Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Впервые проблема неустойчивости физических систем, описываемых уравнениями в частных производных, возникла при решении гидродинамических задач.
Теории гидродинамической неустойчивости посвящен ряд обстоятельных монографий как советских, так и зарубежных авторов. Однако в пятидесятых годах в связи с работами в области термоядерного синтеза проблема неустойчивости снова стала на повестку дня, но в гораздо более широком аспекте. Работы по теории плазменной неустойчивости в свою очередь стимулировали аналогичные исследования в других областях физики, в частности в физике твердого тела. Эта же проблема оказалась тесно связанной с проблемой генерации, усиления и преобразования волновых процессов в широком диапазоне частот и типов воли. Возникла потребность в хорошо обоснованных критериях абсолютной и конвективной неустойчивости, а также пространственного усиления. Необходимо было также разработать практические приемы анализа дисперсионного уравнения, лежащего в основе теории неустойчивости физических систем с распределенными параметрами.
В настоящее время такая работа в основном завершена, но все результаты разбросаны по отдельным журнальным статьям кроме краткого обзора А. И. Ахи- езера и Р. В. Половина, опубликованного в 1972 году в «Успехах физических наук». В отечественной литературе нет сколько-нибудь полного и систематического изложения вопросов, связанных с теорией неустой-
чивости систем с распределенными параметрами. Поэтому назрела необходимость в написании монографии, которая хотя бы частично восполнила этот пробел. Авторы надеются, что настоящая книга будет служить этой цели.
В этой книге с единой точки зрения излагается теория и методы исследования характера неустойчивости физических систем различной природы, описываемых уравнениями в частных производных. Для обоснования этих методов используется теория волновых процессов в линейных системах, так как развитие неустойчивости на начальной стадии может быть описано с помощью представления о малых возмущениях исследуемого состояния. Оказалось, что для установления порога неустойчивости и ее характера достаточно знания только дисперсионного уравнения, связывающего волновой вектор и частоту данного волнового процесса. Это дало возможность развить единый подход к исследованию неустойчивостей в различных системах независимо от их природы и частотного диапазона.
Первая часть книги посвящена введению основных понятий и обоснованию критериев неустойчивости и пространственного усиления. Здесь также указаны простейшие приемы анализа дисперсионного уравнения, в частности строго изложен широко используемый метод слабо связанных волн. Для чтения первой части книги предполагается знакомство читателя с некоторыми сведениями из теории функций комплексного переменного. Используемые в книге теоремы из теории функций комплексного переменного изложены без доказательств в конце книги в виде Приложения.
Во второй части книги подробно рассмотрены и проанализированы примеры неустойчивых систем из различных областей физики: оптический квантовый
генератор, акустические усилитель и генератор, диод Ганна, системы типа ЛБВ и ЛОВ, двухлучевой усилитель и др.
Библиография по затронутому вопросу огромна, и поэтому в конце книги приведен список только тех монографий и статей, на которые имеются ссылки в тексте.
Большая часть книги — это изложение результатов, уже опубликованных в научной литературе, но изложенных нами с единой позиции. Значительная часть материала основана на лекциях, которые, начиная с 1970 года, читает один из авторов в Киевском университете.
Авторы выражают признательность рецензенту этой книги доктору физ.-мат. наук Зильберману П. Е. за ценные замечания, а также профессору Московского университета В. Л. Бонч-Бруевичу, по инициативе которого выходит эта книга
А. М. Федорченко
Н. Я. Коцаренко
КРИТЕРИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УСИЛЕНИЯ, КОНВЕКТИВНОЙ И АБСОЛЮТНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Введение
Физическое явление, лежащее в основе всех принципов генерации и усиления акустических и электромагнитных волн любого частотного диапазона, есть явление неустойчивости, которое заключается в следующем. Пусть имеется некоторое состояние физической системы, которое обычно называют невозмущенным или основным (как правило, это статическое состояние, за исключением состояния параметрических приборов). Будем рассматривать поведение во времени малых отклонений от этого состояния (возмущений). Если эти возмущения не нарастают со временем, то система стабильна и ее нельзя использовать ни как генератор, ни как усилитель. Она может служить только пассивным средством передачи и преобразования волновых движений. Если же малые возмущения нарастают со временем, то система неустойчива и может быть использована для построения генератора или усилителя в зависимости от характера неустойчивости.
По своему характеру все виды неустойчивости можно поделить на два типа: абсолютные и конвективные [11. Причем абсолютно неустойчивая система может быть генератором, а конвективно неустойчивая система — усилителем. Поэтому изучение условий, при которых рассматриваемая система является неустойчивой, и определение характера этой неустойчивости являются исходными пунктами теоретических и экспериментальных исследований генерации и усиления (а также канализации и преобразования) волн любого типа.
Как известно из теории устойчивости систем с конечным числом степеней свободы [2—41, задача об устойчивости какого-нибудь ее состояния сводится к решению систем линейных дифференциальных уравнений, в то время как решение вопроса о характере
установившегося состояния в общем случае требует решения системы нелинейных дифференциальных уравнений.
В случае системы с бесконечным числом степеней свободы ) задача об устойчивости также сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений, но в частных производных. Эти уравнения описывают только малые отклонения от некоторого невозмущенного состояния системы. Если окажется, что система устойчива или конвективно неустойчива, то имеет также смысл ставить задачу о распространении в ней возмущений, генерируемых внешним источником. Изменение во времени и пространстве этих малых отклонений в общем случае называется волновым процессом, так как даже в случае неустойчивых систем развитие неустойчивости на начальных стадиях носит волновой характер.
Таким образом, существует два класса задач о распространении волновых процессов в системах с распределенными параметрами, описываемых уравнениями в частных производных.
.^ Задача с начальными условиями, или задача об устойчивости (аналогичная задаче о собственных колебаниях систем с конечным числом степеней свободы)
. Задача с граничными условиями), или задача об усилении (аналогичная задача о вынужденных колебаниях систем с конечным числом степеней свободы).
В первом классе задач по заданному состоянию системы в некоторый момент времени (начальное возмущение) с помощью уравнений движения ищется со-
стояние системы в любой последующий момент времени. При этом, если начальное возмущение затухает со временем в каждой фиксированной точке пространства (или, по крайней мере, систематически не возрастает), то система, точнее, ее невозмущенное состояние, называется устойчивой. Если же начальное возмущение нарастает со временем, но при этом перемещается в пространстве так, что в фиксированной точке пространства через достаточно большой промежуток времени возмущение исчезает, то систему называют конвективно неустойчивой. Если начальное возмущение неограниченно растет во времени в фиксированной точке пространства, то систему называют абсолютно неустойчивой.
Во второй классе задач по заданному состоянию системы на границе (к системе приложен внешний сигнал) с помощью уравнений движения ищется состояние системы в любой точке пространства. При этом может оказаться, что величина внешнего сигнала экспоненциально возрастает по мере удаления от границы. В этом случае имеет место пространственное усиление. Если Же внешний сигнал убывает по мере удаления от границы, то говорят, что имеет место непропускание ), причем это убывание сигнала не обязательно должно быть обусловлено диссипативными процессами (поглощением).
До некоторого времени существовал так называемый классический подход к задачам об усилении и неустойчивости — метод элементарных волновых решений (подстановочный анализ), который состоял в следующем. Исходные уравнения линеаризуются относительно некоторого невозмущенного решения. В большинстве случаев получающиеся линейные уравнения инвариантны относительно сдвига во времени и по
одной из координат, скажем z, поэтому решение можно искать в виде е’*®*-*1). Отыскиваются те значения со и к, при которых линеаризованные уравнения при надлежащих краевых условиях имеют нетривиальное решение. При этом в общем случае получается неявная зависимость между и и i, определяемая из дисперсионного уравнения Dim, &)=0. Тогда, если найдутся такие решения этого дисперсионного уравнения со(/с), что Imco(fc)<O при некоторых вещественных к, то говорят, что невозмущенное состояние неустойчиво. Если же Imco(&)>O для всех к, то оно считается устойчивым.
Если получаемые вышеуказанным способом элементарные решения образуют полную систему, то эволюцию во времени любого возмущения, возникшего в момент времени t = 0, можно проследить, рассматривая его разложение по элементарным волновым решениям. Если у некоторых из решений Imco№)<O, то возмущение нарастает и действительно возникает неустойчивость в физическом смысле этого слова.
В том случае, когда Im(i)№) = 0, обычно принято считать, что система устойчива. Однако в некоторых случаях это может оказаться не так. Приведем пример для системы с двумя степенями свободы. Пусть мы имеем систему уравнений
-$-=-У + ж(ж2 + у2), (1.1)
_g-=^ + ^(^ + ^2), (1.2)
которая имеет статическое решение х = 0, у = 0. Устойчивость этого состояния в линейном приближении описывается системой уравнений
dx du
Собственные частоты этой системы имеют значения ±1 (1шсо = О), т. е. система устойчива в линейном приближении. Однако на самом деле система неустойчива. Действительно, домножив уравнение (1.1) на х, а уравнение (1.2)—на у, и сложив их, получим
^^ + У^ = 2^ + уа?>0.
Следовательно, сумма ж2 + у2 при учете нелинейных членов уравнения неограниченно возрастает, что означает неустойчивость. Аналогичные случаи для систем с распределенными параметрами не исследовались.
По аналогии с задачей о временной неустойчивости, казалось, можно было бы интерпретировать как пространственное усиление наличие таких решений дисперсионного уравнения /с(со), у которых Im Мео) > О при некоторых вещественных со. Однако на самом деле это не всегда так. Другими словами, условие Im Мео) > > 0 является необходимым, но не достаточным условием пространственного усиления.
Таким образом, метод элементарных волновых решений не дает достаточного условия для критерия пространственного усиления. Кроме того, в рамках этого метода нельзя определить, является ли неустойчивость конвективной или абсолютной.
В рамках этого метода трудно также ответить на вопрос, в каких случаях необходимо решать дисперсионное уравнение относительно частоты, а в каких — относительно волнового вектора и почему в первом случае волновой вектор, а во втором частоту можно считать вещественными. Для ответа на все эти вопросы необходимо выйти за рамки метода элементарных волновых решений, что и будет сделано в последующих параграфах. Как только мы научимся обращаться с дисперсионным уравнением, то для получения самого дисперсионного уравнения можно будет пользоваться методом элементарных волновых решений. По сути это есть разложение решения соответствующего уравнения по подходящему полному набору ортонормированных функций, которые и называются элементарными волновыми решениями.
Вопрос о характере неустойчивости имеет важное значение при конструировании приборов СВЧ. Система, обладающая абсолютной неустойчивостью, не может работать как усилитель, так как наличие абсолютной неустойчивости в системе означает, что исходное состояние неустойчиво во всех точках пространства. Это приводит к тому, что система со временем переходит в новое состояние. Решить вопрос о конечном устойчивом состоянии системы можно, только ретин не-
линейную систему уравнений, что в подавляющем числе случаев связано с большими математическими трудностями. Из эксперимента следует, что во многих случаях установившееся в результате развития неуст^и- чивости состояние является динамическим с более или менее развитой турбулентностью, например гидродинамическая неустойчивость [5] или неустойчивость в плазме [6]. Опыт показывает также, что некоторые системы в конечных состояниях после развития неустойчивости генерируют когерентные колебания (лазеры, ЛЕВ и др.). В некоторых средах неустойчивость может привести к образованию статических или движущихся доменов [7].
Если при абсолютной неустойчивости процессы нарастают во времени, постепенно охватывая всю систему, то при конвективной неустойчивости процессы нарастают в пространстве, так как возникшие возмущения, нарастая, сносятся к выходу системы. При не слишком большой длине системы и хорошо согласованном выходе (отсутствие отраженных волн) все воз
мущения могут покинуть систему, не достигнув заметной величины. Поэтому такая система может быть
усилителем.
Изменяя параметры системы, можно в некоторых случаях конвективную неустойчивость превратить в абсолютную, т. е..перевести систему из режима усиления в режим генерации.
В последние годы в ряде работ [8—20] вопрос об
однозначных критериях пространственного усиления, конвективной и абсолютной неустойчивости был решен
для достаточно широкого класса дисперсионных уравнений. Впервые критерии пространственного усиления, абсолютной и конвективной неустойчивости были сформулированы Стерроком [8] и строго доказаны Полови- ным [9] для дисперсионных уравнений, удовлетворя
ющих следующим условиям:
7)(со, к-) должно быть полиномом относительно со икс действительными коэффициентами.
Для всех решений дисперсионного уравнения предельные фазовые скорости Иш [ ■ ~ . | различны, 0)-*оо \ * (®/ /
отличны от нуля и бесконечности.
Независимо от работы [81 критерий пространственного усиления, исходя из принципа причинности, был получен в работе [10] для дисперсионных уравнений более широкого класса. Несколько другой подход к проблеме пространственного усиления, абсолютной и конвективной неустойчивости был предложен в работах [11, 12]. Авторы исходили из преобразования Лапласа по двум переменным, заменяя принцип причинности эквивалентным ему требованием существования области аналитичности изображения Лапласа в пространстве комплексных переменных и и i. Для дисперсионных уравнений гиперболического типа критерий пространственного усиления, конвективной и абсолютной неустойчивости, полученный этим способом, как и следовало ожидать, совпал с соответствующими критериями, полученными на основе принципа причинности. Однако метод преобразования Лапласа по двум переменным дает возможность получить эти критерии и для некоторых классов негиперболических уравнений (см. § 4).
В работе [20] критерии пространственного усиления, абсолютной и конвективной неустойчивости обобщены на случай параметрически взаимодействующих волн.
Критерий абсолютной и конвективной неустойчивости
В первой части книги мы ознакомим читателя с общими принципами теоретического анализа характера неустойчивости, пространственного усиления, а также укажем на некоторые простейшие примеры применения этих принципов.
Ограничимся исследованием двумерных (z — координата, t — время) однородных систем. Как мы уже упоминали во введении, задача об устойчивости системы по отношению к малым возмущениям является задачей с начальными условиями, аналогичной задаче о собственных колебаниях для систем с конечным числом степеней свободы.
Будем считать, что малые возмущения некоторого исходного невозмущенного состояния физической
системы описываются системой уравнений:
тг+2(“«4г+М^0’(2Л)
1=1
где fAz, t) — некоторые функции, описывающие волновой процесс в системе: компоненты векторов электромагнитного поля Е и Н, скорость электронов, плотность заряда, вектор смещений и т. д. Матрицы а^, м, для простоты будем считать постоянными, но в принципе они могут содержать операторы, действующие на поперечные координаты х и у (см. § 13, 15). Предположим также, что система неограничена в направлении оси z. Учет влияния границ будет произведен в § 6.
Так как мы решаем задачу с начальными условиями, то значение искомых функций в момент времени £ = 0 или их фурье-образы (Д.5)
/Д/с, 0) = J /Дг, 0)e^dz(2.2)
считаются известными. В формуле (2.2) и ниже к есть вещественная величина, связанная с длиной волны X соотношением к = 2л/Х
Решение системы уравнений (2.1) с начальными условиями (2.2) ищем в области 0 < £ < °°, — °° < z < < оо, и поэтому будем пользоваться преобразованием Лапласа по времени (Д.8—Д.10) и преобразованием Фурье по координате (Д.5). С помощью этих преобразований система дифференциальных уравнений (2.1) сводится к системе алгебраических уравнений
2 [£ (ы6ь - ка^ + pij?] /j (&, со) - /1 (&, 0), (2.3) 3=1
i = 1, 2, .. ., п.
Если применить к системе уравнений (2.1) подстановочный анализ, мы получим систему уравнений (2.3), но без правой части, т. е. однородную систему алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой существует только тогда, когда ее детерминант равен нулю. Ниже мы увидим, что этот детерминант обращается в нуль именно в тех точках, где функция
Грина неоднородной системы уравнений (2.3) имеет пелюса.
Решая систему (2.3) методами алгебры и применяя последовательно теоремы обращения (Д.6) и (Д.9), находим решение системы уравнений (2.1), удовлетворяющее начальным условиям (2.2):
A(z, О =
= —^2 i d® 1 dkDt-Ak, <o)0)е«“‘-^). (2.4)
(2л) ^^
Элементы матрицы Dtj(k, со) определяются формулой
Д - (к, со)
D^k’^=-fckr <2-5>
и представляют собой рациональные дроби относитель
но переменных и и й, степень числителей которых
1ты
Rew
Рис. 1.Рис. 1.Ау№, со) не менее, чем на единицу, меньше степени знаменателя, равной п; D(a, к) — главный определитель системы (2.3); Ау(&, со) — алгебраические дополнения соответствую-
Рис. 1.
Рис. 1.
щих элементов главного
определителя системы уравнений (2.4). Контур интегрирования ч» расположен в нижней полуплоскости комплексной переменной со (рис. 1), ниже всех особенностей подынтегральной функции. Формулу (2.4) с помощью теоремы о свертке (Д.7) можно записать в виде
п ?
Л (2, 0 = 2 j ^(г-г'.ОЖО),(2.6)
j 1 —ОО
где
с» ^ ° = ъМ * I 4кт^ГеМ*'ю *^ V 1 Vto -ОО
— функция Грина уравнения (2.1), выражающая значение искомых функций в момент времени t через их
начальные значения //z, 0). Вид функции Грина зависит только от физических свойств рассматриваемой системы и вовсе не зависит от начальных условии.
Dtj (?, 0Dtj (?, 0M^s^LM^s^L(2.8)(2.8)При исследовании характера неустойчивости будем исходить из формулы (2.6). Так как в этой формуле /,(z, 0) функции ограниченные: |/4(z, 0)1 ^ М, те для ответа на вопрос о характере неустойчивости системы достаточно изучить асимптотические свойства функции Грина (2.7) при t-»-<». В формуле (2.7), используя лемму Жордана (Д.З), можно замкнуть контур интегрирования 7Ш в верхней полуплоскости и затем вычислить интеграл по со с помощью теории вычетов (Д.4). В результате получим
Dtj (?, 0
Dtj (?, 0
M^s^L
M^s^L
(2.8)
(2.8)
X exp г (cos (&) t — kz),
где индекс 8 нумерует корни дисперсионного уравнения Вкы, к) = 0, a Da^ dD/dm.
Если Imcos№)>O при любом вещественном к для всех 8, то система устойчива. Если хотя бы для одного 8 Im toskk) < 0 при некоторых вещественных к, то имеет место неустойчивость, так как соответствующий член в сумме по 8 формулы (2.8) будет возрастать со временем как ехр [—Im cos(&)d. При этом будем считать, что для всех 5 и вещественных к выполняется условие Im ав(к) ^ М, где М — конечное положительное число.
В этом случае, как известно, может быть поставлена задача с начальными условиями (задача Коши). Величина —Imco(&) называется временным инкрементом неустойчивости.
Перейдем теперь к исследованию характера неустойчивости. Благодаря тому что экспонента expitost = = exp (i Re aBt — Im aBt) при t->-°o есть произведение быстроосциллирующей функции expi(RecosO (если Re cos ^0) на плавную функцию exp (—Im cost), при 1 oo рассматриваемый член при фиксированном z может стремиться к нулю, несмотря на то что Im cos < < 0. Если это так, то неустойчивость будет конвективной; возмущение, нарастая со временем, сносится, т. е.
в фиксированной точке пространства в конце концов исчезнет при t -»- °°. В противном случае имеет место абсолютная неустойчивость.
В формуле (2.7) можно выполнить интегрирование по к с помощью теории вычетов (Д.4). Результат интегрирования зависит от положения полюсов подынтегральной функции, т. е. от положения нулей функции В(дц, к) в комплексной плоскости к, которые можно найти, полагая
Д(со, А;) = 0. (2.9)
Дисперсионное уравнение (2.9) можно рассматривать как определение функции А:(со) (или обратной ей функции со (А:)) на римановой поверхности, или п ветвей этой функции на плоскости со с разрезами. В дальнейшем п регулярных ветвей A:s(co) многозначной алгебраической функции А; (со), определяемой уравнением (2.9), будем называть просто корнями дисперсионного уравнения. В общем случае это дисперсионное уравнение определяет п ветвей функции А; (со), которые будем различать по их разложению в ряд Лорана (Д.2) в окрестности бесконечно удаленной точки:
^s (®) = ~" + as +(2.10) т. е. бесконечно удаленная точка является полюсом первого порядка) для любой функции A:s(co). В конечной же части комплексной плоскости со функции A:s(co) имеют только конечное число алгебраических точек ветвления и других особенностей не имеют L22J. При этом мы предполагаем, что величина и8 отлична от нуля и от бесконечности.
Для того чтобы использовать теорему о вычетах (Д.4) при вычислении интеграла по А: в формуле (2.7), необходимо замкнуть контур интегрирования по к сверху или снизу. Так как положение полюсов подинтегральной функции в плоскости к зависит от со, то полюса, вообще говоря, могут перемещаться из верхней полуплоскости в нижнюю и наоборот. Для однозначности выбора положения полюсов будем счи-
тать, что контур ^и смещен далеко вниз в плоскости со. Так как на этом контуре со принимает большие значения, то имеет место асимптотическое разложение (2.10), и поэтому ясно, что полюс fcs(®) при Ps < 0 будет лежать в верхней полуплоскости, а при и8 > 0 в нижней полуплоскости.
При 2 < 0 контур интегрирования по к на основании леммы Жордана (Д.З) можно замкнуть сверху, при 2 > 0 — снизу. Тогда после интегрирования по к формула (2.7) примет вид
Dij (2, 0 =
C ^ дь ( s ( )’—)■ ^ __
in— (z)2лin— (z)2лС уX
in— (z)
2л
in— (z)
2л
(2.И)(2.И)X exp i (coi — ks (co) 2) dm,
(2.И)
(2.И)
где
0, еслиД, если0, еслиД, если[1, еслиn+ (2) — |q, если
0, если
Д, если
0, если
Д, если
a Dk означает производную от функции Д(со, к) по к. В формуле (2.11) сумма 2 означает суммирова- ®8>0
ние по функциям kskto), для которых и8 > 0. Эти функции соответствуют волнам, идущим в положительном направлении оси 2; в дальнейшем эти волны будем называть попутными; сумма ; 2 означает суммирова- ®8<0
ние по функциям A:s(©), для которых и8 < 0. Эти функции соответствуют волнам, идущим в отрицательном направлении оси 2, т. е. встречным волнам ).
Единственными особенностями в подынтегральных функциях (2.11) являются точки ветвления функций &s(co). Эти точки ветвления определяются системой уравнений [221:
D (со, А;) = 0, Dk (со, А;) = 0.
При этом Dto не должно быть равно 0.
Тогда, если в некоторой точке ветвления совпадают две функции, принадлежащие одному классу, то особенности в данной точке фактически нет, так как обе ветви входят в (2.11) симметрично, и при обходе вокруг точки ветвления происходит просто замена одной функции А:8(со) на другую (устранимая особая точка). Следовательно, единственными особенностями изображения Лапласа функции DtiU, t), находящимися в конечной части плоскости со, являются точки ветвления, в которых совпадают две функции, принадлежащие различным классам. Если между контуром 7Ш и действительной осью нет точек ветвления, то, пользуясь формулой (Д.11), совместим контур интегрирования с действительной осью, и тогда на основании теоремы Тичмарша [231 можно утверждать, что при фиксированном 2 DtiU, t) -► 0, если t^- оо. Если же в нижней полуплоскости имеются точки ветвления, то в этом случае поведение функции Грина (2.11) при <-►+«> определяется формулой (Д.13). А так как Im соо < 0, то D^z, t) -► ”, если t -► +оо.
Следовательно, критерий абсолютной неустойчивости можно сформулировать так.
Критерий I. Если две функции ka(&) имеют точку ветвления в нижней полуплоскости комплексной переменной со, причем предельные фазовые скорости lim(( кв (<o))/<o)-i = ys совпадающих в точке ветвления Ш-н» функций имеют разные знаки, то неустойчивость будет абсолютной.
Так как предельные фазовые скорости определяют направление распространения волн, то критерий 1 можно сформулировать в более общем виде: если в точке ветвления, находящейся в нижней полуплоскости, совпадают два корня kloV), соответствующие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях, то неустойчивость будет абсолютной.
Выше было приведено исследование поведения функции Грина (2.11) при £->-<» и фиксированном 2. Сейчас мы покажем, что если двигаться вдоль системы с некоторой скоростью и, т. е. положить 2 = vt, то мы будем наблюдать рост функции D^U-vt, t) со временем (конвективная неустойчивость). В случае конвективной неустойчивости контур интегрирования 7» в формуле (2.11) можно совместить с действительной осью. Выберем из суммы по 8 то слагаемо^, которое соответствует корню с Im&8(co)>O, если 2>0 (или Imfcs(co) < 0, если 2 < 0):
фа = 2^ f ехр 1 - ks =
= \ фз (со) exp it [со — vks (со)] da. (2.12)
максимум, максимум,максимум, максимум,Так как 1тА;8(со)>О в некотором интервале частот, то внутри этого интервала Im&8(co) имеет Частоту ю0, при которой Im As (со) имеет определяем из условия
максимум, максимум,
максимум, максимум,
d Im kg (со) _dto —
функцияфункцияd Re kg (co) I
функция
функция
Если положить v-1 =ч-, TO
aco |(o=(Oq
As(co) = co — А?8(о)у будет иметь на действительной оси перевальную точку соо, так как
dZg
—5—-= 1 — V
асо <й=<оо
d Re ks (со)
dto(o=(Oq
10
dtoj(o=(o0
Применяя к оценке интеграла (2.12) метод перевала [22], находим
Фз (vt, t)^^ ехр г (соо — vks (соо)) t,
а так как Im&8(coo)>O и v>0, поскольку групповая скорость попутной волны положительна, то ф8 оо при t -* оо. Таким образом, в движущейся со скоростью
dRe*s(<o) \-1dm /dRe*s(<o) \-1dm /системе координат будет наблюдаться рост возмущений со временем (конвективная неустойчивость).
dRe*s(<o) \-1dm /
dRe*s(<o) \-1dm /
Таким образом, задача о характере неустойчивости сводится к анализу многозначной функции &8(со) (или ее ветвей). В общем случае это довольно сложная аналитическая задача. В § 5 в качестве примера будет рассмотрено дисперсионное уравнение для двух связанных волн, а также дисперсионное уравнение специального вида для трех связанных волн. В этом случае анализ может быть проведен в общем виде до конца. В более сложных Случаях анализа необходимо привлекать конкретные свойства дисперсионного уравнения. В частности, в § 14 при анализе характера неустойчивости будут использованы численные методы.
Выше критерий абсолютной неустойчивости был получен для одномерного случая, однако без особого труда этот критерий может быть обобщен и на трехмерный случай.
Естественным обобщением формул (2.6) и (2.7) на трехмерный случай будут следующие формулы:
к (г, 0 = 2 J ^ Dti (г — г', t) /j (г', 0),
D^ (г, f) = —Г da f d3k ’ J е<(«»<-кг)
7(2л)4 J J ^(“, k)
V(o
В интеграле по k, воспользовавшись формулой (Д.14), перейдем к сферической системе координат. В результате получим
оо л/g
Пц (г, 0 = —Ц- J da J dk J sin 0 d0 X
^2л^ V<D -» o
2Л-
(2.13)
О
здесь R = x cos ср sin 0 + у sin ср sin 0 + 2 cos 0 = nr; n = = k/k — единичный орт в направлении волнового вектора к.
Перепишем интеграл (2.13) в виде
Л/2 2Л
(2л) J J (2л)
х Р1» jik ^ААА eW'1H'- (2Л4)
Vm -о°
здесь dQ = sin OdOdtp.
Интеграл по к можно вычислить с помощью теории вычетов (Д.4). Положения полюсов подынтегральной функции, являющихся корнями дисперсионного уравнения Д(со, к, 0, ф) = 0, зависят, как и в одномерном случае, от к, а также от углов 0, ф. Каждому корню соответствует определенный тип волны. Разделив волны на попутные и встречные, после интегрирования по к из (2.14) получим формулу, аналогичную формуле (2.11):
Л/2 2Л
'0 0
х Г П+ W у С ^ ^А„ (<о; fcs«0, е, ф)) ^.^ _
2Л ^oi D'h^;ks^ е, Ф))
П_(Я) i у Г
D*h (<о; kg (to, 6, ф))D*h (<о; kg (to, 6, ф))2л J
D*h (<о; kg (to, 6, ф))
D*h (<о; kg (to, 6, ф))
”s<oVto
(2.15)
причем
Формула (2.15) отличается от аналогичной формулы (2.11), полученной для одномерного случая, в следующих пунктах: 1) зависимостью ка и R от углов; 2) наличием дополнительного множителя кд (а, 0, ф); 3) последующим интегрированием по углам (в пределах полусферы). Очевидно, эти три отличия не должны влиять на характер асимптотики функций Dy при t -* ”, и поэтому она по-прежнему будет определяться характером точек ветвления и их положением в комп-
лексной плоскости со. Точки ветвления находятся из совместного решения двух уравнений:
D (со; к, 0, ф) = 0, D'k (со; к, 0, ф) = О, и, в отличие от одномерного случая, их положение зависит от углов 0 и ф.
Таким образом, критерий абсолютной неустойчивости в трехмерном случае можно сформулировать следующим образом.
Если точка ветвления функций &8(со, 0, ф) при.некоторых значениях углов 0 и ф лежит в нижней плоскости со и принадлежит двум волнам, распространяющимся в противоположных направлениях, то неустойчивость будет абсолютной.
Критерий пространственного усиления
Для получения критерия пространственного усиления будем исходить из системы линейных уравнений (2.1), описывающих распространение волн в некоторой среде. Решение этой системы будем искать в области 2 > 0, t > 0. Так как задача об усилении есть задача с граничными условиями (в плоскости 2 = 0 в момент времени t = 0 приложен сигнал А(0, О и исследуется его поведение с ростом координаты г), то функции /.(0, t) будем считать заданными и такими, что их можно разложить в интеграл Фурье — Лапласа (Д.11)
/i (0, f) = ^ J А (0, со) е™Ш.
Будем считать также, что /,(0, О ^Ме-®*; а>0. Тогда из обратного преобразования Фурье — Лапласа
[оо
/, (0, со) = J /с (0, t) e-itotdt
следует, что функции /«(0, со) регулярны в нижней полуплоскости комплексного переменного со (см. рис. 1).
Будем считать также /<(г, 0) = 0. Если бы /4(z, 0) были отличны от нуля, то это означало бы, что в системе в момент t = 0 возникло некоторое возмущение
и исследование его поведения во времени дало бы ответ на вопрос: устойчива или неустойчива система относительно малых-возмущений и каков характер этой неустойчивости (конвективный или абсолютный). Эта задача была рассмотрена в предыдущем параграфе. А так как в линейном приближении распространение внутренних возмущений и внешнего сигнала можно рассматривать независимо, то можно положить /<(z, 0) = 0.
Выбор области изменения времени 0 ^ t ^ 00 обусловлен двумя причинами.
Во-первых, это дает в принципе возможность изучать переходные процессы при распространении сигнала в среде и ответить на вопрос, существует ли вообще при t -»- оо установившееся ограниченное в данной точке пространства решение системы уравнений (2.1). Как было показано, в случае абсолютной неустойчивости такого решения не существует.
Во-вторых, выделение начального момента времени дает возможность применить принцип причинности в следующей форме: при достаточно малых t всегда существуют такие достаточно большие z, где решение системы уравнений (2.1) тождественно равно нулю, другими словами, сигнал в эти точки еще не дошел;
/i (z, t) 0 (t = const).
Как мы увидим ниже, этот принцип позволит нам получить критерий пространственного усиления, а также некоторые соотношения, которым должны удовлетворять функции /ДО, to).
Применим к системе уравнений (2.1) преобразование Лапласа по координате z;
h (k, t) - J A (z, t) e^az,о
после чего получаем
9Л V
-щ + Z (- №«ij + Ри) h kk, Ц =
n
= 2 «ъ/ДО, f) = <pt(O, t).
3=1
Применяя затем преобразование Лапласа по времени
fi (fc, со) = ^ /< (к, t) e—^^dlt,6
получаем
п
2 [* (co6ij — faxy) + Pij] fj (к, co) = ф4 (0, co), (3.1) 5=1
при этом было учтено, что /Xz, 0) = 0.
Вид системы уравнений (3.1) полностью совпадает с видом системы уравнений (2.3), поэтому сразу запишем решение
п
/, (к, со) = 2 Dvi {к, со) cpj (0, со), (3.2) 5=1
где Лу определяется формулой (2.5).
По теореме обращения находим
/i (z, f) (2л)/i (z, f) (2л)J da ^dkfi (к, со) exp i (cot — kz), (3.3) Vo Vh
/i (z, f) (2л)
/i (z, f) (2л)
где контур ^ проходит выше всех полюсов функции fAk, со), т. е. всех нулей знаменателя; контур ^ш проходит ниже всех особых точек подынтегральной функции, включая точки ветвления функции &8(со).
Решение (3.3) удовлетворяет системе уравнений (2.1) и граничным условиям, но, вообще говоря, не удовлетворяет принципу причинности. Покажем это, выполнив в (3.3) интегрирование по к. Это можно сделать в явном виде с помощью теории вычетов, так как подынтегральная функция является рациональной функцией по отношению к комплексной переменной к:
A (z, 0 =
А.ДМ0^ со) Dk (ш- ks (to))А.ДМ0^ со) Dk (ш- ks (to))ср,- (0, co) Xср,- (0, co) X
А.ДМ0^ со) Dk (ш- ks (to))
А.ДМ0^ со) Dk (ш- ks (to))
ср,- (0, co) X
ср,- (0, co) X
X exp i (cot — ks (co) z), (3.4)
где 8 означает номер корня уравнения D(a, &)=0,
Выберем любой член суммы (3.4) по 8:
Tts (z, 0 = ^й J ^is (“) exp i (cot - ks (co) 2) dco. (3.5)
V<o
Функция
Лб(со) = 2 j=lЛб(со) = 2 j=lду (kg (co), co) Dk t®’ ^s (®))ду (kg (co), co) Dk t®’ ^s (®))Tj (0, co)Tj (0, co)
Лб(со) = 2 j=l
Лб(со) = 2 j=l
ду (kg (co), co) Dk t®’ ^s (®))
ду (kg (co), co) Dk t®’ ^s (®))
Tj (0, co)
Tj (0, co)
аналитична ниже контура ч«>- Выше контура 7» ее особенности совпадают с особенностями функции cpj(O, со), и кроме того, имеются точки ветвления, совпадающие с точками ветвления fcs(co). Для оценки интеграла (3.5) запишем его в виде
Ф«« (z, 0 =
= 2ni I ^i« (Ю) еХР “° Р — т~4 еХР ч"^fcs (ш) | 2 dco.
?ш\ Уз7 \У87
Если t < z/v8, то контур ^„ можно дополнить дугой бесконечно большого радиуса 7?ю, проходящей в нижней полуплоскости. Так как Eisexp(t| —ks (со)1 zl I L ys J J ограничена в бесконечно удаленной точке, а expjtcoft—^-В->0 на дуге R«> при t < z/v8, то согласно лемме Жордана (Д.З) интеграл по R» стремится к нулю. Добавим в (3.5) интеграл по дуге RM и, так как внутри контура интегрирования нет особых точек, то получим
ф(8(г, t) = О, t < z/vs.
