Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОТ АВТОРА
Создание термодинамики — один из величайших подвигов человеческого ума в XIX столетии, наряду с созданием учения об электричестве. Оба эти раздела физики — основа современной техники. Но если об электричестве узнаёт в курсе физики каждый школьник, о термодинамике нет почти ничего. Да и не во всех учебниках для высшей школы, где по роду подготовки специалистов необходима термодинамика, она изложена ясно.
Поэтому представляется необходимым предложить общедоступную книгу по термодинамике и физической статистике. Ее смогут прочесть все, интересующиеся физикой вообще, а также и прежде изучавшие термодинамику по руководствам, не содержавшим достаточно общей точки зрения на предмет.
Как ни странно, до сих пор встречаются авторы печатных изданий, нападающие на те или иные положения термодинамики. Существует опасность, что неискушенный читатель примет такого недоучку с ученой степенью за мифический персонаж непонятого гения, который, как Агасфер, сопровождает все развитие науки. Эта книга, помимо прочего, должна предостеречь от различного рода напечатанной отсебятины, могущей кое-кого ввести в заблуждение.
Наша главная цель — не памфлет против хулителей термодинамики. Очень нужно по возможности систематично изложить то, что наряду с другими разделами физики должно доходить до широкого круга читателей.
Главное препятствие при этом — необходимость прибегать к понятиям из высшей математики при формулировке основных положений. Здесь был выбран компромиссный прием, Пришлось несколько отойти от 9
принятого стандарта популярного изложения физики. Где по ходу дела можно обойтись простыми математическими выкладками — они приведены. Чтобы разобрать их, вполне достаточно десятиклассного образования. Но в сущности часто производится пересказ* некоторых положений анализа бесконечно малых средствами элементарной математики. То же самое сделано в школьном курсе геометрии при вычислении длины окружности, объема пирамиды и т. п. Главное — избежать пугающих символов дифференциала и интеграла, о которых один талантливый популяризатор выразился так: «де-икс — это маленький кусочек икса» и «интеграл — попросту длинное эс».
В отличие от учебника, многое в этой книге написано совсем бегло. Ее основное назначение — рассказать о главном и сделать его понятнее с помощью приложений. Те из них; которые было бы жалко обойти, а подробно разъяснить трудно или не нужно, вошли только в виде упоминаний и самых общих очерков.
А. Компанеец
МЕХАНИКА И СТАТИСТИКА
Сколько человек составляют толпу? Можно ли было вывести закон Бойля — Мариотта до Ньютона? Давление. Отражение молекул от стенки. Сколько молекул ударяются о стенку за единицу времени? Средние величины. Первая попытка определить температуру. Термометрическое вещество. Уравнение Клапейрона. С какой скоростью движутся молекулы? Температура, выраженная е эргах. Бернулли о природе теплоты.
Сколько человек составляют толпу? Лучше было бы спросить: когда люди составляют толпу? Если они сгрудились около узкой двери, естественно назвать их толпой; а если выстроились в очередь — так не скажешь. Рота солдат, идущих строем, очевидно, не толпа, но когда строй нарушен и общей команды нет, может образовать и толпу.
Нет смысла искать строгое определение этому житейскому слову, которое изображает скорее ситуацию, чем дает количественное понятие. Существенно, что строй или очередь отличает от толпы прежде всего порядок, особое свойство, характеризующее большую совокупность более или менее однородных объектов.
Ясно, что в строю больше порядка, чем в очереди, а в очереди — больше, чем в толпе. В толпе тоже возможны различные, пусть даже стихийные, градации порядка в зависимости от внешних условий. На толкучем рынке каждый занят своим делом, но если хлынет дождь или начнется облава, все будут делать примерно одно и то же.
Понятие порядка, возникающее по отношению к большой совокупности, имеет место не только в мире общественных явлений, но и в физике.
Физические закономерности, которые возникают в больших собраниях однородных объектов, например
атомов или молекул, и имеют смысл только в больших собраниях, называются статистическими. Все они в той или иной степени имеют приближенный характер, но точность приближения всегда может быть определена. У неодушевленных объектов, где всякая преднамеренность поведения заранее исключена, статистические закономерности проявляются в наиболее чистом виде. По крайней мере исключен психологический фактор, значение которого в общественных явлениях невозможно оценить количественно (отвлекаясь от разных моделей, которыми пользуются «для разгулки времени», если применить здесь выражение Л. Н. Толстого).
Атомы или молекулы, из которых состоит газ,— наилучший пример неупорядоченной совокупности однородных объектов. Само слово «газ» происходит от «хаос». Тот, кто в XVII веке назвал газ газом, очевидно, интуитивно основывался на атомистических представлениях древних. Вначале чисто умозрительный, атомизм доказал свою необычайную плодотворность задолго до того, как физика подтвердила реальное существование отдельных атомов и молекул.
Еще в XVII веке был экспериментально установлен знаменитый закон Бойля ——Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение объема на давление есть величина постоянная.
Даниил Бернулли сумел вывести этот закон теоретически еще в 1730 г., исходя из атомистического представления о газе. Так впервые в физике из хаоса родился порядок. Бернулли опередил науку, как показало ее дальнейшее развитие, по крайней мере на 130 лет. Он, однако, уже мог теоретически поставить свою задачу в то время. Но никакой гений не сумел бы прийти к тем же результатам, скажем, в 1530 г., разве что он смог бы открыть основные законы механики до Ньютона (это вряд ли вообще возможно было сделать, так как Ньютон основывался на открытых незадолго до него астрономических законах Кеплера).
Основное утверждение механики Ньютона, что сила равна массе, умноженной на ускорение, относится к элементарным законам физики. Его сравнительно просто применять к движению обособленных тел, например к движению планеты вокруг Солнца. Закон же Бойля — Мариотта не элементарный, а статистический, относящий-
ся только к большой совокупности частиц ——газу, состо- ,ящему из атомов. Бернулли первый сумел перебросить мост от элементарного закона к статистическому. Повторим его замечательный вывод.
Второй закон Ньютона был только что изложен в упрощенной формулировке. Сейчас нам придется несколько видоизменить ее, имея в виду дальнейшие приложения.
Выразим иным способом величину произведения массы на ускорение. Известно, что: 1) ускорение — это изменение скорости за единицу времени; 2) масса при движении постоянна (в механике Ньютона). Следовательно, масса, умноженная на изменение скорости, равна изменению величины произведения массы на скорость.
То же самое удобнее выразить не словами, а формулой. Это нагляднее, чем писать количественные соотношения в виде тяжеловесных фраз. Если изменение скорости ^2 — и】(и2 — конечная скорость, и】 ——начальная скорость), т — масса, то m (内—ух) = my2 — tnv1. Перефразируя второй закон Ньютона, мы просто раскрыли скобки.
Произведение то имеет в механике специальное название —импульс. Итак, второй закон можно высказать так: изменение импульса тела за единицу времени равно действующей силе.
Отсюда, оказывается, удобнее выводить закон Бойля —Мариотта.
Переходим теперь к рассуждению Бернулли. Прежде всего, что такое давление? Это сила со стороны газа, перпендикулярная к поверхности сосуда и отнесенная к единице поверхности. Следовательно, по второму закону Ньютона она равна изменению перпендикулярной составляющей импульса всех молекул, ударяющихся о единицу поверхности сосуда за единицу времени. Так как молекул очень много и ударяются они о стенку очень часто, можно заменить их суммарное действие на поверхность одной непрерывно действующей силой. Эта сила заменяет и как бы сглаживает отдельные толчки. Такое описание называется статистическим: место и время удара каждой молекулы о поверхность совершенно не интересны; наоборот, их общий эффект и есть то, что входит в статистический закон. Только он и важен для практики.
Тем не менее, рассуждение надо начинать с рассмотрения отдельного удара. Когда молекула отскакивает от
стенки, перпендикулярная составляющая ее скорости меняет знак на обратный: с какой скоростью молекула налетала на стенку, с такой и отлетит. Это легко заметить, наблюдая за мячом при игре в теннис.
Если vt — перпендикулярная к стенке составляющая скорости молекулы до удара, as — после удара, то 力 и Ui равны по величине и противоположны по знаку: 力=—厶・ Но тогда m®2—%)=m(—vx—uj = —2mux.
По третьему закону Ньютона действие равно противодействию: стенка сосуда, содержащего газ, получает равный по величине и противоположный по направлению импульс, т. е. 2ms от каждой молекулы.
仁二Это относится к одиночному —Гстолкновению. Сколько же их
IТпроизойдет за единицу времени
I4на единице поверхности? Мыс-
尸… —十 ленно построим на стенке ци- /上—7 V / линдр, основание которого равно
/ J / 1 см2, а высота перпендикулярна /丿 к стенке (рис. 1). В среднем по
ловина молекул в цилиндре Рис, Lдвижется по направлению к
стенке, половина — в обратном направлении: это статистическая закономерность, характерная для хаотического, неупорядоченного движения. Выберем только те молекулы, перпендикулярная составляющая скорости которых равна их. Ясно, что за единицу времени успеют долететь до стенки не все молекулы из бесконечно длинного цилиндра, а только те, которые в начальный момент находились от стенки не дальше чем на расстоянии, численно равном ух (см. рис. 1). Молекулы, находившиеся дальше, за единицу времени долететь не успеют. Объем цилиндра с основанием в 1 см2 и высотой 力 равен, очевидно, Ui. Если в единице объема имеется 佐 молекул, летящих со скоростью и» то полное число молекул, налетевших на стенку за единицу времени, равно ~ п^. Множитель 1/2 стоит здесь потому, что половина молекул из общего числа 佐 движется от стенки. Каждый удар сообщает стенке импульс 2他厶 так что суммарный импульс, переданный за единицу времени единице поверхности стенки в перпендикулярном к ней
направлении, равен
1/2 勺°1 • 2nw1 = аги。；.
По второму закону Ньютона это как раз и есть давление, производимое теми молекулами, скорость которых в перпендикулярном к стенке направлении равна Обозначим его 〃・ Тогда давление всех молекул, имеющих всевозможные скорости, равно
р=£pi=2^^ 1^1
(знак 2 означает сумму; здесь суммирование проводится по всем возможным значениям скорости). Преобразуем теперь правую часть полученного равенства. Попутно будет определено фундаментально важное для всего дальнейшего понятие средней величины.
Напомним, как вообще надо определять среднюю величину. Если в некотором коллективе один человек получает 500 рублей, а четверо — 100 рублей в месяц, то их средняя зарплата отнюдь не равна (100+500) : 2=300 рублей. Она равна полной общей зарплате, деленной на общее число людей, т. е.季丿。胪500= |gg рублей. Среднее значение и； надо, следовательно, определить так:
(%)среднее= '^Si ^1^1>
где п — общее число молекул в единице объема. Чтобы не писать слово «среднее» при величине, ее принято заключать в угловые скобки,《％〉. Согласно предыдущему равенству
九々:> = £“；・
Отсюда следует, что давление газа р есть р=пт 々；>.
Наконец, число молекул газа в единице объема п равно полному числу молекул М деленному на объем газа 匕
n=N/V.
Подставляя в выражение для р и умножая обе части равенства на 匕 приходим к соотношению:
pV = ^m <yj>.
Мы получили соотношение, по форме весьма напоминающее закон Бойля — Мариотта. Произведение объема на давление есть, при некоторых условиях, величина постоянная. При каких условиях? Как уще было сказано, при постоянной температуре. Следовательно, величина 〈若〉зависит только от температуры газа.
Рассмотрим ее подробнее. Физический смысл выражения 〈и；〉ясен, это среднее значение квадрата составляющей скорости молекулы в направлении, перпендикулярном к стенке сосуда. Желательно выразить эту величину по возможности безотносительно к выбранному направлению в пространстве. С этой 仔целью запишем квадрат абсо-
Jлютной величины скорости через
4〃z/ квадраты ее составляющих по
/1/ трем перпендикулярным нап-
равлениям.
/По теореме Пифагора
J T度=况+ % +玻
/ /勿 (рис. 2). Возьмем теперь среднее значение от обеих частей равен- ства:
”<^2> = <Ф + <Ф + <Ф,
Рис. 2.
так как среднее от суммы равно сумме средних. Направление координатных осей выбрано совершенно произвольным образом, а молекулы движутся хаотически, поэтому среднее значение квадрата любой проекции скорости одно и то же:〈磅> =〈％> = <%>・
Следовательно, a2>= 3з>.
Пусть ось х совпадает с перпендикуляром к стенке сосуда, тогда %=力・ Иными словами, (y2)=3(wp, или @；>=*2〉・
Подставляя это в соотношение, выражающее закон Бойля —Мариотта, имеем:
pV = у ^m <с/2>.
Напоминаем, что правая часть равенства зависит только от температуры газа. Здесь мы приходим к каверзному вопросу: а что же такое температура? Определение температуры как «степени нагретости», кажется, исчезло даже из учебников для начальной школы. Не мудрствуя лукаво, можно было бы сказать: температура — это показание термометра. Что такое термометр, мы узнаём даже не в школе, а, так сказать, с первых дней своего существования (в отличие от аппаратов, измеряющих давление крови; можно полагать, что среди читателей этой книги найдется немало таких, которые еще не имели дела с ними). Но и такое младенческое обозначение температуры неудовлетворительно, несмотря на то, что оно согласуется с основным требованием к определению любой физической величины: указывает способ ее измерения.
Дело в том, что выбор вещества, заполняющего трубку термометра, в значительной степени произволен. Ртуть или подкрашенный спирт берутся по чисто практическим соображениям. Разумеется, 0° и 100° — точки замерзания и кипения воды при атмосферном давлении — для обоих термометров одинаковы. Но, например, середина шкалы, или 50°, на ртутном термометре не строго отвечает середине шкалы на спиртовом. Ведь шкалы обоих термометров произвольным образом разделены на сто равных частей, а на самом деле законы теплового расширения ртути и спирта несколько различаются.
Конечно, можно градуировать спиртовой термометр по ртутному, т. е. поставить на спиртовом термометре 50° в том месте, где будет кончаться столбик спирта тогда, когда ртутный термометр покажет ровно 50°. Это значит, что ртуть будет принята в качестве единого термометрического вещества. Произвол в его выборе останется, но будет по взаимному соглашению всеобщим. В физике имеются три всеобщих, но произвольных эталона: сантиметр, грамм и секунда. Действительно ли нужен еще один такой эталон: градус ртутного термометра?
Найденное нами соотношение
pV = g Nm®a>
показывает, что нет принципиальной необходимости в условном эталоне температуры. Вместо него надо ввести
условное вещество — идеальный газ, на который более или менее похожи многие реальные газы. Строже говоря, похожи тем более, чем сильнее они разрежены. При выводе закона Бойля — Мариотта мы рассматривали молекулы газа как материальные точки, не имеющие объема и не взаимодействующие между собой. Тогда это не было оговорено, но фактически молча принималось как данное. Ясно, что у сильно сжатого реального газа объем, свободный для движения отдельной молекулы, меньше объема сосуда, так как другие молекулы также находятся в этом сосуде на ее пути, но, как уже было сказано, у разреженного газа доля всего объема, занятая молекулами, невелика и ею можно пренебречь.
Будем сохранять давление газа постоянным. Тогда его объем будет прямо пропорционален (у2). С другой стороны, у всех термометрических веществ объем принимается как мера температуры. Следовательно, если в качестве такого вещества взят идеальный газ, то величина, измеряющая его температуру, есть средний квадрат скорости отдельной молекулы,好〉.Известно, что через квадрат скорости частицы выражается ее кинетическая энергия:
" 加炉
Находя отсюда у2 и подставляя в предыдущее равенство, получим:
pv=1n<k>.
Но мы только что сказали, что правая сторона этого равенства измеряет температуру, если в качестве термометрического вещества взят идеальный газ. Остается указать коэффициент пропорциональности. Известно уравнение Клапейрона:
pV = RT,
где R и есть искомый коэффициент. Он равен 8,3-107 эрг/град, а Т — абсолютная температура, или температура по шкале Кельвина, численно равная обычной температуре в градусах Цельсия плюс 273,15°. Дальше будет объяснено, почему Т называется абсолютной температурой. Подчеркнем, что градус (как температурный интер-
вал) по шкале Цельсия (℃) и градус по шкале Кельвина (°К) совпадают.
Можно ли сказать, что уравнение Клапейрона здесь выведено? В известном смысле — да, но существенно, что было принято определение температуры как величины, пропорциональной объему при постоянном давлении идеального газа. В дальнейшем будет показано, что можно определить температуру безотносительно к какому-либо веществу.
Газовая постоянная R относится к одному грамм-мо- лю газа, т. е. к массе газа в граммах, численно равной его молекулярному весу (например, 2 а водорода, 32 а кислорода и т. п.). Ясно, что число молекул в одном грамм-моле (проще — моле) любого вещества по определению одно и то же. Это так называемое число Авогадро. Оно было определено экспериментально только в начале XX века и оказалось равным 6,024-1023. Но и не зная числа Авогадро, можно узнать, чему равен квадрат скорости молекулы газа.
Возьмем, например, моль водорода при давлении в одну атмосферу. Выразим это давление в системе СГС. 1 атмосфера = 1033 грамм-силы на 1 см^. Но 1 грамм- силы =981 дине, так что с некоторым округлением 1 атм = 10е дин/см2. Моль водорода имеет массу Nm = 2 а, а его объем, как известно из опыта, составляет 22,4 литра =0,224-10^ см3. Отсюда получаем:
106-0,224-105 дин -см = ^ - 2-<v2> г-см2/сек2.
Справа стоит величина с размерностью энергии, так как это размерность кинетической энергии ^. Размерность слева есть дина Хем, т. е. сила X путь, или размерность работы, совпадающая с размерностью энергии. Поэтому полученное равенство позволяет определить численную величину квадрата скорости в единицах СГС:
<у2> = 3,36-1010 см2/сек2.
Извлечем корень квадратный из этой величины: ]/々2〉= 1,82 • 102 см/сек = 1,82 кмIсек.
Заметим, что ]/〈g力〈и〉. Корень из суммы квадратов не выражается через первые степени подкоренных количеств. Но по порядку величины К (у2) и (у) близки.
Молекулярный вес кислорода в 16 раз больше, чем у водорода. При одинаковых pV значение fa2) кислорода в 16 раз меньше, чем 好〉водорода, а У (у2) в 4 раза меньше, т. е. равно 455 м/сек. Мы видим, что скорости газовых молекул близки к скоростям вылета винтовочной пули из канала ствола. Ясно, что пороховые газы не могли бы разогнать пулю до скорости существенно большей, чем скорость полета отдельных молекул газа. Иначе пуля убежала бы от газов и больше не разгонялась.
Так ли необходимо вообще измерять температуру в каких-либо градусах, т. е. вводить новую единицу наряду с принятыми в системе СГС? Разумеется, нет. В качестве температуры можно было бы взять, например, величину 8=于〈/＜〉・ С такой температурой уравнение Клапейрона запишется в виде:
pV=NQ,
Так как число Авогадро ^ — отвлеченное, единицей температуры теперь является эрг.
Для практических целей это было бы неудобно, так как температура человеческого тела равняется в этих единицах 4• Ют эрг, вместо привычных 36,5℃. Но принципиально без градуса Цельсия вполне можно обойтись.
Температура 0 имеет особенно простой физический смысл: она равна 2/з средней кинетической энергии молекул 〈К〉・ При этом принимается в расчет только кинетическая энергия переносного (т. е. поступательного) движения, даже если молекула способна вращаться в пространстве (например, двухатомные молекулы Н2 или О2 вращаются как гантели). Энергия вращения в уравнении 2
8=w〈K〉не учитывается.
Из самого определения температуры видно, что это величина статистическая: для отдельной молекулы она не имеет смысла. Усреднение всегда предполагает какую- то большую совокупность частиц, по которым оно производится.
Введя температуру, мы с исторической точки зрения забежали вперед и вступили в мир тепловых явлений. Сам Бернулли не пытался выразить pV через температуру, хотя в его работе имеется многозначительная фраза: «Как известно, теплота есть движение молекул». Но до
количественного определения температуры было еще далеко.
Учение о теплоте очень долгое время развивалось независимо от статистической физики и лишь в конце XIX в. получило в ней свое обоснование. После удивительного по глубине прозрения результата Бернулли статистические методы в физике долго не имели дальнейшего развития. Только около 1870 г. Максвелл получил весьма важные результаты. Им посвящена следующая глава.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ
Что такое функция распределения? Закон умножения вероятностей. Особое значение числа е в основании степени. Сумма всех вероятностей равна единице. Откуда число л в распределении Максвелла? Распределение молекул по кинетическим энергиям. Статистическое равновесие. Второй вывод распределения Максвелла. Опытная проверка закона М аксвелла.
Определяя среднюю величину 〈и；〉, мы чисто формально обозначили число молекул в единице объема, имеющих скорость Ui, буквой /гх и не пытались выяснить, какую долю составляет пх от полной величины п. Результат от этой доли не зависел. Интересно, тем не менее, узнать, как же на самом деле молекулы распределены по скоростям.
Вывод будет осуществлен в два этапа. Сначала мы получим искомый результат, исходя из весьма правдоподобных рассуждений, а потом покажем, что полученный результат — единственно возможный.
Какую функцию предстоит определить?
Начнем с простого примера, позволяющего ввести необходимые определения величины. Пусть в некотором коллективе из ста человек 10 имеют рост от 160 до 165 см, 25 — от 165 до 170, 35 — от 170 до 175, 15 — от 175 до 180, 10 — от 180 до 185 и остальные 5 — от 185 до 190. Это перечисление удобно изобразить в виде простой общепринятой диаграммы, рисуя вертикальные прямоугольники, пропорциональные числу людей данного роста (рис. 3). Такую диаграмму называют гистограммой. Если построить ее не для ста человек, а для взрослого населения целой страны, то можно ввести гораздо более
мелкие подразделения по росту, например до 0,5 см (применительно к росту человека большая точность вряд ли имеет смысл). Допуская, однако, что некоторая изучаемая величина может задаваться сколь угодно точно, для весьма большого коллектива законно перейти от гистограммы к плавной кривой распределения. Кривую такого рода мы и должны построить для распределения молекул газа по скоростям.
Применим теперь к нашему простому примеру понятие вероятности некоторого события. Вернемся для этого к выбранному коллективу из ста человек. Какова вероятность, что рост наудачу взятого индивидуума будет заключен между 175 и 180 см? Не требует дальнейших разъяснений, что искомая вероятность составляет 15/100=0,15. Ясно, что величина вероятности всегда неотрицательна и меньше единицы. Невозможное событие имеет вероятность, равную нулю, достоверное —равную единице.
Рассмотрим теперь два разных коллектива — скажем, блондинов и брюнетов. Пусть вероятность того, что некий блондин имеет рост 九 1, равна %, а вероятность роста Л2 у брюнета равна 仇・ Чему равна вероятность %? того, что в наудачу выбранной паре рост блондина 用а брюнета 九2? Нетрудно понять, что искомая вероятность %? равна %・夕2・ Если имеются еще и шатены, то аналогично %2з= =%・夕2・夕3・ Мы подразумеваем, что выбор блондина, брюнета и шатена производился независимо.
Теперь сделаем правдоподобное, но не совсем очевидное допущение, что проекции скорости молекулы на оси координат %, vy и % так же независимы, как рост выбранных трех человек. Тем самым мы приступили к первой, полуинтуитивной части вывода, которая, как указывалось, позволит нам угадать правильный результат. Итак, допускается, что
? (%，%，%) = ? (%) 5 &)・9 (%) *).
*) Здесь q слева и справа заменяет слово «вероятность», не имея смысла одной и той же математической функции.
22
Функции q(v^, q(vy)f q(v^ должны иметь одинаковый вид, потому что выбор координатных осей в пространстве произволен. Кроме того, значения vx и —vx равновероятны. В противном случае газ как целое двигался бы в ту сторону, для которой вероятность больше, а мы ищем распределение скоростей в покоящемся сосуде. Следовательно, q зависит только от квадратов компонент скорости: q есть функция не от и%, а от yj и т. п.
Повернем теперь координатные оси так, чтобы новая ось 廿 совпала с направлением вектора скорости. Тогда
〃 ％ = 0, %，= 0.
Значение функции q(vXf %, и?) измениться, конечно, не может, потому что она описывает некую реальную ситуацию, не зависящую от выбора осей. Следовательно, ? ®%т %，，勿)=? (% 旳，以)=? ®5) q (0) q (0).
Ho 哆=и?=变+% + 吟 так что
?侬 + % + %) Г (0) = q (哨 q (%№ (唠•
Существует только одна функция от суммы величин, которая распадается на произведение таких же функций от каждого слагаемого в отдельности. Это показательная функция. Например,
10*+。.(10。)2 = 10。.10Ь.10。.
Число 10 поставлено в основание степени по произволу. Любое другое положительное число подходит не хуже. Основание степени надо выбрать каким-то наиудобнейшим способом. Чтобы разъяснить этот выбор, заметим, что числа 吟 ％, % суть именованные и не могут стоять в показателе степени сами по себе, без такого коэффициента, который в произведении на квадрат скорости дает отвлеченное, безразмерное число. Иначе говоря, этот коэффициент должен иметь размерность обратного квадрата скорости. В предыдущем разделе было показано, что
*> =整=^比
следовательно, размерность квадрата скорости имеет величина 0/т, обратного квадрата скорости — величина m/б. Удобнее всего взять коэффициент т/20; почему — вскоре будет разъяснено. Тогда оказывается, что в осно-
23
вание степени надо поставить совсем особое число, несоизмеримое с единицей. В математике оно обозначается буквой е и равно 2,71828... (ряд последующих цифр бесконечен). Как раз при таком выборе основания степени среднее значение〈К〉будет равно 2/з0, т. е. согласуется с прежним определением 0.济0 нельзя доказать, не пользуясь интегральным исчислением; но физическая сущность изложения не сильно затемняется от того, что мы попросим читателя принять на веру наш выбор основания степени.
Итак, искомая функция ^(^) пропорциональна е 20 .
Минус в показателе степени необходимо взять потому, что бесконечно большое значение 磴 должно быть бесконечно мало вероятным. Ведь одна молекула не может отобрать энергию у всего газа.
Кроме того, перед е надо еще поставить коэффициент пропорциональности. Его находят из условия: вероятность того, что vx имеет хоть какое-нибудь значение, равна единице (и% чему-нибудь да равняется). Точно так же равна единице вероятность того, что произвольно выбранный индивидуум имеет какой-нибудь рост. Это согласуется и с определением вероятности:
у _ 10 25 35 15 10 5 _ 100_ 1
乙д=!и6十而十而十而十!ш十而=而=丄.
Чтобы вычислить требуемый коэффициент пропорциональности, снова нужно использовать интегральное исчисление. Поэтому мы просто выпишем формулу для q (%) в готовом виде:
Это и есть искомое распределение Максвелла.
Появление числа л в формуле может несколько озадачить, но так следует из вычислений. «Неисповедимы путн божии»,— шутил по этому поводу Л. Д. Ландау.
Написанная формула соответствует переходу от гистограммы к плавной кривой. Основание каждого прямоугольника в этом случае — бесконечно малый отрезок прямой, на которой откладывается и中
24
частицу с большимчастицу с большимГрафик распределения Максвелла представлен на рис. 4 для двух температур. Более пологая кривая отвечает более высокой температуре. Иными словами, чем выше температура, тем больше вероятность найти в газе
частицу с большим
частицу с большим
резку АВ. Наоборот,резку АВ. Наоборот,значением скорости, что видно по от
резку АВ. Наоборот,
резку АВ. Наоборот,
меньшие скорости вероятнее при низких температурах. Но площади под обеими кривыми одинаковы и равны 1, как уже указывалось применительно к гистограмме (заштрихованные площади равны).
В принципе всегда возможно встретить молекулу со
сколь угодно большой скоростью, но значение функции, содержащей такую скорость в показателе, исключительно мало. Например, вероятность найти молекулу кислорода со скоростью 4,5 км [сек, которая в десять раз больше среднеквадратичной тепловой скорости (см. гл. 1), равна 0-102 = 0—100= ] 0-43.
Во всей атмосфере Земли не наберется больше десятка таких молекул кислорода.
Для произведения всех трех q получаем:
g亿宀，吟=(盜r，т ® ю =(謁厂
С помощью этой формулы убедимся теперь, что молекулы газа должны иметь такое распределение с необходимостью, и это составит вторую часть нашего доказательства.
Для этого надо, прежде всего, ввести новое понятие, определяемое как статистическое равновесие. Предположим, что газ помещен в неизменные внешние условия в покоящемся сосуде. Тогда состояние газа не должно изменяться во времени. Разумеется, каждая молекула будет хаотически перемещаться внутри сосуда, но в среднем
25
с газом ничего не произойдет. Другими словами, функция распределения q(vX9 vy, и?) останется неизменной. Столкновения между отдельными молекулами, не будут влиять на ее вид. Это означает, что в результате соударения пары молекул с кинетическими энергиями Ki и 忆 будут столь же часто получаться пары с кинетическими энергиями ^з и 爲，как при столкновении пар с энергиями /Сз и ^4 — пары с Ki н ^2•
Назовем столкновение К± + ^2->•^з + ^4 прямым, а столкновение ^з + ^4->•^l + ^2 обратным. Вероятность прямого столкновения пропорциональна произведению вероятностей q (Ki) q (К2), вероятность обратного столкновения пропорциональна ?^3) ?(^4)- Чтобы газ оставался в равновесии, необходимо соблюдение баланса: прямые и обратные столкновения должны осуществляться одинаково часто,
К】+ К2 Zi % +凡・
Антипараллельные стрелки 二 символизируют равновесие. Переходя от символической записи к формульной, имеем:
qgqg = qgqg,
или, подставляя распределения Максвелла,
6-(凡+K2)/3 = етк3+о/e.
По закону сохранения энергии
К 丄+ % = % + (•
Здесь мы имеем дело уже с обычным равенством, а не с символическим, поэтому вместо 二 стоит знак равенства.
Итак, в состоянии статистического равновесия скорости молекул газа распределены по Максвеллу. Никакая другая функция распределения, кроме е-к/е, Не совместима с законом сохранения энергии. Мы видим, что в основе вывода, как и в предыдущей главе, лежит механический закон, относящийся к отдельному соударению.
Результат Максвелла был встречен большинством его современников с недоверием. Далеко не все они верили, что атомы физически существуют, относя их к категориям философским. Наоборот, современный читатель, пожалуй, слишком легко принимает все, что относится к атомам, на веру. Мы не всегда можем представить себе, какие 26
научные и психологические трудности преодолевали физики прошлого.
Покажем теперь, как распределение Максвелла непосредственно проверяется на опыте. Прямой физический эксперимент во всяком случае убедительнее любых исторических экскурсов.
Рассмотрим следующее устройство (рис. 5). В неподвижном цилиндре А, имеющем узкую щель, заключен разреженный газ или пар металла. Разрежение необходимо для того, чтобы газ вытекал из щели не сплошным потоком, а каждая молекула вылетала бы независимо от остальных. В пространстве между А и концентрическими цилиндрами В и С создается как можно более высокий вакуум. В и С быстро вращаются как одно целое. Молекулы могут пролетать сквозь щель в цилиндре В только тог
да, когда она приходится против щели в неподвижном цилиндре А. Пролетев сквозь щель в В, они дальше летят к цилиндру С・ Но за время их полета В (и С) поворачиваются, так что молекула попадает не в ту точку цилиндра С, которая лежит на одном радиусе со щелью в В, а в точку, лежащую на рис. 5 несколько ниже. Чем быстрее летела молекула, тем меньше сместится точка ее попадания на цилиндр С по сравнению с первоначальным радиусом, проходившим через щели в цилиндрах В и С,
Таким образом, молекулы с различными скоростями попадут в разные точки цилиндра С. Очевидно, что в некоторую точку цилиндра С попадет тем больше молекул с данной скоростью, чем больше их было в цилиндре А. Пары металла осаждаются на холодной поверхности цилиндра С. Толщина налипшего слоя дает развертку распределения молекул по скоростям, т. е. материализованную кривую распределения, где абсциссой служит расстояние от точки, приходящейся против щели В, а ординатой —плотность осадившегося слоя. Опыт показывает, что эта развертка вполне соответствует распределению Максвелла.
Описанный простой опыт, для которого нужен вакуумный насос, легко воспроизвести в любой современной
физической лаборатории. Но в наше время никто больше не сомневается в справедливости распределения Максвелла.
Оно, разумеется, имеет не только академический интерес, а находит себе применение и в прикладных задачах. Например, когда тело движется в разреженном газе, сопротивление обязано ударам отдельных молекул о поверхность. Чтобы точно учесть противодействие среды движению тела в таких условиях, необходимо использовать закон распределения Максвелла. Нетрудно понять, как это существенно для движения ракет и искусственных спутников.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО ЭНЕРГИЯМ
Ломоносов о вращении молекул. При столкновении молекул энергия сохраняется. Распределение Больцмана. Теплоемкости молекулярных газов и твердых тел 〃о Больцману и на опыте. Потенциальная энергия. Распределение плотности воздуха с высотой. Роль перемешивания е атмосфере. Равновесна ли земная атмосфера? Почему нет атмосферы у Луны? Первое определение числа Авогадро.
До сих пор мы представляли себе молекулы как материальные точки, способные только перемещаться в пространстве. Однако еще М. В. Ломоносов полагал, что тепловое движение молекул может быть и вращательным. Ломоносова, очевидно, интересовала и передача энергии от молекулы к молекуле. Об этом он пишет так: «Атомы воздуха, хотя и не имеют физического сложения, но по трудолюбию той же природы, столь искусной в своей простоте, снабжены ничтожнейшими, но весьма крепкими полезными для действия шероховатостями» (сборник «Основатели кинетической теории материи» под редакцией А. К. Тимирязева, ОНТИ, М.— Л., 1937, стр. 23).
Теперь мы знаем, что двухатомные молекулы, такие как Н2, N2, О2, скорее похожи на гантельки. Они способны вращаться вокруг лрбой оси, проходящей через центр тяжести молекулы перпендикулярно к линии, соединяющей атомные ядра, и при столкновениях могут обмениваться энергиями. Молекула воды имеет форму треугольника, метана СН4 — тетраэдра, аммиака NH3 —
пирамиды и т. д. Плоские и объемные тела способны вращаться относительно любой оси.
При столкновении двух молекул энергии переносного и вращательного движения сохраняются не в отдельности, а в сумме. Строго говоря, надо включить в эту сумму только энергию переносного движения одной молекулы относительно другой, а не энергию перемещения их общего центра тяжести. Вместо равенства Ki + К2 = Кз + К《 надо удовлетворить более общему:
e1 +e2 = 旦 + 旦，
где Е — энергия переносного (относительного) и вращательного движения:
Е = Апер + Квращ.
Чтобы в газе поддерживалось статистическое равновесие, должно быть выполнено такое же условие, какое было записано в предыдущем разделе для распределения по кинетическим энергиям переносного движения:
? (EJ ?(旦)=?(ё3)?(旦)。
Отсюда следует, что
q(E) = Be-E/e.
Коэффициент В определяется из того условия, что сумма всех вероятностей равна 1. Выписывать его нам не требуется.
Выражение для q(E) получил Больцман. Сразу видно, что оно имеет весьма большую общность. Приведем важнейшие примеры.
Двухатомные молекулы способны не только вращаться в пространстве, но и совершать колебательные движения. Например, атомы двухатомной молекулы колеблются вдоль прямой, соединяющей ядра. У треугольной молекулы изменяются все три междуядерные расстояния, и т. д.
Вычисления показывают, что каждый вид вращения имеет среднюю энергию 0/2, так что средняя энергия вращения двухатомной молекулы 2-^ = 0, трехатомной 3・^ = "|-0 и более сложной многоатомной молекулы
тоже -у 0, так как больше трех вращений в пространстве твердое тело совершать не может.
Определенная таким же способом средняя энергия колебательного движения равна 0 на каждое колебание. Таким образом, средняя полная энергия водородной молекулы должна равняться -|-0 + 0 + 0 = у0. Здесь первое слагаемое обязано переносному движению, второе — вращательному, третье — колебательному.
Из опыта следует, что на самом деле энергия водородной молекулы равна не у0, а -|-0. Это видно по теплоемкости водорода. Если энергия, приходящаяся на одну молекулу, равна с®, то для повышения температуры на единицу требуется теплота с・ Таким способом по теплоемкости вычисляется энергия.
Атомы в кристаллах совершают чисто колебательное движение. Каждый из них может колебаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Следовательно, средняя энергия колебаний одного атома равна 30 (закон Дю л он га и Пти). Для большинства элементов в кристаллическом состоянии этот закон согласуется с опытом при комнатных температурах. Но есть разительные исключения, например алмаз, теплоемкость которого значительно меньше, чем это должно быть согласно закону Дюлонга и Пти. Поэтому можно сказать, что колебания атомов в молекуле Н2 и в кристалле алмаза как бы заморожены.
Еще большее несоответствие с опытом получилось, когда методы статистической физики были применены к электромагнитному излучению; об этом мы скажем подробнее в гл. 13.'
Долгое время от всех таких фактов как бы отмахивались, думая, что в самой статистической физике что-то неладно. Постепенно, однако, доверие к этой науке росло, но росло также и число опытных фактов, которые находились с ней в противоречии. В конце концов дал трещину фундамент науки — ньютоновская механика. Непонятные явления были объяснены с помощью квантовых законов. Разумеется, законы Ньютона не опровергнуты: всё по-прежнему в силе, но теперь они являются как бы предельным случаем более точных квантовых законов.
Мы неоднократно указывали, что в основе статистической физики лежат законы Ньютона; тем не менее, распределение Больцмана по энергиям справедливо и в квантовой области. При выводе q (£) из механики был использован только закон сохранения энергии, который так же справедлив в квантовой области, как и в ньютоновской (классической). В особых условиях квантовые законы изменяют и самый вид функций распределения, но об этом будет рассказано в гл. 14.
До сих пор распределение Больцмана применялось только к таким газам, молекулы которых свободно перемещаются в пространстве. Но на все тела действует сила тяжести, в том числе и на молекулы. По закону сохранения энергии изменение кинетической энергии тела при движении в поле тяжести равно совершенной им работе против силы тяжести:
(一兄=儿
Если тело поднялось с высоты /и на высоту й2 (например, взлетел брошенный вверх камень), то им была отдана работа А =—mg(h2 —瓦).Здесь m — масса тела, g — ускорение силы тяжести. Разумеется, мы считали, что никакие другие силы, например сопротивление воздуха, на тело не действовали. Итак,
凡一K1=-mg他2一月).
Перенося величины с индексом 2 налево, а с индексом 1 — направо, имеем:
K2 + mgh2 = K1-\-mgh1.
Тем самым мы получили закон сохранения. Величину mgh принято называть потенциальной энергией тела в поле тяжести. Обозначим ее буквой U. Тогда постоянной при движении остается сумма кинетической и потенциальной энергии тела:
E = K+U,
т. е. полная энергия.
Сила тяжести — не единственная, для которой можно ввести понятие потенциальной энергии, но мы пока не будем рассматривать другие силы с таким же свойством.
Ясно, во всяком случае, что распределение Больцмана применимо и тогда, когда молекулы имеют некоторую
потенциальную энергию. По-прежнему вероятность того, что молекула имеет энергию £, равна:
q (Е) =Ве-Е/е = Ве~^и^ =反-敦/%-。/"
Но теперь нас будет интересовать только второй сомножитель,
分(Л) = е-и/е = «-mg 力/е.
Он определяет вероятность того, что молекула находится на высоте h над поверхностью Земли. Иначе говоря, q^ задает зависимость плотности атмосферы от высоты над уровнем Земли (или моря). Действительно, отношение плотности атмосферы на высоте Л к плотности на высоте О (на условном уровне моря) равно отношению функций %® и %(0)・ Но
% (0) = 6。= 1, так что
п (/1)= п(О)е-^/0.
На самом деле атмосфера состоит в основном из двух газов — азота с молекулярным весом 28 и кислорода с молекулярным весом 32. Из предыдущей формулы следует, что распределение азота и кислорода по высоте должно быть различным. Чем больше m в показателе, тем сильнее уменьшается п(Л) с высотой. На самом деле пробы воздуха, взятые на больших высотах, показали, что состав атмосферы почти однороден по высоте. Это свидетельствует о непрерывном сильном перемешивании воздушных масс.
Кроме того, в формуле для п^ предполагается, что температура 0 (или Т) не меняется с высотой, что не соответствует действительности. Поэтому закон убывания плотности с высотой, отвечающий предположению об изотермичное™ («равнотемпературности») атмосферы, имеет полукачественный характер.
Принимая для потенциальной энергии формулу U= =mgh, мы молчаливо допустили, что сила тяжести на любой высоте одна и та же и везде равна mg. Для высот, малых по сравнению с радиусом Земли, скажем, 100— 200 км, это справедливо. Если же высота сравнима с радиусом Земли, то необходимо учитывать, что сила земного тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Ньютоновский закон
тяготения, как известно, выражается так:
Г，/пМ
尸=-Y＞，
где F — сила тяжести, М — масса Земли, у — постоянная тяготения (знак минус учитывает, что сила — притягивающая, направленная к центру). Исключим теперь у и М из формулы. На уровне моря г равно радиусу Земли г0« Имеем:
尸(Г。)=—Y绊.Г о
Но 尸(rj как раз есть mgt т. е. то, что мы подставляли в формулы раньше. Отсюда yM=gr^. Подставляя в исходное выражение, имеем:
尸=一加g*■
В распределение Больцмана входит не сила, а потенциальная энергия. Размерность энергии равна размерности силы, умноженной на размерность длины (работа = =силе X путь). Следовательно, для U мы вправе ожидать обратной пропорциональности не квадрату расстояния, а только первой степени г. Численный коэффициент перед выражением находится методами интегрального исчисления. Но мы условились обходиться без них, и поэтому прямо запишем:
U (г) = — mg }
Используем теперь соотношение между плотностью молекул и вероятностью %• Имеем:
力(r)=九(厂)
% (с)—几"о) •
Отсюда следует, что
似厂)="。)牆・
Чтобы получить %(厂)，надо подставить в распределение Больцмана U (г), а п(г^ — это то же самое, что мы раньше обозначили как п(0) — число молекул в 1 см3 на
2 А. С. Компанеец 33
поверхности Земли. Следовательно,
n (r) = n (0) e-mg%用.6^吟/円.
Прежде всего, видно, что с возрастанием г плотность п (г) падает — показатель степени становится меньше. Но весьма поразительным образом даже при г=оо, т. е. бесконечно далеко от Земли, п(г) сохраняет конечное, ненулевое значение:
п (оо) = и (0) e-mg%/e.
Множитель е-mg'“в показывает, во сколько раз плотность земной атмосферы на бесконечности должна быть меньше, чем около Земли, чтобы установилось статистическое равновесие, т. е. такое состояние, которое больше не изменяется. На самом деле, конечно, земная атмосфера не может простираться до бесконечности. Что это значит? Что статистическое равновесие пока не наступило. Когда оно наступит, вся атмосфера Земли полностью улетучится.
Реально такая опасность нам пока не грозит. Множитель e-mg「o/e крайне мал. Вычислим показатель степени. Для этого проще всего умножить и разделить его на число Авогадро N. В знаменателе ^0 заменится на RT (см. гл. 1), в числителе Nm ——на молекулярный вес. Радиус Земли составляет 6,4-108 см, g〜10尊 см/сек2. Абсолютную температуру Т положим равной 300°. Отсюда
“哂_30. 103.6,4. 108 ~RT~ — 8,3.107.300 =
0—700 /^z J Q— 300
Столь ничтожна была бы равновесная плотность атмосферы на бесконечности. Никакого реального значения такая малая величина не имеет.
Иначе сложилась судьба лунной атмосферы (если она у Луны была). У Луны соответствующее число составляет примерно 10_ 25. Число хотя и малое, но вполне доступное воображению. Если бы плотность атмосферы у поверхности Луны равнялась плотности земной атмосферы (2,7-1019 молекул/сл^), то на бесконечности остался бы один атом в кубическом метре. На самом деле у Луны не осталось ничего ——приближаясь к состоянию статистического равновесия, атмосфера Луны улетучилась. Оста-
лись ничтожные следы, в миллион миллиардов раз менее плотные, чем атмосфера Земли.
Причину исчезновения атмосферы Луны легко понять. В прошлой главе было указано, что согласно распределению Максвелла всегда могут появляться молекулы со сколь угодно большими скоростями. Вторая космическая скорость на Луне в 12 раз меньше, чем на Земле. Поэтому атмосфера Луны смогла постепенно уйти от нее, тогда как для Земли такая возможность осталась чисто теоретической/
Мы уже говорили, что если числитель и знаменатель величины mgh/Q умножить на число Авогадро, то распределением Больцмана можно пользоваться, не зная никаких атомных констант. Молекулярные веса газов известны из химии и не требуют атомных измерений. На самом деле исторически первая из атомных констант, число Аво- гадро, как раз и была найдена по распределению Больцмана. А именно, если как-либо удастся независимо узнать т, то по зависимости плотности от высоты будет найдено число Авогадро. Это сделал Ж- Перрен, исходя из следующих соображений.
Формула для n(/i) относится не обязательно к молекулам. Разумеется, мы не предполагаем тела таких размеров, чтобы их можно было взять пальцами. Но во всяком случае это могут быть частицы, содержащие очень много молекул. Такие частицы получаются, например, если очень тщательно перемешать две жидкости, нерастворимые друг в друге, скажем жир в воде. Молоко, например, является как раз такой смесью. Однако к свежему парному молоку применить формулу зависимости плотности от высоты еще нельзя — частицы жира и сыворотки смешаны в нем так тщательно, что действие силы тяжести на среды различной плотности еще не успело сказаться. 。
Перрен использовал не молоко, а коллоидный раствор частиц гуммигута в воде. В равновесии их концентрация около дна сосуда с растворителем заметно выше, чем в верхней части сосуда. Коллоидные частицы можно сделать непосредственно видными глазу, освещая их сбоку, как пылинки в солнечном луче. Таким способом Перрен экспериментально построил график функции e-mg"/e. Натуральный логарифм этой функции есть mgh/Qt или Nmgh[RT. Коэффициент пропорциональности при h 2* 35
есть Nmg/RT — такой же, как и у отдельных молекул. Но для коллоидных частиц массу m можно найти независимым способом, зная, сколько отдельных коллоидных частиц получается из одного грамма исходного вещества.
Так впервые надежно узнали число Авогадро М Это был настоящий прорыв в атомный мир. Деление молекулярного веса на ^ дает истинные, а не относительные массы молекул, по электрохимическим эквивалентам определяется затем элементарный электрический заряд, и т.д.Таким образом, статистическая физика, изучая свойства больших совокупностей атомов и молекул, позволила определить элементарные константы отдельных частиц.
ТЕПЛОТА И РАБОТА
Основы термодинамики. Два рода вечных двигателей. ^Даровые» двигатели. Нужна ли аксиоматическая термодинамика? Опыты с калориметром. Флогистон. Механический эквивалент теплоты. От кровопусканий к закону сохранения энергии. Работа газа при расширении. Круговой процесс. Теплота и работа как формы передачи энергии. Первое начало термодинамики. Когда можно применять понятие ^теплосодержания»?-
Физика тепловых явлений долгое времй развивалась независимо от статистической физики. Точнее говоря, последняя от Бернулли до Максвелла почти не сдвинулась с места, тогда как теория теплоты, прогресс которой стимулировался потребностями техники, за это же время сложилась в могучую отрасль физики — термодинамику.
Впоследствии Больцман и Гиббс нашли статистическое обоснование термодинамики, но практика ждать не может, и первоначально наука о теплоте и ее превращении в работу сама исходила из некоторых данных опыта. Обобщая неудачные результаты бесчисленных горе-изобрета- телей, термодинамика основывалась на следующих двух принципах, или началах:
Невозможно построить вечный двигатель первого рода. Так называется воображаемая машина, которая совершает сколь угодно большую работу без постоянного подвода тепла или вообще энергии извне.
Невозможно построить вечный двигатель второго рода, т. е. машину, которая сколь угодно долго работает за счет тепла окружающей среды. (Это воображаемое устройство надо отличать от реальных «даровых» двигателей, вроде ветряков или гидростанций, в конечном счете использующих запасы энергии Солнца. Заметим, что, сжигая в топках каменный уголь, мы тоже используем солнечную энергию, запасенную на Земле.)
Аксиоматическое изложение термодинамики, построенное на двух началах, до сих пор не утратило педагогической ценности, так как позволяет удобнее вводить новые для учащихся понятия. Здесь, однако, надо соблюдать меру: чрезмерная погоня за математической элегантностью построений приводит к забвению физической картины, а сама скрупулезная строгость лишена смысла, когда в качестве постулатов принимаются положения, вполне доказуемые ныне с помощью основных принципов статистической физики.
Учебник технической термодинамики для инженеров вряд ли разумно начинать с изложения основ статистической физики — это будет только ненужный барьер при изучении действия тепловых двигателей. Но там не требуется и математическая аксиоматика. А физик, не владеющий основами физической статистики, в наше время не может считаться полноценным. Тем не менее, интересно, следуя в основном историческому ходу развития науки, разъяснить простейшие положения термодинамики, основываясь на двух началах. Это помогает подойти к статистическому методу. Начнем с очень краткого обзора истории учения о теплоте.
Когда тепловые явления стали изучать в калориметре, выяснилось, что при этом можно ввести особое понятие — количество тепла.
Рассмотрим сначала такой простой опыт: 100 г воды при температуре 80℃ смешиваются с 300 а при температуре 40℃. Какова будет температура смеси? Каждый школьник знает, что надо умножить 100 на 80, прибавить 300-40 и поделить на 400, что даст 50℃. Вычисление ведется так, как будто 80°-ная вода имела запас чего-то, пропорциональный температуре, 40°-ная — запас того же самого, пропорциональный ее температуре, и весь этот запас разошелся, «растворился», в 400 граммах смеси, откуда и была найдена температура 50℃.
Следующий шаг состоит в том, что в калориметре соединяют воду и масло (спирт, например, взять нецелесообразно, так как при его смешении с водой выделяется дополнительное тепло). Теперь уже нельзя так просто найти результирующую температуру, потому что каждое вещество характеризуется своим специальным коэффициентом —удельной теплоемкостью. Но существенно, что теплоемкость характеризует данное вещество всегда, с чем бы оно ни было приведено в тепловой контакт. Например, если найти теплоемкости масла и ртути по отношению к воде, то по их теплоемкостям можно найти результирующую температуру при их соединении уже без всякой воды. При вычислении этой температуры надо не просто умножать массу на температуру, но еще домножать на соответствующую теплоемкость. При этом теплота, перешедшая из воды, ничем не будет отличаться от теплоты, перешедшей из ртути, так, как будто это одно и то же «вещество». Количество этого «вещества» Q, полученное одним телом, равно количеству, отданному другим. При этом Q определяется как тс(Т2 ——TJ, где с — удельная теплоемкость на грамм, 72 и Тх — конечная и начальная температуры тела, т — масса в граммах.
Разумеется, таким способом нельзя определить, что" такое тепло, но, приняв какое-либо количество тепла за единицу, можно сравнить с ним все другие количества тепла. В настоящее время такой единицей является калория, т. е. теплота, необходимая для нагревания одного грамма воды на один градус, начиная с температуры около 4℃.
Но если одно тело получает столько же тепла, сколько другое отдает ему, то сама собо甘 напрашивается аналогия с переливанием воды, масса которой при этом не изменяется. Поэтому скорее для удобства, чем по необходимости, ввели понятие об особой «тепловой жидкости» ——флогистоне. В то же время теплоту умозрительно связывали с движением молекул, но так как закон сохранения энергии не имел тогда достаточно общей формулировки даже в механике^ молекулярно-кинетические представления не связывались с сохранением тепла. Правда, были натурфилософские высказывания о неуничтожаемости движения, но не было четкой количественной меры «движения».
О сохранении тепла можно было говорить далеко не во всех случаях. В конце XVIII века Румфорд обратил
внимание на то, что при сверлении каналов в стволах пушек выделяется тепло. Очевидно, что тепло здесь появляется не из тепла, как в калориметрических опытах, а за счет работы (еще первобытные люди добывали огонь трением!). В свою очередь теплота может быть источником работы. Существенно, что взаимное превращение теплоты и работы происходит не в произвольном отношении, а всегда существует вполне определенный эквивалент: одна малая калория = 0,427 килограммометра. Таким образом, калория не является особой единицей измерения, которая будто бы необходима для специальной физической субстанции —флогистона. Теплота измеряется в единицах работы, или механической энергии. Для того чтобы тело совершило работу А и вернулось в исходное состояние, надо израсходовать теплоту Q=4.
Дальше мы увидим, что Q на самом деле есть тепловой баланс тела, Q=Q2 ——Qi, т. е. разность между подведенным теплом Q2 и отведенным Qx. Тело превращает в работу только ту часть теплоты, которая осталась в нем.
Иначе это можно выразить следующим образом. В каждом состоянии тело обладает известной энергией Е. Если оно, совершив работу, возвращается в то же состояние, то это значит, что убыль энергии надо было пополнить за счет другого источника, теплового. Из равенства Z=Q (это экспериментальный факт, который следует из существования механического эквивалента теплоты) видно, что энергия тела в любом состоянии точно сохраняется, пока оно остается в этом состоянии. Каждое состояние имеет вполне определенную энергию. Это высказывание равносильно первому началу термодинамики: из любого запаса нельзя неограниченно черпать без пополнения, не истощая его. Только здесь речь идет не о запасе вещества, а о запасе энергии. Вечный двигатель первого рода невозможен потому, что запас энергии любого конечного тела ограничен и не может расходоваться без пополнения, не иссякая.
Мы с детства привыкли к тому, что атомы и молекулы реально существуют и что всегда справедлив закон сохранения энергии. Поэтому все сказанное выше может показаться тривиально-самоочевидным: тела состоят из молекул, которые движутся, значит, энергию их движения, если она переходит в работу, необходимо учитывать в общем балансе. Но в сороковых годах прошлого века, да
и еще полвека спустя, атомистика была чисто гипотетической частью физики, скорее унаследованной от древних, чем подтвержденной опытом. Общий закон сохранения энергии в механике тогда только что был сформулирован в общем виде, а к беспочвенному теоретизированию большинство физиков откосилось, мягко выражаясь, настороженно.
Поэтому невозможно переоценить, как много значило то, что закон сохранения энергии был обобщен от чисто механического движения машин на тепловые явления. Это заслуга Майера, Джоуля и Гельмгольца. По
учительно, какими окольными, извилистыми тропами идет научное творчество. Майер, корабельный врач, лечил под тропиками матросов, пострадавших от теплового удара, по методам того времени кровопусканиями, и обратил внимание на то, какой черной выходит кровь. Непо
стижимым для других путем умозаключений он пришел отсюда к основному закону термодинамики. Закон сохранения энергии, экспериментально установленный в термодинамике, в свою очередь стимулировал развитие кинетической теории теплоты.
Установим теперь выражение механической работы в таком виде, как оно в большинстве случаев используется в термодинамике.
Рассмотрим газ в цилиндре под поршнем (рис. 6). Пусть давление газа равно внешнему, атмосферному давлению р. Нагреем газ до температуры более высокой, чем. он имел первоначально, сохраняя его давление неизменным. Согласно уравнению Клапейрона газ расширится. Какую работу совершит при этом газ? Пусть поршень переместился на расстояние х. Он движется против внешнего атмосферного давления р. Следовательно, если площадь поршня равна s, то работа совершается против силы ps, так как р — сила на единицу площади. Поршень проходит путь %, работа газа на этом пути есть
А=—psx.
Знак минус поставлен потому, что газ отдает работу внешней среде, перемещаясь в направлении, противоположном приложенной извне силе. Произведение sx, как видно из рис. 6, есть не что иное, как изменение объема газа У2 — %• Следовательно,
4 =-「（％-%）•
Как уже говорилось, эта величина равна теплоте Q, затраченной на нагревание газа.
Произведем теперь над газом следующий процесс.
Расширим его при давлении р2 от объема 匕 до %.
仇，匕丿仇，勿таз—*_!0闻仇，匕丿仇，勿таз—*_!0闻РаРаОхладим при постоянном объеме %. Тогда его давление уменьшится от р2 до 〃・
仇，匕丿仇，勿
таз—*_!0闻
仇，匕丿仇，勿
таз—*_!0闻
Ра
Ра
PiPiСожмем газ при постоянном давлении р* от объема 匕 до 匕.
Pi
Pi
Рис. 7.Рис. 7.Нагреем газ при постоянном объеме 匕，так чтобы давление снова увеличилось до р2.
Рис. 7.
Рис. 7.
Этот замнутый круговой процес изображен на рис. 7. Какую работу производит газ в итоге? На первом участке совершается работа, которая по общей формуле равна —卩2 （% —匕）.На втором участке поршень остается на месте, следовательно, газ работы не совершает. На третьем участке работа газа есть —必（匕一匕）・ Эта величина положительна, так как энергия газа увеличивается. Фактически внешняя среда производит над газом работу. На четвертом участке работа опять нулевая. В итоге получается:
4 = - 02 （匕一%）一Pi （%-兀）=-（?2-Pi） （%一%）， т. е. взятая с обратным знаком площадь прямоугольника, обведенного сплошным контуром со стрелками.
Смысл обратного знака состоит в том, что, обходя контур по стрелкам, газ отдает при расширении работу большую, чем получает при сжатии. Иначе говоря, баланс работы отрицательный. Если бы обход контура совершался в обратном направлении, знак перед （р2 — Pi） （V2 —匕） изменился бы.
После обхода газ возвращается в исходное состояние. Следовательно, его энергия становится такой же, какой была до обхода. Между тем произведена работа А, Следовательно, к газу надо было подвести теплоту Q = Л, потому что в противном случае не мог бы выполняться закон сохранения энергии. Если бы, например, оказалось, что Q V 4, то часть работы Л — Q можно было бы использовать, а часть, равную Q,,снова обратить в тепло и подать в газ. В следующем цикле часть А — Q снова использовалась бы, а остаток опять был бы подан в газ, и т. д. Но таким образом работа получалась бы в неограниченном количестве без внешнего источника тепла, т. е. удалось бы построить вечный двигатель первого рода, что невозможно. К такому же противоречию с первым началом привело бы предположение, что Q>A. Тогда достаточно было бы повести цикл в обратном направлении и снова получилось бы противоречие. Следовательно, первое начало термодинамики равносильно закону сохранения энергии.
Есть еще одна сторона этого закона, очень важная для понимания дальне^^шего. Часто говорят: «тепловая энергия» тела. Это выражение некорректно. В каждом состоянии, т. е. при данных или р и Т, или V и Т (две из этих величин задают третью), тело обладает определенным значением энергии, но никак неопределенным теплом или работой. В круговом процессе можно подвести к телу сколько угодно теплоты, или сколько угодно работы, каждый раз возвращая его в исходное состояние. В этом состоянии тело, разумеется, не «помнит», сколько тепла к нему подвели или сколько работы оно отдало, но зато «знает», сколько в нем заключено энергии. Эта энергия может быть отобрана у тела при расширении, тогда она передается в виде работы или в виде тепла при контакте с более холодным телом. Таким образом, работа и теплота— не формы энергии, а способы ее передачи от одной системы к другой. Работа передается при увеличении или уменьшении объема — при изменении системы, как говорят, макроскопическом, заметном глазу; теплота же передается при контакте между телами, путем микроскопического, невидимого непосредственно взаимодействия между молекулами. Переданное тепло или произведенная работа характеризуют процесс, в котором произошла та или иная передача энергии.
Например, когда газ под поршнем перешел из состояния (р2, Vi) в состояние (р?, V2), он произвел работу, а из (卩2,廿2)в (pi,匕)一работы не совершалось. Тепло было передано на обоих отрезках: на (夕2, Vi) -> (р2, 几) оно потребовалось для увеличения объема, а на (р2, %) f ->(/?!, V%) было отведено для уменьшения давления.
Наиболее удобная запись первого закона термодинамики такова:
七2 — Ei=Q + 4 •
Эта запись применима к любому процессу. Здесь Е2 — конечная энергия тела, £\ ——начальная его энергия, Q — теплота, переданная в данном процессе телу, Д — полученная телом в этом же процессе работа.
Если процесс передачи тепла происходил при постоянном давлении и работа совершалась только над внешней средой, то 4=—p(V2—Vi). Перенесем Л в левую часть равенства и перегруппируем слагаемые. Тогда оно перепишется так:
E. + pV^E^pV^Q.
Величины Е2 + pV2i 吕 + pVi характеризуют уже не процесс, а каждая — определенное состояние. Поэтому принято специальное обозначение
W=E + pV.
В таком обозначении
吃一取尸Q.
Следовательно, когда тепло передается при постоянном давлении, оно определяется изменением величины Wf характерной для состояния. Поэтому в технике W называется теплосодержанием. В калориметре обмен теплом обычно происходит как раз при таких условиях. Изменения W двух тел, соприкасающихся в калориметре, равны по величине и обратны по знаку. Это и есть тот ограниченный закон сохранения, который «объясняли» с помощью флогистона. На самом деле тело никакого тепла не содержит (как не содержит и флогистона), и термин «теплосодержание» не должен приводить к путанице. Если тепло передано не при постоянном давлении, оно не равно изменению W.
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Изотермический процесс. Обратимый процесс. Адиабатический процесс. Расширение газа в вакуум. Сравнение обратимого процесса с необратимым. Определение КПД. КПД цикла Карно. Сравнение КПД двух обратимых двигателей. Что же такое температура? Абсолютный нуль. Реальные и нереальные способы повышения КПД. Другая формулировка второго начала термодинамики. Е罔е о даровом двигателе.
Эта глава посвящена второму началу термодинамики в его аксиоматическом виде.
Начнем с одного весьма важного для термодинамики понятия. Представим себе, что в цилиндре под поршнем — газ, находящийся в тепловом равновесии с окружающей средой. Будем очень медленно вдвигать поршень в цилиндр, так чтобы в любой момент времени равновесие не нарушалось и газ оставался при постоянной температуре, равной температуре среды. К такому газу применим закон Бойля — Мариотта: его давление обратно пропорционально объему. Процесс, происходящий при постоянной температуре, называется изотермическим. Зависи- мость р от V при изотермическом процессе показана на рис. 8.
Допустим, что при изотермическом сжатии газа точка, представляющая состояние газа, переместилась на (р, V)- плоскости из положения / в положение 2. Будем теперь изотермически расширять газ, перемещаясь из 2 в /. Тогда, если делать это достаточно медленно, газ пройдет ту же последовательность состояний, что и в прямом процессе. Поэтому бесконечно медленный изотермический процесс относится к числу обратимых. Осуществляя его, мы произвольно медленно изменяли макроскопическую характеристику газа. В этом смысле макроскопическим надо считать объем, или размер сосуда, в который заключен газ. Давление и температура такими характеристиками не являются, так как они определены путем усреднения молекулярных, микроскопических величин. Так, давление есть средний импульс, передаваемый стенке при ударах отдельных молекул. Температура связана со средней энергией молекул. Короче, температура и давление относятся к конкретным характеристикам состояния данного вещества, а объемом обладает и пустой сосуа. Это величина чисто геометрическая.
