Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателя книга написана известным физиком- теоретиком профессором Хора и представляет собой первую и довольно удачную попытку замкнутого теоретического рассмотрения наиболее важных аспектов физики лазерного термоядерного синтеза. Круг рассматриваемых явлений и физических процессов достаточно широк: описаны кинетическая теория и электродинамика лазерной плазмы, нелинейные процессы типа самофокусировки и образование филаментаций, параметрические процессы, характеризующие взаимодействие мощного лазерного излучения с плазмой, релятивистские эффекты в плазме и возникновение спонтанного магнитного поля. Несомненным достоинством книги является то, что весь этот обширный и разнообразный материал изложен автором с единых позиций общей теории электродинамики сплошных сред. Такое описание имеет и большую практическую ценность, поскольку именно на данном этапе происходит осмысление большого экспериментального материала накопленного за много лет успешной работы мощных установок лазерного термоядерного синтеза во многих лабораториях мира: ’’Шива”, ’’Омега”, ’’Нова” (США), ”Гекко-12” (Япония), ”Дельфин-1” (СССР), ’’Вулкан” (Англия) и других. Эти эксперименты показали бесспорную перспективность развития данного направления управляемого термоядерного синтеза и возможность его практической реализации уже в ближайшие 10—15 лет. Возможность не только прямого получения энергии, но и ядерного горючего в гибридаых реакторах сулит большие выгоды от использования лазерного термоядерного синтеза уже в энергетике самого ближайшего будущего. Сделать следующий, этапный шаг в этом направлении невозможно без глубокого физического понимания, развития новых теоретических концепций. Ведь речь идет о практическом создании и использовании нового состояния вещества, никогда не существовавшего на Земле — с плотностью и температурой, характерными для глубоких недр звезд.
Сложность теоретического обобщения физики лазерной термоядерной плазмы определяется и тем, что она находится на стыке сложнейших разделов современной физики, например квантовой электродинамики и релятивистской электродинамики плазмы. Однако автор довольно успешно с ним справился. Можно со всей уверенностью сказать, что данная книга наиболее полно отражает современное состояние динамической теории лазерной термоядерной плазмы.- К тому же сформулированные общетеоретические положения автору удается доводить до практических выводов применительно к нагреву и сжатию термоядерных мишеней мощным лазерным излучением и даже, более того, - до их широкого сопоставления с экспериментальными данными. В связи с этим автор
приводит обширный список цитируемой литературы, стараясь в каждом случае ссылаться на оригинальные работы. Конечно же, количество опубликованных работ в данной области уже столь велико, что охватить его в полной мере практически невозможно, да и по характеру данная книга, скорее, не обзор, а монография, отражающая оригинальный авторский взгляд, в том числе и на цитируемую литературу. Это объясняет и отсутствие глубокого исторического обзора работ по ЛТС, начатого по инициативе советских ученых, хотя работам, выполненным в СССР, автор уделяет большое внимание.
Положительным в общеобразовательном плане является также то, что в основу своего замкнутого теоретического описания термоядерной лазерной плазмы автор кладет фундаментальные положения общей физики: уравнения Максвелла, уравнение Фоккера—Планка, тензор натяжения, законы сохранения. При этом он широко использует и достижения в хорошо развитом теоретическом описании термоядерной плазмы установок с магнитным удержанием, хотя специфика именно лазерной плазмы заставляет при этом модифицировать ряд понятий и формул. Такая связь различных подходов к управляемому термоядерному синтезу, а также многочисленные иллюстрации рассматриваемых положений простейшими примерами облегчают чтение и делают книгу доступной более широкой аудитории. Для улучшения восприятия при переводе книги на русский язык в максимальной степени сохранены терминология автора, обозначения и используемая им система физических единиц.
Книга будет полезна научных сотрудникам, преподавателям и студентам, занимающимся проблемами взаимодействия лазерного излучения с веществом и лазерного термоядерного синтеза. Поскольку в нее не вошли вопросы, связанные собственно с лазерными термоядерными установками, техникой эксперимента, для более полного ознакомления с проблемой лазерного термоядерного синтеза можно рекомендовать книгу Н. Г. Басова и др. ’’Лазерные термоядерные установки” (М., ВИНИТИ, 1984 г.), а для введения в проблему — книгу Дж. Дюдерштадта и Г. Мозеса ’’Инерциальный термоядерный синтез” (М., Энергоато миздат 1984 г.).
Г. В. Склизков
ОТ АВТОРА
К моменту появления русского издания книги я хотел бы отметить неуклонный рост приложений физики лазерной плазмы в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу, в физике взаимодействия излучения с веществом, обработке материалов, медицине, а также подчеркнуть ее роль в развитии общей и теоретической физики. В прикладной области в настоящее время был получен ряд новых ярких достижений. В частности, в университете г. Осака (Япония) при лазерном нагреве и сжатии ДТ-мишеней был получен выход нейтронов до 2 • 1012, при этом полный выход термоядерной энергии по отношению к затраченной достиг 10"3. Не менее важны и успехи в офтальмологии, где с помощью лазерной плазмы начали недавно лечить катаракту. Полученные результаты подтверждают полное согласие границ порогов для генерации плазмы и самофокусировки с созданной теорией.
Представленные в книге концепции, которые для более глубокого понимания их как студентами так и специалистами, выведены детально, остались в основном неизменными. Такой путь получения основных выводов был отмечен рецензентами как безусловное преимущество. В качестве примера они выделяют общий и всесторонний характер рассмотрения процесса распространения волн в неоднородных средах. Что касается явления генерации энергетичных (ошибочно названных’’горячими”) электронов, то нашу интерпретацию его на основе колебательного движения в (диэлектрически усиленном) поле волны лазерного излучения можно считать подтвержденной экспериментами групп С. Накаи и Г. Маккола. Однако эта проблема не решена еще ясно настолько, чтобы ее детально излагать в соответствующем разделе книги.
В последние годы в теории нелинейных сил электродинамического взаимодействия лазерного излучения с плазмой для монохроматического (независящего или медленно меняющегося во времени) облучения стали рассматриваться нестационарные члены. Нам представляется возможным на фоне беспорядочной полемики, ведущейся на эту тему, добиться достаточно общих формулировок.
Следует отметить, однако, что по сравнению с другими членами рассматриваемые добавки малы, и критерием их малости служит отношение характерного времени лазерных осцилляций к времени нарастания лазерного импульса. Поэтому эти поправки являются существенными для импульсов изучения лазера на неодимовом стекле в пикосекундном диапазоне. Интересные расчеты релятивистских эффектов были проведены для фемтосекундных лазерных импульсов, однако они, по-видимому, нуждаются в дальнейшей экспериментальной проверке. Совершенно но-
вое направление исследований открывается при развитии теории нелинейных сил, основы для ясного понимания которой заложены в данной книге, на электрические поля внутри плазмы.
В книге показано, что основное направление развития нелинейной физики зиждется на более углубленных, чем ранее, расчетах линейной физики, необходимых для более точных предсказаний нелинейных явлений. Заметим для иллюстрации этого утверждения, что именно тот факт, что пучки световых волн имеют продольные составляющие, привел к совершенно новой концепции лазера с инжекцией мишеней для создания рентгеновского лазера.
Хотелось бы верить, что новая фундаментальная концепция нелинейной физики, которая в настоящее время открывает еще один этап в познании природы, послужит для читателей этой книги вдохновением в их труде.
Я благодарен издательствам Нью-Йорка и Москвы за сотрудничество и очень обязан переводчикам книги В. А. Прорвичу и М. В. Кириллову- Угрюмову. Особую благодарность выражаю профессору Г. В. Склизкову за его научную поддержку и большой труд по редактированию русского издания книги.
X. Хора
Айова, сентябрь 1985 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Практическое создание лазера - это материальное воплощение эйнштейновского описания закона излучения Планка, которое открыло эру квантовой физики. Развитие квантовой оптики и лазерной технологии открыло принципиально новые возможности перед целым рядом отраслей науки и техники, оказало и оказывает существенное влияние на нашу повседневную жизнь. Исследование взаимодействия лазерного излучения с веществом привело к созданию новой фундаментальной области физики. После исследования различных нелинейных явлений в диэлектриках, в том числе и при практическом использовании лазеров в оптоэлектронике и связи, была открыта и совершенно новая область физических явлений в веществе, связанных с взаимодействием высокоинтенсивного лазерного излучения с испаренным и ионизованным веществом — плазмой высокой плотности. Поведение такой плазмы в поле интенсивной световой волны настолько необычно, что его даже трудно сравнить с каким-либо иным физическим явлением.
Интересен, например, следующий факт: созданная в поле лазерного излучения плазма с температурой в 50 тыс. градусов испускает ионы с энергиями в несколько электрон-вольт, а уже небольшое увеличение интенсивности лазерного излучения приводит к испусканию ионов с энергиями в 103 раз больше. Далее, даже при нагреве плазмы до столь высокой температуры, при которой происходят реакции ядерного синтеза, по результатам измерения характеристик рентгеновского излучения плазмы было обнаружено неравновесное энергетическое распределение электронов плазмы и появление группы аномально быстрых ионов. При колебаниях электронов плазмы в сильном электромагнитном поле интенсивного лазерного излучения происходит релятивистское изменение их массы и соответствующее изменение оптических констант, что приводит к быстрому сильному сжатию пучка лазерного излучения до размера порядка длины его волны. Весьма примечательно, что в некоторых экспериментах были зарегистрированы сверхбыстрые ионы с энергиями свыше 10 МэВ (испускаемые плазмой) и движущиеся в соответствии с теоретическими предсказаниями против направления пучка лазерного излучения. В лазерной плазме высокой плотности происходит то, что невозможно получить с помощью обычных оптических приборов: пучок лазерного излучения сжимается до диаметра порядка длины волны. При этом могут быть достигнуты сверхвысокие интенсивности лазерного излучения, 1020 Вт/см2 (источник с такой интенсивностью света намного ярче Солнца), и напряженности электрического поля, 3 • 1011 В/см и более, что в принципе позволяет осуществить лазерное возбуждение ядер.
Не вызывают никаких сомнений и возможности получения с помощью лазеров энергии управляемого термоядерного синтеза, причем в масштабах, значительно больших, чем, например, при сжигании угля, с пренебрежимо малой стоимостью получения и транспортировки соответствующего термоядерного топлива. Это может стать надежным энергетическим фундаментом будущего ’’золотого века” человечества, хотя для этого еще необходимо преодолеть очень сложные препятствия и найти решения очень сложных научных и технических проблем. Сейчас в этом направлении ведется очень большая работа, и многие из уже созданных наиболее прогрессивных лазерных технологий, мощных лазеров, методов и средств диагностики, обработки результатов измерений, теоретических моделей развивались и создавались именно для этих целей. В настоящее время уже в нескольких лабораториях мира экспериментально получено вещество с плотностью, в 102 превышающей плотность твердого тела, и с еще недавно совершенно немыслимой температурой - в 100 млн. градусов.
Из результатов всех этих очень сложных и совершенно уникальных работ был получен и один достаточно новый принцип: вполне очевидное предположение о том, что любая нелинейная аппроксимация допускает упрощение как самих начальных условий, так и их аппроксимации, является неверным. В противном случае можно получить полностью противоречивые результаты. Отсюда следует, что теория нелинейных явлений нуждается в отработке значительно более точной исходной модели рассматриваемого явления (получении точного решения уравнений Максвелла, и т. д.), чем теория линейных процессов. Этот вывод можно назвать ’’постулатом точности в нелинейностях”, важным не только для теории лазерной плазмы, но, возможно, и достаточно ценным при работе над рядом еще не разрешенных нелинейных проблем в теории ядерных сил и элементарных частиц.
Уже неоднократно и на самых разных уровнях высказывались многочисленные пожелания о создании специального введения в физику процессов, происходящих в лазерной плазме. Однако серьезных шагов в этом направлении, несмотря на бурное развитие исследований в данной области физики, сделано так и не было. Трудности создания такой монографии заключаются в том, что различия точек зрения специалистов в этой области слишком велики. Настоящая книга была задумана и написана автором так, чтобы достаточно полно представить основные физические явления в лазерной плазме и вместе с тем избавиться от необходимости излишней полемики и анализа противоречий различных авторов, а также соответствующего анализа библиографических данных. Однако для интересующегося читателя специально приведена обширная библиография оригинальных работ.
Уровень изложения материала в данной книге рассчитан на студентов- старшекурсников и аспирантов, которые до этого не имели никакого представления о плазме. После краткого обзора основных физических явлений, характерных для лазерной плазмы, введены понятия о таких физических величинах, как плазменная частота, дебаевская длина, частота столкновений, а также рассмотрены особенности уравнения Больц-
мана, поскольку все это является основой макроскопической гидродинамики плазмы. Затем были введены нелинейные и релятивистские оптические константы и таким непосредственным образом развита максвелловская теория для описания сложных волновых процессов в неоднородной плазме. Для описания динамики плазмы при лазерном облучении проанализированы уравнения движения с нелинейными членами, характеризующими электромагнитное взаимодействие; проведен анализ роли различных членов и их связи с максвелловским тензором натяжения. Затем из общего выражения для нелинейной силы были выделены члены, характеризующие действие пондеромоторной и непондеро- моторной сил.
Аналитические оценки для этих явлений позволили получить сведения о процессах переноса импульса и энергии ионов в лазерной плазме, особенностях проблемы Абрахама—Минковского, а также о параметрических неустойчивостях, развивающихся в лазерной плазме. Рассмотрение результатов численного моделирования поведения плазмы в поле лазерного излучения позволило обнаружить наличие минимумов плотности и увеличение крутизны профиля плотности плазмы (кавитонов), которые впоследствии были обнаружены и экспериментально. Рассмотрены и характеристики высокоэффективного процесса прямой передачи световой энергии, быстро движущейся относительно холодной массы плазмы с высокой вязкостью за счет действия нелинейных сил и развития солитонов. Продолжение общего рассмотрения аналогичных явлений для случая наклонного к поверхности плазмы падения световой волны позволило проанализировать струйный характер движения плазмы и процесс резонансного поглощения. Рассмотрена одна из основных проблем, характеризующих взаимодействие лазерного излучения с плазмой: возникновение радиально направленной силы, приводящей к самофокусировке лазерного излучения за счет пондеромоторных сил или релятивистских эффектов. Приведен также ряд практически важных следствий и выводов применительно к проблемам генерации быстрых ионов и термоядерного синтеза.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность доктору М. Н. Никольсой-Флоренс за помощь в корректировке рукописи, секретарю Ингрид Варли за ее перепечатку, господину Б. Тьюсу за помощь с отработкой терминологии, Novalux Pty. Limided за продолжительную поддержку усилий автора по созданию данной книги и, наконец, но отнюдь не в последнюю очередь, своей жене, Розмари Хора, за ее большую помощь и нашим детям за проявленное понимание важности данной работы, когда я был всецело ею поглощен.
X. Хора
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Исследование лазерной плазмы является одной из наиболее быстро развивающихся областей современной физики. Полученные результаты уже нашли широкое применение - от различных технологий обработки материалов (плавка, сварка и резка, просверливание тончайших отверстий и т. д.) и до разработки систем лазерного и пучкового оружия (к сожалению). Однако более привлекательно - безопасное и экологически чистое производство термоядерной энергии, позволяющее использовать практически неисчерпаемый источник дешевого топлива - обычную воду. Для этого уже реализуется ряд проектов экспериментальных исследований стоимостью в сотни миллионов долларов, в которых заняты ученые-физики.
Несмотря на это, очень долго не было опубликовано ни одной монографии, за исключением краткого введения [1] и краткого обзора обширной литературы по данной проблеме [2]. Первая монография [3] в классическом понимании этого вида публикаций была опубликована в 1979 г.; в этом же году был опубликован и конспект лекций [4] по основам нелинейных явлений в лазерной плазме. Трудности в подготовке фундаментальных публикаций связаны с тем, что оригинальные работы публикуются очень сжато - даже труды конференций представлены, как правило, лишь краткими аннотациями из-за очень большого числа представляемых докладов. Так, на секции лазерной плазмы Бостонской конференции американского физического общества в ноябре 1979 г. было представлено 317 работ, а на конференции американского оптического общества в Сан-Диего в феврале 1980 г. - труды 520 авторов. Некоторое представление о достигнутом уровне развития исследований позволяют получить быстро публикуемые обзоры наиболее важных работ [5].
ОСОБЕННОСТИ РАССМАТРИВАЕМЫХ ЯВЛЕНИЙ
Основную трудность представления этой новой области науки с ее очевидными привлекательными сторонами и многочисленными интересными явлениями и выводами составляет то, что необходимо показать именно создание новой области физики. Это очень трудно увидеть в несметном множестве разнообразных явлений, каждое из которых само по себе выглядит весьма тривиальным и незначительным. Это задача не столько рекламирования замечательных возможностей их практического использования, сколько создания единых физических представлений. Причем такие сложнейшие для теоретического описания явления, как релятивистская самофокусировка лазерного излучения, генерация многозарядных ионов с энергией несколько гигаэлектрон-вольт или лазерная генерация электрон-позитронных пар, являются далеко не единственными. Можно привести значительно более обширный перечень проблем и явлений, составляющих эту бурно развивающуюся область физики.
В начале XX столетия, при создании новой физики было лишь о дно-единственное явление, находившееся в противоречии со всеми тогдашними представлениями о физической картине мира, которое постепенно, шаг за шагом стало всеобъемлющим: дискретная структура действия (его квантовый характер). Теперь это стало классическим фундаментальным представлением об основных законах природы.
В лазерной плазме нет преобладания какого-либо одного явления. В ней господствуют нелинейные явления, которые до некоторой степени уже были известны в течение длительного времени. Тогда что же здесь нового? Новизна здесь не только 10
в наличии большого числа старых и новых нелинейных явлений. Как хорошо и достаточно подробно показано в [б], правильное описание даже достаточно простого явления - распространения пучка лазерного излучения и его механического взаимодействия с окружающей плазмой - является удовлетворительным только в том случае, если использовано точное описание основных физических законов (уравнения Максвелла), без каких-либо приближений. Это указывает на существование опасности возникновения путаницы и погрешностей при приближенном обобщении нелинейных явлений. Чем более сложным является нелинейный процесс, тем более точным должно быть описание, используемое при его рассмотрении. Тогда возникает неразрешимый философский вопрос: можно ли полагаться на такую общую концепцию, которая не является органическим выводом из всей совокупности нелинейных явлений в их сложной взаимосвязи?
Целью данной монографии и является постановка и рассмотрение основных аспектов этих наиболее сложных вопросов общего характера, которые, исходя из существующих представлений, можно было бы назвать неклассическими. Такой подход к изучению этой сложной, весьма специфической и практически очень важной области, где ничего нельзя упустить из-за возможности изменения самих основ промышленной технологии, источников энергии и всемирной безопасности человечества, призывает к широкому объединению всех физиков, способных внести в нее свой вклад.
Столь сложный взгляд на проблемы физики лазерной плазмы не будет удивительным, если вспомнить все мучительные шаги, проделанные при исследовании физики высокотемпературной плазмы. Вот как описывал это один из основателей теории плазмы шведский астрофизик Альфвен в своей речи при вручении Нобелевской премии: ’’Исследования по физике плазмы развивались по двум параллельным направлениям. Первое из них, возникшее примерно сто лет назад, охватывает всю совокупность исследований по электрическому разряду в газах. Оно в значительной степени развивалось феноменологически, на основе полученных экспериментальных данных, и очень медленно достигло определенной степени теоретического обобщения. До сих пор большинство физиков-теоретиков на эту громоздкую и неинтересную на первый взгляд область физики смотрят свысока. Ведь плазма имеет неоднородную структуру, двухкомпонентный характер электропроводности, распределение электронов не является максвелловским, имеются и всевозможные виды колебаний и неустойчивостей, т. е. это именно такая область физики, которая кажется полностью непригодной для стройного математического описания.
Второе направление в физике плазмы было развито на основе кинетической теории простых газов. Предполагалось, что сравнительно небольшими усилиями эту область можно будет расширить и включить в нее ионизованные газы. Созданные теории были математически стройны, и даже элегантны. Их последовательное развитие показало возможность создания очень горячей плазмы и ее полного математического описания. Это стало фактически отправной точкой для начала термоядерных исследований”.
Однако созданные теории были очень слабо связаны с экспериментальной физикой плазмы, а все те сложные и неожиданные физические явления, которые были обнаружены при исследовании электрического разряда в газах, в них просто не учитывались. В результате, несколько десятков лет назад возникла такая ситуация, которая позднее получила название термоядерного кризиса. Это постепенно привело всех ученых к необходимости понять, что физика плазмы является очень сложной областью науки и может успешно развиваться лишь при очень тесном взаимодействии теоретических и экспериментальных исследований [7].
Нелинейные явления, характеризующие взаимодействие лазерного излучения с плазмой, увеличивают рассмотренные трудности еще более. Поэтому на самом деле данная монография позволяет лишь приоткрыть вход в эту новую область физики плазмы, включая и ее приложения в астрофизике, и лабораторные исследования вещества с плотностью, в 1000 раз превышающей плотность твердого тела. Это лишь только начало решения существующих проблем, а не само их решение. Возможно, сейчас мы находимся в таком положении, которое можно назвать завершением начальной стадии исследований.
ОГРАНИЧЕНИЯ ПРОВЕДЕННОГО РАССМОТРЕНИЯ
Область последующего рассмотрения ограничена сравнительно небольшими значениями интенсивности лазерного излучения и его мощности, начиная с которых в облучаемом веществе происходят необратимые процессы. Никакие обратимые процессы, такие, например, как самофокусировка лазерного излучения в жидкой среде без образования плазмы или удвоение частоты излучения из-за нелинейности диэлектрической проницаемости в твердом теле, рассматриваться не будут.
Примером необратимых процессов, происходящих в области нижней границы интенсивности лазерного излучения, является образование, или отжиг, дефектов кристаллической структуры различных образцов. Широкие исследования в этой области начались в 1977 г. [8], хотя были все предпосылки проводить такие исследования и ранее, поскольку вся необходимая лазерная техника была создана задолго до 1977 г.
Воздействие низкоинтенсивного лазерного излучения на материал при его обработке приводит к образованию столь высокой концентрации дефектов, что материал просто механически разрушается. Это явление хорошо исследовано для процесса облучения различных веществ пучками электронов, при котором перед разрушением образца на отдельные фрагменты происходит деформация всей кристаллической решетки [8].
Процесс лазерного пробоя в газе можно точно описать только до определенных пределов. Этой области начали уделять большое внимание уже в самом начале исследований взаимодействия лазерного излучения с веществом. Она важна не только сама по себе, но и как основа для развития исследований взаимодействия лазерного излучения с твердым телом, стимулировавшая и развитие множества важных диагностических методов. Впервые лазерный пробой газа был осуществлен авторами [9], затем авторами [10] и др. Однако сколько-нибудь серьезного понимания сущности наблюдающихся явлений пока еще не было. Это хорошо видно из результатов [11], в которой описано множество очень сложных явлений, обнаруженных при изменении интенсивности лазерного излучения и параметров газовой среды на несколько порядков величины. В частности, наблюдалось предпробойное свечение газа, образование свободных электронов в отсутствие пробоя, возникновение пробойной напряженности поля, соответствующей многофотонному характеру пробоя с энергией ионизации всего в 5 эВ, тогда как при разряде в обычном электрическом поле энергия ионизации того же газа превышала 10 эВ. Обзор всех известных данных по лазерному пробою газов сделан в [12].
Процессы, происходящие при лазерном пробое газа, затрагивают и некоторые аспекты последующего рассмотрения самофокусировки лазерного излучения в плазме, влияния остаточного газа с очень низким давлением на характер облучения различных мишеней и другие. Следует отметить еще две очень важные работы по лазерному пробою газов: измерение эмиссии электронов из области пробоя при различной поляризации лазерного излучения [13] и исследование нелинейного взаимодействия излучения в области пробоя для газов с аномально низкой плотностью [14].
Верхней границей для рассматриваемой области является предел достигнутой интенсивности лазерного излучения. Эта граница в значительной степени условна, так как совершенствование лазерной техники непрерывно продолжается. С момента открытия лазеров в I960 г., их параметры росли очень быстро. В 1961 г. была достигнута мощность лазерного излучения всего в 10 кВт, а в 1978 г. она возросла уже до 10 ТВт. При фокусировке лазерного излучения в вакууме в 1978 г. получено значение плотности мощности в 1018 Вт/см2. Нелинейное взаимодействие столь мощного лазерного излучения с плазмой достаточной плотности может приводить к увеличению плотности мощности до 102 Вт/см2 за счет самофокусировки [15]. Это косвенным образом было подтверждено при исследовании эмиссии ионов с энергиями порядка нескольких мегаэлектрон-вольт, ускоренными в поле, образованном при релятивистской самофокусировке пучка лазерного излучения [16].
ЛАЗЕРЫ
Ниже кратко перечислены основные характеристики наиболее совершенных лазеров, без освещения деталей происходящих в них физических процессов и тенденций развития. Для исследований при большой мощности лазерного излучения сейчас наиболее широко используются лазеры на неодимовом стекле. Излучение такого лазера имеет длину волны 1,06 мкм, а его длительность может быть любой - от импульса 0,17 пс [17] и до непрерывной генерации. Мощность в пучке лазерного излучения диаметром 25 см, при использовании в оконечных усилительных каскадах лазера дисковых элементов, может достигать 1 Твт и более при длительности импульса до 10 нс (обычно от 0,1 до 3 нс [18]). В одной из лазерных систем ’’Шива”, специально созданной для экспериментов по лазерному термоядерному синтезу в Ливерморе используется 20 таких пучков. С ее помощью получен импульс лазерного излучения мощностью 20 ТВт при длительности 0,1 нс [19]. Дальнейшее развитие однопучковых лазерных усилителей на неодимовом стекле с повышенным диаметром (вплоть до 2,5 м) позволит получить в одном пучке мощность около 100 Твт при длительности импульса, равной 0,1 нс. Другим примером мощных лазерных систем является установка ’’Дельфин” [20], которая имеет 216 выходных пучков лазерного излучения с диаметром каждого в 45 мм. Каждый пучок дает до 50 Дж энергии в импульсе длительностью порядка 0,1 нс. В стадии создания находится еще одна мощная лазерная система - УМИ-35, в которой в качестве усилительных элементов используются плиты из неодимового стекла, сечение которых в оконечном усилительном каскаде имеет размеры 32 х 100 см2. Эта система позволит получить мощность лазерного излучения до 10 Твт в импульсе с длительностью от 10 пс до 1 нс [21]. Мощные лазерные системы подобных типов развиваются во многих научных центрах: Рочестерском университете (США), институте лазерной техники Осакского университета (Япония), Лимейе (Франция), Шанхайском институте китайской академии наук, Вашингтонской лаборатории ’’Нэвел Рисеч” (США), Резерфордовской лаборатории (Великобритания) и др.
Преимуществом лазерных систем на неодимовом стекле является высокоразвитая технология их изготовления. Это делает их использование предпочтительным по сравнению с другими системами, несмотря на хорошо известные недостатки: нелинейность показателя преломления, возникновение при определенной температуре двойного лучепреломления, низкая эффективность, не позволяющая преобразовать в световую энергию лазерного излучения более 1% электрической. Исключением здесь является квазинепрерывный лазер с накачкой от вольфрамовой нити накала, эффективность которого мо^ет достигать 3% [22], или стеклянный лазер с накачкой от полупроводникового GaAs-лазера [23], эффективность которого достигает 6%. В [24] показано, что если использовать для накачки лазерные диоды, испускающие свет длиной волны, близкой к 900 нм, эффективность которых составляет почти 100%, то суммарную эффективность лазера можно поднять почти до 20%. Использование вместо неодимовых иттербий-эрбиевых стекол позволяет получить лазерное излучение длиной волны, равной 1,54 мкм, а если производить накачку такого лазера излучением длиной волны около 1 мкм, то можно довести эффективность до 70% [25 ].
Лазеры, в которых используется газовая активная среда, лишены большинства недостатков, характерных для твердотельных стеклянных лазеров, и позволяют получить большую частоту повторения мощных импульсов (до 1 кГц). Были сделаны попытки использовать пары некоторых соединений неодима, в которых ион Nd3* обладает почти идеальными лазерными свойствами [26 ]. Однако эти разработки пока еще не доведены до уровня, позволяющего говорить о возможности их использования в мощных лазерных системах.
Классическим представителем мощных газовых лазеров является лазер на двуокиси углерода. Наибольшая для такого типа лазеров мощность излучения была получена при использовании для накачки активной среды газового разряда с поперечным электронным пучком. При этом в выходном пучке лазерного излучения диаметром 30 см была достигнута мощность 3 ТВт при длительности импульса, равной 0,5 нс. Объединение восьми таких пучков в одной лазерной системе, соз- 13
данной в Лос-Аламосе (США), позволило довести выходную мощность лазерного излучения до 20 [27] и даже до 40 ТВт [28]. Длительность импульса в таких лазерах была доведена до нескольких пикосекунд [29]. В ближайшее время ожидается создание подобных лазерных систем с повышенным давлением газовой активной среды [30, 31], которые являются очень компактными. Единственной серьезной проблемой, препятствующей широкому использованию лазеров такого типа в крупных экспериментах, включая и лазерный термоядерный синтез, является слишком большая длина волны лазерного излучения - 10,6 мкм. Однако и здесь далеко не все еще потеряно. Для некоторых приложений, например для обработки различных материалов, длина волны не имеет решающего значения. В [32] показано, что при использовании импульсного лазерного излучения длиной волны от 0,5 до 1 мкм для резки материалов происходит его диффузия на достаточно большое расстояние из-за сильного рассеяния на ячейках вещества. В результате происходит значительное повышение порога требуемой мощности излучения По сравнению с излучением СО2-лазера, а шов становится значительно более широким.
Быстрое развитие мощных СО2-лазеров хорошо видно на примере проекта ’’Антарес”, реализуемого в Лос-Аламосе [27], в котором планируется получить импульс лазерного излучения с энергией 100 кДж при длительности импульса 1 нс и менее. Здесь следует отметить, что для целей, связанных с лазерным термоядерным синтезом, а также для обработки материалов в промышленных масштабах можно использовать СО2-лазер с накачкой, осуществляемой с помощью ядерного реактора. Можно предположить, что такой лазер позволит получить импульс излучения длительностью в несколько сот наносекунд с энергией, равной нескольким десяткам мегаджоулей [33].
Другим важным типом мощных газовых лазеров является фотохимический иодный лазер, генерирующий излучение длиной волны 1,3 мкм, достаточно близкой к длине волны излучения неодимового лазера. В [34] описан мощный иодный лазер, созданный на основе концепции, опубликованной авторами [35]. В нем используется оконечный усилитель диаметром 20 см и длиной 10 м, позволяющий получить импульс мощностью на уровне тераватт, длительностью 0,5 нс [36]. При этом удалось получить пучок почти идеального оптического качества, свободный от всех достаточно сложных поперечных вариаций интенсивности, связанных с двойным лучепреломлением и дифракцией Френеля. В [37] показано, что диаметр пятна фокусировки такого пучка без какой-либо коррекции всего в 2 раза превысил дифракционный предел. Существенным недостатком такого лазера (с точки зрения лазерного термоядерного синтеза) является его сравнительно низкая эффективность, которая составляет пока менее 1%. Одним из направлений повышения эффективности таких лазеров является использование для диссоциации молекул иода специального источника ультрафиолетового излучения [38]. Другое направление предусматривает использование в центре цилиндрического усилителя с активной средой взрывающейся проволочки. При этом можно получить импульс излучения с мощностью порядка тераватта [39].
Рассматривались и другие концепции мощных лазеров. Автор [40] добился определенных успехов в создании работоспособного лазера на основе фтористого водорода. В нем используется смесь газов - водорода и фтора при атмосферном давлении,возбуждаемая электронным пучком, который производит диссоциацию молекул газов со скоростью 1025 свободных атомов в 1 см3 за 1 с. Такой лазер с цилиндрическим объемом диаметром 40 см и длиной всего 1,5 м обеспечил получение импульса излучения с энергией 3 кДж при длительности, равной 30 нс. Другим весьма интересным и перспективным лазером является эксимерный лазер, концепция и основные схемы которого были описаны в [41]. Практически этот тип лазера был создан значительно позднее, после разработки и создания специальной техники сильноточных электронных пучков [42]. Такие лазеры позволяют получить как очень коротковолновое (в ультрафиолетовом и далеком ультрафиолетовом диапазонах длин волн), так и достаточно мощное излучение (более 10 ГВт в пикосекундном импульсе [17]). В [42] в результате генерации второй и более высоких гармоник получено лазерное излучение длинами волн вплоть до 500 Апри достаточно высокой интенсивности. Были исследованы также и определенные режимы рабо-
ты лазеров с пятикратным усилением на длине волны 182 А [43], 117 А и менее [44]. Не кажется совсем невероятной и возможность получения ультракоротковолнового лазерного излучения с помощью гамма-лазеров [45], активная среда которых возбуждалась бы предварительно высокоинтенсивным пучком лазерного излучения длиной волны в видимой или инфракрасной области [46]. В качестве первого важного шага в этом направлении следует отметить созданные в [46, 47] модели лазерного возбуждения атомных ядер, а также первые эксперименты [48], в которых удалось перевести ядра 23 5U в их изомерное состояние в результате резонансного взаимодействия определенных электронных оболочек атома, возбужденных лазерным излучением, с ядерными уровнями. Создание гамма-лазеров имело бы огромное значение, в частности, и для получения излучения с экстремально высокой интенсивностью.
Еще одним новым направлением развития мощных лазерных систем является концепция лазера на свободных электронах. В первом лазере, работавшем по данному принципу [49], использовались пучки электронов с энергиями около 40 МэВ, движущиеся сквозь гофрированное магнитное поле. Для микроволновой области такой механизм генерации излучения использовался еще в 1952 г. [50]. Обзор различных систем подобного типа [51] показал, что генерация излучения в них основана на циклотронном эффекте второго порядка [51]. В рамках этой концепции, для создания установки лазерного термоядерного синтеза пришлось бы использовать синхроциклотрон радиусом 45 м, однако высокое качество получаемого пучка излучения и возможность получения практически любой необходимой энергии излучения делают ее столь привлекательной, что в будущем развитие лазерных систем на свободных электронах может приобрести первостепенное значение [52].
Рассматривались и другие типы лазерных систем на свободных электронах, отличные от циклотронного. Для получения эффекта, аналогичного циклотронному, не обязательно использовать дополнительное магнитное поле и достаточно иметь высокоинтенсивный пучок лазерного излучения, получаемый любым известным способом, взаимодействующий с электронным пучком определенной энергии и пространственно-неоднородными полями [53]. Механизм действия такого лазера основан на использовании нелинейной реакции излучения [54]. В [53] приведены примеры, показывающие, что импульс излучения СО2-лазера мощностью 1 ТВт можно усилить до мощности 1000 ТВт. Такие системы имеют очевидные и очень серьезные преимущества: в них не используются материалы, которые могли бы быть повреждены или ионизованы при работе лазера, поскольку процессы взаимодействия электронов с лазерным излучением происходят в вакууме. Длина волны излучения такого лазера может изменяться в достаточно широких пределах (теоретически, вплоть до рентгеновского диапазона). Их недостатком является квадратичная зависимость лазерного усиления от генерируемой длины волны, но эффективность преобразования энергии электронного пучка в световую теоретически можно довести до 100%. Это весьма важно с точки зрения конструирования энергетической станции и различного энергетического оборудования на основе таких лазерных систем, поскольку в них можно снизить расход энергии на охлаждение и повысить к.п.д..
Принципиально иной тип лазера на свободных электронах был предложен в [55]. В таком лазере для получения интерференции поля с квантованно-модулиро- ванным током электронов используется суперпозиция электронных пучков. Необходимую модуляцию пучков можно осуществить с помощью лазерного излучения [56] или за счет использования эффекта Аронова-Бома [55]. Достаточно продолжительные биения электронных пучков в такой системе и приводят к испусканию когерентного излучения. Такой лазер модуляционного типа имеет более высокую
эффективность на более высоких частотах генерируемого излучения и поэтому особенно важен для развития исследований с очень коротковолновым излучением. Принцип, положенный в основу его работы, получил название эффекта Шварца- Хора.
ОБЗОР ОСНОВНЫХ ЯВЛЕНИЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Ниже проведен обзор наиболее интересных явлений, наблюдавшихся экспериментально при воздействии лазерного излучения на разнообразные твердые, газообразные мишени и на плазму, созданную тем же лазерным излучением. После создания первого рубинового лазера [57] естественным шагом было использование его высокоинтенсивного излучения для изучения взаимодействия света с твердыми мишенями. В то время было уже хорошо развито применение для сварки, резки и сверления различных материалов достаточно интенсивных электронных пучков, в которых удавалось получать плотность мощности 108 Вт/см2 и выше [58]. Следует отметить, что уже первый импульсный рубиновый лазер с пиковой мощностью от 10 до 100 кВт позволил при фокусировке его излучения на площадку диаметром 0,05 мм получить плотность мощности, не уступающую электронным пучкам. В некоторых первых экспериментах было проведено лазерное облучение твердых мишеней из различных веществ в вакууме. С помощью зондов Фарадея, расположенных перед мишенью, были измерены временные характеристики ионной эмиссии. Времяпролетные измерения образующихся ионов показали наличие определенного числа ионов с энергией, равной нескольким электрон-вольтам. Эти результаты находились в полном соответствии с предварительными оценками температуры плазмы, образованной на поверхности мишени, которая составила несколько десятков тысяч градусов [59].
Впоследствии эти измерения были многократно подтверждены [60], хотя в широком потоке публикаций по лазерному взаимодействию с плазмой число сообщений о подобных измерениях было весьма небольшим. Между 1977 и 1978 г., когда лазеры начали широко использоваться в физике твердого тела и технологии полупроводниковых элементов для плавления и перекристаллизации полупроводниковых кристаллов, образования кристаллических дефектов или их отжига, ситуация существенно изменилась [61]. Здесь лишь необходимо отметить, что следует четко отличать это взаимодействие от взаимодействия при значительно более высокой интенсивности лазерного излучения, при котором происходит испарение вещества и образование плазмы. Нельзя не упомянуть и значительно более ранние работы по использованию лазеров для технологии испарения и осаждения тонких пленок [62]. В них был получен неожиданный результат: такие сложные молекулы, как молекула титаната стронция, переосаждались после испарения в первоначальном молекулярном состоянии, даже если при лазерном испарении происходило образование плазмы.
После создания лазера с модулированной добротностью [63], когда удалось с хорошей воспроизводимостью сконцентрировать излучение рубинового лазера в импульсах длительностью от 10 до 40 нс, стало реальным получение значительно более высокой мощности лазерного излучения. Достаточно быстро была получена пиковая мощность такого лазера 10 - 100 МВт. При использовании такого лазера для облучения мишеней из углерода, вольфрама и других элементов в вакууме [64] был получен неожиданный результат: энергия ионов, составлявшая несколько электрон-вольт для лазерного импульса мощностью 100 кВт, возросла в 103 раз. Эти измерений показали наличие степенного роста энергии ионов при увеличении пиковой мощности лазерного излучения. Измерения, проведенные в [65], показали, что зависимость скорости ионов v. от мощности лазерного излучения Р (рис. 1.1) является практически степенной. Очевидно, что соответствующая зависимость для энергии ионов е. приблизительно квадратичная:
е. = constPm (при т =1,8-2,0). (1.1)
Примерно такие же зависимости для энергии ионов были получены и в [66, 67]. 16
лазерного импульса (о) и сдвоенного лазерного импульса: для первого (□) и втолазерного импульса (о) и сдвоенного лазерного импульса: для первого (□) и второго (△) импульсоврого (△) импульсовРис. 1.2. Сублинейная зависимость энергии ионов (квадрат их скорости) от плотности мощности на мишени для максимального (△) и среднего (о) значения v? при мощности лазерного импульса 100 МВт и выше [68 ]Рис. 1.2. Сублинейная зависимость энергии ионов (квадрат их скорости) от плотности мощности на мишени для максимального (△) и среднего (о) значения v? при мощности лазерного импульса 100 МВт и выше [68 ]
лазерного импульса (о) и сдвоенного лазерного импульса: для первого (□) и вто
лазерного импульса (о) и сдвоенного лазерного импульса: для первого (□) и вто
рого (△) импульсов
рого (△) импульсов
Рис. 1.2. Сублинейная зависимость энергии ионов (квадрат их скорости) от плотности мощности на мишени для максимального (△) и среднего (о) значения v? при мощности лазерного импульса 100 МВт и выше [68 ]
Рис. 1.2. Сублинейная зависимость энергии ионов (квадрат их скорости) от плотности мощности на мишени для максимального (△) и среднего (о) значения v? при мощности лазерного импульса 100 МВт и выше [68 ]
Исследования, проведенные в работе [68] при более высокой мощности лазерного излучения, показали, что постепенно показатель степени зависимости т становится существенно меньше единицы (рис. 1.2) .
Похожая зависимость была обнаружена при измерении импульса отдачи мишени, облучаемой излучением рубинового или неодимового лазера с мощностью порядка 10 МВт [69] (рис. 1.3): вначале она сверхлинейна (рис. 1.3), а при более высокой мощности излучения постепенно насыщается и переходит в сублинейную [68, 70].
Интересные данные удалось получить и при исследовании эмиссии электронов из лазерной плазмы в диапазоне мощности лазерного излучения от 1 до 10 МВт. Главной целью этих исследований было получение больших токов электронной эмиссии, с тем чтобы впоследствии создать лазерный ’’суперкатод”. В начале этих исследований, когда была обнаружена классическая зависимость электронной эмиссии с максимальным током в несколько сот миллиампер при мощности лазерного излучения до 1 МВт [59], что полностью соответствовало ленгмюровскому закону ограничения пространственного заряда, это казалось невозможным. Однако при мощности лазерного излучения 10 МВт был получен ток эмиссии 100 А [59]. Впоследствии, при использовании более совершенной лазерной техники этот результат был полностью подтвержден и удалось получить ток эмиссии более 1 кА [71]. Очевидно, что в этой области значений мощности лазерного излучения действует иной закон ограничения пространственного заряда.
Очень сложный характер взаимодействия лазерного излучения с твердым телом был обнаружен и при облучении сферических мишеней из алюминия (рис. 1.4) [72]. Покадровая съемка с помощью электронно-оптической камеры показала, что через 250 нс после облучения в плазме имеются две различные области: центральная, в которой заключено 95% поглощенной энергии лазерного излучения (скорость ее расширения соответствует температуре около 10 эВ), и быстро расширяющаяся асимметричная внешняя плазменная область, ионная компонента которой 2 — Зак. 1563 17
Рис. 1.3. Сверхлинейная зависимость импульса, переданного мишени, облученной излучением неодимового лазера, от его энергии (при мощности лазерного импульса в области 100 МВт) [69]
10см
Рис. 1.4. Покадровая развертка изображения плазмы (вид сбоку), созданной при облучении алюминиевой сферической мишени радиусом 80 мкм излучением рубинового лазера длительностью 30 нс и диаметром пятна фокусировки 0,4 мм. На втором кадре хорошо видны внешняя часть быстро расширяющейся плазмы и внутренняя сферическая область с тепловым характером расширения [79].
характеризуется энергиями 3-5 кэВ и движется в направлении, противоположном распространению лазерного излучения. Если для центральной области свойственно полностью линейное, тепловое поведение, то во внешней области проявляются существенно нелинейные процессы [72].
Как видно из рис. 1.5, на котором представлены результаты различных измерений зависимости энергии ионов от мощности лазерного излучения, имеется сублинейная особенность и при нижнем значении мощности излучения - около 1 МВт. Это явление было названо эффектом Линлора, хотя сам Линлор всегда считал, что наблюдавшиеся им эффекты носили полностью линейный характер. С современной точки зрения, все рассмотренные выше явления при мощности лазерного излучения, начиная примерно с 10 МВт для рубинового лазера, не вызывают никаких сомнений в их нелинейном характере.
Следует отметить, чтосама область фокального пятна лазерного излучения имеет очень сложный характер [73]. На рис. 1.6 представлены результаты измерения распределения интенсивности лазерного излучения в области фокального пятна. Видно, что распределение имеет вид гауссиана лишь в пределах очень небольшой зоны, а в прилегающих областях оно совершенно иное. Несомненно, что такой характер распределения интенсивности излучения в области фокального пятна оказывает сильное влияние на протекание процесса лазерного пробоя газов и его учет при анализе протекания соответствующих физических процессов очень важен.
Упоминавшиеся выше экспериментальные результаты были получены несколько лет назад. Конечно, с современной точки зрения можно высказать вполне обосно- 18
6i ♦ эВ70s -1Ог -6i ♦ эВ70s -1Ог -70s70е70170е р,йт70s70е70170е р,йтРис. 1.6. Интегральное во времени пространственное распределение интенсивности лазерного излучения в области фокального пятна [73]:Рис. 1.6. Интегральное во времени пространственное распределение интенсивности лазерного излучения в области фокального пятна [73]:
6i ♦ эВ
70s -
1Ог -
6i ♦ эВ
70s -
1Ог -
70s70е70170е р,йт
70s70е70170е р,йт
Рис. 1.6. Интегральное во времени пространственное распределение интенсивности лазерного излучения в области фокального пятна [73]:
Рис. 1.6. Интегральное во времени пространственное распределение интенсивности лазерного излучения в области фокального пятна [73]:
Рис. 1.5. Зависимость энергии ионов от мощности излучения рубинового или неодимового лазеров (хорошо видны ее чисто тепловая часть - в области мощности излучения менее 1 МВт, сильно сверхлинейная часть - эффект Линлора, при мощности излучения порядка 10 МВт, и сублинейная часть в области мощности свыше 100 МВт)
1 - оптическая ось; 2 - фокальная плоскость
ванное утверждение о необходимости их существенного уточнения. Но даже и при относительно невысокой точности игнорировать их при интерпретации экспериментальных данных совершенно недопустимо. К сожалению, и современные экспериментальные измерения часто дают такой разнобой результатов, который просто вызывает удивление и недоумение. Например, такой беспорядочный разброс характерен для результатов измерений коэффициента отражения лазерного излучения с различной интенсивностью от облучаемых мишеней (рис. 1.7) [74]. Он связан с не вполне корректным сравнением результатов различных авторов, работавших с различными мишенями, с не совсем одинаковыми параметрами лазерного излучения при не вполне адекватных условиях экспериментов. Казалось бы, в последнее время при использовании современной экспериментальной техники, совершенных методов обработки результатов измерений разнобоя полученных данных уже быть нс должно, но пока еще это не совсем так.
В более современных работах возникают и более современные сложности. Например, п^и исследовании излучения неодимового лазера с интенсивностью 101 Вт/см наблюдалось обратное рассеяние излучения с более высокими гармо-
2*2*19
2*
2*
Рис. 1.7. Зависимость отражательной способности лазерной плазмы от интенсивности лазерного излучения. Экспериментальные результаты, полученные различными авторами [1, с. 4]
никами частоты, связанное с наличием параметрических неустойчивостей, аналогичное соответствующим экспериментальным данным для радиоволн СВЧ-диапазона. Наблюдалось и рассеянное излучение с частотой, в 2 раза меньшей, чем у падающего излучения, а также и неоднородное распределение температуры в фокальной области. После получения достаточно противоречивых сведений об электронной температуре плазмы по ее рентгеновскому излучению авторам [75] удалось проанализировать спектр рентгеновского излучения в достаточно широкой области энергий квантов и кроме обычной температуры в несколько сот электрон-вольт обнаружить существование и второй температуры в несколько килоэлектрон-вольт (рис. 1.8). Она характеризовала именно интенсивно излучающую область фокального пятна и не была связана с пространственным распределением интенсивности излучения. Наличие такой повышенной температуры вновь требует обратить внимание на ее возможную связь с аномальными нелинейными процессами. Ряд соответствующих оценок показывает, что ее значение может достигнуть 200 кэВ [76] и даже более, вплоть до 8 МэВ, при котором условия уже вполне подходят для генерации элект- рон-позитронных пар [77].
Довольно интересным результатом является и то, что первоначально наблюдавшиеся различные группы компонент расширяющейся плазмы, за исключением группы быстрых ионов, характеризующихся нелинейным поведением [72], проявлялись и в последующих наблюдениях. Было обнаружено, что быстрые ионы имеют характерные значения энергии в несколько десятков килоэлектрон-вольт [78], и в данную компоненту плазмы может переходить более 50% поглощенной энергии лазерного излучения [79]. Один из примеров измерения быстрых ионов приведен на рис. 1.9, на котором изображены осциллограммы сигналов с ионного коллектора. На осциллограммах явно выражено разделение ионов с различными зарядами, а энергия ионов достигает нескольких сот килоэлектрон-вольт. Следующим шагом была регистрация ионов с мегаэлектрон-вольтными энергиями [80], причем для объяснения механизма их генерации пришлось использовать явление релятивистской самофокусировки лазерного излучения [81]. В некоторых экспериментах наблюдалась линейная зависимость энергии ионов от их заряда, особенно для ионов с энергиями 100 кэВ и выше. Однако исследование быстрых ионов в области энергий около 1 кэВ при наклонном падении лазерного излучения на поверхности плоской мишени привело к получению другой зависимости [82]. Было обнаружено, что имеется две группы ионов, причем характеристики первой совершенно не зависят от поляризации лазерного излучения, а второй - сверхбыстрых ионов - сильно зависят от поляризации.
Рис. 1.8. Зависимость интенсивности рентгеновского излучения плазмы / от толщины d или соответствующей энергии ’’отсечки” Ес поглощающих фильтров из Be и А1. Верхняя и нижняя сплошные кривые приведены для двух различных температур плазмы, наличие которых впервые было отмечено в [75]Рис. 1.8. Зависимость интенсивности рентгеновского излучения плазмы / от толщины d или соответствующей энергии ’’отсечки” Ес поглощающих фильтров из Be и А1. Верхняя и нижняя сплошные кривые приведены для двух различных температур плазмы, наличие которых впервые было отмечено в [75]Фотопик ПлазмаФотопик ПлазмаПлазмаПлазмаw~7*7012Bt/cm2f—I /мксw~7*7012Bt/cm2f—I /мксW^x/y^Br/CM2►— к 0,2 мне Время пролёта ионовW^x/y^Br/CM2►— к 0,2 мне Время пролёта ионовРис. 1.9. Осциллограммы сигналов с ионного коллектора при облучении мишеней из А1 и С излучением СО2-лазера. Различ-Рис. 1.9. Осциллограммы сигналов с ионного коллектора при облучении мишеней из А1 и С излучением СО2-лазера. Различ-
Рис. 1.8. Зависимость интенсивности рентгеновского излучения плазмы / от толщины d или соответствующей энергии ’’отсечки” Ес поглощающих фильтров из Be и А1. Верхняя и нижняя сплошные кривые приведены для двух различных температур плазмы, наличие которых впервые было отмечено в [75]
Рис. 1.8. Зависимость интенсивности рентгеновского излучения плазмы / от толщины d или соответствующей энергии ’’отсечки” Ес поглощающих фильтров из Be и А1. Верхняя и нижняя сплошные кривые приведены для двух различных температур плазмы, наличие которых впервые было отмечено в [75]
Фотопик Плазма
Фотопик Плазма
Плазма
Плазма
w~7*7012Bt/cm2
f—I /мкс
w~7*7012Bt/cm2
f—I /мкс
W^x/y^Br/CM2
►— к 0,2 мне Время пролёта ионов
W^x/y^Br/CM2
►— к 0,2 мне Время пролёта ионов
Рис. 1.9. Осциллограммы сигналов с ионного коллектора при облучении мишеней из А1 и С излучением СО2-лазера. Различ-
Рис. 1.9. Осциллограммы сигналов с ионного коллектора при облучении мишеней из А1 и С излучением СО2-лазера. Различ-
ные максимумы соответствуют ионам различного типа и зарядности, указанным на рисунке, а энергии ионов находятся в диапазоне нескольких сот килоэлектронвольт [76 ]
Современные методы исследования свойств лазерной плазмы и соответствующая экспериментальная аппаратура обладают поистине удивительными возможностями. Например, можно проводить измерения пространственного распределения плотности плазмы с разрешением несколько микрон, в том числе с временным разрешением, которое составляет несколько пикосекунд. Один из примеров таких измерений, выполненных в [83], приведен на рис. 1.10. На использовании таких методов основано и изучение сферического сжатия газонаполненных стеклянных микробаллонов при сферически симметричном облучении их лазерным излучением, в результате которого в сильно сжатой центральной области происходит инициирование термоядерных реакций синтеза [84] (рис. 1.11).
Очень интересные результаты были получены и при лазерном облучении тонких золотых фолы, прозрачных для оптического излучения. При облучении фолы излучением с той же длиной волны, для которой они прозрачны, но имеющем уже высокую интенсивность, наблюдается аномально высокое поглощение и фольги становятся непрозрачными [86]. Наклонное падение света на поверхность фольги приводит к дополнительным особенностям поглощения, названным эффектом Яманаки [86], которые были подтверждены затем и в [87], где облучение алюминиевых пленок толщиной 1000 А нанесенных на кварцевые подложки, показало отсутствие линий кремния в спектре поглощения.
Все эти весьма неожиданные и очень сложные свойства лазерной плазмы подчеркивают наличие в ней сложнейших нелинейных процессов. Но несмотря на это, теоретическое описание лазерной плазмы вначале будет проведено в рамках линейной газодинамики, и лишь затем после введения процессов взаимодействия лазерного излучения с плазмой будет развита теория ряда нелинейных явлений. Конечно, эта теория является далеко не полной и она не может объяснить все известные яв-
Расстояние от оптическойРасстояние от оптическойоси, мкмоси, мкм
Расстояние от оптической
Расстояние от оптической
оси, мкм
оси, мкм
Рис. 1.10. Пространственное распределение плотности плазмы, полученное при облучении сферической мишени излучением СОз-лазера через 25 пс после начала лазерного импульса. Видно, что такой процесс характеризуется образованием минимума плотности [83]
Рис. 1.11. Изображение плазмы с высоким пространственным и временным разрешением при двустороннем облучении стеклянных микробаллонов диаметром 88 мкм, толщиной стенки 0,88 мкм, заполненных газообразной смесью дейтерия и трития давлением 10 атм., двумя широко апертурными пучками излучения неодимового лазера с энергией по 7,6 Дж и длительностью 100 пс. В верхней части рисунка - интегральное по времени рентгеновское изображение, полученное с помощью камеры-обскуры, свидетельствующее о наличии излучения из области взаимодействия лазерного излучения с поверхностью мишени и излучения сжатого ядра мишени. Выход термоядерных нейтронов из ядра мишени составляет в этом случае 2 • 10 . В нижней части рисунка дана развертка во времени диаметрального сечения изображения плазмы (это сечение приведено в верхней части рисунка) , показывающая наличие движения периферийной части плазмы мишени по направлению к ее центру, а также наличие определенной задержки возникновения излучения из центрального ядра (примерно на 50 пс после начала сжатия) [85]
ления и предсказать открытие новых аномальных процессов. Однако ее можно использовать для лучшего понимания физики лазерной плазмы на современном уровне ее развития. Учет сложных нелинейных, аномальных физических явлений в лазерной плазме и при взаимодействии лазерного излучения с плазмой наиболее важен для прогноза возможности практического осуществления лазерного термоядерного синтеза. Но не менее практически важно также определить границы классического, низкоинтенсивного взаимодействия лазерного излучения с веществом, которое нашло очень широкое практическое применение для обработки материалов, ведь уже при интенсивности излучения неодимового или СО2-лазера 1012 Вт/см2 проявляются явные аномалии взаимодействия. Аномальное поглощение приводит к тому, что большая часть энергии лазерного излучения переходит к очень высокоэнергетичным ионам. Такие ионы представляют большой интерес с точки зрения их возможного использования в ускорителях заряженных частиц или в управляемом термоядерном синтезе. Однако при использовании мощных лазеров для обработки различных материалов, когда приходится испарять большие количества вещества, их наличие снижает эффективность использования излучения мощных лазеров для обработки различных материалов.
Глава 2
ЭЛЕМЕНТЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
Можно дать несколько различных определений понятия ’’плазма”. Одно из них - четвертое состояние вещества, в отличие от его твердого, жидкого и газообразного состояний. Космическое пространство более чем на 99% состоит из плазмы — это и вещество звезд, и вещество межзвездного пространства. Поскольку в ней нет столь явно выраженных различий состояния, как плавление, кипение и других, характерных для обычных состояний вещества, то исходить при ее определении лучше всего из того факта, что при высокой температуре (порядка 104 К) все вещества в большей или меньшей степени являются ионизованными. Тогда можно считать, что плазма — это такое состояние вещества, которое характеризуется высокой электропроводностью и механическими свойствами газообразного состояния. Конечно, металл и полупроводник тоже могут обладать свойствами плазмы, хотя их механические свойства — сжимаемость и текучесть, характерны не для газообразного, а для твердого состояния. В центре звезд плотное высокотемпературное состояние вещества, очевидно, обладает всеми свойствами плазмы, хотя из-за квантовых эффектов (вырождение Ферми-Дирака) сжимаемость плазмы может иметь значение, характерное для твердого тела или жидкости.
Можно дать и другое определение: плазма - это среда, диэлектрические свойства которой определяются только свободными зарядами, а не диполями. В этом случае связанными состояниями электронов в атомах или молекулах пренебрегают.
Теперь обсудим понятие ’’полностью ионизованная плазма”, которое с точки зрения исследования взаимодействия интенсивного лазерного излучения с плазмой представляет наибольший интерес. Поскольку самофокусировка и другие нелинейные явления развиваются очень быстро, то образующаяся лазерная плазма очень быстро становится полностью
ионизованной. При этом область между порогом возникновения первых необратимых повреждений вещества лазерным излучением и его полной ионизацией можно считать пренебрежимо малой. Позднее это было подтверждено в [88], где при проведении обширных гидродинамических вычислений использовались условия ионизационного равновесия Саха. Было обнаружено, что даже при умеренных интенсивностях излучения рубинового или неодимового лазера — от 109 до 1010 Вт/см2 динамика образования плазмы является одной и той же, независимо от того, включены условия равновесия Саха или нет.
Полностью ионизованная плазма является газом, состоящим только из электронов и положительных ионов определенного заряда Z. Для самого общего описания такой плазмы пользуются уравнениями движения отдельных частиц, из которых затем образуют систему, состоящую из 3N уравнений движения для всех N частиц плазмы:
dlx" г (9х‘ ^N,», 1
т«г = 4п х*ZN- ^Г”-^Г-; «=1N»
dr хп \otot /
zn* -эг^гЛ « = 1-
dlzn f (dX1
= МХ1Й=1N- J
(2.1)
Координаты частиц х№ уп и zn и их производные по времени здесь связаны через массы тп и силы fxn>fyn и fzn, зависящие от координат и масс всех N частиц. В общем случае прямо решить эту задачу невозможно, хотя уже и проводились численные расчеты для 5 • 104 и более одиночных частиц при моделировании процессов в плазме с помощью ЭВМ [89]. Однако даже.и в таком случае полное описание кулоновских столкновений взаимодействующих частиц невозможно и приходится пользоваться определенными аппроксимациями; так что результаты не являются точными и пользоваться ими следует достаточно осторожно. Тогда сила / будет определена координатами х. частиц, находящихся в пределах определенного расстояния от /-й частицы и кулоновски взаимодействующих с ней. Частицы, находящиеся на большем расстоянии от /-й частицы, при этом не учитываются. Затем, для дальнейшего упрощения, в выражениях для силы можно пренебречь производными координат по времени.
Для модельного описания плазмы с помощью 5 • 104 частиц пришлось решить впечатляющее количество — 1,5 • 105 дифференциальных уравнений (конечно, с использованием ЭВМ). Не вдаваясь в подробности, следует все же отметить, что исследование процессов взаимодействия лазерного излучения с плазмой привело к тем же результатам, что и в подобных гидродинамических вычислениях. Вначале предполагался линейный спад плотности плазмы, но влияние лазерного излучения привело в итоге к такому характеру сил, действующих на плазму [90], который пол- 24
костью эквивалентен характеру ранее упоминавшихся макроскопических нелинейных сил. Ниже эти силы рассмотрены более детально.
Для последующего рассмотрения ряда теоретических аспектов макроскопической гидродинамики необходимо учесть некоторые свойства микроскопического описания. Они рассмотрены в § 2.1, который по своей сути отражает всю историю развития физики плазмы.
ПЛАЗМЕННАЯ ЧАСТОТА И ДЕБАЕВСКАЯ ДЛИНА
Плазменное состояние вещества было открыто Ленгмюром в 1920 г., когда он попытался объяснить особенности распространения радиоволн в верхних слоях атмосферы. Было известно, что радиоволны с частотой порядка 107 Гц полностью отражаются от ионосферы и могут распространяться дальше, огибая весь земной шар. Без каких-либо прямых экспериментальных измерений (они были проделаны позднее с помощью аэростатов и спутников) Ленгмюр пришел к выводу, что верхние слои атмосферы ионизованы. Он вывел выражение для частоты сор — плазменной частоты, характеризующей электростатические колебания электронов в плазме при отражении радиоволн.
На рис. 2.1 (сверху) область с однородной электронной плотностью разбита на равные участки с шагом dx для последующего вывода зависимостей, полученных Ленгмюром. Снизу на рис. 2.1 показано наличие возмущений, разделенных друг от друга дистанцией d^ которые вызывают соответствующее изменение электронной плотности пе:
dne/ пе = —d^/dx. (2.2)
В соответствии с уравнением Пуассона для электростатического потенциала Ф или электрического поля, созданного распределением заряда с плотностью р, можно получить следующее уравнение для описания смещения электронов:
-^- = -4711^ = +4тгеие — . (2.3)
Здесь заряд электрона е =4,803 • 1СГ10 см3^2 • с 1 • г1/2 [91]. Уравнение
движения для электронов имеет вид d1^
т = -еЕ = -ДиПее1^^ , (2.4) dr
Рис. 2.1. Смещение электронов от их равновесного положения при однородной плотности (верхняя часть рисунка), на d^ при образовании электростатических осцилляций с плазменной частотой СОр
где использовано значение массы электрона т =0,9109 • 10"27 г. Решение дифференциального уравнения (2.4), описывающего незатухающие колебания, имеет вид
£(0 = const • ехр(корГ),(2.5)
Не в (2.4) выражено в обратных кубических сантиметрах, а
G?p = 4тге2^/7??, ИЛИ GOp = 5,65 • 104>/^.(2.6)
Для случая полного отражения ионосферой радиоволн с длиной волны 30 м (107 Гц) Ленгмюром было получено значение электронной плотности пе =1,23 • 106 см"3. Механизм отражения радиоволн плазмой станет яснее после того, как будет проведено рассмотрение ее диэлектрических свойств, основанное на определении плазменной частоты сор. Идя излучения неодимового лазера, имеющего частоту 1,78 • 1015 Гц, из (2.6) следует, что rig = 1021 см"3, а для излучения СО2-лазера с частотой 1,78 • 1014 Гц — пе = 1019 см"3. В то же время для эксимерного лазера, дающего излучение с длиной волны 1200 А, значение критической плотности возрастает до пе = 7,8 • 1022 см"3, что уже очень близко к плотности твердого тела.
В плазме имеется и характерная длина Хр, соответствующая плазменной частоте сор, так как скорость волны эквивалентна скорости теплового движения электронов ve. При определении XD вместо средней тепловой скорости электронов следует использовать скорость, соответствующую средней энергии Е = кТ(2 (Т — температура, к — постоянная Больцмана, к = 1,38 • 1СГ16 см2 • с"2) на каждую степень свободы. С этими небольшими изменениями легко получить следующее выражение:
(2.7)
Если длина измеряется в сантиметрах, температура в кельвинах, а плотность в обратных кубических сантиметрах, то
XD = 6,9 (T/neV12.(2.8)
Если же температура выражена в электрон-вольтах, то
= 743(Г/^)*/2.
Эта длина полностью идентична длине, полученной Дебаем [92] на основе данных [93] по теории электролитов, и называется дебаевской длиной. В плазме она характеризует длину экранирования пространственного заряда. Поэтому в макроскопической теории предполагать зарядовую нейтральность плазмы можно только для расстояний, больших дебаевской длины.
Довольно интересен другой вывод дебаевской длины, основанный на пространственных свойствах плазмы (рис. 2.2). Из рисунка видно, что между внутренней областью электронейтральной плазмы С и вакуу- 26
Рис. 2.2. Условия, возникающие на границе плазмы с вакуумом. Между областью вакуума А и внутренней областью зарядовонейтральной плазмы С образуется обедненный за счет вылета быстрых электронов приповерхностный плазменный слой В. Вылет электронов из плазмы продолжается до тех пор, пока в слое В не образуется объемный заряд, электрическое поле которого будет достаточным для возвращения следующих электронов, вылетевших из плазмы, обратно в ее область С. В нижней части рисунка приведено распределение напряженности электрического поля и электростатического потенциала, обусловленного пространственным зарядом области В
мом А находится дебаевский слой В, образующийся вследствие большой разницы тепловых скоростей электронов и ионов. Число электронов, покидающих этот слой, в конечном итоге ограничивается пространственным зарядом равного числа ионов, поле которого возвращает электроны во внутреннюю область плазмы С. Тогда очевидно, что тепловой энергии электронов и ионов плазмы, равной кТ, соответствует определенное значение потенциала электрического поля Ф. Его можно вычислить, приравняв тепловую энергию произведению заряда на напряженность электрического поля и толщину дебаевского слоя Х^:
кТ = еФ = еХрЕ.(2.9)
Напряженность электрического поля Е можно определить, сопоставляя заряды в переходном слое, где в результате интегрирования по объему (для поперечного сечения 1 см2) получаем
4тгХрИее = и2Е.(2.10)
Здесь использовано понятие коэффициента преломления плазмы и, кото-
27
рое ниже будет строго определено. Пока же в рассматриваемом случае можно положить его равным единице. В области С поле равно нулю, затем оно монотонно возрастает в направлении от границы областей В и С к границе областей А и В. В интеграле по поверхности объема (2.10) играет роль лишь его значение на границе областей А и В. Отражение электронов от области С происходит из-за наличия отрицательного заряда области А. Выражая правую часть уравнения (2.9) через значение Е из уравнения (2.10), получаем
XD = VkT/Aire^V'2.(2.11)
Это и есть значение ширины слоя В, которое в точности равно дебаевской длине, определенной выражением (2.7).
Рассматривая расширение в вакуум плазмы с определенной температурой Т, необходимо не забывать, что на ее поверхности образуется слой пространственного заряда, для которого уравнения динамики квазинейт- ральной плазмы уже неприменимы. Затем пространственный заряд вызовет буквально электростатический взрыв ионов. Его называют амбиполярным расширением, при котором энергия ионов становится на порядок больше тепловой; точнее, возрастает в число раз, равное квадратному корню отношения массы иона к массе электрона. Явление образования быстрых ионов при лазерном облучении плазмы наблюдалось в [94], однако оказалось, что число ускоренных ионов значительно меньше, чем число ионов в дебаевском слое на поверхности плазмы. Если же число быстрых ионов (быстрых в том смысле, что они значительно быстрее тепловых) значительно больше, чем число ионов в дебаевском слое, то необходимо предположить наличие другого механизма ускорения, который рассмотрен в гл. 3.
ПЛАЗМОНЫ
Квант плазменных колебаний называется плазмоном. Его энергия, эВ,
Е = Ъир = 3,73 • КГ11 п^1.(2.12)
где использована постоянная Планка А = hlht, здесь h = 6<Ы • IСГ2 0 Дж-с, а пС) см-3. Действие таких плазмонов весьма наглядно проявляется в твердых телах. Например, при пропускании пучка электронов сквозь тонкую металлическую пленку с плотностью электронов порядка 1023 см"3, для которой эквивалентная энергия плазмонов порядка 10 эВ, энергетические потери пучка электронов имеют тот же порядок, что и энергия плазмонов. Исторически, впервые энергетические потери для пучка электронов были измерены в [95] и затем воспроизведены в [96] и др., еще до того как было сформулировано представление о плазмонах и с его помощью определен характер энергетических потерь пучка [97].
Примечательно, что такой ’’плазмонный” характер взаимодействия справедлив и для электронов в изоляторах. Можно представить себе это так, что проникающие в диэлектрик быстрые электроны с энергией 50 кэВ 28
Рис. 2.3. Спектр лазерного излучения, рассеянного от плазмы дугового разряда [98], на котором видны характерные максимумы и минимумы, обусловленные наличием осцилляций с плазменной частотой. Точки - результат эксперимента; кривые - результат расчета, к которому добавлены соответствующие максимумы
’’видят” электроны диэлектрика такими же, как и у свободно колеблющейся плазмы.
Это довольно важное указание на то, что действие плазмона имеет место и в такой плазме, свойства и поведение которой считаются классическими, а характеристики — хорошо известными. Факты таковы, что даже в такой хорошо известной плазме, как плазма дугового разряда, поведение которой считается классическим, максвелловское распределение электронов испытывает квантовомеханические модификации. На рис. 2.3 приведен спектр излучения рубинового лазера, рассеянного на водородной плазме дугового разряда с температурой 7 эВ и плотностью 1016 см-3 [98, 99].
Вместо предполагавшегося плавного распределения интенсивности света, рассеянного под углом 90°, было обнаружено, что интенсивность света представляет собой суперпозицию ряда максимумов и минимумов, расстояние между которыми соответствует половине значения плазменной частоты. Учитывая, что томсоновское рассеяние основано на той части колебательной энергии электронов, которая связана с осцилляциями электронов в поле лазерного излучения, можно предположить, что рассеяние соответствует ’’утечке” интенсивности излучения, когда энергия электронов в плазме равна энергии плазмонов. Это можно объяснить следующим образом. Поскольку эксперименты по фотоэмиссии из металлов [100] подтвердили наличие объемного фотоэффекта [101], а не предполагавшегося ранее поверхностного фотоэффекта [102], то совершенно очевидно, что если электрон имеет энергию, равную энергии плазмона, то обычная средняя длина свободного пробега электрона в металле уменьшается от значения, равного примерно 150 постоянным решетки, до значения, составляющего всего лишь несколько постоянных решетки. То же самое происходит и для плазмы дугового разряда. Максвелловское распределение электронов по энергиям поддерживается достаточно устойчиво, если только при рассеянии электрона его энергия не станет равной энергии плазмона. В этом случае он потеряет свою энер- 29
Рис. 2.4. Квантовомеханические модификации максвелловского распределения электронов плазмы по энергии, связанные с наличием плазмонов [74]:
- максвелловское распределение; -
модифицированное распределение
гию очень быстро, и в максвелловском распределении появятся узкие минимумы (рис. 2.4) [1, с. 28].
Рассмотрим, каковы характерные значения полуширины минимумов в таком распределении. В основу такого рассмотрения естественно положить некоторое характерное время Дг, определяемое квантовомеханическим соотношением
△Ме=Й. (2.13)
Теперь вопрос лишь в том, какое Ы следует использовать для дальнейших оценок. Если в качестве Ы принять время, за которое электроны с тепловой энергией проходят расстояние, равное дебаевской длине, то получается бессмысленное равенство: Де = 1гозр — энергии плазмона. Разумнее исходить из экспериментального факта, полученного в [100] при изучении фотоэмиссии: средняя длина свободного пробега электрона с энергией, равной энергии плазмона, составляет всего несколько расстояний между ионами. Полагая, что она равна десяти расстояниям между ионами, и принимая во внимание характер распределения энергии электронов в области квантовых минимумов максвелловского распределения, можно определить время пролета этого расстояния электронами с тепловой энергией и соответствующую полуширину квантового минимума распределения:
Де = hJlkT/mn^. (2.14)
Для рассмотренного случая дугового разряда (см. рис. 2.3) находим, что Де = 2,2 мэВ.
Для того же случая энергия плазмона равна 3,74 МэВ, что достаточно близко к полученной оценке полуширины квантового минимума в максвелловском распределении. Для дальнейшего уточнения Де следует предположить, что средняя длина свободного пробега электронов несколько меньше и составляет от 3 до 10 расстояний между ионами. Это достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными в [100].
Этот пример наглядно показывает, насколько сложнее в действительности даже такое простое и стационарное состояние плазмы, как низкотемпературная плазма дугового разряда, которое, казалось бы, должно было полностью соответствовать классическому представлению о макс- 30
велловском распределении электронов по энергиям. Уже упомянутые экспериментальные данные [98], рассмотренные с этой же точки зрения, теперь также ясно указывают на очень сложные квантовомеханические модификации состояния плазмы.
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ СДВИГ ВОДОГОДОПОДОБНЫХОПТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ В ПЛАЗМЕ
Из § 2.1 ясно, что дебаевская длина характеризует такое расстояние, в пределах которого нельзя предполагать наличие в плазме равновесия пространственных зарядов, а из § 2.2 — что квантование плазменной частоты может привести к изменению равновесного максвелловского распределения электронов. Ниже рассматривается изменение энергий уровней связанных электронов для атомов или ионов с зарядом Z, находящихся в плазме. Электростатическая энергия, характеризующая сферу с диаметром, равным дебаевской длине,
eD = Ze2(XD (2.15) приводит к изменению энергетических состояний связанных электронов, которое проявляется в виде сдвига спектральных линий и было поэтому названо плазменным поляризационным сдвигом Якоби—Голдсмита [103].
Энергия бр, описываемая уравнением (2.15), также была впервые введена, как ’’уменьшение энергии ионизации”, измеряемой при ионизационном отрыве связанных электронов от ионов в плазме с электронной плотностью пе и температурой Т [104]. Это уменьшение не равно в точности е2/\р но составляет часть данной величины для каждого из электронов, находящихся в пределах сферы с радиусом, равным дебаевской длине. В противном случае при адиабатическом сжатии или расширении плазмы за счет ионизации или рекомбинации происходило бы образование дополнительной энергии. Использование этого сдвига спектральных линий и их уширения является важным инструментом для прямого измерения плотности плазмы, сжимаемой лазерным излучением [105].
Подобный электростатический метод использован и для описания квантовомеханического состояния электрона в кулоновской потенциальной яме, поскольку он дал хорошие результаты при описании уменьшения энергии ионизации атомов в плазме. Его цель состоит в том, чтобы сравнить энергию ев с энергией электронов, находящихся в связанном состоянии в атоме или ионе. Если электрон, находящийся в кулоновском поле Е, созданном Z-протонами, | Е| = Ze/r2, не выходит из пределов сферы радиусом г0, то при уходе электрона из этой сферы на бесконечность выделяется электростатическая энергия, которую можно определить, исходя из максвелловского тензора напряжения
/ E2d3T, d3T = 4irr2dr = . (2.16)
S r0 2r0 v 7
Процедура квантования требует, чтобы удержание электрона в пределах радиуса г соответствовало увеличению его импульса р (или энергии Е = р2/2^, обуславливающей квантовое давление), которое определяется соотношением
г = rih/\J 2тЕ,
где и — числа натурального ряда, л = 1, 2, 3, . . ., °°. Без учета некоторого множителя порядка единицы Е можно определить, как энергию Ферми- Дирака:
Еп = n^W.(2.17)
Отметим, что увеличение es при уменьшении г0 происходит медленнее, чем увеличение Е в зависимости от г. Стационарное решение получено для случая, когда обе энергии равны, т. е. £(г0 = г) = es (г0 = г sy Это происходит при значении rs, равном
_ и2й2 _ и2 г
FS me2Z Z
где rs = г о — боровский радиус, который получается при и = 1 и Z = 1. Из решения уравнения Шредингера хорошо известно, что радиус связанного состояния электрона при п = 2 равен Ф*^, как следует и из (2.17а). Зная г^, можно определить и энергию Е, которая равна Еп в (2.17):
(2.18)(2.18)_ Z2me4 _ Z2 * 13,6 эВ .777
(2.18)
(2.18)
Th2 и2п2
причем для водорода, когда л = 1 и Z = \, Еп = 13,59 эВ. При вычислении энергии электрона в поле иона Не2+ уравнение (2.18) позволяет определить энергию ионизации иона Не+ при и = 1. Эта энергия оказывается равной 54,38 эВ. Для ионов с большим Z подобные вычисления также хорошо согласуются с результатами экспериментальных измерений. Энергия переходов между уровнями п и т задается выражением
Ет- Еп= Z^R f-L - , (2.19)
X т n J
где R — постоянная Ридберга (энергетическая), причем R = те4/(2Л) 2. Например, из серии Лаймана для водорода (Z = 1) при т-1 и и = 2 следует, что Ех - £2 = Ю,24 эВ.
Эта модель позволяет достаточно легко получить ответ на вопрос: почему в плазме электрон не падает на протон? При электростатическом сжатии или расширении системы электрон—протон увеличение значения квантованной энергии, или квантовомеханического давления происходит значительно быстрее, чем увеличение электростатической энергии, а их уравновешивание происходит при £, равной боровскому радиусу. В отличие от боровской модели, используемой при обычном квантовомеханическом рассмотрении системы электрон—протон, в плазме электрон не имеет орбитального движения. Модель квантовомеханического дав- 32
ления имеет то преимущество, что энергия поляризации на один электрон, определяемая уравнением (2.15), может быть введена непосредственно, путем корректировки с ее помощью энергии е^ в плазме. Тогда для электростатической энергии можно записать:
(2.20)(2.20)плазмы— с _ с= ^2_ ^£1.= ^g2(\_ ^
(2.20)
(2.20)
$€S eD ъ \D 2АV \> /
Приравнивая электростатическую энергию (2.20) квантовомеханической (2.17), получаем
n2h22тг2n2h22тг2Ze2 Ze2 ^DZe2 Ze2 ^D
n2h2
2тг2
n2h2
2тг2
Ze2 Ze2 ^D
Ze2 Ze2 ^D
После алгебраических преобразований из этого соотношения легко получить следующее:
(2.21)(2.21)V [,А 8л2Й2 у/2
(2.21)
(2.21)
4 [\Xpe2Z2m )
Тогда энергию состояния с квантовым числом п, ЕП) можно определить из (2.17) с учетом (2.21):
Z2А2^Х
Еп = —-R; А = —~ •(2.22)
П2 [ 1 — (1 — 2Л)1/2 ]27Г72Х^•
Здесь использованы определения комптоновской длины волны, Х^ = = hjmc, постоянной тонкой структуры а = 1/137. Поляризационный сдвиг Еп — Ет имеет тот же порядок величины, что и для приближения малой плотности [103]. Преимуществом выражения (2.22) является явная зависимость Еп от температуры.
Наиболее сильный сдвиг уровней происходит для ограниченного случая, когда А из (2.22) становится равным Л = А*= 1/2. Это означает, что поскольку 24 близко к 1, то
TrXpdZ2
Этот ограниченный случай соответствует наибольшему возможному значению п = п* в плазме, при котором наблюдается эффект исчезновения спектральных линий [103], выведенный теперь аналитически из дебаевской энергии и ставший, таким образом, температурозависимым. Он сводит излучение к инглис-теллеровскому континууму, определяемому штарковским уширением за счет температуронезависимого микрополя (хольцмарковского потенциала). Как показано в [106], сдвиг спектральных линий, определенный из (2.22), в отличие от других моделей находится в прекрасном согласии с положением линий серии Лаймана.
3 — Зак. 1563
ЦИКЛОТРОННАЯ ЧАСТОТА
Весьма важным для плазмы является поведение свободных зарядов (энергии которых описываются обычной функцией распределения или специальным температурным распределением, описанным в § 2.5, или распределением, модифицированным с учетом квантовомеханических эффектов) в магнитном поле Н, которое предполагается пока пространственно однородным и постоянным. Без нарушения общности, скорость v частицы с зарядом е и массой т можно разложить на компоненты Vp - параллельный и vs — перпендикулярный направлению магнитного поля Н. Учет силы Лоренца приводит к следующим уравнениям движения частицы:
d\ т dtd\ т dtе v х Не v х НdNdNdtdt= 0.= 0.(2.23)(2.24)(2.23)(2.24)Отсюда следует, что движение вдоль направления магнитного поля свободно от действия сил. Для движения, перпендикулярного направлению магнитного поля, имеем:Отсюда следует, что движение вдоль направления магнитного поля свободно от действия сил. Для движения, перпендикулярного направлению магнитного поля, имеем:dNSт—dtdNSт—dtе v х Не v х Н(2.25)(2.25)Без нарушения общности рассмотрения, компоненту скорости vs можно выразить через вектор угловой скорости и, направление которого параллельно Н, а модуль равен сос:Без нарушения общности рассмотрения, компоненту скорости vs можно выразить через вектор угловой скорости и, направление которого параллельно Н, а модуль равен сос:v^ = их г; НИиIIг.v^ = их г; НИиIIг.(2.26)(2.26)Из-за постоянства Н угловая скорость и также постоянна, тогда из (2.24) имеем:Из-за постоянства Н угловая скорость и также постоянна, тогда из (2.24) имеем:mux Jr ev^xHe(uxr)xH = — ; mux^ = dtсьce(u x r) x Hmux(uxr) = ?er(uxH) eu(rxH)mu(uxr)- znnr = ——•mux Jr ev^xHe(uxr)xH = — ; mux^ = dtсьce(u x r) x Hmux(uxr) = ?er(uxH) eu(rxH)mu(uxr)- znnr = ——•(2.27)(2.27)Первый член в левой части последнего уравнения равен нулю, поскольку г 1 и, и последний член в правой части также равен нулю, так как Н1 1 г . Принимая во внимание, что u II Н, угловую частоту gdc (модуль и) можно вычислить следующим образом:Первый член в левой части последнего уравнения равен нулю, поскольку г 1 и, и последний член в правой части также равен нулю, так как Н1 1 г . Принимая во внимание, что u II Н, угловую частоту gdc (модуль и) можно вычислить следующим образом:и)с = е | Н | /тс (в системе СГС);и)с = е | Н | /тс (в системе СГС);сос = еН/тсос = еН/т(в системе МКГСС).(в системе МКГСС).(2.28)(2.28)
d\ т dt
d\ т dt
е v х Н
е v х Н
dN
dN
dt
dt
= 0.
= 0.
(2.23)
(2.24)
(2.23)
(2.24)
Отсюда следует, что движение вдоль направления магнитного поля свободно от действия сил. Для движения, перпендикулярного направлению магнитного поля, имеем:
Отсюда следует, что движение вдоль направления магнитного поля свободно от действия сил. Для движения, перпендикулярного направлению магнитного поля, имеем:
dNSт—dt
dNSт—dt
е v х Н
е v х Н
(2.25)
(2.25)
Без нарушения общности рассмотрения, компоненту скорости vs можно выразить через вектор угловой скорости и, направление которого параллельно Н, а модуль равен сос:
Без нарушения общности рассмотрения, компоненту скорости vs можно выразить через вектор угловой скорости и, направление которого параллельно Н, а модуль равен сос:
v^ = их г; НИиIIг.
v^ = их г; НИиIIг.
(2.26)
(2.26)
Из-за постоянства Н угловая скорость и также постоянна, тогда из (2.24) имеем:
Из-за постоянства Н угловая скорость и также постоянна, тогда из (2.24) имеем:
mux Jr ev^xHe(uxr)xH
= — ; mux^ = dtсьc
e(u x r) x H
mux(uxr) = ?
er(uxH) eu(rxH)
mu(uxr)- znnr = ——•
mux Jr ev^xHe(uxr)xH
= — ; mux^ = dtсьc
e(u x r) x H
mux(uxr) = ?
er(uxH) eu(rxH)
mu(uxr)- znnr = ——•
(2.27)
(2.27)
Первый член в левой части последнего уравнения равен нулю, поскольку г 1 и, и последний член в правой части также равен нулю, так как Н1 1 г . Принимая во внимание, что u II Н, угловую частоту gdc (модуль и) можно вычислить следующим образом:
Первый член в левой части последнего уравнения равен нулю, поскольку г 1 и, и последний член в правой части также равен нулю, так как Н1 1 г . Принимая во внимание, что u II Н, угловую частоту gdc (модуль и) можно вычислить следующим образом:
и)с = е | Н | /тс (в системе СГС);
и)с = е | Н | /тс (в системе СГС);
сос = еН/т
сос = еН/т
(в системе МКГСС).
(в системе МКГСС).
(2.28)
(2.28)
Эта частота называется циклотронной, гироскопической или ларморовской частотой.
Свободным от действия сил является не только движение вдоль направления магнитного поля, но и вращение вокруг магнитной силовой линии. Радиус такого вращения
rL = vs/а>с =vsmc(e\H\ (в системе СГС);
*(2.28а)
rL = vm/e | Н |(в системе МКГСС).
Этот радиус называют гироскопическим или ларморовским радиусом. Захват электронов и ионов плазмы силовыми линиями магнитного поля используется в установках управляемого термоядерного синтеза. Задача лишь в том, чтобы использовать магнитное поле с замкнутыми силовыми линиями, как, например, в тороидальном соленоиде. Поскольку выполнение условия полной начальной однородности поля невозможно, предотвратить дрейф ионов можно, лишь смещая магнитное поле. Частицы могли бы остаться захваченными магнитными силовыми линиями, если бы не подвергались столкновениям, которые заставляют их диффундировать поперек направления магнитного поля. Было обнаружено, однако, что, вместо того чтобы следовать классическому описанию, диффузия в плазме происходит значительно быстрее [107], как в модели бомовской диффузии, так и в случае более медленной диффузии Пфирша—Шлюттера. Такие в высшей степени сложные проблемы, которые характерны для процессов удержания плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза с магнитным удержанием, здесь не рассматриваются.
