Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА 1
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Введение: плазма — турбулентная среда
Словом «турбулентность» (от латинского turbulentus ——бурный, беспорядочный) называют неупорядоченное, хаотическое движение жидкостей и газов. Разнообразные вихревые, бурные проявления их течений в природе наблюдал каждый из нас. Эта глава посвящена разбору примера (простого, но отнюдь не тривиального), взятого из нелинейной динамики ионизованного газа (плазмы). Достоинствами выбранного примера является то, что с ним связан новый шаг в понимании природы и структуры одного из видов турбулентности, обусловленной развитием едва ли не самой универсальной, часто встречающейся неустойчивости, наблюдаемой в разнообразных лабораторных устройствах и в природе: Земля «опутана» ионосферными поясами, содержащими наряду с нейтральными молекулами газов плазму низкой плотности; корона Солнца, его поверхность и недра содержат вещество в ионизованном состоянии; в межпланетном пространстве движутся потоки заряженных частиц, электронов и ионов, составляющих космическую плазму. Круг интересующих нас явлений в этом частном случае к настоящему времени исследован достаточно полно: построена теория, выполнены обширные численные и лабораторные эксперименты, позволяющие дать однозначный ответ на принципиальные вопросы.
Отличительной особенностью плазмы является то, что электроны и ионы, обладающие электрическими зарядами противоположных знаков, не связаны жестко между собой, как это имеет место в атомах, а могут перемещаться как частицы газа. Вместе с тем электромагнитное взаимодействие между ними сравнительно медленно (обратно пропорционально квадрату расстояния) убывает по мере их удаления друг от друга. По этой причине движения электронов и ионов плазмы сильно коррелиро™ ваны (как и движение атомов в жидкости), и в плазме наблюдается большое число коллективных движений, различающихся по характеру кооперативных сил. Например, электронные плазменные волны являют собой пространственно упорядоченные колебания плотности электронов при практически невозмущаемой (из-за большого различия масс электронов и ионов) плотности ионов ), а ионно™звуковые волны (аналог звуковых волн в обычном газе) возникают в результате возмущения плотности ионов. Важно, что эти колебания приводят к пространственному разделению зарядов, появлению макроскопических токов, т. е. сопровождаются возникновением макроскопических флуктуаций электромагнитного поля. Поэтому и ленгмюровские и ионно™звуковые волны включают не только периодические движения заряженных частиц, но и колебания электрического поля. Поскольку колебания магнитного поля при этом ничтожны (из-за малых скоростей движения частиц), то и ленгмюровские и ионно™звуковые волны относят к электростатическим.
Именно по той причине, что за скоррелированность движения частиц плазмы ответственно дальнодействующее кулоновское взаимодействие (а не столкновения, как в жидкости), столкновения электронов и ионов могут вообще не играть заметной роли в динамике плазмы. Характерные длины и времена свободного пробега электронов и ионов, как правило, оказываются много больше, соответственно, характерных масштабов пространственной неоднородности и периодов колебания плазмы. Поэтому при описании плазмы прежде всего учитывается взаимодействие частиц между собой через коллективные поля. Что же касается столкновений электронов и ионов, частоты которых убывают с ростом температуры плазмы пропорционально 3/2, т0 Их необходимо учитывать только, если плазма являтся плотной и холодной, когда характерные частоты плазменных колебаний могут стать сравнимыми с частотами столкновений. Поскольку вязкость плазмы в отличие от жидкости и обычных газов пренебрежимо мала, мы теряем число Рейнольдса в качестве параметра, характеризующего состояние плазмы и должны использовать другой параметр, характеризующий степень неравновесности.
Классификация турбулентных состояний в жидкости и плазме
Турбулентные потоки жидкости обычно классифицируют по характеру структуры потока, которая однозначно определяется геометрией потока (канала течения и обтекаемых потоком препятствий). Однако жидкость ——лишь одна из самых простых сплошных сред, в которых реализуются сложные коллективные движения. Эти движения различаются по степени возмущенности линий тока или фазовых траекторий и по степени скоррелированности пульсаций. Именно по этим признакам и удобно произвести классификацию турбулентных движений. Подобная классификация широко используется при описании плазменной турбулентности, исследования которой велись весьма интенсивно в последние десятилетия, она применима и к коллективным движениям в других средах.
Введем два характерных времени коллективных движений. Время нелинейного взаимодействия tnl ——это характерное время обмена энергией и импульсом между взаимодействующими волнами или вихрями (аналог времени свободного пробега атома газа) и tq ——время разрушения корреляций движения, время перемешивания. Разрушение корреляций, как в турбулентной жидкости, так и в других средах, может происходить из-за влияния случайных источников и, что более существенно, из-за взаимодействий между вихрями, волнами. Одни и те же взаимодействия могут приводить к формированию как регулярных (когда амплитуды и фазы больших совокупностей волн оказываются скоррелированными), так и стохастических кооперативных движений. В результате 7с может быть как сравнимым с t^l, так и много больше (в регулярных и слабонерегулярных движениях) или много меньше 小七(когда взаимодействие между волнами или вихрями слабое и не приводит к существенной корреляции движений).
Следует заметить, что оценить величину t^l, как правило, не сложно, ее можно получить непосредственно из уравнений движения, зная примерно энергию коллективных движений. Что же касается величины т。, то ее определить гораздо труднее. Зачастую действуют так. На основании априорного предположения о поведе™ нии корреляций строятся кинетические уравнения турбулентной плазмы, а затем результаты теории проверяются путем сравнения с экспериментом. Иногда удается проверить справедливость сделанных предположений (как говорят, провести верификацию) .
Рис. 1.1. Различные виды турбулентных движений (линиями со стрелками обозначены траектории частиц)Рис. 1.1. Различные виды турбулентных движений (линиями со стрелками обозначены траектории частиц)
Рис. 1.1. Различные виды турбулентных движений (линиями со стрелками обозначены траектории частиц)
Рис. 1.1. Различные виды турбулентных движений (линиями со стрелками обозначены траектории частиц)
Что касается степени неравновесности среды, то она характеризуется относительной величиной плотности энергии, заключенной в турбулентном движении. В гидродинамике это плотность кинетической энергии турбулентной жидкости, в плазме ——энергия электромагнитных волн и коллективных колебаний частиц, в магнетиках ——энергия колебаний магнитного момента и упругих волн и т.д. При этом удобно ввести безразмерный параметр £ (для каждой среды ——свой), характеризующий относительный уровень турбулентных пульсаций. Для турбулентного потока таким параметром может служить, например, отношение средней плотности кинетической энергии турбулентных пульсаций к плотности энергии направленного движения жидкости pVg /2. В плазме роль параметра £ играет отношение плотности энергии W, запасенной в коллективных движениях, к плотности энергии теплового движения частиц пТ.
Используем теперь безразмерные параметры ^ и г = tc/tnl, характеризующие соответственно уровень неравновесности среды и степень скоррелированности пуль™ саций, для классификации разнообразных состояний движения. Можно составить карту турбулентных состояний, различающихся неравновесностью и степенью упорядоченности (рис. 1.1, 1.2). При малых значениях £ и г мы имеем дело со случайными, малого уровня флуктуациями, мало отличающимися от тепловых (рис. 1.1, а). Если £ растет, но 丁。остается заметно меньше tnl , мы имеем дело со стохастическими движениями, причем если изменения амплитуд и фаз малы за период плазменных колебаний 丁索,то имеет место слабая турбулентность, когда корреляции движения частиц, приводящие к формированию волн, сильны, но сами волновые движения различных длин и периодов слабо коррелированы между собой (см. рис. 1.1, б). Если же обмен энергией между волнами становится быстрым и за период 丁索 амплитуда и фаза волны или вихревых движений претерпевают существенные изменения, а корреляции не играют существенной роли, имеет место сильная турбулентность (рис. 1.1, в). В этом режиме времена 丁索,tnl и tq сравнимы. При больших значениях £ и малых г могут возникать сильные нелинейные корреляции движений, так что ам-
Рис. 1.2. Диаграмма турбулентных состояний плазмыРис. 1.2. Диаграмма турбулентных состояний плазмыплитуды и фазы волн, расположение и взаимные перемещения вихрей станут заметно коррелированными, хотя перемешивание в системе сохранится. При этом г > 1 и возникают частично упорядоченные турбулентные структуры (например, турбули™ зованные ячейки Бенара или цепочки вихрей в жидкости)——это состояние умеренной турбулентности (рис. 1.1, г). Сильная корреляция амплитуд и фаз при немалых запасах неравновесности соответствует состоянию сильно упорядоченной, или вырожденной, турбулентности. При этом т》1 и коллективные движения представляют собой регулярные совокупности взаимодействующих нелинейных волн (аналог ячеек Бенара или дорожки Кармана в жидкости) (рис. 1.1, d). Когда неравновесное состояние среды с низким уровнем флуктуаций становится неустойчивым, развитие неустойчивости может пойти различными путями, по разным сценариям, в зависимости от начальных условий и степени неустойчивости. Например, возрастание линейных волн и усиление взаимодействия между ними могут привести к формированию регулярных нелинейных волн, в системе которых возникнет слабое перемешивание. Рост £ будет сопровождаться слабым ростом корреляций, и движение из слабого турбулентного превратится либо в частично упорядоченное, умеренно-турбулентное состояние, либо в состояние сильной турбулентности. Неко
Рис. 1.2. Диаграмма турбулентных состояний плазмы
Рис. 1.2. Диаграмма турбулентных состояний плазмы
торые возможные типы эволюции состояний движения неравновесной плазмы представлены на рис. 1.2 стрелками.
Переходы типа порядок—беспорядок в плазме
Среди разнообразных состояний движения плазмы наблюдаются термодинамически равновесные, неравновесные упорядоченные (аналоги ламинарного и «извилистого» регулярного течения) и турбулентные, нерегулярные. Большое разнообразие типов коллективных движений частиц плазмы и порождаемых ими электромагнитных колебаний создает многообразие движений плазмы.
Рассмотрим сначала плазму в состоянии термодинамического равновесия. Тепловые флуктуации плотности заряда и тока, возникающие из-за хаотических перемещений частиц плазмы, порождают и флуктуации электромагнитного поля. Флуктуационные коллективные колебания (тепловые шумы) плазмы можно описывать совокупностью волн различных типов, порождаемых флуктуациями плотности частиц и токов. Поле тепловых электростатических колебаний 夕(z, t) можно представить в виде суперпозиции периодических в пространстве х и времени 力 движений:
(L1)(L1)夕(z, t) = ^2 ехр(гА:ж) exp(zwt),
(L1)
(L1)
где амплитуды а&川一комплексные величины.
Из-за того, что флуктуации потенциала порождаются хаотическими флуктуациями плотности заряда, возникающими из-за стохастических движений отдельных частиц, амплитуды являются случайными и подчиняются зависящему от температуры закону распределения, вытекающему из распределения Гиббса. Поэтому 夕(z, t) (1.1) — случайная функция, параметризованная случайными величинами &索川* Выше мы отмечали, что из-за дальнодействия кулоновских взаимодействий движения плазмы носят коллективный характер. Это проявляется в том, что случайные величины &索№ не являются независимыми. Пространственные и временные периоды малых колебаний плазмы оказываются сильно коррелированными: каждому пространственному периоду неоднородности Лд； = 2тг/к можно поставить в соответствие один или несколько временных периодов 仪=2тг/ш^ (5 — индекс, нумерующий возможные периоды или типы колебаний). Например, в плазме без магнитного поля существуют два типа коллективных движений ——ионно™звуковые и ленгмюровские колебания. Связь между пространственными и временными периодами для тех и других дается соотношениями (они называются законами дисперсии):
^к = kVs, и% = cUp + 3k^V^ 7
где Vs — скорость ионного звука, шр = уФтглв^/ш ——ленгмюровская частота, п —— плотность, в ——заряд, m ——масса электронов, Vre — тепловая скорость электронов.
С учетом отмеченного обстоятельства можно написать &索川=£4* 5@ — g力)，и следовательно,
夕(X t) = £ a* cos(kz - Ukt + 线；))(1.2)
где амплитуды 碗 и фазы ” однозначно связаны с 4力.Таким образом,奴z, t) — случайная функция, параметризованная случайными величинами ｛碗，线｝* Квадраты амплитуд I碗户 в термодинамически равновесном состоянии подчиняются распределению Гаусса, а фазы ” 一 однородно распределены на интервале [0, 2тг].
Плазма в термодинамически равновесном состоянии ——явление крайне редкое. По этой причине слабые тепловые флуктуации плазмы, соответствующие малым значениям параметра g f 0, не представляют особого интереса. Как в природе, так и в лабораторных устройствах, как правило, плазма находится в сильно неравновесных состояниях, когда W > пТ, или в слабонеравновесных состояниях, когда W < пТ. Но в обоих случаях интенсивность колебаний намного превосходит уровень тепловых флуктуаций. Последние из-за малости отклонений динамических величин от равновесных значений описываются линейными (по величинам этих отклонений) уравнениями. Именно поэтому тепловые движения плазмы можно представить в виде суперпозиции не связанных между собой колебаний, а амплитуды и фазы оказываются независимыми величинами. В общем случае уравнения движения плазмы нелинейны, и нелинейные члены этих уравнений описывают взаимодействия, взаимосвязь коллективных движений, оказывающихся независимыми только в пределе пренебрежимо малых амплитуд. Из-за взаимодействий амплитуды и фазы волн даже при малых, но конечных амплитудах уже не являются независимыми случайными величинами, между ними возникают корреляции (точно так же, как возникают корреляции движения частиц в жидкости вследствие взаимодействий). Потенциал плазмы по-прежнему еще можно представить в виде (1.2), но амплитуды и фазы из-за взаимодействия волн нельзя считать независимыми. Чтобы установить связь между ними, следует подставить (1.2) в уравнения движения, учитывающие источники возбуждения волн и взаимодействия волн между собой, т. е. считать 碗 и ”
функциями координат и времени. Из-за слабости взаимодействия амплитуды 碗 и фазы ” мало меняются за период t^ и на длине волны Х^. Этим можно воспользоваться при выводе приближенных уравнений для 碗 и 6>|.
Теперь, определив введенные в предыдущем параграфе два характерных времени коллективных движений плазмы: т^ь и 丁。(первое характеризует среднее время обмена энергией и импульсом между волнами, а второе ——время разрушения корреляций коллективных движений, время перемешивания), можно воспользоваться приведенной ранее классификацией состояний движения применительно к турбулентной плазме. Следует заметить, что особенностью плазмы является обилие неустойчивых состояний движения: подавляющее число неравновесных состояний подвержено развитию динамических неустойчивостей, приводящих к возбуждению волн различных типов и порождающих сложные движения отдельных частиц. Начальная стадия каждой такой неустойчивости проявляется в возбуждении волн, которые слабо взаимодействуют между собой, пока их амплитуды малы (слабая турбулентность) .Вследствие экспоненциально быстрого роста амплитуд, взаимодействия между волнами, а также между волнами и резонансными частицами, весьма скоро перестают быть пренебрежимо малыми, так что и t^l, и 丁。могут принимать любые конечные значения, а следовательно и характер турбулентного движения может существенно меняться по мере развития неустойчивости. Например, линейная стадия может завершиться формированием регулярного, существенно нелинейного движения (вырожденная турбулентность), которое, в свою очередь, окажется неустойчивым и перейдет в частично упорядоченное, умеренно-турбулентное состояние или в состояние сильной турбулентности, как это показано стрелкой 1 на рис. 1.2.
Для динамики неравновесной плазмы характерны переходы типа поря^сж—беспо рядок и изменение степени упорядоченности в эволюционных процессах. Приведем лишь несколько примеров.
Г.К. Солодовников обнаружил, что с увеличением уровня ионосферных пульсаций, происходящих во время магнитных бурь, среднее время их корреляций не уменьшается, а увеличивается, и происходит формирование когерентных пакетов волн (амплитуды и фазы волн оказываются скоррелированными).
В 1979 г. в численных экспериментах, проведенных Ю.С. Сиговым вместе с Н.Г. Беловой, А.А. Галеевым и Р.З. Сагдеевым, были обнаружены своеобразные пространственно-временные структуры ——нестационарные двойные электрические слои, спонтанно возникающие в открытых плазменных системах, турбулизованных токовой неустойчивостью. Возможно, именно подобные слои, с огромной в импульсе разностью потенциалов, ответственны за происхождение электронов аномально больших энергий, наблюдаемых в приполярных областях после солнечных вспышек.
А.С. Бакаю и В.И. Маслову удалось описать развитие ионно-звуковой турбулентности в плазме с током в магнитном поле и показать, что возникающее вначале слабое турбулентное состояние претерпевает последовательность неустойчивостей. С развитием каждой последующей волновое движение становится все более упорядоченным (!) и в конечном счете на поздней стадии формируется цепочка когерентных всплесков ионно™звуковых пульсаций. Именно такая картина наблюдалась американскими исследователями, проводившими изучение возбуждаемых космическими потоками частиц ионно™звуковых пульсаций ионосферы при помощи спутников.
Переходы типа порядок-беспорядок в турбулентной плазме многочисленны и разнообразны, и само их существование подтверждает правильность и общность основных представлений о свойствах движения, указанных в данном разделе.
1.1.3. Квазилинейная теория
Ниже мы остановимся на подробном обсуждении одного примера эволюции турбулентности плазмы, а именно турбулентности, порождаемой пучковой неустойчивостью. Круг динамических явлений, возникающих при развитии пучковой неустойчивости, весьма широк, причем явления эти интенсивно используются в разнообразных практических приложениях. С другой стороны, эти явления хорошо изучены и
допускают достаточно полное описание.
Явление пучковой неустойчивости, открытое советскими физиками Я.Б. Файн- бергом и А.И. Ахиезером [1] и независимо американскими физиками Д. Бомом и Е. Г россом [2] более полувека назад, заключается в следующем.
При инжекции потока электронов в плазму в ней возникают ленгмюровские (или других типов) плазменные колебания, фазовые скорости которых близки к скоростям электронов в потоке. Если электронный поток сильно размыт по скоростям, то и спектр возбуждаемых волн широк. Описание насыщения и развития пучковой неустойчивости требует рассмотрения эволюции большого числа волн и функции распределения частиц пучка. Поскольку начальные флуктуации плазмы некорре- лированы и фазы волн случайны, то естественно предположить, что пока W < пТ и взаимодействия волн между собой слабые, фазы остаются нескоррелированны- ми. Если амплитуды волн Е^ растут медленно, то это предположение эквивалентно
предположению о реализации состояния слабой турбулентности при развитии пучковой неустойчивости, а это уже позволяет построить кинетические уравнения для амплитуд волн и функции распределения частиц пучка. Такие уравнения были впервые получены советскими физиками А.А. Веденовым, Е.П. Велиховым и Р.З. Сагдеевым [3], а также американцами В. Драммондом и Д. Пайнсом [4] в 1962 г. Эти уравнения просты и изящны по виду:
ал
dt
\Ек\2 = 2)& \Ek\2, 7^ = Ak 夂
微=g/ k
05 = 4耳门
(1-3)
Здесь Д(г?, t)——функция распределения частиц пучка по скоростям, 7^ ——инкременты роста амплитуд, D ——коэффициент диффузии частиц по скоростям, 24k и Bv — коэффициенты, не зависящие от амплитуд Е^ и функции распределения Д. Как видно, фазы волн вообще не входят в эти уравнения. Но при их выводе неявно предполагается, что фазы волн нескоррелирова- ны. Первое из уравнений линейно по \Е^\2, и поэтому
1^1
V
в
Рис. 1.3. Квазилинейная эволюция пучка в плазме
система уравнений (1.3) называется квазилинейной. Уравнения квазилинейной теории (КЛТ) нетрудно исследовать и иногда решить. В частности можно установить, что квазилинейная эволюция нечувствительна к начальным условиям, что устойчи-
вое равновесие состояния движения единственно и что амплитуды волн ——монотонно растущие функции. В этом состоянии волны возбуждаются только в том интервале фазовых скоростей, где в процессе эволюции наклон функции распределения ЗД /dv становится положительным, а функция распределения постоянна в интервале скоростей частиц, совпадающем с интервалом фазовых скоростей волн. На рис. 1.3 пред-
Рис. 1.4. Экспериментальные спектры турбулентностиРис. 1.4. Экспериментальные спектры турбулентностиРис. 1.5. Экспериментальные инкременты неустойчивых волнРис. 1.5. Экспериментальные инкременты неустойчивых волн
Рис. 1.4. Экспериментальные спектры турбулентности
Рис. 1.4. Экспериментальные спектры турбулентности
Рис. 1.5. Экспериментальные инкременты неустойчивых волн
Рис. 1.5. Экспериментальные инкременты неустойчивых волн
ставлены начальная (а) и конечная (б) функции распределения электронов /е(г?), а также амплитуд волн \EV\ (в) по фазовым скоростям.
Многочисленные экспериментальные данные находились в хорошем качествен
ном и количественном согласии с предсказаниями КЛТ. Но тщательно поставленный
лабораторный эксперимент обнаружил небольшие, но принципиальные, расхождения с теорией. Во-первых, функция распределения пучка искажалась в той области
значений скоростей, где отсутствовали волны с близкими фазовыми скоростями.
Во-вторых, амплитуды волн не оказались монотонно растущими: некоторые из них вначале нарастали, а затем убывали и, возможно, осциллировали. Авторы эксперимента (американские физики Джентл и Роберсон) не придали особого значения этим отклонениям.
С.М. Криворучко, С.А. Некрашевич, В.А. Баш- ко в серии экспериментов тщательно изучили эволюцию неустойчивости размытого по скоростям пучка и установили, что только очень слабый пучок (как у Джентла и Роберсона) релаксирует в режиме слабой турбулентности. С ростом тока пучка, в плазме устанавливаются умеренно турбулентные режимы. Отличительная черта последних ——высокая чувствительность к начальным корреляциям и внешним воздействиям, сви
детельствующая о структурной неустойчивости и существенных корреляциях движения. На рис. 1.4 приведены спектры ленгмюровских колебаний, возбужденных пучком в отсутствие (а) и при наличии слабого (с амплитудой, на порядок меньшей амплитуды установившихся колебаний) внешнего периодического сигнала (б). Видна существенная перестройка спектра, свидетельствующая о фор-
жировании мощного пакета волн со скоррелированными фазами в окрестности частоты «затравочного» сигнала. Амплитуды неустойчивых волн
меняются немонотонно (вопреки КЛТ). На рис. 1.5 представлены экспериментально 1 例马12
измеренные инкременты)索=•—-——нескольких волн. Видно, что они меня
ют знаки со временем, т. е.рост волн сменяется затуханием, и наоборот. В остроум
ном эксперименте, выполненном в 1987 г. американским физиком Дж. Малмбергом и французским физиком ①⑥ Довейлом, также установлены существенные корреля
ции коллективных движений, возникающих при релаксации размытого по скоростям
пучка.
Квазилинейная теория в задаче о релаксации размытого пучка в плазме
Распределение частиц по скоростям, содержащее размытый электронный пучок, является типичным примером неустойчивой плазменной конфигурации. В этом случае в плазме нарастают волны, интервал фазовых скоростей которых △岭h совпа-
дает с интервалом скоростей частиц и С [Vi, V^], на котором производная функции распределения df /dv положительна, причем инкремент роста
7^7^_打闷城df2 k2 dv_打闷城df2 k2 dv(1-4)(1-4)kv = Cdj^kv = Cdj^
7^
7^
_打闷城df
2 k2 dv
_打闷城df
2 k2 dv
(1-4)
(1-4)
kv = Cdj^
kv = Cdj^
Возбуждаемые волны деформируют /(ж, -и, t), которая в конечном счете релаксирует и устанавливается некоторое равновесное распределение частиц и волн (рис. 1.3, б). Из (1.4) следует важное свойство равновесного распределения: в равновесии производная усредненной функции неположительна во всем интервале скоростей и неотрицательна в интервале AVph возбужденных волн.
Теория бесстолкновительной релаксации должна включать описание процесса взаимодействия волн между собой и с частицами. Взаимодействие волн и частиц хорошо описывается в двух предельных случаях: только одной волны или многих волн малых амплитуд, корреляции фаз которых несущественны. Первый случай соответствует затуханию Ландау, второй описывается квазилинейной теорией. В этом случае, если начальные корреляции волн слабы, частицы движутся в стохастическом поле, диффундируя по скоростям.
Уравнения КЛТ (1.3) справедливы при выполнении следующих условий.
«Слабый пучок» ——малость изменения дисперсии волн в процессе релаксации
Ik < ^k.(1.5)
что достигается за счет низких плотностей пучка 冗匕《tiq.
«Много волн» ——наличие большого числа неустойчивых мод,
\V 2 /ь
при этом ширина пакета возбужденных волн (по и) должна значительно превышать глубину потенциальной ямы, созданной пучком. Иными словами, интервал диффузии частиц (равный приблизительно AVph = 14 — 14) должен превышать «длину свободного пробега» Vtr частицы по и:
«Перекрытие резонансов» ——в случае дискретного спектра важным требованием КЛТ является также перекрытие по скоростям зон захвата для соседних гармоник.
^pph, к 弋常 6к & 2 j礬=(L7)
Здесь и далее ?%,必索 и Е^ — инкремент, частота и амплитуда k-й волновой моды соответственно, шр, Ар ——электронная плазменная частота и длина Дебая, L ——длина системы, 14,14 ——границы неустойчивой области на функции распределения электронов /(ж, -и)-
Заметим, что относительно четвертого необходимого условия (стохастичности фаз) обычно предполагается, что оно автоматически должно вытекать из первых трех (1.5)-(1.7) и тенденции к фазовому перемешиванию волн с дисперсионным частотным сдвигом
(L8)(L8)3卜=у 1 + 3k? £
(L8)
(L8)
Ограничения КЛТ: история вопроса
Существенной особенность уравнений КЛТ (1.3) является пренебрежение в кинетике частиц неоднородностями функции распределения и взаимодействием волн между собой через резонансные частицы. Именно эти упущения не позволяют описать важные особенности взаимодействия размытых по скоростям пучков с плазмой.
При выводе уравнений КЛТ явно или неявно предполагается, что фазы волн случайны и время корреляции фаз волн тс является самым малым из всех характерных времен задачи. От изменения фаз 6心 волн зависит характер взаимодействия с ними резонансных частиц со скоростями v 二 Vph =必心/卜-В качестве оценки тс обычно принимается то время, за которое △0心/0心 меняется на величину порядка 1. В некоторых работах полагают тс ~ (kAv)^1. Эта величина оценивает время, за которое изменение разностей фаз волн с разбросом фазовых скоростей равных А-и становится примерно равным 1. Однако из пакета волн с указанным разбросом фазовых скоростей A-и необходимо выделить только те, которые резонансным образом взаимодействуют с частицей. При малых амплитудах волн, когда ширина интервала захвата частиц по скоростям 1/口，心=2，&石心 / (km) меньше, чем k^k^ резонансным образом с частицей скорости v взаимодействуют волны, фазовые скорости Vph которых лежат в интервале: |Vph — и| <(514, 6】4 * vjk/^к [5]. При больших значениях время тс становится порядка (依4「)一L
Попытки выйти за рамки приближения КЛТ при описании системы резонансным образом взаимодействующих волн и частиц предпринимались давно. В работе [6] учтено уширение резонанса взаимодействия между волнами и частицами (JV = 1乙「)) что в конечном счете привело к уравнениям, по виду совпадающими с (1.3), но с перенормированными коэффициентами Dv и 力‘心.Следующий шаг в описании кинетики взаимодействующих волн и частиц был сделан в работах [7, 8] и [9, 10], где учитываются корреляции фазовых траекторий частиц при взаимодействии с волнами. Упомянутые корреляции возникают из-за того, что фазовые траектории частиц, координаты которых отличаются меньше, чем на половину длины волны, а скорости отличаются меньше, чем на 14「длительное время остаются близкими, испытывая почти одинаковые ускорения (=石心/m)* Это приводит к медленному расплыванию неоднородностей функции распределения частиц на масштабах Аж < тг/k)А-и < < 1乙「что выглядит как грануляция функции распределения или формирование макрочастиц. При оценке времени жизни макрочастиц Т. Дюпри получил выражение tcl = 1/Qtr)^tr = 依4"2 [10], а Б.Б. Кадомцев и О.П. Погуце, предположив, что макрочастицы совершают в поле волн движения близкие к регулярным, нашли, что парные корреляции первоначально близких в фазовом пространстве частиц убывают со временем по степенному закону. Как и при выводе уравнений КЛТ, в работах [7-10] не рассматривался вопрос о возможности возникновения корреляции фаз волн (вызванного, например, резонансным взаимодействием с одними и теми же макрочастицами) .
В 1971 г. Б.Б. Кадомцев [11] ввел термин «умеренная турбулентность» для обозначений таких режимов, когда амплитуда плазменных волн настолько велика, что существенную роль начинают играть захваченные частицы. Поскольку частота колебаний захваченных частиц П^,心 пропорциональна дробной степени амплитуды Е^ (1/2 — для изолированной волны), такая картина не может описываться путем разложения по амплитуде колебаний, т. е., например, в рамках теории слабой турбулентности.
В работе [12] был рассмотрен вопрос об устойчивости квазилинейного процесса релаксации одномерного размытого по скоростям пучка относительно возникнове-
ния корреляции фаз волн и установлено, что процесс бесстолкновительной релаксации по сценарию КЛТ неустойчив при t^l < тс, т. е. П^ > 7fe в результате экспоненциально быстрого уширения интервалов корреляции фаз волн. При этом диффузионный перенос частиц по скоростям сменяется турбулентно-конвективным. В этой же работе предложены уравнения теории умеренной турбулентности (УТ), описывающие процесс релаксации с учетом корреляции фаз волн и движения частиц. Особенностью уравнений УТ является то, что они в соответствующих предельных случаях переходят в уравнения слабой турбулентности (приближение КЛТ), сильной турбулентности (кинетические уравнения однородной турбулентности с перенормированными коэффициентами) или уравнения вырожденной потенциальной волны. Рассмотрение и вывод уравнений УТ по существу проведены в приближении Qtr/?% > 1, где в качестве начального приближения рассматриваются траектории резонансных частиц в поле регулярных пакетов волн.
В 1977 г., в работе [5] и затем в [13] при помощи численного моделирования и средствами анализа исследована и подтверждена применимость критерия возникновения УТ режима. Установлено, что времена жизни макрочастиц заметно превышают оценки, полученные Дюпри, но существенно меньше найденных Кадомцевым и Погуце, обнаружено усиление корреляций фаз волн и формирование когерентных пакетов волн при П^ > Ук^ рост фурье-гармоник в пакетах с инкрементами, превышающими полученные из КЛТ, их немонотонное поведение во времени, а также установлена существенная зависимость процесса релаксации пучка от начальных условий. В работе [14] исследован случай релаксации двумерных размытых пучков и обнаружено, что корреляционные явления имеет место и в этом случае, хотя общая картина носит более сложный характер.
Позднее в численных экспериментах [15] также обнаружено существенное проявление аналогичных корреляционных явлений при релаксации одномерного размытого пучка в замкнутой плазменной системе с периодическими граничными условиями. При описании этого явления в [16] и последующих работах [17—19] исследовался вклад высших членов разложения в кинетические уравнения при т^/П^г》1 и установлено, что этот вклад является рисходящимся при П^》7趴 Таким образом, показана несостоятельность приближения КЛТ при достаточно больших амплитудах волн.
В кинетической теории при построении разложений, в нулевом приближении фазовые траектории частиц являются прямыми (и = 1办,冗=冗о + I/j力),и расходимость в высших приближениях означает структурную неустойчивость фазового потока, проявляющуюся при Qfr 生 7fe- Заметим, что при построении кинетических уравнений систем многих частиц (например, по методу Н.Н. Боголюбова), как правило, возникают расходимости в высших приближениях из-за появления корреляций движения частиц.
В работе [19] предложены модельные кинетические уравнения, позволяющие учесть отклонение от режима КЛТ при П^ > Ж в рамках которых (также, как в теории УТ) найдено увеличение коэффициента диффузии и инкрементов роста волн. Полученные уравнения, основанные на иных, чем и [12], посылках и по виду не совпадают с полученными там уравнениями УТ.
Отклонения от квазилинейного процесса релаксации размытого пучка в плазме были посуществу обнаружены уже в первых тщательных экспериментах по проверке КЛТ [18], однако в этой работе основное внимание уделено режимам, близким к квазилинейным. Детальное изучение корреляционных явлений в пучково-плазменных системах выполнено в экспериментальных работах [20^23]. Основные результаты таковы. Полная энергия, передаваемая пучком плазменным колебаниям, вначале на-
растает, а затем несколько убывает. Немонотонный рост полной энергии волн свидетельствует об инерционности и частичной обратимости процесса релаксации пучка, что несовместимо с уравнением Фоккера-Планка для частиц. На функции распределения наряду с плато формируются хвосты. Инкременты отдельных мод могут менять знак (рис. 1.5). При наличии слабого затравочного волнового возмущения в процессе релаксации пучка формируется интенсивный пакет волн с максимумом спектральной плотности на частоте затравочной волны (рис. 1.4, б). Таким образом, слабые начальные корреляции поля волн не исчезают, а усиливаются при релаксации пучка. Установлено, что волны интенсивно взаимодействуют через резонансные частицы и это взаимодействие проявляется в виде корреляций фаз волн и приводит к грануляции функции распределения частиц пучка. Средние инкременты роста амплитуд волн при наличии и усилении корреляций увеличиваются. Как видно, все перечисленные результаты подтверждают как неприменимость КЛТ для описания важных деталей процесса релаксации размытых пучков, так и основные выводы численных экспериментов [5], теории УТ [12] и полученных в [17, 18] результатов.
Полуфеноменологическая теория умеренной турбулентности
Для исследования устойчивости решения уравнений КЛТ (1.3) {Д(-и,力),|^(t)|2} приготовим возмущение в виде пакета волн со скоррелированными фазами в интервале волновых векторов ае。, средним волновым числом к и амплитудой 石°, которая
Рис. 1.6. Схема взаимодействия резонансных частиц пучка с волновым пакетомРис. 1.6. Схема взаимодействия резонансных частиц пучка с волновым пакетомдостаточно мала: Q^r 《7^, Q^r = ^ekEo/m.. Пространственная протяженность пакета £° = 1/аед. Вне пакета движение частиц описавается квазилинейными уравнениями, а в области пакета его следует описывать, решая уравнения Власова-Пуассона или, что то же самое, уравнения движения частиц в самосогласованном поле. При этом достаточно рассматривать только резонансные частицы, скорости которых близки к средней фазовой скорости пакета Vph. Пакет слабо возмущает траектории частиц до тех пор, пока длина взаимодействия /jnt = ^Vph/(kVtr), (1存=у/еЕ/(km)) много больше протяженности пакета. С ростом 1乙「 (】4г 〜 exph点〃2]) длина /int сравнивается c Lq. При этом траектории резонансных частиц уже заметно возмущаются пакетом. Поведение фазовых траекторий частиц в области резонансного взаимодействия с пакетом при 厶nt 0 Lq нетрудно найти, решая уравнения
Рис. 1.6. Схема взаимодействия резонансных частиц пучка с волновым пакетом
Рис. 1.6. Схема взаимодействия резонансных частиц пучка с волновым пакетом
движения частиц в поле пакета; оно схематично изображено на рис. 1.6. Видно, что скорость резонансной частицы после взаимодействия примерно равна 2Vph — v, если до взаимодействия она равнялась и. Поэтому если перед пакетом, при ж < 0, функ
ция распределения пучка мало отличается от квазилинейной и представлена в виде разложения по степени v — Vph：
(L9)(LIO)(L9)(LIO)/(о,^з) = 7(^3) = %⑴ + 算⑴ е - то за пакетом, где ж > /, очевидно,
(L9)
(LIO)
(L9)
(LIO)
Здесь 丁 = //Vph ——время пролета частицы через область резонансного взаимодей
ствия с пакетом.
На рис. 1.7 изображена функция распределения перед пакетом (1.9) и за пакетом (1.10). Ясно, что производная функции распределения на длине взаимодействия
/int поменяла знак и стала отрицательной в интервале скоростей ® — Vph I < 14「Поэтому при х > 厶廿 волны С фазовыми скоростями |Vph — Vph I < Кг, В том числе и «хвост» пакета, затухают. Следовательно, головная часть пакета при 0 < ж < 厶廿 продолжает расти (нетрудно найти, что инкремент роста амплитуды этой части пакета с хорошей точностью равен квазилинейному) ,в то время как «хвост» затухает, так что пространственная протяженность пакета уменьшается, оставаясь равной /int. Пространственное сужение пакета можно трактовать как расширение интервала корреляции фаз волн в пространстве к: аес = 1/厶nt = =khr/S 吟 h).
Поскольку 14г 〜 石 1/2, инкремент роста интерва
Рис. 1.7. Функция распределения перед (а) и за (б) волновым пакетомРис. 1.7. Функция распределения перед (а) и за (б) волновым пакетомла корреляции равен половине квазилинейного инкремента. Таким образом, квазилинейный процесс релаксации неустойчив относительно возникновения корреляций фаз волн.
Рис. 1.7. Функция распределения перед (а) и за (б) волновым пакетом
Рис. 1.7. Функция распределения перед (а) и за (б) волновым пакетом
Неустойчивая, с инкрементом ?*, волна представляет собой пакет волн шириной ае =. Частица со скоростью и резонансным образом взаимодействует с неустой-
丄тт
Г rfe+«/2Ekае/2Г rfe+«/2Ekае/2旧館2川旧館2川1/2I石1/2I石чивыми волнами из интервала 士 . Поле суперпозиции волн из интервала шириной ае обладает длиной когерентности L^ = 1 /ае по х и средней амплитудой
Г rfe+«/2
Ek
ае/2
Г rfe+«/2
Ek
ае/2
旧館2川
旧館2川
1/2
I石
1/2
I石
Следовательно, неустойчивость квазилинейного процесса релаксации развивается при Ofr^ ?&, П?г = у екЕ^ /ш.
В результате развития неустойчивости образуются когерентные пакеты волн. Они взаимодействуют между собой через резонансные частицы. Поскольку пакет волн с амплитудой Ef и средней фазовой скоростью I/% возмущает функцию распределения в интервале скоростей V^ 士 I*?, то расположенные за ними по соседству пакеты эволюционируют, взаимодействуя с созданными этим пакетом возмущениями, если их фазовые скорости отстоят недалеко: |Vph — V^\ < 1乙? + I*；, где Vph, I/；；——фазовые скорости и «амплитуды» соседних пакетов. Чтобы уяснить характер и следствие этого взаимодействия, рассмотрим эволюцию двух неперекрываю- щихся пакетов, локализованных в областях (鼻〃,鼻〃 + L),(步2,步2 + 七),со средними фазовыми скоростями Vph, i, Vph, 2 и амплитудами 石八 石？• Пусть, для определенности х > Li + 方1, а функция распределения перед первым пакетом представима в виде (1.9). Тогда первый пакет эволюционирует так, как описано выше, и функция распределения за ним описывается выражением (1.10). Эволюция второго пакета определяется возмущенной функцией распределения (1.10) и инкремент его роста 72 зависит от соотношения амплитуд и фазовых скоростей обоих пакетов
Рис. 1.8. Отношение инкрементов сравнимых волновых пакетов при фиксированных значениях р = 0,1 (，)； р = =1 (^)； р = 1,5Рис. 1.8. Отношение инкрементов сравнимых волновых пакетов при фиксированных значениях р = 0,1 (，)； р = =1 (^)； р = 1,572 = 72 (】/ph,2, %г,2；】/phJ,【Аг」),
Рис. 1.8. Отношение инкрементов сравнимых волновых пакетов при фиксированных значениях р = 0,1 (，)； р = =1 (^)； р = 1,5
Рис. 1.8. Отношение инкрементов сравнимых волновых пакетов при фиксированных значениях р = 0,1 (，)； р = =1 (^)； р = 1,5
Нетрудно убедиться, что 72 является функцией толь- 】4г,2】/ph,2 —【/ph」
ко двух переменных: р = -7——и ^ =—一石 ™——.
На рис. 1.8 представлены зависимости 72(,, ст)/71 при фиксированных значениях р. 72 (р, о) отличается от 71 в области \a\ < 1 — р, достигает максимума при \а\ * 1 + р/2 и минимума при а = 0. Минимальное значение 72 равно —ц при р < 1. Видно, что при срав~ ненимых амплитудах второй пакет растет примерно с тем же инкрементом, что и первый, если Vph,2 отличается от Vph,i на величину |Vph,2 — Vph,i| 〜Кг,1- При меньшей разности, |Vph,2 — Vph,i | < Нгд/2, второй па~
Рис. 1.9. Схематичная картина фазовой плоскости ж, v на стадии умеренной турбулентностиРис. 1.9. Схематичная картина фазовой плоскости ж, v на стадии умеренной турбулентностикет затухает.
Рис. 1.9. Схематичная картина фазовой плоскости ж, v на стадии умеренной турбулентности
Рис. 1.9. Схематичная картина фазовой плоскости ж, v на стадии умеренной турбулентности
Теперь нетрудно представить картину эволюции большого числа пакетов волн. Фазовые скорости соседних пакетов должны отличаться на величину △Vph 〜 Vtr(Vph), а расстояние между пакетами по х ——порядка ширины пакетов Аж 〜 /(Vph)- Таким образом, пакеты образуют упорядоченную решетку на плоскости с характерными размерами ячеек (Ц^рь), Vtr(Vph))- На фазовой плоскости (ж, и) соответственно, образуется решетка области резонансного взаимодействия частиц с пакетами, подобная представленной на рис. 1.9. Нарушающие порядок решетки пакеты отстают в росте или затухают и перестают играть заметную роль в процессе релаксации. Упорядочивание обеспечивает быстрый одновременный рост всех пакетов, оборотной стороной чего является длительное сохранение корреляции движения частиц.
Существует два вида корреляции движения частиц.
Частицы с достаточно близкими начальными условиями двигаются практически в одних и тех же полях и поэтому их фазовые траектории длительное время остаются близкими, что может приводить к образованию макрочастиц.
Благодаря характерному поведению фазовых траекторий в области резонансного взаимодействия (см. рис. 1.6) и упорядоченности решетки пакетов, возникает корреляция резонансных взаимодействий частиц с пакетами, а именно, если в результате взаимодействия с каким-либо пакетом частица ускоряется (замедляется), то вероятность w того, что при взаимодействии со следующим пакетом она тоже будет ускоряться (замедляться), больше 1 /2.
На рис. 1.9 заштрихованы те участки фазовой плоскости, начиная с которых частица замедляется при очередном взаимодействии с пакетом, и не заштрихованы те, начиная с которых частица ускоряется. Наличие корреляций второго вида означает, что вероятность перехода траектории с заштрихованого (не заштрихованного) на заштрихованный (не заштрихованный) участок после прохождения резонансной области, больше 1/2. В разупорядоченной решетке, очевидно w = 1/2.
3. Численный эксперимент —— проверка КЛТ
В численном эксперименте по исследованию релаксации неравновесной электронной функции распределения с горбом на хвосте дискретная модель плазмы и начальные условия были выбраны нами таким образом, чтобы можно было получить ответ на следующие вопросы.
Устойчив ли процесс квазилинейной релаксации, когда выполнены условия (1.5)—(L 7) и нарушено условие
где тд；——инкремент неустойчивой волны, П^ = kl4r/2?
Развивается ли при этом неустойчивость квазилинейного процесса относительно возникновения корреляций электрического поля и движения частиц?
Как и когда начинает проявляться взаимодействие между волнами через резонансные частицы? Образуется ли упорядоченная структура пакетов волн? Выполняются ли основные предсказания теории умеренной турбулентности?
Имеется два типа задач о взаимодействии пучков заряженных частиц с плазмой: (1) задачи о релаксации пучков в замкнутых пучково-плазменных системах и (2) задачи о взаимодействии пучков с плазмой, инжектируемых в ограниченную систему.
Если выполнены условия резонансного взаимодействия частиц пучка с распространяющимися в системе волнами, так что имеет место пучковая неустойчивость, то в первом случае частицы пучка в среднем замедляются, передавая часть энергии волнам, и в конечном счете устанавливается такой динамический режим, при котором наступает баланс в резонансном обмене энергией между волнами и частицами. Признаком устойчивости устанавливающегося режима является невозрастающая в среднем функция распределения частиц по скоростям: 3 (/)/dv W 0 (угловые скобки означают усреднение по х и 力)• Во втором случае стационарный динамический режим может установиться, если средняя энергия, передаваемая частицами пучка плазме, окажется равной нулю или если из системы отводится поток энергии, равный среднему потоку энергии, передаваемой частицами инжектируемого пучка плазме. Ниже будут рассмотрены оба типа этих задач.
Постановка численного эксперимента
Рассмотрим в плоском слое (—£/2) < ж < (£/2) с периодическими граничными условиями поведение разреженной плазмы с неравновесной в момент 力=0 функцией распределения электронов, определяемой следующими соотношениями
…0) = /м +九(L12)
Максвелловская функция распределения /м описывает поведение электронов плазмы («кора»), а Д пучка, ионный фон предполагается однородным и фиксированным.
Чтобы условие (1.5) не нарушалось в процессе релаксации, необходимо, с одной стороны, горб на хвосте Д выбрать достаточно пологим, а с другой ——исключить доминирующий рост волн, принадлежащих какому-либо узкому интервалу фазовых скоростей, чтобы условие (1.6) оставалось всегда выполненным. Для этого следует начальную функцию распределения выбрать так, чтобы инкременты роста волн слабо отличались в широком интервале фазовых скоростей. Поэтому вид функции Д (1.13) выбран таким, чтобы в начальный момент инкременты всех волн в интервале фазовых скоростей AVph = 14 — Vi были равными (7^/04 = 0,05). Изменение параметров а и 14, 14 позволяет менять величину инкремента, число частиц в пучке и ширину интервала размытия пучка. В нашем случае а = 0,1, 14 = 2Vy, 14 = 121/勺； Vo определяется из условия / f(x, -и, 0) v dv = 0.
Изменяя профиль /(ат, -и, 0), можно перейти к режиму, когда при 7 < П^ нарушится также и условие (1*6') • В этом случае должно наступить вырождение умеренно-турбулентного режима в одномодовый. Для исследования этого явления наряду с (1.13) изучалась релаксация пучков вида
'2cm°'2cm°。必[VI, 14];。必[VI, 14];0710fb = -— exp2vz27r vt0710fb = -— exp2vz27r vt2 (4叮)2丿2 (4叮)2丿(L14)(L15)(L14)(L15)
'2cm°
'2cm°
。必[VI, 14];
。必[VI, 14];
0710
fb = -— exp2vz27r vt
0710
fb = -— exp2vz27r vt
2 (4叮)2丿
2 (4叮)2丿
(L14)
(L15)
(L14)
(L15)
В случае (1.14) начальные инкременты увеличиваются с ростом фазовой скорости волны (7 〜V^), а в случае распределения (1.15) (близкого к изучавшимся в [24—26]) имеется четкий максимум при [/、卜/七‘丁 = 9, где 7^ 0,35 g@*
В варианте (1.14) должен иметь место заметный промежуток времени между нарушениями условий (1.11) и (1.6), в то время как для (1.15) нарушение условий (1.11) и (1.6) происходит одновременно и следует ожидать, что диффузионный процесс сменится здесь вырожденным, одномодовым, как это имело место в [24-26].
Поскольку в модели используется пространственно-периодический случай, то спектр волн дискретен. Разреженность спектра приводит к тому, что области резонансного взаимодействия частиц и волн могут слабо перекрываться, вследствие чего могут существовать изолированные гармоники, эволюция которых слабо зависит от эволюции других волн. Чтобы оценить степень разреженности спектра, необходимо ввести количественный критерий разреженности дискретного спектра:
Ik") + %r(k + 必)一£h(k) — Vph(k + 必)| =虱(凡 к + 必)“
Взаимодействие волн между собой через резонансные частицы отсутствует до тех пор, пока 乳(к, к + Ак) < 0. Степень перекрытия областей взаимодействия пакетов с резонансными частицами можно охарактеризовать следующей величиной:
g(k, М)=g(k, М)=乳(к, к')乳(к, к')乳化加)+21Ijh(k)-к4依)]乳化加)+21Ijh(k)-к4依)](L16)(L16)
g(k, М)=
g(k, М)=
乳(к, к')
乳(к, к')
乳化加)+21Ijh(k)-к4依)]
乳化加)+21Ijh(k)-к4依)]
(L16)
(L16)
где ‘» ——тэта-функция.
При ^ = 0 взаимодействие между волнами через резонансные частицы отсутствует, а при £心 т 1 области резонансного взаимодействия полностью перекрываются. Интервал по волновым числам к между ближайшими модами равен дк = тг/L, вследствие чего разность фазовых скоростей соседних мод составляет
】/ph(&)—】/ph(& + Ak) ^】/ph(&)—】/ph(& + Ak) ^171 + 1171 + 17Г71(71 + 1)7Г71(71 + 1)(L17)(L17)
】/ph(&)—】/ph(& + Ak) ^
】/ph(&)—】/ph(& + Ak) ^
1
71 + 1
1
71 + 1
7Г71(71 + 1)
7Г71(71 + 1)
(L17)
(L17)
Характеристика используемой модификации «облаков в ячейке»
Численное решение задачи проводилось в рамках одной из модификаций метода макрочастиц (ММ) (см. [27]). Выбор пространственного периода L = 40“。позволил наблюдать в процессе релаксации пучка формирование нескольких пакетов при заданной дискретности спектра
2灰2灰12灰2灰1k =k =27m27m
2灰2灰1
2灰2灰1
k =
k =
27m
27m
Остановимся на трех специфических особенностях использованной модели [5], вытекающих из характера задачи и связанных со способом раздельного моделирования пучка и кора, алгоритмом задания начального состояния и формой, в которой выдаются результаты расчетов.
Необходимость знания детальной структуры фазовой плоскости для пучка в процессе релаксации при разумных затратах машинного времени потребовала введения различного «веса» модельных частиц, принадлежащих пучку и кору. В наших расчетах полное число модельных макроэлектронов в пучке N^ = 40 000, а в «коре》 Nc = 10 000, т. е. достаточно велико для того, чтобы время свободного пробега превышало характерные времена задачи порядка нескольких ^1. Обозначая через q^ и 4с соответствующие эффективные заряды, из (1.12) и условия полной электрической нейтральности системы q^N^/(qcNc) = а/(1 —а) получаем qc/qb = (1 —a) NJ(aNc) = =36. Другой особенностью модели является возможность формирования практически любого, в том числе раздельного для «кора» и пучка, начального распределения по скоростям, заданного аналитически или в виде таблицы значений 力= =/(ж, Vj, 0), J = 1,..., J, в конечном числе узлов J. При этом для задания начальных фазовых координат макроэлектрона в соответствии с требуемой плотностью распределения вероятности /(ж, -и, 0) используются два независимых датчика (по ж и по и) псевдослучайных чисел.
Наконец, отметим специальную форму обработки результатов, которая должна отвечать сформулированным задачам. Наряду с выдачей всех интегральных величин и картин фазовых плоскостей отдельно для пучка и кора и спектральным анализом поля Е(х) и плотности 冗(步),предусматривалась регистрация, в течение всего времени релаксации, фазовых траекторий фиксированного набора пробных частиц, что позволяет следить за возможными корреляциями в их движении. Вычислялась также автокорреляционная функция
Л(а)=Л(а)=/ 石(с + а) Е" (ж) dx/ 石(с + а) Е" (ж) dx
Л(а)=
Л(а)=
/ 石(с + а) Е" (ж) dx
/ 石(с + а) Е" (ж) dx
Образование скоррелированных волновых пакетов и специфика перехода в вырожденный (одномодовый) режим при)工
Проведенные исследования показали, что начальная стадия релаксации в каждом из вариантов является квазилинейной и функция распределения близка к однородной. Это видно по поведению фазовых траекторий (рис. 1.10^1.12) и из картины распределения частиц на фазовых плоскостях (рис. 1.13). Видно, что вначале скорости частиц претерпевают случайные изменения, уменьшаясь в среднем. Начиная с некоторого момента (он зависит от начальных фазовых координат частицы)
Рис. 1.10. Траектории трех пробных электроновРис. 1.10. Траектории трех пробных электроновРис. 1.11. Момент регуляризации для шести пробных траекторийРис. 1.11. Момент регуляризации для шести пробных траекторий^/We' 12^/We' 12101088664422140 0140 0// 150// 150oi°4 уз。、心/」。3oi°4 уз。、心/」。301—200—15001—200—150— 100— 100—50—50050100150 x/XD050100150 x/XD
Рис. 1.10. Траектории трех пробных электронов
Рис. 1.10. Траектории трех пробных электронов
Рис. 1.11. Момент регуляризации для шести пробных траекторий
Рис. 1.11. Момент регуляризации для шести пробных траекторий
^/We' 12
^/We' 12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
140 0
140 0
// 150
// 150
oi°4 уз。
、心/
」。3
oi°4 уз。
、心/
」。3
01
—200—150
01
—200—150
— 100
— 100
—50
—50
050100150 x/XD
050100150 x/XD
Рис. 1.12. Эволюция восьми пробных электронов с близкими в момент ujpt = 120 фазовыми координатами
траектория становится в значительной степени регулярной, что свидетельствует о возникновении конвективных потоков частиц на фазовой плоскости. О наличии конвективных потоков на фазовой плоскости свидетельствуют также картины распределения частиц при временах, превосходящих времена регуляризации траекторий. На рис. 1.13, 1.14 отчетливо видно появление на фазовой плоскости (т, и) структур неоднородностей с характерными размерами Л, 14「причем провалы и сгущения функции распределения являются долгоживущими. Характер структур и процессов их образования заметно зависит от начальных условий. Так, в случае начальных условий (1.15) образуется цепочка конвективных ячеек, соответствующих одномодовому режиму релаксации. При начальных условиях (1.13) размеры конвективных ячеек по v заметно меньше ширины пучка по скоростям и они образуют некоторую упорядоченную структуру, о степени упорядоченности которой можно судить по степени регулярности траекторий частиц. В случае начальных условий (1.14) структура неоднородностей и потоков частиц носит промежуточный характер между двумя другими случаями (рис. 1.15).
— 200—150—100—50050100150 ж/Лр
Рис. 1.13. Фазовая плоскость для электронов пучка в момент шр1 = 80. Штриховкой обозначены: 1 — fb(x,v) > 4/3 76(v)； 2 — Л(ж,г?) < 2/3 /6(v) (76(v) = 1/b f fb(x,v)dx)
—200—1000100 ж/Лр —200—1000100 ж/Лр
a6
Рис. 1.14. Фазовые плоскости пучка,力公@ =75 (а), 200 (б)
Мы видим, что при изменении начальной функции распределения меняется характер конвекции, сменяющей диффузионный процесс релаксации.
Для проверки критерия неустойчивости диффузионного процесса (1.11) мы, пользуясь данными об эволюции спектров колебаний, зафиксировали для каждой гармоники момент 力(吟h), определяемый равенством Sltr(吟h) = 7fc и исследовали, существует ли корреляция между 力(彩h) и моментами 力*(少),когда начинается регуляризация траекторий со скоростями 少(力*)* На рис. 1.11 заштрихована полоса ин™ тервалов времени, когда %k < ^tr, k < 1)15)盍 в варианте (1.13). На этом же рисунке отмечен ряд моментов 力;)Vi = Vph в которые регуляризовались траектории резо™ нансных частиц. Видна хорошая корреляция, что свидетельствует о справедливости критерия (1.11). Аналогичная картина имеет место и для других вариантов началь™ ных условий.
Из анализа данных об эволюции спектра нетрудно заключить что в случае на™ чальных условий (1.13) условия (1.6) выполнены, в то время как (1.11) нарушается на ранней стадии релаксации; в варианте (1.15) нарушается условие (1.6).
Рис. 1.15. Вариант (1.14): фазовые плоскости для различных моментов времени, ил~Рис. 1.15. Вариант (1.14): фазовые плоскости для различных моментов времени, ил~а —200—1000100 n"dа —200—1000100 n"d
Рис. 1.15. Вариант (1.14): фазовые плоскости для различных моментов времени, ил~
Рис. 1.15. Вариант (1.14): фазовые плоскости для различных моментов времени, ил~
а —200—1000100 n"d
а —200—1000100 n"d
Случай (1.14)——промежуточный, в нем нарушаются оба эти условия (рис. 1.16). В соответствии с этим мы наблюдаем смену квазилинейного процесса релаксации умеренно-турбулентным или одномодовым. Есть еще одна отличительная особен™ ность эволюции волн в (1.13): инкременты ряда гармоник, особенно с низкими номерами (п = 5, 6, 8, 10), не уменьшаются, а даже несколько увеличиваются с течением времени. Так, для моды п = 6 инкремент при cj@力=85 + 105 достигает зна™ чения 0,08шр, что заметно превышает начальное значение инкремента. Для других мод Уп/^р достигают значения 0,067. Такое поведение амплитуд волн противоречит КЛТ, в соответствии с которой инкременты уменьшаются со временем, но хоро шо согласуется с теорией умеренной турбулентности, согласно которой инкремент больше квазилинейного в w/(l — к;) раз, где w — «параметр порядка», достигающий значения w = 0,6.
Одним из характерных признаков отклонений от предсказаний КЛТ в лабораторных и численных экспериментах [24—26] было появление хвостов высокоэнергичных частиц. В [7, 8] рассмотрена возможность появления таких хвостов за счет рассеяния долгоживущих макрочастиц. В исследованных нами вариантах начальные функции распределенния имеют резкий обрыв, что легко позволяет изучить природу появ™ ления хвостов высокоэнергичных частиц. Наиболее мощный хвост появляется в в а™ рианте (1.15) в случае одномодового режима. Однако из вида функции распределе™ ния на фазовой плоскости (рис. 1.15) ясно, что появление хвостов в нашем случае обусловлено приобретением осцилляционной скорости резонансными частицами. Об этом же свидетельствует и количественная оценка: максимальные скорости частиц не должны превышать %-max + Т^, т. е. в наших случаях 15丘)что мы и видим.
Однако наличие макрочастиц проявляется в эволюции усредненной функции распределения: на ней часто видны долгоживущие пички довольно большой высоты и шириной порядка одной™двух тепловых скоростей, причем пички появляются именно после развития конвективной неустойчивости. Представляет интерес оценка характерных времен жизни макрочастиц в различных режимах релаксации.
Рис. 1.16. Эволюция спектра 石心(力)в вариантах (1.14) (а, &р力=24, 42, 60, 78)и (1.15) (仇 сиpt = 30, 42, 54). Пунктирные линии отмечают начало и завершение перекрытия соседних гармоник, сплошные соответствуй ют условию Qtr, k = 7fe, штрихпунктирные обозначают линии 14г (к)Рис. 1.16. Эволюция спектра 石心(力)в вариантах (1.14) (а, &р力=24, 42, 60, 78)и (1.15) (仇 сиpt = 30, 42, 54). Пунктирные линии отмечают начало и завершение перекрытия соседних гармоник, сплошные соответствуй ют условию Qtr, k = 7fe, штрихпунктирные обозначают линии 14г (к)Рис. 1.17. Энергия поля W(t) для (1.13)/ (а) и (L14)⑹Рис. 1.17. Энергия поля W(t) для (1.13)/ (а) и (L14)⑹Из результатов наших исследований можно сделать вывод об экспоненциаль™ ном расплывании макрочастиц, но с характерным временем заметно большим, чем 〈kVtr〉—1* Не очень большое отличие времен жизни в одномодовом и умеренно-турбулентном режимах свидетельствует о том, что основной причиной разрушения ма™ крочастиц является различие частот осцилляций частиц в поле волн.
Рис. 1.16. Эволюция спектра 石心(力)в вариантах (1.14) (а, &р力=24, 42, 60, 78)и (1.15) (仇 сиpt = 30, 42, 54). Пунктирные линии отмечают начало и завершение перекрытия соседних гармоник, сплошные соответствуй ют условию Qtr, k = 7fe, штрихпунктирные обозначают линии 14г (к)
Рис. 1.16. Эволюция спектра 石心(力)в вариантах (1.14) (а, &р力=24, 42, 60, 78)и (1.15) (仇 сиpt = 30, 42, 54). Пунктирные линии отмечают начало и завершение перекрытия соседних гармоник, сплошные соответствуй ют условию Qtr, k = 7fe, штрихпунктирные обозначают линии 14г (к)
Рис. 1.17. Энергия поля W(t) для (1.13)/ (а) и (L14)⑹
Рис. 1.17. Энергия поля W(t) для (1.13)/ (а) и (L14)⑹
Нелинейная модуляция монохроматической плазменной волны, возбуждаемой размытым электронным пучком
Эволюция монохроматической волны, усиливаемой размытым по скоростям пучком электронов, изучалась путем численного мо™ делирования [29, 28] и аналитически [30—32]. Найдено, что рост амплитуды волны прекращается, когда
Рис. 1.18. Зависимость амплитуды выделенной гармоники от времени: 1 — кинетический расчет (1.13)/, 2 — из (1.13), 3 — из [28], 4 — из решения квазилинейных уравнений для (1.13)/Рис. 1.18. Зависимость амплитуды выделенной гармоники от времени: 1 — кинетический расчет (1.13)/, 2 — из (1.13), 3 — из [28], 4 — из решения квазилинейных уравнений для (1.13)/^t 52%, O?r = Jeg/(bn) (1.18) (石% ——амплитуда насыщения, к ——волновой вектор,)£ — квазилинейный инкремент). Результат [33, 34] был получен в условиях, когда пространственный период задачи совпадал с длиной изучаемой монохроматической волны, что практически исключало резонансное воз™ буждение пучком волн с близкими частотами. Вообще говоря, при достижении насыщения (1.18) происходит лишь частичная релакса™ ция размытого пучка: в окрестности фазовой скорости 瑞]=шр/к образуется《плато» на
Рис. 1.18. Зависимость амплитуды выделенной гармоники от времени: 1 — кинетический расчет (1.13)/, 2 — из (1.13), 3 — из [28], 4 — из решения квазилинейных уравнений для (1.13)/
Рис. 1.18. Зависимость амплитуды выделенной гармоники от времени: 1 — кинетический расчет (1.13)/, 2 — из (1.13), 3 — из [28], 4 — из решения квазилинейных уравнений для (1.13)/
функции распределения шириной 2^, %? = 20^」к* И если ширина разброса пучка по скоростям △14 больше 2%? и спектр волн не сильно разрежен (в интервал △14 по™ падает много фазовых скоростей плазменных волн), то развивается неустойчивость других мод, которая и обеспечивает полную релаксацию пучка.
Остановимся на результатах расчета варианта (1.13)「в котором, в отличие от (1.13), изучалась релаксация пучка при начальном когерентном возмущении. Возмущение было внесено в гармонику п° = 9 с Т^ = a)pL/(2тт°)=(匕 + 眩)/2 = 7百已. Для этого фазовые координаты всех макроэлектронов {岔/(0))vj(0)}, j = 1,2,...^, задаваемые датчиками псевдослучайных чисел в соответствии с (1.13), заменялись «возмущенными» значениями {xj, vj}, где
и/ = 3, n° = 9.и/ = 3, n° = 9.Vj = Vj + ]0—(з/2)- 0,1 sin 2?旳)sin 2? »
и/ = 3, n° = 9.
и/ = 3, n° = 9.
Проведенные расчеты обнаруживают процесс модуляции когерентной синусоидальной волны, развивающийся при Otr > 7ь и приводящий к образованию вол™ новых пакетов, пространственная протяженность которых I ^ lB3 = 27r彩卜/(卜彩г) (рис. 1.13). При этом эволюция спектральной плотности имеет следующие особен™
ности.
Все время сохраняется четкий максимум поля на 9-й гармонике (рис. 1.18).
При достижении этой гармоникой значения Otr ~ 3)工 соответствующего [30] (при wpf = 60), насыщения ее амплитуды не происходит и наблюдается значительно позднее, при 3Pt = 100, когда Otr = 4,671,.
При wpf = 60 заметно ускоряется рост 7-й и 11-й мод, так что вместе с 9-й они образуют явно выраженный пакет (рис. 1.14).
Четные моды, как не дающие вклада в пакет с тремя максимумами огибаю™ щей на периоде, заметно подавлены по сравнению с нечетными. Все эти факты сви-
Рис. 1.19. Вариант (1.13)/. Зависимость коэффициента автомодуляции от времениРис. 1.19. Вариант (1.13)/. Зависимость коэффициента автомодуляции от времени=3)£ начинается автомодуляция 9-й гармоники. При этом
Рис. 1.19. Вариант (1.13)/. Зависимость коэффициента автомодуляции от времени
Рис. 1.19. Вариант (1.13)/. Зависимость коэффициента автомодуляции от времени
&1九=9 =廿=120(L19)
儿 у tr Q XL
что на длине L = 400Xq и соответствует наличию трех《горбов» на огибающей (рис. 1.14). Эф™ фект автомодуляции особенно заметен при сравнении результатов с проведенным нами численным решением квазилинейных уравнений с теми же начальными условиями (1.13)z, где происходили за™ медление роста 9-й моды, «забывание» начального состояния и формирование «универсального» квазилинейного спектра (рис. 1.18).
Введем коэффициент амплитудной модуляции огибающей, определяемый фор™ мулой T]mod = (I 石maxi 一 | 石min |) / (| 石max | | 石min} Инкремент аВТОМОДуЛЯЦИИ 7mod проще всего оценить по скорости изменения этого коэффициента. Как видно из рис. 1.19,
8 hl T/mod — п
7mod 1q , 二"04 Wp,
что сравнимо с инкрементом пучковой неустойчивости.
Качественно процесс автомодуляции, обнаруженный в численном эксперименте, может быть понят в рамках представлений теории [12, 5], учитывающей в дополнение к диффузионным и корреляционные эффекты.
Рассмотрим стационарную синусоидальную волну с фазовой скоростью 吟h, образовавшуюся в результате возбуждения колебаний размытым пучком с начальной функцией распределения
0) == %(^) + /аС)/о>0-
При наличии стационарной потенциальной волны конечной амплитуды
奴伤方)=配 cos[k (ж -瑞^)](1-20)
функция распределения зависит только от W = m (少一吟h)?/2 + e‘夕(伤 f), причем
e‘毂 > I¥ > 0;I¥ > e‘毂.e‘毂 > I¥ > 0;I¥ > e‘毂.力（口
e‘毂 > I¥ > 0;
I¥ > e‘毂.
e‘毂 > I¥ > 0;
I¥ > e‘毂.
〃g =〃g =,，2(I¥ —evO/rn/
〃g =
〃g =
< %(K1)土 巾，2(W — e^)/m
.,2 什1Z — e^)/m
Как показано в [32], такая волна устойчива относительно пространственно неодно
родного возмущения амплитуды. Пусть оно имеет вид
△埶⑺=埶⑺-m? = k△埶⑺=埶⑺-m? = k0 < х < /;х < 0, х > I.0 < х < /;х < 0, х > I.(1.21)(1.21)
△埶⑺=埶⑺-m? = k
△埶⑺=埶⑺-m? = k
0 < х < /;
х < 0, х > I.
0 < х < /;
х < 0, х > I.
(1.21)
(1.21)
При этом ширина области захвата частиц на интервале 0 < х < / увеличивается на величину △%[=匕?夕/(2巾?)“ Рассматривая обмен энергией между волной и вновь захваченными частицами, получаем, что максимальное изменение скоростей этих частиц происходит на расстоянии, равном длине взаимодействия /вз = тгТ^/П：, где Q：——средняя частота осцилляции захваченных возмущенной волной электронов. Оценивая среднюю скорость роста амплитуды возмущенной волны на участке 0 < х < /вз, имеем [13]
Фк = 一^ (^i)2 fo^p ^к, (L22) где ^ = СМ = 2О«.Д<. ——множитель порядка единицы.
Как видно из (1.22), возмущение (1.21) растет с инкрементом, превышающим квазилинейный на участке 0 < х < /вз. Совершив полпериода колебания в волне, вновь захваченные частицы начнут отбирать энергию у волны, поскольку опережавшие волну частицы при х = /вз стали отстающими и наоборот, а плотность опережавших волну частиц при 岔=0 была больше. Поэтому при х > /вз возмущение (1.21) будет затухать с декрементом, примерно равным инкременту на участке роста. Таким образом, должна происходить амплитудная модуляция, приводящая к разбиению волны на пакеты протяженностью 111®
Заметим, что в отличие от изучавшейся в [35—37] сателлитной неустойчивости рассматриваемая модуляционная неустойчивость происходит на пролетных части™ цах, которые, как мы видели, становятся захваченными на длине пакета. Полученная оценка (1.22) показывает, что он примерно равен частоте Otr. Поэтому при усилении когерентного сигнала на фоне шумов размытым пучком (в отличие от случая, когда невозмущенная функция распределения максвелловская) монохроматическая ква- зистационарная волна установиться не может. Развитие неустойчивости приводит к образованию пакетов, продолжающих расти с инкрементами близкими к квазилинейному.
В заключение заметим, что из полученных результатов и результатов работ [5, 13] ясно, что размытые по скоростям электронные потоки возбуждают в плазме при нарушении условия (1.11) пакеты волн с характерным соотношением (1.19) между про тяженностью пакета и его амплитудой, причем формирование пакетов происходит как при наличии, так и в отсутствии внешних когерентных сигналов. Поэтому следует ожидать обнаружения таких пакетов как в лабораторной, так и в космической плазме, подверженной воздействию потоков частиц.
Взаимодействие пакетов ленгмюровских волн с ионной компонентой плазмы, как известно [38, 39], должно приводить к вытеснению плазмы и дальнейшему сужению пакетов, коль скоро выполнено условие модуляционной неустойчивости W/пТ > > (кХ°)2. Поэтому размеры пакетов меньше или, во всяком случае, не превосходят значений, определяемых соотношением (1.19).
Заметим, что в численном эксперименте на поздней стадии развития неустойчивости при t 三 1О7£1 неоднородности функции распределения /(ж,少)значительно сглаживаются. Это происходит в основном благодаря различию в частотах осцил™ ляции захваченных частиц [30, 5]. Ио-видимому, при этом также ослабевают и возникающие ранее корреляции поля, поскольку исчезает источник неустойчивости, упорядочивающей пакеты. В связи с этим представляет интерес рассмотреть зада™ чу о релаксации пучка в условиях регенерируемой (например, на входе) начальной функции распределения, т. е. при сохранении неравновесности системы как основ™ ного источника «синергетических» эффектов. Результаты по этой проблеме будут изложены в последующих разделах.
Бесстолкновительная релаксация размытого электроннного пучка в условиях непрерывной инжекции
Рассмотрим теперь классическую задачу о бесстолкновительной релаксации одномерного, сильно размытого электронного пучка, инжектируемого в полупространство, занятое плазмой с максвелловским распределением по скоростям. Как следует
Рис. 1.20. Геометрическая схема экспериментаРис. 1.20. Геометрическая схема экспериментаиз предыдущего раздела, численное моделирование подобной задачи в более простой постановке (заданное начальное неравновесное распределение электронов и периодические граничные условия (ПГУ)) обнаружило отклонения от КЛТ релаксации пучка на стадии, когда амплитуды полей становятся столь велики, что выполняется условие П^, к〉 > 7клт, fe, где 7клт ——квазилинейный инкремент, a Qtr ——частота колебаний за™ хваченных частиц. В результате диффузионная картина релаксации на фазовой плоскости (ж,少)сменяется конвективной. Что касается макроскопических отклоне™
Рис. 1.20. Геометрическая схема эксперимента
Рис. 1.20. Геометрическая схема эксперимента
ний от КЛТ, то они в экспериментах с ПГУ оказываются не столь велики. Пространственно-усредненные плазменные характеристики (по длине Дж > 厶nt > 冗s&/(kQtr, &)) близки к квазилинейным. В случае замкнутой системы эффекты, связанные с «тонкой структурой» турбулент™ ности просто не успевают накопиться, поскольку временной интервал, в течение ко
торого релаксируют пучковые системы с фиксированным запасом неравновесности (5 + 10) 7клт)7 оказывается недостаточным.
Совершенно иная ситуация имеет место в случае открытых плазменных систем [40, 14], где разрешен обмен частицами и энергией с окружающей средой и где комбинация длительно поддерживаемой неравновесности с нелинейностью системы и коллективным характером определяющих процессов может приводить к формированию так называемых пространственно-временных диссипативных структур [41].
Будем рассматривать самосогласованную эволюцию электронной власовской плазмы на фиксированном однородном положительном ионном фоне на отрезке х С [0, L\ с использованием метода CIC, модернизированного для открытых систем (раздел 3.4). Геометрия задачи схематически изображена на рис. 1.20. Самосогласованное решение системы Власова^Пуассона ищется на отрезке 0 < х < L (зона II). Зоны I (—Ei < х < 0) и III (L < х < 工2)играют роль резервуаров, обеспечивающих, соответственно, предписанный численным экспериментом «источник» и《сток» частиц, т. е., на языке граничных условий, поддерживается постоянство функций /(х, t)\x=o,v>o и /(X, V, t)\x=L,v<0^
(123)(1.24)(1.25)(1.26)(123)(1.24)(1.25)(1.26)(1.27)(1.28)(1.27)(1.28)〃伤 〃 0) = /о") = /м(^) + fb(v\ /(0,少)力)=/м(^ > 0) + fb(v > 0), 〃厶〃力)=/м(^ < 0),
(123)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(123)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.27)
(1.28)
0,少"口
丿 an0 """ ］/"、）少 e ［匕,眩］;
/仇2（少）=眩一匕一匕hi（眩/匕）
九3 = о
3（3方）=o,奴厶方）=o；
奴"方）=0,d（厶方）=0.
Будем обозначать каждый вариант вектором (厶小 厶2)厶3), где компоненты вектора отвечают типу начальных и граничных условий для /(х,少,t) и потенциала 夕(х,力).
Остновимся вкратце на основных трудностях, вытекающих из приложения метода частиц к рассмотренной задаче.
Наибольший интерес для исследования представляют《слабые» пучки с низкой по отношению к《кору» плотностью п^/пс = а/(1 — а)《1. В этом случае желание моделировать частицами одновременно пучок и《кор», в сочетании с необходимо™ стью детального описания слабого пучка, наталкивается на ограниченные ресурсы ЭВМ.
Будем моделировать пучок и 《кор» соответственно《легкими» и «тяжелыми» частицами с массами и зарядами т^, ё^ и 而⑴ ес. Тогда если щ/пс = а/(1 — а), то отношение
При этом &/F = ec/mc = e/m, т. е. динамика как тяжелых, так и легких частиц не искажается. В результате удается сделать достаточно представительным как 《кор» ——максвелловскую часть плазмы, так и слабый пучок. Аналогичный прием
уже использован в предыдущем разделе.
Повышенный, свойственный методам частиц, уровень флуктуаций в дискретной модели плазмы может замаскировать и смазать тонкие эффекты, связанные с бес- стлкновительной релаксацией пучка. Это особенно опасно в начальный момент на ранней стадии релаксации, когда энергетический уровень возбужденного пучком спектра относительно невысок. В связи с этим мы используем специальный способ задания начального состояния на фазовой плоскости, так называемый «спокойный старт» [42].
Определенные требования предъявляет необходимость использования конечных отрезков L (0 < х < L) в реальных расчетах. Поскольку при этом спектр является дискретным: кп = 27m/Е (п = 1,2,...) — выполнение требований КЛТ становится нетривиальным. Желатльное увеличение L должно сопровождаться соответствующим увеличением полного числа Nb + Nc модельных частиц с одновременным на
растанием стоимости расчетов.
В первых численных экспериментах, лежащих в основе этого цикла исследований (предыдущий раздел), L = 400Лб>,匕=2巧,匕=12百,т. е. полное число мод, участвующих в неустойчивости было порядка 27. В обсуждаемых ниже численных экспериментах типичное значение L составляет уже 1 + 2 и более тысяч Л。.
Поставленная нами цель ——обнаружение и исследование «тонкой структуры» турбулентности, создаваемой когерентными эффектами и имеющей кинетическую
Wp/n0TWp/n0TРис. 1.21. Run (1,1,1). Временная эволюция плотности волновой энергииРис. 1.21. Run (1,1,1). Временная эволюция плотности волновой энергии匕=3¥г,眩=19¥г, представленных на匕=3¥г,眩=19¥г, представленных наприроду,——требует обширной диагностики, в частности ориентированной на выявление элементов порядка и самоорганизации в волновых спектрах и на фазовой плоскости. Соответствующая работа была проделана и вылилась в создание специального комплекса программ обработки, способных выдавать до 100 различных характеристик.
Wp/n0T
Wp/n0T
Рис. 1.21. Run (1,1,1). Временная эволюция плотности волновой энергии
Рис. 1.21. Run (1,1,1). Временная эволюция плотности волновой энергии
匕=3¥г,眩=19¥г, представленных на
匕=3¥г,眩=19¥г, представленных на
Расчеты серии вариантов с L = =103Лб>; а = пь/ ng = I。— + 10一 рис. 1*21—1*23)позволяют сделать сле
дующие заключения.
При достижении амплитуд турбулентных пульсаций, отвечающих неравенству □tr, & > 7клт, к^ развитие неустойчивости в области △吟h (где df /dv\v=v } > 0) приводит к формированию устойчивых когерентных волновых пакетов с длиной порядка /р > тгУVph/Q；；'^ вблизи источника пучка.
Здесь Fph =砲质 о (匕 + 眩)/2, Q；p = ^Otr, и 1 > /^ =例九]—коэффициент, зависящий от функции распределения частиц по скоростям внутри сепаратрисы. Таким образом, характерная длина 1Р бесстолкновительной диссипации инжектируемого пучка оказывается много больше длины %клт, получающейся из КЛТ [43, 44]. Обычно Z@ составляет несколько длин волн 入^ (夕 > 0,15 + 0,5).
Амплитуда пакета растет за счет энергии инжектируемых частиц с инкрементом 7Р = 7KJ1T w/(l — w), где w — параметр порядка, w > 0,6 + 0,67.
Рост амплитуды волнового пакета ограничивается величиной, при которой начи™ нается эффективный захват волновым пакетом электронов максвелловской плазмы. В этом случае V^ ^ > 17Ph и скорость электронов, захваченных из плазмы и прошед-
Рис. 1.22. Run (1,1,1). Спектры Е(к) (слева) и соответствующие корреляционные функции k⑺=点7硏8硏§ -嵐炉⑹d§ (справа) в различные моменты времени (сверту вниз 1шр = 6, 24, 72,186)
v/Vt
8
4
ОI I
О 400800
Рис. 1.23. Run (1,2,1). Траектории частиц на различных стадиях релаксации пучка. Слева направо 力公@ = 100, 220, 240
ших через весь волновой пакет, достигает (2Fph —冃).Процесс захвата и ускорения частиц (электронов) максвелловской плазмы и обеспечивает стабильность когерентного волнового пакета вблизи источника на стадии насыщения.
Отмеченные выше характерные особенности явления не зависят от типа граничных условий для потенциала (1.27), (1.28) и начального состояния плазмы в расчетной области [0, L] и наблюдаются как в случае (1.24) , с выраженной резкой зависимостью)(少)〜 少？ , так и в случае (1.25), где d^/dv = 0. Эти два случая отличаются в основном только значением параметра порядка w (см. выше), т. е. степенью упорядоченности турбулентного потока на фазовой плоскости. В случае (1.24) (w > 0,67) формируется вырожденный, почти одномодовый, турбулентный режим, в то время как в случае (1.25) превалирует частично-упорядоченная вырожденная турбулентность (w > 0,6).
Таким образом, аномально глубокое проникновение электрического поля в плаз™ му, вызванное когерентными процессами, возможно, является не только наиболее наглядным, но и в принципе экспериментально проверяемым макроскопическим следствием релаксации инжектируемого высокоэнергичного размытого электронного пучка не в слабо турбулентном, а в частично упорядоченном турбулентном режиме.
Численное моделирование двумерной релаксации размытого электронного пучка, инжектируемого в плазму
Рассматривается классическая задача о бесстолкновительной релаксации плазменной системы с неравновесной функцией распределения электронов
/m(v)/m(v)/(г, V)= /m(v) + — fbM, Поm5dfb^f eXPJ 丽/(г, V)= /m(v) + — fbM, Поm5dfb^f eXPJ 丽0,0,(L30)(L30)
/m(v)
/m(v)
/(г, V)= /m(v) + — fbM, По
m5dfb
^f eXPJ 丽
/(г, V)= /m(v) + — fbM, По
m5dfb
^f eXPJ 丽
0,
0,
(L30)
(L30)
на положительном нейтрализующем пространственно-однородном фоне неподвижных ионов [3, 43—45].
Эволюция заданного начального состояния плазменной системы, описываемой нелинейной системой уравнения Власова для /(г, v,方)и уравнения Пуассона для самосогласованного электростатического потенциала 夕(г, t), исследуется в (X, У) геометрии путем прямого численного эксперимента, базирующегося на полном моделировании методом частиц [13, 27, 46, 47] как электронов пучка, так и максвелловской плазмы (《кора》).
Специфика задачи потребовала развития и модификации метода частиц в направлении учета достаточно произвольных граничных условий (в частности, связанных с непрерывной инжекцией частиц на одной из границ и их уходом за пределы расчетной области {G}), адекватного описания слабых (п^/п0》1) пучков и 《кора» макроэлектронами с различными массовыми и зарядовыми «весами», оперирования с переменным во времени полным числом модельных частиц в {G}, оптимизации и ускорения вычислительных алгоритмов, создания специализированных подпрограмм большого объема текущей обработки информации, в частности, ориентированных на диагностику тонких корреляционных и когерентных эффектов [40, 48, 49]. Разработанный двумерный электростатический код позволяет даже на ЭВМ среднего класса достаточно оперативно рассчитывать в 4-мерном фазовом
У/^DУ/^D25020015010050025020015010050025020015010050О25020015010050ОУ/^DУ/^DРис. 1.24. Линии уровня |е夕(伤 g)/T| 二 1СГ§ (s = 1, 2,...) для Run-2D — ЛГУ (слева) иRun-2D на стадии насыщения. Здесь и на рис. 1.25-1.27 wpf = 80Рис. 1.24. Линии уровня |е夕(伤 g)/T| 二 1СГ§ (s = 1, 2,...) для Run-2D — ЛГУ (слева) иRun-2D на стадии насыщения. Здесь и на рис. 1.25-1.27 wpf = 80
У/^D
У/^D
250
200
150
100
50
0
250
200
150
100
50
0
250
200
150
100
50
О
250
200
150
100
50
О
У/^D
У/^D
Рис. 1.24. Линии уровня |е夕(伤 g)/T| 二 1СГ§ (s = 1, 2,...) для Run-2D — ЛГУ (слева) и
Run-2D на стадии насыщения. Здесь и на рис. 1.25-1.27 wpf = 80
Рис. 1.24. Линии уровня |е夕(伤 g)/T| 二 1СГ§ (s = 1, 2,...) для Run-2D — ЛГУ (слева) и
Run-2D на стадии насыщения. Здесь и на рис. 1.25-1.27 wpf = 80
пространстве (ж, у, г^, vy) самосогласованную эволюцию открытых многокомпонент™ ных плазменных систем с полным числом модельных частиц Ж до 1 4- 2 миллионов, на пространственных сетках с числом ячеек до 218 и на временах порядка 103 ^р1- Рассмотрим следующую постановку задачи. Расчетная область {G} = Lx х Ly.
Форма пучка в (1.30)
九（V）=［唸-匕一；1：；唸/匕）） %e
выбрана таким образом, чтобы обеспечить постоянство на начальной стадии квази™ линейного инкремента для продольных (по оси X) колебаний
7клт, к7клт, к2k22k2а九a0况①田=u^/靑а九a0况①田=u^/靑
7клт, к
7клт, к
2k2
2k2
а九
a0况①田=u^/靑
а九
a0况①田=u^/靑
во всем диапазоне фазовых скоростей неустойчивых мод Ijh С 卩彳,1々]и тем са™ мым исключить преимущественный рост малого числа волн, ведущий к вырожде™ нию процесса релаксации в одномодовый [5]. Граничные условия для /(ж, g, v,力)： при g = 0, Ly —— ПГУ; при ж = 0, Lx ——ПГУ или (для открытой системы с инжек™ цией)
/(0, % 必 > 0, 力)=/m(v) + — /b(v); /(Ьж, % 必 < 0, &勿，t) = /m(v).
Для 夕(z, g,力)：ПГУ по оси Y и соответственно ПГУ или 夕(0, д,力)=夕(£况,у^ t) = Q по оси X.
В рамках этой постановки описанный выше код впервые используется в насто™ ящей работе для выяснения влияния двумерности (косых волн) на общую картину бесстолкновительной релаксации в условиях непрерывной инжекции пучка и кинетического описания максвелловского «кора». Ранее в аналогичных одномерных расчетах [40, 49, 50] именно в случае непрерывной инжекции наблюдались наиболее
Рис. 1.25. Run-2D: спектральные характеристик ки \Ек\/у/^ттоТ в ж (вверху) и g (внизу) наирав- ленияхРис. 1.25. Run-2D: спектральные характеристик ки \Ек\/у/^ттоТ в ж (вверху) и g (внизу) наирав- ленияхзначительные отклонения от квази™ линейной теории (КЛТ), связанные с усилением корреляций и формированием частично—упорядоченных турбулентных структур при до™ статочно больших амплитудах неустойчивых мод, когда
Рис. 1.25. Run-2D: спектральные характеристик ки \Ек\/у/^ттоТ в ж (вверху) и g (внизу) наирав- лениях
Рис. 1.25. Run-2D: спектральные характеристик ки \Ек\/у/^ттоТ в ж (вверху) и g (внизу) наирав- лениях
^tr, к =，£卜石盍 /771 之 ^КЛТ, к ?
первоначально обнаруженные в численном эксперименте с ПГУ [5]. Здесь к ——волновой вектор, Ek ——амплитуда соответствующей гармоники электрического поля, □tr ——частота колебаний захвачен™ ных частиц. Приведем параметры и обсуждение типичного двумер™ ного расчета открытой системы с инжекцией (вариант Run-2D), сопоставляя его с аналогичным вариантом с дважды ПГУ без инжекции (Run—2D ——ПГУ) и
одномерными вариантами R,un™lD, Run—ID ——ПГУ. Исходные данные Run—2D:
пь/по = 1/50, Vi = 4yг, 1々=8yг, Lx = Ly = 256》。, полуширина макрочастицы- облака а = Xd^ 2V = 6 • 105.
Достаточно высокий изотропный начальный фон электростатических колебаний с энергией W° = {Е2}/(8тгпоТ), соответствующий квазиоднородному распределению частиц (макроэлектронов) в {G} с помощью датчика псевдослучайных чисел, обес™ печивает необходимое для сравнения с КЛТ условие перекрытия резонансов при дискретности волнового спектра ёкх = дку = 2冗/(256入。)« 1/(40Аг))- Полное число потенциально неустойчивых мод со случайными при 力=0 фазами и с
кх С [шр/1^, шр/¥^ \ку \ С [0, А^1]
составляет N^ = 486.
Двумерная релаксация как при ПГУ, так и в открытой системе носит квазиод™ номерный характер (рис. 1.24), при этом инкременты неустойчивых волн)靑 не пре™ восходят К ЛТ—значений • Колебания развиваются в узком конусе вдоль направления пучка с угловым раствором [45] А^ « (JU00/|у。)—1/2, Где |у。, ——соответственно начальная и конечная плотности энергии ленгмюровских колебаний.
Вариант Run—2D ——ПГУ заканчивается выходом на стационарный режим с фор™ мированием плато по vx для (Д)ж；у；Vy (Д, усредненной по {G} и &%), при этом уровень насыщения W^ « Wkjit-
Релаксация в Run—2D не завершается на уровне энергии W = W^T и характеризуется образованием в конечном слое масштаба Аж ^ ^^Pj (^^tr ^) на расстоянии порядка / lph д；/7клт ^ от инжектора интенсивного волнового пакета (с харак™ терным к = к\ в котором происходит основной отбор энергии пучка и за которым профиль Д должен выходить на КЛТ-плато. В соответствии с одномерными КЛТ- оценками [43, 44] максимальное значение Wp в пакете следует из условия непре—
О50100150200х/\вО50100150200х/\вРис. 1.26. Линии уровня〈/(啰，％%)〉= const для пучка (вверху) и плазмы, усредненные по ж, g, Ug (Run-2D). Значения соседних уровней различаются в два разаРис. 1.26. Линии уровня〈/(啰，％%)〉= const для пучка (вверху) и плазмы, усредненные по ж, g, Ug (Run-2D). Значения соседних уровней различаются в два раза1.27. Функция К(^, ?}) (Run™ 2D - ПГУ) ' *1.27. Функция К(^, ?}) (Run™ 2D - ПГУ) ' *рывности потока энергии
О50100150200х/\в
О50100150200х/\в
Рис. 1.26. Линии уровня〈/(啰，％%)〉= const для пучка (вверху) и плазмы, усредненные по ж, g, Ug (Run-2D). Значения соседних уровней различаются в два раза
Рис. 1.26. Линии уровня〈/(啰，％%)〉= const для пучка (вверху) и плазмы, усредненные по ж, g, Ug (Run-2D). Значения соседних уровней различаются в два раза
1.27. Функция К(^, ?}) (Run™ 2D - ПГУ) ' *
1.27. Функция К(^, ?}) (Run™ 2D - ПГУ) ' *
^клт = Ж&т(1-31)
V gr
поскольку энергия поступает в пакет со средней скоростью пучка Vph ^ Е [l^i, 1^], а
уносится со средней групповой скоростью Уgr, 1%丫 одномерных численных экспериментах с инжектируемым пучком [40, 49] показано, что насыщение амплитуды пакета наступает при W^ax，1 и связано не с оценкой (1.31), а с механизмом за- / хвата в пакет электронов «кора» и их когерент- 1 ного ускорения в пакете до з『ах 214г Существенно, что в [50] этот механизм насыщения наблюдался и для очень слабых пучков, для \ которых заведомо ^^爲丁 《1. Как видно из о рис. 1.26 результаты ftun-2D также согласуются с механизмом, связанным с захватом «кора». Это говорит, в частности, о недостаточности для сильно неравновесных систем неполного (только для пучка) моделирования методом частиц, использовавшегося ранее [45].
Таким образом, в двумерной геометрии, на- 工 ряду с сохранением для усредненных интеграль
ных величин типа (7),〈/广)значения КЛТ-оценок (особенно для ПГУ), в проведенных численных экспериментах наблюдаются и выраженные эффекты когерентного взаимодействия волн через резонансные частицы [5]. О последнем свидетельствуют также немонотонность изменения во времени неустойчивых мод [5, 15, 49], характерная грануляция фазовых портретов (рис. 1.24), негладкость волновых спектров
(рис. 1.25), вид корреляционной функции (рис. 1.27)
丨/夕(z + &沙+ 〃)夕也У)dx dy\/ 夕 2(z,g)dzdg *
Заметим, что наблюдающиеся значения Wp(r) в волновых пакетах достаточны для выполнения критерия модуляционной неустойчивости с развитием ленгмюровско™ го коллапса [39, 51]. Для моделирования этой ситуации в расчетах по описанной методике должна учитываться и динамика ионов.
Когерентные эффекты в открытой системе плазма ——слабый размытый пучок
Открытые системы. Проблема SIEB
Открытые плазменные конфигурации, в которых неравновесность обеспечивает™ ся обменом энергией и/или частицами с окружающей средой, являются типичным примером нелинейной диссипативной среды. Возможные межчастичные столкнове™ ния (если они имеют место) являются дополнительным каналом диссипации. В по добных средах, в случае сильно неравновесных распределений частиц, когда ла™ минарное течение неустойчиво, возникающая неустойчивость ведет к возбуждению плазменных колебаний. Если внешние условия, включая источники частиц и знер- гии, стационарны, следует ожидать установления некоторого устойчивого движения, характеризующегося равенством между энергией, поступающей в рассматриваемую систему, и энергией, диссипируемой внутри нее и выходящей за ее пределы. В си™ лу нелинейности, асимптотическое поведение системы должно представлять собой одну или несколько форм движения, каждая из которых может обладать своим собственным уровнем упорядоченности на фазовой плоскости. Более того, меняя некоторые параметры системы, можно реализовать переход типа бифуркации из те™ кущего стационарного (квазистационарного) режима в новый режим. В настоящее время известно много таких примеров [41, 52, 53].
В этом разделе рассматривается подобный круг вопросов, возникающих в клас™ сической задаче физики плазмы о бесстолкновительной релаксации слабого элек™ тронного пучка, непрерывно инжектируемого в полупространство, занятое перво™ начально невозмущенной плазмой с максвелловским распределением частиц (так называемой проблема SIEB ——Steadily Injected Electron Beam problem). Как выясни™ лось, корректное решение этой фундаментальной задачи оказалось тесно связанным с проблемой о пределах применимости квазилинейной теории (КЛТ), использован™ ной, в частности, в первых работах по SIEB [43, 44, 54, 55]. Здесь целесообразно коротко коснуться истории вопроса.
С самого момента появления первых (стандартных) формулировок квазилиней™ ной теории [3, 4] начались и непрекращающиеся дискуссии о ее правомерности и пре™ делах применимости. Было выполнено большое число теоретических, вычислитель™ ных и экспериментальных исследований, ориентированных на проверку и уточнение КЛТ (см. раздел 1.2.1). Особенно много таких работ опубликовано для случая клас™ сической неустойчивой электронной функции распределения «с горбом на хвосте» (bump™on™tail distribution), с четко доминирующим резонансным взаимодействием волн с частицами, и в относительно простой плоской одномерной постановке для однокомпонентной электронной плазмы на зарядово компенсирующем фоне непо™ движных ионов. Большая часть цитированных дискуссионных работ, опубликован™
ных после 1977 г., была стимулирована пионерскими численными экспериментами [5] и полуфеноменологической теорией [12], где были установлены принципиальные от™ клонения от КЛТ корреляционной природы и сформулировано новое, дополнитель™ ное общее ограничение на применимость КЛТ (наряду со стандартными условиями (1.5)^(1.7)), налагаемое на амплитуды нарастающих неустойчивых электростатиче™ ских мод
术＜ 7клт,й- (1-32)
Позднее, в течение нескольких лет эти результаты были подтверждены аналогично поставленными численными экспериментами [15], за которыми последовали и попытки их теоретического объяснения [62, 17, 18] на основе подходов, ассоции™ рующихся чаще всего с гипотезой «клампов». Именно эти попытки теоретического анализа в основном и возбудили жаркие дебаты, ведущиеся в печати с переменным успехом до настоящего времени [63, 64].