Другой обратимый процесс осуществляется в идеально теплоизолированном цилиндре. В нем сжатие и расширение газа происходит без теплообмена с окружающей средой, однако и без нарушения теплового равновесия внутри самого газа. Иначе говоря, во всех точках вещества температура во время сжатия успевает выравняться, но меняется Рк по мере сжатия в зависимости от объема. И при этом газ проходит爪単
совершенно определенный для дан- А ного процесса ряд состояний, в ка- кую бы сторону ни происходило изменение объема. Такой процессI
в теплоизолированном цилиндре1
называется адиабат ическим; он,L
как и процесс изотермический,у
полностью обратим.
Конечно, оба процесса идеалн- ис* * зированы: нельзя ни бесконечно медленно двигать поршень, ни создать совершенную теплоизоляцию. Реальные процессы, происходящие в природе, могут быть более или менее близки к изотермическому или к адиабатическому. Например, сжатие воздуха в звуковой волне почти адиабатично, так как воздух —плохой проводник тепла и за время звукового колебания не успевает происходить теплообмен между сжатыми и разреженными объемами. Кривая адиабатического сжатия идет круче изотермы (см. рис. 8).
Легко объяснить, почему кривые расположены, именно так.
Сжимая газ, мы производим над ним работу. Так как газ теплоизолирован, работа целиком тратится на увеличение его энергии. Наружу энергия не передается. От этого газ нагревается и, следовательно, при равном объеме V имеет большее давление, чем при изотермическом сжатии, когда температура не повышается.
Приведем примеры и необратимых процессов. При движении газов и жидкостей с конечными скоростями в них возникают силы вязкого трения, приводящего к выделению тепла. Ясно, что если направить течение в обратную сторону, тепло все равно будет выделяться.
Рассмотрим еще такую систему (рис. 9). В отсеке цилиндра а находится газ, в отсеке 6 — вакуум. Если
открыть отверстие в перегородке, разделяющей отсеки, часть газа перетечет в отсек б. Причем это произойдет без всякой затраты внешней энергии, само собой, с той скоростью, которая установится при истечении газа, а не будет управляться нами путем изменения объема. Чтобы вернуть вытекший газ в объем а, надо перегнать его поршнем, на что потребуется внешняя работа. Вообще, чтобы заставить необратимый процесс пойти в обратную сторону, нужна работа, которая не получается из системы в прямом ходе процесса.
Понятия обратимого и необратимого процессов чрезвычайно важны для термодинамики.
Мы будем развивать ее основные положения, рассмат ривая замкнутые циклы, происходящие в тепловых дви-
Рис. 10.Рис. 10.〃人^〃人^пар) получает тепло от какого-нибудь нагревателя, совершает работу и затем, чтобы
Рис. 10.
Рис. 10.
〃人^
〃人^
Рис. 9.
вернуться в исходное состояние и совершить следующий цикл, должно отдать неиспользованный остаток тепла в холодный резервуар, или, что практически то же самое, в окружающую среду. Наиболее важен для термодинамики цикл, носящий имя Карно. Он состоит из двух отрезков изотерм и двух отрезков адиабат (рис. 10), образующих вместе криволинейный четырехугольник. Так как адиабаты идут круче изотерм, они являются как бы боковыми сторонами, а изотермы ——основаниями. Тепло подводится и отнимается только при изотермическом процессе, но не при адиабатическом. Таким образом, верхняя изотерма отвечает расширению газа в тепловом контакте с нагревателем, нижняя — сжатию при контакте с холодильником.
Пусть газ получает от нагревателя теплоту Q2, а холодильнику отдает теплоту Qi・ Тогда за весь цикл он полу- 46
чает теплоту Q = Q2 — Qi, которая равна совершаемой в цикле работе А, согласно первому началу термодинамики. Отношение работы А к теплу Q2, полученному у нагревателя, называется коэффициентом полезного действия теплового двигателя, сокращенно КПД. Ведь основные затраты связаны с нагревателем — он требует топлива. Итак,
42 42
Определим сначала КПД для того случая, когда рабочим веществом является идеальный газ. Для простоты вычислений рассмотрим бесконечно малый четырехугольник, у которого стороны могут быть приближенно заменены отрезками прямых.
Заметим, прежде всего, что при изотермическом процессе энергия идеального газа не изменяется: он получает ровно столько же тепла, сколько отдает работы. Это справедливо не только в замкнутом цикле, как обычно, а вдоль всей изотермы. Действительно, молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой. Следовательно, чтобы полная энергия газа осталась постоянной, достаточно оставить неизменной среднюю энергию каждой молекулы. Сближение или удаление молекул, происходя- щее^при изменении объема газа, не связано с работой, если средняя энергия каждой молекулы постоянна. Но средняя энергия молекулы пропорциональна температуре. Итак, изотермический процесс, не меняя температуры идеального газа, тем самым сохраняет и его энергию. А это значит, что подводимое к газу тепло в точности равно отдаваемой им работе.
Когда состояние газа меняется на отрезке 23 (рис. 10), совершается работа Д 2з=——р (匕一％)• Здесь р — некая средняя величина между рз и р2- Так как разность (Уз——V%) предполагается очень малой, то безразлично, каким образом образовать среднее из величин /?з и 八： взять ли просто p2=RT2/V2 или p§=RT』V3、или что- нибудь еще. Существенно только, что температура Т2 вдоль всего отрезка 23, по условию, неизменна. Работу, совершаемую газом на участке цикла 23, запишем, следовательно, так:
4з = Q23 =空2 “一％)= R7\ ])・
У 2 \ ^2 /
На участке 41 аналогично получается:
MQl 吗"一也信-1).
Предыдущие два выражения построены по одному закону: изменение объема отнесено к начальному объему. Можно показать, что соблюдается пропорция
Для этого надо рассмотреть отрезки 12 и 34. Легко би- деть, что совершаемые на этих отрезках работы равны по величине и обратны по знаку. Действительно, в точках / и 4 энергии одинаковы, так как они лежат на одной изотерме, и в точках 2 и 3 энергии тоже одинаковы. Тепло на отрезках 12 и 34 не передается, значит, оба изменения энергии происходят только за счет работы. Но если равны и обратны по знаку изменения энергии, то равны и соответствующие работы. Следовательно,
"式几一%)=p4(九一匕).
Учитывая, что p\=RTJV\、p&=RTJV&, имеем:
费(%一匕)=騎(匕一匕).
Сокращая на R7\, получим пропорцию V2/Vi=V3/Vif или, перестраивая ее, искомое равенство:
Теперь уже легко перейти к коэффициенту полезного действия цикла Карно, т. е. к отношению (Q2 — QO/Q?. Учитывая, что сомножители(Й-1)и (Й-1)сокра' щаются, получим:
Иначе говоря, коэффициент полезного действия цикла Карно равен разности температур нагревателя и холодильника, деленной на температуру нагревателя.
Соотношение было выведено для бесконечно малого цикла, но его можно перенести и на цикл, состоящий из 48
конечных изменений. Для этого надо разбить этот цикл Карно на бесконечно малые (рис. 11). Теплота и работа процессов, показанных пунктирными линиями, сократятся из общего баланса, так как все эти линии проходятся дважды в противоположных направлениях. Остаются только внешние, сплошные линии, Т что и приводит после некоторых вычислений к прежнему弋^
выражению для КПД.安
Теперь будем применять второе начало термодинамики. Допустим, что цикл Кар--方
но производится не с идеальным газом, а с произволь- Рис- "• ным веществом. Температура этого вещества измеряется по газовому термометру и подбирается так, чтобы у нагревателя она была снова равна 7\, а у холодильника —九.Проще всего предположить, что рядом с двигателем, работающим по циклу Карно с идеальным газом, на том же нагревателе и холодильнике работает, тоже по циклу Карно, тепловой двигатель с произвольным веществом. Утверждение состоит в том, что КПД обоих двигателей, если они осуществляют идеально обратимые циклы, одинаков.
Доказательство ведется от противного. Допустим, что один из двух циклов имеет больший КПД, т. е. при равной затрате теплоты нагревателя превращает большую часть ее в работу. Иначе говоря, если снабдить штрихами величины, относящиеся к этому двигателю, надо записать
Q2 = Qz， Q1<Q1・
Это и значит, что негазовый двигатель берет у нагревателя столько же тепла, а в холодильник возвращает меньше, давая тем самым больший КПД.
Посадим оба двигателя на общий вал и заставим тот, у которого КПД больше, вращать в обратную сторону двигатель, имеющий меньший КПД. Вращаясь в эту сторону, последний будет забирать тепло у холодильника и отдавать его нагревателю. В силу обратимости цикла все величины теплоты и работы у этого двигателя просто
переменят знак и двигатель превратится тем самым в холодильную установку. При этом тепловой баланс нагревателя по условию нулевой, так как Q； = Q2. Из холодильника же вращаемый двигатель заберет больше тепла, чем отдаст в него вращающий двигатель, так как Qi> Q；. Холодильник получит отрицательный тепловой баланс Q； — Qi в каждом цикле. Отдаваемое тепло Qi — Q； можно превратить в полезную работу, которая, таким образом, будет совершаться целиком за счет энергии холодильника или, что то же самое, за счет энергии окружающей среды.
Иными словами, будет осуществлен вечный двигатель второго рода, что невозможно. Следовательно, КПД цикла Карно, производимого над произвольным веществом, не может превосходить КПД этого цикла над идеальным газом.
Противоположное предположение опровергается тем же способом. Надо только, чтобы двигатель с идеальным газом вращался в обратную сторону, а привод осуществлялся от двигателя с большим КПД. Опять возникает противоречие со вторым началом термодинамики.
Остается одна и только одна возможность: КПД всех обратимых двигателей, работающих при данной разности температуры, один и тот же.
Но это дает способ измерения температуры, не зависящий от рода термометрического вещества. Температура должна измеряться по КПД обратимого теплового двигателя. Как мы, однако, показали, если взять в качестве (воображаемого) рабочего вещества двигателя идеальный газ, КПД оказывается пропорциональным разности температур нагревателя и холодильника. Следовательно, наиболее простой способ измерения температуры дает идеальный газ в качестве термометрического вещества. Поэтому газу и было оказано предпочтение вначале.
Как получить КПД=1? Надо взять 7\=0. Реальный газ при Т=0 не существует (ожижается или твердеет). Правильное определение температуры абсолютного нуля состоит в том, что при этой температуре холодильника и произвольной ненулевой температуре нагревателя КПД=1.
Реальный способ повышения КПД заключается в том,- чтобы увеличивать температуру нагревателя Т2, тогда при данном 7\ отношение (Т2 — Т^/Т2 тем ближе к 1, чем выше Т2. Все развитие теплотехники идет в этом на-
правлении. Разрабатываемые ныне плазменные двигатели имеют температуру горячего вещества, плазмы, до 3000°. Ожидают, что они существенно повысят КПД по сравнению с тепловыми двигателями, общераспространенными теперь.
Иные изобретатели предлагают понизить 7\, употребляя в качестве охлаждающего вещества жидкий воздух и т. п. Они забывают, что для ожижения воздуха надо затратить работу. Это все равно, что для спуска с двадцатого этажа на землю сходить сперва в подвал, а потом выбираться на уровень земли (в учреждениях с неупорядоченной пропускной системой иногда приходится проделывать такие прогулки).
Мы установили абсолютную термодинамическую шкалу температур. Чтобы измерить температуру некоторого тела, надо использовать его в качестве нагревателя или холодильника теплового двигателя. В обратимом режиме работы КПД двигателя будет равняться КПД другого двигателя, где вместо данного тела использован идеальный газ, у которого та же температура.
В заключение этой главы укажем равнозначную формулировку второго начала термодинамики: теплота не может самопроизвольно переходить от холодного тела к более горячему.
В противном случае эту теплоту можно было бы вернуть холодному телу не непосредственно, а через обратимый тепловой двигатель. Двигатель работал бы целиком за счет теплоты холодильника, т. е. был бы вечным двигателем второго рода, что невозможно.
Затрачивая работу извне, можно, конечно, отбирать теплоту у холодного тела и отдавать ее горячему. Так происходит в холодильных установках. Суть второго начала в том, что работу нельзя непрерывно получать, не имея горячего резервуара. Для Земли такой нагреватель —Солнце. За счет его энергии работают, например, ветродвигатели и гидростанции. Такие двигатели называют «даровыми». Их работа, разумеется, не идет вразрез со вторым началом.
В гл. 1 было сказано, что температуру идеального газа можно измерять вместо градусов в эргах, чтобы не вводить лишнюю произвольную единицу измерения. Теперь мы получили способ сравнения температуры идеального газа с температурой любого тела, так что и
здесь можно пользоваться той же шкалой температур. Но переход к эргам выходит за рамки аксиоматической термодинамики и требует привлечения статистических понятий.
ЭНТРОПИЯ
Задача феноменологической термодинамики. Определение энтропии. Энтропия как функция состояния. КПД обратимого и необратимого двигателя. Изменение энтропии как мера необратимости процесса.
В гл. 4 было сказано, что оба начала термодинамики на самом деле не постулаты. Они могут быть получены путем последовательного применения статистического метода к физике. С первым началом дело обстоит сравнительно просто, так как закон сохранения энергии справедлив и в микро-, и в макромире. Наоборот, второе начало, кроме общих механических закономерностей, имеет чисто статистическую основу. Оно приобретает разумный смысл только для больших совокупностей молекул.
Задача настоящей главы — поставить опоры, чтобы в гл. 7 перебросить мост от чистой термодинамики к статистической механике. Читателю может сперва показаться, что мост недостаточно надежен, так как здесь мы лишены возможности прибегать к сложному аппарату аналитической механики. На самом деле, однако, с тех пор как Больцман смело построил этот мост, по нему прошли уже многие поколения физиков, и сваливался (в бездну забвения) только тот, кто хотел подточить основы.
Термодинамика, построенная на двух началах, носит название феноменологической. Она сводит всю совокупность тепловых явлений к небольшому числу фундаментальных принципов, но не обосновывает их конкретной моделью молекулярного движения. Иначе говоря, она описывает, но не объясняет до конца каждое явление, или феномен, откуда и происходит ее название.
В окончательный вид она была приведена Клаузиусом и Кельвином в середине прошлого века. При этом фундаментальная роль принадлежит особой физической величине, энтропии, к определению которой и переходим.
Чтобы понять ее значение, вернемся на время к диаграммам, изображающим циклы, в частности цикл Карно. Начнем с бесконечно малого цикла (рис. 10, стр. 46). Работа одного цикла равна, как мы знаем, площади параллелограмма /2§4. В каждом из последовательных циклов система совершает эту работу и возвращается в исходное состояние. Именно поэтому и нельзя считать, что система обладает каким-то запасом работы или теплоты. Но с помощью того же рисунка можно определить величину, имеющую вполне определенный смысл в каждом состоянии.
В гл. 5 были найдены количества тепла, отвечающие участкам цикла 23 и 41. Именно,
Q23= RT2 ^―—1) и Q41 = — RT± ^—1).
Выражения в скобках, как было показано раньше, одинаковы, так что отношения Q23/T2 и Q41/T1 равны по величине и обратны по знаку. Иными словами,
Q23 I Qji = А
В конце обратимого кругового процесса сумма 2Q/7 обращается в нуль. При этом Q есть количество тепла, обратимо переданного системе при температуре Т (такая передача тепла происходит, например, при изотермическом процессе).
Соотношение 2Q/7=0 справедливо и для обратимого цикла конечных размеров. Это доказывается с помощью рис. 11, путем разбиения всего процесса на бесконечно малые параллелограммы, что можно сделать и для произвольного обратимого цикла, не обязательно для цикла Карно. Заметим, что 2Q отнюдь не равна нулю для того же самого обратимого процесса.
Возьмем теперь некое произвольное состояние / системы и переведем его обратимо в другое состояние 2 (рис. 12, сплошная кривая). Для данного перехода 12 построим сумму
2
где цифры 1 и 2 относятся к начальному и конечному состоянию. Покажем, что эта сумма не зависит от пути перехода и не изменит своей величины, если идти обратимым образом по другому пути (рис. 12, пунктир). Действи
тельно, если вернуться по пунктирному пути в состоя- Тние /, будет описан замкну-
утый цикл, а для него
-Ь=0，
'как только что доказано.
IСледовательно, изменение S
^ на пунктирной кривой в направлении 21 равно по вели- Рнс・ 12.чине и обратно по знаку из
менению S на первоначальном пути по сплошной кривой 12. Иначе говоря, на любом пути 12 по любой кривой величина
QQ2s=£
Q
Q
1
одна и та же, лишь бы процесс происходил обратимо. Но тогда можно записать и такое равенство:
2
s=£¥ = $2 — Sj,
т. е. утверждать, что любое состояние, /, 2 или еще какое-нибудь, обладает некоторым значением величины Si, S2,... подобно тому, как оно имеет определенную энергию Еъ Е^.,.
Вспомним, что когда работа не зависит от пути, например в поле сил тяжести, она выражается через изменение потенциальной энергии:
4 =—([/ 2 — U),
где U2 и Ut относятся к конечному и начальному положению точки. Выбирая какое-то произвольное значение U* мы получим [У? в любой точке, так как Л по условию не зависит от пути.
Если задаться каким-то произвольным постоянным значением Si, то в любом состоянии имеем:
2
S2=& + #,
где второе слагаемое справа, как мы только что видели, может вычисляться по произвольному пути.
Таким образом, получилась совсем новая характеристика состояния, S. Ее ввел в науку Клаузиус и назвал энтропией.
Рассмотренный в гл. 5 невыгодный проект использования жидкого воздуха в качестве холодильника как раз потому и не перспективен, что каждое состояние вещества характеризуется определенным значением энтропии. Фактически надо рассматривать двигатель вместе с жидким воздухом как одну работающую систему, а роль холодильника играет, как всегда, окружающая среда. При ожижении воздуха его энтропия сперва понижается, а затем, при использовании в качестве холодильника, повышается, так что полезный эффект во всей системе, как целом, в лучшем случае (если не происходят дополнительные необратимые процессы) равен нулю. Тем самым оправдано сравнение со спуском с двадцатого этажа в подвал для последующего подъема на уровень земли. Каждому уровню отвечает свое значение потенциальной энергии, так же как каждому состоянию — своя энтропия.
Читатель может спросить: каков физический смысл энтропии? Мы постараемся ответить, но надо предупредить, что любое физическое понятие или определение, кроме всего, требует известной привычки. Энтропия — отнюдь не исключение из этого педагогического закона.
Выясним сначала смысл энтропии на основе феноменологической термодинамики. Для этого надо доказать следующее утверждение. Из всех тепловых двигателей, работающих при данной температуре нагревателя Т2 и холодильника 7\, обратимый двигатель имеет больший КПД, чем любой необратимый.
Доказательство ведется от противного. Пусть необратимый двигатель имеет больший КПД, чем обратимый. Иными словами, он, забирая у нагревателя то же коли-
чество тепла Q，= Q?, что и обратимый, отдает холодильнику меньше тепла, Q；V Qi・ По определению обратимого двигателя он может действовать и как холодильная установка, если производить над ним внешнюю работу. Позаимствуем ее у необратимого двигателя. Он совершает работу 4= Q；— Q；= Q2 — Q； за цикл. Нам потребуется не вся эта работа, а только ее часть Q2 — Qi, которая меньше, чем Af= Q2 — Q；, так как Q；, по условию, меньше Q>
Но тогда останется работа 1Д4‘一4=Qi —Q；, причем эта
Тработа будет совершаться це-
02 ликом за счет холодильника 1или окружающей среды, что
невозможно. Итак, КПД необратимого двигателя мень- Vше, чем КПД обратимого
Iа двигателя, т. е. Q；>Qi・
' Вся система, состоящая
Рнс. 1з.из нагревателя, спаренных
*двигателей и холодильника
(или внешней среды), может рассматриваться как замкнутая. Согласно только что доказанному, она будет функционировать, если подводить к ней работу извне, потому что у нагревателя тепло не отнимается, Q；= Q2. Отдавать работу эта система никак не может, ведь тогда возникло бы противоречие со вторым началом: машина, работающая за счет энергии холодильника. Необратимый двигатель, по определению всякого двигателя, работает по замкнутому циклу, т. е. каждый раз возвращается в исходное состояние. Для этого и требуется внешняя работа (см. гл. 5). Но мы доказали, что энтропия — функция только состояния, так что у двигателя, даже необратимого, в конце цикла та же энтропия, какая была в начале цикла. На рис. 13 обратимый цикл показан сплошной кривой, а необратимый — пунктирной. Площадь внутри пунктирной кривой меньше, чем площадь внутри сплошной, в соответствии с меньшим значением КПД необратимого двигателя, но энтропия рабочего вещества в точке / строго определенна. Хотя реально состояние необратимо изменялось по пунктирной кривой, мы рассмотрели наряду с ней воображаемое обратимое изменение и сумели вернуться в то же состояние / со строго определенной энтропией S】・
Где же изменится энтропия в результате необратимого процесса? Нагреватель отдает и получает теплоту Q2 при одной и той же температуре, так что его энтропия не изменяется:
Q2 Q2 с
Энтропия холодильника или окружающей среды растет:
—Qi [ Qi _ — Qi+ Qi、л
—/
Напоминаем, что при спаренной работе холодильник получает теплоту Q； от необратимого двигателя и отдает теплоту Qi обратимому. Так как окружающая среда всегда может считаться очень большой, можно считать, что ее температура при передаче тепла Q； не изменяется. Но изотермическая передача тепла обратима, следовательно, записанная только что формула определяет знак изменения энтропии внешней среды:
S2 — Si=AS > 0.
Итак, мы построили полностью замкнутую систему: чисто механический внешний источник работы, например груз, поднятый на некоторую высоту, нагреватель, холодильник и спаренные двигатели. В этой системе есть необратимое звено — один из двигателей. Оказалось, что энтропия системы, как следует из второго начала, непременно возрастает. Изменение энтропии замкнутой системы можно рассматривать как меру необратимости совершившегося в ней процесса.
Несколько искусственное построение с двумя двигателями, нагревателем р холодильником понадобилось только для того, чтобы удобнее было применять второе начало. По существу, все это помогает рассуждению, но не необходимо. Смысл полученного результата состоит в том, что всякий необратимый процесс в замкнутой системе приводит к возрастанию ее энтропии. Если сделать обратное допущение, то всегда окажется, что, рассуждая, мы сумеем построить вечный двигатель второго рода,— конечно, в уме, а не в действительности. Следовательно, на самом деле энтропия замкнутой системы может только возрастать.
Итак, изменение энтропии в замкнутой системе есть мера необратимости совершившихся в ней процессов.
Особое удобство энтропии в феноменологической термодинамике состоит в том, что после введения этого понятия можно не прибегать в каждом отдельном случае к вымученным доказательствам от противного, а прямо рассчитывать нужные величины через энтропию. В этой книге мы не собираемся заниматься термодинамическими расчетами. Для нас значение энтропии состоит в том, что она допускает прямое истолкование на основе молекуляр- ных представлений статистической физики. Тем самым получится статистическое обоснование понятия обратимости. Сделать это в общем виде на уровне настоящей книги не представляется возможным, и придется в качестве модельной системы избрать идеальный газ.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ЭНТРОПИИ
Изменение энтропии при расширении газа в вакуум. Вероятность невероятного. Натуральные логарифмы. Что же такое число е? Энтропия и логарифм вероятности. Вечный двигатель второго рода ——бесконечно невероятное устройство. Борцы с энтропией. Закон возрастания энтропии и обратимость законов механики. Надо ли бояться тепловой смерти? Демон Максвелла. Разрешение парадокса с демоном.
Вернемся к рис. 9 (стр. 46). Будем считать, что в цилиндре находится идеальный газ. Как было сказано, газ, расширяющийся в пустоту, совершает необратимый процесс. Если поршень находится в покое, то система, в которой это происходит, замкнута.
Но тогда идущий в ней необратимый процесс непременно сопровождается увеличением энтропии. Вычислим сначала, насколько возрастает энтропия, когда объем увеличивается на бесконечно малую величину, изменяясь от Ух до % (т. е. разность 匕一Vi сколь угодно мала по сравнению с V%)・ Чтобы найти изменение энтропии, достаточно определить количество тепла Q, которое надо подвести в обратимом процессе к газу, чтобы его объем увеличился от Ух до V2. Для этого следует вспомнить, что энергия идеального газа зависит только от его температуры. Так как при расширении в пустоту не совершается
работы и не подводится （или не отводится） тепло, энергия газа сохраняется. Следовательно, не меняется и температура. Отсюда видно, что тот обратимый процесс, с помощью которого газ может быть возвращен в исходное состояние,— изотермический. В этом процессе поршень должен быть вдвинут в цилиндр вплотную к перегородке, чтобы загнать газ в объем %.
Все дальнейшие рассуждения будут относиться к очень малым изменениям объема, т. е. мы будем полагать, что У? — V\« V\・ Тогда в процессе сжатия давление газа почти не изменится и может быть принято равным некоему среднему давлению р. При сжатии над газом будет произведена работа А =р （% —匕）.В изотермическом процессе такой же по величине и по знаку будет и теплота Q, которую надо подвести к газу, чтобы он расширился от объема Vi до V2. Так как начальное и конечное состояния газа при обратимом и необратимом расширении одинаковы, изменение энтропии вычисляется по формуле
S2一&三AS =#=朱（兀一%）.
Ho p=RT/V2 или RT/Vi, при бесконечно малом изменении объема это не существенно. Отсюда
Знак выбран правильно, так как при расширении в пустоту энтропия должна увеличиваться.
Поясним смысл изложенной процедуры. Когда газ расширялся в пустоту, он был замкнутой системой и его энтропия возросла. Но энтропия есть функция состояния, поэтому, чтобы вернуть газ в исходное состояние, его энтропию надо настолько же уменьшить, насколько она увеличилась при необратимом расширении. Сама собой энтропия не уменьшается; чтобы уменьшить ее, надо совершить над газом внешнюю работу изотермического сжатия. При этом от газа надо обратимо отвести тепло Q во внешнюю среду. В результате энтропия газа уменьшится, а энтропия среды увеличится. Суммарная энтропия газа и среды не изменится, как и должно быть при обратимом процессе.
Переходим теперь к статистическому вычислению величины S. Допустим, что газ уже расширился в пустоту
59
и занял объем V2. Какова вероятность того, что он самопроизвольно соберется в первоначальный объем ^? Вероятность найти одну молекулу в части объема Vb очевидно, равна q = Vi/V2- Если всех молекул ^, то вероятность найти их все в объеме 匕 равна qN=(V1IV^N, Молекулы попадают в объем 匕 совершенно независимо одна от другой, поэтому вероятность возводится в ^-ю степень. Прологарифмируем это выражение, но не по основанию 10, а по основанию е=2,718… Об этом числе говорилось в гл. 2. Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается In. Итак, логарифм искомой вероятности есть
\nqN = N \nq = N
Воспользуемся теперь тем, что Vx по условию беско- • нечно мало отличается от V2- Для этого запишем Vi/V2 как
Надо взять от этой величины In. Обозначим
Потенцируем это выражение:
,(胃)ех=е•
Но символы е и In взаимно уничтожаются, по определё- нию In. Следовательно,
Отсюда надо найти х. Прежде всего видно, что значение 尤 очень близко к нулю, потому что е° = 1, как всякое число в нулевой степени, а добавка (% — V^/V2 бесконечно мала.
Теперь мы, наконец, прямо используем основное свойство числа е. В математике е обозначает следующий предел:
е= lim
/?f 8
(читается: предел при 財 стремящемся к бесконечности). Этот предел — конечный и равен 2,718... Следовательно,
Переобозначим kx = п,压=* • Если 尼一＞ 8, то Е% тоже стремится к оо. Итак,
= lim ( 1 +•
Разложим выражение в скобках как бином Ньютона: eх— lim [1+三儿 +专"("/"+ …]=1+ %+千 +
так как при бесконечном п единицей по сравнению с п в круглых скобках можно пренебречь и，"二D в пределе стремится к 1, как и зависящие от п следующие коэффициенты при членах бинома. Простой вид полученной формулы для ех объясняет до некоторой степени особые удобства, связанные с выбором числа е в качестве основания логарифмов.
Когда х очень мал, его квадрат 炉 мал и подавно, так что
ех 4 1 +%= 1——
Отсюда
fl—V1』安•
Окончательно, логарифм вероятности того, что весь газ самопроизвольно соберется в меньшем объеме 匕，есть 一n匕一匕
В момент, когда открывали заслонку, газ находился в этом искусственно созданном невероятном состоянии. Следовательно, при расширении в пустоту логарифм вероятности увеличится на М (V2—Vi)/V2.
Сравним теперь это с подсчитанным нами изменением энтропии при расширений газа в пустоту. Мы замечаем, что они различаются только единицами измерения. Если
61
логарифм вероятности умножить на величину R/M он полностью совпадет с изменением энтропии при необратимом процессе.
Мы пришли к фундаментальному выводу. Необратимый процесс есть переход системы из менее вероятного состояния в более вероятное. Логарифм изменения вероятности состояния с точностью до постоянного множителя совпадает с изменением энтропии состояния.
Связь между энтропией и вероятностью состояния установил в 70-х годах XIX века Больцман, причем в то время только для идеального газа. Общее статистическое обоснование термодинамики — это заслуга Дж. У. Гиббса. Его работы в этой области были сделаны на рубеже прошлого и нашего веков. Общность работ Гиббса такова, что они непосредственно переносятся в квантовую теорию, хотя их автор исходил из классических представлений.
Статистическое обоснование позволяет понять сущность второго начала термодинамики. Попытаемся рассмотреть одну из воображаемых моделей вечного двигателя второго рода. Допустим, что в устройстве, изображенном на рис. 9 (стр. 46), произошло следующее. Газ самопроизвольно собрался в меньшем объеме V19 после чего поршень подвинули вплотную к перегородке. Пусть теперь газ может расширяться сквозь отверстие в перегородке. Заставим его расширяться изотермически обратимо. Тогда он произведет работу, а тепло, необходимое для нее, будет подведено из окружающей среды. Цикл замкнется. После того как поршень перейдет в крайнее правое положение, пусть газ опять самопроизвольно соберется в объеме Pi и начнется обратимое изотермическое расширение во втором цикле. Работа будет совершаться за счет теплоподвода из внешней среды, т. е. мы нечаянно «изобрели» вечный двигатель второго рода. Феноменологическая термодинамика ставила в этом месте точку. Статистический подход к вопросу позволяет понять, почему такой двигатель невозможен. Этот двигатель просто бесконечно невероятен. Ничтожно мала вероятность того, что газ хотя бы один раз самопроизвольно соберется в меньший объем из большего. Но совершенно невозможно, чтобы это событие совершалось раз за разом по мере работы двигателя.
Оценим степень невероятности однократного события, на котором был основан проект только что описанного 62
двигателя. Пусть 丿1=丿2/2, тогда одна молекула будет находиться в меньшем объеме с вероятностью 1/2, a N молекул — с вероятностью (1/2);v- Переведем это число в десятичную систему: ^印。-。^, а % пусть равно числу Авогадро 6-1023. Это характерное число молекул в макроскопическом объеме. Искомая вероятность равна Ю-2,10 3, т. е. единица, деленная на 102，1°23. Пусть читатель позабавится, вычисляя, сколько лет надо выписывать нули у этого числа. Напомним только, что изобретатель шахмат в награду хотел всего 264=1027>7 зерен пшеницы, а здесь стоит число 1021°23.
Если считать, что одна молекула перемещается из левой половины сосуда в правую за одну тысячную секунды, то описываемую ситуацию надо было бы ждать 10(2・iq -з)секунд. Из числа с 23 нулями мы вычли лишь три единицы!
В данном случае вечный двигатель второго рода представлен, так сказать, в обнаженном виде. Обычно в представляемых изобретателями вариантах его сущность сознательно или бессознательно прячется, так что иногда находятся благожелательные эксперты, особенно среди лиц, преждевременно прервавших свое образование или таких, которым грамота пошла во вред.
Ничто не помешало бы использовать устройство, изображенное на рис. 9, не в качестве потребителя энергии внешней среды, а как источник тепла, если тратить на это внешнюю работу. Тогда поршень отводится в правое положение столь быстро, что сразу газ не поспевает за ним и лишь потом заполняет объем, расширяясь из меньшего объема Vi в больший V2. После этого надо изотермически сжать его поршнем до объема %. Попутно во внешнюю среду будет отведено тепло, равное затраченной работе. Необратимое звено цикла делает возможной работу всего устройства только в одном направлении. Обратное направление работы невозможно.
Мы постоянно видим вокруг себя и в самих себе процессы, идущие только в одну сторону, но сущность их несколько затемнена связью с живыми организмами. Как они функционируют, пока известно не до конца. В примере с поршнем система целиком механическая, но только из-за очень большого числа хаотически движущихся
молекул в ней имеется неуправляемое звено. Этого достаточно, чтобы процессы в системе могли идти только в одном направлении.
Иногда такую ситуацию находят несколько парадоксальной. В основе статистической механики лежит обычная механика Ньютона, которая не знает предпочтительного направления времени. Ее законы полностью обратимы. Например, если бы все планеты вдруг повернули вспять на своих орбитах и с той же скоростью понеслись в обратную сторону — в солнечной системе все осталось бы по-прежнему. Поэтому спрашивают: а если бы молекулы газа, расширяющегося в пустоту, поступили таким же образом, собрался бы газ в прежнем объеме?
Безусловно, собрался бы, если бы стенки сосуда в свою очередь не состояли из молекул, движущихся хаотически. Чтобы заставить молекулы газа двигаться все время строго в направлении, обратном тому, которое было во время разлета, надо так управлять ударами о стенки сосуда, чтобы происходило полное обращение движения. Но сосуд в свою очередь не изолирован от окружающей среды, так что и там надо повернуть все молекулы назад. Словом, для обращения необратимого процесса понадобилось бы изменить направление времени, или, что то же самое, во всем мире заставить всё двигаться строго в обратную сторону.
Но можно спросить и так: а не определено ли на самом деле физическое направление времени ходом необратимых процессов? Хотелось бы сразу ответить утвердительно, но тут надо быть готовым к неприятным встречным вопросам. Основной такой вопрос поставил Клаузиус. Если Вселенная существует уже бесконечно долго, то почему она до сих пор еще не достигла полного статистического равновесия? Почему энтропия всех ее частей не достигла наибольшего значения?
Выход из этой трудности искал Больцман. Он допустил, что когда-то, очень давно, во Вселенной произошло гигантское самопроизвольное отклонение от равновесия. В результате образовался видимый мир планет, звезд и галактик. То, что событие невероятно, не должно удивлять нас: ведь не будь его, некому было бы удивляться.
Однако чтобы мы существовали и мыслили, достаточно было бы, пожалуй, только Солнца и Земли. Галактики выглядят излишеством. Не вдаваясь в бессодержатель-
ные рассуждения, скажем прямо, что гипотеза Больцмана неубедительна.
Но пусть нас не интересует прошлое. Что же должно случиться в будущем? Процесс приближения к тепловому равновесию, идя с конечной скоростью, не может длиться вечно: когда-нибудь оно должно наступить. Тогда КПД всех тепловых двигателей обратится в нуль. Энергия равномерно распределится повсюду, т. е. иссякнут ее источники. Такое, пока воображаемое, состояние назвали тепловой смертью.
Не всем понравились эсхатологические следствия из физики (эсхатология — учение о конце света), так как считается, что наука должна вооружать человека на покорение природы, а не предрекать ему безрадостное будущее.
Идейная борьба против концепции тепловой смерти несколько затихла, когда получили признание принципы и факты релятивистской космологии, т. е. науки об истории и строении Вселенной, основанной на эйнштейновской теории тяготения, или, как ее называют, общей теории относительности. В настоящее время, по-видимому, общеизвестно, что 10——12 миллиардов лет тому назад вся материя находилась в состоянии плотной, горячей плазмы (т. е. ионизованного газа) и заполняла все пространство. Основу этого учения заложил в 1923 г. А. А. Фридман, получив особые решения теории гравитации, в которых вещество и весь мир непрерывно расширяются. Тем самым увеличиваются и все пространственные расстояния, а также промежутки времени, причем экстраполяция на времена, предшествовавшие плотному состоянию материи, физически не оправдана. Снимается вопрос о том, какой была энтропия мира бесконечно давно, и странное объяснение Больцмана не нужно.
Кроме того, оказывается, что в расширяющейся Вселенной энтропия может возрастать, не стремясь к максимуму. Изучив общую теорию относительности, тот, кто боялся тепловой смерти, может спать спокойно.
6565Любопытное возражение против второго начала придумал не кто иной, как Максвелл, только уже не в космическом, а в микроскопическом масштабе. Максвелл предложил поместить около заслонки (см. рис. 9) маленького привратника, который будет пропускать в одну сторону только быстрые молекулы, а в другую — только
65
65
3 А. С. Компанеец
медленные. По родному шотландскому обычаю это существо Максвелл назвал демоном. Если в одной половине сосуда соберутся быстрые, а в другой ——медленные молекулы, то получатся два тепловых резервуара ——горячий и холодный. Работа открывания и закрывания заслонки может считаться пренебрежимо малой. Если между резервуарами поместить тепловой двигатель, он станет вечным двигателем второго рода )•
Разумеется, с помощью нечистой силы нетрудно нарушить всякий физический закон. Но и не порывая с материализмом любого рода, даже вульгарным или стихийным, надо понять, в чем тут дело.
Вместо демона можно применить простую пружину, приделанную к заслонке. Под ударом быстрой молекулы заслонка будет открываться, а медленную молекулу не пропустит. При желании нетрудно изобрести и более хитроумные приспособления. Вопрос только, будут ли они работать?
Всякое материальное устройство так или иначе должно прийти в состояние теплового равновесия с газом. Имея молекулярные размеры, оно станет двигаться столь бес- рядочно, что потеряет способность отличать быстрые молекулы от медленных.
Распределение Максвелла по скоростям применимо не только к молекулам идеального газа, но и к молекулам любого тела, в том числе и воображаемого устройства, которое должно моделировать демона. Молекулы овеществленного демона получат тот же самый набор скоростей, какой имеют молекулы газа. При этих условиях нельзя будет заставить демона как целое двигаться таким образом, чтобы он пропускал в одну сторону только быстрые молекулы, а в другую — только медленные. Массивный демон слишком неповоротлив, а маленький — слишком податлив. Подходящих размеров просто не существует.
ОТЧЕГО НЕБО ГОЛУБОЕ?
Вероятность отклонения величины от среднего значения. Точность термодинамики. Еще раз о демоне Максвелла. Почему энтропия возрастает? Немного <сопромата» Предельная точность физических измерений. Броуновское движение. П редельна я чувствительность уха. Отчего же небо голубое?
В прошлой главе мы убедились, что второе начало термодинамики — статистический закон. В качестве конкретной модели, иллюстрирующей точность статистических предсказаний, рассматривался разгороженный пополам сосуд с газом. В числовом примере был использован моль газа, т. е. 6-1023 молекул. Вероятность того, что газ самопроизвольно сосредоточится в одной половине сосуда, оказывалась при столь большом N исключительно малой. Но очень малое число молекул вполне способно собраться таким образом. Например, если в сосуде всего 10 молекул, то придется ждать не более секунды, пока все они сойдутся в одной его половине. Если взять 100 молекул, то время ожидания увеличится до 1 года, а 1000 молекул соберутся все вместе один раз за 10 миллионов лет.
Но не следует думать, что их всегда будет ровно по 500 в каждой половине сосуда. Можно подсчитать, что, делая моментальные фотографии сосуда с тысячью молекул, мы найдем их разделившимися строго поровну между двумя половинами сосуда на каждом шестидесятом снимке. В среднем число их в каждой половине будет колебаться между 467 и 533. Больше или меньше окажется в редких случаях.
Вообще, если среднее число молекул газа в некотором объеме равно No, то вероятность фактически найти в нем N молекул выражается при большом ^o такой формулой:
(2-М>)2
Функция q(N) имеет максимум при ^=^o. При таких М когда показатель степени мал по сравнению с единицей, q сравнительно близко к своему максимальному значению. Из предыдущей главы мы знаем, что при малом значении х степень е~*=1—х, т. е. незначительно отличается от 1. Отсюда видно, что следует ожидать заметного 3* 67
уменьшения вероятности, когда показатель степени сравним с единицей, т. е. когда
(N-N扌 n2Nq.
В нашем примере среднее число молекул в одной половине сосуда М()= 500, так что (^ ——500)2 = 1000, откуда ^ = 500± )/1000 = 500 + 33, как и было сказано выше.
Вообще
nwNq±VE、
так что колебание величины около среднего значения пропорционально корню квадратному из среднего значения.
Заметим, что если N — ^0 сравнимо с М, то основная формула для q(N) будет уже не применима.
Более интересно не абсолютное, а относительное значение отклонения, т. е.〔. Это дает обратно прс-
порциональн)ю зависимость от ]/ ^o• Чем больше среднее значение некоторого числа, тем меньше случайное относительное отклонение от него. Отсюда можно получить понятие о точности законов статистической физики. Когда они применяются к макроскопическим телам, содержащим, скажем, 10'° молекул, то относительная ошибка не превосходит 10~ 10, т. е. одной десятимиллиардной.
Для термодинамических расчетов такая точность вполне удовлетвори тел ьн а, но не надо думать, что самопроизвольные отклонения величины от средних значений совсем ненаблюдаемы и не интересны. Изучая их, мы глубже понимаем смысл основных законов термодинамики. Поэтому вернемся опять ко второму началу.
Нельзя ли, например, построить хотя бы маленький вечный двигатель второго рода, пользуясь тем, что в обеих половинах сосуда фактически всегда содержится разное число молекул? Этот микродвигатель мог бы обслуживать максвелловского демона, помогая открывать и закрывать заслонку. Но изменения (флуктуации) числа частиц происходят совершенно беспорядочно. Демону пришлось бы то и дело переключать двигатель. Как уже было показано, никакое материальное устройство к этому не способно. Желая добиться четкой реакции на каждую небольшую флуктуацию, мы должны будем сделать чертика поменьше. Но в его маленьком механизме (или орга- 68
низме) будут происходить по законам случая столь большие, тоже самопроизвольные, колебания энергии и всего прочего, что это сведет на нет всякую целенаправленную активность.
Итак, один случайный цикл работы двигателя может осуществиться, но действовать неограниченно долго двигатель не будет. Это и утверждает второе начало.
Рассматривая флуктуации, мы глубже понимаем смысл необратимости. Допустим, что за какой-то замкнутой, изолированной от внешних воздействий системой следят неограниченно долгое время. Вследствие флуктуаций энтропия системы то и дело будет становиться немного меньше своего максимального, равновесного значения. Но в основном это будут ничтожно малые относительные отклонения, например на одну десятимиллиардную долю, которою обычными измерительными приемами нельзя даже и заметить. Сколько-нибудь измеримые отклонения заставят себя ждать исключительно долго, но обязательно произойдут, если запастись терпением. При этом кривая хода энтропии со временем и у малых, и у больших отклонений от равновесия в среднем совершенно симметрична относительно достигнутого минимального значения. Иногда то спуск, то подъем пойдут круче, но в целом не будет никакого перевеса. Это находится в полном согласии с принципом механической обратимости.
Почему же в нашей практике мы всегда наблюдаем тенденцию энтропии к возрастанию? Потому, что неравновесное состояние создается искусственно, путем внешнего вмешательства. В высшей степени невероятно, чтобы после вынужденного отклонения от равновесия энтропия продолжала уменьшаться дальше сама собой. С подавляющей вероятностью она тут же начнет возрастать. Приближение к статистическому равновесию всегда нанвероят- нейший процесс и не свидетельствует о том, что в самих законах природы заложена какая-то асимметрия направления времени.
Это все, что мы хотели бы сказать о принципиальных вопросах статистической физики в связи с флуктуациями. Но, как видно из названия главы, о флуктуациях можно сказать еще кое-что. Например, объяснить, почему небо голубое. Мы скажем об этом несколько дальше, а сейчас рассмотрим вопрос о предельной точности физических измерений.
Чувствительный электрометр имеет подвес на тонкой кварцевой нити, и по углу ее закручивания измеряются малые разности потенциалов. В кварц, размягченный до вязкого состояния, окунают кончик стрелы и спускают тетиву лука. Получаются тончайшие нити, подобные тем, какие каждый может вытянуть из растопленного сахара. Для определения угла поворота к нити прикрепляют легкое зеркальце, на которое направлен узкий луч света (рис. 14). Когда зеркальце поворачивается, зайчик от 、^ него смещается по шкале.
/Какова принципиально воз-
/Лможная точность измерения
Итакого рода?
В тепловом равновесии с ГIокружающей средой зеркаль
це на нити совершает кру- Рнс [4тильные колебания. В стати-
ис, •стическом равновесии, в отли
чие от механического, покой невозможен: происходит непрерывный обмен энергией между системой и окружающей средой. Как указывалось в гл. 3, на каждое колебание приходится средняя энергия 0. При комнатной температуре это 4-10~14 эрга. Допустим, что длина нити /=10 ои, на ней подвесили груз в 0,1 г, а шкала удалена от нити на 10 м. Напряжение на разрыв, которое выдерживает нить, равно 1010 дин/см2. Следовательно, при весе 0,1 г=100 дин требуется поперечное сечение площадью s=10-8 см2, что отвечает диаметру в 1 микрон. Допустим, что на самом деле удалось получить такую тонкую нить и подвесить на ней груз. Потенциальная энергия нити, закрученной на угол ср, равна и=а(р?/2, где а зависит от длины нити, ее сечения и упругих свойств. Вывод соотношения для U и а увел бы нас слишком далеко в сторону. Приведем выражение для а в готовом виде, как его можно найти в любом курсе или справочнике по сопротивлению материалов:
Gs2
Здесь G ——упругая постоянная, которая называется модулем сдвига. Для кварцевой нити она равна 3 -1011 70
динIсм2. Подставляя /=10, s=10~8, находим а=0,5-10~°. Полная энергия колебания нити вдвое больше среднего значения потенциальной энергии. Для теплового движения ее и надо приравнять 0=4-10~14. Следовательно,
О,5・1О-б(р2 = 4.1о-ы,
или (р=2,8-10~4 в радианной мере. При длине плеча 10 jw = 103 см получаем, что флуктуация положения зайчика на шкале составит 2(р-103 (при отражении угол отклонения луча удваивается). Это дает смещение на шкале 0,56 см.
Таким образом, нет смысла делать на шкале деления меньше 1 см: тепловые колебания нити кладут такой предел точности измерения.
Другой хорошо известный пример проявления тепловых флуктуаций — броуновское движение коллоидных частиц. В гл. 3 было указано, как по распределению частиц гуммигута в поле тяжести было найдено число Аво- гадро. Если наблюдать каждую такую частицу в отдельности, то видно, что она хаотически блуждает в разные стороны, как бы под действием случайных ударов. Ботаник Броун, открывший это явление в 1827 г., правильно объяснил его тепловым движением. Но тогда гипотеза Броуна о том, что частицы движутся вследствие столкновений с отдельными атомами, казалась самой неправдоподобной, мало кто верил в то, что атомы действительно существуют.
Коллоидные частицы, которые наблюдал Броун, находились не в газе, а в жидкости, в воде. Молекулы жидкости довольно тесно упакованы и нельзя рассматривать их взаимодействие с частицей как серию отдельных ударов. Правильнее рассуждать так. Средний импульс, получаемый частицей от молекул, равен нулю: нмпульс —— величина векторная, и если он беспорядочно передается со всех сторон, то усредняется к нулевому значению. Но вследствие тепловых флуктуаций молекулы с одной стороны от частицы могут передать ей больший импульс, чем с противоположной стороны. Соответственно частица будет двигаться в ту сторону, куда толкнет ее очередная флуктуация.
Характерный размер коллоидной частицы, скажем, 10~5 см (бывает и меньше). Размер молекулы — 10~8 см. Следовательно, частица содержит (10-5/10-8)3=10tf
молекул. Она в миллиард раз тяжелее. Но средние кинетические энергии движения частицы и молекулы по порядку величины одинаковы:
М&ОЛЛ — ^мол ~2~ =
(здесь строчная буква m относится к молекуле, прописная М — к коллоидной частице). Отсюда
^КОЛЛ = ^МОЛ М = 0,3 • 10-4 Ум0.т
Тепловые скорости молекул — порядка сотен метров в секунду. Отсюда видно, что скорости броуновского движения составляют около 1 см/сек, т. е. вполне воспринимаемы глазом. Так как тепловые скорости вычисляются без помощи числа Авогадро (см. гл. 1), то по скорости броуновского движения, в принципе, возможно определить характерные размеры молекул.
Флуктуации кладут предел чувствительности не только физических измерений, но и человеческих чувств. Мы имеем в виду слух. Минимальная энергия, воспринимаемая ухом, только на один-два порядка величины больше энергии тепловых флуктуаций плотности воздуха. Весь диапазон слышимых звуков, от порога чувствительности до болевого ощущения,— 13 порядков. Вместо слова «порядок» акустики говорят «белл». Десятая часть порядка——децибелл. Какие-нибудь 1——2 порядка вниз от порога не так-то много по сравнению со всем диапазоном. Но как раз этот малый интервал очень важен. При большей чувствительности ухо воспринимало бы хаотические колебания давления, т. е. непрерывный шум, не несущий никакой информации о событиях, происходящих во внешнем мире, и только глушащий осмысленные звуки.
Правда, по уровню громкости шума можно было бы судить о температуре окружающей среды, но мы и так способны к этому благодаря осязанию, а не ушам.
Флуктуации атмосферной плотности воспринимаются не ушами, а глазами, когда мы глядим на небо (если оно не закрыто облаками). Благодаря флуктуациям, воздух принципиально не может быть однородным. В то же время очевидно, что в очень больших объемах, например в двух одинаковых комнатах, относительное различие в числах молекул воздуха очень невелико. Надо выбрать такие
объемы воздуха, которые, с одной стороны, содержали бы еще очень помногу молекул, а с другой стороны, не были бы столь большими, чтобы относительные флуктуации были пренебрежимо малы. Вычисления показывают, что заметная неоднородность возникает только в областях, весьма малых по сравнению с длиной волн видимого света 九.
Действительно, длина волны 九 составляет 0,5-10~4 см, так что объем кубика с ребром 九 приблизительно равен 10-13 см3. В таком объеме помещается 2,7- 10G молекул, так как 1 см3 при нормальной плотности содержит 2,7-1019 молекул. Относительная флуктуация плотности или числа частиц, как было сказано в начале этой главы, будет примерно 1//2,7・ IC?, т. е. меньше одной тысячной. Таким образом, реально рассеивают свет флуктуации плотности в гораздо меньших объемах.
В оптике показывается, что если свет рассеивается объектом, который много меньше длины волны, то рассеянная энергия обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. Следовательно, в синей части солнечного спектра рассеяние больше, чем в желто-красной. Свет, идущий от небесного свода,— рассеянный; прямые лучи приходят только от Солнца. И так как рассеивается больше синих лучей, чем всех других, свет, пришедший от небосвода, воспринимается как соответственно окрашенный. Вот почему небо голубое.
ПРИБЛИЖЕНИЕ К РАВНОВЕСИЮ
Статистика и кинетика Твердые шарики и максвсл ;ол- ские центры сил. Собственный объем молекул 6 статистике. Свободный пробег. Вязкость и теплопроводность не завысят от плотности газа. Разреженный газ. Диффузия Термодиффузия Проводники первого и второго рода. С какой скоростью идет ток，металле?
До сих пор мы рассматривали системы, находящиеся в положении статистического равновесия. Когда система уже пришла в равновесие, безразлично, каким путем она его достигла. Равновесные свойства системы не зависят от предшествующих неравновесных состояний, из которых система доходила до равновесия.
Это, конечно, не значит, что механизм установления статистического равновесия не представляет интереса, но принято говорить о двух различных разделах физики: статистической физике, изучающей исключительно равновесные свойства систем, и физической кинетике, т. е. науке о механизме достижения равновесий. Статистическая физика, или, сокращенно, статистика, доведена до высокой степени законченности в методе Гиббса; физическая кинетика начинает формулировать свой общий метод только в последнее время. Возможно, что статистика и кинетика когда-нибудь сольются воедино и будут изучаться вместе. Так, между прочим, когда-то и было до Больцмана, когда обе эти науки находились в зачаточном состоянии.
На тогдашнем уровне нам и придется вести изложение настоящей главы, чтобы остаться в кругу наглядных представлений.
Наиболее разработана часть теории, относящаяся к идеальному газу. Но само понятие идеального газа приобретает в кинетике более точный смысл, чем в статистике. В гл. 1 было сказано, что молекулы идеального газа вообще не взаимодействуют между собой. Но для кинетики такая модель, очевидно, не годится: если нет никакого взаимодействия между молекулами, то любое начальное распределение не будет стремиться к равновесному. Например, все молекулы могут сперва получить строго одинаковую энергию, или всю энергию можно сосредоточить на одной-единственной молекуле. Когда нет сил взаимодействия, нет и обмена энергиями, и распределение Максвелла или Больцмана не установится.
Следовательно, для кинетических рассмотрений необходимо задаться каким-либо видом сил, передающих энергию от одной молекулы к другой.
Здесь надо исходить из следующих соображений. Прежде всего, силы должны приводить к некоторому перераспределению молекул по энергии. Если вообразить, например, такие силы, которые действуют только при лобовом столкновении, обмен энергиями будет осуществляться слишком буквально: первая (условно) молекула получит энергию второй, а вторая — энергию первой. Но для состояния газа как целого безразлично, в каком порядке мы перенумеровали молекулы, не важно, обладает ли данной энергией та молекула или эта. Приближение к равновес-
ному распределению возможно только тогда, когда энергии молекул в результате столкновения будут отличаться от начальных значений.
Тем самым мы предостерегли читателя от слишком грубой модели молекулярного взаимодействия. Истинные силы взаимодействия очень сложны и фактически даже не полностью известны с количественной стороны. Но допустим даже, они стали нам знакомы так же хорошо, как закон тяготения. Все равно они имеют не одинаковый вид для разных газов. Стремясь построить точную кинетическую теорию, мы вынуждены были бы отдельно рассматривать каждый газ и смесь любых газов. Получились бы не общие закономерности, а теория водорода, кислорода, воздуха и т. п. Такая узкая специализация пока не интересна — лучше пожертвовать точностью, но иметь большую общность. Здесь имеются две полезные модели.
Модель упругих шариков. Так как шарики могут сталкиваться не только в лоб, а и под углом, их энергии после столкновения отличаются от энергий до столкновения. Следовательно, в этой модели возможно установление статистического равновесия.
По определению упругого шарика сила его действия на другой шарик считается не зависящей от их относи- тельной^скорости. Имеется в виду столкновение такого рода: будем мысленно двигаться вместе с центром тяжести обоих шариков, посредине линии, соединяющей их геометрические центры. Тогда с нашей точки зрения каждый шарик подлетает к центру тяжести с постоянной скоростью, равной половине относительной скорости. После столкновения он с такой же скоростью отлетает от общего центра тяжести. При ударе шарики нисколько не деформируются. Они будут сталкиваться тем чаще, чем быстрее движутся молекулы. Иначе говоря, в модели упругих шариков вероятность столкновения в единицу времени пропорциональна их относительной скорости. Это обстоятельство несколько усложняет количественные расчеты по модели упругих шариков, которая имеет зато преимущество наибольшей наглядности.
Модель, предложенная Максвеллом. Молекулы отталкиваются с силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния между ними. Здесь вероятность столкновения вообще не зависит от скорости. Докажем это, чтобы читатель ознакомился на простом примере с плодо-
творностыо метода размерностей в физике, хотя мы в дальнейшем и не собираемся много пользоваться максвелловской моделью. По допущению,
сила = -Д.
Размерность силы г-см-сек~2. Следовательно, силовая постоянная а имеет размерность г-см6-сек~-, так как в любом физическом равенстве размерности обеих частей, левой и правой, должны совпадать. Вероятность столкновения молекулы в единицу времени имеет, по определению, размерность обратного времени, сек— Она в общем случае пропорциональна числу молекул в единице объема п (размерность см~3), так как чем больше молекул в данном объеме, тем чаще встречает некоторая молекула любую другую. Кроме того, искомая вероятность должна как-то зависеть от скорости и (см-се^^, силовой постоянной а и массы молекулы т. Но из перечисленных величин единственным образом составляется величина с размерностью сек~1 с учетом того, что зависимость от п прямо пропорциональная:
Мы видим, что скорость сюда не вошла. Поэтому расчеты по максвелловской модели проще всего. На самом деле, конечно, эта модель — фиктивная, но оказывается, что она с успехом может применяться в качестве нулевого приближения при более точных вычислениях с другими законами взаимодействия. Даже для модели упругих шариков модель Максвелла позволяет сделать при вычислениях первый, решающий шаг, после которого остается учитывать уже только поправки.
С максвелловскими молекулами мы еще встретимся, но по началу будем представлять молекулы как упругие шарики, так как здесь важнее всего наглядность. Есть одно явление (термодиффузия, см. ниже), где полезно привлечь и максвелловскую модель.
Итак, пусть со всеми сделанными разъяснениями и оговорками молекулы——упругие шарики. Каждый шарик занимает вполне определенный объем, в который не допускает другой шарик. Следовательно, движение молекул не может считаться полностью взаимно независимым.
Газ, состоящий из шариков, нельзя сжать до произвольно малого объема. Иногда для такого газа пишут уравнение Клапейрона в таком виде:
p(V—b)=RT,
где b близко к объему, который занимают сами молекулы. Отклонение этого газа от идеальности, как видно из уравнения, имеет порядок величины b/V. При нормальной плотности воздуха это около одной тысячной, что в качественном смысле иногда правильно отображает поведение реальных газов. Но когда газ сжат сильно, т. е. b/У〜1, поведение реального газа плохо следует исправленному уравнению. Начинает, например, сказываться сжимаемость самих молекул, в которой проявляются индивидуальные особенности газов.
Изучая свойства газов при нормальной, атмосферной плотности, мы в статистике пренебрегаем отношением b/V, но в кинетике не вправе пренебречь величинами, связанными с Ь.
Наша задача — объяснить, каким образом конечные размеры молекул помогают установлению статистического равновесия в газах.
Возьмем некоторую произвольно выбранную молекулу Л (рис. 15). Представим ее как шарик радиуса г. Двигаясь со скоростью и, она за единицу времени вырежет в пространстве цилиндр длиной и с поперечным сечением яг?. Из рис. 15 видно, что молекула Л столкнется со всеми теми молекулами, которые хотя бы краем заденут этот цилиндр. Центры таких молекул удалены от траектории центра Л на расстояние 2г, так что надо учесть все молекулы в цилиндре двойного радиуса. От столкновений траектория Л получит излом, но объем цилиндра («колбасы») от этого не изменится. Если в единице объема п молекул, то в цилиндре с объемом 4冗厂2。всего будет находиться 4лг2у/г молекул. Столько столкновений испытывает за единицу времени молекула Л. Разумеется, это среднее,
а не истинное число столкновений. Истинное число может отличаться от среднего в ту и другую сторону.
Столь же четкий смысл можно придать другой величине: среднему расстоянию, которое молекула пролетает от столкновения до столкновения. Оно вычисляется так: если путь за единицу времени и, а число столкновений на пути 4冗厂2。〃, то на одно столкновение приходится путь
4гr2次 4"2九.
Расстояние I называется средним свободным пробегом молекулы. Это понятие исключительно удобно и плодотворно в кинетике, но для всякой другой модели, кроме упругих шариков, определить его не столь просто.
Если, например, воспользоваться максвелловской моделью, то встретится такая характерная трудность. Силы убывают обратно пропорционально пятой степени расстояния, но строго обращаются в нуль только на бесконечно большом расстоянии. Поэтому любая данная молекула в любой момент времени взаимодействует со всеми молекулами газа. Такой строгий подход к задаче, однако, не требуется. Если газ не слишком плотный, то достаточно рассмотреть только парные столкновения молекул, а всеми остальными взаимодействиями каждой молекулы пренебречь. Пятая степень расстояния в силовом законе обеспечивает достаточно быстрое спадание силы между отдельными молекулами. Если газ не очень плотный, то маловероятно, чтобы три и больше молекул сближались так часто, чтобы их взаимодействие заметно сказалось на состоянии газа. (Но заметим, например, что для кулоновских сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния, приближение парных столкновений приводит к известным противоречиям.)
И после перехода к столкновениям между парами молекул еще остается некоторая неопределенность. На каком взаимном расстоянии должны пролететь две молекулы, чтобы считать, что они уже столкнулись? Для шариков это ясно, а для силовых центров совсем не так ясно. Поэтому при строгом подходе к максвелловским молекулам приходится говорить не просто об акте столкновения, а о столкновении с отклонением на каждый данный угол. Читатель может спросить, зачем такое усложнение, если у шариков дело обстоит проще. Но ведь и они сталкиваются
не всегда в лоб (как раз лобовые столкновения, как указывалось, не интересны); и фактически молекулы не шарики. Только сравнение с опытом может показать, насколько хороша та или другая условная модель, а чтобы сравнивать, надо по каждой модели производить расчеты как можно точнее.
Для сравнения разных моделей между собой укажем только, что вероятность столкновения твердых шариков за единицу времени пропорциональна их скорости, а у максвелловских молекул, как было показано выше методом размерностей, та же величина от скорости не зависит. Это приводит к определенным различиям в конечных выводах, которые не совсем точно согласуются с опытом в обоих вариантах, что и доказывает несовершенство обеих моделей. Все это, однако, не так страшно, потому что правильная качественная картина неравновесных процессов в газе и так достаточно ясна. Здесь важна сейчас величина свободного пробега Z. Она будет единственной характеристикой взаимодействия между молекулами в нашем приближенном подходе. Величину той же размерности и примерно того же смысла можно ввести и для других моделей, не только для шариков, но на этом больше не стоит пока останавливаться.
Перейдем теперь к механизму установления статистического равновесия в газе. Начнем с теплового равновесия. Пусть температура газа не одинакова по его объему, а имеются две области: более теплая часть с температурой Т2 и более холодная — с температурой 7\・ Как мы знаем, теплота переходит к более холодным областям, причем это происходит необратимо, так же как расширение газа в пустоту. Только в случае передачи тепла переносится энергия, а при расширении в пустоту — само вещество.
Рассмотрим механизм переноса энергии. Совсем грубо его можно объяснить так: там, где температура более высокая, средняя энергия молекул выше. Эти молекулы залетают в более холодные области, а оттуда в свою очередь переходят молекулы с меньшей энергией. В результате баланс вещества может не нарушаться, а температура станет выравниваться.
Наша задача — связать скорость установления теплового равновесия и разность температур. Ясно, что мерой искомой скорости является переносимое количество тепла. Постараемся оценить его.