СТОЛКНОВЕНИЯ
Важной количественной характеристикой плазмы, взятой из микроскопической теории — классической и квантовомеханической — является частота столкновений частиц плазмы. Она была затем использована и в макроскопической гидродинамике плазмы. Теперь уже достаточно хорошо известно, что рассмотренная ниже очень простая, даже примитивная модель столкновений, действительно, справедлива и достаточно хорошо воспроизводит основные свойства столкновительных процессов большинства теоретических моделей. Как видно из рис. 2.5, кулоновское взаимодействие электрона с положительным ионом можно описать при помощи аппроксимации движения электрона гиперболической траекторией, причем угол отклонения электрона ф соответствует его начальной скорости ve и расстоянию прохождения от положительного заряда г0.
Кулоновская сила f, действующая между электроном и ионом с зарядом Z, определяется расстоянием г между ними:
f = -Ze2 г/г3.(2.29)
Взаимодействие происходит в основном за время
t = r0/v,(2.29а)
з*з*35
з*
з*
. ,.Ze2Д (mv Л es mv es Г О**. ,.Ze2Д (mv Л es mv es Г О**Ze2 го = — mvZe2 го = — mv(2.31)(2.31)
. ,.Ze2
Д (mv Л es mv es Г О**
. ,.Ze2
Д (mv Л es mv es Г О**
Ze2 го = — mv
Ze2 го = — mv
(2.31)
(2.31)
Рис. 2.5. Кулоновское взаимодействие электрона с ионом
за которое импульс электрона изменяется на значение
(2.30)(2.30)Д(тг) =|fr| = Ze2/roy .
(2.30)
(2.30)
Целью данного рассмотрения является описание процесса рассеяния электрона на угол 90°. Изменение импульса при этом равно его первоначальному значению:
Сечение взаимодействия при этом оказывается равным
Р = яг2 =Р = яг2 =72_в4 z лет2у472_в4 z лет2у4(2.32)(2.32)
Р = яг2 =
Р = яг2 =
72_в4 z ле
т2у4
72_в4 z ле
т2у4
(2.32)
(2.32)
(2.33)(2.33)Для плазмы с ионной плотностью и. = ne/Z частота электрон-ионных столкновений
(2.33)
(2.33)
vei = n^v = Zneite^/m2v3.
Если выразить среднюю скорость электрона v через электронную температуру плазмы, то (2.33) примет следующий вид:
(2.34)(2.34)2иеле43-3^2
(2.34)
(2.34)
е/ т1/2^3/2
Наиболее вероятная для процесса столкновений скорость определяется из равенства гор^/2 = 3^772. Она не соответствует использованному значению средней энергии Е = кТ. Хотя здесь было рассмотрено очень грубое описание процесса рассеяния с отклонением электронов на угол 90°, вычисленное значение частоты электрон-ионных столкновений находится в хорошем согласии с точными классическими расчетами [108], в которых были учтены акты рассеяния на малые углы. В данной работе были включены в рассмотрение и столкновения электронов с электронами. Это привело к получению корректировочного множителя y^(Z), значение которого находится в пределах от 0,5 для водорода до 1 для ионов с большим Z, так что в большинстве случаев им можно пренебречь. В [108] получено следующее выражение для частоты электрон-электронных столкновений:
»е Zi?IV\nN»е Zi?IV\nNVe №312 m*/22s/27e (Z)Ve №312 m*/22s/27e (Z)(2.35)(2.35)
»е Zi?IV\nN
»е Zi?IV\nN
Ve №312 m*/22s/27e (Z)
Ve №312 m*/22s/27e (Z)
(2.35)
(2.35)
где InA — кулоновский логарифм, который определяется выражением
л = 2^_'ол = 2^_'о3 Г к3Т3 \ 1/2 2Ze3 I ^ /3 Г к3Т3 \ 1/2 2Ze3 I ^ /(2.36)(2.36)
л = 2^_'о
л = 2^_'о
3 Г к3Т3 \ 1/2 2Ze3 I ^ /
3 Г к3Т3 \ 1/2 2Ze3 I ^ /
(2.36)
(2.36)
Значение кулоновского логарифма лежит в интервале от 5 до 20, так что различие между точным выражением (2.35) и достаточно грубой оценкой (2.34) на самом деле удивительно мало. Численное значение спитцеровской частоты электронных столкновений можно найти из следующей формулы:
Zne ( ш ГЛ2 ^
ре = 8,64.-Ю"7Ц™ In 1,55 -Ю10 —^уу,(2.37)
7 ^Z^T3^\Zn1'2
где электронная температура Те, эВ, а электронная плотность пе, см'3.
Зная частоту электронных столкновений ve, вычислим удельное электрическое сопротивление плазмы 1/а. С учетом средней длины свободного пробега
(2.38)(2.38)I = v/ve.
(2.38)
(2.38)
для скорости дрейфа электрона v^ в электрическом поле с напряженностью Е запишем:
dN^dt = eE/m.(2.39)
Тогда средняя скорость дрейфа в промежутке между двумя столкновениями
( vn = — • D2m ve
С учетом этого можно теперь вычислить и плотность тока j:
(2.40)
j = eneND = аЕ;
иее2Е j = -; = ОБ.
(2.41)
Здесь использованы определение электропроводности о в соответствии с законом Ома и формула (3.40). Используя упрощенную зависимость для частоты столкновений, выражение для электропроводности запишем в виде
(2.42)(2.42)3 (к Г) 3/22Z\/^/3 7re2
(2.42)
(2.42)
или, если подставить численные значения констант,
о = —^— • 1,93 • 108 (в системе СГС);
3/2(2*43)
а = -^- -2,14- 1(Г4 (Ом’1 см"1).
В обоих случаях температура выражена в кельвинах. Если использовать значения температуры в электрон-вольтах, то численное значение электропроводности, Ом-1 • см-1 :
гЗ/2
° = — 268,
а удельное электрическое сопротивление 1/а, Ом • см,
1/о = -4тг4,66 - 103.
При использовании спитцеровской частоты столкновений (2.35) и температуры в кельвинах
V»- ^ ^>3-0810’-<i44>
Примечательно, что, согласно проведенным оценкам, электропроводность полностью ионизованной плазмы правильно отражает характер полученных зависимостей для кулоновской частоты столкновений частиц плазмы. При учете высокочастотных столкновений, свойства которых определяются оптическими константами, получаемыми из теории обратного тормозного эффекта, становится возможным и сопоставление полученных результатов с частотой столкновений, полученной из квантовомеханического рассмотрения. Это сделано ниже, в связи с вопросами теории показателя преломления плазмы.
Удельное электрическое сопротивление плазмы (2.22) не зависит от ее электронной плотности. Сравнивая проводимость плазмы с проводимостью металлов (например, для такого хорошего проводника/как алюминий, проводимость а = 36 • 104 Ом1 • см-1), легко увидеть, что их величины сравниваются при температуре плазмы в области от 20 до 100 эВ (от 200 тыс. до 1 млн. Кельвинов).
С этой точки зрения следует рассмотреть и некоторые физические процессы, происходящие в металлах. В металлах почти полностью свободные электроны проводимости тоже претерпевают кулоновские столкновения. Когда в начале нашего столетия Друд и Лоренц создавали электронную теорию металлов, они вычислили частоту кулоновских столкновений электронов примерно подобным же образом, как это было сделано несколько выше для плазмы. Однако, если в (2.42) подставить значение комнатной температуры, то получается значение проводимости в 106 раз меньше ее экспериментально измеренного значения. Этот результат связан с тем, что в таком рассмотрении не были учтены квантовомеханические свойства электронов. Планковское открытие, что все ко-
личественные явления, имеющие размерность действия, имеют атомистическую природу (квантуются), приводит к выводу о соотношении координаты и импульса электронов. Если электрон сконцентрирован в объеме с характерным размером х, то его импульс вдоль любого направления р должен быть таким, чтобы соответствующая энергия Е соответствовала значению, определяемому (2.17).
Значение энергии Ферми Ер, которое в точности равно энергии Е из (2.17) для сферической геометрии, тогда можно определить из следующего соотношения:
EF = — п113 . (2.45)
Г 2т е 4
Это определение справедливо и для плазмы с высокой плотностью. Если любую плазму сжать до такой плотности, что энергия Ферми для электронов становится больше их тепловой энергии, то такие электроны являются Ферми-вырожденными. По отношению к характеру увеличения энергии Ферми сжатие такой вырожденной плазмы является адиабатическим. Это проявляется в степени сжимаемости такой плазмы, которая по порядку величины равна сжимаемости твердого тела. Тот факт, что в атоме или в твердом теле электроны нельзя сжать столь же легко, как в разреженном газе, объясняется наличием давления Ферми.
Значение энергии Ферми для металлов составляет от 6 до 20 эВ. Понятно поэтому, что когда электроны проводимости металлов взаимодействуют с электрическим полем, то поведение их таково, как если бы они имели температуру примерно в 100 тыс. Кельвинов. Если теперь вернуться к оценкам электропроводности по формуле (2.42), то она становится уже гораздо ближе к измеренным значениям, хотя еще и превышает их примерно в 10 раз. Это превышение обусловлено наличием так называемой эффективной массы электронов проводимости (см. приложение 1), которая значительно больше массы электрона в плазме, которая равна массе электрона в вакууме т. Чтобы объяснить измеренное высокое значение электропроводности, соотношение этих масс должно, действительно, составлять примерно порядок величины. Еще одно замечание — это необходимость определения кулоновского логарифма из более точного выражения (2.42). Теория ограничивает минимальное значение кулоновского логарифма в пределах от 2 до 3. Для очень больших значений электронной плотности в металлах и температуры порядка 10 эВ следует провести коррекцию кулоновского логарифма, значение которого может при этом изменяться в пределах порядка величины.
Обычный вывод частоты столкновений ve (2.37) основан на использовании столкновительного интеграла из уравнения Больцмана. В то время как в [108] была рассмотрена специальная процедура квантовомеханической коррекции кулоновского логарифма (которая для рассматриваемого случая пренебрежимо мала), в усложненной процедуре с использованием столкновительного интеграла Больцмана необходимость коррекции величины ve отпадает. Использованная в данной главе упрощенная модель столкновений с рассеянием на угол 90° непосред-
ственно привела к квантовомеханическому обобщению параметра столкновений:
гБ 7*7(427) =Ze2l(3kT);
. = 'б1 = .
° 2Z (1+4Т/Г*)1/2 - 1
если Т < Т*;
,»(246)
4Z2mr
если Т > Т*,
где использованы определения Боровского радиуса, гБ -^Ime1, постоянной тонкой структуры а = e^fhc и критической температуры Т*:
(2.47)(2.47)Т* = 4Z2wc2a2/(3K) = Z2 • 4,176 • 10s (К).
(2.47)
(2.47)
Для Т < Т* эта формула описывает классический случай [см. (2.31)], тогда как противоположный случай квантовомеханических столкновений приводит к следующей зависимости для частоты столкновений:
vei = х/ ЗкТ/тпvei = х/ ЗкТ/тп^г^пе 4z4\A+4T/T* - I)2^г^пе 4z4\A+4T/T* - I)2
vei = х/ ЗкТ/тп
vei = х/ ЗкТ/тп
^г^пе 4z4\A+4T/T* - I)2
^г^пе 4z4\A+4T/T* - I)2
Zixe^ ^З2/2^/2 (кТ^^Zixe^ ^З2/2^/2 (кТ^^= vei > если Т < Т*;= vei > если Т < Т*;(2.48)(2.48)
Zixe^ ^
З2/2^/2 (кТ^^
Zixe^ ^
З2/2^/2 (кТ^^
= vei > если Т < Т*;
= vei > если Т < Т*;
(2.48)
(2.48)
VeiT/T*, если Г > Г*,
где vei — классическая частота соударений, определяемая выражением (2.34). Эта квантовомеханическая коррекция не была использована в численных расчетах, опубликованных ранее. Ею можно пренебрегать в большинстве рассматриваемых случаев, когда преобладающими являются нелинейные электродинамические сиды, в том числе и в столкнови- тельных процессах.
Глава 3
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Несмотря на то что последующее рассмотрение процессов взаимодействия лазерного излучения с плазмой будет проведено в рамках макроскопического гидродинамического описания плазмы, для понимания ряда явлений необходимо знать некоторые основы кинетической теории плазмы. Их рассмотрению и посвящена данная глава. Читатель, которого в большей степени интересуют экспериментальные или инженерные аспекты физики лазерной плазмы, может эту главу пропустить.
Кинетическая теория, или теория явлений, описываемых кинетическими уравнениями, является связующим звеном между одночастичным 40
описанием в микроскопической теории плазмы и макроскопическим гидродинамическим описанием, в котором используется свойство непрерывности таких величин, как плотность частиц, их скорость и температура. Здесь имеются определенные трудности, в частности при определении температуры, как макроскопической характеристики плазмы, когда тепловое равновесие отсутствует, а микроскопическое рассмотрение показывает различие температур электронной и ионной компонент плазмы.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для определенного упрощения рассмотрения кинетической теории, в данном параграфе дано априорное описание ее основ. Сразу же следует подчеркнуть, что нет никакой необходимости связывать функцию распределения — в философском смысле — с определенной вероятностью, неопределенностью или неточностями. Если необходимо получить среднее значение для ансамбля Nцелых величин а., то по определению
N 2 а.
М =-(3.1)
Если имеется несколько одинаковых целых величин, то в каждом микроансамбле их можно упорядочить, пометив другим индексом — /, / = 1, 2, . . ., п, а число элементов в каждом микроансамбле обозначить символом /у . Тогда задача нахождения среднего значения для заданного ансамбля решается несколько иначе, чем (3.1):
м = Sf .(3.2)
i =1 1 V i=l 1
С помощью набора значений f. или в непрерывном случае - функции распределения / (х), среднее значение а (х) можно определить следующим образом:
< а > = И^а ^dx/M^dx.(3.3)
Подобным же образом можно упростить и микроскопическое описание системы из N частиц с помощью 3N дифференциальных уравнений (2.1). Для этого используется следующая процедура: конфигурационное пространство разбивается на ячейки с объемом d3r = ^хх(1х^Хз в окрестности точек с различными координатами х, а пространство скоростей — на ячейки с объемом d3w = dwxdw2dw3 в окрестности точек с координатой w. Теперь вместо описания каждой из N частиц с помощью системы дифференциальных уравнений (2.1) следует выяснить, сколько частиц в различные моменты времени находится в данных ячейках, если для них справедлива функция распределения
(3.4)41(3.4)41/(хь х2, х3, V,, v2, v3, t^d3xd3v.
(3.4)
41
(3.4)
41
В соответствии со сделанными определениями, плотность частиц (число частиц в* 1 см3) с индексами е и i (электронов и ионов плазмы) равна:
ИеДг, О = /И/(г, w, t)d3w.(3.5)
Используя определение (3.3), получим среднее значение любой физической величины С (г, w, Г), зависящей от скорости wb точке г в момент времени t:
+ ОО
Ж70 =.(3.6)
/ // /(r,w,O^3w
Соответственно средняя скорость N частиц в точке г в момент времени t
$ И w/(r, w, 0^3w
v(r, О =.(3.7)
$ И /(r,w,O^3w
Если Q(w) не зависит от г и Г, то используя определение (3.5), получим следующие соотношения:
/ 0(w) ^—d3w = ^/ Q(w)/d3vv = ^ (nQ);(3.8)
ototot
JQ(w)wVfd3w = V * / C(w)wfJ3w = V^wQ),(3.9)
где использован векторный оператор V = (d/d^; Э/Эх*Э/Эх3).
Используя обобщенную векторную функцию F и оператор vw = = (d/dw^ d/dw2; d/dw3), находим:
je(w)F(r,w)- Vwfd3w = ~SfVw • |p(r,w)e(w)Jd3w,
а с учетом сходимости выражения (3.5) интегрирование в пределах от —°° до +°° дает
/C(w)F(r,w,0- vwfd3w = -и vw AFQY(3.10)
Таким образом, на основе тривиального утверждения о том, что если нет изменений некоторой функции распределения, то и явная зависимость от времени для нее отсутствует, т. е. полная производная / обращается в нуль,
4 Г(3.11)
что дает кинетическое уравнение для функции распределения / вида 42
(3.10). Учитывая все семь переменных функций / [см. (3.4)] и используя определение частной производной, выражение (3.11) можно раскрыть следующим образом:
dt J dt J dx, J dt dx2 J dt dx3 dr
ЭdwiAdw2Яdw3
+f’(312)
dwjdrdw2drdw3dr
или, если использовать определение вектора скорости w = (dx/dr; dy/dr; dz/dr) и плотности силы
F = m-|^w(3.13)
и учесть, что все частицы имеют одну и ту же (или среднюю) массу т, можно получить уравнение
F
V„/=O,(3.14)
которое обычно и называют кинетическим уравнением или уравнением Власова (сила F имеет электромагнитную природу). Точнее, поскольку
F =е^Е + ”wxH^,(3.14а)
где Е — напряженность электрического поля, Н — напряженность магнитного поля, а с — скорость света, то уравнение Власова имеет следующий вид:
-^ + w- V/ + —( Е + —wxh) • V / = 0. (3.15) dr т \ с I w
Если / зависит явным образом от времени, то полная производная (3.11) не равна нулю, а определяется изменением функции в результате столкновений (индекс ”с”). В этом случае уравнение (3.14) трансформируется в уравнение Больцмана:
^ + w . V/ + -^vwf = ед^с.(3.16)
Теперь необходимо определить столкновительный член в правой части (3.16). При столкновении нейтральных атомов он имеет вид
(3.17)(3.17)о//эг)с = bi_L
(3.17)
(3.17)
(столкновительный член Крука), где f - функция распределения нейтральных атомов, т - среднее время столкновений.
Для кулоновских столкновений (3.16) можно аппроксимировать с помощью модели двойных столкновений, описываемых уравнением Фоккера—Планка:
= £ (-1}” Э”dt п = \ п\ ^р^Эр^ ’” ^in= £ (-1}” Э”dt п = \ п\ ^р^Эр^ ’” ^in(«(m/)’(«(m/)’(Ц= 1,2,(Ц= 1,2,.,л), (3.18).,л), (3.18)
= £ (-1}” Э”
dt п = \ п\ ^р^Эр^ ’” ^in
= £ (-1}” Э”
dt п = \ п\ ^р^Эр^ ’” ^in
(«(m/)’
(«(m/)’
(Ц= 1,2,
(Ц= 1,2,
.,л), (3.18)
.,л), (3.18)
где (а/) — коэффициенты Фоккера—Планка [109].
Здесь следует вспомнить теорему Лиувилля (не вдаваясь в подробности), согласно которой для замкнутой системы функция распределения / постоянна вдоль динамической траектории, т. е. объем d3rd3w, в котором находится заданное число частиц, не изменяется во времени, если частицы не взаимодействуют друг с другом.
Несмотря на то что кинетические уравнения обеспечивают возможность рассмотрения свойств неравновесной плазмы при отсутствии теплового равновесия ее компонент, наиболее важное значение имеет получение функции распределения для равновесных условий. Если произвести нормировку функции распределения / в каждой точке плазмы, имеющей определенное значение плотностип(г , г), так, что
Дг, v, 0 = п^т, OfM(r, v, Г),(3.19)
то для равновесных условий множитель Д- описывает максвелловское распределение (распределение Максвелла—Больцмана, см. приложение Б):
fM = (^/27r^7)3/2exp(-w2/vp,(3.20)
где к — постоянная Больцмана, a vT = (2kT/m) ^2 — средняя скорость теплового движения. Уравнение (3.20) учитывает как положительные, так и отрицательные компоненты скорости. На основе использования абсолютного значения скорости w можно получить другое распределение g(w):
J g(w)dw = / /(w>Z3w,J g(w)dw = / /(w>Z3w,оо(3.21)(3.21)
J g(w)dw = / /(w>Z3w,
J g(w)dw = / /(w>Z3w,
о
о
(3.21)
(3.21)
где
(3.22)(3.22)g(w) = 4яи(г, tXm/^kT)3,2w3 exp(-w2/p^)
(3.22)
(3.22)
имеет иной вид по сравнению с распределением /, определяемым выражениями (3.19) и (3.20).
ПОТЕРЯ ИНФОРМАЦИИ
Описания сущности кинетических уравнений, приведенных в § 3.1, вполне достаточно для понимания вывода уравнений, описывающих макроскопические свойства плазмы, которые приведены в § 3.3. Ниже рассмотрены основные проблемы собственно кинетической теории, полезные при рассмотрении физических процессов, происходящих в лазерной плазме. Основным вопросом, который в свое время был поставлен еще 44
самим Больцманом, была разработка такого описания процесса столкновений, в котором временем столкновения можно было бы пренебречь. Вывод уравнения Больцмана может быть основан на обобщенной функции Лиувилля для распределения N частиц:
^Ол, г,. ..., TN, W1( w2wN, 0,(3.23)
которая дает совокупную вероятность обнаружить частицу 7 в точке с координатой Г! со скоростью w1? а частицу N в точке г^ со скоростью ^. Функция распределения / для отдельной частицы определяет вероятность обнаружения этой частицы в точке г со скоростью wb момент времени Г, которую можно определить, проинтегрировав (3.23) по всем переменным (сначала по пространственным координатам):
/(г, w,f) = /d3r2... ^r^wt ... d3wNF(ii ... r^, w, ... w^).
(3-24)
Если частицы движутся независимо, то можно провести разложение функции распределения:
F(ri ... TN, w, ... w^, 0 = Яп, wb 0 f(rN, wN, Г) =
= fN(r, w, t).(3.25)
По определению функция F удовлетворяет уравнению Лиувилля:
dF/dr + [F, Я] = 0,(3.26)
где скобка Пуассона F с гамильтонианом Н для замкнутой системы имеет вид
tE.N / ЭЯ bF bH bF А„
1 \ I I
Используя уравнения Гамильтона
q. = ЬН/Ьр(; р. = — bH/bq.
и возвращаясь от обобщенных координат q. к декартовым х,- и от обобщенного импульса р. к скорости w [или к обычным ускорениями силам, используемым, например, в уравнениях (3.13) и (3.27)], запишем
Nр
[F, Я] = S w. • VF + — • VwiF, f = 1 1т wi(з 28)
после чего (3.26) приобретает вид
bF
_^F+V/.7F + L_. ^.F =0.(3.29)
Интегрирование (3.24) по TV— 1 координатам приводит к следующему виду бесстолкновительного уравнения Больцмана:
^ + vV/ + f- -V / = 0.(3.30)
btт v
Как было показано в [110], использование Для описания некоторой системы кинетических уравнений имеет принципиальные недостатки, связанные с потерей информации о ее первоначальном состоянии. Приближение (3.25) в этом смысле является особенно сильным ограничением. Имеются серьезные сомнения: адекватно ли уравнение Лиувилля (3.26) для обобщенной функции F какой-либо реальной термодинамической системе [ 111 ]. Впоследствии в [110] был сделан достаточно осторожный вывод кинетической модели для разреженного газа, когда тройными столкновениями и столкновениями более высокого порядка можно пренебречь. Однако в лазерной плазме из-за ее высокой плотности тройные столкновения играют существенную роль (см., например, результаты [112]), а значительный вклад трехчастичной рекомбинации [ИЗ] наблюдался уже в самых ранних экспериментах с лазерной плазмой [114]. Последовательное описание связанных с этим основных проблем, сделанное в рамках теоретического рассмотрения Лагранжа—Гамильтона на основе принципа Даламбера, приведено в [115].
Если имеются значительные сомнения против использования макроскопического гидродинамического описания, то все перечисленные выше факторы следует учитывать особенно внимательно. В кинетических моделях еще есть много неясного, особенно для лазерной плазмы высокой плотности. Возвращение от них к одночастичному описанию в рамках микроскопических моделей, основанных на уравнении (2.1), затруднено из-за ограниченных возможностей ЭВМ, необходимости пренебрегать процессами рассеяния на малые углы и использовать соответствующее весьма грубое описание кулоновских столкновений, а также из-за отсутствия правильного учета коллективных эффектов.
ПЕРЕХОД К МАКРОСКОПИЧЕСКОМУ ОПИСАНИЮ ПЛАЗМЫ
Вывод основных уравнений, используемых для макроскопического описания плазмы, проведен ниже на основе рассмотрения и последующего интегрирования уравнения Больцмана (3.16):
Wt + w • V/ + ^4j = (Э//дОс. (3.31) Каждый член этого уравнения может быть проинтегрирован по всему пространству скоростей d3w, если справедливо предположение об отсутствии каких-либо сил, зависящих от скорости. Тогда, в соответствии с определением Герца [115], такие силы можно считать голономными.
При интегрировании первого члена в (3.31) от -°° до +°° в соответствии с (3.5) получаем
При интегрировании второго члена (3.31) с учетом условия (3.9) при 0 = 1 имеем
(3.33)(3.33)J w- Vfdw = V- (nw) = V- nv.
(3.33)
(3.33)
где использовано разложение скорости частицы w на скорость дрейфа v и скорость хаотического теплового движения и:
w = v + и,(3.34)
причем
и = 0.(3.35)
Интегрирование третьего члена уравнения (3.31) [см. также (3.16)] с учетом условия (3.10) при Q = 1 приводит к следующему результату:
; V Vw^^ = -H^Fd^w = -n^F = 0.
Нулевое значение полученного выражения связано с тем, что ранее предполагалась независимость сил F от скорости (их голономность). Правая часть уравнения (3.31) при интегрировании также обращается в нуль
/°° (bf/^Oc^w = 0,(3.36)
поскольку из-за столкновений полное число частиц в кубическом сантиметре, л, измениться (в среднем) не может.
Суммирование полученных интегралов для всех членов уравнения (3.31) приводит к интегральному уравнению Больцмана относительно скорости:
-^ п + V- nv = О,(3.37)
которое является гидродинамическим уравнением непрерывности (уравнением, описывающим сохранение массы).
Если провести подобное интегрирование уравнения Больцмана, но уже после умножения всех его членов на импульс (mw), то можно получить гидродинамическое уравнение движения (уравнение, описывающее закон сохранения импульса). Действуя таким образом, из (3.31) получаем
/ mw — fd3 w + / тww • V fd3 w + / mw — Vw fd3 w =
= / mw^№t)cd3w.(3.38)
Используя, как и раньше, условия от (3.7) до (3.10), с учетом, что теперь
Q(w) -mw,(3.39)
можно найти значения интегралов всех членов уравнения (3.31). В соответствии с (3.7), первый интеграл
I = /mw ^— fd3w = -|^(Azmw).(3.40)
47
Использование разложения скорости на дрейфовую г и хаотическую тепловую и компоненты, в соответствии с (3.34), приводит к более простому выражению:
I = тп ^ (г + и) + О' + w)-^~ тп>(3-41)
а с учетом того, что и= О,
I = тп г + v^— тп.(3.42)
dr dr
Для второго интеграла с учетом условий (3.8), (3.34) и (3.39) имеем
II = / mww • V fd3 w = V • пwmw = V • пт (у + и) (г + и) =
= 4nm\vv + ии + vu + иг],(3.43)
где два последних парных члена являются нулевыми (и = 0). Более того, дальнейшие преобразования дают:
II = vv- Vmn + mnv- ^v + mnv^v + V • mnuu.(3.44)
Для последующего суммирования интегралов I и II важно то, что вследствие сохранения массы в пределах одного и того же элемента объема при рассматриваемом движении, второй член в выражении (3.42) и первый член в выражении (3.44) являются нулевыми (полный дифференциал по времени в явном виде):
v^—mn + vv • ^тп = v^-mn = 0.(3.45)
drdtх
Третий член правой части уравнения (3.44) для интеграла II есть
mnv V- v = -v^-mn - mvv- Vn.(3.46)
dr
Это выражение получено с учетом (3.37), которое описывает адиабатический нагрев, после компенсации первого члена в (3.44) последним членом (3.46). Для четвертого члена в (3.44) после преобразований получим
V mnuu = Vo 2mn--i?\ = VnkT,(3.47)
где использованы единичный тензор
1 = hh + 12 h + 1з 1з(3.48)
и интерпретация энергии случайного движения пт и2 /2 = ^— кТ как внутренней энергии.
Третий интеграл с учетом условий (3.9), (3.10) и (3.39)
Fа
III = /mw — 4wfcrw = -п V- Fw = -nF- Vw-nw V • F. IVIVIVIV
(3.49)
С учетом условия (3.14а) итого, что Vw*w =0, имеем
Vw • F = 0,(3.50)
т. е. второй член в (3.49) должен исчезнуть. Тензор первого члена в выражении для интеграла III можно раскрыть следующим образом:
. . . а , .. а . . . а .
аа , .. а
Очевидно, что в декартовых координатах все недиагональные члены данного тензора исчезают. Поэтому, используя (3.48),выражение (3.49) приведем к виду
С = -nF-\ = -nF,(3.51)
так как V^w = 1.
Для сил, действующих в плазме, запишем.
F = ZeE + -y-vxH + F„(3.52)
где Z — заряд ионов (и соответствующее число свободных электронов на 1 ион), a Fg — обобщенная суперпозиция сил гравитации, кориолисовых и др.
Последний интеграл в уравнении (3.38)
IV = Jmw(df/dOcd3w(3.53)
есть не что иное, как чистый момент на единицу объема, переданный ионам в результате их столкновений с электронами
Г = Pie.(3.54)
Если какая-либо асимметрия в функции распределения электронов отсутствует, то
Pie = 0.(3.55)
Это не так, если, например, в плазме происходит распространение электронного пучка.
Суммируя интегралы I — IV, получаем д/ 3\
+mnZe^E + -~ vxH+mnZe^E + -~ vxHтп-т— v + тиу- Vv = VI — пкТ } + drV 2/
+mnZe^E + -~ vxH
+mnZe^E + -~ vxH
+ mnFg,(3.56)
причем здесь второй член интеграла I (3.42) и первый член интеграла
49494 —Зак. 1563
49
49
II (3.44) исключены в соответствии с условием (3.45) и характером первого и второго членов интеграла II (3.44). С учетом сказанного выше, макроскопическое (гидродинамическое) уравнение движения приобретает вид
тп Д- v + тпv • Vv = — V— пкТ +dr2тп Д- v + тпv • Vv = — V— пкТ +dr2mnZe Е +mnZe Е +—vxH с—vxH с+ mnEg, (3.57)+ mnEg, (3.57)
тп Д- v + тпv • Vv = — V— пкТ +dr2
тп Д- v + тпv • Vv = — V— пкТ +dr2
mnZe Е +
mnZe Е +
—vxH с
—vxH с
+ mnEg, (3.57)
+ mnEg, (3.57)
или
(3.58)(3.58)тпД-\ = f, dt
(3.58)
(3.58)
где f — плотность силы.
Для безвихревого стационарного движения (d/dr=O) в отсутствие внешних сил Fg и полей Е и Н из (3.56) непосредственно получаем уравнение Бернулли:
(3.59)(3.59)v(—nkT + ^Р2) = 0
(3.59)
(3.59)
X 22/
а с учетом давления р = пкТ и плотности р = пт после интегрирования оно приобретает вид
(3.60)(3.60)р + -у V2 = const.
(3.60)
(3.60)
ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ
В [116] Ландау проведено исследование поведения функции распределения электронов в плазме при ее небольших изменениях за счет теплопроводности. В отсутствие какой-либо диссипации или переноса энергии, возвращение системы в невозмущенное состояние связано с процессом затухающих колебаний. Более наглядно это можно представить себе следующим образом. Предположим, что в плазме нет ни электрического, ни магнитного полей (Ео = Но = 0), за исключением некоторых элементов объема, где имеются достаточно слабые локальные поля, связанные с турбулентностью плазмы. Равновесное распределение электронов плазмы является максвелловским [/о(у) L см- (3.20). При наличии турбулентностей, в области которых электроны описываются другой функцией распределения, /(г, v, t), общий вид функции распределения можно получить с помощью их линейной суперпозиции:
/(г, г, г) =/0(w) + Л(^ w, г).(3.61)
При отсутствии столкновений (3.61) переходит в уравнение Власова первого порядка (3.14):
4^-+ V- V/1 - — Ei . V fo = о,(3.62)
Otт*х
где электрическое поле Ej обусловлено турбулентностью, аД по срав- 50
нению с /о в первом члене (3.62) можно пренебречь. Если для /1 и Е! использовать их описание в виде плоских волн, распространяющихся в направлении х, т. е.
/1 = Л о ехР i (^ “ 00 О ; ^х = ^хоехР 1 (кх - соГ)(3.63)
(здесь к - из! с — волновое число, со — круговая частота, с — скорость волны), то (3.63) трансформируется в соотношение
ео
~^fx + \kvxfx = — Ех^— ,(3.64)
тovx
ИЛИ
(3.64а)(3.64а)\еЕх Ъ/^/Ъх ^х т (со - kvx^
(3.64а)
(3.64а)
Используя уравнение Пуассона для возмущения плотности пх, полу
чаем
V • Е = \кЕх = -4nent = -4m? J f td3v .(3.65)
Подставляя (3.64) и значение Ех из (3.65) в интеграл (3.65), приводим его к виду
1 = -1 = -(3.66)(3.66)4 ле 2 +°° d/0/dvx
1 = -
1 = -
(3.66)
(3.66)
—— /Г—d v
кт -оо со - kvx
Этот интеграл должен иметь конечное значение, но так как любое реальное значение со приводит к его расходимости, то ничего не остается кроме того, чтобы предположить, что со является величиной комплексной, а ее мнимая часть обуславливает затухание колебаний.
нулемала,нулемала,Вычисление интеграла (3.66) с помощью теоремы Коши о вычетах провести нелегко, поскольку значение интеграла вдоль дуги для неограниченного модуля | v | комплексной величины гх не является вым. Только в случае, когда мнимая часть со в (3.66) очень можно получить достаточно хорошую аппроксимацию (3.66):
нулемала,
нулемала,
(3.67)(3.67)I ^Рdfo
(3.67)
(3.67)
1 = —+ 1л —г,
со2к2 0V
где Гф - определена из условия Re (со) -A:Re(vx) = 0, а со^ - плазменная частота.
Отсюда следует, что частота колебаний описывается следующей зависимостью:
СО — СОрСО — СОр(3.68)(3.68)со2
СО — СОр
СО — СОр
(3.68)
(3.68)
1 +
2 кTJ
Этот результат показывает, что образование возмущения в распределении электронов приводит к возникновению колебаний с частотой сор
4*4*51
4*
4*
(как это было показано в § 2.1), и если возмущение было однократным, то такие колебания быстро затухают, даже при отсутствии обмена энергией. Отсюда хорошо видно, что плазма обладает свойством самоста- билизации.
Если теперь учесть наличие столкновений, то затухание Ландау может привести к существенной модификации обычного процесса поглощения. Особенно сильно этот эффект проявляется при близких значениях длины волны электромагнитного излучения и дебаевской длины. Однако реально длина волны используемого лазерного излучения обычно близка к видимому диапазону, а плотность плазмы близка к плотности твердого тела и даже выше ее; поэтому даже при экстремально высокой температуре плазмы значение дебаевской длины в 100 раз меньше X.
С точки зрения кинетической теории, результаты, полученные в данном параграфе, которые являются основой макроскопического описания плазмы, можно резюмировать следующим образом. Наиболее общее (микроскопическое) описание плазмы как системы из N частиц ограничено возможностями ЭВМ и является не вполне точным из-за некоторых используемых ограничений и упрощений. В кинетической теории использование для описания процессов в плазме определенной функции распределения приводит к необратимой потере информации. Как было показано в [111] еще в 1959 г., даже использование для описания обобщенного распределения Лиувилля не позволяет избавиться в уравнении Лиувилля (3.28) от серьезных неточностей. Учитывая все это, можно считать вывод макроскопических (гидродинамических) уравнений, сделанный в § 3.3, вполне убедительным, но в значительной степени ограниченным. Затухание Ландау является наглядным примером того, что равновесное состояние плазмы вполне устойчиво, поскольку все отклонения от среднего значения быстро затухают и система автоматически возвращается в исходное состояние. Правда, при больших отклонениях здесь могут встретиться определенные трудности. Авторы [117] при анализе полученного в [118] решения уравнения Больцмана показали, что для сохранения локального равновесия системы отклонения температуры от ее среднего значения на пространственном масштабе порядка средней длины свободного пробега частиц плазмы, не должно превышать средней температуры.
Насколько ограничены выводы, полученные из кинетической теории для макроскопического гидродинамического описания при наличии термодинамической необратимости, пока еще окончательно неясно. Наличие подобных сомнений может привести к определенному недоверию к результатам модельных численных гидродинамических расчетов, полученных с помощью ЭВМ, для нагрева плазмы коротким импульсом лазерного излучения. Однако, как было неоднократно показано, результаты численного гидродинамического моделирования даже глубоко необратимых процессов находятся в полном согласии с экспериментальными данными. Одним из примеров этого являются результаты моделирования сжатия термоядерной плазмы в #-пинче. Необоснованность упомянутых сомнений в результатах модельных расчетов следует и из хорошо известного факта о возможности распространения некоторых допущений, сде- 52
данных для обратимых процессов, и на достаточно широкий класс необратимых процессов. Одним из примеров, который следует упомянуть в связи с этим, является влияние флуктуаций энтропии на процессы оптического поглощения, описываемые с помощью коэффициента Онсаге- ра [119].
Глава 4
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
Макроскопическое описание плазмы обычно представляет собой комбинацию систем уравнений, которым подчиняются гидродинамические и электромагнитные явления в плазме. Начиная с 1940 г., с одно компонентной модели Альфвена, опубликовано много различных способов гидродинамического описания. Наиболее общее макроскопическое описание полностью ионизованной плазмы дают двухкомпонентные уравнения Шлюттера, которые рассмотрены в гл. 6. Ниже приведены основные понятия гидродинамики, знание которых упрощает освоение методов макроскопического описания плазмы.
ЭЙЛЕРОВЫ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Гидродинамические уравнения движения представляют собой не что иное, как обобщение закона Ньютона для движения материальной точки:
^а = F = - 7Ф.(4.1)
Здесь сила F, сообщающая телу с массой т ускорение, равное а , выражена в виде градиента некоторого потенциала Ф. При рассмотрении движения некоторой среды ее обычно характеризуют полем скоростей v (х, у, z, t), временная производная которых дает соответствующие ускорения, пространственным распределением массовой плотности р (х, у, z, г), соответствующим массе т в (4.1), и некоторым распределением действующих сил, которые обычно характеризуют градиентами распределения поля давления р(х, у, z, t). Для примера ниже рассмотрено гидродинамическое поведение среды, состоящей из электронов с массой т, плотность которых Не, а температура Те, и ионов с массой т^ зарядом Z, плотность которых и., и температура Т.. Предполагая наличие зарядовой нейтральности такой двухкомпонентной среды, можно записать очевидное равенство п^ = n^Z, распределение массовой плотности имеет при этом следующий вид:
р (х, у, z, г) = т.п.(х, у, z, f) 4- тпе(х, у, z, г).(4.2)
Соответственно, можно описать и поле давления, также являющееся функцией координат х, у, г и времени t:
р = пекТе 4- п.кТ. «(14 Z^^kTe,(4.3)
если Те « Т.. Тогда уравнение Эйлера - уравнение движения для среды,
соответствующее уравнению Ньютона (4.1), приобретает следующий вид:
Р"^~ = - Vp + 1? V2v .(4.4)
Последний член в правой части данного уравнения называется членом Навье-Стокса. Он специально добавлен к первоначальному простейшему уравнению Эйлера, чтобы учесть влияние гидродинамической вязкости т?, характеризующей внутреннее трение среды.
Очевидно, что если раскрыть левую часть уравнения Эйлера с учетом имеющегося поля скоростей, то можно записать:
dv dv , dv dx , dv dy , dv dzPX
■ p ,7 + pa7 77 + p77 ,7 + p37 77(45)
Последние три члена этого выражения можно объединить и записать в виде нового, нелинейного члена pv • Vv, используя определение оператора градиента
V = ixd/dx + i^d/dy + i2d/dz,
где ix, iy и i2 — единичные векторы, модуль которых равен единице, а направления совпадают с направлениями декартовых координат х, у и z. При использовании такой формы записи уравнение Эйлера приобретает вид
р-г- + р\ • Vn = - Vp.(4.6)
ot
Здесь член, характеризующий вязкость, опущен.
СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕУРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА - УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Итак, решением уравнения Эйлера для стационарного случая является уравнение Бернулли. Получить это решение достаточно просто. Из условия стационарности следует:
d/d t = 0.(4.7)
При этом уравнение Эйлера (4.6) приобретает вид
pv 4- Vp = 0.(4.8)
Произведение векторов в первом члене уравнения (4.8) можно преобразовать следующим образом:
V- Vv = Vv2 — vx(7xv).(4.9)
Если течение является безвихревым, то последний член этого равенства исчезает и (4.6) несколько упрощается:
-у Vv2 + Vp = 0.(4.10)
(4.11)(4.12)(4-13)(4.11)(4.12)(4-13)При постоянной массовой плотности среды р = const его можно записать в виде
(4.11)
(4.12)
(4-13)
(4.11)
(4.12)
(4-13)
V ^~ v2 + Р^ = О,
что после интегрирования дает: р о
+ р = const.
Это и есть уравнение Бернулли. Следует отметить, что уравнение Бернулли, — это особый, частный случай уравнения Эйлера, и не только из-за использования условия стационарности (4.7), но также и вследствие пренебрежения последним членом равенства (4.9) (рассмотрение ограничивается безвихревым движением среды) и использованием условия (4.11), которое соответствует химической однородности и несжимаемости среды. Уравнение Бернулли (4.13) можно вывести и значительно проще, без использования столь сложных дедуктивных теоретических построений. Для этого достаточно использовать простое условие компенсации кинетического давления [первого члена в выражении (4.13)] гидростатическим давлением [второй член в левой части (4.13)].
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Уравнение Эйлера является одним из трех основных уравнений гидродинамики. Оно соответствует условию сохранения импульса. Второе уравнение описывает условие сохранения массы; его часто называют уравнением непрерывности. Вывести это уравнение можно, например, из следующего геометрического рассмотрения.
Возьмем некоторый постоянный объем среды с плотностью р, равный И, движущийся в течение интервала времени dt в направлении, указанном стрелкой на рис. 4.1. Через этот интервал времени dt плотность объема V изменяется на небольшую величину 5р и становится равной р 4- 5р. Очевидно, что это обусловлено изменением массы данного объема, которое может происходить только в результате ’’втекания” вещества внутрь объема V. Поэтому поле скоростей данной среды должно иметь отрицательную расходимость (дивиргенцию), которая обозначается — V • v . Соответствующее уравнение имеет следующий вид:
dp/dt =-р V *v. (4.14)
По теореме Гаусса, поток поля через некоторую замкнутую поверхность можно связать с его интегралом внутри области, которую она ограничивает, или, для рассматриваемого случая,
^ vd2a = fff V -Nd3T.
VVРис. 4.1. Геометрическое преобразование с сохранением массы для вывода уравнения непрерывности
V
V
Используем определение частной производной, в соответствии с которым
■^- +vVp=-pV«v.(4.15)
Это правило позволяет (4.14) преобразовать к виду
Vpv=pv-v + v- V р.(416)
Очевидно, что его можно переписать следующим образом:
^ + V(pv)=0.(4.17)
В таком виде это уравнение обычно и называют уравнением непрерывности [полезно сравнить его с (3.37)].
Для частного случая несжимаемых сред, когда выполняется условие (4.11), уравнение непрерывности упрощается:
^ + р V V = 0,(4.18)
что связано с постоянством плотности среды. Это же уравнение достаточно хорошо описывает и несколько иной случай, при котором в достаточно большом объеме происходит очень быстрое изменение плотности среды. Впоследствии этот случай будет использован для описания гидродинамики волновых процессов. Следует отметить, что хотя предположение о несжимаемости среды является очень сильным ограничением, все же оно вполне допускает рассмотрение и изучение широкого круга проблем гидро- и аэродинамики, имеющих важное практическое значение.
ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ СРЕДЫ
Для последующего рассмотрения и описания акустических волн, которое сделано в § 4.5, в настоящем параграфе следует обсудить некоторые вопросы, связанные со сжимаемостью среды. По определению, сжимаемость — это относительное изменение 8 V объема V при изменении давления р на величину 8р. Если первоначальный объем среды был равен Ко, то
(4.19)(4.19)V(p) = Ко + 8V.
(4.19)
(4.19)
Тогда текущее значение объема К (р) можно связать с изменением давления 8р, записав очевидное равенство:
д И
К(р) = Ко -8р,
или, после несложных преобразований,
(4.20)
Тогда можно определить сжимаемость как коэффициент пропорциональности между изменением давления Ьр и соответствующим относительным изменением объема:
(4.21)(4.21)1 dr V йр *
(4.21)
(4.21)
Это не более чем простое определение, сделанное на основе предшествующих элементарных рассуждений. Теперь следует его связать термодинамическими величинами, характеризующими процесс адиабатического сжатия. В соответствии с законами термодинамики, связь между давлением р и объемом V при адиабатическом сжатии (без обмена энергией с любой внешней средой) дает следующая хорошо известная зависимость:
(4.22)(4.22)pV*t = const,
(4.22)
(4.22)
где показатель степени 7 = ср( cv — это отношение удельных теплоемкостей среды при постоянном давлении и постоянном объеме. В термодинамике это соотношение выводят, обычно, исходя из числа степеней свободы F для данной совокупности частиц среды:
Для случая полностью ионизованной плазмы имеются три степени свободы, как и для разреженных благородных газов, в которых атомы не связаны в молекулы.
Итак, из (4.22) следует, что
dr _ 1 (const)1^ (4.24)
а из (4.21) с использованием (4.22) — (4.24) легко получить зависимость сжимаемости от давления для адиабатического изменения состояния:
Видно, что она обратно пропорциональна давлению.
АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Описание акустических волн основано на уравнении Эйлера (4.4) в линеаризованном виде:
(4.26)
и уравнении непрерывности (4.17) в предположении квазинесжимаемости среды, т. е. I v • Х7 р \ < I V * v I •
Эр/dr = -р V • v,(4.27)
где использована связь массовой плотности р с плотностью частиц среды, заданная соотношением (4.2). Зависимость плотности р от давления р
р=р0 ^-Ьр(4.28)
ор
можно выразить через сжимаемость среды к в соответствии с ее определением (4.21):
р = Ро[ 1 + kip - PoW(4.29)
Изменения давления Ьр = р - р0 и плотности 6р = р - р0 могут быть связаны с их первоначальными величинами (обозначенными индексом ’’нуль”) и текущими значениями (без индексов), так что
= -lb,43'"
а если использовать дифференциальную форму записи, то
VP = “ VP-(4.31)
Ро^
При подстановке этого выражения в уравнение Эйлера (4.26) получаем
-^ = - — ~ Vp =Ц. Vlnp.(4.32)
dr р pQkрок
Используя уравнение непрерывности (4.27), можно получить следующую аппроксимацию:
—= -^-Inp = - V- V.(4.33)
р dr drv
Дифференцирование уравнения (4.32) по времени и вычисление градиента выражения (4.33) позволяют получить следующее дифференциальное уравнение:
== —Ц: V2v(4.34)
dr2 Рок dt м рокv 7
или _д 2 v
V v - Рок 4т = °'(4.35)
Решение волнового уравнения (4.35) можно получить, например, в 58
виде плоской волны с круговой частотой си:
v = voexp(±ik-r - icor),
где волновой вектор к определяет направление распространения волны, а его модуль | к| = со/ cs - наличие следующей зависимости для фазовой скорости волны cs :
^ = MkpQ.(4.36)
Это и есть скорость звука, или ионно-акустическая скорость. Подстановка сжимаемости из (4.25) дает для нее зависимость от давления и плотности:
С$ = s/wlpo-(4.37)
То же самое акустическое уравнение можно получить путем определения зависимостей для 1пр из уравнений движения и непрерывности и их комбинации:
V2lnp - кр0= о.(4.38)
Видно, что оно имеет тот же вид, что и для скорости (4.35), и характеризуется той же скоростью звука cs.
УРАВНЕНИЕ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СРЕДЕ
Для получения полной системы уравнений, описывающей гидродинамическое движение среды, имеющей единственное решение, кроме уравнений, характеризующих сохранение импульса (эйлеровское уравнение движения) и массы (уравнение непрерывности), необходимо использовать и уравнение, характеризующее сохранение энергии. Это уравнение имеет вид
-^ -у v2 = " "^ и,^а + Z)- V-V^VT) + W (4.39)
Левая часть этого уравнения описывает изменение со временем кинетической энергии среды. Оно должно компенсироваться изменением внутренней энергии среды [первый член в правой части (4.39)] за счет теплопроводности, которая характеризуется соответствующим коэффициентом теплопроводности кт [второй член в правой части (4.39) ], и некоторой плотности мощности W, характеризующей изменение энергии за счет излучения и других процессов.
Выражение для плотности мощности W, характеризующее перенос энергии в плазме, включает в себя обычно некоторый линейный или нелинейный коэффициент поглощения. Обычно его определяют исходя из оптического коэффициента преломления (линейного, нелинейного или релятивистского) или из эффективной частоты столкновений, связанной с наличием параметрических неустойчивостей или с особенностями дина-
мики нелинейного процесса поглощения. Эти процессы рассмотрены ниже при общем рассмотрении особенностей поведения лазерной плазмы.
Очевидно, что нет никакой необходимости включать в (4.39) какие- либо дополнительные потенциалы, если они не зависят от времени, например гравитационный. Это относится и к электростатическим полям в плазме. Исключение составляет лазерная плазма, в которой электродинамические потенциалы изменяются во времени, - их компоненты обязательно должны быть включены в (4.39).
Глава 5
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ ПЛАЗМЫ
Гидродинамические уравнения, полученные в гл. 4, можно использовать для исследования сферического газодинамического расширения лазерной плазмы в вакуум. При проведении такого исследования обычно предполагается, что вложение лазерной энергии в плазму является полностью симметричным. В (4.39) это учитывается путем использования пространственно однородной плотности мощности излучения W^. При этом такими специфическими условиями, как быстрый перенос энергии и особенности установления равновесия, обычно пренебрегают. Вкратце они обсуждаются ниже. Оправданность этих предположений показывает достаточно хорошее совпадение результатов расчетов для широкого диапазона параметров с экспериментальными данными, полученными при не слишком больших интенсивностях лазерного излучения и не слишком короткой длительности его импульса.
Сферическое расширение плазмы в вакуум может быть описано в рамках относительно простой модели, в которой радиус плазмы R является некоторой функцией от времени. Начальная температура плазмы в момент времени t0 равна То. Задается также начальное значение радиуса плазмы Ro и скорость ее расширения bR/bt при R =R0. При расширении происходит адиабатическое преобразование тепловой энергии плазмы в кинетическую. Полный гидродинамический расчет разлета плазмы в условиях сферической симметрии для произвольных начального распределения скорости по радиусу v (г, t = 0) и профиля плотности п. (г, t =0), выполненный в [120], показал, что через некоторое время t профиль ионной плотности и/ приобретает гауссов вид, распределение скорости по радиусу становится линейным:
v(r, t) = v0(tV/R, (5.1) а температура падает адиабатически. То, что профили плотности и скорости плазмы в процессе ее расширения остаются подобными сами себе, является основанием для использования ее автомодельного описания. При этом нисколько не изменяются законы подобия гидродинамики, например число Рейнольдса, которое определяется соотношением масштабных и других характеристик среды для ее гидродинамического движения.
Исторически автомодельное описание впервые было использовано при исследовании процесса расширения Вселенной [121], когда оно и 60
было выведено (5.1) (см. также [122]). Применительно к лазерной плазме впервые это было сделано в [123], а для термоядерной плазмы — Я. Б. Зельдовичем и В. П. Райзером в [124], Н. Г. Басовым и О. Н. Крохиным в [125], авторами работ [112, 126] и др.
Вместо общего вывода автомодельного описания, как это*сделано в [112, 125], ниже рассмотрены особенности вывода гидродинамического уравнения, полученного в [127], наглядно демонстрирующие основные ограничения и пределы применимости данной модели, а также классические ошибки, связанные с неверным учетом гидродинамических характеристик среды. Некоторые из этих вопросов рассмотрены и применительно к лазерной плазме.
ГИДРО ДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
Для гидродинамического описания плазмы определения (4.2) и (4.3), а также уравнения (4.6), (4.17) и (4.39), характеризующие законы сохранения при движении среды, можно использовать в несколько ином виде:
уравнение непрерывности
Эи./ЭГ + V-(w.v)=0;(5.2)
уравнение движения
/\ d
п,т. (1 + Z — — v = - Vp;(5.3)
* * \] at
уравнение сохранения энергии
-а7Ч-(‘= ^(1 tZ')nikT* ^(5'4)
где члены Zn^/m. < 1. Уравнения (5.2) — (5.4) являются общими гидродинамическими уравнениями, определяющими пространственные и временные зависимости для п^ v иТ при заданных начальных условиях.
В случае сферической конфигурации плазменной области с радиальной симметрией данные уравнения и соответствующие зависимости параметров плазмы существенно упрощаются. Уравнение (5.2) при этом приобретает следующий вид:
где vr - радиальная проекция скорости.
Используя уравнение состояния
р = и.(1 + Z^kT(5.6)
совместно с (5.3), для сферического случая можно получить следую-
61
щее уравнение движения:
— n.mJl + Z— vr = -(1 + Z) > Г,(5.7)
dt 1 1 V т. jdr t77
а из (5.4) — и уравнение сохранения энергии в среде:
’ ф71 +г^ ,- =
dr 2 у т. 1 г
= - 4" (1 +■ Z)n.kT - кД- 4-( г1 W (5.8) dr*r2 dr у dr у7
Теперь, используя начальные условия для момента времени t = t0
Т(Г, ?о) ; и. (г, г0);^(г, г0),(5.9)
можно решить систему из уравнений (5.5), (5.7) и (5.8) и получить вид зависимостей Г, п. и vr от радиуса г и времени г.
Основываясь на данной системе гидродинамических уравнений, можно найти соответствующие формулы и для автомодельного описания, как это было сделано, например, в [112]. Умножив обе части уравнения движения (5.7) на vr :
1 d— — п.т. 1 + Z V22 dt 1 1 \ т. r1 d— — п.т. 1 + Z V22 dt 1 1 \ т. rэ"v^pэ"v^p(5.10)(5.10)
1 d
— — п.т. 1 + Z V2
2 dt 1 1 \ т. r
1 d
— — п.т. 1 + Z V2
2 dt 1 1 \ т. r
э
"v^p
э
"v^p
(5.10)
(5.10)
и проинтегрировав его по всему объему сферической области плазмы радиуса/?, приходим к следующему соотношению:
- / г (1 4тгг2dr =— / п.т. ( 1 + Z — I г2 4тгг2dr .
о V ^г /2 dt о 1 1 \ mi )
(5.11)
Следует отметить, что при интегрировании уравнения (5.11), так же как и других гидродинамических уравнений, происходит определенная потеря информации. Это связано с тем, что вместо детального характера зависимости п. (г, г) удается получить лишь ее усредненные характеристики.
Если предположить, чтб давление внутри всей сферической области плазмы при значениях г от 0 до R — е постоянно, а на границе области при г = R оно резко спадает до нуля, то левую часть (5.11) можно преобразовать к следующему виду:
- lim v 4nR2 J dr = -v 4irR2(j)(R) - p(R - e)) =
e 0 r R - € drr
= 4irR2pvr(R).(5.12)
Постоянное значение p при T = const приводит к тому, что и распределение плотности п. внутри сферической области приобретает вид nf = 62
= const. Предполагая дополнительно линейный характер профиля скорости
^(r) = vr0^ (0 < Г < Л),(5.13)
который как раз и выражает свойства подобия при расширении такой плазмы, правую часть уравнения (5.11) представим в виде
т4 0^ W ^ + ^^г47”-2^ = т51^^’ <514)
где использовано обозначение усредненной массы М по отношению к сферическому расширению, определенное следующим образом:
^ = 4" "r'M1 + Z(me/m.)].
Объединение уравнений (5.12) и (5.14) приводит к следующему соотношению:
4irR2 р —- = — M—vr (R2) = -т-^-ч-•(5.15)
м dt 2 dt г х2 3t \ dt ]х '
При тех же предположениях о постоянстве давления, температуры и, соответственно, ионной плотности, а также линейном характере профиля скорости (5.13), интегрируя левую часть уравнения (5.8), получаем
п.т. /те\ „„
а- ;а- ;1 ■■ ■ ( 1 + Z — I v24irr2dr =
а- ;
а- ;
(5.16)(5.17)(5.16)(5.17)2ут. I г
(5.16)
(5.17)
(5.16)
(5.17)
Используя соотношение
3/ те\ —2
— п(т. М + Z — v0 = Mv0 = —р,
в котором применено определение давления р, можно получить следующее значение интеграла от левой части уравнения (5.8):
(5.18)(5.18)4 4 4ярЛ3.
(5.18)
(5.18)
Интегрирование правой части уравнения (5.8) по всему объему плазмы в предположении постоянства ее температуры [(Э/Эг)Г = О] позволяет получить уравнение для сохранения энергии, когда полная энергия, поглощенная в плазме, за вычетом потерь на излучение равна
+ If.+ If.(5.19)(5.19)4ярЯ2 АК = - 4к 9" Г4 Я3 О + ^i dr2 dt 3'
+ If.
+ If.
(5.19)
(5.19)
Точно такие же уравнения, как и (5.6), (5.15) и (5.19), получены в [112] на основе феноменологического рассмотрения газокинетических законов. Они и представляют собой автомодельное описание сферически симметричного расширения плазмы. Решение этих уравнений позволяет определить временную зависимость радиуса плазмы R(f) и вложения энергии в плазму WQ^.
При выводе этих уравнений из гидродинамического описания следует обратить внимание на два существенных обстоятельства: во-первых, вложение энергии излучения должно учитываться таким образом, чтобы температуру плазмы во всем объеме плазмы можно было бы считать постоянной, и, во-вторых, радиальный профиль скорости должен быть действительно линейным.
Полученные свойства усредненной ионной плотности, массы, большая крутизна профиля давления на поверхности плазменной области, являются следствием процедуры интегрирования. Математически она является вполне корректной, но связана с потерей информации о деталях этих характеристик, которые, впрочем, и не очень нужны. Таким образом, автомодельное описание содержит только усредненную характеристику профиля ионной плотности, ^ (О = const.
Это описание существенно отличается от проведенного ранее, позволившего получить детальные характеристики профиля плотности п, (г ) в различные моменты времени. Сопоставление этих описаний показывает, что математически они несколько противоречат друг другу. При проведении расчетов в [128] для получения реального профиля плотности предполагалось, что вначале плотность плазмы от центра к ее периферии спадает линейно (в отличие от предполагавшегося ранее гауссова начального распределения плотности). Одновременно ошибочно считалось, что при этом сохраняется и линейный профиль скорости расширения (5.13). Легко показать, что линейность обоих профилей с течением времени не сохраняется. Подставляя выражение для профиля плотности п. ~nio^ —г!^^ причем п^ ~R(ty\ а температура во всем объеме предполагается постоянной, в уравнение движения, получаем следующее выражение для профиля ускорения:
(5.20)(5.20)dvr =(1 * Z)kT
(5.20)
(5.20)
dt [1 + Z<me/m^m.R^ - r/R)
Очевидно, что зависимость ускорения от радиуса нелинейна. Более того, при г/R = 1 она характеризуется бесконечным ростом. Если бы в некоторый момент времени Го профиль скорости был бы линейным и для любого момента времени t > t0 профиль плотности также был бы линейным, то в соответствии с (5.20) при t > t0 профиль скорости должен стать нелинейным.
Мотивировка этого довольно сомнительного обоснования автомодельного описания, использованного в [128], кажется уже не столь тривиальной, если взглянуть на вопрос о профиле давления с точки зрения некоторых априорных предположений об автомодельном описании, сделанных в [112]. Приведенный здесь анализ вывода уравнений (5.15) 64
и (5.19) из общих гидродинамических уравнений, взятый из [127], имеет определенные преимущества, как и любая общая теория, иллюстрируя решение рассматриваемой проблемы с профилем давления с помощью обоснованных предположений и процедуры усреднения (5.12).
Одна из возможностей показать наличие действительно линейного профиля скорости при автомодельном движении, когда температура по объему плазмы распределена однородно, но изменяется с течением времени, а профиль плотности является гауссовым, рассмотрена в [129, 130]. Такой профиль плотности
^(г,= ^р ' ехр(-г2//2),(5.21)
где характерная длина I (t) является функцией только от времени, приводит, в соответствии с уравнением движения (5.7), к возникновению следующего профиля ускорения:
Э2гкТ(Д * Z)д_ =
dr2 т/[1+Z (те/т/)]п/ дг 1
=.(5.22)
mi [1 + Z {melmi)] i**
Если начальная скорость гг(г, / = 0) является нулевой или линейно зависит от г, то такой профиль ускорения сохраняется. Профиль плотности при расширении также остается подобным начальному, гауссово- му. Ограниченность данной модели с гауссовым профилем плотности обусловлена тем, что реальная плазменная область имеет определенную поверхность и конечную скорость расширения, в то время как гауссов профиль предполагает распространение плазмы на любое расстояние. С этой точки зрения особенно интересно то, что гауссов профиль плотности наблюдался экспериментально при интерферометрии плазмы, образованной в экспериментах по лазерному облучению тонких фолы [131], и при численных модельных расчетах, основанных на гидродинамических уравнениях, когда начальный линейный профиль плотности через определенное время трансформировался в гауссов [120]. Поведение функции Z(г) подобно функции R^» полученной из уравнений (5.15) и (5.19).
ЛАЗЕРНОЕ ОБЛУЧЕНИЕ МИШЕНИ С ПЕРЕМЕННЫМ РАДИУСОМ .
6565Для примера использования автомодельного описания [см. уравнения (5.6), (5.15) (5.19)] в данном параграфе проведена интерпретация некоторых экспериментальных результатов [132]. В описании уже были использованы некоторые обобщающие предположения о характере поглощения лазерного излучения и его преобразования в плазме. Следующим шагом является включение в рассмотрение определенных характе-
65
65
5 — Зак. 15G3
ристик реального эксперимента, например переменного радиуса плазменной области, изменение которого обусловлено нагревом и расширением плазмы в области фокуса лазерного излучения. Можно получить как аналитические выражения, описывающие соответствующие физические процессы, так и численные решения, основанные на устойчивых итерационных процедурах.
Как было установлено в [112], исследование системы уравнений (5.6), (5.15) и (5.19) для случая, когда вложение в плазму лазерного излучения с частотой со в момент времени ^0 составляет W! = W, а затем остается постоянным, позволяет получить следующее решение (полученное также Н.Г. Басовым и О.Н. Крохиным в [125]):
R2 =R2 =Ло + 11 G9Ло + 11 G9(5.23)(5.23)W,tkT = —3Nt (1+Z)W,tkT = —3Nt (1+Z)2Ro+yG2Ro+yGг 1° A* —G "г 1° A* —G "(5.24)(5.24)
R2 =
R2 =
Ло + 11 G9
Ло + 11 G9
(5.23)
(5.23)
W,tkT = —3Nt (1+Z)
W,tkT = —3Nt (1+Z)
2Ro+yG
2Ro+yG
г 1° A* —G "
г 1° A* —G "
(5.24)
(5.24)
(5.25)(5.25)где Ro — начальный радиус мишени, до момента времени tQ, а G = Wx^jNimi.
(5.25)
(5.25)
(5.26)(5.26)Полное число ионов плазмы N; определено здесь следующим условием:
(5.26)
(5.26)
Модель, использованная в [112, 125], предполагает также, что Z ионов остается постоянным во времени.
Сферическое расширение плазменной области и изменение ее поперечного сечения по отношению к падающему лазерному излучению приводят к тому, что вкладываемая в плазму энергия лазерного излучения W становится зависимой от времени. При расчете этой зависимости предполагается, что плотность мощности лазерного излучения в области фокуса пространственно постоянна, а временная зависимость после скачка при t = t0 также постоянна для всех моментов времени t > t0. Следующее допущение состоит в том, что вся энергия падающего в пределах поперечного сечения лазерного излучения полностью поглощается плазмой, пока ее плотность остается выше критической, где а>р > со [см. (3.13)]. Частота сор связана с ионной плотностью плазмы следующим соотношением:
ш2 = 47Г^2и_ (5 27) те
При рассмотрении детального характера переноса энергии из области поглощения — плазменной короны — к остальной плазме, предполагается, что этот процесс происходит достаточно быстро и вклад в W дает вся энергия лазерного излучения, приходящегося на поперечное сечение 66
плазменной области. Тогда вложенную энергию можно описать следующей формулой:
(5.28)(5.28)^(0 = ^^-wv. Яо
(5.28)
(5.28)
Здесь Wi — некоторая постоянная энергия, приходящаяся на начальное поперечное сечение плазмы, при постоянной во времени и в пределах фокальной области плотности энергии лазерного излучения. Однако с использованием этой временной зависимости, W(г), непосредственно решить систему уравнений (5.6), (5.15), (5.19) невозможно. Для ее решения обычно применяется метод итераций с использованием зависимостей (5.23) и (5.24), причем первую итерацию, Rx (г) и Тх (г), получают при использовании условия И7 = WX) вторую итерацию, Ri(t) и Т2 (г) — полагая, что W = R^Wj R, и так далее. В соответствии с этим, для второй итерации (опуская индекс ”2”) можно записать:
(5-29)(5-29). (5.30). (5.30)К2 = Я2 + — G (1 + —— б) , 9\18/?о/
(5-29)
(5-29)
. (5.30)
. (5.30)
3Nj (1 + Z)3Nj (1 + Z)Л2+ (10G/9)(l + G/18#o)Л2+ (10G/9)(l + G/18#o)W^ IR^ + 5G/3 + (80С2/81Л2)- (200G3/1458«o)
3Nj (1 + Z)
3Nj (1 + Z)
Л2+ (10G/9)(l + G/18#o)
Л2+ (10G/9)(l + G/18#o)
Отличие этих решений от (5.23) и (5.25) станет очевидным, когда будет получена оценка величины времени ttp, при котором плазма становится прозрачной, т.е. и)р = со. Для излучения рубинового лазера (со = 2,7 х х1015 Гц) и начальной плотности плазмы и0 = 6-1022 см-3, что соответствует плотности твердого водорода или твердого алюминия, из (5.23) и (5.25) можно найти такое R, для которого (R/Ro)3 = п^/пс^. С учетом выражения для критической плотности (5.27) при п^ = пс0) которое получается, когда сор = со,
Для случая переменного поперечного сечения, используя выражение (5.29), точно так же можно получить
Более высокое вложение энергии в рассматриваемом случае приводит к тому, что плазма становится прозрачной несколько ранее.
Температура плазмы различается в этих случаях сильнее. Максимального значения температура плазмы достигает тогда, когда полное вложение энергии происходит столь быстро, что расширением плазмы за это время можно пренебречь. В этом случае температуру можно определить
5*5*67
5*
5*
из следующего выражения [112]:
(5.33)(5.33)т= т =
(5.33)
(5.33)
maX 3kNiU*Z)
(5.34)(5.34)Рассматривая значение температуры Т в момент времени t = ttp,B соответствии с (5.24) можно определить в первом приближении температуру плазмы в момент времени ^р, когда она становится прозрачной:
(5.34)
(5.34)
Т^ = 0,32Гтах.
В случае, когда диаметр плазмы является переменным,
Т= 0,583Ттах.(5.35)
Видно, что эта температура почти в 2 раза больше, хотя ttp < t^ .
Для определения временной зависимости параметров плазмы при ее автомодельном расширении, R (t) и Г (г), когда вкладываемая энергия W в (5.6), (5.15) и (5.19) имеет наиболее общий вид, обычно разрабатывается алгоритм численного решения соответствующей краевой задачи, основанный на следующих допущениях.
Влияние испарения, ионизации и рекомбинации плазмы на ее поведение считается пренебрежимо малым. Область фокального пятна аппроксимируют ступенчатым профилем интенсивности лазерного излучения, постоянным в пространстве. Временная зависимость интенсивности изменяется. Она может быть прямоугольной, треугольной, симметричной или с крутым временным спадом, с треугольным предымпульсом и т.д. Вид этой зависимости И^ (ty, обычно задают для поперечного сечения плазмы в момент времени t = t0. Геометрический характер сечения задается фактором /, причем
|^2/^, Для R<RF;
f = [Л^//?2, для R>Rf,(5136)
где Rp — диаметр фокальной области. Необходимо учитывать, что радиус плазмы может стать больше, чем Rp, прежде, чем будет достигнуто соотношение сзр < со. В сферической геометрии характер зависимости преобразования поглощенной энергии, которая задается коэффициентом оптического поглощения К, можно аппроксимировать следующим образом:
1, для и; > пс0;
g"1- 2KR)exp(-2KR)^537^
1—, ДЛЯ ГЦ < пс0.
2K2R2
Тогда вложение энергии в плазму, пренебрегая потерями на излучение, можно задать с помощью очевидной суперпозиции:
(5.38)(5.38)W^ (t)g(t)f(t).
(5.38)
(5.38)
Функции R(t) и Т^, описывающие временные зависимости радиуса 68
и температуры плазмы, получаются из решения системы из следующих уравнений:
t т т
(5.39)(5.40)(5.39)(5.40)R1 (г) = Л$ + — J dT / dr’S dr" W [Л (т"), Г(т")], 33f ООО
(5.39)
(5.40)
(5.39)
(5.40)
гt*
kTQ^ = —-(dR/dty + — J diWYR^.T^ • , 5 Nj (1+ Z) LЗМ о
где полная масса плазмы М = 4tt/?q пчпо /3.
Решение проводилось методом итераций. В качестве первого приближения использовались описанные ранее /?1 (О и Л (О - Их подстановка в W^RX (г), Тх (О) и уравнения (5.39), (5.40) и решение соответствующей системы уравнений позволяют получить второе приближение, Я2 (О, Т2 (Z), с использованием которого можно получить тем же способом третье приближение, R3QV ^3(t) и т.д. Процесс итераций следует проводить до тех пор, пока R и Т станут отличаться от их значений на предыдущем шаге итерации не более чем на 1 ОТ 4.
С использованием такой процедуры, например, прослеживалось уменьшение температуры до нуля на временах, больших по сравнению с длительностью лазерного импульса t£, т.е. при t > t^ в уравнении (5.38) Wx =0.
ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
Ниже проведено сопоставление результатов, полученных в рамках сформулированного выше автомодельного описания плазмы с экспериментальными данными. Первое такое сопоставление проведено с экспериментальными данными, полученными в [132], где производилось изучение плазмы при облучении алюминиевых шариков с радиусами от 50 до 150 мкм сфокусированным лазерным излучением с энергией от 2 до 5 Дж в импульсах с длительностью от 15 до 35 нс. Результаты численного решения, описанного выше, позволившего получить зависимости R^ и Т^ для параметров излучения и мишени, использованных в [132], приведены на рис. 5.1. На нем представлены также зависимости скорости поверхности плазмы,
”шах (О = dR/dt
и максимальной энергии ионов
сшах (О = "1,-У2/2.
Дополнительно, с учетом изменения геометрических параметров плазмы в области фокального пятна и коэффициента поглощения лазерного излучения, оценивалось количество полностью поглощенной в плазме энергии лазерного излучения. Такое сопоставление показало, что вычисленные значения поглощенной энергии совпадают с измеренными в пределах 15%-ной точности, а расчетные и полученные экспериментально
69
Рис. 5.1. Численные расчеты, полученные при решении уравнений (5.39) и (5.40) методом итераций, позволяющие оценить временную зависимость радиуса R и температуры Т плазмы, максимальной скорости vmax и энергии ионов на краю плазмы при облучении импульсом лазерного излучения прямоугольной формы длительностью 16 нс и энергией 3,4 Дж алюминиевой сферической мишениРис. 5.1. Численные расчеты, полученные при решении уравнений (5.39) и (5.40) методом итераций, позволяющие оценить временную зависимость радиуса R и температуры Т плазмы, максимальной скорости vmax и энергии ионов на краю плазмы при облучении импульсом лазерного излучения прямоугольной формы длительностью 16 нс и энергией 3,4 Дж алюминиевой сферической мишени
Рис. 5.1. Численные расчеты, полученные при решении уравнений (5.39) и (5.40) методом итераций, позволяющие оценить временную зависимость радиуса R и температуры Т плазмы, максимальной скорости vmax и энергии ионов на краю плазмы при облучении импульсом лазерного излучения прямоугольной формы длительностью 16 нс и энергией 3,4 Дж алюминиевой сферической мишени
Рис. 5.1. Численные расчеты, полученные при решении уравнений (5.39) и (5.40) методом итераций, позволяющие оценить временную зависимость радиуса R и температуры Т плазмы, максимальной скорости vmax и энергии ионов на краю плазмы при облучении импульсом лазерного излучения прямоугольной формы длительностью 16 нс и энергией 3,4 Дж алюминиевой сферической мишени
Рис. 5.2. Сравнение результатов измерения максимальной энергии ионов плазмы плотностью Wq, образованной при облучении сферических мишеней различного радиуса г0 цз А1 лазерным импульсом длительностью‘30 нс и мощностью 70 МВт (точки), с теоретическими данными, полученными на основе автомодельного описания плазмы (сплошная кривая)
зависимости количества поглощенной энергии от радиуса мишени и длительности лазерного импульса имеют один и тот же характер.
Конечное значение максимальной энергии ионов расширяющейся плазмы было измерено с помощью обскурограмм от камеры, расположенной сбоку от мишени [132]. Измеренные значения хорошо совпадают с теоретической (расчетной) зависимостью для треугольной формы импульса, параметры которого измерялись экспериментально (рис. 5.2). Индекс th в е^ах использован для обозначения именно внутренней части тепловой энергии создаваемой и изучаемой плазмы, в то время как внешняя часть плазмы [132] характеризуется нелинейными поверхностными свойствами (см. рис. 1.4), которые рассмотрены ниже.
Результаты, полученные выше [см. (5.34) и (5.35)], показывают, что при использовании описанного автомодельного рассмотрения расширения плазмы получается более высокая температура, чем при упрощенных оценках. Такой рост температуры наблюдался и эксперимен-
тально с помощью томсоновского рассеяния [132]. Одним из объяснений этого является влияние рекомбинационных механизмов на электронную температуру плазмы.
СОПОСТАВЛЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ОБЛУЧЕНИЯ ЛАЗЕРНЫМИЗЛУЧЕНИЕМ ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ФОЛЫ
Столь успешное применение автомодельного описания плазмы для объяснения экспериментальных данных и особенностей газодинамики плазмы, получаемой при облучении сферических мишеней лазерным излучением рубинового или неодимового лазера с плотностью мощности от 1010 до 1012 Вт/см2, отнюдь не удивительно. Использованные значения плотности мощности еще совершенно недостаточны для возникновения нелинейных эффектов. Они если и возникают, то отнюдь не являются доминирующими, что позволяет с большой долей уверенности считать поведение плазмы полностью газодинамическим. Тем не менее, с самого начала неясно, происходит ли перенос энергии на весь объем сверхплотной плазмы мишени настолько быстро (в течение примерно 10 нс, т.е. полного времени облучения мишени лазерным импульсом), чтобы выполнялись исходные условия модели. Последовательно достигнутое прекрасное согласие между теорией и экспериментом отражает справедливость сделанных предположений о характере поглощения энергии.
Значительно более неожиданным является то, что автомодельное описание дает хорошие результаты применительно к тепловому расширению плазмы, полученной при лазерном облучении тонких фолы. Казалось бы, что из-за наличия взаимодействия плазмы с необлученным холодным веществом фольги в этом случае процесс вложения энергии в плазму носит более сложный характер. Однако, несмотря на это, согласие экспериментальных данных с результатами, полученными в рамках автомодельного описания, является вполне удовлетворительным.
В [133] для экспериментального измерения переданной веществу части импульса рубинового лазера использовались специально создаваемые тонкие фольги из твердого водорода. Первоначально свет проходит через такую фольгу, когда она еще находится в твердом состоянии, но затем происходит сильное поглощение света в образовавшейся плазме, и при наблюдении в прошедшем свете видно резкое затемнение. Далее в соответствии с автомодельным описанием происходит постепенное расширение плазмы и уменьшение ее электронной плотности. В момент времени ttp, когда сзр (пе (Г^)) < со, плазма становится прозрачной, что хорошо обнаруживается экспериментально.
Из (5.31), используя в качестве ttp соответствующую оценку времени установления прозрачности для пленки из твердого водорода толщиной г0, облучаемой излучением рубинового лазера, можно определить, что вложение энергии характеризует следующая зависимость:
Wx = ^212 = j^r^ (5.4!) rF
Рис. 5.3. Сравнение измеренных значений времени просветления t^ для пленок из твердого водорода заданной толщины [133] (точки) с результатами расчетов на основе автомодельного описания [127], когда Гр - *tp =5 нс, при различных мощностях лазерного излучения
где Wo — энергия вкладываемого лазерного излучения на поверхности облучаемой фольги, где оно сфокусировано в пятно радиусом rF)aI - интенсивность лазерного излучения. Поскольку плотность твердого водорода р = 0,1 г/см3, то из (5.31) можно получить следующую оценку времени установления прозрачности для данного случая:
_/ 7.78 (4/3) г оР Л43,,
J I(5-
Применительно к условиям экспериментов, описанных в [133], при /= 2,4-1012 Вт/см2, из (5.42) можно получить следующие оценки:
ttp = 3,5О-1О"7го, для Wo = 200 МВт;(5.43)
ttp = 4,75-1О*7го, для ^0 = 500МВт,(5.44)
где толщина фольги г0 измеряется в сантиметрах, а время ttp в секундах. Для сравнения этих величин с экспериментально измеренным временем установления прозрачности плазмы необходимо к полученным оценкам ltp прибавить время от начала лазерного импульса до момента создания плазмы, которое в данном случае составляет около 5 нс (рис. 5.3). Как показали аналогичные эксперименты, уравнения (5.43)^ и (5.44) дают очень хорошую аппроксимацию зависимости времени ttp от толщины фольги, что видно из рис. 5.3. При этрм никаких предположений о каких-либо деталях процесса вложения энергии, позволяющих, например, обеспечить его высокую скорость, необходимых для оправдания использования для данного случая автомодельного описания, сделано не было. Следует учесть, что процесс самофокусировки и связанное с ним усложнение динамики плазмы может способствовать существенному ускорению поглощения и преобразования энергии.
Все же столь хорошее согласие результатов, полученных в рамках автомодельного описания, с экспериментальными оценками ttp является довольно неожиданным. Численные расчеты, основанные на рассмотрении модели нагрева плазмы в области фронта ударной волны, [134], дали оценку времени установления прозрачности в 30 раз больше. Это вызвало определенный скепсис по поводу адекватности моделей, ио 72
Рис. 5.4. Энергия и длительность импульса 7*-излучения неодимового и СО2-лазеров, необходимые для получения при нагреве мишеней из твердого дейтерия заданного начального радиуса средней энергии ионов бо, полученные в рамках автомодельного описания однородного нагрева мишеней [74, с. 37]
пользующих несколько ударных волн, которые были развиты для описания газодинамики плазмы, получаемой при интенсивности лазерного излучения от 1010 до 1012 Вт/см , с длиной волны около 1 мкм, длительностью импульса от 1 до 30 нс, и диаметра или другого характерного размера мишени до 0,4 мм. Хотя расчеты в рамках модели плоской ударной волны для таких условий могут быть и вполне корректными, но в реальном эксперименте могут возникнуть вследствие самофокусировки или других явлений совсем другие условия поглощения энергии, заставляющие его происходить значительно быстрее [135].
И наконец, из автомодельного описания расширения плазмы для постоянного радиуса мишени была получена диаграмма [74] (рис. 5.4), позволяющая определить максимальную температуру (5.24), соответствующую энергии ионов при свободном расширении плазмы, равной е0, если при облучении твердой мишени из D^ с начальным радиусом Ro (что соответствует начальному числу атомов Nf), излучением с постоянной мощностью W момент времени t = t* есть момент установления прозрачности плазмы в соответствии с (5.31), т.е. ttp = t*. Тогда произведение lVr*7r7?o равно лазерной энергии Ео от начала импульса до момента времени t*. Прозрачность плазмы зависит от длины волны лазерного излучения (достаточно вспомнить определение критической плотности), что проявляется в различии оптимизированных значений т* для излучения неодимового и СО2 -лазера. Номограмма, изображенная на рис. 5.4, читается, например, следующим образом. Начать можно от основной диаграммы, используя значение радиуса мишени, например 350 мкм, соответствующего наличию в ней 1019 атомов, и макси-
мальной температуры (средней энергии ионов) в 100 эВ. Тогда из диаграммы следует, что необходимая энергия лазерного излучения составляет 3 кДж при длительности импульса для неодимового лазера 10 нс, а для СО2-лазера 45 нс. Тогда плотность мощности лазерного излучения составит 1,02-1015 и 2,2-1014 Вт/см2 для неодимового и СО2 -лазеров соответственно. Эти значения интенсивности уже несколько выше порога, при котором начинают заметно проявляться нелинейные процессы, ставящие под сомнение правомерность использования автомодельного описания расширения лазерной плазмы.
Глава 6
ДИНАМИКА ПЛАЗМЫ И ТЕОРИЯ ЛОРЕНЦА
В гл. 4 и 5 уже были введены и описаны три основных уравнения, полностью определяющих гидродинамическое поведение плазмы. Однако они были введены и использовались при автомодельном описании расширения сферической плазмы в упрощенном виде. В настоящей главе на основе двухкомпонентных уравнений [136] рассмотрены механические свойства плазмы при воздействии на нее электрического Е и магнитного Н полей. Анализ основных уравнений показывает, что преобразование уравнений механики плазмы может привести к уравнению, описывающему закон Ома, которое является электродинамическим.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЫ
Проводя подобное рассмотрение, автор [136] начал с анализа уравнений Эйлера для электронной и ионной компонент плазмы. Индексы е и z в данных уравнениях обозначают параметры электронной и ионной компонент соответственно.
<7 vz-Ze
т^ — = Zn^eЕ + я, — у, х Н - VщкТ^ — тпе vej (v/ — ve) + К,-;
dtс(6.1)
d\eе
тпе=—пе е Е — пе— Ne х Н — ^ пе кТе + mnevej (vz- — ve) + Ке. (6.2) drс
Плотности сил в правой части уравнений (6.1) и (6.2) обусловлены действием электрического поля Е, силой Лоренца vxH и давлением р = ni, е^Т. Последний член обусловлен наличием вязкости, причем ve( — частота электрон-ионных столкновений, которая задается уравнениями
(3.34) и (3.35). Для обозначения влияния любых дополнительных сил, например гравитации, использованы обозначения К/ и Ке. Чистая скорость v, в соответствии с определением [136] (см. приложение 2), введена следующим образом:
т i + Z т
а плотность тока
j = e(n,v, -nve).(6.4)
В результате сложения уравнений (6.1) и (6.2), подстановки определений (6.3) и (6.4) и преобразования ряда членов находим следующее уравнение движения, заданное плотностью силы:
{ = т(п{ — =- vp+—jxH+-—(Wp/w)2E. VE,(6.5)
dtс4 7Г
где р представляет собой полное газодинамическое давление в плазме. Плотности дополнительных сил, обусловленных гравитацией и т.д., К/ и Ке в (6.5) опущены. Последний член уравнения (6.5) в [136] первоначально был записан иначе:
—(wp/w)2E- VE= j • V — —.(6.6)
4ясо2 dr
Обоснование этой замены проведено в [138]. В гл. 8 показана важность обобщения уравнения движения (6.5) с помощью использования более нелинейных членов, для описания взаимодействия лазерного излучения с плазмой. Вывод уравнения движения для плазмы без нелинейных членов (6.5) в рамках кинетической теории (на основе уравнения Больцмана) был сделан Спитцером в [107] (см. гл. 3).
ДИФФУЗИОННОЕ УРАВНЕНИЕ (ЗАКОН ОМА)
Для получения уравнения движения электронов плазмы относительно ионов можно, как это было сделано в [136], вычесть (6.1) из (6.2) (см. приложение 2):
= Е + — VX н+ ——j X н+ С Vp.(6.7)
е2 и \dtсепесene(\*llZ)
Оно получило название диффузионного уравнения и описывает обобщенный закон Ома, поскольку содержит члены, характеризующие соотношение между плотностью тока j и напряженностью электрического поля Е, но действие электрического поля характеризует также и наличие членов Лоренца v х Н, Холла j х Н и электронного давления. Если пренебречь этими членами, то уравнение, описывающее закон Ома, приоб- 75
ретает следующий вид:
— + pj = ^.Е.(6.8)
dt4тг
Именно так закон Ома для плазмы был впервые сформулирован Ленгмюром. Характерно, что в данном случае чисто механические уравнения Эйлера (6.1) и (6.2) привели к электрическому соотношению - закону Ома, где автоматически была определена и плазменная частота сор, характеризующая электростатические колебания плазмы [см. (2.16)].
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Электрическое и магнитное поля Е и Н в уравнениях движения (6.1) и (6.2) подчиняются электродинамическим уравнениям Максвелла. Интегральная формулировка фарадеевского закона индукции с учетом магнитной проницаемости д дает следующее уравнение:
^Eds = — — ИдН-^2а.(6.9)
с Эг
Индукция электрического поля вдоль замкнутого контура равна изменению магнитного потока сквозь этот контур. В соответствии с законом Стокса,
$t-ds = H V хЕ-^а.