Как представляется, большинство из теоретических подходов в этой полемике (как сторонников, так и оппонентов традиционной КЛТ) не обещают реального про гресса. Дело в том, что (как было правильно отмечено уже в начале 70-х гг. [11, 65]) корреляционные процессы, связанные с захватом частиц, имеющим временной мае™ штаб порядка обратной частоты колебаний захваченных частиц в пакете (которая, в свою очередь, пропорциональна корню квадратному из амплитуды электрического поля характерной неустойчивой моды), не могут быть описаны в рамках традици™ онной техники разложений по степеням амплитуды поля. Именно поэтому, видимо, прежде всего заслуживают внимания и приобретают тем большую ценность для по™ нимания проблемы ——численное моделирование, основанное «на первых принципах», и лабораторные эксперименты.
Наболее частый критический комментарий ——к твердо установленным в кине™ тических численных экспериментах отклонениям от результатов и предсказаний КЛТ со стороны ее безусловных сторонников — сводится к следующему. Да, об™ наруженные когерентные эффекты имеют место, однако описывают лишь «тонкую турбулентную структуру» нелинейной стадии плазменно-пучкового взаимодействия. Они трудно диагностируются в лабораторных экспериментах, а будучи усреднены по достаточно большим временному и пространственному масштабам (скажем, по обратной характерной частоте колебаний частиц в пакетах и их пространственным размерам, соответственно), практически не меняют таких основных релаксацион™ ных показателей, как уровень установившегося плато на функции распределения и асимптотическое значение плотности электростатической энергии.
В значительной степени (хотя и не всегда, строго говоря) это действительно так, но только ——для замкнутых (пространственно-периодических в численном моде™ лировании) систем, с фиксированным запасом «избыточной» энергии, диссипиру™ ющей при релаксации изначально неравновесных пучково-плазменных распределе™ ний. Как было показано ранее в рамках численного моделирования методом частиц, ситуация принципиально и существенно меняется в открытых (ограниченных) плаз™ менных системах, а именно ——в системах с заданной инжекцией частиц на границах. В частности, в проблеме SIEB наблюдались новые макроскопические диссипатив™ ные структуры в форме когерентных волновых пакетов большой амплитуды, в со™ ответствии с обнаруженным новым механизмом нелинейного насыщения пучковой неустойчивости [14, 40, 66, 67], а в проблеме токовой бунемановской неустойчиво™ сти ——квази-периодический процесс спонтанной генерации сильных двойных элек™ трических слоев на нелинейной стадии [48, 49].
Ниже представлен обзор основных результатов численного моделирования по проблеме SIEB, полученных с использованием техники сеточных схем расщепления (ТССР) [68]. Существенными и новыми моментами здесь, по сравнению с расчетами по аналогичной задаче, базирующимися на методе частиц (раздел 1.3), являются следующие.
—— Недавнее первое полное численное решение системы пространственно ——неод™ нородных нестационарных уравнений КЛТ для проблемы SIEB, проведенное на основе специально разработанной оригинальной вычислительной методики, обеспе™ чило надежную базу для количественного сравнения численных результатов, по лученных в рамках КЛТ, с результатами полного кинетического моделирования в рамках ТССР.
—— Исключительно высокие разрешающая способность и гибкость ТССР, исполь™ зуемой для прямого интегрирования системы Власова-Пуассона, в сочетании с ре™ кордно низким уровнем вычислительных шумов, позволили как проверить резуль™ таты, полученные ранее методом частиц, так и обнаружить новые принципиальные факты, включив в рассмотрение пучки с очень низкой относительной плотностью (до пь/по 〜10™4) и используя при этом прецезионную диагностику с широким варьированием спектра предписанных начальных шумов, граничных условий и т.п.
——Впервые проведено кинетическое численное моделирование неустойчивого распределения «с горбом на хвосте» и проблемы SIEB с учетом подвижности ионов, разрешающей самосогласованное возбуждение в моделируемой системе «пучок™ плазма» модуляционной неустойчивости.
——Применение нового вида основанной на вэйвлет™анализе обработки и визуализации данных позволило обнаружить и проследить динамику долгоживущих раз™ номасштабных высоко-скоррелированных пространственно-временных структур —— локализованных волновых пакетов и их цугов.
Основные выводы КЛТ в задаче SIEB
Квазилинейная теория, впервые сформулированная в [3, 4] на примере задачи о релаксации размытого электронного пучка базируется на выполнении условий (1.5)^(1.7) В пространственно-неоднородном случае уравнения КЛТ, в их простей™ шей и наиболее употребительной форме, имеют вид:
df df 9 df 「 冗宀；
F 亏DDv = 一2一耳， (L33)
方涼2n0)
Согласно этим уравнениям, тепловые колебания электрического поля с фазовыми скоростями 1^ь, к = ^р/к из диапазона [1勺,1々](где df /dv〉0) неустойчивы и нарас™ тают с инкрементом (1.34), вплоть до установления плато для /(d) в результате диф™ фузионного замедления быстрых частиц пучка с коэффициентом диффузии (1.33), пропорциональным плотности электростатической энергии возбуждаемых волн.
Первые стационарные решения этой системы получены в [43, 44]. Приведем основные результаты.
——Вблизи инжектора образуется интенсивный «плазмонный конденсат» (здесь —— пакет волн со случайными фазами), генерируемый релаксирующим пучком.
—Амплитудное значение плотности электростатической энергии стационарного пакета Е^1aх/2 (результат накопления в нем ленгмюровских колебаний) по отноте-
нию к средней плотности избыточной («над плато») энергии Wo — W^ инжектируемого пучка определяется из условия непрерывно™ сти потока энергии:
(L35)
В результате величина ^max/^o^ определя™ ется отношением характерной скорости по™ ступления энергии в систему (т. е. средней фазовой скорости генерируемых волн, или скорости пучка) (Iph) к характерной скоро™ сти выноса энергии из систем (средней групповой скорости волнового конденсата)〈1&). В силу неравенства (Iph)》〈1%工)она оказы™ вается весьма значительной даже для очень слабых пучков.
——Волновой пакет расширяется вправо (вниз по потоку) со средней групповой скоростью волнового конденсата〈(&)*
—— За волновым пакетом, вниз по потоку, функция распределения по скоростям пред™ ставляет собой строгое плато. В этой области плотность электростатической энергии
остается на уровне тепловых шумов.
Что касается нестационарного случая, то здесь, в силу математических трудно™ стей полного решения, были в основном рас™ смотрены частные приближенные случаи и некоторые асимптотики [43, 44, 54], под™ тверждающие вышеприведенные основные результаты для стадии установления. Это и
tUJp-300tUJp-300Рис. 1.28. Профили плотности волновой энергии в последовательные моменты времениРис. 1.28. Профили плотности волновой энергии в последовательные моменты времениРис. 1.29. Функция распределения как функция скорости в точках ж = 40 (сверху) и ж = 100 (снизу)Рис. 1.29. Функция распределения как функция скорости в точках ж = 40 (сверху) и ж = 100 (снизу)заставило ——в целях получения корректной количественной базы для сравнения с численными экспериментами ——обратиться к численным методам.
tUJp
-300
tUJp
-300
Рис. 1.28. Профили плотности волновой энергии в последовательные моменты времени
Рис. 1.28. Профили плотности волновой энергии в последовательные моменты времени
Рис. 1.29. Функция распределения как функция скорости в точках ж = 40 (сверху) и ж = 100 (снизу)
Рис. 1.29. Функция распределения как функция скорости в точках ж = 40 (сверху) и ж = 100 (снизу)
Основные трудности, возникающие при моделировании системы (1.33), (1.34) и задержавшие на три десятилетия строгое численное решение в рамках КЛТ зада™ чи SIEB, связаны с тем, что, во-первых, разностная схема должна быть монотон™ ной, чтобы можно было вычислять достаточно точное значение производной df /dv^ определяющей инкремент, во-вторых, она должна быть консервативной, чтобы не нарушались законы сохранения, следующие из (1.33), (1.34), и, наконец, в-третьих, разностная схема не должна «размазывать» разрывы при переносе. Окончательный вариант численного метода (см. [69]), использованный при расчетах, представляет из себя удачный компромис между этими требованиями, достигнутый после многих попыток на базе техники подвижных сеток и разработки специальной гибридной
разностной схемы [70]. Основные уравнения КЛТ в безразмерной форме:
dt dx dv 厂 dt v dxdvdt dx dv 厂 dt v dxdv(1.37)(1.37)
dt dx dv 厂 dt v dxdv
dt dx dv 厂 dt v dxdv
(1.37)
(1.37)
где E2/(4тг)=£)/(7rv). Граничные и начальные условия на функцию распределения пучка / сформулированы в разделе 1.4.4. Условие, налагаемое на О, имеет следую™ щий вид (тепловой шум [69]):
「+ /) 2H
Рассмотрим типичный расчет из работы [69] для Run {О; 1/50; 8/4}. На рис. 1.28 представлены зависимости Е/.4ттТ от ж для различных моментов времени. От™ четливо вырисовываются две стадии релаксации.
На первой стадии вблизи инжектора формируется волновой пакет за время по 12
рядка 力rei 1 50, что хорошо согласуется с теоретической оценкой — [54].
a \ V J
Здесь △『 ——начальный разброс скоростей в пучке, V ——средняя скорость. Размеры области, где происходит образование волнового пакета £rei > 60А t 力reil二
На втором этапе образовавшийся пакет распространяется (расширяется) вправо с групповой скоростью, соответствующей некоторой средней фазовой скорости из интервала неустойчивости, а именно, со скоростью V G [3/8, 3/4]. Установившее™ ся значение величины Е?/47r согласуется с теоретическим, (следующим из (1.35)). Равенство экспериментального и теоретического значения 石？/4冗 достигается при 0,43;吟h = 6,6.
На рис. 1.29, a, б изображены графики зависимости функции распределения от скорости на разных участках плазмы (z = 40 и z = 100) в разные моменты времени. Мы видим, что при 力=50 функция распределения стабилизируется и на достаточ™ ном удалении от инжектора (〜£rei) образуется плато. Его уровень несколько выше, чем предсказываемый теорией в пространственно-однородном случае. Это объясня™ ется неоднородностью задачи. Легко показать, что в стационарном режиме SIEB постоянна по z не концентрация частиц, а их импульс J /зск\ откуда и следует формула (1.36). Изменение же концентрации п дается уравнением
э(Ндхэ(Ндх6b,6b,(1.38)(1.38)
э(Ндх
э(Ндх
6b,
6b,
(1.38)
(1.38)
откуда д(дп)/дх〉0 или ёп > 1 при ж > 0.
Заметим, что поскольку уравнения КЛТ не могут существенно вовлечь в процесс релаксации устойчивую максвелловскую плазму, результаты численного решения для фиксированного значения а, можно использовать для экстраполяции (скейлин™ га) в другую область параметров, в частности, для очень слабых по 冗匕/冗。пучков.
Переход в режим умеренной турбулентности
Отметим, что математическая природа системы (1.33), (1.34), с уравнением типа Фоккера^Планка (1.33) для /, гарантирует: 1) монотонный рост всех неустойчивых волновых гармоник и 2) ограничение сверху инкрементов для всех гармоник значе™ ниями их начальных КЛТ™инкрементов. Именно эти наглядные следствия диффу™
Рис. 1.30. Фазовая плоскость ж — и для Run {Р; 1/1000; 10/5} в последовательные момен™ ты времени fwp = 1000, 1500, 2000. Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v)Рис. 1.30. Фазовая плоскость ж — и для Run {Р; 1/1000; 10/5} в последовательные момен™ ты времени fwp = 1000, 1500, 2000. Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v)
Рис. 1.30. Фазовая плоскость ж — и для Run {Р; 1/1000; 10/5} в последовательные момен™ ты времени fwp = 1000, 1500, 2000. Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v)
Рис. 1.30. Фазовая плоскость ж — и для Run {Р; 1/1000; 10/5} в последовательные момен™ ты времени fwp = 1000, 1500, 2000. Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v)
знойного характера релаксации теплого пучка, в основе которой и лежало предпо™ ложение о стохастичности фаз, были опровергнуты численными экспериментами [5] (первоначально, для замкнутых систем с периодическими граничными условиями) и последующими исследованиями [57, 49, 20, 15].
Основные выводы из этих работ, противоречащие традиционной КЛТ, иллюстри™ руются ниже новыми результатами для очень слабых пучков.
При достаточно больших амплитудах нарастающих волн ——в хорошем согласии со сформулированным в [12] критерием
йг, к = 靑〉7клт, в (1-39)
(где 口弋厶 к ——характерная частота колебаний электронов, захваченных волной) про™ цесс диффузионной релаксации становится неустойчивым относительно усиления корреляций (практически с тем же КЛТ инкрементом) между волнами и движени™ ем электронов и установления более быстрого, турбулентно-конвективного переноса частиц по скоростям. В результате скоррелированности фаз соседних гармоник, траектории частиц на фазовой плоскости z — з приобретают конвективный характер и постепенно распространяются на весь диапазон (l^, 1&) (рис. 1.30).
Результатом нарастания корреляций является формирование на фазовой плоскости когерентных волновых пакетов (рис. 1.31) с протяженностью lp = 7rlih/Ctr^， где к ——характерное волновое число пакета, Vph = ^Р/к. Образование таких паке™ тов и означает переход от слабой турбулентности в рамках КЛТ к так называемой умеренной (частично-упорядоченной) турбулентности (УТ) [5, 49].
Рис. 1.31. Профили продольной энергии поля £^/(8тт()ТЬ) в последовательные моменты времени fwp = 750, 1000, 1250, 1500, 2000 для Run {Р; 1/1000; 10/5}. Хорошо просматри ваются волновые пакеты, движущиеся с групповой скоростью
Рис. 1.32. Максимальная (в области) плотность энергии поля 石匕 1ax/(8тт()ТЬ) как функция времени для Run {Р; 1/1000; 10/5}. Максимальный инкремент неустойчивости превышает квазилинейный в 1,5 раза
Рис. 1.33. Временная зависимость фу~ рье~гармоник электрического поля. Гармоники, соответствующие трем основным пакетам (+) растут с инкрементом, превышающим квазилинейный, гармоники, разделяющие пакеты (—) угнетаются
Гармоники, образующие пакеты, могут расти с инкрементом ,мт)большим квазилинейного 7клт； в то же время гармоники, разделяющие пакеты, «угнетаются» (рис. 1.32, 1.33). В целом поведение гармоник во времени становится немонотонным. Вводя для наглядности феноменологический «параметр порядка» w (1/2 < w < 1), можно записать 7мт = 7клт- В частности, в численных экспериментах [51 1 - w
наблюдалось превышение 7клт в 1,5 раза, что соответствует w = 0,6.
Любопытно, что во всех последующих численных экспериментах, где отмечались отклонения от КЛТ, инкремент ,мт наиболее быстро растущих гармоник не выходил за пределы 1,5 7клт Возможно, этому есть простое объяснение: максимальный инкремент для мод, формирующих когерентные пакеты, не может превышать суммарной величины, складывающейся из)клт и скорости усиления корреляций 7СОГ = 7клт/2, полученной в теоретической работе [5].
Место УТ среди других возможных турбулентных состояний плазмы схематически показано на рис. 1.2. Подобная диаграмма, где по осям отложены два характерных безразмерных параметра: отношение плотности электростатической энергии флуктуаций 石2/8тг к плотности тепловой энергии пТ (по оси абсцисс) и отношение характерного корреляционного времени 丁。к временному масштабу нелинейного взаимодействия tnl (по оси ординат),—— ранее использовалась в [65]. В нашем случае роль тс и tnl играют, соответственно, 7^1 и 0^[57].
Рис. 1.34. Относительное расположение различных режимов, сопутствующих релаксации пучка в зависимости от относительной плотности пучка и энергии волны
Достаточно полный обзор работ, предшествующих теории УТ, и последовавших исследований различных авторов по близкой тематике (вплоть до 1987 г.) содержится в [50].
Отметим, что наиболее отчетливо отклонения от КЛТ наблюдались в экспериментах с сильно размытыми (на 4+10 Уте) пучками с профилем функции распределения пучка вида (1.40). Такая форма «горба на хвосте» обеспечивает на ранней стадии релаксации равенство линейных инкрементов гармоник во всем диапазоне [14, 眩])тем самым препятствуя слишком быстрому формированию превалентных мод с вырождением кинетического режима релаксации в одномодовый.
По этой же причине профиль (1.40) будет использован в качестве основного и ниже, при рассмотрении релаксации слабых размытых электронных пучков, непрерывно инжектируемых в плазму (проблема SIEB). Как уже отмечалось, эта задача оказалась принципиальна и интересна тем, что обнаруженные первоначально в замкнутых (периодических) плазменных конфигурациях тонкие эффекты УТ ——в открытых системах, с инжектируемыми пучками, могут «аккумулироваться» и приводить к важным макроскопическим следствиям, принципиально меняя и делая более разнообразным известный КЛТ механизм насыщения пучковой неустойчивости и структуру ближней (от инжектора) и дальней (вниз по потоку) возмущенных зон.
На рис. 1.34 показано относительное расположение различных режимов, сопутствующих релаксации пучка в проблеме SIEB, в зависимости от относительной плотности пучка и плотности энергии электростатической волны. Цифрами отмечены: / — уровни энергии поля, соответствующие началу перекрытия резонансов соседних неустойчивых мод к土 = 1/V ± тг/刀 для характерных значений 刀 и V; 2 — верхняя граница области применимости КЛТ; 3 ——уровень избыточной энергии пучка для периодического случая; / — уровень КЛТ насыщения для задачи SIEB; 5 — порог модуляционной неустойчивости; 6 ——область захвата электронов, что соответствует плотности энергии Wp^ мод с 5 < 吟卜太 < Ю, достаточной для захвата максвелловских электронов с уровня У = 3.
Постановка численных экспериментов для задачи SIEB
Рассмотрим полупространство ж > 0, заполненное плазмой с максвелловским распределением по скоростям (рис. 1.35). Сама плазма может быть как однокомпонентной электронной, так и двукомпонентной протонно-электронной. Задача решается на конечном отрезке Q < х < L, где L выбирается достаточно большим для обеспечения условия (1.6). Поскольку 8k = 2тг/Ь, число гармоник, фигурирующих в расчете, порядка N^ = △k/8k, где △& =上@ (1/匕—1/Т^). Слева, при х = 0, для скоростей и ? 0 задается граничное условие для /е в форме
fe,l = /М + /ь，гДе 力W(U)fe,l = /М + /ь，гДе 力W(U)1 - a1 - a,——ехр,——ехр
fe,l = /М + /ь，гДе 力W(U)
fe,l = /М + /ь，гДе 力W(U)
1 - a
1 - a
,——ехр
,——ехр
а /?——инжектируемый пучок, например, в виде
#5 =#5 =а （1 -匕/u）"一匕一匕 1h（“/匕）‘а （1 -匕/u）"一匕一匕 1h（“/匕）‘де к,к].де к,к].(1.40)(1.40)
#5 =
#5 =
а （1 -匕/u）
"一匕一匕 1h（“/匕）‘
а （1 -匕/u）
"一匕一匕 1h（“/匕）‘
де к,к].
де к,к].
(1.40)
(1.40)
Справа, при 步=刀,обычно задается часть максвелловского распределения для V < 0. Предполагается, что частицы пучка и плазмы могут свободно покидать расчетную область Q < х < L через обе границы.
(1.41)(1.42)(1.41)(1.42)Самосогласованная эволюция частиц и волн в описанной открытой системе определяется в рамках полного кинетического моделирования ——решением системы уравнений Власова-Пуассона [68, 71—75]:
(1.41)
(1.42)
(1.41)
(1.42)
ot ox ma ox ov
△夕=—4冗 ^2 Za / Д du, a = e, £
Начальное состояние частиц внутри области может варьироваться: например, совпадать с объединением левого и правого граничных условий, т. е. /? = /м + /^,
Рис. 1*35* Схема численного эксперимента по проблеме SIEB. Здесь Eext — длина, на которой задано начальное возмущение 石ext, Ebnf — размер вспомагательного резервуара, 厶员=L + Lbuf (в большинстве расчетов Eext = Ь, Ebnf = 0), Л и 1р — характерные длина волны и размер пакета соответственно
или включать только максвелловское рапределение фоновой плазмы. В последнем случае задача «максимально нестационарна»: пучок входит в область ж > 0 с резким передним фронтом. Возможен и «максимально спокойный» старт, когда при 力=0 и 0 s s 刀
где fp имеет форму КЛТ плато, которое при 力〉0 уходит направо, замещаясь инжектируемым пучком. Заметим, что все указанные детали задания начального состояния частиц внутри области моделирования сказываются лишь вначале, на временном интервале порядка пролетного времени L/V±.
Различные варианты существуют и для задания начального уровня флуктуаций электрического поля. Главное требование: случайность фаз различных гармоник в начальный момент 力=0 при заданных значениях амплитуд (например, с самого начала обеспечивающих условие (1.7) перекрытия резонансов).
В рамках полного кинетического моделирования (см. раздел 1.4.5) тестировались самые разные варианты «организации стохастичности», включая и периодическое «встряхивание» (принудительное размешивание фаз) на линейном этапе релаксации. Интересно, что во всех случаях, уже на слабо-нелинейной стадии, отчетливо проявлялся эффект усиления корреляций с формированием когерентных диссипативных структур. В конце концов мы остановились на наиболее объективной, на наш взгляд,——«самосогласованной» процедуре задания стохастического начального фона. При некотором 力 < 0 задавались все возможные гармоники электрического поля фиксированной малой амплитуды и со случайными фазами. После этого на конечное время плазма «предоставлялась сама себе», самосогласованно эволюционируя в соответствии с численным решением уравнений (1.41), (1.42). После быстрого резонансного затухания коротких волн, вырабатывался классический тепловой спектр известной интенсивности. И наконец, уже в эту плазму в момент 力=0, определяемый случайной выборкой, начиналась инжекция пучка с последующим решением задачи SIEB в полной постановке.
Граничное условие для электрического поля выбиралось в форме 石(0/) = 0. В случае полной электрической нейтральности, / ne dx = / 冗乃 dx, отсюда автоматически следует и 石(刀)力)=0. Поддержание квазинейтральности может быть обеспечено различными способами. Например, предусматривая при х < Q и х > L наличие вспомогательных плазменных резервуаров или отслеживая интегральную заря до™
вую нейтральность системы варьированием нормировки ионной плотности. В цитированных ниже расчетах SIEB не использовались искусственные приемы поддержания нейтральности. Она с высокой точностью автоматически поддерживалась в системе за счет возможности свободного притока (оттока) избыточных частиц при возникновении в расчетной области объемного заряда.
Ниже, там где уравнения и результаты фигурируют в безразмерной форме, использованы следующие физические масштабы:
[ж] = аD = Vt/^p， 用=1 = ,4冗几()62/刀"
回=VT =，T/w [/] = п0/¥г- (1.43)
В дальнейшем мы используем для сравнительных оценок, в качестве стандартных КЛТ значений инкрементов ,клт,к)контрольные значения, полученные в специальных тестовых расчетах с точной функцией распределения пучка (1.40) путем измерения линейных инкрементов пробных изолированных волн из неустойчивого интервала фазовых скоростей. Это сделано для того, чтобы учесть любые зависимости инкрементов, присущих математической модели: от физической и вычислительной разностной дисперсии, средней дрейфовой скорости плазмы, вклада энергии пучка в эффективную плазменную «температуру» и т.д. [72]
Ниже во всех цитированных в тексте и на рисунках расчетах использован профиль функции распределения пучка вида (1.40). При этом использовано обозначение различных вариантов с помощью вектора Run {I; а; “/匕；me/mi； Te/Ti}. Здесь I = =Р (периодические граничные условия) или 1 = 0 (открытая система); а =冗心/冗，о； “)匕一скорости, ограничивающие пучок в (1.40); me/mi — отношение e/i масс в случае учета подвижности ионов; Te/Ti отношение e/i температур в максвелловской плазме в последнем случае.
.4.5. Полное кинетическое моделирование задачи SIEB
Будем понимать под полным кинетическим моделированием (ПКМ) задачи SIEB численное решение полной системы Власова-Пуассона на базе техники сеточных схем расщепления (ТССР) в постановке раздела 1.4.4. Основные результаты ПКМ получены с помощью объектно-ориентированного кода SUR [68] и суммированы в [71-73]. ”
Соответствующие расчеты охватывают диапазон по У от 4 до 10 и по а от 1/50 до 1 /5000. Параметры цитирумых вариантов представлены в таблице
ГУ
nb/n0
匕八4
me/mi
Run 1
0
1/200
8/4
Run 2
P
1/1000
10/5
Run 3
0
1/1000
10/5
Run 4
0
1/2000
10/5
Run 5
0
1/200
8/4
1/100
1
Run 6
0
1/200
8/4
1/100
100
Run 7
0
1/5000
10/5
Run 8
0
1/200
10/5
1/1840
1
Run 9
0
1/200
10/5
1/1840
100
Начнем с обсуждения результатов для классической задачи SIEB в случае неподвижных ионов.
Главный общий результат заключается в разительном и, во многом, принципиальном отличии картины самосогласованной релаксации SIEB в ПКМ от картины, предсказываемой КЛТ [43, 44, 54, 55] и КЛТ расчетами [69].
Перечислим (с комментариями) основные особенности (по сравнению с КЛТ представлениями) нелинейного пучково-плазменного взаимодействия в SIEB в рамках ПКМ, часть из которых (относящаяся к более плотным пучкам) была получена также в более ранних работах методом макрочастиц [40, 67].
Волновой пакет, формирующийся вблизи инжектора (рис. 1.36), имеет высокую степень когерентности и состоит теперь из скоррелированных мод. Этот факт (равно как и другие, описываеме ниже) надежно устанавливается с помощью специальных программ обработки и визуализации результатов и, в частности, из анализа пробных траекторий, пространственно-временной эволюции функций распределения пучка и плазмы, волновых спектров и корреляционных функций для электрического поля (рис. 1.37^1.39). ”
Общая картина релаксации позволяет условно разделить моделируемую область, составляющую обычно несколько тысяч Ар, на три подобласти (рис. 1.40):
I ——инерционную область, примыкающую к инжектору, с характерной длиной biner, на которой пучок теряет не более 10 % своей избыточной энергии;
——область активного нелинейного взаимодействия волн с частицами и выраженным усилением корреляционных эффектов, в этой области длиной Ьсог пучок теряет еще 80 % избыточной энергии;
——далекую область (вниз по потоку), характеризующуюся формированием квазиплато на функции распределения, ослаблением управляющей роли пучка и, соответственно, менее скоррелированным (балистическим) взаимодействием волновых пакетов, зародившихся слева и входящих в эту область 刀bai со своей групповой скоростью (рис. 1.41).
Размер biner 〜(吟h〉/7, что согласуется и с КЛТ. Правая граница biner поддерживается в среднем на этой же длине. Однако тенденция к зарождению скоррелированных пакетов после нарушения критерия (1.32) наблюдается уже здесь.
Наиболее интересна область активного нелинейного взаимодействия Ьсог. Именно здесь формируются наиболее интенсивные когерентные волновые пакеты, уже первый из которых поглощает значительную (порядка 1/2) долю избыточной энергии пучка. Характерная длина волновых пакетов [40, 67]
k 1 ^Пл, к /^tr, к = TlpXk • (1.44)
Таким образом, с течением времени и ростом интенсивности пакетов, их длина сокращается, при этом (в соответствии с формулой (1.44)) произведение npQtr^ остается постоянным. Здесь к ——характерное волновое число пакета, пр ——число длин волн в пакете. То, что этот факт подтверждается ПКМ, является и подтверждением этой формулы. Как следует из численных экспериментов, эффективное значение ширины пакета по V на фазовой плоскости хорошо описывается формулой 口行 к = =ЛШг, fc где Л ~ 0,14^0,16. ” '
Инкременты гармоник, формирующих пакеты, могут превышать соответствующие КЛТ величины.
Предельное значение интенсивности пакета(£^2/(8тгпТ))тах определяется его ростом вплоть до амплитуд, достаточных для захвата и ускорения электронов плазмы вплоть до 眩(рис. 1.42). Таким образом,(石2/(8ттТ)) может быть как меньше (для достаточно сильных пучков), так и больше, чем КЛТ предел, определяемый
5005001000100015001500ж/Лрж/ЛрРис. 1.36. Фазовая плоскость с —& для Run {О; 1/1000; 10/5} в последовательные моменты времени 力以目=1000, 1500, 2000 (см. рис. 1.30). Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v). Хорошо видна динамика развития пучковой неустойчивости и образования волнового пакета вблизи инжектора, аккумулируй ющего поступающую избыточную энергию пучкаРис. 1.36. Фазовая плоскость с —& для Run {О; 1/1000; 10/5} в последовательные моменты времени 力以目=1000, 1500, 2000 (см. рис. 1.30). Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v). Хорошо видна динамика развития пучковой неустойчивости и образования волнового пакета вблизи инжектора, аккумулируй ющего поступающую избыточную энергию пучкаАXАX19195 а о,5 а о,1L X fb I ，孑普经 ^―v/VTe00,511,251L X fb I ，孑普经 ^―v/VTe00,511,25
500
500
1000
1000
1500
1500
ж/Лр
ж/Лр
Рис. 1.36. Фазовая плоскость с —& для Run {О; 1/1000; 10/5} в последовательные моменты времени 力以目=1000, 1500, 2000 (см. рис. 1.30). Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v). Хорошо видна динамика развития пучковой неустойчивости и образования волнового пакета вблизи инжектора, аккумулируй ющего поступающую избыточную энергию пучка
Рис. 1.36. Фазовая плоскость с —& для Run {О; 1/1000; 10/5} в последовательные моменты времени 力以目=1000, 1500, 2000 (см. рис. 1.30). Штриховкой изображены различные уровни функции распределения электронов пучка Д(ж, v). Хорошо видна динамика развития пучковой неустойчивости и образования волнового пакета вблизи инжектора, аккумулируй ющего поступающую избыточную энергию пучка
АX
АX
19
19
5 а о,
5 а о,
1L X fb I ，孑普经 ^―
v/VTe00,511,25
1L X fb I ，孑普经 ^―
v/VTe00,511,25
4 一
0500100015002000250030003500 X/\D
Рис. 1.37. Фазовая плоскость с — & для Run {О; 1/2000; 10/5} на начальной стадиинасыщения поля. Штриховкой изображены различные уровни функции распределенияэлектронов пучка Д(ж, &)(力以目=2475). На фазовой плоскости заметно большое количествоволновых пакетов
Рис. 1.38. Профиль плотности энергии поля ^/(8тгпоТЬ) в тот же момент времени показывает пространственную локализацию и характерный размер пакетов
Рис. 1.39. Корреляционная функция С^(ж) = 石(£)石(£ + ж) d^/ jj^ E”® d£ для Run {O; 1/2000; 10/5} в тот же момент времени. Корреляции с длиной > 1000Лр говорят о наличии структуры пакетов
Рис. 1.40. Усредненные по периоду колебаний профили плотности энергии электронов пучка в последовательные моменты времени для Run {О; 1/2000; 10/5}. Поперечные кривые (слева направо) соответствуют 10 %, 50 %, 90 % потере избыточной энергии пучка
Рис. 1.41. Профили плотности электростатической энергии в последовательные моменты времени для Run {О; 1/2000; 10/5}, усредненные по периоду колебаний. Верхняя и нижняя косые линии соответствуют движению с характерной групповой и фазовой скоростью соответственно
v/VTe /b 宣二蠢二 I 二工二二匸二二］ 00,0001 0,0002
Рис. 1.42. Функции распределения пучка (сверху) и фоновой плазмы для Run {О; 1/2000; 10/5} на стадии насыщения. Хорошо заметен захват электронов фоновой плазмы волновыми пакетами с последующим их ускорением до максимальной скорости пучка («быстрый» энергетический канал)
соотношением (1.35). Превышение над КЛТ пределом, надежно установленное нами на примере очень слабого пучка (Run {О; 1/2000; 10/5} и Run {О; 1/5000; 10/5}) представляется на первый взгляд особенно удивительным: групповая скорость оказывается недостаточной для сброса волновой энергии вправо из активной зоны. Это действительно так, поскольку, в отличие от результатов КЛТ, происходит не расширение вправо стохастического волнового конденсата за счет смещения лишь его правой границы, а движение вправо локализованных, пространственно-ограниченных контрактирующих когерентных пакетов с малой групповой скоростью рис. 1.41. В последнем случае такой пакет продолжает резонансное взаимодействие с быстрым неустойчивым инжектируемым пучком, наращивая свою амплитуду вплоть до захвата электронов фоновой плазмы.
В результате описанного механизма насыщения, основанного на захвате и ускорении частиц фоновой плазмы, энергетический поток, входящий в пакет слева со скоростью пучка, идет далее по двум каналам: по первому («медленный» канал), связанному со смещением пакета вправо со средней групповой скороостью (этот канал аналогичен уже известному из КЛТ), и по второму (новый «быстрый» канал), который определяется захватом и ускорением электронов фоновой плазмы, движущихся вправо со средней фазовой скоростью нелинейных волн, входящих в область bbai• Тем самым электроны фоновой плазмы как бы «встраиваются» в квазиплато и принимают участие в его формировании (рис. 1.42).
Далекая область вниз по потоку,刀bai (рис. 1.43, в), больше не является строгим КЛТ плато. Вместо этого в ней присутствуют волновые пакеты относительно малой амплитуды, возникающие главным образом в процессе взаимодействия волновых пакетов, поступающих из Ьсог, с захваченными и ускоренными электронами фоновой плазмы (рис. 1.44) [76]. Как известно [77], формирование таких волн сильно промодулированным в пространстве электронным пучком соответствует переходу к квазистационарной волне типа Ван Кампена [78, 79].
Дальнейшая «судьба» описанного длинноволнового шлейфа в баллистической области 刀bai сильно зависит от всех возможных механизмов диссипации [80]. В нашем случае бесстолкновительной власовской плазмы наблюдаемое сглаживание и исчезновение этой тонкой структуры в 刀bai в основном определяется численной сеточной вязкостью.
Численные эксперименты последних лет, проведенные с помощью объектно-ориентированного кода SUR с высокой разрешающей способностью и низким уровнем шумов, наглядно продемонстрировали, что наиболее существенные отклонения от квазилинейной теории имеют в своей основе тонкие нелинейные эффекты корреляционной природы, возникающие при взаимодействии волн с резонансными частицами. И с этой точки зрения использование специальных исследований диффузии в несамосогласованных системах [61, 64, 81, 82] для проверки применимости КЛТ представляется не имеющим прямого отношения к подлинным трудностям применения квазилинейной теории. Это те самые отклонения, которые аккумулируются в открытых сильно неравновестых системах, и приводят к макроскопическим следствиям, знание которых может существенно изменить (и улучшить) понимание таких фундаментальных процессов, как турбулентный перенос в плазме или управление турбулентным режимом с помощью слабых когерентных сигналов на входе системы. Можно надеяться, что глубокое теоретическое изучение этих и подобных явлений, за которым стоит непрерывно возрастающая эффективность современных компьютеров, в свою очередь послужит основой для стимулирования и постановки целенаправленных лабораторных экспериментов.
Л
0,0002 к
0,0001 -
0Ь^
1550
а
Л
0,0002 н 0,0001 о
6
0,0002 -
0,0001 -丄
3550
0
в
&八九
鏡八九
3700
х Xd
x/Xd
21002150
Рис. 1.43. Зх-мерные изображения функции распределения пучка в трех типичных участ™ ках на различном удалении от инжектора. Волновые пакеты «встроены» (самосогласован™ но) в неоднородности функции распределения пучка. Каждый элемент неоднородности соответствует одному из колебаний на сжатом изображении рис. 1.42
Рис. 1.44. Часть функции распределения электронов максвелловского фона /е, соот™ ветствующая рис. 1.43. На фазовой плоскости хорошо видны потоки захватываемых и уско- ряемых электронов фона
Подкритический случай
Численные эксперименты со значением а = щ/по = 1/2000 [72, 73], обеспечивающим попадание в «критическую» область, где КЛТ-уровень максимальной плотности волновой энергии в режиме насыщения, £±ах клт? и аналогичная вели™ чина £^1ax tr? необходимая для захвата электронного «кора» когерентным пакетом, с характерным к^ — величины одного порядка, (а именно, £焉乂 клт S 局шх tr — условие слабой «подкритичности»), по-прежнему демонстрировали картину захвата кора, показав при этом (впервые в численных экспериментах) достигнутый уровень насыщения, £^七)превышающий теоретическую КЛТ-оценку £±ах клт•
Тем не менее, отсутствие результатов численного моделирования для параметров электронного пучка, явно соответствующих требованиям подкритичности: ^тах,клт < ^max,tr оставляло место для вопросов. Действительно, не окажется ли при этом условии указанный выше квазилинейный механизм (расширение пакета с групповой скоростью) достаточным для насыщения? И если ответ отрицателен, то какова специфика захвата электронов кора в этом (выраженном подкритическом) случае?
Используя программу SUR/GST (GST — Grid Splitting Technique) [83], удалось — в традиционной постановке с фиксированным ионным фоном — обеспечить необхо™ димую точность в варианте с а = 1/5000 т. е. в заведомо подкритичной области). Как показал анализ численных результатов этого варианта (цитируемого ниже как С СЕ/5000 — Crucial Computer Experiment / 5000), и в этом случае не КЛТ-меха- низм, а захват кора определяет уровень насыщения и максимальную амплитуду пакетов. При этом решающую роль в нарастании интенсивности пакета E^at сверх КЛТ-предела 石工^ клт и Далее? вплоть до £^1ax tr? игР^т его когерентность. В отличие от стохастического КЛТ-пакета, которому предписано просто расширяться со скоростью Vgr^, происходит (в качественном согласии с феноменологической УТ-теорией [12, 5]) сужение эффективной ширины когерентного пакета пропорционально С^г и смещение его вниз по потоку ——как целого ——со скоростью Vgr,趴 Понятно, что в этих условиях пакет продолжает черпать энергию из резонансных электронов инжектируемого неустойчивого пучка, поскольку средняя скорость пуч™ КД V = Vph, к》"^gr, к = 3"К^е/吟h*
Постановка задачи и численные параметры. Постановка задачи для С СЕ/5000 полностью соответствует общей постановке проблемы SIEB, сформулированной в разделе 1.4.4. В плоской одномерной геометрии — в рамках полной системы нелинейных нестационарных уравнений Власова и Пуассона ——изучается самосогласованная эволюция системы «пучок-плазма».
Для численного решения уравнений Власова-Пуассона для С СЕ/5000 использовался объектно-ориентированный код SUR/GST [68], написанный на языке C++ с применением жестко оптимизированной библиотеки быстрой арифметики. Основные вычислительные параметры С СЕ/5000: а = 1/5000;匕/匕=5/10; длина расчетной области L = 10 000; шаг по пространству Аж = 0,61; шаг по времени △力= =0,2; полное число узлов на фазовой плоскости (ш,雜)N = Nx х Nv = 16 384 х х 256 = 222 1 4 • 106, полное число шагов по времени ——60 000. Расчет проводился на PC Pentium-60 в течение месяца (с перерывами). Полученные при этом данные (мгновенные снимки функций распределения, профилей полей, плотностей частиц, импульса, энергии, температуры, временные зависимости усредненных величин) за™ няли в упакованном виде около 4 Gb дискового пространства. Дополнительная обработка этих данных (видеофильмы — динамика волновых пакетов, функций распределения пучка и фоновой плазмы в различных масштабах; фурье- и вэйвлет-
Рис. 1.45. Обработка электрического поля Ех (ж, t), основанная на вэйвлет^преобразо™ вании, выявляет структуру волновых пакетов на фазовой плоскости. Run {О; 1 /5000; 10/5}, момент времени tujp = 10 000Рис. 1.45. Обработка электрического поля Ех (ж, t), основанная на вэйвлет^преобразо™ вании, выявляет структуру волновых пакетов на фазовой плоскости. Run {О; 1 /5000; 10/5}, момент времени tujp = 10 000
Рис. 1.45. Обработка электрического поля Ех (ж, t), основанная на вэйвлет^преобразо™ вании, выявляет структуру волновых пакетов на фазовой плоскости. Run {О; 1 /5000; 10/5}, момент времени tujp = 10 000
Рис. 1.45. Обработка электрического поля Ех (ж, t), основанная на вэйвлет^преобразо™ вании, выявляет структуру волновых пакетов на фазовой плоскости. Run {О; 1 /5000; 10/5}, момент времени tujp = 10 000
анализ, вычисление корреляционной функции электрического поля; усредненние по периоду колебаний профилей и т.д.) проводилась параллельно с расчетом, а результаты заняли еще 2 Gb дискового пространства.
Диагностика волновых пакетов. Для выявления структуры пакетов скоррелированных мод применялся диагностика волновых пакетов с использованием вэй™ влетов [84, 85]. В качестве шаблона (вэйвлета) использовался гармонический сигнал с волновым числом Gp/雜)фазовой скоростью 雜 и огибающей с полушириной 2^^/шр и 2тгт/зр по координате и времени соответственно:
где параметры 片 и г определяют число колебаний, приходящееся на полуширину огибающей. Теперь можно ввести абсолютную С^『и нормированную С^；“ функции корреляции с данным сигналом:
醒广也q力）
Е(х + е,力+ 8)0〉怎 8)曲
(L46)
/ IW + e, t + ^)l Р：Л€Л)1 曲*
а
6
6
Рис. 1.46. Зависимость от времени интегральных величин для Run {О; 1/5000; 10/5}. Максимальная (а) и средняя (б) по области плотность энергии поля Е^^/(8тгпоТЬ). Отно сительная плотность пучка п& / по (в) и потеря избыточной энергии пучком (г)
Рис. 1.47. Общая картина релаксации пучка для Run {О; 1/5000; 10/5}. Штриховкой на фазовой плоскости 岁一富 обозначены различные уровни функции распределения частиц пучка для трех моментов времени 方&卩=4000, 6000, 8000
Данное вэйвлет^преобразование использует априорную информацию о ленгмюровских волновых пакетах и является обобщением фурье^преобразования. Действительно, в пределах 片 т х и т т х вэйвлет-преобразование переходит в фурье-преобразование по координате и времени соответственно. Кроме того, меняя свободный параметр 0 < /^ < ш (рис. 1.45), можно от локализации пакетов в физическом пространстве (сверху) перейти к их локализации в импульсном пространстве (снизу). Промежуточный случай показывает расположение пакетов на фазовой плоскости. Рассмотренная диагностика также легко обобщается на многомерные области.
Основные результаты численного моделирования представлены на рис. 1.46—1.50. Из сравнения максимальной плотности поля Е^а^/(8ттТе) (рис. 1.46, а) и средней энергии пучка Wb/пТе (рис. 1.46, г) видно, что величина £^1ax/(8冗簿，農)примерно на порядок превосходит максимальную энергию, которую может накопить квазилинейный пакет
(И4|^о — WbQoo) dh〉/ 3r〉t 0,005.
На рис. 1.47, 1.48 показаны функции распределения пучка и вэйвлет™диагностика для трех моментов времени (tojp = 4000, 6000, 8000). Можно отметить следующие моменты:
10
Рис. 1.49. Функция распределения электронов пучка (сверху) и фоновой плазмы (снизу) в момент времен tujp = 10 000. Виден захват частиц низколежащими пакетами и их ускорение до максимальной скорости пучка. См. цветную вкладку, рис. I
]0_5匸.
富/^戛01,534,56
10
5
富/а
/е二匚二二匸二二二口
10-8 10-7 ［『б 10-5 10-4
Рис. 1.50. Растянутый по х для детализации структуры участок фазовой плоскости 岁一富 (часть рис. 1.49). Заметен эстафетный характер ускорения электронов пакетами. См. цвет™ ную вкладку, рис. II
1 4 北е /北О1 4 北е /北О
1 4 北е /北О
1 4 北е /北О
В области экспоненциального роста пакеты образуют на фазовой плоскости квазипериодические структуры (суперпакеты) длиной до 1500Лр. Характерные волновые числа (к = l/雜) составляющих подпакетов монотонно меняются, начиная от kmax 1 1 /Knin = 1/5 до кт[п 1 1 /Кпах = 1/10. Затем следует резкий скачок к следующему суперпакету. Размеры суперпакетов и расстояние между ними определяется соотноошением инкремента неустойчивости и групповой скорости.
В области максимального поля (рис. 1.50) низколежащие пакеты «дотягиваются» до электронов фоновой плазмы, ускоряют их и передают эстафетным образом высоколежащим пакетам, обеспечивая ускорение вплоть до 小^
В дальней баллистической области (рис. 1.49) амплитуда пакетов существенно падает, а сами пакеты группируются в длинноволновые квазипериодические структуры.
Проблема SIEB с подвижными ионами
В данном разделе приведены результаты (рис. 1.51^1.56) серии вычислительных экспериментов по классической проблеме SIEB, в которых центральным моментом является полномасштабный учет кинетики ионов в рамках полной системы нелинейных уравнений Власова—Пуассона. Для реального соотношения масс это сделано впервые.
0,6 I 丨 丨 I
0100020003000 办р
Рис. 1.51. Зависимость от времени интегральных величин для Run {О; 1 /200; 10/5; 1 /1840; 100}. Средняя и максимальная по области плотность энергии поля ^ve/(8тгпоТЬ) (а), средняя по области плотность энергии ионов (б), Максимальная и минимальная плотности электронов (в) и ионов (г). Участки с резкими колебаниями энергии соответствуют моментам коллапса каверн ионной плотности. Длиннопериодные колебания связаны с распространением ионного звука
Рис. 1.52. Профили плотности ионов (непрерывная линия) и энергии электрического по™ ля (пунктир) в последовательные моменты времени (tup = 900, 1500, 2000, 2200, 2500) для Run {О; 1/200; 10/5; 1/1840; 100}. Видна динамика образования и форсированного коллапса каверн ионной плотности
Подробно исследованы предельные случаи Те = Ti и Те 》Т/. Проведено сопоставление (при одинаковых физических параметрах) временной (замкнутая система, периодические граничные условия) и пространственно-временной (открытая система с заданной инжекцией пучка на границе) задач.
Показано, что на ионных временах нелинейная стадия релаксации SIEB, при развитии модуляционной неустойчивости, в значительной мере определяется образованием каверн плотности и захватом в них заметной доли ВЧ-энергии когерентных волновых пакетов.
Впервые обнаружен новый эффект — сильное профилирование первичных каверн (образование «субкаверн») в местах пучностей скоррелированных стоячих волн. Именно они, как то отчетливо наблюдается в численных экспериментах при любых соотношениях Г/^〉формируются из того пакета, захват которого подготовлен прохождением предыдущих, оставивших за собой асимметричную и достаточно глубокую каверну. Этот эффект, по нашему мнению, является прямым следствием (и, одновременно, едва ли не самым наглядным доказательством!) когерентности волновых пакетов, формируемых инжектируемым пучком.
Рис. 1.53. Эволюция спектра самосогласованного поля для Run {О; 1/200; 10/5; 1 /1840;
100} Ор = 900, 1500, 2000, 2200, 2500)
Вопреки известному запрету для реализации в плоской одномерной геометрии [86] классического ленгмюровского коллапса по В.Е. Захарову [39], в субкавернах наблюдается отчетливая характерная картина резонансного поглощения ВЧ^напол™ нения каверн [87, 51]. По нашему мнению, в силу открытости системы SIEB, здесь имеет место явление, аналогичное так называемому форсированному коллапсу, или «квазиколлапсу», впервые зарегистированному и описанному в работе [88]. Как и полагается по теории сильной ленгмюровской турбулентности, выброс ускоренных электронов происходит в обоих направлениях, при этом наблюдаемая максималь™ ная скорость этих электронов в 1,5 ^ 2 раза превосходит максимальную скорость электронов в инжектируемом пучке. Тем самым нами впервые обнаружен и интер™ претирован третий механизм релаксации (канал насыщения) в проблеме SIEB —— в дополнение к уже известным КЛТ^механизму сноса вниз по потоку с групповой скоростью и механизму, связанному с захватом электронов плазмы [14, 40, 71-73].
Любопытно, что частицы, ускоренные против направления потока инжектируй емых электронов, могут привести к смещению левой границы каверн в сторону инжектора. На этот эффект, в частности, обращено внимание в последних экспериментах [89].
Как видно из перечисления наболее ярких, отчетливо проявившихся эффектов, общая картина релаксации, впервые представшая перед авторами во всем взаимо™
Рис. 1.54. Функция распределения электронов пучка (сверху) и фоновой плазмы (снизу) в момент коллапса каверны для Run {О; 1/200; 10/5; 1/1600; 1}, 1шр = 2100. Видно ускорение частиц в как вперед, так и назад до скоростей, значительно превышающих максимальную скорость пучка. См. цветную вкладку, рис. III
^/We
Ю"3х/Ь 匚
О
匸二二二］
1 L5
15
10
5
0
、）簡A*1
-^|(
v/VTe
15
10
5
О
-10
-15
篁/»Гё
[0—"‘ 10一 ；" 10一 z
л¥”б¥
20
15
10
5
О
О 0,2 0,4 0,6 0,81
Рис. 1.55. Сверху вниз: функция распределения пучка, фоновой плазмы, корреляционная обработка электрического поля в момент времени 方⑴卩=2200, следующий за коллапсом ка™ верны (см. рис. 1.54). Внизу ——профили плотности ионов (линия) и энергии поля (пунктир).
См. цветную вкладку, рис. IV
400
8(H)
1200
1600
0
6
ж
Л
400
1200
5下
10g /е
1600
修時出通心
800
0 log ./；
1200
а
в
800
120()
1600
400
800
1200
胃严^叁%七飞戶干F»
О
0
10g /е
1200
О
ж
Рис.Рис.
Рис.
Рис.
1.56. Последовательные этапы релаксации пучка в случае подвижных ионов для
Run {О; 1/200; 10/5; 1/1840; 100}:力= 1500 (а),力= 2000 ⑹，力= 2500 (в), tujp = 3000 (г). См. цветную вкладку5 рис. V
действии многих нелинейных процессов, выглядит достаточно пестрой. Поэтому, целесообразно дать качественное представление о развитии релаксации пучка в проблеме SIEB с подвижными ионами во времени.
Пакет «роет яму» в силу обычной модуляционной неустойчивости. Размер ямы порядка 120Лр, что хорошо коррелирует с характерным размером когерентного пакета. В связи с тем, что пакет движется вправо с групповой скоростью 鹿厶南= =3咛e/K》h/)каверна изначально несимметрична (укручение порядка 20 %), и эта асимметрия нарастает со временем (рис. 1.52, tup = 900,1500).
Пакет, создавший яму (каверну), продолжая двигаться вправо с той же групповой скоростью, в какой-то момент покидает ее, обладая при этом некоторой фиксированной амплитудой и практически сохраняя прежнюю степень когерентности. Продолжая это движение вниз по потоку, по невозмущенному ионному фону, он формирует за собой стационарный синусоидальный профиль ионной плотности —— с пространственным периодом Л?：/Лр 〜80 и амплитудой 8电/几()〜20 % (рис. 1.52, tcjp = 1500 4" 2200). При этом амплитуда самого пакета монотонно уменьшается.
Асимметричная форма каверны, с дп/дх > 0 на правой ее границе, создает условия для частичного (5 4- 20 %) отражения пакета. При этом пакет как бы расщепляется на два: «прямой» и «отраженный». Отраженный пакет, взаимодействуя (интерферируя) с новым пакетом, формирующемся ближе к инжектору и следующим слева направо, создает в районе каверны ——цуги стоячих колебаний с протяженностью, приблизительно равной характерной длине «приинжекторных» когерентных пакетов (рис. 1.52, tajp = 2000). Отметим, что «достаточное» равенство амплитуд прямого и отраженного пакетов достигается автоматически, поскольку при достаточно большом инкременте область равенства амплитуд оказывается внутри каверны, даже для малых коэффициентов отражения.
В области сформировавшихся стоячих цугов ленгмюровских волн, при их достаточно большой амплитуде, возникают условия для самофокусировки вблизи пучностей стоячих волн, т. е. с интервалом порядка половины характерной длины волны Лд. Это приводит к «нарезанию» пондеромоторной силой изначально гладкого ионного профиля первичной каверны на «субкаверны», с характерным начальным размером Ло/2 и быстро нарастающей (если при этом выполнены и условия модуляцион™ ной неустойчивости) амплитудой «запертых» плазмонов (рис. 1.52, tajp = 2000, 2200). Самосогласованный характер указанных выше нелинейных процессов приводит к формированию некоторого когерентного ленгмюровского конденсата (КЛК), складывающегося из стоячих цугов электронных плазменных колебаний, амплитуды и форма огибающей которых согласованы и находятся в динамическом равновесии с профилем каверны ионной плотности.
Пространственный фурье-анализ КЛК ясно показывает наличие в его спектре длинноволновой составляющей, амплитуда которой сравнима с амплитудами резонансных гармоник (или даже превышает их) (рис. 1.53). Эта длинноволновая составляющая, с к 之 0,065, фактически отражает форму огибающей КЛК, и ее амплитуда нарастает со временем вместе с амплитудой КЛК.
Этот рост обеспечивается избыточной энергией SIEB, подавляющая часть которой расходуется на генерацию и рост резонансных гармоник большой амплитуды, также представленных в спектре КЛК. Поскольку стабильность относительного спектрального состава КЛК ——на электронных временах ——обеспечивается инерцией профиля плотности тяжелых ионов, поступающая в резонансные гармоники энергия SIEB практически мгновенно перераспределяется в заданной (сложившейся) пропорции между всеми спектральными составляющими КЛК. При этом существенная доля этой энергии оказывается в длинноволновых гармониках.
Анализ динамики корреляционных функций и других характеристик, ориентированных на выявление степени когерентности волновых полей, показывает резкое нарастание упорядоченности в КЛК и усиление там корреляций между волнами и движением частиц.
Отмеченное выше нарастание интенсивности и степени упорядоченности в КЛК обрывается коллапсом субкаверн (при этом глубина субкаверн》"?；/‘"〜20 %), носящий характер взрыва, с ускорением электронов пучка и фоновой плазмы до 1,5 + 2 максимальных скоростей пучка (рис. 1.54).
Активная стадия коллапса продолжается в течение (50 + 100) ш^1, после чего глубина субкаверн уменьшается до 3ni/n 〜10 + 15 %, а электроны фоновой плазмы продолжают ускоряться в обе стороны (вперед и назад) вплоть до максимальной скорости электронов пучка (рис. 1.55). Процесс коллапса каверн повторяется с периодичностью (500+ ЮОО)^1 (рис. 1.56).
Список литературы
Ахиезер А.И., Файнберг Я.Б. О взаимодействии пучка заряженных частиц с электронной плазмой/ ДАН СССР. — 1949. — Т. 69. — С. 5 5 5.
Bohm D., Gross E.P. Theory of plasma oscillations. B. Exit at ion and damping of oscillations/ Phys. Rev. — 1949. — V. 75. — P. 1864.
Веденов Л.Л.; Велихов Е.И.; Сагдеев РЗ/ Ядерный синтез. — 1962. — Т. 2. — С. 465.
Drummond Ж.Е.; Pines D“ Nucl. Fusion Suppl. — 1962. — V. 3. — P. 1049.
Бакай А. С., Сигов Ю. С. О бесстолкновительной релаксации плазмы с неустойчивой функцией распределения электроновЦ ДАН СССР. — 1977. — Т. 237. — С. 1326.
Dupree Т.Я. / Phys. Fluids. — 1966. — V. 9. — P. 1773.
Kadomtsev V. V.； ^PogutseO.P. / Phys. Rev. Lett.— 1970. —V.25.—P.1115.
Kadomtsev V. V.; PogutseO.P. / Phys. Fluids. —1971. — V.14.— P.2470.
Dupree T.Я. / Phys. Rev.Lett. — 1970. — V. 25.— P. 789.
Dupree T.H. / Phys. Fluids. — 1972. — V. 24, №1. — P. 1839.
Кадомцев Б.Б. Современное состояние теории нелинейных и стохастических процессов в плазме “Проблемы теории плазмы. — Киев: , 1972. — С. 271.
Бакай 4С" ДАН СССР. — 1977. — Т. 237. — С. 1069.
Сигов Ю. С. Метод макрочастиц в задаче о бесстолкновительной релаксации размытого электронного пучка “Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980.— С. 172. См. также [90].
Батищев О.В., Сигов Ю. С. / ДАН СССР. — 1988. — Т. 301. — С. 1091.
Adam JC)Laval G., Pesme D. // Proc, of the 1980 Intern. Conf, on Plasma Physics / Ed K. Takayama. — Nagoya, Japan: Fusion Research Association of Japan. 1980. — P. 298.
LavalG.,PesmeD. / Phys. Rev. Lett.— 1980. — V.A80.— P.266.
LavalG.,PesmeD“ Phys. Fluids. —1983. — V. 26,№ 1.— P.52.
LavalG.,PesmeD. / Phys. Fluids. —1983. — V. 26,№ 1.— P.66.
LavalG.,PesmeD“ Phys. Rev. Lett.— 1984. — V.53, № 3. —P.270.
Криворучко С.М.; Башко В. А., Бакай А.С. // ЖЭТФ. — 1981. — Т. 80. — С. 579.
Бакай А. С, Криворученко С.Ж, Некрашевич С.А. // Письма в ЖЭТФ. — 1979.— Т. 29, № 2. — С. 577.
Bakai A.S., Bashko V.A., Grigorieva L.L, Krivoruchko S.M. / Proc. ICPPCNF Res.— Vienna. 1981. — P. 675.'
Bakai A.S., Bashko V. A., Tarasov LK. / Proc. ICPP, vol. 3. — Kiev. 1987. — P. 332.
Dowson I., Shanny R. / Phys. Fluids. — 1968. — V. 11.
Morse R., Nielson C. / Phys. Fluids. — 1969. — V. 12.
Biscamp D., Welter Я. / Nucl. Fusion. — 1972. — V. 12.
Сигов Ю. С. Дискретное моделирование коллективных процессов в разреженной плазме (метод макрочастиц) /Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980.— С. 18.
Онищенко И.Н., Липецкий А.Р., Мациборко Н.Г., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. / Письма в ЖЭТФ. — 1970. — Т. 12, № 8.
Fried В., Liu С., Means R., Sagdeev R. / Bulletin of APS. — 1970. — P. 142.
Галеев А. А., Сагдеев F.3./Вопросы теории плазмы, Вып. 7. — М.: Атомиздат, 1973.— с. 3-142.
Dewar R.L. / Phys. Fluids. — 1972. — V. 15.
Бакай Л. С. /Проблемы теории плазмы. — Киев: Наумова думка, 1976. — С. 248.
Adam J. С., Laval G； Pesme D.// J. de Physique suppl. — 1979. — V. 40, № 7. — P. 671.
Adam J. C., Laval G., Pesme D. / Phys. Rev. Lett. — 1979. — V. 43, № 22. — P. 1671.
Kruer W.L., Dawson J.M., Sudan R.N. / Phys. Rev. Lett. — 1969. — V. 23. — P. 838.
Шапиро В.Д., Шевченко В.И. / ЖТФ. — 1969. — Т. 57. — С. 2066.
Будько Н.И., Карпман В.И., Шкляр Д.Р. / ЖТФ. — 1971. — Т. 61. — С. 1463.
Веденов А. А., Рудаков Л.И. / ДАН СССР. — 1964. — Т. 159. — С. 767.
Захаров В.Е. / ЖЭТФ. — 1972. — Т. 62. — С. 1745.
Belova Ж G., Panchenko V.A., Sigov Yu.S. Computer simulation of coherent structures in turbulent plasmas /Nonlinear and Turbulent Processes in Physics / Ed R.Z. Sagdeev. —N.Y*: Harwood Acad. Publ, 1984. — P. 85.
Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.
Gitomer 5. J., Adam J.C. Multibeam instability in Maxwellian simulation plasma// Phys. Fluids. — 1976. — V. 19, № 5”
Веденов А. А. // Атом, энергия. — 1962. — Т. 13, № 1. — С. 5.
Файнберг Я.Б., Шапиро В.Д. / ЖЭТФ. — 1964. — Т. 47. — С. 1389.
Иванов А. А., Соболева Т.К., Юшманов П.Н. / ЖЭТФ. — 1975. — Т. 69. — С. 2023.
Сигов Ю. С. Численные методы кинетической теории плазмы. — М.: МФТИ, 1984.
Батищев О.В. Ускоренный алгоритм метода частиц. — М., 1985. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 15).
Белова Н.Г., Галеев А. А., Сагдеев Р.З., Сигов Ю. С. Явление коллапса электростатического поля в двойном слое/ Письма в ЖЭТФ. — 1980. — Т. 31, № 9. — С. 551.
Sigov Yu.S. Computer simulation of plasma turbulence in open systems // Pliysica Scripta. — 1982. — V. T2/2. — P. 367.
Батищев О.В., Белова Н.Г., Сигов Ю. С. Численное моделирование бесстолкновительной релаксации размытого электронного пучка, инжектируемого в Максвеллов» скую плазму. — М., 1987. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 21).
Sigov Yu.S., Zakharov V.E. Strong turbulence and its computer simulation / J. de Physique. — 1979. — V. 40, № C7. — P. 63.
Бакай А. С., Сигов Ю. С. Многоликая турбулентность. № 7, серия Математика и кибернетика. — М.: Знание, 1989.
Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. — М.: Ред. журн. УФН, 1997.
Шапиро 84； Цытович АН." ЖТФ. — 1965. — Т. 35, № 11. — С. 1285.
Цытович В.Н. Нелинейные явления в плазме. — М.: Наука, 1967.
O^Neil Т./ Phys. Fluids. — 1974. — V. 17. — P. 2249.'
Bakai A.S. // Pliysica D. — 1981. — V. 2D, № 1. — P. 52.
Галеев А.А., Сагдеев Р.З., Шапиро В.Д., Шевченко В.И./ ЖЭТФ. — 1980. — Т. 79.— С. 2167.
Tsunoda S.I., Doveil F., Malmberg J.Я. / Phys. Rev. Lett. — 1987. — V. 58. — P. 1112.
Tsunoda S.I., Doveil F., Malmberg J.Я. / Phys. Fluids B. — 1991. — V. 3, № 11.— P. 2747.”
Cary J.R., Doxas I., Escande D.F., Verga A.D.// Phys. Fluids B. — 1992. — V. 4, № 7.— P. 2062.”
Laval G., Pesme D“ Phys. Lett. — 1980. — V. 33. — P. 73.
Liang Y.M., Diamond P^H. / Phys. Fluids B. — 1993. — V. 5, № 12. — P. 4333.
Helander Р., Kjellberg L. / Phys. Plasmas. — 1994. — V. 1, № 1. — P. 210.
Drummond Ж.E.; Ross D. Ж. Introduction to nonlinear plasma physics and large amplitude phenomena in plasmas /SRC Symposium on Turbulence and Non-Linear Effects in Plasmas. — Culliam: , 1973.
Sigov Yu.S. / Proc.Spring ITP College on Plasma Physics, Lecture SMR/150. — Trieste: Int. Centre for Theoretical Physics. 1985. — P. 30.
Bakai Л.5.; Batishchev О. V., Sigov Yu.S. / Nonlinear Phenomena in Vlasov Plasmas / Ed F. DoveiL — Orsay: Edition de Physique. 1989. — P. 163.
Levchenko V.D., Sigov Yu.S. Object-oriented plasma model (code SUR) /Dynamics of Transport in Plasmas and Charged Beams / Eds G.Maino, M.Ottaviani. — Singapore— London: World Scientific, 1996. — P. 55. См. также [91, 92].
Sigov Yu.S., Tamarkin D.E. Numerical quasilinear study of collisionless relaxation of a diffuse electron beam injected into plasma half-space /Dynamics of Transport in Plasmas and Charged Beams / Eds G.Maino, M.Ottaviani. — Singapore—London: World Scientific, 1996. — P. 70. См. также [93].
Магомедов К.M.; Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. — М.: Недра, 1988.
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. Nonlinear coherent structures in open noii~equilibrium Vlasov plasma systems /Dynamics of Transport in Plasmas and Charged Beams / Eds G.Maino, M.Ottaviani. — Singapore-London: World Scientific, 1996. — P. 40. Cm. также [94].
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. Beam-plasma interaction and correlation phenomena in open Vlasov systems“ Plas. Phys, and Contr. Fusion. — 1996. — V. 38, № 12A. — P. A49.
Сигов Ю. С., Левченко В.Д. Когерентные явления при релаксации размытых электронных пучков в открытых плазменных системах“ Физика плазмы. — 1997. — Т. 23, № 4. — С. 325. См. также [95^98].
Левченко В.Д., Сигов Ю. С. Бесстолкновительная релаксация инжектируемого в плазму размытого электронного пучка с «подкритической» плотностью. — М., 1997. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша РАН; № 107).
Сигов Ю. С., Левченко В.Д. Специфика модуляционной неустойчивости на нелинейной стадии релаксации размытого электронного пучка в электрон-ионной плазме. — М., 1997. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша РАН; № 108).
Бакай А. С., Берман Г.П.; Заславский Г.М. Самосогласованная теория нелинейной эволюции волн с захваченными частицами. — Красноярск, 1976. — (Препр./ИФ СО АН СССР; № IFSO-44 F).
Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976.
Van Kampen MS./7 Pliysica. — 19 5 5. — V. 21. — P. 949.
Bernstein I.В., Green J.M., Kruskal M.D.// Phys. Rev. — 1957. — V. 108, № 3. — P. 546.
Bakai Л.5.; Maslov V.L Dissipative structures in a turbulent plasma /Nonlinear and Turbulent Processes in Physics / Ed R.Z. Sagdeev. — N.Y.: Harwood Acad. Publ, 1984.— P. 23.
Ishihara O., Xia H., Watanabe S. “ Phys. Fluids B. — 1994. — V. 8, № 5. — P. 2786.
Cary J.R., Escande D.F., Verga A.D.// Phys. Rev. Lett. — 1990. — V. 65, № 5. — P. 3132.
Батищев О.В., Карась В.И., Левченко В.Д., Сигов Ю. С. Кинетическое моделирование открытых пучково-плазменных систем Ц Физика плазмы. — 1994. — Т. 20, № 7, 8. — С. 654.
Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения Ц УФН.— 1996. — Т. 166, № 11.
Milligen В., Sanches Е, Estrada Т.; Hidalgo С., Branas В, Careras В., Garcia L. Wavelet bicolierence: A new turbulence analysis tool// Phys. Plasmas.—— 1995.——V. 2, № 8.
Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. — М.: Атомиздат, 1979.
Галеев А. А., Сагдеев Р.З., Сигов Ю. С., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. Нелинейная теория модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн Ц Физика плазмы.— 1975. — Т. 1, № 1. — С. 10.
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. Одномерный квазиколлапс ленгмюровских волн при па~
раметрическом воздействии на плазму Ц ДАН СССР. — 1976. — Т. 229. — С. 833.
McFarland M.D., Wong A. Y. // Bulletin of APS. — 1997. — P. ЬМоаР1.02.
Бакай А. С., Сигов Ю. С. Об эволюции монохроматической волны, усиливаемой размытым электронным пучком. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 34).
Levchenko V.D., Sigov Yu.S. Object-oriented plasma model (code SUR). — M., 1994.— (Preprint/KIAM RAS; № 108).
Levchenko V.D., Sigov Yu.S. / Proc. XXII Conf, on Phenomena in Ionized Gases/Contributed Papers / Eds K.H.Becker, W.E.Carr, E.E.Kunliardt. — Hoboken: Stevens Institute of Technology. 1995. — volume 4. — P. 221.
Sigov Yu.S., Tamarkin D.E. Numerical quasilinear study of collisionless relaxation of a diffuse electron beam injected into plasma half-space. —1994. — (Preprint/KIAM
RAS; № 106).
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. Nonlinear coherent structures in open strongly nonequilibrium Vlasov plasma systems. — M., 1994. — (Preprint/KIAM RAS; № 107).
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. / Proc. XXII Conf, on Phenomena in Ionized Gases/Contributed Papers / Eds K.H.Becker, W.E.Carr, E.E.Kunliardt. — Hoboken: Stevens Institute of Technology. 1995. — volume 3. — P. 25.
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. “ Proc. XXII Conf, on Phenomena in Ionized Gases/Contributed Papers / Eds K.H.Becker, W.E.Carr, E.E.Kunliardt. — Hoboken: Stevens Institute of Technology. 1995. — volume 3. — P. 45.
Наши Лауреаты/ Физика плазмы. — 1998. — Т. 24, № 8. — С. 765.
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. Plasma: «chaos or self-organization?» / Journal of Journals. — 1998. — V. 2, № 1. — P. 14.
ГЛАВА 2
СИЛЬНАЯ ЛЕНГМЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Сильная турбулентность плазмы
Изучение коллективных явлений в плазме [1—3], а также исследование кинетических эффектов в сильной ленгмюровской турбулентности (СЛТ) важно и для изучения режимов быстрого нагрева плазмы (лазерного или пучкового) в задачах управляемого термоядерного синтеза [4, 5].
Изучение СЛТ имеет принципиальное значение для понимания процессов диссипации волновой энергии и ускорения частиц в так называемых солнечных вспыш™ ках третьего рода, в полярных сияниях, в солнечном ветре, в бесстолкновительных ударных волнах, в космических источниках радио и рентгеновского излучения, а также для постановки и интерпретации экспериментов по воздействию на ионосферу мощных источников электромагнитного излучения и других астрофизических и геофизических приложений.
Создание плазмы с термоядерными параметрами требует большого энерговклада для достижения необходимой температуры (сотни миллионов градусов). Ввод знер- гии в плазму достигается либо инжекцией потоков (пучков) высокоэнергетичных частиц, либо путем параметрического возбуждения до большого уровня коллектив™ ных колебаний (волн) в плазме[6]. И в том, и в другом случае на начальной стадии реализуется сильно неравновесное состояние с большим отклонением функции распределения от максвелловской и колебаниями, уровень которых на много порядков превышает уровень тепловых флуктуаций. В процессе релаксационного приближения плазмы к равновесному состоянию, в силу малости частот столкновений успе™ вает возбудиться большое число коллективных степеней свободы или, как принято говорить, плазма переходит в турбулентное состояние. Исследование турбулентных состояний плазмы при различных каналах ввода энергии и на разнообразных пространственно-временных масштабах составляет едва ли не наиболее важный круг задач физики плазмы.
И селедование механизма аномального (бесстолкновительного) нагрева плазмы в турбулентных режимах, обусловленных модуляционной неустойчивостью в плазме, начатое [7, 8], было осуществлено на кинетическом уровне описания плазмы методами вычислительного эксперимента (дискретного моделирования сплошной среды) автором и наиболее полно представлено в [9].
Известные специалистам работы автора [10—35] послужили основой содержания данного обзора. Некоторые вопросы СЛТ, связанные с генерацией сильных двойных слоев, обнаруженнных в численных экспериментах автором в начале 80-х годов [36—39], будут рассмотрены в гл.З как пример вычислительного эксперимента, в котором впервые была использована модель открытых плазменных систем, сыгравшая принципиальную роль в численных исследованиях не только СЛТ, но и умеренной турбулентности (см. гл.1).
Ленгмюровская турбулентность и кинетические уравнения Власова Пуассона
Среди разнообразных турбулентных состояний плазмы чаще других реализуют™ ся такие, при которых до очень высокого уровня (пучками или электромагнитным полем) возбуждаются ленгмюровские колебания плазмы. Специфика этих колебаний заключается в том, что большинство процессов их взаимодействия с другими видами колебаний и частицами не приводит к существенной потере энергии ленгмюровских волн. Веденов и Рудаков [7] впервые обратили внимание на так называемую модуляционную неустойчивость (МН) ленгмюровской турбулентности, развитие которой приводит к возникновению сильной пространственной неоднородности колебаний. Захаров [8] исследуя нелинейную стадию этой неустойчивости, показал, что при этом должно происходить вытеснение плазмы высокочастотным давлением и, в результате неустойчивости этого процесса, образование сужающихся каверн, заполненных ленгмюровскими колебаниями,——так называемый коллапс ленгмюров™ ских волн. Этот теоретический результат был получен в приближении усредненного (по «быстрым» электронным осцилляциям) гидродинамического описания плазмы. Численные решения усредненных гидродинамических уравнений демонстрировали общую справедливость идеи коллапса, но одновременно указывали на то, что нели™ нейная самофокусировка плазменных колебаний скоро выводит решение из области применимости усредненного описания, поскольку параметры (кХ^)2 и W/пТ пе~ рестают быть малыми. Необходимость изучения механизма диссипации энергии в кавернах, т. е. полной картины взаимодействия волн с частицами, также требовала более строгого, кинетического подхода.
а = e,г,а = e,г,(2」)⑵2)(2」)⑵2)Таким образом, построение замкнутой теории сильной турбулентности требо™ в ал о создания《моста» между концепцией коллапса, заключенной в усредненных уравнениях, и экспериментами ——лабораторными или натурными ——с реальным взаимодействием волн с частицами и без ограничений на амплитуды, масштабы и степень нелинейности плазмы. Роль такого моста играет численное моделирование плазмы методом макрочастиц на основе кинетических уравнений Власова (2.1) для функций распределения ионов и электронов /а(г, v, t) и уравнений самосогласован™ ного электромагнитного поля, из которых для рассматриваемых в большей части этой главы чисто электростатических случаев достаточно оставить одно уравнение Пуассона (2.2) для скалярного потенциала 夕(г/)
а = e,г,
а = e,г,
(2」)
⑵2)
(2」)
⑵2)
—= &
ot or ma ov
△夕=47г£са fa d.V.
Необходимо отметить, что специфика высокотемпературной плазмы порожда™ ет также серьезные трудности и при разработке численных моделей кинетических процессов. Поясним характер этих трудностей, исходя из уравнений (2.1), (2.2).
Допустим, нам известно некоторое число характеристик уравнения Власова г = = r(t, го, vq), V = v(t, го, vq) (здесь rg, vg —— начальные условия). Как видно из (2.2), поведение самосогласованного поля выражается через моменты от /а(г, v, t).
Можно ли с достаточной степенью достоверности судить о том или ином явле™ нии по поведению этих характеристик? Другими словами, можно ли восстановить с достаточной степенью точности поведение функции распределения /(г, v, t), зная ее значения в некотором конечном числе точек фазового пространства. Ясно, что все зависит от характерных масштабов интересующего нас явления и густоты извест-
ных нам характеристик. Если L, У, Т ——характерные пространственный, скоростной и временной масштабы явления, а Аг и Av ——характерные интервалы между характеристиками, то, очевидно, необходимо, чтобы отношения △『/£, Av/F, Аг/(TAv) были малыми. Возможности вычислительной техники влияют на выбор множества характеристик, за которыми необходимо следить, а определение степени достигаемой при этом точности становится самостоятельной и очень серьезной задачей, рассматриваемой в гл. 3.
О роли вычислительного эксперимента в теории сильной турбулентности
Основным общим результатом вычислительного эксперимента в плазме являются обнаружение и исследование новых принципиальных нелинейных эффектов в фундаментальных вопросах теории плазмы и актуальных приложениях, которые демон™ стрируют возможности дискретного моделирования как эффективного инструмента теоретической и математической физики.
Развитие теории дискретных моделей плазмы и единый подход к построению, сравнительному анализу и классификации дискретных моделей позволили создать эффективные и экономичные модификации метода макрочастиц, удовлетворяющие локальным законам сохранения. Их реализация в виде комплекса кинетических про™ грамм, предназначенных для расчета самосогласованной эволюции кулоновских си™ стем в одно™, двух- и трехмерной геометриях при широком выборе начальных и граничных условий нашла применение в семидесятых годах в исследованиях СЛТ. В численных экспериментах по параметрическому воздействию излучения на плазму были обнаружены высокочастотные солитоны и стала возможна их интерпретация как следствие МН.
Проведение серии численных экспериментов на основе уравнений Власова позволило расшифровать механизм аномального (бесстолкновительного) поглощения вы™ сокочастотной энергии на основе концепции ленгмюровского коллапса, наблюдать и исследовать коротковолновую перекачку плазмонов и показать превалирующую роль затухания Ландау в механизме бесстолкновительной диссипации на нелинейной стадии МН.
Численно исследованы процессы генерации и динамики быстрых электронов («хвостов» функции распределения) в турбулентных режимах, обусловленных МН; были установлены степенной характер ленгмюровских спектров в /^-пространстве волновых чисел и экспоненциальная форма (в пространстве скоростей) электронных «хвостов».
Построена полуфеноменологическая теория, описывающая самосогласованную эволюцию «хвостов» и спектра турбулентных пульсаций в СЛТ. Изучение «откры™ тых» плазменные систем с искусственным удалением высокоэнергетичных электронов прояснило механизмы диссипации энергии в коллапсе.
Проведен анализ в рамках усредненных гидродинамических уравнений линейной стадии МН для общего случая волны накачки с частотной расстройкой и выведено дисперсионное соотношение для этого случая.
Обнаружены и исследованы в численных экспериментах в пространственно~одно™ мерном случае при наличии внешней волны накачки явления квазиколлапса (выну™ жденного коллапса, позднее названного форсированным); существование этого яв~ ления позволило в дальнейшем эффективно использовать одномерные модели для изучения качественных свойств СЛТ.
Изучение динамических и кинетических свойств ленгмюровского коллапса на примере задачи об эволюции стоячих электростатических волн конечной амплиту™ ды в одно™, двух- и трехмерных геометриях с периодическими граничными у слови™ ями (расчет турбулентной ячейки), уточнило пределы применимости усредненного гидродинамического описания.
Обнаружение эффекта генерации коротковолнового ионного звука на кинетиче™ ской стадии коллапса в неизотермической плазме, открыло возможность дополни™ тельного канала бесстолкновительной диссипации волновой энергии в режиме СЛТ- конверсии плазмонов на коротковолновых флуктуациях ионной плотности.
Численные эксперименты по изучению относительной роли коллапса и конверсии в режиме их конкуренции позволили установить определяющее влияние горячих частиц (как электронов, так и ионов) на характер развитой ленгмюровской турбулентности*
В 70-х гг. были осуществлены первые численные эксперименты, направленные на изучение квазиколлапса в поперечном магнитном поле на частоте волны накачки, близкой к верхнегибридной; установлено, что основной, стохастический, механизм нагрева приводит к отсутствию электронных «хвостов» и сохранению максвеллов™ ской формы функций распределения частиц с растущей во времени эффективной температурой. Рассмотрение кинетических моделей диамагнетизма плазмы подтвердило эффект образования циклотронных солитонов в магнитоактивной плазме.
Численная модель аномального сопротивления плазмы, приведенная в этой главе, содержит оригинальную интерпретацию результатов вычислительного экспери™ мента 70-х гг.
Перечисленные физические эффекты, обнаруженные в численных эксперимент тах, важны для понимания механизмов СЛТ.
Одномерные численные эксперименты
по физике сильной ленгмюровской турбулентности
И селедованию одного из главных вопросов СЛТ-механизма аномальной (бес™ столкновительной) диссипации высокочастотной волновой энергии посвящены следующие два типа задач:
о генерации турбулентности в замкнутых системах, т. е. с фиксированной полной энергией, где источником турбулентности является энергия, содержащаяся в неустойчивых степенях свободы;
о турбулизации плазмы в открытых системах на примере параметрически неустойчивых плазменных конфигураций с внешней волной накачки постоянной интенсивности.
Проведенная серия численных экспериментов была составлена таким образом, чтобы, используя известные аналитические и численные результаты теории плазменных неустойчивостей и ленгмюровского коллапса, свести к минимуму общий объем расчетов уже на стадии постановки задачи. Принципиальную роль здесь иг™ рают два момента:
эволюция спектра ленгмюровских колебаний на нелинейной стадии МН в сторону коротких волн; в результате этого имеет физический смысл постановка зада™ чи об эволюции отдельной, периодически повторяющейся в пространстве, области плазмы относительно небольших размеров (масштаб которых L ——порядка сотни дебаевских радиусов)——так называемой турбулентной ячейки;
известный результат (Рудаков, [40]) о торможении бегущего солитона или тенденции преобразования бегущей волны в стоячую с излучением ионно-звуковых колебаний; это позволяет при исследовании коллапса в качестве достаточно общей задачи с самого начала рассматривать эволюцию стоячих волн конечной амплитуды. Ниже приводится общая постановка задачи об эволюции турбулентной ячейки в поле волны накачки вида
Eext(t) = |(Eoe^of+kc.) (2.3)
постоянной амплитуды. Проводится простейший анализ задачи на основе усредненных гидродинамических уравнений, в рамках этих уравнений получено и исследовано дисперсионное соотношение для МН в общем случае волны накачки с произвольной частотной расстройкой. Рассмотрена эволюция монохроматических возмущений в виде стоячих электростатических волн в холодной и максвелловской плазме в случаях Те = Ti и Те ^ Ti，Показано существование волны критического значения начальной амплитуды, выше которого происходит разрушение классической квази- стационарной одномерной структуры из-за резонансного поглощения волн частицами.
Сначала рассмотрим задачу о генерации одномерной электростатической турбулентности, обусловленной МН* Как известно, эта задача, непосредственно связанная с изучением механизмов аномального поглощения высокочастотной энергии при быстром нагреве плазмы, сыграла принципиальную роль в создания теории сильной ленгмюровской турбулентности [28]. Исходное состояние ——однородная бесконечно протяженная плазма с заданным (например, максвелловским) распределением электронов и ионов по скоростям. Создадим в такой плазме условия для развития пучковой, модуляционной или параметрической неустойчивости, задавая в начальной момент 力=0 неравновесное начальное состояние или накладывая внешнее электрическое поле (волну накачки) вида (2.3).
Цель проведенной серии расчетов ——изучить особенности модельной плазмы в замкнутой системе (石о = 0) с неравновесным начальным состоянием и заданной полной энергией (раздел 2.1.5) и в открытой системе с волной накачки (2.3) постоянной амплитуды (раздел 2.2), исследование квазиколлапса.
Усредненное квазигидродинамическое описание коллапса ленгмюровских колебаний
Прежде чем переходить к кинетическому описанию явлений, напомним простейшую (без учета диссипативных процессов) постановку этой же задачи [21, 18] в рамках усредненных по быстрому электронному периоду 2тгшр^ [28] гидродинамических уравнений [28], выведенных с учетом разложения по малым параметрам: волновому числу 用入£)《1 и плотности энергии W/nT = \Е^/Зт^пТ《L В присутствии волны накачки (2.3) уравнение для медленно меняющейся огибающей Е самосогласованного высокочастотного (вч) электрического поля Ehf = (Ес^+ к.с.) /2 с учетом расстройки △g = wq шр, |Дш|《1, имеет следующий вид [18]:
ях отрыва температур электронов Те и ионов 厶,么》厶,когда затуханием ионного звука можно пренебречь (Jn/n《1):
营黎—Ь 歩 + Еое-^12, (2-5)
где Vs = (me/mi)1/2 ——отношение скорости ионного звука к тепловой. Это уравнение не учитывает резонансное взаимодействие волн с частицами и некоторые (так называемые «электронные») нелинейности.
В качестве масштабных единиц длины, времени, скорости, плотности и электрического поля при безразмерной записи уравнений (2.4), (2.5) использованы Л^, ш^1, (Т^/ше)1/2, по и (4汇"()么)1/2 (дебаевский радиус экранирования, обратная собственная плазменная частота, тепловая скорость, плотность и энергия поля).
Анализ уравнений (2.4) и (2.5) обнаружил тенденцию к нелинейной самофокусировке ленгмюровских колебаний с характерным волновым вектором 用о и амплитудой Е при выполнении критерия МН,用^入^ < Eq /(8тт()Тео), или здесь
^ < 炉/2% (2.6)
В результате этой неустойчивости электростатическая энергия концентрируется в образующихся кавернах ——областях пониженной ионной плотности. Процесс нелинейной эволюции каверн, сопровождающийся коротковолновой перекачкой плазмонов, получил название ленгмюровского коллапса [8], который в трехмерном случае неизбежно заканчивается включением механизма Ландау поглощения вч~энергии резонансными частицами [12, 21] или (в случае холодной плазмы)——пересечением электронных траекторий. Каверны плотности с высокочастотным наполнением, так называемые «кавитоны», являются фундаментальным объектом теории сильной ленгмюровской турбулентности, интенсивное развитие которой началось с середины семидесятых годов на основе концепции ленгмюровского коллапса и численных экспериментов по аномальному поглощению плазмой энергии высокочастотных длинноволновых колебаний.
Из (2.4) для одномерного изолированного солитона, локализованного в окрестности х = lj получаем
где в правой части уравнения (2.7) стоит выражение, которое соответствует высокочастотной силе, введенной в работах [2, 41].
Интегрирование по всему отрезку £ = £△?/ с учетом периодических граничных условий дает
I石12 dx = |^o / 由応— K.C.(2.8)
LL
Из соотношений (2.7), (2.8) следуют:
известный результат о сохранении числа плазмонов при 石° = О
/ Idx = const;(2.9)
L
принципиальная возможность накачки энергии при Eq ^ 0;
немонотонный характер накачки энергии в солитон в результате фазовых колебаний Е и влияния расстройки Дш;
в случае, когда отрезок L содержит несколько (много) солитонов, между ними разрешено динамическое перераспределение энергии [42].
Последний член в (2.7), описывающий усредненное влияние всех солитонов на данный, исчезает при 工 f ос* При Ы ^ L он также обращается в нуль, но уже в силу граничных условий (отсутствие среднего поля).
В одномерной геометрии при Eq = Q условие (2.9) (\Е\ 〜 2一\ I — характерный размер солитона) и условие равенства кинетической и потенциальной энергии в каверне плазмонов (^2 r Jn, Тдп 〜2一？) [21] должны приводить к остановке самофокусировки и отсутствию коллапса. Особенности этого случая на примере задачи о модуляционно неустойчивой монохроматической волне для различных значений амплитуды волны 石о, отношения температур Te/Ti и волновых чисел 用о выясняются в численных экспериментах приведенных ниже в разделе 2.1.5.
Для общего случая, Eq ^ 0, △о;济 0, линейное дисперсионное соотношение [18]
(2.Ю)(2.Ю)
(2.Ю)
(2.Ю)
Рис. 2.1. Численное решение системы уравнений (2.10) и。)/。索=0 ()= Im ш) для случая нулевой расстройки Дш = 0. Пара функций {к。(石^) , 7о (石^)} отвечает максимальному значению инкремента 7мнж = 7(^о) = 7о- В соответствии с асимптотическими оценками [43], к0 〜(£^)"[ 7о 〜^о при Eq》те/тг и к0 〜(£^)"\ 70 〜(石刁”？ при Eq《me/miРис. 2.1. Численное решение системы уравнений (2.10) и。)/。索=0 ()= Im ш) для случая нулевой расстройки Дш = 0. Пара функций {к。(石^) , 7о (石^)} отвечает максимальному значению инкремента 7мнж = 7(^о) = 7о- В соответствии с асимптотическими оценками [43], к0 〜(£^)"[ 7о 〜^о при Eq》те/тг и к0 〜(£^)"\ 70 〜(石刁”？ при Eq《me/mi
Рис. 2.1. Численное решение системы уравнений (2.10) и。)/。索=0 ()= Im ш) для случая нулевой расстройки Дш = 0. Пара функций {к。(石^) , 7о (石^)} отвечает максимальному значению инкремента 7мнж = 7(^о) = 7о- В соответствии с асимптотическими оценками [43], к0 〜(£^)"[ 7о 〜^о при Eq》те/тг и к0 〜(£^)"\ 70 〜(石刁”？ при Eq《me/mi
Рис. 2.1. Численное решение системы уравнений (2.10) и。)/。索=0 ()= Im ш) для случая нулевой расстройки Дш = 0. Пара функций {к。(石^) , 7о (石^)} отвечает максимальному значению инкремента 7мнж = 7(^о) = 7о- В соответствии с асимптотическими оценками [43], к0 〜(£^)"[ 7о 〜^о при Eq》те/тг и к0 〜(£^)"\ 70 〜(石刁”？ при Eq《me/mi
позволяет найти область развития апериодической МН:
Q1
< |^2 < Дш + ^^,(2.11)
найти максимальное значение инкремента МН )^1 仔=70 и оценку величины ^о(7о) (рис. 2.1).
Как показал численный эксперимент, выбор параметров в этом диапазоне приводит в одномерном случае к явлению, названному «квазиколлапсом» [18, 22], т. е. вынужденному коллапсу в присутствии волны накачки (раздел 2.2).
Эволюция монохроматического возмущения
в виде стоячей ленгмюровской волны большой амплитуды
Проблема нелинейной эволюции стоячих электростатических волн конечной амплитуды представляет интерес с нескольких точек зрения.
Это простейшая задача, подводящая к проблеме ленгмюровской турбулентности и в то же время в предельном случае ш% т ос)么 т 0 имеющая решение вплоть до момента опрокидывания волны и возникновения многопотокового движения [44]. Это решение может быть использовано для контроля точности ММ.
Она удобна для проверки предсказаний теории МН [7] и ее нелинейной стадии ——самофокусировки ленгмюровских волн, приводящей в двумерном и трехмерном случаях к явлению ленгмюровского коллапса [8]. И хотя в одномерной геометрии коллапс запрещен законами сохранения, возможность точного учета в ММ больших амплитуд и кинетических эффектов позволяет ожидать нетривиальных результатов уже в одномерной постановке.
Представляет интерес изучение и сопоставление различных возможных механизмов поглощения волновой энергии частицами (механизм Ландау, опрокидывание электронных траекторий). Напомним, что механизм наблюдавшегося в расчетах [45— 47] аномального затухания длинноволновых ленгмюровских колебаний и не нашедшего объяснения в рамках теории слабой турбулентности был расшифрован именно в ранних численных экспериментах по параметрическому возбуждению плазмы [12] и эволюции стоячих волн [14]. В настоящей работе мы более подробно, чем в [14], рассмотрим ту же задачу, варьируя параметры Eq, Vq/Т^ь, me/m«, Te/Tj, здесь l^h — фазовая скорость.
Задача об эволюции стоячих волн достаточно типична: поскольку (см. например, [40]) общая тенденция процесса — преобразование бегущих ленгмюровских волн конечной амплитуды в стоячую с излучением ионного звука. Этот факт подтвержден также и численными расчетами [48], и задавая в качестве начального возмущения сразу стоячую волну, мы исключаем дополнительные возмущения начального фона. Здесь мы встречаемся с примером естественного в практике численных экспериментов стремления уже на стадии постановки задачи ограничить число нелинейных эффектов или, по возможности, разделить их во времени. Понятно, что в общих, близких к реальным, ситуациях нелинейные эффекты часто проявляются одновременно и их взаимодействие сильно усложняет интерпретацию результатов моделирования.
Рассмотрим одномерную задачу — плоский плазменный слой —厶/2 < ж < L/2 с периодическими граничными условиями и заданным при 力=0 начальным состоянием /е(г?, ж, 0) = /е。(？厶力)“ Самосогласованное поведение электронов и ионов описывается системой уравнений для дискретной модели плазмы в простейшей модификации (2.1), (2.2) и решение {/(/)?厶力))Е(х, t)} при 力〉0 будем искать в рамках ММ. Пространственный период L ограничивает максимальную длину волны в системе Л < L и задает дискретность волнового спектра △用=2穴/厶* Рассмотрим несколько примеров.
Холодная электронная плазма. Начнем с простейшего случая, когда 电='^0 ? а
/ео(^,ж) = nQ6(v 一 Н sinkQx), 能=27mo/厶 石。(力)0) = 0.(2.12)
В лагранжевых координатах т = t, х = жо J ve(xo,rf) dr1 эта задача имеет точное о
решение:
е 11 + (Н^о/^р) sill(WpT)cos(^o^) 1
^е(ж0,т) = н C0S(WpT)sin(^o^o),(2.13)
E(xq,t) = (me/e)WpH sin(^o^o) sin(G“)*
Решение справедливо при 卩办| < 必目/包 = 1&「При 卩办| > 必目/包 происходит опрокидывание волны и возникает многопотоковое движение.
Эта нелинейная задача может служить хорошим тестом для ММ. При Vq/Т^ь = =0,8 (максимальное локальное превышение фоновой плотности пе/по в 5 раз), численное решение совпадает с аналитическим вплоть до wpt = 20 с точностью 〜1 % (частота колебаний ——с точностью < 0,1 %) при шаге △力=ОДш^1. Та же точность при Vq/Vph = 0,9 (ne max/no = 10) потребовала △力=1/80 ш^1. Результаты сравнения по этому тесту использовались нами для оценки точности и выбора шага по времени △力 также в кинетических вариантах с подвижными ионами, где локальное увеличение плотностей, как правило, происходило не более, чем в 2 + 2,5 раза.
Учет подвижности ионов. Посмотрим, что произойдет, если в той же задаче учесть (/го(ж, V, 0) = по<5(г?)) на примере результатов численного эксперимента с me/m« = 0,01; Vb/l^h = 1/16 (вариант Bl), представленных на рис. 2.2-2.5.
В соответствии с (2.13), при 7% т ос система должна была бы оставаться в рамках гидродинамического описания, совершая нелинейные колебания с амплитудой плотности ne max/'"。= 16/15. Теперь же, при mi/me = 100, результаты расчетов дают детальную картину развития МН в холодной плазме.
Под действием высокочастотной силы
2
% = -f(2」4)
электроны (а затем и ионы, увлекаемые возникающей из-за разделения зарядов медленной компонентой электрического поля Es) вытесняются из областей пучности начальной стоячей волны (рис. 2.3). При этом возникают возмущения ионной плотности с ае = 2ko. Далее в результате каскадного взаимодействия исходных электронных колебаний с этими возмущениями появляются плазмоны с кп = ко + пае, ‘"=1, 2, 3,... Процесс сопровождается увеличением числа гармоник, нелинейным взаимодействием между ними и обогащением спектра коротковолновыми колебаниями [49, 1] (рис. 2*2—2*4)*
В конце концов для одной из коротких длин волн выполняется условие опрокидывания (рис. 2.2, wpt = 130) и возникает многопотоковое движение с выбросом быстрых электронов. На картинах волновых спектров (рис. 2.4) отчетливо прослеживается соответствующий максимум энергии поля при п = 16 4- 18 и п = 32 + 36, которая затем поглощается быстрыми частицами.