Будем считать, что внутри каждого небольшого объема газа приближенно установилось тепловое равновесие. Иначе просто нельзя будет говорить о температуре данного объема. Передача тепла происходит от одних почти равновесных объемов к другим, тоже почти равновесным. Нельзя представить себе абсолютно резкую границу между холодным и горячим газом. Размеры области перехода между ними должны по крайней мере равняться одному свободному пробегу / или превосходить его. На меньшей длине каждая молекула существует сама по себе, ни с чем не сталкиваясь. Поэтому в области, которая меньше свободного пробега, никак не может установиться даже приближенное тепловое равновесие и нельзя говорить о каком-либо значении температуры внутри нее.
Распределение температуры по газу мы очень грубо представим себе так, как показано на рис. 16. Пунктирная
Рис. 16.
часть кривой относится к переходной области, где в строгом смысле нельзя говорить о температуре. Чтобы придать кривой хотя бы условный смысл, можно формально связать ординату со средней энергией газа в данной точке так, как это делается там, где состояние газа близко к равновесному. Но эта оговорка не очень существенна, потому что молекулы пролетают через переходную область, не обмениваясь энергией.
Пусть с — теплоемкость газа, отнесенная к единице объема. Тогда средняя энергия 1 см3 газа в левой части сосуда равна с7\, а в правой — с7\. Поток энергии слева направо приблизительно равен сТс?, а справа налево — сТ皿.Переносимое в итоге слева направо количество тепла есть
j = CT 2^2СТ
Это выражение написано в неудобной форме. Надо пе-
80
реписать его так, чтобы в него входила не сама разность температур, а изменение температуры на единице длины, так называемый градиент температуры. Он в большей степени характеризует неравновесность состояния, чем разность температур. Очевидно, что одна и та же разность температур на расстояниях в 1 см ив I км означает совсем различную степень неравновесности. Десять градусов перепада температуры на десяти сантиметрах означают один градус на одном сантиметре. Этот 1 см и можно выделить, поскольку здесь проходит тот же тепловой поток, что и на всей длине. Иначе говоря, именно градиент температуры характеризует то, что образно называется теплонапряженностью состояния, так же как градиент потенциала в проводнике определяет напряженность электрического поля.
По условию, перепад температуры происходит на длине /. Умножим и поделим выражение теплового потока на /. Тогда получится:
:_/ С2内一次1力)
Второй сомножитель пропорционален градиенту температуры, так как в нем определенная разность величин, зависящих от температуры, делится на длину. Если разность температур мала, Т2 — 7\«7\, запишем / так:
j _ / (eт2"2- eт 1力)(T2 - a)J _ 72 一—,
Рассмотрим выраженный таким способом тепловой поток. Во что переходит первая дробь, когда разность температур 7*2 ——Т\ становится очень малой? Пусть по оси абсцисс некоторой координатной системы отложена температура, а по оси ординат ——величина cTv. Построим соответствующую кривую eTv как функцию Т. Тогда в выражение для / входит разность ординат двух близких точек кривой, деленная на разность абсцисс, т. е. тангенс угла наклона хорды, проведенной между соответствующими точками кривой. В пределе, когда 7\ стремится к 7\, хорда переходит в касательную к кривой, так что рассматриваемое отношение становится тангенсом угла наклона касательной. Назовем его а(Т), где Т — некоторая средняя температура между Т2 и Ti, в пределе совпадающая и с
7\, и с Т2. Отношение 口丁必 есть изменение температуры на единице длины. Так как 北>7\, т. е. температура убывает в направлении возрастающих х, градиент берется с обратным знаком. Тепловой поток / и градиент температуры —величины векторные, связанные с направлением. Мы видим, что эти векторы направлены в противоположные стороны. Итак,
i=-la(T)Tft
где Тг ——градиент температуры. Он определяется только условиями опыта, а не константами газа. Так как теперь можно отнести выражение для / к любой точке неравномерно нагретого газа, Т будет просто означать температуру в этой точке. Точнее, надо брать не точку, а объем, размеры которого сравнимы со свободным пробегом. Произведение /а(Т) называется 3коэффициентом теплопровод-
ностп газа. В отличие от ве- 二i：#Wличин, характеризующих рав) 产，новесные, термодинамические
I ^7'свойства газа, теплопровод-
8. > ность зависит от свободного
z пробега /.
Рис. ".Рассмотрим теперь еще
один неравновесный процесс в газе, а именно — перенос импульса. Пусть плоская пластинка А движется параллельно неподвижной пластинке
В (рис. 17) со скоростью vQ. Между ними находится газ. Непосредственно около каждой пластинки скорость газа равна ее скорости, так что около А газ движется со скоростью %, а около В покоится. Распределение скорости газа по высоте показано стрелками. Спрашивается, какая сила приложена к единице поверхности В и куда она направлена?
На второй вопрос ответить легко: сила действует в плоскости пластинки, верхняя пластинка как бы увлекает нижнюю. Напомним, что в состоянии покоя газа сила с его стороны всегда перпендикулярна к пластинке (закон Паскаля). Если расстояние между пластинками равно d, то
на высоте у скорость течения газа есть 九普，как непосред
ственно видно из рисунка. Рассмотрим теперь два слоя
газа: на высоте у и на высоте у+/, где / — свободный пробег. Молекулы с массой т переносят из верхнего слоя в нижний импульс 加号（/+у）, а из нижнего в верхний — импульс m ^ у. Те и другие летят с тепловой, неупорядоченной молекулярной скоростью v. Если в единице объема газа находится п молекул, то и снизу вверх и сверху вниз в единицу времени через единицу поверхности проходит nv молекул. Аналогичные выражения мы много раз применяли. Следовательно, результирующий перенос импульса через поверхность равен
nv [m 号® + /） — m 号 у] = mnvl 号.
Величина -^- есть изменение скорости, отнесенное к единице длины, или, как мы уже выражались, градиент скорости. Коэффициент nwnl зависит только от природы и состояния газа. Он называется коэффициентом вязкое- ши. Название нетрудно понять — ведь увлечение пластинки В пластинкой А не что иное, как вязкость в обычном, житейском понимании. Если бы вместо воздуха между пластинками был мед, В увлекалась бы сильно, если вода — гораздо слабее, а в случае газа — совсем слабо. Но все-так и сила вязкости существовала бы.
Во времена Максвелла эта малая сила вязкости измерялась ненадежно. Максвелл не сумел проверить справедливость выражения mnvl для коэффициента вязкости, хотя тогда физики еще не разделялись резко на теоретиков и экспериментаторов и сам он был директором лаборатории им. Кэвендиша в Кембридже. Между тем, это очень удивительное, на первый взгляд, выражение. Ведь в произведении п/ плотность воздуха п сокращается,
Это верно не только для твердых шариков, но и в любом случае. Оказывается, что вязкость газа не зависит от его плотности. Придя к формуле вязкости, Максвелл, по-ви- димому, не совсем поверил сам себе и предложил всем желающим опровергнуть свои рассуждения. Впоследствии опыт вполне подтвердил вывод Максвелла.
Аналогичный вывод можно сделать и для теплопроводности, ведь в нее входит теплоемкость на единицу объема с, которая пропорциональна плотности /г.
Положение меняется, если газ такой разреженный, что da /. В этом случае молекулы непосредственно переносят импульс от одной пластинки к другой, ни с чем не сталкиваясь по дороге. Тогда, конечно, переносимый импульс пропорционален числу молекул, способных его переносить, и обращается в нуль при полном вакууме. Принято называть в этом случае газ разреженным, тогда как в обратном случае он называется плотным. Мы видим, что это свойство скорее сосуда, чем газа. При нормальной атмосферной плотности свободный пробег /^2-10~5 см. Следовательно, когда воздух обтекает самолет, он должен считаться плотным. Но если он течет в тонком капилляре радиуса <2-10~5 см или в очень мелких порах специального фильтрующего вещества, тот же воздух ведет себя как разреженный.
Один из самых характерных необратимых процессов — смешение двух различных газов. Если соединить два сосуда, наполненные различными газами, то оба газа постепенно перемешаются. При этом никакого заметного движения вещества не видно — молекулы одного газа проходят между молекулами другого. Подобно этому в воздухе распространяются запахи, когда нет переносящего их ветра. С помощью перегородок, проницаемых для одного газа и непроницаемых для другого, смесь можно снова разделить, подобно тому как нетрудно загнать назад газ, расширившийся в вакуум. В обоих случаях требуется затратить внешнюю работу — на перемещение перегородки по газу (вроде траления рыбы сетью) или на передвижение поршня.
Взаимное проникновение молекул двух газов называется диффузией. Применяя к диффузии элементарные наглядные рассуждения в таком роде, как это было сделано в случае теплопроводности и вязкости, нетрудно получить простое выражение для коэффициента диффузии, связывающего поток вещества с градиентом его концентрации. Коэффициент, вычисленный таким способом, имеет существенно разную величину в двух крайних случаях: малая примесь газа / диффундирует в газе 2, и наоборот, малая примесь 2 ——в газе 1. На самом деле оказывается, что коэффициент в обоих случаях, а также в
промежуточном случае близких концентраций веществ., изменяется только на 5——10%. Это находит подтверждение в уточненной теории, которую здесь изложить не удастся. Мы предпочли совсем не вдаваться в вывод коэффициента диффузии, чтобы не сообщать заведомо неправильные результаты упрощенных рассуждений.
Точная теория позволяет вычислить не только коэффициент диффузии, но также соответствующие коэффициенты теплопроводности и вязкости. Теория в состоянии сделать это не только для твердых шариков, но в принципе для любого силового закона. В частности, рассматривают всевозможные силовые законы вида U=〃/厂〃 и находят приближенные формулы для искомых коэффициентов переноса ——теплопроводности, вязкости и диффузии. Сравнивая температурную зависимость полученных выражений с опытом, можно определить, какая модель лучше всего соответствует действительности. Наблюдали также элементарные акты рассеяния летящих атомов аргона в аргоне. Найденный закон рассеяния совпал с тем, который Бэкингему удалось вывести из опытов по анализу коэффициентов переноса.
Прикидочная теория совершенно неприменима к тонкому эффекту термодиффузии. Он заключается в следующем. Если взять смесь двух газов и создать в ней разность температур, то произойдет некотррое разделение компонент —одной будет больше с холодного конца, другой — больше с горячего конца. Это было предсказано теоретически и подтверждено на опыте. В частности, таким способом разделяются изотопы одного и того же вещества, например водород и дейтерий. Но грубая теория не в состоянии предсказать, куда пойдет легкая компонента, к холодному или горячему концу. Строгая теория приводит к интересному результату: для максвелловских молекул коэффициент термодиффузии равен нулю. Если силы между молекулами убывают с расстоянием быстрее, чем по закону 1/厂5, знак эффекта один, если медленнее —— противоположный. Следовательно, в зависимости от силового закона легкая компонента должна собираться к холодному или горячему концу.
Этот пример показывает принципиальную неполноценность грубых способов вычисления коэффициентов переноса.
Наряду с рассмотренными явлениями переноса тепла, импульса и вещества рассмотрим и перенос электрического заряда. Существуют два типа электропроводности: ионная и электронная. Первый тип осуществляется в растворах электролитов. Например, NaCl в водном растворе распадается на ионы натрия с положительным зарядом и ионы хлора с отрицательным зарядом. В электрическом поле ионы Na+ перемещаются к катоду, а С1~ — к аноду. Таким образом, здесь перенос заряда сопровождается переносом вещества; это явление сродни диффузии. Эйнштейн установил связь между коэффициентами диффузии и электропроводности для электролитической проводимости. На выводе мы останавливаться не будем. Другой тип электропроводности — электронный, характерный для металлов. Он не сопровождается никаким переносом вещества: сколько бы ни шел ток по проволоке из чистого металла, с ней никаких существенных изменений не происходит. В этом случае носителями заряда являются электроны, которые в любом веществе одинаковы. -
Не надо представлять себе перенос заряда в металле как непрерывный переход его электронов с одного конца на другой ). При включении поля электромагнитное возмущение бежит в пространстве, окружающем проводник, со скоростью света. В каждой точке металла, в которой появилось электрическое поле, электроны получают некоторое преимущественное направление скорости. Ясно, что если через сечение проводника в одну сторону проходит больше электронов, чем в противоположную сторону, то происходит перенос заряда, т. е. имеется электрический ток. Когда устанавливается постоянный ток, то проводник в целом и в каждой точке нейтрален: заряд ионов кристаллической решетки в точности компенсируется зарядом электронов, создающих ток.
Любопытно посмотреть, какова величина средней направленной компоненты скорости электронов, соответствующей току. Пусть в проводнике с поперечным сечением 1 мм2 течет ток с силой в один ампер. В системе СГС это 3-109 единиц заряда через площадь 0,01 см2, т. е. 3-1011 единиц/см2-сек. Электрон несет заряд 4,8-10-10 единиц,
так что получается:
4 8 [/io = 0,67-1021 электронов/см2 • сек.
Если принять, что число электронов в 1 см3 равно числу ионов, т. е. около 5-1022 электронов/см^, получаем:
5-1О22Уо=О,67-1О21,
т. е. направленная скорость у0=1,33-10~2 см/сек. Это всего в 10 раз быстрее, чем движется конец минутной стрелки наручных часов. Такая скорость электронов устанавливается, когда в данную точку металла добегает электромагнитное возмущение со скоростью в миллион миллионов раз большей.
Электронная теория металлов возникла, как только было доказано существование электрона, измерены его заряд и масса.
Предположение о том, что число электронов в кубическом сантиметре равно числу ионов, казалось вполне естественным. Трудно представить себе, почему один атом должен отдать свой электрон в кристаллическую решетку металла и стать ионом, а другой — не должен. В особенности равенство между числом ионов и электронов в решетке- представляется очевидным для щелочных металлов Li, Na, Кит. д., которые вообще очень легко расстаются со своим наружным (валентным) электроном.
Но тут возникла следующая характерная трудность. Электроны в металле надо было рассматривать как одноатомный газ. Такой газ обладает теплоемкостью |-R на моль. По закону Дюлонга и Пти решетка имеет теплоемкость 3R (см. гл. 3). Следовательно, металл с электрон- 9 ным газом внутри должен иметь теплоемкость -^R, поскольку на каждый ион приходится один электрон. Ничего подобного на самом деле не наблюдается. Больше 3R теплоемкость металлов не бывает. Поэтому электронная теория металлов в таком упрощенном виде, как мы ее сейчас изложили, на неквантовой основе, была оставлена. Только после создания квантовой механики появилась современная электронная теория металлов, свободная от противоречий (см. гл. 14).
ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ
Значение химической кинетики. Обратимые реакции. Энергия взаимодействия двух атомов. Энергия активации. Роль тройных соударений Экзо- и эндотермические реакции. Ре - акции обмена. Ожижение газов. Радикалы. Разветвленная цепная реакция Критические размеры сосуда. Реальность кинетических схем. Рак отступает. Распространение пламени. Болотные огни. Устойчивость пламени.
Пожалуй, наиболее наглядный необратимый процесс ——протекание химической реакции, такой, как горение. Одни реакции идут очень быстро, даже со взрывом, другие, наоборот, очень медленно. Добавление специальных веществ, катализаторов, существенно ускоряет реакции; другие вещества, так называемые ингибиторы, тормозят химические процессы. Изучение скоростей химических реакций имеет очень большое значение для технологии, а также для научных дисциплин, которые так или иначе соприкасаются с химией, например для биологии.
Здесь мы сможем коснуться всего огромного круга вопросов, связанных с химической кинетикой, только вскользь, поскольку это интересно для понимания общих принципов статистической физики.
Прежде всего, надо заметить, что химические реакции не обязательно протекают необратимо. Пусть, например, водород и кислород находятся в замкнутом сосуде при высокой температуре, например 800℃. Часть их прореагирует и образуется водяной пар. Но даже если взять смесь в составе О2+2Н2, реакция не дойдет до конца, т. е. не получится чистый водяной пар. В равновесии образуется смесь начальных компонент и водяного пара. Такое состояние принято обозначать встречными стрелками:
2H2+О2 二 2H2°.
Это значит, что в единицу времени протекает равное число прямых и обратных реакций, что и обеспечивает равновесие.
Прямая реакция идет с выделением тепла н с уменьшением объема: из трех молекул образуются две.
Будем считать, что температура н давление поддерживаются постоянными. При этом условии два ^:oля газа 88
занимают ровно 2/3 объема первоначальной смеси 2Н2+ О2.
Объем смеси можно бесконечно медленно изменять, сохраняя давление постоянным. Если оставить постоянной и температуру, отводя или подводя теплоту к системе, состав смеси будет смещаться вместе с изменением ее объема. Но такое смещение строго обратимо, так как оно достигнуто только за счет изменения объема и скорость превращения веществ целиком зависит от того, с какой скоростью меняется объем. Это удовлетворяет общему определению обратимых процессов в гл. 5.
Совсем иначе пойдет та же реакция, если поджечь гремучую смесь 2Н2+О2 при комнатной температуре. Произойдет взрыв, т. е. быстрое сгорание смеси. Скорость горения определяется кинетическими условиями, например передачей тепла от продуктов горения к еще непрореагировавшему газу или вероятностью химического превращения при элементарном акте столкновения молекул. Это типично необратимый процесс, ведущий к возрастанию энтропии.
Скоростью передачи тепла мы занимались в предыдущей главе, рассмотрим теперь в общих чертах вопрос о вероятности химического превращения в элементарном акте. Два атома, не способные вступить в химическое соединение, на близком расстоянии отталкиваются. Это препятствует их сближению и до некоторой степени оправдывает модель твердых шариков, принятую в физической кинетике. Если же атомы способны соединяться, то при их дальнейшем сближении происходит перестройка электронных оболочек, вследствие которой сила отталкивания переходит в силу притяжения. Постараемся нарисовать кривую потенциальной энергии взаимодействия между атомами, способными вступить в химическое соединение.
На очень больших расстояниях между атомами действуют небольшие силы притяжения. Очень грубо они объясняются тем, что электронная оболочка каждого атома притягивает ядро другого атома и это притяжение слегка перевешивает отталкивание между одноименно заряженными ядрами и оболочками. Если действует притягивающая сила, то при сближении атомов над ними производится работа. Но так как работа равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, сближению атомов отвечает уменьшение потенциальной энергии их
взаимодействия. Условно принимая, что на бесконечном расстоянии потенциальная энергия взаимодействия равна нулю, U(8)=0, мы должны считать U (г) отрицательной величиной при больших значениях г (рис. 18). Появление сил отталкивания должно привести к возрастанию U, так что левее точки г0 потенциальная энергия возрастает и переходит к положительным значениям.
Рис. 18.
У атомов, не способных реагировать химически, рост U при уменьшении г продолжается неограниченно. Если возможно химическое соединение, то силы отталкивания снова переходят в притяжение, т. е. U опять начинает убывать после некоторой точки гх. Убывание никогда нс может идти безгранично, потому что при г->0 начнет преобладать электрическое отталкивание ядер. Как мы увидим в дальнейшем, некоторые ядра способны слиться в одно, но тогда произойдет уже не химическая, а ядерная реакция. Слиянию ядер предшествует некоторая область отталкивания, как и химическому соединению атомов (так как ядра заряжены одноименно).
На том же рис. 18 и на той же вертикальной шкале можно изобразить и полную энергию двух сталкивающихся атомов Е. Но так как энергия сохраняется, график Е имеет вид горизонтальной прямой.
Рассмотрим две такие прямые, отвечающие энергиям £i и £2. Начнем с Ei, которая выбрана меньшей, чем максимальное значение U, достигаемое в точке п. Сближение атомов с энергией относительного движения £\ может идти только до точки пересечения горизонтальной прямой 90
Ei с кривой U (г). Ведь кинетическая энергия равна Е——U, а если Е меньше U, кинетическая энергия 加；‘ получит отрицательное значение. Но это по классической механике просто невозможно (как будет по квантовой теории —мы увидим ниже). Классическая механика не применима к движению электрона в атоме, но неплохо описывает движение атома как целого, так как его ядро — довольно тяжелая «почти классическая» частица.
Итак, при энергии Е^ атомы не способны вступить в химическое соединение.
При энергии £2, которая равна или больше максимального значения U в точке гь силы отталкивания не препятствуют атомам сблизиться так сильно, чтобы сказались силы химического сродства. Правда, если столкнулись только два атома, то они все равно потом разлетятся: поскольку они преодолели горб на кривой, идя справа налево, ничто не воспрепятствует им потом пройти над ним слева направо. Законы механики полностью обратимы. Чтобы закрепить соединение, атомы должны в момент столкновения отдать избыток энергии, чтобы у них осталась энергия £3, лежащая ниже горба. Избыток энергии £2—Ез может перенять на себя какое-то третье тело, атом или молекула, оказавшиеся вблизи столкнувшихся атомов при их сближении. Иначе говоря, необходимо тройное соударение.
Мы нарисовали энергию Е3 ниже нуля. Это значит, что третье тело унесло больше энергии, чем имели два прореагировавших атома до реакции (за вычетом энергии теплового движения), как раз на величину |£3| (вертикали при Ез — это знак модуля, он означает абсолютное значение отрицательной величины). В этом случае реакция называется экзотермической, она идет с выделением тепла. Если Eq>0, то нужна затрата тепла £3, чтобы произвести реакцию (эндотермическая реакция). Но во всех случаях столкнувшиеся атомы должны иметь большую энергию относительного движения, чем высота горба кривой отталкивания, называемая энергией активации реакции. Она обозначается буквой А. Обычно Л гораздо больше тепловой энергии движения атомов 0.
Так как кинетическая энергия сталкивающихся атомов распределена согласно Максвеллу, доля атомов, способных прореагировать, определяется
^- Л/0^- Л/0множителем
^- Л/0
^- Л/0
Суммирование по всем энергиям, превосходящим Л, привносит только множитель перед показательной функцией. Полученный закон носит имя Аррениуса.
Зависимость скорости реакции от температуры очень сильная. Характерная величина Д^4-10-12 эрга. Комнатная температура 0, как уже указывалось, 4- 10-14эрга. Соответствующий множитель e~A;Q= е_100=10~43. Атом испытывает примерно 2-109 соударений в секунду, так как свободный пробег 2-10-5 см, а скорость теплового движения 4 -104 см/сек. Ясно, что в рассматриваемом примере реакция не идет вообще, потому что в кубическом сантиметре находятся 3-1019 атомов, а произведение 3-1019-2-109-10~43=10~14 атомов/сек. Нужно ждать 10 миллионов лет, чтобы прореагировал один атом. Возьмем теперь температуру вчетверо выше комнатной (в абсолютной шкале Кельвина, т. е. отсчитанную от абсолютного нуля). Фактор Аррениуса будет равен Ю-43/4^ 410-1°. Тогда число реакций составит 3-1019-2- 109Х X 10~10=6-1018. Реакция произойдет за 2—3 секунды.
Реакции между атомами требуют присутствия третьего тела, уносящего избыток энергии. Если реагируют молекулы, это не обязательно. Например, в реакции замещения
BC+D=BD+C избыточная энергия просто перераспределится между продуктами реакции. Заметим, что в этом случае не безразлично, с какой стороны атом D подойдет к ВС. Потенциальную энергию взаимодействия трех тел BCD нельзя изобразить в виде кривой: надо построить целую поверхность вроде рельефа гористой местности. На ней могут быть перевалы, где высота потенциального барьера наименьшая. Через перевал реакция идет легче всего. Но в общей вероятности реакции надо учесть и вероятность подхода с нужной стороны, через перевал («стерический фактор»).
На рис. 18 видно, что на кривой потенциальной энергии правее основной «ямы», расположенной слева от барьера, есть еще одна мелкая яма справа от него. Если глубина ее при комнатных температурах сравнима с 0, т. е. энергией теплового движения, то соединение атомов
с энергией Е' (см. рис. 18) неустойчиво. Каждое столкновение такой квазимолекулы с атомом или молекулой может сопровождаться передачей энергии, достаточной для того, чтобы разделить атомы. Для этого надо передать такой квазимолекуле энергию | Ef |, которая порядка 0, т. е. средней энергии сталкивающихся молекул. Но при очень низкой температуре положение меняется. Тогда атомы объединяются и газ переходит в жидкое состояние. За это ответственны как раз мелкие ямы на кривых потенциальной энергии, расположенные между областями притяжения и отталкивания молекул.
Очень многие реакции идут не прямо так, как пишется в элементарных учебниках химии, а через промежуточные продукты, потому что при этом сильно понижаются энергии активации. Они уменьшаются особенно заметно, если атомы или соединения, входящие в промежуточные реакции, имеют свободные, ненасыщенные валентности. Такие атомы и соединения называются радикалами. Мы будем обозначать их точкой над химическим символом. Реакция соединения хлора с водородом идет, например, так:
С1 + Н2一 НС1 + Н, Н+С12-^НС1+С1
и т. д., а не по формуле Н2 + С12 = 2НС1. Первая ненасыщенная валентность при комнатной температуре сама собой не образуется. Обычно для ее появления нужно, чтобы под действием внешнего источника света молекула С12 расщепилась на два атома. После этого смесь реагирует очень быстро по указанной схеме.
Каждый раз взамен ненасыщенной валентности одного свободного атома появляется валентность другого атома, чередуясь. Реакция идет как бы цепью и называется поэтому цепной.
Н. Н. Семенов открыл важный класс цепных реакций, где взамен одной ненасыщенной валентности получается несколько. Например, окисление водорода идет по такой схеме:
Н2 + О2—> Н + НО2 (зарождение цепи),
Н + О2—>ОН + 0 (разветвление цепи),
°+ ”21°“ + " I (продолжениецепи).
ОН + Н2 —%0 + Н
Отметим, что радикал Н02 мало активен.
Таким образом, из одного активного центра с ненасыщенной валентностью Н получаются три: гидроксил ОН и два Н. Если радикалы Н смогут снова дать по три радикала, то скорость реакции будет лавинообразно нарастать. Воспрепятствовать этому может лнбо рекомбинация атомов Н на стенке сосуда, либо переход валентности на неактивный радикал НО2 в объеме. В зависимости от условий протекания реакции, т. е. от давления в сосуде, его размеров, примеси инертных газов, обработки стенок сосуда, разветвленная цепная реакция может либо ускориться, либо затухнуть.
Надо заметить, что фактически ученики Семенова сначала открыли разветвленную цепную реакцию, а затем Семенов дал ей объяснение с помощью активных центров. Одной из отправных точек цепной теории послужило существование критических размеров сосуда. При меньших размерах радикалы в основном доходят до стенки и на ней рекомбинируют, при больших размерах они успевают раньше дать разветвление, так что реакция идет со взрывом.
В настоящее время умеют накоплять свободные радикалы в конденсированном состоянии, где затруднена их рекомбинация.
Специальные примеси (ингибиторы) могут понижать активность радикалов и переводить системы из надкритических состояний, где цепи разветвляются лавинообразно, часто приводя ко взрыву, в подкритические, где разветвление цепей затухает.
Развитие химической кинетики показало, что огромное множество реакций идет по радикально-цепному механизму. Но его отдельные звенья часто существуют только на бумаге. Однозначные доказательства того, что определенная реакция идет по предлагаемой схеме, имеются лишь для немногих примеров. Обычно сопоставление реакции той или иной схеме больше всего связано с научной школой и традицией.
Велико значение радикалов и в биохимии живых организмов. Выдающийся ученик Семенова Н. М. Эмануэль предложил метод лечения злокачественных новообразований,, ингибируя процессы окисления в пораженных тканях. Опыты на мышах дали обнадеживающие результаты. Рак отступает!
Участие радикалов в реакциях окисления очень существенно для понимания того, что такое пламя. Задача заключается в том, чтобы объяснить существование режима горения, при котором пламя распространяется по горючей смеси со строго определенной скоростью, зависящей от давления и состава смеси. Основополагающие результаты здесь принадлежат Я. Б. Зельдовичу и Д. А. Франк-Каменецкому. В общих чертах можно сказать, что горение распространяется в газах по следующему механизму (рис. 19). В холодном газе реакция идет с исчезающе малой скоростью, благодаря большому значению энергии акти- 一
ХолодныйгазХолодныйгазПродукты\ Зона горения \ реакцииПродукты\ Зона горения \ реакцииЗонапрогребаЗонапрогребавацпи. Теплота, выделяемая в зоне реакции, пе-
Холодныйгаз
Холодныйгаз
Продукты\ Зона горения \ реакции
Продукты\ Зона горения \ реакции
Зонапрогреба
Зонапрогреба
редается по механизму ；||
теплопроводности в зону—
прогрева и в ней начина- Рис. 19.
ется реакция, которая в
свою очередь подогревает новые порции газа. Очень существенно, что кроме тепла из пламени вперед уходят (диффундируют) и активные центры, которые гораздо легче начинают реакцию с несгоревшим газом, чем это могло бы произойти в нем за счет одного лишь подогрева. Уже было сказано, что у .радикалов энергия активации реакции гораздо меньше, чем у стабильных веществ.
Иногда одной лишь диффузии радикалов достаточно, чтобы вызвать реакцию без всякого нагревания смеси. Это объясняет механизм так называемого холодного пламени, типа болотных огней при окислении фосфористого водорода.
Существенно, что пламя «само» выбирает свою скорость. Если скорость по какой-либо причине увеличится, смесь не будет успевать прореагировать, тепловыделение (или образование активных центров) замедлится и тем самым задержит горение. Если же скорость пламени уменьшится, выделяющееся тепло и активные центры настолько увеличат быстроту реакции в том объеме, где поступательный ход пламени замедлился, что в ближайшем несгоревшем объеме реакция ускорится и наступит новый разгон. Устойчиво одно, вполне определенное значение скорости, обычно порядка нескольких метров в секунду.
КИНЕТИКА ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
Деление урана и капельная модель Нейтроны, сопровождающие деление. Критическая масса. Верхний предел критической массы. Термоядерные реакции в природе. Подбарьерный переход в квантовой механике. Реакция между изотопами водорода. Невыгодность ускорителей для ядер ной энергетики. Скорость термоядерной реакции. Потери на излучение в горячей плазме.
Выражение «цепная реакция» в настоящее время стало общераспространенным и, как образ, применяется по разным поводам в обыденной жизни и в прессе. В этом повинны в первую очередь не успехи цепной теории в химии, а цепная ядерная реакция ). В отличие от химической цепной реакции, ее открытие было целенаправленным. Некоторая случайность была в открытии элементарного акта деления ядра урана. Известно, что Ферми, систематически исследуя действие нейтронов на ядра, не заметил осколков деления, как говорят, из-за кусочка алюминиевой фольги в приборе ). Деление открыли на три года позже радиохимическими методами Ган и Штрассман. Они систематически обнаруживали, что носители радиоактивности после облучения урана нейтронами обладают химическими свойствами элементов среднего атомного веса. Это и доказывало, что тяжелое ядро урана делится приблизительно пополам. Слишком хорошо все знают, что последовало за этим. Нам хотелось бы только остановиться на том, как была предсказана цепная ядерная реакция.
Деление ядра во многом напоминает разрыв электрически заряженной водяной капли. Электростатические силы отталкивания преодолевают поверхностное натяжение, капля вытягивается, потом на ней образуется перетяжка, тонкая шейка и происходит разрыв. Кроме двух половинок капли, между ними на месте шейки остаются одна или две совсем мелкие капельки. Если аналогия деления с разрывом капли идет достаточно далеко, то мож-
но ожидать, что кроме осколков получатся один или два нейтрона.
Это вопрос кардинальной важности. Если в среднем на один акт деления приходится больше одного нейтрона, то они, попадая в другие ядра урана, могут в свою очередь разделить их. Произойдет разветвленная цепная реакция.
Вот какие далеко идущие выводы повлекло за собой изучение капельки меньше булавочной головки.
Разумеется, не всякий нейтрон идет в дело. Он может просто вылететь из уранового блока, не столкнувшись с ядром, или захватиться ядром, не произведя деления. Легко захватывает нейтроны тяжелый изотоп урана с атомным весом 238, а легко делится легкий изотоп с весом 235, которого в 140 раз меньше. Это приводит к большим сложностям в осуществлении цепной реакции, но, как известно, ее все-таки осуществили.
Основная трудность была в том, что не были достаточно известны вероятности элементарных процессов: вероятность деления, число нейтронов на одно деление, вероятность захвата нейтрона, т. е. потери его в самом веществе, и коэффициенты диффузии нейтрона в уране и в замедлителе (медленные нейтроны эффективнее для деления). Все эти величины были впервые найдены по интегральным характеристикам реакторов. Подобно этому химики оценивают вероятности отдельных элементарных реакций с активными центрами. Но химики находятся в менее выгодных условиях, чем физики, так как обычно недостаточно хорошо установлена сама схема протекания химической реакции.
Скорость цепной реакции на медленных нейтронах регулируют, вдвигая и выдвигая из реактора кадмиевые стержни. Кадмий очень сильно поглощает нейтроны и в некотором смысле аналогичен ингибиторам в химии.
В чистом U23^ или в плутонии, к сожалению, возможна и неуправляемая цепная реакция на быстрых нейтронах. Чтобы осуществить ее, надо быстро перевести некоторую массу из подкритического состояния в надкритическое. Если сделать это медленно, то выделяющееся тепло разбросает вещество раньше, чем прореагирует заметная его часть. Но так как переход из подкритического состояния в надкритическое нельзя произвести со сколь угодно большой скоростью, начальная масса активного материала как-то ограничена сверху. Поэтому изобретательская
97974 А. С. Компанеец
97
97
мысль обратилась к термоядерным реакциям. Не известны условия в природе, при которых осуществлялись бы цепные ядерные реакции на нейтронах (без вмешательства человека). Поэтому, отдавая дань риторике, мы выразим сожаление о том, что такие реакции вообще физически возможны. В отношении термоядерных реакций это вряд ли было бы уместным, так как они выделяют всю ту энергию, которую излучает 〃⑺ I дСолнце. Кроме того, мирное
I \использование термоядерной
I \ л£ энергии обеспечит потребно-
rj сти всего человечества прак-
_/— тически на вечные времена,
/если немирное применение не
истребит самую потребность.
IРассмотрим механизм терри 2моядерной реакции. На рис.
ис, '18 кривая потенциальной
энергии слева переходит в участок, отвечающий отталкиванию между ядрами. Увеличим теперь масштаб этой части в сто тысяч раз по абсциссе и во столько же раз уменьшим по ординате, иначе говоря, подойдем поближе к ядру. Тогда получится кривая рис. 20. Спадающая часть кривой отвечает кулоновскому отталкиванию между ядрами. На близких расстояниях начинает сказываться действие притягивающих ядерных сил, которые превышают электрическое отталкивание. Из-за этого кривая получает вид барьера, подобно кривой рис. 18.
Отсюда можно было бы сделать заключение, что реагировать между собой способны только ядра с энергией относительного движения выше потенциального барьера. На самом деле квантовая механика открывает другую возможность. Движение частиц надо рассматривать по волновым законам, подобно распространению света.
Есть широкий круг явлений, где волновые законы допускают приближенный подход, основанный на построении световых лучей. Таким же образом волновые уравнения квантовой механики в применении к телам достаточно тяжелым переходят в ньютоновские движения по траекториям.
Но существует и другой круг явлений, где без понятия волны невозможно обойтись, так же как нельзя всю оп-
тику строить на понятии луча, а необходимо обратиться к волновым представлениям. Рассмотрим одно явление, которое не объясняется с помощью только лучей. Все, вероятно, знают, что такое полное внутреннее отражение (рис. 21,а). Если луч света А падает из плотной среды в неплотную, например из стекла (выше поверхности раздела S) в воздух, он в воздухе приближается к поверхности, а в стекле частично отражается назад (А')- При некотором угле падения а угол преломления р становится прямым, т. е. в воздухе луч скользит вдоль поверхности. При больших углах падения луч В совсем не проникает в воздух, а целиком отражается назад в стекло. Все сказанное прекрасно описывается на языке световых лучей.
Но пусть воздух присутствует только в виде тонкой прослойки между двумя массивными стеклами (рис. 21,6). Толщина прослойки — порядка одной или двух-трех длин световой волны. Тогда оказывается, что свет немного проникает в воздух в виде затухающей волны. Объясняется это в общих словах тем простым обстоятельством, что волна не имеет резкой границы, на которой она может скачком обрываться. Так как на пути волны снова находится стекло, волна затем продолжает распространяться в стекле под тем же углом, под каким она вышла на поверхность раздела, но уже не затухая.
Если применить к столкновению ядер волновые законы движения, то окажется, что в точке А на рис. 20 не происходит полного отражения, подобно тому как его нет для света в случае, изображенном на рис. 21,6. Между А и В тоже может двигаться частица. Не получается ли так, что там у нее отрицательная кинетическая энергия? Нет,
потому что сами по себе раздельные понятия кинетической и потенциальной энергии относятся лишь к ньютоновскому движению по траектории. На отрезке АВ траектории нет, движение существенно волновое. Ему соответствует только полная энергия Е, которая всегда сохраняется, кинетическая же и потенциальная энергия раздельно не существуют как физические велвдины на участке 4В. Таким образом, квантовые частицы могут проникать сквозь потенциальный барьер, так же как световые волны сквозь воздушную прослойку.
Вероятность проникновения тем больше, чем быстрее движутся частицы, и с хорошей точностью описывается такой формулой:
—4门2 ZiZze2W = e —.
Здесь по установившейся традиции уже знакомое нам число 2,718... и элементарный заряд обозначены одной и той же буквой е. Их различают по тому, что е=2,7Е.. стоит в основании степени, а заряд — в показателе. Zi и Z2 — заряды сталкивающихся ядер, выраженные через элементарный заряд е, т. е. целые положительные числа. V — относительная скорость ядер до столкновения, h — особая элементарная постоянная, которую ввел в науку Планк. О ней будет подробнее сказано в следующей главе, здесь мы только укажем, что она равна 6,62-10~27 СГС-единиц.
При данной кинетической энергии скорость легкой частицы больше, чем скорость тяжелой, потому что К= =恤2/2 и и обратно пропорциональна квадратному корню из т. Но при больших и отрицательный показатель степени у W тем меньше по абсолютной величине, чем больше V. Следовательно, вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер больше всего у легких ядер. Легче всего поэтому идут такие термоядерные реакции:
Н2+Н2->Не3+п, Н2+Н2->Н3+р, Н2+Н3->Не4+п.
Здесь п — нейтрон, р, Н2 и Н3 — изотопы водорода: обычный (протон р=Н1), тяжелый (иначе дейтерий) и сверхтяжелый (тритий). Не3 и Не4 — легкий и тяжелый
изотопы гелия. Дейтерий примешан к природному легкому водороду в отношении 1/5000, тритий распадается за 12 лет на легкий изотоп Не3 и электрон. Поэтому Н3 в природе не встречается, его приходится приготовлять в ядер- ных реакторах по схеме Li6+n->H3+He4, т. е. при облучении легкого изотопа лития нейтронами, которые доставляет ядерный реактор.
Во всех трех перечисленных реакциях заряды сталкивающихся частиц Zi и Z2 равны 1. В третьей реакции одна из частиц, Н3, тяжелее, но зато в четыре раза больше энерговыделение реакции. Кроме того, уже по свойствам самих ядер, их перестройка, связанная с этой реакцией, идет значительно легче, чем у двух ядер Н2.
Реакцию можно осуществить, разгоняя одно из ядер в ускорителе. Но при этом оказывается, что почти все такие разогнанные ядра не производят реакцию и попусту теряют свою энергию, растрачивая ее на вырывание электронов из атомов вещества мишени. Только одно из ста тысяч ядер, вылетевших из-ускорителя, производит реакцию раньше, чем потеряет энергию. Поэтому ускоритель невыгоден для ядерной энергетики. Следует сделать так, чтобы быстрые ядра не теряли энергию до реакции. Для этого надо поднять температуру среды до та$ кого значения, чтобы атомы ионизировались, т. е. ядра оголились и потеряли электроны. Благодаря этому больше не будет теряться энергия ядер на отрыв электронов, и при столкновении двух ядер между ними с большей вероятностью может произойти реакция. Роль «ускорителя» сыграет высокая температура, и она же создаст условия, при которых энергия ядер не растратится бесполезно, как в холодном веществе. Разогретое вещество, или плазма, начнет «гореть» ядерным огнем, который выделяет в миллион раз больше энергии на единицу массы горючего, чем обычный. Ядерные реакции, которые идут в горячем веществе, называются термоядерными. Внутри звезд, где материя сжата огромным давлением, термоядерные реакции способны идти сравнительно медленно, если температура не слишком высока. Температура внутри звезд известна довольно точно. Она оценивается разными способами, в том числе по эн ер говыделен ию термо-' ядерных реакций, и результаты взаимно согласуются.
В земных условиях пока не удается удерживать горячую плазму так долго, сколько требуется, чтобы
прореагировала заметная доля ядер. Поэтому управляемые термоядерные реакции не осуществлены. Неуправляемые, как известно, получены.
Выясним теперь, как зависит от температуры скорость термоядерной реакции. Надо взять долю ядер, обладающих данной скоростью и, или q(u), и умножить на вероятность реакции W, т. е. записать произведение
mv2 4Л22122саq-W =厂而 ^~.
Оно очень сильно зависит от скорости, дважды входящей в показатель степени. Заметим, что q・ W обращается в пуль и при и=0, и при и=оо. При нуле —,из-за второго сомножителя (при 刃=0), при и=8 — из-за первого, максвелловского сомножителя д(и). Существует такое значение и, при котором вероятность q。 W наибольшая. Это значение и и определяет скорость протекания термоядерной реакции. Вклад в общую скорость реакции от иных значений и гораздо меньше.
На рис. 22 изображены три кривые: показатель максвелловского распределения q (и), «барьерный
—InW и их сумма,—InW и их сумма,множитель»
—InW и их сумма,
—InW и их сумма,
значениизначениии, где суми, где сумвходящая в показатель. При том
значении
значении
и, где сум
и, где сум
марная кривая имеет минимум, функция g・ W больше всего, потому что сумма стоит в показателе с общим минусом.
Минимальное значение показателя равно
_3 (^^^)2/3(2)1/з
Это можно сравнить с фактором Аррениуса, который содержит в показателе степени величину, обратную 0. В случае термоядерной реакции зависимость от температуры слабее, но тем не менее достаточно сильная. Когда температура дейтериевой плазмы возрастает от миллиона градусов вдвое, скорость реакции увеличивается в 4000 раз.
Фактически при такой температуре термоядерная реакция еще не может сама себя поддерживать, потому что она выделяет меньше энергии, чем горячая плазма отдает в виде электромагнитного излучения. Тепловые потери на излучение быстро понизят температуру плазмы и реакция не сможет сама себя поддерживать. Потери энергии на излучение мы рассмотрим подробнее в следующей главе вместе с термодинамикой электромагнитного излучения.
ТЕРМОДИНАМИКА ИЗЛУЧЕНИЯ
Блиэкодействие 6 электродинамике. -Энергия поля и энергия вещества. Статистическое равновесие поля и вещества. Зеркальный ящик. Импульс электромагнитного поля. Опыты Лебедева. Закон Стефана — Больцмана. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Спектры поглощения. Что затрудняет термоядерную реакцию 6 земных условиях.
Мы уже говорили, что основные достижения физики XIX века — создание термодинамики и теории электромагнетизма, т. е. электродинамики. Решающий результат принадлежит здесь Максвеллу, который сформулировал общие уравнения электромагнитного поля, имеющие столь же фундаментальное значение, как уравнения Ньютона в механике.
Механика Ньютона представляла взаимодействия между объектами как дальнодействие, как силу, мгновенно передающуюся на расстоянии. В электродинамике взаимодействие передается в пространстве и во времени с конечной универсальной скоростью, равной скорости света с=3-1010 см/сек, т. е. существует только близкодей- ствие. Электрический заряд посылает электромагнитное возмущение, как бы сигнал, который затем приходит к другому заряду. Когда возмущение уже ушло от первого заряда и еще не пришло ко второму, часть энергии, очевидно, принадлежит электромагнитному полю. Отсюда следует, что поле — столь же материальный объект, как и электрический заряд, и теперь можно думать, что и более простой объект, потому что в вопросе строения заряда имеются некоторые неясности, а все, что относится собственно к полю,— досконально известно.
В настоящее время деление материи на «поле» и «вещество» выглядит довольно условным. Но это относится
к учению об элементарных частицах. В статистической физике, безусловно, удобно рассматривать поле как отдельный объект. В системе, состоящей из вещества и электромагнитного поля, могут установиться статистические равновесия в атомной подсистеме, т. е. в веществе, в самом поле и между полем и веществом. Необходимое условие для этого — замкнутость поля в пространстве, подобно тому как равновесие в газе устанавливается только в том случае, если он помещен в замкнутый сосуд. Поле в открытой области, естественно, рассеется и уйдет сколь угодно далеко.
Условия равновесия между полем и веществом идеально выполняются в замкнутой полости, например в закрытой печке. Причем печь не обязательно должна топиться: в холодной печи тоже имеет место равновесие с полем, но при более низкой температуре. Равновесие состоит в том, что с каждого квадратного сантиметра внутренней поверхности в единицу времени в заданном направлении излучается столько же энергии в поле, сколько обратно из поля поглощает вещество. Равновесное поле содержит набор электромагнитных волн всех направлений, частот н поляризаций (поляризацией называется определенное направление вектора электрического поля волны, перпендикулярное к вектору распространения). Здесь имеется аналогия с равновесным газом, который тоже содержит молекулы со всевозможными скоростями, колебательными и вращательными энергиями.
В поисках правильного распределения для электромагнитного излучения физика впервые пришла к противоречию с классическими ньютоновскими законами движения и родилась квантовая теория. К этому мы постараемся постепенно подвести читателя.
Прежде всего ясно, что если наступило равновесие поля с веществом, имеющим температуру 0, то и поле имеет ту же температуру. Но тогда можно рассматривать его обособленно, не привлекая каждый раз в рассуждениях вещество. Надо только замкнуть поле в пространстве, чтобы не дать ему уйти на бесконечность. Для этого достаточно поместить его в ящик с зеркально отражающими стенками. В этот же ящик можно положить сколь угодно малую пылинку, чтобы обеспечить выполнение условий равновесия. Пылинка столь мала, что не влияет на равновесное состояние поля, а только гарантирует 104
его достижение, поглощая и испуская электромагнитное излучение всевозможных частот. При этом температура поля равна температуре пылинки. Не надо думать, что подобные ящики с полем и пылинкой внутри на самом деле изготовляются для нужд физических лабораторий или для лекционных демонстраций. Это лишь умозрительная модель, на которой удобнее всего теоретически изучать равновесное (и часто неравновесное) электромагнитное поле. Выведя свойства равновесного поля для одной конкретной модели, нетрудно перенести их на более реальные модели. Подобно этому мы выводили общие положения термодинамики, пользуясь циклом Карно, который не осуществляется ни в одном реально действующем двигателе.
В стенке ящика можно также сделать сколь угодно малое отверстие, чтобы заглянуть внутрь. Состояние поля этим не нарушится и можно будет определить, например, как плотность энергии поля зависит от его температуры. Таким способом Стефан узнал, что плотность энергии пропорциональна четвертой степени температуры (разумеется, Стефан пользовался не воображаемым зеркальным ящиком, а просто полостью с малым отверстием). Больцман сумел вывести закон Стефана теоретически. Его вывод мы и постараемся воспроизвести.
Заметим, прежде всего, что электромагнитное излучение обладает не только энергией, но также импульсом. В том, что это должно быть так, легко убедиться, рассматривая снова излучатель, поле и приемник. Из уравнений Максвелла следует, что связь импульса с энергией'у бегущей электромагнитной волны не такая, как у частицы. Именно, импульс волны есть вектор, абсолютная величина которого равна энергии, деленной на скорость света. По направлению импульса бежит волна. Напомним, что импульс частицы равен ее массе, умноженной на скорость. Почему мы так уверенно называем импульсом волны величину, построенную по совсем другому закону? Потому, что при взаимодействии волны с частицей сохраняется суммарный вектор, у которого слагаемое, относящееся к частице, есть ее обычный импульс, а то, что привносит волна,— ее энергия, деленная на с. Естественно определить импульс так, как это делается в каждой замкнутой системе,— как сохраняющуюся векторную величину. Отсюда следует законность принятого выражения
для импульса волны. Когда волна отражается от зеркальной стенки, она передает ему удвоенный импульс, подобно отражающейся частице. Отсюда видно, что излучение в ящике оказывает на его стенки давление, таким же образом, как газ. Реальность светового давления была доказана в опытах П. Н. Лебедева в 1900 г.
Зная связь между импульсом и энергией, нетрудно повторить вывод Бернулли (см. гл. 1) применительно к излучению. При этом оказывается, что произведение давления на объем равно 1/3 энергии, заключенной в ящике, а не 2/3, как у идеального газа. Докажем это.
Построим на одном квадратном сантиметре поверхности стенки косой цилиндр, наклоненный под некоторым углом а к нормали (рис. 23). Рассмотрим не все излучение, находящееся в этом цилиндре, а только распространяющееся по направлению его оси. Пусть его энергия равна 8. Половина излучения идет к стенке, половина — от нее.
Импульс той половины, которая падает на стенку, согласно только что сказанному равен е,2c.
Из какой части цилиндра излучение за единицу времени дойдет до стенки? Ясно, что, распространяясь со скоростью с, дойдет излучение из части, имеющей длину с. Объем косого цилиндра равен объему прямого цилиндра (показан на рис. 23 пунктиром), высота которого ccosa. Значит, полный импульс излучения, доходящий за единицу времени до стенки, на 1 см2 поверхности равен (е/2с) ccosa. При отражении передается удвоенная проекция всего этого импульса на нормаль, т. е.
農 с cos а • 2 cos а = е cos2 а.
Давление на стенку получится, если просуммировать эту величину по всем возможным направлениям.
Возьмем вектор с длиной единица и спроектируем его на три координатные оси. Проекции назовем пх, пу и По теореме Пифагора
磯+吗+疋=1.
Образуем средние:
〈磯>+〈吗>+〈能> =L
Но так как оси равноправны, все три средние величины одинаковы:
<и^> = <п^> = <nl> = <cos2 а>.
Отсюда
〈磯〉=<cos2 а> = у .
Величина е относилась к излучению в единице объема, идущему под определенным направлением к стенке. Следовательно, сумма от £ по всем направлениям есть энергия в единице объема или отношение полной энергии к объему, ^e=E/V. Окончательно
что и требовалось доказать.
Заметим, что в опытах Лебедева измерялось давление не равновесного излучения, а направленного светового луча. Поэтому не возникал коэффициент 1/3.
При выводе была использована только равновероятность всех направлений. Условие теплового равновесия в явном виде не было принято во внимание. Оно позволяет найти зависимость Е от температуры.
Представим себе излучение в цилиндре под поршнем. Передвинем немного поршень так, чтобы температура излучения не изменилась. Этого можно достичь, считая, что излучение находится в тепловом равновесии со стенками, температура которых поддерживается постоянной. Тогда над излучением будет произведена работа против сил его давления и, кроме того, в стенку должно быть передано некоторое количество лучистого тепла, чтобы обеспечить постоянство температуры.
Согласно первому началу термодинамики надо записать:
邑一Ei=Q+4
где Q — переданное тепло, А — совершенная работа. Для работы над излучением имеем выражение:
Л =-■P （V 2一%）.
Следовательно,
£12 —Q
Левая сторона равенства есть не что иное, как изменение энергии, приходящееся на вытесненный объем при заданной температуре, т. е. при неизменном состоянии излучения. Следовательно, это плотность энергии, равная, как было доказано, Зр. Перенося р слева направо, получим:
Так как процесс проводился обратимо, имеем по второму началу термодинамики:
q=7(S2—S】)・
Покажем теперь, что
( S2 - Si )= (p2 - Pl \
- %丿7 = const 卜 72 - T\ / V=const *
Приводя это соотношение к общему знаменателю, получим слева теплоту, переданную при бесконечно малом круговом процессе (цикле), а справа — совершенную при этом же цикле работу.
Чтобы доказать это, рассмотрим один и тот же круговой процесс на трех диаграммах: (7, V), (7, S) и (р, V). На (7, V) ему отвечает прямоугольник, а на (Т, S) и (р, V) — параллелограммы. На (7, 5)-диаграмме одно основание сдвинуто относительно другого вдоль оси S, а на (р, "диаграмме — вдоль оси р. Но существенно, что прямоугольник деформировался именно в параллелограммы, а не произвольным образом. Это свойство бесконечно малых циклов. Площадь параллелограмма на (S, Т)-диаграмме равна (S2—SJ (Т2—7\), а параллелограмма на (р, V) равна (р2—〃)(％—匕).Но это теплота и работа одного и того же кругового процесса, так что они равны, как и утверждалось.
Итак,
(7 — среднее между Т2 и Л), или 02— Pl 4 (72- Л)
Как мы видели в гл. 7, эти бесконечно малые отношения можно заменить на логарифмы по основанию е:
In 型= 41hPiA
Но если теперь перейти от р2 к р3 и от 7\ к 73, от /?з к р4 и от Т3 к Т4 и т. д. и сложить все равенства, промежуточные давления и температуры выпадут н останутся только конечные и начальные величины, т. е. для произвольного перемещения поршня получим:
ln^ = 41n^ = ln(^y,
или окончательно
Это и есть закон, экспериментально найденный Стефаном. В настоящее время он носит двойное имя Стефана — Больцмана. Плотность энергии равна утроенному давлению, следовательно, она тоже пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Измерить плотность энергии и давление внутри раскаленной полости трудновато. Но, как мы указывали, малое отверстие в полости не изменяет состояния в ней. Из отверстия будет выходить в единицу времени количество энергии, пропорциональное ее плотности внутри. Иначе говоря, лучеиспускательная способность отверстия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры.
Всякий луч, попавший снаружи в полость через отверстие, многократно отразится от стенок и не выйдет назад. Поэтому такое отверстие носит несколько эксцентричное название абсолютно черного тела, даже когда оно ярко светится. Очевидно, под абсолютной чернотой надо подразумевать способность поглощать 100% падающей лучистой энергии. Она зависит, как мы увидим, от того, что именно само тело испускает. Газовые оболочки Солнца тоже хорошо поглощают падающую энергию, и в этом смысле Солнце — абсолютно черное тело! Его лучеиспускание соответствует температуре 5700°. Дальше мы укажем, как проверяется степень черноты Солнца.
Рассмотрим теперь тела нечерные.
Такие тела надо дополнительно характеризовать луче- поглощательной способностью, т. е. частью энергии, поглощаемой телом, когда на него падает излучение. Речь идет, таким образом, об отвлеченной величине. Для абсолютно черного тела она равна 1.
Поместим в полость с равновесным излучением черное и нечерное тело. В состоянии равновесия каждое из них столько же излучает, сколько и поглощает. Пусть с единицы поверхности черного тела в единицу времени испускается энергия J。, нечерного J. Заставим их обмениваться излучением так, чтобы всё, излучаемое одним, поглощалось другим. Для этого достаточно поставить две большие плоскости, черную и нечерную, параллельно друг другу. Тогда черное тело поглощает тоже J, а нечерное JoY，где у — его поглощательная способность, которая, по определению, меньше единицы. По условию равновесия J=)oY， или
т. е. отношение лучеиспускательной способности тела к лучепоглощательной есть универсальная функция температуры, равная лучеиспускательной способности абсолютно черного тела (закон Кирхгофа),
Так как yVl, то Jo>J, т. е. черное тело излучает больше всего.
Это хорошо видно на примере пламени. Прозрачное пламя газа светит слабо, а пламя свечи, содержащее раскаленные частицы углерода, непрозрачно и светит сильнее.
Закон Кирхгофа выполняется не только для всего излучения в целом, но и для отдельных частот, что доказывается таким же рассуждением, как приведенное выше. Раскаленный газ испускает не сплошной спектр излучения, а только некоторые характеристические частоты. Спектроскоп показывает отдельные яркие линии. По закону Кирхгофа эти же часто™ должны и сильно поглощаться. Если пропустить сквозь раскаленный газ яркое излучение со сплошным спектром, например от черного тела, то на фоне излучения черного тела вместо светлых линий появятся темные. Точнее, они будут казаться темными на ярком фоне. Газ не пропустит излучение соот- но
ветствующих частот потому, что сильно его испускает, и яркость линий изменится, а между линиями свободно пройдет более интенсивное черное излучение.
Поэтому спектр Солнца содержит темные линии поглощения. Свет от более ярких, непрозрачных внутренних областей проходит через менее яркие, но прозрачные слои. Спектр газовых туманностей содержит яркие линии, а не темные, как у Солнца и звезд. Сравнивая спектр Солнца с земными источниками, Кирхгоф впервые узнал о химических элементах, из которых оно состоит. Значение этого открытия для астрономии и для всей картины мира невозможно переоценить ). По относительной яркости линий и фона определяют характер удаленного объекта, который нельзя разрешить с помощью телескопа на отдельные звезды. Таким способом узнали, что весьма удаленные галактики состоят из звезд, как и наша Галактика, и получили представление об истинных размерах видимой Вселенной (а может быть и всей Вселенной, для так называемых закрытых космологических моделей).
Зная, что звезды состоят из тех же химических элементов, какие встречаются на Земле, можно утверждать, что источником звездной энергии являются термоядерные реакции: других столь мощных источников энергии наша материя не содержит. Как указывалось в прошлой главе, термоядерные реакции протекают в условиях теплового равновесия ядер и электронов. Но в недрах звезд, несомненно, в равновесии с ними должно находиться и электромагнитное излучение. Это обстоятельство чрезвычайно существенно, и вот почему. Энергия вещества растет, грубо говоря, пропорционально температуре, а энергия равновесного излучения, как мы видели, пропорциональна четвертой степени температуры. Поэтому при достаточно высокой температуре основная часть энергии всегда будет принадлежать излучению, а не веществу. Теплота, выделяемая термоядерной реакцией, пойдет не на нагревание ядер и электронов, а в излучение. Его температура растет как корень четвертой степени из энергии, а следовательно, в той же пропорции растет и температура вещества, находящегося в равновесии с излучением. Но температура и так входит в формулу скорости
термоядерной реакции в степени 1/3 в показателе, значит, энергия войдет в степени ；• ~^= ± (см. гл. 11). Благодаря столь слабым зависимостям состояния в недрах звезд оцениваются довольно надежным об。 разом.
Внутри звезд вещество сжато высоким давлением и в таком состоянии существует миллиарды лет. Поэтому те термоядерные реакции, которые должны произойти, рано или поздно происходят. Но на Земле оказывается очень трудным получить достаточно высокую температуру: излучение отсасывает энергию на себя.
В современных плазменных установках плотность вещества в миллион раз меньше атмосферной плотности. Такая плазма даже при высокой температуре прозрачна, так что излучение не приходит в равновесие с веществом. В этих условиях теряется только то, что успевает испуститься. Тогда оказывается, что при температурах выше сорока миллионов градусов термоядерная реакция в дейтерии уже выделяет достаточно энергии для стационарного разогрева газа. Надо надеяться, что со временем эти условия в плазме будут достигнуты.
СТАТИСТИКА ИЗЛУЧЕНИЯ
Зеркальный ящик без зеркал. Квадратура круга и кубатура шара. Знакомство с математической физикой. Закон Рэлея — Джинса и связанные с ним трудности. Гипотеза Планка. От подгонки к открытию. Закон Вина. Почему Солнце черное? Взгляд в начало мира. Немного о лазере. Почему колебания молекул нс всегда отражаются на их теплоемкости? Эффект Мёссбауэра. Взвешивание кванта.
Статистическое рассмотрение обычно гораздо детальнее, чем термодинамическое. Если в термодинамике оперируют такими величинами, как полная энергия, то в статистике интересуются ее распределением по отдельным атомам и т. д. Деление на термодинамику и статистику вызвано не научными, а скорее педагогическими соображениями.
В прошлой главе была найдена общая энергия равновесного излучения. Теперь мы найдем, как она распределена по отдельным частотам колебаний,
Здесь особенно полезно рассматривать ящик с зеркальными стенками. Условие зеркального отражения волн выполнено, когда касательная составляющая электрического поля на стенке равна нулю. Тогда, как показывают уравнения электродинамики, поле не проникает в стенки. Подобно этому отражается звук от жесткой преграды: на ее поверхности равно нулю смещение частиц воздуха. Вместо того чтобы пользоваться в рассуждениях в достаточной мере фиктивным вспомогательным зеркальным ящиком, делается еще более искусственное построение. Все пространство заполняется физически тождественными ящиками с излучением, а изучается только один из них. Тождественность ящиков означает, что в их
соответственных точках поле имеет одинаковую величину и направление. В то же время намного упрощаются рас
суждения: предположение о периодичности поля по ящикам позволяет не учитывать условие отражения от стенок. Математически оба подхода почти эквивалентны. Ясно,
что это всего лишь вспомогательный прием, но очень
удобный для дальнейших рассуждений.
Пусть каждое ребро ящика равно а. Тогда при смещении на длину а в пространстве в любую сторону параллельно каждому ребру ящика поле должно принимать одно и то же значение. Добиться
этого можно следующим обра- Рис. 24.
зом. Возьмем отрезок прямой, параллельный одному из ребер. Один конец отрезка лежит в произвольной точке некоторого ящика с координатами х, у, z, а другой — в соответственной точке другого ящика, с координатами 尤+〃, у, z (рис. 24) (начало координат общее). На этом отрезке уложим длину волны некоторого излучения 九.Она должна укладываться целое
число раз, если волна распространяется вдоль отрезка. Так как отрезок параллелен одному из ребер ящика и вдоль него распространиется волна, то поставленное
условие периодичности автоматически выполнено: для данной волны на обоих концах отрезка поле одинаково. В общем случае волна распространяется не вдоль отрезка, а под углом к нему.
Чтобы не загромождать рисунок, изобразим только сам отрезок, но не воображаемые ребра ящиков (рис. 25).
зок а означал смещение учесть смещение вдоль в( /11% == a cos ос】, /г?%зок а означал смещение учесть смещение вдоль в( /11% == a cos ос】, /г?%Стрелкой показано направление распространения волны, пунктиром — волновой фронт. Вдоль направления распространения укладывается целое число волн. В противном случае в точках х и х+а поле не принимало бы одного и того же значения. Следовательно, отрезок хх! равен /А, где число п — целое, X — длина волны. Из рис. 25 видно, что nX=acosa. Отре- вдоль одной из осей, но надо ех трех осей, так что получаем: -acosa2, n3^=^cosa3,
зок а означал смещение учесть смещение вдоль в( /11% == a cos ос】, /г?%
зок а означал смещение учесть смещение вдоль в( /11% == a cos ос】, /г?%
где ax, a2, a3 — углы между направлением распространения волны и осями координат, а все три числа пъ п2 и п3 — целые.
Если задать эти три числа, то будет известно как направление распространения волны, так и абсолютная величина X. Действительно, возведя три равенства в квадрат и складывая, получим
X2(nJ+n|+n|)=a2(cos2a1+cos2a2+cos2a3)=a2
(так как сумма квадратов трех косинусов равна 1, см. гл. 12), откуда находим
%=a (小+&+吗)-
Тройки целых чисел /гь п2 и п3 можно откладывать на осях воображаемой координатной системы. Это уже не вспомогательные ящики в реальном пространстве, а целиком вымышленное пространство, точки которого имеют только целочисленные координаты. Такое пространство уподобляется кристаллической решетке или каркасу сборного здания из однотипных комнат.