Закон Фарадея (6.9) в дифференциальном виде есть не что иное, как первое уравнение Максвелла:
VxE=—— — дН.(6.10)
с dt
Закон Ампера в интегральном виде
#H-ds = —Hj -d2a(6.11)
С позволяет выразить через плотность тока напряженность магнитного поля Н, образованного вдоль замкнутого контура с данным током. Можно сформулировать его заново, используя закон Стокса в дифференциальной форме, к которому Максвеллом был добавлен ток диэлектрического смещения, заданный диэлектрической постоянной, j, что дает второе уравнение Максвелла:
V X н = —j + — — еЕ.(6.12)
с с dt
Исходное уравнение для электрического поля, когда задано распределение плотности заряда в среде ре, имеет вид
#eE-d2a = 4я H$Ped3r.(6.13)
Интегрирование еЕ проводится вдоль замкнутой поверхности, определяющей полный объем интегрирования для ре. Используя закон Гаусса
#eE-d3a = $$$V • (eE)d3r,
представим уравнение (6.13) в дифференциальной форме
V- (еЕ) =4тгре =4тге(2л/ -ле).(6.14)
Здесь источником электрического поля является распределение плотности заряда, заданного в единицах заряда электрона е = 4,803 • 10“10 СГС. Магнитный монополь как источник магнитного поля экспериментально до сих пор не обнаружен, хотя теория Дирака, сформулированная им в 1933 г. [139], показала, что его существование возможно. Исключая эту возможность, источник магнитного поля можно считать нулевым, т.е.
V-H=0.(6.15)
Максвеллом довольно остроумно была проведена следующая серия преобразований: уравнение (6.10) продифференцировано по пространственным переменным, а (6.12) — по времени. Последующее исключение V и Э/Эг (в предположении, что е = д=1и]=0) позволяет получить волновое уравнение
1 а2
V2E- — — Е = 0,(6.16)
с2 Эг2
где с — скорость света, с = 299796 км/с.
Аналогично можно получить и волновое уравнение для магнитного поля.
В 1905 г. вышел в свет учебник Швольсона, в котором теория Максвелла была использована в качестве дедуктивного описания электродинамики: во-первых, вводились уравнения Максвелла, а во-вторых, проводилось раздельное рассмотрение законов электростатики и магнитостатики в квазистатическом случае, 3/3/ = 0, для слабо изменяющегося j, и в общем случае поля волны. Удивительно, что эта основная методологическая схема до сих пор (хотя прошло уже 100 лет после смерти Максвелла) не используется в учебниках по физике для студентов университетов.
Для характеристики среды в теории Максвелла используются диэлектрическая е и магнитная д проницаемости. Однако Лоренцем было развито другое описание электродинамических явлений в среде, в котором предполагается, что в среде, как и для вакуума, е = д = 1, а все особенности вещества учитываются соответствующей корректировкой распределения плотности заряда ре и плотности тока]. Диэлектрические свойства изоляторов тогда объясняются наличием и взаимодействием электрических диполей и токов. Для плазмы такой способ описания электродинамических явлений наиболее предпочтителен. Естественно, что при микроскопическом описании плазмы учитывается лишь наличие токов j, а все пространственные заряды, благодаря высокой электропроводности плазмы, в пределах дебаевской длины волны (2.8) взаимно ском-
пенсированы, так что их плотность можно считать нулевой. Диэлектрические свойства плазмы определяются характеристиками диполей. Единственным исключением являются свойства плазмы в высокочастотном электромагнитном поле, которые определяются особенностями высокочастотных осцилляций зарядовой плотности.
Итак, в лоренцевой теории плазмы используются уравнения Максвелла для вакуума, а плотность тока задается зконом Ома, (6.8), выведенным из уравнений механики. Обычно уравнения Максвелла при таком описании имеют вид
(6.17)(6.18)(6.17)(6.18)Vx Е=- 1 — Н; С St
(6.17)
(6.18)
(6.17)
(6.18)
Vx Н = — j + — Е. с с dt
Пусть Е, Н и j периодически изменяются во времени с частотой со, т.е.
Е = Erexp(icor);
И = Hrexp(icor); j = j,exp(iwO,
-(6.19)
(6.20)(6.20)где Ег, Нг и jr зависят только от пространственных координат. Интегрируя (6.8), получаем
(6.20)
(6.20)
4л7со (1 - Н>!ы)
С учетом этого можно получить следующий частный вид уравнений Максвелла, не зависящих от времени:
(6.21)(6.22)(6.21)(6.22)Vx Ег =- — нг; С
(6.21)
(6.22)
(6.21)
(6.22)
Vx Hr =РEr + — wEr. ссо(1 - iP/co) c
Воздействуя на (6.22) операцией V хи подставляя в него затем значение Vx Е из (6.21), получаем следующее уравнение:
V2Hr +— Hr-i-Erx ?м2=о.(6.23)
с2с
Учитывая (6.15) и возвращаясь к переменным Е, Н и j в соответствии с их определением (6.19), уравнение (6.23) можно преобразовать в следующее волновое:
(6.24)(6.24)V2H——— Н-- ( VxH)x Vw2=0,
(6.24)
(6.24)
с1 dt2 п2
или
212
V2H - — — Н + 2( VH) • Vin и — 2 ( V In и) • V Н = О (6.25) с2 дг2
с фазовой скоростью
Сф = cVReOO-(6.26)
Комплексная константа и — это независящий от времени показатель преломления, связанный с диэлектрической проницаемостью е соотношением
е = и2 = 1Р.(6.27)
со2 (1 - ip/co)
В однородной плазме, для которой выполняется условие V и2 = О, градиент магнитного поля является нулевым, т.е. член первого порядка по Н в (6.24) исчезает. В случае же неоднородной плазмы, когда и является функцией от координат х, у, z вследствие пространственной зависимости пе или Т [см. (2.33) или (2.34), (2.25) ], уравнение (6.24) приобретает вид
V2H + ^^ Н + 2( V Н) • Vlnn —2( Vlnn). VH = 0.(6.28)
с2
Это уравнение используется в гл. 7 при рассмотрении резонансного поглощения.
Следует отметить, что при рассмотрении и преобразовании всех уравнений в настоящей главе от (6.2) до (6.28) предполагалось, что плотность пе и температура плазмы Т не зависят от времени. В противном случае, который как раз и имеет место для лазерной плазмы, все выкладки становятся значительно сложнее. В большинстве случаев исследования нестационарных явлений, характерных для взаимодействия лазерного излучения с плазмой, временная независимость пе и Т в уравнениях Максвелла (но ни в коем случае не в уравнениях механики плазмы!) - это очень грубое допущение. Однако оно вполне подходит для наиболее общего описания процессов взаимодействия, протекающих лишь в течение очень короткого времени.
Вернемся к рассмотрению (6.21), и вновь предположим, что и не зависит от времени. Воздействуем на него оператором V х и подставим значение V х Н из уравнения (6.22). Это приводит к уравнению
V2e+^-^E- VV Е = 0.(6.29)
с2
Подставив условие р€ =0в (6.14), получим
eV E + E- Ve = 0.
Тогда (6.29) представим в виде
V2 Е + —— Е - V -- Е ■ Vn = 0.(6.30)
с2»
Как и при получении (6.25), используя определения (6.19), можно получить волновое уравнение для напряженности электрического поля
V2E + 2( VE)- V 1пи— [и2 + 2( — ] 721пи] — Е = 0. (6.31) с2/Эг2
Следует помнить, что это волновое уравнение справедливо только для случая монохроматических колебаний электромагнитного поля (6.19) и постоянного во времени показателя преломления п. Кроме того, оно значительно более общее, чем (6.16), во-первых, из-за наличия члена с производной первого порядка, определяющего пространственное затухание Vin и, и, во-вторых, вследствие модификации показателя преломления членом второго порядка, 721пи. Если для последующего рассмотрения потребуется включить в описание временную зависимость п, то периодическую временную зависимость Е, Н и j (6.19) следует пересмотреть и искать обобщенное решение в виде Фурье-суперпозиции решений для отдельных частот.
ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ПЛАЗМЫ И ЕГО СВЯЗЬС ПОГЛОЩЕНИЕМ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Ниже обсуждаются особенности комплексного показателя преломления (6.24) на основе анализа дисперсии электромагнитных волн в плазме с использованием зависимости сор от электронной плотности пе (2.6) и частоты столкновений v(ne, t) (2.37), включая и последующее нелинейное обобщение.
Комплексный оптический показатель преломления п определяется дисперсионным отношением для электромагнитных волн в плазме (6.27). Проведя алгебраические преобразования, действительную п и мнимую к части показателя преломления оценим следующим образом:
(6.34)
Иногда показателем преломления называют лишь действительную часть п . Для бесстолкновительной плазмы (р = 0) обе величины эквивалентны, т.е.
80
(6.35)(6.35)п = п - (1 - cj^/cj2) ^2, если р = 0.
(6.35)
(6.35)
В соответствии с определением критической плотности пес, когда плотность плазмы достигает такого значения, то сор = со и с учетом определения сор (2.6) для бесстолкновительной плазмы показатель преломления вообще исчезает. При этом
пес = ти? (Атте2. (6.36)
Так как Сф = 0, то из (6.26) следует, что распространение поперечной электромагнитной волны становится невозможным, и при такой плотности плазмы происходит полное отражение света.
Мнимая часть показателя преломления К называется коэффициентом поглощения. Смысл этой в ел и таны непосредственно виден из ее отношения к константе поглощения К, которая определяет ослабление интенсивности лазерного излучения / при прохождении слоя плазмы толщины х: если /0 - начальная интенсивность при х = 0, то
I = /0 exp (—К х).
Тогда константа поглощения К может быть связана с коэффициентом поглощения К следующим соотношением:
К = — К. (6.37) С
Как видно из уравнений (6.23) — (6.34), оптические свойства плазмы зависят от ее частоты сор (2.6) и, следовательно, от электронной плотности пе, массы электрона т (в том смысле, что в релятивистском случае она может изменяться) и частоты столкновений v. Здесь необходимо напомнить основной смысл введения частоты столкновений. В уравнениях (2.34) и (2.35) для ее определения рассматривалось изменение движения электронов и ионов при кулоновском взаимодействии, в котором происходит обмен энергией. Такие столкновения, характеризующие теплопроводность и трение в плазме [см. (6.1) и (6.2)], приводят к равномерному распределению энергии. Они характеризуют также и изменение энергии, обусловленное установлением равномерного распределения в пределах одной компоненты (например, электронной, если по каким-либо причинам ее распределение по скоростям становится не максвелловским), или между электронной и ионной компонентами, если по каким-то причинам между ними нет теплового равновесия (например, если лазерное излучение производит нагрев только электронной компоненты плазмы). Следующие шаги рассмотрения показывают, что эта частота может быть идентифицирована с частотой столкновений для высокочастотных процессов.
В [140] в результате расчетов взаимодействия с веществом излучения неодимового и СО2 -лазера получены численные оценки п, К и п. Достаточно простым доказательством эквивалентности процессов столкновения в широком диапазоне частот, от постоянного тока до частоты излучения HF-лазера, лежащего в ультрафиолетовом диапазоне, явля-
6 —Зак. 1563 81
Рис. 6.1. Зависимость коэффициента поглощения К, полученная из уравнений (6.35) и (6.38) при наличии кулоновских столкновений частиц плазмы в поле излучения неодимового лазера, от температуры Т и плотности ^ плазмы [140]Рис. 6.1. Зависимость коэффициента поглощения К, полученная из уравнений (6.35) и (6.38) при наличии кулоновских столкновений частиц плазмы в поле излучения неодимового лазера, от температуры Т и плотности ^ плазмы [140]
Рис. 6.1. Зависимость коэффициента поглощения К, полученная из уравнений (6.35) и (6.38) при наличии кулоновских столкновений частиц плазмы в поле излучения неодимового лазера, от температуры Т и плотности ^ плазмы [140]
Рис. 6.1. Зависимость коэффициента поглощения К, полученная из уравнений (6.35) и (6.38) при наличии кулоновских столкновений частиц плазмы в поле излучения неодимового лазера, от температуры Т и плотности ^ плазмы [140]
Рис. 6.2. Зависимость действительной части коэффициента преломления п плазмы [см. (6.33) ] для излучения неодимового лазера от температуры Т и плотности Пе плазмы [140]
ется хорошее совпадение результатов экспериментального исследования плазмы. Более того, очень просто выведенная в гл. 2 частота столкновений для постоянного тока использована и для получения оптических констант, которые, за исключением небольшого множителя, хорошо совпадают с данными, полученными другими методами, поскольку квантовомеханический вывод коэффициента поглощения плазмы основан на рассмотрении обратного тормозного эффекта. Это также дает и косвенное квантовомеханическое подтверждение справедливости полученного ранее выражения для частоты столкновений в достаточно грубой модели рассеяния с поворотом на 90° (2.34).
Численные расчеты К и п позволили получить ряд кривых, изображенных на рис. 6.1 - 6.4. фри самых низких из использованных для расчетов температурах плазмы кулоновский логарифм доходит до единицы: In Л = 1, т.е. Л = 2,718. Ниже температуры, соответствующей этому значению, применение столкновительной теории уже не может считаться обоснованным. В соответствии с (2.36) это означает, что
пе < 2к.3 it = 2,42 • Ю20Т3, (6.38)
4Z2e67r
Рис. 6.4. Зависимость действительной части коэффициента преломления п плазмы для излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности л^ плазмы [140]Рис. 6.4. Зависимость действительной части коэффициента преломления п плазмы для излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности л^ плазмы [140]Рис. 6.3. Зависимость коэффициента поглощения К излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности 7^ плазмы [140]Рис. 6.3. Зависимость коэффициента поглощения К излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности 7^ плазмы [140]
Рис. 6.4. Зависимость действительной части коэффициента преломления п плазмы для излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности л^ плазмы [140]
Рис. 6.4. Зависимость действительной части коэффициента преломления п плазмы для излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности л^ плазмы [140]
Рис. 6.3. Зависимость коэффициента поглощения К излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности 7^ плазмы [140]
Рис. 6.3. Зависимость коэффициента поглощения К излучения СОз-лазера от температуры Т и плотности 7^ плазмы [140]
где пе в см”3, а Т в эВ. Если распространить такие машинные вычисления на более низкие температуры, пренебрегая условием (6.38), то все кривые для К сольются друг с другом. Это означает, что поглощение становится независимым от плотности и соответствующий участок кривых, полученных в [140] и изображенных на рис. 6.1 — 6.4, необходимо исключить. Другое ограничение состоит в том, что при проведении вычислений предполагалось наличие распределения электронов больц- мановского типа. Из рис. 6.1—6.4 видно, что при температуре, превышающей энергию Ф^рми Ер (2.47) в 10 раз, все кривые спрямляются. Соответствующее условие имеет вид
й2/Зле\2/3
(6.39)(6.39)Т> \0EF = 10 —( — )= 3,65 • 10"14 и2/3,
(6.39)
(6.39)
2т( 8тг /
где пе в см-3, Т в эВ. При более низкой температуре кривые имеют резкий спад, так как нет уверенности, что эта модель справедлива для Фер- ми-вырожденной плазмы.
С квантовомеханической точки зрения, движение электрона в пределах кулоновского поля иона характеризуется определенным спектром *а 83
собственных значений энергии, в пределах которых может происходить переход в состояние с более высокой энергией при поглощении фотона. Точное квантовомеханическое описание [141] привело к получению следующего выражения для константы поглощения Kg (индекс ”5” означает, что поглощение происходит из-за обратного тормозного эффекта) :
(6.40)(6.40)_ 8я2 Z1nenie6g(.T')
(6.40)
(6.40)
К в ——
V3 си? (InmkTy3*2
Здесь Т — температура плазмы, g(T) — фактор Гаунта [142], значение которого заключено в интервале от 0,1 до 10. Сравнить величины поглощения за счет квантовомеханического обратного тормозного эффекта и столкновительных процессов можно из соотношения соответствующих констант поглощения Kg и К. Вывести это отношение можно достаточно просто, используя соотношение (6.37) и выражение (2.35) для частоты столкновений в плазме:
(6.41)(6.42)(6.41)(6.42)4 =0,3241nMlE(Z)g.
(6.41)
(6.42)
(6.41)
(6.42)
Кв
Применимость выражения для К K=4ir2hE(Z)
(6.43)(6.43)ограничена диапазоном плотностей плазмы ниже критической, т.е. со < сор и пе < пес (2.6), и сравнительно низкими частотами столкновений: v < со. При тех же ограничениях для фактора Гаунта используется обычно следующая аппроксимирующая зависимость [143]:
(6.43)
(6.43)
g(T,ne) = 1,2695 (7,45 + In Т- --lnne). 3
Если для кулоновского логарифма использовать несколько иную аппроксимацию
(6.44)(6.44)12
(6.44)
(6.44)
In А = 3,45 (6,69 +In Г- — 1пие ---InZ), 33
0,66 + -- InZ 37,45 + In Г - —In п 30,66 + -- InZ 37,45 + In Г - —In п 3(6.45)(6.45)то зависимость для отношения К/ Kg приобретает вид
0,66 + -- InZ 3
7,45 + In Г - —In п 3
0,66 + -- InZ 3
7,45 + In Г - —In п 3
(6.45)
(6.45)
К = 0,88
К В ЧЕ^
Хорошее согласие значения К, _полученного в рамках спитцеровского подхода [140], со значением Кв из квантовомеханического рассмотрения видно, например, из того, что при/ = 1, Т = 104 эВ,пе = 10*1 см“3, т.е. при параметрах, характерных для лазерной термоядерной плазмы, их отношение К, Кв = 1,06.
Достаточно подробно поглощение лазерного излучения в плазме рассмотрено в [144], авторы которой использовали описание плазмы с помощью бесстолкновительного уравнения Власова (3.7), а взаимодействие ее частиц учитывалось путем смешивания их фаз. Справедливость подобного теоретического рассмотрения [140] подтверждается путем такого же сопоставления с квантовомеханическими расчетами, которое уже было проведено при рассмотрении процессов поглощения за счет кулоновских столкновений. Соотношение соответствующих коэффициентов, полученное в [144], также оказалось очень близким к единице. Сравнение этого результата с отношением (6.41) показывает, что теория поглощения за счет кулоновских столкновений дает результаты, очень близкие к теории, основанной на обратном тормозном эффекте (например, для дейтерия это отношение равно 2,02).
Квантовомеханический коэффициент поглощения можно рассматривать как наиболее вероятное значение. Недостатком такого теоретического рассмотрения является его ограниченная применимость для плазмы с высокой температурой и низкой плотностью (малой частотой столкновений). Однако особенно важным правильный учет процессов взаимодействия лазерного излучения с плазмой становится для плотности вблизи или несколько выше критической. В [140] были проведены численные расчеты действительной части показателя преломления п и коэффициента поглощения К для нескольких длин волн лазерного излучения (рубинового лазера, неодимового и СО2 -лазеров), а также вторых гармоник их излучения и плотности плазмы вблизи критической.
Полученные значения коэффициентов оптического поглощения оказались очень близкими к соответствующим константам для металлов и полупроводников. Для^случая их низкой плотности хорошо подходят зависимости для К, изображенные наклонными линиями на рис. 6.1 и 6.3. Высокие значения коэффициентов поглощения 105 см“3 и более для длин волн, близких к видимому диапазону, характерны и для металлов (со < сор). Примечательно, что при высокой электронной плотности действительная часть показателя преломления и может возрастать до очень больших значений, равных 10 и выше [145].
В некоторых случаях очень важна правильная оценка абсолютного минимума значения коэффициента преломления л, который для горячей плазмы с плотностью вблизи критической может стать значительно меньше единицы. Исходя из точного определения л,
2\ 2^р \ ш2 + V1!2\ 2^р \ ш2 + V1!М*М*(6.46)(6.46)
2\ 2
^р \ ш2 + V1!
2\ 2
^р \ ш2 + V1!
М*
М*
(6.46)
(6.46)
можно найти и его минимальное значение
(6.47)
которое достигается при
1 + (Р/СО)2
Если v < со, как это обычно имеет место, то (6.47) приобретает вид
аТ31АаТ31А(6.48)(6.48)
а
Т31А
а
Т31А
(6.48)
(6.48)
С учетом (2.6) и (2.35) постоянная а равна:
(6.49)(6.49), GOpir3^ mV^2 Z11пЛа = .
(6.49)
(6.49)
8Я7£(7)(2К)3/2
Например, для дейтерия (2 = 1)и1пЛ = 10, при использовании излучения неодимового лазера а = 3,25, а для СО2-лазера а = 1,03, эВ3/4.
НЕЛИНЕЙНОЕ И РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЯ
Использованные выше допущения о свойствах оптических констант касались лишь пе и Т. Теперь можно исследовать такие случаи, когда энергия осцилляций электронов eosc (при их когерентном колебательном движении) в поле лазерного излучения может превысить их тепловую энергию кТ. Поглощение лазерного излучения в общем случае зависит от его интенсивности, а начиная с некоторого значения интенсивности и кулоновские столкновения, связанные с процессом поглощения, становятся нелинейными. Если колебательное движение в поле лазерного излучения приводит к столь высоким значениям энергии электронов, превышающим mec2, что приходится учитывать релятивистские эффекты (например, изменение массы электрона), то необходимо провести новое обобщающее рассмотрение соответствующих физических процессов.
Уравнение движения электрона в поле электромагнитной волны для не релятивистского случая |v| <с имеет вид
dе
mv = еЕ + —vx Н.(6.50)
dtс
Вследствие того что I v | < с, лоренцевым членом можно пренебречь. Если величина, характеризующая затягивание колебаний, обусловленное изменяющейся с частотой со действительной частью напряженности электрического поля Е лазерного излучения, значительно меньше длины волны X = 2тгс/ со, то
еЕ,
v = cos(cor).(6.51)
mi со
Максимальное значение энергии колебательного движения равно 86
m i — v
2
е2Е? _
" ^osc-
Im GJ
(6.52)
Это полная колебательная энергия электронов. Средняя кинетическая энергия колебательного движения
-kin _гсох
^osc ”eosc•(6.53)
24 т GJ
При подстановке плазменной частоты gjp (2.6) и критической плотности пес (636) в (6.53) получаем
р 2р 2
6osc = -^— ; ^ =.(6.54)
8 7ГПес1о7ГЛ^^»
С учетом определения плотности энергии электромагнитного поля найдем следующее соотношение напряженности электрического поля Ег и интенсивности лазерного излучения / (в системе СГСЕ):
I Ег I = хГ^ТГс = 2,91 • 10"5 х/Т?
или на практике удобнее использовать следующие единицы:
I Е, | = <2//Л0 = 27,4 <Г
(6-55)
Здесь По — удельное сопротивление вакуума (377П). С учетом этого, соотношения (6.54) в системе СГС имеют вид:
€osc = 1[спес; е^ = I/2cnec.
(6.56)
Чтобы получить оценку показателя преломления л для случая е*^*"с > > кТ, необходимо несколько модифицировать определение кулоновской частоты столкновений vej и включить в него скорость, обусловленную когерентным колебательным движением электронов. При несколько упрощенном подходе это означает, что следует пользоваться эффективной температурой Т*:
т* = rth + eok™ , к
(6.57)
вместо температуры Т^, характеризующей лишь среднюю энергию хаотического теплового движения. Соответствующие вычисления [146] дают следующее выражение для константы нелинейного поглощения A'nl и частоты столкновений ре^ (2.35):
41г4е6^ л2 Z2lnA
<Г- 16(^7^ + €^)3/2
(6.58)
(тя) 1/2 W2e2Z In А
<2- le^rth + e*"1)3'2
(6.58а)
Для этого случая спитцеровский фактор становится равным единице, поскольку при когерентном движении электронов в поле лазерного излучения электрон-электронных столкновений не происходит. Такое достаточно упрощенное обобщение вполне оправдано, поскольку оно приводит примерно к тому же результату, что и достаточно строгие квантовомеханические вычисления с учетом колебательного движения [147]:
^L ^^^г2^™1/2^--^^)^^(6.59)
4\ ткТ\ъ cb^J/
В обоих случаях из уравнений (6.58) и (6.59) имеем
Отношение обоих коэффициентов нелинейного поглощения
*nl 4in(i6eok^/*rth)
^=— = — (6.60)
^NL у2тт • тг In А
постоянно и по порядку величины близко к единице.
Для релятивистского обобщения оптических констант необходимо провести рассмотрение особенностей движения отдельного электрона в электромагнитном поле, которое описывается уравнением
дв
— mN = еЕ+- vxH.(6.61)
dtс
Предполагая, что лазерное излучение линейно поляризовано и распространяется вдоль оси х (при этом Е = \уЕу, Н = i ZEZ), можно получить следующие уравнения:
ао у уе
— - - еЕу cos cotvxHz cos (co Г + ф); (6.62)
dt [1-(^*^)/е2]1/2с
dmovxе
— = — pv Hz cos (со/ + i),(6.63)
dt [1-O^Pp/e2]1'2 c
где m^ — масса покоя электрона, а ф описывает возможную разность фаз между Е и Н в среде. Пространственной зависимостью Е и Н при этом обычно пренебрегают. Более того, временно опускают и второй член в правой части уравнения (6.62), но ниже его влияние будет уточнено. Используя определение
(6.64)(6.64)(6.65)(6.65)7 = [1 - (р^ + Рр/с2]1/2 = (l-v2/c2)1/2
(6.64)
(6.64)
(6.65)
(6.65)
и введя волновое число к = со/с, проинтегрировав (6.62), получим
е Еу*1
v =<_ sin (-кх + cot).
тосо
С использованием (6.64) и (6.65) уравнение (6.63) преобразуем к следующему виду:
- 72 [с2 + е2Еу sin2 (-кх* йЯ)/™о ы2] - 1/2 7
е Er I 1оI
= 7 4—sin2(~^x + cor)cos Ф - sin ^-кх* cor)sin<pk .(6.66)
m^CG) L2J
(6.67)(6.67)(6.68)(6.68)Очевидно, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поэтому значение 7 должно лежать в следующем пределе:
(6.67)
(6.67)
(6.68)
(6.68)
mJ ы2с2 |л|mJ ы2с2 |л|(6.69)(6.69)Это выражение можно использовать для оценки максимальной кинетической энергии е^^ прямо из характера колебательного движения, определяющего колебательную энергию электрона eosc, не решая уравнений движения (6.62) и (6.63):Это выражение можно использовать для оценки максимальной кинетической энергии е^^ прямо из характера колебательного движения, определяющего колебательную энергию электрона eosc, не решая уравнений движения (6.62) и (6.63):eosc = т0с2( — - 1) = т0с2х 7eosc = т0с2( — - 1) = т0с2х 71 +1 +mJ w2c2 |л|mJ w2c2 |л|. (6.70). (6.70)Для |ЕГ | < Ег вновь получаем выражение (6.52) для колебательной энергии:eosc ^-(|Е,|<^),(6.71)2 №ОСОДля |ЕГ | < Ег вновь получаем выражение (6.52) для колебательной энергии:eosc ^-(|Е,|<^),(6.71)2 №ОСОгде ЕТ — релятивистский предел, определенный, как и релятивистский порог интенсивности 1Г, соотношением eosc = тс2 (6.70):где ЕТ — релятивистский предел, определенный, как и релятивистский порог интенсивности 1Г, соотношением eosc = тс2 (6.70):ЕТ = V3 mQ ^с/е\ Ir = 3zn2 со2с3/8тгв2.ЕТ = V3 mQ ^с/е\ Ir = 3zn2 со2с3/8тгв2.(6.72)(6.72)Значения этих пределов для излучения неодимового и СО2 -лазера в вакууме равны:Значения этих пределов для излучения неодимового и СО2 -лазера в вакууме равны:5,17 • 1010 В/см5,17 Ю9 В/см5,17 • 1010 В/см5,17 Ю9 В/см(Nd);(СО2)(Nd);(СО2)(6.73)(6.73)
mJ ы2с2 |л|
mJ ы2с2 |л|
(6.69)
(6.69)
Это выражение можно использовать для оценки максимальной кинетической энергии е^^ прямо из характера колебательного движения, определяющего колебательную энергию электрона eosc, не решая уравнений движения (6.62) и (6.63):
Это выражение можно использовать для оценки максимальной кинетической энергии е^^ прямо из характера колебательного движения, определяющего колебательную энергию электрона eosc, не решая уравнений движения (6.62) и (6.63):
eosc = т0с2( — - 1) = т0с2х 7
eosc = т0с2( — - 1) = т0с2х 7
1 +
1 +
mJ w2c2 |л|
mJ w2c2 |л|
. (6.70)
. (6.70)
Для |ЕГ | < Ег вновь получаем выражение (6.52) для колебательной энергии:
eosc ^-(|Е,|<^),(6.71)
2 №ОСО
Для |ЕГ | < Ег вновь получаем выражение (6.52) для колебательной энергии:
eosc ^-(|Е,|<^),(6.71)
2 №ОСО
где ЕТ — релятивистский предел, определенный, как и релятивистский порог интенсивности 1Г, соотношением eosc = тс2 (6.70):
где ЕТ — релятивистский предел, определенный, как и релятивистский порог интенсивности 1Г, соотношением eosc = тс2 (6.70):
ЕТ = V3 mQ ^с/е\ Ir = 3zn2 со2с3/8тгв2.
ЕТ = V3 mQ ^с/е\ Ir = 3zn2 со2с3/8тгв2.
(6.72)
(6.72)
Значения этих пределов для излучения неодимового и СО2 -лазера в вакууме равны:
Значения этих пределов для излучения неодимового и СО2 -лазера в вакууме равны:
5,17 • 1010 В/см
5,17 Ю9 В/см
5,17 • 1010 В/см
5,17 Ю9 В/см
(Nd);
(СО2)
(Nd);
(СО2)
(6.73)
(6.73)
0< 7*2 < 72 <L
где
7*2 «
'е2Е2
1+ ——
_с2 mJ |л|ы2 .
' =1
Минимальное значение 7
Дия чистоДия чисто3,68 1018 Вт/см23,68 1018 Вт/см2(Nd);3,68 • 1016 Вт/см2 (СО2).(Nd);3,68 • 1016 Вт/см2 (СО2).(6.74)(6.74)релятивистского случая при очень большой интенсивностирелятивистского случая при очень большой интенсивностилазерного излучения / и больших амплитудах напряженности электрического поля ЕГ>ЕГ уравнение (6.70) приводит клазерного излучения / и больших амплитудах напряженности электрического поля ЕГ>ЕГ уравнение (6.70) приводит кeosceoscес|ЕГ |ес|ЕГ |сосо~ /1/2; (|Er|>F').~ /1/2; (|Er|>F').(6.75)(6.75)
Дия чисто
Дия чисто
3,68 1018 Вт/см2
3,68 1018 Вт/см2
(Nd);
3,68 • 1016 Вт/см2 (СО2).
(Nd);
3,68 • 1016 Вт/см2 (СО2).
(6.74)
(6.74)
релятивистского случая при очень большой интенсивности
релятивистского случая при очень большой интенсивности
лазерного излучения / и больших амплитудах напряженности электрического поля ЕГ>ЕГ уравнение (6.70) приводит к
лазерного излучения / и больших амплитудах напряженности электрического поля ЕГ>ЕГ уравнение (6.70) приводит к
eosc
eosc
ес|ЕГ |
ес|ЕГ |
со
со
~ /1/2; (|Er|>F').
~ /1/2; (|Er|>F').
(6.75)
(6.75)
Этот результат показывает, что энергия колебаний релятивистских частиц не зависит от их массы покоя т0 и ее рост пропорционален лишь квадратному корню из интенсивности лазерного излучения /.
= тос2 ц= тос2 ц1 + ЗЛ (Z) — - 1 ^ г1 + ЗЛ (Z) — - 1 ^ гПоследний член в правой части (6.62) пренебрежимо мал. Решение этого уравнения приводит к следующему выражению для энергии колебаний с корректирующей функцией А (I):
= тос2 ц
= тос2 ц
1 + ЗЛ (Z) — - 1 ^ г
1 + ЗЛ (Z) — - 1 ^ г
(6-76)
При I < 1г функция А (/) = 1, а при возрастании интенсивности А (/) монотонно стремится к своему пределу, который равен я/23/2 [148] или 3/23/2 [149]. Поэтому коррекция eosc с помощью А изменяет значение eosc не более чем на 5,3%. Это позволяет в большинстве случаев использовать (6.70) или (6.76) с А = 1 в качестве достаточно точного приближения.
Вследствие релятивистского изменения массы электрона необходимо соответственно скорректировать и плазменную частоту сор:
2 4яе2ле f 7 4яе2пе 1
Шу =/ 1 =.(6.//)
тй х) сто [1 + ЗЛ (/)Z/Zr]1/2
Тогда релятивистское значение критической плотности плазмы становится равным
Пес = I1 + Зл (О'/М 1/2.(6.78)
4 7Ге 2
Частота столкновений (6.58) электронов в плазме в релятивистском случае изменяется от значения, определяемого (2.34), если Т < е0&с/к, до значения
neZlt3<2e* 1пЛ4
V =^: ,(6.79)
т^с3 yi + ЗЛ (Dl/lrV12 -^ 3,2 2511 [1 + ЗЛ (Z)Z/Zr ]1/2
ле Z я3^2 е4 In Л*ле Z я3^2 е4 In Л*или
ле Z я3^2 е4 In Л*
ле Z я3^2 е4 In Л*
v =v =(6.80)(6.80) , если I > 1г\ тг0 с3 2s 11А ^1/1г
v =
v =
(6.80)
(6.80)
neZir3lle*\nA
, если I <1у.
(3Z/Zr)3/22m‘/2
Обозначение In Л* использовано для релятивистского кулоновского логарифма, который при eosc >кТописывается следующим выражением:
Л* =?2Ze3 Цтпе) 1/2Л* =?2Ze3 Цтпе) 1/2+зл+зл3/23/2(6.81)(6.81)
Л* =?
2Ze3 Цтпе) 1/2
Л* =?
2Ze3 Цтпе) 1/2
+зл
+зл
3/2
3/2
(6.81)
(6.81)
Наконец, следует отметить, что при рассмотрении поглощения в плазме необходимо учитывать только те процессы, которые обусловлены кулоновскими столкновениями. Их распространение на сверхплотную область, где со < сор, на нелинейный (при eosc > кТ) и релятивистский случай проанализировано здесь достаточно подробно и строго и позволило получить ряд практически важных результатов. Другой тип поглощения обусловлен наличием различных неустойчивостей плазмы, ее макроскопическим ускорением под действием нелинейных сил, описанным ниже, или образованием солитонов. Прямое бесстолкновительное преобразование энергии лазерного излучения в кинетическую энергию плазмы в результате нелинейного макроскопического поглощения существенно отличается от обычного поглощения — за счет кулоновских столкновений и поэтому будет рассмотрено ниже.
Глава 7
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
Прежде чем провести рассмотрение двухкомпонентного уравнения движения, в данной главе проанализированы некоторые свойства электромагнитных волн в неоднородной плазме с переменным в пространстве показателем преломления. Кроме того, проведены обсуждение особенностей уравнения движения (6.5), нелинейное обобщение взаимодействия лазерного излучения с плазмой и распространение волн в неоднородной плазме. Сразу же отметим, что изменение показателя преломления п во времени здесь не учитывается. Рассмотрены только волновые уравнения
V2Hr+ — n2 Нг = 0(7.1)
с2 и , .2
V2 Ег + —^-и2 Ег = 0,(7.2)
которые получаются из (6.24) и (630), если члены с производными показателя преломления п по пространственным координатам пренебрежимо малы. Связь Е и Н задается одним из уравнений Максвелла, (6.10) или (6.12). Все необходимые для рассмотрения зависимости - пространственная зависимость плазменной частоты cop от электронной плотности пе, ее нелинейная и (или) релятивистская зависимости от амплитуды полей Е и Н, а также зависимости частоты столкновений v от пе> Е, Н, электронной температуры Т и заряда ионов Z уже были введены и достаточно подробно описаны в гл. 6. Они результируются в следующей пространственной зависимости для показателя преломления п:
„2=1^.(7.3)
со2(1 -if/w)
Решение стационарных по своей сути уравнений (6.24) и (6.29), включающее пространственно-зависимый член, в данной главе опущено и будет рассмотрено ниже, в гл. И. Проведенное же здесь рассмотрение упрощенных уравнений (7.1) и (7.2) полезно именно для понимания сути поведения электромагнитных волн, распространяющихся в неоднородной среде. С математической точки зрения для этого необходимо проанализировать особенности решения дифференциального уравнения типа
-^/М+а(х)/(х)=0,(7.4)
Эх2
где а(х) - определенная заданная функция, а/(х) - искомая функция, которую и необходимо определить. Это достаточно общая задача теории дифференциальных уравнений, рассмотренная в соответствующей литературе. В простейшем случае при 7 = const общее решение этого уравнения можно выразить через элементарные функции:
/(х) = Сх cos (51/2х) + С2 sin ^^х), если а > 0,
или
/(х) = С3 exp ^V^5х) + С4 exp (~V=Tх), если а < 0,
с постоянными интегрирования Сх,..., С4. Если же функция а (х) задана в общем виде, то, решение уравнения (7.4) становится значительно сложнее и в зависимости от вида о'(х) выражается через бесселевы, эрмит- товы, гипергеометрические специальные функции и их комбинации с элементарными функциями и соответствующие степенные ряды. С начала широкого использования вычислительной техники решение (7.4) для любого вида а (х) стало относительно простой задачей. Для прямого численного решения таких уравнений разработаны и применяются различные схемы, например, разностная схема Рунге-Кутта.
Для понимания общего характера поведения волн в неоднородной среде ниже рассмотрены особенности решения уравнений (7.1) и (7.2) в первом приближении. Оно носит название решение ВКБ (Венцеля- Крамерса—Бриллюэна).
92
Свойства таких волн можно проанализировать и на примере специального случая неоднородной среды, показатель преломления которой подчиняется следующей зависимости:
(7-5)(7-5)п (х) = —; а = const.
(7-5)
(7-5)
1 + ах
Соответствующий вид уравнения (7.4) для такой среды получил название уравнение Эйлера. Впервые его решение, выраженное через элементарные функции, было получено и подробно проанализировано Рэлеем. Решение этого уравнения для линейно возрастающего п^ приводит к необходимости использования более сложных функций Эйри.
ВКБ-ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯПЕРПЕНДИКУЛЯРНОГО ПАДЕНИЯ СВЕТА
Приблизительное решение волнового уравнения для переменного в пространстве показателя преломления, которому соответствует общий вид функции а^ в (7.4), было известно еще в прошлом столетии. Оно было названо ВКБ-приближением в честь Венцеля, Крамерса и Бриллюэна, которые получили и использовали это приближенное решение для анализа волнового решения для электрона (уравнения Шредингера).
Итак, предполагается, что линейно поляризованная плоская электромагнитная волна (Е = ХуЕу и Н = i г Н2) падает перпендикулярно к поверхности ’’многослойной” плазмы, показатель преломления которой п зависит только от координаты х (общий случай эллиптически поляризованного света рассматривают как суперпозицию линейно поляризованных волн с различной ориентацией векторов напряженности электрического поля Е и различными фазами). Тогда (7.1) и (7.2) приобретают вид
— Еу + ^-пЧх)Еу = 0;(7.6)
Эх2с2
л 2/12
Нг^ ^пЧх^Н^О.(7Л)
Эх2?
Их решение в ВКБ-приближении имеет вид
Еу = —— exp(i — J Re(n)d$- — J 1т(л)</0(7.8)
Н1/2 сс
ИЛИ
Ел
(7.9)(7.9)Еу = —expiF; F = i — J 1т (и) d^. Id'/2c
(7.9)
(7.9)
где Ev — амплитуда электрического поля падающей волны в вакууме. Это решение справедливо для (7.6) только до тех пор, пока его свободный член достаточно мал.
Дифференцируя уравнение (7.8) с учетом того, что v < со при |и| « « и, получаем
d „ Ev ,. d |п | Ev ,. А . со । ।
Ev =(expiF) +(exp iF) i— |л|;
Эх '2|„|3/2Эх V7=
Э2 г 3Ev / T\f9l”lV Ev d2|zi|^,p^
Ev = (expiF) I I(expiF)- dx2 4|„|5/2\dx /2|я|3/2 Эх2
Ey d|n| . w. ... 4. w Ev. /d|n | \
i — |n| (exp iF) + i(exp iF) I ) -
|„|3/2 Эх СC |„|l/2\dx /
- — In21 (expiF).
2И1'2
Подстановка последнего выражения в (7.6):
I и I (ехр 1F) + (exp 1F ) х
с2 7ЙТ4|л|572
f э |п | А 2 Ev Э2 |п|. . со21 |2 bV.
х (expiF) +—|л|2(expiF)=0
\ dx /2|п|3^2 ^^2с2 Vbd
показывает, что уравнение (7.8) является достаточно хорошей аппроксимацией (7.6), если выполняются условия
йпЭхйпЭх< — |л|, или 6 = ^^ —-— с^ со|п|2< — |л|, или 6 = ^^ —-— с^ со|п|2^пЭх^пЭх< 1< 1и1 д2 п2Н Эх2и1 д2 п2Н Эх2< |л |, или ф = 2< |л |, или ф = 212|Л|312|Л|3с2с2д2иЭх2д2иЭх2< 1.< 1.(7.Ю)(7.П)(7.Ю)(7.П)
йп
Эх
йп
Эх
< — |л|, или 6 = ^^ —-— с^ со|п|2
< — |л|, или 6 = ^^ —-— с^ со|п|2
^п
Эх
^п
Эх
< 1
< 1
и
1 д2 п
2Н Эх2
и
1 д2 п
2Н Эх2
< |л |, или ф = 2
< |л |, или ф = 2
1
2|Л|3
1
2|Л|3
с2
с2
д2и
Эх2
д2и
Эх2
< 1.
< 1.
(7.Ю)
(7.П)
(7.Ю)
(7.П)
Условия второго порядка (7.11) обычно не учитывают. Условия ВКБ-при- ближения (7.10) ограничивают возможные изменения показателя преломления в пространстве относительно малой величиной. Использование определений (7.8) и (6.32), а также учет геометрии перпендикулярного падения плоской волны на многослойную плазму приводит к следующей аппроксимации:
Е = iyЕ = iyEv COS |W|V2Ev COS |W|V2J Re (n) d- cot) exp f ,V 2J Re (n) d- cot) exp f ,V 2(7.12)(7.12)
Е = iy
Е = iy
Ev COS |W|V2
Ev COS |W|V2
J Re (n) d- cot) exp f ,V 2
J Re (n) d- cot) exp f ,V 2
(7.12)
(7.12)
где к — усредненный коэффициент поглощения:
(7.13)(7.13)X
(7.13)
(7.13)
к= 2— J Im(n)d^. хс
Действительная часть Е приведена здесь и для использования в последующих расчетах. Использованный знаменатель для Ev приблизительно равен модулю л. В этом приближении, как будет показано ниже при рассмотрении, в котором использован комплексный знаменатель для Е, членами третьего порядка пренебрегают.
Подобным же образом можно получить решение и для уравнения (7.7). Чтобы вывести правильное значение фазы между Еу и Hz, значение Hz получают подстановкой Е из (7.12) в уравнение Максвелла (6.10) с последующим дифференцированием по пространственным координатам и интегрированием по времени. Дифференцирование по пространственным координатам дает член с производной по п
Нг =-—— — (expiF) + £, vW (expiF)(7.14)
2со |„|3/2 dx
или co следующей аппроксимацией показателя преломления п его модулем |л|:
Н =-iz—sin /— JRe(rt)d$-
2 со |л|3/2 dx \с
cot) exp (- - кх) + iz Ev |л| ^2 cos (— J Re (n^d^ - 2\ c
cor) exp (—- kx).(7.15)
2
Вторые члены в последних двух уравнениях соответствуют обычному виду плоских волн в вакууме. Уменьшение л приводит к уменьшению Н и увеличению Е в уравнениях (7.15) и (7.12) соответственно. Такое увеличение или даже всплеск амплитудного значения Е в плазме представляет особый интерес для рассмотрения, проведенного в последующих главах. На модуль векторного произведения |ЕхН| значение |л| не влияет. Поэтому вектор Пойнтинга, или поток энергии электромагнитного поля, остается неизменным. Первые члены в (7.14) и (7.15) характеризуют сдвиг фаз между Е и Н. Подобные свойства уже были отмечены выше, при обсуждении математически точного решения для рэлеевского случая. Член, характеризующий сдвиг фазы между Е и Н, является существенным с точки зрения образования некоторого распределения сил в плазме под действием электромагнитного излучения. Уменьшение действительной части показателя преломления Re (л) в плазме вызывает увеличение длины волны в осциллирующем множителе в (7.12) и (7.15).
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ И ВКБ-ПРИБЛИЖЕНИЕ
Если происходит наклонное падение плоских волн на многослойную плазму, то необходимо аналитически связать их с плоскими волнами в вакууме вне плазмы. Для вакуума, когда п = 1, уравнение (7.2) при- 95
обретает вид
(7.16)(7.16)д2 Е . д2д2w2
(7.16)
(7.16)
——— Ц* IЦ» I ■ ■ 1 ’ Не. I • И» Ue
Эх2д/dz2с2
Каждый компонент вектора Ег может быть выделен, например, из /-компонента Е с помощью образования следующей комбинации:
Ey(x,y.z) = Eyx(x)Eyy(y)Eyz(z).(7.17)
Подстановка этого выражения в (7.16), разделенное на Еу, дает уравнение вида
1 э2 р 1 э2 1 а2 ы2 IL уд- i —у т у 2 "* — и.
Еух дх2Еуу ду2Eyz ^z2с2
Таким образом, решение уравнения в частных производных (7.16) сводится к решению системы обычных дифференциальных уравнений:
Еух + (~^х) ^ух = 0;
dx1
ЕуУ ^^у^ ^УУ = 0’ dy
Eyz + Н^Еуг = 0.
Постоянные кх, ку и kz здесь называются собственными значениями. Объединение собственных значений Еух, Еху иЕу2 с помощью (7.17) дает следующее решение:
Еу = £*yexp(ikr), (7.18) где к - волновой вектор, характеризующий направление распространения плоской волны, компоненты которого
кх= —coswx; ку =—cosm^; kz =—coswz (7.19) с с с
определяют угол и между направлением к и осями х, у и z декартовой системы координат. Очевидно, что
кх + ку + к2 = со2/с2.
Без ограничения общности рассмотрения можно предположить, что плоскость падения волны совпадает с плоскостью х-у (рис. 7.1). Структура плазмы здесь все еще считается такой, что показатель преломления изменяется только в направлении х.
Итак, примем, что плоская волна имеет угол падения в вакууме, равный и0. Тогда, в соответствии с уже проведенным рассмотрением, решение уравнений Максвелла для плоской волны с вектором электричес- 96
Рис. 7.1. Наклонное падение из вакуума на неоднородную плазму (под углом Ц)) линейно-поляризованных плоских ВОЛН С S- и р-поляризацией. Видно, что внутри плазмы угол падения постепенно изменяется и появляется его зависимость и(х) вдоль оси хРис. 7.1. Наклонное падение из вакуума на неоднородную плазму (под углом Ц)) линейно-поляризованных плоских ВОЛН С S- и р-поляризацией. Видно, что внутри плазмы угол падения постепенно изменяется и появляется его зависимость и(х) вдоль оси хкого поля Ер, осциллирующим в плоскости падения волны (р-поля- ризованной) имеет следующий вид:Ер = Ev (- ix cosи0 + iy sin м0) хкого поля Ер, осциллирующим в плоскости падения волны (р-поля- ризованной) имеет следующий вид:Ер = Ev (- ix cosи0 + iy sin м0) хх cos —(cosw0)х+ — (sini/o)^ — cor], L ссх cos —(cosw0)х+ — (sini/o)^ — cor], L сс(7.20)(7.20)Если же вектор Ер перпендикулярен плоскости падения волны (s-поляризованной) , тоЕсли же вектор Ер перпендикулярен плоскости падения волны (s-поляризованной) , тоЕ$ — Еу i^ cosЕ$ — Еу i^ cos—(cosm0) Х+ — (sinw0)^ -tod; сс—(cosm0) Х+ — (sinw0)^ -tod; сс(7.22)(7.22)Н, = Еу (ix cos и0 - iy sin w0) xН, = Еу (ix cos и0 - iy sin w0) xx cosx cosco ,. _ co , . x ,— (cos w0)x+ — (sin u^y - cor ] .co ,. _ co , . x ,— (cos w0)x+ — (sin u^y - cor ] .(7.23)(7.23)Линейная комбинация обоих случаев позволяет получить и общее решение для эллиптически поляризованной волны в вакууме.Здесь ВКБ-приближение рассмотрено только для случая бесстолкновительной плазмы (р = 0), когда показатель преломления п имеет лишь действительное значение. Подстановка полученных решений в волновые уравнения, как и для случая перпендикулярного падения, описанного в предыдущем параграфе, позволяет получить ограничения первого и второго порядка на применимость ВКБ-приближения. Эти ограничения имеют следующий вид:Линейная комбинация обоих случаев позволяет получить и общее решение для эллиптически поляризованной волны в вакууме.Здесь ВКБ-приближение рассмотрено только для случая бесстолкновительной плазмы (р = 0), когда показатель преломления п имеет лишь действительное значение. Подстановка полученных решений в волновые уравнения, как и для случая перпендикулярного падения, описанного в предыдущем параграфе, позволяет получить ограничения первого и второго порядка на применимость ВКБ-приближения. Эти ограничения имеют следующий вид:А / X V^ С1d (п cosu)< 1,в (и) = ——2 W л2со$2иdx, . .1с21Ф (и) = —-d2 п cos и< 1.2 ш2 n2cos2udx2А / X V^ С1d (п cosu)< 1,в (и) = ——2 W л2со$2иdx, . .1с21Ф (и) = —-d2 п cos и< 1.2 ш2 n2cos2udx2(7.24)(7.25)(7.24)(7.25)
Рис. 7.1. Наклонное падение из вакуума на неоднородную плазму (под углом Ц)) линейно-поляризованных плоских ВОЛН С S- и р-поляризацией. Видно, что внутри плазмы угол падения постепенно изменяется и появляется его зависимость и(х) вдоль оси х
Рис. 7.1. Наклонное падение из вакуума на неоднородную плазму (под углом Ц)) линейно-поляризованных плоских ВОЛН С S- и р-поляризацией. Видно, что внутри плазмы угол падения постепенно изменяется и появляется его зависимость и(х) вдоль оси х
кого поля Ер, осциллирующим в плоскости падения волны (р-поля- ризованной) имеет следующий вид:
Ер = Ev (- ix cosи0 + iy sin м0) х
кого поля Ер, осциллирующим в плоскости падения волны (р-поля- ризованной) имеет следующий вид:
Ер = Ev (- ix cosи0 + iy sin м0) х
х cos —(cosw0)х+ — (sini/o)^ — cor], L сс
х cos —(cosw0)х+ — (sini/o)^ — cor], L сс
(7.20)
(7.20)
Если же вектор Ер перпендикулярен плоскости падения волны (s-поляризованной) , то
Если же вектор Ер перпендикулярен плоскости падения волны (s-поляризованной) , то
Е$ — Еу i^ cos
Е$ — Еу i^ cos
—(cosm0) Х+ — (sinw0)^ -tod; сс
—(cosm0) Х+ — (sinw0)^ -tod; сс
(7.22)
(7.22)
Н, = Еу (ix cos и0 - iy sin w0) x
Н, = Еу (ix cos и0 - iy sin w0) x
x cos
x cos
co ,. _ co , . x ,
— (cos w0)x+ — (sin u^y - cor ] .
co ,. _ co , . x ,
— (cos w0)x+ — (sin u^y - cor ] .
(7.23)
(7.23)
Линейная комбинация обоих случаев позволяет получить и общее решение для эллиптически поляризованной волны в вакууме.
Здесь ВКБ-приближение рассмотрено только для случая бесстолкновительной плазмы (р = 0), когда показатель преломления п имеет лишь действительное значение. Подстановка полученных решений в волновые уравнения, как и для случая перпендикулярного падения, описанного в предыдущем параграфе, позволяет получить ограничения первого и второго порядка на применимость ВКБ-приближения. Эти ограничения имеют следующий вид:
Линейная комбинация обоих случаев позволяет получить и общее решение для эллиптически поляризованной волны в вакууме.
Здесь ВКБ-приближение рассмотрено только для случая бесстолкновительной плазмы (р = 0), когда показатель преломления п имеет лишь действительное значение. Подстановка полученных решений в волновые уравнения, как и для случая перпендикулярного падения, описанного в предыдущем параграфе, позволяет получить ограничения первого и второго порядка на применимость ВКБ-приближения. Эти ограничения имеют следующий вид:
А / X V^ С1
d (п cosu)
< 1,
в (и) = ——
2 W л2со$2и
dx
, . .1с21
Ф (и) = —-
d2 п cos и
< 1.
2 ш2 n2cos2u
dx2
А / X V^ С1
d (п cosu)
< 1,
в (и) = ——
2 W л2со$2и
dx
, . .1с21
Ф (и) = —-
d2 п cos и
< 1.
2 ш2 n2cos2u
dx2
(7.24)
(7.25)
(7.24)
(7.25)
Угол и (х), характеризующий направление распространения волны в плаэ-
7-—Зак. 156397
ме, подчиняется закону Снелла:
(7.26)(7.26)и2 (х) sin2 и (х) =sin2w0.
(7.26)
(7.26)
Его легко обнаружить из аналитической связи решений, характеризующих распространение электромагнитной волны в вакууме и в плазме.
Необходимо решить вопрос, справедливы ли условия ВКБ-прибли- жения (7.24) и (7.25) для плазмы. В общем случае наклонно падающая линейно-поляризованная волна описывается в виде суммы двух компонент: одной — с вектором осциллирующего электрического поля Е, параллельным плоскости падения (компонента с индексом Ер), и второй — с вектором Es, перпендикулярным этой плоскости (индекс $). Хорошо известно [150], что в общем случае такое разделение невозможно. Чтобы определить параметры вектора электрического поля в случае его перпендикулярной ориентации к плоскости падения, необходимо решить следующее уравнение:
-^7 +и2 (х) Е$ =0.(7.27)
Эх2 д/ с2 /
Решение (7.27) в ВКБ-приближении имеет вид
Ev Vcos и
Es = iz cos G,(7.
(n (x) - sin 2 u0) ^4
где
X
G=^_— (J Vnl (5) - sin2 (w0) d^n(x)y sin w(x)) + cot, (7.29) с о
причем верхний знак соответствует распространению электромагнитной волны, при котором имеется компонента, направленная внутрь плазмы, а нижний знак - противоположному. В соответствии с уравнениями Максвелла и (7.28) имеем
Ev V^ cos uo
Hs =± — ■ - [i^ sin и (x) - i^cos и (x)] cos G -
у/cos и (x)
COSUqCOSUq2и3^2 (x)cos5/2M(x)2и3^2 (x)cos5/2M(x)sin G. dxsin G. dx(730)(730)
COSUq
COSUq
2и3^2 (x)cos5/2M(x)
2и3^2 (x)cos5/2M(x)
sin G. dx
sin G. dx
(730)
(730)
В случае для компоненты Ер) уже нет компоненты электрического поля, перпендикулярной направлению распространения волны, как это имеет место в общем случае, и электрическое поле становится расходящимся. Компоненты электрического поля, напряженность которых определяется (6.31), имеют вид:
(731)(731)— + — + — и2(х)) Ерх— V. Ер = 0
(731)
(731)
Эх2Э^2 С2/ОХ
ииU*2U*2++d . to 2 / x —: + —” (*) d^2 c2d . to 2 / x —: + —” (*) d^2 c2РУ byРУ byV-Ep = 0.V-Ep = 0.(7.32)(7.32)
и
и
U*2
U*2
+
+
d . to 2 / x —: + —” (*) d^2 c2
d . to 2 / x —: + —” (*) d^2 c2
РУ by
РУ by
V-Ep = 0.
V-Ep = 0.
(7.32)
(7.32)
(7.33)(7.33)Последние члены в (7.31) и (7.32) связаны со всеми компонентами электрического поля, так что представление их решений в виде суммы двух различно поляризованных компонент невозможно. Однако в рамках ВКБ-приближения, как будет показано ниже, последние члены в (7.31) и (7.32) пренебрежимо малы. Используя соотношение
(7.33)
(7.33)
«(*) VEp=-2Epx — , dx
как показал В.Л. Гинзбург в [150], приводим (7.31) и (7.32) к виду
/ Э2 ± д2 , О)2 2 / х 1 гd Inn (х)А
— + —; + — ” 00 £рх + 2 — Ерх = 0,(7.34)
\ Эх2 д/ с2 /Эх \ dx )
/ Э2 , д2 СО2 2 / х \Эd Inn (х) I п
-у + ГЧ + —п W ^+ 2— =0. (7.35)
\Эх2 д/ с2/Эу \ dx /
Сравнение с условиями ВКБ-приближения (7.24) и (7.25) показывает, что усредненный во времени последний член (7.34) всегда в (0 + 21//) раз больше члена с и2 (х) в первых скобках уравнения (7.34). Поэтому, если выполняется условие
2tg (x)sinu(x) < 1, (7.36)
а это происходит при и С 40°, то последним членом в (7.35) по сравнению с и2 можно пренебречь. Таким образом, используя условия (7.24), (7.25) и (7.36), можно провести раздельное решение (7.34) и (7.35) без объединения их членов. Такое решение дает следующую зависимость для напряженности электрического поля Ер:
Ер=Ер=Ev cos 1^2и о(п (х) cos и (х)) 1 ^2Ev cos 1^2и о(п (х) cos и (х)) 1 ^2[-ix sin и (х) + i^cos и (х)] cosG.[-ix sin и (х) + i^cos и (х)] cosG.(7.37)(7.37)
Ер=
Ер=
Ev cos 1^2и о
(п (х) cos и (х)) 1 ^2
Ev cos 1^2и о
(п (х) cos и (х)) 1 ^2
[-ix sin и (х) + i^cos и (х)] cosG.
[-ix sin и (х) + i^cos и (х)] cosG.
(7.37)
(7.37)
Подстановка выражения (7.37) в уравнения Максвелла позволяет определить и соответствующую зависимость для напряженности магнитного поля:
/ 1 2 ) _сsin и (х))
dn . _ — sin G dxdn . _ — sin G dx. (7.38). (7.38)Ер (п cos u0)V 2'
dn . _ — sin G dx
dn . _ — sin G dx
. (7.38)
. (7.38)
Нр =iz cos G -
cos1/2w(x) LWHCOSU(X)
7*7*Эти решения для случаев s- и р-поляризации будут использованы и при дальнейшем рассмотрении взаимодействия лазерного излучения с плазмой.
7*
7*
99
РЭЛЕЕВСКИЙ ПРОФИЛЬ
Рэлеевский профиль зависимости показателя преломления n(x) соответствует такому профилю электронной плотности плазмы, который получается после сложных математических преобразований уравнений состояния плазмы. При первом рассмотрении он кажется искусственным, не соответствующим реальности. Однако для рассмотрения электродинамических сил в плазме он очень важен. Более того, его преимуществом является возможность получения без каких-либо ограничений точного решения уравнений Максвелла, выраженного через элементарные функции. Поэтому такой подход используется в качестве основы для самого общего исследования структуры волны в неоднородной среде и сравнения полученных данных с результатами численного моделирования соответствующих процессов.
Рассмотрим случай перпендикулярного падения лазерного излучения на бесстолкновительную плазму со слоистой структурой. Для линейно поляризованной волны и среды, в которой
п= —, а> О,(7.39)
4- ах а также
Er = iyEy; Hr = izHz,(7.40)
полное волновое уравнение (6.29) можно записать в виде
— Еу + — п1 Еу =0.(7.41)
Эх2 с2
Пренебрегая в (6.28) второй производной показателя преломления по пространственной координате, запишем его в виде
— Hz — 2 f— Inn )— Нг +— n^Hz =0.(7.42)
Эх2\Эх / Эх с2’
Используем рэлеевский профиль показателя преломления (7.39), подставим его в уравнение (7.42) для действительных значений а > 0. Тогда получим более простое уравнение
^Еу^эх2 у г^Еу^эх2 у г—-Еу^.(1 + ах)2—-Еу^.(1 + ах)2(7.43)(7.43)
^Еу^эх2 у г
^Еу^эх2 у г
—-Еу^.
(1 + ах)2
—-Еу^.
(1 + ах)2
(7.43)
(7.43)
В соответствии с определением плазменной частоты сор (2.6) и критической плотности (6.37), зависимость электронной плотности в этом случае приобретает вид
(7.44)(7.44)ие (х) = иес[1 - (1 +ах)~2], х > 0.
(7.44)
(7.44)
Как легко видеть, состояние плазмы с и < 1 возможно только в случае, если а > 0. Если же х устремить к бесконечности, то пе при этом будет монотонно возрастать от пе = 0 при х = 0 до значения, равного 100
критической плотности. Плотность бесстолкновительной плазмы с рэлеевским профилем показателя преломления не может превысить критическую.
Чтобы решить (7.43), обычно используют замену переменных
(7.45)(7.45)£ = 1 + ах,
(7.45)
(7.45)
которая дает эйлеровское дифференциальное уравнение- следующего вида:
$2$2^-Еу.^ У^-Еу.^ У^—Еу =0,2 2 zс а^—Еу =0,2 2 zс а(7.46)(7.46)гдеЕУгдеЕУ= EV € 1/2^ 1/2 [1 -^^/(с2»2)]2/2= EV € 1/2^ 1/2 [1 -^^/(с2»2)]2/2(7.47)(7.47)
$2
$2
^-Еу.
^ У
^-Еу.
^ У
^—Еу =0,2 2 z
с а
^—Еу =0,2 2 z
с а
(7.46)
(7.46)
где
ЕУ
где
ЕУ
= EV € 1/2^ 1/2 [1 -^^/(с2»2)]2/2
= EV € 1/2^ 1/2 [1 -^^/(с2»2)]2/2
(7.47)
(7.47)
Возвращаясь к первоначальной переменной с помощью обратной замены (7.45), получим
Еу = (1 + ах)1 /2 Ev expЕу = (1 + ах)1 /2 Ev exp(7-48)(7-48)- f—— 1 ) ^In (1+ах)1 V „2 „2I
Еу = (1 + ах)1 /2 Ev exp
Еу = (1 + ах)1 /2 Ev exp
(7-48)
(7-48)
£ х с а/.
или, с использованием определений (7.39), (7.40), а также (6.20),
ЕуЕ = iy —2—И1/2ЕуЕ = iy —2—И1/2ехр ч * — 2ехр ч * — 24 a;2 J2 2 с а4 a;2 J2 2 с а" 1/21п(1 + ах)- i cot" 1/21п(1 + ах)- i cot(7-49)(7-49)
Еу
Е = iy —2—
И1/2
Еу
Е = iy —2—
И1/2
ехр ч * — 2
ехр ч * — 2
4 a;2 J
2 2 с а
4 a;2 J
2 2 с а
" 1/2
1п(1 + ах)- i cot
" 1/2
1п(1 + ах)- i cot
(7-49)
(7-49)
х ехрх ехрРешение для Hz можно получить из уравнения (7.42), и с помощью подстановки Еу в уравнение Максвелла с последующим дифференцированием и точным интегрированием, для д = 0:
х ехр
х ехр
(7.50)(7.50)+ — /1 In (1 + ах) - icot 0/22
(7.50)
(7.50)
у с а
Возрастание абсолютного значения Е с ростом z вследствие уменьшения показателя преломления и в (7.49) точно скомпенсировано уменьшением Н, что очень напоминает ВКБ-приближение. Знаки в подэкспоненциальном выражении указывают на распространение волны в направлении +х и —х соответственно. Полное решение дифференциального уравнения дает линейная комбинация обоих решений. Замена в чисто осциллирующем экспоненциальном выражении одного из параметров его аргумента на величину, характерную для вакуума (а = 0), которую можно провести с помощью, разложения логарифмической функции в ряд Тейлора вблизи значения х = 1, дает:
VГ 1х i /4+I
hm ехр [...] = ехр ( ± — /1 • ах 1 = ехр
а-* о\ 2 у с2 а2/
Значение фазы между Е и Н, которое задает первый комплексный коэффициент в выражении для Н (7.50), соответствует случаю отражения. Если имеет место сопряжение среды с показателем преломления, равным 1 (вакуум), при х < 0 с рэлеевской средой, распределение плотности которой описывается выражением (7.44), то и показатель преломления, и профиль плотности описываются непрерывными функциями. Если для х > 0 возможно распространение волны лишь в сторону направления +х, то для отраженной в вакуум волны (х < 0) требуется согласовать разности фаз напряженности ее магнитного поля Н. Это отражение очень мало пока
а < 2со/с, (7.51) но оно все же заметно отличается от нуля, несмотря на непрерывный переход между вакуумом и неоднородной плазмой.
Расчет отражения R [151] показывает, что R < 10% для а = gj/ с. Однако затем отражение быстро возрастает, и, когда
а > Igo/c, (7.52)
происходит полное внутреннее отражение. Это явление достаточно любопытно. Например, при перпендикулярном падении волны на границу раздела между вакуумом и непоглощающей средой с определенным значением показателя преломления и формула Френеля
/? = (1-и)2/(1+и)2 (7.53)
показывает, что R = 1 можно получить при и = 0 или при « =°°. В то же время такое значение R = 1 оказывается возможным получить при непрерывном переходе от вакуума к плазме с достаточно медленно расту* щей электронной плотностью с рэлеевским профилем, для которой а = 2ы/ с.
Итак, проведенное рассмотрение позволяет теперь ответить на вопрос, происходит ли внутреннее отражение в неоднородной плазме. Рассмотрение, проведенное в рамках аппроксимации оптических лучей или аппроксимации среды ступенчатой последовательностью однородных областей, для которых были проведены точные вычисления френелевского типа с учетом отражения на каждой границе перехода, дает стандартный вывод о внутреннем отражении. Рэлеевское решение, однако, не показывает наличие внутреннего отражения. Просто оно состоит из двух проникающих во все точки среды волн, одна из которых распространяется в направлении +х, а вторая — в направлении -х, и отражение происходит только в точке разрыва непрерывности производной показателя преломления. В [152] при рассмотрении некоторой среды, показатель преломления которой описывается аналитической функцией п^, был получен тот же самый общий вывод: никакого внутреннего отражения в ней не происходит.
Решение показывает, что ступенчатое приближение нескольких однородных сред с различными показателями преломления позволяет определить локальное отражение, если условие свободного распростране- 102
Рис. 7.2. Зависимости коэффициента преломления и от х при наличии между однородными областями среды 1 и 3 неоднородного рэлеевского профиля плотности
ния волны продолжает выполняться для х -* +°°. Такое условие для плоской волны, как и аналогичные условия Зоммерфельда для сферических волн, следует использовать и в аналитическом случае, и при ступенчатой аппроксимации. Приближение плоской волны с помощью линейной комбинации двух точных решений позволяет провести детальное зондирование среды, буквально от точки к точке. Ниже это показано на численном примере, который, однако, как показано в [153], приводит к определенному парадоксу.
Для примера рассмотрим среду со следующими свойствами (рис. 7.2) : вакуум (при х < 0) непрерывно переходит в среду с рэлеевским профилем показателя преломления (при 0 < х < D), которая, в свою очередь, непрерывно переходит в однородную плазму при х> D. Поскольку предполагается отсутствие поглощения, то показатель преломления является действительным и описывается следующей зависимостью:
Mi = 1 = лу, область 1, х < 0;
л2 = —, область 2, 0<х<£>;(7.54)
1 + ах
п3 = —, область 3, D <х.
1 + aD
Компоненты электрического и магнитного полей описываются в виде плоских волн:
Еэ = С3+ехр [i(«3 —^-<^01;(7-55)
С
Н3 = С3+л3ехр [1(л3 —х- соГ)] - ^з- лз ехр[-1(л3 — х+с<Я)].(7.56) сс
Индекс ”3” соответствует рассматриваемой области используемой среды, а константы С* и С_ характеризуют амплитудные значения прошедшей и отраженной волн соответственно. По определению, в области 3 имеется только проходящая волна, и отраженная отсутствует. Следовательно, при х = D можно положить С3+ = 1,0, а С3_ = 0,0. Тогда очевидно, что при t = 0 для третьей области среды
Е3 = ехр (1л3 — Р); Н3 = л3ехр (i — n3D).(7.57)
сс
Во второй области среды с рэлеевскими свойствами в соответствии с
103
(7.49) и (7.50), при t = 0 компоненты электрического и магнитного полей равны
£2+ = ^2 + \Л + ах ехр£2+ = ^2 + \Л + ах ехр— i / — - — 1п(1+ах)V с1 4— i / — - — 1п(1+ах)V с1 4х ехрх ехр(7.58)
£2+ = ^2 + \Л + ах ехр
£2+ = ^2 + \Л + ах ехр
— i / — - — 1п(1+ах)
V с1 4
— i / — - — 1п(1+ах)
V с1 4
х ехр
х ехр
(7.59)
(7.60)
(7.61)
Индексы у и z здесь опущены. Граничные условия на поверхностях раздела между второй и третьей областями при t = 0 можно найти из следующих условий:
Е2+ + Е2_ = Е3;
Н2^Н2_ = Н3.
(7.62)(7.63)(7.62)(7.63)Коэффициенты отражения для второй области С2 + и С2_ можно получить с помощью очевидных алгебраических преобразований.
(7.62)
(7.63)
(7.62)
(7.63)
Такое же рассмотрение можно провести и для первой области среды, в которой л = 1. Очевидно, что
Ех = С1 + exp(i — пх х — ico t) + Сг _ ехр(—i — пх х — ico t);(7.64)
сс
Нх = Сх + пх exp(i — пх х- io; г) - Сх пх exp(-i —пхх- icor). (7.65)сс
Условия непрерывности Еу и Н2 на границе раздела первой и второй областей, х = 0 при t = 0, требуют, чтобы
Ех = СИ*СХ_;
Нх - Схл.пх — Сх_пх\ Ei = С2+ + С2_ ;
(7.66)(7.67)(7.68)(7.66)(7.67)(7.68)i а2 ах*i а2 ах*Нг = (С2+-С2_)
(7.66)
(7.67)
(7.68)
(7.66)
(7.67)
(7.68)
i а
2 ах*
i а
2 ах*
Приравнивая соответствующие значения компонент электрического и магнитного полей:
Ех = Е2; Нх=Н2,(7.70)
можно получить коэффициент отражения Кд на данной границе в следующем виде:
Кд = (Е2-Н2)КЕ2+Н2),(7.71)
который и характеризует его зависимости от а и D.
Рассмотрим теперь аппроксимацию случая, проиллюстрированного на рис. 7.2, с помощью ступенчатой зависимости показателя преломления п во второй области среды с рэлеевским профилем. В третьей области среды уравнения (7.55) и (7.57) не меняются. Однако во второй области использование аппроксимации плоской волны при t = 0 для одноступенчатого приближения первого порядка с п2 = (^h +и3)/2 приводит к следующим решениям:
Ei = С2+ exp(in2 —х) + С2_ exp(-in2 — х);(7.72)
сс
Н1 = С2+п1 exp (in2 — х) - с2_ n2 exp (in2 — х).(7.73)
сс
Для получения приближений более высокого порядка используется аппроксимация вида л^ = (и£ + 1 +л^)/2, где индекс ”/” обозначает номер ступеньки, соответствующий номеру шага. Это позволяет вычислить и степень отражения, если вернуться от условий третьей области среды к первой области, а показатель преломления во второй области среды соответствует рэлеевскому профилю.
Необходимо отметить, что при использовании ступенчатой аппроксимации величина показателя преломления может изменяться в зависимости от числа использованных шагов. Поскольку величина каждого шага равна D, то не составляет особого труда вычислить значения констант С2+ и С2_. Затем эти константы используются для расчетов следующего шага приближения, вплоть до х = 0. Ниже для примера приведены результаты аналитических расчетов для первого приближения. В этом случае, поскольку и = 1, t = 0, уравнения (7.63) и (7.64) приобретают
следующий вид:
Ех = C1+exp(i — х) + С\_ ехр(—i — х);(7.74)
сс
Нх = С2 + exp (i — х) — Сх _ exp (- i — х).(7.75)
сс
На границе первой и второй областей среды (х = 0), при п = 1 и t = 0, условия сшивки решения приобретают вид:
С1+ +Q_ = С2 + + С2_;(7.76)
Сх + — Сх_ = п2 С2 + — л2 С2 — >(7.77)
105
RR<* = ЮЧ<* = ЮЧ10 мкм10 мкм0,0,0,0010,001ЮМКМDJЮМКМDJ
R
R
<* = ЮЧ
<* = ЮЧ
10 мкм
10 мкм
0,
0,
0,001
0,001
ЮМКМ
DJ
ЮМКМ
DJ
Рис. 7.3. Зависимость отражательной способности плазмы R от толщины D рэлеевской области на поверхности однородной плазмы (см. рис. 7.2). Параметр а определяет величину и в соответствии с (7.39). Расчетные данные получены из аналитического решения для описания отражательной способности плазмы [см. (7.78) ] при использовании спадающего показателя преломления [153]
так что
R =R =(7.78)(7.78)(1 + Л2)С2++ (1-^2)С2-
R =
R =
(7.78)
(7.78)
(1-И2)С2+ + (1 + W2)C2-
Подобные вычисления выполнены различными авторами для различных рэлеевских параметров а и толщины среды D (при расчетах предполагалось, что длина волны лазерного излучения равна 1,06 мкм). Эти результаты показаны на рис. 7.3, где по оси абсцисс отложены значения D, мкм, а по оси ординат - коэффициент отражения R, отн.ед. Очевидно, что осциллирующее значение коэффициента отражения становится нулевым при таких значениях толщины D, при которых фазы падающей и отраженной волн в рэлеевской среде при отражении точно компенсируются и волны взаимно погашают друг друга - точно так же, как и в результате интерференции света, прошедшего через параллельные пластинки. Очевидно, что более высокое значение а приводит к более высокому значению коэффициента отражения. При а = 2^1 с = 1,18-105 см-1 полное отражение падающей световой волны от границы раздела между вакуумом и плазмой с рэлеевскими свойствами происходит даже и при ее строго перпендикулярном падении на границу.
Максимальные R при таких осцилляциях имеют одно и то же значение. Это связано с использованным предположением об отсутствии поглощения в среде и тем, что при сделанных предположениях отражение происходит только при х = 0 и х = D. Как было установлено в [151], степень отражения в плазме с рэлеевскими свойствами зависит только от а, что хорошо согласуется с результатами и более общего рассмотрения, полученными в [152]. Поэтому максимальные коэффициенты отра- 106
Б*►
Рис. 7.4. Поэтапная аппроксимация плоской волны с использованием 1000 шагов для вычисления отражательной способности плазмы R, полученной так же, как и на рис. 7.3 (в обоих случаях предполагалось, что коэффициент преломления плазмы зависит от х) [153]
женин имеют одно и то же значение, хотя коэффициент преломления в третьей области среды монотонно падает при увеличении D.
При небольшом числе шагов ступенчатая аппроксимация дает те же минимальные значения, что и точное решение, а максимумы при увеличении толщины среды становятся почти на порядок шире. Это можно понять из сравнения с грубой аппроксимацией показателя преломления и, которая показывает на явную недостаточность малого числа шагов. Такой вывод и неудивителен, поскольку использование большого числа шагов предполагает необходимость использования и достаточно малых размеров сетки разбиения и дает более высокую точность при численных расчетах.
При использовании большого числа шагов (от 100 до 1000) (рис. 7.4) численное решение постепенно сходится к точному. Оно дает то же самое значение коэффициента отражения, те же максимумы и расстояния между нулевыми коэффициентами отражения, что и точное решение. Однако при более пристальном рассмотрении можно обнаружить и небольшое различие: расстояния между нулевыми коэффициентами отражения при ступенчатой аппроксимации несколько больше, чем при точном решении. Такой эффект увеличения длины волны имеют объективную природу. Если даже полностью исключить все неточности и неустойчивости численного решения, то все равно остается парадоксальное различие между точным решением и соответствующими асимптотическими значениями величин, полученных при численном решении в рамках ступенчатой аппроксимации.
Оставляя в стороне этот парадокс, задачу Остерберга, сформулированную в [152], можно представить следующим образом. То, что имеется два точных линейно независимых решения для однородной среды, отношение которых на границе однородной среды и определяет величину коэффициента отражения, есть строгий математический факт. Условие наличия только проникающих волн, т.е. только проходящих волн в 107
Рис. 7.5. Изменение коэффициента отражения R плоской волны от плазмы с глубиной ее проникновения в область 2 (см. рис. 7.2), показывающее наличие локального отражения
третьей области среды (без стоячих волн), позволяет определить разность фаз между Е и Н при переходе из первой во вторую область среды. Соответствующие значения фаз зависят от толщины плазмы D и от а. Это обычно достаточно хорошо (если не рассматривать парадокс) проявляется при ступенчатой аппроксимации коэффициента преломления. Однако при такой аппроксимации на каждом шаге по направлению от первой к третьей области среды происходит уменьшение коэффициента отражения (рис. 7.5). Поэтому полученный в [152] вывод об отсутствии отражения света в такой среде и вывод о локальном отражении плоской волны не противоречат друг другу.
Проблема лишь в том, как следует определять решение для неоднородной среды в области 2. Единственное условие, которое следует использовать в данном случае, аналогично условию Зоммерфельда для сферического излучения (на большом расстоянии от источника г амплитуда волны должна спадать, как 1/г), трансформированному применительно к плоской волне: при устремлении х -* +00 решение должно быть приблизительно таким же, как и для однородной среды, в которой волны распространяются только вперед, и стоячие волны отсутствуют, в то время как любая аппроксимация точного решения, даже при использовании очень малых шагов по х, неизбежно связана с образованием внутреннего отражения или стоячих волн. Точное решение не показывает наличия отражающих свойств рассмотренной среды, и поэтому расчеты в рамках ступенчатой аппроксимации можно рассматривать в определенном смысле как некоторый зонд для математически обнаружимых локальных отражательных свойств среды.
ПРОФИЛИ ЭЙРИ
Ниже кратко проиллюстрирован один из примеров точного решения волнового уравнения для неоднородной плазмы со специальным видом профиля показателя преломления с помощью функций более высокого порядка. При этом показатель преломления должен характеризоваться линейной пространственной зависимостью
и2 =—ах + is,(7.79)
где
(7.80)(7.80)<z=29w/c; S = v(w<\,
(7.80)
(7.80)
а значение 6 берется из (7.10). Тогда в соответствии с результатами подобного рассмотрения, приведенными в [154], волновое уравнение для компоненты Еу плоской перпендикулярно падающей волны имеет вид
Э2 Еу
+ — (—ах + iS)Ey =0.(7.81)
Эх2 с2
Производя замену переменных
/ ш \2/3, 1
£ = (— ) (—ах + is) = р2/3 (-ах+ is), р = — ,(7.82)
\са jса
уравнение (7.81) можно привести к более простому виду:
d1 Ey/d^1 + £Еу =0.(7.83)
Решением этого дифференциального уравнения является хорошо известная функция Эйри а/, которую можно выразить через функции Бесселя/ и / порядка 1/2 [155]:
+ is/ а.J n44dz - —- i/a4+ is/ а.J n44dz - —- i/a4(7.85)(7.85)
+ is/ а.
J n44dz - —
- i/a4
+ is/ а.
J n44dz - —
- i/a4
(7.85)
(7.85)
Еу = ЗАа^ (-f) =
। 3_ f 3/2 ] , если Re £ > 0
\ 3/ J
л (- о1 /2 /_ 1/3 ( - ("О 3/2)+ 1Х/3 ( ^Н) 3/2) , если Re £ < 0,
L 3/ X з /J(7.84)
Используя уравнения Максвелла, можно получить соответствующее
решение и для магнитного поля волны:
(7.86)(7.86)hz = y$~ 1•
(7.86)
(7.86)
Эти решения для Еу и Hz ниже использованы при анализе и обсуждении результатов, полученных в [ 154].
Глава 8
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Настоящая глава посвящена центральной проблеме физики лазерной плазмы - рассмотрению основных уравнений движения, включая их линейные свойства, с точки зрения трактовки неклассического поведения такой плазмы. В уравнения движения входят нелинейные силы, имеющие высокочастотную составляющую пондеромоторной природы и составляющую непондеромоторного характера.
Здесь полезно вспомнить последовательность предшествующего рассмотрения: после введения читателя в круг достаточно сложных явлений взаимодействия лазерного излучения с плазмой, которые характеризуются наличием быстрых ионов, различного рода нелинейностями и другими необычными явлениями (см. гл. 1), были определены основные микроскопические параметры плазмы, такие, как дебаевская длина, частота плазменных колебаний и частоты столкновений частиц плазмы (см. гл. 2). Затем были рассмотрены основные элементы кинетической теории, вывод макроскопических уравнений из уравнения Больцмана, недиссипативный возврат в равновесие при наличии возмущений основных параметров плазмы (затухание Ландау), а также основные проблемы, связанные с уравнением Лиувилля и наличием необратимых явлений (см. гл. 3). После введения основных определений и рассмотрения гидродинамических свойств плазмы (см. гл. 4) появилась возможность в достаточно общем виде описать автомодельное поведение лазерной плазмы (см. гл. 5). После сопоставления этого описания с экспериментальными данными, обнаружившего их хорошее согласие, было установлено наличие быстрой термализации для времен взаимодействия в несколько наносекунд. В гл. 6 рассмотрены основы макроскопической теории плазмы (двухкомпонентная магнитогидродинамическая модель), включая и ее электродинамику, на базе которой были исследованы такие оптические свойства плазмы, как поглощение (в том числе нелинейное и релятивистское) и преломление. В гл. 7 рассмотрены свойства плазмы в рамках волновой оптики с точки зрения наличия в ней неоднородностей, различного рода проблем, связанных с распространением и отражением лазерного излучения.
Дальнейший анализ уравнений движения (уравнения сохранения импульса) для плазмы, совместно с уравнениями электродинамики, в значительной степени связан с объединением ее основных механических и электродинамических свойств, которые по своей природе являются нелинейными, и проявляются в таких хорошо известных явлениях, как электрострикция, магнитострикция, максвелловский тензор натяжения и др. Динамика плазмы, рассмотренная в гл. 6, основана на двух уравнениях Эйлера — для ионов и для электронов. Сложение этих двух уравнений позволило получить уравнение движения (первое уравнение Шлюттера) для идеальной плазмы, в то время как вычитание этих уравнений привело к получению второго уравнения Шлюттера. Оно является, по существу, одной из форм записи обобщенного закона Ома, на основе которого была сформулирована задача электродинамического описания плазмы лоренцева типа и свойств волн в неоднородной среде.
В настоящей главе проведено рассмотрение уравнений движения (6.5), а также такое их обобщение, которое необходимо для описания и анализа нелинейных процессов взаимодействия лазерного излучения с плазмой. Для его последующего использования полезно выписать в общем виде основные уравнения движения, позволяющие правильно описать все известные результаты по субрелятивистской динамике плазмы при взаимодействии с ней плоских электромагнитных волн. Рассмот- 110
рение лазерных пучков конечного диаметра требует разрешения главного вопроса о степени неопределенности результатов, полученных в рамках предположительно линейной теории.
В рамках описания физических процессов в плазме, основанного на кинетических уравнениях (см. гл. 3), Спитцером было выведено уравнение движения, в которое входит плотность силы f [107]:
d v1
f = mini — + mi Hi v V v =- Vp + — j x H.(8.1)
drc
При выводе этого уравнения были сделаны некоторые упрощения и опущены несколько членов. В результате вывода уравнений движения, проделанногоШлюттером[136],наосновесложенияуравнений движения (6.5)дляэлектронови ионовполучено следующее уравнение:
11
f =- vp + - j х Н - -£ Е • VE,(8.2)
с4тг ^
в которое уже входит нелинейный член [см. (6.6)]. Наиболее общее уравнение движения, удовлетворяющее всем случаям взаимодействия плоской световой волны с плазмой, получено в [138]:
2/\
f=- Vp + —j хН + — EVE-— ^—(1+i — EV E-
с4 тг4 я qj2 + р2 X
- — -^(1+i—)е. VE - — EE V -^Е(1 + i — У (8.3)
4?Г qj2 + у2 у СО У4яqj2 + Р2 \со /
Проделанный в [138] вывод был основан на точном рассмотрении использованного максвелловского тензора давления, в рамках которого были автоматически разрешены и проблемы, связанные с дисперсией и диссипацией, описанные выше. Здесь следует специально отметить, что в [156] был выведен дополнительный член уравнения (8.3), который дает вклад, однако, лишь при рассмотрении релятивистской динамики плазмы. Хотя микроскопические релятивистские эффекты, например релятивистские колебания электронов (см. § 6.5), включены в рассмотрение, эффекты, в которых релятивистскими становятся макроскопические скорости, характеризующие плазму, или ее токи, здесь обсуждаться не будут. Поэтому дополнительный член, полученный в [156], а также другие члены, связанные с релятивистской динамикой плазмы, можно опустить.
