли будет поверхностью, на которой потенциальная энергия постоянна. В этом можно убедиться следующим образом. При перемещении частицы из одной точки поверхности в другую гравитационная сила будет всегда перпендикулярна направлению движения, так как радиус всегда образует прямой угол с поверхностью сферы. Поэтому при таком движении гравитационная сила не совершает никакой работы, т. е. потенциальная энергия на поверхности сферы во всех точках одинакова. Отсюда видно, что потенциальная энергия, связанная с гравитационной силой, может зависеть только от расстояния (по радиусу) частицы до центра, но не от направления этого радиуса. (Здесь проявляется свойство симметрии, с которым мы неоднократно будем иметь дело в дальнейшем.)
В таком случае, чтобы найти потенциальную энергию частицы, на которую действует гравитационная сила, можно вычислить работу по перемещению частицы вдоль простейшего из возможных путей от одной сферы к другой. Например (см. фиг. 133), чтобы вычислить работу
вдоль искривленного пути ЛВ, можно проводить вычисления сначала вдоль пути ЛС, а затем вдоль радиального пути СВ・ Разность потенциальных энергий в точках Л и С равна нулю, так как эти точки лежат на эквипотенциальной поверхности. Поэтому разность потенциальных энергий в точках Л и В равна разности этих энергий в точках С и В.
Таким образом, нам остается лишь вычислить разность потенциальных энергий при перемещении частицы по радиальной линии.
① и г. 134.Фиг. 135.① и г. 134.Фиг. 135.
① и г. 134.Фиг. 135.
① и г. 134.Фиг. 135.
Сила, действующая на частицу при таком движении, равна
Р^ОМт (величина) (сила направлена к центру). (12.28)
Будем считать, что частица движется к центру. Работу по перемещению частицы из & в Ri (фиг. 134) можно вычислить, разбивая интервал на большое количество маленьких отрезков и определяя сумму
尸］(AR)i + &(AR)2+ ・・・ + &(AR)〃，(12.29)
которая численно равна площади, заштрихованной на фиг. 135. Суммирование можно провести точно, и в результате получим
—работа по перемещению частицы из R? в R =—работа по перемещению частицы из R? в R == V(RJ—V(RJ == V(RJ—V(RJ =GMmGMmGMmGMm(12.30)(12.30)
—работа по перемещению частицы из R? в R =
—работа по перемещению частицы из R? в R =
= V(RJ—V(RJ =
= V(RJ—V(RJ =
GMm
GMm
GMm
GMm
(12.30)
(12.30)
① и г. 136.① и г. 136.
① и г. 136.
① и г. 136.
Для такой системы фиксированная точка часто удаляется на бесконечность (7?2=оо). При этом GMm/^2=0f когда 欠2=°°・ Следователь-
но, гравитационная потенциальная энергия (при указанном выборе фиксированной точки) имеет вид
V(R)= —嘗. (12.31)
Пример 1, Геофизическая ракета. Допустим, что понадобилось запустить ракету, которая поднялась бы на высоту 6400 км (один радиус Земли), а затем возвратилась бы обратно на Землю (фиг. 136). Какой
начальной скоростью должна обладать ракета? Обозначим максимальную скорость, которую ей сообщил двигатель после выгорания топлива,
через %. Энергия ракеты в этот момент
e=7 + y = ^m党一簧
и остается постоянной при ее движении.
GMmGMm口 12 GMm口 12 GMmНа максимальной высоте, равной 2Яз , скорость ракеты обращается в нуль. Поэтому
GMm
GMm
口 12 GMm
口 12 GMm
1 2万加廟1 2万加廟GMm ад?GMm ад?или
1 2万加廟
1 2万加廟
GMm ад?
GMm ад?
так чю
=/?Кз =/9,8 м/с2-6,4- Ю6 м = 7920 м/с = 7,9 км/с
(напомним, что g=GM/R^; мы использовали это равенство для упрощения расчетов).
Пример 2. Вторая космическая скорость. Какой должна быть скорость ракеты, чтобы она никогда не вернулась на Землю? Минимальная скорость (ее называют второй космической скоростью) соответствует уходу ракеты на бесконечность (R=8), где ее скорость обращается в нуль. Полная механическая энергия
(12.32)(12.32)口 12 GMm
(12.32)
(12.32)
e=9
При R=8 потенциальная энергия, —GMm/R, равна нулю. Так как скорость при R=8 должна равняться нулю или быть положительной, кинетическая энергия ракеты (а следовательно, и полная энергия) должна тоже равняться нулю или быть больше нуля при 欠=8・ Но полная механическая энергия сохраняется. Поэтому Е должна быть положительной, чтобы ракета смогла навсегда покинуть Землю.
Отсюда следует, что на Земле величина v2 должна быть больше по крайней мере, чем
2GM
или
Но
鴇=g=9,8 м/e2,
поэтому
V = /2・(9,8 м/с2)・Кз = ^2-9,8 м/с2-6,4- 106м ^11,2 км/с.
(Используя наше определение гравитационной потенциальной энергии, мы установили, что тела, энергия которых меньше нуля, «привязаны» к Земле, а тела с положительной энергией покидают ее навсегда. Можно также сказать, что замкнутые эллиптические орбиты характеризуются отрицательными энергиями, а открытые гиперболические — положительными.)
На фиг. 137 представлен график гравитационной потенциальной энергии тела в зависимости от расстояния до центра Земли. Полная энергия
Е=^т№—争. (12.32)
Если £ меньше нуля, тело не может покинуть Землю. Всегда найдется такое значение R, при котором скорость тела обратится в нуль; достигнув этой высоты (так называемой точки поворота), тело останавливается
Фиг. 137. Точку поворота можно найти, проведя прямую постоянной энергии Е (горизонтальную прямую). Точка поворота находится на пересечении этой прямой с графиком потенциальной энергии.
и начинает двигаться в противоположном направлении. То же самое можно выразить более формально: если £<0, то при и=0 (тело остановилось)
口GMm
откуда можно получить положительное значение для R:
dGMtn
* =
Если же энергия положительна, положительного значения для R получить нельзя. Это означает, что и не может обратиться в нуль, т. е. точки поворота нет, тело никогда не остановится и не вернется на Землю.
Представим себе, что поперечное сечение профиля потенциальной энергии напоминает блюдо (фиг. 138) (или вообразим круговой холм
с долиной посередине). Потенциальная энергия тела в этом случае будет равна
mgx,
где х — высота тела над уровнем долины (фиксированная точка лежит на ее поверхности). Его полная энергия
£ =~ mu2 + mgx.
При заданной энергии £ максимальная высота, которой может достигнуть тело, определяется из условия, что и=0:
*макс = /・
Если хмакс>й 伍—высота холма), то тело перевалит через вершину. Если же хмакс<^, или EVmgh, тело будет оставаться в долине, «катаясь» по ней взад и вперед, но не покидая ее.
Пример 3. Маневр сближения ракет. При выводе закона сохранения энергии считалось, что силы, действующие в какой-то системе, являются консервативными и что их действие удобно описывать потенциальной энергией. Однако иногда представляется более удобным рассматривать некоторые силы, действующие на тело, как «внешние», т. е. как силы, способные изменить энергию тела. Используя теоремы 11.3 и 12.1, можно написать п
работа «внешних сил» по перемещению тела из а в Ь ==изменению энергии тела (а ~> 6),
旧 внешн —尸 г
В качестве примера рассмотрим случай, когда желательно уменьшить радиус орбиты спутника Земли. Допустим, что для этого маневра используются вспомогательные маломощные двигатели. Силы, действующие со стороны двигателей, рассматриваются как «внешние»: они способны изменить энергию космического корабля. Тогда работа,
1)Из теоремы 11.3 следует, что 呼成7Ь=&=7а・ пусть 外Г产映曙叶唳一九; 0职 W~=Tb+Vb-(Ta+V^Eb^Ea.
произведенная двигателями над кораблем при перемещении его из точки а в точку Ь, равна
W^ = Eb-Ea.
Энергия космического корабля, движущегося под действием гравитационной силы, есть
£ = -тг mu2.(12.32)
Так как корабль обращается по круговой орбите,
尸=ma =賢 (величина),
и одновременно
£ = £^1 (величина).
Следовательно,
GMm — mu2
или
1 GMmПодставляя это соотношение в1 GMmПодставляя это соотношение вшего радиуса с большей скоростьюшего радиуса с большей скоростью1 9(12.32), получаем общий и важный результат:£= — 12^.(12.33)Представим теперь два спутника Земли, круговые орбиты которых лежат в одной плоскости и имеют радиусы Rb и R。(фиг. 139). Пусть космонавт в корабле 2 (R=Rj пожелал присоединиться к своему коллеге из корабля 1 (R=R&). Как он это осуществит? Спутник снабжен небольшими двигателями, которые можно включить, чтобы изменить движение.Чтобы достигнуть корабля /, который движется по орбите мень-но обладает меньшей1 9(12.32), получаем общий и важный результат:£= — 12^.(12.33)Представим теперь два спутника Земли, круговые орбиты которых лежат в одной плоскости и имеют радиусы Rb и R。(фиг. 139). Пусть космонавт в корабле 2 (R=Rj пожелал присоединиться к своему коллеге из корабля 1 (R=R&). Как он это осуществит? Спутник снабжен небольшими двигателями, которые можно включить, чтобы изменить движение.Чтобы достигнуть корабля /, который движется по орбите мень-но обладает меньшей
1 GMm
Подставляя это соотношение в
1 GMm
Подставляя это соотношение в
шего радиуса с большей скоростью
шего радиуса с большей скоростью
1 9
(12.32), получаем общий и важный результат:
£= — 12^.(12.33)
Представим теперь два спутника Земли, круговые орбиты которых лежат в одной плоскости и имеют радиусы Rb и R。(фиг. 139). Пусть космонавт в корабле 2 (R=Rj пожелал присоединиться к своему коллеге из корабля 1 (R=R&). Как он это осуществит? Спутник снабжен небольшими двигателями, которые можно включить, чтобы изменить движение.
Чтобы достигнуть корабля /, который движется по орбите мень-
но обладает меньшей
1 9
(12.32), получаем общий и важный результат:
£= — 12^.(12.33)
Представим теперь два спутника Земли, круговые орбиты которых лежат в одной плоскости и имеют радиусы Rb и R。(фиг. 139). Пусть космонавт в корабле 2 (R=Rj пожелал присоединиться к своему коллеге из корабля 1 (R=R&). Как он это осуществит? Спутник снабжен небольшими двигателями, которые можно включить, чтобы изменить движение.
Чтобы достигнуть корабля /, который движется по орбите мень-
но обладает меньшей
энергией (напомним, чтоЕ=—^ 然超;при уменьшении R величина Е принимает большие отрицательные значения, т. е. уменьшается), космонавт 2 должен включить двигатель, действующий против движения, уменьшая тем самым энергию корабля, но увеличивая при этом его
скорость! Допустим, двигатель действует на корабль с постоянной силой F, направленной все время против движения (фиг. 140). Тогда работа, совершенная этой силой над кораблем, равна произведению силы на пройденное им расстояние. Это соотношение можно представить в более удобной для космонавта (желающего знать, сколько вре-
Фиг.Фиг.140.140.
Фиг.
Фиг.
140.
140.
мени должен работать двигатель) форме:
работа = сила х скорость х время.
(Скорость корабля слегка изменится за это время, однако, если Ra и 7?ь близки, это изменение несущественно.) Поэтому приближенно
ИЛИИЛИ刃АЬ =-尸必/ =邑一Ea，
ИЛИ
ИЛИ
1 GMm J 1 GMm— 1 GMm(卩 p)5 一^T十T "^】=万 岛氏(此-k"'
откуда
尸А£=4就!加(凡一&)■
Для типичных орбит (скажем, на высоте 200 км над поверхностью Земли) можно положить, например, 7?а=6602 км, a R&=6600 км (Rq—女匕=2 км). Оценим величину 尸Af, считая приближенно, что Ra^Rb^R^ =6400 км и u=/gR3 • Тогда
（凡一&）•（凡一&）•
（凡一&）•
（凡一&）•
Полагая, что масса корабля равна 1500 кг, получаем
尸 А/ =響 /g^ • 2• IO? 1875 Н ・ с, т. е. корабль перейдет на нужную орбиту, если двигатель будет действовать с силой, например, в 375 Н в течение 5 с п.
1)Вычисление нужного импульса силы производит бортовая электронная машина с точностью до четырех знаков после запятой. Однако космонавт должен понимать, что если машина указывает ему величину, например, порядка 10 000 Н・с, то эту величину следует считать заведомо неверной и рассматривать ее как результат ошибочной работы машины. Вообще, если машина ошибается, то лучше будет, если она ошибается крупно.
Космонавту, должно быть, покажется странным, что он не может догнать другой корабль, идя за ним в хвосте и увеличивая скорость своего корабля. Если корабли движутся по одной орбите, то сила, увеличивающая энергию догоняющего корабля, увеличит радиус его орбиты и уменьшит его скорость; сила же, уменьшающая его энергию, уменьшит радиус его орбиты и увеличит скорость корабля. Поэтому для встречи с космонавтом / космонавт 2 должен избрать путь, подобный изображенному на фиг. 141.
Фиг. 141.
Мы могли бы задаться вопросом: где же собственно хранится запасенная потенциальная энергия? Кинетическая энергия тела,, обусловленная его движением, всегда на виду и может быть легко вычислена, если известна скорость тела. Потенциальную же энергию представить гораздо сложнее. Можно было бы сказать, что она находится где-то внутри системы. Однако, если в случае, например, пружины можно было бы утверждать, что потенциальная энергия хранится где-то в витках пружины, то как быть в случае частицы, находящейся над поверхностью Земли? Мы всегда стараемся придумать наглядные картинки для объяснения или представления тех величии и понятий, с которыми нам приходится иметь дело. Иногда нам удается сделать это и даже с явной пользой, но такой подход вовсе не обязательно будет плодотворным, поскольку заранее не ясно, должны ли введенные неличины и понятия иметь наглядное истолкование. В истории физики известно много случаев, когда попытки наглядного толкования таких математических понятий, как потенциальная энергия, при помощи сжатых пружин или других механических моделей часто приводили ученых к неверным результатам. Смысл потенциальной энергии заключен только в ее определении, а именно: иногда можно ввести такую вели-
чину, зависящую от положения частицы, которая в сумме с ее кинетической энергией образует другую величину, остающуюся постоянной в процессе движения.
Существуют ли неконсервативные си儿曲 Всегда ли сохраняется энергия?
Различие между консервативными и неконсервативными силами могло бы быть фундаментальным. В этом случае закон сохранения энергии, как мы его определили, выполнялся бы только для определенного класса сил. Можно было бы утверждать, что в случае бруска, скользящего по столу, или шара, испытывающего сопротивление воздуха (явно неконсервативные системы), энергия не сохраняется; и это было бы абсолютно верно с точки зрения определения закона сохранения, введенного ранее. Однако мы можем встать на ту точку зрения (она оказалась приемлемой и даже плодотворной), что неконсервативные силы не являются фундаментальными. Для этого будем считать, что брусок и стол, между которыми действует сила трения, не являются сплошными, а состоят из большого числа частиц. Рассматривая силы, действующие между этими частицами, мы тем самым исследуем систему, которая уже консервативна.
Конечно, нет никакой гарантии, что всегда нам удастся перейти от неконсервативной системы к консервативной. Попытки осуществить такой переход отражают лишь нашу решимость видеть мир устроенным определенным образом. Однако следует отметить, что во всех задачах, включавших сопротивление воздуха или силу трения, всегда удавалось показать, что полная энергия системы сохранялась, если рассматривались движения всех частиц (молекул), из которых «в действительности» состоял, например, воздух. Такой переход удавалось последовательно и успешно проводить в жизнь вплоть до настоящего времени. Когда физики встречались с явным нарушением закона сохранения энергии, они постулировали существование новых форм энергии или новых частиц. Можно рассматривать законы сохранения энергии и импульса в первую очередь как недвусмысленное указание искать либо новый механизм, либо новые представления, либо новую частицу во всех случаях, когда происходит очевидное нарушение этих законов. Конечно, нет никакой гарантии, что в будущем всегда окажется возможным осуществить такую программу и не придется под давлением неопровержимых доказательств отказаться от нее. Можно только констатировать, что осуществление подобной программы было до настоящего времени успешным и плодотворным. (Позднее мы рассмотрим конкретный пример кажущейся потери механической энергии при скольжении бруска по неидеальной гладкой поверхности.)
13
СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ
Как далеко мы можем продвинуться в объяснении явлений природы, опираясь лишь на законы Ньютона? Оказывается, очень далеко, если добавить к представлениям Ньютона те новые идеи, которые развивались вслед за ними вплоть до конца девятнадцатого века. С их помощью можно объяснить практически все макроскопические явления в природе, и, если бы наш мир состоял только из таких явлений, теория Ньютона давала бы почти полное описание этого мира. Однако теория Ньютона не в силах объяснить, почему одно тело твердое, а другое мягкое, почему одно тело прозрачное, а другое нет, она не в состоянии объяснить и свойства атомов, из которых состоят эти тела.
До сих пор мы оперировали только следующими простыми понятиями: законы движения, частицы, пустота и гравитационная сила притяжения. Мы мало что знаем о природе других сил, но полагаем, что все силы подчиняются третьему закону Ньютона. Ниже мы будем иногда приписывать силам нужные нам свойства без подробных доказательств, но не потому, что эти подробности не важны, а потому, что их невозможно описать в рамках теории Ньютона.
Движение системы многих частиц, взаимодействующих между собой, подводит нас к так называемой проблеме многих тел. Эта проблема может быть в принципе решена при помощи законов Ньютона, однако получить это решение из постулатов движения, не вводя дополнительных предположений, можно лишь в предельно простых случаях. Иногда говорят, что если бы существовала гигантская вычислительная машина (предполагая тем самым, что весь вопрос — в количестве вычислений), в которую вводились бы определенные правила (ньютоновские законы движения для заданной системы сил), то с ее помощью можно было бы найти решение проблемы многих частиц и таким образом вывести истинное движение тел.
С подобным положением дел мы встречаемся в шахматной игре: здесь заданы фигуры, известны правила их передвижения, и всё, что происходит на доске, подчиняется этим правилам, так что в принципе можно предвидеть все следствия из любой позиции. Например, при заданной расстановке фигур всегда можно предсказать, выиграют ли белые или черные. Однако практически это сделать невозможно, именно поэтому шахматы и остаются игрой. Человеческий мозг не в состоянии проанализировать все следствия, когда система правил достаточно сложна.
Поэтому, чтобы разрешить подобные проблемы, часто вводят дополнительные упрощающие предположения. Как правило, эти предположения не являются, например, новыми постулатами движения — скорее, это недоказанные теоремы, справедливость которых принимается
на веру. Далее они используются при доказательстве других теорем. Так, например, в геометрии Евклида можно было бы принять без доказательства, что теорема о сумме углов треугольника является следствием исходных постулатов, а затем использовать эту недоказанную теорему при доказательстве других теорем. Подобная процедура связана с определенным риском, так как может оказаться, что принятая без доказательства теорема независима по отношению к исходным постулатам. Само по себе это не страшно, потому что в теорию всегда можно ввести дополнительный постулат. Хуже, если принятая теорема противоречит исходным постулатам. В этом случае нам пришлось бы иметь дело с внутренне противоречивой системой. В конце концов, начав исследование, мы придем, скорее всего, к противоречию и будем вынуждены искать то место, где мы допустили ошибку. Представим, что мы имеем дело с какой-то сложной расстановкой фигур на шахматной доске и пытаемся рассчитывать возможные варианты. Мы мысленно допустили, что эта позиция действительно может быть получена с помощью правильных ходов из исходной шахматной позиции, однако позднее мы можем убедиться, что она никак не может быть реализована в рамках шахматных правил.
В истории бывали случаи, когда какой-нибудь математик или физик высказывал определенную теорему, предоставляя будущим поколениям возможность убедиться в ее справедливости. Иногда проницательность отдельных ученых опережает технические возможности времени, в котором они живут.
ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МНОГИХ ЧАСТИЦ
Для качественного понимания некоторых вещей, которые будут подробно рассмотрены позже, изучим поведение N частиц, взаимодействующих между собой по определенному закону, и допустим, что на одну из них действует внешняя сила; будем обозначать эту частицу буквой Л. Возможны три случая:
Частицы системы не взаимодействуют между собой (фиг. 142). (Считаем, что первоначально частицы покоятся.) Под действием внешней силы частица Л начнет двигаться в направлении силы в соответствии со вторым законом Ньютона. На остальные частицы сила не действует, поэтому они, естественно, останутся на прежних местах. Позднее мы используем эту систему в качестве модели газа.
Допустим, что все частицы соединены между собой слабыми пружинами, так что, если частицы смещаются из исходного положения, пружины сжимаются или растягиваются, оказывая сопротивление перемещению (фиг. 143). Под действием внешней силы частица А слегка смещается, как показано на рисунке, увлекая за собой остальные частицы, т. е. из-за наличия пружин исходная конфигурация частиц нарушается. Анализ такой системы, наиболее общей из всех трех, сопряжен с большими трудностями. В зависимости от жесткости пружин
ее можно использовать в качестве модели жидких, желеобразных и эластичных тел.
Представим, что пружины стали настолько жесткими, что они ведут с&я подобно стержням. В этом случае взаимное расположение
Фиг. 142.Фиг. 143.Фиг. 142.Фиг. 143.
Фиг. 142.Фиг. 143.
Фиг. 142.Фиг. 143.
частиц всегда сохраняется (фиг. 144). Иными словами, если частица С находится на расстоянии 2 см от частицы D, то она всегда будет находиться отD на таком же расстоянии. Если частицы Л, В и С образуют треугольник с определенными сторонами и углами, форма и размеры
© лей冇iNeQtfesc© лей冇iNeQtfescего никогда не изменятся. Если на частицу Л, как и раньше, подействует сила, она потащит вместе с А и все остальные частицы системы, причем взаимное расположение частиц внутри системы не изменится.
© лей冇iNeQtfesc
© лей冇iNeQtfesc
В рамках теории Ньютона невозможно установить, существуют ли подобные силы и какова их действительная природа, однако если
Ф и г 144допустить, что они существуют и
'*являются ньютоновскими( т. е. под
чиняются третьему закону), то окажется, что мы сможем существенно продвинуться в объяснении явлений природы. Когда мы попытаемся установить действительную природу этих сил, перед нами встанет целый ряд совершенно новых вопросов, для ответа на которые нам придется исследовать внутреннее строение вещества. Так происходит при пересечении различных направлений исследований, когда ответ на один вопрос порождает другие, представляющие не меньший ин
терес.
Хотя в дальнейшем мы будем изучать следствия именно третьей модели, которую используем для описания твердых тел (подобных стальной болванке), ясно, что любое физическое тело не может быть абсолютно твердым, а будет сгибаться или колебаться под действием
силы достаточно большой величины. Поэтому мы сразу же можем заключить, что предположение абсолютно жестких связей между частицами недостаточно для полного описания поведения твердых тел. Тем не менее при таком допущении задача становится настолько простой, что мы принимаем его и рассматриваем все отклонения реальных сил от сил, соответствующих абсолютно жестким связям, как поправки к исходной идеализированной модели.
Успех такого подхода зависит от того, не окажутся ли эти поправки настолько большими, что они полностью изменят все качественные свойства исходной системы. Нетрудно проиллюстрировать это положение. Так, считая мяч круглым, мы знаем, что, если его внимательно рассмотреть, мы заметим на его поверхности различные неровности; однако разумно считать, что эти неровности малы по сравнению с общей округлостью. С другой стороны, мы могли бы описывать мяч для игры в регби тоже как шар, но при этом обнаружили бы довольно большие отклонения от формы шара; нетрудно догадаться, что такое описание будет менее плодотворным, чем в первом случае.
ЗАКОНЫ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ СИСТЕМ МНОГИХ ЧАСТИЦ
В основе анализа движения системы из ^ частиц лежит единственная идея — разбивать это движение на внешнее и внутреннее. Изучая внешнее движение, мы учитываем только силы, действующие на систему извне, и не учитываем сил взаимодействия между частицами, образующими данную систему. Движение системы под действием внешних сил чрезвычайно сходно с движением отдельной частицы. Под действием же внутренних сил система может колебаться, извиваться и т. д. Мы будем обозначать внешние и внутренние силы так же, как это делали раньше. Например, типично внутреннюю силу, с которой шестая частица действует на седьмую, мы будем обозначать
F6 на 7・
В общем случае сила, с которой i-я частица действует на /-ю, будет обозначаться символом
К на /•
Как и ранее, мы предполагаем, что внутренние силы являются ньютоновскими, т. е. сила, с которой, скажем, i-я частица действует на /-ю, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой /-я частица действует на "ю (фиг. 145):
на / = — F/на/,/1 о
.丄F・丿
■ i на/ I наг —
Основная идея выделения внутренних сил состоит в том, что сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как для любой силы Fj на у найдется сила F； на f, компенсирующая первую.
Внешние силы отличаются от внутренних тем, что они вызываются чем-то, находящимся вне системы. Так, если на седьмую частицу действует внешняя сила, то эта сила обязана своим происхождением не какой-нибудь частице системы, а чему-то внешнему — Земле, пружине и т. д., как показано на фиг. 146. В отличие от внутренних сил мы будем обозначать внешнюю силу, действующую, например, на i-ю частицу, символом
рвнешн
Сумма всех внешних сил, действующих на частицы системы, не обязательно равна нулю. Конечно, иногда она может обратиться в нуль, но в общем случае это не так; в этом состоит главное различие между внешними и внутренними силами. Так как внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона, их сумма, взятая по всем частицам системы, должна обязательно обратиться в нуль.
Фиг. 145.Фиг. 145.
Фиг. 145.
Фиг. 145.
Движение каждой частицы определяется вторым законом Ньютона: полная сила, действующая на частицу и равная сумме всех внешних и внутренних сил, равна произведению массы частицы на ее ускорение. Оказывается возможным описать движение всех частиц таким образом, чтобы действия всех внутренних сил взаимно уничтожились и это движение определялось лишь внешними силами. Именно это утверждает:
Теорема 13.1. Изменение полного импульса системы из N частиц равно произведению полной внешней силы на промежуток времени, в течение которого она действует-
(Ранее мы доказали для частного случая двух частиц, что в отсутствие внешних сил полный импульс сохраняется.)
Доказательство. Полный импульс системы из N частиц
Р = Pi + Р2 + • • • +Pn・(13・2)
Полный импульс каждой отдельной частицы, скажем 厶й, изменяется согласно второму закону:
FjAf = Api，(13.3)
где Fj — полная сила, действующая на t-ю частицу и равная сумме
внутренних и внешних сил:
F尸"。立0F尸"。立0(13.4)(13.4)
F尸"。立0
F尸"。立0
(13.4)
(13.4)
Смысл этого выражения состоит в следующем. Полная сила, действующая на 厶ю частицу, равна сумме сил, действующих на нее со стороны других, /-Х частиц, плюс внешняя сила.
Изменение полного импульса системы равно сумме изменений импульсов отдельных частиц:
AP = Api + Ap2+ ・•・ +Ардг・(13.5)
Используя (13.4), это выражение перепишем в виде
АР= £理3十£ £ Fg А/・(13.6)
\Z= 1/= 1 / ^= i /
Рассмотрим теперь члены, стоящие в правой части полученного равенства. Начнем со второго. Он равен сумме всех внутренних сил, действующих на все частицы системы, а так как силы ньютоновские, он равен нулю. Проще всего показать это, если раскрыть его для случая системы из двух или трех частиц, но и в общем случае можно видеть, что для каждого слагаемого F；Ha £ найдется член Fz на ；. Тогда вся сумма разобьется на сумму членов вида
F/ на i + Fj на /•
ДР =ДР =产A厶产A厶Согласно третьему закону, каждый такой член равен нулю. Отсюда следует, что второе слагаемое в правой части (13.6) обращается в нуль, поскольку внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона. Мы будем постоянно использовать этот результат при доказательстве различных теорем, относящихся к системам из N частиц. В этом, собственно, и заключается смысл разделения движения на внутреннее и внешнее. Следовательно,
ДР =
ДР =
产A厶
产A厶
(13.7)
т. е. изменение полного импульса пропорционально сумме только внешних сил.
Эта сумма играет в дальнейшем важную роль, и поэтому мы обозначим ее специальной буквой:
N
рвнешн^рвнешн^(13.8)(13.8)у рвнешн
рвнешн^
рвнешн^
(13.8)
(13.8)
Z= 1
где рвнетн — полная внешняя сила, или сумма всех внешних сил, действующих на различные частицы системы.
Таким образом, изменение полного импульса системы равно полной внешней силе, умноженной на время ее действия:
(13.9)(13.9)др^рвнешн А/,
(13.9)
(13.9)
что и требовалось доказать.
Эту теорему можно применять для различных систем, начиная с галактик и кончая системами атомов.
Доказательство для системы из двух частиц (фиг. 147):
F] А/ = Ар】，]
「а 〉 второй закон Ньютона,
полная сила равна сумме всех сил, действующих на тело.полная сила равна сумме всех сил, действующих на тело.полная сила, действующая 、
полная сила равна сумме всех сил, действующих на тело.
полная сила равна сумме всех сил, действующих на тело.
на частицу /: F+ F2 на ь полная сила, действующая
на частицу 2: F2 = FlHeuiH + F/ наг 丿
Поэтому
полное изменение- импульса = АР = Ар】+ Др2 = (F】十 FJ Д/ ==[("нм + F—) + (F, ^ 2 + F? на ;)] Д/.
一 一 一 ———— J J—▼一一 ，
полная внешняя силасумма всех внутрен-
рвнешнних сил, равная нулю
согласно третьему закону Ньютона
Следовательно,
полное изменение импульса = ДР = рвнешн ДЛ
ЦЕНТР МАСС
Выделим теперь точку, связанную с телом или системой частиц и обладающую особыми и весьма интересными свойствами. Эта точка, называемая центром масс, не обязательно находится в месте положения какой-то частицы или внутри тела, а является, как правило, просто точкой в пространстве. Тем не менее можно считать, что вся система ведет себя как точечная частица, находящаяся в центре масс и имеющая массу, равную массе всей системы. В этом смысле мы можем заменять протяженные тела точечными частицами. Для системы из N
частиц, массы которых равны mi, m2,...,团代,центр масс определяется следующим образом.
Определение:
R =^^^ + ^1^ + ... +mNr^,(13.10)
где М — сумма масс всех частиц:
Л1 = /л】+ т 幺 + ... + tn ”.(13.11)
ииR 2^ ^ + ^ =^^ + Г2)•R 2^ ^ + ^ =^^ + Г2)•(13.12)(13.12)
и
и
R 2^ ^ + ^ =^^ + Г2)•
R 2^ ^ + ^ =^^ + Г2)•
(13.12)
(13.12)
Для иллюстрации этого определения рассмотрим систему из двух частиц с одинаковыми массами (фиг. 148). Тогда
М = т1 + т2 = 2т
Фиг. 149. Вектор положения (радиус- вектор) R центра масс системы частиц, умноженный на полную массу М, равен сумме произведений вектора положения каждой частицы г/ на ее массу щ.Фиг. 149. Вектор положения (радиус- вектор) R центра масс системы частиц, умноженный на полную массу М, равен сумме произведений вектора положения каждой частицы г/ на ее массу щ.
Фиг. 149. Вектор положения (радиус- вектор) R центра масс системы частиц, умноженный на полную массу М, равен сумме произведений вектора положения каждой частицы г/ на ее массу щ.
Фиг. 149. Вектор положения (радиус- вектор) R центра масс системы частиц, умноженный на полную массу М, равен сумме произведений вектора положения каждой частицы г/ на ее массу щ.
Таким образом, центр масс такой системы находится посередине между двумя частицами 7 Для системы многих частиц, массы которых
неодинаковы, положение центра масс совпадает с некоторым усредненным положением частиц, зависящим от распределения их масс (фиг. 149).
Для сферической системы частиц с примерно одинаковыми массами центр масс лежит вблизи центра системы. Можно говорить о центре масс частиц, образующих газ, о центре масс шарообразного скопления звезд, двойной звезды или целой галактики (фото 5—7).
Покажем теперь, что центр масс системы из N частиц ведет себя под действием внешних сил (неза
висимо от движений отдельных частиц, образующих систему) так, как будто вся система является точечной частицей с массой М, расположенной в центре масс. С этой точки зрения систему многих частиц, будь она атомом или галактикой, можно рассматривать на далеких от нее расстояниях как точечную частицу.
и Место положения центра масс не зависит от выбора начала координат, из которого выходят все векторы.
Теорема 13.2. Центр масс системы из N частиц подчиняется вто- рому закону Ньютона 6 следующей формулировке:
п пная внешняя сила — (полная масса) *
X (ускорение центра масс)
или:
(полная внешняя сила) х (время ее действия)==(полная масса) х (изменение скорости центра масс).
Доказательство. Из теоремы 13.1 следует, что для любой системы из N частиц
△P = FBHemH А厶(13.13)
ИЛИЛР
Рвнешн=^е(13.14)
Нам остается поэтому лишь доказать, что
爵叫宀，(13.15)
что и приведет нас к нужному результату:
FBHemH = MAu.M，(13.16)
где Ац>м—ускорение центра масс. Докажем это следующим образом. Центр масс системы определяется формулой
R = ^ (miri + • • • +^г^),(13.17)
поэтому скорость центра масс
Vu.M = ^ = ^ (%券+…智)=
=(mivi + • • • + rnNvN) = 1P(13.18)
(мы считаем, что скорость изменения положения центра масс равна сумме скоростей изменения положений частиц, образующих систему). Следовательно,
Р = ”.м；(13.19)
это означает, что полный импульс системы равен произведению ее полной массы на скорость центра масс. Поэтому изменение полного импульса (для систем с постоянной массой)
ДР = Л1ДУЦ.М.(13.20)
Деля это выражение на временной интервал, в течение которого произошло изменение полного импульса, получаем
將М 導，(13.21)
или
^ = МАц.м・(13.22)
Используя полученные результаты, имеем
FBHemH = MAu.M，(13.23)
что и требовалось доказать.
Таким образом, с помощью этой теоремы нам удалось наделить центр масс системы из N частиц свойствами одной ньютоновской частицы, масса которой равна массе системы. В отсутствие внешних сил она обладает свойством инерции, т. е. движется равномерно. Под действием же внешних сил ее движение определяется вторым законом Ньютона. Примечательно, что из двух законов движения, выдвинутых в качестве постулатов теории движения отдельных частиц, нам удалось так строго вывести теорему о движении протяженных материальных систем.
Классическим примером движения центра масс является полет по параболической орбите (это следует из второго закона Ньютона и
Фиг. 150.
постоянства гравитационной силы) снаряда, который взрывается, не долетев до цели (фиг. 150). Поскольку при взрыве действуют лишь внутренние силы, осколки снаряда разлетятся таким образом, что их центр масс будет продолжать двигаться по той же орбите (рвнешн= =МАц.м)・ В результате в цель Л «попадет» центр масс осколков снаряда (но вовсе не обязательно, что вЛ попадет хоть один осколок).
При изучении любой системы такого рода ее движение можно разбить на внутренние движения и движение центра масс (т. е. движение по существу одной частицы). То, что можно назвать внутренним движением, определяется в основном внутренними силами, удерживающими частицы вместе. Если такие силы в системе отсутствуют [см. пункт а) на стр. 169], а частицы удерживаются, например, лишь стенками сосуда, то эту систему можно рассматривать в качестве модели газа. Позднее мы разовьем эту идею. Если внутренние силы таковы, что частицы системы остаются жестко связанными [пункт в)], мы имеем модель твердых тел, свойства которых будут изучены ниже. Исследовать свойства промежуточных систем [пункт б)], соответствующих моделям жидкостей или желеобразных твердых тел, гораздо сложнее. Некоторого успеха здесь можно добиться с помощью теории Ньютона, однако мы в дальнейшем не будем касаться этого вопроса.
Замечание о доказательствах
Полученные результаты представляют интерес не только сами по себе, но и с той точки зрения, что они иллюстрируют метод доказательства, использующийся в математике или физике. Просматривая последнее доказательство, мы видим, что оно содержит в себе два самостоятельных аспекта: идеи, на основании которых доказывается тео- рша, и технические приемы, связывающие воедино эти идеи. Основные идеи данного доказательства таковы:
движение каждой частицы подчиняется законам Ньютона;
внутренние силы ньютоновские, так что, если аккуратно просуммировать все силы, внутренние силы выпадают из рассмотрения и остаются только внешние;
(эта идея более тонкая) сумма скоростей изменения нескольких функций равна скорости изменения суммы этих функций.
С помощью 3) нам удалось заменить суммы скоростей изменения импульсов скоростью изменения суммарного импульса. В этом состоят основные идеи доказательства.
Техническое оформление доказательства, т. е. суммирование по £ и /, деление и умножение различных величин, можно сравнить с работой плотника, так подгоняющего всевозмож ные узлы и соединения, что между отдельными частями изделия не остается пустых мест.
При доказательстве теоремы или при ее осмысливании и автор теоремы, и тот, кто ее изучает, обязаны прежде всего выделить те идеи, которые необходимы для данного доказательства. Как правило, это удается сделать без особого труда, не привлекая сложную математику. Например, очень полезно доказать приведенную выше теорему для частного случая двух тел. Основной момент такого доказательства, заключающийся в суммировании всех внутренних сил, выглядит чрезвычайно простым: оказывается, что данная сумма сводится к выражению F2 на / +F； на 2, которое, как мы договорились, равно нулю. Обобщение на случай многих тел требует большего внимания при суммировании и аккуратных вычислений, чтобы увериться в том, что результат окажется таким же, как и в случае двух тел. Не исключено, конечно, что мы можем прийти к иному результату, но это будет означать необходимость привлечения дополнительной идеи, с помощью которой можно различать системы двух и многих тел.
14
АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫЕ ТЕЛА В ДВИЖЕНИИ И В ПОКОЕ
Абсолютно твердое тело определяется как система частиц, связанных между собой такими ньютоновскими силами, которые втавляют расстояния между любыми двумя частицами неизменными.
С помотаю конструкций, аналогичных треугольникам или шестиугольникам в геометрии (фиг. 151), можно, применяя законы движения к каждой отдельной частице, получить много результатов, касающихся поведения твердых тел под действием внешних сил. Таким образом,
Фиг. 151.
нам удается сконструировать объект, обладающий многими свойствами протяженных тел действительного мира, из идеализированных фундаментальных частиц, не выдвигая никаких дополнительных предположений, кроме тех, которые мы использовали ранее для описания движения отдельной частицы.
ЦЕНТРЫ МАСС НЕКОТОРЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В отличие от газообразных или произвольных систем, в которых отдельные частицы могут смещаться друг относительно друга, изменяя форму систем и относительные положения их центров масс, твердое тело обладает центром масс, который всегда остается на фиксированном расстоянии от каждой из частиц, образующих это тело.
Фиг. 152.
Для нахождения центра масс произвольного твердого тела необходимо просуммировать выражение (13.10) по огромному числу частиц, занимающих объем сложной формы (фиг. 152). Вычисление таких сумм представляет собой очень трудную техническую задачу, для решения которой было предложено много хитроумных методов. Однако для тел простой формы, с которыми нам придется иметь дело, можно, как правило, угадать положение центра масс по одному их виду.
Центр масс системы двух частиц с равными массами, находящихся на расстоянии D друг от друга, расположен между этими частицами на расстоянии D/2 от каждой из них (фиг. 153). Если масса одной частицы вдвое больше массы другой, то центр их масс находится на расстоянии £)/3 от более тяжелой частицы (фиг. 154). Центр масс почти
сферического тела (фиг. 1'55), например Земли, практически совпадает с его геометрическим центром. Конечно, если бы весь тяжелый материал, из которого состоит Земля, скажем железо, был расположен
тттт学必二# gacc4^ . 2Ггъ !•*^-2%一^% 寸学必二# gacc4^ . 2Ггъ !•*^-2%一^% 寸
т
т
т
т
学必二# gacc
4^ . 2Ггъ !
•*^
-2%一^% 寸
学必二# gacc
4^ . 2Ггъ !
•*^
-2%一^% 寸
Фиг. 154.Фиг. 154.Фиг. 153.
Фиг. 154.
Фиг. 154.
Фиг. 155.Фиг. 155.в основном под Австралией, а легкий — песок, вода, воздух — под Соединенными Штатами, то центр масс Земли оказался бы смещенным к Австралии.
Фиг. 155.
Фиг. 155.
Фиг. 156. Центр масс сферы / расположен в ее центре; центр масс сферы 2 расположен в центре сферы 2. Обе сферы имеют одинаковые массы М. Центр масс такой гантели находится посредине между двумя сферами, как и центр масс двух соединенных точечных частиц, расположенных на расстоянии D друг от друга.
Приведем без доказательства следующую теорему: центр масс системы, содержащей протяженные тела, можно найти, рассматривая эти тела как точки, в которых 「*—Iсосредоточены их массы 〃 которые
находятся в местах положения центров масс этих тел (фиг. 156).
=^ЬЦентр масс однородного стер-
(Кжня (фиг. 157)расположен в его
угеометрическомцентре. Центр масс
7бумеранга, какпоказано на фиг.
Фиг. 157.157, лежит внетела.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Закон инерции для твердых тел
Законы поступательного движения твердых тел, как и любых систем из N частиц, совпадают с первыми двумя законами движения Ньютона, если в них заменить слово «частица» на «центр масс». Если на тело не действуют внешние силы, его центр масс находится в покое или движется равномерно. Однако сами частицы тела не обязательно
движутся при этом равномерно. Тем не менее они обязаны двигаться таким образом, чтобы движение их центра масс оставалось все время равномерным. Например, частицы могут вращаться вокруг центра масс; если смотреть на это движение из центра масс, оно будет выглядеть как простое изменение ориентации тела, но не его формы. Это утверждение иллюстрирует фото 8. Центр масс гаечного ключа отмечен черным крестиком. Движущийся по инерции ключ фотографировали через каждую 1/3。с. С помощью линейки можно убедиться в том, что: 1) центр масс (т. е. черный крестик) движется по прямой линии и 2) он проходит равные расстояния между каждой съемкой. Сам ключ вращается вокруг центра масс. Если смотреть только на ключ и отвлечься от его перемещения в пространстве, можно представить, что ключ вращается вокруг центра масс, как если бы сквозь центр масс проходила неподвижная ось.
Второй закон движения для твёрдых тел
Если на твердое тело действуют внешние силы, то его центр масс ведет себя следующим образом. Условившись, как и ранее, называть
Фиг. 158.
сумму всех внешних сил, действующих на тело, результирующей, или полной, внешней силой (фиг. 158),
рвнешн — рвнешн + рвнешн + рвнешн
и применяя к данной задаче теорему 13.2, доказанную ранее для общего случая системы из N частиц, получаем, что полная сила, действующая на твердое тело, равна произведению массы тела на ускорение его центра масс:
рвнешн = МАи.м・(14.1)
Этот результат отчасти подтверждает справедливость ньютоновской точки зрения на планеты как на материальные точки. Следует только иметь в виду, что вокруг Солнца обращаются по эллиптическим орбитам, удовлетворяющим трем законам Кеплера, не планеты, а их центры масс. Сами же планеты вольны совершать и другие движения, например Земля вращается вокруг собственной оси и, подобно волчку, прецессирует.
Пример. Предположим, нам необходимо посадить на ось тяжелое колесо так, чтобы его вращение вызывало минимальные вибрации этой оси (фиг. 159). Из сказанного ранее сразу же можно заключить, что ось должна проходить через центр масс (который в случае обычного маховика практически совпадает с его геометрическим центром). Если ось проходит через центр масс, то, с какой бы скоростью ни вращалось колесо, центр масс остается неподвижным; поэтому со стороны оси на
Фиг. 159.Фиг. 159.
Фиг. 159.
Фиг. 159.
колесо не действуют никакие силы. Так как ось не оказывает воздействия на колесо, то и колесо в соответствии с третьим законом Ньютона не действует на ось и, следовательно, плавно вращается. Если же центр масс не совпадает с осью колеса, то он будет двигаться при вращении колеса. Так как это движение не является прямолинейным, к центру масс должна быть приложена сила. Эта сила может исходить только от оси, поэтому колесо в свою очередь действует с такой же силой на ось. (Чтобы центр масс равномерно вращался вокруг оси, к нему необходимо приложить силу, направленную в сторону оси, подобно тому, как требуется приложить силу для удержания планет, вращающихся вокруг Солнца.) Таким образом, при вращении колеса на ось действует постоянная по величине сила, направление которой поворачивается вместе с колесом, что и вызывает вибрацию оси.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Модель твердого тела оказывается наиболее ^плодотворной при изучении собственных движений. Собственные движения произвольной системы из ^ частиц могут оказаться чрезвычайно сложными, вклю- q師щими сжатие, колебания, деформации и т. д. Для твердого же тела существует лишь одно возможное собственное движение. Оно может только вращаться, так как пространственное расположение всех частиц, образующих это тело, всегда остается неизменным (фиг. 160). Точка или линия, относительно которых тело вращается, могут совпадать, а могут и не совпадать с его центром масс, однако если они совпадают, движение тела оказывается наиболее простым.
Рассмотрим теперь вопрос: при каком условии твердое тело вращается и как это вращение связано с силами, действующими на тело? Допустим, имеется тело (как на фиг. 161), и на него действуют внешние силы, сумма которых равна нулю. Мы интуитивно чувствуем,
что, хотя сумма внешних сил равна нулю (так что центр масс будет двигаться равномерно), тело повернется, так как одна сила действует в одну сторону, а другая — в противоположную.
Фиг. 160. Что такое вращение? Расскют- рим простейшее твердое тело, состоящее из двух частиц массы /и, которые находятся на расстоянии 2R друг от друга. Центр масс этой системы расположен в точке О. Представим, что это тело надели на ось в точке О и что, кроме того (для простоты), тело всегда остается в плоскости чертежа. Тогда, если тело сохраняет свою форму (иными словами, является абсолютно твердым), оно может совершать только единственное движение, при котором две точечные массы, оставаясь на противоположных концах диаметра, движутся по окружности радиусом R, Это и есть вращение.
Нам не нужно вводить никаких дополнительных предположений, чтобы выяснить, какие силы вызывают вращение тел и каково будет
это вращение. Мы согласились, что все частицы, образующие систему.
движутся в соответствии с законами Ньютона и что внутренние силы,
сохраняющие форму твердого тела, подчиняются третьему закону. Отсюда можно получить все виды движения тела под действием приложенных к нему различных внешних сил. Однако в нашу задачу не входит проведение подробных расчетов такого рода. Мы собираемся здесь проиллюстрировать разнообразные теоремы, доказать их в простейших случаях и попытаться объяснить их значение в различ
ных ситуациях.
Масса тела и положение его центра масс полностью определяют его поступательное движение. Что касается вращательного движения, то наиболее важной характеристикой служит здесь распределение ве
щества относительно центра масс ——является ли тело сильно вытянутым или, наоборот, сплющенным. Распределение вещества характеризуется некоторыми средними величинами, называемыми моментами инерции, для вычисления которых необходимы расчеты, сходные с расчетами положения центра масс тела. Рассмотрим довольно простой пример твердого тела, когда легко провести подобные расчеты для пояснения основных идей, не прибегая к сложным вычислительным операциям.
Представим себе гантель, скрепленную невесомым стержнем (фиг. 162). Хотя такое тело выглядит удивительно простым, оно харак-
теризуется тем элементарным неоднородным распределением вещества, которое отличает твердое тело от точечной частицы, и дает нам возможность проиллюстрировать некоторые особенности поведения твердых тел. Будем считать, что центральный стержень укреплен на оси,
Фиг. 162. Идеализированное твердое тело: две частицы массы mt соединенные невесомым стержнем.
вокруг которой тело может свободно вращаться, и что к телу приложены внешние силы, как показано на фиг. 163.
Мы нарисовали только внешние силы. Они равны по величине и направлены в противоположные стороны, так что полная внешняя сила, действующая на тело, равна нулю, а его центр масс (располо- женный в середине), находившийся А£ ^нешнвначале в покое, остается непо-
движным.
X .處Будет ли тело вращаться? Не-
單смотря на весьма распространен-
F产нное, зачастую не скрываемое неве
жество людей в вопросах физики, Wлишь немногие станут отрицать,
Фиг. 163.что тело при таких обстоятельствах
начнет вращаться. Однако такой вывод, вообще говоря, не следует из принятых нами допущений. Мы должны получить ответ на заданный вопрос, применяя к каждой частице системы законы движения Ньютона. (Когда мы говорим о
невесомых стержнях, мы имеем в виду, что они лишь поддерживают
лг €нешнлг €нешнФиг. 164.Фиг. 164.форму тела, но сами не обладают
л
г €нешн
л
г €нешн
Фиг. 164.
Фиг. 164.
Iмассой, т. е. их инерцию не надо
бнаг ｛九。2袋'“"=0 учитывать.)
厶Чтобы исследовать движение
簟 zотдельных частей / и 2, необходимо
尸晩е^ £ ^ешм учесть действие внутренних сил. 2卜2“а吋I s^Согласно третьему закону Ньютона
(в обычной формулировке), внут-
ренние силы равны по величине и
направлены в противоположные стороны, т. е. сила, с которой тело 1 действует на тело 2, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой тело 2 действует на тело /. Однако предположим, что эти силы направлены так, как показано на фиг. 164. Если бы внутренние связи, удерживающие частицы в твердом теле, реагировали по какой-то причине на действие внешних сил так, как изображено выше, получилось бы следующее. Рассмотрим частицу У. Применяя к ней второй закон
Ньютона, имеем
Fr- + F2Ha/ = t + 3=O・
То же для частицы 2:
Fr^+F/Hazf + HO.
(14.2)
(И.З)
Внутренние силы, как и требовалось, равны по величине и направлены в противоположные стороны. Однако их направление относительно внешних сил таково, что они уничтожают действие этих сил и части остаются в покое. Твердое тело остается неподвижным, хотя внутренне мы абсолютно уверены, что при таких условиях оно не может не начать вращаться. Действительно, если бы такие внутренние силы оказались отличными от нуля в отсутствие внешних сил, тело могло бы начать вращаться самопроизвольно, так как сила F^ на /, например, не сбалансированная внешней силой, действовала бы на частицу /, в результате чего последняя начала бы двигаться.
Возражение: «Это абсурд. Тела не ведут себя подобным образом!» стоит проанализировать. Это возражение означает, что из введенного Нами допущения о характере внутренних сил следуют результаты, которые противоречат нашим наблюдениям твердых тел. Чтобы согласовать эти наблюдения (в частности, невозможность самопроизвольного вращения твердых тел) с выводами теории, необходимо ввести правильные дополнительные предположения о природе внутренних сил. Таков процесс физических исследований: часто изучение следствий из определенной системы постулатов приводит к выводам, противоречащим опыту, в результате чего приходится пересматривать исходные постулаты.
В данном случае пересмотреть исходные посылки нетрудно. Введем предположение, что силы, действующие между любыми двумя телами, не только равны по величине и противоположно направлены (как мы считали ранее), но и действуют по линии, соединяющей эти два тела (фиг. 165).
Были споры о том, опирался ли Ньютон на это предположение при формулировке своего третьего закона: «действию всегда есть равное и противоположное противодействие». Тщательное изучение его доказательств [2] свидетельствует о том, что он использовал его. Например, при доказательстве следствия Ш Ньютон предполагает, что равные и и противоположно направленные силы действуют вдоль линии, соединяющей два тела. Это еще один пример того, что постулат иногда не
содержит явно всего, что подразумевает автор, и по тому, как он использует постулат при доказательствах теорем, часто можно судить, что именно автор имел в виду.
В данном случае Ньютон, по-видимому, считал все силы, действующие между любыми двумя телами, сходными с гравитационными, которые всегда действуют вдоль линии, соединяющей два тела. Он предположил, что остальные силы (равные и противоположно направленные) тоже действуют вдоль этих линий, но изменяются с расстояние по более сложному закону, чем гравитационные. Имея в виду это предположение о характере внутренних сил, вернемся теперь к проблеме вращения и введем два важных определения — момента силы и углового момента.
Момент силы (torque}
Слово《torque» происходит от латинского《torquere》，которое означает «поворачивать». В случае вращательного движения момент силы, поворачивающий тело, является аналогом силы, заставляющей тело
Фиг. 166.Фиг. 166.
Фиг. 166.
Фиг. 166.
двигаться поступательно. Это дает нам возможность получить законы вращения, почти полностью идентичные законам поступательного движения. Следует, однако, указать отличительную особенность этих законов: они выступают не как новые постулаты, а как теоремы, основанные на законах движения отдельных частиц.
Сначала определим момент силы в простейшем случае. Его величина относительно точки О равна (фиг. 166)
(ИЛ)(ИЛ)(14.5)(14.5)величина момента силы, действующей на тело /, относительно точки О = F^mnR,
(ИЛ)
(ИЛ)
(14.5)
(14.5)
величина момента силы, действующей на тело 2, относительно точки O — F^mnR,
В общем случае величина момента силы относительно точки определяется компонентой силы, перпендикулярной линии, соединяющей точку приложения силы с точкой, относительно которой вычисляется момент. Величина момента различна по отношению к разным точкам и пропорциональна длине плеча, соединякадего эти точки с точкой приложения силы (фиг. 167).
На предыдущем рисунке силы поворачивали тело в одну сторону. Если направить одну из них, например силу, приложенную к телу 2, в противоположную сторону (фиг. 168), то соответствующие повороты
ф и г. 167. а) Величина момента силы F, действующей в точке / относительно О, определяется как произведе- ние составляющей силы, перпендикулярной d (прямой, соединяющей / и О), на длину d; момент силы равен +F^d.б) Момент заданной силы максимален, когда сила перпендикулярна плечу; (момент силы)макс=Рб/.е) Момент минимален, когда си- дж параллельна плечу; (момент си- ®4эшн=°・ф и г. 167. а) Величина момента силы F, действующей в точке / относительно О, определяется как произведе- ние составляющей силы, перпендикулярной d (прямой, соединяющей / и О), на длину d; момент силы равен +F^d.б) Момент заданной силы максимален, когда сила перпендикулярна плечу; (момент силы)макс=Рб/.е) Момент минимален, когда си- дж параллельна плечу; (момент си- ®4эшн=°・
ф и г. 167. а) Величина момента силы F, действующей в точке / относительно О, определяется как произведе- ние составляющей силы, перпендикулярной d (прямой, соединяющей / и О), на длину d; момент силы равен +F^d.
б) Момент заданной силы максимален, когда сила перпендикулярна плечу; (момент силы)макс=Рб/.
е) Момент минимален, когда си- дж параллельна плечу; (момент си- ®4эшн=°・
ф и г. 167. а) Величина момента силы F, действующей в точке / относительно О, определяется как произведе- ние составляющей силы, перпендикулярной d (прямой, соединяющей / и О), на длину d; момент силы равен +F^d.
б) Момент заданной силы максимален, когда сила перпендикулярна плечу; (момент силы)макс=Рб/.
е) Момент минимален, когда си- дж параллельна плечу; (момент си- ®4эшн=°・
окажутся скомпенсированными. Теперь сумма сил не будет равна
■улю, и центр масс системы начнет двигаться, причем тело, как нетрудно догадаться, вращаться не будет. Для описания подобных си- чгуацнй припишем моменту силы знак: будем считать, что момент по-
ложителен, если сила поворачивает тело против движения часовой стрелки, и отрицателен, если поворот совершается по часовой стрелке. При таком определении моменты сил на фиг. 166 сложатся, а на фиг. 168 взаимно уничтожатся.
Очень удобно описывать момент силы при помощи вектора п. Величину этого вектора мы уже определили. Направление же его определяется как направление перпендикуляра к плоскости, которая содержит вектор силы и плечо (фиг. 169). Далее, определим сумму моментов сил относительно точки как векторную сумму отдельных моментов. Поскольку мы собираемся анализировать силы, лежащие преимущественно в одной плоскости, мы должны будем только складывать или вычитать моменты как простые числа, не обращаясь к правилам векторного сложения
для моментов сил.
Из этих определений сразу же вытекают два следующих примечательных свойства. Во-первых, величина поворота зависит от длины впеча в такой же мере, как и от величины силы. Иными словами, маленькая сила, действующая на длинное плечо, дает тот же эффект.
что и большая сила, но действующая на короткое плечо. Во-вторых, величина поворота зависит от того, действуют ли два момента сил в одном и том же или в противоположных направлениях.
D Обсуждение свойств векторного произведения, используемого в тексте, дано в приложениях, стр. 437.
Сформулируем теперь основную теорему, характеризующую момент системы частиц. Если на систему из N частиц действуют внешние силы, то к частицам приложены определенные моменты сил. Однако поскольку между частицами действуют и внутренние силы, то с последними тоже связаны моменты. В этом случае справедлива
Теорема 14.1. Полный момент сил относительно точки равен сумме моментов только внешних сил.
Другими словами, полный момент внутренних сил равен нулю (подобно тому, как и результирующая этих сил равна нулю), т. е. под действием только внутренних сил система не может повернуться. Мы
尸Фиг. 170. Момент силы 尸^на /относи-
2"°/宀6 тельно О равен /R; момент силы
一f¥寃^ F；Ha2 относительно О равен-F；Ha^.
RН При этом F; на 2=^2 на / (внутренние си
лы равны по величине и противоположно “направлены), так что сумма двух внут-
0ренних моментов равна нулю.
не будем доказывать эту теорему, отметим только, что обращение полного момента внутренних сил в нуль есть следствие нашей интерпретации третьего закона Ньютона, а именно следствие того предположения, что внутренние силы между двумя телами действуют вдоль линии, соединяющей эти тела (фиг. 170).
Для теории вращательного движения этот результат важен не менее, чем взаимное уничтожение всех внутренних сил в системе для теории поступательного движения. В данном случае, как мы видим, изменение полного момента сил системы частиц происходит под действием одних только внешних сил. Ниже мы покажем, что тело изменяет свое вращательное движение под действием полного момента сил, обусловленного только внешними силами.
При поступательном движении действие полной внешней силы вызывает изменение полного импульса системы. Поэтому не удивительно, что нам удастся найти такую величину, полное значение которой по аналогии с полным импульсом изменяется под действием приложенного к системе полного момента внешних сил. Если эта аналогия подтвердится, мы вправе будем ожидать, что полное значение искомой величины останется постоянным, когда полный момент сил обратится в нуль. Конечно, заранее нельзя быть уверенным в том, что можно найти такую величину, однако в данном случае, как мы сейчас убедимся, это возможно.
Угловой момент
Искомая величина очень удачно называется угловым моментом; раньше мы говорили, что сила вызывает изменение момента количества движения (импульса), а теперь можно сказать, что «угловая сила»,
или «поворачивающая сила» (момент силы), вызывает изменение углового момента. Прежде чем дать общее определение, рассмотрим угловой момент одной частицы относительно произвольной точки (фиг. 171). Как и при определении момента силы, здесь важную роль играет длина плеча, или расстояние между частицей и выбранной точкой. На фиг. 171 это расстояние обозначено, как и раньше, буквой R. Будем считать, что частица обладает массой m и движется со скоростью v.
Фиг. 171.Фиг. 171.
Фиг. 171.
Фиг. 171.
Если скорость V перпендикулярна плечу, то величина углового момента частицы с массой m относительно точки О равна произведению ее импульса (tnv) на длину плеча R:
величина и знак углового момента = — mvR. (14.6)
Знак углового момента, как и знак момента силы, зависит от направления вращения, и в данном случае он отрицательный, так как вращение происходит по часовой стрелке. Если направление скорости не пер
пендикулярно плечу, то величина углового момента определяется как произведение нормальной к плечу //компоненты импульса на длину
//)плеча R:
丄 R・
V~ * ^ 、 Угловой момент, как и момент си- ) лы, является вектором, величина и знак которого определены выше, а Ф и Гв 172.направление совпадает с нормалью
(перпендикуляром) к плоскости, образованной векторами скорости и плеча R (фиг. 172). Полный угловой момент системы частиц относительно точки равен векторной сумме угловых моментов частиц.
Характерная особенность твердого тела состоит в том, что при его вращении все частицы, образующие тело, вращаются таким образом, что их угловые моменты относительно любой точки параллельны друг Другу. Поэтому для нахождения полного углового момента твердого тела необходимо вычислить только арифметическую сумму величин угловых моментов отдельных частиц, так как знаки и направления этих моментов одинаковы для всех частиц. В качестве примера рассмотрим введенную нами ранее простую модель твердого тела.
Величина углового момента относительно точки О каждой части гантели, вращающейся со скоростью и, равна muR, а ее полный момент равен по величине 2nwR. Вектор полного момента направлен
Фиг. 174.Фиг. 174.l=(色+恤+...+m^)vR = MvR.l=(色+恤+...+m^)vR = MvR.(14.8)(14.8)
Фиг. 174.
Фиг. 174.
l=(色+恤+...+m^)vR = MvR.
l=(色+恤+...+m^)vR = MvR.
(14.8)
(14.8)
вдоль линии, перпендикулярной плоскости, образованной вектором скорости V и прямой, соединяющей две точечные массы (фиг. 173).
Фиг. 173. Вектор углового момента равен по величине 2mvR и направлен вниз перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы R и v.
Для твердого тела более сложной формы величина полного углового момента равна сумме величин угловых моментов отдельных частиц
(так как их направления и знаки одинаковы для всех частиц):
Аиолн = /п 品 & + m^2R2 +
+...+码山庐"，(14.7) Если, например, все частицы находятся на одинаковом удалении от некоторой точки (центра), то они будут двигаться с одинаковыми скоростями (так как тело твердое), и сумма (14.7) примет вид
Так, тяжелое вращающееся колесо со спицами пренебрежимо малой массы обладает угловым моментом, равным MvR и направленным, как указано на фиг. 174.
Законы вращательного движения
Сформулируем теперь две важные теоремы, используя введенные понятия момента силы и углового момента. Первая приписывает вращению свойство инерции.
Теорема 14.2. В отсутствие моментов внешних сил или когда полный момент сил системы равен нулю, угловой момент системы остается постоянным,
В этой теореме содержится еще один из важнейших результатов механики — закон сохранения углового момента. Этот результат оказался гораздо более глубоким и более важным, чем сама механика. Будучи связан с эквивалентностью всех направлений в пространстве, этот закон справедлив не только для ньютоновских систем и считается одним из наиболее фундаментальных принципов физики. Для системы частиц или для твердого тела направление и величина углового момента остаются постоянными, если отсутствуют моменты внешних сил.
Вторая теорема связывает скорость изменения углового момента G полным моментом внешних сил.
Теорема 14.3. Полный момент внешних сил равен скорости изменения во времени углового момента:
Тполн =业
Или в другой формулировке: произведение полного момента сил на малый временной интервал, в течение которого он действовал, равно изменению углового момента за этот же отрезок времени:
(И.9)(И.9)ТполнД/ = ДЕв
(И.9)
(И.9)
Эти две теоремы (первая есть частный случай второй) называются ваконами вращательного движения. Они поразительно сходны с законами поступательного движения:
‘СИЛ ДР = FBHemHAf
II. Второй закон: при наличии •
(поступательное движение), моментов сил AL = твнешнД/ 、(вращательное движение).
I. Закон инерции: в отсутствие
'сил Р = const (поступательное движение), моментов сил L = const
、(вращательное движение).
Гантель
В случае твердого тела простейшей формы (гантели) последняя теорема может быть доказана следующим образом. Идея доказательства: с помощью законов движения для каждой части тела получить соотношение между моментом сил и угловым моментом.
Фиг. 175.
Если учесть, что гантель — твердое тело, вращающееся вокруг оси, проходящей через точку О, то легко видеть, что векторы момента сил и углового момента направлены вдоль той же оси (фиг. 175). Далее, поскольку сила, действующая по часовой стрелке, увеличивает
вращение по часовой стрелке (или уменьшает вращение против часовой стрелки), то
направление момента сил = направлению изменения углового момента.
Так как точечные массы вынуждены вращаться по окружности, внутренние силы перпендикулярны направлению движения, т. е. не совершают работы и, следовательно, не изменяют скорости. Только внешние силы могут изменить скорость в соответствии со вторым законом движения:
尸产3 =睜，I尸产3 =睜，I(величины).(величины).(14.10)(14.10)
尸产3 =睜，I
尸产3 =睜，I
(величины).
(величины).
(14.10)
(14.10)
Умножим (14.10) на R:
(Р?ешн R)А/ = mRN% = А厶， (殘етн А/ = mRN% = А厶.
(Н.П)
(14.12)
Складывая (14.11) и (14.12), получаем для абсолютных величин
ТвнешнА/= AL.(14.13)
С учетом направления (14.13) принимает вид
(14.14)(14.14)ТвнешнД/= AL.
(14.14)
(14.14)
Хотя некоторые выкладки в представленной выше теории могут оказаться трудными для понимания и сформулированные там теоремы не были строго доказаны, технические подробности не должны были скрыть от нашего взора основные конструктивные детали разработанной системы ——ньютоновские частицы, силы, подчиняющиеся третьему закону, и такие величины, как момент силы, угловой момент и другие. Используя эти детали и предполагая, что движение каждой .частицы подчиняется второму закону Ньютона, мы нашли ответ на поставленный ранее вопрос: «Каким образом связаны силы с вращательным движением?» Ответ содержится в одном уравнении:
TBHemHA/ = AL・ (14.15)
СТАТИКА: ТВЕРДЫЕ ТЕЛА В ПОКОЕ
Используя введенные понятия, рассмотрим теперь одну из древнейших наук, статику, описывающую поведение твердых тел, которые не изменяют состояния своего движения. Она применяется при конструировании мостов, зданий и военных машин еще со времен по крайней мере Архимеда. В статике изучаются неподвижные твердые тела. Это означает, что сумма сил, действующих на каждую частицу тела, равна нулю. Центр масс системы из N частиц находится в покое, если резуль-
тирующая внешних сил, действующих на систему, отсутствует. Полный угловой момент системы не изменяется, если сумма моментов внешних сил равна нулю. Однако и при этих условиях система может, колебаться или изменять свою форму другим способом. Ситуация существенно упрощается, если система—абсолютно твердое тело, ибо такая система может только двигаться поступательно или вращаться как целое. Следовательно, если суммы сил и моментов сил, действующих на твердое тело, равны нулю, т. е. если
рвнешн = 0Твнетн __ 0рвнешн = 0Твнетн __ 0(14.16)
рвнешн = 0
Твнетн __ 0
рвнешн = 0
Твнетн __ 0
(14.17)
то тело будет либо равномерно вращаться, либо равномерно перемещаться, либо оставаться в покое. Возможность записать условия равновесия в виде только двух уравнений отражает существенные упро-
Ф и г. 176.
щения, связанные с введением понятия абсолютно твердого тела; эти условия эквивалентны утверждению, что сумма всех сил, действующих на каждую частицу твердого тела, равна нулю.
Сказанное можно изобразить в виде логической схемы:
полная сила F = 0、f рвнешн _ о?
на каждую [I
частицу системы ( 4 F = та | Твнешн = 0.
из N частиц 丿(
третий закон, определение твердого тела
Пример. Использование рычага для подъема тяжелых предметов. Допустим, что сам рычаг не имеет веса. Тогда (фиг. 176)
F二F—F2
(это уравнение само по себе не представляет интереса, пока мы не пытаемся выяснить, насколько прочной должна быть опора);
F2R2 —尸 Ei = 0(Твнешн 二 0).
Отсюда
仆=务尸1 (величина).
Если, например, 7?尸30 см, а Т?2=300 см, то человек может поднять груз весом 50 кг (〜490 Н), действуя силой 5 кг (〜49 Н). Человек, мог бы поднять земной шар с помощью рычага достаточной длины. Инженеры, занимавшиеся строительством мостов и военных сооружений, были знакомы с этими и многими другими результатами задолго до Ньютона: эти результаты составляли один из разделов механики, известный еще Архимеду и Аристотелю. Когда Аристотель говорит о теле, вес которого в 10 раз больше веса другого, производящем в 10 раз больший эффект, возможно, он имеет в виду равновесие тел или то, что равновесие тел достигается при определенном отношении длин плечей рычага. Нам удалось получить эти результаты, используя различные свойства движения, начиная с постулатов Ньютона, подобно тому как Евклид объединил все известные до него факты в единую геометрическую систему.
ДИНАМИКА: ТВЕРДЫЕ ТЕЛА В ДВИЖЕНИИ
Динамика твердых тел чрезвычайно сложна. Клейн и Зоммерфельд, к примеру, посвятили целых четыре тома только движению волчков —— их читают те, кто меньше всего склонен забавляться этими игрушками. Полученные выше результаты могут быть широко и с успехом использованы при объяснении движения таких твердых тел, как волчок, гироскоп или Земля. Сейчас мы намереваемся вывести некоторые простейшие следствия из этих результатов с тем, чтобы применить ЛХ»сих для описания некоторых дви
жений; правда, эти движения скоро окажутся настолько сложными, IIчто нам придется ограничиваться
Iлишь рисунками.
Снова рассмотрим гантель, каж- Vдая часть которой вращается со
，скоростью V. Эта система обладает
угловым моментом
L~2mvR. (14.18)
QWmiQQWmiQДопустим, что гантель устроена так, что ее массы можно приблизить
QWmiQ
QWmiQ
Фиг. 177.к центру, не прикладывая к ним
никакого момента сил. (Этого можно добиться, сближая массы, например, при помощи веревки или увели-
чивая приложенные к ним внутренние силы при помощи пружины, как показано на фиг. 177.) Так как полный момент сил равен нулю, угловой момент системы, согласно теореме 14.2, должен остаться постоянным. Поскольку L и m остаются постоянными, в то время как R
(14.19)(14.19)уменьшается, скорость вращения и должна увеличиться: L 1
(14.19)
(14.19)
Следовательно, при уменьшении радиуса R скорость вращения гантели растет обратно пропорционально R. Если массы снова возвратятся в исходное положение, скорость и тоже примет начальное значение, так как к телу опять не приложен момент сил, а величина углового момента должна была остаться неизменной.
Этот результат, кажущийся любопытным и несколько загадочным, иллюстрирует плодотворность полученных теорем и те проблемы, с которыми сталкивались при их выводе. Нельзя не согласиться, что
Фиг. 178.
гантель должна вращаться быстрое при уменьшении ее радиуса, если не сомневаться в справедливости теоремы 14.2. Очевидно, если весь ход рассуждений был верным, то же самое должно следовать и из законов движения, примененных к каждой части тела (фиг. 178).
Для того чтобы разобраться в этом и одновременно убедиться, что результат не содержит в себе ничего загадочного, а должен вызывать только приятное удивление, выведем его непосредственно из второго
закона Ньютона (фиг. 179). Рассмотрим, например, частицу /. На нее действует единственная сила F? на /• Так как движение частицы круговое (радиус вращения постоянный), величина F2 на / должна обеспечивать лишь ускорение частицы, необходимое для движения по окружности:
F2Haj=^ (величина).(14.20)
Чтобы частица 1 приблизилась к центру, эта сила должна возрасти. Затем частица начнет двигаться по некруговой траектории (фиг. 180).
При перемещении частицы по этой траектории внутренняя сила производит над ней работу, так как направление движения уже не перпендикулярно направлению силы. В результате кинетическая энергия частицы, а следовательно, и ее скорость возрастут. Когда частица вращается по новой (меньшей) круговой орбите, величина внутренней силы больше, чем была вначале (это отвечает меньшему радиусу и •большей скорости вращения).
Соотношение (14.19) между радиусом и скоростью вращения можно получить из второго закона при помощи прямых (хотя и не совсем простых) вычислений. Таким образом, этот результат, вообще говоря, несколько неожиданный, непосредственно вытекает из законов Ньютона, примененных к движению каждой части тела; это лишний раз свидетельствует о пользе и результативности выведенных теорем, позволяющих получать те же результаты буквально на двух строчках, с небольшими затратами сил и размышлений.
Фигуристка, управляя своими движениями, как правило, не задумываясь, использует данный принцип. Когда руки фигуристки раз
ведены в стороны (фиг. 181), ее масса в среднем находится дальше от центра туловища, чем в случае, когда руки прижаты к груди. Оттал
киваясь от льда, она начинает медленно крутиться с разведенными в разные стороны руками, а затем, вращаясь на одном коньке, может увеличить скорость своего кручения, прижав руки к туловищу. Чтобы остановиться, фигуристка замедляет свое вращение, снова выбрасывая руки в разные стороны.
Земля, вращаясь в почти пустом пространстве нашей солнечной системы, практически не подвержена действию каких-либо сил, способствующих кручению. Поэтому ее угловой момент остается практически неизменным, и она продолжает вращаться.
Пожалуй, единственной причиной возникновения крутящих моментов является воздействие гравитационных сил Луны и Солнца на неидеально сферическую Землю. Подобные моменты сил когда-то замедлили вращение Луны, так что теперь она совершает полный оборот лишь за целый лунный месяц (и поэтому всегда повернута к Земле одной стороной). Аналогичный эффект уменьшения скорости вращения Земли практически незаметен, так как масса Земли значительно больше массы Луны. Земные сутки уменьшаются менее чем на 10~3 с за столетие. Другое проявление действия этих моментов — прецессия земной оси, изменяющей свое направление от одной звезды к другой (в настоящее время ось направлена на Полярную звезду) — будет рассмотрено позже.
Т ироскоп
Можно подвесить маховое колесо на такой подставке, которая не оказывает практически никакого сопротивления вращению колеса и относительно которой колесо может быть повернуто в любом направлении. Для этого используют три подвески (соответствующие трем измерениям нашего пространства). Такое устройство называют гироскопом (фиг. 182). Пренебрегая трением, можно считать, что к колесу гироскопа не приложены никакие моменты сил. А это означает, что ось вращения будет всегда сохранять свое первоначальное направление в пространстве, и, как бы ни двигалась подставка, направление оси гироскопа останется неизменным. (Главная техническая задача при изготовлении гироскопов состоит в максимальном уменьшении действующих на них моментов сил, чтобы угловые моменты гироскопов могли при вращении оставаться
Фиг. 182.Фиг. 182.постоянными.)
Фиг. 182.
Фиг. 182.
Гироскопы находят широкое применение в тех случаях, когда
требуется выдерживать строго определенное направление. Например, ракета может вращаться на активном участке траектории, подводная лодка может быть повернута морскими течениями, однако, если на корабле есть гироскоп (фиг. 183), капитан никогда не потеряет направление на север. Самолетный автопилот действует по тому же принципу. В густом тумане летчик может полностью потерять ориентацию (бывают случаи, когда пилоты перестают понимать, летят ли они вверх или вниз). Сверяя направления осей гироскопов (допустим, ось одного из них направлена вниз, а ось другого — на север) с направ-
лением движения самолета, автопилот фиксирует любые отклонения движения от заданного курса и вносит в него нужные поправки.
Ф и г. 183.Ф и г. 183.Как и в случае сил и импульсов, момент силы может изменить ве-
Ф и г. 183.
Ф и г. 183.
личину и/или направление углового момента. Однако результат действия момента силы может показаться неожиданным. Если момент силы действует в направлении углового момента, то при этом изменяется лишь величина углового момента (увеличивается, если момент силы направлен по угловому моменту, и уменьшается в противоположном случае, фиг. 184). Направление же углового момента не меняется. Это напоминает действие силы, параллельной направлению движения час-
тицы, когда скорость частицы уменьшается или увеличивается, а ее направление остается неизменным.
Если направления момента силы и углового момента не совпадают, угловой момент может изменяться как по величине, так, возможно, и
Фиг. 184.
по направлению. Так как в обыденной жизни мы редко наблюдаем подобные явления, результат действия момента силы может показаться довольно странным (фиг. 185).
Т (величина): (направление):Т (величина): (направление):Рассмотрим удивительное движение гироскопа, ось которого закреплена в точке Р на другой вертикальной оси (фиг. 186). Момент силы тяжести, приложенной к гироскопу, относительно точки Р
Т (величина): (направление):
Т (величина): (направление):
перпендикулярно плоскости, образованной направлением силы тяжести и осью колеса.
Следовательно, момент силы, перпендикулярный направлению углового момента, изменяет это направление в сторону момента силы. Если правильно запустить гироскоп, то он (помимо быстрого вращения маховика) начнет обращаться вокруг точки подвеса Р, при этом направление углового момента изменяется в сторону действия момента силы. Такое движение называют прецессией (фиг. 187). Скорость прецессии определяется из формулы
(14.22)(14.22)тд/ = дь.
(14.22)
(14.22)
Так, при прочих равных условиях больший момент сил обусловливает более быстрое изменение углового момента, а вследствие этого и большую скорость прецессии.
В общем случае
Если момент силы изменяет только направление углового момента (если он всегда остается перпендикулярным направлению углового момента), то скорость прецессии можно вычислить следующим образом. Для малого промежутка времени А / (когда длину дуги можно заменить
длиной хорды) величина AL равна (фиг. 188)
AL = LA8 (величина), т. е.
ТА/ = AL = LA8 (величина).
Скорость прецессии (пройденный за единицу времени угол)
АО — 1 AL —工— велииина момента силы Д/ —厶 А/ 一 L 一 величина углового момента *
Иногда бывает удобнее использовать частоту прецессии (число оборотов в секунду), обозначаемую буквой v и равную (i/2n) (Д0/Д/). Тогда
Фиг. 185. При попытке поднять колесо человек, стоящий на вертящемся табурете, неожиданно для себя начинает вращаться. Табурет поворачивается, поскольку полный угловой моменте вертикальном направлении должен сохраняться.
для частоты получим
1 т
Допустим, что гироскоп представляет вращающееся колесо радиусом г и массой М с невесомыми спицами и подвешенное, как пска- зано на фиг. 189. Момент силы относительно точки подвеса Р
Т > MgR (величина)
и направлен перпс ндикулярно угловому моменту L вращающегося колеса, равному по величине Mrv.
Тогда частота прецессии
,1 АО 1 Т _ 1 MgR — gR
一 2冗А/ 一 2Л厶一2Л Mvr 一 2a少 и не зависит от массы колеса. Пусть, например, колесо имеет радиус 2 см и подвешено на стержне длиной 4 см. Скорость вращения колеса 20 оборотов в секунду, откуда
20 о6/с =
скорость
и
длина окружности — 2兀厂'
т. е. и=40 лг=80 л см/с.
Тогда частота прецессии
1 де
2n Z7
1 gR
2 л иг
1 980 см/с • 4 см 2л 80л см/с-2 см
—1,25 об/с.
Равномерная прецессия описывается как частное решение уравнений движения и наблюдается только в том случае, когда гироскоп
запущен надлежащим образом. Если в момент запуска гироскопа его ось получает толчок в горизонтальном направлении, то сначала она слегка наклонится, а затем, прецессируя, будет колебаться вверх и
Фиг. 186.Фиг. 186.
Фиг. 186.
Фиг. 186.
вниз. Обычно такие малые колебания, называемые нутацией, затухают под действием сил трения и гироскоп продолжает равномерно прецессировать.
Волчок (фиг. 190) тоже обладает угловым моментом, так как он быстро вращается. Момент гравитационной силы (приложенной к центру масс) относительно точки опоры волчка может, как и в случае ги-
Ф и г.Ф и г.
Ф и г.
Ф и г.
роскопа, изменить направление его углового момента (в сторону момента силы), в результате чего, если волчок был запущен правильно, он начнет равномерно прецессировать. В случае более сложного движения (например, когда волчок касается пола) на прецессию волчка накладывается нутация, которая вызывает колебания его оси, известные любому ребенку.
Землю тоже можно рассматривать как гироскоп или волчок. Если бы она обладала строго сферической формой, то возмущающая гравитационная сила была бы приложена к центру планеты и не создавала бы крутящего момента. В результате угловой момент Земли оставался бы постоянным, и ее ось вращения была бы всегда направлена на одну и ту же звезду, если, конечно, эта звезда находилась бы достаточно далеко, чтобы ее видимое положение на небе не изменялось из-за движения Земли по орбите вокруг Солнца. В настоящее время Северный полюс Земли смотрит на Полярную звезду (фиг. 191). Однако так было не всегда. Во втором веке до нашей эры Гиппарх обнаружил, что его предшественники наблю
дали иную, чем он, неподвижную точку на небе. Сейчас эта точка совпадает с положением Полярной звезды, а 5000 лет тому назад она находилась в районе звезды Тубан. В 7500 г. она будет совпадать с самой яркой звездой созвездия Цефей, а в 14 000 г. полярной звездой окажется Вега (фиг. 192).