Описанная процедура коротковолновой перекачки плазмонов отвечает в случае В1 формированию двух солитонов в виде каверн (областей пониженной плотности), в которых в результате нелинейной самофокусировки [8, 21, 50] концентрируется энергия плазмонов. Интересно, что в случае холодной плазмы, когда дисперсия волн мала, эффект формирования каверн сопровождается заметным в численном эксперименте уменьшением частоты колебаний (рис. 2.5), 8“⑴=шре — we(t), соответствующим значению Jn/ng = ^2Jw/wpe r 0,13, которое хорошо согласуется со средним значением глубины ионной ямы (рис. 2.3).
Рис. 2.2. Вариант В1: фазовые плоскости для электронной компоненты в задаче о развитии начального возмущения в отсутствие постоянной волны накачки соответствующие фиксированной фазе колебаний электрического поля и минимуму (слева) W(力)(см. рис. 2.5), отношение амплитуды возмущения в скорости Vo к фазовой скорости 兀卜=з「е/ко равно 1/16. Справа те же величины, но в фазе, соответствующей максимуму 年(力)
Рис. 2.3. Вариант В1: эволюция профилей ионной (слева) и электронной плотности
Рис. 2.4. Вариант В1: спектры Ekn (^) до (力二 130 + 135) и после (力=170 + 175) включения затухания Ландау
W(力)W(力)
W(力)
W(力)
Рис. 2.5. Вариант В1: те/тг 二 1/16, X； = X = О, %/彩卜=0,01. Усредненные по пространственному периоду L плотности электростатической энергии W (f) и кинетической энергии электронов Ке (f) и ионов K/力)* Экспоненциальный рост нижней огибающей W, т. е. нч~компоненты Ws энергии поля, вызван поляризацией плазмы силой вч~давления и характеризует темп самофокусировки ленгмюровских колебаний. В момент времени tujp = 100, Ws = Whf (W = WS+Whf)
Записывая электрическое поле, как суперпозицию высокочастотной (вч), E^f, и низкочастотной (нч),石§)компонент
石=Ehf + Es
можно оценить инкременты)мн на нелинейной стадии МН по наклону нижней огибающей плотности электростатической энергии Ws(f) (рис. 2.5). В варианте В1: Тмн = 0,04шре.
Численные эксперименты по эволюции стоячих волн в холодной плазме для различных значений me/mi = 1/4, 1/25, 1/100 и отношений Н/^ь = 1/64, 3/64, 1/16 дают картину, качественно сходную с В1. При этом с хорошей точностью
7мн 〜д/me/mi, 〜Vb/Vph,
что согласуется с теоретическими результатами [8, 43].
Взаимодействие волн с частицами. Рассмотрим более этот вопрос более детально. Как видно из рис. 2.5, в процессе самофокусировки электроны осциллируют с постепенно уменьшающейся амплитудой, практически сохраняя свою среднюю (по 方)энергию Ке (с точностью до ее части, порядка me/mi, сообщаемой ионам, вытесняемым из каверн). Необратимое поглощение волновой энергии электронами начинается после пересечения электронных траекторий и возникновения многопотокового течения, а с ним и пучковых неустойчивостей, в конце концов приводящих к появлению у электронов эффективной температуры. После этого процесс^елинейных колебаний в плазме как бы стабилизируется на новом уровне, когда Wf /Ке = 3/7 (рис. 2.5). При этом зависимость от времени огибающей высокочастотной компоненты колебаний электрического поля на описываемой поздней стадии напоминает медленные фазовые колебания в классическом одномерном солитоне [40] с периодической перекачкой энергии высокочастотного наполнения солитона в электроны и обратно. Приписав электронам на асимптотической стадии эффективную температуру Т* = 2Ко, получаем, что среднее по пространственному периоду L значение энергии〈石2〉/8тг"оГ + 0,2 и основная длина волны равна Ло = 2тг/Ко = 120Л^, т. е. Ло оказывается в достаточно длинноволновой области. Эффективная полуширина солитонов при этом порядка ЗОЛ^, т. е. также далека от области резонансного поглощения по Ландау. Сделанные оценки, разумеется, не являются вполне строгими, поскольку в момент окончания счета варианта В1 состояние плазмы еще нельзя
считать полностью равновесным. Отметим, что волновой спектр, сформировавшийся в процессе МН монохроматической волны, близок к степенному, \Е^\ ~ 用一°, где 兀 2"Кинетический случай: неизотермическая плазма, Те ^> Tj. Рассмотрим расчет варианта В2: эволюцию монохроматической стоячей волны, L = 2тт/ко = 200 с начальной амплитудой поля Eq /2 = 0,25 в максвелловской плазме при плотности ионов п« = 1 (в безразмерных переменных) и заданным ионным фоном т« = оссчитать полностью равновесным. Отметим, что волновой спектр, сформировавшийся в процессе МН монохроматической волны, близок к степенному, \Е^\ ~ 用一°, где 兀 2"Кинетический случай: неизотермическая плазма, Те ^> Tj. Рассмотрим расчет варианта В2: эволюцию монохроматической стоячей волны, L = 2тт/ко = 200 с начальной амплитудой поля Eq /2 = 0,25 в максвелловской плазме при плотности ионов п« = 1 (в безразмерных переменных) и заданным ионным фоном т« = ос0,010,010,10,1010001000,0010,001аа1^111^11ОДОД0,010,011 Ю тг61 Ю тг6Рис. 2.6. Вариант В2: W(力)(а) и 旧卜| (б)при 力=216 (шг = ос)Рис. 2.6. Вариант В2: W(力)(а) и 旧卜| (б)при 力=216 (шг = ос)и случай с me/m« = 0,01 (вариант ВЗ) L = 100, TejTi = 30.В случае В2 с постоянным ионным фоном, в полном соответствии с теорией, затухания колебаний не происходило во все время моделирования t < 220 (рис. 2.6, а). Перестройка спектра была крайне незначительной и сводилась к формированию несколько лучшего, чем в начальный момент, равновесного спектра для к ^ ко (рис. 2.6, б).Как и в случае холодной плазмы, картина резко меняется при переходе к me/mi = 0,01 (вариант ВЗ,и случай с me/m« = 0,01 (вариант ВЗ) L = 100, TejTi = 30.В случае В2 с постоянным ионным фоном, в полном соответствии с теорией, затухания колебаний не происходило во все время моделирования t < 220 (рис. 2.6, а). Перестройка спектра была крайне незначительной и сводилась к формированию несколько лучшего, чем в начальный момент, равновесного спектра для к ^ ко (рис. 2.6, б).Как и в случае холодной плазмы, картина резко меняется при переходе к me/mi = 0,01 (вариант ВЗ,рис. 2.7, 2.8). Ясно, что механизм МН должен проявиться и в этом случае, но в какой мере? Напомним, что коллапс в усредненном гидродинамическом описании в одномерном случае запрещен законами сохранения. Численные эксперименты помогают ответить на этот вопрос вполне однозначно. Определяющим параметром является плотность энергии Eq/2, заключенная в стоячей монохроматической волне. Рассмотрим сначала более простой случай 么》厶,для которого в адиабатическом приближении теория, основанная на усредненном гидродинамическом описании, дает для огибающей вч~поля решение в виде солитона [40]:рис. 2.7, 2.8). Ясно, что механизм МН должен проявиться и в этом случае, но в какой мере? Напомним, что коллапс в усредненном гидродинамическом описании в одномерном случае запрещен законами сохранения. Численные эксперименты помогают ответить на этот вопрос вполне однозначно. Определяющим параметром является плотность энергии Eq/2, заключенная в стоячей монохроматической волне. Рассмотрим сначала более простой случай 么》厶,для которого в адиабатическом приближении теория, основанная на усредненном гидродинамическом описании, дает для огибающей вч~поля решение в виде солитона [40]:石（你力）=石^ = 24德"石（你力）=石^ = 24德"(2-15)(2-15)
считать полностью равновесным. Отметим, что волновой спектр, сформировавшийся в процессе МН монохроматической волны, близок к степенному, \Е^\ ~ 用一°, где 兀 2"
Кинетический случай: неизотермическая плазма, Те ^> Tj. Рассмотрим расчет варианта В2: эволюцию монохроматической стоячей волны, L = 2тт/ко = 200 с начальной амплитудой поля Eq /2 = 0,25 в максвелловской плазме при плотности ионов п« = 1 (в безразмерных переменных) и заданным ионным фоном т« = ос
считать полностью равновесным. Отметим, что волновой спектр, сформировавшийся в процессе МН монохроматической волны, близок к степенному, \Е^\ ~ 用一°, где 兀 2"
Кинетический случай: неизотермическая плазма, Те ^> Tj. Рассмотрим расчет варианта В2: эволюцию монохроматической стоячей волны, L = 2тт/ко = 200 с начальной амплитудой поля Eq /2 = 0,25 в максвелловской плазме при плотности ионов п« = 1 (в безразмерных переменных) и заданным ионным фоном т« = ос
0,01
0,01
0,1
0,1
0100
0100
0,001
0,001
а
а
1^1
1
1^1
1
ОД
ОД
0,01
0,01
1 Ю тг
6
1 Ю тг
6
Рис. 2.6. Вариант В2: W(力)(а) и 旧卜| (б)при 力=216 (шг = ос)
Рис. 2.6. Вариант В2: W(力)(а) и 旧卜| (б)при 力=216 (шг = ос)
и случай с me/m« = 0,01 (вариант ВЗ) L = 100, TejTi = 30.
В случае В2 с постоянным ионным фоном, в полном соответствии с теорией, затухания колебаний не происходило во все время моделирования t < 220 (рис. 2.6, а). Перестройка спектра была крайне незначительной и сводилась к формированию несколько лучшего, чем в начальный момент, равновесного спектра для к ^ ко (рис. 2.6, б).
Как и в случае холодной плазмы, картина резко меняется при переходе к me/mi = 0,01 (вариант ВЗ,
и случай с me/m« = 0,01 (вариант ВЗ) L = 100, TejTi = 30.
В случае В2 с постоянным ионным фоном, в полном соответствии с теорией, затухания колебаний не происходило во все время моделирования t < 220 (рис. 2.6, а). Перестройка спектра была крайне незначительной и сводилась к формированию несколько лучшего, чем в начальный момент, равновесного спектра для к ^ ко (рис. 2.6, б).
Как и в случае холодной плазмы, картина резко меняется при переходе к me/mi = 0,01 (вариант ВЗ,
рис. 2.7, 2.8). Ясно, что механизм МН должен проявиться и в этом случае, но в какой мере? Напомним, что коллапс в усредненном гидродинамическом описании в одномерном случае запрещен законами сохранения. Численные эксперименты помогают ответить на этот вопрос вполне однозначно. Определяющим параметром является плотность энергии Eq/2, заключенная в стоячей монохроматической волне. Рассмотрим сначала более простой случай 么》厶,для которого в адиабатическом приближении теория, основанная на усредненном гидродинамическом описании, дает для огибающей вч~поля решение в виде солитона [40]:
рис. 2.7, 2.8). Ясно, что механизм МН должен проявиться и в этом случае, но в какой мере? Напомним, что коллапс в усредненном гидродинамическом описании в одномерном случае запрещен законами сохранения. Численные эксперименты помогают ответить на этот вопрос вполне однозначно. Определяющим параметром является плотность энергии Eq/2, заключенная в стоячей монохроматической волне. Рассмотрим сначала более простой случай 么》厶,для которого в адиабатическом приближении теория, основанная на усредненном гидродинамическом описании, дает для огибающей вч~поля решение в виде солитона [40]:
石（你力）=石^ = 24德"
石（你力）=石^ = 24德"
(2-15)
(2-15)
Исследование спектральных характеристик солитона показывает, что он может эффективно удерживать энергию лишь при
кт <~ 12—1/2 = 0,29,кт <~ 12—1/2 = 0,29,(2.16)(2.16)
кт <~ 12—1/2 = 0,29,
кт <~ 12—1/2 = 0,29,
(2.16)
(2.16)
соответствующее к^ значение энергии Е* ]2 = 1. В противном случае уже нельзя пренебрегать взаимодействием с резонансными частицами, которые начинают разрушать волновой пакет, поглощая энергию из его коротковолновых гармоник. Это означает, что критическое значение амплитуды стоячей волны равно Е^ 2/2 ~ 0,16. Расчет в случае ВЗ с относительно небольшим превышением критической амплитуды (£?д/2 = 0,25 [14]) позволил в деталях наблюдать своеобразную картину перехода в процессе самофокусировки от солитонного режима (рис. 2.8, t < 100), с перекачкой энергии в солитон и обратно с периодом тг/?], к режиму, когда концентрация энергии в коротких гармониках достигает критической плотности и включается резонансное поглощение. Дальнейшее затухание происходит за счет конверсии плазмонов на остаточных флуктуациях ионной плотности с декрементом
8 〜(<Ь户 (2.17)
Определенное по нижней огибающей Ws(t) расчетное значение 7мн = 1/90 согласуется с экспериментально наблюдаемым ростом частоты фазовых колебаний солитона ，〃⑴ и с формулой (2.15). Оно находится также в хорошем соответствии с
050 100 х/Хп 50 100 x/XD050 100 х/Хп 50 100 x/XDРис. 2.7. Вариант ВЗ: случай «горячей» плазмы 異о/Х,о = 30. Слева вверху показано начальное (возмущенное) состояние электронной фазовой плоскости при f = 0. Ниже и справа приведена эволюция профилей ионной плотности для моментов времени t = 0,..., 160. Хорошо видно образование каверн в областях пучности стоячей волны при вытеснении плазмы вч давлением. Длина волны возмущения Ло = 100Лг>. Амплитуда возмущения по скорости Vo/(yTeo/me) = 1Рис. 2.7. Вариант ВЗ: случай «горячей» плазмы 異о/Х,о = 30. Слева вверху показано начальное (возмущенное) состояние электронной фазовой плоскости при f = 0. Ниже и справа приведена эволюция профилей ионной плотности для моментов времени t = 0,..., 160. Хорошо видно образование каверн в областях пучности стоячей волны при вытеснении плазмы вч давлением. Длина волны возмущения Ло = 100Лг>. Амплитуда возмущения по скорости Vo/(yTeo/me) = 1Рис. 2.8. Вариант ВЗ:硝/2 = =0,25, 2；о/Хо = 30, Б = =2汀/左0 = 100, me/шг = 0,01. Плотность электростатической энергии W (力)(вверху) и эффективная температура электронов К (力)=/(鏡-万)2/е 厶(внизу)Рис. 2.8. Вариант ВЗ:硝/2 = =0,25, 2；о/Хо = 30, Б = =2汀/左0 = 100, me/шг = 0,01. Плотность электростатической энергии W (力)(вверху) и эффективная температура электронов К (力)=/(鏡-万)2/е 厶(внизу)теоретической оценкой 7м н = =(meW/mi)1^ [8], тем более, что расчеты с другим набором параметров, как и в гидродинамическом случае, подтверждают зависимости 7мн 〜(加"加3/2"(£^)1/2-
050 100 х/Хп 50 100 x/XD
050 100 х/Хп 50 100 x/XD
Рис. 2.7. Вариант ВЗ: случай «горячей» плазмы 異о/Х,о = 30. Слева вверху показано начальное (возмущенное) состояние электронной фазовой плоскости при f = 0. Ниже и справа приведена эволюция профилей ионной плотности для моментов времени t = 0,..., 160. Хорошо видно образование каверн в областях пучности стоячей волны при вытеснении плазмы вч давлением. Длина волны возмущения Ло = 100Лг>. Амплитуда возмущения по скорости Vo/(yTeo/me) = 1
Рис. 2.7. Вариант ВЗ: случай «горячей» плазмы 異о/Х,о = 30. Слева вверху показано начальное (возмущенное) состояние электронной фазовой плоскости при f = 0. Ниже и справа приведена эволюция профилей ионной плотности для моментов времени t = 0,..., 160. Хорошо видно образование каверн в областях пучности стоячей волны при вытеснении плазмы вч давлением. Длина волны возмущения Ло = 100Лг>. Амплитуда возмущения по скорости Vo/(yTeo/me) = 1
Рис. 2.8. Вариант ВЗ:硝/2 = =0,25, 2；о/Хо = 30, Б = =2汀/左0 = 100, me/шг = 0,01. Плотность электростатической энергии W (力)(вверху) и эффективная температура электронов К (力)=/(鏡-万)2/е 厶(внизу)
Рис. 2.8. Вариант ВЗ:硝/2 = =0,25, 2；о/Хо = 30, Б = =2汀/左0 = 100, me/шг = 0,01. Плотность электростатической энергии W (力)(вверху) и эффективная температура электронов К (力)=/(鏡-万)2/е 厶(внизу)
Увеличение £^) т. е. сильное превышение критического значения Eq , ведет к сокращению солитонной
стадии. Процесс затухания волны все в большей степени детерминируется начальными условиями и напоминает режим «квазиколлапса» (см. раздел 2.2), с той разницей, что коротковолновая трансфор
мация спектра теперь реализуется не параметрической подкачкой, а просто сильным начальным превышением критической амплитуды. В этом случае на первом этапе происходит мощная самофокусировка волны со значительной деформацией ионной
плотности и коротковолновой перекачкой плазмонов вплоть до включения механизма резонансного поглощения на электронах. Оставшаяся часть волновой энергии поглощается за счет механизма конверсии плазмонов на остаточных флуктуациях ионной плотности с характерным числом ае по схеме 用=用。+ пае, п = 1,2,3,...
Дальнейшее увеличение Eq в силу возрастающей роли электронной нелиней
ности, приводит к опрокидыванию волны и захвату электронов, уже рассматривавшемуся при анализе варианта В1 (см. рис. 2.2). Переход от кинетической к гидродинамической стадии (£^ = 1,6 4~ 116) для случая Т®》「был подробно рассмотрен в [48].
Рис. 2.9. Вариант В4:球/2 = =0,25, Те/Тг =1, 2тгДо ==200.(a) W (f) и кинетические энергии Ke,z(力) электронов и ионов; (0 спектры пгкп (^), п = =кп / 阮=2,4,6)12Рис. 2.9. Вариант В4:球/2 = =0,25, Те/Тг =1, 2тгДо ==200.(a) W (f) и кинетические энергии Ke,z(力) электронов и ионов; (0 спектры пгкп (^), п = =кп / 阮=2,4,6)12Рис. 2.10. Вариант В4: (а) спектры 石卜也(力)при t = 80, 116 (см. рис. 2.9, б), спектры 冷沃也(力)при t = 115, 225 (統 =27m/Е); (6) fe(v, ^) при i = 0 (пунктир) и t = 260 (сплошная линия)Рис. 2.10. Вариант В4: (а) спектры 石卜也(力)при t = 80, 116 (см. рис. 2.9, б), спектры 冷沃也(力)при t = 115, 225 (統 =27m/Е); (6) fe(v, ^) при i = 0 (пунктир) и t = 260 (сплошная линия)一4一40 v/Vre б0 v/Vre б
Рис. 2.9. Вариант В4:球/2 = =0,25, Те/Тг =1, 2тгДо =
=200.(a) W (f) и кинетиче
ские энергии Ke,z(力) электронов и ионов; (0 спектры пгкп (^), п = =кп / 阮=2,4,6)12
Рис. 2.9. Вариант В4:球/2 = =0,25, Те/Тг =1, 2тгДо =
=200.(a) W (f) и кинетиче
ские энергии Ke,z(力) электронов и ионов; (0 спектры пгкп (^), п = =кп / 阮=2,4,6)12
Рис. 2.10. Вариант В4: (а) спектры 石卜也(力)при t = 80, 116 (см. рис. 2.9, б), спектры 冷沃也(力)при t = 115, 225 (統 =27m/Е); (6) fe(v, ^) при i = 0 (пунктир) и t = 260 (сплошная линия)
Рис. 2.10. Вариант В4: (а) спектры 石卜也(力)при t = 80, 116 (см. рис. 2.9, б), спектры 冷沃也(力)при t = 115, 225 (統 =27m/Е); (6) fe(v, ^) при i = 0 (пунктир) и t = 260 (сплошная линия)
一4
一4
0 v/Vre б
0 v/Vre б
Модель изотермической плазмы. Обратимся теперь к результатам расчета варианта В4 (£^/2 = 0,25, Те^/Т^ = 1, £ = 200). Как видно из рис. 2.9, 2.10, общая картина затухания уже не содержит солитонной стадии, а процесс самофокусировки носит апериодический характер с инкрементом 7 t 0,02шре. Модуляция ионной плотности выражена значительно слабее, чем при TeQ/Т^》1, а форма едва намеченной каверны, если судить по спектру 几泳(力)(рис. 2.9,仇 рис. 2.10, а) и профилям ионной плотности, весьма далека от аналитической формы (2.15). Самофокусировка ленгмюровских колебаний происходит и в этом случае, но сопровождается сильной поляризацией плазмы. С>актически к моменту t = 120 вся осцилляционная часть электростатической энергии переходит в медленно меняющуюся компоненту Ws, вызванную разделением зарядов. В дальнейшем (рис. 2.9, а) картина слабой модуляции поля напоминает фазовые колебания в классическом одномерном солитоне, но носит нерегулярный характер. Поглощение волновой энергии реализуется в основном быстрыми электронами, но с меньшей, чем в неизотермической плазме, эффективной частотой столкновений ре^. Отметим, что на поздней стадии эволюции развиваются слабо-затухающие ионные колебания малой амплитуды (Jn/no ~ 10 %) с фазовыми скоростями в диапазоне Vphi = (2,5 + 0,5)Т^ = 0,25 + 0,5. Эти возмущения ионной плотности также вносят свой вклад в затухание посредством механизма конверсии.
На рис. 2.10, б представлены графики начальной (t = 0) и конечной (t = 260) злек— тронной функции распределения. К этому времени волна потеряла 3/5 начальной энергии, которая перераспределилась между электронами и ионами в отношении близком К (т^/Ше)1/2.
Следует подчеркнуть, что в процессе самофокусировки (рис. 2.9) может силь™ но и на значительных временах нарушаться неравенство 夕hf》夕s (соответственно, быстрая и медленная компоненты поля), которое существенным образом исполь™ зовано при выводе усредненных по «быстрому времени» квазигидродинамических уравнений, описывающих нелинейную стадию модуляционной неустойчивости [51]. Аналогичная картина, но в меньшей степени, наблюдается и в расчетах с Te/Ti》1.
Модуляционная неустойчивость и квазиколлапс ленгмюровских волн
Обратимся теперь к случаю, когда в рассматриваемой плазменной системе дей™ ствует высокочастотная волна накачки постоянной амплитуды вида (2.3).
В работах [21, 18, 22] было показано, что факт несохранения энергии (2.8) даже в одномерной геометрии приводит к явлению, аналогичному коллапсу в трех™ мерной геометрии. При параметрическом воздействии на плазму самофокусировка ленгмюровских колебаний не ограничивается образованием равновесного солитона, а развивается вплоть до кинетической стадии с поглощением энергии резонансными частицами по механизму Ландау. Такой «вынужденный» коллапс получил назва™ ние «квазиколлапс» ). Сохраняя в своей динамике все основные стадии обычного трехмерного коллапса, он позволяет в известных пределах изучать качественную сторону СЛТ на одномерных моделях [5, 28].
Напомним основные результаты по СЛТ, полученные в численном эксперимент те [9]. Как известно, сохранение полного числа плазмонов в случае 石о = 0 (т. е. в отсутствие волны накачки) приводит к невозможности ленгмюровского коллапса в плоской одномерной геометрии. Как доказано численными экспериментами (раз™ дел 2.2.1), ситуация в корне меняется при наличии волны накачки, когда совместное действие параметрической и модуляционной неустойчивостей делает возможным квазиколлапс, или вынужденный коллапс, т. е. нелинейную самофокусировку за™ пертых в каверне ленгмюровских колебаний, аналогичную обычному трехмерному коллапсу и продолжающуюся вплоть до включения затухания Ландау на кинетиче™ ской стадии.
В разделах 2.2.2, 2.2.3 построена полуфеноменологическая теория самосогласо™ ванного формирования турбулентных спектров и высокоэнергетичных «хвостов» функции распределения электронов (т. е. описана динамика заполнения частица™ ми так называемого спектрального инерционного интервала) опирающаяся на уста™ новленную в многочисленных прямых численных экспериментах зависимость вида с—°("(©—©*) дЛЯ хвостовой части электронной функции распределения и квазилиней™ ный характер ускорения частиц в процессе коротковолновой перекачки плазмонов на стадии коллапса (здесь % = ^рк^1 〜2,51/).
При этом теоретический спектр турбулентных пульсаций (см. раздел 2*2.2) на стадии установления квазистационарного режима, когда а(力)т а^, имеет вид
1石友广〜exp [a^l|k 一 1/展)小].
Существенным моментом в физике СЛТ является обнаруженный в численных экспериментах (раздел 2.2.4) эффект генерации ионного звука на кинетической стадии коллапса в неизотермической плазме (£》厶).В результате быстрого поглощения вч наполнения каверн резонансными электронами, не сбалансированные вч~ давлением коротковолновые возмущения ионной плотности с пространственным мае™ штабом порядка размеров кавитонов, служат источником слабозатухающих ионнозвуковых колебаний. Коротковолновая ионно-звуковая турбулентность открывает дополнительный канал аномального поглощения вч— энергии за счет конверсии на звуке длинноволновых плазмонов в коротковолновые, обладающие малой фазовой скоростью и большим затуханием. Условия, при которых механизм конверсии при накоплении ионно-звуковой энергии в системе может конкурировать с МН и оказывать стабилизирующее влияние на коллапс, впервые теоретически исследовались Галеевым, Сагдеевым, Шапиро, Шевченко (1978). Результаты кинетических численных экспериментов (см. раздел 2.2.4, [28]) по возбуждению МН на задаваемом начальном фоне ионно-звуковых колебаний с типичным коротковолновым спектром демонстрируют сильную зависимость относительной эффективности обоих каналов поглощения —— квазиколлапса и конверсии ——от вида как электронной так и ионной функций распределения в надтепловой области. В частности, основной причиной, ограничивающей конверсию, является опрокидывание акустических волн и появление ускоренных ионов, осуществляющих затухание звука.
Общая картина квазиколлапса
В нелинейной картине развития МН при параметрической накачке (частота шо
близка к плазменной, так что личать три последовательныеблизка к плазменной, так что личать три последовательныеудовлетворяется условие (2.11)) целесообразно раз™ стадии: динамическую (генерации и формирования кавитонов), кинетическую (поглощения вч напол
близка к плазменной, так что личать три последовательные
близка к плазменной, так что личать три последовательные
Рис. 2.11. Вариант В5: Eq = =1, wo = 1,005, L = 400, Teo/Tio = 25, тг/те = 100, N = 40000. W(t)=炉⑴/2 и эффективная «температура» электронов и ионов (Te(t)/Teo ие⑴/Х0)Рис. 2.11. Вариант В5: Eq = =1, wo = 1,005, L = 400, Teo/Tio = 25, тг/те = 100, N = 40000. W(t)=炉⑴/2 и эффективная «температура» электронов и ионов (Te(t)/Teo ие⑴/Х0)нения каверн частицами, разделы 2.2.2, 2.4.7), и ионно-звуковую, когда при схлопывании опустевших каверн инерция ионов в случае Те ^> Ti может стать причиной генерации ионно-звуковой турбулентности и создать качественно новую ситуацию [16, 18, 22] (см. раздел 2.2.3). ” ”
Рис. 2.11. Вариант В5: Eq = =1, wo = 1,005, L = 400, Teo/Tio = 25, тг/те = 100, N = 40000. W(t)=炉⑴/2 и эффективная «температура» электронов и ионов (Te(t)/Teo и
е⑴/Х0)
Рис. 2.11. Вариант В5: Eq = =1, wo = 1,005, L = 400, Teo/Tio = 25, тг/те = 100, N = 40000. W(t)=炉⑴/2 и эффективная «температура» электронов и ионов (Te(t)/Teo и
е⑴/Х0)
Как показали численные эксперименты, динамическая стадия коллапса хорошо описывается усредненными гидродинамическими уравнениями (2.4), (2.5). В частности, с точностью до 5 % выполняются следующие из (2.10) выражения для инкремента 70 и 如，отвечающего максимальному
значению 7MH (рис. 2.1). Подтверждается и качественная зависимость области неустойчивости от расстройки Дш. Так, в типичном варианте В5 [13] с параметрами Eq = 1, шо = 1,005, L = 400, Nf = = 40000 (рис. 2.11—2.14) максимальный инкремент имеет мода с номером п = 14, т. е. ближайшим целым к расчетному п° = £ко/27r при к。= 0,215
(рис. 2.1), а 714 = 1/35 (близко к значению 0,3, полученному из (2.10) для Eq = 0,1). Столь же близкие к (2.10) характеристики кв а™ зиколлапса на динамической стадии получены и в случае Eq = 1 (рис. 2.15, 2.16).
^pet^pet500500400400300300200200100100х/Арх/Ар020020Рис. 2.12. Профили пг(ж, t). Утолщенные линии выделяют rii < 1. Фазовые скорости нч возмущений ограничены скоростью звукаРис. 2.12. Профили пг(ж, t). Утолщенные линии выделяют rii < 1. Фазовые скорости нч возмущений ограничены скоростью звукаVVT6420-2-4-6-8Пе1 0,7П{1 0,7VVT6420-2-4-6-8Пе1 0,7П{1 0,7Рис. 2.14. Спектр ленгмюровских колебаний, соответствующий максимуму peff (力= =200)Рис. 2.14. Спектр ленгмюровских колебаний, соответствующий максимуму peff (力= =200)峭м/у】ААМЛД/А峭м/у】ААМЛД/А050100 x/XD050100 x/XDРис. 2.15.Рис. 2.15.旧⑴『 167mo К旧⑴『 167mo КРис. 2.13. Электронная фазовая плоскость (вверху) и профили пе(ж), пг(ж) (внизу) в момент t = 180 в случае накачки с частотой близкойК ШреРис. 2.13. Электронная фазовая плоскость (вверху) и профили пе(ж), пг(ж) (внизу) в момент t = 180 в случае накачки с частотой близкойК Шре8% ⑴/по в центре 1D8% ⑴/по в центре 1Dкаверныкаверны
^pet
^pet
500
500
400
400
300
300
200
200
100
100
х/Ар
х/Ар
020
020
Рис. 2.12. Профили пг(ж, t). Утолщенные линии выделяют rii < 1. Фазовые скорости нч возмущений ограничены скоростью звука
Рис. 2.12. Профили пг(ж, t). Утолщенные линии выделяют rii < 1. Фазовые скорости нч возмущений ограничены скоростью звука
V
VT
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
Пе
1 0,7
П{
1 0,7
V
VT
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
Пе
1 0,7
П{
1 0,7
Рис. 2.14. Спектр ленгмюровских колебаний, соответствующий максимуму peff (力= =200)
Рис. 2.14. Спектр ленгмюровских колебаний, соответствующий максимуму peff (力= =200)
峭м/у】ААМЛД/А
峭м/у】ААМЛД/А
050100 x/XD
050100 x/XD
Рис. 2.15.
Рис. 2.15.
旧⑴『 167mo К
旧⑴『 167mo К
Рис. 2.13. Электронная фазовая плоскость (вверху) и профили пе(ж), пг(ж) (внизу) в момент t = 180 в случае накачки с частотой близкой
К Шре
Рис. 2.13. Электронная фазовая плоскость (вверху) и профили пе(ж), пг(ж) (внизу) в момент t = 180 в случае накачки с частотой близкой
К Шре
8% ⑴/по в центре 1D
8% ⑴/по в центре 1D
каверны
каверны
Для динамической стадии МН характерны:
экспоненциальный рост плотности электростатической энергии W(t)= |石『/2;
(2.18)(2.18)инерционное запаздывание ионов, в результате чего
(2.18)
(2.18)
方2 (力)max = I 石(力一^wpi ) I max
относительно плотное расположение солитонов с полушириной порядка / ^
7Г—,что делает примело7Г—,что делает примело弋 10 + 12 и средним удалением друг от друга порядка ^ =
7Г
—,что делает примело
7Г
—,что делает примело
нимой распространенную в теории идеализацию «изолированного солитона» лишь при Eq 《 1 (см. рис. 2.1); отличие формы солитона (рис. 2.15) от классической, определяемой выражением (2.15) (ср. ниже (2.26));
динамическое взаимодействие кавитонов через накачку и связанная с этим
разновременность выхода на кинетическую стадию (расфазировка);
максимальное по t значение W^^ в кавитонах порядка единицы, при этом запаздывающее в силу (2.18) значение
力2111ax < 石Ках/4
и достигается уже на кинетической стадии (рис. 2.15, 2.16);
отклонение от известных из теории автомодельных соотношений [8], характе™ ризующих взрывной характер самофокусировки, начиная примерно с середины ди™ намической стадии, из-за нарушения условия И7《1 (т. е. нелинейности), обратного влияния инерционного запаздывания ионов (2.18) и замедляющей коллапс утечки энергии из коротковолновых колебаний в резонансные электроны в конце динами™ ческой стадии.
В упоминавшемся выше примере (石о = 1) средняя по х плотность турбулент™ ной волновой энергии (Ж) не превышала интенсивности накачки (рис. 2.11). Более впечатляющими и отчасти неожиданными (во время проведения первых численных экспериментов такого рода) были результаты расчетов с малыми, но удовлетворяв ющими условию (2*6) амплитудами накачки Eq = 0,1 (Вб), 0,05 (В7), 0,025 (В8). Максимальное значение (Ж) оказывается и здесь порядка 0,1 ♦ 0,5 (рис. 2.16), что однако во много раз превышает как уровень накачки 石储2, так и максимальное значение, достигаемое в колебательном режиме, предписываемом приближенной те— орией [21], основанной на предположении о сохранении формы классического од™ номерного солитона с амплитудой, зависящей от времени. Именно эти результаты позволяют говорить о «квазиколлапсе», как качественно новом явлении, формиру™ ющем ленгмюровскую турбулентность.
Формирование высокоэнергичных электронных «хвостов» (теория и численный эксперимент)
Процесс генерации высокоэнергичных электронных «хвостов», характерный для кинетической стадии коллапса, тесно связан с динамикой турбулентного спектра. Уже первые численные эксперименты по параметрическому нагреву плазмы обна— ружили сильную корреляцию этого явления с окончанием формирования кавитонов и непрерывного степенного спектра ленгмюровских колебаний. Типичная картина фазовой плоскости, отражающая характерные детали генерации немаксвелловских электронов, показана на рис. 2.13. Хорошо видна пространственная корреляция между «хвостами» надтепловых электронов и сформировавшимися кавернами —— областями пониженной плотности ионов.
Выполненные многочисленные численные эксперименты позволяют построить теорию, опирающуюся на установленный факт квазилинейного механизма отрао тания электронных «хвостов» и полученную в кинетических расчетах относительно простую форму асимптотической по скоростям и («хвостовой») части электронной функции распределения вида ехр 卜 а (и — К)]- Ниже мы убедимся, что найден™ ный в указанных предположениях спектр |石衣| будет, в свою очередь, соответство™ вать степенным (〜 友一°) зависимостям, наблюдаемым в численных экспериментах [12, 46, 47, 16, 21, 18, 28].
Таким образом, для описания динамики «хвоста» и турбулентного спектра це™ лесообразно из полной системы уравнений квазилинейной теории [4] оставить лишь диффузионное уравнение для усредненной по пространственному периоду L функ— ции распределения
dt dv dv
Рис. 2.16. Вариант Вб: Eq = 0,1, wo = 1,014, L = 60, те/тг = 0,01, Тео/Тго = 25, TV? = Ne = 12000. Общий вид зависимостей энергетических величин от времени. Плотно™ сти: 1 — электростатической энергии, 2 — кинетической энергии ионов, 3 — электронов, / — энергии Wtot — ^К1ш,е + Е；?н ?), поступившей к рассматриваемому моменту в систему от волны накачки. Внизу модули 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 8-й фурье-гармоник ионной плотности как функции времени. На второй половине рисунка хорошо видны звуковые колебания гар™ моник, периоды которых соответствуют линейной теории. Резкий минимум 1-й гармоники в момент шре^ = 447 отвечает схлопыванию каверны (см. рис. 2.15, 2.12)
и соотношение для коэффициента диффузии
D = ттк |^|2|(2.20)
I k=v~~1cv
Зависимость /е (и) будем считать известной из численного эксперимента. Цель теории —опираясь на эту зависимость и уравнения (2.19), (2.20) построить и объяснить аналитическое решение {fe(v, t), |£?(t)|2}, количественно согласующееся с полученным в кинетических моделях.
Заметим, что предложенная теория, строго говоря, не будет квазилинейной в общепринятом смысле уже потому, что мы не предполагаем малости W/пТ《1м линейной независимости гармоник поля 石衣* Следуя результатам численных экспе™
риментов, будем искать /XB(v, t) в виде 以丿 〜 exp [—cw]
/w(4 力)=/м(К) exp [一&⑴什矶一 K)],回|〉К > 0,(2.21)
/м(к) = ^ехр
Подставляя (2.21) в (2.19) и интегрируя от К до ‘％ получаем
0⑶力)=0К,力)殴(l匕)一^ 一 ^⑷-к) + ^殴(5%二(222)
Коэффициент диффузии D(v^ t), представленный в виде ряда
D(v,t) = ^Bn(t)(v^V^n,
п=0
удовлетворяет уравнению (2.22) для произвольных функций О* (и,力)=Р(К, i), гр а™ ничному условию при V = К, и 8(力),(8о(力)=0*(力),石2(力)=а?8(力)/2) при условии, что для остальных Bn(t) выполняются соотношения
81 = а。*; Вп = Ban/п1, п > 3.
При этом параметры а(力)и 8(力)оказываются связанными уравнением а/о? = 8 — —D* или его интегралом
а⑴=у 2 / (О*(力)—力))d力，«о = а(力о)*(2*23)
Таким образом, самосогласованное решение 0(% 力)для класса функций распре™ деления (2.21) имеет вид
D(v,t) = D,ea^v^ + (^D^B^ [_£。(0—匕)+ 1 + q@ — К)]=
= 8с°(©—匕)+ (。* —8 )[l + a(n，一l4)r(2.24)
Как видно из (2.24), условие выхода на стационарный режим Jim (少尸)=const реализуется при 8(力)f D^(t)^ при этом (см. (2.23)) а(力)f= const.
Связь между параметрами К = к^1 и начальным значением а。можно найти из (2.21) и условия смены знака /м(К До)：
^/м//м = O/R(225)
откуда а。= (К 一 1)/К.户
Численное моделирование плазмы в широком диапазоне значений Eq = 10一？ + 1 показало, что значение I* практически не зависит от 瓦(ввиду резкой экспоненци™ альной зависимости /м(^?2)) и приблизительно К = 2,5, что соответствует а。= 2,1. Примерно те же значения для пары (1*,а()) можно получить из совместного реше™ ния (2.25) и уравнения /^(К) — /хВ(К) = 0,15/^(14), характеризующего условное начало «излома», когда производные максвелловского《кора» и «хвоста» при v = I* расходятся 〜 на 15 %.
Подводя итог сказанному, заключаем, что динамика отрастания электронного «хвоста» определяется однопараметрической системой формул, включающей
(2.21), (2.23) и выражением для спектральной плотности волновой энергии |石衣『 в одном из двух эквивалентных представлений:
D7гкD7гк0Щ а⑴(1/友-1/鼠)*7Tk十0Щ а⑴(1/友-1/鼠)*7Tk十++0* (力)-B(t)0* (力)-B(t)7rk7rk'11 + a⑴'11 + a⑴ko < k < k^; (2.26)ko < k < k^; (2.26)(2.27)(2.27)
D
7гк
D
7гк
0Щ а⑴(1/友-1/鼠)*
7Tk十
0Щ а⑴(1/友-1/鼠)*
7Tk十
+
+
0* (力)-B(t)
0* (力)-B(t)
7rk
7rk
'1
1 + a⑴
'1
1 + a⑴
ko < k < k^; (2.26)
ko < k < k^; (2.26)
(2.27)
(2.27)
где к。——волновой вектор неустойчивой моды с максимальным инкрементом, харак— теризующий в спектре область накачки (см. (2.10), рис. 2.1).
Согласуй задание граничного условия D (力)и выбор функционального параметра B(t) с численным экспериментом, мы можем теперь описывать эволюцию так называемого инерционного интервала спектра [5] (ко < к < к*) под воздействие ем резонансных электронов по мере «прорастания хвоста» в область 14 < и < < Утах ™^о = к。*
Заметим, что полученный из (2.26) асимптотический спектр
\Ек\2 =二幺тгктгк\Ек\2 =二幺тгктгк(2.28)(2.28)
\Ек\2 =二幺
тгктгк
\Ек\2 =二幺
тгктгк
(2.28)
(2.28)
близок к степенному по к и находится в хорошем качественном согласии как с чис™ ленным экспериментом, так и с полученными ранее теоретическими оценками [21]. Например, при а* > к^, |^|2 > D]不.
Интересно, что спектр (2.26) заметно отличается от спектров вида cli^2 а к 〜 〜e^ak, близких к спектральному разложению одномерного солитона [40]. Такое отличие, в частности, связано с тем, что условие строгой изоляции отдельных соли™ тонов, используемое в приближенных теориях, на самом деле не выполняется (см. разделы 2.2.1, 2.2.4).
В условиях постоянно действующей накачки и сохранения описанного выше ме™ ханизма, ускоренные частицы на стадии насыщения (а т а^) будут попадать в область V > пр, где в принципе могут возбуждаться длинные волны с к < ко, ко™ торые в свою очередь будут способствовать образованию плато в соответствующей области фазовых скоростей *). Однако в реальных условиях до этого обычно не доходит: ускоренные частицы либо покидают турбулентную область, имеющую ко™ нечные размеры, либо в игру вступают другие механизмы аномального поглощения вч энергии частицами (например, уже упоминавшийся механизм конверсии ленг™ мюровских колебаний на остаточных флуктуациях ионной плотности), значительно усложняющие описанный выше «чистый» механизм генерации электронных «хво™ стов». В численных экспериментах отсутствие частиц со скоростями и > vq иногда также объясняется значительной дискретностью спектра в области малых к [18].
Рис. 2.17. Вариант В5: a⑴，B(t), Q*⑴и入狂⑴Рис. 2.17. Вариант В5: a⑴，B(t), Q*⑴и入狂⑴На рис. 2.17 изображено примерное поведение функций О* ⑴，8(力)отвечающее основным стадиям МН. Вид™ но, что теория, сочетающая аналитическое решение уравнений с константами, взятыми из кинетических рас™ четов, отражает существенные стороны процесса, вплоть до выхода на стадию насыщения. На рис. 2.18 схематиче™ ски представлена динамика электронного хвоста, вплоть до выхода на квазистационарный режим. Справа даны соответствующие профили D(v) по данным численного эксперимента В5, хорошо приближаемые кривыми, рас™ считанными по формуле (2.24).
Рис. 2.17. Вариант В5: a⑴，B(t), Q*⑴и入狂⑴
Рис. 2.17. Вариант В5: a⑴，B(t), Q*⑴и入狂⑴
仆=2 /A = ^/м(К) [1 _ WmaxT]仆=2 /A = ^/м(К) [1 _ WmaxT]Кхв = fMKxb = fMКхв = fMKxb = fMП'тах.П'тах.(2.29)(2.30)(2.31)(2.29)(2.30)(2.31)С помощью формул (2.21) и (2.23) легко выразить через а(力)плотность nXB(t) и энергосодержание электронных хвостов К^В1 а также эффективную частоту столк— новений 〃efr(力)в формуле Кхв = %任(力)£^/2:
仆=2 /A = ^/м(К) [1 _ WmaxT]
仆=2 /A = ^/м(К) [1 _ WmaxT]
Кхв = fM
Kxb = fM
Кхв = fM
Kxb = fM
П'тах.
П'тах.
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
Поскольку выход на стационарный режим, как видно из формул (2.21), (2.23), (2.31), одновременно означает и «отключение» накачки, параметр может быть определен из условия
(2.32)(2.32)「£ (^(El),k\k е 必)> 7МН (E^k\k е 必)，
(2.32)
(2.32)
где 5k определяет в спектральной окрестности к。область накачки в соответствии с дисперсионным соотношением (2.10), а квазилинейный декремент
(2.33)(2.33)
(2.33)
(2.33)
Ширина △& полосы возбуждения (вне которой 7MH падает более чем в 2 раза по отношению к 7шах) равна △& > к/2 при Е^ < me/mi (к ~ 石о) и △& > ко/3 при £^ > > me/mi (к ~ £^“, рис. 2.1). Таким образом, при £^ > 1 спектр в области накачки оказывается сильно размытым, в то время как при Eq《1 он носит сингулярный характер. В соответствии с этим при £^ « 1 условие (2.32) вырождается в
Рис. 2.18. Схема формирования и эволюции 《хвоста》у электронной функции распределения (слева). Г рафики Q(&) в различные моменты времени для В5 (рис. 2.11—2.13) (справа)Рис. 2.18. Схема формирования и эволюции 《хвоста》у электронной функции распределения (слева). Г рафики Q(&) в различные моменты времени для В5 (рис. 2.11—2.13) (справа)aбвгaбвгРис. 2.19. Профили /е(г?) на стадии насыщения для вариантов В7: Eq = 0,05, £ = 60 (а); В8: Eq = 0,1 и остальные параметры — как в случае Вб, но с усиленным начальным ионнозвуковым фоном (б); Вб (см. рис. 2.15-2.16) (в); В5 (см. рис. 2.11-2.13) (г). Пара™ метр «оо = 1/2 (а), 1/1,65 (б), 1/3 (в), 1/6 (г). На профиле б заметное (по сравнению с а) уширение (см. раздел 2.2.2) максвелловского «кора» (1,2〉l，i) является результатом усиленной конверсии (см. раздел 2.2.4)Рис. 2.19. Профили /е(г?) на стадии насыщения для вариантов В7: Eq = 0,05, £ = 60 (а); В8: Eq = 0,1 и остальные параметры — как в случае Вб, но с усиленным начальным ионнозвуковым фоном (б); Вб (см. рис. 2.15-2.16) (в); В5 (см. рис. 2.11-2.13) (г). Пара™ метр «оо = 1/2 (а), 1/1,65 (б), 1/3 (в), 1/6 (г). На профиле б заметное (по сравнению с а) уширение (см. раздел 2.2.2) максвелловского «кора» (1,2〉l，i) является результатом усиленной конверсии (см. раздел 2.2.4)
Рис. 2.18. Схема формирования и эволюции 《хвоста》у электронной функции распределения (слева). Г рафики Q(&) в различные моменты времени для В5 (рис. 2.11—2.13) (справа)
Рис. 2.18. Схема формирования и эволюции 《хвоста》у электронной функции распределения (слева). Г рафики Q(&) в различные моменты времени для В5 (рис. 2.11—2.13) (справа)
aбвг
aбвг
Рис. 2.19. Профили /е(г?) на стадии насыщения для вариантов В7: Eq = 0,05, £ = 60 (а); В8: Eq = 0,1 и остальные параметры — как в случае Вб, но с усиленным начальным ионнозвуковым фоном (б); Вб (см. рис. 2.15-2.16) (в); В5 (см. рис. 2.11-2.13) (г). Пара™ метр «оо = 1/2 (а), 1/1,65 (б), 1/3 (в), 1/6 (г). На профиле б заметное (по сравнению с а) уширение (см. раздел 2.2.2) максвелловского «кора» (1,2〉l，i) является результатом усиленной конверсии (см. раздел 2.2.4)
Рис. 2.19. Профили /е(г?) на стадии насыщения для вариантов В7: Eq = 0,05, £ = 60 (а); В8: Eq = 0,1 и остальные параметры — как в случае Вб, но с усиленным начальным ионнозвуковым фоном (б); Вб (см. рис. 2.15-2.16) (в); В5 (см. рис. 2.11-2.13) (г). Пара™ метр «оо = 1/2 (а), 1/1,65 (б), 1/3 (в), 1/6 (г). На профиле б заметное (по сравнению с а) уширение (см. раздел 2.2.2) максвелловского «кора» (1,2〉l，i) является результатом усиленной конверсии (см. раздел 2.2.4)
На рис. 2.19 представлены графики /е(и) на стадии насыщения для вариантов В7 (а), Вб (в), В5 (?) с Eq = 1/20, 1/10 и 1. Соответствующие а修‘‘ =1/2, 1/3, 1/6. Монотонная зависимость «^(^) (при фиксированной длине отрезка Ъ, а следовательно и ko,eff) находится в полном согласии с (2.10), (2.32), (2.33). Предельные (при п’шах = оо) значения количества надтепловых электронов ?гхв и их полной энергии Кхв как функции от a0c приведены в таблице
од
0,2
0,3
0,5
1,0
1,5
2,0
見Xb/見0
0,350
0,175
0,117
0,0701
0,035
0,0234
0,0175
Ахв/ п()Т
44,9
7,12
2,61
0,85
0,232
0,122
0,081
Модель системы с параметрическим возбуждением плазмы и выбыванием «быстрых» электронов
Генерация высокоэнергетичных электронных «хвостов» на функции распределения, характерная для кинетической стадии ленгмюровского коллапса [28], как известно, тесно связана с динамикой спектра турбулентных пульсаций. Появление в системе быстрых электронов неизбежно переводит ее в пороговый режим с фактическим отключением «накачки» [22], в результате чего эффективная частота столкновений, определяемая формулой
(2・35)
резко снижается до значения, определяемого уже не коллапсом, а процессом конверсии длинноволновых ленгмюровских колебаний на остаточном коротковолновом ионном звуке.
Уже первые численные эксперименты по параметрическому нагреву плазмы обнаружили сильную корреляцию этого явления с генерацией кавитонов и формированием непрерывного степенного спектра ленгмюровских колебаний. Позднее в результате большого числа кинетических расчетов удалось построить теорию [22, 31, 33], базирующуюся на двух фактах: квазилинейном механизме отрастания электронного «хвоста» и форме электронной функции распределения, установленной в численных экспериментах. Последняя для больших \v\ > К имела весьма простой асимптотический вид (2.21). Как в свете этого результата может выглядеть картина развитой сильной турбулентности, обусловленная параметрической накачкой?
Кинетические расчеты показывают, что здесь следует различать два принципиально отличных случая в зависимости от того, остаются ли генерируемые быстрые электроны в системе или покидают ее за времена меньшие чем 7^^.
В первом случае накачка эффективно отключается уже на стадии эволюции первого поколения кавитонов. Это подтверждается двумя фактами: 1) электронный хвост в форме (2.21) достаточен для отключения любой накачки, т.к. нарастающий декремент Ландау заведомо превысит заданный инкремент)мн； 2) сформировавшиеся каверны не разрушаются полностью до тех пор, пока накачка не отключается целиком и не разрушается «инерционный интервал» спектра. До этого времени они воспроизводят степенной спектр, самосогласованный с (2.28), который и обеспечивает коротковолновую перекачку плазмонов и, с помощью квазилинейного механизма, увеличение энергосодержания электронных «хвостов». После того, как затухание Ландау переводит систему к порогу МН, каверны разрушаются, а последующая диссипация вч энергии определяется уже уровнем остаточной ионно-звуковой турбулентности, ответственным за возникновение некоторого 7КОНВ, т. е. затухания за счет непосредственной конверсии плазмонов на коротковолновых флуктуациях ионной плотности. Во втором случае, т. е. в отсутствие быстрых электронов в системе, возможно стохастическое возрождение кавитонов под воздействием продолжающейся МН, но уже с инкрементом приблизительно на 7Koнв меньшим первоначального. Наконец, в промежуточном случае, когда в системе задерживается некоторая часть надтепловых электронов, асимптотическое поведение определяется сложным сочетанием названных выше факторов и, вообще говоря, не обязательно сводится к стационарной картине турбулентности.
Расчеты параметрического возбуждения одномерной бесстолкновительной плазмы на частоте, близкой к плазменной электронной, с помощью модифицированного кода могли учитывать воздействие искусственного «охлаждения» электронов:
в принятом алгоритме макроэлектроны, скорость которых начинала превышать некоторую критическую (скажем, 14r = 4We) удалялись из системы и заменялись тепловыми.
В этом (втором) случае действительно наблюдалось предсказанное в [33] квази- стационарное турбулентное состояние с возрождением кавитонов, характеризующее™ ся постоянством потока быстрых электронов в пространстве скоростей. Соответствуй ющая величина эффективной частоты столкновений составила около 1/150 шре [34].
Рассмотрим подробнее задачи о параметрическом возбуждении ленгмюровской турбулентности в системах с выбыванием быстрых электронов.
В рамках ММ [52, 31, 29] рассматривается самосогласованная эволюция плоского слоя (турбулентной ячейки) электронно-ионной власовской плазмы с максвелловским распределением по скоростям (Те 》丁分)в присутствии волны накачки (2.3) при периодических условиях на границах области Q < х < L для электрического поля Е(х, t) и функций распределения /^е(ж, г;, t). Новым элементом «открытой» системы является введение параметра % для реализации следующей процедуры «искусственного охлаждения» электронной компоненты.
На каждом временном шаге все модельные макроэлектроны, скорости которых превысили % (|修| > %), «изымаются» из стандартного обращения. При этом пространственная координата каждого из них сохраняется, а скорости с помощью дат™ чика случайных чисел приписывается новое значение в соответствии с начальным максвелловским распределением. После этого «охлаждения» таким образом части™ цы вновь участвуют, наряду с прочими, в самосогласованной эволюции системы «частицььполе» в соответствии со стандартной процедурой метода «облаков в ячей™ ке» [52, 31]. Естественно, что подобная операция, не нарушая общей электрической нейтральности системы, имитирует практически «безинерционное» выбывание быстрых электронов по достижении заданного энергетического порога, являющегося параметром задачи.
Конкретные значения исходных данных в приведенных ниже расчетах:
L = 60Х。； Ni = Ne = 6000; wq = l,014wpe;
Ге/T, = 25;石储(2"北0晨)=5 -10^2.
Параметр % в отдельных вариантах принимался равным 3; 3,5 и 4.
Результаты численных экспериментов, приведенные на рис. 2.20, 2.21, позволяют рассмотреть развитие турбулентного состояния.
В отличие от вариантов [22, 30], где быстрые электроны оставались в расчетной области (К = оо), в системах с выбыванием электронов при %/¥ге =3 + 4 по- еле разрушения первичных кавитонов наблюдалось возрождение новых с несколько меньшим инкрементом. В результате система при больших временах переходит в состояние квазистационарной ленгмюровской турбулентности, средний энергетиче™ ский уровень которой остается достаточно высоким (рис. 2.20, в).
На стадии стационарной турбулентности устанавливается близкий к степенному спектр электростатических колебаний (рис. 2.20, а): \ЕП\ 〜п™7, где 7 ^ 5/4 (fe = =27m/£)•
Асимптотический вид усредненной по отрезку функции распределения по скоростям отличен от случая % = оо и напоминает «обрезанное» при |г?| = % максвелловское распределение с температурой, меньшей начальной (рис. 2.20, б).
Для качественного описания f(v, t) = 1/L / f(x, v, t) dx\t^(ya = удобны о
следующие простые теоретические соображения.
Рис. 2.20. a — спектры турбулентных пульсаций электрического поля в системе с искусственно «охлаждаемыми» электронами, б— асимптотический вид функции распределения (ujpt = 700, штрих) электронов, в — эволюция числа «охлажденных» электронов при разных 匕
Рис. 2.21. МН в системе с искусственно «охлаждаемыми» быстрыми электронами. Рисунки слева представляют полную волновую энергию и отностительную часть охлажденных электронов во времени. На рисунках справа — солитоноподобные профили ионной плотности для различных времен
Будем использовать для описания /е(г;, t) квазилинейное уравнение с источником, отвечающим принятому алгоритму искусственного «охлаждения» быстрых электронов. Тогда
=⑵36)
где /о(^) — исходное максвелловское распределение
a /3(f) определяется из условия сохранения во времени полного числа макроэлектронов:‘
/3(力三。匕⑴疗(％,扑(2.37)
по
Рассмотрим теперь стационарное (d/dt = 0) решение уравнения (2.36), для чего воспользуемся известной из численного эксперимента (см. выше) зависимостью
Dv ~~ I' — 1
Подставляя (2.37), (2.38) в (2.36) и интегрируя один раз по г;, имеем
где①5=где①5=以(。)=以(%)察号'⑵38)
где①5=
где①5=
exp — г;2/2 dv ——интеграл ошибок. Повторное интегрирование по
г; позволяет получить интегральное выражение для /^(г;):
…=厶⑼+以К*丿…=厶⑼+以К*丿о ' оо ' о2/2 dv.2/2 dv.(2.39)(2.39)
…=厶⑼+以
К*丿
…=厶⑼+以
К*丿
о ' о
о ' о
2/2 dv.
2/2 dv.
(2.39)
(2.39)
При этом для определения констант /^(0) и /^(К) следует использовать два уело-
ВИЯ： /сю(К) = 0 И 2 / /сюЗ) dv = По- о
Найденное решение (2.39) качественно совпадает с данными численных экспериментов (рис. 2.20, б) и допускает простые численные оценки. В частности, точка перегиба, где f^(v) = 0, соответствует значению v/Vt€ = 1,4.
Построенная выше полуфеноменологическая теория количественно правильно описывает наблюдаемые рост частоты 〃請(％) и одновременный спад эффективной температуры Т/сю，Естественно, что в рассматриваемых случаях, % < оо, для нахождения 〃請(%) следует использовать соответствующим образом модифицированную формулу (2.35):
嘛g占;=Ж ]^*。。3l>匕(今)'(2.40)
где aWcooied/a力 ——производная по времени от полного числа выбывших к моменту t макрочастиц; Ne ——полное число макроэлектронов (рис. 2.20, в).
Насыщение ионной температуры (энергии), связанное с накоплением в системе ионного звука [16, 53, 22, 30], ограничивается опрокидыванием нелинейных ионнозвуковых колебаний (волн) и захватом ионов. В результате максимальная скорость ускоренных ионов не превышает скорости ионного звука.
Ионно-звуковая турбулентность и конверсия плазмонов
Генерация ионного звука на кинетической стадии ленгмюровского коллапса или квазиколлапса в разнотемпературной плазме (Те》丁分)впервые обнаружена в чис™ ленных экспериментах [16, 18]. Этот эффект возникает в результате того, что после быстрого поглощения вч наполнения каверн резонансными электронами за времена порядка Г£1(^*) о 10《 入*/2匕="%/打两/矶/友*, не сбалансированные вч давлением коротковолновые возмущения ионной плотности с пространственным масштабом порядка размеров кавитонов, служат источником слабозатухающих ионно-звуковых колебаний (рис. 2.16, 2.22, 2.23).
030 x/Xd030 x/XdРис. 2.22. Картина фазовой плоскости ({ж, ^ж}) на стадии «опрокидывания» ионных потоков (сходя™ щихся к центру опустевшей каверны), объясняющая механизм возникновения ионных «хвостов» со скоростями vz < Vs = (Те/шг)1^2 (вариант Вб: t = 450, см. рис. 2.12^2.16). Характерный момент для началь™ ной фазы генерации ионно-звуковой ту булентности, приходящей на смену квазиколлапсам при Те ^> TiРис. 2.22. Картина фазовой плоскости ({ж, ^ж}) на стадии «опрокидывания» ионных потоков (сходя™ щихся к центру опустевшей каверны), объясняющая механизм возникновения ионных «хвостов» со скоростями vz < Vs = (Те/шг)1^2 (вариант Вб: t = 450, см. рис. 2.12^2.16). Характерный момент для началь™ ной фазы генерации ионно-звуковой ту булентности, приходящей на смену квазиколлапсам при Те ^> TiРис. 2.23. Типичный спектр 电伸)низкочастотных колебаний возмущения ионной плотности до (пунктир) и после (сплошная линия) поглощения вч энергии кавитонов в случае Те ^> Тг, к = =тгк'/ЗОРис. 2.23. Типичный спектр 电伸)низкочастотных колебаний возмущения ионной плотности до (пунктир) и после (сплошная линия) поглощения вч энергии кавитонов в случае Те ^> Тг, к = =тгк'/ЗО
030 x/Xd
030 x/Xd
Рис. 2.22. Картина фазовой плоскости ({ж, ^ж}) на стадии «опрокидывания» ионных потоков (сходя™ щихся к центру опустевшей каверны), объясняющая механизм возникновения ионных «хвостов» со скоростями vz < Vs = (Те/шг)1^2 (вариант Вб: t = 450, см. рис. 2.12^2.16). Характерный момент для началь™ ной фазы генерации ионно-звуковой ту булентности, приходящей на смену квазиколлапсам при Те ^> Ti
Рис. 2.22. Картина фазовой плоскости ({ж, ^ж}) на стадии «опрокидывания» ионных потоков (сходя™ щихся к центру опустевшей каверны), объясняющая механизм возникновения ионных «хвостов» со скоростями vz < Vs = (Те/шг)1^2 (вариант Вб: t = 450, см. рис. 2.12^2.16). Характерный момент для началь™ ной фазы генерации ионно-звуковой ту булентности, приходящей на смену квазиколлапсам при Те ^> Ti
Рис. 2.23. Типичный спектр 电伸)низкочастотных колебаний возмущения ионной плотности до (пунктир) и после (сплошная линия) поглощения вч энергии кавитонов в случае Те ^> Тг, к = =тгк'/ЗО
Рис. 2.23. Типичный спектр 电伸)низкочастотных колебаний возмущения ионной плотности до (пунктир) и после (сплошная линия) поглощения вч энергии кавитонов в случае Те ^> Тг, к = =тгк'/ЗО
Коротковолновая ионно-звуковая турбулентность открывает дополнительнитель- ный канал аномального поглощения вч энергии за счет конверсии на звуке длинноволновых плазмонов в коротковолновые, обладающие малой фазовой скоростью и большим затуханием. Такой процесс действительно наблюдается в численных экспериментах и идет с декрементом, близким к теоретической оценке 7КОНВ =
В работах [53] впервые исследовались условия, при которых механизм конверсии при накоплении ионно-звуковой энергии в системе может конкурировать с МН и оказывать стабилизирующее влияние на коллапс. Нами были проведены кинетические расчеты по возбуждению МН на задаваемом начальном фоне ионно-звуко-
вых колебаний с типичным коротковолновым спектром (рис. 2.23). Ниже мы покажем, что результаты демонстрируют сильную зависимость относительной эффективности обоих каналов поглощения ——квазиколлапса и конверсии ——от вида как электронной так и ионной функций распределения в надтепловой области. Сделаем несколько предварительных оценок, для наглядности в размерной форме, для общего 3-мерного случая [28].
Конверсия вносит эффективное затухание
—Ж г,
где Ws ——плотность звуковой энергии, 1\ ——затухание Ландау ленгмюровских волн той же длины, что и звук. Для полного потока энергии в плазму Р имеем
Р = R + 7конвЖ(2.41)
где R ——поглощение энергии в коллапсах. Считая, что вся акустическая турбулентность генерируется коллапсами, имеем
W； =Д(^)2/7-(2.42)
где 7S ——затухание ионного звука.
Подставляя (2.42) в (2.41), получаем
Р^РДХ + Г^Ж/^пТ),
т. е. конверсия конкурирует с коллапсом, если
W/nT > 7s/rmax.(2.43)
Здесь Гтах о ^(шеТФиах/т^пТ)1/2 —— затухание, останавливающее коллапс. Используя автомодельное соотношение W^^/nT 〜(к^^Хв)3(тп^/теУ, перепишем условие (2.43) в виде
W/nT > (%/心)(m"m犷/4(МахМ)—з/2,(2.44)
где ws — частота звука. В изотермической плазме формула (2.44) дает W/nT > > (me/kM)3/4(kniaxXo)—2“ В предельно неизотермической плазме:W/nT >
> (те/тг)3/4(^шахЛ17)™3/2. Отсюда видно, что конверсия может конкурировать с коллапсом лишь при достаточно высоком уровне ленгмюровской турбулентности при отсутствии ускоренных электронов (когда ^тахАл не слишком мало). Дополнительной причиной, увеличивающей 7S и ограничивающей конверсию, является, как мы увидим, опрокидывание акустических волн и появление ускоренных ионов, осуществляющих затухание звука.
В варианте Вб на поздней стадии МН мы наблюдали генерацию ионно-звуковой турбулентности, когда в системе уже присутствовали высокоэнергичные электроны, которые и явились причиной «отключения» (раздел 2.2.2) накачки. В результате как квазиколлапс, так и, следовательно, ионный звук были лишены источника энергии и об относительной эффективности двух каналов переноса вч энергии к частицам —— коллапса и конверсии ——в динамическом режиме можно было делать только качественные заключения.
Поставим теперь эксперимент несколько иначе, а именно, в том же варианте Вб в момент 力=0 будем задавать ионно-звуковые возмущения с произвольными (в частности, близким к рис. 2.23) спектром и амплитудой, (серия В8). Тем самым мы создаем оптимальные условия как для вынужденного коллапса (максвелловские распределения частиц, отсутствие быстрых электронов, большое превышение порога МН), так и для конверсии (произвольно большая задаваемая извне энергия в нч колебаниях). Интересны следующие результаты.
Ни в одном из вариантов В8 не удалось полностью подавить квазиколлапс. Попытка добиться эффекта путем увеличения интенсивности звука приводила к опрокидыванию ионно-звуковых волн [54] и как следствие — к ограничению эф™ фективности конверсии. Этот результат находится в хорошем согласии с оценкой для максимально возможной в плазменной системе величине 8几泳,полученной из условия «захвата» ионов акустической волной
* < 也=丄(_一1一 匹上y45)
По 〜По 4〈+ 依芻 V1
где 匕max — максимальная характерная скорость ионов (в случае чисто максвелловского распределения qmax > ^/3^). Таким образом, нелинейное опрокидывание является основным механизмом, ограничивающим уровень ионного звука при Те》2y Как видно из (2.45) и численных экспериментов, значение 力寸左 оказывается чрезвычайно чувствительным к наличию надтепловых ионов. В реальной турбулентной плазме они всегда присутствуют, поскольку генерируются при схлопывании каверн одновременно со звуком (рис. 2.22), в результате чего j^max 一 у；. Возможны и другие механизмы ускорения ионов. Например, в неоднородной плазме с градиентом плотности имеется механизм коллективного ускорения ионов, связанный с дрейфом каверн [55].
Не приводя к полному подавлению квазиколлапса, начальный ионный фон, тем не менее, существенно замедляет самофокусировку ленгмюровских волн, снижая инкремент на величину 7КОНв(7мн > 7о 一 7конв).
На стадии насыщения большим 7КОНВ отвечают и большие значения Qg (рис. 2.19), т. е. выполняется пороговое условие 70 = 7КОнв + Г(асю, ко)——допол- нительное подтверждение справедливости представлений, развитых в разделе 2.2.3.
Как может выглядеть картина сильной турбулентности на поздней стадии? Как показали кинетические расчеты, здесь следует различать два случая, в зависимости от того, остаются ли в системе быстрые электроны или покидают ее за времена меньшие, чем 7^^.
В первом случае накачка эффективно отключается уже на стадии эволюции первого поколения кавитонов. На это указывают два факта, установленные при анализе численных экспериментов:
электронный «хвост» вида (2.21) достаточен для отключения любой накачки. Действительно, максимальное значение『厶,определяемое по формуле (2.33) при Qg = (Vb — %)т много больше 70 = )5｛昔 из (2.10) (см. рис. 2.1);
образовавшиеся каверны не разрушаются полностью до тех пор, пока не отключается накачка и не завершается исчезновение «инерционного интервала» спек™ тра. До того времени они реализуют спектр типа (2.26), обеспечивающий коротковолновую перекачку плазмонов и увеличение энергосодержание «хвоста» квазилинейным механизмом. Этот факт подтверждается тем (см., например, рис. 2.11), что конечная энергия в «хвостах» во много раз превышает сумму по всем солитонам содержащейся в них электростатической энергии при любом фиксированном t.
После выполнения критерия (2.32) каверны разрушаются, и дальнейшая диссипация вч энергии определяется уровнем остаточной звуковой турбулентности.
В о втором случае, т. е. при отсутствии быстрых частиц, возможно стохастическое возрождение каверн в результате действия МН, но с инкрементом, грубо говоря, уменьшенным на 7Koнв по сравнению с ?> Такая картина, приводящая в неизотермической плазме к режиму стационарной турбулентности, в которой реализуется динамическое равновесие между коллапсом и конверсией, подробно рассмотрена в [53] для достаточно малых значений Е^ для которых £& 依沱沬产《9fe4. Как видно из численных экспериментов (раздел 2.2.4), основным моментом, осложняющим распространение теории на большие значения Eq , является опрокидывание ионно-звуковых волн, останавливающее накопление звука. В этом случае, повиди- мому необходимо какое-то обобщение теории, например, с асимптотическим значением 7конв = rnin {Ikohb^ko™114'}，гДе 7конв посчитано в соответствии с (2.45), а 7ко™мич' — равновесное значение из [53].
Наконец, в промежуточном случае присутствия в системе какого-то числа быстрых электронов асимптотический режим будет результатом сложного взаимодействия вышеперечисленных факторов, и вообще говоря, не обязательно приведет к стационарной турбулентности.
Параметрическая неустойчивость плазмы в поперечном магнитном поле
В этом разделе мы кратко остановимся на результатах численных экспериментов,
Рис. 2.24. Геометрия задачи с магнит™ ным полем [29]Рис. 2.24. Геометрия задачи с магнит™ ным полем [29]в которых рассматривается влияние на квазиколлапс поперечного магнитного поля. В этом случае при параметрическом возбуждении волн в плоскости, ортогональной Bq, где затухание Ландау отсутствует, основную роль в поглощении волновой энергии играет стохастический нагрев частиц, характерная амплитуда колебаний которых в суммарном (магнитном и вч электрическом) поле оказывается сравнимой с длиной корреляции электрического поля, локализованного в кавернах. Важной особенностью указанного механизма является то, что он приводит к нагреву основной массы частиц, сохраняя максвелловский вид функции распределения. Эти численные эксперименты проводились при частоте накачки близкой к верхнегибридной. При этом, в зависимости от знака частотной расстройки, реализовывался либо распадный режим [56] ), либо режим апериодической параметрической неустойчивости [6]. Для более удобного сопоставления со случаем Bq = 0, мы сохраняем основные параметры вариантов, описанных выше, с той разницей, что частота шд за
Рис. 2.24. Геометрия задачи с магнит™ ным полем [29]
Рис. 2.24. Геометрия задачи с магнит™ ным полем [29]
дается в окрестности верхнегибридной электронной частоты wuh- Ограничимся случаем чисто продольных волн в направлении накачки (2.3), перпендикулярной внешнему магнитному полю Bq (рис. 2.24). Величина Bq выбиралась из тех соображений, чтобы ларморовские радиусы 『石储 гве были того же порядка, что и размеры ожидаемых каверн плотности. Интенсивность амплитуды
Рис. 2.25. Вариант В9: Eq = 1, Bq/4тгпоТе = 16, гве = 10, гв{ = 20, L = 60, Te/Ti = 25, ш-е/т-г = 0,01, № = 1,035, ujuh = 1,09, WBe/wpe = 0,4. Эволюция во времени уровней постоянной плотности ионов 〃(関)=пг/по (0,7 < ?/ < 1,7) (см. обозначения для 〃)Рис. 2.25. Вариант В9: Eq = 1, Bq/4тгпоТе = 16, гве = 10, гв{ = 20, L = 60, Te/Ti = 25, ш-е/т-г = 0,01, № = 1,035, ujuh = 1,09, WBe/wpe = 0,4. Эволюция во времени уровней постоянной плотности ионов 〃(関)=пг/по (0,7 < ?/ < 1,7) (см. обозначения для 〃)Рис. 2.26. Вариант В9: электронная функция распределения / в различные моменты време™ ни. Конечное состояние отвеча™ ет К = 5K°" Штриховой ли™ нией обозначено максвелловское /м|т=5 распределение с той же температурой, что и /(з節力=500)Рис. 2.26. Вариант В9: электронная функция распределения / в различные моменты време™ ни. Конечное состояние отвеча™ ет К = 5K°" Штриховой ли™ нией обозначено максвелловское /м|т=5 распределение с той же температурой, что и /(з節力=500)накачки Eq (в единицах 47r〃。襄)варьировалась в интервале 0,1 + 1* Рассматривался случай Те》Т%*
Рис. 2.25. Вариант В9: Eq = 1, Bq/4тгпоТе = 16, гве = 10, гв{ = 20, L = 60, Te/Ti = 25, ш-е/т-г = 0,01, № = 1,035, ujuh = 1,09, WBe/wpe = 0,4. Эволюция во времени уровней постоянной плотности ионов 〃(関)=пг/по (0,7 < ?/ < 1,7) (см. обозначения для 〃)
Рис. 2.25. Вариант В9: Eq = 1, Bq/4тгпоТе = 16, гве = 10, гв{ = 20, L = 60, Te/Ti = 25, ш-е/т-г = 0,01, № = 1,035, ujuh = 1,09, WBe/wpe = 0,4. Эволюция во времени уровней постоянной плотности ионов 〃(関)=пг/по (0,7 < ?/ < 1,7) (см. обозначения для 〃)
Рис. 2.26. Вариант В9: электронная функция распределения / в различные моменты време™ ни. Конечное состояние отвеча™ ет К = 5K°" Штриховой ли™ нией обозначено максвелловское /м|т=5 распределение с той же температурой, что и /(з節力=500)
Рис. 2.26. Вариант В9: электронная функция распределения / в различные моменты време™ ни. Конечное состояние отвеча™ ет К = 5K°" Штриховой ли™ нией обозначено максвелловское /м|т=5 распределение с той же температурой, что и /(з節力=500)
Самосогласованное поведение плазмы при указанных параметрах находилось с помощью подробно изложенной в [29] методики численного решения в рамках ММ, близкого к описанному в гл. 3 , но существенно обобщенному на случай с f(vx,vy,vz,x, t) и учетом электромагнитного поля, описываемого уравнениями Максвелла.
Анализ численных экспериментов показывает, что распад волны накачки происходит на высокочастотную и низкочастотную моды, из которых первая является верхнегибридным электронным колебанием а вторая ——высокочастотной ионнозвуковой волной [57]. По мере развития параметрической распадной неустойчивости растет амплитуда стоячей ионно-звуковой волны (рис. 2.25). Этот рост ограничивается процессом нелинейно-
го опрокидывания, сопровождающегося захватом все большей части ионов. Резко возрастающий при этом декремент неустойчивой низкочастотной моды вызывает увеличение порога распадной неустойчивости, что приводит к насыщению неустойчивости и стабилизации уровня электростатических флуктуаций. В вариантах с параметрами, соответствующими условиям для возбужде
ния апериодической неустойчивости (wg < Guh) действительно наблюдается апериодический рост ионных возмущений на основном пространственном масштабе. Однако при этом продолжают идти (правда с меньшей интенсивностью) и распадные
процессы того же типа и с тем же механизмом насыщения, что и отмеченные выше. Такое «примешивание» распадов к апериодическому случаю можно объяснить более низким уровнем порога распадной неустойчивости [57].
Численный эксперимент показывает наличие сильного аномального нагрева электронной компоненты, повидимому стохастической природы. Механизм этого нагре™ ва реализуется как при распадной так при апериодической неустойчивостях, обеспечивается возникновением электрического поля, с длиной корреляции 1С порядка эффективного поперечника осцилляций частиц в суммарном вч электрическом и магнитном полях, и тесно связан с образующимися сильными пространственными неоднородностями ионного фона. Последние обеспечивают значительную автономию сопутствующих волновых пакетов, т. е.достаточную ширину Ак в к-простран- стве и, соответственно,——относительно небольшую величину 1С. Важной особенно™ стью указанного механизма является то, что он приводит к стохастическому нагреву основной массы частиц (рис. 2.26), сохраняя максвелловский вид функции распределения (в отличие, скажем, от механизма Ландау, генерирующего надтепловые частицы при ленгмюровском коллапсе). Поглощение за счет стохастического нагрева энергии плазмонов одновременно с увеличением электронной температуры, повиди- мому, и объясняет нелинейное насыщение параметрической неустойчивости в нашем случае [58].
Диамагнетизм циклотронных волн в плазме
В рамках дискретного моделирования изучались циклотронные волны в случае одномерных потенциальных колебаний с частотой волны накачки, близкой к удвоенной циклотронной частоте. Использовался 1D2F электромагнитный код [32] и динамические уравнения для отдельных макрочастиц в дарвиновском приближении. Теоретически предсказанная в работах [59, 60] зависимость глубины магнитной ямы от частоты и амплитуды электрического поля накачки в виде стоячей волны исследована в численном эксперименте.
Нелинейные циклотронные колебания играют важную роль в поведении лабораторной и магнитосферной плазмы. Частота циклотронных колебаний зависит от внешнего магнитного поля подобно тому, как частота ленгмюровских колебаний за™ висит от плотности плазмы. Основным нелинейным эффектом является уменьшение магнитного поля внутри волнового пакета. Образование магнитной ямы происходит под действием квазистационарного тока, возникающего в результате вч давления волнового пакета на плазму. Возникают циклотронные солитоны и коллапс волно™ вых пакетов. Впервые в вычислительном эксперименте было явно показано существование вч диамагнитного эффекта, подтверждающее основные положения тео™ рии, определена глубина магнитной ямы, возникающей в стоячей волне, получена детальная картина модуляционной неустойчивости в этом случае.
Позднее вч диамагнетизм был обнаружен в лабораторных экспериментах возбуждения в плазме циклотронных волн большой амплитуды [61].
Основные механизмы СЛТ, обнаруженные в одномерных численных экспериментах
Проведенные численные эксперименты существенно проясняют фундаментальные процессы, лежащие в основе ленгмюровской турбулентности — нелинейную самофокусировку ленгмюровских колебаний и механизмы аномального (бесстолкно-
вительного) поглощения вч энергии.
Уже первые кинетические расчеты, в которых была экспериментально обнаружена модуляция ионной плотности вч давлением, связывали этот эффект с модуляционной неустойчивостью и привлекали его для объяснения коротковолновой перекачки плазмонов [12, 14]. Важным результатом в физике сильной турбулентности была также констатация того факта, что главным механизмом, ответственным за генерацию быстрых электронов является затухание Ландау и установление степенного характера электростатических спектров,
С помощью численного моделирования была детально изучена специфика одномерной модуляционной неустойчивости и обнаружено явление квазиколлапса. Факт генерации ионного звука на кинетической стадии коллапса, открывающий возможность нового канала аномального поглощения, основанного на конверсии плазмонов [16, 19, 18], стал существенным моментом в общей теории поглощения вч энергии в турбулентной плазме [21, 62, 53, 28, 27].
Наконец, изучение относительной роли модуляционного и конвесионного механизмов поглощения вч энергии в сильно турбулентной плазме указывает на огромную роль кинетических эффектов, которые могут кардинальным образом определять не только физику отдельной турбулентной ячейки, но и асимптотику турбулентных состояний. Действительно, как мы убедились, величина относительной роли быстрых электронов и ионов (т. е. реальные функции распределения) может определять относительную роль коллапсов и конверсии в системе. Таким образом, в случае возможности контролировать наличие быстрых частиц того или иного сорта, мы получаем механизм управления турбулентным режимом.
Итак, в описанных численных экспериментах мы наблюдали возможность трех основных каналов бесстолкновительной диссипации волновой энергии в турбулентной плазме:
——резонансное поглощение по Ландау;
—— поглощение коротковолновых плазмонов;
—стохастического нагрева.
Метод макрочастиц позволяет детально изучить нелинейную стадию СЛТ и использовать результаты при построении упрощенных турбулентных моделей.
Одномерный численный эксперимент по аномальному сопротивлению плазмы
Аномальное сопротивление, возникает в бесстолкновительной плазме, помещенной в электрическое поле, его наблюдают в лабораторных экспериментах, выяснение его механизма требует теоретических рассмотрений: для чего были привлечены квазилинейная и слабонелинейная теории, однако их предсказания не согласуются с результатами измерений. В [11] были изложены основные результаты одномерных численных экспериментов, предпринятых для выяснения роли нелинейных процессов в начальной стадии режима с аномальным сопротивлением. С этой целью детально изучается поведение сосредоточенного на отрезке —£/2 < ж < L/2 плоского слоя разреженной плазмы, находящейся во внешнем электрическом поле. Исследуемое состояние плазмы описывают уравнениями Власова для функций распределения плазменных компонент /仇分(/,修,力)с заданным начальным состоянием
/е3(ж, г;,0) = по/е3(ж, г;,0) = поTTli е fxpTTli е fxp2Т^ео2Т^ео(2*46)(2*46)
/е3(ж, г;,0) = по
/е3(ж, г;,0) = по
TTli е fxp
TTli е fxp
2Т^ео
2Т^ео
(2*46)
(2*46)
и периодическими граничными условиями/е^(^Б/2, v, t) = /e^(L/2, v, t) которые ре™ шаются численно совместно с уравнением Пуассона для самосогласованного потенциала 9?(ж,t). Будем считать, что на границах рассматриваемой области заданы: скачок потенциала 夕(1/2£)—夕(一1/2£)=夕° и периодические краевые условия для напряженности электрического поля dcp(—l/2L, t)/dx = dcp(l/2L, t)/dx. Таким об™ разом описываются явления в бесконечно протяженной плазме с учетом заданного ограничения на максимальную длину волны Amax = L.
Численная модель и ее параметры
Для решения уравнений Власова и Пуассона были использованы два варианта дискретных плазменных моделей, которые представляют собой некоторые модифи™ кации метода макрочастиц в лагранжевой трактовке.
Дискретные модели (см. гл. 3) являются результатом некоторого интегрального преобразования функции распределения для конечного числа частиц N, имеющей ВИД
N
fN = ^S力"—巧州仅一
При этом кинетические уравнения фактически интегрируются по характеристикам путем прослеживания N фазовых траекторий с помощью решения уравнений дви™ жения частиц в самосогласованном поле.
Разница между методами решения заключается в способе восстановления заря™ довых плотностей по координатам макрочастиц и в вычислении действующих на них сил.
В первой модели электрическое поле, действующее на частицу, находится путем решения уравнения Пуассона в виде разложения в конечный ряд Фурье: (—2И < k1 < М, к1 = Ь/(2тг) к), М число гармоник в разложении Фурье. Во второй модели то же уравнение Пуассона решается с использованием подвижной простран— ственной сетки, связанной с макрочастицами, которые имеют конечный размер 2а, внутри которой плотность заряда линейно убывает с расстоянием от центра части— цы. Уравнение движения макрочастиц интегрируются по схеме второго порядка по времени т.
Основными вычислительными параметрами являются: N/Xd — число макрочастиц на дебаевском радиусе 入。；丁 ——шаг по времени; Q ——количество энергетиче™ ских групп, использованное для аппроксимации начальных функций распределения (2.46). В наших расчетах
N/Xd = (50.100);
= 10—2 + 5 •
М = 14;
а = 0,5Ad (Ар = Те0/47Г710е2);
Q = 15.
В наших расчетах прирост энергии за счет дискретности моделей не превышал 0,1 % от начальной тепловой энергии электронов, равной Ln()TeQ.
Численные исследования
Одним из основных физических параметров расчета является величина усред™ ненного по длине внешнего электрического поля. Обсуждаются результаты, про™ веденных расчетов, в которых внешнее электрическое поле l?extменялось в преде™ лах от 10^3 до lO^1, при временном интервале порядка десяти ионных периодов 2тгуm?：/me, L = 14入。, 厶。= 0 для модельного отношения масс me/mi = 10^2. Интересующая нас начальная стадия протекает при сравнительно малых значениях ПОЛЯ Eext, порядка 10^5.
До тех пор, пока не возбуждены ионно-звуковые пульсации в плазме, все электро™ ны под действием внешнего электрического поля в плазме вовлекаются в свободное ускорение и через время ts = ^Ше/т^^, превысив скорость ионного звука, теряют возможность войти в резонанс с ионно-звуковыми пульсациями. Если это время меньше обратного инкремента возбуждения ионно-звуковых колебаний, то возбу— ждение не произойдет и электронная компонента продолжит свободное ускорение. Процесс свободного ускорения мы наблюдаем при Eext/，47mo異。=lO^1.
Значительный интерес представляют исследования, в которых поле мало Eext = =夕о/£ = I。—？,47mo異。.Через время, равное приблизительно одному ионному периоду, нарастающее как ионно-звуковое начальное возмущение с волновым век™ тором к ^ 2,25 за счет нелинейных воздействий обогащает весь спектр возможных значений волнового вектора от 0,5 до lOAp1, и примерно через два ионных перио™ да уровень шумов электрического поля устанавливается, не меняясь в среднем во времени (рис. 2.27), а спектральное распределение энергии шумов Wk = Ек/2 при™ нимает вид, показанный на рис. 2.28.
Спектральная плотность проходит максимум при кХп = 1 и для более высоких 左入。хорошо описывается степенным законом Wk 〜 左入。0,卩^ —5/3* Турбулентность не содержит бегущих волн, и оба направления практически равноправны. Можно сказать применительно к одномерному случаю, что турбулентность изотропна, что подчеркивает большую роль нелинейного взаимодействия волн, ставя под сомнение применимость в этих условиях квазилинейной теории.
Стационарность шума, его изотропность, вид спектральной функции наводят на мысль о том, что в нашем случае возникает поток энергии по спектру: возбуждение происходит преимущественно в области кХп = 1, а потребление ——в области высоких значений a入0.
Важно отметить, что насыщение уровня шумов совпадает с началом роста ион— ной температуры рис. 2.27, которая, хотя и растет, остается (в пределах времени счета) много меньше электронной. Средняя скорость электронов возрастает линей™ но со временем, практически совпадая со скоростью свободно ускоренного электро™ на e/meEe^t. Однако при слабом электрическом поле рост происходит медленно, и эксперимент пришлось прервать при достижении скорости
(К) 0,5^е = 0,5VTe0/me.
В другом варианте нарастание внешнего поля происходит после того, как спектр ионно-звуковых пульсаций уже установился при слабом поле Eext = 10一？，47mo異。к моменту 方=162ujp^ поле было увеличено до значения Eext = 10一" за один ионный период по линейному закону.
Эволюция электронной функции распределения [/е] хорошо видна на рис. 2.29, где (Ve) становится больше начальной тепловой скорости электронов (см. рис. 2.27). Вид функции распределения в электрическом поле целиком определяется ее нелинейным взаимодействием с нелинейными пульсациями. Если при〈唯〉＜ 1 ионно—
Рис. 2.27. Зависимость от времени средней плотности энергии флуктуаций электрического поля 〈石2〉/(8тгпо冗)(1), средней скорости электронов (К) /VTo (2), усредненной за ионный период температурной скорости электро
Рис. 2.28. Спектр флуктуаций электрического поля при
НОВ J(Уе} (К)2 1^те (3) 11 скоростиv ускоренного электрона (/)
свободно
(к)М <i
и различных значениях р:/ — @ = —3/2)2 — @ = —5/3,3 — р = —2电 Точки («кружки»)получены усреднением по шестиионным периодам
Рис. 2.29. Эволюция во времени усредненной по отрезку [-L/2, Ь/2] функции распределения /е(У, t), 500ajpet < t < 0, пунктирной кривой обозначена скорость свободно ускоренного электрона в зависимости от времени
звуковой турбулентный шум был изотропным, то при (Ve) > 1 характер спектра существенно меняется и в плазме возбуждается ионно-звуковая волна большой амплитуды (волна Бернштейна^Грина^Крускала [63]) с предельно низким в нашей системе значением волнового вектора, распространяющаяся в направлении среднего движения электронов со скоростью, примерно равной，丁心仙》Наблюдение этой волны само по себе представляет интерес. На рис. 2.29 хорошо видны моменты ее зарождения и ограничение амплитуды за счет появления мелкомасштабных (с кХп 》1) волн на ее гребне. Возникшие на гребне основной волны мелкомасштабные волны распространяются с фазовой скоростью ^pi/k в сторону движения гребня относительно ионного фона, который сам участвует в волновом движении основного гребня.
Таким образом, в лабораторной системе координат фазовая скорость мелкомасштабного возмущения есть суперпозиция двух скоростей.
В нелинейной теории слабой турбулентности (см., например, [3]) подобное явление учитывается как размытие резонансов. Эта теория, однако, предполагает малость скоростей коллективного движения частиц по сравнению с фазовыми скоростями. В нашем случае мы видим обратную ситуацию. Средняя скорость ионов, участвующих в волновом движении достигает 0,6，晨0/т勿.Поэтому наблюдаемую турбулентность вряд ли можно квалифицировать как слабую и описывать слабонелинейной теорией.
На гребне волны плотность ионов возрастает вдвое. Это означает, что ограничение его амплитуды обусловлено тем же, уже описанным выше механизмом: угрозой захвата потенциалом гребня основной массы ионов. Хотя абсолютное значение знер— гии шума при〈匕〉/严 > 1 начинает возрастать (см. рис. 2.27), отношение плотности шумовой энергии к плотности полной кинетической энергии электронов остается постоянным. Высота потенциала гребня достаточна, чтобы запереть электроны со скоростями, приближающимися к половине тепловой. В этом смысле не наблюдается стремления системы к снижению степени нелинейности с развитием процесса. Захват электронов полем гребня действительно наблюдается на электронной фазовой плоскости [11]. Заметно объединение фазовой скорости электронов с положительной скоростью в области гребня.
Захваченные электроны составляют приблизительно 0,25 от общего количества. С их появлением возникает пучковая ситуация в электронной компоненте (пролетные электроны движутся сквозь ансамбль захваченных), которая приводит к воз— буждению неустойчивостей на электронных частотах. В наших условиях четко наблюдается плато на электронной функции распределения между группами частиц, захваченных и свободно ускоренных, так что можно трактовать как нагрев, определяя тепловую скорость выражением
Усредненное по ионному периоду значение тепловой скорости электронов показано на рис. 2.27, оно близко к величине, полученной из условия максимального нагрева в работах [64—66「Показано, что почти во всех расчетных ситуациях средняя токовая скорость электронов сопоставима со скоростью свободного ускорения электрона. В то же время в реальных экспериментах доля таких электронов мала.
Энергия электронных колебаний по крайней мере не превышает энергии ионнозвуковых пульсаций. Частотный спектр простирается до частот, втрое превышающих плазменную, с кХп > 1- После формирования гребня наблюдаются периодиче™ ские вариации электронной функции распределения в области малых скоростей с
частотой, близкой к ионной (рис. 2.29). Эти колебания коррелируют со всплесками энергии флуктуаций электрического поля (рис. 2.27). Ионная плотность в отдельных всплесках достигает значения 1,5 от невозмущенного состояния. Природа этих вариаций в достаточной мере не ясна. Можно предположить, что всплески шума на электронных частотах вызывают увеличение трения между потоком пролетных электронов и коллективом запертых. Появление дополнительной силы приводит к обеднению зоны запертых частиц, что, в свою очередь, вызывает уменьшение уровня электронного шума с последующим обогащением этой зоны, после чего весь цикл повторяется.
Большая амплитуда пульсаций и совпадение начала нагрева ионов с моментом насыщения энергии шума могут свидетельствовать о том, что насыщение шума определяется угрозой захвата всей массы ионов [2]. Затухание Ландау на ионах мало, поскольку в начальный момент 厶。=0 и средняя тепловая скорость ионов вплоть до конца расчета остается меньше минимальной фазовой скорости пульсаций. Факт совпадения начала ионного нагрева с насыщением шума отмечался в численных экспериментах [66], где он трактовался аналогичным образом.
Проведенные численные эксперименты, так же как результаты [64], указывают на отсутствие стационарного состояния по току, который растет со временем, грубо говоря, пропорционально средней скорости электронов.
Следует отметить, что ограниченность отрезка в расчетах (L = 14) затрудняет возбуждение колебаний в области больших фазовых скоростей поскольку наиболее энергичные электроны проходят резонанс шре = kmin〈唯〉в момент времени wpet « « 350, когда (уе) t 1,5 и по этой причине счет был прерван при wpet = 500, что затрудняет сравнение с работой [67], в которой рассмотрены более поздние стадии режима.
Качественная картина явления, выясненная в результате численного эксперимента, позволяет предложить для дискуссии следующую схему возникновения аномального сопротивления в одномерном случае.
Возбуждаемые током ионно-звуковые колебания вырастают до уровня, при котором гребень основной волны теряет устойчивость. Это происходит при появлении угрозы захвата волной всей массы ионов. При этом основная часть электронов оказывается запертой и доля пролетных электронов может составлять малую величину. В создании тока участвуют как захваченные, так и пролетные частицы. Запертые частицы движутся с фазовой скоростью гребня. Работа, совершаемая внешним по™ лем над запертыми частицами, идет на поддержание энергии гребня. Наличие пролетных и запертых частиц создает в электронной компоненте пучковую ситуацию с последующим возбуждением бунемановской неустойчивости. Нелинейная трансформация спектра бунемановской неустойчивости может привести к максвеллизации внутри пролетной компоненты. Средняя скорость пролетных электронов является пороговой для возбуждения бунемановской неустойчивости. При этом средняя для всех электронов скорость дрейфа меньше их средней тепловой и больше ионно—звуковой скорости, как это имеет место в большинстве лабораторных экспериментов с бесстолкновительной плазмой.
В получении такого режима существенными являются два обстоятельства. Первое ——возможность возбуждения волн с 左？《1 и к?》1. Второе ——достаточно длительная фаза развития процесса с малым значением Ее^, которое ограничено условием f^ Eext dt ^ 1, где Т равно нескольким обратным инкрементам возбуждения ионно-звуковой неустойчивости. Только при этом условии возможен захват основной доли электронов. В расчетах [64] второе условие далеко не выполнено.