Нелинейные члены уравнения (8.3) связаны с наличием термокинетической силы
fth =-VP.(8.4)
Эти члены уравнений (8.2) и (8.3) в явном виде проявляются при рассмотрении соответствующих электромагнитных волн, характеризующихся быстро осциллирующими с частотой со величинами j, Е и Н или их более высокими гармониками. Поскольку в уравнении присутствуют
111
произведения этих величин, то нелинейные члены характеризуются осцилляциями с частотой 2 со.
Силы, связанные с действием электрического или магнитного полей, получили название пондеромоторных. Однако на специальном примере будет показано, что кроме пондеромоторных членов, обусловленных электромагнитным полем, существуют и смешанные члены. Такие не- пондеромоторные члены связаны с наличием эффектов диссипации, и, кроме того, они пропорциональны частоте столкновений; из-за наличия этих смешанных членов предпочтительным становится использование термина нелинейная сила fNL •*
fNL=f-fth.(8-5)
Эта терминология используется во многих работах (см., например, [156, 157]).
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МАКСВЕЛЛОВСКОМУ ТЕНЗОРУ НАТЯЖЕНИЯ
Наиболее общая формулировка уравнения движения (8.3) или нелинейной силы (8.5)
fNL = - J х Н + — Е VE + -- V (и2 - 1)ЕЕ(8.6)
с4тг41Т
до сих пор связывалась со следующим физическим критерием: силы, возникающие при наклонном падении лазерного излучения на многослойную бесстолкновительную плазму, должны иметь направление к поверхности или от поверхности плазмы, поскольку в направлении, перпендикулярном поверхности, никакой перенос импульса невозможен. Такой критерий наклонного падения вполне подходит для проверки того, является ли нелинейная сила (8.6) более сложной, или она содержит в данной формулировке все довольно немногочисленные составляющие. Это было показано в 1969 г. в [138]. В то же время многие авторы продолжили исследования, которые привели к открытию еще некоторых нелинейных членов после 1969 г. (это не исключает возможности их перепроверки и получения нового вывода, который может привести к новому уровню понимания рассматриваемых явлений), а некоторые из этих членов являются к тому же неполными или переопределенными и поэтому ложными.
Прямой вывод (8.6) в рамках теории двухкомпонентной плазмы приведен в приложении 3. С точки зрения сделанных здесь специальных допущений по интерпретации явлений, связанных с осцилляциями пространственных зарядов и высокочастотным диэлектрическим смещением, существует определенный скепсис относительно их корректности; однако и здесь можно использовать упоминавшийся выше критерий наклонного падения. Такой анализ можно провести путем алгебраического преобразования (8.6) в выражение, использующее максвелловский тензор натяжения, который и обсуждается в настоящем параграфе.
Исторически, путь к такой формулировке данной задачи был достаточно сложным и потребовал проведения некоторых предварительных исследований. При теоретическом описании перпендикулярного падения света вполне достаточно использования уравнения движения (8.2). Оно приводит к определению нелинейной силы взаимодействия лазерного излучения с плазмой, ответственной за возникновение градиента показателя преломления плазмы [158]. Эта формула хорошо согласуется с силовой формулой, выведенной для описания взаимодействия микроволн с плазмой в приближении ее низкой плотности [159-161], но при описании поглощения, впервые проведенного в [138] в 1969 г., анализ (8.6) позволил получить интерпретацию непондеромоторных членов, являющихся составляющими нелинейной силы [в термокинетической силе (8.4) это не должно проявляться] [162-164], а также и членов более высокого порядка [165].
Обоснование возможности использования в таком рассмотрении максвелловского тензора натяжения [138] основано на соответствующих результатах, полученных Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем [166], хотя строгого решения задачи для переменных электромагнитных полей еще получено не было. Авторы проведенного рассмотрения подчеркнули, что для случая взаимодействия с веществом переменного электромагнитного поля устредненный во времени тензор натяжения для возникающих в веществе сил получить нельзя. В рассмотрении Ландау и Лифшица была использована такая среда, в которой не происходит ни рассеивания (диспергирования), ни поглощения электромагнитной волны. Впоследствии автор [167] обобщил данное рассмотрение на случай диспергирующей среды и высокочастотного электрического поля при стационарном магнитном поле. Совершенно формальное использование автором в [138] [формула (6)] соответствующей формулы Ландау- Лифшица [166], имеющей довольно ограниченную область применения, было вынужденно, поскольку рассматривались иные, чем в [167], условия - взаимодействие высокочастотных электромагнитных волн с диспергирующей плазмой при наличии поглощения. Впоследствии этот подход был оправдан доказательством алгебраической идентичности использованного уравнения наиболее общему уравнению движения плазмы (8.3), выведенному в рамках двухкомпонентной модели плазмы, а также его соответствием уже рассмотренному критерию наклонного падения электромагнитной волны [138].
В рамках такого подхода и была проведена математическая трансформация наиболее общего уравнения движения (8.3), включающего в себя все нелинейные члены, в уравнение, в котором использован максвелловский тензор натяжения. Она была основана на математической идентичности алгебраического и аналитического векторов и использовании уравнений Максвелла, в которые входит вектор Пойнтинга S:
— Ej<H = _Э s (8.7)
Эг 4яс Эг
По сравнению с нелинейной силой вектор Пойнтинга в 2irlarrR раз мень- 8 —Зак. 1563 ИЗ
ше. Здесь tr — время нарастания лазерного импульса. Для лазера на основе неодимового стекла tr « 10“12 с, о)/2тг = 2,8 1014 с”1. Подобное соотношение остается справедливым и при использовании СО2-лазера. Ниже при рассмотрении соответствующих уравнений член с вектором Пойнтинга будет опущен; но в настоящем параграфе рассмотрение проведено без каких-либо упрощающих предположений и ограничений.
Запишем уравнение (8.3) с учетом (8.5) в следующем виде:
(8-8)(8-9)(8.10)(8-8)(8-9)(8.10)fNL =А+В, где
(8-8)
(8-9)
(8.10)
(8-8)
(8-9)
(8.10)
А = — j хН, С
в =J-EVE+— V(n2-1)EE. 4Я4я
Показатель преломления определен уравнением (6.27). Величину j легко определить из (6.18):
j =_£_( v хН) - —-^Е.(8.11)
4тг4тг dr
При подстановке (8.11) в уравнение (8.9) находим
А= — ( V 4тг
X Н) X н -
1i
4тгс '
E ]х Н =
<Эг )
=- J— Н X 4 тг
( V х Н) -
1
4тгс
(— е) х н.
\ Эг
(8-12)
Используя свойство идентичности векторов
1 VH2 Н VH21 VH2 Н VH2Е I х Н. 4тгс \ d г /Е I х Н. 4тгс \ d г /(8-14)(8-14)член А можно записать в виде
1 VH2 Н VH
2
1 VH2 Н VH
2
Е I х Н. 4тгс \ d г /
Е I х Н. 4тгс \ d г /
(8-14)
(8-14)
4 тг
Возвращаясь к выражению для В (8.10), представим его в виде
в = L Е V Е+ — V и2 Е Е - — Е V Е - — Е V Е, (8.15) 4тг4тг4тг4тг
который достаточно просто трансформируется в следующее уравнение:
В = — и2 Е V Е + —Е V (и2Е)— EVE.(8.16)
4тг4тг4тг
Из (6.27) следует, что
7(и2Е)=4лре,(8.17)
причем его среднее значение для зарядовонейтральной по пространству плазмы равно нулю [136]. Следует отметить, что плотностью пространственного заряда ре здесь пренебрегать нельзя, так как действие электромагнитной волны может привести к образованию некоторого распределения пространственного заряда, осциллирующего с частотой со. Такой процесс приводит к образованию в плазме электростатических (ленгмюровских) волн под действием падающей электромагнитной волны с частотой со. Характерно, что электростатические волны такой природы будут образовываться и при значениях плотности плазмы пе, существенно отличающихся от резонансных, когда частота электростатических осцилляций для данной плотности плазмы существенно отличается от частоты электромагнитной волны (см. рис. 2.1).
Добавим два дополнительных члена, сумма которых равна нулю, тогда после группировки первых членов в уравнении (8.16) выражение для В приобретает следующий вид:
в = — [ V и2 Е Е - Е V Е + -- V Е2 - — VE2 ].
(8.18)
Объединяя второй и третий члены, получаем
_L Е X ( V X Е) = — V Е2 - — Е V Е.
(8.19)
С использованием уравнений Максвелла (6.18) и уравнения (8.19) выражение, характеризующее В, приобретает вид
в = — [ Vh2EE- — VE2]— Ex -Lh.
(8.20)
Теперь на основе выражений (8.20) для В и (8.14) для А уравнение (8.8) можно записать в виде
fNL= — V[EE + H Н - — (Е2 + Н2)1 +
+ (и2 - 1)ЕЕ] - -1—Ex Н,
4лс dr
(8.21)
где использовано равенство
Н( VH) = V(H Н) - (HV )Н,
(8.22)
последний член которого пренебрежимо мал вследствие выполнения условия (6.15). Единичный тензор 1 в декартовых координатах определяется следующим образом:
1 - 1* *х + ху ху + xz xz •
Тогда уравнение (8.20) запишем в виде
(8.23)
fNL "
‘ и1 - 1
V Т+ ЕЕ
4л
4лс dr
(8.24)
где Т - максвелловский тензор натяжения, определенный следующим образом:
(8.25)
Его компоненты задаются с помощью соответствующих комбинаций скалярных компонент Е и Н:
(
^S^-E^-E^H^-H^-H^ ЕхЕу*НхНу ...
ЕхЕу*НхНу^«с-Е^Е2-^-^-
ЕхЕх * НХН2EyEz *НуН2 ...
EZEZ + HXH,
EVEZ * HVH.
0,5(-^-^*^-H2-H2*H2)0,5(-^-^*^-H2-H2*H2)(8.26)(8.26)
0,5(-^-^*^-H2-H2*H2)
0,5(-^-^*^-H2-H2*H2)
(8.26)
(8.26)
Формула (8.24) очень похожа на определение плотности силы в диэлектрической среде без дисперсии, сделанное Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем [166]. Единственная проблема состоит в том, что плазма является средой с дисперсионными свойствами, и поэтому необходимо подобрать подходящую интерпретацию слагаемого с произведением Е Е в выражении (8.24) [162]. Если не происходит никакого поглощения, то сила имеет чисто пондеромоторную природу, в то время как наличие столкновений приводит к возникновению дополнительных непондеромотор- ныхчленов (см. §8.3), имеющих нелинейный характер.
Для весьма специального случая линейно-поляризованной плоской волны (вектор Е ориентирован в направлении вдоль оси у), падающей перпендикулярно поверхности неоднородной плазмы со слоистой структурой (ось х сориентирована нормально к поверхности плазмы), нелинейная сила, описываемая выражением (8.24), имеет более простой вид:
fNL =-— 4"^ +Я?)> (8.27) 8 я ох
где по ранее упоминавшимся причинам [см. уравнение (8.8)] членПойн- тинга опущен. Ниже эта формула используется как наиболее общее выражение для описания нелинейных сил в слоистой плазме при нормальном к ее поверхности падении волны. На данной стадии рассмотрения следует отметить еще одно достаточно удивительное обстоятельство. При выводе формулы для определения нелинейной силы в случае нормального по отношению к поверхности плазмы падения плоской волны из выражения для (j хН) [см. уравнение (8.3)], в условиях отсутствия столкновений [158], существенно необходимым является член с производной Ьп/Ьх в ВКБ-решении для Н [см. уравнение (7.15)]. Оценка же характера уравнения (8.27) с точки зрения получения той же самой 116
формулы для нелинейной силы в бесстолкновительной плазме показывает, что этот член совсем не является необходимым. При этом использовано определение показателя преломления л, удовлетворяющее условиям ВКБ, в соответствии с уравнением (7.10):
(8.28)(8.28)0 = СЭ|л ।
(8.28)
(8.28)
20) |л|2 Эх
Тогда напряженности электрического и магнитного полей в комплексной форме примут следующий вид:
Е = i2 exp i Fo exp[+ fc(x)x/2],(8.29)
hl1/2_
H = ijfyhpp expire exp[T*(x)x/2],(8.30)
где
Fo = оф ? HRenmic)d$y(8.31)
Члены с производными n по пространственным координатам здесь пренебрежимо малы, так как при последующем усреднении по времени они дают слагаемые второго и более высоких порядков малости. Выделяя лишь действительную часть и, из (8.29) получаем
+ —Re|n| ^Imlnl 1/2 sin 2F0 ехр(А:(х)х/2).2J+ —Re|n| ^Imlnl 1/2 sin 2F0 ехр(А:(х)х/2).2J(8.32)(8.32)Это приводит к следующей усредненной по времени оценке величины Еу :Это приводит к следующей усредненной по времени оценке величины Еу : £ 2_Еу = ^уехр(ТЛ(х)х/2). £ 2_Еу = ^уехр(ТЛ(х)х/2).(8.33)(8.33)Аналогичным образом из уравнения (8.30) получаем оценку для Н2 :Аналогичным образом из уравнения (8.30) получаем оценку для Н2 :Н2 = ^—Е2 |н|ехр(+£(х)х/2). 2Н2 = ^—Е2 |н|ехр(+£(х)х/2). 2(8.34)(8.34)Тогда усредненная во времени плотность нелинейной силы становится равнойТогда усредненная во времени плотность нелинейной силы становится равной— Е2fNL = *х —— 1 б 7Г— Е2fNL = *х —— 1 б 7ГT”f ГТ + hl ]ехр(*^(х)х/2), ох \ |л|/T”f ГТ + hl ]ехр(*^(х)х/2), ох \ |л|/(8.35)(8.35)илиили7. EV 1-|л|2/-Г/ \ л\ ^hl .fNL=»x — exp ( +k (х)х/2) — ±16т |лрЭх7. EV 1-|л|2/-Г/ \ л\ ^hl .fNL=»x — exp ( +k (х)х/2) — ±16т |лрЭх
+ —Re|n| ^Imlnl 1/2 sin 2F0 ехр(А:(х)х/2).
2J
+ —Re|n| ^Imlnl 1/2 sin 2F0 ехр(А:(х)х/2).
2J
(8.32)
(8.32)
Это приводит к следующей усредненной по времени оценке величины Еу :
Это приводит к следующей усредненной по времени оценке величины Еу :
£ 2_
Еу = ^уехр(ТЛ(х)х/2).
£ 2_
Еу = ^уехр(ТЛ(х)х/2).
(8.33)
(8.33)
Аналогичным образом из уравнения (8.30) получаем оценку для Н2 :
Аналогичным образом из уравнения (8.30) получаем оценку для Н2 :
Н2 = ^—Е2 |н|ехр(+£(х)х/2). 2
Н2 = ^—Е2 |н|ехр(+£(х)х/2). 2
(8.34)
(8.34)
Тогда усредненная во времени плотность нелинейной силы становится равной
Тогда усредненная во времени плотность нелинейной силы становится равной
— Е2
fNL = *х —— 1 б 7Г
— Е2
fNL = *х —— 1 б 7Г
T”f ГТ + hl ]ехр(*^(х)х/2), ох \ |л|/
T”f ГТ + hl ]ехр(*^(х)х/2), ох \ |л|/
(8.35)
(8.35)
или
или
7. EV 1-|л|2/-Г/ \ л\ ^hl .
fNL=»x — exp ( +k (х)х/2) — ±
16т |лрЭх
7. EV 1-|л|2/-Г/ \ л\ ^hl .
fNL=»x — exp ( +k (х)х/2) — ±
16т |лрЭх
(8.36)(8.36)± ix Im (n) exp ( + к (x)x/2).
(8.36)
(8.36)
167Г|„|* c
Для случая бесстолкновительной плазмы с к = 0 и и, определенной выражением (6.36), второй член в уравнении (8.36) исчезает и нелинейная сила становится равной
fNL " ifNL " iЕ21 6 7ГЕ21 6 7Гшр /Эл \с^лДдх /шр /Эл \с^лДдх /(8.37)(8.37)
fNL " i
fNL " i
Е2
1 6 7Г
Е2
1 6 7Г
шр /Эл \с^лДдх /
шр /Эл \с^лДдх /
(8.37)
(8.37)
Важно отметить, что этот результат, как было показано впервые в [138], свидетельствует о наличии столкновительного члена. Он может быть положен в основу следующей аппроксимации нелинейной силы в рамках условий ВКБ-приближения:
(8.38)(8.38)-Э / 1\_
(8.38)
(8.38)
fNL =-ix — —7 +l«l ехр(+Лх).
1 бтг ОХ X I /
Экспоненциальный множитель в уравнении (8.36) с коэффициентом поглощения к для тех областей, где справедливы условия ВКБ и где сор < со, имеет значение, близкое к единице.
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
При вычислении плотности силы в слоистой плазме для падающей наклонно плоской волны недостаточно нелинейной силы, описываемой выражением (8.2). Если используется описание, соответствующее выражению (8.2), то возникающая сила может быть направлена только вдоль поверхности плазмы. Это не может считаться прие^емым, так как предполагает отсутствие какой-либо отдачи, без которой не происходит необходимой передачи импульса. Поэтому следует использовать более приемлемое выражение для нелинейной силы [например, (8.3) ]:
fNL = Lj X н+Е Е VE+ — 7(и2-1)ЕЕ(8.39)
с4тт4тг
или, исходя из эквивалентного уравнению (8.3) уравнения (8.24),
fNL = V[(E Е + Н Н - (Е2 + Н2) 1/2)4л +
+ ^-1еЕ]—ЕхН.(8.40)
4я4яс dr
Оба этих определения нелинейной силы хорошо подтверждаются в последующем рассмотрении процессов взаимодействия для плоской электромагнитной волны.
Вычисление усредненной во времени чистой силы для бесстолкновительной плазмы с v = 0 в ВКБ-приближении уже было проведено в гл. 7. При той же самой геометрии для р-поляризованной плоской волны [урав- 118
нения (7.37) и (7.38)] усреднение во времени следующих членов дает нулевое значение:
Лее= -^-ЕЕ= ^-НН =—НН = 0.(8.41)
bybz by bz
Тогда в соответствии с уравнением (8.40) усредненная во времени плотность нелинейной силы (уравнение движения) для бесстолкновительной плазмы (р = 0) приобретает вид
fNL = — ix ^-№ - 1)(Ц - £j ) cos/З - 8тг Ьхр
- Е^ sin20 + ф^ - H?y)sin2 Р * Н^х cos1 р^ +
+ iy -- [м ЕрХЕру cos Р + HsxHSy sin /3] +
(8.42)(8.42)4я Ьх
(8.42)
(8.42)
+ iz ~ [и2 Ерх Esx + Нрх Hsx ] sin 2Р, 8я Ьхр
где Р - угол между направлением вектора Ь и плоскостью падения. Компонента iz характеризует связь между параллельной и перпендикулярной составляющими поляризации. Чтобы оценить ее величину, из уравнений (7.28), (7.30), (7.37) и (7.38) можно определить оба слагаемых, которые равны соответственно:
(8.43a)(8.436)(8.43a)(8.436)л EpxEsx =sin a sin G,
(8.43a)
(8.436)
(8.43a)
(8.436)
cos a (x)
n/TyCOstlo_
HsxHpx = sin a cos G.
cos a (x)
Совершенно очевидно, что их сумма равна единице, и, следовательно, член, стоящий в скобках в iz-компоненте уравнения (8.42), просто исчезает.
Основываясь на этом результате, можно вывести выражение, описывающее Р в общем виде, простым добавлением двух членов, справедливых для каждого из видов поляризации. В частности, для составляющей электрического поля (при этом Р = тг/2) выражение для усредненного во времени перпендикулярного компонента fs плотности силы приобретает вид
^ = — ix ^-(- Е« + /Лх - Н1у ) + -- iy -^-Щ$ХН^. (8.44) 8тг Эх 4я Ьх
Из уравнения (7.30) имеем:
HsxHsy =- nEy cosa0 sin a cos2 G +
(8.45)(8.45)_ с Е1 cos aQ sin a dn
(8.45)
(8.45)
+ —sin 2G.
кш H^cos^ dx
Тогда в соответствии с (7.29) усреднение во времени выражения (8.45) даетТогда в соответствии с (7.29) усреднение во времени выражения (8.45) даетHsxHsy =- —Е2 cos а0 sin %= const,HsxHsy =- —Е2 cos а0 sin %= const,(8.46)(8.46)и в результате компонента i^ в (8.44) исчезает. Из выражений (7.28) и (7.30) находим„cos2 * л2 cos а д-Е„ + Hsx - Н$у =-Е; cos а0 2+ — .(8.47)2 л cos а2Члена второго порядка здесь нет, а для члена третьего порядка имеемл"= —i f — Y •(8-48)4<*)2 л2cos5О \dx /Тогда с учетом (8.45) компоненту плотности силы fs запишем в видеf, = i,(8.49)167Г \Cos3a w2 л2 dx dx Jи в результате компонента i^ в (8.44) исчезает. Из выражений (7.28) и (7.30) находим„cos2 * л2 cos а д-Е„ + Hsx - Н$у =-Е; cos а0 2+ — .(8.47)2 л cos а2Члена второго порядка здесь нет, а для члена третьего порядка имеемл"= —i f — Y •(8-48)4<*)2 л2cos5О \dx /Тогда с учетом (8.45) компоненту плотности силы fs запишем в видеf, = i,(8.49)167Г \Cos3a w2 л2 dx dx JДля составляющей электрического поля Ер (fi = 0) с учетом (8.42) компоненту fp представим в следующем виде:Для составляющей электрического поля Ер (fi = 0) с учетом (8.42) компоненту fp представим в следующем виде:Jд_8 я дхJд_8 я дх- Е2 - Н2^рх U z - ^ру npz.со /- Е2 - Н2^рх U z - ^ру npz.со /vxy"^^nlEPXEPy-vxy"^^nlEPXEPy-(8.50)(8.50)Последний член в этом выражении исчезает, так какПоследний член в этом выражении исчезает, так как ^2п2 ЕрхЕру = — cosa0sina0 ^2п2 ЕрхЕру = — cosa0sina0(8.51)(8.51)— величина пространственно независимая.Правильный результат, показывающий исчезновение силы в плоскости поверхности плазмы, дают только общие формулы для Tnl (8.39) и (8.40). Это еще раз демонстрирует важность наличия нелинейных членов в уравнении (8.39). Использование уравнения (8.48) и определения п при v = 0 позволяет получить следующее соотношение:(2и2 - \)ЕрХ - Еру - HpZ =-Е2 cosa +— величина пространственно независимая.Правильный результат, показывающий исчезновение силы в плоскости поверхности плазмы, дают только общие формулы для Tnl (8.39) и (8.40). Это еще раз демонстрирует важность наличия нелинейных членов в уравнении (8.39). Использование уравнения (8.48) и определения п при v = 0 позволяет получить следующее соотношение:(2и2 - \)ЕрХ - Еру - HpZ =-Е2 cosa +cos2a0+ л2cos2аcos2a0+ л2cos2а2 лcosа2 лcosа+ —cos2a(l—2sin2a)2 2+ —cos2a(l—2sin2a)2 2(8.52)(8.52)
Тогда в соответствии с (7.29) усреднение во времени выражения (8.45) дает
Тогда в соответствии с (7.29) усреднение во времени выражения (8.45) дает
HsxHsy =- —Е2 cos а0 sin %= const,
HsxHsy =- —Е2 cos а0 sin %= const,
(8.46)
(8.46)
и в результате компонента i^ в (8.44) исчезает. Из выражений (7.28) и (7.30) находим
„cos2 * л2 cos а д
-Е„ + Hsx - Н$у =-Е; cos а0 2+ — .(8.47)
2 л cos а2
Члена второго порядка здесь нет, а для члена третьего порядка имеем
л"= —i f — Y •(8-48)
4<*)2 л2cos5О \dx /
Тогда с учетом (8.45) компоненту плотности силы fs запишем в виде
f, = i,(8.49)
167Г \Cos3a w2 л2 dx dx J
и в результате компонента i^ в (8.44) исчезает. Из выражений (7.28) и (7.30) находим
„cos2 * л2 cos а д
-Е„ + Hsx - Н$у =-Е; cos а0 2+ — .(8.47)
2 л cos а2
Члена второго порядка здесь нет, а для члена третьего порядка имеем
л"= —i f — Y •(8-48)
4<*)2 л2cos5О \dx /
Тогда с учетом (8.45) компоненту плотности силы fs запишем в виде
f, = i,(8.49)
167Г \Cos3a w2 л2 dx dx J
Для составляющей электрического поля Ер (fi = 0) с учетом (8.42) компоненту fp представим в следующем виде:
Для составляющей электрического поля Ер (fi = 0) с учетом (8.42) компоненту fp представим в следующем виде:
Jд_
8 я дх
Jд_
8 я дх
- Е2 - Н2
^рх U z - ^ру npz
.со /
- Е2 - Н2
^рх U z - ^ру npz
.со /
vxy"^^nlEPXEPy-
vxy"^^nlEPXEPy-
(8.50)
(8.50)
Последний член в этом выражении исчезает, так как
Последний член в этом выражении исчезает, так как
^2
п2 ЕрхЕру = — cosa0sina0
^2
п2 ЕрхЕру = — cosa0sina0
(8.51)
(8.51)
— величина пространственно независимая.
Правильный результат, показывающий исчезновение силы в плоскости поверхности плазмы, дают только общие формулы для Tnl (8.39) и (8.40). Это еще раз демонстрирует важность наличия нелинейных членов в уравнении (8.39). Использование уравнения (8.48) и определения п при v = 0 позволяет получить следующее соотношение:
(2и2 - \)ЕрХ - Еру - HpZ =-Е2 cosa +
— величина пространственно независимая.
Правильный результат, показывающий исчезновение силы в плоскости поверхности плазмы, дают только общие формулы для Tnl (8.39) и (8.40). Это еще раз демонстрирует важность наличия нелинейных членов в уравнении (8.39). Использование уравнения (8.48) и определения п при v = 0 позволяет получить следующее соотношение:
(2и2 - \)ЕрХ - Еру - HpZ =-Е2 cosa +
cos2a0+ л2cos2а
cos2a0+ л2cos2а
2 лcosа
2 лcosа
+ —cos2a(l—2sin2a)2 2
+ —cos2a(l—2sin2a)2 2
(8.52)
(8.52)
что в конечном итоге на основе (8.50) позволяет более детально опреде- 120
лить вид зависимости для fp:— Е» cosa Г 1 ы2 f =ix ЛL16 тг Lcos3a co2лить вид зависимости для fp:— Е» cosa Г 1 ы2 f =ix ЛL16 тг Lcos3a co21 dlldA 2. 2cos a(l-2sm2a)2 +n2 dxdx1 dlldA 2. 2cos a(l-2sm2a)2 +n2 dxdx
лить вид зависимости для fp:
— Е» cosa Г 1 ы2 f =ix ЛL
16 тг Lcos3a co2
лить вид зависимости для fp:
— Е» cosa Г 1 ы2 f =ix ЛL
16 тг Lcos3a co2
1 dlldA 2. 2
cos a(l-2sm2a)2 +
n2 dxdx
1 dlldA 2. 2
cos a(l-2sm2a)2 +
n2 dxdx
+ 2Л — g (2sin2a - l)(3sin2a- 2cos4a - 1)1.(8.53)
dx sina0
Сравнение co случаем перпендикулярного падения плоской волны на бесстолкновительную плазму, описываемым уравнением (8.37), с учетом (8.49) и (8.53) показывает, что в первом приближении
(8.54)(8.54)- cos ап
(8.54)
(8.54)
f(a) = f(O) — cos a
При таком рассмотрении плотность силы имеет ненулевое значение только в отрицательном направлении, т.е. в направлении уменьшения электронной плотности. Такая закономерность сохраняется вплоть до третьего порядка пространственной производной показателя преломления при любом виде поляризации, независимо от направления распространения света, хотя плотность силы для членов третьего порядка слабо зависит от поляризации света. Рассмотрение членов третьего порядка в ВКБ-при- ближении также вполне оправдано, поскольку легко показать, что отклонение ВКБ-приближения от точного решения экспоненциально мало [168].
НЕПОНДЕРОМОТОРНЫЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНЫЙ ЧЛЕННЕЛИНЕЙНОЙ СИЛЫ
При рассмотрении, проведенном в настоящем параграфе, предполагается, что линейно поляризованная электромагнитная волна падает перпендикулярно к поверхности неоднородной плазмы, а ее направление распространения совпадает с осью х, так что
E = iy^; H = izHz.(8.55)
(8.56)(8.56)Плотность силы, образующейся при таком облучении, можно вычислить из уравнения (8.1). Поскольку вектор Е перпендикулярен градиенту плотности и произведение VE = 0, то соответствующие члены в выражении (8.3) исчезают и остается следующее:
(8.56)
(8.56)
fNL =-j хН. С
Если комплексная величина показателя преломления плазмы определена выражением (6.27), а неоднородная плазма с температурой Т имеет профиль электронной плотности, удовлетворяющий условиям ВКБ (7.10). то комплексная величина электрического поля описывается сле- 121
дующим выражением:
Е*у =—expiF,(8 57)
где
F= — $ n^d^ + cot,(8.58)
С
а к задается уравнением (7.13). Соответственно комплексная напряженность магнитного поля описывается выражением
..—icEv exp(fcx/2) expiF dn
Hz = Ev \n\xi2 exp (—kxjl) exp iF.(8.59)
2 con3/2dx
Константы с интегралами по времени здесь опущены, поскольку впоследствии сила £nl будет усреднена по времени.
Чтобы вычислить значение силы, усредненное во времени, следует вначале определить реальную часть напряженности поля:
(8.60)(8.60)sinFsinFН = Re(H ) = -(Н' + Н'*).
(8.60)
(8.60)
sinF
sinF
2
Таким образом,
Н = iy J Еу exp(-fcx/2) [Re (и) ^2 cos F - Im (л)1/2 sin F] -
cEv exp (-kxjl) Г /1 dn \„ n ( 1 dn
jm— cos F + Re
2w [_^„(3/2 dx ]\|„|3/2^
(8.61)
Критическим моментом при выводе столкновительного члена является необходимость использования для описания столкновений диффузионного уравнения, которое должно привести к определению j для плазмы (членами Холла и Лоренца обычно в этом случае пренебрегают) :
21 + „j' = _L e . (8.62) dr 4?r
Важность учета v для такого рассмотрения показана в работе [127]. При этом предполагалось, что как р, так и сор не зависят от времени. При численных оценках используется нелинейное обобщение [146] спит- церовской частоты столкновений, описываемой уравнением (6.59). Это свидетельствует о том, что нагрев плазмы электромагнитной волной и другие динамические эффекты пренебрежимо малы. Используя ВКБ-ре- шение для Е и подставляя определение (8.57) в (8.62), получаем следующее уравнение:
j'j'Ini1/2 (р- ico)Ini1/2 (р- ico)(8.63)(8.63)
j'
j'
Ini1/2 (р- ico)
Ini1/2 (р- ico)
(8.63)
(8.63)
где
(8.64)(8.64)G' = ^^
(8.64)
(8.64)
4 7Т
является действительной величиной, и поэтому должно быть использовано уравнение (8.58). Здесь снова, по той же причине, что и ранее, проинтегрированными по времени константамиможно пренебречь.
Если вспомнить, что exp(iF0) = exp {-kxfl) expiF, то уравнение (8.63) для действительной части] можно записать в виде
jjG exp ( fcx/2) {(Re|„|p + Im|„|w)cosF_
j
j
Id (p2 + co2)
(8.65)(8.65)- (Re |и11/2 co - Im |и|1/2р) sinF]
(8.65)
(8.65)
Теперь можно вычислить и усредненную во времени обобщенную нелинейную силу из уравнения (8.56) для распространения плоских волн. Для этого достаточно использовать уравнение (8.56) и выражения для j и Н из уравнений (8.61) и (8.65). В этих уравнениях единственными членами, зависящими от времени, являются cosF и sinF, поэтому для усредненного значения нелинейной силы с учетом того, что <cos2F) = = <sin2F> = 1/2 и (cosFsinF) = <cosF> = <sinF> = 0, можно получить следующее выражение:
—со« Еу ехр (-кх) .
fNL = ix; [(Re |м|- Im2 |л|1/2) v +
87Тс(Р2 + со2) IП I
. ._0)2 Е? ехр (- кх)
+ 2 со Im |л| Re Id1/2] - ix —— х
1б7гсо|и| (со + р2)
XXIm ( —— ] (pReld1/2* coIm |и|1/2) -
X
X
k IZ2 13/2 dX )
(8.66)(8.66)- Re /| (coReld1/2 - plm |л|1/2)].
(8.66)
(8.66)
ки3'2 /
Это уравнение справедливо лишь в рамках следующих допущений. Плоская электромагнитная водна, распространяющаяся в направлении оси х, падает перпендикулярно поверхности плазмы, имеющей неоднородность только в направлении х. Предполагается, что выполняются условия ВКБ-приближения, а р и сор приблизительно постоянны во времени. Уравнение (8.66) фактически состоит из двух членов, стоящих в квадратных скобках. Чтобы перейти к более определенному и конкретному обсуждению этого уравнения, его обычно упрощают, предполагая к « 0.
В результате (8.66) приобретает следующий вид:В результате (8.66) приобретает следующий вид:fNL = кfNL = кЦ)Е^«рЕ*dn—_ у 4- _L 8 яс со216ясо2л2 d*Ц)Е^«рЕ*dn—_ у 4- _L 8 яс со216ясо2л2 d*(8.67)(8.67)где теперь л2 = 1 — (сор/со2). Во втором члене уравнения (8.67) легко узнать обычную пондеромоторную силу [158]где теперь л2 = 1 — (сор/со2). Во втором члене уравнения (8.67) легко узнать обычную пондеромоторную силу [158], Еу СОр j 1 fNL =~‘х Т~ГТ16irw2 dx 1"1, Еу СОр j 1 fNL =~‘х Т~ГТ16irw2 dx 1"1(8.68)(8.68)которая для v = 0 и электрического поля в ВКБ-приближении [формулы (8.57) и (8.55)] приобретает видкоторая для v = 0 и электрического поля в ВКБ-приближении [формулы (8.57) и (8.55)] приобретает видfNL =“fNL =“ц> %1tU?ц> %1tU?_Le2Эх_Le2Эх(8.69)(8.69)
В результате (8.66) приобретает следующий вид:
В результате (8.66) приобретает следующий вид:
fNL = к
fNL = к
Ц)Е^«рЕ*dn
—_ у 4- _L
8 яс со216ясо2л2 d*
Ц)Е^«рЕ*dn
—_ у 4- _L
8 яс со216ясо2л2 d*
(8.67)
(8.67)
где теперь л2 = 1 — (сор/со2). Во втором члене уравнения (8.67) легко узнать обычную пондеромоторную силу [158]
где теперь л2 = 1 — (сор/со2). Во втором члене уравнения (8.67) легко узнать обычную пондеромоторную силу [158]
, Еу СОр j 1 fNL =~‘х Т~ГТ
16irw2 dx 1"1
, Еу СОр j 1 fNL =~‘х Т~ГТ
16irw2 dx 1"1
(8.68)
(8.68)
которая для v = 0 и электрического поля в ВКБ-приближении [формулы (8.57) и (8.55)] приобретает вид
которая для v = 0 и электрического поля в ВКБ-приближении [формулы (8.57) и (8.55)] приобретает вид
fNL =“
fNL =“
ц> %1tU?
ц> %1tU?
_Le2
Эх
_Le2
Эх
(8.69)
(8.69)
Множитель ”1/2” возник в результате усреднения Е во времени. Формула (8.69) формально идентична формуле для силы, характеризующей взаимодействие с плазмой микроволн, полученной в [159—161] из рассмотрения движения бесстолкновительной плазмы низкой плотности по направлению к узлам стоячей электромагнитной волны. Различие по отношению к случаю взаимодействия с плазмой лазерного излучения связано с особенностями распространения электромагнитной волны в высокоплотной плазме. В этом случае пространственные вариации диэлектрических свойств плазмы, описываемые с помощью члена (d/dx) (1/п) в уравнении (8.68) [158], существенно изменяют механизм взаимодействия. Рассмотрение общего случая для плазмы высокой плотности включает в себя и упомянутый случай взаимодействия микроволн с плазмой низкой плотности. При дальнейшем обобщении в рассмотрение были включены столкновения [162] и уравнение движения распространено на случай наклонного падения волны, рассмотренный в § 8.2.
Впервые описание столкновительных свойств с помощью отдельного члена, первого члена в уравнении (8.67), а не путем введения лишь 'корректирующего множителя [162], было проведено в [163] и в более общем виде [см. уравнение (8.66)] в [164]. Обсудим особенности гервого члена уравнения (8.67) в форме, полученной в работе [163] :
fNL = — ~ ^Ё2* — -А. . (8.70) 8я \ со / с2 |к|
Первый член здесь — это обычная нелинейная (пондеромоторная) сила, а второй связан, согласно [163], с силой столкновений. В этом можно убедиться, если провести следующее рассмотрение. Вспомним, что плотность потока энергии
/ = _L_|E X Н|. 4 7Г
Поглощением в ВКБ-решении для Е и Н обычно пренебрегают. Они имеют следующий вид:
Еу
Е = iv cosFw;
c Ev d|n| .sin Fo 2^ |л|3/2 dxc Ev d|n| .sin Fo 2^ |л|3/2 dxhl*/2
c Ev d|n| .
sin Fo 2^ |л|3/2 dx
c Ev d|n| .
sin Fo 2^ |л|3/2 dx
Н = ix- Еу |л|1/2 cosF0 -
Введение этих зависимостей для Е и Н во второй член формулы (8.70) для столкновительной силы tc приводит к следующему виду для не- пондеромоторной части нелинейной силы:
fc * ixfc * ix<4Е$ v%1ГС(л?<4Е$ v%1ГС(л?(8.71)(8.71)
fc * ix
fc * ix
<4Е$ v%1ГС(л?
<4Е$ v%1ГС(л?
(8.71)
(8.71)
Это не что иное, как первый член в формуле (8.67). Следовательно, первый член уравнения (8.66) можно рассматривать как обобщенный вид силы столкновений.
Важность частного вида (8.71) для столкновительной силы [первого члена в упрощенной формуле (8.67) для нелинейной силы] хорошо видна из следующих примеров для параболического профиля электронной плотности плазмы:
пе 00 =пе 00 =, если |х| < Ь;, если |х| < Ь;0 в остальных случаях.0 в остальных случаях.(8.72)(8.72)
пе 00 =
пе 00 =
, если |х| < Ь;
, если |х| < Ь;
0 в остальных случаях.
0 в остальных случаях.
(8.72)
(8.72)
Чтобы убедиться в наличии достаточно сильного эффекта, значение л0 выбрано равным пес/2. Для более высокой плотности диэлектрический всплеск 1/|л| в выражении для столкновительной силы будет доминировать и условия применимости ВКБ-приближения будут нарушены. Чтобы обеспечить достаточно разумные условия облучения плазмы излучением неодимового лазера (X = 1,06 мкм, пес = 1(г1 см”3), значение b выбрано равным 25 мкм. Расчеты проведены для водородной плазмы с температурой 100 эВ и двух значений интенсивности света в вакууме: 1015 и 1016 Вт/см2. При рассмотрении этого случая, проиллюстрированного на рис. 8.1— 8.3, предполагалось, что свет падает слева направо.
Для профиля плотности (8.72), удовлетворяющего ВКБ-условиям, формула (7.10) дает следующее значение угла 9:
9< 1,9 • 10”3.(8.73)
На рис. 8.1 и 8.2 представлены зависимости для пондеромоторной и столкновительной сил, описываемых формулой (8.18) Г второй и первый члены формулы соответственно), для интенсивностей 1(г5 и 1016 Вт/см2. Их сложение позволяет получить зависимость для нелинейной силы f nl в целом. На рис. 8.3 показан характер зависимости столкновительной силы для обеих интенсивностей. При интенсивности 1015 Вт/см3, кото- 125
Рис. 8.1. Характер изменения полной нелинейной силы, столкновительного члена и обычной пондеромоторной силы для параболического профиля плотности водородной плазмы толщиной 50 мкм [см. (2.2)] с Пе -r^dl и температурой 100 эВ при перпендикулярном падении на ее поверхность плоскополяризованного излучения неодимового лазера интенсивностью 1015 Вт/см2 [164]Рис. 8.1. Характер изменения полной нелинейной силы, столкновительного члена и обычной пондеромоторной силы для параболического профиля плотности водородной плазмы толщиной 50 мкм [см. (2.2)] с Пе -r^dl и температурой 100 эВ при перпендикулярном падении на ее поверхность плоскополяризованного излучения неодимового лазера интенсивностью 1015 Вт/см2 [164]Рис. 8.2. Те же зависимости, что и на рис. 8.1, но для интенсивности лазерного излучения I = 1016 Вт/см2
Рис. 8.1. Характер изменения полной нелинейной силы, столкновительного члена и обычной пондеромоторной силы для параболического профиля плотности водородной плазмы толщиной 50 мкм [см. (2.2)] с Пе -r^dl и температурой 100 эВ при перпендикулярном падении на ее поверхность плоскополяризованного излучения неодимового лазера интенсивностью 1015 Вт/см2 [164]
Рис. 8.1. Характер изменения полной нелинейной силы, столкновительного члена и обычной пондеромоторной силы для параболического профиля плотности водородной плазмы толщиной 50 мкм [см. (2.2)] с Пе -r^dl и температурой 100 эВ при перпендикулярном падении на ее поверхность плоскополяризованного излучения неодимового лазера интенсивностью 1015 Вт/см2 [164]
Рис. 8.3. Характер изменения столкновительной силы для тех же случаев, что и на рис. 8.1 и 8.2. Виден спад f для более высоких интенсивностей вследствие нелинейной зависимости ее от частоты столкновений
рая очень близка к порогу, за которым нелинейная сила доминирует, значение столкновительной силы достаточно велико. При более высокой интенсивности вклад в нелинейную силу столкновительной силы
значительно меньше. Характер их изменения при изменении интенсивности (см. рис. 8.3) соответствует полностью нелинейному описанию зависимости интенсивности от частоты столкновений.
Если используется полностью нелинейная зависимость поглощения от частоты столкновений (6.59), то столкновительная часть нелинейной силы при увеличении температуры и интенсивности излучения уменьшается. Например, при Т = 100 эВ и интенсивности излучения неодимового лазера, равной 1016 Вт/см2, когда максимальная плотность равна половине критической, она составляет менее 5% полной нелинейной силы.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЧЛЕНЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕСЛУЧАЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОГО ПАДЕНИЯ СВЕТА НА ПОВЕРХНОСТЬПЛАЗМЫ
Весьма примечательно, что члены высокого порядка появляются при вычислении справедливой в общем случае формулы (8.27) в ВКБ-прибли- жении для перпендикулярно падающей на поверхность плазмы плоской волны. Используя выражение (8.57) для Еу и первый член из (8.61) для Hz, а также пренебрегая впоследствии разностью фаз между Еу и Hz, можно вывести и выражение для нелинейной силы в бесстолкновительной плазме (8.68) и непондеромоторный первый член в (8.67), как это было сделано в [138], несмотря на то, что в действительности разность фаз играет существенную роль при выводе зависимости для нелинейной силы из выражения jxH/c. Это уже было показано выше, в §8.3. Как будет показано ниже, более строгое рассмотрение зависимости (8.27) с учетом разности фаз между Еу и Hz позволяет определить вид дополнительного члена третьего порядка.
Используя те же самые формулы (8.57) и (8.61), что и ранее, из уравнения (8.24) можно получить следующий вид зависимости для нелинейной силы [169, 170]:
RefNL=""i—' Re(Fv)Re4 тгRefNL=""i—' Re(Fv)Re4 тг-Re(//z)Re -Эх /\ Эх-Re(//z)Re -Эх /\ Эх(8.74)(8.74)
RefNL=""i—' Re(Fv)Re4 тг
RefNL=""i—' Re(Fv)Re4 тг
-Re(//z)Re -
Эх /\ Эх
-Re(//z)Re -
Эх /\ Эх
(8.74)
(8.74)
Используя формулы (8.57) и (8.61), находим, что
Re(^) =Re(^) =Ev- Гехр(-&сох/2) ReEv- Гехр(-&сох/2) RecosF-Imи'/2U‘/2cosF-Imи'/2U‘/2sinFsinF(8.75)(8.75)Ev— exp (-к (x)x/2) x2Ev— exp (-к (x)x/2) x2
Re(^) =
Re(^) =
Ev- Г
ехр(-&сох/2) Re
Ev- Г
ехр(-&сох/2) Re
cosF-Im
и'/2U‘/2
cosF-Im
и'/2U‘/2
sinF
sinF
(8.75)
(8.75)
Ev
— exp (-к (x)x/2) x
2
Ev
— exp (-к (x)x/2) x
2
n / 1 dn \ г / 1 dn \
x Re I— cos F — Im— ) cos F
_\ n3/2 dx /^3/2 dx /_
—— exp (-k (x)x/2) [Re (и1/2) sin F + Im (л1 /2)cos F ],(8.76)
а также
Re(Hz) = Ev exp(-£(x)x/2) [Re(«3/2 )cos F - Im (л3/2)sin F] -
Ev GO -exp (- к (x)x/2) cEv GO -exp (- к (x)x/2) cIm ( ——cos F +I л3^2 ^ 1Im ( ——cos F +I л3^2 ^ 1
Ev GO -
exp (- к (x)x/2) c
Ev GO -
exp (- к (x)x/2) c
Im ( ——cos F +
I л3^2 ^ 1
Im ( ——cos F +
I л3^2 ^ 1
(8.77)(8.77)
(8.77)
(8.77)
+ Re ( sin F V л3/2 dx /.
и
Re (—- ] =— ехр(-^ (х)х/2 ) [Re (M2/3)sinF + Im^^cosF]- к Эх / с
Е„ с —
exp (- к (х) х/2) 2 со
Re—- — -и3/2 dx2
+ Im
1 d2 п ^2
3 1 у
2 n5!2 Vх Л
_ 3_2
cos F
2( dn у "T^Xdx /
sin F +
(8.78)
Следовательно, уравнение (8.74) приобретает следующий вид:
1 j Re n41J \ „3(2 dx1 j Re n41J \ „3(2 dx- Е, - Г
1 j Re n41J \ „3(2 dx
1 j Re n41J \ „3(2 dx
Re - fNt = exp (-к (x)x) Re
Еу_ехр(—&(х)х) х1 6 7ГЕу_ехр(—&(х)х) х1 6 7Г1 6 7Г
Еу_
ехр(—&(х)х) х
1 6 7Г
Еу_
ехр(—&(х)х) х
1 6 7Г
. т / 1dn
+ ImI Im /—
Im (л3/2)Im (л3/2)L1/2/ U3/2 dX
Im (л3/2)
Im (л3/2)
xxRe (--—— ) Re (л3/2) + Im/-— v„3/2^/U3'2
x
x
——exp(-k(x)x) Im/-—^ Re (n1/2) - Im(«1/2)Re/——
8яс[ Vil)1^1/2
+ —— exp(-^ (x)x) [Re(w1/2)Im(w3/2) - Im (л1/2) Re(w3^2)] - 8?rc
E2 c
167ГСО
exp(— к (x)x) ’ Re — L n
1/d2n ,3/2 Ux2
3
2л5/2
ImCn1/2)-
Re (n1/2)
Ер c 32 те
ехр(-Л(х)х). Re
3 (^—HN7/"2 W /
_3/ dn V
2^1^"/ .
Re | -1—
U3/2
dn \
— I + Im dx I
1 /.—-„3/2 \dx2
(8.79)
Несомненно, что это наиболее пространная и громоздкая формула, которая описывает вид нелинейной силы, определяемой выражениями (8.3) или (8.24), при нормальном падении на поверхность многослойной не- 128
11п3п3(8.80)(8.80)однородной плазмы плоской волны в ВКБ-приближении. В случае, когда наличием столкновений пренебрегают, т.е. v = 0, мнимые члены исчезают и выражение для нелинейной силы существенно упрощается:
1
1
п3
п3
(8.80)
(8.80)
fNL =fNL =dn с v с
fNL =
fNL =
16irG?n2 dx 32тго)2
ЗЕ3? 1 /d„V + / I
64па>2 п4 \dx /
Первый член в выражении (8.80) совершенно аналогичен полученному ранее [см. формулу (8.68), [138]) в пренебрежении разностью фаз между Еу и Нг. Вполне обоснованно можно было бы предположить, что члены более высокого порядка в выражении (8.80) возникают именно вследствие учета фазовой зависимости компонент электрического и магнитного полей. Однако, как можно убедиться при дифференцировании выражения (8.57), для напряженности электрического поля по Пространственным переменным это совсем не так. После дифференцирования фазового члена одно из его слагаемых сокращается с одним из слагаемых производной выражения (8.57). Следовательно, нелинейная сила возникает только из слагаемых фазового члена. Этот вывод хорошо согласуется с моделью колебательного движения [54]. Как уже отмечалось ранее [138], первый член уравнения (8.80) показывает возможность неограниченного бесстолкновительного ускорения, поскольку направление плотности силы совпадает с направлением спада плотности плазмы. Как очевидно из условий симметрии рассмотрения, это совершенно не зависит от поляризации падающего лазерного излучения. Первый из членов высокого порядка является ограниченным, тогда как второй член в выражении для нелинейной силы может неограниченно возрастать. Эти члены третьего порядка могут давать определенный вклад и в значение импульса, переданного однородной внутренней области плазмы [138]. При наличии столкновений, остальные члены можно проинтегрировать как результат столкновительного давления света в области существования неоднородностей плазмы, аналогичный обычному давлению излучения на однородную среду. Однако в данном случае приходится учитывать очень сложный характер влияния на данный процесс показателя преломления плазмы.
НЕКОТОРЫЕ ИТОГИ ПРОВЕДЕННОГО РАССМОТРЕНИЯ
Итак, наиболее общее уравнение движения плазмы состоит из термокинетического члена, описываемого выражением (8.4), и следующих нелинейных членов, характеризующих нелинейную силу [138]:
fNL = Lj хН + — Е VE+ -1- V(n2- 1)ЕЕ.(8.81)
С4 7Г4 7Г
Эта формулировка, характеризующая слагаемые нелинейной силы, пол- 9-Зак. 1563129
ностью идентична полученной с использованием максвелловского тензора натяжения Т, описываемого формулой (8.25):
fNL = V(E Е + НН - — (Е2 + Н2) 1 +
'2
(8.82)(8.82)+ (л2 - 1)ЕЕ)/4тг- —Ex Н.
(8.82)
(8.82)
4 яс dr
Формально эта формула идентична недисперсионному выражению Ландау-Лифшица [166], если используется специальное определение плотности. Такое совпадение показывает, что эти формулы применимы и в общем случае для диспергирующей плазмы при наличии диссипации. Следует подчеркнуть, что именно выражения (8.81) и (8.82) определяют нелинейную силу, возникающую при наклонном падении плоской волны на неоднородную многослойную бесстолкновительную плазму, поскольку в них не содержится неверно усредненных во времени компонент, направленных вдоль поверхности плазмы.
(8.83)(8.83)В случае перпендикулярного падения плоской волны на поверхность плазмы сила, возникающая в плазме, характеризуется более простой зависимостью:
(8.83)
(8.83)
fNL = —J х Н С
или, с учетом (8.82),
/nl =-/nl =-ЭЭхЭЭхЕ2 * Н28 яЕ2 * Н28 я(8.84)(8.84)
/nl =-
/nl =-
ЭЭх
ЭЭх
Е2 * Н2
8 я
Е2 * Н2
8 я
(8.84)
(8.84)
В отличие от результата, полученного в [154] для ВКБ-приближения, эти формулы справедливы для любого профиля плотности совершен- ho произвольного характера.
Для упрощения рассмотрения процессов взаимодействия в ВКБ-приближении специально получена формула, в которой учтено и влияние столкновений:
Ее второй член представляет собой непондеромоторную диссипативную часть нелинейной силы. Он был впервые получен в [138], а затем другим способом выведен автором [163].
В случае недиссипативной бесстолкновительной плазмы выражение, описывающее характер зависимости нелинейной силы (для весьма специальной ситуации перпендикулярного падения плоской волны на Плазму, характеристики которой удовлетворяют условиям ВКБ-приближения) , можно свести к следующему виду:
Из последнего выражения можно легко увидеть, что в ВКБ-приближе- нииЯ = ЕуЦпу1г.
Терминология, используемая при описании и анализе нелинейной силы /nl> пока еи<е не является унифицированной. Так, например, в [3, 156, 163, 171-174] использован термин ’’нелинейная сила”, в то время как в [175] она же называется ’’нелинейная сила излучения”, в [176] — ’’сила электрострикции”, а в [177, 178] это ”j х В-сила”, или ’’неклассическая пондеромоторная сила”. Тот факт, что в выражении для нелинейной силы, независимо от членов, обусловленных действием пондеромоторной силы, возникают дополнительные члены непондеромо- торного характера, является вполне убедительной причиной для сохранения за этой силой названия ’’нелинейная сила”.
Глава 9
ИМПУЛЬС И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, ВЫЗВАННЫЕ ДЕЙСТВИЕМНЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ
Ниже рассмотрены некоторые общие свойства плазмы, обусловленные действием нелинейных сил, возникающих при падении на плазму лазерного излучения или при эквивалентном воздействии на нее микроволнового излучения. Одним из давно известных явлений такого сорта, которое рассмотрено ниже в качестве одного из частных случаев обобщенного взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой, является обычное давление излучения. Другим хорошо известным явлением, возникающим при образовании в плазме низкой плотности стоячей электромагнитной волны, можно считать выталкивание плазмы по направлению к узлам волны за счет влияния градиента электрического поля волны, пропорционального Е2 [см. выражение (8.86)] [159-161]. Влияние диэлектрических свойств плазмы высокой плотности на процессы взаимодействия с ней лазерного излучения впервые было рассмотрено в [158]. Когда в процессе распространения электромагнитная волна проникает внутрь плазмы с высокой плотностью, значительную роль начинают играть производные показателя преломления плазмы по пространственным координатам. Наиболее существенным является диэлектрический рост Е2 + Н2 при перпендикулярном к поверхности плазмы падении электромагнитной волны, вследствие возникновения аномалии диэлектрической проницаемости. Возникновение диэлектрической аномалии означает возрастание величины
Е2 + Н2 = ЕЦ — + |и|) ехр(-Ъг)(9.1)
\hl /
по сравнению с ее значением, характерным для вакуума, вследствие уменьшения показателя преломления и. Это приводит к возникновению в плазме соответствующих сил. Поскольку из-за диэлектрической аномалии давление излучения возрастает, то происходит смещение плазменной короны в направлении градиента плотности (до тех пор, пока 9*131
Рис. 9.1. Действие нелинейной силы в плазменной короне с профилем плотности Пе (х), когда аномалия величины Е^ + н| приводит к увеличению нелинейной силы /^
интегральный коэффициент поглощения еще достаточно мал), что приводит к возникновению сильной отдачи, направленной внутрь плазмы. Диэлектрическую аномалию обычно характеризуют следующим множителем:
(9.2)(9.2)5 = 1/|л|.
(9.2)
(9.2)
Процесс разлета плазменной короны под действием нелинейных сил, обусловленных возникновением диэлектрической аномалии, схематически показан на рис. 9.1.
В начале настоящей главы определено, при каких условиях нелинейная сила становится больше термокинетической. Затем в достаточно общем виде рассмотрен процесс переноса импульса и кинетической энергии излучения к плазменной короне. На основе этого сделано заключение о значении импульса фотонов или о значении электромагнитной энергии в плазме. Впервые этот вопрос был затронут 70 лет назад в полемике Абрахама—Минковского. Рассматривая ее с точки зрения характера зависимости плотности энергии излучения абсолютно черного тела, можно получить и достаточно простую интерпретацию зависимости плотности энергии в плазме, хотя уже найдено и общее решение проблемы Абрахама-Минковского для непоглощающей или слабо поглощающей среды [179]. Этот общий результат неявным образом подтверждает и справедливость специального определения нелинейной силы, введенного в предыдущей главе для характеристики взаимодействия с плазмой плоской электромагнитной волны. Еще одним общим свойством нелинейных сил, возникающих при перпендикулярном к поверхности плазмы падении плоской электромагнитной волны, является возникновение под их действием параметрических неустойчивостей. Этот процесс рассмотрен в последнем параграфе данной главы. В следующей главе рассмотрены некоторые подробности возникновения в плазме при перпендикулярном к ее поверхности падении плоской электромагнитной волны нелинейной силы, полученные при численных расчетах, и их сравнение с экспериментальными данными.
ОБЛАСТЬ ДОМИНИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИЛЫ
Действие нелинейной силы Гмь проявляется только тогда, когда термокинетическая сила fth, являющаяся одной из компонент общей силы f [см. формулы (8.4) и (8.5)], сравнима или меньше ее по своему значению. Применительно к этому рассмотрению, формулу для нелинейной силы, возникающей при перпендикулярном падении на плазму плоской 132
электромагнитной волны, перепишем следующим образом:
(9.3)(9.3)f=-VP+ V(E2 + Н2)/8я.
(9.3)
(9.3)
Сравнение нелинейной силы с термокинетической по существу можно свести к достаточно простому сопоставлению потенциала пекТ с соответствующей величиной, характеризующей нелинейную силу, до ее дифференцирования по пространственным координатам в виде (9.3). Однако при этом следует добавить и соответствующие константы интегрирования. Их величину можно определить из условия отсутствия чисто нелинейной силы при постоянной диэлектрической проницаемости, если амплитуда электромагнитной волны постоянна во времени. Поэтому потенциал пекТ следует сравнивать именно с добавкой к значению Е2 +Н2, характерному для вакуума. Если определить Е* как амплитуду электрического поля в вакууме, при которой нелинейная сила становится равной термокинетической, то условие соответствия потенциалов можно записать в виде следующего равенства:
expo - 1expo - 1(9.4)(9.4)/1 \тз/4
expo - 1
expo - 1
(9.4)
(9.4)
пе U-v—\kTth = —2
V Z /16тг а
Здесь было использовано минимальное значение абсолютного показателя преломления п [см. формулы (6.49) и (6.50)]. Экспоненциальная функция в выражении (9.4) обозначена аббревиатурой ехр0. Температура Т в выражении для нелинейного показателя преломления состоит из двух компонент: температуры Tth, характеризующей хаотическое движение частиц плазмы, и температуры, обозначенной Т* в (6.57), которая характеризует соответствующую энергию когерентного движения. Следовательно, электронная плотность в (9.4) равна критической плотности плазмы. Очевидно, что уравнение (9.4), уравнение второго порядка, описывает соотношение между температурой плазмы Tth и критической напряженностью электрического поля лазерного излучения Е*, при котором начинает преобладать нелинейная сила. Решение этого уравнения проводится с помощью итераций, причем в качестве приближения первого порядка используется Т = Затем это значение используется для вычисления решения во втором приближении rt^2), при получении которого учитываются соотношения (6.55) - (6.58):
1б1Тапескexpo — If.1б1Тапескexpo — If.аа(9-5)(9-5)
1б1Тапеск
expo — If.
1б1Тапеск
expo — If.
а
а
(9-5)
(9-5)
Обычно процесс получения итераций более высокого порядка продолжается до тех пор, пока разность между последними двумя итерациями не станет меньше 1% их значения. Пороговая напряженность электрического поля зависит от температуры плазмы, значения ехр0 и параметров 133
Рис. 9.2. Минимальные значения интенсивности лазерного излучения неодимового лазера 7*, при которых создаваемая нелинейная сила /^^ начинает превышать термокинетическую, для экспоненциального поглощения лазерного излучения за счет столкновительных процессов [146]
лазерного излучения. Эта зависимость приведена на рис. 9.2, где в соответствии с (6.56) напряженность электрического поля выражена через интенсивность лазерного излучения. Пороговое значение интенсивности лазерного излучения, начиная с которого преобладает термокинетическая сила, составляет около 1014 Вт/см2 (для излучения неодимового лазера). В случае использования излучения СО2-лазера соответствующее пороговое значение интенсивности становится примерно в 100 раз меньше.
(9.6)(9.6)Кроме упомянутых численных расчетов пороговых значений интенсивности 7*, при которых происходит возникновение нелинейных эффектов [146], можно использовать и прямые оценки интенсивности, основанные на экстраполяции результатов расчетов, проделанных авторами [180]. Сравниваемые при этом давления обусловлены как термализацией излучения, так и наличием нелинейных эффектов. Поскольку использовались максимальные температуры Г, то соотношение
(9.6)
(9.6)
|f th I =R 1,14 . 105 lfNL ।T5/4
характеризует реальное значение верхней границы температуры. При этом следует учитывать, что ее рост за счет теплопроводности пренебрежимо мал. В (9.6) длина волны лазерного излучения выражена в микрометрах, а температура Г — в электрон-вольтах. Следует отметить, что нелинейная сила должна преобладать даже при интенсивности, меньшей, чем пороговая 7*, если кинетическая температура плазмы Г > 10 кэВ (для излучения неодимового лазера). Связь данного вывода с вышеупомянутым результатом для I* можно увидеть из следующего рассмотрения. Поскольку температуры Штейнхауэра и Алстрема определяют оптические константы, содержащиеся в (6.57), то в соответствии с выводами [146] должны выполняться следующие соотношения:
В соответствии с (9.6) нелинейная сила преобладает, если R < 1, т.е. выполняется следующее неравенство:
(9.8)(9.8)1> (7,2- Ю8/^)1 °,
(9.8)
(9.8)
где Ev выражена в вольтах на 1 см, а длина волны соответствует излучению неодимового лазера и равна 1,06 мкм. Из данного соотношения
непосредственно следует, что, как только Iv превысит 7,2 108 В/см, что соответствует интенсивности излучения неодимового лазера примерно в 1014 Вт/см2, должен наблюдаться очень быстрый рост нелинейной силы. Штейнхауэром и Алстремом в уже упоминавшейся работе не учитывалась нелинейная зависимость интенсивности лазерного излучения от показателя преломления. Однако позднее, в [146] их результаты были соответственно откорректированы. Полученный результат [см. (9.8) ] указывает на наличие сильного, резонансоподобного роста нелинейной силы, если интенсивность лазерного излучения становится выше пороговой. Такое резонансоподобное поведение нелинейной силы является ее основным свойством и хорошо проявляется и при более строгом и точном рассмотрении процесса взаимодействия лазерного излучения с плазмой. Использование постоянного R в соотношении (9.6) является, строго говоря, искусственным приемом и может дать лишь правильную оценку порядка величины напряженности электрического поля.
ПЕРЕДАЧА ИМПУЛЬСА ПЛАЗМЕННОЙ КОРОНЕ И СЖАТИЕ
Вновь рассматривая случай перпендикулярного падения на поверхность многослойной плазмы плоской электромагнитной волны (см. рис. 9.1), можно вычислить и импульс, переданный плазме нелинейной силой, если выполняются условия, при которых она преобладает (см. §9.1). Падение на плазму лазерного импульса происходит в пределах временного интервала между некоторыми моментами времени tx и /2■ Если амплитуда напряженности электрического поля в вакууме Ev с течением времени изменяется достаточно медленно, то вкладом вектора Пойнтинга можно пренебречь. Можно показать, как это было сделано в [181, 182], что такое допущение не изменяет и учет пикосекундной субструктуры импульса лазерного излучения. Тогда полную энергию €l , заключенную в лазерном импульсе, можно определить следующим образом:
'2
е, =с $ dydz $ dt —.(9.9)
К tx8тт
Интегрирование здесь проводится по всему поперечному сечению А' (по координатам у и z), в пределах которого и происходит взаимодействие лазерного излучения с плазмой.
Предполагается, что это сечение достаточно велико, чтобы можно было корректно использовать описание плоской электромагнитной волны. Очевидно, что суммарный импульс всех фотонов лазерного импульса в вакууме
P»=eL[c.(9.10)
В рамках условий применимости ВКБ-приближения (7.10), полный импульс нелинейной силы ^пь, переданный слою неоднородной плазмы толщиной от Xi до х2 в направлении действия полной силы f, опреде-
ляется следующим образом:ляется следующим образом:Рис. 9.3. Передача плазме в рэлеевской области (см. рис. 7.2) импульса электромагнитного излучения Р. При достаточно больших значениях аномалии переданный импульс Pjnh может стать и отрицательным, что указывав/ на наличие абляции плазменной короны вплоть до таких ее областей, в которых показатель преломления плазмы минимален [146]
ляется следующим образом:
ляется следующим образом:
х2 ti
(9.11)(9.11)ЛпН = I dy dz S dx S fNL dt.
(9.11)
(9.11)
К xx 11
При использовании определения (8.72) для случая почти бесстолкновительной плазмы импульс нелинейной силы
11 Х2(0 Гэ ^о^.о !1
PVnh=- $ dydz $ dt J dx^—1 - |и| =
К tx xx<^16 7Г |л| J
Poо
=~T^-,(1-I^I)2,(9.12)
2|л2|
где введено определение и2 = и(х2). Предполагается также, что хх находится вне пределов плазмы, в вакууме. Выражение (9.12) определяет интегральный импульс ускоренного слоя неоднородной плазмы в единицах импульса лазерного излучения в вакууме Ро. Идя получения более высокого значения импульса необходимо использовать, более низкие значения л2, что означает, в соответствии с определением (9.2), наличие более высокого значения диэлектрической аномалии S. Поскольку максимальное значение импульса ограничено затуханием, возникает необходимость использования при соответствующих оценках некоторой эффективной частоты столкновений. Из-за наличия на поверхности плазмы компенсации импульса падающего излучения импульсом, переданным внутрь плазмы, суммарный переданный плазме импульс может быть значительно больше, чем это следует из простого расчета давления излучения по значению суммарного импульса фотонов [146]. На рис. 9.3 проиллюстрировано абляционное ускорение плазменной короны в сторону отрицательных значений х, вызванное нелинейной силой, если диэлектрическая аномалия достаточна для образования необходимого отрицательного импульса ^inh- Если х2 превышает значение, соответствующее максимуму диэлектрической аномалии, то полный результирующий импульс, переданный плазме в пределах ее толщины от Xj до х3, снова возрастает и достигает достаточно больших положительных значений, вплоть до значения обычного давления излучения Pq. Очевидно, что в соответствии с законом сохранения импульса
^о = ^int + ЛпЬ • (9.13)
После того как произойдет поглощение всех фотонов лазерного импуль- 136
Рис. 9.4. Электронная плотность, соответствующая плазменной частоте со*, ниже которой происходит столкновительное поглощение (экспоненциальный множитель в (8.72) для нелинейной силы может быть опущен) [138]Рис. 9.4. Электронная плотность, соответствующая плазменной частоте со*, ниже которой происходит столкновительное поглощение (экспоненциальный множитель в (8.72) для нелинейной силы может быть опущен) [138]
Рис. 9.4. Электронная плотность, соответствующая плазменной частоте со*, ниже которой происходит столкновительное поглощение (экспоненциальный множитель в (8.72) для нелинейной силы может быть опущен) [138]
Рис. 9.4. Электронная плотность, соответствующая плазменной частоте со*, ниже которой происходит столкновительное поглощение (экспоненциальный множитель в (8.72) для нелинейной силы может быть опущен) [138]
Рис. 9.5. Влияние нелинейной силы, зависящей от температуры, на максимальный импульс, переданный плазменной короне с параметрами, соответствующими ВКБ- приближению, при использовании плотностей, характерных для показанного на рис. 9.4 случая, и линейной зависимости частоты столкновений [138]
са во внутренней части плазмы, т.е. в области с плотностью выше критической, суммарный импульс в этой области становится равным
Аш = ^о + Апь ^(гт*1"1 \<914>
2/
(9.15)(9.15)В единицах Ро этот же импульс равен: ^int _ । + ^inh Ро Ро
(9.15)
(9.15)
Если диэлектрическая аномалия так велика, что приводит к образованию достаточно большой составляющей импульса, направленного к неоднородной поверхности плазмы, то результирующий импульс от нелинейной силы, сжимающий внутреннюю часть плазмы, может во много раз превышать давление излучения.
Чтобы определить максимальную диэлектрическую аномалию и характер разлета плазмы под действием нелинейных сил, в [138] был сделан ряд численных оценок вплоть до такой плотности плазмы (соответствующей плазменной частоте е*), для которой экспоненциально затухающим множителем в формуле для нелинейной силы (8.36) можно пренебречь. Были сделаны и пессимистические оценки величины поглощения в рамках рассмотрения процессов кулоновских столкновений без нелинейных эффектов, причем при использовании ВКБ-приближе- ния значения 6 не превышали 0,25 (7.10). Соответствующие результаты приведены на рис. 9.4. На их основе получена зависимость отношения Лпь/^о от температуры плазмы, характеризующая нелинейный рост давления излучения за счет диэлектрической аномалии и соответ-
ствующей нелинейной силы, которая приведена на рис. 9.5. Следует отметить, что для всех рассмотренных величин использованы их оптимальные значения, хотя в некоторых случаях, представляющих практический интерес, могут получаться и более низкие значения диэлектрической аномалии. С другой стороны, оценки, представленные на рис. 9.4 и 9.5, были получены в рамках предположений о линейном характере зависимостей, описывающих процессы столкновений. В то же время, резонансоподобный рост параметров, характерный для процессов нелинейных столкновений, может привести и к значительному росту полученных ранее в рамках линейного описания величин, изображенных на рис. 9.4 и 9.5, и к изменению характера соответствующих зависимостей.
ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИЛОЙ
Для предметного обсуждения некоторых экспериментальных результатов, полученных в таких условиях, когда действие нелинейных сил являлось преобладающим, необходимо провести точное интегрирование соответствующих уравнений, в которые входит нелинейная сила. Это становится возможным, если результирующий профиль плотности плазмы изменяется с течением времени очень медленно. При проведении такого анализа рассматривались как случай перпендикулярного падения плоской электромагнитной волны, так и условия ВКБ-приближения. Использовалось уравнение движения в следующем виде:
fNL ~fNL ~, Е уп о 5ix 1 б 7Г Иес Эх, Е уп о 5ix 1 б 7Г Иес Эх1hl1hl(9.16)(9.16)
fNL ~
fNL ~
, Е уп о 5
ix
1 б 7Г Иес Эх
, Е уп о 5
ix
1 б 7Г Иес Эх
1
hl
1
hl
(9.16)
(9.16)
(9-17)(9-17)(9.18)(9.18)dvj mt — dx =dtdvj mt — dx =dtEv Z d exp^-kx)!) 1 б 7Г nec dx |n|Ev Z d exp^-kx)!) 1 б 7Г nec dx |n|dx.dx.(9.19)(9.19)
(9-17)
(9-17)
(9.18)
(9.18)
dvj mt — dx =
dt
dvj mt — dx =
dt
Ev Z d exp^-kx)!) 1 б 7Г nec dx |n|
Ev Z d exp^-kx)!) 1 б 7Г nec dx |n|
dx.
dx.
(9.19)
(9.19)
Напомним, что скорость vN была получена при рассмотрении падения некоторого тела вдоль оси х с ускорением dvjdt, когда выполняется соотношение
Vo = [l^/dr^]1/2.
Дифференциал квадрата скорости при переменном ускорении
5Гд = ^(dvil dt^^x.
Тогда, используя соотношение пе = Zn^ если заряд иона равен Z, и опуская ограничения, характеризующие бесстолкновительную плазму, можно определить приращение кинетической энергии ионов под действием нелинейной силы (9.16):
Точное интегрирование этого выражения дает следующую зависимость для энергии иона:
Е2 7
1 6 7Г Пес
Хг а J 4" xt dx
exp (-^х/2)
_ hl _
dx =
Ey/ exp(- kxill)exp(-kx ^2)
1 б7Г nec I |n (x2) IIn (xj |
(9.20)
Нижний предел интегрирования — точка хХ) расположенная в вакууме, где п = 1,7с = 0, а верхняя — х2 — находится в области плазмы, где показатель прело мл ения_|л| достигает минимального значения. Предполагается, что значение к при этом достаточно мало [183]. В результате максимальная энергия ионов в области абляции, приобретенная под действием нелинейной силы, оказывается равной
trans _1
16 тг пес | И I min
(9.21)
Соответственно энергия ионов во внутренней, сжимаемой части плазмы,
^compr _1
16тг пес |n|min
(9.22)
Теперь становится очевидным, что пределы интегрирования в формуле (9.20) соответствуют энергии йогов при и = |л|т(п во внутренней области сверхплотной плазмы, где к > ^х и показатель преломления еще не равен нулю. Процессу нелинейного поглощения соответствует ускорение плазмы вдоль лазерного луча (макроскопических масштабов и динамического характера).
Проинтерпретировать результаты (9.21) и (9.22) можно достаточно просто, если учесть тот факт, что среднюю кинетическую энергию колебаний электронов е1^ в поле лазерного излучения, описываемую формулой (6.56), в ВКБ-приближении при наличии диэлектрической аномалии дает следующая формула:
kin = cosc
exp (— кх(Т). 1б7ГЛес |и |
(9.23)
Здесь предполагается, что при максимальном значении диэлектрической аномалии, соответствующие оценки которой приведены на рис. 9.4, к < < 1, если учтено влияние механизма затухания, препятствующего неограниченному резонансоподобному росту энергии ионов. В конечном итоге максимальная энергия ионов в области абляции
^transl _ ^ ^osc,max eosc,vac^ 12
(9.24)
где eosc>max иеок уде — колебательные энергии электронов в плазме и в вакууме соответственно. При наличии диэлектрической аномалии колебательная энергия становится равной
eosc,max *^osc,vac
eosc
In I min
(9.25)
Поскольку колебательная энергия в плазме в 100 раз больше колебательной энергии электронов в вакууме, то вкладом последней можно пренебречь. Это соотношение характеризует и масштаб величины давления излучения в вакууме. При наличии сильной диэлектрической аномалии формула (9.24) трансформируется в
е?гап$1 = Zeoscvac/2.(9.26)
Преобладающий вклад в характеристики движения плазмы дают энергия и импульс ионов. Этот факт используется ниже, при проведении дальнейшего рассмотрения описанных процессов. Следует отметить, что поскольку нелинейная сила оказывает непосредственное воздействие лишь на электронную компоненту плазмы, которая электростатически связана с ионной и за счет этого передает ей свое ускорение, то рассмотренная модель может быть применима только к описанию взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой.
ИМПУЛЬС ФОТОНОВ В ПЛАЗМЕ (ПРОБЛЕМА АБРАХАМА-МИНКОВСКОГО)
Результаты рассмотрения, проведенного в §9.2, можно использовать и при анализе соотношения для суммарных импульсов фотонов в плазме, и для того же электромагнитного излучения в вакууме. Здесь следует специально подчеркнуть, что с самого начала равенство импульса электромагнитного излучения суммарному импульсу фотонов того же излучения в плазме отнюдь не является очевидным, поскольку вклад в суммарный импульс плазмы дают и плазмоны. Рассмотрение суммарного импульса вещества плазменной короны, описываемого формулой (9.12), показывает, что он образуется за счет отдачи при распространении в короне фотонов лазерного излучения. Учитывая это, можно заключить, что за счет отдачи импульс электромагнитного излучения в плазме больше, чем в вакууме. Таким образом, импульс электромагнитного излучения в плазме
(9.27)(9.28)(9.29)(9.30)(9.27)(9.28)(9.29)(9.30)^ = l^inh I + ^о» откуда с учетом (9.10) и (9.12) находим
(9.27)
(9.28)
(9.29)
(9.30)
(9.27)
(9.28)
(9.29)
(9.30)
_ Ро(1+ |и|2)
Поскольку импульс фотона в вакууме
Рф = Й со/с, то его значение в плазме в соответствии с (9.28)
РФ.Р1 =777-<1 + |и|2>- 2|и|с
Полученные формулы являются результатом последовательного рассмотрения основных физических процессов, происходящих в плазме 140
под действием лазерного излучения, которое проведено в последних главах настоящей книги на основе данных работы [138] и подтверждающей ее работы [154]. Независимо от данных указанных работ и совершенно другим способом аналогичный результат для плотности электромагнитной энергии в волновом пакете в однородной непоглощающей плазме был получен в [184]. Авторами этой работы показано, что импульс, описываемый формулой (9.30), существенно отличается от импульса, выведенного в работе Абрахама:
рА = hcjofnc(9.31)
и от импульса, рассчитанного в работе Минковского:
pM=thon[c.(9.32)
Формально определение импульса через плотность энергии (9.30) соответствует такому значению импульса фотонов, которое является полусуммой импульсов Абрахама и Минковского, т.е. среднему значению этих двух различных определений импульса:
Рф,р\= <Ра*Рк№(9-33)
Свидетельством того, что импульс (9.33) в соответствии с выводами гл. 8 имеет для плазмы достаточно большое значение, является и результат [185], где то же значение импульса, что и в (9.33) получено из формул Френеля дня отражения света от границы раздела вакуума и однородной^ бесстолкновительной плазмы ^показателем преломления п. Если R — доля отраженных фотонов, а Т — доля прошедших фотонов, то из закона сохранения энергии следует совершенно очевидное равенство:
1-£ = Т.(9.34)
Из закона сохранения импульса фотонов с учетом правильного знака импульса при их отражении на границе плазмы находим следующее соотношение:
Рф + КрФ = ТрфрХ .(9.35)
Учитывая (9.34), коэффициенты отражения R и пропускания Т запишем в очень простой форме:
R=fl—2Y; Т=—^— .(9.36)
\ 1 + ” /(1 +п)2
Эти соотношения и представляют собой формулы Френеля.
Итак, можно сделать вывод, что вне плазмы, соглсно (9.30), в смысле упомянутых выше определений импульса через плотность энергии излучения, импульс имеет более высокое значение. Чтобы увеличить значение импульса по сравнению с его значением в вакууме и за счет этого ’’втолкнуть” фотоны излучения в плазму, необходимо существование отдачи. Она возникает в соответствии с формулами Френеля в результате отражения фотонов от границы раздела плазмы и вакуума, где происходит скач-
коообразное изменение коэффициента преломления. Для неотражающей плазмы со свойствами, удовлетворяющими условиям ВКБ-приближения, и неоднородной поверхностью раздела плазмы и вакуума поглощение разностного импульса, проявляющегося как механическая отдача, направленного против направления падения фотонов излучения, должно происходить именно в неоднородном поверхностном слое. Если в плазме произошло поглощение фотонов с возросшим значением импульса, то и полный импульс излучения (9.33) (в расчете на один фотон (9.14)), переданный затем в область поглощения в плазме, соответственно возрастает. Это вызывает возникновение отдачи, которая из-за наличия нелинейной диэлектрической аномалии, создаваемой давлением излучения, быстро растет. Если |и| < 1, то такое возросшее значение давления излучения
Лш = ^о/2|«1 = SP0(2.(9.37)
В рамках сделанных допущений множитель ”1/2” в данном выражении можно и опустить.
Как было показано в [185], формально переписав выражение (9.30) с использованием (6.47) при у = 0, получим следующую формулу:
из которой видно, что распространение фотона характеризуется импульсом Абрахама. Однако за счет обмена энергии излучения с осциллирующими фотонами его значение падает. Формально, выражение (9.38) запишем в следующем виде:
Рфр1 =— (п+ = рм + (9.39) с V In ) 2СО2
Отсюда следует, что поведение фотона отвечает определению Минковского, когда он обладает дополнительным импульсом, обусловленным плазменными колебаниями.
С точки зрения последнего аспекта импульса Минковского вполне понятными становятся и особенности фотоэлектрического взаимодействия излучения абсолютно черного тела. Если плотность излучения абсолютно черного тела ^(со, Г), зависящая от частоты со и температуры Т, определена из рассмотрения взаимодействия этого излучения с частицами плазмы в рамках квантовой электродинамики, за счет спонтанного и стимулированного излучения и поглощения, то для непоглощающей среды с показателем преломления п ее можно описать следующей зависимостью [186]:
Т) = ир(со,Т)п3 fl + ^ -М (9.40) \ и Эсо /
где
Up (« Т) = —^^^ (9.41)
с3 ^хр (п со/кТ) - 1]
есть спектральное распределение Планка для вакуума. Учитывая определение показателя преломления л для бесстолкновительной плазмы (у = 0) и (6.46) и подставляя это соотношение в формулу (9.40), получаем более простую зависимость:
U= ирп.(9.42)
Это соотношение хорошо согласуется с результатами, полученными для плазмы в [187] и [188]. Единственной проблемой здесь является ограничение сор < со; иначе выражение (9.42) становится чисто мнимым. Результат (9.42) отражает приближение Минковского, поскольку U может быть связано только с той частью энергии электромагнитного излучения, которая состоит из ’’фотонов в вакууме”. Тогда дополнительная фотонная часть полной энергии может быть обусловлена только электронными колебаниями плазмы [см. (9.39)]. Но эти плазменные колебания не дают вклада в процессы фотоэлектрического возбуждения и девозбуждения, положенные Эйнштейном в основу иного вывода уравнения (9.41) [189].
Поскольку процессы юлучения и поглощения находятся в равновесии, множителем ехр^—кх/2) в выражении для плотности энергии в плазме можно пренебречь. Тогда плотность полной электромагнитной энергии излучения абсолютно черного тела в плазме можно записать в следующем виде:
/ col \
(/tot = Up l«l + ; •(9.43)
\ 2со2\п \ /
В данном выражении используется абсолютный показатель преломления, поэтому оно справедливо и для столкновительной плазмы, и даже для частот со < сор. При этом вклад фотонов в фотоэлектрическое взаимодействие
U^co, Т) = Up(co, Т)\п\.(9.44)
Хорошо видно, что это определение плотности лучистой энергии существенно отличается от формулы (9.43). На рис. 9.6 и 9.7 приведено сопоставление функции U при значениях температуры Т = 106 К и плотностей плазмы пе = 3,14-1024 см"3 и 1,26-1025 см"3, и функции распределения Планка для вакуума [190].
Интегрирование функции U по всему спектру
^tot = / UdGD=o0pT4(9.45)
О
приводит к хорошо известному закону для излучения абсолютно черного тела с постоянной Стефана—Больцмана аор, имеющей то же са-
Рис. 9.6. Сравнение планковского закона излучения для вакуума (7) при Г = 106 К со спектральным распределением плотности излучаемой энергии (2) для плазмы при той же температуре и электронной плотности Пе =3,14 • 10г4 см 3 [190]
Рис. 9.7. Те же зависимости, что и на рис. 9.7, но для электронной плотности плазмы г^ = 1,26- 1025 см"3 [190]
мое значение, что и в вакууме:
оор = о0 = 5,67- 10“12 Вт/(см2 К4).(9.46)
Однако для плазмы аор, хотя и очень слабо, но все-таки зависит от ее температуры и плотности. Для случаев, показанных на рис. 9.6 и 9.7, значения оор равны соответственно (в единицах СГСЕ) :
оор = 5,393 • 10*5 для Г = 106 К, пе = 3,14 • 1024 см"3,
аор = 5,074-Ю"5 для Г= Ю6 К, пе = 1,26-Ю25 см*3.
Оценки о для еще более высоких плотностей плазмы формально могут привести к получению еще более высоких значений аор, но столь высокие плотности соответствуют порогу вырождения плазмы, выше которого рассмотренная теория оптических постоянных уже не применима и должна быть рассмотрена заново.
Хотя в проведенном рассмотрении мы использовали плотность полной энергии (определенную в виде полусуммы импульсов Абрахама и Минковского), в действительности учитывалась лишь энергия электромагнитного излучения для вакуума (только ’’голые” фотоны, или фотоэлектрическое действие), без учета обмена энергией с электронами (фотоны, ’’одетые в шубу электронов”), полученный результат вполне адекватно описывает излучение абсолютно черного тела в плазме. Этот вывод стимулировал проведение работы [179], в которой выведена принципиально новая концепция для анализа проблемы Абрахама—Минковского.
В качестве отправного момента для соответствующего обсуждения необходимо сделать допущение (справедливость которого будет показана ниже) о том, что импульс Минковского характеризует фотон с нулевым спином, а импульс Абрахама—фотон со спином, равным единице. Как хорошо известно, учет влияния спина имеет смысл лишь при низкой частоте электромагнитного излучения, поскольку его вклад во 144
взаимодействие в высокочастотной области спектра излучения пренебрежимо мал.
Основная концепция, положенная в основу изучения особенностей равновесия между излучением и средой, была сформулирована Эйнштейном в [189]. Условиям для равновесного излучения (9.40) удовлетворяет лишь плотность импульса в определении Минковского. Для получения этого результата приходится использовать условие hv > кТ, исходя из которого можно сделать вывод о справедливости данного рассмотрения в приближении геометрической оптики.
Чтобы провести изучение во всей области частот, необходимо включить в рассмотрение свойство подобия дисперсионного соотношения
со2 = Юр + к2с2(9.47)
и релятивистского соотношения между энергией и импульсом частицы:
Е2 = ш2сА + р2с2,(9.48)
имея в виду, что
Е = 'Кю\ р=£к.(9.49)
Для дальнейшего рассмотрения необходимо постулировать, что фотон, имеющий перед входом в плазму нулевую массу покоя, внутри плазмы приобретает некоторую эффективную остаточную массу, равную Ъюр/ с2. Вследствие этого, максвелловское поле в среде теперь можно заменить полем Прока, используемым обычно для описания векторных мезонов. Это позволяет воспользоваться методами электродинамики Прока для получения канонического тензора энергии-импульса:
Т^ = ЙЬ эр Ак _ gtlpL,(9 50)
д(ддЛ*)
где лагранжиан Прока имеет следующий вид:
L =- L-F^F^.Lj А»^АаАа,(9.51)
16тг н с8тг
причем д = mQclh — эффективная остаточная масса фотона в плазме в единицах универсальной длины. Следует отметить, однако, что этот тензор не является общеприемлемым. Исходя из законов сохранения, потребуем выполнения следующего равенства [191]:
6^=Т^^Т^,(9.52)
где Т^ интерпретируется как спиновый тензор энергии-импульса. Отсюда следует вывод, что полный тензор для рассматриваемого поля электромагнитного излучения является симметричным и состоит из двух частей: орбитальной, определяющей энергию и импульс, и спиновой, которая не дает вклада ни в энергию, ни в импульс, но играет важную роль в вычислениях, связанных с правильным учетом полного углового момента.