Фиг. 191.
Чтобы понять это, заметим, что Земля не является идеальной сферой, а сплющена у полюсов; далее, ее ось вращения наклонена на 23° относительно перпендикуляра к плоскости ее орбиты. Из-за этого гравитационная сила Солнца сильнее притягивает ближнюю к нему сторону Земли, чем дальнюю, в результате чего возникает момент силы, вызывающий прецессию земной оси (фиг. 193). Если бы на Землю действовала только сила притяжения Солнца, период прецессии составил бы приблизительно 80 000 лет. Однако движение Земли возму-
щается еще и притяжением Луны, которая хотя и меньше Солнца, но зато находится гораздо ближе к Земле, так что момент ее силы притяжения оказывается величиной такого же порядка, как и у Солнца. Суммарный момент сил притяжения Луны и Солнца вызывает прецессию земной оси с периодом порядка 26 000 лет (фиг. 194).
Фиг. 192. Путь Северного полюса среди звезд из-за прецессии земной оси [2]. 、
Таким образом, наша Земля, которая считалась когда-то центром Вселенной, которая притягивала или отталкивала все тела, вокруг которой обращались Солнце, планеты и звезды, на деле подчиняется воле Солнца и Луны и мчится в пространстве среди мир и адов планет и
① н п 193.
звезд бесконечной Вселенной. Она, подобно игрушечному волчку, прецессирует и даже, если внимательно приглядеться, совершает небольшие нутационные колебания.
Скорость прецессии земной оси, вызванной неравномерным притяжением Земли к Солнцу, может быть приближенно вычислена следующим образом. Масса Земли сосредоточена ближе к экватору, и именно эта неравномерность распределения массы приводит к появлению момента силы притяжения Солнца. (Этот момент не возник бы, если бы Земля была сферой.) Под действием момента силы, приложенного к избытку массы на экваторе (А/п), угловой момент вращающейся Земли изменяется (фиг. 195).
Если избыточную массу А加 считать сосредоточенной в двух точечных массах, расположенных на экваторе (фиг. 196), то действующий т-озимой или летом момент можно
tn^ne^b гд <£/Эе^^1266W\z^C~'tn^ne^b гд <£/Эе^^1266W\z^C~'вычислить так:GMcm尸 =—审 (величина)—сила притяжения Солнцем массы т, находящейся от него на расстоянии R,GMc\m/2尸=——сила притяжения 十 Солнцем верхней точечной массы Дт/2,GAfcAm/2г = 7不 _八篇宣—сила притяжения (— 『Солнцем нижней точечной массы А/п/2.Последние два выражения можно приближенно записать в виде: сила, действующая на верхнюю массу (величина)GMcAm/2GMc\m/2 2AR—^£ , (14.23)вычислить так:GMcm尸 =—审 (величина)—сила притяжения Солнцем массы т, находящейся от него на расстоянии R,GMc\m/2尸=——сила притяжения 十 Солнцем верхней точечной массы Дт/2,GAfcAm/2г = 7不 _八篇宣—сила притяжения (— 『Солнцем нижней точечной массы А/п/2.Последние два выражения можно приближенно записать в виде: сила, действующая на верхнюю массу (величина)GMcAm/2GMc\m/2 2AR—^£ , (14.23)Фиг. 194.Фиг. 194.сила, действующая на нижнюю массу (величина)々GMc 厶团/2 GMcAm/2 2AR币 十 ^ r 一 ・(14.24)(Это приближение обеспечивает весьма высокую точность. Сила, действующая на верхнюю массу, меньше, так как масса находится дальше от Солнца.) Величина момента этих сил равнасила, действующая на нижнюю массу (величина)々GMc 厶团/2 GMcAm/2 2AR币 十 ^ r 一 ・(14.24)(Это приближение обеспечивает весьма высокую точность. Сила, действующая на верхнюю массу, меньше, так как масса находится дальше от Солнца.) Величина момента этих сил равна
tn^ne^b гд <£/Эе^^
1266W\z^C~'
tn^ne^b гд <£/Эе^^
1266W\z^C~'
вычислить так:
GMcm
尸 =—审 (величина)—сила притяжения Солнцем массы т, находящейся от него на расстоянии R,
GMc\m/2
尸=——сила притяжения 十 Солнцем верхней точечной массы Дт/2,
GAfcAm/2
г = 7不 _八篇宣—сила притяжения (— 『Солнцем нижней точечной массы А/п/2.
Последние два выражения можно приближенно записать в виде: сила, действующая на верхнюю массу (величина)
GMcAm/2GMc\m/2 2AR
—^£ , (14.23)
вычислить так:
GMcm
尸 =—审 (величина)—сила притяжения Солнцем массы т, находящейся от него на расстоянии R,
GMc\m/2
尸=——сила притяжения 十 Солнцем верхней точечной массы Дт/2,
GAfcAm/2
г = 7不 _八篇宣—сила притяжения (— 『Солнцем нижней точечной массы А/п/2.
Последние два выражения можно приближенно записать в виде: сила, действующая на верхнюю массу (величина)
GMcAm/2GMc\m/2 2AR
—^£ , (14.23)
Фиг. 194.
Фиг. 194.
сила, действующая на нижнюю массу (величина)々
GMc 厶团/2 GMcAm/2 2AR
币 十 ^ r 一 ・(14.24)
(Это приближение обеспечивает весьма высокую точность. Сила, действующая на верхнюю массу, меньше, так как масса находится дальше от Солнца.) Величина момента этих сил равна
сила, действующая на нижнюю массу (величина)々
GMc 厶团/2 GMcAm/2 2AR
币 十 ^ r 一 ・(14.24)
(Это приближение обеспечивает весьма высокую точность. Сила, действующая на верхнюю массу, меньше, так как масса находится дальше от Солнца.) Величина момента этих сил равна
(14.25)(14.26)(14.25)(14.26)
(14.25)
(14.26)
(14.25)
(14.26)
GMcAm/2 2AR、
2 ——Н5n- X (длина плеча)=
GMc^m/2 2
=2 —- -в-产 sin 23° cos 23°.
Учтем теперь, что избыточная масса в действительности распределена по кольцу, а не сосредоточена в точках (т. е. AR и длина плеча на самом деле меньше), и что момент силы равен своему максимальному значению лишь во время зимнего и летнего солнцестояний (в периоды весеннего и осеннего равноденствия он равен нулю). В результате
среднее значение момента за год оказывается примерно в 8/3 раза меньше, чем значение, получающееся из (14.25), т. е.
3 2GMe Am 2AR
средний момент силы = w—^2~-^~-Х (длина плеча). (14.27)
Этот средний момент можно связать с периодом обращения Земли во-Этот средний момент можно связать с периодом обращения Земли во-ООfto-^юс」fto-^юс」круг Солнца (равным 1 году). Так каккруг Солнца (равным 1 году). Так как=优4,=优4,тотоGMc%GMc%审审V2优з 页，(14.28)V2优з 页，(14.28)一。"一。"丸а/〃>С / Фиг. 195.丸а/〃>С / Фиг. 195.период обращения Землипериметр земной орбиты — 2球 скорость 一 V '(14.29)период обращения Землипериметр земной орбиты — 2球 скорость 一 V '(14.29)处处поэтому4冗2Rгодпоэтому4冗2Rгод(14.30)(14.30)Следовательно,。3 С 4门2R Am 2AR /средний момент силы = — •2-^ х (длина плеча) = (14.31)8 Т「оД 2 RСледовательно,。3 С 4门2R Am 2AR /средний момент силы = — •2-^ х (длина плеча) = (14.31)8 Т「оД 2 R3 竽旦2 sm 23。cos 23°.8鹏Д 23 竽旦2 sm 23。cos 23°.8鹏Д 2(14.32)(14.32)
Этот средний момент можно связать с периодом обращения Земли во-
Этот средний момент можно связать с периодом обращения Земли во-
О
О
fto-^юс」
fto-^юс」
круг Солнца (равным 1 году). Так как
круг Солнца (равным 1 году). Так как
=优4,
=优4,
то
то
GMc%
GMc%
审
审
V2
优з 页，(14.28)
V2
优з 页，(14.28)
一。"
一。"
丸а/〃>С / Фиг. 195.
丸а/〃>С / Фиг. 195.
период обращения Земли
периметр земной орбиты — 2球 скорость 一 V '
(14.29)
период обращения Земли
периметр земной орбиты — 2球 скорость 一 V '
(14.29)
处
处
поэтому
4冗2R
год
поэтому
4冗2R
год
(14.30)
(14.30)
Следовательно,
。3 С 4门2R Am 2AR /
средний момент силы = — •2-^ х (длина плеча) = (14.31)
8 Т「оД 2 R
Следовательно,
。3 С 4门2R Am 2AR /
средний момент силы = — •2-^ х (длина плеча) = (14.31)
8 Т「оД 2 R
3 竽旦2 sm 23。cos 23°.
8鹏Д 2
3 竽旦2 sm 23。cos 23°.
8鹏Д 2
(14.32)
(14.32)
Если бы вся масса Земли была сконцентрирована в кольце, охватывающем Землю по экватору, ее угловой момент равнялся бы
Фиг.Фиг.196.196.
Фиг.
Фиг.
196.
196.
加3 Г%а экваторе (здесь %а экваторе — скорость вращения Земли на экваторе). Однако на самом деле эта масса распределена по сфере (фактически это означает, что средняя скорость и среднее расстояние на
экваторе от центра несколько меньше), поэтому угловой момент сферической Земли определяется по формуле
2
L =写 тз『4а экваторе (веЛИЧИНЗ).(14.33)
Угловой момент можно связать с периодом вращения Земли (1 день):
ОтсюдаОтсюдаТ день = 1 день =Т день = 1 день =2лг°на экваторе2лг°на экваторег 22〃2 4л 21l m 〃2з亍=m т3产 宁・D / день °/ деньг 22〃2 4л 21l m 〃2з亍=m т3产 宁・D / день °/ день(14.34)(14.35)(14.34)(14.35)
Отсюда
Отсюда
Т день = 1 день =
Т день = 1 день =
2лг
°на экваторе
2лг
°на экваторе
г 22〃2 4л 21
l m 〃2з亍=m т3产 宁・
D / день °/ день
г 22〃2 4л 21
l m 〃2з亍=m т3产 宁・
D / день °/ день
(14.34)
(14.35)
(14.34)
(14.35)
Момент силы изменяет направление (но не величину) той компоненты углового момента Земли, Lsin 23°, которая лежит в плоскости
Фиг. 197. «Ужасная трагедия — яблоко упало ему на голову».Фиг. 197. «Ужасная трагедия — яблоко упало ему на голову».
Фиг. 197. «Ужасная трагедия — яблоко упало ему на голову».
Фиг. 197. «Ужасная трагедия — яблоко упало ему на голову».
земной орбиты, что приводит (как и в случае гироскопа) к прецессии:
Т = ^ = Lsin23°х(скорость прецессии земной оси). (14.36)
(14.37)(14.37)Поэтому
(14.37)
(14.37)
T = L^sin23°,| пр
где Тпр ——период прецессии земной оси, обусловленной моментом силы притяжения Солнца. Подставляя в (14.37) выражения (14.32) и (14.35), получаем
3 (4л)2 Nm
戸 COS 23°- —m3r2 5
1 2k
Тдень Тцр
(14.38)
или
(14.39)(14.39)оценка一，(14.40)m3 3040k7оценка一，(14.40)m3 3040k75.3/8 COS 23。Тдень А^Мз5.3/8 COS 23。Тдень А^МзИз измерений окружности Земли по экватору и меридиану следуетИз измерений окружности Земли по экватору и меридиану следуетПоэтому окончательноПоэтому окончательно(14.41)(14.41)Тир ^ 8° 400 лет.Тир ^ 8° 400 лет.
(14.39)
(14.39)
оценка
一，(14.40)
m3 3040k7
оценка
一，(14.40)
m3 3040k7
5.3/8 COS 23。Тдень А^Мз
5.3/8 COS 23。Тдень А^Мз
Из измерений окружности Земли по экватору и меридиану следует
Из измерений окружности Земли по экватору и меридиану следует
Поэтому окончательно
Поэтому окончательно
(14.41)
(14.41)
Тир ^ 8° 400 лет.
Тир ^ 8° 400 лет.
15
ВСЕЛЕННАЯ КАК МАШИНА
Эта идея не принадлежит Ньютону. Еще Демокрит, Эпикур, Лукреций и Гассенди доказывали, что мир состоит только из атомов и их комбинаций, движущихся в пустоте, и что любое явление природы можно объяснить перегруппировкой этих атомов. Декарт, хотя и не веривший в пустоту, применял к частицам законы механики, пытаясь вы есш таким путем наблюдаемые свойства действительного мира. Однако древнюю и часто оспариваемую догадку, что все вещи, все явления природы и весь наш опыт можно объяснить перегруппировкой изначальных атомов, движение которых подчиняется механическим законам, удалось поставить на прочную и строгую основу только с помощью теории Ньютона. Если это так, то почему бы не попытаться объяснять явления в экономике, истории и, наконец, поведение самого человека на основе естественных законов, которые вытекали бы как следствия из законов, управляющих поведением элементарных частиц? С появлением теории Ньютона проблемы детерминизма и свободы воли, как и вся система человеческих знаний (под которой часто подразумевали саму ньютоновскую систему),— все это было пересмотрено в свете ее идей.
Но, возможно, сильнее всего теория Ньютона повлияла на психологию людей. В средние века человек спокойно жил в мире, .центром которого он был; в мире, весь смысл, стремление и содержание которого концентрировались вокруг человека, подобно тому, как Земля была центром движения всех звезд, планет и других тяжелых или легких тел; в мире, который зиждился на идее спасения души и в котором все поступки были целенаправленны; в почти волшебном и ясном мире, где все создания ——от ангелов до животных, и даже неодушевленные камни — знали свое место, свою цель и свое отношение ко всему ос* тальному.
Уже давно подозревали, что Вселенная может быть материальной, состоящей из набора атомов, которым не присущи ни собственные цели, ни определенное направление движения и поведение которых не зависит от человека. Защитников таких взглядов могли в зависимости от нравов времени или от их темперамента сжигать на костре или просто игнорировать. Такая идея представляла интерес как одна из возможностей объяснить мир, хотя она не отличалась особой привлекательностью и гуманностью. Ей оказывали предпочтение скорее из соображений морали (Эпикур), чем из-за того, что она помогала упорядочить явления природы с меньшими затратами сил.
Утверждение, что Ньютон зачеркнул весь мир средневековья, вероятно, является чересчур сильным, однако ясно, что успех его теории привел к тому, что человеку стало неуютно жить в этом мире. Трудно сказать, насколько это соответствует действительности, но стало труднее верить в то, что человек является центром Вселенной, что все сущее управляется и организуется человекам, главным героем грандиозного спектакля. В результате применения механических законов к движению частиц мир перестал концентрироваться вокруг Земли. Отсюда лишь один шаг до материализма Гольбаха:
«Вселенная, огромное скопление всего сущего,' состоит лишь из материи и движения. Все, что предстает перед нагшм взором, является ни чем иным, как широким и беспрерывным потоком причин и следствий».
К концу семнадцатого века теорию Ньютона стали преподавать в университетах Великобритании. Когда Ньютон скончался в 1727г., ему были устроены королевские похороны. После похорон Вольтер иаписал: «Не так давно в одной знатной компании обсуждался избитый и пустой вопрос: Кто был величайшим человеком ——Цезарь, Александр, Тамерлан или Кромвель? Кто-то сказал, что таким человеком был, без сомнения, Исаак Ньютон. И он был прав, так как мы должны благодарить Ньютона за то, что он овладел нашим разумом не насилием, а силой правды».
Затем теория Ньютона распространилась по всему континенту. К 1789 г. было выпущено 18 технически трудных для печати изданий «Начал»; вышло около 40 популярных книг на английском и 17 на французском языках, трактующих эту тему. Были даже организованы женские курсы — «Ньютонизм для дам».
Стало настолько модным читать книги о новой науке, что, говорят, молодые женщины раздумывали, согласиться ли им на предложение, если их женихи не достигли каких-либо научных высот. Без сомнения, тот огромный успех, который имела миссия Бенджамина Франклина в Париже, частично связан с его выдающимися открытиями в области электричества. И, возможно, не был большим преувеличением рассказ о даме, которая всегда возила с собой труп человека, чтобы изучать анатомию во время прогулок по Булонскому лесу. Коттон Матер писал: «Гравитация ведет нас к Богу и ставит нас рядом с ним».
Конечно, дамы и господа, которые посещали всевозможные лекции, вряд ли читали «Начала» Ньютона или разбирались в тонкостях его доказательств. Однако «ньютонизм» и «ньютоновская система» превратились с этого момента в одну из непререкаемых догм европейского мышления. Любую другую систему мира стали теперь проверять и подвергать сомнению, опираясь на систему Ньютона. С этого времени идеи Ньютона стали господствовать в науке Запада подобно тому, как господствовали в течение многих веков взгляды Аристотеля.
Ньютон считал, что движения планет подчиняются его законам не вполне строго, и эти движения следует время от времени подправлять» словно бог через каждое тысячелетие подводит свои часы, которые слегка отстают. Однако в начале девятнадцатого века Лаплас доказал, что эти часы не отстают, а идут точно. Оказалось, что те небольшие отклонения в движениях планет, которые беспокоили Ньютона, можно объяснить, если учесть взаимное влияние планет. Говорят, когда Наполеон спросил у Лапласа (можно только удивляться уместности подобного вопроса), где же находится бог в его системе, Лаплас ответил: 《Je n'ai pas eu besoin de cette hypothese» (《只 не нуждаюсь в этой гипотезе»).
Однако не всем нравился этот мир, в котором человек был подобен чужеземцу, а атомы и планеты двигались по своим орбитам независимо от его воли. Это был мир, с которым следовало считаться, но которому не обязательно было радоваться. Он оказывал влияние на взгляды философов, экономистов, политиков, теологов и моралистов; некоторые приветствовали его, другие же страстно отвергали, но в конце концов были вынуждены принять его со смирением, а возможно, с некоторой горькой усмешкой:
«Я открыл свое сердце мягкому безразличию Вселенной и принял ее как брата» (Камю).
О ПРИРОДЕ СВЕТА
16
ТЕННИСНЫЕ МЯЧИ
Снова говорит Исаак Ньютон:.
《兄 достал треугольную стеклянную призму, чтобы с ней произвести опыты над знаменитым явлением цветов. Для этой цели, затемнив мою комнату и проделав небольшую дыру в оконных ставнях для пропускания солнечного света в нужном количестве, я поместил мою призму там, где входил свет, так что он мог преломляться к противоположной стене. Сначала зрелище живых и ярких красок, получавшихся при этом, доставляло очень приятное удовольствие. Но затем, заставив себя более внимательно присмотреться к цветам, я был поражен их удлиненной формой: в соответствии с известными мне законами преломления я ожидал, что форма будет круглой» [1] (фото 9). «...таким образом была открыта истинная причина длины изображения, которая заключалась в том, что свет состоит из лучей различной преломляемости, которые независимо от различия их падения проходят к различным частям стены соответственно их степеням преломлениям [2].
Ньютон, таким образом, пришел к выводу, что белый свет, считавшийся до него чистой и однородной субстанцией, на самом деле представляет смесь лучей различных цветов.
Приведенная цитата взята из первой работы Ньютона, написанной простым языком и полной нескрываемого восторга перед открытиями, которые он сделал. Но ученые старшего поколения оспаривали выводы этой работы. Традиционный взгляд на свет, выраженный, например, Гуком, состоял в следующем:
«Свет есть простое и равномерное движение, или вибрация, однородной и восприимчивой (т. е. прозрачной) субстанции, мгновенно распространяющееся в виде сферической волны на любое воображаемое расстояние от светящегося тела...» [3].
Далее Гук обращается к Ньютону:
«Я думаю, для мистера Ньютона не составит большого труда дать объяснение всех явлений ——не только цветовую картину, даваемую призмой, и цвета жидких и твердых тел, но и окраску тонких пленок, что представляется наиболее трудной проблемой» [4].
Ньютон тем не менее настаивает на сложной природе белого света: «...наиболее поразительна и чудесна смесь, дающая белизну. Нет ни одного сорта лучей, который в отдельности мог бы проявлять ее... Часто я с восторгом смотрел, как все цвета призмы, когда я их заставлял сходиться и снова смешиваться так же, как они были в свете, падавшем на призму, воспроизводили полный и совершенный белый свет, совсем не отличавшийся от прямого света солнца...» [5].
Далее он колеблется:
«...если только стекла, применявшиеся мною, были достаточно прозрачны; иначе стекло несколько склоняет их к своей окраске» [6].
Трудно сказать, когда люди начали размышлять над природой вездесущего света, который, по библии, был создан богом на третий день и до сих пор служит источником большей части наших знаний об окружающем мире. Постепенно изучение этого вопроса становилось все более и более глубоким.
Каким образом нам удается видеть? Общепринятое теперь мнение, что зрение обязано чему-то внешнему, входящему в глаз и возбуждающему зрительные образы, подразумевает, что свет — объективная реальность, не зависящая от наших чувств и мышления. Как говорил когда-то Диоген, ссылаясь на Демокрита: «мы видим благодаря попаданию образов в наши глаза» [7]. (При таком объяснении зрения возникает, однако, вопрос: почему мы можем быть уверенными в правильности нашего истолкования увиденного?)
Мир состоит из объектов, по-разному реагирующих на свет: одни из них непрозрачные, другие — прозрачные, а третьи — полупрозрачные. Некоторые предметы светятся, сами являясь источниками света. Другие же поглощают свет и кажутся черными. Солнце ——излучающее тело, а Луна ——отражающее. Чем бы ни был свет, он должен распространяться очень быстро. Когда мы зажигаем спичку, комната освещается мгновенно; исчезает освещение столь же быстро. Далее, свет распространяется прямолинейно. Мы не можем видеть из-за угла. При определенных условиях предмет с резкой границей имеет четкую тень. Пучок света, правильно сформированный, распространяется по прямой линии (фото 10).
Два пучка света, проходя один сквозь другой, очевидно, не взаимодействуют между собой (фото 11). Об этом свидетельствует наш жизненный опыт. Отражение в зеркале человека, находящегося в комнате, не искажается, если сбоку входит другой человек.
Всегда ли свет распространяется прямолинейно? Евклид сомневался, принять ли ему точку зрения Платона и определять прямую линию как линию, вдоль которой распространяется свет. Ему было известно, что на границе двух сред, например воды и воздуха, свет преломляется (фиг. 198).
Даже в одной среде свет не всегда распространяется по прямой линии. В жаркий день шоссе на горизонте кажется мокрым, так как путь света, идущего сначала через горячий воздух вблизи земли, а затем повыше через более холодный, искривляется, и мы воспринимаем увиденное как отражение от мокрой дороги. Мы настолько привыкли к мысли, что свет распространяется прямолинейно, что предпо
читаем считать шоссе мокрымчитаем считать шоссе мокрымФиг.Фиг.или весло изогнутым, нежели согласиться, что путь света может быть искривленным.
читаем считать шоссе мокрым
читаем считать шоссе мокрым
Фиг.
Фиг.
Свет проходит через некоторые вещества, например стекло, но не проходит через другие, скажем металлы. Он распространяется в воздухе и проходит через межпланетное пространство. Мы видим звезды и удаленные галактики спустя время, огромное по сравнению с человеческой жизнью; тем не менее
свет, испущенный этими объектами и прошедший космические расстояния, доходит до нас без видимого изменения. Когда он попадает в наш глаз, мы регистрируем давно прошедшие события, т. е. наблюдаем явления (рождение сверхновых звезд или галактик), которые
происходили, вероятно, еще до того, как возникла наша планета.
Носитель дошедшей до нас информации, чем бы он ни являлся, сам по себе невидим. Мы видим источник света, как и предмет, который он освещает. Но сам пучок света мы не видим (фото 12). Если же в пространстве между источником света и предметом есть частицы, способные отражать свет (тем самым они становятся неизлучающими источниками), мы в состоянии «увидеть» пучок света, как показано на фото 13.
Этот носитель информации движется чрезвычайно быстро. Распространяется ли свет мгновенно от одного тела к другому «на любое воображаемое расстояние»? Галилей пытался измерить скорость света с помощью фонарей, помеихенных на вершинах двух гор, однако безуспешно, так как свет проходил расстояние между вершинами за ничтожный промежуток времени. Впервые величину скорости света определил в 1676 г. Рёмер. Он обнаружил, что затмение спутников Юпитера происходит на 11 минут раньше расчетного времени, когда Земля находится в ближайшей к Юпитеру точке, и на 11 минут позже, когда расстояние между планетами наибольшее. Он связал странное поведение времени затмения с положением Земли на орбите относительно Юпитера. Ясно, что периоды обращения спутников Юпитера не могут зависеть от положения Земли на своей орбите. Рёмер предположил, что наблюдаемое явление обусловлено тем, что свет распространяется от Юпитера до земного наблюдателя за конечное время, которое, естественно, возрастает с увеличением расстояния между планетами. С помощью этого предположения ему удалось оценить величину скорости света.
Сейчас мы знаем, что свет распространяется в вакууме с конечной, но огромной скоростью, величина которой, равная приблизительно 3-1010 см/с, настолько превосходит все известные из житейской практики скорости, что нам остается лишь недоуменно пожимать плечами. Однако в недалеком будущем конечность скорости света может стать осязаемой и в обыденной жизни, когда телефонные переговоры будут осуществляться с помощью спутников связи, находящихся на расстоянии 40 000 км от Земли. Свет, испускаемый передатчиком, расположенным на Земле, проходит расстояние от передатчика до спутника и обратно к приемнику, т. е. 80 000 км, приблизительно за 】/《с, так что между моментом, когда один начинает говорить, и моментом, когда второй его слышит, возникает заметная задержка. Если же второй начнет говорить одновременно с первым, то могут возникнуть нелепые ситуации, которые имитировались на Всемирных выставках; в будущем, вероятно, потребуются новые правила поведения при международных разговорах.
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
Мы рассматриваем свет как переносчик информации от объекта к глазу. Светящееся тело испускает свет по всем направлениям. Свет сам по себе невидим; однако, когда свет попадает в глаз, он возбуждает его, и мы начинаем видеть. Наш мозг ассоциирует увиденное с внешними объектами. Зрительные образы новорожденных не обязательно интерпретируются именно таким образом. Требуется определенное время и обучение, прежде чем ребенок начинает, как мы говорим, правильно понимать ощущения и образы, возникающие при посредстве зрения. Тогда возникает вопрос: что же это такое, что распространяется от объекта к глазу, т. е. что такое свет и каково его поведение? Первый вопрос вызывает одну загадку за другой. На второй же вопрос можно дать весьма недвусмысленный ответ. Этот ответ был подготовлен наблюдениями в течение многих столетий.
Отражение
Когда пучок света падает на гладкую отражающую поверхность, например зеркало, он отражается от нее в соответствии с удивительно простыми правилами (фото 14). После отражения от зеркала узкий пучок остается таким же. Каково направление отраженного пучка? Наблюдения приводят к простому ответу на этот вопрос: угол отражения равен углу падения (фиг. 199). Если поверхность не является гладкой, можно считать, что она состоит из большого числа плоских и гладких элементов. Пучок света, отражаясь от каждого отдельного элемента в соответствии с правилом, что угол отражения равен углу падения, кажется со стороны рассеянным по всем направлениям, или
диффузно отраженным. Такой отражатель называется диффузным (фото 15) в отличие от отражателя, имеющего гладкую полированную поверхность и называемого зеркальным.
Фиг. 199. Угол падения равен углу отражения.
Преломление
Создается впечатление, что свет, распространяющийся по прямой линии с конечной скоростью через пустоту или однородную среду, обладает чем-то вроде инерции. Соблазнительно сравнить распространение света с равномерным движением ньютоновской частицы. Что отклоняет частицу от прямолинейного движения с постоянной скоростью? «Сила»,— ответил Ньютон. Можно ли сказать что-нибудь подобное относительно света? Мы видели, что свет, попадая на твердую гладкую поверхность, отлетает от нее назад, причем угол отражения оказывается равным углу падения.
Рассмотрим теперь поведение света при прохождении его из одной однородной среды в другую, например из воздуха в воду. Вода, можно сказать, не так тверда, как зеркало. Часть света отражается, и для этой части угол падения равен углу отражения. Однако другая часть проходит все-таки в воду. На фиг. 200 схематически изображено прохождение света через границу двух сред, где введены обозначения, которые мы будем использовать в дальнейшем. ,
Мы замечаем, что преломление является в некотором смысле обобщением отражения: имеются падающий пучок, отраженный пучок, угол падения и угол отражения. Но есть и преломленный пучок. Не зная теории, трудно, конечно, угадать соотношения между углами падения, отражения и преломления. Однако вести наблюдения за прохождением света очень легко. И такие наблюдения проводились по крайней мере еще во времена древних греков. С помощью измерений, подобных изображенным на фото 16 для случая прохождения света из воздуха в стекло, для любых двух сред можно найти соотношения как между направлениями, так и между интенсивностями падающего, отраженного и преломленного пучков.
Обнаружив преломление света (его наблюдали еще Аристотель, который описал кажущийся излом погруженного в воду весла, и Птолемей, который опубликовал таблицу различных углов падения и преломления света, пересекающего границу воздуха и воды; табл. 6), естественно было поставить вопрос: каково соотношение между угла-
Ф и г. 200. Падающий, отраженный и преломленный лучи.
ми падения и преломления? Для случая отражения такое соотношение (угол падения равен углу отражения) является настолько простым, что его трудно не выявить, если проводить прямой эксперимент.
Таблица 6
Углы преломления на границе воздух — вода по данным Клавдия Птолемея (140 г. н. э.)
Угол в воздухе
Угол в воде
Угол в воздухе
Угол в воде
10°
8°
50°
35°
20°
15,5。
60°
40,5°
30°
22,5°
70°
45,5°
40°
29°
80°
50°
В случае преломления имеются три луча: падающий, отраженный и преломленный. Для простейших границ раздела (стекло — воздух или стекло — вода) первое же наблюдение показывает, что все три луча лежат в одной плоскости. Далее, нетрудно установить, что угол падения и угол отражения равны между собой. Следовательно, чистое отражение является частным случаем преломления, когда интенсив-" ность преломленного луча равна нулю.
Соотношение между углами падения и преломления немного сложнее, чем между углами падения и отражения. Сначала предполагалось, что отношение угла падения к углу преломления есть величина постоянная:
= const.(16.1)
^преломления
Позднее установили, что это соотношение справедливо лишь при очень малых углах. Кеплер пытался исправить его, но не достиг успеха. В 1662 г. Снелл предложил следующее принятое сейчас соотношение между углами падения и преломления п (см. табл. 7):
(16.2)Таблица 7(16.2)Таблица 7sin (Впадения)丄
(16.2)
Таблица 7
(16.2)
Таблица 7
-：~ = const.
Sin (^преломления)
Вычисленные по формуле (16.2) углы преломленияна границе воздух — вода
У гол в воздухе (падения)
У гол в воде (преломления)
Угол в воздухе (падения)
Угол в воде (преломления)
10°
7,5°
50°
35°
20°
14,9°
60°
40,5°
30°
22°
70°
44,8°
40°
28,8°
80°
47,6°
Таким образом, отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная. Эта величина, называемая показателем преломления, характеризует два граничащих материала и имеет различные значения для разных пар веществ. Например, она имеет одно значение для границы воздух ——вода, другое — для границы воздух ——стекло и третье — для поверхности раздела стекло —— вода.
Для любой пары веществ, скажем стекла и воздуха, достаточно одного измерения углов падения и преломления для нахождения показателя преломления. Определив эту величину, мы будем знать угол преломления при любом заданном угле падения. Сейчас мы просто постулируем существование такого соотношения. Тогда возникает вопрос: следует ли оно из каких-нибудь фундаментальных свойств света? Позже мы обсудим некоторые возможные ответы на этот вопрос.
Интенсивности отраженного и преломленного лучей изменяются при изменении угла падения. На фото 17 видно несколько пучков света, проходящих через стеклянную призму. Свет в этом случае пересекает границу стекла с воздухом, и для каждого падающего пучка имеются отраженный и преломленный пучки. При увеличении угла
1)Синус и косинус определены в приложениях, стр. 432.
падения угол преломления растет, а интенсивность преломленного пучка уменьшается. При некотором максимальном угле падения преломленный луч вообще исчезает. Иными словами, при таком угле падения поверхность полностью отражает свет. Это явление называется
полным внутренним отражением.
На фиг. 201 изображена траектория луча света, идущего из воздуха в стеклянную пластину с параллельными гранями и далее снова в воздух. Если внимательно проследить за ходом луча, отмечая углы
Фиг.Фиг.падения и преломления и учитывая, что угол падения на границе стекло —воздух равен углу преломления на границе воздух — стекло, то можно показать, что выходящий из пластины пучок будет параллельным входящему в пластину, но слегка смещенным относительно него.
Фиг.
Фиг.
Если грани пластины не параллельны между собой (как в призме),
пучок света выходит из нее не параллельно направлению входящего луча и производит, говоря словами Ньютона, «знаменитое явление цветов^. Пучок белого света, проходящего через призму, превращается после выхода из нее в пучок света различных цветов. Это явление, теперь уже не столь знаменитое и носящее скромное название дисперсии, можно объяснить с помощью предположения, что различные цвета, из которых состоит белый свет, преломляются по-разному, или что показатели преломления для различных цветов различны. Наклон выходящего пучка зависит как от материала призмы и окружающего ее вещества, так и от цвета, а именно: наклон больше для «холодных» цветов (фиолетового или голубого) и меньше для «теплых» цветов (желтого или красного) (фиг. 202).
Фиг. 202. «Знаменитое явление цветов...»Фиг. 202. «Знаменитое явление цветов...»
Фиг. 202. «Знаменитое явление цветов...»
Фиг. 202. «Знаменитое явление цветов...»
Это явление убедило Ньютона в том, что белый свет не является чистым, а представляет собой смесь различных цветов. Ньютон попытался расщепить на составляющие отдельный цвет, например желтый, пропуская его через призму. Он установил, что хотя пучок лучей и
расширяется, желтый цвет остается желтым, а красный — красным. Затем он сложил составляющие цвета, пропуская их вместе через вторую призму, и снова получил белый свет (фиг. 203). Декарт выдвинул
Фиг. 203. «Часто я с восторгом смотрел, как все цвета призмы, когда я их заставлял сходиться... воспроизводили полный и совершенный белый свет...»Фиг. 203. «Часто я с восторгом смотрел, как все цвета призмы, когда я их заставлял сходиться... воспроизводили полный и совершенный белый свет...»
Фиг. 203. «Часто я с восторгом смотрел, как все цвета призмы, когда я их заставлял сходиться... воспроизводили полный и совершенный белый свет...»
Фиг. 203. «Часто я с восторгом смотрел, как все цвета призмы, когда я их заставлял сходиться... воспроизводили полный и совершенный белый свет...»
предположение, что радуга возникает из-за дисперсии света. Солнечный свет, отраженный от капель воды, диспергирует по причине различия показателей преломления для разных цветов, составляющих
Фиг. 204. Когда наблюдательФиг. 204. Когда наблюдательсмотрит в одном направлении, он видит красный цвет. Когда он смотрит в другом направлении, он видит голубой.смотрит в одном направлении, он видит красный цвет. Когда он смотрит в другом направлении, он видит голубой.
Фиг. 204. Когда наблюдатель
Фиг. 204. Когда наблюдатель
смотрит в одном направлении, он видит красный цвет. Когда он смотрит в другом направлении, он видит голубой.
смотрит в одном направлении, он видит красный цвет. Когда он смотрит в другом направлении, он видит голубой.
белый свет. Эта дисперсия вместе с отражением света от водяных капель расщепляет солнечный свет на цветные полосы, которые мы н наблюдаем в виде радуги (фиг. 204).
ДЕКАРТ ОБ ОТРАЖЕНИИ И ПРЕЛОМЛЕНИИ СВЕТА
«Предположим, что мяч, брошенный из точки А в точку В (фиг. 205), встречает поверхность земли СВЕ, которая, препятствуя проникновению мяча, заставляет его отклоняться; рассмотрим, в какую сторону? Чтобы не усложнять изучаемого вопроса новыми затруднениями, предположим, что земля со-
вершенно плоска и тверда и что скорость мяча постоянна как при падении, так и при взлете; при этом мы совсем не будем рассматривать ни причину, заставляющую продолжать его двигаться после того, как его больше не касается ракетка, ни следствия его веса, величины или формы, ибо здесь не преследуется цель «детально разбирать данный случай, тем более что ни один из названных факторов не имеет значения при воздействии на свет, к которому должно относиться все сказанное выше» [10].
Так начинает Декарт свое исследование отражения света от гладкой и плоской поверхности. Можно ли тогда рассматривать свет как бы состоящим из большого числа теннисных мячей, летящих под ударами ракетки? Конечно, нет, отвечает Декарт, и поэтому он игнорирует и вес, и размер, и форму этих мячей, поскольку «ни один из названных факторов не имеет значения при воздействии на свет, к которому должно относиться все сказанное». Далее Декарт указывает, что скорость мяча следует разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие, как показано на фиг. 205. В результате соударения с землей изменяется лишь вертикальная составляющая скорости: «Вследствие того, говорит Декарт, что земля занимает все пространство, находящееся под СВЕ». Почему же земля должна изменять горизонтальную составляющую, если «очевидно, что она не препятствует движению в этом направлении» [11]?
Таким образом, горизонтальная компонента скорости остается неизменной. И если «мы предполагаем, что движение мяча всегда производится с одинаковой скоростью» [12], или, говоря языком современной механики, соударение упругое, то вертикальная составляющая конечной скорости однозначно определена и равна исходной по абсолютной величине, но направлена в противоположную сторону. На основании этого легко показать, что угол падения мяча равен углу отскока, или углу отражения (фиг. 206).
Фиг. 206. Если величина вектора скорости падающего мяча равна величине вектора скорости отраженного и если горизонтальная составляющая остается неизменной, то 0j—0г.Фиг. 206. Если величина вектора скорости падающего мяча равна величине вектора скорости отраженного и если горизонтальная составляющая остается неизменной, то 0j—0г.
Фиг. 206. Если величина вектора скорости падающего мяча равна величине вектора скорости отраженного и если горизонтальная составляющая остается неизменной, то 0j—0г.
Фиг. 206. Если величина вектора скорости падающего мяча равна величине вектора скорости отраженного и если горизонтальная составляющая остается неизменной, то 0j—0г.
В результате Декарт заключает:
«Следовательно, вам нетрудно видеть, как совершается отражение; оно происходит согласно углу, всегда равному тому, который принято называть углом падения; если луч... падает...
на поверхность плоского зеркала... он отражается... таким образом, что угол отражения... будет не более и не менее, чем угол падения» [13].
На фото 18 представлена последовательная серия фотоснимков шарика, отражающегося от стальной пластины. Если бы свет был подобен теннисному мячу, он отразился бы под углом, равным углу падения.
Декарт продолжает:
[преломление]; прежде все- 207), выброшенный из А по[преломление]; прежде все- 207), выброшенный из А по«Рассмотрим теперь рефракцию го предположим, что мяч (фиг.
[преломление]; прежде все- 207), выброшенный из А по
[преломление]; прежде все- 207), выброшенный из А по
направлению к В, встречает в точке В не поверхность земли, а кусок материи СВЕ, которая настолько слаба и редка, что он может прорвать ее и пройти насквозь, теряя только часть своей скорости, например половину» [14].
И снова он разделяет скорость на вертикальную и горизонтальную составляющие:
«...лишь та из них, которая вынуждает мяч спуститься сверху вниз, может быть сколько-нибудь изменена при встрече с материей; что касается составляющей, которая направляет его к правой руке, то она должна остаться такой же, какой была, ибо кусок материи СВЕ нисколько не оказывает сопротивления в этом направлении» [15].
Таким образом, Декарт делает два предположения о поведении мяча при встрече его с материей.
Полная скорость мяча изменяется. Так, если он двигался в воздухе со скоростью 力，то после пролета через материю он будет двигаться со скоростью ^2, величина которой не зависит от угла падения.
Горизонтальная составляющая скорости остается неизменной, так как «кусок материи... нисколько не оказывает сопротивления в этом направлении».
Рассмотрим теперь случай поверхности раздела воды и воздуха. Предположим, что мяч движется равномерно как в воздухе, так и в воде (хотя, возможно, и с различными скоростями), поскольку, как пишет Декарт,
«остальная часть воды... сопротивляется то больше, то меньше по сравнению с воздухом, наличие которого мы ранее предполагали; однако это не означает, что вода должна в большей или меньшей степени отвести мяч, ибо она легко раздается, открывая ему путь как в одну, так и в другую сторону» [16].
Таким образом, скорость мяча изменяется лишь на поверхности воды.
sin6「=sin6「=т. e. окончательнот. e. окончательноsing% 叫,sing% 叫,sin仇 sin 8rsin仇 sin 8r=% = const.=% = const.(16.6)(16.7)(16.6)(16.7)
sin6「=
sin6「=
т. e. окончательно
т. e. окончательно
sing% 叫,
sing% 叫,
sin仇 sin 8r
sin仇 sin 8r
=% = const.
=% = const.
(16.6)
(16.7)
(16.6)
(16.7)
Исходя из этих предположений, можно получить соотношение между углами падения и преломления. Разлагая скорости мяча в воз
духе и в воде на горизонтальные и вертикальные составляющие, как показано на фиг. 208, и используя определение синуса (отношение
противолежащего катета к гипотенузе треугольника), получим для синуса угла падения:
$]□ е — противолежащий катет — %川)
i — гипотенуза 一 幻'
(16.3)
а также для синуса угла преломления:
противолежащий катет 内⑺) гипотенуза
(16.4)(16.4)Фиг. 208.
(16.4)
(16.4)
Комбинируя полученные выражения и учитывая, что Ui(h)=U2(q, так как «кусок материи... нисколько не оказывает сопротивления в этом направлении», найдем
必 sin 仇=力(||)= fi(，|)= t\ sin &•, (16.5)
или
Это соотношение в точности совпадает с законом Снелла: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная. Из нашего вывода следует, что эта постоянная величина (показатель преломления) есть не что иное, как отношение скорости теннисного мяча в среде 2 к его скорости в среде / : %/比・
Если бы мяч замедлялся в воде, световой луч, попадающий из воздуха в воду, должен был бы отклоняться в сторону от перпендикуляра к границе раздела, а это противоречит данным наблюдений. Поэтому Декарт выдвигает предположение, что
«мяч [попавший на поверхность]... отбрасывается снова, находясь в точке В, ракеткой BE, увеличивающей силу его движения, например, на одну треть, таким образом, чтобы он мог потом совершить за двойной промежуток времени такой же путь, какой он проделывал за тройной» [17].
Если бы мяч двигался в воде быстрее, чем в воздухе, отношение ujui было бы больше единицы и, следовательно, луч света, попадаю-
щего в воду, отклонялся бы в сторону вертикали (фиг. 209). Так как на опыте наблюдается именно такое поведение света, Декарт вынужден допустить, что мяч движется в более плотной среде с большей
свет распространяется в стекле или в воде быстрее, чем в воздухе. Однако это случится лишь через двести лет после Декарта. Он же вы
нужден оправдываться:
«...может быть, вы удивитесь... Вы это не найдете странным, если... вспомните о природе, какую я приписал свету» [18].
СВЕТ КАК ТЕННИСНЫЙ МЯЧ
Проанализируем теперь механическое представление о свете, используя основные положения механики Ньютона, которые не были известны Декарту, но вполне отвечали его идеям. Декарт предположил, что свет является объектом, подобным теннисному мячу и обладающим свойством инерции, так что в однородной среде (воздухе, вакууме, воде) он движется с постоянной скоростью до тех пор, пока на него не подействует какая-то сила. На границе двух сред или на поверхности отражателя действуют силы, которые 1) изменяют скорость объекта от начального до конечного значения на величину, не зависящую от угла падения, и 2) не изменяют тангенциальную (касательную) компоненту скорости объекта. Можно ли придумать силу, которая бы действовала на границе раздела двух сред подобным образом?
Если предположить, что сила направлена по нормали к границе, то горизонтальная компонента скорости останется, согласно второму
закону, неизменной. Чтобы конечная скорость частицы не зависела от угла падения, изменение ее кинетической энергии (конечная кинетическая энергия минус начальная) тоже не должно зависеть от этого угла. Используя теорему 11.3 (изменение кинетической энергии равно произведенной работе), можно заключить, что произведенная над теннисным мячом работа не должна зависеть от угла падения.
В качестве механической модели, обладающей требуемыми силовыми свойствами, можно предложить две горизонтальные расположенные друг под другом плоские поверхности. Первая (лежащая выше) поверхность соединяется со второй с помощью наклонной плоскости. Работа, производимая над скатывающимся по наклонной плоскости шаром, не зависит от угла, под которым он движется относительно верхней плоскости. Поэтому изменение кинетической энергии шара будет всегда одним и тем же. Вместе с тем сила, действующая на шар, не имеет горизонтальной компоненты. Следовательно, такая модель, предложенная еще Ньютоном и представленная на фото 19, обладает всеми требуемыми свойствами.
Преломление (фиг. 210)
Шар, перемещаясь по верхней плоскости, обладает скоростью v〔， его угол падения равен 斗,а потенциальная энергия равна mgh. На
Фиг. 210.
нижней плоскости его скорость равна v2, угол преломления ——0Г и потенциальная энергия — нулю. Тогда
у m^ ^-^-mvl + mgh,(16.8)
^2 — yi + ^gh.(16.9)
Составляющая скорости, параллельная границе, остается неизменной:
S(||)= s(u)isin»,(16.10)
поэтому
(16.11)
。2 m * + 2gh
В результате отношение синусов равно
(16.12)(16.12)sin 0Г—%
(16.12)
(16.12)
sin 0/ К и；十 2gh
и не зависит от углов.
Если считать свет подобным теннисному мячу, становится понятным его прямолинейное и равномерное движение в свободном пространстве. Вводя дополнительные допущения о характере сил, действующих на границе двух сред, можно объяснить явления отражения и преломления света. Далее, с помощью новых, вполне резонных предположений можно понять поглощение и прохождение света. Если теннисные мячи поглощаются средой, разумно допустить, что они передают свое движение среде, тем самым нагревая ее. Если же они проходят через нее, они уносят движение с собой5 нагревая среду меньше или вовсе не нагревая ее. Так, солнечный свет сильнее нагревает темную поглощающую поверхность, чем стеклянную поверхность, а снег под темным пятном тает быстрее, чем окружающий его чистый снег. Мы можем предвидеть также, что свет, ударяясь об отражающую поверхность и отскакивая от нее, действует на поверхность с силой, равной той силе, с которой поверхность отражает свет. Эта сила, как нетрудно догадаться, чрезвычайно мала, однако ее величину все же удалось измерить п. Оказалось, что она не столь уж ничтожна, чтобы отвергнуть, как бессмысленное, предложение использовать в будущем давление солнечного света для того, чтобы подгонять огромные «парусные» космические корабли в открытом пространстве солнечной системы.
Остается разрешить только несколько проблем. Франческо Гримальди обнаружил, что свет не всегда распространяется прямолинейно даже в однородной среде. Он писал:
《Свет распространяется и рассеивается не только по прямой линии, испытывая преломление и отражение, но и посредством дифракции» [19].
Гримальди нашел, что свет, проходящий через небольшое отверстие в затемненную комнату, образует на стене изображение, размеры которого превосходят размеры изображения, получившегося, если бы свет распространялся прямолинейно2):
«...особенно следует отметить, что пятно... оказывается значительно больше, чем в случае, если бы свет распространялся прямолинейно» [20].
1)Это сделал П. Н. Лебедев в 1901 г.— Прим, пер ев.
2)Очевидно, Гримальди имел превосходное зрение, поскольку в описанных им случаях люди обычно не замечают никакого увеличения изображения.
8 № 3152
Это явление, однако, без особых натяжек можно согласовать с кор- допустать, что между частицами света, входящего в затемненную комнату, и краем отверстия действуют некие слабые силы, притягивающие частицы к краю и тем самым расширяющие изображение.
Гораздо более серьезное затруднение возникает при попытке объяснить открытое Ньютоном явление, известное под названием колец Ньютона. Если осветить сверху два куска стекла, имеющих определенные формы, как показано на ф ir. 211, то получается круговое изображение, состоящее из темного пятна в центре, окруженного темными концентрическими
кольцами. Это явление заставило Ньютона связать со светом некую волну. Он писал:
«При падении света на тонкую пленку или пластинку какого-нибудь прозрачного тела волны, возбужденные прохождением света через первую поверхность, обгоняют лучи один за другим. Когда луч дойдет до второй поверхности, то волны заставят его там отразиться или преломиться соответственно тому, какая часть волны обгоняет там луч, сгущенная или разреженная» [21].
Волна, возбуждаемая частицей света на поверхности пластины, создает благоприятные «условия» либо для отражения, либо для прохождения света, в результате чего образуются темные кольца. Позднее Майкельсон заметил:
«Ньютоновское объяснение «цветов тонких пленок» в действительности оказалось неверным, однако следует учесть, что ему удалось измерить величину, известную теперь под названием длины волны, и показать, что каждому спектральному цвету соответствует определенная длина волны».
Таким образом, как уже было сказано, в корпускулярной теории света имелись определенные трудности, причем Ньютон уже располагал достаточной информацией для выдвижения волновой теории. Однако настоящие серьезные затруднения корпускулярной теории возникли позднее. Во времена Декарта и Ньютона удалось хорошо объяснить все известные явления в предположении, что свет обладает свойствами частиц. Правда, в некоторых случаях, особенно при объяснении колец Ньютона, приходилось вводить искусственные допущения, однако в целом теория выглядела вполне удовлетворительной.
Что же представляют собой частицы света? Безусловно, они не являются теннисными мячами, даже очень маленькими. В самом деле, два пучка света проходят один через другой без всякого видимого взаимодействия. Теннисные же мячи должны сталкиваться. Если бы свет был подобен теннисным мячам, то эти мячи должны были бы каким-то образом проникать друг сквозь друга или сталкиваться настолько редко, чтобы эти столкновения были несущественны. Обладает ли свет такими свойствами теннисных мячей, как жесткость или цвет? Каковы размеры и масса световых корпускул? Распространяется ли свет в виде дискретных порций? На последний вопрос Декарт, как и Ньютон, вероятно, ответил бы «да». Позднее ученые стали говорить «нет». А сейчас мы снова говорим «да». Свет, как недвусмысленно заявлял Декарт, обладает некоторыми свойствами теннисных мячей. Как и теннисный мяч, он распространяется прямолинейно в однородной среде. Подобно мячу, свет отражается от твердой гладкой поверхности. Как и теннисный мяч при правильно подобранных силах, свет преломляется при переходе из одной среды в другую и т. д. Для иллюстрации перечисленных явлений Декарт рассматривает настоящие теннисные мячи и ракетки, пренебрегая теми их свойствами, которые его не интересуют,— размером, формой, цветом и ворсистостью — и учитывая лишь те, которые ему нужны,—— внутренние свойства, определяющие реакцию мяча на действие силы. Конечно, ни Декарт, ни его ученики никогда не считали, что свет состоит из «настоящих» крохотных теннисных мячей.
Благодаря огромному авторитету Ньютона его вера в то, что свет представляет собой поток частиц, приостановила, особенно в Англии, проверку других гипотез о природе света. Ньютону казалось маловероятным, что свет является волной, «так как волны огибают углы, в то время как для света это не наблюдается». Возможно, корпускулярная теория света была по душе Ньютону потому, что она соответствовала общей корпускулярной интерпретации окружающей природы. Материя, как можно было бы думать, состоит из частиц, движущихся в пустоте; казалось, что и свет следовало бы рассматривать подобным образом. Однако известно, что Ньютон очень не любил выдвигать какие-либо гипотезы. Например, он писал:
«Следует отметить, что доктрина, использовавшаяся мной при объяснении преломления и цветов, включает лишь определенные свойства света и не содержит гипотез, объясняющих эти свойства,... ибо гипотезы полезны только для объяснения свойств вещей, а не для определения их, по крайней мере, поскольку свойства могут быть установлены опытами» 122].
И далее:
«Это верно, что из моей теории я заключаю о телесности света, но делаю это безо всякой решительной настойчивости... Но я знал, что утверждаемые мною свойства света могут быть
в некоторой степени объяснены не только этой, но и многими другими механическими гипотезами» [23].
Ньютон не дал никакой интерпретации природы тяготения:
«Вы иногда говорите о тяготении, как о чем-то неотъемлемом и присущем материи. Умоляю, не приписывайте мне таких знаний, поскольку я не претендую познать источник тяготения, для чего потребуется гораздо больше времени» (из письма к Бентли).
И снова в Поучении в конце «Начал»:
«Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря» [24].
Ньютон старался оставить открытыми вопросы об источнике гравитации и о природе света. Его коллеги и современники пытались заставить его дать объяснение этих вещей. Однако он предпочитал не делать этого. Введение гравитационной силы, предположение, что свет является потоком частиц, приводили к результатам, согласующимся с экспериментом. Ньютон стремился именно к этому. Поэтому вряд ли можно заподозрить раздражение во фразе, которую он написал в конце своих «Начал»: «hypotheses non f ingo» («гипотез не измышляю»).
17
ВОЛНЫ
ЧТО ТАКОЕ ВОЛНА?
В 1678 г. Христиан Гюйгенс опубликовал свой «Трактат о свете», в котором он выдвинул предположение, что свет является возмущением в некоей среде, заполняющей все пространство, или, как мы сейчас говорим, свет является волной. Это возмущение движется от точки к точке, в то время как среда сжимается и возвращается в исходное положение,— это напоминает движение вдоль цепочки костей для игры в домино. Гюйгенс развил свою идею, рассмотрев случаи распространения волны в пустом пространстве и при наличии преграды или границы раздела двух сред. Так возникла, вернее возродилась, старая идея, которая в противовес большинству обсуждавшихся в то время гипотез утверждала, что свет есть волна. Авторитет Ньютона был настолько велик, что в журнале Королевского общества «Proceedings of the Royal Society» не появилось даже рецензии на книгу Гюйгенса.
Если мы рассматриваем свет как поток частиц, мы можем, на худой конец, вообразить наглядную, хотя, быть может, не всегда плодотворную модель света. Но что такое волна? Само слово имеет два значения: нечто колеблющееся, многократно повторяющееся, или неожиданный вал, затопляющий все вокруг,——людской поток или поток тепла. Идея волнового движения господствует в физике девятнадцатого——двадцатого столетий так же, как идея частиц преобладала в физике семнадцатого —восемнадцатого веков. Свет, электричество и магнетизм, квантовая физика — всюду мы имеем дело с волнами, подобно тому, как имели дело с частицами в механике Декарта, Галилея и Ньютона. Вероятно, наиболее удивительный результат физики двадцатого столетия состоит в том, что удалось объединить эти две идеи и ввести новое понятие так называемых «квантов», которые одновременно обладают свойствами и волн, и частиц.
Говоря о волнах или объясняя их свойства, физики часто представляют их себе в виде ряби на поверхности воды, в виде возмущения, перемещающегося вдоль натянутой струны или возмущения, распространяющегося в воздухе (звук). Такого рода представления создаются для того, чтобы наглядно истолковать абстрактное понятие волны, подобно тому, как представление частицы в виде теннисного мяча или бильярдного шара иллюстрирует абстрактное понятие частицы. Все эти представления волн в той или иной степени обладают свойствами, которые мы приписываем понятию волны, аналогично тому, как и теннисные мячи обладают некоторыми свойствами, характерными для частиц.
На самом же деле волна, как и частица, или вектор, или прямая линия являются математическими величинами, обладающими определенными свойствами и подчиняющимися определенным правилам. Конкретные представления этих величин вытекают из свойств реального мира; в другом мире более естественным могли бы оказаться иные представления. Когда мы говорим, что сила ——вектор, мы подразуме- вазм, что между теми действиями в физическом мире, которые мы отождествляем с силой, и векторами в математическом мире существует строго определенное соответствие. Мы развили понятие вектора именно так, чтобы сделать возможным такое соответствие. Однако раз уж понятие вектора введено, оно начинает жить своей собственной жизнью. Так, вектор можно связывать с силой, хотя сам он не является силой. Волна является математическим объектом. Рассматривая приведенные ниже иллюстрации волн (волны на воде, в пружине и т. д.), следует помнить, что их подбор обусловлен только тем, что свойства, которыми обладают волны на воде или в пружине, совпадают именно с теми свойствами, которые мы хотим приписать математическому понятию волны. Физические процессы, которые нам удается воспроизвести в реальном мире, не обязательно обладают всеми свойствами волн в математике, и наоборот.
В основе понятия волны лежит несколько физических идей. Первая состоит в том, что волна представляет собой некое возмущение,
распространяющееся в той или иной среде, причем сама среда при этом практически не перемещается. Рассмотрим, например, известную детскую забаву, используемую иногда в качестве политической метафоры, а именно ряд вертикально поставленных костей для игры в домино. Если толкнуть крайнюю кость, она толкнет соседнюю, которая в свою очередь толкнет следующую и т. д., пока весь ряд не повалится. Очевидно, каждая кость сместится на ничтожное расстояние. Само же возмущение может распространиться на любое расстояние, определяемое длиной ряда и значительно превосходящее смещение отдельной кости. Рассмотрим другой пример: натянем между двумя опорами пружину (мы могли бы взять и обычную бельевую веревку). На фото 20 видно возмущение, распространяющееся от правого конца пружины к левому. Это возмущение, т. е. вертикальное отклонение пружины, может переместиться довольно далеко, насколько позволит длина пружины, в то время как продольное смещение отдельных участков сравнительно невелико: если возмущение проходит через ленточку, привязанную к пружине, то ленточка при этом остается на месте.
Это только два примера из множества других, которые могли бы пояснить основную идею, что возмущение может распространяться через среду, которая при этом практически не смещается. Когда же через среду движется частица, она несет с собой определенную массу. Перемещаясь от точки к точке, частица переносит с собой энергию и импульс. Ясно, что кость домино, падая, может совершить работу или передать импульс, то же можно сказать и о возмущении в пружине. Таким образом, первое свойство, которое мы приписываем волне, состоит в том, что волна есть нечто, распространяющееся в среде и способное переносить энергию и импульс, но не обязательно несущее с собой вещество или массу.
Теперь можно спросить: обладает ли волна, подобно частице, свойством инерции, или, иначе, каков характер ее распространения в отсутствие внешних сил? Можно ли по аналогии с движением частицы считать, что движение волны подчиняется закону инерции, а все отклонения от движения по инерции приписывать действию внешних сил? Мы ничего еще не сказали о том, каковы должны быть силы в случае волны; не ясно также, как далеко можно продвинуться на этом пути.
Оказывается, что аналогия с поведением частицы не лишена смысла. Существуют правила, или уравнения движения волны (довольно разумно называемые волновыми уравнениями), которые в теории распространения волн играют ту же роль, что и ньютоновские первые два зякона для описания движения частиц. С помощью законов Ньютона (постулатов) нам удалось исследовать движение частиц под действием различных силовых систем: в отсутствие сил, в случае однородной силы или центральной силы тяготения. Все это было до сих пор в пределах наших возможностей. Для волн тоже можно написать уравнения, образующие исходную систему постулатов, следствия из которых будут описывать движение волн при различных обстоятельствах. Однако мы
не вполне владеем тем математическим аппаратом, с помощью которого можно было бы выводить эти следствия. Поэтому здесь мы просто сформулируем их без доказательства, указав, какими свойствами обладают волны в различных интересующих нас случаях, соответствующих равномерному движению, однородной силе, отсутствию сил и т. д. Именно эти свойства важны для описания различных физических процессов, потому что для нас существенны не сами исходные волновые уравнения, а свойства их решений. Единственное, что мы должны принять на веру,— это существование системы постулатов, следствия из которых обладают требуемыми нам свойствами.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ
Приступая к изучению свойств волны, рассмотрим сначала так называемые одномерные системы, например натянутую пружину, в отличие, скажем, от поверхности озера. В отсутствие возмущений
пружина вытянута примерно вдоль прямой линии. Если оттянуть вверх участок пружины или возмутить ее каким-либо другим образом, получится что-то вроде картины, показаннной на фиг. 212. Возмущение пружины (ее смещение как функция расстояния) можно изобразить, как показано на фиг. 213.
Величина смещения показана здесь как функция расстояния вдоль пружины. Такого рода возмущения, или, как иногда говорят, импуль
сы, распространяются по пружине примерно так, как показано на фото 20.
Фиг. 213.
Мы обнаруживаем здесь подобие того, что может быть истолковано как свойство инерции*, импульс, распространяющийся вдоль однородной пружины, движется с постоянной скоростью и сохраняет при движении свою(|х)рму. Для реальных пружин скорость распространения импульса зависит от плотности материала пружины и от величины силы, с которой она натянута; если при движении вдоль пружины
форма импульса сохраняется, говорят, что пружина не обладает дисперсией.
Наиболее фундаментальное свойство волн обнаруживается при изучении следующего вопроса: что произойдет, если два импульса столкнутся? В случае соударения двух частиц этот вопрос можно разрешить, либо вводя силы, действующие между частицами, и используя второй закон Ньютона, либо постулируя законы сохранения энергии и импульса при столкновении. Обычно предполагают, что между частицами действуют какие-то силы, не позволяющие им проходить друг через друга. Однако решения исходных уравнений движения сами по себе не исключают такой возможности: если между частицами не действуют силы, то импульс и энергия будут сохраняться, очевидно, и в случае, когда частицы после столкновения продолжают двигаться так же, как и до столкновения (фиг. 214). Тем не менее такая
//
/
/
Фиг. 214.
возможность, как правило, игнорируется при исследовании столкновений реальных частиц.
В случае же волн именно такое их поведение выдвигается в качестве постулата, известного под названием принципа суперпозиции, который отражает наиболее важное свойство, приписываемое волновому движению. В отличие от частиц два импульса, движущиеся навстречу друг другу от разных концов пружины, не отражаются, а проходят друг сквозь друга (фото 21).
То, что происходит при пересечении двух импульсов, лучше всего иллюстрирует существо принципа суперпозиции: полное смещение
Фиг. 215.
<-<-
<-
<-
Фиг. 216.
струны равно сумме смещений каждого отдельного импульса. Так, если по струне движется слева направо импульс в виде гребня (фиг. 215), а навстречу ему — впадина (фиг. 216), то результирующая картина движения будет выглядеть так, как показано на фиг. 217. Когда импульсы находятся далеко друг от друга, их можно видеть
раздельно. Когда они сближаются (в центре пружины), они гасят друг друга, так как смещения в них направлены в противоположные стороны, и пружина выглядит почти как прямая линия. На последнем
Фиг. 217.
этапе мы снова видим два отчетливо различимых импульса, разбегающихся в разные стороны.
Уничтожение двух импульсов, смещения в которых направлены в противоположные стороны, отражает одно из наиболее важных
г5Kг5KФиг. 218. Сложение двух импульсов. Смещение суммарного импульса равно сумме смещений отдельных импульсов.Фиг. 218. Сложение двух импульсов. Смещение суммарного импульса равно сумме смещений отдельных импульсов.Фиг. 219. Сложение двух одинаковых, но несимметричных импульсов.Фиг. 219. Сложение двух одинаковых, но несимметричных импульсов.
г5K
г5K
Фиг. 218. Сложение двух импульсов. Смещение суммарного импульса равно сумме смещений отдельных импульсов.
Фиг. 218. Сложение двух импульсов. Смещение суммарного импульса равно сумме смещений отдельных импульсов.
Фиг. 219. Сложение двух одинаковых, но несимметричных импульсов.
Фиг. 219. Сложение двух одинаковых, но несимметричных импульсов.
свойств, характерных для волн. Из него вытекает одно удивительное
явление, состоящее в том, что две волны могут как погашать, так и
называется интерференцией (фото 22).
Фиг. 220. Сложение двух одинаковых импульсов разной полярности: а) до полного наложения импульсов; 6) уничтожение импульсов.
Если смещения в импульсах направлены в одну и ту же сторону, то в результате интерференции импульсы складываются, если же в противоположные стороны, то гасятся. На фиг. 218——220 представлены различные примеры, и л люстр и р ующие принцип суперпозиции при наложении двух импульсов.
Теперь мы можем подытожить то, что мы связываем с понятием одномерной волны. Одномерную волну можно представить себе как смещение, являющееся функцией положения на линии и движущееся вдоль нее, иногда с постоянной скоростью и иногда сохраняющее при движении свою форму. Наиболее существенно здесь то, что для двух отдельных импульсов, распространяющихся вдоль одной линии, может быть определена операция сложения. В любой момент времени полное смещение равно сумме отдельных смещений, так что смещение результирующей волны оказывается равным сумме смещений двух исходных волн.
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
Возможно, что понятие волны станет яснее при более формальном изложении. Рассмотрим функцию 屮(х) (фиг. 221). Каждому значению х соответствует число 屮(х). (Мы используем греческую букву 屮 вместо /, так как под 屮 мы понимаем особый класс функций, которые называются волновыми функциями и будут определены ниже.
Фиг. 221. Ф и г. 222.
Посту г ?я таким образом, мы выражаем в обозначениях двадцатого века ту идею, которая возникла по крайней мере еще в семнадцатом столетии.) Попытаемся выбрать из всего класса возможных функций подкласс функций, обладающих нужными нам свойствами. Эти функции являются решениями так называемых волновых уравнений. Последние по отношению к волновым функциям играют такую же определяющую роль, какую законы движения Ньютона играют для всех возможных траекторий частиц, удовлетворяющих этим законам. Поскольку мы не владеем математическим аппаратом для анализа волновых уравнений, мы не будем их здесь выписывать, а только обсудим свойства их решений. Тем более что свойства решений уравнений, безусловно, представляются более важными и фундаментальными, чем сами уравнения.
Представим, что 屮(х) меняется со временем. Спрашивается: как будет выглядеть функция 屮(х), например, при Е=1 с или /=2 с, если при /=0 она имела вид, представленный на фиг. 222? Если изобразить графически 屮(х) при f=6, /=1, /=2 и т. д., мы получим картинки, показанные на фиг. 223. Эти картинки изображают, как функция 屮(％) изменяется со временем, или, другими словами, они описывают временное развитие волновой функции. Импульс сохраняет свою форму и движется с постоянной скоростью слева направо.
Мы можем считать, что эта волновая функция есть функция не только %, но и Л Запишем ее в виде 屮(х, /). Ее смысл остается прежним, но значение функции определяется теперь не только пространственной координатой х, но и моментом времени Л Например, из фиг. 223 видно, что значения волновой функции в точке х=а различны при f=0 и £=1. Если при £=0 волновая функция максимальна в этой точке, то при f=l ее значение практически равно нулю. Если проследить за движением максимума, то можно убедиться, что он проходит через точки х=а при f=0, x=b при f=l и х=с при f=2. При движении волны с постоянной скоростью расстояние между а и & равно рас-
Ф и г. 223. Временное изменение волновой функции.
стоянию между b и с при условии, конечно, что временной интервал между 0 и 1 такой же, как и между 1 и 2. Это свойство напоминает свойство инерции частицы, которая в отсутствие сил движется с постоянной скоростью.
Принцип суперпозиции можно сформулировать следующим образом. Если г|ь(х, 0 — решение волнового уравнения (волновая функция) при заданных определенных условиях и 心(％,办一другое решение этого уравнения при тех же условиях, то сумма
21 (X, 方) + 通(招 0(17.1)
тоже будет решением волнового уравнения при тех же самых условиях. Этот принцип отражает наиболее фундаментальное свойство волн. Часто требуется определить результирующую волну, если заданы две отдельные волны (поведение которых нам известно). Согласно принципу суперпозиции, результирующая волна равна просто сумме этих волн. Вспомним пример двух волн 屮式居 f) “ 也(%, /), распространяющихся навстречу друг другу вдоль одной линии. Результирующая волна есть ^1+^2 (фиг. 224). Сначала она состоит из двух сближающихся (а), а потом — из двух расходящихся импульсов (в).
Свойство суперпозиции представляется совершенно естественным, а в некоторых случаях — просто очевидным. Так, сумма двух чисел есть число, сумма двух векторов — вектор, а сумма двух волн, как
мы показали,— тоже волна. Чтобы ответить на вопрос, что же такое волна, приходится каждый раз обращаться к конкретным примерам. В случае пружины, например, волна — это смещение пружины как функция положения и времени. В случае же, скажем, поверхности пруда волна ——смещение воды как функция положения и времени. Абстрактное понятие волны возникает, конечно, из наблюдений такого рода реальных волн, распространяющихся на воде или по пружине. Однако в конце концов нам придется говорить о волнах, которые ни в чем не распространяются и описываются смещением 屮,не являющимся фактически смещением чего бы то ни было. Волны, как векторы
Y（Kt）弘a^"/弘Y（Kt）弘a^"/弘
Y（Kt）弘a^"/弘
Y（Kt）弘a^"/弘
Ф и г. 225.Ф и г. 225.
Ф и г. 225.
Ф и г. 225.
Фиг. 224.
и числа, становятся строго определенными математическими объектами, изучение которых дает стройную систему, подобную геометрии или механике Ньютона. Что касается того, хорошо или плохо полученная система описывает явления природы, то это зависит от степени их соответствия друг другу.
ОДНОМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
До сих пор мы рассматривали импульсы (небольшие возвышения),
равномерно движущиеся вдоль линии. Мы определили среду без дис-
Персии как среду, в которой волна, имевшая произвольную форму при £=0, движется с постоянной скоростью и сохраняет при этом свою первоначальную форму. При движении через диспергирующую среду (т. е. через среду, обладающую дисперсией) форма волны будет изменяться со временем (фиг. 225).
Спрашивается: нет ли таких форм, которые сохраняются незави
симо от того, является ли однородная среда диспергирующей или нет? Иными словами, нет ли таких функций положения, которые не изменяют со временем свою форму в случае диспергирующей среды? Ока-
зывается, что есть. Свойства таких волновых форм настолько важны, что мы потратим сейчас немного времени на их изучение.
Рассмотрим волну, или волновую функцию, изображенную на фиг. 226 и состоящую из такого регулярного набора возвышений и впадин, что расстояние от возвышения до возвышения остается всегда постоянным, как и расстояние от впадины до впадины или расстояние от любой точки, отвечающей заданной высоте и наклону кривой, до
Фиг. 227. В среде без дисперсии скорости всех этих периодических волн (длины волн:九1，九2 и 九з) одинаковы.Фиг. 227. В среде без дисперсии скорости всех этих периодических волн (длины волн:九1，九2 и 九з) одинаковы.
Фиг. 227. В среде без дисперсии скорости всех этих периодических волн (длины волн:九1，九2 и 九з) одинаковы.
Фиг. 227. В среде без дисперсии скорости всех этих периодических волн (длины волн:九1，九2 и 九з) одинаковы.
Фиг. 226.
следующей точки такой же высоты и наклона. Это характерное расстояние, на котором форма волны повторяется, называется длиной волны X. Аналитически такую периодическую волну, обладающую необходимым свойством гладкости, можно записать в виде
(17.2)(17.2)при 方=0 屮(х) = sin (竽 ％) •
(17.2)
(17.2)
Знать свойства синусов и косинусов не обязательно, однако для тех, кто их знает, отметим, что функция синус принимает одно и то же зна- чение для всех значений %, при которых выражение в круглых скобках кратно 2л, т. е. когда % кратно X.
Одно из свойств подобной периодической волны состоит в том, что если мы взглянем на нее через некоторое определенное время, необходимое для прохождения волной расстояния X, то мы заметим, что максимум (возвышение), который
мы вначале пометили цифрой / (фиг. 226), будет находиться на месте максимума, помеченного вначале цифрой 2・ Другое же возвышение, предшествовавшее возвышению /
и не представленное на графике, займет к этому времени первоначальное место максимума /・ В результате форма волны в этот момент в точности совпадет с той формой, которую она имела при f=0. Мы называем этот характерный отрезок времени т периодом волны. Отсюда, зная пройденное волной расстояние 九 и соответствующий интервал времени т, можно ввести естественное определение скорости волны:
(П.З)
Определим среду без дисперсии как среду, в которой скорость всех таких волн одинакова и не зависит от их длин волн (фиг. 227).
Периодическая волновая функция может быть записана в виде
2(%, f) = sin2(%, f) = sin2П .2冗tx+v2П .2冗tx+v(17.4)(17.4)
2(%, f) = sin
2(%, f) = sin
2П .2冗
tx+v
2П .2冗
tx+v
(17.4)
(17.4)
Рассматривая ее как функцию х при фиксированном 力 мы видим, что величина (2л/Х)х+(2л/т)^ возрастает на 2л при увеличении х на длину волны %. Так, например:
（竽х+争（竽х+争ОО2n2nпри х = 0, при х = %,при х = 0, при х = %,f = О, / = 0.f = О, / = 0.(17.5)(17.5)
（竽х+争
（竽х+争
О
О
2n
2n
при х = 0, при х = %,
при х = 0, при х = %,
f = О, / = 0.
f = О, / = 0.
(17.5)
(17.5)
Изменение аргумента синуса на 2冗 дает первоначальную форму функ-
228.228.г.г.
228.
228.
г.
г.
ции (фиг. 228). Точно так же увеличение / на период т (при фиксированном х) не изменяет первоначальной формы функции.
Введем теперь еще один термин, который не является обязательным, но часто используется и поэтому заслуживает того, чтобы его определить. Это частота волны, которую мы определим следующим образом:
Определение. Частота =—-—, гпериод *
(17.6)
Смысл частоты таков: если зафиксировать свое положение в пространстве, то за 1 с мимо нас пройдет такое количество максимумов, которое численно равно частоте. Следовательно, соотношение
Y (17.7)
можно записать в иной форме, которая обычно и используется на практике:
v = %v,(17.8)
(скорость) = (длина волны) х (частота).
Мы описываем периодические синусоидальные или косинусоидальные волны так подробно потому, что они сохраняют свою форму в лю-
бой среде. В тех средах, где периодические волны с разными длинами волн распространяются с различными скоростями (диспергирующие среды), любые иные волны изменяют со временем свою форму. В тех же особых средах (например, в вакууме), где периодические волны с любыми длинами волн распространяются с одной и той же скоростью (среды, не обладающие дисперсией), любая произвольная волна сохраняет свою форму.
= Л/^Z\/^JAУV2Фиг. 229. Синтез волны из синусоидальных волн ⑵.= Л/^Z\/^JAУV2Фиг. 229. Синтез волны из синусоидальных волн ⑵.Синусоидальные (или косинусоидальные) волны играют важную роль еще и потому, что существует теорема, согласно которой волна произвольной формы может быть представлена в виде суммы таких синусоидальных волн, как показано на фиг. 229. Эта теорема вместе с принципом суперпозиции часто дает нам возможность найти любое требуемое решение волнового уравнения в виде суммы периодических функций. Из теоремы нам известно, что любая функция представляется в виде суммы периодических функций. Далее, все периодические функции являются, как правило, возможными решениями волнового
= Л/^Z\/^JAУV2
Фиг. 229. Синтез волны из синусоидальных волн ⑵.
= Л/^Z\/^JAУV2
Фиг. 229. Синтез волны из синусоидальных волн ⑵.
уравнения. Таким образом, математический анализ волн обычно проводится путем разбиения волны на периодические функции, тогда исследование чрезвычайно упрощается и его результаты легко понять. После этого легко волну произвольной формы снова сконструировать как сумму простых периодических функций.
ОДНОМЕРНЫЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА
Исследуем теперь прохождение волн через области, где на них, как можно выразиться, «действуют некие силы». Для этого вновь обратимся к волне, распространяющейся вдоль пружины, и понаблюдаем, что происходит с ней на границе. Мы можем утверждать, что некоторые свойства таких волн типичны и для других волновых функций.
Рассмотрим сначала движение волнового импульса, приближающегося к непроницаемой границе. Пусть, например, пружина прикреплена к стенке, и импульс движется к закрепленному концу. На фото 23 виден импульс, движущийся слева направо к закрепленному концу пружины. Когда импульс достигает конца, наблюдается удивительное явление (шестой кадр) — пружина кажется ровной и неподвижной, хотя по размытому изображению вблизи конца можно заключить, что она слегка движется. Затем появляется импульс, идущий обратно, т. е. происходит отражение от стенки. Но странное дело: то, что было
горбом, после отражения выглядит как впадина! Это одно из следствий волнового уравнения для случая непроницаемой границы и одна из характерных особенностей волновых функций. Подобно тому, как вывод о равенстве начальной и конечной скоростей частицы вытекает из законов движения Ньютона для случая упругого соударения частицы с непроницаемой стенкой, точно так же и в случае отражения волн их свойства следуют из волнового уравнения и специфических особенностей границы.
Рассмотрим, далее, движение импульса, распространяющегося из легкой пружины в более тяжелую,— это частный случай движения волн при наличии границы раздела двух однородных сред. Мы ожидаем, что сила (или то, что соответствует силе в случае волн) действует лишь непосредственно на границе двух сред, в данном случае на границе разных пружин. (До сих пор мы изучали движение волн в однородных средах, т. е. в известном смысле их движение по инерции. Теперь мы исследуем частные случаи силовых систем: отражение волн, распространяющихся в однородной среде, от жесткой границы и прохождение их из одной, однородной среды в другую. В обоих этих случаях силы действуют только на границе.)
От жесткой границы волна отражается, а ее смещение изменяет направление (положительный импульс превращается после отражения в отрицательный). При наблюдении движения импульса, распространяющегося из легкой пружины в более тяжелую, мы обнаруживаем явление, которое в дальнейшем будет иметь важное значение. Допустим сначала, что более тяжелая пружина обладает бесконечно большим весом. Тогда такая пружина ничем не отличается от жесткой стенки, и волна будет отражаться от нее, как от стенки. Если же вес тяжелой пружины приближается к весу легкой, вся пружина становится в этом пределе непрерывной и импульс будет распространяться в ней так же, как в однородной среде. Характер поведения волны на границе раздела, когда более тяжелая пружина не обладает бесконечно большим весом и не совпадает в точности с легкой пружиной, должен быть промежуточным между этими двумя предельными случаями. На фото 24 виден импульс, распространяющийся справа налево из легкой пружины в более тяжелую. Когда импульс доходит до тяжелой пружины, одна его часть продолжает двигаться дальше вдоль тяжелой пружины, а другая отражается. В отраженной части импульса амплитуда изменяет свою полярность, в то время как другая часть, прошедшая в более тяжелую пружину, сохраняет ее, при этом форма импульса остается прежней. Импульс, распространяющийся из тяжелой пружины в более легкую, тоже расщепляется. Однако в этом случае полярность отраженной части импульса не изменяется. В способности импульса расщепляться на части при пересечении границы раздела двух сред заключается удивительное свойство волн, которое отличает волновые импульсы от частиц. Как мы увидим позже, именно с этим свойством связаны наиболее сложные загадки, возникающие при интерпретации квантовой механики.
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
Прежде чем закончить обсуждение одномерных волн, рассмотрим очень важный случай стоячих волн. До сих пор мы изучали периодические волны и импульсы, р асп ростр а н яющиеся с заданными скоростями. При определенных условиях можно так наложить одну волну на другую (эти волны должны распространяться в противоположных направлениях), что результирующая волна покажется неподвижной, хотя смещение ее будет при этом осциллировать (положительные горбы будут непрерывно превращаться в отрицательные впадины и наоборот). В частности, то место, где смещение отсутствует (это место называется узлом), остается неподвижным.
Существует несколько способов возбуждения стоячей волны. Для этого проще всего прикрепить один конец пружины, резиновой трубки или веревки к неподвижной опоре. Если возбудить бегущую волну с определенной длиной волны (ниже мы покажем, чему должна равняться длина волны), то суперпозиция исходной волны с отраженной волной, которая имеет смещение противоположной полярности, как раз и образует волновую картину, называемую стоячей волной (фото 25).