На рисунке удобнее сделать построение не в пространстве, а на плоскости, как показано на рис. 26. Если условиться задавать клетку по ее левому нижнему углу, то 114
одна определенная клетка на рис. 26 отвечает двум целым
числам, т. е. полностью задает на плоскости длину волны и направление распространения волны. Каркасное построение задавало бы волну в пространстве (строго гово
Рис. 26.Рис. 26.ря, надо еще указать направление электрического вектора волны, но оставим этот вопрос в стороне).
Рис. 26.
Рис. 26.
В очерченном более жирными линиями квадрате 16 клеток, т. е. он отбирает 16 векторов распространения волны. А сколько их в круге? Ведь он проходит «по живому», т. е. делит клетки на части, что, казалось бы, не имеет никакого смысла в воображаемом целочисленном пространстве. Все, од-
нако, знают, что вышивка крестом
позволяет изображать любые сложные фигуры, если крестики, или клетки, достаточно мелкие. Чем больше круг,
тем меньшую его долю составляют рассеченные клетки от целых. В пределе роль нецелых клеток сколь угодно мала, и можно утверждать, что число клеток в круге равно я/г2, где п — целочисленный радиус круга. Например, на рис. 26 в круге л-25=78 клеток. Считая за целые те клетки, от которых вошло в круг больше половины, видим, что в нем «на самом деле» 80 клеток, т. е. подсчет («квадратура круга») был неплохим. Не на плоскости, а в
4
шаре таким же образом получаем у л/г? клеток, или,
подставляя %=〃/儿 получим 豆冗讯 клеток.
В дальнейшем нам будет удобнее пользоваться частотой колебаний v вместо длины волны Л. Их нетрудно связать между собой. Если скорость волны с, то на пути с она совершает c/九 колебаний. Но так как с — путь за единицу времени, то число колебаний за единицу времени или частота v=c/儿 или l/A=v/c. Таким образом, число колебаний с частотой меньше v лежит внутри сферы с объемом 暂冗。3^. Теперь можцо заменить а@ на объем ящика Уис этого момента вообще забыть о воображаемых ящиках. Тем не менее, невозможно обойтись совсем без
них при выводе интересующей нас формулы числа колебаний.
Разбираясь в выводе, читатель мог получить представление об особой науке, которая называется математической физикой. Ее не следует путать с теоретической физикой: предмет этой книги, статистическая физика,— один из разделов физической теории. Математическая физика— просто глава математики. Как известно, в математике допустимы искусственные построения, подобные тому, которое было здесь применено. Его не надо в конечном итоге понимать буквально.
Часто интересуются не полным числом колебаний с частотой меньше некоторой, а тем числом, которое показывает, сколько колебаний приходится на единицу частоты. Ясно, что тогда надо учесть не весь объем шара радиуса v, а только его часть, заключенную между двумя концентрическими сферами, расстояние между которыми равно единице частоты. Так как поверхность сферы 4лv2, а толщина слоя 1, искомый «объем» равен как раз ^^ v2. Если учесть, что колебания электрического поля могут происходить в двух произвольных направлениях в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения, то окончательно надо еще удвоить полученное число.
Мы вынуждены были провести все это длинное (хотя и наглядное) математическое рассуждение, так как оно фундаментально важно для всего дальнейшего как в настоящей, так и в следующей главе.
Пусть теперь излучение находится в термодинамическом равновесии с веществом. В гл. 3 было показано, что в этом состоянии каждое колебание имеет среднюю энергию 0. При вычислении совершенно безразлично, что именно колеблется — вещество или поле. Средняя энергия на единицу частоты равна отсюда
^v20с3
(закон Рэлея — Джинса}.
Но частота колебаний ничем не ограничена сверху. Следовательно, присутствуют и сколь угодно высокие частоты, которым отвечает сколь угодно большая энергия. Результат, очевидно, абсурдный, так как на самом
деле равновесная энергия поля конечна и пропорциональна четвертой степени температуры.
С разрешения этого парадокса и началась квантовая теория. В 1900 г. Планк предположил, что средняя энергия одного колебания не должна равняться 0. Нужно, чтобы колебания с высокими частотами имели очень малую энергию. Тогда их вклад в общую энергию будет прогрессивно уменьшаться с возрастанием частоты и в сумме по частотам общая энергия окажется конечной. Так будет, например, в том случае, если истинная энергия меняется не в непрерывной последовательности от 0 до оо, а пробегает только значения, кратные одной и той же величине hv:
0, /iv, 2/rv, 3/rv и т. д.
(постоянная Л уже была определена в гл. 11). С помощью этого ряда значений энергии надо найти среднюю энергию при температуре 0. Откуда вдруг взялся целочисленный ряд энергий? Во времена Планка это было просто допущение. Он пришел к своей гипотезе несколько иным путем, но здесь это не важно. В настоящее время известно, что целочисленность энергии связана с гармоническим законом колебаний электромагнитного поля, которые происходят по тому же закону, как качание маятника с малым угловым размахом. Но таков вывод современной квантовой механики с ее специфическими законами движения. Планк же просто допустил, что энергия колебания кратна величине hvf и отсюда получил формулу, прекрасно согласующуюся с опытом. Но тем самым была подтверждена его гипотеза и начала развиваться последовательная квантовая теория.
Согласно распределению Больцмана вероятность некоторой энергии k-hv (здесь k ——целое) есть
qh = Ae е.
Постоянную А надо найти из условия, что сумма всех вероятностей равна 1:
00°0. ftV 00 / hv\k
£% = %£е 0 = Л ^2 \е 0 ) = 1.
也=0k= 0k= о
Но сюда входит сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем е- hv^Q. Такая сумма равна 1/(1—e—v"). Поэтому
4l — Lv/84l — Lv/81,1,hvА = \—е~hvА = \—е~
4
l — Lv/8
4
l — Lv/8
1,
1,
hv
А = \—е~
hv
А = \—е~
Чтобы найти среднюю энергию, надо умножить некоторое значение энергии k-hv на qk и просуммировать по всем 也.Назовем это среднее %• Тогда имеем:
СОfty
8V = (1—e-Rv/e)2 khve 0.左二o
Получившаяся сумма немного сложнее геометрической прогрессии, но тоже легко вычисляется ), и это дает:
с — hv
Умножая на число колебаний, приходящихся на единицу частоты, получаем знаменитую формулу Планка для
средней энергии поля на тот же интервал частот: 尸—8nV/iv3
Если полагать У=1, то в левой части будет стоять энергия, приходящаяся на единицу объема, т. е. плотность энергии.
Прежде всего, заметим, что при малых частотах получается уже известный нам закон Рэлея — Джинса. Действительно, когда частота мала, отношение hv/Q тоже мало. Но тогда 開v/e приближенно заменяется на 1 +(/iv/0) (см. гл. 7), а е*/е—1 заменяется на hv/Q. Подставляя это в формулу Планка, получаем искомое. Формально можно было бы устремить к нулю не v, а Л. Если 决丫/8 го. раздо больше 1, последней можно пренебречь в знаменателе формулы Планка. Тогда получится выражение для £v, предлагавшееся еще до Планка (разумеется, входящая сюда константа, названная Л, не имела тогда никакой физической интерпретации). Но это выражение не переходит в формулу Рэлея — Джинса при малых частотах. Интерполируя между большими и малыми частотами, Планк и предложил свою формулу. Затем он заметил, что новое выражение можно вывести с помощью гипотезы о квантовании энергии, и тем самым придал смысл постоянной 九.Важная идея родилась из подгонки, что не часто бывает.
При очень больших частотах 或旷川 растет быстро, гораздо быстрее, чем v3 в числителе, так что энергия соответствующего излучения стремится к нулю. Таким образом, исчезает основная трудность, заключенная в законе Рэлея — Джинса.
Разумеется, целочисленность значений энергии колебаний никак не укладывается в рамки ньютоновской механики. Поэтому из странной, на первый взгляд, гипотезы Планка развилась впоследствии новая квантовая механика.
Рассмотрим теперь некоторые следствия из формулы Планка. Запишем ее в таком виде:
出/8)3 I
Величина, заключенная в квадратные скобки, зависит только от отношения hv/Q. Обозначим это безразмерное
Рис. 27.Рис. 27.отношение одной буквой х. Энергия £v пропорциональна функции от 居 график которой построен на рис. 27. При малых значениях х знаменатель, как мы видели, пропорционален х, так что функция идет как %? (это соответствует закону Рэлея — Джинса). При больших х преобладает ех. Например, при 尤=10 имеем 炉=1000, е*=20 б00, и т. д. Отсюда ясно, что при каком-то значении х функция имеет максимум. Вычисление показывает, что он расположен при 尤=2,93. Соответствующую частоту назовем v^. Получаем hvm/Q=2,93t или
Рис. 27.
Рис. 27.
2,93 0
Иными словами, частота, на которую приходится максимальная энергия в спектре равновесного излучения, пропорциональна абсолютной температуре (закон Вина).
Например, при комнатной температуре vw=2-1013, что соответствует длине волны 1,5-10_3cjw. Та
кое излучение принадлежит к далекой инфракрасной области и не воспринимается глазом. Излучение от тела, нагретого до 200——400° Цельсия, или 500——700° абсолютных, тоже еще находится в инфракрасной области, т. е. не заметно глазу, но действует на осязание и ощущается как тепло. Поэтому инфракрасное излучение часто называют тепловым. При температуре поверхности Солнца (5700° К) максимум излучения приходится на видимый свет. Слово «видимый» указывает, что при соответствующих частотах лежит максимум чувствительности человеческого глаза. Чистая атмосфера прозрачна для этих частот (солнечный свет, проходя напрямик, ослабляется в ней только в два раза). Более низкие инфракрасные и более высокие ультрафиолетовые частоты поглощаются в воздухе очень сильно. Их воспринимают живые существа, которым по образу жизни не нужно далеко видеть.
При температуре в 106—107 градусов максимум перемещается в область мягких рентгеновских лучей, и т. д.
На рис. 28 построены планковские кривые в зависимости от частоты, а не от вспомогательной величины х. Вид- 120
но, что максимумы всех кривых лежат на прямой v= =2,93 8/h. При любой частоте кривая, отвечающая более высокой температуре, лежит выше. Тело с температурой 106 градусов и в видимой области спектра светит ярче Солнца.
Распределение энергии в спектре накаленного светя
щегося тела может служить критерием его «черноты», т. е. близости излучения к равновесному. Например, непрерывный спектр Солнца весьма близок к планковской кривой, если не говорить об отдельных более темных
Рис. 28.Рис. 28.линиях, которые вырезаются из сплошного спектра в наружных поглощающих слоях. Поэтому есть основания считать излучающий слой Солнца абсолютно черным.
Рис. 28.
Рис. 28.
Недавно было открыто межгалактическое излучение, отвечающее температуре 3° К. Его распределение в той области спектра, где нет поглощения темной пылевой материей, согласуется с формулой Планка. Следовательно, это
излучение имеет тепловую природу. Характер излуче
ния хорошо соответствует современным космологическим воззрениям о расширяющейся Вселенной (см. гл. 7). Это излучение испущено тогда, когда Вселенная была плотной и горячей. Тогда оно, разумеется, тоже было горячим, но затем вследствие адиабатического расширения остыло. Но излучение — то же самое, и мы, так сказать, видим в его лучах очень раннюю стадию развития Вселенной. Существует наглядный образ для столь раннего момента. Допустим, что мы стоим на стоэтажном небоскребе, а начальный момент расширения находится на земной поверхности. Тогда самые удаленные космические объекты расположены где-то между 40-м и 60-м этажами, а 3°-ное излучение показывает мир на «расстоянии» 1 см от земли, т. е. начала. Открытие 3°-ного излучения — новый триумф фридмановской космологии, после того как Хаббл в
конце 20-х годов открыл разбегание отдаленных галактик в пространстве, тоже предсказанное Фридманом.
Мы рассказали только об очень немногих применениях формулы Планка. Как бы полезны они ни были, важнее тот общий переворот в физических воззрениях, к которому повело представление о квантах.
После Планка существенный вклад в развитие квантовой теории внес в 1905 г. Эйнштейн. Он предложил наделить квант свойствами отдельной частицы с энергией hv и с импульсом hv/c. Такое соотношение между импульсом и энергией имеет место и у электромагнитной волны (см. гл. 12). Впоследствии Комптон наблюдал столкновения отдельных квантов с электронами и непосредственно проверил, что при этом выполняются законы сохранения импульса и энергии, как при соударении биллиардных шаров. Но связь между импульсом и энергией у квантов такая, как предсказал Эйнштейн, а не такая, как у шаров и у электронов.
Исходя из представления о квантах как об отдельных частицах, можно совсем по-новому подойти к формуле Планка. Рассмотрим излучение частоты v в тепловом равновесии с атомами. Среднее число атомов с энергией Е назовем д(Е)・ В тепловом равновесии q(E) выражается по формуле Больцмана. Среднее число квантов определяется по формуле Планка:
®> = е九v/e_i，
так как ev=hv(k) и, как было показано, % =硏：二］• Если назвать вероятность элементарного акта поглощения в секунду 取,то скорость поглощения будет определяться произведением
呼5(E) «>・
Вероятность элементарного акта испускания равна той же величине 取，в силу симметрии общих законов физики для прямых и обратных процессов. Обозначим через Ег энергию атома, испускающего квант с частотой v. По закону сохранения энергии Ef=E+hvtB состоянии теплового равновесия число актов испускания и число актов поглощения в единицу времени должны равняться друг другу. Не надо путать это с равенством W для прямого и
обратного процесса, где используется общий закон природы; сейчас мы говорим не о законе, а об условии достижения определенного состояния, в данном случае равновесного. Число актов испускания пропорционально 取,числу атомов с энергией Е' и какой-то, пока неизвестной, функции от <^),/(<^)). Определим ее по условию равновесия :
Wq(Ef)fm = Wq(E)(k).
По распределению Больцмана
q (£) = 4е-Е/е, q (?) = 4。-卩/%
откуда их частное равно
e(Ef-E)/B =ehv/0
согласно закону сохранения энергии. Следовательно, g^v/0
f (g>)=。m/8 з>=__ = @> + 1 .
Вероятность испускания кванта пропорциональна сумме: число уже имеющихся таких же квантов плюс единица. К этому результату пришел в 1916 г. Эйнштейн. Первое слагаемое ответственно за так называемое вынужденное испускание, единица — за самопроизвольное испускание.
На явлении вынужденного испускания основан лазер, в котором искусственно накопляется очень большое число атомов, обладающих энергией, достаточной для испускания некоторой данной частоты v. Вынужденный характер испускания приводит к тому, что энергия освобождается в виде излучения всеми атомами зараз. Кроме того, при этом излучение всех атомов когерентно, т. е. фазы волн, испускаемых всеми атомами, согласованы. Поэтому амплитуда их электромагнитного излучения усиливается пропорционально числу атомов. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды, т. е. квадрату числа атомов. Причем все излучение испускается сразу и приходится на одну определенную частоту, на которую настроен лазер.
В обычных излучателях атомы испускают взаимно независимо, интенсивность излучения растет как первая степень их числа и несколько размыта по спектру и по времени испускания.
Лазер позволяет концентрировать энергию излучения в виде отдельных импульсов, но, конечно, создает ее не из ничего, а за счет внешнего источника излучения, непрерывно возбуждающего атомы.
Формулу Планка можно применять не только к колебаниям электромагнитного поля, но и к другим видам колебательного движения, например, к колебанию молекул. Допустим, что атомы в молекуле могут совершать одно колебание, как в Н2, О2, № и т. п. (см. гл. 3). Если частота колебаний v, то среднее число квантов при температуре 0 равно:
«>«>1fv/B — l ・1fv/B — l ・
«>
«>
1
fv/B — l ・
1
fv/B — l ・
У водорода /iv=0,8-10*"12. Следовательно, при комнатной температуре
年=端縉=2°，戸=4.108.
Следовательно, тепловое колебательное движение как бы отсутствует,〈也〉с огромной точностью равно нулю. В теплоемкости водорода участвует только переносное и вращательное движение.
У трехатомной молекулы СО2 (О=С=О) существует колебание изгиба, выводящее молекулу из прямолинейности, при котором не изменяются расстояния между атомами. Каждому известно, что изогнуть пружинку гораздо легче, чем растянуть ее. Поэтому колебания, связанные с изгибом, имеют меньшую частоту, чем связанные с удлинением,—при изгибе возвращающая сила меньше. Соответственная колебательная частота изгиба О=С=О гораздо меньше, и такое колебание начинает заметно проявлять себя уже при температурах около 600° К.
Аналогичным образом объясняется отклонение кристаллов от закона Дюлонга и Пти, о котором говорилось в гл. 3. Спектр колебания атомов кристалла несколько похож на спектр электромагнитного поля, только зависимость частоты от целых чисел nlf и2, 〃з здесь гораздо сложнее. Наиболее существенно другое отличие колебаний кристалла от колебаний поля, которое заключается в том, что кристалл имеет максимальную частоту колебаний, а у поля частота может быть сколь угодно велика.
Проще всего связать этот факт с атомистическим строением кристалла.
Пусть кристалл состоит из ^ атомов. Каждый колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Следовательно, всего есть 3斤 колебаний. У поля числа пь /гг и п3, задающие колебание, сколь угодно велики и колебаний бесконечно много. Ясно, что среди 3^ колебаний частота какого-то из них должна быть самой большой. Ей отвечает длина волны, равная междуатомному расстоянию. Легко понять, что еще меньшая длина волны просто физически бессмысленна. Минимальной длине волны отвечает максимальная частота vMaKC. Пусть температура кристалла 0 гораздо меньше кванта максимальной частоты /ivMaKC. Тогда &〉=0 не только для этой наибольшей частоты, но почти во всем спектре колебаний, кроме самых малых частот, или самых длинных волн. Коротковолновые колебания как бы заморожены, и теплоемкость кристалла меньше, чем требуется по закону Дюлонга и Пти. В этом случае формула Планка применима без ограничений, так как максимальная частота колебаний практически в вычисления не входит. Но тогда исчезает наиболее важное отличие от электромагнитного поля, и оказывается, что энергия кристалла пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Этот результат получил П. Дебай в 1912 г. При достаточно высокой температуре даже квант максимальной частоты гораздо меньше 0, можно везде заменить 開丫/8 — i на/rv/B. Формула Планка перейдет в формулу Рэлея — Джинса. Если просуммировать в этом случае энергию колебаний по всем частотам, то получится просто полное число колебаний, умноженное на 0. Но всего есть 3^ колебаний, так что энергия кристалла равна 3^0. Это и есть, по существу, закон Дюлонга и Пти.
Кванты света иначе называются фотонами, от греческого слова «фос» — свет. Аналогичным образом, кванты колебаний твердого тела называют фононами, от слова «фонэ» — слышать (ср. «телефон» — далеко слышу). Ведь колебания тел могут восприниматься как звук, если имеют слышимую частоту. К фононам применимы те же эйнштейновские законы испускания и поглощения, как и к фотонам.
С помощью фононов объясняется один замечательный эффект, открытый в 1956 г. Мёссбауэром. Пусть ядро
некоторого элемента испускает электромагнитный кванте определенной энергией Av0. Для примера допустим, что энергия кванта 10~6 эрга (характерная величина для ядерных энергий). При этом ядро переходит в состояние с меньшей энергией, в котором оно уже испускать не может,—так сказать, испустить нечего. Но по закону Кирхгофа такое ядро должно зато особенно легко поглощать кванты с энергией %. Ядра в нижнем энергетическом состоянии как бы откликаются таким же ядрам в высшем состоянии, принимая их кванты, как радиоприемник откликается на сигнал передатчика.
На самом деле это происходит далеко не всегда. Если излучает отдельный свободный атом, например в' газе, то квант уносит не только энергию hvOf но и импульс hv^c. Тогда атом (точнее, ядро) получает импульс, равный по величине и обратный по знаку, а следовательно, и некоторую скорость отдачи, как орудие при выстреле. Если масса ядра М, то скорость отдачи равна hvJcM, потому что импульс ядра равен массе М, умноженной на скорость, по определению, а по закону сохранения он же равен импульсу кванта Av0/c, взятому с обратным знаком. Кинетическая энергия ядра
м Mvoy (/iv0)2
Поэтому квант уносит не всю энергию hvOi а только
При /iv0=10~6 эрг и атомном весе элемента 56 (железо) доля, на которую уменьшается энергия кванта, составляет около. 10~Р, т. е. одну стотысячную. Но такой квант уже не может действовать на ядро-приемник, ведь настройка должна быть очень острой.
Мёссбауэр открыл, что если излучатель находится в кристаллической решетке, то при низкой температуре возможно излучение без отдачи и приемник реагирует. Дело в том, что движение ядра отдачи можно представить себе как возбуждение колебаний решетки — ведь атом не свободен и сообщенный толчок действует на него как на маятник. При низкой температуре большинство колебаний не возбуждено, для них &〉40. Поэтому вероятность их возбуждения по закону Эйнштейна наименьшая.
Существует конечная, не равная нулю вероятность того, что ни один колебательный квант, или фонон, не будет испущен. Но это значит, что отдачу воспримет не отдельный атом, а весь кристалл. Как видно из приведенной формулы, тогда потерянная квантом энергия уменьшается в N раз, где ^ — число атомов в кристалле, т. е. пренебрежимо мало.
Чувствительность эффекта Мёссбауэра исключительно велика. Например, можно заметить изменение частоты кванта в поле тяжести, предсказываемое теорией относительности. Это осуществили на опыте Паунд и Ребка. Положение излучающего атома в решетке сказывается на эффекте Мёссбауэра. Таким образом удается исследовать строение кристаллических решеток у химических соединений.
БОЗЕ-ГАЗ И ФЕРМИ-ГАЗ
Состояния в квантовой статистике. Распределение Бозе. Нулевая энергия. Сверхтекучесть. Запрет Паули. Распределение Ферми. Ферми-газ при абсолютном нуле. Энтропия при абсолютном нуле. Что такое ^холодный» Ферми-газ? Металлы, белые карлики и атомные ядра. Почему незаметна теплоемкость электронов в металле? Модель Блоха. Что еще требуется от теории, кроме согласия с опытом? Сверхпроводимость. Куперовские пары. Прогресс статистической физики и общий прогресс физики.
При выводе формулы Планка мы сначала разложили электромагнитное поле на отдельные колебания, а затем допустили, что энергия каждого из них квантована. Но, оказывается, есть иной, более наглядный подход, основанный на представлении о квантах как о частицах. Надо только понять, в чем отличие между частицами в больцмановской статистике и квантами.
Прежде всего надо отметить, что кванты могут поглощаться и испускаться. Поглощенный квант, как частица, исчезает. Его энергия передается атому, но самого кванта больше нет. Больцмановские частицы к этому не способны: они никак не могут уйти от самих себя. Но основное отличие системы квантов от больцмановских частиц состоит не в способности к поглощению, а в том, что у квантов совсем особым образом ведется подсчет числа состояний. Предположим, что есть какое-то колебательное состояние
поля, отвечающее данному направлению распространения волны, частоте и поляризации. Согласно Планку энергия этого колебания может равняться
/iv, 2/rv, З/rv,..・
Если сопоставить hv одной частице, то можно сказать, что в состоянии с частотой v имеется одна, две, три частицы, но бессмысленно спрашивать, какой квант первый, какой второй, и т. д. Пусть теперь имеются два кванта и два состояния. Тогда возможны следующие три случая: один квант в первом состоянии и один во втором; два кванта в первом состоянии, ни одного во втором; ни одного в первом состоянии, два во втором,— всего три состояния.
В случае частиц в статистике Больцмана счет велся бы иначе: первая частица в первом состоянии, вторая — во втором; вторая частица в первом состоянии, первая — во втором; обе частицы в первом состоянии; обе частицы во втором состоянии; всего четыре состояния.
Аналогично можно сравнить подсчет состояний для трех, четырех и вообще многих квантов со случаем многих частиц.
Оказывается, что новый принцип счета числа состояний меняет функцию распределения и вместо больцманов- ской формулы вида e-'v/e получается планковская (疥/е—I)-】. Не будем стараться воспроизвести вывод — формула Планка уже известна, а здесь важен только новый метод счета. Его предложил Бозе.
Эйнштейн заметил, что метод Бозе годится не только для квантов, но и для частиц, не способных к поглощению, число которых сохраняется. Примером их, как впоследствии было доказано, служат атомы гелия. Атомы гелия, естественно, не могут испускаться и поглощаться. Вместо этого, в отличие от квантов, эти частицы при некоторой, довольно низкой температуре (лишь на несколько градусов выше абсолютного нуля) начинают переходить в состояние с нулевой кинетической энергией. По мере дальнейшего понижения температуры доля «нулевых» частиц становится все больше, пока при абсолютном нуле все не получат нулевую энергию. Такое состояние осуществляется с вероятностью, равной единице. Следовательно, энтропия, равная логарифму вероятности, при абсо-
лютном нуле тождественно обращается в нуль. В больц- мановской статистике здесь возникают трудности, так что новый подход к счету состояний просто необходим.
Нет ни одного газа, на котором можно проверить утверждение Эйнштейна. При низкой температуре газы превращаются в жидкости. Переносить на жидкости результаты, полученные для газов, рискованно. Однако было замечено, что при температуре около 3° К жидкий гелий испытывает странный переход: он вдруг перестает бурно кипеть в сосуде и успокаивается. П. Л. Капица открыл, что после такого перехода гелий мгновенно вытекает сквозь столь тонкие капилляры, через которые до перехода проходил бы тысячелетиями. К жидкости формулы Эйнштейна не относятся, поэтому нельзя так сразу утверждать, что переход в гелии, изучавшийся Капицей, происходит вследствие накопления частиц в состоянии с нулевой энергией. Теорию жидкого гелия в основных чертах построил Л. Д. Ландау. В настоящее время можно считать установленным, что удивительные свойства жидкого гелия имеют определенную связь с прогнозом Эйнштейна для газов.
Про такие газы говорят, что они подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, или просто Бозе-статистике, так как от Бозе исходил почин в ее определении. Соответствующие частицы зовут бозонами.
Укажем критерий, по которому распознаются бозоны. Частицы в квантовой теории могут обладать определенным внутренним моментом импульса, наподобие волчков. Этот момент импульса у частиц обязан не видимому вращению в пространстве, как у волчков, а особому внутреннему движению, о котором для нас здесь достаточно знать, что оно есть. Соответствующий внутренний момент
I 3 5 (или, короче, спин) может равняться 0, у, 1, у, 2, у и т. д.
В квантовой теории поля показывается, что частицы с нулевым и целым моментом все без исключения бозоны, частицы же с полуцелым моментом существенно отличаются от них. Они подчиняются особому дополнительному правилу: в одном квантовом состоянии не может находиться больше одной частицы с полуцелым спином (запрет Паули). Такие частицы называются фермионами,
потому что Ферми впервые использовал их свойства в статистической физике. Паули применял запрет только к движению электронов в атомах.
Выводить распределение фермионов по энергиям мы не будем, а напишем для сравнения функции распределения для всех трех статистик — Больцмана, Бозе и Ферми. Возьмем также только частицы, число которых сохраняется. Тогда оказывается, что
g(g)=(4-iee/e+{_j).
Здесь верхняя строка, где стоит нуль, отвечает статистике Больцмана, минус единица — статистике Бозе, плюс единица — статистике Ферми.
Этот последний случай мы и рассмотрим более подробно. Полезно ввести новое обозначение:
А =еи/е.
Здесь 卩一некое значение энергии, какое именно — будет видно из дальнейшего рассмотрения. Тогда распределение Ферми запишется в следующем виде:
夕⑻=Qu у%」.
Исследуем свойства получившейся функции. Допустим, что температура 0 достаточно низкая по сравнению с константой 卩.Физический смысл такого допущения вскоре выяснится. Тогда при е=0
q (0) = jtq .
Но если 寺 ——большое число, е-м/е—— величина малая по сравнению с единицей. Следовательно, q(0)=l.
Возьмем теперь £#0, но меньше pt. До тех пор, пока разность 卩一£ велика по сравнению с 0 (например,卩= = 100 0, £=90 0, так что 卩一е=10 0, т. е. больше 0), второе слагаемое в знаменателе q(£) гораздо меньше 1, а q(eVN)близко к 1. Когда разность “一8 сравнима с 0, отношение —^~е сравнимо с 1, так что e^^/Q содержит небольшое число в показателе. Тогда этой величиной
уже нельзя пренебречь по сравнению с 1. Знаменатель дроби увеличивается, и д（е） начинает уменьшаться. При e=N показательная функция е° точно равна 1, а 夕（£=卩）= =}. При еще больших значениях е уже единица становится мала по сравнению с показательной функцией, и можно оставить только эту последнюю. Распределение 9（е） приобретает более простой вид:
q（£）=e（u-£）2 = Al",
т. е. переходит в распределение Больцмана. Весь этот ход д（£）изображен на рис. 29,а для некоторого значения 0, гораздо меньшего, чем 卩.
Поясним, почему распределение Ферми должно иметь именно такой вид, как на рис. 29, а. Для этого заметим, прежде всего, что q^ переходит от 1 к нулю в области значений е ——卩，сравнимых с величиной 0, т. е. с температурой. Это было показано только что. На рис. 29, а соответствующая переходная область ограничена штрихпунктиром и указана по порядку величины ее ширина.
Отсюда ясно, что если температура точно равна абсолютному нулю, область перехода q（8）от 1 к 0 имеет нулевую ширину. Иначе говоря, функция распределения имеет такой вид, как показано на рис. 29, 6. При £&卩（）（где р0 есть значение 卩 при абсолютном нуле） д（£）= 1, а при е>ц0 имеем д（£）=6. Вероятность найти частицу с энергией меньше 卩° переходит в достоверность; с энергией больше 卩（）тоже с достоверностью ни одной частицы нет.
Покажем теперь, почему так получается. Удобно вернуться к рис. 26 (стр. 115). Будем относить его на этот раз к фермионам, конкретно — к электронам, у которых собственный момент, или спин, равен у. Его проекция на любую ось согласно квантовой механике принимает только два значения: +} и —у. В этом смысле спин аналогичен поляризации электромагнитной золны.
В гл. 11 было указано, что всякое движение имеет волновые свойства. Сопоставление производится так:
mv— 1
Здесь h ——постоянная Планка, m — масса частицы, и — ее скорость,九一соответствующая длина волны. Написанное соотношение предложено в 1924 г. де Бройлем и проверено еще в 1926 г. прямыми опытами Дэвиссоном и Джермером, но входить в подробности не стоит. Видно, во всяком случае, что если воспользоваться воображаемым ящиком для волн, то к электронам можно подойти так же, как раньше к электромагнитным волнам. Каждой волне, определяемой целыми числами /гь п2, 〃з и одной из двух проекций спина ±1/2, отвечает одно состояние электрона. Но согласно принципу Паули в одном состоянии может находиться либо один электрон, либо ни одного. Это общее свойство всех фермионов, в отличие от бозонов, которым «не тесно» в любом квантовом состоянии. Например, нет ограничения для числа квантов с данными значениями чисел П1, 〃2 и 拉3 и поляризацией.
Рассмотрим теперь состояние электронного газа при абсолютном нуле в соответствии с принципом Паули. По определению нуля температуры, оно обладает наименьшей возможной энергией. Бозоны при 0° К все собираются в состоянии с нулевой энергией, в ближайшей к нулю клетке на рис. 26 (речь идет о таких бозонах, число которых обязано сохраняться; кванты просто будут поглощены). Но фермионы не могут поместиться в одной клетке — это несовместимо с принципом Паули. Первые же два электрона, у которых спины равны ±}, заполнят бли- жаГшую к нулю клетку (точнее ——кубик, потому что движение трехмерное, а не плоское). Следующим прндет- 132
ся поместиться подальше от нуля, потом еще дальше, но так, чтобы суммарная энергия всех электронов оставалась наименьшей возможной при данном их числе. При большом числе электронов они упакуются плотнее всего, если будут расположены внутри некоторой сферы (на рис. 26 —— окружности). Радиус этой сферы отвечает предельной энергии, которую может иметь электрон при абсолютном нуле, т. е. в том состоянии, когда энергия всего газа, как целого, при данной его плотности наименьшая. Предельное состояние ферми-газа при 6=0 определяется единственным образом и с вероятностью единица. Нет смысла спрашивать, какой электрон попал в какую клетку (или кубик): важно только, свободен кубик или занят. Если заняты все кубики внутри сферы, о состоянии задано не только достаточно, но больше нельзя задавать. Состояние с наименьшей энергией только одно. Оно осуществляется с достоверностью, или с вероятностью, равной единице. Следовательно, энтропия ферми-газа при абсолютном нуле температуры равна нулю.
Предельная энергия отдельного электрона и есть величина 卩()на рис. 29,6. Что касается величины 卩 не при абсолютном нуле, а при 0>О, то ее можно определить из того условия, что сумма всех вероятностей равна 1, аналогично множителю перед экспонентой в распределении Максвелла. При £=卩 функция распределения имеет зна-
1
чение 9=彳.
Вернемся теперь к определению 卩。.
Мы знаем, что при 0=0 каждый кубик либо занят двумя электронами, либо свободен. Пусть всего имеется N электронов. Если радиус сферы заполненных состоя-
4
ний /г。(на рис. 26 имеем 几()=5), то объем сферы есть у л/*. Каждая клетка отвечает двум состояниям с противопо- 4
ложными спинами, так что 2・可冗屛=乂.
Выразим теперь /г0 через 卩。.Как уже было указано, 卩о — это предельная энергия электрона, т. е.
2mvQ卩。，
где v0 —— предельная скорость. Воспользуемся соотношением де Бройля, т. е. выразим предельную скорость через
длину ВОЛНЫ 九о：
откуда 卩0=九2/2团簿.Но Хо очень просто связано с п0 （см. гл. 13）:九о=〃/〃о, так что
^°~2tna2 .
Вспоминая, что объем газа V=a3, запишем 卩о так:
_力2就卩。—2mL % *
Остается выразить 九。через полное число электронов ^ по уравнению
у П*=N, ?. е.儿0=（3%/8冗）".
Получится:
/ 3 \2/3 九2 / %\2/3"。 = （筋丿•
В ответ вошло не полное число электронов, а его отношение к занимаемому объему V, т. е. объемная плотность.
Теперь мы можем установить критерий, из которого видно, является ли газ существенно фермиевским. Иначе говоря, похоже ли распределение частиц на то, которое показано на рис. 29, а и 6, или везде близко к простому больцмановскому распределению. Кривая д（£）напоминает ступеньку, когда ширина области спада кривой, где она переходит от 1 к 0, порядка 0. А вся ширина ступеньки порядка [л。. Значит, форма ступеньки сохраняется, пока 0 гораздо меньше 卩。，т. е. при достаточно низких температурах.
Какую же температуру теперь надо считать «низкой»? Определим 卩° для конкретного примера. В гл. 9 было сказано, что электроны проводимости в металле, вероятно, напоминают газ с числом частиц, равным числу атомов. Допустим, что это действительно так, т. е. что каждый атом освободил в металле по одному электрону. В единице объема заключено 5* 1022 атомов и столько же 134
электронов. Тогда
(^)2/8=3-3-1011-
Масса электрона /п^Ю-27 а, откуда
卩° = 3,3• IO】，^^ = 7,3.10-^ з%・
При комнатной температуре 0=4-10~14 эрг, т. е. р,0 примерно в 200 раз больше 0. Низкой считается температура, которая меньше, чем 60 000°. Ясно, что в любом реальном металле электроны всегда находятся при «низкой» температуре.
Существуют сверхплотные звезды, или «белые карлики», в которых материя достигает чудовищных плотностей — миллионы грамм в кубическом сантиметре. Отношение ^у^ /з здесь около 1019, так что 卩。для электронного газа не 60 000°, как в металле, а 6-108 градусов. Если считать, что кроме электронов вещество белых карликов состоит из протонов, масса которых % в 1840 раз больше электронной, то для них 卩” в соответственное число раз меньше, т. е. 2,2-105. Температура таких звезд согласно измерениям лежит между значениями р0 для электронов и протонов. Следовательно, электронный газ «холодный» и следует статистике Ферми, а протонный газ ——горячий, больцмановский. Но давление производится электронами, потому что оно пропорционально плотности энергии. Последняя отличается от 卩。несущественным численным коэффициентом и для электронов в 1840 раз больше, чем для протонов (при равных условиях).
Еще плотнее вещество упаковано в атомном ядре, где плотность достигает 1014 г/сж3. Не слишком легкое ядро, с атомным весом порядка 100, можно с известным приближением рассматривать как сгусток фермионов. Я- И. Френкель и Л. Д. Ландау высказали идею, что к такому сгустку применимо понятие температуры: для этого в нем достаточно много отдельных частиц. Здесь отноте- ние (号)2% в 107 раз больше, чем в веществе нормальной плотности, так что 卩。〜1(?2 градусов. Даже при
температурах в 1010 градусов ядерное вещество все еще холодное. Статистическая модель ядра позволяет оценить энергию вылетающих («испаряющихся») из него нейтронов.
Рассмотрим теперь применение статистики Ферми к металлам.
В гл. 9 было сказано, что свободные электроны в металле по какой-то причине ничего заметного не добавляют к его теплоемкости. Теперь можно объяснить эту причину «низкой» температурой металла.
Допустим, что некий электрон имеет энергию, которая меньше ц0 на величину по крайней мере в несколько 0. Когда 卩0=2008, подобных электронов большинство. Такой электрон соответствует горизонтальному участку ступеньки на рис. 29, а. Тепловая энергия по порядку величины сравнима с 0. Но электрон на горизонтальной части ступеньки не может воспринять эту энергию, если его энергия лежит далеко от края ступеньки. Ступенька отвечает сплошь занятым состояниям, в которые никоим образом переместиться нельзя, как нельзя пройти человеку в густой толпе. Только вблизи самого края, где-то в области размытия распределения, на переходе от 1 к О, появляются свободные места. В них электрон способен перейти, если увеличить его энергию примерно на 0 за счет теплового возбуждения. Но доля таких электронов по отношению ко всем невелика, она тем меньше, чем
меньше отношение —. При комнатной температуре дело идет о 2—3%. Закон же Дюлонга и Пти имеет меньшую точность, поэтому нельзя заметить малые отклонения от него за счет малой теплоемкости электронного ферми-газа. Этим снимается главная трудность электронной теории металлов.
При очень низкой температуре энергия кристаллической решетки, связанная с фононами, становится мала. В предыдущей главе было показано, что энергия фононов уменьшается с температурой как 04. Энергия электронов убывает как 02. Это нетрудно увидеть по рис. 29, а. Надо построить вертикальную прямую через точку 卩.Тогда просто на глаз видно, что кривая распределения слева от прямой лежит настолько же ниже единицы, насколько справа от прямой она проходит выше нуля. То есть энергия занятых состояний справа равна энергии незанятых
состояний слева. Следовательно, в первом приближении
энергия ферми-газа при некотором повышении температуры вообще не меняется: сколько уходит из занятых состояний, столько приходит в незанятые. Но во втором
приближении надо учесть, что энергия каждого занятого
состояния справа от прямой немного больше энергии не
занятого состояния слева. Это дает добавку второго по
рядкарядкамалости по —, т. е. пропорциональнуюмалости по —, т. е. пропорциональную
рядка
рядка
малости по —, т. е. пропорциональную
малости по —, т. е. пропорциональную
Если энергия фононов зависит от 0 как 04, а энергия электронов — как 02, то при понижении температуры электроны непременно начнут давать основной вклад в энергию. Оценка показывает, что это произойдет при 2——3° К. Пользуясь экспериментальными данными о
теплоемкости металлов при низких температурах, определяют число электронов проводимости.
Учет статистики Ферми для электронов позволил построить последовательную теорию электрической проводимости металлов. Начало положил в 1926 г. А. Зоммер- фельд, современную форму придал в основном Ф. Блох в 1930 г.
Блох рассмотрел механизм проводимости в металлах, выяснив, какие причины обусловливают длину свободного пробега электрона в кристаллической решетке металла. Прежде всего, идеально правильная кристаллическая решетка не оказывает никакого сопротивления движению электрона с любым импульсом. Если к такому кристаллу приложить электрическое поле, электроны будут ускоряться в нем неограниченно. Никакого определенного, стационарного тока не установится. Можно сказать,
что сопротивление такого идеального кристалла равно нулю.
Реальные кристаллы имеют дефекты строения. При температурах, отличных от абсолютного нуля, даже идеальные кристаллы не столь правильно упорядочены благодаря тепловому движению атомов. Обе эти причины приводят к тому, что металлы имеют не нулевое, а конечное сопротивление. Их можно грубо разделить по такому простому признаку. При абсолютном нуле теплового движения нет и сопротивление целиком обязано искажениям решетки. Эту часть сопротивления, хотя бы качественно, считают не зависящей от температуры. Что сверх того — идет от теплового движения.
В предыдущей главе было сказано, что все колебательные движения решетки описываются как совокупность газа фононов, подобно тому, как поле электромагнитных колебаний представляется совокупностью фотонов. Тогда элементарное взаимодействие электрона с колебаниями выглядит как его столкновение с фононом. В металле как бы присутствуют два газа: ферми-газ электронов и бозе- газ фононов. Столкновения электронов между собой считаются несущественными, и столкновения фононов между собой тоже не играют роли. Для механизма сопротивления важны только взаимные столкновения между электронами и фононами.
Такую грубую модель и положил Блох в основу теории, хотя очень трудно найти строгое теоретическое обоснование сделанным допущениям. Тем не менее, в общих чертах наблюдается вполне удовлетворительное согласие теории с опытом. Читатель должен иметь в виду, что это не считается достаточным критерием правильности теории: необходимо также, чтобы теория была внутренне согласована. Между тем модель Блоха не учитывает многие факторы, которые нет оснований полагать действующими слабо, например, столкновения между электронами.
И действительно, существует явление, которое долгое время считалось не совместимым с моделью Блоха. Мы имеем в виду сверхпроводимость многих металлов.
Камерлинг-Оннес в 1911 г. открыл, что при температуре 4°К сопротивление ртути скачком обращается rв нуль. Речь идет не только о
I/ тепловой части сопротивления,
а обо всем сопротивлении, >< включая то, которое обусловлено примесями и искажениями кристаллической решетки. На рис. 30 показан его примерный I^ ход. Пунктирная часть кривой
7 отвечает ее ожидаемому ходу. Рис. 30.Она не приходит в нуль приТ=0
из-за примесей и искажений. Сплошная кривая показывает истинный ход сопротивления. Начиная с температуры перехода, оно равно нулю абсолютно точно. Ток в сверхпроводнике течет 138
годами без внешних источников электродвижущей силы.
До 1956 г. объяснения сверхпроводимости не существовало. Считалось, что она не имеет с моделью Блоха ничего общего. Но затем Бардин, Купер и Шрифер сумели показать, что углубленный анализ взаимодействий в металле как раз на основе общепринятой модели прекрасно объясняет сверхпроводимость.
До указанных авторов полагали, что взаимодействие с фононами только расстраивает упорядоченное движение электронов. На самом деле оказалось, что фононы могут действовать и противоположным образом, как бы организуя электроны.
Вновь удобно обратиться к аналогии с электромагнитным полем. Взаимодействие двух зарядов, как было указано в гл. 12, всегда связано с запаздыванием: один электрон испускает волну, а другой принимает ее. Промежуточная среда, передающая силу, и есть само электромагнитное поле. Когда электроны находятся в металле, появляется еще одна промежуточная среда — кристаллическая решетка и от нее дополнительная сила: взаимодействие через фононы. Один электрон испускает фонон, а другой принимает его. Передается импульс, а следовательно и сила. Причем оказывается, что сила притягива- тельная, а не отталкивательная, как между одноименными зарядами в электромагнитном поле.
Рассмотрим подробнее, почему так получается. Совсем грубо можно сказать, что фонон движется в кристалле со скоростью звука, скажем, 5- 10б см/сек. Электрон на фер- ми-поверхности (т. е. с предельной энергией) имеет скорость порядка 5-108 см/сек. В этом легко убедиться, вычисляя скорость по энергии 卩()・ В результате электрон всегда догоняет фонон, «натыкается» на него и тем самым как бы тормозится. Но если один электрон своим действием задерживает второй, это выглядит как притяжение между ними.
Скажем прямо, что объяснение — не из лучших; на всякий случай попросим читателя поверить, что к тому же приводит и строгая теория. Итак, мы приняли, что между электронами есть некоторая сила притяжения. Это доказал в 1950 г. Фрёлих.
Возьмем теперь два электрона с противоположными импульсами, лежащими на границе распределения Ферми.
Такие электроны, если между ними не действуют никакие силы, свободно разлетятся в разные стороны. Если же юн и притягивают друг друга, то притяжение уменьшит их импульсы при разлете, ведь движение происходит против действующей силы. Но тогда импульсы должны стать меньше граничного, т. е. оказаться внутри ферми-сферы. Там, однако, все места заняты. В результате оказывается, что электроны не разлетаются, а связываются в так называемую куперовскую пару, при том условии, что притяжение пересиливает электростатическое отталкивание.
На рис. 31, а мы попытались показать это более наглядно. Стрелки изображают импульс электронов без
учета взаимодействия между ними. Кружочками отмечены те значения импульсов, которые должны были бы получиться после разлета электронов.
Но эти состояния заняты другими электронами. Электроны пары непрерывно обмениваются своими импульсами (это чнсто квантовый эффект обмена, на языке классической механики описать его нельзя) и поэтому не разлетаются.
На рис. 31, б показано, как изменяются импульсы двух электронов, если они не антипараллельны. Вследствие притяжения они получают дополнительные составляющие по линии, их соединяющей, и смещаются вдоль поверхности ферми-сферы в свободные состояния. Следовательно, здесь разлет возможен и происходит. Спаривания нет.
Наконец, на рис. 31, в изображены два электрона, получившие дополнительную энергию, так что их импульсы лежат вне фермн-сферы. Притяжение переводит их в свободные состояния на поверхности (кружочки),
и разлет осуществляется. Дополнительная энергия и есть энергия спаривания. Чтобы разорвать пару, надо сообщить ей некоторую конечную энергию порядка 2——3 градусов.
Здесь мы перевели для наглядности энергию в температурную шкалу, чтобы дать понять, почему сверхпроводимость наступает при столь низких температурах.
Почему же существование пар приводит к сверхпроводимости? Потому, что столкновение с фононом всегда испытывает один из партнеров. При низкой температуре энергия фонона невелика, порядка 0, и пара не разрывается. Запрет Паули не оставляет свободных мест для перехода разорванной компоненты пары, и разрыв не происходит.
В сверхпроводящем состоянии электроны образуют единый коллектив, не разрушаемый отдельными столкновениями.
В состоянии металла, когда есть ток, компоненты купе- ровской пары имеют не строго противоположные импульсы, а наклоненные под углом, близким к 180°. Появляется небольшой результирующий импульс в направлении тока. Но они смещаются вдоль ферми-поверхности чуть- чуть, а не так сильно, как на рис. 31, б, так что пара не разрывается. Для разрыва пары нужно, чтобы составляющая импульса вдоль линии соединения электронов (горизонтальная на рис. 31, а, б, е) получила определенное конечное приращение и попала на свободное состояние. Если угол между импульсами остался близок к 180°, кружочки на рисунках окажутся не на ферми-поверхности, как на рис. 31, б, а внутри нее, как на рис. 31, а. Состояние с током устойчиво относительно столкновений с фононами, потому что не оказывается свободных мест или квантовых состояний для перехода обеих компонент пары после разрыва. Как уже было сказано, сверхпроводимость —коллективное состояние всего металла, которое никак не может быть разрушено столкновением с отдельным фононом. Ток не отдает свою энергию решетке, т. е. не выделяет джоулева тепла и течет неограниченно долго. Несверхпроводниками оказываются те металлы, где электростатическое отталкивание перевешивает притяжение.
Осуществлены прямые опыты по определению заряда носителей тока в сверхпроводнике. Полученное значение
в два раза больше заряда электрона, что прямо доказывает существование пар.
Вообще, изложенная теория сверхпроводимости довольно хорошо согласуется с опытом.
С объяснением сверхпроводимости не осталось в неорганической природе явлений на атомном уровне, которые не имели бы полного количественного объяснения. В настоящее время все нерешенные проблемы физики находятся в области атомного ядра и элементарных частиц. Можно надеяться, что успешное преодоление лежащих здесь трудностей в свою очередь обогатит и статистическую физику.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
ВВЕДЕНИЕ
В конце войны в газетах появилось сообщение о нашем летчике, которому во время воздушного боя пришлось прыгнуть с горящего самолета. Парашют не раскрылся, и летчик должен был бы неминуемо погибнуть, но в последние секунды на земле как раз под ним взорвалась авиационная бомба. Взрывная волна оказалась, говоря словами заметки, отличным амортизатором, затормозившим падение, и обреченный на гибель благополучно приземлился.
Этот случай, изображенный впоследствии в кино, можно было бы назвать анекдотическим, если бы дело не шло о спасении человеческой жизни. К сожалению, взрывные (ударные) волны до сих пор погубили гораздо больше жизней, чем спасли. Но силы природы сами по себе не бывают «злыми» или «добрыми» — все зависит от того, какое применение дает им человек. Так и ударные волны находят себе применение не только на войне, но и при больших взрывах на выброс, намного облегчающих труд на строительстве плотин и каналов, или при открытой разработке полезных ископаемых. Ударные волны применяются при гашении пожаров нефтяных и газовых скважин: мощными потоками воздуха они задувают гигантское пламя, как горящую свечку. Ударные волны сопровождают полет космических ракет при пролете сквозь атмосферу. Мешая при взлете, они зато помогают приземлению. Поэтому учение об ударных волнах — необходимая часть новой области науки и техники ——звездоплавания, или космонавтики. Ударные волны могут сыграть решающую роль в деле мирного освобождения термоядерной энергии, которая решит энергетическую проблему для человечества при v^юбoм уровне потребления.
Что же такое ударная волна? Было время, когда ею интересовались лишь немногие — военные и вообще те специалисты, которым приходится иметь дело со взрывами. Далеко не все физики имели об ударных: волнах ясное представление, да й теперь учение о них преподается далеко не во всех физических высших учебных заведениях.
По этим вопросам невелика и популярная литература. Предлагаемая книга написана для читателя, сохранившего кое-какие, пусть даже смутные, воспоминания о школьном курсе физики. Многое он припомнит отчетливее, кое-что узнает заново и, быть может, заинтересуется областью знания, практические применения которой все увеличиваются,— газовой динамикой.
ЧТО ТАКОЕ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА?
Звуковые волны
Сплошная среда — твердая, жидкая или газообразная —способна передавать колебательное движение в виде звуковых волн. Всякое неравномерное, а значит и колебательное, движение обязано каким-нибудь силам: при отсутствии сил тела могут двигаться только прямолинейно и равномерно. Колебания среды вызываются силами упругости в ней. Так, если сжать объем воздуха и предоставить ему расширяться, его упругость приведет в движение окружающий воздух. При этом первоначально сжатый воздух расширится не до первоначального объема, а больше: расширяясь, он приобретет разгон. Работа, первоначально затраченная на сжатие, перейдет в кинетическую энергию движения; последняя, в свою очередь, будет затрачена на работу сжатия окружающей воздушной среды. Но и она не останется сжатой — расширяясь, она тоже превратит произведенную над ней работу в кинетическую энергию н сожмет новый прилегающий слой воздуха. Так по воздуху побежит звуковая волна.
Известно, что жидкость и газ сопротивляются только изменению объема, но не формы: по отношению к разным перекосам или скручиваниям они никакой упругостью не обладают. Поэтому при распространении звуковой волны 146
в воздухе надо учитывать только расширение и сжатие каждого объема.
В свободном пространстве звуковая волна бежит от источника во все стороны; нам для дальнейших рассуждений удобнее считать, что звук бежит по трубе: тогда все объемы сжимаются и расширяются подобным друг другу образом. С одного торца трубы пусть находится колеблющийся поршень, который создает попеременные сжатия и разрежения.
Сначала считаем смещения поршня очень маленькими по размаху (амплитуде). Но как бы малы они ни были, через любое поперечное сечение трубы аа на рис. 1 пройдет столько же сгущений и разрежений в секунду, сколько раз их создаст поршень в своем возвратно-поступательном движении.
Скорость движения поршня прямо пропорциональна двум величинам: размаху и частоте колебаний. Следовательно, при очень маленьком размахе его скорость будет очень мала даже и при большой частоте, или числе колебаний в секунду. Но скорость распространения звуковых колебаний не имеет со скоростью поршня ничего общего. Для частот колебаний, воспринимаемых человеческим ухом (от 20 до 20 000 в секунду), от еле слышного шелеста до рева самолетного мотора скорость распространения звука одна и та же: при «комнатной» температуре (около 20° С) звук бежит по воздуху со скоростью 330 м/сек.
Эта скорость определяется только свойствами самого воздуха и зависит от того, как быстро в нем движение передается от одного объема к другому. Как уже говорилось, при этом работа сжатия одного объема тратится на ускорение частиц соседнего объема.
Мы не будем выводить выражение для скорости звука, однако легко сообразить, как оно может быть построено по известным свойствам газа. Ускорение тем больше, чем больше сила, или упругость воздуха, и тем меньше, чем больше масса единицы объема, т. е. плотность воздуха. Поэтому следует ожидать, что скорость звука должна возрастать с его давлением и убывать с его плотностью.
И на самом деле оказывается, что скорость звука прямо пропорциональна корню квадратному из давления, деленного на плотность. Те, кто помнит размерности физических величин, легко могут убедиться, что' эта величина действительно имеет размерность скорости и что другой величины из констант, характеризующих газ, с такой размерностью построить нельзя.
Под корнем стоит еще коэффициент пропорциональности, равный отношению теплоемкости воздуха при постоянном давлении к его теплоемкости при постоянном объеме. Это отношение приблизительно равно 1,4.
Любопытно его происхождение. Если сжимать некоторый объем воздуха очень медленно, то его температура успевает выравниваться с температурой окружающего воздуха. Такое сжатие называется изотермическим. Звуковые колебания происходят сравнительно быстро, так что температура сжатого объема совсем не успевает выравниваться с температурой окружающих объемов; часть работы сжатия тратится на его нагревание. Такое сжатие называется адиабатическим *).
Очевидно, что поскольку при этом работа тратится не только на сжатие, но и на нагревание воздуха, то при равной степени уплотнения адиабатический способ требует большего давления, чем изотермический. Адиабатическая упругость больше изотермической, поэтому в выражении для скорости звука и появляется коэффициент ]/車= 1,19. При очень малых частотах колебаний поршня сжатие воздуха происходило бы изотермически. Скорость распространения такого звука (инфразвука), неслышимого ухом, меньше, чем скорость обычного звука,— для очень низких частот как раз в отношении L,19.
Возникновение скачка
Распространение звука будет интересовать нас не как периодический процесс, происходящий в газе, а совсем с другой точки зрения.
Чтобы разъяснить ее, представим себе, что поршень на рис. 1 совершает не периодические движения, а просто
*) Подробнее об изотермическом и адиабатическом сжатии см. гл. 5 работы «Законы физической статистики». (Прим. ред.).
148
равномерно вытягивается из трубы, начиная с некоторого начального положения (рис. 2). Вслед за поршнем устремляется и воздух, но, разумеется, не во всей трубе одновременно. Сначала это будет очень тонкий слой, прилегающий к поршню, потом соседний слой и т. д. Граница между неподвижным и движущимся воздухом побежит направо по газу как раз со скоростью звука. Правее этой
а а
匚匚Волна{ I Невозмущеннь!йразрежения j воздух
匚
匚
Рис. 2.
границы воздух еще не будет затронут движением, левее —потечет за поршнем. Расстояние между плоскостями а и а, проведенными через одни и те же частицы, непрерывно возрастает.
Выражаясь образно, воздух правее границы возмущений еще «не знает» о том, что поршень начал двигаться из трубы. Скорость звука является как бы скоростью передачи сигнала по газу ——сигнала, сообщающего движение. В этом состоит значение скорости звука для газовой динамики, которая, в отличие от акустики, обычно имеет дело с непериодическими процессами, такими, например, как выдвигание или вдвигание поршня.
Можно показать, что если поршень не изменяет направления своего движения, то передняя граница возмущения всегда движется с постоянной скоростью. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее не догоняли звуковые сигналы, идущие слева, из области текущего, разреженного газа. Если эти сигналы не приходят на переднюю границу, то газ на ней «не знает», когда и как стал двигаться поршень после того, как он впервые пришел в движение. Граница распространяется по газу так же, как если бы поршень продолжал выдвигаться из газа с той же скоростью, с какой он начал движение.
Почему же звуковой сигнал из разреженной области не может нагнать переднюю границу? Для этого есть две причины. Скорость звука, как уже было указано, пропорциональна корню квадратному из давления, деленного
на плотность. Но это частное определяется, по известному уравнению Клапейрона ), только абсолютной температурой газа (абсолютная температура , равна температуре по Цельсию плюс 273°, например, абсолютная «комнатная» температура равна 273°+20°=293°). Расширение газа происходит адиабатически (см. раздел 1.1), следовательно, он охлаждается. Поэтому в каждой точке газа, движущегося за поршнем, скорость звука меньше, чем на передней границе возмущения.
Уже по этому одному звуковой сигнал из разреженного газа не может догнать переднюю границу возмущения. Но это еще не все. Газ движется за поршнем, т. е. влево. Поэтому звуковые сигналы сносятся движущимся газом тоже влево. Скорости вычитаются, так что относительно трубы звук из разреженной области бежит еще медленнее, чем относительно самого газа. Это другая причина того, почему он не может нагнать переднюю границу возмущений, бегущую по неподвижному газу.
Возмущенная область газа, текущего за поршнем, называется волной разрежения. Так как поршень движется влево, а граница волны — вправо, область газа за волной разрежения непрерывно увеличивается. Скорость каждой частицы, захваченной волной, растет. На самой границе возмущения она еще равна нулю, левее нее возрастает и на самом поршне равна его скорости, еслн только сам поршень не движется слишком быстро.
Оказывается, что если в трубе находится воздух, а скорость поршня больше пятикратной скорости звука в невозмущенном воздухе, то течение не поспевает за поршнем, так что между поршнем и газом образуется вакуум. По мере расширения газа в вакуум скорость каждой его части стремится к этой пятикратной скорости звука. Во избежание недоразумений отметим, что речь идет не об отдельных молекулах газа, которые движутся беспорядочно, а об упорядоченной, общей скорости переноса газа относительно трубы.
У звуковых волн, которые изучаются в акустике, скорости частиц (опять-таки небольших объемов, а не молекул!) всегда очень малы по сравнению со скоростью звука. В волне разрежения соотношение как раз обратное: газ
течет быстрее звука. Такая ситуация характерна для газовой динамики, изучающей движение газов с большими скоростями.
Обычно принято сравнивать скорости частиц не со скоростью звука в невозмущенном воздухе, а с «местной» скоростью звука, т. е. с его скоростью внутри данного небольшого объема. На границе с вакуумом в волне разрежения давление газа равно нулю, равна нулю и температура. Конечно, это относится к воображаемому «идеальному» газу, который при низких температурах не обращается в жидкость, мы сейчас рассматриваем динамику только такого газа. Но при абсолютном нуле температуры равна нулю и местная скорость звука, ведь она пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, в этом месте, или, точнее, в этой частице газа, скорость течения в бесконечное число раз больше скорости звука.
Так движется газ, когда поршень выдвигается из трубы. Что же произойдет, если поршень будет вдвигаться и тем самым сжимать газ в трубе? Оказывается, что возникнет совсем иная картина.
Рис. 3.Рис. 3.Пусть поршень начинает вдвигаться очень медленно. Тогда передняя граница сжатого газа побежит со скоростью звука по газу несжатому. Постепенно поршень будет
Рис. 3.
Рис. 3.
Волна ! Невозмущен^ сжатия I ный воздух
ускоряться. Образуется волна сжатия, в которой воздух адиабатически нагрет и движется вправо (рис. 3). Поэтому возмущение из волны сжатия непременно нагонит ее переднюю границу: в нагретом воздухе скорость звука больше и, кроме того, она складывается со скоростью течения. Следовательно, передняя граница волны сжатия непременно «узнает» о том, что поршень движется ускоренно, сжимая газ.
Можно нарисовать профиль волны сжатия, т. е. распределение давления в ней в зависимости от координаты (рис. 4а). Допустим, что на этот профиль накладывается
Рис. 4а.Рис. 4а.небольшой «выступ» давления а. Он не может остаться на месте даже относительно того объема газа, в котором возник, а, как всякое сжатие газа, побежит по нему со скоростью звука, переменной на профиле, от точки к точке. Но любую точку, например б, можно рассматривать как небольшой выступ над хордой, обозначенной пунктиром. Итак, каждое сжатие газа распространяется по нему с местной скоростью звука, причем на профиле, изображенном на рис. 4а, большее давление догонит и даже, казалось бы, перегонит меньшее.
Рис. 4а.
Рис. 4а.
Рис. 46.Рис. 46.Но если бы так случилось, профиль, изображенный на рис. 4а, перестроился бы в п рофиль, соответствующи й рис. 46, который отвечает физически абсурдной ситуации, когда в одной и той же точке, например Л, давление
Рис. 46.
Рис. 46.
Рис. 4в.
газа имеет на профиле два или даже три значения (卩丄 и % на рис. 46, pi, р2 и рз на рис. 4в). Очевидно, что на самом деле так получиться не может, а осуществится нечто совсем иное.
Прежде чем рассмотреть, что произойдет в газе, полезно обратиться к другому, очень сходному случаю волнового движения — морскому прибою. Оказывается, что законы распространения волн по поверхности воды в неглубоком водоеме очень похожи на законы распростра- 152
нения волн сжатия в газе. Одни волны, как говорят, моделируют другие. Все, вероятно, знают, что электрический колебательный контур из емкости и самоиндукции моделирует колебания груза, подвешенного на пружине. Роль упругого звена играет емкость, роль массы — самоиндукция. Несмотря на совершенно разную физическую природу явлений, они подчиняются закономерностям одинакового вида. Это и есть моделирование.
Не всякое волновое движение в жидкости моделирует волны сжатия в газе. Например, мелкая рябь на поверхности имеет другой закон распространения. Аналогия возникает только тогда, когда длина волны сравнима с глубиной водоема. Тогда высота уровня воды в данной точке есть величина, аналогичная давлению в газе. Профилю давления в газе отвечает зримый профиль волны в воде.
Рассмотрим, как возникают в прибое волны, похожие по профилю на изображенные на рис. 46. Если волны набегают на отлогий берег, их гребни имеют большую скорость, чем впадины. Легко убедиться, что это должно быть так: под гребнями местная глубина больше, чем под впадинами. Но скорость волн может зависеть только от двух величин: глубины и ускорения силы тяжести. А из них можно построить только одну величину, имеющую размерность скорости: корень квадратный из глубины, умноженной на это ускорение. Ту же форму имеет выражение скорости падения тела с заданной высоты. Но если гребни бегут быстрее впадин, они должны выбегать вперед, так что волны сперва приобретают вертикальный участок переднего фронта, который затем наклоняется, как на рис. 46, 4в. Имея такую форму, волны бежать не могут и обрушиваются в виде прибоя.