10 —Зак. 1563145
Поэтому в соответствии с общим подходом к рассматриваемым в настоящей работе проблемам, соотношения подобия можно применить также и к тензору, описывающему электромагнитное поле в плазме. Это эквивалентно тому, что тензор Минковского легко согласуется с каноническим формализмом. Тогда по аналогии с (9.52) должно выполняться и соответствующее условие для тензоров:
(9.53)(9.53)о ЦУ _ еЦР _ сЦР ^sp° Л° м ’
(9.53)
(9.53)
которое в рассмотренном контексте теперь следует считать спиновым тензором энергии-импульса. Компоненты этого тензора имеют следующий вид:
=0; S^O; S'o="_IexH. (9.54)
В соответствии с проведенным выше рассмотрением из тех же соотношений подобия следует, что сила, соответствующая спину, должна описываться зависимостью
fsp = -— ^ Е X н. (9.55) 4 7ГС df •
При высокой частоте излучения показатель преломления плазмы приближается к единице, в результате этого ’’спиновая” сила исчезает, несмотря на то, что с ростом частоты она также должна возрастать. Здесь следует напомнить, что при введении спина путем релятивистского обобщения квантовомеханического рассмотрения корректные результаты (уравнение Дирака) получаются лишь для частиц со спином 1/2, таких, как электрон. Здесь же мы использовали некоторые формулы для спина фотона, равного единице, без квантования его энергии.
Таким образом, из свойства взаимного подобия излучения, взаимодействующего со средой (плазмой), и поведения нейтрального векторного мезона в вакууме можно сделать вывод о том, что правильным является определение тензора поля энергии-импульса, сделанное Абрахамом. Однако в пределе для высокой частоты, где вкладом спина можно пренебречь, правильное приближение дает асимметричный тензор Минковского. Тогда совершенно аналогичная картина, характеризующая количественное описание взаимодействия фотонов с веществом, когда при низких частотах преобладает фотоэффект (с обменом спином между фотоном и электроном), а при высоких частотах - эффект Комптона без обмена спинами фотона и электрона, становится вполне понятной. Исходя из самых общих принципов, следует сделать вывод о том, что обмен электромагнитной энергией между полем излучения абсолютно черного тела и электронами плазмы, даже при релятивистски большой температуре, происходит, главным образом, в результате классического колебательного движения. Вклад в такой обмен квантовомеханических процессов не превышает 5/тг5 5% [192].
93. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Термин ’’параметрические неустойчивости” характеризует широкий класс явлений, связанных с преобразованием энергии лазерного излучения в колебания и плазменные волны различного типа: электро статические (ленгмюровские) волны, ионно-акустические и др. Общим здесь является то, что для обеспечения роста амплитуды таких колебаний или флуктуаций плотности плазмы за счет энергии лазерного излучения необходимо выполнение определенных условий, накладываемых на частоты (энергии) и волновые векторы (импульсы) соответствующих волновых процессов. После того как В.Н. Ораевским и Р.З. Сагдеевым [195] этот тип волнового взаимодействия был введен в физику плазмы, после проведения более последовательного рассмотрения, в [193, 194, 196—198] было начато изучение этих явлений на основе концепции нелинейной силы. Обзор последующего широкого обсуждения параметрических процессов в плазме сделан в [199].
В соответствии с результатами, полученными Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем в [200] при исследовании механических колебаний таких систем, в которых один из параметров изменяется под действием другого колебательного процесса, основное явление, характеризующее параметрические неустойчивости, было названо параметрическим резонансом. Одним из примеров такой системы является математический маятник длиной / и массой т, точка подвеса которого колеблется в вертикальном направлении (вдоль оси у) с частотой соо и амплитудой А (у = Л cos соо О (рис. 9.8). Используя в качестве обобщенной координаты угол Ф, лагранжиан такой системы (кинетическая энергия минус потенциальная энергия) запишем в виде
ml2
L =Ф2 -v mlacoQ cos GDOt cos Ф + mglcos Ф.(9.56)
(9.57)(9.57)Исходя из уравнения Лагранжа второго рода
(9.57)
(9.57)
— — L - — £ = 0, dr ЭФ ЭФ
получим уравнение движения, описывающее малые колебания такой системы, при которых sin Ф ~ Ф < 1:
(9.58)(9.58)(9.59)(9.59)Э2 Ф
(9.58)
(9.58)
(9.59)
(9.59)
+ [а + ^ cos (cdqO] Ф = 0, dr2
где
а = со2
есть угловая частота невозмущенных колебаний маятника (Л = 0) и q = 4с?А/1. (9.60)
Уравнение (9.58) является дифференциальным уравнением Матье, обладающим особым свойством (рис. 9.9): наличием квазипериодического 10* 147
(9.63)(9.64)(9.63)(9.64)
(9.63)
(9.64)
(9.63)
(9.64)
Рис. 9.8. Изображение математического маятника, точка подвеса которого колеблется в вертикальном направлении вдоль оси у
(устойчивого) и непериодического (неустойчивого) решений. Квазипериодическое решение получается при условии, что
соо = 2 со + е', (9.61)
где € < со. В этом случае решение для Ф (Г) носит колебательный характер с амплитудой колебаний, растущей с течением времени:
Ф ~ t sin сх t + осциллирующие члены(9.62)
(ci = const), если q < а. Это можно получить из уравнения (9.58) с учетом условий (9.56) — (9.61):
Э2
Ф+ со2 [1 + 17 cos сооГ] Ф = 0 Ь?
при его решении с помощью итераций:
Ф(т) =Ф„-1 + Ф„ (и = 2,3...),
где Ф1 — невозмущенное решение (^ = 0, i? = 0). Тогда решение во втором порядке приближения можно получить из следующего уравнения:
Рис. 9.9. Области устойчивого (заштрихованы) и неустойчивого решений дифференциального уравнения Матье (9.58)
148
соотношение (9.61), то, как было уже отмечено ранее для случая возрастающей амплитуды (параметрическая неустойчивость), оно имеет достаточно простой характер:
(9.66)(9.66)Ф Г sin (с^).
(9.66)
(9.66)
При использовании результатов проведенного рассмотрения (9.62) для анализа параметрических процессов в плазме фактически следует лишь заменить переменные: частоту собственных колебаний маятника со на собственную частоту плазмы, например на частоту электростатических колебаний cop, а частоту внешнего возмущения соо на частоту падающего на плазму лазерного излучения. Если проделать все это, то из соотношения (9.61) легко увидеть, что неустойчивость возникает при cop ~ со/2. Очевидно, что такой частоте соответствует электронная плотность плазмы, равная четверти критической. Наличие такой неустойчивости непосредственно проявлялось как в одночастичных численных расчетах [203], так и в соответствующих экспериментальных измерениях, когда в отраженном от плазмы лазерном излучении кроме его основной частоты наблюдалась и небольшая доля излучения с частотой, равной половине частоты исходного лазерного излучения.
Изучить особенности таких колебаний в других областях частот, где возможно возникновение соответствующих неустойчивостей, (эти области на рис. 9.9 заштрихованы), можно с использованием так называемого параметра расстройки е (9.61) или после нахождения полного решения для таких колебаний [которое получается при п = 00 в уравнении (9.64) ], что является предметом дальнейших исследований для математиков. Для дальнейшего развития представлений о параметрических неустойчивостях в плазме необходимо правильно учитывать особенности физических процессов. В частности, при введении в рассмотрение переноса энергии лазерного излучения в плазме необходимо использовать более общее уравнение Лагранжа (9.57), поскольку обобщенные силы приобретают зависимость от скоростей и их уже нельзя описать с помощью соответствующих потенциалов.
Анализ параметрических неустойчивостей в плазме, возникающих под действием лазерного излучения, можно провести и на основе рассмотрения особенностей воздействия на плазму нелинейной силы [193]. В этой работе предполагалось, что нелинейная сила возникает при перпендикулярном падении на поверхность плазмы с профилем плотности, удовлетворяющим условиям ВКБ-приближения, бесконечной плоской волны. Действие такой нелинейной силы характеризуется решением уравнения (8.86):
fNL =-*аfNL =-*а1 ШР J_^21 6 7Г qj2 ЭХ1 ШР J_^21 6 7Г qj2 ЭХ(9.67)(9.67)
fNL =-*а
fNL =-*а
1 ШР J_^2
1 6 7Г qj2 ЭХ
1 ШР J_^2
1 6 7Г qj2 ЭХ
(9.67)
(9.67)
или
fNL =fNL =Шр8 /го)2Шр8 /го)2Е V Е — Е х ( VЕ V Е — Е х ( VX Е) кX Е) к(9.68)(9.68)
fNL =
fNL =
Шр8 /го)2
Шр8 /го)2
Е V Е — Е х ( V
Е V Е — Е х ( V
X Е) к
X Е) к
(9.68)
(9.68)
Рис. 9.10. Распространение в
плазме со стохастическим от
клонением электронной плотности пг от равновесного п плоскополяризованного лазерного излучения
если использовать соотношение (8.19). В [193] эта формула получена в рамках простейшего описания колебательного движения, имеющегося во всех учебниках, в котором сложные зависимости, обусловленные наличием разности фаз между Е, Н и j [54], не рассматривались (недавно эти трудности были успешно разрешены в [169]). Отличительной особенностью формулы (9.68) является то, что ее втррой член есть результат действия сил, направленных вдоль распространения лазерного излучения, в то время как первый ’’работает” на любых отклонениях от первоначальной многослойной структуры плазмы в направлении, перпендикулярном направлению распространения. Это позволяет различить неустойчивости, связанные с обратным рассеянием лазерного излучения за счет последнего члена Ex ( v х Е) в выражении (9.68), и электростатические параметрические неустойчивости, обусловленные членом EVE, эквивалентным конвекционному члену v V v в уравнении движения (8.1). Действие описанной нелинейной силы, перпендикулярной направлению распространения плоской волны, все же нуждается в более подробном анализе, в аспекте особенностей соответствующего максвелловского тензора натяжения (см. гл. 12). В [193] ряд таких проблем уже обсуждался, и из-за известных трудностей может быть необходимо определенное ограничение соответствующих результатов последующих работ.
Электростатическая параметрическая неустойчивость возникает в результате взаимодействия плоскополяризованного лазерного излучения, падающего перпендикулярно поверхности плазмы, с поперечными колебаниями электронной плотности вблизи ее равновесного значения и, обусловленного наличием члена v V v в уравнении (9.67) (рис. 9.10). Электростатические колебания плазмы с частотой сор [см. формулу (2.6)] обусловлены отклонениями электронов от их равновесного положения с последующим ослаблением амплитуды колебаний из-за затухания Ландау (3.68). В [204] был исследован процесс генерации электростатических волн с частотой сое, определяемой соотношением
^ = ^+(3/2)^^ (9.69)
(9.70)(9.70)(частота Бома—Гросса), где тепловая скорость электрона, vth = 2кТе/т, характеризует перенос сигнала этой (ленгмюровской) волной. Волновой вектор к$ определяется фазовой скоростью волны Уф, которая может быть и очень большой:
(9.70)
(9.70)
IkJ = со/Уф. 150
(9.71)(9.71)В области, где частота лазерного излучения со < сое,
(9.71)
(9.71)
возникает осциллирующая двухпучковая неустойчивость, которую следует рассмотреть отдельно. При возникновении такой неустойчивости происходит рост осцилляций плотности плазмы в направлении действия электрического поля лазерного излучения Е0) но их распространения в пространстве не происходит. Однородное в направлении, поперечном его распространению, электрическое поле лазерного излучения Ео взаимодействует с электрическим полем пространственного заряда Ех, возникающим при осцилляциях плотности плазмы под действием нелинейной СИЛЫ f NL :
со2^Е1
8я —fNL =-2£0—-.(9.72)
с^Эх
р
Это взаимодействие приводит к дальнейшему росту осцилляции плотности и соответствующему усилению данного вида неустойчивое ти (рис. 9.11).
Если частота лазерного излучения несколько превышает частоту Бома-Гросса:
(9ЛЗ)(9ЛЗ)со > сое,
(9ЛЗ)
(9ЛЗ)
то возникает параметрическая распадная неустойчивость. Осциллирующая двухпучковая неустойчивость при этом действия не оказывает, и падающая волна распадается на электронную волну с частотой сое и
Рис. 9.11. Осциллирующая двухпучковая неустойчивость. Вследствие условия (9.71), согласно которому частота лазерного излучения меньше частоты Бома- Гросса, возникают поперечные осцилляции плотности. Взаимодействие электростатического поля, созданного данными осцилляциями плотности, с электрическим полем лазерного излучения Eq за счет действия нелинейной силы (9.72) приводит к дальнейшему росту осцилляций плотности [193]Рис. 9.11. Осциллирующая двухпучковая неустойчивость. Вследствие условия (9.71), согласно которому частота лазерного излучения меньше частоты Бома- Гросса, возникают поперечные осцилляции плотности. Взаимодействие электростатического поля, созданного данными осцилляциями плотности, с электрическим полем лазерного излучения Eq за счет действия нелинейной силы (9.72) приводит к дальнейшему росту осцилляций плотности [193]ионную акустическую волну с частотой со!. Как показано на рис. 9.12, нелинейная сила действует таким образом, чтобы разрушить возмущение плотности пх. Однако внутри движущейся ионной волны возмуше-
Рис. 9.11. Осциллирующая двухпучковая неустойчивость. Вследствие условия (9.71), согласно которому частота лазерного излучения меньше частоты Бома- Гросса, возникают поперечные осцилляции плотности. Взаимодействие электростатического поля, созданного данными осцилляциями плотности, с электрическим полем лазерного излучения Eq за счет действия нелинейной силы (9.72) приводит к дальнейшему росту осцилляций плотности [193]
Рис. 9.11. Осциллирующая двухпучковая неустойчивость. Вследствие условия (9.71), согласно которому частота лазерного излучения меньше частоты Бома- Гросса, возникают поперечные осцилляции плотности. Взаимодействие электростатического поля, созданного данными осцилляциями плотности, с электрическим полем лазерного излучения Eq за счет действия нелинейной силы (9.72) приводит к дальнейшему росту осцилляций плотности [193]
Рис. 9.12. Параметрическая распадная неустойчивость, в области которой частота лазерного излучения больше частоты Бома-Гросса, может быть связана только с особенностями ионной волны. Несмотря на то что в покоящейся системе отсчета под действием нелинейной силы происходит распад осцилляций плотности, в движущейся системе отсчета за счет доплеровского сдвига происходит такое же усиление осцилляций плотности, как и при развитии двухпучковой неустойчивости, по казанной на рис. 9.11 [ 19 3 ]
л = л0ехрл = л0ехрсо2со2Е28 7Ги0£ТеЕ28 7Ги0£Те(9.75)(9.75)
л = л0ехр
л = л0ехр
со2
со2
Е2
8 7Ги0£Те
Е2
8 7Ги0£Те
(9.75)
(9.75)
Рис. 9.13. Возникновение филаментаций или самофокусировки за счет влияния нелинейной силы [193]
ние плотности должно быть, по крайней мере, таким же, как и для осциллирующей двухпучковой неустойчивости. Наличие этой неустойчивости, механизм действия которой основан на квазинейтральности плаз
мы и доплеровском сдвиге, может вызвать значительный рост ионной
волны.
Поперечное действие параметрической распадной неустойчивости приводит к возникновению особых образований в плазме — филаментаций, или к самофокусировке лазерного излучения. Объяснение этого явления, предложенное впервые в [205], основано на балансе поперечной нелинейной силы и газодинамического давления:
(9.74)(9.74)fNt = ^пкТе.
(9.74)
(9.74)
Процесс возникновения филаментаций показан на рис. 9.13. Если предположить, что профиль плотности плазмы подобен распределению Больцмана
то пороговую мощность лазерного излучения Ро, в ваттах, для возникновения самофокусировки [193] определим из следующей формулы:
Ро = 8800 — Г, (9.76)
где Т выражена в электрон-вольтах. Точно такие же пороговые значения мощности лазерного изучения для возникновения самофокусировки были получены ранее в [206], в которой кроме баланса сил (9.74) учитывалось также и действие механизмов полного отражения и дифракции (см. гл. 12).
Отрицательные неустойчивости возникают за счет действия нелинейной силы, направленной параллельно волновому вектору к лазерного излучения, но при его анализе необходимо обязательно рассматривать детальный характер колебательного движения и фазы исходного и индуцированного электрического и магнитного полей. Этот процесс также связан с возникновением токов и скоростей, направленных перпендикулярно к, и их повторным взаимодействием с электрическим полем лазерного излучения. В то время как электростатические параметрические неустойчивости приводят к преобразованию энергии лазерного излучения в энергию электростатических плазменных волн, при возникновении неустойчивости обратного рассеяния энергия лазерного излуче- 152
ния преобразуется в энергию электромагнитной волны с частотой со, направление которой почти совпадает или противоположно направлению волнового вектора к. В случае, когда частота поперечной волны со равна частоте электронной плазменной волны сое, происходит процесс стимулированного рамановского рассеяния. Если же ее частота со равна частоте ионной акустической волны, то происходит стимулированное рассеяние Мандельштамма—Бриллюэна. Если фронт волны не перпендикулярен вектору к, но напряженность электрического поля достаточна для поддержания определенного возмущения плотности, размываемого за счет диффузии, то может возникать и так называемое резистивное квази- модовое рассеяние. Если coi - kxve или kY Vj, где ve и Vj — скорости теплового движения электронов и ионов, то возникновение неустойчивостей может быть связано и с резонансным взаимодействием лазерного излучения с соответствующими частицами. Такой процесс получил название индуцированного комптоновского рассеяния, или нелинейного роста Ландау.
Вид
Порог
неустойчивости
SBS
А
SRS
»2
_ 2 Фр 1е ve /
с1
Ш0 ыРио
Не вдаваясь в рассмотрение деталей соответствующего вывода, можно привести следующие данные, характеризующие пороги возникновения и скорости роста следующих неустойчивостей в неоднородной плазме:
Скорость роста
1 Fo /шоУ/2
То ~ шрЬ
2 с(9.77)
7о»1-^(ШоШр)1/2) (9.78)
2 с
где ve — тепловая скорость электронов; 7е и 7/ — скорости затухания электронной и ионной волны соответственно; (Ыр/ыо) (vej/2) — скорость затухания электромагнитной волны. Для излучения неодимового и СО2 -лазеров пороговые значения интенсивностей излучения, при которых возникают неустойчивости различного типа, равны соответственно, Вт/см2:
В и д -Nd-л аз ер
неустойчивостиг
SBSю13
SRS10*3
Осциллирующая двухпучковая1013
Параметрическая распадная1013
СО2 -лазер ю10 ю9 109 ю10
Действие неустойчивости обратного рассеяния проявляется непосредственно в отражении электромагнитной волны от плазмы, созданной лазерным излучением. Интенсивность отраженного от плазмы света с частотой, в 2 раза меньшей первоначальной, или с более высокими гармониками частоты составляет лишь небольшую долю начальной интенсивности падающего излучения, что является прямым указанием на то,
что неустойчивости не растут до бесконечности, а ограничиваются за счет процессов насыщения [208]. Само наличие этого процесса очень ценно с точки зрения развития на его основе методов диагностики плазмы. Авторам [209] удалось показать, что если интенсивность излучения неодимового лазера превышает 1015 Вт/см2, то сдвиг частоты излучения, отраженного от области с критической плотностью, происходит не в сторону синей части спектра, а уже в сторону красной области. Измеренная авторами [210] небольшая интенсивность обратно рассеянного лазерного излучения использовалась как исчерпывающий аргумент в пользу того, что неустойчивости не оказывают влияния на динамику взаимодействия лазерного излучения с плазмой. Такой же результат был получен в теоретической работе [211], авторы которой подчеркнули особое значение того факта, что параметрические неустойчивости могут играть заметную роль лишь в диапазоне интенсивностей излучения неодимового лазера от 1014 до 1016 Вт/см2. Выше этих значений интенсивности преобладающим в динамике плазмы является действие нелинейной силы. Подобное же заключение было сделано в [212] и после более детального исследования в [213]. Полученные результаты показывают, что из-за влияния нелинейной силы происходит возмущение параметров плазмы и нарушение резонансных условий для возникновения параметрических процессов. При интенсивности излучения неодимового лазера вблизи 1015 Вт/см2, представляющей практический интерес, в распадную моду за счет соответствующего параметрического процесса преобразуется лишь 1 % энергии поглощенного лазерного излучения [174]. Чтобы этот вклад возрос до 10%, условия поглощения должны стать уже совершенно неестественными. Этот вывод полностью согласуется и с результатами экспериментальных измерений, полученных авторами [215]. Все это позволяет сделать заключение о том, что при анализе особенностей нелинейной динамики плазмы наличием таких неустойчивостей можно пренебречь.
ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ПРОВЕДЕННОГО РАССМОТРЕНИЯ
Итак, если интенсивность лазерного излучения, падающего на поверхность неоднородной плазмы с плотностью вплоть до критической, становится выше 1015 Вт/см2 для излучения неодимового лазера или 1013 Вт/см2 для излучения СО2 -лазера, то нелинейная сила превышает термокинетическую. Если при этом диэлектрическая аномалия более 10,
S = 1/|и| > 10, (9.79) то в процессе абляции плазменная корона приобретает импульс отдачи
Лпь -8, (9.80)
где Ро - обычное давление излучения (9.10). На внутреннюю область плазмы с плотностью выше критической (если толщина ее больше характерной длины поглощения света), действует тогда импульс сжатия, 154
имеющий ту же величину: Ро
Pint ^-s.(9.81)
Для стационарных профилей плотности переданная от испаряющейся короны к ионам сжимаемой внутренней области энергия
trans=26к1П(9 8^)
2
где Z - заряд иона; eosc - максимальная энергия колебаний электронов в плазменной короне с плотностью, близкой к критической; ^g” - средняя кинетическая энергия этих колебаний, если выполняются условия, при которых еще справедлива микроскопическая теория плазмы (дебаевская длина много меньше характерного масштаба изменения плотности). В тех же условиях, когда S > 10, импульс электромагнитного излучения, приходящийся на один фотон в плазме,
Рф,р1 ^ Рф^/2(9.83)
существенно превышает импульс фотона в вакууме Рф -ti^'c, где с - скорость света.
Точное значение импульса фотона в бесстолкновительной плазме описывается следующем выражением:
Рф.р! = Рм* -^РД’(984)
.2 со2
где рм — импульс Минковского (характеризует фотоэлектрическое действие излучения), а рА - импульс Абрахама (свидетельствует о наличии спина и электростатических осцилляций в плазме). Рассмотрение особенностей действия нелинейной силы в различных условиях позволяет объяснить причины возникновения и характер развития параметрических неустойчивостей различного типа. Последовательное рассмотрение динамики плазмы с учетом этих особенностей показало, что возникновение параметрических неустойчивостей не оказывает существенного влияния на процесс поглощения лазерного излучения плазмой.
Глава 10
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ.ОБРАЗОВАНИЕ СОЛИТОНОВ
В настоящей главе рассмотрены некоторые особенности взаимодействия плоской электромагнитной волны с неоднородной плазмой для случая перпендикулярного падения волны на ее поверхность. Проведен численный расчет образующихся при этом сил и сравнение его результатов с экспериментальными данными. Вычисления проведены вначале
155
в предположении отсутствия действия нелинейной силы, когда динамика плазмы полностью определяется лишь тепловым давлением, созданным в результате нагрева плазмы лазерным излучением. Затем в рассмотрение последовательно включено и действие нелинейных сил. Одним из самых первых результатов такого рассмотрения было открытие явления образования локальных минимумов плотности плазмы (кавитонов), сделанное в [171]. Такие минимумы не могут образовываться под действием только одного термокинетического давления, и поэтому их наличие типично лишь для динамики плазмы при наличии нелинейных сил. Можно сделать и обратный вывод о том, что экспериментальное обнаружение таких минимумов с последовательно увеличивающейся крутизной профилей плотности является главным средством практической проверки характера действия нелинейных сил. Затем показано, что при дальнейшем развитии динамики плазмы под действием нелинейных сил типичным является образование солитонов. Проанализированы и особенности макроскопического нелинейного поглощения, которое происходит вследствие чистого преобразования световой энергии лазерного излучения в кинетическую энергию плазмы, без ее нагрева, и приводит к уже упоминавшемуся образованию солитонов.
ТЕРМОКИНЕТИЧЕСКИЕ СИЛЫ
Численное исследование процессов взаимодействия лазерного излучения с плазмой в рамках одномерной модели для случая перпендикулярного падения плоской электромагнитной волны на поверхность многослойной плазмы было одновременно проведено авторами [88] и [215]. Для вычисления плотности плазмы р (х, t), связанной с распределением концентрации ионов гц (х, Г) очевидным соотношением гц (х, Г) = = Р (*, ^)ть распределения температуры плазмы Т (х, Г) и ее скоростей в направлении оси х использованы основные гидродинамические уравнения, характеризующие соответствующие законы сохранения: уравнение непрерывности (4.17), уравнение движения (4.6) [или уравнение (8.3) без учета Е и Н] и сохранения энергии (4.39). Были заданы и соответствующие начальные условия р (х, 0), Т (х, 0) и у (х, 0), а в качестве граничных условий использовалась временная зависимость интенсивности падающего на плазму лазерного излучения. Основной трудностью было определение вида члена W(х, Г), характеризующего в уравнении для энергии источник энергии. При этом такие вопросы, как нагрев первоначально сконденсированного вещества, его ионизация, установление равновесия по закону Саха и некоторые др., для интенсивности используемого лазерного излучения выше 109 Вт/см2 уже не являются существенными. Для определения вида члена W (х, f) необходимо решить уравнения Максвелла (6.17) и (6.18) как для падающей, так и для отраженной волны (образованной в результате неоднородности плазмы). Предполагалось, что преобразование поглощенной энергии происходит в плазме мгновенно, без какой-либо задержки. Это и в самом деле так, если время воздействия на плазму лазерного излучения превышает 1 нс. Интересно, что использование для вычислений как алгоритма лагранже- 156
Рис. 10.1. Зависимости, полученные при численном решении одномерной модели взаимодействия лазерного излучения с плазмой, образованной из водородной пленки толщиной 5 мкм. Видно, что моменты времени, начиная с 5 нс, характеризуются наличием линейного профиля скоростей и гауссова профиля плотности [88]
вого типа (в котором локализация интервалов для машинного счета проводится по изменяющейся массовой плотности плазмы [88]), так и алгоритма эйлеровского типа (в котором проводится привязка интервалов разбиения для численного счета к пространственным координатам) [215] привело к получению одних и тех же результатов.
На рис. 10.1 приведены результаты модельных расчетов для случая облучения пленки из твердого водорода толщиной 5 мкм импульсом излучения неодимового лазера ступенчатой формы. Видно, что к моменту времени t = 5 нс и после него профиль скорости становится уже почти линейным, а профиль плотности приобретает почти гауссов характер. Динамика плазмы приобретает приблизительно такой же характер, как и для рассмотренного в гл. 5 ее автомодельного расширения.
Если при тех же условиях используется массивная мишень, то ее поведение становится совершенно иным (рис. 10.2). Поглощение света происходит в области плазмы с плотностью в 60 раз меньше плотности твердого водорода, а в результате абляции поверхности мишени и образования плазменной короны происходит сжатие внутренней области образовавшейся плазмы. Этому процессу на рис. 10.2 соответствует участок зависимости с отрицательными значениями скоростей v. Такое сжатие может приводить к образованию плазмы с плотностью, многократно превышающей ее начальное значение. Уже упоминавшиеся
Рис. 10.2. Результаты численного решения одномерных гидродинамических уравнений для поля лазерного излучения со ступенчатым профилем интенсивности 1012 Вт/см2, взаимодействующего с пленкой твердого водорода толщиной 50 мкм и плотностью р0. Результирующие плотности р = пли, скорости v и температуры Т приведены для моментов времени t = 0; 0,5; 1,5 и 2,0 нс [88]
вычисления показали, что плотность сжатой внутренней области в 250 раз превышает плотность плазменной короны.
Такой процесс ударного сжатия происходит только в том случае, если нет самофокусировки, которая может привести к более однородному нагреву плазмы и автомодельному разлету даже достаточно массивных мишеней. Наличие процесса ударного сжатия было показано и
при некоторых аналитических исследованиях, основанных на гидродинамических законах подобия [216, 217], или при рассмотрении более общего характера [218]. Однако наиболее четкие результаты дают все же прямые численные расчеты [88, 215].
Значительно более общий случай гидродинамического сжатия лазерным излучением с интенсивностью, нарастающей во времени, был рассчитан в [219]. Отмечалось, что при этом происходит примерно такой же рост сжатия, как и в модели Гудерлея [220], где нарастание сжатия происходит при схлопывании в одной точке специально сфазированной последовательности сферических ударных волн и может привести к получению плотности, в 104 раз превышающей плотность твердого состояния [221].
Успешное осуществление такого сжатия в результате газодинамической абляции требует, чтобы время релаксации (установления равновесия между электронной и ионной компонентами и выравнивания их температуры) было достаточно мало. В [88] при проведении расчетов для наносекундного лазерного импульса в отсутствие нелинейных источников частоты столкновений предполагалось, что установление равновесия происходит мгновенно. В то же время в [219] при проведении подобных вычислений таких предположений не делалось. Чтобы продемонстрировать достаточно большую длительность установления столк- новительного равновесия, на рис. 10.3 представлены зависимости характерного времени электронных столкновений (6.58а) тсо1 = 1/р в слу-
Рис. 10.3. Зависимость минимального времени термализации при частоте электронных столкновений сосо1 (10.1) от интенсивности излучения, I, Вт/см2, лазеров различного типа ^osc^* КТ |n| = 1; пе < 1/2л^с). Величины л^с, см-3, составляют: для СО2-лазера - Ю^. для HF-лазера - 8,6 • 1019, для 12-лазера - 6,6 X х 1020. для Nd-лазера - 10 , для четвертой гармоники излучения Nd-лазера- 1,6 • 10 2, для Хе-лазера - 3,7 • 1022
чае, когда
7* = ^ +ео$с/2*(ЮЛ)
для нескольких значений интенсивности излучения лазеров различного типа.
Чтобы скоррелировать столкновительное время с временными характеристиками используемого лазерного импульса и соответствующего механического импульса, обусловленного термокинетическими процессами, предполагалось для простоты, что импульс с плотностью механической энергии /th, возникающий при взаимодействии лазерного излучения с плазмой после завершения процесса термализации, имеет следующий вид:
/th =/osin2f—) , О<г<то,(10.2)
Vo /
где т0 - ширина импульса на половине его высоты. Обобщение для более сложной формы импульса к сколько-нибудь существенному изменению полученных результатов не приводит. Тогда вполне очевидно, что нарастание лазерного импульса должно происходить быстрее (рис. 10.4) на точно определенное время, значение которого зависит от интенсивности лазерного излучения и может быть определено с учетом столкновительного времени тсо1. Таким образом, при использовании коротких импульсов лазерного излучения, его поведение в плазме подобно поведению светового пучка в прозрачном газе — процессы термализации произойти просто не успевают, и сколь-либо значительного переноса энергии между компонентами плазмы за счет термализации не происходит (исключение составляют неравновесные процессы, связанные с дейст-
Рис. 10.4. Скорость нарастания лазерного импульса (штриховая кривая) должна превышать скорость процесса термализации (сплошная кривая) на некоторое время опережения 7*, которое зависит от яркости [и от Tcoi (10.1)], чтобы обеспечить выполнение условий газодинамического абляционного сжатия. Естественное ограничение условий термализации происходит при а = я/2 [222]
вием нелинейной силы). Чтобы получить наибольшее возможное значение нарастания лазерного импульса, можно воспользоваться соотношением углов а и а, определяющих крутизну фронта импульса (рис. 10.4), и провести его анализ. Очевидно, что наиболее быстрый рост интенсивности соответствует углу а = я/2. Такой мгновенный рост интенсивности ограничивает сжатие в газодинамических моделях [219, 221]. Количественно максимальную скорость роста /th для импульса вида (10.2) можно задать следующим выражением:
d/fh /о ГТ Г
—= JL sin (ЗИП, t = (1/4)т0(Ю.З)
dr То \ То /
или
d/thI^n
df max то '
Введение т* = тсо1 дает
т* = 1,23 -1018 ()М— )(10.5)
\ пе In Л \\п\пес)
dAh ^ ЭгdAh ^ Эги /у = /о, 410 вполне очевидно и из рис. 10.4. Из геометрических соотношений зависимостей, приведенных на рис. 10.4, для углов а < я/2 получим следующую оценку скорости нарастания:
dAh ^ Эг
dAh ^ Эг
(10.6)
Используя уравнения (10.4), (10.5) и неравенство (10.6), покажем, что длительность лазерного импульса т0 должна быть больше уже упоминавшегося времени т*, или
(Ю.7)(Ю.7)/о ^ (|л|лес)3/2ле 1пЛ то (3/2) тг 1,23 • 1018/у1^2
(Ю.7)
(Ю.7)
Если еще раз приравнять /0 к /у, то можно получить следующее огра- 160
ничение на газодинамическое сжатие:
/3/2
-^— < 1,72-10”19-ле(лес|л|)3/21пД.(10.8)
то
Здесь интенсивность Iv в ваттах на 1 см2; плотность электронов в обратных кубических сантиметрах, время т0 в секундах.
Из неравенства (10.8) с учетом того, что |и| = 1, положив пе ~ Пес!^ a In Л = 8,1 (для интенсивности / = 1016 Вт/см2), для излучения неодимового лазера получим следующую оценку:
7 3/2
— < 2,1 • 1034 (Вт/см2)3/2 • с-1.(10.9)
т0
Отсюда следует, что для т0 = 100 пс интенсивность лазерного излучения /у не должна превышать значения 1,7-1016 Вт/см2. В то же время, вычисления, проведенные в [219], проводились за рамками данного ограничения (10.9). Это свидетельствует о необходимости пересмотреть некоторые сделанные ранее предположения и полученные оценки применительно к проблемам лазерного термоядерного синтеза.
СТАТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ
Прежде чем перейти к анализу полного динамического расчета движения плазмы под действием лазерного излучения, включающего и соответствующие зависимости для нелинейных сил, следует рассмотреть несколько довольно важных статических случаев. Предполагая наличие в определенные моменты времени профилей плотности определенного вида, можно рассчитать для этих случаев и соответствующее распределение сил, действующих в плазме.
Наиболее простой случай — бесстолкновительная плазма с линейным профилем плотности-исследован в [154]. Решение уравнений Максвелла для электромагнитных волн в данной работе получено в рамках приближения Эйри (см. гл. 7), причем результирующая сила
fNL = ^“^ exp(-2ps) {(а^а//? + ацаи) +
+ P 2^3 la/A ^RaiR ~ haij) *ail ^IaiR + fa//)Q >(10.10)
где индексами R и I обозначены действительная и мнимая части функций Эйри сц соответственно. Штрих здесь обозначает взятие производной по соответствующим аргументам. Результат численных оценок нелинейной силы f^ представлен на рис. 10.5 (осциллирующая кривая). Полное отражение здесь происходит из-за того, что плазма предполагается бесстолкновительной. Осцилляции нелинейной силы указывают на наличие ускорения плазмы в направлении узлов стоячей волны. Зависимость для силы, усредненной по пространству, показывает хорошее
И - Зак. 1563161
Рис. 10.5. Поведение нелинейной силы в бесстолкновительной плазме с заданным линейным градиентом плотности. Действие лазерного излучения (падающего справа) приводит к образованию стоячей электромагнитной волны и локаль- Го
но осциллирующей силы F = .
— Е2с v
Ускорение плазмы определяется удвоенным значением монотонной силы
согласие точного решения, полученного в [154], с решением в ВКБ-при- ближении (8.50).
В другом статическом случае рассмотрена плазма, в которой процессы столкновений определяются постоянством температуры Те = Г/ = 1 кэВ и профилем плотности, соответствующим применимости условий ВКБ-приближения [0 < 0,1 в уравнении (7.10)]. При проведении этих вычислений значения пе определялись из вида зависимости пе для соответствующих значений х с использованием формулы для Д|и| (6.48) с линейной зависимостью частоты столкновений [Г = Tt^ см. уравнение (6.58)]. Приближение Т = 7th задает нижнюю границу значения конечной силы, потому что включение в рассмотрение электронных колебаний означает увеличение температуры, соответствующее уменьшению |и|, и, следовательно, приводит к получению более высоких плотностей силы. Как показано на рис. 10.6, вблизи критической плотности плазмы, которая для излучения неодимового лазера составляет 1021 см"*3, зависимость пе (х) имеет очень медленный рост. На втором шаге производится расчет интенсивности
I = = *exp I —- \ .(10.11)
8тгс 8 7Г | n | с I 2 I
В связи с тем что использовались условия ВКБ-приближения, влиянием отраженной волны можно пренебречь. Сильный рост отношения (Е/Ev)2, почти до 20, доказывает, что спад |и| происходит значительно раньше, чем _спад интенсивности за счет интегрального коэффициента поглощения &(х). Пбэтому максимальные значения |л Г1 должны быть больше 20. Результатом этого является и увеличение более чем в 20 раз эффективной длины волны Xef по сравнению с ее значением X в вакууме:
Xef = Х5 = Х/|и|. (10.12)
С этой точки зрения почти патологически плоский профиль плотности в диапазоне толщин от 25 до 65 мкм, приведенный на рис. 10.6, имеет протяженность, равную всего четырем эффективным длинам волны.
На следующем шаге проводится расчет плотности термокинетической силы, fth =- Vp ^-кТ Vne, которая изображена на рис. 10.6. Нелиней- 162
Рис. 10.6. Результаты численных расчетов профиля плотности плазмы Пе^, см~3, в рамках ВКБ-приближения для Г = 1 кэВ. Излучение с плотностью потока 10f5 Вт/см2 падает слева. При проникновении световой волны в плазму амплитуда ее электрического поля становится равной Е. Отношение этого значения к амплитуде электрического поля световой волны в вакууме Ev в зависимости от глубины ее проникновения в плазму имеет немонотонный характер. Вычисления результирующих термо кинетической /th и нелинейной /nl сил проводились в линейном приближении для частоты столкновений [223]
нал сила Гыь имеет отрицательные значения вплоть до толщины 52 мкм. Начиная с толщины 13 мкм она превышает термокинетическую силу, причем в точке, где термокинетическая сила максимальна, в 9 раз. Как полная сила f = f^t + fth> так и ее компоненты в этом диапазоне толщин отрицательны. Это означает, что ускорение плазмы происходит в направлении отрицательных значений х. Для области значений толщины больше 53 мкм нелинейная сила уже имеет положительный знак (она направлена в сторону положительных значений х). Поскольку ее абсолютное значение существенно превышает термокинетическую силу, то полная сила вплоть до значений толщины чуть больше 68 мкм также положительна. Значение данного диапазона толщин близко к толщине скин-слоя, которая в данном случае столь велика из-за того, что эффективная длина волны в этой области в 20 раз больше, чем в вакууме. Для значений толщины больше 68 мкм электронная плотность пе монотонно возрастает. Детальные динамические расчеты могут привести и к получению спада электронной плотности пе в пределах от сильно сжатой ударной волной области плазмы к области действия лазерного излучения, однако это уже выходит за рамки проводимого здесь рассмотрения.
и*
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ
Примеры, рассмотренные в §10.2, имели статический характер, поскольку они позволяют получить значения нелинейной силы только для определенной конфигурации плазмы. Для реального случая следует проводить полный расчет динамики плазмы при ее развитии во времени. Первой попыткой проведения таких расчетов были вычисления по программе Wazer [171], в которой учитывалось различие электронной и ионной температур плазмы. Единственным слабым местом данной программы было то, что лазерное излучение в плазме аппроксимировалось лишь падающей и отраженной волной, а получения общего решения для волнового поля в неоднородной плазменной короне в ней не предусматривалось. Следствием этого было получение слишком уж оптимистических результатов. Действие стоячей волны (сжимающей плазму в направлении ее узлов) приводит к быстрому росту возмущений плотности и возникновению макроскопической неустойчивости Мандельштамма— Бриллюэна (что не может быть продемонстрировано). Несмотря на это, такую аппроксимацию все же можно считать достаточно полезной, поскольку она показывает на наличие процесса с большим временем взаимодействия и значительным эффектом. Действие нелинейной силы приводит к образованию минимума на первоначально монотонном профиле плотности. За эти минимумом следует очень резкий рост плотности, вызванный сильным сжатием плазмы под действием ударной волны. Такой минимум плотности, характеризующий действие на плазму нелинейной силы, называется кавитоном. В плазме с однородным распределением температуры любое тепловое давление может привести только к такому изменению профиля плотности, при котором он остается монотонным. В этом легко убедиться с помощью следующего рассуждения. Поскольку температура лазерной плазмы пропорциональна частоте столкновений, то можно записать следующие соотношения подобия:
_пе
Т ~ v ~ сх .
гЗ/2
Вторая часть этого соотношения следует из уравнения (2.35). Поэтому для монотонной положительной термокинетической силы Э (пе кТ)/дх>0 должно выполняться очевидное соотношение
\ ^1 \ Э3 пеСх ЭТ. А
1 + ) пе > 0,
TSjT I Эх2 г5/2 Э
так как Т, пеисх — положительны (если стимулированное излучение отсутствует). Немонотонное изменение термокинетической силы можно наблюдать только в том случае, если лазерное излучение нагревает плазму на большей глубине сильнее, чем на меньшей. Однако для химически однородной плазмы это невозможно.
Результаты модельных расчетов, полученные авторами [171], приведены на рис. 10.7—10.9. В верхней части рис. 10.7 показана форма лазерного импульса, максимальное значение интенсивности которого пред- 164
Рис. 10.7. Вид профиля плотности в различные моменты времени, рассчитанный по программе WAZER [171, 224]. Форма лазерного импульса, использованная при расчетах, изображена в верхней части рисунка. Достаточно широкий максимум в области малой плотности образован под действием нелинейной силы. Минимум плотности (кавитон) и последующий подъем на профиле плотности с повышенной крутизной, также обусловленные действием нелинейной силы, впервые обнаружены при численных модельных расчетах [171]. Результаты расчета изображены штриховыми кривыми, начальный профиль плотности - сплошнойРис. 10.7. Вид профиля плотности в различные моменты времени, рассчитанный по программе WAZER [171, 224]. Форма лазерного импульса, использованная при расчетах, изображена в верхней части рисунка. Достаточно широкий максимум в области малой плотности образован под действием нелинейной силы. Минимум плотности (кавитон) и последующий подъем на профиле плотности с повышенной крутизной, также обусловленные действием нелинейной силы, впервые обнаружены при численных модельных расчетах [171]. Результаты расчета изображены штриховыми кривыми, начальный профиль плотности - сплошнойРис. 10.8. Распределение давления по глубине плазмы в момент времени 90,9 пс от начала лазерного импульса, полученное в результате расчетов по программе WAZER [171]:7 - давление вещества плазмы; 2 - давление излучения (отраженного плюс падающего); 3 - полное давлениеРис. 10.8. Распределение давления по глубине плазмы в момент времени 90,9 пс от начала лазерного импульса, полученное в результате расчетов по программе WAZER [171]:7 - давление вещества плазмы; 2 - давление излучения (отраженного плюс падающего); 3 - полное давление
Рис. 10.7. Вид профиля плотности в различные моменты времени, рассчитанный по программе WAZER [171, 224]. Форма лазерного импульса, использованная при расчетах, изображена в верхней части рисунка. Достаточно широкий максимум в области малой плотности образован под действием нелинейной силы. Минимум плотности (кавитон) и последующий подъем на профиле плотности с повышенной крутизной, также обусловленные действием нелинейной силы, впервые обнаружены при численных модельных расчетах [171]. Результаты расчета изображены штриховыми кривыми, начальный профиль плотности - сплошной
Рис. 10.7. Вид профиля плотности в различные моменты времени, рассчитанный по программе WAZER [171, 224]. Форма лазерного импульса, использованная при расчетах, изображена в верхней части рисунка. Достаточно широкий максимум в области малой плотности образован под действием нелинейной силы. Минимум плотности (кавитон) и последующий подъем на профиле плотности с повышенной крутизной, также обусловленные действием нелинейной силы, впервые обнаружены при численных модельных расчетах [171]. Результаты расчета изображены штриховыми кривыми, начальный профиль плотности - сплошной
Рис. 10.8. Распределение давления по глубине плазмы в момент времени 90,9 пс от начала лазерного импульса, полученное в результате расчетов по программе WAZER [171]:
7 - давление вещества плазмы; 2 - давление излучения (отраженного плюс падающего); 3 - полное давление
Рис. 10.8. Распределение давления по глубине плазмы в момент времени 90,9 пс от начала лазерного импульса, полученное в результате расчетов по программе WAZER [171]:
7 - давление вещества плазмы; 2 - давление излучения (отраженного плюс падающего); 3 - полное давление
полагалось равным 1016 Вт/см2. Как видно из рис. 10.9, из-за очень большого времени установления равновесия между электронной и ионной компонентами плазмы значения электронной температуры значительно выше, чем ионной. Ярко выраженный максимум ионной температуры на рисунке обусловлен адиабатическим нагревом сжатой области плазмы. Следует отметить и наличие минимума на профиле плотности, приведенном на рис. 10.7, — впервые такой характер профиля плотности был получен в [171]. Полученные результаты можно рассматривать в качестве некоторой аппроксимации решения уравнений Максвелла для плазмы в первом приближении. При получении решения в следующем приближении учитывались нелинейные зависимости от интенсивности лазерного излучения основных оптических констант, что позволило получить более точные оценки.
Точное решение уравнений Максвелла для всей области плазменной короны, в том числе и при использовании нелинейных оптических констант, уже обсуждалось в гл. 6. Слабым местом этого решения является предположение о его станционарности, что совершенно не подходит для правильной интерпретации приведенных ниже примеров взаимодействия с плазмой лазерных импульсов субпикосекундной длительности.
165
Рис. 10.9. Распределение по глубине плазмы электронной Те и ионной Т. температур, полученное с помощью программы WAZER 1171]
Однако основные свойства плазмы и самые общие черты ее нелинейного поведения достаточно хорошо видны уже и из этого решения [225, 226].
Одномерные уравнения движения плазмы содержат члены с определенными плотностями сил, различные для электронной и ионной компонент. Кроме уравнения непрерывности [см. уравнение (4.17) для обеих компонент плазмы] при таком описании используется и энергетическое уравнение (4.39), содержащее внутреннюю и внешнюю термоди
намические энергии, члены, характеризующие теплопроводность и источник энергии за счет поглощения лазерного излучения (в результате столкновительных процессов или нелинейного электродинамического движения плазмы в поле лазерного излучения).
Вычисления начинают в момент времени t = 0 для такого распределения плотности, которое соответствует плотности твердого тела, а температура имеет заданный профиль. В отсутствие поля лазерного излучения должен происходить свободный газодинамический разлет плазмы при сохранении ее полной энергии. Для вычислений на следующих временных шагах задают определенную временную зависимость интенсивности падающего лазерного излучения и для нее на каждом временном шаге получают точное стационарное решение уравнений Максвелла, в которых учтены уже фактическое распределение плотности и реальные значения показателя преломления плазмы (наличием торможения падающей волны механизмом ’’включения” взаимодействия и процессом образования отраженной волны при этом пренебрегают).
Движение плазмы на каждом последующем временном шаге (размер которого изменяют наиболее удобным образом) описывают с помощью газодинамической и нелинейной электродинамической сил. Ниже приведены два примера из нескольких обширных серий машинных расчетов, которые хорошо иллюстрируют характер наиболее типичных результатов. В обоих случаях начальная температура электронной и ионной компонент предполагалась постоянной (100 эВ) по всему объему плазмы (это может быть обусловлено, например, действием предым- пульса лазерного излучения). При этом интенсивность лазерного излучения за время 10”13 с возрастает до 2-1016 Вт/см2, причем за 5 • 10”14 с линейно, а затем после плавного перехода - в соответствии с гауссовой
Рис. 10.10. Модельные расчеты профиля интенсивности лазерного излучения в плазме. Пучок лазерного излучения падает справа на плазму с начальной температурой 100 эВ и линейной плотностью от ее значения и = 0 при х =50 мкм до и =л^ при х =0 и более высокого при отрицательных х. Точное стационарное решение уравнений Максвелла без учета запаздывания и с нелинейным показателем преломления, вид которого связан с выражением (6.59) для частоты столкновений, указывает на наличие осцилляций, обусловленных возникновением стоячей волны и диэлектрической аномалией (кривая 7). В более поздние моменты времени (Г =2 • 10~13 с) интенсивность лазерного излучения возрастает до 2 • 1016 Вт/см2 (кривая 2), причем относительная аномалия сохраняется, но в этом случае интенсивность лазерного излучения при х=0засчет поглощения существенно ослабляется [1]
зависимостью. После достижения значения 2 1016 Вт/см2 интенсивность лазерного излучения остается постоянной.
При отрицательных значениях х начальная плотность плазмы квадратично возрастает от критической до плотности жидкого дейтерия. Затем, как показано на рис. 10.10, зависимость изменения плотности плавно переходит в линейный спад, который продолжается вплоть до значения толщины 50 мкм. Результирующая зависимость для плотности потока импульса электромагнитного излучения (Е2 + Я2)/8тг представлена на рис. 10.10 (здесь и ниже эта величина выражена в единицах СГС). Кривая 1 приведена для более ранних моментов времени, когда интенсивность лазерного излучения составляет еще всего около 2-1014 Вт/см2. В достаточно тонком слое плазмы (х = 50 мкм) величина Е2 +Н2 остается постоянной. При толщине около 20 мкм обнаруживаются осцилляции величины Е2 *Н\ амплитуда и период колебаний которых растут при изменении толщины от 0 до 8 мкм. Наличие таких осцилляций хорошо известно из аналитических работ, в которых исследован тот же самый случай для линейного профиля плотности (см., например, [154]), но для бесстолкновительной плазмы и температуры Т = 0. Рост величины |Е2 + Н2 | вблизи х = 0 обусловлен диэлектрическими свойствами плазмы.
Рост напряженности электрического поля лазерного излучения и длины его волны (10.12) в плазме по сравнению с их значениями Ev и Хо для вакуума задается диэлектрической аномалией S = | и Г1 > 1:
|Е| =EvS = Eol\n\, (10.13) где п - комплексный показатель преломления плазмы, определенный в рамках описания электромагнитного поля в ВКБ-приближении. В случае, описываемом на рис. 10.10, кривая 7, при длине волны 1,3 мкм параметры плазмы достаточно хорошо согласуются с условиями ВКБ-приближения, а диэлектрическая аномалия М"1 = 6, определенная из рис. 10.10, совпадает со значением, вычисленным исходя из реальных значений показателя преломления.
Для более поздних моментов времени происходит почти параллельный сдвиг кривой 7 в сторону более высоких значений плотности потока. Однако вблизи критической плотности (при х = 0) такой сдвиг выражен значительно слабее. Характер изменения спада интенсивности лазерного излучения в плазме хорошо отражает кривая 2 на том же рисунке. Видно, что в сравнительно редкой плазме интенсивность падает достаточно медленно - при изменении толщины плазмы от 50 до 20 мкм — всего в 10 раз. В более плотной плазме такой спад происходит значительно быстрее - при изменении толщины от 20 мкм до 0 - почти в 1000 раз. Причина такого поведения достаточно ясна. Скорость сжатия плазмы стоячей волной в направлении своих узлов достигает 107 см/с при х 48 мкм, а газодинамическая скорость к тому же моменту времени составляет всего 103 см/с или даже меньше. Это довольно хорошо видно из рис. 10.10, б.
Как пдказано в верхней части рис. 10.11, первоначально линейный профиль плотности в диапазоне толщин от 46 до 50 мкм приобретает осциллирующий характер. Медленное нарастание плотности в этой области обусловлено чистым движением под действием нелинейной силы. Энергия ионов при этом растет (от начальной энергии Е = 100 эВ), осциллируя в противофазе с плотностью, ,и достигает 200 эВ. Что же касается электронной компоненты, то для нее в этой области наблюдается совершенно удивительный эффект: рост электронной температуры составляет лишь пятую часть ионной, что можно было бы объяснить бесстолкновительным ударным сжатием, однако периодичность осцилляций для электронов совершенно явно отличается от периодичности осцилляций ионной температуры. При значениях толщин вблизи 20 мкм периодичность осцилляций электронной температуры уже снова становится меньше ионной.
Наличие осцилляций плотности позволяет объяснить сильный спад интенсивности лазерного излучения при его прохождении в плазме в последующие моменты времени. Осцилляции плотности вызывают сильное отражение света с последующим преобразованием световой энергии в энергию ионной компоненты плазмы за счет бесстолкновительных ударных волн в области осцилляций. Поскольку такой процесс динамического поглощения света ионной компонентой плазмы не связан с 168
Рис. 10.11. Расчетные профили плотности и температуры плазмы. Профиль плотности, рассчитанный для тех же условий, что и кривая 2 на рис. 10.10 (сплошная кривая) , так же указывает на наличие осцилляций, связанных с действием нелинейной силы, ’’сгребающей” плазму к узлам стоячей волны (штриховой линией показан начальный профиль плотности). Соответственно, за счет динамического сжатия происходит и рост электронной и ионной температур плазмы [1 ]
’’распадом” фотонов на микроскопические акустические моды, он получил название ’’бесстолкновительный нагрев ионов за счет макроскопического динамического ионного распада под действием нелинейной силы” (MDID). Следует отметить, что спад интенсивности лазерного излучения во внутренних областях плазмы становится заметным лишь после того, как в профиле плотности плазмы появляются ярко выраженные максимумы и минимумы (осцилляции плотности).
Достаточно очевидной идеей является мысль начать такое рассмотрение с использования модифицированного профиля плотности, когда изменение интенсивности лазерного излучения вблизи критической плотности приводит за счет изменения энергии электронных колебаний е0$с(^)> определяющих температуру плазмы [см. (6.57)], к изменению фактического значения нелинейного показателя преломления и. Из рис. 10.10 хорошо видно, что в области вблизи 1,3 мкм абсолютный показатель преломления практически равен его действительной части (которая определяется фактическим значением плотности плазмы), в то время как его мнимая часть (которая определяется температурой) пре-
Рис. 10.12. То же, что и на рис. 10.10, но для профиля плотности, имеющего следующий вид: линейный спад от л^с при х = 0 до 10^ Пс при х = 10 мкм, затем рост до 10 п^ при х =20 мкм и спад до нуля ттои х =50 мкм. К моменту времени t = = 5 • 10-15 с наблюдается рост величины (Е2 + Н2)/8яв 31,2 раза. При t = 1(Г13 с вновь достигается постоянная интенсивность лазерного излучения, равная 2 х х 101 Вт/см2 (затем наблюдается ослабление интенсивности из-за наличия динамического поглощения при t = 2 • 10~13 с). Диэлектрическая аномалия составляет S К ^ 400 [1]
небрежимо мала. Поэтому машинные вычисления проводятся для такого профиля плотности, который в надкритической области не изменяется, а в подкритической изменяется линейно: в диапазонё значений от 0 до 10 мкм — от критической до 1-10”6 от критической плотности, затем при увеличении х до 20 мкм — до 0,99 от критической плотности и, наконец, линейный спад плотности до нуля при х = 50 мкм. На рис. 10.12 показан ход зависимости величины (Е2 + Н2)/8я при интенсивности лазерного излучения 1015 Вт/см2 для моментов времени 0,5 • 10”14, 10”13 и 2 • 10”15 с. Первоначальное значение диэлектрической аномалии принимается равным
5 = (лГ1 =31,2,(10.14)
что обусловлено диэлектрическими свойствами для такого профиля плотности. Небольшой спад кривой в области х = 20 мкм для момента времени 0,1 пс указывает на наличие определенной тенденции к общему спаду зависимости вследствие осцилляций плотности. Однако локальные максимумы и минимумы величины Е2 + Н2 чередуются достаточно быстро, и в момент времени 0,2 пс значение диэлектрической аномалии 5 = 170
Рис. 10.13. Вид начального профиля плотности и вид профилей плотности в последующие моменты времени, показывающие на наличие движения плазмы в сторону ее внутренних областей при х < 14 мкм [74]
= И"1 уже достигает 400. Динамическое изменение плотности плазмы вблизи х = 20 мкм показано на рис. 10.13. Из-за того что толщина надкритической области (около 1 мкм) по сравнению с фактичес
ким значением эффективной длины волны, составляющим более 20 мкм, мала, то к моменту времени 0,2 пс в области плазмы вблизи 20 мкм начинает сильно проявляться определенное явление, напоминающее туннелирование электромагнитного поля сквозь сверхкритическую область плазмы.
Результирующий профиль скоростей в момент времени 0,2 пс показан на рис. 10.14. Сжатие плазмы между значениями х = 2 мкм и х = 14 мкм происходит со скоростью в 4-107 см/с, которая в последующие моменты времени существенно не изменяется, хотя при х = 50 мкм скорости все еще изменяются (осциллируют). Ионная температура при х = 50 мкм в результате столкновительных процессов сильно возрастает и вновь значительно превышает электронную температуру, что вполне соответствует уже упоминавшемуся процессу макроскопического динамического ионного поглощения. Достаточно удивительное явление было обнаружено в диапазоне толщин от 20 до 28 мкм: температура электронов во много раз превышает температуру ионов и испытывает при этом нерегулярные осцилляции. Можно предположить, что продольное ускорение электронов обусловлено действием нелинейной силы, когда они сравнительно слабо взаимодействуют с ионами, подобно горячим электронам в твердых телах при больших напряженностях электрического поля. Это явление динамического электронного поглощения получило название ’’бесстолкновительный нагрев электронной компоненты плазмы за счет вызванного действием нелинейной силы макроскопического динамического электронного распада” (MDED).
Наблюдавшиеся эффекты в высшей степени чувствительны к изменениям интенсивности / лазерного излучения и профиля плотности. В оптимальном случае при плотности потока лазерного излучения 4 х хЮ16 Вт/см2 и идентичных временных профилях и профилях плотности энергия лазерного излучения, падающая на единицу площади, см2,составляет 4,1 кДж за 0,2 пс. При этом в кинетическую энергию плазмы в области фронта сжатия от х =— 2 мкм до х = 14 мкм переходит 0,96 кДж поглощенной энергии, 0,68 кДж уносится в виде чисто кинетической энергии испаренной части плазмы, а 2,2 кДж уходит на динамический нагрев электронной и ионной компонент плазмы. Остаток энергии, рав-
Рис. 10.14. Температуры ионов (при х =48 мкм) и электронов (прих = 20 мкм) в момент времени t = 2 • 1СГ13 с. Зависимость скорости плазмы от ее глубины показывает, что между х = -4 и х = 14 мкм происходит сжатие плазмы со скоростью v > > 5 • 107 см/с, затем - расширение с последующим попеременным сжатием и расширением, обусловленным действием поля стоячей волны [1]
ный 0,61 кДж, приходится на процессы отражения и столкновительного нагрева электронной компоненты плазмы.
Динамическое описание плазмы в рамках рассмотренной численной модели для излучения неодимового лазера с интенсивностью более 1016 Вт/см2 показывает, что в ней происходят следующие процессы.
За счет диэлектрических свойств плазмы происходит сильный рост электромагнитного поля лазерного излучения и эффективной длины его волны, который характеризуется фактором 5 = |лГ1, диэлектрической аномалией, достигающей 400 (здесь п - параметр, полученный из точного решения уравнений Максвелла, идентичный комплексному показателю преломления в ВКБ-приближении).
Сжатие плазмы под действием нелинейной силы происходит на глубине 15 мкм со скоростью 6-107 см/с. В механическую энергию в области фронта сжатия переходит примерно 43% энергии падающего на плазму лазерного излучения.
Во всем объеме плазмы с плотностью ниже критической под действием нелинейной силы образуются осцилляции плотности с характерными скоростями 107 см/с и выше. Это явление позволяет объяънить механизм образования нейтронов в периферийных областях плазменной короны. Наличие осцилляций плотности приводит и к снижению проникновения лазерного излучения в плазму плотностью существенно ниже критической.
Осцилляции плотности могут быть подавлены в результате селективного профилирования плотности плазмы и временной зависимости интенсивности лазерного излучения.
172
В области осцилляций плотности преимущественным механизмом преобразования энергии лазерного излучения в энергию ионной компоненты плазмы в области градиентов плотности является образование бесстолкновительной ударной волны, MDID.
При почти постоянной плотности плазмы вблизи критического значения энергия лазерного излучения передается преимущественно электронной компоненте плазмы (механизм MDED).
.4. НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Обычно экспериментальное изучение нелинейной силы нацеливают на получение прямых данных о ее свойствах. Однако, если имеются непрямые данные, как, например, представленные на рис. 1.4, такой подход практически ничего не дает. Конечно, нелинейное поведение ионов с энергией порядка 103 эВ в определенной части плазмы - факт вполне красноречивый, но судить при этом о наличии необходимой интенсивности лазерного излучения, превышающей порог возникновения нелинейных явлений, описанных в гл. 9, (возникающей, например, в результате самофокусировки или других явлений), можно лишь косвенным образом.
Впервые прямое действие нелинейной силы на плазму было показано на примере возникновения кавитонов при облучении плазмы СВЧ-излучением. При этом были непосредственно измерены характеристики испускаемых плазмой быстрых ионов и аномальный рост (в 700 раз!) напряженности электрического поля электромагнитной волны в плазме. Эти измерения, проведенные авторами [227, 228], являющиеся одним из примеров тончайших экспериментов, показаны на рис. 10.15. При этом столб плазмы высотой 4 м с почти линейно возрастающей плотностью был помещен в поле электромагнитного излучения с частотой 1 ГГц и мощностью в 40 кВт. Были зарегистрированы быстрые ионы, импульс которых противоположен направлению распространения электромагнитного излучения. Поскольку время взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой было слишком коротким для сколько-нибудь значительного столкновительного нагрева ионной компоненты плазмы, ионная температура плазмы по порядку величины не превышала нескольких электрон-вольт. Энергия же зарегистрированных ионов была значительно больше ионной температуры.
Первое экспериментальное наблюдение действия нелинейной силы при облучении плазмы лазерным излучением было описано в [229] (рис. 10.16). Последующие оценки, проведенные в рамках рассмотренной выше теории, оказались в полном согласии с результатами измерений.
О наблюдении кавитона, образованного в результате действия нелинейной силы (подобного наблюдавшемуся в [227]), в отраженном свете для неодимового лазера впервые было сообщено авторами [230], а для СО2-лазера — в [231] (рис. 10.17 и 10.18 соответственно). Подобные же результаты, а также наличие радиального кавитона, изображенного на рис. 10.15, получены и в экспериментах, описанных в [232].
173
Рис. 10.15. Пространственно-временное представление ионных всплесков (отмечены штриховыми линиями), созданных под действием нелинейной силы. Спады плотности возникли из-за ’’выталкивания” ионов этой силой [227]:1 - источник излучения (40 кВт, 1 ГГц); 2 - анализаторы энергии ионов; 3 - диаграмма углового распределения ускоренных ионовРис. 10.15. Пространственно-временное представление ионных всплесков (отмечены штриховыми линиями), созданных под действием нелинейной силы. Спады плотности возникли из-за ’’выталкивания” ионов этой силой [227]:1 - источник излучения (40 кВт, 1 ГГц); 2 - анализаторы энергии ионов; 3 - диаграмма углового распределения ускоренных ионовРис. 10.16. Относительное изменение интенсивности света в области фокуса, отражающее действие нелинейной силы; р =53,3 Па, В =0,5 Тл, е/ = = 100 А: • - теория; о - эксперимент. Точность измерений 5% [156]Рис. 10.16. Относительное изменение интенсивности света в области фокуса, отражающее действие нелинейной силы; р =53,3 Па, В =0,5 Тл, е/ = = 100 А: • - теория; о - эксперимент. Точность измерений 5% [156]Рис. 10.17. Профиль электронной плотности плазмы через 2 нс после начала облучения лазерным импульсом, полученный при исследовании каждой
Рис. 10.15. Пространственно-временное представление ионных всплесков (отмечены штриховыми линиями), созданных под действием нелинейной силы. Спады плотности возникли из-за ’’выталкивания” ионов этой силой [227]:
1 - источник излучения (40 кВт, 1 ГГц); 2 - анализаторы энергии ионов; 3 - диаграмма углового распределения ускоренных ионов
Рис. 10.15. Пространственно-временное представление ионных всплесков (отмечены штриховыми линиями), созданных под действием нелинейной силы. Спады плотности возникли из-за ’’выталкивания” ионов этой силой [227]:
1 - источник излучения (40 кВт, 1 ГГц); 2 - анализаторы энергии ионов; 3 - диаграмма углового распределения ускоренных ионов
Рис. 10.16. Относительное изменение интенсивности света в области фокуса, отражающее действие нелинейной силы; р =53,3 Па, В =0,5 Тл, е/ = = 100 А: • - теория; о - эксперимент. Точность измерений 5% [156]
Рис. 10.16. Относительное изменение интенсивности света в области фокуса, отражающее действие нелинейной силы; р =53,3 Па, В =0,5 Тл, е/ = = 100 А: • - теория; о - эксперимент. Точность измерений 5% [156]
вспышки различными методами:
1 - интерферометрия на длине волны X =0,53 мкм; 2 - рентгеновская спектроскопия; 3 - спектроскопия на длине волны X = 0,53 мкм; 4 - отражение на длине волны X = 0,6943 мкм [230]
Рис. 10.18. Зависимость осевого распределения электронной плотности плазмы (вдоль оси лазерного пучка) от расстояния до первоначальной поверхности плазмы у в различные моменты времени. В правом верхнем углу рисунка показана зависимость масштабной длины L — г^ ^пеМхУХ плато электронной плотности от времени с момента начала лазерного импульса СОз-лазера [231]
Стабильность таких образований в плазме — кавитонов, исследовалась теоретически [233] и экспериментально [234]. Особенности нелинейной силы, связанные с генерацией быстрых ионов, обсуждались авторами многочисленных работ (см., например, [235—240]), в том числе и для таких случаев, когда самофокусировка лазерного излучения происходить не могла. Во всех случаях энергии быстрых ионов по порядку величины хорошо совпадали с оценками, полученными в рамках теоретического описания нелинейной силы.
103. УСКОРЕНИЕ МАССИВНЫХ ФРАГМЕНТОВ МИШЕНИ
Здесь описаны особенности распространения результатов чисто газодинамических расчетов для плоской электромагнитной волны, перпендикулярно падающей на поверхность плазмы, на случай многослойной неоднородной плазмы с учетом действия нелинейной силы и нелинейности комплексного показателя преломления. На рис. 10.10—10.14 приведены некоторые расчетные данные для очень коротких лазерных импульсов субпикосекундной длительности. Хотя в настоящее время уже получены лазерные импульсы длительностью 0,17 пс при мощности несколько гигаватт [17, 241], но тем не менее получение столь высоких
Рис. 10.19. Временная зависимость величины (Е2 + Н2)/8тг при начальной температуре плазмы То = 100 эВ и начальном профиле плотности, изображенном на рис. 10.20Рис. 10.19. Временная зависимость величины (Е2 + Н2)/8тг при начальной температуре плазмы То = 100 эВ и начальном профиле плотности, изображенном на рис. 10.20
Рис. 10.19. Временная зависимость величины (Е2 + Н2)/8тг при начальной температуре плазмы То = 100 эВ и начальном профиле плотности, изображенном на рис. 10.20
Рис. 10.19. Временная зависимость величины (Е2 + Н2)/8тг при начальной температуре плазмы То = 100 эВ и начальном профиле плотности, изображенном на рис. 10.20
интенсивностей лазерного излучения кажется с практической точки зрения нереальным.
Последующие вычисления основаны примерно на тех же допущениях, которые были сделаны при получении данных, представленных на рис. 10.10-10.14; в добавление к этому в алгоритм вычислений были введены достаточно тонкие приемы, а сами вычисления проводились в течение значительно большего времени - до тех пор, пока результаты расчетов не становились неустойчивыми. Индикатором возникновения неустойчивостей было появление в результате расчетов отрицательных значений плотности. Последовательность вычислений была задана законами сохранения энергии, поведения нелинейного импульса и переноса энергии в соответствии с общим замыслом вычислений, и, наконец, численно точным заданием особенностей солитоноподобного поведения плазмы. Профиль интенсивности лазерного импульса во всех случаях задавался функциональной зависимостью, близкой к sin2(raO, где т — некоторая постоянная, выбранная так, чтобы нарастание интенсивности до максимального значения происходило за время около 1 пс. Значения /, указанные на всех рисунках, характеризуют именно постоянный максимальный уровень такого профиля интенсивности [242 - 244].
Чтобы избавиться от необходимости учитывать при расчетах процессы отражения, образования стоячих волн, осцилляций плотности брил- люэновского типа с высокой отражательной способностью, по крайней мере для ранних стадий взаимодействия лазерного излучения с плазмой, был выбран такой начальный профиль плотности, который, предположительно, очень близок к случаю минимальной отражательной способности плазмы — рэлеевскому случаю, рассмотренному в гл. 7. Кроме того, прводилось рассмотрение только для бесстолкновительной плазмы. Включение в рассмотрение процессов столкновений может привести к образованию сверхплотной плазмы вблизи значения х = 0, если температура плазмы не превышает 100 эВ, а интенсивность лазерного излучения находится ниже порога преобладающего влияния нелинейной силы. Данные, приведенные на рис. 10.19, показывают наличие эко 176
Рис. 10.20. Неоднородный би-рэлеевский профиль плотности для неодимового или СО2-лазеров, соответствующий выражению (7.39). Предполагалось, что все области плазмы имеют одинаковую температуру [243]
Рис. 10.21. Образование к моменту времени t =1,5 пс единственного широкого максимума величины (Е2 + Н2)/8тг, форма профиля которого при изменении интенсивности падающего лазерного излучения сохраняется, если начальный профиль плотности имеет вид, изображенный на рис. 10.20, а температура плазмы Т =100 эВ [244]
поненциального спада интенсивности лазерного излучения начиная со значения координаты 30 мкм и ниже.
Полностью динамический расчет проводится и с учетом зависимости для изменения термокинетической и нелинейной сил. Последняя приводит к росту с течением времени прозрачности плазмы и последующему увеличению диэлектрической аномалии. Как показано на рис. 10.19, в момент времени t = 4,5 пс при значениях Е1 в области 50 мкм диэлектрическая аномалия имеет неоднозначную зависимость от Е2 и почти во всей области толщин плазмы существенно превышает соответствующие значения в более ранние моменты времени. Максимальное значение диэлектрической аномалии S = 82,2. Следует отметить, что величина (Е2 + Н2)/8я везде задана в единицах СГСЕ.
При использовании начального профиля плотности, изображенного на рис. 10.20, и начальной температуры То = 100 эВ, распределения плотности энергии и скоростей плазмы для различных интенсивностей лазерного излучения приобретают вид, показанный на рис. 10.21 и 10.22 соответственно. Как видно из рис. 10.22, результаты расчетов явно показывают на образование фрагментов плазмы, движущихся с очень высокими скоростями, превышающими 108 см/с, хотя как ионная, так и электронная температуры плазмы не превышают при этом 500 эВ. На рис. 10.22 приведены также результаты численной экстраполяции полученных данных на область интенсивности лазерного излучения 1019 Вт/см2 (штриховые кривые). В действительности результаты такой экстраполяции носят уже чисто иллюстративный характер и не имеют физического смысла, поскольку в этой области для оптических кон- 12 -Зак. 1563 1 77
Рис. 10.22. Распределения скоростей плазмы, соответствующие ходу зависимостей для плотности электромагнитной энергии, изображенной на рис. 10.21. Видно наличие фрагментов плазмы, движущихся под действием нелинейной силы в направлении внутренних областей плазмы [224]
Рис. 10.24. Распределение плотности электромагнитной энергии излучения по глубине плазмы для тех же самых начальных условий с би-рэлеевским профилем плотности при а = 2 • 104 см-1, что и проиллюстрированные на рис. 10.18, но для других моментов времени, равных 1,5 и 2,5 пс, при начальной интенсивности излучения неодимового лазера, равной 1016 Вт/см2 [243]
Рис. 10.23. Зависимость энергии £кпъ переданной плазме, от интенсивности лазерного излучения с X = = 1,06 мкм, подтверждающая нелинейную природу взаимодействия лазерного излучения с плазмой (использовалась мишень из LiH) [243]
-50 *30-10 О 10 30х,мкм
стант необходимо учитывать релятивистские эффекты, которые в алгоритм рассматриваемых вычислений включены не были.
С помощью достаточно простых приближенных оценок можно показать, что при интенсивности лазерного излучения 1018 Вт/см2 скорости ионов, превышающие 10 см/с, вполне достижимы. Используя данные, приведенные на рис. 10.21, и достаточно очевидные соотношения
fNL = mini а = ix — (Е + Н)/8тг;(10.15)
Эх
a = iz L аКе^нЪ/8.1,(|016)
пцщАх
можно оценить ускорение, возникающее под действием нелинейной силы. Для D-T-плазмы массы ионов составляют 1,67-10”24 и 2,5-10”24 г. Зная критическую плотность плазмы для излучения неодимового лазера и значение А [ (Е2 + И2)/8 я] на длине 5 мкм, равное 10 СГСЕ, находим |а| = 4,79-1020 см/с2. Если предположить, что в течение времени t = 1,5 пс ускорение остается примерно постоянным, то за это время скорость достигает значения 7,1-108 см/с. Учитывая, что ускорение с течением времени возрастает, можно найти и достаточно простое объяснение зависимостей, приведенных на рис. 10.11.
Полную кинетическую энергию, переданную плазме в диапазоне ее толщин от Xj до х2, можно вычислить по следующей формуле:
Х1 т; п; (х) .
Е= /v^x^dx.(10.17)
^2-х1;(12
Рис. 10.25. Вид профилей скоростей плазмы для тех же случаев, что и на рис. 10.24Рис. 10.25. Вид профилей скоростей плазмы для тех же случаев, что и на рис. 10.24Рис. 10.26. Вид осцилляций плотности, возникающих в результате осцилляций скоростей плазмы, приведенных на рис. 10.25 [243]Рис. 10.26. Вид осцилляций плотности, возникающих в результате осцилляций скоростей плазмы, приведенных на рис. 10.25 [243]
Рис. 10.25. Вид профилей скоростей плазмы для тех же случаев, что и на рис. 10.24
Рис. 10.25. Вид профилей скоростей плазмы для тех же случаев, что и на рис. 10.24
Рис. 10.26. Вид осцилляций плотности, возникающих в результате осцилляций скоростей плазмы, приведенных на рис. 10.25 [243]
Рис. 10.26. Вид осцилляций плотности, возникающих в результате осцилляций скоростей плазмы, приведенных на рис. 10.25 [243]
v2 ~/X2.v2 ~/X2.роста отдельных фрагментов плазмы, как это видно из рис. 10.28, для обоих случаев почти одинаковы. Следовательно, можно сделать вывод о том, что квадрат максимальной скорости плазмы в результате ее ускорения под действием нелинейной силы пропорционален произведению/Х2,т.е.
v2 ~/X2.
v2 ~/X2.
(10.19)
Данный результат был подтвержден впоследствии после получения зависимостей для целого ряда параметров плазмы: энергии быстрых ионов, 180
Рис. 10.27. Распределение плотности электромагнитной энергии по глубине плазмы в момент времени t = 1,5 пс для различных интенсивностей излучения неодимового (штриховая кривая) и (Х>2 (сплошная кривая) лазеров
нальны энергии колебаний нерелятивистского случая [см. уравнениенальны энергии колебаний нерелятивистского случая [см. уравнение(6.56)], или(6.56)], или^osc ~•^osc ~•
нальны энергии колебаний нерелятивистского случая [см. уравнение
нальны энергии колебаний нерелятивистского случая [см. уравнение
(6.56)], или
(6.56)], или
^osc ~•
^osc ~•
Рис. 10.28. Вид профилей скорости в момент времени t =1,5 пс для того же случая, что и на рис. 10.27 [243]
Рис. 10.29. Профили плотности для излучения неодимового лазера (штриховая кривая) и для СО2-лазера (сплошная кривая) в момент времени t = 1,5 пс. Оба профиля наглядно демонстрируют наличие кавитона [243]
испускаемых лазерной плазмой, соответствующей ’’нелинейной температуры” и некоторых других нелинейных величин [245]. Объяснение данной зависимости очень простое: все перечисленные параметры, а также и сама величина нелинейной силы [см. уравнение (9.23)] пропорцио
(10.20)
Это позволяет объяснить результаты, полученные в [245] в результате очень сложных и дорогостоящих экспериментальных исследований.
10.6 СОЛИТОНЫ
Описанное выше изменение плавных профилей плотности плазмы и энергии электромагнитного излучения при достаточно больших временах взаимодействия лазерного излучения с плазмой на осциллирующие (см. рис. 10.24-10.29) наводит на мысль о возможности разви- 181
гия солитонов при такой динамике плазмы. Очень похоже, что описываемый процесс поглощения лазерного излучения плазмой носит солитоноподобный характер, который определяется уравнением Кортеве- га—де Врийе, все следствия из решения которого достаточно хорошо известны. Это было показано и в результате численных оценок, полученных при модельных расчетах на ЭВМ, аналогичных приведенным на рис. 10.24- 10.26.
Уравнению Кортевега—де Врийе (КдВ) соответствует достаточно большое число разнообразных физических процессов, имеющих солитоноподобный характер. Если некоторая система находится в таких условиях, которые соответствуют применимости для ее описания уравнения КдВ, то ее свойства, характеризуемые решением уравнения КдВ, имеют устойчивый характер. Однако, чтобы прийти к таким условиям или отклониться от них, необходимо наличие каких-либо диссипативных процессов — например, поглощения или переноса энергии. В рассмотренных случаях диссипативные процессы были связаны с действием нелинейной силы.
Один из наиболее известных и хорошо изученных примеров солитонов — акустические волны в плазме. Описание таких солитонов с помощью уравнения КдВ для ионно-акустических волн в плазме дает хорошее согласие с экспериментальными данными [246] :
dddrdrЭИ; 4- XdrЭИ; 4- Xdrd , d3=_^ — ni btЭх3d , d3=_^ — ni btЭх3(10.21)(10.21)
d
d
dr
dr
Э
И; 4- X
dr
Э
И; 4- X
dr
d , d3
=_^ — ni btЭх3
d , d3
=_^ — ni btЭх3
(10.21)
(10.21)
где п* — ионная плотность плазмы. Здесь использована дисперсионная функция д' или должен быть добавлен член, характеризующий действие нелинейной силы. Для уже рассмотренных случаев нелинейного взаимодействия лазерного излучения с плазмой был проведен ряд численных оценок, которыми можно воспользоваться и в данном рассмотрении. Предположим, что скорость плазмы равна v. Тогда, в соответствии с уже описанным видом уравнения КдВ,
d. d ,V + V V =-цSt Sxd. d ,V + V V =-цSt Sxd3 V. Эх3d3 V. Эх3(10.22)(10.22)
d. d ,
V + V V =-ц
St Sx
d. d ,
V + V V =-ц
St Sx
d3 V. Эх3
d3 V. Эх3
(10.22)
(10.22)
Эти солитоны являются солитонами ’’скоростного типа”, а не ионноакустическими, как в уравнении (10.21). Левую часть уравнения (10.22) можно интерпретировать как ускорение, приобретаемое под действием силы плотностью f:
1, df = V + V mini St1, df = V + V mini St— v.Sx— v.Sx(10.23)(10.23)
1, d
f = V + V mini St
1, d
f = V + V mini St
— v.
Sx
— v.
Sx
(10.23)
(10.23)
Для получения численных оценок такого же типа, как на рис. 10.24— 10.26, значение f следует сопоставить с соответствующей величиной в уравнении (10.23):
(10.24)(10.24)f =- Vp + v (Е2 + Н2) /8тг
(10.24)
(10.24)
и с третьей производной v по пространственной координате в уравнении (10.22). Оказывается, что такие оценки могут находиться в согласии друг с другом только в том случае, если газодинамическое давление р пренебрежимо мало и в рассмотрение включена нелинейная сила, связанная с напряженностями электрического Е и магнитного Н полей. Должен быть учтен и вклад энергии за счет излучения, основанный на нелинейной зависимости оптических констант от интенсивности излучения [242, 243]. Все это результируется примерно в таких же зависимостях, как и приведенные на рис. 10.24- 10.26.
Численные расчеты на основе этих результатов показывают солитоноподобный характер и уравнения (10.22). Для проверки существования подобия или какой-либо связи приведенных уравнений, имея в виду свойства уравнения КдВ, из уравнений (10.22) и (10.24) получим следующие соотношения:
д31 V = Эх3H7TmjHjд31 V = Эх3H7TmjHj—^-(Е2 + Н2) = дх—^-(Е2 + Н2) = дхIfNL IminiIfNL Imini(10.25)(10.25)
д31
V =
Эх3H7TmjHj
д31
V =
Эх3H7TmjHj
—^-(Е2 + Н2) = дх
—^-(Е2 + Н2) = дх
IfNL Imini
IfNL Imini
(10.25)
(10.25)
Как будет показано ниже, термокинетической силой здесь следует пренебречь.
Для проведения оценочных расчетов использованы случаи, подобные изображенным на рис. 10.24— 10.26, которые характеризуются изменением первоначально плавного характера изменения плотности плазмы, плотности электромагнитной энергии или поля скоростей на нерегулярные осцилляции [247]. Оценки слагаемого Э3у/ Эх3 и правой части уравнения (10.25), проведенные с помощью численного дифференцирования, показаны на рис. 10.30. Хорошо видно наличие ярко выраженных максимумов, характер которых примерно одинаков для обоих типов лазеров.
После получения этого результата был испытан ряд функций распределения д и найдена следующая функция, полностью удовлетворяющая соотношениям (20.25) :
(10.26)(10.26)Э/Эх( 1 - пе/пес) 1 - пе/пес
(10.26)
(10.26)
где пе - электронная плотность плазмы, а пес - ее критическая плотность. В этом можно убедиться и при сопоставлении результатов, представленных на рис. 10.30. Переходя от точки А к точке В и умножая при этом значения зависимости (Э/Эх) (Е2 + Н2)/8тг (изображенной штриховой линией) на -1/д, получим функцию того же знака, но спадающую к точке В до нулевого значения, как и Э3у/Эх3. Из-за наличия особых точек у функции 1/д [выражение (10.26)] при умножении на нее зависимости, изображенной штриховой линией, получаются те же самые значения особых точек, которые совпадают и с особыми точками зависимости д3у/Эх3, например, точка С. Ту же процедуру можно провести и при переходе от точки С к точке Е, и так далее
(штриховая линия), полученные в результате численных расчетов взаимодействия лазерного излучения с плазмой [247], и их сравнение с профилем образующихся осцилляций плотности. При введении специальной функции распределения (10.26) поведение плазмы приходит в соответствие с условиями, характерными для уравнения КдВ [266](штриховая линия), полученные в результате численных расчетов взаимодействия лазерного излучения с плазмой [247], и их сравнение с профилем образующихся осцилляций плотности. При введении специальной функции распределения (10.26) поведение плазмы приходит в соответствие с условиями, характерными для уравнения КдВ [266]
(штриховая линия), полученные в результате численных расчетов взаимодействия лазерного излучения с плазмой [247], и их сравнение с профилем образующихся осцилляций плотности. При введении специальной функции распределения (10.26) поведение плазмы приходит в соответствие с условиями, характерными для уравнения КдВ [266]
(штриховая линия), полученные в результате численных расчетов взаимодействия лазерного излучения с плазмой [247], и их сравнение с профилем образующихся осцилляций плотности. При введении специальной функции распределения (10.26) поведение плазмы приходит в соответствие с условиями, характерными для уравнения КдВ [266]
В пределах точности проведенных численных расчетов показано, что уравнение
— v +V — V = —i—(Е2 + Н2)(10.27)
Эг Эх Вптциц Эх
полностью идентично уравнению КдВ (10.22) [ограниченному положительными значениями скобок в выражении (10.26)]; в других случаях следует использовать более общий вид выражения (10.26), который приводит к уравнению
V + V Vdt ЭхV + V Vdt Эх(10.28)(10.28)din е' Э3 V.
V + V Vdt Эх
V + V Vdt Эх
(10.28)
(10.28)
Э* Эх3
В нем необходимо использовать действительную часть диэлектрической постоянной е’:
(10.29)(10.29)€ = €fA-ieM; е’= 1 - coplco2 = \ - пе/пес.