Если же t>z/v8, то контур 7Ш можно замкнуть в верхней полуплоскости. Получившийся в результате замкнутый контур содержит внутри себя особые точки (полюса и точки ветвления), поэтому при t > z/v8 ф<8(2, t) ¥= 0.
Если v8 > 0, то будет иметь место случай, изображенный на рис. 2; если v8 < 0 — то на рис. 3. Следовательно, слагаемые в сумме (3.4), соответствующие к^ц^, которые удовлетворяют дисперсионному
Um WUm Wуравнению, но для которых
Um W
Um W
(3.6)
не удовлетворяют принципу причинности, так как даже при очень малых t сигнал отличен от нуля на больших расстояниях г вправо от плоскости приложения сигнала.
Рис. 2.Рис. 2.Рис. 3.Рис. 3.
Рис. 2.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 3.
Следовательно, для того чтобы решение (3.4) удовлетворяло принципу причинности, необходимо, чтобы в сумме по 8 отсутствовали члены, для которых выполняется условие (3.6). Единственный способ одновременно удовлетворить принципу причинности и граничным условиям — это приравнять коэффициенты, удовлетворяющие условию (3.6) при ехр [—ёА:в(со)z], нулю:
S Aij(/cs(co), со) q>, (0, со) = 0 (3.7)
для тех 8, для которых и8 < 0. Это означает, что не все граничные условия, т. с. не все функции /,(0, со), являются независимыми, а это в общем случае ведет к необходимости существования отраженных волн.
Может показаться, что число условий (3.7) больйсе числа функций ф«(0, со), так как индекс г может принимать все значения от 1 до п; кроме того, для каждого i число условий (3.7) равно числу встречных волн. Покажем, что число независимых условий (3.7) не превышает числа встречных волн. Для этого необходимо показать, что если условие (3.7) выполняется для какого-нибудь фиксированного 1 = п, то оно будет выполняться и для любого другого значения L
Будем исходить из тождества
(3-8)(3-8)п
(3-8)
(3-8)
2 в-ц^и = D6ij, z-i
здесь D = det I ая I, Ая — алгебраическое дополнение элемента ац. В нашем случае из (3.1) находим
®л = Рл + Дсоб^ — Зса^.
Умножая (3.8) на ср/О, со) и суммируя по i, получаем
2 «я 2 Дпфс (0, со) = D (со, А:) ср, (0, со). (3.9) z=i 1=1
п
Обозначим Xi = 2 Анф1 (0, со) и подставим в (3.9). 1=1
Тогда D = 0 и из (3.9) следует, что
2 «jiXz = О-(3.10)
i=i
Так как D = det I а^ I = 0, то отбрасывая последнее уравнение в (3.10) и перенося члён с 1 = п вправо, получим
П—1
2 «ЯХ1 = — aJ»Xn, i = 1, 2, ..., п — 1. (3.11) i=i
Для простоты будем считать корень к = к8(й') однократным, следовательно, детерминант системы (3.11), представляющий собой алгебраическое дополнение элемента апп, будет отличен от нуля. Тогда по правилу Крамера находим
п-1
здесь Ann — детерминант системы (3.11), Ал — алгебраические дополнения его элементов.
п
Если положить Х« = 5 Дщф! (0, со) = 0, то из i=i
следует, что X/= 0 при любом I, что и нужно было доказать.
Таким образом, решение (3.4) системы (2.1), удовлетворяющее граничным условиям и принципу причинности, имеет вид
A(z, О =
ДО (к8 (<о), <о)Dk (to. ks М)ДО (к8 (<о), <о)Dk (to. ks М)ф^ (0, co) Xф^ (0, co) X
ДО (к8 (<о), <о)
Dk (to. ks М)
ДО (к8 (<о), <о)
Dk (to. ks М)
ф^ (0, co) X
ф^ (0, co) X
X exp i (co( — ks (co) 2), (3.13) где Dk — производная по к, а штрих у суммы по 8 означает, что функции /са(со), для которых v8 < О, в сумме отсутствуют. Эти корни соответствуют встречным волнам, распространяющимся в отрицательном направлении оси 2. Полученный результат имеет простой физический смысл: если среда занимает полупространство 2 > 0, то с границы 2 = 0 можно возбудить только попутные волны v8 > 0; в электродинамике такие волны называются расходящимися. Если же среда занимает полупространство 2 < 0, то в решение войдут только волны с и8 < 0. Это связано с тем, что мы считаем среду безграничной и однородной, и поэтому отраженные волны появиться не могут.
Так как не все корни дисперсионного уравнения входят в решение (3.13), то, вообще говоря, мы не можем совместить контур интегрирования 7» с действительной осью со. Это объясняется тем, что в нижней полуплоскости могут существовать точки ветвления, в которых попутные волны и8 > 0 совпадают со встречными vs < 0, а последние не входят в (3.13).
Согласно формуле (Д.13) наличие точек ветвления второго порядка в нижней полуплоскости (1тсоо<О) может привести к появлению в решении (3.13) членов типа tV1 exp (—Im CDot), что указывает на отсутствие стационарного решения (абсолютная неустойчивость). При наличии точек ветвления в нижней полуплоскости стационарное решение существует только тогда, когда в этих точках ветвления совпадают две функции &8(со), входящие в решение (3.13), т. е. попутные волны. В этом случае точки ветвления по сути отсутствуют, так как при обходе вокруг этих точек происходит просто перестановка слагаемых в сумме по 8 в
формуле (3.13), поэтому контур интегрирования можно сместить к действительной оси
/i (Z, 0 =
= 2^2 J Лз (®) exp t (cot — &s (со) z) dco (3.14) »S>0 -oo
и рассматривать &8(co) как функцию только вещественной переменной со. Если 1т&8(со)>О для некоторых 5, то соответствующие члены в сумме (3.14) будут нарастать в пространстве, т. е. имеет место пространственное усиление. Если же v8 > 0, но Imfcg(co)<O, то волна экспоненциально затухает по мере удаления от границы и в этом случае говорят, что имеет место непропускание.
Если сравнить первый член в формуле (2.11) с формулой (3.13), то оказывается, что функция Грина у них общая. Условием конвективной неустойчивости, как и условием пространственного усиления, является отсутствие в нижней полуплоскости со общих точек ветвления у встречных и попутных волн. Кроме того, должно быть выполнено условие р8 Im &8(со) > 0.
Теперь можно сформулировать критерий пространственного усиления следующим образом.
Критерий II. Если среди функций Kakto\ определяемых дисперсионным уравнением D(co, /с) = 0, имеются такие, для которых
, ка (со)<
lim—= — >0, Im&s (со) > 0,
«.-<»yS
то соответ ствующие этим функциям волны будут усиливаться в той области частот, где Imfc8(co)>O.
Здесь принимаем во внимание только вещественные значения со.
Если ив < 0 и Imfc8(co)<O, то, повторяя все предыдущие рассуждения, но для области z < 0, находим, что усиливаться будут встречные волны. Другими словами, в случае пространственного усиления знаки предельной фазовой скорости v8 и Imfc8(co) должны совпадать. В тех случаях, когда они разные, имеет место непропускание.
Так как предельная фазовая скорость и8 указывает на направление распространения волн, то критерий II можно сформулировать более общим образом:
Пространственное усиление имеет место для тех попутных волн, у которых 1шА;8(со)>О, и для тех встречных волн, у которых Im&8(co) < 0.
Величина а = 1шА;8(со) называется коэффициентом усиления при однократном прохождении войны или пространственным инкрементом нарастания.
Предыдущее доказательство относилось к случаю, когда матрицы а„, p,j являлись постоянными. Если же a,j, ру являются операторами, действующими на поперечные координаты, то матрица Ру не будет представлять собой рациональную дробь. В некоторых случаях матрица Dti является мероморфной функцией переменных А: и со, и тогда доказательство критерия практически не изменится, так как мероморфную функцию можно всегда представить в виде частного двух целых функций, а целые функции можно рассматривать как полиномы бесконечно большой степени.
Таким образом, как следует из предыдущих параграфов, для решения вопроса об устойчивости системы, а также вопроса о характере неустойчивости и о пространственном усилении необходимо знать дисперсионное уравнение, уметь его решать и классифицировать волны на встречные и попутные. Во многих случаях известно лишь приближенное дисперсионное уравнение, справедливое в определенной области изменения величин А: и со. Это бывает связано с приближенностью исходных уравнений (2.1), или с трудностями анализа точного дисперсионного уравнения, и мы вынуждены заменить его приближенным. В этом случае от приближенного дисперсионного уравнения необходимо требовать, чтобы критерий его применимости не нарушался в той области со и А:, где имеет место неустойчивость или находятся точки ветвления. Кроме того, приближенное уравнение должно иметь правильное асимптотическое поведение при больших со и А;, так как именно с помощью асимптотического поведения возможно однозначное деление волн на прямые и попутные. Иногда такую возможность дает знак групповой скорости.
В тех случаях, когда приближенное дисперсионное уравнение не удовлетворяет перечисленным выше требованиям, правильность выводов о неустойчивости и ее характере, а также о пространственном усилении, не гарантирована.
§ 4. Применение преобразования Лапласа по двум переменным к задаче о пространственном усилении
Имеется другая возможность получения критериев неустойчивости и пространственного усиления без явного применения принципа причинности, но с применением теории преобразования Лапласа по двум переменным, в которой вместо принципа причинности используется эквивалентное требование аналитичности функции двух комплексных переменных. Этот метод интересен тем, что позволяет обобщить критерий пространственного усиления на дисперсионные уравнения параболического типа.
В § 3 мы уже применяли метод преобразования Лапласа по двум переменным к задаче с граничными условиями и получали решения в виде (3.4). Применяя теорему о свертке, формулу (3.4) можно записать в виде
/г (Z, 0 = S f Dd^ t - Г) ф; (0, Г) dt', (4.1) ^=1 0
где oo-f-iaoo—it
D«(8-1)--SiT J dk У ^Tsnr,w'‘‘M4-2) —oo-f-ia —oo —it
а
фДО, t)=-^ J dto ф, (0, co) ei(0<.
В формуле (4.1) верхний предел можно заменить на оо, так как Dy(z, t) = 0 при t < 0.
Вычисление интегралов по к или по со может быть выполнено с помощью теоремы о вычетах (Д.4). Для этого необходимо знать корни дисперсионного урав-
нения DU), к) =0. Однако, так как изображение функции должно быть аналитической функцией при всех значениях переменных к и со, для которых Imfc>o и Im со < — т, где о и т — две подходящим образом выбранные вещественные постоянные о, т > 0, то не все корни дисперсионного уравнения имеют одинаковый физический смысл. Корни дисперсионного уравнения A-s(cd), для которых Im &5(со)-►+оо при Im со-*—00 соответствуют встречным волнам и не должны входить в решение (4.1), так как наличие таких корней означает наличие полюсов подынтегральной функции (4.21 в той области (со, к), где изображение Лапласа должно быть аналитичным.
Это означает, что функция Грина (4.2) должна иметь вид
Вц (z, t) =
ОО —it
; XV Г ,(со), ш)
= xxrZj I ^®' 8 exp г [cot — kg (со) z],
где сумма по 8 включает только те решения дисперсионного уравнения, для которых Imfcs(co) —*—оо при Im со -*—о°. Кроме того, срДО, со) должны удовлетворять условию
п
2 Ац (&s (“), “) Ф; (°, ®) = О1=1
для всех 8, для которых ImA:8(co)>0 при Im со-*—00. Таким образом, критерий пространственного усиления можно сформулировать следующим образом:
Если среди функций, определяемых дисперсионным уравнением (2.9), имеются такие, для которых Imfc8(co)>O в некоторых областях вещественных со, причем Im/c8(co)^—00 при Im со-*—°°, то соответствующие этим функциям волны будут усиливаться в той области частот, где Im&8(co)>O. Здесь принимаем во внимание только действительные значения со.
. kg (со)1
Если предположить, что Нт —-— = —- является (0->оо ШУд
конечным и отличным от нуля, то тогда fc8(co) имеет 3 А. М. Федорченко, Н. Я. Коцарецко
ВИД (при (0 оо)
^8 (ш) = Ь «8 + ~ 41 + • • ч
и мы приходим к выводу, что приведенная выше формулировка критерия пространственного усиления тождественна критерию II.
Смысл полученного критерия сводится к тому, что в решении задачи с граничными условиями необходимо оставлять только те волны, которые распространяются от источника (в нашем случае источник находится в плоскости 2 = 0, а среда расположена в области 2 > 0). Отбор волн, распространяющихся от источника, осуществляется с помощью принципа причинности (§ 3) или эквивалентного ему требования аналитичности функций Грина (4.2) в комплексной области (со, к). В результате получаем, что попутные волны находятся из условия 1шЛ;8(со)<О при 1шсо->—°°, а встречные Im &8(со) > 0 при Im со -*—°°.
Так как изменилось только правило, по которому различают встречные и попутные волны, но не сами критерии, полученные в предыдущих параграфах, то по-прежнему условием абсолютной неустойчивости будет наличие точки ветвления в нижней полуплоскости со, принадлежащей двум волнам, распространяющимся в противоположных направлениях.
В качестве примера рассмотрим дисперсионное уравнение, полученное в работе [21] для спиральных волн пространственного заряда в полупроводниковом стержне в параллельных электрическом и магнитном полях:
Д(со, к) = (к — к^2 — a(w — соо) = 0,(4.3)
где к0, а, соо — в общем случае комплексные параметры. Точно такой же вид имеет дисперсионное уравнение для волн пространственного заряда в полупроводниках с отрицательной дифференциальной проводимостью (эффект Ганна). Оба случая рассмотрены во второй части этой книги, соответственно в § 11 и § 13. Дисперсионное уравнение (4.3) является дисперсионным уравнением параболического типа.
Найдем условия, при которых система, описываемая дисперсионным уравнением (4.3), неустойчива. Из (4.3) находим
Im со = Imco0 +—1р{— (^ — Re/c0)2 Ima —
— 2Re a Im k0 (& — Re k^ + Im a (Im &0)2}- (4.4) При больших к Im co — k2 Im a/|al2. Следовательно, если Ima>0, то нарушается критерий — Im со Л/, где М — положительная величина, и задача 6 начальными условиями не имеет смысла.
Если Im a < 0, то выражение (4.4) имеет минимум при
,„ , Re a Im
* =Re*0^
равныйравныйdm ло)2(1т (я)щ(п = Гт о о Ч|щ а •Следовательно, система неустойчива, если (1т<о)тт < О,dm ло)2(1т (я)щ(п = Гт о о Ч|щ а •Следовательно, система неустойчива, если (1т<о)тт < О,“ Im a
равный
равный
dm ло)2
(1т (я)щ(п = Гт о о Ч|щ а •
Следовательно, система неустойчива, если (1т<о)тт < О,
dm ло)2
(1т (я)щ(п = Гт о о Ч|щ а •
Следовательно, система неустойчива, если (1т<о)тт < О,
т. е.
Imcoo<(ImAo)2/(— ima), Ima<0.
Так как при Im соо < 0 точка ветвления находится в нижней полуплоскости и принадлежит волнам, распространяющимся в противоположных направлениях (ниже это будет показано), то согласно критерию I неустойчивость будет абсолютной.
Таким образом, при Imcoo<O имеет место абсолютная неустойчивость, при 0 < Im и0 < (Im *0)7-Im a — конвективная неустойчивость, а при Im и» -> >(Im/c0)2/(—Ima) система устойчива.
Перейдем теперь к вопросу о пространственном усилении в рассматриваемой системе при Ima<0. Дисперсионное уравнение (4.3) имеет два решения:
*1 = *0 + Уа(ю^ш7), /с2 = ^—Уа(со —шо).
Следовательно, функции fc^co) и ^(со) имеют точку ветвления при ю =Юо. Если Im©^0’ т0 точка вет" вления находится в нижней полуП^°скости и Устан0~ 3*
вившегося решения задачи с граничными условиями, согласно результатам § 3, не существует, как и должно быть в случае абсолютной неустойчивости.
Рассмотрим случай Im соо > 0. В этом случае установившееся решение существует и возможно пространственное усиление. Найдем условия, при которых усиление имеет место. Согласно результатам, полученным в начале параграфа, в решении задачи с граничными условиями должны присутствовать только решения дисперсионного уравнения, которые не лежат в области Imco<—т, 1т&>с. Ветви kt и к2 фиксируем следующим образом, положив а=|а|е'т. Проведем разрез в комплексной плоскости со из точки соо влево до бесконечности параллельно действительной оси; тогда под Ач(со) будем понимать ту ветвь многозначной функции, определяемой дисперсионным уравнением (4.3), которая на верхнем берегу разреза при |со| -* <” равна
fci (со) = ] асо |1/2 е 2 , |и|-*°о, arg со-*,0.
Соответственно
/с2(со) = — |асо!г/2е2,/с2(со) = — |асо!г/2е2,] со | -> оо,] со | -> оо,arg со -* 0,arg со -* 0,
/с2(со) = — |асо!г/2е2,
/с2(со) = — |асо!г/2е2,
] со | -> оо,
] со | -> оо,
arg со -* 0,
arg со -* 0,
где V = arg а, а = |a|e,v; л < V < 2л, так как Im a < < 0. Фиксировав таким образом ветви многозначной функции, исследуем, как они ведут себя при Ни °°, л<ср<2л, т. с. при Im со-*—«>, так как со=7?(,>е,ф.
Находим
Im^! = ]/|а/?ю | sin ^—^ ^ при Im co*—oo, Imfc2 = — УaRm |sinf^ + ф\ при Im co-* — ex?.
Таким образом, только волна, соответствующая функции fc^co), войдет в решение граничной задачи (задачи об усилении), если среда занимает полупространство z > 0 (если среда занимает полупространство 2^0, то соответственно в решение войдет только встречная волна &2(со)).
При конечных со мнимую часть kt можно записать в виде
Im кг - Im к0 4- Im р^а (со — соо) =
= Im fc0 + ]/] а (со — соо) | sin ^^^^^, л < ср < 2л, так как со — соо = I со — соо I е<ф и со пробегает действительные значения (Imcoo>O). Следовательно, л< <'<2л, а значит, Im{Уа(со — соо)} < 0. Таким
образом, для того чтобы имело место усиление, необходимо, чтобы (Im fc^maz > 0, т. е.
(Im&Jmax = Ilm^o + Im {Va(co — coo)}]maz > 0.
Первое слагаемое не зависит от со, поэтому найдем максимальное значение Im {Уа(со — соо)}. Для этого представим корень в виде
Уа(со — соо) = и + iv = Уж + iy,(4.5)
где
ж = (со — Re соо) Re а + Im а Im соо, у = (со — Re соо) Im а — Re ос Imcoo. Отсюда получаем
Из (4.5) имеем
2ии = у.(4.1)по ж и приравняв dvHx =2ии = у.(4.1)по ж и приравняв dvHx =используя (4.6), получаемиспользуя (4.6), получаемиг — и1 = X,
2ии = у.(4.1)
по ж и приравняв dvHx =
2ии = у.(4.1)
по ж и приравняв dvHx =
используя (4.6), получаем
используя (4.6), получаем
Продифференцировав (4.7) = 0, находим
и
V
Подставляя (4.8) в (4.7) и
Утах = [1т Уа(со — o)o)Jmaz = —У—Im а 1т соо.
Таким образом, условие пространственного усиления запишется в виде
Im kQ > У — Im соо Im а.
Следовательно, рассматриваемая система не обладает стационарным решением, если
Im too < О, и обладает пространственным усилением, если
О <Im too< _ tma >Im/c0>0.
Встречная волна будет при этом затухающей.
Следует отметить интересный результат: при Ima<0, так же как и для гиперболических уравнений, конвективная неустойчивость в задаче с начальными условиями соответствует пространственному усилению в задаче с граничными условиями, а абсолютная неустойчивость в задаче с начальными условиями соответствует отсутствию стационарных решений в задаче с граничными условиями.
Нетрудно заметить, что при Im/c0<0 попутпая волна (функция /c±(to)) будет затухать. Можно показать, решая задачу с граничными условиями для полупространства 2^0, что если Im к0 < 0, то волна, идущая в обратном направлении (функция Л?2(и)), будет усиливаться при условии
Im к0 + У—Im toQ Im а < 0,
т. е. при Im&0<0. Таким образом, знак Imfc0 указывает, в каком направлении система усиливает внешний сигнал.
Критерий абсолютной и конвективной неустойчивости не зависит от знака Im&o, но область волновых векторов, в которой имеет место та или иная неустойчивость, зависит как от знака, так и от величины Im к0.
§ 5. Анализ дисперсионных уравнений для двух и трех связанных волн
Напомним еще раз, что задача о неустойчивости — это задача с начальными условиями, а задача о пространственном усилении — это задача с граничными условиями, хотя в обоих случаях необходимо решать одну и ту же систему дифференциальных уравнений. Йо, конечно, нет необходимости в каждом кон-
кретном случае решать полностью задачу с начальными или граничными условиями. Это нужно было только для доказательства критериев, которые, как оказалось, зависят от вида дисперсионного уравнения Z>(coA;)=O и не зависят от конкретного вида граничных условий, а дисперсионное уравнение всегда можно получить подстановкой exp Kat— kz), не решая полностью системы дифференциальных уравнений. Таким образом, схема решения вопроса о характере неустойчивости физической системы, а также вопроса о возможности усиления с помощью этой системы, состоит в следующем.
Пусть известно какое-нибудь состояние исследуемой системы, которое, как правило, является решением соответствующих нелинейных уравнений движения данной системы. Желая исследовать устойчивость этого состояния, необходимо к полученному решению добавить малые возмущения и, подставив в уравнения, сохранить только линейные по возмущению члены. В результате получаем систему дифференциальных уравнений типа (2.1). Если коэффициенты этой системы не зависят от времени t и координаты 2, то подстановкой exp Hat — kz) получим некоторое дисперсионное уравнение D(a, к) =0, которое решаем относительно со. Если аналитически или численно установлено, что Im asUc) > 0 при вещественном к для всех 8, то система устойчива; если хотя бы для одного S Im as(k) < 0 при некоторых вещественных к, то система неустойчива. В последнем случае необходимо решить вопрос о характере неустойчивости, который решается с помощью критерия I. Если окажется, что неустойчивость абсолютная, то вопрос об усилении теряет смысл. В этом случае приобретает значение вопрос о том, к какому конечному состоянию приводит развитие абсолютной неустойчивости, но это требует решения сложной нелинейной задачи. Если же неустойчивость — конвективная, то система может быть усилителем. Вопрос о пространственном усилении конвективно неустойчивой системы решается с помощью критерия II.
Несмотря на наличие однозначных критериев пространственного усиления, абсолютной и конвективной неустойчивостей, практическое применение этих Крите-
риев часто бывает затруднительным, так как при этом необходимо иметь решения дисперсионного уравнения в явном виде. Однако во многих случаях дисперсионное уравнение содержит некоторый малый параметр, такой, что если положить его равным нулю, то дисперсионное уравнение вырождается в произведение многочленов невысокого, в частности, первого порядка по к и со. В таких случаях дисперсионное уравнение может быть представлено в виде
П(*-*с(сй)) = А,/(/с, со),(5.1)
1=1
где /с.-(со) — дисперсионное уравнение для волны с индексом t при X = 0. Поправку к дисперсионному уравнению для волны, например с i = 1, можно получить следующим образом. Перепишем формулу (5.1) в виде
ф-к^^Х —LM.(5.2)
П(й-^(<о)) 1=2
Подставляя в правую часть приближенное значение к «/с1(со), получаем
/ (к, (со), со)к = кг (со) + X М ’.
II (*! (“) - kt (<"))
1—2
Продолжая итерацию, можно получить поправки более высокого порядка по X.
Метод итерации неприменим, если
/с4(со) = Л:.(со) (i = 2, 3, ...),(5.3)
т. е. в точке пересечения двух (или более) дисперсионных кривых разных типов волн. Эта точка называется точкой синхронизма. В этом случае, несмотря на малость параметра X, связь между волнами довольно сильная, волны в окрестности точки синхронизма теряют свою индивидуальность и их приходится рассматривать совместно. Пусть условие (5.3) выполняется для волны с i = 1, 2. Перепишем тогда (5.2) в виде
ф-к^» ф-к^-Х---^’-. (5.4)
П (*-*<(“))
1=8
Волны, для которых выполняется условие синхронизм ма (5.3), называют связанными волнами. В правую часть (5.4), которая определяет связь волны с i = 1, с волной с i = 2, можно подставить значения к и со в точке синхронизма. Это приближение носит название приближение слабо связанных волн [241.
Разлагая ^(со) и &2(со) в ряд в точке синхронизма: Эк, I
/ci (ю) - к0 + (со - соо) + ...,
дк, I
кгИ = ^о + *^-[^ (м - “о) +
(где к0, ю0 — точка синхронизма) и перенося затем начало координат в эту точку, получаем
кА:= Л,и1)\^ IкА:= Л,и1)\^ I(5.5)(5.5)
кА:= Л,и1)\^ I
кА:= Л,и1)\^ I
(5.5)
(5.5)
где ^ = (^1 ИУа = Г^Г/о> -групповые скорости в точке синхронизма; Л — правая часть уравнения С5.4), вычисленная в точке синхронизма к0, ю0. Предполагая, что знак групповой скорости определяет направление распространения волн, будем различать два случая, которые впервые были рассмотрены Старроком 181:
р1р2>0 —волны распространяются в одном направлении;
vtv2 < 0 — волны распространяются в различных направлениях; кроме того, величина А может иметь два знака. Таким образом, возможны четыре случая:
1. р4р2>0,1. р4р2>0,3. р4р2 < О,3. р4р2 < О,Л >0;Л >0;Л >0;Л >0;2. vtv2 > О,2. vtv2 > О,Л <0;Л <0;4. р4р2 < О, Л < 0.4. р4р2 < О, Л < 0.
1. р4р2>0,
1. р4р2>0,
3. р4р2 < О,
3. р4р2 < О,
Л >0;
Л >0;
Л >0;
Л >0;
2. vtv2 > О,
2. vtv2 > О,
Л <0;
Л <0;
4. р4р2 < О, Л < 0.
4. р4р2 < О, Л < 0.
Решение дисперсионного уравнения (5.5) можно записать в виде
to = -у- к (у, + v^ ± У^ к1 (V! - у2)2 + ^У1у2 (5.6) илиto = -у- к (у, + v^ ± У^ к1 (V! - у2)2 + ^У1у2 (5.6) или+ Л. (5.7)+ Л. (5.7)
to = -у- к (у, + v^ ± У^ к1 (V! - у2)2 + ^У1у2 (5.6) или
to = -у- к (у, + v^ ± У^ к1 (V! - у2)2 + ^У1у2 (5.6) или
+ Л. (5.7)
+ Л. (5.7)
Случай 1. Если иуг > 0 и А > 0, то согласно формулам (5.6) и (5.7) вещественным значениям к соответствуют вещественные значения со и наоборот. Система стабильна и не усиливает. Связь между волнами приводит к снятию вырождения в точке синхронизма. Дисперсионная кривая в этом случае имеет вид, изображенный на рис. 4, а.
Рис. 4.
Случай 2. Если щкг > 0 и Л < 0, то согласно формуле (5.7)вещественным частотам в интервале | ® | ^ 2 V | А | p^/I yi — у21 соответствуют комплексно сопряженные к, а согласно формуле (5.6) волновым векторам в области \к | ^ 2 V\ А | v^yj(ит — и^ соответствуют комплексно сопряженные со. Согласно критерию II в этом случае мы имеем пространственное усиление, так как обе волны распространяются в одном направлении и одна из них имеет Im к > 0 (можно по-
каЗ^Ть, что усиливается более медленная волна). С другой стороны, точки ветвления многозначной функции (5.6) лежат на действительной оси и согласно критерию I должна иметь место конвективная неустойчивость. Дисперсионная кривая для этого случая имеет вид, изображенный на рис. 4, б.
Случай 3. Если vtv2 < 0 и Л > 0, то согласно формулам (5.6) и (5.7) вещественным а) соответствуют вещественные к, а вещественным к в интервале к < < 2У|Л|р1р2/|р1 —р2| соответствуют комплексные со. Так как функции /с(а) имеют точку ветвления в ниж- „лУАУМ
ней полуплоскости а = — t ,.— и волны распро-
I 12 I
страняются в противоположные стороны, то согласно критерию I имеет место абсолютная неустойчивость. Дисперсионная кривая имеет вид, изображенный на рис. 4, в.
Случай 4. Если щкг < 0 и А < 0, то согласно формуле (5.6) вещественным к соответствуют вещественные а, следовательно, система устойчива. С другой стороны, согласно формуле (5.7) вещественным а в интервале lai < 2У Ml IpjpJ/Ip! — р2| соответствуют комплексные к. Дисперсионная кривая имеет вид, изображенный на рис. 4, г.
Покажем, что для попутной волны Im к < 0, для встречной волны Imfc>0, т. е. имеет место непропус- кание. Для определенности пусть и4 > 0, тогда из (5.6) следует, что попутной волне соответствует знак плюс перед корнем:
кг (а) (Окг (а) (ОНтНт
кг (а) (О
кг (а) (О
Нт
Нт
_^2_У1-У2_^2_У1-У2
_^2_У1-У2
_^2_У1-У2
подподПри обходе точки ветвления а = 2 V\ А |
под
под
коренное выражение приобретает фазу — in (обход точки ветвления производим снизу), так как контур ^„
стягивается к действительной оси со стороны нижней
полуплоскости (см. Д.11), следовательно,
откуда видно, что Im ^ < О и, следовательно, эта волна затухает. Так как корни комплексно сопряженные, то для встречной волны киг < 0) 1m к2 > 0, следовательно, эта волна также затухает. Здесь мы рассмотрели неустойчивость, обусловленную синхронизмом двух волн с разными знаками кинетической мощности [241. Существуют также так называемые резистивные неустойчивости, для которых точка синхронизма лежит в комплексной области, и поэтому к ним приведенные рассуждения непригодны. Примеры таких неустойчивостей будут рассмотрены в § 9 (акустическая неустойчивость) и в § 11 (среда с отрицательной дифференциальной проводимостью).
Рассмотрим далее дисперсионное уравнение для трех связанных волн, две из которых в отсутствие связи вырождены, т. е. им соответствует одно и то же дисперсионное уравнение. В этом случае дисперсионное уравнение вблизи точки синхронизма (которую мы выбираем за начало координат) имеет вид
(5.8)(5.8)/, ш \2to \ „
(5.8)
(5.8)
1кИ= л,
\"1 / \У2 /
где щ и и2 — групповые скорости рассматриваемых волн в окрестности точки синхронизма, К — коэффициент связи волн. Уравнение (5.8) удобно записать в безразмерном виде:
(у — хУ^у — сеж) = ± 1, (5.9)
где у = kf\K\v\ х = tof\KV,3Ut, a = vjv2, причем верхний знак соответствует К > 0, нижний К < 0. График дисперсионного уравнения (5.9) изображен на рис. 5.
Если а > 0, то все три волны распространяются в одном направлении, и поэтому согласно полученному критерию неустойчивость, если таковая имеет место, всегда будет конвективной. Поэтому ограничимся случаем а < 0.
В бесконечно удаленной точке дисперсионное уравнение (5.9) имеет следующие решения:
У1 (ж) = х + У -^^ + - - •,
У2 (ж) = ж - ]/
Следовательно, бесконечно удаленная точка является точкой ветвления, в которой совпадают функции уЛх^ и у2(ж), соответствующие попутным волнам; функция t/з(ж) соответствует встречной волне, так как а <0.
Рис. 5.
Рассмотрим вначале случай К > 0 (см. рис. 5, а). Из графика дисперсионного уравнения видно, что вблизи точки синхронизма действительным у соответствуют комплексные х, т. е. система неустойчива. Для определения характера неустойчивости необходимо найти положение точек ветвления функций у(х\ определяемых дисперсионным уравнением (5.9). Эти точки находятся из совместного решения уравнения (5.9) и уравнения
— = 2 (у - г) (у - аж) + (у - ж)а = 0.
Отсюда находим три точки ветвления: х 3 х31+»Уз
122/3(1 —а)’222/3 (1 —а) 3
,31-<Уз
22/з(1_а)2’
лежащие в конечной части плоскости комплексного переменного, и еще одна точка ветвления находится в бесконечно удаленной точке (рис. 6, а). Таким образом,
имеется одна точка ветвления хг в нижней полуплоскости комплексного переменного х. Докажем, что в этой точке совпадают ветви уДя) и Уз(ж), т. е. две ветви, соответствующие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях, что означает абсолютную неустойчивость. Будем двигаться вдоль контура 7», изображенного на рис. 6, а, справа налево. Из рис. 5а видно, что в точке xt совпадают две ветви у2 и уз. Так как Xi является точкой ветвления второго порядка, то в окрестности точки xt имеет место разложение:
Уз = Уо + а\х — х^4’ + ..., уз = Уо — аЛх — х^41 + ...,
причем а > 0, так как при х > Xi, уг > у3. Для х < xt получаем (обход точки xt совершается снизу, поэтому х — xt = (ж, — x')e~in')
Уг = Уо — ia(.Xi — хУ11 + ..., y3 = yo + ia(Xi + хУ,г +... .
Следовательно, Im у2 < 0, a Im у3 > 0. Далее, у, можно найти из условия, что сумма трех корней кубического
уравнения (5.9) с обратным знаком равна коэффициенту при второй степени х этого уравнения.
Продолжим аналитически все три ветви функции у(ж) в точку хг, проведя разрезы в комплексной плоскости х, как показано на рис. 6, а. В точке х = 0 имеем
У1 = 1. У2 = е 3 , Уэ = е 3.
Нумерация ветвей установлена, исходя из того что при аналитическом продолжении из точки xi в точку, х = О знаки мнимых частей у2(ж) и у^х) не меняются (иначе все три корня были бы действительными в некоторых точках из интервала [0, sj, а ранее было установлено, что Im уг < 0 и Im у3 > 0). Продолжим теперь все три ветви из точки 0 в точку хг вдоль луча с аргументом —2л/3. Для этого выполним преобразование) ,2Я,2Я
4—г—
х* = хв 3 , у* = уе 3 , при этом уравнение (5.9) сохранит свой вид, а точка хг перейдет в точку xt; в точке х = 0 получим
,2ЛЛЯ
У1 = е 3 , у2 = 1, У3 = е 3.
Так как в точке ветвления, лежащей на действительной оси, совпадают комплексно сопряженные ветви, то, действительно, в точке х2 совпадают ветви yt, у3. Вследствие того, что они соответствуют волнам, распространяющимся в противоположных направлениях, система будет абсолютно неустойчивой. Без специальных мер стабилизации неустойчивости такая система не может быть усилителем.
Не следует считать, что абсолютно неустойчивая система будет оставаться неустойчивой и при учете конечности ее размеров. Может оказаться, что длина абсолютно неустойчивой системы будет короче, чем минимальная длина волны, при которой возникает неустойчивость в безграничной системе, как в случае,
например, лампы обратной волны (ЛОВ). Другими сло вами, усилитель обратной волны — система слишком короткая, чтобы возбудить абсолютную неустойчивость. Если безграничная система абсолютно неустойчива по отношению к возмущениям к < &тах, то такая же, но конечная система длины L < 1/&тах будет устойчивой.