Проследим теперь, как будет изменяться профиль волны сжатия в газе. Прежде чем возникнет физически невозможное перехлестывание, в некоторой точке профиля должен образоваться очень маленький вертикальный участок (рис. 5а, 56). В зависимости от закона движения поршня этот вертикальный участок может получиться как в передней точке волны сжатия, так и в ее середине. Давление с левой стороны от этого участка будет продолжать повышаться за счет сигналов, приходящих со стороны поршня. Но как бы оно ни повышалось, вертикальная касательная аб к профилю не наклонится вправо, чтобы
не дать начало невозможному профилю, изображенному на рис. 46.
Следовательно, единственный выход состоит в том, что из вертикальной касательной разовьется разрыв давления (рис. 6а, 66).
Место разрыва можно рассматривать как участок кривой со сколь угодно большим наклоном, так что неоднозначности давления не возникает.
Мы начали рассуждения, предполагая, что все величины в волне сжатия изменяются непрерывно, так же, как и в волне разрежения. Но оказалось, что в волне
Рис. 6а.Рис. 6а.Рис. 66.Рис. 66.
Рис. 6а.
Рис. 6а.
Рис. 66.
Рис. 66.
сжатия неминуемо должен наступить такой момент, когда движение больше не сможет остаться непрерывным. Однако перемещением поршня в принципе можно располагать по произволу, так что газ должен найти какой-нибудь естественный выход. Единственное возможное предположение состоит в том, что в газе возникнет скачок.
Такого рода скачок называется ударной волной. К выводу о необходимости образования ударной волны из волны сжатия газовая динамика пришла не из качественных рассуждений, а из строгих уравнений. Но те, кто пришел к этому выводу впервые, сами в него не поверили, исходя из метафизического предрассудка, что «природа не делает скачков». Вероятно, в основе этого ложного принципа лежит допущение, что скачок — это нечто беззаконное, нарушающее естественный ход вещей. На самом деле, однако, ударная волна управляется такими же строгими закономерностями, как и гладкое, непрерывное течение газа. Она возникает, развивается и распространяется в таком же согласии с механикой и общими свойствами газа, как и звуковая волна.
Условия на ударном разрыве
Движение газа с ударным разрывом есть один из частных случаев механического движения. Следовательно, какая бы величина ни менялась скачкообразно в ударной волне,— давление, плотность или скорость газа,— изменение всегда должно происходить таким образом, чтобы не нарушились общие законы механики.
Один из основных законов движения в механике Ньютона есть закон сохранения массы: как бы ни двигалась материальная частица, ее масса остается одной и той же. Закон сохранения массы — приближенный, в более точных уравнениях механики Эйнштейна он не подтверждается. Так, при ядерных превращениях суммарная масса частиц может измениться примерно на 0,1—0,4%. Но мы оставим пока в стороне ударные волны столь большой силы, что при них надо принимать в расчет ядерные превращения.
Итак, надо потребовать, чтобы масса вещества, втекающего за одну секунду в ударный разрыв слева, равнялась массе, вытекающей из него справа. Иначе масса накоплялась бы в самом скачке, приобретая таким образом бесконечную плотность, что невозможно.
Кроме закона сохранения массы очень важен и закон сохранения количества движения. Так называется, как известно, произведение массы частицы на ее скорость. Согласно второму закону Ньютона, если на частицу
действуют силы, то изменение количества движения за единицу времени равно приложенным силам.
Рассмотрим частицу газа, проходящую через разрыв. Приложенная к ней сила равна разности давлений справа и слева от разрыва; очевидно, что эти давления действуют в противоположные стороны, так что равнодействующая находится путем вычитания.
Вычислим теперь количество движения газа, проходящего через разрыв. Для этого мысленно построим в газе цилиндр, ось которого перпендикулярна к ударному разрыву (рис. 7), а площадь основания равна 1 см2. Слева
Рис. 7.
отложим по оси цилиндра отрезок, численно равный скорости течения газа с этой стороны, и аналогичный отрезок построим справа. Тогда по построению ясно, что весь газ, находившийся в левом отрезке цилиндра, за единицу времени перетечет через разрыв в правый отрезок. Как изменится за это время количество движения газа в цилиндре? Масса левого отрезка равна плотности слева, умноженной на скорость там же, потому что объем этой части цилиндра численно равен его длине (площадь поперечного сечения = 1), так что масса равна произведению плотности на длину. Количество движения равно произведению массы на скорость, т. е. окончательно равно произведению плотности на квадрат скорости. Аналогичному выражению равно количество движения правого отрезка цилиндра. Когда газ переходит слева направо через ударный разрыв, количество его движения за единицу времени изменяется на величину разности обоих этих выражений.
Но по второму закону Ньютона изменение количества движения за единицу времени равно равнодействующей приложенных сил, т. е., согласно только что сказанному, разности давлений по торцам всего цилиндра. Это есть 156
второе условие на разрыве. Удобнее всего записывать их, полагая, что мы сами движемся вместе с разрывом относительно газа.
Тогда закон сохранения массы гласит: произведение плотности на скорость газа одинаково по обе стороны. Второй закон Ньютона дает: разность произведений плотности на квадрат скорости равна взятой с обратным знаком разности давлений.
В самом разрыве имеют скачок плотность, давление и скорость. Будем считать их известными по одну сторону разрыва. Что надо задать, чтобы определить их по другую сторону?
Прежде всего заметим, что кроме этих трех величин неизвестной является и сама величина скорости, с которой разрыв распространяется относительно частиц газа. Разумеется, он никак не связан с одними и теми же частицами; ведь через него перетекает газ. Если считать, что газ впереди волны покоится, то скорость волны и есть та лишняя неизвестная, которую надо знать помимо состояния газа за волной.
Состояние газа впереди волны обычно бывает задано, так что для полного определения волны надо знать еще четыре величины; для того, чтобы сделать это, мы пока имеем два закона сохранения. Если, например, нам стали известны давление и плотность и по другую сторону разрыва, то уже скорость распространения разрыва и скорость газа по другую его сторону вычислить нетрудно. Заметим, что эти величины вовсе не равны друг другу, как не равны скорости звука и газа в звуковой волне.
Законы, которыми мы пользовались, универсальны и не зависят от природы вещества, в котором происходит разрыв,— твердое оно, жидкое или газообразное, или даже рыхлое, как песок.
В природе есть, однако, еще один универсальный по содержанию закон — сохранение энергии. От предыдущих двух он существенно отличается тем, что они универсальны и по форме: выражение количества движения любого тела через его массу и скорость всегда одинаково. Но невозможно записать в общем виде энергию произвольного тела. Разница связана с тем, что количество движения тела относится к его перемещению как целого, а энергия связана и с внутренним, тепловым движением отдельных атомов и молекул.
Энергия тела всегда слагается из двух частей: чисто механической, которая в общем случае равна сумме кинетической и потенциальной энергии, и энергии внутреннего молекулярного движения, которая иногда называется «тепловой». Закон сохранения энергии относится к сумме кинетической, потенциальной и внутренней энергий вещества. Но потенциальная энергия зависит от положения частицы в пространстве и не может претерпевать разрыв на ударной волне. Поэтому на волне сохраняется просто сумма кинетической и внутренней энергии.
Закон сохранения энергии, как мы уже отмечали, универсален только по содержанию, но не по форме, потому что внутренняя энергия разных тел различным образом связана с их состоянием, т. е. с давлением и плотностью. В данном случае это очень существенно, так как именно давление и плотность должны быть определены по разные стороны ударного разрыва.
Но если для некоторого конкретного вещества зависимость внутренней энергии от давления и плотности известна, то закон сохранения полной энергии дает возможность определить еще одну величину за ударным разрывом. Поэтому, если известны давление, плотность и скорость перед разрывом, то после разрыва достаточно знать одно только давление, или вместо него надо задать скорость распространения ударной волны.
Энергия газа очень просто выражается через его давление и плотность. Так как теплоемкость газа — величина постоянная, его энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре. Последняя, по уравнению Клапейрона, в свою очередь пропорциональна давлению газа, деленному на его плотность. Поэтому и энергия газа пропорциональна этому частному.
Это простое выражение позволяет легко вычислить любую величину за фронтом ударной волны в газе, если одна из величин, характеризующих разрыв, задана. Очень часто задают скачок давления при заданных давлении, скорости и плотности перед фронтом.
Вместо плотности иногда пользуются другой величиной — удельным объемом вещества, т. е. объемом, приходящимся на единицу массы, тогда как плотность есть масса, приходящаяся на единицу объема. Очевидно, обе эти величины обратны друг другу.
Задавшись начальным состоянием покоящегося газа перед фронтом, можно построить кривую зависимости давления от удельного объема за фронтом. Она называется адиабатой Гюгонио (правильнее было бы произносить Югонио, здесь сказывается инерция неправильного произношения фамилии Юго). Согласно сказанному, адиабату Гюгонио особенно просто построить для идеального газа. Ее примерный вид показан на рис. 8. р0 и 匕一 начальные давление и объем газа, р】и Vi — конечные давление и объем после ударного сжатия. АВ — вертикальная асимптота (см.
戶 ^ Иниже).
Мы уже упоминали в раз- llделе 1.1 про два способа
Ар.
乡乡РоРоИзотермаИзотермаAduaSamaAduaSama仿У仿У
乡
乡
Ро
Ро
Изотерма
Изотерма
AduaSama
AduaSama
仿У
仿У
Рис. 9.
сжатия газов——изотермический и адиабатический. Кривая на рис. 8 иллюстрирует третий способ сжатия ——ударный. Кривая названа и здесь «адиабатой», потому что при ударном сжатии тоже нет теплообмена с окружающей средой, как при обычном адиабатическом сжатии. Но следует иметь в виду, что имеется глубокое различие в смысле обеих кривых, которое мы сейчас разъясним.
Для сравнения нарисуем кривые изотермического и адиабатического сжатия (рис. 9) в тех же переменных. Внешне они напоминают адиабату Гюгонно, по на самом деле имеют совершенно другой смысл. Если плавно увеличивать давление от его начального значения р0, то объем будет, тоже плавно, уменьшаться от начального значения вдоль изотермы или адиабаты, смотря по способу сжатия.
При разгрузке, т. е. когда давление плавно уменьшается ,объем газа проходит в обратном порядке те же значения, которые он проходил во время нагрузки при том же давлении. Иначе говоря, кривая изотермического сжатия совпадает с кривой изотермического расширения, и то же относится к кривой адиабатического сжатия. Наоборот, при ударном сжатии объем скачкообразно уменьшается от своего начального значения до конечного. Но существенно, что это конечное состояние непременно должно лежать на адиабате Гюгонио. Выражаясь более специальным языком, надо сказать, что кривая Гюгонио есть геометрическое место точек на графике объем — давление, достижимых путем ударного сжатия из данного начального состояния. Но не следует думать, что сам процесс ударного сжатия идет вдоль кривой рис. 8, так, как изотермическое или адиабатическое сжатие по кривым рис. 9. Это становится особенно ясным, если рассмотреть разгрузку. Дальше будет показано, что ударная, скачкообразная разгрузка в газе вообще невозможна. Разгрузка происходит в волне разрежения. Если разгружать состояние, сжатое ударной волной, до начального давления р。, то газ отнюдь не вернется в свое исходное состояние, которое было до сжатия.
Пока мы отвлекаемся от молекулярного строения вещества, физический смысл могут иметь только начальное и конечное состояния при ударном сжатии. При учете строения можно определить и промежуточные состояния (мы сделаем это в разделе 1.6). С помощью первых двух законов сохранения можно показать, что состояние изменяется по хорде, соединяющей точки до и после ударного перехода. Существенно, что этот вывод совсем не зависит от конкретной природы вещества, а следует только из законов сохранения массы и количества движения.
Предельное сжатие в ударных волнах
Еще одно отличие ударного сжатия от неударного состоит в том, что при ударном способе объем не может сделаться сколь угодно малым. Наоборот, при изотермическом сжатии объем обратно пропорционален давлению. Поэтому, если давление сколь угодно велико, то объем сколь угодно мал. Мы отвлеклись от того, что молекулы на самом деле ——не точки, но это сказывается
только при сжатии в несколько сот раз. Закон адиабатического сжатия ——иной, но и здесь нулевой объем достигается при бесконечном давлении. Совсем иначе вымядит кривая ударного сжатия (рис. 8) при больших давлениях. Существование вертикальной асимптоты АВ показывает, что здесь объем не может, уменьшиться как угодно сильно. Для двухатомных газов пределом является шестикратное увеличение плотности, как бы ни было велико давление в ударной волне. Поэтому кривая ударного сжатия стремится к вертикальной касательной АВ, когда объем стремится к одной шестой от первоначального (для воздуха).
Произведение объема газа на его давление пропорционально абсолютной температуре. Так как давление при шестикратном сжатии воздуха стремится к бесконечности, а объем остается конечным, температура воздуха в очень сильной волне стремится к бесконечности пропорционально давлению.
Надо отметить, что при сильном нагревании свойства воздуха существенно изменяются: молекулы азота и кислорода распадаются на атомы, из атомов вырываются электроны, так что на самом деле предельное сжатие воздуха с нормальной начальной плотностью не шести-, а примерно десятикратное. Это происходит в волне с давлением порядка тысячи атмосфер. Между тем, чтобы изотермически сжать воздух в десять раз, нужно давление Btero в десять атмосфер.
При адиабатическом сжатии воздух тоже нагревается, но значительно слабее, чем при ударном. Например, чтобы сжать воздух адиабатически в десять раз, нужно давление 25 атм. Тогда из уравнения Клапейрона видно, что температура возрастет в 2,5 раза. Если начальная абсолютная температура была 300° абсолютных, то после сжатия будет 750° абсолютных, или 477℃.
Ударная волна, в которой давление равно тысяче атмосфер, нагревает воздух до 14000℃. Напомним, что температура излучающего слоя Солнца 5700° С. 1 см2 поверхности такой волны излучает в секунду в 36 раз больше анергии, чем равная поверхность на Солнце.
При ядерном взрыве образуются ярко светящиеся ударные волны, огненные шары. Если огненный шар с температурой 14 000° виден под углом в 5,3 раза большим, чем солнечный диск, то он светит ярче тысячи солнц
1611616 А. С. Компанеец
161
161
(36х5,32>1000) в согласии с названием известной книги Р. Юнга. Но столь яркое свечение длится недолго, меньше сотой доли секунды.
Вернемся к общим свойствам ударного сжатия. Если снять давление, то вещество, сжатое ударной волной, не вернется в исходное состояние, в котором оно было до сжатия. Между тем, при изотермическом или адиабатическом сжатии газ после разгрузки возвращается в первоначальное состояние. Оба эти процесса сжатия относятся к классу обратимых процессов, а ударное сжатие — к классу необратимых.
Необратимость ударного сжатия видна уже из того, что волна разрежения существенно отличается от ударной волны. В разделе 1.2 было указано, что в волне разрежения газ расширяется адиабатически, т. е. по совершенно другому закону, чем он сжимается в ударной волне. Поэтому, если сначала вдвигать поршень в трубу так, чтобы сжать газ ударной волной, а потом вытянуть поршень в его исходное положение, газ отнюдь не придет в исходное состояние. Так как объем стал равным первоначальному, а масса не изменилась, плотность стала равна исходной, но давление будет выше, потому что адиабатическое охлаждение при расширении не компенсирует ударного нагревания при сжатии.
Но внутренняя энергия газа пропорциональна его абсолютной температуре, так что ударное сжатие ведет к необратимой потере энергии: работа, затраченная на сжатие, не будет возвращена при расширении.
Можно видеть, что в результате любых необратимых процессов энергия может только растрачиваться. Так, например, полезная работа, совершенная поршнем при ударном сжатии газа, была не полностью возвращена поршню при адиабатическом расширении. Часть энергии «застряла» втазе. Легко доказать от противного, что иначе не может быть. Действительно, если бы адиабатическое расширение охлаждало газ сильнее, чем он был нагрет при ударном сжатии, то после разгрузки газ оказался бы при температуре более низкой, чем окружающая среда, а мы получили бы назад некоторую избыточную работу. Подождав немного, пока газ снова нагреется до температуры окружающей среды, мы могли бы повторить весь процесс и снова получить ту же работу, и так сколько угодно раз. Источником энергии, притом неис-
черпаемо большим, служила бы вся окружающая среда. За счет этой энергии мог бы работать некий воображаемый двигатель. В науке он даже получил специальное название: вечный двигатель второго рода.
Вечные двигатели бывают (а точнее — не бывают) двух родов. Двигатель первого рода, по мысли его несчастных изобретателей, должен получать энергию прямо из ничего. Что такой двигатель построить невозможно, следует просто из закона сохранения энергии.
Проекты вечных двигателей второго рода не посягают на этот мировой закон. Они только должны неограниченно заимствовать внутреннюю энергию из окружающей среды и превращать ее в полезную работу. Но их так же невозможно соорудить, как и двигатели первого рода.
Не следует, конечно, смешивать воображаемый вечный двигатель второго рода с так называемым даровым двигателем, таким, как турбина гидроэлектростанции. Энергия текущей воды заимствуется, в конечном счете, у Солнца, т. е. тела гораздо более горячего, чем среда, окружающая электростанцию. В этом случае Солнце заменяет топку парового котла.
Как известно, постоянные неудачи изобретателей вечного двигателя первого рода и повели, в конце концов, к формулировке закона сохранения энергии, который иначе называется первым началом термодинамики.
Та же судьба постигла изобретателей вечного двигателя второго рода, и столь же неотвратимо. Поэтому было сформулировано второе начало термодинамики: невозможно построить тепловую машину, работающую за счет внутренней энергии окружающей изотермической среды ). Впоследствии второе начало термодинамики было строго обосновано Больцманом из статистики молекулярных движений. Больцман показал, что концентрация внутренней энергии среды в двигателе есть тем более невероятное событие, чем дольше предполагается работающим двигатель.
В предлагаемых проектах иногда не всем удается распознать, что они по сути сводятся к вечным двигателям второго рода; во всяком случае это труднее, чем обнаружить несогласие с законом сохранения энергии.
Поэтому авторы таких проектов — не всегда столь же горькие неудачники в жизни, как изобретатели вечных двигателей первого рода.
Исходя из второго начала термодинамики, можно объяснить, что невозможны ударные волны разрежения, т. е. скачки, на которых давление газа падало бы. На фронте такого скачка можно было бы удовлетворить тем же трем законам сохранения, что и на фронте ударной волны, сжимающей газ. Но если бы скачок разрежения существовал, то газ охлаждался бы в нем сильнее, чем при адиабатическом процессе с тем же изменением объема. Тогда можно было бы построить вечный двигатель второго рода, сжимая газ адиабатически и разрежая его ударно, а это невозможно. Это пример доказательства, основанного на общем принципе физики.
Но применительно к данному конкретному случаю, то же самое видно нз простых газодинамических рассуждений. Именно, анализ адиабаты Гюгонио показывает, что ударная волна сжатия движется быстрее звука относительно несжатого газа и медленнее звука относительно сжатого газа. Тогда для скачка разрежения получилось бы обратное: он должен был бы двигаться медленнее звука по отношению к газу, лежащему впереди. При этом что помешало бы ему излучать вперед звуковые волны до тех пор, пока он размажется в пространстве? Иначе говоря, он был бы неустойчив относительно излучения звуковых волн. Наоборот, ударная волна излучать вперед звук не может, так как она движется быстрее. Отсюда видна ее устойчивость. В первоначально гладкой волне сжатия звуковые возмущения нагоняют друг друга и приводят к образованйю скачка.
Сравнение адиабатического и ударного сжатия, основанное тоже на свойствах адиабаты Гюгонио, показывает, что с помощью этих процессов невозможно построить двигатель, работающий за счет внутренней энергии окружающей среды. Таким образом обнаруживается несостоятелыiость одного конкретного проекта. Поскольку она проявляется всегда, невозможность построения вечного двигателя второго рода была возведена в ранг принципа. Но, как мы уже говорили, этот принцип не носит характера постулата, т. е. чего-то, принимаемого на веру, и нельзя надеяться, что хотя не удались миллион проектов, будет действовать миллион первый.
Вечный двигатель второго рода не может работать, так же как не может подбрасываемая монета бесконечное число раз подряд падать одной и той же стороной вверх.
Невозможность ударной волны разрежения показывает, что в адиабате Гюгонио имеет физический смысл только та ее часть, которая лежит выше начального состояния. Только она отвечает сжатию.
Итак, мы видим, что одних только законов сохранения недостаточно, чтобы полностью построить теорию ударных переходов: необходимо привлекать либо соображения, связанные с устойчивостью, либо второе начало термодинамики. Можно добавить, что положения термодинамики вообще входят неотъемлемой частью в газовую динамику.
Слабые ударные волны
В предыдущем параграфе мы разъясняли, насколько необратимая ударная волна не похожа на плавную, обратимую волну разрежения. Но это относится к сильным ударйым волнам, в которых давление меняется намного. Если давление меняется не очень сильно, то соотношения между величинами в ударной волне начинают во многом напоминать соотношения в волне разрежения.
Предположим, что поршень, создающий ударную волну, вдвигается в газ очень медленно по сравнению со скоростью звука в невозмущенном газе. Тогда волна сжатия будет очень слабой. Звуковые возмущения от поршня побегут по очень мало сжатому газу. Течение газа будет слабо сносить их вперед.
В результате возникнет ударная волна небольшой амплитуды, т. е. с избыточным давлением, составляющим малую долю от давления в невозмущенном газе. Если, например, скорость поршня в десять раз меньше скорости звука, то избыточное давление в воздухе составит 0,14 от начального. Оба малые отношения, 0,1 и 0,14, имеют, как принято говорить, один порядок величины.
Но если амплитуда давления в волне невелика, то такая волна распространяется по газу как небольшой бугорок давления на профиле (рис. 4а). Поэтому слабая волна бежит по профилю приблизительно со скоростью звука. В пределе такая волна превращается просто в
звуковую. То же относится, конечно, и к слабой волне разрежения. Поэтому общие соотношения для слабой ударной волны и для слабой волны разрежения в пределе совпадают.
Но какую волну считать сильной, а какую ——еще слабой? Все дело, очевидно, в той точности, которая принята достаточной. Пусть, например, ударная волна и волна разрежения отвечают перепаду давления в одинаковое число раз по отношению к начальному. Тогда можно условиться считать их скорости одинаковыми, если различие меньше одного процента.
Оказывается, что здесь совпадение гораздо лучшее, чем можно было бы ожидать. Даже когда отношения давлений составляют 2,5, т. е. в ударной волне давление возрастает, а в волне разрежения — падает во столько же раз, скорости, которые приобретает воздух в обеих волнах, различаются примерно на один процент. Но ударную волну с таким перепадом давления никак нельзя назвать «слабой», если судить по ее действию! Тем лучше, конечно, совпадение для действительно слабой волны.
Существенное, качественное различие в ходе величин в волне разрежения и в ударной волне возникает при больших, чем в 2,5 раза, перепадах давления. Надо сказать, однако, что если вычислять скорость распространения скачка по приближенным формулам, отвечающим тому же приближению, по которому вычислялась скорость газа, то ошибка при той же амплитуде скачка составит около 6%.
Главное отличие ударной волны от волны разрежения состоит в необратимости ударного сжатия. Как же измерить степень этой необратимости? В разделе 1.4 было указано, что мерой этой необратимости может служить остаточная внутренняя энергия газа после разгрузки. Она показывает, какая доля от первоначальной работы сжатия истрачена безвозвратно.
Оказывается, что у слабых ударных волн эта доля пропорциональна кубу отношения избыточного давления к начальному. Так, например, если это отношение уменьшается от 0,1 до 0,05, т. е. вдвое, то степень необратимости уменьшается в восемь раз. Сама же степень необратимости, отвечающая относительной амплитуде 0,1, меньше 0,0001. Поэтому роль необратимости велика только при больших амплитудах.
Строение фронта ударной волны
До сих пор мы рассматривали газ, по которому бежит ударная волна, как сплошную, непрерывную среду, т. е. полностью пренебрегли его атомно-молекулярным строением. Выражение «частица газа», которым мы пользовались, означало такой большой объем, который содержит еще очень много атомов или молекул, но в то же время такой малый, что давление, плотность и скорость газа внутри него можно считать постоянными. В волне разрежения всегда можно выбрать такой малый объем или частицу газа.
Но в ударной волне сделать этого нельзя, если через частицу как раз проходит ее фронт. В этом смысле скачок является сколь угодно резким.
Но это верно только до тех пор, пока оставлено в стороне строение газа, или вообще любой той среды, в которой распространяется волна.
В этом параграфе мы будем рассматривать более детальным образом строение ударного фронта. Сравнительно простые и общие соотношения получаются для газообразной среды, которой мы и ограничимся.
Чтобы описать передачу движения в газе, необходимо учитывать взаимодействие его молекул. Если бы газ был в буквальном смысле «идеальным», т. е. молекулы не взаимодействовали совсем, то каждая из них двигалась бы совершенно независимо от остальных, не сообщая им ни импульса, ни энергии.
Но отсюда следует, что всякую передачу движения в газе можно изобразить только с помощью детальной картины межмолекулярного взаимодействия. Рассматривая, например, волну разрежения, мы находили силу, с которой каждый из объемов, или «частиц» газа, взаимодействует с соседними объемами, в виде результирующего давления.
Конечно, давление тоже имеет молекулярную природу, но если объем газа состоит из достаточно большого числа молекул, отдельные столкновения между ними можно заменить средней величиной передаваемого ими импульса за единицу времени и через единицу поверхности, разделяющей объемы. Импульс за единицу времени есть по определению сила, а сила, отнесенная к единице поверхности, называется давлением.
Но не всегда можно определить соответствующий объем, если движение включает в себя ударный разрыв. Если нас интересуют как раз те участки газа, через которые проходит разрыв, их уже нельзя считать достаточно большими, чтобы сводить всю сложную картину молекулярного движения только к среднему переносу импульса сквозь поверхность. А именно эти участки газа интересуют нас, если мы изучаем строение фронта. Следует иметь в виду, кроме того, что в идеальном газе импульс передается через поверхность только перпендикулярно к ней. Прямой учет столкновений между молекулами показывает, что может переноситься и составляющая импульса, касательная к поверхности. Рассмотрим механизм молекулярного переноса *).
Сила взаимодействия между двумя отдельными молекулами имеет, вообще говоря, сложный характер. На больших расстояниях все молекулы очень слабо притягиваются, а на малых расстояниях, сравнимых с их размерами, очень сильно отталкиваются. Кроме того, молекулы большинства газов — двухатомные (О2, Н2, №), так что сила взаимодействия зависит не только от расстояния, но и от взаимной ориентации молекул в пространстве. Поэтому обычно рассматривают не реальное взаимодействие во всей его сложности, а только наиболее удобную и простую модель газа, свойства которой качественно передают его реальное поведение. Детали взаимодействия различны у разных газов, и если бы мы попытались учитывать их, получилась бы теория азота, кислорода, воздуха, но не газа вообще.
В модели газа притяжением на больших расстояниях пренебрегают вообще (эта модель заведомо не будет отражать некоторых свойств реальных газов, например, способности к ожижению, что здесь не важно). Все свойства сил отталкивания заключают в одном предположении, что молекулы взаимодействуют просто как упругие шары. Реальные шары, вроде биллиардных, способны не только перемещаться, но и вращаться. У молекул это не принимается во внимание, если специально не изучают их вращательное движение. Поскольку мы сейчас интере-
*) Более подробно о явлениях переноса см. гл. 9 работы «Законы физической статистики». (Прим, ред.)
168
суемся переносом импульса, вращение просто несущественно.
В большинстве случаев модель упругих шаров удовлетворительно отражает основные черты переноса движения в газе.
Как же происходит этот перенос? Пока два шарика не находятся в контакте, они вообще не взаимодействуют. От столкновения до столкновения они свободны. На рис. 10 изображено примерное расположение молекул. Пока молекула движется свободно, она описывает в пространстве
Рис. 10.
цилиндр («колбасу»). Она может столкнуться только с теми молекулами, которые хотя бы краешком зайдут в этот цилиндр. Центры таких молекул могут быть удалены от оси цилиндра не больше, чем на расстояние двойного радиуса, т. е. диаметра.
Конечно, другие молекулы влетают и вылетают из цилиндра, но в среднем число их остается постоянным в течение того короткого времени, которое проходит между столкновениями. Поэтому число столкновений в единицу времени равно среднему числу молекул в цилиндре, радиус которого равен диаметру молекулы, а длина численно равна скорости молекулы. Если плотность молекул умножить на объем этого цилиндра, как раз и получится искомое среднее число столкновений, которое любая данная молекула испытает за единицу времени. Обратная величина отсюда есть среднее время, которое молекула летит свободно от столкновения до столкновения. Это время, умноженное на скорость молекулы, равно среднему пути, который молекула проходит между столкновениями и который иначе называется свободным пробегом. Проследив за рассуждением, легко увидеть, что скорость сокращается из выражения для величины свободного пробега, который зависит, таким образом, только
от радиуса молекул и их плотности в пространстве. Заметим, что такой вывод относится только к модели упругих шаров.
В воздухе нормальной плотности свободный пробег составляет примерно 0,00002 см. Диаметр молекулы равен приблизительно 0,00000001 см. На больших высотах, где плотность воздуха мала, свободный пробег соответственно больше.
С помощью понятия пробега очень легко понять механизм процессов переноса в газах. Рассмотрим сначала молекулярный перенос энергии, т. е. теплопроводность газа.
Теплопроводность означает перенос внутренней энергии от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой, или просто внутри неравномерно нагретого тела от более горячей части к более холодной. Какой же минимальный размер должна иметь частица газа, чтобы можно было говорить о ее температуре? Здесь под словом «частица», как и в газовой динамике, понимается отнюдь не молекула, а небольшой объем. Чтобы можно было говорить о температуре некоторого объема газа, необходимо, чтобы в нем установилось тепловое равновесие. Единственный способ его установления заключается в том, что молекулы обмениваются между собой энергией, пока не достигнут такого состояния, которого дальнейшие столкновения менять уже не будут. Если теперь этот объем изолировать от всех внешних воздействий, то в нем уже никаких дальнейших перераспределений энергии происходить не будет. Состояние теплового равновесия характеризуется определенной температурой.
Чтобы в некоторой частице газа установилась своя температура, молекулы, составляющие данную частицу, должны, как мы видели, сталкиваться. Следовательно, частица газа должна иметь размеры свободного пробега. При меньших размерах столкновения не осуществятся.
Рассмотрим теперь два соседних участка газа с различными температурами. Согласно только что сказанному, они должны быть разделены расстоянием порядка одного пробега. В более горячем объеме молекулы обладают большей кинетической энергией, чем в более холодном. Соседние объемы, разумеется, обмениваются молекулами. В результате этого обмена часть энергии перей- 170
дет в объем с меньшей температурой. Это и есть процесс
переноса тепла, или теплопроводность.
Простой подсчет показывает, что энергия, переносимая таким образом за единицу времени через единицу
поверхности, пропорциональна падению температуры на единице длины. Коэффициент пропорциональности называется просто теп лоп роводн остью. Чем больше длина свободного пробега, тем〃 力
дальше переносится мо-। ।
лекулами энергия, тем—।
больше теплопровод-|\л
ность.I \
Вернемся теперь к вопросу о строении удар-' }
ного разрыва. Далеко от разрыва, по обе сто- Рис. 11. роны от него, течение
газа вполне можно считать гладким. Там имеет смысл говорить об определенной, постоянной температуре и давлении газа. Когда мы подводили баланс энергии и количества движения по обе стороны от разрыва, это делалось фактически несколько отступя от него, на поверхностях, лежащих в гладком течении. Что происходило между этими поверхностями, т. е. в самой области разрыва, не было существенно, так как законы сохранения справедливы всегда.
При этом можно было предположить, что одна часть газа может передать энергию другой, только совершая работу над ней за счет сил давления. Молекулярный перенос энергии, или теплопроводность, осуществляется в области гладкого течения очень медленно, так что ею там можно попросту пренебречь. Но в ударном разрыве температура меняется так сильно, что теплопроводность становится определяющей для структуры скачка. Через поверхность, проведенную где-то в самой области ударного перехода, переносится очень много энергии именно молекулярным путем.
Чтобы сделать это рассуждение более наглядным, изобразим примерный ход давления в области ударного перехода (рис. 11). Теперь мы уже не считаем его бесконечно тонким, а хотим проследить, как начальное состояние So, Vo) переходит в конечное (р, V). Процесс необратимого сжатия осуществляется в переходной области.
Выделим некоторый слой между плоскостями аа и 66 там, где осуществляется сам ударннй переход. Через любую из таких плоскостей проходит один и тот же поток энергии, потому что если бы через бб из слоя вытекало меньше энергии, чем втекает через 倣,то энергия накапливалась бы в слое. Между тем мы хотим рассмотреть уже установившуюся ударную волну: мы как бы оседлали ее и движемся вместе с ней.
Но теперь уже нельзя считать, что энергия передается от слоя к слою только за счет работы сжатия: в области крутого падения температуры обязательно существенную роль играет и тепловой поток. Он, как уже говорилось, пропорционален падению температуры на единице длины. Уже отсюда следует, что разрыв должен иметь конечную ширину. Если бы температура падала скачком, она должна была бы меняться на конечную величину на сколь угодно малой длине. В пересчете на конечную длину это отвечало бы бесконечному падению, т. е. и бесконечному потоку тепла. Но так как общий поток энергии конечный и постоянный, его тепловая часть тоже должна быть везде конечной. Поэтому падение температуры обязательно осуществляется на конечной длине.
Существует и молекулярный механизм переноса количества движения в газе. Он заключается в том, что при движении одного объема газа по другому молекулы из движущегося объема залетают в неподвижный и увлекают его с собой. Это свойство газа называется вязкостью. Учет вязкого переноса количества движения газа тоже приводит к размытию ударного фронта.
Строение переходной области удается рассмотреть количественно только в том случае, когда весь скачок —— слабый, т. е. когда давление в нем изменяется на малую часть от начального. Тогда вся ширина (или толщина) переходного слоя равна свободному пробегу, деленному на относительное изменение давления. Поэтому она во столько же раз больше пробега, во сколько раз начальное давление больше его изменения в ударной волне.
Но если относительная амплитуда ударной волны порядка единицы, то и вся ширина переходной области не больше одного пробега.
Надо заметить, что еслн весь переход совершается на одном пробеге, то понятия теплопроводности и вязкости в значительной мере теряют смысл. Дело в том, чю
тепловой поток пропорционален падению температуры на единице длины только в том случае, когда сама температура мало меняется на длине одного пробега. В сильной ударной волне имеет место как раз обратное: температура подскакивает во много раз на одном пробеге. Поэтому термин «теплопроводность» неточно отражает весьма сложный необратимый процесс, происходящий внутри скачка. '
Даже само понятие давления сильно изменяется в узкой переходной области. Обычно в газе имеет силу закон Паскаля, согласно которому давление на любую площадку перпендикулярно к пей и не зависит от ее ориентации в пространстве. Этому закону и отвечает термин «давление». В зоне скачка один объем газа действует на другой более сложным образом. Закон Паскаля нарушается, и есть не только перпендикулярная, но и касательная к площадке составляющая силы.
Бывают случаи, когда ударная волна никак не может вся уложиться на одной длине свободного пробега, какой бы сильной она ни была. Это происходит тогда, когда полное изменение состояния газа не может происходить «с одного удара». Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Атомы в молекулах способны колебаться друг относительно друга без того, чтобы целость молекулы нарушилась. Например, в двухатомной молекуле атомы сдвигаются и раздвигаются по концам воображаемой прямой, проведенной между ядрами. Как и всякое движение в газе, колебания тем интенсивнее, чем выше температура. Если начальное состояние газа — холодное, а конечное имеет высокую температуру, то интенсивность колебаний должна очень сильно увеличиваться в скачке.
Оказывается, однако, что колебания возбуждаются далеко не при всяком столкновении между молекулами: их переносное движение не так легко переходит в колебательное. Нередко для того, чтобы колебания набрали полную силу, нужно до 10 000 столкновений. Поэтому ясно, что на расстоянии одного пробега колебания никак не успеют возбудиться. На этом пробеге вся энергия .волны будет затрачена на то, чтобы увеличить только энергию переносного и вращательного движения молекул. Что .же произойдет дальше? Этот вопрос рассмотрел чисто графическим методом наш известный физик Я. Б. Зельдович.
Рис. 12.Рис. 12.Можно построить одну адиабату Гюгонио, предполагая, что колебаний молекул не существует вовсе, и другую адиабату Гюгонио с учетом колебательного движения. Они различаются тем, что теплоемкость газа, молекулы которого способны колебаться, выше, чем у газа, где колебаний нет. Колебания являются как бы дополнительным тепловым резервуаром, отсасывающим внутреннюю энергию на себя, поэтому нужно больше тепла, чтобы нагреть газ на один градус, если тепло тратится и на возбуждение колебаний.
Рис. 12.
Рис. 12.
На рис. 12 построены две адиабаты Гюгонио. Они проведены из одного и того же начального состояния О. ОВ отвечает предположению, что колебаний нет, ОА — что они есть.
Покажем прежде всего, что ОВ лежит выше ОА. На кривой ОВ на долю чисто пе- У реносного движения приходится больше энергии, чем на ОЛ. Следовательно, при
той же степени сжатия точкам на ОВ соответствует большая плотность кинетической энергии газа, а следовательно, и большее давление. Ведь из уравнения Клапейрона известно, что давление пропорционально абсолютной температуре газа, которая в свою очередь определяет его внутреннюю энергию. А без учета колебаний температура выше, так как теплоемкость меньше. Поэтому вместе с температурой и давление без учета колебаний выше, что и отражено на рис. 12 во взаимном расположении адиабат.
В конце раздела 1.3 было указано, что ударный переход происходит по хорде, соединяющей начальное и конечное состояния на адиабате Гюгонио. Если волна не очень сильная, то хорда OL, проведенная из начального состояния, совсем не пересекает адиабату ОВ. Начальное состояние в результате ударного сжатия постепенно переходит в такое конечное, когда колебания молекул возбуждены соответственно принадлежащей им доле в общей энергии газа. Скачок размазывается на столько 174
пробегов, сколько нужно для передачи энергии колебаниям.
Если волна сильная, то хорда ОК пересечет и адиабату ОВ. Тогда та часть перехода, которая отвечает отрезку хорды ОМ, будет происходить на одной длине пробега, т. е. не будет отличаться от обычной ударной волны.
Но в этой волне колебания молекул еще не возбудятся, вся энергия передастся переносному и вращательному движению. Дальнейший ее переход в колебания осуществится на отрезке хорды МК, но это уже произойдет плавно на таком числе пробегов, какое нужно для установления равновесия между всеми видами движения молекул. При этом температура газа будет понижаться.
На рис. 13а и 136 изображены профили давления для обоих рассмотренных случаев.
ДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
Сверхзвуковое движение
Мы живем в век растущих скоростей передвижения. Рискованно даже сказать «больших» скоростей, потому что лет через десять нынешние большие скорости могут показаться сравнительно малыми.
Быстрейший способ передвижения, как известно, реактивный, а для космических полетов он и единственно возможный.
Применительно к ракете существуют два круга задач газовой динамики. Это, во-первых, динамика истечения толкающих ракету газов из ее сопла, и, во-вторых,
обтекание самой ракеты воздухом, пока она еще не покинула атмосферу Земли.
Чтобы сообщить ракете большую скорость, надо заставить газы вытекать очень быстро. Эти газы образуются в камере сгорания. Поначалу они еще неподвижны относительно ракеты, но имеют большое давление, которое гонит их через сопло. Как же устроить сопло так, чтобы сообщить газам наибольшую скорость, или, точнее, получить наибольшее тяговое усилие за счет отдачи вытекающих газов?
Рассмотрим поэтому истечение газов из сопла. Всем, наверное, известно, что реки текут быстрее всего там, где они всего уже. Значит, если сделать сопло сужающимся, газы начнут ускоряться в нем. Мы нарочно употребили слово «начнут», потому что в сужающемся сопле невоз
можно достичь сверхзвуковой скорости течения. Газ может ускоряться только до тех пор, пока его подпирает давление сзади. При заданном давлении в камере сгорания можно понижать давление на выходе. При этом будет достигнуто некоторое значение выходного давления, при котором скорость звука сравняется со скоростью газа. Тогда никакой «сигнал» разгрузки не сможет распространиться против течения по соплу: он будет снесен течением. Иначе говоря, газ в сопле ничего не будет «знать» об условиях на выходе. Очевидно, что при дальнейшем понижении давления газ и подавно не «узнает» о том, какое давление в выходном сечении сопла, так что больше, чем до звуковой скорости, в выходном сечении он ускориться не сможет.
Как же все-такн получить сверхзвуковое течение? Оказывается, что для этого надо опять увеличить сечение сопла (рис. 14). Такое сопло впервые построил изобретатель паровой турбины Лаваль. В отличие от дозвукового течения, сверхзвуковое течение ускоряется по мере того, как просвет сопла растет. Если добиться того, что в самом узком месте, горловине сопла, течение станет звуковым, то из раструба будет вытекать сверхзвуковой поток газа.
Можно проследить, как будет при этом меняться давление в сопле. В горловине оно окажется как раз таким,
каким должно было быть во внешнем пространстве, чтобы получилось звуковое истечение из сужающегося сопла. На выходе из раструба оно окажется еще ниже.
Если оно как раз равно внешнему давлению, то получается так называемое идеальное сопло, в котором газ, адиабатически расширяясь, переходит из начального состояния в конечное без ударных скачков. Если же давление на выходе иное, гладкий переход оказывается невозможным. Но так как газ как-то
Граница струи
Ударный фронтРис. 15а.Ударный фронтРис. 15а.Рис. 156.Рис. 156.струи
Ударный фронт
Рис. 15а.
Ударный фронт
Рис. 15а.
Рис. 156.
Рис. 156.
должен вытекать, из камеры сгорания в атмосферу, внутри течения возникают ударные разрывы. В зависимости от величины внешнего давления эти скачки могут находиться внутри расширяющейся части сопла или уже в выходящем потоке. При этом они не стоят
нок в горлышке пивнойА
бутылки (рис. 15а, 156,Ударныйфронт
15в).
Впрочем, в этом срав- Рис. 15в. нении аналогия чисто зрительная. Жидкие пленки ветвятся совершенно произвольным образом, тогда как в случае ударных волн ветвление и пересечение поверхностей происходит с необходимостью. Дальше, в разделе 2.3, будет показано, что ударная волна може* отражаться от твердой поверхности (в данном случае от стен к н сочла) не под произвольным углом, а только под углом, меньшим некоторого. При большем угле падения возникает более сложная конфигурация с ветвлением, называемая маховской. Это наблюдается п при истечении из сопла.
Наибольшая реактивная сила развивается при истечении из идеального сопла, без ударных скачков.
В отличие от ударных волн, бегущих по трубе, которые мы рассматривали в предыдущей главе, здесь получаются ударные волны, которые стоят относительно сопла. Они возникают благодаря тому, что газ течет по трубе переменного сечения с переменной скоростью. В гладком течении давление и скорость связаны однозначно, если же принудительно задано несоответствие между тем и другим, то газ приспосабливается к этим условиям путем ударных переходов. Разумеется, это могут быть
Рис. 16.
только ударные волны, которые сжимают втекающий в их фронт газ; скачки разрежения, как мы видели, невозможны.
Здесь снова видна необходимость ударных переходов в газовой динамике.
Так выглядит сверхзвуковое течение в сопле. Как же обтекает ракету наружный воздух, пока она еще не покинула атмосферу?
Прежде всего оказывается, что разница между дозвуковым и сверхзвуковым полетом очень велика. При дозвуковом движении тело посылает вперед волны сжатия, которые, по образному выражению одного автора, «предупреждают» воздух о приближении тела. В неограниченном пространстве воздух расходится в стороны и плавно обтекает тело. В принципе сколь угодно далеко впереди тела есть какие-то слабые возмущения. Картину движения удобно воспроизвести, считая, что тело покоится, а воздух на него набегает со скоростью, равной по величине и обратной по направлению. На очень большом расстоянии от тела поток почти плоскопараллельный, а вблизи тела линии тока искривляются и огибают его (рис. 16). Придавая телу каплеобразную форму, можно 178
добиться того, что при обтекании не возникнет завихрений.
При сверхзвуковом движении воздух не успевает расходиться в стороны ——его догоняют бегущие сзади волны сжатия. В результате впереди тела получается ударная волна. Она тем сильнее, чем быстрее движется тело. Еще одна ударная волна отделяется от задней кромки (рис. 17). Эта ударная волна называется хвостовой. Воздух, первоначально сжатый в головной ударной волне, затем расширяется до давления, которое меньше, чем
Рис. 17.
исходное. В хвостовой волне он возвращается к исходному давлению. Профиль давления, показанный отдельно на рис. 17, сверху напоминает растянутую и вывернутую латинскую букву ^, почему эта волна и называется yV-волной. Отметим, что оба скачка в ^-вoлнe суть, конечно, волны сжатия, как и должно быть. Обе эти волны имеют на некотором расстоянии от тела вид конусов, вложенных друг в друга.
Так как в ударной волне воздух уплотняется, в ней испытывает скачок и показатель преломления. Пользуясь этим, волну можно сфотографировать, освещая ее надлежащим образом. Подобные снимки впервые получил знаменитый Э. Мах, пользуясь как мгновенным источником света электрической искрой.
В ударной волне воздух нагревается. Та частица воздуха, которую встречает передняя точка тела, нагревается еще больше, доходя до тела. Это легко понять, применяя рассуждения к такой картине, в которой тело остановлено, а воздух на него натекает с равной, но противоположной по направлению скоростью. В этой картине
частица/ движущаяся точно навстречу телу, останавливается ,доходя до него. Следовательно, ее кинетическая энергия полностью переходит во внутреннюю. После прохождения через ударный фронт она продолжает нагреваться дальше и доходит, как принято говорить, до температуры торможения. При достаточно высокой температуре тело начинает плавиться и испаряться. Возникающее свечение делает видимым полет метеоров через воздух —эти крошечные частички космического вещества создают свечение, видимое на расстоянии в десятки километров. Их назвали образно (но неправильно) падающими звездами.
Свечение метеоров иногда объясняют тем, что они нагреваются от «трения о воздух». На самом деле разогревание получается не от «трения» (сил вязкости), а в ударной волне и затем от последующего торможения. Светящаяся ударная волна сопровождает и полет ракеты в атмосфере.
Ю. А. Гагарин впервые сумел взглянуть на это свечение воздуха изнутри, через жаропрочное окошечко. Он увидел как бы бушующее пламя. Вероятно, это было еще на большой высоте, где атмосфера достаточно разрежена. Ведь при скорости полета 7 км/сек, равной, очевидно, скорости передней точки ударной волны, температура воздуха в волне достигает 10 000°! Если бы воздух излучал, как плотное горячее тело, жара не смог бы вынести не только человеческий глаз, но и весь корабль в целом. Но когда излучает прозрачное тело, оно испускает гораздо меньше энергии ).
Эта светящаяся ударная волна помогает космическому кораблю затормозиться в земной атмосфере и благополучно приземлиться.
Чтобы уменьшить сопротивление воздуха при взлете ракеты или просто при сверхзвуковом полете самолета, выгодно придать передней части заостренную форму. Тогда на носике образуется коническая ударная волна, которая преломляет параллельные линии тока набегающего воздуха. В хвостовой ударной волне они преломляются снова и опять переходят в параллельный поток (рис. 18).
Обе эти ударные волны заметны на довольно большом расстоянии от тела. Когда пролетают сверхзвуковые самолеты, то еще на расстоянии до 20 км и более слышны громкие хлопки, хорошо известные каждому.
На близком расстоянии ударные волны, сопровождающие сверхзвуковое движение, могут быть и разрушительными.
Такие разрушительные явления в грандиозном масштабе наблюдались при падении тунгусского метеорита (метеоритом называется метеор, достигший Земли) в 1908 г. Место падения на Землю героически, но безуспешно искал большой энтузиаст Л. А. Кулик, а за ним и многие другие. В настоящее время можно считать доказанным, что метеорит на самом деле состоял из массы мелких
ХвостовойХвостовойРис. 18.Рис. 18.уОарнти фронтуОарнти фронтТоловноиТоловнои"ООрнь心дронт"ООрнь心дронт
Хвостовой
Хвостовой
Рис. 18.
Рис. 18.
уОарнти фронт
уОарнти фронт
Толовнои
Толовнои
"ООрнь心дронт
"ООрнь心дронт
частиц, двигавшихся по весьма пологой траектории. Плотная масса частиц вызвала совокупную ударную волну огромной силы, сравнимую с волной ядерного взрыва в несколько мегатонн.
Детальная картина действия этой волны, а также светового излучения, ею вызванного, еще должна быть восстановлена по упавшим деревьям и по следам ожога на выживших деревьях. Разумеется, сейчас уже очень трудно сделать это — прошло много лет. Только теперь в земле начали находить характерные оплавившиеся микроскопические шарики силикатов и никелистого железа. Во всяком случае исследование ведется на основе правдоподобной научной гипотезы о природе явления. Наиболее вероятно, что Земля столкнулась с небольшой кометой.
Попытки «доказать», что тунгусский метеорит был космическим кораблем из чужого мира, взорвавшимся у самой земли, целиком относятся к области фантастики, которая без лишней скромности именует себя научной.
Ударные волны при взрыве
Поражающее действие взрыва обязано ударным волнам. Если волна достаточно велика по размерам, как это бывает при ядерных взрывах, то при избыточном давлении всего 0,35 атмосферы рушатся здания. При нескольких сотых атмосферы вылетают оконные рамы. Не причиняют заметных повреждений только волны со скачком давления в несколько тысячных атмосферы.
Действие ударной волны на человека зависит от условий, в которых он находится относительно волны.
Во введении мы упоминали о летчике, которого поддержала ударная волна во время падения. Человек, летящий с большой высоты, достигает из-за сопротивления воздуха предельной скорости около 60 м/сек. Следовательно, такой должна была оказаться наименьшая встречная скорость воздуха в ударной волне. Этому соответствует давление менее пол-атмосферы, обычно не смертельное, согласно приведенной только что оценке. Стоящего на земле человека, возможно, убивает не сама волна, а причиняемый ею бросок. Скорость воздуха в волне с амплитудой давления в одну атмосферу равна 170 м/сек. Ясно, что если она сообщит человеку скорость порядка нескольких десятков м/сек, при ударе о землю он вряд ли выживет.
Для целей защиты от ударных волн очень важно уметь рассчитывать их силу заранее.
Мы начнем с очень сильных волн, возникающих на близких расстояниях от ядерных взрывов. Защититься от них можно, только уйдя очень глубоко под землю. Но их свойства очень важны для дальнейшего развития взрыва и потому интересны сами по себе, безотносительно к защите. Они накаляют воздух, давая начало обжигающему тепловому излучению. Дальше мы увидим, что ударная волна сказывается на распространении гамма- лучей и нейтронов, увеличивая их поражающее действие. Наконец, из сильных волн рождаются сравнительно слабые, которые уходят на большие расстояния. По разрушительному действию они при этом отнюдь не являются слабыми, как мы только что видели. Зато и защита от этих «слабых» волн не безнадежна.
Условимся называть волну сильной, когда давление и плотность энергии в ней гораздо больше, чем были в не- 182
возмущенном воздухе. Такова, например, волна с давлением сто атмосфер в воздухе.
Если бы мы аналогичным образом определили сильную волну в воде, то ста атмосфер было бы совершенно недостаточно. Это была бы, наоборот, слабая волна, потому что при ста атмосферах в ударной волне вода очень мало сжимается и совсем ничтожно нагревается. По настоящему сильная ударная волна в воде должна иметь давление в несколько сот тысяч атмосфер. В железе она еще сильнее. Волна с давлением сто атмосфер сжимает воздух почти в восемь раз и распространяется со скоростью более 3 км/сек.
Температура в ней достигает 3500°. При такой температуре заметная часть молекул кислорода распадается на атомы. В остальных молекулах кислорода, а также в молекулах азота, которые распадаются труднее, уже происходит интенсивное колебательное движение атомов. При комнатной температуре молекулы, входящие в состав воздуха, не колеблются вообще. Они совершают только поступательное и вращательное движение. Этому соответствовало бы, как уже говорилось, шестикратное предельное сжатие. Когда молекулы совершают и колебания, предельное сжатие восьмикратно. Таким образом, волну с давлением 100 атмосфер в воздухе несомненно можно считать сильной.
Изучая такую волну, законно вообще пренебречь начальной энергией и давлением воздуха. Это приближение кладется в основу теории сильного взрыва.
Сильный, а попросту говоря, ядерный взрыв развивается из малого объема бомбы. Но на самых первых стадиях он захватывает воздух не с помощью ударной волны. Очень горячее электромагнитное излучение, выходящее из бомбы, имеет температуру около миллиона градусов. Оно разогревает воздух быстрее, чем в нем успевает возникнуть какое-либо движение. Поэтому повышается температура воздуха, а его плотность остается сперва такой же, как была до взрыва: не смещаясь, воздух, очевидно, не может и сжаться. Но чем выше температура при неизменной плотности, тем выше и давление.
Вблизи бомбы образуется, таким образом, относительно небольшая по объему, но сильная волна сжатия, из которой и развивается в дальнейшем ударная волна.
Однако весьма существенно, что размерами этой волны сжатия можно в дальнейшем пренебрегать по сравнению с радиусом развившейся ударной волны, далеко убежавшей от точки взрыва, но все еще сильной. Не при ядерном взрыве такую ударную волну «из точки» может дать в малом масштабе сильная электрическая искра. Обычные взрывчатые вещества не образуют ударных волн такого типа.
После того как ударная волна ядерного взрыва убежала достаточно далеко, но еще осталась сильной, все ее свойства целиком определяются начальной выделившейся энергией и начальной плотностью воздуха, а также предельным сжатием в ударной волне. Последнее есть величина отвлеченная, т. е. просто число, характеризующее волну. Выясним значение первых двух именованных, т. е. обладающих размерностью, величин. С их помощью можно определить закон распространения волны, т. е. зависимость радиуса от времени.
Для этого надо сначала вспомнить единицы измерения энергии и плотности. Энергия измеряется в эргах, размерность которого есть:
I —1 грамм х 1 (сантиметр)2叩 ° — 1 (секунда)2 *
Размерность плотности, т. е. массы единицы объема, такая:
1 грамм1 (сантиметр)3'
Образуем теперь частное от деления энергии на плотность: мы хотим выразить длину, или радиус, через время, н размерность грамма нам для этого ни к чему. Искомое частное измеряется, очевидно, в таких единицах:
1 грамм X 1 (сантиметр)2 乂 1 (сантиметр]3 — 1 (сантиметр^
1 (секунда)2 1 грамм — 1 (секунда)2 '
Умножим получившуюся величину на квадрат времени, протекшего от момента взрыва, так что получится выражение, измеряемое пятой степенью длины. Никаким другим образом из энергии, плотности и времени невозможно образовать иное выражение с такой же размерностью. Это видно из предыдущего рассуждения.
Что же в нашей задаче еще имеет размерность длины? Только радиус ударной волны. Следовательно, пятая степень радиуса должна быть пропорциональна энергии взрыва, деленной на плотность воздуха и умноженной на квадрат времени, протекшего от момента выделения энергии (начальной фазой, пока ударная волна еще не образовалась, мы, как уже указывалось, пренебрегли). Основной принцип составления физических равенств состоит в том, что обе стороны равенства должны иметь одинаковую размерность. Именованные величины не могут равняться друг другу, если они измеряются не в одинаковых единицах. Но применительно к сильной ударной волне существуют только две упомянутые выше величины, измеряемые пятой степенью длины. Следовательно, они и обязаны быть пропорциональными между собой, причем коэффициент может уже зависеть только от свойств газа ——в данном случае от предельного сжатия.
Итак, отвлекаясь от постоянных для каждого данного взрыва величин — энергии и плотности воздуха, мы получили, что пятая степень радиуса волны пропорциональна квадрату времени ее распространения. Это верно до тех пор, пока волну можно считать сильной.
Изложенный здесь вывод этого закона основан на анализе размерностей. Читатель легко убедится в том, что большинство физических законов может быть выведено этим способом, если отвлечься от численных коэффициентов.
Из полученного соотношения следует, что все сильные взрывы подобны между собой. Сравним, например, два взрыва, различающиеся по энергии в 10 000 раз, например, с эквивалентными выделениями энергии по тротилу 5 тысяч и 50 миллионов тонн. Тогда ударные волны будут иметь одинаковые радиусы в разные моменты времени: для большей энергии все времена, отвечающие тем же радиусам, будут в 100 раз меньше. Действительно, при этом условии произведения энергии на квадрат времени будут одинаковы, а плотность воздуха одинакова и так. Поэтому радиусы и окажутся одинаковыми.
一 Закон подобия для сильных взрывов высказал Л. Д. Ландау. На основании подобия Л. И. Седов и независимо, но с меньшей полнотой К. П. Станюкович (внук известного писателя) построили теорию сильной взрыв-
ной волны. Они показали, как найти распределения всех газодинамических величин по объему волны, причем Л. И. Седов, остроумно использовав закон сохранения энергии, довел решение задачи до чисел и графиков.
В книге Я. И. Перельмана «Занимательная механика» обсуждаются законы подобия применительно к Гулливеру и его соотношению с лилипутами и бробдигнегами. Мы повторим рассуждения Перельмана в несколько ином виде, чтобы показать, когда можно пользоваться подобием и когда нельзя.
Гулливер был в 12 раз выше лилипутов. Поэтому он весил в 123=1728 раз больше. Подымая руку, он совершал в 123-12=20736 раз большую работу, чем лилипут. Если бы энергия потребляемой пищи тратилась только на совершение работы, Гулливеру пришлось бы есть в 20 736 раз больше, чем лилипуту. Но пища, кроме работы, нужна и на согревание тела. Тепло передается в окружающее пространство через поверхность тела, которая у Гулливера только в 122=144 раза больше. Следовательно, подобие между Гулливером и лилипутами невозможно: его в 1728 раз больший желудок должен был бы принимать либо в 20 736 раз больше пищи, либо только в 144 раза. То и другое физиологически невозможно. Заметим, кстати, что между большими и маленькими животными нет никакого геометрического подобия (в смысле пропорциональности) в строении тела.
Но если вернуться к сильной ударной волне, то здесь нужно подобие только по одному параметру. Поэтому всегда можно получить полное соответствие картин развития двух взрывов, меняя лишь масштабы длины и времени.
Применяя анализ размерностей, надо прежде всего выяснить, какие физические величины должны входить в искомое соотношение. Если между ними можно построить только одно равенство, совместимое с единицами измерения величин, то оно и будет единственно возможным. Из этого равенства будут следовать и соотношения подобия.
Подобие для несильных ударных волн значительно уже, чем для сильных. Здесь надо характеризовать невозмущенный воздух не только плотностью, а еще одной величиной, например, скоростью звука в нем. Тогда две взрывные волны в воздухе могут обладать подобием толь-
ко при равной скорости фронта или равном давлении на фронте. Сильные волны всегда подобны друг другу и самим себе. Когда радиус волны увеличивается вдвое, или втрое, распределение всех газодинамических величин внутри волны остается тем же самым, если принять соответствующие величины на фронте за единицы измерения. Поэтому сильные сферические взрывные волны называются самоподобными, или, как предпочитают выражаться ученые, автомодельными, что значит буквально то же самое.
Рис. 196.Рис. 196.
Рис. 196.
Рис. 196.
Распределение величин давления и плотности в автомодельной волне можно построить, так сказать, раз навсегда. По оси абсцисс надо откладывать отношение расстояния данной точки от центра к полному радиусу волны, а по оси ординат — отношение данной величины к ее значению на фронте. Тогда и абсцисса, и ордината будут заключены между нулем и единицей, а форма кривых вообще останется неизменной.
Эти распределения изображены на рис. 19а, 196. Форма зависит только от величины предельного сжатия.
Замечательно, что давление в центре не обращается в нуль, а составляет конечную часть от давления на фронте. Плотность, наоборот, равна нулю почти по всему объему волны. Только вблизи фронта сосредоточена в виде тонкой оболочки вся масса, первоначально равномерно распределенная по объему. Волна вовлекает ее в движение и тянет за собой.
Отношение давления к плотности пропорционально абсолютной температуре. Поэтому в центре волны температура чрезвычайно высока (формально — бесконечна), а к краям, т. е. к фронту, меньше.
Прежде чем рассматривать вопрос о свечении ударной волны и остающегося за ней накаленного воздуха, упомянем об одном существенном эффекте, связанном с пониженной плотностью воздуха внутри волны. При ядерном взрыве очень сильное поражающее действие оказывает проникающее излучение,— гамма-лучи и нейтроны. Оказывается, что разреженный воздух, окружающий место взрыва, существенно облегчает их прохождение. На это обратил внимание О. И. Лейпунский ).
Прозрачность воздуха по отношению к гамма-лучам и нейтронам практически не зависит от его температуры: определяющей является только плотность. По отношению к видимому излучению температура оказывает более существенное влияние, чем плотность. Это объясняется следующим образом. Движение электрона в атоме характеризуется некоторыми определенными частотами, которые близки к частотам оптического (видимого) излучения или близкого ультрафиолетового излучения. Когда такое излучение падает на атом, наступает нечто вроде резонанса: электрон как бы раскачивается и вырывается излучением. При комнатной температуре электронов с такими низкими частотами «раскачки» в атоме нет. Они появляются только около 10 000°. Поэтому при комнатной температуре воздух прозрачен для видимого излучения: к этому обстоятельству и приспособились в процессе эволюции наши глаза, которые могут видеть отдаленные предметы. Вся толща земной атмосферы ослабляет видимый свет Солнца меньше чем вдвое (при чистом небе).
При очень высоких температурах, около 10 000°, связь электронов с атомами ослабляется. Часть их совсем отрывается, часть, как принято говорить, «возбуждается». Такие электроны могут быть легко вырваны из атомов видимым излучением. В результате оказывается, что раскаленный газ становится непрозрачным: он сильно поглощает излучение, идущее на отрыв электронов от атомов.
Но мы уже говорили, что непрозрачное вещество в свою очередь сильно излучает. Поэтому накаленный ударной волной воздух светится, как раскаленное твердое тело. С единицы поверхности при одинаковой температуре они излучают за единицу времени равную энергию. Ударная волна ядерного взрыва так и называется огненным шаром.
Какую же температуру может иметь огненный шар? Оказывается, что при очень ярком свечении он перестает быть видным! Излучение, идущее с фронта ударной волны, прогревает воздух впереди нее так сильно, что он в свою очередь становится непрозрачным и заслоняет более горячее излучение, идущее изнутри. Для этого сама волна должна нагревать воздух примерно до 70 000°. На необходимость такого самоэкранирования указал Ю. П. Райзер.