Помимо того, что картина стоячей волны с виду довольно необычна, эта волна обладает тем свойством, что ее можно осуществить только в случае, когда длина волны и расстояние между опорами находятся в определенном отношении. На первом снимке фото 25 видно, что между опорами укладывается ровно половина длины волны,入/2. Если обозначить расстояние между опорами через /, то можно написать, что
^九=/.(17.9)
На втором снимке между опорами укладывается ровно одна длина волны, т. е.
九=/.(17.10)
На третьем снимке укладывается полторы длины волны, а на четвертом —две. Общее условие, необходимое для возбуждения стоячей волны, записывается в виде
(целое число) х (длина волны) = 2/,(17.11)
〃九=2/,几=1, 2, 3•
Это условие ограничивает допустимые значения длины волны:
九(17.12)
иными словами, при заданном расстоянии между опорами возможны стоячие волны лишь со строго определенными длинами волн.
Повышенное внимание к стоячим волнам обусловлено отчасти тем, что они образуют неподвижные волновые картины. Так, скрипичная
струна издает определенный звук, если на ней возбуждена неподвижная стоячая волна. Волна же, которая слишком быстро изменяет свою форму, производит целый набор звуков, которые невозможно отождествить с определенной нотой. Таким образом, звучание органной трубы или скрипичной струны (как и многие другие устойчивые явления природы, которые мы попытаемся описать с помощью волн) обязано стоячим волнам. Но при заданном расстоянии между опорами стоячие волны обладают определенными длинами волн, или частотами, следовательно, скрипичная струна или органная труба заданной длины издает только строго определенные ноты: ноту, соответствующую наибольшей длине волны, плюс ноты, соответствующие более коротким длинам волн (17.12) и называемые обертонами. Правильно сконструированная органная труба будет издавать не только основной тон, соответствующий максимальной длине волны, но и обертоны, обогащающие звучание. Отношение громкости обертонов и основного тона определяется особенностями конструкции. Волны, возбуждаемые в скрипичных струнах или органных трубах, существенно отличаются от тех волн, которые представлены на фотографии. Однако общие соотношения, справедливые для всех этих волн, одинаковы, если считать эти волны просто различными реализациями волновых функций.
Если бы мы попытались возбудить стоячую волну, используя длины волн, отличные от разрешенных (17.2), мы не получили бы неподвижных волновых картин. В частности, узлы, или точки, где смещение равно нулю, перемещались бы вперед и назад, образуя каждый раз случайные волновые картины. Возбуждаемый при этом звук (длящийся достаточно долго, чтобы можно было определить его тон) не будет состоять из одного тона, скажем «ля» первой октавы, а будет смесью различных тонов, воспринимаемой нами как шум.
ВОЛНЫ В ДВУХ, ТРЕХ И ^ ИЗМЕРЕНИЯХ (СВОЙСТВА ИНЕРЦИИ)
Для математиков не составляет труда обобщить понятие одномерной волны на случай двух, трех или N измерений.
Вместо 屮(х, f) они вводят следующие волновые функции: 屮(％, у, %)—в двумерном пространстве,
《у, z, /)—в трехмерном пространстве, (17.13)
《(%, х2, ..., %n, /)——в M-мерном пространстве,
где %1, ..., xN— координаты в пространстве N измерений. Введенная волновая функция для последнего случая обозначает, что в каждой точке А^-мерного пространства (т. е. при заданных значениях
и времени /) функция 州 имеет определенное значение. Такое понимание Димерной волны согласуется со случаем одномерной волны, где считалось, что при заданных значениях % н / функция 州 имеет определенное значение, которое иногда интерпретировалось как величина
смещения в данной точке пространства и в заданный момент времени. Нам трудно представить пространство, число измерений которого больше трех; не менее сложно рисовать всевозможные картинки даже для случая трех измерений. К счастью, наиболее полезные качественные свойства волн проявляются уже в двумерном пространстве.
Все общие соотношения, полученные нами для одномерных волн, остаются справедливыми в случаях двух, трех или N измерений. Так же как и раньше, мы можем ввести периодические волны с заданными длинами волн, или волновые импульсы, распространяющиеся с заданными скоростями в среде без дисперсии. Принцип суперпозиции выполняется всегда. Единственное реальное отличие от случая одномерных волн состоит в том, что в пространстве двух или трех измерений волны могут образовывать картины, не существующие в одномерном пространстве.
На рисунке довольно трудно изобразить даже двумерную волну. Для заданного момента времени каждой точке плоскости соответствует какое-то число (которое можно интерпретировать как смещение). Например, возмущенная поверхность пруда описывается двумерной волной. Каждой точке его поверхности в любой момент времени соответствует определенное смещение этой поверхности. Такую волну можно изобразить на рисунке для какого-то момента времени (фиг. 230).
В основном мы будем изучать синусоидальные или периодические волны, введенные ранее для случая одного измерения. На фиг. 231 изображена одномерная волновая картина (серия периодически расположенных возвышений и впадин), представляющая двумерное сечение синусоидальной волны плоскостью, перпендикулярной плоскости ху.
Наибольший интерес для нас представляет геометрическое строение набора возвышений и впадин в двумерной волне. Рассмотрим, например, круговой волновой импульс, или круговую периодическую волну. Если глядеть на волну сверху, то можно обнаружить, что одиночный непериодический круговой импульс распространяется с определенной скоростью, а его радиус равномерно растет со временем (фиг. 232). Прототипом периодической круговой волны может служить картина, возникающая на поверхности спокойного пруда, если в его середину бросить камень. Камень возмущает поверхность воды в той точке, куда он упал. Под действием возмущения вода некоторое время колеблется вверх и вниз и порождает волну, которая выглядит сверху
так, как показано на фиг. 233. Кривые (в данном случае окружности) соответствуют гребням волны, которые движутся от точки, где камень коснулся воды. Если волна периодическая, то расстояние между двумя соседними гребнями равно длине волны 入；время же прохождения
Фиг.Фиг.
Фиг.
Фиг.
максимумом этого расстояния равно т. И снова скорость движения максимумов v определяется как отношение длины волны 入 к времени т:
т 'т '(17.14)
т '
т '
В случае двумерных волн возникают те же проблемы, что и в случае одномерных, поэтому наибольший интерес из них представляют периодические двумерные волны.
Линейная волна
Другая очень важная разновидность двумерных волн — так называемая линейная волна. Структуру такой волны можно воспроизвести, уронив в спокойный пруд длинную прямую палку или линейку. Возбуждаемый в этом случае импульс в отличие от импульса, порожденного в точке и распространяющегося в виде кругов, образуется
Фиг. 234.Фиг. 234.
Фиг. 234.
Фиг. 234.
вдоль прямой линии. Если мы посмотрим на этот импульс сверху, то увидим, что его гребень лежит на прямой, которая движется параллельно самой себе с определенной скоростью. По тем же причинам, что и раньше, эта волна приобретает особый интерес, если она является периодической, при этом ее гребни, если смотреть сверху, образуют картину, изображенную на фиг. 234. Расстояние между соседними гребнями называется опять длиной волны X, максимум волны проходит это расстояние за время т, и отношение 入/т есть скорость распространения волны.
Используя специальное ванночки с прозрачным дном
приспособление, состоящее из мелкой (фиг. 235), можно получить фотографии различных двумерных волн. На фото 26 показана периодическая линейная волна, распространяю-
Фиг. 235.
щаяся в ванночке.
Два типа двумерных волн, круговая и линейная, обнаруживают свойство инерции, точно такое же, как у одномерных волн, изученных ранее. Мы можем в таком случае перефразировать первый закон Ньютона следующим образом: фронт волны (т. е. передний гребень) движется в однородной среде с постоянной скоростью и по прямой линии.
Рассмотрим теперь поведение двумерных (поверхностных) волн на различных границах раздела.
В принципе поведение двумерных волн на границах раздела ни
чем не отличается от поведения одномерных волн, исследованного ранее. Однако в случае двумерных волн возникают новые волновые картины, которые необходимо понять.
Отражение
Рассмотрим движение линейного гребня, приближающегося к твердой преграде; если гребень параллелен преграде (фиг. 236), он от
ражается точно в обратную сторону, а его смещение изменяет поляр- ность (как и в случае импульса в одномерной пружине). Если же гребень приходящего импульса составляет с краем преграды некоторый
угол, то отраженный импульс уходит тоже под некоторым углом, как показано на фиг. 237. Направление движения гребня совпадает с перпендикуляром к его фронту. Углом падения называется угол между направлением движения и перпендикуляром к краю преграды, а углом отражения ——угол между направлением движения отраженного импульса и тем же перпендикуляром. Вероятно, мы не очень удивимся, когда узнаем, что в случае падения линейной волны на прямую преграду угол падения оказывается равным углу отражения.
Преломление
Рассмотрим далее, как ведет себя линейная волна при прохождении из одной среды в другую. Мы снова имеем преграду, однако теперь преграда уже не является непроницаемой. Как и в случае одномерной волны, линейная волна расщепляется на проходящую и отраженную волны (фиг. 238).
Это можно было бы предвидеть, если принять во внимание следующее. Допустим, что волна движется из среды / в среду 2. Если среда 2 обладает бесконечно большой плотностью, она ведет себя как непроницаемый барьер, и волна отразится от нее. Если же среда 2 ничем не отличается от среды /, то никакого барьера вообще не будет, и волна движется в среде 2 с той же скоростью, что и в среде 1. В любом промежуточном случае характер движения волны должен быть промежуточным между движением по инерции и отражением, иными словами, часть волны должна пройти в среду 2, а другая часть — отразиться. Для отраженной волны угол падения равен углу отражения.
Обратимся теперь к волне, прошедшей во вторую среду, т. е. к преломленной волне. Пытаясь определить угол преломления как угол между направлением движения линейной волны в среде 2 и перпендикуляром к барьеру, мы задаемся следующими вопросами. Каково соотношение между углами падения и преломления? Как это соотношение зависит от свойств обеих сред?
Закон Снелла
Теперь мы уже почти готовы получить следствия из тех различных свойств, которыми мы наделили волны. Попытаемся найти связь между углом преломления и углом падения. (Это полезное упражнение, поясняющее к тому же некоторые свойства волны.) Мы заранее знаем, что искомое соотношение должно походить на закон Снелла, однако из
вывода мы получим одно интересное и неожиданное следствие.
Каждая из двух сред характеризуется той скоростью, с которой в них распространяются волны. Отсюда следует важный вывод: частота волны, т. е. количество гребней (максимумов), проходящих мимо
331 IФиг. 239.1 IФиг. 239.фиксированной точки в течение заданного отрезка времени, остается неизменной при переходе волны из одной среды в другую. Если бы частота изменялась, гребни должны были бы где-то теряться или возникать. Рассмотрим одномерную пружину (фиг. 239). Допустим, что волна движется слева направо. Предположим также, что справа расположена более «плотная» пру
3
3
1 I
Фиг. 239.
1 I
Фиг. 239.
жина, чем слева, поэтому скорость волны в правой части пружины больше. Число максимумов, приходящих в точку 4 за единицу времени, есть по определению частота. Если бы в точку В приходило за тот же отрезок времени меньше максимумов, то это означало бы, что часть максимумов куда-то исчезла на пути между Л и В. Согласившись с тем, что гребни исчезать не могут, мы получаем, что частота остается неизменной при переходе волны из одной среды в другую.
Так как частота сохраняется, а скорость волны изменяется при переходе в другую среду, длина волны должна тоже измениться. При переходе волны из менее плотной в более плотную среду длина волны уменьшается. Применяя соотношение (17.8) между длиной волны, частотой и скоростью для случая двух сред, получаем
%У = %,九2” = %•%У = %,九2” = %•(17.15)(17.15)
%У = %,九2” = %•
%У = %,九2” = %•
(17.15)
(17.15)
Таким образом, произведение длины волны в каждой среде на частоту (одинаковую в обеих средах) равно скорости волны в соответствующей среде. Так как частота w постоянна, отношение длины волны в первой среде к длине волны во второй совпадает с отношением скоростей:
九2^2九2^2(17.16)
九2^2
九2^2
На фото 27 представлен снимок линейной волны, распространяющейся из одной среды в другую, когда скорость волны не постоянна.
Используя полученные результаты (и выдвигая несколько новых допущений), мы в состоянии выразить угол преломления через угол
падения. Во-первых, предположим, что линейная волна остается линейной после преломления, иными словами, что фронт преломленной волны является прямой линией. Во-вторых, будем считать, что направление движения преломленной волны перпендикулярно фронту, как и в случае падающей волны (фиг. 240).
Рассмотрим фронт падающей волны АС. Он только что достиг границы в точке Л; точка D выбрана из тех соображений, чтобы кратчайшее расстояние от нее до границы раздела в точке В равнялось в точности длине волны ХР За то время, что D достигнет точки В, импульс,
/ЗАО, следовательно, sin 0Z/ЗАО, следовательно, sin 0Zвозбужденный в точке Л, пройдет во второй среде расстояние Х2, равное длине волны во второй среде. Если считать, что фронт волны во второй среде есть прямая линия, а направление распространения волны нормально этой прямой, то как следствие этого волновой фронт во второй среде есть прямая, соединяющая точки В и Е, причем кратчайшее расстояние между Е и Л равно длине волны во второй среде %2-
/ЗАО, следовательно, sin 0Z
/ЗАО, следовательно, sin 0Z
Набравшись терпения, можно показать, что угол падения равен (отношение противолежащего углу
катета к гипотенузе) равен длине волны в первой среде, деленной на отрезок 43:
(17.17)(17.17)• л入1
(17.17)
(17.17)
Sin 仇・ = =^"" AB
a sin 6「равен длине волны X2, деленной на тот же отрезок АВ:
sin4 =备.(17.18)
Деля (17.17) на (17.18), получаем
илиили(17.19)(17.19)sin 0/ — А] sin 0r — X2 *
или
или
(17.19)
(17.19)
sin 仇=? sin %.
Таким образом, мы вывели закон Снелла: синус угла падения равен постоянной величине 业С》, умноженной на синус угла преломления.
Если скорость волны зависит от длины волны (диспергирующая среда), то при заданном угле падения угол преломления изменяется с изменением длины волны, Это явление иллюстрируется фото 28
и 29. На первом снимке показана картина преломления для случая, когда длина волны сравнительно велика, а на втором ——для случая более короткой длины волны. Углы преломления на этих двух снимках различны. Следовательно, если падающая волна состоит из смеси волн с различными длинами волн, она после преломления расщепится на составляющие.
Прежде чем принимать поздравления с достигнутым успехом, пойдем дальше и получим еще одно неожиданное следствие, которое заслуживает еще большей похвалы. Отношение 九丿九2 равно и/и?, т. е. отношению скорости волны в первой среде к скорости волны во второй [см. (17.16)]. Поэтому соотношение
sin 4 =，5也9Г (17.20)
можно переписать в виде
sinS^ — sin 0Г (для волн). (17.21)
Теперь вспомним, что, согласно теории света Декарта, синус угла падения тоже равен произведению постоянной величины на синус угла преломления [см. (16.6)]:
sin 0Z = ~ sin 0Г (для теннисных мячей). (17.22)
В этих формулах одинаково все, за исключением постоянного коэффициента, который для волн равен и/и?, а для теннисных мячей —— 力/力.Поразительно!
И теннисные мячи, и волны в конце концов должны иметь какое-то отношение к свету. Из наблюдений следует, что свет, проходя из менее плотной среды в более плотную, преломляется в сторону перпендикуляра к границе раздела. Поэтому постоянная величина, на которую умножается синус угла преломления в написанных выше выражениях, должна быть больше единицы, если более плотной среде соответствует индекс 2. Следовательно, с точки зрения волновой теории скорость Ui должна быть больше у2, т. е. скорость должна быть больше в менее плотной среде; с точки зрения корпускулярной теории (теннисные мячи) — наоборот: скорость должна быть больше в более плотной среде.
Это противоречие — один из кульминационных пунктов в разыгрываемой драме, которая называется физикой. Его можно сравнить разве что с моментом, когда Макдуфф встречает наконец Макбета, или когда Папа Лев предстает перед Аттилой у ворот Рима. Если мы измерим скорость света в менее плотной среде, скажем воздухе, а затем в более плотней, например воде или стекле, и если окажется, что скорость света в воздухе больше, чем в воде, то мы должны будем пред-
почесть волновую теорию света. Если же скорость света в воздухе окажется меньше, чем в воде, то мы вынуждены будем описывать свет с помощью теннисных мячей.
Однако мы не в состоянии, подобно плохому драматургу, разрешить этот острый конфликт — развязка наступила неожиданно и совсем не с той стороны, откуда ее ждали. Дело в том, что точные измерения, необходимые для различения скорости света в воздухе от скорости света в воде, технически осуществить настолько трудно, что эти измерения не были проведены вплоть до 1862 г. В этом году Фуко показал, что скорость света в воде меньше скорости света в воздухе п. Однако задолго до этого вопрос «волна или частица?» был уже разрешен Юнгом и Френелем на основании совершенно иных, более косвенных наблюдений, к рассмотрению которых мы теперь переходим.
Дифракция
Рассмотрим поведение периодических поверхностных волн в случае, когда они пересекают границу раздела, имеющую отверстия. Результирующая волновая картина может быть выведена как следствие различных свойств (в частности принципа суперпозиции), которыми мы наделили волны, и ее можно наблюдать в ванночке с водой.
Прежде всего вспомним, что периодическое точечное возмущение в центре ванночки, которое производит, например, кончик карандаша, который время от времени, скажем с периодом в одну секунду, погружается в воду, порождает расходящуюся круговую волну (фиг. 241).
Фиг. 241.
Представим теперь, что периодическая линейная волна приближается к преграде, имеющей небольшое отверстие, которое можно считать точечным. Максимумы приходящей волны производят периодическое возмущение в отверстии преграды. Это возмущение порождает круговую волну, сходную с волной, возбуждаемой кончиком карандаша. Часть этой волны, распространяющаяся назад, интерферирует с падаю-
1)Надо сказать, что если бы Фуко осуществил свои опыты столетием раньше, это не уменьшило бы драматизма ситуации: в действительности Фуко измерял не скорость волны, как она была определена выше, а так называемую групповую скорость, т. е. скорость, с которой переносится энергия волны. В диспергирующих средах групповая скорость не совпадает со скоростью волны (см. Л. И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике, М., «Наука», 1972, стр. 88, 298, 42 6). — Прим. ред.
щей линейной волной, в результате чего образуется сложная волновая картина. Другая же часть волны, которая движется вперед, имеет относительно простой вид (фиг. 242). Волновая картина, возникающая справа от преграды, состоит из набора полукруговых волн, расходящихся от отверстия, причем длина волны и частота у них такие же,
Фиг.Фиг.242.242.
Фиг.
Фиг.
242.
242.
как и у падающей линейной волны (если скорости распространения волн слева и справа от преграды одинаковые).
Направление распространения волны совпадает с направлением перпендикуляра к волновому фронту, т. е. к гребню волны. Поэтому падающая линейная волна распространяется горизонтально слева направо, а круговая волна за преградой радиально расходится от центра, т. е. от отверстия, в котором эта волна возбуждается.
Эту волновую картину мы можем сопоставить с поведением частиц, проходящих через небольшое отверстие в непрозрачном экране, как показано на фиг. 243 и 244. Здесь изображен поток частиц, движущих-
Фиг. 244.Фиг. 244.Ф и г. 243.
Фиг. 244.
Фиг. 244.
ся горизонтально слева направо и ударяющихся о преграду. Если предположить, что между отверстием в экране и частицами нет сил взаимодействия (это, конечно, главное предположение), то очевидно, что направление движения частицы, прошедшей через отверстие, не изменится и частица будет продолжать лететь горизонтально направо
(фиг. 243). Если же допустить, что между краем отверстия и частицами возникают некие силы взаимодействия, то картина изменится, как, например, в случае, когда частицы могут отскакивать от края (фиг. 244).
Гримальди обнаружил, что свет отклоняется от первоначального направления при прохождении через небольшое отверстие. Отброшенное светом пятно оказалось больших размеров, чем то, которое получилось бы, если бы свет распространялся прямолинейно. Из этого наблюдения можно было заключить, что световой луч изгибается при прохождении через небольшое отверстие в экране. Объясняется ли это изгибание поворотом направления движения волны после прохождения отверстия или действием на световые частицы неких сил со стороны экрана, зависит, в конечном итоге, от последующих результатов, полученных с помощью той или иной теории.
Если мы хотим детально изучить поведение частиц в этом случае, нам следовало бы договориться о том, какие силы действуют между частицами и отверстием в экране. В случае же волновой теории достаточно знать лишь две характерные длннн: длину волны падающей волны и размер отверстия в экране (фиг. 245). Тогда результирующую
Ст 〃 Фиг. 245.
п「
картину можно будет описать несколькими предложениями. Оказывается, что если отношение 入/d, где X — длина волны падающего света и d — размер отверстия, велико (длина волны много больше отверстия), то свет рассеивается сильно. В предельном случае очень узкого, точечного отверстия свет рассеивается равномерно во все стороны. Если же отношение Vd много меньше единицы (длина волны гораздо меньше размеров отверстия), то свет рассеивается незначительно и в пределе Vd -> 0 луч практически не расширяется.
Эти выводы с успехом можно проиллюстрировать при помощи ванночки с водой. На фото 30 показаны две фотографии волн, проходящих через одно и то же отверстие, размер которого равен d (на верхнем снимке длина волны больше, чем на нижнем). Мы видим, что с уменьшением длины волны, т. е. с уменьшением величины 九/d, волны искривляются в меньшей степени.
Следовательно, вопрос об искривлении, или рассеянии, света после прохождения преграды должен решаться как вопрос количественный. Принципиальный ответ таков: «Волны рассеиваются всегда». Величина же рассеяния зависит от значения отношения W. Нетрудно тогда представить, что в случае, когда Ш (длина волны, деленная на размер отверстия) становится очень маленькой величиной, можно вообще не заметить никакого рассеяния волн. Если же величина 入/d
велика, рассеяние должно было бы стать настолько очевидным, что его трудно было бы не обнаружить.
По-видимому, наиболее важная и одновременно наиболее привлекательная черта волновой теории света заключается в том, что величина рассеяния для обычных экранов зависит лишь от двух длин: X и d. Отпадает всякая необходимость в изобретении очень сложной теории для объяснения явлений, происходящих вблизи края отверстия. И, как мы увидим позже, полученный результат прекрасно согласуется с тем, что мы наблюдаем при изучении рассеяния, или дифракции, света, проходящего через препятствие. Явление дифракции определяется лишь отношением длины волны света к размеру отверстия в преграде.
Прямолинейное распространение света в вакууме и его свойства инерции представляются весьма убедительными аргументами в пользу корпускулярной теории. Однако волны (например, рассмотренные выше линейные волны) тоже распространяются в вакууме прямолинейно. В случае же преграды искривление волны выглядит более понятным, чем отклонение частицы. Но величина искривления зависит от отношения длины волны к размеру отверстия. Если окажется возможным найти соответствие между этим отношением, которое достаточно мало, и искривлением волны, которое не всегда легко обнаружить (как в случае света), то нам удалось бы описать свет с помощью волн, причем это описание не противоречило бы наблюдениям.
Интерференция
Еще один камень преткновения — интерференция. Нам не придется вводить здесь новые принципы, но это явление не может оставить нас равнодушными.
Представим, что поверхность пруда возмущена не в одной точке, когда образуется периодическая круговая волна, а в двух, разделенных расстоянием d (фиг. 246). Кроме того, будем считать, что периоды
этих возмущений одинаковы, так что длины возбужденных волн равны между собой. Когда два волновых фронта еще не пересеклись, наблюдается обычная картина — распространение двух расходящихся круговых волн. После пересечения волновую картину можно получить с помощью принципа суперпозиции таким же образом, как мы это делали в случае одномерных волн в пружине. Рез у л ьтир ующее амплитудное распределение (в данном случае результирующее смещение поверхности воды) определяется как сумма смещений, произведенных каждой волной.
Конечно, получить двумерное распределение в каждый момент времени гораздо сложнее, чем одномерное, так как волновая картина теперь изображается на плоскости. В местах, где встречаются два гребня, смещение велико и положительно (направлено вверх). Там, где встречаются две впадины, смещение тоже велико, но отрицательно (направлено вниз). В тех же местах, где гребень встречается со впадиной, смещение обращается в нуль, и поверхность воды оказывается практически невозмущенной. На фото 31 представлено амплитудное распределение, возникающее через какой-то промежуток времени. Темные участки на этом рисунке отмечают места с большой амплитудой, где встречаются гребни волн; светлые же участки ——места (очень больших отрицательных смещений), где встречаются впадины. Наконец, места, где гребни встречаются с провалами и где поверхность воды практически не возмущена (смещение мало), отмечены на рисунке точками. На фото 32 дана фотография реальной картины интерференции двух круговых волн, возбужденных на поверхности воды в ванночке. Здесь белые участки соответствуют встрече двух гребней, темные —встрече двух впадин, а промежуточные серые — тем местам, где поверхность воды была относительно спокойной.
Представляет интерес проанализировать полученную картину. Вероятно, наиболее важной ее особенностью является существование кривых, выходящих радиально из источников двух возмущений, вдоль которых поверхность воды практически не возмущается. Эти кривые образованы на фото 31 областями, отмеченными точками. Именно вдоль этих радиальных полос (называемых узловыми) гребни волны пересекаются со впадинами. С точки зрения наблюдателя, находящегося вблизи двух источников и рассматривающего развитие интерференционной картины вдоль прямой линии, эта картина будет выглядеть так, как показано на фиг. 247. Во всех тех местах, где узловые полосы
Фиг. 247.
пересекаются с линией наблюдения, наблюдатель увидит относительно спокойную поверхность воды. В остальных местах он увидит гребни (максимумы), перемежающиеся впадинами (минимумами).
Если бы поверхность воды была возмущена в одной точке, наблюдатель увидел бы сравнительно однородный гребень или впадину, пересекающие линию наблюдения (фиг. 248). На линии наблюдения не было бы ни одной выделенной точки. Наиболее примечательно следующее: добавление второго возмущения приводит к появлению таких
Фиг. 249. Узловые линии для двух источников. Между узловыми линиями находятся движущиеся гребни и впадины.Фиг. 249. Узловые линии для двух источников. Между узловыми линиями находятся движущиеся гребни и впадины.
Фиг. 249. Узловые линии для двух источников. Между узловыми линиями находятся движущиеся гребни и впадины.
Фиг. 249. Узловые линии для двух источников. Между узловыми линиями находятся движущиеся гребни и впадины.
участков на линии наблюдения, где результирующее возмущение уменьшается, иными словами, добавление второго источника возмущения приводит к уменьшению возмущения.
Этот результат есть прямое следствие принципа суперпозиции, и наблюдаемое явление настолько характерно для волн, что для него придумано особое название — интерференция. Как и в случае одномерной пружины, в тех местах, где гребень встречается с гребнем или впадина со впадиной, смещение ——неважно, положительное оно или отрицательное,— возрастает; там же, где встречаются гребни со впадинами, смещение уменьшается. Области серого цвета на фото 32 (те места, где встречаются максимумы и минимумы и амплитуда мала), образующие примерно радиальные полосы, выходящие из источников возмущения, как раз и соответствуют узловым линиям.
Выясним теперь, где же образуются узловые линии. Сначала взглянем на общий вид системы узловых линий (фиг. 249), образующихся в случае двух описанных выше источников возмущения. Для нахождения местоположения узловой линии вспомним, что она определяется как геометрическое место точек, где гребень встречается со впадиной, или (для периодической волны),——где одна волна опережает другую волну или отстает от нее на полдлины волны. Исходя из этого, мы можем найти положение узловой линии, причем на этой линии гребень обязательно встретится со впади
ной, так что суммарное смещение окажется незначительным.
Узловая линия — это такая линия, для каждой точки Р которой (фиг. 250) выполняется условие: расстояние 1± от источника / до точки Р превышает расстояние 12 от источника 2 до точки Р на половину длины волны, или
厶一厶=；儿 (17.23)
Однако эта разность не обязательно должна равняться половине длины волны. Она может равняться трем,
dsinO〃=(孔一；)X.dsinO〃=(孔一；)X.(17.25)(17.25)
dsinO〃=(孔一；)X.
dsinO〃=(孔一；)X.
(17.25)
(17.25)
пяти и т. д. половинам длины волны, так как абсолютно безразлично, какой именно гребень встречается с той или иной впадиной.
Поэтому общее условие для узловой линии имеет вид
厶一4=(几一^)儿(17.24) где п — любое целое число: 1, 2, 3,..・.Различные наблюдаемые узловые линии соответствуют различным значениям числа п. Линии, являющиеся геометрическим местом точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек остается постоянной, суть гиперболы.
Нас часто интересует вид узловых линий на расстояниях, существенно превышающих расстояние между источниками. В этом случае можно получить очень простое выражение для угла между n-й узловой линией и перпендикуляром к прямой, соединяющей два источника. Это выражение имеет вид
Фиг. 251. Если экран расположен на сравнительно большом расстоянии от обоих источников, то (п—I%)厶=А—l^d sin 0П.Фиг. 251. Если экран расположен на сравнительно большом расстоянии от обоих источников, то (п—I%)厶=А—l^d sin 0П.
Фиг. 251. Если экран расположен на сравнительно большом расстоянии от обоих источников, то (п—I%)厶=А—l^d sin 0П.
Фиг. 251. Если экран расположен на сравнительно большом расстоянии от обоих источников, то (п—I%)厶=А—l^d sin 0П.
Картина, образующаяся при наложении круговых гребней и впадин, которые пересекаются друг с другом, являет собой довольно частный, но очень важный случай. Мы легко можем представить более
сложные случаи, когда, например, длины волн двух круговых волн
различны или когда плоская волна интерферирует с круговой и т. д. Число таких случаев бесконечно, и все они могут быть проанализированы с помощью прямых, иногда, правда, довольно утомительных, геометрических расчетов. Однако все получающиеся волновые картины будут обладать одной и той же важной особенностью, которую мы отметим еще раз: все они имеют непрерывные области (прямые или криволинейные), в которых смещение поверхности оказывается меньше, чем в случае, если был бы только один источник
возмущения. Иными словами, добавление дополнительного источника возмущения приводит к уменьшению амплитуды в некоторых местах.
В своей «Системе мира» Ньютон обсуждает, как при помощи интерференции можно объяснить появление в некоторых местах одного прилива в сутки вместо обычных двух. Согласно Ньютону, в порт
Фиг. 252.
Батшо D, расположенный в Тонкинском заливе, приливы приходят по двум различным путям (фиг. 252): короткому пути через пролив севернее острова Хайнань и длинному пути (проходимому приливом на 6 часов дольше) через Южно-Китайское море южнее Хайнаня. Так как обычно в течение дня происходят один большой и один маленький при-
Ф и г. 253.
ливы, в результате интерференции, как показано на фиг. 253, в Батшо будет наблюдаться один большой прилив.
Когерентность
Следует отметить еще один важный момент. Для того чтобы можно было наблюдать какую-нибудь волновую картину, скажем на поверхности воды, эта картина должна обладать некоторым свойством постоянства. Если узловые линии все время быстро смещаются с места на место, вода — впрочем, как и глаз наблюдателя — скоро перестанет реагировать на эти колебания. В результате мы будем видеть хаоти-
D Возможно, что порт Батшо — это Хайфон. .
9 № 3152
чески возмущенную поверхность, а не упорядоченную волновую картину. Если возмущения появляются и исчезают более или менее случайно, те места, где горбы и впадины пересекаются, будут непрерывно перемещаться по поверхности воды. При этих обстоятельствах трудно ожидать, что волновая картина окажется устойчивой. Два источника, обладающие такими свойствами, называются некогерентными. При наличии некогерентных источников поверхность воды будет хаотически возмущена, а снимок волновой картины будет сплошь серым. Чтобы волновая картина была резкой, с четко очерченными гребнями и впадинами, два источника должны колебаться в такт друг другу, или, как говорят, быть когерентными.
18
СВЕТ КАК ВОЛНА
Через сто лет после Ньютона Томас Юнг тоже просверлил небольшое отверстие в оконных ставнях L закрыл его куском плотной бумаги, предварительно проткнув ее тонкой иглой. В 1803 г. он писал:
«Я поставил на пути солнечного луча узкую полоску карты шириной в одну тридцатую дюйма и наблюдал тень от нее либо на стене, либо на других картах, расположенных на разных расстояниях. Помимо цветовых каемок, появившихся по обе стороны от тени, я наблюдал, что сама тень разделилась на несколько таких же каемок меньших размеров, число которых зависело от расстояния до тени, причем центр тени всегда оставался белым. Эти каемки были результатом совместного действия различных частей света, проходивших с разных сторон полоски карты и загибавшихся, или дифрагировавших, внутрь тени. Ибо, как только я помещал небольшой экран либо перед полоской карты, либо на расстоянии нескольких дюймов позади нее, но так, чтобы либо край тени от экрана попадал на полоску, либо сам экран воспринимал часть тени от полоски, все каемки, которые до этого наблюдались на тени, отбрасываемой полоской карты на стене, немедленно исчезали, хотя свет, дифрагировавший с другой стороны полоски, при этом не задерживался...» [1].
Но Исаак Ньютон писал:
«Не ошибочны ли все гипотезы, в которых свет приписывается давлению или движению, распространяющемуся через некоторую жидкую среду?... Если бы свет состоял в давлении или движении, распространяющихся мгновенно или во времени, он должен был загибаться внутрь тени. Ибо давление
или движение не могут распространяться в жидкости по прямым линиям около препятствия, задерживающего часть движения,— они будут загибаться и распространяться повсюду внутри покоящейся среды, лежащей за препятствием» [21.
И далее:
«Волны на поверхности стоячей воды, проходя по сторонам широкого препятствия, задерживающего часть волн, после этого загибаются и постоянно расширяются в покоящуюся воду за препятствием. Волны, пульсации или колебания воздуха, из которых состоит звук, ясно загибаются, однако не так сильно, как водяные волны. Ибо колокол или пушку можно слышать за холмом, загораживающим вид звучащего тела, и звук распространяется так же легко по извилистым трубкам, как по прямым. Относительно света неизвестно ни одного случая, чтобы он распространялся по извилистым проходам или загибался внутрь тени. Ибо при прохождении одной из планет между Землей и неподвижными звездами последние перестают быть видимыми» [3] d.
Своими опытами Томас Юнг пытался доказать, что свет обнаруживает точно такую же способность огибать препятствия и интерферировать, как и волна. Он писал:
«Проводя некоторые наблюдения цветовых каемок, окружающих тени, я нашел настолько простое и наглядное доказательство общего закона интерференции двух частей света, который мне ранее удалось установить, что я счел достойным изложить перед Королевским обществом краткий перечень тех фактов, которые мне кажутся решающими. Предположение, на котором я намереваюсь сейчас настаивать, состоит в том, что цветовые каемки образуются в результате интерференции двух частей света; и я думаю, что даже наиболее предубежденные не станут отрицать, что верность этого предположения доказывается теми экспериментами, которые я собираюсь здесь изложить и которые легко повторить, пока солнце светит, причем не используя никаких приборов, кроме тех, какие у каждого есть под рукой» [5].
Работая независимо во Франции, Огюстен Жан Френель представил в 1816 г. Французской академии наук статью по волновой теории света, в которой предсказывались такие явления, как дифракция и интерференция. Понятно, что он был крайне расстроен, когда узнал, что до него эти явления наблюдал Томас Юнг. В письме к Юнгу в 1816 г. Френель писал:
1)Однако Ньютон писал: «Лучи, проходящие очень близко от краев какого- нибудь тела, немного загибаются действием тела.,, [Но] как только луч проходит мимо тела, он идет дальше по прямой» [41.
«Когда кто-то думает, что он сделал открытие, он не может без сожаления узнать, что кто-то другой опередил его; и я откровенно Вам признаюсь, месье, что я был сильно расстроен, когда Араго показал мне, что только несколько из тех наблюдений, что описаны в представленном мною Институту мемуаре, являются поистине новыми. Но если что-нибудь и может утешить меня, потерявшего приоритет, то это случай встретить ученого, обогатившего физику таким огромным количеством важных открытий. Вместе с тем происшедший случай значительно усилил мою уверенность в справедливости той теории, которую я принял» [6].
В начале девятнадцатого века возродился интерес к волновой теории света. Изучаемые явления не были совершенно новыми. Дифракцию наблюдал еще Гримальди; некоторые эффекты интерференции были замечены Ньютоном; а волновая теория была предложена Гюйгенсом. Но каким-то образом эта теория находилась в забвении до тех пор, пока Юнг и Френель не сконцентрировали свое внимание на том явлении, которое позволяет решительно размежевать две теории света, а именно на явлении интерференции.
Френель и Юнг пытались показать, что при определенных условиях наложение пучка света на другой пучок может привести к появлению темного пятна. Довольно трудно представить себе частицы или теннисные мячи, которые бы взаимно уничтожались; при добавлении некоторого количества мячей к другим мячам их общее число возрастает. Волны же, как хорошо известно, обладают тем свойством, что при определенных условиях наложение одной волны на другую приводит к появлению областей, где возмущение уменьшается.
В статье, представленной Королевскому обществу, Юнг писал в 1802 г.:
«Везде, где две части одного и того же света попадают в глаз различными путями ——либо точно, либо весьма близко по направлению,—свет становится более сильным там, где разность путей есть целое кратное некоторой длины, и наименее сильным в промежуточных состояниях интерферируемых частей; и эта длина различна для света различных цветов».
Позднее Френель сказал:
«Теория световых колебаний обладает именно такими свой* ствами и требуемыми ценными преимуществами. Благодаря этой теории нам удалось открыть наиболее сложные законы оптики, предсказать которые было весьма трудно...»
Говоря это, Френель, очевидно, имел в виду один драматический эпизод. В 1818 г. Французская академия предложила в качестве темы на соискание ежегодной премии объяснение различных дифракционных
С^ЬхЛс^С^ЬхЛс^
С^ЬхЛс^
С^ЬхЛс^
Фиг. 254.
и интерференционных явлений п. Френель представил свою теорию и описание экспериментов в комиссию, куда входили Араго, восторженно приветствовавший волновую теорию, скептически настроенные Лаплас, Пуассон и Био и придерживавшийся нейтральной точки зрения Гей-Люссак. На заседании комиссии Пуассон отметил, что из теории Френеля должно следовать одно удивительное явление. Если на пути светового пучка поместить круглый непрозрачный диск, то по теории Френеля на определенном расстоянии от диске* в центре его тени должно появиться светлое пятно, обусловленное дифракцией волн у края преграды (фиг. 254). Такое явление казалось настолько неправдоподобным, что теория Френеля была отклонена. Мы не знаем, что ожидал увидеть Френель, когда проводил предложенный ему эксперимент 2), но мы можем представить его радость, когда он обнаружил светлое пятно в середине тени,_о существовании которого никто раньше не подозревал. Это пятно никем ранее не наблюдалось, но то, что оно должно было появиться, вытекало из уравнений, предложенных Френелем для описания поведения света.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Интерференция составляет суть волновой теории. Линейная волна, набегающая на препятствие с двумя небольшими отверстиями, возбуждает волновую картину интерферирующих круговых волн, изученную ранее. На достаточном удалении от преграды положения минимумов (тех мест, где возмущение наиболее слабое) связаны с длиной падающей волны формулой
dsin9=(〃一■!)儿(18.1)
1)Такая тема была предложена, видимо, с целью найти решающее доказательство в пользу корпускулярной теории.
2)Единого мнения о том, кто проводил этот эксперимент — Френель или Араго,—не существует. В принципе каждый из них мог бы осуществить этот опыт.
а положения максимумов (тех мест, где возмущение наиболее сильное, т. е. где гребни встречаются с гребнями или впадины со впадинами) определяются из выражения
dsine = n入. (18.2)
Таким образом, всего лишь полдлины волны определяет различие в положении максимумов и минимумов.
Юнг пишет:
«Если допустить, что свет любого заданного цвета состоит из колебаний определенной ширины, или определенной частоты, то окажется, что эти колебания ответственны за все те явления, которые мы раньше исследовали в случае волн на воде или звуковых импульсов. Было показано, что две одинаковые серии волн, исходящих из близко расположенных друг к другу центров, могут разрушить эффект каждой из них в определенных точках, а в других точках удвоить эти эффекты» [71.
Но:
«Для того, чтобы две порции света вели себя подобным образом, они должны исходить из одного источника и приходить в одну и ту же точку по разным путям, причем эти пути не должны сильно отклоняться один от другого» [8] (фиг. 255).
Иными словами, свет должен быть когерентным. Если гребни будут достигать обоих отверстий случайным образом, картина окажется смазанной. Там, где гребень мог бы встретиться со впадиной, с той же вероятностью гребень может встретиться с гребнем. Максимумы могут превратиться в минимумы. В результате вместо четкой картины мы увидим некую беспорядочную рябь.
Фиг. 255. Рисунок из статьи Юнга [8].
Проще всего добиться требуемой степени когерентности, если взять свет от одного источника, а затем расщепить его с помощью
«дифракции, отражения, преломления или совместного действия этих эффектов... Но наиболее простой случай представляется, когда пучок однородного света падает на экран, имеющий
два небольших отверстия или две щели (фиг. 256), которые можно рассматривать как центры расхождения, откуда свет дифрагирует по всем направлениям» [9].
Фиг. 256. Интерференционный опыт Юнга; вместо отверстий Юнг использовал щели [10].
И далее:
«В этом случае, когда два вновь образованных пучка попадают на поверхность, поставленную на их пути, свет от них оказывается разделенным темными полосами на примерно равные части... В центре изображения всегда наблюдается светлая полоса, а другие светлые полосы по обе стороны от центра находятся на таких расстояниях, чтобы свет, идущий к ним из одной апертуры, проходил путь, больший, чем путь, проходимый светом из другой апертуры, на величину, равную ширине одной, двух, трех и более предполагаемых волн, для промежуточных же темных областей соответствующие различия в путях составляют половину, три вторых, пять вторых и более ширины предполагаемых волн» [11].
Если мы попытаемся объяснить наблюдаемую картину интерференцией волн (а чем же еще?), то, определяя положение темных полос, мы сможем узнать длину волны. Для этого надо измерить лишь расстояние между отверстиями d и угол 0Ъ под которым виден первый Н минимум (фиг. 257). Эти величины связаны между собой соотношением, полученным ранее:
dsin* = ^・(18.3)
Измерив угол 0n мы сразу же определяем длину волны излучения:
Фиг. 257.厶= 2dsinep (18.4)
Конечно, это не лучший способ определения длины волны. На практике удобнее измерять расстояния между различными темными полосами; результат в этом случае окажется более точным. Но принцип остается прежним. Если мы наблюдаем именно свойства волн и если темные полосы возникают из-за интерференции волн, идущих через отверстия в преграде, то мы всегда сможем определить длину волны этих колебаний, зная d (расстояние между отверстиями) и синус угла между центральным максимумом и первым минимумом.
Из наблюдений известно, что расстояния между полосами в случаях красного и голубого цветов различны, а в случае белого света наблюдается смесь полос различных цветов. Можно предположить, что различие в цветах обусловлено различием в длинах волн, и поэтому расстояния до первой темной полосы для разных цветов не одинаковы. Именно в такому выводу и пришел Юнг:
«При сравнении результатов различных экспериментов мне удалось установить, что ширина предполагаемых колебаний, образующих чистый красный цвет, составляет в воздухе примерно одну тридцатишеститысячную дюйма, а ширина колебаний для чистого фиолетового цвета — примерно одну шестидесятитысячную... На основании этого можно показать, используя известное значение скорости света, что за одну секунду в наш глаз попадает около 500 миллионов миллионов наиболее медленных из таких колебаний» [12].
В табл. 8 приведены длины волн некоторых известных цветов, полученных из опытных измерений дифракционных картин для этих цветов. Эти значения не являются точными, так как то, что мы воспринимаем как один цвет, состоит, как правило, из набора цветов в узком диапазоне длин волн. Нам только известно, что видимый спектр световых волн занимает интервал от 4-10"5 до 7,2-10"5 см, который соответствует чувствительности обычного человеческого глаза.
Таблица 8
Цвет
Длины волн, полученные из измерений дифракционных картин, 10~5см
Ультрафиолетовый D Фиолетовый Голубой
Зеленый Желтый Оранжевый Красный ИнфракрасныйХ)
меньше 4,0 порядка 4,0—4,5
4,5—5,0
5,0—5,7
5,7—5,9
5,9—6,1
6,1 — порядка 7,2 больше 7,2
1) Вне диапазона видимого света.
ДИФРАКЦИЯ
Наблюдения и теория Юнга и Френеля оказались решающими, девятнадцатом веке свет стал волной, и это стимулировало поиски
Фиг. 258.Фиг. 258.других явлений, характерных для волн. Одно из них, дифракцию, наблюдал еще Гримальди — луч света после прохождения через отверстие в преграде слегка искривлялся. Это явление можно было объяснить (как делал Ньютон) притяжением частиц краями отверстия. Но его также можно было объяснить искривлением волны после прохождения преграды. Белый свет, про
Фиг. 258.
Фиг. 258.
ходя через единственную щель в преграде, образует типичную дифракционную картину. Первая темная полоса на дифракционной картине образуется в том месте, где расстояние от одного края щели больше расстояния до центра щели на половину длины волны. Не входя в подробности вычислений, учитывающих вклады от всех частей щели (фиг. 258), мы приходим к следующему результату. Когда 厶——〃^%d sin 6= %儿 мы наблюдаем первый минимум. Когда /1—%2=入,волны усиливают друг друга и образуется максимум. Когда Zi—/2=3/2入，мы получаем второй минимум и т. д. Интенсивность последующих максимумов уменьшается, и общая картина рыглядит так, как показано на фиг. 259.
Поскольку минимумы и максимумы, соответствующие различным цветам, слегка смещены из-за того, что более холодные цвета отклоняются меньше, чем теплые, белый свет разлагается в спектр, в котором
Фиг. 259. Дифракционная картина для одной щели в случае света определенной длины волны. На графике изображена зависимость интенсивности света от расстояния до центральной линии.
минимумы, соответствующие различным цветам, сдвинуты на небольшое расстояние друг относительно друга: они образуются при слегка различных углах. Для всех цветов наблюдается центральный максимум при 0=0; там, где эти максимумы складываются, образуется центральное белое пятно; все же боковые полосы расщепляются на цолоски всех цветов радуги, так как различные цвета дифрагируют По слегка различающимся направлениям.
Дифракционная решетка
Дифракционная решетка — основной прибор, который применяет
ся на практике для разложения света на спектральные составляющие. Фактически это препятствие с
Фиг. 260.Фиг. 260.большим числом (иногда порядка нескольких тысяч) тонких щелей, расположенных на равном расстоянии d друг от друга (фиг. 260). На удаленном экране образуются, как и в случае двух щелей, максимумы и минимумы, соответствующие различным цветам. Однако получающаяся дифракционная картина оказывается гораздо ярче, чем в случае двух щелей, так как
Фиг. 260.
Фиг. 260.
через решетку проходит больше света; поэтому пользоваться решет
кой значительно удобнее.
Максимумы возникают при углах, определяемых из соотношения
(18.5)(18.5)d sin 0 = nX, n = 0 , 1, 2 ...
(18.5)
(18.5)
Следовательно, зная расстояние между соседними щелями (основной параметр решетки) и измеряя угол 0, можно определить длину волны (или длины волн) падающего света.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Еще во времена Ньютона было известно, что луч света, проходящий через кристалл исландского шпата, расщепляется на два преломленных луча; это явление называется двойным лучепреломлением (фиг. 261). Такое же явление наблюдается и в кристалле турмалина.
Если скомбинировать кристалл исландского шпата с кристаллом турмалина, то окажется, что в определенном положении турмалин пропускает только один из лучей, а будучи повернут на 90°,——другой (фиг. 262).
Фиг. 262.Фиг. 262.0^小0^小Фиг. 263.Фиг. 263.
Фиг. 262.
Фиг. 262.
0^小
0^小
Фиг. 263.
Фиг. 263.
Создается впечатление, что два преломленных луча обладают различными свойствами и что кристалл турмалина ведет себя подобно прорези, пропускающей один луч в одном положении и другой, когда прорезь поворачивается на 90°. Далее, чрезвычайно важно то, что
два преломленных луча не интерферируют друг с другом. Каждый из этих лучей, расщепленный с помощью какого-нибудь оптического метода, будет интерферировать сам с собой, но два преломленных луча, исходящих из одного источника, не интерферируют друг с другом, как будто бы свет состоит из двух независимых компонент, разделенных благодаря какому-то удивительному свойству кристаллов турмалина и исландского шпата.
Френель обсуждал это явление с Ампером, и последний выдвинул
предположение, что система световых волн может состоять из двух взаимно перпендикулярных колебаний. Френель развил эту идею, предположив, что волна, связанная со светом, носит характер смещения, перпендикулярного направлению распространения света (фиг. 263). Явление поляризации проявляется, таким образом, в том, что кристаллы исландского шпата и турмалина благодаря своему строению разделяют луч света на две его перпендикулярные составляющие. Далее, так как эти составляющие независимы, они не могут интерферировать. Горизонтальное смещение в сумме с вертикальным не могут взаимно уничтожиться.
Если интерпретировать волновую функцию как смещение в каждой точке пространства, то этой функции можно приписать не только определенное численное значение, но и определенное направление.
Фиг. 264. Поперечная волна.Фиг. 264. Поперечная волна.Фиг. 265. Продольная волна.Фиг. 265. Продольная волна.
Фиг. 264. Поперечная волна.
Фиг. 264. Поперечная волна.
Фиг. 265. Продольная волна.
Фиг. 265. Продольная волна.
Например, смещение пружины может быть либо перпендикулярным самой пружине (фиг. 264) (т. е. перпендикулярным направлению распространения волны, которая в этом случае называется поперечной), либо параллельным ей (фиг. 265) (продольная волна). Вдоль цепочки
Фиг. 266.Фиг. 266.Фиг. 267.Фиг. 267.
Фиг. 266.
Фиг. 266.
Фиг. 267.
Фиг. 267.
костей домино бежит продольная волна (фиг. 266). Волны в газах тоже продольные, так как движение в них передается от слоя к слою (фиг. 267). В общем случае в газах и жидкостях могут распространяться лишь продольные волны. Только в твердых телах могут существовать поперечные волны.
«При таком взгляде на вещи [пишет Френель] акт поляризации больше не состоит в возбуждении поперечных движений, а состоит в разложении их вдоль двух независимых и взаимно перпендикулярных направлений и выделении каждой из этих двух компонент. Ибо только в этом случае колебания в каждой из составляющих будут происходить в одной плоскости» [14].
Если подходить к этому выводу абстрактно, никаких вопросов не возникает. Все полученные ранее результаты остаются верными, за исключением того, что свет теперь следует считать состоящим из двух независимых смещений: горизонтального и вертикального. Однако стоит задать лишь один щекотливый вопрос: «О смещении чего здесь говорится?»,——как сразу же все дело значительно усложняется. Смещения в направлении распространения возможны в газах или жидкостях, смещения же, перпендикулярные направлению распространения, возможны лишь в твердых телах. Известно, что свет может распространяться в межпланетном пространстве, т. е. практически в вакууме. Но если свет — смещение, перпендикулярное направлению его распространения, то непонятно, о смещении какой среды идет речь. Можно ли поверить, что свет есть смещение среды, которая более разрежена, чем воздух (почти вакуум), и одновременно обладает упругими свойствами твердого тела? Юнг писал:
«Эта гипотеза мистера Френеля, по крайней мере, чрезвычайно остроумна, и с ее помощью можно проводить удовлетворительные расчеты; однако ее сопровождает одно обстоятель-
ство, следствия которого поистине ужасающи,.. До сих пор считалось, что только твердые тела обладают поперечной упругостью, поэтому если принять те различия, которые описывает сам вдохновитель волновой системы в своих «Лекциях», то можно прийти к выводу, что светоносный эфир, заполняющий все пространство и проникающий почти во все вещества, не только упруг, но и абсолютно тверд!!!» [15].
ЧТО ТАКОЕ СВЕТ?
Что же тогда есть свет? Волна ли он? Частица? А нужно ли делать выбор между тем и другим? Ясно, что свет в такой же мере волна или частица, как сила — вектор или камешки — числа. Из математической теории волн и из наших наблюдений мы заключили, что физическому объекту, называемому светом, можно поставить в соответствие математический объект, называемый волной, и что структура и соотношения математического мира волн являются в некотором смысле тенью или зеркальным отражением структуры и соотношений, реально наблюдаемых для света.
К середине девятнадцатого века, после работ Юнга и Френеля, стало принятым связывать с каждым световым пучком некое возмущение, или смещение, перпендикулярное направлению движения и распространяющееся в вакууме с постоянной скоростью (скоростью света). С чистым цветом связывали периодическое смещение, гребни и впадины которого повторяются регулярно через расстояние в длину волны. Как обычно, произведение длины волны на частоту дает скорость, которая в вакууме одинакова для всех цветов, или длин волн. Следовательно, вакуум ——среда без дисперсии. Отсюда легко понять природу различных цветов. Мы также в состоянии объяснить, почему свет всегда распространяется с одной и той же скоростью независимо от вида источника — будь он Солнцем, спичкой или электрической лампой. Дело в том, что волны всегда распространяются со скоростью, не зависящей от вида источника и происхождения того возмущения, которое их возбудило. Далее, мы можем объяснить дисперсию. Мы постулируем, что существуют такие материалы, в которых скорость света различна для разных цветов (разных длин волн). Поведение света при отражении и преломлении можно согласовать с поведением волн на границе раздела двух сред. Для того чтобы преломленный свет в более плотной среде отклонялся в направлении перпендикуляра к поверхности, достаточно потребовать, чтобы свет распространялся в этой среде медленней (что фактически и наблюдается), тогда как корпускулярная теория требует более быстрого распространения.
Волновая теория приводит в порядок широкий класс разнообразных явлений —— интерференцию, дифракцию и т. д. (этот список можно значительно увеличить). Длины волн, найденные из интерференционных картин, согласуются с длинами волн, полученными из наблюде-
ний дифракции. Вся система выглядит как единое целое. Старая проблема прямолинейного распространения света перестает быть проблемой, если вспомнить, что линейная волна сохраняет свое направление распространения до встречи с поверхностью или преградой. Когда свет проходит через небольшое отверстие в преграде, он отклоняется. Отклонение невелико (его величина определяется отношением длины волны к размеру отверстия), и оно экспериментально наблюдается.
Сами волны, разумеется, невидимы. Однако, когда они попадают на сетчатку глаза, они возбуждают ее. Если волны попадают на какой- нибудь материал, они могут пройти сквозь него, могут им поглотиться, могут нагреть материал. Но как и почему это происходит, мы не знаем,——по существу, нам ничего не известно об этих волнах. Мы ничего не знаем о природе смещения, не знаем, как происходит взаимодействие с веществом, и что, собственно говоря, смещается.
Почему некоторые материалы обладают дисперсией, почему одни материалы прозрачные, а другие — непрозрачные, почему свет распространяется медленнее в более плотных средах и быстрее в менее плотных, каким образом свет возбуждает в сетчатке зрительные образы, а в фотопластинке химические процессы — вот те вопросы, на которые можно ответить, лишь предложив теорию, содержащую объяснение взаимодействия света с веществом. Если считать, например, что свет состоит из частиц, то можно было бы предположить, что эти частицы, сталкиваясь с атомами вещества, оказывают на них во время столкновения какое-то силовое воздействие. Если же рассматривать свет как волну, то можно было бы допустить, что атомы вещества колышутся на волне, подобно пробкам на поверхности озера. Прежде чем вывести какие-то следствия, нам обязательно пришлось бы выдвигать подобные предположения.
Если свет — волна, то непонятно, каким образом волна передает свою энергию веществу. Допустим, что мы пытаемся объяснить это явление по аналогии со случаем, когда поверхностная волна отдает свою энергию про6к~, заставляя последнюю колебаться. Размах колебаний зависит от амплитуды волны, т. е. от высоты гребней и впадин. По мере распространения круговой волны от точечного источника амплитуда волны уменьшается-, и, видимо, не существует такой предельно малой величины амплитуды, когда волна перестает раскачивать пробку. Передает ли свет свою энергию веществу таким образом? С точки зрения волновой теории дело обстоит именно так, и никто в этом не сможет усомниться. Тем не менее окажется, что теория, предсказывающая непрерывную передачу энергии от света веществу, не согласуется с экспериментом.
Существуют и другие вопросы, ответы на которые приводят к новым проблемам, так что в конце концов мы оказываемся в таких густых дебрях, о существовании которых мы вначале не подозревали. Одна из таких проблем ——это вопрос о природе света. Любая попытка понять, что представляет собой эта светящаяся субстанция, уводила ученых все глубже и глубже. Тем не менее поиски ответа на этот вопрос всегда
оказывались плодотворными. Когда в девятнадцатом веке признали, что свет ——волна, и когда Максвелл окончательно установил, что свет — это волна электромагнитная, все настойчивее стал задаваться вопрос: в чем распространяется эта волна? Какая среда несет ее? Все рассмотренные нами волны, служившие в качестве прототипов математической волны, были возмущениями в какой-то среде: звуковые волны — это возмущение воздуха, волны на воде — возмущение поверхности воды и, наконец, волны в пружине ——возмущение, распространяющееся вдоль пружины. В какой же среде распространяются возмущения, именуемые светом? Для удобства этой среде присвоили название «светоносный эфир». И это название (если заниматься грамматическим разбором предложений) всегда выступало в качестве подлежащего вместе со сказуемым «колебаться». Максвелл писал:
«Изобретали эфир для планет, — в котором они могли бы плавать, эфиры для образования электрических атмосфер и магнитных истечений, для передачи ощущений от одной части нашего тела к другой и т. д., пока все пространство не было наполнено тремя или четырьмя эфирами» [16].
И далее:
«Только один эфир пережил остальные, это — эфир, придуманный Гюйгенсом для объяснения распространения света» [17].
Он должен существовать в безвоздушном космическом пространстве, так как свет может распространяться в вакууме. Он должен проникать в прозрачные среды. Однако его свойства должны быть чрезвычайно странными. Для того чтобы эфир мог поддерживать колебания, распространяющиеся со скоростью света, он, несмотря на свою тонкость, должен был обладать упругими свойствами твердого тела. После смещения эфир должен был возвращаться в исходное положение подобно стальной пружине.
Нельзя не признать, что свойства такого эфира довольно причудливы. Но самое поразительное из них состояло в том, что эфир оказался абсолютно ненаблюдаем. Все попытки обнаружить эфир или какое- нибудь из его проявлений терпели одну неудачу за другой, пока, наконец, ученые не бросили этим заниматься, сохранив лишь утверждение, что свет распространяется относительно эфира. А когда и это утверждение не удалось доказать, произошла одна из величайших революций в физике.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СИЛЫ
И ПОЛЯ
19
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ СИЛЫ: ЗАРЯДЫ В ПОКОЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ
«В янтаре,— писал Плутарх,— содержится огненная и бестелесная сила, которая выходит из него скрытыми путями, если потереть поверхность янтаря, и производит то же действие, что и магнитный камень».
Более чем через тысячу лет Гильберт подтвердил:
«Велика слава магнита и янтаря, благодаря упоминаниям о них у ученых...» [далее, однако, Гильберт жалуется на современное состояние науки, объясняющей природу этих явлений:] «Наше время создало много книг о скрытых, тайных, сокровенных причинах и чудесах. Во всех янтарь и гагат упоминаются как притягивающие мякину, однако в них нет никаких доводов, основанных на опытах и наглядных доказательствах. Они действуют лишь словами, напуская еще больший туман на существо дела, именно — «скрыто, чудесно, таинственно, недоступно, сокровенно». Поэтому такая философия не дает никаких плодов. Она держится лишь на некоторых греческих или необычных словечках, уподобляясь нашим знахарям и цирюльникам, которые выставляют напоказ перед необразованным народом некоторые латинские слова в качестве вывески для своего искусства и ловят благосклонность толпы. Сами философы по большей части ничего не ищут, не сильны в познании вещей опытом, праздны и ленивы; поэтому они своими трудами ничего не достигают и не видят того, что может внести свет в их рассуждения» [1].
Теперь мы знаем, что электрические силы, если сравнить их с другими с помощью какого-нибудь разумного метода, значительно превосходят, скажем, гравитационные силы и что в любом веществе нет недостатка в электрически заряженных частицах. Поэтому довольно удивительно, что первыми получили объяснение именно гравитационные силы. Электрические силы, как мы увидим, в некоторых отношениях весьма сходны с гравитационными: так, точечные заряды отталкиваются или притягиваются друг к другу с силой, совпадающей по форме с гравитационной силой (const/Л2), а именно с силой, спадающей как квадрат расстояния между зарядами. Однако величина этой силы огромна в сравнении с величиной гравитационной силы. Почему же она столь неуловима, что для того, чтобы ее заметить, приходится натирать янтарь и наблюдать, как он притягивает мякину?
Пытаясь ответить на этот вопрос, мы обнаруживаем главное различие между гравитационными и электрическими силами. Гравитационная сила Ньютона — это такая сила, которая заставляет любое
тело притягивать любое другое тело, причем величина силы притяжения пропорциональна произведению масс этих двух тел. Что касается электрических зарядов, то не все они притягивают друг друга. Оказалось, что заряды делятся на два класса. Такое утверждение впервые высказал Шарль Франсуа Дюфе (1698—1739):
«Этот принцип таков, что имеется два существенно различных вида электричества; одно из них я назову стеклянным, а другое — смоляным. Первое появляется на потертых стекле, кварце, драгоценных камнях, волосах животных, шерсти и многих других телах. Второе — на потертых янтаре, копале, гуммилаке, шелке, пряже, бумаге и многих других веществах. Отличительным признаком обоих электричеств служит то, что тело, содержащее, скажем, стеклянное электричество, отталкивает все тела с таким же электричеством и, наоборот, притягивает тела, содержащие смоляное электричеством [2].
Мы больше не употребляем выражения «стеклянное» или «смоляное» электричество. Сейчас мы говорим о положительном или отрицательном электричестве. Однако смысл от этого не меняется. Положительные заряды отталкивают друг друга, отрицательные заряды тоже отталкивают друг друга, а положительные и отрицательные заряды притягиваются (фиг. 268).
弋 化必廿心工Фиг. 268. Тела, заряженные одноимен-
、Wным электричеством, отталкиваются, а
＞《разноименным ——притягиваются.
Между положительными и отрицательными зарядами нет никаких внутренних различий. В настоящее время это свойство рассматривается как фундаментальный принцип симметрии, который гласит, что термины «положительный» и «отрицательный» не имеют никакого абсолютного смысла и что все наши наблюдения нисколько не изменятся, если все положительные и отрицательные заряды поменять местами. Однако именно существование двух видов зарядов и составляет основное различие между электрическими и гравитационными силами. Ибо, несмотря на то, что электрические силы очень велики и что все тела содержат, вероятно, огромное количество электрически заряженных частиц, в любом куске вещества положительные и отрицательные заряды настолько точно сбалансированы, что наблюдать электрические силы оказывается трудным делом. Именно поэтому в первых опытах по наблюдению электрических сил приходилось натирать или поглаживать соответствующие материалы; тем самым производилось разделение положительных и отрицательных зарядов и нарушалось их точное равновесие, вследствие чего и проявлялись электрические силы.
Мы получим некоторое представление об огромной величине электростатических сил и о почти идеальном равновесии положительных и отрицательных зарядов в обычном веществе, если рассмотрим, например, два тела обычных размеров, расположенных на расстоянии порядка 1 м друг от друга. Представим, что на каждом из тел имеется избыток в один заряд на каждые 1000. Тогда сила, действующая между этими телами (сила притяжения или отталкивания ——в зависимости от того, противоположны или одинаковы по знаку избыточные заряды), окажется равной примерно 1012 Н (тысяча миллиардов ньютонов).
Если заряды на телах были разных знаков, то между телами произойдет электрический разряд (пробой), который уравняет числа зарядов. Очень большие силы, пробой и утечка заряженных частиц — в силу всех этих причин большинство наблюдаемых нами тел практически нейтрально. При любом мало-мальски серьезном нарушении нейтральности возникают такие огромные силы, которые восстанавливают ее тем или иным способом.
ПРОВОДНИКИ И ИЗОЛЯТОРЫ
Среди обычных веществ, встречающихся на практике, существуют два вида материалов, о которых стоит здесь упомянуть и которые резко различаются между собой по своему отношению к электрическим зарядам. Известно, что, расхаживая дома по ковру в сухой зимний день, мы накапливаем на своем теле заряды, в результате чего, приветствуя приятеля, мы иногда испытываем довольно неприятный удар в руку. Этого не случится, если день будет жаркий и сырой. В зимний день воздух сухой и является, как мы говорим, изолятором, так что накопленные при хождении по ковру заряды остаются на теле. В сырой же день воздух уже не является изолятором (он становится проводником), и накопленные заряды стекают с тела.
Слова «изолятор» и «проводник» характеризуют различные материалы; изоляторы, например стекло,— это такие материалы, которые препятствуют свободному перемещению зарядов, в проводниках же, например в металлах, заряды могут передвигаться свободно. Такая классификация, видимо, устарела: не все существующие материалы укладываются в эту схему. В настоящее время известны материалы с самыми различными свойствами, начиная от почти идеальных изоляторов (такие кристаллы, как алмаз), затем — полупроводников и кончая материалами, которые можно назвать идеальными проводниками (металлы при очень низких температурах). Большинство обычных металлов — хорошие проводники, поэтому их и используют для изготовления проводов. Стекло, ткань и пластмассы очень хорошие изоляторы: вот почему медные провода, по которым идет ток, изолируют пластмассой или тканью.
Изолятор характеризуется тем, что если на него поместить заряд, последний никуда не денется. В проводнике же заряд может свободно
перемещаться, поэтому, как только на него подействует какая-нибудь сила, он перераспределится. Причина многих неудач, с которыми столкнулись первые исследователи электричества, например Грей (заряд иногда сохранялся, а иногда исчезал), состояла в том, что эти исследователи не знали тогда (первым это обнаружил Грей), что некоторые материалы, из которых изготовлялись подставки для заряженных тел, были проводниками электричества ——именно по ним и стекали заряды.
Стоит лишь немного разобраться в природе электрических сил, как оказывается, что изучать их значительно проще, чем гравитационные силы. Научившись скапливать и сохранять заряды на поверхности проводника или изолятора и воспользовавшись тем, что силы, действующие между зарядами, очень велики, мы можем изучать действие этих сил на другие тела непосредственно в лаборатории. В случае же гравитационных сил приходится исследовать взаимодействие между огромными телами, подобными Земле.
КУЛОНОВСКИЕ СИЛЫ
Опыты по определению зависимости величины электрической силы от расстояния между двумя зарядами проводили еще Даниил Бернулли примерно в 1760 г. и десятью годами позже Джозеф Пристли и Генри Кэвендиш. Однако решающее исследование, в котором было установлено, что электрическая сила, действующая между двумя неподвижными зарядами, спадает пропорционально квадрату расстояния, принадлежало Шарлю Огюстену Кулону (1785 г.), имя которого присвоено закону притяжения или отталкивания электрических зарядов. Кулон создал чувствительные крутильные весы, с помощью которых ему удалось точно измерить изменение силы, действующей между двумя зарядами, при изменении расстояния между ними. Результаты своих опытов Кулон резюмировал так:
«... взаимное притяжение электрической жидкости, именуемой положительной, и электрической жидкости, именуемой обычно отрицательной, состоит в обратном отношении квадратов расстояний, подобно тому, как мы нашли... что взаимное действие электрических жидкостей одного и того же вида состоит в обратном отношении квадрата расстояния» 13].
Сходство этого закона с законом тяготения Ньютона поразительно. Говоря словами Кулона, электрическая сила пропорциональна «пройз- ведению электрических масс двух шаров». А направлена она вдоль прямой, соединяющей два заряда. Если заряды одного вида, скажем оба положительные или отрицательные, сила стремится развести их; если же заряды разных видов, то сила стремится соединить их вместе (фиг. 269). Если договориться, что сила положительна, когда «она стремится развести», и отрицательна, когда «она стремится соединить вместе», и обозначить электрические массы двух тел через
91 и 夕2， то окончательно можно написать 。 (см. также фиг. 270):
(19.1)(19.1)(величина и знак силы) (направлена вдоль прямой, соединяющей заряды),
(19.1)
(19.1)
Фиг. 269.Фиг. 269.
Фиг. 269.
Фиг. 269.
Пример, Два точечных заряда, расстояние между которыми равно 100 см, отталкивают друг друга с силой в 100 дин. Спрашивается: с какой силой они будут отталкивать друг друга на расстоянии 1000 см?
尹 оаГ"
4人& 7
&心2
乡 ZtOAj
+
<®
十
十
<~G
弘
—
@>
G
«2
—
Фиг. 270. Вектор направлен вдоль линии, соединяющей два заряда; его величина равна произведению постоянной на q^q^R?, а знак (+ или ——)совпадает со знаком произведения qg.
На расстоянии 100 см
£оо= 1 СЮ АНН = const •• = £喘'* (величина). (19.2)
На расстоянии IС00 см
1000106 см2 ' T 06 см2
Отсюда 尸iooo=l дин.
ПРИРОДА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАССЫ
При изучении кулоновских сил немедленно возникает вопрос: какова природа электрических масс, или количества электричества, которое несут на себе заряженные частицы (выше они были обозначены через 91 и qj. Сходство между кулоновской и гравитационной силой настолько велико, что естественно напрашивается желание сравнить свойства электрической массы (заряда) с гравитационной (фиг. 271).
<-О<«~@<-О<«~@Фиг. 271.Фиг. 271.
<-О
<«~@
<-О
<«~@
Фиг. 271.
Фиг. 271.
Между ними есть существенное различие. Заряды бывают двух видов — положительные и отрицательные, в то время как гравитационные массы могут быть только одного типа, так что гравитационные силы всегда силы притяжения °.
Считается, что массу можно дробить сколь угодно. [С точки зрения примитивной атомистической теории тела состоят из большого количества неделимых частиц. Однако, несмотря на признание атомной структуры вещества, в настоящее время (из соображений, которые будут пояснены позже) полагают, что масса, входящая в гравитационные уравнения, может принимать любые значения.] Заряды же, входящие в кулоновское уравнение, не являются непрерывными. С макроскопической точки зрения, скажем при электризации тел трением или каким-нибудь другим способом, заряды кажутся непрерывными. Однако мы знаем (и это подтверждено многочисленными экспериментами), что заряд нельзя дробить до бесконечности, т. е. он всегда кратен определенной фундаментальной единице, равной заряду частицы, которая называется электроном (от греческого слова, обозначающего «янтарь»).
Договорились, что электрон заряжен отрицательно. Для обозначения величины этой фундаментальной единицы заряда используется буква е2). (Прилагательное «фундаментальная» подходит здесь, как нигде.) Заряд частицы, называемой протоном, равен, как нам известно, заряду электрона, но противоположен ему по знаку (Т-е). Очень чувствительные эксперименты, проведенные для измерения возможного различия в величинах этих зарядов, позволяют нам заключить, что заряды электрона и протона равны по величине с точностью до I。-?。
Все известные в настоящее время элементарные частицы, любые ансамбли из них, все атомы и вещества либо нейтральны, либо их за-
ряды содержат кратное количество зарядов электрона или протона. Почему это так, никто не знает. (Недавно предположили существование частиц, заряд которых равен 1/3 заряда электрона, однако до сих пор таких частиц никто не наблюдал.)
Вероятно, наиболее глубокое свойство электрического заряда состоит в том, что он сохраняется. Иными словами, если какая-то изолированная система (т. е. система, из которой не выходят и в которую не входят заряды, аналогичная огражденному пастбищу, из которого не выходят и в которое не входят овцы) обладает определенным зарядом,
ЗарЛС т?办勿С£G e丿+б e)=0ЗарЛС т?办勿С£G e丿+б e)=0Фиг. 272.Фиг. 272.величина этого заряда не меняется. Полный заряд равен сумме всех положительных и отрицательных зарядов. В изолированной системе типа закрытого контейнера, в которой нет зарядов, спустя некоторое время мы могли бы обнаружить два заряда. Однако один из них обязательно будет положительным, а
ЗарЛС т?办勿С£
G e丿+б e)=0
ЗарЛС т?办勿С£
G e丿+б e)=0
Фиг. 272.
Фиг. 272.
другой — отрицательным, так что их сумма будет равна нулю. Например, фотон (частица света) может породить отрицательный и положительный заряды (элект
рон и антиэлектрон, т. е. позитрон), но окончательная сумма этих зарядов будет точно такая же, как и вначале (фиг. 272). Этот факт возвели в принцип — закон сохранения заряда. В системе, в которую не вносят и из которой не забирают заряды, полный заряд (сумма всех положительных и отрицательных зарядов) остается постоянным. Этот
закон, как и законы сохранения энергии и импульса, является, вероятно, одним из наиболее глубоких принципов, лежащих в основе физики.
СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
Теперь необходимо ввести какую-нибудь систему единиц (к сожалению, все существующие системы неудобны для наших целей), с помощью которой мы могли бы измерять заряды. Вспомним, что из закона движения Ньютона можно получить единицу силы, если длину измерять в сантиметрах, время ——в секундах, а единицу массы задавать. В теории электричества обычно исходят из закона Кулона,
(19.3)(19.3)尸зп = const • ^^ (величина и знак),
(19.3)
(19.3)
и определяют заряд и постоянную через единицы силы и длины. Эта довольно неуклюжая процедура получила широкое распространение из-за того, что во времена Кулона уже существовали единицы силы и длины. В системе сантиметр-грамм-секунда (СГС) сила измеряется в динах, расстояние ——в сантиметрах и время ——в секундах. Если
можно сокра- весьмаможно сокра- весьмаТ Фиг. 273.1^л. ст е，Т Фиг. 273.1^л. ст е，
можно сокра- весьма
можно сокра- весьма
Т Фиг. 273.
1^л. ст е，
Т Фиг. 273.
1^л. ст е，
в законе Кулона положить постоянную равной единице, то получить единицу заряда (электростатическая единица, или щен но эл. ст. ед.). В этом случае закон Кулона записывается удобно:
Система СГС:
尸(величина и направление) заряд в эл. ст. ед., (19.4) длина в см, сила в дин.
Электростатическая единица заряда — это такой заряд, которым обладает каждая из двух точечных частиц, расположенных на расстоянии I см друг от друга и взаимодействующих с силой в 1 дин (фиг. 273). (Постоянный множитель в законе Кулона при этом равен единице.)
сгс
<<—1см
<
<
^ЛиЛи/сС^ си^си- - / 及必
В «практической» системе, или системе МКС, расстояние измеряется в метрах, масса — в килограммах, время ——в секундах, а в качестве единицы заряда выбран кулон (определенный независимо от закона Кулона). Поскольку заряд в 1 Кл определен не из закона Кулона, постоянная теперь не равна единице (почему, собственно, она должна быть равной 1?), и закон Кулона в системе МКС принимает вид。
Система МКС:
?зп=9・109 符 (величина и направление) заряд в Кл, (19.5) длина в м, сила в Н.
Эта форма записи закона Кулона менее удобна, во-первых, потому, что во всех формулах приходится писать дополнительный постоянный множитель, и, во-вторых, потому, что единица заряда в системе МКС слишком велика (табл. 9).
Для нужд теории элементарных частиц велика даже электростатическая единица. Здесь в качестве единицы заряда предпочитают использовать заряд электрона. Заряд же в 1 Кл слишком велик даже для макроскопической теории. Например, два тела, расположенные на расстоянии 1 м друг от друга, с зарядом в 1 Кл каждое, взаимодействуют с силой в 9-109 Н. С другой стороны, электростатическая единица заряда для макроскопической теории слишком мала.
1) Точное значение постоянной равно 8,9875...* 109.
Таблица 9
Величина
СГС
мкс
Соотношение
Расстояние Время Масса Сила Заряд
сантиметр секунда грамм дина
эл.ст. единица (статкулон)
метр секунда килограмм ньютон кулон
в 1 метре 100 сантиметров
в 1 секунде 1 секунда
в 1 килограмме 1000 грамм
в 1 ньютоне 105 дин
в 1 кулоне 3* 109 эл.ст.
единиц
Преимущество системы СГС состоит в том, что в ней основные уравнения записываются в более простом виде. Поскольку мы будем в основном заниматься приложениями этих правил и уравнений, в дальнейшем будет использоваться главным образом система СГС. В системе же МКС, где единицей заряда служит кулон, разность потенциалов измеряется в вольтах, а ток — в амперах; так как в обыденной жизни мы больше привыкли к вольтам и амперам, эти единицы кажутся для нас более наглядными. Мы будем пользоваться преимущественно системой СГС и иногда переводить некоторые величины в вольты и амперы, чтобы получить о них хоть какое-то представление.
В зависимости от обстоятельств на практике часто меняют используемые единицы с целью максимального удобства. Нет смысла пользоваться исключительно одной системой единиц, так как любая система, удобная в одном отношении, может оказаться крайне неудобной в другом. В обыденной жизни вес лекарств измеряется в унциях, а вес угля ——в тоннах.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Суперпозиция электростатических сил
Из закона Кулона и из соглашения, что электростатическое притяжение или отталкивание есть сила (поэтому ее можно описать вектором), вытекает правило о том, что нужно делать в случае трех или более за-
Фиг, 274,Фиг, 274,
Фиг, 274,
Фиг, 274,
рядов. Допустим, требуется определить силу, которая действует на третий заряд со стороны двух других зарядов (фиг. 274). С помощью закона Кулона можно определить силы, с которыми первый и второй заряды действуют на третий (на фиг. 274 эти силы обозначены соответ-
ственно через F/наз и р2наз)・ Полная сила, приложенная к третьему заряду, равна векторной сумме этих сил. В этом и состоит наиболее важное свойство электрических сил (гравитационных тоже), заключающееся в том, что сила взаимодействия двух зарядов не изменяется при наличии третьего, четвертого или пятого зарядов. Оно позволяет нам определять действие целой системы зарядов на любой другой заряд путем непосредственного сложения эффектов отдельных зарядов системы.
Пример. Какова сила взаимодействия двух зарядов в 5 эл. ст. ед. и 25 эл. ст. ед., расположенных на расстоянии 10 см друг от друга?
F = 9传2—R2F = 9传2—R2(5 эл. ст. ед ) (25 эл. ст. ед.)(5 эл. ст. ед ) (25 эл. ст. ед.)(10 см)(10 см)=1,25 ДИН.=1,25 ДИН.(19.6)(19.6)
F = 9传2
—R2
F = 9传2
—R2
(5 эл. ст. ед ) (25 эл. ст. ед.)
(5 эл. ст. ед ) (25 эл. ст. ед.)
(10 см)
(10 см)
=1,25 ДИН.
=1,25 ДИН.
(19.6)
(19.6)
Если оба заряда положительны, сила будет отталкивающей. То же самое можно сказать про два отрицательных заряда (отсюда видна условность названий «положительный» и «отрицательный»). Если же один заряд отрицателен, а другой положителен (например, —5 эл. ст. ед. и 25 эл. ст. ед. или 5 эл. ст. ед. и—25 эл. ст. ед.), на каждый заряд будет действовать сила притяжения в 1,25 дин.
Фиг. 275.Фиг. 275.5M s或立 в5M s或立 в
Фиг. 275.
Фиг. 275.
5M s或立 в
5M s或立 в
Допустим, мы внесли третий заряд, как показано на фиг. 275. Спрашивается: чему равны горизонтальная и вертикальная составляющие силы, действующие на заряд В?
1Q5 дин.
Фиг. 276.
Заряд С оказывает действие (направленное влево) на заряд В. Заряд 10 эл. ст. ед. (X) также отталкивает заряд В, но эта сила направлена вниз. Ее величина
£ 更ст./.)с,/ст.ед.) = 0,5 д.н・ад。
Следовательно (фиг. 276),
Fr°pH3= 1，25 дин (направлена влево),
FBepT = 0,5 дин (направлена вниз).'''