Случай Ж О (нижний знак в уравнении (5.9)) можно рассматривать аналогично, однако, если заменить со на —со, к на —к, то мы получим прежний случай. При этом новые точки ветвления будут расположены, как указано на рис. 6 б. Но так как при этом верхняя полуплоскость стала нижней и наоборот, то в нижней полуплоскости по-прежнему имеют общую точку ветвления две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, и, следовательно, неустойчивость будет также абсолютной.
Таким образом, во-первых, если yty2 < 0, то независимо от знака коэффициента связи К неустойчивость будет абсолютной; во-вторых, если и^г > 0, то независимо от знака К неустойчивость будет конвективной. При условии, конечно, что система неустойчива вообще.
В заключение этого параграфа отметим, что система уравнений
D (со, /с) = 0, Dh (со, /с) = О (5.10)
определяет пары чисел соа, кв. Числа соа называются точками ветвления *) в комплексной плоскости со, а числа к8 — соответствующие им седловинные точки (точки перевала) в плоскости к. Таким образом, каждой точке ветвления в плоскости со соответствует сед- ловинная точка в плоскости к и наоборот. Поэтому по свойствам седловинных точек также можно судить о характере неустойчивости [14], хотя, на наш взгляд, этот способ является более сложным.
Переход абсолютной неустойчивости в конвективную.
Влияние границ на характер неустойчивости
Как было показано в § 2, характер неустойчивости безграничной системы зависит от положения точек ветвления функций &s(co) в комплексной плоскости со. Положение точек ветвления определяется системой уравнений (5.10) и, естественно, зависит от параметров, характеризующих систему. Таким образом, изменяя параметры системы, можно управлять положением точек ветвления, т. е. переводить точку ветвления из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот) и тем самым изменять характер неустойчивости [181.
В § 5 были рассмотрены случаи двух и трех связанных волн без учета диссипации. Наличие диссипации в системе может существенным образом изменить характер неустойчивости. Покажем это на примере случая 3 § 5, который соответствует абсолютной неустойчивости. Пусть встречная волна (р2<0) обладает затуханием, которое мы обозначим v > 0. Затуханием попутной волны (^ > 0) пренебрегаем. В этом случае дисперсионное уравнение для связанных волн имеет вид
(6Л)(6Л)
(6Л)
(6Л)
Находим точки ветвления
® | (V±2/A).
При v > 2УА обе точки ветвления лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной со и согласно критерию I неустойчивость будет конвективной. Следовательно, путем введения достаточно сильного затухания (у>2УА) можно стабилизировать абсолютную неустойчивость и тогда система может быть использована как усилитель.
Аналогичный критерий перехода абсолютной Неустойчивости в конвективную можно получить и для трех связанных волн. Рассмотрим случай vt > 0, v2< 0, а < 0. Пусть встречная волна обладает затуханием v > 0. Затуханием прямых волн пренебрегаем. В этом 4 А. М, Федорченко. Н, Я, Коцареико
случае дисперсионное уравнение (5.8) имеет вид
(6.2)(6.2)
(6.2)
(6.2)
или в безразмерном виде
(у — xY<y — ах — iD = 1,(6.3)
где Г = ч/К'1*.
Точками ветвления функций укх), определяемых дисперсионным уравнением (6.2), будут точки
1(.-г ,3 \
X1 1 — а Г + 22/3
т -1(гГ3
21— а!22/32/*
1Г3 1 — i У3 X
Хз—1 — а2г/з2j"
Если
Г > ^ « 1,64,(6.4)
то все точки ветвления лежат в верхней полуплоскости и неустойчивость становится конвективной.
Таким образом, и в этом случае изменением величины диссипации системы можно (при условии (6.4)) стабилизировать абсолютную неустойчивость, превратив ее в конвективную. Стабилизировать абсолютную неустойчивость можно и путем изменения других параметров. Один из таких случаев будет рассмотрен в § 13.
До сих пор при исследовании неустойчивости физических систем мы считали их бесконечно протяженными в направлении распространения волн, и поэтому не учитывали наличия границ. Между тем наличие границ может существенным образом повлиять на характер неустойчивости. В частности, одним из механизмов влияния границ на характер неустойчивости может быть наличие отраженных волн, устанавливающих внутреннюю обратную связь между «выходом» и «входом» физической системы, в результате чего конвективно неустойчивая система может превратиться в абсолютно неустойчивую систему. Аналогичную роль может играть неоднородность физической системы.
Чтобы установить условие, при котором возможен этот переход, рассмотрим задачу об устойчивости физической системы, описываемой уравнениями (2.1) и имеющую конечные размеры в направлении 2. Так как задача об устойчивости есть задача с начальными условиями, то будем считать, что они нам известны. Кроме того, необходимо также задать краевые условия. Причем число краевых условий па левом конце системы (г = 0) должно равняться числу попутных волн; на правом конце (г = L) должно быть задано число граничных условий, равное числу встречных волн [251. Краевые условия зададим в виде
S f"ijf5 (2т, t) = ф{ (zm, t), Zm — 0, L. (6.5) 3=1
Здесь n, — некоторые постоянные. Функции ф«(2т, <) считаются заданными (см. § 9 и 11) или находятся путем решения дифференциальных уравнений в областях z < 0 и z > L (см. § 10).
Применяя к системе дифференциальных уравнений (2.1) и к краевым условиям (6.5) преобразование Лапласа по времени, получаем
*
2 (icoSi; + pij + а„- У /,• (2, со) = /{(2, 0), (6.6) 5=1 ''
п
2 Гц/з (zm, со) = ф{ (2т, со) при 2т = 0 ИЛИ 2т = L. 5=1
(6.7)
Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (6.6) состоит из суммы частного решения этой системы и общего решения соответствующего однородного уравнения п
2 ftofiij + Pij + a,; -^Д fj (z, co) = 0, 5=1 '/
решение которого имеет вид
/с (2, со) = 2 «isCs (“) exp [— lk8 (co) 2],
где Cs( со) — произвольные постоянные, которые необходимо находить путем удовлетворения граничных условий (6.7); &8(со) — определяется из уравнения DI®, к) = = 0, которое полностью совпадает с дисперсионным уравнением для безграничной системы (2.9); «.s— алгебраические дополнения i-й строки (любой, но i^S) матрицы /юбу + р0 — ifcs(co)ay.
Если известно фундаментальное решение системы уравнений (6.6) без правой части, то с помощью известного метода [261 можно построить частное решение неоднородного уравнения (6.6), явный вид которого для решения поставленной задачи не понадобится. Полное решение системы (6.6) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения
Л (z, со) = s alsCs (со) exp (— iksz) 4- ft (z, со). (6.8) 8=1
Удовлетворяя краевым условиям (6.7), получаем систему линейных неоднородных алгебраических уравнений для определения величин С/со):
2 2 rualsCs (со) е^т = £ d.scs = 8=1 1=18
= ф{ (Zm, со) — 2 ги^ (z„, co), (6.9) <=1
причем Zm = 0, если удовлетворяются краевые условия на левом конце, и zm = L — если на правом. Решение системы (6.9) можно записать в виде
С5 (СО) = ^8.^,v D (со)
где
Р(со) = det||diS||,
"(6.9а)
dis = exp (— ikgz^ 2j rttais,
i=i
a As (co) — тот же детерминант, но с заменой 5-го столбца правой частью системы уравнений (6.9).
Подставляя найденное значение Са(со) в (6.8) и производя обратное преобразование Лапласа, находиу рв-
шение системы уравнений (2.1), удовлетворяющее краевым условиям (6.5)
Mz. ^ = 2л J 2 —Щ5)— Схр 110^ ~ ks^ d® +
V<o ®—1
+ К J ^ <2’ “) ei“'d“ = 27 J ^Г ^'^ (6Л°) V<0V<o
Во всех встречающихся на практике случаях функции фАг, со), зависящие от начальных и краевых условий, не имеют особенностей в конечной части комплексной области со (целые функции). В этом случае особенности подынтегрального выражения (6.10) определяются нулями функции Z>(co) (точки ветвления в подынтегральном выражении (6.10) отсутствуют, так как все корни &8(со) входят в него симметричным образом).
Если совместить контур ^ с действительной осью, то формулу (6.10) можно записать в виде
A (z, 0 J eim*dto + 2(6-И)
-ОО8
где и8 — нули функции S(co) в нижней полуплоскости, а8 — вычеты функции ^(z, co)/Z)((b) в точках и8.
Согласно теореме об асимптотическом поведении интегралов Фурье [23] первый член в сумме (6.11) стремится к нулю, если <->-+«>. Если функция £>(<в) не имеет нулей в нижней полуплоскости со, то тогда /Дг, t) -> 0 при <-+«>и, следовательно, система устойчива. Если же в нижней полуплоскости комплексного переменного со имеются нули функции Д(со), то при t ->- ОО
/,(z, t) -> 2 itts ^ exP (— Im “s 0 exP i Re cos f ->- oo s
и, следовательно, система абсолютно неустойчива.
Конечно, для решения задачи об устойчивости нет необходимости полностью находить решение системы уравнений, удовлетворяющей краевым условиям (6.5). Достаточно из решения однородного уравнения опреде-
лить величины а4В, затем найти элементы матрицы п
d<s = e-iftsZm S Tu^ts и приравнять нулю ее детерми- z=i
нант
Д(со) = detlldiSll.
Величины k8W находятся путем решения дисперсионного уравнения S(co, к)=0 системы уравнений (2.1).
В § 9—11 на конкретных примерах будет показано, что благодаря наличию отраженных волн действительно осуществляется обратная связь между входом и выходом, в результате чего конвективно неустойчивая система превращается в абсолютно неустойчивую систему.
Наличие границ при определенных условиях может также привести к абсолютной неустойчивости даже таких систем, в которых отсутствуют отраженные волны, а сама система устойчива без учета границ. Покажем это на примере так называемой неустойчивости Пирса.
Рассмотрим движение безграничного, ускоренного в промежутке СК (рис. 7, а) пучка электронов в пространстве между катодом К и анодом Л, соединенных между собой накоротко. Будем считать, что пространственный заряд электронов — еп6 скомпенсирован ионами. Уравнение движения пучка в промежутке КА имеет вид
4т" + (v> V) v =— Е,dt 1'ш ’
— е-^ + div j = 0, j= env, (6.12) div E = — 4ле (n — n^, rot E = 0.
Здесь v — скорость пучка, n — плотность, n0 — плотность компенсирующих ионов. Система уравнений (6.12) имеет очевидное решение п = п0, Е = 0, и = и», причем скорость и0, а также плотность пв не зависят от координат и времени и величина и0 определяется величиной ускоряющего потенциала в промежутке СК. Если считать, что возмущения зависят от координаты и, то линеаризованная система
Рис. 7,
уравнений (6.12) имеет вид де' . де' е дф dt ' U° дат да ’
(6.13)(6.13)дп' . де' , дп' „
(6.13)
(6.13)
57 + ^0-57 + ^-^ = °,
5®ф,,
—, dz2
где п. и', ф — возмущенная плотность, скорость и электрический потенциал потока. Дисперсионное уравнение этой системы, как нетрудно убедиться, имеет вид
(со - ки0У — со® = 0,(6.14)
где сор = 4ле2п0/т.
Из дисперсионного уравнения (6.14) находим
, _ <о + сор (медленная волна пространственного + —у0заряда),
_со — <ор(быстраяволна пространственного
к~ —заряда),
отсюда следует, что действительным к соответствуют действительные со, т. е. система без учета границ устойчива. В системе отсутствуют отраженные волны, потому что обе волны попутные, т. е. распространяются в одном направлении — в сторону анода, так как
Пт -г-^-т- = lim г = у0 > 0.
Учтем теперь наличие границ. Будем считать, что пучок на входе в пространство КА не модулирован ни по плотности, ни по скорости, т. е. n'(0, 0=0 t/(0, 0 = 0; кроме того, будем считать катод и анод заземленными, т. е. ф(0, О = ф(£, О = 0. Общее решение системы (6.13) имеет вид (без общего множителя е‘“)
Ф = Ae~lk+Z + Ве-^к_г + Cz + D,
и’ - -L- (Ak+e~ik+z —Вк-е"^ — — С, (6.15) тп(ор х +'’ х '
п' = - Л (к+^е"1к+г + кг_Ве'№-ь\
Соотношение между постоянными А, В, С, D определяется с помощью краевых условий:
- 4леп' (0) = к2+А + к-В = 0,
—^-v'(O) = к+А — к-В — i^-C= 0, (6.16) ср (0) = А + В + D = 0, ср (L) = Ae'ih+L + Be-tk-L + CL + D.
Так как система алгебраических уравнений (6.16) однородна, то ее детерминант должен быть равен нулю:
1^£_0 0
110 1
e-$h+L -ih_LL f
Раскрывая этот детерминант, получаем
Ък^.к— (к+ к_) -р
+ i" V4 - к2- - (k+e'ik-L - fcLe-^)] = 0.(6.17)
Введя новые переменные х = L«>/v0, а = Ltop!v6 и перегруппировав члены, перепишем (6.17) в виде
хЧх2 — а2) — 2ia2x(l — cos ае-,х) + (з^ + а2)а sin ае_“ = 0
или, полагая х = — i£,
№ + a2) +
+ 2a2£(l — cos ae-E) — (g2 — a2)a sin ae~E = 0.(6.18)
Уравнение (6.18) определяет значения собственных частот со системы как функций параметра a = Lcop/yo, Если среди собственных значений со найдутся такие, у которых Im со < 0 (Re £ > 0), то это будет означать, что система абсолютно неустойчива. Решать уравнение (6.18) при произвольных значениях параметра а можно только численно. Однако можно получить аналитическую формулу, связывающую у и а, в области ма-
лых х и значений параметра а, близких к л(2п+1). Действительно, нетрудно убедиться, что
£ = 0, а = а„ = л (2га + 1), га = 0, ±1, ...
есть решение уравнения (6.18). Разлагая дисперсионное уравнение (6.18) вблизи этого решения, согласно формуле
X (а —а„) + ... = О, находим в первом приближении
Е = -^-(а-а„), или
со = - I -^ (2га + 1) I (Ор^- (2га + 1)
ЛР0
откуда следует, что присор>-^(2га + 1) 1шсо<О, что означает абсолютную неустойчивость. Так как в нашем случае Re со = 0, то нарастание носит апериодический характер. Таким образом, рассмотренная нами физическая система, в которой отсутствуют отраженные волны, устойчива без учета границ и становится абсолютно неустойчивой при учете наличия границ.
В заключение этого параграфа сделаем замечание относительно работы [271, в которой утверждается, что абсолютная неустойчивость, возникшая за счет отраженных волн, сохраняется и в пределе L -► °°. Это очевидно, так как увеличение длины неустойчивой системы может только способствовать самовозбуждению системы (см., например, (10.16)). С другой стороны, ту же самую систему, но бесконечно протяженную, мы считали конвективно неустойчивой. Как будто бы налицо противоречие. На самом деле для того чтобы можно было наблюдать абсолютную неустойчивость за конечное время t, должно быть L^vt (где t — скорость распространения волны). Условие L^vt означает, что мы исследуем поведение системы при больших t, устремив к 00 сначала t, а затем L. В то время как при
исследовании безграничных систем сначала устремляем L -► с», а затем t -► <». Физически это связано с тем, что в линейной задаче есть два параметра с размерностью времени: L/v — время прохождения волной всей системы, и Т-1, где 7 — временный инкремент неустойчивости. Поэтому можно рассматривать два случая:
L/v > 1» 1/^,
t^L/v^ 1/^.
Первый случай соответствует безграничным системам, рассмотренным в § 1—5. Второй случай соответствует системам, рассмотренным в этом параграфе, а также в работе [271; при этом очевидно, что при L -► °° время развития абсолютной неустойчивости стремится к бесконечности. Строго говоря, конвективную неустойчивость в системах конечных размеров можно наблюдать при временах L/v "> t"» I/7, а также в системах с хорошо согласованным выходом или в системах, где обратные волны отсутствуют вообще.
Полученный выше вывод о переходе абсолютной неустойчивости в конвективную за счет затухания одной из волн был подтвержден экспериментально в работе [28] при исследовании взаимодействия электронного пучка с замагниченным плазменным волноводом.
Дисперсионное уравнение для медленных электростатических волн (rotE = 0), распространяющихся в за- магниченном плазменном волноводе при наличии электронного пучка, имеет вид [29]
<о (<о — iv) (<о — /w0)2
। рп j _ ш — iv mp^L—1=0
а2ш (to — iv)2— toy (<о — ^g)8—*
(G.19)
где top, 6 = V4ne2nPi 6/m — плазменные частоты плазмы и пучка соответственно, сон = еН^/тс— циклотронная частота электронов, н0 — скорость дрейфа электронов пучка, рп — n-й корень функции Бесселя нулевого порядка (рассматриваются аксиально симметричные вол-
ны Е, ~ Ja (—- г) в^™*-^). Обычно плотность пучка значительно меньше плотности плазмы, поэтому tob/cop в (6.19) можно считать малым параметром.
В нулевом приближении по ий/сор решения дисперсионного уравнения (6.19) определяют следующие волны:
плазменно-волноводные волны
/c = /c0(l-iP),(6.20)
где
°“ V (^-^^-^
г = - ^5 ТГ С1 - 8з) - е3 (1 - ei) "a—^ , е1ез Lм — <°я
(О2
Si = 1 — юр/(со2 — (Он), 83 = 1£-, coj = сон + (Ор;
волны пространственного заряда
быстрая и медленная циклотронные волны
CD CDrrf CD? \
=+(6.22)
Заметим, что Г>0 для прямых волн (Уф-нгр>0) и Г < 0 для обратных волн (рфргр < 0, см. рис. 7).
Решение (6.20) записано в предположении v < со и вдали от характерных частот сон и соР, так что выполняются неравенства
v « |со — сон|, |со — сор|.
Из (6.19) нетрудно получить дисперсионное уравнение, описывающее взаимодействие волн пространственного заряда с обратной плазменно-волноводной волной:
D (со, к) = (к - ^0 + ik^ (к- ^-Y - <?8 = 0, (6.23)
(ОкСОCD4
t№ Qs = ■ *•„ —;—^ й)0 — частота синхронизма, оп
ределяемая из уравнений ^о(соо)=соо/Уо, &оГ — затухание плазменно-волноводной волны (Г<0).
Дисперсионное уравнение (6.23) совпадает с уравнением (6.2). Воспользовавшись результатами § 6, полу- З3'3 Qs3„
чаем, что при 11 | < -^575—^— в нижнеи полуплоскости
со расположена точка ветвления, принадлежащая попутной медленной волне пространственного заряда и обратной плазменно-волноводной волне, т. е. имеет место абсолютная неустойчивость. Обратное неравенство
(6.24)(6.24)3з/2 <2^3
(6.24)
(6.24)
25'3 ^
является критерием конвективной неустойчивости.
Из (6.19) можно также получить дисперсионное уравнение, описывающее взаимодействие попутной медленной циклотронной волны с обратной плазменно-волноводной волной:
(
CD -4— CDet \ к= Qc =
_ ab Рп % top
Уд а2 4юНк0 W2 — top ’
Рассмотрение, аналогичное проведенному выше, дает критерий конвективной неустойчивости в виде
|Г|>2 4-.(6.25)
"о
При обратном неравенстве имеет место абсолютная неустойчивость.
Таким образом, из формул (6.24) и (6.25) следует, что при достаточно большом затухании плазменно-волноводной волны абсолютная неустойчивость в рассматриваемой системе может смениться конвективной.
Для проверки этих выводов был проведен эксперимент, результаты которого изложены в работе [281. Эксперимент показал, что при плавном изменении режима работы лампы удается наблюдать, как усилапиа
колебаний (характерное для конвективной неустойчивости) сменяется генерацией колебаний (признак абсолютной неустойчивости). Получающиеся при этом тенденции качественно согласуются с приведенным выше расчетом.
Типичный вид полученного в [28] спектра колебаний, возникающих при взаимодействии электронного пучка с обратной плазменно-волноводной волной, приведен на рис. 7, в (переход от нижней к верхней картинке соответствует увеличению скорости электронного потока при неизменных остальных параметрах). Как видно из рис. 7, в, в некоторых случаях (/, У) спектр имеет вид шумового пика, а в некоторых (7У, ///) — возникающие колебания весьма близки к монохроматическим. При этом система по-разному реагирует на модуляцию пучка внешним сигналом. В случае шумового спектра (рис. 7, в, I, У) внешний сигнал «сосуществует» с этим спектром и наблюдается на его фоне в виде узкого монохроматического пика. Пространственное распределение сигнала указывает на его усиление, что может рассматриваться как проявление существующей конвективной неустойчивости.
Если возникающие в системе колебания близки к монохроматическим (рис. 7, в, III, /У), действие внешнего сигнала оказывается иным. Сосуществования колебаний здесь не наблюдается. Если интенсивности модулирующего и генерируемых колебаний сравнимы, то при частотах, близких к частоте генерации, системе навязывается частота модулирующего сигнала. Чем больше интенсивность модулирующего сигнала, тем шире область захватывания частоты. В этом видна аналогия между поведением рассматриваемой системы и автогенератора, находящегося под воздействием внешнего гармонического сигнала. Такое поведение системы еще раз подтверждает, что в этом режиме усиление отсутствует, а наблюдается лишь генерация колебаний, обусловленная абсолютной неустойчивостью.
Таким образом, в режимах, которым соответствуют спектры, изображенные на рис. 7, в, III, IV, неустойчивость оказывается абсолютной, а в режимах с уширенным спектром (рис. 7, в, I, У), неустойчивость носит конвективный характер.
Как следует из формул (В.24) и (6.25) характер неустойчивости зависит от параметров системы. Поэтому неустойчивость из одного вида в другой можно перевести путем изменения частоты соударений электронов (меняя давление газа), изменением тока или радиуса пучка и т. д. В данном случае переход от одного вида неустойчивости к другому осуществляется путем изменения скорости пучка, которое приводит к перемещению точки синхронизма по ветви обратной волны. Известно [291, что минимальное затухание обратной волны наблюдается приблизительно в средней части этой ветви, тогда как по ее краям затухание резко возрастает. Этим и объясняется тот факт, что в соответствии с (6.24) и (6.25) при малых и больших скоростях (рис. 7, в, 7, V) наблюдается конвективная неустойчивость, а при средних скоростях (рис. 7, в, III, IV) — абсолютная.
Точного количественного сопоставления характера наблюдавшейся неустойчивости с критериями (6.24) и (6.25) провести не удалось, так как условия эксперимента несколько отличались от теоретической модели (неодинаковость радиусов пучка и плазмы, неоднородное распределение плазмы по радиусу, конечность длины лампы и др.).
Абсолютная и конвективная неустойчивость и усиление в системах с параметрически взаимодействующими волнами
Во всех предыдущих параграфах предполагалось, что волноведущая система является однородной в направлении распространения волн, а используемые уравнения инвариантны относительно произвольного сдвига во времени и по координате. Таким образом, из области применимости критериев выпадает весьма важный класс волноведущих систем с параметрическим взаимодействием волн: распадная неустойчивость в плазме [301, параметрические генераторы и усилители [311 и т. д. В этом параграфе критерий абсолютной и конвективной неустойчивостей среды обобщается на случай параметрического взаимодействия волн, а также
решается задача об усилении параметрически связанных волн.
Как следует из § 5, две волны сильнее всего взаимодействуют в точке синхронизма (со1 = «3, ^1 = ^2), поэтому неустойчивость, если она существует, сильнее всего проявляется в окрестности точки синхронизма. Случается, что синхронизма двух волн в желаемой области частот достигнуть нельзя, например нельзя добиться синхронизма волн, одна из которых принадлежит низкочастотной, а другая — высокочастотной ветви в антиферромагнетике. В этом случае, если среда обладает заметными нелинейными свойствами, эти волны можно связать между собой параметрически. В некоторых случаях это сделать нетрудно, так как условия параметрического взаимодействия имеют вид
со, ± со2 = Юр, kt±k2 = kp,(7.1)
где сор и кр — частота и волновой вектор накачки. Путем подбора соответствующей частоты волны накачки условия параметрического взаимодействия (7.1) (распадные условия) могут быть выполнены.
Систему уравнений для двух параметрически связанных волн можно записать в виде
d/i , 9h at ^ У1 dz —
(7.2)(7.2)= S exp [i(wpt — к^\ ^ -|- S* exp [— i(mpt — fcpz)J /„
(7.2)
(7.2)
9U , au _ at + u» az “
= S exp YUtopt — kpz^ ^ -f- 5* exp [— i(topt — kpZ^ fv
где S — величина, пропорциональная амплитуде волны накачки; ftp и и р — волновой вектор и частота волны накачки; щ и v2 — групповые скорости двух параметрически взаимодействующих волн на частотах, при которых выполняется условие (7.1). При записи уравнений (7.2) предполагается, что время переходного процесса, связанного с установлением волны накачки, гораздо меньше, чем характерное время развития неустойчивостей.
Решение системы (7.2) будем искать в области — оо < z < оо, 0 < t < ОО, поэтому будем пользоваться преобразованием Фурье по координате и преобразованием Лапласа по времени, причем, так как задача об устойчивости есть задача с начальными условиями, будем считать заданными A(z, 0), Mz, 0) или их Фурье- образы. В этом случае система (7.2) сведется к системе алгебраических уравнений:
i(co — kvAfAk, to) SfAk ^р» ® мр)
-S*f2№+kp, to+ (»,) = fAk, 0),(7.3)
Ato — kvaMAk, to) —SfAk —kp, co — mp) —
— S*fAk + kp, co + top) = tAk, 0),
где fAk, co) — компонента Фурье — Лапласа функций /.(z, t):
fi(k,to) = ]dt ^dif^t)^-^-0 —oo
случай имеет большое практическое значение, так как он описывает параметрическое взаимодействие волн распадной неустойчивости и в теории параметрических усилителей и генераторов.Считая ISI малой величиной, в нулевом приближении получаемА(Л', 0)4/1 (*-“)= Ци-ки^ ’^-^ i (<О - kv^ '5 А М Федорченко, Н. Я. Коцарснкослучай имеет большое практическое значение, так как он описывает параметрическое взаимодействие волн распадной неустойчивости и в теории параметрических усилителей и генераторов.Считая ISI малой величиной, в нулевом приближении получаемА(Л', 0)4/1 (*-“)= Ци-ки^ ’^-^ i (<О - kv^ '5 А М Федорченко, Н. Я. КоцарснкоВ общем случае решение системы (7.3) найти довольно затруднительно, функции со сдвинутым аргументом. Однако можно получить приближенное решение системы (7.3) в случае, если начальные условия таковы, что fAk, 0) и fAk, 0) отличны от нуля в окрестности к~к,, к ~ к, — кр соответственно (рис. 8). Этот
случай имеет большое практическое значение, так как он описывает параметрическое взаимодействие волн распадной неустойчивости и в теории параметрических усилителей и генераторов.
Считая ISI малой величиной, в нулевом приближении получаем
А(Л', 0)4
/1 (*-“)= Ци-ки^ ’^-^ i (<О - kv^ '
5 А М Федорченко, Н. Я. Коцарснко
случай имеет большое практическое значение, так как он описывает параметрическое взаимодействие волн распадной неустойчивости и в теории параметрических усилителей и генераторов.
Считая ISI малой величиной, в нулевом приближении получаем
А(Л', 0)4
/1 (*-“)= Ци-ки^ ’^-^ i (<О - kv^ '
5 А М Федорченко, Н. Я. Коцарснко
е. fi(k, to) заметно отлична от нуля в окрестности точки к « klt f2(k, со)—в окрестности точки к ~ к, — — кр.
Поэтому в системе уравнений (7.3) в первом уравнении можно пренебречь членом S*f2(k + к„ со + сор), а во втором — членом Sf^k — кр, со —соР). Тогда получаем систему
i(co — kv^hik, со) — Sf2(k — kp, со — соР) = f^k, 0), /Гео — соР — (к — kp)v2lf2(k — кр, со — со„) — S*f^k, со) =
— f2(k — кр, 0), решение которой есть
. 2 /М^О)
/2 (/с — кр, со — сор)| D (со, k)\f2 (/с —кр, 0),
где двухрядная матрица а^ имеет вид
(со — kV}))’(со — kV}))’ац =1 ЛГ<0 —<Ор — (fc — fcp) ^в]V2 \ S*
(со — kV}))’
(со — kV}))’
а остальные обозначения выглядят следующим образом: D (со, к) = (к — кт (со)) (к — кй (со)),а остальные обозначения выглядят следующим образом: D (со, к) = (к — кт (со)) (к — кй (со)),Возвращаясь к оригиналам и применяя теорему о свертке, получаемВозвращаясь к оригиналам и применяя теорему о свертке, получаем
а остальные обозначения выглядят следующим образом: D (со, к) = (к — кт (со)) (к — кй (со)),
а остальные обозначения выглядят следующим образом: D (со, к) = (к — кт (со)) (к — кй (со)),
Возвращаясь к оригиналам и применяя теорему о свертке, получаем
Возвращаясь к оригиналам и применяя теорему о свертке, получаем
00
/г (z, 0 = S У dz'D^ (z — z'> 0 Л (z', 0),j—1 — oo
где
Г (к, со)^,0=^] tZco J ^5ky"e • <7-6)
Vto -”
Формула (7.6) полностью совпадает с формулой (2.8), а О(й), к) в впде (7.5) эквивалентно дисперсионному уравнению для двух связанных волн, подробно проанализированному в § 5. Таким образом, критерий абсо-
лютной и конвективной неустойчивостей для параметрически связанных волн полностью совпадает с аналогичным критерием для волноведущих систем, однородных во времени и в направлении распространения воли (см. § 2). Роль волны накачки сводится к установлению связи между волнами, которые в отсутствие волны накачки либо не связаны вообще, либо связаны неактивно.
Рассмотрим теперь задачу о пространственном усилении в системе двух параметрически связанных волн, описываемых уравнениями (7.2). В § 3 было показано, что только конвективно неустойчивые системы могут быть использованы в качестве усилителя, поэтому знаки величин гл и va должны быть одинаковыми, например положительны.
Будем считать, что система занимает полупространство 2 9= 0 и что в момент времени t = 0 в плоскости 2 = 0 к системе приложен опорный сигнал в виде волны /г с частотой со2 и сигнал, подлежащий усилению, в виде волны Д на частоте сор Другими словами, граничные условия выбираем в виде
Д (0, 0 = ае^1, /2 (0, 0 = Ъе^1.
Применяя к системе (7.2) преобразование Лапласа по координате и времени, получаем
i (со — ки^ Д (/с, со) — 5/2 (/с — /ср, со — сор) —
— 8*1г (/с + /ср, со + сор) = — ij^j-, (7.7)
г (со — kv^ f4 (к, со) — Sfx (к — кр, со — соР) —
- S*fT (к + /ср, со + сор) = - i (7.8) 2
Считая 8 малой величиной, в нулевом приближении по 8 получаем
А (^, to) (ш _ (ш _ kv^y bv^ ft (^> Со)(щ щ^ (щ ku^'
т. е. в плоскости к функции Л и /2 в приближений 5 = 0 имеют полюса соответственно в точках k = m/vi 5*
И k = to/v2. Из структуры уравнений (7.7), (7.8) видно, что если 8¥=0, то указанные полюса будут смещаться, и это смещение зависит от величины 8. Кроме того, появляются новые полюса, сдвинутые относительно указанных двух на величины пкр, где и — целое число. Очевидно, что вычеты в этих полюсах будут малы и пропорциональны степеням величины 8, так как при 8 = 0 они отсутствуют вовсе. Эти интуитивные соображения ниже будут подтверждены решением системы (7.7), (7.8) методом итераций по величине 8.
Положим теперь со, = со2 + сор и сдвинем уравнение (7.8) на величину со„ и кр, заменив в нем со-► со — сор, к -► к — кр. В результате получим
4 iS^ (к — 2кр, со — 2сор) =4 iS^ (к — 2кр, со — 2сор) =[со — сор — (к — fcp) р2] /, (к — кр, со — top) 4 iS*f1^k, со) 4
4 iS^ (к — 2кр, со — 2сор) =
4 iS^ (к — 2кр, со — 2сор) =
-со/
(7-9)
Рассмотрим решение системы уравнений (7.7) и (7.9) в окрестности полюса со,. В нулевом приближении по 8 только fAk, со) и tiVk — kp, со — соР) имеют в точке coi полюс, исчезающий при 8 -► 0, поэтому величиной Мк + кр, со 4 сор) в уравнении (7.7) и величиной ^(к — 2кр, со —2сор) в уравнении (7.9) можно пренебречь, в результате чего получим следующую приближенную систему уравнений:
(со — ки^ }г (к, со) + 18/2 (А — /ср, со — сор) = — j;^- ,
[со — сор — (к — кр) р2] /2 (к — кр,а — сор) 4 iS*^ (к, со)=
У26
СО — <1>1* решение которой имеет вид /,, со ,
I к — ку —1Н 4 —
/i (/с, СО) =_ D,
Ч(7.10)
, , , со top L , 8* „
к А" к р — — — — 6 4 1 — а
(со - со2) D (со 4 сор, к 4 кр) ’
где
П /7 \1\17ш II |2
D (to, К) -= к/; — Ап + !—L.
\ v\ 1ч м у-
(7.11)
Используя обратное преобразование Лапласа, решение для А (2, t) можно записать в виде
1 С ei<ot
А (г, i) =; I dmх
k—k— — + ^]a + iLbР у2k—k— — + ^]a + iLbР у2е-гкге-гкг11Х ’ '(2л)2 J<о-®1
k—k— — + ^]a + iLb
Р у2
k—k— — + ^]a + iLb
Р у2
е-гкг
е-гкг
О (ю, к)
Так как 2 > О, то контур интегрирования ^ь можно замкнуть в нижйей полуплоскости комплексного переменного к дугой бесконечного радиуса и воспользоваться теоремой о вычетах.
В результате получим
/1(2, 0 =
ТыТы+ i-b+ i-b— гкц т е— гкц т ек_ — к.к_ — к.gitof(to - toj (к+~Мgitof(to - toj (к+~М— гк—г— гк—г
Ты
Ты
+ i-b
+ i-b
— гкц т е
— гкц т е
к_ — к.