Из двумерных расчетов [66] и прямых измерений по штарк-эффекту [68] анизотропии электрического поля флуктуаций следует, что плотность энергии косых волн в исследуемых процессах мала. Поэтому в двумерном и трехмерном случаях качественная картина, видимо, сохранится с той лишь разницей, что роль запертых частиц будут выполнять электроны с дотепловой энергией, испытывающие новы™ шенное рассеяние на турбулентных пульсациях.
Численное моделирование аномального сопротивления плазмы, состоящей из по™ ложительных и отрицательных ионов одинаковой массы [69] показало хорошее со™ гласив с экспериментами [70]. Захват частиц потенциалом волны выполнялся для частиц, сгруппированных в сгусток. Амплитуда собственного электрического по™ ля, связанного со сгустком, превышала внешнее поле. Взаимодействие сгустков мо— жет служить механизмом обмена энергией между частицами в бесстолкновительной плазме и приводить к установлению квазистационарного состояния ——режима ано™ мального сопротивления плазмы.
Многомерные кинетические расчеты по физике ленгмюровской турбулентности
В этом разделе дан сжатый обзор многомерного математического моделирова™ ния сильнотурбулентных процессов в кулоновской плазме методом макрочастиц на основе оригинальных работ [16, 21, 28, 71, 35, 33], относящихся к исследованиям 70-80™х гг.
Численно исследовано протекание ленгмюровского коллапса в двумерной и трех™ мерной геометриях. Рассматриваются такие вопросы как влияние размерности про™ странства на формирование и структуру кавитонов (каверн с вч наполнением), ди™ намическое взаимодействие кавитонов, эволюция функций распределения частиц и волновых спектров. Также рассмотрено протекание квазиколлапса в двумерной геометрии в присутствии одномерной накачки. Впервые в рамках кинетического моделирования исследовалось влияние параметра Те/Т{ на динамику МН в попе™ речном по отношению к Eq направлении. Показано, что стабилизирующее действие одномерной накачки проявляется не в подавлении поперечной неустойчивости, а в преимущественной ориентации дипольных моментов кавитонов вдоль Eq и в расгю— ложении их «по цепочке» (в русле «канала» вдоль оси, перпендикулярной Eq), что и дает усредненную квазиодномерную картину, наблюдающуюся как в численных, так и в лабораторных экспериментах.
Ленгмюровская турбулентность ——одно из фундаментальных понятий физики плазмы. Изучение ленгмюровской турбулентности важно с нескольких точек зре™ ния. При быстрых способах нагрева плазмы ——электронным пучком или лазерным излучением ——энергия передается первоначально ленгмюровским волнам и в боль™ шинстве случаев физика «усвоения» этой энергии частицами, целиком определяет™ ся развивающейся ленгмюровской турбулентностью [21, 12, 13]. С другой стороны, ленгмюровская турбулентность, вероятно, самый простой тип плазменной турбулентности, и вообще один из наиболее изученных примеров турбулентности, нетто— хожей на турбулентность несжимаемой жидкости [27].
В настоящее время можно считать общепринятым тот факт, что для адекватно™ го понимания ленгмюровской турбулентности невозможно ограничиться ее слабо— турбулентным описанием, приводящим в ряде случаев к физическим парадоксам. Вероятно, самым известным из них является вывод о том, что в силу «покрасне™ ния》плазмонов в процессах рассеяния возможно неограниченное накопление ленг™
мюровских колебаний в длинноволновой части спектра. Как известно, принципи™ альное разрешение этого парадокса было дано в работе [8], где сформулирована концепция ленгмюровского коллапса, как нелинейной стадии развития модуляцион™ ной неустойчивости (МН) [7], и получены уравнения усредненного динамического описания плазмы. Вскоре стало ясно, что для проверки и развития этой далеко не очевидной концепции необходимо широкое применение численных методов.
Использованный метод макрочастиц (ММ), основан на прямом моделировании самосогласованного поведения плазмы [52, 20, 31] и может определять относитель™ ную роль коллапсов и конверсии плазмонов в системе.
Таким образом, в случае возможности контролировать наличие быстрых частиц того или иного сорта, мы получаем в принципе механизм управления турбулентным режимом.
Итак, в описанных выше численных экспериментах мы наблюдали возможность трех основных каналов бесстолкновительной диссипации волновой энергии в турбулентной плазме:
— резонансного поглощения по Ландау в результате коротковолновой перекачки плазмонов на стадии коллапса или квазиколлапса;
— поглощения коротковолновых плазмонов в рамках механизма конверсии;
— стохастического нагрева, выступающего на первый план при параметрическом возбуждении волн в плоскости, ортогональной В。, где затухание Ландау отсутствует.
Метод макрочастиц позволяет детально изучить нелинейную стадию этих и ару— гих процессов, требующих учета при адекватном описании ленгмюровской турбулентности и, в частности, при построении упрощенных турбулентных моделей. В этом смысле следует различать самосогласованные (ММ), детерминированные (с предписанными 力 и /е) и частично детерминированные (чаще всего за счет упро— щенного описания /е) математические модели турбулентности. Так называемые «ги™ бридные» модели, в которых кинетическое описание одной из компонент плазмы (или ее части) сочетается с возможным упрощенным описанием другой (например, в рамках гидродинамики или усредненных динамических уравнений) является типич— ным примером частично детерминированных моделей. Понятно, что для улучшения их характеристик, весьма существенно априорное знание возможных кинетических эффектов.
Выше в разделах 2.2.1—2.2.6 мы попытались дать краткое представление о тех возможностях, которые представляет физику-теоретику уже одномерный численный эксперимент, как инструмент, позволяющий проверять аналитические результа™ ты в экстремальных ситуациях и получать новые факты, стимулирующие развитие теории. Далее мы изложим некоторые результаты, относящиеся к моделированию двумерной и трехмерной неравновесной плазмы. Поскольку численный эксперимент свободен от ограничений приближенных теорий, в силу этого он является независи™ мым эффективным инструментом, обеспечивающим непрерывный переход от концепции коллапса, сконцентрированной в усредненных динамических уравнениях, к условиям реального эксперимента, достаточно хорошо описываемым уравнениями Власова-Пуассона.
Объект и цели численного эксперимента
Численное моделирование сильнотурбулентных процессов ведется фактически с начала семидесятых годов. В 1970 году в численном эксперименте [45] наблюдалось аномально большое поглощение энергии длинноволнового ленгмюровского возму—
щения, которое было невозможно понять в рамках представлений теории слабой турбулентности. Позднее в работе [46] наблюдались высокоэнергичные «хвосты» электронов при параметрическом воздействии на плазму ——эффект, получивший законченное объяснение лишь некоторое время спустя, вместе с пониманием роли и механизма перекачки плазмонов из длинноволновой в коротковолновую часть спектра.
Первое наблюдение формирования кавитонов (областей пониженной плотности, аккумулирующих вч колебания) в результате действия высокочастотного давления и привлечения этого эффекта для объяснения механизма коротковолновой перекачки плазмонов и генерации электронных «хвостов» ——содержались в численных экспериментах [12]. Полученная в них картина нелинейной самофокусировки ленгмюровских волн, возбужденных в плазме резонансной волной накачки, находилась в полном согласии с концепцией коллапса [8] как нелинейной стадии МН [7], и, экспериментально подтверждая ее реальность, в свою очередь стимулировала рост интереса к изучению сильнотурбулентных режимов. Можно сказать, что последовавший в 70~х гг. поток вычислительных работ по этой проблеме в своей подавляющей части был непосредственно ориентирован на исследование специфических свойств нелинейной самофокусировки ленгмюровских волн и ее роли в механизме аномального поглощения волновой энергии турбулентной плазмой.
Численные решения усредненных динамических уравнений [72, 73] демонстрировали общую справедливость идеи коллапса, но одновременно указывали на то, что нелинейная самофокусировка плазменных колебаний довольно скоро выводит решение из области применимости усредненного описания, поскольку параметры (左入^) и (W/nT) перестают быть малыми. Необходимость изучения механизма диссипации энергии в кавернах, т. е. полной картины взаимодействия волн с частицами, также требовала более строгого, кинетического подхода.
Как и в пространственно-одномерном случае, мы будем рассматривать главным образом два класса задач:
о генерации турбулентности в замкнутых системах, т.е. в системах с фиксированной полной энергией, где источником турбулентности является энергия, содер™ жащаяся в неустойчивых степенях свободы;
о турбулизации плазмы в открытых системах на примере параметрически неустойчивых плазменных конфигураций с внешней волной накачки постоянной интенсивности.
В качестве основных целей кинетических расчетов естественно назвать:
экспериментальную проверку и уточнение предсказаний теории, основанной на концепции коллапса;
определение границ применимости усредненных уравнений;
получение количественных храктеристик типа размеров кавитонов, энергосодержания и формы электронных «хвостов», эффективной частоты столкновений и
обнаружение новых эффектов (например, генерация ионно-звуковой турбулентности на кинетической стадии коллапса [16, 19, 22, 18], учет которой мог оказаться необходимым как составная часть общей теории;
изучение подходов к созданию гибридных моделей.
Исследование квазиколлапса в двумерной геометрии обнаружило специфику поперечной неустойчивости плоских ленгмюровских солитонов в случаях: Те = Т^ и Те》Т» Результаты и опыт численного моделирования позволяют в некоторых задачах, используя знание кинетических эффектов и механизмов диссипации, снова вернуться к усредненным уравнениям и значительно расширить область их приме-
нимости, эффективно учитывая затухание (см., например, [27]) и кинетику ионов, т. е. получить адекватную теоретическую модель.
Численное моделирование двумерной ленгмюровской турбулентности
В рамках двумерного дискретного моделирования плазмы будем исследовать эволюцию монохроматической электростатической волны большой амплитуды. Рассмотрим кинетические эффекты, связанные с самофокусировкой ленгмюровских ко™ лебаний, что бы получить выражения для эффективной частоты столкновений, вид функций распределения и спектры сильной ленгмюровской турбулентности.
Взаимодействие с плазмой мощных лазерных и электронных пучков сопрово™ ждается развитием параметрических и пучковых неустойчивостей с накоплением энергии в длинноволновых ленгмюровских колебаниях [74, 12]. Поскольку в том же направлении идет накачка энергии и в процессах слабой турбулентности, теория ко™ торой не содержит эффективного механизма «усвоения» такой энергии плазмой, за последние годы резко увеличился интерес к поискам нелинейного механизма «стока» энергии из волн в частицы за счет сильнотурбулентных процессов.
При достаточно большой плотности волновой энергии Wfo/noTeQ > fegАр (Ж/о = =|1?q |/8тг, T€q — электронная температура,左。一характерное волновое число,入。一 дебаевская длина) таким механизмом может быть коротковолновая перекачка плаз™ монов в область спектра, где возможно их резонансное поглощение в результате раз™ вития модуляционной неустойчивости [7]. Действительно, нелинейная стадия этой неустойчивости относительно разбиения на сгустки первоначально однородного рас— пределения плазмонов сопровождается образованием областей пониженной плотно™ сти плазмы с тах|Е『 за счет действия силы высокочастотного давления (2.7).
Такие области («каверны» или «кавитоны») играют роль резонаторов, захваты™ вающих ленгмюровские колебания, в результате чего происходит дальнейшее углубление «каверн» и обогащение спектра все более короткими волнами.
В связи с этим, большой интерес представляет детальное рассмотрение весьма близкой по ожидаемым результатам задачи ——задачи о нелинейной эволюции локализованного длинноволнового ленгмюровского колебания [75, 73].
Как показывают результаты численных экспериментов, в процессе эволюции большого возмущения, внесенного в одну моду, в достаточно широкой спектральной области формируется картина, характерная для сильнотурбулентного состояния.
Дискретное моделирование плазмы позволяет эффективно исследовать динами™ ку процесса самофокусировки ленгмюровских колебаний и связанные с ним кине™ тические эффекты. В частности, удается проиллюстрировать механизм аномаль™ ного поглощения волновой энергии быстрыми частицами, получить электронные и ионные функции распределения и эффективную частоту столкновений %汙，а также наблюдать изменение во времени спектральных характеристик турбулентных пульсаций вплоть до формирования квазистационарного спектра на стадии разви™ той ленгмюровской турбулентности, для которой характерно наличие «кавитонов» в разных фазах.
Рассмотрим в плоской (ж, д) геометрии задачу об электростатических колебаниях разреженной двухкомпонентной плазмы, поведение которой описывается системой уравнений Власова для ионной и электронной функций распределения 力(r,v,±), /е(г, V, t) (2.1), (2.2) и уравнением Пуассона для потенциала 夕(г<) самосогласован™ ного электрического поля Е = — ▽夕•
Будем решать эту задачу в прямоугольной области Lx х Ly, предполагая для /i?e(x, y,vx, vy, t) и(p(x, у, t) выполнение условий периодичности
九ё (х.у,必，Vy, t)=力,ё (富十厶「仇必，Vy,方)；
力,e@；仇必= fi,e(x.y + Ly,Vx,Vy,t')；(2.47)
3(写4/)=з(富十厶用/)；
з(囂，4,方)=з(囂，4 + Ly, &(2-48)
Пусть до некоторого момента 力=0 однородно распределенные в пространстве электроны и ионы имеют максвелловское (с температурами 么。и 厶。)распределение по скоростям:
(2.49)(2.50)(2.49)(2.50)fтеше
(2.49)
(2.50)
(2.49)
(2.50)
/е r,v,t) t<0 = exp —,
„ ,mimi„ ,mimi- 2冗么0 . 2晨0吟十吟一
„ ,mimi
„ ,mimi
а в момент 力=0 в электронную функцию распределения (2.49) вносится начальное возмущение, в результате которого /е(г, v, t) оказывается промодулированной по пространству:
/e(r,V,0)/e(r,V,0)2тттх\2+2тттх\2+(2-51)(2-51)
/e(r,V,0)
/e(r,V,0)
2тттх\2
+
2тттх\2
+
(2-51)
(2-51)
Здесь &汽,砚у и пх, пу — соответственно амплитуда и номер возмущенной моды по каждому из направлений (кх = 2жпх/Lx, ку = 2тту/Бу — волновые числа).
Решение системы (2.1), (2.2) с периодическими граничными условиями (2.47), (2.48) и начальным состоянием (2.50), (2.51) позволяет рассматривать при 力〉0 самосогласованное развитие набора электростатических колебаний, заданного на про™ странственно-однородном фоне в момент 力=0. При этом периодический характер граничных условий позволяет трактовать область Lx х Ly как одну из ячеек, на которые разбивается бесконечное пространство (ж, 1/), если максимально возможные по каждому из направлений длины волн ограничить условиями
入zmax S 上久, 入gmax S Ly.
(kXDf <(kXDf <ЖЖТакая волна испытывает модуляционную неустойчивость (МН), если
(kXDf <
(kXDf <
Ж
Ж
(2.52)
Развитие этой неустойчивости при 力〉0 изучалось нами также в одномерной и трех™ мерной геометриях [14, 31, 26] при различных значениях параметров L, 〃, Vq/W, Te/Ti, me/mi ). Численные эксперименты показывают, что из первоначального ре—
Рис. 2.30. Справа — картина эквипотенциальных сечений потенциала 夕(①/у) 二 const в момент времени 力=2〉отвечающий уходу электронов из центральной области. Ширина каждого интервала А^ = (^тах — ^min)/21; Lx = Ly = 45. Слева — соответствующие сечения |Е『=const. Разметка уровней указана в подписях к рис. 2.32Рис. 2.30. Справа — картина эквипотенциальных сечений потенциала 夕(①/у) 二 const в момент времени 力=2〉отвечающий уходу электронов из центральной области. Ширина каждого интервала А^ = (^тах — ^min)/21; Lx = Ly = 45. Слева — соответствующие сечения |Е『=const. Разметка уровней указана в подписях к рис. 2.32
Рис. 2.30. Справа — картина эквипотенциальных сечений потенциала 夕(①/у) 二 const в момент времени 力=2〉отвечающий уходу электронов из центральной области. Ширина каждого интервала А^ = (^тах — ^min)/21; Lx = Ly = 45. Слева — соответствующие сечения |Е『=const. Разметка уровней указана в подписях к рис. 2.32
Рис. 2.30. Справа — картина эквипотенциальных сечений потенциала 夕(①/у) 二 const в момент времени 力=2〉отвечающий уходу электронов из центральной области. Ширина каждого интервала А^ = (^тах — ^min)/21; Lx = Ly = 45. Слева — соответствующие сечения |Е『=const. Разметка уровней указана в подписях к рис. 2.32
гулярного одномодового режима при выполнении условия (2.52), как правило, воз™ никает сложная многомодовая картина, характерная для турбулентной иерархии.
Пусть Lx = Ly = L, nx = Пу = 1, что соответствует заданию возмущения в виде одной моды с максимально возможной в системе длиной, одинаковой по обоим направлениям (рис. 2.30). При выборе остальных параметров будем руководство™ ваться желанием промоделировать с помощью численных экспериментов основные эффекты на нелинейной стадии модуляционной неустойчивости.
Как показывают одномерные расчеты параметрического нагрева плазмы [46, 12, 15], при достаточно большой интенсивности волны накачки конденсация плазмонов происходит в области длин волн Ло (25 — 80)
В наших расчетах L = Ло = 45Л^,(储*)1/50), что, с одной стороны, лежит в указанном выше диапазоне, а с другой ——позволяет, как будет показано, ограничиться в численных моделях плазмы разумным количеством макрочастиц (М = 乂 = 32768).
Характерные безразмерные параметры для численных экспериментов на первой стадии расчетов приведены в таблице
Wfo/noTeQ
те/тг
Тго/ТеО
(А)
1/9
1/25
1/25
1/50
(В)
1/9
1/100
1/25
1/50
(
1/5
1/25
1/25
1/50
(D)
1/9
1/25
1
1/50
Из рис. 2.31 видно, что типичным в наших расчетах является случай (А), в котором Wf0/n0TeQ〉me/mi〉储入^)(2.53)
т. е. задан режим «сверхзвукового» ленгмюровского коллапса [73, 21]. Это же уело™ вие выполнено и в других вариантах с изменениями в уровне энергии, модельном от™ ношении масс и соотношении начальных температур электронов и ионов. Ниже наиболее подробно будут представлены результаты первых двух вариантов (А) и (В).
Основными вычислительными параметрами модели являются: Nи ——число ма™ крочастиц одного сорта в области 入^; 丁 一 шаг по времени; ЯСХ, сгж, RGY^ с^ —
Рис. 2.31. Схема выбора вариантовРис. 2.31. Схема выбора вариантовся в процессе счета автоматическися в процессе счета автоматическипараметры гауссовского «облака»;八厶？ Ny — параметры пространственной сетки. Задача решалась на сетке Nx = Ny = 64 (hx = hy = A^/V^)- Число макрочастиц составляло 65536. Таким образом Nd = 16. Для контроля точности получаемых результатов один из вариантов был просчитан с удвоенным числом макрочастиц (Nd = =32). По результатам контрольных тестов были выбраны следующие параметры гауссовского «облака»:
Рис. 2.31. Схема выбора вариантов
Рис. 2.31. Схема выбора вариантов
ся в процессе счета автоматически
ся в процессе счета автоматически
RGX = RGY = 1,03; аж = = 0,5.
Такой выбор параметров соответствует частоте столкновений (для Nd = 16) %。口 ^ 6 х 10™4шре, что позволяет уверенно вести счет на протяжении нескольких сотен ш^1. Шаг по времени во всех вариантах составлял (0,2^0,1)ш^х и менял- в зависимости от точности выполнения законов
сохранения. Используется спокойный старт со случайным распределением частицсохранения. Используется спокойный старт со случайным распределением частицвнутри ячейки.внутри ячейки.Динамика процесса самофокусировки ленгмюровских колебаний и кинетические эффекты
сохранения. Используется спокойный старт со случайным распределением частиц
сохранения. Используется спокойный старт со случайным распределением частиц
внутри ячейки.
внутри ячейки.
Основные результаты расчетов представлены на рис. 2.32—2.41. Нарисуем общую качественную картину нелинейной эволюции ленгмюровской моды, вкратце характеризуя на примере типичного варианта (А) основные этапы процесса.
Начальное состояние (рис. 2.30) представляет собой в соответствии с (2.51) самосогласованное электростатическое возмущение с четырьмя максимумами 石2/8тг порядка пдТео/2^ которые достигаются приблизительно на серединах полуди агон алей расчетной области. Поскольку синусоидальное возмущение при столь значительной амплитуде не является собственной модой, в первые периоды колебаний происходит незначительная перестройка спектра.
Другим, более важным, фактором, который играет роль с самого начала, является наличие флуктуаций ионной плотности порядка 6п/п^ < 0,05, вызванное конечностью числа макрочастиц, модельным отношением масс (me/mi = 1/25) и случайным характером задания начального распределения частиц в фазовом пространстве.
При выбранной амплитуде начального возмущения (Жуо /п^Те^ ^ 1/9) эти флуктуации не могут, естественно, замаскировать нелинейные эффекты, связанные с самофокусировкой ленгмюровских колебаний, но в то же время (и это обстоятельство мы рассматриваем как одно из достоинств модели) оставляет полную свободу для развития разного рода неустойчивостей, связанных, например, с изменением формы «каверн» или их взаимодействием. В этом же направлении (предоставления системе максимальной динамической «свободы») действуют и периодические граничные условия ).
Рис. 2.32. Серия пар сечений |Е『/8тгпс1Kо = const (вверху) и пг/п^ = const для варианта (А) в последующие моменты времени t = 29, 41, 54, 73, 91, 145. Для электрического поля расстояние между соседними контурами соответствует ширине уровня 0,05; внешний контур, начерченный сплошной линией, отвечает значению 0,2. Для ионной плотности ширина интервала 0,1; штриховкой показаны участки с пг/п^ < 0,9; черным цветом отмечены области 0,5 < пг/по < 0,6
t = 91t = 91t = 141t = 141t = 157t = 157.「“ j：*k”;”歹;;；；,;*；；；*躁::黒£',:〔”： •'SH^Zi '；."：；：.「“ j：*k”;”歹;;；；,;*；；；*躁::黒£',:〔”： •'SH^Zi '；."：；：Рис. 2.33. Аналогичная предыдущей серии (рис. 2*32) последовательность разрезов плотностей энергии и ионов для варианта (В)(力=91, 141, 157)Рис. 2.33. Аналогичная предыдущей серии (рис. 2*32) последовательность разрезов плотностей энергии и ионов для варианта (В)(力=91, 141, 157)
t = 91
t = 91
t = 141
t = 141
t = 157
t = 157
.「“ j：*k”;”歹;;；；,;*；；；*躁::黒£',:〔”： •'SH^Zi '；."：；：
.「“ j：*k”;”歹;;；；,;*；；；*躁::黒£',:〔”： •'SH^Zi '；."：；：
Рис. 2.33. Аналогичная предыдущей серии (рис. 2*32) последовательность разрезов плотностей энергии и ионов для варианта (В)(力=91, 141, 157)
Рис. 2.33. Аналогичная предыдущей серии (рис. 2*32) последовательность разрезов плотностей энергии и ионов для варианта (В)(力=91, 141, 157)
Начальный этап модуляционной неустойчивости характеризуется активным об™ разованием кольцевой «каверны», из которой силой (2.14) выбрасывается плазма и концентрацией в ней электростатической энергии (рис. 2.32).
Этот процесс начинается с четырех «затравочных» максимумов на диагоналях области (рис. 2.30). Переход от них к кольцу происходит в силу отмеченной выше неполной симметрии синусоидального возмущения большой амплитуды и очевидной неустойчивости цилиндрической решетки, из узлов которой выбрасывается масса, относительно распада на отдельные сжимающиеся трубки. В наших условиях кольцо замыкается вокруг области, из которой в первый полупериод тгш^1, в соответствии с исходным распределением (2.51), электроны начинают расходиться к углам области Lx х Ly (рис. 2.30), а ионы незначительно смещаются к центру.
Сжатие кольца сопровождается запиранием части ионов в центральной области, где электрическое поле исходной моды имеет локальный минимум. Первая фаза ежа™ тия в варианте (А) заканчивается к моменту t = 35, что согласуется с теоретическим временем формирования «каверны» [8, 21].
Эта фаза характеризуется достижением в локальных, дипольного типа, неоднород™ ностях кольца плотности энергии Е，87mo「и ^ 0,8 и появлением первых ускоренных частиц.
Следующая фаза начинается с неустойчивости предыдущей (力=35 + 41) и качественно сводится к формированию более компактного кольца со смещенными основ
ными максимумами \Е\2:ными максимумами \Е\2:
ными максимумами \Е\2:
ными максимумами \Е\2:
Рис. 2.34. Поведение ионной плотности пг (力)/по вблизи центра области для варианта (А). При t > 100 наблюдаются ионно™звуко™ вые колебания с частотой ws 0 3/5шРгРис. 2.34. Поведение ионной плотности пг (力)/по вблизи центра области для варианта (А). При t > 100 наблюдаются ионно™звуко™ вые колебания с частотой ws 0 3/5шРг2 m2 m225 = %225 = %1 + ЕУ "1 + ЕУ "
Рис. 2.34. Поведение ионной плотности пг (力)/по вблизи центра области для варианта (А). При t > 100 наблюдаются ионно™звуко™ вые колебания с частотой ws 0 3/5шРг
Рис. 2.34. Поведение ионной плотности пг (力)/по вблизи центра области для варианта (А). При t > 100 наблюдаются ионно™звуко™ вые колебания с частотой ws 0 3/5шРг
2 m
2 m
22
5 = %
22
5 = %
1 + ЕУ "
1 + ЕУ "
К моменту 力=54 достигается абсолютно максимальная плотность энергии порядка единицы (Wmax/пдТео = 0,9), после чего начинается передача энергии резонансным частицам по механизму Ландау. При этом максимальные флуктуации
плотности лежат в области 6п分/冗。〜 〜(0,4 ^0,5).
Как видно из рис. 2.32, в течение всего времени решения локальные «каверны», из которых состоит кольцо, образуются и эволюционируют в разных фазах, что создает сложную стохастическую картину. Вместе с уже отмечавшейся выше возможностью асимметричного развития процесса это приво
дит к тому, что «опустевшее» кольцо, без мощного высокочастотного наполнения, уже не может удерживать ионы, запертые в центральной зоне. В одном
или нескольких местах происходит «прорыв», и плазма уходит из центра приблизительно со скоростью (()£ ♦ О)8)(£о/7出)1/2 (рис. 2.34).
Дальнейший процесс определяется собственным исходным состоянием. Как вид
но из кривых энергии на рис. 2.36, к моменту t ^ 120 примерно 2/3 волновой энер
гии уже перешли к быстрым электронам и, так как Жf /пТ < 1/30 < me/mi = 1/25, условие (2.53) больше не выполняется и плазма оказывается в «дозвуковом» ре
жиме. Значительная инерция ионов приводит к тому,что развитие《ям» плотности
после начала общего поглощенияпосле начала общего поглощенияпродолжается еще примерно в течение 〜
после начала общего поглощения
после начала общего поглощения
энергии (рис. 2.37). В результате возникает интересная ситуация, когда мы име
ем сложную неоднородную ионную структуру с характерным масштабом «каверн»
порядка (8 — 10) Ав, из которой в основном поглотился сформировавший ее «газ» высокоэнергичных коротковолновых плазмонов. Поскольку ничто не препятствует распространению ионного звука (Tj/Te ^ 1/25), мы наблюдаем после 力 ^ 120 колебания ионной плотности с периодом 卫分 ^ 3/5 卫歹分. По формуле
легко получаем (рис. 2.34) ks = 3/4А^Х и 工=2^/ks = 8Ар.
(2.55)(2.55)Такая картина может, видимо, объяснить эффект «плато» на турбулентном спектре £^(Х) длин волн порядка (4 + 9)》。？ которое следует из изменения в этом интервале \Е^I 〜1? поскольку спектральная плотность энергии связана с модулем соответствующей фурье-гармоники поля соотношением
(2.55)
(2.55)
где р — размерность пространства (рис. 2.38).
Действительно, такие средневолновые плазмоны могут оказаться пассивно «запертыми» в слабозатухающих ионно-звуковых возмущениях большой амплитуды,
Рис. 2.35. Картины фазовых плоскостей {①，館翼} для ионной компоненты в момент 力=40 (вверху) и t = 90, соответствующие образованию и разрушению уплотнения в центральной области (вариант (А)). Хорошо заметно массовое движение к центру (вверху) и обратное движение на нижнем рисункеРис. 2.35. Картины фазовых плоскостей {①，館翼} для ионной компоненты в момент 力=40 (вверху) и t = 90, соответствующие образованию и разрушению уплотнения в центральной области (вариант (А)). Хорошо заметно массовое движение к центру (вверху) и обратное движение на нижнем рисункеРис. 2.36. Вариант (А): зависимость от времени усредненных по пространству плотности полной электростатической энергии, ионной «температуры» Ti и электронной «температуры» Те. Кривые 1, 2 и 3 (нижняя огибающая) на верхнем рисунке соответствуют Ж/, Жозе и WstРис. 2.36. Вариант (А): зависимость от времени усредненных по пространству плотности полной электростатической энергии, ионной «температуры» Ti и электронной «температуры» Те. Кривые 1, 2 и 3 (нижняя огибающая) на верхнем рисунке соответствуют Ж/, Жозе и Wst
Рис. 2.35. Картины фазовых плоскостей {①，館翼} для ионной компоненты в момент 力=40 (вверху) и t = 90, соответствующие образованию и разрушению уплотнения в центральной области (вариант (А)). Хорошо заметно массовое движение к центру (вверху) и обратное движение на нижнем рисунке
Рис. 2.35. Картины фазовых плоскостей {①，館翼} для ионной компоненты в момент 力=40 (вверху) и t = 90, соответствующие образованию и разрушению уплотнения в центральной области (вариант (А)). Хорошо заметно массовое движение к центру (вверху) и обратное движение на нижнем рисунке
Рис. 2.36. Вариант (А): зависимость от времени усредненных по пространству плотности полной электростатической энергии, ионной «температуры» Ti и электронной «температуры» Те. Кривые 1, 2 и 3 (нижняя огибающая) на верхнем рисунке соответствуют Ж/, Жозе и Wst
Рис. 2.36. Вариант (А): зависимость от времени усредненных по пространству плотности полной электростатической энергии, ионной «температуры» Ti и электронной «температуры» Те. Кривые 1, 2 и 3 (нижняя огибающая) на верхнем рисунке соответствуют Ж/, Жозе и Wst
и единственным механизмом диссипации таких плазмонов может быть нелинейное затухание Ландау. С нарисованной картиной коррелирует на больших временах (力 р^ 130 + 180) поведение кривой Жf (t) (рис. 2.36). В пределах точности расчетов среднее значение W/ оказывается практически постоянным. При этом регулярные колебания затухают, а относительное число слабозатухающих рассеянных колебаний со случайными фазами растет.
Итак, конечное состояние «каверны» характеризуется поглощением заметной до™ ли плазмонов и нарушением баланса между высокочастотным давлением и давле™ нием плазмы. Такие «каверны» должны заполняться плазмой. Однако, как мы уже видели, в случае Те》£ более предпочтительным может оказаться возбуждение слабозатухающих ионно-звуковых колебаний с длиной волны порядка десяти А^. В случае Те r £ интенсивность звука резко падает и процесс схлопывания носит апериодический характер.
Рис. 2.37. Интегральные величины, характеризующие степень концентрации энергии и образование «каверн» в варианте (В). Вверху — зависимость от времени площадей (в отношении к площади Ь2), с плотностью электростати™ ческой энергии выше заданного уровня. Внизу — площади, на которых плотность ионов меньше фиксированных значений. Видно, что промежуточному схлопыванию каверн при t = 41 в варианте (А) в (В) соответствует время t = =78. Максимальная концентрация энергии происходит теперь при 方=91 (в варианте (А) — при % = 54)Рис. 2.37. Интегральные величины, характеризующие степень концентрации энергии и образование «каверн» в варианте (В). Вверху — зависимость от времени площадей (в отношении к площади Ь2), с плотностью электростати™ ческой энергии выше заданного уровня. Внизу — площади, на которых плотность ионов меньше фиксированных значений. Видно, что промежуточному схлопыванию каверн при t = 41 в варианте (А) в (В) соответствует время t = =78. Максимальная концентрация энергии происходит теперь при 方=91 (в варианте (А) — при % = 54)\Ек\\Ек\ОДОД0,010,010,0010,001Рис. 2.38. Типичный спектр электростатиче™ ских пульсаций |石心(靑)| на стадии аномального по глощения энергии (А). Внизу — спектр, соответ™ ствующий начальному состояниюРис. 2.38. Типичный спектр электростатиче™ ских пульсаций |石心(靑)| на стадии аномального по глощения энергии (А). Внизу — спектр, соответ™ ствующий начальному состояниюЭффективная частота столкновений.
Рис. 2.37. Интегральные величины, характеризующие степень концентрации энергии и образование «каверн» в варианте (В). Вверху — зависимость от времени площадей (в отношении к площади Ь2), с плотностью электростати™ ческой энергии выше заданного уровня. Внизу — площади, на которых плотность ионов меньше фиксированных значений. Видно, что промежуточному схлопыванию каверн при t = 41 в варианте (А) в (В) соответствует время t = =78. Максимальная концентрация энергии происходит теперь при 方=91 (в варианте (А) — при % = 54)
Рис. 2.37. Интегральные величины, характеризующие степень концентрации энергии и образование «каверн» в варианте (В). Вверху — зависимость от времени площадей (в отношении к площади Ь2), с плотностью электростати™ ческой энергии выше заданного уровня. Внизу — площади, на которых плотность ионов меньше фиксированных значений. Видно, что промежуточному схлопыванию каверн при t = 41 в варианте (А) в (В) соответствует время t = =78. Максимальная концентрация энергии происходит теперь при 方=91 (в варианте (А) — при % = 54)
\Ек\
\Ек\
ОД
ОД
0,01
0,01
0,001
0,001
Рис. 2.38. Типичный спектр электростатиче™ ских пульсаций |石心(靑)| на стадии аномального по глощения энергии (А). Внизу — спектр, соответ™ ствующий начальному состоянию
Рис. 2.38. Типичный спектр электростатиче™ ских пульсаций |石心(靑)| на стадии аномального по глощения энергии (А). Внизу — спектр, соответ™ ствующий начальному состоянию
Турбулентные спектры и функции распределения частиц
Во всех реальных экспериментах наибольший интерес представляет нахождение эффективной частоты столкновений %任,спектра турбулентных пульсации и вида функций распределения ускоренных частиц. Особое значение имеет определе
ние 〃е『характеризующего темп поглощения энергии плазмой.
Рассмотрим с этой точки зрения полученные в численных экспериментах графики W/ (t) (рис. 2.36, 2.39) и постараемся использовать их для нахождения %任.
Основная информация содержится в зависимости W/⑴, где
Рис. 2.39. Вариант (В). Кривые Wу(t) и W/(f)Рис. 2.39. Вариант (В). Кривые Wу(t) и W/(f)口）口）t + Tl/Wpe右一Tl/Rpet + Tl/Wpe右一Tl/Rpe—усредненная по периоду
Рис. 2.39. Вариант (В). Кривые Wу(t) и W/(f)
Рис. 2.39. Вариант (В). Кривые Wу(t) и W/(f)
口）
口）
t + Tl/Wpe
右一Tl/Rpe
t + Tl/Wpe
右一Tl/Rpe
электронных колебаний и по пространству плотность волновой энергии. Для интерпретации основных стадий процесса кривую W/(力)(см., например, рис. 2.36) удобно представить в виде суммы осцилляторной (верхняя огибающая минус Ж/(力))и стохастической (нижняя огибающая) частей:
Энергия Wosc складывается в основном из энергии первой моды Ж1 и части энергии других гармоник, колеблющихся в фазе, близкой к фазе Е]. Энергия Wst представляет собой суммарную энергию волн (в основном коротких) со «сбитыми» фазами.
Легко видеть, что на первой стадии (力 < 40, рис. 2.36) энергия исходной моды Ж1 расходуется прежде всего на обогащение спектра короткими волнами при образовании «каверн» с высокочастотным наполнением. (Незначительное уменьшение Жf на этом этапе связано с вовлечением ионов, вслед за электронами, в коллективное движение «из кольца»).
В следующий период (41 g t 《54) происходит уже отмечавшаяся выше перестройка «кольца», при этом Wosc достигает максимальной величины, в кольце присутствуют «каверны» в разных стадиях, а спектр уже подготовлен к перекачке энергии в частицы. Эта перекачка начинается приблизительно с 力=54. Дальнейшее течение событий соответствует диссипации энергии, запасенной в конденсате; W/ и Wosc монотонно убывают, пока к моменту 力^ 120 энергия W/ не уменьшится приблизительно в три раза по сравнению с начальным значением и режим не станет «дозвуковым».
Наличие в численном эксперименте одновременно существующих «каверн» в различных стадиях позволяет применить к нашему случаю развитые в [21] представления о сильной ленгмюровской турбулентности при наличии волны накачки. При этом "efl* оказывалось прямо пропорциональным плотности энергии волн, взаимодействующих с волной накачки:
=wpeW /пТ. (2.56)
В нашем случае, когда полная энергия задана,
= £Р1 + / dk = £pi +Wf (2.57)
(£pi — энергия в частицах, £整一 спектральная плотность волновой энергии), ситуация в смысле определения vqq выглядит более сложной, поскольку интенсивность «источника», т. е. энергия первой моды, непрерывно меняется одновременно с увеличением «температуры», т. е. энергии плазмы £歹卜
Однако это же обстоятельство позволяет предложить для оценки vqq следующую модельную схему.
Введем в рассмотрение некоторую эффективную «волну накачки» с плотностью энергии VTpump “ Принципиальным является вопрос о соотношении между Ж и ^^ump- Предположим, что эти величины сравнимы по величине и пропорциональны W/(力)с коэффициентом, который может зависеть, вообще говоря, от отношения W/о/^о'^ео {W/о и 晨о ——начальные плотность энергии в возбужденной длинноволновой моде и температура):
市〜Wpump > & (2.58)
\nQleQj
Здесь а и q ——постоянные коэффициент и показатель степени, подлежащие уточнению. В пользу зависимости вида (2.58) говорит сравнение поведения Wosc для вариантов с разными W/о/^о'^ео и самоподобное изменение турбулентных спектров в процессе нагрева.
Для нахождения 〃efl* используем соотношение
ump =崇=同一吃)=-嘗.(2.59)
Подставляя в (2.59) выражения (2.56), (2.58) и принимая во внимание, что %Т(力)= =£pi = £о — Wf(t)^ получаем
(2.60)
\п0Те0 у £0^dWf(t) Р dt
Решая это уравнение, находим:
标(学『(一。)=請+山爵，(2码
\п^Те^ JW/ Wfc
или
exp = exp a2 (丄？。) (t — tc) ,(2.62)
Wfc F\nQTeJ II 丿
где tc ——время начала «схлопывания» «каверн», a Wfc ——константа, определяемая из (2.61) при t = tc.
Соотношение (2.61) легко проверяется для W/(力)？ полученных в численных экспериментах (А), (В), (С). При q = 1/2 в трех разных вариантах для времен t > tc (в каждом варианте) точки, соответствующие правой части (2.61), ложатся на прямые, тангенсы углов наклона которых оказываются весьма близкими: а^ = 2,43, а^ = 2,07, а^ = 2,3-
Хорошее согласие в величине а ^ 3/2 для разных по me/mi и Жуо/по'Тео вариантах, при сильно отличающихся «стартовых» значениях 力㈠ WfC1 оправдывает сделанные выше качественные предположения и позволяет написать приближенное выражение для 〃efl* в сильно турбулентном режиме, обусловленном ленгмюровскими «коллапсами», когда полная энергия системы во задана:
(2*63)(2*63)3 ,叼。Wf(t)
(2*63)
(2*63)
2 \поТео у sq — Wf (t)
Например, для случая (А) формула (2*63) в начале схлопывания (рис. 2.36) при 力=72〉力с 54 (W/ = 0,075 uqT€q^ е0 = 1,25 пдТе0) дает: %仟 0,033 шре, что согласуется со значением, которое получается непосредственной подстановкой расчетных данных в формулу (2.59).
Заметим, еще раз, что использованный нами способ изучения ленгмюровской турбулентности на модели, в которой в модуляционно неустойчивую гармонику при 力=0 искусственно вносится избыточная энергия, вполне оправдан. Качественно та же картина возникает и естественным путем, например, при развитии электронной пучковой неустойчивости во встречных потоках холодной плазмы [76].
■\ZTeQ / тпе■\ZTeQ / тпеРис. 2.40. Усредненная по пространству электронная функция распределения /е (vx) в варианте (А). Внутренняя парабола соответсвует начальному состоянию (t = 100)Рис. 2.40. Усредненная по пространству электронная функция распределения /е (vx) в варианте (А). Внутренняя парабола соответсвует начальному состоянию (t = 100)，Х,о/гп2
■\ZTeQ / тпе
■\ZTeQ / тпе
Рис. 2.40. Усредненная по пространству электронная функция распределения /е (vx) в варианте (А). Внутренняя парабола соответсвует начальному состоянию (t = 100)
Рис. 2.40. Усредненная по пространству электронная функция распределения /е (vx) в варианте (А). Внутренняя парабола соответсвует начальному состоянию (t = 100)
050100 x/XD050100 x/XD050100 x/XD050100 x/XDРис. 2.42. Вариант ВТ1 (уточненный расчет А) : Lx = Ly = 45入恭, Wfo/noTe = 1/9, p = 1, Тг/Те = 1/25, те/тг = 1/25, N = 216. Типичные сечения 7)(啰,g) = пг(х, у, t)/no = const и е(ж, у) = \Е(х, у, t)\2/ЗттоТ = const в момент максимальной самофокусировки электрического поля. Интервалы между соседними уровнями △?)= —0,1, Де = 0,05. Внешние уровни ?7 и е соответствуют tjbh = 0,9 и Евн = 0,2. В силу инерционности ионов кавитоны (сгустки вч энергии дипольного типа) и каверны (области пониженной ионной плотности) смещены по отношению друг к другу на мгновенной картине, отвечающей моменту самофокусировки. Среднее отношение поперечного и продольного размера кавитонов 〜1 : 3 [16]Рис. 2.42. Вариант ВТ1 (уточненный расчет А) : Lx = Ly = 45入恭, Wfo/noTe = 1/9, p = 1, Тг/Те = 1/25, те/тг = 1/25, N = 216. Типичные сечения 7)(啰,g) = пг(х, у, t)/no = const и е(ж, у) = \Е(х, у, t)\2/ЗттоТ = const в момент максимальной самофокусировки электрического поля. Интервалы между соседними уровнями △?)= —0,1, Де = 0,05. Внешние уровни ?7 и е соответствуют tjbh = 0,9 и Евн = 0,2. В силу инерционности ионов кавитоны (сгустки вч энергии дипольного типа) и каверны (области пониженной ионной плотности) смещены по отношению друг к другу на мгновенной картине, отвечающей моменту самофокусировки. Среднее отношение поперечного и продольного размера кавитонов 〜1 : 3 [16]Рис. 2.41. Вариант (А). Ионнаяфункция распределения /г (ух)(土 = 100)
050100 x/XD
050100 x/XD
050100 x/XD
050100 x/XD
Рис. 2.42. Вариант ВТ1 (уточненный расчет А) : Lx = Ly = 45入恭, Wfo/noTe = 1/9, p = 1, Тг/Те = 1/25, те/тг = 1/25, N = 216. Типичные сечения 7)(啰,g) = пг(х, у, t)/no = const и е(ж, у) = \Е(х, у, t)\2/ЗттоТ = const в момент максимальной самофокусировки электрического поля. Интервалы между соседними уровнями △?)= —0,1, Де = 0,05. Внешние уровни ?7 и е соответствуют tjbh = 0,9 и Евн = 0,2. В силу инерционности ионов кавитоны (сгустки вч энергии дипольного типа) и каверны (области пониженной ионной плотности) смещены по отношению друг к другу на мгновенной картине, отвечающей моменту самофокусировки. Среднее отношение поперечного и продольного размера кавитонов 〜1 : 3 [16]
Рис. 2.42. Вариант ВТ1 (уточненный расчет А) : Lx = Ly = 45入恭, Wfo/noTe = 1/9, p = 1, Тг/Те = 1/25, те/тг = 1/25, N = 216. Типичные сечения 7)(啰,g) = пг(х, у, t)/no = const и е(ж, у) = \Е(х, у, t)\2/ЗттоТ = const в момент максимальной самофокусировки электрического поля. Интервалы между соседними уровнями △?)= —0,1, Де = 0,05. Внешние уровни ?7 и е соответствуют tjbh = 0,9 и Евн = 0,2. В силу инерционности ионов кавитоны (сгустки вч энергии дипольного типа) и каверны (области пониженной ионной плотности) смещены по отношению друг к другу на мгновенной картине, отвечающей моменту самофокусировки. Среднее отношение поперечного и продольного размера кавитонов 〜1 : 3 [16]
Рис. 2.43. ВТ1: сечения 〃 = const в моменты wpet = 91, 121, 145. Разрушение первичной каверны (слева) сопровождается ионно-звуковой волной [16]Рис. 2.43. ВТ1: сечения 〃 = const в моменты wpet = 91, 121, 145. Разрушение первичной каверны (слева) сопровождается ионно-звуковой волной [16]Рис. 2.44. Результат расчета варианта ВТ2 — трехмерного аналога варианта ВТ1 [26]. Сечения 2 = е^/п^Т = const приведены на рисунке слева (ujpet = 60, усреднено по 2тгш^1); А^ = 1/20 от значения 2тах (в центре); сечения плотности 〃?(伤弘 2)二 const — справа: △〃 二一0,2, 〃вн = 0,9,L 二 45XdРис. 2.44. Результат расчета варианта ВТ2 — трехмерного аналога варианта ВТ1 [26]. Сечения 2 = е^/п^Т = const приведены на рисунке слева (ujpet = 60, усреднено по 2тгш^1); А^ = 1/20 от значения 2тах (в центре); сечения плотности 〃?(伤弘 2)二 const — справа: △〃 二一0,2, 〃вн = 0,9,L 二 45XdРис. 2.45. Усредненная по об™ ласти 4тг/3 Лр функция 〃(力) в двух фиксированных точках пространства (ВТ2), иллюстрирующая формирование каверны с последующей генерацией звука [26]Рис. 2.45. Усредненная по об™ ласти 4тг/3 Лр функция 〃(力) в двух фиксированных точках пространства (ВТ2), иллюстрирующая формирование каверны с последующей генерацией звука [26]
Рис. 2.43. ВТ1: сечения 〃 = const в моменты wpet = 91, 121, 145. Разрушение первичной каверны (слева) сопровождается ионно-звуковой волной [16]
Рис. 2.43. ВТ1: сечения 〃 = const в моменты wpet = 91, 121, 145. Разрушение первичной каверны (слева) сопровождается ионно-звуковой волной [16]
Рис. 2.44. Результат расчета варианта ВТ2 — трехмерного аналога варианта ВТ1 [26]. Сечения 2 = е^/п^Т = const приведены на рисунке слева (ujpet = 60, усреднено по 2тгш^1); А^ = 1/20 от значения 2тах (в центре); сечения плотности 〃?(伤弘 2)二 const — справа: △〃 二一0,2, 〃вн = 0,9,
L 二 45Xd
Рис. 2.44. Результат расчета варианта ВТ2 — трехмерного аналога варианта ВТ1 [26]. Сечения 2 = е^/п^Т = const приведены на рисунке слева (ujpet = 60, усреднено по 2тгш^1); А^ = 1/20 от значения 2тах (в центре); сечения плотности 〃?(伤弘 2)二 const — справа: △〃 二一0,2, 〃вн = 0,9,
L 二 45Xd
Рис. 2.45. Усредненная по об™ ласти 4тг/3 Лр функция 〃(力) в двух фиксированных точках пространства (ВТ2), иллюстрирующая формирование каверны с последующей генерацией звука [26]
Рис. 2.45. Усредненная по об™ ласти 4тг/3 Лр функция 〃(力) в двух фиксированных точках пространства (ВТ2), иллюстрирующая формирование каверны с последующей генерацией звука [26]
Функции распределения частиц, соответствующие поздней стадии «нагрева», представлены на рис. 2.40, 2.41. Подавляющая часть энергии поля передается элек™ тронной компоненте [21], для которой распределение по скоростям имеет характер™ ный квазимаксвелловский профиль с высокоэнергичными «хвостами». Основным механизмом ускорения электронов является затухание Ландау. Пересечение траек™ торий отмечалось лишь однажды, в начальной стадии варианта (с) с наибольшим в данной серии значением Ж/о/^о^еО = 1/5, где оно было ответственно за первую порцию ускоренных частиц. Дальнейшее вовлечение электронов в《хвосты» проходило по механизму Ландау.
Численными экспериментами показано, что
На основе первоначально регулярного одномодового режима возникает сложная многомодовая картина, характерная для двумерной турбулентной иерархии.
Значительная часть энергии захватывается в «каверны», с образованием кото™ рых связано появление плазмонов с большими волновыми числами. Формирование и структура кавитонов (динамическое взаимодействие и энергетический баланс) свя™ зано с обогащением спектра электростатических колебаний большими волновыми числами. Типичная картина линий постоянного уровня Е2/ВттТ и п^/по для од™ ной турбулентной ячейки, в качестве которой мы принимаем область с размерами
Lx х Ly показана на рис. 2.42, 2.43. Структура поля в каверне имеет характер [77]. Средняя малая полуширина каверн (в направлении дипольного момента) составляет
5 — 8». Среднее отношение5 — 8». Среднее отношениеРис. 2.46. Зависимость эффективной частоты столкновений 14任 от 力 в 3D случае ВТ2 (1) [26], и в 2D случае,Рис. 2.46. Зависимость эффективной частоты столкновений 14任 от 力 в 3D случае ВТ2 (1) [26], и в 2D случае,полуосей в каверне ——примерно 3 : 1.
5 — 8». Среднее отношение
5 — 8». Среднее отношение
Рис. 2.46. Зависимость эффективной частоты столкновений 14任 от 力 в 3D случае ВТ2 (1) [26], и в 2D случае,
Рис. 2.46. Зависимость эффективной частоты столкновений 14任 от 力 в 3D случае ВТ2 (1) [26], и в 2D случае,
Влияние размерности пространства на характер коллапса: трехмерные расчеты [26], рис. 2.44, 2.45 показывают полное качественное сходство с двумер™ ной картиной с аналогичными параметрами [16], рис. 2.42, 2.43, однако в трехмерном случае коллапс протекает более интенсивно (сравнение темпов фоку™ сировки и эффективной частоты столкновений дано на рис. 2.46). Это сходство, однако, исчезает при переходе от двумерного к одномерному случаю М 31].
Для развитой турбулентности с заданным уров™ нем полной энергии во величина уе^ (2.63) пропорци™ ональна отношению текущего значения средней плотности электростатической, энергии Wf (t) к плотности энергии плазмы £q — Wf (力).Коэффициент пропорцио™
нальности, при этом, оказывается зависящим от относительной величины начально™
го возмущения, ответственного за глубину модуляции ионной плотности и опреде™
ляющего в /^^пространстве эффективную ширину возбуждаемой турбулентной зоны
Рис. 2.47. Зависимость от времени плотностей электростатической энергии и кинетической энергии электронов и ионов для варианта ВТ2 (3D, см. рис. 2.44, 2.46). Вверху Wf (ВТ1): 2D расчетРис. 2.47. Зависимость от времени плотностей электростатической энергии и кинетической энергии электронов и ионов для варианта ВТ2 (3D, см. рис. 2.44, 2.46). Вверху Wf (ВТ1): 2D расчетПри динамическом взаимодействии кавитонов был отмечен интересный эффект, наблюдаемый нами при детальном анали™ зе сечений | 石2 cq 仇切=const в последо™ вательные момент времени. Обращает на себя внимание динамический характер отдельных кавитонов до стадии активного поглощения энергии резонансными частицами [16]. Энергия как бы свободно «переливалась» из одной каверны в другую.
Рис. 2.47. Зависимость от времени плотностей электростатической энергии и кинетической энергии электронов и ионов для варианта ВТ2 (3D, см. рис. 2.44, 2.46). Вверху Wf (ВТ1): 2D расчет
Рис. 2.47. Зависимость от времени плотностей электростатической энергии и кинетической энергии электронов и ионов для варианта ВТ2 (3D, см. рис. 2.44, 2.46). Вверху Wf (ВТ1): 2D расчет
Возможное объяснение этого эффек™ та предложено в работе [55] и напоми™ нает известный феномен плазменного эха. Поскольку в бесстолкновительной плазме функция распределения «запоминает» 力а- зу возмущений скорости частиц, последние проходя через две и более каверны, могут переносить информацию между ними, уси™ ливая или ослабляя кавитоны по пути еле- дования. Пусть в силу каких-либо причин (например, различной глубины) две каверны, разделенные отрезком Б, имеют разные частоты ——шо и Ш1. Аналогично тому, как это показывается в теории плазменного эха путем анализа возмущений во втором порядке по амплитуде, в нашем случае можно получить《эховые» возмущения на расстоя™ НИЯХ
=^^,(2.64)
no；2 — muji
О 50100 x/Xd 050100 x/XD
Рис. 2.48. Профили плотности 〃 = const на стадии формирования каверн в вариантах ВТЗ (Те/Тг = 25, Зре力=150) и ВТ4 (Те/Тг = 1, wpet = 60); △〃 = -0,1, 3H = 0,9; Wfo/noTe = 1/8, me/mi = 1/100, L = 180X，〃 = 4. Взаимодействие кавитонов между собой и с частицами приводит к стохастизации фаз
Рис. 2.49. Сечения постоянных значений энергии &(①,у) 二 const в ВТ4 на стадии поглощения (△& = 0,3； &вн = 0,3) и полного «размешивания» кавитонов по фазамРис. 2.49. Сечения постоянных значений энергии &(①,у) 二 const в ВТ4 на стадии поглощения (△& = 0,3； &вн = 0,3) и полного «размешивания» кавитонов по фазам
Рис. 2.49. Сечения постоянных значений энергии &(①,у) 二 const в ВТ4 на стадии поглощения (△& = 0,3； &вн = 0,3) и полного «размешивания» кавитонов по фазам
Рис. 2.49. Сечения постоянных значений энергии &(①,у) 二 const в ВТ4 на стадии поглощения (△& = 0,3； &вн = 0,3) и полного «размешивания» кавитонов по фазам
где п, гл — целые. Нетрудно видеть, что условие (2.64) позволяет взаимодействовать кавитонам даже при одинаковых значениях частоты. Напомним, что при наличии волны накачки возможен и чисто чисто гидродина™ мический механизм взаимодействия кавито™ нов [30].
Подавляющая часть диссипируемой волновой энергии поступает в электронную компоненту и идет на резонансное ускоре™ ние электронов с образованием《хвостов» функции распределения.
Рис. 2.50. Спектры \Е^\ в зависимости от пх при Те/Тг 二 25 ((+), ВТЗ) и Те/Тг = 1 ((•), ВТ4)； Gpj= 150, п = =tt〃/90Xd на стадии формирования каверны, пж = пу = 4：Рис. 2.50. Спектры \Е^\ в зависимости от пх при Те/Тг 二 25 ((+), ВТЗ) и Те/Тг = 1 ((•), ВТ4)； Gpj= 150, п = =tt〃/90Xd на стадии формирования каверны, пж = пу = 4：Энергетический баланс в плазме ил™ люстрируется рис. 2.47, на котором изображена зависимость от времени основных энергетических величин: плотностей волновой энергии, а также энергии электронов и ионов. Подавляющая часть энергии переда™ ется электронным《хвостам» [30], при этом отношение долей энергии, переданной соответственно ионам и электронам, составляет AKi/ЛКе ~ 0,04. Это отношение практически не зависит от Tj/Te. Величина АК^ может давать вклад либо в акустическую (Те》Tj), либо в тепловую (Те = Т。энер™ гию ионов. Основным механизмом ускоре™ ния электронов является затухание Ландау. Пересечение траекторий отмечалось лишь однажды, в начальной стадии варианта с достаточно большим значением Wfo/nT = =1/5, где оно было ответственно за первую порцию ускоренных частиц. Дальнейшее во™ влечение электронов в《хвосты» происходи™
Рис. 2.50. Спектры \Е^\ в зависимости от пх при Те/Тг 二 25 ((+), ВТЗ) и Те/Тг = 1 ((•), ВТ4)； Gpj= 150, п = =tt〃/90Xd на стадии формирования каверны, пж = пу = 4：
Рис. 2.50. Спектры \Е^\ в зависимости от пх при Те/Тг 二 25 ((+), ВТЗ) и Те/Тг = 1 ((•), ВТ4)； Gpj= 150, п = =tt〃/90Xd на стадии формирования каверны, пж = пу = 4：
1,6
1^1
1^1
6
1,4
в
е
в
Рис. 2.51. Вариант ВТ5: Lx = Ly = 180Лр, пж = 1, Wуо = 1/4, те/тг = 1/100, Те/Тг = 25. Слева — интегральные энергетические характеристики как функции времени: Wf /(поТе) (а), Ке/Те (в) и Кг/Тг (а); (б ) максимальное (по области [Lx х Ly]) локаль™ ное значение 石^1ax(力)/(8тт()К)，Справа — эволюция турбулентного спектра \Ek(t)\ в ВТ5 усредненного по 24 cd羡，для следующих моментов времени: (d) (+) 12,5, (х) 25,0, (X) 50,0;
(е) (+) 95,0, (х) 165Q (X) 358,о'
1「
1「
1L
1L
1L
10—3
ло по механизму Ландау. Интересно отметить, что в вариантах с 沙〉1 (ВТЗ, ВТ4, рис. 2.48—2*50) численного эксперимента разрешали перекачку энергии в область значений к* меньших чем k.Q = 2冗沙/工 поток энергии по спектру в область больших к оказывался на два порядка больше.
Генерация ионно-звуковой турбулентности на кинетической стадии коллапса стала принципиальным моментом, в численном эксперименте был обнаружен тот факт, что опустевшая каверна в результате быстрого поглощения ее высокочастотного наполнения горячими электронами по механизму Ландау, в силу значительной инерции ионов, генерирует слабо затухающий при 7^》Q коротковолновой ионный звук [16] (рис. 2.43, 2.45). Именно этот эффект в случае, когда существует непрерывный поток энергии в плазму, может приводить к накоплении ионно-звуковой
энергии и появлению конкурирующего с коллапсом механизма конверсии ленгмюровских волн в ионно-звуковые [78, 27, 30].
Генерация ионно-звуковой турбулентности на кинетической стадии коллапса стала принципиальным моментом, в численном эксперименте был обнаружен тот факт, что опустевшая каверна в результате быстрого поглощения ее высокочастотного наполнения горячими электронами по механизму Ландау, в силу значительной инерции ионов, генерирует слабо затухающий при Г》Q коротковолновой ионный звук [16] (рис. 2.43, 2.45). Именно этот эффект в случае, когда существует непрерывный поток энергии в плазму, может приводить к накоплении ионно-звуковой энергии и появлению конкурирующего с коллапсом механизма конверсии ленгмюровских волн в ионно-звуковые [78, 27, 30].
Полученный спектр турбулентных пульсаций электрического поля |石"в ква- зистационарном режиме распадается на три части с характерными степенными зависимостями в длинноволновой (〜 卜-2), промежуточной (〜 卜-i) и коротковолновой (〜 卜-з)частях спектра.
Спектральные характеристики. В ходе всех численных экспериментов был предусмотрен анализ спектральных характеристик |石",усредненных по периоду 27r/шре. При 力〉0 на стадии формирования «каверны» происходит интенсивное обогащение спектра колебаний с длинами волн от ЮАр до (3 4- 4)Ар. На этом фоне происходит постепенное наполнение спектра модами в интервале (10 4- 45)》°.
Развитая стадия турбулентности, для которой характерно присутствие «каверн» на разных стадиях и приблизительно экспоненциальный спад W/(力)"сопровождается формированием кусочно-степенного спектра (рис. 2.51 справа), т. е. на временах порядка 200шре. Отчетливо прослеживаются три области спектра:
«длинноволновая» (А > 20》°), где |石"〜 衣一
«средневолновая» (20Ар > А > 8Ар, |^| 〜к」;
«коротковолновая» (А < Ар, |^| 〜 衣一(2Q+3)).
Отметим, что в области (а), в соответствии с геометрией решаемой задачи, 〃 〜 〜 卜—з, чт0 согласуется с результатами полученными для стационарного турбулентного спектра [21, 30]. Эта часть спектра обычно называется инерционным интервалом [78].
В коротковолновой области (в) спектр определяется активным взаимодействием с частицами; найденный вид спектра 〃 〜(4+5) также не противоречит результатам [21], где аналогичная зависимость была получена в рамках квазилинейной теории в предположении постоянства потока энергии в диапазоне больших скоростей.
Резкий спад спектра при 入 三 2》。связан с вычислительной диссипацией энергии из-за конечности сетки и размеров используемых в модели макроэлектронов и макроионов.
Наконец, переходная область (б), где 〃 〜const соответствует повышенной плотности турбулентной энергии в области А = (8 4- 20)》°. Это обстоятельство может быть связано, например, на активной стадии турбулентности с образованием и динамикой «каверн», а на более поздней стадии ——с отмеченным в [16, 18, 78] рассеянием плазмонов на флуктуациях ионной плотности в режиме с интенсивным ионным звуком.
Двумерные кавитоны в поле волны накачки
Рассмотрим эволюцию во времени плоского пространственно-периодического плазменного слоя, 0 < х < L в заданном внешнем поле
E(z) = Ео cos o；ot, Go S шре.(2.65)
В такой постановке, где одновременно обеспечивается два важных момента: постоянная интенсивность внешнего источника энергии (не замкнутая система) и наличие выделенного направления (волны накачки), некоторые качественные особен™ ности турбулентного режима, обусловленного МН, проявляются уже в одномерной геометрии [18, 30].
Переход в этой же задаче к двумерной кинетической модели интересен прежде всего как возможность ответить на следующие вопросы.
Как известно [8, 21] в случае «свободного» коллапса (Eq = 0) качественная граница раздела проходит как раз между одномерной геометрией, где коллапса нет, и трехмерной и двумерной геометриями, где он реализуется в зависимости от начальных условий. В какой мере эта граница сказывается в случае Eq ф 0?
Какую информацию добавляет численный эксперимент к имеющимся (иногда противоречивым) работам [78—81] о неустойчивости одномерного ленгмюровского со™ литона? Как в связи с этим можно прокомментировать плазменные эксперименты [55, 23, 78—81)50], в которых отмечается видимая устойчивость одномерных соли™ тонных структур?
Как выглядит реальный солитон, если не рассматривать его как заданный а priori, а проследить за всеми стадиями его эволюции, включая рождение и гибель, например, в выбранных условиях одномерной накачки (2.65)?
Возможен ли вообще в неодномерной геометрии одномерный солитон, если нет до™ полнительных стабилизирующих факторов типа сильного магнитного поля?
Чем различаются нелинейные стадии МН в однотемпературной (Те = 7^) и разнотемпературной (Те》В) плазме при наличии волны накачки?
Эти вопросы важны как для общей теории сильной турбулентности так и для прак™ тических оценок результатов и условий применимости приближенных (и в частно™ сти, одномерных) моделей турбулентной плазмы.
Вынужденная модуляционная неустойчивость
Начнем рассмотрение вынужденной МН с относительно малых амплитуд волны накачки, когда
(^оАр)2,— < 石6 《I*(2.66)
mi/
где (如=2тг“о + ОДА^1) для которых в одномерных численных экспериментах [18] совместное действие параметрической и модуляционной неустойчивостей приводило к кавитонной структуре возбуждаемых в плазме ленгмюровских колебаний со сред™ ней по объему плотностью электростатической энергии, значительно (в 5 + 6 раз) превосходящей плотность энергии в волне накачки. Чтобы облегчить сопоставление и повысить информативность результатов, сохраним значения исходных парамет™ ров, использовавшиеся ранее в одномерных (см. вариант Вб, рис. 2.16) и двумерных
Рис. 2.52. Вариант ВТ6 [14]: Eq/8тгпТ = 1/20, ш^/шре = 1,014, те/тг = 1/100, Те/Тг = 25, Lx = Ly = 60Лр, N = 216. Зависимость от времени интегральных энергетических величин и фурье-гармоник (n = 1 4- 3) ионной плотности в X (слева) и У напрявлениях. Вверху цифрами 1, 2, 3 обозначены соответственно плотности электростатической энергии W/, энергии электронов Ке и полной энергии, усвоенной плазмой при действии волны накачки: ▽total — Wtot(0)Рис. 2.52. Вариант ВТ6 [14]: Eq/8тгпТ = 1/20, ш^/шре = 1,014, те/тг = 1/100, Те/Тг = 25, Lx = Ly = 60Лр, N = 216. Зависимость от времени интегральных энергетических величин и фурье-гармоник (n = 1 4- 3) ионной плотности в X (слева) и У напрявлениях. Вверху цифрами 1, 2, 3 обозначены соответственно плотности электростатической энергии W/, энергии электронов Ке и полной энергии, усвоенной плазмой при действии волны накачки: ▽total — Wtot(0)Рис. 2.53. Вариант ВТ6: сечения Е2 = const (слева)豆 〃 =const (справа) при wpet = 390; Е2 = 0,4 (точки), Е2 = 1,6 (штрих), 1,9 (сплошная); ?)г(ж, у) = 0,9 (штрих), ^(ж, у) = 0,7 (сплошная)Рис. 2.53. Вариант ВТ6: сечения Е2 = const (слева)豆 〃 =const (справа) при wpet = 390; Е2 = 0,4 (точки), Е2 = 1,6 (штрих), 1,9 (сплошная); ?)г(ж, у) = 0,9 (штрих), ^(ж, у) = 0,7 (сплошная)
Рис. 2.52. Вариант ВТ6 [14]: Eq/8тгпТ = 1/20, ш^/шре = 1,014, те/тг = 1/100, Те/Тг = 25, Lx = Ly = 60Лр, N = 216. Зависимость от времени интегральных энергетических величин и фурье-гармоник (n = 1 4- 3) ионной плотности в X (слева) и У напрявлениях. Вверху цифрами 1, 2, 3 обозначены соответственно плотности электростатической энергии W/, энергии электронов Ке и полной энергии, усвоенной плазмой при действии волны накачки: ▽total — Wtot(0)
Рис. 2.52. Вариант ВТ6 [14]: Eq/8тгпТ = 1/20, ш^/шре = 1,014, те/тг = 1/100, Те/Тг = 25, Lx = Ly = 60Лр, N = 216. Зависимость от времени интегральных энергетических величин и фурье-гармоник (n = 1 4- 3) ионной плотности в X (слева) и У напрявлениях. Вверху цифрами 1, 2, 3 обозначены соответственно плотности электростатической энергии W/, энергии электронов Ке и полной энергии, усвоенной плазмой при действии волны накачки: ▽total — Wtot(0)
Рис. 2.53. Вариант ВТ6: сечения Е2 = const (слева)豆 〃 =const (справа) при wpet = 390; Е2 = 0,4 (точки), Е2 = 1,6 (штрих), 1,9 (сплошная); ?)г(ж, у) = 0,9 (штрих), ^(ж, у) = 0,7 (сплошная)
Рис. 2.53. Вариант ВТ6: сечения Е2 = const (слева)豆 〃 =const (справа) при wpet = 390; Е2 = 0,4 (точки), Е2 = 1,6 (штрих), 1,9 (сплошная); ?)г(ж, у) = 0,9 (штрих), ^(ж, у) = 0,7 (сплошная)
расчетах с параметрами [23]:
£^/8тшТ = 0,05, шо/шре = 1,014, Lx = Ly =
Te/Ti = 25 (вариант ВТ6) и Te/Ti = 1 (вариант ВТ7). Здесь в дополнение к [23] мы рассматриваем трудный для теории случай, когда фазовые скорости низкочастотных возмущений Q/k у V^. Напомним (см., например, [43]), что в предельном случае Q/k》14； для описания нч возмущений 8п применимо ионно-звуковое уравнение с правой частью, включающей эффективный вч потенциал L^ff = \Е\2/8тт()Т
д2(6п/п0)д2(6п/п0)^K2v2—= V2^,^K2v2—= V2^,ПоПоmimi(2.67)(2.67)
д2(6п/п0)
д2(6п/п0)
^K2v2—= V2^,
^K2v2—= V2^,
По
По
mi
mi
(2.67)
(2.67)
Рис. 2.54. Вариант ВТ6: ж компоненты \En(t)\, (n = 1, 2, 3, кп = 2тгп/Ь). В начальный момент неустойчива лишь первая мода в соответствии с критерием МН (см. [31]; раздел 2.1.4) 亳？》^ < Eq /2Д：жпТ. Хорошо видно, как с ростом t в неустойчивость последовательно во™ влекаются моды с п = 2,3,..., для которых роль волны накачки играет Eq +，證石i(力).При этом 7i = 1/150, 72 = 1/80, 73 = 1/5 4, т. е. у к п (см. раздел 2.1.3)
а в противоположном пределе Q/к《¥тг
me/mi L4ff + e^JUeS
— г —17⑵68)
где 夕s — нч составляющая потенциала.
В связи с отсутствием (на 1980 г.) в литературе описания двумерных числен™ ных экспериментов по МН в области Т\ 1 Tj ) мы подробнее остановимся на результатах варианта ВТ7, анализируя их параллельно с вариантами Вб, ВТ6. Еу- дут приведены также некоторые данные расчетов с большей интенсивностью на™ качки: Eq /8тгпТ = 0,25, шо/шре = 1,005, Te/Tj = 25, Lx = 2Ly = 60》。 (вариант ВТ8). Основные результаты вариантов ВТ6 ——ВТ8 представлены на рис. 2.52—2.63. При их сопоставлении и сравнении с вариантом Вб [30] обращают на себя внимание следующие моменты: в случае Те ^> Ti двумерное моделирование на динамиче™ ской стадии квазиколлапса (bJpet < 400), дает картину, очень близкую к одномерной (рис. 2.52, 2.54 и рис. 2.16). Инкремент апериодической неустойчивости первой моды 7мн = 1/150, что практически совпадает с теоретическим значением (рис. 2.1).
Анизотропия вынужденной модуляционной неустойчивости
В качестве величин, характеризующих неустойчивость в поперечном направле™ нии (по оси У), удобно выбрать инкременты, определяющие в каждом из направле™ ний ж, у темпы роста полной энергии Мод поступающей в систему от волны накачки, и среднеквадратичного отклонения ионной плотности от фонового значения:
Эти характеристики отражены в таблице и на рис. 2.55, б-д. Для варианта ВТ6 (Te/Tj = 25) поперечная неустойчивость начинает развиваться с запаздыванием по™ рядка tj^i и инкрементом 7^n > 7^п/3, что соответствует формированию вытянутых по g кавитонов со средним коэффициентом анизотропии у ((Jn)2)^ / ((Jn)2)^ t 3,5 (рис. 2.53).
Детальный анализ неустойчивости по темпам роста | 石，| [23] показывает, что )(£^ ) — максимально для 几=1 и 〜k^i (в отличие от)(石£ ), рис. 2.54). Поскольку неустойчивость по g развивается уже в процессе генерации кавитона и приводит к среднему отношению полуосей 〜3*5 : 1 для разных значений Е^〉т. е.
廿(砲/淄间)const,
что близко к аналогичному отношению для «свободного» коллапса [21, 80], на™ прашивается наглядная интерпретация общей картины поперечной МН в случае Те》Ti как простого отражения процесса формирования двумерного кавитона ди™ поль ной природы с коэффициентом анизотропии, устойчивым на интервале △力 〜 〜7мш т- е.порядка времени жизни каверны. Стабилизирующее действие накачки в этом случае проявляется не в подавлении «неустойчивости по д»> а в преимуще™ ственной ориентации дипольных моментов кавитонов вдоль Eq и в расположении их «по цепочке» (в русле «канала» вдоль оси д* рис. 2.53, 2.57), что и дает усреднен™ ную квазиодномерную картину, наблюдающуюся как в численных, так и в реальных экспериментах [27].
Как видно из рис. 2.55, г при upet〉400
=[((e/几0)2)J/2
перестает расти и на ионно-звуковой стадии в колебательном режиме, постепенно сближается с 6пу. В варианте ВТ61, где при ujpet = 270 накачка была отключена, полная изотропия достигается уже к ujpet = 450 (рис. 2.55, Э). Как видно из таблицы
Те 斤
8тгтгТ
七記
优
淄
田
gnmax To
ojp
石2
8тпгТ
ВТ6
25
1
20
1 150
1 125
1 340
1 125
1 325
2,4 — 2,8
0,2
1,8
ВТ7
1
1
20
1 300
1 310
] 1825
1 425
0
3,5
0,4
2,2
в случае ВТ6)孔 и 寸^ практически одинаковы.
Рис. 2.55. (а) Расчеты варианта ВТ7: £^1ax(力),пропорционально (to —力)一？ при £^1ax < < 1 [8, 22], затем отход от автомодельности из-за взаимодействия с частицами, (в) ВТ7, фурье-гармоники пгкп (t), n = 1, 2. На рисунках б, еи д сравниваются коэффициенты анизотропии ионного профилей в 啰 豆 у напрявлениях для ВТ7 (6), ВТ6 (г) и ВТ61 (d): crXiy(t)= =，《SnJnO ВТ61=ВТ6 для wpei < 270, после чего накачка искусственно отключаласьРис. 2.55. (а) Расчеты варианта ВТ7: £^1ax(力),пропорционально (to —力)一？ при £^1ax < < 1 [8, 22], затем отход от автомодельности из-за взаимодействия с частицами, (в) ВТ7, фурье-гармоники пгкп (t), n = 1, 2. На рисунках б, еи д сравниваются коэффициенты анизотропии ионного профилей в 啰 豆 у напрявлениях для ВТ7 (6), ВТ6 (г) и ВТ61 (d): crXiy(t)= =，《SnJnO ВТ61=ВТ6 для wpei < 270, после чего накачка искусственно отключаласьРис. 2.56. Вариант ВТ7 — то же, что и ВТ6 (рис. 2.52), но для Te/Ti = 1. Обозначения величин — те же, что и на рис. 2.52, 2.54: 1 — плотность энергии Wf, 2 — энергия электроновРис. 2.56. Вариант ВТ7 — то же, что и ВТ6 (рис. 2.52), но для Te/Ti = 1. Обозначения величин — те же, что и на рис. 2.52, 2.54: 1 — плотность энергии Wf, 2 — энергия электронов
Рис. 2.55. (а) Расчеты варианта ВТ7: £^1ax(力),пропорционально (to —力)一？ при £^1ax < < 1 [8, 22], затем отход от автомодельности из-за взаимодействия с частицами, (в) ВТ7, фурье-гармоники пгкп (t), n = 1, 2. На рисунках б, еи д сравниваются коэффициенты анизотропии ионного профилей в 啰 豆 у напрявлениях для ВТ7 (6), ВТ6 (г) и ВТ61 (d): crXiy(t)= =，《SnJnO ВТ61=ВТ6 для wpei < 270, после чего накачка искусственно отключалась
Рис. 2.55. (а) Расчеты варианта ВТ7: £^1ax(力),пропорционально (to —力)一？ при £^1ax < < 1 [8, 22], затем отход от автомодельности из-за взаимодействия с частицами, (в) ВТ7, фурье-гармоники пгкп (t), n = 1, 2. На рисунках б, еи д сравниваются коэффициенты анизотропии ионного профилей в 啰 豆 у напрявлениях для ВТ7 (6), ВТ6 (г) и ВТ61 (d): crXiy(t)= =，《SnJnO ВТ61=ВТ6 для wpei < 270, после чего накачка искусственно отключалась
Рис. 2.56. Вариант ВТ7 — то же, что и ВТ6 (рис. 2.52), но для Te/Ti = 1. Обозначения величин — те же, что и на рис. 2.52, 2.54: 1 — плотность энергии Wf, 2 — энергия электронов
Рис. 2.56. Вариант ВТ7 — то же, что и ВТ6 (рис. 2.52), но для Te/Ti = 1. Обозначения величин — те же, что и на рис. 2.52, 2.54: 1 — плотность энергии Wf, 2 — энергия электронов
Картина МН при Te/Tj = 1 (ВТ7) имеет свою специфику. Апериодическая МН развивается и в этом случае, причем с инкрементом в среднем хорошо согласующимся с теорией (см., например, [82]):
7MH 〜(Г + 0代"=1/300 = 1/27®16.
Однако картина формирования кавитонов в силу близости к адиабатическому пре™ делу (2.68) выглядит более «аморфной». Каверны меньшего, чем в случае Г》Q сечения (〜6》。)* имеют сильно изрезанную форму; их глубина 6п]п口 значительно
tujpe = 250330360390tujpe = 250330360390010 20010 20010 20010 y/XD010 20010 20010 20010 y/XDРис. 2.57. Вариант ВТ8: Eq/(8тгпоТ) = 1/4, ше/шре = 1,005, Те/Х = 25, тг/те=100, Lx = 60XD, Ly = ЗОЛр. Картина эволюции квазиодномерных солитонов в поле волны накач™ ки (для ориентировки укажем моменты выхода на «плато» Wf — при ujpet = 250, Ке — при cjpet = 360) снова заканчивается генерацией ионного звукаРис. 2.57. Вариант ВТ8: Eq/(8тгпоТ) = 1/4, ше/шре = 1,005, Те/Х = 25, тг/те=100, Lx = 60XD, Ly = ЗОЛр. Картина эволюции квазиодномерных солитонов в поле волны накач™ ки (для ориентировки укажем моменты выхода на «плато» Wf — при ujpet = 250, Ке — при cjpet = 360) снова заканчивается генерацией ионного звука
tujpe = 250330360390
tujpe = 250330360390
010 20010 20010 20010 y/XD
010 20010 20010 20010 y/XD
Рис. 2.57. Вариант ВТ8: Eq/(8тгпоТ) = 1/4, ше/шре = 1,005, Те/Х = 25, тг/те=100, Lx = 60XD, Ly = ЗОЛр. Картина эволюции квазиодномерных солитонов в поле волны накач™ ки (для ориентировки укажем моменты выхода на «плато» Wf — при ujpet = 250, Ке — при cjpet = 360) снова заканчивается генерацией ионного звука
Рис. 2.57. Вариант ВТ8: Eq/(8тгпоТ) = 1/4, ше/шре = 1,005, Те/Х = 25, тг/те=100, Lx = 60XD, Ly = ЗОЛр. Картина эволюции квазиодномерных солитонов в поле волны накач™ ки (для ориентировки укажем моменты выхода на «плато» Wf — при ujpet = 250, Ке — при cjpet = 360) снова заканчивается генерацией ионного звука
О 20400204002040 х/Хв
aбв
I«1J
Рис. 2.58. Картина вынужденного коллапса в поле волны накачки при Те = Тг (ВТ7). Сечения ⑦=eg/T = const (а), Е2 = const (б), §пг/по = const (в) в момент шре1 = 1812. (а)： Д^ = (5max — ^min)/21 ~ 0,9. Ha пунктирных, сплошных и граничных со сплошной штриховкой линиях Е2/(16тгпТ) и §пг/по соответственно равны: 0,15; 0,35; 0,5
10-2
Рис. 2.59. Спекты электростатических пульсаций по направлениям для различных моментов времени. Вариант ВТ6 (слева), вариант ВТ7 (в центре), спектры гармоник ионной плотности для ВТ6 (справа)
Рис. 2.60. Эффективная «температура» Т^，У = бе /(%,J - Ух,уУ2/е dv/Te ДЛЯ ВТ6 (вверху) и ВТ7. Максимальное значение 沙 efl7Gpe = Eq^T ~ 0,4шре (ВТ7) И 32Gpe (ВТ6)
Рис. 2.61. Профили /е (vx), /е (^) для шре1 = 0, 450, 600, 925, ил- люстрируюгцие образование высокоэнергичных «хвостов» (ВТ6); Дв 〜已―&0G ~ 0,4 (см. раз™ дел (2.2.2))
Vx/Vt
-6 -3 03-6 -3 03-9 -6 -3 0 Vy/Ут
Рис. 2.62. Вариант ВТ8: двумерная динамика электронных «хвостов» на фазовой плоскости (&储，&у). Как и в варианте ВТ6 (рис. 2.61), тенденция к изотропизации функции распределения после разрушения каверн выражена значительно слабее, чем в варианте ВТ7 при Те = Тг (рис. 2.60), что связано с анизотропией ионного профиля (рис. 2.55, в, г)
tujpe = 204240258276300324
0 20 4020 4020 4020 4020 40x/XD
Рис. 2.63. Динамика генерации высокоэнергичных хвостов на фазовой плоскости (ж, г?ж) для ВТ8 в присутствии сильной волны накачки, случай 2D, Eq /(8тгпТ) = 1 /2, шо 〜шр. Хо™ рошо видны «струйный» характер ускорения частиц при резонансном прохождении через каверну и процесс захвата электронов
меньше Е2/16ттТ (рис. 2.58). Квазиодномерный характер поля Eq(x, у) в максиму™ ме самофокусировки плазмонов обеспечивается лишь генерацией первичных каверн в русле «пучности» гармоники 用 (п = 1) с максимальным инкрементом. После поглощения вч энергии и «отключения» волны накачки вслед за генерацией элек™ тронных «хвостов» [30], мелкие каверны, затухая, равномерно распределяются по всему объему.
Достигаемое максимальное значение плотности электростатической энергии
Wf/nT ^0,4
примерно одинаково как в разнотемпературной, так и в однотемпературной плаз™ ме (рис. 2.52, 2.56), однако максимальное значение 沙efl* на стадии формирования «хвостов» при Те ^ Tj в два раза больше (таблица, рис. 2.60). Затем, с резким отключением накачки, vqq т 0.
В отличие от случая
「
конверсии плазмонов с медленным увеличением Тех не наблюдается. Вместо этого происходит активное сближение Тех и Теу в результате рассеяния частиц на изо™ тропном фоне флуктуаций ионной плотности, амплитуда которых теперь в 〜\/2 = = (1 + Tj/Te)1^2 раз выше (рис. 2.55, в, г) (при неизменном числе макрочастиц). Процесс изотропизации электронов представлен на рис. 2.62 серией картин фазовой плотности (/е(^ж, vy^ t)) для различных моментов времени, характеризующих три стадии — начальную, поглощения вч энергии резонансными частицами и поздней релаксации.
Заключение
В настоящее время можно констатировать, что результаты численных экспери™ ментов подтверждают и проясняют общую концепцию коллапса и позволяют разрешить возникающие в теории слабой турбулентности парадоксы [27]. Можно надеять™
ся, что дальнейшее развитие этой концепции вместе с постановкой широких численных экспериментов позволит понять (что отчасти уже сделано) картину СЛТ при различных уровнях и способах ее возбуждения — пучковом или параметрическом. При этом значение численного эксперимента будет возрастать по мере смещения интересов в сторону изучения эффектов, в которых принципиальную роль играет взаимодействие волн с частицами, т. е. при рассмотрении диссипативных и сильно нелинейных режимов.
Полученное согласие общей картины трехмерной релаксации [83] с аналогичными расчетами [16] в (ж, д) геометрии позволяет говорить о правомерности использования для качественного исследования СЛТ более экономичных двумерных моделей. В то же время процесс нелинейной самофокусировки в одномерной идеализации может носить качественно иной характер. Это замечание особенно существенно для «свободного» коллапса, т. е. в отсутствие постоянной накачки [30].
Таким образом, после первого этапа изучения СЛТ, когда было необходимо прежде всего установить истинные качественные закономерности и относительную роль альтернативных процессов диссипации энергии, что вполне оправдывало многомерные кинетические расчеты, становится обеспеченным предварительными исследованиями следующий, также вполне закономерный этап ——создания эффективной и более полной теории СЛТ и равития гибридных вычислительных методов расчета, соединяющих достоинства кинетического и усредненного (квазигидродинамическо- го) подходов.
Впечатляющий прогресс вычислительной техники позволяет ожидать, уже в ближайшие годы дальнейшего развития многомерных кинетических моделей. В практическом плане это будет связано с учетом конкретной геометрии реального физического эксперимента и с их использованием в прикладных задачах, допускающих описание плазменных компонент на разных уровнях строгости.
Список литературы
Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976.
Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме, Вьш. 4 /Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. — М.: Атомиздат, 1964.— С. 46.
Цытович В.Д. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971.
Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев РЗ/ Ядерный синтез. — 1962. — Т. 2. — С. 465.
Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. — М.: Атомиздат, 1979.
Силин В.П. Параметрическое воздействие излучения большой могцности на плазму. —М.: Наука, 1973.
Веденов Л.Л.; Рудаков 〃.玄ДАН СССР. — 1964. — Т. 159. — С. 767.
Захаров В.Е.// ЖЭТФ. — 1972. — Т. 62. — С. 1745.
Сигов Ю. С. Численное моделирование коллективных процессов в разреженной плаз™ ме. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. Докторская диссертация.
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. Одномерные модели плазмы в задаче об аномальной проводимости ^'Тезисы I Конф, по теории плазмы. — Киев: , 1971. — Р. 115.
Сигов ЮС, Ходатаев К.В., Ходырев Ю.В. Аномальное сопротивление плазмы, состоягцей из положительных и отрицательных ионов одинаковой массы / ДАН СССР. — 1972. — Т. 207, № 1. — С. 75.
Sigov Yu.S., Khodyrev Yu. У. Numerical simulation of high frequency heating of plasma/ Proc. VI Europ. conf, on controlled fusion and plasma and plasma physics. — volume 1. —M.: , 1973. — P. 579.
Сигов Ю. С. // Труды объединенного семинара по вычислительной физике. — Тбилиси:
Изд™во Тбил. ун-та. 1973. — Р. 251. Пленарный доклад.
Sigov Yu.S., Khodyrev Yu. У. // Proc. XI hit. Conf, on Phenomena in Ionized Gases.— Praga. 1973. — P. 333.
Иванов Л.Л.? Ю. С. Сигов, Ю.В. Ходырев. К нелинейной теории высокочастотного нагрева плазмы// ДАН СССР. — 1974. — Т. 214. — С. 1291.
Полюдов М.В., Сагдеев Р.З., Сигов Ю. С. Численное моделирование двумерной ленг™ мюровской турбулентности. — М., 1974. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 128)."
Сигов /О.。*； Ходырев Ю.В. Одномерной численный эксперимент по параметрическо™ му нагреву плазмы. — М., 1974. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 129)."
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. Одномерный квазиколлапс ленгмюровских волн при пара™ метрическом воздействии на плазму. — М., 1976. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 11).
Sigov Yu.S., Polyudov A.N. /Proc. XII hit. Conf, on Phenomena in Ionized Gases / Eds J.G.A. Hoelscher, D.C. Schram. — Eindhoven: Univ, of Techn., 1975. — P. 332.
Сигов Ю. C.7 Ходырев Ю.В. К теории дискретных моделей плазмы. — М., 1975.— (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 83).
Галеев Л.Л.7 Сагдеев Р.З., Сигов Ю.С.7 Шапиро В.Д.7 Шевченко В.И. Нелинейная теория модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн " Физика плазмы.— 1975. — Т. 1, № 1. — С. 10?
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. Одномерный квазиколлапс ленгмюровских волн при па™ раметрическом воздействии на плазму “ ДАН СССР. — 1976. — Т. 229. — С. 833.
Полюдов А.Н., Сигов Ю. С. Параметрическая неустойчивость плазмы и ленгмюровский квазиколлапс в двумерной геометрии. —М., 1976. — (Препр./ИПМ
им. М.В. Келдыша АН СССР; № 123).
Bakai A.S., Sigov Yu.S.// Proc. 3rd Int. Congress on Waves and instabilities in Plasmas.— Paris. 1977. — P. 101.
Полюдов A.H., Селяндин Б.Д., Сигов Ю. С. Трехмерная кинетическая модель нели™ нейной эволюции электростатической плазменной волны большой амплитуды. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 145).
Полюдов А.Н.7 Селяндин Б.Д., Сигов Ю. С. Трехмерная кинетическая модель нели™ нейной эволюции электростатической плазменной волны большой амплитуды // ДАН СССР. — 1979. — Т. 246. — С. 58.
Sigov Yu.S., Zakharov V.E. / General invited lecture at 14-th hit. Confn. Phenomena in Ionized Gases. — Grenoble. 1979. — volume II. — P. 63.
Sigov Yu.S., Zakharov V.E. Strong turbulence and its computer simulation // J. de Physique. — 1979. — V. 40, № C7. — P. 63.
Бородачев А.Г.7 Сигов ЮС Численные эксперименты по параметрическому возбуждению магнитоактивной плазмы. — М., 1979. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 65).
Сигов Ю. С., Полюдов А.Н. Двумерные и трехмерные кинетические расчеты по фи™ зике ленгмюровской турбулентности //Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. — С. 78.
Сигов Ю. С. Дискретное моделирование коллективных процессов в разреженной плаз™ ме (метод макрочастиц) //Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980.— С. 18.
Бородачев Л.В.7 Некрасов А.К., Сигов Ю. С. Численное исследование диамагнетизма циклотронных волн в плазме. — М., 1981. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 23).
Sigov Yu.S. Computer simulation of collective phenomena in a turbulent plasma" Physica D. — 1981. — V. 2D, № 1. — P. 165.
Sigov Yu.S. Computer simulation of plasma turbulence in open systems " Physica
Scripta. — 1982. — V. Т2/2. — P. 367.
Sigov Yu.S. / Proc.Spring ITP College on Plasma Physics, Lecture SMR/150. — Trieste: hit. Centre for Theoretical Physics. 1985. — P. 30.
Belova NG, Galeev A.A., Sagdeev R.Z., Sigov Yu.S. “ Proc. Intern. Conf, on Plasma Physics / Ed K. Takayama. — Nagoya, Japan: Fusion Research Association of Japan. 1980. — P. 273.
Белова Н.Г.7 Галеев A.A.7 Сагдеев P.3., Сигов Ю. С. Явление коллапса электростатического поля в двойном слое// Письма в ЖЭТФ. — 1980. — Т. 31, № 9. — С. 551.
Белова Н.Г.7 Сигов Ю. С. К численному моделированию открытых плазменных систем методом макрочастиц. — М., 1982. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 69).
Белова НГ, Галеев А. А., Сагдеев Р.З., Сигов Ю. С. Численное моделирование двойных электрических слоев в плазме. — М., 1982. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 70).
Рудаков Л.И. ДАН СССР. — 1972. — Т. 207. — С. 821.
Гапонов А.В., Миллер М.А. Ц ЖЭТФ. — 1958. — Т. 34. — С. 242.
Горбушина Т.А.7 Дегтярев Л.М.7 Р.З. Сагдеев, Шапиро В.Д.7 Шевченко В.И. Одномерная турбулентность ленгмюровских волн. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 17).
Thornhill S.G.； Haar D.ter// Phys. Rep.. — 1978. — V. 43, № 2. — P. 43.
Конюхов М.ВJ/ ЖЭТФ. — 1959. — Т. 37. — С. 799.
Kruer W.L., Kaw P.K., Dawson J.M.7 Oberman G/ Phys. Rev. Lett. — 1970. — V. 24, № 18. — P. 987.
Kruer W.L., Dawson J.M. // Phys. Fluids. — 1972. — V. 15, № 3. — P. 446.
Kruer W.L. / Advances in Plas. Phys. — 1976. — V. 6. — P. 237.
Бучелъникова НС, Маточкин Е.П. Неустойчивость одномерной ленгмюровской волны. — Н~ск, 1979. — (Препр./ИЯФ СО АН СССР; № 79-21).
Bakai A.S. // Nucl. Fusion. — 1970. — V. 10.
Антипов В. С., Незлин ME, Снежкин Е.И.7 Трубников А.С. // Письма в ЖЭТФ.— 1978. — Т. 74. — С 965.
Кузнецов Е.А. // Физика плазмы. — 1976. — Т. 2. — С. 327.
Доусон Дж. //Вычислительные методы в физике плазмы / Под ред. Б. Олдер, С. Фер- нбах, М. Ротенберг. — М.: Мир, 1974. — С. 514.
Галеев Л.Л.? Сагдеев Р.З., Шапиро В.Д.? Шевченко В.И.// ЖЭТФ. — 1977. — Т. 73.— С. 1352.
Алиханов С.Г., Сагдеев Р.З., Чеботаев П.З. / ЖЭТФ. — 1969. — Т. 57. — С. 1565.
Wong A.Y. // J. de Physique suppl. — 1977. — V. 38, № 12. — P. 6.
Ораевский B.H.7 Сагдеев Р.З. / ЖТФ. — 1962. — Т. 32. — С. 1291.
Kaw Р.К. / Advances in Plas. Phys. — 1976. — V 6. — P. 179.
Бородачев Л.В.7 Сигов Ю. С. Численное исследование параметрического нагрева плазмы в поперечном магнитном поле вблизи верхнегибридного резонанса. — М., 1981.— (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 82).
Петвиашвили В.И. // Письма в ЖЭТФ. — 1976. — Т. 23. — С. 682.
Некрасов А.К., Петвиашвили В.И. Ц ЖЭТФ. — 1979. — Т. 77, № 2. — С. 605.
Залесский Ю.Г.7 Зинченко ВН)Назаров Н.#,7 Демченко В.В. // Письма в ЖЭТФ.— 1985. — Т. 35. — С. 281.
Галеев А.А., Сагдеев Р.З., Шапиро В.Д., Шевченко В.И.// ЖЭТФ. — 1976. — Т. 24.— С. 25.
Bernstein /.А； Green J.М.7 Kruskal M.D. // Phys. Rev. — 1957. — V. 108, № 3. — P. 546.
Morse R.S., Nielson С. Ж. / Phys. Rev. Lett. — 1970. — V. 26, № 1. — P. 3.
Boris J.P., Dawson J.M.7 Orens J.H. // Phys. Rev. Lett. — 1970. — V. 25, № 11. — P. 706.
Biskamp Cho dura A." Phys. Rev. Lett. — 1971. — V. 27, № 23. — P. 1553.
Векштейн GE； Рютов Д.Д., Сагдеев Р.З. // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 60, № 6. — С. 2142.