Но сама ударная волна, как бы горяча она ни была, не перестает быть скачком и распространяется именно ударным механизмом, а не за счет теплопроводности. Это доказал Я- Б. Зельдович, анализируя вклад лучистого переноса энергии в общий баланс энергии ударной волны.
Фактически воздух в ударной волне непрозрачен и при температурах гораздо ниже 10 000°. Объясняется это тем, что при высоких температурах легко образуется окись азота. Ее электроны раскачиваются гораздо легче, чем у азота и кислорода, не соединенных друг с другом.
Наблюдается следующее любопытное явление: ударная волна светится примерно до 2500°, потом перестает светиться и убегает дальше, а остающееся за ней огненное тело разгорается вновь и достигает 7000°—8000°. При этом оно уже не имеет резких границ. Это свечение длится секунду и дольше, тогда как ударная волна светится сотые доли секунды и меньше.
Происхождение минимума свечения объяснил Ю. П. Райзер. Окись азота, образовавшаяся в ударной волне, продолжает окисляться дальше, до двуокиси. Последняя непрозрачна даже при комнатной температуре, и тогда она окрашена в бурый цвет. Многие видели ее над трубами химических заводов («лисьи хвосты»). Поэтому в накаленном состоянии двуокись азота должна светиться и тогда, когда не светится окись, а чистый воздух — и подавно.
Окисление азота до окиси в ударной волне уже не успевает происходить, когда волна имеет температуру около 2200—2500°. С понижением температуры эта реакция очень замедляется. Когда окись азота у又е образовалась, она очень быстро окисляется до двуокиси — скорость этой реакции зависит от температуры гораздо меньше. Поэтому ударная волна светится до тех пор, пока в ней успевает происходить окисление азота (это длится около 0,01 сек). При этом горячая непрозрачная двуокись азота заслоняет еще более горячий воздух, находящийся внутри волны.
Рис. 20.
После того как азот перестает окисляться, ударная волна больше не светится. Слой образовавшейся двуокиси, расширяясь вместе с находящимся внутри волны воздухом, как бы рассеивается и становится все менее плотным. Сквозь него начинает просвечивать находящийся внутри горячий воздух. Это свечение длится секунду и дольше. Оно и является, благодаря своей длительности, самым страшным. Около 30% всей энергии взрыва уходит вместе с ним.
Накаленный разреженный воздух легче окружающего воздуха. Он всплывает, расширяется и охлаждается. Образуется известное всем по картинкам грибообразное облако.
Ударная волна, оторвавшись от огненного шара, убегает далеко в стороны, постепенно ослабляясь. Профиль давления и скорости в слабой ударной волне совсем не такой, как в сильной. Давление распределено примерно так, как показано на рис. 20. На участке Ьа оно несколько повышено, соответственно с величиной скачка на фронте, дальше оно понижается и становится меньше, чем в невозмущенном воздухе, и в самом центре — почти такое же, 190
как было до взрыва. Скорость воздуха в зоне повышенного давления направлена от центра, в зоне пониженного давления — к центру (всасывание).
Любопытным образом влияет убывание плотности воздуха с высотой. При сколь угодно сильном взрыве волна в сильной стадии уходит вниз не более чем на 16 километров. Вверх она за конечное время убегает чрезвычайно высоко.
Это объясняется очень просто. Скорость ударной волны обратно пропорциональна корню квадратному из плотности. В верхней точке волны плотность воздуха убывает по барометрическому закону, так что скорость верхней точки ударной волны стремится к бесконечности с высотой очень быстро. При бесконечной скорости за конечное время можно пройти и бесконечный путь. Поэтому ударная волна так быстро убегает вверх.
При этом захваченный ею объем воздуха стремится к бесконечности. Давление в сильной волне обратно пропорционально объему, так что оно обращается в нуль, когда волна убежала вверх. Но тогда и нижняя точка волны остается без подпора сзади и очень замедляется в своем распространении. Таким образом, атмосфера является естественной защитой от сильных ударных волн.
Отражение ударных волн
Когда ударная волна падает на препятствие, она отражается. Отражение наиболее сильно, если препятствие жесткое и неподатливое. Этот случай мы и рассмотрим. Для начала будем считать, что фронт волны был параллелен плоскости препятствия, а направление распространения, следовательно, было к ней перпендикулярно.
Абсолютно жесткая стенка, конечно, не может существовать в самом деле. Но всякая тяжелая преграда, во всяком случае, обладает инерцией и не ускоряется мгновенно. Поэтому в первый момент воздух перед ней должен остановиться, прежде чем преграда придет в движение. К этому первому моменту, когда преграда еще не сдвинулась, будет относиться идеализированное представление, основанное на понятии неподатливого препятствия. На рис. 21а показана ударная волна до падения на
преграду. На рис. 216 скорость воздуха, набегающего вместе с волной, показана стрелкой слева. Эта скорость претерпевает скачок на фронте отраженной ударной волны, образующейся перед препятствием, и за волной равняется нулю.
Перед тем как волна упала на препятствие, воздух в ее фронте скачком переходит из состояния покоя в состояние движения. Во фронте отраженной волны воздух снова останавливается. При этом он оба раза сжимается.
Невозму "m7 6а®Невозму "m7 6а®ПреградаПреградаПадающий ударньш ^ройтПадающий ударньш ^ройтРис. 216.Рис. 216.
Невозму "m7 6а®
Невозму "m7 6а®
Преграда
Преграда
Падающий ударньш ^ройт
Падающий ударньш ^ройт
Рис. 216.
Рис. 216.
Мы уже говорили, что работа сжатия в ударной волне в большой части тратится на необратимое нагревание воздуха. Если от препятствия отражается сильная ударная волна, то в ней должна снова необратимо превратиться во внутреннюю энергию та же кинетическая энергия. Но так как газ перед этим уже был нагрет первой, падающей ударной волной, отраженная волна должна быть в несколько раз сильнее падающей, чтобы поглотить такую же кинетическую энергию. Если бы амплитуда отраженной волны была только вдвое больше, чем у падающей, как это бывает при отражении звука, необратимый переход энергии был бы очень слабым: мы видели в разделе 1.5, что ударная волна с относительной амплитудой 2, т. е. такая, где давление повышается в два раза, ближе в этом смысле к слабой, чем к сильной. Оказывается, что в пределе, когда падающая волна очень сильная, давление в отраженной волне подскакивает еще в 8 раз. Если падает ударная волна, в которой избыточное давление равно 1 атмосфере, то на фронте отраженной волны скачок давления составит 1,75 атмосферы. Это усиливает разрушительное действие ударных волн.
Очень интересно происходит отражение ударных волн от препятствий, когда падение происходит не под прямым углом к поверхности. При этом нарушается обычный закон отражения: угол падения не равен углу отражения (рис. 22). Отраженный фронт образует меньший угол с препятствием, чем фронт падающий.
Чтобы лучше понять рис. 22, где изображено косое отражение, удобно представить себе, что мы движемся вместе с точкой Л, где падающий фронт пересекается с препятствием. Тогда относительно нас воздух впереди волны будет двигаться со скоростью, равной по величине
““ Ладающийитраженнь/й ударный фронт ударный 1рронт““ Ладающийитраженнь/й ударный фронт ударный 1рронтРис. 22.Рис. 22.彳 ИевозмущеН'彳 ИевозмущеН'
““ Ладающий
итраженнь/й ударный фронт ударный 1рронт
““ Ладающий
итраженнь/й ударный фронт ударный 1рронт
Рис. 22.
Рис. 22.
彳 ИевозмущеН'
彳 ИевозмущеН'
и обратной по направлению скорости точки / относительно земли. «Оседлав» точку 4, будем следить за тем, как будут двигаться частицы воздуха, проходя через оба ударных фронта — падающий и отраженный. Относительно нас оба они находятся в покое. Траектории движения частиц воздуха мы называем теперь линиями тока.
Линия тока невозмущенного воздуха, очевидно, параллельна препятствию (которое относительно точки А, разумеется, движется с той же скоростью, что и невозмущенный воздух). Что делается с этой линией, когда она встречает падающий ударный фронт? Разложим скорость набегающего потока по правилу параллелограмма на две составляющие: КМ и МР. Аналогично разложим скорость РК' за первым ударным фронтом на составляющие РВ и PC. Параллельная фронту составляющая МР не дает никакого переноса вещества, количества движения или энергии через ударный фронт. По законам механики она должна оставаться такой же и за фронтом, так что МР=РВ. Во фронте претерпевает разрыв только перпендикулярная составляющая скорости. За фронтом она во
столько же раз короче, чем перед фронтом, во сколько раз воздух за фронтом плотнее. Произведение скорости на плотность есть, по закону сохранения массы, величина постоянная. Это относится к перпендикулярным составляющим скорости КМ и PC, так как только они переносят массу через ударный фронт.
Но если перпендикулярная составляющая скорости укорачивается, то, как это видно из чертежа, результирующий вектор скорости за волной ближе к фронту, чем перед волной, т. е. угол К'РВ меньше, чем КРМ. Это рассуждение применимо и к точке пересечения линии тока с отраженным ударным фронтом £, поскольку здесь газ испытывает повторное сжатие. Но после пересечения с отраженным ударным фронтом линия тока должна стать снова параллельной препятствию, так как пересечься с ним она, разумеется, не может.
Итак, линия тока после преломления во фронте ударной волны оба раза приближается к нему, а в результате становится параллельной исходному направлению. Отраженный ударный фронт образует меньший угол с препятствием, чем падающий. Это доказывается с помощью точных расчетов, но, к сожалению, пока не удалось найти простого и наглядного доказательства «на пальцах» для такого простого факта.
Расчеты приводят, кроме того, к неожиданному результату: при косом падении давление в отраженной волне может возрастать даже несколько больше, чем при падении прямом.
В сколь угодно сильной по давлению ударной волне сжатие не может превзойти известного предела. А это значит, что отношение PC к КМ не бывает сколь угодно малым: оно равно обратной величине предельного сжатия. Отсюда прямо следует, что есть наибольший возможный угол поворота скорости в косой ударной волне.
Применим этот результат к обтеканию клинообразного тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью (рис. 23а) в направлении биссектрисы клина. На носике тела, как мы видели, обязательно возникнет ударная волна. Если представить себе, что тело покоится, а воздух на него набегает (реально это осуществляется в аэродинамической трубе), то линии тока впереди ударной волны параллельны движению тела. Во фронте волны они преломляются и становятся параллельными боковым
поверхностям клина. Исходя из этого, можно вычислить положение ударного фронта.
Но если клин очень тупой, как на рис. 236, то никакой ударный фронт не сможет повернуть линии так круто: как мы видели только что, существует максимально возможный угол поворота течения в ударном фронте.
Поэтому ударная волна не может начинаться на носике тела. Ударный фронт образуется на некотором расстоянии впереди тела, как и при обтекании тупоносого, закругленного тела. Кроме того, фронт, естественно, получается искривленным.
Существование предельного угла сказывается и на картине отражения ударной волны от препятствия. Пусть очень сильная волна образует при падении угол, близкий к прямому, с плоскостью препятствия (рис. 24а).
Тогда какой-нибудь из двух изломов линии тока, или оба они, окажется больше предельно возможного. Заметим, что если волны слабые, то углы, большие предельных, возможны только в самом пределе, когда фронт образует угол, близкий к 90°, с плоскостью препятствия. Во всех других случаях картина при падении слабой ударной
волны передается рис. 246 и не противоречит возможности только что описанной картины отражения, когда оба фронта начинаются на самом препятствии.
Что же получается в достаточно сильной волне, если она по условиям задачи не может повернуть линию тока
настолько, чтобы она до пересечения падающего фронта и после пересечения отраженного фронта была параллельна препятствию? Оказывается, что картина отражения здесь существенно изменяется. Она приобретает такой вид, как
на рис. 25. Точка пересечения па
Рис. 25.Рис. 25.дающего и отраженного фронтов оказывается над препятствием.
Рис. 25.
Рис. 25.
Рис. 26а.Рис. 26а.Рис. 266.Рис. 266.Кроме них существует третий фронт: от этой точки до препятствия. Существует также линия, вдоль которой претерпевает разрыв касательная к ней составляющая скорости (она показана пунктиром на рис. 25). Этот вид отражения называется нерегулярным или маховским, так как его открыл и описал Э. Мах.
Рис. 26а.
Рис. 26а.
Рис. 266.
Рис. 266.
На рис. 26а и 266 показано, как развивается махов- ское отражение при падении сферической ударной волны на поверхность земли. В первый момент волна падает перпендикулярно к земле, так что отражается, как прямая. В дальнейшем (рис. 26а) угол между фронтом волны и землей все еще соответствует правильному, или регулярному отражению. На том же рисунке показан и отраженный фронт. Когда угол между фронтом падающей волны и поверхностью земли достигает предельного значения, допускающего регулярное отражение, начинает образовываться третий ударный фронт. Получается так, как если бы отраженный фронт стремился перегнать падающий. Этого он, разумеется, сделать не может, а только
взбегает вверх по нему. На рис. 266 показано, что при этом получается. Отраженный фронт весь целиком находится над землей и нигде не соприкасается с ней. Тот отрезок падающей волны, по которому взбегала точка пересечения с отраженной волной, на рисунке выглядит как «ножка» маховской волны. Она становится все выше по мере распространения волны, так что на больших расстояниях от места взрыва бежит именно эта «ножка»- Она-то и производит разрушительное действие на сравнительно удаленные наземные объекты, такие, как стены зданий.
Ударные волны в лабораториях и в космосе
Действие ударных волн на различные объекты иногда удобно изучать не в природных условиях, т. е. не при взрыве в открытом пространстве, а в лаборатории. То же относится к самому процессу ударного сжатия, в особенности, если сжимается не воздух, а какой- нибудь другой газ.
При взрыве в открытом пространстве волна разбегается во все стороны и от этого быстро ослабевает. Легко видеть, например, что ударная волна точечного взрыва ослабевает обратно пропорционально кубу расстояния. Покажем это с помощью анализа размерностей. Размерность давления есть, как известно,
сила — силаплощадь — (длина)2，
а размерность энергии —
сила X длина.
Если составить отношение энергии взрыва к давлению, то сила сокращается и остается только:
энергия = площадь X длина = (длина)3, давление
Исключая отсюда давление, получим:
энергия
давление =7~-~ н(длина)3
Но, как мы уже видели, сильная ударная волна точечного взрыва характеризуется только одной величиной с размерностью длины — ее радиусом, поэтому вместо
f97
куба длины вообще в последнюю формулу можно подставить только куб радиуса. Разумеется, если понимать под давлением именно давление во фронте ударной волны, то в соотношение надо подставить численный коэффициент, зависящий от величины предельного сжатия. Но этот коэффициент близок к единице.
Чтобы избежать ослабления волны, надо не дать ей разбежаться в стороны, а зажать ее в цилиндрической трубе. Мы с самого начала рассматривали именно такие ударные волны, чтобы избежать ненужных усложнений.
Ударнь/йфронт
Волна !КНесжатый 勿М
Рис. 27.
Фактически, конечно, трудно вдвигать поршень в трубу с такой скоростью, чтобы получить ударную волну заметной силы. Можно взорвать в трубе небольшой заряд, но еще удобнее отгородить сильно сжатую часть газа от остальной, несжатой части. Тогда при разрыве перегородки на миг возникнет граница между сжатым и несжатым газом.
Но не следует думать, что эта граница так и будет распространяться, как ударная волна. Мы знаем, что в ударной волне кроме скачка давления обязательно есть и скачок скорости ——иначе не могут быть выполнены законы сохранения. Скачок давления при отсутствии скачка скорости противоречил бы третьему закону Ньютона: сжатый и несжатый газ действовали бы друг на друга с разными силами, если бы непосредственно после контакта не возникало движение газа.
Это движение распространяется как на первоначально сжатый, так и на несжатый газ. По сжатому газу побежит волна разрежения, в несжатом — ударная волна. На рис. 27 показан профиль давления в некоторый момент времени.
Надо обратить внимание на то, что газ «запоминает», где проходила первоначальная граница сжатия. Давление на ней, конечно, выравнивается (третий закон Ньютона!), скорость — тоже, по закону сохранения массы,
а плотность и температура терпят разрыв. Существование этого разрыва не противоречит законам механики. Теплопроводность не успевает заметным образом загладить этот разрыв температуры, так как движение газа очень быстрое. Подобным образом перенос тепла практически не влияет на сжатие в звуковой волне или в волне разрежения.
Устройство, в котором получаются ударные волны, называется ударной трубой. Чтобы получить в ней относительно большие перепады давления, несжатый газ берут с очень малым начальным давлением, порядка 10 мм ртутного столба, а сжатый — с давлением в 10 и больше атмосфер. Тогда возникают очень сильные ударные волны. Абсолютная величина давления в них не слишком велика и не разрушает трубу, но очень велико его относительное изменение. Соответственно велика скорость распространения и температура —— порядка 10 000°.
Чтобы получить существенно большие скорости и температуры, применяют иную методику. Прежде всего, надо привести газ в ионизованное состояние, т. е. получить в нем большую концентрацию свободных электронов и заряженных атомов, потерявших по одному и больше электронов. Такие атомы называются положительными ионами — в соответствии со знаком их заряда. Газ можно ионизовать либо сильной ударной волной, либо пропуская через него электрический ток при большой разности потенциалов.
Ионизованный газ очень хорошо проводит электричество. Для его дальнейшего ускорения, если он уже имел начальную скорость от ударной волны, пользуются явлением электромагнитной индукции. Он помещается в середину витка, по которому пропускают сильный импульс тока. Нарастающее магнитное поле витка индуцирует ток противоположного направления в проводящем газе. По закону Ленца, магнитные поля обоих токов, в витке и в газе, имеют противоположные направления, так что газ выталкивается из витка и бежит по трубе. Так как начальная плотность газа невелика, он разгоняется таким способом до больших скоростей. Удалось достичь 700 км/сек\
Первоначально ускоренный газ, двигаясь по неускоренному, создает в нем волну сжатия, которая потом переходит в ударную волну.
Мы не будем подробно останавливаться на том, какие волны могут распространяться в ионизованном, проводящем газе. Это предмет магнитной газодинамики. Кроме законов механики, определяющих ударные скачки в непроводящем газе, магнитная газодинамика должна учитывать также законы электромагнетизма. Благодаря этому возникают новые типы разрывов.
Получение ударных волн в ионизованном веществе может оказаться очень важным для решения проблемы управляемых термоядерных реакций. Как известно, это основная задача энергетики будущего.
Термоядерные (т. е. теплоядерные) реакции называются так потому, что ядра реагируют в них благодаря высокой температуре, или, что то же самое, большой скорости теплового движения. Эти величины находятся в прямой зависимости друг от друга. Интенсивность протекания термоядерной реакции очень быстро увеличивается с температурой. Так, ядра тяжелого водорода, дейтерия,— основного, по-видимому, термоядерного топлива,—реагируют при температуре два миллиона градусов в 3600 раз быстрее, чем при одном миллионе градусов. А ведь температура повышается в этом примере «всего» в два раза.
Ударные волны дают один из возможных путей сжатия и нагревания дейтерия. О решающих успехах пока говорить нельзя, но необходимо вести интенсивнейшие поиски во всех направлениях.
О неуправляемых термоядерных реакциях, протекающих в так называемых водородных бомбах, мы еще будем говорить в разделе 3.4.
Применения магнитной газодинамики пока мало разработаны. Следует помнить, однако, что большая часть вещества во Вселенной находится в ионизованном, т. е. проводящем состоянии: внутренность Земли, раскаленная материя звезд, разреженный межзвездный газ — хорошо проводят электричество. Поэтому их движения относятся к области магнитной, а не обычной газодинамики. Есть основания думать, что только на основе магнитной газодинамики удастся объяснить происхождение планетной системы Солнца, преодолев те трудности, с которыми встречались все прежние теории.
Рассмотрим теперь одно явление, которое можно объяснить распространением ударной волны в проводящем 200
межзвездном газе. Время от времени магнитное поле Земли испытывает сильные возмущения, такуназываемые магнитные бури. Первопричиной бурь являются взрывы на поверхности Солнца, которые сопровождаются выбросом облака ионизованных частиц. Оно движется через межзвездный газ, имеющий очень малую плотность, от 100 до 1000 частиц в кубическом сантиметре； Эти частицы тоже ионизованы. Такая плотность в десять миллионов миллиардов раз меньше плотности земной атмосферы.
Можно ли говорить об ударных волнах в столь разреженном веществе? Сделаем некоторые оценки. Мы знаем, что наименьшая ширина фронта ударной волны порядка одного свободного пробега молекулы. При нормальной плотности атмосферы пробег составляет около одной стотысячной доли сантиметра. Он обратно пропорционален плотности. Следовательно, в межзвездном газе он имеет порядок десяти миллионов километров. Это в 25 раз больше, чем расстояние от Земли до Луны, но все-таки в 15 раз меньше, чем расстояние от Земли до Солнца. Следовательно, между Землей и Солнцем может «поместиться» ударная волна. Ее образует, облако частиц, выброшенных Солнцем, гоня впереди себя межзвездный (вернее, межпланетный) газ.
За Солнцем ведутся непрерывные наблюдения, они так и называются службой Солнца. От момента, когда на Солнце регистрируется взрыв, и до начала магнитной бури на Земле проходит около суток. Поэтому скорость распространения процесса — около 1500 км/сек. В какой же форме возмущение доходит до Земли?
На расстоянии нескольких земных радиусов движение проводящего газа встречает на своем пути земное магнитное поле. Но если проводник движется в магнитном поле, в нем по закону Ленца индуцируется магнитное поле встречного направления. В результате поле как бы вытесняется из движущегося газа и становится сильнее на Земле. Но удивительно то, что оно заметно увеличивается за одну минуту. Ведь если принять, что ширина фронта ударной волны порядка одного пробега, т. е. десяти миллионов километров, то волна проходит расстояние от подножия до вершины фронта при скорости 1500 км/сек более чем за два часа. Но эта оценка относится к обычным, а не к магнитогазодинамическим ударным волнам.
Ширина фронта магнитной ударной волны, уплотняющей впереди себя силовые линии магнитного поля, оценивается иначе. Вдоль по фронту такой волны течет электрический ток, магнитное поле которого усиливает поле впереди фронта и ослабляет позади него (рис. 28). Ширину токового слоя удается оценить. Она примерно соответствует тому значению, которое совместимо с очень . малым временем нарастания магнит- ^^ ного поля в начале магнитной бури.
Действие космических ударных
Nволн, по-видимому, сказывается и на
11Ш11хвостах некоторых комет. Обычно хво-
\ "сты выбрасываются из комет давлени-
、мттнае ем солнечного света (давление света пме было предсказано Максвеллом около Рнс. 28.1870 г., наблюдено П. Н. Лебедевым
в 1900 г.). Однако из некоторых комет хвосты выбрасываются со скоростью в десятки раз большей, чем может получиться от светового давления. Весьма возможно, что эти кометы встречают на своем пути идущие от Солнца ударные волны в межзвездном газе.
За орбитой Юпитера движется очень слабая комета Швассмана — Вахмана 1, которая иногда вспыхивает и становится в 100 раз ярче, чем обычно. Благодаря этому она и была открыта. Можно было бы думать, что эти вспышки обязаны действию межпланетных ударных волн. Но тогда надо объяснить, почему их нет у огромного большинства всех остальных комет.
Ударные волны в твердых и рыхлых телах
Ударные волны могут сжимать не только газы. В последнее время их удалось применить для сжатия твердых тел. При очень больших давлениях специфические свойства твердого тела, такие, как способность сохранять свою форму, не проявляются, так что основные положения теории ударных волн при достаточно больших давлениях сохраняют силу и для твердых сред. Существенно иной, чем у газа, оказывается только зависимость внутренней энергии от давления и плотности. Поэтому адиабата Гюгонио для твердых сред похожа на адиабату Гюгонио для газов только в общих чертах.
Наибольшее давление, которое может создать взрыв какого-нибудь вещества, типа тротила, в непосредственном контакте с твердым телом порядка трехсот тысяч атмосфер. Если нужно получить большие давления, телу придают сферическую форму и пускают ударную волну одновременно со всех сторон, взрывая, например, находящийся вокруг тела заряд тротила.
В теле возникает сходящаяся к центру ударная волна. Если бы вся она сошлась в один момент времени точно к центру, то теоретически давление должно было бы возрасти до бесконечности. Иначе говоря, вблизи центра волна очень сильная. Если бы, например, она шла по газу, то сжимала бы его до предельно достижимой при ударном сжатии плотности.
Задачу о схождении ударной волны к центру в газе решили Л. Д. Ландау и К. П. Станюкович, а также Гу- дер лей.
Очень интересно, что получается в следующий момент после того, как волна сошлась к центру и, так сказать, отразилась сама от себя. При том законе предельного сжатия, который имеет место в воздухе (в 6 раз), давлен ие при отражении волны в центре возрастает еще в 26 раз по сравнению с тем, которое было непосредственно перед отражением. Напомним, что при плоском отражении сильной ударной волны, которое эквивалентно столкновению «в лоб» двух ударных волн равной силы, давление возрастает в восемь раз.
Поэтому сходящаяся ударная волна позволяет получать рекордные сжатия вещества. Тогда как статические давления путем неимоверных усилий экспериментаторов не могут быть доведены больше, чем до нескольких сот тысяч атмосфер, в сходящихся ударных волнах можно получить давления в несколько миллионов атмосфер!
Но, разумеется, ударное сжатие не может полностью заменить статическое для нужд научного исследования: ведь оно сильно разогревает вещество, так что меняются два параметра, характеризующие состояние,— давление и температура. При статическом сжатии меняется только давление, если оно производится достаточно медленно.
К сожалению, сжатие сходящейся волной нашло себе другое, далеко не научное применение. Мы говорим о подрыве атомных бомб. Как известно, ядра легкого изотопа урана с атомным весом 235 или ядра плутония
способны делиться, когда на них падают нейтроны. При этом выделяется энергия, которая в 100——200 и больше раз превосходит энергию упавшего нейтрона. При делении на две большие части из ядра вылетают в виде «мелких брызг» два-три новых нейтрона, опять-таки способных производить деление. В неограниченной среде из делящегося материала пойдет цепная ядерная реакция, нарастающая лавинообразно.
В очень маленьком куске урана-235 или плутония цепная реакция не может развиться потому, что большинство нейтронов будут вылетать наружу, не производя деления. Очевидно, что существует некоторый определенный размер, начиная с которого цепная реакция пойдет. Этот размер называется критическим.
Но если вызвать реакцию в теле точно критических размеров, то оно разлетится раньше, чем успеет прореагировать заметная часть его массы. Следовательно, надо взрывать только надкритические массы. Однако такую массу нельзя хранить до взрыва: любой, случайно попавший в нее нейтрон, от космических лучей или от самопроизвольного, не вызванного нейтронами деления (его открыли Г. Н. Флёров и К. А. Петржак), начнет цепную реакцию. Надо создать надкритическую массу в самый момент взрыва.
Интересна история открытия цепных лавинообразных реакций. Первоначально они были открыты в 1926 г. в химии Н. Н. Семёновым и независимо К. Хиншельву- дом. Семёнов и его ученики Ю. Б. Харитон, В. Н. Кондратьев, А. А. Ковальский и др. обнаружили, что некоторые реакции воспламенения газовых смесей при одном и том же составе идут в сосудах одного размера и не идут — в меньших. Было высказано предположение, что реакцию ведут атомы или молекулы с ненасыщенными валентностями, особенно легко реагирующие. Они были названы активными центрами. На стенках сосуда центры рекомбинируют и дальше не продолжают реакцию. Поэтому существенны размеры сосуда, а также способ обработки стенок. Если активный центр не «погибает» на стенке, он реагирует в объеме и создает в результате реакции несколько активных центров. В сосуде надкритических размеров получается при этом цепная реакция.
В химии сперва открыли цепную реакцию и из нее вывели необходимость существования активных центров.
В ядерной физике сначала была открыта элементарная реакция деления ядер нейтронами, а затем предсказана возможность цепного ее развития. Само деление открыли Ган и Штрассман в 1938 г. Отчетливое объяснение механизма деления сразу вслед за ними высказали Фриш и Л. Мейтнер. Они провели аналогию между делением ядра и разрывом жидкой капли, заряженной электричеством. Количественную теорию этого явления предложил Я. И. Френкель, а в более полной форме Н. Бор совместно с Уилером. Подобно тому, как из шейки разрывающейся капли образуется еще одна или несколько мелких капелек, при делении, по предположению Фриша и Мейтнер, из ядра могут вылетать нейтроны. Это подтвердил на опыте Ф. Жолио.
Вскоре после этого началась вторая мировая война, и уже в обстановке секретности велись поиски способа получения больших количеств делящихся материалов и сведения их в надкритические массы. В случае химических реакций надкритическая масса может храниться, если только в ней не возникают самопроизвольно активные центры. Но в ядерно-активном веществе уберечься от активных центров, т. е. нейтронов, нельзя. Создание надкритической массы немедленно ведет к взрыву.
Выгодно создать как можно большую начальную надкритичность, ведь при очень малой надкритичности вместо взрыва получится хлопок («пшик»). Сильно надкритическая масса просто Вследствие своей инерции не успеет разлететься раньше, чем прореагирует значительная ее часть.
Мыслим такой способ создания надкритичности: выстрелить двумя подкритическими кусками урана или плутония друг в друга. Они столкнутся раньше, чем разовьется цепная реакция. Однако большого коэффициента «полезного» действия не получится.
Вместо того, чтобы увеличивать массу делящегося материала, можно увеличивать его плотность. Из уплотненного куска вещества нейтрону труднее вылететь, не произведя деления. В более плотном куске он вернее встретит ядро на своем пути, несмотря на то, что сам путь при сжатии куска укорачивается.
Пусть, например, величина куска уменьшается вдвое. Тогда плотность увеличивается в восемь раз (23=8). Пробег нейтрона по отношению к делению уменьшается
тоже в восемь раз. Поэтому, хотя путь нейтрона и уменьшится вдвое, вероятность встретить какое-нибудь ядро на своем пути увеличится для него вчетверо. Следовательно, первоначально подкритическая масса может стать при сжатии надкритической и взорваться ядерным способом. А так как вместе с уплотнением увеличивается инерция по отношению к разлету, использование активного материала оказывается очень большим.
Для максимального уплотнения и применяется сходящаяся ударная волна. Чтобы создать ее, шар из активного вещества окружают слоем обычного взрывчатого вещества, которое подрывают по всей внешней поверхности сразу. Возникает сходящаяся детонационная волна (см. гл. 3). Дойдя до ядерно-активного шара, она и создает сходящуюся ударную волну. Этот метод подрыва получил в США условное наименование «толстяк»,—быть может, в связи с круглой формой сжимаемого тела.
Вряд ли возможности научного исследования, открываемые благодаря сходящимся ударным волнам, в какой- либо степени компенсируют смертоносную опасность ядерного оружия. Этот проклятый вопрос в значительной мере пока относится ко всей газовой динамике в целом.
Ударные волны могут получаться и в рыхлых телах, например в песке. Крупинки песка неплотно прилегают одна к другой — между ними всегда есть пустоты. Пока песок не находится под давлением, песчинки удерживаются в равновесии силами трения. Но если приложить давление, частички могут сместиться из своих положений равновесия и расположиться более плотно. Для этого достаточно уже небольшого давления. Наоборот, после того, как они легли тесно, нужно значительное давление для сжатия самого материала песчинок.
Поэтому всякий процесс сжатия рыхлого песка или другого подобного материала можно представить себе как переход от неплотной к плотной укладке зерен. Так же следует тогда понимать и ударное сжатие, происходящее при взрыве заряда, помещенного в песок.
Если взрыв произведен на достаточной глубине, то никакого выброса наружу не произойдет. В этом случае взрыв называется камуфлетным. Газы во взрывной волне находятся под высоким давлением. Действуя на стенки, они раздвигают их. От этого радиус сжатого слоя песка
или другого рыхлого грунта увеличивается. Грунт движется с большой скоростью во всем объеме сжатого слоя. Движущийся песок, упираясь на фронте ударной волны сжатия в еще несжатый рыхлый грунт, уплотняет его в свою очередь. Крутой фронт волны получается благодаря указанному свойству рыхлой среды резко менять свою плотность под нагрузкой.
Сжатый песок продолжает двигаться под напором газов во взрывной камере, объем которой растет. На рис. 29а и 296 показан штриховкой некоторый объем сжатого песка в два момента времени. При расширении
Рис. 296.Рис. 296.
Рис. 296.
Рис. 296.
взрывной камеры («каверны») толщина этого объема в радиальном измерении уменьшается, подобно тому, как стенки резинового пузыря становятся тоньше при раздувании. Но если выпустить воздух из пузыря, он опять сожмется и отдаст назад значительную часть работы, затраченной на раздувание. Сжатый волной песок после разгрузки не возвращается к первоначальной форме: всякая работа против сил трения затрачивается необратимо. Заштрихованный кирпичик так и останется уплощенным, деформированным, а работа его деформации целиком перейдет в тепло.
Уплотнение при сжатии песка на фронте ударной волны тоже необратимо. Баланс энергии показывает, что на ударное сжатие тратится примерно одна треть энергии взрыва, а на деформацию — почти все остальное.
Эта картина взрыва в рыхлом песке была подтверждена в опытах А. Н. Ромашова, в Институте химической физики АН СССР.
Мы уже указывали, что в газе ударные волны могут распространяться только со сверхзвуковой скоростью.
В противном случае был бы невозможен крутой фронт сжатия —он размылся бы из-за выбегания звуковых волн вперед. В песке крутой фронт образуется за счет особенности процесса сжатия. Он может поэтому распространяться и с дозвуковой скоростью. Разумеется, такой фронт станет источником звуковой, упругой волны, которая может распространяться и по рыхлому веществу, если она так слаба, что не меняет взаимного расположения зерен. Иначе говоря, силы, вызванные сжатием в упругой волне, должны быть меньше сил трения между песчинками. Соответственно этому, упругая волна, выбегающая с фронта ударной волны в песке, имеет весьма малую амплитуду и уносит небольшую часть энергии взрыва. По оценке Е. Е. Ловецкого уносится не больше одного процента энергии взрыва.
Эта оценка существенна, если нужно определить действие взрыва на большом расстоянии, которое называется сейсмическим. Она может помочь и при регистрации факта произошедшего камуфлетного взрыва.
ДЕТОНАЦИЯ
Детонационные волны
Изучая природу, человек в каком-то смысле создает ее заново, приспособляя к потребностям практики и задачам научного исследования. Можно сказать, что цивилизация началась с того, что люди научились искусственно воспроизводить горение, т. е. добывать огонь. В эпоху, переходную от феодализма к новой истории, был изобретен и получил широкое распространение порох. В этой главе мы будем говорить еще об одном явлении природы, которое связано с горением и взрывом, — о детонации. Пока еще преждевременно приурочивать ее к какому-нибудь этапу развития общества.
Известно, что смесь водорода или метана с кислородом способна быстро сгорать. Обычная скорость распространения пламени в таких смесях составляет 10——20 м/сек.
Чтобы измерить ее, смесь напускают в стеклянную трубку и поджигают с одного конца электрической иск-
2Q8
рой. Пока искра слабая, горение распространяется в газе с указанной скоростью. Но сильная искра или взрыв небольшого заряда вызывают совсем другое явление: пламя распространяется по газу со скоростью около 2000 м/сек. При этом трубка разлетается вдребезги, взрыв сопровождается сильным звуковым эффектом. Это и называется детонацией.
Обычное пламя передается от одного участка газа к соседнему путем процессов теплопроводности и диффузии. Тепло, выделяющееся в зоне горения, разогревает прилегающий слой газа, пока в нем не начинается реакция,— скорость такого рода реакции очень сильно зависит от температуры. Смесь, которая при комнатной температуре не прореагирует и за миллион лет, при 1000°—1500° С воспламенится и сгорит за малые доли секунды.
Важную роль при этом играет не только перенос тепла, но и перенос активных центров реакции, т. е. атомов и молекул с ненасыщенными валентностями. Мы уже упоминали о них, говоря о цепных реакциях. Такие активные центры начинают и поддерживают реакцию там, где в инертном веществе она не идет.
Уходя из зоны горения, тепло и активные центры поджигают соседние, еще не сгоревшие участки газа, и пламя распространяется. Количественная теория этого процесса принадлежит Я. Б. Зельдовичу и Д. А. Франк- Каменецкому. Они нашли соотношение между скоростью распространения пламени, теплотой реакции и коэффициентом теплопроводности.
Молекулярные процессы переноса тепла и активных центров сравнительно медленны. Поэтому скорость горения гораздо меньше скорости звука. (Благодаря своей малой теплопроводности воздух применяется для теплоизоляции, например, между рамами окон】) Естественный масштаб скорости в газовой динамике — это скорость звука. Скорость горения, обусловленного процессами переноса, порядка 10—20 м]сек, в этом масштабе очень мала.
Скорость детонации, наоборот, в несколько раз больше скорости звука и в сто с лишним раз превышает скорость горения.
Никакими процессами переноса объяснить детонацию Нельзя, хотя такие попытки раньше делались. О них
можно прочитать в старой литературе по физической химии.
На самом деле детонация — газодинамическое явление и очень естественно объясняется распространением ударных волн. Действительно, в волне, бегущей со скоростью 2000 м/сек, давление повышается в 40 раз. Абсолютная температура газа возрастает раз в 6—7 и достигает 1800°—2000°. При такой температуре реакция происходит очень быстро. Выделяющееся тепло реакции возмещает необратимую потерю энергии, происходящую при ударном сжатии газа, еще не вступившего в реакцию.
Этим детонационная волна сама себя поддерживает. При данной теплотворной способности смеси получается строго определенная скорость детонации: она пропорциональна корню квадратному из теплоты реакции, отнесенной к единице массы смеси, и почти не зависит от начального давления газа. Ударная волна в газе может иметь самую различную скорость и, разумеется, затухает, если ее не поддерживает внешний источник энергии.
Таким образом, для детонации характерно существование режима, т. е. вполне определенной скорости при заданных условиях распространения.
Задача теории детонации состоит в том, чтобы показать, какой именно режим осуществляется в детонационной волне, объяснить, почему скорость детонации связана в первую очередь с теплотой реакции.
Прежде всего надо выяснить, при каких условиях возможно существование режима, т. е. постоянной скорости распространения детонационной волны по всей длине трубки.
Для этого необходимо прежде всего, чтобы расширяющиеся после сгорания продукты детонации не влияли на зону горения. Сгоревший газ может вытекать наружу через открытый конец трубки или еще быстрее смешиваться с воздухом, сразу разлетаясь в стороны, если трубка разрывается. Но все это никак не влияет на скорость распространения детонационной волПы по несгоревшему газу. Следовательно, скорость волны относительно продуктов детонации никак не может быть дозвуковой.
Разъясним это утверждение. Толщина фронта сильной ударной волны порядка одного свободного пробега молекулы газа. На этом пробеге газ сжимается и нагревается. Но и после нагревания химическая реакция происхо-
дит далеко не при каждом столкновении молекул. Чтобы молекула прореагировала химически, она должна столкнуться с другими молекулами от десяти до ста тысяч раз. Следовательно, реакция протекает не в самом фронте ударной волны, а в некотором слое позади него. Толщина этого слоя, согласно сказанному, больше свободного пробега в десять — сто тысяч раз и может достигать поэтому миллиметра. Область, где протекает реакция, мы будем называть в дальнейшем зоной реакции.
Для того чтобы осуществился постоянный режим, условия в зоне реакции не должны изменяться по мере распространения детонационной волны по газу.
Но после зоны реакции газ расширяется, т. е. в нем происходит движение по типу волны разрежения. Волна разрежения, как мы видели в разделе 1.2, никогда не может быть стационарной. Она непрерывно растягивается по длине. Следовательно, при распространении детонационной волны зона реакции, которая должна быть стационарна, соприкасается с областью нестационарной волны разрежения.
Это возможно только тогда, когда звуковые возмущения из области нестационарного движения не догоняют зону реакции. В противном случае они принесли бы в зону реакции пониженное давление и температуру и тем замедлили протекание реакции, так что не осуществился бы стационарный режим. Таким образом, фронт детонационной волны должен двигаться относительно продуктов детонации со сверхзвуковой или, в крайнем случае, со звуковой скоростью.
Еще в начале нашего века Чепмен и независимо от него Жуге показали, что выражение скорости детонации через теплоту реакции согласуется с опытом только тогда, когда осуществляется именно этот крайний случай. Если скорость детонации относительно продуктов детонации равна скорости звука в них, то относительно несгоревшего газа она еще больше. По закону сложения скоростей она равна сумме скорости течения продуктов детонации в точке, где закончилась реакция, и скорости звука в них в этот момент, т. е. до начала расширения. Это называется условием Чепмена — Жуге.
Но в течение нескольких десятилетий не было доказано, что так и должно быть, исходя из газодинамики и общих условий протекания химических реакций в зоне
горения. Так получилось, вероятно, потому, что специалисты по газовой динамике были далеки от проблем физической химии, а химики, изучавшие детонацию, недостаточно знали газовую динамику. Преобладало неправильное объяснение детонации, основанное на явлениях переноса.
Только в 1939 г. Я- Б. Зельдович сумел теоретически обосновать невозможность сверхзвуковых режимов при распространении детонационной волны и тем самым полностью вывел условие Чепмена — Жуге. Мы не сможем подробно проследить за этим доказательством, а наметим только общий путь.
Изобразим на рис. 30 две адиабаты Гюгонио. Сплошная кривая, проходящая через начальное состояние, относится к самому фронту ударной волны, где реакция еще не началась. Такая адиабата отвечала бы ударной волне, бегущей по тому же газу, что и детонационная, но без дальнейшей химической реакции. Так как реакция начинается после ударного сжатия газа, ясно, что эта адиабата имеет вполне определенный смысл. Пунктирная кривая есть тоже адиабата Гюгонио, она построена по тем же уравнениям, но в предположении, что химическая реакция закончилась и полностью выделила свою энергию. Иными словами, здесь в условие сохранения энергии включена и внутренняя химическая энергия несгоревшего вещества, у сгоревшего ее уже нет. У той адиабаты, которая отвечает только ударному сжатию, хими-
ческая часть внутренней энергии сокращается с обеих сторон равенства.
Пунктирная адиабата не может проходить через начальное состояние, в котором химическая энергия еще не выделена. Она должна лежать выше сплошной кривой. Действительно, когда выделяется теплота химической реакции, газ нагревается, от этого при неизменном объеме его давление становится больше. Поэтому пунктирная кривая и проведена выше.
Мы указывали, что состояние при ударном сжатии меняется вдоль хорды, соединяющей начальное состояние с конечным, причем это следует только из законов сохранения массы и количества движения. Так как эти законы выполняются и в ходе химической реакции, состояние при этом тоже может изменяться только вдоль той же прямой. Отсюда следует, что хорда непременно должна иметь общую точку с пунктирной адиабатой, потому что иначе состояние, изменяясь в ходе химической реакции, не сможет нигде соответствовать полному выделению химической энергии. То состояние, в котором все, что должно сгореть, сгорело, принадлежит пунктирной адиабате по самому ее определению, но лежит и на хорде по законам сохранения массы и импульса.
Всякий ударный переход до начала реакции осуществляется прямо из начального состояния О в точку /' сплошной кривой. После этого начнется химическая реакция. Как уже говорилось, точка, изображающая состояние, будет перемещаться по хорде от %' до В, лежащей на пунктирной кривой, где реакция заканчивается.
Однако анализ показывает, что если хорда пересекается с адиабатой в точке В, то получается дозвуковой режим, который мы исключили раньше по условию стационарности.
Если бы реакция закончилась в другой точке пересечения хорды с пунктирной адиабатой, в точке С, то путем такого же анализа удалось бы показать, что это отвечало бы сверхзвуковому режиму. При этом зона реакции убегала бы от продуктов реакции со сверхзвуковой скоростью, что условию стационарности не противоречит.
Но между точками В и С состояние проходило бы через точки, отвечающие более чем полному выделению химической энергии. Очевидно, что в них никак невоз-
можно попасть: занять энергию неоткуда. Можно было бы еще предположить скачкообразный переход из В в С, минуя все промежуточные, энергетически немыслимые состояния. Но это была бы ударная волна разрежения, которая исключается вторым началом термодинамики (см. раздел 1.3).
Итак, невозможны как дозвуковой, так и сверхзвуковой режимы распространения детонационной волны. Остается только звуковой режим. Ему отвечает одна определенная хорда ОД, касающаяся пунктирной адиабаты в точке Ж (точке Жуге).
В ней скорость детонационной волны относительно продуктов реакции равна скорости звука в них.
В приведенном здесь рассуждении мы молчаливо приняли, что выделение энергии следует за ходом реакции, т. е. что пока вещество реагирует, энергия только выделяется. Мыслим, однако, и другой ход реакции: в ее начальной фазе энергия выделяется, а затем часть ее поглощается и затрачивается на дальнейшее протекание реакции. В этом случае имеется фаза реакции, в которой тепловыделение больше, чем окончательное. Не может ли при этом осуществиться сверхзвуковой режим, для которого как раз и требуется, чтобы в ходе реакции выделялась энергия, большая итоговой? Однако К- И. Щёл- кин показал, что и здесь условие Чепмена — Жуге сохраняет силу. Необходимо только, чтобы сама реакция протекала все время в одном направлении.
Таким образом отбирается единственный режим детонации. По условию Чепмена — Жуге может быть вычислена скорость детонационной волны, которая для газов в согласии с опытом зависит только от теплоты реакции. Заметим, что все это относится только к так называемой свободной волне, ничем не подпираемой сзади.
Есть еще одно допущение, по существу гораздо более важное. Мы принимали, что плоский фронт детонации так и распространяется по газу, не искривляясь. Опыт показывает, что на самом деле это не всегда так. Мы увидим дальше, что детонационная волна может распространяться не при любой концентрации смеси и не при любом диаметре трубки. Существуют известные пределы ее распространения, концентрационные и по радиусу. Вблизи от пределов фронт детонационной волны никогда не бывает плоским. С чем это связано, будет указано ниже.
Пределы детонации
Далеко не всякая горючая смесь газов способна детонировать. Часто бывает, что достаточно немного разбавить ее инертным газом, не вступающим в реакцию, и смесь больше не детонирует. Или одна и та же смесь детонирует в широкой трубке и не детонирует в узкой. В таких случаях говорят, что детонация имеет предел.
Любопытно, что на пределе скорость детонации падает совсем не до нуля, а остается почти такой же большой, как при хорошо развитой детонации. Но детонационная волна не может р асп р остр ан я ться уже при этой немного уменьшенной скорости.
Это связано в первую очередь с тем, что скорость химической реакции в детонационной волне очень сильно зависит от температуры. Смеси, быстро реагирующие и при низкой температуре, очевидно, не будут «дожидаться», пока их подожжет детонационная волна.
Почему нагревание настолько увеличивает скорость химических реакций? Чтобы разъяснить это, придется сделать довольно длинное отступление.
Прежде всего, химическая реакция — процесс сильно затрудненный. Молекулы должны войти в очень тесное соприкосновение и при этом стать в определенное положение друг по отношению к другу (по направлению валентных сил), чтобы прореагировать химически. Но тогда им приходится сначала преодолеть большие силы отталкивания, которые, как мы говорили в разделе 1.6, действуют между всеми молекулами на близких расстояниях. Следовательно, чтобы вступить в реакцию, молекулы должны сначала совершить большую работу против сил отталкивания.
Разумеется, если реакция потом произойдет, эта работа будет возмещена с избытком, но сначала надо затратить работу на сближение.
Эту работу молекулы могут совершить только за счет кинетической энергии своего теплового движения. Как известно, теплоемкость газов приблизительно постоянна, так что на каждый градус температуры приобретается приблизительно одна и та же энергия. Поэтому кинетическая энергия теплового движения газа пропорциональна абсолютной температуре.
Если поделить эту энергию на число молекул, то получится энергия, которую имеет каждая из них «на круг», т. е. в среднем. При комнатной температуре на долю поступательного движения каждой молекулы в среднем приходится: 4 поделить на десять в четырнадцатой степени эргов. Эта энергия раз в пятьдесят меньше того, что нужно для преодоления сил отталкивания. Следовательно, молекула со средней энергией никак не может вступить в реакцию.
Фактически, конечно, не у всех молекул энергия равна средней, как не все люди имеют одинаковый рост. Но как нет людей, имеющих рост в пятьдесят раз больше среднего, так при комнатной температуре нет и молекул горючей смеси, способных вступить в реакцию.
Не будем злоупотреблять этим сравнением. При температуре, которая в шесть раз выше комнатной, около 2000°, средняя энергия молекулы уже раз в восемь-девять меньше, чем нужно, чтобы вступить в реакцию. Но при этом оказывается, что от одной десятитысячной до одной стотысячной всех молекул уже могут вступить в реакцию, так как обладают достаточной кинетической энергией, чтобы преодолеть силы отталкивания. Но, разумеется, ни один человек из двух миллиардов не имеет рост в шесть раз больше среднего. Молекулы имеют, как говорят, не такое распределение по энергиям, как люди по росту. Это относится и к малым энергиям: одна миллионная всех молекул имеет энергию в сто раз меньше средней, но людей в 17 миллиметров ростом вообще не бывает.
Если одна стотысячная всех молекул способна вступать в реакцию, то зона реакции растягивается на сто тысяч пробегов. Это длина порядка одного сантиметра. Допустим, что температура в зоне реакции понизилась с 2000° до 1700°. От этого скорость реакции может снизиться, например, втрое: это значит, что втрое меньшая часть молекул будет иметь достаточно большую энергию, чтобы прореагировать.
Но движущийся газ тормозится о стенки трубы и, кроме того, отдает энергию в окружающее пространство путем излучения или просто нагревая трубку. Все это — чистые потери в количестве движения и в энергии. Если втрое растягивается зона реакции, то примерно во столько же раз увеличиваются и потери. Может оказаться, что 216
тепловыделение реакции станет недостаточным для поддержания волны, и детонация прекратится. В то же время понижение температуры с 2000° до 1700° означает снижение скорости волны на 8%. Поэтому детонация имеет узкие пределы по скоростям.
Для того чтобы снизить температуру на 300°, т. е. на 16%, достаточно добавить к смеси такой же процент инертного газа. Тогда теплота реакции будет непроизводительно тратиться на то, чтобы нагревать газ, не выделяющий тепла в свою очередь. Отсюда видно, почему небольшая добавка инертного газа может сделать смесь неспособной детонировать. Эти соображения принадлежат Я. Б. Зельдовичу.
Изучая роль потерь на трение о стенки трубки, К. И. Щёлкин увеличивал шероховатость трубок искусственно. Например, внутренняя стенка трубки покрывалась проволочной спиралью. Удивительным образом оказалось, что в таких трубках детонируют смеси, лежащие вне концентрационных пределов при гладких стенках.
Однако Щёлкин сумел объяснить это естественным образом. Ударная волна, попадая на витки спирали, отражается от них. В отраженной волне, как мы знаем, давление и температура увеличиваются в несколько раз. Там, где температура повысилась, резко возрастает скорость химической реакции в смеси. Ее поджигают отраженные участки ударной волны, а затем горение распространяется по всему сечению в газе. Сгорает и та его часть, которая сжата падающей ударной волной, вдали от стенок.
Детонация идет необычным образом и в гладких трубках вблизи концентрационных пределов. Этот особый вид детонации открыли в 1926 г. Кемпбелл и Вудхен. Мы опишем его в том виде, в каком он известен сейчас, и расскажем об опытах, применявшихся для доказательства принятой ныне картины.
Оказывается, что если плоская ударная волна вблизи пределов неспособна поджигать газ, то она сама изменяет свой профиль таким образом, чтобы сохранить отдельный участок с достаточно высокой температурой.
На рис. 31 приблизительно изображена такая детонационная волна в боковой проекции: D — скорость распространения детонации по трубке, Dr — скорость излома. На ней как бы образуется складка, или участок
под косым углом к оси трубки. На границах косого участка на самом деле возникают маховские конфигурации, которых мы не показали на рис. 31, чтобы не загромождать его. Но каждая точка на фронте ударной волны может перемещаться по газу только перпендикулярно к поверхности фронта. Следовательно, есть составляющие скорости не только по оси трубки, но и перпендикулярно к ней. В результате складка не только движется вместе с волной, но и скользит вдоль окружности трубки. Газ не совершает вращательного движения при этом: складка идет по \ поверхности фронта, как волна по I воде. (Что вода не движется вместе I с волной, заметил еще Леонардо [да Винчи.)
I Итак, складка движется и по* ступательно, и вращательно. Скла- / дываясь, оба эти движения дают 'результирующее винтообразное перемещение, скорость которого, очевидно, больше осевой скорости волны. Следовательно, на складке фронт ударной волны бежит относительно несгоревшего газа быстрее, чем бежал бы плоский ударный фронт. Температура газа на фронте волны приблизительно пропорциональна квадрату ее скорости. Поэтому складка гораздо легче поджигает газ, чем поджигал бы плоский фронт. Горение потом распространяется по всему просвету трубки (на нескольких радиусах, отложенных по ее длине). Но так как поджигание происходит при повышенной температуре, вся зона реакции оказывается короче, чем была бы при плоском фронте. От этого уменьшаются потери, и волна становится способной сама себя поддерживать.
Если сделать трубку из прочного материала и покрыть ее внутреннюю поверхность каким-нибудь веществом, на котором остаются следы, например сажей, то на пути складки действительно остается винтообразная борозда.
Можно заметить вращение и другим способом. Для этого надо сделать на трубке прозрачное окно из крепкого материала. Если фотографировать трубку так, чтобы луч зрения попадал в окно прямо по диаметру
(рис. 32а), то складка, которая светится ярче остальной части волны, проходит мимо окна через одинаковые промежутки времени. Она видна и тогда, когда непосредственно касается окна, и тогда, когда находится в диаметрально противоположной точке. Если же фотографировать так, как показано на рис. 326, то складка будет видна через окно не по диаметру, а по хорде. За один оборот тоже будут видны две вспышки, но разделенные неравными промежутками времени, соответственно короткой и длинной дугам окружности.
Частота вращения доходит до 70 000 об/сек.
Такая детонация называется спиновой, от английского слова, означающего вращение. Со спинам электрона она не имеет ничего общего, кроме корня слова.
Спиновая детонация получается только на самом пределе. Беря концентрации смеси, более далекие от предела, можно получить более сложные картины распространения детонационной волны. Их изучали К・ И. Щёлкин, Я. К. Трошин и Ю. Н. Денисов. Они обнаружили, что след волны на поверхности сажи дальше от пределов имеет не спиралеобразную, винтовую форму, а выглядит совсем иначе. Вся поверхность сажи как 6^1 разбивается на ячейки и становится похожей на кожаный диван. Происхождение ячеек названные авторы истолковали так. По поверхности фронта бегут навстречу друг другу два или больше косых участка. Эти участки встречаются, отражаются один от другого и бегут в противоположном направлении, затем отражаются от стенок и встречаются опять. Ячейки на поверхности сажи получаются потому, что их прочерчивают встречные косые волны.
Разумеется, такие волны имеют большую температуру на фронте, чем прямая ударная волна: ведь их скорость относительно несгоревшего газа соответственно
больше. Там, где волны сталкиваются, температура повышается еще сильнее, здесь находятся главные очаги воспламенения газа.
Эта картина уже не строго стационарна, как прямая волна или винтообразно бегущая спиновая волна. Но это процесс периодический, соответственно частоте столкновений между косыми волнами. Чем детонация ближе к нормальной, т. е. чем она дальше от предела, тем частота колебаний больше, тем мельче волны. Они превращаются в рябь, а затем фронт ударной волны становится совершенно гладким.
Это, разумеется, не нарушает справедливости общей теории детонации, изложенной в предыдущем разделе. Она верна при любом механизме поджигания, если, конечно, смесь поджигает сама детонационная волна, а не, например, последовательность электрических искр вдоль оси трубки. Но картина детонации вблизи пределов оказывается существенно неплоской, так что теория пределов детонации должна быть уточнена в соответствующем направлении.
Детонация конденсированных веществ
Детонация твердых и жидких взрывчатых веществ производит гораздо большее разрушительное действие, чем детонация газов. Объясняется это тем, что химическая энергия в жидком и твердом теле собрана в гораздо меньшем объеме. Грубо говоря, на единицу объема в конденсированном взрывчатом веществе собрана в тысячу раз большая энергия, чем в газе.
Детонация конденсированных взрывчатых веществ, или, как их сокращенно называют военные, ВВ, изучена меньше, чем детонация газов.
Для этого есть две причины. Во-первых, механизм протекания химических реакций в твердом теле гораздо сложнее, чем в газе. Здесь невозможно представить взаимодействие между молекулами как совокупность отдельных столкновений. Молекулы твердого или жидкого тела все время находятся в контакте между собой, и здесь реакция идет не за счет особо энергичных молекул. Но, по-видимому, активные центры, т. е. атомы или их группы со свободными валентностями, играют существенную роль.
После того, как прошла реакция и ВВ разложилось на составляющие (обычно окись углерода СО, водяной пар Н2О, окислы азота и т. д.), все они сначала упакованы столь же плотно, как до разложения. Следовательно, продукты взрыва первоначально сжаты до плотности твердого тела, но при расширении переходят в газы. О газах в столь плотном состоянии известно очень мало. И в этом состоит вторая причина, по которой детонация конденсированных ВВ изучена слабо.
Механизм протекания реакции, конечно, очень важен и интересен сам по себе. Но в первую очередь нужно уметь применять общие соотношения теории детонации, такие, как условие Чепмена — Жуге, к детонации конденсированных ВВ. В это условие входит, как мы видели в разделе 3.1, скорость звука в продуктах взрыва, которой равна сама скорость детонации относительно продуктов взрыва. Насколько просто выражается скорость звука в неплотных газах, настолько сложно выразить ее теоретически в газах, сжатых до плотности твердого тела, когда молекулы соприкасаются между собой.
Первые исследователи пытались учесть это обстоятельство, рассматривая молекулы как твердые шарики. Эта модель молекул удобна, когда изучаются отдельные их столкновения друг с другом, но очень плохо отражает действительные свойства плотного вещества.
Правильный подход к вопросу нашли Л. Д. Ландау и К. П. Станюкович. Они обратили внимание на то обстоятельство, что в очень уплотненных газах давление может иметь двоякую природу. Помимо того давления, которое производится тепловым движением молекул и проявляется в газах обычной плотности, в плотных продуктах взрыва должно существовать и чисто упругое давление. Оно возникает просто от очень тесного сближения молекул и связано с потенциальной энергией их сжатия, а не с кинетической энергией движения. Сильно сжатый газ ведет себя как комок сцепленных пружинок, а газ неплотный — как рой мух, бьющихся о стенку. Давление формально определяется как сила, действующая на единицу поверхности стенки. Ясно, что оно возникает как при сжатии пружинок, так и при беспорядочных ударах, если они происходят достаточно часто. Но, разумеется, природа «теплового» и упругого давления совершенно различна.
Столь же различны по своей природе тепловая и упругая энергия сжатого газа. Первая — кинетическая, вторая ——потенциальная. Роль этой потенциальной энергии и отвечающего ей давления правильно оценили Л. Д. Ландау и К. П. Станюкович.
Построенная ими картина состояния сверхплотного газа, конечно, имеет полукачественный характер. Очень трудно было бы создать точную количественную теорию, которая связывала бы давление, плотность, температуру и энергию продуктов детонации во всем интервале состояний от самой большой до самой малой плотности и, главное, для всех ВВ. Ведь, кроме всего, продукты взрыва разных ВВ имеют разный состав. Поэтому нельзя указать общую количественную закономерность: упругие силы между различными молекулами не одинаковы. Теория Л. Д： Ландау и К. П. Станюковича, в которой найден общий правильный подход к проблеме, в некотором смысле может считаться окончательной: более точная теория с необходимостью окажется менее общей.
Л. Д. Ландау и К. П. Станюкович правильно оценили зависимость скорости детонации от начальной плотности ВВ. В противоположность детонации газовой смеси, скорость которой практически не зависит от начальной плотности, скорость детонации конденсированных ВВ приблизительно пропорциональна их начальной плотности, так называемой плотности заряжания. Наибольшая плотность заряжания таких ВВ, как тринитротолуол (тротил), немногим более 1,5 ?/。优 а скорость детонации 7—8 км/сек.
Теория позволяет рассчитать давление в детонационной волне и скорость движения вещества в ней. Давление для ВВ типа тротила оказывается порядка 200 000— 300 000 атмосфер, а скорость движения вещества — около 3/4 скорости детонации. Огромные давления в плоской волне могут быть еще усилены в волне сходящейся.
Очень мало известно о химических процессах при детонации конденсированных ВВ. Было высказано предположение, что атомы в молекулах таких ВВ занимают малоустойчивые положения равновесия, вроде равновесия карандаша, поставленного нсочиненным концом на горизонтальный стол. При сильном сжатии в детонационной волне атомы выходят из этих положений и потом не возвращаются в них. Вместо этого они перестраиваются в So- 222
лее устойчивые положения, которым отвечает состав сверхплотной смеси продуктов взрыва. Главным образом за счет упругой энергии этих сжатых молекул и высвобождается энергия детонации.
Но если бы предположение о простом переходе атомов из менее устойчивого равновесия в более устойчивое под влиянием сжатия было верным, то и медленное статическое сжатие производило бы тот же эффект — взрыв. На самом деле взрыв производится не статическим, а ударным сжатием. Это хорошо видно, когда изучают передачу детонации от одного ВВ к другому.
Такая передача представляет отнюдь не только академический интерес, так как в практике всегда большая масса трудно детонирующего вещества (например, тротила) взрывается от легко детонирующего — типа гремучей ртути. До применения они по возможности хранятся отдельно.
Особенно легко детонирует азид свинца. В опытах А. Ф. Беляева, М. А. Садовского и И. И. Тамм в Институте химической физики АН СССР было показано, что достаточно ударной волны с амплитудой давления в 30 атм, чтобы вызвать детонацию в прессованном порошке азида свинца. Сам он, детонируя, развивает давление больше 100 000 атмосфер. Трудно предполагать, чтобы 30 атмосфер могли бы вывести атомы кристаллического вещества из положений равновесия настолько, чтобы после этого должна была произойти перестройка.
На самом деле, при ударном сжатии порошка находящийся в его порах воздух нагревается. Быстрая нагрузка от падающей ударной волны приводит к тому, что воздух в порах испытывает адиабатическое сжатие, т. е. не успевает отдавать тепло окружающему твердому веществу. Адиабатическое сжатие до 30 атмосфер нагревает воздух до 1200°. Затем от этого начинается разложение азида свинца, которое идет так бурно, что развивается детонационная волна.
При более плотной запрессовке нужна и большая амплитуда давления в падающей ударной волне, так как при равном давлении сжатие воздуха в порах тем дальше от адиабатического, чем поры мельче. Ведь передача тепла идет через границу объема, так что мелкому объему легче отдавать тепло, чем крупному, тогда как адиабатическое сжатие требует полной теплоизоляции. Изло-
женные здесь соображения о роли пузырьков широко распространены, но не могут считаться доказанными.