к_ — к.
gitof
(to - toj (к+~М
gitof
(to - toj (к+~М
— гк—г
— гк—г
(7-12)
где fc+(co) и fc-(co)—корни дисперсионного уравнения Д(«, /с) = 0:
7/ \1 / <о . <ок+ (со) = -г2 \ Р17/ \1 / <о . <ок+ (со) = -г2 \ Р1(О\
7/ \1 / <о . <о
к+ (со) = -г
2 \ Р1
7/ \1 / <о . <о
к+ (со) = -г
2 \ Р1
(7.13)
! у2 Р2V»
Так как подынтегральное выражение (7.12) имеет только единственный полюс в точке со = со,, то, применяя
тоорему о вычетах, получим /i (z, О =тоорему о вычетах, получим /i (z, О =+ i-b1 V+ i-b1 V11exp [— гк [ (mJ z] —exp [— гк [ (mJ z] —exp [— гк_ (cOj) z)?. (7.14)exp [— гк_ (cOj) z)?. (7.14)I SJz \Vj^ /I SJz \Vj^ /(7.15)(7.15)
тоорему о вычетах, получим /i (z, О =
тоорему о вычетах, получим /i (z, О =
+ i-b
1 V
+ i-b
1 V
1
1
exp [— гк [ (mJ z] —
exp [— гк [ (mJ z] —
exp [— гк_ (cOj) z)?. (7.14)
exp [— гк_ (cOj) z)?. (7.14)
I SJz \
Vj^ /
I SJz \
Vj^ /
(7.15)
(7.15)
, . S ,+ i — и
Так как toJvi = kVl to2/v2 = k2, кроме того, tot = со2 + сор, то из (7.13) находим, полагая kt = к2 + кР1
(mJ = ^4-1 Л^-. к_ (coj = кг —
KVaVVa
Следовательно, формула (7.14) при условии ^, = ^2 + + кр имеет вид
/1(2, t) =
Аналогичная формула имеет место и для /2(z, f). Из формулы (7.15) следует, что приложенный в плоскости z = 0 сигнал с частотой со, экспоненциально возрастает с ростом z, т. е. имеет место пространственное усиление.
Таким образом, при одновременном выполнении условий
ш, = <в2 + сор, ki = k24-kp,(7.16)
а также условия V!V2>0 в системе, описываемой уравнениями (7.2), имеет место пространственное усиление.
АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Циклотронные волны в движущейся холодной плазме
В этой главе мы рассмотрим несколько конкретных примеров анализа дисперсионного уравнения, основанного на критериях, полученных в главе I.
Одной из простейших задач, допускающих точный анализ аналитическими методами без применения ЭВМ, является задача о распространении электромагнитных волн в движущейся холодной плазме, находящейся в стационарном внешнем магнитном поле. Интересно отметить, что эта задача рассматривалась в работе [321, когда еще не были установлены критерии пространственного усиления, абсолютной и конвективной неустойчивости. И так как дисперсионное уравнение, соответствующее этой задаче, допускало в некотором интервале частот комплексные значения волнового вектора, то был сделан ошибочный вывод, что такая система обладает пространственным усилением. На самом деле, как будет показано ниже, положительной мнимой частью обладает волновой вектор встречной волны (vs < 0), и наоборот, у попутной волны мнимая часть волнового вектора отрицательна. Таким образом, согласно критерию II система не обладает усилительными свойствами, а имеет место непропускание.
Пусть холодная плазма, движущаяся вдоль стационарного и однородного магнитного ПОЛЯ Яо со скоростью v0, занимает полупространство 2 9= 0. Система уравнений, описывающая волновой процесс в рассматриваемой системе, имеет вид (без диссипативных членов)
ду, ду ,,еу.
+ уо ЧЯ± Т icoHv+ ± i — Я± = 0, dt 1° 8z тп т — тс
=(8.1)
дБ,ЭН+
^ гс-^ — 4яепор± = О, QtЭг°
где Е± = Еж ± iEy\ Hj. = Нж ± Шу; Vj_=vx ± wy\ (йн = еНо
= -^-, «о — концентрация электронов.
Первое уравнение системы (8.1) есть уравнение движения электронов, два других — уравнения Максвелла. Все величины мы считаем зависящими только от z и L Это дает возможность рассматривать поперечное движение электронов плазмы независимо от их продольного движения.
Дисперсионное уравнение, соответствующее системе (8.1) в безразмерных величинах у = kvjan, х = со/сод, 1 / 4ле®я
о2 — (Ор/сод, Р = iVc> юр — I/ —~ имеет вид
Dkx, у) = у3 — кх + 1)уг — ^2U2 — о2)у +
+ ^2х[хкх ± 1) — о2]'= 0,(8.2)
где верхний знак соответствует волнам, поляризованным по кругу влево кЕ+, Н+, и^, а нижний знак соответствует волнам, поляризованным по кругу вправо кЕ-, Н-, у-). В электромагнитной волне, поляризованной по кругу вправо, векторы Е и Н вращаются в ту же
сторону, что и электроны.
При о = 0 дсперсионное уравнение (8.2) описывает шесть невзаимодействующих волн: а) четыре электромагнитные волны (две встречные и две попутные, различающиеся поляризацией) с законом дисперсии у = ± $х или к = ±<й/с; б) две циклотронные волны — медленная с законом дисперсии у = х + 1 или к = = (со + со17)/ко; быстрая с законом дисперсии у = х— 1 или к = (со — coH)/vo. Названия медленная и быстрая связаны с величиной их фазовой скорости. У медлен-
..(00)
Нои волны фазовая скорость Уф = —=v0—;меньше
А 0) + шн
со= У0 "со — сонсо= У0 "со — сондрейфовой скорости электронов у0, у быстрой Уф =
со
= У0 "со — сон
со
= У0 "со — сон
у0. Электромагнитная волна, поляризован
ная по кругу влево, п электрический вектор Е, который вращается против часовой стрелки, связаны с быстрой
циклотронной волной, а волна, поляризованная по кругу вправо,— с медленной циклотронной волной.
Так как замена cdh на — сон эквивалентна замене левой поляризации на правую, .медленной циклотронной волны на быструю, и, кроме того, эта замена, как видно из дисперсионного уравнения (8.2), эквивалентна замене х на — х, у на — у, то мы можем рассматривать дисперсионное уравнение (8.2), скажем, только с нижним знаком, но в области — ” < х < ”, тогда х > О будет соответствовать нижнему знаку, а х < 0 — верхнему знаку в дисперсионном уравнении (8.2).
Решение дисперсионного уравнения (8.2) дает три ветви уЛх\ Уг^х), Уз(я) многозначной функции ys(a:), определяемой дисперсионным уравнением (8.2). Три ветви соответствуют трем типам волн, которые могут распространяться в системе при данной частоте. Необходимо фиксировать эти три ветви в какой-нибудь точке плоскости х, затем аналитически продолжить в любую точку, проведя в плоскости х необходимые разрезы. Удобно за эту точку взять бесконечно удаленную точку. В этой точке
У1 «х — 11
ра = рж / - попутные волны,(8.3)
Уз — — Р х — встречная волна.
Соответственно этому асимптотическому поведению перСоответственно этому асимптотическому поведению пер
Соответственно этому асимптотическому поведению пер
Соответственно этому асимптотическому поведению пер
вую волну будем называть циклотронной, вторую — попутной электромагнитной волной, третью — встречной электромагнитной волной.
На рис. 9 представлена зависимость трех функций уакх\ являющихся корнями диспер
сионного уравнения
(8.2). Так как вещественным значениям у соответствуют вещественные значения х, то система будет устойчивой. В области частот [^i, ^г! и txg, xj (рис. 10) функции уакх\ определяемые дисперсионным уравне-
нием (8.2), принимают комлексно-сопряженные значения. Точки х5, хв являются точками ветвления, причем одна из них лежит в нижней полуплоскости переменной х (рис. 10).
Если в уравнении (8.2) положить параметр взаимодействия о = 0, то мы получим три волны (8.3), пересечение которых дает три точки синхронизма:
Almi
■*$5
Рис. 10.
У™0, 2 = 0 — точка синхронизма прямой и встречной электромагнитных волн;
У = — Г+^’ ж = 1 + Р — точка синхронизма циклотронной и встречной электромагнитных волн;
у = ^ ^ р, х = i™p — точка синхронизма циклотронной и попутной электромагнитных волн.
Как видно из рис. 9, 10, каждой точке синхронизма соответствует пара точек ветвления: первой точке — х^ хг, второй — х^ х^ третьей — х5, х9.
Между точками xt и жа, х3 и х9 два корня у8(з:) принимают комплексно-сопряженные значения. Ниже мы покажем, что корень, имеющий положительную мнимую часть, соответствует встречной волне, а корень, имеющий отрицательную мнимую часть,— попутной волне. Следовательно, согласно критерию II в области частот [3:4, х21 имеет место непропускание. В самом деле, в окрестности точки xt оба корня могут быть разложены в ряд по полуцелым степеням разности х — XV
Уг ~ У г (^i)® (^т^ Ч- • • •«
Уз = Уг (^i) + «(*1 — я)1/2 + . . ., x<_xv
Как и должно быть, при х = xt оба корня совпадают,
причем а должно быть положительным, так как (это следует из рис. 10) с уменьшением х у3 увеличивается, а у2 — уменьшается. При обходе точки ветвления разность xt — х приобретает фазу in, т. е. ж, — х = = (ж — х^е*", следовательно, при х > xt
Уг = Уг^Х^ — Ёа(ж — а^)7* + . . .,
Уз = уАх^ + /а(ж — z,)71 + ...
При удалении от точки xt вправо мнимая часть не может изменить своего знака, так как, исходя из непрерывности, она должна была бы обратиться в нуль и, следовательно, все три корня были бы действительными.
Таким образом, у попутной волны в интервале С^, х2] Im у2 < 0. У комплексно-сопряженного корня Уз (ж) Im уз > 0, но он соответствует встречной волне.
Точно таким же путем можно доказать отсутствие усиления и в промежутке [ж3, ж41. Из графика дисперсионного уравнения (рис. 9) следует, что в точках ветвления х5 и хв совпадают ветви уЛх) и у^х).
В § 3 было показано, что функции кд (со) = ^-уд (ж), для которыхп редельная фазовая скоростьПт, ^®^ 1 1<о, й)-»оо\ (О /
не должны входить в решение задачи с граничными условиями системы уравнений (8.1). Тогда согласно общей теории, развитой в § 3, решение системы (8.1) должно иметь вид
h (z, 0 =
^ f 2 2 ^^Г^!ехр г {at -ks (t0) 2) dto* v^ 8=1 j=l uk Vх1’ *8 Vй))
(8.4)
где индекс S принимает только два значения 1 и 2, а контур интегрирования fM показан на рис. 1. Вследствие того что подынтегральное выражение в (8.4) является симметричной функцией У1 и у2, при обходе точки ветвления происходит только перестановка yt ^ у2, что не изменит симметричной функции. Таким образом, подынтегральная функция не имеет точки ветвления в нижней полуплоскости, следовательно, контур интегри-
рования можно совместить с действительной осью с обходом точек ветвления, лежащих на этой оси, снизу (см. § 3). Доказать, что при обходе точки ветвления второго порядка происходит перестановка ветвящихся в этой точке функций у,, у2, можно следующим образом. В окрестности точки ветвления ж5 (а также жв) Уз(я) есть аналитическая функция х, кроме того, сумма всех трех ветвей есть также аналитическая функция во всей конечной плоскости переменного х, так как корни кубического уравнения удовлетворяют соотношению у, + у2 + Уз = х — 1. Следовательно, сумма двух функций у, и уа есть аналитическая функция в окрестности точки х5. Так как х5 есть точка ветвления второго порядка, то имеет место следующее разложение в окрестности точки ветвления (см. математическое дополнение 2):
= S On (X - хБ)п/2, уг=^ЪДх- х^2. ^.^ п=0п=0
Чтобы сумма у, + у2 была аналитической в окрестности точки х5, необходимо и достаточно, чтобы в разложении (8.5) коэффициенты при нецелых степенях отличались только знаком, т. е.
у Ах) = 1р1(ж) + (ж — х5)ч,<р(.х),
уАх) = ^2(z) — (ж — ЖзР’ф^),
где ^(ж), -ф2(л;), <рСг) — функции, аналитические в окрестности точки ветвления х5. Из того факта, что произведение корней кубического уравнения уАх)уАх) X X Узкх) = р2ж[а2 — хкх + 1)] есть также аналитическая функция во всей конечной плоскости х и, кроме того, Уз(^) аналитична в окрестности точки ветвления х5, следует аналитичность произведения уАх)уАх) в этой Же точке. Для этого необходимо и достаточно, чтобы функции фДж) и ^(я) совпадали:
■фДж) = 1ф2 (ж) = ф(ж).
Следовательно, для корней алгебраического уравнения в окрестности любой точки ветвления второго порядка справедливо представление
у Ах) = 1|)(я) + (я — ж5)‘л(р(а:),
•уАх) = ф(я) — (ж - хА’"^х),(8.6)
где ф(ж) и ф(ж) — функции, аналитические в окрестности точки ветвления х5.
При обходе точки ветвления х5, согласно представлению (8.6) происходит замена yt ^ уа, следовательно, любая симметричная функция величин У1 и уг однозначна в точке ветвления этих функций.
§ 9. Акустическая неустойчивость в пьезополупроводниках
Акустическую неустойчивость в пьезополупроводниках, обусловленную дрейфом носителей тока, впервые наблюдали в кристаллах CdS Хатсоп, Макфи и Уайт в 1961 году [33]. В пьезокристаллах акустическая волна сопровождается электрическим полем, благодаря чему она может взаимодействовать с носителями тока. Как будет показано ниже, это взаимодействие приводит к неустойчивости в том случае, если дрейфовая скорость носителей тока превышает скорость звука в данном кристалле. Таким образом, наличие пьезосвойств и дрейфующих под действием внешнего электрического поля носителей тока является необходимым условием наблюдения акустической неустойчивости.
Рассмотрим распространение продольной звуковой волны в пьезополупроводнике с симметрией С6» вдоль оси С,, которую выберем за ось г. Пусть в этом же направлении приложено внешнее электрическое поле Ео. Линеаризованные уравнения движения в этом случае имеют вид
д2иЭ^и а дЕ
pdt5 = c^+'Pd7’
(9.1)
и — 4лВ + 4леп = 0,
(9-2)
_eg + a=o, d< dz
(9-3)
j =<зЕ — env0 + eD ~.
(9-4)
В этих формулах р — массовая плотность пьезокристалла; с, р, е — соответственно его упругая, пьезо- и диэлектрическая постоянные, о = е/г0 ц — проводимость.
D — коэффициент диффузии, Vo “ Ц^о — дрейфовая скорость носителей тока; е — заряд электрона; и и Е — смещёния и электрическое поле; п — переменная часть плотности носителей тока. Дисперсионное уравнение, соответствующее системе уравнений (9.1)—(9.4), имеет вид
Г„а 1 Каю,ка п
^ - to, + io, + <».) I V - S,(1 + -,) J - —, = o,
(9.5)
4ла c 4лВ
где (De = —; № = -; К» =
При Кг = 0 дисперсионное уравнение (9.5) описывает звуковые волны с законом дисперсии
k = ± m/S
и сильно затухающие волны пространственного заряда с дисперсионным уравнением
Dk1 — ikv6 + ico + (Ос = 0.
Почти во всех кристаллах коэффициент электромеханической связи К? < 1. Пользуясь методом итераций, описанным в § 5, находим в первом приближении по К? поправку к дисперсионному уравнению попутной звуковой волны
(
iz2\
К СО-с2»
где Pk8^A^,toD=S_.^ = ^
Из формулы (9.6) находим
При v0 > 8 f_ < 0, следовательно, Im со < 0, и имеет место неустойчивость.
Выясним характер акустической неустойчивости. В § 5 было отмечено, что каждая точка пересечения невзаимодействующих волн (точка синхронизма) порождает пару точек ветвления. Так как Ю — малая величина, то положение точек ветвления будет мало
отличаться от положения точек синхронизма, поэтому можно найти положение точек ветвления, полагая в уравнении (9.5) К? = 0. Поправки за счет того, что К2 ¥* 0, можно найти методом итераций. Таким образом, находим
-}- (0сС0д-}- (0сС0д
-}- (0сС0д
-}- (0сС0д
ю3 Ц У —+ ®е®в2х/ ’
V , "dY-J
cd4 = I I у —^ h to(toD2— I ’
а также сова также совсо = 0 не является
а также сов
а также сов
точкой ветвления, так как в этой точке Dto = 0. Точка
со5 есть точка ветвления в нулевом приближении по К2 для волн пространственного заряда.Если нанести на график зависимость у = = i Im к от х = i Im cd для всех четырех волн в приближении К2 = 0, то точки пересечения CD,, CD2, CDs И CDs И будут точками синхронизма. В данном случае все точки синхронизма лежат в комплексной области (рис. 11). Так как ся условием Im к -> — °°, вательно, в точках со, и । плоскости комплексногосо5 есть точка ветвления в нулевом приближении по К2 для волн пространственного заряда.Если нанести на график зависимость у = = i Im к от х = i Im cd для всех четырех волн в приближении К2 = 0, то точки пересечения CD,, CD2, CDs И CDs И будут точками синхронизма. В данном случае все точки синхронизма лежат в комплексной области (рис. 11). Так как ся условием Im к -> — °°, вательно, в точках со, и । плоскости комплексногопопутные волны определяют-если Im cd -> — оо, то следо-d2, лежащих в нижней полу-переменного, пересекаютсяпопутные волны определяют-если Im cd -> — оо, то следо-d2, лежащих в нижней полу-переменного, пересекаются
со5 есть точка ветвления в нулевом приближении по К2 для волн пространственного заряда.
Если нанести на график зависимость у = = i Im к от х = i Im cd для всех четырех волн в приближении К2 = 0, то точки пересечения CD,, CD2, CDs И CDs И будут точками синхронизма. В данном случае все точки синхронизма лежат в комплексной области (рис. 11). Так как ся условием Im к -> — °°, вательно, в точках со, и । плоскости комплексного
со5 есть точка ветвления в нулевом приближении по К2 для волн пространственного заряда.
Если нанести на график зависимость у = = i Im к от х = i Im cd для всех четырех волн в приближении К2 = 0, то точки пересечения CD,, CD2, CDs И CDs И будут точками синхронизма. В данном случае все точки синхронизма лежат в комплексной области (рис. 11). Так как ся условием Im к -> — °°, вательно, в точках со, и । плоскости комплексного
попутные волны определяют-если Im cd -> — оо, то следо-d2, лежащих в нижней полу-переменного, пересекаются
попутные волны определяют-если Im cd -> — оо, то следо-d2, лежащих в нижней полу-переменного, пересекаются
волны, идущие в одном направлении, и поэтому неустойчивость имеет конвективный характер.
Решая дисперсионное уравнение (9.5) методом итераций относительно к, получаем
25?2+Р2(ш)>
где Р (со) = ^- -f- -^. При у_ < 0 Im к > 0, т. е. если скорость дрейфа носителей тока превышает скорость звука и0> 8, в системе имеет место пространственное усиление (рис. 12).
Выше шла речь о безграничном пьезополупроводнике. Если же пьезополупроводник ограничен, то при
определенных условиях затухающая встречная акустическая волна может обеспечить обратную связь, то есть начальные возмущения будут возрастать со временем в любой фиксированной точке пространства до тех пор, пока
нелинейности, которые имеются в любой системе, не приведут к определенному установившемуся состоянию. Таким образом, явление акустической неустойчивости может быть использовано для создания генератора ультразвука. Впервые такой генератор был создан в 1966 году [34J.
В линейной теории постулируется, что условие перехода конвективной неустойчивости в абсолютную
является условием перехода от режима усиления в режим генерации. Получим, исходя из этого, условие самовозбуждения (стартовые условия) модели генератора акустических волн, который представляет собой пьезополупроводниковый слой толщиной L, к которому приложено постоянное электрическое поле Ео.
Чтобы избежать громоздких математических выкладок, будем учитывать только акустические волны, пренебрегая волнами пространственного заряда [351. Более последовательная теория с учетом волн пространственного заряда при различных электрических и граничных условиях изложена в работах [36, 371.
Будем исходить из системы (9.1) — (9.4), которую необходимо решать при произвольных начальных условиях. Применяя к уравнениям (9.1)—(9.3) преобразование Лапласа по времени, получаем ^u(z,co) + c^-) + ₽d-^ =
= №«(2, 0) + р^^, (9.7) icon (z, со) + р ^—^ — = п (z, 0).
Уравнения (9.2) и (9.4) остаются неизменными, так как в эти уравнения не входят производные по времени. Решение однородной системы уравнений (9.2), (9.4) и (9.7) имеет вид 2 cj exp (ikjz), где &j(co) оп- j
ределяются из уравнения (9.5). Приближение двух акустических волн означает, что в решении учитываются лишь две акустические волны, а волнами пространственного заряда, вследствие их сильного затухания, пренебрегается. В силу этого решение для n(z, со) и ^(z, со) запишем в виде
2_
и (z, со) — 2 G’ (ш) е 1 + Ф1 (2, ю)»
7=1 2(9.8)
^(z,co) = i|2^(co)е г^ + Ф3(2,ю),
н 5=1\/
где Ф1; 2 — частные решения неоднородной системы уравнений (9.2), (9.4), (9.7), явный вид которых нам не понадобится.
Волновые векторы kt и к2, найденные из (9.5) в первом приближении по К2, имеют вид
(9.9)
6 А. М, Федорченко, И, Я, Коцаренко
Решение (9.8) необходимо подчинить краевому условию
с^ + |35 = 0,2 = 0, L, (9.10)
означающему отсутствие механических напряжений на границе пьезополупроводниковой пластинки. Подчиняя решение (9.8) краевым условиям (9.10), получаем систему уравнений для Ci и С2:
^+р = Ф(ш, о),
exp (—чк^exp (—чк^exp (-ад ’(9Л1)
exp (—чк^
exp (—чк^
\-8 ’-c^^LY
“а
л 2 /5Ф А \
где ф (со, L) = г -5- L-^ + £ Фа).
В § 6 было показано, что уравнение для собственных частот получается приравниванием нулю детерминанта системы уравнений (9.11), который имеет вид
Д(со) =Д(со) =(9.12)(9.12)ехр (— г^Л) — exp (— !*2^)
Д(со) =
Д(со) =
(9.12)
(9.12)
kika
Согласно результатам § 6 система будет абсолютно неустойчивой (режим генерации), если хотя бы один из нулей функции Д(со) находится в нижней полуплоскости со. В противном случае система будет устойчивой, либо конвективно неустойчивой (режим усиления).
Таким образом, задача отыскания условий генерации сводится к отысканию условий, при которых функция D(co) имеет нули в нижней полуплоскости. Подчеркнем, что вид функции О(со) зависит от краевых условий, но не зависит от начальных условий.
Как следует из (9.12), нули Д(со) определяются из условия
ki — к2 = 2пп/ L,ki — к2 = 2пп/ L,(9.13)(9.13)
ki — к2 = 2пп/ L,
ki — к2 = 2пп/ L,
(9.13)
(9.13)
причем п = ±1, ±2, .... Пользуясь (9.9), получаем с
точностью до членов первого порядка по К?
со = соп - (On + ico„,
со;-^ + О(№),(9.14)
» К21 + я2 — у2
2 “с [ж=+(у_1)2Их= + (!/ + 1)2]’
где z^ + pCC-^-,0^^. Как следует из (9.14), условие самовозбуждения (<вп<0) имеет вид
ро1. I /ос . п\й_
У = S >■ I/ 1 + (— + р j и ПРИ фиксированном значении 5 > 1 может выполняться для целого набора чисел п. Это означает, что в акустическом генераторе возбуждается одновременно большое количество частот со„ = nnS/L и распределение мощности между ними в установившемся режиме определяется сложными и малоизученными нелинейными процессами [381.
Таким образом, линейная теория позволяет установить положение порога генерации. При переходе через порог генерации линейная теория дает решение, нарастающее со временем. Это нарастание прекращается благодаря действию нелинейных эффектов, и тогда система начинает работать как генератор, характер колебаний которого определяется набором частот и их амплитудами. Первоочередной задачей более полной теории генераторов является определение амплитуд и спектра с учетом нелинейных эффектов.
Анализ дисперсионного уравнения оптического квантового генератора
В этом параграфе будет проанализирована работа оптического квантового генератора (ОКГ), исходя из его дисперсионного уравнения). Другими словами,
знания дисперсионного уравнения ОКГ вполне достаточно для вычисления коэффициента усиления, стартовых условий, а также инкрементов неустойчивости ОКГ.
Дисперсионное уравнение для оптического квантового генератора запишем в виде ([39], § 92, ф. 27)
(10.1)(10.1)eV „ , 4ne»NXw fm
(10.1)
(10.1)
2 — 1 т Ad VV п ——,
где /„I — сила осциллятора, определяемая формулой f»f=^|D„,(k)Pa)nl.
е И
Здесь N — число атомов в 1 см3; т — масса электрона; (Ош — частоты переходов системы; W„ — вероятность нахождения системы в квантовом состоянии Vn. В случае статистического равновесия wn = Сехр (— EJkT\ и поэтрму w„ < wtl если Еп >EV Если же путем внешнего воздействия на систему (накачкой) достичь состояния, в котором wn > wh то имеет место инверсия населенности, необходимая для работы ОКГ.
Вектор D„i(k), который входит в определение силы осциллятора, определяется следующей формулой ([39], § 94, ф. 7):
On/(k) == ^ f ^V^V^x,
где Ч^ и У® — волновые функции конечного .и начального состояний.
В случае дипольных переходов (ka«i, где а — линейные размеры излучающего атома) эту формулу можно упростить:
В случае квадрупольных переходов (D„i(0) = 0) необходимо пользоваться следующим членом разложения:
Dn; (k) = - i -^- С Т®* (кг) v Ч^т.
Будем считать, что в сумме (10.1) можно оставить только один член. Это возможно в тех случаях, когда
частота со не слишком удалена от одной из частот пе
рехода со(п, а другие частоты расположены достаточно далеко от этой частоты перехода. В этом случае диспёрсионное уравнение (10.1) приобретает более простой вид
V-8o +V-8o +cog-со2cog-со2(10.2)(10.2)
V-8o +
V-8o +
cog-со2
cog-со2
(10.2)
(10.2)
для дипольных переходов, и
eV„ , кг8йсо26о+ W2_^eV„ , кг8йсо26о+ W2_^(10.3)(10.3)
eV„ , кг8й
со26о+ W2_^
eV„ , кг8й
со26о+ W2_^
(10.3)
(10.3)
для квадрупольных переходов.
В этих формулах соо = <в12 — частота перехода между уровнями, на которые осуществлена инверсия;- е0 — слабо зависящая от частоты функция, которая учитывает вклад в диэлектрическую постоянную от всех остальных уровней, кроме двух рассматриваемых; величина (Ир определяется формулой
“р = -^-/12(^1-^).
где/и = ^-1 Ви (0) |2 соо. В случае инверсии |zy1<zy2l
величина top — отрицательна. Величина S2 в формуле (10.3) имеет вид
52 =52 =4лЛУт4лЛУт(^1 - ^ "^(^1 - ^ "^J ТГ (п . г) VT^rJ ТГ (п . г) VT^r22
52 =
52 =
4лЛУ
т
4лЛУ
т
(^1 - ^ "^
(^1 - ^ "^
J ТГ (п . г) VT^r
J ТГ (п . г) VT^r
2
2
к
к
и также отрицательна в случае инверсии. С помощью замены
сксошр
У =;=-, х = —, а - - ■ „
%Кеош0е0
для дипольных переходов и замены с/с(1 + ст)со^
У =х = — У1 + о, о = -^
для квадрупольных переходов дисперсионные уравнения (10.2) и (10.3) можно привести к Одинаковому виду:
у» = х»(Ю.4)
X — 1
причем а > 0 в случае термодинамического равновесия, а < 0 в случае инверсии. Ниже знак и величина а будут считаться заданными.
Рис. 13.Рис. 14
Пользуясь общей теорией, развитой в § 3, рассмотрим задачу об усилении в системе, описываемой дисперсионным уравнением (10.4). Дисперсионное уравнение (10.4) описывает две электромагнитные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Его график для о > 0 приведен на рис. 13 и для о < 0 — на рис. 14.
Из дисперсионного уравнения (10.4) находим
У1 (ж) = х-—я—, ух^ ~ х, х оо
У X — 1
для попутной волны и
У»^ = — ®1/х- я->оо
V X 1
для встречной волны. Обе волны являются прямыми, так как направления фазовой скорости этих волн совпадают с направлением их распространения. Две пары точек ветвления ж = ± 1, ж = ± У1 + о находятся на действительной оси, и их обход должен совершаться снизу. Возможны два случая:
Г ।а
о > 0. При этом У1(ж) = х Л —— для ж >
Г а — 1
> У1 + о. В интервале l^z^yi + a ж2 — 1 — о = (1 + + о —^2)е-,я и z/i(^) принимает вид
, .т 1 + ст— я2 . _ Г 1 + <т — Xй
И^-е «у ?_, - -« у 5_, •
В интервале 0^ж^1 ж2 — 1 = (1 — ж2)е-<" и, следовательно,
Таким образом, 1ту1(ж)<0, причем Ит 71 ^ > 0.
Х^оо 1
Согласно критериям пространственного усиления и не- пропускания (§ 3), в интервале частот 1<ж<У1 + о имеет место непропускание (полное отражение) волн.
о < 0. При этом при х>1 yt(x) =
= Ж1/ д ~ 1 ~ ст . В интервале У1+о^ж^1 ж2 — 1 =
V х1— 1
= (1 — x2)e-i" и уАх) принимает значение yv<y^-e х |/^^ lx |/^^ .
(Ю.5)
При 0^ж^У1 + о ж2 — 1 — о = (1 + о — ж2)е-1П и, следовательно,
Таким образом, в интервале частот У1+о<ж<1
Im у Ах) > 0, причем Ит —— > 0. Согласно критерию е-»оо 1
II в данном случае имеет место пространственное усиление. Если перейти к размерным частотам и считать laid, то можно утверждать, что коэффициент усиле- /, , а ния отличен от нуля в интервале частот <d0I 1 Н—2")^ < со ^ соо для дипольных переходов и в интервале соо со соо 112" I для квадрупольных переходов.
При изменении частоты в полосе усиления коэффициент усиления увеличивается от 0 до 00 (без учета диссипации). Ширина полосы усиления равна Асо=соо-Цр, т. е. увеличение инверсии населенности расширяет область усиления и увеличивает коэффициент усиления.
Перейдем теперь к вопросу об устойчивости рассматриваемой системы. Для этого необходимо решить дисперсионное уравнение (10.4) относительно х;
Xй = JjV + a, ± т / (l + AN2 _ у8. (W 6)
Система неустойчива, если 1шж< 0. Из формулы (10.6) следует, что это имеет место при —2у < у*+ 1 +о < 2у или, иначе, при (у— IPC — о, (у+1)*>— о. Следовательно, в случае о < 0 (инверсия населенности) система неустойчива относительно возмущений с волновыми векторами, лежащими в интервале
^^(1-УТ^)<&<^/е0(1+К|о|).
Отсюда следует, что ширина неустойчивости по волновым векторам равна А/с = -^У |о | е0 и пропор
циональна корню квадратному из силы осциллятора и разности населенностей. Так как в нижней полуплоскости комплексного переменного х нет точек ветвления функций уАх), уАх), то по своему характеру неустойчивость является конвективной.
Найдем максимальный инкремент нарастания. Мы обнаружим, что в отличие от коэффициента усиления временной инкремент нарастания остается конечным при любых значениях волнового вектора даже без учета диссипации. Для этого обозначим
x = u-Viv1 у2 + 1 + о = 2z, тогда из (10.6) имеем
u2 — v2 = z, 2uv = У lol — (z — I)2.
Условие экстремума ^ = 0 дает
Отсюда находим z = l-|--^-. Следовательно, при к = = ~У®о Для дипольного перехода и к = -^ V®o (1— о) для квадрупольного временной инкремент нарастания максимален и равен
гт ,%У|я|
{Im tojniax —2
При наличии затухания в дисперсионных уравнениях (10.2) и (10.3) следует сделать замену и>о_>ио + + i2^co (в наших обозначениях у > 0), после чего их можно представить в виде
у2 = ж211 +у2 = ж211 +11о— а2 + 12гжо— а2 + 12гж(Ю.7)(Ю.7)
у2 = ж211 +
у2 = ж211 +
1
1
о
— а2 + 12гж
о
— а2 + 12гж
(Ю.7)
(Ю.7)
где г = у/(Ио; Т-1 — время жизни возбужденного состояния. Величина 1/г представляет собой аналог добротности колебательной системы. Для атомов г обычно малая величина, порядка 10-22 — 10“23.
Перепишем уравнение (10.7) в виде
(у2 - ж2)(1 - ж2 + г2 + <2гж) = ож2 + ^(у2 - ж2). (10.8)
Пользуясь тем, что lul С 1, применим к решению этого дисперсионного уравнения метод связанных волн.
Считая [^(у2 —ж2)! < 1а^21, перепишем формулу (10.8) в следующем виде:
(Ж — УН® — 1 — if) = , : Г7 г-:г-..(10.9)
vV' (х + у) (Я + 1 — ir) '
Пользуясь малостью а, находим тж2г
Im у = - о 2 --2-2.
(1 — ж ) + 4ж г
Откуда следует, что при учете затухания коэффициент усиления остается конечным и его максимальное значение равно (при ж = 1)
=(10.10)
Таким образом, анализ дисперсионного уравнения для системы с инверсией населенности показывает, что система обладает конвективной неустойчивостью в области волновых векторов, лежащих в интервале ^к =
2<о у8 (ст (<о )/7Г
=около к = —-—. Кроме того, система
обладает пространственным усилением с максимальным коэффициентом усиления при ю « Юо, который определяется формулой (10.10).
Интересно отметить, что неустойчивость среды с инверсионной населенностью уровней и связанная с ней возможность генерации и усиления света является чисто квантовым эффектом, так как только в квантовомеханических формулах величина ®р в формуле (10.2) и величина s2 в формуле (10.3) могут быть отрицательными. Соответствующие величины, вычисленные с помощью классической теории дисперсии, могут быть только положительными. В противоположность этому механизм, обуславливающий акустическую неустойчивость, является классическим. Исследования этого эффекта с помощью квантовой механики дали бы несущественные квантовые поправки.
Выше система считалась безграничной. С помощью (10.7) можно найти точки ветвления:
Xi = ir ± У1 — г2, хг = ir ± У1 + а — т1.
Так как все четыре точки ветвления у (ж) лежат в верхней полуплоскости х, то отсюда следует, что не-
устойчивость носит конвективный характер. В § 6 было
отмечено, чтр в ограниченной системе отражение волны в некоторых случаях может быть причиной обратной связи, приводящей к абсолютной неустойчивости. Там же было показано, что для решения задачи об устойчивости ограниченной системы необходимо решить систему уравнений при произвольных начальных условиях и соответствующих краевых условиях. В данном случае краевые условия будут неоднородными, так как
Рис. 15.Рис. 15.электрическое поле вне системы также подлежит определению.
Рис. 15.
Рис. 15.
Пусть активная среда занимает часть пространства 0 < < г ^ L. Слева и справа находятся пассивные среды с комплексными показателями преломления щ и Пг соответственно (рис. 15).
Волновые процессы в рассматриваемой системе описываются уравнениями Максвелла. В § 6 было показано, что для выяснения характера неустой-
чивости необходимо решить задачу с произвольными начальными условиями. Пусть в системе в момент времени t = 0 возникло некоторое возмущение Е(0, г), ЖО, г), тогда согласно методике, изложенной в § 6, применяя к уравнениям Максвелла преобразование Лапласа по времени, получаем систему уравнений для
электромагнитного поля
= н^ щ)+1я(г, 0), . Сс(10.11)
^^ = ^ П2 ((0) Е (2, со) + -А- Е (2, 0)
для каждой из трех сред.