(10.29)
(10.29)
где сор — плазменная частота; со — частота лазерного излучения. В об- 184
ласти уже упоминавшихся особых точек проиллюстрированных функциональных зависимостей точность численных вычислений очень низка, хотя и совпадение положения данных точек очень хорошее. Вблизи точек В и D точность вычислений довольно высока, что свидетельствует об отсутствии мнимой части диэлектрической проницаемости е.
Наличие корреляций в поведении решений уравнений (10.27) и (10.28) в определенные моменты времени является доказательством устойчивости их численного решения, процедура которого описана ниже. Более того, как уже предполагалось, по сравнению с нелинейной силой газодинамическое давление в выражении (10.24) пренебрежимо мало. Единственным не вполне понятным моментом для данного результата является тот факт, что дисперсионным фактором является не сама диэлектрическая постоянная, а лишь логарифмическая производная ее действительной части. Однако подобие выражения Э (Ine)/Эх соответствующим выражениям, полученным в теории резонансного поглощения [248], не является неожиданным. Подобно попыткам объяснения осцилляций плотности [242, 249], уже описанным в данной главе, такое явление структурного резонанса [250, 251] и попытки его интерпретации также очень важны.
Следует отметить, что для более ранних стадий взаимодействия лазерного излучения с плазмой какие-либо корреляции, а тем более подобие уравнению КдВ, становятся невозможными. Переход от этого случая к рассмотренному случаю образования в плазме солитона обусловлен возникновением макроскопического поглощения без термализации за счет действия нелинейной силы [252].
Для получения более обширной количественной информации о процессах, связанных с образованием солитонов в плазме, авторами [253] были проведены расчеты с теми же самыми параметрами, что и для данных, приведенных на рис. 10.24, но с би-рэлеевским начальным профилем плотности плазмы при переменном параметре а. При относительно малых а, например а = 10"3 см"3, до момента времени t = 3 пс во всей плазме толщиной около 100 мкм ее плотность не достигает критического значения. Это означает, что ослабление электромагнитного излучения происходит только в результате обычного или нелинейного поглощения и образования волнового поля с высокой отражательной способностью (стоячей волны). Весьма примечательно, что к моменту времени t = 2 пс профили нелинейной силы и производных от скорости плазмы приблизительно следуют описанию КдВ (рис. 10.31), но в области меньших времен на всем протяжении плазмы от 40 до 50 мкм — соответствуют описанию с помощью уравнения Бенджамина-Оно [254]:
Э/ Эх Эх2 Эх 8 тг
где преобразование Гилберта Н должно быть единичным. Для более детального анализа и более глубокого понимания причин возникновения в плазме за счет диссипативных процессов областей солитоноподобного характера необходимо получение значительно большего количества численных данных.
Рис. 10.31. Зависимости, полученные для тех же условий, что и на рис. 10.24 - 10.26, при I = 1016 Вт/см2 и X — 1,06 мкм, но дляа = 103 см 3. Периферийная часть плазмы от 43 до 49 мкм характеризуется поведением, достаточно близким к уравнению КдВ [253]
Результаты, полученные в настоящем параграфе, позволяют сделать следующие выводы. На основе результатов численных модельных расчетов и экспериментальных данных показано, что за счет действия нелинейной силы может происходить преобразование световой энергии в кинетическую энергию достаточно массивных быстродвижущихся фрагментов плазмы без их нагрева. Такое достаточно эффективное преобразование энергии лазерного излучения в кинетическую энергию сжимаемой плазмы является основой концепции высокоэффективного процесса лазерного термоядерного синтеза [255]. Она позволяет избавиться от всех трудностей и сложных проблем, связанных с особенностями поглощения лазерного излучения плазмой, преобразования и переноса поглощенной энергии и других проблем, характерных для современного состояния исследований по проблеме лазерного термоядерного синтеза [255], но вместе с тем требует использования значительно более совершенной лазерной технологии (более коротких и более точных по всем остальным параметрам импульсов лазерного излучения). Однако процесс распада солитона обеспечивает значительно более быстрое преобразование энергии лазерного излучения в тепловую энергию ионной компоненты плазмы в плазменной короне термоядерной мишени, чем столкновительные процессы с кулоновским взаимодействием частиц плазмы [см. (10.8) ]. Все это позволяет надеяться на возможность распространения основных положений схемы газодинамического абляционного сжатия термоядерных мишеней, предложенной в [219], на более важный с практической точки зрения случай использования значительно более высоких интенсивностей лазерного излучения.
Глава 11
СТРУЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
В гл. 9 и 10 рассмотрены нелинейные силы, импульс фотона, ионное энергетическое распределение, были приведены результаты некоторых чисто динамических численных расчетов процесса расширения плазмы, происходящего после лазерного облучения мишени, включая нелинейные силы и оптические эффекты. Предполагалось, что плоские волны лазерного излучения падают перпендикулярно на слоистую (неоднородную) плазму. Ниже рассмотрен случай наклонного падения плоских волн на слоистую плазму.
Здесь представляются интересными два момента. В то время как суммарное движение плазменной короны, образующейся под действием лазерного облучения, имеет направление в сторону уменьшения плотности (параллельно отрицательному градиенту плотности), и из-за закона сохранения импульса никакого движения в плоскости поверхности плазмы происходить не может, под воздействием поля стоячей волны в плазменной короне может формироваться струйное движение. Некоторые части плазмы могут двигаться в одном направлении, а другие — в противоположном, с нулевым результирующим движением. Основные формулы для этих сил, следующие из общего уравнения движения, справедливы для любых волновых полей, даже для бесконечно малого поля вдали от поворотной точки волны в короне. Но оценка волновых полей ограничена в ВКБ-приближении углом распространения волны, меньшим 50° [256].
Другой вопрос связан с оценкой классического и линейного решения для волнового поля при плотностях ниже критической. В [248, 257] было обнаружено, что в случае р-поляризации перпендикулярная плоскости плазмы компонента электрического поля достигает очень высокого максимального значения при критической плотности [258]. При наклонном падении это гораздо ниже поворотной точки, внутри области исчезающе малого волнового поля. Причина заключается в резонансе электростатических волн. Этот процесс был назван резонансным поглощением [257]. Резонансное поглощение будет рассмотрено отдельно.
СТРУЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Если направить ось х параллельно градиенту неоднородной плазмы, то при линейно-поляризованном излучении падающая под наклоном волна в случае р-поляризации описывается компонентами поля Ех, Еу и Н2. Из уравнения движения, представленного в виде выражений (8.81) или (8.82), следует, что ^-компоненту нелинейной силы можно представить в виде [256]
/nl ру = ” (5с Еу — (1 — п2)ЕХЕу ] +
8тг Эх
+ -L А[_£2+ (2п2+1)£2_//2)(11.1)
1б7Г Оу
В случае s-поляризации (вектор Е перпендикулярен плоскости падения) поле волны имеет компоненты Ех> Нх и Ну.Ъ этом случае проекция нелинейной силы на направление у имеет вид
/nlv = — ^НхНу+ — L^-H^H1^.(11.2)
z 8я Эх z 16тг Эуz
В z-направлении усредненных по времени сил нет. Проекция действующих сил на ось х была рассмотрена в гл. 8.
Для стационарного случая и частоты, соответствующей уравнению (6.19), Е находится из выражения (6.30):
, .2
ДЕ + —n2E- V—Е • Vn= 0.(11.3)
с2”
Для нахождения магнитного поля можно использовать уравнение Максвелла
Н = с V х Е.(11.4)
Очевидно, в случае s-поляризации последний член в (11.3) исчезает, так как Е имеет только z-компоненту, а показатель преломления п зависит только от координаты х. В этом случае в (11.3) можно использовать решения ВКБ-приближения (7.28) и (7.30). Исчезновение усредненной по времени ^-компоненты нелинейной силы следует из (11.2).
При р-поляризации всегда f^t = 0. В данном случае следует учитывать последний член в уравнении (11.3). Этот член связывает поперечные компоненты электромагнитной волны с продольными составляющими, появляющимися в плазме при повороте падающей под углом волны. Так как эту связь можно не рассматривать при выводе проекции результирующей силы на направление х (в сторону уменьшения плотности плазмы), соответствующий параграф в гл. 7 и 8 был опущен. В последующих рассуждениях связь продольных и поперечных составляющих будет учитываться, кроме того, для рполяризации будет использоваться ВКБ-приближение волнового поля в плазменной короне. Соответствующая геометрия приведена на рис. 11.1, где показаны узлы стоячей волны и результирующие силы для струйного движения.
С учетом (11.3) для р-поляризации (индекс р в этом параграфе опущен) запишем следующие уравнения:
(И.5)(И.6)(И.5)(И.6)(П.7)(П.7)Э2 Э2 со2 2/ \^ г . ^ . 2Ех дп п+ +и2 (х) Ех + —= 0;Эх2 Эу2 с2 / Эх п Эх
(И.5)
(И.6)
(И.5)
(И.6)
(П.7)
(П.7)
2^х Э пп Эх
Представим Ех и Еу в виде
^х = ^хх(х)^хуО); Еу = еух (х)вуу (у).
Рис. 11.1. Схема формирования движения плазмы вдоль фиксированных узлов стоячей волны (струйное течение), образующееся в результате взаимодействия плоской р-поляризованной волны, падающей под унтом do на слоистую плазму с электронной плотностью Пе(х), с отраженной волной. Стрелками изображены усредненные по пространству силы
Соответствующие граничные условия для плоских волн, падающих в вакууме под углом а0 (рис. 11.1), подчиняются закону преломления:
(1L8)(1L8)sina0 = n(x) sina(x).
(1L8)
(1L8)
Из уравнения (11.5) получаем:
Э2CD2
—; еху + —4sin2a0)ex>, =0;(11.9)
Эу2с2
—- ехх + — п2 (х) cos2a (х)ехх + 2 е^ = 0.(11.10)
Эх2с2Эх dx
Разделим переменные в уравнении (11.6), для этого введем соотношение
„_ „ sina (х)
£хх — €уХ у cosa(x)
(1111)(1111)как и в случае однородной плазмы. В результате разделения переменных получаем:
(1111)
(1111)
-^Т еух + ^т "2 1е082 ° (х)1 еух = °>(11-12)
Эх2 с2
~7 еУУ + ~ (siH2ao) ^>, + 2tga(x) —т~еху = 0.(11.13)
Эу2 с2dx Эу
Необходимое условие разделения переменных ж , х dlnn (х) х, ях
tga(x)= const.(11.14)
Эх
Используя константы интегрирования Сп (и = 1, 2, ...), запишем точное решение уравнения (11.9):
еху = G cos [^(co/c)sinao] + С2 sin [у (со/с) sin а0].(11.15)
Решение уравнения (11.10) дано в предположении справедливости предпосылок ВКБ-приближения. Последний член в уравнении (11.10) мы не учитывали, так как он не описывает никаких сил, действующих в направлении у. Однако это справедливо только на данном этапе, во всех остальных случаях последним членом соотношения (11.10) пренебрегать нельзя:
ехх = [n(x)cosa(x)]-1/2 [C3cos (Gx) + С4 cos(Gx)],(11.16)
где
X
Gx=-- J n(Ocosa(O^-(U.17)
c
ВКБ-приближение уравнения (11.12) имеет вид
еуХ = [n(x) cos а (х)] ”1/2 [С5 cos (Gx) + Сб sin (Gx)].(11.18)
Подставим решение (11.15) в уравнение (11.13). Получим точное решение [202,256]:
еуу = Ci sin [.у (aVc)sina0] + С8 cos [.у (co/c)sinao] +
+ 2tga(x) ^^(w/c)(sinao)O-yo) х dx
X [С, cos (у — sina ) - С2 sin (у — sin a0)].(П-19)
Сс
Константа у0 связана с константами интегрирования.
Надо попытаться подобрать решение для неоднородной плазмы и волны, распространяющейся в вакууме под углом падения а0, с амплитудой Ev и вектором напряженности магнитного поля
Н= i 3EVcos [Gyt - (со/c^y sin a0],(11.20)
где
Gyt =- (co/c).ysinao + cot.(11.21)
Условия для нахождения констант интегрирования в случае волны с углом падения а0 определены уравнениями (11.13) - (11.16). Используя уравнение (11.5), получаем:
Ev sincr0 cos ^2 а0
Ех= (cosGxcosGyr - sinGx sinGyf) ;(11.22)
(ncos) !/2
Ev cos an cos1 ^2 an „_ x
Ey = [cos px + Gyt) +
(ncos)1/2
+ 2tg (x) И1Л^ (y-yoHsinaoXcosG^costTyt + sin G^ cos G^)] .(11.23) dxc
Решения Fx и Fy отличаются от решения в случае с вакуумом тем, что в рассматриваемом случае амплитуда изменяется в пространстве, подчиняясь зависимости от х согласно условиям ВКБ-приближения, и, кроме того, присутствием члена с сомножителем d\nn/dx, который определяет продольную компоненту вектора напряженности электрического поля по отношению к изначальному направлению распространения волны; т.е. является ’’членом продольной составляющей”, который линейно возрастает в направлении у (у0 — константа). Несмотря на то что волна предполагается бесконечной, реальные условия определяются волновым пакетом конечной ширины. В оптике эта проблема (в отличие от механического случая [257]) решается достаточно сложно. Для этого плоская волна должна быть срезана, граница уменьшения у должна соответствовать у0, чтобы продольная составляющая возрастала монотонно с одной стороны. Для упрощения выкладок можно ограничиться случаем, когда член, связанный с продольной составляющей, много меньше члена, оставшегося в скобках, в уравнении (11.23), так что
(11.24)(11.24)tg (*) —О -Jo) sin a0 = p0 < 0,30.
(11.24)
(11.24)
dx c
При таком ограничении магнитное поле в плазме можно аппроксими
ровать выражением
H = i3H = i3Еу (ncos cr0) 1 ^2Еу (ncos cr0) 1 ^2cos^acos^a(Gx + Gy) ”(Gx + Gy) ”
H = i3
H = i3
Еу (ncos cr0) 1 ^2
Еу (ncos cr0) 1 ^2
cos^a
cos^a
(Gx + Gy) ”
(Gx + Gy) ”
(11.25)(11.25). c Ev cos1 ^2a0 (0,5 - sin2a) dn ._ x
(11.25)
(11.25)
-13— sin (Gx + Gyt).
“n3/2cos3/2aЭх
Исходя из полученного выражения для плоской волны (рис. 11.1), распространяющейся под углом падения а0, можно получить поле стоячей волны, добавив волну, которая распространяется под углом, соответствующим полному отражению первой волны. Сложности, связанные с эффектом Гуса-Хеншена, не имеют существенного влияния и поэтому из настоящего рассмотрения исключаются [257].
Отраженная волна описывается выражением, аналогичным уравнениям (11.23) и (11.25), за исключением того, что знаки у Gx и Н должны быть изменены на обратные. Добавив решения для падающей и от раженной волн, запишем соотношение для стоячей волны с вектором по-
191
ляризации Е, параллельным плоскости падения (р-поляризация) в виде
Е = 2£у С°8—cos (- — $ n($)cosa(£)</£) х
(ncosa)1/2с 0
х cos (jsina0 + (orMi?sina0 + i2cosa0 x
XX(11.26)(11.26)X (1 + 2tga(x)^^ — 0-Jo)(sina0))]; dx c
X
X
(11.26)
(11.26)
e 2£v (n cos a0)x/2/ x
H = i3 sin (f n($)<
cos1/^V c
x cos ^- —ysinaor + cor j x
Ev cos1/2 a0 (0,5 - sin2 a)n3/2 cos3/2aEv cos1/2 a0 (0,5 - sin2 a)n3/2 cos3/2a(11.27)(11.27)Оценку нелинейной силы в направлении у можно провести на основе уравнения (11.1), рассмотрев в нем усредненные по координате у члены. При усреднении второй член в правой части уравнения (11.1) исчезает, так как зависимость Н2, Е^ и Еу от у определяется соотношениями, содержащими в качестве сомножителей только sin2 [у (со/с) sina0], cos2 [j(co/c)sinao] или (у-у0) sin [у(2со/с) sina0]. Дифференцирование по у приводит к исчезновению усредненных по пространству величин. Однако, если условие (11.24) не выполняется, обращения указан- ньГх величин в нуль не происходит. Учитывая первый член правой части уравнения (11.1) и уравнения (11.22) и (11.23), после усреднения по времени получимОценку нелинейной силы в направлении у можно провести на основе уравнения (11.1), рассмотрев в нем усредненные по координате у члены. При усреднении второй член в правой части уравнения (11.1) исчезает, так как зависимость Н2, Е^ и Еу от у определяется соотношениями, содержащими в качестве сомножителей только sin2 [у (со/с) sina0], cos2 [j(co/c)sinao] или (у-у0) sin [у(2со/с) sina0]. Дифференцирование по у приводит к исчезновению усредненных по пространству величин. Однако, если условие (11.24) не выполняется, обращения указан- ньГх величин в нуль не происходит. Учитывая первый член правой части уравнения (11.1) и уравнения (11.22) и (11.23), после усреднения по времени получим/nl ру “/nl ру “1 Э Еу a? sin3a0 cos2a0л Эх 2с n cos о1 Э Еу a? sin3a0 cos2a0л Эх 2с n cos ох sin / 2х sin / 2— Jn(f)cosa($M ^^- (y - Jo)- C/ OX— Jn(f)cosa($M ^^- (y - Jo)- C/ OX(11.28)(11.28)Если послеЕсли последифференцирования пренебречь членами второго и следую-дифференцирования пренебречь членами второго и следую-щего порядков в Эп/Эх, получим—1 Еу sin3a0cos2a0со2/nl sy ~ 8 тг ncos aщего порядков в Эп/Эх, получим—1 Еу sin3a0cos2a0со2/nl sy ~ 8 тг ncos aсо2 , ч din п—О'-Jo)— х с2Эхсо2 , ч din п—О'-Jo)— х с2Эхx cos(2 — J n(^)cos(|)d|).x cos(2 — J n(^)cos(|)d|).(11.29)(11.29)При постоянной х-составляющей сила линейно возрастает вдоль коорди- 192При постоянной х-составляющей сила линейно возрастает вдоль коорди- 192
Ev cos1/2 a0 (0,5 - sin2 a)n3/2 cos3/2a
Ev cos1/2 a0 (0,5 - sin2 a)n3/2 cos3/2a
(11.27)
(11.27)
Оценку нелинейной силы в направлении у можно провести на основе уравнения (11.1), рассмотрев в нем усредненные по координате у члены. При усреднении второй член в правой части уравнения (11.1) исчезает, так как зависимость Н2, Е^ и Еу от у определяется соотношениями, содержащими в качестве сомножителей только sin2 [у (со/с) sina0], cos2 [j(co/c)sinao] или (у-у0) sin [у(2со/с) sina0]. Дифференцирование по у приводит к исчезновению усредненных по пространству величин. Однако, если условие (11.24) не выполняется, обращения указан- ньГх величин в нуль не происходит. Учитывая первый член правой части уравнения (11.1) и уравнения (11.22) и (11.23), после усреднения по времени получим
Оценку нелинейной силы в направлении у можно провести на основе уравнения (11.1), рассмотрев в нем усредненные по координате у члены. При усреднении второй член в правой части уравнения (11.1) исчезает, так как зависимость Н2, Е^ и Еу от у определяется соотношениями, содержащими в качестве сомножителей только sin2 [у (со/с) sina0], cos2 [j(co/c)sinao] или (у-у0) sin [у(2со/с) sina0]. Дифференцирование по у приводит к исчезновению усредненных по пространству величин. Однако, если условие (11.24) не выполняется, обращения указан- ньГх величин в нуль не происходит. Учитывая первый член правой части уравнения (11.1) и уравнения (11.22) и (11.23), после усреднения по времени получим
/nl ру “
/nl ру “
1 Э Еу a? sin3a0 cos2a0
л Эх 2с n cos о
1 Э Еу a? sin3a0 cos2a0
л Эх 2с n cos о
х sin / 2
х sin / 2
— Jn(f)cosa($M ^^- (y - Jo)- C/ OX
— Jn(f)cosa($M ^^- (y - Jo)- C/ OX
(11.28)
(11.28)
Если после
Если после
дифференцирования пренебречь членами второго и следую-
дифференцирования пренебречь членами второго и следую-
щего порядков в Эп/Эх, получим
—1 Еу sin3a0cos2a0со2
/nl sy ~ 8 тг ncos a
щего порядков в Эп/Эх, получим
—1 Еу sin3a0cos2a0со2
/nl sy ~ 8 тг ncos a
со2 , ч din п
—О'-Jo)— х с2Эх
со2 , ч din п
—О'-Jo)— х с2Эх
x cos(2 — J n(^)cos(|)d|).
x cos(2 — J n(^)cos(|)d|).
(11.29)
(11.29)
При постоянной х-составляющей сила линейно возрастает вдоль коорди- 192
При постоянной х-составляющей сила линейно возрастает вдоль коорди- 192
наты у и пропорциональная показателям преломления п. Особенно заметно сила возрастает при плотностях, близких к граничной пес. Как показывает специальный расчет, справедливость этого условия сохраняется для большого набора длин волн в вакууме Хо = hTC, из [223]. При очень малых du)dx сила может быть тоже велика из-за достаточно высоких у. Компонента нелинейной силы /ыь ру осциллирует во времени, и параметры этих колебаний связаны с полем стоячей волны (рис. 11.1). Сила обращается в нуль в узлах и антиузлах стоячей волны, расстояние между которыми равно четверти реальной длины волны:
X* = Хо cos (х)/п. (11.30)
Между узлами сила имеет положительное или отрицательное направление относительно оси у при у > 0 и у0 < 0. Если подставить в соотношение (11.24) р0 = 0,3, то максимум (минимум) силы в единицах СГСЭ определяется выражением
/nl ру = fo =0,075 (fy /X) |n| sina0 cos2a0 . (11.31)
Результирующая плотность силы может достигать исключительно высоких значений. Ограничение а < 40° было необходимо только для развязки волн с линейной поляризацией [148]. В данном случае рассматривается только линейная р-поляризация. В реальном случае при интенсивности излучения неодимового лазера Iv = 1014 Вт/см , а = 25° и показателе преломления | и | =0,9 находим
/о = 2,25 х Ю15 Н/м3. (11.32)
Термокинетическая сила в дейтериевой плазме с температурой 100 эВ и плотностью пе = 1,9x 1020 см”3, спадающей линейно до вакуума на расстоянии 10”2 см, равна
/th = 3,2 х 1013 Н/м3. (11.33)
Неотъемлемым в выражении, описывающем нелинейную силу в направлении оси у, для волны, распространяющейся в неоднородной плазме, является нелинейный член. Без него сила, усредненная по пространству, обращается в нуль. Случай р-поляризации описывается уравнениями (11.3) и (11.4), но последний член в (11.3) исчезает. Поэтому при s-поляризации в рассматриваемом случае продольная составляющая не возникает. При выводе у-компоненты плотности нелинейной силы [уравнение (11.2)], как уже было замечено, усредненные по пространству величины исчезают, как в случае р-поляризации, когда обращается в нуль член, соответствующий продольной составляющей.
В связи с эффектом струйного течения, возникающим в плазме из-за силы, описываемой уравнением (11.2), следует обсудить несколько моментов. Помимо вопросов о том, как образуется стоячая волна и почему газодинамическое движение представляется слишком медленным для того, чтобы появилось струйное течение, следует сравнить среднюю длину свободного пробега частиц с толщиной слоев, кроме того необ- 13-Зак. 1563 193
Рис. 11.2. Критическая плотность ионов, выше которой средняя длина свободного пробега меньше толщины одного слоя. Зависимость скорости плазмы w и ионной энергии Е. ламинарного движения для двух соседних слоев от температуры Т =Т. и интенсивности излучения лазера на неодимовом стекле I [256]. Штриховая прямая - релятивистский предел
ходимо четко разграничивать ламинарное и турбулентное движения слоев.
Толщина одного слоя равна произведению четверти длины волны в вакууме на и"1 (х) cosa(x). Так как согласно рассматриваемым условиям S = 1/п < 10 и а0 < 45°, для излучения неодимового лазера можно начать с толщинойd > 2,3х 10”5 см. Средняя длина свободного пробега ионов в полностью ионизованной дейтериевой плазме
l=Vilvu.(11.34)
В частично ионизованной плазме свободный пробег ионов меньше из-за столкновений с нейтральными атомами. Для наших расчетов / из соотношения (11.34) является верхней границей, здесь г, есть тепловая скорость ионов, г/ = (2kTj/Ш(У12, а 7/ - ионная температура плазмы. Частота ионных соударений у^ = уее Qnel mtY*2 ^е ~ масса электрона) , рассчитанная по формуле Спитцера (2.37):
vu = 9х Ю'9 п(\пА/Т^2 ,(11.35)
где л,- в см-3, а Т, в эВ. Кулоновский логарифм Л просто считается рав- ным 10. Чтобы средняя длина свободного пробега / была меньшей, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
И,- > л,с = 4,4-10*7 7}2.(11.36)
На рис. 11.2 приведен график зависимости критической ионной плотности rijc от ионной температуры 7/. Плотности ниже пс в данном случае не рассматриваются.
Можно рассчитать параметры струйного движения, вызванного действием нелинейных сил (11.29), при ламинарных условиях. На расстоянии d,
d= |п| (Л0/4)cosa0,(11.37)
скорость w, соответствующая силе F и динамической вязкости 17, опре- 194
деляется следующим уравнением:
w= 2Fd/n.(11.38)
Множитель ”2” учитывает тот факт, что по обе стороны от d силы F действуют в противоположных направлениях. F — сила, приведенная к 1 см2 слоя ламинарного движения, поэтому с плотностью силы / она связана соотношением
F = fd.(11.39)
Динамическая вязкость 17 ионной жидкости с ионной температурой Tj
7? = и,- кТ, /рц .(11.40)
Тогда из уравнений (11.37) - (11.40) и (11.25) находим:
w = —Ер sin а0 cos4a0-^- ,(П-41)
107|т?| У 00 пкТ
где Ev - в В/см, Т — в эВ, а Хо — в см. Из кинетической теории газов хорошо известно, что скорость ламинарного движения не зависит от плотности. На рис. 11.2 приведена разность скоростей дейтериевой плазмы между одним максимумом и одним минимумом сил при максимальном «о = 25,5° для разумных значений |п| = 0,25, In А = 10 и различных интенсивностей излучения неодимового лазера. Соответствующие энергии ионов определяются ординатами правой части диаграммы.
Параметры струйного движения плазмы рассчитаны для ламинарных условий. Это ограничение определяется критическим числом Рейнольдса Recr, при значениях, выше которых движение становится турбулентным. При стационарных условиях и турбулентности конечные скорости слоев будут гораздо больше, чем в ламинарном случае. Турбулентное состояние имеет очень сложную природу, в этом состоянии струйное течение плазмы будет подвержено разрушительному воздействию неустойчивостей Гельмгольца-Кельвина. Тем не менее при расчете процессов в короне, наиболее сильно проявляющихся в случае р-поляризации при углах падения около 25°, следует учитывать большие скорости слоев и более интенсивную последующую термализацию.
Данные оценки, ограниченные случаем ламинарного движения, предназначены для того, чтобы дать некоторую информацию о том, какие процессы струйного движения могут происходить в короне. Необходимость ограничиться только низкими температурами плазмы является всего лишь имитацией этого случая. В реальных условиях, в режиме турбулентного движения, струйное течение будет происходить при более высоких температурах, с большими скоростями. Значение критического числа Рейнольдса
заключено между 103 и 106. Более высокий предел выглядит реалистич-
13*195
Рис. 11.3. Максимальные интенсивности излучения лазера на неодимовом стекле при максимальных плотностях ионов л/ для ламинарного случая струйного теченияРис. 11.3. Максимальные интенсивности излучения лазера на неодимовом стекле при максимальных плотностях ионов л/ для ламинарного случая струйного течения/2 3 510 20 30 7^,3 6/2 3 510 20 30 7^,3 6Рис. 11.4. Зависимость интенсивности лазерного излучения для ламинарного движения, соответствующего энергии ионов 1 кэВ, от температуры плазмы. Плотности ионов ограничены средней длиной свободного пробега и числом Рейнольдса [256]Рис. 11.4. Зависимость интенсивности лазерного излучения для ламинарного движения, соответствующего энергии ионов 1 кэВ, от температуры плазмы. Плотности ионов ограничены средней длиной свободного пробега и числом Рейнольдса [256]
Рис. 11.3. Максимальные интенсивности излучения лазера на неодимовом стекле при максимальных плотностях ионов л/ для ламинарного случая струйного течения
Рис. 11.3. Максимальные интенсивности излучения лазера на неодимовом стекле при максимальных плотностях ионов л/ для ламинарного случая струйного течения
/2 3 510 20 30 7^,3 6
/2 3 510 20 30 7^,3 6
Рис. 11.4. Зависимость интенсивности лазерного излучения для ламинарного движения, соответствующего энергии ионов 1 кэВ, от температуры плазмы. Плотности ионов ограничены средней длиной свободного пробега и числом Рейнольдса [256]
Рис. 11.4. Зависимость интенсивности лазерного излучения для ламинарного движения, соответствующего энергии ионов 1 кэВ, от температуры плазмы. Плотности ионов ограничены средней длиной свободного пробега и числом Рейнольдса [256]
нее, так как в этом случае движение слоев не нарушается за счет взаимодействия с поверхностями со стороны твердых границ. Используя уравнения (11.37) - (11.41), получаем для дейтериевой плазмы
Recr = 2,5 • 10"3 — (InA)2^ пктк = 8,7 • 10"30 (11.43) kTs Т5
где Ev — в В/см; Г - в эВ, а ионная плотность гц - в см-3. Выбрав значение числа Рейнольдса Re = З-Ю5 (это примерно в 100 раз превышает его минимальную величину), по кривым, изображенным на рис. 11.3, можно найти максимальные ионные плотности при максимальных интенсивностях лазерного излучения для различных температур, при которых выполняются условия ламинарного движения.
На рис. 11.2 и 11.3 рассмотрен случай, когда в различных слоях, участвующих в струйном ламинарном движении, достигаются скорости ионов, соответствующие энергии 1 кэВ. На рис. 11.4 сведены результаты проведенных выше рассуждений. Необходимая интенсивность лазерного излучения /1 является хорошо определенной функцией температуры плазмы. Плотность ионов гц должна быть больше ее минимального значения «mjn, которое определяется средней длиной свободного пробега / < d. Другое ограничение плотности связано с числом Рейнольдса, которое разграничивает случаи ламинарного и турбулентного движений. Реальные условия для возникновения ламинарного движения ионов с энергией 1 кэВ могут быть осуществлены для плотностей почти в 100 раз меньше критической (1021 см"3 для неодимового лазера), при умеренных интенсивностях - от 1012 до 1014 Вт/см2 и температурах ниже 20 эВ. Для лазерной плазмы это вполне реальные условия. При изменении 196
указанных ограничений может возникнуть быстрое турбулентное движение.
Теперь следует рассчитать время, в течение которого формируется струйное движение. Если пренебречь вязкостью, то при плотности силы / плазма ускоряется до скорости w:
w=ata)(11.44)
где а — ускорение .
Время ускорения а = Лгцпц. wnimiи;
(11.45)(11.45)t„ = —— = 1,11 • 1(Г29 — /г5/2|п|3
(11.45)
(11.45)
Время ускорения не зависит от интенсивности лазерного излучения /, так как w и/, согласно уравнениям (11.30) и (11.41), от / зависят линейно. В численном сомножителе в уравнении (11.41) угол падения а0 = 25°. При значении температуры Г = 20 эВ время ускорения (в секундах)
ta = 6,2 • 10~33 и,-.(11.46)
Видно, что при плотностях и,- < 1,6102° см-3 время образования струйного течения меньше 1 пс. При таких низких плотностях и высоких температурах время кулоновского рассеяния слишком велико для того, чтобы сохранились условия, при которых выполняется уравнение движения (8.77) для пространственно нейтральной плазмы. Время ta, необходимое для установления струйного движения, в том случае, если узлы стационарной волны предполагаются покоящимися в пространстве, меньше времени, которое плазма затрачивает на то, чтобы в процессе термокинетического расширения проникнуть на толщину одного слоя. При обсуждаемых интенсивностях лазерного излучения термокинетическое расширение приводит к движению плазмы со скоростями, не сильно превышающими 107 см/с. При этом, для того чтобы плазма переместилась на расстояние, равное четверти длины волны, ей необходимо менее 2 пс. Поэтому, если не создается какое-то стабильное состояние, необходимое для подавления термокинетических эффектов, в том случае, когда в процессе распространения волны образуется струйное течение, время существования этого течения ограничено только разрушительным воздействием термокинетического процесса. При р-поляризации и наклонном падении волны даже при таких низких интенсивностях, как 1013 Вт/см2, ретермализация струй плазмы с ионами, имеющими энергию около 1 кэВ, должна обнаруживаться по генерации нейтронов синтеза. В этой связи следует заметить, что нейтроны синтеза образуются даже при интенсивностях, в 100 раз меньших [258].
Дальнейший расчет чисто нелинейного поглощения в процессе струйного движения производиться не будет. При стационарных условиях можно оценить усиление энергии излучения в процессе ламинарного струйного движения слоев плазмы из-за их вязкости. Рассмотрим слой 197
толщиной d с поперечным сечением 1 мощности излучения_ 2Гга3риI = Fw= —.толщиной d с поперечным сечением 1 мощности излучения_ 2Гга3риI = Fw= —.см2. Затрачиваемая плотностьсм2. Затрачиваемая плотностьni ^TjДля оптимального угла падения 25,4° силы, определяемой уравнением (11.29) ] .. Х0/21пА 1С = 7,2 • 10"11 —.Т-'1 In Isni ^TjДля оптимального угла падения 25,4° силы, определяемой уравнением (11.29) ] .. Х0/21пА 1С = 7,2 • 10"11 —.Т-'1 In Is(11.47)(11.47)[при максимальном значении находим:[при максимальном значении находим:(11.48)(11.48)
толщиной d с поперечным сечением 1 мощности излучения
_ 2Гга3ри
I = Fw= —.
толщиной d с поперечным сечением 1 мощности излучения
_ 2Гга3ри
I = Fw= —.
см2. Затрачиваемая плотность
см2. Затрачиваемая плотность
ni ^Tj
Для оптимального угла падения 25,4° силы, определяемой уравнением (11.29) ] .. Х0/21пА 1С = 7,2 • 10"11 —.
Т-'1 In Is
ni ^Tj
Для оптимального угла падения 25,4° силы, определяемой уравнением (11.29) ] .. Х0/21пА 1С = 7,2 • 10"11 —.
Т-'1 In Is
(11.47)
(11.47)
[при максимальном значении находим:
[при максимальном значении находим:
(11.48)
(11.48)
Здесь длина волны Хо - в см; / - в Вт/см2; Т - в эВ. Для кулоновского логарифма, равного 10, Т = 10 эВ и ионной температуры 10 эВ находим/с, Вт/см2,
1С = 2,2 • 10‘1С = 2,2 • 10‘2—/2.|52—/2.|5(11.48а)(11.48а)
1С = 2,2 • 10‘
1С = 2,2 • 10‘
2
—/2.
|5
2
—/2.
|5
(11.48а)
(11.48а)
Исходя из этого, долю интенсивности излучения, поглощенную в слое толщиной d, можно рассчитать, зная отношение /с//. Поглощение на глубине одной длины волны в вакууме в 6 раз. превышает это значение. Это вполне разумные оценки, например / = 1013 Вт/см2 соответствует доле поглощенной интенсивности 1,3% на одной длине волны в вакууме, а / = 1014 Вт/см2 - 13%. О нелинейности природы поглощения можно сделать вывод по множителю I2 из уравнения (11.48). Трудно провести аналогию между описанным выше эффектом и экспоненциальными законами линейного поглощения, с другой стороны, реальность этого эффекта подтверждается заметным поглощением энергии излучения на глубине порядка нескольких длин волн. Этот процесс подтверждает также очень быструю термализацию энергии лазерного излучения при наклонном падении и р-поляризации.
Подведем некоторые итоги проведенного выше обсуждения. При наклонном падении р-поляризованного лазерного излучения струйное движение формируется в поле стоячей волны плазменной короны. Этот процесс устанавливается за время порядка нескольких пикосекунд, кроме того, у ионов плазмы, участвующих в ламинарном движении, появляется относительная скорость, которая для излучения неодимового лазера интенсивностью около 1013 Вт/см2 соответствует энергии более 1 кэВ.
Механизмом описанного выше эффекта является типичный процесс нелинейного поглощения. При выполнении условий образования турбулентного движения энергия ионов может быть еще выше, однако, при детальном описании этого процесса необходимо учитывать генерацию неустойчивостей Гельмгольца—Кельвина, зависящую от конкретных значений интенсивности излучения, углов падения и так далее, подробное обсуждение которой должно основываться на численных расчетах.
РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
Ниже приведено описание процесса так называемого резонансного поглощения, который впервые был исследован Н.Г. Денисовым [248] и впоследствии рассматривался последовательно многими авторами. Этот процесс происходит тогда, когда плоская р-поляризованная электромагнитная волна падает под наклоном на слоистую плазму. В самом начале следует заметить, что резонансное поглощение не происходит как при перпендикулярном падении, так и при s-поляризации. Рассмотрение процесса следует проводить в два этапа. Прежде всего, существует линейное решение уравнений Максвелла для случая р-поляризации, которое приводит к резкому резонансоподобному возрастанию продольной составляющей Е-поля при критической плотности. Это резонансное поле есть простое следствие решения волновых уравнений (6.26), полученного в виде незатухающей во времени гармоники для Н = \ZHZ и уравнения (6.35) для Е = ixEx* iyEy, соответствующего р-поляризации (ось х направлена вдоль градиента неоднородной плазмы).
Н.Г. Денисов [248], используя специальные координаты для плазмы с поглощением, рассчитал сначала параметры вектора Н, а затем продольную компоненту ЕХ) представляющую наибольший интерес. Можно начать непосредственно с расчета Е. Сложность заключается в связи Ех и Еу [см. уравнение (11.6)]. Однако, если рассматривать Ех отдельно, то из (11.5) можно получить независимое решение. Этот подход был использован в [259]. В предположении стационарности решения с гармонической составляющей (6.19) после разделения переменных (11.7) в уравнении (11.6) из соотношения (11.10) находим зависящий от х сомножитель в выражении для компоненты Ех:
д2 г , СО2 2 / х 2 / \ _ d In п ^Ехх , _ Э21пп_ _ ~ Ехх + ™т- n (х) cos а VX^EXX + 2 ~ - + 2 —^хх - 0.
Эх2 с1 ох дх (11.49)
Сомножитель Еху, зависящий от у, имеет вид соотношения (11.15). В отличие от случая плазменной короны [последние два члена в (11.49) можно не рассматривать], в расчетах для глубины
х> xt; 1 - и2 (xf) sin2a0 = 0 (11.50)
необходимо учесть последние два члена в (11.49); xt — поворотная точка, до которой волновое поле является суперпозицией стоячей и распространяющейся волн. Ниже граничной точки, для х > xt волновое поле является бесконечно малым. Если и монотонно возрастает с увеличением х, тохг однозначно определяется из закона преломления.
Авторы [259] преобразовали (11.49) в уравнение без линейного члена. Проследим теперь основные шаги этой ’’редукции линейного дифференциального уравнения” второго порядка по отношению к J>(x):
У* ^g^W 4- h(x)y = 0.
Как следует из [260], заменой и (х) = у (х) exp — f-g (х) dx 2
это выражение преобразуется в
где
I = h - —g1 4В уравнениеЭхI = h - —g1 4В уравнениеЭхI
I = h - —g1 4
В уравнение
Эх
I = h - —g1 4
В уравнение
Эх
- —g • 2
(11.49) подставляются функции
и
,, 1. 2 ч со2 - d2 Inn
h = (и2 - sin ап)+ 2
2з 2
СОХ
В итоге функция
г11 г ^П П 1»-»
и = Ехх ехр — J 2ах = Ехх и
2 Эх
имеет очень характерный вид. После расчета функции I = К2 редукция уравнения (11.49) приводит к
(П-51)(П-51)zv
(П-51)
(П-51)
—, (f^n) + К2 (Еххп) =0.
Эх2
Волновой вектор К определяет эффективную диэлектрическую константу e'ef =N2:
со2со2си2си2— Qf = "722— Qf = "7222• 2пх - sin а02• 2пх - sin а0с2 Э2 ,2 с2/ЭпInn с2 Э2 ,2 с2/ЭпInn ссссш1 Эх2ш1 Эх2ш2 п2 (Эхш2 п2 (Эх.2".(11.52).2".(11.52)
со2
со2
си2
си2
— Qf = "722
— Qf = "722
2• 2
пх - sin а0
2• 2
пх - sin а0
с2 Э2 ,2 с2/Эп
Inn
с2 Э2 ,2 с2/Эп
Inn
с
с
с
с
ш1 Эх2
ш1 Эх2
ш2 п2 (Эх
ш2 п2 (Эх
.2"
.(11.52)
.2"
.(11.52)
Формально полученное соотношение идентично с уравнением, полученным в [259]. При п2 = е получаем
(11.53)(11.53)~ ~ . 2 ./1^ 3 € 1 С1 eef = е- sina0 + —
(11.53)
(11.53)
° к 2 F 4 ^ / ш2
однако здесь диэлектрическая постоянная берется для плазмы с учетом столкновений. Это изменение приводит к совершенно иным эффектам в плазме.
При пе = пес | n | достигает очень низких значений. Это приводит к тому, что Ехх при таких критических значениях плотности имеет очень высокий максимум [248]. На рис. 11.5 рассмотрен пример линейного падения плотности плазмы [261]. Численное решение волнового уравнения, представленное на рис. 11.5, было новым способом сложного рао 200
Рис. 11.5. Точное решение [см. уравнение (11.51)] для излучения неодимового лазера с линейным профилем плотности. Те =100 эВ и угла падения Oq = 26 . Выпуклый максимум предшествует глубине поворота х(. В области исчезающе малого поля есть резонансный максимум при х —xq, где ^ = ^сг. На рисунке приведено точное решение по отношению к отражательной способности, определяемой только прошедшими волнами при х>хо, которая была рассчитана в [261]:
и - действительная часть показателя преломления; к - его мнимая часть. Штриховая линия - электронная плотность; сплошная линия - абсолютное значение проекции электрического поля на направление х
чета амплитуды отраженной волны: для подбора параметров, соответствующих минимуму отраженной волны в области исчезающе малого поля, варьировались и фаза, и модуль. Это специальное решение проблемы Остерберга (см. [152], гл. 7). Уайт и Чен [259] рассчитали eef для случая р = 0, соответствующего бесстолкновительной плазме. Около х0 значение eef проходит отрицательный полюс (рис. 11.6).
Обсудим теперь случай v Ф 0, заменив в зависимости e^f = eef(n = = |п|) комплексный показатель преломления на свою абсолютную величину. Эта замена неудивительна, так как при корректном расчете нелинейной силы в случае перпендикулярного падения волны излучения берутся абсолютные значения и [см. (9.25)]. Рассматриваемый подход имеет преимущества и показывает справедливость того, что длину Денисова можно вывести из обобщенного уравнения (11.53) для любого профиля плотности столкновительной плазмы. Согласие результатов расчетов, соответствующих обобщенным профилям плотности, результатам, полученным при линейном спаде электронной плотности, будет показано после общего вывода.
На рис. 11 «6 представлена схема сравнения e^f со случаем v = 0. При критической плотности х = х0 значение eef растет от отрицательного бесконечного значения до положительного максимума, большего единицы. Это похоже на случай диэлектрической среды с диполями, характерный для электростатических колебаний.
Как следует из (11.52), положительное значение К2 возможно только в области исчезающе малого поля, если
|п| > —-I-[|n|2(x) —sin2a0). (11.54)
Ini Эх2 |п|2 \ Эх / с1
Рис. 11.6. Схема зависимости 6ef около точки поворота xt и критической плотности хо для V =0, рассчитанная в [259]. В случае V Ф 0 величина €gf(lnl), как показано автором [4], является положительной
Рис. 11.7. Модуль показателя преломления |п|и его пространственная производная около х =хо для случая без столкновений (пунктирная линия) и со столкновениями (штриховая и сплошная линии). Как видно, первая и вторая производные в случае V = 0 имеют экстремумы при х = xq [4]
Как уже упоминалось выше, вместо комплексных чисел и использовались их абсолютные значения. В таком случае волновое поле Я^и будет соответствовать волне, распространяющейся в узкой зоне около х0, как в волноводе [262].
Указанное выше возможно только в том случае, если есть какое-то поглощение (у Ф 0) или затухание. Это условие выполняется, так, как затухание Ландау в принципе неизбежно. На рис. 11.7 |п| приведен как для бесстолкновительной плазмы, так и для плазмы со столкновениями (у Ф 0). Узкий минимум около х0 приводит к очень крутому положительному наклону первой производной и поэтому очень небольшому, но узкому положительному пику второй производной. Так как
Э|п|/Эх~ Ъпе1Ъх,
то небольшое затухание и очень крутой профиль электронной плотности приводят в данном случае к волноводному эффекту [262].
Еще одним свойством (11.51) и (11.52) является пропорциональность между Е^п и квадратным корнем из плотности энергии электромагнитного поля в плазме. Для того чтобы энергетический поток в ^-направлении был постоянен (как это следует из расчета затухающей волны и эффекта Гуса—Хеншена [263] при полном отражении), необходимо, чтобы либо уменьшилась скорость переноса энергии в таком волноводе, либо величина Ехх принимала очень большие значения. С учетом сказанного, Н.Г. Денисов [248] пришел к выводу, что Ехх имеет максимум около х0 и очень крутой спад при больших или меньших значениях х.
Из рис. 11.7 можно рассчитать толщину х* = L/2\ х* - это половина расстояния, в пределах которого член второго порядка в уравнении (11.52) может быть положительным. Как следует из соотношения (6.48)
(11.55)(11.55)min, находимmin, находим(11.56)(11.56)/у у/2
(11.55)
(11.55)
min, находим
min, находим
(11.56)
(11.56)
lnl min=(— ।(^е = пес^
для v Ф 0. Так как | п(р = 0; х = х0 + х* ) |
- Ие (X + X*) у
Ие qGJ
После разложения в ряд пе (х+х*) = пе(х0) + (Эле/Эх) |Хох* получаем
(11.57)(11.57)у 1
(11.57)
(11.57)
со (Э1ппе/Эх)Л=Хо
Для того чтобы найти максимум второй производной, рассмотрим ограниченный случай малых х*:
— |п(р^0)| = Эх2— |п(р^0)| = Эх21♦1♦— |п(р^0)Эх— |п(р^0)Эх- — |п(р^0)Эх- — |п(р^0)Эхх=х0х=х0(11.58)(11.58)
— |п(р^0)| = Эх2
— |п(р^0)| = Эх2
1
♦
1
♦
— |п(р^0)
Эх
— |п(р^0)
Эх
- — |п(р^0)Эх
- — |п(р^0)Эх
х=х0
х=х0
(11.58)
(11.58)
Второй член в скобках в правой части уравнения должен быть равен нулю, по определению (см. рис. 11.7). Аппроксимируя с достаточной точностью оставшийся член его значением, соответствующим случаю без столкновений, из уравнения (11.49) находим
Э - ।— 1п1х = х0+* охЭ - ।— 1п1х = х0+* охЭЭие Э in пе|п| = ЪпеЬх ЭхЭЭие Э in пе|п| = ЪпеЬх Эх12(v/oj)i/212(v/oj)i/2(11.59)(11.59)
Э - ।
— 1п1х = х0+* ох
Э - ।
— 1п1х = х0+* ох
ЭЭие Э in пе
|п| =
ЪпеЬх Эх
ЭЭие Э in пе
|п| =
ЪпеЬх Эх
1
2(v/oj)i/2
1
2(v/oj)i/2
(11.59)
(11.59)
В этом случае член второго порядка в (11.52) имеет вид
(11.60)(11.60)1 Э2 . . 1 со2 /д1п пе |п|= — |п| Эх2 2 у2 \ Эх
(11.60)
(11.60)
Очевидно, его значение всегда положительно. Используя полученный результат, выражение (11.52) можно переписать для случая х =х0, когда Iп| = у(ш < 1 и Э |п|/Эх = 0:
Ктах =Ктах =ш2 1V1 |п|2ш2 1V1 |п|21/21/2
Ктах =
Ктах =
ш2 1
V1 |п|2
ш2 1
V1 |п|2
1/2
1/2
Подставляя сюда выражение для х* из (11.57), получаем
Kmax = f ^"5 — 4 sin2а^J/2
(со2/с2 = 2я/Х), преобразуя окончательно, находим
^тах = “Г" I " — sin а0 I — N.(11.61)
X Wx* / c
Подкоренное выражение в (11.61) положительно, если
>|sinaol.(11-62)
2?ГХ*
Поскольку х* достаточно мало (одна длина волны или меньше — в зависимости от 0О), то, согласно волновому уравнению (11.51), вокруг х0 должен образовываться волноводный слой толщиной 2х*, в котором распространяются волны. Эффективная толщина волновода увеличена из-за эффекта Гуса-Хеншена [263], аналогично тому, как это уширение происходит в диэлектрических волноводах [262]. С учетом этого рассматривалось решение Еххп, а не просто Ехх. Следует отметить, что длина 2х* идентична с длиной L, которую авторы [264] вывели для профиля плотности, имеющего вид
/х - х0\
пе = пес ехР ( j •
Это справедливо в том случае, если v/go интерпретировать как коэффициент, соответствующий расчету для критической плотности около х0. Этот результат является следствием расчетов стохастического взаимодействия нелинейной силы (см. гл. 8) и при условиях резонансного поглощения, при этом следует использовать точное выражение для нелинейной силы при данных условиях (см. гл. 8).
Авторы [264] провели оценку L (и, следовательно, х*) для излучения СО2-лазера и лазера на неодимовом стекле с длиной волны 1,5 мкм и 1,5 нм соответственно и интенсивностью 1015 Вт/см2. Исчезающе малая величина sin2 а0 могла бы привести для излучения обоих лазеров к ’’эффективным показателям преломления” N = 112. Случай, когда показатель преломления при предполагаемых условиях достигает 112 или лежит вблизи этого значения, можно рассматривать при обсуждении совершенно новой концепции резонансного поглощения. Очень большие плотности энергии, аккумулированные в волноводе, сильно влияют на условия действия нелинейных сил. Для проведения детального анализа при таких экстремальных показателях преломления необходимо ясное понимание проблемы Абрахама-Минковского, возникающей при поглощении (гл. 9) на границе поверхности плазмы.
Мы провели расчет длины Денисова L* = 2х* в уравнении (11.62) без конкретизации профиля электронной плотности, вывод был основан только на схематическом профиле. Дальнейшая конкретизация профиля вряд ли может быть необходима, так как совпадение при проверке с длиной Денисова является абсолютным. Только для дальнейшей иллюстрации можно привести результаты [265], полученные при 204
Рис. 11.8. Результаты численного расчета 6ef [см. уравнение (11.53) ], сделанные для столкло вительной плазмы с линейным профилем плотности. Это расширенный расчет взятой за основу работы [265]
рис. 11.8
детальном расчете мнимой и действительной частей e^f [см. уравнение (11.53)] для столкновительной плазмы с линейно нарастающей электронной плотностью. Результаты приведены на рис. 11.8. Количественное поведение e^f (и = |п|) аналогично Re(eef). Максимум может достигать единицы, как это уже было показано для другого случая ([265], рис. 1, а). На рис. 11.9 приведены качественные (но важные для вывода L) кривые, соответствующие кривым на рис. 11.7, но рассчитанные для конкретного случая линейной плотности. Как видно из рисунков, наблюдается полное соответствие полученных результатов.
После того как проанализирован феномен резонансного поля с ярко выраженным максимумом продольной Ех-компоненты около х0, следует упомянуть, в каком смысле это явление можно назвать резонансным поглощением. Резонансное поле может давать вклад в поглощение из-за взаимодействия с плазменными волнами при х = х0. Для описания этого поглощения обсуждалось несколько разных моделей. Один 205
1,0 A0,51,0 A0,5Рис. 11.10. Тормозное поглощение в области исчезающе малого поля между точкой поворота и критической плотностью. Расчет выполнен в [267] при xq для различных углов падения
1,0 A
0,5
1,0 A
0,5
из самых прямых расчетов был посвящен оценке столкновительного поглощения в области между xt и х0 [267]. Результаты расчета скорости поглощения, проведенного таким способом, показаны на рис. 11.10.
Другой способ расчета основан на одночастичном моделировании процесса проникновения электрона через ^-резонансный максимум [268]. Электрон, входящий с определенной начальной скоростью Vjn в резонанс, ускоряется в нем. В [269] получено аналитическое решение, показывающее, что сверхбыстрые электроны в распределении Максвелла могут давать усиление по энергии. Электроны, имеющие энергию порядка нескольких килоэлектрон-вольт, могут ускоряться в направлении, перпендикулярном резонансному слою, до 200 кэВ. Это согласуется с одночао тичным моделированием [268]. Аналогичные процессы описывались в механизме разрушения волны [270] и солитонном процессе [271].
Еще одно описание основано на ускорении изначально покоящегося или медленно двигающегося электрона (начальная скорость Vjn не требуется большой) около ^-резонансного максимума. Результирующее колебательное движение приводит к дрейфу и ускорению электронов, подобно тому как это происходит в колебательном процессе [272], следствием которого является возникновение нелинейной силы в неоднородной плазме с высокой плотностью.
Электромагнитное поле с высокой плотностью энергии Ех + Еу + Н^ и резким градиентом действует как потенциал, генерирующий нелинейную силу. Для более тщательного анализа необходимо применить уравнение движения типа (8.82), несмотря на то что условия пространственной зарядовой нейтральности и ограничения, связанные с дебаевской длиной, могут не выполняться. В том случае, если в теории рассматривается нелинейная сила, действующая поперек направления падающего лазерного пучка [273], то наряду с аналогичными сложностями появляется и возможность простого Е2 + Н2-описания. Следует отметить, что модель колебательного движения связана с описанием динамических процессов из-за наличия нелинейных сил в области резонансного поглощения.
С физической точки зрения нельзя говорить о том, что Ех непосредственно создает ’’электростатическое поле”, так как Ех осциллирует с высокой частотой. Результирующее дрейфовое движение появляется только в результате того, что колеблющийся электрон двигается в область с малым электрическим полем и обратно - в область с большим полем. Этот процесс существенно отличается от дрейфа колеблющегося
электрона в поле плоской волны, падающей перпендикулярно на слоистую неоднородную плазму, причиной которого является разность фаз между Е и Н [138]. Приведенные факты показывают, что нелинейные силы и чисто нелинейные процессы, происходящие при взаимодействии лазерного излучения с плазмой, не являются простой экстраполяцией теории электромагнитных сил, хотя некоторые специальные преобразования уравнения (8.83) можно сделать, введя в него дополнительные нелинейные члены. Модель колебательного движения есть только один из методов исследования нелинейных сил, природа которых имеет достаточно общий характер.
В области резонансного поглощения х0 максимум электрического поля имеет очень большое значение Ех и очень резкий спад в сторону меньших и больших значений х. Дрейфовое движение колеблющихся электронов определяется разностью фаз между Ех и Hz, совместное действие которых вызывает движение, похожее на восьмерку. В направлении у градиент усредненной по времени проекции Hz относительно мал и его можно не учитывать. Результирующее дрейфовое движение электронов определяется тем, что в точке х = хх около х0 электрическое поле Ех сильно зависит от х. Эта зависимость имеет вид
Ех (х) = Ех (^!) [ 1 + Сх (х- хх) + С2 (х- Xj)2 + ...] cos cot. (11.63)
Тогда уравнение движения для одного электрона имеет вид
(11.64)(11.64)(11.65)(11.65)X = —Ех (X! )[1 + СХ (х- Х^ + С2 (X-Xi )2 + ...] cos COt. т
(11.64)
(11.64)
(11.65)
(11.65)
Первое приближение (С/ = 0, i =1,2,3,...)
(1) е МХО
xv ' =— cos cot т со2
определяет второе приближение
'xw=-ExM \-Схт'xw=-ExM \-СхтеЕхМ COS cotт соеЕхМ COS cotт соcos cot,cos cot,(11.66)(11.66)
'xw=-ExM \-Схт
'xw=-ExM \-Схт
еЕхМ COS cot
т со
еЕхМ COS cot
т со
cos cot,
cos cot,
(11.66)
(11.66)
которое после интегрирования дает
£(2) =£(2) =е Ех (х 1) Sin Wt -т сое Ех (х 1) Sin Wt -т соСхСхеЬх^хХ) t 1\—- + —sin2cor .(11.67)тсо \ 24со/еЬх^хХ) t 1\—- + —sin2cor .(11.67)тсо \ 24со/
£(2) =
£(2) =
е Ех (х 1) Sin Wt -
т со
е Ех (х 1) Sin Wt -
т со
Сх
Сх
еЬх^хХ) t 1\
—- + —sin2cor .(11.67)
тсо \ 24со/
еЬх^хХ) t 1\
—- + —sin2cor .(11.67)
тсо \ 24со/
Из выражения, полученного после следующего интегрирования, взята только усредненная по времени (’’неколебательная”) часть
(11.68)(11.68)х(2) = _CJ
(11.68)
(11.68)
\ 2т со /
Ео - максимум резонансного полк Ех при х = х0. Любые другие симметричные части при коэффициентах С2, С4 вклада в дрейфовое движение не дают.
Рассмотрим специальный случай, когда Ех спадает линейно с х в обе стороны от х0:
(11.69)(11.69)^х (хо) (1 —2|х—х0 |/^0), если |х-х0| < Jo/2;
(11.69)
(11.69)
О если |х- х0 I > ^о/2.
На конце крутого профиля Ех, при х*, |х*-х0| = d(2.
Кинетическая энергия дрейфующего электрона определяется следующим соотношением:
(11.70)(11.70)т .21 е2£2(х0)Ех(х0)
(11.70)
(11.70)
2 т со1й*ппес
Эта энергия соответствует максимальной колебательной энергии осциллирующего движения электрона, возникающего из-за поля Ех в точке х = х0. В данном случае, согласно уравнению (11.69), предполагается очень жесткое ограничение на профиль Ех. Однако из-за закона сохранения энергии, выполняющегося для электрона, который проходит замкнутый цикл, ускоряясь в поступательном движении от х0 и возвращаясь опять к х0, любой другой профиль приведет к уравнению, аналогичному (11.70). Аналогичный результат с обобщенным профилем получен для ионов, чисто нелинейной силы и перпендикулярного падения волны лазерного излучения [см. уравнения (9.21) и (9.26) ]. Следует заметить, что в (11.70) кинетическая энергия в 2 раза больше, чем в случае (9.21).
В процессе колебательного движения электроны дрейфуют в локализованном максимуме высокочастотного поля Ех около х0. В этом смыо ле можно говорить о расширении плазмы при резонансном поглощении, как если бы происходил некий взрыв, вызванный наличием квазиэлек- тростатического потенциала. Здесь эффект поглощения аналогичен поглощению, которое происходит при макроскопическом нелинейном движении плазмы без столкновений, когда результирующее ускорение слоио той неоднородной плазмы при перпендикулярном падении плоских волн приводит к динамическому поглощению. Численные расчеты упомянутого процесса приведены на рис. 10.19.
etransletranslЕсли дебаевская длина меньше половины ширины резонансного поля х*, плазма ускоряется, так как ускоряемые электроны связаны электростатически с ионами. Энергия поступательного движения ионов определяется соотношением
etransl
etransl
(11.71)
Как следует из (11.70), в отличие от половины энергии в соотношении (9.26) при неограниченном ускорении нелинейной силой, в данном случае иону передается полная энергия колебаний, умноженная на его заряд. В выражении (11.71) e0SrC - максимальная энергия колебаний электрона, появляющаяся из-за наличия ^-поля.
В процессе струйного движения плазменной короны при р-поляри- зации излучения неодимового лазера с интенсивностью 1014 Вт/см2 208
энергия ионов может достигать 20 кэВ, особенно в том случае, если появляется турбулентное движение. Процесс резонансного поглощения, основанный на колебательном движении (вызванном нелинейными силами) в области Ех -максимума, может приводить к ускорению ионов до таких же энергий. Необходимо учитывать, что максимум Ех может в 10-100 раз превышать значение Ev, что соответствует всплеску энергии от 102 до 104. При интенсивности излучения неодимового лазера 1014 Вт/см2 уровень eosc может достигать 20 кэВ.
Следует отметить, что еще один конкурирующий аномальный эффект был обнаружен авторами [274]. Как только при действии нелинейной силы образуется кавитон, этот минимум плотности стимулированным образом самофокусирует электростатические (ленгмюровские) волны. Амплитуды электростатических волн в кавитоне могут достигать очень больших значений и приводить к разрушениям. Если плотность в центре кавитона мала или даже равна нулю, как в случае самофокусировки, вызванной нелинейными силами, число электронов, вовлеченных в данный процесс, является небольшим. Для плазмы, созданной лазерным излучением, этот эффект может быть не очень значительным.
Глава 12
ЛАЗЕРНЫЕ ПУЧКИ В ПЛАЗМЕ
При обсуждении взаимодействия лазерного излучения с плазмой в гл. 9-11 рассматривались исключительно плоские волны. Некоторым исключением были параметрические неустойчивости, однако все отклонения от плоских волн или от геометрии слоистой плазмы носили достаточно отвлеченный характер. Ниже обсуждается поведение лазерных пучков в плазме. Эта область связана с самофокусировкой лазерных пучков в плазме с высокой или средней плотностью, вызванной в основном нелинейными силами и релятивистскими эффектами. При малых плотностях нелинейные силы выталкивают плазму из пучка, что может быть причиной интересных экспериментов. Конечный диаметр пучка приводит к генерации спонтанных магнитных полей, взаимодействие которых (включая альфвеновские волны) также будет рассмотрено ниже.
Несмотря на то что для лазеров в установках термоядерного синтеза, вероятно, будут необходимы идеальные фронты плоских (сферических) волн, и любая самофокусировка должна быть исключена, во многих приложениях, таких, как обработка материалов, самофокусировка может стать очень полезной. Представляют также значительный интерес (особенно при больших интенсивностях) генерация ионов с энергией несколько мегаэлектрон-вольт, или предполагаемое рождение электрон- позитронных naj), и многие другие аналогичные явления. Эти вопросы обсуждаются в конце данной главы.
Существует очень важная и фундаментальная проблема, о которой необходимо сказать с самого начала. Она состоит в точном описании параметров лазерного пучка. Мы увидим, что, если решение сложных проб- 14— Зак. 1563 2 09
л ем, связанных с нелинейными явлениями, не будет построено на точном описании, то сразу возникнут противоречия.
Было предпринято множество попыток точно описать световой пучок. Дебай [275] пытался описать оптический волновой пакет суперпозицией плоских волн с различными направлениями и определенным спектром интенсивностей. При описании идеального пучка с помощью волнового уравнения Шредингера [276] имеется больше возможностей, см. например описание эффекта Гуса-Хеншена для фазовых волн [263], чем в оптическом случае. Ситуация с фазовыми волнами представляется более выгодной по сравнению с оптическими волновыми пучками из-за существенного отличия их во втором порядке [277]. Следует всегда помнить, что если в качестве специальной аппроксимации для оптических волновых пучков используется распределение Гаусса для профиля радиальной интенсивности, то это есть только аппроксимация идеального максвелловского описания, причем возможны существенные отклонения от указанной идеальности.
Исторически сложилось так, что впервые теория самофокусировки лазерного излучения, приводящая к появлению порога для лазерной мощности, была применена для диэлектрических материалов (неиони- зованных твердых веществ, жидкостей и газов) [278]. Основной механизм эффекта строился на нелинейности диэлектрической постоянной. Другой наблюдавшийся механизм самофокусировки имел гораздо меньший порог и мог быть отнесен к явлению пробоя [279]. Что касается самофокусировки в плазме, то там аналогичный эффект нелинейности диэлектрической постоянной обнаружен не был. Первой удачной попыткой расчета порога самофокусировки было применение теории нелинейных сил [205]. Говоря о первой качественной оценке порога мощности лазерного излучения, следует отметить, что первые опубликованные работы, посвященные идее самофокусировки лазерного излучения в плазме, принадлежали Г.А. Аскарьяну [205]. Он рассмотрел расширение плазмы, связанное с плотностью потока энергии лазерного пучка (Е2 + + Н2)/8тг, и затем процесс компенсации этого расширения за счет профиля давления плазмы, действующего в направлении оси пучка. Этот процесс можно описать с помощью уравнения
Е2 + Н2/1 \
— = пекТе 1 +•(12.1) 8 тг\Z /
Автору удалось оценить интенсивности оптического излучения, необходимые для компенсации газодинамического давления. Корректный вывод этой формулы проведен в § 12.3.
САМОФОКУСИРОВКА НЕЛИНЕЙНОЙ СИЛОЙ (ПОНДЕРОМОТОРНОЙ)
Для вывода дорога самофокусировки лазерного пучка необходимо объединить три механизма (рис. 12.1). Если предположить, что интенсивность лазерного пучка, распространяющегося в х-направлении, в j’-направлении описывается распределением Гаусса, то нелинейная сила
Рис. 12.1. Распространение пучка лазерного излучения с затухающим в поперечном направлении профилем интенсивности 7 (у) в плазме. Нелинейная сила f^ разрежает
плазму в области около оси до тех пор, пока ее не компенсирует сила f^ газодинамического давления. Градиент плотности вызывает полное отражение парциальных пучков. Последним условием для вывода порога самофокусировки [206 ] является дифракционное ограничение, связанное с тем, чтобы парциальный пучок, распространяющийся с углом, меньшим
угла полного внутреннего отражения, достигал первого дифракционного минимума
в v-направлении f^t должна компенсироваться термокинетической силой fth [206], так что
/th=/^; v • (Т--— ее) = VnekT(\ + Z)(12.2)
[здесь использовано уравнение (8.82)]. Второй механизм основан на полном отражении компонент лазерного пучка, начиная с угла а0 от центра пучка, собирающихся в параллельном направлении относительно оси, из-за наличия градиента плотности в плазме. Третья особенность, объясняемая механизмом дифракции, заключается в том, что угол распространения а основной части пучка (например, определяемой первым дифракционным максимумом) должен быть меньше угла полного отражения. При расчете порога следует учесть все эти три механизма.
Гауссовский профиль плотности, который учитывает показатель преломления п, описывается выражением вида
£ 2/2 \
Е2 = ——ехр ( - — ; Н2 = I n |2 Е2 .(12.3)
2|n|\ у0 /
Здесь у о интерпретируется как радиус лазерного пучка. Это соотношение есть только аппроксимация точного максвелловского описания. По аналогии с [205] и [280] нелинейная сила в направлении .у имеет вид
tNL=-— V^H^-(12.4)
8 7Г '
Следует отметить, что приведенное уравнение справедливо, если показатель преломления значительно меньше единицы. Это соответствует случаю, когда плотность плазмы вокруг лазерного пучка выше критической. Сложности, возникающие при описании плазмы с низкой плотностью, рассмотрены в §12.3. Расчеты, опубликованные в [206], воспроизводились многими авторами при самых различных предпосылках и всегда приводили к одному и тому же результату.
14»211
Исходя из уравнений (12.3) и (12.4) максимум нелинейной силы в направлении у определяется соотношением
^NL = iy “ —V^exp -1 .(12.5)
16тгп у0\ 2 J
В случае, когда плазма имеет пространственно однородную температуру (общий вывод для переменной температуры был проведен в [281]), эта сила должна компенсироваться термокинетической силой
/1 \ dne
fth =-iy*Tth(l+l )—.(12.6)
\ Z / dy
Приравниваядве силы, получаем выражение для градиента электронной
плотности плазмы в лазерном пучке:
— = V2/exp(l) (1+ |П|)2 (127)
ду 16frfcTthyoln|(l+l/Z)
Второе физическое условие полного отражения определяется отношением показателя преломления в центре пучка и к его значению при у0, которое, согласно уравнению (12.7), можно представить в виде
sin (а0 1 - , •(12-8)
\2/ |пуо1
Для случая пренебрежимо малой частоты столкновений, используя разложение в ряд Тейлора, получаем
Пу 0 =п+ ^ Уо ; П2 = 1 - Ыр1с?.(12.9)
оу
Подставляя полученный результат в уравнение ( 12.8), находим
/ 2 Эп длеV/2
sina0= - -— Jo •(12.10)
I иопе оу/
Если в качестве третьего физического условия предположить, что компонента волны, которая определяется первым дифракционным минимумом, должна полностью отражаться, если она распространяется под углом а, то
(12.11)(12.11).7Г С.
(12.11)
(12.11)
sin а = sina0.
2ыу0
Подставляя в (12.11) правую часть уравнения (12.10) и, одновременно, используя выражение (12.7) и соотношение для амплитуды электрического поля лазерного излучения Ey^-CxP^ly^ (здесь Р - усредненная мощность лазерного излучения, С! = const), получаем [206]
(12.12)(12.12)(7Гс) 2 п3 те
(12.12)
(12.12)
е2 [2/ехр (+1)] 1/2с2 (1 + п2)
Следует заметить, что Р — это порог самофокусировки для лазерной мощности, а не интенсивности (порог самофокусировки лазерного излучения в диэлектрических неионизированных средах также относится к мощности, а не к интенсивности [278], несмотря на то, что этот процесс совершенно отличен от рассматриваемого).
Для количественной оценки соотношения (12.13) можно использовать и, определенный выражением (6.32), которое справедливо для температур выше 10 эВ. Выражая температуру плазмы Т в электронвольтах, а мощность лазерного излучения Р в ваттах, получаем
^Л^^Т-/4 дпя^.;(12лз)
1,15 • 104 Т ДЛЯ GOp< GO.
При выводе данного соотношения использовался плоский, а не цилиндрический пучок лазерного излучения. Расчет для цилиндрического пучка при дифракционных условиях приводит к появлению коэффициента 1,22. В этом случае вместо уравнения (12.11) получаем соотношение, определяемое диффракционными условиями:
sina= < sin а0-(12.14)
2 cor о
Во всех предыдущих расчетах координаты у и у0 можно заменить на радиальную координату г и радиус пучка г0 в цилиндрической системе координат. Тогда вместо аналогичного выражения, выведенного для плоского пучка, имеем следующее соотношение для порога самофокусировки:
р> d'22^)2"3^(12
е2 [2/ехр(1)]1/2^(1+ п2)
Если Р измерено в ваттах, то
Р>АР>А1 • Ю6 Т”5/48 • 103 Г1 • Ю6 Т”5/48 • 103 ГДЛЯ GOp^ GOДЛЯ GOp < Cd.ДЛЯ GOp^ GOДЛЯ GOp < Cd.(12.15а)(12.15а)
Р>А
Р>А
1 • Ю6 Т”5/4
8 • 103 Г
1 • Ю6 Т”5/4
8 • 103 Г
ДЛЯ GOp^ GOДЛЯ GOp < Cd.
ДЛЯ GOp^ GOДЛЯ GOp < Cd.
(12.15а)
(12.15а)
Это были первые количественные оценки, полученные в теории нелинейной самофокусировки, которую сначала называли пондеромоторной самофокусировкой [206]. Аналогичный расчет был проведен разными авторами [282] и везде были получены совершенно идентичные результаты. Такие же значения порогов были получены в [193] при расчете филаментационной неустойчивости на основе теории нелинейных сил (см. §9.5).
Порог самофокусировки в плазме оказывается очень низким - на уровне нескольких мегаватт или даже меньше [206]. Это согласуется с результатами измерений, которые были впервые опубликованы в (282 - 284). Другой успех теории нелинейной самофокусировки был связан с измерением диаметра пучка — на уровне нескольких микрон, соответствовавшего мощности лазерного излучения - 3 МВт [282].
213
Предположим, что выполняются стационарные условия для самофокусировки, когда вся плазма перемещается по направлению от центра лазерного пучка. В таком случае плотность электромагнитной энергии равна пе (1 + 1/Z)кТ. Это соответствует плотностям, близким к критической, при которых, как показано на рис. 9.2 для излучения неодимового лазера, интенсивность излучения равна пороговой величине /*. Очевидно, что лазерный пучок должен сузиться до такой степени, чтобы при мощности 3 МВт интенсивность достигла 1014 Вт/см2. Диаметр пучка должен составлять при этом несколько микрон, что находится в полном согласии с результатами измерения.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ САМОФОКУСИРОВКА
Другой тип процесса самофокусировки возникает тогда, когда учитываются релятивистские эффекты [16]. Релятивистское изменение массы электрона при энергиях колебаний, близких или превышающих ШеС1, приводит, как это видно из уравнений (6.77) - (6.81), к изменению оптических констант. Для нахождения оптических констант в таком случае следует использовать выражения (6.33) и (6.34), а для показателя преломления — (6.47). В релятивистском случае зависимости показателя преломления от интенсивности эффективная длина волны лазерного излучения, распространяющегося в плазме, определяется выражением
где Хо — длина волны в вакууме.
(12.17)(12.17)На рис. 12.2 рассмотрен аналогичный распределению Гаусса профиль лазерного пучка, проходящего через однородную плазму. В релятивистском случае для показателя преломления справедливо неравенство
(12.17)
(12.17)
In (^max) I > I п(^тах /2) I •
Из соотношений (12.17) и (12.16) следует, что в центре пучка, где интенсивность излучения максимальна, эффективная длина волны меньше, чем при интенсивности, равной половине максимальной величины. Из рис. 12.2 видно, что изначально плоский волновой фронт изгибается и приобретает выпуклый профиль, который стремится стянуться до диаметра пучка около одной длины волны, ограниченного дифракционными условиями. Как видно из рис. 12.2, это стягивание может быть аппроксимировано дугой, тогда длина самофокусировки
(12.18)
где dQ - начальный диаметр пучка, а радиус дуги р0 определяется эффективной длиной волны при различных интенсивностях. С учетом гео- 214
Рис. 12.2. Определение длины релятивистской самофокусировки, исходя из начального диаметра пучка d0 и эффективной длины волны. Релятивистские эффекты приводят к уменьшению длины волны в максимуме интенсивности лазерного излучения /max по сравнению с интенсивностью, равной половине максимальной [16]
Рис. 12.3. Результаты расчетов длины самофокусировки, приведенной к диаметру пучка лазерного излучения, выполненные для излучения лазера на неодимовом стекле при различных плотностях плазмы в зависимости от интенсивности лазерного пучка
метрии рис. 12.2, выведем следующее соотношение:
ln(^max/2)l 1 _ ln(/max)l 1(12 19)
(d^ll + р0)р0
Комбинируя полученный результат с уравнением (12.18), получаем отношение длины самофокусировки к диаметру пучка [16] :
ZSF =05^J^L^I^ILLI^(12 20)
^о\ ln (^max)l~ ln(^max/2)l j
Если взять точное абсолютное значение показателя преломления и, определяемое уравнением (6.47), в которое подставлены релятивистские зависимости плазменной частоты и частоты соударений от интенсивности излучения [см. уравнения (6.77) - (6.81)] можно в численном виде оценить (12.20) для излучения неодимового лазера и плотностей плазмы, составляющих 10, 1 и 0,1% нерелятивистской критической плотности. Полученные результаты приведены на рис. 12.3. Примечательно, что при интенсивности лазерного излучения 3-1018 Вт/см2 длина самофокусировки в 7 раз меньше диаметра пучка для плотности, составляющей 10% критического значения. Эта интенсивность есть релятивистский порог самофокусировки, соответствующий электронной колебательной энергии около тес2. Следует отметить также, что процесс релятивистской самофокусировки происходит при интенсивностях лазерного излучения, много меньших (в 1000 раз) релятивистского порога. Феномен присутствия релятивистских эффектов при интенсивностях 215
10l10l10107,07,00,10,110х**10х570х810х710х**10х570х810х770х1 10x4I,M/wl70х1 10x4I,M/wlРис. 12.4. Зависимости отношения длины самофокусировки Z^p к начальному диаметру лазерного пучка d0 от интенсивности лазерного излучения около релятивистского порога, равного 3 • 1018 Вт/см2 для излучения неодимового лазера, при различных температурах плазмы. Плотность плазмы взята равной нерелятивистской критической (7^=^/иесг = 1) и 10% (№0,1) этой величины соответственно. Параметр F определяется эффективной частотой соударений v^ — v)F2^ для того, чтобы было понятным возможное увеличение, связанное с аномальными эффектами [286]Рис. 12.4. Зависимости отношения длины самофокусировки Z^p к начальному диаметру лазерного пучка d0 от интенсивности лазерного излучения около релятивистского порога, равного 3 • 1018 Вт/см2 для излучения неодимового лазера, при различных температурах плазмы. Плотность плазмы взята равной нерелятивистской критической (7^=^/иесг = 1) и 10% (№0,1) этой величины соответственно. Параметр F определяется эффективной частотой соударений v^ — v)F2^ для того, чтобы было понятным возможное увеличение, связанное с аномальными эффектами [286]
10l
10l
10
10
7,0
7,0
0,1
0,1
10х**10х570х810х7
10х**10х570х810х7
70х1 10x4I,M/wl
70х1 10x4I,M/wl
Рис. 12.4. Зависимости отношения длины самофокусировки Z^p к начальному диаметру лазерного пучка d0 от интенсивности лазерного излучения около релятивистского порога, равного 3 • 1018 Вт/см2 для излучения неодимового лазера, при различных температурах плазмы. Плотность плазмы взята равной нерелятивистской критической (7^=^/иесг = 1) и 10% (№0,1) этой величины соответственно. Параметр F определяется эффективной частотой соударений v^ — v)F2^ для того, чтобы было понятным возможное увеличение, связанное с аномальными эффектами [286]
Рис. 12.4. Зависимости отношения длины самофокусировки Z^p к начальному диаметру лазерного пучка d0 от интенсивности лазерного излучения около релятивистского порога, равного 3 • 1018 Вт/см2 для излучения неодимового лазера, при различных температурах плазмы. Плотность плазмы взята равной нерелятивистской критической (7^=^/иесг = 1) и 10% (№0,1) этой величины соответственно. Параметр F определяется эффективной частотой соударений v^ — v)F2^ для того, чтобы было понятным возможное увеличение, связанное с аномальными эффектами [286]
излучения, много меньших релятивистского порога, не является неожи- данностьдо, это отмечалось в [285] при расчете релятивистских неустойчивостей в плазме.
Релятивистская самофокусировка наиболее эффективно проявляется при релятивистском пороге. При возрастании эффективности процесс замедляется. Это легко понять, так как критическая плотность возрастает с увеличением интенсивности согласно уравнению (6.78), т.е. плазма становится прозрачной для распространяющихся волн при плотностях, которые при нерелятивистских условиях соответствуют полному затуханию.
Расчеты, проведенные на основе уравнения (12.80), можно численными методами проэкстраполировать на диапазон больших интенсивностей. Соответствующие результаты приведены на рис. 12.3. Одновременно в эти расчеты включены зависимости от температуры плазмы и степени ионизации. Удивительным является тот факт, что длины самофокусировки получаются равными начальному диаметру пучка (см. рис. 12.4). Как видно из приведенных на рисунке кривых, при уменьшении интенсивности зависимости, рассчитанные численными методами, обрываются. Несмотря на это, в области малых интенсивностей, которые составляют менее 1% релятивистского порога, релятивистская самофокусировка продолжает действовать. В то время как при проектировании оптических систем для фокусировки лазерного пучка в вакууме встречаются всем известные сложности, связанные с ограничением минимального диаметра пучка до значения, равного 10 длинам волн, в плазме в 216
Рис. 12.5. Зависимость длины релятивистской самофокусировки /др, приведенной к начальному диаметру пучка d0, от начальной интенсивности излучения лазера на неодимовом стекле I [288]. Расчеты выполнены на основе общей модели (сплошная кривая) [16] и нерелятивистской модели (штриховая кривая) [287]
результате релятивистских плазменных эффектов автоматически происходит очень быстрое стягивание лазерного пучка до диаметра, равного одной длине волны, при плотностях, соответствующих критической.
Следует отметить, что разработанная впоследствии теория релятивистской самофокусировки, которая основана на совершенно других моделях, ограниченных, однако, интенсивностями ниже релятивистского порога [287], дает приблизительно такие же значения длины самофокусировки, как и расчеты, построенные на общем уравнении (2.20) [16] (см. рис. 12.5).
Следует отметить, что упомянутые модели самофокусировки нелинейной силой и релятивистской самофокусировки не дают полного представления о процессе. Первая модель описывает пороговые условия в стационарном случае после достаточно долгого взаимодействия излучения с плазмой.
Таким образом, все быстрые процессы, механизм образования канала самофокусировки и, соответственно, эффект формирования длины самофокусировки этой моделью не перекрываются. Вторая модель описывает процесс релятивистской самофокусировки в однородной плазме, но однородность очень быстро нарушается нелинейными силами. Все эти механизмы можно объединить с помощью численных методов. Очень информативный расчет был проведен в [289] (рис. 12.6). Общий численный расчет, включающий нелинейную силу, релятивистскую самофокусировку и временной механизм, сделан в [290]. Результаты, представленные на рис. 12.7 и 12.8, соответствуют стационарному решению задачи зависимости интенсивности в центре пучка от длины распространения лазерного излучения Z в плазме. Решение получено для пучка излучения неодимового лазера с начальным диаметром 30 мкм и профилем интенсивности, описывающимся распределением Гаусса [206]; при этом начальная температура и плотность плазмы фиксированы.
При мощности лазерного излучения около 1 МВт эффект самофокусировки почти не наблюдается. Самофокусировка становится заметной при мощности излучения более 5 МВт, и, чем выше мощность, тем быстрее, пучок сжимается до предельного диаметра. Интенсивность в 217
Рис. 12.6. Профиль плотности в канале самофокусировки в плазме, рассчитанный в [289]
/01О1IIIIII1
О 200 4)0 600 800 WOO z,mкм
Z, Bt/cm
10^
1O'S
200
Рис. 12.7. Стационарное решение для интенсивности в центре пучка I излучения лазера мощностью Р на неодимовом стекле, распространяющегося в плазме данной плотности и температуры [290]
10ч Вт
10*
108Вт
по = 1О2°сК^
Te=TL = 103B-,Z^ = l
|n|=/70;v=^
|/il=/7o;V*0
Р=108Вт
|n|; V^O
5*1ОчВт
ЮЧ О
tW9Bri 10* Вт
лI1 IT* ii
200^00600800 Z, мкм
Рис. 12.8. To же, что и на рис. 12.7, для случая больших мощностей лазерного излучения Р [290]
Рис. 12.9. Профиль плотности изначально однородной Н-плазмы; плотность составляет 80% критической
Рис. 12.10. То же, что и на рис. 12.9, через время 18,4 пс [291]
центре пучка, которая соответствует предельному случаю, не зависит от мощности и составляет примерно 1015 Вт/см2. Указанное значение интенсивности может, как и порог действия нелинейных сил, слегка увеличиваться из-за тепловых эффектов. Это находится в полном согласии с результатами расчета самофокусировки нелинейной силой [206]
219
[см. уравнение (12.15а)]. Полные численные расчеты релятивистской и нелинейной самофокусировки были проведены в [290]. Излучение неодимового лазера с гауссовским профилем интенсивности, диаметром пучка 10 мкм и длительностью 30 пс падает на изначально однородную водородную плазму с плотностью, составляющей 80% критической. В то время как нелинейные силы выталкивают плазму из внутренней области пучка, релятивистские эффекты приводят к его быстрому схлопыванию. Радиальные скорости достигают значения 107 см/с. Через время 9,2 пс образуется пустотелый пучок, в центре его сохраняются остатки плазмы, поскольку радиальные градиенты поля в центре пучка малы (рис. 12.9). Через время 18,4 пс из-за быстрого осевого движения плазма в центре пучка исчезает (рис. 12.10). Энергия ионов вдоль оси пучка через время 9 пс достигает 5 МэВ [290]. Расчет, проведенный для излучения неодимового лазера мощностью 1013 Вт, длительностью 5 пс, диаметром пучка 20 мкм, падающего на дейтериевую мишень с критической плотностью, показывает, что на расстоянии вдоль оси 18 мкм происходит быстрое стягивание пучка до диаметра, равного одной длине волны. В результате энергия ионов достигает 100 МэВ [291 ].
РАЗРЕЖЕННАЯ ПЛАЗМА, ИДЕАЛЬНЫЕ ПУЧКИИ ЛАЗЕРЫ НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ
В то время как взаимодействие лазерных пучков с плазмой плотностью, равной или ниже критической, носит динамический характер и приводит к самофокусировке, для газа или для плазмы (после ионизации атомов газа) с очень низкой плотностью характерно не сильное изменение параметров пучка, а интенсивное выталкивание электронов нелинейной силой. В том случае, если характерные размеры плазмы (диаметр лазерного пучка) меньше дебаевской длины, нелинейная сила действует только на электроны (на ионы нелинейные силы воздействия не оказывают). В таком случае макроскопическая теория плазмы неприменима, а модель электрона, колеблющегося в поле лазерного излучения, и его дрейфа формально приводит к введению тех же самых нелинейных сил [274]. Эти выводы сразу же привели к экспериментальному подтверждению действия нелинейных сил. В [292, 14, 293] пучки излучения неодимового лазера фокусировались в гелий и другие газы, находящиеся под давлением около 10"2 Па. Интенсивность излучения в фокусе пучка была порядка 1015 Вт/см2. Испущенные электроны регистрировались вдоль направления вектора Е поля лазерного излучения. В экспериментах, проведенных впоследствии, никакой разницы для других направлений обнаружено не было. Оказалось, что максимальная энергия электронов
transl _ _kin _ e°sc _ I
€e " 6osc = —" " "Г(12.21)
2 2cnec
равна средней кинетической энергии колебаний, которая составляет примерно 100 эВ. Этот результат можно интерпретировать как увеличение 220
Рис. 12.11. Число зарегистрированных электронов, из числа электронов, испущенных в фокусе пучка лазерного излучения с интенсивностью порядка 1015 Вт/см2 в газообразном гелии, находящемся под различным давлением. Линейное увеличение числа электронов входит в насыщение при давлении около 3 • 10~2 Па, так как длина Дебая становится равной диаметру фокуса [14]
энергии в процессе дрейфа колеблющегося электрона в высокочастотном поле с напряженностью, имеющей пространственный градиент в направлении поля. Такая интерпретация была удачной при расчете энергий электронов, генерируемых в процессе резонансного поглощения в Z раз превосходящих энергию ионов [см. уравнение (11.71)] и при проведении предыдущих выкладок. При расчете энергий электронов в фокусе лазерного излучения на плазме с низкой плотностью мы получим аналогичные результаты только в том случае, если дебаевская длина больше диаметра фокуса.