Завойский ЕК, Калинин Д.Д.? Скорюпин В.А.7 Шапкин В.В.7 Шолин Г.В. " ДАН СССР. — 1970. — Т 194, № 1. — С. 55.
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В.7 Козырев Ю.Н.7 А.Н. Найда. Аномальное сопротивление плазмы, состоягцей из положительных и отрицательных ионов одинаковой массы. — М., 1976. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 62).
Габович М.Д., Найда А.Р. / ЖЭТФ. — 1971. — Т. 60. — С. 965.
Сигов ЮС Численное моделирование коллективных процессов в разреженной плазме. Автореферат докторской диссертации. — М.: ИКИ АН СССР, 1980.
Захаров В.Е., Мастрюков А.Ф., Сынах Р.З. / Письма в ЖЭТФ. — 1974. — Т. 20.— С. 319.
Дегтярев Л.М.7 Захаров В.Е. — М., 1974. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 106).
Галеев А.А.7 Ораевский В.Н., Сагдеев Р.З. / Письма в ЖЭТФ. — 1972. — Т. 16.— С. 194.
Литвак А.Г., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д.Ц Письма в ЖЭТФ. — 1974. — Т. 19.— С. 23.
Eastwood J. W., Hockney R. W. Shaping the force law in 2D particle-mesh model. —— N.Y., 1974. — (Report/August 1974; № RCS13/1).
77* Дегтярев Л.М., Захаров В.Е. // Письма в ЖЭТФ. — 1974. — Т. 20. — С. 6.
Захаров АЕ" ЖЭТФ. — 1973. — Т. 65. — С. 997.
Shmidt G. / Phys. Rev. Lett. — 1975. — V. 34. — P. 724.
Горбушина T.A., Дегтярев Л.М., BE Захаров, Равинская В.Н. Ленгмюровский коллапс и параметрическая неустойчивость в плазме. — М., 1975. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 128).
Pereira N.R., Sudan R.N., Denavit J. / Phys. Fluids. — 1977. — V. 20. — P. 936.
Захаров B.E., Myuiep С.Л., Рубенчик А.М., Стурман Б.И. Нагрев изотермической плазмы. — Н~ск, 1976. — (Препр./ИАЭ СО АН СССР; № 38).
Полюдов А.Н. Реализация модели макрочастиц на ЭВМ. —М., 1979.—
(Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 160).
ГЛАВА 3
МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА: МЕТОД МАКРОЧАСТИЦ
Вычислительный эксперимент в физике плазмы как новый раздел науки возник на пересечении интересов математической физики, вычислительной математики и физики плазмы. Решающую роль в его интенсивном развитии — от зачаточного со стояния в начале 60-х годов до современного уровня — сыграл пришедшийся на те же годы прогресс быстродействующей вычислительной техники. Второе решающее обстоятельство — то, что этот прогресс был использован в полной мере в интересах именно плазмофизических приложений. Это произошло благодаря очевидной акту™ альности и успехам исследований по управляемому термоядерному синтезу, косми™ ческих исследований, современного электронного приборостроения.
Численный эксперимент позволяет наравне с лабораторным проверить приме™ нимость разнообразных теоретических моделей и (что не менее важно), изучать явления в тех условиях, где кончаются области применения теоретических моделей и, наконец, результаты численного моделирования служат основой для разработки новых теоретических построений.
Теоретические построения, опирающиеся на более или менее правдоподобные предположения, позволяют упростить и сузить конкретную задачу, но справедли™ вость и рамки применимости использованных предположений далеко не всегда уда™ ется установить с достаточной точностью. В такой ситуации численные методы моделирования кинетических процессов в высокотемпературной плазме приобретают особое значение.
Ввиду практически неограниченных возможностей диагностики моделируемых в численных экспериментах кинетических процессов и относительно невысоких эко™ номических затрат на их проведение (по сравнению, например, со строительством установок для проведения экспериментов), численные методы играют все более в аж™ ную роль в решении актуальных задач физики плазмы [1—3]*
При рассмотрении теоретических и алгоритмических аспектов численного моде™ лирования нелинейных задач физики плазмы и плазмоподобных сред мы заведомо ограничиваемся «трудными» случаями, в которых существенно не затрагивается нелинейная природа хотя бы одного из уравнений модели плазмы (2.1), (2.2). По этой причине ниже ничего не говорится, например, о линейном и квазилинейном приближениях, которые подробно рассмотрены в литературе и предполагаются из™ вестными читателю [4-10].
В связи с ограниченным объемом издания отдается предпочтение изложению идей и особенностей численных методов, а не деталям и формальной строгости их описания.
Под вычислительным экспериментом обычно понимают моделирование (расчет) на ЭВМ аналога изучаемого физического процесса, построенного «из первых прин-
ципов», т.е. на основе фундаментальных законов, управляющих этим процессом. В области явлений, описываемых уравнениями Власова — Максвелла [11] тако™ му определению вычислительного эксперимента наиболее полно удовлетворяет дис™ кретное моделирование плазмы методом макрочастиц(ММ). Этот метод излагается в гл. 3 с единой точки зрения, в основе которой лежит впервые предложенное в [12, 13] представление модельных кинетических функций распределения в форме линейных интегральных преобразований с симметричными и вырожденными ядра™ ми. Теория объединяет единый подход к построению моделей, сравнительный ана™ лиз и классификацию дискретных моделей, построение эффективных, экономичных модификаций метода макрочастиц, удовлетворяющих локальным законам сохране™ ния. Подробно описан унифицированный подход к выбору формфактора макроча™ стицы, разработанный в [3, 14] и вошедший в практику дискретного моделирования плазмы. Применение его заметно повышает точность ММ, что используется во всех вычислительных кодах.
Примеры дискретных моделей плазмы, включенные в гл. 3 важны либо с точки зрения приоритетности исследований 60™80™гг., либо применяются в решении слож™ ных современных задач (см. гл. 4), либо подчеркивают оригинальность вычисли™ тельного подхода к решаемой проблеме.
Так, описание трехмерного кинетического кода, использованного в решении за™ дач расшифровки механизма кинетической стадии ленгмюровского коллапса в 70-х годах, является методическим дополнением к результатам исследования вопросов СЛТ и умеренной турбулентности, изложенным в гл. 1 и гл. 2.
Первая кинетическая дискретная модель плазмоподобной среды и изучение неустойчивостей в ней приводятся в гл. 3 как пример модификации многомерного электростатического кода для изучения крупномасштабной структуры Вселенной.
Кратко изложены первые результаты дискретного моделирования плазмы в приближении больцмановской жидкости, полученные в 60-х годах по обтеканию заря™ женных тел сверхзвуковым потоком разреженной плазмы. Предсказанное числен™ ным экспериментом возникновение в плазменном следе за телом стоячей ионно™ звуковой волны было подтверждено экспериментами.
Для решения практических задач физики плазмы в начале 80-х гг. впервые в практике вычислительного эксперимента была предложена модель «открытой» фи™ зической системы, которая сыграла заметную роль в развитии теории и практики дискретного моделирования: численно было предсказано возникновение электроста™ тических сильных двойных слоев в результате развития в сильноточной плазме бу- немановской неустойчивости, что позже было найдено в лабораторных измерениях.
В гл. 3 уделено внимание методическим вопросам реализации в ММ кинетиче™ ских моделей «открытых» систем, в том числе и в устройствах со сложной геомет™ рией границ.
Идеи, принципы и обоснование метода макрочастиц
В основе большого числа задач физики плазмы [11, 15] лежит необходимость детального рассмотрения поведения ионизированного газа в условиях «бесстолк™ новительности», когда пробеги "^ электронов и ионов относительно кулоновских столкновений, вследствии высокой температуры или низкой плотности газа, намно™ го превышают характерный размер задачи L — масштаб установки, поперечник об™ текаемого препятствия, длину волны наиболее неустойчивой моды и т.д.
Важнейшим свойством так называемой разреженной или бесстолкновительной плазмы является то, что ее поведение определяется главным образом коллективным характером происходящих в ней процессов, на фоне которых эффекты, связанные с парными столкновениями, выступают, как малые возмущения.
Простой способ убедиться в справедливости этого утверждения состоит в рассмотрении относительного вклада далеких (Ji) и близких ®) кулоновских столкновений в силу «трения», действующую на пробную заряженную частицу, движущуюся в квазинейтральной среде из частиц.
Вводя два параметра: Х。一 дебаевскую длину, характеризующую масштаб экранировки заряда в плазме и классический радиус взаимодействия —— 『min, определяющий расстояние между парой частиц, на котором потенциальная энергия равна кинетической энергии их относительного движения, мы получаем, что:
(3.1)(3.1)F\ IF? = А = 1п(Хо/『min) = 111 3/1/7111 И£) ^5* 1,
(3.1)
(3.1)
где пи = 4/3 7ГПЛ1)— число частиц в дебаевской сфере.
При этом длина свободного пробега Z и характерное время 丁 между столкновениями в плазме с температурой Т и плотностью п (время, за которое частица (электрон) в результате электростатического взаимодействия с зарядовым фоном отклоняется на угол порядка тг/2), даются соответственно формулами:
Лпе4In пи“1/273/2Лпе4In пи“1/273/2'"0Inn и'"0Inn и(3*2)(3*2)
Лпе4In пи
“1/273/2
Лпе4In пи
“1/273/2
'"0
Inn и
'"0
Inn и
(3*2)
(3*2)
Эти зависимости демонстрируют определяющую роль, которую играет плазменный параметр п^1 в самосогласованном поведении как реальной плазмы, так и (как увидим ниже) модельной плазмы.
По существу, возможность эффективного численного моделирования заложена уже в соотношении (3.1). Неравенство (3.1), отражает преимущественную роль одновременного взаимодействия каждой заряженной частицы с многочисленным коллективом ее соседей в сравнении с бинарным взаимодействием типа «удара». Это позволяет рассматривать плазму не только как систему многих (для определенности N) точечных частиц с формальным числом 3N степеней свободы, а как квазиупру- гую среду, связанную дальнодействующими силами и проявляющую свои основные свойства не в индивидуальных движениях каждой частицы, а в макроскопических
самосогласованных квазипериодических движениях, описываемых числом параметров много меньших, чем 3N. Такой совокупностью параметров могут быть, например, характеристики (амплитуда, частота, фаза) конечного числа гармоник, эффективно представляющих спектр возбужденных в плазме собственных колебаний.
Изучение реальной плазмы со времен открытия Ленгмюра, (обнаружившего в плазме, по-видимому первым, проявления коллективных свойств плазмы в виде электростатических колебаний с собственной частотой шр = у 4ттё2 /т) до интенсивных теоретических и экспериментальных исследований реальной плазмы последних десятилетий [16, 6] показало, что дело обстоит именно таким образом.
В настоящее время известен обширный круг коллективных явлений, в число которых включают «сугубо нелинейные процессы, связанные с наличием колебаний и шумов конечной амплитуды, взаимодействие которых с частицами существенно влияет на макроскопические свойства плазмы... Коллективные явления в плазме отражают саму ее природу, ее главные свойства» [6]*
Остановимся на названных выше определяющих свойствах коллективных про™ цессов:
они являются существенно нелинейными;
характеризуются числом степеней свободы т/《3N
Эти весьма важные по своим физическим следствиям свойства играют особую роль при оценке значения и возможностей вычислительной физики плазмы в целом. Дей™ ствительно, первое из них делает в теории плазмы естественным и неизбежным обращение к широкому использованию численных методов, а второе обеспечивает принципиальную возможность и эффективность модельного описания коллектив™ ных свойств плазмы на кинетическом уровне (т.е. в фазовом пространстве (г, v) с помощью конечного числа объектов, много меньшего ^).
Идея ММ достаточно проста. Фазовое пространство (г, v) для электронной (ион™ ной) компоненты плазмы в начальный момент времени 力=0 разбивается на ^, непересекающихся ячеек, а суммарные заряды и массы всех реальных частиц в каж™ дой такой ячейке приписываются одной макрочастице. Решая уравнение Ньютона- Лоренца, можно, шаг за шагом, проследить динамические траектории всех макро™ частиц в фазовом пространстве, параллельно пересчитывая с их помощью электро™ магнитное поле по уравнениям Максвелла на каждом шаге. Таким путем удается воссоздать самосогласованное развитие во времени пространственной картины элек™ тромагнитного поля, с одной стороны, и собственных зарядов и токов плазмы ——с ДРУГОЙ.
В математической записи процедура дискретного моделирования в простейшей модификации, т.е. для точечных макрочастиц 行 ——номер макрочастицы, 1 < J < ^,) с заданным начальным состоянием {r(0), v(0)} выглядит следующим образом:
▽ .Е = 4тг£е^(г_гу ⑴);
(3*3)(3*3)
(3*3)
(3*3)
Прогресс вычислительной техники позволил довести число макрочастиц в конкрет™ ных расчетах до десятков и сотен тысяч *)* Не надо думать, однако, что эти сами по себе не малые цифры вытекают из стремления приблизиться к реальным величинам. Последние в любом случае остаются на 10 + 15 порядков выше. Физическим осно™ ванием, позволяющем заменять реальный газ модельным газом макрочастиц много меньшей плотности, является инвариантность относительно такой замены основ™ ных пространственно-временных параметров плазмы, связанных, прежде всего, с ее определяющим свойством ——электрической нейтральностью. Действительно, если m, е, п — соответственно масса, заряд, плотность электронов или ионов в реальной плазме, а те же штрихованные величины относятся к ее дискретной модели, то из
требования сохранения полного заряда и массы следует выполнение равенств:
^п1 = еп,^п1 = еп,m'n1 = mn.m'n1 = mn.
^п1 = еп,
^п1 = еп,
m'n1 = mn.
m'n1 = mn.
Отсюда сразу вытекает тождественность динамики реальной плазмы и макроча™ стиц:
и инвариантность собственных плазменных частот:
Сохраняется и дебаевский радиус экранировки
3’1P3’1P
3’1P
3’1P
если положить «тепловую» скорость 1斗 = Vt- Несколько хуже обстоит дело со свободными пробегами, поскольку / 〜(mV^)2/ne4 (см* (3.2)):
/I nf/п.
Тем не менее, так как запас «бесстолкновительности» в реальных условиях достаточно велик «》£) неравенство /》£ в большинстве случаев удается сохранить и для моделей.
Более серьезные затруднения при постановке задач и анализе результатов связаны с различием стохастических свойств реальной и модельной плазмы. Так, поскольку заведомо
\/n/n《VnJ/nf, и, следовательно 6п/п《8п'/п\
т.е. уровень тепловых флуктуаций в модельной плазме намного превышает реаль™ ный. В обоих случаях границы, за которыми отмеченные два фактора (уменьшение свободного пробега и увеличение уровня «шумов») начинают заметно искажать результаты численных экспериментов, можно отодвинуть, увеличивая число макроча™ стиц nfD в дебаевской сфере (nfD》1). Именно этот критерий обусловливает исполь™ зование в моделях многих тысяч макрочастиц.
Уже из приведенной краткой характеристики ММ понятны основные трудно™ сти его реализации в вычислительном эксперименте. Это, во-первых, предельная загрузка памяти из-за достаточно большого необходимого минимума макрочастиц, поскольку надо удовлетворить сразу двум требованиям: £》X。и n'D》1* И во-вторых, большое время счета, поскольку основные события разыгрываются, как прави™ ло, на ионных временах ш™1, а шаг по времени должен составлять доли электронного периода ш^Зтг, что в силу m?；》те приводит к большому числу шагов по времени. Именно из-за этого в расчетах нередко используется уменьшенное (модельное) отношение масс т?：/те (например, 100).
Перечисленные трудности заставляют постоянно совершенствовать модели, добиваясь высокой точности (скажем, по сохранению полного импульса и энергии в системе «частицы^поле» на больших временах) при максимальном быстродействии
(минимальном расходе времени на расчет фазовых координат каждой макрочасти™ цы на одном временном шаге).
В настоящее время общепризнано, что несмотря на относительную дороговизну сложных кинетических расчетов ММ, использование дискретных моделей плазмы заведомо окупается в следующих важных ситуациях.
При определении границ применимости приближенных аналитических теорий для сложных нелинейных явлений.
Для получения принципиальных качественных результатов («опорных точек» для последующих теорий) в тех случаях, когда эффективное использование анали™ тических методов невозможно из-за математической сложности задачи (многомер™ ные нелинейные уравнения в частных производных, отсутствие малых параметров, большие времена развития процессов за пределами линейной стадии). Типичны™ ми примерами такого рода могут служить численные исследования, приведенные в гл. 1 и 2. Подчеркнем, что нередки и такие ситуации, когда численный эксперимент является единственно возможным инструментом исследования, как, например, при изучении формирования метагалактических структур в расширяющейся Вселенной или при оценке новых направлений исследований в задачах УТС.
Для детального методического исследования различных модификаций метода ММ и накопления опыта их практического применения ——в целях создания новых эффективных и экономичных гибридных моделей для широкого спектра физиче™ ских и инженерных задач.
Важными дискретными параметрами в ММ являются, как мы увидим в следую™ щих разделах, конечные шаги по пространству Д, времени △力 и эффективный раз™ мер частицььоблака а. Линейный анализ ММ [15, 12, 13, 17—19)14, 2, 20] позволяет получить дисперсионное соотношение для модельной плазмы с учетом конечности параметров Д, At, а, переходящее при Д, △力 а f 0 в дисперсионное соотношение для реальной плазмы. Из него, в частности, следует, что введение параметра а сильно искажает картину волн с длинами Л < а, но практически не затрагивает длинновол™ новую часть спектра, в основном отвечающую за коллективные процессы в плазме (обычно выбирают а ^ Ав)- Постараемся здесь обобщить результаты обоснования ММ и исследований дискретных моделей с тем, чтобы выяснить их место в неравновесной статистической механике и вычислительной математике.
Говоря о ММ как о разделе вычислительной математики, чаще всего его характеризуют как один из методов решения уравнений Власова (УВ). Такой под™ ход (имеющий наглядные основания, поскольку фазовые траектории макрочастиц можно трактовать как характеристики) как бы сразу «легализует» дискретное мо™ делирование, ставя его в один ряд с широко известной среди специалистов системой уравнений, описывающих самосогласованное взаимодействие бесстолкновительной плазмы с электромагнитным полем и сыгравшей огромную роль (в частности, в ли™ нейной) теории плазмы. Тем не менее имеет смысл остановиться на этом подробно.
Дело в том, что при таком безоговорочном подходе ММ изначально оказывается в трудном, в смысле его обоснования, положении. С одной стороны, он автоматиче™ ски наследут все ограничения, связанные с применимостью УВ, с другой — не может столь же легко наследовать их мощные статистические свойства, поскольку, стро го говоря, расчет фазовых траекторий конечного числа макрочастиц в отдельном численном эксперименте далеко не очевидным образом хорошо аппроксимирует од™ ночастичную функцию распределения, фигурирующую в УВ, как результат усред™ нения по статистическому ансаблю, составленному из множества микросостояний. Поэтому, если рассматривать решение, полученное с помощью ММ, как некоторую
аппроксимацию решения УВ , неизбежно возникает вопрос о характере и скорости сходимости такой аппроксимации к точному решению при TV7 f g.
Эта же проблема на физическом уровне может быть сформулирована в виде следующего вопроса: какую именно информацию можно получить из расчета от™ дельного варианта (т.е. из отдельного численного эксперимента) и какова степень ее достоверности? Эти вопросы были подробно рассмотрены в [19]. Строгое мате™ матическое обоснование дискретного моделирования плазмы до 70-х гг. оставалась открытым вопросом. Наиболее принципиальной здесь была проблема сходимости приближенного решения, полученного методом частиц, к решению УВ по основному параметру дискретизации среды ——числу макрочастиц N.
В 1973 г. в работах [21, 22] было показано, что если начальная функция рас™ пределения ограничена и потенциал взаимодействия частиц гладкий, то решение по методу частиц является асимптотической по N аппроксимацией слабого (обоб™ щенного [23]) решения УВ при условии, что последнее существует. Существование в целом обобщенного решения УВ для кулоновских систем в трехмерной геометрии с учетом внешнего магнитного поля и существование в малом по времени единственно™ го классического решения задачи Коши для системы УВ доказаны в работах [24—26].
Дальнейший прогресс в доказательстве сходимости метода частиц по N связан в основном с работами [27—29], в результате которых удалось снять требование сгла™ живания кулоновского потенциала на близких расстояниях. Следует отметить, что в большинстве реально используемых моделей (раздел 3.2.1) такое сглаживание автоматически присутствует, поскольку в них фигурируют протяженные макрочастицы- облака.
Наряду с трактовкой решения по методу частиц как приближенного, в указанном смысле, решения УВ, совершенно правомерна и другая точка зрения.
Для того, чтобы подойти ближе к ответу полезно вспомнить каким образом обыч™ но получают УВ.
Первый путь ——это вывод УВ через теорему Лиувилля, иерархию ББГКИ и ее замыкания путем отбрасывания бинарной корреляционной функции. Второй возможный путь ——использование уравнений Климонтовича (УК) для микроскопических функций распределения [30-32].
Именно на последнем пути наиболее естественно прослеживаются логические связи между ММ и уравнениями Власова. Действительно, фигурирующая в кинетических уравнениях [31] плотность макрочастиц сорта § в фазовом пространстве есть:
£%Ь(г— ⑴)=&(r,v<), (3.4)
38
т.е. не что иное, как используемое в [31] и других работах определение микроскопиче™ ской плотности для частиц §-го сорта, которое в точности эквивалентно уравнениям ММ, поскольку микрополя из УК Еш и Вш определяются теми же уравнениями самосогласованного поля, что и в (3.3). Очевидно, что в таком случае уравнения движения в (3.3) в точности эквивалентны УК из [31].
Таким образом, решение по схеме ММ (3.3) является точным решением УК, если конечно, полное число частиц в обоих случаях одинаково. Поскольку, в свою очередь, система УК является точной и свободной от приближений, то и соответствующее решение в рамках ММ (считаем, что уравнения (3.3) могут быть проинтегрированы точно) описывают точную самосогласованную эволюцию заданного начального состояния N' и в этом качестве имеет ясный физический и математический смысл прямого численного эксперимента и не нуждается в дополнительном обосновании. Разумеется, и в этом случае возможность дальнейшего использования полученной
в численном эксперименте информации для интерпретации моделируемой ситуации в реальной плазме ограничивается повышенным уровнем шумов (^,《^) и кане- ством аппроксимации начального состояния.
Хотя УВ, в отличие от УК, оперируют не с точной микрочастицей, а с усреднен™ ной по ансаблю (одночастичной) функцией распределения и не являются точными, а имеют ограниченную область применения, они в тоже время по формальной записи идентичны УК [31].
Итак, мы можем констатировать два факта. Решение в рамках ММ, т.е. результат отдельного численного эксперимента:
является точным решением УК, т.е. точной эволюцией некоторого начального микросостояния /(г, V, 0) в самосогласованных микрополях (что, собственно, и придает буквальный смысл термину «ч и с л е н н ы й эксперимент»);
является приближенным решением уравнений Власова с точностью до членов порядка О(п^ ) и с этой же точностью передающим описываемые этим уравнениями коллективные процессы [19].
Следует также заметить, что решение ММ не вполне равнозначно решению (или приближенному решению) уравнения Власова по характеристикам, как это часто принято подчеркивать в литературе по моделированию плазмы. Действительно, при дискретном описании плазмы (например, по методу CIC, «облаков в ячейке») по™ еле выбора начального состояния, т.е. задания (с помощью датчика случайных чи~ сел или специальным способом) фазовых координат всех макрочастиц-облаков в начальный момент времени,力°, уравнения, по которым рассчитывают их фазовые траектории при 力°, совпадают с уравнениями характеристик соответствующего УВ. Однако в классических алгоритмах ММ:
для реализации их самосогласованного поведения не требуется восстановления функции распределения при 力之力
что более важно, вводится дискретное время, т.е. фазовые координаты и поля пересчитываются с некоторым шагом △力=т.
При этом, с одной стороны, в модели, в силу дискретного пространства—времени возникают квазистолкновения, т.е. система перестает быть «чисто власовской», т.е. бесстолкновительной, и может считаться таковой лишь на конечных временах, мае™ штаб которых (скажем, при моделировании плазмы) зависит от параметра ^, определяемого числом модельных частиц в дебаевской сфере. С другой стороны, в силу тех же причин, объект приближенного численного описания приобретает большую реальность. В игру вступают стохастические факторы, в полной мере проявляют™ ся коллективные свойства среды как системы многих тел, взаимодействующих по закону Кулона.
Решающими факторами, позволяющими рассчитывать на приближенное описание реальных физических характеристик среды дискретными моделями, становятся уже не соображения относительно существования и единственности задачи Коши для точного уравнения Власова, а физические оценки, дающие возможность судить о том, с какой степенью точности система из конечного набора макрочастиц стати™ стически передает коллективные свойства систем с много большим числом частиц [33, 14, 2, 20]. И здесь, по™видимому, мы очень близко подходим к идеологии асим™ птотических методов решений уравнений для динамических систем.
Возвращаясь к началу сделанного отступления, можно, в силу сказанного, при дискретном моделировании среды вообще не аппелировать к уравнению Власова, а сразу рассматривать систему из динамических уравнений для макрочастиц и урав™ нений самосогласованного поля. И в этом плане то обстоятельство, что при эф™ фективном описании однородно расширяющегося фона в приведенной в этой главе
задаче о моделировании гравитирующих систем в расширяющейся Вселенной, мы приходим формально снова к уравнению Власова с перенормированными силами, позволяет нам просто использовать последние при нахождении фазовых траекторий макрочастиц с помощью обычных уравнений классической механики в дискретной форме.
3.2. Дискретная модель плазмы
При реализации двумерных и трехмерных дискретных моделей плазмы прин™ ципиальным ограничением является трудоемкость алгоритмов. Необходимость вы™ полнения критерия N。》1 требует, как правило, использования большого полного числа макрочастиц N. В то же время для каждой частицы на каждом шаге по вре™ мени надо уметь находить величину действующей на частицу силы. Для этого в принципе есть две возможности.
Суммировать силы взаимодействия каждой частицы со всеми остальными. В таком чисто лагранжевом подходе число арифметических операций на каждом временном шаге, очевидно, пропорционально N2.
Учитывать взаимодействие частицы со всеми остальными через самосогласованное электромагнитное поле. Последнее находить, решая на каждом временном шаге уравнения Максвелла на некоторой выбранной эйлеровой сетке с общим числом узлов J N.
Большое число макрочастиц (N 〜105 — 106), вытекающее из требований физи™ ки моделируемого процесса, и отмеченная выше повышенная «столкновительность» чисто точечных лагранжевых моделей практически полностью закрыли первую воз™ можность. В свою очередь, во втором случае введение пространственной сетки породило в новых моделях, сочетающих лагранжев (в расчетах траекторий частиц) и эйлеров (при вычислении полей) подходы, третий дискретный параметр ——шаг сетки Д, в дополнение к уже имевшимся двум, характеризующим степень «зерни™ стости» среды (^) и конечность временного интервала (△力).
Как показал многолетний опыт дискретного моделирования плазмы, основной прогресс в этом направлении стал возможен тогда, когда было понято, что истинной целью дискретного моделирования должно быть не возможно более точное воспроиз™ водство индивидуальных траекторий, а правильное качественное и количественное описание коллективных свойств плазмы как квазиупругой системы многих тел, связанных дальнодействующими силами.
Решающим фактором резкого повышения эффективности дискретных моделей стал, вслед за введением пространственных сеток, переход от точечных макроча™ стиц к частицам конечных размеров ——так называемым заряженным облакам. Связанное с этим искажение закона межчастичного взаимодействия существенно сказывалось лишь на длинах волн порядка диаметра облака (масштаба «размазы™ ванпя» заряда) и в случаях, когда последний выбирался сравнимым с шагом сет™ ки, естественно, не было принципиальным. В то же время эффективная частота столкновений облаков оказалась много меньше частоты кулоновских столкновений точечных макрочастиц, что при том же числе частиц резко увеличило «бесстолно™ вительность» новых моделей.
При численной постановке какой-либо физической задачи и решении ее методом частиц (в любой из его модификаций) мы сталкиваемся с необходимостью ответить на следующие три вопроса.
Об оптимальном выборе начальных фазовых координат макрочастиц.
О способах восстановления на каждом временном шаге зарядовых и токовых плотностей, входящих в уравнения Максвелла для самосогласованных полей Е и В, по фазовым координатам макрочастиц.
Об уравнениях движения макрочастиц с учетом дискретности системы.
После этого можно переходить непосредственно к реализации численного алгоритма примерно по схеме, которую уточним ниже в разделе, посвященном примеру реализации трехмерного кинетического кода.
Наиболее принципиальной является проблема (2), именно по способу ее решения различаются все используемые модели (раздел 3.2.1). Проблема (3) носит подчинен™ ный характер по отношению к ней ——в разделе 3.2.1 будут получены оптимальные (в смысле выполнения локальных законов сохранения в системе) уравнения движения макрочастиц. При этом мы используем лишь закон восстановления плотности заряда по координатам макрочастиц.
Что касается важного вопроса (1)——о задании начального состояния [1, 34], то он носит по отношению к задачам (2) и (3) в значительной степени автономный характер, его корректное решение абсолютно необходимо для адекватного описания плаз™ мы в конкретных физических условиях решаемой задачи (см. гл. 1, раздел 1.3.2). Остановимся более подробно на задачах (2) и (3).
Классификация основных дискретных моделей
Рассмотрим систему из N точечных частиц с координатами г/(力),скоростя™ ми vj(t), зарядами ej и массами mj, находящимися в некотором объеме S про™ странства. Одночастичную функцию распределения такой системы можно записать в виде
N
/z(r,v,力)=工⑦力"一勺(力)*(v — %•(力))“(3.5)
Ниже мы покажем, что функции распределения подавляющего большинства используемых моделей могут быть представлены в виде линейного интегрального преоб™ разования по г функции (3.5) с симметричными или вырожденными ядрами G:
了N(h v, t) = //(I, v,力)G(r『)dl =(3.6)
=еба(r,гд力))b(v - %(力))*
Естественно определить плотности заряда и тока в моделях, как моменты модельной функции распределения /:
〃(厶力)=/= ^ejGiY.Y^t)),(37)
j(r") = / vJN(r^,t)dv = £sy⑴G(r,“⑴)*(3.8)
В силу линейности преобразование (3.6) приводит к эффективному «размазыванию» («взвешиванию») заряда j-й макрочастицы в окрестности соответствующей координаты Yj(J = 1,..., ^).
Требуя, чтобы это преобразование сохраняло заряд каждой частицы, получаем условие нормировки:
У G(r『)dr = 1.(3.9)
а
Строго говоря, в описании многих моделей часто приводятся выражения для вычис™ ления плотности заряда (в электростатических задачах этого достаточно), а плот™ ность тока и, тем более, функция распределения остаются не определенными. Мы определим функцию распределения по формуле (3.6), считая, что с помощью выра™ жения (3.7) можно однозначно восстановить функцию G(r,r‘) и далее, если потре™ буется, воспользоваться, формулами (3.6), (3.8).
Ниже мы увидим, что для ряда моделей функция G имеет довольно сложную структуру и представление ее в виде произведения нескольких интегральных преобразований (имеющих, как будет показано, всего два типа ядер) полезно не только с точки зрения систематизации, но и для построения новых моделей [12, 13, 35, 33, 19].
В случае единичного преобразования
G(r, г') = J(r — r‘)
формула (3.7) соответствует одной из самых первых моделей плазмы ——«заряжен™ ных листов» [15, 36, 37] и ее двумерному и трехмерному аналогам: соответственно «нитей» и «точек». Рассмотрим некоторые примеры.
Вырожденные ядра. Пусть {&%(!•)} — ортонормированная система функций в S(k = 1,2,..., К). Возьмем ядро преобразования в виде:
к
G(r『)=£&%(г)^Т),(ЗЛО)
к=1
где * обозначает комплексное сопряжение. Очевидно, результат интегрального пре™ образования некоторой функции / с таким вырожденным ядром есть конечный от™ резок ряда Фурье функции / по выбранной системе {&%} [23].
Конкретизируя вид этой системы, можно получить следующие модели.
Модель (А.1). Разобьем S на К непересекающихся частей s^ (к = 1,2,..., К). Система ортонормированных функций в этом случае может быть выбрана в виде:
^k(r) =j 5田(3.11)
где \sk I — мера множества 5k. Используя (3.7)—(3.11) для подсистемы частиц одного сорта, получаем, что плотность заряда в каждой ячейке за счет каждого сорта прямо пропорциональна количеству попавших в ячейку частиц и обратно пропорциональна объему ячейки |S". В одномерном случае (S = L) функция (3.11) выглядит особенно просто:
(①)= ^Но.(3.12)
Здесь h= хк = I к -
Ho(e = u^ + ^^u^^,(ЗЛЗ)
где
€>о,u(a =〈i/2, 一，S €<о,
——так называемая симметричная единичная функция [38].
Таким образом, мы приходим к так называемым модели «ближайшего узла» NGP (nearest grid point) [15] с той лишь разницей, что в NGP плотность заряда находится только в центрах ячеек, а здесь она определена во всех точках каждой ячейки [13, 19, 14]. Это замечание имеет более общий характер: в ряде описанных в литературе моделей плотность заряда вычисляется в конечном количестве точек (узлов), в то время как формула (3.7) определяет плотность во всех точках области S.
Однако, используя такие модели, мы должны помнить, что после решения урав™ нения Пуассона полученное электрическое поле необходимо интерполировать между узлами, т.е. опредлить его во всех точках S (это необходимо для вычисления сил, действующих на частицы). После этого из уравнения Пуассона по интерполирован™ ному значению поля нетрудно установить фактическую интерполяцию плотности.
Например, для модели NGP выбор системы функций в виде (3.11) соответствует линейной интерполяции поля, наиболее часто употребляемой на практике.
Для интерполяции можно использовать сплайны более высокого порядка, в этом случае ядро G(r,r‘) имеет более сложную структуру.
Из сказанного следует, что представление моделей в форме (3.6), помимо способа восстановления плотности заряда по координатам частиц, включает и способ пнтер— поляции. Это позволяет более точно исследовать модели. В рамках такого подхода можно считать, что уравнение Пуассона решается точно, т.к. главная часть ошибки включена в описание модели.
Заметим, что по сравнению с моделью «заряженных листов» Бунемана [15] дан™ ный метод уменьшает столкновительные эффекты, поскольку сильно ослабляет вза™ имодействие частиц на расстояниях порядка и меньше размера ячейки. Однако это сглаживание в модели NGP взаимодействия частиц обладает заметными недостат™ ками: движение частиц внутри ячейки не приводит к перераспределению частиц на отрезке, а переход частицы из одной ячейки в другую вызывает резкое локальное изменение плотности.
Большую роль в распространении этой модели сыграли простота реализации и низкая трудоемкость алгоритма вычисления плотности.
Модель (А.2). В качестве ортонормированной системы можно взять трпгоно— метрическую. В одномерном случае она имеет вид:
4%(①)=4%(①)=1 丁Р1 丁Р2тгк1—^х2тгк1—^х(3.15)(3.15)
4%(①)=
4%(①)=
1 丁Р
1 丁Р
2тгк
1—^х
2тгк
1—^х
(3.15)
(3.15)
(к = 1, 2,. •., К; £ ——длина области).
Получившаяся при этом модель соответствует предложенной в работе [39].
Плотность заряда берется в виде:
гдегде…£…£2тгкРк ехр ①2тгкРк ехр ①Рк = £ ⑦二 ехрРк = £ ⑦二 ехр2тгк2тгк
где
где
…£
…£
2тгк
Рк ехр ①
2тгк
Рк ехр ①
Рк = £ ⑦二 ехр
Рк = £ ⑦二 ехр
2тгк
2тгк
Рис. 3.1. Вспомогательные функции (симметричные ядра) для дискретных моделей: «ступенька» (а); «шляпка» (0; «треугольник» (в); «квадратичный колокол» (а); Г (а = =1/^5^) = е‘—"£ (д). Обозначенная «стрелкой» длина импульса соответствует его ило щади (е)Рис. 3.1. Вспомогательные функции (симметричные ядра) для дискретных моделей: «ступенька» (а); «шляпка» (0; «треугольник» (в); «квадратичный колокол» (а); Г (а = =1/^5^) = е‘—"£ (д). Обозначенная «стрелкой» длина импульса соответствует его ило щади (е)
Рис. 3.1. Вспомогательные функции (симметричные ядра) для дискретных моделей: «ступенька» (а); «шляпка» (0; «треугольник» (в); «квадратичный колокол» (а); Г (а = =1/^5^) = е‘—"£ (д). Обозначенная «стрелкой» длина импульса соответствует его ило щади (е)
Рис. 3.1. Вспомогательные функции (симметричные ядра) для дискретных моделей: «ступенька» (а); «шляпка» (0; «треугольник» (в); «квадратичный колокол» (а); Г (а = =1/^5^) = е‘—"£ (д). Обозначенная «стрелкой» длина импульса соответствует его ило щади (е)
Алгоритм характеризуется простотой реализации, дает, как и NGP, сглаживание на коротких расстояниях, но имеет относительно большую трудоемкость.
Отметим, что описанные модели обладают довольно высоким уровнем равно™ весных электростатических флуктуаций. Попытка снижения стационарного уровня колебаний в моделях (А.1), (А.2) соответственно увеличивая h или уменьшая К, приводит к сильному искажению взаимодействия между частицами вплоть до по™ явления специфических неустойчивостей (см. раздел 3.2.3). Ниже мы приводим мо™ дели, в которых сглаживание взаимодействия производится с большим успехом —— это уже упоминавшиеся модели, использующие концепцию «облаков».
Симметричные ядра. Пусть G(r,r‘) = A(r —г'), где R — интегрируемая, четная по всем аргументам, функция. Каждая частица представляет собой заряжен™ ное «облако», форма которого не зависит от положения частицы в пространстве. Это и есть собственно модель «заряженных облаков» (cloud™in™clouds). Однако на практике в таком «чистом» виде она почти не используется. Это связано с тем, что уравнения электромагнитного поля решаются либо на сетках, либо разложением по какой-либо системе ортогональных функций, что приводит к фактическому искаже™ нию первоначальной формы размазывания заряда. Для большинства моделей такое искажение (имеющее особенно простой вид в одномерном случае) можно включить в описание модели. Функции распределения при этом получаются как произведение преобразований с ядрами из примеров (А) и (В). Приведем еще несколько подобных моделей.
Модели типа «облаков в ячейке». Для них справедливы замечания, сделанные выше (А), об учете интерполяции электрического поля.
. Ядра G(r,r‘) в таких моделях представляют собой произведения некоторого числа ядер, уже встречавшихся выше (их будем обозначать G/ и Gr). Пусть
(3.16)(3.16)
(3.16)
(3.16)
Первое преобразование ——с ядром Gp = Яо(г; — г"), где
- г") = JJ — i?o- г") = JJ — i?o
- г") = JJ — i?o
- г") = JJ — i?o
121；2
61616262% у% у6464636344
61
61
62
62
% у
% у
64
64
63
63
4
4
аб
Рис. 3.2. Схема распределения заряда по сеточным узлам в модели CIC (облака в ячейке)
заметим, что Но(0 определено в (3.13), a Q — размерность пространства. Второе преобразование — с ядром
Ga 二工以⑺城(I),k
где 少询⑺ определены формулой (3.11).
Нетрудно убедиться, что модель (3.6), (3.7) с ядром (3.16) соответствует так называемые модели CIC «cloud^in^cell» [15], которой можно дать очень наглядную интерпретацию и благодаря которой она получила название «облака в ячейке». В (CIC) «взвешенное» распределение заряда «облака» между окружающими узлами сетки реализуются следующим образом. Для примера рассмотрим двумерный вариант ас. 11
В расчетной области {ж, у\ 0；/；£ 优)0 < 1/ < Ly} вводится равномерная по каждой координате сетка с шагами hx и hy.
=&-S51-S 一一=&-S51-S 一一Частица с координатами (力厶少/) и зарядом ej, находящаяся в некоторой ячейке, дает вклады gi, ^2 Лз7 ^4 в узлы 1, 2, 3, 4 по формулам:
=
&-S51-S 一一
=
&-S51-S 一一
(3*17)
где Si)$2)$з)$4 — площади прилегающих к соответствующим узлам прямоугольников и
4
s = £ Sj.
Плотность получается делением заряда в узле на площадь ячейки S = hxhy.
Узлы 1, 2, 3, 4 считаются центрами ячеек новой сетки, получающейся из старой
сдвигом на hx/2 по оси х и на hy/2 по оси у рис. 3.2,6 .
Заряд частицы распределим равномерно по прямоугольнику, жестко связанному
с частицей:
自一2^2十 十<一 <一<一 <一生2%一2自一2^2十 十<一 <一<一 <一生2%一2
自一2^2十 十<一 <一<一 <一生2%一2
自一2^2十 十<一 <一<一 <一生2%一2
В итоге приходим к новой частице, которую обычно называют «облаком». Те™ перь часть облака, попавшая в какую либо новую ячейку, приписывают центру этой ячейки, т.е. старому узлу. Простые геометрические соображения показывают, что вклады облака в узлы даются формулами (3.17). Следовательно, оба метода вычисления плотности эквивалентны [35].
Из описания модели видно, что не представляет труда определить и одномерный и трехмерный аналоги CIC. В одномерном случае модель схематически выглядит так: частица, попавшая между некоторыми узлами 1 и 2 сетки, дает вклад в узел 1, пропорциональный расстоянию ее до узла 2, и наоборот. И здесь модель допускает наглядную интерпретацию, как модель «облаков в ячейке». Размер облака равен размеру ячейки.
Одномерный случай позволяет особенно наглядно познакомиться с важными свойствами концепции «облаков» и представляемыми ею возможностями.
Предварительно введем последовательность вспомогательных финитных функ™ ций Нп(^), (п = 0,1, 2,...), (рис. 3.1) используя определение (3.13) для %(£) и операцию свертки:
(1,同 <1/2, < 1/2,同=1/2, 同 > 1/2,(1,同 <1/2, < 1/2,同=1/2, 同 > 1/2,(3.18)(3.18)
(1,同 <1/2, < 1/2,同=1/2, 同 > 1/2,
(1,同 <1/2, < 1/2,同=1/2, 同 > 1/2,
(3.18)
(3.18)
—— (функция «шляпка»);
m长)=/ %(8)%(£ - e* = %® * %® = {:「乱 ^ J ；(3」9)
—(функция «треугольник»);
%(о = яда * Яош = %(о * я0(о * 办⑹=
(3/4-已同，1/2,
=< 1/2(3/2 —同2), 1/2 < lei 3/2, (3.20)
(О,同〉3/2,
(321)(321)—— (функция «квадратичный колокол»);
(321)
(321)
瓦(£) = »—(£)%(£)•
Используя формулы (3.7), (3」1)—(3.13), (3.16), (3.19), вычислим явное выражение для плотности заряда 〃(/)力).Имеем
Gcic^,^) = / ； £% (m-『&) н0 (三一^一三人)冗0(疗 _x,1)dxu =
k=l ''''
Подстановка (3.22) в (3.7) дает
j=l k=l ''j=l k=l ''hh
j=l k=l ''
j=l k=l ''
h
h
При x = Xk получаем значение плотности в узлах сеткиПри x = Xk получаем значение плотности в узлах сетки
При x = Xk получаем значение плотности в узлах сетки
При x = Xk получаем значение плотности в узлах сетки
〃к(/)方)=p{^k ?方)二〃к(/)方)=p{^k ?方)二(323)(323)
〃к(/)方)=p{^k ?方)二
〃к(/)方)=p{^k ?方)二
(323)
(323)
Перепишем (3*23) в виде
Pk (/)方)=Pk (/)方)=N=e冗О(/一•)N=e冗О(/一•)(3.24)(3.24)片1片1X = XkX = Xk
Pk (/)方)=
Pk (/)方)=
N
=e冗О(/一•)
N
=e冗О(/一•)
(3.24)
(3.24)
片1
片1
X = Xk
X = Xk
Интегрируя (3.24) и используя нормировку (3.9), получаем, что для любого Xj справедлива формула:
)=L325)
Полученные результаты позволяют полностью прояснить соотношение между двумя альтернативными алгоритмами определения плотности заряда в узлах сетки, ело™ жившимися в практике применения концепции «облаков» [35, 14]. Различие между этими алгоритмами связано возможностью двух разных интерпретаций плотности заряда, определяемой на разностной сетке, по которой движутся «облака».
В соответстствии с первым алгоритмом плотность заряда в узле определяется как сумма вкладов зарядов всех частиц, приходящихся на эту ячейку, деленная на объем ячейки 口: hq. Вклад каждой частицы вычисляется как полное количество заряда, попавшее в соответстсвующую ячейку, т.е. определяется интегрированием финитной функции R по пересечению ее носителя с данной ячейкой. Этот алгоритм оперирует непосредственно с функцией Л (г ™ rj), определяющей распределение заряда внутри самого облака и потому именуемой формой облака или формфактором [20].
Альтернативный подход состоит в следующем. Мы можем считать, что распределенные частицы конечных размеров («облака»), перекрываясь, формируют непрерывную сглаженную функцию плотности заряда, отдельные значения которой записаны в узлах сетки. В этом алгоритме удобно оперировать уже не с формфактором облака R(T^Tj), а с некоторой производной функцией Л, определяемой путем после™ довательного применения формул (3.16), (3.7). Название для функции R не вполне установилось. Одно из наиболее употребительных — передаточная функция облака (assigment function)——представляется достаточно хорошо отражающим суть дела. Ниже мы будем говорить об облаках с формфактором J?(X) и с передаточной функцией Л, (X = / — /《).
Характер соотношения между R и R непосредственно следует из рассмотренного выше примера R = Ло- Сопоставляя формулы (322)—(3.24))получаем:
瓜(X)=曾瓜(X)=曾* Яо* Яо%(Х)*Нд%(Х)*Нд吊(X). (3.26)吊(X). (3.26)
瓜(X)=曾
瓜(X)=曾
* Яо
* Яо
%(Х)*Нд
%(Х)*Нд
吊(X). (3.26)
吊(X). (3.26)
Рис. 3.3. Иллюстрация двух интерпретаций к интерполяции заряда на сеточные узлы вNGP a, CIC б, TSC в: с использованием формфактора (вверху) и передаточной функции(внизу)
Любопытный результат: передаточная функция Ло для облака с кусочно-постоянным формфактором Ло одновременно является формфактором другого облака с ядром Л1 более высокого порядка (линейным) см. (3.19) и рис. 3.1. Это обстоятельство позволяет дать двум описанным выше алгоритмам определения плотности заряда в узлах сетки удобную геометрическую интерпретацию, см.рис. 3*3.
. Опираясь на полученные результаты, мы можем построить целую иерархию моделей типа «облаков в ячейке», последовательно выбирая формфакторы облаков по следующему принципу:
(3.27)(3.27)〜1Rig = RMX)=声〜1Rig = RMX)=声爲(X)*%爲(X)*%(3.28)(3.28)〜1Rn(X) = Rn+1(X) =〜1Rn(X) = Rn+1(X) =
(3.27)
(3.27)
〜1
Rig = RMX)=声
〜1
Rig = RMX)=声
爲(X)*%
爲(X)*%
(3.28)
(3.28)
〜1
Rn(X) = Rn+1(X) =
〜1
Rn(X) = Rn+1(X) =
Случай n = 1, соответствующий облакам с «треугольным» распределением заряда, т.е. с линейным формфактором Ri(X) и квадратичной передаточной функцией Л1 (X) = J?2(X))(рис. 3.1) сочетает достаточно высокую степень сглаживания (интерполяции) с малым числом требующихся в реализации элементарных операций и потому широко используется в приложениях [19, 14]. В литературе она обычно фигурирует как модель TSC «triangular-shaped density cloud».
Таким образом, в вышеописанной степенной иерархии моделей каждая последующая передаточная функция определяется путем свертки предыдущей с функцией "О =才冗о(Х). Разумеется, для всех моделей остается справедливым соответ-
ствующий аналог формулы (3.25), отвечающей условию сохранения полного заряда облака:
E 瓦=1 5 = 0•(3.29)
Многомерные обобщения схем (3.27) имеют формфакторы и передаточные функции, представляющие собой произведения соответстсвующих одномерных функций для каждого измерения. Понятно, что в общем случае для облаков достаточно произвольной формы формфакторы многомерных моделей могут и не сводиться к про стому произведению одномерных.
. Интересной разновидностью моделей типа CIC является модель с ядромG(/)/‘)= / Ga (ж, x"')GB(x\x,f ')dxf\
где G/ — по (3.12),
GbS= RGausg' - 支“)=—7= exp.(3.30)
Формфактор (3.30) определяет облако, имеющее форму гауссоиды (рис. 3.3). Соответствующая модель обладает хорошими интерполяционными свойствами, но доро™ га в реализации и в настоящее время чаще используется в единичных расчетах, в основном с методическими целями.
. В качестве последнего примера рассмотрим модель с ядром
G(x, хг) = / G/(招/")Gb(认/")d"\(3.31)
где Gb = ^Gauss определяется по (3.30),
-)=E 以⑺k
и {3询(/)}——тригонометрическая система функций (3.15). Это пример модели, в построении которой не использовано какое-либо пространственное разбиение. Однако формальная запись в форме (3.31) позволяет отнести ее к описываемому классу моделей (С).
Заметим, что запись моделей в форме (С) является наиболее общей. Модели типа (А), (В) можно рассматривать как частные случаи (С), в которых соответственно Gb(Mi•")= 6(Г‘ 一 I•")и
G/(r)Y) = 6(r —
Изложенный принцип классификации дискретных моделей по способу восстановления плотности заряда (тока), основанный на использовании линйных интегральных преобразований функции распределени точечных частиц с вырожденными и симметричными ядрами, был впервые предложен в работе [12, 13] и в настоящее время может считаться общепринятым [33, 20, 40].
Локальные законы сохранения в моделях и уравнения движения макрочастиц
Рассмотрим частицы одного сорта с зарядом е и массой т. Получим систему уравнений для моментов их функции распределения(/n,g(r, v, t) = J v^/(r, v, t)dv, умножая уравнение Власова (2.1) на v^ (g = 1,..., Q), n = 1,2,... и интегрируя
по V от —ос до 十ос:
縮 + 与訂/^ — ^nEqg…=0.縮 + 与訂/^ — ^nEqg…=0.(3.32)(3.32)
縮 + 与訂/^ — ^nEqg…=0.
縮 + 与訂/^ — ^nEqg…=0.
(3.32)
(3.32)
Эти уравнения выражают локальные законы сохранения. Подставляя в (3.32) модельную функцию распределения (3.6), находим систему уравнений для координат rj (力)и скоростей vj (力)частиц конечного размера
e卜晚十几e传-曰石/G(-)%t = °-(333)
Система уравнений (3.33) относительно 『/(力)и vj (t) в общем случае решения не имеет. Потребуем ее выполнение «в среднем», для чего проинтегрируем (3.33) по занимаемому системой частиц объему и приравняем нулю каждый член сумм в левой части. Тем самым, мы потребуем выполнения локальных законов сохранения с учетом дискретности системы, т.е. выполнения их в масштабах порядка (и больше) эффективного размера функции G(r, rj) [12, 13]. Тогда
(3.34)(3.34)(3.35)(3.35)寸3 ⑴=£ / E(rJ)G(r,rjfZr =注^
(3.34)
(3.34)
(3.35)
(3.35)
и (для симметричных ядер)
丐⑴=%•(力
Для несимметричных ядер (3.35) является налагаемым извне условием.
Выражения (3.34), (3.35) являются уравнениями движения модельных частиц.
Разностным аналогом системы (3.34), (3.35) может служить любое конечно-разностное выражение, удовлетворяющее стандартным требованиям аппроксимации, точности, устойчивости и эффективности.
Наиболее употребительным способом дискретизации (3.34), (3.35) является так называемая «схема с перешагиванием» (leap-frog)
pTl+l _『Т1△力pTl+l _『Т1△力=vn+l/2=vn+l/2(3.36)(3.36)уП+1/2 一 у^—1/2уП+1/2 一 у^—1/2F(rn)mF(rn)m(3.37)(3.37)
pTl+l _『Т1
△力
pTl+l _『Т1
△力
=vn+l/2
=vn+l/2
(3.36)
(3.36)
уП+1/2 一 у^—1/2
уП+1/2 一 у^—1/2
F(rn)m
F(rn)m
(3.37)
(3.37)
где △力 ——шаг по времени, а верхний индекс п обозначает временной уровень tn = =nAt
Простая сходимость (3.36), (3.37) к уравнениям (3.34), (3.35) при △力 f 0 очевидна. Меняя t на —力 нетрудно убедиться и в том, что, будучи центрирована по t, эта схема обратима во времени, т.е. согласуется с одним из необходимых требований описания системы во власовском приближении.
Покажем теперь на одномерном примере, что схема (3.36), (3.37) второго порядка точности по △力 Исключая v из (3.36), (3.37), имеем
十 2ЖП 十F(xn)十 2ЖП 十F(xn)(△方)2(△方)2mm(3.38)(3.38)
十 2ЖП 十F(xn)
十 2ЖП 十F(xn)
(△方)2
(△方)2
m
m
(3.38)
(3.38)
Пусть ж ——решение исходного дифференциального уравнения —-，，at2Пусть ж ——решение исходного дифференциального уравнения —-，，at2ка ж в (3.38) дает:ка ж в (3.38) дает:F「—.Подстанов- mF「—.Подстанов- m(△方)2m(△方)2m(3*39)(3*39)(где 6n — погрешность на n-м шаге). Разлагая жп+1, 充罹一1 в ряд Тейлора в окрестности жп = x(tn) и подставляя в (3.39), получаем(где 6n — погрешность на n-м шаге). Разлагая жп+1, 充罹一1 в ряд Тейлора в окрестности жп = x(tn) и подставляя в (3.39), получаем彦元（△方）2 d4HdF十彦元（△方）2 d4HdF十12 山412 山4十(ч.б.в.п) =6 *十(ч.б.в.п) =6 *(3*40)(3*40)
Пусть ж ——решение исходного дифференциального уравнения —-
，，at2
Пусть ж ——решение исходного дифференциального уравнения —-
，，at2
ка ж в (3.38) дает:
ка ж в (3.38) дает:
F「
—.Подстанов- m
F「
—.Подстанов- m
(△方)2m
(△方)2m
(3*39)
(3*39)
(где 6n — погрешность на n-м шаге). Разлагая жп+1, 充罹一1 в ряд Тейлора в окрестности жп = x(tn) и подставляя в (3.39), получаем
(где 6n — погрешность на n-м шаге). Разлагая жп+1, 充罹一1 в ряд Тейлора в окрестности жп = x(tn) и подставляя в (3.39), получаем
彦元（△方）2 d4H
dF十
彦元（△方）2 d4H
dF十
12 山4
12 山4
十(ч.б.в.п) =6 *
十(ч.б.в.п) =6 *
(3*40)
(3*40)
Сравнивая (3.40) с (3*39) приходим к искомому результату:
(△方)2 d^x12 dF(△方)2 d^x12 dF+ ... (ч.б.в.п).+ ... (ч.б.в.п).
(△方)2 d^x
12 dF
(△方)2 d^x
12 dF
+ ... (ч.б.в.п).
+ ... (ч.б.в.п).
Рис. 3.4. Частота гармонического осциллятора, рассчитанная по схеме с перешагиванием, как функция шага по времени. Вне предела устойчивости частота становится комплекснойРис. 3.4. Частота гармонического осциллятора, рассчитанная по схеме с перешагиванием, как функция шага по времени. Вне предела устойчивости частота становится комплексной(3*43)(3*43)
Рис. 3.4. Частота гармонического осциллятора, рассчитанная по схеме с перешагиванием, как функция шага по времени. Вне предела устойчивости частота становится комплексной
Рис. 3.4. Частота гармонического осциллятора, рассчитанная по схеме с перешагиванием, как функция шага по времени. Вне предела устойчивости частота становится комплексной
(3*43)
(3*43)
Строгое исследование условий устойчивости разностной схемы является довольно сложной задачей, связанной, в частности,с построением так называемой «матри™ цы перехода» и рассмотрением ее собственных значений [41]. Однако качественное представление об устойчивости схемы с перешагиванием в методе частиц можно по™ лучить, используя априорные знания о том, что подавляющая часть плазменных движений носит колебательный характер. Рассмотрим в рамках схемы (3.36), (3.37) простую задачу о гармоническом осцилляторе с собственной частотой С [20]
— += 0.(3.41)
Разностным аналогом (3.41) по схеме с перешагиванием будет:
N+1 —+ Q2(△方)2/П = 0(3.42)
Подставляя в (3.42) искомое решение в виде ж = =С ехр(23方),получаем
а△力с△力
sin= ±22
и общее решение уравнения (3*42)
жп = С] COSG 严 十 С? sin g严*
Из (3.43), (3*44) видно, что хотя схема (3.36), (3*37)
сохраняет колебательный характер движения, последнее происходит с измененной частотой, нарастающей с увеличением At Условие устойчивости схемы с перешагиванием в этом примере
(3*45)(3*45)△方 W 2/c
(3*45)
(3*45)
При С△方〉2 частота g становится комплексной с отрицательной мнимой частью, что соответствует экспоненциальному росту амплитуды колебаний рис. 3.4. Оценки (3.43), (3.45) часто используются в практических расчетах, при этом роль С играет наибольшая из ожидаемых собственных частот в системе (например, G@e)*
Покажем, что схема (3.36), (3.37) для задачи (3.41) является консервативной.
Для этого, используя соотношение*■…:, запишем (3.42) в виде
产+1/2 —产 Тб = —С?△力力七(3.46)
Умножая (3.46) на (^n+i/?十 ^罹一1/?))получаем
(…2)2 — ~Т/2『=—q2△“ "+1/2 十^T/2)=
=—02△方f(^_二土一三_卜 ⑸ 47)
ИЛИ
Е =卜罹+1/2)十 Q2/TI/TI+1 = const(3*48)
—разностный аналог закона сохранения энергии,石二万？十 О2ж2, осциллятора, описываемого дифференциальным уравнением (3.41).
Эффективность разностной схемы определяется количеством шаров по времени и числом арифметических операций на каждом шаге. Требование устойчивости ограничивает △力.Для разумного компромиса между требованиями эффективности и устойчивости есть два пути: использование схем более высокого порядка точности и больших △力 или использование схем более низкого порядка с малым At Поскольку в плазме, как мы убедились, △力 чаще всего ограничено долями плазменного периода, в практических расчетах обычно довольствуются мак™ симально экономичной схемой второго порядка точности, какой является схема с перешагиванием.
Вычисление сил и потенциалов. Сеточные эффекты
Чтобы завершить принципиальное описание основных стадий типичного вычис™ лительного алгоритма метода частиц продолжим рассмотрение одномерной модели CIC для плоской электростатической задали на отрезке —£/2 < ж < L/2 с периодическими граничными условиями.
В схеме основного цикла в методе частиц (раздел 3.3.2, рис. 3.7) остается пока неопределенным содержимое следующих трех блоков: III ——решения уравнения Пуассона на сетке для определения значения потенциала в узлах 夕询=夕(力询)； IV — разностного дифференцирования потенциалов 夕询 для нахождения полей Е^ = =石(力询)；V — интерполяции значений Е^ на координату Xj макрочастицы для определения действующей на нее силы Fj = F(xj).
Выражения (3.23)—(3“24) для плотности заряда можно трактовать как интерполяционные формулы, позволяющие «взвешенным» образом учитывать вклад каждого заряженного облака с центром Xj в плотность заряда в узлах сетки, р^ = р(хк)>
Для определения по дискретному полю {pk} соответствующего поля потенциалов {夕询} надо завершить дискретизацию уравнения Пуассона, задавшись каким-либо способом замены производных конечными разностями.
Пусть эта процедура как-то определена и в результате численного решения уравнения Пуассона (блок III) найдены значения
3卜 二夕(/心)=)[①(/卜一^k, }p{^k, )• (3*49) k'
Пусть далее определена и процедура дискретного «дифференцирования» 夕询 (блок IV)
Ek = E(xk)=—衣(也).(3.50)
Здесь ①(力询一力加)一некоторый разностный аналог функции Грина, d — разностный оператор дифференцирования 夕.
Посмотрим теперь, как по известному дискретному полю ｛石询｝)аппроксимирую- щему непрерывную функцию 石(/* 力)*
石 e 方)=e 以6(片(3.51)
находить электрическое поле 石厶 действующее на частицу в х = Xj.
Для этого мы, оставаясь в рамках выбранной модели CIC, должны воспользоваться формулой (3.34) для F(x,t), подставив в нее (3.51) и выражение для ядра Gene (…j из (3.22)
Ej(t) = E(xj,t) = / E(x,t)Gcic (^^j) dz =Ej(t) = E(xj,t) = / E(x,t)Gcic (^^j) dz =
Ej(t) = E(xj,t) = / E(x,t)Gcic (^^j) dz =
Ej(t) = E(xj,t) = / E(x,t)Gcic (^^j) dz =
= £EkHi(3.52)
kk
Мы видим, что интерполяция ｛石询｝ на ж = Xj при вычислении Ej производится с помощью той ж е передаточной ф у н к ц и и «треугольник»
- I, что и при интерполяции заряда частицы в точке Xj на узел Этот
очень важный результат демонстрирует внутреннюю самосогласованно с т ь модели CIC. То же самое будет справедливо для модели NGP, TSC и других корректно построенных моделей (см. рис. 3.3).
Покажем, что: (I) полученная выше идентичность передаточной функции для 〃询 и интерполяционной функции для электрического поля (силы) Ej и (II) условие правильной пространственной центрированности разностных производных для уравнения Пуассона обеспечивают в такой корректной модели сохранен и е полного импульса системы.
Условие (I) означает, что заряд, передаваемый в точку 力询)6〃(/询)* частицей с зарядом q и координатой ж, есть
(3.53)(3.54)(3.53)(3.54)^р(хк) = qR(x — хк).
(3.53)
(3.54)
(3.53)
(3.54)
В то же время проинтерполированная на частицу сила F(x) есть 尸⑺=h^ qR(x — xk)E(xk).
Условие (II) требует, чтобы разностные уравнения, используемые для вычисления 夕 и Е, были формально представимы в виде
(3.55)(3.55)石⑷0 = h^D(xkjxk/)p(xk/)yк1
(3.55)
(3.55)
гдесс
D(x^, х^>) = —D(x^f, х^.(3.56)
Чтобы доказать, исходя из (3.53)—(3*56))сохранение полного импульса в системе, достаточно показать, что:
силы «самодействия» равны нулю;
силы между частицами равны и противоположны по направлению.
Рассмотрим силу самодействия J^eif. Из уравнений (3.53)—(3.55) находим, что частица, находящаяся в точке ж, действует сама на себя с силой
几 if(z) = q2li2^D(xk,xk>)R(x — xk)R(x — xk>),(3.57)
или, меняя местами индексы к и к「получим
几 if(z) = q2K2^D(xk4xk)R(x — xk>)R(x — xk).(3.58)
к,к'
Складывая (3.57) и (3*58) и используя (3.56) находим, что
冗 elf = 0.(3.59)
Учтем межчастичные силы. Согласно уравнениям (3*53)—(3.55))на частицу 1 с зарядом gi в точке Ж1 со стороны частицы 2 с зарядом q? в точке 力2 действует сила〜…〜
^12 = 42史戸 £ 丘(力1 一 xk)D(xk,xk>)R(x2 一 xk>).(3.60)
к'
Аналогично, сила на частицу 2 со стороны частицы 1 есть
尸21 =史42戸 £ 丘(妆—xk>)D(xk4xk)R(X! — xk).(3.61)
Складывая (3.60), (3.61), получаем требуемый результат
Е.2 十尸21 = 0.(3.62)
К сожалению, модельные схемы, корректные в смысле выполнения условий (I), (II), не являются одновременно схемами, сохраняющими точно полную энергию си™ стемы. Последние могут быть получены строго с помощью использования вариационного принципа Гамильтона для нахождения дискретных аналогов уравнений Ньютона-Максвелла в тех или иных заданных классах функций [15, 2, 20, 42].
Получающиеся консервативные (по энергии) схемы обладают той особенностью [2, 20], что в них нарушено условие (I). Так например, в рассмотренной схеме с линейной передаточной функцией Н± (^) для зарядовой плотности в узлах сетки, соответствующей модели CIC, интерполяция сил на частицу должна будет производиться уже с помощью кусочно-постоянной функцией %(£))отвечающей модели NGP. Предоставляем читателю, в порядке упражнения, самому убедиться в том, что такая «смешанная» CIC/NGP модель не сохраняет полный импульс в системе из-за появления сил самодействия. По этой причине изолированный заряд q с мае™ сой т, находящийся в произвольной точке на сетке с шагом /г, будет осциллировать относительно границ ячейки с частотой Gseif)пропорциональной (q2/mh)1^2.
Для более близкого знакомства с сеточными эффектами рассмотрим одномер™ ную дискретную модель из N частиц с координатами 工“ на бесконечной прямой ж. Плотность п их центров
N
При наличии сетки хр = ph дискретные значения плотности заряда в узлах полу™ чаются путем свертки п{х) с передаточной функцией 笈 выбранной модели с форм™ фактором R
р(хр) = q У n{x')R{xp — x')dx'.(3.63)
Обозначим через ,'(/) непрерывный аналог плотности (3.63) принимающий в узлах хр те же сеточные значения
/(ж) = q У n{xr)R{x — #)d/[(3.64)
"(力&) = Р(хРУ(3.65)
Удобно перейти к фурье™представлению, обозначая преобразованные величины зна™ ком " сверху. Тогда по теореме о свертке из (3.64) сразу следует
= qn(k')R(k).(3.66)
Для непрерывной плотности 〃'(/) справедливы формулы
(3.67)
少％)= / dxp,(x)e^ikx.
Аналогичное преобразование дискретного набора (3.63) приводит к ряду Фурье:
碓少)=/ 方力(3.68) kg
где kg = 2тг/Дж™период в ^-пространстве. Подставляя в (3.67) ж = хр и исполь™ зуя (3.65), находим
ja.(3.69)
Разделяя область интегрирования в (3.69) на отрезки по к длиной кд и заменяя переменные (к т 沙 + 1кд7 /-целое) для приведения частичных интегралов к одному периоду кд^ имеем
/ ч / dkf2 Iх
，(力P)= у — x p w
Сравнение этого выражения с (3.68), (3.66) дает
ОООО〜
p(k)=工 认k — 1kg) = q 工 n(k-lkg)R(k-lkgl(3.70)
/= —oo/= —oo
Формула (3.70) выражает так называемый эффект «маскировки» стробоскопиче™ ской природы (aliasing): в фурье^гармонике дискретной функции плотности р (по™ тенциала 夕？ поля Е) с волновым вектором к^ помимо «правильной» к-гармоники непрерывного спектра, соответствующей члену с / = 0, в (3.70), содержится беско нечное число (/ 尹 0) паразитных гармоник сеточного происхожения (aliases) с
к' = к ± 1kg.
Величина искажения, вносимого в основную зону, —кд/2 < к < кд/2〉сеточной гармоникой с номером /, зависит
от величины сдвига 5к = ±1к§ (падает с ростом 5к) и
от ее амплитуды, которая в соответствии с (3.70) пропорциональна соответ™ ствующему коэффициенту Фурье 笈 передаточной функции «облака» в данной модели (см. раздел 3.2.1).
Как показано в [2], основным негативным следствием эффекта «маскировки» яв™ ляется резонансная связь возмущений поля, обладающих волновым вектором к* с коротковолновыми возмущениями плотности, волновой вектор которых отличается от к на ±/2тг/Ь. Эта связь, следствием которой может быть возникновение численной неустойчивости, становится несущественной, если X。> Ь, и уменьшается с увеличением гладкости модели см. (3.27), т.е., например, с переходом от NGP к CIC и к TSC.
Аналогичный паразитный эффект, возникающий из-за дискретности времени и связывающий в ^^пространстве частоты си 士〃碧 при соблюдении (3.45) оказывается незначительным.
Здесь мы не останавливаемся на возможных численных методах решения уравнения Пуассона для потенциала, имея в виду, что этот вопрос исчерпывающим образом изложен в литературе. Подчеркнем только, что выбранный метод должен удовле™ творять условию (3.55), (3.56) и быть достаточно эффективным в вычислительном плане (по быстродействию и загрузке памяти). В многомерных задачах для стан™ дартных областей этим требованиям отвечает получивший широкое распостранение метод быстрого фурье^преобразования [15, 43, 2, 20, 41, 42, 44].
3.3. Примеры решения физических задач методом частиц (60—70-е годы)
Дискретные модели плазмы, приведенные выше, могут быть дополнены примерами их реализации:
— кинетический расчет сверхзвукового обтекания заряженных тел плазмой;
—трехмерный кинетический код для изучения сильнотурбулентного состояния плазмы;
— двумерная модель гравитационной неустойчивости в задачах космологии.
Следует обратить внимание на то, что использование метода макрочастиц в исследованиях позволило выявить принципиальные качественные особенности поведения плазмы (или гравитирующего вещества) в разных условиях. Каждая из работ была инициирована некоторой важной физической или инженерно-физической пробле™ мой, особенностью этих работ являлась высокая сложность использованных в них алгоритмов.
3.3.1. Кинетические модели сверхзвукового обтекания заряженных тел разреженной плазмой
С началом космических исследований возрос интерес к задачам астрофизики и физики разреженной плазмы. Стали появляться теоретические работы, посвящен™ ные детализации структуры пограничного слоя между магнитным полем и разре™ женной плазмой [45-48]. Это было связано с моделированием взаимодействия солнечных корпускулярных потоков с геомагнитным полем [49, 50]. Постановка задачи о микроструктуре пограничного слоя, свойства которого определяются поведени™ ем заряженных частиц на расстояниях порядка их ларморовских радиусов и, еле™ довательно, не могут быть описаны в рамках магнитной гидродинамики, диктует необходимость кинетического подхода к проблеме.
В этом случае состояние плазмы описывается системой уравнений Власова, нелинейным уравнением Пуассона для электростатического поля и уравнением, описыва™ ющим самосогласованное магнитное поле. Поскольку правые части этих уравнений, т.е. соответственно плотности зарядов и токов, даже при далеко идущих физических предположениях сохраняют существенно нелинейный характер, нахождение само™ согласованного поля в пограничном слое сопряжено с большими математическими трудностями. В работе [51, 52] были преодолены многие из ограничений, характер™ ных для теоретических работ в этой области, а разработанный численный метод и применение вычислительной техники позволили получить пространственные структуры самосогласованного электромагнитного поля во всем пограничном слое без каких-либо ограничений на энергии частиц в плазме.
Количественное рассмотрение структуры пограничного слоя при точном учете разделения зарядов, релятивистски инвариантная форма уравнений и решение се™ рии физических задач с различными плазменными параметрами, а также разра™ ботка методики численного анализа падения плазмы на «магнитную стенку» позво™ лили получить и ряд других важных результатов. Например, в случае наклонного падения плазмы на «магнитную стенку» изменение угла падения может привести к резкой перестройке самосогласованного электростатического поля, при этом про™ странственная картина магнитного поля меняется в значительно меньшей степени. Методики расчетов, включенных в работу [51], подготовили необходимый математический аппарат вычислительного эксперимента для решения задач дискретного моделирования обтекания заряженных тел сверхзвуковым потоком плазмы.
В 60-х гг. в рамках сравнительно молодой науки, так называемой космической аэродинамики [53], возник круг актуальных вопросов [54], связанных с детализации ей структуры возмущенной зоны вокруг быстро движущихся в разреженной плазме космических объектов. Изучение взаимодействия движущихся тел с окружающей ионизованной средой диктовалось необходимостью грамотно интерпретировать ре™ зультаты зондовых измерений физических характеристик плазмы, учитывать силы торможения со стороны заряженных частиц, возможностью наблюдать спутник, следя с помощью радиометодов за его «хвостом» в ионизованной среде, а также, в
случае необходимости, использовать этот «хвост» для ориентации спутника, как это делалось, например, в американском космическом эксперименте «Gemini/Agena» (1967) [55]. Проблема представляет и чисто теоретический интерес для физики раз™ реженной плазмы, поскольку речь идет о нелинейной стадии развития возмущения большой амплитуды.
Попытка решать эту задачу теоретически как одну из проблем физики плазмы приводит к системе из кинетических уравнений Власова для каждой из плазменных компонент и уравнений Максвелла для самосогласованного поля.
Следует сразу же отметить, что принципиально нелинейный характер уравнений, необходимость решать задачу, как минимум, в двумерной геометрии, и нетривиаль™ ные граничные условия на теле (наличие которого к тому же сильно усложняет область, в которой ищется решение) делают невозможным аналитическое решение задачи в целом. Подходы к проблеме относились к стационарным постановкам за™ дачи, когда при наличии каких-то малых параметров (например, им может быть D/L — отношение дебаевского радиуса D к характерному размеру тела £) удается найти асимптотические решения (например, на значительном расстоянии от тела в так называемой «дальней зоне», где можно пользоваться условием электрической нейтральности).
Естественно потому, что ограниченные возможности аналитических методов, с одной стороны, и неослабевающий практический интерес к названному кругу задач, с другой (например, вопросы обтекания Луны и планет космической плазмой), стимулировали ряд попыток решать задачу численно, моделируя плазму с помо™ щью ЭВМ. В немалой степени этому способствовал опыт, который примерно в то же время приобретался при численном решении уравнений Власова в классических задачах о нелинейных колебаниях плазмы [56, 36], когда были сформулирован ме™ тод «частиц в ячейке», а позднее ——метод «заряженных облаков», относящиеся к дискретному моделированию плазмы, развитие которого можно найти в работах [54, 57-6斗
Примерно с 1968 г., т. е. фактически после шестого международного симпозиума по динамике разреженного газа (Кембридж, США), увеличивается интерес к нестационарным задачам обтекания. Их решение позволило бы прояснить вопросы существования стационарного решения, исследовать процесс выхода с заданного на™ чального состояния на стационарный режим (от этого процесса, в частности, может сильно зависеть формирование возможных зон из захваченных частиц в окрестности тела) и устойчивость этого режима, а также наблюдать реализацию различных переходных состояний плазмы в окрестности заряженного тела, представляющих интерес.
Добавление к рассмотрению еще одного измерения (времени) приводит к даль™ нейшему усложнению задачи и резкому увеличению объема вычислений, а следо™ вательно, и затрат машинного времени. Наиболее перспективным представляется поэтапное исследование, построенное таким образом, чтобы, по возможности, раз де™ лить имеющие место нелинейные эффекты и изучать их последовательно. Перечне™ лим параметры, которыми определяется ситуация в следе за телом: [61, 54, 62]
число Маха по скорости ионного звука М = Vq/Vs, где
К 二，真/师(3.71)
отношение размера тела L к электронному дебаевскому радиусу De
отношение температур плазменных компонент
е = А/£;(3.73)
величина потенциала 夕^ на теле, отнесенная к кинетической энергии относи™ тельного движения ионов ]2
Численному решению задач обтекания тел плазмой посвящены работы [54, 63, 64] в которых, сначала для стационарной задачи, были обнаружены зарядовые страты в следе за телом, подтвержденные более поздними расчетами [65, 66], последующими лабораторными экспериментами [62, 67] и моделями, представленными в [68].
Методика расчета процесса формирования возмущенной зоны, рассмотренная в [54, 63, 64], была усовершенствована позднее ([68]), где задача рассмотрена в двумер™ ной прямоугольной геометрии численным методом «облаков в ячейке», подтвердив™ шим самосогласованное поведение плазмы в окрестности тела и образование стоячей ионно^звуковой волны, при варьировании параметров (3.71)—(3.73). В качестве 1™го шага было решено отказаться от задания больших потенциалов на теле с тем, чтобы детально исследовать чисто геометрический «теневой» эффект .
Идя в этом направлении на максимальные упрощения, на «теле» (которое яв™ ляется пластиной шириной L бесконечно протяженной в направлении оси Z) не за- даеться никакого граничного условия при вычислении потенциала. Однако присутствие такого《тела» в полной мере сказывается на распределении частиц, поскольку на нем задается функция распределения.
Постановка задачи и метод решения. Проводник Л помещается в область О, ограниченную круговым металлическим цилиндром, на котором поддержи™ вается постоянное значение потенциала 夕=0. С левого торца вдоль оси симметрии со скоростью V движется поток плазмы, для которого выполнено условие
%%力》『》^и7(3.75)
где vet и vn ——тепловые скорости электронной и ионной компонент плазмы. В свя™ зи с чем в первом приближении можно считать ионы моноэнергетическими, что реализуется при движении искусственных спутников в верхней ионосфере. Таким образом осесимметрическое тело А помещено в стационарный поток разреженной, нейтральной на бесконечности плазмы, движущейся параллельно оси тела А с макроскопической скоростью V. Требуется найти самосогласованный электростатиче™ ский потенциал 夕(г)? устанавливающийся, в окрестности А. Потенциал 夕(г) зависит от характеристик налетающего, плазменного потока, размеров и формы тела А и заданного на его поверхности £ потенциала 夕£ (г). Для определенности будем пред™ полагать, что ион, попадающий на S, поглощается и что в окрестности А нет ионов, движущихся по финитным траекториям. Пространственная плотность зарядов есть сумма электронной и ионной плотностей: p(r) = p^(r) + pJ(r). Будем считать, что р^(г) однозначно определяется заданием самосогласованного потенциала 夕 и р1 в той же точке г : рЕ(г) = F(^(r),pJ(r)). Такое предположение допустимо, если скорость и = |V| мала по сравнению со средней тепловой скоростью электронов. Например, в простейшем случае можно считать, что электроны находятся в тепловом равновесии с 夕(г) и подчиняются распределению Больцмана:
= Ро ехр (,(3.76)
\ & 丄 е /
где ро = const — плотность частиц в невозмущенной области (р0 = Pio = рео)7 к ——постоянная Больцмана, Те ——эффективная температура электронного газа, £ —— заряд электрона.
Считая, что характерные размеры интересующей нас окрестности О тела А малы по сравнению со свободным пробегом ионов, движение ионной компоненты бу— дем описывать с помощью бесстолкновительного кинетического уравнения Власова. Характеристики этого уравнения совпадают с траекториями отдельных ионов, дви™ жущихся в поле потенциала 夕(г).
Для построения этих характеристик введем дискретную модель плазмы, сопоставив группам ионов, находящихся в малых непересекающихся объемах фазового пространства, материальные точки, несущие полные массы и полные заряды соот— ветствующих групп. Движение этих точек будем рассматривать методами классине— ской механики. Этот расчет дает нам искомые характеристики уравнения Власова и позволяет вычислить р1 (г).
Задача рассматривается в цилиндрических координатах (г, г). Ось Oz совпадает с осью тела А и ориентирована по скорости V. Область О, в которой проводят™ ся все расчеты, окружает А и представляет собой вытянутый вдоль Oz цилиндр с круговыми торцами Т± , отвечающими координатам z = и z = z+ >. Круг
разбивается на узкие концентрические кольца со средними радиусами Ь^, Ьо < < bi < ... < Ьп, и площадями S^, k = 1, 2,..., 7V. Из точек г， = (Ь盍)торца и выпускаются характеристики г = r^(t) уравнения Власова. Уравнения этих характеристик ——суть уравнения Ньютона:
(3.77)
с начальными условиями: г^(0) = г^, г^(0) = V, к = 1, 2,..., TV (Ze ——заряд иона, М — его масса).
Введем на плоскости rOz прямоугольную сетку с ячейками △叮 и пусть 力；；)есть мера множества тех t, для которых rk(t) G △叮.Тогда значение р1 в ячейке △打 есть
N
р；尸 PoZ^mfS/?(3.78)
к=1
где Tjj = 2тг / rdrdz^ ро — пространственная плотность ионов на бесконечности.
Таким образом (3.77) и (3.78) позволяют по заданному 夕(г) найти соответствующее р1 (г) : р1 (г) = Л^(г), где Л некоторый нелинейный оператор.
Если необходимо учесть наличие различных сортов ионов и их тепловое дви™ жение, то из каждой точки г，выпускается пучок характеристик г = i•盍盍，(力)〉k‘ = =1)2? •. •)N'. Характеристики этого пучка отличаются друг от друга только коэф™ фициентами Ze/M уравнения (3.77) (ионы разных сортов) и начальным условием гкк/ (0) = V+u盍，(11盍，——тепловая скорость иона). Кроме того, наличие азимутальных составляющих у тепловых скоростей ионов приводит к возникновению в уравнени™ ях слагаемого, описывающего центробежные силы, действующие на ион. Вид этого слагаемого однозначно определяется начальными условиями соответствующей характеристики.
Система уравнений задачи замыкается присоединением к (3.77) квазилинейного уравнения Пуассона
△夕(г) = —4тг 储(г) — F(^(r),/(r))](3.79)
с краевыми условиями 夕(г)=夕(r)|w при г G £; дер/dr = 0 при『=0 и подходящим условием на внешней границе О (например,夕=0)* Уравнение (3*79) позволяет по заданному распределению ионной плотности р1 (г) определить соответствующее поле 夕(г)： _
夕(г) = Вр1^'). (3.80)
Наряду с операторами Л и В введем в рассмотрение еще один «сглаживаю™ щий» оператор F, действующий на ионные плотности р1 (т) по правилу戶 〃(Г)= =min {g, pJ(r)}, q = const > 0. Роль этого оператора заключается в следующем. Благодаря слабой устойчивости решений уравнений (3.77) малым изменениям 夕 мо гут отвечать резкие (в большинстве случаев нефизичные) локальные возмущения р1. Р позволяет осуществить простейшую регуляризацию промежуточных значений р1.
Задача (3.77), (3.79) решается методом последовательных приближений (схо™ димость итераций по ионным потокам доказана в [19], там же выведены условия, обеспечивающие равномерную сходимость итераций). Использование локально од™ номерной схемы [69], предъявляющей минимальные требования к форме области О, позволяет единообразно рассматривать произвольные осесимметричные тела А.
Численные эксперименты по обтеканию сферы. Поскольку в наших расчетах область О являлась цилиндром, коаксиальным с телом Л, на границе которого поддерживалось краевое условие ^ = 0, приводимые ниже результаты можно толко™ вать как результаты математического эксперимента по обтеканию тела в своеобраз™ ной плазменной аэродинамической трубе и сравнивать их с результатами реальных экспериментов.
Сначала изучались характерные особенности структуры возмущенной зоны для тел, размеры а которых порядка и много меньше дебаевского радиуса О, считали, что поток плазмы движется направо со скоростью 106 см/сек относительно тела А, плазма предполагалась состоящей из электронов и ионов водорода. Многочислен™ ные расчеты проводились для случаев различного соотношения между размером заряженного тела а и величиной дебаевского радиуса D: от а = D = 50 см до а = 1/120 = 1 см при различных потенциалах на теле ⑦。(⑦。< 0) и др. Также варьировались электронная температура плазмы и плотность потока. На тело «вы™ пускалось» до 3000 ионных траекторий.
Результаты численного решения прояснили картину эволюции плазменной возмущенной зоны вокруг тела при уменьшении ⑦。от нуля до нескольких десятков (0 > > —40) безразмерных единиц потенциала.
В случае незаряженного тела (⑦。=0) за ним образуется ионная тень, заполнен™ ная электронным газом. Глубина возникающей потенциальной ямы за телом определяется отношением kTe/MV2 и геометрическими размерами тела Л.
При отрицательном потенциале на теле, ^а < 0 , основную роль начинает играть его фокусирующее воздействие на ионный поток. Ионная тень сменяется максимумами ионной плотности на оси за телом с соответствующей перестройкой всего поля 夕(г) гм
Интересное явление в картине ионных траекторий наблюдается при [⑦。]》1. В этом случае даже на весьма малых расстояниях от поверхности тела электростати™ ческое поле перестает быть сферически симметричным, причем модуль потенциала убывает с расстоянием от центра быстрее, чем дебаевский потенциал, т.е.
ехр ； (3*81)
I以-2,0)| > |以2,0)|, г > a > 0.
Рис. 3.5. Теоретические (вверху) и экспериментальные [62] (внизу) эквипотенциальные кривые для расчета с 屮= —1, a/D = 20
Благодаря такой структуре самосогласованного поля отклонение ионов вблизи тела происходит таким образом, что образуются пересекающиеся пучки отклоненных на- стиц, ответственные за появление дополнительных максимумов ионной плотности на некотором расстоянии от оси симметрии помимо основного максимума плотности на оси, обусловленного фокусировкой. Интересно отметить, что подобная картина ион— ной плотности за телом при несколько других плазменных параметрах наблюдалась в эксперименте [67]. При [⑦工》1 появляются такие ионы с «квазифинитными» тра™ екториями, делающие по крайней мере один полный оборот вокруг тела. Существует область значений прицельных параметров для ионов, становящихся захваченными.
В качестве нового интересного эффекта мы отмечаем своеобразную «стратифи™ кацию» плазмы в зоне возмущения [54]. В области за телом плазма поляризована: вдоль оси симметрии полная плотность заряда и 夕(г) неоднократно меняют знак, убывая по амплитуде с удалением от тела. Этот эффект наблюдается в той или иной форме практически при всех ⑦仃 Наклон страт к оси 0Z определяется прежде всего отношением kTe/MV2 и, во вторую очередь, величинами и а.
Выводы о структуре возмущенной зоны, полученные из расчетов [54, 63, 64] и экспериментов [71—73] по обтеканию заряженных тел сверхзвуковым потоком разре™ женной плазмы совпали.
Подобные эффекты наблюдались и в экспериментах на «Джеминай» 10 и 11 [55].
На рис. 3.5 приведено сравнение расчета и эксперимента [62], проведенного для обтекания модели с поперечным сечением а = 2см ионами аргона с плотностью п = 1,4 • 108 см~з при температуре Те = 2, 9 • 104 К и энергии направленного дви™ жения ионов 140 эВ. Сверху приведены данные вычислительного эксперимента —— эквипотенциальные кривые ⑦=七夕/к£ = const для случая обтекания сферы с по™ тенциалом на поверхности ⑦。=—1. Отметим, что экспериментами был подтвержден предсказанный ранее в работе [54] эффект поляризации плазмы в потоке за телом.
Распределение ионов в радиальных сечениях за сферой, обнаруженное в нио ленных экспериментах, показало, что кроме основного максимума ионной плотно™ сти на оси, наблюдаются дополнительные максимумы в стороне от оси системы. Это качественно согласуется с результатами некоторых экспериментов [73]. На от™ дельных кривых [70] таких дополнительных максимумов несколько. Возможно, что некоторые из них обязаны своим происхождением грубости дискретной модели и пространственной сетки.
Следует остановиться на вопросе динамического взаимодействия тел различной формы с потоком плазмы. Как известно, в центрально-симметричном поле захват заряженных частиц на тело из плоско^параллельного на бесконечности потока дает™ ся формулой 鼻=1 + 〃 где 〃 = —с夕/(0,5MF2). В этом случае ток на тело зависит лишь от относительного потенциала на теле 〃 и не зависит от дебаевского радиу™ са D. Зависимость от D начинает проявляться в тех случаях, когда сферическая симметрия в самосогласованной картине уже не имеет места, что происходит, во™ первых, из-за появления ионной тени за телом и, во-вторых, из-за несферичности самого тела.
-3Е (疗)/ "芸)， GM-3Е (疗)/ "芸)， GMИзучение зависимости силы торможения от потенциала для тел различной фор™ мы показало, что с ростом 〃 возрастает величина сопротивления. Относительное расположение кривых Ра(^) в зависимости от формы тела одинаково для рассни- тайных случаев, именно в порядке возрастания F<: диск, конус, сфера. Такой по™ рядок кривых качественно объясняется монотонной зависимостью F< от площади поверхности тела, собирающей, ионы, что подтверждается проведенными рассчета™ ми. В [70] приведено сравнение численных экспериментов с эмпирической формулой для Ра из [72]:
-3Е (疗)/ "芸)， GM
-3Е (疗)/ "芸)， GM
鼻=1 + 〃 1 + exp
дающая поправку к формуле для F< за счет нарушения сферической симметрии поля.
Таким образом, методом дискретного моделирования удалось количественно изучить процесс обтекания тел различной формы разреженной плазмой и выявить качественные особенности зависимости сил торможения от формы и потенциала тела и величины дебаевского радиуса. Сравнение с экспериментальными данными и работами других авторов показывают эффективность использованного метода.
Формирование возмущенной зоны при сверхзвуковом обтекании разреженной плазмой заряженных тел: нестационарная задача. В рамках гибридной модели, где электроны описываются по Больцману, а ионы ——по модели макрочастиц (ММ) в расчетах были реализованы три возможности поведения частиц на границе заряженного тела:
I траектории заряженных частиц обрываются на препятствии (происходит как бы их нейтрализация);
II заряженные частицы отражаются от препятствия по заданному закону;
III заряды накапливаются на теле в точках оседания.
В такой постановке задача позволяет, с одной стороны, сохранить основные эффекты, связанные с нестационарностью тени, а с другой — позволяет более оперативно решать уравнение Пуассона в чисто прямоугольной области, используя прямые методы, основанные на быстром фурье-преобразовании. Таким образом, объектом расчетов является самосогласованная структура плазменного потока, обтекающего в плоской X, У геометрии бесконечно тонкую пластинку с полушириной а = 0厶 расположенную перпендикулярно к направлению макроскопической скорости плазмы, совпадающему с направлением оси X. Все события рассматриваем в системе координат, связанной с препятствием, которое локализовано в области 。={X〉Y\x=L] 0<y<L^ •
Картина распределения заряженных частиц не зависит от Z (《тело» ——бесконечно протяженная по Z пластина), и плоскость У = 0 является плоскостью симметрии.
При моделировании этой задачи использовался последовательно метод макрочастиц, как для электронов, так и для ионов с инжекцией, которая аналогична потоку
макроэлектронов в стационарной задаче. Подробное изложение методик и результатов было представлено в [33].
Для идентификации сосчитанных вариантов удобно ввести «вектор»
(I — HI； Д, ^丄;М||；夕丄;竹| ； L; L/M; LJM; LJN; (а/b),; (a/矶; E/S; Ke/Se\
где римские цифры (I)——(III) определяют тип граничного условия на «теле» для падающих частиц, L ——поперечный размер《тела»; Li ——размер области счета по X; 工2 ——размер области счета по У; М число интервалов в разностной сетке по X; N ——то же по У ; д = me/mi ——отношение масс отрицательно и положительно заря™ женных частиц; М± = 1/VS± =(疗已丄)一\ £丄=4 f(^)2fedv°, ——число Маха по начальной «поперечной» скорости ионного звука; Мц = 1/匕屮=(\7^||)一\ 么口 = =д/(%# — l)2/f dv°, — число Маха по начальной «продольной» скорости ионного звука;夕丄 = 厶丄/(么н + 昼丄) и W = Тц^/(Те± + Т^ц) — относительная величина «поперечной» и «продольной» эффективных ионных температур в начальном состоянии; (a/b)i и (a/b)e ——продольный и поперечный размер положительной i и отрицательной е макрочастиц, Ki ——полное число макрочастиц с положительным i и отрицательным е зарядом в начальном состоянии.
Ограничиться кратким обсуждением результатов расчета одного варианта:
(а) : (I; 1; 1,58; 0; 0; 0; 1; 12/120; 3/30; 0,1/0,1; 0,1/0,1; 3600/1; 10800/3).
Нетрудно видеть, что фиксированы тип взаимодействия с поверхностью препят™ ствия (полное поглощение без накопления заряда), размер тела £ = 1 (в единицах Vqw^1), область счета и разностная сетка, а также параметры макрочастиц и их число (3600) в каждой скоростной группе.
Важной величиной является также 7Vо ——полное число электронов в «дебаев™ ском квадрате» О^? характеризующее степень «бесстолкновительности» системы. В наших расчетах оно менялось в пределах 30 〜120》1.
Страты плотности в следе за заряженным телом. Главные результаты первых модельных расчетов содержатся в пространственных сечениях поверхностей р+(ж, у^ t), ^(х^ у^ t) плоскостями р = const и ⑦=const для различных моментов времени, при этом для каждого фиксированного значения t = t* находится макси™ мальное и минимальное значения соответствующей величины (р или ⑦))делением на некоторое число (обычно 10 или 20), определяется интервал, через который произво™ дятся разрезы, после чего пространственные точки (X)У), отвечающие определенно™ му интервалу, запечатываются одинаковыми символами. Для большей наглядности все четные (или нечетные) интервалы не запечатываются, так что между соседними «значащими» величинами образуются просветы. Для публикации [33] из огромной цифровой информации, доставляемой каждым сосчитанным вариантом, отобраны лишь те материалы, которые скорее всего позволяют увидеть самые общие черты явления.
Наиболее подробно представлены результаты по варианту а, в котором окру— жающая《тело» плазма моделируется частицами равной массы, причем «тепловым разбросом» обладает лишь отрицательно заряженная компонента.
Просмотр рисунков [3, 68] обнаруживает следующую качественную картину фор™ жирования возмущенной зоны вокруг тела, которое в момент 力=0 скачком приобретает конечную скорость Vq. Рассматривая события в системе координат, связанной с телом, мы видим, как начавший двигаться вправо поток формирует ионную тень за препятствием. Поскольку тепловой разброс имеется лишь у отрицательных частиц,
Рис. 3.6. Сечения ионной плотности рг = const (вверху) и значений потенциала электро™ статического поля @ = const (внизу) для двух моментов времени 力=3 (а) п 力=9 (б) для варианта а: М = 1, 58, L/De = 1, 58, Тг/Те = 0 дают картину формирования стационарно™ го следа с зарядовыми «стратами» [3, 68]Рис. 3.6. Сечения ионной плотности рг = const (вверху) и значений потенциала электро™ статического поля @ = const (внизу) для двух моментов времени 力=3 (а) п 力=9 (б) для варианта а: М = 1, 58, L/De = 1, 58, Тг/Те = 0 дают картину формирования стационарно™ го следа с зарядовыми «стратами» [3, 68]абаб
Рис. 3.6. Сечения ионной плотности рг = const (вверху) и значений потенциала электро™ статического поля @ = const (внизу) для двух моментов времени 力=3 (а) п 力=9 (б) для варианта а: М = 1, 58, L/De = 1, 58, Тг/Те = 0 дают картину формирования стационарно™ го следа с зарядовыми «стратами» [3, 68]
Рис. 3.6. Сечения ионной плотности рг = const (вверху) и значений потенциала электро™ статического поля @ = const (внизу) для двух моментов времени 力=3 (а) п 力=9 (б) для варианта а: М = 1, 58, L/De = 1, 58, Тг/Те = 0 дают картину формирования стационарно™ го следа с зарядовыми «стратами» [3, 68]
аб
аб
область тени по мере продвижения потока приобретает все больший отрицательный заряд. Нарушение квазинейтральности приводит к плазменным колебаниям в окрестности объемного заряда, при этом формирование одного пространственного периода происходит за время одного плазменного колебания, т.е. в наших единицах к моменту времени 27r для 力=6 (см. рис. 3.6).