Решение системы (10.11) можно представить в виде
Ei = С (со) elKiz + Фт (г, со),
Ец = Сй (со) eiftz + С3 (со) е-^г + Фв (г, со),
Ещ = С4 (со) е ' а + Ф3 (2, со),
где к1Д = —^—, к = —-— определяются из дисперсионного уравнения (10.4). Функции Ф1>2, з являются частным решением системы (10,11) соответственно в трех областях. Коэффициенты Cs(co) находятся с помощью обычных электродинамических краевых условий, и их можно записать следующим образом:
С8(со) = A8(co)/D(co),
где Ав — функции, аналитические в нижней полуплоскости, и выражаются через начальные условия; явный вид их нам не понадобится.
Функция Р(со) имеет вид
D (со) = е«“) — 1,(10.12)
X (со) = —12k (со) L + i (Ф1 + Фа) — In —. (10.13)
Входящие в формулу (10.13) величины р12 и ф1.2 связаны с коэффициентами отражения соответственно от первой и второй границ следующим образом:
Система будет неустойчивой, если функция П(со), определяемая формулой (10.12), имеет нули в нижней полуплоскости комплексной переменной со.
Рассмотрим, при каких условиях это имеет место. Из (10.12) следует, что нули П(со) определяются из условия
X (со) = — 12k(со) L + г (Ф1 + Ф1) — Inf) =
X 4/2 /
= — i2ns, (10.14)
s = ±1, ±2, ...,где kkto) определяется той ветвью дисперсионногоуравнения (10.7), для которой Иш -^~>0. Уравненией)->оо ®
.14) можно приближенно решить относительно со, если со «соо. При этом из (10.7) следует
— со2
к (со) = ^- /е0 - *---*(10.15)
4cv/e0'*
В мнимой части (10.15), благодаря малости параметра а, подставлено со *<о0. Теперь подставляя (10.15) в (10.14), находим искомые нули функции D(co):
Откуда следует, что система абсолютно неустойчива (Im cos < 0), если _
рИ2>рИп(—],^<0. (10.16)
Отметим, что условие абсолютной неустойчивости (10.16) совпадает с условием самовозбуждения (генерации) оптического квантового генератора [40], полученным иным способом.
Таким образом, рассматриваемая система устойчива при сор>О, конвективно неустойчива (усилитель), если
2?СК% ,2
■£ ■ Ь Р1- р2 < Ор < 0,
абсолютно неустойчива (генератор), если 2vc 6Л / 4 \
“2<о.
Своеобразие задачи о генерации электромагнитного излучения по сравнению с рассмотренной в § 9 задачей о генерации звука состоит в том, что усиливаются как встречная, так и попутная электромагнитные волны (двухсторонняя конвективная неустойчивость), тогда как попутная звуковая волна, распространяющаяся в направлении дрейфа носителей тока, усиливается, а встречная — затухает (односторонняя конвективная неустойчивость).
Рассмотренный выше случай перехода конвективной неустойчивости в абсолютную за счет отражения от границ имеет место и в случае приборов СВЧ-диапазона. Иными словами, условие самовозбуждения любого усилителя полностью совпадает с условием перехода конвективной неустойчивости в абсолютную.
. Неустойчивость в среде с отрицательной дифференциальной проводимостью
Отрицательная дифференциальная проводимость независимо от конкретного механизма, которым опа обусловлена, при определенных условиях может быть причиной развития неустойчивости в полупроводниках.
Примером неустойчивости системы с отрицательной дифференциальной проводимостью является генератор Ганна. В 1963 году Ганн 141] впервые наблюдал микроволновое излучение из образца GaAs при приложении к нему внешнего электрического поля больше некоторого критического Eoh. Эти наблюдения были первым экспериментальным подтверждением предсказанного Ридди и Уоткинсом [42], а также независимо от них Хилсумом [431, явления отрицательного дифференциального сопротивления, обусловленного переходом (под действием сильного электромагнитного поля) электронов из состояний с малой эффективной массой и большой подвижностью в состояния с большой эффективной массой и меньшей подвижностью, которые при умеренных электрических полях незаняты.
Существуют также и другие причины появления на вольтамперной характеристике полупроводников участков с отрицательной дифференциальной проводимостью, но приведенные в этом параграфе рассуждения не зависят от конкретного механизма возникновения отрицательной дифференциальной проводимости.
На рис. 16 приведен график зависимости дрейфовой скорости электронов от приложенного поля в GaAs. Как видно из этого рисунка, вначале следует линейный участок, соответствующий закону Ома (у = сЕ = епи; v = цЕ). Затем, при полях, превышающих Е^, начинается падающий участок вольтамперной характеристики -gg - < 0. В этой области зависимость тока от поля имеет вид j = а(Е) • Е. Если положить Е = Е6 + Е (переменная часть электрического поля Е<Е0\ то
/ = о (Ео) Ео + Е. ^- Е + о (Ео) Е = у0 + OqE,
где п^о) = По — проводимость в постоянном поле;
= °^ f1 + ^^) = ^ + V). Y = % "§’ причем 7 < — 1 на участке падающей вольтамперной характеристики.
Система уравнений, описывающая прохождение тока в полупроводнике, в котором имеет место отклонение плотности электронов от равновесной (обозначим ее и), обеспечивающая нейтральность образца в данной точке, имеет вид
ЭЕ4ле
=ni
ozе
] = сЕ — env 4- eD
Второй член в последней формуле представляет собой конвективную часть тока, обусловленную отклонением плотности электронов от равновесной (см. также (9.4)). Эта система уравнений допускает стационарное решение п = О, Е = Е0 (где Ео — внешнее однородное и стационарное электрическое поле), что означает — в системе протекает постоянный ток / = а^Е^Е^. Однако такое состояние при некоторых условиях является неустойчивым. Чтобы показать это, положим Е = = Е, + Е и линеаризуем приведенную выше систему
уравнений. В результате получим
(“-2>
7 = aqE — env0 + eD ^.(И.З)
Формула для переменной части тока (11.3) имеет такой же вид, как и в задаче об акустической неустойчивости (9.4), однако в рассматриваемом случае возможны состояния системы с пв < 0.
С математической точки зрения задача об устойчивости полупроводников с отрицательной проводимостью сводится к решению системы уравнений (11.1) —(11.3) при некотором начальном условии n(z, £)l1=0 = n(z, .0). Вопрос о характере неустойчивости для безграничного образца может быть решен по известному дисперсионному уравнению системы (11.1)—(11.3), которое можно легко найти с помощью подстановочного анализа и которое имеет вид
(& —fco)2 —«(со — соо) = 0,(11.4)
где Ло = *"2р”’ а = тГ> шо = * ^ e^' ^'w'j' Дисперсионное уравнение (11.4) совпадает с уравнением (4.3), которое проанализировано в § 4. Воспользовавшись результатом этого параграфа, находим, что система конвективно неустойчива при
/ 4я(Т?
4D е
и абсолютно неустойчива при
4мде4мде4D •4D •
4мде
4мде
4D •
4D •
В случае, если образец имеет конечную длину L, для решения системы (11.1) — (11.3) необходимо задать краевые условия. Мы рассмотрим два случая: первый омический контакт и(0, i) = n(L, t) = 0; второй анти- запорный контакт: Е(0, t) = E(L, t) = 0.
Рассмотрим сначала случай омического контакта. Применяя к системе уравнений (11.1)—(11.3) преобразование Лапласа по времени, получим следующую систему неоднородных уравнений:
8Е со) 4ле .,...
—=(и-5)
— ten (z, со) со 4- д/ ^ ш) = — ей (z, 0),(11.6)
/ (z, со) = ОдЕ (z, со) — evon (z, со) 4- eD -^^-. (И.7)
где n(z, 0), — начальное значение функции n(z, i). Подставляя (11.7) в (11.6) и исключая производную ■4^- с помощью уравнений (11.5), получаем неоднородное дифференциальное уравнение для n(z, со):
После решения уравнения (11.8) электрическое поле находится из (11.5) путем интегрирования.
Общее решение уравнения (11.8) без правой части есть
и (z, со) = Сх(со) е ihiz 4- Са (со) e~ift»z, (11.9)
где /с1(со) и /с2(со)—корни дисперсионного уравнения (11.4):
fcl’2 — 1 "^11ST |/ 1 +fcl’2 — 1 "^11ST |/ 1 +4соР4соР4хоРуо4хоРуо
fcl’2 — 1 "^11ST |/ 1 +
fcl’2 — 1 "^11ST |/ 1 +
4соР
4соР
4хоР
уо
4хоР
уо
4ло_
юс —1
с 8
Если | сос | D/v» С 1, toD/vy < 1, то ют более простой вид:гл®fci =i—, fc2 = -^0%2Если | сос | D/v» С 1, toD/vy < 1, то ют более простой вид:гл®fci =i—, fc2 = -^0%2эти корни принима-эти корни принима-сосоуо D 'уо D '
Если | сос | D/v» С 1, toD/vy < 1, то ют более простой вид:
гл®
fci =i—, fc2 = -
^0%2
Если | сос | D/v» С 1, toD/vy < 1, то ют более простой вид:
гл®
fci =i—, fc2 = -
^0%2
эти корни принима-
эти корни принима-
со
со
уо D '
уо D '
Первая из этих волн представляет собой попутную волну пространственного заряда, распространяющуюся от катода к аноду, и которая затухает, если сос > 0, 7 A. M. Федорченко, Н. Я. Конаренко
или усиливается, если сос < 0. Если коэффициент Диффузии мал, то он не влияет на дисперсионные свойства этой волны. Вторая волна — встречная волна пространственного заряда — обычно затухает, так как toDIvo < 1 •
Методом, изложенным в [261, находим частное решение неоднородного уравнения (11.8), которое имеет вид
,.. Г , , m expifc (z' — z) —exp 16,(2'-z)
П (2, to) = I I П (2,0)17= 02 .
0
(11.10)
Полное решение уравнения (11.8) равно сумме (11.9) и (11.10):
п (z, со) = Сх (со) e-lkiz + Сй (со) e-**2z -|-
dz’ (11.11)dz’ (11.11)ооka kika kiехр ikT (z' — z) — exp гкг (z' — z)
dz’ (11.11)
dz’ (11.11)
о
о
ka ki
ka ki
— и должно удовлетворять краевым условиям п(0, со) — = n(L, со) = 0, откуда находим
Ст(со) == — Са (со) =Ст(со) == — Са (со) =р exp ik. (z — L) — exp ik. (z — L) !”'<-• °> —!—v^-^—р exp ik. (z — L) — exp ik. (z — L) !”'<-• °> —!—v^-^——i^L —ih-L e 1 — e 8—i^L —ih-L e 1 — e 8
Ст(со) =
= — Са (со) =
Ст(со) =
= — Са (со) =
р exp ik. (z — L) — exp ik. (z — L) !”'<-• °> —!—v^-^—
р exp ik. (z — L) — exp ik. (z — L) !”'<-• °> —!—v^-^—
—i^L —ih-L e 1 — e 8
—i^L —ih-L e 1 — e 8
Таким образом, функция Д(<о), определенная в § 6 (формула (6.9)), в нашем случае имеет вид
(11.12)(11.12)D (со) = e-iftiL - e"'k»L.
(11.12)
(11.12)
Из формулы (11.12) следует, что нули функции Д(со) можно найти из условия (&i — k^L = 2n5, S = = ±1, ±2, .. ., откуда, используя явные выражения для корней kt и к2, находим со5:
С08 = ^-Г-+-4р+-72—
01метим, что cos при S = 0 также является нулем функции £>(со), но при этом числитель в формуле
обращается в нуль вследствие того, что Ct(to)= = —С2(со) и kt = кг при 8 = 0.
Следовательно, в случае омического контакта условие абсолютной неустойчивости для ограниченного образца имеет вид
(11.13)(11.13)4л<Тд ( Уд , ^D ^
(11.13)
(11.13)
8< I + Л2 /
и представляет собой более жесткое условие, чем условие абсолютной неустойчивости для неограниченного образца. При этом нарастание носит апериодический характер, так как Re со8 = 0. Можно предположить, что этот случай соответствует образованию доменов. При Im cos > 0 флуктуации плотности затухают со временем и система будет устойчива по отношению к флуктуациям плотности. На этом примере можно продемонстрировать двоякую роль диффузии в установлении абсолютной неустойчивости. Из формулы (11.13) следует, что при Z) -► 0 возможна только конвективная неустойчивость, так как возмущение может распространяться против дрейфа носителей за счет диффузии. С другой стороны, при Z) -»- оо неустойчивость исчезает вовсе, так как диффузия есть диссипативный процесс, стабилизирующий любую неустойчивость. Из формулы (11.13) следует также, что увеличение длины системы способствует возникновению абсолютной неустойчивости (но время установления абсолютной неустойчивости за счет обратной связи также увеличивается).
Для полного рассмотрения вопроса о неустойчивости необходимо исследовать, как ведет себя со временем электрическое поле. Для этого подставим найденное значение nU, со) (11.11) в (11.1) и проинтегрируем
Е (z, со) = — ^ J п (zz, со) dz' + Е6 (со),о
Постоянную £"о(со) определим из уравнения Кирхгофа:
L
У Edz -VJR = 0, о
где JR — падение напряжения на внешней нагрузке, J — ток во внешней цепи, который можно определить из условия непрерывности
V 4л /
Здесь S — поперечное сеченце образца. Так как п(0, <) =
/ = oqE + eD/ = oqE + eDЭп\^Эг /о"Эп\^Эг /о"= 0, то
/ = oqE + eD
/ = oqE + eD
Эп\
^Эг /о"
Эп\
^Эг /о"
Таким образом, с помощью правила Кирхгофа, находим
L г'
E6L - — J dz' J п (z", со) dz” + О о
+ RS [о^0 (со) + ^ Е, (со) + eD (g)J = 0, откуда
Ео (со) =
п (z", со) dz” — eDRSп (z", со) dz” — eDRSr+r + 1ШСr+r + 1ШС(11.14)(11.14)
п (z", со) dz” — eDRS
п (z", со) dz” — eDRS
r+r + 1ШС
r+r + 1ШС
(11.14)
(11.14)
где Ro = L/Sdq — эквивалентное сопротивление образца (7?о < 0, если о, < 0), С = eS/4n,L — собственная емкость образца. Из формулы (11.14) следует, что электрическое поле кроме полюсов, определяемых формулой (11.12), имеет дополнительный полюс при
i / 1 , 1 \
® - с (r + rJ-
Таким образом, если о, < —L/SR, то система неустойчива, но при этом экспоненциально возрастает однородная часть электрического поля (плотность же остается ограниченной функцией времени, если од >
е ( ур л2О \
/ 4л у40 т ^2 /
Отсюда следует вывод, что рассматриваемая система будет работать в режиме генерации (абсолютная неустойчивость), если выполняется одно из условий:
°9<~ — RS или °« ^ ~ 4л I W "ТУ ’ пРичем последнее условие не зависит от свойств внешней цепи. Если же оба условия не выполняются, то система стабильна и может работать в режиме усиления. Для того чтобы показать это, вычислим импеданс цепи, содержащей образец с отрицательной проводимостью в случае омического контакта. Для этого необходимо решить систему уравнений (11.5) —(11.7) при нулевых начальных условиях.
Из (11.9) следует, что для того чтобы выполнялось краевое условие я(0, t) = nkL, f) = 0, необходимо, чтобы С, = С2 = 0, т. е. nU, t) = 0. В этом случае решение уравнения (11.5) имеет вид Жг, со) = ^(со). Согласно уравнению Кирхгофа
L
(11.15)(11.15)J Edz + JR = V, о
(11.15)
(11.15)
где V — внешнее напряжение. Так как и(г, f) = 0, то 7 = OqE^to'), поэтому
(11.16)(11.16)J — S ^Oq^q (со) + ^- Ео (со)
(11.16)
(11.16)
Подставляя (11.16) в (11.15), находим постоянную интегрирования £"о(со):
Е.«"> 4-7^4 + я0Е.«"> 4-7^4 + я0(11.17)(11.17)
Е.«"> 4-7^4 + я0
Е.«"> 4-7^4 + я0
(11.17)
(11.17)
Подставляя (11.17) в (11.16), получаем
„ 4- iroC
J = V—г° 1.
Следовательно, импеданс всей цепи равен
+ я
Z(g>)=-A-^(плз)
дГ + =<оС
Эквивалентная схема имеет вид, представленный на рис. 17.
Сделаем здесь одно замечание, которое касается формулы (11.18), но имеет общий характер. Эту формулу можно представить в виде
Z (со) = 20 (со) + R, 20 (со) = —,
"пГ + йоС a
т. е. полный импеданс цепи равен сумме импеданса образца 2«(со) и импеданса внешней цепи 7?.
Положение нулей полного импеданса определяет режим работы прибора, так как нули импеданса (11.18) совпадают с полюсами выражения (11.14). Однако можно рассматривать два крайних случая:
случай, когда образец короткозамкнут: R = 0 (режим заданного напряжения), тогда
нули полного импеданса совпадают с нулями импеданса образца Zo(co) = 0;
случай, когда образец разомкнут: R = <» (режим заданного тока), тогда нули полного импеданса совпадают с полюсами импеданса образца Zo(co) = °°.
Таким образом, режимы заданного тока и заданного напряжения, о которых идет речь в [71 (см. гл. III, § 2), являются предельными случаями более общего случая произвольной внешней нагрузки. Как видно из формулы (11.18), нули полного импеданса совпадают с полюсом выражения (11.14), но по положению нулей импеданса нельзя однозначно судить о режиме работы образца, так как на характер неустойчивости влияет также положение нулей функции £)(«), определяемой формулой (11.12).
Рассчитаем коэффициент усиления системы с отрицательной дифференциальной проводимостью в простейшей схеме усилителя с активной нагрузкой (см. рис. 17):
К =К =VV/Я П_ R» 1 + itoC _
К =
К =
V
V
v " z Я'1 + Я-1 + ioC ~
причем фаза cp(co) учитывает сдвиг фаз между входным и выходным напряжением. Коэффициент усиления будет больше единицы, если 1^(1 > 1, т. е.
± + o)v->(A + ^= +
откуда находим, что |^| > 1, если о, < — L/2RS. При этом, как было показано выше, система будет устойчива, если aq> —URS или |о,| > L/RS. Таким образом, при
д8>*\оч\>2Д8’ ад<0
система будет работать в режиме усиления.
Если же снимать напряжение с самого образца, то
В этом случае коэффициент усиления будет больше единицы, если выполняется условие
А > I "g I > As (1 + ^R2), oq < о.
Откуда следует, что усиление имеет место для частот в интервале
0 < со < VRC.
Для антизапорного контакта из уравнения (11.5) путем непосредственного интегрирования находим
г
Е (z, со) = — ^ J п (z*, со) dz' + Ео (со), (11.19) о
где Е„(со) — произвольная постоянная, которая вместе С СДсо) и С2(со) определяется с помощью краевых ус-
ловий и уравнения Кирхгофа
L
J Edz + JR = 0. о
Подставляя (11.9) в (11.19), находим электрическое поле
С1 + с2—С1 + с2—+ Е» (to)-(11.20)+ Е» (to)-(11.20)
С1 + с2—
С1 + с2—
+ Е» (to)-
(11.20)
+ Е» (to)-
(11.20)
Учитывая краевое условие Е(0, со) = 0, имеем
J = S Д 5епий .
\02/2=0
-kk-—L7J t11-21)-kk-—L7J t11-21)Подчиняя решения (11.9) и (11.20) краевым условиям Е(0, Д = E(L, <) = 0и уравнению Кирхгофа, находим, что полюса функций E(z, со) и nkz, со) определяются нулями функции Д(со), которая имеет следующий вид:
-kk-
—L7J t11-21)
-kk-
—L7J t11-21)
D (со) = е ж — 1 + ж (1 + рж) — exp I — х
— 1 + хе— 1 + хе1
— 1 + хе
— 1 + хе
D%LD%LD
D%L
D%L
л , x T .T (to„ svRS „
где x = iky (co) L = iL\i — , В = 0 r, S — пло- ' 'Vo uo’ 4лЛ2 ’
Lv
щадь образца. Обычно -^-«102 — 103. В этом случае, если р С 1, уравнение (11.21) сводится к известному в литературе [44], из которого находим частоту cos в виде
cos= — -^xg +— ^^s),xs<0,
где xs—действительная, xg — мнимая части корней
уравнения [441
е-1 — 1 + х = 0.
Порог абсолютной неустойчивости определяется из условия Im cos = 0. Следовательно, при выполнении условия
_^ = ^уЦ1+11£>|х.|(1122)
8D08D0\/
система будет работать в режиме генерации. Хотя характер установившихся колебаний определяется нелинейными свойствами среды, можно предположить, что в случае Um cosl ^ iRe со81, что означает практически апериодический рост начальных возмущений, абсолютная неустойчивость приводит к образованию доменов. Это условие эквивалентно неравенству
^^ I xs I + I £s I- (11.23)
Условие (11.23) для GaAs приблизительно может быть представлено в виде
n^L > Ю12 см-2.
При численной оценке критерия были использованы параметры кристалла GaAs, приведенные в работе [45].
При наличии внешней нагрузки (но по-прежнему -^^>1) дисперсионное уравнение (11.21) имеет вид е-1-1 + ^(1 + ^) = 0,(11.24)
корни которого приближенно могут быть представлены формулой xs = 2 л Si —
- (1 + In (1 + 4л2№р- 2nSi). (11.25)
\1 + 4л252р - 2nSi) VР '
В таблице приведены корни уравнения (11.24) при различных значениях параметра р, вычисленные на ЭВМ по формуле (11.25). Как следует из этой таблицы,
4ла Д
пороговое значение параметра— с ростом со- противления нагрузки сначала слегка убывает, достигая минимума при р = 0,04, затем возрастает. Таким
образом, наличие внешней нагрузки не всегда повышает порог генерации.
Для случая антизапорных контактов из уравнения Кирхгофа J Edz -|- J • R = V находим коэффициент уси- о
,ления К = VJV где V2 = JR — падение напряжения на нагрузке R:
К ко) = 5-Д-.(11.26)
' ' R + z (со)'*
здесь 2 (®) =j(где х = - (сос + ио)}— им
педанс элемента с отрицательной дифференциальной проводимостью. Как и в случае омических контактов,
р
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,06
0,08
0,1
0,3
—X
2,09
2,07
2,06
2,05
2,05
2,05
2,08
2,11
2,56
±z"
7,46
7,39
7,31
7,24
7,16
7,03
6,90
6,78
6,03
р
0,5
0,7
0,9
1
2
3
4
5
—х1
2,95
3,27
3,52
3,63
4,41
4,90
5,25
5,52
5,67
5,49
5,29
5,23
4,88
4,72
4,61
4,54
можно найти условия, при которых неравенство (11.22) не выполняется, т. е. система устойчива, но коэффициент усиления (11.26) больше единицы. Ввиду сравнительно сложного аналитического выражения для коэффициента усиления необходимо производить вычисления с помощью ЭВМ. Необходимо заметить, что в отличие от случая омического контакта, здесь имеется взаимнооднозначное соответствие между нулями импеданса (11.26) и полюсами решения задачи с начальными условиями.
Таким образом, система с отрицательной дифференциальной проводимостью в зависимости от граничных условий и параметров полупроводника может работать в двух режимах:
режим с образованием бегущих доменов в случае омических контактов (независимо от параметров полу-
проводника), а также при выполнении условия (11.23) в случае антизапорных контактов;
в режиме бегущей волны в случае антизапорных контактов при выполнении неравенства, обратного неравенству (11.23).
Так как частота генерации зависит от длины образца согласно формуле со = ^|ж5|, т. е. при увеличении длины образца частота уменьшается, то при работе в сантиметровом диапазоне необходимо выбирать образцы длиной L « 10_3—10-2 см. Следовательно, нельзя увеличивать мощность прибора путем увеличения длины образца.
§ 12. Рекомбинационная неустойчивость в полупроводниках
В полупроводниках с двумя сортами подвижных носителей (с электронами и дырками) при условии независимости процессов их рекомбинации, что обуславливает отличие времен жизни носителей тока, возможна так называемая рекомбинационная неустойчивость волн пространственного заряда [46, 471. Независимость процессов рекомбинации электронов и дырок достигается за счет наличия примесных центров захвата (ловушек). Причем пустая ловушка является центром захвата для электронов, заполненная — для дырок.
Рассмотрим полупроводник с одним типом ловушек и обозначим концентрацию электронов в нем п, дырок р, число ловушек N, а степень их заполнения /. Скорость изменения концентрации электронов в некотором объеме определяется четырьмя факторами: обменом электронов данного объема с соседними объемами, тепловым обменом с ловушками и валентной зоной, а также генерацией электронов нетепловым способом (например, светом). Тепловым обменом с валентной зоной (рекомбинация электронов и дырок) будем пренебрегать, так как эти процессы маловероятны.
Скорость изменения числа электронов за счет обмена с ловушками определяется:
скоростью увеличения числа электронов за счет перехода их с ловушек в зону проводимости. Эта ско-
рость пропорциональна числу электронов на ловушках и не зависит от концентрации электронов в зоне проводимости (если их число гораздо меньше, чем число состояний);
х„Л7,
где х„ — коэффициент пропорциональности, N — число ловушек, / — степень заполнения их электронами;
скоростью уменьшения числа электронов за счет обратных переходов, которая пропорциональна числу электронов в зоне проводимости и числу пустых мест на ловушках ^(l — /):
—Y»n^(l — Д
здесь у™ — коэффициент прилипания электронов. Знак минус указывает на уменьшение числа электронов.
Таким образом, скорость изменения числа электронов в зоне проводимости за счет обмена с ловушками равна
xJV/- tnnN(i -f).
Коэффициенты пропорциональности х„ и Yn связаны между собой, так как в состоянии термодинамического равновесия скорость изменения числа электронов должна равняться нулю, откуда следует
п (i — 7)п (1 — 7)
Хп = Yn -= Yn”i, nY = - - _
где черта над величинами означает их термодинамически равновесные значения.
Обозначим через 7?п скорость генерации электронов в зоне проводимости нетепловым способом. Будем предполагать, что она не зависит от числа электронов и дырок.
Таким образом, уравнение непрерывности для электронов имеет вид
^ + div jn = - y»7V tn (l-П- njl + R». (12.1)
Член divjn в этом уравнении учитывает обмен электронами данного объема с соседними объемами.
Аналогичная формула имеет место и для дырок:
57 + div jp = — урА [р/ — рх (1 — /)] + Ар, (12.2) здесь
Учитывая, что увеличение числа электронов в зоне проводимости в сумме с увеличением числа дырок в валентной зоне равно уменьшению числа электронов на ловушках, запишем
^^ = Yn-V [re (1 — /) — nJ] — урА [р/ — Р1 (1 — /)]+А/,
(12.3)
где Rf = А„ — А, — скорость генерации электронов на ловушках нетепловым способом (например, за счет оптических переходов с валентной зоны на ловушки). В уравнении (12.3) отсутствует член, учитывающий обмен с соседними областями, так как электроны на ловушках локализованы, и поэтому не обладают подвижностью.
Изменив знак в левой и правой частях уравнения (12.2), а затем сложив (12.2) с уравнениями (12.1) и (12.3), получаем более простое уравнение
у [та + А/— р] + div (jn — jp) = 0,(12.4)
которое выражает законы сохранения полного заряда. В дальнейшем вместо уравнения (12.3) будем пользоваться уравнением (12.4).
Входящие в уравнения (12.1), (12.2) и (12.4) потоки электронов и дырок соответственно равны
jn= -repnE-AnVre,(12.5)
jp = рцрЕ-ApVp.(12.6)
Чтобы сделать систему уравнений для волн пространственного заряда полной, необходимо дополнить уравнения (12.1) — (12.6) уравнениями для электрического
доля:
div[e(jp-j„) + ^^] = O, (12.7)
rotE = 0.(12.8)
Последнее уравнение, вообще говоря, является приближенным, так как переменное во времени магнитное поле отсутствует только тогда, когда выполняется равенство
\ । е ЗЕ п
edp-J^ + ^gr =0.
Мы же требуем равенства нулю только дивергенции этого выражения.
Нетрудно убедиться, что система уравнений (12.1) — (12.8) имеет простое решение:
Е = Е0, р = р0, п = п0, / = /о,(12.9)
где Ео, р0, п0, f0 — постоянные величины, не зависящие ни от времени, ни от координат, причем Ео определяется величиной внешнего электрического поля, р0, п», f0 определяются из уравнений
Y„Mne(l - /о) - njj = Rn,IpNlpofo - р,(1 - /о)] = R„По + Nf0 = р6.
Если внешние источники отсутствуют: Rn = Rp = 0, то очевидно, что величины п0, р6 и /0 равны своим термодинамически равновесным значениям.
Решение (12.9) соответствует протеканию через образец постоянного тока, равного
jo = е(р0Цр + П„ЦП)Е„ = оЕ„.
Покажем, что решение становится неустойчивым при некотором значении электрического поля Ео. Для этого линеаризуем систему уравнений (12.1)—(12.8), положив
р = ро + р, п = п6 + п, f = fo + f, Е = Ео + Е.
Для простоты рассмотрим одномерный случай, когда все величины зависят только от одной координаты
2, которая отсчитывается вдоль внешнего электрического поля Ео. В этом случае линеаризованная система уравнений (12.1)—(12.8) примет вид
$- + ^ = - Т»^ [(1 - /о) ” - ("о + ”1) 7] =
= - у„[н-ЛГр„7], (12.10)
^ + ^ = - YЛ VfoP + (Ро + Р1Ш =
--^P[p + NM], (12.11)
;„ = — пипЕ0 — п0^Е — Dn^,(12.12)
jp = 7;цЛо + РоНЛ Dp -^,(12.13)
д#&-7„) + ^'} = 0,(12.14)
Уравнение (12.8) при этом удовлетворяется тождественно. Система уравнений (12.10)— (12.15) описывает волны пространственного заряда в дрейфующей электронно-дырочной плазме с учетом процессов прилипания электронов и дырок на одном сорте ловушек.
Прежде чем перейти к анализу неустойчивости, упростим несколько систему уравнений (12.10) —(12.15) следующим образом. Так как решение системы (12.10) — (12.15) мы будем искать в виде exp i(cot — ^г), то уравнение (12.14) при этом приобретает вид (при к* О')
4^ Е 4- е 0р - у„) - 0.
Подставляя в это уравнение выражения для потоков электронов и дырок и решая затем полученное уравнение относительно Е, находим
g ^(м+м^-^^-Рр^6)
ва>с + ио'
где сос = 4ла/е— максвелловская частота релаксации. Для не слишком низкоомных образцов со, > со, поэто-
му в знаменателе выражения (12.16) можно пренебречь величиной со. Это приближение эквивалентно пренебрежению током смещения в уравнении (12.14), и в этом случае оно сводится к уравнению
dz dz ’
которое обычно называют условием квазинейтралъно- сти. А при этом уравнение (12.15) приобретает вид
n+Nf-p = 0.(12.17)
Вычитая из (12.10) (12.11), используя условие квазинейтральности, а также уравнение (12.17) для исключения величины f, находим
1ю(.п — р) =
= —Iv„(l + ^„) + ^pvp]k + [vp(l + ^р) + ^nvn]р. (12.18)
При этом мы учли, что все величины зависят от времени экспоненциально е*"'. В уравнении (12.18) введены следующие обозначения: у„ = А^„(1 —/0)— частота захвата электронов на ловушки, vP = N^pf6 — частота захвата дырок на ловушки,
„% + ”i R _ р0 + рх
Рп АГ(1-/0) ’ Р” Nf0 •
Из уравнения (12.18) имеем р^хп, где
г<о + уп(1 + рп) + ррур i<o + vp(l + Pp) + Pnyn-
Пользуясь- уравнениями (12.10), (12.12), (12.17) и (12.16) при условии сос>со, а также соотношением p = xn, получаем следующее дисперсионное уравнение: D№kcp + хс„) +
+ IkvAcp — хс„) + v„(l + Р„ — х^„) -Нсо = 0, (12.19) здесь
г.Н„НР
У0 — Н^О, И — с „ _LC „’
~ Р^Р
D = — с -- П° ■ с - Р°
6 п "о + ^о ’ Р % + Ро ‘
Ниже мы подробно рассмотрим более простой случай рп = Рр = 0, который имеет место для образцов с большой концентрацией ловушек. При этом дисперсионное уравнение (12.19), записанное в порядке убывания степеней со, принимает вид
со2 + 1(ср — cjkuo — i^p + vn) — iDk2Ato —
— Iv„Vp + Dl^^Cn + VpCp) — гкиЛ^рСр — v„c„)] = 0.
Это дисперсионное уравнение в безразмерных величинах
х = ср — сп, к = к Р^—, й = —,Р' Vn + VpVn + V
принимает вид
Й2 + Й \Wxk — i (1 + Г2)] —
- 4- [(1 - г/2) + tiW (т + у) + № (1 + ху)] = 0.
(12.20)
и параметров полупроводника z и у[1 — у2 + 2Л-2 (1 + zy)] (1 + fc2)2(12.21)(z + У) (у — » — ^к^А к2рассматривать только случай у > 0. Дляи параметров полупроводника z и у[1 — у2 + 2Л-2 (1 + zy)] (1 + fc2)2(12.21)(z + У) (у — » — ^к^А к2рассматривать только случай у > 0. ДляСистема будет неустойчивой, если при заданных параметрах и некотором вещественном значении волнового вектора Im й < 0. Используя критерий Раусса — Гурвица (Д.15), находим величину порогового поля (поля, при котором 1тй меняет знак) как функцию волнового вектора к
и параметров полупроводника z и у
[1 — у2 + 2Л-2 (1 + zy)] (1 + fc2)2(12.21)
(z + У) (у — » — ^к^А к2
рассматривать только случай у > 0. Для
и параметров полупроводника z и у
[1 — у2 + 2Л-2 (1 + zy)] (1 + fc2)2(12.21)
(z + У) (у — » — ^к^А к2
рассматривать только случай у > 0. Для
Ж2
Ниже будем
у < 0 результаты будут теми же при одновременной замене х на —х и изменении направления дрейфового поля, так как уравнение (12.20), а следовательно, и уравнение (12.21) инвариантно относительно одновременного изменения знака у величин х, у, W.
Правая часть уравнения (12.21) должна быть положительной. Из определения параметров хну следует, что область их изменения есть — 1 ^ у ^ 1, — 1 ^ х С 1.
В этой области числитель выражения (12.21) всегда
А. М- Федорченко, Н. Я. Коцаренко
положителен. Знаменатель положителен при любом значении К в области, заштрихованной на рис. 18. Очевидно, что в этой области возможна неустойчивость.
На рис. 19 приведены значения к?, при которых Wn
имеет минимум. На рис. 20 а, б, в, г сплошными кривыми показаны соответствующие значения W®.
Для определения характера неустойчивости применим критерий, согласно которому неустойчивость будет аб
солютной, если два корня &8(со), соответствующие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях, имеют точку ветвления в нижней полуплоскости Q.