Введение электрического поля
Понятие поля, которое мы собираемся сейчас ввести, можно было определить и в случае гравитационных сил. Оно возникает пр» попытке описать силу, которая действует на заряд, находящийся в заданной
точке пространства, со стороны многих других зарядов, и приписывает этой точке пространства определенное свойство, влияющее на движение частиц. Мы согласились, что сила, действующая на точечный заряд со стороны других зарядов, равна векторной сумме сил со стороны отдельных зарядов. В случае трех зарядов, рассмотренном выше, на третий заряд действует сила
F3 = F/Ha3 + F2Ha3・(19.9)
Величина и знак силы F/ на з определяются по формуле
Fi на з = ^г (величина и знак),(19.10)
а величина и знак силы F2 на з — по формуле
尸2^3=匆粵 (величина и знак).(19.11)
R23
Каждое из этих выражений содержит множитель д3; это следует непосредственно из закона Кулона. Если бы было N зарядов, векторная сумма состояла бы из N слагаемых, все величины которых были бы пропорциональны заряду, находящемуся в точке 3.
Это дает возможность применить прием, кажущийся тривиальным, с тем чтобы прийти к понятию электрического поля. Мы выносим из выражения для силы множитель t/з и вводим новую величину Е:
F/ на 3 == Q^l на 3-(19.12)
Эту величину, т. е. вектор Е/ на з, мы называем электрическим полем, которое возбуждает заряд / в точке 3. Отметим, что величина электрического поля не зависит от того, есть ли какой-нибудь заряд в точке 3. Далее, результирующее электрическое поле в точке 3 равно векторной сумме электрических полей, создаваемых каждым зарядом системы; на основании этого мы можем ввести полное электрическое поле в точке 3:
Е3 = Е/ на 3 + Е? на 3 + • • •十 En на 3・(19.13)
•В системе СГС электрическое поле измеряется в дин/эл. ст. ед. заряда.
Не удивительно, если покажется непонятным, для чего понадобилось вводить дополнительную величину. Впервые ее ввел Фарадей для того, чтобы сделать более наглядным действие одних зарядов на другие. Максвелл пытался представлять электрическое поле как механическое натяжение в эфире. С тех пор значение электрического поля распространилось далеко за рамки любой механической интерпретации. Вместе с такими понятиями, как импульс или энергия, электрическое поле в конце концов стало играть более важную роль, чем частные теории, из которых родились эти понятия. В этом мы убедимся, когда будем изучать электромагнитное излучение.
Фиг. 277. Электрическое поле движного положительного заряда набор векторов, определенных во точках пространства. Е равно g/户Фиг. 277. Электрическое поле движного положительного заряда набор векторов, определенных во точках пространства. Е равно g/户непо-непо-правлено от заряда. Некоторые ров изображены на рисунке.правлено от заряда. Некоторые ров изображены на рисунке.есть всех и наесть всех и навекто-векто-
Фиг. 277. Электрическое поле движного положительного заряда набор векторов, определенных во точках пространства. Е равно g/户
Фиг. 277. Электрическое поле движного положительного заряда набор векторов, определенных во точках пространства. Е равно g/户
непо-
непо-
правлено от заряда. Некоторые ров изображены на рисунке.
правлено от заряда. Некоторые ров изображены на рисунке.
есть всех и на
есть всех и на
векто-
векто-
Электрическое поле можно назвать векторной функцией. С каждой точкой пространства связан вектор, и этот вектор, умноженный на заряд, дает величину силы, которая действует на этот заряд в данной точке со стороны зарядов, создающих поле. Если нам известно электрическое поле во всех точках пространства, это означает, что нам известна сила, которая будет действовать на заряд в любой точке, даже если мы не знаем, какова та система зарядов, которая создала это поле п. В этом заключается главное удобство введенного понятия; в некоторых случаях бывает проще оперировать с существующим полем, чем с заряженными частицами, создающими его.
Электрическое поле сложно изобразить на рисунке, так как для этого в каждой точке пространства необходимо нарисовать вектор. Однако можно рисовать векторы лишь в некоторых точках пространства, как, например, на фиг. 277, где изображено электрическое поле положительного точечного заряда. Длины векторов уменьшаются с расстоянием как 1/г2, а направлены они все по радиусам от заряда. Иногда для наглядности рисуют не векторы, а сплошные линии, которые везде параллельны полю в тех точках, через которые эти
Фиг. 278.Фиг. 278.
Фиг. 278.
Фиг. 278.
Фиг. 279.
линии проходят. При этом величина поля характеризуется густотой линий. Например, мы можем договориться, что из заряда в 1 эл. ст. ед. должна выходить одна линия. Тогда из заряда в 3 эл. ст. ед. будут выходить 3 силовые линии, а из заряда в 6 эл. ст. ед.— шесть линий, как показано на фиг. 278 и 279 (см. также фиг. 280).
1)При этом предполагается, что введение нового заряда не нарушает первоначальное распределение зарядов, для которого было найдено поле.
На фиг. 281 изображены силовые линии электрического поля двух разноименно заряженных пластин (такая система называется емкостью, или конденсатором). За исключением краев, плотность электрических силовых линий между пластинами постоянна. То же самое относится к величине и направлению соответствующего электрического поля.
Иногда случается, что мелкие предметы выстраиваются параллельно электрическому полю, если создать необходимые условия. Как ни странно, но именно так ведут себя семена травы, взвешенные в непро-
Ф и г. 280. Электрические силовые линии в случаях: а) одиночного положительного точечного заряда, б) одиночного отрицательного точечного заряда, в) двух разноименных точечных зарядов; а) точечного заряда, лежащего вблизи большой проводящей плоскости.Если два заряда находятся друг от друга на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием от зарядов до точки, где измеряется поле, то эти заряды образуют так называемый электрический диполь. Полный заряд диполя равен нулю； поле же возбуждается из-за смещения зарядов друг относительно друга.Ф и г. 280. Электрические силовые линии в случаях: а) одиночного положительного точечного заряда, б) одиночного отрицательного точечного заряда, в) двух разноименных точечных зарядов; а) точечного заряда, лежащего вблизи большой проводящей плоскости.Если два заряда находятся друг от друга на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием от зарядов до точки, где измеряется поле, то эти заряды образуют так называемый электрический диполь. Полный заряд диполя равен нулю； поле же возбуждается из-за смещения зарядов друг относительно друга.
Ф и г. 280. Электрические силовые линии в случаях: а) одиночного положительного точечного заряда, б) одиночного отрицательного точечного заряда, в) двух разноименных точечных зарядов; а) точечного заряда, лежащего вблизи большой проводящей плоскости.
Если два заряда находятся друг от друга на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием от зарядов до точки, где измеряется поле, то эти заряды образуют так называемый электрический диполь. Полный заряд диполя равен нулю； поле же возбуждается из-за смещения зарядов друг относительно друга.
Ф и г. 280. Электрические силовые линии в случаях: а) одиночного положительного точечного заряда, б) одиночного отрицательного точечного заряда, в) двух разноименных точечных зарядов; а) точечного заряда, лежащего вблизи большой проводящей плоскости.
Если два заряда находятся друг от друга на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием от зарядов до точки, где измеряется поле, то эти заряды образуют так называемый электрический диполь. Полный заряд диполя равен нулю； поле же возбуждается из-за смещения зарядов друг относительно друга.
водящей жидкости. (Почему так происходит?) Если создать в такой
жидкости электрическое поле, погружая в нее заряженные тела, семена выстроятся вдоль направления поля, и мы сможем наблюдать картину силовых линий, образованную этими семенами (фото 33).
Несмотря на внешнюю привлекательность таких картин, они довольно обманчивы, так как могут создать ошибочное впечатление, что силовые линии реально существуют.
Подводя итоги сказанному, мы утверждаем, что электрическое поле есть векторная функция пространственных координат (каждой точке
пространства соответствует вектор), определяемая распределением зарядов. Если в какой-либо точке пространства поместить заряд д, не нарушающий первоначальное распределение зарядов, то на этот заряд будет действовать сила
F = дЕ.F = дЕ.(19.14)
F = дЕ.
F = дЕ.
Таким образом, зная электрическое поле, мы в состоянии определить
силу, приложенную к заряду в любой точке пространства, даже если нам неизвестно порождающее поле распределение зарядов ° (фиг. 282).
Фиг. 282. Маленький положительный заряд испытывает в точках А, В и С действие сил.
Спрашивается: каким образом можно найти электрическое поле, если задано определенное распределение зарядов? В простых случаях мы можем воспользоваться законом Кулона, а затем просуммировать вклады от всех зарядов. Для более сложных случаев, включающих произвольное распределение зарядов, разработаны весьма изящные методы. Исходя из закона Кулона, можно вывести несколько мощных теорем, позволяющих просто и быстро определять 1юля в случае относительно сложных, но симметричных распределений зарядов. Однако нас не интересуют эти методы, поэтому мы не будем их здесь описывать.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
Хотя мы и ввели новые понятия электрического поля и заряда, до сих пор мы ограничивались по существу только тем, что постулировали чисто ньютоновский характер сил, действующих между заряженными частицами. Поскольку электростатическая сила зависит лишь от расстояния между двумя частицами, эта сила является консервативной в том смысле, как об этом говорилось в гл. 12. Это позволяет нам ввести исключительно важное понятие электрической потенциальной энергии.
•Фиг. 283. Разность потенциальных энер-
/ °г”* между точками b и а равна взятой
со знаком минус работе по перемещению заряда из а в Ь.
Вспомним, что разность потенциальных энергий в точках b и а равна взятой со знаком минус работе, совершенной над частицей при переносе ее из точки а в точку b (фиг. 283):
一取恥Ь=V(6)一u(").(19.15)
Для консервативных сил работа, произведенная над частицей при переносе ее из а в Ь, не зависит от пути (что отвечает другому определе-
1)При желании, конечно, можно более подробно интерпретировать понятие электрического поля, но это дело вкуса. Смысл этого понятия, как и понятия потенциальной энергии, заключен в его определении и в его взаимосвязях с другими элементами электромагнитной теории.
нию консервативных сил). В качестве примера консервативных сил мы рассматривали гравитационные силы; поскольку кулоновские силы сходны по форме с гравитационными, они тоже являются консервативными. Именно поэтому мы и можем ввести понятие потенциальной энергии заряда, подверженного действию сил, вызванных системой других зарядов.
В качестве простого примера рассмотрим однородное и постоянное электрическое поле Е. Если умножить его на заряд, мы получим по* стоянную силу, рассмотренную в гл. 12. Вычислим работу, совершенную над заряженной частицей при переносе ее из точки а в точку Ь, как показано на фиг. 284. Если заряд частицы положительный и равен по величине q, на него будет действовать сила
F = gE (величина qE, сила действует в направлении поля). (19.16)
Тогда работа, произведенная над частицей при переходе ее из а в 匕 (расстояние между точками а иЬ обозначено через d), равна
(19.17)(19.17)W а^ъ = qEd.
(19.17)
(19.17)
(Работа положительна, так как частица движется в направлении силы). Таким образом, разность потенциальных энергий в точках b и а равна, по определению,
Vb-Va = -qEd. (19.18)
Если считать, что потенциальная энергия в точке b равна нулю (т. е. выбрать Ь в качестве фиксированной точки, относительно которой отсчитывается потенциальная энергия), тогда потенциальная энергия
Фиг. 284. Работа, совершенная . _д частицей при перемещении ее из а в Ь, равна Fd=qEd.
Фиг. 285.Фиг. 285.в точке а равна Va=qEd. Часто вместо слов «положим 丿匕=0》говорят «заземлим точку fe» (т. е. соединим ее с Землей с помощью проводника, В результате чего потенциальная энергия в этой точке будет равна Потенциальной энергии Земли, которую принято считать равной нулю); на электрических схемах «земля» обозначается символом, изображенным на фиг. 285.
Фиг. 285.
Фиг. 285.
В сложных случаях не всегда бывает просто определить потенциальную энергию заряда (соответствующие вычисления могут оказаться чрезвычайно сложными), однако принцип расчета всегда один и тот же. Для нахождения потенциальной энергии необходимо вычислить работу, произведенную над зарядом при переносе его из одной точки в другую, исходя из данного распределения зарядов п.
В силу сходства гравитационных и кулоновских сил электрическая потенциальная энергия заряда, на который действует сила со стороны другого заряда, сходна с гравитационной потенциальной энергией массы, подверженной воздействию другой массы. Вспомним, что гравитационная потенциальная энергия точечной массы т, расположенной на расстоянии R от другой точечной массы М, равна (фиг. 286) V(R) — — ^^ (гравитационная потенциальная энергия). (19.19) Аналогичным образом электрическая потенциальная энергия отрицательного точечного заряда —g, расположенного на расстоянии R от другого точечного заряда + Q, равна (фиг. 287)
V(R) =—簣 (электрическая потенциальная энергия). (19.20) (Для удобства фиксированная точка отсчета энергии считается расположенной на бесконечности.)
Фиг. 286.Фиг. 287.
Отрицательный заряд, перемещающийся из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии R от положительного заряда, испытывает силу притяжения, как и точечная масса, расположенная в гравитационном поле другой массы. Поэтому электрическая потенциальная энергия, как и гравитационная энергия, отрицательна. Положительный заряд, перемещающийся из бесконечности в ту же точку R, испытывает отталкивающую силу, поэтому его потенциальная энергия имеет тот же вид, что и энергия отрицательного заряда, но противоположный знак:
MR) = +*・(19.21)
Поэтому удобно ввести новое понятие ——электрический потенциал, который несколько отличается от электрической потенциальной энер-
1)Можно также вычислить энергию, необходимую для построения системы из N зарядов, расположенных в точках 1, 2, ..., N. Она равна работе сил (со знаком минус), действующих между частицами при построении системы, и является функцией координат точек 1, 2, . . ., Nt т. е. V=V(1, 2,. . N).
гии и равен (минус) работе по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в заданную точку пространства. Таким образом, электрический потенциал — это потенциальная энергия, деленная на заряд вносимой частицы. Для точечного положительного заряда Q он определяется из выражения:
электрический потенциал точечного^ положительного заряда Q
(обозначаемый символом 屮)= 普. (19.22)
В некоторых отношениях он так же удобен, как и электрическое поле: если произведение величины поля в данной точке на заряд определяет силу, действующую на этот заряд, то произведение величины электрического потенциала в данной точке на заряд определяет потенциальную энергию заряда в этой точке.
В обиходе мы, как правило, имеем дело именно с разностями электрических потенциалов. Единицей электрического потенциала в системе СГС служит эрг/эл. ст. ед. заряда 1}:
эргэргэл. ст. ед. зарядаэл. ст. ед. зарядаэл. ст. ед. заряда =статвольт.эл. ст. ед. заряда =статвольт.смсм(19.23)(19.23)
эрг
эрг
эл. ст. ед. заряда
эл. ст. ед. заряда
эл. ст. ед. заряда =статвольт.
эл. ст. ед. заряда =статвольт.
см
см
(19.23)
(19.23)
В системе МКС единица электрического потенциала — джоуль/кулон, носящая знакомое название «вольт»:
=ВОЛЬТ.=ВОЛЬТ.(19.24)(19.24)джоуль — кулонкулон L метр
=ВОЛЬТ.
=ВОЛЬТ.
(19.24)
(19.24)
Если электрон проходит через разность потенциалов 2) 1 В, работа приложенных к нему электрических сил равна 1,6-10"12 эрг, что по определению составляет один электрон-вольт (эВ) энергии (работы). Происхождение такой единицы связано с тем, что при работе на ускорителях принято измерять разность электрических потенциалов, т. е. обычное напряжение, в вольтах. В этих машинах часто ускоряют
1)Заряд в 1 эл. ст. ед. иногда называют статкулоном; тогда эрг/статкулон = стат* вольт (см. приложения, стр. 441).
2)Обычно разность электрических потенциалов называют напряжением. Так, 12-вольтовая батарея (фиг. 288) обеспечивает разность электрических потенциалов
件X件X
件X
件X
и фи ф882882
и ф
и ф
8
8
2
8
8
2
Cxtm 卜呻 jt/k
严"*&3宀
作件2
12 В между двумя клеммами. (Красная клемма, как правило, соответствует болев высокому потенциалу). Так получилось, что разность электрических потенциалов (измеряемую в вольтах) условились обозначать буквой V, которую иногда путают 6 обозначением сходной, но все же другой величины ——потенциальной энергии. (Такого рода путаница вовсе не исключительное явление. Когда говорят «Я читаю книгу», то непонятно, к какому времени это относится — к настоящему или прошедшему.)
частицы, похожие на электрон, и оказалось удобно характеризовать энергию, которой снабжают ускорители заряженные частицы, произведением величины напряжения между пластинами ускорителя на заряд частицы. Эта единица, хотя и состоит из смеси единиц различных систем, очень удобна; дело в том, что ее величина, являющаяся комбинацией практической единицы (вольта) и заряда электрона, оказывается весьма подходящей для обозначения энергии атомов. Как мы увидим позже, при атомных реакциях имеют дело с энергиями порядка 10"12 эрг, или 10"19 Дж. Гораздо проще, например, вместо 3,2- Ю-19 Дж говорить об энергии 2 эВ.
—е = заряд электрона (фиг. 289) ==1,6.10… кл,
потенциальная энергия в точке b У& =——。屮匕,(19.25)
потенциальная энергия в точке a Va =——ец)а,(19.26)
работа (со знаком минус), произведенная над зарядом
при а — Ь, равна Vb—Va = —e^ 1 В,(19.27)
или
Пример 1. Между двумя заряженными пластинами, расположенными на расстоянии 0,03 м друг от друга, создана разность потенциалов
Фиг. 290.Фиг. 290.
Фиг. 290.
Фиг. 290.
12 В (фиг. 290). Чему равно поле между этими пластинами? Какая сила будет приложена к протону в таком поле?
Е == 400 В/м (величина).(19.29)
В этом поле на протон действует сила
F = qE (величина)=
= (1,6・ 10Т9 Кл)х400 В/м=6,4-10~17^^ =
=6,4・ IO」】7H.(19.30)
Пример 2. Протон начинает двигаться из состояния покоя от одной пластины ускорителя, имеющей потенциал 1 000 000 В, в направлении второй пластины, находящейся под нулевым потенциалом. Каковы энергия и скорость протона, когда он достигает второй пластины?
Протон проходит через разность потенциалов в 1 000 000 В. Поэтому над ним совершается работа еХ 106 В—106 эВ, или сокращенно 1 МэВ:
1 МаВ=10б ЭВ=1,б」。- Эрг.(19.31)
Определим скорость протона:
Е = ^//ю2 = 1,6・ IO- эрг>(19.32)
u= ]/红山产型.(19.33)
Масса протона m==l,67-10~24 г. Отсюда
仁 /4齡У" = 1,4・ 10。см/с. (19.34)
Пример 3. Между концами провода длиной 10 м существует разность потенциалов 120 В (фиг. 291). Чему равно электрическое поле в проводе, если допустить, что оно постоянно и направлено всегда
6
Фиг. 291.
вдоль провода п? Какая сила действует на электрон, находящийся в этом поле? Чему равно ускорение электрона?
1)В обычных проводах, используемых в обиходе, это условие выполняется. Электрическое поле в таких проводах практически постоянно и направлено вдоль провода.
Разность потенциалов=Ed,
Е = 1^=12В/м.(19.35)
Величина силы, приложенной к электрону,
尸=еЕ = 1 £• 1079 Кл х 12 В/м 1,9・ 10~18 H = l,9-10- дин. (19.36) Следовательно, его ускорение
° = М 囁骑甥土 = 2,1 • W см/с?, (19.37)
или примерно 2- Ю11^.
ПЛАНЕТАРНАЯ СИСТЕМА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
До сих пор мы изучали силу, которая была не только ньютоновской, но и практически совпадала по форме с гравитационной силой. Поэтому поведение заряженных тел под действием электрической силы должно напоминать поведение тел под действием гравитационной силы, И1^ши словами, для описания поведения заряженных тел можно использовать все выводы механики Ньютона. Для иллюстрации этого утверждения и для того, чтобы почувствовать порядки величин, встречающихся в системах, важность которых обнаружится позднее, рассмотрим модель планетарной системы заряженных частиц.
Представим, что легкая отрицательно заряженная частица, как, например, электрон, вращается вокруг тяжелой положительно заряженной частицы вроде протона. Заряд электрона отрицательный и равен 4,803-10~10 эл. ст. ед. Масса электрона 0,911 • 10~27 г. Заряд протона равен заряду электрона, но противоположен ему по знаку, а масса протона составляет 1,672-10~24 г.
Так как протон примерно в 1800 раз тяжелее электрона, можно считать, что он неподвижен и вокруг него обращается электрон, подобно тому, как можно считать, что Земля обращается вокруг неподвижного Солнца п (фиг. 292).
Фиг. 292. Планетарная система заряженных частиц: на электрон, вращающийся по круговой орбите вокруг протона, действует кулоновская сила, направленная радиально к центру и равная по величине «2/R2.
Между электроном и протоном действует кулоновская сила:
?кул=—斤 (величина и знак силы),(19.38)
направленная вдоль линии, соединяющей две частицы.
Некоторое представление о величине электростатических сил можно получить, сравнивая электрическую и гравитационную силы, действующие между электроном и протоном. Различие определяется отношением заряда и массы (иначе говоря, отношением электрической массы к гравитационной)； соответствующих этим фундаментальным частицам. Отношение величин гравитационной и электромагнитной сил, действующих между электроном и протоном,
尸гр — G/hm尸_6,7・1O-8.o,9・io-27・i,7・io-24 〜《冃.щгоRQ)
碎=、(4,8・10-1。)2'• I '
Таким образом, гравитационная сила примерно в 104° раз слабее электростатической; именно в этом смысле мы говорим, что гравитационная сила очень и очень слаба.
Довольно удивительно, что сила, которую мы сильнее всего ощущаем в виде веса собственного тела, оказывается в масштабах размеров атомов столь слабой. Электростатические силы, хотя они и ответственны за свойства веществ и удерживают частицы вещества вместе, практически полностью экранированы благодаря тому, что заряженные частицы разных знаков представлены в одинаковом количестве. Если бы компенсация была неполной, скажем различие составляло бы одну тысячную процента частиц на телах нормальных размеров, соответствующие электростатические силы значительно превосходили бы гравитационные.
Анализ планетарной системы заряженных частиц проводится так же, как и анализ солнечной системы. Из второго закона Ньютона
F = ma (величина)(19.40)
и выражения для ускорения тела, вращающегося с постоянной скоростью по окружности,
。=反 (величина),(19.41)
получим
F = т 飞 (величина).(19.42)
Но сила, действующая между положительным и отрицательным зарядами,
尸=提 (величина).(19.43)
ГЬэтому
‘热=加强(1844)
(19.45)(19.46)(19.47)следует(19.45)(19.46)(19.47)следуетили
(19.45)
(19.46)
(19.47)
следует
(19.45)
(19.46)
(19.47)
следует
Механическая энергия системы
£ = кинетическая энергия 4- потенциальная энергия =
Используя (19.45), это выражение можно записать в виде °
Чтобы получить численные значения различных величин, выбрать радиус R орбиты электрона. Положим, что величина
R = IO— см.
Хотя эта величина и выглядит весьма малой в сравнении с привычными для нас размерами, как мы увидим позже, она оказывается подходящей для планетарной системы заряженных частиц. При таком значении R сила, приложенная к электрону,
尸=提^2,3.10-3 дин(19.49)
выглядит чрезвычайно малой. Не следует, однако, забывать, что масса электрона тоже мала. Поэтому по отношению к электрону такая сила громадна, и его ускорение, согласно второму закону Ньютона,
。=三^訪：寡黑2,5，3 ем/e2,(19.50)
несравненно больше, чем, скажем, ускорение силы тяжести вблизи Земли, равное 980 см/с2. На такой орбите скорость электрона
и= |/^^L «1,6-108 см/с,
что составляет 1/200 скорости света; электрон, вращающийся с такой скоростью, совершает полный оборот за время
период обращенияпериод обращениядлина окружности — 2冗欠длина окружности — 2冗欠скорость2л. 10-8 л1,б・1084・ 10&скорость2л. 10-8 л1,б・1084・ 10&ии(19.52)(19.52)
период обращения
период обращения
длина окружности — 2冗欠
длина окружности — 2冗欠
скорость
2л. 10-8 л
1,б・1084・ 10&
скорость
2л. 10-8 л
1,б・1084・ 10&
и
и
(19.52)
(19.52)
D Чтобы полная энергия была отрицательной, заряды должны иметь разные знаки. В противном случае замкнутые орбиты невозможны. Гравитационные же силы всегда силы притяжения.
Это — характерное время в атомных масштабах. Энергия, соответствующая такой орбите,
口 1 (4,8-10~10 ЭЛ. ст. ед.)2- . си。、
Е=—[ё=т^~—^1,15-10 11 эрг, (19.53)
т. е. порядка 7 эВ, что является характерной энергией для атомных систем. Читатель, видимо, уже понял, что рассмотренная выше система есть в сущности модель атома.
20
МАГНИТНЫЕ СИЛЫ: ЗАРЯДЫ В ДВИЖЕНИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
По определению любое движение нескомпенсированного заряда составляет электрический ток — перемещение заряженного шара, прикрепленного к концу палки, падение заряженной капли воды, движение заряженного ремня или, в случае обычного проводника, движение электронов в металле. Если мы будем перемещать кусок обычного нейтрального вещества, мы будем двигать огромно^ количество заряженных частиц (как положительных, так и отрицательных), но при этом, согласно определению, никакой ток не возникнет.
Ток, протекающий по проводу, определяется как количество заряда, проходящее через заданное сечение провода в единицу времени; в системе СГС
эл. ст. ед. зарядаT0K〜L——эл. ст. ед. зарядаT0K〜L——ссстатампер.статампер.(20.1)(20.1)
эл. ст. ед. заряда
T0K〜L——
эл. ст. ед. заряда
T0K〜L——
с
с
статампер.
статампер.
(20.1)
(20.1)
Если провод имеет постоянное сечение, через это сечение за 1 с про* ходит определенное количество электронов (фиг. 293). Тогда ток опре-
()О Фиг. 293.
деляется как количество заряда, проходящее через сечение провода за единицу времени:
заряд, проходящий через сечение
ток (обозначается буквой /) =~в5е1йй~ ~
(20.2)(20.2)эл. ст. ед. заряда
(20.2)
(20.2)
С этой единицей мы еще не встречались. (Мы привыкли иметь дело с токами, измеренными в амперах, т. е. в единицах системы МКС.) В системе МКС, где заряд измеряется в кулонах, потенциал — в вольтах и ток — в амперах, единица тока определяется как отношение кулона к секунде:
1 Кл/с=1 А. (20.3)
Связь между ампером и единицей тока в системе СГС дается форму* лой
3* 109 эл. ст. ед. заряда/с (т. е. 3- W статампер)=
=1 Кл/с=1 А. (20.4)
Важно лишь помнить, что, когда мы говорим о токе в 1 А, проходящем через какой-либо электрический прибор, мы имеем в виду, что через любое сечение подводящих проводов и проводов, выходящих из прибора, за каждую секунду проходит 1 К厶 заряда (или, если хотите, 3* 109 эл. ст. ед. заряда за секунду). К счастью, в обеих системах используется одна и та же единица времени — секунда.
Теперь мы знаем, что в металле движутся электроны, так что, когда мы говорим о токе в 1 А, мы подразумеваем, что через сечение проводника за каждую секунду проходит 1 Кл отрицательного заряда (1,62-1019 электронов). Бенджамин Франклин был первым, кто связал направление тока с направлением движения положительного электричества. Сейчас принято считать, что направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов, хотя фактическое движение электронов происходит в противоположную сторону (фиг. 294); такой уговор может иногда приводить к недоразумениям, однако, насколько нам известно, эти недоразумения не помешали Франклину иметь огромный успех в Париже.
Если к веществу приложить разность потенциалов, электроны будут испытывать действие силы. В материалах, которые называются изоляторами, электроны прочно связаны с атомами вещества; в них нет «свободных» электронов, способных перемещаться вдоль направления силы, и поэтому ток в изоляторах невозможен. В других материалах, например металлах,существуют электроны, которые не связаны жестко с атомами, и эти электроны могут двигаться под действием поля, возбужденного в веществе. Как только между двумя точками на поверх*
Фиг. 294.
()о е е一 ^^4)
ности проводника создается разность потенциалов, будь этот проводник длинным медным проводом или небольшим бруском стали, между этими точками начинает сразу же идти ток.
Разность потенциалов можно получить не только при помощи домашней электрической сети, не существовавшей во времена Франклина, но также при помощи грозовых разрядов, аккумуляторов или
Фиг. 295.Фиг. 295.
Фиг. 295.
Фиг. 295.
батарей. Батарея — это такое устройство, в котором с помощью «химических сил» поддерживается разность потенциалов между двумя его клеммами (фиг. 295).
В начале девятнадцатого века Георг Симон Ом исследовал зависимость разности потенциалов в проводнике от величины протекающего тока. Ом предположил, что ток, проходящий через заданный проводник при заданной температуре, прямо пропорционален разности потенция-, лов, приложенной к проводнику. Коэффициент пропорциональности R называется сопротивлением; полученную закономерность обычно записывают в виде
разность потенциалов = ток X сопротивление
V = hR (20.5)
(У — общепринятое обозначение разности потенциалов(р+—(р_). В системе МКС единицей сопротивления служит Ом — это такое сопротивление провода, при котором для создания тока 1 А необходимо приложить напряжение 1 В. Полученное соотношение, характеризующее «силу трения», которую испытывают электроны, хорошо выполняется для многих материалов.
Если к двум концам провода приложена разность потенциалов, в проводе создается электрическое поле, т. е. на электроны начинает
Фиг. 296.Фиг. 296.
Фиг. 296.
Фиг. 296.
действовать сила (фиг. 296). Если бы электроны могли двигаться сво-
бодно, их ускорение равнялось бы
(20.6)(20.6)F еЕ a =--=— т т
(20.6)
(20.6)
при этом их скорость непрерывно увеличивалась бы. В результате ток нарастал бы со временем. Такая картина будет наблюдаться в так на-
ЭЛе^пфон.疗ЭЛе^пфон.疗уаи^ЛеЯ^3RK(v^g ^^^^wуаи^ЛеЯ^3RK(v^g ^^^^w719心 ена^еь719心 ена^еьСнс^<с CrrULAfcuioj^J^Снс^<с CrrULAfcuioj^J^Фиг. 297. Сопротивление.Фиг. 297. Сопротивление.
ЭЛе^пфон.疗
ЭЛе^пфон.疗
уаи^ЛеЯ^3RK(v^g ^^^^w
уаи^ЛеЯ^3RK(v^g ^^^^w
719心 ена^еь
719心 ена^еь
Снс^<с CrrULAfcuioj^J^
Снс^<с CrrULAfcuioj^J^
Фиг. 297. Сопротивление.
Фиг. 297. Сопротивление.
зываемых идеальных проводниках. Обычные металлы не являются идеальными в этом смысле. Как правило, под действием постоянной разности потенциалов возникает постоянный ток, т. е. электроны в проводнике движутся с постоянной средней скоростью. Одна из причин этого ——столкновение электронов с примесями в веществе (фиг. 297). Сначала электрон ускоряется, но пройдя некоторое среднее расстояние свободного пробега, сталкивается с примесью и теряет большую часть энергии своего поступательного движения. Затем он снова начинает ускоряться и т. д. В результате электроны движутся с некоторой средней скоростью в направлении силы, обусловленной полем, и при этом появляется некоторый средний ток. Этот вывод согласуется с наблюдениями, что чистые материалы проводят ток лучше, чем те же материалы с примесями.
Пример. Электрический тостер питается током в 10 А. Напряжение в квартире ПО В. Чему равно сопротивление тостера (фиг. 298)?
напряжение = разность потенциалов = ток хсопротивление, сопротивление = ^-^- = 11 Ом.(2°・7)
Если этот тостер захватили в Европу и случайно включили в сеть с на
пряжением 220 В, то спрашивается: какой ток будет течь в этом случае?
(20.8)(20.8)— напряжение — 220 В —сопротивление 11 Ом
(20.8)
(20.8)
В результате ломтик хлеба поджарится значительно быстрее.
МАГНИТНЫЕ СИЛЫ
«Первые опыты по вопросу, рассматриваемому в настоящем труде, связаны с лекциями об электричестве, гальванизме и магнетизме, читанными мною прошедшей зимой» [1].
В ту зиму 1819——1820 гг. электричеством называли силы, действующие между неподвижными зарядами (закон Кулона). К гальванизму же относились те явления, которые наблюдались при движении зарядов, т. е. при наличии тока, а к магнетизму — явления, связанные с такими загадочными предметами, как магниты и стрелки компасов, находящиеся в магнитном поле Земли. Все три вида явлений -считались самостоятельными; хотя многие чувствовали, что между ними должна существовать некая связь, обнаружить ее никому не удавалось. В ту зиму Эрстед занимался тем, что пропускал гальванический ток по проводу, расположенному параллельно небольшой магнитной стрелке, в результате чего он обнаружил (фиг. 299), что:
«В данном случае стрелка изменит свое положение, и полюс, находящийся под той частью соединительной проволоки, которая ближе к отрицательному концу гальванического аппарата п, отклонится к западу» [2].
Мы видели, что силы, действующие между заряженными частицами, являются чисто ньютоновскими. Кулоновская сила не только подчиняется третьему закону, но и совпадает по форме с гравитационной.
и Устройство, создающее разность потенциалов с помощью химических реакций, например батарея.
Если бы на кулоновской силе наука кончалась, то в процессе изучения гравитационных сил можно было бы ограничиться небольшой ссылкой на то, что в некоторых случаях сходные силы действуют и между так называемыми заряженными частицами. Величины этих сил раз- личаются: помимо притяжения возможно отталкивание частиц, но в остальном эти силы неразличимы. Однако наука не кончается на силах Кулона. При дальнейшем изучении
электрических сил обнаруживается столько разнообразных и тонких эффектов, что мы вынуждены не только расширять пределы применимости ньютоновской системы, но в конце концов выйти за ее рамки.
Открытие Эрстеда возвестило о начале активных исследований в этой области; в течение последующих десяти лет Ампер и Фарадей разработали теорию магнитных взаимодействий токов. Эрстеду удалось не только установить эффект воздействия движущегося* заряда, или тока, на магнитную стрелку, но и обнаружить удивительное свой* ство этого эффекта: магнитная стрелка устанавливалась перпендику
лярно направлению движения тока (фиг. 300). Более того, оказалось, что в плоскости, перпендикулярной проводу, направления стрелки образуют замкнутые окружности. Это можно проиллюстрировать с помощью простенького опыта, которым любят забавляться дети в дож* дливые дни. Если насыпать на бумагу мелкие металлические стружки (каждая из которых ведет себя, как маленькая магнитная стрелка), они наглядно передадут конфигурацию поля для различных систем токов (фото 34).
Наиболее удивительная особенность этого открытия, которая отчасти объясняет, почему оно не было сделано ранее, связана с тем, что неподвижный заряд не оказывает никакого воздействия на магнитную стрелку. Чтобы вызвать эффект, который обнаружил Эрстед, необходимо, чтобы заряд пришел в движение. Таким образом, мы впервые встречаемся с силой, которая оказывается зависящей от движения тел, порождающих ее.
Менее чем через год (2 октября 1820 г.) Ампер опубликовал в журнале «Annals of Chemistry and Physics» работу, в которой он установил, что два токонесущих провода взаимодействуют друг с другом. Он
обнаружил, что два провода, по которым текут токи в одном направлении, притягиваются, а два провода, по которым токи текут в противоположные стороны, отталкиваются. Казалось, что эти новые силы существенно отличались от электрических, так как они не зависели от
卜 г~Т
U/Фиг. 301. Длинный провод, по которому
щIтечет ток 厶,притягивает провод длины /2,
工I I ' F 1по которому течет ток /2.
величины нескомпенсированного заряда в проводах. Если имеется очень длинный токонесущий провод и параллельно ему расположен второй провод, как показано на фиг. 301, то первт й провод будет притягивать второй, если ток в последнем течет в том ,же направлении, что и в первом, и, будет отталкивать, если направление тока противоположное. Величина силы зависит от расстояния между проводами, от токов в проводах и от длины второго провода; в системе СГС выражение для силы имеет вид
尸= (величина). (20.9)
Здесь /1 — ток в первом проводе, /2 — ток во втором проводе, / — длина второго провода и г — расстояние между проводами. Буква с, стоящая в знаменателе (20.9), обозначает постоянную:
с-2,997.... 1010 см/с. (20.10)
Она имеет размерность скорости, и сейчас мы знаем, что ее величина совпадает со скоростью света1}.
Чтобы дать представление о величине силы, которая действует между проводами, положим, что длина второго провода 1 см, отстоит он от первого на расстоянии тоже 1 см, а токи в проводах равны 10 А.
1)Ответ на вопрос: «Почему собственно в знаменателе стоит значение скорости света?» (это не единственное выражение, куда входит скорость света; мы уридим позже, что она появляется во многих уравнениях, описывающих электрические и магн т- ные явления) будет указан при изучении электромагнитной теорит света. Когда впервые было получено это соотношение, в него не входила скорость света. Просто в результате измерений токов в двух проводах и расстояния между ними было найдено, что величина силы удовлетворяет соотношению
尸=const.厶产.
Значение постоянной зависит от используемой системы единиц. В системе СГС (которая, кстати, не использовалась при выводе этого соотношения) ее значение равно примерно
2 с2
Ю20 см2*
Значительно позже (как мы увидим) ее отождествили с величиной 2/(скорость света)2.
Таблица 10
Величина
СГС
МКС
Соотношение
Электрическая разность потенциалов
Ток
Магнитное поле 】)
/эл. ст. ед.\ статвольт
\см丿
/эл. ст. ед. \
статампер 1丿
гаусс
вольт
ампер тесла
в 1 вольте 1/299,8 статвольта
в 1 ампере 2,998» 109 статамперов
в 1 тесле 104 гауссов
(Для перевода амперов в единицы СГС обратимся к табл. 10: 10 А= =с единиц СГС, т. е. с статампер.) Подставляя эти величины в (20.9), получаем
f=鲁2 = 2 дин. (20.11)
Сила 2 дин не очень велика (порядка двух тысячных грамма), однако измерить ее легко. Для сравнения укажем, например, что если в проводе диаметром 0,1 см нескомпенсирован всего лишь один электрон на каждые 106 атомов, то возникает сила 108 дин (порядка 0,1 т) на каждый сантиметр провода.
Мы могли бы ожидать, что ток окажет силовое воздействие на движущийся заряд. Именно так и происходит. Сила, действующая на провод, фактически приложена к движущимся зарядам, создающим ток. Она проявляется как сила, приложенная к проводу. С помощью электронной пушки можно наглядно продемонстрировать силу, с которой провод с током действует на пучок заряженных частиц (электро
нов) (фиг. 302). Невооруженным глазом видно, что пучок электронов отклоняется под действием силы, вызванной током, текущим по проводу.
Качественные свойства этой силы оказываются сложными и весьма
1)Автор использует для магнитного поля величины гаусс (СГС) и тесла (МКС), которые, строго говоря, относятся к индукции магнитного поля (В). Напряженность же магнитного поля (") обычно измеряется в эрстедах (СГС) и амперах на метр (МКС). — Прим. ред.
необычными. Рассмотрим провод, по которому течет ток (фиг. 303). Если электрон движется в направлении тока (а), сила отклоняет его от провода; если же он движется против тока (б), сила приближает его в проводу. Если направление движения электрона произвольно относительно провода, действующая сила все равно изменяет это направление; однако в любом случае действующая сила будет перпендикулярна скорости электрона (фиг.304), а ее величина будет прямо пропорциональна этой скорости и обратно пропорциональна расстоянию между проводом и электроном.
а)
力力Фиг. 303.Фиг. 303.
力
力
Фиг. 303.
Фиг. 303.
Таким образом, мы обнаружили силу, которая зависит не только от положения электрона, но и от его скорости и направления движения. Свойства этой силы гораздо сложнее, чем свойства сил, рассмотренных ранее. Для дальнейшего ее изучения удобно ввести понятие магнитного поля.
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ДВИЖУЩИЙСЯ ЗАРЯД
Как и электрическое поле Е, магнитное поле, которое мы будем обозначать буквой В, есть вектор, определенный в каждой точке пространства. Если электрическое поле определено, всегда можно найти величину и направление силы, действующей на электрический заряд в любой точке пространства, умножая пол ев этой точке на величину заряда, расположенного в той же точке. Введение магнитного поля (хотя свойства его несколько сложнее) служит тем же целям. Оказывается, что вместо сложной системы токов, движущихся зарядов и т. п., каждый из которых воздействует на любой другой тдк или движущийся заряд системы, можно ввести единое векторное магнитное поле — этого
достаточно для определения силы, приложенной к любому току или движущемуся заряду. При этом предполагается, что силу, обусловленную действием одного токонесущего провода, можно вектор но складывать с силой, вызванной другим проводом, и что полная сила равна сумме двух сил, как было в случае электростатических или гравитационных сил. В конце концов можно выразить полную силу, приложенную к движущемуся заряду, через электрическое и магнитное поля.
Это можно сделать следующим образом. Рассмотрим сначала заряд q и будем предполагать, что он покоится. Из электростатики мы знаем, что сила, приложенная к нему, выражается через электрическое поле:
F = gE・ (20.12)
Смысл этого уравнения состоит в том, что сила, действующая на заряженную частицу, равна по величине и знаку заряду, умноженному на величину электрического поля, и направлена вдоль электрического поля. Если заряд покоится, то абсолютно безразлично, есть ли вблизи
него провода с токами или нет, так как, согласно экспериментам Эрстеда, Ампера и всем нашим наблюдениям, токи и магниты не оказывают никакого действия на неподвижные заряды.
Теперь предположим, что заряженная частица начинает двигаться. Если вблизи нее расположены токи или магниты, то мы обнаружим, что приложенная к заряду сила больше не равна произведению заряда на электрическое поле; более того, чем быстрее движется заряд, тем значительнее эта сила будет отличаться от силы, действующей на неподвижный заряд. Мы введем предположение, что на заряженную частицу действует дополнительная сила, пропорциональная ее скорости и обусловленная наличием магнитов или токов (фиг. 305). Эта дополнительная сила в сумме с электрической дает полную силу; результат можно представить в следующем виде:
F = qE + £[vxB] (сила Лоренца). (20.13)
Полная сила, приложенная к движущемся заряду, в некоторой точке пространства равна силе, вызванной электрическим полем, плюс другая сила, обусловленная наличием токов и магнитов и полностью характеризующаяся магнитным полем в этой точке. Магнитная сила пропорциональна заряду частицы и скорости частицы, а ее направление сложным образом зависит от направлений движения и магнитного поля. И снова мы с удивлением обнаруживаем, что в выражении для силы
Лоренца фигурирует значение скорости света. Чаще всего магнитные поля измеряются в единицах, принятых в системе СГС и называемых гауссами (гаусс~ зл. ст. ед. заряда/см2) п; в системе МКС единицей магнитного поля служит тесла. Между этими единицами имеется следующее соотношение:
104 Гс = 1 тесла (Тл). (20.14)
Полная сила, действующая на движущийся заряд со стороны электрического и магнитного полей (сила Лоренца), измеряется в динах, если скорость задается в см/с, заряд — в электростатических единицах, магнитное поле—в гауссах, а электрическое поле — в эл. ст. ед. заряда/см2. В выражениях, содержащих токи и магнитные поля, токи следует задавать в статамперах (единицах тока в системе СГС).
Значок [ ] в выражении (20.13) обозначает новый тип произведения, а именно произведение двух векторов (см. приложения, стр. 437). Оно называется внешним, или векторным, произведением двух векторов. По определению результат такого произведения есть вектор, поэтому необходимо указать его величину, знак и направление. Этот вектор перпендикулярен плоскости, образованной исходными двумя векторами. Его величина выражается через величины исходных векторов-в наиболее простой форме, когда эти два вектора взаимно перпендикулярны. Поскольку нас будет интересовать только такой случай, мы ограничимся простым определением (фиг. 306): вектор [vxB] есть вектор, перпендикулярный v и В и равный по величине иВ.
Условились, что этот вектор (в правой системе) смотрит в сторону движения винта с правой резьбой, когда его вращают от v к В (см. приложения, стр. 437), как показано на фиг. 307.
Все, о чем говорилось выше, можно резюмировать следующим образом. Оказывается возможным определить в каждой точке пространства такие электрическое поле Е и магнитное поле В, что сила, приложенная к движущемуся заряду, будет выражаться с помощью формулы Лоренца. Свойства электромагнитной силы гораздо сложнее, чем
1)С помощью уравнения (20.13) можно связать размерности электрического и магнитного полей:
严〜^4vxB],
откуда следует, что размерности Е и В одинаковы (эл. ст. ед. заряда/см2 в системе СГС).
Фиг. 307.Фиг. 307.
Фиг. 307.
Фиг. 307.
свойства рассмотренных ранее сил, так как величина и направление этой силы зависят не только от положения частицы, но и от ее скорости. Однако с точки зрения динамики, где для нахождения ускорения частицы требуется знание лишь действующей на нее силы, можно заключить, что задание Е и В достаточно для описания движения^ заряженной частицы.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Из формулы Лоренпа видно, что для определения электромагнитной силы, действующей на заряженную частицу, необходимо знать как электрическое, так и магнитное поля во всех точках пространства. В электростатике определялись электрические поля по заданным распределениям зарядов. Фактическое нахождение электрического поля по заданным распределениям зарядов может быть сопряжено (за исключением самых простых случаев) с весьма трудоемкими расчетами; мы рассмотрели только простейшие правила вычислений. Однако принцип всех этих расчетов довольно несложен: с помощью закона Кулона определяется сила или поле, вызванные каждым зарядом системы. В магнитостатике занимаются определением магнитных полей, порожденных заданными магнитами или токами. В качестве основного соотношения, эквивалентного закону Кулона в электростатике, служит закон Ампера, который связывает магнитное поле с распределением токов.
Напишем это соотношение для случая небольшого элемента тока (закон Био — Савара). Магнитное поле небольшого отрезка провода длины 厶 по которому течет ток I, определяется формулой
B = iil^l (в системе СГС), (20.15)
где /, г, I представлены на фиг. 308. Вектор магнитного поля в этой формуле выражается через векторное произведение двух векторов. Он перпендикулярен как элементу тока, так и прямой, соединяющей этот элемент с точкой пространства, в которой определяется магнитное поле. Выписанное соотношение довольно сложно. При определении
магнитного поля следует учитывать направление элемента тока. Если имеется много таких элементов, образующих, например, провод, то
ггФ и г. 308.ВФ и г. 308.В
г
г
Ф и г. 308.
В
Ф и г. 308.
В
полное поле в какой-то точке будет равно сумме полей, возбужденных каждым элементом тока.
Закон Био ——Савара, или любое другое эквивалентное ему соотношение, используется в магнитостатике для вычисления магнитных полей произвольных токовых систем, подобно тому как в электростатике использовался закон Кулона для расчета электрических полей по заданному распределению зарядов. Принципиальный подход остается прежним, однако непосредственное применение закона Био ——Савара к токовым системам оказывается весьма сложным. Мы выпишем магнитные поля для немногих простых и распространенных систем токов. Некоторые качественные свойства полей, например их направление, могут быть получены относительно просто; однако точные величины полей вычислить весьма сложно, поэтому в дальнейшем мы не будем касаться методов, с помощью которых эти величины получаются.
Простейшим примером токовой системы является ток, текущий по бесконечному прямому проводу. Поле вблизи середины длинного провода мало отличается от поля бесконечного провода. Конфигурацию магнитного поля можно изучить при помощи железных стружек, высыпанных на листок бумаги, который расположен около длинного токонесущего провода. Оказывается, что магнитное поле направлено по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных проводу п.
1)Направление этого поля (в соответствии с ранее введенным правилом) соответствует направлению вращения винта с правой резьбой при движении винта вдоль направления тока.
На расстоянии г от провода (фиг. 309) величина магнитного по;гя равна
(20.16)(20.16)в=*，
(20.16)
(20.16)
где / — ток в проводе, с — скорость света и г — расстояние от провода до той точки, где это поле измеряется. Если смотреть вдоль провода, то картина магнитного поля будет выглядеть так, как показано на фиг. 310, если ток течет от нас. Направление магнитного поля перпендикулярно току и прямой, соединяющей элемент тока с точкой, в которой наблюдается магнитное поле. Разумеется, никакой другой картины, кроме окружностей, мы и не могли получить, ибо окружность —— это единственная кривая, которая всегда нормальна радиусу.
Используя полученное выражение, можно найти силу, которая действует на токонесущий провод, находящийся в магнитном поле. Be-
личина поля, возбужденного очень длинным токонесущим проводом, определяется по формуле
8 = ^"整(величина).(20.17)
Но из закона Ампера следует, что сила, действующая со стороны такого провода на другой провод длины 厶，расположенный на расстоянии г от первого, равна (фиг. 311) '
(20.18)(20.18)尸=2/1/2/2 — 2/1 厶％一 c2r — гс с
(20.18)
(20.18)
Следовательно, эта сила равна произведению магнитного поля длинного провода на величину I乩Jc (фиг. 311), т. е.
F = B-^ (величина).F = B-^ (величина).(20.19)(20.19)
F = B-^ (величина).
F = B-^ (величина).
(20.19)
(20.19)
На фото 34 была показана конфигурация магнитного поля в случае петли с током, вроде той, что изображена здесь (фиг. 312). Мы сможем понять получающуюся картину, если рассмотрим поля, которые возбуждаются отдельными пол уокр ужностями петли, считая, что каждая из этих полуокружностей является частью длинного прямого провода
(фиг. 313). В центре петли оба поля имеют компоненты, направленные вверх, боковые же компоненты взаимно уничтожаются (принцип суперпозиции справедлив не только для электрических, но и для маг-
и г.и г.312.312.Фиг. 313.Фиг. 313.
и г.
и г.
312.
312.
Фиг. 313.
Фиг. 313.
нитных полей, так как оба эти поля ——векторы). В результате магнитное поле в центре «выпрямляется» и общая картина принимаег вид, изображенный на фиг. 314.
Фиг.Фиг.Фиг* 315.Фиг* 315.
Фиг.
Фиг.
Фиг* 315.
Фиг* 315.
Соленоид (фиг. 315) состоит из большого числа токовых колец, намотанных иногда на катушку. Векторно складывая поля, возбужденные каждой петлей, можно определить поле в соленоиде (фиг. 316). Соленоид, внутри которого магнитное поле сравнительно однородно, часто используется при проведении экспериментов, где требуется постоянное и контролируемое магнитное поле. Величина поля внутри бесконечно длинного соленоида определяется из выражения
где I — ток в единицах СГС, N —
Фиг. 316.число витков на сантиметр длины
и с — вездесущая скорость света. Поле внутри катушки длиной 10 см и диаметром 2 см отличается от поля внутри бесконечно длинного соленоида всего на 2%. Если длина катушки возрастет до 50 см, ошибка окажется меньше 0,1 %•
НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ
Подводя итоги сказанному, следует считать установленным существование зарядов и то, что эти заряды воздействуют друг на друга с силой, зависящей как от положения зарядов, так и от их относительного движения, правда в более сложной форме. Мы ввели два вспомогательных понятия, облегчающих вычисление силы, а именно электрическое и магнитное поля, и постулировали, что электрическое поле можно найти, зная распределение зарядов, а магнитное поле — зная распределение токов. Сила, действующая на любую заряженную частицу, определяется из выражения
F = gE + ^[vxB]. (20.21)
Хотя сила Лоренца имеет более сложную структуру, чем те ньютоновские силы, о которых мы говорили раньше (поскольку она зависит не только от положения частицы, но и от ее скорости),耳се предыдущее рассмотрение было чисто ньютоновским. Наиболее отчетливо это иллюстрируют методы, с помощью которых были открыты силы, действующие на заряженные частицы. Наличие электрических сил обнаруживается по тому, что мелкие предметы, натертые соответствующим образом, движутся к другим предметам, которые также были натерты соответствующим образом. Мы наблюдаем движение и отсюда заключаем, что на тела действуют силы.
Когда Кулон измерял величину силы, действующей между двумя заряженными частицами, он пользовался весами, уравновешивая действие электрической силы действием механической силы, величину которой он знал заранее. Далее он использовал закон инерции: когда тело движется равномерно или находится в покое, сумма приложенных к нему сил равна нулю. При этом подразумевается, что электрическая сила является такой же силой, как механическая, и что ее можно вектор но складывать с механическими силами.
Затем было принято, что полная сила, приложенная к телу, составляется из суммы электромагнитной и механической сил и равна произведению массы тела на его ускорение. Нам удалось свести электрическую силу к классу обычных сил, так как мы решили считать равномерное движение по инерции естественным движением в нашей теории. Зависимость силы от скорости является ее второстепенным свойством. Ибо, когда мы рассматриваем движение заряженных тел в присутствии других заряженных тел или токов, мы в конце концов стремимся рассчитать траектории этих заряженных тел, используя второй закон Ньютона и предварительно вычислив силу Лоренца по найденным электрическим и магнитным пйлям. Ранее мы привели такой расчет в случае планетарной системы заряженных частиц и в случае движения заряженной частицы в однородном электрическом поле.
Рассмотрим теперь движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Соответствующий расчет не только очень полезен сам
по себе, но и служит иллюстрацией того, как обращаться с силой, зависящей от скорости, силой, величина и направление которой определяются скоростью частицы и магнитным полем.
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим частицу массы т, имеющую положительный заряд q и движущуюся в однородном магнитном поле В. Под однородным магнитным полем мы понимаем поле, величина и направление которого постоянны во всем объеме, в котором движется частица. Мы ввели одно неявное упрощение. Нас не интересует вопрос, какое распределение токов вызывает заданное распределение поля. (Практически однородное поле может быть получено внутри соленоида.) Мы просто полагаем, что с помощью какой-то токовой системы нам удалось создать такое поле. В этом состоит одно из упрощений, обусловленных введением понятия поля. В результате все расчеты четко разделяются на два этапа.
На пер80M этапе вычисляется поле по заданному распределению токов.
На втором этапе рассчитывается сила, а затем движение частицы, исходя из заданного распределения поля. Мы предполагаем, что каким-то образом нам удалось в некоторой области пространства создать однородное магнитное поле. Далее мы предполагаем, что в этой области электрическое поле отсутствует (вблизи нет нескомпенсированных зарядов). Тогда сила, испытываемая заряженной частицей в таком однородном магнитном поле, определяется вторым членом в формуле Лоренца:
(20.22)(20.22)FfvxB].
(20.22)
(20.22)
вввв夕夕Фиг. 318.Фиг. 318.
в
в
в
в
夕
夕
Фиг. 318.
Фиг. 318.
Величина вектора [vXB] в случае, когда v не перпендикулярен В, равна vB sin 0, где 0 — угол между векторами v и В (фиг. 317, а).
Сила Лоренца обращается в нуль, если синус угла между скоростью частицы и магнитным полем равен нулю. Это происходит, когда частица движется параллельно или антипараллельно направлению поля (фиг. 317, б). Если скорость и магнитное поле заданы, то сила макси- мальна, когда sin 9=1, т. е. когда v перпендикулен В, как на фиг. 318; в этом случае
尸 макс = 7^ (величина). (20.23)
Рассматривая частный случай, когда заряженная частица движется перпендикулярно направлению поля (фиг. 319), мы по существу ничего не теряем, но зато все наши вычисления упрощаются. В этом случае величина силы, действующей на движущуюся в магнитном поле положительно заряженную частицу п, равна
(20.24)(20.24)F = ^vB,
(20.24)
(20.24)
а направлена она всегда перпендикулярно скорости, как на фиг. 319. Не проводя никаких вычислений, мы можем сразу же сделать несколько важных качественных выводов, касающихся действия такой силы на заряженную частицу.
••..Фиг. 319. В трехмерном случае картин-
Гку можно сделать наглядной, если изоб
разить магнитное поле выходящим из страницы к читателю, а векторы скорости 计 силы ——в плоскости чертежа (точки —- следы выхода силовых линий).
Сначала рассмотрим следствие из того утверждения, которое мы повторили несколько раз: сила всегда остается перпендикулярной скорости, даже если скорость непрерывно изменяет свое направление. Из определения работы следует, что такая сила не совершает над частицей работы, поэтому кинетическая энергия частицы сохраняется. А следовательно, мы можем заключить, что в отсутствие других сил скорость частицы, движущейся в магнитном поле, не изменяется. Удивительно, но факт! Тем не менее сила действует и вызывает ускорение тела. Это ускорение изменяет направление движения заряженной частицы, но не ее скорость. При таких условиях заряженная частица будет двигаться по.окружности. Мы знаем, что при движении частицы по окружности ее ускорение записывается особенно просто: а=и2/^. В результате получим
F = та,
F = ^vB (величина),(20.25)
“=灭 (величина).
1)Если частица заряжена отрицательно, величина силы остается такой же, а ее направление изменяется на противоположное.
Отсюда
или
mv = ^BR.
(20.26)
(20.27)
^Отсюда видно, что, зная величину магнитного поля (его можно либо вычислить по известному распределению внешнего тока, возбуждающего поле, либо измерить с помощью различных приборов, причем, как правило, для его определения используют оба эти метода), заряд летящей частицы и радиус ее траектории, можно определить ее массу.
Фиг. 320. Положительный заряд или отрицательный?
R=5,65 см и=1()9 см/с массе, 〃т?R=5,65 см и=1()9 см/с массе, 〃т?Пример. Частица движется по окружности радиусом в однородном магнитном поле В=10 Гс со скоростью (фиг. 320). Чему равно отношение заряда частицы к ее
R=5,65 см и=1()9 см/с массе, 〃т?
R=5,65 см и=1()9 см/с массе, 〃т?
Из уравнения (20.27) имеем
3JOio・lO910-5,653JOio・lO910-5,65= 5,3・10" эл. ст. ед./г.= 5,3・10" эл. ст. ед./г.(20.28)(20.28)
3JOio・lO9
10-5,65
3JOio・lO9
10-5,65
= 5,3・10" эл. ст. ед./г.
= 5,3・10" эл. ст. ед./г.
(20.28)
(20.28)
Это число представляет определенный интерес, так как оно характеризует отношение заряда к массе в случае электрона (как мы увидим позже, это отношение впервые нашел Дж. Дж. Томсон).
На фото 35 представлена фотография траектории заряженной частицы, движущейся в магнитном поле. Видимый след образован пузырьками, возникающими в жидком водороде при прохождении заряженной частицы. Если бы заряд частицы изменил знак, а все остальное осталось бы прежним, часгица начала бы «раскручиваться» в другую сторону, так как сила изменила бы свое направление. Такие траектории (треки) постоянно наблюдаются на фотографиях, полученных в пузырьковых камерах или камерах Вильсона при изучении элементарных частиц (фото 36 и 37).
МАГНИТЫ
«Велика слава магнита и янтаря [пишет Гильберт], благодаря упоминаниям о них у ученых. Некоторые философы призывают на помощь магнит, а также янтарь, когда при разъяснении многочисленных тайн чувства обманывают и разум не может идти вперед. Любознательные богословы объясняют божественные тайны, лежащие вне поля человеческих чувств, с помощью магнита и янтаря... и пользуются в своих учениях магнитом в качестве дельфийского меча...» [5].
Фиг. 321.Фиг. 321.
Фиг. 321.
Фиг. 321.
Не можем ли мы, говоря о магнитных силах, попытаться раскрыть тайну магнита? Намагниченная полоска металла или стрелка компаса вызывают такую же картину магнитного поля, как и брусок магнита (эту картину можно наблюдать с помощью железных опилок, фото 38).
Ампер первым предположил, что поля постоянных магнитов вызываются токами, которые хотя и не наблюдаемы, но непрерывно текут внутри намагниченных тел и воз-
буждают магнитное поле, подобное полю соленоида (фиг. 321). Таким образом, с точки зрения Ампера, поведение магнита или стрелки компаса ——действие на расстоянии, которое ощущает каждый, когда держит магнит в руках,— обусловлено взаимодействием двух токов, а именно тем самым взаимодействием, которое наблюдал Ампер в
своей лаборатории. С точки зрения современной науки тоже считается, что поля постоянных магнитов ° вызываются токами, текущими внутри металла. Эти токи могут иметь атомное или молекулярное происхождение, обусловленное, например, орбитальным движением электронов, но в конечном счете они остаются токами.
Ф и г. 322. Магнитные силовые линии в случаях: а) намагниченного стержня; б) соленоида [6].
На фиг. 322 сравниваются магнитные поля соленоида и намагниченного стержня. Условились, что северный и южный полюсы магнита расположены так, как показано на рисунке. Следовательно, если считать, что магнитное поле Земли вызывается током, текущим по поверхности соленоидального ядра, то направление тока должно быть таким,
1)Существуют материалы (в частности, железные сплавы, сталь или, например, сплав алюминия, никеля и кобальта ——альнико), которые намагничиваются, если внести их в магнитное поле. Стрелка из такого материала (предварительно не намагниченная) может использоваться для обнаружения магнитного .поля в каком-нибудь объеме, так как при наличии поля стрелка окажется намагниченной.
как показано на фиг. 323. Мы видим, что южный полюс земного магнита расположен в Арктике (на севере), так как к нему должен притягиваться северный (указывающий) полюс стрелки компаса.
Фиг. 323. Земля как магнит.Фиг. 323. Земля как магнит.
Фиг. 323. Земля как магнит.
Фиг. 323. Земля как магнит.
Если бы существовали так называемые магнитные заряды, они бы притягивались друг к другу или отталкивались с силой, величина которой определялась бы по формуле
尸=const尸=const此必此必(величина).(величина).(20.29)(20.29)
尸=const
尸=const
此必
此必
(величина).
(величина).
(20.29)
(20.29)
Фиг. 325.Фиг. 325.Это выражение сходно с выражениями для кулоновской и гравитационной сил, однако следует помнить, что М±и М2 здесь не являются гравитационными, или инертными, массами, а обозначают количества магнетизма — их можно было бы назвать магнитными массами. Именно такой упрощающей аналогии мы и лишились, когда утверждали, что магнитные поля вызываются токами. Дело, однако, заключается в том, что магнитные заряды никто никогда еще не наблюдал.
Фиг. 325.
Фиг. 325.
Фиг. 324.
Вопрос о том, могут ли они существовать, спорный. (Конечно, если их обнаружат, к ним приспособятся). Но факт остается фактом — магнитные заряды в отличие от электрических никем еще не были обнаружены. Мы наблюдаем магнитные поля, существование которых всегда можно объяснить наличием токов. Не раз уже пытались постулировать существование магнитных зарядов и обнаружить их следы, но такие попытки не увенчались успехом, хотя введение таких зарядов сделало бы уравнения электромагнетизма симметричными.
В результате характер линий магнитного поля существенно отличается от характера линий электрического поля. Если присмотреться
внимательно к приведенным ранее картинам силовых линий, мы обнаружим, что электрические силовые линии всегда начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах (фиг. 324). Магнитные же силовые линии должны быть непрерывными, так как не существует магнитных зарядов, на которых линии могли бы начинаться или оканчиваться. Например, типичная картина магнитных силовых линий для соленоида имеет вид, представленный на фиг. 325.
21
ИНДУКЦИОННЫЕ силы： заряды
И ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ
МАЙКЛ ФАРАДЕЙ: ИНДУКЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТОКОВ
《Он чует правду»,——сказал о Фарадее Кольрауш. Майкл Фарадей, сын кузнеца, учившийся на переплетчика, был волею счастливого случая «открыт» сэром Хэмфри Дэви; злословили, что это было самое крупное открытие Дэви. (Фарадей прослушал курс лекций Дэви в Лондоне, аккуратно записал, дополнил и сам переплел их в книгу, а затем послал эту книгу Дэви с просьбой дать ему любую работу в своей лаборатории. После того как Дэви не удалось отговорить Фарадея, он нанял его. Так начался путь одного из наиболее выдающихся людей в истории науки.)
Переплетчик, не очень глубоко знавший математику, Фарадей был вынужден объяснять свои мысли с помощью картинок, которые особенно раздражали математиков. Но со временем оказалось, что со своими жалкими картинками он превзошел всех математиков своего поколения. Он писал:《К своему спокойствию, я обнаружил, что эксперимент может не бояться математики, а успешно с ней соперничать в процессе открытия». О Фарадее можно сказать, что он смотрел природе в лицо и что его мозг был всегда начеку, так что любые явления, которые он наблюдал в своей лаборатории и которые могли произойти даже случайно, фиксировались с первого раза.
К концу 1820-х годов работами Кулона, Эрстеда и Ампера было установлено, что неподвижные заряды возбуждают электрические поля, а следовательно, и силы, действующие на другие неподвижные заряды, и что движущиеся заряды возбуждают магнитные поля, т. е. силы, действующие на другие движущиеся заряды. Однако, как писал Фарадей,
«...представляется весьма необычным, чтобы, с одной стороны, всякий электрический ток сопровождался магнитным действием
соответствующей интенсивности, направленным под прямым углом к току, и чтобы в то же время в хороших проводниках электричества, помещенных в сферу этого действия, совсем не индуцировался ток, не возникало какое-либо ощутимое действие, эквивалентное по силе такому току》Ш.
Фарадей чувствует отсутствие симметрии, это его и удивляет. Поскольку электричество порождает магнетизм, он надеется, что магнетизм должен каким-то образом вызывать электричество. Он продолжает:
«Эти рассуждения и вытекающая из них как следствие надежда получить электричество при помощи обыкновенного магнетизма в разные времена побуждали меня экспериментально изучить индуктивное действие электрических токов. Недавно я добился положительных результатов, ... которые ... как мне кажется... сыграют... большую роль в некоторых наиболее важных действиях электрических токов» [2].
Вероятно, чтобы лучше оценить те практические применения, которые вытекают из связи между магнетизмом и электричеством и которые лежат в основе всей нашей современной промышленности, следует вспомнить, что во времена Фарадея единственными источниками электрического тока были либо механические накопители зарядов, работающие на трении, либо разного рода батареи. Для получения же постоянного тока существовал только один доступный источник — батарея. Именно с помощью батарей Ампер, Фарадей и другие получали свои гальванические токи. Но батареи тех времен, как и все остальное, были гораздо менее эффективными, чем современные батареи. Ясно, что открытие нового способа получения электрического тока должно было иметь огромное практическое значение.
Сначала Фарадей попытался обнаружить, не вызывает ли ток в одном проводе ток в другом близлежащем проводе. Он рассуждал так: ток возбуждает магнитное поле, тогда, если поместить в это магнитное поле другой провод, в последнем может возбудиться ток. Он сконструировал проволочные катушки, наматывая две спирали одну на другую так, чтобы эти спирали находились очень близко друг к другу, но были электрически разъединены с помощью какого-нибудь изолятора, например бумаги. Идея состояла в следующем: пропускать ток через одну из спиралей и одновременно проверять, не течет ли ток через вторую спираль, изолированную от первой. (Такую проверку можно осуществлять, наблюдая, например, за отклонением магнитной стрелки, помещенной на достаточно большом расстоянии от первого тока, чтобы он не оказывал на стрелку ощутимого воздействия.)
Фарадей был огорчен, когда установил, что ток в одном проводе не возбуждает никакого заметного тока в близлежащем втором проводе. Он соединил одну из своих спиралей с чувствительным гальванометром (прибор для регистрации тока), а другую — «с хорошо заряженной гальванической батареей из десяти пар пластин в четыре квадратных
дюйма каждая, причем медные пластины были двойные; однако,—— пишет Фарадей,— не удалось наблюдать ни малейшего отклонения стрелки гальванометра» [3].
Однако затем, работая с медным проводом длиной в 203 фута, намотанным на большой деревянный барабан, и поместив между витками другой такой же провод длиной в 203 фута, изолированный от первого с помощью диэлектрика («металлический контакт был везде устранен посредством шнурка»), Фарадей соединил одну из спиралей с хорошо заряженной батареей из ста пар пластин в четыре квадратных дюйма с двойными медными пластинами, а другую ——с гальванометром. Результат поразил Фарадея. Он писал: «При замыкании контакта наблюдалось внезапное, но очень слабое действие на гальванометр, и подобное же слабое действие имело место при размыкании контакта с батареей» [4]. Но когда ток устанавливался, эффект исчезал.
Гальванометр в принципе состоит из магнитной стрелки и одного или нескольких витков провода, по которому может протекать ток. Если в витках течет ток, он создает магнитное поле, которое отклоняет стрелку (фиг. 326). Поскольку во второй спирали Фарадея ток протекал только во время замыкания или размыкания цепи, Фарадей наблюдал лишь «внезапное, но очень слабое действие на гальванометр».
7nBe7nBe
7nBe
7nBe
Фиг. 326.
Далее Фарадей осуществил поразительный опыт, заменив гальванометр размагниченной железной стрелкой, которую он поместил внутрь соленоида, образованного второй спиралью. Когда через соленоид протекал ток, он возбуждал магнитное поле, которое намагничивало железную стрелку. Так он получил новое надежное средство для обнаружения тока вместо мгновенного отклонения стрелки гальванометра. Более того, он смог доказать, что в момент замыкания цепи ток во второй спирали протекал в противоположном направлении, так как магнитное поле стрелки оказалось противоположной полярности (направление от северного к южному полюсу).
Открытие, совершенное Фарадеем, витало тогда в воздухе. Об этом свидетельствует тот факт, что то же открытие сделал почти одновременно с Фарадеем американский физик Джозеф Генри. Работая со спиралями, мало отличавшимися от спиралей, которые использовал Фарадей, Генри также обнаружил, что его магнитная стрелка отклонялась
в момент замыкания контактов, а затем возвращалась в исходное положение,
«...хотя гальваническое действие батареи, а следовательно, и действие магнитной силы по-прежнему продолжалось. Однако я был чрезвычайно удивлен, обнаружив, что стрелка неожиданно отклонялась от исходного положения, ... когда я вынимал пластины батареи из кислоты, и снова отклонялась к западу, когда я их погружал. Я повторил эту операцию несколько раз и постоянно получал один и тот же результат...»
И почти в то же самое время русский ученый Э. X. Ленц (1804—— 1865), изучавший это явление, открыл и сформулировал принцип, известный теперь под названием правила Ленца (устанавливающий зависимость между направлением тока, наведенного во второй спирали, и направлением скорости изменения тока в первой спирали), который мы обсудим более подробно позже.
Это было волшебное явление. Переменный ток или переменное магнитное поле вызывали ток во вторичной цепи. Когда ток в первичной цепи нарастал (при замыкании контактов) или когда он спадал (при размыкании контактов), во вторичной цепи наблюдался ток. В промежуточный же период, т. е. когда в первичной цепи протекал постоянный ток и его магнитное поле не менялось, никакого тока во вторичной цепи не было. Таким образом, именно переменное магнитное поле вызывало силу, действующую на неподвижный заряд. Фарадей приступил к подробному изучению открытого им явления и начал обследовать все его проявления и все особенности, которые могли бы объяснить электрический эффект переменных магнитных полей.
ЗАКОН ФАРАДЕЯ
Довольно часто случается, что, после того как открыт новый эффект, он обнаруживается во множестве внешне различных проявлений. Электромагнитная индукция, которую Фарадей впервые наблюдал в виде тока, возбуждаемого во вторичной цепи при изменении тока в близлежащих проводах, проявляется также в виде тока, текущего по контуру при изменении магнитного поля, пересекающего этот контур; в виде электрического поля, возбуждаемого в проводе при изменении магнитного поля вблизи провода; в виде электрического поля, возбуждаемого в проводе при перемещении провода в магнитном поле; в виде тока в контуре при вращении контура в постоянном магнитном поле и в виде других явлений, внешне различных, но описывающихся единым качественным выводом: переменные магнитные поля возбуждают электрические поля.
Это известный закон Фарадея. Представим его в следующей форме. Если имеется виток провода, подобный изображенному на фиг. 327, то средняя разность потенциалов между концами витка, умноженная на
временной интервал А/, равна (1/с) X изменение потока магнитного поля через этот виток за время А/ п:
разность электрических потенциаловхвременной интервал =—-X
X(изменение потока магнитного поля через виток). (21.1)
Это соотношение выглядит несколько замысловато, так как в нем ни с того ни с сего появился знак минус, и, кроме того, в него входит
Фиг. 327.Фиг. 327.
Фиг. 327.
Фиг. 327.
новое для нас понятие магнитного потока через виток. Если магнитное поле однородно (постоянно по величине и направлению) и перпендику-
т^сижгишлиииeЛ^сий ”々 &*一 血。〃"tоп^гаск&стит^сижгишлиииeЛ^сий ”々 &*一 血。〃"tоп^гаск&ститом со-стпа^лЛг ет 7t£AO77L 陪兄〃том со-стпа^лЛг ет 7t£AO77L 陪兄〃“UQ/ZH1ctmm 仅 九，衣 穴令*a4〃一</1^/1ЬНЛг П^СГС-“UQ/ZH1ctmm 仅 九，衣 穴令*a4〃一</1^/1ЬНЛг П^СГС-7г〃Я^о=Tzc/^Gtc =匀*九衣阳o^ 与 * n^tcru^a^r = C7г〃Я^о=Tzc/^Gtc =匀*九衣阳o^ 与 * n^tcru^a^r = C
т^сижгишлиии
eЛ^сий ”々 &*一 血。〃"tоп^гаск&сти
т^сижгишлиии
eЛ^сий ”々 &*一 血。〃"tоп^гаск&сти
том со-стпа^лЛг ет 7t£AO77L 陪兄〃
том со-стпа^лЛг ет 7t£AO77L 陪兄〃
“UQ/ZH1ctmm 仅 九，衣 穴令*a4〃一
</1^/1ЬНЛг П^СГС-
“UQ/ZH1ctmm 仅 九，衣 穴令*a4〃一
</1^/1ЬНЛг П^СГС-
7г〃Я^о=Tzc/^Gtc =
匀*九衣阳o^ 与 * n^tcru^a^r = C
7г〃Я^о=Tzc/^Gtc =
匀*九衣阳o^ 与 * n^tcru^a^r = C
")»8)
Фиг. 328 При заданной величине магнитного поля поток через петлю максимален, когда поле нормально плоскости петли (а), и минимален, когда поле параллельно плоскости петли ®.
лярно плоскости витка (простейший случай, фиг. 328, а), то магнитный поток определяется как произведение поля на площадь витка:
магнитный поток (обозначается буквой Ф)=
=8 х (площадь витка).(21.2)
Если магнитное поле однородно, но не перпендикулярно плоскости витка (фиг. 328, б), поток определяется как произведение нормальной
и При стремлении А/ к нулю вместо «средняя» следует, как обычно, говорить «мгновенная».
к витку составляющей магнитного поля на плочп^ вптка. Если величина магнитного поля различна в разных точках площа^ч внтка, магнитный поток определяется следующим образом: плоихадь вннс разбивается на достаточно маленькие площадки, на которых поле можно считать однородным, перемножаются величины этих «однородных полей» на соответствующие малые площади (тем самым определяются потоки через эти площадки) и результаты складываются.
Поток через контур может изменяться по разным причинам. Простейший случай — это когда однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости витка, изменяется по величине. В другом случае поток изменяется, когда виток поворачивается в постоянном магнитном поле. В обоих этих случаях изменение потока возбуждает в ви гке разность электрических потенциалов.
Правило Ленца
Направление тока, возбуждаемого в замкнутом контуре изменяющимся магнитным полем, определяется правилом, установленным в 1834 г. Э. X. Ленцем: ток, наводимый в контуре изменяющимся магнитным потоком через этот контур, течет в направлении, при котором
Фиг. 329.
возбуждается магнитное поле, стремящееся восстановить первоначальный поток через контур. Иными словами, наводимый ток стремится уменьшить изменение потока. Рассмотрим, например, петлю, находящуюся в магнитном поле, которое направлено слева направо и уменьшается по величине (фиг. 329, а). Поскольку поле уменьшается, наводимый в петле ток будет течь в таком направлении, при котором возбуждаемое им магнитное поле будет, как и раньше, направлено слева направо (фиг. 329, 6). Если петля была разомкнута, в ней возбудится разность потенциалов, причем так, как показано на фиг. 330.
Пример /. Допустим, что имеется виток (фиг. 331), площадь которого равна 30 см2, и что магнитное поле, нормальное плоскости витка, однородно и возрастает со скоростью:
普= 1000 Гс/с.(2кЗ)
Тогда разность потенциалов V между концами провода равна
У = ! • 1000 Гс/с-30 см2 =訂顶:不7c * 1000 Fc/c・30 см2 =
=10一6 эл. ст. ед./см3-10~4 В.(21.4)
Спираль состоит из множества витков, и для нее можно считать, что каждый виток независимо от других дает вклад в суммарную площадь.
Так, если однородное магнитное поле В перпендикулярно сечению спирали (фиг. 332), состоящей из N витков, его поток
(21.5)(21.5)(1> = 8%乂(площадь витка),
(21.5)
(21.5)
т. е. он в ^ раз больше потока через один виток. Если площадь витка 30 см2, число витков равно 1000, а магнитное поле, как и раньше, на-т. е. он в ^ раз больше потока через один виток. Если площадь витка 30 см2, число витков равно 1000, а магнитное поле, как и раньше, на-
т. е. он в ^ раз больше потока через один виток. Если площадь витка 30 см2, число витков равно 1000, а магнитное поле, как и раньше, на-
т. е. он в ^ раз больше потока через один виток. Если площадь витка 30 см2, число витков равно 1000, а магнитное поле, как и раньше, на-
Ф и г. 332.
Поэтому ток, наводимый в правой тоже направлено слева направо.
растает со скоростью 1000 Гс/с, то между концами спирали возбудится разность потенциалов в 0,3 В.
Пример 2.В системе, изображенной на фиг. 333, неожиданно размыкают левую цепь. В каком направлении будет течь ток в правой цепи?
Когда левая цепь замкнута, ее ток создает магнитное поле, направленное слева направо. При размыкании цепи это поле уменьшается, цепи, течет так, чтобы его поле было
衣＜2^е我化4r
G и г. 333.
ПРОВОД, ДВИЖУЩИЙСЯ в ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ
В качестве интересной иллюстрации исследуемого явления, тесно связанной с уже изученным ранее п, рассмотрим равномерное движение проводящего провода в однородном магнитном поле (фиг. 334). Мы рассматриваем проводящий провод как канал, в котором могут свободно
「/ аоус Пока^ако*「/ аоус Пока^ако*сила,сила,
「/ аоус Пока^ако*
「/ аоус Пока^ако*
сила,
сила,
Фиг. 334.
перемещаться электроны с зарядом —е и массой т. (Допустим сейчас, что такие объекты действительно существуют.) Тогда, если заставить провод двигаться в магнитном поле перпендикулярно направлению поля, как показано на фиг. 334 (это простейший случай), электроны, вынужденные двигаться вместе с проводом, будут пересекать 8магнитное поле со скоростью и. В
/соответствии с ранее установлен-
£ уным правилом на каждый электрон
будет действовать сила Лоренца
F = ^vB (величина). (21.6)
/В результате электроны будут дви-
Ф и г. 335.гаться вдоль провода до тех пор,
пока они не скопятся на одном из его концов, создавая там избыточный отрицательный заряд, причем на другом конце провода из-за ухода электронов возникнет избыток положительных зарядов (фиг. 335). Избыточные заряды возбудят внутри провода электрическое поле.
Когда электрическое поле станет достаточно большим (т. е. когда на концах провода скопятся достаточно большие заряды), оно скомпенсирует действие магнитного поля, и электроны перестанут двигаться. Это произойдет при выполнении следующего условия:
D Полученный здесь результат вытекает из существования сил взаимодействия между двумя токонесущими проводами, если интерпретировать токи как движущиеся заряды. Поэтому в принципе мы могли бы получить его с помощью соотношений, известных еще до Фарадея. Однако до Фарадея никто не был в состоянии так глубоко понимать суть данного явления.
величина силы, приложеннойх /величина силы, приложеннойк электрону со стороны ) = ( к электрону, который
электрического поля / 'движется в магнитном поле/
(21.7)
eE — ~vB (величина),
или
Е = ~ В (величина).Е = ~ В (величина).(21.8)(21.8)
Е = ~ В (величина).
Е = ~ В (величина).
(21.8)
(21.8)
Электрическое поле имеет такое направление, при котором сила, приложенная к электрону со стороны электрического поля, компенсирует силу, действующую на него в результате движения провода в магнитном поле.
Это электрическое поле, как и любое однородное электрическое поле, приводит к тому, что между концами провода создается разность электрических потенциалов. Величина этой разности (равная работе по перемещению единичного положительного заряда от положительного конца провода до отрицательного) равна произведению величины поля на длину провода, т. е.