Влияние ионов проявляется тогда, когда плотность, обусловленная давлением газа р, возрастает. При расчете дебаевской длины для температуры, соответствующей максимальной энергии испускаемых электронов, выраженной через давление р = р*, находим, что при диаметре фокального пятна, равном дебаевской длине,
р* = 1,82- Ю"22^ , (12.22)
где р — измерено в паскалях, Р — в ваттах и d — в сантиметрах. Максимальная энергия электронов определяется интенсивностью лазерного излучения, связанной с мощностью Р. В условиях эксперимента [293], критическое давление, определяемое выражением (12.22), равнялось 2,7 10”2 Па. Результаты измерений приведены на рис. 12.11. При таких давлениях эмиссия ионов сопровождается электростатическим притяжением испущенных электронов.
Можно бы было использовать эти эксперименты для измерения временной задержки ионизационных процессов для случая атома гелия. Исходя из этой временной задержки, стало возможным определение параметров ионизационных процессов туннельного типа [295] в соот-
221
ветствии с теорией В.Л. Келдыша [296], в которой условия лавинной ионизации или многофотонной ионизации [297] не рассматриваются.
Вернемся к вопросу, корректно ли уравнение (12.4) описывает радиальную силу лазерного пучка, взаимодействующего с плазмой. В [205м] и последующих исследованиях не возникало никаких сомнений при использовании уравнения (12.1) для описания процесса самофокусировки. Если использовать обобщенное выражение для тензора напряжений Максвелла, то сила в направлении у (при геометрии, описанной в §12.1) равна градиенту (Еу-Н?)!^, если не учитывать составляющую в направлении х. В данном случае важно подчеркнуть, что поле, описываемое выражением (12.3), представляет собой аппроксимацию, которая не удовлетворяет в точности уравнениям Максвелла.
Сейчас мы увидим, как точное максвелловское описание идеального лазерного пучка (или плоского пучка) приводит к появлению поперечной нелинейной силы, определяемой соотношением (12.4). Из оптики известно, что плоская электромагнитная волна является строго поперечной, для идеального же пучка конечного диаметра, распространяющегося в вакууме, необходимо ввести еще и продольную компоненту. Хорошо известно также, что электромагнитные волны в среде могут иметь продольную компоненту, это следует, например, из уравнения (11.23) для р-поляризации при наклонном падении плоских волн или из квантовой электродинамики [298]. С другой стороны, существование продольной составляющей в вакууме есть простой результат решения уравнений Максвелла; заметим, что наличие поперечной нелинейной силы в пучке согласуется с результатами [14].
Для того чтобы результаты эксперимента соответствовали уравнению (12.21), можно воспользоваться моделью дрейфа колеблющегося электрона в поле волны лазерного излучения вдоль направления Е. В этом случае можно даже использовать приближение (12.3) [273]. Только при перпендикулярной поляризации необходимо включить в рассмотрение продольную составляющую поля.
Воспроизведем полученный ранее результат [273] для плоского пучка лазерного излучения с затуханием в направлении х (параллельно направлению поляризации Е). Составляющая поля Еу имеет вид
Еу = F0(l +<4 1^1 + а2^2 + •. .)cos(— х- cot),(12.23)
где у - смещение в направлении у, если центр пучка имеет координату у = 0. Выражение, которое описывает ускорение электронов, имеет вид d—^- =- — £0 (1 *аху + а у1 + ...) cos ( — х-ыг).(12.24)
dt1 ™\с
Пренебрегая членами разложения второго и высших порядков, для малых возмущений получаем
, 2г 2 2
—- =- - Aqcos ( — х - cot) * ах —cos2 / —х- cot). (12.25)
dt1 mсI c
222
Подставляя «i = ^\]Е^^Еу1^у^ из разложения в ряд Тейлора в окрестности точки х = х0 и усредняя по периоду, получаем [273]
^7 =- ^ , Л^ =- ^(Ё^Н^/Зя.(12.26)
dt1 Аттга? dy ' оу
Возможность обобщения этого уравнения на более высокие порядки прослеживается из закона сохранения энергии для результирующего ускорения электронов в направлении возрастания х.
В случае перпендикулярной поляризации можно рассмотреть плоский пучок лазерного излучения, в котором опять электрическое поле поляризовано в направлении у, но оно затухает в перпендикулярном направлении z. По аналогии с предыдущим запишем
Еу = Eq О +0^ + 02z~2 + ...)cos (-^-х- cor),(12.27)
где z — смещение от центра пучка, имеющего координату z = 0.
Уравнение Максвелла приводит не только к обычной поперечной составляющей
Н2 = Ео (1 +0^ + p2z2 + ...)cos ( ™"х — °°0>(12.28)
но также и к продольной составляющей. Продольная г -составляющая магнитного поля имеет вид
нх = —^\ + P2Z +-.-)sin(—х — cot).(12.29)
СОс
Эту составляющую обычно не учитывают. Уравнение, описывающее ускорение электронов, имеет следующий вид:
iy + iz —- =-iy — Ео (1 + 0! г + 02z2 + ...) cos (— х- cor) + dt1 dt1™\ с
+ iz - — —(0! + 202z +...) Sin ( — x-cot).(12.30)
m dt coV c
Ограничиваясь опять только членами первого порядка и подставляя решения (12.30) для у, z и dz) dt, соответствующие нулевому порядку, получаем
. d2 у , . d2z . е _ /СО. ,
1у + lz = — 1у ^0 COS / X- GOt) +
dt1 dt1mc
e foOl / e _ \ i / co._ _ _
+ iz — (Eo ] sin2 ( —x-Got).(12.31)
m GO\m I \ c
При подстановке0i= (1/EO) ^Ey(^z)при у=0иусреднении по периоду получаем,чтосоставляющая у исчезает,аускорениепроисходит
223
в направленииz :
(12.32)(12.32)d2y е2 Э 7^- Э (Е2+Н2)
(12.32)
(12.32)
— —£ у —
^Г24 m со2 dzdz 8 я
Это подтверждает корректность использования уравнения (12.4) для описания не зависящих от поляризации поперечных нелинейных сил, действующих на электроны или в плазме при прохождении пучка лазерг ного излучения. Следует заметить, что существование даже самой незначительной продольной компоненты принципиальным образом изменяет картину взаимодействия. Этот пример учит тому, насколько внимательным нужно быть при исследовании нелинейных явлений.
Общее описание оптического пучка в вакууме, которое в точности удовлетворяет уравнениям Максвелла, всегда приводит к продольной составляющей. Обычно формулировка строится на функциях Лежандра [299].
(12.33)(12.33)Здесь следует уточнить, что продольная компонента связана с явлением внутренней дифракции пучка. Рассмотрим опять выражение для плоского пучка в вакууме, в котором присутствуют только симметричные члены,
(12.33)
(12.33)
Еу = Ео (1 + a2z2 + а^4 + ...) cos ( —х— cot
где ар = 0 для р = 4. Уравнения Максвелла приводят к обычной составляющей
(12.34)(12.34)(12.35)(12.35)Hz = E0(\*a1z1 + ...)cos (—х — ^t и к продольной составляющей
(12.34)
(12.34)
(12.35)
(12.35)
нх = 2— Eoa1z sin( —х- а>Г .
Очевидно, Еу и Нх находятся в противофазе, в результате чего поперечный вектор Пойнтинга для этого параллельного пучка обращается в нуль, Sz = 0.
Величина Еу в уравнении (12.33) определена только для
(12.36)
соответствующий профиль поперечного, сечения пучка приведен на рис. 12.12. Существование продольной составляющей поля Н, изображенной на рис. 12.13, приводит к появлению угла а' сходящегося поля волны. Из уравнений (12.35) и (12.36) находим
tga' =tga' =Нx(z = z *) 1сагг *Нx(z = z *) 1сагг *HzHz(12.37)(12.37)
tga' =
tga' =
Нx(z = z *) 1сагг *
Нx(z = z *) 1сагг *
Hz
Hz
(12.37)
(12.37)
При дифракционном ограничении положение первого минимума на гра- 224
Рис. 12.12. Профиль поперечного сечения пучка, рассчитанный в соответствии с уравнением (12.33)Рис. 12.12. Профиль поперечного сечения пучка, рассчитанный в соответствии с уравнением (12.33)
Рис. 12.12. Профиль поперечного сечения пучка, рассчитанный в соответствии с уравнением (12.33)
Рис. 12.12. Профиль поперечного сечения пучка, рассчитанный в соответствии с уравнением (12.33)
X
Рис. 12.13. Продольная компонента поля Нх, соответствующая профилю Еу, изображенному на рис. 12.12
нице поля определяет угол а а отклонения от оси.
(12.38)(12.38)•X ^1/2
(12.38)
(12.38)
sinaj = = —a^' .
2z*2
Если пренебречь множителем тг/2, то при малых углах а и aj сходящийся волновой фронт продольного поля Н будет таким же, как при дифракционном ограничении, необходимом для сходимости пучка. В принципе, при тщательной фазировке можно было бы получить абсолютно параллельные пучки, подобные описанным, что не противоречит теории ’’игольчатого” излучения Эйнштейна [189], включая конечную ширину пучка из-за квантования.
Сказанное выше является примером того, как физику нелинейных сил, действующих со стороны лазерного излучения на электроны, можно распространить на плазму с низкой плотностью, для которой макроскопическая магнито гидродинамическая теория неприменима (аналогичная модель успешно применялась для плоских электромагнитных волн, падающих перпендикулярно на плотную плазму [300]). Это также является примером концепции для создания лазера нового типа на свободных электронах [301 ].
Известный в настоящее время, успешно развивающийся лазер на свободных электронах основан на синхротронных радиационных процессах [302], которые связаны с прохождением электронного пучка вдоль пульсирующего магнитного поля сверхпроводящего соленоида. Процессы, происходящие в лазере на свободных электронах, основанном на нелинейных процессах, можно объяснить в соответствии с этой новой концепцией, исходя из эксперимента [14]. Эмиссия электронов в фокусе пучка требует энергетических затрат и связана с поглощением лазерного излучения в ходе нелинейного динамического механизма. Если при инверсном протекании этого процесса электрон с энергией, равной максимальной колебательной энергии в центре лазерного пучка, вбрасывается в лазерный пучок в перпендикулярном направлении, кинетическая энергия электронов будет преобразовываться целиком в колебательную энергию. Если в тот момент, когда электрон находится в центре пучка, пучок лазерного излучения ’’выключить”, колебательная энергия электрона перейдет в оптическую энергию лазерного пучка.
15 — Зак. 1563 2 2 5
Различное поведение электрона в зависимости от осевого направления относительно радиального направления лазерного пучка следует из общей теории [138] и, особенно, из расчетов [184].
В отличие от синхронного лазера на свободных электронах лазер на свободных электронах, основанный на нелинейной силе, является только усилителем полученного каким-то другим способом лазерного излучения. Импульс взаимодействующего лазерного излучения должен иметь такую же длительность t^, как пересекающий его электронный пучок, который должен падать в направлении поляризации. Радиус фокального пятна определяется энергетическим разбросом ДЕ электронного пучка как г = t^ (ДЕ/ди) 1/2. Если взять ДЕ в единицах СГСЭ, а заряд электрона в той же системе единиц, в которой определяется плотность электронного пучка / (заряд электрона е = 1,602-10"19 Кл, если / измеряется в амперах на 1 см1), то коэффициент усиления
А = —j- 1,19 • 10s.(12.39)
е c^V ^^
Из приведенного соотношения видно, что критическая плотность стоит в знаменателе полученного выражения, следовательно, усиление возрастает с увеличением квадрата длины волны. Это аналогично тому, что происходит в синхротронном лазере на свободных электронах. Усиление возможно и в доступных в настоящее время СО2 -лазерах в том случае, если многократно воспроизвести процесс усиления в полностью отражающем резонаторе. Концепция лазеров на свободных электронах имеет преимущество в рабочих интенсивностях излучения, при которых любой твердотельный или молекулярный усилитель вышел был из строя или ионизовался.
При таком методе с помощью последовательной накачки в течение периода в несколько секунд или более [303] можно усилить 10s Дж/нс излучения СО2 -лазера до 107 Дж.
СПОНТАННЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ. АЛЬФВЕНОВСКИЕ ВОЛНЫ
Модель ускорения электронов вдоль вектора Е в лазерном пучке в плазме с низкой плотностью могла бы быть использована для объяснения возникающих самопроизвольно магнитных полей, по крайней мере, это касается экспериментов, известных в настоящее время. Само- возбуждающиеся магнитные поля постоянного тока в плазме, образованной с помощью лазерного излучения, были обнаружены в [304]. Прводились эксперименты по наблюдению полей напряженностью порядка нескольких мегагаусс [305], параллельно с этим было разработано несколько разных моделей [206], частично основывающихся на нелинейных силах. Недавние измерения, выполненные группой Ки [307] и группой Яманаки [308], показали, что магнитные поля с напряженностью в диапазоне нескольких мегагаусс направлены перпендикулярно плоскости облучаемой мишени, кроме того, наблюдаемое поле есть, по крайней мере, поле диполя. 226
Рис. 12.14. Лазерное излучение, падающее на плоскую мишень, вызывает дрейфовое движение, связанное с нелинейными силами, вдоль поля Е в плазменной короне с низкой плотностью. В результате образуется квадрупольное магнитное поле (жирные стрелки)
Основываясь на этих фактах, можно предложить модель, которая описывает указанное явление в том случае, если наблюдения поля диполя распространяются и на поле квадруполя — рис. 12.14, и в экспериментах Борэма можно говорить о зависимости радиальной силы в пучке от поляризации с точностью около 30% (тогда можно бы было применить общую теорию). Наличие градиента Е в соответствии с уравнением (12.21) или (11.71) приведет к колебательному дрейфовому движению электронов.
Дрейфовое движение в плазменной короне с плотностью ниже критической приводит к движению вдоль вектора напряженности поля Е, которое, как это видно на рис. 12.14, ведет к циркулярному движению, аналогичному случаю с квадруполем. Величину магнитного поля можно определить из условия полного преобразования энергии колебаний (6.56) в энергию магнитного поля. Тогда
Н 2 т
, (12.40)
8 7Г с
где N = пе/пес. При N = 0,1 и интенсивности / = 1015 Вт/см2 напряженность магнитного поля получается равной 1,1 МГс, что находится в прекрасном согласии с экспериментами. Следует отметить также, что, как следует из уравнения (12.40), магнитное поле растет как корень квадратный из интенсивности лазерного излучения /. Предположение о том, что генерируемое поле имеет квадрупольный характер, не так уж далеко от результатов наблюдений [307, 308], следует только провести, вероятно, более тонкие эксперименты. Факт существования квадрупольного поля мог бы объяснить, почему в экспериментах на лазерной установке ’’Аргус” [309] магнитное поле обнаружено не было, несмотря на использование линейно-поляризованного лазерного излучения. Если направление фарадеевского вращения очень точно параллельно или перпендикулярно вектору Е, то вращение не наблюдается. Только неточность, отклонение от этого направления приводят к появлению полей. Если при .использовании пучков лазерного излучения, поляризованных по кругу, асимметричное движение, связанное с нелинейной силой, которое описано на рис. 12.14, исчезает, то это еще раз подтверждает правильность теории.
Модель, описывающая спонтанные магнитные поля, которая приведена в этом параграфе, носит гипотетический характер. Существование 15* 227
полей есть бесспорный факт, и здесь для завершенности мы коснемся механизма компенсации газодинамических давлений статическими магнитными полями, на котором базируется один из возможных способов удержания плазмы синтеза (например, в токамаке). Как следует из уравнений (8.4), (8.5) и (8.24), плотность силы в плазме
f =- Vp+ V Т + — (п2 - 1) ЕЕ — —(12.41)
4 тгЭг 4яс
при равновесии f = 0, 3/3/ = 0. Если рассмотреть плазму, в которой нет высокочастотных полей, Е = 0 и магнитное поле имеет вид Н = = \НХ (у), 0, 0], то уравнение (12.41) примет следующий вид:
-^(р- — 1=0.(12.42)
Эу \ 8тг /
После интегрирования приходим к выражению
пе ( 1 4- — НТ= ,(12.43)
\ Z ) 8тг
в которое следует ввести постоянную интегрирования.
Процесс компенсации газодинамического давления статическим магнитным полем может иметь важное значение в плазме, получаемой с помощью лазера, в которой генерация магнитных полей происходит спонтанно.
Рассмотрим теперь генерацию магнитогидродинамических или альфве- новских волн, образуемых при движении плазмы со скоростью г0 (в направлении у) перпендикулярно постоянному магнитному полю Но (направление х). Сила Лоренца вызовет появление тока плотностью jz (в направлении z), который приведет к ускорению движения, определяемому уравнением
п^ -21 = -jzHQ.(12.44)
Ot с
(12.45)(12.45)Еще раз продифференцируем полученное соотношение по времени, получим
(12.45)
(12.45)
dt HQ dr2 *
В диффузионном уравнении (6.8) и законе Ома пренебрегаем нелинейными членами, быстрыми осцилляциями j^j/bt = 0) и соударениями (р = 0):
(12.46)(12.46)—-— ( — + у/ | = Е + — v х Н + .. . е1пе V< / с
(12.46)
(12.46)
0— Ez — —vyHQ с
Электрическое поле Ez генерируется током jz из-за движения плазмы со скоростью v поперек Но. Дифференцируя выражение (12.46) дважды по времени, получаем:
Но dt2 2Но dt2 2(12.47)(12.47)Э2 v dt2 '
Но dt2 2
Но dt2 2
(12.47)
(12.47)
Любое быстрое движение Е должно описываться волновым уравнением (из уравнений Максвелла)
V2E = -1- — Е + — ^-.(12.48)
с1 ЭРс2 dr''
Используя (12.45) и (12.47), можно преобразовать уравнение (12.48) к виду
„1/ п;т;с2 \
V2E= —— Е 1+4я —-— .(12.49)
с2 Эг2 \ н2 /
Уравнение (12.49) — есть волновое уравнение с фазовой скоростью распространения волны
(12.50)(12.50)с
(12.50)
(12.50)
у А =
(И- 41ГП(т1С2/Н2) 1/2
которая называется альфвеновской скоростью. Если Атт^тц:2/Н2> I, то’
(12.51)(12.51)НоНо
(12.51)
(12.51)
vA = = ——
(41Гп<тО 1/2 V^lTp
Альфвеновские волны играют большую роль в плазме с постоянными магнитными полями. Однако здесь есть формальная аналогия с высокочастотными полями и эффектом увеличения скорости ионов под воздействием нелинейных сил. Как следует из выражения (9.21), при l/|n| > I энергия, прибретаемая ионом при ускорении его вдоль поверхности плазмы, определяется соотношением
(12.52)(12.52)(12.53)(12.53)”4 у2 = z
(12.52)
(12.52)
(12.53)
(12.53)
^8 Я Л g с
Если пе = Zh^, то г,- = |Е|/^47Й^Й/.
Здесь значения Е и и, следует брать в области, близкой к области с критической плотностью. Выражение (12.53) аналогично выражению для альфвеновской скорости, если вместо Но рассмотреть Е. При плотностях ниже критической в поле лазерного излучения |Е| « |Н|. Скорость vt имеет такое же направление, как и скорость г0 при начальном выводе 229
уравнения альфвеновской волны. Можно интерпретировать аналогию между ускорением нелинейными силами в высокочастотном поле лазерного излучения и альфвеновскими волнами, если рассмотреть процесс пересечения плазмы вдоль максимумов высокочастотной волны. Скорость г/, сообщаемая ионам нелинейной силой есть электрическая аналогия альфвеновской скорости.
ЗАКЛЮЧЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНИХ ИНТЕНСИВНОСТЕЙЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Несмотря на то, что рассмотрению процесса самофокусировки, основой для которого послужила теория нелинейных сил, было отведено достаточно немного места, ее влияние на разрушение материалов при умеренных интенсивностях лазерного излучения имеет огромное значение. По этой причине обсуждение некоторых не вполне понятных экспериментальных результатов, о которых упоминалось в §1.4, посвященном ранним экспериментам по взаимодействию лазерного излучения с плазмой, представляется довольно сложным.
Из-за дифракции и двоякопреломляющих свойств лазерных усилителей существуют не плоские волны с идеальными фронтами, падающие на мишень, а сфокусированные пучки лазерного излучения, имеющие определенное число ’’горячих пятен”. Отвлекаясь от того факта, что в большинстве экспериментов по ЛТС достигается энергетический порог самофокусировки, горячие пятна представляют собой дополнительный механизм для формирования более чем одного канала самофокусировки.
В плазменных филаментах очень легко достигаются интенсивности порядка 1015 Вт/см2 и нелинейные силы ускоряют ионы до энергий порядка нескольких килоэлектрон-вольт, импульс нелинейной отдачи [69] и плотности токов электронной эмиссии в 103 раз превышают значения, разрешенные законами пространственных зарядовых ограничений [71]. Эффект нарушения пространственного зарядового ограничения со всей очевидностью иллюстрирует тот факт, что механизм ускорения электронов нелинейной силой в плазменном филаменте касается только электронов в плазме, которые находятся среди в целом зарядовонейтральных по пространству ионов. Это высокочастотное ускорение принципиально отлйчается от ускорения электронов на поверхности материалов или в вакууме над поверхностью. Нелинейная сила действует так, что ускоряется весь объем электронов внутри в целом зарядовонейтральных по пространству ионов. Это объемный эффект, и все теории процессов поверхностной эмиссии электронов в данном случае неприменимы.
Если рассматривать процесс разрушения материалов при умеренных интенсивностях лазерного излучения, то очень важным является процесс образования в материале мультифиламентов при самофокусировке. Несмотря на то, что пучок излучения СО2 -лазера имеет очень гладкий поперечный профиль интенсивности, тот факт, что при умеренных интенсивностях лазерного излучения и очень малых апертурах в облученных твердых водородных мишенях, требуемых для использования 230
в схемах с магнитным удержанием [310], образуется гранулированная структура, говорит о том, что этот процесс имеет очень сложную природу.
Для лазерного сжатия плазмы в том случае, если ставится задача осуществить очень симметричное, сферически однородное взаимодействие лазерного излучения с поверхностью мишени, подавление самофокусировки является очень важным условием. Поэтому в экспериментах с малыми или средними интенсивностями лазерного излучения можно порекомендовать облучать плоские поверхности лазерными пучками очень большого диаметра с низкой апертурой: то же самое достигается при использовании лазерных пучков с очень гладким и монотонным профилем интенсивности. Сравнение этих измерений с результатами экспериментов с пучками малого диаметра, но с такой же интенсивностью, есть следующий шаг в серии чисто поставленных экспериментальных исследований, являющихся базой для развития любых дальнейших теоретических моделей. С другой стороны, в наилучшем возможном варианте явление образования филаментов могло бы быть инструментом для исследования процесса разрушения твердых мишеней, облучаемых лазером. Одной из прикладных целей является исследование разрушения как можно большего количества материалов, а другим приложением может быть высверливание отверстий в кристаллах рубина с наилучшим возможным качеством. Одна из причин, почему не применяется лазерная технология просверливания дырок в кристаллах рубина, используемых в качестве часовых камней, состоит в том, что стенки дырок получаются не гладкими, а имеют очень шероховатые поверхности [311].
. ЗАКЛЮЧЕНИЯ ДЛЯ ОЧЕНЬ ВЫСОКИХ ИНТЕНСИВНОСТЕЙЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Так как достигнуты условия формирования релятивистской самофокусировки, эффекты очень высокой интенсивности лазерного излучения в сфокусированных филаментах открывают двери для очень интересных исследований процессов, связанных с высокими интенсивностями. Эти явления нежелательны в схеме лазерного синтеза, и необходимо знать, как можно избежать релятивистской самофокусировки на установках лазерного синтеза. Однако в физике высоких энергий, в отличие от лазерного синтеза, быстрое схлопывание лазерных пучков до диаметра, равного длине волны, выглядит очень привлекательным.
Вопрос - как колебательная энергия электронов может быть увеличена в филаменте, образовавшемся в результате релятивистской самофокусировки, если учесть тот факт, что, как следует из уравнения (6.76), колебательная энергия электронов увеличивается как корень квадратный из интенсивности только при сверхрелятивистских интенсивностях. Это изменение в показателе степени I есть очень важная причина для поисков правильной интерпретации законов излучения черного тела и обсуждения вывода постоянной тонкой структуры с учетом фундаментальных законов физики [312]. Однако слабый рост электронной энергии представляет собой помеху для увеличения колебательной энергии
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24lSF/dQ0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24lSF/dQ
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24lSF/dQ
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24lSF/dQ
Рис. 12.15. Максимальная колебательная энергия электронов в релятивистски сфокусированном пучке излучения неодимового лазера, в котором достигнута фокусировка в вакууме до диаметра, равного 30 длинам волн [286J
электронов. Другим недостатком является тот факт, что если фокусировка осуществляется при плотностях плазмы, близких к критической, то чем больше эффективная длина волны, тем больше эффективный диаметр пучка при самофокусировке. Малая длина самофокусировки будет отрицательно влиять на необходи
мость увеличить лазерную энергию. Все эти факторы были учтены, результаты соответствующих расчетов приведены на рис. 12.15. Предполагаемая фокусировка излучения неодимового лазера до диаметра d0, равного 30 длинам волн в вакууме, выглядит достаточно реалистичной. Конечная максимальная колебательная энергия электронов дана для различных интенсивностей / лазерного пучка в фокусе с диаметром 30 длин волн для плазмы с относительной плотностью N = пе/пес от 0,1 до 0,99 [286]. Конечные значения колебательных энергий электронов и длины самофокусировки в виде диаграммы представлены на рис. 12.15.
Следует отметить, что колебательная энергия электронов 3 МэВ, которая необходима для генерации электрон-позитронных пар [313], достигается только при плотности мощности лазерного излучения, равной 5 1017 Вт/см2, что соответствует предельной минимальной мощности 31011 Вт. Кроме того, профиль интенсивности лазерного пучка должен быть достаточно гладким, чтобы образовывался только один филамент.
Еще один результат [314] связан с тем, что энергия, приобретаемая ионами после ускорения нелинейной силой в лазерном пучке чрезвычайно высокой интенсивности и диаметром, равным одной длине волны, не связана коэффициентом Z с релятивистской колебательной энергией электрона. Известно, что энергия ионов в Z раз отличается от колебательной энергии электронов в нерелятивистском случае, т.е. когда их энергия лежит ниже релятивистского порога. Зная релятивистский по- 232
Рис. 12.16. Расчет зависимости энергии ионов, полученной в результате релятивистской самофокусировки, от мощности лазерного излучения. Расчет для ионов, испущенных из мишени, сделан на основе уравнения (12.25) [15]. Зависимости энергии от длины волны не наблюдается. Зависимость от зарядности ионов ограничена предполагаемой степенью ионизации. Измеренные энергии ионов соответствуют точкам / [314], 2 [51], 3 [316] и 4 [317]. Штрихпунктир- ная кривая - порог релятивистской самофокусировки
рог интенсивности /геь определяемый соотношениями (6.73), можно найти поступательную энергию ионов после ускорения нелинейной силой в филаменте, образовавшемся в результате релятивистской самофокусировки, из соотношения
^ransl^^^^reO (1254) 4
Энергия ионов зависит от мощности лазерного излучения и не зависит от длины его волны (рис. 12.16). Исторически сложилось так, что ряд авторов не верили в существование ионов с энергией порядка несколько мегаэлектрон-вольт, зарегистрированных в [76], хотя полученные ими результаты были достаточно убедительны и полностью подтвердились результатами, полученными позже. Авторы [315] измерили ионы с энергией порядка нескольких мегаэлектрон-вольт и показали соответствие результатов измерений с результатами теории релятивистской самофокусировки. Спор о происхождении /-зависимых пиковых сигналов от ионного зонда (см. рис. 1.9) — то ли это какая-то наводка, то ли это реальные сигналы от ионов с энергий порядка нескольких мегаэлектрон-вольт — немедленно разрешается при рассмотрении уравнения вида (12.25) или зависимостей, приведенных на рис. 12.16. Когда Хьюджес впервые представил сообщения об ионах с энергией несколько мега- электрон-вольт на конференцию по квантовой электронике в Амстердаме, 1976 г., оно было отклонено под предлогом того, что все видели сигналы, соответствующие ионам с энергией в несколько мегаэлектронвольт (хотя никто до конца не понимал происхождения этих сигналов и не интерпретировал их как ионы с энергией в несколько мегаэлектронвольт) .
Следует отметить, что если бы такими же пучками лазерного излучения облучать мишени с высоким Z, то зарегистрированные в лазерной плазме протоны с энергией 15 МэВ [316] должны были бы соответствовать ионам с энергией 450 МэВ, которые имеют степень ионизации 30. Известно, что в плазме, получаемой с помощью лазерного излучения, степень ионизации достигала значения 40 и выше.
Получение ионов с высоким Z и энергий в несколько гигаэлектронвольт могло бы быть делом не такого уж далекого будущего. Вместо создания еше одних обычных ускорителей среднего размера для тяжелых ионов, стоящих порядка 100 млн. долларов, можно бы было обсудить возможности создания ускорителя тяжелых ионов до энергий порядка гигаэлектрон-вольт с лазерным инжектором [318]. Свойства импульсных потоков ионов с энергией несколько мегаэлектрон-вольт, получаемых в настоящее время с помощью лазера, очень сильно отличаются от свойств ионных пучков в обычных ускорителях. Однако недостатки, связанные с большим энергетическим разбросом и короткими импульсами, следовало бы сравнить с преимуществами генерации коротких вспышек ионов с очень высоким Z при пикосекундной длительности импульса и плотности потока ионов, на много порядков превышающей соответствующую величину в любом обычном ионном пучке. Эти преимущества делают необходимым детальный пересмотр многих интересных экспериментальных исследований, связанных со средними и высокими энергиями, в ядерной физике.
Глава 13.
ЛАЗЕРНОЕ СЖАТИЕ ПЛАЗМЫ ДЛЯ ЯДЕРНОГО СИНТЕЗА
Выше исследовалась макроскопическая нелинейная динамика взаимодействия лазерного излучения с плазмой. Для возможно большей корректности исходных предпосылок потребовалась некоторая существенная предварительная информация, например точные решения уравнений Максвелла, при том условии, чтобы получаемые результаты не противоречили друг другу. Для усиления этих ограничений можно предположить, что полученные выражения для нелинейной силы (8.81) или (8.82) полностью соответствуют результатам всех современных теоретических и экспериментальных исследований. С учетом этого экспериментальным результатам должен соответствовать эффект нелинейного ускорения ионов до энергии порядка нескольких мегаэлектрон-вольт (пропорциональной их Z) в процессе релятивистской самофокусировки. Передача импульса (в равной степени за счет механизма Минковского и механизма Абрахама) тесно связана с существенно новой интерпретацией проблемы Абрахама-Минковского. В отличие от термокинетического взаимодействия, нелинейное ускорение, в случае кьазиплоских фронтов при достаточно высоких интенсивностях проявляющееся в кавитонах, полностью согласуется с экспериментом. Обширные численные расчеты с плоскими волнами указывают на то, что оптическая энергия чрезвычайно эффективно преобразуется в быстрое движение толстых слоев холодной плазмы. Последующий солитонный процесс является лишним доказательством справедливости общей теории нелинейных процессов и объясняет быструю ионную термализацию короны на поздних стадиях вазимодействия. Наклонное падение приводит к струйному движению и (в случае р-поляризации) к резонансному поглощению, для которого процесс нелинейного ускорения рассчитан с учетом электростатического волнового механизма. Что касается пучков частиц, то здесь после разработки количественной модели нелинейной самофокусировки и нового механизма релятивистской самофокусировки измеренное ускорение электронов, появляющееся из-за наличия радиальных сил, приведено в согласие с теорией в том случае, если точные решения уравнений Максвелла использованы с учетом продольных составляющих электромагнитных волн в вакууме. Все эти результаты показывают, что существует совершенно новый взгляд на эту область физики, кото- 234
рая вместе с физикой неклассических явлений открывает новые возможности в обработке материалов, генерации импульсных потоков ионов с энергией от нескольких мегаэлектрон-вольт до нескольких гигаэлектрон-вольт при очень высокой плотности потока, создании источников импульсного рентгеновского излучения очень малой длительности и с длинами волн гораздо короче, чем у излучения линий [313] или излучения возбужденных ядер 235U, вызванного лазерным облучением [319]. Однако в настоящее время основная цель этой области физики сосредоточена на том, чтобы использовать лазерное облучение плазмы для инициирования управляемой термоядерной реакции синтеза, необходимого для производства энергии. Необходимость этого вызвана приближающимся энергетическим кризисом. Основная экономическая дилемма [320] была сформулирована следующим образом [321].
История человеческого прогресса неразрывно связана с непрерывно уменьшающейся стоимостью энергии. От времени открытия огня и колеса и до использования угля, нефти и природного газа для производства электричества многое было сделано человечеством для того, чтобы сохранить пропорцию между ценой и доступностью топливного сырья. В настоящее время для природных ископаемых видов топлива эта пропорция между ценой и эффективностью сохраняться перестала и возник интерес к другим источникам энергии (ветру, приливам и отливам, солнечной энергии, делению ядер, геотермальной и гидроэлектрической энергии), которые стали экономически более перспективны только в связи с постоянно возрастающей ценой природного ископаемого сырья. Поэтому мы здесь попытаемся рассмотреть, как можно использовать самый дешевый во Вселенной источник энергии-термоядерный синтез.
ЭНЕРГИЯ ЯДЕРНОГО СИНТЕЗА
Термоядерные реакции служат источником колоссальной энергии, излучаемой звездами. До настоящего времени единственным экзотермическим процессом подобного рода в земных условиях был взрыв водородной бомбы. В бомбе за счет энергии реакций деления твердое вещество из элемента с малым атомным номером сжимается и нагревается до температур выше 107 К (что соответствует кинетической температуре, равной 1 кэВ), при этом, несмотря на последующее расширение плазмы, энергия, выделяемая в реакциях синтеза, намного превышает энергию, необходимую для поджига. Этот тип производства энергии в настоящее время является целью обширных исследований, на которые ежегодно затрачивается примерно 500 млн долларов. В ходе этих исследований изучается возможность осуществления управляемых термоядерных реакций. В одном из подходов предлагается генерировать и нагревать стационарную плазму, удерживаемую магнитным полем. Лучшей системой подобного рода в настоящее время является тороидальный токамак [322], в других используются зеркальные магнитные поля [323], высокочастотные поля (ротомак) [324] или стеночное удержание при пониженном тепловом контакте со стенкой за счет магнитных полей [325]. В отличие от концепции магнитного удержания, с появлением лазера возникла надежда провести взрывы макроскопического масштаба на микроскопическом уровне и сделать этот процесс управляемым. Основная задача заключается в том, чтобы лазерным импульсом очень малой длительности и высокой интенсивности нагреть и сжать плазму до таких высоких плотностей и температур, при которых энергия, выделяемая в термоядерных реакциях синтеза, превысит энергию, необходимую для генерации лазерного импульса. Следует заметить, что, может быть, в будущем быстрый нагрев и сжатие будут осуществляться с помощью ионных или релятивистских электронных пучков [326-329].
Как было показано авторами [330] в 1933 г., большой интерес представляют реакции дейтерия с дейтерием (D- D) и дейтерия с тритием (D - Т):
D + D “►
D+ Т~+
3Не + л + 3,27 МэВ;
3Т + р +4,03 МэВ;
4Не +л + 17,6 МэВ.
(13.1)
(13.2)
235
Рис. 13.1. Измеренные и аппроксимированные значения сечения реакции 6 Li(d, а) а, полученные различными авторами [333 - 337]
Г,КЭВ
Рис. 13.2. Зависимость усредненного по скоростям взаимодействующих ионов сечения реакций от температуры плазмы Т для реакции, приведенной на рис. 13.1, и реакций с изотопами водорода и 3Не [333]
Нужный для реакции тритий может производиться (воспроизводиться) либо в реакции нейтрона с 7Li, либо в реакции (13.1).
В токамаке только DT-реакцию (13.2) можно использовать экзотермически. При использовании других реакций имеют место большие потери энергии на циклотронное излучение. Инерциальный термоядерный синтез не ограничен реакцией (13.2), существуют веские доказательства того, что в схеме термоядерного синтеза можно использовать чистые ядерные реакции, в которых не рождаются нейтроны, разрушающие реактор и производящие радиоактивные разрушения в реакторных материалах. Более предпочтительны реакции, в которых рождаются заряженные частицы, кинетическую энергию которых можно непосредственно преобразовывать в электрическую. При этом теплового загрязнения среды в термомеханическом процессе можно избежать. Примером такой реакции синтеза является [331]
D+ 3Не -*4Не + р+ 18,3 МэВ,(13.3)
где необходимый 3Не может воспроизводиться в реакции образующегося быстрого протона с 6 Li. Другой пример-реакция легкого водорода Н с 1 * В [332]:
Н+ ПВ 34Не+ 8,9 МэВ(13.4)
или реакция D с 6Li, которая проходит по нескольким каналам. Кларком и другими были проведены сравнительные оценки сечений канала D6 Li-реакции с рождением двух ядер 4Не и DD-, DT-, В3Не-реакций с точки зрения их применимости 236
в инерциальном синтезе. Соответствующие результаты отложены на рис. 13.1 [333]. Сечение реакции О, усредненное по спектру тепловой скорости ионов v, для термализованной плазмы с температурой Г, при средней массе взаимодействующих ядер т, можно определить из выражения
<av> =<av> =г 2J — v а(г)ехрг 2J — v а(г)ехрmi у2кТmi у2кТdv2.dv2.
<av> =
<av> =
г 2
J — v а(г)ехр
г 2
J — v а(г)ехр
mi у
2кТ
mi у
2кТ
dv2.
dv2.
На рис. 13.2 приведена зависимость (ov) для различных реакций синтеза от температуры.
РАСЧЕТЫ УСИЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ИНЕРЦИАЛЬНОМ СИНТЕЗЕ
Для любых драйверов, как лазеров, так и пучков частиц, расчет усиления энергии в процессе инерциального синтеза разделяется на две ступени. На первом этапе рассчитывается простейшая модель сферической плазмы с начальным объемом Ко и начальной плотностью и0, состоящей из полностью ионизованных ионов с зарядом Z. В этот объем некоторым неопределенным способом вложена энергия £0 так, чтобы температура гомогенной плазмы была равна 7q. Усиление энергии в реакциях синтеза определяется из следующего соотношения:
о= .Энергия реакций = ^ ^ ^ ^^^^(13 5)
Вложенная энергия Eq^
где 6^ - энергия одной реакции синтеза; и/ - плотность ионов; <av) - усредненное по скорости сечение реакции (для бинарных реакций константа А = 4). На рис. 13.3 приведены результаты расчета усиления для различных начальных объемов, плотностей и вложенных энергий. Наибольшее усиление в случае использования DT-реакции соответствует температуре 10,3 кэВ, для Н1 ^-реакции - 98 кэВ. Оптимальное усиление соответствует тангенциальной составляющей кривых на рис. 13.3 [339] и определяется из соотнношения [340]
(13.6)(13.6)^(А^з/иА2/3
(13.6)
(13.6)
^ВЕ/ Vee /
где л05 - плотность твердой фазы топлива; /Трр - энергия, необходимая для осуществления брейкивена, равная 1,6 МДж для DT-реакции и приблизительно 1 ТДж для Н1 ^-реакции [3 39, 341-348]. Формула (13.6) наглядно демонстрирует, как при увеличении начальной плотности плазмы «0 по квадратичному закону падает значение необходимой вложенной энергии при постоянном усилении. Таким образом, плазму необходимо сжимать. Если представить вложенную энергию через начальный радиус плазмы Rq и начальную температуру, соответствующую оптимальным условиям, в виде
Eo=4R3onio(A*ZHTol3lt,
то соотношение (13.6) преобразуется следующим образом:
G = const ni0 Ro, const = 1,66 • 10”22 см2.(13.7)
Это выражение с константой, соответствующей DT-реакции [очень мало отличающейся от константы, получаемой из (13.6) ], впервые предложено в [349].
На второй, более общей стадии расчетов усиления, следует учесть убывание топлива в процессе горения и потери на тормозное излучение, так как длина поглощения больше размеров плазмы. Кроме того, необходимо учеть дополнительный нагрев плазмы a-частицами, рождающимися в реакциях синтеза. Так как при оптимальных условиях процесс генерации a-частиц в реакциях синтеза очень интенсивен, аппроксимация Фоккера-Планка для энергии, оставленной в плазме, не под-
Рис. 13.3. Зависимость усиления G, определяемого из уравнения (13.5) на основе значения <av> [338], от энергии Ео, вложенной в сферическую ДТ-мишень с плотностью твердой фазы и различным начальным объемом Уо [339]
ходит. Данную аппроксимацию можно применять только при малых возмущениях и только с двумя первыми коэффициентами Фоккера-Планка. Для расчета энергии, поглощенной в плазме, была использована коллективная модель, основанная на концепции, удачно учитывающей быстрые электроны, и построенная на поляризационных эффектах.
Следует подчеркнуть, что первым, кто обсудил приближение Фоккера-Планка для пробега ионов, используя аппроксимацию Винтерберга R = Т3/2 (здесь Т - температура плазмы), но только в более общем виде, с перегибом около температуры, равной 1 кэВ, был Рэй [350] (рис. 13.4). Так как везде использовались обобщения квантовой электродинамики, больших отличий в результатах не наблюдается [351]. Низкотемпературная часть полученного соотношения совпадает с пробегами, рассчитанными в рамках коллективной модели [352], где выражение для пробега R имеет вид
R=-— [1п(ХЕя)2]; Ei(t)= J ^^dt. (13,8) 2kT m _ oo t
Здесь
kTHHg Z д g 6kTHHg Z д g 6
kT
HHg Z д g 6
kT
HHg Z д g 6
для начальной энергии Ед высокоэнергетической частицы с массой тд, зарядом Ед и температуры плазмы Т. На рис. 13.5 показан пробег a-частиц, рождающихся
238
Рис. 13.4. Аппроксимация Фоккера-Планка для пробега R протонов с энергией 14,7 МэВ в ДТ-плазме с плотностью твердого тела при разных температурах плазмы Т [351]Рис. 13.4. Аппроксимация Фоккера-Планка для пробега R протонов с энергией 14,7 МэВ в ДТ-плазме с плотностью твердого тела при разных температурах плазмы Т [351]
Рис. 13.4. Аппроксимация Фоккера-Планка для пробега R протонов с энергией 14,7 МэВ в ДТ-плазме с плотностью твердого тела при разных температурах плазмы Т [351]
Рис. 13.4. Аппроксимация Фоккера-Планка для пробега R протонов с энергией 14,7 МэВ в ДТ-плазме с плотностью твердого тела при разных температурах плазмы Т [351]
Рис. 13.5. Зависимость пробега R а-частиц, с энергией 2,89 МэВ, образующихся в реакции Н 1 В, от температуры плазмы при различных относительно твердой фазы плотностях электронов и^ [352]
в реакции Н 11 В, в плазме с различной температурой и электронной плотностью, причем видно, что рассчитанные результаты лежат слева от перегиба, соответствующего аппроксимации Фоккера-Планка. Справа от перегиба (при температурах от 103 до 104 эВ) расхождение между коллективной моделью и аппроксимацией Фоккера-Планка может увеличиться, как это было показано в [353]. Очевидно, что при расчете подогрева плазмы заряженными частицами из всех конкурентоспособных моделей для расчета R надо брать наименьшие значения пробега. Парис. 13.6 и 13.7 приведены результаты расчета усиления для DT-реакции [354] и НГ1В-реак- ции [244] с учетом энергии, оставленной частицами в плазме (рассчитанной исходя из коллективной модели).
Несмотря на то, что приведенные рассуждения основаны на достаточно простых предпосылках и модель подогрева нуждается для большей обоснованности выводов в дальнейшей доработке, примечательно то, что результаты расчетов для DT-pe- акции в пределах нескольких процентов согласуются с очень тщательными расчетами усиления, выполненными в [355] для сравнимых параметров [356-35 8], в которых значения подогрева брались из измерений на установках самого разного масштаба энергий [358].
Существенным результатом расчетов усиления, представленных на рис. 13.6 и 13.7, является то, что в них оптимальные температуры оказываются ниже, чем в тех моделях, в которых эффект подогрева не учитывается. Это видно из положения вертикальных линий на рис. 13.6 и 13.7, которые дают начальный объем плазмы с плотностью твердой фазы перед сжатием до определенной плотности. Эти линии являются вертикальными, если влияние процессов подогрева не учитывается. Дрейф линий в левую сторону пропорционален уменьшению начальной оптимальной температуры при увеличении начальной плотности. Оптимальной для DT-смеси при тысячекратном сжатии по отношению к плотности твердой фазы и вложенной энергии 10 кДж является относительно низкая температура - около 2 кэВ. Можно доказать корректность этого удивительного результата, если привести зависимость температуры плазмы от времени [354]. После начального небольшого спада температуры во времени наблюдается резкий подъем температуры вплоть до 50 кэВ, происходящий за время порядка нескольких пикосекунд. Подъем сопровождается стремительным спадом температуры из-за быстрого расширения (рис. 13.8). Это соответствует однородному объемному зажиганию сжатой плазмы в отличие от процесса распространения фронта горения, описанного Бракнером и Джорна [359].
Рис. 13.6. Зависимость усиления G [см. уравнение (13.5)] в ДТ-топливе с учетом потерь на тормозное излучение, перегрева и выгорания топлива от энергии Ео, поглощенной в плазме с начальной плотностью Ло U1^ - плотность твердой фазы; v^ - объем, соответствующий твердой фазе до сжатия ее до плотности Ло) [244,354]
Рис. 13.7. Усиление для Н1 ^-реакции при условиях, рассмотренных на рис. 13.6
Из-за процесса зажигания перспективный Н11В-топливный чистый цикл в будущих разработках систем с инерциальным удержанием может иметь значительные преимущества. Водородно-борный цикл можно бы было использовать, если в системах синтеза с пучками тяжелых ионов, или с пучками электронов, или в лазерных системах какого-то нового типа, таких, как лазеры с ядерной накачкой [33], при 240
Рис. 13.8. Временная зависимость температуры ДТ-плазмы при сжатии в 103 раз мишени с начальным объемом 10~3 см3 и плотностью твердого тела для различных начальных энергий Ео. При наличии зажигания и самоподдерживающегося горения даже небольшое увеличение Ео связано со значительным увеличением усиления
удовлетворительном энергозапасе и импульсной энергии порядка нескольких мегаджоулей было возможно с высокой эффективностью передавать энергию Eq на уровне нескольких мегаджоулей в плазму, сжатую в 104 раз по отношению к плотности твердой фазы. Важно рассмотреть, как могла бы измениться вся программа разработки энергоустановок на основе инерциального синтеза, если стало бы возможным использовать Н1 ^-топливный цикл в самое ближайшее время, скажем, в XX веке. Скорое достижение этой научной цели может очень сильно упростить технологические проекты. Мишени могут изготовляться при комнатной температуре и не нуждаются в криогенной технике, энергия реакций может преобразовываться прямо в электроэнергию, при этом эффективность преобразования может достигать 80%. Резко уменьшается тепловое загрязнение среды, которое свойственно почти для всех существующих в настоящее время станций [360].
Расчеты усиления G для cr-канала реакции D6Li показали, что в данном случае процесс зажигания не реализуется. Вместо дрейфа вертикальных линий влево (меньшие температуры зажигания при больших плотностях), был обнаружен дрейф в правую сторону. Усиление не превышает двух. Причина этого заключается в том, что в данном случае потери на тормозное излучение превышают выигрыш, обусловленный процессом подогрева. Здесь следует заметить, что в [361] было доложено, что, наоборот, зажигание осуществляется в реакции D6Li, а не в НнВ-цикле. Сказанное выше должно означать, что использование чистых топливных циклов в схемах с лазерным нагревом или пучками частиц выглядит достаточно реальным. Наше понимание преимущества Н11В-цикла основано на том, что пробег cr-частицы с энергией 2,9 МэВ гораздо меньше (соответственно подогрев больше), чем у cr-частиц с энергий 11 МэВ, рождающихся в реакции D6Li.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ЛАЗЕРНОМУ СИНТЕЗУ
Идея использования лазера в синтезе с инерциальным удержанием стала очевидной после открытия лазера в 1960 г. [362]. Первые публикации Н.Г. Басова и О.Н. Крохина [363], а также Кастлера [364] появились в 1963 г. Вслед за ними были опубликованы работы нескольких других авторов. Первое сообщение о нейтронах-продуктах реакций синтеза, испускаемых мишенью с дейтерием, появилось в 1969 г. [365]. В этом эксперименте число зарегистрированных нейтронов едва превышало порог детектора. О регистрации значительных потоков нейтронов в августе 1969 г. доложил Лубин [366], а в сентябре 1969 г. Флукс [367]. Существенно то, что в этих экспериментах лазерный импульс имел очень крутой фронт и с помощью электрооптических переключателей лазерный предимпульс подавлялся до значений 10“^ по отношению к амплитуде основного импульса.
Учитывая достигнутые результаты, группа сотрудников ФИАН [368] создала дев яти пучковую лазерную установку ’’Кальмар”, на которой в 1973 г. при облучении дейтерированных мишеней было зарегистрировано более 108 нейтронов. Очень сильный стимул термоядерные исследования получили после рассекречивания, когда в 1972 г. Теллер [369] доложил непубликовавшиеся много лет расчет- 16—Зак. 1563 241
Выход нейтрон об
Рис. 13.9. Сжатие и нейтронный выход из облучаемых лазером ДТ-мишеней в экспериментах на установке ’’Шива” [378] (и^ - плотность жидкой фазы ДТ-топлива)
ные работы Наккольса [370] и др. В этих работах описывались результаты исследований по лазерному нагреву и сжатию сферических мишеней, целью которых было достижение заметного усиления. Следующим важным этапом была демонстрация сжатия в стеклянных микрооболочечных мишенях с DT-газовым наполнением, сферически симметрично облучаемых лазером. Измерения проводились с помощью рентгеновской камеры-обскуры [371]. В периферийной части плазмы генерируется рентгеновское излучение из-за интенсивного взаимодействия лазерного излучения с плазменной короной, нейтроны в этой области не образуются, так как в элементный состав плазменной короны входит только стекло. Наблюдаемая генерация нейтронов во внешней части плазмы, связанная с плазменными струями, струйным движением или резонансным поглощением, может быть практически полностью исключена. Рентгеновское излучение из центра плазмы, которое появляется примерно через 100 пс после начала сжатия, совпадает с генерацией нейтронов из области прохождения управляемых термоядерных реакций синтеза (в дальнейшем будем для краткости называть эти нейтроны термоядерными).
В 1980 г. было достигнуто сжатие плазмы 102 по отношению к плотности твердой фазы (рис. 13.9), при этом начальная плотность сжатого газа была много меньше плотности твердого тела. В 1974 г. число термоядерных нейтронов не превышало 103 [372], в 1979 г. нейтронный выход на лазерной установке ’’Шива” [374] с энергией 10 кДж был увеличен в 3-107 раз и составил 3*1О10 [373]. На лазерной установке ’’Гелиос” с энергией 10 кдЖ нейтронный выход достиг 108 [375]. Использование очень коротких импульсов (30 пс) неодимового лазера было более предпочтительным, нежели длинных. Автор [376] отмечает, что при вложенной энергии всего 100 Дж из стеклянных микрооболочечных мишеней с ДТ-газовым наполнением был зарегистрирован нейтронный выход около 109. Прекрасные результаты экспериментов с короткими лазерными импульсами были получены и на других установках. Например, на небольшой лазерной установке ’’Аргус” число термоядерных нейтронов, приходящихся на единицу вложенной лазерной энергии, из чисто дейтериевых мишеней [374] в конце концов было не меньшим, чем число нейтронов, отнесенное к энергии нейтрального пучка, в лучших экспериментах на токамаке в Принстоне. Следует отметить, что в упомянутых экспериментах на токамаке, в которых были зарегистрированы ионы с большой максимальной энергией, свидетельствующие о тепловом неравновесии, нейтроны имели не чисто термоядерное происхождение в отличие от экспериментов с лазерным сжатием.
Диагностика в экспериментах по лазерному сжатию на различных установках осуществлялась самыми усовершенствованными методами [379], включая прецизионную технику изготовления мишеней, позволяющую изготовлять сферы из твердого дейтерия [380]. Разработка систем на основе лазеров на свободных электронах [303, 381], лазеров с ядерной накачкой [382] и других типов открывает широкие возможности для изобретения мощных лазеров с энергией несколько мегаджоулей, требующихся в инерциальном управляемом синтезе.
Исходя из предыдущих рассуждений о взаимодействии лазерного излучения с плазмой, можно сформулировать некоторые основные требования к процессу лазерного сжатия плазмы. Отвлекаясь от упомянутых многочисленных процессов и механизмов, которые будут исследованы в будущем, и не включая сюда сложные расчеты различных нейлинейных процессов, можно сформулировать один основной постулат: необходима обязательная симметрия облучения мишеней.
Хотя термо кинетические силы определяются только градиентом плотности, и даже чисто нелинейные силы, которые ускоряют плазму в направлении к меньшей плотности, не зависят от направления падающего лазерного излучения или от поляризации (в первом порядке приближения), нелинейные процессы (струйное движение и резонансное поглощение) зависят от р-поляризации и вызывают очень сильную асимметрию облучения. Рентгеновские обскурограммы плазменной короны при перпендикулярном падении тщательно сфокусированного луча [383] показывают, что надежды на компенсацию асимметрии облучения процессами теплового взаимодействия совершенно не оправдываются. Взаимодействие и сжатие в режиме так называемого пушера наблюдаются только в локализованном пятне сфокусированного излучения, и никакого теплообмена с менее освещенными участками поверхности происходить не может.
Вторым очевидным аспектом, необходимым для симметрии, является необходимость облучать мишень таким образом, чтобы избежать самофокусировки [384], в противном случае будет трудно надеяться на высокую симметрию сферического сжатия. Важно подавить процессы самофокусировки обоих типов: самофокусировку, вызванную нелинейными силами, с характерным низ ко энергетическим порогом и большой задержкой и релятивистскую самофокусировку, появляющуюся при больших интенсивностях мгновенно.
Не следует недооценивать исследование эффектов, появляющихся при наклонном падении лазерного излучения на поверхность, они могут быть важны при анализе механизмов, происходящих при перпендикулярном падении. Однако все же, если говорить о конечной цели инерциального термоядерного синтеза, симметрия сферического облучения мишени представляет огромный интерес. Если в режиме сжатия ’’взрывающийся пушер** действие нелинейных сил приведет к быстрому низкоэнтропийному образованию сравнительно толстых слоев плазмы уже в начальных стадиях взаимодействия, то можно считать, что существуют очень благоприятные предпосылки для концепции лазерного сжатия плазмы. Если для осуществления термокинетической изоэнтропийной абляции необходима быстрая термализация короны, в этом случае взаимодействие, обусловленное нелинейными силами, обеспечивает требуемую быструю термализацию в случае перпендикулярного падения интенсивного лазерного излучения, так как при этом должен произойти солитонный распад плазменной короны из-за действия нелинейных сил [386].
ТЕРМОКИНЕТИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ И СЖАТИЕ ЗА СЧЕТНЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ
Существуют две различные схемы сжатия лазерной плазмы. В ранних работах Наккольс [370] и др. авторы исследовали процесс облучения сферической мишени лазерным импульсом, интенсивность которого изменялась во времени определенным, заранее запрограммированным образом. В случае использования лазеров на неодимовом стекле интенсивность импульса медленно увеличивалась на много порядков величины в течение первых нескольких наносекунд, в то время как 50% лазерной энергии выделяется в течение последних 60-100 пс [370]. При лазерном 16» 243
облучении на поверхности мишени образуется плазма, которая за счет высокой температуры плазменной короны расширяется в вакуум. В результате этого часть плазмы ниже границы критической плотности (электронная плотность в этой области такова, что плазменная частота выше лазерной) вызывает движение в направлении к центру мишени, за счет чего и создается сжатие плазмы. Примечательно, что такой режим сжатия следовал немедленно из гидродинамических расчетов, опубликованных впервые Мюлсером [88] и Рэмом [215]. Использование лазерного импульса с фронтом нарастания интенсивности, смоделированным Накколь- сом, позволяет дополнительно увеличить сжатие ядра до 105 по отношению к плотности твердой фазы [370]. Этот результат может быть получен автоматически из гидродинамических расчетов взаимодействия лазерного излучения с плазмой, объем которых требует значительного машинного времени.
Аналогичный процесс сжатия до очень высоких плотностей может быть рассчитан из последовательности ударных волн, создаваемых в плазме мишени последовательностью лазерных импульсов нарастающей интенсивности. Этот процесс следует модели Гудерлея [220], в которой временная фазировка импульсов, корреляция их интенсивности и скорости распространения ударных волн к центру мишени осуществляются так, чтобы ударные волны сходились в центре одновременно. Следует отметить, что эта модель ударных волн описывает многие существенные этапы схемы Наккольса, однако привнесение большой энтропии в чисто волновом процессе сжатия очень нежелательно. Одно из условий подбора формы лазерного импульса должно заключаться в том, чтобы внесенная энтропия была минимальной. Полная эффективность сжатия плазмы импульсом лазера на неодимовом стекле довольно мала, например только 5 % падающей лазерной энергии может передаваться в сжатое ядро. Однако такой эффективности вполне достаточно для того, чтобы достичь усиления около 40 для дейтерий-тритиевой реакции при энергии падающего лазерного излучения 200 кДж.
Гидродинамические параметры сжатия по схеме Наккольса автоматически следуют из программ гидродинамических расчетов на ЭВМ. Если рассмотреть этот процесс более детально, то можно обнаружить некоторые трудности. Прежде всего необходимо достаточно быстро преобразовывать энергию лазерного излучения в тепловую энергию электронов и ионов в плазменной короне, необходимую для гидродинамического движения. Ранее подчеркивалось, что, как следует из уравнения (10.2), обычная термализация с кулоновской частотой является слишком медленной (см. рис. 10.4). При плотности мощности излучения неодимового лазера 1016 Вт/см2 время столкновений превышает 60 пс- длительность основного лазерного импульса в схеме Наккольса. Так как для образования сжатого ядра необходимы плотности мощности излучения неодимового лазера [387] около 1019 Вт/см2, то. чтобы не ограничиваться сравнительно низкими интенсивностями - около Ю1^ Вт/см2, необходимо найти процессы быстрой термализации. Как уже было отмечено, достигнуть необходимого для динамических процессов поглощения энергии за счет параметрических распадных неустойчивостей не удается.
Другой возможностью быстрой передачи энергии является резонансное поглощение при наклонном падении и р-поляризации. Однако результатом этого процесса будет асимметрия облучения мишени. Одним из способов достижения быстрой термализации в плазменной короне при очень больших интенсивностях лазерного излучения и симметричном облучении мишени является процесс солитонного распада в короне из-за воздействия нелинейных сил (см. пояснение к рис. 10.2). Эти процессы в масштабе временй лазер-плазменного взаимодействия являются быстрыми, так как солитонный распад может происходить в течение нескольких пикосекунд или немного дольше. Очень возможно, что для излучения лазера на неодимовом стекле времена взаимодействия более 1 нс окажутся слишком большими.
Другая проблема в этой схеме связана с передачей энергии лазерного излучения во внутренние слои плазмы. Процесс распространения волн электронной теплопроводности при наклонном падении и р-поляризации исследовался всесторонне. Резонансное поглощение должно сопровождаться генерацией электронов с большой энергией, летящих в направлении внутренней области плазмы. За счет этого сжатия плазма должна нагреваться. Явления переноса и теплопроводности в сжатой мише-
ни, а также процессы поглощения в плазменной короне представляются весьма критическими для схемы Наккольса.
Упомянутых аномалий можно избежать, используя очень длинные импульсы излучения неодимового лазера (несколько наносекунд) при умеренных интенсивностях ниже 1014 Вт/см2, тогда, вероятно, осуществится идеальный режим газодинамической абляции [388]. Проблема, связанная с очень низкими температурами и нейтронными выходами, характерными для этого режима, может быть преодолена при использовании очень больших мишеней и мощных лазерных импульсов [385]. Следует заметить, что с увеличением масштаба мишеней отношение площади поверхности взаимодействия к объему, который необходимо нагреть, уменьшается по сравнению с исследованными абляционными режимами [385],в которых были зарегистрированы высокие степени сжатия при низких температурах (см. рис. 13.9).
Другая альтернативная схема лазерного сжатия основана на создании очень быстрого ’’поршня” (пушера) в плазме. В таком режиме для очень эффективного преобразования оптической энергии в кинетическую достаточно толстых слоев плазмы, движущихся с очень большой скоростью, можно использовать нелинейные силы. Процесс взаимодействия практически не изменяет температуру сжатой плазмы (см. рис. 10.18, б). Как показано на рис. 10.20, а образование быстро двигающегося сжимающего слоя поршня происходит за время начального периода взаимодействия, до начала солитонного распада. Как видно из рис. 10,20, а, стремительное движение сжимающего слоя продолжается и после начала распада, но очевидно, что дальнейшее преобразование энергии лазерного излучения в кинетическую энергию этого слоя невозможно, солитонный распад поверхности поглощает лазерную энергию до того, как может произойти взаимодействие со сжимающим блоком.
Высокая эффективность преобразования оптической энергии в кинетическую энергию сжатой плазмы была продемонстрирована в расчетах. При этом 43% энергии падающего излучения передается в сжимающий слой. Последующее движение сжимающего фрагмента можно представить как взрыв сферической оболочки, которая после коллапса должна быть сжата. Кинетическая энергия плазмы должна затем перейти в тепловую энергию. Если начальные условия в момент коллапса соответствуют гауссовскому распределению плотности и линейному профилю скорости, тогда будут удовлетворены предпосылки самосогласованной модели (см. гл. 5) и произойдет идеальное адиабатическое или изоэнтропийное сжатие и расширение сферической плазмы. Что касается ядерных реакций синтеза, то определенные отклонения от идеальных адиабатических условий в этом случае будут неизбежны. Сильные отклонения от идеального адиабатического режима связаны с различными нежелательными ударными процессами и нагревом, которые могут понизить усиление в ядерных реакциях синтеза вплоть до 10 раз. Однако в этих расчетах, учитывающих привнесение энтропии, начальные условия были выбраны не самыми оптимальными, поэтому даже при неидеальных начальных параметрах плазмы в моменты сжатия возможны некоторые улучшения.
Скорость сжимающегося плазменного слоя должна быть выбрана такой, чтобы в момент максимального сжатия достигались оптимальные температуры. Указанные температуры находятся в интервале от 2 до 10 кэВ для ДТ-реакции и от 30 до 100 кэВ для Н11 В-реакции при степени сжатия 103 и 10^ по отношению к плотности твердой фазы соответственно. Оптимальные параметры для усиления рассчитываются на основе следующих рассуждений.
Начальные температуры плазмы, представляющей собой полую сферу с определенным профилем плотности, имеющим максимум около значения критической плотности, должны быть очень малы для больших длин волн. Эти значения были рассчитаны первоначально для случая адиабатного сжатия [255]. Для длинноволнового излучения СОз-лазера, с учетом низкой критической плотности эти начальные условия были слишком жесткими, практически неосуществимыми. Если использовать другие, более оптимальные параметры усиления, условия для использования СО2-лазера улучшаются. Даже при очень неблагоприятных условиях [244] можно получить желаемые результаты. При падающем импульсе излучения СО2-лазера длительностью 0,3 нс, с энергией 400 кДж в плазму с температурой 3,5 кэВ, сжатую в 100 раз, передастся 50% энергии лазера. В реакциях синтеза выделяется энер-
гия 20 МДж, что соответствует усилению 50 по отношению к энергии падающего лазерного излучения. Мишень, представляющая собой тонкостенную сферу из дейтерированного полиэтилена СДз радиусом 2,62 см и фотовзрывную жесткую оболочку радиусом 1 см, заполнена газообразной ДТ-смесью плотностью 1019 атомов/см3. На начальных стадиях используется би-рэлеевский профиль с характерным параметром 1.9*103 см-1 [244]. Интенсивность лазерного излучения в области центральной оболочки равна 3,2*1013 Вт/см2, ускорение, сообщаемое нелинейными силами сжимающему слою, равно 2,43*1017 см/с2 в начальной точке максимума лазерной интенсивности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Несмотря на усилия в создании очень больших проектов, стоимость каждого из которых превышала 100 млн долларов, по сравнению с выходом 108 ДЦ-нейтро- нов, полученным на девятипучковой установке ’’Кальмар” [368] (что соответствует выходу 1010 ДТ-нейтронов) в 1973 г. при энергии лазерного излучения 0,5 кДж, прогресс в увеличении нейтронного выхода до 3*1010, достигнутый на установке ’’Шива” в 1979 г. при энергии порядка нескольких килоджоулей [385], выглядит очень незначительным. Однако в первом случае нейтроны могли появиться из-за неясных до конца поверхностных эффектов, а во втором случае нейтроны действительно генерировались в сжатой мишени. Несмотря на это, согласно Брак- неру [389], предсказываемое усиление оказалось в 1Сг раз больше полученного на ’’Шиве”. В настоящее время быстро прогрессирует синтез на ионных пучках. Куперштейном и др. [329] было доложено о генерации 1013 ДД-нейтронов при фокусировке импульсного пучка ионов дейтерия с энергией 1,4 МэВ, диаметром 4 мм, длительностью 10 нс и общей энергией 50 кДж на дейтериевую мишень. Это усиление в 20 раз выше усиления, полученного на лучших токамаках [390]. При использовании пучков тяжелых ионов с энергией несколько гигаэлектронвольт [327] могут быть достигнуты еще более оптимальные параметры, так как пучки тяжелых ионов меньше расходятся при транспортировке в чистом вакууме и легче фокусируются на мишень.
Существует определенная уверенность [391], что оптимальные для схемы термокинетического сжатия плотности энергии около 1015 Вт/см2 будут взяты за основу в наиболее эффективных установках на основе ионных пучков, в то время как при использовании лазерных пучков такой интенсивности встретятся указанные выше сложности. Для лазеров одним из решений проблемы могло бы быть использование сжатия нелинейными силами при плотности мощности падающего излучения 1017 Вт/см2.
При таком режиме сжатия происходит низкоэнтропийное (высокоэффективное) преобразование оптической энергии лазерного излучения в кинетическую энергию быстрого, массивного, сжимающего слоя холодной плазмы. Такие интенсивности не могут быть достигнуты в ионных пучках из-за пространственных зарядов. Однако значение интенсивности 1017 Вт/см2 ближе к интенсивности 1019 Вт/см2, необходимой на сжатом ядре [388]..Следует отметить, что наибольшие относительные выходы нейтронов получались на установке ’’Аргус” [392] при симметриодом облучении мишени и длительности импульса 25 пс, что гораздо ближе к режиму сжатия нелинейными силами с характерным малым временем облучения, чем к режиму с длинными импульсами на установке ’’Шива” (см. рис. 13.9). Было обнаружено, что при очень длинных импульсах иэ-за неэффективной передачи энергии в сжатое ядро достигаются очень высокие степени сжатия, но невысокие нейтронные выходы (абляционный режим). Если длительность импульса не так велика (режим пушера), то при возрастании интенсивности лазерного излучения начинается генерация быстрых электронов, которые слишком сильно преждевременно нагревают ядро, уменьшая степень сжатия в адиабатном режиме. На рис. 13.9 меньшие плотности соответствуют режиму пушера, а большие - абляционному режиму. В противоположность этому быстрый пушер, образующийся из-за действия нелинейных сил, ускоряет плазму, до начала генерации быстрых электронов. Это подтверждается обширными численными расчетами и может быть одним из способов преодоления известных сложностей лазерного синтеза.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
В гл. 2 мы использовали понятие ’’эффективная масса электрона т*”. Несмотря на то, что это - характеристика конденсированной среды, полезно обсудить применимость данного понятия для плазмы с высокой плотностью под углом зрения квантовых свойств плотной плазмы. Так как задачей нашей книги является изложение всех рассмотренных физических процессов, как например гидродинамики или электродинамики, по возможности, ”с самого начала” мы приведем здесь некоторые общие выводы квантовой механики.
В основу квантовой механики легло открытие того, что все величины, имеющие размерность действия, обязательно кратны постоянной Планка h = 6,67 -10“34 Дж с или И = А/2 7Г. Наблюдение этого эффекта было не таким простым, как наблюдение атомистической структуры электрического заряда (выражаемой через электронный заряд) в эксперименте Милликена. Исторически существование атомистической структуры действия стало абсолютно очевидным, когда энергия Е (электронов фотоэмиссии или в газовом разряде - эффекте Франка-Герца) была соотнесена с (оптической) частотой V
E/v = h.(П1.1)
Так как произведение импульса р на координату х имеет размерность действия, возникли сложности - как сохранить гармоничную, красивую теорию, так удачно сформулированную Ньютоном, д’Аламбером, Лагранжем и Гамильтоном. Представим функцию Гамильтона для простой системы как сумму кинетической р212т и потенциальной энергии V (х) в виде полной энергии Е;
р1
H=—*V^=E,(П1.2)
2т
При этом необходимо помнить о физическом смысле лагранжиана и о том, что в случае неконсервативных сил [115] это не просто разность кинетической и потенциальной энергии.
Один из способов квантования уравнения (П1.2) основан на том, чтобы не использовать непосредственно р и х, а описать их с помощью функций распределения так, как это сделано в гл. 3. Вместо того чтобы находить среднее значение множества величин qm можно использовать функцию распределения fn, с помощью которой среднее значение величины представляется в виде [см. уравнение (3.2)]
q = ^fnqnl^fn.(П1.3)
На основе этого уравнение (П1.2) можно записать с помощью дифференциальных операторов, однако в данном случае будет определена только функция распределения, с учетом которой физические величины должны быть выв едены аналогично соотношению (П1.3). Введение операторов
р=-А —; Е=-- —(П1.4)
dxi dr
согласуется с квантованием
р^х = ’*”; ^dr = ’*’.(П1.5)
Кавычки означают, что до разработки волновых уравнений (Де Бройль, Шредингер) соотношения П1.5 носили гипотетический характер. Только в ретроспективе можно было бы понять обоснованность процедуры (П1.4), исходя из кванто- 247
вания (П1.1) или (П1.5). При использовании соотношения (П1.4) в уравнении (П1.2) функция Гамильтона становится оператором Гамильтона для дифферен
циального уравнения относительно функции Ф (уравнение Шредингера):
Г ^ э2 1 ,13,
+ Г(х) ■ Ф(х, Г) =Ф(х. О-(П1.6) 2m Эх2* д'
Стационарные (не зависимые от времени) решения этого уравнения представим в виде
Ф =Ф =Ф (г) ехрФ (г) ехр(П1.7)(П1.7)
Ф =
Ф =
Ф (г) ехр
Ф (г) ехр
(П1.7)
(П1.7)
где Е - собственное значение функции распределения, имеющее физический смысл энергии в стационарном уравнении Шредингера. С учетом П1.7 уравнение Шредингера, выражающее пространственную зависимость от координат, будет иметь вид
< £2X
(П1.8)(П1.8)V2 + Г (г) - Е ф(г) =0.
(П1.8)
(П1.8)
2тI
Если потенциал V = 0, то электроны в вакууме, согласно (П1.8), можно описать с помощью плоских волн:
V/ (г) = А ехр (/к • г); Ф = А ехр [ к • г - - Et I ,(П1.9)
E/t = со - угловая частота, а вектор к находится из уравнения (П1.8),
(П1.10)
Чтобы от функций распределения перейти к физической величине (математическому ожиданию), надо воспользоваться методом усреднения (П1.3), однако, так как функция Ф может быть комплексной, при интегрировании по всему пространству следует ввести комплексно сопряженную величину Ф*:
f ^q'Vd3?
Q= -- .(TH.10а)
^*^3Т
Нормировка амплитуды А в уравнении (П1.9) должна удовлетворять условию /Ф*Ф^3т = 1. Например, для того чтобы получить импульс электрона, надо в качестве величины q в выражении (П 1.10а) использовать оператор р из уравнения (П1.4), тогда при дифференцировании по пространству соотношения (П1.9) получаем соотношение для импульса в виде
Р=/ф*— 7фс?3Т = йк.(П1.11)
i
Используя (П1.10), находим соотношение между импульсом и энергией свободного электрона в точке
р = ^2тЕ1.(П1.12)
Классическим примером этого квантовомеханического метода является использование кулоновского потенциала протона Г(г) в уравнении (П1.8) для нахождения стационарных (связанных) состояний электрона. Решения уравнения для функций распределения 1// математически соответствуют собственным значениям Еп (и = 1, 2, ..., °°), которые являются энергетическими уровнями электрона в атоме. Пространственное распределение ФФ* соответствует плотности электро- 248
нов в атоме при диаметре, равном двум боровским радиусам для п = 1, восьми боровским радиусам для п = 2, и т.д. (см. § 2.3).
Для теории конденсированной среды представляет интерес случай периодического потенциала
r(r + d)=K(r)(П1.13)
с вектором периодичности
d = ii^ifli + \2d2a2 + ia^a^a,(П1.14)
где dj - расстояние между атомами в трех направлениях кристаллической решетки; / = 1, 2, 3; а} - целые числа. Блох нашел, что решения уравнения (П1.8) для периодического потенциала (П1.13) имеют вид:
i//(r) = w (k, г) exp (ik • г).(П1.15)
Тогда уравнение Шредингера запишем в следующем виде:
’ - V2 + Г(г) - Е(к) ► и (k, г) exp (ik • г) =0.(П1.16)
2 т
С математической точки зрения для решения вопросов механики достаточно задать потенциал V(г), который однозначно определяет ^(г). Это однозначно связано с функцией Е(к). Вместо описания электронов в кристалле с помощью К(г) или ф(г) можно однозначно описать их, рассматривая E(k). к определяет импульс электронов, поэтому для их однозначного описания достаточно знать закон взаимосвязи энергии и импульса. Блох обнаружил, что вместо параболического соотношения между энергией и импульсом свободных электронов p^jlm = ЕУопределяемого уравнением (П1.12), для энергии Е должны существовать запрещенные зоны. Функции F(k) также являются периодическими, и при к = 0 это параболическое соотношение для свободных электронов можно аппроксимировать функциями Е№. Параболы только в большей или меньшей степени искривлены. Безразмерный коэффициент, связанный с кривизной, имеет следующий вид:
1[^/^(Р2)] вакуум
т* =—,(П1.17)
#2 ЭЕ/Э(к2)
где т* - эффективная масса.
Наличие структуры энергетических зон для электронов может проявляться в очень плотной низкотемпературной (вырожденной) плазме. Плазма с близкими параметрами получается в настоящее время на установках лазерного термоядерного синтеза, поэтому в будущем ее характеристики нуждаются в более детальном исследовании.
Для того чтобы завершить схематическое построение квантовой механики, приведенное в данном приложении, следует сделать еще одно замечание. Описание квантовомеханических процессов и на основе функций распределения, и на основе математических ожиданий, которое позволяет сохранить механику Ньютона-Гамильтона с помощью дифференциального уравнения Шредингера, имеет математический эквивалент с описанием на основе интегральных уравнений (теория преобразований Вейля). Собственные значения дифференциального уравнения соответствуют элементам матриц в описании на основе интегральных уравнений. Гейзенбергом было показано, что матрицы можно непосредственно использовать в гамильтониане (матричная механика).
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА
Выведем функцию распределения по энергии частиц плазмы или газа, находящегося в равновесии; эта функция была использована в гл. 3. Существует корреляция между энтропией S12 и вероятностью Wu микроскопической структуры состояний двух термодинамических систем с соответствующими величинами: 5,, $2, ^ и ^2 [394, 395]. По определению,
S12 =$1 + $2i(П2.1)
^12= ^1^2.(П2.2)
Связующая функция [396]
№1Х2) =№0 + f(x2)(П2.3)
дается соотношением Больцмана
S=fclnW,(П2.4)
в котором постоянная Больцмана к принимается за газовую постоянную, приведенную к одной частице.
Описание плазмы на языке вероятностей распределения по энергии ее отдельных частиц является слишком приближенным и может расходиться с действительностью. Описание предполагает, к примеру, что силы между частицами малы, или что ими можно пренебречь в первом порядке величины, или что они действуют пренебрежимо малое время. Но все таки наличие взаимодействия необходимо, чтобы установилось равновесие. Другой недостаток связан с описанием явлений, основанным на дифференцируемых или аналитических (голоморфных) функциях, которые могут приводить к супердетерминизму (Лапласа, Коши). Если рассмотреть взаимосвязь между физическим объектом и прибором для его исследования, то это может быть даже следствием квантовой механики (не только в описании Шредингера) [397].
В статистике Больцмана, в отличие от квантовой статистики, предполагается возможность различать частицы ансамбля. Число частиц Nj в шестимерном элементе объема Ат,- = Ах Ду Az Дул. Av^ Ду2 дается функцией распределения
Nj =f(i)^Ti.(П2.5)
Полное число частиц N должно быть постоянным:
N = SRi)/^; &N= ^df(i)^Ti =0.(П2.6)
Здесь используется постоянство Ат,- для любой вариации (согласно теореме Лиувилля). Энергия частиц (7(6) в /-м элементе объема есть N^u (i). Полная энергия должна быть постоянной:
(7= Ей (0/(0Ат,-; 6(7= 26/(0 и (О Ат,• =0.(П2.7)
Вероятность системы, в которой состояние каждого элементарного объема имеет вес
G^ = Ат,-,(П2.8)
в том случае, если частицы можно различать, определяется числом всех возможных неповторяющихся перестановок:
№ ПС^'
W =.(П2.9)
ПТУ,-!
Используя уравнения (П2.5), (П2.8) и формулу Стирлинга (с аппроксимацией для 250
больших TV)
(П2.10)
из П2.9 находим
П V(f) Дг,/0) Дт'
(П2.11)
С учетом уравнения (П2.4) энтропия определяется следующим образом:
S = к NlnN - к 2/0) Дг,-In/0).
(П2.12)
Равновесное состояние системы соответствует максимальной величине вероятности W или при дополнительных условиях постоянства полного числа частиц N [уравнение (П2.6) ] и полной энергии U [уравнение (П2.7) ] 6S = 0. Из соотношения (П2.12) находим
0 = 26,/0) Дт,1п/(О + 26/0)Дтл (П2.13)
Для того чтобы использовать дополнительные условия, можно применить метод множителей, в котором условия (П2.6) умножаются на а и прибавляются к уравнению (П2.13), то же самое следует проделать после умножения на 0 с условиями (П2.7). В результате получаем
ln/(/) + 1 + а+ (Зи У) = 0. (П2.14)
Это сразу же приводит к искомой функции распределения энергии
/0) = Л exp(-0u(z)).
(П2.15)
Здесь величина
А = exp [- (1 + СГ)]
(П2.16)
связана с постоянным полным числом всех частиц N. Из уравнений (П2.6) и (П2.15) находим
N = A Sexp (-(Зи (О) Дт,(П2.17)
или
у а) = ^ехр(~/МО) 2ехр[-0и О')]Дту
(П2.18)
Знаменатель в выражении (П2.18) есть сумма состояний
О = ЕДт/ехр(-0м (О) •(П2.19)
Физическая интерпретация множителя (3 связана с определением энтропии. Подставляя выражения (П2.18) и (П2.19) в уравнение (П2 Л 2), находим
N
S = к InTV- kL— Дт, ехр (-(3 и (О) [inTV- (Зи (i) - 1па].(П2.20)
О
Используя (П2.7), получаем
— У-Д^и (/) ехр (-(Зи (П) = U.(П2.21)
Уравнение (П2.20) представим в виде
S =к(3 U* к Nina.(П2.22)
251
В термодинамике при V = const определена связь между S, U и температурой Т:
(П2.23)(П2.23)_ /dS\
(П2.23)
(П2.23)
Т ( ди ) v
Согласно уравнению (П2.21)Согласно уравнению (П2.21)Э$\ ди ) vЭ$\ ди ) vdS /90 \ d(3 \dU ) vdS /90 \ d(3 \dU ) vU есть функция 0, поэтому dS 1 dp (dl//d/3)p 'U есть функция 0, поэтому dS 1 dp (dl//d/3)p '(П2.24)(П2.24)
Согласно уравнению (П2.21)
Согласно уравнению (П2.21)
Э$\ ди ) v
Э$\ ди ) v
dS /90 \ d(3 \dU ) v
dS /90 \ d(3 \dU ) v
U есть функция 0, поэтому dS 1 dp (dl//d/3)p '
U есть функция 0, поэтому dS 1 dp (dl//d/3)p '
(П2.24)
(П2.24)
После дифференцирования выражения (П2.22) находим
dSасdSасkN даТ эр*kN даТ эр*(П2.25)(П2.25)
dSас
dSас
kN да
Т эр*
kN да
Т эр*
(П2.25)
(П2.25)
Дифференцируя по j3 соотношение (П2.19) и подставляя затем в него уравнение (П2.21), получаем
(П2.26)(П2.26)— =- Su 0) Дт, ехр [-0U (О] =- —- .
(П2.26)
(П2.26)
Используя выражение (П2.25), приходами уравнению
dS dPdS dP=kP^.др=kP^.др(П2.27)(П2.27)
dS dP
dS dP
=kP^.др
=kP^.др
(П2.27)
(П2.27)
Комбинируя полученную дифференциальную форму и соотношение (П2.24), находим
= рк = -.= рк = -.(П2.28)(П2.28)
= рк = -.
= рк = -.
(П2.28)
(П2.28)
откуда
(П2.29)(П2.29)Р = 1/кТ.
(П2.29)
(П2.29)
Теперь из функции распределения (П2.18) получаем распределение Максвелла- Больцмана [см. для сравнения уравнение (3.20)]:
(П2.30)(П2.30)Кп = ^exp(-u<i)(kT)
(П2.30)
(П2.30)
Дт/ехр <-и (i)/kT)
Следует отметить, что обсуждение вопроса о корректности размерности О в выражении (П2.22), которая, с одной стороны, должна быть безразмерной, а с другой стороны, имеет размерность действия в кубе, привело Планка [398] к введению произвольной постоянной h в уравнение для энтропии (П2.22)
(П2.31)(П2.31)(П2.32)(П2.32)Uо
(П2.31)
(П2.31)
(П2.32)
(П2.32)
S = — + ЛЛ1п— .
Тh3
Тогда выражение для свободной энергии будет иметь вид
F = U- TS =-kNT\n~ .
Этот вывод теории атомистической структуры силы (квантования) потребовал (с учетом классической статистики), чтобы осциллятор с частотой V мог излучать энергию, только кратную hv. Полученный результат вызвал необходимость по-новому сформулировать понятие суммы состояний О (только для осцилляторов)
в виде
h
О =
1 - ехр(-Лр/*Т)
(П2.33)
и в сочетании с законом Рэлея-Джинса для плотности энергии низкочастотных мод излучения черного тела привел к открытию закона излучения Планка. Сравнение результатов, полученных исходя из этого закона, с экспериментальными данными (полностью согласующимися) дало возможность определить к. Следует напомнить, что при собственном выводе закона излучения Планка Эйнштейн открыл стимулированное излучение (лазер) [399], это в определенном смысле можно рассматривать [400] как следствие статистики Больцмана.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ВЫВОД ОБОБЩЕННЫХ ДВУХПОТОКОВЫХ УРАВНЕНИЙ
В этом приложении содержится прямой вывод двухпотокового уравнения движения вида (8.3) или (8.6) исходя из уравнения Эйлера для электронов и ионов. Последовательность рассуждений аналогична оригинальной работе [136]. Будем использовать уравнение Эйлера для ионов с членом, в общем виде учитывающим вязкость (определяемым частотой соударений), которое аналогично (6.1),
™ini
VnjkTj + ZnieE +
Zn^emjnjmne
+v, x HV (v, - ve) + K,
спцтц*тппе
(П3.1)
и уравнение Эйлера для электронов, аналогичное (6.2),
imne
Э
— ve+ ve- V ve ot
=— VnekTe -
ne eпцирпие
- ne e E\e x H + ^ (vf - ve) + Ke.
cmini * mne
(П3.2)
Можно считать, что оба уравнения основаны на гидродинамических процессах, которые проявляются при выводе кинетической теории (см. гл. 3). Члены, описывающие вязкость при совместном рассмотрении уравнений, взаимно уничтожаются. Здесь мы будем предполагать, что суммарное давление плазмы
р = njkTj + пекТе и/ (1 + Z)kT,(ПЗ.З)
считая также, что плазма находится в состоянии теплового равновесия:
Т< Те^Т.(П3.4)
Теперь следует решить вопрос о квазинейтральности
ne^Znb(П3.5)
которую, вообще говоря, нельзя считать полной [знак равенства в соотношении (П3.5)]. Но во всех известных видах флуктуаций квазинейтральность выполняется с такой высокой степенью точности, что результирующая скорость плазмы пцп(\} + тпи€\е
может быть аппроксимирована [см. (6.3) ] выражением
mjNj * Zm\e v « .(П3.7)
Ш( + Zm
Для разности скоростей в этом случае введем очень важную аппроксимацию
(П3.8)(П3.8)пеуе-7пщеj
(П3.8)
(П3.8)
ve - v, ~=
пееепе
Здесь использовано определение плотности электрического тока [см. (6.4) ]
j = e^ZnjVj - neve).(П3.9)
Соответствующий вывод без всех этих предположений был проделан Люстом [401]. Согласие полученного выше соотношения с его результатами не только оправдывает сделанные предположения, но и придает также особый смысл универсальности полученных соотношений.