Любопытно, что азид свинца вообще может существовать только в виде порошка из мелких кристалликов. Если вырастить достаточно большой кристалл, то он детонирует сам собой; почему — пока неизвестно.
Если взять жидкое ВВ, нитроглицерин, то и ему детонация передается благодаря заключенным в нем мелким пузырькам воздуха. Нитроглицерин — достаточно вязкая жидкость, чтобы мелкие пузырьки не выходили из него. Воздух в пузырьках сжимается и нагревается таким же образом, как в порах азида свинца. Нагревание приводит к взрывному разложению нитроглицерина.
Если пузырьки чересчур мелкие, то за время сжатия воздух успевает отдать свое тепло окружающему жидкому веществу и не доходит до такой высокой температуры, которая нужна для взрывного разложения. Тогда детонации не происходит. В совсем чистом нитроглицерине, свободном от всяких пузырьков, нужна ударная волна с давлением около 100 000 атмосфер, чтобы вызвать детонацию. Это уже близко к давлению, вызываемому самой детонационной волной. Такой нитроглицерин не взорвется, даже если выстрелить в него пулей.
Роль разогрева хорошо видна в следующем опыте. Нитроглицерин, совершенно очищенный от пузырьков, наливают в сосуд и закупоривают, оставляя сверху пузырь воздуха. Затем сосуд Простреливают. Тогда, если пузырь мал, детонация не происходит. Если пузырь побольше, пуля вызывает детонацию, а если еще больше, нитроглицерин опять не детонирует. Полагают, что пузырь сжимается особенно сильно тогда, когда вызванные пулей колебания плотности в сосуде попадают в унисон с колебаниями пузырька. Тогда особенно сильны сжатие и разогрев воздуха в нем ).
Детонационную волну в конденсированном ВВ можно вызвать не при любой форме заряда. Если придать ему вид тонкой колбаски, то детонация не будет распространяться по ее длине. Ю. Б. Харитон объяснил этот своеобразный предел детонации тем, что сжатое вещество за фронтом ударной волны разлетается раньше, чем успевает прореагировать.
Иногда тонкие колбаски тоже детонируют, но со значительно меньшей скоростью ——порядка 2 или 2,5 км/сек. По-видимому, в волне при этом не успевает происходить полное разложение ВВ.
Ядерная детонация
В 1919 г. Э. Резерфорд впервые в мире искусственно произвел ядерную реакцию. До этого было известно лишь самопроизвольное превращение ядер — их радиоактивный распад. Одним из видов такого распада является испускание ядер гелия, или альфа-частиц. Бомбардируя азот альфа-частицами, Резерфорд осуществил следующую реакцию: азот + альфа-частица = протон + изотоп кислорода, т. е. кислород с атомным весом 17 (в природе гораздо больше распространен кислород с атомным весом 16).
Энергия вылетающих протонов в этой реакции меньше, чем у падающих альфа-частиц. Употребляя термин, принятый в химии, говорят, что эта реакция эндотермическая: она требует затраты энергии реагирующих частиц.
Но есть и экзотермические ядерные реакции, которые выделяют больше энергии, чем подводится. Прежде чем записать уравнения таких реакций, мы объясним принятую символику обозначений. Ядро записывается так же, как и элемент, которому оно принадлежит, причем атомный вес пишется сверху; например, Н1——ядро обычного водорода, т. е. протон, Н2——ядро тяжелого водорода, или дейтерия, Н3— ядро трития, или сверхтяжелого водорода. В этой символике альфа-частица обозначается как Не4, легкий изотоп гелия обозначается Не3, Li6 и Li7 — изотопы лития, п ——нейтрон.
⑴⑵⑹偉⑴⑵⑹偉Примерами экзотермических реакций могут служить следующие:
⑴⑵⑹偉
⑴⑵⑹偉
Н2+Н2=Не3+п, Н2+Н2-Н3+Н\ Н2+Нз=Не4+п, Li6+n =Н1+Нз,
Об этих четырех реакциях мы будем говорить в настоящем параграфе. Первые две из них дают приблизительно
2252258 А. С. Компанеец
225
225
одинаковый выход при равной энергии исходных ядер; энерговыделение их тоже примерно одинаково.
В ядерной физике принята специальная единица энергии ——миллион электрон-вольт (мегаэлектрон-вольт, Мзе). Эту энергию приобретает один элементарный заряд, проходя разность потенциалов в миллион вольт. В одном эрге — около 600 000 Мэв. Реакции (1) н ⑵ выделяют около 3,5 Мэв в виде кинетической энергии продуктов, а (3) — целых 17 Мэв\ Это одна из рекордных для ядерной физики величин.
Энергия расщепления урана нейтроном дает 180 Мэв, но при этом на единицу массы приходится даже несколько меньше энергии, чем в реакциях (1) и (2). В реакции (3) выход энергии 3,5 Мзб на единицу массы. При этом энергия частиц, вступающих в реакцию, может быть в 1000 раз меньше.
Вскоре после открытия экзотермических реакций возник вопрос о том, могут ли они служить источником энергии. Если говорить о лабораторных условиях, в которых эти реакции были осуществлены впервые, ответ 'может быть только отрицательным. Дело в том, что далеко не каждая посылаемая частица действительно производит ядерную реакцию. Большинство из них бесполезно растрачивает свою энергию на выбивание электронов из оболочек нейтральных атомов бомбардируемого вещества.
Только одна стотысячная или даже одна миллионная всех частиц успевает прореагировать с ядром раньше, чем израсходует свою энергию.
После того как энергия истрачена, летящая частица больше не может близко подойти к другому ядру: ведь все ядра имеют положительный электрический заряд и отталкиваются друг от друга.
Здесь, однако, есть одна важная особенность, которую необходимо отметить. Для того чтобы один дейтрон, т. е. ядро тяжелого водорода Н2, мог вплотную подойти к другому, преодолев электростатическое отталкивание, он должен обладать кинетической энергией приблизительно в 1 Мэв. На самом деле оказывается, что ядерная реакция дает заметный выход и при энергии дейтрона в несколько десятков килоэлектрон-вольт, и даже при десяти килоэлектрон-вольтах. Если рассматривать движение такого дейтрона по законам классической механики, 226
то он должен оттолкнуться от своего партнера задолго до того, как сблизится с ним. Но в действительности законы классической механики не всегда применимы к движению ядер.
По квантовым законам движение частиц подобно распространению волн, так что отталкивание двух заряженных частиц напоминает отражение волн от преграды. Но любая волна, даже когда отражается, всегда хоть немного проникает в отражающую преграду, если преграда не абсолютно жестка. Этого небольшого проникновения оказывается достаточно, чтобы дейтроны соприкоснулись и прореагировали.
В отличие от ньютоновских законов, которые по начальному состоянию системы с полной достоверностью предсказывают дальнейшее движение, так, как в астрономии предсказываются солнечные затмения, квантовая механика позволяет предсказать только вероятность того или другого события. Волны, которые описывают распространение частиц, дают возможность определить вероятность появления частицы в той или иной точке пространства. Например, по энергии налетающего ядра Н2 можно вычислить вероятность того, что оно, несмотря на отталкивание, проникнет в другое ядро Н2 и вызовет реакцию *).
Эта вероятность очень сильно падает с уменьшением энергии. Поэтому, чтобы реакция давала хороший выход, надо сильно ускорять налетающие частицы. Но тогда энергия, выделяющаяся в реакции, никак не покроет затрат на ускорение, если учесть, что огромное большинство ускоренных частиц вообще не производят реакцию, а только выбивают электроны из атомов на своем пути. Эти частицы «погибают» бесполезно.
Иное дело нейтроны ——они не имеют электрического заряда и, следовательно, не отталкиваются от ядер, а свободно проникают в них. Они не выбивают электроны из атомов и поэтому не растрачивают бесполезно свою энергию на пути через вещество.
Если нейтрон как-то получен, то его эффективность д厶? другой ядерной реакции почти стопроцентная. На нейтронах идет реакция (4). Цепное деление урана или
*) ред.)
См. гл. 11 работы «Законы физической статистики».
(Прим.
плутония также идет на нейтронах. Потому деление оказалось первой реакцией, в которой человек освободил в больших количествах ядерную энергию.
После этого был заново поставлен вопрос, нельзя ли получить и самоподдерживающиеся реакции на заряженных частицах, типа реакций (1), (2), (3). Для этого необходимо, чтобы ядра не отдавали свою энергию атомным электронам. Такой передачи энергии не будет, если атомы останутся без электронов — оголятся. Это возможно только при очень высокой температуре. Если значительная часть энергии, выделяющейся при ядерной реакции между заряженными частицами, будет затрачена на то, чтобы держать вещество при такой высокой температуре, то реакция действительно сможет поддерживать сама себя. Чтобы просто оторвать электроны от атомов, нужна относительно небольшая энергия, но очень горячее вещество излучает много энергии в окружающее пространство. Выделение ядерной энергии в реакции Н2+Н2 превышает потери на излучение только при температуре в несколько десятков миллионов градусов. При более низкой температуре кинетическая энергия ядер еще так мала, что реакция идет с малой скоростью и не возмещает потери на излучение.
В недрах звезд излучение заперто в огромной толще вещества. Там все находится в тепловом равновесии между собой: и ядра, и электроны, и электромагнитное излучение. Сталкиваясь с электронами, ядра в среднем отдают им столько же энергии, сколько получают от них —— это и есть условие теплового равновесия. Иначе говоря, ничто не мешает каждому способному вступить в реакцию ядру прореагировать.
Такая ядерная реакция при очень высокой температуре называется термоядерной (см. раздел 2.4). Она является источником энергии Солнца и, очевидно, первопричиной нашего существования.
Но в земных условиях невозможно долговременно поддерживать такие же условия, как внутри Солнца. При атомном взрыве, например, состояние вещества' близко к звездному меньше одной миллионной доли секунды. Эти звездные условия создаются в данном случае не за счет термоядерной, а за счет цепной реакции на нейтронах. Нельзя ли, хотя бы столь же кратковременно, вызвать самоподдерживающуюся термоядерную реакцию, 228
энергая которой нагревала бы вещество до такой высокой температуры, при которой идет реакция?
Здесь сама напрашивается мысль о детонации. Можно ли, например, используя обычную атомную бомбу в качестве детонатора, вызвать бегущую по дейтерию (т. е. тяжелому водороду) детонационную волну, подобную той, которая распространяется во взрывчатом веществе? Детонация дейтерия давала бы в десять миллионов раз больше энергии на единицу массы, чем, например, детонация тринитротолуола.
Рассчитать такую волну в дейтерии по обычным формулам теории детонации не представляет никакого труда. На первый взгляд может показаться, что разница между ядерной и химической детонацией ——чисто количественная: если детонирует, скажем, тротил, то почему бы не детонировать дейтерию, если подорвать его надле* жащим образом?
Заметим, что детонатор такой реакции, обычная атомная бомба, не может выделить энергии больше некоторого верхнего предела, который кладется тем, что нельзя достаточно быстро создать слишком большую надкритическую массу из подкритической. Ведь до взрыва изотоп урана-235 или плутоний должен быть подкритическим, а, значит, не может находиться в одном куске. Если же существует незатухающая ядерная детонация, особенно в таком дешевом веществе, как дейтерий, то сила бомбы ничем не ограничена сверху. Отсюда возникла идея* страшной бомбы, которую назвали «водородной» раньше, чем убедились в возможности ее создания. А возможности, если говорить специально о ядерной детонации, оказались совсем не такими, как предполагали сначала.
Прежде всего выяснилось, что детонация чистого дейтерия неосуществима. Это связано со своеобразными потерями, свойственными только ядерной, но не химической детонации.
Дело в том, что при химической детонации температуры не слишком высоки, каких-нибудь 2000°. При этом тепловое излучение принимает на себя ничтожно малую долю всей энергии и никак не участвует в общем энергетическом балансе.
Энергия вещества растет, грубо говоря, пропорционально температуре, а энергия теплового излучения —
пропорционально четвертой степени температуры. Отсюда ясно, что при достаточно высокой температуре тепловое излучение всегда заберет на себя подавляющую часть всей энергии. Но если энергия пропорциональна четвертой степени температуры, то температура, наоборот, пропорциональна корню четвертой степени из энергии. Итак, температура возрастает гораздо медленнее, чем тепловыделение. Если допустить, что вещество находится в тепловом равновесии с излучением, то и температура вещества тоже возрастает соответственно медленно.
Допустим теперь, что ядерная детонационная волна освободила всю энергию, заключенную в дейтерии, но так, что свою подавляющую долю получило излучение. Тогда температура вещества окажется столь низкой, что ядерная реакция сможет идти только очень медленно. А это значит, что и ширина зоны реакции окажется очень большой. Если представить себе детонирующий заряд в виде длинного цилиндра, то при всяком не абсурдном диаметре вещество в зоне реакции будет разбросано в стороны раньше, чем оно успеет сколько-нибудь заметно прореагировать.
Можно подойти к вопросу о детонации дейтерия несколько иначе. Представим себе обычную атомную бомбу, помещенную внутрь сферического дейтериевого заряда. Тогда атомный взрыв может вызвать детонацию дейтерия только в том случае, если он создаст в дейтерии такие же условия, какие осуществились бы в самоподдерживаю- щейся волне в таком же объеме. Дальше сферическая детонационная волна пошла бы сама. Но оказывается, что и атомный взрыв недостаточно силен, чтобы прогреть столь большой объем дейтерия до термоядерной температуры.
Излучение, находящееся в тепловом равновесии с веществом, кладет верхний предел для температуры дейтерия. Даже при полном выделении всей ядерной энергии излучение не позволило бы температуре подняться выше нескольких десятков миллионов градусов. Для термоядерной реакции в земных условиях это маловато. Но не может ли детонация пойти в неравновесных условиях, когда вещество еще не успевает прийти в тепловое равновесие с излучением? Ведь и установление равновесия требует известного времени. Заранее не исключено, что при очень высокой температуре термоядерная реакция пой-
дет быстрее, чем будет испускаться тепловое излучение. Тогда излучение действительно оттянет на себя меньше энергии и не так повлияет на температуру.
Мы говорили, что потери очень сильно влияют на способность вещества детонировать. Оказалось, однако, что и при неполных потерях энергии на тепловое излучение дейтерий не способен детонировать. Это дает представление о трудностях, стоящих на пути мирного использования термоядерных реакций, где не может быть речи об атомных детонаторах.
Реакция (3) дейтерия с тритием в сто раз вероятнее, чем реакции (1) и (2). Поэтому дейтеро-тритиевая смесь способна к детонации.
Была попытка осуществить такую детонацию экспериментально при взрыве американского ядерного устройства в 1952 г. Выделилась энергия, раз в 75 превышающая энергию взрыва «номинальной» атомной бомбы с эквивалентом 20 000 тонн тротила. Взорвавшееся устройство весило 65 тонн (оно должно было, помимо прочего, поддерживать смесь до взрыва в жидком состоянии). По энерговыделению видно, что сгорело только 25 кгдейтеро- трнтиевой смеси. Сколько ее было заложено, мы не знаем. Весьма вероятно, что и здесь получилась не настоящая детонационная волна, а только сильная вспышка, которая не могла сама себя поддерживать.
Вряд ли такая система могла бы годиться в качестве оружия. Кроме того, тритий получается путем облучения лития нейтронами в ядерных реакторах, по реакции (4). Но каждый нейтрон, израсходованный в этой реакции, мог быть вместо этого истрачен на получение атома плутония из атома изотопа урана-238. Деление плутония освобождает 180 Мэв энергии, а реакция (3) — в десять раз меньше. Наконец, тритий распадается за 12 лет наполовину и его труднее поэтому накапливать, чем устойчивый материал. Поэтому дейтеро-тритиевая водородная бомба «не пошла».
Что же называется тогда «водородной бомбой»? Схема ее состоит в следующем. Обычную атомную бомбу окружают слоем дейтерида лития, а его, в свою очередь, слоем урана-238 (в атомную бомбу идет уран-235, которого в природе в 140 раз меньше, или плутоний). При цепной реакции в уране нейтроны частично переходят в дейтерид лития. Он сильно разогревается, и кроме того, в
нем идет реакция (4). Возникает тритий, который уже термоядерным способом реагирует с дейтерием,— мы указывали, что эта реакция идет легко. Реакция (3) создает быстрые нейтроны с энергией 14 Мэв>. Эти нейтроны попадают в оболочку обычного урана и вызывают в нем деление.
Теперь уже нейтроны деления урановой оболочки возвращаются в дейтерид лития и образуют с ним новые ядра трития. Кроме того, уран от интенсивного деления разогревается и сжимает находящееся внутри легкое вещество. Это усиливает термоядерную реакцию —— в более плотном веществе ядра сталкиваются и реагируют чаще. Заметим, что все это явление естественно назвать взрывом, а не детонацией.
Смотря по устройству, в этой бомбе значительная часть энергии выделяется из обычного урана. Такая бомба отравляет атмосферу продуктами деления урана. Поэтому следует иметь в виду, что массированный удар по большой территории через некоторое время заразит атмосферу на всем земном шаре до весьма опасной концентрации.
СВЕРХПЛОТНОЕ ВЕЩЕСТВО
НАУЧНЫЕ ПРОГНОЗЫ
Часто говорят, что наука о природе основана на опыте и наблюдении. Например, физика развивается опытным путем, астрономия — наблюдательно. В настоящее время такое определение метода естественных наук кажется несколько ограниченным, так как не охватывает научной теории. Но развитие физики и астрономии в наибольшей степени зависело отуспехов теории. Как бы ни были велики успехи наблюдательной астрономии до Ньютона, открывшего общие законы механического движения, самый великий астроном до него был скорее всего звездочетом: много знал о движении небесных тел, частично умел его предсказывать, но не мог объяснить причины известных ему закономерностей. Законы Ньютона заложили основу теории не только в астрономии, но и в физике. Но еще в течение столетий обе дисциплины существовали несколько разобщенно. Только в XIX в., когда Г. Кирхгоф открыл спектральный анализ, физика вернула свой долг астрономии и возникла объединенная наука —— астрофизика. Первоначально она изучала состав и строение наружных оболочек звезд, а затем смогла поставить грандиозную задачу об эволюции и внутреннем строении звезд, и в наиболее общем виде —о происхождении и развитии- всех космических объектов, т. е. о Вселенной в целом.
Ясно, что такая проблема не может решаться на основании одних только наблюдательных или опытных данных, а требует привлечения физической теории.
Современные теоретическая физика и физика экспериментальная пользуются весьма изощренными, но совершенно различными методами; иногда оказывается, что область применения одной из них в течение неопре-
деленно долгого времени недоступна для другой. Так, динамические законы, управляющие взаимодействием элементарных частиц, успешно изучаются на опыте, но пока не нашли теоретической формулировки. Гравитационные волны (волны тяготения) предсказал Эйнштейн еще 55 лет назад, а наблюдательно они еще не обнаружены. Отдельные сообщения о том, что гравитационные волны наблюдались, пока не подтверждены. Но они, несомненно, существуют реально, так как выводятся из общей стройной и строгой теории, другие выводы которой прекрасно подтверждаются наблюдением и опытом.
В точных науках существуют два рода прогнозов: безусловные и правдоподобные. Теоретическое открытие планеты Нептун, независимо сделанное Леверье и Адамсом, несомненно, относится к точным прогнозам: оно сделано на основе хорошо проверенных, точных законов механики. Максвелл предсказал существование электромагнитных волн из своих уравнений —— в то время далеко не общепринятых. Его прогноз был исторически точным, ,но тогда мог казаться вероятностным. То же относится к открытию Дирака, предсказавшему антивещество до его обнаружения на опыте.
Особое место занимает предсказание новых элементов, сделанное Д. И. Менделеевым на основе его периодического закона. Для Менделеева периодическая система элементов выражала чисто эмпирический закон, установленный путем анализа опытных фактов. Когда стало известно строение атома, предсказание приняло характер абсолютной неизбежности. 一
Предсказания в астрофизике относятся скорее к вероятностным. Из физической теории следует, что вещество при некоторых необычных условиях, например высоких температурах или давлениях, обладает определенными свойствами. Если допустить, что такие условия могут осуществиться внутри некоторых звезд, то излучение, происходящее от них, должно иметь особые признаки. Когда удается обнаружить излучение ожидаемого типа, это указывает на соответствие или тождество между предсказанными и реальными объектами Вселенной.
Существенно, что современная теоретическая физик-а в состоянии детально исследовать поведение такой материи, которую пока невозможно создать в лаборатор- 236
ных условиях или изучать йепосредственно, если она находится, например, в недрах звезд или существовала во Вселенной на ранних стадиях ее эволюции. Тогда проверка теоретического результата происходит не прямым наблюдением предсказанного, а благодаря связям между наружными и внутренними областями звезд, а также между прошлым и настоящим поведением материи.
Благодаря этим связям удается не только изучать свойства материи при сверхбольших давлениях, но и проверять полученные данные. Здесь очень существенны прямые астрономические наблюдения с космических аппаратов, вне области помех, происходящих от земной атмосферы.
Возможность экстраполяции от земных условий к космическим при полной надежности выводов ——существенное достижение нынешней физической науки, прежде всего теории. Элемент предположения состоит в том, осуществляются ли изучаемые условия в звездах. Но зато можно быть уверенным, что, если эти условия осуществились, свойства материи именно таковы, как предсказано.
Здесь надо сделать одно замечание терминологического характера. Иногда настаивают на разграничении понятий «материя» и «вещество», понимая под материей не только частицы, но и физическое поле, т. е. всякий объект изучения физической науки. Это выделение «вещества» в особую разновидность материи устарело. «Частицы» в настоящее время рассматриваются как специальные состояния поля. Их устойчивость или неустойчивость может оказаться сравнительно второстепенным признаком в особых условиях.
Само понятие пространства как «условия существования» материи тоже не всегда приемлемо. По отношению к гравитационному полю свойства пространства и времени создают особое физическое поле, как показала общая теория относительности Эйнштейна. Упоминавшиеся выше гравитационные волны распространяются как колебания геометрических свойств мира. Но эти волны несут с собой энергию, как, например, и электромагнитные волны, и могут ею обмениваться с другими видами материи. Отсюда видно, что пространство не всегда можно выделить в особую категорию, первичную по отношению к материи в обычном ее понимании. Это особенно сущест-
венно для выяснения свойств Вселенной на ранних стадиях ее развития, когда в ней господствовала материя очень высоких плотностей. В разделе 12 мы вернемся к некоторым выводам теории относительности.
О ПРИРОДЕ ДАВЛЕНИЯ
Рис. 1. Нормальные и касательные силы, приложенные к поверхности.Рис. 1. Нормальные и касательные силы, приложенные к поверхности.Давление определяется как сила, отнесенная к единице площади, на которую она действует. Но здесь необходимо сделать одно уточнение. Снла характеризуется не только своей величиной, но и направлением. В частности, сила, приложенная к поверхности, может быть направлена вдоль поверхности или перпендикулярно к ней. Действие таких сил совершенно различно. Это можно увидеть на рис. 1, где для простоты объемная фигура куба заменена плоским квадратом. Рис. 1, а относится к случаю, когда на все стороны перпендикулярно действует сила, одинаковая по величине. Ясно, что тело силы может только сжиматься, уменьшая объем и сохраняя форму. На рис. 1, б сила смещает верхнюю сторону (грань) относительно нижней, т. е. превращает квадрат в параллелограмм. Его площадь или объем (в случае трехмерного тела) при этом могут и не изменяться.
Рис. 1. Нормальные и касательные силы, приложенные к поверхности.
Рис. 1. Нормальные и касательные силы, приложенные к поверхности.
Ясно, что если фигура ограничивает жидкое тело, находящееся в равновесии, то осу- 'ществляется только ситуация
рис. 1, а, так что силы, приложенные к поверхности, способны изменять объем, но не форму. Силы, представленные на рис. 1, б, в равновесии могут действовать только в твердом теле, но не в жидкости, которая, как известно, не сопротивляется изменению формы и заполняет сосуд, куда она налита. Если жидкость находится в сосуде, то ее давление на дно сосуда равно весу вышележащего столба жидкости. Очень существенно, что такое же давление действует на любую площадку, находящуюся на дне, как бы она ни была ориентирована: касательно к поверхности сосуда или перпендикулярно к
ней. То же самое относится к давлению газов: в жидкостях и газах, находящихся в равновесии, давление может быть только всесторонним, по типу рис. 1, а. Это утверждение известно как закон Паскаля.
Если площадка воображаемая и находится внутри жидкой среды, то давление по обе стороны уравновешивается, а если она прилегает к дну, то и воспринимается дном сосуда. Давление со стороны постороннего тела называется внешним.
Невсестороннее давление создает, например, гиря, поставленная на стол. На поверхность стола она действует перпендикулярно, но в других сечениях доски имеет совсем иную величину и направление. Доска не столько сжимается гирей, сколько прогибается.
В дальнейшем мы будем рассматривать действие давления, перпендикулярного к площадкам, независимо от агрегатного состояния среды, в соответствии с нашей темой. Только всестороннее сжатие равномерно уплотняет тела во всех измерениях.
Что же на самом деле производит давление в среде? В разных средах оно имеет различное происхождение. Рассмотрим сначала давление в газе. Если быстро сжать газ в цилиндре под поршнем, приложив к поршню внешнюю силу, то газ будет стремиться расширяться, т. е. вернуть поршень в исходное положение. Иначе говоря, при таком сжатии газ ведет себя как упругое тело.
Между тем энергия, запасаемая в упругом теле при сжатии, потенциальная. Молекулы газа взаимодействуют между собой только при столкновениях, которые происходят относительно редко. Энергия газа — это в основном кинетическая энергия движения его молекул. При быстром сжатии газа под поршнем работа сжатия переходит в эту кинетическую энергию (при медленном сжатии она рассеивается в окружающей среде благодаря передаче тепла через стенки цилиндра). Каким же образом кинетическая энергия молекул проявляет себя наподобие потенциальной энергии упругого сжатия?
Двигаясь в газе, молекулы ударяются о стенки сосуда. Каждый толчок означает, что стенке передается некоторый импульс. Импульсу в механике отвечает строгое количественное понятие: он равен произведению массы тела на его скорость. Причем импульс, переданный телу за единицу времени, равен силе, действующей на тело в
направлении сообщенного импульса. Так следует из второго закона Ньютона.
Следовательно, если сложить импульсы, отданные молекулами единице поверхности стенки за одну секунду, то получится сила, с которой газ действует на квадратный сантиметр стенки. Молекула отскакивает от стенки внутрь сосуда в самых различных направлениях. Но составляющая сообщенного импульса, перпендикулярная к стенке, всегда направлена в объем. Следовательно, импульс, переданный стенке, по третьему закону Ньютона («действие равно противодействию») направлен из объема наружу, так что сила, результирующая от всех таких толчков, есть не что иное, как давление.
Это впервые понял Даниил Бернулли в 1730 『.,за 150 лет до того, как возникла молекулярно-кинетическая теория газов. Ему удалось сделать из своих представлений важнейший вывод о связи между давлением и кинетической энергией газа. Действительно, переданный при каждом ударе импульс пропорционален скорости налетевшей молекулы, и молекулы ударяются о стенку тем чаще, чем больше их скорость. Поэтому импульс, переданный за единицу времени, пропорционален квадрату скорости молекул, т. е. кинетической энергии молекул ).
Отсюда понятно, почему газ под поршнем ведет себя как упругое тело. Работа сжатия переходит в кинетическую энергию молекул газа согласно закону сохранения энергии, а увеличение кинетической энергии соответственно увеличивает и давление.
При медленном сжатии эта энергия успевает передаваться сквозь стенки цилиндра, и тогда давление возрастает только за счет увеличения плотности газа.
Молекулы жидкости или твердого тела тоже находятся в движении. Поэтому производимое ими давление тоже связано с кинетической энергией движения. Но, кроме того, эти молекулы находятся в близком контакте между собой. Между ними непрерывно действуют силы отталкивания, которые не дают им сливаться воедино. Против таких сил тоже совершается работа сжатия. Следовательно, в конденсированном (т. е. твердом или
жидком) теле давление имеет не только кинетическую, но и потенциальную природу.
Измеряя давление, нельзя, конечно, по показаниям прибора определить, сколько процентов составляет каждый из видов давления. Здесь на помощь опыту приходит теория. Зная строение исследуемого тела, можно в той или иной степени судить о его уравнении состояния, выражающем связь между плотностью, температурой и давлением. Эта связь служит предметом особой физической дисциплины — статистической механики, которая вычисляет наблюдаемые характеристики тел, такие, как температура и давление, статистически усредняя механические величины по движению отдельных атомов и молекул.
Таким образом, зная две указанные средние величины, удается оценить, какая часть давления кинетической и потенциальной природы, если эта оценка нужна. При очень высоких давлениях, порядка 1 млн. атм, выделить описанным способом потенциальную и кинетическую части из полного давления нельзя, так как атомы теряют свою индивидуальность. Поэтому не имеет смысла говорить, что потенциальная энергия связана с отталкиванием отдельных атомов. Давление производится действием не атомов, а электронов и ядер. Дальше об этом будет сказано подробнее.
ПОЛИМОРФНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
Существуют два метода получения высоких давлений: статическое и ударное сжатие. Первый метод в принципе основан на действии цилиндра и поршня, но, разумеется, в весьма усовершенствованном виде, с помощью ряда технических ухищрений. Второй метод использует для сжатия взрыв (раздел 8). Преимущество статического сжатия в том, что оно позволяет регулировать температуру и давление сжимаемого вещества в отдельности. При ударном сжатии они взаимосвязаны, зато удается получить существенно большие давления.
Для того чтобы сжатие возможно больше приближалось к всестороннему, на вещество действуют не одним, а сразу четырьмя поршнями с наковальнями, которые давят с четырех сторон, по граням тетраэдра. На
рис. 2 схематично изображены поршни, причем один из них отнят, чтобы показать камеру, где помещается сжимаемое вещество (зачернено).
Для того чтобы предотвратить утечку вещества при сжатии, его заключают в тетраэдр из особого материала, называемого пирофиллитом. Длина ребра этого тетраэдра на 25% больше, чем у по
00Рис. 2. Прибор для получения высоких давлений в объеме тетраэдра.Рис. 2. Прибор для получения высоких давлений в объеме тетраэдра.лого тетраэдра, остающегося при полном смыкании поверхностей наковален. Поэтому часть пирофиллита выдавливается при сжатии наружу, а остающаяся масса передает давление испытуемому веществу и на-
0
0
Рис. 2. Прибор для получения высоких давлений в объеме тетраэдра.
Рис. 2. Прибор для получения высоких давлений в объеме тетраэдра.
дежно предохраняет его от утечки. Внутрь пирофиллитового тетраэдра вводится электрическое сопротивление. Пропуская
ток, можно таким образом изменять температуру при сжатии, доводя ее до 3000° и выше. Для этого нужны, конечно, термостойкие наковальни. Они изготовляются из цементированного карбида вольфрама и снаружи охватываются кольцами, чтобы предотвратить их раздавливание при сжатии.
Таким образом достигается сжатие с высокой сте
пенью всесторонности, при давлениях в несколько сот тысяч атмосфер.
Какие перестройки происходят в веществе при таких давлениях? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним прежде всего два общеизвестных факта.
В горах вода кипит при более низкой температуре. Поэтому на большой высоте медленно варится пища.
Под давлением лед плавится. Из-за этого под острым краем конька образуется прослойка воды, которая при скольжении действует как смазка.
Эти факты сходны между собой тем, что изменение внешнего давления изменяет температуру перехода воды из одного агрегатного состояния в другое: из жидкого в газообразное или из твердого в жидкое. Такие переходы называются фазовыми, в соответствии с тем, что твердое, жидкое и газообразное состояния воды именуются фазами. Фактически, однако, у воды не три фазы, а гораздо больше. Дело в том, что обычный лед под высоким
Рис. 3. Кристаллическая решетка льда. Белые кружки — атомы кислорода, черные — водорода, по два около каждого атома кислорода.Рис. 3. Кристаллическая решетка льда. Белые кружки — атомы кислорода, черные — водорода, по два около каждого атома кислорода.давлением превращается в другое твердое вещество, и так по мере повышения давления происходит несколько раз. Каждая модификация льда имеет свое особое кристаллическое строение. На рис. 3 показано расположение атомов кислорода и водорода в кристаллах обычного льда (светлые кружки —— кислород, черные — водород).
Рис. 3. Кристаллическая решетка льда. Белые кружки — атомы кислорода, черные — водорода, по два около каждого атома кислорода.
Рис. 3. Кристаллическая решетка льда. Белые кружки — атомы кислорода, черные — водорода, по два около каждого атома кислорода.
Рассматривая рисунок, можно заметить, что атомы выстроены не самым плотным образом из возможных. Но при атмосферном давлении как раз это расположение отвечает равновесию между силами химического сродства, которые притягивают атомы, и силами отталкивания, которые не дают атомам сой
тись слишком близко. Высокое внешнее давление помогает силам притяжения, атомы располагаются по-иному, и возникает новая фаза льда. Такой переход отчасти напоминает плавление: он совершается скачкообразно и часто сопровождается выделением или поглощением скрытой теплоты.
Надо заметить, что фазовые переходы можно вызвать и путем изменения температуры при постоянном давлении.
Простейший пример ——обычное замерзание воды при атмосферном давлении: когда вода охлаждается до 0℃, она превращается в лед, при 100° С ——закипает.
Твердая сера совершает фазовый переход при атмосферном давлении, если нагреть ее до 96℃. Она переходит из одной кристаллической модификации в другую. При другом давлении температура перехода изменяется, подобно тому как меняется температура плавления льда. Если задавать условия, в которых находится сера или вообще какое-нибудь чистое вещество, температурой Т и давлением р и отложить их на координатных осях, то каждой точке с координатами (р, Т) отвечает вполне определенное состояние этого вещества. На этой, как говорят, (р, Т)-плоскости имеются кривые переходов между разными фазами. Отдельные точки на кривых
отвечают конкретным условиям перехода. Например, у воды точка Т=100° С, р=1 атм — это точка кипения при атмосферном давлении; точки на кривой, примыкающие к ней со стороны низких давлений, соответствуют более низким температурам, а те, которые лежат со стороны высоких давлений, приходятся на более высокие температуры.
Таким образом, повышая только давление, удается пересечь кривую перехода и добиться условий, при которых вещество находится в ином состоянии, чем при низком давлении. Точно так же можно добиться пересечения, двигаясь в (р, Т)-плоскости по оси температур или изменяя р и 7 совокупно.
Что же произойдет, если вещество перешло в другую модификацию под высоким давлением или при высокой температуре, а затем было возвращено к нормальным условиям? Непременно ли оно вернется в исходное состояние?
Оказывается, что такой переход вовсе не обязан совершаться немедленно. Чтобы объяснить, почему так получается, рассмотрим сначала один очень простой пример из механики. Положим два шарика в две пиалы и поставим одну на пол, а другую на стол. Оба шарика будут находиться в равновесии. Какое из них устойчивее? Этот вопрос имеет вполне отчетливый смысл. Из каждого положения равновесия можно перейти в другое положение равновесия. Но перенося шарик из пиалы, стоящей на столе, в ту, которая стоит на полу, мы получим работу, при обратном переносе затратим ее. Более устойчиво положение шарика в пиале, стоящей на полу, так как шарик не освобождает энергию, переходя из него в пиалу, стоящую на столе.
Это определение степени устойчивости универсально: она больше в том положении, при переходе в которое освобождается энергия. Карандаш способен стоять на столе, не падая, на неочиненном конце. Но если толкнуть его, он упадет и будет лежать на столе. Так как его центр тяжести при этом переместится вниз, силами тяжести будет совершена работа. Аналогичным образом, если подтолкнуть шарик в пиале, стоящей выше, он совершит работу, падая на пол. Энергия толчка должна быть достаточна, чтобы перекатить шарик за край пиалы. Но эта энергия будет с лихвой возвращена при падении.
Атом в кристаллической решетке переходит из менее устойчивого положения равновесия («верхняя пиала») в более устойчивое, только если подтолкнуть его. Такие толчки происходят за счет теплового движения (очень легкие атомы, водородные, могут совершать переходы по- иному, квантовому механизму, но этот вопрос мы оставим в стороне, ограничиваясь более тяжелыми атомами). Но если энергия теплового движения, пропорциональная абсолютной температуре, мала по сравнению с той энергией, которая требуется, чтобы только извлечь атом из менее устойчивого равновесия, переходы будут совершаться крайне редко. (Шарик лишь в немногих случаях докатится до края верхней пиалы и поэтому чаще всего останется в ней надолго.)
То состояние* вещества, в котором оно менее устойчиво, называется метастабильным. Насколько долго оно может сохраняться, показывает пример стали. Железоуглеродный сплав, нагретый до температуры выше 900°, сам приобретает устойчивое при этих условиях кристаллическое строение стали. Затем его быстро охлаждают (закаливают). За время охлаждения атомы не успевают перестроиться, а затем, уже при комнатной температуре, энергия теплового возбуждения настолько мала, что метастабильное состояние сохраняется весьма долго, практически дольше, чем нужно данное стальное изделие.
Но вблизи режущего края некоторая перестройка метастабильного состояния в устойчивое, но более мягкое все же совершается. Так, хирургические ланцеты притупляются при кипячении. Лезвия для безопасных бритв, по-видимому, портятся просто при длительном хранении при комнатной температуре. Металлическое олово становится неустойчивым при низкой температуре. Оно превращается в порошкообразное непроводящее серое олово. Достаточно маленькой случайной затравки, чтобы переход совершился по всей массе металла с большой скоростью. Это превращение олова в порошок образно называют «оловянной чумой». От нее погибла антарктическая экспедиция Р. Скотта: разрушились банки с горючим, полярники остались без горячей пищи и не смогли вернуться на свою базу.
Метастабильно и аморфное стеклообразное состояние некоторых веществ. Поэтому часто говорят, что стекло не твердое тело, а переохлажденная жидкость.
Настоящее твердое тело всегда имеет кристаллическое строение. Но в стекле атомы с таким трудом переходят из одного положения в другое, что оно практически не становится кристаллическим. Все же в стеклянных предметах, изготовленных в древности, теперь заметна кристаллизация.
Как известно, твердый углерод встречается в природе в двух модификациях — графита и алмаза. Строение их кристаллических решеток показано на рис. 4. Атомы углерода в графите (б) находятся в вершинах правильных шестигранных призм. Плоскости, в которых лежат
Рис. 4. Кристаллические решетки: а) алмаза; 6) графита.
шестиугольники, легко скользят одна по другой. Поэтому графит так мягок. В алмазе (а) атомы расположены по вершинам и в центре правильных тетраэдров. Здесь нет выделенных плоскостей легкого проскальзывания.
Атомы в алмазе упакованы плотнее, чем в графите. Но силы притяжения и отталкивания между отдельными атомами действуют так, что при обычных температурах и низком давлении алмаз представляет собой метаста- бильную фазу, а графит — вполне устойчивую.
ИСКУССТВЕННЫЕ АЛМАЗЫ И ДРУГИЕ ВЕЩЕСТВА
Метастабильные фазы могут существовать очень долго, практически неограниченно долго, не превращаясь в стабильные. Это бывает в тех случаях, когда барьер, который надо преодолеть, чтобы выйти из мета-
246
стабильного состояния, достаточно высокий. Между тем он повышается при уплотнении вещества. Поэтому переход все более затрудняется. Если некоторая фаза устойчива под высоким давлением, а при низком — неустойчива, она тем не менее может не испытать превращения под прессом.
Для того чтобы облегчить превращение, надо повысить температуру. Тогда энергия теплового движения увеличится и барьер между метастабильной и устойчивой фазами преодолевается легче.
Таким образом, весь переход совершается за четыре шага:
Повышается давление в холодном образце. Исходное состояние оказывается метастабильным, а новое — устойчивым. Но превращение идет слишком медленно, чтобы можно было дождаться его результатов.
Повышается температура при неизменном высоком давлении. Это облегчает достижение более полного равновесия.
Температура понижается.
Давление снимается. Теперь уже метастабильное состояние не имеет возможности вернуться в исходное. Получается искусственно приготовленная кристаллическая модификация элемента, которая требует столь большого времени для возврата к исходному состоянию, что ее практически надо считать стабильной.
Отличие от ранее известных метастабильных тел, таких, как сталь или стекло, состоит в том, что у них не нужны манипуляции с давлением.
С помощью высокого давления созданы совершенно новые, не известные в природе вещества. Так, из чистого кварца при давлении 90 000 атм и температуре 2000° С получается минерал того же состава, что и кварц SiO2, коэзит. Его показатель преломления и плотность равны 1,6 и 3, тогда как у исходного кварца при нормальном давлении — соответственно 1,5 и 2,7. Известно, что все вещества, содержащие кремний, разрушаются плавиковой кислотой (раствор HF). Поэтому плавиковую кислоту нельзя наливать в стеклянную посуду. На коэзит она не действует.
При давлении 65 000 атм и температуре 1500° образуется не известный в природе минерал боразон, т. е. нитрид бора BN. По твердости он не уступает алмазу
и может занять его место в технике (но не в ювелирном деле).
Для искусственного приготовления алмаза требуется специальный прием. Его указал О. И. Лейпунский в Институте химической физики АН СССР еще в 1939 г. Он определил не только температуру и давление, необходимые для превращения углерода в алмаз, но предложил выкристаллизовывать алмаз из железоуглеродного раствора, что существенно облегчает весь процесс.
Предвоенная обстановка помешала О. И. Лейпун- скому осуществить свое предложение на практике. В 50-х годах алмаз был независимо создан у нас и в США, компанией «Джен ер ал электрик», которая взяла патент на свой способ. Однако все существенное в этом способе уже содержалось в опубликованной ранее статье Лейпунского.
Искусственные алмазы в виде порошка шлифовальных кругов из США и из СССР стали вывозиться в ФРГ. Тогда «Джен ер ал электрик» предъявила нам многомиллионный иск, опираясь на свой патент. Но после того, как истцу была показана статья О. И. Лейпунского, иск взяли обратно. Своевременно опубликованная работа сэкономила миллионы рублей и защитила право на вывоз ценной продукции.
Искусственное приготовление алмазов, даже самых мелких, сопряжено с такими трудностями, что представляется немного удивительным, как они могли образоваться в естественных условиях на Земле. Но в природных условиях процесс кристаллизации происходил за геологические периоды времени.
Переходы под высоким давлением совершаются в очень многих веществах. Надо различать изменения, происходящие путем перестановки атомов в кристаллической решетке и путем перегруппировки электронов в атомах, хотя резкую границу между ними провести нельзя. Электронные перегруппировки требуют, как правило, гораздо более высоких давлений, порядка миллионов атмосфер. Они могут сопровождаться и перестройкой кристаллических решеток.
Переход графита в алмаз тоже связан с изменением электронной структуры углерода, но требует давлений около 100 000 атм. В этом случае изменяются только состояния внешних электронов, и то не сильно.
Для того чтобы иметь возможность лучше разобраться в возможных превращениях электронной структуры вещества, надо прежде всего познакомиться со строением атома.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕНДЕЛЕЕВА И ПРИНЦИП ПАУЛИ
Одно из величайших открытий в химии, периодический закон Менделеева, долгое время имел лишь эмпирическое обоснование. Он отвечал огромной совокупности экспериментальных фактов, предсказывал ряд элементов, впоследствии открытых, причем не только химические, но и физические свойства этих элементов оказались в соответствии с опытом.
Вместе с тем не был известен первичный физический закон, лежащий в основе периодической таблицы.
Во времена Менделеева этот закон и не мог быть известен, так как он чисто квантовой природы и не имеет никаких соответствий в механике Ньютона.
Сколько-нибудь подробное изложение основ квантовой теории увело бы нас слишком далеко в сторону и затруднило понимание всей этой книжки в целом. Ограничимся поэтому некоторыми важнейшими выводами.
Электрон в атоме обладает строго определенным набором механических состояний, которые по аналогии с ньютоновской механикой, но чисто условно называются «орбитами». Никаких промежуточных «орбит» между дозволенными нет. На плакатах и эмблемах атом рисуют с орбитами, но это чисто иконописный прием. Вдобавок, имеют в виду вовсе не электроны атома, а его ядро. В отличие от планеты в Солнечной системе, электрон в атоме не имеет орбиты. Как характеризовать его движение, мы здесь и покажем.
Полной характеристики атомных состояний мы не дадим, а укажем лишь на некоторые. Один из основных признаков состояния ——отвечающая ему энергия. Она сохраняется и в классической, и в квантовой механике и выступает как первичная реальность, более важная, чем траектория, которая существует только в неквантовой физике. Проще всего выражается энергия электрона в атоме водорода. Для нее вывел формулу еще Н. Бор
в 1913 г.:
2九2，
Рис. 5. Вектор момента импульса и его проекция на ось.Рис. 5. Вектор момента импульса и его проекция на ось.Здесь Ry ——постоянная Ридберга. Она равна той энергии, которую приобретает электрон, проходя разность потенциалов 27 в, т. е. энергии 27 эв. Теоретически она выражается через заряд электрона е, его массу т и квантовую постоянную Планка Л. Число п — целое положительное, т. е. 1, 2, 3, 4,... Знак минус в правой части означает, что электрон «связан» в атоме, т. е. надо затратить внешнюю работу, чтобы удалить электрон из атома. Эта работа совершается против сил притяжения между положительно заряженным ядром атома и отрицательно заряженным электроном. Число /г называется главным квантовым числом электрона.
Рис. 5. Вектор момента импульса и его проекция на ось.
Рис. 5. Вектор момента импульса и его проекция на ось.
Какие же числа не «главные»? В механике существует второй закон Кеплера: радиус-вектор тела, которое
обращается вокруг силового центра, покрывает равные площади за равные промежутки времени (рис. 5). Иначе говоря, тело описывает постоянную площадь за единицу времени. Произведение этой площади, отнесенной к единице времени, на массу тела, деленное на два, называется моментом движущегося тела. Подобно энергии, в квантовой теории он принимает лишь дискретный ряд значений, которые задаются «азимутальным квантовым числом» /. Это число принимает следующие значения: Z=0, 1, 2, 3 и т. д. В отличие от 孔,число / может равняться и нулю. Между 及 и / существует важное неравенство: п^1+1. Например, если / равно 2, то п не меньше 3.
Во всех атомах, кроме водородного, энергия зависит и от п, и от I.
Существует специальная терминология: при /=0 говорят об s-состоянии, при /=1——о p-состоянии, значению /=2 сопоставляется d-состояние, значению /=3 — /-состояние. Дальше применяются последующие буквы латинского алфавита: gy hf j и т. д. Но нам они не понадобятся.
В отличие от энергии, момент есть величина векторная. Он перпендикулярен к плоскости орбиты.
В квантовой теории орбита не определена, но момент — все же вектор, подобно тому как Алиса в стране чудес видела только улыбку исчезнувшего чеширского кота. Квантовый мир с классической точки зрения — тоже страна чудес, но не выдуманных.
Говоря серьезнее, в механике есть законы сохранения скалярных и векторных величин. При переходе от ньютоновской механики к квантовой много чего происходит, но скаляр не может стать вектором, и наоборот. Энергия —скаляр и остается скаляром, момент — вектор и должен остаться вектором. Но квантовый вектор момента имеет такие свойства, которых нет у классического момента. Это сейчас и будет разъясняться.
На рис. 5 изображена несуществующая орбита и перпендикулярный к ней вполне реальный момент М. Его проекция на ось z есть Mz. Разумеется, выбор оси z в пространстве ——дело чистого произвола. И тем не менее величина Mz—не произвольная! Она принимает только такие целочисленные значения:
m2 =加，方(2-1),%(/ -2), 一加，
а всего 2/+1 значение. Здесь 方 для краткости означает квантовую постоянную Планка Л, деленную на 2n.
Наибольшая проекция вектора момента на любую ось не превосходит абсолютной величины самого вектора. Поэтому проекция меняется от 加 до —Д/. Проекция момента определяется «магнитным» квантовым числом 力, которое меняется от / до ——/. Термин «магнитный» сейчас для нас не играет роли.
А как же другие проекции, Мх и 此？ Вот их как раз и не существует потому, что нет самой орбиты. Mz— все, что осталось в воспоминание об орбите.
Наконец, электрон имеет и собственное квантовое число, не связанное с его квантованным движением в пространстве. Это его момент, вызываемый не движением «по орбите», а собственным, внутренним вращением. Но от собственного вращения в данном случае остается только момент, как от вращения орбитального. Этот особый момент называется спином, от английского глагола to spin, что означает «прясть» или «вертеть веретено».
Спин —— совсем особенный момент. Его проекция равна 士方/2 и больше ничему; уже отсюда видно, что он не орбитального, т. е. не пространственного, происхождения. Проекция орбитального момента имеет целые, а не полу- целые значения и ничем не ограничена, кроме числа и.
Итак, всего у электрона в атоме четыре квантовых числа: главное /г, азимутальное /, магнитное k и спиновое s=±i/z・ Каждое состояние электрона задается этими числами nt lt k и s. Сколько же всего состояний с данным главным квантовым числом? При данном / имеется (2/+1) значений 財 а / при данном п принимает ряд значений от нуля до 〃一1. При всех 〃， / и k ——два значения s, а именно s=1/2 и s=——72- Следовательно, надо просуммировать числа (2/+1), изменяя I от 0 до п——1, и результат умножить на два. Если 〃=1, то все суммы (до умножения на двойку) сводятся к 1; если 〃=2, то получим 1+(2+1)=4; если 〃=3, то 1+(2+1)+(4+1)=9; если 〃=4, то сумма равна 1+(2+1)+(4+1)+(6+1) = 16, и т. д. Но 1 = 1?, 4=22, 9=32, 16=42 и т. д.
Следовательно, число состояний с данным п равно 2/#. Этот результат, как мы сейчас увидим, объясняет периодичность в системе Менделеева.
Перечисленные здесь закономерности движения относятся к отдельному электрону. В системе из многих электронов проявляется особая закономерность квантового движения: в одном и том же состоянии не может находиться больше одного электрона. Здесь считается, что состояние определено всеми четырьмя квантовыми числами.
Этим набором чисел в атоме обладает либо один электрон, либо ни одного. Высказанное здесь утверждение называется запретом или принципом Паули.
Покажем теперь, как применяется принцип Паули к построению периодической таблицы. В простейшем атоме, водородном, есть один электрон в состоянии, у которого 〃=1, /=0,々=0 и s=i/2 (разумеется, можно взять и s=——1/2, это не имеет значения). Действительно, 儿=1 дает наименьшее по относительной величине значение энергии £\=—Ry/2. В этом состоянии электрон сильнее всего связан с ядром: требуется наибольшая работа, чтобы вырвать электрон из атома. При 儿=1 азимутальное квантовое число / может равняться только нулю. Следовательно,々 тоже равно нулю. Остается
s=±% (какое из двух значений s выбрать — безразлично).
В атоме гелия два электрона. Они занимают оба состояния, из которых в атоме водорода занято только одно. Всего есть два состояния с и=1. После того как они заполняются, третий электрон в атоме с /г=1, согласно принципу Паули, поместиться не может. Заполняться должны состояния с /г>1.
В атоме лития, который следует за гелием, появляется электрон с п=2. Он связан с ядром сравнительно слабо. Поэтому литий легко отдает этот внешний электрон, вступая в химическую связь: литий химически очень активен, это щелочной металл. В атоме помещаются всего 2 • 22=8 электронов с 〃=2. Восьмой из них достраивает электронную оболочку атома неона. Таким образом, в неоне две целиком заполненные электронные оболочки: оболочка 〃=1, которая застроена уже у гелия, и оболочка 〃=2. Поэтому неон, как и гелий, весьма инертен химически. Оба они — благородные газы.
За неоном следует натрий. Это, как и литий, щелочной металл со слабо связанным внешним электроном, который находится в состоянии с п=3. Таких электронов в атоме может быть 2-32=18. Но заполнение этих 18 состояний идет не в такой простой пос ледовател ьности, как предыдущих 8 состояний с 〃=2. Сначала появляются электроны с /=0 и /=1. Это дает 8 состояний. Последнее из них застраивается у атома аргона, такого же благородного газа, как гелий и неон. Его 8 наружных электронов с 〃=3, /=0, 1 образуют очень устойчивую, замкнутую оболочку, как у неона с 〃=2, /=0, 1.
За аргоном следует калий. Это, как известно, опять щелочной металл, так что в нем имеется слабо связанный внешний электрон с /=0. Но s-состояния с п= =3, 2, 1 все заняты. Поэтому, согласно принципу Паули, внешний электрон должен иметь 〃=4, /=0. Почему же не 〃=3, /=2, чтобы заполнение шло строго по возрастающим главным квантовым числам?
Дать на это исчерпывающий ответ, не прибегая к сложным вычислениям, трудно. Но качественное объяснение возможно. Выше было указано, что в сложных атомах энергия электронов зависит не только от и, но и от /. Следовательно, порядок заполнения определяется тем, какая энергия меньше по относительной величине:
E(/z=3, Z=2) или £ (几=4, Z=0). Момент, согласно определению, дает меру площади, которую описывает радиус- вектор электрона на орбите за единицу времени. Хотя в квантовой теории нет орбиты, определение момента сохраняет силу в том смысле, что большим / отвечают большие средние расстояния электронов от ядра.
В классической механике имеют смысл как истинные, мгновенные значения всех величин, так и средние от них по движению; в квантовой механике всегда имеют смысл средние величины, но только иногда истинные, например энергия, момент и др., так что при /=0 электрон в среднем ближе к ядру, чем при /=2. Но если отрицательно заряженный электрон ближе к положительно заряженному ядру, он связан сильнее. Вернее, меньшие / дают тенденцию к увеличению энергии связи, которая противоречит другой тенденции: увеличению энергии связи с возрастающим п.
Пересиливает то одно, то другое. Поэтому после кальция, где оболочка 〃=4, /=0 застраивается, снова начинается застройка оболочки с 〃=3, /=2, т. е. 3d- оболочки, согласно принятой терминологии. Застройка идет нерегулярно. За кальцием следуют скандий, титан, ванадий, хром, марганец, железо, кобальт и никель: у них прибавляются электроны то в Зс!-оболочке, то при переходе к следующему элементу в таблице появляются сразу два таких электрона, за счет того, что один переходит в 3d-оболоику из 4s (〃=4, /=0) оболочки, ранее застроенной. В энергетическом смысле освободившееся место в 45-оболочке близко к заполнившемуся месту в 3d.
Конкуренция в заполнении оболочек приводит к нерегулярному чередованию химических свойств атомов, так как строение внешних электронных оболочек изменяется прихотливым образом. Такие атомы принадлежат, как принято говорить, к переходным металлам системы Менделеева.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ, НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ВЫСОКИМ ДАВЛЕНИЕМ
На рис. 6 изображена периодическая таблица. Со знаком звездочки вынесены редкоземельные элементы, в которых заполняется ранее не застроенная 4/-оболочка. Подчеркнуты те элементы, у которых 254
имеется внутри атома незастроенная оболочка. Под высоким давлением электроны могут переходить из внешних оболочек в эти, внутренние.
Место в таблице определяется зарядом ядра атома, так что здесь высокое давление ничего не изменит, пока не начинают разрушаться сами ядра (раздел 11). Физические и химические свойства элементов, которые в основном определяются внешними электронами, под высоким давлением совершенно изменятся по сравнению с теми, какими они известны при низких давлениях.
Н Не
Li Be В С N О F Ne
Na Mg Al Si P S Cl Ar К E Sc Ti V Cr Mn Fe Co № Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh P『Ag Cd In 5n 5bMi Xc
Cs Ba LdHf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tt Pb Bi Po 4t Rn
Fr Rd Ac Th Pa U Np Pu Am Cm
#Ce Pr Nd Pm Sm Ea Gd Tb 而Ho Er Td Yb E
Рис. 6. Периодическая система элементов. Подчеркнуты элементы, электронные оболочки которых способны перестраиваться под давлением.
Как было сказано, у калия застраивается 4s-обол очка, тогда как в Зй-оболочке электроны появляются, только начиная со скандия (см. рис. 6). Под высоким давлением 48-электрон перейдет в 3d-оболочку, так что калий утратит характерные свойства щелочного металла —— большую химическую активность.
Другой щелочной металл, цезий Cs, характерен тем, что у него очень близки энергии 6s-, 5d- и 4/-состояний. Основное состояние при низком давлении ——6s. Но уже при давлении 53 200 атм происходит перестройка электронного состояния. Экспериментально она проявляется в том, что сопротивление имеет резкий пик, подскакивая почти вдвое. Когда давление продолжает расти, сопротивление снова падает.
Давление, при котором это происходит, невелико сравнительно с теми, которые обычно необходимы для перехода электронов в другие состояния. Здесь малость давления объясняется тем, что в цезии перечисленные
255
состояния близки по энергии. Заметим, что электронные перестройки, в отличие от перестройки атомов в решетке, не требуют подвода тепловой энергии, несмотря на то, что и здесь имеется барьер, разделяющий начальное и конечное состояния. Дело в том, что электроны в десятки и сотни тысяч раз легче ядер и квантовые законы движения позволяют им прохЬдить под энергетическим барьером, а не только над ним.
Рис. 7. Переход от энергетических уровней атома к энергетическим зонам кристалла: / — уровни энергии отдельного атома; 2 — энергетические зоны атомов, находящихся на большом расстоянии; 3 — зоны при нормальном положении атомов; 4 — зоны в сжатом веществе.
Под высоким давлением кристаллический диэлектрик может превратиться в металл. Это связано со спецификой электронных состояний в кристалле. В атоме уровни энергии отвечают последовательности отдельных состояний с различными квантовыми числами. Эти состояния тождественны во всех атомах одного рода. При объединении атомов в кристалл уровни энергии как бы обобществляются, так что электронные состояния принадлежат всем атомам кристалла сразу. Одновременно, однако, из одного возможного значения энергии, отвечающего данному уровню, получается целая полоса значений энергии. Это изображено схематически на рис. 7. Левая картинка отвечает расположению уровней в отдельном атоме или, что то же самое, в атомах решетки, разведенных на бесконечное расстояние; следующая картинка — в атомах, сближенных на конечное, но еще большое расстояние; затем (условно) —— в атомах на естественном расстоянии в решетке при низком давлении и, наконец, справа ——в атомах в решетке, находящейся под высоким давлением.
Заштрихованные полосы получились из отдельных уровней. Под давлением две нижние полосы перекрываются, образуя одну непрерывную полосу. Иногда, впрочем, такое слияние полос происходит и в естественных условиях, если два нижних уровня достаточно близки по энергии. Например, у четвертого элемента в периодической таблице, бериллия, уровни 2s и 2р весьма близки. Оба 25-состояния заполнены, a 2P — свободны. Но благодаря соединению атомов в решетку 2s- и 2р・ полосы сливаются в одну.
У лития в 23-оболочке находится один электрон. В кристаллической решетке из ^ атомов имеется, таким образом, ровно ^ валентных электронов. Однако в 25- оболочке есть два места, потому, что спин электрона имеет две проекции, 5=+х/2 и s=—V2. У бериллия заняты оба места, а у лития — только одно. Поэтому при ^ атомах имеются 2^ мест, из которых только ^ заполнены, по одному электрону от каждого атома лития. Эти ^ электронов заполняют ^ нижних состояний в своей полосе, а верхние ^ состояний свободны.
Если к кристаллу приложено внешнее электрическое поле, электроны в нем ускоряются и, следовательно, увеличивают свою энергию. При этом они переходят в свободные состояния, примыкающие сверху к занятым в своей полосе. Согласно принципу Паули возможны переходы только в незанятые состояния. Они как раз имеются у лития, поэтому литий — металл и проводит электричество. В 1 s-оболочке гелия оба места заняты электронами, спины которых направлены противоположно. Поэтому ls-полоса в кристалле твердого гелия заполнена целиком. Внешнее поле не может ускорить электроны в такой полосе, и гелий имеет свойства изолятора.
23-оболочка бериллия тоже заполнена, и, казалось бы, бериллий должен быть изолятором, как твердый гелий. Но, как было указано, на 25-полосу накладывается 2р-полоса, так что в бериллии к полосе занятых состояний примыкают свободные. Поэтому электрическое поле способно ускорять электроны и у бериллия ——принцип Паули в данном случае не запрещает таких переходов.
257257Теперь легко понять, почему сжатие способно превратить диэлектрик в металл, для этого нужно, чтобы
257
257
9 А. С. Компанеец
нижний край свободной зоны примкнул к верхнему краю заполненной, так как зоны под давлением при сблйже- нии атомов расширяются (см. рис. 7). Это почти обязательно должно произойти с каждым диэлектриком при достаточно сильном сжатии.
Но в некоторых случаях не исключен и переход металла в диэлектрик. Это возможно у металлов переходных групп системы Менделеева. В атомах этих металлов имеются незанятые 4s- и Зб/-состояния. Предположим, что в 45-состоянии один электрон, а в 3d-состоянии не хватает одного электрона (как говорят, одна «дырка»). Тогда и 4s-, и Зй-электроны способны ускоряться электрическим полем, и обе полосы участвуют в проведении электричества. Но если высокое давление загонит 45- электроны на свободные места Зй-оболочки, 34полоса целиком заполнится, a 4s — освободится. В 45-полосе не останется носителей заряда — электронов, а в 3d- полосе проведение электричества будет исключено запретом Паули. Металл превратится в изолятор. При дальнейшем росте давления заполненная полоса может сойтись со свободной, и снова получится проводник.
МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОДОРОД И ВНУТРЕННОСТЬ ПЛАНЕТ
Внимательный читатель спросит: а почему же твердый водород не металл, подобно литию? Ведь в атоме водорода заполнено только одно нз двух ls-состояний. Казалось бы, к ним примыкают свободные состояния 1s-пол осы.
На этот вопрос нельзя ответить, не зная, как на самом деле устроена кристаллическая решетка твердого водорода. Дело в том, что водород во всех трех фазах состоит не из отдельных атомов Н, а из молекул Н2. В каждой молекуле Н2 имеется не один электрон, а два, так как в ней два ядра, два протона. В устойчивом состоянии спины обоих электронов антипараллельны.
Это состояние двухэлектронной системы можно представить себе следующим наглядным способом. Мысленно разделим ядро атома гелия, имеющее 2 единицы элементарного заряда, на две однозарядные половины. Теперь будем медленно разводить эти половины так, что- 258
бы не разорвать электронную оболочку резким толчком. Тогда заполненная 1 s-оболочка гелия деформируется, растянется вдоль линии раздвижения половинок ядра. Получится оболочка, которая в точности отвечает оболочке молекулы водорода. Таким образом, решетка твердого водорода состоит из молекул с заполненными электронными оболочками. Поэтому кристалл Н2 имеет заполненную нижнюю полосу и не проводит электричества.
Но под очень высоким давлением равновесная конфигурация кристалла твердого водорода должна измениться. А. А. Абрикосов из Института физических проблем АН СССР показал, что при давлении 2 500 000 атм молекулы твердого водорода распадутся на атомы водорода, которые выстроятся наподобие атомов щелочного металла. Возле каждого атома Н будет только один электрон. Иначе говоря, водород станет настоящим металлом, в частности, будет проводить электричество.