разность электрических потенциалов = El==~ Bl. (21.9)
Если бы концы этого провода были каким-то образом подсоединены к электрической цепи (скажем, как на фиг. 336), то по этой цепи
Фиг. 336.Фиг. 336.
Фиг. 336.
Фиг. 336.
протекал бы ток, поскольку разность потенциалов между концами провода ничем не отличается от разности потенциалов между полюсами батареи. Таким образом, движение провода в магнитном поле приводит к появлению в нем электрического поля и (при соответствующем подсоединении) тока.
Рассмотрим это же явление с точки зрения закона Фарадея (фиг.337). Скорость изменения потока равна произведению величины магнитного поля на площадь, пересекаемую проводом за единицу времени:
(21.10)(21.10)△① d а 4 А "必/ A 7九后=8豆=8寸=3"
(21.10)
(21.10)
Следовательно, между концами провода возникает
разность электрических потенциалов = -^ В/.(21.11)
В этом явлении уже содержится в зародыше то, что впоследствии нашло чрезвычайно важное практическое применение. Для того чтобы перемещать провод в магнитном поле, если он подсоединен к какой- нибудь цепи, скажем, как на фиг. 336, к нему требуется приложить силу. (Эту силу можно почувствовать, вращая небольшой ручной генератор, так как именно таким генератором является цепь, изображенная на фиг. 336. Генератор создает разность потенциалов, работая по тому же принципу, что и изображенная на этом рисунке цепь, только его конструкция технически более совершенна. Если мы будем вращать генератор, когда к его выводам ничего не подсоединено, мы будем ощущать небольшое сопротивление, вызванное силами трения. Однако как только к его концам мы подсоединим какой-нибудь электроприбор, мы будем вынуждены прикладывать большее усилие для вращения генератора, так как для перемещения электронов по цепи, например через электрическую лампу, требуется совершить над ними определенную работу.) Энергия, вносимая в систему силой °, которая заставляет провод перемещаться в магнитном поле или поворачивает ручку генератора, проявляется (для реальных систем лишь частично, а для идеальных систем без трения полностью) в виде электрической энергии. Именно благодаря этому явлению мы можем превращать механическую энергию, или энергию турбин, вращающихся под действием пара или падающей воды, в энергию электронов, которую по проводам можно передавать на дальние расстояния.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ
В 1831 г. Фарадей, вращая медный диск между полюсами подковообразного магнита, получил постоянное напряжение между двумя скользящими контактами, один из которых находился на краю диска,
D Именно эта сила совершает работу; магнитная сила, которая всегда направлена перпендикулярно скорости, работу не совершает.
а второй ——на его оси. Напряжение было очень низким и эффективность прибора ——весьма малой. Через год Г. Пиксии удалось возбудить переменный ток вращением проволочной петли в магнитном поле постоянного магнита. При вращении петли проекция ее площади на плоскость, перпендикулярную направлению поля, изменяется от своего максимального значения (полная площадь петли) до нуля (когда плов- кость петли параллельна полю). Так как поток через петлю меняется, на ее концах создается разность потенциалов. Все современные электри-
Ф и г. 338.
ческие генераторы работают на этом принципе п. Мы поясним это сейчас на очень грубой модели, рискуя оскорбить любого, даже неопытного еще инженера.
Представим прямоугольную спираль, каждый из 1000 витков кото 'рой имеет площадь 30 сма, и пусть эта спираль находится в магнитном поле 1000 Гс (фиг. 338). Тогда
Ф = 30 см2/виток1000 Гс-ЮОО витков = 3-107 Гс-см2. (21.12)
Если спираль совершает 3600 оборотов в минуту (60 об/с), то за 1/4 оборота (считая,что в начальный момент плоскости витков были нор^ мальны полю) проходящий через нее магнитный поток изменится от 3-107 Гс-см2 до нуля (для оценки будем полагать, что изменение происходит равномерно, хотя в действительности это не совсем так).
Поскольку спираль поворачивается на 1/4 оборота за 1/240 с, то 嘗=挑=7210宀3呢(21.13)
В результате между выводами 7 н 2 возникает следующая средняя разность потенциалов:
1 А① средняя разность потенциалов =——=
= 0,24 эл. ст. ед./см «^ 72 В. (21.14)
В течение второй четверти оборота поток через катушку изменяется от нуля до 3« 107 Гс^см2 (в противоположном направлении). Среднее на-
D Плазменные установки, в которых тепло превращается непосредственно в электричество» могут в будущем оказаться исключением.
пряжение снова равняется 72 В. На третьей и четвертой четвертях оборота среднее напряжение остается прежним, но его полярность меняется (фиг. 339).
Фиг. 339. Электрический потенциал, возбуждаемый между концами вращающегося в однородном магнитном поле металлического витка.
Если считать (для удобства), что потенциал на конце / равен нулю (земля), то зависимость потенциала на конце 2 относительно земли от угла можно представить в виде графика, изображенного на фиг. 340. Из графика видно, что более высоким потенциалом обладает то один, то другой конец катушки, в результате чего создается так называемое
Фиг. 341.Фиг. 341.
Фиг. 341.
Фиг. 341.
переменное напряжение или переменный ток. Для превращения переменного напряжения в относительно постоянное используются всевозможные приспособления. Одно из них изображено на фиг. 341. Его описание мы опускаем.
22
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ —
УИЛЬЯМУ ТОМСОНУ (ЛОРДУ КЕЛЬВИНУ)
Тринити-Колледж, 28 февраля 1854 а.
«Дорогой Томсон!
Теперь, когда я получил малопочтенную степень бакалавра, я начал думать о чтении. Иногда бывает очень приятно очутиться среди признанных книг, которых ты еще не читал» но должен прочесть. Однако в нас живет сильное стремление возвратиться к физическим вопросам, и некоторые из нас желают взяться за электричество.
Представьте себе человека, который знаком лишь с демонстрационными опытами по электричеству и питает некоторую неприязнь к электричеству Морфи. Что он должен читать и как работать, чтобы получить некоторое представление о предмете, которое окажется ему полезным при дальнейшем чтении?
Как ему читать работы Ампера, Фарадея и К°, когда и в каком порядке ему следует начинать читать Ваши статьи в «Cambridge Journal»?
Если у Вас есть хоть какой-либо ответ на все эти вопросы, трое из нас, получив его, будут расценивать его как совет...» II].
После открытия Фарадея в 1830 г. теория электричества и магнетизма основывалась на следующих положениях.
Электрические заряды вызывают силы, действующие между этими зарядами и описываемые законом Кулона или электрическими полями.
Провода, несущие токи, вызывают силы, действующие между этими проводами и описываемые законом Ампера или магнитными полями.
Магнитные заряды не существуют.
Переменные магнитные поля возбуждают электрические поля — закон Фарадея. 、
Электрический заряд сохраняется: полный заряд в любой области пространства остается неизменным, если в эту область не входят (и из нее не выходят) другие заряды.
Сменилось почти два поколения, прежде чем физики поняли, что эти пять утверждений логически противоречивы.
Этот момент чрезвычайно интересен с точки зрения взаимодействия опыта с теорией. Каждое из пяти утверждений можно сейчас записать в очень компактной математической форме, смысл которой абсолютно очевиден для человека, знакомого с теорией. Ясно, что одна из причин, почему упомянутое противоречие не было сразу же обнаружено, состояла в том, что во времена Фарадея не умели писать такие компактные уравнения. Максвелл, который первым написал уравнения электричества и магнетизма, обнаружил, рассматривая выписанные выше утверждения в качестве постулатов, что они внутренне противоречивы. Подобная ситуация могла бы возникнуть, если бы, например, Евклид из одной теоремы получил, что сумма углов треугольника больше 180°; отсюда он смог бы заключить, что его постулаты внутренне противоречивы и что их следует видоизменить.
Однако мы можем возразить, что все пять утверждений об электричестве и магнетизме были тщательно отобраны из экспериментальных наблюдений. Почему же тогда они противоречат друг другу и как мы можем их изменять? Этот вопрос не остается без ответа (подобные ситуации встречались раньше и, несомненно, встретятся в будущем). Любое наблюдение, экспериментальное или какое-нибудь иное, затрагивает лишь часть того, что доступно из опыта. Написанные же уравнения или правила приобретают общность, выходящую за рамки этого «участия» опыта. В неявной форме они содержат в себе утверждения еще и об опыте, который не подвергался нами проверке, и о явлениях, которые мы не наблюдали. Если же мы хотим видоизменить свои постулаты, не входя при этом в противоречие с опытом, мы должны это сделать так, чтобы те выводы, которые описывают уже наблюдавшиеся явления, остались неизменными; те же выводы из постулатов, которые описывают новые явления, могут после модификации постулатов измениться.
Максвелл, который в отличие от математиков континента, считавших Фарадея простодушным экспериментатором, относился к его трудам как к кладезю премудрости ио электричеству, начал свои исследо-
вания в этой области с попытки представить в математической форме идеи Фарадея, иными словами, с попытки описать строгим языком, понятным для математиков, то, что, как ему представлялось, открыл Фарадей.
«Из моего изложения, надеюсь, будет ясно видно, что я не задаюсь целью установить какую-нибудь физическую теорию в той области науки, в которой я не произвел почти ни одного опыта, а имею намерение только показать, каким образом непосредственным применением идей и методов Фарадея к движению воображаемой жидкости можно наглядно представить все, относящееся к этому движению, а отсюда получить теорию притяжения электрических и магнитных тел и проводимости электрических токов. Теорию электромагнетизма, включающую индукцию электрических токов, которую я вывел математически из некоторых идей Фарадея, я оставляю для будущих сообщений» [2].
Он попытался сформулировать идею Фарадея о силовых линиях в терминах натяжений и напряжений в неком флюиде, заполняющем все пространство,——одной из разновидностей знаменитого эфира. О нем Максвелл писал:
«На эту субстанцию не следует смотреть так же, как на гипотетическую жидкость в смысле, который допускался старыми теориями для объяснения явлений. Она представляет собой исключительно совокупность фиктивных свойств, составленную с целью представить некоторые теоремы чистой математики в форме, более наглядной и с большей легкостью применимой к физическим задачам, чем форма, использующая чисто алгебраические символы» [3].
Далее:
«Я старался ввиду этого представить математические идеи в наглядной форме, пользуясь системами линий или поверхностей, а не употребляя только символы, которые и не особенно пригодны для изложения взглядов Фарадея, и не вполне соответствуют природе объясняемых явлений» [4].
Когда Фарадей прочитал работу Максвелла, он написал:
«Сначала я даже испугался, ... когда увидел такую математическую силу, примененную к вопросу, но потом удивился, видя, что вопрос выдерживает это столь хорошо».
Максвелл отыскал противоречие среди постулатов электромагнетизма в законе Ампера. Если этот закон, записанный в известной тогда
форме, справедлив, он противоречит закону сохранения заряда. Согласно этому закону, магнитные поля возбуждаются только токами, что, вообще говоря, при правильной формулировке может показаться довольно странным. Ибо электрические поля возбуждаются как зарядами, так и (согласно закону Фарадея) переменными магнитными полями. Если стремиться к симметрии, то можно было бы предположить, что и магнитные поля возбуждаются не только токами, но и переменными электрическими полями. Именно эта добавка к закону Ампера позволила Максвеллу устранить противоречие с законом сохранения электричества.
Почему же это явление никто не наблюдал? Ответ прост. То, что добавил Максвелл в закон Ампера, известно теперь под названием тока смещения. Он был слишком мал, чтобы его можно было наблюдать при тех экспериментальных возможностях, которыми располагали лаборатории тех времен,— потому-то его и не заметили. В существовавших в те годы экспериментальных установках по наблюдению магнитных полей действие электрических токов полностью скрывало действие переменных электрических полей.
ЗАКОН АМПЕРА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА
но удоона для наших целей:но удоона для наших целей:Закон Ампера связывает токи с возбуждаемыми этими токами магнитными полями. Существует много форм записи закона Ампера- Почти все они очень громоздки и неудобны, так как токи и магнитные поля — векторы и при написании закона нужно учитывать зависимость полей не только от расстояния до токов, но и от направлений последних. Существует, однако, такая форма записи закона Ампера, которая особен”" она связывает циркуляцию магнитного
но удоона для наших целей:
но удоона для наших целей:
поля по замкнутому контуру (определение циркуляции будет дано ниже) с током, протекающим через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Мы запишем сейчас закон Ампера в такой форме, а затем приведем два примера.
Фиг. 342.Фиг. 342.Представим область пространства, в которой есть магнитное поле, и нарисуем в этой области любую замкнутую кривую (для простоты изобразим окружность, как на фиг. 342). В каждой точке кривой определено магнитное поле В. МЪт поступаем следующим образом: в каждой точке кривой мы берем компоненту В, касательную к кривой в этой точке, умножаем ее на небольшой элемент кривой и складываем все произведения. Тогда, согласно закону Ампера, полученная сумма будет равна произведению 4л/с на полный ток, протекающий через поверхность, ограниченную замкнутой кривой. Итак, в системе СГС
Фиг. 342.
Фиг. 342.
по всей кривойпо всей кривой竺Х( ток, протекающий через любую竺Х( ток, протекающий через любуюс 秋поверхность, ограниченную кривойс 秋поверхность, ограниченную кривой
по всей кривой
по всей кривой
竺Х( ток, протекающий через любую
竺Х( ток, протекающий через любую
с 秋поверхность, ограниченную кривой
с 秋поверхность, ограниченную кривой
закон Ампера можно записать в следующем виде п:
2 8…(А/) = Е・ а др Ь2 8…(А/) = Е・ а др Ь(22.2)(22.2)
2 8…(А/) = Е・ а др Ь
2 8…(А/) = Е・ а др Ь
(22.2)
(22.2)
Таким образом, вместо соотношения между вектором поля в какой- то точке пространства и током в другой точке мы получили выражение, связывающее циркуляцию магнитного поля по замкнутому контуру с полным током, проходящим через поверхность, ограниченную этим контуром. Подчеркнем очень важный момент: циркуляция поля по замкнутому контуру, согласно закону Ампера, равна току, проходящему через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Скоро мы оценим важность этого замечания.
Фиг. 343.
Применим полученную формулу в двух случаях, простых в математическом отношении. Сначала рассмотрим прямоугольный контур abed, расположенный параллельно однородному во всем пространстве магнитному полю (фиг. 343). Вдоль стороны ab прямоугольника касательная составляющая В равна величине В, так как qb н В параллельны между собой. Поэтому вдоль этой стороны сумма равна произведению В на длину ob, которую мы обозначим через /:
2 Вкасат (А/)=。・ 匕до с2 Вкасат (А/)=。・ 匕до с(22.3)(22.3)
2 Вкасат (А/)=。・ 匕до с
2 Вкасат (А/)=。・ 匕до с
(22.3)
(22.3)
Вдоль стороны Ьс величина Вкаеат равна нулю, так как магнитное поле перпендикулярно этой стороне. Поэтому вдоль нее сумма обращается в нуль:
Вдоль стороны cd Вкасат антипараллельна направлению контура, так как мы движемся от с к d, а магнитное поле направлено от d к с. Поэтому
D Как и в определении работы, произведение Вкасат (AZ) считается положительным, если ”асат и △/ направлены в одну сторону, и отрицательным, если Вкасат и А/ направлены в противоположные стороны.
вдоль нее сумма равна — В/:
S Вкасат(А/)=—В/・(22.4)
от с d
И наконец, вдоль d〃 величина Вкасат снова равна нулю и
£%асат(А/)=0・(22.5)
от d до а
Следовательно, сумма вдоль всего контура
2 Вкасат (А/)=跳 + (-瓦)=0・(22.6)
по всему контуру
Отсюда мы можем заключить, что ток, протекающий нерез любую поверхность, ограниченную этим прямоугольником, должен равняться нулю (этот результат остается справедливым и для контура произвольной формы),
5
г/ \
/ 丨、 Фиг. 344.
В качестве второго примера рассмотрим магнитное поле бесконечно длинного однородного прямого провода. В этом случае магнитное поле всегда касательно окружности, центр которой находится на проводе (фиг. 344). Поскольку касательная составляющая магнитного поля в любой точке окружности равна величине поля, мы получим
2 Вкасат (А/) = 8 义(длина окружности) = В (2лг).(22.7)
по всему контуру
Согласно закону Ампера, эта величина равна произведению 4n/с на ток, протекающий по проводу:
В(2лг) = ^/,(22.8)
откуда для величины поля имеем
В = *(22.9)
что совпадает с ранее полученным выражением.
То, что такая форма записи закона Ампера оказывается очень удобной для вычисления магнитных полей некоторых симметричных токовых систем, для нас не очень существенно. Наше внимание привлекает тот факт, что при такой записи связывается циркуляция поля
Ф и г. 347.Ф и г. 347.2 I2 Iтиолатиола
Ф и г. 347.
Ф и г. 347.
2 I
2 I
тиола
тиола
вдоль замкнутого контура с током, протекающим через совершенно произвольную поверхность, ограниченную этим контуром. Это означает, что токи, текущие через разные поверхности, но ограниченные одним и тем же контуром, равны между собой. Покажем это, снова обратив-
Фиг. 345.
шись к только что рассмотренной задаче о магнитном поле вокруг провода.
Изобразим две поверхности, каждая из которых ограничена одним и тем же контуром (фиг. 345). Более нагляден вид сбоку, как показано на фиг. 346. Эти две поверхности (поверхность / и поверхность 2) ог-
Ф и г. 346.
раничивают некий объем. Из закона Ампера следует, что ток, входящий через поверхность /, равен току, выходящему через поверхность 2.
Теперь нам становится ясной связь между законом Ампера и законом сохранения заряда, ибо последнее утверждение может быть справедливым только в том случае, если количество заряда, втекающего
в объем, ограниченный поверхностями / и 2, равно количеству заряда, вытекающего из этого объема. Иными словами, если полный заряд в объеме сохраняется, количество втекающего в объем заряда должно равняться количеству вытекающего из него заряда при условии, что заряды не возникают и не исчезают внутри объема.
Представим, однако, что вместо бесконечно длинного провода мы имеем дело с проводом, подсоединенным к шару, на котором накоплен заряд (фиг. 347). В этом случае, вычисляя циркуляцию магнитного поля вдоль контура, ограничивающего поверхности / и 2, мы получаем величину, мало чем отличающуюся от циркуляции магнитного
поля вокруг бесконечно длинного провода. (Для нас не очень существенно, точно или не совсем точно они равны друг другу. В принципе мы могли бы приблизиться к величине циркуляции вокруг бесконечно длинного провода с любой желаемой точностью.) Ток, проходящий через поверхность 2, есть просто ток, текущий по проводу. Через поверхность /, однако, ток не течет. (Собственно говоря, именно этим мы и руководствовались, выбирая поверхность /.) Причина этого ясна. Ток возникает из-за потока зарядов от положительно заряженного шара к отрицательно заряженному, поэтому в объеме, ограниченном поверхностями / и 2, полный заряд уменьшается. Здесь мы столкнулись со случаем, когда заряд сохраняется, а ток в цепи не является непрерывным. Закон же Ампера в той форме, как мы его написали, требует, чтобы ток был непрерывным, т. е. чтобы через поверхность 7 тоже протекал ток.
Именно на этом пункте сосредоточил свое внимание Максвелл. Он писал:
«Я пытаюсь найти точное математическое выражение всему, что известно об электромагнетизме, без помощи каких-либо гипотез и установить, какие видоизменения формулы Ампера возможны, не противоречащие его выражениям» [5].
Рассмотренный выше случай существенно отличается от тех явлений, с которыми имел дело Ампер в своей лаборатории. Ампер измерял силу, с которой действует один провод на другой, когда по ним протекают постоянные токи. В рассмотренном же примере ток не будет постоянным. Заряд будет перетекать от одного шара к другому, а затем обратно, и его движение будет напоминать движение маятника, качающегося из стороны в сторону. Максвелл прекрасно понимал это различие. Он писал:
«Однако следует помнить, что мы не имеем возможности производить опыты над отдельными элементами тока, а производим их всегда только с замкнутыми токами в твердых или жидких проводниках; следовательно, из таких опытов мы можем выводить законы взаимодействий лишь замкнутых токов» [6].
Он понял, что закон Ампера был получен для замкнутых токов, и поставил вопрос о том, что произойдет, если ток будет незамкнутым. Описывая фарадеево так называемое «электротоническое состояние», Максвелл использует «уравнение неразрывности для замкнутых токов» и пишет:
«Поэтому наше исследование ограничивается пока замкнутыми токами, и мы мало знаем о намагничивающем действии незамкнутых токов» [7].
Сейчас мы, конечно, могли бы уверенно утверждать, выяснив противоречие в исходных постулатах теории, что закон Ампера применим только в случае постоянных и замкнутых токов. Однако без того на-
глядного анализа, который был проведен нами выше, мы вряд ли бы стали сомневаться в том, что закон Ампера в форме, данной самим Ампером, справедлив как в случае замкнутых, так и незамкнутых токов. Как правило, постулаты, которые мы выдвигаем, обладают гораздо большей общностью, чем тот опыт, из которого эти постулаты отбираются, при этом считается естественным применять их даже в условиях, в которых прямые опыты еще не ставились. Гениальное предвидение
Фиг. 348.Фиг. 348.как раз и состоит в том, чтобы увидеть, где именно мы заходим в этом слишком далеко.
Фиг. 348.
Фиг. 348.
Максвелл предположил, что в закон Ампера следует добавить еще один член, который играет существенную роль, лишь когда токи изменяются очень быстро. Этот член, названный Максвеллом током смещения и исчезающий при тех условиях, при которых Ампер проводил свои измерения, устраняет противоречие между законом Ампера и за-
коном сохранения заряда, приводя уравнения электричества и магнетизма к симметричному виду, ибо этот член описывает возникновение магнитного поля под действием переменного электрического поля. Пройдя через руки Максвелла, закон Ампера принял следующий вид:
У 必асат (А/) = & / + 丄 X ( скорость изменения ) . (22.10) /касат \ ， с ' с к электрического потока丿
по всему контуру
Электрический поток определяется точно так же, как и магнитный поток, за исключением того, что вместо В надо брать Е. В простейшем случае, когда электрическое поле однородно и нормально площадке, электрический поток равен просто произведению величины поля на соответствующую площадь (фиг. 348).
Об этом токе смещения Максвелл писал:
«Проводящее тело может быть сравнено с пористой мембраной, которая представляет большее или меньшее сопротивление прохождению жидкости, диэлектрик же похож на упругую мембрану, которая непроницаема для жидкости, но передает давление от жидкости, находящейся на одной ее стороне, жидкости, находящейся на другой стороне... Мы можем полагать, что в диэлектрике, находящемся под действием индукции, электричество в каждой молекуле смещено так, что одна сторона молекулы становится наэлектризованной положительно, а другая отрицательно, но что электричество остается полностью связанным с молекулой и не переходит от одной молекулы к другой... тогда естественно приходит на ум аналогия упругого тела, усту-
пающего давлению и затем принимающего первоначальную форму, после того как давление устранено» [8].
Вероятно, впервые Максвелл ввел понятие тока смещения в части 3 своей работы «О физических силовых линиях», опубликованной в ян。 варском и февральском выпусках за 1862 г. журнала «Philosophical Magazine». В Предложении XIV, озаглавленном «Видоизменить уравнение электрических токов, учитывая действие, обусловленное упругостью среды», Максвелл утверждает, что «изменение смещения эквивалентно току, следовательно, этот ток должен быть принят во внимание...» [9]. Часто события, которые позднее оцениваются как поворотные пункты истории, не осознаются полностью в моменты их свершения (так, катастрофа в Сиракузах, приведшая к падению Афин, была вызвана пьяной оргией и разрушением нескольких статуй).
Максвелловская модификация закона Ампера привела к тому, что уравнения электромагнетизма стали непротиворечивыми. Ибо, даже если ток, протекающий через поверхность, равен нулю, циркуляция касательной составляющей магнитного поля по замкнутому контуру может не обращаться в нуль при условии, что поверхность пересекает переменное электрическое поле, как, например, в случае поверхности / на фиг. 347. Хотя через эту поверхность ток не течет, ее пересекает переменное электрическое поле, возбуждаемое при выходе положительного заряда из шара. Подробности этого явления обсуждаются ниже.
Через поверхность / (фиг. 349) ток не течет; тогда с учетом максвелловского тока смещения закон Ампера для этой поверхности можно за
писать в следующем виде:
£ 5s(М=4•"吧曙山咏.(22.11)
по всему контуру
Величина потока электрического поля через сферическую поверхность / дается выражением
(электрическое поле) х (площадь поверхности)=
= %・4nR2 = 4jiQ(22.12)
(мы можем пренебречь различием между площадью поверхности / и площадью сферы).
Тогда величина скорости изменения электрического потока, пересекающего поверхность 1, умноженная на 1/с, равна
что совпадает с величинойчто совпадает с величиной4л AQ4冗4л AQ4冗(22.13)
что совпадает с величиной
что совпадает с величиной
4л AQ
4冗
4л AQ
4冗
(22.14)
Фиг. 350.Фиг. 350.лл/ ок.лл/ ок.где / ——ток в проводе (заряд, выходящий из шара, протекает по проводу). Поэтому мы можем утверждать, что «ток смещения» [определяе
Фиг. 350.
Фиг. 350.
лл/ ок.
лл/ ок.
мый как (1/4л)Х (скорость изменения электрического потока)], протекающий через поверхность /, равен «току проводимости», проходящему через поверхность 2 (фиг. 350).
В то же время
£%асат(А/) = 8(2М)(22.15)
по всему контуру
(расчет этой величины такой же, как и в предыдущем примере). Поэтому мы снова имеем для величины В:
А 2/ — 2 1 Д(электрический поток)〔《、
a=试=遗麻友・V ]°)
Структура уравнения (22.10) такова, что, вычислив изменение электрического поля при вытекании заряда из шара, можно установить, «что величина (1/с) X (скорость изменения электрического потока) совпадает с величиной (4н/с)Х (ток, вытекающий с другой стороны через поверхность 2)》——это одна из причин, почему Максвелл назвал введенный им член током смещения. Уравнения электромагнетизма стали симметричными: из закона Фарадея следует, что переменное магнитное поле порождает электрическое поле, а теперь, после введения Максвеллом тока смещения, можно утверждать, что и переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле.
По различным чисто техническим причинам эффекты тока смещения очень трудно наблюдать, пока скорость изменения полей не становится очень большой; понадобилось 20 лет, прежде чем Герцу, уже после смерти Максвелла, удалось получить первое экспериментальное подтверждение теории Максвелла 1}.
1)За семь лет до Герца Д. Е. Юз демонстрировал распространение электромагнитных волн в воздухе перед аудиторией, в которой находился известный физик
После работ Максвелла стало возможным сформулировать уравнения для электрических и магнитных полей в виде, эквивалентном следующим шести утверждениям.
Электрическое поле, соответствующее какому-либо распределению заряда, определяется из закона Кулона.
Магнитные заряды не существуют.
Закон Фарадея: переменное магнитное поле возбуждает электрическое поле.
Закон Ампера, подправленный Максвеллом: магнитное поле возбуждается токами и переменными электрическими полями.
0. Заряд сохраняется.
Электрическое и магнитное поля действуют на заряды с силой, определяемой формулой Лоренца.
Вовсе не стремясь к тому, чтобы дать исчерпывающую информацию, а скорее для того, чтобы удовлетворить естественное любопытство, выпиш,ем уравнения электродинамики в том виде, в каком они используются физиками в настоящее время. Мы сделаем это без объяснения обозначений, просто чтобы показать, как компактно записывается все, что мы знаем об электрических и магнитных силах, об электрических и магнитных полях и обо всех электрических и магнитных явлениях п:
V・E = 4np (закон Кулона),
V・B = 0 (магнитные заряды не существуют),
[VxE]= —у ^ (закон Фарадея),
Уравнения I . rv v i -4- —— (закон Ампера, подправ- Максвелла | ' Lс ' с dt ленный Максвеллом),
O)V・j+警=0 (сохранение заряда), 5) F = gE + g 住хВ (сила Лоренца).
Утверждение (0), т. е. закон сохранения заряда, уже не является независимым. Оно следует из (1) и (4). Таким образом, теория электро-
Стокс. Однако по некоторым причинам аудитория сочла, что демонстрируемое явление связано лишь с электромагнитной индукцией (законом Фарадея), и Юз, безусловно обескураженный этим решением, опубликовал свои результаты только в 1899 г., т. е. через 12 лет после Герца. «Не who hesitates is lost» (английская поговорка, буквально означающая: 《Кто сомневается, тот теряет»).
1)Среди физиков ходит забавная история про маститого ученого-математика, который случайно оказался на защите диссертации по физике. Увидев на доске среди прочих формул уравнения Максвелла, он страшно ими заинтересовался, после защиты подошел к диссертанту и сказал: «Какие красивые уравнения! Неужели вы сами их придумали?» — Прим. ред.
магнетизма основывается на пяти постулатах: утверждения (1), (2), (3) и (4) характеризуют электрические и магнитные поля, возбуждаемые зарядами и токами, а (5)——силы, с которыми действуют эти поля на движущиеся или неподвижные заряды.
В своих более ранних работах Максвелл развивал электромагнитную теорию с помощью наглядных механических моделей, интерпретируя различные электрические явления как напряжения, натяжения и вихри в упругой среде. Он писал:
«Я намереваюсь теперь рассмотреть магнитные явления с механической точки зрения и исследовать, какие напряжения или движения среды способны вызвать наблюдаемые явления. Если при помощи этой же гипотезы мы могли бы связать явления маг- нитйого притяжения с электромагнитными явлениями и с явлениями индуцированных токов, то в этом случае мы нашли бы теорию, может быть даже и неправильную, однако ложность которой могла бы быть доказана только при помощи экспериментов, значительно расширяющих наши познания в этой области физики» [10].
Но одни только вихри существовать не могли, ибо сразу же возникал вопрос: каким образом эти вихри могут существовать, соприкасаясь друг с другом и одновременно вращаясь в одном направлении? Чтобы решить эту проблему, Максвелл ввел между вихрями своего рода «шестерни холостого хода»:
«Вихри разделены слоем частиц, вращающихся каждая вокруг собственной оси в направлении, противоположном направлению вихрей, так что соприкасающиеся поверхности частиц и вихрей имеют одно и то же направление движения» [11].
Вероятно, это была одна из наиболее сложных моделей, когда-либо предложенных в науке. Однако позднее Максвелл пояснил, что его теория фактически не зависит от какой-либо механической интерпретации:
«Я имел уже прежде случай попытаться описать особый вид движения и особый вид напряжения, приспособленных для объяснения этих явлений. В настоящем докладе я избегаю какой-либо гипотезы такого рода и, пользуясь такими словами, как «электромагнитное количество движения» и «электрическая упругость» в отношении известных явлений индукции токов и поляризации диэлектриков, я хочу только направить мысль читателя на механические явления, которые могут помочь ему понять электрические явления. Все подобные выражения в настоящей статье должны рассматриваться как иллюстративные, а не как объясняющие» [12].
Как позднее сказал Герц: «Главное в теории Максвелла — это уравнения Максвелла».
23
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
СВЕТ КАК ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА
В случае постоянных токов или распределений зарядов, медленно меняющихся со временем, выводы из уравнений Максвелла практически
Фиг. 351.
не отличаются от выводов из тех уравнений электричества и магнетизма, которые существовали до введения Максвеллом тока смещения. Однако если токи или заряды изменяются со временем, особенно если они изменяются очень быстро, как в случае, например, двух шаров, где заряд мечется от шара к шару (фиг. 351), уравнения Максвелла допускают решения, которых раньше не существовало.
Рассмотрим магнитное поле, порожденное током (скажем, текущим по проводу). Теперь представим, что цепь разрывается. При уменьшении тока магнитное поле, ок ружающее провод, тоже уменьшается, а следовательно, возбуждается электрическое поле (согласно закону Фарадея, переменное магнитное поле возбуждает поле электрическое). Когда скорость изменения магнитного поля снижается, электрическое поле начинает спадать. В соответствии с домак- свелловскими представлениями больше ничего не происходит: электрическое и магнитное поля исчезают при обращении тока в нуль,
так как считалось, что переменное электрическое поле не производит никакого эффекта.
Однако из теории Максвелла следует, что спадающее электрическое поле возбуждает магнитное поле так же, как и спадающее магнитное поле возбуждает электрическое поле, и что эти поля комбинируются таким образом, что при уменьшении одного из них другое возникает
немного дальше от источника, и в результате весь импульс перемещается в пространстве как целое. Если величина В равна величине Е и эти два вектора взаимно перпендикулярны, то, как вытекает из уравнений Максвелла, импульс должен распространяться в пространстве с определенной скоростью.
Этот импульс обладает всеми свойствами, которыми мы ранее характеризовали волновое движение. Если у нас имеется не один, а очень много импульсов, вызванных, например, колебаниями электрических зарядов между двумя шарами, то с таким набором импульсов можно связать определенную длину волны, т. е. расстояние между соседними гребнями. Импульсы распространяются от точки к точке так же, как и волна. И, что особенно важно, при этом выполняется главный принцип, а именно принцип суперпозиции, так как электрические и магнитные поля обладают аддитивными свойствами. Таким образом, движение электрических и магнитных импульсов характеризуется волновыми свойствами.
Рассмотрим опять планетарную систему заряженных частиц (фиг. 352). Согласно теории Максвелла, заряженная частица (в частности, электрон), движущаяся по круговой орбите (как и любая час-
Ф и г. 352.Ф и г. 352.
Ф и г. 352.
Ф и г. 352.
тица, имеющая ускорение), возбуждает электромагнитную волну. Частота этой волны равна частоте обращения электрона по орбите. Используя численные значения, полученные в гл. 19, находим
т (время полного оборота по орбите: период) = 4-10~16 с. (23.1) Отсюда
V (частота) = ^~ = 2,5• 1015^ ・(23.2)
Из соотношения между частотой и длиной волны имеем скорость = Xv.(23.3)
В результате
九(длина волны) = 2^£2HS =5(СКорость) х 4• 10*18 с. (23.4)
Допустим, например, что скорость распространения волны равна 3« 1010 см/с. Тогда
九=1,2・10-5см.(23.5)
Это длина волны ультрафиолетового излучения, т. е. излучения с 6о・ лее короткой длиной волны, чем у фиолетового света. (Минимальная длина волны видимого света порядка 4-10~б см.)
Планетарная система заряженных частиц излучает электромагнитные волны, т. е. теряет энергию (волны уносят с собой энергию, так как они способны совершать работу над зарядами, находящимися вдали от источника), и поэтому для ее стабильного существования требуется подкачка дополнительной энергии извне.
Когда Максвелл понял, что его уравнения допускают такое решение, он вычислил скорость, с которой волна должна распространяться в пространстве. Он пишет:
«Скорость поперечных волновых колебаний в нашей гипотетической среде, вычисленная из электромагнитных опытов Кольрауша и Вебера, столь точно совпадает со скоростью света, вычисленной из оптических опытов Физо, что мы едва ли можем отказаться от вывода, что свет состоит из поперечных колебаний той же самой среды, которая является причиной электрических и магнитных явлений» [1] п.
И далее, в письме к Уильяму Томсону (лорду Кельвину):
《Я получил свои уравнения, живя в провинции и не подозревая о близости найденной мной скоррсти распространения магнитных эффектов к скорости света, поэтому я думаю, что у меня есть все основания считать магнитную и светоносную среды как одну и ту же среду...» [2].
[Максвеллу было гораздо сложней получить свой знаменитый результат, чем это может нам показаться. Мы ввели для удобства букву с, обозначающую скорость света, чтобы связать изменения магнитного поля с возбуждаемым им электрическим полем, заменив довольно-таки произвольное число 4,18-10~9 с/см величиной 4冗/с. Затем мы использовали эту же величину с для описания связи между магнитным полем и возбуждающими его токами и переменными электрическими полями. Согласно закону Ампера, измеренная циркуляция магнитного поля должна быть пропорциональной измеренному значению тока, протекающего через поверхность. Оказалось, например, что
Е ВКасат(Д0 = 4,18.Ю-^,(23.6)
по всему контуру
где число 4,18* 10一9 в системе СГС взято из действительных измерений магнитного поля и тока, протекающего через поверхность. Когда Максвелл рассмотрел эти уравнения совместно и нашел решение, соответствующее распространению импульса электромагнитного излучения,
3 Курсив оригинала.
он получил из этих измеренных чисел другое число, которое' давало скорость распространения этого импульса. И это число оказалось равным примерно 3-1010 см/с. Но число 3-1010 см/с есть измеренная величина скорости света. Поэтому Максвелл и отождествил импульс излучения с самим светом.] Он писал:
«...мы имеем серьезные основания сделать заключение, что сам по себе свет (включая лучистую теплоту и другие излучения) является электромагнитным возмущением в форме волн, распространяющихся через электромагнитное поле согласно законам электромагнетизма» [3].
Фиг. 353. На рисунке изображено решение уравнений Максвелла, соответствующее волне, распространяющейся в вакууме со скоростью света. Векторы Е и В взаимно перпендикулярны и равны по величине. Возможны как импульсы, так и периодические решения, соответствующие волнам заданной длины. Вакуум есть среда без дисперсии, т. е. в нем все периодические волны распространяются с одинаковыми скоростями [5].
Удивление было всеобщим, но были и сомневающиеся. Так, в одном из писем к Максвеллу говорилось:
«Совпадение между наблюдаемой скоростью света и вычисленной Вами скоростью поперечных колебаний в вашей среде выглядит прекрасным результатом. Однако мне кажется, что подобные результаты не являются желательными, пока вы не убедите людей в том, что всякий раз, когда возникает электрический ток, небольшой ряд частиц протискивается между двумя рядами вращающихся колесиков» [4].
После того как свет был отождествлен с электромагнитной волной [различные цвета соответствуют различным частотам (фиг. 354), или длинам волн излучения, причем видимый свет составляет лишь небольшую часть полного спектра электромагнитного излучения] и поскольку были известны взаимодействия электрических и магнитных полей с заряженными частицами (формула Лоренца), впервые оказалось возможным создать теорию взаимодействия света с веществом (если полагать, что среды состоят из заряженных частиц). Так, например, после выхода работ Максвелла Лоренц и Фицджеральд, пытаясь показать сходство между поведением электромагнитной волны и поведением света при его отражении и преломлении, рассчитали случай прохождения
электромагнитной волны через границу двух сред; оказалось, что поведение этой волны совпадает с наблюдаемым поведением света.
Даже если бы Максвеллу и не удалось отождествить электромагнитное излучение со светом, его открытие все равно имело бы огромное значение. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что электрическое поле может совершать над зарядом работу. Следовательно, заряд, колеблющийся в одной точке пространства, порождает электромагнитный импульс, который способен распространиться на любое желаемое расстояние от движущегося заряда и электрическое поле которого может совершить там работу над другим зарядом.
召診с^е^С
1%T『繚胃 供以佗口1%T『繚胃 供以佗口吻％ «е/би^ I吻％ «е/би^ I
1%T『繚胃 供以佗口
1%T『繚胃 供以佗口
吻％ «е/би^ I
吻％ «е/би^ I
%" /d,0 id9 /6# /о fd6 ids fo /о5 to io / /。炉 2)d
Фиг. 354. Спектр электромагнитных колебаний.
Рентгеновские лучи, видимый свет, радиоволны и т. п — все это электромагнитные волны с различными длинами волн. Видимый свет отличается от «невидимого» только тем, что последний не воспринимается человеческим глазом.
Не много воды утекло еще с тех пор, как впервые удалось передать по проводам электрическую энергию с тем, чтобы совершать работу вдали от генераторов, производящих ток. Теперь же Максвелл предлагал передавать на большие расстояния без помощи каких-либо проводов энергию, способную совершать работу над удаленными заряженными телами. Кроме того, с помощью контролируемых изменений такой электромагнитной волны можно передавать информацию, которую нетрудно расшифровать в любой удаленной точке. Этот вывод не мог не иметь важных практических последствий.
ГЕРЦ НАБЛЮДАЕТ МАКСВЕЛЛОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Максвелл опубликовал первое обширное описание своей теории в 1867 г. Однако только в 1887 г., через восемь лет после смерти Максвелла, Генриху Герцу удалось убедить своих коллег в том, что он возбудил и зарегистрировал электромагнитное излучение, предсказанное Максвеллом.
Прибор Герца состоял из двух отполированных металлических шаров, разделенных между собой небольшим воздушным зазором. Оба шара были соединены с индукционной катушкой (специально разрабо-
тайным трансформатором, преобразующим низкое постоянное напряжение в очень высокое), которая создавала между ними большую разность потенциалов (подобно тому как автомобильная катушка зажигания создает большое напряжение между контактами прерывателя, вызывая искру), настолько большую, что между шарами в конце концов происходил разряд (фиг. 355). В результате пробоя заряд с одного шара переносился на другой, тем самым создавался избыток заряда на втором шаре. Тогда следовал второй разряд в обратном направлении, и заряд снова переходил на первый шар. И так далее, пока не устанавливалось равновесие, после чего индукционная катушка снова создавала между шарами большое напряжение, и весь процесс повторялся.
Заряд, колеблющийся взад и вперед между двумя шарами, возбуждает, согласно теории Максвелла, электромагнитную волну, которая затем распространяется от источника; это означает, в частности, что на некотором расстоянии от разряда должно наблюдаться сильное электрическое поле. Если теперь иметь небольшой контур, изображенный на фиг. 355, работающий как приемник (Герц сделал его, как показано на рисунке, из кругового провода, на одном конце которого был укреплен металлический шар), то распространяющееся электрическое поле, созданное первым разрядом, возбудит токи в этом контуре, а следовательно, и разность потенциалов в воздушном зазоре. Если эта разность потенциалов окажется достаточно большой, в зазоре будет проскакивать искра. Именно это и наблюдал Герц, хотя передатчик и приемник не были соединены между собой. Искры проскакивали в приемнике, когда в передатчике происходил разряд, несмотря на то, что расстояние между приемником и передатчиком достигало нескольких метров — сейчас нас этим не удивишь, поскольку мы можем включать свои транзисторные приемники в любом уголке земного шара.
Измерив длину волны и частоту излучения, Герц определил его скорость распространения, которая оказалась равной примерно
3* 1010 см/с, т. е. совпала со скоростью света. Затем он исследовал отражение этого излучения от полированных поверхностей, изучил его преломление при переходе из одной среды в другую, заставил излучение интерферировать, поляризовал его, короче говоря, сделал с ним все, что до этого делали со светом. И всегда электромагнитное излучение вело себя как свет. Единственное различие состояло в том, что оно не было видимым.
На основании своих опытов Герц заключил:
«Описанные эксперименты, как, по крайней мере, кажется мне, устраняют сомнения в тождественности света, теплового излучения и электродинамического волнового движения».
О ПРИРОДЕ ТЕПЛА
24
СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
(ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ)
Концепция энергии возникла еще до механики Ньютона, неявно содержалась в ней и пережила ее. Лейбниц спорил с Ньютоном об относительной важности понятий силы и vis viva (живой силы, которая позднее стала называться кинетической энергией). Даламбер показал, что их спор был чисто семантическим и что закон сохранения кинетической энергии следует при определенных условиях из механики Ньютона. Однако, если определять энергию лишь как сумму потенциальной и кинетической энергий, нетрудно найти условия, когда такая энергия не сохраняется. Как сказал Юлиус Роберт фон Майер: «Мы видим в бесконечном числе случаев, как исчезает движение без того, чтобы им было произведено другое движение или поднятие груза» [1].
Это заставляет нас пересмотреть определение энергии и обобщить его так, чтобы энергия всегда сохранялась (при необходимости вводя новые ее формы или новые частицы). Мы спрашиваем: существует ли какая-нибудь макроскопическая величина, которая йзменяется, когда движение исчезает, не производя при этом «другого движения»? Ответ мог бы состоять в том, что мы наблюдаем нагревание тел. Известно, что, если стучать молотком по железной болванке, болванка будет нагреваться. Две деревянные палочки нагреваются, еслц их потереть друг о друга. Может быть, кинетическая и потенциальная энергии, исчезая, переходят в тепло? Но можем ли мы сказать, что теплота есть форма энергии, которая при определенных условиях способна совершать работу?
б 1824 г. Сади Карно ° опубликовал небольшую работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой он исследовал сначала паровые машины, затем машины вообще, пытаясь решить проблему, как следует строить эти машины, чтобы при заданном количестве тепла они давали максимальную работу. Карно поставил следующий, как он выразился, интересный и важный вопрос:
«Неизменна ли по величине движущая сила тепла, или она меняется вместе с агентом, с помощью которого она развивается, с промежуточной средой, выбранной как орудие действия теплоты?» [2].
1)Он был сыном Лазара Карно, создавшего после Французской революции четырнадцать армий, защищавших Францию от всей Европы. Говорят, что после поражения при Ватерлоо Наполеон сказал Л. Карно: «Месье Карно, я узнал Вас слишком поздно».
12 № 3152
С таких вопросов началось слияние учения о теплоте и температуре с механикой и молекулярной теорией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ШКАЛЫ
Согласно современным общепринятым представлениям, удобно измерять так называемое содержание тепла в теле, определяя температуру тела. Однако связь между этими двумя понятиями не является явной. Если даны два тела, одно из которых маленькое, а другое большое, находящиеся при одинаковой температуре, то можно было бы думать, что большое тело содержит теплоты больше, чем маленькое. Так, два сосуда могут зависимости от их размеров и формы содержать различные количества жидкости, даже если жидкость будет налита в них до одного уровня. Мы сначала определим температурную шкалу, а затем попытаемся найти связь между количеством тепла и температурой.
Веемы интуитивно ощущаем, что такое температура. Рукой можно грубо отладить холодное от горячего; однако мы знаем, что при этом нетрудно и ошибиться. Всем кзвестен опыт, когда одну руку опускают в холодную-, а другую — в горячую воду. Если через некоторое время опустить одновременно обе руки в сосуд с теплой водой, то рука, которая до этого была в горячей воде, почувствует холод, рука же, бывшая до этого в холодной воде, ощутит жар. Этот опыт показывает, что наши ощущения, обычно надежные, могут оказаться ошибочными, и поэтому желательно иметь такой способ измерения температуры, который не зависел бы от наших ощущений и от нашего настроения.
Это можно сделать, используя обычный термометр, т. е. стеклянную трубку с колбочкой на конце，частично заполненную ртутью или какой-либо другой жидкостью. Из-за того, что ртуть при нагревании расширяется сильней, чем стекло^ столбик ртути поднимается или опускается при погружении термометра в теплое или холодное вещество. Нам всем известно это явление, и мы знаем, как считывать температуру со шкалы термометра: для этого надо отметить, до какого уровня поднялся столбик ртута.
Однако соотношение между уровнем ртутного столба и тем, что мы в конце конце© определим как температуру, не совсем ясно. Так, например, если мы сделаем второй термометр нз、других материалов» причем оба термометра будут фиксировать одинаковые уровни при кипении и замерзании воды, то ниоткуда не следует, что они окажутся на одном уровне при промежуточной температуре, так как нет никакой гарантии, что другие материалы расширяются так же, как ртуть и стекло (фиг. 356). Спрашивается тогда, какой из этих двух термометров показывает правильную температуру °? Сейчас мы пока не в состоянии
х)Довольно трудно добиться одйнаковых показаний по всей шкале даже при использовании одинаковых материалов. (Например, цилнндрйческнй канал в стеклянной трубке должен быть однородным.) Фаренгейту первому удалось этого 恥一 биться.
ответить на этот вопрос. Мы ограничимся довольно грубым определением температуры. Позже, при изучении теплоты, газов и кинетической теории, мы уточним это определение.
Если больные ощущают жар, то это характеризует их самочувствие. Когда Bpaqs поняли это, они попытались при обследовании пациентов как-то измерять их температуру. При этом использовалйсь стеклянные трубки, заполненные до определенного уровня водой, ртутью шш подкрашенной жидкостью. Врачи считали, что чем выше подымается жидкость, тем выше температура. Поскольку на термометрах не 6wio одинаковых шкал, арач сравнивал температуру своего теля с температурой
пациента и приходил, конечно, к определенному «научному» заключению о состоянии здоровья больного. Такого рода приборы^ лспользо вались в метеорологии и других областях, однако, ввиду того《то все они давали разные показания (иными словами, жидкости в двух таких приборах, опущенных в один сосуд с водой, могли подняться на различные уровни), было трудно проводить ■ какие-либо сопоставления. Не было даже жно, например, кипит ли вода всегда при одной и той же «степени теплоты».
Когда Фаренгейт прочитал об открытии Амонтона ”，«что вода кипит при фиксированной степени теплоты», он сразу же загорелся идеей самому сделать термометр, «... чтобы собственными глазами увидеть это прекрасное явление природы. ,.»Он понял, «чтовысота столбика ртути в барометре слегка (хотя и достаточно заметно) изменялась Тфн изменении температуры ртути», и создал термометр, основанный ла эффекте расширения ртути в стеклянной трубке; Фаренгейт был первым, кому удалось создать термометры, дававшие одинаковые показа- шя по всей длине шкалы.
В качестве двух фиксированных точек он выбрал уровни, один из вторых соответствовал, видимо, температур тела его жены (если 6U
D Амонтон первым сконструировал термометр» измерявши£ температуру по давлению воздуха.
мы использовали сейчас тот же термометр, он показал бы 100° F), а другой, 0° F, соответствовал, говорят, наинизшему уровню, до которого опустился ртутный столб в одну из зим в Северной Ирландии. (Возможно, Фаренгейт хотел избежать введения отрицательных температур, полагая, что Северная Ирландия в середине зимы является наиболее холодным местом земного шара.) Расстояние между этими двумя точками он разделил на 100 равных частей, каждую из которых он назвал градусом (нынешнее название — 1° по Фаренгейту). С помощью такого термометра, показывавшего 212° и 32° при кипении и замерзании воды, ему удалось установить, что различные жидкости кипят при различных, но «фиксированных степенях теплоты» (табл. 11).
Таблица 11
Жидкости
Удельный вес) жидкости при 48° тепла
Степень теплоты при кипении
Винные спирты и алкоголь
8 260
176
Дождевая вода
10 000
212
Селитровые спирты
12 935
242
Щелок, изготовленный из винных
15 634
240
осадков
Купоросное масло
18 775
546
D В настоящее время удельный вес определяется как отношение веса заданного объема вещества к весу такого же объема воды, т. е. удельный вес воды равен 1,000. Почему-то Фаренгейт не писал десятичную запятую.
Андерс Цельсий (1701—1744) предложил использовать два состояния вещества для определения двух точек на шкале термометра. В качестве нулевой отметки он взял уровень ртути, соответствующий температуре тающего льда, а через 100 обозначил уровень, отвечающий температуре кипящей воды. Разделив этот интервал на 100 равных частей, Цельсий получил стоградусную шкалу, называемую теперь его именем п.
Чтобы осуществить переход от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта и обратно, следует учесть, что деления на шкале Фаренгейта идут чаще, чем на шкале Цельсия (5/9 градуса по Цельсию= 1 градусу по Фаренгейту), и что 0° по Цельсию соответствует 32° по Фаренгейту (фиг. 357). Тогда
勺(/ф — 32) = /ц.(24.1)
Шкала Цельсия не менее произвольна, чем шкала Фаренгейта; однако в научной работе ею пользуются чаще. Позднее, когда мы будем изу-
чать газы и кинетическую теорию, мы определим так называемую абсолютную шкалу температур.
Пример. Многих устраивает комнатная температура 72° F. Чему это соответствует по шкале Цельсия?
勿=(力①一32) = * (72—32)=誓(40) = 22,2。С・(24.2)
ТЕПЛОТА
Поскольку мы ввели шкалу температур, мы мс ，ем следующим образом определить количество теплоты. Назовем калорией количество теплоты, необходимое для нагрева 1 г воды от 14° до 15° по Цельсию. Совершенно не существенно, откуда берется тепло — от удара, трения или огня. Когда вода получает 1 кал, ее температура подымается на 1 градус. Или, когда у воды отбирается 1 кал, температура 1 г воды уменьшается на 1 градус по шкале Цельсия. Таким образом, стандартное количество теплоты определяется с помощью единицы изменения температуры и массы стандартного вещества (воды) п.
При таком определении количества теплоты создается впечатление, что мы считаем ее некоей субстанцией. Мы близки к тому, чтобы сказать такую фразу: при наливании 1 калории в 1 грамм воды температура воды увеличивается на 1 градус. Используемая нами терминология сохранилась с тех времен, когда теплоту считали жидкой субстанцией (теплородом). Хотя предмет может казаться очень холодным, это не значит, что он не содержит тепла. Например, кусок льда способен нагреть кусок сухого льда, причем сам он будет при этом охлаждаться. Куском же сухого льда можно повысить температуру жидкого гелия. (Есть ли у подобной последовательности предел?)
Одна калория тепла не обязательно изменит температуру 1 грамма какого-либо вещества, отличного от воды, на 1 градус. Например, 1 г меди нагревается на 10,9°, если его снабдить 1 кал тепла. Эта относи-
1)Следует иметь в виду, что, если мы хотим предложить наиболее разумное определение, мы должны соблюдать особую осторожность в отношении тех факторов, значение которых мы не в состоянии полностью оценить в данный момент. (Какова, например, роль давления, испытываемого граммом воды? Одинаковое ли количество калорий требуется для нагрева того же грамма воды с 18 до 19℃ или с 78 до 79℃?)
тельная способность различных веществ поглощать различные количества тепла при увеличении их температуры на одну и ту же величину называется удельной теплоемкостью вещества (одно вещество поглощает больше тепла, чем другое, причем их температуры изменяются на одну и ту же величину). Она определяется как количество кмор-ий, необходимое для увеличения температуры 1 г вещества на 1 градус по шкале Цельсия. Например, удельная теплоемкость меди равна 0,092 кал/гградС.
Многие вещества обладают тем свойством, что их удельные теплоемкости остаются практически постоянными при изменении температуры в широких пределах. Так, 1 кал тепла увеличивает температуру 1 г воды п р ибл из ител ьш> на 1° иеэжиешо от ее нжальнс^г температуры.
Фиг. 358. При таянии 1 г льда поглощает 80 кал; 1 г воды поглощает 100 кал при нагревании его от 0° до f00P С. Длят превращения t г. воды при 100℃ » пар требуется 540 кал. Шежнльку удежные теплоткоети льда 窿 近 ар a itrhm卑vho ядаое меньше теилеемкости вода» 口pir в^гре^анвн 目х требуется меньше теядагы» чем при нагревавши воды.
Однако в ттох заме能赛費鼻珏 таи кипейяяг как гфаюло, вещества гю- глотают сравнительно большее количества теплоты, а температура их при этом не изменяется. Натгргтмер, чтобы р^асшгавить лед при (ГС, требуется 80 кан на 1 г льда. Чтобы выпарить 1 г кипящей воды, необходимо 546 кал. Побежу шта^ющие » в вдде кубяки льда поддер-жрг- вак>г в ней температуру (F С, ибо любое тепла, которое поступает в систему вода — лед, идет на таямие льда, а отток тепла вызывает замерзание веда, но 窿 обойх случаях не происходит йзмекен耽 температуры f龜f. 35^>.
Почти все вещества при охлаждении сокращаются в объеме и становятся более плотными. Исключение составляет вода, которая аномально расширяется при замера за инк，поэтому 貝映 гор® 0℃ менее плотен* чем вода при той же темпе^уре, В результате лед плавает ш н©驼怏х)юс霊城 озер： к @кеаж>&* способо戰л： ссюфаяенша тепда 礒 толще воды- Б/№одя^я этому веда остается жид&ай# а лед. не о®уекается ш дао^ что привело бы к утечке теюа и з^мораживанлк> всей. то«и воды. Такое поведение воды кри замерзания имеет существенное зиачеиие для рыб. нашего климата и всей нашей жизни.
Теплота является сохраняющейся величиной (не создается и не
уничтожается) только в изолированных системах, т. е. системах, откуда тепло не выходит и куда оно не входит. Если опустить нагретую
Фиг. 359.Фиг. 359.температуры (т. е. наступаеттемпературы (т. е. наступаетложку в изолированны近 сосуд с холодной водой, то ложка будет охлаждаться, а вода нагреваться до тех пор，пока их температуры не сравняются. При данных массах ложки и вода и заданных начальных температурах конечная температура всегда будет одной и той же, как будто полное тепло так
Фиг. 359.
Фиг. 359.
температуры (т. е. наступает
температуры (т. е. наступает
распределяется между всеми частя-
ми системы, что уравнивает их тепловое равновесие).
Для системы, показанной на фиг. 359: тепло, потерянное ложкой = (масса ложки)х /удельная теплоемкость: количествох
Х( калорий, необходимое для нагрева)х (изменение температуры), \1 г ложки на 1℃/
тепло, полученное водой = (масса воды) х /удельная теплоемкость: количествох
Х( калорий, необходимое для нагрева)х (изменение температуры). \1 г воды на 1℃丿
Если ложка медная (удельная теплоемкость 0,092 кал/г-град С), ее масса равна 10 г, начальная температура 100° С, а масса воды равна 100т и ее начальная температура 20° С, то тепло, потерянное ложкой =Юх0,092X (100—Г), а тепло, полученноеаддой =io6x 1 X (Г—20), где Т — окончательная температура системы. Следовательно,
0,92(100 — 7)=100(7—20); 100,927 = 2092, Тс20,8。С. (24.3)
Тот факт, что тела нагреваются при соударениях или трении друг о друга, послужил, вероятно, причиной тому, что теплоту издавна считали как-то связанной с движением. В 1620 г. Фрэнсис Бэкон заявил, что «Теплота сама по себе... есть движение и ничего более» [3]. Он пришел к такому заключению., ваблюдая, как возникает тепло при столкновениях твердых тел или трении их друг о друга. Позднее Ро* берт Бойль и Роберт Гук высказывали такую же идею. Однако в те времена она не имела большого успеха, так как никто не мог объяснить, почему, если теплота есть движение, оно сохраняется в экспериментах, подобных описанному выше, в которых смешивались различные вещества при различных температурах в термически изолированных сосудах.
В восемнадцатом веке появилась теория, согласно которой теплота считалась тонким упругим флюидом, частицы которого отталкиваются друг от друга, но притягиваются частицами обычных веществ. Этот флюид получил название caloric — теплород («caloric» — слово, придуманное позднее, в 1787 г., Лавуазье), а теория, описывающая теплоту в виде материальной субстанции,— название материальной, или субстанциональной, теории теплоты,
В основе материальной теории лежала мысль о том, что теплота сохраняется. Большинство наблюдений и экспериментов тех времен проводилось при весьма специфических условиях, при которых полное количество теплоты (в том смысле, как тогда было принято) сохранялось, из чего и делался вывод, что теплота — сохраняющаяся величина. Было очень удобно считать, что теплота есть субстанция, которая не исчезает и не возникает из ничего, но перетекает от одного тела к дру・ гому. Частицы вещества, если считать, что они не могут проникать друг сквозь друга, не могут находиться между собой в контакте, несмотря на взаимное притяжение. (Иначе вещества нельзя было бы сжимать.) Поэтому между частицами должна действовать какая-то уравновешивающая притяжение сила, и эта сила была приписана действию теплорода. Из-за того, что частицы теплорода взаимно отталкиваются, теплота должна перетекать от нагретого тела к холодному. Согласно этой теории, состояние вещества — твердое, жидкое или газообразное — определяется количеством теплорода, входящего в его состав. Когда вещество содержит много теплЪрода, оно становится газообразным. Из-за взаимного расталкивания частиц теплорода наличие большого его количества в веществе приводит к тому, что силы расталкивания превосходят силы притяжения между частицами вещества и вынуждают последние оставаться свободными. Считалось, что при охлаждении тел теплород покидает их, что согласовывалось с сокращением большинства тел при охлаждении. Твердые и жидкие тела содержат меньше теплорода, чем газообразные, и поэтому занимают меньшие объемы.
Хотя материальная теория давно уже оставлена, некоторые ее термины сохранились в современной науке о теплоте, особенно в тех разделах, где рассматриваются потоки и перенос тепла. Мы по-прежнему говорим, что тепло течет, а тело поглощает тепло. Это приводит к некоторой путанице, поскольку мы говорим о теплоте как о какой-то субстанции, даже если мы знаем, что на самом деле это не так.
Бенджамин Томпсон, граф Румфорд (1753——1814), американский эмигрант, которому посчастливилось провести свои последние годы в Париже, автор почти картезианского изречения: «Ясно, что в философских исследованиях нет ничего более опасного, чем принимать что- либо на веру, как бы правдоподобно оно ни выглядело, пока оно не будет доказано прямым и решающим экспериментом» [4] и человек легендарной энергии, выбрал в качестве одного из своих занятий «науку о Теплоте, науку, несомненно, первостепенной важности для человечества!» 向.Его интерес к «этому удивительному предмету» возник, по его словам, следующим образом:
«Обедая, я часто замечал, что некоторые блюда сохраняют свое тепло гораздо дольше других, а яблочные пироги и яблоки с миндалем (одно из любимых английских кушаний) оставались горячими удивительно долго. Сильно пораженный такой необычной способностью сохранять теплоту, которой обладали яблоки, я часто размышлял о ней; и, обжигая яблоками рот или встречая другие блюда с такими же свойствами, я всегда пытался, но все напрасно, найти хоть какое-нибудь удовлетворительное объяснение этому удивительному явлению» [6].
То, что Румфорд обжигал свой рот рисовым супом, а позднее — руки в горячих банях Неаполя, не уменьшало его интерес к этой проблеме. Наоборот, он решился провести почти классическую серию экспериментов, направленную против материальной теории теплоты п.
Можно утверждать, что если теплород — вещество, то он должен обладать основным свойством любого вещества и иметь массу. В своих экспериментах Румфорд, к своему удовлетворению, показал, что «все попытки обнаружить влияние тепла на веса тел бесплодны». Однако его доказательство невесомости теплорода не могло смутить сторонников материальной теории. Они могли возразить, что теплород, как в более ранние времена небесная субстанция, не является обычным веществом, и поэтому он не обязан подчиняться гравитационным силам.
Совершенно случайно («чисто случайно мне пришлось заниматься экспериментами, о которых я собираюсь рассказать») Румфорд заинтересовался вопросом о получении тепла g помощью трения.
«Позднее, заведуя сверлением пушечных стволов в мастерских военного арсенала в Мюнхене, я был сильно поражен тем значительным количеством тепла, которое за короткое время получает медный ствол при сверлении, и еще большим количеством тепла (гораздо большим, как я выяснил из эксперимента, чем тепло, требуемое для закипания воды), которое получают металлические стружки, отделяемые от ствола сверлом» [7].
С помощью материальной теории теплоты было трудно объяснить, откуда берется такое большое количество теплорода. При желании, конечно, можно было ввести гипотезу, что силы притяжения между молекулами металла и частицами теплорода уменьшаются, когда металл превращается в стружку, в результате чего теплород освобождается и проявляется в виде теплоты.
Однако при сверлении запас тепла казался неистощимым. Этого было достаточно, чтобы убедить Румфорда:
«...мне кажется чрезвычайно трудно, если не совершенно невозможно, выдвинуть хоть какую-нибудь разумную идею, объясняющую то, что возбуждалось и передавалось в этих экспериментах, чем-либо отличным от движениям [8].
D Говорят, историки относятся к его работе гораздо серьезней, чем к ней отнеслись его современники.
МЕХАНИЧЕСКИЙ ЭКВИВАЛЕНТ ТЕПЛОТЫ; ТЕПЛОТА КАК ЭНЕРГИЯ
Среди тех, кто первым понял важность рассмотрения теплоты как энергии, был доктор (не философии, а медицины) Юлиус Роберт фон Майер (1814——1878). «Мы видим в бесконечном числе случаев, как исчезает движение без того, чтобы им было произведено другое движение или поднятие груза»,— пишет Майер 11]. Далее он выдвигает предположение, ставшее почти банальным к началу двадцатого века:
«Но имеющаяся однажды налицо энергияп не может превратиться в нуль, а только перейти в другую форму, и, следовательно, спрашивается: какую дальнейшую. форму способна принять энергия?» [9].
Затем он доказывает, что, поскольку работа переходит в тепло (например, при трении двух палочек одна о другую выделяется тепло), теплота есть одна из форм энергии:
«Если сила падения и движение (потенциальная и кинетическая энергии) равны теплу, то, естественно, и тепло должно быть равно движению и силе падения» [10].
Далее Майер высказывает свое наиболее проницательное заключение. Если теплота есть форма кинетической и потенциальной энергий, а полная энергия сохраняется, то для получения определенного количества тепла необходимо затратить определенное количество механической энергии. Иными словами, заданная работа приводит к выделению заданного количества тепла. Из экспериментов, проведенных ранее для газов, Майеру удалось получить количественное соотношение между механической работой и теплотой, которое находится в хорошем согласии с результатами современных измерений.
Непосредственное измерение механического эквивалента теплоты осуществил англичанин Джеймс Прескотт Джоуль (1818——1889). В течение всей своей жизни Джоуль провел длинную серию экспериментов, в которых различные формы энергии превращались в тепло. Сначала он сравнил механическую работу, требуемую для вращения генератора электрического тока, с теплом, выделяющимся при прохождении тока.
В электрических цепях часто встречаются так называемые резистивные элементы (в этих элементах движение электронов затормаживается вследствие, например, рассеяния их на примесях). Вдоль таких элементов
разность потенциалов = (протекающий ток) х (сопротивление),V = /・R・(24.4)
1)Майер использует слово «сила», подразумевая то, что мы сейчас называем энергией.
Поскольку над электроном, проходящим разность потенциалов (1 В), совершается работа (1 эВ) и поскольку скорость электрона в таких элементах цепи, как нам представляется, не возрастает (электрон может ускориться, но затем он сталкивается с атомами металла и отдает им свою энергию), можно заключить, что вся энергия, которую набирает электрон, проходя разность потенциалов (фиг. 360), должна переда
ваться положительно заряженным ионам решетки и примесям (провода), которые увеличивают свое хаотическое движение, т. е. выделяется тепло. Таким образом, выделяющаяся теплота (джоулево тепло) равна работе, произведенной над электронами. Мы можем вычислить ее следующим образом:
работа, произведенная на耳 электронами —время—
=(число электронов) х еа竺瓦 энектр。吼 х (разность п0теНциаЛ0В)=
=(ток) х (разность потенциалов).
Следовательно, произведенная работа> выделенному теплу /
—,что эквивалентно (джоулево
времявремя ' j
тепло) = W = /2R = ^ ・(24.5)
Позднее Джоуль измерил количество тепла, выделяющегося из-за трения при прохождении воды через тонкие трубки, и р аботу, тр ебуем у ю для поддержания потока воды. Он измерил работу, совершаемую при сжатии газа, и выделяющуюся при этом теплоту. Затем он осуществил свой знаменитый эксперимент {фиг. 361), в котором колесо с насаженными лопатками вращалось в теп лоизол и рова н ной бадье, и сравнил механическую работу, требуемую для вращения такого колеса, с тем увеличением температуры воды, которое было вызвано трением между лопатками и водой. Говорят, что даже во время медового месяца Джоуль не оставлял своих основных занятий и измерял температуру воды выше и ниже водопада в Шамони, чтобы определить увеличение температуры, возникающее из-за удара воды о скалы ниже водопада (потенциальная энергия воды переходит в кинетическую, а затем в тепловую).
Его преданность делу была вознаграждена сторицей: он смог заключить, что заданное количество работы переходит в заданное количество теплоты. Численное соотношение (по данным современных измерений) таково:
1 кал = 4,18 Дж = 4,18-107 эрг. (24.6)
Это означает, что если мы будем взбалтывать, растирать, перемешивать или совершать другую механическую работу над системой, состоящей из термически изолированного 1 г воды, то каждым 4,18 Дж работы будет соответствовать повышение температуры на 1° С. Если система
Фиг. 361. Опыт Джоуля, в котором использовалось колесо с лопатками.
состоит из 2 г воды, то для увеличения ее температуры на 1° С над ней надо совершить работу в 8,36 Дж. Если же система состоит из 1 г меди, то, чтобы повысить ее температуру на 1 ℃, требуется совершить над ней работу в 0,092-4,18=0,385 Дж. К этому времени стало ясно, что теплород не только не сохраняется, но и порождается в определенном количестве, когда над системой производится работа, и это понимание, безусловно, явилось причиной падения материальной теории теплоты.
Принцип сохранения, потерпевший крах
В основе материальной теории лежала идея о сохранении теплоты. Если бы это было так, то, конечно, было бы проще всего представлять теплоту в виде субстанции, которая не возникает и не исчезает, а перетекает от одного тела к другому. Именно в этом пункте материальная теория подверглась наиболее сильным нападкам. Удалось легко показать, что в экспериментах с трением (подобных экспериментам Румфорда по сверлению пушечных стволов) теплота может возникать практически в неограниченных количествах. ,
Путь развития физики устлан всевозможными законами сохранения —законами, утверждающими, что в изолированных системах определенные величины не могут возникать или исчезать. Предчувствия, что такие законы существуют, родились не сегодня ——их корни уходят в глубь веков. Лукреций отражает античные взгляды, когда говорит: «...вещи не могут ни создаваться из ничего, ни, однажды возникнув,
вновь обращаться в ничто...» [11]. С тех пор было придумано множество таких законов: сохранения массы, энергии, заряда, барионного числа и т. д. Часто эти законы оказываются полезными при описании лишь ограниченного круга явлений. Так, при изучении химических реакций можно считать, что масса сохраняется, однако при ядерных реакциях применение такого закона было бы ошибочным, так как, например, масса конечных продуктов деления урана меньше массы исходного количества урана. В этом отношении учение о теплоте не является исключением. Теперь мы говорим, что теплота, или теплород, не ^охраняется, но сохраняется энергия. Со временем стало ясно, что теплота есть форма энергии, в результате чего ограниченный принцип сохранения тепла превратился в более общий принцип сохранения энергии.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Вероятно, наиболее ранняя и всеобъемлющая формулировка закона сохранения энергии содержится в работе Гельмгольца, йаписанной им в 1847 г. Термин «энергия» в те годы еще не был общепринятым, и Гельмгольц пользовался словом «сила». В механике частице можно приписать определенную кинетическую энергию (vis viva) и потенциальную энергию таким образом, что их сумма (при условии, что силы консервативные) всегда будет сохраняться. Суть результатов наблюдений Майера, Джоуля и других состояла в обнаружении широкого класса систем (как живых, так и неодушевленных), которым присуще что-то, способное совершать работу, но это «что-то» нельзя с легкостью отнести ни к кинетической, ни к механической потенциальной энергии. Кроме того, оказалось, что кинетич ская энергия может явно превращаться в тепло, причем определенное количество энергии переходит в определенное количество теплоты.
Учитывая все это, Гельмгольц пришел к мысли, что определение энергии °, принятое в механике:
энергия == кинетическая энергия + потендаальная энергия, (24.7) следовало бы обобщить и записать в следующем виде:
энергия = кинетическая энергия 4- потенциальная энергия + + теплота + электрическая энергия + другие формы энергии, которые будут найдены или предложены. (24.8)
При этом Гельмгольц руководствовалея мыслью, что работа, совершенная над системой, должна равняться увеличению энергии системы. Однако эта дополнительная энергия может перейти как в механи-
D Когда мы без всяких дополнительных пояснений используем слово «энергия», мы подразумеваем так называемую «полную энергию», т, е. сумму всех ее различных форм.
ческую (кинетическую или потенциальную) энергию, так и в тепло, электрическую энергию или в какую-нибудь другую неизвестную до этого форму.
Это определение, конечно, предоставляет нам большую свободу действий. Если мы настаиваем на выполнении закона сохранения энергии в любом физическом процессе, то нам иногда приходится придумывать новые формы энергии, чтобы уравнять обе части написанного выше уравнения. (Как однажды заметил Пуанкаре, мы скорее придумаем новые формы энергииг чем откажемся от закона сохранения энергии.) В фиаике элементарных частиц были случаи, когда предлагались новые частицы, например нейтрино, чтобы спасти принцип
Фиг. 362.
сохранения энергии. Ибо в настоящее время, когда мы наблюдаем кажущееся исчезновение энергии, мы начинаем сразу же искать, куда она исчезла: какая частица унесла ее или в какую другую форму энергия превратилась. Если вводить новые частицы или новые формы энергии, принцип сохранения энергии всегда можно спасти. Такая процедура характеризует наш способ изучения мира. Однако, если мы ввели новую частицу нейтрино для спасения принципа сохранения энергии при ядерных реакциях, мы вправе ожидать, что будут найдены другие следы этой же частицы. Когда мы обнаруживаем эти следы, т. е. когда наконец «открываем» нейтрино, мы убеждаемся^ что принцип сохранения энергии еще раз оказался плодотворным.
Каждая из форм энергии ^старая штз новая) должна быть определенным образом связана с другими формами, но все ©ни эквивалентны заданной величине работы. Так, работа 底 4,18 Дж (производимая, например, при толкании тела с силой в 4,18 Н на расстоянии 1 м) может дать 1 кал тепла. Она также может прогнать 2,6-109 электронов сквозь разность потенциалов в I В или поднять груз с массой 100 г на высоту 426 см. Когда этот груз падает на Землю, его максимальная кинетическая энергия у поверхности Земли достигает значения4,18Дж, а когда о» ударяется о Землю и оетаиавливаегея, выделяется 1 кал тепла, которое в конце концов вдет на нагревание и груза, й Земли.
не замкнута (ток не течет) ине замкнута (ток не течет) и(24.9)(24.9)(24.10)(24.10)(24.11)(24.12)(24.11)(24.12)
не замкнута (ток не течет) и
не замкнута (ток не течет) и
(24.9)
(24.9)
(24.10)
(24.10)
(24.11)
(24.12)
(24.11)
(24.12)
В качестве упражнения мы можем вычислить силу, требуемую
для перемещения провода в однородном магнитном поле. Если цепь трение не учитывается (генератор без
трения)^ то эта сила равна нулю. Если же цепь, содержащая сопротивление R, замкнута (фиг. 363), то разность потенциалов V между концами сопротивления приведет к появлению тока
а следовательно, к выделению джоулева тепла V4R. Энергия, или работа, необходимая для получения этого тепла, равна энергии, затраченной при перемещении провода через магнитное поле. Таким образом,
работа по перемещению провода
время
Но, согласно уравнению (21.9),
V = разность потенциалов = -- В1.
Отсюда
口 D В2/2
Чем меньше сопротивление, тем большее требуется усилие для перемещения провода с заданной скоростью. Чтобы раскрутить генератор, если тот короткозамкнут или перегружен, требуется такая большая сила, что его двигатели могут сгореть. ^тКы подобные случаи не происходили, настоящие генераторы снабжены предохранителями и реле, которые управляются автоматами.
Принцип, о котором шла речь, известен теперь хак первое начало термодинамики п, или закон аж^нения Сергии; он означает, что для любой физической системы можно определить величину, называемую энергией и равную сумме различных членов, как в (24.8), значение когорт остается постоянным независимо от того, какие
1)Термодинамика определяется как раздел физики, в котором изучаются механические действия и проявления теплоты (во всяком случае, так определяет термодинамику один из словарей, а именно словарь Вебстер砌.
изменения происходят в системе. Таким образом, понятие энергии, возникшее в механике, было обобщено на все процессы — электрические, химические и даже на процессы в живых организмах. Как писал Гельмгольц,
«Из таких же исследований всех других известных физических и химических процессов следует вывод, что природа как целое содержит определенный запас энергии п, который не может быть ни уменьшен, ни увеличен; и что поэтому количество энергии в природе вечно и неизменно, как и количество материи. Этот общий закон, сформулированный в такой форме, я назвал «Принципом Сохранения энергии» [12].
Далее он продолжает:
«Мы не можем создать механическую энергию, но мы можем почерпнуть ее из общего хранилища природы... Ручей и ветер, которые движут наши мельницы, лес и угольный пласт, питающие наши паровые машины и согревающие наши жилища, являются носителями огромного запаса энергии, к которому мы обращаемся для своих нужд и который мы можем использовать, как мы думаем, подходящим образом. Владелец мельницы считает энергию падающего ручья, или живую энергию ветра своей собственностью. Эти частицы запаса природы являются тем, что обусловливает небольшие затраты владельца мельницы» [13].
25
ТЕПЛОВАЯ СМЕРТЬ
(ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ)
КОГДА ТЕПЛОТА МОЖЕТ СОВЕРШАТЬ РАБОТУ?
В механике понятие энергии тесно связано с понятием работы. Работа, произведенная над частицей, снабжает частицу энергией, а частица, обладающая энергией, может совершать работу. Маятник при максимальном отклонении на миг останавливается — в этот момент его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна. В вертикальном же положении потенциальная энергия маятника минимальна, а его кинетическая энергия максимальна. Если маятник ударяет по бильярдному шару, он может совершить над шаром работу, в результате чего шар может начать двигаться в сторону боковой лузы. Закон сохранения энергии в механике напоминает бухгал-
D Гельмгольц использует слово «сила».
терский баланс. Энергия, которая поступает в систему, равна энергии, выходящей из нее. Энергия, обобщенная на случай электрической или других форм движения, обладает тем же свойством, хотя она определяется теперь несколько более сложным образом. Электрическая энергия может превращаться в механическую и т. п.; энергия легко переходит в работу. Однако, когда речь заходит о теплоте, обнаруживаются новые и неожиданные эффекты.
Механическая энергия, электрическая энергия или их эквивалент, работа, могут легко превращаться в тепло — это очевидно. Мы точно знаем (благодаря работам Джоуля), какую нужно совершить работу, чтобы выделилось заданное количество теплоты: 4,18 Дж соответствуют 1 кал. Такой процесс нетрудно осуществить: достаточно потереть свои ладони или две сухие палочки в лесу.
Совершенно иначе обстояло дело с обратным процессом. Его изучение привело к представлению, которое возбудило, как и многое другое й физике, широкий общественный резонанс. Этому представлению сопутствовал налет тайны и романтизма, некоторые сочли его причиной упаднических настроений, свойственных девятнадцатому веку и особенно хорошо выраженных у Генри Адамса. Это представление связывали с разочарованностью в прогрессе общества, которое, мол, не стремится к совершенству, а скатывается к посредственности — своего рода культура с телевидением, но без гениев, архитектура с коттеджами в городских предместьях, но без Собора Парижской Богоматери. Это же представление породило мрачные видения тепловой смерти Вселенной. Суинберн так описывает тепловую смерть (буквальный перевод):
Ни звезды, ни Солнце не встанут — Не будет вовсе света,
Ни шума вод журчащих —
Ни звука, ни виденья,
Ни зимней листвы, ни весенней, Ни дней, ни дел дневных —— Только сон бесконечный
В вечной ночи.
Вопрос, приведший к появлению представления, которое вызвало такую бурю эмоций и столь пессимистические настроения, на первый взгляд кажется довольно простым. При каких условиях форма энергии, названная нами теплотой, может быть преобразована в работу?
ПАРОВАЯ МАШИНА КАРНО
«Тепловая машина,— писал Карно,— уже обслуживает наши шахты, двигает наши корабли, углубляет гавани и реки, кует железо... Отнять у Англии в настоящее время ее паровые машины означало бы разом отнять у нее железо и уголь, отнять
у нее все источники богатства... Несмотря на работы всякого рода, предпринятые относительно паровых машин, несмотря на удов летвор ител ьное состояние, в которое они теперь приведены, их теория весьма мало продвинута» {И.
На практике, как правило, приходится решать такую задачу: имеется источник тепла (скажем, уголь) и требуется совершить какую- то работу (например, перегнать железнодорожный состав). В угле содержится определенное количество теплоты (при сжигании 1 кг угля температура определенного, довольно большого количества воды повышается на 1℃). Карно задался целью ответить на следующий вопрос: как построить машину, чтобы она производила максимальную работу при заданном количестве теплоты? Нетрудно создать машину^ которая не производит никакой работы (достаточно, например, сжечь уголь в камине). В паровой машине уголь сжигают для получения тепла; тепло нагревает воду и превращает ее в пар; пар толкает nop・ шень; поршень толкает еще что-то, и в конце концов колеса начинают вращаться, поезда передвигаются, а вода откачивается из шахт. Каким образом можно сделать этот процесс предельно эффективным? Как наиболее элективно исдользовать для совершения работы, например, килограмм угля?