Поскольку движение происходит со сверхзвуковой скоростью и 0± = 0, дальнейшее развитие событий приводит к формированию за препятствием стоячей ионнозвуковой волны, разрез которой плоскостью Z = 0, как это было установлено еще в [54, 63], дает картину вложенных друг в друга заряженных сечений с чередующимся знаком заряда. При этом внешняя образующая конуса, в хорошем согласии с линейной теорией наклонена к оси под углом
8 = arctgMj1.(3.83)
Сечения ионной плотности и поля для более поздних моментов времени t = 11, 13, 15 демонстрируют установившийся характер движения. Заметим, что в данном случае устойчивость движения соответствует критерию устойчивости, полученному в [54], для сверхзвуковых движений обтекания т)Те < 0,5, где 〃 一 множитель порядка единицы.
Сравнение разрезов р^ = const позволяет проследить за изменением раствора конуса с образующей вдоль максимума ионной плоскости. Видно, что формула (3.83)
качественно правильно передает картину за телом, структура шлейфа значительно сложнее, и зарядовая стратификация в нем выражена в меньшей степени , как должно быть при одинаковых температурах компонент в соответствии с общей теорией [61].
Сравнение данной работы с расчетами и экспериментами, проведенными ранее, показывает хорошее качественное соответствие результатов.
Более детальное сравнение расчетов [54] и [66] с вариантом (а) работы [68] дает хорошее совпадение значений потенциала электростатического поля.
Сопоставление ионных плотностей в поперечных сечениях шлейфа, полученных в экспериментах [67] и вариантах (а) и ⑹ работы [68] подтвердили качественное соответствие результатов. Более ранняя фокусировка ионов в [67] объяснялась наличием на теле отрицательного потенциала.
Приведенные в публикациях результаты наглядно демонстрируют эффективность использованной методики и выход решения (при взятых физических условиях) на стационарный режим, сходный с решением стационарной задачи и результатами экспериментов.
Получение в численном эксперименте самосогласованного электростатического потенциала, устанавливающегося в окрестности заряженного тела, размер которого порядка или много больше дебаевского радиуса, в результате взаимодействия потока бесстолкновительной плазмы с заряженной поверхностью тела позволяет определять параметры стоячей ионно-звуковой волны в плазме.
Трехмерная кинетическая модель плазмы в задаче об эволюции ленгмюровской волны большой амплитуды
Ряд актуальных задач физики плазмы, в которых определяющую роль играют коллективные процессы с высоким уровнем волновой энергии, требуют наряду с самосогласованным описанием нелинейной системы «частица-поле» количественного рассмотрения явления в реальной трехмерной геометрии. Типичным примером такого рода является задача о возбуждении сильной ленгмюровской турбулентности в неравновесной, модуляционно неустойчивой плазме [74], в которой общая картина нелинейной самофокусировки электростатических колебаний может существенно зависеть от размерности пространства [75]. Последовательное описание коллективных явлений в бесстолкновительной системе в рамках уравнения Власова для электронной и ионной функций распределения /е^(г, v, t) наталкивается на известные математические трудности непосредственного численного решения нелинейных уравнений в частных производных в 6-мерном (г, v) фазовом пространстве. В этих условиях особенно продуктивным и едва ли не единственно возможным универсальным подходом представляется метод дискретного моделирования (ДМ) плазмы [15, 12, 76], сочетающий лагранжев принцип при расчете фазовых траекторий макрочастиц с решением краевой задачи для уравнений Максвелла на эйлеровой сетке.
Здесь мы приведем краткое описание реализованной на ЭВМ пространственнотрехмерной ДМ двухкомпонентной власовской плазмы с чисто электростатическим воздействием и некоторые результаты численного расчета задачи о нелинейной эволюции трехмерной турбулентной ячейки.
Рассмотрим систему из N = Ne + № = N&〉а = е,г заряженных частиц, характеризуемых зарядом qa и массой ma и заполняющих область Q = Lx х Ly х х Lz^ которую при периодических граничных условиях можно рассматривать как
элементарную ячейку однородного бесконечного пространства. Записывая функцию распределения для частиц каждого сорта а в форме [30, 19]
/a(qvj)=而 £б(г —订(力))6(v —%(力))，а = e,z,(3.84)
тогда мы можем вместо системы уравнений Власова с самосогласованным полем рассматривать эквивалентную ей систему из 6N динамических уравнений
力⑴=%(力 vj(t) = -^E(rbt)(3-85)
и уравнение Пуассона для самосогласованного поля Е (для простоты будем говорить о случае только электростатического взаимодействия)
Е(：9/) = —▽0(г厶力 △0 = —4穴£急 / A^v.(3.86)
Переход от реальной плазменной системы (3.84)™(3.86) к ДМ состоит [12, 13, 76] в формальной замене (3.84) модельной функцией распределения для редуцированного числа макрочастиц N:
宀方）=画三4J G（T/）6（r -订⑴）"V - %⑴）加
画二歹 aG(q：9 ⑴)6(v — % ⑴)，(3.87)
0 k方)=£生e(刀巧)，
где Na = (qN/q)a — число макрочастиц в ДМ, а ядро G(r, г') характеризует локальное распределение плотности заряда в макрочастице конечного размера («облаке») и определяет конкретный вид ДМ с соответствующей модификацией [13] уравнений (3.85), (3.86). Выбранное нами ядро G(r, rz) соответствует равномерно заряженному облаку размером в одну ячейку пространственной разностной сетки,
Здесь 加=L/S^ / = ж, 1/, г — постоянный шаг сетки. Первые многомерные расчеты [77] проводились для гауссовского распределения плотности заряда облака G(r, rz) ^ exp(—『2/2(ст)2 (см. также описание моделей формфактора в настоящей главе) ) Реализованный в работе [77] алгоритм сводится к следующей циклической процедуре (丁 =九+i —九)—шаг по времени, /с = 0,1,...
/](Г)=寸豆G(r,y]) ственной сетки Од.^ (г) = F^LFp^(r)./](Г)=寸豆G(r,y]) ственной сетки Од.^ (г) = F^LFp^(r).—нахождение плотности заряда в узлах простран-
/](Г)=寸豆G(r,y]) ственной сетки Од.
^ (г) = F^LFp^(r).
/](Г)=寸豆G(r,y]) ственной сетки Од.
^ (г) = F^LFp^(r).
3-寸?=_⑷/m/) J ▽0的(Г)6‘(/口)而a3-寸?=_⑷/m/) J ▽0的(Г)6‘(/口)而a—решение уравнения Пуассона (3.86).—решение уравнения Пуассона (3.86).4.寸+1/2]=£1阳+寸 движения частиц на одном4.寸+1/2]=£1阳+寸 движения частиц на одномРис. 3.7. Схема, иллю™ стрирующая вид формфактора облакаРис. 3.7. Схема, иллю™ стрирующая вид формфактора облакавходвход1122334455выходвыходРис. 3.8. Блок-схема воз™ можной реализации элек™ тростатической модели макрочастицРис. 3.8. Блок-схема воз™ можной реализации элек™ тростатической модели макрочастиц[k] R + 1] [к] , R + 1/2] “ ■ ; г」=耳」+ vj / 丁； 一 интегрирование уравнении шаге 0T.
3-寸?=_⑷/m/) J ▽0的(Г)6‘(/口)而a
3-寸?=_⑷/m/) J ▽0的(Г)6‘(/口)而a
—решение уравнения Пуассона (3.86).
—решение уравнения Пуассона (3.86).
4.寸+1/2]=£1阳+寸 движения частиц на одном
4.寸+1/2]=£1阳+寸 движения частиц на одном
Рис. 3.7. Схема, иллю™ стрирующая вид формфактора облака
Рис. 3.7. Схема, иллю™ стрирующая вид формфактора облака
вход
вход
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
выход
выход
Рис. 3.8. Блок-схема воз™ можной реализации элек™ тростатической модели макрочастиц
Рис. 3.8. Блок-схема воз™ можной реализации элек™ тростатической модели макрочастиц
Здесь F, F^1 — операторы прямого и обратного трехмерного преобразования Фурье, L ——оператор, обратный лапласиану в БГ-пространстве, предусматривающая коротковолновые коррекции, что особенно важно в трехмерном случае при недостаточно мелкой пространственной сетке.
Введение разностных сеток С^ и 0т ставит следующие вопросы при реализации алгоритмов ММ:
Следствием конечности шагов hj и 丁 является так называемый стохастческий нагрев модельной плазмы, приводящий к нарушению законов сохранения энергии и импульса в системе. Не обсуждая деталей природы нагрева и способов борьбы с ним (например, [59, 18]), скажем лишь, что существует область оптимальных параметров hj и г, надлежащий выбор которых позволяет отодвинуть временную границу нагрева тя, добиться выполнения условия тн》丁а, где та ——время, начиная с которого изучаемые явления в плазме будут происходить на фоне столкновительных эффектов модели.
Выбор вида формфактора G(r) необходимо увязывать с требованием «физичности» взаимодействия макрочастиц на прямоугольной пространственной сетке. Одним из возможных критериев выбора G(r) является условие инвариантности взаимодействия двух макрочастиц, находящихся на заданном расстоянии друг от друга (диполь), относительно трансляционных и вращательных преобразований сетки ([78]).
Поскольку взаимодействие «облаков» сильно отличается от взаимодействия точечных на близких расстояниях, желательно введение в потенциал так называемых коротковолновых коррекций ([78, 79]), позволяющих ослабить это отличие (шаг hj выбирается, как правило, порядка величины дебаевского радиуса Ав, речь идет, таким образом, о расстояниях 2 ——4 шагов сетки, на которых сглаживается потенциал).
Дискретность пространства за счет С^ приводит к появлению в самосогласованном поле ложных спектральных компонент («aliasing»). Это явление ослабляют, вводя упомянутые коррекции в потенциал, а также применяя технику локальных сплайнов ([80, 81]).
Последовательный учет перечисленного позволяет заметно отодвинуть время начала паразитного нагрева тн
и снизить уровень шумов модели (т.е. практически исключить нефизические эффекты, вызванные наличием разностных сеток С^ и CJ что особенно важно в многомерных рассчетах, где трудно обеспечит выполнение условия пи》1.
В отсутствие внешнего магнитного поля интегрирование уравнений движения осуществляется по схеме «с перешагиванием». Уравнения (3.86) решаются методом быстрого преобразования Фурье, число ячеек сетки 0^ по каждому пространственному направлению должно быть степенью двух. Выше приведены оригинальные методики сглаживания потенциала перед расчетом траекторий частиц. Нахождение электрического поля Е в узлах сетки по найденному потенциалу осуществляется с помощью разностной аппроксимации оператора V ).
Рассмотрим трехмерный аналог задачи эволюции ленгмюровской волны большой амплитуды [77], заданной в момент 力=0 выражением
/eo(r,v) =Пехр [2T^Vl v°l sin j .('89)
Параметры варианта расчета: Lx = Ly = Lz = L = 45》，S = Sx x Sy x Sz =Параметры варианта расчета: Lx = Ly = Lz = L = 45》，S = Sx x Sy x Sz ==214, Te/Ti = 25, me/mi = 0, 04, N = 217, 丁 = 0,2g/1. Начальная плотность элек-=214, Te/Ti = 25, me/mi = 0, 04, N = 217, 丁 = 0,2g/1. Начальная плотность элек-тростатической энергии равна W/0тростатической энергии равна W/0шеп0шеп0ляционной неустойчивостиляционной неустойчивости88и удовлетворяет условию модуи удовлетворяет условию моду
Параметры варианта расчета: Lx = Ly = Lz = L = 45》，S = Sx x Sy x Sz =
Параметры варианта расчета: Lx = Ly = Lz = L = 45》，S = Sx x Sy x Sz =
=214, Te/Ti = 25, me/mi = 0, 04, N = 217, 丁 = 0,2g/1. Начальная плотность элек-
=214, Te/Ti = 25, me/mi = 0, 04, N = 217, 丁 = 0,2g/1. Начальная плотность элек-
тростатической энергии равна W/0
тростатической энергии равна W/0
шеп0
шеп0
ляционной неустойчивости
ляционной неустойчивости
8
8
и удовлетворяет условию моду
и удовлетворяет условию моду
Wf0/nQTe = 3/16 > (k0XD)2^ 如=2тг/Ъ.
Рис. 2.44, 2.47 подтверждают теоретические предсказания [75, 74] о наиболее выраженном характере ленгмюровского коллапса в трехмерной геометрии. Сохранение в исходной системе (3.85)^(3.87) всех плазменных нелинейностей, включая взаимодействие волн с частицами, позволяет в деталях проследить за картиной перехода в процессе релаксации функции распределения (3.89) от регулярного к турбулентному состоянию. Самофокусировка ленгмюровских колебаний происходит в квази- сферическом слое, возникающем в районе первоначального максимума〔▽。⑺产 и ииллюстрируеться эквипотенциальными сечениями поля и ионной плотности приведенными в гл. 2 (рис. 2.47). Развивающиеся в слое в результате вытеснения плазмы высокочастотным (в.ч.) давлением области пониженной плотности («кавитоны») достигают глубины n«/^о = 0,5 и эффективной полуширины 〜(8 — 10)X。. Экспоненциальный рост Wf ь (t) (нижняя огибающая Ж/ (t) на рис. 2.47) характеризует темп перехода энергии когерентного начального возмущения в волновые пакеты, образующие в.ч. наполнение кавитонов. При этом инкремент равен
ldlllWfL 1
что близко к теоретическому инкременту модуляционной неустойчивости на стадии коллапса [75, 82]
3 匹必二0g
Gpe V 笈％ П0Те
Максимальное значение Wfb/Wf = 0, 7 (рис. 2.47). Основное поглощение в.ч. энергии происходит за счет механизма резонансного ускорения электронов с образованием высокоэнергетических «хвостов» [83]
囁х = 0,0355一
Изучение более поздней стадии релаксации (wpet > 60, рис. 2.47) подтверждает наличие вторичного поглощения за счет конверсии плазмонов на коротковолновых ионно-звуковых колебаниях, развивающихся на кинетической стадии коллапса [84, 85, 76]. ”
В качестве практически важного следствия из проведенного численного эксперимента следует отметить тот факт, что полученное согласие общей картины трехмерной релаксации с аналогичными расчетами в (ж, у) геометрии [84] позволяет говорить о правомерном использовании для качественного исследования сильной ленгмюровской турбулентности более экономичных двумерных моделей, описание которых приведено в гл. 2, которая посвящена обзору важных пионерских численных экспериментов по теории сильной турбулентности.
Пример численной модели плазмоподобных сред
Рассмотрение в вычислительном эксперименте гравитирующих систем в расширяющейся Вселенной было предпринято в работах [86, 19, 87, 88], где впервые была исследована роль неустойчивостей, возникающих при формировании крупномасштабной структуры Вселенной (в дальнейшем эти модели стали одним из типичных примеров дискретных моделей плазмоподобных сред [14], а моделирование гравитирующих систем успешно продолжается теоретиками до сих пор).
В работе Зельдовича [89] было показано, что эволюция крупномасштабных возмущений возмущений приводит к образованию тонких объектов высокой плотности или «блинов», начиная с 1970 г. эта задача стала одной из центральных проблем космологии.
Далеко идущая аналогия между гравитационным и электромагнитным взаимодействием широко используется при анализе эволюции систем гравитирующих частиц. Именно в работе [86] делается первый шаг в применении вичислительного эксперимента в задачах космологии. Существовавшие нестационарные двумерные и одномерные кинетические коды [76, 84] для описания плазменных микронеустойчивостей были использованы для моделирования самоорганизации среды с гравитационным взаимодействием, заметим, что исследования многомерных дискретных моделей были начаты еще в 70-х гг., [90].
Результаты численных исследований [86, 91, 88] описывают нелинейную стадию развития возмущений плотности гравитирующей среды в расширяющейся Вселенной. Этот процесс формирует крупномасштабную структуру Вселенной из начально достаточно однородной среды. В одно- и двумерных случаях численного эксперимента исследовалась эволюция системы, состоящей из 4096 точечных масс, взаимодействующих только гравитационно, с периодическими граничными условиями (моделирующими бесконечное пространство). Начальные условия были выбраны так,
как это следует из теории эволюции малых возмущений расширяющейся Вселенной. Результаты численного эксперимента систематически сравниваются с аппроксимирующей асимптотической теорией. В случае несталкивающихся частиц, как и в гидродинамическом случае, ячеистая структура появляется на нелинейной стадии в случае адиабатических возмущений плотности вещества {6р/р > 1). Большая часть вещества находится в тонких слоях, которые разделяют обширные области низкой плотности. Как показали численные эксперименты, формирование ячеистой структуры зависит главным образом от выбора спектра начальных возмущений, в котором короткие волны должны быть подавлены [84, 88].
Приближенная теория «блинов» Зельдовича и численная модель. При построении теории образования крупномасштабной структуры Вселенной [89] неизбежно сталкиваются с необходимостью изучать сложные движения вещества в условиях, когда гравитационные силы играют существенную (часто определяющую) роль. Таковы задачи нелинейной теории гравитационной неустойчивости, задачи быстрой релаксации и эволюции систем гравитационно-взаимодействующих точечных масс. Эти задачи во многом близки к широкому кругу плазменных задач и поэтому допускают анализ с помощью численных методов [13, 84].
Рассматривается развитие длинноволновых малых возмущений на нелинейной стадии под действием тяготения. Эта задача тесно связана с теорией образования галактик из акустических возмущений плотности материи.
Общая картина возникновения галактик, согласно этой теории, сводится к следующему. На ранних этапах эволюции горячей Вселенной в расширяющейся почти однородной смеси ионизированного вещества и излучения были небольшие отклонения от однородности и изотропии расширения. Этот период эволюции малых возмущений исследуется аналитическими методами [92, 93]. Оказывается, что из всех мод возмущений в ходе расширения сохраняются только определенные длинноволновые акустические возмущения плотности и связанные с ними потенциальные скорости движения. Все другие виды движения, а также коротковолновые акустические колебания затухнут. В некоторый момент происходит быстрая нейтр ал из ация плазмы и давление вещества в интересующих нас масштабах оказывается полностью прене- брежимым по сравнению с силами тяготения. Задача о дальнейшей эволюции возмущений в таких условиях была решена в [89]. Эволюция малых возмущений в условиях, когда влиянием давления на движение вещества можно пренебречь, приводит к возникновению «блинов», обладающих (в пределе пренебрежимо малой энтропии) бесконечной плотностью при конечной поверхностной плотности. Предполагается, что в дальнейшем распад возникших плотных «блинов» на части и скучивание их может привести к наблюдаемой сегодня картине неоднородного распределения галактик и скоплений галактик в пространстве [94].
Приближенная нелинейная теория гравитационной неустойчивости позволяет понять основные закономерности образования и эволюции ячеистой структуры, удовлетворительно количественно описывать этот процесс [95]. По существу отличие приближенной и точной теорий состоит в неточном описании поведения частиц в момент попадания их в《блин» и последующего их движения. В [95] бесстолкновительные частицы свободно пролетают сквозь «блин», в точном расчете — должны гравитационно тормозиться, образуя четкую контрастную ячеистую структуру. В то же время эта теория заведомо неприменима после возникновения областей бесконечной плотности, т.е. для анализа дальнейшей эволюции «блинов». Для такого анализа, а также для детального сравнения точной и приближенной теорий необходим численный эксперимент [86].
Разумеется, образование и последующая эволюция «блинов» в бесстолкновительном случае отличается от газодинамической теории «блинов», лежащей в основе адиабатической теории образования галактик, в которой существенны диссипативные процессы. Однако, как показал наш численный эксперимент, в рассматриваемом случае результирующая картина распределения вещества в общих чертах подобна газодинамической картине: в обоих случаях образуется ясно видимая ячеистая структура. В случае Вселенной Робертсона-Валкера (О = 1) ячейки существуют конечное время и фрагментируются в нескольких компактных объектах. В открытой Вселенной ячеистая структура существует, если амплитуда начальных возмущений достаточно велики. Но последующее разрушение ячеек затруднено из-за слишком быстрого расширения Вселенной. Крупномасштабная структура заморожена. В открытой Вселенной (О < 1) ячеистая структура замерзает, а в случае О > 1, она распадается на отдельные объекты.
Рассмотрение бездиссипативной эволюции возмущений плотности, как это сделано в настоящей работе, дает возможность яснее выделить действительное значение диссипации в процессе образования галактик в адиабатической теории. Кроме того, данная проблема имеет самостоятельный интерес для образования крупномасштабной структуры в некоторых вариантах энтропийной теории.
Преобразование кинетических уравнений для самогравитирующей системы. Основное отличие гравитации от электромагнитизма состоит в том, что не существует гравитационного отталкивания (если не вводить гипотетического понятия отрицательной массы). Система гравитирующих частиц всегда обладает положительной полной массой — в отличие от плазмы, где обычно рассматириваются системы с равным нулю полным зарядом. Поэтому стационарные гравитирующие системы либо неоднородны, либо гравитационное взаимодействие в них уравновешивается внешними силами.
Иная ситуация возникает при анализе рассматриваемой здесь эволюции нестационарной, расширяющейся по закону Хаббла, квазиоднородной гравитирующей среды. В этом случае общее Хаббловское расширение эффективно компенсирует гравитационное притяжение и задачи развития неоднородностей, наложенных на расширяющуюся гравитирующую среду, оказываются чрезвычайно близкими (с точки зрения формального аппарата) к задачам эволюции квазиоднородной плазмы.
Как известно [96], эволюция системы частиц, взаимодействующих только гравитационно, описывается уравнением Власова:
а/ а/ат а/「
dt” dxidxi dui '
dxi/
Ui = —,(3-94)
—4ttG〃 = —4ttG / fd°u.
где f(t^ Xj^Uj)——одночастичная функция распределения, t ——время, /% ——координаты, Ui ——скорость частицы, дФ/dxi ——действующая на частицу гравитационная сила, р ——плотность, G ——постоянная тяготения Ньютона. Если мы рассматриваем эволюцию неоднородностей на фоне расширяющегося вещества, то удобно выделить однородный фон в явном виде и перейти к величинам (3.95) с учетом Хаббловского расширения однородной среды, которое описывается соотношениями:
0 = (1 + %厂1近，京=(1 + %)т(% — 8 • g), р = д)(1 + zf (3.95)
здесь ро ——современная средняя плотность Вселенной, р ——усредненная по всему
пространству плотность вещества, и «постоянная» Хаббла Н удовлетворяет уравнению:
dH口 24ttG
+ Н =dt3
Параметр % (в астрофизике его называют «красным смещением») описывает изменение расстояний между частицами при расширении, так что коэффициент расширения а(力)ск (1 + %)一L Связь между временем t и красным смещением имеет следующий вид:
F —,(3.97)
где предполагается, что О < 1, (вид выражения (3.97) для С〉0 очевиден). Но — постоянная Хаббла в настоящий момент, когда % = 0; заметим, что С = 8?rG夕о/ЗЛ^ — безразмерная плотность в настоящий момент. Для С ： 1 параметр % однозначно связан со временем только до момента максимального расширения Вселенной, соответствующего % = — 1/Q Случай с О > 1 и О < 1 — соответственно отвечают «закрытой» и «открытой» моделям Вселенной и модели (О = 1) с критической средней плотностью.
Сделав замену переменных в уравнении Власова (3.94), используя соотношения (3.95), получим в безразмерных переменных:
+ з ■— + ■— — = и； dt oxi dxi dvi
福=(i + 2)+398)
3 =~ ;
~ dt
—47tG(1 + %)т “_ (1 + %厂3用=—4тг@
Уравнения (3.98) совпадают с уравнениями (3.94) с точностью до замены постоянной тяготения G на G = G • (1 + %)一1 и переопределения плотности. В уравнениях (3.98) выполнено условие «электронейтральности»: роль плотности теперь играет величина 万一(1 + %)一力 и интеграл по всему пространству от нее, очевидно, равен нулю в силу сохранения массы. Поэтому задачи эволюции системы гравитирующих масс в《〜》переменных можно считать с помощью хорошо разработанных в теории плазмы численных методов макрочастиц.
Вместе с тем, в гравитационных задачах есть ряд особенностей, по сравнению с теорией плазмы и вытекающих из вида уравнения (3.98). Это, во-первых, возрастание постоянной взаимодействия G = G，(1 + %)一】со временем (с ростом времени t параметр % уменьшается), что приводит к росту взаимодействия в системе. Во-вторых, следует отметить, что «гравитационная нейтральность» («электронейтральность») системы выполнена лишь в среднем по всей системе. «Отрицательная» плотность заряда, описываемая членом —(1 + %)一^卩=_卩。строго постоянна по пространству и постоянна во времени, тогда как «положительная» плотность заряда, р, распределена, вообще говоря, исключительно неоднородно. В области сгущения материальных точек 万》3ch тогда как в области разрежений 万《％• Кроме того,
в гравитационном поле одноименные заряды притягиваются, что ведет к хорошо известной гравитационной неустойчивости. Эти особенности приводят к тому, что если в классических плазменных задачах в результате эволюции часто возникают квазистационарные ситуации с близкой к максвелловской функцией распределения, в гравитирующей системе эволюции, как правило, не приводит к стационарному распределению вплоть до собирания основной доли массы в один (или несколько) конгломератов.
С помощью уравнения (3.98) можно обычным путем получить закон сохранения энергии в системе или уравнение, связывающее изменение кинетической и потенциальной энергии в системе. С учетом зависимости от времени модифицированной «постоянной» тяготения, равной G, получаем
dt dt
где Т = 1/2 JJ^/cF 万 d?m U = 1/2 J ^(fd3v ™ l)d3x, а функция H определяется c помощью a“)：
』 (3.100) dt l丿
Зависимость от времени коэффициента G в уравнении Пуассона привела к возникновению члена —JIU в (3.99). Уравнение (3.99) совпадает с точностью до обозначений с теоремой Ирвина-Дмитриева [97, 98].
Двумерное численное моделирование процесса гравитационной неустойчивости. Двумерный численный эксперимент состоял в решении уравнений (3.98) для систем из 4096 частиц одинаковой массы с периодическими условиями на границах прямоугольника 27rx 2тг с числом пространственных ячеек 64 х 64, каждая макрочастица являлась облаком «размером» 2тг/64 х 2тг/64. В качестве начальных данных выбирались случайные возмущения плотности и скорости при заданной автокорреляционной функции. В начальных условиях задавались лишь длинноволновые возмущения L > I > L/9 , где L — размер квадрата периодичности, / — длина волны возмущения.
Начальное состояние задавалось суперпозицией пространственно-периодических возмущений плотности со случайными фазами и амплитудами, отвечающими выбранному из физических соображений спектру, когда характерная амплитуда возмущений плотности была мала, бр/р《1 , задавались функции:
S(q) = ££^^(A/COsKjq + B^sinKjq),(3.101)
Kij = ((2?г/е)分；(2ь/£)力,
Aij и Bij случайные числа, распределенные по нормальному закону с единичной дисперсией и нулевым средним.
Эволюция того же начального распределения возмущений рассчитывалась и по приближенной теории. Результаты расчетов сравнивались между собой.
Такое сравнение, прежде всего, подтверждает важнейшие качественные выводы приближенной теории [89]: на первом этапе эволюции система гравитационно-взаи- модействующих точек образуются тонкие, сильно вытянутые уплотнения. В дальнейшем эти уплотнения распадаются на части и собираются в несколько конгломератов. Очевидно, этот этап уже не описывается приближенной теорией.
Рис. 3.9. Двумерное распределение частиц, полученное по приближенной теории (в) и численным моделированием (б-г), (О = 1)： f = 0,66 tc, t = tc < Sp/p2 > "2〉рассчитанное по линейной теории равно 1, а/а(^с) =_2,3. в, г — то же что и б для моментов времени t = 0,49 力с, a/a(tc) = 4,2 и 力=0,37 tc, a/a(tc) = 7,4, a — масштабный фактор [91, 88]
На рис. 3.9 приведены распределения частиц, полученные согласно приближенной теории (а) и в численном эксперименте (6—а) . В обоих случаях задавались одинаковые начальные условия и распределения точек приведены на один и тот же момент времени.
При сопоставлении двух картин очевидно общее сходство распределений, хотя заметны и существенные различия. Можно отметить не только типичное для обеих картин преобладание вытянутых одномерных структур, но и совпадение многих деталей в расположении и форме областей повышенной и пониженной плотности. Вместе с тем следует отметить, что полученная в численном эксперименте картина более контрастна, области повышенной плотности выражены четче, заметны компактные сгущения в местах пересечения линейных структур. Возможно, это именно те области, где образуются богатые скопления галактик.
Характерная ячеистая структура, когда большая доля вещества собрана в тонкие вытянутые слои, разделяющие большие по площади области с низкой плотностью, возникает на нелинейной стадии при др/р > 1. Однако ясно, что такое распределение гравитирующих частиц далеко от равновесного и поэтому такая структура существует лишь ограниченное время. В численном эксперименте она распадается на компактные образования, которые в свою очередь сливаются во все более массивные объекты рис. 3.9, в и рис. 3.9, г. Заметная на рис. 3.9 концентрация частиц в нижней части области связана с существованием в начальном спектре возмущений, имеющих длину волны порядка размера расчетной области.
Иная картина возникает в космологической модели с Q < 1. В этом случае, как известно, рост возмущений на некотором этапе прекращается. Поэтому возможна ситуация, когда крупномасштабная ячеистая структура, успев образоваться, затем «замерзает» и существует в течение бесконечного времени, при этом эволюция в малых масштабах продолжается.
Количественное сравнение приближенной теории с результатами численного моделирования приведено в работах [86, 91, 88].
Кратко сформулируем основные результаты численных экспериментов с двумерной моделью.
Если в начальном спектре возмущений нет возмущений с длинами волн порядка расстояний между частицами, то на нелинейной стадии (^р/р > 1) в распределении вещества возникает ячеистая структура. Размеры ячеек сопоставимы с минимальной длиной волны /min = 2тг/Ктах, присутствующей в спектре возмущений.
В случае космологической модели с критической плотностью Q = 1, ячеистая структура существует конечное время, после чего она распадается. В открытых моделях (Q < 1) при определенном выборе начальной амплитуды ячеистая структура «замерзает» и сохраняется в течение бесконечного времени.
Ячеистая структура возникает не только в гидродинамической задаче, но и в системе из бесстолкновительных частиц. В рассматриваемой двумерной модели достаточно лишь гравитационного взаимодействия, чтобы возникшая при фокусировке структура не распадалась вскоре после образования, а существовала конечное время.
Сопоставление результатов численного эксперимента с двумерной моделью и предсказаний приближенной теории дает основание надеяться, что качественные результаты двумерной модели останутся справедливыми и в трехмерном случае.
4. Численное моделирование открытых плазменных систем методом частиц, в ячейках: (80-е гг.)
В начале 80-х гг. значительно возрос интерес к пониманию процессов, происходящих в открытых системах, для которых возможен материальный и энергетический обмен с окружающей средой. Дело в том, что в различных научных дисциплинах: биологии, кибернетике и других,——вопрос об эволюции открытой системы все чаще оказывается связанным с вопросом о возникновении состояния высокой упорядоченности, т. е. образование некоторых структур, развивающихся в сильно неравновесных системах [99, 100].
Разреженная плазма, описываемая уравнениями Власова, как среда с высокой степенью нелинейности и коллективным характером поведения электронов и ионов в самосогласованном электромагнитном поле, представляет хорошие возможности для изучения различных переходных режимов. Методом макрочастиц [15, 39, 101, 13, 33] была изучена нелинейная стадия модуляционной неустойчивости плазмы, механизм ее насыщения и взаимодействие волн с частицами. Крупным признанным достижением вычислительной физики плазмы является ее решающий вклад в столь фундаментальную область физики, как теория сильной ленгмюровской турбулентности [102] (см. гл. 2). Не менее важны кинетические модели плазмы твердого тела.
При моделировании плазмоподобных сред методом частиц была исследована ди™ намика неравновесных энергетических распределений в полупроводниках, точнее двух наиболее интересных физических ситуациях, когда возможно создание неравновесных энергетических распределений электронов [3, 103, 104]. Первая из них обусловлена генерацией неравновесных фотоэлектронов в полупроводниках, освещаемых монохроматическим светом. Во второй ——заметное отклонение энергетических распределений от равновесных возникает при помещении полупроводника в элек™ трическое поле в условиях сильно неупругого рассеяния электронов на оптических фононах. Несмотря на видимое различие физических условий в этих явлениях, они имеют общую природу, обусловленную тем, что процессы релаксации определяются коллективными процессами, а именно: нелинейным взаимодействием электронов с возбуждаемыми ими плазменными колебаниями.
В основе моделей лежит кинетическое уравнение для электронов в приближении самосогласованного поля с различными, может быть, интегралами столкновений и начальными условиями. Существенным дополнением метода макрочастиц для решения таких задач является учет упругого рассеяния электронов на примесях и акустических фононах и неупругого взаимодействия электронов с оптическими фононами
(одномерные модели оправданы в случае, когда полупроводник находится в квантующем магнитном поле, причем электроны сосредоточены в нижней подзоне Ландау. Численные эксперименты позволили обнаружить явление пучковой неустойчивости, развитие которой приводит на нелинейной стадии к «бунчировке» движущейся элек™ тронной плазмы ——образованию устойчивых бегущих уединенных волн (солитонов) концентрации электронов. На неустойчивость такого типа существенное влияние оказывает упругое рассеяние электронов на примесях и акустических фононах. При определенных условиях оно способно полностью подавить неустойчивость.
Важно отметить, что на указанном этапе развития вычислительной физики плазмы, продолжавшемся в 60-70~е гг., речь шла главным образом о численных экспериментах в плазме с периодическими граничными условиями, фиксированной полной энергией и неизменным ансамблем модельных макрочастиц ——т. е. системами замкнутыми. Следующий цикл численных экспериментов относится к открытым, не замкнутым системам. Новый этап касается таких заведомо актуальных проблем фи™ зики плазмы как двойные слои и ленгмюровская турбулентность, плазма полупроводников, а с другой стороны, имеет, возможно, прямое отношение к образованию пространственных и пространственно-временных структур при необратимых процессах, или синергетике [99, 100, 105].
Речь будет идти, таким образом, о кинетическом моделировании коллективных процессов в открытых плазменных системах с переменными полной энергией и числом частиц, т. е. с потоками частиц и энергии на граничных поверхностях и (или) их объемными источниками и стоками. Для таких систем мы подробно рассмотрим в пространственно-одномерной геометрии главным образом методические вопросы, относящиеся к задаче о генерации и эволюции двойных заряженных слоев в токово-неустойчивой плазме. Полученный здесь опыт был успешно применен нами при решении другой, ставшей уже классической для физики плазмы задачи —— о бесстолкновительной релаксации неустойчивых электронных распределений типа «горб~на~хвосте» [7, 106], но теперь уже для открытой системы с фиксированной во времени неравновесной функцией распределения по скоростям на одной из границ. Эта задача подробно рассмотрена в гл. 1.
Основные, или, точнее, необходимые, условия существования стационарных двойных слоев (ДС), были установлены еще Ленгмюром [107, 108] более полуве™ ка тому назад. И уже тогда было ясно, что вполне адекватное описание ДС, в силу их многопотоковой структуры, наличия пролетных и захваченных электронов и ионов, возможно лишь на кинетическом уровне методами дискретного моделирования плазмы [15, 33].
Однако (и это здесь важно подчеркнуть), простое перенесение опыта построения и эксплуатации хорошо разработанных ММ для замкнутых систем с (иреиму- щественно) периодическими граничными условиями (ПГУ) и постоянным составом модельных частиц на «открытые» плазменные конфигурации «проточного» типа наталкивается на принципиальные трудности. Главная из них ——неизбежное нарушение полной электростатической нейтральности в «открытой» расчетной области из-за относительной неравномерности утечки из нее и притока внутрь положительно и отрицательно заряженных макрочастиц. Именно с нарушением нейтральности приходится бороться в первую очередь, поскольку появление нестационарного объемного заряда в расчетной области вызывает возбуждение паразитных высокочастотных электрических шумов конечной амплитуды, искажающих или даже полностью смазывающих изучаемые тонкие коллективные процессы.
Нетрудно видеть, что в распоряжении исследователя, занимающегося численными экспериментами с открытыми системами, есть фактически лишь два способа
поддержания точной электрической нейтральности системы в целом:
управление потоками макрочастиц на границах расчетной области;
введение искусственных источников (стоков) частиц внутри объема.
Остановимся на каждом из них отдельно, поскольку детали каждого из них ——и это будет продемонстрировано в нашей работе ——определяют не только постановку задачи (что естественно), но и конечный физический результат (что может оказаться неожиданным).
Постановка задачи, метод решения и реализация модели
Обратимся к подробному обсуждению способа поддержания электростатической нейтральности системы в целом и конкретных граничных условий, зависящих от этого выбора.
Для описания одномерных движений двухкомпонентной плазмы в условиях бео столкновительности имеем кинетическое уравнение Власова и уравнение Пуассона
8 ^；； " = 4冗 £ qe& /dv,(3.103)
—сю
здесь fe,i(x^ l\ t) — функция распределения электронов и ионов соответственно, 3(т, t)——электростатический потенциал, qej, и 加々?；——заряд и масса частиц.
В качестве граничных условий для уравнения (3.103) выберем условия типа Ней™ мана
^(^Л)Ь=О = о； "j；= о.(3.104)
На граничных условиях для уравнения (3.102) остановимся особо.
Представим функции распределения fej, на границах области х = [0, L] в виде суммы, слагаемые которой относятся соответственно к втекающим (/+) и вытекающим (/—) в область [0, £] частицам:
/о
= f^v,t) = f+ + f-;
灯=
簿＞ 0, 簿＜ 0;
/о =
{/(0,
簿＞ 0, 簿＜ 0;
九
三/("簿/)=力+ /J
/2 =
俨
簿＞ 0, 簿＜ 0;
{ж,
簿＞ 0, 簿＜ 0.
(3.105)
Учтем вид функций распределения, ответственных за входящие Jimp и выходящие &хр потоки частиц:
В классическом методе макрочастиц, в частности, для модели «облаков» в ячейке CIC с периодическими граничными условиями (ПГУ),
/+(г；Л)=/+(г；Л);/£(г；Л)=/^(1^);(3.107)
И "тр = &хр^
Запишем уравнение для интегрального баланса частиц, обозначив полное число частиц данного сорта, присутствующих в расчетной области в момент времени t
N(力)=/ dx J /(方,簿，力)ck\ тогда
0 —ос
dN(t) dtdN(t) dt^fo,L^A) dv =^fo,L^A) dv =ооvf^ (v, t) dv + / vf^ (v, t) dv - /vf^ (v, t) dv + / vf^ (v, t) dv - /оо
dN(t) dt
dN(t) dt
^fo,L^A) dv =
^fo,L^A) dv =
о
о
vf^ (v, t) dv + / vf^ (v, t) dv - /
vf^ (v, t) dv + / vf^ (v, t) dv - /
о
о
сю0
(ЗЛ08)(ЗЛ08)=/簿（措（4方）一方（4方））而+ /簿（%（簿/）-/f（M））d匕
(ЗЛ08)
(ЗЛ08)
0—ос
Таким образом, в случае выполнения ПГУ (см. (3.107)) условия dN(t)/dt = 0, N⑴ = 二 const выполняются автоматически. Очевидно, что эти же условия выполняются и при более слабых соотношениях
ею00ею
У vf^(v,t)dv- У г?/£(г?л) dv = / vf^ (v, t) dv - ^ г?/+ (v, t) dv. (3.109) 0—oc—oc0
Следовательно, при желании сохранять в процессе численного эксперимента неизменным полное число частиц в системе (N⑴=const) при одновременном отказе от стандартных ПГУ, мы обязаны обеспечить равенство потоков входящих и выходящих частиц (3.109). Естественно, что при этом правая часть уравнения (3.109) определяется самосогласованным решением внутренней задачи и мы не можем влиять на функции распределения выходящих частиц.
Однако, как легко видеть, возможность варьировать форму функции распределения /j (и,力)и /£(и,力)в левой части (3.109) дает нам необходимую свободу действий.
Рассмотрим подробнее случай N(力)=const. Перепишем уравнение (3.109) в следующем виде:
сю0
/簿措(2⑴而一/ M£(E)d* = P亡⑴-Pf⑴,(3ЛЮ)
0—ос
где P/l = J vf^L^v^ ^) d簿 ——определяются в процессе решения.
При первых попытках реализации (3.110) в «открытых» системах сказалось сильное влияние традиционного подхода с ПГУ: каждая вылетающая из расчетной области частица появлялась, с измененной по определенному закону скоростью, на
одном из ее концов, однозначно определяемом знаком скорости [109, ПО]. В результате выполнение условия (3.110) обеспечивалось реализацией требований
(3.111)(3.112)(3.111)(3.112)/ vf^ (г?, t) dv = Р广⑴,о
(3.111)
(3.112)
(3.111)
(3.112)
о
Легко видеть, что соотношения (3.111), (3.112) предполагают и реализуют некоторую обратную связь между «входом» и «выходом» нашей системы.
В работе [ПО] частицы инжектировались с помощью датчиков случайных чисел, реализующих в среднем по времени на каждом из концов первоначальную форму функции распределения. В соответствии с этим можно считать, что
疗(%方)=a+⑴疗(%0);%(%方)=⑴%(%0), (3.113)
где &+(力),Q—(力)——переменные величины, определяемые самосогласованным поведением плазмы в области [0, £] . Описанный алгоритм поддерживает на каждой из границ неизменным средние скорости частиц
0("侍"0
определенные интегрированием по скоростям лишь входящих в расчетную область частиц. При этом, естественно, полные плотности 几仇上 и скорости vq^l (а следов а™ тельно и электрический ток!) постоянными не являются.
Модель (А). Рассмотрим частный случай алгоритма (3.113), когда
@+⑴=q-⑴二 q⑴*(3.114)
В этом случае все вышедшие из [0, Ъ] частицы распределяются в точках х = 0, L случайно, пропорционально начальному распределению /(и, 0) = /+(и, 0) + /一 (簿,0), с которым совпадают начальные распределения fo^L^^ 0) на границах. Таким образом,
疗=a⑴/+(%0),□
/£(%" = &⑴广(％。).* °
Подставляя (3.115) в (3.110) и разрешая относительно a(t)^ получаем
。⑴=(3.116) Jo Vft (l^ Q)d'V Loo /b (1?^ °)dv Emp(0)
Метод, основанный на реализации требований (3.114)-(3.116) и условии, что правая часть уравнения (3.110) определяется самосогласованным решением внутренней части задачи (3.102), (3.103), мы называем моделью (А)*
Авторы работы [109] использовали несколько иной подход: каждая вылетающая из [0, L] частица возвращается в расчетную область со скоростью, которой она обладала при 力=0* Очевидно, что на сильно нелинейной стадии процесса форма
/^(и, t) на границах уже не будет вполне подобна начальному профилю функции распределения /^(и, 0), хотя интервалы скоростей, на которых они заданы, сохраняются. Этот метод аналогичен методу (А) с несколько своеобразным способом задания функции распределения на границах, поэтому мы цитируем его как метод (А‘). Естественно, что в случае (А) и (А‘) условие непрерывности потока частиц (3.109) выполняется автоматически. Таким образом, сравнивая (А), (А‘) с ПГУ, мы видим, что в них требование периодичности самих функций распределений замени™ ется более слабым требованием периодичности их первых моментов:
/ vfQ(v,t) dv = / vfL(v,t) dv. (3.117)
Численный эксперимент [109, ПО] показал, что основным недостатком (А), (А‘) является жесткая обратная связь между инжектируемыми и вылетающими частицами, при этом интенсивность источников автоматически увеличивается при появ™ лении сильно ускоренных электронных и ионных потоков в двойном слое.
Серия расчетов, проведенная нами по методике (А‘) с различными исходными параметрами (в том числе и со взятыми из [109]), действительно показала, что скачок потенциала стабилизируется, растягиваясь со временем на всю длину расчетной области, а источники частиц на границах стремиться обеспечить выполнение условия Ленгмюра [107, 108]
Фактически это означает, что а⑴ т [力 т оо] а 三 const > 1, как легко видеть из уравнения (3.116).
—£10££2—£10££2Рис. 3.10. Схема расчетной области открытых систем. Обозначения: {1} = ={ж : —& < ж < 0} , {II} = {①：0 工①工 £}){III} = {х : L < х < £2}Рис. 3.10. Схема расчетной области открытых систем. Обозначения: {1} = ={ж : —& < ж < 0} , {II} = {①：0 工①工 £}){III} = {х : L < х < £2}
—£10££2
—£10££2
Рис. 3.10. Схема расчетной области открытых систем. Обозначения: {1} = ={ж : —& < ж < 0} , {II} = {①：0 工①工 £}){III} = {х : L < х < £2}
Рис. 3.10. Схема расчетной области открытых систем. Обозначения: {1} = ={ж : —& < ж < 0} , {II} = {①：0 工①工 £}){III} = {х : L < х < £2}
Основные идеи нашего метода состоят в следующем. Предположим, что на границах расчетной области расположены автономные резервуары частиц с неизменным во времени распределением по скоростям. Резервуары устроены следующим образом (схема 3.10).
Центральная область {II} расчетная, в которой методом макрочастиц ищется самосогласованное решение уравнений (3.102) и (3.103) с граничными условиями (3.104) и
f+(x,v,t)\x=0 = lim /+(ж е {1} л), f^(x,v,t)\x=L = lim{Ш}@“，
(3.119)
(3.120)
f^(x,v,t)\x=0 = lim "С {11} Л? л), f+(x,v,t)\x=L = lim /+@ С {11} Л?л).
(3.121)
Условие (3.121), как отмечалось выше, определяется в процессе решения.
Алгоритмически (3.119) реализуется следующим образом. В начальный момент времени 力=0 внутри области {1} задается желаемое распределение макрочастиц по координате ж и некоторое распределение по скорости и > 0. Электрическое поле в областях {П} и {III} тождественно равно нулю, а граничные условия строго периодические. Шаг по х во всех трех областях {1} , {II} , {III} выбирается одинаковым: h = Аж . Частица движется в области {1} с постоянной скоростью и при каждом пересечении точки ж = 0 на текущем временном интервале 力总< t < t^, оставаясь сама внутри {1} в соответствии с действующими там ПГУ, одновременно как бы «порождает» свой дубликат в области {II}, т. е. дополнительную точно такую же макрочастицу, но продолжающую движение внутрь {II}, и уже подчиняющуюся на следующих временных шагах существующему в {II}, самосогласованному электрическому полю.
Совершенно аналогично, но уже для t? < 0 и при т = £, реализуется условие (3.120), т. е. инжекция частиц в {II} из резервуара {III}, где задано и поддерживается с помощью ПГУ распределение /^П| (^, t).
Естественно, что при использовании на границах расчетной области таких источников, число частиц в системе, вообще говоря не будет оставаться постоянным. Для поддержания полной электростатической нейтральности необходимо вводить сторонние источники частиц, делая это так, чтобы в минимальной степени влиять на коллективные процессы внутри плазмы.
Мы использовали несколько моделей.
Модель (В). Сохраняем выполнение условия dN(t)/dt = 0, N⑴=const, на каждом временном шаге 力总,рассчитываем величину
△N%⑴ 7?⑴—JO),(3.122)
где N^ ^t) — число макрочастиц, оказавшихся внутри расчетной области после вычисления фазовых траекторий на k-м (九=九一1 + △力)шаге, т. е. с учетом как частиц, покинувших отрезок [0, Ъ] на рассматриваемом временном интервале, так и вошедших в него частиц из граничных резервуаров {1} и {II}. Используем (3.122) для нахождения числа «лишних» (АЖ > 0) или «недостающих» (АЖ < 0) частиц. В первом случае АЖ частиц путем случайной выборки по закону равнораспределения по х выбрасывается из {II}, а во втором —— тем же способом добавляется в {II}. Значения скоростей этим дополнительным частицам приписываются также с помощью датчика случайных чисел в соответствии с заданным распределением по и, в качестве которого для каждой из компонент мы выбрали начальное распределение /{u}8 0).
Модель (С): Мы отказались от условия сохранения полного числа частиц в области {II}, при этом нейтральность поддерживается за счет включения компенсирующих источников (стоков) для легкой (электронов) плазменной компоненты. Таким образом, в этом методе число макроионов менялось в процессе счета, а избыток (△Ne > 0) или недостаток (АЖе < 0) макроэлектронов определяется из соотношения
△Nf ⑴=Nf⑴—Nf ⑴.(3.123)
Полное число частиц в системе было переменным и равным в каждый момент времени tk удвоенному числу макроионов 2N?⑴.
Модель (D): На каждом временном шаге 力总 вычислялась «невязка» заряда Qe,i 7
(3.124)(3.124)
(3.124)
(3.124)
а компенсирующий заряд противоположного знака равномерно «размазывалея» по всей области. В данной ситуации число обоих сортов частиц в системе всегда оставалось переменным.
В наших расчетах по вышеописанным алгоритмам начальное состояние в {II} совпадало с постоянным распределением частиц в резервуарах {1} и {II}, т. е.
厶口}(4。)= /+{口}(4。) + 广{口}(4。)= /+{i}(^) +广{m}W,
где
(/簧・(3.126)
Таким образом, мы имеем в расчетной области {II} двухкомпонентную плазму, поведение которой описывается системой уравнений (3.102) и (3.103) с граничными (3.104), (3.119), (3.120) и начальными (3.126) условиями, полная электростатическая нейтральность системы достигается с помощью одного из упомянутых методов (В), (С) и (D). Реализация этих моделей с переменным числом частиц в вычислительном эксперименте потребовала оптимизации использования ресурсов ЭВМ. Время обработки одной частицы на одном временном шаге составляло 200 мкс.
Описанные дискретные модели для открытых плазменных систем позволяют решать с их помощью весьма широкий класс теоретических и прикладных задач фи™ зики плазмы. Так, может рассматриваться система без резервуаров (задача о расширении плазмы в вакуум), размеры инжекторов, температура, поток и плотность частиц в них варьируется в зависимости от условий задачи с произвольными граничными условиями для электростатического поля. Программа позволяет проверять методики (А‘), (В), (С), (D) и ПГУ. Предусмотрена и возможность отказа от поддержания нейтральности (см. например наши предыдущие работы [111, 112]). Тестами контролировалось выполнение законов сохранения и основных дисперсионных свойств плазмы, проведено сравнение с известными аналитическими решениями.
Законы сохранения импульса и энергии для ПГУ выполняются с хорошей точностью, изменение энергии за расчетные времена 力卫好^ = 100 составляет 0,1 + 0, 2.
Результаты численного эксперимента по наблюдению пучка малой плотности, проходящего через плазму, при условии, что (几1/几0)1/314)》I/*, где ni, по — плот™ ности пучка и плазмы соответственно, хорошо согласуется с теорией. Инкремент нарастания колебаний, полученный в расчетах, совпадает с теоретическим 7 = л/3/2(п 1 /2п0)1 /3^ре с точностью до третьего знака.
Важным дополнительным аргументом в пользу качественной достоверности численных моделей являются результаты расчетов при изучении нелинейных процессов при баллистическом протекании электронов через тонкие полупроводниковые слои. При выходе на стационарный режим результаты численного эксперимента точно совпадают с аналитическим решением (например с законом Чайлда^Ленгмюра для вакуумного диода, когда потенциал g пропорционален т’/З), и теоретическими результатами работы [113, 114].
Частота включения достаточно интенсивных объемных источников равна приблизительно l/to, где 力о ——время в течении которого ДС проходит через всю расчетную область. В среднем на интервале 0 < t < to интенсивность резервуаров значительно превышает интенсивность объемных источников. Вероятно этим и объясняется общее качественное сходство результатов по моделям (В) и (С), приводящее к образованию нестационарных ДС. Тем не менее, количественное различие между этими моделями говорит о значительной роли объемных источников, которую,
безусловно, следует учитывать при постановке численного эксперимента и его интерпретации.
С помощью этой программы мы провели серию методических расчетов изучая влияние выбора способа поддержания нейтральности в системе на процесс образования и устойчивости двойных заряженных слоев в плазме. Мы рассматривали эволюцию начального распределения (3.126), т. е. движения на фоне горячих покоящихся ионов максвелловского электронного потока с дрейфовой скоростью Vo, заведомо удовлетворяющей условию бунемановской неустойчивости Vo /We > 1. Варианты с параметрами Vo/Рте = 5, me/mi = 1/100, Te/Tj = 1, L/Хи = 100, Ne = =Nj = 8000 были просчитаны по методам (В), (С), ПГУ и (А7)- В рамках модели (А‘) был просчитан вариант с параметрами , взятыми из работы [109]: Vo/Рте = 1, 2, me/mi = 1/16, Te/Ti = 1, L/Xd = 50, Ne = Д： = 6000. При расчете по модели (D) параметры задавались следующие: Vo/Рте = 1,8, me/mi = 1/25, Te/Tj = 1, L/Хи = 50, Ne = Nj = 4000. Основным результатом проведенных численных экспериментов является возникновение нестационарных ДС в открытых плазменных системах. Образование ДС мы связываем с развитием бунемановской неустойчивости, это подтверждается совпадением полученного в численных расчетах инкремента с теоретическим инкрементом [115, 104].
В отличие от наших моделей алгоритм (А7), реализованный в программе, заведомо создает необходимые условия существования стационарных двойных слоев. При этом, максимальное значение потенциала значительно превышает наши результаты, а ДС растягивается на всю длину расчетного интервала L и уже мало напоминает нестационарные подвижные ДС масштаба резонансной бунемановской моды в моделях (В), (С) и (D). Начальные стадии процесса образования ДС при использовании всех алгоритмов приблизительно одинаковы.
На рис. 3.11 приведены зависимости средней ионной скорости «%(力)〉/16n^ и мак™ симального значения потенциала ЗтюД力)с/Г = шах 92(ж, t) при х С [0, Ь]. Расчеты и [116] показывают существенное отличие процессов, происходящих в открытых системах от классической задачи с ПГУ, а также сильное влияние способа поддержания электронейтральности на конечную картину в целом. Всплески потенциала и нарастание средней ионной скорости соответствуют возникновению ДС. «Время жизни» двойных слоев легко определить из графиков, приведенных там же, дает представление о пространственном поведении потенциала в различные моменты времени. Как видно из рисунка, для ДС, полученных с помощью наших методов, собственный размер ДС составляет 1ш < Ъ, и слои имеют тенденцию двигаться вниз по потоку. Таким образом, численный метод «облаков в ячейке» [117] модифицирован для моделирования одномерной электростатической плазмы с переменным числом частиц, что дает возможность исследовать важные физические следствия рождения и уничтожения макрочастиц в объеме, а также инжекцию макрочастиц из посторонних источников. Алгоритмы реализованы на ЭВМ БЭСМ-6 и проверены на ряде тестовых задач, получено хорошее соответствие численных результатов теории. При проведении численного эксперимента по изучению генерации и динамики ДС в плазме сравнивались различные подходы к моделированию открытых плазменных систем.
Явление коллапса электрического поля в сильных двойных слоях
Метод частиц был использован в моделировании спонтанной генерации сильных нестационарных двойных слоев на нелинейной стадии токовой бунемановской
от времени (слева) и зависимость средней электростатической энергии Wf/4тгпоТе и е^тах(力)/'晨 от времени (справа)
неустойчивости в плазме. Анализ результатов показал, что в покоящейся плазме с электронным током самопроизвольно возникают короткоживущие нестационарные двойные слои с перепадом потенциала △夕 < 270 Т/е (Т — температура плазмы, е — заряд электрона), взрывное нарастание электрического поля связано с поведением плазмы как открытой, сильно неравновесной системы, реализующейся в экспери™ ментах инжекции частиц в рассматриваемую область. Эффект «сильных» двойных слоев, обнаруженных численными экспериментами в 1980г., был довольно быстро подтвержден тогда же серией тонких лабораторных экспериментов японской груп™ пы профессора Y. Takeda из Nikhon Университета г. Токио. Образование структур в плазме типа сильного двойного слоя выглядит как коллапс квазистатического влек- трического поля в плазменной каверне. Проведено сравнение компьютерных зкспе- риментов на основе уравнений Власова с решением гидродинамических уравнений [104], описывающих развитие плазменной каверны, в которой происходит сильное ускорение электронной и ионной компонент плазмы.
Бунемановская неустойчивость в открытых плазменных системах. Рассмотрим эволюцию начального распределения в виде движения на фоне горячих покоящихся ионов максвелловского электронного потока с дрейфовой скоростью Vo, заведомо удовлетворяющей условию бунемановской неустойчивости Vq/^те > 1- Значения физических параметров: Ро/^те = 1,2^5; me/mi = 1/1600 + 1/16; TJT\ = = 1 + 25; L/Xd = 50 200.
Численно исследованы временные зависимости (см. табл. 3.1) средней плотности электростатической энергии
L
厶丿 87ГП0Ге 87ГП0Ге ■о
средней ионной скорости〈*勿(力)〉/I’% и максимального значения потенциала
⑴=I max 夕(伤力))e/Te.
\xe[o,L] /
Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. Основной причиной, вызывающей в рассмотренных открытых системах образование двойных слоев (ДС), является бунемановская неустойчивость (БН). Это подтверждается:
Рис. 3.12. Распределение макрочастиц на фазовой плоскости в разные моменты времени (вариант 5-С)* характеризуют подготовительную стадию: нарастание колебаний (слева) (力®@е = 36) и появление отраженных частиц (справа) (tujpe = 60) при образовании сильного двойного слоя
совпадением полученного в численном эксперименте инкремента с теоретиче™ скими инкрементами БН, т.е.
7=1 (St) 5е * &135 5е ⑶ 127)
ПРИ S = 1厂\ 工=5》=野ДЛЯ ^>1；
соответствием длины возбуждаемой волны длине резонансной моды 2ttVq /шре рис. 3.12, слева) для Vb/We = 5;
характерной зависимостью инкремента БН от me/mi в вариантах с me/mi = =1/100 и me/mi = 1/1600.
Картина генерации и эволюции ДС содержит четыре выраженные стадии (см., например, рис. 3.13).
Стадию начального торможения медленной части электронов с формирование ем отрицательного потенциала 0 < 1шре < 30, наблюдавшуюся уже в наших первых численных экспериментах по моделированию ДС [115, 104] (см. также [118]).
Солитонную стадию, отмеченную на рис. 3.13, б, положительным всплеском потенциала, распространяющимся с нарастающей амплитудой вниз по электронному потоку со скоростью, близкой к ионно-звуковой 30 < tujpe < 48.
Автомодельную стадию [104] формирования сильного ДС, подавляющего 6о лее слабые зародыши ДС вниз по электронному потоку, для этой стадии характерно нарастание поля i/;ma:X ~ (力0 —力厂2 рис. 3.13, 8/, 48 < t3pe < 156).
Стадию разрушения ДС, наступающую в результате того, что резервуары по™ стоянной интенсивности, т.е. с фиксированной функцией распределения инжектиру™
едедegeg4040002002001001000 25 50 x/Xd 0 25 50 x/XD 0 25 50 x/XD0 25 50 x/Xd 0 25 50 x/XD 0 25 50 x/XD66ввгг
ед
ед
eg
eg
40
40
0
0
200
200
100
100
0 25 50 x/Xd 0 25 50 x/XD 0 25 50 x/XD
0 25 50 x/Xd 0 25 50 x/XD 0 25 50 x/XD
6
6
в
в
г
г
Рис. 3.13. Пространственные профили потенциала иллюстрирующие разные стадии об™ разования двойных слоев на временах: + — tujpe = 6, х — tujpe = 12, о 一 tujpe = 18 (a); + — tujpe = 24, x — tujpe = 30, о — tujpe = 36 (0; + — tujpe = 60, X — tbJpe = 72, о — tujpe = 90 (в)； 4tujpe = 144, X — tujpe = 150, о — tujpe = 156 (г)
емых частиц, не могут обеспечить приток частиц (в частности, ионов), необходимый для выполнения условия Ленгмюра (3.130) для стационарности ДС.
Сопоставление вариантов расчетов в [119], различавшихся только отношением Te/Ti, равным, соответственно 1 и 25 показало, что в случае неизотермической плаз™ мы (Те 》Ti) картина формирования ДС заметно смазывается и его амплитуда резко уменьшается. Этот результат, относящийся к эволюции БН в открытых систе™ мах, контрастирует с утверждением о том, что развитие БН мало зависит от 么/二；, сделанном в [120] для замкнутых систем с периодическими граничными условиями.
u3 >u3 >Сравнение с гидродинамическим описанием. Под двойным электрическим слоем подразумевают, обычно, слой плазмы с размерами сравнимыми с дебаевским радиусом, внутри которого имеется существенное разделение зарядов и происхо™ дит монотонное изменение потенциала электрического поля на конечную величину, например прикатодный двойной слой, впервые наблюдавшийся Ленгмюром [107]. Возникновение двойного слоя связывают с протеканием сильного тока по плазме. Бом [121] обнаружил, что для стабильного существования прикатодного слоя необ™ ходимо, чтобы ионы втекали в слой со скоростью
u3 >
u3 >
(ЗЛ28)
где Uj, Tj, mj —— гидродинамическая скорость, температура и масса частиц сорта j. Это условие вытекает из требования, чтобы по направлению внутрь слоя плотность ионов спадала медленнее, чем плотность запертых электронов и поэтому в резуль™ тате возникал бы избыток положительного пространственного заряда. Совершенно аналогично со стороны катода должно быть выполнено условие
V meV me(3」29)
V me
V me
Таким образом, для возникновения стационарного двойного слоя требуется проник™ новение в него электронов и ионов с двух противоположных сторон со скоростями, превышающими критические. В случае сильных двойных слоев (т. е. при еАср》厶, где △夕一скачок потенциала внутри двойного слоя) потоки электронов и ионов свя™ заны с условием Ленгмюра [108]
Таблица 3.1. Параметры расчетов (цифра в названии варианта — величина дрейфовой скорости, буква — вид модели(А, В, С) из работы [119]
Вариант
Модель
Vo 帀
W
шг
L Xd
Te X
Граничное условие на 夕(啰,力)
5一 В
В
5
1/100
100
1
Неймана
3,6-В
_卄_
3,6
_卄_
夕(0)=夕'(£) = 0
2,4-В
_卄_
2,4
_卄_
1&В
_卄_
1,8
_卄_
_П _
1,2-В
1,2
_П _
181-В
1,8
200
182-В
1,8
1/1600
200
51-В
5
1/100
150
5-С
С
5
100
и
2,4-С
С
2,4
100
5-А
А
5
100
12A
А
1,2
1/16
50
5-ИГУ
ПГУ
5
1/100
100
ПГУ
121-В
В
1,2
1/100
100
25
夕(0)=夕'(£) = 0
где Ij =ней мере звуковым для того, чтобы в плазмегде Ij =ней мере звуковым для того, чтобы в плазмеrijUj^ д = me/mi. Мы видим, что течение ионов должно быть по край™ с током существовал стационарный двойной слой. Важнейший вопросrijUj^ д = me/mi. Мы видим, что течение ионов должно быть по край™ с током существовал стационарный двойной слой. Важнейший вопрос-4II II I025 50x/XD-4II II I025 50x/XD'2d，||0 25 50 x/XD'2d，||0 25 50 x/XDо том, каким образом покоящаяся плазма с током эволюционирует к состоянию с мощным потоком ионов практически игнорируется как в теоретических, так и в эксперимент тальных исследованиях по двойному слою (см., соответственно, обзоры™ [122, 123] ). Ниже будет показа™ но, что нестационарные двойные слои являются следствием нелиней™ ной эволюции БН плазмы с током [5] и могут обеспечивать кратковременное ускорение ионных потоков до величины, предсказываемой со отношением Ленгмюра (3.130). Сам факт возникновения двойных влек- трических слоев иллюстрируется результатами численного моделиро™ вания поведения плазмы в плоском одномерном слое при условии непрерывной инжекции частиц на грани™о том, каким образом покоящаяся плазма с током эволюционирует к состоянию с мощным потоком ионов практически игнорируется как в теоретических, так и в эксперимент тальных исследованиях по двойному слою (см., соответственно, обзоры™ [122, 123] ). Ниже будет показа™ но, что нестационарные двойные слои являются следствием нелиней™ ной эволюции БН плазмы с током [5] и могут обеспечивать кратковременное ускорение ионных потоков до величины, предсказываемой со отношением Ленгмюра (3.130). Сам факт возникновения двойных влек- трических слоев иллюстрируется результатами численного моделиро™ вания поведения плазмы в плоском одномерном слое при условии непрерывной инжекции частиц на грани™Рис. 3.14. Распределение электронов (слева) и ионов (справа) характерное для сильного двои™ного слоя це [76, 110]. На рис. 3.14 показано поведение электронов и ионов на фазовой плоскости (ж, ъ^), характерное для неста™ ционарного двойного слоя. Расчет относится к случаю, когда начальная токоваяРис. 3.14. Распределение электронов (слева) и ионов (справа) характерное для сильного двои™ного слоя це [76, 110]. На рис. 3.14 показано поведение электронов и ионов на фазовой плоскости (ж, ъ^), характерное для неста™ ционарного двойного слоя. Расчет относится к случаю, когда начальная токовая
где Ij =
ней мере звуковым для того, чтобы в плазме
где Ij =
ней мере звуковым для того, чтобы в плазме
rijUj^ д = me/mi. Мы видим, что течение ионов должно быть по край™ с током существовал стационарный двойной слой. Важнейший вопрос
rijUj^ д = me/mi. Мы видим, что течение ионов должно быть по край™ с током существовал стационарный двойной слой. Важнейший вопрос
-4II II I
025 50x/XD
-4II II I
025 50x/XD
'2d，||
0 25 50 x/XD
'2d，||
0 25 50 x/XD
о том, каким образом покоящаяся плазма с током эволюционирует к состоянию с мощным потоком ионов практически игнорируется как в теоретических, так и в эксперимент тальных исследованиях по двойному слою (см., соответственно, обзоры™ [122, 123] ). Ниже будет показа™ но, что нестационарные двойные слои являются следствием нелиней™ ной эволюции БН плазмы с током [5] и могут обеспечивать кратковременное ускорение ионных потоков до величины, предсказываемой со отношением Ленгмюра (3.130). Сам факт возникновения двойных влек- трических слоев иллюстрируется результатами численного моделиро™ вания поведения плазмы в плоском одномерном слое при условии непрерывной инжекции частиц на грани™
о том, каким образом покоящаяся плазма с током эволюционирует к состоянию с мощным потоком ионов практически игнорируется как в теоретических, так и в эксперимент тальных исследованиях по двойному слою (см., соответственно, обзоры™ [122, 123] ). Ниже будет показа™ но, что нестационарные двойные слои являются следствием нелиней™ ной эволюции БН плазмы с током [5] и могут обеспечивать кратковременное ускорение ионных потоков до величины, предсказываемой со отношением Ленгмюра (3.130). Сам факт возникновения двойных влек- трических слоев иллюстрируется результатами численного моделиро™ вания поведения плазмы в плоском одномерном слое при условии непрерывной инжекции частиц на грани™
Рис. 3.14. Распределение электронов (слева) и ионов (справа) характерное для сильного двои™
ного слоя це [76, 110]. На рис. 3.14 показано поведение электронов и ионов на фазовой плоскости (ж, ъ^), характерное для неста™ ционарного двойного слоя. Расчет относится к случаю, когда начальная токовая
Рис. 3.14. Распределение электронов (слева) и ионов (справа) характерное для сильного двои™
ного слоя це [76, 110]. На рис. 3.14 показано поведение электронов и ионов на фазовой плоскости (ж, ъ^), характерное для неста™ ционарного двойного слоя. Расчет относится к случаю, когда начальная токовая
Рис. 3.15. Зависимость от вре~Рис. 3.15. Зависимость от вре~теЙ е 1 п теЙтеЙ е 1 п теЙnue = Ie = const,nue = Ie = const,mimia in ria夕dx & dx，a in ria夕dx & dx，(3.131)(3.132)(3.133)(3.131)(3.132)(3.133)
Рис. 3.15. Зависимость от вре~
Рис. 3.15. Зависимость от вре~
теЙ е 1 п теЙ
теЙ е 1 п теЙ
nue = Ie = const,
nue = Ie = const,
mi
mi
a in ria夕
dx & dx，
a in ria夕
dx & dx，
(3.131)
(3.132)
(3.133)
(3.131)
(3.132)
(3.133)
скорость электронов превышала порог БН (ue = lfiy/Te/me). Чтобы при этом из™ бежать более слабых эффектов развития ионно-звуковой неустойчивости, могущих приводить к образованию слабых двойных слоев [81], плазма предполагалась изо™ термической.
Длина расчетного интервала составляла lOOX。(Ad = /《тгс??! — дебаевская длина). С границ этого интервала из резервуаров частиц впрыскивались частицы
с заранее заданным распределением по скоростям /о“*), причем с левой границы в объем попадали лишь частицы с положительными скоростями, а с правой ——с отрицательными скоростями. Распреде™ ления /ш(*) были выбраны в виде максвелловских распределений, сдвинутых на величину потоковой скорости частиц данного сорта. Мы видим, что на некоторой стадии развития в плазме образуется ска™ чок потенциала, ускоряющий электроны в направле™ нии токовой скорости, а ионы ——в противоположном направлении. На фазовой плоскости эти ускоренные частицы видны как тонкие струи. Рис. 3.15, на кото™ ром изображена разность потенциалов на концах ин™ тервала в зависимости от времени, показывает, что
такие нестационарные двойные слои возникают на мени разности потенциалов на короткое время по истечении промежутка времени, границе расчетной области необходимого для развития (БН). Нарастание раз—
ности потенциалов во времени имеет взрывной характер (△夕 〜(力о —力)一？). Хотя начальная стадия развития (БН) в холодной плазме допускает точное решение, тем
не менее полное описание всей подготовительной стадии образования двойного слоя представляется в настоящее время сложным. Поэтому здесь мы ограничимся опи™
санием ее взрывной стадии на основе анализа уравнений движения и уравнений непрерывности обеих компонент в квазинейтральной плазме:
(3.134)(3.134)dn a(7i〃?)
(3.134)
(3.134)
В стационарном случае отсюда нетрудно найти зависимость плотностей частиц от потенциала и показать, что условие Бома, т. е. требование возникновения отри™ дательного пространственного заряда на левом краю двойного слоя
^КЫ 一电(⑺]> 0
при 夕 т 0 совпадает с критерием БН. Поскольку характерное время ее развития определяется инерцией ионов, то течение электронов здесь считается квазистацио™ нарным. С помощью (3.131) уравнение движения ионов записывается в виде
(3.135)(3.135)几加“(午 += -^ [(Те + В)几 + mell/n].
(3.135)
(3.135)
Здесь второй член в правой части (3.133) может интерпретироваться как отрица™ тельное давление: при возникновении разрежения плазмы давление увеличивается, что приводит к дальнейшему выталкиванию плазмы. Нарастание возмущений раз— режения конечной амплитуды в случае, когда в суммарном давлении доминирует последний член, происходит взрывным образом. Решение уравнений (3.134), (3.135) будем искать в автомодельном виде:
71 =(力0 —力)1 —"九[x/(t0 一力)"],(3.136)
% =仇一方尸一1力[定/(方。一方)"(3.137)
Наиболее близким к результатам численного эксперимента оказывается решение уравнений (3.134), (3.135) в случае а = 0:
ri =-力/力0)2(定/厶)，=[厶/2(力0 -力)]sin(2定/厶)，(3.138)
где 71(0) = у^/е力o/厶；0 > ж > —7Г厶/2* Энергия на ускорение частиц в двойном слое в этом случае черпается из внешнего генератора тока. Роль последнего в численном моделировании играют резервуары частиц. При наложении требования сохранения энергии в системе следует положить q = 1/2. Тогда решение принимает вид
几=2几(0)(1 — 〃力о)»?丄兰竺v (3.139)
В этом случае процесс образования сильного нестационарного двойного слоя вы™ глядит как коллапс квазистатического электрического поля в плазменной каверне, который останавливается возрастающим давлением электрического поля. Макси™ мальная величина скачка потенциала оценивается по формулам (3.138), (3.139) с помощью уравнения (3.131).
Численные эксперименты с «перетяжкой» электронного потока. Возможно возникновение двойных электрических слоев в ионосфере, за счет неодно™ родностей (разрежении) плотности подвижных электронов [124].
Рассмотрим однородную максвелловскую плазму, скорость дрейфа электронной компоненты которой Vo /We < 1, и будем в окрестности некоторой точки жо £ £ [0, L] создавать неоднородный отрицательный фон, нарастающий со временем согласно[119]
71a(定,力)=W (th(-)力о) 一 th()(力一力 о))) 2 J(3-140)
Nch Q(定一Жо)
Здесь TiQa — максимальное значение плотности неоднородного фона в точке ж = =жо £ [0, L]; 2/т■ — характерное время нарастания 71a(冗,力)；2/q — характерная полуширина возмущения.
Среднее значение плотности вносимого возмущения на отрезке |ж — 1/q, ж + 1 /а] при 力о,力 т оо равно
_2厶
几а =—几0а /\ *(3.141)
Так как во всех точках объема [0,厶]имеем для подвижных частиц соотношение neV = const, то в области локализации неоднородности возникает возможность пре™ высить порог развития бунемановской неустойчивости и создать условия для обра™ зования двойного слоя.
Таблица 3.2. Значения исходных параметров, использованные нами в численных экспериментах с «перетяжкой»
Вариант
7 Шре
аАр
力0
I
8000
1
1/20
1/10
50
100
0,9
100
100
II
8000
0,63
1/20
1/10
50
100
0,9
100
100
III
16000
0,63
1/20
1/10
50
200
0,9
100
100
Средняя скорость электронов в зоне «перетяжки» |冗一冗о| < 1/q в варианте I составляет Уа/Рте = 4,5, а резонансная длина волны возбуждаемой моды / равна / = 2t^Vа/^ре = 28Х。в вариантах II и III ¥а/¥те = 1,8 и / = ИЛ^.
Электрическая нейтральность системы поддерживается с помощью алгоритма (В), при этом интегральный вклад неподвижного отрицательного фона в полный заряд системы учитывался при включении объемных источников макрочастиц.
Численные эксперименты с «перетяжкой» [119] электронного потока показали, что в зоне локализации возмущения развивается БН с инкрементом, соответствую™ щим теоретически выведенным по формулам (3.127), приводящая к формированию сильных заряженных слоев. Уменьшение локальной средней скорости в вариантах II и III, а также увеличение общего объема расчетной области (вариант III) замедляет процесс эволюции БН в двойной слой. Нарастание величины ДС останавливается из-за недостаточной мощности источника ионов на правой границе системы.
В варианте III, где возмущение было локализовано на расстоянии ж = L/4 от левой границы, наблюдаются осцилляции пространственного профиля потенциала, что связано, видимо, со взаимодействием пролетных и захваченных частиц.
Вернемся теперь к обсуждению экспериментов, моделирующих нелинейные ста™ дии БН. Здесь прежде всего обращает на себя внимание явное различие простран™ ственных распределений потенциала электрического поля в моделях (В) и (С) на стадии торможения электронного потока. Добавление ионов в плазменный объем в модели (В) довольно быстро смазывает пространственную структуру объемного за™ ряда, возникающего в результате развития БН, тогда как в модели (С) эта структура прослеживается вплоть до образования нестационарного ДС. Осцилляторная структура тормозящего потенциала во второй модели оказывается схожей со структурой электрического потенциала в бесстолкновительной ионно-звуковой волне. Здесь про™ странственно-периодическое распределение потенциала в бунемановской моде пере™ стает быть строго периодическим при отражении части электронов от первой ямки потенциала. При этом перед областью второй ямки потенциал не возвращается к первоначальному уровню, и она по своему уровню оказывается значительно ниже. Точно такая же структура тормозящего потенциала возникает в численном моде™ лировании с периодическими граничными условиями с охлаждением вышедших из объема частиц перед впрыскиванием их с другой стороны границы [118]. Одна™ ко, в отличие от модели ПГУ, в наших моделях (В) и (С) более медленный выход электронов с правой границы, обусловленный торможением, приводит к смене зна™ ка потенциала от тормозящего к ускоряющему примерно за время обратной связи 丁 〜 厶/I/j* Это вызвано тем, что при отражении части электронов от отрицательных горбов потенциала поддерживание тока через систему требует ускорения оставшейся части электронов. Заметим, что на этой стадии в модели (В) первый положитель™ ный солитон потенциала оказывается доминирующим. Двойной слой образуется в результате его движения вниз по потоку и подъема правого крыла солитона. Такое поведение является общим не только для моделей, основанных на методе частиц,
но и сохраняется в моделях, базирующихся на других методах решения уравнения Власова (см. дискуссию в работе [125]). Скорость движения солитона по порядку величины равна фазовой скорости наиболее устойчивой бунемановской моды, а само появление доминирующего солитона связано с нелинейной стадией БН, описанной в нашей работе [104]. Принудительная подача вышедших из объема ионов с правой границы в модели (В) увеличивает поток подаваемых с правой границы ионов и тем самым облегчает формирование двойного слоя. Именно с этим, по™видимому, связано более быстрое формирование двойного слоя и большая амплитуда его в модели (В) по сравнению с более реалистической моделью (С).
Проблема нехватки ионного тока, необходимого согласно условию Ленгмюра для существования стационарного ДС, является центральной для решения задачи фор™ жирования стационарного ДС. Поскольку само условие Ленгмюра является след™ ствием закона сохранения импульса, то эту проблему можно было бы сформулиро™ вать иначе: в стационарном ленгмюровском слое происходит ускорение ионов, при котором сохранение импульса обеспечивается лишь при достаточно большом на™ чальном импульсе ионного потока. В реальной ситуации эта проблема могла быть решена и другим путем. А именно, можно представить себе, что импульс отдачи при ускорении ионов передается не самой плазме, а третьему телу. В лабораторных экспериментах с магнитной перетяжкой электронного потока этот импульс переда™ ется магнитному полю. В авроральных областях магнитосферы Земли такая пере™ тяжка формируется под действием двух факторов: схождение магнитных силовых линий к Земле и падение плотности плазмы при удалении от магнитосферы Земли. При этом на высоте порядка одного радиуса Земли от поверхности отношение токовой скорости электронного потока к тепловой скорости электронов достигает максимального значения и может превзойти критическую величину по отношению к возбуждению БН.
Именно с целью моделирования этой ситуации мы провели расчеты с «перетяж™ кой» электронного потока с помощью слоя закрепленных отрицательных зарядов, внесенного поперек потока. Оказалось, что ДС образуется в области перетяжки и остается там на протяжении всего времени эволюции ДС. Здесь импульс отдачи при ускорении ионов передается через посредство электрических полей закрепленным отрицательным зарядам. Вполне естественно, что при этом существенно возрастает стабильность ДС во времени. В остальном характер эволюции ДС остается таким же, как в свободном потоке. Следует заметить, что увеличение плазменного объема несколько замедляет развитие ДС (увеличивает время обратной связи 丁 〜 厶/1%) и уменьшает его амплитуду в соответствии с тем, что при примерно неизменной мощности источников частиц, полная энергия всех ускоренных электронов за ДС должна остаться примерно той же.
Таким образом, основной вывод, который можно сделать из существующих чис™ ленных моделей ДС, заключается в констатации невозможности образования стаци™ онарного ДС в однородной плазме без сильного ионного тока. Однако, в реальном случае неоднородные внешние поля (например, гравитационное или магнитное) мо гут позволить развитие ДС, взяв на себя роль третьего тела, поглощающего избы™ точный импульс в системе, возникающий при ускорении ионов.
Численное моделирование методом частиц открытых систем сложной геометрии
Моделирование систем типа плоского двумерного плазменного диода, б азиру™ ющаяся на ММ, представляет собой определенный шаг в развитии методик вы™ числительного эксперимента. Самосогласованное поведение электронной и ионной
компонент в ограниченной системе сложной геометрии описывается уравнениями Власова-Пусассона, которыми описывается двумерный источник электронов со ста™ ционарным плазменным резервуаром. Из экспериментов [126] было известно, что плазма с резкой границей плотности имеет тенденцию к дроблению на тонкие струи, при этом работа по деформации свободно расширяющейся поверхности плазмы со™ вершается за счет кулоновской энергии нескомпенсированных зарядов в дебаевском слое на плазменной границе. Исследование плазменных систем со сложными грани™ цами и инжекцией электронов представляет собой многомерную достаточно слож™ ную задачу, решение которой весьма перспективно.
Рассмотрим методику численного расчета самомогласованного поведения влек- тронно-ионной плазмы в ограниченных двумерных системах сложной геометрии в широком диапазоне краевых и начальных условий, допускающем, в частности, заданную инжекцию и потерю частиц на границах расчетной области.
Разработанный и реализованный в виде программ алгоритм может найти приме™ нение при создании приборов типа плазменных диодов или плазменных источников электронов [127] (ПИЭЛ).
О d "О d "Рис. 3.16. Схема расчетной области двумерного плаз™ менного источника электроновРис. 3.16. Схема расчетной области двумерного плаз™ менного источника электроновСхема ПИЭЛ представлена на рис. 3.16. Исследуется роль геометрических фак™ торов, в частности, варьирования размера отверстия, через которое внешним по™ ложительным потенциалом Фсоц «вытягивается» электронная компонента, создавая ток на коллекторе. Для различных параметров плазмы (〃/£, £①со11/К, nie/ni?：) рассмотрен целый класс наблюдаемых в ре™ альных экспериментах явлений, физика которых не вполне ясна, несмотря на существование ряда качественных моделей колективного поведения электронов и ионов (см. [126] и цити™ руемую там литературу).
О d "
О d "
Рис. 3.16. Схема расчетной области двумерного плаз™ менного источника электронов
Рис. 3.16. Схема расчетной области двумерного плаз™ менного источника электронов
Среди таких явлений и проблем, требующих детального численного моделирования, назовем:
—— апериодические колебания тока и аномальное ускорение отдельных порций ионов;
——комплекс вопросов, относящихся к формированию, рав™ новесию и устойчивости границы тяжелых положительных ионов, удерживаемой в нулевом приближении встречным влек- трическим полем, создаваемым положительным потенциалом коллектора (анода).
Рассматриваемая ситуация напоминает истечение плазмы
в вакуум через конечное отверстие в присутствии внешнего электрического поля, ускоряющего электроны и тормозящего ионы. Возникающее при этом равновесие границы «тяжелых частиц» в вакууме может быть неустойчивым как относительно искривлений с инкрементом
7 〜，^/^(3.142)
(д 〜G@a*a ——аналог ускорения силы тяжести, возникающий при торможении частиц сорта q, a ——длина искривления границы желобкового типа), так и за счет «отри™ дательного поверхностного натяжения» в дебаевском слое на свободной плазменной границе. В последнем случае, при искривлении этой поверхности, возникающая си™ ла избыточного давления нескомпенсированных зарядов направлена, в отличие от явлений в конденсированных средах, в сторону выпуклости границы, а характерная скорость нарастания наиболее неустойчивых мелкомасштабных возмущений грани™ цы желобкового типа [128] равна
где к = 2тг/а^ р = (me + m，?)7i — плотность среды, электрическое поле Е пропорцио™ нально поверхностной плотности ст нескомпенсированного заряда, сосредоточенной, в узком дебаевском слое, когда существует динамическое равновесие тормозящих частиц ).
Рассмотрим схему двумерного плоского ПИЭЛ, представленную на рис. 3.16, в котором плоскость ж = 0 является плоскостью симметрии.
Расчетная область состоит из нескольких составляющих частей:
G = {%, g : 0 < ж <0 < у < Ly} = Gi U G2,
где
Gi = {х,у : 0 <х <LX, 0 <у < Ly},
G? = {ж,у : 0 < ж < Lx^ 0 < у < 厶}.
G] — объем, который первоначально (при 力=0) содержит плазму (плазменный ре™ зервуар); G?—— вакуумный (при 力=0) объем, в котором через отверстие шириной 2d при 力〉0 распространяется плазма под воздействием потенциала 0°, приложенного к колектору OLX. Предполагается, что через отрезок АВ в Go при 力〉0 поступает поток плазмы с максвелловским распределением по скоростям в каждой компоненте. Для выходящих частиц (vx > 0) отрезки АВ, LXA и (для vy < 0) OLX прозрачны. Считается, что поверхности, ограниченные отрезками LyB и СА^ зеркально отража™ ют электроны и ионы. Отражение частиц на OLy определяется условием симметрии. Считается также, что на поверхности CABLy^ ограничивающей резервуар Gi, под™ держивается потенциал 0 = 0, а на отрезке ALX потенциал линейно растет от нуля др。= Фо-
Требуется расчитать самосогласованное поведение плазмы в описанной конфи™ гурации при 力〉0, которое подчиняется уравнениям Власова для электронной /е(г, V, t) и ионной fi(r^ V, t) функций распределения:
dt dr m«?e dr dvdt dr m«?e dr dv(3.144)(3.144)
dt dr m«?e dr dv
dt dr m«?e dr dv
(3.144)
(3.144)
и уравнению Пуассона для электростатического потенциала ф(г,力)
(3.145)(3.145)
(3.145)
(3.145)
Начальные и граничные условия формируются следующим образом:
/«(『,*<)=彳 ЛЯ*)—几。^； exp(3.146)
Qг С G2;
/г,е (ж? У^ ^ж < O,Vy, t) = /启(必代©))
fi,e (ж? У^ ^ж ? ^у^ ^)=力；簿(伤 ％ —&%Су)力)>
< /?；，е (①/% ^ж ? &g)力)=/?；，е (①/% ^ж ? ~~~^у^ 力))
fi^e(x,y,vx < O,t^,t) = 0,
(伤 g) С АВ,(①用)e 0Ly, (伤 g) C LyBCA.(①用)C LXA.(x.y) C OLX;(伤 g) С АВ,(①用)e 0Ly, (伤 g) C LyBCA.(①用)C LXA.(x.y) C OLX;(3.147)(3.147)'6(①/仇力)=0, дф(х,у^}/дх = О, 6(①用/) = Фо,'6(①/仇力)=0, дф(х,у^}/дх = О, 6(①用/) = Фо,(伤 g) C LXB,AB,CA,(①用)C 0Ly,(伤g) U0工写(伤 g) C LXB,AB,CA,(①用)C 0Ly,(伤g) U0工写(3.148)(3.148)3/i，e (①必 Cg〉0)力)=0?
(伤 g) С АВ,
(①用)e 0Ly, (伤 g) C LyBCA.
(①用)C LXA.
(x.y) C OLX;
(伤 g) С АВ,
(①用)e 0Ly, (伤 g) C LyBCA.
(①用)C LXA.
(x.y) C OLX;
(3.147)
(3.147)
'6(①/仇力)=0, дф(х,у^}/дх = О, 6(①用/) = Фо,
'6(①/仇力)=0, дф(х,у^}/дх = О, 6(①用/) = Фо,
(伤 g) C LXB,AB,CA,
(①用)C 0Ly,
(伤g) U0工写
(伤 g) C LXB,AB,CA,
(①用)C 0Ly,
(伤g) U0工写
(3.148)
(3.148)
、6(①用/) = Ф0(Ь 一 g)/厶 (伤 g) C LXA.
Здесь 6j?e, т?：?е, Ti^e соответственно ионные и электронные заряд, масса и температура, ng — начальная равновесная концентрация частиц, г = (ж, у), v = (vx, vy).
В приведенной постановке внешнее магнитное поле отсутствует, плазма предполагается нерелятивистской, бесстолкновительной и достаточно разреженной для того, чтобы магнитное поле собственных токов было пренебрежимо мало.
В дальнейшем мы всюду, не меняя обозначений, используем безразмерные величины, принимая соответственно за масштабы длины, скорости и времени электронный дебаевский радиус, тепловую скорость и обратную электронную плазменную частоту:
用=》■用=》■用=用=47moe247moe2
用=》■
用=》■
用=
用=
47moe2
47moe2
В результате искомое решение определяется следующимиВ результате искомое решение определяется следующимибезразмерными плазбезразмерными плазменными и геометрическими параметрами:менными и геометрическими параметрами:
В результате искомое решение определяется следующими
В результате искомое решение определяется следующими
безразмерными плаз
безразмерными плаз
менными и геометрическими параметрами:
менными и геометрическими параметрами:
"ATe 2q"ATe 2qdLLx^De^De^DedLLx^De^De^De^De^De(3.149)(3.149)
"A
Te 2q
"A
Te 2q
dLLx
^De^De^De
dLLx
^De^De^De
^De
^De
(3.149)
(3.149)
Заданный набор этих параметров определяет физику конкретного расчетного варианта (численного эксперимента).
Метод численного решения и возможности программы. В работе [129] используются стандартные идеи метода частиц, с использованием специальных методик, улучшающих точность расчетов, приведенных выше этой главе [19, 20, 14] в двух вариантах: PIC метод (преимущественно) и NGP (для более грубых расчетов) .Поведение частиц на границах областей Gi, G2 определяется краевыми условиями (3.147). Начальное состояние (3.146) задавалось с помощью датчика псевдослучайных чисел с равным числом частиц в каждой ячейке. Инжекция частиц на отрезке АВ при 力〉0 производилась на каждом шаге аналогично, но брались лишь частицы, влетающие в Gi («полумаксвелл»). Интегрирование уравнений движения макрочастиц по времени осуществлялось стандартной схемой, центрированной по времени и имеющей второй порядок точности по временному шагу т.
Как известно из теории численных методов мерой качества той или иной дискретной модели являются характерные времена tc ——свободного пробега модельных частиц и th ——паразитного нагрева плазмы. В свою очередь, они прямо зависят от параметра Cd = О)(工 + 4户)，где eg — плотность модельных частиц, 6 — полуширина формфактора частицы. Если исследуется некоторый физический процесс с
характерным временем ае, то для корректного численного моделирования необходимо потребовать выполнения соотношения:
ае《力с и ае《瓦(3.150)
Общей рекомендацией является усложнение формфактора и увеличение полного числа модельных ионов Nio и электронов Neo.
В описываемых ниже расчетах С。= 8 — 24, и для использованной модели PIC имеем 力с = 120 w^1, th = IO’g/L Характерное время пролета электроном системы составляет ае = 30ш^1, что обеспечивает выполнение (3.150).
Уравнение Пуассона (3.145) в области G с внутренними граничными условиями на отрезке С4 (см. рис. 3.16 и (3.148)) аппроксимировалось схемой «крест» с равными шагами по обоим направлениям hx = hy = Ь, имеющей 2-й порядок точности:
(А。)?；,/ = &；+ij + &；—1J + &；,升1 + &；，/—：! — ^(^i,j 二—^^Pi,jh .(3.151)
Для ее решения используется иттерационный метод верхней релаксации
°疗=(1 — &)% + 扌(£^. +。3匕 + “3 + 6疗匕 + 4тгРмЬ2) (3.152)
с & = &©pt)определявшимся экспериментально. В формулах (3.151) и (3.152) нижние индексы обозначают декартовы координаты узла (冗勿=ih, yj = jh), верхний —— номер итерации, n = 0,..., N — 1. Начальное приближение бралось с предыдущего временного слоя ф+0 =。一Полное число итераций N оказывалось > 100 (в зависимости от задаваемой точности е), что соответствует [130] уменьшению нормы ошибки ||еп|| =(£?；/(。九—6*)厶) приблизительно на 3 порядка, где 0* — точное решение уравнения (3.151). С учетом оптимального выбора начального приближения данная точность представляется достаточной.
Использование метода релаксации для решения уравнения Пуассона объясняется следующим:
——он легко программируется и перенастраивается на практически любую геометрию инжектора, электродов и т.д.;
—является эффективным для ЭВМ БЭСМ-6 в силу специфики ее системы команд;
——время решения (моделирования) кинетического уравнения (3.144) существенно превосходит соответствующее значение для уравнения поля (3.145).
Таким образом, вычислительный эксперимент, при заданных физических параметрах (3.149), однозначно определяется заданием следующих модельных параметров:
Д：о,Жо,т,(3.153)
Для достижения большей вычислительной эффективности использовались отдельные элементы техники ускоренной алгоритмизации метода частиц [131]. *)
Моделирование системы, описанной уравнениями (3.144), (3.145) в областях практически произвольной формы обеспечивалось максимальными параметрами программ:
——число узлов пространственной сетки ——до 214;
—— время на одну итерацию по схеме (3.152) —— 0,01с;
——число сортов частиц — др 16;
—— полное число макрочастиц ——до 107;
—— время на шаг/частицу для модели PIC ——400 мкс, для модели NGP ——200 мкс.
Для описания произвольных границ областей разработан простой язык, поддерживаемый ①орекопрограммами* Обработка результатов вычислительного эксперимента позволяет анализировать основные характеристики плазмы в области со сложной геометрией:
—— линии уровня и трехмерные поверхности при данном t: (/(г, t?, t))a , а, /3 = =(Х^У^ ^х ^у\ а 卢山
—— то же для ф(х, у, t) и р(ж, у, t);
—графики /, усредненной по 3-м фазовым координатам;
——траектории до 109 пробных частиц каждого сорта.
Возможно также отображение различных производных от этих величин, которыми могут быть, например:
——зависимость любых макропараметров плазмы, рассчитываемых как моменты кинетических функций распределения, от 力；
— фурье-гармоники двумерного (фкт)^ либо одномерного (〃&) спектров, а также их временные зависимости;
——различные корреляционные функции типа
/ /(ж + а, у + Ь)/(ж, у) dx ф
и другие величины.