Есть предположение, что металлический водород окажется не просто проводником, а сверхпроводником электричества, т. е. вообще не будет иметь электрического сопротивления при обычной (комнатной) температуре. Свойством сверхпроводимости обладают многие металлы и сплавы, но при очень низкой температуре ——не выше 20° от абсолютного нуля (—253° С).
Сверхпроводимость в 1911 г. открыл Камерлинг- Оннес в Лейдене, но до 1956 г. это явление оставалось необъясненным. Объяснение нашли Бардин, Купер и Шрифер ).
Отметим, что ключ к пониманию природы сверхпроводимости был найден при сравнении температуры перехода в сверхпроводящее состояние у различных изотопов одного и того же металла. Оказалось, что у более легких изотопов переход совершается при более высоких температурах. Температуры перехода относятся как корни квадратные из масс.
Водород легче ртути примерно в 200 раз. Хотя он, конечно, не является ее изотопом, но для грубой оценки можно попытаться и здесь принять закон корня квадратного. Это давало бы возрастание температуры
перехода в 14 раз, т. е. около 100° выше абсолютного нуля. Путем некоторых натяжек это число можно увеличить раза в три, а это уже комнатная температура. Чтобы использовать металлический водород в технике, его пришлось бы разгрузить от внешнего давления. Если он окажется метастабильным, наподобие алмаза (на это надеются многие), с ним можно будет манипулировать надлежащим образом.
Если бы такой сверхпроводник удалось создать (заметим, что сейчас интенсивно пытаются синтезировать его не из водорода, а из полимерных материалов, по идее В. Литтла), это вызвало бы неслыханный переворот в технике. Возможность передачи энергии на расстояние без потерь — далеко не самый большой выигрыш, какой получился бы при использовании материала, сверхпроводящего при комнатной температуре.
Очень многие возможности открывает способность сверхпроводников выталкивать из своего объема магнитное поле. Это позволило бы создать транспорт, движущийся без трения на магнитной подушке. Иначе говоря, намагниченные полозья держали бы поезд на некотором расстоянии над сверхпроводящими рельсами. Заметим, что еще в 1923 г. В.К.Аркадьев заставил небольшой магнит парить в воздухе над сверхпроводящей чашей. Это устройство называется «гроб Магомета», так как мусульмане верят, что останки пророка находятся между небом и землей.
Металлический водород, если удастся его получить, будет в 7 раз плотнее обычного твердого или жидкого водорода. Поэтому он весьма перспективен в качестве ракетного топлива, давая больше энергии на единицу объема.
Но даже если металлический водород и окажется ме- тастабильным, вызывает сомнение, будет ли он устойчивым, как алмаз. Весьма вероятно, наоборот, что он будет самопроизвольно превращаться в обычный водород, при этом выделяя в 30—40 раз больше энергии на единицу массы, чем тринитротолуол. Поэтому понятно, сколь опасным окажется обращение с металлическим водородом.
Превращение, возможно, не потребует подвода энергии к атомам извне и сможет осуществляться самопроизвольно, по квантовым законам, начиная скорее всего 260
со свободной поверхности. Тогда никакая техника безопасности не предохранит от взрыва.
Металлический водород интересен не только для физики и техники в земных условиях. Упомянутые выше работы А. А. Абрикосова выполнялись в связи с запросами физики планет. Большие планеты Юпитер и Сатурн состоят в основном из легких элементов водорода и гелия. Их массы оказались достаточно велики, чтобы удержать в своем составе эти легкие элементы (менее массивная Земля состоит поэтому из более тяжелых элементов). В недрах больших планет достаточно высокое давление, чтобы водород мог находиться в металлическом состоянии. Большие массы проводящего и особенно сверхпроводящего вещества сильно скажутся на магнитном поле вблизи планеты.
Разумеется, все это — пока лишь, мягко выражаясь, гипотезы, а лучше сказать, спекуляции. Не в криминальном понимании, конечно, а в смысле малообоснованных догадок и рассуждений. Юпитер излучает больше энергии, чем получает от Солнца. Источником его энергии может быть скрытая теплота образования металлического водорода под большим давлением в недрах массивной планеты.
Что говорить о больших планетах, когда о внутренности нашей родной Земли почти ничего достоверного не известно? Долгое время считалось, что ядро Земли состоит из железа и никеля. Но там давление достигает 10——20 млн. атм, а такое давление, как уже указывалось, способно полностью изменять свойства элементов периодической таблицы, загоняя внешние электроны в глубину атомов. Недавно была выдвинута гипотеза, что ядро Земли состоит из оливина. При давлении в 1 400 000 атм, существующем на границе земного ядра, оливин приобретает свойства металла. Ядро Земли необходимо считать проводником электричества, так как иначе невозможно понять происхождение земного магнитного поля.
В настоящее время происхождение земного магнетизма объясняют так. Представим себе дннамомашину, в которой обмотки статора включены последовательно в цепь ротора. Железные сердечники делаются для усиления магнитной индукции. Но если ротор вращается достаточно быстро, машина будет генерировать ток и без
железа. Необходим только скользящий контакт в цепи, коллектор, т. е. движение одной части контура относительно другой. Сейсмические данные указывают, что в Земле есть массы со свойствами очень вязкой жидкости, а не твердого тела. Разница между ними, как было сказано выше (раздел 2), состоит в том, что в жидкости не бывает статических касательных напряжений. Поэтому в ней способны распространяться только такие сейсмические волны, которые подобны звуковым, т. е. вызывают сжатие и разрежение, а не сдвиг одних частей относительно других. Волны сдвига имеют меньшую скорость, чем волны сжатия.
Предполагается, что вращение Земли вокруг оси создает конвекцию (т. е. перемешивание) проводящих масс. Это заменяет коллектор в цепи. Других источников земного магнитного поля пока не видно. Зато, как мы увидим дальше, о внутренности Солнца известно очень много.
УДАРНОЕ СЖАТИЕ
До сих пор рассматривалось только статическое сжатие под прессом. Но самое хитроумное устройство пока не позволяет превзойти таким способом нескольких сот тысяч атмосфер. При больших давлениях разрушается само сжимающее устройство.
Есть и другой способ сжатия, динамический, или ударный. Его принцип состоит в том, что кинетическая энергия движения массы вещества скачком переходит в энергию его сжатия. Так может произойти, например, при ударе быстро движущегося предмета о твердую преграду. Внезапная остановка вызывает сильное сжатие и разогрев.
Рассмотрим теперь ударное сжатие несколько подробнее. На рис. 8 изображен поршень, который вдвигается* в цилиндр с газом. Поршень гонит газ впереди себя. Как происходит сжатие газа? Представим себе, что поршень начал двигаться очень медленно. От него будет распространяться по газу звуковая волна со скоростью звука с0. Ее передний фронт должен перемещаться по цилиндру со скоростью звука, а сам сжатый газ примет скорость поршня. Отметим, что в сжатом газе скорость звука больше, чем в несжатом.
况况22Рис. 8. Образование ударной волны поршнем, вдвигаемым в цилиндр: / — начальное положение поршня;2 — положение поршня в момент /; 3 — фронт ударной волны. D — скорость ударной волны.Рис. 8. Образование ударной волны поршнем, вдвигаемым в цилиндр: / — начальное положение поршня;2 — положение поршня в момент /; 3 — фронт ударной волны. D — скорость ударной волны.Они ничем не ог-Они ничем не ог-
况
况
2
2
Рис. 8. Образование ударной волны поршнем, вдвигаемым в цилиндр: / — начальное положение поршня;
2 — положение поршня в момент /; 3 — фронт ударной волны. D — скорость ударной волны.
Рис. 8. Образование ударной волны поршнем, вдвигаемым в цилиндр: / — начальное положение поршня;
2 — положение поршня в момент /; 3 — фронт ударной волны. D — скорость ударной волны.
Они ничем не ог-
Они ничем не ог-
Пусть теперь поршень еще немного ускорился. Тогда следующая волна пойдет по сжатому газу и, следовательно, будет иметь большую скорость с (с>с0)«.Кроме того, сам сжатый газ движется со скоростью поршня и. Следовательно, относительно цилиндра скорость второй волны равна v+c. Эта скорость и подавно превосходит Со. Поэтому вторая волна сжатия непременно догонит первую.
Но перегнать ее она не сможет, так как для этого ей пришлось бы проскочить в несжатый газ, где .скорость распространения опять равна cQ. Обе волны сольются и побегут вместе.
Если поршень получит достаточное ускорение, он погонит впереди себя волну сжатия большой амплитуды, которая образуется путем слияния отдельных слабых волн. Слившиеся волны, в соответствии со сказанным, бегут вместе, как скачок давления произвольно большой амплитуды, в зависимости от результирующей скорости поршня. Этот скачок называется ударной волной ).
Скорость распространения ударной волны и давление в ней могут быть сколь угодно большими,
раничены сверху. Но ударная волна не только сжимает газ, она также н нагревает его. Нагретое вещество, как известно, расширяется. Из-за этого плотность сжатого вещества не становится сколь угодно большой при достаточно большом давлении, а стремится к конечному пределу. Воздух сжимается сильной ударной волной в 6 раз.
Ударные волны можно вызывать и в конденсированном веществе, например путем столкновений быстро движущихся тел. В отличие от газов, в таком веществе давление имеет двоякую природу — тепловую и упругую. Но вследствие разогрева и здесь сжатие имеет свой
предел, несмотря на то, что присутствует чисто упругая составляющая давления.
Отсюда видно, в чем основной недостаток ударного сжатия как метода получения высоких давлений: оно не дает соответственно больших плотностей вещества. Кроме того, при сжатии сильной ударной волной происходит и соответственное нагревание, так что изменяются одновременно два параметра состояния — давление и температура. Причем один из них определяет другой. При физическом исследовании всегда желательно изменять эти параметры независимо.
Но задавшись некоторым уравнением состояния, можно теоретически пересчитать экспериментальные данные об ударном сжатии на холодное, т. е. статическое. Разумеется, здесь присутствует элемент произвола, так что результат пересчета имеет скорее качественное, чем количественное значение. Можно заключить, как примерно вело бы себя вещество под некоторым статическим давлением без всякого нагревания.
Для первоначального разгона вещества иногда используется не быстро движущееся тело, которое заменяет поршень, а особое явление, тоже связанное с ударными волнами,—— детонация. Сущность ее в следующем: ударная волна требует подвода энергии извне для своего поддержания. Но если она бежит по химически активному веществу, например нитроглицерину или тротилу, это вещество при ударном сжатии взрывается и тем самым сообщает энергию, необходимую для дальнейшего распространения волны ). Давление на фронте такой волны, которая называется детонационной, в нитроглицирине или тротиле порядка 250 000 атм. В естественных условиях ударные волны могут возникать при падении больших метеоритов или от молний.
Сильное ударное сжатие производит очень интересные химические превращения. Так, действуя ударной волной на смесь аминокислот, В. И. Гольданский и П. А. Ямпольский в Институте химической физики АН СССР получили длинные цепи из аминокислот, напоминающие белки. Напрашивается гипотеза об «ударном»
происхождении жизни. Здесь, право же, есть нечто от книги «Бытия».
Если слой тротила детонирует в непосредственном контакте с металлической пластинкой, ударная волна перейдет в металл и побежит в нем. При этом давление в металле не будет слишком сильно отличаться от давления в детонировавшем тротиле. Но тротил можно одновременно подорвать по обе стороны пластины. Тогда ударные волны в металле столкнутся и при этом давление, уже внутри металла, существенно возрастет. Заметим, что при столкновении двух сильных ударных волн в воздухе давление подскакивает до 8 раз.
Но есть способ еще больше увеличить давление. Для этого надо окружить сжимаемое тело со всех сторон тротилом и подорвать его сразу отовсюду. Теоретически около места схождения волн в веществе в точку давление может подскочить до бесконечности. Практически оно достигает 10—20 млн. атм. Этого впервые добился на опыте Л. В. Альтшулер.
Существеннейшее действие таких давлений на вещество состоит в том, что оно сглаживает различие между элементами. Наружные электронные оболочки атомов, которые обусловливают особенности их свойств, раздавливаются. При низких давлениях сжимаемость элементов периодической системы, находящихся в конденсированном состоянии, различается в десятки раз. По мере роста давления она примерно одинакова у всех элементов. Постепенно вместо отдельных элементов с их индивидуальными особенностями сжатие происходит в веществе вообще. Его свойства мы и рассмотрим.
ФЕРМИ-ГАЗ
Итак, при очень больших давлениях электронные оболочки атомов разрушаются — сперва внешние и в конце концов внутренние. Как же тогда проявляет себя принцип Паули? Строгий закон природы действует в любых условиях, а в этом смысле запрет Паулп так же безусловен, как закон сохранения заряда или закон сохранения энергии.
Само «разрушение» атома внешним давлением происходит не так-то просто. Рассуждая на основании
классической, т. е. ньютоновской, механики, это можно было бы наглядно объяснить так. Представим себе, что какая-то космическая сила сдавила между собой все звезды Галактики, так что соседние звезды оказались на расстоянии радиуса планетных орбит. Тогда произошла бы коллективизация планет и наша Земля, например, свободно ушла бы к Альфе Кентавра, от нее еще куда- нибудь и т. п.
В квантовом мире, где нет орбит, а есть только состояния, все совершается иначе. Удобно предположить сначала, что при большом сжатии ядра вообще не сказываются на движении электронов. Это действительно так, но почему ——мы увидим в конце рассуждения. Если ядра не действуют на электроны, то последние образуют газ, состоящий из свободных частиц. Как определяется состояние свободной частицы? Очевидно, что по ее скорости и, если речь идет об электроне, по направлению его спина. Но скорость есть величина векторная, т. е. она задается своими тремя составляющими (компонентами) vXf vyi vz по трем координатным осям. Вместе со спином это дает четыре числа, как в атоме, где состояние электрона задают числа 〃，/,也 и s. У свободного электрона, в газе, другие четыре числа:。久,vyf vZf s.
Но все это не так просто: числа п, 19 k и s изменяются через единицу, скачками, а числа vXf vy и %, как мы привыкли думать, могут меняться только непрерывным образом. Квантовая теория учит, однако, что непрерывное изменение скорости возможно только в том случае, когда частица движется в неограниченно большом пространстве. Если частица помещена в некотором ящике объема а3, ее скорость уже не может задаваться с произвольной степенью точности. Так, х-овая составляющая скорости не равна точно %, а заключена где-то в интервале между vx и 0久+厶°久.Интервал неопределенности Аи^ тем больше, чем меньше ребро кубика а:
Это — знаменитое соотношение неопределенности Гейзенберга, лежащее в основе квантовой механики. h — постоянная Планка, т —— масса частицы.
В системе СГС постоянная Л ——очень малая величина, /i=6,62-10-27. Отсюда ясно, что соотношение Гей-
зенберга существенно только для движения микрочастиц, таких, как, например, электрон, у которого масса /п=0,9- Ю-27 а. Для движения планет или машин Л — ничтожно малая величина. Но в микромире закономерности не могут быть раскрыты иначе, как на основе принципа неопределенности.
Слово «принцип» здесь должно подчеркивать, что интервал Аид； не есть минимально возможный для измерения, а минимально существующий при определении компонент скорости как физической величины. Следовательно, составляющая скорости может равняться Аи*, 2А。％, ЗА。％ и т. д. Она меняется через единицу, если измерять ее масштабом Аи% =鳥 подобно составляющей момента 汽,который тоже изменяется через единицу в масштабе А/2л = А. Таким образом, определено понятие квантового числа для частицы в кубике с длиной ребра а.
Принцип неопределенности связан, конечно, совсем не с тем, что частица помещена именно в кубик. Важно, что она находится в определенном конечном объеме, размер которого задается некоторой длиной а. Если, например, частицы заключены в объеме 匕 то а порядка / V.
Рис. 9. Заполнение состояний частиц в фер- ми-газе.Рис. 9. Заполнение состояний частиц в фер- ми-газе.Теперь вернемся к принципу Паули применительно к электронам в таком «ящике». Изобразим на рис. 9 особую координатную систему,Л по осям которой откладываются не длины, а составляющие скорости %， %, Пусть ящик имеет форму • куба с длиной ребра а. Тогда %, vy и 力 заданы с точностью до ^v=h/tna. Разделим координатные оси на отрезки такой длины. Проведем через точки деления плоскости, подобные координатным. Ось vx пересекут плоскости, параллельные плоскости yz、ось vy — параллельные xz и ось % — параллельные ху. Эти плоскости пересе
Рис. 9. Заполнение состояний частиц в фер- ми-газе.
Рис. 9. Заполнение состояний частиц в фер- ми-газе.
кутся и между собой, образуя кубические ячейки. Ребра каждого кубика на рис. 9, т. е. А%, А%, А%, равны h/ma. Причем каждый кубик задает одно и только одно состояние пространственного движения электрона, потому что компоненты вектора скорости % vyf 力 физически
определены только с точностью до Аи%, Аг^, Аи?. Две точки внутри одного кубика в этом смысле неразличимы.
Таким образом, указание того кубика, где лежит конец вектора скорости электрона и, равносильно определению и, допустимому в квантовой теории, в соответствии с принципом неопределенности. В классической механике пришлось бы указывать не кубик, а точку, куда- приходит вектор и, проведенный из начала координат.
Кроме состояния пространственного движения электрон имеет и спиновое состояние, которое задается одним из двух значений проекции спина: s=±【/2・ Следовательно, согласно принципу Паули, в кубике могут «находиться» два электрона, соответственно проекциям их спинов.
Мы употребили образное выражение. Сами электроны фактически, в пространственном смысле, находятся в ящике с ребром а, а в кубике Аи^, Ду^, Ду2 находится конец вектора и на рис. 9. Но образная речь употребляется в науке не реже, чем в искусстве и вообще в жизни, если не нарушается точность выражений. Уславливаясь означении термина, все говорят об одном и том же и понимают друг друга.
Казалось бы, зачем каждый раз упоминать о спине? Так ли существенно ——один или два электрона сидят в ячейке на рис. 9? Но дело в том, что запрет Паули распространяется только на частицы с полуцелым спином. Чтобы не отклоняться слишком далеко от основной темы, попросим читателя поверить здесь на слово.
Пусть теперь в пространственном ящике с ребром а находится очень много электронов. Как они будут заполнять ячейки на рис. 9? Прежде всего так, чтобы в одной ячейке было не больше двух электронов с противоположными проекциями спина. Принцип Паули разрешает также находиться в ячейке одному электрону с произвольной проекцией спина, и, разумеется, всегда есть пустые ячейки, в которых нет ни одного электрона.
Как найти то состояние электронов, в котором их энергия меньше всего? Оно, как известно, соответствует абсолютному нулю температуры. Чем больше скорость, или чем «длиннее» вектор z, тем больше кинетическая энергия, равная, как известно,他。2/2, поэтому энергия каждого электрона тем меньше, чем ближе к началу координат находится его ячейка на рис. 9. Еслн'бы мы рас-
сматривали систему, состоящую только из одного электрона, то его ячейку надо было бы поместить в начало координат. Второй электрон попал бы в ту же ячейку, имея спин, антипараллельный первому. Они легли бы «валетом».
Но третий электрон в той же ячейке валетом уже не уложишь. Ему пришлось бы лечь в соседнюю ячейку, а это автоматически отвечает большей общей энергии. Каждый следующий электрон будет занимать место в ближайшей к началу координат свободной или полусвободной ячейке.
Легко сообразить, какую форму примет вся область заполненных ячеек, если электронов соберется очень много. Получится шар, плотно заполненный кубическими ячейками. Такая конфигурация осуществится тем точнее, чем больше ячеек окажется занятыми, т. е. чем больше электронов в газе.
Выше мы поставили условие, чтобы энергия газа была наименьшей из возможных, т. е. отвечала абсолютному нулю температуры. Запрет Паули привел к тому, что абсолютный нуль совсем не означает покоя в системе. Наоборот, каждый электрон обладает определенной скоростью и, которая тем больше, чем дальше его фазовая ячейка находится от начала координат. Согласно принципу неопределенности размеры каждой ячейки тем больше, чем меньше а, т. е. размеры того геометрического объема, в который помещен газ. Если объем V, то а= f/V. При данном числе частиц плотность газа обратно пропорциональна его объему, следовательно, скорость частиц прямо пропорциональна корню кубическому из плотности. Скорость каждой частицы тем больше, чем больше размер каждой ячейки, через которую проходит вектор ее скорости на рис. 9. (При одинаковом числе кирпичей здание тем выше, чем толще отдельный кирпич.) Итак, скорость движения электронов пропорциональна корню кубическому из их плотности, а кинетическая энергия ту2/2 соответственно пропорциональна плотности в степени 2/3.
Электроны имеют электрический заряд и взаимодействуют между собой и с ядрами. Энергия электростатического взаимодействия обратно пропорциональна расстоянию между частицами, т. е. прямо пропорциональна
корню кубическому из их плотности ). Но при большой плотности эта величина в степени 2/з всегда превосходит ее же в степени х/3. Точнее говоря, кинетическая энергия преобладает над потенциальной, и тем сильнее, чем плотнее газ.
Но газ, в котором энергия взаимодействия между частицами мала по сравнению с кинетической энергией их движения, называется идеальным. Такие условия осуществляются, например, в воздухе при атмосферном давлении. Мы пришли к удивительному результату: очень сильно сжатый газ снова становится идеальным! Для этого требуется, чтобы отдельные частицы, в данном случае электроны, подчинялись принципу Паули. Газ с такими свойствами впервые рассмотрели, независимо один от другого, Э. Ферми и П. Дирак. Принято употреблять сокращенный термин «ферми-газ». Частицы, на которые распространяется запрет Паули, называют «фермионами» (сам Ферми называл их «паулионами»).
Но кинетическая энергия молекул воздуха имеет тепловую природу, т. е. вызвана тепловым движением молекул, а скорость частиц ферми-газа при абсолютном нуле связана не только с тем, что они помещены в конечный объем, но в гораздо большей степени со способом заполнения отдельных квантовых состояний. Это и приводит к парадоксальному выводу, что электроны в сильно сжатом веществе приобретают свойства идеального газа.
При нагревании ферми-газ ведет себя совсем иначе, чем обычный (как говорят, «невырожденный») газ. Нагревание газа заключается в том, что частицы переходят в состояние с большей энергией. Но если рассмотреть область занятых состояний, окружающих начало координат на рис. 9, то становится понятным, что далеко не всякая частица способна воспринимать тепловую энергию. Ведь вышестоящие энергетические состояния тоже могут быть заняты, и в них невозможно перейти. Область занятых состояний, как было показано, имеет форму
сферы. Только те частицы, состояния которых лежат вблизи поверхности сферы, способны «нагреваться», т. е. воспринимать тепловую энергию. При этом они переходят в лежащие чуть выше свободные состояния. Отсюда следует, что ферми-газ обладает очень малой теплоемкостью по сравнению с газом частиц, не подчиненных запрету Паули. Для нагревания ферми-газа требуется совсем немного тепла, так как оно сообщается малой доле частиц ).
При обычных условиях, т. е. при атмосферном давлении, ближе всего к ферми-газу электроны внешней оболочки в металле. Они слабо связаны с атомами и в металле обобществляются. В щелочных металлах это относится к электронам внешней «s-оболочки. Каждый атом отщепляет по одному электрону. Следовательно, в единице объема получается столько же свободных электронов, сколько атомов. Этим электронам металл обязан своей электропроводностью (раздел 6), их называют «электронами проводимости». Отсюда видно, что величи- чина а, которая входила в предыдущие оценки, примерно совпадает с междуатомным расстоянием. Учитывая, что объем элементарной ячейки на рис. 9 равен (h/ma)3f нетрудно оценить максимальную кинетическую энергию электрона в незаполненной оболочке. Она оказывается в 100 раз больше энергии теплового движения. Отсюда следует, что состояние электронов проводимости в металле действительно напоминает ферми-газ при абсолютном нуле.
В начале нашего века была выдвинута гипотеза, что электрический ток в металле проводят свободные электроны. Но не удавалось объяснить, почему они не сообщают металлу дополнительной теплоемкости. Только в 1926 г. А. Зоммерфельд объяснил, почему электроны в металле почти не обладают теплоемкостью: они ведут себя не как обычный газ, а как ферми-газ. В настоящее время электронная теория металлов достигла высокой степени совершенства, но в основе лежит та же модель электронного ферми-газа.
Я. И. Френкель отметил, что сжимаемость щелочных металлов очень близка к сжимаемости ферми-газа той
же плотности. При этом надо учитывать только валентные электроны, принадлежащие внешней ns-оболочке. Остальные электроны плотно упакованы, как говорят, в атомном остатке. Внешнее давление порядка нескольких десятков тысяч атмосфер почти не действует на остаток, так что сжатие валентных электронов (или, что то же самое, в щелочном металле, электронов проводимости) в основном следует закону сжимаемости ферми-газа. Отметим, что давление здесь вызвано кинетической энергией электронов, хотя она и не теплового происхождения.
Для того чтобы и другие электроны атома перешли в состояние ферми-газа свободных частиц, требуются существенно большие сжатия. Критерий перехода в фер- ми-газ заключается в том, что кинетическая энергия занятых состояний электронного газа должна быть много больше энергии связи электронов с ядром.
Это отвечает очень большим сжатиям, которые пока не осуществляются в лабораторных условиях. Астрономические данные указывают, что в таких условиях находятся маленькие, но массивные звезды, «белые карлики», и еще в миллион раз более плотные нейтронные звезды. Покажем, как звезды в результате эволюции приходят в такое состояние.
ЭВОЛЮЦИЯ ЗВЕЗД
Первое, что всегда поражало при знакомстве с астрономией,— это необычные по земным масштабам расстояния и промежутки времени. Отсюда выражение —«астрономические числа». Но не менее удивительны другие числа, тоже пришедшие из астрономии, те, которые характеризуют условия внутри звезд.
Наружные оболочки Солнца имеют температуру 5700°. Это не слишком подавляет воображение. Еще в XVII в. Чирнгаузен получал до 3500°, фокусируя большими зеркалами излучение, приходящее, правда, от Солнца. Взрывая маленькие проволочки мгновенными импульсами сильного тока, можно получать десятки тысяч градусов.
Но внутри Солнца, по современным данным, температура достигает 14 000 000°. Это уже колоссально много по земным понятиям. Еще удивительнее мощность излу- 272
чения Солнца. Энергия, которую Солнце теряет ежесекундно, отвечает полному сгоранию 3 млн. тонн массы. Сгоранию не в обычном смысле, как сгорает уголь, соединяясь с кислородом, а именно убыли инертной массы, или, как иногда говорят не совсем точно, «переходу массы в энергию».
Источник звездной энергии долгое время оставался загадочным. Только развитие ядерной физики привело к разгадке этой тайны тысячелетий. В течение 4 лет, начиная с 1932 по 1936 г., физики воспроизвели в лабораториях все те реакции, которые объединены в одном цикле, поставляющем энергию в недрах звезд некоторых классов. Кроме того, сделала большие успехи теория ядра. Удается с высокой степенью достоверности рассчитывать энерговыделение таких ядерных реакций, которые в лабораторных условиях идут со слишком малой скоростью, чтобы их можно было непосредственно наблюдать. Например, внутри Солнца два протона объединяются в одно ядро тяжелого водорода ——дейтерия, и при этом сбрасывают один излишний элементарный заряд в виде положительного электрона (позитрона) вместе с нейтральной частицей, нейтрино. Иначе говоря, ядерная реакция сопровождается Р-распадом. Это очень маловероятный процесс, который в лаборатории пока что не удается зарегистрировать. Но в недрах Солнца два протона успевают столкнуться достаточное число раз, пока они сумеют прореагировать указанным образом.
Реакции между заряженными частицами (ядрами) в лабораториях получают только одним способом, разгоняя эти частицы, а точнее, одну из них, до столь большой скорости, чтобы преодолеть силу кулоновского отталкивания между ними. Но удалось заставить ядра реагировать между собой и другим способом: доводя вещество до весьма высокой температуры. На этом, по крайней мере отчасти, основано действие «водородной» бомбы (название столь же условное, как «атомная» бомба). В настоящее время термоядерная энергия на Земле может служить только целям разрушения, в лучшем случае устрашения. Но можно надеяться, что в будущем удастся регулировать скорость термоядерных реакций, они пойдут медленно и будут применяться для мирных целей.
Такие «регулируемые» термоядерные реакции идут внутри звезд, только они управляют сами собой. В земных условиях вещество, разогретое до термоядерной температуры, стремится разлететься во все стороны из-за теплового давления. Усилия ученых-изобретателей направлены на то, чтобы удержать горячее вещество с помощью сильных магнитных полей. В недрах звезд необходимое давление создается весом вышележащих слоев вещества, так что ядра сильно сжатого горячего вещества не разлетаются, а медленно реагируют с той скоростью, какая необходима для постоянного выноса энергии излучением.
Тогда возможно относительно устойчивое состояние звезды как целого. Если она несколько сожмется, ее внутренность разогреется, реакции пойдут быстрее и увеличат выделение энергии. Но избыточное давление снова расширит и тем самым охладит звезду.
Это крайне упрощенное рассуждение приведено для того, чтобы показать возможность теоретического анализа процессов, идущих внутри звезды. С физической точки зрения нет оснований полагать, что внутри звезд происходят какие-либо процессы, неизвестные современной науке.
При температурах в десятки и сотни миллионов градусов скорости сталкивающихся ядер еще во много раз меньше тех, которые получаются в самых заурядных ускорителях. Сопровождающий ядерные реакции бета- распад очень хорошо изучен. Свойства вещества в состоянии, близком к полной ионизации атомов, достаточно просты — намного проще, чем те, которые имеет, например, обыкновенная вода. Разные формы переноса энергии в звездном веществе ——лучистая теплопроводность или конвективное движение — хорошо изучены.
Поэтому теоретическая астрофизика располагает всеми методами, с помощью которых можно рассмотреть звезду как единую систему на каждой стадии ее развития. Не хватает только входных данных: сведений о составе внутренних областей звезды по химическим элементам. Это немаловажно, так как ядра разных элементов выделяют энергию совершенно по-разному. Одни во внутризвездных условиях совсем не реагируют, другие должны были бы «сгореть» за минуты. Есть и все промежуточные случаи. Кроме того, состав вещества
звезды сильно сказывается на скорости лучистой теплопередачи в ней.
Но астрофизику не интересует строение всех 150 млрд, звезд нашей Галактики или других звездных систем. Задача состоит в том, чтобы понять общие тенденции развития звездной системы, основываясь на строении отдельных, типичных звезд. Для этой цели рассматриваются некоторые модельные звезды заданного химического состава. Дальнейшие расчеты помогают определить по одним параметрам (радиус, масса, светимость и т. п.) другие. Удается получить удовлетворительное согласие с данными наблюдательной астрономии. Учитывая, что температуру внутри звезды нельзя узнать очень точно, а можно только оценить, и что скорость термоядерных реакций очень чувствительна к температуре, надо заключить, что основные черты внутреннего строения звезд схвачены удачно.
Для сравнения вспомним, что о строении Земли известно не так много. Да что земные недра: утверждают, что и причина гроз в земной атмосфере далеко не раскрыта до конца (см. «Фейнмановские лекции по физике»). Так что о звездах наука знает в некоторых отношениях больше, чем о Земле!
Успехи теории внутреннего строения звезд становятся особенно очевидными, если рассматривать ее применительно к эволюции звезд. Хотя мгновенный взгляд на небо дает, казалось бы, застывшую картину, сравнение и классификация спектров звезд позволили построить стройную картину возникновения и развития звезд из пылевой и газообразной материи. Такие же тенденции развития имеют и ныне принимаемые теоретические модели звезд. Подробнее об этом смотрите в популярной, но очень содержательной книге С. А. Каплана «Физика звезд» (М., «Наука», 1970).
Теперь перейдем к вопросу о сверхплотном веществе в звездах. Уже было сказано, что звезда — это самосогласованная система, различные характеристики которой взаимно связаны. Благодаря этому можно узнать состояние вещества в центре Солнца с большой степенью уверенности без всяких противоестественных или даже просто сомнительных гипотез.
Рассмотрим, например, вопрос о давлении в центре звезды. Давление равно весу вышележащего столба с
сечением в 1 слЛ причем не только внизу столба, но и в каждой его точке — иначе невозможно механическое равновесие. В свою очередь, давление определяется плотностью и температурой. Казалось бы, по одной величине, весу столба, нельзя узнать обе неизвестные, плотность и температуру. Но последняя может быть найдена из дополнительного условия: теплового равновесия, или, лучше сказать, стационарного теплового состояния.
Каждый элемент объема звезды поддерживается при постоянной температуре: разность между притоком тепла изнутри и оттоком тепла наружу должна равняться количеству тепла, выделяющегося в этом объеме. Энергия освобождается за счет термоядерных реакций, скорость которых известна как функция температуры, если сделать какие-то предположения о составе вещества. Для определения двух неизвестных, температуры и давления, получаются два уравнения: теплового и механического равновесия. Тем самым мы разъяснили, как рассчитать температуру и давление в недрах звезды. Для грубой оценки давления можно просто задаться каким- либо простым законом распределения плотности — обычно это не ведет к существенным ошибкам.
Плотность в центре Солнца, по расчетам, оказывается около 100 а/с也з. Такое вещество еще нельзя назвать сверхплотным. Но дальнейшая эволюция звезды с массой порядка солнечной и немного меньше ведет к уплотнению вещества. Ядерно-активное вещество в центральных областях расходуется, и тогда тепловое давление не в состоянии противостоять гравитационному сжатию. Казалось бы, в таких условиях ничто не может остановить сжатие. Но мы видели, что в плотно сжатом электронном газе начинает проявлять себя запрет Паули. Иначе говоря, плотный электронный газ ——это ферми- газ. Его давление связано с кинетической энергией электронов нетеплового происхождения. Хотя температура электронного газа составляет десятки и сотни миллионов градусов, тепловая энергия в центре таких сжавшихся звезд во много раз меньше энергии, которую электроны приобретают от сжатия уже при абсолютном нуле, повинуясь запрету Паули.
Эти звезды называются «белыми карликами». Масса порядка солнечной умещается в объеме, сравнимом с объемом Земли, что приводит к колоссальной плотности.
Звезда, носящая имя Ван Маанена, имеет в центре плотность полторы тонны в кубическом сантиметре.
Цифру можно назвать вполне уверенно. Выше было сказано, что состояние внутри обычных звезд задается давлением и температурой. Внутри белого карлика положение еще проще: так как в ферми-газе давление определяется только плотностью, условие механического равновесия позволяет найти распределение плотности по одной только массе звезды. В свою очередь, массу можно определить, зная расстояние до звезды и ее видимую яркость. По цвету излучения узнается температура на поверхности звезды. (Известно, что «белое» или «красное» каление отвечает вполне определенной температуре.) По температуре находят поток энергии с единицы поверхности за единицу времени. В свою очередь, по расстоянию и видимой яркости определяется истинная светимость звезды, т. е. вся величина излучаемой энергии. Деля на поток с квадратного сантиметра, находят поверхность, иначе говоря, радиус звезды. А масса и радиус, совместно с известными свойствами холодного ферми-газа, позволяют однозначно вычислить плотность. Она известна с той же уверенностью, хотя и гораздо менее точно,• чем, например, радиус земной орбиты.
Электронный ферми-газ внутри белого карлика, не- сматря на свою температуру в сотни миллионов градусов, все еще, как указывалось, «холодный». Но газ входящих в такое вещество ядер «горячий». Мы видели, что граничная скорость в ферми-газе обратно пропорциональна массе частиц. Поэтому скорости тяжелых ядер, если они подчиняются запрету Паули (имеют полуцелый спин), могут оказаться меньше их тепловой скорости. Газ таких ядер «горячий», а не холодный. Кроме того, на ядра с целым спином не распространяется запрет Паули.
Переход к стадии белого карлика происходит, по-види- мому, не всегда постепенно. Истощившая большую часть ядерного горючего звезда начинает сжиматься и сильно нагревается внутри. Если теплоотвод не поспевает за нагреванием, в массе звезды образуются ударные волны. Выбегая на ее поверхность, они выбрасывают в мировое пространство большую массу вещества. Звезда ярко вспыхивает и выглядит как внезапно появившаяся на небосклоне. Она в этих случаях называется новой, хотя, перефразируя известный афоризм, можно сказать,
что она нова потому, что перед этим сильно потускнела.
В отдельных случаях (примерно раз в сто лет во всей Галактике) уносится очень значительная часть массы всей звезды. При этом она светит, как остальные 150 млрд, звезд Галактики. Но через очень короткое время на месте звезды остается быстро расширяющееся газовое облако. Это, по-видимому, происходит, если звезда достаточно массивная, так что сжатие не останавливается на стадии белого карлика. Сила тяготения столь велика, что противодавление ферми-газа неспособно сдержать взаимное гравитационное притяжение отдельных частей звезды.
НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ
В конце концов сжатие достигнет ядерной плотности, т. е. материя будет сконцентрирована так же сильно, как в атомном ядре. Ядерная плотность вещества составляет 7 -1014 г/см3, это в несколько сот миллионов раз больше, чем в белом карлике. Если белый карлик имеет размеры Земли, т. е. радиус 6000 км, то звезда из ядерного вещества при той же массе должна иметь радиус около 10 км. Куб отношения этих радиусов есть 2,16-108, т. е. 216 млн.
В тот же объем надо поместить и атомные электроны. Но энергия ферми-газа обратно пропорциональна массе частиц (энергия =ту2/2, а скорость, в свою очередь, содержит массу в знаменателе). Так как масса электрона в 1840 раз меньше, чем масса протона или нейтрона, энергия ферми-газа из электронов в соответственное число раз больше, чем у ферми-газа, состоящего из протонов и нейтронов. Между тем равновесное состояние всякой системы отвечает наименьшей энергии из возможных.
Если электроны поглотятся протонами (число тех и других одинаково, как в исходных, нераздавленных атомах), в системе останутся только тяжелые частицы, нейтроны. Протон и электрон, соединяясь, испускают особую легкую частицу, нейтрино, и дают нейтрон. Нейтрино имеет спин х/2, равно как протон, электрон и нейтрон. Ясно, что две половинки от электрона и от протона, сое- 278
диняясь, не могут дать снова половинки у нейтрона. Одну половину надо прибавить или отнять, что и делает нейтрино. Энергия ферми-газа из одних нейтронов соответственно понизится по сравнению с тем, что было бы у неприсоединенных электронов.
Почему же в обычных атомах в земных условиях электроны не сливаются с протонами? Потому, что электроны находятся не в ядре, а в оболочках атомов и их ферми-энергия несравненно меньше. Она приблизительно равна энергии связи электронов с ядром.
Между тем масса нейтрона больше массы протона на некоторую величину А/п. Поэтому, чтобы создать нейтрон из протона, надо затратить энергию, отвечающую избытку энергии NE=NmR согласно уже упоминавшемуся соотношению из теории относительности Эйнштейна. В атоме эту энергию взять неоткуда, но при сильном сжатии ее можно почерпнуть из ферми-резервуара. Работа сжатия, производимая силой тяготения, будет расходоваться на превращение протонов в нейтроны. В конце концов вместо смеси трех газов — электронного, нейтронного и протонного ——останется только нейтронный газ.
Если в обычных условиях на создание нейтронов из протонов затрачивается энергия, то в сверхплотном веществе, наоборот, будет освобождаться избыточная энергия электронного ферми-газа.
В 1936 г. Л. Д. Ландау указал на это явление, как на один из возможных источников звездной энергии. Но условия в обычных звездах и в белых карликах далеко еще не соответствуют достижению столь больших ядерных плотностей. Источником энергии обычных звезд служат термоядерные реакции, как показал Г. Бете, приблизительно тогда же, когда Ландау выдвинул идею о протон-нейтронных превращениях.
Но и работа Ландау, содержавшая физически правильную идею, не осталась втуне. Были обнаружены и такие объекты, которые с высокой степенью достоверности отождествляются с нейтронными звездами. История этого открытия весьма примечательна.
В 1967 г. около Кембриджа преподаватели и студенты Кембриджского университета закончили постройку радиотелескопа. Вскоре Г. Хьюиш (Hewisli) с сотрудниками обнаружил необычные радиосигналы из космоса,
приходившие с удивительной точностью приблизительно раз в 1 сек. Казалось, что их посылают разумные существа, которых астрономы называли для внутреннего употребления «зелеными человечками». Преждевременная публикация открытия могла вызвать газетную шумиху. Слишком долгая проверка угрожала тем, что сигналы заметят в другом месте, радиоастрономией занимаются не только в Кембридже.
Хьюиш и все его сотрудники проявили редкую выдержку: никто не проговорился о сигналах до тех пор, пока «зеленые человечки» не были сданы в архив. Серьезные испытания для нервов! Против искусственного происхождения сигналов говорило уже то, что их абсолютная мощность при испускании в 100 тысяч раз больше мощности Солнца. Сколько массы надо истребить на создание одного секундного импульса! С такими «человечками» лучше не якшаться!
В наше время ускоренных публикаций этот моральный подвиг ученых сам по себе заслуживает увековечения. Не надо думать, что к поспешной публикации склонны только несерьезные деятели науки. Несуществующие, как теперь твердо известно, каналы на Марсе «открыл» вполне достойный астроном-наблюдатель Скиапарелли. Себе он этим, конечно, повредил, зато принес баснословный урожай усердным труженикам на ниве «няучной» романтики ).
Какие регулярные процессы могут совершаться в космических условиях с частотой в одну секунду? Строгие периоды характерны для вращения небесных тел, но какое же небесное тело способно совершать один оборот в секунду? Вспомним закон площадей, о котором было сказано в разделе 5. Согласно этому закону произведение радиуса вращения на скорость сохраняется, если в системе действуют только центральные силы. При данной частоте вращения скорость сама пропорциональна радиусу вращения. Следовательно, величина, которая сохраняется, пропорциональна квадрату радиуса, умноженному на частоту вращения.
Этот закон наглядно демонстрируют на лекциях с помощью скамьи Жуковского, т. е. круглой подставки, способной вращаться с минимальным трением. На нее становится человек, разводит руки с гирей в каждой и приводится во вращение. Когда он опускает руки, вращение становится заметно быстрее, один оборот совершается за меньшее время.
Известно, что Солнце совершает один оборот за 26 суток, имея радиус, грубо говоря, в 1 млн. км. Если оно сожмется до 10 км, то при равномерной плотности по всей массе время вращения должно уменьшиться в (1 000 000/10)2=1010 раз. Фактически плотность наружных слоев Солнца в тысячи раз меньше, чем во внутренних областях, поэтому число 1010 надо уменьшить, скажем, до 106. Так как сутки имеют около 10^ сек, при сжатии до 10 км Солнце должно было бы совершать один оборот вокруг оси один раз в секунду или чаще.
Периодические небесные излучатели называются пульсарами. Приведенная только что оценка показывает, что пульсары могут оказаться нейтронными звездами.
Рассмотрим теперь некоторые другие подтверждения. В китайских летописях написано, что в 1054 г. (в пересчете на наш календарь) на небе вспыхнула звезда, судя по яркости, сверхновая. Китайские астрономы не только описали звезду, но так точно измерили ее положение на небе, что современные астрономы сумели отыскать на том же месте светящееся облачко, которое теперь называется Крабовидной туманностью.
Внутри этой туманности имеется пульсирующий источник оптического и радиоизлучения. Иначе говоря, это пульсар, оставшийся в месте вспышки сверхновой звезды. Ее недра сжались до плотности нейтронной звезды, а взрыв наружных оболочек был столь силен, что одна звезда светила, как все остальные 150 млрд, звезд Галактики.
Нейтронная звезда при столь малых истинных размерах не должна иметь видимого углового размера на небе. Радиотелескоп сам по себе не имеет столь большой разрешающей силы, чтобы отличить точечный объект от очень малого, например такого, как обычная звезда. В оптические телескопы звезды тоже видны, как точки. Нужны особые методы, основанные на волновой природе света, чтобы измерить видимые размеры звезд.
Благодаря тому, что свет распространяется волнами, тень от очень тонкой нити не имеет формы резкой линии, а состоит из ряда параллельных полос. Сходные полосы имеются на краю тени от большого непрозрачного предмета.
Если источник света точечный, полосы на тени видны хорошо, а если протяженный, они смазаны. Однажды произошло счастливое для астрономов событие: пульсар в зодиакальной области неба был покрыт, т. е. заслонен, лунным диском. Удалось наблюдать соответствующие полосы на радиотен и. Они, без сомнения, принадлежали точечному, т. е. весьма малому, источнику.
Нейтронная звезда может быть партнером обычной звезды в звездной паре: у звезд разной массы различаются темпы эволюции и ее конечные стадии. Если на наше счастье плоскость, в которой обращаются компоненты этой пары, проходит и через нашу Землю, обычная звезда будет периодически затмевать нейтронную. Наблюдаться будет звезда с пульсирующим радиоизлучением, которое исчезает или ослабевает с правильным периодом. Такие объекты уже находят на небе.
Все было бы совсем хорошо, если бы удалось вполне убедительно доказать, почему нейтронная звезда должна испускать радиоизлучение. Здесь мы вступаем в область, где надежные физические рассуждения дополняются гипотезами разной степени достоверности. Делаются предположения как о строении нейтронных звезд, так и о механизме их излучения.
Надежно, например, утверждение, что нейтронная звезда покрыта TBef, ой корой, состоящей из нейтронов. Мы помним, что твердое тело сопротивляется деформации сдвига, т. е. стремится сохранить свою форму. Это важно для дальнейших рассуждений.
Данные о силе взаимодействия между нейтронами получаются из ядерной физики. Температура поверхности пульсаров оценивается по их излучению в рентгеновском диапазоне частот. Рентгеновское излучение не доходит до Земли. Рентгеновские лучи не всегда проникают лучше видимого света: через атмосферу видимый свет проходит, ослабляясь всего в два раза, а рентген поглощается уже в тонком слое воздуха. Благодаря спутникам его удается наблюдать в космическом пространстве. Преобладающая длнна волны излучения тем
меньше, чем выше температура излучающего тела. Поэтому известны и такие пульсары, которые испускают только рентгеновское излучение.
Рентгеновское излучение пульсаров отвечает сотням миллионов градусов. Следовательно, известны плотность и температура нейтронного вещества на поверхности пульсара.
Иногда полагают также, что длинноволновое радиоизлучение, проходя сквозь слой горячего электронного газа около нейтронной звезды, «нагревается». При этом частота электромагнитных волн увеличивается и попадает в рентгеновский диапазон.
Температура определяет амплитуду колебаний нейтронов около их положений равновесия в массе вещества. Плавление наступает тогда, когда эта амплитуда составляет около одной десятой расстояния между частицами твердого тела. Оценка показывает, что вещество на поверхности пульсара находится в твердом состоянии. Хотя эта оценка относится к веществу с плотностью 10堂 г/см3, она весьма правдоподобна. Специалисты вычислили даже, что на твердой поверхности нейтронной звезды могут находиться горы высотой в полмиллиметра. Но взобраться на них в миллиард раз труднее, чем на Эверест.
Высота в 2-107 раз меньше, зато сила тяжести в 1,35-Ю16 раз больше, чем на Земле. Силу тяжести на нейтронной звезде можно узнать так. Допустим, что она имеет массу, как у Солнца. Ускорение силы тяжести Солнца на расстоянии орбиты Земли равно квадрату скорости Земли (30 км/сек), деленному на радиус орбиты (150 млн. км), или 6-10^ см/сек2. Это в 60 раз больше, чем ускорение свободного падения на Земле. Чтобы перейти к нейтронной звезде, надо умножить 60 на квадрат отношения радиуса земной орбиты к радиусу звезды (10 км). Это дает 1,35-Ю16. Отношение 1016/107 дает указанную цифру 109 = 1 миллиард.
Внутри нейтронной звезды вещество находится в жидком состоянии, так как там температура выше, чем на поверхности. Остывая, корка не может сжиматься так же легко, как жидкое ядро. Возникает «землетрясение», вернее «звездотрясение», сопровождающее изменение радиуса звезды, происходящее, таким образом, не плавно, а скачками. У пульсаров наблюдаются подобные
резкие изменения периода — еще один аргумент в пользу того, что они и есть нейтронные звезды.
Сотрясения твердой коры могут происходить и потому, что вращение звезды замедляется. При быстром вращении жидкое тело приобретает форму сжатого сфероида, к которой приспособляется и твердая оболочка. Если центробежная сила уменьшается, жидкость принимает не такую сплющенную конфигурацшо. Твердая корка, естественно, обладает пределом прочности и следует за жидкостью не постепенно, а скачком. Она может морщиться и растрескиваться. Таково мнение некоторых астрофизиков.
Действительно ли условия на нейтронной звезде так хорошо моделируются земными терминами «твердости» или «пластичности», сказать трудно. Здесь пока больше вдохновения, чем строгих расчетов. Вспоминаются гомеровские небожители, наделенные людскими пороками.
К сожалению, наименее объяснен механизм как раз самого пульсирующего излучения. Здесь гипотезы кажутся самыми искусственными, а иногда и сомнительными. Так, в одной популярной книге изложено следующее объяснение, вероятно, заимствованное из специальной литературы или из бесед с корифеями науки. При сжатии обычной звезды до нейтронного состояния ее магнитное поле должно усилиться обратно пропорционально квадрату размеров. Это верно. Тогда получится маленький, но очень мощный магнит. И это верно. Вращение такого магнита в пространстве и создает радиоизлучение. Вот это уже неверно. Излучение такого магнита будет происходить с частотой вращения, т. е. поле излучения должно совершать столько колебаний в секунду, сколько раз обращается магнит. Между тем частота излучения пульсара гораздо больше, чем частота пульсаций. Последние можно сравнить с морзянкой при обычной радиопередаче. Она идет на частоте, скажем, 300 000 колебаний в секунду, а радист принимает точки и тире, следующие друг за другом всего несколько раз в секунду. Так что равномерное вращение магнита не может вызвать отдельных электромагнитных импульсов, из которых каждый создается очень многими колебаниями поля.
Думают еще, что в твердой коре нейтронной звезды от «землетрясений» образуются дыры и трещины. Сквозь 284
них нам посылает свои сигналы внутренность звезды, когда эти дефекты обращены в нашу сторону. Быть может.
Некоторые считают, что нейтронные звезды окружены тонкой оболочкой, содержащей свободные электроны. Это вполне вероятно, так как на свободной поверхности давление обращается в нуль и электроны не присоединяются к протонам. Тонкая оболочка газа, содержащего протоны и электроны (плазма), вполне способна к излучению радиоволн. Такие источники приготовляют и на Земле. Объяснение, не прибегающее к дырам и дефектам в космических телах, кажется привлекательнее, но полного подтверждения пока не имеет. Отмечено, кроме того, что изменение периода пульсара в Крабовидной туманности сопровождалось некоторой перестройкой волокон в самой туманности. Волокна состоят из очень разреженной плазмы, которая, может быть, как-то связана, скорее всего магнитными силами, с плазмой вблизи пульсара.
Но мы не хотели бы создавать впечатление, что тождество между наблюдаемыми пульсарами и гипотетическими нейтронными звездами сомнительно. Законы, управляющие материей при ядерных плотностях, хотя и не выведены из каких-либо фундаментальных принципов, хорошо известны из опытов, производившихся в земных условиях. Наша вера в единство законов мироздания пока не поколеблена. Поэтому теоретическое предсказание нейтронных звезд должно допускать проверку наблюдением. Это требование предъявляется ко всякой научной теории.
Важнейший признак ненаучной гипотезы — ее не- проверяемость. Среди таких концепций, лежащих вне науки, одно из важнейших мест занимает предположение о множестве внеземных цивилизаций. Сомневающихся пытаются убедить тем, что исключительное положение Земли во Вселенной подтверждает библию: пугают богом, как раньше грозили чертом. Прибегают и к эмоциональным аргументам, ссылаясь на казнь Джордано Бруно. Убежденность мучеников всегда укрепляла догматы веры.
На самом деле основное обвинение церкви против Бруно было связано не с учением о множественности обитаемых миров, которое считалось всего лишь
следствием его вредных методологических установок. Понять или объяснить, в чем они противоречат католической религии, может только тот, кто имеет специальное богословское образование.
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Великий Лаплас, автор «Небесной механики», поражает не только силой математического гения, но и научной фантазией. Вот один пример. В его время большинство физиков считало, что свет переносится особыми частицами (с современными световыми квантами эти ветхие корпускулы не имеют ничего общего). Лаплас заметил, что звезда, на которой вторая космическая скорость равна или больше скорости света, удержит корпускулы около себя, т. е. не будет светиться.
Прикинем, во сколько раз надо уменьшить Солнце при той же массе, чтобы оно, по Лапласу, перестало испускать свет.
Земля обращается со скоростью 30 км/сек на расстоянии 150 млн. км. Но 30 км/сек — это скорость на орбите, т. е. первая космическая скорость. Вторая скорость больше первой, как известно, в ]/^=1,4 раза, т. е. равна 42 汇九/сек. Если распределение притягивающихся масс центрально симметрично, то обе космические скорости зависят только от расстояния до центра, будучи обратно пропорциональны квадратному корню из него. Значит, надо просто уменьшить 150 млн. в отношении (300 000/42)2, чтобы узнать требуемый радиус. Он составит 3 км. В пустоте все тела падают с одинаковой скоростью, и, значит, космическая скорость не зависит от массы тел — планет или световых корпускул.
После торжества волновой теории света об этой догадке Лапласа забыли. Да никто и не мог предполагать, что найдутся звезды с массой Солнца и радиусом 3 км.
Отметим, что несветящаяся звезда не обязательно недоступна наблюдению с Земли. Если она входит в двойную звездную систему, в которой другая звезда светится, то по движению видимого компонента можно узнать о невидимом. Надо еще доказать, что невидимая звезда действительно такого сорта, как предсказывал Лаплас, а не просто остыла.
Световые волны, казалось бы, не должны притягиваться массивными телами, ведь у них нет массы покоя,— той самой массы, которая по некогда таинственной причине входит в закон тяготения Ньютона. Действительно, трудно понять, почему одна и та же величина, масса, определяет инерцию тела и его взаимодействие с другими телами. Любой другой вид взаимодействия, кроме гравитационного, не имеет никакого отношения к массе.
Удивительную разгадку этого особого свойства силы тяготения нашел А. Эйнштейн около 1915 г. Он исходил из того, что масса в законе инерции и в законе тяготения не просто одинакова с высокой степенью точности, как это показывает опыт, а представляет собой одно и то же. Иначе говоря, что движение в поле тяжести есть особый вид свободного движения, которое, как известно, от массы не зависит, потому что оно прямолинейно. Почему движение в поле тяжести свободно, но не прямолинейно? Потому, что вблизи притягивающего тела изменяются свойства пространства и времени. Мир, т. е. совокупность пространства и времени, искривляется так, что свободное движение перестает быть прямолинейным.
Как же мы не замечаем этого искривления просто глазами? Ведь эллипс земной орбиты совсем не похож на прямую. В* геометрии, где прямые заменяются, скажем, эллипсами, сумма углов треугольника совсем не равна двум прямым. Дело в том, что искривляется не пространство, а мир, т. е. надо привлекать в геометрии и четвертую, временную координату. Если измерять ее в единицах пространства, то надо множить промежуток времени на^скорость света. Тогда, говоря образно, Земля по истечении года не попадает в ту же мировую точку, где она находилась год назад, а на «расстояние» светового года от нее. Орбита Земли в мире из эллипса вытягивается как бы в винтовую линию с огромным шагом и очень мало отличается от прямой линии свободного движения в мире.
Световые лучи в искривленном мире тоже распространяются не прямолинейно. Чем сильнее поле тяготения, тем световой луч больше отклоняется от прямой линии. Это предсказание Эйнштейна подтверждается во время полных солнечных затмений. Звезды на небе, сфотографированные в момент затмения вблизи Солнца, оказываются сошедшими со своих обычных мест. Разумеется,
смещаются не звезды, которым нет дела до солнечного затмения на Земле, а только лучи их как бы «преломляются» полем тяжести Солнца, проходя около его края.
Но если тяготение действует на свет, то соображения Лапласа должны иметь силу. Так и оказывается, но только необходимый радиус звезды по Эйнштейну в два раза меньше, чем по Лапласу.
Эта критическая длина называется гравитационным радиусом, отвечающим данной массе. Если давление ферми-газа недостаточно, чтобы остановить сжатие нейтронной звезды под действием силы тяжести, то в конце концов звезда приблизится к размерам гравитационного радиуса и перестанет излучать свет. Ее нельзя будет назвать потухшей, но и света она давать не будет. Связь с внешним миром сможет осуществляться только через гравитацию. Такую звезду называют «черной дырой».
Разумеется, астрономам очень хотелось бы найти черную дыру, и в согласии с популярной песенкой они полагают, что нашли ее. Речь идет об одном несветящемся компоненте двойной звезды. Ее партнер энергично рассеивает свое вещество в пространстве. Проходя мимо черной дыры, но не падая в нее (а такие орбиты существуют), вещество должно испускать характерное излучение. Утверждают, что оно уже обнаружено в одном случае.
Поскольку существование черных дыр никак не противоречит основным законам современной физики, нет оснований сомневаться в том, что такие небесные тела будут найдены, если они не найдены сейчас. Наблюдательная астрономия имеет для этого необходимые средства, а Вселенная велика и многообразна.
It ПМШЕЕ1
•ЗАКОНЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
•УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СВЕРХПЛОТНОЕ ВЕЩЕСТВО
A.C. К0МПАНЕЕ1)
•ЗАКОНЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
•УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
•СВЕРХПЛОТНОЕ ВЕЩЕСТВО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976
530.1К 63УДК 530.1530.1К 63УДК 530.1АННОТАЦИЯ
530.1
К 63
УДК 530.1
530.1
К 63
УДК 530.1
Книга состоит из трех научно- популярных работ, объединенных одной тематической линией: статистическая физика и некоторые ее приложения. В сборник вошли работы: «Законы физической статистики», «Ударные волны» и «Сверхплотное вещество».
Книга рассчитана на широкие круги читателей, интересующихся физикой.
Александр Соломонович Компанеец
ЗАКОНЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
СВЕРХПЛОТНОЕ ВЕЩЕСТВО
М., 1976 г., 288 стр. с ил л.
Редактор В. А. Григорова
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 4/1X 1975 г. Подписано к печати 14/1 1976 г. Бумага 84Х1081/32. Физ. печ. л. 9. Условн. печ. л. 15,12. Уч.-изд. л. 14,37. Тираж 40 000 экз. Т-01838. Цена книги 44 коп. Заказ № 3286
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы 1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
20402—015 сК 053(02)-76 127'7620402—015 сК 053(02)-76 127'76© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1976.
20402—015 с
К 053(02)-76 127'76
20402—015 с
К 053(02)-76 127'76
эн^^^^й^^^^%^^^45464648556065677575 111 1111111111эн^^^^й^^^^%^^^45464648556065677575 111 1111111111
эн^^^^й^^^^%^^^45464648556065677575 111 1111111111
эн^^^^й^^^^%^^^45464648556065677575 111 1111111111
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАКОНЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
От автора
Механика и статистика
Распределение молекул по скоростям ...
Распределение молекул по энергиям ...
Теплота и работа
Второе начало термодинамики
Энтропия
Статистическое истолкование энтропии ..
Отчего небо голубое?
Приближение к равновесию
Химические реакции
Кинетика ядерных реакций
Термодинамика излучения
Статистика излучения
Бозе-газ и ферми-газ
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Введение
Что такое газовая динамика?
Звуковые волны
Возникновение скачка
Условия на ударном разрыве ....
Предельное сжатие в ударных волнах .
Слабые ударные волны
Строение фронта ударной волны ...
Действия ударных волн
Сверхзвуковое движение
Ударные волны при взрыве 182
Отражение ударных волн 191
Ударные волны в лабораториях и в космосе :...197
Ударные волны в твердыхирыхлых телах202
Детонация 208
Детонационные волны 208
Пределы детонации 215
Детонация конденсированныхвеществ220
Ядерная детонация 225
СВЕРХПЛОТНОЕ ВЕЩЕСТВО
Научные прогнозы 235
О природе давления 238
Полиморфные превращения 241
Искусственные алмазыи другие вещества 246
Периодическая система Менделеева и принцип Паули 249
Периодическая система элементов, находящихся под высоким давлением 254
Металлический водород и внутренность планет 258
Ударное сжатие 262
Ферми-газ 265
Эволюция звезд 272
Нейтронные звезды 278
Черные дыры 286
19 августа 1974 г. скоропостижно скончался выдающийся советский физик-теоретик профессор Александр Соломонович Компанеец. Александр Соломонович ушел из жизни в расцвете творческих сил и научных дерзаний. Он принадлежал к тем редким физикам-теоретикам, которые успешно сочетают глубину научного исследования с большим разнообразием тематики. Диапазон его работ весьма широк — от механики до химической кинетики и биофизики. Эта универсальность, поразительная в наш век узкой специализации, в научном творчестве А. С. Компанейца сочеталась с оригинальностью постановки задач и умением схватывать главное. Его работы отличались исключительной четкостью, остротой мысли и фундаментальностью получаемых результатов.
Ядерная и атомная физика, физика твердого тела, физика плазмы, различные вопросы физики взрыва и ударных волн ——вот далеко не полный перечень областей теоретической физики, в которые за сорок лет научной деятельности А. С. Компанеец внес выдающийся вклад, положив начало многим последующим научным разработкам.
Однако творческое наследие А. С. Компанейца этим не ограничивается. Он был замечательным педагогом и популяризатором науки. Перу Александра Соломоновича принадлежит много научно-популярных книг и брошюр, посвященных физике —— науке, которой он отдал всю свою жизнь. Эти книги отличает в первую очередь не-
обычайная ясность и точность изложения. Современная физика немыслима без математики, однако автору удается, как говорится, «на пальцах» объяснять сложнейшие физические явления, не теряя при этом научной строгости.
А. С. Компанеец обладал уникальной эрудицией не только в науке, но также в истории, литературе, искусстве. Это сразу можно почувствовать при чтении его книг, написанных блестящим литературным стилем. Они доставляют настоящее эстетическое наслаждение.
В настоящий сборник вошли три научно-популярные книги, посвященные статистической физике и некоторым важнейшим ее приложениям: «Законы физической статистики» (Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1970 г.), «Ударные волны» (Физматгиз, 1963 г.) и «Сверхплотное вещество» (издательство «Знание», 1974 г.). Эти книги быстро исчезли с прилавков книжных магазинов по выходе в свет. Тематически они составляют единое целое, но тем не менее каждую из них можно без ущерба для понимания читать отдельно. Подстрочные примечания помогут читателю подробнее ознакомиться с теми вопросами, которые более детально освещены в других частях сборника.
Сборник рассчитан на массового читателя, не имеющего специального физического образования, но и физики-специалисты с большим удовольствием прочтут эту книгу, которая не только интересна, но и позволяет познакомиться с неповторимой личностью ее создателя Александра Соломоновича Компанейца.
М. Кожушнер
ЗАКОНЫ ФИЗИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