Карно в типично французской манере обобщил рассмотрение конкретной английской паровой машины на случай произвольной тепловой машины. Ему удалось сконструировать (принципиально) идеальную тепловую машину, эффективность которой превышает эффективность любой реальной машины. И он показал, что количество работы, получаемое из заданного количества теплоты, вводимого в эту идеальную машину, определяется только разностью начальной и конечной температур.
Идеальная машина
Машина Карно идеальна в двух отношениях: 1) внутреннее трение не учитывается и 2) процесс характеризуется только двумя температурами. Иными словами, это машина без трения, устроенная таким образом, что, например, газ, толкающий поршень и производящий работу, отбирает все тепло от источника, находящегося при температуре 7\ (высокой), и отдает его окружающим телам, находящимся при температуре Т2 (более низкой, чем 7\) <фиг. 364). Для этой машины Карно доказывает следующую теорему.
Теорема Карно. Эффективность любой тепловой машины, работающей при двух температурах^ 7\ (высокой} и Т翡(низкой), меньше эффективности идеальной машины.
Таким образом, ответ на вопрос: «Какова максимальная эффективность машины, работающей при двух температурах?» состоит в следу-
ющем: она не может быть больше эффективности идеальной машины. Рассчитать же эффективность идеальной машины оказалось нетрудно, и Карно сумел вычислить ее.
Фиг. 3G4.
Это означает, что если машина потребляет тепло, например, из топки, в которой газ, толкающий поршень, нагревается до высокой температуры, то количество совершенной машиной работы зависит от температуры, до которой охлаждается газ, прежде чем он снова поступит в топку. Когда газ горячий, он может совершать работу, в результате чего он охлаждается. Но после этого газ все еще отдает свое тепло окружающим телам и таким образом (поскольку это касается работы машины) теряет его. Машина будет максимально эффективной, если из
Фиг. 365. Прекрасная машина, если ее можно было бы создать.Фиг. 365. Прекрасная машина, если ее можно было бы создать.
Фиг. 365. Прекрасная машина, если ее можно было бы создать.
Фиг. 365. Прекрасная машина, если ее можно было бы создать.
газа удастся забрать всю тепловую энергию, ничего не оставив на нагрев окружающих тел. Но можно ли это сделать? Если можно, то почему бы тогда не взять обычный воздух (или воду из океана), предоставить ему возможность охладиться самому по себе, а высвобожденную тепловую энергию превратить в работу, выбросив затем слегка охлажденный воздух обратно в атмосферу?
В океане содержится огромный запас тепловой энергии ——океан вовсе не такой уж холодный, каким он мог бы быть. С точки зрения закона сохранения энергии вполне допустимо, чтобы корабль двигался в океане за счет его тепловой энергии, оставляя за собой слегка охлажденную воду (фиг. 365); более того, ничто не помешало бы одновременно
делать кубики льда в корабельном холодильнике. Обратный процесс безусловно реализуем; не представляет никакого труда превратить любое количество работы в тепло, которое бы нагревало океан. Говорят, Ксеркс, разгневавшись, заставил своих рабов высечь Геллеспонт — таким способом он превратил дешевый труд рабов в тепло, согревшее это древнее море. Однако обратный процесс невозможен. Мы не можем заставить моря работать на нас за счет самопроизвольного охлаждения воды.
То, что называется вторым началом термодинамики, может рассматриваться как простая констатация следующего опытного факта. Наш мир устроен таким образом, что оказывается невозможным превращать теплоту в работу таким образом, что единственным результатом являлось бы охлаждение какого-нибудь резервуара (скажем, океана). Используя этот факт (называемый теперь вторым началом), Карно показал, что эффективность его идеальной машины всегда больше эффективности любой реальной машины и зависит только от начальной (высокой) и конечной (низкой) температур. Таким образом, любая машина, работающая при заданной разности температур, будет менее эффективна (как правило, намного менее эффективна), чем идеальная машина. Чем больше разность температур (в частности, чем ниже конечная температура), тем больше эффективность машины.
Паровая машина, как и любая другая тепловая машина, потребляет тепло (источником тепла служит топливо) и выбрасывает его в дымовые трубы или непосредственно в атмосферу (фиг. 366). Выбрасывае-
力а£т^. W力а£т^. W
力а£т^. W
力а£т^. W
Фиг. 366.
мое тепло есть энергия, хоть и не очень доступная, но все же энергия. Поэтому чем больше уносится из машины этой энергии, тем больше будут потери. Следовательно, для того чтобы машина могла использовать всю тепловую энергию, конечная температура (температура отработанного газа) должна соответствовать температуре вещества, абсолютно не содержащего, в некотором смысле, теплоты. Позже мы узнаем, что эта температура называется абсолютным нулем.
СОВРЕМЕННАЯ ФОРМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА КАРНО
Карно проводил свои доказательства на языке материальной теории теплоты. Мы не уверены, что он понимал первое начало термодинамики, формулируя второе; когда он писал, он еще не был полностью согласен с тем, что теплота эквивалентна энергии. Карно использовал слова «feu», «chaleur» и «calorique», которые мы переводим как «огонь» или «пламя», «теплота» и...? Создается впечатление, что Карно почти сознательно вкладывал неопределенный смысл в понятия «chaleur» (теплота) и «calorique» (?); хотя в подстрочном примечании он утверждал, что эти понятия обозначают одно и то же, он использовал их по-разному [2]. Например, он часто употреблял выражение《chute de calorique» (уменьшение...?), но никогда «chute de chaleur» (уменьшение теплоты). Если использовать при переводе слова «calorique» современный термин «энтропия», то доказательства Карно почти совпадут с современными. Возможно, однако, что мы пытаемся найти в его словах смысл, который он в них и не вкладывал п.
В связи с этим интерпретировать доказательство Карно весьма трудно. Действительно ли оно было основано на материальной теории теплоты, и если да, то не отменило ли падение этой теории выводы из его доказательства? Или он сознательно избегал пользоваться гипотезой, что теплота эквивалентна энергии, а поэтому его доказательство, в сущности, не зависит от первого начала? Рудольф Клаузиус полагал, что именно так оно и было 2). Он писал:
«Полностью отбрасывать теорию Карно было бы шагом, который в действительности очень трудно сделать, так как эта теория была до некоторой степени очень хорошо подтверждена экспериментом. Тщательный анализ показывает, что новый метод з) не противоречит сути принципа Карно,— но только утверждению, что теплота не теряется, поскольку при совершении работы может легко случиться, что в то же время опреде-
1)В черновиках Сади Карно, опубликованных его братом в 1878 г. и написанных, как полагают, на основании анализа почерка, проведенного профессором Эриком Мендозой, до работы Карно по второму началу, содержится, вероятно, одна из наиболее ранних формулировок первого начала термодинамики, т. е. эквивалентности теплоты и энергии. Карно писал: «La chaleur n^st autre chose que la puissance motrice [ou plutot que la mouvement] qui a change de forme» [3] («Теплота есть не что иное, как энергия [или, скорее, движение], изменившая форму»). Если это так, то в противовес общепринятому мнению следует считать, что Карно понимал первое начало, когда формулировал второе, но пытался вывести следствия из второго начала, не опираясь на первое.
2)Работа Карно стала известна благодаря статье французского армейского инженера Эмиля Клапейрона «О движущей силе тепла», опубликованной через два года после смерти Карно; в этой статье Клапейрон использовал методы Карно и заново доказал теоремы Карно. Как Клаузиусу, так и Томсону (лорду Кельвину) не удалось достать копии книги Карно, поэтому они ознакомились с его доказательствами по статье Клапейрона.
з)То есть первое начало (сохранение энергии) и эквивалентность теплоты и энер* гии.
ленное количество теплоты будет поглощено; а другое количество теплоты перейдет от более нагретого тела к менее нагретому, и суммарное количество тепла будет находиться в определенном отношении к проделанной работе» (41.
Затем Клаузиус заново проанализировал работу идеальной тепловой машины, эф^ктивность которой превышает эффективность любой реальной машины, не предполагая сохранения теплорода, а используя только первое начало, что, возможно, избегал делать Карно. Приведем этот анализ, переделав его на современный лад. Обозначим через Qt тепло, поступающее в машину (выделяющееся, например, при сжигании угля), через Qa тепло, выходящее из машины (уносимое воздухом,
охлаждающим внешние стенки топки или цилиндров), и через W работу, совершаемую машиной (фн「.找7). Мы предполагаем, что машина работает циклично (например, цикл соответствует полному ходу поршня), так что в конце каждого цикла внутреннее состояние системы возвращается к исходному ".
Поскольку теплота эквивалентна энергии, полная входящая энергия должна равняться поступающей теплоте Qi. Полная же выходящая энергия равна сумме работы W и теплоты Q2. Тогда на основании первого начала термодинамики (закона сохранения энергии) можно написать:
/тепло, поступающее、 /тепло, выбрасываемое、/работа,сов€р-х
(в машину от сгораю- j — ( в окружающее про- | + ( шаемая ма-), \щего топлива / чстранство/ \щиной /
QlG + 吃(25Л)
Чтобы получить максимальную работу из заданного количества теплоты Qi, количество теряемой теплоты Q2 должно равняться нулю. {Чтобы превратить всю тепловую энергию в работу, не следует расходовать ее на нагревание окружающего воздуха или реки.) Как этого достичь? При каких условиях Q含 обращается в нуль?
1)Мы хотим быть увереиы, что энергия не поглощается самоИ машиной. В случае реальной машины часть энергии остается в машине на нескольких первых циклах ее работы, когда она греется, если в момент включения она была холодной; однако этот процесс прекращается, когда температура машины достигает рабочего значения. С этого момента она работает циклично, и ее внутренняя энергия не изменяется.
Можно показать, что в идеальной машине (Карно) отношение поступающей теплоты Qi к теряемой Q2 есть функция только начальной и конечной температур:
(25.2)(25.2)供 зависит только от 友 и /2.
(25.2)
(25.2)
Этот вывод не зависит от конкретных особенностей машины и, в частности, не зависит от рабочего вещества (пар, воздух и т. д.) Более того, при правильном выборе температурной шкалы соотношение (25.2) принимает поразительно простой вид:
(25.3)
Определим тогда такую шкалу, для которой соотношение (25.3) выполняется; эта шкала называется абсолютной, или шкалой Кель-
Ф и г. 368. Температура по Цельсию =： = абсолютная температура минус 273,16°.
вина; она выражается через шкалу Цельсия простым смещением нуля (фиг. 368). Если же мы все-таки желаем измерять температуру по шкале Цельсия, мы должны записывать (25.3) в виде
℃) + 273,16
V(boC) + 273,16・
Перепишем соотношение (25.3) следующим образом:
Qz = (凳)Q】・(25.5)
Теряемая теплота Q2 равна величине полной входящей теплоты, умноженной на отношение конечной и начальной температур (по шкале Кельвина). Определение абсолютного нуля позволяет нам сделать следующий очевидный вывод. Если идеальная машина работает при температурах Т1 и Т2=0 (абсолютный нуль), то выходящая теплота Q2 обращается в нуль, так как
Q2 = (^) Qi =。・ (25.6)
Поскольку Q2=0, энергия не теряется и все тепло переходит в работу, что возможно только в том случае, когда конечная температура равна абсолютному нулю.
Это и есть ответ, представленный в современной форме, на вопрос, выдвинутый Карно. Максимальную работу, получаемую от источника тепла с температурой 7\, среди машин, работающих при двух температурах: 7\ (высокой) и 7% (низкой), может совершить идеальная машина
Карно, и эта работа определяется из следующего выражения:
取=Ql Q2 = Ql佘 Qi = Qi (1 ―笏・(25.7)
Любая реальная машина совершает меньшую работу.
Пример. Чему равен максимальный коэффициент полезного действия (к. п. д.) ° пароходного двигателя, котел которого находится при температуре 100° С (力0, а конденсатор — при температуре морской воды 15 ℃? Для идеальной машины
—полезная работаWQi—Q2
К • И • Д. *~~1 —— -- 八 л
входящая энергия Qi Q】
=1 — ~ === 1—今=1一鶏=1 — 0>77 == 23%.(25.8)
Таким образом, двигатель парохода имеет к. п. д. меньше 23%.
Воздушный кондиционер можно рассматривать как (идеальную) машину Карно, работающую в обратном направлении (одна из особен-
hcmxA^u^.hcmxA^u^.
hcmxA^u^.
hcmxA^u^.
Ф и г. 369.
ностей машины Карно состоит в том, что она может работать как в прямом, так и в обратном направлениях — фиг. 369). Можно так соединить
и Фактически к. п. д. реального двигателя обычно гораздо меньше, чем к. п. д. идеальной машины, работающей при той же разности температур, поэтому основная задача инженеров, как правило, состоит не в уменьшении отношения TjT*> а в уменьшении внутреннего трения, потерь топлива и т. п.
две машины Карно— одну, работающую как двигатель, а другую как холодильник,— чтобы работа в итоге равнялась нулю (фиг. 370).
Представим идеальный кондиционер воздуха (машину Карно), расположенный в центре комнаты (фиг. 371). В этом случае кондиционер не будет охлаждать комнату до тех пор, пока мы не избавимся от теплоты Q2 (обычно ее выводят через окно).
Ф иФ и
Ф и
Ф и
По этой же причине открытый холодильник не будет постоянно охлаждать перегретую кухню. Однако слегка ее он все-таки охладит. Почему?
ЭНТРОПИЯ
Далее Клаузиус показал с помощью абстрактных и труднодоступных, как и все в физике, рассуждений, что можно определить такую функцию S, которая зависит лишь от параметров системы (например, от давления и температуры в случае газовой машины, но не от способа, с помощью которого были достигнуты такие значения температуры и
давления) и изменение которой связано с количеством тепла, вводимого в эту систему. (Рассуждения Клаузиуса сходны с теми рассуждениями, с помощью которых мы доказали в гл. 12, что в случае консервативных сил потенциальная энергия зависит лишь от начального и конечного положений частицы, но не от формы пути, по которому она двигалась.)
Рассуждения Клаузиуса в наиболее простой форме выглядят так. Рассмотрим величину переносимое тепло температура *
Процессы, пpQиcxoдящиe в идеальной машине, изображены на фиг. 372.
УУ
У
У
Фиг. 372.
(25.9)(25.9)Для полного цикла [см. уравнение (25.3)] переносимое тепло — Qi температура '7\
(25.9)
(25.9)
Клаузиус показал, что этот результат не зависит от конкретной конструкции машины (скажем, от того, работает ли машина при двух температурах или при нескольких) при условии, конечно, что трение отсутствует. Отсюда он заключил, что значение величины
Е
переносимое тепло температура между а и Ь
вычисленной между двумя произвольными точками а и b (фиг. 373)>
Фиг. 373.Фиг. 373.
Фиг. 373.
Фиг. 373.
не зависит от формы пути, а определяется лишь положением точек аиЬ. Эту функцию anb Клаузиус назвал энтропией.
По поводу названия «энтропия» Клаузиус писал:
«Я предпочитаю обращаться к древним языкам в поисках названий для важных научных величин с той целью, чтобы эти
названия обозначали одно и то же на всех живых языках. Поэтому я предлагаю назвать S энтропией тела, что по-гречески означает «превращение». Я специально так подобрал слово энтропия, чтобы оно было созвучно со словом «энергия», так как эти две величины настолько сходны по своему физическому значению, что созвучие их названий кажется мне полезным» [5].
Поступив таким образом, Клаузиус не употребил для обозначения этой функции какое-нибудь известное выражение (скажем, теряемое тепло); тем самым ему удалось ввести слово, которое ни у кого не вызывает никаких ассоциаций.
Когда мы будем описывать теплоту и температуру с помощью механических понятий, таких, как полная энергия, средняя скорость, мы найдем очень простую и естественную интерпретацию понятия энтропии. Однако в данный момент любая формула может только запутать дело. Ибо главное сейчас состоит не в ее интерпретации, а в том, что такая функция существует и что она может послужить основой для формулировки весьма глубокого принципа.
Мы можем определить энтропию (как и энергию) для любых систем и для всей Вселенной. Функцию, введенную Клаузиусом, можно определить не только для паровых машин, но и для топлива, снабжающего теплом машины, для топки, где это топливо сгорает, для платформы, на которой стоит топка, наконец, для солнечной системы и для всей Вселенной, содержащей нашу солнечную систему. Согласно закону сохранения энергии, полная энергия Вселенной остается постоянной независимо от того, является ли Вселенная молодой или старой, измеряем ли мы энергию до или после рождения сверхновой звезды, до или после вхождения кометы в солнечную систему и т. д. Принцип, связанный с энтропией (эквивалентный второму началу термодинамики), состоит в следующем: энтропия всегда возрастает. В любом физическом процессе полная энтропия системы всегда увеличивается, хотя энтропия отдельных ее частей может при этом уменьшиться. Подобно тому, как утверждения, что для замкнутой системы 1) E=i厶 mv2+V+ электрическая энергия + ... и 2) £ есть постоянная величина, являются математическим описанием принципа, согласно которому энергия не может возникать из ничего и не может уничтожаться, так и утверждения Клаузиуса, что для замкнутой системы 1) можно определить функцию S (энтропию) и 2) эта функция S растет в любом физическом процессе, являются математической формулировкой другого принципа, в соответствии с которым невозможно получить работу только за счет охлаждения тела до температуры, меньшей температуры окружающей среды °.
б Охладить тело до температуры, меньшей температуры окружающей среды» можно (например, с помощью холодильника), ш> для этого необходимо совершить работу, т. е. иметь какой-нибудь двигатель.
Примененный ко всей Вселенной, этот принцип определяет направление течения любого физического процесса. Рост энтропии 力 означает, что нагретые тела должны охлаждаться (все тела стремятся достичь температуры окружающих предметов) до тех пор, пока Вселенная в целом не израсходует все свое тепло,— тогда энтропия достигнет максимума и ничего больше произойти не сможет.
Был ли этот вывод причиной пессимизма Генри Адамса? В это трудно поверить.
26
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(МЕХАНИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕПЛОТЫ, ТЕМПЕРАТУРЫ И ЭНТРОПИИ)
Понятия теплоты, температуры и энтропии привлекательны прежде всего тем, что они вовсе не связаны с такими атрибутами механики, как сила, масса и ускорение. Нам не нужно рассматривать никаких гипотетических частиц или строить многочисленные догадки о природе вещества. То, что понятия температуры, теплоты и энтропии не связаны с механикой, многим казалось большим преимуществом. Эти величины можно непосредственно наблюдать на опыте. Например, температуру можно определять по уровню поднятия столбика ртути в термометре, не выдвигая никаких предположений о частицах, составляющих вещество. В этом смысле так называемый энергетизм казался альтернативой механике Ньютона, т. е. альтернативой предполагаемой корпускулярной природе вещества. В конце девятнадцатого века выдвигалось множество различных мнений по вопросу о том, действительно ли энергетизм столь же содержателен, как и механика Ньютона, и можно ли с его помощью вывести все разнообразные свойства ньютоновской системы, начиная с движений планет и приливов и кончая прецессией земной оси. Только в 1905 г. появилась статья Альберта Эйнштейна, посвященная атомному, или корпускулярному, объяснению так называемого броуновского движения 2>, которая окончательно ре-
D Если бы наука развивалась по-другому, мы вполне могли бы назвать то, что сейчас называется «теплотой», тепловой энергией, а то, что именуется «энтропией»,—— теплотой. В этом случае первое начало читалось бы так: энергия сохраняется, или, более многословно, тепловая энергия эквивалентна энергии, при этом
4,18 Дж работы=1 кал тепловой энергии, а второе начало — следующим образом: для любого физического процесса, происходящего в изолированной системе, теплота растет.
2)Это внешне случайное и непрекращающееся движение очень маленьких частичек, взвешенных в жидкости, впервые наблюдал ботаник Броун при исследовании жидких взвесей растительной пыльцы.
шила вопрос о необходимости введения гипотезы корпускулярной природы вещества. Тем временем люди, подобные Оствальду и Дюгему, доказывали (на основании принципа экономии мышления), что, поскольку нет необходимости в предположении существования атомов, такие предположения излишни.
Нам кажется, однако, что принцип экономии мышления не является лучшим методом физических исследований, хотя, разумеется, были и исключения. В рассматриваемом случае (это исторический факт) плодотворным оказался путь дополнительных гипотез. Оказалось очень полезным дать механическую интерпретацию понятий температуры и теплоты. Попытка Максвелла получить механическую интерпретацию электромагнитного поля (введением некой среды, в которой напряжение и натяжение эквивалентны электромагнитному полю) не была плодотворной ——в этом случае абстрактное понятие электромагнитного поля оказалось значительно более глубоким, чем его механическая интерпретация. Но сейчас всякий согласится с тем, что механическая интерпретация температуры и теплоты глубже, чем эти абстрактные понятия.
Попытаемся поэтому построить наглядную механическую модель, с помощью которой мы сможем объяснить такие понятия, как температура, теплота и даже энтропия. Механическая интерпретация температуры в принципе не обязательна — мы могли бы воспринимать ее такой, какая она есть. Однако было бы очень полезно понять с помощью модели движущихся частиц, что представляет собой энтропия.
То, что мы собираемся сделать, по существу, очевидно. Мы вводим модель газа и изучаем следствия законов движения Ньютона, примененных к каждой частице газа, надеясь определить поведение всей системы в целом. Мы уже поступили аналогичным образом при изучении твердых тел. Тогда мы предполагали, что некая внутренняя система сил удерживает частицы на неизменных расстояниях друг от друга. Теперь мы введем модель газа и покажем, используя только механические понятия (массу, длину, время и законы движения), как найти величины, которые можно отождествить с теплотой, температурой и энтропией. Если нам это удастся, мы получим очень важный результат. Ибо в таком случае окажется вовсе не обязательным введение этих понятий в основу науки физики.
Попытки такого рода предпринимались еще Даниилом Бернулли. В трактате по гидродинамике, опубликованном в 1738 г., он рассматривал следствия из предположения, что газ состоит из большого числа быстро движущихся D частиц. Он писал, например:
«Представьте себе вертикально поставленный цилиндрический сосуд ACDB (фиг. 374) и в нем подвижную крышку EF,
г> Предположение о быстром движении частиц нужно для того, чтобы объяснить тот факт, что газ может «заполнять» сосуд и одновременно быть сжимаемым. В противном случае необходимо вводить силы, удерживающие частицы на расстоянии друг от друга, например силы, которые приписывались теплороду.
поверх которой лежит груз Р. Пусть в пространстве CEFD содержатся мельчайшие частицы, движущиеся чрезвычайно быстро в различных направлениях; таким образом частицы, ударяясь о крышку EF и поддерживая ее своими непрерывно повторяющимися ударами, образуют упругую жидкость, которая при удалении или уменьшении тяжести Р расширяется, а при ее увеличении сжимается...» 11].
Фиг. 374. Рисунок из работы Д, Бернулли 11].Фиг. 374. Рисунок из работы Д, Бернулли 11].Идея Бернулли состояла в том, что наблюдаемое давление газа объясняется фактом существования большого числа частиц, движущихся с большими скоростями и соударяющихся со стенками сосуда; именно эту идею мы сейчас разовьем.
Фиг. 374. Рисунок из работы Д, Бернулли 11].
Фиг. 374. Рисунок из работы Д, Бернулли 11].
Температуру и энтропию можно интерпретировать с помощью механических понятий не только в случае газа, но и в случаях твердых тел и жидкостей. Однако в твердых телах и жидкостях система внутрен- них сил очень сложна, и провести такую интерпретацию довольно затруднительно. В случаеже газа можно считать, что вся механическая
_в тепло, переходит в кинетическую
энергию частиц, образующих газ. Поскольку выражение для кинетической энергии одной частицы имеет очень простой вид (выражение для потенциальной энергии частиц, образующих твердое тело или жидкость, может быть очень сложным), мы в состоянии для многих газов проанализировать, каким образом механическая энергия превращается в тепловую энергию. Для этого мы сделаем сейчас небольшое отступление и изучим свойства газов. Прежде всего мы ознакомимся с их поведением, известным по данным наблюдений. Это позволит нам получить важные сведения о шкалах температуры.
ПОВЕДЕНИЕ ГАЗОВ
Закон Бойля
Эксперименты с газами сыграли важную роль для понимания строения вещества. Один из наиболее ранних результатов был получен Бойлем и состоял в том, что в экспериментах с газом, температура которого поддерживалась постоянной, иро^з^М乜呢 объема газа на его давление на стенки сосуда, содержащего газ, оставалось постоянной величиной. (Чем сильнее сжимается газ* тем большее давление он
оказывает на стенки.) Этот результат можно записать в виде (давление) х (объем)=const (при постоянной температуре),
или
РУ = const (при постоянной температуре)(26.1)
Давление определяется как сила, действующая на единичную поверхность. Сила 100 Н, действующая на площадку в 2 см2, оказывает давление
=(26 ⑵
Эта же сила, но действующая на площадку в V2 см2, оказывает давление
p=襟=2。。^.(26.3)
Таким образом, сила, действующая на очень маленькую площадку, сказывает очень большое давление — вот почету женщин просят одевать резиновые чехлы на шпильки туфель перед тем, как они ступят на дорогой музейный паркет. Давление окружающей нас атмосферы порядка 10 Н/см?. Часто давление измеряют в атмосферах. Согласно закону Бойля, если мы имеем 1000 см3 воздуха при атмосферном давлении, то, сжав его прн постоянной температуре до объема 500 см3, мы найдем, что давление воздуха на стенки сосуда возросло до 2 атмосфер (атм).
Закон Шарля
В конце восемнадцатого века Жак Шарль и Жозеф Луи Гей-Люссак независимо установили, что при нагревании газа при постоянном давлении его объем возрастает пропорционально увеличению температуры (фиг. 375).
Фиг. 375. Газ в колбе можно нагреть или охладить при постоянном (атмосферном) давлении, используя подвижную ртутную пробку, которая, двигаясь взад-вперед, выравнивает давление газа в колбе (давление^сила/пжицадь) с атмосферным давлением.
Самое норазительнс^ состоит в тсм<, что этот вывод справедлив для всех газов. Оказывается^ что почти все газы увеличивают свой объем примерно на 1/273 часть при изменении температуры от 0℃ до 1° С.
Для жидкостей же и твердых тел (вспомним ртуть и стекло термометра) величина прироста объема при увеличении температуры меняется в широких пределах, что еще раз иллюстрирует простоту газов в сравнении с твердыми телами и жидкостями. Если начертить график зависимости объема от температуры (в градусах Цельсия), то мы увидим (фиг. 376), что этот график является прямой линией. Этот результат называется законом Шарля. Его можно записать в следующем виде:
объем = (постоянная) х (температура) + (другая постоянная)
(26.4)(26.4)(при постоянном давлении).
(26.4)
(26.4)
Напрашивается забавная мысль. А что если продолжить прямую за точки, соответствующие экспериментальным данным (пунктир на фиг. 376)? Мы видим, что прямая пересекает ось температур там,
Фиг. 376. Нагревание газа при постоянном давлении.Фиг. 376. Нагревание газа при постоянном давлении.
Фиг. 376. Нагревание газа при постоянном давлении.
Фиг. 376. Нагревание газа при постоянном давлении.
где объем газа обращается в нуль. Но означает ли это, что, если достаточно сильно охладить газ при постоянном давлении, он совсем исчезнет? Конечно, нет. Все газы при сильном охлаждении становятся жидкими, а в жидкой форме они уже не подчиняются ни закону Бойля, ни закону Шарля. Когда же они находятся в газообразном состоянии, создается впечатление, что их объем при охлаждении может исчезнуть. Это важный факт, к которому мы вернемся немного позже.
Уравнение состояния идеального газа
Мысленно создадим модель «идеального» газа, т. е. такого газа, который не переходит в жидкое состояние, а всегда подчиняется закону Шарля и уменьшает при охлаждении свой объем до нуля. Для такого газа, очевидно, температура, при которой объем обращается в нуль, является абсолютным пределом, так как при дальнейшем понижении температуры объем должен был бы стать отрицательной величиной. Эту предельную температуру можно принять в качестве определения абсолютного нуля как альтернативу довольно произвольному выбору нулей в шкалах Цельсия и Фаренгейта. В результате мы снова получим шкалу абсолютных температур (ту самую шкалу Кельвина* о которой мы говорили ранее), в которой расстояния между метками такие же, как на шкале Цельсия, а нуль соответствует —273,16 ℃.
Ниоткуда не следует, что введенный нами нуль более абсолютен, чем любой другой нуль. Почему, собственно, он должен совпадать с нулем, определенным нами ранее, и почему нельзя охладить реальный сжиженный газ до температуры ниже этого нуля? Возможно, мы достигнем большей ясности, когда найдем механический эквивалент температуры с помощью кинетической теории газов. Мы увидим, что для введения абсолютного нуля при температуре ——273,16° С имеется много независимых причин. Исторически первой из них была экстраполяция графика для «идеального» газа, но это вовсе не означает, что такое определение абсолютного нуля является единственным.
Вернемся к газовому закону и изобразим графически зависимость объема от температуры при постоянном давлении для реального газа, после чего сравним этот график с графиком для «идеального» газа (фиг. 377).
Фиг. 377. Зависимость объема от температуры при постоянном давлении для идеального и реального газов.
Мы видим, что, за исключением случая очень низких температур (а также очень высоких, не отображенных на фиг. 377), реальный газ ведет себя, как идеальный. Оказывается, что закон для идеального газа начинает нарушаться, когда объем молекул, образующих газ, становится соизмеримым с объемом сосуда, в котором этот газ находится. При комнатной температуре объем молекул газа мал по сравнению с объемом сосуда. Таким образом, закон для идеального газа является хорошим приближением, когда можно пренебречь взаимодействием молекул реального газа. (При 7=0 идеальный газ вовсе не занимает никакого объема.)
[Представление о том, каков относительный объем молекул сравнительно с объемом всего газа, можно получить, если сравнить кубический сантиметр воды с объемом пара (например, при атмосферном давлении), получающегося из такого количества воды. В воде молекулы Н2О плотно упакованы, йменно поэтому вода практически несжимаема. Таким образом, мы можем приближенно считать, что в 1 см3 воды находится 1 см3 молекул. Пар, получающийся из 1 см3 воды, занимает при атмосферном давлении 1000 см3, хотя число молекул остается преж-
ним. Таким образом, в типичном газе отношение объема молекул к объему «пустоты» можно грубо оценить как
Поскольку газ все-таки «заполняет» сосуд, то это можно объяснить очень быстрым движением молекул, непрерывные удары которых о стенки сосуда воспринимаются как давление газа. Из-за того что молекулы газа так сильно разделены между собой, в первом приближении (в приближении идеального газа) можно вообще не учитывать их взаимодействия, т. е. фактически не рассматривать их столкновений между собой. Возможность такого упрощения связана с нашей уверенностью (которая позднее будет обоснована), что потенциальная энергия взаимодействия молекул настолько меньше их кинетической энергии, что в приближении идеального газа потенциальной энергией можно полностью пренебречь. Большинство обычных газов ведут себя как идеальные в широких пределах изменения их параметров.}
Если скомбинировать друг с другом законы Шарля и Бойля, то мы получим уравнение, называемое уравнением состояния идеального газа:
ру — const-Т. (26.6)
Закон Бойля'.
при постоянной температуре PV = const.(26.1)
Закон Шарля'.
при постоянном давлении V= const-Т- (26.4)
Эти два соотношения можно представить в виде одного уравнения:
PV = const".(26.6)
Если постоянно Р, мы имеем V=const Т, если же постоянна Т, получаем PV=const.
Постоянную в (26.6) условились записывать в виде
const = ^Б,(26.7)
где М как мы увидим позже, есть число молекул в заданном объеме газа и Йб — так называемая постоянная Больцмана:
屈=1,38・10-16 矍.(26.8)
Тогда
(26.9)(26.9)PV = NhpT・
(26.9)
(26.9)
Это уравнение иногда записывают в другой форме:
W = 〃RT,(26.10)
где п — число молей газа, a R — универсальная для всех газов постоянная:
R = 8,31・10? эрг/моль-К.(26.11)
(Моль, или масса грамм-молекулы, есть такое количество вещества, которое численно равно молекулярному весу в граммах; например, молекулярный вес воды равен 18, следовательно, моль, или масса грамм- молекулы воды, равен 18 г. В моле любого вещества содержится одинаковое число молекул 乂・ Это число называется числом Авогадро и равно 乂 = 6,02• 1023 молекул.)(26.12)
С точки зрения материальной теории теплоты только что рассмотренное поведение газа можно объяснить, предположив, что при нагревании газа (т. е. при увеличении его температуры) в него накачивается дополнительное количество теплорода, в результате чего молекулы газа будут отталкиваться друг от друга сильнее (так как частицы теплорода отталкиваются друг от друга, но притягиваются молекулами). Как следствие этого газ будет расширяться (при постоянном давлении) или увеличивать свое давление (при постоянном объеме). Но для такого объяснения обязательно требуется существование новой субстанции, теплорода, которая не имеет веса, не наблюдаема, частицы которой отталкиваются между собой, но притягиваются всеми другими атомами. Кинетическая же теория газов объясняет наблюдаемые свойства газов и дает определение температуры на основе ньютоновской механики частиц, не прибегая к новой субстанции.
Общая картина газа, которую рисует нам кинетическая теория, состоит в том, что газ является скоплением большого числа быстро движущихся микроскопических частиц, полный объем которых значительно меньше объема, занимаемого газом сосуда. Кинетическая теория газов развивает старую идею, что всякое вещество состоит из элементарных частичек материи, находящихся в быстром движении, причем движение каждой частицы газа подчиняется проверенным законам Ньютона. Тогда возникает вопрос: можно ли, используя такую модель газа и применяя ньютоновские законы движения к частицам, образующим газ, получить наблюдаемые свойства реальных газов? Можно ли, например, вывести соотношение
PV=N*T?
Наконец, можем ли мы найти те механические величины, которые соответствуют температуре газа, содержащейся в нем теплоте и его энтропии?
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА КАК СЛЕДСТВИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Представим, что идеальный газ, находящийся в сосуде, состоит из большого числа ^ частиц массы т, находящихся в движении (фиг. 378). Для простоты будем считать, что сосуд представляет собой куб со сто
роной, равной /, и попытаемся определить давление (силу, действующую на единицу площади) на стенки сосуда, обусловленное ударами газовых частиц об эти стенки.
Когда частица сталкивается со стенкой, изменение ее импульса в процессе соударения происходит под действием силы, приложенной к частице со стороны стенки? численно равной силе (но противоположно направленной относительно нее), с которой частица действует на стенку^. Рассмотрим частицу массы 加，движущуюся к стенке со скоростью
Фиг. 379.Фиг. 379.
Фиг. 379.
Фиг. 379.
vH по прямой, нормальной к стенке (фиг. 379). Допустим, что эта частица сталкивается со стенкой и отскакивает в точности назад. Изменение ее импульса равно конечному импульсу mvK минус начальный mvH.
D Стенка, конечно, тоже смещается, но, если она достаточно массивна, это смещение несущественно. Если считать, что на обе стенки сосуда падает непрерывный
Фиг. 380.Фиг. 380.
Фиг. 380.
Фиг. 380.
поток частиц (фиг. 380), то разумно допустить, что весь сосуд будет находиться в по* кое.
(26.13)(26.14)(26.13)(26.14)Если предположить, что соударение частицы со стенкой упругое (т. е. кинетическая энергия в процессе столкновения сохраняется), то можно заключить, что конечная скорость равна по величине начальной, тогда как направление скорости изменяется на обратное, так что
(26.13)
(26.14)
(26.13)
(26.14)
Vk = — Vh・
Поэтому
изменение импульса == mvK—mvH = — 2mvH.
Изменение импульса, происходящее у стенки за 1 с из-за столкновений частиц со стенкой, равно (изменение импульса при одном столкновении) X (количество столкновении в секунду). Рассмотрим столкновения о правую стенку сосуда, изображенного на фиг. 381, и будем для
Фиг. 381.
простоты считать, что скорость частицы нормальна этой стенке и частица носится взад и вперед между двумя противолежащими стенками. Число столкновений в секунду определяется 1) скоростью частицы и 2) расстоянием, проходимым частицей между двумя столкнове- ниями, равным удвоенному расстоянию между стенками. Время между столкновениями равно пути 2/, деленному на скорость частицы:
2/。
—=время между столкновениями частицы с правой/9A〕冃、
” стенкой сосуда.《')
Число столкновений в секунду равно 1/(время между столкновениями) (так, если время между столкновениями равно 1/10 с, то за 1 с происходит 10 столкновений):
^ = число столкновений в секунду.(26.16)
Тогда величина изменения импульса за секунду из-за столкновений частиц с правой стенкой сосуда равна
(величина изменения импульса при одном столкновении) х (число столкновений в секунду одной иастищ>1)= 2/ж?Х^=毕.(26.17) Это уже удивительный результат. Заметим, что величина Изменения импульса за секунду пропорциональна mu2 (удвоенной кинетической энергии). Это случилось из-за того, что скорость входит как в выражение для .изменения импульса, так и в цыра^ецие для уис〃а столкновений в секунду.
Если в сосуде находится ^ молекул, то величина изменения импульса за секунду у одной стенки, обусловленная столкновениями N молекул, равна произведению ^ на выражение (26.17), или °
величина изменения импульса за секунду при наличии ^ частиц =
(26.18)
Какая должна действовать на частицы сила со стороны стенки, чтобы произошло такое изменение их импульса? Если мы определим ее, то мы тем самым определим и силу, с которой молекулы действуют на стенку, т. е. сможем вычислить давление. Для этого нужно лишь обратиться ко второму закону Ньютона:
FA/ = Ар. (26.19)
Сила, с которой стенка действует на ^ молекул в течение 1 с, испытывает очень сильные флуктуации ——ведь данная частица может находиться, а может и не находиться в контакте со стенкой. Из-за того, что иАстиц очень много и движутся они чрезвычайно быстро, можно считать, что на стенку падает всегда почти постоянный поток частиц. Хотя число частиц, сталкивающихся со стенкой, испытывает очень быстрые флуктуации, при макроскопических измерениях мы наблюдаем некую среднюю силу в течение достаточно длинного интервала времени, скажем в течение 1 с. Поэтому вместо вычисления мгновенного значения силы, быстро изменяющегося со временем, мы определяем среднюю силу, которую мы считаем постоянной в течение 1 с (фиг. 382).
Фиг. 382. Площадь под кривой=/\(a/)1+尸2(A/)2+.•。+尸"(A/)〃=尸cp^.
Наши приборы регистрируют обычно среднюю силу. Они не могут отличать мгновенные значения силы, так как последние испытывают слишком быстрые флуктуации.
Предположим, что на ветровое стекло машины падает поток града (фиг. 383). Град действует на стекло с силой и отклоняет его назад. Хотя сила, действующая на стекло, быстро изменяется со временем, стекло остается практически неподвижным, что говорит о действии на него некоей средней силы со стороны града. Поскольку инерция стекла
D Отметим, что мы не учитываем возможность (скорее даже неизбежность) столкновений частиц между собой, в результате чего их скорости могут как уменьшиться, так и возрасти. Такой учет привел бы нас к проблемам статистической механики, о которой мы будем говорить позже.
слишком велика, чтобы успевать реагировать на флуктуации силы, стекло остается практически неподвижным.
Поэтому мы напишем:
尸ср=мзмененпе импульса за секунду при наличии N частиц (величина),
Мы получили количественное соотношение между скоростью частиц, их числом и массой и силой, действующей на частицы со стороны стенки, или, что то же самое, силой реакции, с которой частицы действуют на стенку. Когда такая система частиц заключена в сосуд, час
тицы, непрерывно сталкиваясь со стенками сосуда, действуют на них с некоей средней силой, иными словами, оказывают на стенки давление.
&p=g—— (величина).&p=g—— (величина).Частицы могут лететь к стенке не под прямым углом, а их скорости не обязательно одинаковы. Однако эти дополнительные усложнения принципиально не изменяют полученный результат. Чтобы учесть первую возможность (скорость V направлена под углом к правой стенке), следует рассмотреть лишь ту компоненту скорости, которая перпендикулярна стенке. Обозначим ее через vx. Тогда можно считать, что частица движется от стенки к стенке со скоростью %, одновременно совершая боковые перемещения. Но эти боковые движения не волнуют нас, поскольку они (как и в случае отражения теннисных мячей) не оказывают влияния ни на величину импульса, передаваемого частицами правой стенке, ни на количество столкновений частиц в секунду с этой стенкой. Величина силы, приложенной к правой стенке, F^=Nmvyi. Эта же сила приложена и к другим стенкам сосуда (но в соответствующие выражения будет входить не %, a vy или 吩 В среднем квадрат скорости в одном направлении равен V3 квадрата полной скорости, так что на стенку будет действовать
&p=g—— (величина).
&p=g—— (величина).
(26.21)
Таким образом, величина средней силы определяется не скоростью частиц в каком-то одном направлении, а их полной скоростью.
Этот результат можно получить, если воспользоваться соотношением
吸+哈Н = №
(26.22)(26.23)(26.22)(26.23)и предположить, что в среднем
(26.22)
(26.23)
(26.22)
(26.23)
吸=% =%
Тогда
менять на 唸,где & на число частиц:
:р есть сумма квадратов скоростей частиц, деленная
% =史*土工(26.24)
艺=4•风
Если частицы обладают различными скоростями, то у2 следует за-
Давление Р на стенку равно величине силы F, деленной на площадь 4 этой стенки, т. е.
(26.25)(26.25)р F F
(26.25)
(26.25)
(26.26)(26.26)Отсюда
(26.26)
(26.26)
Но /3 есть V — объем сосуда, поэтому
р =扌警%р или РУ = 2. Nm%
Вспоминая, что кинетическая энергия равна V2 团？需,соотношение (26.27) можно записать в виде
2
ру ^ fj х (средняя кинетическая энергия). (26.28)
МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Мы получили очень важный результат^ Из механической модели газа следует соотношение
2
PV == у ^ х(средняя кинетическая энергия). (26.28)
Сравним это соотношение с уравнением состояния идеального газа (согласующегося с наблюдениями для реальных газов в широком диапазоне температур):
PV = NhbT・(26.29)
Хотя 9TM два соотношения удивительно сходны, их нельзя считать тождественными. Давление газа, поскольку оио определяется как
сила на единицу площади, можно выразить с помощью механических величин. Объем тоже является «механическим» понятием (длина в кубе).
Неясно, однако, что представляет собой температура. Что в механике может дать хоть какое-то представление о температуре тела? Может быть, время? Длина? Или, наконец, масса? Мы не знаем ответа на этот вопрос, так как механического эквивалента температуры не существует. Мы как раз и пытаемся определить этот эквивалент.
Наше интуитивное представление о температуре, полученное из ежедневных соприкосновений с различными телами, как горячими, так и холодными, формируется с первых дней нашей жизни. Одна из целей развиваемой нами кинетической модели состоит в том, чтобы интерпретировать такое макроскопическое и интуитивное понятие, как температура, используя законы движения отдельных микроскопических частиц, образующих, согласно гипотезе, газ. Наша задача состоит тогда в нахождении такой комбинации механических величин (массы, длины и времени), которую можно было бы отождествить с температурой и которая обладала бы всеми макроскопическими свойствами, характерными для температуры. Наша проблема, следовательно, есть проблема определения.
Сравним соотношение
PV = у yv х (средняя кинетическая энергия)(26.28)
с эмпирическим соотношением
PV = NhT
Если оба эти выражения описывают, газ, то
2
Nk^T —у N х(средняя кинетическая энергия). (26.29)
Тогда мы приходим к следующему утверждению: макроскопическое понятие температуры есть не что иное, как средняя кинетическая энергия молекул, образующих газп. Следовательно, микроскопическое определение температуры таково:
2
Т = н X (средняя кинетическая энергия). (26.30)
Таким образом, используя модель газа в виде большого числа двн- ткущихся одинаковых молекул, столкновениями между которыми мы пренебрегли, но полагали, что столкновения молекул со стенками сосуда образуют давление газа, мы получили выражение, которое совпадает с экспериментально проверенным уравнением состояния для идеального газа, если ввести м и к р ос ко п ическое определение температуры.
D Так определяется температура' 口 кЛасеичеСкой кинетй^ескбй Теорий Газь工 В другой теории (например^ квантовой) определение будет иным, хдтй.я- .родственным определению температуры в классической теории.
Однако, что все-таки означает проделанная нами процедура, когда в процессе вывода мы в критический момент заменяем группу величин, в данном случае (2/3 йБ)Х (средняя кинетическая энергия), на температуру? Фактически эта процедура была главной целью всего нашего анализа: температуру нельзя определить никаким другим способом, поскольку в механике такое понятие отсутствует. Если кинетическая модель все-таки верна, то абсолютно необходимо, чтобы температура была связана с кинетической энергией так, как у нас получилось. Из этого утверждения вытекают следствия, проверенные на опыте. Ниже мы рассмотрим некоторые из них.
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ
Температура и работа
Из точного определения температуры
7 =栽g呜)(26・31)
видно, что температура газа пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа. Этот вывод согласуется со следующим наблюдением: когда над газом, заключенным в теплоизолированном сосуде, производится работа, увеличение температуры пропорционально величине совершенной работы. Поскольку мы считаем, что работа, совершенная над системой, фактически производится над микроскопическими частицами, образующими газ, эта работа может перейти лишь в кинетическую энергию микроскопических частиц. В результате прирост кинетической энергии частиц будет равен работе, совершенной над газом. Но тогда рост температуры газа, пропорциональный изменению кинетической энергии, будет пропорционален работе, совершенной над газом.
Скорость молекул е газе
Чему равна скорость молекул газа, если задана его температура? Ответ на этот вопрос представляет несомненный интерес, так как мы будем иметь тогда представление о величине скорости беспорядочного движения, которое, как мы предположили, характеризует поведение молекул, составляющих газ. Из уравнения (26.31) имеем
% =乎，(26・32)
где
任= 1,38・10-1б Эр「/к.(26.33)
Масса молекулы типичного газа, например водорода (Н2),
m = 3,4.10~24r.(26.34)
При какой-то температуре, скажем температуре замерзания воды (273 К), получим
吟р = 3,3・1(Рсм2/с2,(26.35)
уср-1,8-105 см/с.(26.36)
Мы видим, что молекулы должны двигаться с очень большими скоростями, порядка 6500 км/ч.
Скорости движения молекул газа чрезвычайно велики. Если молекула газа движется вертикально вверх и не сталкивается при этом с другими молекулами, то она достигнет высоты примерно 5 км, прежде чем сила тяжести остановит ее. (Мы можем рассчитать эту высоту, приравняв среднюю кинетическую энергию молекулы газа, вычисленную выше, ее потенциальной энергии на высоте 5 км.) Поскольку молекула проходит такое большое расстояние до остановки ее силой тяжести, она практически не замедлится при движении от пола до потолка комнаты. В результате атомы проводят практически столько х<е времени у потолка комнаты или у крышки сосуда, как и у пола, в результате чего плотность газа постоянна в сосудах обычных размеров, несмотря на то, что молекулы обладают определенным весом. Если же мы будем взбираться на вершину горы, то заметим, что плотность воздуха становится с высотой заметно меньше.
Согласно современным представлениям, атомы газа в течение секунды сталкиваются друг с другом очень много раз, так что от столкновения к столкновению они проходят не 5 км, а всего лишь около 1/1000 см. Однако полученный нами выше качественный результат все равно сохраняет силу, поскольку при столкновении атом передает свой импульс другим атомам, в результате чего атомы в среднем равномерно заполняют комнату. Среднее число столкновений атома воздуха, оцененное по формулам и согласующееся с измерениями, порядка 105 столкновений на каждом сантиметре пути, или порядка 5-109 в секунду. Поэтому путь атома скорее напоминает зигзагообразную, чем прямую или гладкую кривую линию. Это объясняет, почему между моментом, когда в одном конце комнаты разрезали луковиг 7, и моментом, когда запах лука обнаружили в другом конце, проходит довольно длительное время, несмотря на то, что молекулы, переносящие запах, движутся с очень большими скоростями. Так отвергается одно из наиболее старых возражений против кинетической теории газов.
Скорость и масса
Рассмотрим два газа при одинаковой температуре, молекулы одного из которых тяжелее молекул другого газа. Как различаются средние скорости молекул этих двух газов? Если оба газа находятся при одинаковой температуре, средняя кинетическая энергия молекул одного газа равна, согласно (26.31), средней кинетической энергии молекул другого газа:1
у mi (磋p)i =彳加2 (磋р)2*(26.37)
Отсюда видно, что если т2 больше %, то (уср)2 должна быть меньше, чем (Ocp)i・ Иными словами, молекулы более тяжелого газа движутся в среднем медленней, чем молекулы легкого газа, если оба газа имеют одинаковую температуру.
Можно ли это проверить? Предположим, что газ диффундирует через небольшое отверстие из одной камеры в другую; тогда скорость движения молекул газа будет определять скорость его диффузии, т. е. скорость просачивания молекул через отверстие. Оказывается, что более тяжелый газ при заданной температуре диффундирует через отверстие медленнее, чем легкий газ, что подтверждает полученный нами вывод. Такие эксперименты были проведены, и их количественные результаты оказались в согласии с выражениями, которые мы написали выше.
Если два газа, молекулы которых имеют различные массы, были захвачены пористыми телами, то более легкий газ покинет пористое тело быстрее, чем тяжелый. Этот результат широко использовался при разделении изотопов урана (урана-238 и урана-235) для производства первой атомной бомбы. Массы атомов этих изотопов различаются на очень маленькую величину. Поэтому пришлось создавать огромные прристые камеры, площадь которых составляла многие гектары. В долине реки Теннесси был воздвигнут гигантский завод, где два урановых газа непрерывно циркулировали через пористые камеры, в которых более легкий газ диффундировал быстрее, в результате чего газовая смесь постоянно обогащалась легким изотопом урана.
Определение шкалы абсолютных температур
Определив температуру как
Т-^т^> (26・31)
мы получаем возможность ввести естественный нуль температурной шкалы в рамках микроскопической теории. Когда средняя кинетическая энергия молекул газа обращается в - нуль, т. е. когда эти молекулы полностью останавливаются и прекращается всякое хаотическое движение молекул, температура газа, согласно нашему определению, равна абсолютному нулю1).
К Этот вывод, без сомнения, порождает уверенность, свойственную современному «здравому смыслу», что при абсолютном нуле всякое движение прекращается. Если изучать мир с помощью квантовой физики (а мы будем этим заниматься позже), то окажется, что движение системы частиц в-этой теории существенно отличается от движения системы в ньютоновской кинетической теории (рассмотренной выше), а определение температуры будет иньщ. При высоких температурах классическое у квантовое определения совпадают. При низких же температурах они существённо различаются. С точки зрения квантовой физики абсолютный нуль соответствует не полному отсутствию движения (это невозможно для квантовых систем), а наинизшему (основному) состояние системы. Для классической системы основцае состояние определяется отсутствием движения, к^ было ролуч^но выш^.
КОГДА ТЕПЛОТА МОЖЕТ СОВЕРШАТЬ РАБОТУ?
Мы уже выяснили точку зрения кинетической теории на то, как работа, произведенная над газом, превращается в кинетическую энергию молекул газа при увеличении температуры. Можно ли обратить этот процесс так, чтобы горячее тело совершало работу за счет собственного охлаждения и превращения тепловой энергии в работу? Энергия, как мы первоначально ввели ее, способна переходить в работу. Когда мы отождествили теплоту с энергией, мы отмечали, что тепловая энергия может превращаться в работу лишь при соответствующих условиях. Почему с точки зрения кинетической теории нужно вводить дополнительные условия? И каковы эти условия, при выполнении которых теплота совершает работу?
Раскаленный добела кусок железа способен совершить работу; если опустить его в воду, часть воды закипит, и образующийся пар может быть использован для приведения в движение паровой машины и т. д. Почему нельзя летом извлекать часть кинетической энергии из атмосферы, превращать ее в полезную работу и тем самым охлаждать столь неприятный горячий воздух? При таком процессе энергия сохраняется, однако мы знаем, что он невозможен, и второе начало термодинамики как раз и является формальным обобщением подобных фактов.
Мы можем получить некоторое представление о том, почему такие процессы невозможны, рассмотрев снова модель идеального газа. В этой модели энергия газа складывается из энергий хаотического движения молекул. Чтобы заставить эту энергию совершать работу, необходимо каким-то образом превратить хаотическое движение молекул в упорядоченное. Это можно сделать при наличии большого количества другого вещества (назовем его резервуаром), находящегося при температуре,
гораздо меньшей температуры вещества, из которого мы пытаемся извлечь работу. Тогда (как и в случае раскаленного куска железа и воды) более нагретое тело может совершать работу до тех пор, пока его температура и температура резервуара не сравняются.
Допустим, однако, что в нашем
распоряжении нет такого гигантского резервуара (как в случае атмосферы), имеющего гораздо меньшую температуру. Как можно было бы извлекать работу из такого газа? Представим устройство, изображенное на фиг. 384. Колесо с лопастями, находящееся в газе, соединено с приводным валом. Если бы молекулы газа двигались так, что они ударяли бы только по одной стороне лопастей, они бы передали свою энергию приводному валу. Иначе говоря, газ совершил бы работу, а сам охладился бы. Водяное колесо работает на таком же принципе, однако поток воды там направленный. Моле-
кулы же газа не могут сами упорядочить свое движение. Они ударяют по колесу со всех сторон, в результате чего колесо остается в покое.
Можно попытаться усовершенствовать это устройство, скажем, введением механизма, позволяющего колесу вращаться лишь в одном направлении п. Но анализ этой усовершенствованной машины показывает, что через некоторое время дополнительный механизм так разогреется из-за усиления внутреннего движения составляющих его частиц, что он начнет «срываться» и не сможет задерживать движение колеса в одном направлении. Такое рассуждение не является удовлетворительным, и позже мы повторим его в другом, лучшем виде, однако результат мы получим тот же: невозможно заставить частицы упорядочить свое движение, чтобы они совершали работу за счет энергии хаотического движения, если нет резервуара частиц, в котором их движение менее хаотично (т. е. температура меньше).
Если горячее тело привести в тепловой контакт с холодным газом, этот газ будет при нагревании расширяться и сможет совершить работу, толкая, например, поршень. Этот процесс прекращается, как только температура газа сравнивается с температурой тела. Для продолжения процесса следует либо охладить газ, либо привести горячее тело (которое уже слегка охладилось) в контакт с другим, более холодным газом. Чтобы извлекать тепловую энергию из кубика льда, нужно иметь в качестве рабочего тела вещество, более холодное, чем лед, скажем сухой лед. Чтобы извлекать тепловую энергию из сухого льда, нужно использовать в качестве рабочего тела уже жидкий гелий и т. д.
Такая последовательность заканчивается, когда используется рабочее тело, находящееся при абсолютном нуле температуры, т. е. когда вся тепловая энергия извлекается из системы. Однако такой резервуар практически невозможен. Чтобы машина совершала полезную работу, требуется, как правило, создание большой разности температур. Таким образом, несмотря на огромный запас энергии в воздухе и океане, эту энергию не удается (до сих пор) экономично превращать в полезную работу .
ОБСУЖДЕНИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Кинетическая теория газов в своей простейшей форме основана на нескольких существенных предположениях. Теперь, когда мы получили уравнение состояния идеального газа и механическое определение температуры, мы можем прервать наше изложение и обсудить ю, что уже нами было получено.
Мы предположили, что газ состоит из огромного числа отдельных частиц, которые можно назвать молекулами и которые чрезвычайно
1)Таким устройством может быть, например, звездчатка.— Прим. ред.
малы по сравнению с размерами «пустоты», в которой они движутся. Мы допустили далее, что эти частицы находятся в очень быстром движении, а энергия и импульс распределены между этими частицами или между ними и стенками сосуда, который удерживает газ посредством чисто упругих сил; это подразумевает, в частности, что частицы не имеют внутреннего строения и при столкновениях не могут перейти в возбужденное состояние. (Сила, действующая при столкновениях, изменяет только импульс частиц, но не их внутреннее строение.)
Эти два предположения составляют атомистическую гипотезу, сходную с соответствующей гипотезой древности. Сравнение объемов, занимаемых молекулами Н2О в воде и в паре, убеждает нас в том, что объем, занимаемый самими молекулами, мал по сравнению с полным объемом газа. Далее, вычисленное значение средней скорости частиц по полученным нами формулам согласуется с экспериментом и свидетельствует о быстром движении частиц.
Однако представление о том, что атомы не имеют внутренней структуры и, стало быть, не могут поглощать энергию при столкновениях^, является отголоском древнего убеждения, согласно которому атомы считались неделимыми и абсолютно элементарными кирпичиками вещества. Сейчас мы придерживаемся другой точки зрения. Известно, что атом обладает очень сложной структурой и сам состоит из частиц, совершающих сложные движения. Тем не менее второе предположение кинетической теории считается и сейчас правильным (для одноатомных газов),и, более того, предсказания, основанные на этом предположении, действительно подтверждаются на практике. Можно только поражаться, как из предположения, основанного на явно упрощенном представлении о строении атома, получаются физические следствия, согласующиеся с экспериментом.
D Уверенность в том, что внутреннее строение молекул, образующих газ, не изменяется при обычных столкновениях, является следствием квантовомеханической теории атома. В соответствии с квантовой теорией атомы или молекулы могут находиться лишь в определенных дискретных состояниях. Поясним это на примере шезлонга, имеющего несколько положений спинки, которые фиксируются с помощью трех или четырех пазов. Если мы будем шевелиться, сидя в этом кресле, мы не сможем изменить положение его спинки до тех пор, пока не сделаем резкого движения, достаточного, чтобы фиксатор перескочил в другой паз. Совершенно иначе ведет себя кресло, спинка которого может непрерывно изменять свое положение. Если мы будем двигаться, сидя в таком кресле, его спинка будет занимать бесчисленное множество различных положений, могущих различаться между собой на ничтожный угол. Спинка шезлонга, конечно, слегка перемещается, когда мы шевелимся, сидя в нем, однако ее устойчивое положение соответствует лишь трем или четырем возможным положениям фиксатора в соответствующих пазах.
Тогда можно сказать, что при обычных столкновениях молекул газа, если на минуту вообразить, что эти молекулы сходны с шезлонгами, возникающие силы недостаточны, чтобы фиксатор перескочил в другое положение, и атомы, или шезлонги, остаются в том же состоянии, в каком они были до столкновения. Уверенность, что некое подобие таких пазов и фиксаторов имеется в атомах, основана на огромном количестве экспериментальных фактов и составляет ядро всей квантовой теории.
Согласно нашим современным представлениям, при столкновениях атомов газа их строение не изменяется, несмотря на то, что они обладают сложной внутренней структурой. Следовательно, несмотря на сложность внутреннего строения атомов, образующих газ, тот факт, что их внутренняя структура остается неизменной, позволяет нам при изучении обычных столкновений этих атомов газа полностью игнорировать их внутреннее строение. Эта ситуация иллюстрирует структуру физических теорий. Хотя тела, поведение которых является объектом изучения, могут быть очень сложными, это не исключает возможности заменить (при условии, что сложное строение тел не оказывает влияния на рассматриваемый физический процесс) сложные тела очень простыми, но обладающими как раз такими свойствами, которые не изменяются в процессе взаимодействия и которые нас интересуют в данный момент. Изучение таких упрощенных свойств оказывается достаточным для описания интересующих нас явлений.
27
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ВВЕДЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Статистическая механика возникла из классической кинетической теории и из рассмотрения проблем корпускулярной теории материи, предложенной еще Декартом и Ньютоном. Чтобы изучить следствия из законов Ньютона, примененных к системе многих частиц, избежав при этом решения их уравнений для каждой отдельной частицы, т. е. не рассматривая всех столкновений частицы и всех деталей ее траектории (в принципе такая процедура возможна, но она даст нам гораздо больше информации, чем нам вообще нужно), мы попытаемся выделить из массы полученной информации (положения и импульсы всех частиц, образующих большую систему) некие средние характеристики, соответствующие тем величинам, которые действительно нас интересуют: в случае газа — его объем, давление и температура, а в случае твердого тела — положение и скорость его центра масс. Основной вопрос статистической механики состоит в следующем: можно ли разумным образом вывести макроскопическое, или среднее, поведение системы многих частиц, не решая соответствующих уравнений движения для каждой частицы системы?
В исследованиях Бернулли и Клаузиуса, да и в нашем анализе газа, который считался состоящим из большого числа частиц, быстро движущихся внутри сосуда, содержалось одно предположение, которое никак нельзя назвать реалистичным. Мы допустили, что все частицы движутся с одинаковыми скоростями и не сталкиваются между собой.
Сделав это допущение, мы по существу ушли от решения уравнений движения, заранее задав форму решения. Совершенно очевидно, однако, что в результате столкновений частиц между собой и со стенками сосуда их скорости будут как-то распределены: некоторые частицы будут двигаться быстрее, а другие медленнее; вряд ли все частицы будут обладать одинаковыми скоростями. Но до появления работы Максвелла ° считалось, что единственной альтернативой предположению о равенстве скоростей является строгое решение уравнений движения для всех частиц системы ——т. е. именно то, от чего мы стремимся уйти.
В статье, опубликованной в 1860 г. («Пояснения к кинетической теории газов»), Максвелл отказался от предположения, что скорости чаетиц одинаковы, но допустил, что в газе существует некоторое распределение скоростей, не изменяющееся в состоянии равновесия. Иными словами, число частиц, имеющих скорости между vt и у2, остается постоянным.
«В целях создания основы для подобных исследований на строгих принципах механики я изложу законы движения неопределенного количества малых твердых и совершенно упругих шаров, действующих друг на друга только во время столкновения» [1].
Максвелл поставил себе целью вычислить такие величины, как средняя длина свободного пробега частицы воздуха (она равна примерно 5-10~6 см) или среднее число столкновений одной частицы за 1 с при нормальных температуре и давлении (равное приблизительно 8* 109), а также многие другие величины, связанные с вязкостью и средней кинетической энергией газов, находящихся в тепловом равновесии. Но теперь мы понимаем, что главным результатом статьи была формулировка основной идеи статистической механики. Если нам известно распределение скоростей частиц, образующих газ, мы можем вычислить передачу импульса при столкновениях частиц с поверхностью сосуда и получить различные интересующие нас величины. Но для нахождения распределения скоростей необходимо в принципе решить уравнения движения, исследовать, что происходит при каждом столкновении, и т. д. Раньше мы избегали этого, допуская равенство скоростей всех частиц. Максвелл же предположил, что столкновения частиц между собой и со стенками сосуда приводят к хаотизации их движений, в результате чего вероятность того, что частица имеет заданную ско рость в одном направлении, оказывается такой же, как и для противоположного направления скорости; с помощью таких предположений Максвеллу удалось получить наиболее вероятное распределение скоростей (т. е. узнать, сколько частиц имеют скорости в интервале от vt до у2), не решая уравнений движения для всех частиц системы.
НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Максвелл открыл путь, который со временем превратился в широкую столбовую дорогу. В течение последующих ста лет было воздвигнуто грандиозное здание статистической механики, в частности благодаря работам Людвига Больцмана и Дж. Вилларда Гиббса. (Гиббс был первым великим американским физиком-теоретиком, который, как и другие «пророки», был признан в собственном университете в последнюю очередь. Говорят, что президент Йельского университета, решив создать физический факультет, обращался за помощью к нескольким европейским ученым. Они отсылали его к Вилларду Гиббсу, которого президент не знал. Гиббс в это время числился в штате Йельского университета.)
Суть статистической гипотезы, сформулированной для газов, состоит в том, что мы отказываемся от попыток узнать точное положение и скорость каждой из множества частиц, образующих систему, а вместо этого предполагаем, если нет никакой дополнительной информации, что для каждой частицы системы все возможные положения и направления скорости равновероятны (следует особо подчеркнуть слово равновероятны). Некоторую информацию мы все-таки имеем: предполагается, что полная энергия системы Е и полное число частиц в ней N фиксированы (мы считаем, что энергия и число частиц сохраняются). Поэтому некоторые комбинации скоростей и положений совокупности частиц запрещены; в качестве примера запрещенной системы укажем такую комбинацию, когда хотя бы одна частица обладает энергией, большей £: в таком случае полная энергия системы превышала бы Е.
Можно было бы представить себе ситуацию, когда вся энергия газа вложена в одну частицу, которая движется с чрезвычайно большой скоростью, соответствующей энергии Е, а остальные частицы стоят неподвижно. Мы чувствуем, однако, что такая конфигурация вряд ли «жизнеспособна», так как можно ожидать, что быстро движущаяся частица будет сталкиваться с другими частицами и отдавать им при этом часть своей энергии. Возможна и другая комбинация, когда полная энергия газа поделена поровну между всеми молекулами, которые движутся равным строем одна за другой с одинаковыми скоростями; но и эта ситуация, как подсказывает нам интуиция, выглядит маловероятной, так как столкновения приведут в конце концов к хаотизации движения.
Рассмотрим все возможные (и различающиеся между собой) распределения молекул в пространстве и по скоростям, удовлетворяющие условиям, что энергия £ и число частиц N остаются неизменными, когда все молекулы находятся в одном углу сосуда и имеют одну скорость, когда они находятся в другом углу и имеют другую скорость и т. д., т. е. примем во внимание абсолютно все возможные комбинации. Найдем теперь наиболее вероятное распределение положений и скоростей молекул. Эта задача при перечисленных выше условиях разрешима. Основная идея статистики заключена в гипотезе, что, если система
находится при заданной температуре (в тепловом равновесии, как, например, газ в сосуде), скорости и положения молекул описываются наиболее вероятным распределением. Зная это наиболее вероятное распределение молекул, можно вычислить коэффициент вязкости, давление и другие величины.
Распределение Максвелла — Больцмана требует, чтобы частицы были однородно распределены в пространстве, а их скорости — как показано на фиг. 385. Это и есть наиболее вероятное распределение
Фиг. 385.
частиц по положениям и скоростям при условии, что все конфигурации равновероятны, а полное число частиц и их полная энергия фиксированы.
Таким образом, мы обходимся без допущения о равенстве скоростей частиц и не решаем уравнений движения, из которых мы могли бы получить точные значения координат и скоростей каждой частицы, но вводим наиболее вероятное распределение по положениям в пространстве и по скоростям для всех частиц. Это весьма радикальное предположение выходит далеко за рамки законов механики, недаром его долго и интенсивно обсуждали и анализировали уже после Максвелла и Больцмана. Это допущение формулировали по-разному. Но по существу все сводится к чисто интуитивной догадке, что в любой реальной физической ситуации маловероятные распределения молекул (как по пространству, так и по скоростям) не могут возникать настолько часто, чтобы оказывать хоть какое-то влияние на равновесные свойства системы.
Проиллюстрируем смысл этой гипотезы на нескольких примерах. Рассмотрим газ, состоящий из большого числа частиц, заключенных в сосуде. Вполне возможно такое распределение частиц, когда все частицы движутся в одну сторону, ударяются в какой-то момент об одну стенку сосуда и ни одна из них не ударяется о противоположную
стенку (фиг. 386). В результате такого движения к одной стенке сосуда будет приложена значительная сила, а на другую стенку сила действовать не будет, поэтому весь сосуд отскочит вбок, пока противоположная стенка не столкнется с молекулами, после чего сосуд отскочит назад. Это возможно, но маловероятно. Вряд ли 1023 молекул смогут на мгновение упорядочить свое движение и начать двигаться в одном направлении вместо того, чтобы беспорядочно метаться во все стороны.
Фиг. 386. Все молекулы движутся в одном направлении.
Может также случиться, что в какой-то момент все молекулы вдруг очутятся в одном углу сосуда, а все другие части сосуда окажутся пустыми (фиг. 387). В это мгновение плотность газа в одном углу сосуда станет очень большой, тогда как в других его частях плотность будет равна нулю. Такая ситуация тоже возможна, но маловероятна.
Предположим, что на автомобильной стоянке находится 10 000 машин и стоянка имеет лишь один выезд; когда заканчивается футбол, все владельцы машин садятся за руль. Спрашивается: возможна ли такая ситуация, когда все машины непрерывным потоком выедут со
Фиг. 387. Все молекулы собрались в одном углу.
стоянки, не образуя «пробок» или скоплений машин в некоторых местах? Конечно, это возможно, но крайне маловероятно, если на месте не окажется большого количества дорожных полицейских. Как правило же, при освобождении стоянки образуется немыслимая каша из машин, поскольку каждая из них перемещается почти случайным образом, пытаясь выехать со стоянки.
Предположение, содержащееся в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса, равнозначно утверждению, что большое количество частиц, подчиняющихся ньютоновским законам движения, при наличии тех или иных внешних ограничений (например, постоянства полной энергии и полного числа частиц °) в результате взаимных соударений в конечном итоге переходят в некое среднее состояние. Из знаменитой теоремы Больцмана (//-теоремы) следует, что при заданных начальных условиях столкновения частиц приводят к постепенному установлению
и Знещние ограничения могут быть и иными. Например, можно потребовать, чтобы при наиболее вероятном распределении частиц системы были зафиксированы ее температура или давление.
наиболее вероятного состояния. Статистическая механика избавляет нас от всех неудобств, связанных с решением уравнений движения. Она основывается на предположении, что распределение частиц в равновесном состоянии является наиболее вероятным, и выводит затем все следствия, вытекающие из этого распределения. Очевидно, что могут возникать и такие распределения, которые не являются наиболее вероятными. Не менее очевидно, однако, что такие распределения быстро исчезнут, если потрясти сосуд или ввести беспорядок каким-либо иным способом.
БЕСПОРЯДОК И ЭНТРОПИЯ
При изучении кинетической теории газов нам удалось отождествить величины, подобные температуре, с чисто механическими величинами —средней кинетической энергией и т. д. Но прежде чем интерпретировать энтропию, следует ввести понятия вероятности и беспорядка (хаотичности). Если считать, что теплота как-то связана с движением, то уместно говорить об интенсивности этого движения (скажем, полной энергии) и о том, как это движение распределено (все частицы либо движутся с одной скоростью и в одну сторону, подобно шеренге хорошо вымуштрованных солдат, либо они мечутся во все стороны, как пассажиры на станции метро в час пик). Величину S, названную Клаузиусом энтропией, отождествляют в кинетической теории или статистической механике со степенью хаотичности движения в системе. Энтропия системы мала, когда движение в Системе упорядочено или когда распределение частиц в ней по скоростям и положениям маловероятно.
Так, конфигурация частиц, движущихся с одинаковыми скоростями в одном направлении, имеет очень низкую энтропию. Система, в которой все частицы скопились в одном углу сосуда, тоже обладает малой энтропией. Максимальное же значение энтропии системы соответствует такой конфигурации, которая наиболее вероятна. Качественная зависимость между энтропией и вероятностью состояния имеет вид, показанный на фиг. 388:
Ф и г. 388. Энтропия связана с вероятносТыЬ данной конфигурации. При увеличении вероятности энтропия растер.
энтропия = &б X (логарифм числа способов реализации данного распределения с помощью перестановки одинаковых частиц).(27.1)
Из этого определения следует, что энтропия наименее вероятной конфигурации, т. е. конфигурации, которую можно реализовать лишь одним способом, равна нулю, так как
5 = ^б X логарифм (1) = 0・ (27.2)
Таким образом, нам удалось интерпретировать понятие энтропии в терминах понятий механики. Подобно тому как температура, определенная через среднюю кинетическую энергию, обладает всеми макроскопическими свойствами температуры, определенная указанным выше образом энтропия также обладает всеми требуемыми свойствами. С помощью полученного определения можно по-иному сформулировать весьма загадочное второе начало термодинамики, гласящее, что в любом физическом процессе энтропия растет. Теперь можно утверждать, что в любом физическом процессе распределение частиц в системе изменяется от менее вероятного к более вероятному (за исключением особых идеальных случаев, когда распределение не изменяется). Иными словами, в физических процессах упорядоченные системы стремятся стать неупорядоченными. Такая упорядоченная система, как, скажем, фарфоровая ваза, превращается в осколки, если вазу уронить. Рассыпанные осколки вазы сами по себе не могут сложиться нужным образом (это может случиться только в кино, если пустить киноленту в обратную сторону).
Среди следствий из такой интерпретации второго начала имеются и такие, обсуждением которых мы можем развлекаться на досуге.
Фиг.Фиг.Допустим, что все молекулы,образующие кусок мела, так упорядочили свое движение, что температура мела упала, а он сам не ожи- данно подпрыгнул перед нашим взором. Вообще говоря, это возможно. Обычно при этом добавляют, что крайне маловероятно; если вычислить вероятность такого события, мы получим, что она равна
Фиг.
Фиг.
одной миллиард миллиард... — иными словами, очень маленькой величине. Этим мы можем по крайней
мере объяснить тот факт, что мы не наблюдаем такое событие ежедневно.
Но оно может в принципе произойти. Допустим, что такое событие случилось. Скажем, кусок мела неожиданно подпрыгнул сам по себе (фиг. 389). «Поверим» ли мы своим глазам? Иными словами, нас интере-
сует не то, почему мы не наблюдаем такие события, а скорее вопрос: «Захотим ли мы их интерпретировать как статистическую флуктуацию или как иллюзию наших чувств?».
ОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ И ЭНТРОПИЯ
Идея о том, что в любом физическом процессе состояние системы изменяется от более упорядоченного к менее упорядоченному, дает нам направление времени, которое ранее отсутствовало. Уравнения движения ньютоновской механики обратимы. Для планеты, движущейся по своей орбите, одно направление движения ничуть не лучше противоположного. С помощью уравнений движения мы можем предсказать точный срок затмения, скажем в двадцать седьмом веке, или узнать, что затмение происходило, когда Александр Македонский отправился на Восток. Однако ясно, что среди более сложных событий выделенное направление существует. Проще выехать со стоянки машин, чем поставить автомобиль на стоянку, проще разбить стекло, чем вставить его, проще рассыпать кубики, чем сложить их в картинку, проще убить человека, чем вернуть его к жизни.
Если система упорядочена, ее энтропия очень мала (распределение почти невероятно); существует много способов внести беспорядок в та* кую систему. Если же система полностью неупорядочена (энтропия велика), то трудно найти хотя бы один способ возвращения ее в исходное упорядоченное состояние. Не представляет труда разбить вазу на мелкие осколки, и любая из тысячи комбинаций осколков на ковре будет представлять разбитую вазу (конечно, практически невероятно при этом добиться того, чтобы осколки рассеялись заранее заданным образом). Но, для того чтобы удалось сложить вазу из кусочков, требуется найти точное положение каждого осколка, и вряд ли при случайном движении тысячи осколков каждый из них окажется в нужном положении.
Выделенное направление времени связано с тем, что в физических системах трудно найти способ перевода их в заданное единственно возможное состояние. В принципе это возможно. Но выглядеть это будет крайне странным, как при просмотре фильма в обратном направлении.
Таким образом, утверждение о тепловой смерти, утверждения, что все тела в конце концов охладятся, что энтропия растет, что невозможно отбирать энергию у океана за счет его охлаждения,— все они являются существенно вероятностными. Возможно, что частицы газа когда- нибудь так упорядочат свое движение, что начнут двигаться в одном направлении, произведут работу над поршнем и остановятся, в результате чего вся их энергия хаотического движения перейдет в работу над поршнем, а температура газа достигнет абсолютного нуля. Подобные события возможны, но чрезвычайно маловероятны, настолько маловероятны, что мы не удивимся, если никогда не увидим их.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Эти приложения не следует рассматривать как самостоятельные разделы, 〃х нужно читать после указанных в тексте мест, 6 частности в гл.2, Зи 4. Здесь введены физические идеи, лежащие в основе различных математических понятий. Там, где это возможно, примеры взяты из текста книги, чтобы проиллюстрировать те или иные математические приемы.
1
ЧИСЛА, АЛГЕБРА
Первое знакомство с математикой мы получаем при изучении обычных чисел. Мы так рано обучаемся счету (3x4=12, 3+6=9, ...), что часто теряем представление об их структуре. Символ 3, помимо прочего, обозначает нечто общее, присущее всем наборам из трех предметов. Его можно записать и в виде III (как делали римляне), и в виде
ттг
(как делали древние вавилоняне);
3 + 6 = 9 равнозначно
m+vi = ix
Древние египтяне использовали иероглифы для обозначения степеней 10. Вертикальная палочка обозначала 1; дуга с——10; спираль ?——100; лотос 纟—1000 и т. д. Числа в этих символах представлялись с помощью аддитивной системы: так, например, число две тысячи триста тридцать девять записывалось так:
а читалось оно, как
В древневавилонской клинописи (1800—1600 гг. до н. э.) числа от 1 до 10 имели следующий вид:
丫开加渺严轩出落肝《
Числа 20, 30, 40 и 50 обозначались
а число 60—снова 丫. Отличить 1 от 60 можно было по положению символа 丫 в числе. Так,好 обозначало 10+1, или И, a R— 60 +10, или
70. В вавилонской системе можно было выражать разные степени 60 с помощью одних и тех же символов, в то время как в древнеегипетской системе для обозначения различных степеней 10 следовало использовать разные символы.
В индо-арабской системе (эта десятичная система, в которой использовалось позиционное обозначение, сохранилась до наших дней) появился нуль, устранивший те неопределенности, которые встречались в более ранних системах. (Нуль можно писать в середине числа, например 201, или после целых чисел, как в числах 10, 100, 1000, ...» для обозначения нужной степени 10; кроме того, посредством нуля можно обозначать такие конструкции, как, например, 2—2 и 15—15.) В этой системе используются 10 чисел: 0, 1, ..., 9. С помощью этих чисел1 и их положений можно построить любое число. Например, 932 обозначает 9X100+3X10+2X1. Таким образом удается, используя ограниченное количество символов, однозначно и удобно представить очень широкий набор чисел.
Среди средств, использующихся для упрощения операций с большими числами, одним из наиболее полезных является показатель степени. Умножая, например, 100 на 1000, получаем
100x 1000=100 000,
т. еА произведение единицы с двумя нулями на единицу с тремя нулями равно единице с пятью нулями. Такое умножение можно упростить, если ввести понятие показателя:
105 означает ЮхЮхЮх 10x10,
102 означает 10 х 10,
10-3 означает iox】xlO = E
Тогда произведение
100x1000-100 000
можно представить в виде
102 x 103= 105.
В общем случае
10”10匕=10g+&,
или
10。x10-" = 10。X*=10。-" и т. д.
Легко проверить, что
105 х 107 = 1012 = 1 000 000 000 000 или
106 х IO」？ = % = 104= 10000.
Известно, что диаметр Вселенной примерно в
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
раз больше диаметра электрона; было бы гораздо удобнее, если бы это большое число можно было записать коротко. Обычно мы его записываем как 1040. В таком виде его проще писать и с ним легче обращаться, как, например, удобнее писать 27 вместо 111111111111111111111111111.
С помощью основного правила для показателей степени можно определить произвольную степень числа. Например, 102/з есть число, для которого
102/3 . Ю/з. Ю2/3 = 102/3 + 2/3 + 2/3 = [06/3 = JQ2 = Ю0.
Таким образом, 102/з равно кубическому корню из 100. Число 10% есть такое число, для которого
10V2. 10V2 = 101/2+1/2 _ ю1 = 10, или
ю1/2=КТо.
В общем случае 10% есть такое число, которое дает 10", если его умножить само на себя Ь раз:
10%・10% …10力=10力+力+…+%=1О(%)ь=1о@. Следовательно, 10^
можно назвать корнем &-й степени из 10°.
Многие свойства чисел мы знаем почти инстинктивно:
3+4 = 4 + 3 = 7,
3・4 = 4・3=12,
2-(5+ 3) = 2-5+ 2-3 = 10+ 6 = 16 и т. д.
Эти свойства можно представить в более общем виде:
a-\-b = b + atа・Ь = Ь・а,“•(b + c) =a・b + a・c и т. д.
Мы можем рассматривать числа как составляющие специальной системы, обладающей такими свойствами, или, наоборот, считать, что эти свойства являются абстрактным выражением тех особенностей, которые присущи положительным целым числам, что фактически отражает историю выявления этих свойств п.
Получив правила, определяющие поведение целых чисел, мы обнаруживаем, что этим правилам подчиняются не только такие числа.