Из (12.10) следует, что существуют две волны пространственного заряда кАй), k2(Q), которые распространяются в противоположных направлениях, хотя их фазовые скорости при этом могут иметь одинаковый знак. Следовательно, если хоть одна из точек ветвления лежит в нижней полуплоскости переменной Q, не-
устойчивость будет иметь абсолютный характер, в противном случае — конвективный. Уравнение для нахож- жения точек ветвления получается из совместного решения уравнения (12.20) и уравнения, полученного из
Рис. 20.Рис. 20.
Рис. 20.
Рис. 20.
дифференцированием по к. Исключая из этих уравнений к, получаем уравнение третьей степени относительно Q:
Q3 + ta,Q2 + h2Q + to, = 0,(12.22)
где
а^-У^З + ^ + У^у),
аг = -V2172W2x(x + у) + (1 + ху) + 72(1 - у2)1,
а3 = 7S[(1 - у2)(1 + ху) + ‘ЛИ72^ + уУК
Используя критерий Раусса — Гурвица, получим следующее условие отрицательности мнимой части одного из корней уравнения
F = (W‘A + W2B + 0^0,(12.23)
где
А = хЧх + у),
5 = 4[ 2х2 + Чкх3уг + х3 у — 74у2 + хуА,
С = 16[ 1 — 74у2 + ху + 74а:2у2] > 0.
Уравнение F — О определяет те значения поля, при которых мнимая часть точки ветвления меняет знак, т. е. конвективная неустойчивость переходит в абсолютную.
На рис. 20 а, б, в, г приведены значения И72, соответствующие переходу конвективной неустойчивости в абсолютную (штриховые кривые), полученные из уравнения F = 0. Как уже говорилось, сплошные кривые соответствуют минимальным по й2 значениям электрического поля, при которых возникает неустойчивость. Следует иметь в виду, что все результаты этого параграфа имеют смысл для полей, при которых несуществен разогрев носителей.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
при уменьшении параметра у по абсолютной величине область неустойчивости по х сужается. Другими словами, чем ближе по величине времена захвата на ловушки электронов и дырок, тем меньше должна быть разница концентрации, чтобы можно было наблюдать неустойчивость;
минимальный порог абсолютной неустойчивости всегда выше минимального порога конвективной неустойчивости, т. е. при увеличении электрического поля сначала будет наблюдаться конвективная неустойчивость, а затем абсолютная. Исключение составляет область значений 0 < х < 78у, когда при достаточно больших электрических полях абсолютная неустойчивость снова переходит в конвективную;
минимальные пороги обоих типов неустойчивости увеличиваются с уменьшением у, причем для каждого значения существует оптимальное значение х < О, при котором порог минимален. Наиболее низкий порог будет наблюдаться, если время захвата на ловушки
одного типа носителей будет гораздо больше времени захвата для другого типа носителей и при этом концентрация этих последних должна преобладать, т. е. сп или ср должна быть близкой к единице.
Рассмотрим теперь влияние на характер неустойчивости размеров образца. Так как дисперсионное уравнение (12.20) имеет два корня относительно величины к, то общее решение для переменной части электронной плотности имеет вид
n = C1e-iftiz+C2e-iV,n = C1e-iftiz+C2e-iV,(12.24)(12.24)
n = C1e-iftiz+C2e-iV,
n = C1e-iftiz+C2e-iV,
(12.24)
(12.24)
здесь kv и кг — размерные волновые числа.
Пусть образец занимает область 0 ^ 2 ^ L, причем на обоих концах контакты омические, т. е. п(0) = = n(D = 0. Подчиняя решение (12.24) этим граничным условиям, получаем
С, + С2 = 0,C^i1- + C2e'ik»L = 0.
Эта система имеет отличное от нуля решение только в случае, когда
е-^- ^<^ = 0.
Откуда находим
kvL — кгЬ - 2л5,
где S = ±1, ±2, ..., или в безразмерном виде,
кт -X = 20s = -^ /^=.(12.25)
Кроме того, по теореме. Виетта из уравнения (12.20), рассматривая его как уравнение относительно к, получаем
ki + кг = Wki + кг = WRa — ^/д (ж + у) т + v2 (1 + ^’/) ’Ra — ^/д (ж + у) т + v2 (1 + ^’/) ’(12.26)(12.26)
ki + кг = W
ki + кг = W
Ra — ^/д (ж + у) т + v2 (1 + ^’/) ’
Ra — ^/д (ж + у) т + v2 (1 + ^’/) ’
(12.26)
(12.26)
12i£2 + 1/3 (1 ягу)
Эти уравнения совместно с условием (12.25) определяют собственные частоты ограниченного образца. Исключая из системы уравнений (12.25) и (12.26) ^и^, получаем уравнения для собственных частот ограни-
ченного образца с омическими контактами:
Й3 + г^Й2 + а^ + ia3 = 0,(12.27)
Я1 = Ai ps,
а2=а2-Ря(1+^),(12-28)
«3 = «3 + ^iPs (1 + ед)2,
где а,, а2, а, те же, что и в уравнении (12.22). Образец будет абсолютно неустойчив, если 1щ Й < 0. Применяя критерий Раусса — Гурвица к уравнению (12.27), находим уравнение пороговой кривой
Fl = F + р2 ^2^_(2д: + у + ^ (1 +р2} (1 + ^ +
где F — функция, определяемая уравнением (12.23), С— величина та же, что и в уравнении (12.23).
На рис. 20, а, б точками показаны пороговые кривые для ограниченного образца (Ps полагалось равным единице), откуда следует, что пороговое поле с уменьшением длины образца возрастает. Если Ps^l, то можно пользоваться теорией для неограниченного образца.
Винтовая неустойчивость в полупроводниках
Винтовая неустойчивость проявляется в эксперименте в виде колебаний тока в цепи, содержащей полупроводник, если в полупроводнике светом или инжекцией создана электронно-дырочная плазма и при этом к полупроводнику приложены достаточно сильные параллельные электрическое и магнитное поля. Обязательным условием возникновения неустойчивости этого типа является также наличие носителей двух знаков и ограниченные поперечные размеры. Впервые экспериментально винтовая неустойчивость в полупроводниках наблюдалась в работе [481. Теоретическое объяснение этой неустойчивости для газовой плазмы было дано Кадомцевым и Недоспасовым [49] и обоб-
щено на случай твердотельной плазмы в работах [50, 211.
В этом параграфе будет проанализирован характер винтовой неустойчивости, определены области конвективной и абсолютной неустойчивостей в зависимости от параметров системы, а также порядок рабочих частот генераторов и усилителей, которые могут быть построены на основе винтовой неустойчивости).
Рассмотрим бесконечный полупроводниковый цилиндрический образец радиуса а, к которому приложены параллельные электрическое и магнитное поля Ео = {0, 0, Яо}, Но = {0, 0, Яо). В гидродинамическом приближении при условии v± » со (v_ и v+ — эффективные частоты столкновений электронов и дырок соответственно) исходная система уравнений имеет вид
— Е -|— v_ X Но + V—V— Ч^— Vn = 0,
— Е Ч — v+ X Но — v+v+Vp = 0, т+ 1 т+с +0+ Pom+ F
divE = — 4ле (п — р),(13.1)
rotE = 0,
— e-|2- + divj_ = 0, e-|| + divj+ = 0,
где По, Ро — равновесные и п, р — переменные плотности электронов (дырок) соответственно, остальные обозначения общепринятые. Рекомбинацией в объеме и захватом на ловушки пренебрегаем.
Введем обозначения h = Но/Яо, у = цЯ0/с; D = = Тр,/е, ц = е/т-Ч- — подвижность электронов; Ъ = = т+^+/т.-^- — отношение подвижности электронов к подвижности дырок. В этих обозначениях уравнения движения для электронов и дырок примут вид
v_ + yv_ xh= — цЕ — —Vn, "о
v+-VV+Xh = ^-E-^-Vp.
Откуда, решая их относительно v_ и v+, получаем
V- =V- =-L-^pE-P^ + ^pE + D^xh--L-^pE-P^ + ^pE + D^xh-
V- =
V- =
-L-^pE-P^ + ^pE + D^xh-
-L-^pE-P^ + ^pE + D^xh-
(13.2)
\° /J
v+ = <2
ь(ь +у) L v pJ
+ 6«(иЕ - D^ h +»«b(pE, - 2- f)].
В стационарном состоянии E = {О, О, Ео), Н = = {0, 0, Яо), п = По, р = р«, поэтому
v- = -hp£0, v+ = h-^-,
т. е. по образцу протекает постоянный ток j0 = = ер,Е0 (п0 +-y-jh. Считая отклонение от стационарного состояния малым, линеаризуем систему уравнений (13.1), в которой нелинейными являются только уравнения непрерывности для дырок и электронов. Уравнения непрерывности принимают вид
(13.3)(13.3)77 “ ^о 5 + ^div v- = °’"Qt+—b"~^ + podiw+ = 0.
(13.3)
(13.3)
Систему уравнений (13.2) и (13.3) будем решать при следующих краевых условиях, записанных в цилиндрической системе координат:
/7 =7^=0
при г = а, т. е. ток электронов и дырок на стенки цилиндра каждый в отдельности равен нулю. Это означает большую скорость рекомбинации электронов и дырок на стенке, когда каждый подошедший к поверхности носитель тока рекомбинирует. Так как j = —erlv,
S is. Винтовая неустойчивость в полупроводниках 121
то условия /г = у г = 0 эквивалентны условиям ит — = у, = 0 при г = а или, с учетом (13.2), условиям
д9гд9г= 0,= 0,У о г д<рУ о г д<р(13-4) г = а.(13-4) г = а.
д
9г
д
9г
= 0,
= 0,
У о г д<р
У о г д<р
(13-4) г = а.
(13-4) г = а.
где V— потенциал электрического поля |Е = — V У'- Из системы (13.3) с учетом (13.2), получаем сле
дующие уравнения для переменных п, Р и V:
Эп _ Эп ,
^(-^Я^-2^)-0' (1ад
ар . р£0 ар dt ' b dz
Р»ь (ь2 + У2)Р»ь (ь2 + У2)'^A+y^VpV + ^f )=°, ldz2 \1О /
Р»ь (ь2 + У2)
Р»ь (ь2 + У2)
AV = ^(n-Py
Решение системы (13.5) ищем в виде
п = n0CVm(Apr) exp i(wt — тф — Az),
р = p0CJm (к^ exp i (cot — тф — Az), (13.6) У = CJm (k^r) exp i (tot — тф — Az).
Подставляя (13.6) в (13.5), получаем следующую систему уравнений относительно С,, С2, С3:
Ст i (Q + Л) + 1£-.1 - С3 (1 -) = 0’
1 + у2 (1 + У /
(13.7)
С2 i(QС2 i(QQc (Сг — уС2) — (р2 — 1) С3Qc (Сг — уС2) — (р2 — 1) С3= О,Ь IVь)
С2 i(Q
С2 i(Q
Qc (Сг — уС2) — (р2 — 1) С3
Qc (Сг — уС2) — (р2 — 1) С3
х С3 = о,
где введены следующие обозначения:
у = ^, q = 4-, л = 4^-,Г "оk Dкгп ’
кгО6
Вследствие большой проводимости образца Qc > Q, Л _О Л
и можно пренебречь членами порядка ~q~« -q- по сравнению с единицей. В результате из системы уравнений (13.7) получаем следующее биквадратное уравнение для р:
Р‘62(1 + у) - p2{iQ6[6(y + 6) + у2(1 + уЬ)] +
+ гЛ[62(у- 1) + у2(у62—1)1 +
+ (у + 1)[р2 + у2 + 62(1 + у2)]} +
+ (l+y2)(62 + y2)[iQ(y + 6) +
+ ?Л(у-1) + у + 11=О.(13.8)
Следовательно, решение системы (13.5) можно записать в виде
п = р = п0 VS^^Im (АДг) +
+ 52Cg2Vm (/cp2r)] exp I (со? — шер — Az), (13.9) V = А №т^М+
+ C^Im (/cp2r)] exp i (со? — шер — к^,
а р12 — корни уравнения (13.8) с различными действительными частями.
Удовлетворяя решение (13.9) краевым условиям (13.4), получаем следующее дисперсионное уравнение: (i — 5i) (у + 52) [к^а/т (kfaa) + imylm (Лр^)] X
X [bkp2a/m (кр2а) — imylm (&р2а)] —
— (1 — -S2) (у + 5г) V$2aZm (к^2а) + imylm (Zcp2a)] X
X ibk^alm (к^а) — imylm (Ар^)] = 0, (13.10)
где Imto — функция Бесселя мнимого аргумента т-го порядка.
Ограничимся случаем |Аф1>2а1 « 1. В этом случае функции Бесселя можно разложить в ряд. Сохраняя первые два члена разложения и исключая р112, дисперсионное уравнение (13.10) можно представить в виде
№-А:о)2-а(со-соо) = О,(13.11)
где к0, а и <в0 выглядят следующим образом:
,• ^о^г■1 Фз
°^(i + y)/^/ а о+т)/)»;
(13.12)
„, 41т1(1 + |ш|)(1+7)Д 11^Ф2
0а2ф3 + 4 (1 + у) Д ф1ф3 ■
Здесь
Ф1 = Ф1 + 1ф1 =
= 4 + 2|m| + y2|m|('l + -^-') + i-q2y ('А + й \ b /\ 0/
ф2 = Ф2 + 1ф2 =
= (2 + I m I) (1 — у) + У21 m I ^ — у) + т2у(у +4")’
, „(13ЛЗ)
Фз = Фз + ^фз =
= (2 + | т I) (у + Ь) + у21 т | (у + -A-j + й\2у (1 — у).
Дисперсионное уравнение (13.11) совпадает с уравнением (4.3), проанализированным в § 4. Как следует из результатов этого параграфа, в системе, описанной дисперсионным уравнением (13.11), имеют место абсолютная неустойчивость при условии
Im соо < 0(13.14)
и конвективная неустойчивость (усиление) при
0 < Im (в0 <0 < Im (в0 <(Im ^о)-2 . — Im а "(Im ^о)-2 . — Im а "(13.15)(13.15)
0 < Im (в0 <
0 < Im (в0 <
(Im ^о)-2 . — Im а "
(Im ^о)-2 . — Im а "
(13.15)
(13.15)
(Im
При Im соо > _ Im а система устойчива.
Используя выражения для а>0, к0 и а (13.12), условия (13.14) и (13.15) перепишем в виде
№D2№D2н^2\D2 )н^2\D2 )порогпорогконвконв= Ч\ (у, а, 6, ш)= Ч\ (у, а, 6, ш)(13.16)(13.16)
№
D2
№
D2
н^2\
D2 )
н^2\
D2 )
порог
порог
конв
конв
= Ч\ (у, а, 6, ш)
= Ч\ (у, а, 6, ш)
(13.16)
(13.16)
для порога конвективной неустойчивости и
= 1^2 (у, а, 6, ш)|= 1^2 (у, а, 6, ш)|(13.17)(13.17)и2^2 №02"2)
= 1^2 (у, а, 6, ш)|
= 1^2 (у, а, 6, ш)|
(13.17)
(13.17)
n2I rj2 у
U\ и /порог
абс
для порога абсолютной неустойчивости, причем в последнем случае должно быть Чг2(у, a, b, т) < 0.
Функции Vi и Чг2 выражаются через величины, определяемые формулами (13.13) и имеют вид
^ = 161 m | (1 + | m | )(1 + у)2 М^ + ^Л,
(ф2Фз — ФгФз/
^ = 16|m| (1-|-|m| (1 + у)2 х(13.18)
, / ,2 ."2\
Фз (Ф1 + Ф1 )
(фг2 - фГ) (Ф1Фз — Ф1Фз) + 2ФзФг (ф1Фз + Ф1Фз)
Подставляя (13.13) в (13.18) можно убедиться, что функция Vi является положительной, монотонно убывающей фукцией у и при больших у стремится к постоянной
Ут Ь>1 = 4^(1 + IЩI) ^ + П2 ^±7^ +Л (13.19)
Y (1+6)
а при слабых магнитных полях у < 1 имеет вид
уйуй"k*1"2Y2(l + 6)4 ‘
уй
уй
(13.20)
Результаты численного расчета (р2£о®2/^2)порог
КОНВ
для Ъ = 2 приведены на рис. 21—23. Область между пунктирной и сплошной кривой соответствует конвективной неустойчивости, а области выше сплошной кривой — абсолютной неустойчивости.
§ 13, ВИНТОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 125
Рис. 22.
Область абсолютной неустойчивости определяется видом функции Т2. Как следует из определения (13.18), T2 при у» 1 и у«1 положительна, т. е. абсолютная неустойчивость отсутствует. Так, наппимер,
для у = 0,1 и у = 2 (рис. 21) Чг2(у)>0 и в системе может иметь место только конвективная неустойчивость. Из формулы (13.18) легко получить значение Т2 при у» 1 и у« 1:
^2 |V>1 = -/TV 16 (1 + I m |) (1 + ?)2 > О,
(13.21)
^2 ki = 32> о, (13.22)
т. е. при слабых (у<с|1 —у|, 1) и сильных (у > 1) внешних магнитных полях абсолютная неустойчивость отсутствует. Значения (ц,2^оаа/^2)порог для у = 0,5 абс
приведены на рис. 22. При у «1(11 — у|<Су<С1) формула (13.22) несправедлива. Для этого случая из
(13.18) получаем
Y,l?«i =
64(1 + 1^1) 2(2+| in D + у2 | m ।64(1 + 1^1) 2(2+| in D + у2 | m ।22
64(1 + 1^1) 2(2+| in D + у2 | m ।
64(1 + 1^1) 2(2+| in D + у2 | m ।
2
2
Чгг1т»1<0 при 0<уа<у2.Чгг1т»1<0 при 0<уа<у2.
Чгг1т»1<0 при 0<уа<у2.
Чгг1т»1<0 при 0<уа<у2.
где
2 = _ (m2 + 2 | m ] + 2) (1 - 1/b)2 - 4/6
. V[(m2 + 2 | m 1 + 2)(l-l/b)2-4/b]2 + 8'm I (2 + |m|)(l-l/b)2(l+l/b2) пг2 (1 + 1/62) (1 - 1/6)2
причем y2>0, yl<0. Как следует из формулы (13.23)
ется, т. е. область абсолютной неустойчивости для моды |тп|=1 перекрывает области абсолютной неустойчивости всех высших мод (см. рис. 21). Таким образом, раньше всех возбуждается мода Iml = 1, так как порог для нее самый низкий.
<о21Е<о2<о21Е<о2(<о — to)2 (го 4- to)2(<о — to)2 (го 4- to)2
<о2
1Е
<о2
<о2
1Е
<о2
(<о — to)2 (го 4- to)2
(<о — to)2 (го 4- to)2
На рис, 24 приведена кривая ^(у, у) +=0
/рЕ а\2
для | m | = 1,1 —^ -I = 100. Точки внутри области этой кривой соответствуют значениям параметров у и у, соответствующим абсолютным неустойчивостям. Соответствующий порог по электрическому полю можно вычислить по формуле (13.17), а для значений параметра у = 0,5; 1 и произвольном у этот параметр может быть найден непосредственно из рис. 22.
На рис. 25 приведена функция Re ю0 =-=/ (т, Ь, у, у) а
для абсолютной неустойчивости при пороговых значениях электрического поля. При D = 100 см/с2, а = «0,1 см, Re <Do ~ (10’—10°) с-1, т. е. колебания являются низкочастотными.
§ 14. Анализ дисперсионного уравнения для двух встречных пучков
или в безразмерных величинах
(ж2 - у2)2(ж2 - 2а2) - 2(1 - a^W + у2) = 0, (14.1)
гдегде/4ле2яь- / 4ле2я
где
где
—~» шр = I/ —— лэнгмюровские
частоты потока и плазмы соответственно; у — скорость
электронов;
2<о22 = акУ й =.
to2 + 2to2 ’to2 + 2to2 ’to2 + 2to2 '
Дисперсионное уравнение (14.1) представляет собой алгебраическое уравнение третьей степени относитель-
НО ж2
Xе - 2(1 + y2V + уЧу2 + 2(3а2 - 1)1я2 - 2aV = 0, (14.2)
которое имеет три корня ж2, х^, х2. Система будет устойчивой только тогда, когда все три корня — действительные положительные числа. Для этого необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, дискриминант бикубического уравнения (14.2) был отрицательным, что означает, что все корни уравнения (14.1) действительны; во-вторых, все три корня должны быть положительными, и поэтому должны выполняться условия
^1 + ^2 + -Ь'з — 2 (1 + у2) > и, ^^ = 2а2у4>0,(14.3)
*1*2 + *1*з + *2*3 = У2 [У2 + 2 (За2 — 1)1 > о.
Дискриминант бикубического уравнения (14.2) имеет вид
/24г2
D = - у [(у2 - 2)3 + (У2 - 2)2 -
_ | Г2 (9 - г2) (у2 - 2) - ^ (9 - г2)] < 0,
где г2 = 9(1 — а2), причем 0 С г2 С 9, так как 0 ^ a2 ^ 1. В случае, если хоть одно из этих условий не выполняется, уравнение (14.2) имеет комплексные корни, а так как его коэффициенты действительны, то всегда имеются комплексно сопряженные корни и, следовательно, система неустойчива.
На рис. 26 заштрихованная область ниже кривой соответствует значениям параметров у2 и г2 = 9(1 —а2), при которых система неустойчива, т. е. это область значений тех параметров, при которых либо дискриминант бикубического уравнения (14.2) положительный, либо дискриминант отрицательный, но не выполняется третье из неравенств (14.3) (первые два выполняются всегда). В последнем случае один из корней zg отрицателен (эта область на рис. 26 заштрихована дважды) и, следовательно, неустойчивость носит апериоди-
9 д. м. Федорченко, H. Я. Коцаренко
ческий характер, так как частота чисто мнимая;
Таким образом, из рис. 26 следует, что система неустойчива при любых возможных значениях параметра ^(О^Н^Э) и при значениях безразмерного волнового вектора у2 < Ушах = 6.
Рис. 26.
Для того чтобы выяснить характер неустойчивости, необходимо решить (14.2) относительно у:
,1 Г . , 1 — а2 + /(1 — а2) (1 + 4з2 - 9а2)
»= ± «У 1 +=—ST^•
(14.4)
а затем найти точки ветвления функции (14.4) в нижней полуплоскости и установить, каким волнам принадлежат эти точки.
Из (14.4) следует, что точками ветвления функции у(ж) являются
^ = - /_2, хг = /2,
я3 = а/2, ж4 = -а/2, Кэа2 — 1К9а2 — 1
Хь - g2'
При а2 > 1/9 неустойчивость носит конвективный характер, так как в нижней полуплоскости точки ветвле-> ния отсутствуют вовсе.
При а2 < 1/9 одна из точек ветвления лежит в нижней полуплоскости; если в этой точке совпадают две волны, идущие в противоположных направлениях, то неустойчивость будет абсолютной.
Рассмотрим для простоты частный случай а2 = 0 и покажем, что в этом случае неустойчивость носит абсолютный характер *).
Для этого необходимо показать, что в точке ветвления, лежащей в нижней полуплоскости х (рис. 27), совпадают две ветви, соответствующие волнам-, распространяющимся в противоположных направлениях.
1тл
I Re г
(2,4)1
' 2
Рис. 27.
Четыре ветви уравнения (14.4) обозначим следующим образом:
У1 = j^l + хг + ]/Ч + 4хг, у2 = У1 + хг — V1+4ж2
(14.5)
Уз = — У 1+ж2+]/1 + 4г2, у4= — У 1+ж2— ]/Ч+4;г2.
Приж-> оо lim——•= lim ——>0, hm——= hm<гXXXz
< 0, поэтому волны с индексом 1, 2 — попутные волны, волны с индексом 3, 4 — встречные. Покажем что в точке ветвления — г/2 совпадают две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях,
*) В более общем случае (0 < а2 < 1/9) рассуждения те Же, но более громоздкие,
9*
а именно, волны 2 и 4, а также 1 и 3. Будем совершать аналитическое продолжение функции у^х") и уЛх) из бесконечно удаленной точки в точку —i/2 по пути, изображенному на рис. 27. Так как функция уЛх) на этом пути не имеет точек ветвления, то сразу
/а Уз
находим у41 — у I = — —.
Функция у2(ж) в бесконечно удаленной точке имеет вид
у2(д:) = ж(1 —у + ...), ж->оо,
а в окрестности точки ветвления х = У 2 имеет место следующее разложение:
^=1^- W'y х> /2.
При яС У2Сг — У2) = (У2 — ж)е~<я (см. рис. 27), поэтому
у, = -С^№-хТу....у, = -С^№-хТу....х ^ ]/2.х ^ ]/2.
у, = -С^№-хТу....
у, = -С^№-хТу....
х ^ ]/2.
х ^ ]/2.
Следовательно, на всем отрезке 0<ж^У2 функция y^xt принимает отрицательные мнимые значения:
У г И = — i V V1 + 4ж2 — 1 — ж2.
При ж«1, уг«—1х, т. е. если 0 > Im х > —V2, то функция у2(^) принимает действительные отрицательные значения, и поэтому должно быть
Таким образом, мы доказали, что в нижней полуплоскости в точке — у совпадают две ветви дисперсионного уравнения (14.5), соответствующие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях, а именно, ветви уг и yt. Следовательно, неустойчивость абсолютная.
Аналогично можно показать, что в этой точке совпадают также ветви у, и у3. Отметим, что если бы мы не пользовались аналитическим продолжением и воспользовались бы непосредственно формулами (14.5), то получили бы уД— ^ = у2(— -1); уэ^— 1) = (i \
— 2" I, т. е. прямо противоположный результат. Это связано с тем, что знаки корней, встречающихся в (14.5), мы фиксируем в бесконечно удаленной точке, поэтому в таком виде формулы справедливы только в окрестности этой точки с радиусом, равным расстоянию до ближней точки ветвления. Правильная нумерация корней во всей области комплексного переменного (о требует применения методов аналитического продолжения. Продолжать, конечно, можно по разным путям. В частности, можно выполнить продолжение по дуге бесконечно большого радиуса, а затем по отрицательной мнимой оси. Этот путь на рис. 27 отмечен пунктиром. Нетрудно убедиться, что результат будет тот же. Резюмируя, можно сказать следующее. Рассматриваемая нами система абсолютно неустойчива при О < а2 < 1/9, причем абсолютная неустойчивость носит апериодический характер; конвективно неустойчива при -^ < а2 < 1, У2 < Утах = 6, причем Утах = 6 ДОстигается при а = д-.
2. Выше был рассмотрен простой случай, когда оба электронных потока имеют одинаковую плотность и противоположно направлены, но равны по величине скорости. Именно этот случай допускает аналитическое рассмотрение, без применения машинного счета. Более общим является дисперсионное уравнение следующего вида:
5(G), /с) = 1-4 <05(G), /с) = 1-4 <0(со — ки^2(со — ки^2—— = 0.(ш 4- kv^2(14.6)—— = 0.(ш 4- kv^2(14.6)
5(G), /с) = 1-4 <0
5(G), /с) = 1-4 <0
(со — ки^2
(со — ки^2
—— = 0.
(ш 4- kv^2
(14.6)
—— = 0.
(ш 4- kv^2
(14.6)
Решая совместно уравнения
D (со, к) = 0, Dx (со, Ц = О,
находим шесть точек ветвления
(14.7)
(
2 X1/3 exp i , n = 1, 2, 3,
две из которых находятся в нижней полуплоскости. Однако теперь из уравнения (14.6) мы не можем получить аналитические зависимости /с(со), как в рассмотренном выше более простом случае, и приходится пользоваться численными методами.
Для этого поступим следующим образом: из (14.6) найдем четыре корня в окрестности бесконечно удаленной точки
(14.8)(14.8)
(14.8)
(14.8)
а из (14.7) найдем Im со„ = соо тех точек ветвления, которые лежат в нижней полуплоскости. Затем с помощью (14.6) находим четыре корня этого уравнения как функции комплексной частоты со = соо + ix, двигаясь из бесконечно удаленной точки вдоль прямой (рис. 28) в исследуемую точку ветвления. Причем при больших со можно пользоваться приближенными формулами (14.8), а затем точным дисперсионным уравнением (14.6) с применением машинного счета. Направление распространения волн устанавливается с помощью разложения (14.8). Выбирая достаточно малый шаг по х и пользуясь соображениями непрерывности, выясняем, какие из четырех ветвей совпадают в выбранной нами точке ветвления. Тем самым устанавливается характер
неустойчивости. В рассматриваемом случае расчет показывает, что в точке (01 совпадают корни yt и ук а в точке со2 — у, и уг (см. рис. 28), следовательно, неустойчивость абсолютная.
Очевидно, эта же методика применима и в других случаях независимо от вида дисперсионного уравнения.
А^=1то
“1“1• “5
“1
“1
Rew
• <Э2tig• <Э2tig
• <Э2tig
• <Э2tig
Рис. 28.
Особенностью рассмотренной системы является двухсторонний характер ее конвективной неустойчивости. Следовательно, при экспериментальном определении характера неустойчивости возникает вопрос: как отличить абсолютную неустойчивость от конвективной двухсторонней. По-видимому, можно воспользоваться тем, что абсолютно неустойчивая система не усиливает слабых сигналов, в то время как рассмотренная система способна усиливать слабые сигналы с обоих концов.
Следует отметить, что, как показано в работе [531, в ограниченных пучках существует два типа волн пространственного заряда (сокращенно ВПЗ). Первый тип ВПЗ является потенциальным, т. е. rot Е = 0. Наличие границ пучка практически не сказывается на свойствах ВПЗ первого типа. Их электрическое поле, как и в безграничном случае, практически все сосредоточено внутри пучка и не проникает наружу. В связи с этим изучение взаимодействия этих пучковых волн должно проводиться с помощью взаимодействующих пучков. Как раз об этом типе волн шла речь в этом параграфе.
Другим типом волн пространственного заряда в пучке являются электромагитные поверхностные волны, которые могут существовать на границе вакуум — среда с отрицательным е(со). Если скорость движения среды с отрицательным е(со) значительно меньше скорости света, то дисперсионное уравнение для этого типа волн пространственного заряда будет практически совпадать с дисперсионным уравнением для волн первого типа, но с редуцированной, т. е. уменьшенной плазменной частотой. Электрическое поле таких волн в ограниченном пучке простирается достаточно далеко вне пучка, и благодаря этому можно наблюдать взаимодействие пространственно разделенных пучков.
§15. Взаимодействие криволинейных электронных потоков с быстрыми электромагнитными волнами
На возможность усиления электромагнитных волн криволинейными электронными потоками впервые было указано в работах [54—561 и экспериментально она подтверждена в работах [57, 581. Криволинейность траекторий электронов достигается за счет внешних электрических и магнитных полей. Преимуществом таких систем по сравнению с системами с прямолиней- выми потоками электронов является то, что в них возможно усиление незамедленных электромагнитных волн, а следовательно, отпадает необходимость в замедляющих структурах.
Ниже рассмотрено взаимодействие винтового электронного пучка электронов с TH- и Г^-волнами цилиндрического волновода.
Исходная система уравнений Максвелла и релятивистское уравнение движения электронов имеет вид
, тт 1 ЗЕ 4ле,1 ЗН
rotH==——рр, rotE =—,
с 9t с 1с at (15 1)
div Е = — 4ле (р — р0), div Н = О,
S + (W)v=
~-^V 1-^{Е+ Т’ X К-^<’ X Е>]. («-2)
где р и v — плотность и скорость электронов пучка, занимающего область а < г ^ Ъ.
Считая внешнее стационарное и однородное магнитное поле направленным по оси 2, нетрудно проверить, что
„2 2’<07, г„2 2’<07, гVrO = 0, Р<р0 = CDS (Г) Г, CDS (Г) = (Од
„2 2’
<07, г
„2 2’
<07, г
(15.3) vz<) = рц = const, р = pg = const, Е = 0; Н = {О, 0, Яо),
где Рн = и/с, сон = еЯ0/тс, есть стационарное решение уравнения (15.2). Стационарное решение (15.3) описывает электронный пучок, движущийся вдоль магнитного поля с постоянной скоростью pn и вращающийся с угловой скоростью со8(г). Зависимость угловой скорости от радиуса обусловлена релятивистскими эффектами.
Далее будем считать, что пучок, соосный с волноводом, занимает область а ^ г < Ъ, причем I & — а| <С а.
Решение для полей будем искать в виде /(г) X X exp Kat — гаер — kz). При этом из системы (15.1) можно получить следующие уравнения для Ег и Я,:
( Д± + Г2 — Е, = JE = £4ле (к — р — ^-° и. , \/\ с / с
(15.4)
( Дл + Г2 --J Я2 ==
\г /
4ле Г . н . 1 О ., ~л -
= — Фо 7 Ф + 7 7гг (р01.’<р + pp»0)], (1о->)
где Д± = — — г —, = — — к2, р — переменная плотность электронов, связанная с переменной скоростью v уравнением непрерывности: Р — 1 q div v* а скорость электронов выражается через компоненты электромаг-
нитного поля следующим образом:
Vr = —№#г + ШНХ (1 — Р® ) >ф),
е (toH)
(15.6)(15.6)Рф = ^г^- z3(i-en ^т
(15.6)
(15.6)
Uz = i7^^- Р11)2Ег - ^Нг - р„0±ЕФ].
В формулах (15.6) введены обозначения:
S т — Ет ~Ь P±^z —
- 0„ЯФ - /^^ [(1 -Й) Ег - № - М^ф],
^ф = (1 — pl) Яф + Рц Нт — Рц [З^Я, Q^-^-fc^, х = (1 —^ -Р1ГЛ
Как видно из формул (15.6), в рассмотренном электронном пучке существуют волны двух типов:
циклотронные волны с законом дисперсии Я2 =
волны пространственного заряда, закон дисперсии которых определяется из условия Q = ю- —fcV]=0. При рассмотрении циклотронных волн в системе (15.4)—(15.5) достаточно сохранить лишь члены, содержащие D2 в знаменателе. При этом компоненту vz можно положить равной нулю, а vr и иф будут связаны следующим образом:
УФ = iУг>®нх(1-Рц)
Член пюн/и в выражении для Q появился благодаря вращению пучка, поэтому волны с законом дисперсии Q = ±соя/х мы назовем циклотронными, так как в отсутствие вращения они вырождаются в обычные циклотронные волны прямолинейного пучка.
Получить точное дисперсионное уравнение для связанных волн в рассматриваемой системе практически невозможно, поэтому используем метод итерации, считая atlD2 = 4ne2p0/mZ>2 малой величиной. При этом система (15.4)—(15.5) может быть представлена в виде
Mz = № + № + о (4), ~, .х (15.7)
z = Q3HZ -|- Q^EZ + О (соь),
где операторы S’n и Qt имеют видгде операторы S’n и Qt имеют видх = Тг,х = Тг,
где операторы S’n и Qt имеют вид
где операторы S’n и Qt имеют вид
х = Тг,
х = Тг,
^Р2 И £О п
fiT2 xdz1^ <онх(1 — р2) X
X 1
Х/)2 \ di X X /
Смысл операторов Qi следующий: Qt и ^3 описывают взаимодействие циклотронных волн с TH- и ТЕ- волнами волновода соответственно, Qt и Qi описывают
связь TH- и 77?-волн, обусловленную наличием пучка. Так как эта связь порядка m^D4 (это видно из (15.7))/ то с той же точностью система (15.7) распадается на два независимых уравнения:
для связанных циклотронных волн и 777-волн
=(15.8)
для связанных циклотронных и 77?-волн
&„HZ = Zz = Q3HZ.(15.9)
Неоднородная система (15.8)—(15.9) записана для области пучка а^г^Ь. Для области вне пучка (г^ Са, 6 б г </?)/, и Л следует положить равными нулю.