Графическая обработка результатов базируется на стандартном пакете Графор [132]*
Приведенный код продублирован в двух вариантах: машинно-независимом и использующем специфику конкретной ЭВМ. В данной программе существенно использованы следующие особенности: полистный обмен, буферизация за счет изменения таблицы приписки, упаковка в различных форматах, перенос стека, «ручной» оверлей, модификация кода и т.д. Эти ухищрения необходимы, т.к. позволяют в несколько раз повысить эффективность расчетов.
Вычислительный эксперимент: параметры, результаты, обсуждения. Поскольку каждый конкретный численный эксперимент (вариант) однозначно задается набором физических (3.149) и модельных (3.153) параметров, введем вектор, компонентами которого являются эти параметры:
/ = (д, 0, ^о, с?, Ь, Lx.Ly] Ж：о, Жо, Ь, г, е).(3.154)
В работе [129] сравниваются результаты расчетов, относящихся к вариантам Д и а)где
Д = (1/1600,6- 10^4; 10; 30, 5; 100, 5; 64; 128; 8- 102,8- 102;1; 0,4; 10^2), (3.155)
厶=(1/1600; 1; 10; 30, 5; 100, 5; 64; 128; 8 • 102; 8 * 102; 1; 0,4; 10^2).(ЗЛ56)
Как видно из (3.156), отношение диаметра отверстия D = 2d к расстоянию L между электродом и коллектором в обоих вариантах равно
D 61
В варианте Ii(Tj《Те) значение (безразмерное в единицах ¥те) скорости звука К = =y/me/mi = 0,025; Vy. = 6, 2 • 10^4, в варианте 厶⑵=Те) и ¥те = I/ = 0,025. Анализ эволюции профилей равной плотности для электронов и ионов в случае Д дает оценку средней скорости уп расширения плазмы со значениями п^ /ид =几 вдоль оси симметрии ж = 0 :
U1 = 0, 1/0,5 =0,01 = 0,4К,沙。,25 = о, 025 = к, Ш/32 = 0,047 = 2i (3.158)
Внешняя граница (по контурам n < 1) является выпуклой, при этом контур и = 1 остается почти плоским или чуть вогнутым. Эффективная скорость «расползания» профиля ионов〈几分(д)〉равна 小/32 = yi = 2匕.
Начиная с 力=320 — 340)становится заметной неустойчивость профилей п =几分/几о относительно желобковых возмущений с А = 10Хпе с инкрементом, по порядку ве™ личины согласующимся с (3.142), (3.143), т.е. лежащим между соответствующими оценками 7. Для А = 10》г>е формулы (3.142), (3.143) дают, соответственно, 72 = =^pi/^ И)2 = ^рг/40.
В работе [129] мгновенные профили электронной плотности имеют весьма при™ хотливый, изрезанный вид и пульсируют с электронными временами, что следует из сопоставления близких моментов времени t = 790, 800 варианта Д . Истечение электронов в G2 ——вакуумную область ПИЭЛ ——носит прерывисто-струйный характер. Из анализа поведения fe(y, ^у) следует, что с течением времени в области G2 появ™ ляются участки, где вторая производная от〈1勺®)〉меняет знак. В 厶 изрезанность фронта появляется раньше, чем в Д.
Численные результаты находятся в хорошем качественном согласии с экспериментами [126]. Методики и коды могут применяться в ситуациях, когда необходимы многомерные кинетические расчеты ПИЭЛ и им подобных устройств.
Список литературы
Dawson J.M. Particle distribution of plasmas / Reviews of Modern Physics. — 1983.— V. 55, № 2. — P. 403.”
Birdsall С.К., Langdon А.В. Plasma Physics via Computer Simulation. — N.Y.: McGraw-Hill, 1983.
Сигов Ю. С. Численное моделирование коллективных процессов в разреженной плазме. —М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. Докторская диссертация.
Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы. — М.: Мир, 1974.
Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. — М.: Атомиздат, 1979*
Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976.
Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. / Ядерный синтез. — 1962. — Т. 2.— С. 465.
Шкаровский Ж, Джонстон Т, Бачинский М. Кинетика частиц плазмы. — М.: Атомиздат, 1969.
Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. — М.: Наука, 1971.
Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. — М.: Атомиздат, 1975.
Власов А.А. Теория многих частиц. — М.: , 1950.
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. К теории дискретных моделей плазмы. — М., 1975.— (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 83).
Ю. С. Сигов, Ю.В. Ходырев. К теории дискретных моделей разреженной плазмы / ЧМСС. — volume 7. — Новосибирск: СО АН СССР, 1976. — Р. 109.
Сигов Ю. С. Численные методы кинетической теории плазмы. — М.: МФТИ, 1984.
Доусон Дж. //Вычислительные методы в физике плазмы / Под ред. Б. Олдер, С. Фернбах, М. Ротенберг. — М.: Мир, 1974. — С. 514.
Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме, Вьш. 4 /Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. — М.: Атомиздат, 1964.— С. 46.
Langdon А.В. / Phys. Fluids. — 1979. — V. 22. — P. 163.
Langdon A.В.// J. Comp. Phys. — 1979. — V. 30. — P. 202.
Сигов Ю. С. Численное моделирование коллективных процессов в разреженной плазме. Автореферат докторской диссертации. — М.: ИКИ АН СССР, 1980.
Hockney R. Ж., Eastwood J” Ж. Computer simulation using particles. — N.Y”： McGraw™ Hill, 1981.
Wick J. // Berichte der Kernforschungsanlage Julich.—— 1974.——V. 1124.——P. 1.
Neunzert H., Wick J./ Num. Math.. — 1973. — V. 21. — P. 234.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.
Арсеньев Л.Л. / ЖВМиМФ. — 1975. — Т 15. — С. 131.
Арсеньев А. А. / ДАН СССР. — 1975. — Т. 16. — С. 216.
Арсеньев А.А. — М., 1976. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 107).
Braun W., Нерр К./ Com. Math. Phys.. — 1977. — V. 56. — P. 101.
Гадоев Ж. / ДАН Тадж. ССР. — 1981. — Т. 24, № 10. — С. 592.
Арсеньев А.А. Лекции о кинетических уравнениях. — М.: Наука, 1992.
Климонтович Ю.Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. — М.: Изд. МГУ, 1964.
Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. —М.: Наука, 1975.
Chappell W.R. Microscopic kinetic theory /Lectures in Theoretical Physics / Ed Q. Brittin. — Colorado, USA: Univ, of Colorado, 1967.
Сигов ЮС Дискретное моделирование коллективных процессов в разреженной плазме (метод макрочастиц) //Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. — С. 18.
Williamson J.H. Initial particle distribution for simulated plasma / J. Comp. Phys.— 1971. — V. 8, № 2. — P. 258.
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. О двух интерпретациях дискретной модели облаков. — М., 1976. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 10).
Dawson J. / Phys. Fluids. — 1962. — V. 5, № 4. — P. 445.
Гельфанд И.М., Зуева Н.М., Имшенник В. С., Локуциевский О.В., Рябенький В工 С「 Хазин Л.Г. / ЖВМиМФ. — 1967. — Т. 7. — С. 322.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. —М.: Наука, 1973.
Сигов Ю. С., Ходатаев К.В., Ходырев Ю.В. Аномальное сопротивление плазмы, состоящей из положительных и отрицательных ионов одинаковой массы " ДАН СССР. — 1972. — Т. 207, № 1. — С. 75.
Березин Ю.А., Вшивков В. А. Метод частиц в разреженной плазме. — Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1980.
Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983.
Рошаль А. С. Моделирование заряженных пучков. — М.: Атомиздат, 1979.
Сигов Ю. С., Полю до в А.Н. Двумерные и трехмерные кинетические расчеты по физике ленгмюровской турбулентности //Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. — С. 78.
/ Под ред. Ю.Н. Днестровского, Д.И. Костомарова. Управляемый термоядерный
синтез. — М.: Мир, 1967.
Grad Я. Boundary layer beetween plasma and a magnetic field/ Phys. Fluids.—— 1961” —— V. 4, № 11. — Р. 1366.
Морозов А.И., Соловьев Л. С. Кинетическое рассмотрение некоторых равновесных
плазменных конфигураций/ ЖЭТФ. — 1961. — Т. 40, № 11. — С. 1916.
Сигов Ю. С. Об электростатических эффектах при движении разреженной плазмы в неоднородном магнитном поле/ ДАН СССР. — 1961. — Т. 138, № 5. — С. 1337.
Сигов ЮС, Тверской Б.А. // Геом. и аэрон.. — 1963. — Т. Ill, № 1. — С 43.
Сигов Ю. С. К кинетической теории пограничного слоя между разреженной плазмой и магнитным полем/ ЖВМ и МФ. — 1964. Т. 3, № 1. С. 1065.
Сигов Ю.С.// ПМТФ. — 1965. — № 2” 一 С. 15.
Сигов Ю. С. Некоторые нелинейные задачи кинетической теории пограничного слоя между магнитным полем и разреженной плазмой. Кандидатская диссертация. — М.: МИ им. В.А. Стеклова АН СССР (отделение), 1965.
Сигов Ю. С. О взаимодействии потоков разреженной плазмы с магнитными полями космических объектов/ Космические исследования. — 1964. — Т. II, № 6” 一 С. 948.
Альперт Я.Л., Гуревич А.В., Питаевский Л.П. Искусственные спутники в разреженной плазме. — М.: Наука, 1964.
Масленников М.В., Сигов Ю. С. Дискретная модель вещества в задаче об обтекании тел разреженной плазмой/ ДАН СССР. — 1964. — Т. 159, № 5« — (1 1013.
Medved D.B. Measurement of ion wakes and body effects with Gemini / Agena satellite /Proc, of the 6th Int. Simp, of Rarefied Gas Dynamics. — Kembridge, USA: , 1968.
Buneman O" Phys. Rev. — 1959. — V. 115, № 3. — P. 503.
Сигов Ю. С. Нелинейная задача о столкновении антипар аллельных потоков разреженной плазмы/ ДАН СССР. — 1970. — Т. 192, № 3. — С. 534.
Sigov Yu.S. Numerical study of collisionless electrostatic shocks in countstreaming plasmas/Proc, of the 9th ICPIG. — Bucharest: , 1969. — P. 578.
Hockney R. Ж. / Methods in Comp. Phys. — 1970. — V. 9. — P. 135.
Коток Э.В., Сигов Ю. С. Двумерный расчет нелинейных электростатических коле™ баний во встречных плазменных потоках и токовых системах //Аннотации докладов I Конференции по теории плазмы. — Киев: ИТФ АН УССР, 1971. — Р. 116.
Гуревич А.В., Питаевский Л.П., Смирнова В.В. Ионосферная аэродинамика. — М.: Наука, 1969.
Скворцов В.В., Носачев Л.В. Исследование структуры следа за сферическими мо делями в потоке разреженной плазмы/ Космические исследования. — 1968. — Т. 6, № 2. — С. 228.
Maslennikov М. У., Sigov Yu.S. Discrete model of medium in a problem on rarefied plasma stream interaction with a charged body / Rarefied Gas Dynamics / Ed C.L. Brundin. — volume 2. — N.Y.-L.: Academic Press, 1967. — pp. 1657-1669.
Maslennikov M. У., Sigov Yu.S. / Rarefied Gas Dynamics / Ed L. Trilling. — N.Y.-L.: Academic Press. 1969. — volume 2. — P. 1671.
Taylor J.S// Planet. Space. Sci. — 1967. — V. 15. — P. 155.
Call S.M. The interaction of a satellite with the ionosphere. — Colambia, 1969.— (N¥^10027/Colambia University; № 46}
Hester S.D., Sonin A. A. "AI A A Fluid and Plasma Dynamics Conference. — San Francisco, USA: AIAA, 1969. — P. 673.
Масленников M.B., Сигов Ю. С., Фадеев И.Н., Чуркина Г.П. Двумерная задача о формировании возмущенной зоны при сверхзвуковом обтекании тела разреженной плазмой. — М., 1974. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 81).
Самарский А. А. / ЖВМиМФ. — 1962. — Т. 2, № 5. — С. 787.
Масленников М.В., Сигов Ю. С., Чуркина Г.П. Численные эксперименты по обтеканию тел различной формы разреженной плазмой / Космические исследования.— 1968. — Т. 6, № 2. — С. 220.
Clayden W.A., Hurdle С. У. // Rarefied Gas Dynamics / Ed C.L. Brundin. — volume 2. — N.Y.: Academic Press, 1967. — P. 1657.
Knechtel E.D., Ж. C. Pitts/ AAIA Journal. — 1964. — V. 2. — P. 1148.
Hall D.F., P.F. Kemp, J.M. Sellen// AAIA Journal. — 1964. — V. 2. — P. 1032.
Галеев А.А., Сагдеев P.3., Сигов Ю.С., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. Нелинейная теория модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн " Физика плазмы.—
1975. — Т. 1, № 1. — С. 10.
Захаров В.Е. / ЖЭТФ.——1972. — Т. 62. — С. 1745.
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. Одномерный квазиколлапс ленгмюровских волн при параметрическом воздействии на плазму Ц ДАН СССР. — 1976. — Т. 229. — С. 833.
Полюсов А.Н「Селяндин Б.Д., Сигов Ю.С. Трехмерная кинетическая модель не ли™ нейной эволюции электростатической плазменной волны большой амплитуды. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 145).
Eastwood J. Ж., Hockney R. Ж. Shaping the force law in 2D particle—mesh model. —— N.Y., 1974. — (Report/August 1974; № RCS13/1).
Hockney R. Ж., Goel S.P., Eastwood J. W. / J. Comp. Phys. — 1974. — V. 14. — P. 148.
Buneman О. On line-spline fitting. —— ,1973.——(Report/Inst, for Plasma Res., Stanford Univ; № No 507).
Sato T. Ion acoustic double layers /Autumn college on plasma physics. — : , 1979.
Дегтярев Л.М., Захаров B.E. — М., 1974. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 106).'
Иванов А. А., Ю. С. Сигов, Ю.В. Ходырев. К нелинейной теории высокочастотного нагрева плазмы // ДАН СССР. — 1974. — Т. 214. — С. 1291.
По люд о в М.В., Сагдеев Р.З., Сигов Ю. С. Численное моделирование двумерной ленг™ мюровской турбулентности. — М., 1974. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 128).
Sigov Yu.S., Polyudov A.N. //Proc. XII Int. Conf, on Phenomena in Ionized Gases / Eds J.G.A. Hoelscher, D.C. Schram. — Eindhoven: Univ, of Techn., 1975. — P. 332.
Дорошкевич А.Г., Коток Э.В., И.Д. Новиков., Сигов Ю. С., Шандарин С. Ф. Чис™ ленное исследование нелинейной стадии одномерного гравитационного коллапса. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 82).
Дорошкевич А.Г., Коток Э.В., И.Д. Новиков., Полю до в А.Н., Сигов Ю. С., Шандарин С. Ф. Кинетическое моделирование гравитирующих систем в расширяющейся Вселенной /Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. — С. 224.
Doroshkevich A.G., Kotok Е. У., Novikov I.D., Poludov A.N., Shandarin S.F., Sigov Yu.S. Two-dimensional simulation of gravitational system dynamics and formation of the large-scale structure of the universe/ Mon. Not. Roy. Astr. Soc. — 1980. — V. 192.— P. 321.
Зельдович Я.Б. / Астрофизика. — 1970. — Т. 6. — С. 119.
Kotok Е. У., Sigov Yu.S. / Proc, of Int. Conf, on Rarefied Gas Dynamics. — volume 2. — Piza, Italy: , 1970. — P. 211.
Дорошкевич А.Г., Коток Э.В., И.Д. Новиков., Полю до в А.Н., Сигов Ю. С, Шандарин С. Ф. Двумерная модель образования крупномасштабной структуры Вселенной. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 83).
Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975.
Лифшиц Е.М.// ЖЭТФ. — 1946. — Т. 16. — С. 587.
Doroshkevich A.G., Shandarin S.F., Saar E. “ Mon.Not.Roy.Astr.Soc.. — 1978.— V. 184. — P. 643.
Дорошкевич А.Г., Рябенький В. С., Шандарин С. Ф.// Астрофизика. — 1973. — Т. 9.— С. 257.
Поляченко В.Л., Фридман А.М. Равновесие и стабильность гравитирующих систем. —М.: Наука, 1976.
Irvin W.M. Doctoral Thesis. — Harvard: Harvard University, 1961.
Зельдович Я.Б., Дмитриев Н.А. // ЖЭТФ. — 1963. — Т. 45. — С. 1150.
Гленсдорф П., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. — М.: Мир, 1979.
Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.
Sigov Yu.S., Khodyrev Yu. У. Numerical simulation of high frequency heating of plasma // Proc. VI Europ. conf, on controlled fusion and plasma and plasma physics. — volume 1. —M.： , 1973. — P. 579.
Sigov y^.S*, Zakharov V.E. Strong turbulence and its computer simulation / J. de Physique. — 1979. — V. 40, № C7. — P. 63.
Кустов В.Л., Рыжий В.И., Сигов Ю. С. Численное моделирование коллективной релаксации неравновесных фотоэлектронов в квантующих магнитных полях. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 79).
Белова Н.Г., Галеев А. А., Сагдеев Р.З., Сигов Ю. С. Явление коллапса электроста™ тического поля в двойном слое/ Письма в ЖЭТФ. — 1980. — Т. 31, № 9. — С. 551.
Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. — М.: Мир, 1979.
Сигов Ю. С. Метод макрочастиц в задаче о бесстолкновительной релаксации размытого электронного пучка /Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. — С. 172. См. также [133].
Langmuir /. / Phys. Rev. Lett. — 1913. — V. 22. — P. 450.
Langmuir /. / Phys. Rev. — 1929. — V. 33. — P. 954.
Goertz С.К., Joyce G. Numerical simulation of the plasma double layer " Astrophys. Sp. Sci. — 1975. — V. 32. — P. 165.
Joyce G., Hubbard R.H. / Plasma Phys. — 1978. — V. 20. — P. 391.
Белова Н.Г., Рыжий В.И., Сигов Ю. С. Численное моделирование динамики элек™ тронной плазмы полупроводниковых структур в баллистическом режиме. — М., 1981. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 162).
Белова Н.Г., Рыжий В.И., Сигов Ю. С. Влияние тепловых эффектов на динамику электронной плазмы в диодных структурах при баллистическом движении электро™ нов. — М., 1982. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 48).
Баннов Н.А., Лейман В.Г., В.И. Рыжий. О протекании тока через полупроводни™ ковые слои субмикронной толщины в квазибаллистическом режиме / Радиотехника и электроника. — 1981. — Т. 27. — С. 2635.
Белова Н.Г., Рыжий В.И., Ю. С. Сигов. Численное моделирование нестационарных процессов в диодных полупроводниковых структурах при баллистическом движении электроновЦ Радиотехника и электроника. — 1983. — Т. XXVIII, № 5. — С. 1008.
Belova N.G「Galeev A.A., Sagdeev R.Z., Sigov Yu.S. / Proc. Intern. Conf, on Plasma Physics / Ed K. Takayama. — Nagoya, Japan: Fusion Research Association of Japan. 1980. — P. 273.
Белова Н.Г., Сигов Ю.С. К численному моделированию открытых плазменных си™ стем методом макрочастиц. — М., 1982. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 69).
Полюдов А.Н. Реализация модели макрочастиц на ЭВМ. —М., 1979. —
(Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 160).
DeGroot J.S., Barnes С., Walstead А.Е., Buneman О" Phys. Rev. Lett. — 1977.— V. 32. — P. 1283.
Белова Н.Г., Галеев А. А., Сагдеев Р.З., Сигов Ю. С. Численное моделирование двой™ ных электрических слоев в плазме. — М., 1982. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 70).
Papadopoulos К. A review of anamalous resistivity for the ionospere / Rev. Geophys. Sp. Phys. — 1977. — V. 15. — P. ИЗ.
Bohm D. /The characteristics of electrical discharge in magnetic field. — N.Y.: Me Graw-Hill, 1949.
Carlqvist F./Wave instabilities in space plasmas / Eds P. Palmadesso, K. Papadopoulos. —Dordrecht, Holland: D. Reidel Pub. Co., 1979.
Torven S. / Wave instabilities in space plasmas / Eds P. Palmadesso, K. Papadopoulos. —Dordrecht, Hollancdel Pub. Co., 1979.
Block L.P. Potential double layers in ionosphere / Cosmic Electrodyn.. — 1972.— V. 3. — P. 349.
Goertz C.K., Borovsky J.E. Numerical simulation of plasma double layers in auroral magnetosphere plasma physics. — Hultvist: Plenum Press, 1982.
Беленсов 77.E. / Физика плазмы. — 1986. — Т. 12. — С. 426.
Крейндель Ю.Е. Плазменные источники электронов. — М.: Атомиздат, 1977.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.
Батищев О.В., Сигов Ю. С. Численное моделирование кинетики бесстолкновительной плазмы в открытых системах сложной геометрии. — М., 1988. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 87).
Кустов В.Л., Рыжий В.И., Ю. С. Сигов. О нелинейных режимах неустойчивости плазмы полупроводников в сильном электрическом поле при неупругом рассеянии электронов на оптических фононах/ ЖЭТФ. — 1980. — Т. 79, № 6 (12). — С. 2381.
Батищев О.В. Ускоренный алгоритм метода частиц. — М., 1985. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 15).
Баяковский Ю.М., Галактионов И.А., Михайлова Т.Н. Графор. Графическое расширение ФОРТРАНа. М.: Наука, 1985.
Бакай А. С., Сигов Ю. С. Об эволюции монохроматической волны, усиливаемой размытым электронным пучком. — М., 1978. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 34).
ГЛАВА 4
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТНО
ОРИЕНТИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛАЗМЫ
Развитие созданного в 60-е и широко распространившегося в 70-е годы для моделирования плазмофизических задач метода частиц [1-3], в 80-е и последующие годы сосредоточилось в основном на приложениях к открытым плазменным системам с переменным числом частиц в расчетной области в результате их инжекции и ухода через границы [4]. В 90-е годы дискретное моделирование плазмы и конденсированных сред характеризовалось развитием эффективных численных методов и алгоритмов в интересах актуальных приложений ——физики сильноточных релятивистских электронных пучков, проблем управляемого термоядерного синтеза, астрофизики [5].
В качестве важного методического и практического достижения последнего десятилетия следует отметить разработку объектно-ориентированного подхода (ООП) к моделированию нелинейных плазменных систем, что привело к практически полной модернизации программного парка на основе языка программирования C++ и резкому повышению его эффективности [6, 7]. При этом новые методики разрабатывались с учетом опыта, накопленного за два десятилетия.
Такой ход событий связан с двумя обстоятельствами.
С одной стороны, традиционные задачи кинетического моделирования пространственно-периодических по полям и функциям распределения систем, на которых, собственно, и состоялось рождение и становление метода частиц, к концу семидесятых годов оказались исчерпанными: нелинейные механизмы насыщения практически всех известных из линейной теории неустойчивостей были детально рассмотрены в сериях численных экспериментов многими авторами (см. литературу из [2, 3]). К числу фундаментальных из последних результатов этого периода следует отнести расшифровку кинетической стадии ленгмюровского коллапса ——нелинейного этапа модуляционной неустойчивости [8]. Таким образом, теория сильной ленгмюровской турбулентности обогатилась механизмом поглощения высокочастотной энергии кавитонов на основе затухания Ландау [9], установленной формой турбулентных спектров [10] и открытием генерации ионного звука на кинетической стадии ленгмюровского коллапса. Следует отметить, что уже этот круг задач вплотную подвел к необходимости рассмотрения открытых систем, поскольку в случае «вынужденного коллапса» («квазиколлапса») [11] в присутствии интенсивной внешней волны накачки моделируемая система, строго говоря, уже не является замкнутой, хотя число частиц в ней может сохраняться (см. гл. 2).
Вторым (и основным) фактором, вызвавшим бурное развитие моделирования частицами открытых систем, стала возможность, опираясь на достигнутый уровень и прогресс вычислительной техники, перейти к численному решению задач о самосогласованном коллективном поведении плазмы в ограниченных объемах ——задач.
напрямую связанных с реальными лабораторными и натурными экспериментами. Их характерная особенность ——определяющая роль граничных условий и принципиальная пространственная асимметрия. Типичными примерами такого рода задач являются расчеты Q™машин, плазменных и пучковых инжекторов, двойных элек™ трических слоев.
Естественно, что по сравнению с ранее рассматривавшейся «типичной» задачей Коши на пространственно-периодических сетках моделирование сложных открытых систем создает качественно новую ситуацию.
В математическом (вычислительном) плане это
большая сложность алгоритмов и способов их реализации, вызванная самим фактом переменности числа частиц в рассматриваемой области;
отсутствие «гарантированной» зарядовой квазинейтральности системы и возникающая неединственность решения при попытках добиваться ее тем или иным путем;
необходимость, вообще говоря, включать в рассмотрение уравнения, описы™ вающие внешний токовый контур для естественного баланса и самосогласования условий на границах.
С физической точки зрения, открытые системы представляют исключительный интерес, и в силу их уже упоминавшейся прямой связи с реальными установками, и как идеальный объект для теоретического изучения нелинейных процессов са~ моорганизации и возникновения пространственных и пространственно-временных диссипативных структур.
Здесь уместно напромнить о первых результатах, полученных на примере простейших одномерных открытых систем «проточного» типа (см. гл. 3), в которых на границах плоского слоя задаются электронная и ионная функции распределения для входящих в слой частиц при свободном истечении частиц исходящих. Так, было обнаружено [12], что в условиях непрерывной инжекции электронов, поддерживаю™ щих их токовую (относительно ионов) скорость на уровне бунемановской неустой™ чивости, насыщение последней реализуется в форме спонтанных нестационарных двойных электрических слоев большой интенсивности, которые можно рассматривать как бесстолкновительные диссипативные структуры, квазипериодические во времени.
Использование тех же одномерных кодов для решения классической задачи о релаксации размытого электронного пучка в плазме демонстрирует формирование ча~ стично~упорядоченного, так называемого умеренно-турбулентного, режима, в корне отличного от предсказываемого квазилинейной теорией слаботурбулентного режима (раздел 1.2).
Современный методический и програмный уровень реализации плазменных кодов, выполненный в рамках ООП, позволил в полной мере исследовать эту задачу (см. раздел 1.4) и получить фундаментальные результаты по кинетике нелинейного взаимодействия частиц с когерентными волновыми пакетами в открытых пучко- во — плазменных системах [13—15]* Современные расчеты позволили исследовать свойства корреляционной неустойчивости в плазме и ее синергетические свойства, глубокое изучение которых продолжается.
В разделе 4.1 описывается современная модель плазмы, реализованная в универ™ сальном кинетическом коде SUR и его специализированных модификациях SUR/SS (конечно-разностные алгоритмы, включая столкновительные), SUR/PIC (метод ча~ стиц~в~ячейках), SUR/MP (массивно-параллельная реализация), а также в гибридных схемах.
Код SUR/SS применялся при исследовании
— когерентных структур в открытых пучково-плазменных системах (раздел 1.4);
вырожденной плазмы [16];
—возбуждения продольной плазменной волны биениями двух электромагнит™ ных волн [17];
прямого нагрева ионов биениями электромагнитных волн в слабостолкнови™ тельной плазме [18].
В качестве примера решения подобных задач в разделе 4.2 рассмотрены релятивистские электромагнитные коды, примененные в исследовании возбуждения плаз™ менной волны биениями электромагнитных волн и поглощения лазерного излучения высокой интенсивности плотной плазмой.
Универсальность ООП позволила достаточно быстро при необходимости модифицировать код SUR/SS в коды, использующие методы крупных частиц [19]. При™ мерами реализации этих возможностей в кодах SUR/PIC и SUR/MP служат следующие задачи:
—возбуждение кильватерного поля последовательностью ограниченных релятивистских электронных сгустков (REB) в разреженной и плотной плазме [20];
—исследование турбулентности плазмы при двухплазмонном распаде [21];
— исследование процессов взаимодействия релятивистских лазерных импульсов с плазмой [22].
Возвращаясь к возможностям ООП, можно говорить о следующих крупных шагах в развитии дискретного моделирования ——создание гибридных моделей плазмы и плазмоподобных сред. В качестве таких возможностей в гибридных кодах могут быть использованы
—стохастические дифференциальные уравнения [23, 24], обобщающие класси™ ческие уравнения движения Ньютона—Лоренца;
— интегральное описание отдельных компонент плазмы на основе априорной информации, например, в рамках гидродинамики, больцмановской электронной жид™ кости, усредненной по «быстрому» времени, квазигидродинамики Захарова и т.д.;
—модель «вихрей™в~ячейке» [25—27];
——стохастические модели неупругих столкновений [28]
——рассмотрение фазовых переходов [29, 30] в неравновесных плазмоподобных системах.
В разделе 4.3 как пример реализации подобных моделей приведены первые ре™ зультаты в моделировании пылевой плазмы [19, 31], изучение которой полномасштабными дискретными численными моделями только начинается.
Объектно-ориентированная модель плазмы
Последние 10—15 лет объектно-ориентированная (ОО) технология развивалась как средство решения проблем, связанных со сложностью создаваемых систем (complexity problem). Изучению уникальных синергетических свойств таких систем на междисциплинарном уровне уделяется нарастающее внимание. Объектный подход доказал здесь свою эффективность и универсальность. Типичным примером систем повышенной сложности являются задачи физики плазмы, традиционно решаемые при помощи численного эксперимента, исходящего «из первых принципов». При этом мы имеем дело со сложностью трех типов.
Сложность самого объекта исследований при учете реальных условий (об™ ласть, геометрия, различные физические процессы).
Сложность его математической модели ——кинетических уравнений (нелинейность, нестационарность, большая размерность).
Сложность и громоздкость реализации этой модели (запросы превосходят возможности современных компьютеров).
Интерес к ОО моделированию в физике плазмы возник в начале 90х гг., когда стали ясны основные тенденции развития численного моделирования плазмы.
Сложность моделей непрерывно повышается.
В развитие кода программ часто вовлечено много людей, иногда из разных организаций.
Принимая во внимания направление развития компьютерных технологий, необходимо использовать параллельные компьютеры.
Типичными примерами применения ОО технологий в задачах физики плазмы являются коды, возникшие примерно в одно время (1992—1996 гг.): OOPS [32], OOPIC [33], РООМА [34], SUR [7]. Интерес к ОО подходам объяснялся в основном, требованиями прикладных задач ——обработка областей сложной формы и различных граничных условий, необходимостью решения «парадокса параллельных платформ» (время, необходимое для реализации крупного проекта на компьютерах параллельной архитектуры в среднем совпадает с половиной среднего времени жизни этого компьютера), улучшения интерфейса. Однако, на наш взгляд, потенциал ОО технологий позволяет сделать нечто большее ——создав удачную модель самой плазмы как объекта исследования (а не ОО реализацию конкретного алгоритма)——мы (по крайней мере потенциально) получаем все выгоды ОО подхода (универсальность, переносимость, эффективность) автоматически и сразу для всех интересных прикладных случаев. Ниже описана объектно-ориентированная модель плазмы (ООМП) (достаточно общая, покрывающая большую часть физики плазмы) и ее развивающаяся конкретная реализация ——код SUR (в котором на данный момент реализовано относительно небольшое число потенциально поддерживаемых алгоритмов). Новые алгоритмы добавляются в код SUR по мере необходимости.
Классификация и декомпозиция
Отвлекаясь пока от численной реализации модели, определим основные абстракции, характеризующие рассматриваемую систему. Данные абстракции определены в модели как абстрактные классы с соответствующими именами, имеющие наиболее общие свойства моделируемых абстракций и создающие основу модели.
Классификация с точки зрения физика. Цель классификации ——выделение в плазменных системах, для которых строится ОО модель, общих подсистем. Такими общими подсистемами для данной предметной области можно назвать саму плазму (Plasma), являющуюся основным объектом рассмотрения, поля (Fields) (в том числе и самосогласованные), воздействующие на частицы плазмы и область (Region) (ограниченную или неорграниченную), в которой происходит это взаимодействие. Эти подсистемы и составляющие их отдельные части станут основными классами модели. На более низком уровне можно ввести компоненты плазмы, полей, конкретные детали плазменных приборов, отдельные частицы (электроны и ионы) и т.д. Классы верхнего уровня абстракции показаны на рис. 4.1.
Классификация с точки зрения математика. Рассматриваемую систему можно также описать уравнениями. В нашей модели алгоритмы решения этих уравнений станут основными методами (функциями) классов модели, а входящие в них величины — данными (объектами) модели. В модели учитываются следующие основ-
Рис. 4.1. Объекты верхнего уровня моделиРис. 4.1. Объекты верхнего уровня модели
Рис. 4.1. Объекты верхнего уровня модели
Рис. 4.1. Объекты верхнего уровня модели
ные уравнения физики плазмы. • Уравнение Власова [35]:
今三字+V/+F麻今三字+V/+F麻(4」)(4」)
今三字+V/+F麻
今三字+V/+F麻
(4」)
(4」)
где Va = p/ma в классическом или V@ = р + (p/Gm。。))？ в релятивистском случае; F@ = еаЕ или F@ = е^(Е + с-1 V^ х В).
1 Dfa Га Dt1 Dfa Га DtУравнение Ладдау—①оккера—Планка (Л①□) в дифференциальной форме с по™ тенциалами Трубникова-Розенблюта [36]:
1 Dfa Га Dt
1 Dfa Га Dt
(42)(42)=-{ fa^vHa — ™ Vv [fa^v^vGa] I , FP〔2丿
(42)
(42)
гдегдеG@ =〉[ Ад^дз)Ha =〉[ As。G@ =〉[ Ад^дз)Ha =〉[ As。/3/3e2 e2拉/ъ aа0 = 4冗入a0—e2 e2拉/ъ aа0 = 4冗入a0—
где
где
G@ =〉[ Ад^дз)Ha =〉[ As。
G@ =〉[ Ад^дз)Ha =〉[ As。
/3
/3
e2 e2
拉/ъ aа0 = 4冗入a0—
e2 e2
拉/ъ aа0 = 4冗入a0—
Dfa DtDfa Dt也3)也3)(44)(44)
Dfa Dt
Dfa Dt
也3)
也3)
(44)
(44)
△"拉0=/^, △1?gs =拉/3“
Уравнение Батнагара-Гросса-Крука (БГК) [37]:
=va (以-/a) + e UqG (代/3 -九))
BGK…
где va и и@з — эффективные частоты а/а и а/“ столкновений; /^ и /^ — равно™ весные функции распределения, причем выполнены локальные законы сохранения:
na = na/3 = 71 Vg = Va, W^ = Wa,
EgV^ = “V^ = ；OsVa + ”Vg)) VK^ =也熬=^(Wa + w
Па^а^ = / 九：/3dP〉V@ °ag = / 九：/3 Vdp,
Уравнение Пуассона:
△夕=一4切) p = ^ea /«ф.(4.5)
Система уравнений Максвелла:
丄 ^^ = —▽ х Е) V • Е = 4тгр,(4.6)
1 ЗЕ47r
5В =。；(47)
j = £&а Vafadp
Уравнения движения частиц:
3=Y) d = F「(4.8)
Основные величины, входящие в эти уравнения:
координаты фазового пространства г, р,力
функция распределения частиц сорта а: /@(г)р,力；
потенциалы Трубникова-Розенблюта д@(г)v,方))ha(r, v,方))кулоновский логарифм 入@з；
электрическое и магнитное поля Е(г, 方))B(r, t), потенциал ^(г,力；
плотность na(r, t), средняя скорость частиц Va(r, t), кинетическая энергия Wa(r, t), составляющие ее энергии хаотического и поступательного движения частиц WTa(r, t), Wsa(r,力；*
плотность заряда и тока p(r, t), j(r,方))температура, давление плазмы T(r, t), 力；
координата, скорость и импульс частицы 门 ⑴)V^ ⑴)p^ ⑴)ее масса и заряд та, еа, сила, действующая на частицу Fj(t).
Данные физические величины представляют из себя числа, скалярные и векторные функции координатного, импульсного, фазового пространства и времени. В модели они являются реализацией (объектами) одного из соответствующих классов, заданных на соответствующей области определения:
double число;
Vector3D<double> — вектор;
SpaceFunc (SpaceReg)——скалярная функция координат (координатное пространство);
MomentFunc (MomentReg) скалярная функция импульсного пространства (импульсное пространство);
PhaseFunc (PhaseReg)——скалярная функция фазового пространства (фазовое пространство);
Vector3D<SpaceFunc> ——векторная функция координат.
Схема расщепления
Универсальность кода, взаимозаменяемость его частей обеспечивается последовательным применением схемы расщепления [38] по физическим процессам [39] как базового метода решения нестационарных нелинейных кинетических уравнений. В общем виде схему расщепления на малом шаге по времени △亡 можно записать в операторном виде:
/к р) It=t°+Af =ах j …笛г/кр)；*,(4j)
где для k-го подшага схемы
%=a靑(力г, р,产产，ot
где k = 1,..., n, A靑一оператор, представляющий какой-либо физический процесс, например:
М ——оператор свободного переноса частиц: V ■ д/дт\
А ——оператор ускорения частиц: F • д/др;
上 оператор столкновений ЛФП:
BGK ——оператор столкновений БГК: v (/° — ■).
fk ——«промежуточная» функция распределения. При этом физический смысл функций распределения в моменты времени 方° и 方° +△亡 имеют лишь функции /x|t=to и /n|t=to+^t. Для достижения второго порядка точности по времени, данная схема обычно центрируется на шаге, или, в более простых случаях, используются схемы с перешагиванием.
Метод расщепления можно считать достаточно универсальным для рассматриваемых эволюционных уравнений относительно функции распределения [39]. Это и обеспечивает правомочность постановки задачи о создании модели плазмы, покрывающей широкий диапазон моделируемых явлений.
Модульность и универсальность
ООМП условно можно разбить на следующие модули, реализованные в виде библиотек времени исполнения (DLL), взаимозависимость которых показана на рис. 4.2.
—Модуль Object содержит служебные классы, реализующие основные структуры данных
——Модуль FastMath содержит жестко оптимизированную для конкретной вычислительной платформы библиотеку классов ускоренных операций, использующую преимущества векторно-конвейерной архитектуры современных процессоров.
——Модуль Base содержит объекты базового уровня физики плазмы.
——Модуль 10 содержит методы, обеспечивающие инициализацию задачи и сохранение истории и результатов расчета.
——Модуль Interface обеспечивает взаимодействие прикладной задачи с операционной системой.
Модуль Algorithms содержит реализацию основных математических алгоритмов физики плазмы.
Модульное построение модели упрощает переносимость кода между вычислительными платформами, повышает универсальность, поскольку каждый модуль может быть настроен на конкретную задачу отдельно от других. Так, например, подго
товлено несколько реализаций модуля Algorithms для задач, имеющих различную геометрию, размерность и постановку задачи:
ID плоский случай (сеточные методы и PIC);
ID плоский случай (сеточные методы, слабые столкновения);
—2D плоский и цилиндрический случай (PIC);，
—3D плоский случай (PIC).
Каждая такая реализация создается компиляцией одного набора исходных файлов с уникальным набором определяемых (#def ine) переменных. При этом перекрытие (т.е. повторное использование в разных реализациях) составляет до 90 % для декларации классов (headers) и до 50 % для их реализации. В этом смысле можно говорить о статической универсальности модели по от™
Рис. 4.2. Диаграмма взаимозависимости модулейРис. 4.2. Диаграмма взаимозависимости модулейношению к размерности и геометрии задачи, численным методам и вычислительной платформе. В этом случае универсальность кода не влияет на его эффективность. Вместе с тем, в некоторых случаях полезно иметь реализацию разных численных методов в одной задаче. В этом случае можно говорить о динамической универсальности (например, в первом из указанных выше случаев, одновременно ——для разных
Рис. 4.2. Диаграмма взаимозависимости модулей
Рис. 4.2. Диаграмма взаимозависимости модулей
компонент плазмы ——могут использоваться сеточные методы расщепления и метод частиц в ячейках PIC).
Основные классы и объекты модели
Классы базового уровня. Большинство объектов в модели происходят от одного из двух классов PlasmaObject или PlasmaAlgorithm (рис. 4.3) и представляют соответственно, объекты плазмы и алгоритмы решения кинетических уравнений. Так, объектами являются электроны и ионы (отдельные частицы и компоненты плазмы), поля, модельная область, время, функции распределения частиц, их моменты, сетки, сеточные функции и т.д. Среди алгоритмов отметим инициализацию задачи, выполнение временного шага, сохранение истории результатов, прерывание расчета и его дальнейшее продолжение, перемещение и ускорение частиц, вычисление плотности зарядов и токов, решение уравнений Максвелла и Пуассона, взвешивание на сетке и раздача заряда, (пере)интерполяция сеточных функций, векторные и матричные операции и т.д. В общем случае можно сказать, что объекты модели в конкретный момент обладают определенным состоянием (набором данных), в то время как выполнение алгоритма приводит к изменению состояния этих объектов.
И объекты, и алгоритмы через общий виртуальный класс ModelData могут по™ лучить доступ к глобальным данным модели, таким как текущее время, область моделирования, потоки ввода/вывода и др. В то же время различия объектов и алгоритмов определяются классами Object и Algorithm соответственно (здесь используется механизм множественного наследования). Объекту может быть присвоено персональное имя, по которому он может быть найден среди похожих объектов, объекты могут помещаться в контейнеры, объединяться в различным образом организованные множества, объекты могут выводиться в поток и инициализироваться/ рождаться из потока и т.д. Для выполнения этих и некоторых других функций в классе Object предусмотрены соответствующие виртуальные методы. Алгоритм в свою очередь может содержать ссылки на объекты, состояние которых он меняет, реализует функции построения иерархии алгоритмов (последовательность выполнения, параллелизм и т.д.), осуществляет диагностику и обработку исключительных ситуаций (для этого предусмотрено специальное событие ——виртуальный класс PlasmaEvent). Взаимосвязь классов базового уровня показана на рис. 4.3.
Далее остановимся на общих для численного моделирования плазмы моментах.
Система единиц и обезразмеривание. Поскольку ООМП предназначена для моделирования широкого круга задач физики плазмы, обезразмеривание величин проводится не статически (обычно ——в момент постановки задачи), а динамически, т.е. при инициализации расчета конкретного варианта. Кинетические уравнения и уравнения на электромагнитные поля записаны в системе CGS, но с коэффициентами (по умолчанию равными 1), допускающими использование других систем единиц. При инициализации варианта за основу принимается (и указывает™ ся в ini-файле) какая-то конкретная система единиц (например, CGS или система плазменных единиц [t]=吗\ [ж] = А^, [У] = Vre или любая другая разумная система единиц). При необходимости указываются единицы измерения каждой конкретной физической величины (например, в рамках системы плазменных единиц температуру электронов можно измерять в эВ, а температуру ионов ——в начальных ее значениях), На основе полученных данных при инициализации рассчитываются коэффициенты, входящие в уравнения и зависящие от системы единиц. Дальнейший расчет ведется в обезразмеренных таким образом единицах без потери эффективности (по сравнению со статическим обезразмериванием).
Декомпозиция предметной области. В ООМП была проведена следующая декомпозиция предметной области ——численный эксперимент по физике плазмы (рис. 4.1). Корневым объектом ООМП является объект класса Model (данный, уникальный численный эксперимент). Этот эксперимент проводится в определенной
пространственно-временной модельной области (объект класса Region) с учетом самосогласованных и внешних полей (объект класса Fields) над плазмой (Plasma).
Рассмотрим отдельно каждую из трех основных составляющих модели.
Модельная область. Класс Space описывает ограниченную область пространства, в которой происходит моделирование. Область пространства может быть простой (границы совпадают с координатными поверхностями) или сложной. Сложная область реализуется в виде множества (2п~мерного дерева) простых подобластей или доменов (класс Domen). Доменная декомпозиция пространственной области также применяется при распарал лел ивании задачи. Далее подробно остановимся на организации в ООМП простых областей.
В реальных задачах моделирования плазмы часто вводят различные упрощения модельной области ——уменьшение размерности задачи с 3D до 2D или 1D, введение специальной системы координат (цилиндрической, сферической, тороидальной и др). Для сохранения общности ООМП позволяет динамически (на стадии инициализации задачи) определять произвольную размерность (от 1D до 3D) и систему координат (из реализованных) для каждого домена, однако, для повышения эффективности кода рекомендуется применять статическое (на стадии компиляции программы) определение. При этом эффективность кода совпадает со специализированными программами. Такая универсальность кода обеспечивается шаблонным классом Vector3D<Tfunc>, свойства которого наследуют физическое (Space) и фазовое (PhaseSpace) пространства, сетки, векторные функции и др.
В каждом домене вводится своя сетка (класс SpaceGrid) той же размерности, расщепляемая по координатам, т.е., например, для 3D случая декартовой геометрии Yijk = {xj, yj, ?&}* По каждой из координат можно ввести как однородную, так и неоднородную сетку.
Модель электромагнитных полей. В ООМП могут (но не обязательно) одновременно присутствовать (и влиять на движение частиц) три типа полей (внешние, электростатические и электромагнитные). Классы, реализующие эти поля, происходят от одного предка ——класса AnyFields, содержащего в общем случае сеточные векторные функции Е, В, w^, и)в — электрическое и магнитное поля и плотности их энергий. Внешние поля (ExternalFields) являются аналитической функцией координат и времени. Статические (StaticFields) и динамические (DynamicFields) поля являются самосогласованными и отличаются друг от друга тем, что первые определяются только мгновенными распределениями зарядов и токов (например, удовлетворяют уравнению Пуассона), а вторые зависят также от своей предыстории (например, являются решениями системы уравнений Максвелла).
Основными методами данных классов являются виртуальные методы класса AnyFields:
Run (double dt) — расчет полей по текущему распределению зарядов и токов;
EnergyCalc ()——расчет плотности энергии полей, усредненных и локальных величин.
Конкретное наполнение (реализация) этих методов определяется размерностью и геометрией задачи, типом сетки и граничных условий.
Модель плазмы. Центральное место в модели занимает описание плазмы (класс Plasma) (рис. 4.4), которая состоит из нескольких (произвольного числа) компонент (Set<Species>), однако ее можно характеризовать и в целом как непрерывную среду (класс Medium). Этот класс содержит следующие величины и параметры: плотности заряда д, тока j, импульса р, полной, кинетической и потенциальной энергии |w|, waii, wp, Wk как функции пространственной координаты (г) или, в терминах
Plasma )Plasma )SpeciesSpeciesnamenamestring 『1 口string 『1 口、charge double \、charge double \A Species J 1 /)■Г MediumQ,q SpaceFunc^^RRWKWp’W日 Vec3D<SpaceFunc> "j,p,wk,wp.wa Vec3D<SpaceFunc> sum.ave.min.max MediumValues x-_par MediumParsA Species J 1 /)■Г MediumQ,q SpaceFunc^^RRWKWp’W日 Vec3D<SpaceFunc> "j,p,wk,wp.wa Vec3D<SpaceFunc> sum.ave.min.max MediumValues x-_par MediumPars11mediummedium\mass medium\mass mediumdouble， Speweddouble， SpewedSpec ) Particles I } Clump-」Spec ) Particles I } Clump-」SpecDistribution f dist Distribution'干distSpecDistribution f dist Distribution'干distSpeckledSpeckledQ,W2,q,w2 SpaceFunc z z < J.P.W.Ws.WT.T Vec3D<SpaceFunc>Vec3D<SpaceFunc>,E.Bjh.Jh Vec3D<BorderSpaceFunc> sum.ave.min.max SpecMedValues1、口日「 SpecMedParsQ,W2,q,w2 SpaceFunc z z < J.P.W.Ws.WT.T Vec3D<SpaceFunc>Vec3D<SpaceFunc>,E.Bjh.Jh Vec3D<BorderSpaceFunc> sum.ave.min.max SpecMedValues1、口日「 SpecMedPars/ Distribution 丿.phase PhaseSpace、J Ph日呼urKy；/ Distribution 丿.phase PhaseSpace、J Ph日呼urKy；Clump ] у Particle *~Clump ] у Particle *~口Particle 3口Particle 311phasephase」 PhaseSpace ；. ^space Space ymoment MomentSpac^尸 J—-ум叩日c：E〔厂」 PhaseSpace ；. ^space Space ymoment MomentSpac^尸 J—-ум叩日c：E〔厂PhaseFuncPhaseFuncmoment• MomentSpacemoment• MomentSpaceSpace 3Space 31方 Domen11— J1方 Domen11— J
Plasma )
Plasma )
Species
Species
name
name
string 『1 口
string 『1 口
、charge double \
、charge double \
A Species J 1 /)
■Г MediumQ,q SpaceFunc
^^RRWKWp’W日 Vec3D<SpaceFunc> "j,p,wk,wp.wa Vec3D<SpaceFunc> sum.ave.min.max MediumValues x-_par MediumPars
A Species J 1 /)
■Г MediumQ,q SpaceFunc
^^RRWKWp’W日 Vec3D<SpaceFunc> "j,p,wk,wp.wa Vec3D<SpaceFunc> sum.ave.min.max MediumValues x-_par MediumPars
1
1
medium
medium
\mass medium
\mass medium
double， Spewed
double， Spewed
Spec ) Particles I } Clump-」
Spec ) Particles I } Clump-」
Spec
Distribution f dist Distribution
'干
dist
Spec
Distribution f dist Distribution
'干
dist
Speckled
Speckled
Q,W2,q,w2 SpaceFunc z z < J.P.W.Ws.WT.T Vec3D<SpaceFunc>
Vec3D<SpaceFunc>,
E.Bjh.Jh Vec3D<BorderSpaceFunc> sum.ave.min.max SpecMedValues
1、口日「 SpecMedPars
Q,W2,q,w2 SpaceFunc z z < J.P.W.Ws.WT.T Vec3D<SpaceFunc>
Vec3D<SpaceFunc>,
E.Bjh.Jh Vec3D<BorderSpaceFunc> sum.ave.min.max SpecMedValues
1、口日「 SpecMedPars
/ Distribution 丿
.phase PhaseSpace
、J Ph日呼urKy；
/ Distribution 丿
.phase PhaseSpace
、J Ph日呼urKy；
Clump ] у Particle *~
Clump ] у Particle *~
口Particle 3
口Particle 3
1
1
phase
phase
」 PhaseSpace ；
. ^space Space ymoment MomentSpac^
尸 J—-ум叩日c：E〔厂
」 PhaseSpace ；
. ^space Space ymoment MomentSpac^
尸 J—-ум叩日c：E〔厂
PhaseFunc
PhaseFunc
moment
• Moment
Space
moment
• Moment
Space
Space 3
Space 3
1方 Domen1
1— J
1方 Domen1
1— J
Рис. 4.4. Схема классов плазменной компоненты
Cdh, объекты класса SpaceFunc (скалярные функции) или Vector3D<SpaceFunc> (векторные функции). Данные величины аккумулируются из аналогичных величин плазменных компонент при вызове метода SpeciesMedium: : MediumCalculate. Часть из них (плотность заряда и тока) являются обязательными, так как используются при вычислении самосогласованных полей, другие (импульс и энергия)——опцион™ ные и служат в основном для диагностики (метод Medium: :DropHistory). Также для диагностики служат суммарные (sum), усредненные (ave), максимальные (max) и минимальные (min) значения g,j,р,wan,wp,Wk, объединенные в объекты класса MediumValues, а также их значения в заданных точках пространства (points). Эти значения вычисляются при вызове метода Medium: :MediumCalculate и выводятся в файл, содержащий временные зависимости методом Medium: : AveValSave. Класс MediumPars содержит параметры и коэффициенты, связанные с выбранной системой координат: единицы измерения заряда, тока, импульса и энергии, а также численные коэффициенты, необходимые в различных алгоритмах.
Каждая плазменная компонента (класс Species) определяется именем (name), зарядом и массой частиц (charge, mass) и содержит величины, характеризующие ее как среду в целом (класс SpeciesMedium). Аналогично вышеописанному классу Medium, он содержит: скалярные и векторные (в соответствие с размерностью задачи) функции плотности частиц п, потока j, импульса р, температуры Т, полной энергии w, энергии хаотического и упорядоченного движения частиц wy, ws. До™
полнительно, класс содержит векторные пространственные функции электрических и магнитных сил, действующих на частицы данного сорта Е& = (еа/та) • (Esta + 十 Edyn 十 Eext) И Bq/ =(£&/(加&。)) • (Bsfa 十 Bdyn 十 ®ext) • 4cLCTb ВСЛИЧИН, НС ИНтересных для диагностики, могут быть опущены. В целях экономии оперативной памяти, величины одного сорта могут динамически разделять адресное пространство с величинами другого сорта и полями. Эта возможность реализована при помощи служебного класса CommonBlock. В отличие от директивы common языка FORTRAN, разделение памяти происходит динамически во время инициализации задачи (метод Model: : Setting). Кроме того, производится динамический контроль использования общих областей памяти.
Для диагностики предусмотрены суммарные (sum), усредненные (ave), максимальные (max) и минимальные (min) значения n, j, р, w, wy, ws, объединенные в объекты класса SpeciesMediumValues, а также их значения в заданных точках пространства (points). Эти значения вычисляются при вызове метода MediumCalculate класс SpeciesMedium и выводятся в файл, содержащий временные зависимости методом SpeciesMedium: : AveValSave. Класс SpecMedPars содержит параметры и коэффициенты, связанные с выбранной системой координат: единицы измерения плотности частиц, потока, импульса и энергии, а также численные коэффициенты, необходимые в различных алгоритмах.
Класс Species является виртуальным и как таковой используется только для описания неизменных плазменных компонент (например, фоновой плазмы). Классы SpecHD, SpecDist и SpecPart, наследуют его свойства и моделируют соответственно компоненты с магнитно-гидродинамическим описанием, сорт с функцией распределения и сорт плазмы, описываемой методом крупных частиц. Далее остановимся на компонентах, имеющих кинетическое описание.
В настоящее время существуют два основных подхода к кинетическому моделированию плазмы: метод крупных частиц (PIC) и метод прямого решения уравнения Власова на основе схем расщепления (GSS). Преимущества сеточных методов связаны с низким уровнем шумов и точностью представления функции распределения в фазовом пространстве, в то же время, методы крупных частиц незаменимы в задачах высокой размерности (2D2V и более).
Класс SpecDist содержит дополнительно класс Distribution, который, в свою очередь состоит из функции распределения частиц (PhaseFunc f) и области фазового пространства (PhaseSpace phase), а также содержит виртуальные методы сдвига (mov), ускорения (асе) и вычисления моментов (den) функции распределения. Фазовое пространство расщепляется на импульсное пространство (MomentSpace moment) и модельную область (Space space), описанную выше. Размерность импульсного пространства может быть от IV до 3V и может быть различна для разных сортов. В зависимости от геометрии и размерности задачи, разработаны классы DistlDlV, DistlD2V, DistlD3V, DistlD2Vcyl, DistlDlVsph, Dist2D2V, наследующие свойства Distribution и реализующие алгоритмы mov, асе и den для каждой конкретной задачи.
Данные метода крупных частиц организованы следующим образом: заданное количество (обычно ——256) частиц (particle<Tr ,Тр>), имеющих координаты, импульсы (их набор определяется размерностью и геометрией задачи) и, возможно, вес, объединяется в группы (clump<particle>), которые, в свою очередь, объединяются в множество произвольной длины (set<clump>), содержащееся в классе SpecPart. Кроме этого, поскольку в PIC алгоритмах используется ускоренный метод частиц (УАМЧ) [40], основанный на разложении сил и плотностей по степеням координат частиц внутри ячейки, дополнительно класс SpecPart содержит необходимые вспомогательные функции (UAMCHBorderSpaceFunc Е,В,Q,J)*
Основные методы модели
Модель времени. Поскольку нас интересуют нестационарные задачи физики плазмы (стационарное решение может быть достигнуто методом установления) и мы будем использовать эволюционные схемы, принята следующая модель времени: Существует начальное время (обычно,力=0), в этот момент задается начальное состояние системы с любой необходимой и наперед заданной степенью детализации (алгоритмы Model: : Setting и Model: : Init). Время движется вперед с заданным шагом △*, за который происходит элементарная эволюция системы (алгоритм RunStep). По окончании каждого шага состояние системы изменяется, однако и из нового состояния могут быть определены все необходимые для продолжения расчета величины. В частности, в любой момент состояние системы может быть сохранено (алгоритм Model: : SaveVar) и в дальнейшем может быть использовано в качестве начального для продолжения расчета. Кроме того, обеспечивается трехуровневая диагностика вариантов: расчет и сохранение ограниченного числа усредненных и/или локальных величин (алгоритм Model: : AveVal) с шагом 2VavgVai, сохранение истории расчета (алгоритм Model: :DropHistory) с шагом Nprop, периодическое сохранение состояния системы с шагом TVsave- Как и другие физические величины в ООМП , время выражается в заданных единицах (обычно, но не обязательно, в обратных электронных плазменных частотах 用=g/)* Временная схема расчета приведена на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Временная схема расчета
Инициализация, сохранение и диагностика. Следующие методы, определенные в большинстве основных классов модели, отвечают за инициализацию, сохранение и диагностику расчета:
Setting — подготовка расчета, выделение областей, занимаемых данными; Init ——инициализация физических величин в начальный момент времени; Load — инициализация физических величин при продолжении расчета, загрузка значений физических величин, сохраненных методом SaveVar;
AveValues ——сохранение представляющих интерес для диагностики усредненных значений физических величин на каждом временном шаге;
DropHistory —— сохранение представляющих интерес для диагностики физических величин (мгновенные снимки функций фазовых координат, их моментов и сечений) в конкретный момент времени;
SaveVar — сохранение величин, необходимых для продолжения расчета.
Конкретная постановка задачи описывается в файлах инициализации (ini-файлах Windows), управляющих процессом задания и сохранения конкретного варианта.
При этом реализуется следующий иерархический механизм выполнения перечисленных действий в рамках всей системы.
Выполнение начинается с верхнего уровня иерархии объектов ——реализации класса Model, при этом обычно считывается соответствующий ini-файл и создается объект класса IniFile. В соответствие с форматом Windows, IniFile состоит из именованных разделов (объект класса IniFileSection), которые в свою очередь состоят из строк (объект класса IniFileString). В каждой строке именованной переменной присваивается значение (я). Обычно основным объектам модели отводится раздел ini-файла, а физическим величинам ——строка.
Получая управление и ссылку на ini-файл, каждый объект ищет «свой» раздел и инициализирует переменные в соответствии с информацией в строках ini-файла. Затем передает управление (и ссылку на ini-файл) составляющим его объектам (движение вниз по иерархии).
Когда объект заканчивает все свои действия, управление возвращается содержащему его объекту (вверх по иерархии).
Граничные и начальные условия. Полная постановка эволюционной задачи содержит также граничные и начальные условия для всех необходимых физических величин, а именно:
—граничные и начальные условия на функции распределения (частицы) плазменных компонент;
— граничные и (для электромагнитных полей) начальные условия на самосогласованные поля.
Граничные условия на функции распределения в общем случае можно представить в виде:
厶若(4」°)
где /™ и /°ut — части функции распределения, отвечающие за влетающие и вылетающие в систему частицы соответственно. Как частные случаи, можно выделить:
—периодические 产(р)|* = /out(P)lr2；
зеркальное отражение от стенки /1П(р±,рц)|г = /°11'(—夕丄，Р”)|『；
— заданное значение /1П(р)|г = F(p);
—заданная функция вылетающих частиц /1П(р)|г = F (р, /out(p)|r).
В качестве граничных условий на поля используются:
—периодические,
—ось симметрии,
——металлическая стенка или диэлектрик,
——заданный излучатель или прозрачная граница.
Начальные функции распределения задаются в виде
f^p) = A^(r)F^(r)^^(4.11)
где п°, " задаются аналитически или таблично, доступен большой набор аналитических функций (около 20), а также их суперпозиция. Каждая аналитическая функция допускает задания специфических параметров.
Интерфейс пользователя, обработка и визуализация результатов. Интерфейс пользователя построен в рамках оконной системы (Windows) на основе совместной работы специализированных расчетных, управляющих и вспомогательных программ, а также программ конвертации и обработки данных, построения графиков и воспроизведения визуальной и аудио информации. При этом по возможности используются стандартные типы данных.
勺 DSa.^ma勺 DSa.^maггггггРис. 46 Главное окно рачетной программыРис. 46 Главное окно рачетной программыГлавное окно расчетной программы имеет простой вид и содержит все необходимые органы ручного управления/контроля за процессом счета (рис. 4.6). Это кнопки Setting/Init для инициализации расчета, Run/Pause для его запуска/остановки, Save/Load/Erase для сохранения/продолжения/перезапуска, History для сброса текущих результатов. Конкретный набор кнопок, видимых на экране зависит от текущего состояния расчета.В поля сообщений этого же окна выводится информация о текущем времени и диагностические сообщения, выдаваемые объектами в стандартный поток сообщений внутри программы. Более обширная диагностика выводится в стандартный поток вывода, подключаемый обычно к специальному файлу на диске. При необходимости, любой объект также может выдать срочное сообщение, требующее вмешаГлавное окно расчетной программы имеет простой вид и содержит все необходимые органы ручного управления/контроля за процессом счета (рис. 4.6). Это кнопки Setting/Init для инициализации расчета, Run/Pause для его запуска/остановки, Save/Load/Erase для сохранения/продолжения/перезапуска, History для сброса текущих результатов. Конкретный набор кнопок, видимых на экране зависит от текущего состояния расчета.В поля сообщений этого же окна выводится информация о текущем времени и диагностические сообщения, выдаваемые объектами в стандартный поток сообщений внутри программы. Более обширная диагностика выводится в стандартный поток вывода, подключаемый обычно к специальному файлу на диске. При необходимости, любой объект также может выдать срочное сообщение, требующее вмеша
勺 DSa.^ma
勺 DSa.^ma
ггг
ггг
Рис. 46 Главное окно рачетной программы
Рис. 46 Главное окно рачетной программы
Главное окно расчетной программы имеет простой вид и содержит все необходимые органы ручного управления/контроля за процессом счета (рис. 4.6). Это кнопки Setting/Init для инициализации расчета, Run/Pause для его запуска/остановки, Save/Load/Erase для сохранения/продолжения/перезапуска, History для сброса текущих результатов. Конкретный набор кнопок, видимых на экране зависит от текущего состояния расчета.
В поля сообщений этого же окна выводится информация о текущем времени и диагностические сообщения, выдаваемые объектами в стандартный поток сообщений внутри программы. Более обширная диагностика выводится в стандартный поток вывода, подключаемый обычно к специальному файлу на диске. При необходимости, любой объект также может выдать срочное сообщение, требующее вмеша
Главное окно расчетной программы имеет простой вид и содержит все необходимые органы ручного управления/контроля за процессом счета (рис. 4.6). Это кнопки Setting/Init для инициализации расчета, Run/Pause для его запуска/остановки, Save/Load/Erase для сохранения/продолжения/перезапуска, History для сброса текущих результатов. Конкретный набор кнопок, видимых на экране зависит от текущего состояния расчета.
В поля сообщений этого же окна выводится информация о текущем времени и диагностические сообщения, выдаваемые объектами в стандартный поток сообщений внутри программы. Более обширная диагностика выводится в стандартный поток вывода, подключаемый обычно к специальному файлу на диске. При необходимости, любой объект также может выдать срочное сообщение, требующее вмеша
тельства пользователя, используя стандартный поток ошибок, при этом на экране возникнет диалог, описывающий место и причину возникновения ошибки, а работа программы приостановится.
Параметры конкретного варианта расчета задаются в ini-файлах, которые также доступны из главного окна расчетной программы.
В случае, если предполагается работа с программой пользователей, не знакомых с внутренним устройством кода (например, в случае использования кода как основы для лабораторных работ студентов физических специальностей), расчетная часть погружается в оболочку, связанную с решением конкретной параметризованной задачи. Используя данную оболочку, можно в диалоговом режиме получить информацию по физической проблеме и работе с программой, задать необходимые параметры расчета, произвести сам расчет, просмотреть и распечатать результаты.
В то же время, для решения актуальных задач физики плазмы или моделирования эксперимента, обычно требуется очень большое время расчета, поэтому, расчетная часть программы может работать в автоматическом режиме, периодически сбрасывая результаты в упакованном виде на диск. Затем, накопленные таким образом данные (их объем достигает обычно нескольких гигабайт) обрабатываются в полуавтоматическом режиме при помощи специализированных программ-конвертеров, обрабатывающих данные и затем преобразующих их к стандартным форматам. Затем, при помощи обычных средств построения графиков, просмотра статических и движущихся картинок, информация визуализируется.
Релятивистские электромагнитные коды
В этом разделе кратко излагается взгляд на кинетическое моделирование открытых плазменных систем в рамках уравнений Максвелла и Власова-Фоккера- Планка (МВФП). Умение рассчитывать релятивистские пучково-плазменные системы с непрерывной или модулированной во времени инжекцией частиц, является эффективным инструментом современной плазменной электроники и физики плазмы, открывая в частности большие возможности для изучения различных механизмов ускорения частиц волнами плотности заряда [41] и взаимодействия сверхмощных лазерных импульсов с неоднородной плазмой. Ниже излагаются два подхода к дис-
кретному моделированию открытых пучково-плазменных систем, реализованные в виде многомерных программных комплексов SUR/SS и COMPASS. Код SUR/SS базируется на решении конечноразностных аналогов уравнений МВ ①□ путем последовательного использования техники расщепления [42] по физическим процессам и переменным фазового пространства. Код COMPASS (COMputer Plasma And Surface Simulation) является высоко специализированной 2,5-мерной модификацией метода частиц [43]. Оба подхода существенно дополняют друг друга: главным преимуществом метода частиц является возможность кинетического моделирования систем высокой размерности, в то же время сеточные методы отличаются лучшей аппроксимацией функции распределения в фазовом пространстве, особенно на ее хвостах, а также очень низким уровнем шумов. Оба кода обладают широкими возможностями диагностики, задания начального состояния плазменных компонент и выбора граничных условий.
В последующих разделах приводится краткое описание особенностей и возможностей программных комплексов SUR/SS и COMPASS. В качестве иллюстративных примеров выбраны задачи о возбуждении плазменной волны биениями электромагнитных волн и о взаимодействии ограниченного интенсивного лазерного импульса с плазменным слоем.
Коды SUR/SS и COMPASS
Код SUR/SS разработан для численного кинетического моделирования многокомпонентных плазменных систем в задачах, требующих учета как бесстолкновительного переноса частиц плазмы (уравнение Власова) в самосогласованных и внешних электростатических и электромагнитных полях (уравнения Пуассона и Максвелла) ,так и столкновений заряженных частиц [44] в рамках оператора Ландау- Фоккера^Планка с потенциалами Розенблюта (для расчета которых применяется уравнение Пуассона в пространстве скоростей). Граничные условия на функции распределения и поля достаточно произвольны: периодические, полное или частичное отражение частиц, источники, заданная функция времени. Возможно задание внешних полей, а также источников и стоков частиц и энергии, зависящих от времени и координат. Диагностика включает сечения и проекции функции распределения и ее моментов, потенциалов Розенблюта, коэффициентов переноса и диффузии в пространстве скоростей (столкновительный случай), электрические и магнитные поля, временные зависимости интегральных характеристик системы.
Код COMPASS аналогичен SUR/SS и предназначен для кинетического моделирования открытых релятивистских многокомпонентных пучково-плазменных систем в многомерной постановке (до 5-ти фазовых координат), но базируется на численном методе частиц. Он использовался для моделирования динамики индукционного ускорителя [45, 46], модулированного РЭП [47], пристеночной плазмы [48]. Использованный численный метод достаточно подробно описан в [43]. В данной работе COMPASS применен для задачи о начальной стадии падения интенсивного лазерного излучения на плазменный слой.
Задача о возбуждении плазменной волны биениями электромагнитных волн
В качестве иллюстрации применим код SUR/SS к численному моделированию резонансного возбуждения продольных электростатических волн в плазме при по-
мощи волны биений от лазерного излучения с двумя близкими частотами [49]. Воз можность использования этого механизма получения волн плотности заряда для ускорения электронов [50—53] привлекает большое внимание и недавно получила экспериментальное подтверждение [54]. В целях экономии машинного времени мы на этом этапе расчетов не ставим перед собой задачу проведения их с реальными параметрами [54], а лишь демонстрируем принципиальную возможность самосогласованного кинетического моделирования рассматриваемого механизма.
Рассмотрим плоско-поляризованную электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси ①,причем, вектор напряженности электрического поля Е направлен вдоль оси д, а вектор магнитного поля В ——вдоль оси z (р-поляризация). Воздействие такой волны приводит к возникновению у частиц плазмы только Vx ж Vy составляющих скорости, и, в случае, когда функция распределения первоначально не зависит от g и z, для описания дальнейшего поведения плазмы достаточно трех координат фазового пространства:①，％, Vy, т.е. /(г, р) = /(ж, %, %) 8(14)
Динамика электронов плазмы может быть описана при помощи уравнения Власова:
численный аналог которого решается при помощи варианта метода расщепления по координатам фазового пространства [42].
Эффекты, связанные со столкновениями заряженных частиц плазмы, не будут оказывать существенного влияния на временах распространения электромагнитных волн через моделируемую систему, поэтому в уравнении не учитывается столкнови- тельный член Ф оккера-Пл анка.
Аналогичное уравнение может быть записано и для ионов, однако, в данных расчетах тяжелые ионы полагались неподвижными.
Продольное электрическое поле Ех определяется из уравнения Пуассона, которое в одномерном случае может быть записано в виде:
Ех(х) = Ex\l+ 4тге / (&(£) 一 人怎力))
где Hi (ж) — ионный фон, ne(x, t) = J / dp — плотность электронов,①工 и 石"工一 координата и значение поля на левой границе системы.
Поперечные электромагнитные поля удовлетворяют уравнениям Максвелла:
1 dBzдЕу
с dtдх
1 込—dBz — 47г .
c dt дх с
где jy = f feVy dp — ток. Последние уравнения могут быть записаны в форме, более удобной для численного счета:
где F士 = Ey^Bz, что позволяет для расчета электромагнитных полей использовать метод интегрирования по характеристикам.
Моделируемая система представляет из себя «плазму в коробке» с полным отражением частиц от границ расчетной области. В то же время, для излучения эти
границы являются прозрачными, причем излучение входит через левую границу системы и выходит через правую. Это обеспечивается заданием граничных условий:
F+\l = F(力)[Fi sin(wit + ф1) + F2 sin(w2t + 勿儿
где |工 и |д обозначают значения величин на левой и правой границе соответственно. Поскольку заряд не накапливается на «стенках» и плазма в целом нейтральна, можно положить Ex\l = Ех |д = 0.
В начальный момент величина ионной и электронной плотности определялись выражениями 簿乃(①)=пе(х, t = 0) = по для однородного и
для неоднородного профилей плазмы.
Для описания моделируемой системы в безразмерных переменных выберем в качестве масштабов времени, длины, скорости, напряженности электрического поля и плотности соответственно w^1, с/шр, с, шшрс/е, по, где шр =，(《皿收/加)— электронная плазменная частота. Исходными параметрами задачи являются частоты падающих электромагнитных волн wi, W2, их безразмерные амплитуды cq,2 = = £石1,2/(^?勾1,20, длина системы 厶,тепловая скорость электронов ¥ре, начальный профиль плазмы (неподвижных ионов). В данной серии вариантов рассматривались следующие параметры: wi = 4, W2 = 5; &1 = 0,1, &2 = 0,08; 厶=400; 6g = ОД; к = 0,2; F⑴=1/(1 + + ехр(—0,5« — 10))); 01 = 02 = 0. Отличие между вариантами состояло в величине и направлении изменения профиля плотности, при этом 6п = =0; 0,2; 0,5.
На рис. 4.7 представлены зависимости максимальной амплитуды возмущенной электронной плотности dn от времени twp для однородного
(кривая 1), возрастающего (2, 3)
вдоль оси ① профилей чальном этапе рост dn
плазмы.
)и спадающего (/) Видно, что на на-
происходит в хорошем со
закиси- амплиту-
Рис. 4.7. Временная мость максимальной
ды возмущенной электронной плотности d?i для однородного ^7г = 0 (7), возрастающего = 0,2 (2) и = 0,5 (3) и
спадающего 8?? = 0,2 (/) вдоль оси ж профилей плазмы
ответствии с теоретическими результатами работ [55, 49, 56] ddn/dt = &1&2勾@/4. Затем рост амплитуды dn замедляется и для всех вариантов кривые выходят на уровень порядка 0,In。, что значительно ниже теоретической оценки насыщения dn за счет релятивистского сдвига плазменной частоты, полученной для холодной плазмы [49, 55, 56] (d沪=%16&1&2/3 〜0,34).
Для неоднородных профилей плотности полученный уровень насыщения выше, чем для однородного случая (кривая 1). Это обусловлено тем обстоятельством, что для однородного профиля плотность плазмы выбрана соответствующей точному равенству частоты биений 3给=з? — wi электронной плазменной частоте. В режиме установления место расположения максимума возмущенной электронной плотности определяется расстоянием от левой границы области до точки, в которой плотность
плазмы соответствует превышению электронной ленгмюровской частоты над частотой биений на величину 6o；opt (оптимальная сдвижка частоты), пропорциональную (&1&2)2/Зд.
Рис. 4.8. Пространственное распределение продольного электрического поля Ех для нарастающей (а, б) и спадающей (в) вдоль оси ж плотности плазмы
На рис. 4.8 приведены установившиеся пространственные распределения продольного электрического поля Ех для нарастающей (рис. 4.8,例 б) и спадающей (рис. 4.8, в) вдоль оси ① плотности плазмы. Видно, что продольное электрическое поле достигает максимума в тех точках, где локальная плазменная частота превышает частоту биений на величину 6Gopt, которая определяется амплитудами и частотами электромагнитных волн. Изменение плотности плазмы на ±10 % в пределах расчетной области приводит к приемлемому пространственному распределению Ех. Это позволяет надеяться (см рис. 4.8, в) на возможность практического использования в этом (beat-wave) методе ускорения спадающего профиля плазмы для поддержания синхронизма ускоряемой частицы с продольной волной [41].
Поглощение лазерного излучения
высокой интенсивности плотной плазмой
Численно исследуется задача о падении плоско-поляризованной электромагнитной волны высокой интенсивности на бесстолкновительный плазменный слой в декартовой системе координат в 2,5-мерной постановке (z ——циклическая координата, имеются 3 компоненты импульса). Подобная задача рассматривалась в работе [57]. Приведенную там постановку мы используем в качестве теста с несколько измененными входными параметрами.
В начальный момент холодная неподвижная нейтральная электрон-ионная плазма (т分=1840 me), имеющая однородную плотность пр, занимает полностью правую часть прямоугольной области X х Y = Lx х Ly причем ее граница с вакуумом суть линия у = L^. По ^/-координате область периодическая; от правой и от левой границы частицы отражаются упруго. Начальные и граничные условия на электромагнитные поля: Е(力 < 0) = В(力 < 0) = 0; Еу(х = 0,1/,t > 0) = —Bz(x = O.y.t > 0)= =А(у) cos(wot);厶(g) = Aq exp —((y —厶,/2)//())2, где частота падающего излучения Шо = Шр/2, а его интенсивность Ло обеспечивает колебательный импульс posc〉cme. В варианте I Lx х Ly = (128 х 64) с/шр,厶匕= 40 c/wp, posc = 5 mec, /0 = 15 с/шр, в варианте JI Lx х Ly = (64 х 64) с/шр,工匕=25 c/wp, posc = 4 m已& /о = Ю с/шр.
Рис. 4.9. Вариант I. Пространственное распределение ионной плотности, в момент
Рис. 4.10. Вариант II. Сечения при у = Еу/2 пространственных распределений пе(х\ (ж) (a), jx(x) (б), Ех(х) (в) в момент времени twp = 200
Рис. 4.11. Вариант II. Пространственное распределение магнитного поля Bz в моРис. 4.11. Вариант II. Пространственное распределение магнитного поля Bz в моменты времени twp = 200.4 (а) и twp = 203,6 (б)менты времени twp = 200.4 (а) и twp = 203,6 (б)
Рис. 4.11. Вариант II. Пространственное распределение магнитного поля Bz в мо
Рис. 4.11. Вариант II. Пространственное распределение магнитного поля Bz в мо
менты времени twp = 200.4 (а) и twp = 203,6 (б)
менты времени twp = 200.4 (а) и twp = 203,6 (б)
На рис. 4.9 представлены пространственные распределения ионной плотности, соответствующие двум моментам времени twp = 80, 200. Наиболее характерная особенность взаимодействия со сверхплотным плазменным полупространством ортогональной электромагнитной волны столь высокой интенсивности состоит в «вырывании ямы» в плазме, глубина которой увеличивается со временем и к моменту 200 ш^1 достигает 15 с/шр (рис. 4.9, б) [57]. Отметим также возрастающую со временем сильную неоднородность возмущенного плазменного слоя в поперечном направлении.
Наши расчеты подтвердили основные эффекты, отмеченные в [57]: зависимость от времени коэффициента поглощения света, генерацию высокоэнергичных электронов и ионов, ускоряемых вглубь плазмы, интенсивных магнитных полей внутри возмущенного плазменного слоя. Однако, наблюдаемые нами магнитные поля имели в несколько раз меньшую амплитуду, чем в работе [57], в которой генерация таких полей связывается с «пятнами» нагретых световым излучением электронов.
На рис. 4.10, а—в представлены одномерные сечения при у = Ly/2 пространственных распределений 簿它(①),簿,分(①)(a), jx(ж) (б), Ех(ж) (в) в момент времени twp = =200. Видно, что внутрь плазменного слоя движется ускоренный в тонком приграничном слое и промодулированный двойной частотой падающей волны жгут электронов, который создает периодические продольное электрическое поле Ех и магнитное поле Bz. Однако, как видно из рис. 4.11, а, б, на которых изображены мгновенные распределения магнитного поля Bz в моменты времени, отличающиеся друг от друга на тгш^1 (пол-периода плазменной волны), магнитное поле Bz соответствует линейному модулированному току, направленному вдоль линии у = Ly/2. Bz не изменяет направления, но очень сильно меняется по величине во времени. Поэтому, считать поле Bz квазистационарным [57] следует с большой осторожностью, так как величина Bz меняется более чем на порядок в течение периода 2тгш|71.
Кинетическое моделирование
динамических процессов в пылевой плазме
Математическое моделирование пылевой плазмы ——новая область исследований, в которой еще нет устоявшихся подходов. Интерес к этой области объясняется, с одной стороны, новейшими лабораторными экспериментами, выявившими широкий спектр интересных явлений (в том числе пылевые кристаллы), и, с другой стороны, важными техническими приложениями в области промышленного плазменного травления и напыления.
Моделирование пылевой плазмы связано с рядом трудностей, среди которых можно выделить следующие: существенная трехмерность задачи, характерные времена электронов, ионов и пыли отличаются на много порядков, существенная открытость системы, важная роль столкновений пылинок с ионами и нейтральными частицами.
В данной работе сделана попытка преодолеть эти трудности и построить модель, учитывающую эффекты, необходимые для понимания процессов в пылевой плазме. В описываемой кинетической 3D объектно-ориентированной модели плазмы [31] использованы:
—метод крупных частиц в ячейке (PIC) для электрон-ионной плазмы;
— пылевые частицы моделируются методом PIC со сферическим носителем, что позволяет точно вычислять поле вблизи пылинок;
——квазистационарная задача, т. е. плазма приходит в равновесие с неподвижными пылинками, после чего пылинки сдвигаются вдоль своего вектора импульса и т.д.;
— самосогласованное поле находится из уравнения Пуассона;
— два масштаба по пространству для расчета сил действующих на частицы;
—два масштаба по времени, а именно большой шаг по времени для движения частиц на большом расстоянии от пылинки и малый шаг для описания движения частиц вблизи пылинки;
—частицы плазмы инжектируются через поверхность или по объему.
Модель реализована в рамках универсального 3D кинетического кода SUR в предположении малого числа пылинок в системе (10 + 100). В качестве тестовой решаются задачи о зарядке пылинки и о взаимодействии двух пылинок в электрон™ протонной плазме.
Характерные параметры пылевой плазмы
Пылевая плазма играет важную роль в ряде областей физических исследова™ ний, среди которых следует отметить межзвездные молекулярно^пылевые облака, планетарные кольца, пылевые структуры в газовых разрядах и т.д. Однако, соотношения параметров плазмы и частиц пыли в этих задачах сильно отличаются, и, по всей видимости, математическое моделирование этих задач потребует различных подходов.
Подход, обсуждаемый в данной работе, применим к задаче о пылевых кристал™ л ах, и, возможно, в перспективе к промышленному плазменному травлению. Кратко остановимся на характерных параметрах пылевой плазмы в этих проблемах.
Впервые в лабораторных условиях плазменно^пылевые кристаллы были полу™ чены в 1994 г. в Институте внеземной физики им. М. Планка. Пылевые частицы инжектировались в СВЧ разряд в аргоновой низкотемпературной слабоионизиро™ ванной плазме. При этом пылевые частицы образовывали четкую кристаллическую структуру, состоящую из нескольких слоев, в каждом из которых частицы распола™ гались гексагонально, а по слоям ——друг под другом.
Для целей численного эксперимента, нас интересуют только основные параметры этого разряда. Температура электронов Те ^ 14-3 эВ, концентрация ионов 几分 ^ ^ 109 см™3 и их температура предполагается близкой к комнатной. Концентрация пыли составляла примерно п^ 4 х 104 см™3, а заряд пылинки Z& 104.
Из приведенных параметров можно оценить дебаевский радиус электронов de = =，晨/4打几已£2 ^ 0,043 см и ионный дебаевский радиус d分 ^ de/10 ^ 0,0043 см. Пол™ ный дебаевский радиус определяется из вкладов электронов и ионов по соотношению 1/d2 = 1/d^ + 1/d； и практически совпадает с ионным дебаевским радиусом. Размер инжектируемых пылевых частиц составлял а ^ 7 мкм, а расстояние между ними 8 250 мкм. Таким образом мы имеем а《d《占
В экспериментах других групп использовался разряд со сходными характери™ стиками. Размер частиц пыли составлял 10 + 60 мкм, а расстояние между пылин™ ками 130 + 880 мкм. Практически во всех экспериментах соблюдалось соотношение a < d <^ 6.
Несколько другая ситуация наблюдается в экспериментах по плазменному трав™ лению. Здесь имеется два источника пылевых частиц: эрозия электродов и образова™ ние частиц и капель из перенасыщенных паров продуктов травления. Зарождаясь, пылинки имеют размеры порядка десятых и сотых долей микрометра. Затем они бы™ стро растут в результате рекомбинации электронов и ионов, а на поздних стадиях —— агломерации, и достигают макроскопических размеров (до 100 мкм). Стоит отме™ тить существенное отличие параметров пылевых структур, наблюдаемых в процессе
плазменного травления, от тех, которые получались в экспериментах по пылевым кристаллам: среднее расстояние между частицами пыли 8 q 10 мкм, в то время как дебаевский радиус составлял примерно 50 мкм. Таким образом a ^ S ^ d.
Механизмы взаимодействия пылинок в плазме
В [58] описаны следующие механизмы взаимодействия пылевых частиц и уело вия, при которых они играют существенную роль.
Длинномасштабное отталкивание пылевых частиц. Поле заряда пылевых частиц не экранируется по обычному закону экспоненциального экранирования, что объясняется наличием потока плазменных частиц на пылинку. На большом расстоянии от пылинки потенциал спадает, как ]"2, чт0 создает дополнительное длинномасштабное отталкивание пылевых частиц.
Притяжение из-за бомбардировки пылинок частицами. В присутствии других пылинок поток плазмы на пылинку становится асимметричным. Пылинки взаимно экранируют друг друга, чем и объясняется возникновение силы притяжения между ними.
Притяжение из-за кулоновского рассеяния плазменных потоков. Частицы передают импульс пылинкам не только при столкновении, но и при кулоновском рассеянии. Аналогично предыдущему случаю, взаимное затенение пылевых частиц приводит к возникновению дополнительной силы притяжения.
Притяжение и отталкивание, связанные с потоком нейтралов. Если температура поверхности пылинки отличается от температуры нейтральной компоненты, то при их взаимодействии также происходит передача импульса. Поэтому сказанное выше для ионов применимо и для нейтральных частиц.
Как уже отмечалось, с момента обнаружения плазменно-пылевых кристаллов наблюдается неослабевающий интерес к пылевой плазме. Другой стимул для исследователей в этой области — это важные приложения в промышленной электронике. Каждый год появляется большое число статей по экспериментам с пылевой плазмой. Накоплен огромный экспериментальный материал. В то же время работы по теоретическому и численному исследованию данного вопроса можно пересчитать по пальцам. Это свидетельствует об алгоритмической и вычислительной сложности проблемы.
Как следует из анализа характерных параметров и механизмов взаимодействия пылевых частиц, сложность задачи математического моделирования пылевой плазмы обусловлена следующими фактами:
—существенная открытость системы;
——характерные времена электронов, ионов и пыли отличаются на порядки;
существенная трехмерность проблемы (например в задаче о пылевых кристаллах) ;
важная роль столкновений пылинок с ионами и нейтральными частицами;
—заряд пылинок зависит от их размера и формы, а также от свойств окружающей плазмы, которые могут изменятся со временем, и от наличия по соседству других пылинок;
——пылинки имеют распределение по размерам (а следовательно по массе и заряду).
Несколько слов о существующих моделях. Работы групп из Лос Аламоса [59] и Айовы [60] по численному моделированию пылевой плазмы, с одной стороны, позволили решить ряд важных проблем (таких как неустойчивость пылевых акустиче-
ских волн, для описания которой действительно вполне достаточно рассматривать пылинки как еще один сорт частиц с постоянным зарядом), а с другой стороны, показали невозможность изучения самых важных эффектов без рассмотрения кине™ тики процесса. Говоря о современном состоянии исследований в области численного моделирования пылевой плазмы, нельзя не отметить работы группы В.Н. Цытови™ ча. Кроме построения качественной теории механизмов взаимодействия пылинок в плазме и получения ряда важных количественных оценок, этой группой впервые было проведено численное кинетическое моделирование пылевой плазмы для случая взаимодействия двух макрочастиц в плазме [61].
Учитывая вышесказанное, можно понять каким требованиям должна отвечать модель, адекватно описывающая поведение пылевой плазмы.
Кинетическая модель пылевой плазмы
В данной работе сделана попытка преодолеть трудности математического моде™ лирования пылевой плазмы и построить модель, с одной стороны адекватно опи™ сывающую коллективные процессы в плазме, а с другой стороны учитывающую эффекты, связанные со столкновениями электронов и ионов с пылинками. Это необ™ ходимые для понимания процессов в задаче о пылевых кристаллах, в которой кол™ лективные и столкновительные процессы переплетены и оказывают друг на друга сильое влияние.
Теперь рассмотрим подробно каждый из перечисленных во введении пунктов, отличающих данную модель.
Описание электрон-ионной плазмы. Моделируемая область имеет периодические граничные условия по двум координатам (ж и у). По третьей координате (ось z) сверху происходит инжекция частиц плазмы, а снизу частичное отражение /поглощение от металлической стенки. Частицы плазмы, как электроны так и ионы, представлены крупными частицами с прямоугольным формфактором.
Описание пылевых частиц. Взаимодействие пылевой частицы с сеткой моделируются методом PIC со сферическим носителем, причем радиус сферы может изменяться. В качестве форм-фактора берется гауссиан или любая другая достаточно гладкая функция. Сложность форм-фактора не оказывает влияния на быстродействие, так как необходимые для расчетов значения пространственных интегралов табулируются до начала расчетов. Это можно сделать следующим образом: соответствующее пылинке сферическое облако вносит в общем случае вклад в плотность заряда в 27 соседних ячейках.
Если мы введем внутри ячейки более мелкую сетку (с шагом 1/N) и для каждого узла этой сетки посчитаем искомые 27 значений, то мы получим таблицу из 27 х х ^3 чисел. Для любой другой точки искомые 27 значений получаются линейной интерполяцией.
Индивидуальное описание каждой пылинки позволит исследовать динамику их зарядки, роста и агломерации.
Два масштаба по пространству. Для того, чтобы корректно описать движение частиц вблизи пылинки, мы используем разные методы расчета полей для разных областей пространства: если частица находится на большом расстоянии от пылевых частиц, то сила, действующая на частицу вычисляется, как обычно для метода PIC, из значений коллективного самосогласованного поля в ближайших узлах сетки; если же частица находится вблизи какой-нибудь пылинки, то к этой силе прибавляется корректирующий член, связанный с парным взаимодействием
частица-пылинка. Ввиду того, что пылинка взвешивается на сетке в виде сферического облака, значительное расхождение в значениях полей будет наблюдаться лишь внутри этой сферы, а корректирующая сила зависит только от расстояния до пылинки.
Такой способ расчета сил сродни известному методу РЗМ (particle-particle particlemesh) в котором взаимодействие близких частиц рассчитывается как каждая с каждой, а расчет взаимодействия далеких частиц осуществляется через сетку.
Два масштаба по времени. Если мы хотим посчитать силу притяжения между пылинками, обусловленную, например, кулоновским рассеянием потоков ионов, мы должны достаточно детально описать движение частицы вблизи пылинки с учетом сильно меняющегося вдоль траектории потенциала взаимодействия. С другой стороны движение на больших расстояниях от пылевых частиц определяется коллективными процессами с характерным временем порядка обратной электронной плазменной частоты ш^1. Поэтому в нашей модели используется два шага по времени: один для частиц вдали от пылинок (он как обычно ограничен сверху условием устойчивости схемы), другой для частиц вблизи пылинки (в нашей модели большой шаг разбивается на несколько частей так, чтобы частица за малый шаг проходила расстояние порядка радиуса пылинки).
Квазистационарная задача. Скорость пылинок в экспериментах по пылевым кристаллам не превышала нескольких см/с, что на много порядков меньше скорости электронов и ионов. Поэтому время за которое пылинки будут двигаться к положению равновесия на много порядков больше шага по времени, который имеет порядок ш^1. Один из путей обойти эту проблему ——решать квазистационарную задачу. При этом плазма приходит в равновесие с неподвижными пылинками, после чего пылинки сдвигаются в направлении своего импульса. Такой подход по всей видимости будет особенно полезен в задаче о плазменном травлении.
Поток на границе. Электроны и ионы постоянно рекомбинируют на поверхности частиц пыли, поэтому если не будет притока заряженных частиц, то вся плазма «упадет» на пылинки. В реальном эксперименте заряженные частицы рождаются за счет СВЧ поля по всему объему. В нашей модели происходит рождение электронов и ионов в объемае с заданными периодичностью и функциями распределения. При этом, для минимизации вносимого шума, модельная область разбивается на крупные ячейки, в каждой из которых в случайном месте рождается равное число частиц. В модели также предусмотрена инжекция через поверхность, по которой модельный объем контактирует с объемом «невозмущенной» плазмы.
Реализация модели и первые результаты
В настоящий момент описанная модель реализована в рамках универсального кинетического кода SUR [7, 19] в предположении малого числа пылинок в системе (10 4- 100). Для иллюстрации возможностей программы и в качестве модельных задач были использованы задачи зарядки пылинки, помещенной в электрон- протонную плазму и взаимодействия двух пылинок в плазме. Вычисления проводились на Pentium-133 с 64 Mb RAM. Параметры расчетов для неоптимизированного кода приведены в следующей таблице:
Сетка
Эл. в ячейке
Ионов в ячейке
Всего частиц
Время на шаг
32 х 32 х 16
8
8
262 144
6 с
16 х 16 х 16
27
27
221 184
3 с
16 х 16 х 16
64
64
524 288
4,5 с
Рис. 4.12. Зависимость заряда пылинки от времени. Расчеты 1 л 2 соответствуют пылинкам с радиусом 0,3 и 0,4 дебаевского радиуса. Графики Зи，соответствуют пылинкам с радиусом 0,5 и отличаются значением параметра крупности частиц плазмы в 2 раза
Рис. 4.13. Зависимость относительного импульса двух пылинок от времени. График 1 соответствует суммарному значению. Графики 2 — 6 соответствуют вкладам отдельных эффектов: поглощенных ионов (2), рассеянных ионов (S), поглощенных электронов (/), рассеянных электронов (5), экранированной силе электростатического отталкивания (6)
В модельных расчетах исследовались процесс зарядки пылинки а также зави™ симость параметров зарядки пылинок от радиуса пылинок и крупности модельных частиц (рис. 4.12). Результаты хорошо согласуются с теоретическими оценками [58]. Равновесный заряд пылинок слабо (логарифмически) зависит от крупности модельных частиц (в широком интервале значений крупности), поэтому можно надеяться, что несмотря на наличие сильных столкновений частицы^пылинки, PIC метод аде™ кватно отражает процессы в пылевой плазме. Равновесный заряд пылинок практи™ чески линейно зависит от радиуса пылинки.
В задаче о двух пылинках сила взаимодействия между пылевыми частицами зависит от расстояния. На малых расстояниях преобладает сила электростатическое го отталкивания. На больших расстояниях максимальный вклад в силу взаимодей™ ствия между пылинками, как и ожидалось, дают столкновения ионов с пылинками (рис. 4.13).
Рис. 4.14. Траектории двух ионов, захваченных пылинкойРис. 4.14. Траектории двух ионов, захваченных пылинкой
Рис. 4.14. Траектории двух ионов, захваченных пылинкой
Рис. 4.14. Траектории двух ионов, захваченных пылинкой
При изучении динамики поведения ионов вблизи пылинки были обнаружены ионы с финитными траекториями (рис. 4.14). Большая часть таких ионов, как и следовало ожидать, захватывается на начальной стадии зарядки за счет нестацио™ нарности потенциала. Некоторые из захваченных ионов имеют тенденцию к выходу на практически круговую орбиту, так что вероятность их ухода или поглощения мала. На поздних стадиях зарядки, когда заряд пылинки практически перестает расти, захват ионов обычно сопровождается уходом с орбиты большего количества ионов.