Более того, оказывается чрезвычайно удобно присоединить эти новые объекты к целым числам, так как многие дозволенные операции с целыми числами не укладываются в рамки системы целых чисел. Так вводятся нуль, дроби и отрицательные числа (фиг. 390).
Введение дробей делает возможными такие, например, операции, как деление единицы на 3; введение нуля — операции типа 2—2, а отрицательных чисел — такие, как 3—4.
%С/1(н^ ЛЛсСЛ(^
Фиг. 390. Действительные числа.
Алгебраические символы а, Ь,・..，％,"，…ввиду того, что они не являются определенными числами, используются для записи утверждений, справедливых для всех чисел, а не для каких-то определенных. Например, равенство
3-4 = 4.3
справедливо в той же мере, что и равенство
7・6 = 6・7, или в общем виде:
a-b = b-a
(порядок перемножения сомножителей не влияет на результат). Однако если мы напишем 3-х= 12, то это равенство будет выполняться лишь при определенном значении % (%=4).
Вероятно, единственным наиболее важным алгебраическим соотношением является равенство. Это соотношение удовлетворяет всем аксиомам Евклида, из которых следуют почти все алгебраические действия: если к равным величинам прибавляются равные, равенство не нарушается; величины, равные одной и той же третьей величине, равны между собой и т. д. Для Аристотеля аксиома означала «общепринятое» утверждение, или соглашение о том, что должен обозначать язык. Аксиомы, представленные в виде равенства, не являются ни самоочевидными, ни необходимыми. Они лишь обозначают точный смысл соотношения. Правильный ответ на вопрос «Почему равные величины, добавленные к равным, не нарушают равенства?» состоит не в том, что это самоочевидно, а в том, что это заложено» смысл символа =, иными словами, если 2x3=6, то и“
2хЗ + 7 = 6 + 7・
В общем случае это справедливо не всегда. Например, утверждение, что * плюс * дает *, не является верным для произвольного объекта * (скажем, если * обозначает «нечетное число»).
а丄СТ十方，а丄СТ十方，Всевозможные операции, образующие то, что называется алгеброй, включают преобразования алгебраических выражений из одной формы в другую. Такие преобразования основаны на том, что определенные соотношения остаются справедливыми при определенных операциях. (Например, равенство двух выражений не нарушается, если оба эти выражения умножить на одно и то же число, скажем 7.) Цель таких преобразований состоит в том, чтобы привести выражения к стандартному или более понятному виду или чтобы получить соотношения, очевидные при одной форме записи и неочевидные при другой. Например, складывая две дроби
а丄С
Т十方，
а丄С
Т十方，
мы часто приводим их к общему знаменателю. Это можно сделать, умножая первую дробь на
d 1%=1，
а вторую на
万=1・
В результате получим
a d , с b — ad + cbV '胃十万 .万一bd
(2,324.378 + 2129 \
(например, 7 + 4 = 7=•
Проанализируем в качестве упражнения алгебраические преобразования, использованные в гл. 29п (вторая часть книги). Пусть, как в гл. 29,
/вперед = су
"азад =糸与.
Сумму этих величин мы обозначаем через Т:
Т = /вперед + /назад —二^ + 斗^； •
Конечно, можно оставить выражение для Т в таком виде, однако связь Т с V становится более прозрачной и, более того, все выражение при-
D Здесь нас интересует не смысл этих выражений, а только способ обращения с ними.
нимает стандартную форму (поэтому его проще сравнивать с другими выражениями), если его переписать следующим образом. Прежде всего,
, так как, так какc+v — 叶1» 一c+v — 叶1» 一1,1,
, так как
, так как
c+v — 叶1» 一
c+v — 叶1» 一
1,
1,
а равенство не изменяется, если обе его части умножить на равные величины.
Далее,
(с—и) (с + и) = с (с+и)—и (с + и)=炉 + е—vc—№ = ,2 — *,
так как a (b+c)=ab+ac9 например 3 (7十2)=3・7十3・2=27, и со—ис=0・ Следовательно,
/ lc+lv
С—и 一 6?2 — У2 *
Мы можем также написать, что
I _ Ic-и
<?4-у 一с+。с—w *
а так как
(с + и) (с —0)=с2 —吟
в результате получим
_/e-lv_/e-lvс十 и — С2 — У2 *с十 и — С2 — У2 *
_/e-lv
_/e-lv
с十 и — С2 — У2 *
с十 и — С2 — У2 *
Поэтому
Оба выражения в правой части имеют одинаковый знаменатель (по терминологии, принятой в математике, это «общий знаменатель»), по* этому их можно просто сложить. Тогда
T _历+勿+岳一勿一2/e— с2—у2 —с2 — у2 *
что является удобной формой выражения для Т. Если поделить числитель и знаменатель этого выражения на с2 (что эквивалентно делению на 1), мы получим другую удобную и стандартную форму выражения для Г:
т —2"/№___ 2/]
-(f2-u2)/e2 - e 1 — (02%2) •
2
МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
(Следует читать после а〃. 2)
Различные функции, которые были введены во второй главе и которые использовались во всем дальнейшем изложении, могут быть рассмотрены весьма общим способом, если определить понятие множества. Множество (как следует и из названия) есть набор объектов; его можно определить двумя способами. Один способ состоит в перечислении всех элементов, являющихся членами набора. Другой же способ состоит в введении правила, с помощью которого можно определять, является ли данный элемент членом множества. Например, рассмотрим множество пьес, написанных Шекспиром. Для определения множества первым способом следует перечислить все пьесы Шекспира. Для определения же вторым способом можно ввести следующее правило: членами множества являются все пьесы, написанные человеком, известным как Бард Эйвона ，
Понятие точно определенного набора объектов оказывается чрезвычайно полезным. Множества, содержащие конечное число элементов, всегда можно определить простым перечислением их членов. Однако если элементов бесконечное число, т. е. их нельзя все перечислить, приходится вводить определенное правило. В качестве примера можно назвать множество всех целых положительных чисел. Это множество хорошо определено, хотя перечислить все его элементы 1, 2, 3, 4, 5, ... невозможно.
Предположим, что имеются два множества, обозначенные символами X и У, причем элементами первого множества являются %i, х2> %з, •••， а второго — pi, у?, Уз，•一 . Мы никак не уточняем смысл этих элементов; мы только называем их и вводим различие между ними, а также умеем определять, является ли какой-то элемент членом того или иного множества. (Вероятно, поэтому иногда говорят, что математики сами не знают, о чем они пишут.) Тогда мы говорим, что функция у=/ (х) (или у есть функция %) определена на множестве X, если существует правило, связывающее элементы множества У с элементами множества X. Множество X называется областью существования функции, а множество ее значений У — областью значений функции. Функцию теперь можно трактовать по-разному: мы можем считать, что она переводит элементы множества X в элементы множества У, либо что функция просто связывает элементы X с элементами Y.
D Эйвон ——река, на которой стоит Стратфорд ——родина Шекспира.——Прим, ред.
Если множества X и У сд ержат одинаковое число элементов и если каждый элемент из X связан только с одним элементом из У и наоборот, то функцию можно рассматривать как соответствие между теми элементами из X и У, которые эта функция связывает; такая зависимость называется взаимно-однозначным соответствием между множеством X и множеством К Рассмотрим, например, в качестве множества X всех мужей, а в качестве множества Y всех жен в каком-то районе земного шара. Для моногамного общества существует однозначная функция, связывающая каждого мужа с определенной женой. Для общества же, где распространена полигамия, функция, связывающая мужей и жен, уже не будет однозначной, так как в таком обществе мужья предпочитают иметь по нескольку жен.
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Среди математических функций ведущую роль играют функции, областями существования и значений которых являются числа. Таких функций бесчисленное множество. Представьте хорошо отрегулированный гоночный автомобиль «Феррари», проезжающий мимо пункта на автостраде, который мы принимаем за нуль отсчета. Если теперь измерять расстояния от этого пункта до автомобиля через каждую секунду или несколько секунд, то мы получим две колонки цифр (как, например, в табл. 12), в одной из которых записаны отсчеты времени, а в другой — расстояния. Времена можно считать элементами множества X, а расстояния —элементами множества У; оба эти множества числовые, и у нас есть правило, связывающее элементы множеств X н У・ Можно также сказать, что расстояние есть функция времени. Отметим, что это утверждение является совершенно произвольным. Если бы автомобиль ехал быстрее, расстояние было бы другой функцией времени; если бы он стоял на месте — третьей функцией и т. д. Иными словами, при отсутствии какой-либо дополнительной информации можно лишь утверждать, что расстояние является абсолютно произвольной функцией времени. Нас как математиков такое положение не должно беспокоить. Мы можем спокойно утверждать, что полученная выше функциональная зависимость является одной из бесчисленного количества возможных зависимостей.
Таблица 12
Время, сВремя, сРасстояние, мРасстояние, м6012018060120180
Время, с
Время, с
Расстояние, м
Расстояние, м
60
120
180
60
120
180
Если, однако, эта зависимость описывает физический процесс (расстояние, время), то оказываются возможными не любые функции. Мы знаем, например, что даже на лучшем бензине автомобиль не сможет пройти 30 км за 1 с. Но это ограничение отражает свойства физического мира (которые нас как физиков и интересуют).
В приведенной выше таблице мы дали конкретную иллюстрацию функциональной зависимости. Иногда поступают именно так. Но существует и другой способ, имеющий перед первом такое же преимущество, как любая картинка перед словами, и состоящий в том, что время отмечается вдоль горизонтальной линии, расстояние — вдоль вертикальной, а функцию изображают в виде линии; такой способ представления называется графическим (фиг. 391). Строго говоря, нашим изме-
^Ов/Zto^ 1A
Фиг. 391.
рениям отвечают лишь те точки, которые соответствуют на графике парам чисел (время, расстояние), взятым из таблицы. Однако мы проводим через эти точки гладкую линию, предполагая, что в промежутке между второй и, скажем, третьей секундами расстояние принимало значения в интервале от 120 до 180 м. Конечно, мы можем при этом и ошибиться. Однако нам кажется, что, если мы получим достаточное число точек, нам удастся соединить их непрерывной кривой, в данном случае прямой. Конечно, это возможно не всегда, но разговор на языке функций подразумевает выполнимость такой процедуры. Позже мы встретимся с трудностями, связанными с этим.
Отметим также, что, проведя прямую через опытные точки, мы тем самым связали бесчисленное множество значений времени с бесчисленным количеством значений расстояния. Все эти данные невозможно представить в виде таблицы. Поэтому требуется ввести определенное правило, с помощью которого можно было бы для любого значения времени находить соответствующее значение расстояния. В данном случае такое правило имеет следующий вид:
расстояние в метрах равно числу 60, умноженному на времяв секундах.
Это правило можно также представить в чрезвычайно содержательной, но краткой символической форме:
d = 60/,
где единицы измерений — метры и секунды — подразумеваются, но явно не пишутся. Это соотношение называется линейной функцией, так как его график представляет собой прямую линию.
Наиболее общий вид уравнения, графиком которого является прямая линия, следующий:
d(t) = at + Ь\
это уравнение означает, что расстояние как функция времени равно произведению а на время плюс Ь, где а и & — постоянные числа. Для
рассмотренного выше примера а= 60 и 6=0.
Для выяснения смысла величин а и & начертим график линейной функции (фиг. 392). Когда значение времени равно нулю,
d = а*0 -{-Ь — bt
т. е. & есть точка, в которой прямая пересекает прямую линию (ось)
расстояний, иными словами, & равно расстоянию при f=0, поэтому эту величину можно обозначить через 4, чтобы ее смысл был более наглядным. Остается определить лишь
угол, который составляет прямая с прямой линией (осью) времени. Этот угол связан с величиной а, которая равна скорости (величине
скорости), поэтому а удобно обозначить через V.
В результате общее линейное уравнение можно представить в виде d^=vt + dQ.
Смысл этого уравнения таков: величина пройденного пути есть линейная функция времени, причем постоянная скорость равна о, а расстояние при £=0 равно d0.
Ясно, что такая функция является весьма частным случаем функций. Существует бесчисленное количество нелинейных функций (со
ответствующих всем кривым, какие только можно нарисовать). Если тот же «Феррари» трогается с места с постоянным ускорением 3 м/с3 (для него это нетрудно), то связь между пройденным им расстоянием и временем будет иметь следующий вид (фиг. 393):
d = ^at2 = ^t2.
В таком случае говорят, что расстояние есть квадратичная функция
времени (функция времени в квадрате). График этой функции — парабола.
В школьном курсе алгебры в основном изучают линейные и квадратные уравнения; с этими уравнениями просто оперировать, и можно бесконечно развлекаться нахождением корней квадратных уравнений г). При этом, однако, забывают, что эти уравнения являются лишь частными случаями неограниченного класса функций, а интерес к ним обусловлен их простотой.
3
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
{Следует читать после гл. 2)
Декарт первым предложил использовать последние буквы алфавита (%, у или 2)для обозначения неизвестных величин, а начальные буквы (а, & или с) для обозначения постоянных. Требуется, например, решить уравнение
3% =6,
которое означает, что произведение числа 3 на какое-то число равно 6. Тогда
следовательно, уравнение
ах = Ь
имеет решение
Такие алгебраические уравнения можно рассматривать как условия на «неизвестные» величины, и они могут иметь одно или несколько возможных решений (т. е. значений неизвестных, удов л етвор я ющих исходным условиям).
Мы часто говорим о нахождении решений одного или нескольких уравнений. Принцип нахождения решений не очень отличается от со-
D Общий вид квадратичной функции таков: d^at^^bt + c, где а, 6 и с — постоянные; вспомним, что при d=0 一匕士 m ь2 — 4 aA
ответствующего житейского принципа. Если нам требуется убежище от дождя, подойдут и Версальский дворец и обычная пещера. Если помимо этого требуется отопление, Версальский дворец не подойдет. Если мы хотим построить дом, в котором могут жить четыре человека, который мог бы отапливаться, быть привлекательным и т. д., то существует много возможностей. Если же к этим требованиям добавить низкую стоимость, то мы можем попасть в ситуацию, когда решения не существует. Эта ситуация означает, что в мире нет объекта, удовлетворяющего всем выдвигаемым нами требованиям.
Когда мы пишем
3%—у = 0,
это означает, что мы хотим найти все пары чисел (х, у), для которых выполняется соотношениеЗх—у=0 (например, %=1, у=3; %=2, у=6;…). Если изобразить на графике все эти пары чисел, мы получим прямую линию (тонкую линию на фиг. 394), т. е. линейную зависимость.
Когда мы пишем
%—у = 1,
это означает, что мы хотим найти все пары чисел (%, у), для которых выполняется соотношение%—у=1 (например, х=1, у=0; %=2, у=1；...). Графиком всех этих пар чисел снова является прямая линия (жирная линия на фиг. 394). Та пара чисел, которая удовлетворяет обоим этим уравнениям (х=—х/2, У=—^厶),лежит на пересечении двух прямых.
Может случиться, что два уравнения не имеют общего «решения»:
У =%,
У = %+1,
что означает отсутствие такой пары чисел, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям; в этом случае соответствующие прямые параллельны
(фиг. 395). Или два уравнения имеют сколько угодно решений:
4 =修2y = 2%.
[Все пары чисел (х, у), удовлетворяющие первому уравнению, удовлетворяют и второму.] Прямые линии на графике при этом сливаются (фиг. 396). [То обстоятельство, что в качестве решения может служить
одна или все пары чисел (х, у), соответствует постулату Евклида о том, что между двумя точками можно провести только одну прямую линию. Когда Декарт связал геометрические точки с парами чисел (х, у), а прямые линии — с линейными уравнениямиу=тх+Ь (где т и b — постоянные числа), он создал так называемую аналитическую геометрию. Каждому геометрическому положению Декарту удалось найти соответствующее алгебраическое соотношение.]
Для решения уравнения часто требуется «обратить» его. Представим, что нам дано расстояние как функция времени:
d = 4,9产，
и требуется найти время, за которое тело пройдет путь в 19,6 м.Решение имеет вид: когда d=19,6, /2=4 и /=2. В общем случае надо найти / как функцию d. Это можно сделать с помощью стандартных алгебраических операций:
4,9产=4
откуда
В других случаях подобное обращение может оказаться не столь простым, но принцип остается прежним. Вероятно, процесс обращения проще понять графически.^Все пары чисел (Z,d), удовлетворяющие уравнению d=4,9产,образуют кривую (параболу), показанную на фиг. 397. Тогда обращение состоит лишь в повороте картинки на 90°. До обра-
щения нам было задано f и требовалось найти d, а после ——задано d и надо определить t.
В этих рассуждениях есть одна тонкость. Дело в том, что парабола имеет две ветви. Каждому значению d соответствуют два значения 力 удовлетворяющие уравнению d=4,93, так как
/=± /%
Иначе говоря, соотношение f->d является однозначным [заданному значению t соответствует лишь одно значение d, такое, что пара (/, d) удовлетворяет уравнению]. Однако при заданном положительном значении d уравнению удовлетворяют два значения /.
Обычно смысл второго решения бывает ясным. Так, мы можем определить задачу лишь для положительных значений / (как в случае примера Галилея, когда рассматривалось падение пушечного ядра, находившегося на верхушке мачты при /=0). Тогда «физический смысл» будут иметь лишь положительные
Фиг. 397.значения t Однако отрицательным
значениям t можно тоже приписать «физический смысл». Представим, например, что пушечное ядро было выпущено вверх при t=—2 с с нужной скоростью. Тогда в момент
力=0 оно достигнет верхушки мачты и начнет падать вниз. Ядро на
ходится на расстоянии, скажем, 4,9 м от конца мачты при
% = ± /瑞=±1с・
Значение /=—1 соответствует движению ядра вверх, а значение 方=1 — движению вниз.
Допустим, что корабль в примере Галилея движется со скоростью 3 м/с. Спрашивается: какое расстояние с точки зрения матроса, стоя
щего на пристани, пролетит ядро по горизонтали, прежде чем оно упадет на палубу? Вертикальное движение ядра описывается формулой
dB = ^gf2 = 4,9佬
а горизонтальное — формулой
ИЛИИЛИ10 士 К100 + 9610 士 1410 士 К100 + 9610 士 142222+ 12 или —2.+ 12 или —2.
ИЛИ
ИЛИ
10 士 К100 + 9610 士 14
10 士 К100 + 9610 士 14
2
2
2
2
+ 12 или —2.
+ 12 или —2.
Ядро падает на палубу через 2 с, так как 19,6 = 4,9 •⑵2, поэтому по горизонтали оно пролетит за это время путь 4 = 3 • 2 = 6.
Таким образом, до падения на палубу ядро пройдет по горизонтали 6 м (фиг. 398).
В качестве второго примера рассмотрим движение ускоряющегося автомобиля «Феррари», пытающегося догнать «Фольксваген», едущий с постоянной скоростью в 15 м/с и прошедший пункт, где стартовал «Феррари», при f=—2,4 с. Для «Фольксвагена»
d= 15/+ 36,
в то время как для «Феррари»
«Феррари» догоняет «Фольксваген» при таких значениях (/, d), которые удовлетворяют обоим уравнениям движения. При этом
у/2 = 15/+ 36,
产一10f —24 = 0,
т. e. мы получили квадратное уравнение, имеющее следующие решения:
Таким образом «Феррарис догонит «Фольксваген» через /=12с・ Какой же «физический» смысл содержится во втором решении: £=——2 с? Это решение не имеет «физического» смысла, если «Феррари» стартовал при f=0. Однако это решение можно все-таки истолковать. Допустим, что «Феррари» двигался сначала навстречу «Фольксвагену». Когда «Фольксваген» показался на горизонте, «Феррари» в какой-то момент начал равномерно замедляться по закону
Затем он встретился с «Фольксвагеном» при t=—2 с, остановился при /=0, начал ускоряться в обратном направлении и догнал «Фольксваген» при £=12 с. Так можно интерпретировать второе решение, если считать, что и левая ветвь параболы (фиг. 399) описывает физические явления.
4
СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ, ПРЕДЕЛЫ
Те, кто знаком с игрой на бирже, знают, что представляют собой переменные функции и как выглядят их графики. Мы часто сталкиваемся с таблицами ежемесячных прибылей, ежедневных значений индекса Доу-Джонса или объемом валового национального продукта за год. К сожалению, значения таких функций известны лишь для прошедших моментов времени; любая экстраполяция в будущее сопряжена с определенным риском, которого стремится избежать каждый держатель акций.
Поведение биржевого рынка определяется его динамикой. Если кому-то кажется, что он вскрыл внутренние связи, управляющие биржевой игрой, он ошибается, хотя никогда не бывает недостатка в прекрасных объяснениях происшедших событий задним числом. Динамику движения планет и атомов действительно удалось раскрыть; благодаря щедрости и открытому характеру науки (вероятно, эти качества присущи ей потому, что занятия ею не приносят прибыли) она доступна всем. Мы можем, например, записать положение планеты в виде функции времени, известной для любых моментов времени,— как в прошлом, так и в будущем. Если кто-нибудь пожелает узнать положение Венеры, например в 11 ч 31 мин 8 апреля 2066 г., он в принципе может получить интересующую его информацию с помощью нескольких телефонных звонков.
Как для математика, так и для вкладчика наибольший интерес представляет вопрос о том, с какой скоростью и в каком направлении изменяется данная функция. В случае капитала компании, как правило, достаточно знать величину его роста и уменьшения за годовой период. Иногда, правда, бывают ситуации, когда желательно получать такую информацию ежедневно (если компания, например, находится на грани банкротства). Значение средней скорости изменения функции со временем получается, если значение функции в один момент времени вычесть из значения функции в другой момент времени, а результат разделить на временной интервал:
средняя скорость изменения функции со временем =изменение функциипромежуток времени *
Средняя скорость вычисляется следующим образом. Рассмотрим какую-то функцию времени / (/). В момент /0+Д/ функция равна / 伉+Af). В момент /0 она имеет значение / (幻.За время А/ (интервал Д/ предполагается как угодно малым, но всегда положительным) приращение функции (обозначим его А/, т. е. изменение /)
А//(/()+A/) —f(/°)А//(/()+A/) —f(/°)следовательно, согласно определению,
А//(/()+A/) —f(/°)
А//(/()+A/) —f(/°)
средняя скорость изменения =
Символы А/ и Д/ являются общепринятыми обозначениями для изменений / и /; можно сказать, что средняя скорость изменения равна отношению изменения / при заданном изменении t. [Когда изменение / становится бесконечно малой величиной, вместо Д/ принято писать d九 а вместо соответствующего изменёния Д/—символ df. То, что называют производной, или «мгновенной» скоростью изменения функции, есть просто средняя скорость изменения функции в пределе бесконечно малых значений А/ (как угодно близких к нулю, но никогда не обращающихся в нуль).] Определение средней скорости поясняется на фиг. 400.
北以必 灰衣昆必a 〃 t) ^t^^^to^
，（乜+a七），（乜+a七）to \ 论MW T L /to \ 论MW T L /<^z/^ с/^/г鸿 5^4 ^CUz^jg
，（乜+a七）
，（乜+a七）
to \ 论MW T L /
to \ 论MW T L /
,欠a 星'勿г留〃必 С病ax^r 一
丄дна^з^ЛА 另"Meg
Фиг. 400.
Рассмотрим функцию f(/) = 4,9/2. Положим, например, /0 = 1 и /0 + Д/ == К2. Тогда /(%) = 4,9, а
/(/о + А/)-/(/2)= 4,9 (/5)2 三 4,9• 2 = 9,8,
так что
*=/(/玄)_f(l)= 9,8-4,9 = 4,9 и
Д/^/2 —1 ^ 1,41 — 1=0,41.
Отсюда
А/_ 4,9
Д/~бТ41
^12.
Если интерпретировать f (/) как расстояние, пройденное пушечным ядром при падении с мачты, т. е.
d = 4,9产，
то величина
будет средней скоростью ядра за время А/. Так, за промежуток времени между %+А/=/2 и 4=1 средняя скорость ядра равнялась примерно 12 м/с.
Проиллюстрируем на одном примере метод получения мгновенной скорости. Рассмотрим ту же функцию
"/) = 4,9产.
Тогда
f « + А/)匸 4,9 (f + А/)2 = 4,9/2 + 9,&。/)十 24,01 (Д/)2
и
f(t+M)f ⑴
f (51(/)=病2+ 9,8/ (A/)+ 24,01 (各一笳=9 8/+ 24,01 (A/).
Теперь мы можем утверждать следующее (это самое существенное в примере): так как А/ мы можем сделать сколь угодно малой величиной (но всегда положительной), второй член в полученном выражении можно отбросить d.
Таким образом, мы показали, что предел Д//Д/ при стремлении А/ к нулю, т. е. мгновенная скорость, равен 9,8/, или и=〃力 что совпадает с определением скорости в случае равноускоренного движения. При £=1 мгновенная скорость равна
и=9,8 м/с,
тогда как при /=/2 ее значение
V ^ 13,8 м/с.
При выводе предполагалось, что и приращение функции
Af = f(%+A/)-f(儲，
и временной интервал А/ очень малы» Однако полагать А/=0 точно ни в коем случае нельзя. Поэтому величину Д/ можно всегда рассматривать как величину, отличную от нуля, т. е. на эту величину можно умножать и делить, как на обычное число. Именно чтобы подчеркнуть
D Справедливо ли это утверждение и могут ли подобные члены изменить результат —вот те вопросы, которые беспокоили современников Ньютона. Эти проблемы не были решены вплоть до девятнадцатого века, когда было показано, что приведенный вывод точен.
это, мы всегда писали
Если
蕖=9,8九
то это значит, что при малых А/ изменение функции равно
A/ = 9,8〃Af)
(данное выражение становится точным при очень малых значениях временного интервала).
Идея предела при стремлении А/ к нулю очень важна и тонка. Дело здесь в следующем. Рассмотрим знаменитое рассуждение Зенона об Ахилле, пытающемся догнать черепаху. Допустим для простоты, что черепаха неподвижна, Ахилл бежит со скоростью 18 км/ч=5 м/с и начальное расстояние между черепахой и Ахиллом равно 5 м (фиг. 401).
Фиг. 401.
Ахилл, конечно, настигнет черепаху через 1 с. Но посмотрим, как рассуждает Зенон. За первую половину секунды Ахилл пробегает 2,5 м, за следующую четверть секунды — Р/4 м, за следующую восьмую секунды ——б/8 м и т. д. Деля временной интервал пополам на каждом шаге, мы получаем, что Ахилл проходит каждый раз лишь половину оставшегося расстояния до черепахи, откуда Зенон заключает (действительно ли Зенон рассуждал подобным образом?): Ахилл никогда не догонит черепаху.
Суть этого парадокса состоит в том, что сумма бесконечного числа убывающих временных интервалов равна конечной величине:
+ % +…&
Точно так же отрезки пройденного пути становятся настолько малыми, что их бесконечная сумма тоже равна конечной величине:
1 r
2彳 + 1彳 + w + •一=5 m.
Таким образом, мы видим, что рассматривать интервалы пути и временные интервалы сами по себе нельзя — в этом и состоит разгадка парадокса Зенона. Однако отношение интервала пути к временному интервалу имеет очень простой вид. За первую половину секунды Ахилл
пробегает 2% м, и
畢± = 5 м/с.
% c /
За следующую четверть секунды он пробегает 1% м, и
先=5 м/с
/4 С
и т. д., т. е. отношение Ad/Af равно просто скорости, с которой бежит Ахилл.
Существует бесчисленное множество подобных случаев, когда трудно следить за двумя величинами, которые становятся очень маленькими или, наоборот, очень большими п. При этом, однако, произведение или отношение этих величин остается конечным.
5
ГЕОМЕТРИЯ
(Следует читать после гл. 9)
После арифметики геометрия является наиболее известной математической дисциплиной. С ранних лет нас обучают тому, что пространство, в котором мы живем, евклидово. Мы не можем дать определение, что такое прямая или точка, но всегда можем их опознать и указать. Мы считаем, что объекты, которые мы отождествляем с прямыми линиями, остаются неизменными при перемещении их в пространстве (независимо от того, есть или нет вблизи этих объектов тяжелые тела), а треугольник остается тем же треугольником при изменении его положения, короче говоря, все объекты, которые мы отождествляем с прямыми, точками и т. д., удовлетворяют постулатам Евклида. Если это так, тогда и все теоремы Евклида оказываются применимыми для этих объектов, и, стало быть, мы получаем полную геометрическую структуру.
Здесь мы дадим краткую сводку некоторых наиболее полезных определений и теорем геометрии Евклида. Говорят, что два треугольника конгруэнтны (равны), если все их стороны и углы равны между собой. Существует целый ряд теорем, в которых доказывается конгруэнтность двух треугольников, сходных по меньшему числу признаков (например, если только стороны двух треугольников равны).
Треугольник, все стороны которого равны между собой, называется равносторонн им •
и Например, в случае силы как функции времени, действующей в момент столкновения. Величина этой силы становится очень большой за весьма малый промежуток времени. Однако произведение 尸А/ остается конечной величиной.
Треугольник, один из углов которого прямой, называется прямоугольным (фиг. 402). Для прямоугольных треугольников справедлива Знаменитая теорема Пифагора:
炉+62=^2.
Говорят, что два треугольника подобны, если углы одного из них равны углам другого (фиг. 403). Треугольник АВС подобен треугольнику ADE.
Треугольник, у которого равны две стороны, называется равнобедренным.
Окружностью называется кривая, все точки которой равноудалены от центра (фиг. 404). Длина окружности связана с ее радиусом с по
Фиг.Фиг.
Фиг.
Фиг.
мощью знаменитого числа л (определением длины окружности люди занимались с древних времен):
длина окружности = 2jiR,л = 3,141...,площадь круга = л7?2.
Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми (как и угол 0 между двумя радиусами окружности), определяется по формуле
угол (в радианах) = 2л х呼吧 дУ「н——.
丿1длина окружности
При таком определении угол измеряется в так называемых радианах. Связь между радианами и градусами нетрудно получить. Развернутый
Фиг. 405.Фиг. 406.
угол (фиг. 405) соответствует 180°, или половине дуги окружности. По
этому
угол (в радиан
aX)= 2冗嘉,
или л радиан = 180°,
1 рад = ^-^57,3°.
Измерять угол в радианах удобно потому, что в этих единицах (угол в радианах) х (радиус) = длине дуги.
Особые функции синус, косинус и тангенс можно ввести, используя стороны и углы прямоугольного треугольника, изображенного на фиг. 406:
синус 0 (пишется sin 0)=
противолежащая сторона — b
косинус 0 (пишется cos 0)=
гипотенузас
прилежащая сторона — а
сX Про’
тангенс 0 (пишется tg 0)=弋
Из этих определений, в частности, следует, что при
гипотенузас '
)тиволежащая сторона — b[рилежащая сторона 一 а
0 ~ 0
0~у (90°, или % окружности) 0 = л (180°, или х/2 окружности)
sin6= ^- = 0, sin Q = ~ — 1, sin0 = y = 0 и т. д.
Аналогичным образом можно показать, что при0 = 0 cos 0 = — = 1,0 —^ cos 0 = -^ = 0,
9=几 cos 0 == — = — 1 и т. д.
После полного оборота, 0=2л, все повторяется. В результате графики этих функций являются периодическими кривыми (фиг. 407).
Фиг. 407.
Используя теорему Пифагора, можно легко получить различные соотношения между этими функциями. Например,
sin2 0 + cos2 0—1.
Д оказательство:
sin0 = ~,
(по определению), cos 0 =—
Sin2 0 +COS2 9 =粛 +粛=,
НО
b? + 球=炉 (теорема Пифагора), следовательно,
sin2 0 + cos2 9 = ^=1, что и требовалось доказать.
Всевозможные стоячие волны в теории света или в квантовой теории можно представить с помощью синусоидальных или косинусоидальных функций. Например, для стоячей волны с двумя узлами на длине / имеем
.2 лsin 7 %•Когда
о,/ -4 /-23Z-4 一一 一一 一一- X X X Xо,/ -4 /-23Z-4 一一 一一 一一- X X X Xsin у- 0= sin 0 = 0,
о,/ -4 /-23Z-4 一一 一一 一一- X X X X
о,/ -4 /-23Z-4 一一 一一 一一- X X X X
SHI у 彳=Sin 2= 1,
sin-т--у = sin л = 0,
sin 丁彳=sin-^- = —1,
% '= I 才
sin 丁 / = sin 2冗=0.
6
ВЕКТОРЫ
《бедует читать после гл. 5)
Часто бывает удобно «разложить» вектор на две взаимно перпендикулярные составляющие. Из основного правила сложения векторов следует, что любой вектор может быть всегда сделан равным сумме
408.408.
408.
408.
двух других векторов. Конечно, такие два вектора не обязательно взаимно перпендикулярны. Вектор С можно разложить как на два взаимно перпендикулярных вектора (фиг. 408):
С = А + В,
так и на два вектора, которые не перпендикулярны друг другу:
C = E + F,
подобно тому, как
= 5 + 2
или
= 3 + 4.
Однако оказывается удобнее разлагать вектор именно на две взаимно перпендикулярные (ортогональные) составляющие. В двумерном пространстве (например, на плоскости) все векторы можно представить
в виде линейных комбинаций двух взаимно перпендикулярных единичных векторов (обозначаемых, как правило, буквами i и j). Например,
вектор А (фиг. 409) можно записать в виде
A = 5i + 4j.
Любой вектор на плоскости можно представить так:
V = %i + yj,
где хну — его компоненты (координаты).
В таком виде очень удобно складывать и вычитать любое количество векторов. Так, например, если
A = 5i + 4j и
= —2i + 3j, то
A+B = 3i + 7j
и
А亠 В = 7i + j •
Сумма какого-либо числа векторов равна нулю, если суммы их i-x и j-x компонент обращаются в нуль.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
(Следует читать после гл. 11)
При определении таких величин, как работа, мы использовали произведение составляющей вектора в определенном направлении (Fn) на величину расстояния, пройденного телом вдоль этого направления (фиг. 410). Как сила, так и расстояние являются векторными величинами, в то время как конечная интересующая нас величина (работа) является скаляром (числом, т. е. величиной без направления).
Поскольку такие операции с векторами встречаются очень часто, удобно ввести определение произведения, которое называется скалярным у или внутренним, произведением двух векторов. Для двух векто-
ров F и D скалярное произведение определяется следующим образом:скалярное произведение: F・D = FhD (определение).
Поскольку
р —尸尸 н =尸义 прилежащая сторона 二尸 ^з 9
1 Fгипотенуза'
скалярное произведение можно записать в виде F・D = FDcose.
Отсюда и на основании свойств cos 0:
cos 0 = 1cos 0 = 1припри6 = 06 = 0cos 0 = 0cos 0 = 0припри0 =0 =cos 0 =——1cos 0 =——1припри0 = л,0 = л,
cos 0 = 1
cos 0 = 1
при
при
6 = 0
6 = 0
cos 0 = 0
cos 0 = 0
при
при
0 =
0 =
cos 0 =——1
cos 0 =——1
при
при
0 = л,
0 = л,
F D =F D =尸D,0,-FD,尸D,0,-FD,получаем следующий результат:
F D =
F D =
尸D,
0,
-FD,
尸D,
0,
-FD,
если векторы параллельны, если векторы перпендикулярны, если векторы антипараллельны.
Если, например, дан вектор импульса р, который сохраняет свое направление при зеркальном отражении (см. гл. 55), и другой вектор о, связанный со спином частицы, который изменяет свое направление при отражении, то можно написать, что
f op до отражения, и • р =cos 0 = <
l I — Gp после отражения.
Такая величина (изменяющая знак после отражения) называется псевдоскаляром.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Следует читать после гл. 20)
Часто две векторные величины (как, например, скорость частицы и магнитное поле в электромагнетизме) комбинируются так, что образуют третий вектор (в данном случае вектор силы):
F=qE+gvxB]・
Векторное, или внешнее, произведение векторов v и В есть новый вектор, Его величина равна
[V х В] = vB sin 0 (величина),
а направление перпендикулярно плоскости, образованной векторами 0 HB. Остается определить лишь знак нового вектора. Направлен ли
Фиг.Фиг.он вверх или Вниз? Знак векторного произведения определяется с помощью так называемого правила буравчика (или правила правой руки).
Фиг.
Фиг.
Вектор V, стоящий в произведении первым, поворачивают в сторону вектора В по кратчайшему пути. Тогда направление [vxBl совпадает с направлением поступательного движения буравчика, имеющего правую резьбу, если бы его
поворачивали в ту же сторону, что и вектор v (фиг. 411). В принципе направление векторного произведения можно было бы определить и противоположным образом (скажем, правилом левой руки или английского, т. е. левостороннего, буравчика). Требуется только быть последовательными.
Из определения [vX В] сразу же следует, что
[VXB]=[VXB]='vB (максимальное значение), если вектор v перпендикулярен В,
[VXB]=
[VXB]=
0, если вектор v параллелен В.
Далее, вектор [vX В] перпендикулярен как v, так и В, и
[vxB] =— [В xv].
Такие величины, как угловой момент или момент силы, можно представить в виде векторного произведения. Угловой момент частицы относительно точки (фиг. 412)
L = [гхр].
Если вектор г перпендикулярен р, то 丄 f гр (величина),
Фиг.АналогичнымФиг.Аналогичным(направление и
Фиг.
Аналогичным
Фиг.
Аналогичным
образом момент силы относительно точки (фиг. 413) Т = [г х F ]・
И снова, если вектор г перпендикулярен F, то
Т Г rF (величина),
I направление и знак показаны на фиг. 413.
7
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СИСТЕМАХ ЕДИНИЦ
(Следует читать после гл. 4 и 20)
Используя сантиметры (длина), граммы (масса) и секунды (время) в качестве исходных (неопределяемых) элементов, т. е. элементов, которые мы непосредственно связываем с телами или событиями в фи-
4e物*后n0^〃厶勿毋多欠也勿万2厶厶J乙4心4e物*后n0^〃厶勿毋多欠也勿万2厶厶J乙4心
4e物*后n0^
〃厶勿毋多欠也勿万2厶厶J乙4心
4e物*后n0^
〃厶勿毋多欠也勿万2厶厶J乙4心
Ф и г.Ф и г.414.414.
Ф и г.
Ф и г.
414.
414.
зическом мире (фиг. 414), мы можем из этих элементов построить все остальные величины, входящие во все известные физические теории (подобно тому, как окружности, треугольники и т. п. можно построить с помощью таких исходных геометрических элементов, как точки, прямые и т. д.).
Так, например,
скорость определяется какскорость определяется какизменение расстояниявременной интервализменение расстояниявременной интервалсмссмса ускорение — кака ускорение — какизменение скоростисмвременной интервалс2изменение скоростисмвременной интервалс2
скорость определяется как
скорость определяется как
изменение расстояниявременной интервал
изменение расстояниявременной интервал
смс
смс
а ускорение — как
а ускорение — как
изменение скоростисм
временной интервалс2
изменение скоростисм
временной интервалс2
Для определения размерности силы можно использовать второй за・ кон Ньютона
F = та・
Так, на массу 1 г, имеющую ускорение 1 см/с2, действует по определению сила 1 дина. Иными словами, дина — это такая сила, которая сообщает телу с массой 1 г ускорение 1 см/с2:
1 дина = 1 гх 1 см/с2,
ИЛИ
дина 〜дина 〜г«смс2г«смс2
дина 〜
дина 〜
г«смс2
г«смс2
Это означает, что мы всегда можем заменить комбинацию г-см/с2 диной, так как дина обозначает силу, а сила, согласно второму закону, равна та.
「•СМ?「•СМ?Все остальные величины механики могут измеряться с помощью основных единиц длины, массы и времени:
「•СМ?
「•СМ?
〜зрА〜зрАработа = (сила) х (расстояние)〜дин х см 〜
〜зрА
〜зрА
1 а г-см2
кинетическая энергия = -g"^ ^ с2— ^ эрг и т. д.
Электрические величины тоже можно измерять с помощью механических единиц длины, времени и массы. В системе СГС размерность заряда определяется из закона Кулона:
F=^^- (величина),так чтобы между двумя единичными зарядами, расположенными нарасстоянии 1 см друг от друга, действовала сила 1 дина (фиг. 415).
/ з〃. cm J/ з〃. cm J
/ з〃. cm J
/ з〃. cm J
Фиг. 415.
Так какТак как
Так как
Так как
1 дина =1 дина =(1 эл. ст. ед. заряда)Х(1 эл. ст .ед. заряда)
1 дина =
1 дина =
1 см2
илиилидина 〜дина 〜(эл. ст. ед. заряда)?(эл. ст. ед. заряда)?см2см2
или
или
дина 〜
дина 〜
(эл. ст. ед. заряда)?
(эл. ст. ед. заряда)?
см2
см2
эл. ст. ед. заряда 〜(аин・см2)*/2 = (г・сму%*.
Ток определяется следующим образом:
с зарядТОК = —.время
В системе СГС
ТОК 〜ст. ед. заряда
(статампер).
Поскольку, однако,
эл. ст. ед. заряда (г-см)1/* —,
то
ТОК 〜(Г-СМ)1/*—.
Таким способом можно ввести размерности всех электрических величин, используя единицы длины, времени и массы, которые, очевидно, являются единственными исходными (неопределяемыми) элементами теории.
Например, электрическая потенциальная энергия точечного заряда 91, находящегося на расстоянии г от другого заряда q?、равна
у — q*q&v эл —•
Поэтому эта энергия будет измеряться в таких единицах:
У (эл. ст. ед. заряда)?эл ~см，
или поскольку
эл. ст. ед. заряда ~ (г・см*2 号，
то
, 、см2 1 Г «СМ2匕Л 〜(г • см)& —— ~ эрг.
Таким образом, оказывается, что электрическая потенциальная энергия, как и любая другая энергия, измеряется в эргах.
Электрический потенциал точечного заряда
qФ — у •
Поэтому
〜зл・СТ. ед. 3吧理〜см)%丄吧.
*см'/ с зл. ст. ед. заряда
Иногда эту единицу называют статвольтом. Из выписанных выше соотношений следует, что
(заряд) х (электрический потенциал)〜энергия
(длина) х (электрический потенциал) ~ заряд.
Различные величины в системах СГС и МКС
Величина
Общепринятое обоз- качение
Система СГС
Система МКС, или практическая система
Связь между систе* мами
Исходна］曙: величины 、 время
/ т /
сантиметр грамм секунда
метр килограмм секунда
1 м = 100 см
1 кг= 1000 г
1 с= 1 с
сила
скорость
ускорение
импульс
F у а
Р
(грамм X Xсантиметр) дина- секунда2 сантиметр
секунда сантиметр секунда2
(грамм X сантиметр)
секунда
ньютон
метр
секунда метр секунда2 килограммХ
Хметр секунда
1 Н = 105 дИН
работа, энергия / работах
мощность \ время у
заряд
ток
электрический потенциал
электрическое поле сопротивление электрический поток
吃e
Р g
/
ф
Е
R
Ф
(грамм X сантиметр2) ЭР「 секунда3
эрг/секунда
эл. ст. ед. заряда
э〃. ст. ед. заряда секунда
зрг эл. ст. ед. заряда
днна эл.ст.ед. заряда секунда сантиметр
эл. ст. ед. заряда
джоуль
ватт кулон
ампер
вольт
вольт метр
ом кулон
1 Дж= 107 эрг
1 Вт= 107 эр г/с
1 Кл = 2,998・109 эл. ст. ед. заряда
1 А = 2,998・109 эл. ст. ед. заряда секунда
1 В = (1/299,8) статвольта
1 Ом = 1,139 X X 10-12 с/см
магнитное поле
магнитный поток
8
Ф
дина г а усс ~ (эл. ст.ед. заряда) эл. ст. ед. заряда
тесла
кулон
1 Тл=104 Гс
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
О ПРОБЛЕМЕ ДВИЖЕНИЯ
Совершенно новая наука
Вопросы
Если средняя скорость тела за определенный промежуток времени равна нулю, означает ли это, что тело находилось в покое?
Означает ли большая скорость большее ускорение? Приведите пример.
Общеизвестно рассуждение, что стрела, выпущенная Парисом в Ахилла, никогда не сможет настичь его, так как стрела достигает сначала средней точки расстояния между Парисом и Ахиллом厂затем она долетает до середины оставшегося расстояния и т. д. Это процесс бесконечен, так как любое сколь угодно малое оставшееся расстояние всегда имеет среднюю точку. Как же тогда объяснить, что Ахилл все-таки был ранен в пятку? (См. приложения, стр. 429).
Ж- Л. Годдар снимает в кино движение камня, подброшенного вертикально вверх. Как будет выглядеть движение камня, если прокрутить ленту в обратном направлении? Приведите другой пример обращенного движения в природе.
В математических формулах размерность левой части должна совпадать с размерностью правой. Подтвердите это на формулах, приведенных в этой главе. Допустим, что вы получили формулу, у которой левая и правая части имеют различные размерности. Каков будет ваш вывод?
Ускорение силы тяжести на Луне в шесть раз меньше ускорения на Земле. Докажите, что если мускул ноги человека всегда дает ему одинаковую начальную скорость, человек сможет подпрыгнуть на поверхности Луны в шесть раз выше, чем на поверхности Земли.
Задачи
Чтобы проверить спидометр своего автомобиля, водитель проезжает по шоссе 5 км ровно за 5 мин. Во время езды спидометр показывал среднюю скорость 60 км/ч. Верно ли работает спидометр автомобиля?
Начертите график зависимости скорости от времени и покажите, что расстояние, которое проходит автомобиль, едущий со скростью 60 км/час, в течение одного часа, равно расстоянию, которое проходит автомобиль, едущий со скоростью 50 км/ч, в течение 1 ч. 12 мин.
3. Во время бури король Лир увидел вспышку молнии. Через 10 с он услышал раскаты грома. Скорость звука в воздухе при комнатной температуре равна примерно 3,4* 104 см/с. На каком расстоянии от Лира произошла вспышка?
За какое время пройдет автомобиль, движущийся со скоростью 60 км/ч, путь 300 км? За какое время пройдет это же расстояние автомобиль, едущий со скоростью 50 км/ч?
Автомобиль едет по шоссе сначала со скоростью 50 км/ч в течение двух часов, а затем 15 мин едет со скоростью 40 км/ч. Какое расстояние пройдет автомобиль за это время? Чему равна средняя скорость автомобиля за 2 ч 15 мин?
Автомобиль, едущий вдоль прямого шоссе, равномерно ускоряется с 30 км/ч до скорости 60 км/ч в течение 1 мин. Чему равна величина равномерного ускорения?
Камень падает с высоты 490 м. Сколько времени он падает и чему равна его скорость у поверхности Земли?
8*. Камень подбрасывают вертикально вверх. Через 20 с он падает на землю. До какой высоты долетает камень и чему равнялась его начальная скорость? Чему равна скорость камня перед ударом о землю?
9*. Камень брошен горизонтально с высоты 19,6 м со скоростью 10 м/с. Через какое время камень упадет на землю и какое расстояние он пролетит по горизонтали?
Через секунду после бросания первого камня другой камень бросают вертикально вниз с той же1 высоты. С какой начальной скоростью нужно бросить этот камень, чтобы он упал на землю одновременно с первым?
Шарик для игры в гольф падает с подставки, обладая горизонтальной скоростью 30 м/с. На какое расстояние по горизонтали отлетит шарик от подставки, если она расположена над поверхностью земли на высоте 6 м?
Расстояние от Солнца до Земли 1,5・ 108 KM. За какое время свет пройдет это расстояние, двигаясь с постоянной скоростью с=3« 108м/с?
Ближайшая к нам звезда находится на расстоянии 4,3 световых лет. (Световой год ——это расстояние, проходимое светом за год.) Выразите это расстояние в километрах.
Скорость пули при вылете из дула 400 м/с. Длина ствола 1 м. Ускорение считается постоянным.
Сколько времени пуля летела в стволе?
Чему равнялось ее ускорение?
Допустим, что игрок в бейсбол ударяет по мячу, который пролетает по воздуху 1,8 м.
Чему равна скорость мяча в момент удара, если мяч начинает полет под углом 45° к горизонту?
Какова максимальная высота траектории мяча?
Сколько времени мяч находился в воздухе?
Примечание. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Мяч, брошенный со скалы высотой 36 м вертикально вниз, ударяется о землю через 2 с.
Чему равна начальная скорость мяча?
Чему равна скорость мяча у земли?
. Автомобиль А начинает двигаться с места с ускорением 2 м/с в тот момент, когда мимо него проносится автомобиль В, едущий со скоростью 144 км/ч.
Через сколько времени автомобиль 4 догонит автомобиль 8?
Какое расстояние пройдет 8 за это время? Выразите ответ в километрах.
Мяч подброшен вертикально вверх с начальной скоростью 24,5 м/с в месте, где ускорение силы тяжести равно 9,8 м/с2.
До какой высоты долетит мяч?
За сколько времени мяч долетит до максимальной высоты?
Чему равна скорость м兄qa через 2 с? 4 с? Перед падением на землю? Примечание. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Камень брошен с моста вертикально вниз с начальной скоростью 4,9 м/с.
Через сколько времени камень упадет в воду, если высота моста 58,8 м?
Чему равна скорость камня перед падением в воду?
Трогаясь с места, автомобиль через 8 с достигает скорости 72 км/ч.
Чему равно (постоянное) ускорение автомобиля?
Какое расстояние прошел автомобиль за это время?
Что такое сила?
Вопросы
Когда сила не действует, можно сказать, что ее величина равна нулю. Каково тогда направление этой силы?
Предположим, что русские выбрали в качестве направления нулевой силы восток, а американцы — запад. Как это скажется на их вычислениях?
Груз подвешен к середине туго натянутого горизонтального троса. Должен ли провиснуть трос?
. Заданы постулаты I——V и правило треугольника для сложения стрелок. Покажите, что если а — обычное число, а А и В — произвольные два вектора (т. е. стрелки, подчиняющиеся всем правилам), то а(А+ В)=аА+аВ.
Задачи
Автомобиль движется на север по прямому шоссе со скоростью 30 км/ч.
а. Чему равен вектор его скорости v?
б. Каковы величины и направления векторов 2v,—2v, 2v—v и v—2v?
Используя правило параллелограмма для сложения сил, можно вычитать один вектор из другого: А——В=А+(——В), где вектор ——В равен по величине вектору В, но направлен в противоположную сторону. Нарисуйте параллелограммы для случаев А+В и А—В.
Направляясь в театр, любитель прогулок проходит сначала 5 км на юг, где встречается со своей подругой. Затем они проходят 12 км в западном направлении, чтобы попасть в театр. На каком расстоянии от театра находился любитель прогулок вначале?
. Человек выстрелил вертикально вверх и обнаружил, что пуля достигла высоты 100 м. На какую высоту должен взобраться этот человек, чтобы пуля, выстреленная горизонтально, упала на землю под углом 45° к поверхности?
Человек, едущий в дождливую погоду на автомобиле на юго-восток, замечает, глядя на боковое стекло, что дождь падает вертикально вниз. Он знает, что скорость автомобиля равна 30 км/ч. Оцените скорость ветра.
Используя правило параллелограмма, можно последовательно сложить или вычесть много векторов. Покажите с помощью постулата V, что порядок сложения векторов произволен.
7*. С помощью правила параллелограмма можно разложить любой вектор на два вектора, лежащие в произвольной плоскости, которая содержит исходный вектор, и дающие в сумме этот вектор. Каждый из полученных векторов можно в свсю очередь разложить на два составляющих вектора и т. д., в результате чего исходный вектор может быть представлен в виде суммы произвольного числа составляющих векторов. Эти векторы могут находиться, а могут и не находиться в одной плоскости. Согласно Евклиду, любые три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость, а любые прямые, соединяющие эти точки, лежат в одной и той же плоскости. Помня об этом, определите, на какое минимальное число составляющих векторов следует разложить вектор в трехмерном пространстве, чтобы можно было сказать, что составляющие векторы не обязательно лежат в одной плоскости.
8*. Раскладывая вектор ускорения на компоненты, покажите, что необходимым условием для движения тела с постоянной скоростью является требование, чтобы вектор ускорения, если он не нулевой вектор, был перпендикулярен вектору скорости. (Пояснение: вспомните правило разложения векторов. Покажите, что если в какой-то момент времени вектор ускорения имеет составляющую вдоль вектора скорости, величина скорости не может не измениться.)
«Льва узнают по его когтям»
Вопросы
Бросая книгу вдоль поверхности доски, мы замечаем, что книга не движется равномерно по прямой линии. Если использовать этот случай в качестве примера нарушения первого закона Ньютона, то спрашивается: как этот пример опровергнуть?
В законах Ньютона, которым подчиняется движение тел, ничего не говорится о размерах, форме или цвете тел. Приведите какой-нибудь пример из жизни, из которого бы следовала зависимость движения от размеров тела. Можно ли в этом случае спасти законы Ньютона?
Человек, едущий в поезде, пытается убедиться в справедливости законов Ньютона. Он видит, что иногда эти законы выполняются (например, когда поезд идет по прямой линии с постоянной скоростью), но не всегда (например, когда поезд ускоряется или поворачивает). Допустим, что окон в вагоне нет, так что пассажир не знает ни величины, ни изменения скорости поезда. Существует ли метод, с помощью которого пассажир в состоянии определить, когда можно ожидать выполнения законов Ньютона, или он вынужден будет заключить, что «они выполняются тогда, когда они выполняются»?
Если обозначить вес тела через 闪，а его ускорение через а, то второй закон Ньютона можно записать как F=(F/^)a. Справедливо ли это выражение на Луне?
Зная ускорение силы тяжести на поверхности Земли, расстояние от Земли до Луны и скорость движения Луны, можно ли определить массу Луны?
Автомобиль движется по дуге окружности с постоянной скоростью. Сила, необходимая для ускорения автомобиля, возникает из-за контакта автомобильных шин с дорогой. Если в дождливый день максимальное значение силы (определяемое проскальзыванием), с которой дорога действует на поверхность шин, уменьшается вдвое, то спрашивается: во сколько раз надо уменьшить скорость автомобиля?
Тот же автомобиль поворачивает сначала со скоростью 30 км/ч, а затем со скоростью 40 км/ч. Во сколько раз возрастает при этом величина силы (приложенной к шинам со стороны дороги), если вираж остается прежним?
Задачи
Чему равна величина импульса тела массой 2 г, движущегося со скоростью 2 см/с?
Чему равна величина импульса электрона (масса электрона =?=0,91« 10~27 г), движущегося со скоростью 108 см/с?
Мяч, масса которого равна 5 г, летит на восток со скоростью 400 см/с. Чему равен вектор его импульса? После отражения от твердой стенки мяч летит на запад со скоростью 200 см/с. Как изменился его импульс?
Чему равна величина силы, сообщающей автомобилю, масса которого 106 г, ускорение 300 см/с2?
. Электрон, вылетающий из катода радиолампы, равномерно ускоряется по прямой в направлении анода, расположенного на расстоянии 0,5 см от катода. Конечная скорость электрона (его масса 9,1» 10~28 г) равна 4-108 см/с. Чему равна величина силы, которая действовала на электрон?
Автомобиль, масса которого 1000 кг, движется по окружности (R=100 м) со скоростью 72 км/ч. Чему равно ускорение автомобиля? Какая действует на него сила? Откуда возникает эта сила?
Мальчик вращает на 50-сантиметровой цепочке груз, масса которого 2000 г, со скоростью 1 оборот в секунду. Какую минимальную нагрузку должна выдерживать цепочка?
Двойная звезда Пласкетта является самой массивной из всех известных звезд. Каждая из двух ее звезд имеет массу порядка 1035 г. Из спектроскопических наблюдений известно, что эти звезды совершают полный оборот по окружности радиуса 0,4* Ю13 см за 14,4 дня. Чему равна сила, действующая на каждую звезду?
Земля движется вокруг Солнца по почти круговой орбите, радиус которой равен 1,5«1011 м.
Чему равна скорость движения Земли по орбите?
Чему равна величина силы, с которой Солнце удерживает Землю на орбите?
В упрощенной теории Бора, описывающей атом водорода, считается, что электрон движется с постоянной скоростью 2,19« 108 см/с по круговой орбите радиуса 5,29・10-9 ем вокруг протона.
Чему равно ускорение электрона?
Чему равна величина силы, необходимой для удержания электрона на орбите? (Масса электрона 0,91 Ь 10~27 г.)
Сравните силу, найденную в «б»,с весом электрона, полагая, что g=980 см/с2.
Бейсбольный мяч приближается к бите со скоростью 30 м/с, двигаясь по горизонтали. После соударения с битой мяч изменяет свое направление на противоположное и отлетает со скоростью 40 м/с.
Найдите величину изменения импульса мяча.
Вычислите величину (постоянной) силы, с которой бита ударяет по мячу, полагая, что мяч касается биты в течение 0,02 с.
. Сани, масса которых 36 кг, скользят по плоской шероховатой поверхности под действием горизонтальной силы в 58,8 Н. Сила трения равна 19,6 Н.
Чему равно ускорение саней?
Какое расстояние пройдут сани за 10 с от начала движения?
Самолет, масса которого 1000 кг, стартует вдоль горизонтальной шероховатой поверхности с постоянным ускорением, пройдя за первые 5 с 4 м. Чему равна сила тяги пропеллеров, если величина силы трения составляет 20% от веса самолета? Считайте, что g=9,8 м/с2.
Автомобиль, масса которого 2160 кг, начинает двигаться с постоянным ускорением и проходит за первые 30 с полкилометра. Какая сила приложена к автомобилю?
Снаряд, масса которого 500 г, выпущен со скоростью 50 м/с под углом 45° относительно горизонта. Чему равен импульс снаряда в наивысшей точке траектории?
5. Гармония сфер
Вопросы
Как выглядит с Луны движение Земли, звезд и Солнца?
Доказывая, что Земля круглая, Аристотель пишет:
«Дальнейшее подтверждение мы получаем из показаний наших чувств. (1) Если бы Земля не была сферой, мы не наблюдали бы во время затмений Луны тень на ее поверхности, имеющую круговую форму. Известно, что во время своих месячных фаз Луна принимает различные очертания ——с резкой прямой гранью, с выпуклой границей и вогнутой, однако во время затмений граница Луны всегда выпуклая. Поэтому если затмения происходят из-за вмешательства Земли, форма границы должна определяться формой Земли, т. е. Земля должна быть сферой».
Восстановите геометрию, которая лежит за этим доказательством. Согласуется ли она с представлением о Вселенной, в центре которой находится Земля?
Далее Аристотель пишет:
«(2) Наблюдения за звездами свидетельствуют не только о том, что Земля круглая, но и о том, что размеры ее не очень велики, поскольку небольшое перемещение нашего местоположения на юг или север вызывает видимое изменение горизонта, так что звезды над нашими головами существенно изменяют свое положение на небе, и мы видим новые звезды, двигаясь на юг или север. Некоторые звезды видны в Египте и недалеко от Кипра, но не видны в более северных странах, другие звезды, которые всегда наблюдаются в северных странах, оказываются заходящими в других странах. Это доказывает как то, что Земля круглая, так и то, что размеры ее невелики, поскольку в противном случае мы не могли бы наблюдать большого эффекта при незначительном изменении нашего местоположения. По этой причине те, кто думают, что область, лежащая вблизи Геркулесовых Столбов 】), соединяется с Индией и что на этом пути океан один, не предполагают, как это может показаться, нечто абсолютно невероятное. В поддержку своего мнения они выдвигают также тот факт, что на краях обеих земель встречаются одни и те же животные, слоны, что свидетельствует, по их мнению, о связи между этими землями. Математики, которые пытаются вычислить окружность Земли, полагают, что она равна 400 000 стадиям >».
Снова воспроизведите геометрию, лежащую в основе этого доказательства. Как могли «математики» воспользоваться описанными выше явлениями для измерения окружности Земли? Каков по вашему мнению наиболее вероятный источник ошибочности их расчетов? Далее:
«На основании этих аргументов можно прийти к заключению, что Земля не только имеет сферическую форму, но что она мала по сравнению с другими звездами3)».
Мог ли Аристотель на основании-своих аргументов сделать какие-либо выводы: а) о размерах звезд и б) об их относительных расстояниях до Земли по сравнению с ее размерами?
Даны Вселенная Аристотеля и его «естественные движения». Вообразим, будто Аристотель знает второй закон движения (F=ma). К какому выводу о массах звезд пришел бы он в таком случае?
Допустим, что Аполлоний наблюдал параллакс звезд в течение года. Как бы он объяснил свои наблюдения, считая, что Земля расположена в центре мира?
Вообразим, будто Птолемей принял гелиоцентрическую систему. Должен ли был он обязательно отказаться от всех своих эпициклов и т. п.? Как бы он смог использовать, например, эпицикл наиболее подходящим образом?
Экспериментальный самолет сконструирован так, что он может подняться на высоту 300 км, а затем парить в течение некоторого времени. Земля за это время поворачивается вокруг собственной оси, и когда под самолетом показывается его место назначения, самолет приземляется. Таким способом можно было бы путешествовать из Нью-Йорка в Лос-Анджелес за 3 ч. Возможно ли это?
Спутник Земли имеет круговую орбиту радиуса 2R3 (R3 ——радиус Земли). Чему равен период его обращения?
Почему комета движется вблизи Солнца быстрее, чем вдали от него?
Задачи
Малая планета Церера делает полный оборот вокруг Солнца за 2,6 г. Чему равен радиус ее орбиты, выраженный через радиус Земли? (Считайте, что орбита круговая.)
Спутник выведен на орбиту, находящуюся на полпути до Луны. Чему равен период его обращения?
. Комета Галлея совершает полный оборот вокруг Солнца за 75 лет, а в точке наибольшего приближения к Солнцу расстояние ее до Солнца составляет 8,9« 1010 м. Положение точки наибольшего удаления определить экспериментально невозможно, так как комета там не видна. Вычислите максимальное расстояние от кометы Г аллея до Солнца. (Средний радиус, входящий в третий закон Кеплера, равен по определению полусумме минимального и максимального расстояний до Солнца.)
. Человек достигнет Марса, двигаясь по эллиптической орбите, у которой точка минимального удаления от Солнца будет лежать на орбите Земли (ее радиус равен 149 миллионам километров), а точка максимального удаления——на орбите Марса (ее радиус равен 226 миллионам километров). Сколько времени потребуется на это путешествие?
За какое время можно долететь от Земли до Венеры? (Радиус орбиты Венеры составляет 107 миллионов километров.)
Вычислите орбитальную скорость и период обращения спутника, движущегося по круговой орбите в непосредственной близости от поверхности Земли. Считайте, что радиус орбиты равен 6,4-108 см. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Чему равен период обращения спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Луны? Считайте, что R=\J5* 108 см, а масса Луны равна 7,35-1025 г,
Ньютоновская система мира
Вопросы
Из третьего закона Кеплера следует, что движение всех спутников Земли характеризуется одной и той же постоянной. (Спутники могут быть как естественными, так и искусственными.) Как можно быстро вычислить эту постоянную?
Содержится ли в законе всемирного тяготения Ньютона утверждение, что между двумя телами может действовать лишь сила одного вида и что эта сила есть гравитация?
Содержат ли закон всемирного тяготения и законы движения Ньютона какую-нибудь информацию об источниках гравитационного притяжения или о его происхождении?
Качественно рассмотрите вопрос о том, как возмущается орбита Луны под действием притяжения Солнца. (Считайте, что плоскость орбиты Луны лежит в плоскости земной орбиты.)
На основании неудачной попытки Гука измерить изменение земного притяжения от поверхности Земли до вершины горы некий физик додумался до того, что гравитационная сила не зависит от расстояния. Вместе с тем, он признавал, что F=ma. Как он мог объяснить появление Луны в своих ночных кошмарах?
Ньютон не знал точного значения постоянной G, (Почему?) Однако он мог за чашкой кофе попытаться его оценить. К какому выводу он смог бы прийти?
Допустим, будто бы Ньютон согласился, что звезды состоят из небесной субстанции, т. е. не имеют массы. (Как бы он смог увязать этот факт со своей теорией?) Смог бы он согласиться с тем, что Луна тоже не имеет массы? Какие доводы он мог бы привести в пользу того, что Луна имеет массу?
Как бы отнесся Декарт к утверждению, что гравитационная сила между двумя телами действует не мгновенно, а распространяется со скоростью света?
Задачи
На какой высоте от поверхности Земли гравитационная сила, действующая на тело, уменьшается вдвое по сравнению с силой, действующей на уровне моря?
Чему равнялся бы период обращения Луны, если бы радиус ее круговой орби* ты уменьшился в два раза? Чему равнялось бы отношение скорости ее движения по новой орбите к скорости движения по старой орбите?
Человек весит на Земле 784 Н (80 кг) и хочет весить меньше. Должен ли он для этого отправиться на Марс или на Юпитер? Сколько он будет весить на каждой из этих планет?
Точное значение массы Земли можно получить, измеряя высоту и период сбращения ее искусственного спутника. Как это получить?
Какая сила действует на тело, которое весит на поверхности Земли 1000 Н и находится на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли?
Период обращения спутника вокруг Земли равен 98 мин, а его средняя высота 5« 107 см. Вычислите массу Земли.
Тело с массой 105 г находится на поверхности Земли.
С какой силой Земля притягивает это тело?
С какими силами притягивают это тело соответственно Солнце и Луна?
Покажите, что силы притяжения Солнца и Луны, действующие на тело, пренебрежимо малы по сравнению с гравитационной силой Земли.
Средний радиус Земли равен 6,4* Ю см.
Таблица 13
Планета
Масса, г
Среднее расстояние до Зем、 ли, см
Солнце Земля Луна
2,0.103з 6,0・1027 7,3-1025
1,5・101з
3,8-10
*. Тело движется со скоростью у по орбите радиуса R вокруг Земли.
Докажите соотношение v2R=GM3 , где М3 ——масса Земли. Поскольку правая часть этого соотношения известна, то, зная радиус круговой орбиты, можно определить скорость у, и наоборот.
Покажите, что размерность обеих частей полученного соотношения одинакова и равна
(длина)3/(время)2.
*. Приближенно можно считать, что атом водорода состоит из протона (масса 1,67* 10 - 24 г), вокруг которого на расстоянии 0,53* 10~8 см вращается электрон (масса 9,11* 10~28 г) со скоростью 2,2« 108 см/с.
Найдите гравитационную силу притяжения, действующую между электроном и протоном.
Какая сила должна действовать на электрон, чтобы он вращался по такой орбите?
Чему равно отношение сил, полученных в «а» и《6》？ Можно ли отсюда заключить, что между электроном и протоном должна действовать какая-то другая сила, величина которой существенно больше величины гравитационной силы?
12. На каком расстоянии от Земли сила тяготения Земли сравнивается с силой тяготения Солнца? Выразите это расстояние в радиусах Земли, R3 =6,37,108см.
ОПЫТ, ЗАКОН, СИСТЕМА
Вопросы
Аристотель, стремившийся всегда на опыте проверить любую теорию, сказал, между прочим, что «Если все люди смертны, а Сократ — человек, то и Сократ смертен». Мог ли он усомниться в справедливости этого утверждения, если бы Сократ в ту пору был еще жив?
Поскольку Аристотель придумал так много слов, поскольку он шепелявил и говорил о проблеме движения так мало и так поверхностно, можно допустить, что когда он писал (или говорил) свои известные слова относительно падающих тел, он имел в виду нечто отличное от того, что приписывал ему позднее Галилей. Что он мог иметь в виду? Как бы он смог защитить свое утверждение?
Какие подтверждения можно привести в пользу того, что стул существует, что сила гравитации существует и что Солнце тоже существует?
Солнце восходит. Оно всегда восходило и раньше. Как можно обосновать, что оно будет восходить и в дальнейшем?
Допустим, мы согласились, что игра в шахматы не зависит от материала, из которого изготовлены шахматные фигуры, и допустим также, что Бобби Фишер настаивает на том, что игра у неге получается лучше, когда он играет своими любимыми фигурами из слоновой кости. Согласуются ли между собой эти два утверждения?
Как бы могли «почувствовать» разумные двумерные существа, живущие на поверхности сферы, кривизну своего пространства?
Как бы мог отнестись Евклид к геометриям Римана и Лобачевского?
МИР НЬЮТОНА
Столкновения частиц
Вопросы
При каких условиях импульс сохраняется?
При каких условиях сохраняется кинетическая энергия?
Самолет, летящий в атмосфере, способен передвигаться, толкая (если можно так выразиться) атмосферу и используя ее в качестве источника тяги. Пропеллеры отбрасывают воздух назад. Они толкают воздух, в котором они вращаются, а воздух
толкает их в противоположную сторону (вперед). Полный импульс системы атмосфера ——самолет сохраняется. Почему такие самолеты трудно использовать на очень больших высотах, где атмосфера разрежена?
Космический корабль, находящийся в почти безвоздушном пространстве вне плотных слоев земной атмосферы, не может двигаться тем же способом, что и самолет. Поскольку нет вещества, которое могло бы толкать корабль, он сам выбрасывает вещество назад. Изменение импульса корабля равно и противоположно направлено изменению импульса выбрасываемого вещества. Чтобы не перегружать корабль, желательно брать с собой и отбрасывать как можно меньше вещества. Почему же тогда чем больше скорость истечения вещества, тем выше эффективность космического корабля?
Одно из практических преимуществ, которые дает применение закона сохранения, состоит в том, что такой закон уменьшает количество неизвестных величин. Напри /ер, в системе, где кинетическая энергия остается постоянной, закон сохранения уменьшает на единицу число неизвестных скоростей тел системы. Сколько нужно задать скоростей, чтобы оказалось возможным определить остальные скорости, в случае столкновения двух частиц? (Рассмотрите этот вопрос для одномерного столкновения, а затем для столкновения в трехмерном пространстве.)
Примените результаты вопроса 5 к случаю взрыва тела и раскола его на две части.
Приведите пример, когда одно тело обладает большей кинетической энергией, но меньшим импульсом, чем другое тело.
Задачи
Бейсбольный мяч, масса которого 145 г, летит со скоростью 3・ 103 см/с, отражается от стенки и летит в обратном направлении со скоростью 2* 103 см/с.
Чему равен импульс силы?
Считая, что мяч соприкасался со стенкой в течение 10~2 с, найдите величину средней силы, приложенной к мячу, и величину силы, приложенной к стенке.
Чему равен тогда импульс силы, действующей на мяч?
Покажите, что импульс силы 1 дин, действующей в течение 10 с, равен импульсу силы 10 дин, но действующей в течение 1 с и в том же направлении.
Лыжник, масса которого 72 кг, цепляется за трос подъемника, чтобы подняться на вершину горы. Через 2 с лыжник движется уже со скоростью 3 м/с. Какую среднюю нагрузку должны выдерживать руки лыжника, если не учитывать трения между лыжами и снегом?
Рассмотрите задачу 1 в случае, когда упругость мяча мала. В частности, рассмотрите предельный случай, когда упругость мяча сходна с упругостью куска глины. Что скорее проломит тонкую фанерную перегородку ——кусок глины или бейсбольный мяч, если их массы и начальные скорости одинаковы?
Каковы величина и направление полного импульса системы, состоящей из массы 3 г, которая движется со скоростью 10 см/с на восток, и массы 5 г, которая движется со скоростью 20 см/с на север?
6*. Обшивка космического корабля, описанного в задаче 8, масса которой 150 кг (эта масса включена в задаче 8 в массу всей капсулы), отбрасывается на 190-й секунде полета вместе со второй ступенью ракеты. Насколько возрастет скорость капсулы?
Трехкилограммовая граната катится по земле со скоростью 3 м/с. При взрыве происходит осечка, и граната раскалывается на две части. Первый осколок летит в ту же сторону, что и брошенная граната, со скоростью 30 м/с. С какой скоростью и в какую сторону полетит второй осколок?
Трехступенчатая ракета сообщает тягу, график которой представлен на фиг. 416, капсуле, масса которой 1440 кг. (На графике учтены вес ракеты, сопротивление воздуха и прочие направленные вниз силы.) Чему равна конечная скорость капсулы?
. Играя в бильярд, вы ударяете своим шаром по восьмерке со скоростью 6 м/с, причем массы шаров одинаковы. С какой скоростью и в каком направлении по・ катится свой шар после столкновения, если боковая луза, в которую влетает восьмер -
ка со скоростью 2 м/с, находится под углом 30° относительно направления движения своего шара до столкновения? (Задачу следует решать графически.)
Какая работа совершается над телом массой 10 кг, движение которого изображено на фиг. 417?
[§ Зооооо § 200000 $《юо ООО[§ Зооооо § 200000 $《юо ООО—"60/20^2 约 Змg с0^夕儿*s—"60/20^2 约 Змg с0^夕儿*sФиг. 417.Фиг. 417.Фиг.Фиг.416.416.
[§ Зооооо § 200000 $《юо ООО
[§ Зооооо § 200000 $《юо ООО
—"60/20^2 约 Зм
g с0^夕儿*s
—"60/20^2 约 Зм
g с0^夕儿*s
Фиг. 417.
Фиг. 417.
Фиг.
Фиг.
416.
416.
И. Лыжник, вес которого 700 Н, поднимается на подъемнике вдоль склона на высоту 150 м. Какую работу совершает подъемник над лыжником?
Какая работа совершается при забивании десятисантиметрового гвоздя в кусок дерева, если при каждом ударе молотка гвоздь входит на 1 см под действием средней силы 200 Н?
Чему равна кинетическая энергия тела массой 200 г, движущегося со скоростью 500 см/с?
Чему равен тормозной путь автомобиля при скорости 60 км/ч, если при скорости 45 км/ч этот путь составляет 40 м?
. Колеса действуют на автомобиль, масса которого 500 кг, со средней силой 500 Н на пути 32 м.
Какую работу совершает сила?
Чему равна конечная скорость автомобиля?
16*. В примере, приведенном на стр. 144, были вычислены конечные скорости двух бильярдных шаров одинаковой массы в предположении, что столкновение происходит вдоль прямой линии. Получите более общий результат в случае, когда массы шаров не одинаковы. Покажите, что, когда масса второго шара становится очень большой, первый шар отскакивает от него с начальной скоростью в обратную сторону. (Этот результат является частным случаем еще более общего результата, глася* щего, что при упругом столкновении легкой частицы с тяжелой неподвижной части* цей кинетическая энергия легкой частицы практически не изменяется.)
*. Камень массой 100 г, брошенный на север со скоростью 300 см/с, сталкивается с куском глины массой 1500 г и застревает в нем. До этого кусок глины летел на восток со скоростью 50 см/с. Определите скорость (величину и направление) куска глины после столкновения. Какое количество кинетической энергии рассеялось?
Представьте, что на заданном пути (обозначим его d) требуется остановить быстро движущееся тело (например, самолет, приземляющийся на палубу авианосца). Величина максимальной силы, приложенной к самолету со стороны тормозной системы, например троса, определяется прочностью самолета, величиной допустимых перегрузок на летчика и т. п. Обозначим эту силу через FMaKC. Тогда максимальная работа, совершенная над самолетом, равна 尸мак/・ Предположив, что величина 尸макс ограничена величиной допустимых перегрузок на летчика (скажем, он спо собен выдержать 5 ^),найдите среднюю силу, приложенную к самолету, масса которого 2000 кг. Чему равна максимальная допустимая скорость посадки, если длина палубы 150 м?
Чему равен импульс транспорта, масса которого 2880 кг, а скорость 15 м/с? При какой скорости грузовик с массой 4500 кг будет обладать таким же импульсом?
В мишень стреляют из автомата пулями, масса которых 5 г. Скорость стрельбы автомата 480 пуль в минуту, а скорость пули 400 м/с. Какую среднюю силу еле* дует приложить к мишени, чтобы она оставалась при стрельбе неподвижной?
12. Закон сохранения энергии
Вопросы
При каких условиях выполняется закон сохранения механической энергии?
Означает ли сохранение полной механической энергии системы частиц отсутствие неуравновешенных внешних сил?
Тело поднимают над поверхностью Земли. Чему равно увеличение его потенциальной энергии? Начертите эквипотенциальную поверхность и укажите направление силы.
. Спутник вращается по круговой орбите вокруг Земли. Как изменится его механическая энергия при переходе на другую круговую орбиту?
. Приведите пример системы, полная механическая энергия которой не сохраняется. Попытайтесь придумать новый закон сохранения, из которого как частный случай следовал бы закон сохранения механической энергии.
Что дает определение потенциальной энергии однозначно — величину потенциальной энергии или только разность потенциальных энергий? Покажите, что, несмотря на то что потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной, закон сохранения механической энергии выполняется.
Для частицы, находящейся над поверхностью Земли, мы, как правило, выбираем в качестве начальной точку на поверхности Земли. В этом случае потенциальная энергия частицы равна mgxf где % — расстояние от Земли до частицы. Покажите, что при другом выборе начальной точки такой результат, как, например, максимальная высота подъема частицы, подброшенной вертикально вверх со скоростью и, не изменится.
Задачи
Спутник вращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса R. Как изменится его потенциальная энергия, если радиус орбиты увеличится на 1%?
. Пружина, длина которой в ьерастянутом состоянии равна /0, оказывает силу сопротивления при увеличении ее длины до величины Z(/^/o), пропорциональную изменению длины.
Напишите выра:хение для возвращающей силы пружины.
Нарисуйте график зависимости возвращающей силы от изменения длины (/——/0) и докажите, что величина работы, произведенной над пружиной, равна площади под этой кривой. Выпишите выражение для потенциальной энергии.
Один конец пружины закреплен, а к другому ее концу привязано тело массы т. Рассмотрите качественно вопрос о том, как будет изменяться скорость тела, если пружину растянуть до длины /, а затем отпустить ее. Сохраняется ли в этом случае механическая энергия тела?
Пятикилограммовое свинцовое ядро толкнули таким образом, что его вертикальная компонента скорости равнялась 3 м/с. Какой максимальной высоты над землей достигнет ядро, если его толкнули с высоты плеча (150 см)?
Какая производится работа при втягивании четырехкилограммовых саней на горку вдоль тридцатиградусного склона длиной 16 м? Чему будет равна конечная скорость саней, если их спустить без пассажиров с вершины горки, полагая, что трение пренебрежимо мало? Как будет отличаться эта скорость от конечной скорости саней, если в них посадить мальчика, масса которого 36 кг?
Тяжелая бусина скользит без трения вдоль причудливо изогнутого провода. В некотором месте ее скорость равнялась 30 см/с. С какой скоростью она будет двигаться в точке, расположенной на 30 см ниже?
Дикий гусь массой 3 кг летит со скоростью 3 м/с на высоте 30 м. Чему равна его кинетическая энергия? Чему равна его потенциальная энергия относительно поверхности Земли?
Среднее расстояние между Луной и Землей равно 3,8* 10б км, а их массы соответственно 7,3» 1022 кг и 6,0-1024 кг. Чему равна потенциальная энергия Луны? С какой бы скоростью Луна упала на Землю, если бы она остановилась на своей орбите вокруг Земли? Средний радиус Земли 6,4。10 3 км.
Чему равна скорость убегания (вторая космическая скорость) с поверхности ЛуньР
9*. Космонавт, корабль которого летит по круговой орбите на высоте 160 км над поверхностью Земли, желает уменьшить высоту полета на 2 км. Должен ли он включить тормозные или ускоряющие двигатели? Сколько времени должны работать двигатели, если их тяга равна 500 Н? (Масса корабля 1500 кг.)
4-граммовая стальная пуля, летевшая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в неподвижный стальной брусок, масса которого 1 кг. После столкновения пуля отскакивает в противоположную сторону со скоростью 400 м/с. Чему равна скорость бруска после столкновения? (Трением можно пренебречь.)
Шар Л, масса которого 6 кг, сталкивается с двухкилограммовым шаром 8. До столкновения, происшедшего на гладкой горизонтальной поверхности, шар В покоился. После столкновения Л движется со скоростью 2 м/с на запад, а шар В — со скоростью 6 м/с на юг. Каковы были величина и направление скорости Л до столкновения?
Двухкилограммовый шар, движущийся слева направо со скоростью 6 м/с, совершает лобовое столкновение с покоящимся шаром, масса которого 5 кг. В результате столкновения шары разлетаются, и более тяжелый шар движется направо со скоростью 2 м/с. Определите скорость легкого шара после столкновения.
/3. Системы многих частиц
Вопросы
Рассмотрите систему одинаковых частиц. Как бы вы построили модели, описывающие газ, жидкость или твердое тело?