Систему (15.8), (15.9) необходимо решать совместно с граничными условиями, заключающимися в непрерывности величин Ez, Е^, Н, — р^г, Н, + ^^ (при г = а, Ъ) ив обращении в нуль на металлической стенке волновода (г = R)EZ и Е,.
Решая уравнение (15.8) и подчиняя полученное решение граничным условиям, получаем дисперсионное уравнение для ТН-волн в виде (более подробные вычисления приведены в работах [59])
NnlTR) 2 тй 3 ххПЧ l хй ■ Та
(15.10)
Полагая в (15.10) TR = Рпт + 6(161 «Pnm) Рпт-ш-й корень функции Бесселя 1-Лх\ и сохраняя члены нижайшего порядка по соь для ленточного пучка kb — — а < а), получаем дисперсионное уравнение в виде
— постоянная распростране-— постоянная распростране-2 р2 где ке — ±
— постоянная распростране-
— постоянная распростране-
с2 л2
ния ТЯ-волн в металлическом волноводе, Я = 2ла((> —
а
- а)ер0Рц — ток пучка, u0 = -^-, anm==^-Pnm. Аналогично, решая уравнение (15.9) и подчиняя решение граничным условиям, получаем дисперсионное уравнение для ГЯ-волн:
к —к —<0„<0 — (п + 1) —М XI’ll<0„<0 — (п + 1) —М XI’ll“ozW“ozW
к —
к —
<0„
<0 — (п + 1) —М X
I’ll
<0„
<0 — (п + 1) —М X
I’ll
“ozW
“ozW
{(га + ^)апт^п^апт^ [” + (га2 ffnm)]^n (апт))2«2т--2)4«„){(га + ^)апт^п^апт^ [” + (га2 ffnm)]^n (апт))2«2т--2)4«„)(15.12)(15.12)
{(га + ^)апт^п^апт^ [” + (га2 ffnm)]^n (апт))2«2т--2)4«„)
{(га + ^)апт^п^апт^ [” + (га2 ffnm)]^n (апт))2«2т--2)4«„)
(15.12)
(15.12)
гдек=±1/ ^ рП (з-)-гдек=±1/ ^ рП (з-)-р'2,пт '~^Г’ Оптр'2,пт '~^Г’ Опт— ^ Рптч Рцт'— Ш-Й КОреНЬ— ^ Рптч Рцт'— Ш-Й КОреНЬ
гдек=±1/ ^ рП (з-)-
гдек=±1/ ^ рП (з-)-
р'2,
пт '
~^Г’ Опт
р'2,
пт '
~^Г’ Опт
— ^ Рптч Рцт'— Ш-Й КОреНЬ
— ^ Рптч Рцт'— Ш-Й КОреНЬ
Необходимо отметить, что дисперсионные уравнения (15.11) и (15.12) справедливы только в окрестности синхронизма циклотронных волн с электромагнитными волнами. Частоты синхронизма определяются из условия
<о—(п + 1)_кв,н (®) =
УП и соответственно равны
(»±Ч~±РцУ ("± !) ^-“nmO-P2 )to, = ,
(15.13) где со„т — критические частоты волновода anm=cPnJR ДЛЯ РЯ-ВОЛН, (Опт = cP'nm/R — для РЯ-волн. Следовательно, синхронизм возможен при условии (и ± ш2
± I)2 — ^ <й^т (1 — р2 ), что эквивалентно условию
(г^Уй*-?<15л4>
\ г пт /К
Вдали от отсечки к + кЕ, и ~ 2кЕ, н и дисперсионные
уравнения (15.11), (15.12) принимают вид дисперсионных уравнений для двух связанных волн:
/<0 — (п + 1) —- | к±
<к-кЕДк(15.15)
\У|1/^Е^с)
(к кн^(к кн^<о — (п + 1)-^ кL<о — (п + 1)-^ кL—г-= Ан. (15.16)—г-= Ан. (15.16)
(к кн^
(к кн^
<о — (п + 1)-^ кL
<о — (п + 1)-^ кL
—г-= Ан. (15.16)
—г-= Ан. (15.16)
Верхний знак в (15.15) и (15.16) соответствует синхронизму быстрой, а нижний — медленной циклотрон- z ной волны с TH- и ТЕ- уволнамиметаллического
V/волновода.График диспер-
сионных уравнений Г15.15) /у'и (15.16)для связанных
Гу^ TH- и ГЕ-волн с быстрой
^^(X+z;—“ циклотронной волной при-
^веден на рис. 29. Так как
укоэффициенты Ее,н>0,
в точке 1 ккЕ_ н > 0) имеет
Рис. 29.место снятие вырождения
(случай I, § 5); в точке 2
Рис. 39.Рис. 39.Рис. 31.
Рис. 39.
Рис. 39.
ккЕ н < 0) имеет место непропускание (случай II, § 5). При синхронизме медленной циклотронной волны с прямой электромагнитной волной (^ё,н < 0) имеет место усиление волн и конвективная устойчивость (точка 1 на рис. 30, 31). Максимальный коэффициент
и полоса усиления определяются формулами:
Im к |тах = | Лк,н |1/2, Аю = пГ II ~ гр IIm к |тах = | Лк,н |1/2, Аю = пГ II ~ гр IгдегдеМе,н |1/2, (15.17)Ме,н |1/2, (15.17)Vrp —Vrp —£*ejh1 1. 5(0 ]ш=Шс£*ejh1 1. 5(0 ]ш=Шс
Im к |тах = | Лк,н |1/2, Аю = п
Г II ~ гр I
Im к |тах = | Лк,н |1/2, Аю = п
Г II ~ гр I
где
где
Ме,н |1/2, (15.17)
Ме,н |1/2, (15.17)
Vrp —
Vrp —
£*ejh1 1
. 5(0 ]ш=Шс
£*ejh1 1
. 5(0 ]ш=Шс
Максимальный инкремент конвективной неустойчивости равен
Im to [max = Р^I у II Угр-^Е,Н [•(15.18)
При синхронизме медленной циклотронной волны с обратной электромагнитной волной (точка 2 на рис. 30) имеет место абсолютная неустойчивость с инкрементом, также определяемая формулой (15.18).
Таким образом, только взаимодействие медленной циклотронной волны (в данном случае как скорость
медленной циклотронной волны Уф =— ,так
<0 —(» — 1)-^
И скорость быстрой циклотронной ВОЛНЫ Уф =
_ «—_— могут быть больше скорости света)
®-(n + l)-f
с электромагнитными волнами волновода приводит к явлениям усиления и неустойчивости. Как следует из формул (15.12) и (15.11), отношение коэффициентов связи для ТЕ- и ГЯ-волн по порядку величины равно
/to —- \\ 4
т. е. вдали от отсечки (при v&=— с)1.
к
2
Вблизи отсечки (при Рф ">• -дД- ~ 1/В^ .
У11 ЯЕ
Следовательно, в любом случае временные и пространственные инкременты для связанных ТЕ- и циклотронных волн будут большими, чем для ГЯ-волн.
Существенной особенностью рассмотренного механизма является то, что частота синхронизма ®с« «\п—1) — зависит от азимутального числа п и, следовательно, можно работать на гармониках циклотронной частоты.
Релятивизм не вносит существенных изменений в характер взаимодействия, и его учет сводится только к появлению в формулах (15.11) и (15.12) величины х = (1— р2 — Р1)-1/2. Условие синхронизма волн (15.14) имеет такой же вид, как и в нерелятивистском пределе, однако необходимо подчеркнуть, что удовлетворить условию синхронизма в нерелятивистском случае можно только при a"^R. Из (15.13) следует также, что медленная циклотронная волна с п = 1 не удовлетворяет условию синхронизма.
При рассмотрении волн пространственного заряда (ВПЗ) закон дисперсии которых определяется из условия Q = О, в системе (15.14)—(15.15) достаточно сохранить лишь члены, содержащие Q в знаменателе. При этом компоненту vr можно считать равной нулю, а рф и vz будут связаны соотношением
Отметим, что появление компоненты иф обусловлено релятивистскими эффектами. На это впервые обратил внимание А. В. Гапонов [561.
В этом случае система (15.4)—(15.5) также может быть представлена в виде (15.7), где Q; имеет вид
Vl n2T2O — ft2 \ ’dr?
9 = — — i dz
Q--Q--®^3P.®^3P.
Q--
Q--
®^3P.
®^3P.
Граничные условия для ТЕ-волн сводятся к непрерыв-
„^^ tob Tip1 T?L<•
НОСТИ E, и —;h TV 5 Ez при r = a, r = 0 И К об-
to6”P± 8HzйсТг дгto6”P± 8HzйсТг дгращению Ех в нуль при г = R; для ГЯ-волн граничные
to6”P± 8HzйсТг дг
to6”P± 8HzйсТг дг
условия имеют вид непрерывности Нг
+ Q2^2pa Р+ Q2^2pa Рпри г = а, г = Ъ и в обращении
+ Q2^2pa Р
+ Q2^2pa Р
dHjdr в нуль при г = R.
Решая систему (15.7) и подчиняя полученное решение граничным условиям, получаем следующие дисперсионные уравнения в случае ленточного пучка.
Для ТЯ-волн
(
пго„\ 2
<0 — — \
к/ =
"2<О2
_ о х ° о кЕ (го,
2. Для ГЯ-волн
(Пй>ы\ 2
<0 —
к= V I! /
•^(1—f
,)Г„ c^R1
v п/2
. (15.19)
19 p-h
и»кН ^e^v.R
г»х
XJn (<7nm)/(Pnm — ^Vn^PnmY (15.20) Дисперсионные уравнения (15.19) и (15.20) справедливы в окрестности синхронизма ВПЗ с TH- и ТЕ- волнами волновода соответственно. Частоты синхро-
<о
па>н
низма определяются из условия
соответственно равны
1-Р^
®с
^Е,Н (ю) И
п > 0.
(15.21)
Следовательно, синхронизм возможен при условии
ЯСйттГ "п2~
-^->tonm К 1 — Рм которое можно записать в виде
10 А. м. Федорченко, Н. Я. Коцаренко
Pi ^ -^ ^ Р^ 1 — Р и • При а ~ R синхронизм возможен только за счет релятивистских эффектов.
Далее следует различать два случая:
-^->®пт- В этом случае имеется точка синхронизма (соответствующая верхнему знаку в (15.21)) ВПЗ с прямой электромагнитной волной и точка синхронизма (соответствующая нижнему знаку в (15.21)) ВПЗ с обратной волной.
®nm pl — рз < п<йн < ®nm- В этом случае в обеих точках имеет место синхронизм ВПЗ с прямой волной.
Дисперсионные уравнения (15.19) и (15.20) совпадают с уравнением (5.8), подробно проанализированным в § 5. Следовательно, при синхронизме с прямой волной имеет место конвективная неустойчивость, а также возможно усиление волн. При синхронизме с обратной волной имеет место абсолютная неустойчивость.
В заключение отметим, что если вместо уравнения (15.2) пользоваться нерелятивистским уравнением движения электронов, то в результате для ВПЗ получаются дисперсионные уравнения, отличающиеся от (15.20) и (15.19) множителями к1!!1. Следовательно, релятивизм меняет коэффициент связи между ВПЗ и волнами волновода в1j-<0pa3. Эта поправка впервые была найдена Гапоновым [561. Таким образом, при изучении взаимодействия винтовых электронных потоков с быстрыми электромагнитными волнами релятивистский характер движения электронов существен при любых скоростях электронов.
§16. Параметрическая неустойчивость электромагнитных волн в электронных потоках
Параметрические генераторы и усилители находят широкое применение для генерации и усиления электромагнитных и акустических волн различных диапазонов. В параметрических устройствах исходное состо-
яние задается волной накачки, т. е. некоторые исходные параметры системы являются периодическими функциями координат и времени. В этом случае для определения характера неустойчивости, развивающейся на фоне волны накачки, необходимо пользоваться критериями, полученными в § 7.
В настоящем параграфе проанализирован характер неустойчивости, возникающей в электронном потоке при наличии накачки в виде поперечной электромагнитной волны. Рассмотренная неустойчивость представляет интерес также в связи с возможностью параметрической генерации и усиления электромагнитных волн с частотами выше частоты волны накачки. Дело в том, что в большинстве существующих параметрических устройств имеют место генерация и усиление волн с частотами меньше частоты волны накачки, так как частота волны накачки ®н равна сумме усиливаемых либо генерируемых частот ни, 2 : ®н = ®! + ®2.
В настоящем параграфе рассматривается явление активного параметрического преобразования частоты вверх в электронных потоках. Суть его заключается в том, что в электронных потоках, как будет показано ниже, низкочастотная электромагнитная волна накачки too, распространяющаяся навстречу электронному потоку, может генерировать либо усиливать высокочастотную электромагнитную волну tot = ckt, распространяющуюся вдоль потока, и медленную волну пространственного заряда ®2 = ^о — ®р/х3/г, (®Р = = 14лИое2/т — плазменная частота потока х = (1 — — yXlc^ 1/2, Уо — скорость дрейфа электронов).
Вначале отметим, что из условий параметрической связи между этими волнами
tot to2 —— too, ^i ■ ^2 3= ку (16.1)
получается следующее соотношение между tot и ®0 (считаем ®р/х3/2 « ®0(1 + р0/с')):
to' = toto' = to1 + ^К0 1 — Vе '1 + ^К0 1 — Vе '(16.2)(16.2)
to' = to
to' = to
1 + ^К
0 1 — Vе '
1 + ^К
0 1 — Vе '
(16.2)
(16.2)
В формуле (16.2) с = to0/k0 — фазовая скорость волны накачки.
10*
Повышение частоты ю, > ®0 может быть получено в двух случаях:
при использовании релятивистских электронных потоков с у0 ~ с [601. Например, при уо = О,98с (что отвечает энергии электрона 8 = 2,6 Мэв) и с' = с (накачкой является незамедленная электромагнитная волна
2<оа»! «— = 100й)о;
С
при использовании перелятивистских электронных потоков в поле встречной замедленной электромагнитной волны накачки при выполнении условия и,> с' [611. Например, при у« = 9 • 10” см/с (ускоряющий электроны потенциал равен 20 кВ) и с' = с/20 получаем = 10®0>
При совместном использовании релятивистских электронных потоков и медленной электромагнитной волны накачки можйо достигнуть повышения частоты (щ/сОо ~ 10’ -г 104.
Выполнения соотношений (16.1), приводящих к повышению частоты (16.2), еще недостаточно для вывода о возможности активного параметрического преобразования частоты вверх. Необходимо еще убедиться, что низкочастотная волна накачки может генерировать либо усиливать -волну частоты (щ. Для этого будем исходить из системы уравнений Максвелла и релятивистского гидродинамического уравнения движения для электронов
. п 1 йЕ 4яе -7. т? 1 йН
rotH =——nV, rotE =г;-,
с at сс at 1
divE = — 4ле(и — п0), divH = 0,(16.3)
£ + (W> v — /^{е +тхН Е)}- где п0 — равновесная плотность электронов. В отсутствие электромагнитных возмущений Ё = Н = 0 состояние потока описывается полем скоростей v = {0, 0, у0} и плотностью п = по. Будем рассматривать волны, распространяющиеся вдоль оси z I -г— = ■^— = О V В этом
случае из (16.3) можно получить следующую систему уравнений для взаимодействующих поперечных (Еж, Я„ ух) и продольных (£"„ у,, п) волн:
айЕх д?айЕх д?ve i fE= + %Е^-^ v« ^ ~ 0^>’ve i fE= + %Е^-^ v« ^ ~ 0^>’— с2—54л ей.аг20— с2—54л ей.аг208vxat8vxat1 9Ну _ 9ЕХ с at di ’1 9Ну _ 9ЕХ с at di ’(16.4)(16.4)
айЕх д?
айЕх д?
ve i fE= + %Е^-^ v« ^ ~ 0^>’
ve i fE= + %Е^-^ v« ^ ~ 0^>’
— с2—54л ей.
аг20
— с2—54л ей.
аг20
8vxat
8vxat
1 9Ну _ 9ЕХ с at di ’
1 9Ну _ 9ЕХ с at di ’
(16.4)
(16.4)
^ + ^L +(Е_ _ РН,) - -+
dt 10 ds 1 тх \и'z dz 1
+ ^ ^Лу + НЕ^ + 5 ^ <Е” - ^>
где ^ = и0/с, х = (1 — р2)-1/2. В линейном приближении решение системы (16.4) ищем в виде exp i(tot — kz). При этом из (16.4) получаем закон дисперсии для поперечных электромагнитных волн
(16.5)(16.5)фх, Ну, их^ 0)
(16.5)
(16.5)
к = ± yV®2 — юр/х>
и продольных волн пространственного заряда электронного потока
к=^ (®±®р/х3/2). (16.6)
Верхний знак в (16.6) соответствует медленной волне пространственного заряда ®/к < у0, нижний — быстрой волне пространственного заряда to/k > v0.
В линейном приближении электромагнитные волны с волнами пространственного заряда не взаимодействуют, так как они имеют различную поляризацию и различные фазовые скорости (уф>с для электромагнитных волн и Уф * Уо для волн пространственного заряда). Однако связь между этими волнами, как будет показано ниже, может быть осуществлена посредством электромагнитной волны накачки.
Для этого будем считать, что в системе возбуждена поперечная электромагнитная волна частоты ®0, Распространяющаяся навстречу движению электронного потока (волна накачки)
ЬД =^oexpi(tooH-M +к. с., //"^ — —-ЕД,
О
о
u»=;i"^rexPiW + M + K.c.,(16.7)
Л о ~ ~ V ыо со‘р/х.
Рассмотрим далее малые колебания на фоне волны накачки (16.7), т. е. Е представим в виде £=£, + №, и в (16.4) сохраним члены Е°6Е справа, учтя тем самым параметрическую связь волн за счет волны накачки (16.7). В результате система для малых колебаний примет вид
("ST + и» "д?) №г + "^5" 6£z
= - 5" 16^ № - Р£°) + у° ^Ни - 06ЕХ) ], (16.8)
-с2^ VEx-4nen»"H6Us = -
^ + ^ i)to- + =г <“• -№) - -«■>.# +
+ ^ М + £6Е^ + 5- ^г (Е^ - ^,
Решение системы (16.8) пщем в виде
6ЕХ, bHv, 6vx ~ exp Utot — kz),6Е„ 6vz ~ exp i [(io — to0)< — (к + k^zl.
Сохраняя в (16.8) только синхронные члены, получаем однородную алгебраическую систему уравнений для амплитуд, детерминант которой приравненный
нулю и дает дисперсионное уравнение для ы и А: (®2 — с2*2 — "5") (® — ю0 — (/с + /с0) ро)2 — -^- == М|^1Р (® - <о0) + (к + /с0) с]хнулю и дает дисперсионное уравнение для ы и А: (®2 — с2*2 — "5") (® — ю0 — (/с + /с0) ро)2 — -^- == М|^1Р (® - <о0) + (к + /с0) с]хX (к 4- к^ сX (к 4- к^ с^-РX Г^-РX Гх3^(“о + *0%) ^-^-(Ь+ОТх3^(“о + *0%) ^-^-(Ь+ОТш-^ош-^о(16.9)(16.9)где ^| = е1^о1/игхюос. Будем считать выполненными неравенства Р [[<С 1, <оо/(1 — Р) ^> -^-, со0 ^ (ор/х. Тогда дисперсионное уравнение (16.9) можно решать методом теории слабосвязанных волн, изложенном в § 5. В результате дисперсионное уравнение в окрестности точки синхронизма электромагнитной волны ю = ск с какой-либо из волн пространственного заряда и = ю0 + + коио + kv0 т юр/х3/2 принимает видгде ^| = е1^о1/игхюос. Будем считать выполненными неравенства Р [[<С 1, <оо/(1 — Р) ^> -^-, со0 ^ (ор/х. Тогда дисперсионное уравнение (16.9) можно решать методом теории слабосвязанных волн, изложенном в § 5. В результате дисперсионное уравнение в окрестности точки синхронизма электромагнитной волны ю = ск с какой-либо из волн пространственного заряда и = ю0 + + коио + kv0 т юр/х3/2 принимает вид(to tog) Я“ togtop ]Л X Р || >(to tog) Я“ togtop ]Л X Р || >(16.10)(16.10)где tocгде toc%(! + ?) + ®р/х3/2 ~1 + р1 — р ~ “° 1 - р%(! + ?) + ®р/х3/2 ~1 + р1 — р ~ “° 1 - р— частота— частотасин-син-хронизма, верхний знак в (16.10) соответствует синхронизма, верхний знак в (16.10) соответствует синхронизму электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда, нижний — с быстрой. Как видно из (16.10), параметрическая неустойчивость имеет место при синхронизме электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда. Инкремент неустойчивости пропорционален амплитуде волны накачки ^0 и равен— Im в) = 21£°1 Vоэоюрх1/2. (16.11) mx<o„c гор ' 'хронизму электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда, нижний — с быстрой. Как видно из (16.10), параметрическая неустойчивость имеет место при синхронизме электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда. Инкремент неустойчивости пропорционален амплитуде волны накачки ^0 и равен— Im в) = 21£°1 Vоэоюрх1/2. (16.11) mx<o„c гор ' 'Неустойчивость имеет местоНеустойчивость имеет место= to= to1 + Р° 1 — Р ’1 + Р° 1 — Р ’т. е. на частоте вт. е. на частоте вна частоте ю = юс —на частоте ю = юс —4 + Р1 1-Р4 + Р1 1-Рраз выше, чемраз выше, чем
нулю и дает дисперсионное уравнение для ы и А: (®2 — с2*2 — "5") (® — ю0 — (/с + /с0) ро)2 — -^- =
= М|^1Р (® - <о0) + (к + /с0) с]х
нулю и дает дисперсионное уравнение для ы и А: (®2 — с2*2 — "5") (® — ю0 — (/с + /с0) ро)2 — -^- =
= М|^1Р (® - <о0) + (к + /с0) с]х
X (к 4- к^ с
X (к 4- к^ с
^-Р
X Г
^-Р
X Г
х3
^(“о + *0%) ^-^-(Ь+ОТ
х3
^(“о + *0%) ^-^-(Ь+ОТ
ш-^о
ш-^о
(16.9)
(16.9)
где ^| = е1^о1/игхюос. Будем считать выполненными неравенства Р [[<С 1, <оо/(1 — Р) ^> -^-, со0 ^ (ор/х. Тогда дисперсионное уравнение (16.9) можно решать методом теории слабосвязанных волн, изложенном в § 5. В результате дисперсионное уравнение в окрестности точки синхронизма электромагнитной волны ю = ск с какой-либо из волн пространственного заряда и = ю0 + + коио + kv0 т юр/х3/2 принимает вид
где ^| = е1^о1/игхюос. Будем считать выполненными неравенства Р [[<С 1, <оо/(1 — Р) ^> -^-, со0 ^ (ор/х. Тогда дисперсионное уравнение (16.9) можно решать методом теории слабосвязанных волн, изложенном в § 5. В результате дисперсионное уравнение в окрестности точки синхронизма электромагнитной волны ю = ск с какой-либо из волн пространственного заряда и = ю0 + + коио + kv0 т юр/х3/2 принимает вид
(to tog) Я“ togtop ]Л X Р || >
(to tog) Я“ togtop ]Л X Р || >
(16.10)
(16.10)
где toc
где toc
%(! + ?) + ®р/х3/2 ~1 + р
1 — р ~ “° 1 - р
%(! + ?) + ®р/х3/2 ~1 + р
1 — р ~ “° 1 - р
— частота
— частота
син-
син-
хронизма, верхний знак в (16.10) соответствует син
хронизма, верхний знак в (16.10) соответствует син
хронизму электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда, нижний — с быстрой. Как видно из (16.10), параметрическая неустойчивость имеет место при синхронизме электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда. Инкремент неустойчивости пропорционален амплитуде волны накачки ^0 и равен
— Im в) = 21£°1 Vоэоюрх1/2. (16.11) mx<o„c гор ' '
хронизму электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда, нижний — с быстрой. Как видно из (16.10), параметрическая неустойчивость имеет место при синхронизме электромагнитной волны с медленной волной пространственного заряда. Инкремент неустойчивости пропорционален амплитуде волны накачки ^0 и равен
— Im в) = 21£°1 Vоэоюрх1/2. (16.11) mx<o„c гор ' '
Неустойчивость имеет место
Неустойчивость имеет место
= to
= to
1 + Р
° 1 — Р ’
1 + Р
° 1 — Р ’
т. е. на частоте в
т. е. на частоте в
на частоте ю = юс —
на частоте ю = юс —
4 + Р1 1-Р
4 + Р1 1-Р
раз выше, чем
раз выше, чем
частота волны накачки.
Так как (16.10) описывает синхронизм попутных волн, то согласно критериям абсолютной и конвектив-
ной неустойчивости для параметрически связанных волн (§ 7), неустойчивость в данном случае носит конвективный характер (рис. 32). Отметим, что из системы (16.4) можно также получить соотношения
Мэнли — Роу для энергий взаимодействующих волн
В^тах =(0) + wtol (0),(16.12)
о
WO))(0), W^O) — начальные значения энергий волн с частотами соо и сщ соответственно. Поскольку coi » > (Do, рассматриваемый процесс генерации волн с частотой со, является весьма эффективным. Он, в частности, может быть положен в основу создания мощных параметрических генераторов и усилителей волн миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов [62, 63).
§17. Высокочастотная неустойчивость в электронно-дырочной плазме
Винтовая неустойчивость в полупроводнике, которая была рассмотрена в § 13, является одним из двух типов низкочастотных неустойчивостей, имеющих место в электронно-дырочной плазме, дрейфующей вдоль
внешнего постоянного магнитного поля. Эта неустойчивость связана с квазипотенциальными низкочастотными волнами, которые являются поверхностными, и в этом смысле ограниченность среды в поперечном направлении существенна. Второй тип — низкочастотная неустойчивость геликонных волн. Для нее, вообще говоря, наличие поверхности в некотором смысле несущественно. Так как неустойчивость длинноволновая, то границу можно не учитывать, если выполняется условие кН > 1 (R — поперечные размеры среды). В то же время пренебречь собственным азимутальным
Z cER магнитным полем можно при условии-^ <С
< 1, где Н, Е — напряженности продольных магнитного и электрического полей, о — проводимость; численные множители опущены. Однако удовлетворить одновременно обоим условиям в случае геликонной неустойчивости ни при каких параметрах нельзя, и поэтому необходимо сразу учитывать ограниченность поперечных размеров среды, что и было сделано в том или ином приближении в работах [64, 65].
Большой интерес с точки зрения практического использования представляет высокочастотная (коротковолновая) неустойчивость электронной и дырочной циклотронных волн в электронно-дырочной плазме, дрейфующей вдоЛь магнитного поля. Однако в монографии [661 утверждается, что высокочастотная неустойчивость не существует даже в бесстолкновительном случае. Это ошибочное мнение обусловлено тем, что авторы применяют при анализе дисперсионного уравнения метод слабосвязанных волн, и при этом коэффициент связи обращается в нуль. Однако в данном случае метод слабосвязанных волн неприменим. Объясняется это своеобразием дисперсионного уравнения — точка синхронизма электронной и дырочной циклотронных волн в бесстолкновительном случае является точным решением дисперсионного уравнения.„
Ниже будет показано, что высокочастотная неустойчивость действительно существует, и будет определена область значений параметров, при которых она имеет место. Так как интересующее нас дисперсионное уравнение было' получено в ряде работ, то не повторяя
вывода, мы сразу запишемD(®, к) = к25-е0 + ~ ссвывода, мы сразу запишемD(®, к) = к25-е0 + ~ ссего:его:Ш^ <0 — kvс2 <0 — ки^ + шн_^ — iv_j_Ш^ <0 — kvс2 <0 — ки^ + шн_^ — iv_j_+(17.1)+(17.1)
вывода, мы сразу запишем
D(®, к) = к25-е0 + ~ сс
вывода, мы сразу запишем
D(®, к) = к25-е0 + ~ сс
его:
его:
Ш^ <0 — kv
с2 <0 — ки^ + шн_^ — iv_j_
Ш^ <0 — kv
с2 <0 — ки^ + шн_^ — iv_j_
+
(17.1)
+
(17.1)
Здесь ton, ®р — плазменные частоты, р~, v+ — дрейфовые скорости, тн-, ®н+ — циклотронные частоты, v_, v+ — эффективные частоты столкновений с решеткой электронов и дырок соответственно.
Уравнение (17.1) можно получить, используя формулу (8.2), с учетом того, что дырки дают такой же вклад в дисперсионное уравнение, как и электроны, но с заменой заряда е на — е, в результате чего скорость дрейфа и циклотронная частота меняют знак. Кроме того, необходимо учесть диэлектрическую проницаемость решетки.
Дисперсионное уравнение (17.1) записано для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля. Дрейф носителей также считается коллинеарным магнитному полю. Верхний знак в уравнении (17.1) соответствует волне, поляризованной по кругу вправо, нижний знак — волне, поляризованной по кругу влево. Вместо двух дисперсионных уравнений (17.1) с верхним и нижним знаком можно рассмотреть одно, скажем, с верхним знаком, но считать волновой вектор к изменяющимся в пределах от — °° до + °° (заметим, что в задачах на неустойчивость к — величина вещественная). Тогда интервал [0, °°) будет соответствовать волне, поляризованной по кругу вправо, а интервал (— °°, 01 —волне, поляризованной по кругу влево. При этом нужно также изменить знак Rem, не изменяя знака Im®. Это следует из того факта, что дисперсионное уравнение (17.1), как нетрудно проверить, удовлетворяет соотношению D(.«>, k)=D(—<o, — к)*. Коротковолновая неустойчивость в отсутствие столкновений находится вблизи синхронизма электронной и дырочной циклотронных волн. Частота синхронизма равна ®8 = = (к+сонр_Юд+)/(р+ + к_). Учет столкновений сдвигает область неустойчивости в сторону более низких частот. Так как неустойчивость лежит в области
медленных волн, то'членом ,е0®2/с2 в уравнении (17.1) можно пренебречь. В результате получаем следующее дисперсионное уравнение в безразмерных величинах: а0ж2 + (а, + ъЪС)х + (а2 + ib2) = 0.(17.2)
Здесь
x = to/top а0 = 1 + у2 + 52,
а, = е(1 - а)у(у2 + S2 + 1) + у2а(г- 1) + а(52г - 1), bt = - [ЙуЧга + 1) + S2ra + 1],
а2 = у[- е2а"*у(у2 + S2 + 1) + еаг(у2 + 52) +
+ еоа-1(у2 + 1) — у2(а2 + 62а-1)1, Ь, = уб[еа-1(у2 + 1) — ега(у2 + 52) + усгка. — 1)1, где
у = кс/to,, S = to„/top, а = р-/р+,6 = v_/top, а = to J top, г = тп!тр, е = v-k.
Применяя к дисперсионному уравнению (17.2) критерий Раусса — Гурвица, находим условие, при котором наступает неустойчивость (Imx<0): Де2 + Ве4- + D $5 0, где
Л = а(1 + а"*)2у(у2 + 1)(у2 + 52)(у2 + 52 + 1),
В = - а(1 + a"^VS4a + 1)^ + 2у2а(у2 + S2 + Dy], D = ау{62^2 + o2[f + SW1 - а”1)2!}, ^ = (у2 + 52)аг + у2 + 1,
7 = (у2 + S2)r + у2 + 1.
Из этого условия можно определить пороговую напряженность е = V-/с = ц_Е/с. На рис. 33 дан общий ход пороговых кривых е(у), определяемых из уравнения
Ле2 + Be+ 5 = 0(17.3)
при фиксированных параметрах. Точка у0 = [V2 [—(№+ + l) + ((52 + l^ + 4Z)1/2]]1/2, где z^^-ta-1- —62a“2 + [(1 + 62a“2) (a“2 + 62a~2)]1/2), определяется из условия В2 — 4AD = 0. При у > у0 уравнение (17.3) не имеет вещественных корней.
Как видно из рис. 33, прп любых значениях на пряженности электрического поля возможна длинно-
волновая неустойчивость в интервале волновых чисел [О, у Л. Однако, как уже отмечалось, для корректного исследования этой неустойчивости требуется учет соб-
Рис. 33.
ственного магнитного поля тока и ограниченности поперечных размеров среды.
При напряженностях е(Я) = VZ>tyo)M(yo) в интервале волновых чисел [у2, у01 появляется область ко-
роткОволновой неустойчивости. На рис. 34 приведены зависимости 1тж(у) (кривая 7), Веж(у) (кривая 2) в интервале [у,, у3]. Расчет пороговой кривой по формуле (17.3) дал значения ^ = 0,152, у, = 62,766, w3 = = 62,791 прн тп = 0,014, т, = 0,154, ц_/ц+ = 50, Оп/со, = 3, v-Zcop = 10"5, со-/со, = 0,1, и_/с = 0,0017.
Для высокочастотной неустойчивости собственное магнитное поле и ограниченность поперечных размеров образца можно не учитывать, поскольку сШсЕ > > 7? > 1/А выполняется с большим запасом.
Таким образом, высокочастотная неустойчивость, обусловленная взаимодействием электронной и дырочной циклотронных волн через электромагнитное поле, действительно существует, но условия для ее наблюдения крайне неблагоприятны, так как требуются малые частоты столкновений, большие плотности носителей, а также большое электрическое поле. С увеличением напряженности магнитного поля Н неустойчивость смещается в коротковолновую (высокочастотную) область, однако при этом порог неустойчивости по электрическому полю растет как УН. По-видимому, ни один из известных полупроводниковых материалов не удовлетворяет этим требованиям, и поэтому наблюдать высокочастотную неустойчивость невозможно.
§ 18. Трехволновая параметрическая неустойчивость
В § 7 в приближении заданной волны накачки было показано, что критерий для абсолютной и конвективной неустойчивости для параметрически связанных волн полностью совпадает с критериями, полученными в § 2 и 3. Целый ряд параметрических процессов может быть описан как результат резонансного трехволнового взаимодействия с помощью систем укороченцых уравнений для медленно изменяющихся амплитуд следующего вида [311:
9ух Эу *
1г + и11Г = а1У2у3,
(18.1)(18.1)Эу 2 .Эу
(18.1)
(18.1)
Эу,ду*
дГ + ^ д7 ~ азУ1Уг-
Эта система всегда имеет стационарные состояния типа
У. = «, Уз = Уз = 0,(18.2)
которые будем называть однородными. Волну С амплитудой, не равной нулю будем называть накачкой. Тогда одна из двух оставшихся волн может быть сигнальной, а вторая — холостой. В дальнейшем будем предполагать, что извне в систему вводится только волна накачки. Для исследования устойчивости состояния (18.2) линеаризуем систему (18.1), положив у1 = £'1, уг = Ег, у3 = а + Е3 (здесь Еи Е2, Е3 — малые величины). В результате получим
5 + ^ = ”А 9Ь^^ = айа*Е1. (18.3)
Этой системе линейных уравнений соответствует дисперсионное уравнение
(to — fcpjtm — kv^ + aia2UI2 = 0.