Складывая уравнения (П3.1) и (П3.2), что необходимо для вывода уравнения движения, в правой части соотношения получаем
Vp+ <Znj -пе)еЕ + (Znjevj- neeve)x— + К, + К^.(П3.10)
с
Или, используя (П3.9), находим
VP+ Ee<Znj - п^ +j х — +К, + Ке.(ПЗ.Юа)
с
При этом члены, связанные с вязкостью, исчезают.
Складывая (П3.1) и (П3.2) и используя тождественное преобразование левой части уравнения (П3.2), в левой части соотношения получаем
(ПЗ.Юб)(ПЗ.Юб)тт
(ПЗ.Юб)
(ПЗ.Юб)
~Уе +Уе • V ve ot mjmj
При прибавлении и вычитании нескольких дополнительных членов в соотношении ПЗ.Юб получаем следующее выражение:
dд т
mini — Vj + mini — — Z ve + mjnjVj • V Vj +
drdr mi
Zm _Zm _ ,Zm _ _
mini ve • V ve* mini ve • V v/ - m^iVj • V v, +
mimimi
ZmZm _ J/ Zm \2
mini vi • V ve - mini Vj • n ve - mini I ve • ve -
т<mj\ n4 /
ZmZm
т^, v,- • V (ve- v,) + m/n,- v,- ■ V (ve - v,).(П3.11)
mjmj
Здесь можно пренебречь членом с квадратичным отношением масс и членом (mjnjZm/mj)(yj • V v/). Группировка остальных членов в (П3.11) приводит к выЗдесь можно пренебречь членом с квадратичным отношением масс и членом (mjnjZm/mj)(yj • V v/). Группировка остальных членов в (П3.11) приводит к выражениюminiражениюminid V + V drd V + V drVvVvZm*т,п, (ve - v,) •”4Zm*т,п, (ve - v,) •”4V (Ve - V,).V (Ve - V,).(П3.12)(П3.12)
Здесь можно пренебречь членом с квадратичным отношением масс и членом (mjnjZm/mj)(yj • V v/). Группировка остальных членов в (П3.11) приводит к вы
Здесь можно пренебречь членом с квадратичным отношением масс и членом (mjnjZm/mj)(yj • V v/). Группировка остальных членов в (П3.11) приводит к вы
ражению
mini
ражению
mini
d V + V dr
d V + V dr
Vv
Vv
Zm
*т,п, (ve - v,) •
”4
Zm
*т,п, (ve - v,) •
”4
V (Ve - V,).
V (Ve - V,).
(П3.12)
(П3.12)
Используя соотношения (П3.8) и (П3.9), последний член в выражении (П3.12) перепишем в виде
„х .mi j 4ят ..„
mZnj (ve - vj) • V (ve - vi) =V = j Vj—JJ * V ne.
(П3.13)
Учитывая соотношения (П3.10), (П3.12) и (П3.13), результат сложения уравнений (П3.1) и (П3.2), приводящий к выражению для плотности результирующей силы 254
в плазме, перепишем в виде
4 7Г4 7Г2
Ке-j • V j + — Л ’ Vc^.(П3.14)
^р<^р
Если соответствующим образом интерпретировать скорости, предполагая, что ионы имеют одинаковый заряд Z, то полученный при этом результат аналогичен результатам Шлютера [136]. Такой же результат, но без ограничений, накладываемых соотношениями (П3.5) - (П3.9), был получен автором [401]. Дополнительные члены пренебрежимо малы из-за пространственной нейтральности.
Несмотря на то, что Шлютер [136] рассматривал силы, связанные с высокочастотными полями как радиационное давление, которое необходимо учитывать в виде выражения для некоторой конкретно неопределенной силы К/ + К^, можно непосредственно рассчитать высокочастотные поля на основе уравнения (П3.14). Мы не рассматриваем К, и К^ и вводим временную зависимость Е, j и Н при фиксированной частоте со, определяемую уравнениями (6.19). В дальнейшем будем использовать уравнение (6.8)
Э<^р
J + ^j = Е,(П3.15) dr4тг
которое есть результат вычитания (П3.1) из (П3.2). В случае нерелятивистских высокочастотных полей нелинейные члены в (П3.15) можно не включать..
Рассмотрим -шаги вычитания уравнения (П3.2) из (П3.1), которые приводят к выражению (П3.15). До множим (П3.1) на Zm и (П3.2) на mi. После вычитания в левой части получаем
/ dZm; —I dt/ dZm; —I dtd \— Ne dt Ied \— Ne dt IeпитпитV/ - п€V/ - п€d
/ d
Zm; —
I dt
/ d
Zm; —
I dt
d \
— Ne dt Ie
d \
— Ne dt Ie
пит
пит
V/ - п€
V/ - п€
^mjmZnj —(v/ - ve).(П3.16)
dt
При выводе выражения П3.16 использовалось соотношение (П3.5), кроме того, подразумевалось также точное равенство ^dfdt^ej = d (St + мед V и d/dt = = d/dr + v- V при n€ ^ V, ^ v. Пренебрежение когерентным колебательным движением в выражении для \€ не влияет на дальнейшие выкладки. Другой предельный случай связан с тем, что пространственные производные могут быть много меньше временных, при этом никаких ограничений на амплитуду не накладывается [если не применяется ограничение (П3.5)]. Используя уравнение (П3.8), левую часть выражения, полученного после вычитания, перепишем в виде
mjmemjmedjdjndtne dtdjdjndtne dtee(П3.17)(П3.17)
mjm
e
mjm
e
djd
jn
dtne dt
djd
jn
dtne dt
e
e
(П3.17)
(П3.17)
(П3.18)(П3.18)(П3.19)(П3.19)
(П3.18)
(П3.18)
(П3.19)
(П3.19)
Для того чтобы получить в дальнейшем хорошо известный результат [см. уравнение (П3.20)], вторым членом в (П3.17) обычно пренебрегают. Правая часть (П3.16) после добавления и вычитания допольнительного члена преобразуется к виду
те V ZnjkTj + mi V пекТе + Ее (wn/Z2 + nemi) +
+ ^Z1 mnieNi* miHgev^x^-* [Zm2ne V + mimnev\ (ve - Vj)
H „H
+ miZni evi xmiZnieNi x —
Деля обе части на mi и пренебрегая mni Z2 по сравнению с пе mi, получаем
НН
—+ Zn,ev,x — Сс
Деля обе части на епе, считая \j % v, в случае теплового равновесия ре = = р/(1 + 1/Z) приходим к обобщенному закону Ома (диффузионное уравнение):
47Г Г d 11Hip
j + Pj = Ej x H + v x — + 7 .(П3.20)
COp Vdt J eneec ene 1+1/^
Полученное уравнение идентично (6.7) и результатам Шлютера [136] и Люста [401].
Если не пренебрегать вторым членом в выражении (П3.17), обобщенный закон Ома примет вид
4ТГ Г d ./1 d1.Hlч
— J + j I Упе ) = J х Н + v х —+ V ре.(П3.21) пе dt /J епесс епе
Из приведенного выражения ясно, что существует механизм затухания, определя
емый эффективной частотой столкновений:
(П3.22)(П3.22)1 d 1 Г Э „
(П3.22)
(П3.22)
Pef = — «е = ”е + ve ' V пе
пе dt пе L ot.
Это затухание, существование которого ранее не было очевидным, имеет специальную интерпретацию для случая, когда только пе имеет пространственную зависимость по одной из координат (например, по координате х) и особенно, если
э э э3
пе + vp — пе =-М пе*
dr ' Эх ' Эх3
(П3.23)(П3.23)Механизм затухания основан на возникновении ленгмюровских солитонов, при этом соотношение (П3.23) есть уравнение Кортевега-де Врийе для плотности электронов пе (ленгмюровские волны). Дисперсионное соотношение Д не должно обязательно пониматься в обычном смысле, но может иметь гораздо более сложную природу. На примере численного расчета динамического механизма возникновения солитонов [v вместо пе в уравнении (П3.23)], приведенного в §10.6, можно показать, что в данном случае дисперсионное отношение надо помнить не в смысле обычного определения, а так, как это было сформулировано Денисовым при выводе теории резонансного поглощения.
(П3.23)
(П3.23)
Закон Ома [уравнение (П3.21)] определяет параметры высокочастотных электромагнитных волн в плазме и новый механизм затухания, задаваемый эффективной частотой соударений [уравнение (П3.22) ], или в специальном случае [уравнение (П3.23) ], когда . 1 dэ3
^ef > — ”е = М —г”е >(П3.24)
dtЭх3
описывает рассеяние поперечных волн продольными (ленгмюровскими) волнами. Учитывая, что такие электростатические колебания всегда подчиняются механизму затухания Ландау (см. §3.4), можно вывести прямое соотношение для затухания поперечных (электромагнитных) волн в плазме на основе затухания Ландау.
Эе Эе17 17Эе Эе17 17=-й?ЕЕ.=-й?ЕЕ.(П3.26)(П3.26)Вернемся к обсуждению уравнения движения. Вводя временную зависимость при фиксированной частоте [см. (6.20) ], из уравнения (П3.15) получаем
Эе Эе
17 17
Эе Эе
17 17
=-й?ЕЕ.
=-й?ЕЕ.
(П3.26)
(П3.26)
Предположим, что V ^ со, это возможно при полях большой амплитуды, поэтому
(П3.27)(П3.27)1 - ivlco ^ 1.
(П3.27)
(П3.27)
Последние два члена в соотношении (П3.14) перепишем на основе уравнений (П3.25) и (П3.26) в виде
4я ^рЭе^рЭе+ 4я^рЭеЭе2
4itg?^t4тго;2dr сор(4тг)2со4drdrР
(П3.28)
Используя выражение (П3.26) и соотношение для показателя преломления [см. (6.28) ]
со2 (1 - / V) со)
и учитывая (П3.27), преобразуем уравнение (П3.28) к следующему виду:
- — Е • V Е (1 - п2) + — Е Е • V (1 - п2) =- — (1 - п2) Е • V Е. (П3.29) 4я4я4я
Этот результат [см. уравнение (6.7)], а также и расчет при высокой частоте двух последних членов в уравнении движения (П3.14) был получен Шлютером.
Выводы, сделанные выше, в процессе рбсуждения двухпотоковой теории плазмы носили обычный характер, исключая только Z-кратно ионизованные ионы поля, колеблющиеся с высокой угловой частотой со. Единственная операция, которая была сделана для того, чтобы перейти к более общим уравнениям движения (8.3) или (8.6), относилась ко второму члену в правой части выражения (П3.14), связанному с взаимодействием электрического поля Е с пространственным зарядом. До выхода в свет работы [138] влиянием пространственных зарядов в плазме пренебрегали из-за пространственной зарядовой нейтральности. Мы должны строго придерживаться этого по отношению к статическому или стационарному распределению пространственных зарядов. Однако в случае высокочастотных колебаний пространственных зарядов (исчезающе малых при усреднении по времени) существуют некоторрые отличия. Это ясно из точного описания плоских электромагнитных волн в слоистой плазме при наклонном падении и р-поляризации, когда продольная компонента поля связана с высокочастотными колебаниями пространственных зарядов [138].
Возникает вопрос [138], как интерпретировать второй член в правой части уравнения движения (П3.14)? Для того чтобы избежать сложностей, связанных с диэлектрическими или диамагнитными свойствами плазмы, использовалось последовательное описание Лоренца при 6 = Д = 1. Нет, однако, никаких сомнений в том, что высокочастотные колебания пространственных зарядов связаны с поляризационными токами, определяемыми комплексным показателем преломления п = = е1/2, который характеризует преломление распространяющихся в неоднородной плазме оптических волн и изменение их направления при наклонном падении. Для корректности расчета [138] член в уравнении (П3.14), связанный с пространственным зарядом, должен быть записан с учетом диэлектрического смещения:
1о1/\
—Ee(Znj - пе) = —Е V .п2Е = + — EV I 1 )Е =
я4я4я I ы2 у
11
= EV • Е- —Е V . Е ——,(ПЗ.ЗО)
4я4яq;2
— Ее (Zn; -пе) = — EV .Е- -L(i-n2)E V . Е- 4я4я4я
_ ЕЕ V (1 -п2).(П3.31)
4я
Э „v + V V у dtЭ „v + V V у dtПодставляя полученный результат в уравнение движения (П3.14) и выражение, выведенное Шлютером, вместо двух последних членов уравнения (П3.14), приходим к соотношению
Э „
v + V V у dt
Э „
v + V V у dt
. Н 1„
=-Vp*Jx —+EV E-С4 тг
_ L(i-n2)EV.E- —ЕЕ- V (1 - п2)L(i-n2)EV Е, (П3.32) 4я4я4я
которое идентично уравнению (8.3) или (8.6) [138].
(ПЗ.ЗЗ)(ПЗ.ЗЗ)О корректности уравнения (П3.32) свидетельствует правильный результат для нелинейной силы при наклонном падении (см. гл. 8) [использование n = 1 в (П3.26) приводит к неправильным результатам]. Неясный вопрос связан с электростатическим (колеблющимся с очень низкой частотой) полем, описываемым обычно уравнением, в котором отсутствует показатель преломления п
(ПЗ.ЗЗ)
(ПЗ.ЗЗ)
Е V • Е = ——Ее (Znj - пе). 4тг
Решение этого вопроса может быть основано на комментариях Новака к попыткам описать случай, связанный с низкочастотным полем, с помощью тензора Абрахама, а случай с высокочастотным полем — с помощью тензора Минковского [179], как дальнейшую правильную аппроксимацию тензора Абрахама. Описание плазмы с использованием полей и пространственных зарядов представляется довольно странным для ранних концепций теории плазмы. Однако, как было показано Альфвеном [402], эти новые исследования в гораздо большей степени по сравнению с вопросами, связанными с динамикой лазерной плазмы, могут быть обобщены применительно к астрофизическим аспектам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Н. Нога. Laser Plasmas and Nuclear Energy (Plenum, New York, 1975), 424 pages.
T. P. Hyghes, Plasmas and Laser Light (Adam Hilger, Bristol, 1975).
H. Motz, The Physics of Laser Fusion (Academic Press, London, 1979), 290 pages.
H. Hora, ’’Nonlinear Plasma Dynamics at Laser Irradiation. ”Lecture Notes in Physics (University of Berne, Springer, Heidelberg, 1979).
Laser Unteraction and Related Plasma Phenomena, H. J. Schwarz et. al., Eds. (Plenum. New York) Vols.l to 5 (1971-1980).
R. Castillo, H. Hora, E. L. Kane, G. W. Kentwell, P. Lalousis, V. F. Lawrence, R. Ma- vaddat, M. M. Novak, P. S. Ray, and A. Schwartz, see Ref. 5, Vol. 5 (1980), p. 399.
H. Alfven, Phys. Today 24 (February 1971), 29.
R. T. Young, C. W. White, G. J. Clark, J. Narayan, W. H. Christie, M. Murakami, P. W. King, and. S. D. Kramer, AppL Phys. Lett. 32 (1978), 139; H. Hora, Naturwissen- schaften 48 (1961), 641; Z. Angew Phys. 14 (196 2), 9; S. Hinckley, H. Hora, and J. C. Kelly, Phys. Status Solidi 51A (1979), 523.
P. D. Maker, R. W. Terhune, and С. M. Savage, Proc. 3rd Int. Quant. Electron. Conf., Paris, February 1963, N. Bloembergen and M. Grivet, Eds. (Dunod. Paris, 1964), Vol. 2, p. 1559.
R. G. Meyerand and A. F. Haught, Phys. Rev. Lett. 11 (1963), 401; C. DeMichelis, IEEE J. Quantum Electron. 5 (1969), 181, 6 (1970), 630; E. Panarella dnd P. Savic, Can. J. Phys. 46 (1968), 183; S. A. Ramsden, Phy sics of Hot Plasmas, B. J. Rye et. al., Eds. Oliver & Boyd, Edinburgh, p. 346.
R. Papoular, see Ref. 5 (1972) Vol. 2, p. 79.
G.V. Ostrovskaya and A.N. Zaidel, Usp. Fiz. Nauk 111 (1973), 519;Sov. Phys. Uspe- khi 16 (1974), 834.
P. Kolodner and E. Yablontovich, Phys. Rev. Lett. 37 (1976), 1754.
В. W. Boreham and H. Hora, Phys. Rev. Lett. 42 (1979), 776.
H. Hora, E. L. Kane, and J. L. Hughes, J. AppL Phys. 49 (1978), 923.
H. Hora, J. Opt. Soc. Am. 65 (1975), 882.
D. J. Bradley, Phys. Bull. 29 (1978), 418; J. C. Diels, Laser Weekly 12, no. 5 (1978), p. 1.
J. Trenholme, E. Bliss, J. Emmett, J. Glaze, T. Gilmartin, R. Godwin, W. Hagen, J. Holzrichter, G. Linford, W. Simmons, and R. Speck, see Ref. 5, 1977, Vol. 4A, 1.
J. L. Emmett, Proc. IAEA Conf. Nuclear Fusion, Innsbruck, 1978, paper B-l.
N. G. Basov, O. N. Krokhin, Yu. A. Mikhailov, G. V. Sklizkov, and S. I. Fedotov, see Ref. 5, 1977, VoL 4A, 15.
V. V.Korobkin, V. M. Ovchinnikov, P. P. Pashinin, Yu. A. Pirogov, A. M. Prokhorov, R. V. Serov, Digest Sth Nat Conf. Laser and Nonlinear Optics, Tibilisi, May 1976, p. 248.
W. Kroy, ”CW pumped 1000 Hz Nd Glass Laser,” (Messerschmitt-Bolkow-Blohm GmbH, Ottobrunn).
P. P. Pashinin, see Ref. 21, postdeadline paper.
R. B. Allen and S. J. Scalise, AppL Phys. Lett. 14 (1969), 188; W. Koechner, SolidState Laser Engineering (Springer, Heidelberg, 1976), p. 277.
G. V. Sklizkov, paper Pl, presented at 13th Europ. Conf. Laser Interaction with Matter, Leipzig, December 1979.
R. R. Jacobs and W. F. Krupke, IEEE J. Quantum Electron. 13 (1977), 103.
R. B. Perkins, Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion (IAEA, Vienna, Vol. 3 (1978), p. 41.
S. Singer, Development in High Power Lasers, C. Pellegrini ed. (E. Fermi Sch. Vol. 74, North Holland, Amsterdam, 1980).
H. S. Kwok and E. Yablontovich, AppL Phys. Lett. 30 (1978).
N. G. Basov, V. A. Boiko, V. A. Danylichev, V. D.Zvorykin, A. N. Lobanov, A. F. Suchkov, T. V. Holin, and A. Y. Chugunov, Kvant. Elekt. 4 (1977), 1761.
C. Yamanaka, ”0,5 nsec Pulses from 50 Atm. Compact COj Lasers.” (Osaka 1978).
W. Kroy, J. Langhole, T. Halderson. AppL Opt. 19 (1980), 6. H. K. Koebner, Laser in Medicine, (Wiley, New York, 1980).
G. H. Miley, see Ref. 5 (1977), Vol. 4A, p. 181.
K. Hohla, G. Brederlow, E. Fill, R. Volk, and K. J. Witte, see Ref. 5 (1977), VoL4A, p. 97.
K. Hohla and K. L. Kompa, Chern. Phys. Lett. 14 (1972), 445.
K. Witte, G. Brederlow, E. Fill, J. Hohla, and R. Volk, see Ref. 5 (1977), VoL 4A, p. 155.
S. Witkowski, Laser & Elektro-Optik, 10, no. 3 (1978), 47.
R. Liity and K. Witte, Dept. Laser Physics, Univ. Berne, Report (1978).
N. G. Basov and V. S. Zuev, Nuovo Cim. 31B (1976), 129.
R. J. Jensen, Laser Focus 12 (May 1976), 51.
F. G. Houtermans, Helv. Phys. Acta 33 (1960), 93 3.
M. H. Hutchinson, С. C. Ling, and D. J. Bradley, Opt. Com. 26 (1978), 273.
D. Jacobi, G. J. Pert, S. A. Ramsden, L. D. Shorrock, and G. J. Tallents. Phys. Rev. Lett. 45 (1980), 1826; O. Jaegle, G. Jamelot, A. Carillon, and A. Sureau, see Ref. 5 (1977). VoL 4A,p. 229.
M. H. Key, M. J. Lamb, C. L. S. Lewis, J. G. Lunney and A. K. Roy, Opt. Comm. 18 (1976), 156.
H. Hora, G. V. H. Wilson, E. P. George, Aust. J. Phys. 31 (1978), 55.
K. Okamoto, see Ref. 5 (1977), VoL 4A, p. 283: J. NucL Set Tech. 14 (1977), 762.
K. Okamoto, see Ref. 5 (1980), VoL 5, p. 299.
Y. Izawa, H. Otari, and C. Yamanaka, see Ref. 5 (1980), VoL 5, p. 289.
D. A. G. Deacon, L. R. Elias, J. M. J. Madley, G. J. Ramian, H. A. Schwettman, and T. J. Smith, Phys. Rev. Lett. 18 (1977), 892.
H. Motz, J. AppL Phys. 22 (1951), 527; 24 (1953), 826.
S. Pellgrini, presented at 4th General Conf. European Physical Soc., York, England, September 1978, invited paper.
259259S. B. Segall, Laser and Elektro-Optik 10, no. 3 (1978), 27.
259
259
17*
Н. Нога, presented at 2nd Int. Conf. Energy Storage, Electron and Laser Beams, Venice, Dec. 1978, invited paper (in print); H. Hora, B. W. Boreham, and J. L. Hughes, Sov. J. Quant. Elect. 9 (1979), 464.
H. Hora, see Ref. 5 (1971), Vol. 1, p. 383.
H J Schwarz, Phys. Rev. Lett. 42 (1979), 1141.
H. Schwarz and H. Hora, Appl. Phys. Lett. 15 (1969), 34 9; H. Hora, Nuovo Сип. 26B (1975), 295; E. T. Jaynes, in Novel Sources of Coherent Radiation, Physics of Quantum Electronics. Vol. 5, S. Г. Jacobs, M. Sargent and M. O. Scully, Eds. (Addison- Wesley, Reading, 1978), p. 1.
T. H. Maiman, Nature 187 (1960), 493.
J. H. Steigerwald, Chern. Ing. Tech. 33 (1961), 191; H. Hora, Chern. Rundschau 14 (1960), 395.
J. Г. Ready, Effects of High-Power Laser Radiation (Academic Press, New York, 1971); R. E. Honig, Appl. Phys. Lett. 3 (1963), 8.
H. Zahn and H. J. Dietz, Exp. Techn. Phys. 20 (1972), 401.
M. von Allmen, W. Luthy, and K. Affolter, Appl. Phys. Lett. 33 (197 8), 8 24.
H. Schwarz and H. A Tourtellotte, J. Vac. Set Techn. 6 (1969), 373.
F. J. McClung and R. W. Hellwarth, Proc. IEEE 51 (1963), 46.
W. I. Linlor, Appl. Phys. Lett. 3 (1963), 210.
N. R. Isenor, Appl. Phys. Lett. 4 (1964), 152.
H. Schwarz, Laser Interact. Rei Plasma Phenomena, H. Schwarz and H. Hora, Eds. (Plenum, New York, 1971), Vol. 1, p. 207.
S. Namba, H. Schwarz and P. H. Kim, Proc IEEE Sympos. Electrons, Ion and Laser Beam Technol, Berkeley, May 1967, p. 861.
D. W. Gregg and S. J. Thomas, J. AppL Phys., 37 (1966), 4313.
S А. Metz, A )pl. Phys. Lett. 22 (1973), 211; H. Hora, Appl. Phys. Lett. 23 (1973), 39; J. E. Lowder and L. C. Pettingill, Appl. Phys. Lett. 24 (1974), 204; P. T. Rumsby, M. M. Michaelis and M. Burgess, Opt. Comm. 15 (1975), 422; B. Steverding and A. H. Werkheiser, J. Phys. D4 (1971), 545; J. E. Lowder, Appl. Phys. Lett. 24 (1974). 204; S. Zweigenbaum, Y. Gazit, and Y. Paiss, J. Phys. Ell (1978), 830. - The driving of solid foils by laser irradiation up to velocities of 2 x Ю7 cm/sec resulted in the fastest moving objects produced by man corresponding to a speed of 600 Mach. В. H. Ripin, R. Decoste, S. P. Oberschain, S. E. Bodner, F. A. McLean, Г. C Young, R. R. Whitlock, С. M. Armstrong, J. Grun, J. A. Stamper, S. H. Gold, D. J. Nagel, R. H. Lehmberg and J. M. McMahon, Phys. Fluids 23 (1980), 1012. This can be used for impact fusion (F. Winterberg, Z. Naturforsch. 19A (1964), 231) where the concept of laser driven foils was prorosed by W. Kaiser, H. Opower, and В. H. Puell, German Patent No. 1 279 859 (1966) and the collapsing and adiabatic heating at compression will follow in the same way as achieved by the fast acceleration of thick blocks of plasma by nonlinear fores (see section 13.4). The use of the nonlinear force for propulsion by lasers was described by H. Hora, German Patent 193 3 409 (1971).
S. Zweigenbaum, Y. Gazit, and. Y. Komet, Plasma Physics 19 (1977), 1035; D. Salz- mann, Y. Gazit, Y. Komet, A. D. Krumbein, H. M. Loebenstein, M. Oron, Y. Paiss, M. Rosenblum, H. Szichman, A. Zigler, H. Zmora, and S. Zweigenbaum, see Ref. 5 (1977), Vol. 4A,p. 407.
G. Siller, K. Buehl, and H. Hora, see Ref. 5 ( 1972), VoL 2, p. 252.
A. G. Engelhardt. T. V. George, H. Hora, and J. L. Pack. Phys. Fluids 13 (1970), 212.
K. Eidman and R. Sigel, see Ref. 5 (1974), VoL 3B, p. 667.
H Hora, see Ref. 1, p. 4.
К. B. Buehl, K. Eidmann, P. Mulser, H. Salzmann, and R. Sigel, see Ref. 5, (1972), Vol. 2, p. 503.
A. W. Ehler, J. Appl. Phys. 46 (1975), 2464.
J. W. Shearer, J. Garrison, J. Wong, and J. E. Swain, Phys. Rev. A8 (1973), 1582.
C. Yamanaka, T. Yamanaka, T. Sasaki, K. Yoshida, and M. Waki, Phys. Rev. 6A (1972), 2342.
F. J. Mayer, R K. Osborn, D. W. Daniels, and J. F. McGrath, Phvs. Rev. Lett. 40 (1978), 30.’
В. Luther-Davies and J. L. Hughes, Opt. Com. 18 (1976), 351; M. Siegrist, B. Luther- Davies, and J. L. Hughes, Opt. Comm. 18 (1976), 605.
H. Hora, E. L. Kane, and J. L. Hughes, NucL Inst. Meth. 150 (1978), 589.
P. Wagli and T. P. Donaldson, Phys. Rev. Lett. 40 (1978), 875.
T. P. Donaldson and I. J. Spalding, Phys. Rev. Lett. 36 (1976), 467.
R. A. Haas, W. C. Mead, W. L. Kruer, D. W. Phillion, H. N. Kornblum, J. D. Lindl, D. MacQuigg, V. C. Rupert, and K. G. Tirsell Phys. Fluids 20 (1977), 3 22; E. B. Goldman, L. M. Goldman, J. Delettrez, J. Hoose, S. Jackel, G. W. Leppelmeier, M. J. Lubin, A. Nel, I. Pelak, E. Thorsos, D. Woodall, and B. Yaak obi, see Ref. 5 (1977), voL 4B, p. 535.
R. G. Evans, M. H. Key, D. J. Nicholas, F. O’Neil, A. Raven, P. T. Rumsby, I. N. Ross, W. T. Tower, P. R. Williams, M. S. White, C. L. S. Lewis, J. G. Lunney, A. Moore, J. M. Ward, T. A. Hall, J. Murdoch, D. J. Kilhenny, T. Goldsack, J. D. Hares, Plasma Phys. Contr. NucL Fusion Res., 1978 (IAEA, Vienna, 1979), VoL 3, p. 87.
C. Yamanaka, M. Yokoyama, S. Makar, T. Yamanaka, Y. Izawa, Y. Kato, T. Sasaki, T. Mochizuki, Y. Kitagawa, M. Matoba, and K. Yoshida, see Ref. 5 (1977), Vol. 4B, p. 577.
A. Bekiarian, E. Buresi, A. Coudeville, R. Dau tray, F. Delobeau, P. Guillaneux, C. Patou, J. M. Reisse, B. Sitt, J. M. VedeL and J. P. Watteau, Plasma Physics Contr. NucL Fusion Res., 1978 (IAEA, Vienna, 1979), VoL 3, p. 65.
P. Mulser, Z. Naturforsch. 1SX (1970), 282.
E. J. Valeo, W. L. Kruer, Phys. Rev. Lett. 33 (1974), 750.
D. Biskamp and H. Welter, Plasma Phys. Contr. NucL Fusion Res., Tokyo, 1974 (IAEA, Vienna, 1975), VoL 2, p. 507.
For the change from Gaussian cgs-units preferred in Plasma Physics, to MKQS units, see, for example, D. L. Book, Formulas for Plasma (Naval Res. Lab., Washington, 1975).
P. Debye and E. Hiickel, Phys. Zeitschr. 24 (1923), 185.
S. R. Milner, PhiL Mag. 23 (1912), 551; 25 (1913), 743.
T. P. Donaldson, J. Phys. D10 (1977), 1589; Plasma Phys. 20 (1978), 1279.
G. Ruthemann, Naturwissensch. 29 (1941), 648.
G. Mollenstedt, Optik 5 (1949), 499.
D. Bohm and D. Pines, Phys. Rev. 92 (195 3), 609.
H. Ringler and R. A. Nodwell, Phys. Lett. 29A (1969), 151; D. Ludwig and C. Mahn, Phys. Lett. 35A (1971), 191.
L. A. Godfrey, R. A. Nodwell, and F. L. Curzon, Phys. Rev. A20 (1979), 567.
H. Thomas, Z. Phys. 147 (1957), 395.
P. GorUch and H. Hora, Optik 15 (1958), 116.
H. Frohlich, Ann. Phys. 7 (1930), 103.
B. Yaakobi and S. Goldsmith, Phys. Lett. 37A (1970), 408; M. Neiger and H. Griem, Phys. Rev. A14 (1976), 289; D. R. Jnglis and E. Teller, Astrophys. J. 90 (1939), 439; F. L. Mohler, Astrophys. J. 90, (1939), 429; H. Margenau and M. Lewis, Rev. Mod. Phys. 31 (1959), 569; S. Volonte, J. Phys. D 11 (1978), 1615.
G. Ecker and W. KrolL Phys. Fluids 6 (1963), 62; H. R. Griem, Plasma Spectroscopy (McGraw-Hill, 1964), p. 139.
D. Salzmann and A. Krumbein, J. AppL Phys. 49 (1978), 3 229.
В. I. Henry, ’’Polarization Shift”, Honours Thesis, University of New South Wales (Sydney, 1980); В. I. Henry, and H. Hora (to be published).
L. Spitzer, Jr., Physics of Fully Ionized Gases, 2nd ed. (Wiley Interscience, New York, 1962).
L. Spitzer and R. Harm, Phys. Rev. 89 (195 3), 97 7.
P. S. Ray and H. Hora, see Ref. 5 (1977), Vol. 4B, p. 1081.
J. M. Blatt and A. H. Opie, J. Phys. A7 (1974), 1895.
J. M. Blatt, Prog. Theor. Phys. 22 (1959), 745; About Theories of Superconductivity (Academic Press, New York, 1959).
J. M. Dawson, Phys. Fluids 7 (1964), 981.
E. Hinnov and J. Hirschberg, Phys. Rev. 125 (196 2), 795.
A. F. Haught and D. H. Polk, Phys. Fluids 13 (1970), 2825.
H. Hora, Higher Mechanics, Dept. Theor. Phys. Rept. No. 24 (Univ. New South Wales, Sydney, 1980).
L. D. Landau, J. Phys. USSR 10 (1946), 25.
J. Meixner, Ann. Physik 39 (1941), 39; about fluctuations in the electric field, see M. S. Sodha, and L. A. Patel, J. A ppi. Phys. 51 (1980), 2381.
D. Enskog, Svenska Akademia (1928), 21.
R. Castillo, M. Sc. Thesis, University New South Wales, 1979; R. Castillo, H. Hora, E. L. Kane, V. F. Lawrence, M. B. Nicholson-Florence, M. M. Novak, P. S. Ray, J. R. Shepanski, R. Sutherland, A. I. Tsivinsky, and H. A. Ward, NucL Inst. Meth. 144 (1977), 27.
W. J. Fader, Phys. Fluids 11 (1968), 2200.
E. A. Milne, Z. Astrophys. 6 (1933), 1.
O. Heckmann, Theorie der Kosmologie (Springer, Heidelberg, 1965).
L. L. Lengyel and M. Salvat, Z. Naturforsch. 30A (1975), 1577.
Ya. B. Zeldovich and Yu. P. Raizer, Physics of Schock Waves and High Temperature Hydrodynamic Phenomena (Academic Press, New York, 1966).
N. G. Basov and O. N. Krokhin, 3rd Int. Quantum Elect. Conf. Paris, 1963, P. Grivet and N. Bloembergen, Eds. (Dunod. Paris 1964), Vol. 2, p. 1373; S. Kaliski, Bull, de VAcademis Polonaise des Sciences-Serie des Sciences Technique 20 (1972), 297; 23 (1975), 881; V. V. Demchenkov and N. M. El-Siragy, Physica 67 (1973), 3 36; T. P. Donaldson, J. E. Palmer, J. A. Zimmermann, J. Phys. D13 (1980), 1221; К. E. Lonngren, Plasma Phys. 22 (1980), 511; Yu. V. Afanasyev, N. G. Basov, O. N. Krokhin, V. V. Pustovalov, V. P. Silin, G. V. Sklizkov, V. T. Tikhonchuk, and A. S. Shikanov, Interaction of Strong Laser Light with Plasma, (Radiotekhnika, VoL 17, Moscow, 1978).
H. Hora, Inst. Plasmaphys. Garching, Rept. 6/23, 1964.
H. Hora, see Ref. 5 (1971), Vol. 1, p. 365; H. T. Suji, K. Sato, and T. Sekiguchi, Jap. J. AppL Phys. 18 (1979), 1807; S. O. Dean. Rept. NRL PRO (1971); Y. Ohwa- dano and T. Sekiguchi. Jap. J. Appl. Phys. 16 (1977), 1025; G. J. Pert. J. Phys. A5 (1972), 506; L. L. Lengyel, NucL Fusion 17 (1977), 805.
A. F. Haught and D. H. Polk, Phys. Fluids 9 (1966), 2047; R. G. Tuck field and F. Schwrizke, Plasma Phys. 11 (1969), 11; H. J. Kunze, Z. Naturforsch. A20 (1965), 801; A. Cavalieri, P. Guipponi, and R. Gratton, Phys. Lett. A25 (1967), 636.
J. Jacquinot, C. Leloup, and F. Waelbrock, Rapp. CEA No. 12.2617 (1964).
M. Mattioli, Euratom-CEA-Fontenay-Report, EUR-CEA-FC-523C (1969).
E. Fabre and P. Vasseur, J. Physique 29 (1968), 123.
T. V. George, A. G. Engelhardt. J. L. Pack, H. Hora, and G. Cox^BulL APS 13 (1968), 1553; H. Hora, see Ref. 5, VoL 1 (1917), p. 273.
3. R. Sigel, K. Buehl, P. Mulser, and S. Witkowski, Phys. Lett. 26A (1968), 498; H. Puell, Z. Naturforsch. A25 (1970), 1807.
P. Mulser and S. Witkowski, Phys. Lett. 28A (1969), 703.
K. Hohla, unpublished measurements (1969); J. Tulip, K. Manes, and H. J. Seguin, Appl. Phys. Lett. 19 (1971), 433.
A. Schluter, Z. Naturforsch. 5A (1950), 72.
See for example, H. Alfven and C. G. Faithammer, Cosmical Electrodynamics,2nd ed. (Oxford University Press, London, 1973).
H. Hora, Phys. Fluids 12 (1969), 182.
P. A. M. Dirac, Directions of Physics, H. Hora and J. R. Shepanski, Eds. (Wiley Interscience. New York, 1978).
H. Hora and H. Wilhelm, NucL Fusion 10 (1970), 111; J. L. Bobin, Phys. Fluids 14 (1971), 2341: N. H. Burnett Can. J. Phys. 50 (1972), 3184.
C. W. Allen, Astrophysical Quantities (Athlon Press, London, 1955).
J. A. Gaunt, Proc. Roy. Soc. (London) A126 (1930), 654.
3. S. F. Smard and К. C. Westfold, PhiL Mag. 40 (1949), 8 31.
J. M. Dawson and C. Oberman, Phys. Fluid 5 (1962), 517.
G. W. Spitzer and H. Y. Fan, Phys. Rev. 108 (1957), 268.
H. Hora, Opto Electronics 2 (1970), 202.
S. Rand, Phys. Rev. B136 (1964), 231; T. P. Hughes and M. B. Nicholson-Florence, J. Phys. M (1968), 588.
C. Max and F. Perkins, Phys. Rev. Lett. 27 (1971), 1342.
H. Schwarz and R. Tabenski, see Ref. 5 (1977), Vol. 4B, p. 961.
V. L. Ginzburg, The Propagation of Electromagnetic Waves in Plasma (Pergamon, Oxford 1964), p. 205.
H. Hora, Jenaer Jahrbuch, P. Gorlich Ed. (Fischer, Jena, 1957), p. 131; InsL Plas- maphysik, Catching, Pept. 6/5 (1963).
H. Osterberg, J. Opt Soc. Amer. 48 (1950), 513.
3. H. Hora and V. F. Lawrence, see Ref. 5 (1977), Vol. 4B, p. 877; V. F. Lawrence and H. Hora, Optik 55 (1980), 291.
J. Lindl and P. Raw, Phys. Fluids 14 (1971), 371.
N. G. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions (Cambridge University Press, 1922).
M. E. Marhic, Phys. Fluids 18 (1975), 837; F. F. Chen, Plasma Physics (Plenum, New York, 1975); R. Dragila, J. Phys. Dll (1978), 683.
J. A. Stamper and D. A. Tidman, Phys. Fluid 16 (1975), 2024.
H. Hora, D. Pfirsch, and A. Schliiter, Z. Naturforsch. 22a (195 7), 278.
H. A. H. Boot, S. A. Self, and R. B. Shersby-Harvie, J. Elect. Contr. 22 (1959), 434.
V. A. Gapunov and M. A. Miller, Sov. Phys. JETP 7 (1958), 435.
S.Weibel, ’’TRW Report May 1957”, J. Electr. Contr. 5 (1958), 435.
H. Hora, Second term in Eq. (25b) in Ref. 138. By this way the use of the nonlinear force has arrived in a correct formulation of the equation of motion even with absorption in agreement with the following described experiments. The very complex open problems with the ponderomotive force are described by V. I. Pavlov. Sov. Phys. Uspekhi 21 (1978), 171. See also Ref. 179;F. PanareDa, Can J. Phys. 46 (1969), 183; G. P. Banfi and P. G. Gobbi, Plasma Phys. 21 (1979), 845.
J. A. Stamper, see Ref. 5 (1977), Vol. 4B, p. 721.
R. D. C. MiUer and H. Hora, Plasma Phys. 21 (1979), 183.
G. W. KentweD and H. Hora, Plasma Phys. 22 (1980), 1051.
L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media (Pergamon, Oxford, 1966), p. 242.
L. P. Pitaevskn, Sov. Phys. JETP 12 (1961), 1008.
H. L. Berk, D. L. Book, and D. Pfirsch, J. Math. Phys. 8 (1967), 1611.
G. W. KentweD, ’’Resonance Absorption and Striated Motion at Laser Plasma Interaction”, Honours Thesis, University New South Wales (1979).
S. Hinckley, H. Hora, E. L. Kane, G. W. KentweD, J. С. К eDy, P. Lalousis, V. F. Lawrence, R. Mavaddat, M. M. Novak, P. S. Ray, A. Schwartz, H. A. Ward. Experim. Tech. Phys. 28 (1980), 417.
J. W. Shearer, R. E.Kidder, and J. W. Zink, Bull Amer. Phys. Soc. 15 (1970), 1483; J. W. Shearer, LLL-Report, UCID-15745 (December 1970).
R. B. White and F. F. Chen, Plasma Phys. 16 (1974), 565.
E. Valeo, Phys. Fluids 17 (1974), 1391; J. J. McClure, Bull. Amer. Phys. Soc. 19 (1974), 869.
J. A. Stamper and S. E. Bodner, Phys. Rev. Lett. 37 (1976), 435. R. G. Tuckfield, and F. Schwirtzke, Plasma Phys. 11 (1969), 11; E. Schmutzer, and B. WDhelmi, Plasma Phys. 19 (1971), 799; P. Mulser, and C. van Kessel, Phys. Rev. Lett. 38 (1977), 902; J. Phys. DI 1 (1978), 1085; P. Mulser, and H. Tasso, Z. Naturforsch. 33A (1978), 85; A. Ng. L. Pitt. D. Salzmann, and A. A. Offenberger, Phys. Rev. Lett. 42 (1979), 703; P. Chandra, J. AppL Phys. 47 (1976), 3447; J. R. Saraf, Z. Naturforsch. 31A (1976), 1038; A. T. Lin, and J. M. Dawson. Phys. Fluids 18 (1975), 201; F. Winter- berg, Z. Naturforsch. 30A (1975), 976; N. E. Andreev, V. P. SUin, and G. L. Stenchik, Zh. Ex. Teo. Fiz. 78 (1980), 1396; J. L. Hughes, Izvest. Akad. Nauk SSSR, Ser. Fiz. 42 (1978), 2593; 43 (1979), 1523.
R. E. Kidder, NucL Fusion 14 (1974), 797.
K. A. Brueckner and S. Jorna, Rev. Mod. Phys. 46 (1974), 3 25.
C. E. Max, Phys. Fluids 19 (1976), 74.
R. S. Craxton and M. G. Haines, Plasma Phys. 20 (1978), 487.
M. M. Novak, ’’Interaction of Photons with Electrons in Dielectric Media”, Ph. D. Thesis, University New South Wales (February 1979), Forschr. Phys. 28 (1980), 3 3 9.
L. C. Steinhauer and H. G. Ahlstrom, Phys. Fluids 13 (1970), 1103.
S. L. Shapiro, M. A. Duguay, and L. B. Kreuzer, Appl. Phys. Lett. 12 (1968), 36.
H.P. Weber, Phys. Lett. UK (1968), 321.
See Eq. (36) in Ref. 156, (Marhic).
R. Klima, Plasma Phys. 12 (1970), 123; R. Klima and V. A. Petrzilka, Cz. J. Phys. B22 (1972), 896; J. Phys. All (1978), 1687; V. A. Petrzilka, Cz. J. Phys. B26 (1976), 115.
5. H. Hora, Phys. Fluids 17 (1974), 1042.
H. Bebie, Seminar Lecture, Department of Laser Physics, University of Bern, November 1978.
G. Bekefi, Radiation Processes in Plasma (John Wiley, New York, 1966).
J. M. Dawson, Adv. Plasma Phys. 1 (1968), 1.
A. Einstein, Phys. Z. 18 (1917), 121.
G. Badertscher (private communication).
F. J. Belinfante, Physica 6 (1939), 887.
H. Hora, Lett. NuovoCim. 22 (1978), 55; Atomkernenergie 34 (1979), 297.
F. F. Chern, see Ref. 5, VoL ЗА, p. 291; J. A. Stamper, Phys. Fluids 18 (1975), 735; Y. Sakamoto, Jap. J. AppL Phys. 16 (1977), 1015; M. S. Sodha, R. P. Sharma, and S. C. Kaushitz, Plasma Phys. 18 (1976), 879.
F. F. Chen, Comments on Mod. Phys., Part E 1, no. 3 (1972), 81.
V. N. Oraevski and R. Z. Sagdeev, Sov. Phys.-Tech. Phys. 7 (196 3), 95 5.
V. P. Silin, Sov. Phys. JETP 21 (1965), 1127.
7. D. F. DuBois and M. V. Goldman, Phys. Rev. 164 (1967), 201.
K. Nishikawa, J. Phys. Soc. Japan 24 (1968), 1152.
F. Cap, Plasma Instabilities (Academic Press, New York, 1980).
D. L. Landau and E. M. Lifschitz, Mechanics (Pergamon, New Yotk,1969),p.80.
W. Paul and M. Raether, Z. Phys. 140 (1955), 262; H. Hora, and H.J.Schwarz, Jap.
J. AppL Phys. 12, SuppL 2 (1974), 69.
E. Kamke, Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losungen (Akademie Verlag Ges. Leipzig, 1943), Vol. 1, p. 397.
D. Biskamp and H. Welter, Inst. f. Plasmaphysik, Garching, Report (1972), see Ref. 90.
D. Bohm and E. P. Gross, Phys. Rev. 75 (1949), 1851.
G. A. Askaryan, Sov. Phys. JETP 15 (196 2), 1088.
H. Hora, Z. Phys. 226 (1969), 156.
D. F. Dubois, see Ref. 5, VoL ЗА (1974), p. 26 7.
R. L. Dewar, Phys. Fluids 16 (1973), 431.
J. P. Watteau, see Ref. [87]. (IAEA, Vienna, 1979), VoL III, p. 65.
A. Y. Wong, see Ref. 5, Vol. 4B (1977), p. 783.
J. L. Bobin, W. Woo, and J. S. DeGroot, J. Physique 38 (1977), 769; J. Weiland and H. Wilhelmsson, Coherent Non-linear Interaction of Waves in Plasma (Pergamon, New York, 1977).
R. Balescu, Developments in High Power Lasers, C. Pellegrini, ed. (E. Fermi Sch. Vol. 74, North Holland, 1980).
H. H. Chen and C. S. Liu, Phys. Rev. Lett. 37 (1976), 693; 39 (1977), 881;C. S. Liu and M. N. Rosenbluth, Phys. Fluids 17 (1974), 778.
H. H. Chen, C. Grebogi, C. S. Liu, V. K. Tripathi, Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research 1978 (IAEA, Vienna, 1979), VoL 3, p. 181.
R. G. Rehm, Phys. Fluids 13 (1970), 282; F. Winterberg, Z. Naturforsch, 30A (1975), 976; C. Yamanaka, T. Yamanaka, J. Mizui, and N. YamaguchL Phys. Rev. All (1975), 213 8; M. S. Sodha, S. Prasad, and V. K. Tripathi, J. Appt Phys. 46 (1975), 637; V. A. Volkov, F. V. Grigorev, V. V. Kalinovski, S. B. Korner, L. M. Lavrov, Y. V. Maslov, V. D. Urkin, V. P. Chudinov, Sov. Phys. JETP42 (1975), 58; E. B. Goldman, J. Appl. Phys. 45 (19 74), 5 211; V. D. Leuthausei,Atomkernenergie24 (1974), 193; J. R. Saraf, Naturforsch. 31A (1976), 103 8; D. Baboneau, G. diBona, P. Chelle, M. Decroissette, and J. Martineau, Phys. Lett. K51 (1976), 247; R. Dragila, J. Phys. Dll (1978), 1683; V. H. Kulkarni, Ind. J. Phys. A51 (1977), 356.
Yu. A. Afanasyev, O. N. Krokhin and G. V. Sklizkov, IEEE J. Quant. Electron. 2 (1966), 483.
A. Caruso and R. Gratton, Plasma Phys. 10 (1968), 867.
G. J. Pert, J. Phys. AS (1972), 506; B12 (1979), 2067; G. J. Tallents, J. Phys. B13 (1980), 3057; BIO (1977), 1763.
J. Nuckolls, see Ref. 5 (1975), VoL 3 8, p. 3 99.
G. Guderley, Z. Luftfahrtforschung 19 (1942), 3 02.
L.L. Lengyel, A1AA J. 11 (1973), 1347; NucL Fusion 17 (1977), 805.
H. Hora, Aust. J. Phys. 29 (1976), 3 75.
H. Hora, see Ref. 5, Vol. 2 (1972), 341.
J. W. Shearer, see Figs. 6 to 8 in Ref. 171.
E. Goldman, H. Hora, and M. Lubin, presented at 7th Europ. Conf. Laser Interaction with Matter, Garching, April 1974.
H. Hora, Atomkemenergie 24 (1974), 187.
A. V. Wong and R. L. Stenzel, Phys. Rev. Lett. 34 (1975), 7 27; R. L. Stenzel, Phys. Fluids 19 (1976), 865.
H. C. Kim, R. L. Stenzel, and A. V. Wong, Phys. Rev. Lett. 33 (1974), 886; G. Farkas, Opt. Comm. 21 (1977), 408.
M. E. Marhic, see Fig. 10, Ref. 156. Indications of the Nonlinear Force were reported before by G. Beaudry and J. Martineau, Phys. Lett. 43A (1973), 331.
Yu. A. Zakharenkov, N. N. Zorev, O. N. Krokhin, Yu. A. Mikhailov, A. A. Rupasov, G. V. Sklizkov, and A. S. Shikanov, Sov. Phys. JETP 43 (1976), 283.
R. Fedosejevs, I. V. Tomov, N. H. Burnett, G. F. Enright, and M. C. Richardson, Phys. Rev. Lett. 39 (1977), 932.
H. Azechi, S. Oda, K. Tanaka, T. Norimatsu, T. Sasaki, T. Yamanaka, and C. Yamanaka, Phys. Rev. Lett. 39 (1977), 1144.
J. F. Lam, B. Lippman, and F. Tappert, Phys. Fluids 20 (1977), 1176.
W. Gekelman and R. L. Stenzel, Phys. Fluids 20 (1977), 1316.
B. Luther-Davies, Opt. Comm. 23 (1977), 98.
T. P. Donaldson, J. E. Balmer, P. Wagli, and P. Ladrach, Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research 1978 (IAEA, Vienna 1979), VoL 3, p. 157; see also Ref. 82.
D. C. Slater, AppL Phys. Lett. 31 (1977), 196; see also Ref. 79.
B. Luther-Davies, Appl Phys. Lett. 32 (1978), 209; J. C. Samson, and A. J. Alcock, Phys. Rev. Lett. A51 (1975), 315.
K. R. Manes, H. G. Ahlstrom, R. A. Haas, and J. F. Holzrichter, J. Opt. Soc. Amer. 67 (1977), 717; see also Ref. 84.
E. B. Goldman, W. Leising, A. Brauer, and M. Lubin, J. Appl. Phys. 45 (1975), 115 8.
D. J. Bradley, presented at 4th General Conf. Europ. Phys. Soc. York, 1978, invited paper.
R. Castillo, H. Hora, E. L. Kane, V. F. Lawrence, M. B. Nicholson-Florence, M. M. Novak, P. S. Ray, J. R. Shepanski, R. Sutherland, A. I. Tsivinsky, and H. A. Ward, NucL Inst. Meth. 144 (1977), 27.
V. F. Lawrence, Ph. D. Thesis, Univ. New South Wales, March 1978.
H. Hora, R. Castollo, R. G. Clark, E. L. Kane, V. F. Lawrence, R. D. C. Miller, M.F. Nicholson-Florence, M. M. Novak, P. S. Ray, J. R. Shepanski, and A. L Tsivinsky, Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research 1978 (IAEA, Vienna 1979), VoL 3, p. 237.
G. B. Lubkin, Phys. Today 30, No. 9 (1977), p. 19.
H. Izeki, invited lecture, Proc. 13th Int. Conf. Phen. Ionized Gases (Berlin, 1977), p. 139.
R. Godfrey, Honours Thesis, Theoret. Phys., University New South Wales, Sydney 1978.
N. G. Denisov, Sov. Phys. JETP 4 (195 7), 544.
See Fig. 7.8b of Ref. 1.
C. Yamanaka, Progress in Inert. Conf. Fusion, IAEA, San Francisco, Tech. Comm., February 1978 (Science Application, McLean Va, 1978), p. 29; A. L. Peratt and R. L. Watterson, Phys. Fluids 20 (1977), 1911; J. L. Bocher, J. P. Flie, J. Matrineau, M. Rabeau, and C. Patou, see Ref. 5 (1977), VoL 4B, p. 657; V. V. Blazhenkov, Zh. E. TF 78 (1980), 13 86.
К. Sauer, N. E. Andreev, and K. Baumgartel, Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research 19 78 (IAEA, Vienna, 1979), Vol. 3, p. 187.
H. Hora, in Advances in Inertial Confinement Systems, Chiyoe Yamanaka, Ed. (Institute of Laser Engineering, Osaka University, 1980), p. 263.
P. Lalousis, see Section 5 of Ref. 6.
See H. H. Chen, and Y. C. Lee, Phys. Rev. Lett. 43 (1979), 264; R. Klima and V. A. Petrzilka, Cz. J. Phys. 29 (1979), 863.
25 5. H. Hora, Sov. J. Quant. Elect. 6 (1976), 154.
H. Hora, Phys. Fluids 17 (1974), 93 9.
25 7. J. L. Carter, and H. Hora, J. Opt. Soc. Am. 61 (1971), 1640.
V. G. Borodin, A. V. Cjarukchev, V. K. Chevokin, A. A. Girokhov, M. F. Danilov, V. D. Dyatlov, V. M. Komarov, A. A. Mak, V. A. Malinov, R. N. Medvedev, G.V. Obraztsov, P. P. Pashinin, A. M. Prokhorov, V. Ya. Schelev, and A. D. Starikov, Summaries of the Sth Natl Conf. Laser and Nonlin. Optics (Tbilisi, 1976), p. 245.
R. B. White and F. F. Chen. Eq. (31) of Ref. 172.
See p. 119, Ref. 202.
P. Ladrach (private communication 1979).
H. Kogelnik and H. P. Weber, J. Opt. Soc. Amer. 64 (1974), 174.
P. Kaminov, W. M. Mammel, and H. P. Weber, AppL Opt. 13 (1976), 396; R. Renard, J. Opt. Soc. Amer. 54 (1964), 1190; see also Ref. 25 7.
S. Eliezer and Z. Schuss, Phys. Lett. A70 (1979), 3 07.
P. Ladrach and J. E. Balmer, Opt. Comm. 31 (1979), 350.
See Ref. 4, p. 182.
H. Maki and K. Niu, J. Phys. Soc. Japan 45 (1978), 269.
J. P. Freidberg, R. W. Nitchell, R. L. Morse, and L. J. Rudsinski, Phys. Rev. Lett. 28 (1972), 795; D. W. Forslund, J. M. Kindel, K. Lee, E. L. Lindman, and R. L. Morse, Phys. Rev. All (1975), 679; K. G. Estabrook, E. J. Valeo, and W. L. Kruer, Phys. Fluids 18 (1975), 1151.
H. Maki, J. Phys. Soc. Japan 46 (1979), 65 3; Y. Sakamoto, Jap. J. AppL Phys. 16 (1977), 1015.
P. Koch and J. Albritton, Phvs. Rev. Lett. 32 (1976), 1420.
J. L. Bobin, see Ref. 5 (1980), Vol. 5.
H. Hora, Ann. Phvsik 22 (1969), 402.
H. Hora, see Ref. 5 (1977), Vol 4B, p. 841.
M. V. Goldman, and D. R. Nicholson, Phys. Rev. Lett. 41 (1978), 406.
P. Debye, Ann. Physik 30 (1909), 755.
H. Hora, Optik 17 (1960), 409.
The difference between optical waves and matter waves in the second order in seen in the long beating wavelength of modulated electron waves: 11. Hora, Light Scattering in Solids, M. Balkanski, Ed. (Flamarion, Paris, 1972), p. 128.
R. Y. Chiao, E. Garmire, andC. H. Townes, Phys. Rev. Lett. 13 (1964), 479; A.G. Litvak, Sov. Phvs. JETP 30 (1970), 3 64; S. A. Akhmanov, D.P. Krindakh, A.P. Sukhoro- kov, and R. V. Khokhlov, JETP Lett. 6 (1977), 38.
H. A. Ward, MSc Thesis, Univ. New South Wales, 1980.
A. Schluter, Plasma Phys. 10 (1968), 471.
M. S. Sodha, R. S. Mittal, Opto-Electron. 6 (1974), 167; M. S. Sodha, A. K. Chatak, and V. K. Tripathi, Progress in Optics, E. Wolf, Ed. (Academic Press, New York, 1976), Vol. 13, p. 171; W. Engelhardt, AppL Phys. Lett. 15 (1969), 216; D. P. Tewa- ri and A. Kamar, Plasma Phys. 17 (1975), 133; M. Y. Yu, К. H. Spatschek, and P. K. Shukla, Z. Natf. A29 (1974), 1736; M. S. Sodha, A. K. Chakravarti, U. P. Phad- kc, G. D. Gautama, and I. Rattan, AppL Phys. Lett. 22 (1973), 121; M. S. Sodha, L. A. Patel, and R. P. Sharma, J. AppL Phys. 49 (1978), 3707.
A. J. Palmer, Phvs. Fluids 14 (1971), 2714; J. W. Shearer and J. L. Eddleman, Phvs. Fluids 16(1974), 1753; E. Valeo, Phys. Fluids 17 (1974), 1391; G. J. Tallents, J. Phys. B10 (1977), 796; B. Bhat and V. K. Tripathi, J. AppL Phys. 46 (1975), 1141; W. M. Mannhcimcr, Phys. Fluids 17 (1974), 1413; V. del Pizzo, B. Luther-Davies, and M. R. Siegrist, AppL Phys. 14 (1977), 381; Yu. My, and К. H. Spatschek, Z. Naturforsch, У)Х (1974), 1736; R. Dragila and J. Krepclka, J. Phvsique 39.(1978), 266'
617; J. Phys. Dll (1975), 217; A. J. Alcock, C. De Michelis, and M. C. Richardson, IEEE J. Quant. Electron. 6 (1970), 622; N. A. Amherd and G. C. Vlases, Appl. Phys. Lett. 24 (1974), 93; M. Hugenschnidt, K. Vollrath, and A. Hirth,/lpp£ Opt. 11 (1972), 399; L. C. Steinhauer and H. G. Ahlstrom,Phys. Fluids 14 (1971), 1109; V. S. Soni, and V. P. Nayyar, J. Phvs. D13 (1980), 361; S. K. Sinha and M. S. Sodha, Phys. Rev. A21 (1980), 633; W. M. Mannheimer and E. Ou, Phys. Fluids 17 (1974), 1413.
V. V. Korobkin and A. J. Alcock, Phys. Rev. Lett. 21 (1968), 1433; M. C Richardson and A. J. Alcock, AppL Phys. Lett. 18 (1971), 357.
N. Ahmad, В. C. Gale, and M. H. Key, J. Phys. B2 (1969), 403; R. G. Tomlinson, IEEE J. Quant. Electron. 5 (1969), 591; Г. V. Grigoev, V. V. Kalinovski, S. B. Kor- mer, L. M. Lavrov, Yu. V. Maslov, V. D. Orlin, and V. P. Chudinov, Sov. Phys. JETP 42 (1976), 58.
N. L. Tsintsatse and E. G. Tsikaroshvili, Astrophys, Space Sci. 39 (1976), 191.
H. Hora and E. L. Kane, Appl. Phys. 13 (1977), 165.
К. H. Spatschek, J. Plasma Phys. 18 (1978), 293.
H. Hora, E. L. Kane, and J. L. Hughes, see Ref. 81, Fig. 1.
M. R. Siegrist, J. Appl Phys. 48 (1977), 1378.
E. L. Kane, Ph. D. Thesis, University of New South Wales, April 1979.
D. A. Jones, E. L. Kane, P. Lalousis, P. R. Wiles, and H. Hora (unpublished); see Ref. 170.
M. J. Hollis, Opt. Comm. 25 (1978), 395.
See Ref. 14 and B. W. Boreham, R. Mavaddat, J. L. Hughes, and H. Hora,Proc. 11 th Symp. Rarefied GasDyn., R. Campargue ed. (CEA, Paris 1979), Vol. 1, p. 505.
B. W. Boreham and B. Luther-Davies, J. AppL Phys. 50 (1979), 2533; B. Luther- Davies, B. W. Boreham, and V. E. del Pizzo, see Ref. 5, Vol. 5 (1980); M. S. Sodha, and D. Subbarao, Appl. Phys. Lett. 35 (1979), 851; R. Mavaddat, and K. Cha- tak, J. Appl Phys. 31 (1980), 3501.
B. W. Boreham (in print); B.W. Boreham, J. Opt. Soc. Amer. 68 (1978), 698.
V. L. Keldysh. Sov. Phys. JETP 20 (1965), 1307; G. V. Ostrovski, Usp. Fi Nauk 111 (1973), 579; S. A. Ramsden, Physics of Hot Plasma, B. J. Tye, et. at, Eds. (Oliver & Boyd. Edinburgh 1970).
N. J. Bereshotshaya, G. S. Voronov, G. A. Delone, and G. K. Piskova, Sov. Phys. JETP 31 (1970), 403; A. V. Phelps in Physics of Quantum Electronics (McGraw- Hill, 1966), p. 538.
P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 3rd ed. (Oxford University Press, 1949), p. 284.
R. Castillo (unpublished, 1977).
See pp. 3 86 - 3 90 of Ref. 54.
01. H. Hora and J. L. Hughes, German Pat. 2 8 3 2 100; about a forward momentum of the electrons to take account for the increase of the momentum of the laser pulse, see G. Vieva, and H. Hora (to be published).
D. A. G. Deacon, L. R. Elias, J. M. J. Madey, G. J. Ramian, H. A. Schwettman, and T. I. Smith, see Ref. 49; J. M. J. Madey and D. A. G. Deacon, Stanford Univ. Rept. HEPL-797 (1976).
H. Hora, J. L. Hughes, and B. W. Boreham, Sov. J. Quant. Elect. 9 (1979), 464.
J. A. Stamper, K. Papadopoulos, R. N. Sudan, S. O. Dean, E. A. McLean, and J. M. Dawson, Phys. Rev. Lett. 26 (1972), 1012; F. Schwirzke, see Ref. 5 (1974), Vol. ЗА, p. 234.
J. A. Stamper, NRL-Report 7411 (May 197 2); see Ref. 15 8; D. A. Tidman, Phys. Rev. Lett. 32 (1974), 1179.
J. A. Stamper, E. A. McLean, and В. H. Ripin, Phys. Rev. Lett. 40 (1978), 1177; J.J. Thomson, C.E. Max, and K. Estabrook, Phys. Rev. Lett. 35 (1975), 663; S.P. Ober- schain and N.C. Luhmann, J. Phys. Rev. Lett. 42 (1979), 311; A. Hasegawa, M. Y. Yu, P. K. Shukla, К. H. Spatschek, Phys. Rev. Lett. 24 (1978), 1656.
M. H. Key, presented at 12th Europ. Conf. Laser Interact. Matter. Moscow, December 1978.
T. Sakagenu, Advances Inertial Conf. Fusion, C. Yamanaka Ed. (Institute of Laser Engineering, Osaka 1980), p. 122.
H.A. Ahlstrom, ’’Inertia- Confienemcnt I usion”, Opt. Soc. Amer., San Diego (February 1978), paper ThA2-l.
A.C. Walker, S. Kogoski, T. Samatak, I. Spalding, Opt. Comm. 27 (1978), 247.
H. P. Weber (private communication 1979).
H. Hora and M. M. Novak, see Ref. 5, 1977, VoL 4B, p. 999.
J. W. Sheaerer, J. Garrison, J. Wong and J. E. Swain, see Ref. 5 (1974), Vol. 3B, p. 803; H. Hora, Opto-Electron 5 (1973), 491; A. 1. Tsivinsky, M. Sc. Thesis, University of New South Wales, 1977; F. V. Bunkin and A. M. Prokhorov, in Polarization, Matiere et Rayonnement (Soc. France de Physique, Paris, 1969).
H. Hora, E. L. Kane, and J. L. Hughes, Fig. 1 in Ref. 15.
See Ref. 80; B; Luther-Davies, Opt. Comm. 23 (1977), 98.
R. A. Haas, J. F. Holzrichter, H. G. Ahlstrom, E. Storm, and K. R. Manes, Opt. Comm. 18 (1976), 105.
Los Alamos, press release, 4th March 1977; R. P. Godwin and F. Engelmann, Europhys. News 8, No. 5 (1977), 11.
W. Willis, see Ref. 5, 1977, VoL 4B, p. 991.
C. Yamanaka, Laser Focus, No. 2 (1980), p. 40; see Refs. 47 and 48.
L. La Mer Slaner, Prospectus, Soc. to Advance Fusion Energy, 10 Normandy Lane, Scarsdale, New York 10583.
A. Grey, Jr.„ G. Miley, and G. Brumlik, National Rev. 150E 95th Street, New York, February 2, 1979.
S. J. Zweben, Bulk Amer. Phys. Soc. 24 (1979), 1072.
F. H. Coensgen, Bull. Amer. Phys. Soc. 84 (1979), 966.
W. N. Hugrass, I. R. Jones, K. F. McKenna, M. G. R. Philips, R. G. Storer, and H. Tuc- zek, Phys. Rev. Lett. 44 (1980), 1676.
R. A. Gross and K. N. Kmetyk, Bull Amer. Phys. Soc. 23 (1978), 884.
G. Yonas, Scientif. Amer. 239 (1978), 40.
T. F. Godlove and D. F. Sutter, Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1978 (IAEA, Vienna, 1979), Vol. HI, p. 211.
R. O. Bangerter, presented at 13th Europ. Conf. Laser Matter Interaction. Leipzig, December 1979.
G. Cooperstein et. al., see Ref. 5 (1980), VoL 5, p. 105.
M. L. E. Oliphant, P. Harteck, and Lord Rutherford, Proc. Roy. Soc. A144 (1934), 692.
R. W. B. Best, NucL Inst. Meth. 144 (1977), 1.
M. L. E. Oliphant and Lord Rutherford, Proc. Roy. Soc. A141 (1933), 259; R.W. Best, NucL Inst. Meth. 144 (1978), 1; K. Okamoto, J. NucL Set Tech. 14 (1977), 762.
R. G. Clark, H. Hora, P. S. Ray, and E. W. Titterton, Phys. Rev. C18 (1978), 1127.
N. P. Heydenburg, С. M. Hudson, D. K. Inglis, and W. D. Whitehead, Phys. Rev. 74 (1948), 405.
C. R. McClenahan and R. E. Segel, Phys. Rev. CH (1975), 370.
C. R. Gould and J. M. Joyce, NBS Rept 425 (1975), VoL II, p. 697.
G. S. Mani, R. M. Freeman, F. Picard, D. Redon, and A. Sadeghi, Proc. Phys. Soc. 85 (1965), 281.
J. Tuck, NucL Fusion 1 (1961), 201.
H. Hora, Inst. f. Plasma Physik, Garching, Rep. 6/23 (1964); U.S. Govt Res. Rep. NRC-TT-1193 (1965); see Ref. 5 (1971), Vol. 1, p. 427, F. Fiona, NucL Fusion 11 (1971), 635; L. Rothardt. Kemenergie 13 (1970), 269.
H. Hora and D. Pfirsch, presented at 6th Int. Conf. Quantum Electron., Kyoto, Sept. 1970, Conf. Digest, p. 10; J. P. Somon, NucL Fusion 12 (1972), 461; J. L. Bobin, Phys. Fluids 14 (1971), 2341; S. Martelluci, Energia Nucleare 18 (1971), 541; N. H. Burnett, Can. J. Phys. 50 (1972), 3184.
H. Opower and W. Press, Z. Naturforsch. 21A (1966), 344.
К. H. Sun, J. M. Hicks, L. M. Epstein, E. W. Sucov. J. AppL Phys. 38 (1967), 3402.
D. K. Bhadhra, Phys. Fluids 11 (1968), 234.
H. Opower, H. Puell, W. Heinicke, and W. Kaiser, Z. Naturforsch. UK (196 7), 13 92.
A. G. Engelhardt Westinghouse Res. Rept. WERL-3472-5. March 27, 1967.
V. Ionescu, presented at Laser Applications in Plasma Physics. IAEA, Vienna, 1969; D. L. Nguyen and K. J. Parbhakar, J. AppL Phys. 45 (1974), 2089; O. R. Wood, Proc. IEEE Ы (1974), 355.
E. Hantzsche, Physik und Technik. des Plasmas, G. Wallis, Ed. (Phys. Ges. DDR, 1969), p. 326.
F. Schwirzke and A. W. Cooper, Report NPS-61SW0031A, April 15, 1970, p. 51.
R. E. Kidder, Nucl Fusion 14 (1974), 797.
F. Winterberg, Desert Res. Inst Rept. 64, March 1969.
P. S. Ray and H. Hora, Z. Naturforsch. 32A (1977), 5 38.
P. S. Ray and H. Hora, NucL Fusion 16 (1976), 535; see Ref. 109.
P. S. Ray, Ph. D. Thesis, University of New South Wales, August 1977; UNSW-Dept. Theoret. Phys., Rept No. 11.
H. Hora and P. S. Ray, Z. Naturforsch. 33A (1978), 890.
J. H. Nuckolls, see Ref. 5 (1974), Vol. 3B, p. 403.
K. Boyer, Astronautics and Aeronautics 11 (1973), 28.
H. Wobig, Naturwiss. 61 (1974), 97.
J. H. Nuckolls, presented at IAEA Inertial Fusion Committee Meeting. Livermore, February 6, 1978.
J. A. Brueckner and S. Jorna, p. 35 8, Ref. 136; P. Belland, C. DeMichelis, M. Mat- tioli, and R. Papoular, Appt Phys. Lett. 18 (1971), 542.
H. Hora, presented at Colloquium Nuclear Club of Wall Street, Dreyfuss Foundation, New York, July 31, 1978.
J. M. Dawson, presented at Clean Fusion Fuel Meeting. Oak Ridge. October 1978.
T. H. Maiman, see Ref. 44; R. J. Collins, D. F. Nelson, A. L. Schawiow, W. Bond, C. G. S. Garret, and W. Kaiser, Phys. Rev. Lett. 5 (1960), 303.
N. G. Basov and O. N. Krokhin, Sov. Phys. JETP 19 (1964), 123; see Ref. 125.
A. Kastler, Compt. Rend., Ac. Sc. Paris, 258 (1964), 489.
N. G. Basov, P. G. Kriukov, S. D. Zakharov, Yu. V. Senatski, and S. V. Tchekalin, IEEE J. Quant. Electron. 4 (1968), 864.
M. J. Lubin, presented at Internal Conf. Laser Plasma Interact, August 1969.
F. Floux, presented at Belfast Conf., September 1969; F. Floux, D. Cognard, L.G. De- noeud, G. Piar, D. Parisot, J. L. Bobin, F. Delobeau, and C. Fauquignon, Phys. Rev. Al (1970), 821.
N. G. Basov, O. N. Krokhin, G. V. Sklizkov, S. J. Fedotov, and A. S. Shikanov, Sov. Phys. JETP 35 (1972), 109; L. Rothard, Kernenergie 13 (1970), 269.
E. ТеПетДЕЕЕ J. Quant. Electron. 8 (1972), 564; Bull. Amer. Phys. Soc. 17 (1972), 1034.
J. H. NuckoUs, see Ref. 5 (1974), VoL 3B, p. 399.
K. A. Brueckner, see Ref. 5 (1974), VoL 3B, p. 427.
H. Gomberg, presented at 12th Europ. Conf. Laser Interact. Matter. Moscow. December 1978; R. Hofstadter, ibid.; Address to Panel Duscussion.
J. F. Holzrichter, Adv. Inertial Conf Fusion, C. Yamanaka, Ed. (Inst. Laser Eng., Osaka, 1980), p. 141.
G. H. Canavan, ibid., p. 129.
R. B. Godwin, ibid., p. 157.
M. J. Lubin, ibid., p. 165.
J. L. Emmet, presented at Conf. Laser AppL, Florida, December 1978.
G.B. Lubkin, Phys. Today 31, No. 11 (1978), p.20, 3rd col., 2nd paragraph.
H. G. Ahlstrom, J. F. Holzrichter, K. R. Manes, E. K. Storm, M. J. Boyle, K.M. Brooks, R. A. Haas, D. W. Philon, and V. C. Rupert, see Ref. 5 (1977), Vol. 4B, p. 437.
B. W. Weinstein, D. L. Willenborg, J. T. Weir, and C. D. Hendricks, Inertial Fusion Conf., Opt. Soc. Amer., San Diego, February 1978, paper Tu Е9-Г, R. J. Turnbull. NucL Eng. Univ. Ill, Rept. 1979.
R. Eckersley, The Sydney Morning Herald 148. March 15 (1979), p. 1; see Refs. 14 and 301; H. Hora, 2nd Int. Conf. Energy Storage, Electron and Laser Beams, H. Sah- lin and O. Zucker, Eds. (Plenum, New York, 1979), in print
R. T. Schneider, see Ref. 5 (197 7), VoL ЗА, p. 85; G. H. Miley, ibid. VoL 4A, p. 181; D. A. McArthur and P. B. Tollefsrud, Trans. Amer. Nuc. Soc. 19 (1974). 356;
Н. Н. Helmik, J. L. Fuller, and R. T. Schneider, AppL Phys. Lett. 26 (1975), 3 27; R. DeYoung, Ph. D. Thesis, NucL Eng., Univ. Illinois (1975); R. DeYoung, W.E. Wells, G. H. Miley, and J. T. Verdeyen, AppL Phys. Lett. 28 (1976), 519.
J. P. Watteau, presented at 12th European Conf. Laser Interact, with Matter. Moscow December 1978; S. A. Ramsden, Physics of Hot Plasma, B. J. Rye, Ed. (Oliver & Boyd, Edinburgh, 1970).
Yu. V. Raizer, Laser Induced Discharge Phenomena (Plenum, New York, 1977). 385. G. B. Libkin, ’’The Shiva Experiment”, Physics Today 33 (1979), No. 11, p. 21.
A. L. Peratt, Lawrence Livermore Lab. Rept. UCLR-80899 (1978), Phys. Rev. A20 (1979), 2555; I. D. Larsen and J. Harte, Lawrence Livermore Lab. Rept. UCLR- 79757-1 (1977).
J. L. Emmett, J. H. Nuckolls, and L. Wood, Scientif. Amer. 230 (1974), 24; H. Meld- ner, Lawrence Livermore Lab. Rept UCLR 79380 (1979); ’’Laser Fusion”, in Encyclopedia of Physics.
Yu. V. Afanasyev, N. G. Basov, P. P. Volosebni, E. G. Gamali, O. N. Krokhin, S.P. Kur- deomov, E. T. Levanov, A. A. Samarski, A. N. Tikhonov, Plasma Physics and Thermonuclear Research 1974 (IAEA, Vienna, 1975), Vol. 2, p. 559.
389< K. A. Brueckner, see Walter Sullivan, New York Times, Jan. 13 (1980).
M. H. Brennan, T. S. Brown, H. Hora, C. Yamanaka, K. Yatsui, and M. Yokoyama, Aust. Phys. 17 (1980), 71.
R. E. Kidder, see [5], 1980, Vol. 5, p. 303.
E. Teller, presented at Laser Conference Miami, December 1978.
H. Hora, see Ref. 115, Chapter 3C.
G. Joos, Theoretical Physics (Blackie & Son, London, 1949), p. 5 54.
W Weizel, Lehrbuchder Theoretischen Physik (Springer, Heidelberg, 1950), Vol. 2, p. 1172.
W. Weizel, Z. Phys. 135 (1953), 270.
R. Sutherland, Ph. D. Thesis, University of New South Wales, 1980.
M. Planck, Ann. Physik (4) 1 (1900), 719.
A. Einstein, Mitt. Phys. Ges. Zurich, No. 18, 1916; Physikalische Zeitschr. 18 (1917), 121.
H. Hora, General Relativity and Gravitation One Hundred Years After the Birth of Albert Einstein, N Held, Ed. (Plenum, New York, 1980), Vol. 1, p. 17.
R. Lust, Fortschr. Phys. 7 (1959) 503.
H. Alfven, Cosmic Plasma (Reidel, Doordrecht, 1981).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
Островская Г. В., Зайдель А. Н. / Успехи физических наук, 1973, т. 111, с. 579; 1974, т. 16, с. 834.
Коробкин В. В., Овчинников В. М., Пашинин П. П. и др. / Тр. 8-й Всесоюзной конф, по лазерам и нелинейной оптике. Тбилиси, 1976, с. 248.
Склизков Г. В. / Тр. 13-й Европейской конф, по лазерному взаимодействию с веществом. Лейпциг, 1979. Докл. Р-1.
Басов Н. Г., Бойко В. А^ Данилевич В. А. и др. / Квантовая электроника, 1977, №4, с. 1761.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.
Басов Н. Г., Крохин О. Н. / Тр. 3-й Международной конф, по квантовой электронике. Париж, 1963.
Взаимодействие мощного лазерного излучения с плазмой / Ю. В. Афанасьев, Н. Г. Басов, О. Н. Крохин и др. / Радиотехника, 1978, т. 17.
Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.
Гапунов В. А., Миллер М. А. / ЖЭТФ, 1958, т. 7, с. 168.
Павлов В. И. / Успехи физических наук, 1978, т. 21, с. 171.
Питаевский Л. П. / ЖЭТФ, 1961, т. 12, с. 1008.
Андреев Н. Ем Силин В. П., Стенчиков Г. Л. / ЖЭТФ, 1980, т. 78, с. 1396.
Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. / ЖТФ, 1963, т. 7, с. 955.
Силин В. П. / ЖЭТФ, 1965, т. 21, с. 1127.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Наука, 1973.
Аскарьяи Г. А. / ЖЭТФ, 1962, т. 15, с. 1088.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 3
От автора 5
Предисловие 7
Глава 1. Введение 10
Особенности рассматриваемых явлений 10
Ограничения проведенного рассмотрения 12
Лазеры 13
Обзор основных явлений и экспериментальных данных 16
Глава 2. Элементы микроскопической теории плазмы 23
Плазменная частота и дебаевская длина 25
Плазмоны 28
Поляризационный сдвиг водородоподобных оптических линий в плазме 31
Циклотронная частота 34
Столкновения 35
Глава 3. Элементы кинетической теории 40
Функция распределения 41
Потеря информации 44
Переход к макроскопическому описанию плазмы 46
Затухание Ландау 50
Глава 4. Гидродинамическое описание плазмы 53
Эйлеровы уравнения движения 53
Стационарное решение уравнения Эйлера - уравнение Бернулли 54
Уравнение непрерывности 55
Влияние сжимаемости среды 56
Акустические волны 57
Уравнение, описывающее сохранение энергии в среде 59
Глава 5. Автомодельное описание динамики плазмы 60
Гидродинамическое описание плазмы 61
Лазерное облучение мишени с переменным радиусом 65
Численный пример 69
Сопоставление с результатами облучения лазерным излучением тонких металлических фольг 71
Глава 6. Динамика плазмы и теория Лоренца 74
Уравнения движения для двухкомпонентной среды 74
Диффузионное уравнение (закон Ома) 75
Электродинамические уравнения 76
Показатель преломления плазмы и его связь с поглощением лазерного излучения 80
Нелинейное и релятивистское поглощения 86
Глава 7. Волны в неоднородной плазме 91
ВКБ-приближение для случая перпендикулярного падения света. . .93
Наклонное падение и ВКБ-приближение 95
Рэлеевский профиль 100
Профили Эйри 108
Глава 8. Уравнения движения 109
Эквивалентность максвелловскому тензору натяжения 112
Наклонное падение плоской волны 118
Непондеромоторный столкновительный член нелинейной силы. . . . 121
Дополнительные члены третьего порядка, характеризующие случай перпендикулярного падения света на поверхность плазмы 127
Некоторые итоги проведенного рассмотрения 129
Г л а в а 9. Импульс и неустойчивость, вызванные действием нелинейных сил 131
Область доминирования нелинейной силы 132
Передача импульса плазменной короне и сжатие 135
Перенос энергии, определяемый нелинейной силой 138
Импульс фотонов в плазме (проблема Абрахама-Минковского) 140
Параметрические неустойчивости 147
Основные итоги проведенного рассмотрения 154
Глава 10. Результаты численного моделирования и экспериментального исследования. Образование солитонов 155
Термокинетические силы 156
Статический случай нелинейных сил 161
Приближенные динамические случаи 164
Некоторые экспериментальные результаты 173
Ускорение массивных фрагментов мишени 175
Солитоны 181
Глава 11. Струйное движение и резонансное поглощение 187
Струйное движение 187
Резонансное поглощение 199
Глава 12. Лазерные пучки в плазме 209
Самофокусировка нелинейной силой (пондеромоторной) 210
Релятивистская самофокусировка 214
Разреженная плазма, идеальные пучки и лазеры на свободных электронах 220
Спонтанные магнитные поля. Альфвеновские волны 226
Заключения для средних интенсивностей лазерного излучения . . . . 230
Заключения для очень высоких интенсивностей лазерного излучения 231
Глава 13. Лазерное сжатие плазмы для ядерного синтеза 234
Энергия ядерного синтеза 235
Расчеты усиления энергии в инерциальном синтезе 237
Результаты исследований по лазерному синтезу 241
Термо кинетическое сжатие и сжатие за счет нелинейных сил 243
Заключение 246
Приложение 1. Эффективная масса 247
Приложение 2. Распределение Максвелла-Больцмана 250
Приложение 3. Вывод обобщенных двухпотоковых уравнений 253
Список литературы 258
Список литературы На русском языке 270
=—0,05 мм и х2 =+0,05 мм было обнаружено, что зависимость полной
кинетической энергии плазмы от интенсивности лазерного излучения носит сверхлинейный характер (рис. 10.23):
^kin - 1т, причем т = 1,8.(10.18)
при нелинейном макроскопическом поглощении лазерного излучения
плазмой в результате действия возникающей нелинейной силы.
энергии (Е2 +Н2)/8тг для излучения неодимового и СО2-лазеров отличаются примерно в 100 раз (для СО2 максимум плотности энергии составляет 1016 Вт/см2, а для Nd - 1018 Вт/см2), но максимальные ско- 12*179
^ / 4тгоУ
Х.ХОРА
Физикалазернойплазмы
Перевод с английского
М. В. КИРИЛЛОВА-УГРЮМОВА. В. А. ПРОРВИЧА
Под редакцией Г. В. СКЛИЗКОВА
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМ ИЗД АТ 1986
УДК 539.9.01
Хора X. Физика лазерной плазмы: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1986. 272 с.
Посвящена систематическому рассмотрению основных физических процессов в плотной горячей плазме, создаваемой при облучении твердых мишеней интенсивным лазерным излучением. Изложены основы микроскопической теории, кинетической теории и гидродинамики плазмы, проанализированы уравнения ее состояния и движения, даны примеры численного моделирования поведения плазмы. Рассмотрены взаимодействие* лазерного излучения с плазмой, особенности сжатия плазмы лазерным излучением.
Для научных работников и инженеров, а также для студентов и аспирантов инженерно-физических специальностей.
Рецензент Г. В. Склизков
HEINRICH HORAPHYSICS OF LASER DRIVEN PLASMASJohn Wiley and Sons, New York, 1981
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Хайнрих ХораФИЗИКА ЛАЗЕРНОЙ ПЛАЗМЫ
Редактор Л. В. Белова
Художественный редактор А. Т. КирьяновТехнический редактор Н. М. Б руднаяКорректор Н. А. ВойтенкоОператор О. В. Канатникова
ИБ № 1466
Набор выполнен в Энергоатомиздате на Композере ИБМ-82. Подписано в печать14.07.86. Формат 60 X 90 */16* Бумага офсетная № 2. Усл. печ. л. 17,0. Усл. кр.-отт.17,0. Уч.-изд. л. 20.02. Тираж 22 50 экз. Заказ 1563 Цена 3 р. 30 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Московская типография № 6 Союзполиграфпромапри Государственном комитете СССР по делам издательств,полиграфии и книжной торговли,109088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24.
1704040000481®1981 by John Wiley ^ S°n$’lnC"
X13-86
051 (01)-86© Перевод на русский язык, Энергоатомиздат, 1986