Необходимо ли, чтобы сила, действующая на каждую частицу системы из N частиц, равнялась нулю для сохранения полного импульса системы?
. Могут ли быть два центра масс для заданной системы из ^ частиц? Докажите ответ для случая двух частиц. Как провести доказательство для системы из трех частиц, если известен результат для случая двух частиц?
При каких условиях центр масс системы движется равномерно? Приведите пример с бильярдными шарами.
Два космонавта вышли в открытый космос, чтобы проверить свой корабль, вращающийся вокруг Земли. Может ли один из космонавтов передать массивный инструмент другому космонавту, находящемуся от первого на расстоянии вытянутой руки?
6*. Имеются два тела с массами Л4 и /и. С какой точностью можно считать, что центр масс этих двух тел расположен в пределах более массивного тела, если их массы сильно различаются? Найдите поправки к этому приближению.
7*. Совпадает ли центр масс системы Солнце ——Земля с центром Солнца? (Влиянием других планет пренебречь.) Объясните, почему в качестве центра вращения планет можно всегда брать не истинный центр масс,а центр Солнца? Наиболее массивной планетой солнечной системы является Юпитер. Массы Солнца и Юпитера соответственно равны 1,987* 10зс кг и 1,900» 1027 кг.
8. Рассмотрим движение системы из N частиц как целого. Введем точечную частицу, масса которой равна полной массе системы, а расположена эта частица в месте нахождения центра масс системы из ^ частиц. Теорема 13.2 гласит, что движение центра масс системы из N частиц совпадает с движением точечной частицы, если на систему и частицу действуют одинаковые внешние силы. Только ли для системы из N частиц, образующей твердое тело, справедлива эта теорем-?
Абсолютно твердые тела 6 движении и в покое
Вопросы
Является ли понятие абсолютно твердого тела идеализацией газа, жи^ гости или твердого тела?
Где расположен центр масс однородной сферы?
Изменится ли положение центра масс, если внутри однородной сферы вырезать сферическую полость, центр которой расположен в центре исходной однородной сферы?
Всегда ли для вращательного движения требуется момент сил?
При каких условиях угловой момент сохраняется?
Почему пилоту самолета приходится иногда рулить вправо или влево, чтобы взлететь по прямой?
Как изменится продолжительность суток, если полярные льды растают?
Вертолеты всегда имеют два пропеллера: либо два одинаковых, но вращающихся в противоположные стороны, либо один большой горизонтальный и второй небольшой вертикальный, расположенный в хвосте машины. Почему?
Каким образом кошкам удается всегда падать на лапы? И действительно ли это так?
Задачи
Где расположен центр масс системы из трех частиц, если первая (масса 5 г) находится в 2 см восточнее начала координат, вторая (10 г)——в 4 см севернее начала координат, а третья (5 г)——в начале координат?
Вычислите расположение центра масс двух точечных частиц с массами М и 2Л4, находящихся на расстоянии 10 см друг от друга.
Где находится центр масс фигуры, изображенной на фиг. 418?
Фиг. 418.
Чтобы подвеска была устойчивой, каждый провод должен присоединяться к центру масс системы, лежащей ниже провода. Подвеска, изображенная на фиг. 419, неустойчива. Как сделать ее устойчивой? (Весом проводов пренебречь.)
Какую силу следует приложить к внешнему ободу изображенного на фиг. 420 колеса, чтобы суммарный момент сил обратился в нуль?
Точка опоры невесомого рычага длиной 3 м находится на расстоянии 60 см от одного из его концов. Какой груз может поднять человек с помощью такого рычага, если он в состоянии приложить усилие в 500 Н к одному из концов рычага?
Чему равен угловой момент массы 300 г； вращающейся по окружности радиуса 600 см с частотой 1 оборот в секунду?
Чему равен угловой момент системы из двух концентрически расположенных колес, соединенных невесомыми спицами, одно из которых радиуса 500 см и массы 5000 г, а другое радиуса 250 см и массы 2000 г? Вся система вращается со скоростью 2 оборота в секунду.
Какую силу следует приложить к внешнему колесу системы из предыдущей задачи, чтобы остановить ее за 10 с?
Чему равен угловой момент спутника Земли с массой 105 г, вращающегося вокруг Земли на расстоянии 16 000 км от ее поверхности?
. Суть игры в спиральбол состоит в том, что один из играющих бьет по мячу, привязанному к столбу с помощью длинной веревки, с такой силой, чтобы мяч мог закрутиться вокруг столба, прежде чем противник отобьет его в другую сторону. С какой силой должен ударить по мячу противник спустя 3/4 с, чтобы мяч, совершивший полтора оборота, полетел в обратную сторону с угловым моментом (относительно центра столба), равным половине его углового момента, который получил мяч вначале от удара силой в 60 Н за 1/4 с? Длина веревки равна 2 м, а диаметр столба 10 см. (Считайте, что мяч движется по спирали в плоскости, перпендикулярной столбу.)
Рассмотрите влияние Луны на прецессию земной оси. Начните расчеты с определения момента сил, действующих со стороны Луны на Землю, взяв в качестве модели системы Земля — Луна гантели. Среднее значение момента сил Луны следует уменьшить так же, как это делалось при вычислении среднего момента сил Солнца, приложенного к Земле (стр. 204). Затем свяжите этот момент сил с периодом обращения Луны, а далее поступайте так, как на стр. 205. Под действием моментов сил Луны и Солнца земная ось прецессирует с периодом, равным примерно 26 000 лет.
Бейсболист, масса которого 72 кг, обегает первый «дом» по кругу радиуса 10 м со скоростью 10 м/с.
Какая горизонтальная сила действует на игрока?
Откуда эта сила берется?
О ПРИРОДЕ СВЕТА
Теннисные мячи
Вопросы
Как можно было бы измерить скорость света? Как измерить различия в скоростях света?
На небе иногда происходит взрыв звезды, т. е. наблюдается рождение Сверхновой, в результате чего яркость звезды резко возрастает. Мы наблюдаем взрыв в виде растущего яркого белого пятна, а не в виде отдельных цветных пятен, появляющихся на небе в различные моменты времени. Что можно на основании этого заключить о скорости света в вакууме для различных цветов?
В модели Декарта объясняется по отдельности как отражение, так и преломление света, но нигде не описано одновременное отражение и преломление света от одной и той же поверхности раздела, например воды и воздуха. Как ми〕бы Декарт видоизменить свою модель, чтобы она объясняла и этот случай?-
Как объяснить «знаменитое явление цветов», если считать, что свет есть «ничто кроме простого и однородного движения»?
Как можно было бы объяснить, что скорость теннисного мяча больше в более плотной среде?
Как с помощью теннисных мячей можно объяснить различные ць та?
Задачи
За какое время солнечный свет доходит до Земли? (Расстояние между Землей и Солнцем составляет 150 миллионов километров.)
В одном комическом фильме пришельцы из космоса затрачивают на путешествие от Плутона до Земли менее одного дня, хотя даже солнечный свет проходит этот расстояние за 6 ч. На каком примерно расстоянии находится Плутон от Солнца? С какой скоростью должны были путешествовать пришельцы из космоса, если считать, что они достигли бы Солнца за 1 день?
Световой год есть единица длины. Это расстояние, которое проходит свет в течение года. Чему равно это расстояние в сантиметрах?
Наблюдатель видит, что молния ударяет в дом, находящийся от него на расстоянии 15 км. Чему равен временной интервал между самим событием и его наблюдением?
За 5,12- Ю-6 с радиолокационный сигнал, распространяющийся со скоростью света, посылается, отражается от самолета и принимается той же станцией. На каком расстоянии от станции находился самолет?
За какое время радиолокационный сигнал пройдет от Земли до Луяы и обратно? (Расстояние от Земли до Луны приблизительно 380 тысяч километров.)
Коэффициент преломления света на границе воздух — стекло равен 1,6. Под каким углом преломится луч света, если он падает на эту границу под углом 30°?
Докажите, как из предположения о том, что при отражении горизонтальная компонента скорости «частиц света» сохраняется, а вертикальная компонента изменяет направление на противоположное, следует равенство угла падения углу отражения.
Коэффициент преломления на границе вакуум — кварц равен 1,46. Определите скорость света в кварце с помощью модели света Декарта.
. Рассмотрите ньютоновскую корпускулярную модель света.
Покажите, используя закон сохранения энергии, что кинетическая энергия, а следовательно, и скорость частиц света, является характерной постоянной данного вещества, не зависящей от параметров входа света в вещество (а именно от угла падения), если предположить, что в каждом прозрачном веществе «частицы света» обладают определенной постоянной потенциальной энергией.
Покажите, что ньютоновская модель наклонной плоскости иллюстрирует это явление.
17. Волны
Вопросы
Из житейского опыта известно, что световая волна распространяется почти прямолинейно, не огибая углы, в то время как звуковая волна заходит за препятствия. Объясните это. Частота звука, воспринимаемого человеческим ухом, лежит в диапазоне от 16 до 2・ 104 Гц, а скорость звука при комнатной температуре порядка 3,4« 104 см/с. Частота видимого света заключена в пределах от 4,3« 1014 до 7,5« 1014 Гц.
Как изменяется амплитуда круговой волны при движении ее от источника наружу? (Свяжите амплитуду с радиусом.)
Можете ли вы дать объяснение раскатам грома, зная, что звук ——волна?
Попытайтесь найти объяснение, почему воду в ванне можно заставить раскачиваться, лишь толкая ванну с определенной частотой. Как на основании этого факта объяснить необычайно высокие приливы в заливе Фунди (высота приливов около 15 м)?
Что такое эхо и как оно возникает?
Объясните, почему звук едущего вдали автомобиля слышен лучше в спокойную летнюю ночь.
Какой является волна, распространяющаяся вдоль пружины,——продольной или поперечной? (Поперечной волной называется волна, распространяющаяся в на・ правлении, перпендикулярном направлению движения частиц.)
*. Можно ли объяснить распространение звука с помощью частиц?
*. Источник сферической волны движется со скоростью и по поверхности озера.
Нарисуйте волновые фронты в случае, когда скорость источника равна нулю.
Нарисуйте волновые фронты в случае, когда и息(с — скорость распространения волны).
Нарисуйте волновые фронты в случае и》с и покажите, что они заключены внутри конуса, угол раствора которого удовлетворяет соотношению: 2 sin (угла ра- створа)=с/у. (Этот конус называется конусом Маха.) Если волна является звуковой, то на поверхности конуса Маха возникает разность давлений, вызывающая звуковой удар.
** Двумя звездочками отмечены очень трудные задачи и вопросы.
Задачи
Какие длины волн могут иметь стоячие волны, образующиеся на проводе длиной 40 см, натянутом между двумя неподвижными опорами?
В органной трубе длины /, закрытой с одной стороны и открытой с другой, могут образовываться стоячие волны, длина волны которых X удовлетворяет соотношению
4/
九=‘2孔 j， п == 1, 2, 3, • • • •
Чему равны три наинизшие частоты органной трубы, длина которой 500 см, если скорость звука в воздухе в этот день 3,4* Ю4 см/с?
Длина волны оранжевого света, излученного криптоном-86, равна 6,06 X Х10-5 см. Каков период колебаний этого света в вакууме? Чему равна его частота?
Чему равны период, частота, длина волны и скорость распространения волны, которая описывается функцией
屮(х, f) = sin 卜〔кг- ?
* '，\500 см IO— с у
По международному соглашению частота ноты《ля» (А), на которую настраиваются все инструменты оркестра, равна 440 Гц. Какой длины должна быть органная труба, чтобы ее основным тоном была эта частота?
Волна с постоянной частотой 2 Гц проходит из одной среды в другую. Чему равна длина волны в обеих средах, если в первой среде скорость распространения волны была 0,2 см/с, а во второй ——в два раза меньше?
а. Длина волны распространяющегося в ванночке с водой возмущения равна 3 см, если возмущение возбуждается каждую 1/10 с. Чему равна скорость распространения этого возмущения?
б. В той же ванночке возбуждаются два возмущения, причем второе через 1/2 с после первого. На каком расстоянии друг от друга они будут распространяться?
Чему равна скорость распространения света в кроне (сорт стекла), коэффициент преломления которого относительно воздуха 1,52? Чему равна скорость света в воде (коэффициент преломления 1,33)? (Скорость света в воздухе 3« 1010 см/с.)
9*. Волна, распространяющаяся на воде над глубокой частью ванночки со скоростью 34 см/с, входит в мелкую часть под углом 60°. На мелком месте все волны распространяются со скоростью 24 см/с. Когда частоту слегка увеличили, скорость распространения волны над глубокой частью стала равняться 32 см/с. Вычислите угол преломления в каждом из этих случаев.
Волна проходит из одной среды в другую, где она начинает двигаться с удвоенной скоростью. Чему равен угол преломления волны, если угол падения составлял 10°? Чему равна длина волны преломленной волны, если для падающей она равна 2,5・10-7 m?
П**, Покажите, что узловые линии, образующиеся при пересечении двух линейных волн с одинаковыми длинами волн, распространяющихся под углом 0 друг относительно друга, являются прямыми, параллельными биссектрисе угла 0. Покажите также, что расстояние между двумя узловьи__ линиями равно (Х/2) sin (9/2).
Два источника, находящиеся на расстоянии 8 см друг от друга, возбух^ают две круговые волны, длины которых 0,5 см. Используя приближенную формулу
d sin 9%=(几—^-) X,
найдите число длин волн, на которое различаются расстояния до источников при 0〃=5。.
*. Покажите, что узловые линии, образующиеся при пересечении линейной волны с круговой, являются параболами.
*. Покажите, что узловые линии из предыдущей задачи становятся линиями максимальной интенсивности, если источники волн сдвинуты по фазе на 180° (т. е. когда первый источник возбуждает гребень, второй возбуждает впадину).
18. Свет как, волна
Вопросы
Можно ли услышать звук с частотой v=200 Гц, если стоять сбоку от двери шириной 100 см?
Можно ли увидеть свет с частотой 6^ 1014 Гц сбоку от отверстия шириной 0,1 см, проделанного в оконной ставне?
Почти на всем побережье Мексиканского залива происходит лишь один прилив в сутки. Можно ли придумать какое-либо объяснение этому явлению?
Как с помощью одного листка из поляроида】)показать, что солнечный свет частично поляризован?
Как с точки зрения волновой теории объяснить цвета, поведение призмы и прямолинейное распространение света в вакууме?
Расстояние между двумя щелями в экспериментах Юнга составляло несколько длин волн света % (при этом получались наиболее хорошие результаты). Что будет,, если это расстояние будет много больше или много меньше X?
Почему для опытов Юнга необходимо, чтобы два пучка света возбуждались одним источником и приходили в одну точку по различным путям?
Задачи
Когерентный зеленый свет (Х=5,5« 10~- см) падает на непрозрачный экран, в котором на расстоянии 2,5* 10~ см друг от друга вырезаны две узкие щели. Дифракционная картина наблюдается на параллельном экране, отстоящем от первого на расстоянии 1 м. Определите расстояния от центральной яркой линии до следующих двух максимумов. Можно воспользоваться тем фактом, что при малых углах sin 8^6, a cos 8^1.
Решите задачу 1 для случая красного света (Х=6,2« 10~5 см).
Решите задачу 1 для случая, когда расстояние между щелями равно 0,2 мм.
. Дважды в месяц (когда Луна пересекает экваториальную плоскость) обе приливные волны, одна из которых движется через Хайнаньский пролив, а другая —через Южно-Китайское море, имеют одинаковую высоту. Сколько приливов в сутки происходит в Хайфоне? Найдите ответ, изобразив графически волновые движения и сложив их.
Свет с длиной волны 5,5« 10~5 см проходит через щель и падает на экран, отстоящий от щели на расстоянии 90 см. Первый минимум смещен относительно центра дифракционной картины на 0,14 см. Чему равна ширина щели?
6*. Как изменится ответ в задаче 1, если всю систему погрузить в масло, показатель преломления которого 1,30?
7**. Если закрыть одно из отверстий из задачи 1 тонкой чешуйкой слюды, дифракционная картина смещается таким образом, что девятый максимум оказывается на месте центрального (первого) максимума невозмущенной дифракционной картины. Найдите толщину слюдяной пластинки, показатель преломления которой равен 1,58. (Пояснение. Для решения задачи ответьте на следующие вопросы. Чему равна длина волны света в слюде? Сколько колебаний укладывается по толщине слюды? Сколько колебаний укладывается по такой же толщине воздуха?)
8**. Когда свет проходит из воздуха в жидкую пленку однородной толщины, лежащую на стеклянной пластинке, оптически более плотной, чем жидкость, наблюдается интерференция лучей, отраженных поверхностью раздела воздух ——жидкость, и лучей, отраженных поверхностью жидкость ——стекло. Когда угол падения близок к нулю, максимумы интенсивности наблюдаются при
2dzz — atzAi, tn — 0, 1, 2,・・•,
а минимумы — при
2d几=А, m = 0, 1, 2,
где d ——толщина пленки,冷 ——коэффициент преломления и X ——длина волны падающего света. (Эти формулы получены на основании простых и знакомых нам рассуждений, связывающих различия в путях лучей с длиной волны.) Чему равна наименьшая толщина пленки, если интерференционный максимум образуется при 九=6,1・ 10一电 см (оранжевый свет) для водяной пленки, коэффициент преломления которой 1,33?
Средний телевизионный канал имеет ширину порядка 4・ 10€Гц. Сколько таких каналов можно вместить в диапазон видимого света, если проводить передачу с помощью квантовых оптических генераторов (лазеров)? Диапазон длин волн видимого света простирается от 4« 10~^ см до 7* 10~- см.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СИЛЫ И ПОЛЯ
19. Электростатические силы: заряды в покое
Вопросы
Электроскоп состоит из металлического шарика, проводящей нити и двух очень тонких золотых пластинок (фиг. 421). Пластинки заключены в бутылку, чтобы обезопасить их от прикосновений к другим телам и от влияния движений воздуха.
Если к шарику прикоснуться заряженной диэлектрической палочкой, то пластинки, в нормальном состоянии висящие вертикально, разойдутся и останутся в этом положении. Почему? Если теперь соединить проводящую нить с землей, листки опадут. Почему?
Если заряженной палочкой не касаться шарика, а только поднести ее к нему, листки разойдутся и опадут, как только палочку уберут. Почему?
На этот раз мы подносим к шарику (но не касаемся его) заряженную палочку так, чтобы пластинки разошлись, держим ее, а к шарику прикасаемся заземленным куском провода, убираем его, после чего убираем заряженную палочку. После таких манипуляций золотые пластинки не опадают. Почему?
Семена травы, если их насыпать в воду и приложить к взвеси электрическое поле, выстраиваются параллельно полю. Почему?
Какого типа орбиты возможны в планетарной системе заряженных частиц?
Можно ли сказать, что электрон, вращающийся по одной из таких круговых орбит, движется быстрее, когда он находится ближе к протону?
Электрон, вращающийся по круговой орбите вокруг протона, каким-то образом переходит на другую орбиту, радиус которой в два раза меньше радиуса исходной. Как изменяется его период обращения?
8*. Два электрона вращаются по своим орбитам вокруг ядра, состоящего из двух протонов. Какие силы больше возмутят орбиты: кулоновские силы, действующие между этими электронами, или гравитационные силы, действующие между какими- нибудь планетами солнечной системы, например между Землей и Марсом? Проведите оценку.
Задачи
Чему равен заряд куска вещества, содержащего 6,02« 1023 молекул (1 моль), если из каждой молекулы удалить 1 электрон? (Этот заряд имеет особое название —— число Фарадея.)
Заряд 5 эл. ст. ед. (статкулонов) находится на расстоянии 3 см от другого заряда——8 эл. ст. ед. (статкулонов). Чему равна сила, действующая между этими зарядами? Является ли она отталкивающей или притягивающей?
Где следует поместить заряд 10 статкулонов, чтобы заряд ——8 статкулонов из задачи 2 не испытывал действия нескомпенсированной силы?
. Два одинаково заряженных шарика, весящих 200 дин каждый, висят на нитях, длина которых 20 см. Угол, образованный нитями, равен 10°. Чему равен заряд каждого шарика? (Задачу решите графически.)
. Шарики из задачи 4 заряжены неодинаково. На одном из них заряд равен 240 статкулонов. Чему равен заряд другого шарика? (Задачу решите графически.)
Три заряда по 5 статкулонов каждый помещены в вершины равностороннего треугольника со стороной 3 см. Какая сила действует на каждый из этих зарядов? (Решите задачу графически.)
Получите для планетарной системы заряженных частиц эквивалент третьему закону Кеплера: T2/I^= const. Чему равно значение постоянной? Чему равен период обращения электрона, радиус орбиты которого 10-1 см? Чему были бы равны энергия и период обращения электрона, вращающегося по орбите радиуса R—10~8 см вокруг протона, если бы между электроном и протоном действовала только гравитационная сила?
Напряженность электрического поля между двумя пластинами составляет 5000 дин/статкулон. Какая сила действует в этом поле на заряд в 10 статкулонов? Какую работу производит поле при перемещении этого заряда на 3 см? Переведите ответ в электронвольты.
. Напряженность электрического поля между двумя заряженными пластинами составляет 3,4^ 104 дин/статкулон и направлена вниз. Какой величины заряд, нанесенный на масляную каплю с массой 5« 10~8 г, сможет уравновесить силу тяжести, приложенную к капле? Сколько избыточных электронов содержится в этой капле?
Чему равно ускорение электрона в поле, напряженность которого 106 дин/статкулон? Выразите это ускорение через g.
И*. За какое время скорость электрона из задачи 10 достигнет х/10 скорости света, если в начальный момент электрон покоился? Какое расстояние пройдет за это время электрон?
Чему должна быть равна разность потенциалов между двумя пластинами, находящимися на расстоянии 0,8 см друг от друга, чтобы поле между ними составляло 3,4• 104 дин/статкулон, как задано в задаче 9?
Заряд 6 статкулонов помещен в однородное электрическое поле 1,5 дин/статкулон, направленное вертикально вверх. Какую работу совершает поле при перемещении заряда на а) 45 см вправо, б) 80 см вниз, в) 260 см под углом 45° относительно горизонтали?
. Между двумя параллельными пластинами создана разность потенциалов 2000 В. Пластины разделены парафиновой бумагой, которая пробивается полем, напряженность которого 5« 107 В/м. Чему равно минимальное расстояние между пластинами, чтобы между ними не протекал ток?
Воздух становится проводящим при напряженности электрического поля порядка 3* 106 В/м. На каком расстоянии от Земли должно находиться грозовое облако, обладающее потенциалом 109 В, чтобы ударила молния? (Можно приближенно заменить облако и поверхность Земли двумя параллельными заряженными пластинами.)
Небольшой шарик массы 6 г висит на нити, длина которой 4 см, между двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии 5 см друг от друга. Заряд на шарике равен 6 статкулонов. При какой разности потенциалов между пластинами угол между нитью и вертикалью составит 30°? (Решите задачу графически.)
На каком расстоянии находятся друг от друга протоны, если кулоновская сила, действующая между ними, в точности равна весу одного протона? Заряд протона +е=+4,8・ 10-1° эл. ст. ед., а его масса равна 1,67* 10~24 г. Считайте, что g=980 см/с2.
Найдите отношение кулоновской силы отталкивания, действующей между двумя электронами, к гравитационной силе их притяжения.-
В модели Бора атома водорода электрон находится на расстоянии 5,29^ 10~9 см от протона. На каком расстоянии гравитационная сила, действующая между этими частицами, совпадает по величине с кулоновской силой, действующей между ними в модели атома Бора? Масса электрона 9,11* 10~28 г, а масса протона 1,67* 10~24 г.
Какой кинетической энергией должен обладать электрон, чтобы он смог от орваться от электрического притяжения протона в атоме водорода? Чему равна соответствующая скорость ухода?
Считается, что в атоме водорода электрон и протон находятся друг от друга нарасстоянии 5,29* 10~9 см. Заряд протона +е==1,6« 10~19 Кл=+4,8-10-10 эл.ст.ед., а заряд электрона равен ——е.
Чему равна кулоновская сила, приложенная к электрону?
Найдите вектор электрического поля Е.
. Чему равен электрический потенциал водородного атома в месте положения электрона? Чему равна электрическая потенциальная энергия электрона?
20. Магнитные силы: заряды 6 движении
Вопросы
Все электроны в пучке движутся в одном направлении. Найдите соотношение между величиной потока массы и величиной электрического тока.
Покажите, что при заданной разности потенциалов между концами провода больший ток означает меньшее сопротивление провода.
Объясните, используя закон Ампера для силы, действующей между токонесущими проводами, почему два электрона, расположенные на расстоянии R друг от друга и движущиеся в одном и том же направлении, взаимодействуют сильнее, чем два электрона, расположенные на том же расстоянии R, но движущиеся в противоположные стороны.
Чему равна работа магнитного поля над движущейся заряженной частицей?
Электрон движется по круговой орбите под действием однородного магнитного поля, направленного по нормали к плоскости орбиты. Как будет выглядеть траектория электрона, если включить однородное электрическое поле перпенидкулярно маг- ритному полю? Рассмотрите три случая: электрическое поле а) очень слабоех б) среднее и в) очень сильное.
Если проводник с током поместить в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, то в проводнике возникнет разность потенциалов в направлении, нормальном как полю, так и току (эффект Холла). Объясните это явление.
Совпадают ли географический и магнитный полюсы Земли? Объясните, почему они не совпадают.
. Покажите, что в системе СГС как электрическое, так и магнитное поля имеют одинаковую размерность (г/см« с2)72.
Можно ли отделить северный полюс магнита от южного, если считать, что магнетизм возникает из-за действия небольших кольцеобразных токов в толще вещества?
. Подчиняются ли силы, действующие между двумя движущимися заряженными частицами, третьему закону Ньютона?
Можно ли придумать какой-нибудь способ отделения северного полюса магнита от южного, если считать, что внутри магнита находятся небольшие токовые кольца?
Задачи
Два длинных параллельных провода отстоят друг от друга на расстоянии 10 см. Чему равна сила, отнесенная к единице длины, с которой один провод притягивает другой, если токи в проводах одинаковы (1 А) и текут в одном направлении?
Токи в задаче 1 текут в противоположные стороны. Каковы величина, отнесенная к единице длины, и направление силы, которая действует между проводами?
Электрическая лампочка, сопротивление которой 3,6 Ом, соединена с клеммами 12-вольтовой батареи. Чему равен ток, текущий через лампочку?
*. Для построения микроскопической модели электрического тока можно рассмотреть однородный проводник длины / и поперечного сечения 4, между кон-
цами которого поддерживается разность потенциалов V. Можно считать, что проводник содержит в единице объема п0 свободных электронов, каждый из которых имеет заряд е и массу т. Поскольку в проводнике имеются примеси, электроны сталкиваются с атомами примесей. Обозначим через т среднее время между двумя столкновениями. Для простоты можно положить, что электрон после столкновения останавливается. Тогда средняя скорость электронов (скорость дрейфа)
г»д = (ускорение электрона) X (время между столкновениями).
е Up
Покажите, что а д tn /
Покажите, что ток в проводнике подчиняется закону Ома в форме
—~ml*
т. е. сопротивление проводника
е2п0т4 *
в. Рассмотрите зависимость сопротивления R от длины и сечения проводника.
г. Покажите, что уменьшение потенциальной энергии в единицу времени равно /V, а количество выделенного тепла (джоулева тепла)辻R (если считать, что вся энергия переходит в тепло).
В обычном металле содержится примерно Ю22 электронов в каждом кубическом сантиметре. Ток I А течет по металлическому проводу диаметра 0,1 см и длины 1 м. «
а. Какова примерно дрейфовая скорость электронов?
За какое время электрон проходит от одного конца провода до другого?
Попытайтесь объяснить, почему 'вет в доме включается мгновенно, хотя электрон дрейфует от одного конца провода до другого в течение довольно продолжительного времени.
Частица массы m и заряда е движется со скоростью и в плоскости, перпенди - кулярной однородному магнитному полю В.
Покажите, что частица вращается по окружности радиуса nwdeB.、
Определите период обращения и покажите, что частота равна еВ/2лтс.
Докажите, что чем быстрее движется частица, тем больше радиус орбиты, и что период обращения не зависит ни от скорости частицы, ни от радиуса ее орбиты.
7**. Протон (масса 1,67-10~24 г) ускоряется в циклотроне. Какими должны быть диаметры дуантов ((D-образных камер) и минимальные диаметры полюсов магнита, поле которого 1,44-104 Гс, чтобы протон смог ускориться до энергии 1 МэВ ?
8**. Основными частями циклотрона являются две полые D-образные камеры (дуанты), огромный магнит, создающий на большой площади однородное магнитное поле, и генератор, возбуждающий переменное электрическое поле между дуантами. Ду анты расположены между плоскостями полюсов магнита и их края вместе с зазором образуют окружность. Заряженные частицы, инжектируемые в центр зазора, ускоряются в направлении какого-нибудь дуанта.
Объясните, как происходит ускорение частиц, помня, что период их обращения не зависит от радиуса орбиты.
С какой частотой должно колебаться электрическое поле?
Вычислите силу, с которой действует бесконечно длинный провод на другой провод длины 10 см, если расстояние между проводами 2 см, токи в проводах равны 1 А и направлены: а) в одну сторону и б) в разные стороны.
10*. Электрон (заряд 4,8・ 10~10 эл. ст. ед.) движется по прямой линии со скоростью 108 см/с.
Чему равен ток, соответствующий этому электрону?
Какая сила будет действовать на электрон, если на расстоянии 10 см от траектории электрона поместить длинный прямой провод, по которому течет ток 50 А?
Покажите, что 104 Гс= 1 Тл.
21. Индукционные силы: заряды и переменные токи
Вопросы
Электрон движется со скоростью и по круговой орбите в однородном магнитном поле В. Покажите,^что магнитный поток, пересекающий плоскость орбиты, равен
2b Магнит падает сквозь проволочную петлю (фиг. 422). Будет ли постоянным ускорение магнита, если сопротивлением воздуха пренебречь?
Фиг. 422.
Почему ручку генератора крутить труднее, когда ток генератора потребляется (например, при работе радиопередатчика)?
Почему неожиданное замыкание и размыкание цепи так важно в экспериментах Фарадея и Генри?
Что бы наблюдали Фарадей и Генри, если бы они замыкали или размыкали свои цепи медленно? (Используйте закон Фарадея.)
Почему между концами крыльев самолета может возникнуть небольшая разность потенциалов (особенно когда самолет пикирует)?
Задачи
Однородное магнитное поле 103 Гс перпендикулярно плоскости круговой петли радиуса 10 см. Чему равен поток через петлю?
Чему равен поток через петлю из задачи 1, если магнитное поле параллельно ее плоскости?
Какая разность потенциалов возникнет между концами петли из задачи 1, если величина однородного магнитного поля возрастет вдвое в течение 1 с?
Круглая катушка из 10 витков радиуса 10 см вращается с частотой 60 оборотов в секунду в однородном магнитном поле, напряженность которого 104 Гс. Какая разность потенциалов возникает на концах катушки?
5*. Электрон вынужден двигаться по круговой трубе радиуса 100 см (трение отсутствует). Однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости трубы, нарастает со скоростью 103 Гс/с. Какая сила действует на электрон?
. Токовая петля площади 4 находится в однородном магнитном поле В. Она вращается с угловой скоростью со относительно оси, лежащей в плоскости петли. Если сопротивление петли R, то ток, возбуждаемый в петле, равен
. тВА sin 3f*
Покажите, что средние джоулевы потери равны
32524 2
2c2R •
Время / отсчитывается от того момента, когда плоскость петли нормальна направлению магнитного поля. Среднее по времени от sin2o)/ равно х/2.
23. Электромагнитная теория, Электромагнитное излучение
Вопросы и задачи
Что является источником электромагнитного излучения?
Докажите, что звук не является электромагнитным излучением.
Как бы выглядел наш мир, если бы тока смещения Максвелла не было?
Чувствуют ли заряды и токи изменение других зарядов и токов, расположенных на некотором расстоянии от первых, мгновенно или через некоторое время? Если не мгновенно, то через како访 промежуток времени?
Положительный заряд уходит со сферы (см. стр. 339——340) со скоростью 10 эл. ст. ед./с и далее течет по проводу. Вычислите ток смещения, протекающий через сферическую поверхность радиуса 100 см и с центром в середине положительно за ряжен но 访 сферы.
Покажите, что вычисленный выше ток смещения не зависит от площади поверхности.
Покажите, что этот ток смещения равен по величине «реальному» току, текущему по проводу.
Почему закон Ампера без учета тока смещения (в домаксвелловской форме) справедлив для замкнутых цепей?
Согласно теории Максвелла, частота электромагнитного излучения, возбуждаемого электроном, который движется по круговой орбите вокруг протона, совпадает с частотой обращения электрона по орбите. Пусть электрон, вращающийся по орбите радиуса 7?=2« 10~8 см, постепенно переходит на другую орбиту с R=l・10~8 см, испуская при этом энергию в виде излучения. В каком диапазоне частот будет находиться это излучение? Каким цветам оно соответствует? Дайте качественнее описание наблюдаемой картины.
Один конец прямого медного стержня длины L вращается по кругу относительно другого конца со скоростью ^ об/с. Стержень находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном плоскости вращения.
Выразите величину разности потенциалов между концами стержня через В, L и ^.
Найдите эту величину при В= 10 000 Гс, L= 100 см и N=10 с-1.
О ПРИРОДЕ ТЕПЛА
. Сохранение энергии (Первое начало термодинамики)
Вопросы
Опишите качественно, как можно применить первое начало термодинамики в случаях: а) скольжения книги по горизонтальному столу; б) растирания рук зимой с целью согреть их; в) кипячения воды в кастрюле на плите.
Куда девается кинетическая энергия ускоренных частиц в ускорителе, когда они ударяются о твердую мишень? Почему на некоторых мишенях приходится использовать водяное охлаждение?
Много энергии (умственной) было в свое время затрачено на попытки изобрести «вечный двигатель». При каких условиях такой двигатель мог бы существовать? (Рассмотрите в качестве примера солнечную систему.)
Как с помощью материальной теории теплоты можно было бы объяснить, что для растапливания 1 г льда требуется 80 кал тепла?
Задачи
Нормальная температура тела равна 98,6° F. Переведите эту величину в градусы Цельсия.
2*. В 1688 г. Далене ввел температурную шкалу, в которой точка таяния льда находилась при ——10°, а точка таяния масла ——при 十 10°. Найдите формулу перехода от градусов Даленса к градусам Цельсия. Чему равна комнатная температура по шкале Даленса? Температура плавления масла 31° С.
Удельная теплоемкость меди равна 0,092 кал/г・град С. Сколько требуется тепла, чтобы поднять температуру 5 г меди на 10° С?
4*. В изолированном сосуде находятся 100 г воды и 20 г льда при температуре 0° С. В сосуд кладется серебряная ложка (теплоемкость 0,056), масса которой 30 г, а температура 100 ℃. Чему равна температура воды после установления равновесия? Останется ли в сосуде лед, и если да, то сколько?
Кувшин, содержащий 2000 г воды и 2000 г льда, получает 10 кал тепла в секунду. За сколько времени растает лед?
. Вычислите разность температур воды до и после водопада Виктория (высота водопада 110 м). Предположите, что тепло не поглощается окружающим воздухом.
Теплотой парообразования называется количество тепла, необходимое для превращения 1 г твердого тела или жидкости в пар при неизменной температуре. Сколько требуется тепла для испарения 15 г ртути? (Теплота парообразования ртути 70 кал/г.)
8*. Лошадь может совершить работу примерно 750 Дж в течение секунды. В своих экспериментах Румфорд пользовался сверлом, приводившимся в движение лошадью и вращавшимся внутри металлического цилиндра, который был погружен в воду. Зная удельные теплоемкости воды и металла, Румфорд рассчитал, что для закипания воды требуется 1,2- 10б кал. Вода закипала через 2,5 ч после начала сверления. Позднее Румфорд использовал эти результаты для оценки теплового эквивалента работы. Какую величину получил Румфорд?
Свинцовая пуля попадает в деревянную доску и расплавляется в результате удара. С какой минимальной скоростью должна была лететь пуля, если ее температура до попадания в доску была 30° С, свинец плавится при 327° С и теплота плавления свинца равна 5,86 кал/г? (Удельная теплоемксть свинца 0,031 кал/г« град.)
. В теплоизолированном сосуде находится 200 г воды. В сосуд опускают 50-омный нагреватель, работающий от напряжения 100 В. Через какое время вода закипит? Начальная температура воды равна 20℃.
Электрический нагреватель отдал 2400 Дж 80 граммам воды, находящимся в изолированном металлическом сосуде, масса которого 400 г. В результате температура воды возросла на 5℃. Определите удельную теплоемкость металла.
Потоковый калориметр используется для измерения удельных теплоемкостей жидкостей. При движении жидкости с постоянной скоростью через калориметр в нее непрерывно вводится постоянное количество тепла. Удельную теплоемкость можно определить, зная скорость потока жидкости и разность температур на входе и выходе прибора. Жидкость с плотностью 1,25 г/см3 течет через калориметр со скоростью 8 см8/с. Тепло вводится в жидкость со скоростью 300 Дж/с. В стационарном состоянии разность температур на входе и выходе равна 20° С.Найдите удельную теплоемкость жидкости.
Сколько требуется тепла для превращения 1 кг льда при температуре —40° F в пар, температура которого 212° F? Удельная теплоемкость льда 0,5 кал/г - град С.
В радиатор входит пар при температуре 120° С, а выходит горячая вода при температуре 90° С. Сколько тепла на каждый грамм воды отдает такая система? Удельная теплоемкость пара 0,48 кал/г« град С.
Тепловая смерть (Второе начало термодинамики)
Вопросы и задачи
Машина Карно работает с двумя резервуарами тепла, температура одного из которых 500° С, а другого 250° С. Какую работу совершает машина за цикл, если она отбирает в течение цикла 2000 кал тепла у нагревателя?
. Можно ли создать машину, которая бы отбирала теплоту у резервуара (нагревателя) и всю ее превращала в работу?
Сколько тепла отдает машина из задачи 1 резервуару с более низкой температурой (холодильнику)?
Коэффициент полезного действия тепловой машины определяется по формуле
совершенная работа
К. П. Д•..
внесенное тепло
Покажите； что для машины Карно, описанной в тексте,
К. п. A・ = l—
Теоретическое значение к. п. д. тепловой машины равно отношению совершенной работы к внесенному теплу (W/Q?).
Чему равен к. п. д. машины из задачи 1?
До какого значения нужно уменьшить температуру холодильника, чтобы к. п. д. машины стал равен 50%?
Чему равен максимально возможный к. п. д. машины, получаемый за счет уменьшения температуры холодильника?
Выведите соотношение, связывающее к. п. д. машины Карно с температурами нагревателя и холодильника. Паровая машина использует пар при температуре 500° С, который выходит из машины при температуре 100℃. Чему равен к. п. д. этой машины?
Машины Карно, обсуждаемые в этой главе, производят работу за счет передачи тепла от более нагретого резервуара к менее нагретому. Тем не менее этот же принцип справедлив и для обратного процесса. Можно передавать тепло от менее нагретого резервуара к более нагретому, совершая работу над машиной Карно и обращая цикл. Основные соотношения имеют вид
— Qi — Q2,
где 7\ — темпертура нагревателя; Q】一количество теплоты, вносимое в нагреватель; 厶一температура холодильника; Q2 — количество теплоты, отбираемое у холодильника, и W — совершенная над машиной работа.
Получите выражение для W через Q2，7\ и 7\・
Какую работу следует совершить, чтобы отобрать 100 кал тепла у резервуара с температурой 0℃, если 7\=100°С?
Кондиционер воздуха (обратную машину Карно) поставили по незнанию в центре комнаты. В нормальных условиях он работает между комнатной температурой 40° С (нагреватель) и более низкой 10° С (холодильник), отбирая у комнаты 10б кал в течение часа. Сколько калорий в час сообщит кондиционер комнате?
9**. Холодильник работает между температурами 几=—10℃ и 7\=40°С и поглощает 72 000 кал/ч из-за утечек в теплоизоляции. Какую энергию потребляет мотор холодильника в 1 ч, если считать, что холодильная установка идеальная?
Кинетическая теория
Вопросы
Почему в атмосфере Земли нет молекул водорода (Н2)? Почему у Луны нет атмосферы?
Реальные молекулы притягиваются. Как это притяжение может изменить уравнение состояния идеального газа?
Согласно кинетической теории, молекулярное движение полностью замирает лишь при абсолютном нуле. Почему тогда твердые тела обладают определенной формой даже при комнатной температуре?
Как объяснить с помощью кинетической теории тот факт, что практически все материалы расширяются при нагревании?
Поместим горячее и холодное тела в вакуумный контейнер, стенки которого посеребрены и отполированы. Горячее тело остывает, а холодное нагревается. Почему?
Допустим, что небольшая площадка на внутренней стенке сосуда с газом липкая. Молекулы газа, ударяясь об эту площадку, остаются на ней. Будет ли давление на эту площадку больше или меньше давления на остальную часть стенок?
Для ракетных двигателей требуется, несмотря на формулу Карно, как можно более высокая температура выбрасываемых газов. Почему? Какой газ, легкий или тяжелый, выгоднее использовать при заданной температуре? (Желательно получить максимальную тягу при минимальном количестве отбрасываемого вещества.)
Задачи
Чему равен объем идеального газа при давлении 2 атм и 15℃, если вначале он находился при давлении 1 атм и 15℃ в сосуде, объем которого 200 см3?
Идеальный газ, находящийся в сосуде, объем которого 1000 см3, при давлении 2,5 атм, нагревается от 30℃ до 300℃. Чему равно давление при 300℃?
В камере с поршнем находится 1000 см3 идеального газа при давлении 1 атм и температуре 15℃. После хода поршня объем газа уменьшился вдвое, а его температура возросла на 5℃. Какое давление стало в камере?
Покажите, что средняя кинетическая энергия молекул азота (масса около 2,3* 10~23 г) при комнатной температуре порядка 0,04 эВ.
5*. U-235 (уран с атомным весом 235), используемый в ядерных реакциях деления, отделяется от U-238 с помощью термодиффузионного метода. В этом методе используется тот факт, что средняя тепловая скорость молекул газа UF6 различна для изотопов урана. Чему равно отношение этих скоростей при комнатной температуре? Атомный вес фтора равен 19.
ОТВЕТЫ НА НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 2
3,4- Ю5 см; 3,4 км.
110 км; 48,8 км/ч.
10 с; 98 м/с.
2 с; 20 м; 14,7 м/с.
2,58 с.
а. 5・ 10-3 & б. 8-104 м/с 2.
а. 8,2 м/с; б. 27,8 м/с.
а. 30,625 м; б. 2,5 с; в. 4,9 м/с; —14,7 м/с; —24,5 м/с.
а. 2,5 м/с2; б. 80 м.
Глава 3
а. 30 км/ч; север.
13 км.
30 км/ч с северо-запада.
Три составляющих вектора.
Глава 4
4 г-см/с.
2-103 г -см/с на восток; 3-103 г・см/с на запад.
1,44-10-10 дин.
3,94・ 106 дин.
а. 2,99* 106 см/с; б. 3,57-1027 дин в направлении на Солнце.
а. 12,6 кг-м/с; б. 1,26* 103 Н.
2280 Н.
21,2 кг • м/с.
Глава 5
1,89 7?з.
5,4- Ю12 м.
0,4 г.
6,57-103 с.
Глава 6
I. 0,41 Кз.
На Марс; 313,6 Н (32 кг) на Марсе; 1920,8 Н (196 кг) на Юпитере.
1/4 его веса на Земле, или 250 Н.
а. 9,8-107 дин; б. 5,9« 104 дин со стороны Солнца;
в. 3,4* Ю2 дин со стороны Луны.
6,67・10-9 н.
а. 3,6・ 10-42 дин. 6. 8,34-10-3 дин в направлении на протон;
в. примерно 2,3* 103э.
Глава И
а. 7,25- 10б дин «с в направлении отскока мяча;
7,25-107 дин в обоих случаях; в. 7,25»10б дин* с в направлении, противоположном направлению импульса, приложенного к мячу.
108 Н.
104 г* см/с под углом 17° от севера к востоку.
24 м/с в противоположном направлении.
4,4 м/с в направлении, составляющем 13,3° с направлением движения своего шара (и 43,3° с направлением движения восьмерки).
1,05* 105 Дж.
2,5* 107 эрг.
а. 1,6* 104 Дж; б. 8 м/с.
50,5 см/с в направлении, составляющем 68° с направлением от севера к востоку.
20. 16- 10б дин.
Глава 12
Примерно на 1%.
1,96 м.
2,45 м/с.
2,4- Ю3 м/с.
3,6 м/с.
2,83 м/с, в направлении на юго-запад.
1 м/с.
Глава 14
0,5 см восточнее и 2 см севернее начала координат.
В геометрическом центре.
22 Н в противоположном направлении.
6,8* 108 г* см2/с.
5,16* 10б дин.
39,2 Н.
720 Н.
Глава 16
8,3 мин.
9,46-1017 см.
0,77 км.
18°.
4,38-1010 см/с.
Глава 17
80, 40, 80/3, 20, ... 80/九，…(см).
2・ ЮТ с； 4,95. Ю14 с-】.
18,6 см.
30 см/с.
38°; 40°.
Глава 18
0,22 см; 0,44 см.
0,28 см; 0,55 см.
3,54・10-2 см.
7,6-10-4 см.
80 миллионов.
Глава 19
2,89-1014 эл. ст. ед.
4,24 см от заряда ——8 статкулонов с противоположной стороны от заряда в 5 статкулонов.
0,89 статкулона.
Т2/^3=4я2т3/е2; 1,56-10-7 г/(эл. ст. ед.)2; 1,25」0-包 с; £=—5,1 -10-^ эрг; 7=1,9・104 с.
—14,4• IO-" эл. ст. ед.f 3 электрона.
И. 5,7• 10-15 с; 8,55- 10~б см.
а. 0; б. —720 эрг; в. 1656 эрг»
3,33-102 м.
4,16-1042.
27,2 эВ; 3,09-108 см/с.
9,07• 10~2 статвольт/эл. ст. ед.; —43,5・10~i2 Эрг.
Глава 20
0,2 дин.
3,3 А.
а) 7,95-10-2 см/с; б) 1,26-103 с=21 мин.
20 см.
а) 0,1 дин, притяжение; б) 0,1 дин, отталкивание.
Глава 21
3,14-Ю5 Гс-см2=3,14-10-3 Вб.
1,0510-5 статвольта=3,15-10~3 В.
8-10~16 дин.
Глава 24
37,0℃.
4,6 кал.
4 ч 27 мин.
1050 кал.
3,55-104 см/с.
0,359 кал/г- град С.
559,6 кал.
Глава 25
2710 Дж.
1352 кал.
а. к. п. д.=0,324=32,4%; б. 114℃; в. 100% при Т3=0 К・
а. Г= Q2[(T1/T2)-1]; б. 153 Дж.
15,9 Вт, или 5,7* 104 Дж/ч.
Глава 26
100 см3.
2,04 атм・
1,0043.
Некоторые физические постоянные
Величины
Значение
Скорость света в вакууме (с)
3,00-1010 см/с
Заряд протона (е)
4,80-10~10 эл. ст. ед.
Постоянная Планка (九)
6,63-10~27 эрг-с
Гравитационная постоянная (G)
6,67• 10~8 дин• см/г
Масса покоя электрона
9,11-10~27 г
Масса покоя протона
1,6725・ IO" г
Масса покоя нейтрона
1,6747-10~24 г
Число Авогадро (М)
6,02-1023
Постоянная Больцмана (々в)
1,38J0-16 зр"к
Астрономические величины Земля ускорение силы тяжести
на поверхности (g)
980 см/с2
радиус орбиты
1,49-1013 см
средний радиус
6,37-108 см
масса
5,98-1027 г
период обращения (год)
3,16-107 с
период вращения (сутки) Луна
8,64.104 с
радиус орбиты
3,84-1010 см
радиус
1,74-108 см
масса
7,34-1025 г
период обращения (〜ме- сяц)
Солнце
2,36-106 с
радиус
6,96-1010 см
масса
1,99- 1033 г
Некоторые часто встречающиеся величины
световой год = 9,46-1017 см 1 миля = 5280 футов = 1,61 • 105 см
ангстрем (А) = 10-8 см
Боровский радиус основного состояния водорода =-5,29-10~9 см 1 рад=57,3 градуса (57°20‘) 72 км/ч = 20 м/с 1 кал = 4,18 Дж
Энергия покоя электрона (m0c2) = 5,ll-105 электронвольт
электронвольт (эВ) = 1,6-10-12 эрг
Отношение массы протона к массе электрона тр/те = 1836
ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
225.6.7.&5.6.7.&Aristotle, On the Heavens, W. K・ C. Guthrie, trans., Loeb Classical Library, Harvard University Press, Cambridge, 1939.
2
2
5.6.7.&
5.6.7.&
Kuhn Thomas S., The Copernican Revolution, Harvard University Press, Cambridge, 1957.
Aristotle, Physics, The Works of Aristotle, Translated into English, vol. 2., W. D. Ross, ed., Oxford University Press, New York, 1930. (Имеется перевод: Аристотель, Физика, 2-е изд., М., 1937.)
Lucretius, De Rerum Natura, 2. 230—9, Cyril Bailey, trans. (Имеется перевод: Лукреций, О природе вещей, изд. «Художественная литература», М., 1937.) Descartes Rene, Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason and Seeking Truth in the Sciences, John Veitch, trans., Open Court, Ill., 1949, p. 34. (Имеется перевод: Декарт Рене, Рассуждения о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках с приложениями: Диоптрика, метеоры, геометрия, изд. АН СССР, М., 1953, стр. 32.) Там же, р. 35 (стр. 33).
Там же, р. 36 (стр. 33).
Там 兆е, р. 46 (стр. 41).
К главе 2
Galilei Galileo, Dialogues Concerning Two New Sciences, Henry Crew and Alfonso de Salvio, trans., Macmillan, New York, 1914, p. 153. (Имеется перевод: Галилей Галилео, Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, Избранные труды, изд. «Наука», М., 1964, стр. 233.)
Там 宛е, рр. 153—154 (стр. 234).
Там же, рр. 160, 162 (сгр. 238, 240).
Там 宛％ р. 162 (стр. 240).
Там же, р. 178 (стр. 252).
Там же, р. 179 (стр. 253).
Sears F.旣，Zemansky М.步.，University Physics, Addison — Wesley, Reading, Mass., 1952.
Physical Science Study Committee, Physics, D. C. Heath. Boston, 1967.
Galilei Galileo, см. [1], p. 179 (стр. 254).
Там же, p. 250 (стр. 309).
К главе 3
Physical Science Study Committee, см. [8] из гл. 2.
К главе 4
Pope Alexander, Epitaph Intended for Sir Isaac Newton.
Sir Isaac Newton*s Mathematical Principles of Natural Philosophy and His System of the World, Andrew Motte, trans., University of California Press, Berkeley, 1962, vol. 1, p. 1. (Имеется перевод: Крылов А. Я., Собрание трудов, т. 7, М.—Л., 1936, стр. 23.)
Там же, р. 1 (стр. 24).
Там же, р. 2 (стр. 26).'
Там же1 р. 13 (стр. 39—40).
Там 宛е, р. 13 (стр. 40).
Там же, рр. 13—14 (стр. 41).
Там же, р. 14 (стр. 41—42).
Там 宛е, рр. 21—22 (стр. 50—51).
Huygens Christian, Horologium Occillatorium.
Sir Isaac Newton's . . ., cm. [2] (стр. 78).
К главе 5
Baker R. Я., Astronomy, D. Van Nostrand, Princeton, N. J.
Holton C., Roller D., Foundations of Modern Physical Science, Addison—Wesley, Reading, Mass., 1952.
Holton G., Introduction to the Concepts and Theories of Physical Science, Addison —Wesley, Reading, Mass., 1952.
Donne John, The First Anniversary, lines 251—258.
Copernicus, De Revolutionibue. (Имеется перевод: Сборник статей «Н. Коперник», изд. АН СССР, М.—Л., 1947, стр. 191.)
Там же (стр. 192).
7-&9-0-n^7-&9-0-n^Там же (стр. 212).
7-&9-0-n^
7-&9-0-n^
Там же (стр. 212).
Joshua 10: 12—13 (Книга Иисуса Навина 10: 12—13.)
Shakespeare William, Hamlet, Act II, scene 2, lines 116—119. (Имеется перевод:
Шекспир В., Гамлет, Акт II, сцена 2, строки 116—119.)
Donne John, см. [4], lines 205—208.,
Kepler Johannes, De Harmonia Mundi.
Browne Thomas, Religio Medici, Part II, section IX.
К главе 6
Sir Isaac Newton's ...» cm. [2] из гл. 4, pp. 3―4. (Имеется перевод: Крылов А. 〃., Собрание трудов, т. 7, М.—Л., 1936, стр. 27.)
Приведено у Gillispie Ch, G., The Edge of Objectivity, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1960, p. 119.
Там же, p. 119. (Имеется перевод: Кудрявцев 〃• С., Исаак Ньютон, М., 1955, стр. 107—108.)
Cavendish 〃.，Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 17 (1798).
Poynting J・，Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A182, 565、(1892).
Boys, Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 1895.
Heyl, J. Res. Nat. Bur. Stand., 5, 1243 (1930).
Heyl and Chzrnowski, J. Res. Nat. Bur. Stand., 29, 1 (1942).
Gillispie Ch. G., cm. [2], p. 137.
Там же> p. 137.
К главе 7
Приведено у Bronowski J., Science and Human Values, Harper and Row, New York, 1965, p. 30.
Works of Aristotle, vol. 1, Book IV, «Historia Animalum», D'Arcy Wentworth Thompson, trans., Oxford University Press, New York, 1962, pp. 554—555. Book V,
Aristotle, De Genet at ione e Corruptione, Book I, chap. II.
Neugebauer 0., The Exact Sciences in Antiquity, 2nd ed., Brown University Press Providence, R. I., 1957.*
Barnes V. E. et al, Observation of a Hyperon with Strangeness Minus Three, Phvs. Rev. Letters, 12, № 8, 1964.
К главе 8
L Thoreau Henry David. Walden. (Имеется перевод: Торо Г. Д.» Уолден, или Жизнъ в лесах, 1910.)
К главе 9
Millay Edna St. Vincent, The Harp Weaver.
Descartes Re〃g, cm.[5] из гл. 1, p. 19. (Имеется перевод: Декарт Рене, Рассуждения о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках с приложениями: Диоптрика, метеоры, геометрия, изд. АН СССР, М., 1953, стр. 23.)
Там 宛е, р. 19 (стр. 22).
Kant Immanuel, Prolegama to Any Future Metaphysics. (Имеется перевод: Ka〃m 〃., Пролегомены, 2-е изд., М., 1937.)
Sir Isaac Newton*s ...»см. [2] из гл. 4, р. XVII. (Имеется перевод: Крылов А."., Собрание трудов, т. 7, М.—Л., 1936, стр. 1—2.)
Лобачевский Н. И., Новые начала геометрии с полной теорией параллельных, Полное собрание сочинений, т. П, Гостехиздат, М., 1948.
К главе 10
Sir Isaac Newton's】...,см. [2] из гл. 4, р. 6. (Имеется перевод: Крылов А,"., Собрание трудов, т. 7, М.—Л., 1936, стр. 30.)
К главе И
Galilei Galileo, см. [1] из гл. 2, рр. 293——294. (Имеется перевод: Галилей Галилео, Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, Избранные труды, изд. «Наука», М., 1964, стр. 345.)
К главе 13
Feynman, Leighton, Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. I, Addison —— Wesley, Reading, Mass., 1963. (Имеется перевод: Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M.t Фейнмановские лекции по физике, т. 1, изд. «Мир», М., 1965, стр. 132.)
Там же (стр. 130).'
Там же (стр. 132).
К главе 14
Physical Science Study..., см. [8] из гл. 2.
Sir Isaac Newton's. . ., см. [2] из гл. 4, Corollary III. (Имеется перевод: Крылов А. "., Собрание трудов, т. 7, М.—Л., 1936, стр. 45.)
Poppy W. J., Wilson L. L., Exploring the Physical Sciences, 1965.
К главе 16
Приведено у Gillispie Ch, G., см. [2] из гл. 6, р. 122—123. (Имеется перевод: УФН, VII, вып. 2, 124 (1927).
Приведено у Magie W.尸.，A Source Book in Physics, Harvard University Press, Cambridge, copyright 1935, 1963 by the President and Fellows of Harvard College, p. 300. (Имеется перевод: УФН, VII, вып. 2, 127 (1927)).
Birch Thomas, The History of the Royal Society of London, A. Millar, London, 1757, vol. 3, p. 14.
Там 宛e, p. 14.
Приведено у Magie W,尸.，см. [2],p. 302. (Имеется перевод: УФН, VII, вып. 2, 130 (1927).)
Там же, р. 302 (стр. 130).
Diogenes Laertius, R. D. Hicks, trans., Quoted from Milton C. Nahm, ed., Selections from Early Greek Philosophy, Appleton-Century-Crofts, New York, 1947, p. 165.
Physical Science Study. . ., cm. [8] из гл. 2.
Stevenson R., Moore R. B., Theory of Physics, W. B. Sounders, Philadelphia, 1967.
Descartes Rene, cm. [5] из гл. 1, рр. 265—266. (Имеется перевод: Декарт Рене, Рассуждения о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках с приложениями: Диоптрика, метеоры, геометрия, изд. АН СССР, М., 1953, стр. 78—79.)
Там жet р. 266 (стр. 80).
Там же, р. 267 (стр. 80—81).
Там же、р. 267 (стр. 81).
Там 宛е, р. 267 (стр. 81).
Там р. 267—268 (стр. 82).
Там же, р. 269 (сгр. 83).
Там же、р. 269 (стр. 84).
Там 宛е, р. 271—272 (стр. 87—88).
Там же, р. 294.
Там 宛р. 295.
Isaac Newton*s Papers and Letters on Natural Philosophy, I. Bernard Cohen, ed., Harvard University Press, Cambridge, 1958. (Имеется перевод: УФН, VII, вып. 2, 151 (1927)).
Там же (сгр. 160).
Там же (стр. 160).
Sir Isaac Newton's. . ., см. [2] из гл. 4, vol. 2, р. 547. (Имеется перевод: Крылов А. Н., Собрание трудов, т. 7, М.—Л., 1936, стр. 662.)
К главе 17
Physical Science Study. , ., см. [8] из гл. 2.
Jenkins 尸.A., White Я. Е., Fundamentals of Physical Optics, McGraw-Hill, New York, 1937.
К главе 18
Приведено у Magie W.尸.，см. [2] из гл. 16, р. 309.
Там же, р. 305. (Имеется перевод: Ньютон И., Оптика или трактат об отражениях, преломлениях и цветах света, изд. 2-е, Гостехиздат, М., 1954, стр. 274).
Там же, р. 305 (стр. 274).
Там 宛е, р. 306 (стр. 275).
Там же, р. 308—309.
Приведено у Gillispie Ch. G., см. [2] из гл. 6, р. 407.
Приведено у Magie W.尸.，см. [1] из гл. 18, рр. 310—311.
Там же, р. 310.
Там же, р. 310.
Atkins К. R., Physics, Wiley, New York, 1965.
Приведено у Magie F.尸.，см. [1], р. 310—311.
Там 宛е, р. 311.
Physical Science Study. . ., см. [8] из гл. 2.
Приведено у Gillispie Ch. G., см. [6], р. 433.
Young Thomas, A Course of Lectures on Natural Philosophy, London, 1807.
Maxwell J. C., Encyclopaedia Britannica article.(Имеется перевод: Максвелл Д. ^., Статьи и речи, изд. «Наука», М., 1968, стр. 193—194.)
Там же (стр. 193—194).
К главе 19
Z о^ д^Z о^ д^Приведено у Magie W, Г., см. [2] из гл. 16, р. 390, 392. (Имеется перевод: Гильберт 8., О магните, магнитных телах и о большом магните — Земле, изд. АН СССР, М., 1956, стр. 78, 80.)
Z о^ д^
Z о^ д^
Du Fay Charles Francois de Cisternay, Phil. Trans. 38, 258 (1734).
Приведено у Magie W.尸.，см. [1], p. 417.
Physical Science Study..・，cm. [8] из гл. 2.
К главе 20
Приведено у Magie W.尸.,см. [2] из гл. 16, р. 437. (Имеется перевод: Ампер А. М., Электродинамика, изд. АН СССР, М., 1954, стр. 433).
Там же, р. 438 (стр. 434).
Physical Science Study, • . , см. [8] из гл. 2.
Kronig R., ed., Textbook of Physics, Pergamon Press, New York, 1959.
Приведено у Magie W,尸.，см. [1] из гл. 20, р. 390. (Имеется перевод: Гильберт В., О магните, магнитных телах и о большом магните — Земле, изд. АН СССР, М., 1956, стр. 78—79.).
Orear J., Fundamental Physics, Wiley, New York, 1961. (Имеется перевод: 0pup Д., Популярная физика, изд. «Мир», М., 1969.)
К главе 21
Приведено у Magie W.尸.，см.[2] из гл. 16, р. 473. (Имеется перевод: Фарадей М., Экспериментальные исследования по электричеству, т. 1, изд. АН СССР, М., 1947, стр. 12.)
Там 宛е, р. 473, 474 (стр. 12).
Там же, р. 474 (стр. 13).
Там же, р. 474 (стр. 13).
К главе 22
The Origins of Clerk MaxwelFs Electric Ideas, as Described in Familiar Letters to William Thomson, Sir Joseph Larmor, ed., Cambridge University Press, New York, 1937, p. 3.
Maxwell J. C., On Faraday's Lines of Force, Part 1, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 10, p. 27—83 (1856).(Имеется перевод: Максвелл R. К.>
Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, Гостехиздат, М., 1954, Тр. 15—17).
The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, W. D. Niven, ed., Cambridge, 1890. (Имеется перевод: Максвелл Д. К., Избранные сочинения ..., стр. 18.)
Там же (стр. 59).
Maxwell J. С., Letter to Н. R. Droop, Dec. 28, 1861.
Maxwell J. C., cm. [2]. (Имеется перевод; Максвелл Д.К., Избранные сочинения..., стр. 53.)
Там же (стр. 70).
The Scientific Papers . . ., см. [3] (Имеется перевод: Максвелл Д. К., Избранные сочинения. . . стр. 162—163.)
Maxwell J. С., On Physical Lines of Force, Part 3, Phil. Mag., Jan. — Feb. 1862, Proposition 14 (стр. 169—170).
Maxwell J. C., cm. [2] (стр. 109).
Там же (стр. 131).
Maxwell J. C., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Phil. Trans., 155 (1865), 459—512 (стр. 300.)
К главе 23
Maxwell J. C., cm. [9] из гл. 22, Proposition 16. (Имеется перевод: Максвелл Д. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, М., Гостехиз- дат, 1954, стр. 175.)
Maxwell J. С., Letter to W. Thomson (Lord Kelvin), Dec. 10, 1861.
Приведено у Magie W. F.t cm. [2] из гл. 16, p. 537. (Имеется перевод: Максвелл Д. К・,Избранные сочинения. . ., стр. 263.)
Monro С. J., Letter to Maxwell, Oct. 23, 1861.
Purcell E. M., Electricity and Magnetism, Berkeley Physics Course, II, McGraw- Hill, New York, 1963.
К главе 24
Майер P., Закон сохранения и превращения энергии, М.—Л., 1933, стр. 80.
Карно С., в сб. «Второе начало термодинамики», М.—Л., 1934, стр. 21.
Bacon Francis, Novum Organum, 1620. (Имеется перевод: Бэкон Ф., Новый Органон, М., 1938.)
Thompson Benjamin {Count Rumford), Collected Works, vol. II, Essay II (VII).
Там же.
Там же.
Там 兆е.
Там же.
Майер Р., см. [1], стр. 81.
Там же, стр. 84.
Lucretius. De Rerum Natura, R. E. Lathurn, trans., Penguin Books, Baltimore, 1951. (Имеется перевод: Лукреций、О природе вещей, изд. «Художественная литература», М., 1937.)
Helmholtz Hermann, Uber die Erhaltung der Kraft, John Tyndall, trans., Scientific Memories, Natural Philosophy, 1853. (Имеется перевод: Гельмгольц Г.» О сохранении силы, изд, 2-е, М.—Л., 1934.)
Там же.
К главе 25
The Second Law Thermodynamics, 17.戶.Magie, ed., New York, 1899. (Имеется перевод: сб. «Втброе начало термодинамики», М.—Л., 1934, стр. 19.)
Frank С.尸・，Physics Education, 1(1), 13(1966).
Carnot Nicolas Leonard Sadi, Notes, 1878.
The Second Law of* . ” см. [1].
Там же.
К главе 26
Приведено у Magie /.尸・,см. [2] из гл. 16, р. 248. (Имеется перевод! сб. «Основатели кинетической теории материи», М.—Л., 1937, стр. 15.)
К главе 27
Приведено у Gillispie Ch.G.t см. [2] из гл.6,р. 482. (Имеется перевод; сб. «Основатели кинетической теории материи», М.—Л.» 1937, стр. 187.)
От редактора перевода 5
Из предисловия автора 9
О ПРОБЛЕМЕ ДВИЖЕНИЯ
Пизанская башня 13
Совершенно новаянаука 22
Что такое сила? 32
«Льва узнают поегокогтям» 45
Гармония сфер 58
Ньютоновская система мира 73
ОПЫТ, ЗАКОН, СИСТЕМА
Опыт и закон 89
Язьйк физики 97
Структура пространства 103
МИР НЬЮТОНА
Силы и движения Ц9
Столкновения частиц 120
Закон сохранения энергии 146
Системы многих частиц 168
Абсолютно твердые телав движении и в покое 178
Вселенная как машина 206
О ПРИРОДЕ СВЕТА
Теннисные мячи 211
Волны 228
Свет как волна 258
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СИЛЫ И ПОЛЯ
Электростатические силы: заряды в покое 275
Магнитные силы: заряды в движении 297
Индукционные силы: заряды и переменные токи 318
Электромагнитная теория 330
Электромагнитное излучение 343
О ПРИРОДЕ ТЕПЛА
Сохранение энергии (Первое начало термодинамики) 353
Тепловая смерть (Второе начало термодинамики) 368
Кинетическая теория (Механическая интерпретация теплоты, температуры и энтропии) 380
Статистическая механика 400
ПРИЛОЖЕНИЯ
Числа, алгебра . . . 411
Множества и функции. 417
Решения уравнений 421
Скорости изменения, пределы 426
Геометрия 430
Векторы 434
Некоторые замечания осистемах единиц » 438
Вопросы и задачи 442
Ответы на некоторые задачи 468
Некоторые физические постоянные 471
Некоторые часто встречающиесявеличины 471
Литература 472
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2. Издательство «Мир».
Л. КУПЕР
Физика для всех
том I
Редактор В. И. Рыдник
Художник С. Мухин
Художественный редактор А. Г. Антонова
Технический реда.ктор Н. Д. Голстякова
Корректор Я.幺.Гиря
Сдано в набор 2/V Ш 1972 г.
Подписано к печати 23/1 1973 г.
Бумага кн.журн. 60х901/1в= 15,50 бум. л.
Усл. печ. л. 31,00, в т/ч иллюстр. 1 п. л. на мел. бум. Уч.-изд. л. 29,05. Изд. № 2/6139 Цена 1 р. 63 к. Зак. № 3152
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
Фото 1. Падающий мяч для игры в гольф, сфотографированный через рапные промежутки времени [7].
Фото 2. Фотография через равные промежутки времен» полета двух одновременно выпущенных мячей для игры в гольф, один из которых падает вертикально вниз, а другой был брошен по горизонтали.
Горизонтальные полоски находятся на рас стоянии 15 см друг от друга, а снимки дела лись через */м с [11].
Фото 3. Вертикальные перемещенияодинаковы для обоих шариков [1].
Фото 5. Шарообразное скопление звезд [1].Фото 5. Шарообразное скопление звезд [1].Фото 8. Фотографии полета гаечного ключа, сделанные через 1/зо с.Черным крестиком помечем его центр масс.Фото 8. Фотографии полета гаечного ключа, сделанные через 1/зо с.Черным крестиком помечем его центр масс.Фото 6. Система двойной звезды.Сириус А и В находятся в левом верхнем углу [“•Фото 6. Система двойной звезды.Сириус А и В находятся в левом верхнем углу [“•Фото 7. Галактика [1].Фото 7. Галактика [1].Фото 9. «...был поражен их удлиненной формой».Фото 9. «...был поражен их удлиненной формой».
Фото 5. Шарообразное скопление звезд [1].
Фото 5. Шарообразное скопление звезд [1].
Фото 8. Фотографии полета гаечного ключа, сделанные через 1/зо с.Черным крестиком помечем его центр масс.
Фото 8. Фотографии полета гаечного ключа, сделанные через 1/зо с.Черным крестиком помечем его центр масс.
Фото 6. Система двойной звезды.
Сириус А и В находятся в левом верхнем углу [“•
Фото 6. Система двойной звезды.
Сириус А и В находятся в левом верхнем углу [“•
Фото 7. Галактика [1].
Фото 7. Галактика [1].
Фото 9. «...был поражен их удлиненной формой».
Фото 9. «...был поражен их удлиненной формой».
Фото 4. Фотография ночного неба,сделанная фотоаппаратом, которыйбнл направлен на Полярную звезду,с часовой экспозицией.
Круговые линии соответству ют внлм-
■нм (?) движениям звезд (фотографияполучена в Перкской обсерватории).
Фото 10. 口) Свет, проходящий через булавочное отверстие, образует конусообразный пучок; 6) После второго отверстия на пути света последний распро-страняется в виде тонкого пучка [8].
Фото 12. Пучки света невидимы.
Здесь мы наблюдаем источник света н отражение его белым куском картона, но ничегоне виднм между источником и картоном [8]
Фото 13. Если в воздух ввести какие-нибудь мелкие частицы, пучок светастановится видимым на всем пути от источника до мишени [8].
Фото 11 Два пучка света могут проходить друг сквозь друга [7].
Фото 14. Зеркальное отражение. Лазерный пучок (аилимый благодаря введению в него частиц пара), падая «а полированную металлическую поверхность. отражается от неё [9].Фото 14. Зеркальное отражение. Лазерный пучок (аилимый благодаря введению в него частиц пара), падая «а полированную металлическую поверхность. отражается от неё [9].Фото 17. Пучки света, проходящие через призму. Полное отражение происходит для двух пучков, падающих вблизи нижнего угла призмы [8].Фото 17. Пучки света, проходящие через призму. Полное отражение происходит для двух пучков, падающих вблизи нижнего угла призмы [8].
Фото 14. Зеркальное отражение. Лазерный пучок (аилимый благодаря введению в него частиц пара), падая «а полированную металлическую поверхность. отражается от неё [9].
Фото 14. Зеркальное отражение. Лазерный пучок (аилимый благодаря введению в него частиц пара), падая «а полированную металлическую поверхность. отражается от неё [9].
Фото 17. Пучки света, проходящие через призму. Полное отражение происходит для двух пучков, падающих вблизи нижнего угла призмы [8].
Фото 17. Пучки света, проходящие через призму. Полное отражение происходит для двух пучков, падающих вблизи нижнего угла призмы [8].
Фото 15. Диффузное отражение.
Лазерный пучок падает на рассеивающую пла-стинку инфракрасного спектрометра. Пластин-ка сделана из шершавого стекла (напоминаю-щего полировальную шкурку), покрытого алю-минием [9].
Фото 18. Фотография отражения ша-рика от стальной пластинки.
Угол отражения равен углу падения |8].
Фото 16. Преломление пучка света, попадающего в стекло под различнымиуглами [8].
Фото 19. Два стробоскопических сиимка шарика, скатывающегося с верхнейповерхности на более низкую.
Скорости шарика на верхней плоскости одинаковы в обоих случаях. Скорости на нижнейплоскости тоже одинаковы, хотя углы падения на обоих снимках различны [8J.
Фото 22. Сложение двух равных импульсов противоположной полярности,распространяющихся по белой проволочной пружине. На пятом снимке не видноникакого смещения, т. е. импульсы взаимно уничтожились [1].Фото 22. Сложение двух равных импульсов противоположной полярности,распространяющихся по белой проволочной пружине. На пятом снимке не видноникакого смещения, т. е. импульсы взаимно уничтожились [1].
Фото 22. Сложение двух равных импульсов противоположной полярности,распространяющихся по белой проволочной пружине. На пятом снимке не видноникакого смещения, т. е. импульсы взаимно уничтожились [1].
Фото 22. Сложение двух равных импульсов противоположной полярности,распространяющихся по белой проволочной пружине. На пятом снимке не видноникакого смещения, т. е. импульсы взаимно уничтожились [1].
Фото 20. Движение импульса справа налево по пружине, в центре которой прикреплен кусочек материн. Он колеб- •пется вверх-вниз, когда проходит импульс, но не перемещается вместе с импульсом [1].
Фото 21. Два пересекающихся импульса. Так как форма импульсов различна, можно видеть, что импульс, который вначале был слева, стал после пересечения справа, 11 наоборот [I].
Фото 25. Стоячие волны. Если один конец резиновой трубки болтать с нара-стающей частотой, на трубке образуются стоячие волны со все большим числомузлов. Однако неподвижные волновые картины образуются лишь при некоторыхопределенных частотах колебаний трубки [1].Фото 25. Стоячие волны. Если один конец резиновой трубки болтать с нара-стающей частотой, на трубке образуются стоячие волны со все большим числомузлов. Однако неподвижные волновые картины образуются лишь при некоторыхопределенных частотах колебаний трубки [1].Фото 26. Периодическая линейная волна, распространяющаяся в ванночке сводой [1]Фото 26. Периодическая линейная волна, распространяющаяся в ванночке сводой [1]
Фото 25. Стоячие волны. Если один конец резиновой трубки болтать с нара-стающей частотой, на трубке образуются стоячие волны со все большим числомузлов. Однако неподвижные волновые картины образуются лишь при некоторыхопределенных частотах колебаний трубки [1].
Фото 25. Стоячие волны. Если один конец резиновой трубки болтать с нара-стающей частотой, на трубке образуются стоячие волны со все большим числомузлов. Однако неподвижные волновые картины образуются лишь при некоторыхопределенных частотах колебаний трубки [1].
Фото 26. Периодическая линейная волна, распространяющаяся в ванночке сводой [1]
Фото 26. Периодическая линейная волна, распространяющаяся в ванночке сводой [1]
Фото 23. Отражение импульса от за-крепленного конца. Отраженный им-пульс имеет противоположную поляр-ность [1].
Фото 24. Прохождение импульса из легкой пружины (справа) в более тяжелую. В месте соединения двух пружин нмпульс частично проходит и частично отражается; полярность отраженного импульса противоположная [1].
Фото 27. Прохождение воли из глубокой воды в мелкую. Глубокая вода ——в ннжней части фотографии. Длина волны короче в мелкой воде.Фото 27. Прохождение воли из глубокой воды в мелкую. Глубокая вода ——в ннжней части фотографии. Длина волны короче в мелкой воде.Фото 28. Преломление низкочастотных волн.Черная полоска параллельна фронту преломленных волн ( 1 ]•Фото 28. Преломление низкочастотных волн.Черная полоска параллельна фронту преломленных волн ( 1 ]•Фото 29. Преломление высокочастотных волн.Черная полоска не параллельна фронту преломленных волн [1J.Фото 29. Преломление высокочастотных волн.Черная полоска не параллельна фронту преломленных волн [1J.Фото 30. Два снимка прохождения различных волн через одно н то же отвер-стие. Искривление волнового фронта меньше для более коротких волн [1].Фото 30. Два снимка прохождения различных волн через одно н то же отвер-стие. Искривление волнового фронта меньше для более коротких волн [1].
Фото 27. Прохождение воли из глубокой воды в мелкую. Глубокая вода ——в ннжней части фотографии. Длина волны короче в мелкой воде.
Фото 27. Прохождение воли из глубокой воды в мелкую. Глубокая вода ——в ннжней части фотографии. Длина волны короче в мелкой воде.
Фото 28. Преломление низкочастотных волн.
Черная полоска параллельна фронту преломленных волн ( 1 ]•
Фото 28. Преломление низкочастотных волн.
Черная полоска параллельна фронту преломленных волн ( 1 ]•
Фото 29. Преломление высокочастотных волн.
Черная полоска не параллельна фронту преломленных волн [1J.
Фото 29. Преломление высокочастотных волн.
Черная полоска не параллельна фронту преломленных волн [1J.
Фото 30. Два снимка прохождения различных волн через одно н то же отвер-стие. Искривление волнового фронта меньше для более коротких волн [1].
Фото 30. Два снимка прохождения различных волн через одно н то же отвер-стие. Искривление волнового фронта меньше для более коротких волн [1].
Фото 31. Волновая картина для двух точечных источников, вычисленная с помощью принципа суперпозиции [1].
Фото 32. Спнмок интерференционной картины, получающейся в случае двух точечных источников [1].
44Фото 34. Картины магнитных силовых линий в случае: а) прямого магнита;С) тока, текущего по длинному прямому проводу; в) тока, текущего по проволичному витку [3]; а) тока, текущего в соленоиде [4].Фото 34. Картины магнитных силовых линий в случае: а) прямого магнита;С) тока, текущего по длинному прямому проводу; в) тока, текущего по проволичному витку [3]; а) тока, текущего в соленоиде [4].
4
4
Фото 34. Картины магнитных силовых линий в случае: а) прямого магнита;С) тока, текущего по длинному прямому проводу; в) тока, текущего по проволичному витку [3]; а) тока, текущего в соленоиде [4].
Фото 34. Картины магнитных силовых линий в случае: а) прямого магнита;С) тока, текущего по длинному прямому проводу; в) тока, текущего по проволичному витку [3]; а) тока, текущего в соленоиде [4].
Фото 33. Картины силовых линий, полученные с помощью семян травы, взвешенных в непроводящей жидкости: а) одиночный заряженный стержень; 6) два стержня с одинаковыми, но разноименными зарядами; в) два стержня с одинаковыми и одноименными зарядами; г) две параллельные и разноименно заряженные пластинки； А) одиночная заряженная пластинка [4].
Фото 35. Трек электрона в жнд- ководородноП пузырьковой камере.
Трек имеет такой вид из-за наличия магнитного поля, направленного от чертежа вверх. Раднус кривизны трека уменьшается, так как электрон замедляется в жидком водороде. (Почему?)
Фото 37. Треки трех электрон-позитрон-ных пар в камере Вильсона.
Три гамма-кванта, входящне сверху, превращаются внутри евницовой пластинки в пары. Спиральные треки соответствуют малоэнергичным фотоэлектронам. вылетевшим с поверхности свинца.
Фото 36. Криволинейные треки электронов в магнитном поле, направленном от чертежа к читателю.
В результате какого-то процесса возникают два отрицательно заряженных электрона и один позитрон (частица, отличающаяся от электрона только знаком заряда). Трек образуется пузырьками, появляющимися при прохождении заряженных частиц. Электрой L. движущийся налево, следует в магнитном поле по окружности, ио замедляется нз-за столкновений с атомами жидкости, в которой он перемещается. Прн уменьшении скоростн электрона раднус его круговой траектории уменьшается, в результате чего электрои движется по спирали. Позитрон е+. движущийся направо, заряжен положительно, поэтому его траектория закручена в противоположную сторону. Электрон l в центре обладает очень большой начальной скоростью, так что раднус его трека очень велик.
Фото 38. Картина магнитногополя прямого магинта [3].
4 № 3152
1)Наиболее точные современные измерения, выполненные для проверки справедливости этого соотношения в макроскопических масштабах, принадлежат Плимптону и Лоутону [Phys. Rev. 50, 1066 (1936)], которые показали, что показатель степени равен 2 с точностью до 10-9.
и Того же Д. К・ Максвелла, который предложил электромагнитную теорию света.
(а—6) (а -|- &) = а2—63,
(7 — 6) (7 + 6) = 49 — 36= 13.
D Гибралтарский пролив.
9. Объясните, почему два тела, лежащие на хорошо отполированном столе,
Л. Купер
ФИЗИКА ДЛЯ ВСЕХ