Используя критерии неустойчивости для двух связанных волн (§ 5), находим, что состояние (18.2) абсолютно неустойчиво, если о^а, > 0, р^г < 0, и конвективно неустойчиво, если a,a2 > 0, р^ > 0. Если же а^з < 0, то состояние (18.2) устойчиво.
Таким образом, в зависимости от знаков коэффициентов нелинейности а,- и групповых скоростей и,, возможны пять вариантов трехволнового параметрического взаимодействия волн.
Вариант I. Знаки всех групповых скоростей и коэффициентов нелинейности одинаковы. В этом случае система конвективно неустойчива независимо от типа накачки.
Вариант II. а,- > 0, р, 2 > 0, р3 < 0. Неустойчивость конвективная, если накачка на волне 3, и абсолютная, если накачка на волне 1 или 2.
Вариант III. а, 2 > 0, а3 < 0, р, > 0. Неустойчивость конвективная, если накачка на волне 3. Система устойчива (снятие вырождения), если накачка на волне 1 или 2.
Вариант IV. at 2 > 0, а3 < 0, Pi 2 > 0, р3 < 0. Неустойчивость конвективная, если накачка на волне 3.
Система устойчива (непропускание), если накачка на волне 1 плп 2.
Вариант V. at < 0, а2, з > О, щ, 2 > 0, и3 < 0. Неустойчивость абсолютная, если накачка на волне 1. Система устойчива, если накачка на волне 2 (непропускание) или на волне 3 (снятие вырождения).
Таким образом, во всех пяти вариантах при надлежащем выборе волны накачки можно реализовать конвективную неустойчивость, а в вариантах II и V — также и абсолютную. В § 6 было показано, что при наличии отраженной волны конвективно неустойчивая система может быть превращена в абсолютно неустойчивую. Сейчас мы покажем, что учет конечной длины волноведущей системы может стабилизировать абсолютную неустойчивость. Кроме того, исследуем особенности абсолютной неустойчивости, возникшей за счет отраженной волны.
Рассмотрим решение системы (18.3) в слое 0<z< < L. В случае и^г > 0 обе волны идут в одном направлении, и поэтому граничные условия следует задавать на одном конце [251, скажем на левом. Кроме того, введем третью волну типа волны Е, или преобразующуюся в нее на левой границе, но распространяющуюся в противоположном направлении и не взаимодействующую с волнами Е, и Ег. Будем считать, что эта волна не изменяет своей амплитуды и пусть гиг, — коэффициенты отражения волны Е, соответственно на левом и правом концах. Тогда ЕМ = гЕ0, rtEAL) = Ео. Объединяя эти условия, получим T^tO) = = rriEAL). Так как на левом конце волна Ег не возбуждена, то £2(0) = 0. Таким образом, граничные условия имеют вид
ЕМ = REAL), ЕМ = 0, (18.4) где 7? = гг„ причем 0 ^ 7? ^ 1.
В случае абсолютной неустойчивостп в уравнении (18.3) необходимо заменить р2, на — р2, и так как обе волны не возбуждаются на границе, то граничные условия должны иметь вид
£2(0) = 0, EAL) = 0. (18.5)
Сравнивая (18.4) и (18.5), делаем заключение, что оба случая можно рассмотреть вместе и только в окон-
нательных формулах для абсолютной неустойчивости изменить знак одной из скоростей, a R устремить к со. Таким образом, формально абсолютная неустойчивость соответствует конвективной неустойчивости с бесконечно большим коэффициентом отражения. Это соответствие имеет достаточно простое физическое основание. В то время как при конвективной неустойчивости источником волны, обеспечивающей обратную связь, является граница, при абсолютной неустойчивости источником обратной связи является весь слой 0 < z < L, так как в каждой точке благодаря связи волн, прямая волна рождает встречную и наоборот.
Решение уравнения (18.3) будем искать в виде
Ey = ^е"^ + C2e"ift2Z) eu‘, тогда
Е2 = ^ [(со - к^ С^ + (со - к^ C2e'ih^ eiat, где kt и к2 есть корни уравнения
(со — Zcf,) (со — кг^ + у2 = О,
где у2 = tw2.
Удовлетворяя граничным условиям (18.4), находим
+ R [[- - /с^ e"ihlL -(®-кЛ e-1'*^]! = 0. (18.6)
Введя обозначения а1 = т1., У = -к:—*, перепи-
IV2I 2У1 + У2 Р
шем (18.6) в виде
, . О . exp [i (у + у ) О/ (у — у )]COS Р + I — sin р =——^ ——.
r р rR’
р = /У2 - а».(18.7)
Уравнение (18.7) удобно переписать в виде
У = —1-2 [2лп — г In R (cosp + — sin р) , (18.8)
здесь n = 0, ±1, ±2, ...
Функция под знаком логарифма также зависит от Я, но благодаря логарифмической зависимости уравнение (18.8) можно решать методом итерации, положив в качестве нулевого приближения
Я = 2лге -Ц:—-.
У1+У2
Для собственной частоты п = 0 из (18.8) получаем Qo « — iln (7? ch а).
Отметим, что для случая равных скоростей это решение является точным.
Таким образом, условие самовозбуждения конвективно неустойчивой системы за счет отражения имеет видТ?сН—^=^ 1.Очевидно, что условие будет вы
полнено и при 7? О, если при этом L -> °°. Этот случай в литературе принято называть глобальной неустойчивостью [271. Из приведенного выше рассмотрения следует, что это обычный переход конвективной неустойчивости в абсолютную за счет обратной связи, и поэтому нет смысла вводить новый термин. Кроме того, необходимо иметь в виду, что при L » время развития неустойчивости стремится к °°, так как время одного прохода системы волной равно % = L!v.
Полагая в (18.7) 7? -* оо и изменяя знак Vi, получаем для абсолютно неустойчивых систем
cos р+ — sin р = О, причем р = VQ2 + а2. Из этого уравнения и из (18.8) следует, что решения с Im Я < 0 возможны только при чЬ/УI v^l ^ л/2. Таким образом, уменьшение длины системы может стабилизировать абсолютно неустойчивую систему. В этом случае ее можно использовать как усилитель.
Перейдем теперь к исследованию всех возможных типов стационарных состояний системы (18.1), но с учетом конечности размеров системы. Граничные условия для каждой волны мы должны задавать на левом конце, если она распространяется вправо, и наоборот на правом, если она распространяется влево [25].
11 А. М. Федорченко, Н, Я. Коцаренко
В стационарном случае система уравнений (18.1) сводится к виду:
=(1819)
Если представить yj = Aje^, то из (18.9) при вещественных а,- следует, что
ЛАЛз sin Аф = const,(18.10)
где Аф = ф2 — Ф1 — ф3, а уравнения для амплитуд At принимают вид
^ = ^ AjAk cos Аф(t^j^ky (18.10а)
Так как хотя бы одна из амплитуд на границе равна нулю, то из (18.10) следует, что sin Аф = 0, поэтому а ^г Г °jvk cos Дф = 1. После нормировки Е = tiL^ Д=—1/
(i ^i'^ к), где L — длина системы, уравнения (18.10а) для вариантов I и IV принимают вид
-^ = SiSk Ki^i^k^^ (18.11) откуда следует, что
§Х — §Х = const, §Х — SX = const. (18.12) В варианте I все волны равноправны, поэтому граничные условия зададим в виде ^’1(О) = ^’о, ^2(0) = 0, ^’з(0)=0. При этом соотношения (18.12) принимают вид
§X-sX = sX. §X-sX = sX. (18.13)
Используя (18.13), запишем первое уравнение системы (18.12) так:
(^-^)
решение которого есть
^1 = ^octh^o(g + C).(18.14)
Так как ^^О) = ^0, то cth^’0C = l, следовательно, <^i(£) = <^0, и поэтому существует только однородное состояние, которое конвективно неустойчиво.
Варианты II и III в стационарном случае с помощью указанной выше нормировки сводятся к виду dS„~~
-^ =-<Г1<Г2, -^ = <^3 (i = 1,2; 7 = 2,1).
(18.15)
Из (17.15) следует, что
<^1 — <^2 = const, ^2 + ^з = const. (18.16) Граничные условия зададим в виде
^(0)=^, <Г2(0) = 0, <Г3(1) = 0.
Тогда соотношения (18.16) принимают вид
<Г1-<Г2 = <Го, ^ + ^з = ^(1) = 62;
откуда следует, что ^0 ^ $i ^ Ъ. Используя (18.16), получаем
У^-^/ь2-^2'
Решение этого уравнения имеет вид
^1 = 6dn6(g + C), ^2 = bk сп Ы.^, + С\ §2 = + Ък sn 6(§ + С\
причем &2=1 — (^о/б2)- Из граничных условий следует сп(6О = 0, sn 6(1 + С) = 0, откуда находим
6 = (2n + 1) • ^(sin а), ^о = 6 cos а, (18.17) где К — полный эллиптический интеграл первого рода, п = 0, 1, 2, . .. Окончательное решение принимает вид
sp —6 sp sp Ь sn ^ яр АЬ сп ^
®1-dn6g’®3-°ftdnbr
Зависимость амплитуды накачки на выходе системы 6 =^(1) от ее значения на входе ^ определяется соотношением (18.17). Таким образом, кроме однородного состояния, которое абсолютно неустойчиво, имеется также бесконечное множество стационарных состояний, причем с ростом амплитуды накачки состояния с малыми значениями п исчезают.
Неоднородные стационарные решения существуют и в варианте V, если за накачку выбрать волну 1. В этом И*
случае уравнения (18.11) и граничные условия име
ют вид
asxasx$ ^S 3,$ ^S 3,— S \S 3,— S \S 3,^3^3— —S1$ 2,— —S1$ 2,^1(О) = ^о, ^2(0) = 0,^1(О) = ^о, ^2(0) = 0,^з(1)=0,^з(1)=0,
asx
asx
$ ^S 3,
$ ^S 3,
— S \S 3,
— S \S 3,
^3
^3
— —S1$ 2,
— —S1$ 2,
^1(О) = ^о, ^2(0) = 0,
^1(О) = ^о, ^2(0) = 0,
^з(1)=0,
^з(1)=0,
из которых следует
^i + ^2 = ^o, #? - <Гз = <Ti (1) = 62.
Так же, как и в предыдущем случае, получаем решение
S ^ = S» dn^o^, ^2 = ^о^ SH^o^,^з = ^о/с СИ ^og.
Зависимость амплитуды накачки на выходе b = <8\(1) от ее значения на входе определяется соотношениями 6=^0 cos a, So ='(2n + l)X(sina).
Можно убедиться, что во всех остальных случаях, кроме этих двух, при любом выборе волны накачки существует только однородное стационарное состояние.
Таким образом, в этом случае кроме однородного состояния, которое абсолютно неустойчиво, имеется бесконечное множество неоднородных стационарных состояний, причем с ростом амплитуды накачки появляются новые состояния с большими п.
Итак, в зависимости от направления групповых скоростей и коэффициентов нелинейности волн, а также от типа волны накачки возможны 10 различных случаев. В восьми из них реализуются только однородные стационарные состояния, и в двух — неоднородные. Интересно отметить, что оба эти случая соответствуют абсолютной неустойчивости.
Численный расчет показывает, что в варианте V только состояние с п = 0 является устойчивым, и именно к этому состоянию развивается абсолютная „л
неустойчивость при выполнении условия —г=х.. > -5-.
2
варианте II при —у -—=, >у ни одно из стационар- KlVal 2
ных состояний не является устойчивым, и система эволюционирует к состоянию «взрыва».
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Здесь мы приведем для справок некоторые математические определения и теоремы, которые используются в основном тексте. Доказательства теорем не приводятся, но указывается литература, где их можно найти.
Интегральная теорема Коши. Функция комплексного переменного /(со) называется аналитичной в некоторой области G, если она имеет конечную производную /'(со) в каждой точке этой области. Из определения аналитичности следует, что любая аналитическая функция в окрестности некоторой точки соо может быть представлена в этой окрестности рядом
/ (со) = 2 ап (со — соо)”
п=о
Для аналитических функций справедлива интегральная теорема Коши. Если L — некоторый замкнутый контур, находящийся полностью в области аналитичности функции /(со), то
$ / (со) dto = 0. (Д.1)
На основании этой теоремы контуры интегралов в комплексной области можно смещать как угодно, не пересекая при этом особых точек подынтегральной функции и оставляя концы контура на месте.
Особые точки функции комплексной переменной. Если функция /(со), будучи аналитической и однозначной в окрестности некоторой точки соо, находящейся в конечной части плоскости со, не аналитична в самой точке (т. е. не имеет там производной), то в окрестности этой точки она может быть представлена в виде ряда Лорана:
/ (со) = 2 «п (о — <оо)", (Д-2) П=—ОО
включающего в себя и отрицательные степени разности со — соо. Если число отрицательных степеней конечно, скажем, д_А=/=0, но д-(е+1) = Д-(А+2) = ... = О, (&> >0), то говорят, что в точке соо функция /(со) имеет полюс к-го порядка. Если число отрицательных степеней бесконечно, то говорят, что точка соо есть существенно особая точка функции /(со).
Рассмотрим функцию /(со), имеющую в окрестности некоторой точки со0 следующее разложение:
/ (со) = 2 ап (со — соо)Х",
где среди Х„ имеется, по крайней мере, одно нецелое число. При полном обходе вокруг точки соо разность со — соо приобретает аргумент, равный 2л: со — соо -*■ ->• (со — соо)е+'2”, и тогда функция /(со) принимает вид
4 . .\С2лХп
/1 (со) = On — соо) е п
В случае, если Хп — целые числа (положительные или отрицательные), то е,2яХп = 1 и ^(со) = /(со), если же среди Хп есть хотя бы одно нецелое число, то /,(со) =# * /(со).
Следовательно, существует, по крайней мере две ветви многозначной функции /(со), которые, вообще говоря, не равны между собой, но в точке соо совпадают.
В этом случае функция /(со)—неоднозначная, а точка со = со о называется точкой ветвления (в самой ТОЧКе СОо /(соо) =/Лсод)).
Если обойти точку ветвления еще раз, то получим /2 (со) = 2 «п (со — cog)11” exp (£4лХп). п
Если, например, Х„ = й/2, где п — целое число, то exp i4nXn = exp 12лп = 1 и /2(со) = /(со) ¥= /^оц) и мы снова пришли к исходной функции. Такая точка ветвления называется точкой ветвления второго порядка. Аналогично можно ввести понятие точки ветвления третьего и вообще любого порядка. Функция /(со), не имеющая особых точек в конечной части плоскости комплексного переменного, называется целой функци-
ей. Мероморфная функция — функция, которую можно представить в виде отношения двух целых функций. Она может иметь в конечной части плоскости комплексного переменного только полюса. Частным случаем мероморфной функции является рациональная функция, которую можно -представить в виде отношения двух полиномов.
Лемма Жордана. Будем понимать под контуром Св дугу бесконечно большого радиуса, проходящую в верхней плоскости. Тогда при t > 0 интеграл
lim Г е’<лФ (со) dm О, (Д-З) CR
если Ф(со) — функция, аналитичная, за исключением конечного числа полюсов, в верхней полуплоскости (исключая бесконечно удаленную точку) и шах |Ф(со) I -*
0 на контуре Сп. Лемма Жордана находит широкое применение при вычислении и оценке контурных интегралов.
Теорема о вычетах. Интеграл от некоторой функции /(со), взятый по замкнутому контуру L (против часовой стрелки), содержащемуся в области, где функция является однозначной (нет точек ветвления) и аналитической во всех точках внутри контура L, за исключением конечного числа полюсов, равен сумме вычетов во всех полюсах, лежащих внутри контура, умноженной на 2ni [22]:
^(a>)d(o = 2niSa!1. (Д.4) L S
Вычетом функции /(со) в точке со называется коэффициент a-t в разложении функции /(со) в ряд Лорана (Д.2) в окрестности этой точки. С помощью этой теоремы получена формула (Д.12).
Преобразование Фурье. Преобразованием Фурье (или фурье-образом) функции /(z) называется функция /(АО, определяемая интегралом:
/ (&) = J / (z) exp ikzdz. (Д.5)
Конечно, вид функций /(z) и /(А) разный, но мы сохранили для них общее обозначение, чтобы подчеркнуть тем самым их тесную связь между собой. Путаницы легко избежать, если каждый раз в явном виде выписывать аргументы этих функций.
Можно показать, что если имеет место формула (Д.5), то справедлива следующая формула:
f (z) = -^ J / W exp (— f^) dk, (Д.6)
которая вместе с формулой (Д.5) устанавливает взаи-* мнооднозначное соответствие между функцией /(г)иее фурье-образом fUc).
Для того чтобы интеграл в правой части формулы (Д.5) существовал, необходимо, чтобы функция f(z) была абсолютно интегрируема: J | / (z) | dz<_oo, с другой стороны, при z -* ± °° функция /(z), определяемая интегралом (Д.6), стремится к нулю, если J | / (&) | dk<Z < ОО.— 00
Дифференцируя (Д.6) по координате, получим
Таким образом, фурье-образом производной dj/dz будет функция — ikfUc). Если линейный оператор ^^~^ содержит производные и имеет место равенство Lf(z) = = ф(г), то для фурье-образов имеет место следующее равенство: L(— ik)f(k) = <р(&), где [А-гк), полученное
7 / 9 \9
из L -т-1 путем замены -т—*- — гк. В частности, си- \ 02 / Jи21
стему уравнений (2.1) в операторном виде можно записать так: Lift = 0, где
Применяя преобразование Фурье, получаем
U- iMfAk, t) = О,гдеп
^i (— ik^ = — + 2 ( icttjk + fij).
J=i
Теорема о свертке. Если функция fUc) является Фурье-образом функции /(z), а ф^к) — функции ф(г), то их произведение VOc) =/(/с)ф(/с) является фурье- образом следующей функции:
ОООО
^И =^г J WW^ = -fe J Hkw^dk = — ОО—ОО
= J ф (z - z') / (z1) dz' = J / (z — z') ф (zz) dz*. (Д.7)
Преобразование Лапласа. Преобразованием Лапласа функции /(i) называется функция комплексного переменного со /(со), определяемая интегралом
/ (со) = J / (t) e-,“*dt.(Д.8)
' о
Это определение отличается от обычно употребляемого в математической литературе заменой комплексной переменной р -* ico, что соответствует повороту комп- лекснои плоскости Р на угол -^ по часовой стрелке. Если функция |/(/)l<Mes(, то /(со) аналитична в области Im со ^ —S, т. е. в нижней части плоскости комплексной переменной со.
Можно показать [22], что если справедлива формула (Д.8), то имеет место следующая формула:
fW=-^ ^f^eiQtdm,(Д.9)
vto
если t ^ 0 п /(t) = О, если t < 0.
Формулами (Д.8) и (Д.9) устанавливается взаимнооднозначная связь между функцией fto и ее преоб-
разованием Лапласа /(со). Контур интегрироавния у и в формуле (Д.9) проходит в нижней части плоскости комплексной переменной со (т. е. в области аналитичности функции /(со)) ниже всех ее особенностей; концы контура уходят в бесконечно удаленную точку.
Рассмотрим, какое преобразование Лапласа соот- „ df
ветствует производной ^-. Это преобразование определяется формулой (Д.8)
J 77е dt‘ о
Интегрируя по частям и учитывая, что контур интегрирования в (Д.8) проходит в области, где Im со ^ — S, находим
J^e^t^/e-™' ОJ^e^t^/e-™' О+ ico j / (t) о о+ ico j / (t) о оe'ito<dt = ico/(со)-/(0),e'ito<dt = ico/(со)-/(0),
J^e^t^/e-™' О
J^e^t^/e-™' О
+ ico j / (t) о о
+ ico j / (t) о о
e'ito<dt = ico/(со)-/(0),
e'ito<dt = ico/(со)-/(0),
или в виде операторов
(Д.10)(Д.10)^->ico/(co)-/(0).
(Д.10)
(Д.10)
Если между контуром уш и вещественной осью нет особенностей функции /(со), то можно, пользуясь теоремой Коши (Д.1), совместить контур интегрирования уш с действительной осью, и тогда формула (Д.9) будет иметь вид
m=^ J / (со) eim,d<0 =-^ j* f^eitotdto. (Д.11) Vo -”
В этом случае формулу (Д.11) называют интегралом Фурье-Лапласа. В этом случае, если t — время, то со (принимающее только вещественные значения) имеет смысл .частоты, чем и оправдывается замена р im. Так как (Д.11) совпадает теперь с разложением Фурье, то справедливо следующее утверждение (теорема Тич- марша [23]): /(t) -> 0, если t -*■ + °°.
Если между контуром уш и действительной осью находятся полюса функции /(со), то, пользуясь теоре-
мои Коши, вместо формулы (Д.11) получим формулу
Vto
= 4 J /(«)^М ^ыч^ (Д.12) —- X)S
где cos — полюса функции /(со), расположенные в нижней полуплоскости; выч. [/ (юД 6*“^]— вычеты функции / (со) ег“* в этих полюсах, которые в случае полюсов первого порядка вычисляются по формуле
выч. [/ (®Д eiM5<] = lim [(со — соД / (со) еш<].
со-> ws
Интеграл по действительной оси (Д.12) по-прежнему стремится к нулю, если t -* °° (согласно теореме Тич- марша), но так как Im cos < 0, то сумма по вычетам стремится к бесконечности при t-* °о, следовательно, /(() также стремится к бесконечности.
Поведение /(t) при t->oo в случае наличия точки ветвления в нижней полуплоскости со. Если в некоторой точке ®0 имеет место разложение
Ж ^^„(ы-ыД^, N С^С^ ... < D, п
то функция /(t), определяемая формулой (Д.9), имеет следующее асимптотическое разложение при t-> + °o:
(Д.13)
где Г(ж) — гамма-функция, причем 1/Г(— %„) = 0, если %„ — целое число. Доказательство этой теоремы смотри в [67], стр. 240.
Если точка ветвления ы0 лежит в нижней полуплоскости, то Im too < 0, и тогда, согласно формуле (Д.13), /(() -* оо, если t -»- + оо.
Преобразование интеграла. При переходе от декартовой системы координат к сферической возникают
интегралы типа
ООл2Л
/ = f р2 jp J sin 0 d0 dtp X о оо
X /(р cos ср sin 0, psinysinO, pcos0).
Часто бывает удобным, в частности, для применения теории вычетов, распространить область интегрирования по р от — оо до оо. Для этого разобьем область интегрирования по 9 на два интервала; от 0 до л/2 и
от л/2 до л. Тогда 7 = Л + Л, где
Л = J Р2^Р J sin 6^6 ) ^Ф х о л/2о
х/(р COS ф sin 0, р8Шф8Ш0, PCOS0).
В этом интеграле сделаем замену переменных:
р-*—р', 0 —*■ л ~ 0', ф-’-л + ф'.
В результате получим
ОЛ’2Л
7а = J p2dp J sin 0 d0 J dtp X —oo0—Л
X / (p СО8ф sin 0,p 8Ш ф sin 0, PCOS0).
Разобьем интеграл по ф на две интеграла: от 0 до — л и от 0 до л, и во втором сделаем замену переменных ф' =ф + 2л. В результате получим
п
J / (cos ф, sin ф) dtp = — Л
Ло
= | / (cos ф, sin ф) dtp -|- ^ f (cos ф, sin ф) dtp = о—л
Л2Л
= f / (cos ф, sin ф) dtp + ( / (cos ф, sin ф) dtp = ол
2Л
= J / (cos ф, sin ф) </ф.
Следовательно,
Ол/22Л
/2 = ^ p2dp j sin 0 d0 ^ dtp/.
=ооО
Таким образом, имеем равенство
ОО П 2ЛООП/2 2Л
J J J / № d3k = J J J fk^dkdQ = J кЧк J J /dQ.
ООО—ooО О
(Д.14)
Критерий Раусса — Гурвица. Пусть задан многочлен
(z) = boz" + b1z"-‘ + ... + &„ +
+ i(aozn + ajz"-1 + ... + a„), a0 ^ 0, причем многочлены aozn + ... + an и boz" + ... + 5„ взаимно просты (^2п^0). Тогда число корней многочлена /(z), расположенных в нижней полуплоскости, вычисляется по формуле
п-Wo, ?2, ?4, ..., ?2п),(д.15)
где N — число перемен знака в ряду (V0) V2, ..., V2n), а
V2P =V2P =«О ®1 ••• ®2р—1 Ьп Ьг ... Ьгр—1 0 а0 ... ti2p-2 0 ^о ••• ^2р-2
V2P =
V2P =
(р = 1, 2, ..., и); ак = bh = 0 при к > п.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М.: ГТИ, 1954.
Ляпунов Л. М. Общая задача об устойчивости движения,— М,— Л.: ОНТИ, 1935.
Дубошин Г. Н. Основы теории устойчивости движения.— М.: Изд. МГУ, 1952.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.— М.: Наука, 1966.
Линъ-Цзя-дзяо. Теория гидродинамической неустойчивости.— М.: ИЛ, 1958; Б.етгов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической неустойчивости.— М.: Мир, 1971; Шлих- тинг Г. Возникновение турбулентности.— М.: ИЛ, 1962; Монин А. С., Яглом А. М. Гидродинамическая неустойчивость и возникновение турбулентности.— ЖПМТФ, 1962, № 5, с. 3.
Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей.— М.: Атомиздат, 1970, т. 1, 1972, т. 2.
Бонч-Бруевич В. Л., Звягин И. П., Миронов А. Г. Доменная неустойчивость в полупроводниках.— М.: Наука, 1972.
Sturrock Р. А.— Phys. Rev., 1959, v. 112, р. 1488.
Половин Р. В — ЖТФ, 1961, т. 31, с. 1220.
Федорченко А. М.— Радиотехника и электроника 1962 т. 7, с. 1455.
Polland Р.— Phys. Rev., 1965, v. 140, р. 776.
Федорченко А. М.— ЖТФ. 1969, т. 39, с. 1549.
Филимонов Г. Ф.— Радиотехника и электроника, 1959, т. 4, с. 75.
Dyste К. В.— Nuclear Fusion, 1966, v. 6, р 215.
Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В., Ситенко А. Г., Степанов К, Н. Электродинамика плазмы.— М.: Наука, 1974.
Файнберг Я. Б., Курилко В. И., Шапиро В. Д.— ЖТФ 1961, т. 31, с. 633.
Федорченко А. М.— Радиотехника и электроника, 1966, т. И, с. 82.
Коцаренко И. Я., Федорченко А. М.— ЖТФ, 1970, т. 40, с. 41.
Briggs В. 8. Electron-Stream Interaction with Plasmas. MIT Press, Cambridge, Massachusets, 1964.
Коцаренко H. Я., Федорченко A. M.— ЖТФ 1969 t. 39 c. 951.
Hurwits С. E., McWhorter A. L.— Phys. Rev, 1964, v. 134, p. 1039.
Свешников А. Г., Тихонов A. H. Теория функций комплексной переменной.— М.: Наука, 1970.
Тичмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.— М.: Гостехиздат, 1948.
Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике.— М.: ИЛ, 1963.
Соболев С. Л,— ДАН СССР, 1958, т. 122, с. 555.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.— М : Наука, 1969.
Куликовский А. Г.— ПММ, 1966, т. 30, с. 148.
Баранчук И. С., Коцаренко И. Я., Левитский С. М,— ЖТФ, 1970, т. 40, с. 1355.
Баранчук И. С., Коцаренко И. Я., Левитский С. М.— ЖТФ, 1970, т. 40, с. 733.
Ораевский В. Я., Сагдеев Р. 3.— ЖТФ, 1962, т. 32, с. 1291.
Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики— М.: ВИНИТИ, 1964.
Bailey V. А.— Phys. Rev., 1950, v. 78, р. 428.
Hutson А. В., McFee J. И., White D. L.— Phys. Rev. Lett., 1961, v. 7, p. 237.
White D. L., Wang W. C.,— Phys. Rev, 1966, v. 149, p. 628.
Гуревич В. Л., Лайхтман В. Д.— ФТТ, 1965, т. 7, с. 3218.
Гончарук И. М., Коцаренко И. Я., Федорченко А. М.— Радиотехника и электроника, 1974, т. 19, с. 816. -х
Гончарук И. М., Коцаренко И. Я., Федорченко А. М.— Радиотехника и электроника, 1974, т. 19, с. 1939.
WcFee J. И.— J. Appl. Phys., 1963, v. 34, р. 1548.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики,—М.: Высшая школа, 1963.
Басов И. Г., Прохоров А. М.— ДАН СССР, 1955, т. 101, с. 47.
Gunn I. В.— Solid — State Commun. 1963, v. 1, p. 88.
Ridley В. K., Watkins T. В — Proc. Phys Soc., 1961, v. 78, p. 293.
Hilsum C.—Proc. IRE, 1962, v. 50, p. 185.
McCumbee D. E., Chynoweth A. C.,— IEEE Trans. 1966, ED-13, p. 4.
Hakki B. W.— J. Appl. Phys., 1967, v. 38, p. 808.
Константинов О. В., Царенков Г. В.— ФТТ, 1966, Т. 8, с. 1866.
Константинов О. В., Перель В. И.— ФТТ, 1964, т. 6, с. 3364.
Иванов Ю. Л., Рывкин С. М.— ЖТФ, 1958, т. 28, с. 774.
Kadomtsev В В, Nedospasov А. V.— J. Nucl. Energy, С, 1960, v 1, р. 230.
Gliksman М.— Phys. Rev., 1961, v. 124, р. 1655.
Гуревич Л. Э, Иоффе И. В.-ЖЭТФ, 1970, т. 58, с. 2047.
Гуревич Л. Э., Катонов А. А,—ФТТ, 1970, т. 12, с. 1265.
Коцаренко И. Я., Федорченко А. М.— Радиотехника и электроника, 1967, т. 12, с. 1280.
Schneider I.— Phys. Rev. Lett., 1959, v. 2, p 504.
Гапонов A. B.— Изв. ВУЗов «Радиофизика», 1959, т. 2, с 450.
Гапонов А. В.— Изв. ВУЗов «Радиофизика», 1959, т. 2, с. 836.
Гапонов А В. Доклад на сессии НТОР и Э им. Попова.— М. 1959.
Pantell R. П.— Рюс. IRE, 1959, v. 47, р. Ц46,
Коцаренко Н. Я., Семик В. П., Федорченко А. М.— Радйо техника и электроника, 1970, т. 15, с. 2559; 1969, т. 14 с. 1277.
Sprangle Р., Granatstein V. L. Appl. Phys. Lett, 1974, v. 25 p. 377.
Калмыков A. M, Коцаренко H. Я., Кулиш В. В.— Изв ВУЗов «Радиоэлектроника», 1977, т. 20, № 10, с. 76; Радио техника и электроника, 1979, т. 24, с. 2084.
62 Granatstein V. L., Sprangle Р,— IEEE МТТ, 1977, v. 25, 545 63. Dauls G. R.— Microwaves, 1976, N 12, p. 12.
Вагнер И. Д., Иоффе И. В., Катонов А. А.— ЖЭТФ, 1970 т. 58, с. 1007.
Белецкий Я. И., Тетервов А. П, Яковенко В. М.— ФТП 1973, т. 7, с. 1991.
Стил М, Вюраль Б. Взаимодействие волн в плазме твердого тела.— М.: Атомиздат, 1973.
Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа,— М., Наука, 1965.
Аволъф Михайлович ФЕДОРЧЕНКО Николай Яковлевич КОЦАРЕНКО АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ в плазме и твердых телах М„ 1981 г, 176 стр. с илл.
Редактор Г Г. Корышева
Техн, редактор Е. В. Морозова Корректор М. Л. Медведская
ИБ X. 11762
,Сдано в набор 111180 Подписано к печати 15 05.81 Т-20032 Бумага 84 х IO8V32, тип. Xi 1. Обыкновенная гарнитура, высокая печать. Условн. печ. л. 9,24. Уч.-изд. л 9,24. Тираж 3000 экз Заказ № 348 Цена книги 1 р. 40 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука», 630077. Новосибирск, 77, Станиславского, 25,
1. Дисперсионное уравнение для волн пространственного заряда в системе двух электронных потоков с одинаковой плотностью, движущихся с одинаковыми по величине, но противоположными по знаку скоро
A. M. ФЕДОРЧЕНКО, Н. Я. КОЦАРЕНКО
АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛАЗМЕ И ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 198 1
22.333 Ф 33
УДК 533.9
Федорченко А. М., Коцаренко Н. Я. Абсолютная и конвективная неустойчивость в плазме и твердых телах.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
Проблема неустойчивости тесно связана с важнейшими проблемами современной физики, а именно: с проблемой стабилизации процессов в устройствах для термоядерного синтеза, а также с проблемой создания современных методов генерации и усиления электромагнитных и акустических волн.
Настоящая книга является первой в мировой литературе монографией по теории абсолютной и конвективной неустойчивости в плазме и твердых телах. Получены критерии конвективной и абсолютной неустойчивости, пространственного усиления, и на их основе проанализированы конкретные системы, встречающиеся в электродинамике СВЧ, оптике, акустике, газовой плазме и плазме твердых тел.
Книга рассчитана на широкий круг специалистов, работающих в области СВЧ электроники, теории волновых процессов и физики плазмы. Она будет также полезна аспирантам и студентам соответствующих специальностей.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1981Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1981Рис 34, табл. 1, библ. 67.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1981
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1981
110-81 1704060000
UDo^U^) ”04
Предисловие 4
ГЛАВА I. Критерии пространственного усиления, конвективной и абсолютной неустойчивости .,..7
Введение 7
Критерий абсолютной и конвективной неуст'ой- чивости13
Критерийпространственного усиления ...23
Применение преобразования Лапласа по двум переменным к задаче о пространственном усилении 32
Анализ дисперсионных уравнений для двух и трех связанных волн38
Переход абсолютной неустойчивости в конвективную. Влияние границ на характер неустойчивости 49
Абсолютная и конвективная неустойчивость и усиление в системах с параметрически взаимодействующими волнами63
ГЛАВА II. Анализ дисперсионных уравнений некоторых физических систем71
Циклотронные волны в движущейся холодной
плазме71
Акустическая неустойчивость в пьезополупроводниках 77
Анализ дисперсионного уравнения оптического
квантового генератора 83
Неустойчивость в среде с отрицательной дифференциальной проводимостью94
Рекомбинационная неустойчивость в полупроводниках Ю7
Винтовая неустойчивость в полупроводниках118
Анализ дисперсионного уравнения для двух
встречных пучков‘128
Взаимодействие криволинейных электронных потоков с быстрыми электромагнитными волнами 136
Параметрическая неустойчивость электромагнитных волн в электронных потоках ..146
Высокочастотная неустойчивость в электроннодырочной плазме152
Трехволновая параметрическая неустойчивость 157
Математическое дополнение 165
Литература 174