В заключении хочется отметить, что изучение динамики поведения частиц в пылевой плазме, показывает, что при попадании пыли в плазму следует ожидать обнаружение большого числа интересных кинетических явлений, связанных с взаимовлиянием коллективных плазменных явлений и сильных парных столкновений частицы^пылинки. В частности, пыль может коренным образом изменить парамет™ ры многих плазменных неустойчивостей, а также параметры взаимодействия плаз™ мы с мощными короткими лазерными импульсами.
Список литературы
Сигов Ю. С. Численное моделирование коллективных процессов в разреженной плазме. ——М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980. Докторская диссертация.
Hockney R. Ж.; Eastwood J. Ж. Computer simulation using particles. — N.Y.: McGraw— Hill, 1981.
Birdsall C.K., Lanqdon A.B. Plasma Physics via Computer Simulation. — N.Y.: McGraw— Hill, 1983.
Sigov Yu.S. Computer simulation of plasma turbulence in open systems / Pliysica Scripta. — 1982. — V. T2/2. — P. 367.
Сигов Ю. С. Предисловие редактора /Дискретное моделирование плазмы / Под ред. Ю.С. Сигова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990. Сборник научных
трудов.
Levchenko V.D., Sigov Yu.S. Object-oriented plasma model (code SUR). — M., 1994.— (Preprint/К1АМ RAS; № 108).
Levchenko V.D., Sigov Yu.S. Object-oriented plasma model (code SUR) /Dynamics of Transport in Plasmas and Charged Beams / Eds G.Maino, M.Ottaviani. — Singapore— London: World Scientific, 1996. — P. 55. См. также [6, 62].
Sigov y〃.S.； Zakharov V.E. Strong turbulence and its computer simulation // J. de Physique. — 1979* — V. 40, № C7. — P. 63.
Иванов A.A., Ю. С. Сигов, Ю.В. Ходырев. К нелинейной теории высокочастотного нагрева плазмы/ ДАН СССР. — 1974. — Т. 214. — С. 1291.
Sigov Yu.S. Computer simulation of collective phenomena in a turbulent plasma/ Pliysica D. — 1981. — V. 2D, № 1. — P. 165.
Сигов Ю. С., Ходырев Ю.В. Одномерный квазиколлапс ленгмюровских волн при параметрическом воздействии на плазму / ДАН СССР. — 1976. — Т. 229. — С. 833.
Sigov Yu.S. / Proc.Spring ITP College on Plasma Physics, Lecture SMR/150. — Trieste: Int. Centre for Theoretical Physics. 1985. — P. 30.
Сигов ЮС* Левченко В.Д. Когерентные явления при релаксации размытых электронных пучков в открытых плазменных системах/ Физика плазмы. — 1997. — Т. 23, № 4. — С. 325. См. также [63^66].
Bakai A.S., Sigov Yu.S. The multifaceted turbulence / Fluid Mechanics Research. — 1995. — V. 22, № 5^6. — P. 7.
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. Numerical simulation of beam-plasma interaction in open Vlasov systems/Proc, of the Fifth Int. Sclioul/Symposium for Space Simulation (ISSS-V). — Uji, Kyoto, Japan: , 1997. — P. 80.
Levchenko V.D., Premuda F., Sigov Yu.S. / Proc. XXII Conf, on Phenomena in Ionized Gases/Contributed Papers / Eds K.H.Becker, W.E.Carr, E.E.Kunliardt. — Hoboken: Stevens Institute of Technology. 1995. — volume 4. — P. 85.
Батищев О.В., Карась В.И., Левченко В.Д., Сигов Ю. С. Кинетическое моделирование открытых пучково-плазменных систем / Физика плазмы. — 1994* — Т. 20, № 7, 8. — С. 654.
Демченко Н.Н., Левченко В.Д., Розанов В.Б., Сигов Ю. С. Численное моделирование нагрева ионов биениями электромагнитных волн в слабостолкновительной плазме / Физика плазмы. — 1996. — Т. 22, № 5. — С. 445.
Иньков Л.В., Левченко В.Д. Оптимизация PIC метода в рамках объектно-ориентированной модели плазмы в коде SUR. — М., 1995* — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша РАН; № 133).
Карась И.В, Карась В.И, Левченко В.Д., Сигов Ю. С., Я.Б. Файнберг. 2.5-мерное численное моделирование формирования плазменного канала ионами при распространении конечной последовательности релятивистских электронных сгустков в плотной и в разреженной плазме/ Физика плазмы. — 1997. — Т. 23, № 4. — С. 311.
Levchenko V.D., Sigov Yu.S. / XXIII International Conference on Phenomena in Ionized Gases. Contributed Papers / Eds M.C. Bordage, A. Gleizes. — Toulouse, France: Universite Paul Sabatier. 1997. — volume I. — P. 220.
Бакай A.C., Сигов Ю. С. Многоликая турбулентность/ Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. — № 7, серия Математика и кибернетика. — М.: Наука, 1996.
Змиевская Г.И. Стохастические модели столкновительных процессов в неравновесной плазме /Дискретное моделирование плазмы / Под ред. Ю.С. Сигова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990. — С. 117. Сборник научных трудов.
Змиевская Г.И., Зиньковская Т.В. О численных стохастических аналогах уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова/Дискретное моделирование плазмы / Под ред. Ю.С. Сигова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990. — С. 149. Сборник научных трудов.
Батищев О.В., Сигов Ю. С., Силаев И.И. Метод «вихрей в ячейке» для моделирования атмосферы в рамках уравнения Чарни /Математические задачи прикладной
аэрономии. Сборник трудов / Ed М.Я. Марова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1987. — Р. 22.
Batishchev О. V., Silaev Sigov Yu.S., Petviashvili V.I. / Proc. XII European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Budapest, 1985, 9F-2 / Ed A.Montval L.Pocs. — Budapest: European Physical Society. 1985. — P. 350.
Силаев И. И. О моделировании вихревых течений в сплошных средах методом частиц /Дискретное моделирование плазмы / Под ред. Ю.С. Сигова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990. — С. 103. Сборник научных трудов.
Змиевская Г.И. / Физика плазмы. — 1997. — Т. 23, № 4. — С. 368.
Морозов 4,Ж? Овченков П.А., Сигов А. С. Взаимодействие дефектов в кристаллов и процессы кластеризации/Дискретное моделирование плазмы / Под ред. Ю.С. Сигова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990. — С. 183. Сборник научных трудов.
Левченко В.Д., Морозов А.И.^ Сигов А. С., Сигов Ю. С. «Необычные» доменные стенки в мультислоях ферромагнетик — слоистый антиферромагнетик “ ЖЭТФ.— 1998. — Т. 114, № 5 (11). — С. 1817.
Иньков Л.В., Левченко В.Д., Сигов ЮС Численное кинетическое моделирование динамических процессов в пылевой плазме / Прикладная физика. — 2000. — № 3.— С. 138.
Reynders J., Forslund D. Ж.7 Hinker P.J., Tholburn M.? Kilman D； Humprey Ж. OOPS: An object-oriented particle simulation s library for distributed architectures / Computer Physics Communications. — 1995. — V. 87, № 1-2. — P. 212.
Verboncoeur J.P., Langdon A.B., Gladd N. T. An object-oriented electromagnetic PIC code/ Comp. Phys. Comm. — 1995. — V. 87, № 1-2. — P. 199.
Reynders J., Hinker P.J., Cummings J.C., et al. Pooma /Parallel programmung using C++ / Eds V. Wilson, P. Lu. — Cambridge: MIT press, 1996.
Власов А.А. Теория многих частиц. — М.: , 1950.
Трубников Б.А. Столкновения частиц в полностью ионизированной плазме/Вопросы теории плазмы. Вьш. 1 / Под ред. М. А. Леонтовича. — М: Госатомиздат, 1963.
Greene J.M. Improved Bliatnagar-Gross-Krook model of electron — ion collisions/ Phys. Fluids. — 1973. — V. 16.
Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967.
Марчук Г.И. Методы расщепления. — М.: Наука, 1988.
Батищев О.В. Ускоренный алгоритм метода частиц. — М., 1985. — (Препр./ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 15).
Файнберг Я.Б. / Физика плазмы. — 1987. — V. 13. — Р. 607.
Cheng C.Z.； Knorr G. The integration of the Vlasov equation in configuration space / J. Comp. Phys. — 1976. — V. 22, № 3. — P. 330.
Сигов Ю. С. Дискретное моделирование коллективных процессов в разреженной плазме (метод макрочастиц) /Численное моделирование коллективных процессов в плазме / Под ред. М.В. Масленникова. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980.— С. 18.
Демченко Н.Н., Левченко В.Д., Розанов ВВ, Сигов Ю. С. / Физика плазмы. — 1996. — Т. 4. — С. 22.
Karas7 У.£7 况 al. Studies of space-charge neutralized ion beam induction linac for inertial confinement fusion/ Particle Accelerators. — 1992. — V. 37-38. — P. 281.
Батищев О.В., Красовицкий В.Б., Нагучев О.Ю, Сигов Ю. С. / Физика плазмы.— 1993. — V. 19, № 5. — Р. 313.
Батищев О.В., Голота В.И「Карась 8*〃.； Кияшко В.А.7 Корнилов В.А.7 Сигов Ю. С., Силаев И.И7 Файнберг Я.Б. / Физика плазмы. — 1993. — V. 19, № 6. — Р. 738.
Krasheninnikov S.I., et al// Contrib. Plasma Phys. — 1992. — V. 32. — P. 237.
Rosenbluth M., Liu C.S. / Phys. Rev. Lett. — 1972. — V. 29. — P. 701.
Fainberg Ya. B. / Proc. Symp. CERN. — 1956. — volume 1. — P. 84.
Файнберг Я.Б. / Атом, энергия. — 1959. — V. 6. — Р. 431.
Файнберг Я.Б.// УФН. — 1967. — V. 93. — Р. 617.
Tajima Т.7 Dawson J. / Phys. Rev. Lett. — 1979. — V. 43. — P. 267.
Clayton C.E., Marsh K.A.7 Dyson A., Everett M.? Lal A； Leemans W.P., Williams R., Joshi C. / Phys. Rev. Lett. — 1993. — V. 70. — P. 37.
Tang C.M., Sprangle P., Sudan R.N. / Phys. Fluids. — 1985. — V. 28. — P. 1974.
Chen P., Dawson J. M., Huff R. W., Katsouleas T. Acceleration of electrons by the interaction of a bunched electron beam with a plasma / Phys. Rev. Lett. — 1985.— V. 54. — P. 693.
Wilks S.C； Kruer W.L., Tabak M.? Langdon A.B.// Phys. Rev. Lett. — 1993. — V. 69.— P. 1383.
Цытович B.H. Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака / УФН. — 1997.— Т. 167, № 1.
Winske D7 Murillo M? Rosenberg M. Numerical simulation of dust-acoustic waves / Physical Review E. — 1999. — V. 59, № 2. — P. 2263.
Otani N, Bhattacharjee A. Debye shielding and particle correlation in strongly coupled dusty plasmas/ Phys. Rev. Lett. — 1997. — V. 78. — P. 1468.
Ходатаев Я.К.7 Бингхем Р.7 Тараканов В.П.7 Цытович В.Н. Механизмы взаимодействия пылевых частиц в плазме/ Физика плазмы. — 1996. — Т. 22. — С. 1028.
Levchenko V.D.7 Sigov Yu.S. / Proc. XXII Conf, on Phenomena in Ionized Gases/Contributed Papers / Eds K.H.Becker, W.E.Carr, E.E.Kunliardt. — Hoboken: Stevens Institute of Technology. 1995. — volume 4. — P. 221.
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. / Proc. XXII Conf, on Phenomena in Ionized Gases/Contributed Papers / Eds K.H.Becker, W.E.Carr, E.E.Kunliardt. — Hoboken: Stevens Institute of Technology. 1995. — volume 3. — P. 25.
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. / Proc. XXII Conf, on Phenomena in Ionized Gases/Contributed Papers / Eds K.H.Becker, W.E.Carr, E.E.Kunliardt. — Hoboken: Stevens Institute of Technology. 1995. — volume 3. — P. 45.
Наши Лауреаты/ Физика плазмы. — 1998. — Т. 24, № 8. — С. 765.
Sigov Yu.S., Levchenko V.D. Plasma: «chaos or self-organization?» / Journal of Journals. — 1998. — V. 2, № 1. — P. 14.
ПРИЛОЖЕНИЕ
О ЮРИИ СЕРГЕЕВИЧЕ СИГОВЕ
Г. И. Змиевская
Мастер и слуга науки
Юрий Сергеевич Сигов родился 9 июля 1934 года в поселке Красный Луч Лу™ ганской области. Он хорошо помнил войну, ведь сразу после нее в 1946 году умерла мама, Мария Григорьевна (в девичестве Рудова), которую Юра очень любил, всю жизнь сокрушался о ее судьбе, чтил память о ней, горевал... Мамины сестры рассказывали ему о том, что учились сестры Рудовы в Таганрогской гимназии, что у Марии были несомненные способности и любовь к литературе, она писала прекрасные сочинения. Юра хранил ее похвальные грамоты. Имя деда, известного на юге России в начале века пчеловода, сохранилось в топонимике города Шахты: на месте когда-то посаженного им сада есть остановка транспорта «Рудов сад». Дед погиб еще до рождения Юры. Наверное, от Рудовых у него была любовь к земле, к природе, способность к созиданию и чувство прекрасного.
Юра рассказывал о том, как с детства любил читать, перерисовывая иллюстрации к любимым книгам, как ходил за несколько километров в школу мимо мрачных терриконов в только что освобожденном от немцев Донбассе и как тогда же полуголодным ребенком он собрал коллекцию ночных бабочек... И строки
Ловлю я бабочек больших На берегу реки, Потом я делаю из них блины и пирожки
И продаю их морякам —— Три штуки на пятак.
И, в общем, с горем пополам, справляюсь кое-как...
Л. Керр о л )
уже во взрослой жизни иногда повторял грустно, полушутя. Он не боялся ни укусов пчел, ни колючек. Много позже он выращивал замечательные экземпляры цветущих редких кактусов. Одно время у него их было несколько сот штук. Он любовался ими до самых последних дней. А естественная красота дерева в скульптуре заинтересовала его, возможно, благодаря встречам со скульптором Эрзя в студенческие годы. Сам Юра находил свое вдохновение в древовидных можжевельниках Крыма, восхищаясь его реликтовыми зарослями, сравнивая их с гриновскими «марцениловыми лесами»... Он собирал корни, выброшенные морем на берег, и вручную обтачивал, полировал их, создавая оригинальные скульптуры, в них осталась его душа...
История фамилии Сиговых начинается с упоминания в Новгородских летописях имени келаря Вассиановой пустоши. Отец Юры, Сергей Георгиевич, известный экономист в угольной отрасли, был прекрасным организатором и страстным книголюбом. Незадолго до своей смерти в 1962 году он создал Институт экономики Украины в Киеве и был его первым директором. Сыновья его стали физиками. Для Саши Сигов а Юра был не просто старшим братом, большая разница в возрасте делала его и воспитателем, и примером. Окончив школу в Донецке, Юра уехал в Москву и поступил в Московский университет. Отец часто приезжал в Москву, их встречи были искренними, а разговоры откровенными и о многом. Они виделись то в гостинице «Москва», где чаще всего останавливался отец, иногда по дороге к знакомому Сергею Георгиевичу ——букинисту, то за обедом в ресторане《Арарат» или 《Савой》... Юра ценил мнение отца и радовался тому, что он с добродушным интересом относится к девушкам, которыми Юра увлекался...
Студентом Сигов жил в общежитии, хорошо учился, был именным Сталинским стипендиатом. На физическом факультете в это время преподавали ученые с мировыми именами, и для сильных студентов существовал экзамен теоретического минимума академика Л.Д. Ландау. Юра сдал его на 4-м курсе. Он выбрал самую престижную в то время специализацию ——теорию атомного ядра. В 80~х годах академик Е.П. Велихов вспоминал в заметке для стенгазеты Отделения ядерной физики физфака МГУ, что именно Юра Сигов сделал его ядерщиком, записав Велихова в группу вместе с собой, когда тот не успел вернуться из геологической экспедиции, где подрабатывал летом. Так что выбором специальности Евгений Павлович был обязан Юре, о чем и написал с благодарностью.
Вместе со студентами, обучавшимися на этой кафедре, Юра проходил преддипломную практику в ЛИПАНе (так назывался в те годы Институт атомной энергии им. И.В. Курчатова), в отделе, возглавляемом академиком М.А. Леонтовичем. Интерес к плазменным (а не реакторным) задачам возник именно тогда. Возможно, принципиальность Сигов а в вопросах установления научной истины и этики в науке во многом определялись значением для него личности Леонтовича.
Рассказывая о физфаке, о студенческих годах, вспоминая друзей, общежитие МГУ, Юра неизменно приходил в хорошее настроение. Яркие и талантливые молодые «провинциалы» первыми осваивали новое высотное здание Университета во времена, когда были «физики в почете», когда были молоды и счастливы. Удивительный запас жизнелюбия и доброты в его характере возник в те годы. Юра соседствовал и дружил с Б.А. Тверским (Бобом), а тот его называл Юпом. К Бобу заходили земляки из Новосибирска, поэтому Роальда Сагдеева, учившегося с Тверским в одной школе, Юра знал давно. Вдова Б. Тверского вспоминает, что «Боб и Юп написали не один фантастический роман, подражая Ефремову, где описывались любовные страсти между астронавтом Ангом Стремом и психиатром Шизой Френ». Я могу добавить, что это были веселые пародии, сродни популярной в то время у физиков опере《Архимед». Участие в самодеятельной опере для многих поколений физфаковцев (сужу по себе) было незабываемым переживанием, Юра иногда вспоминал о ее первых постановках и исполнителях, с которыми был знаком.
Умение сочинять палиндромы сохранилась у них с Бобом на всю жизнь. Юра часто одаривал собеседников осмысленными многострочиями, в которых каждая строка была палиндромом: «дороги не в Звенигород», «утраты Тарту», «утречко к черту» или «и шорохи хороши», «шучу~чушь»,《он ——Вадим и давно». Вспоминается его шутливое:
А
ВОТ ТОВ.
Боб.
Ум емулазер урезал, но онещене пень.
или многозначительное
дай, Ад,ум емуилимеч, чемумереть в терему.
Обучая дочь азам горных лыж, он придумал и подарил ей фразу:
Я лег у бугеля:вижу ——жив,не реву и уверен.
Часто они с Бобом сочиняли вместе, у Юры преобладала веселая интонация: «И Минск с ними» ——часто говаривал он. Иногда телефонный разговор (или несерьезную записку) заканчивал словом «ЦУВГСВЧ», служившее им шуточным приветствием. Это было название учреждения «центральное управление вспомогательных горно™спасательных военизированных частей». Весь их курс знал это слово.
Традиция вечеров встречи однокурсников давала повод вновь и вновь вспоминать о настроении студенческих лет. Юра рассказывал о шутливом делении на «ногайцев» и《мордвинов» (поклонников стройности дамских ножек или красоты лица), мог процитировать что-то из студенческих стихотворных пародий «Тайны склепов и могил». Юра любил повторять фразу: «Хорошо, что на кладбище лето, да и прочее все хорошо», которая, повидимому, служила эквивалентом популярного сарказма советских людей: все хорошо, прекрасная маркиза... А бодрое Юрино: «Отдохнем в могиле»〉——часто повторялось и много позже при многотрудных подготовках к докладам или к печати тех или иных результатов. Я была свидетелем этого в течение более, чем 30 лет нашей совместной работы в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша. Плазменная группа под руководством Ю.С. Сигов а часто работала без выходных, иногда по праздникам. Новаторство и высокий уровень результатов были известны за пределами института, но никто не догадывался, какими ограниченными силами делалась работа. «Мы не кибернетики, а мы ——сигонерге™ тики» — лозунг из газеты, подготовленной его друзьями к пятидесятилетию Юры, отмечавший энергетику Юры с намеком на синергетику — науку о самоорганизации.
У Юры, особенно в начале 60-х годов, когда он только начал работать в Отделении прикладной математики при МИАН СССР (будущем ИПМ) был удивительный запас оптимизма и иронии. Острота его сравнений подкреплялась знанием литературы и образностью его мышления. Его открытость, умные, живые ярко-голубые глаза и широкая улыбка делали его очень обаятельным. Вспоминая об этих годах, он задумчиво повторял пушкинское: «Красив не был, а молод был». В любой компании он становился центром внимания, поскольку даже обычный обед в институтской столовой в его обществе был событием веселым, помогавшим жить. Многие сослуживцы помнят, как необычно проходил обеденный перерыв за игрой в пинг-понг или как его шутки на праздничных вечерах в отделе создавали искреннюю атмосферу, особенно, когда Юра «был в ударе». Он радовался возможности послушать Владимира Высоцкого в нашем конференцзале или Михаила Жванецкого в те времена,
«И все мое прошлое еще впереди», май 1961 г.
когда об их творчестве знали в основном по магнитофонным записям. Ему нравились горнолыжные начинания нашего профкома: Юра бывал на базе «Динамо» в поселке Тер скол, героически испытывая себя Чегетом, посильно участвовал в строительстве подъемников в Яхроме и Звенигороде, учил кататься своих детей, был добрым товарищем в спортивном отдыхе на Кавказе, в Хибинах, в Цахкадзоре...
Он был всегда галантен с дамами и осыпал их шутливыми комплиментами, он их поддразнивал. Кто, кроме Юры, мог бы столь необычно предложить собеседнице чашечку кофе, например, приготовленном им на спиртовке среди снегов или на берегу моря. Все это было, «когда мы были молодые и чушь прекрасную несли»...
Надо мной он посмеивался, как над несостоявшейся актрисой кино (имелись в виду мои микропоявления в студенческие годы на экране в фильмах Чухрая, Птушко и др.), показ телевидением «Вия» (с моим участием!) непременно вызывал его веселые комментарии...
А всерьез мне очень дороги все посвящения, которые Юра делал, даря мне свои труды, особенно такое, как «турбулентной музе авторов» (1989) или «на добрую память о Загадках мира и Его неравновесных (недолговечных?——увы!) структурах» (1998).
По мнению вдовы Юры, Светланы Гужовой, «женщины в поле его притяжения становились значительнее, более красивыми, более привлекательными...». Мы были знакомы с ней заочно и встретились только в трудный период тяжелой болезни Юры, и я лучше узнала эту интересную и умную женщину. Сейчас именно она поддержала меня в объединении воспоминаний коллег Юры, дополнив и уточнив некоторые биографические даты и эмоциональные оценки отдельных событий.
Юра умел быть другом и щедро одаривал друзей своим доверием, общением, умением вникнуть в проблемы, помочь советом и делом. Об этом вспоминают Р.П. Сидоренко и В.С. Рябенький, много лет работавшие бок о бок с Юрием Сергеевичем (см. ниже). Появившиеся к пятидесятилетнему юбилею Юры строки
Полвека жизни не конец.
Так не смотрите хмуро,
Мы сложим из своих сердец
Собор Святого Юры.
ЛЕФ )
отражали симпатии сослуживцев.
С одной стороны, образ жизни Юры и деятельности могут показаться удачной карьерой человека, талантливого и счастливого... Природа дала ему бесценный дар научной интуиции, талант исследователя. Да, Юра был счастлив, что работал над тем, что ему было интересно, а одаренность физика позволяла видеть актуальность и перспективность того, над чем он размышлял, какие вычислительные эксперименты осуществлял. А задачу «продвижения по службе» он перед собой не ставил и не завидовал тем, кому этот путь казался более предпочтительным. Друзья иронизировали над этим:
Литейщик лелеет вагранку,
Матрос обожает загранку.
Игрок ищет счастья в рулетке,
А Сигов, как птица на ветке,
Тогда только счастлив и весел, Когда вариант интересен.
И тихо без горя и скукиИграет в песочек науки.
” ЛЕФ
Но, с другой стороны, успех, а он безусловно у Юры был, приходил скорее «вопреки, чем благодаря» обстоятельствам жизни, для реализации творческих планов от него требовалась очень большая стойкость.
Что-то забылось, а что-то не дает покоя, поскольку память о Юре это не только скромная стелла на Донском кладбище и малая часть его трудов, вошедших в эту книгу. Очень многое неясно в том, кто был другом, а кто им казался, какие пересечения судеб современников оказались благоприятными (а какие нет) для развития кинетической теории физики плазмы вычислительными средствами, каково Юре было идти впереди, подчас почти одиноким... Какие-то отражения событий, слова и поступки коллег, друзей, собранные вместе, сохранят ушедший вместе с ним мир, помогут понять, какие трудности и радости были в нем, какими они виделись моему ДРУгу.
Через два года после защиты кандидатской диссертации о структуре пограничного слоя в магнитном поле Юра становится старшим научным сотрудником и получает (после долгих изматывающих ожиданий, ходатайств, волнений) свою первую и, как оказалось, последнюю двухкомнатную квартиру на 14-м)последнем этаже, выбранную им потому, что «там кактусам лучше». Он любил вид из своего окна: главное здание нового Университета. Когда ему удавалось наблюдать его в лучах заходящего Солнца, он всякий раз радостно воспринимал это, как подарок, как напоминание о студенческой юности.
Тогда же, в 67-м)ему предложили стать секретарем ученого совета института. Это было очень почетно, тем более, что Юра бесконечно уважал М.В. Келдыша, с которым предстояло работать как с Председателем совета. Замечание, сделанное кому- то на заседании ученого совета академиком: «Посмотрим, кто вырос на самом деле, а кто вырос в собственных глазах»,——Юра считал необыкновенно точным, более того, оно было для него своеобразной формулой оценки сделанного в науке. После долгих непростых сомнений Юра отказался от такой карьеры поскольку он серьезно относился к своим обязанностям и понимал, что любая новая степень несвободы нанесет удар по вычислительному эксперименту. Следует напомнить, что расчеты на еще несовершенных ЭВМ требовали слишком большого объема дополнительной, совсем не творческой работы по обработке результатов, добытых в виде «тонно-километров выдач АЦПУ», которые приходилось обрабатывать дополнительно вручную для осмысленного физического анализа решения многомерных кинетических уравнений. Научный сотрудник практически делал в те годы всю черную работу сам. Становясь ученым секретарем, он реально не смог бы заниматься наукой, которая рождалась при его непосредственном участии.
Я ухожу от столкновений
В взвихренный плазменный поток.
Безумным ревом вычислений Тигровый совершу прыжок.
”ЛЕФ
Через много лет (в середине 90-х)когда Ю. Сигов уже стал признанным лидером уникального научного направления) он получил «предложение» не переизбираться в ученый совет (нескольких отделов), а взять самоотвод. Именно тот, кто некогда
вместо него стал ученым секретарем, озвучил это предложение. За прошедшие годы и он стал лидером исследовательского «куста отделов» в нашем институте. Не знаю, и Юра не знал, чье именно мнение было озвучено, тон был вполне дружеский, да и аргумент, что академик С. в совете (которого прочили на место Сигов а) будет более предпочтителен,——весомым. Мы пообсуждали, повозмущались... К удивлению многих коллег, Юра взял самоотвод. Он понимал, что его взгляды на развитие и роль фундаментальной науки не совпадают с возникшими в то время сиюминутными тенденциями (суетой реализации «плана Гора^Черномырдина» для науки в России). Об этом событии Юра никогда больше не вспоминал, впрочем, как и не сетовал по поводу несостоявшегося ученого секретарства. Процитировал строчки из баллады «Сидящий на столбе»
В пруду ловлю я окуньков
В глухой полночный час И пуговки для сюртуков Я мастерю из глаз.
Но платят мне не серебром, Хоть мой товар хорош.
За девять штук, и то с трудом, Дают мне медный грош.
Л. Керр о л )
В начале 70-х годов, в самый разгар «лазерного бума» (так называли за глаза часть программы термоядерных исследований по инерционному синтезу под руко™ водством академика Л.А. Арцимовича), в полной мере реализовались и возможности численного эксперимента в обнаружении кинетических эффектов, и состоятельность как физика Ю.С. Сигов а, считавшего по 75 часов в сутки. Это не метафора: он с помощниками максимально использовал выделяемое Президиумом Академии наук время для расчетов на нескольких ЭВМ, речь шла о развитии плазменных неустойчивостей при лазерном сжатии плазмы, о коллапсе.
На одной из конференций по физике высокотемпературной плазмы и УТС Б.А. Трубников прочитал сочиненную им «Оду о физике плазмы», текст которой у меня не сохранился, но я помню, что вместе с упоминанием «машинных орд Самарского» (имелась в виду разносторонность научных интересов академика, появле™ ние которого на той же конференции вызывало дружное «ура Самарскому!») была строфа «и грядущие ужасы йговы не страшней, чем картиночки Сйговы» (имелись в виду расчеты кинетических эффектов в ленгмюровском коллапсе: появление и отрастание электронных «хвостов», образования каверн ионной плотности и конверсии ионного звука, короче, то, что что можно было видеть на портретах фазовых плоскостей ионов и электронов, которые вносили ясность в существующие у теоретиков представления о кинетической стадии ленгмюровского коллапса).
Науки кляча цирковая Частенько бегает по кругу. Таланта тигр, покой взрывая, Одним прыжком своим упругим, Унылый ход ее сбоит...
И блеском номер озарит!
ЛЕФ
Действительно, использование вычислительной техники в нелинейной физике позволяло говорить впервые о почти всех начинаниях Ю.С. Сигов а: он умел
Июль 1984 г.
ставить себе принципиальные вопросы, а вычислительный эксперимент помогал находить на них ответы. Первый в нашей стране (а может быть, и вообще первый) научный фильм о плазменных неустойчивостях и развитии коллапса, снятый на узкой пленке, был подготовлен Юрой вместе со своими учениками Юрой Ходыревым, Сашей Полюдовым и Леней Бородачевым уже к первой Школе по вычислительной физике плазмы в Звенигороде в феврале 1974 года, а незадолго до этого первым кинозрителем был наш директор М.В. Келдыш, живо интересовавшийся всем новым в институте. Обстоятельства просмотра этого коротенького фильма о ленгмюровском коллапсе в тогда еще мало изученной плазме вспоминались со значением, как и все, что было связано с ореолом М.В. Келдыша, тем более, что в 1973 году ему из-за болезни подниматься к единственному в то время кинопроектору, наверное, было непросто. Впечатление от сказанного директором в тех обстоятельствах: «Это мы поднимемся»,—— и от вопросов по ходу просмотра было большим. Во всяком случае, купили второй кинопроектор. Спустя пару лет Юру пригласили сделать доклад на киносекции Дома ученых с демонстрацией уже нескольких фильмов на заседании, посвященном представлению научных результатов средствами кино. Исследования, которые вел Сигов, всегда были на пределе возможностей вычислительной техники, что компенсировалось его вдохновением, знаниями и интуицией, а также колоссальным объемом работы всех без исключения участников вычислительного эксперимента, которые превращали потоки информации, необходимой для кинетического моделирования плазмы, во впечатляющую демонстрацию исключительно тонких механизмов самоорганизации плазмы. С появлением персональных компьютеров, видеофильмы приобрели необходимые для интерпретации результата не только динамику, но и цвет, да и прогресс в программировании открывал новые возможности.
Поверьте в эту сказочку. Не бойтесь. (Рой электронов ——все ж не кутерьма). А поначалу в корне всех гипотез Лежит веселая игра ума.
И. Сельвинский
Юра гордился тем, что одна из первых его работ по кинетике, посвященная обтеканию заряженных тел плазмой, была представлена к печати в Докладах Академии наук именно М.В. Келдышем, что было «знаком качества» этой работы. Стоит вспомнить и то, что в 1964 году это были результаты первых расчетов на ЭВМ методом дискретного моделирования плазмы, а так же и то, что работа имела прямое отношение к космическим исследованиям. Доложенные на Международных конференциях по динамике разреженного газа кинетические расчеты в 60-х годах были подтверждены космическими экспериментами. Эти результаты были пионерскими, на них долгое время ссылались участники международных рабочих групп, организованных НАТО по этой тематике, но в которых Сигов не принимал участия по вполне понятным причинам: время широкого международного сотрудничества еще не наступило. Однако обнаруженная им численно стоячая ионно-звуковая волна в плазменном следе за заряженным телом осталась дорогим для Юры результатом (который в последние годы был востребован при моделировании пылевой плазмы).
Были и другие неспецифические стимулы в работе, поскольку физики не только работают, но и шутят. По случаю пятидесяти~и шестидесятилетия Юрия Сергеевича Сигов а были выпущены газеты на многих листах ватмана, где в коллажах и стихотворных посвящениях (лирических и сатирических) нашли свое отражение любовь и уважение друзей к нему. Вот, какой был дан шуточный комментарий к творческой обстановке, в которой работал Ю. Сигов в 1984 году:
Здоровый тигров коллектив И полосат, и яр.
Не молви слова супротив им, славный юбиляр.
А ласково махни-ка вслед: Костляв я, братцы, на обед.
ЛЕФ
А празднование шестидесятилетия предварило объявление, напечатанное самим юбиляром: «Открытое (a-la-furchet) профсоюзное собрание отдела, посвященное текущему моменту в дискретном моделировании плазмы и плазмоподобных сред». Подпись: «Группа товарищей».
К 1994 году сложились прочные творческие контакты с Харьковским ФТИ. Несмотря на реальные трудности уже межгосударственного общения с Украиной были и адреса, и добрые приветствия, и горилка, и энтузиазм приехавших гостей, которые вели исследования по созданию установок, основанных на новых методах ускорения частиц в плазме (волнами плотности заряда и др.). Такая задача требова™ ла предварительной проверки в вычислительном эксперименте, Юрию Сергеевичу с Надей Беловой удалось в короткие сроки создать электродинамический код в цилиндрической геометрии и уже в 1989 году они вместе с В.И. Карасем (ХФТИ) опубликовали результаты кинетических расчетов, которые имели прямое отношение к линейному ускорителю плазмы, к термоядерному синтезу на тяжелых ионах. Юра работал без устали и умел радоваться праздникам, вниманию к себе, а строчки:
Чтобы Солнце не погасло, чтобы термо был без яда, мы сжимаем плазму в каплю и не ждем за то награды
ЛЕФ
он повторял многозначительно, так как первая строчка была его каламбуром, который вырвался у него, когда он прочитал в газете «Известия» заметку «Чтобы Чернобыль не повторился», написанную в поддержку соискателей Госпремии по те™ ории переноса излучения... Ему же наградой действительно была трудная работа на невидимом «переднем крае». Да еще дружеское общение с коллегами и единомышленниками, такую возможность предоставляли школы, конференции, семинары.
Вспоминается, как в 1983 году на одной из первых конференций по синергетике в Пущино-на-Оке во время экскурсии на теплоходе возникла дискуссия с академиком Б.Б. Кадомцевым о структурах, возникающих в сильно неравновесной плазме. Известны идеи Кадомцева о «клампах», выдвинутые им достаточно давно. А свои первые численные исследования взаимодействия слабого пучка с начально невозмущенной плазмой Юра посвятил проверке этих представлений. Моросил дождик, но они стоя на палубе проговорили о корреляциях, о немарковости свойств плазмы всю поездку.
Теперь вспоминаются как невероятно счастливый сон плазменные конференции в Телави. Дорога к Алазанской долине пролегала мимо сел, которые были нам знакомы по названиям знаменитых вин: Цинандали, Гурджаани, Ахалцихе... Как забыть улицу Гурамишвили в Тбилиси, где находится Институт физики Грузии и проходили конференции, научный уровень которых был очень высок, и семинары в солнечном Бакуриани с традиционным «горнолыжным» уклоном участников или гостеприимные Сухумские школы по физике плазмы. Юра радовался тому, что все это было наяву ——и причастность к новому направлению физики, и поездки, вознаграждавшие за многие дни и месяцы самоотверженной работы над серьезными
«Поговорим о бурных днях Кавказа, о Шиллере, о славе, о любви...»
В.И. Петвиашвили (слева) и Ю.С. Сигов на конференции в Сухуми в 80~х гг.
вопросами, на которые не было простых ответов. Точкой отсчета для Юры была осень 1970 года, когда проходила Международная конференция по физике плазмы в Тбилиси. Юра вернулся полный идей и восхищения талантами коллег, для него начался период изучения《параметрики» и «не линейщины» в термоядерной плазме. Результаты первых кинетических расчетов, посвященные вопросам моделирования аномального сопротивления в плазме, были опубликованы уже в 1972 году в Докладах Академии наук по представлению академика Р.З. Сагдеева (К.В. Ходатаев еще в Тбилиси заинтересовал Юру этими задачами). Правда, еще раньше в 1971 году в Киеве состоялась Первая конференция по теории физики плазмы. Даже сейчас по перечислению названий и авторов тезисов докладов можно оценить широту направлений научных поисков и масштабность молодой плазменной науки, Юра участвовал в ней с несколькими докладами, раз и навсегда утвердив свой приоритет в численном моделировании кинетики нелинейной плазмы.
И затем в течение десятилетий свои новые и новейшие численные результаты Юра не ленился представлять «самым работающим» физикам, каждый из которых сам был «целым направлением». К середине 80~х годов под руководством Сигов а были созданы методы вычислительной физики плазмы «открытых», сильно неравновесных систем, которая объединила и задачи коллапса, и сильные двойные слои и исследования умеренной турбулентности.
Эти идеи он изложил в виде курса лекций на Летней школе в Триесте в 1985 году, а также на конференциях в Швеции и во Франции. Воспоминания А.С. Бакая и
Ю.Л. Климонтовича позволяют восстановить некоторые запомнившиеся им творче™ ские и житейские моменты встреч с Ю.С. Сиговым.
Большую роль Юра отводил общению с коллегами на рабочих семинарах по нелинейной физике плазмы, которые проводились обычно весной, начиная с 1982-го года, в Сочи. Организатором и главой отборочного комитета был В.Н. Цытович, который хорошо ориентировался в широком круге проблем нелинейной физики плазмы. Его теоретическая культура и энергия создали феномен их проведения. Насколько это была непростая работа мне довелось узнать, когда меня как ученого секретаря Московского физического общества попросили продолжить его начинания в 1989-м и 1990-м годах. Неформальное обстановка и спортивный дух этих встреч специалистов способствовали общению, беседам и дискуссиям о новых методах ускорения плаз™ мы, о загадочных плазменно-пылевых структурах в космосе, в кольцах Сатурна, о нелинейной физике в самых разных средах.
Юра не был теннисистом, хотя любил наблюдать за игрой и всегда был в курсе последних достижений, он стал поклонником парусного спорта.
И серфинга лихой полет
Вам вашу молодость вернет!
ЛЕФ
На одной из этих школ Юра научился управлять серфом благодаря Д.К. Акулиной. Бессменный ученый секретарь Совета по физике высокотемпературной плазмы, она была координатором многих конференций и их душой. Специалист своего дела и добрейший человек, она не жалела времени на то, чтобы научить многих коллег управлять парусом (брать ветер, ходить фордевиндом, поворачивать серф), и ее личная устойчивость на парусной доске и мастерство вдохновляли неискушенных. Страсть к парусному спорту передалась и Юре. Дина рассказывала, как Юра воз™ вращался к берегу в заданную точку (а в виндсерфинге одна из главных задач —— просто вернуться назад, обычно новичков ветер уносит в открытое море): «Юра на серфе стоит первый день: взял ветер, идет к берегу, но не причаливает просто где попало, разворачивается, уходит в море, опять выбирает курс, но неудачно, падает, поднимает парус из воды, разворачивается и снова... до тех пор, пока не причалил к пирсу». Если обстоятельства помнятся даже через много лет, значит, упорство бы™ ло сиговское, а заканчивался рассказ так: «По всему видно, что учится управлять серфом действительно доктор наук».
Он был азартным человеком и в работе, и в спорте, и просто в игре, огорчаясь, при проигрышах «мировых звезд» Кафельникова, Каспарова, и всерьез сердился, проигрывая сам в карты детям. Однажды мне довелось присутствовать при партии в биллиард между Юрой и А.А. Самарским. Сколько молодцеватости и артистизма было в этом случайном непрофессиональном поединке! Выяснилось, что они бы™ ли земляками и обрадовались случаю, что-то вспомнить о Донецке, о физфаке, об учителях и учениках...
Во время любительских соревнований по серфингу Юре нравилось, по его выра™ жению, «договариваться с ветром», но, на мой взгляд, он сильно рисковал, подчас вылетая по большой дуге в воду вместе с мачтой. Этот спорт доставил Юре мно— го счастливых дней жизни. С удовольствием, без раздражения он обучал всех, кого мог, виндсерфингу: аспирантов, жен аспирантов, взрослых детей сослуживцев, даже очень занятого брата Сашу, досадовал, что его дочь не увлеклась парусом, как он. В его «школе» Парусной доски в Михалеве под Москвой и в Крыму неуспевающих не было. Скольким из нас Юра подарил возможность «полетать по волнам» на серфе и почувствовать, что жизнь прекрасна! В последнее свое лето 98—го года он мечтал о том, чтобы поехать в Крым и под парусом при хорошем ветре выйти в море...
А годом раньше он отказался от поездки во Францию на конференцию, в которой часто участвовал, порекомендовав своего ученика и меня в делегацию. Он радовался, что и мы сможем побывать в Париже через двадцать лет после него.
Парижских крыш сиреневые тени, И Тюильри весенний аромат...
Мгновенья жизни, легкие виденья: Лишь сон души, влюбленной в термояд.
ЛЕФ
В первой поездке во Францию ему довелось как приглашенному докладчику оста™ навливаться в только что построенном тогда комфортабельном отеле 《Нико» на набережной Гренель, где проходил Международный конгресс по волнам и неустой™ чивостям в плазме (1977). К этому моменту вычислительные эксперименты Сигов а уверенно подтверждали возникновение каверн ионной плотности в плазме и откры™ вали возможность анализа нелинейных механизмов кинетической стадии ленгмюровского коллапса. Было его успешное выступление, были плодотворные дискуссии с известными теоретиками Нишикавой (К. Nishikawa), Лю (C.S. Liu)... и было чудо Парижа. Юра все свободное время, не жалея ног, ходил по улицам, музеям, бульварам, набережным Сены. Он фотографировал не столько здания, сколько жанровые сценки. Его впечатления двадцати летней давности сохранились на слайдах, многие из них просто великолепны. В тот момент самое большое впечатление на него произ™ вело ночное освещение Парижа, в особенности фонтаны Трокадеро и модные в тот год светящиеся украшения ——трубочки в виде бус, браслетов, бантов на прохожих и ошейников на их собачках. О других поездках во Францию вспоминает Ю.Л. Кли— монтович (см. ниже). Могу добавить, что Юра необыкновенно ответственно готовился к докладу в Гренобле в 1979 году, работая неделю перед отъездом почти без сна. Совместный пленарный доклад с В.Е. Захаровым подводил некоторые итоги по проблеме сильной плазменной турбулентности, объединяя концепцию коллапса и описание его нелинейной кинетической стадии. Публикация этих результатов была для него памятной и важной.
Веселый нрав Юры, его находчивость, неприхотливость в быту и умение радо™ ваться жизни запоминались всем, с кем его сводила судьба. Помню его веселье, когда он рассказывал нам о прогулке на Монмартр и о том, как девушка-художница на™ рисовала портрет его спутника, какое у них было чудесное настроение... Дело было накануне 14 июля ——национального праздника Франции. Им довелось быть свиде™ телями такого шумного, такого потрясающего феерического зрелища, что впечат™ ления стали поистине незабываемыми. Рассказы Юры о праздничной иллюминации города, о фейерверке, о радостной атмосфере многолюдного Латинского квартала вдруг ожили для меня: старый фильм, недавно показанный по телевидению, закан™ чивался этим праздником. Я увидела сплошной водопад огней, стекающий с борта набережной вниз в воду Сены, по которой неслись воднолыжники с факелами, и весь сияющий Париж. Последний раз Юра был в Париже накануне своего пятиде™ сятилетия с пионерскими результатами по исследованию умеренной турбулентности. О том, какой резонанс во Франции имели эти работы, вспоминает А.С. Бакай (см. далее).
Ю.С. Сигов был педагогом по призванию. В начале 70—х годов А.А* Самарский пригласил его в М①ТП читать курс кинетики вычислительной физики плазмы, ко™ торый с каждой новой примененной методикой, с каждой решенной задачей оформлялся и расширялся. И не имел аналогов в нашей стране. Профессор Сигов вкладывал всю душу в каждого ученика, был ли он аспирантом или лаборантом, он очень ценил единомышленников научного поиска, своей самоотверженностью увле—
кая соавторов, особенно тех, кого надо было посвятить в «плазменщики». Всю жизнь он благодарно вспоминал и то, что академик М.В. Келдыш помог ему как директор, как президент Академии, как депутат: комнату в комуналке предоставили Юре в 1960 году, чтобы способный «немосквич» мог продолжать занятия наукой. Ученикам Юры везло много меньше: ни одному из способных и подающих надежды, реально сделавших вместе с Юрой важные и перспективные работы, не помогли ни с пропиской в Москве, ни с улучшением жилья, ни с созданием необходимых материальных условий для работы. Тем не менее, теряя годы на подготовку кадров (делая при этом все более сложные и трудоемкие работы), ему приходилось учить все новых и новых аспирантов...
В 1976 году произошло событие, которое сыграло очень большую роль в судьбе численного моделирования, во всяком случае, Юра считал, что последствия ощущались до 90-х годов. Состоялся семинар ИПМ, на котором Ю.С. Сигов доложил основные фундаментальные результаты по теории сильной турбулентности, уже опубликованные, уже известные в стране и за рубежом. За доклад поблагодарили, помолчали. Помолчали и о высоком уровне, и о необходимости оставить для работы в ИПМ талантливого аспиранта Ю. Ходырева, что этот молодой человек нужен науке, а ему нужна прописка в Москве... Никто из официальных лиц не поднял вопрос о защите докторской диссертации докладчика. В тот день решилось многое: судьба аспиранта и уход из научной школы Сигов а одного из самых способных учеников по независящим от него обстоятельствам, и развитие этого направления, поскольку подготовка специалиста в этой области ——дело очень дорогое и успех зависит в большой мере от способностей и таланта аспиранта. Юра неизменно вспоминал об этом событии как о большой потере для дела, как о решениях, сравнимых со строительством Байкальского целлюлезного комбината. Я не помню, присутствовал ли на докладе сам директор, но до кончины М.В. Келдыша оставалось менее двух лет, он часто болел, и никто, прежде всего сам Юра, не стал беспокоить его этим непростым делом. И хотя в этом же году были еще доклады, обсуждения, успех (Юра в составе небольшой делегации посетил в течение месяца самые крупные научные центры США: Принстон, Бостон, Альбукерк, Стенфорд и др.), об этих временах он вспоминал как о несчастливых.
Действительно, потребовалось еще четыре года работы и вмешательство соавтора Юры ——директора Института космических исследований (ИКИ) академика Р.З. Сагдеева (который беседовал по своей инициативе с нашим директором, академиком А.Н. Тихоновым о высоком научном потенциале Сигов а и о необходимости защиты диссертации), чтобы наконец это событие состоялось в Институте космических исследований. Это была блестящая защита, потому что в диссертацию вошли и самые новые результаты расчетов, согласно которым в 1980 году были открыты сильные двойные слои и были подведены итоги исследования сильной турбулентности плазмы, представлены расчеты свойств совершенно нового объекта ——умеренной турбулентности, продемонстрированы структуры во Вселенной, возникавшие в результате расчетов гравитационной неустойчивости (образование «блинов Зельдовича»). Были включены в работу кинетические модели плазмы полупроводников и обобщены результаты по обтеканию заряженных тел плазмой. На ученом совете ИКИ выступило так много знаменитых ученых с высокой оценкой диссертации, даже показалось, что в судьбе численного эксперимента наступит золотой период.
Конец 70-х гг.
О, страсть к познанию, ты сердцу не подвластна Мир на ладони: он един ——разъят...
Как Лондона туман, он бурокрасный, И бел, как стены украинских хат.
Ты физикой навеки околдован, к ее стене бетонной пригвожден. И от решенных схем к задаче новой Судьбой своей до смерти обречен.
ЛЕФ
Несмотря на то, что защита прошла весьма успешно в 1980 году, а последующее десятилетие было очень плодотворным, сектор, возглавляемый Сиговым, возник только в 1989 году по инициативе А.А. Иванова, обратившего в тот момент внимание на огромную прикладную значимость, казалось бы, сугубо теоретических работ Ю.С. Сигов а. Поддержал создание сектора и тогдашний заместитель директора Ю.П. Попов, деловые качества и чувство юмора которого и раньше помогали С иго™ ву решать разные производственные вопросы. Так, в структуре Института наконец™ то организовался сектор, который стал вести как теоретические, так и прикладные исследования по кинетическому моделированию плазмы и плазмоподобных сред (такое название сектора придумал Юрий Сергеевич).
Нелинейные задачи физики плазмы Юра, начиная с 70-х годов, обсуждал с Р.З. Сагдеевым. Иногда в ИКИ на семинарах, а чаще в рабочем порядке обсужде™ ния результатов проходили по дороге в Институт, в служебной машине. Всякий раз, завершая совместную публикацию, Юра с белой завистью говорил: «Что за умница Роальд». Оба они при разных обстоятельствах весело вспоминали о временах, когда Роальд Зиннурович только стал директором ИКИ. Наши институты находились в одном здании на Профсоюзной и в те времена был еще общий вход. Однажды, чтобы провести Юру в здание, Роальд Зиннурович спустился ко входу и предложил охране пропустить гостя. Охрана доложила старшему (по телефону), что «здесь двое, один из них Сигов, а другой, маленький, говорит, что он директор...».
Последняя встреча их произошла осенью 1993 года в Мэриленде, когда Юра был приглашен прочитать доклад в лаборатории профессора Лю, знакомство с ко™ торым началось еще в Париже во время доклада Юры в научном центре Палезо в 1977 году, потом они встречались и на других конференциях. На этот раз Юра был в краткой командировке в Штатах, в Бостоне, и мог уделить лишь очень огра™ ниченное время этому семинару. Специально спрашивать у Лю о том, продолжает ли работать Роальд Зиннурович над задачами физики плазмы, он не хотел... Юра столкнулся с Сагдеевым в корридоре, тот его обнял, прослезился, проводил на до™ клад, очень тепло его представил аудитории, просто смутил Юру комплиментами и высокой оценкой сделанного им. Имело ли это отношение и к опровержению чис™ ленными исследованиями квазилинейной теории, или Роальд Зиннурович имел в виду результаты по исследованию ленгмюровского коллапса и открытие сильных двойных слоев, осталось для Юры неясным. К сожалению, Роальд Зиннурович был занят чем-то неотложным, на докладе не присутствовал и больше они не увиделись. Эта короткая, сердечная встреча скрасила какие-то из тяжелых дней Юриной болез— ни. О ней он вспоминал, просил меня переслать в Мэриленд последние публикации: «Journal of Journals» о корреляционной неустойчивости и умеренной турбулентно™ сти плазмы и работу, опубликованную в журнале «Физика плазмы» и признанную лучшей публикацией по естествознанию в 1997 году.
Отступило море, берег пуст И страстей улегся легкий дым, Горе преобразовалось просто в грусть, Но, как трудно оставаться молодым.
ЛЕФ
Эти стихи появились к шестидесятилетию Юры не без основания.
Действительно, тяжело было терять друзей, все чаще бывшие соученики физфака стали встречаться на панихидах. Летом 1997 года умер Боб Тверской, Юра тяжело пержил утрату друга. Еще раньше он был потрясен болезнью и смертью В.И. Петвиашвили, их сотрудничество и дружеское расположение оборвалось, они успели только наметить основные контуры применения метода «вихрей-в-ячейке» к задачам диамагнетизма плазмы, предполагавшим очень интересные результаты. Глубинная культура интеллигента, деликатность и доброта Владимира Иосифовича, не говоря о высочайшем профессионализме физика, вспоминались Юрой очень часто.
События 1991 года очень осложнили сотрудничество с коллегами, оказавшимися в странах СНГ:
Союза нет ——он затерялся в Пуще...
ЛЕФ
——так виделось прошлое в 1994 году. Действительно, Юра очень близко к сердцу принимал эту трагедию, которая непосредственно коснулась судеб наших друзей и коллег из Сухуми, из Тбилиси. От друга и сокурсника Юры, инициатора наших совместных работ по кинетике нейтральной инжекции, В.П. Сидорова, мы узнавали о жестоких подробностях грузино-абхазской войны, увиденных глазами физика и организатора науки, о безвременных утратах. Сам Владимир Петрович вынужден был покинуть Сухуми, болел, кардинально изменил образ жизни. Последний разговор по телефону у них состоялся незадолго до смерти Юры. Не расстраивая Сидорова своим диагнозом, он очень огорчился, что не смог чем-то помочь: подготовить какое- то деловое письмо. Владимир Петрович пережил Юру всего на год и уже не узнает об этом.
Были потери иного рода, не связанные с трагизмом смерти, но внесшие в последние годы жизни Юрия Сергеевича разочарования.
Несколько десятков лет назад он горячо поддержал выдвижение М.——молодого тогда специалиста по теории переноса на руководство отделом. Внешне их отношения выглядели как сотрудничество и даже как дружба: были жесты участия в лечебных и жилищных делах Юриной семьи. Но истинной поддержки работ плазменной группы, понимания масштаба исследований и важности этого направления во всех смыслах не получилось. Это привело к тому, что летом 1997 года, когда творческие дела сектора шли очень успешно, заведующий отделом стал писать провокационные служебные записки в дирекцию о трудовой дисциплине в секторе под руководством Сигов а, о том, что ему неизвестно, кто над чем работает и что «надо навести порядок во вверенном ему подразделении». Юра эти письма квалифицировал как доносы.
Описание подробностей этой истории могло бы представить интерес для какой-то другой книги, но они не очень уместны в данных воспоминаниях о Юрии Сергеевиче Сигове ——большом ученом и светлом, веселом человеке.
«Рыцарь этот когда-то неудачно пошутил,——ответил Воланд... Его каламбур, который он сочинил, разговаривая о свете и тьме, был не совсем хорош. И рыцарю пришлось после этого прошутить немного больше и дольше, нежели он предполагал»
(М.А. Булгаков)——так иронизировал Юра по поводу служебных записок, пытаясь объяснить себе и без того понятное. Юрий Сергеевич не прощал поверхностного отношения к серьезным вещам (ни себе, ни другим). Он мог сказать прямо, как бы вышучивая, все о том, что думает, прилюдно и нелицеприятно, ведь он не боялся за карьеру —— он действительно был независим. Ему очень пришлось по душе Булга™ ковское: «Никогда и ничего не просите!». Он просил только за и ради других ——это известно мне точно.
Вообще Булгаков занимал особое место в душе Юрия Сергеевича. Ему посчаст™ ливилось купить по дороге в Бакуриани в феврале 1967 года роман «Мастер и Маргарита», который только что появился в журнале «Москва». Это произошло как раз в самой середине его жизни, впереди у него было еще ровно 32 года. Он так ценил чувство юмора, глубину философских размышлений и фантазийный блеск этого романа, не болтал о его достоинствах, но чувствовал его глубину и все то, что было связано с историей создания романа, с судьбой писателя. Фотографию Михаила Афанасьевича он переснял задолго до поры всеобщего признания, она и сейчас, спустя много лет, висит в его комнате на работе. «Он не заслужил света, он заслужил покой»...
На предложение заведующего М. «принять меры» Юра ответил по сути: напи™ сал заявление о переходе своего сектора в другое отделение, где работал умный и благородный Л.М. Дегтярев, в отдел С.П. Курдюмова, которого он всегда любил и ценил.. И остался верен своим принципам и чувству собственного достоинства. Он был уже болен, но не спекулировал этим. Я могу понять, почему Юра не желал, чтобы кто-либо из сослуживцев знал о его тяжелой болезни: он не терпел мораль™ ного шантажа. Хотя тяжело переживал то, что некоторые сотрудники неожиданно для него изменили свое решение перейти вместе с ним в другой отдел, и то, что те, кого он считал друзьями, молчали, допуская глумление над ним.
Чувство юмора и увлеченность делом помогали ему при столкновении с тем, что кто-то не считает нужным ссылаться на его работы или просто заимствует его идеи, повторяя расчеты, а то и результаты. Наверное, он огорчался, но цитировал Булгакова: «Действительно свистнуто, но если говорить беспристрастно, свистнуто очень средне!». Утешался тем, что если воруют, значит есть, что воровать.
После распада Советского Союза тяжелое положение отечественной науки усу™ гублялось открывшейся возможностью работать за границей. Об этом много писа™ ли, но каждый случай для каждой науки свой. Сигов старался создать в противовес этой тенденции условия для творческого роста молодых сотрудников в России: уча™ стие молодежи в делегациях на международные конференции и конкурсах проектов РФФИ, в сотрудничестве в сильными школами ближнего зарубежья, поддержива™ емыми Фондом Сороса, и другое. В 1993 году он даже сделал попытку заключить контракт для нашего института с США (MIT, Бостон) на создание кинетического кода для дивертора термоядерного реактора ITER в России. Это было непросто, но авторитет Сигов а и большой задел исследований мог бы дать в этом случае реаль™ ную возможность нормально работать в России его сектору. Этого не произошло, еще и потому что Б.——бывший аспирант Сигов а,——обещал руководителю и соавторам «свернуть горы», а при первой же возможности уехал на работу в США, бросив и гранты, и планы, и базовую кафедру МФТИ, куда его, кстати, рекомендовал то— же Сигов... Более того, он бесцеремонно распорядился программами и методами, реализованными в России под руководством Сигов а не одним поколением програм™ мистов, новыми идеями. Это был пиратский вывоз вычислительных технологий, да и к тому же неумело использованный. Поскольку в секторе Сигов а был создан значительный научный потенциал по вычислительному эксперименту в плазме, а
к 1994 году это состояние было выше мирового уровня, то ему как руководителю, было небезразлично, где и как будут использоваться программы, методики, идеи. Юрий Сергеевич с возмущением рассказывал, как были сорваны переговоры с аме™ риканцами: Б. в обычной манере им пообещал «сделать все сам», а заведующий отделом М. (из которого так поздно ушел Юрий Сергеевич!) поддержал эту кон™ кретную «утечку мозгов» из плазменного сектора. Нам же оставалось удивляться безнаказанности происходящего и собирать деньги в стеклянную банку с надписью «ни Бе, ни Ме», в которую опускалась монетка при упоминании в рабочее время их фамилий (Масленников М.В. и Батищев О.В.), поначалу накоплений хватало на пиво, со временем мы просто забыли о них.
Друг мой милый, к черту годы,
Ничего они не значат!
Нету формул у Природы —— Это физики дурачат!..
Посмотри на листья кленов Тополей московских вьюгу Надо быть всегда влюбленным В небо, солнце и друг друга.
Есть на свете горы, море, Купол церкви деревенской, И удача скрасит горе Ласковой улыбкой женской. Так какие к черту годы?
Что считать их словно скряга?
Нету формул у Природы Это только лишь бумага!
ЛЕФ
На 90—е годы приходится расцвет деятельности Юры с полноценным использо™ ванием персональных компьютеров. Опустим здесь сетования о дефиците, в том числе и в этой области, и воспоминания о негативных сторонах весьма коллективно™ го использования... персональных компьютеров. Юрий Сергеевич с благодарностью вспоминал А.Н. Мямлина и К.И. Бабенко, которые очень много сделали для про™ гресса и лидерства ИПМ в применении современных вычислительных средств и технологий вообще, и в частности для Сигов а: его группе были специально выде™ лены компьютеры в числе первых, поскольку А.Н. Мямлин решил, кому же как не Сигову нужны средства визуализации и вычислительные мощности, соразмерные трудностям и фундаментальности решаемых им задач.
В эти годы была поставлена задача создания принципиально новых алгоритмов для плазмы. Реализацию первой в мире объектно-ориентированной модели плазмы такого класса осуществлял Вадим Левченко, адаптацию программ и оптимизацию памяти компьютера для сложных задач обеспечивал Петр Овченков. В Турине ле— том 1994 года были представлены несколько работ сектора, уже тогда впервые были продемонстрированы результаты моделирования сильно неравновесной плазмы на языке программирования C++ с возможностями, которые давал новый подход в моделировании: использовался не только метод макрочастиц, который традиционно связывали с вычислительной техникой школы Сигов а, но и были разработаны новые алгоритмы, в которых были собраны современные достижения метода расщепления с сеточной апроксимацией уравнений Власова^Пуассона^Максвелла.
Деревня Михалево, лето 1989 г.
В эти годы началась работа с аспирантом Леонидом Иньковым над кинетиче™ ским кодом по пылевой плазме. Наметилось интересное сотрудничество с братом (А.С. Сиговым) и его научной группой в новой области приложений. Г рантами Р ①一 ①И были поддержаны и численное моделирование фазовых переходов в плазмо— подобных средах (моя работа, на которую меня давно вдохновлял Юра), и исследования умеренной турбулентности и корреляционной неустойчивости (которыми занимался В. Левченко). Последнее Юру очень радовало и окрыляло, потому что наметилось серьезное продвижение по численным моделям за счет повышения точ™ ности расчетов и разработки нового уровня визуализации результата.
Это была проблема, занимавшая Юру двадцать лет, что бы он ни делал он воз™ вращался к ней, каждый раз с новыми вычислительными идеями, с новыми уче™ никами: фундаментальные вопросы умеренной турбулентности в плазме, корреля™ ционной неустойчивости и несостоятельности квазилинейной теории для открытых пучково-плазменных систем, далеких от равновесия. Новые результаты с современной диагностикой вычислительной плазмы просто завораживали Юру, мне кажется, то, что именно эти любимые им работы были отмечены премией за лучшую работу по естествознанию, было заслуженным результатом, каким-то проявлением справед™ ливости.
В 1996 году на Киевской конференции по физике плазмы его пленарный доклад по умеренной турбулентности произвел большое впечатление на слушателей и Юрия Сергеевича пригласили сделать пленарный доклад о его достижениях в моделирова™ нии нелинейных задач на конференции в Японии по перспективным направлениям исследований космоса (тогда же речь шла, несмотря на его возраст, о длительной работе в Киото).
Обнаружение когерентных структур в плазме давно привлекало внимание специ™ алистов. Профессор Такеда(У. Takeda) из Нихон университета (г. Токио), который в лабораторных экспериментах подтвердил существование сильных двойных слоев, открытых Сиговым с Надей Беловой еще в начале восьмидесятых годов. Они под™ держивали переписку, и профессор Такеда очень хвалил работы, которые велись в России. Перспективность изучения коллапса электростатических полей (как когерентной структуры) для исследований космической плазмы отмечали А.А* Галеев (сейчас академик и директор ИКИ) и Р.З. Сагдеев.
При чтении курса лекций в Болонском университете, на семинарах в научном центре Фраскати (г. Рим) также возникали очень интересные деловые предложения, например, с ним обсуждались возможности сотрудничества в численном моделиро™ вании лазеров на свободных электронах и новых методов ускорения. У Юры был подготовлен слайд, называемый условно «птичка», на котором он изобразил то ли птицу Феникс, то ли Жар-Птицу, где схематически суммировались отечественные достижения и перспективные возможности его вычислительной школы.
Юра был человеком, который очень дорожил созданным им самим: научным на™ правлением, коллективом сектора, в котором работали поддерживаемые им молодые люди, своим домом на 14-м этаже, немногочисленными друзьями. Для него никогда не стоял вопрос о перемене места работы, страны проживания, хотя отсутствие бла™ гоприятных условий для науки в стране (и в отделе, в частности) испытывало его стойкость.
Знают из Перуджи Перуджино, Знают все «спагетти болонезе».
Родина ——наш корень и пружина
Viva Sigov! Джордже Луганезе.
ЛЕФ
Рисунок Ю.С. Сигова
В течение нескольких лет он мужественно переносил испытания тяжелой болез™ нью, не жалуясь, продолжал работать. Это был человек долга в самом серьезном смысле этого слова, который, быть может, даже не очень понятен с прагматичных позиций сегодняшнего дня. Его ученики, соавторы и близкие знают, что он всегда делал больше, чем обещал, а совместную деятельность полушутливо называл «сво™ бодный труд свободно собравшихся здесь людей».
Академик Я.Б. Файнберг из Харьковского ①ТП высоко оценивал достижения Сигова Ю.С. в области нелинейной физики плазмы, называя результаты численного эксперимента классическими. У них были совместные работы. Юра тоже дорожил этим взаимодействием. Вспоминается такой эпизод. Была осень 1998 года, Юрий Сергеевич, никогда не позволявший себе взять бюллютень и поболеть, вынужден был лечь в клинику. Таким тяжелым больным, как он, ничего не запрещают, зная, что самочувствие не позволит им нарушать больничный режим. Юра все же старая™ ся между переливаниями крови, на обезболивающих уколах и таблетках, прочитать лекцию, не отменять назначенную ранее деловую встречу... Как ему было трудно, мог понять каждый, встречавший его той осенью в институте. Восьмидесяти™ летие Файнберга совпало с проходившей в Харькове конференцией по плазменной электронике. Мы готовили адрес, и Юра принимал в этом горячее участие, даже неожиданно для всех приехал в институт, как оказалось, для того, чтобы не только подписать адрес, но и на словах через меня передать извинения юбиляру, что не может сам приехать. Мне кажется, что это был жест глубокого уважения к ученому и человеку.
Памятно и дорого то, что Юра проводил меня на вокзал, пошутил с соседями по купе о своем сходстве с артистом Табаковым и даже сделал несколько фотоснимков.
Двумя месяцами позже Юрий Сергеевич прочел свою последнюю лекцию спец™ курса для студентов М①TIL Была очень плохая погода. Мы ехали с ним на троллейбусах от его дома на улице Вавилова до нашего института (и обратно). Тяжело далась ему эта дорога, страшно вспоминать, но таково было его желание. Вернув™ шись из аудитории базовой кафедры, Юра сказал, что очень устал, но курс закончил. Потом добавил, что сегодня он «рассказал о самом главном... И если вдруг кто-то из них не уйдет из науки, то сможет вспомнить об этом промозглом, сером дне декабря 1998 года, и о том, что сказал сам Сигов»... (прощаясь со своим делом, добавлю я). Его не стало после тяжелейших трех месяцев, 21 февраля 1999 года.
Я уже побывал в голубых городах Я уже любовался Парижем и Римом, Адриатики соль ощущал на губах... Но могу ли назвать я себя Пилигримом?
Я пред ликом святым не склонял головы, Лишь старался понять, что стоит за Незримым, Ближе мысль мне и числа, чем море травы... Так могу ли назвать я себя Пилигримом?
Но судьба, что вела через слезы и смех, Даст рассвет мне увидеть над краем родимым, Разрешит мне, безверья отринувши грех, Называть наконец-то себя Пилигримом.
Пилигримом, искавшим в пределах земных Черной глуби пространства и звезд золотых!
лe①
С. Бакай
Впереди — жизнь...
В 1976 г. в Киеве происходил большой форум механиков, в котором принимали участие математики, механики всех «оттенков» и физики-теоретики. К тому вре™ мени я получил любопытный результат в теории динамических явлений в плазме и был крайне заинтересован в экспериментальной проверке предсказаний теории. Казалось бы, проще всего обратиться к результатам лабораторных экспериментов. Такие результаты были, но они отличались той степенью неполноты, которая ис™ ключает надежную проверку. С.М. Криворучко с большой готовностью взялся за подготовку экспериментальной установки, но было ясно, что до опытов дело дойдет не так скоро, как того хотелось. Естественно возникла мысль о проведении числен™ ных экспериментов, но среди тех, с кем я был знаком, не было никого, кто распо™ лагал бы необходимым программным обеспечением и опытом. Возникала мысль о сотрудничестве с американскими коллегами, у которых уж точно было и то, и другое плюс мощные компьютеры. Мне, однако, посоветовали переговорить относительно задачи с А.Д. Брюно из института М.В. Келдыша. Познакомились, побеседовали. Он был далек от этой проблематики, но сказал, что среди участников съезда находится его коллега по институту Юрий Сергеевич Сигов, который является лучшим экспертом именно по численному моделированию плазменной динамики. Тут же, в кулуарах состоялось знакомство: «Юрий Сергеевич, можно Юра...». Поговорили минут пятнадцать ——двадцать. Задача его, вроде бы, заинтересовала, что при пер™ вом разговоре обычно не редкость. Он обещал заняться моделированием. Оставил телефоны: «Будете в Москве — заходите».
На том и расстались. Я остался очень доволен тем, что познакомился с лучшим экспертом и приятным человеком, но, конечно, не мог вообразить, что это мимо™ летное знакомство положит начало многолетнему интереснейшему сотрудничеству и дружбе с Юрием Сергеевичем. Подобных встреч и договоренностей у всех нас бывает великое множество, но только считанные из них имеют значительные след™ ствия и оказывают существенное влияние на наши «мировые линии». Та встреча оказалась счастливым исключением.
Возвращаясь мысленно к семидесятым годам, нетрудно увидеть то, что легло в основу нашего сотрудничества и отношений. Оба мы были достаточно активными и квалифицированными, что позволяло не терять времени на обсуждение второстепенных деталей и не останавливаться в недоумении перед разного рода технически™ ми трудностями. Кроме того, мы оба были достаточно свободны в выборе задач. И наконец, мы принадлежали к одному поколению, пришедшему в науку в конце 50х или в начале 60—х* с одной и той же шкалой ценностей. В цене были професси™ онализм, культура и спортивность. Юрий Сергеевич всем этим обладал в полной мере.
Следует раскрыть содержание задачи, для решения которой мы объединились. В теории плазмы динамика и кинетика взаимодействующих волн и частиц занимает центральное место (см. гл. 1). Остановиться на описании явления надо затем, чтобы показать, что прямая и полная проверка неустойчивости квазилинейного режима релаксации пучков является непростым делом. Численный эксперимент обладает преимуществом полной диагностики, но с ним связаны другие сложности, которые порождаются неизбежными огрублениями расчетов, ограниченным числом частиц в модели, недостаточным объемом памяти и скорости компьютеров (то было вре— мя до распространения мощных PC и вычислительных станций). Говоря короче, успех компьютерного эксперимента во многом зависел от искусности вычислителя.
Конец 70-х гг.
К счастью, Юрий Сергеевич действительно был одним из самых лучших теоретиков, занимающихся численным моделированием плазменных систем. И, кроме того, он мгновенно оценил привлекательность задачи и всерьез занялся ею. Этим и был предопределен успех нашего сотрудничества.
Для меня осень 1976 г. и начало 1977 г. прошли в почти непрерывных обсу— ждениях результатов численного счета, а для него, сверх того,——в непрерывном изнуряющем труде, затраченном на «добычу» этих результатов. А обсуждать бы™ ло что. К апрелю 1977 г. были получены превосходные результаты. Красноречиво подтверждалось условие применимости квазилинейной теории. При его нарушении квазилинейный режим сменялся режимом умеренной турбулентности, в котором возникали когерентные пакеты волн и фазовые траектории частиц обнаруживали весьма большие корреляционные длины. Этот результат остался ключевым.
Для подготовки быстрой публикации мы воспользовались замечательной воз™ можностью отправиться вместе в Крым. В Кацивели киевский Институт математики проводил конференцию, посвященную проблемам нелинейной динамики и при— уроченную к 60-летию Ю.А. Митропольского. Мы были приглашены на конференцию, приняли в ней участие, но не успели подготовить текст совместной статьи. Решили для завершения начатого перебраться в Коктебель ——пристанище твор™ ческих натур, требующих повышенного вдохновения. Мероприятие удалось во всех отношениях. Через неделю текст был готов. Но в моей памяти почти не сохранилось воспоминаний о работе. Почти все время уходило на осмотр местных достоприме™ чательностей, связанных с известными именами, прогулки по окрестному горному массиву, купания в Сердоликовой бухте (в нее еще надо было добраться), время™ препровождение с друзьями. Забавных случаев было достаточно, но если бы их недоставало, то сотворить новые не представляло большого труда, потому что Юра обладал большим запасом энергии и чувства юмора. Карабканье по скалам не было его стихией, но он прекрасно справлялся с этим занятием и после весьма гордился своими успехами и проявленным мужеством. Справедливости ради надо сказать, что иногда оно действительно требовалось.
Нашу статью в развернутом виде Юрий Сергеевич очень быстро опубликовал в виде препринта ИПМ. Короткий ее вариант появился в конце года в ДАН СССР по представлению А.Н. Тихонова. Всего месяцем раньше там же появилась и моя статья на эту тему, представленная Б.Б. Кадомцевым.
Как и положено результатам, требующим пересмотра взглядов на казалось бы неплохо изученное явление, они неоднократно обсуждались с видными специалиста™ ми по нелинейной динамике плазмы и докладывались на крупных международных конференциях. Запомнился доклад на семинаре у Драммонда (W.E. Drammond) в Остине осенью 1976™го. Комментируя мое выступление, Драммонд сказал, что они с Пайнсом (D. Pines) сразу же почувствовали необходимость выйти за рамки квазилинейного приближения, но попытки расстаться со случайными фазами оказались не очень успешными. Удалось обсудить наши результаты с каждым из упомянутых выше создателей квазилинейной теории. А*А* Веденов принял нас с Юрием Сергее™ вичем у себя дома, и долгое обсуждение вышло далеко за рамки наших результатов. Е.П. Велихов выступал оппонентом на защите докторской диссертации Юрия Серге™ евича и весьма положительно комментировал эти результаты. С Д. Пайнсом у меня была кроткая беседа на эту тему в Салониках в 1990 г. Он вежливо ознакомился с существом дела, но посетовал, что этот предмет уже давно вне сферы его научных интересов. Сдержанное отношение к нашим результатам проявляли долгое время Р.З. Сагдеев и некоторые его близкие сотрудники, хотя сам Роальд Зиннурович при обсуждениях не раз выражал желание получше разобраться в существе дела. Его
смущала, по™видимому, «жесткость» критерия, оставляющего весьма узкую область существования квазилинейного режима релаксации. Оценки показывают, что этот критерий нарушается уже на самой ранней стадии релаксации пучков. К сожале™ нию, с некоторых пор возможность обсуждений с Роальдом Зиннуровичем стала весьма проблематичной.
Естественно, что у правильных результатов нередко бывает несколько родителей.
В 1983 г.наш критерий переоткрыли французские теоретики Лаваль(G. Laval) и Пэм(В. Pesme), применив для этого совсем другой подход. Адам (J. С. Adam)BO Фран™ ции в 1984 г. провел численные эксперименты, подобные тем, которые выполнил Юрий Сергеевич семью годами раньше. Будучи на конференции в Париже, Юрий Сергеевич сделал блестящий доклад и помог Адаму в интерпретации результатов численного эксперимента. Замечательные лабораторные эксперименты по проверке наших теоретических результатов провел с сотрудниками С.М. Криворучко (как и Юрий Сергеевич, он безвременно ушел от нас в 1999 г). Остроумные эксперименты по проверке области применимости квазилинейной теории в конце 80—х выполнил Дж. Малмберг с коллегами в Сан-Диего. Его результаты оказались в хорошем со™ гласим с нашими.
Между тем, мне удалось несколько расширить область применимости уравне™ ний умеренной турбулентности, а Юрий Сергеевич со своими учениками успешно продолжил исследование разнообразных проявлений когерентных явлений, сопрово™ ждающих релаксационные процессы в неравновесной бесстолкновительной плазме. Серия же его замечательных работ, касающихся этого предмета, не прерывалась вплоть до его ухода.
В силу различных обстоятельств к средине 80—х я почти отошел от задач теории плазменной динамики, но наши личные отношения и сотрудничество не пре™ кращались. Пожалуй, последним нашим совместным предприятием было написание небольшой популярной книги (считалось — для школьников), которая вышла под названием «Многоликая турбулентность» в 1989 г. Подготовка текста этой книги, хоть и выполнялась в короткий срок, доставила мне немало удовольствия, как и всякое любимое дело. Но участь Юрия Сергеевича была менее завидной, потому что, помимо всего, он взялся за подготовку рукописи к печати, оформление, переговоры с издательством и т.д., и т.п., что требовало весьма серьезных усилий и стоило большого напряжения. Благодаря инициативе Г.Г. Малинецкого было подготовлено второе, несколько переработанное издание этой книги на русском и английском язьр ках. Что касается английской версии, то ее подготовка и издание проходила вообще без моего участия. Она оказалась для меня бесценным подарком в память нашей былой дружбы и сотрудничества.
Совместные исследования составляли основной смысл, но не исчерпывали на— ших отношений. У нас были общие друзья, я многократно пользовался радушным гостеприимством в его замечательной семье. При его наездах в Харьков (впрочем, не столь уж частых) мне и моим близким, друзьям доставляло большое удоволь™ ствие общение с ним. В нашем общении был тот уровень доверительности, который принят между близкими людьми. В последние годы мы почти не виделись. Обща™ ясь по телефону, откладывали необходимые разговоры «на потом», до встречи, и дооткладывались.
Когда уходят из жизни немало значившие для нас люди, они все еще остаются с нами, а мы при этом безвозвратно теряем какую-то часть себя. Добрые и благо™ дарные слова, достойные памяти Юры, произносить легко и естественно. Я часто вспоминаю бодрую формулу «Ничего, впереди — жизнь!», которой мы с Юрием Сер™ геевичем нередко обменивались, особенно при неблагоприятных обстоятельствах.
Для него теперь связь с жизнью воплощена в нашей благодарной памяти, в силе со вершенного им, в делах его учеников, в успехах родных и, особенно, детей и внуков, которых он так любил. Он говаривал, что участь счастливых отцов — гордиться сы™ новьями и любить дочерей. Я не замечал никакой разницы в гаммах чувств Юры, обращенных к его сыну и дочери.
Р.П. Федоренко
Он был очень увлечен своей работой
С Юрием Сергеевичем Сиговым мы защищали кандидатские диссертации в 1965 г. на одном заседании ученого совета. С тех пор у нас установились приятель™ ские отношения, особенно они укрепились в последние годы. Двери наших кабинетов находились почти друг против друга, а мы встречались почти каждый день. Если я несколько дней не встречал Ю.С., это означало, что он в очередной загранич™ ной командировке, на какой-то конференции. Последние годы, по моему мнению, были удачными для Ю.С. Упорная работа по моделированию бесстолкновительной плазмы (численное решение уравнений Власова и его обобщений) получала между™ народное признание, последовали достаточно почетные приглашения на междуна™ родные конференции, где доклады Ю.С. были в числе основных. Это был заслужен™ ный успех, и Ю.С. гордился им. Он не был тщеславен, но цену своим работам знал. Ю.С. был физиком, и моделирование плазмы его интересовало прежде всего с точки зрения открытия и изучения каких-то необычных характерных явлений, происхор™ дящих в этой еще мало изученной среде. Но одновременно эта работа требовала развития и совершенствования вычислительных методов моделирования поведения большого числа заряженных частиц. Наши встречи в институтском корридоре ча™ сто заканчивались в кабинете Ю.С. за чашкой кофе или чая, которыми он любил угощать своих друзей. Во время этих встреч Ю.С. рассказывал о своих делах. Он был очень увлечен своей работой, и прежде всего говорил о ней. С большим знтузи— азмом он рассказывал о тех явлениях, которые ему удавалось понять, о том, какие открываются новые перспективы. Ему удалось создать небольшой коллектив, увле— ченный этой темой, он высоко оценивал успехи молодых участников его группы и не скупился на похвалы. Особенное внимание он обращал на повышение точности моделирования за счет увеличения дискретных частиц, за счет включения в модель различных элементарных физических процессов. Это предъявляло особые требова™ ния к быстродействию программ. Большую роль в том, чтобы в хаотическом на пер™ вый взгляд движении огромного числа частиц можно было делать какие-то общие выводы, играли средства визуализации и анализа результатов. Отчасти под влияни™ ем этих разговоров с Ю.С. я счел необходимым включить в свою книгу «Введение в вычислительную физику» отдельную главу, посвященную описанию (конечно, на элементарном уровне) основных подходов к моделированию бесстолкновительной плазмы ——метода макрочастиц, с которым была связана научная работа Ю.С. и в формирование которого он внес существенный вклад. Все, кто знал Ю.С., были потрясены его внезапной (для меня) смертью, прервавшей удачную научную карье™ ру. И это в то время, когда настала пора пожинать плоды упорной многолетней работы!..
Ю.Л. Климонтович
Уход талантливого человека изменяет жизнь
Мы встречались с Юрой Сиговым во время международных конференций ICPIG «Явления в ионизованных газах» в Румынии и во Франции. На них собирались круп™ нейшие специалисты со всего мира. Конференция, о которой пойдет речь, происхо™ дила в Гренобле в 1979 г. Это город на юге Франции, в предгорье. Перед началом конференции делегаты провели три дня в Париже. Первое впечатление от Парижа — города детской мечты и города мушкетеров —— было не очень приятным. Это было начало июля. Стояла страшная жара. Отель, до которого мы наконец добрались на машине встречавших нас, был маленьким и уютным. Он расположен недалеко от площади Республики — места, где когда-то была Бастилия. Оказалось, что нас с Юрой Сиговым поместили в один номер. Юра уже бывал в Париже и хорошо знал город. Он был прекрасным гидом. Это помогло мне очень скоро понять истинную прелесть этого Великого города. В один из дней нашего пребывания в Париже для нескольких человек была организована поездка в один из крупнейших институтов Франции в пригороде Парижа — Сакле. Нас пригласили в теоретический отдел. Вадим Цытович, Юра Сигов и я выступили там с докладами, а в Гренобле мы с Раду Балеску провели круглый стол по проблемам кинетической теории, в кото™ ром активное участие принял Юра. С этого времени наши научные интересы стали сближаться.
После конференции мы снова оказались в Париже. После долгой прогулки по городу очень хотелось пить. Мы поставили стакан с кипятильником на толстую стеклянную полочку... Через некоторое время раздался оглушительный грохот. Уди™ вительно, что нас одолел неудержимый хохот. Этот взрыв потонул в шуме праздно™ вания парижанами Дня 14 июля...
Через несколько лет мы снова оказались в составе делегации, но теперь на неболь™ шой конференции «Плазма Власова». Этим названием отдавалась дань уважения чрезвычайно талантливому русскому ученому. Конференция происходила на остро™ ве Корсика. Нам посчастливилось с Юрой Сиговым жить в отеле научного центра Карже на самом берегу моря. В первый же день по приезде рано утром я встал и вы™ шел на берег. Море было довольно бурным и казалось совсем пустынным. Я вскоре заметил вдали небольшую темную точку. Она постепенно увеличивалась и вскоре стало ясно, что это плывущий человек. Им оказался Юра Сигов. Уже у берега он не без труда, но уверенно преодолел прибрежный скалистый участок. Желающих плавать в бурном море, кроме него, не было.
На этой конференции и началось длившееся много лет обсуждение ряда принци— пиальных вопросов теории неравновесных процессов в плазме. Дело в том, что уравнение Власова служит примером приближенного и обратимого уравнения сплошной среды, не учитывающего диссипацию в среде. Однако существует другое уравнение, по форме совпадающее с ним, но для микроскопической фазовой плотности в шести™ мерном пространстве импульсов и координат (его зачастую называют «уравнение Климонтовича»). В отличие от обычной функции распределения, микроскопическая фазовая плотность зависит от координат и импульсов всех заряженных частиц. Мно— гочисленные дискуссии проясняли весьма сложные вопросы теории, весомое участие принимал в них Юра Сигов. Именно он лучше многих других понимал суть пробле™ мы, поскольку учитывал нетривиальные особенности взаимодействия типа «волна- частица» в своих численных экспериментах, именно его результаты отличались глубиной и обоснованностью, что нашло отражение в интересной книге «Многоликая турбулентность», написанной им совместно с А. Бакаем. С проблемами нелинейной
физики плазмы и умеренной турбулентности связан его замечательный цикл работ, обзор которых появился в журнале «Физика плазмы» в 1997 г. (совместная работа с В. Левченко). Этот обзор заслуженно удостоился престижной премии «Лучшая работа года по естествознанию».
В связи с работой над специальным томом «Современные проблемы кинетиче™ ской теории плазменно-молекулярных систем» для Э нцикл one дии низкотемпературной плазмы я перечитал эти работы. Возникли вопросы, которые хотелось бы обсудить с Юрой Сиговым. Очень жаль, что такой возможности теперь нет. В последние месяцы его жизни мы обсуждали с ним лишь некоторые детали по телефону. Один из разговоров был посвящен медицинским проблемам, но я не мог предположить, что все так серьезно. Его уход из жизни был для меня неожиданным. Уход поистине талантливого человека меняет нашу жизнь ——делает ее существенно бедней. Нам остается только сожалеть о случившемся.
С. Рябенький
Он был душевно щедр
Юрия Сергеевича Сигова я знал много лет. Однако знакомство это, которое нельзя было бы назвать шапочным, никогда не переходило черту, разделяющую доброе знакомство с дружбой.
Я уважал его как ученого, ценил блеск его суждений и эрудиции, его несомненный талант. Встречи с ним всегда были приятны, потому что он непременно говорил мне добрые слова, высказывая похвалы мне и моей работе, часто смущавшие меня своей открытой эмоциональностью. Но они дышали такой искренностью, что всегда ободряли и давали заряд оптимизма.
Первое наше знакомство состоялось где-то в 60—х годах, когда он и я активно защищали на товарищеском суде сотрудницу нашего института Тамару ①едонюк. Ее сосед энергично и умело протестовал против музыкальных занятий ее племянни™ цы, требуя «прекратить весь этот шум» безусловно и полностью. Конечно, тонкие стенки «хрущевки», где она жила, не были хорошо звукоизолированы, но девочка подавала надежды... Нам с Юрием Сергеевичем удалось добиться компромиссного решения: для занятий музыкой были выделены определенные часы, и соседу при— шлось умиротвориться. Сейчас эта маленькая некогда девочка ——концертмейстер.
Второй эпизод, связанный с Юрием Сергеевичем, более недавний. В конце 1997 г. был объявлен очередной конкурс на Соросовского профессора. Пятью годами ранее я участвовал в конкурсе, но был отвергнут и не собирался участвовать, а Ю.С. по™ давал такую заявку впервые. Когда он, случайно встретив меня, поинтересовался, участвую ли я в конкурсе, я ответил, что участвовать не собираюсь. Ю.С. стал на— стойчиво убеждать меня, своего, в общем™то, конкурента, тоже профессора М①TII) что я должен это сделать, что имею несомненные основания выиграть. Более того, он дал мне дискету с подготовленной формой анкеты, которая облегчила и ускорила оформление. Я тогда получил соросовскую стипендию, а Ю.С. по какой-то причине нет. Кажется, для признания ему нехватило изданного недавно пособия по курсу лекций. Никто из нас не знал, что он уже был тяжко болен и работал через силу. Насколько мне известно, Юрий Сергеевич об этом случае никому не рассказывал. Он был душевно щедр. Я его всегда любил, и до сих пор люблю.
В.В. Савченко
Не вырвать из памяти
Оглядываясь назад в дни, когда мы были несколько моложе, все более утвержда™ ешься в простой или даже наивной мысли: жизнь удивительно похожа на отрывной календарь, как те календари, висевшие когда-то в каждом нашем доме... Их люби™ ла перелистывать моя мама, но и я частенько заглядывал туда с надеждой найти ответ: «а что же будет завтра?»...
В доме моем отрывного календаря теперь нет и может быть поэтому все чаще и чаще я мысленно перелистываю страницы блокнота, на который память выплескивает радость и боль воспоминаний о прошедшем и будущем. К сожалению, этот блокнот похож на календарь, где люди вырываются из жизни, как странички, но с одним существенным различием: людей невозможно вырвать из памяти. И размышляя о прошлом и настоящем или вспоминая о будущем, то есть, как жить зав™ тра, как учить сына старинным рецептам морали и благородства, ясно осознаешь постепенную утрату прошлого, которое реально состояло не из дат, дней недели или полезно-бесполезных советов отрывного календаря. Оно состояло из людей, с которыми мы дружили, общались, которых мы любили и которые любили нас. И которые и составляют то пространство и время, в котором мы жили.
Сознание того, что ты жил когда-то во времени и пространстве, связанном с Юрой (Юрием Сергеевичем), действительно позволяет сказать, что ты жил! Часто ли мы, вспоминая ушедших, можем сказать, что мы жили рядом с по~настоя~ щ е м у живыми людьми?
Заполняя, создавая и пролистывая свой календарь воспоминаний, прежде всего вспоминаешь о радости общения с Юрой. Будь то на склоне в подмосковной Яхро™ ме, или на горнолыжном куррорте Закопане, или мимолетное «привет» в коридоре ИПМ, или «лекции» за стаканчиком портвейна о «кавернах», открытых Юрой в плазме, всегда видишь его глаза и улыбку. Даты можно забыть, главное — есть время, когда мы жили в мире, в котором жил Юра... Он ушел, пусть это звучит банально, в другой мир. Мы с нашей суетой, датами дел и делишек остались в этом мире. Что касается вычислительной физики плазмы, он был одним из первых и останется одним из первых в будущем. Горько сознавать, что пространство нашего обитания и общения сузилось, обидно и грустно, что этот мир еще раз обеднел, стало меньше шуток, идей, добра и улыбок...
Дж. Майно
Мы потеряли большого ученого и большого человека
Краткое сообщение о смерти Юрия Сергеевича глубоко меня тронуло: мы потеряли большого ученого и большого человека. Я вспомнил долгие дискуссии, которые были у нас с ним в Турине, в Болонье... его глубинную, теплую сердечность и страстную любовь к своей работе, своей стране, семье, коллегам. Я до сих пор не могу поверить, что его уже нет. Всего несколько дней назад я получил оттиски моей статьи, возникшей из наших дискуссий с Юрием, его неоценимая помощь отмечена мной благодарностью в конце статьи. Посылаю ее вам в знак моего уважения к этому замечательному ученому. Джузеппе.
Об авторах приложения
Змиевская Галина Ивановна, старший научный сотрудник, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН
Савченко Владимир Васильевич, старший научный сотрудник, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН до начала 90-х годов, в настоящее время профессор Niklion Uni ver city, г. Токио, Япония
Бакай Александр Степанович, профессор, Национальный научный центр «Харьковский Физико-технический институт», г. Харьков, Украина
Федоренко Радий Петрович, заведующий отделом ИПМ им. М.В. Келдыша РАН
Климонтович Юрий Львович, профессор Физического факультета МГУ
Рябенький Виктор Соломонович, главный научный сотрудник, профессор, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН
Guiseppe Maj по, профессор, ENEA, г. Болонья, Италия
ТВОРЧЕСКИЙ ВКЛАД
Сигов Юрий Сергеевич(09.071934-21.02*1999)
доктор физико-математических наук, профессор МФТИ,главный научный сотрудник РАН*
заведующий сектором Института прикладной математикиим. М.В. Келдыша РАН
В вычислительных экспериментах (1970—1980 гг.)
были обнаружены или подтверждены следующие эффекты по теории сильной турбулентности плазмы *)
Исследован механизм ленгмюровского коллапса как нелинейной стадии модуляционной неустойчивости плазмы.
Обнаружен на нелинейной стадии коллапса коротковолновый ионный звук.
Исследована генерация быстрых электронов и конверсия плазмонов при развитии сильной ленгмюровской турбулентности.
Обоснована возможность и исследованы особенности квазиколлапса (форсированного коллапса) в присутствии волны накачки.
В численном эксперименте были обнаружены коллапсы электростатических полей и образование сильных нестационарных двойных слоев как результат развития нелинейной стадии бунемановской неустойчивости в сильноточной плазме.
Развитие теории умеренной турбулентности плазмы и корреляционной неустойчивости плазмы (1977—1999 гг.)
Обнаружены в численных экспериментах скоррелированные волновые пакеты, возникающие при взаимодействии электронного пучка с плазмой.
Определены критерии и параметры корреляционной неустойчивости плазмы.
Обоснована неприменимость квазилинейной теории в случае моделирования сильно неравновесной плазмы в открытых пучково-плазменных системах.
Численно исследованы особенности взаимодействия слабых и сверхслабых электронных пучков с плазмой, в том числе и с учетом подвижности ионов, дела™ ющее реальным сравнение численных и натурных (например, космических) экспериментов.
Теория и практика численного дискретного моделирования власовской плазмы и плазмоподобных сред
Введение унифицированного подхода к выбору ядер интегрального преобразования (формфакторов численных моделей плазмы) повышающих точность расчетов методами, использующими «макрочастицы» (1973^1984 гг.).
Создание электростатических 2D3V ——и 3D3V ——кинетических кодов для моделирования сильной ленгмюровской турбулентности (1974—1978 гг.).
Разработка электромагнитных 1D3V кинетических моделей магнитоактивной плазмы (1979—1982 гг.), исследования диамагнетизма плазмы.
Реализация метода частиц в электромагнитных 2D3V релятивистских кинетических кодах в различных геометриях (1983-1990 гг.).
Создание гибридных кинетических кодов ( метод «вихрей в ячейке » и учет столкновений (1989—1994 гг.).
Конструирование и использование первой в мире универсальной объектно™ ориентированной численной модели плазмы на основе языка программировав ния Cdh, объединившей метод макрочастиц и метод расщепления в конечно™ разностной апроксимации систем кинетических уравнений (1994 г.).
Разработка кинетического кода для моделирования пылевой плазмы (1998— 1999 гг.).
Прикладные задачи кинетического моделирования (1960—1999 гг.)
Нелинейные задачи кинетической теории пограничного слоя между разрежен™ ной плазмой и магнитным полем.
Расчет структуры возмущенной зоны в окрестности заряженного тела, дви™ жущегося в плазме со сверхзвуковой скоростью, обнаружение стоячей ионнозвуковой волны в плазме, численные модели обтекания разреженной плазмой заряженных тел для оценки сил торможения и развития теории подвижного зонда в плазме (1960-1970 гг.).
Приложение численных методов исследования плазмы к гравитирующим системам (1977—1980 гг.), исследование гравитационной неустойчивости.
Кинетические модели плазмы полупроводников (1978—1988 гг.), обнаружение бунчировки электронов.
Коллективная релаксация неравновесных фотоэлектронов в квантующих мат- нитных полях (1977—1980 гг.).
Консервативная дискретная модель «вихрей в ячейке» для уравнения Чарни (1988 г.).
Исследование параметров плазмы дивертора термоядерного реактора ITER с использованием разработанного 1D2V кинетического кода, учет столкнови™ тельных эффектов в гибридных кодах (1989—1993 гг.).
Ускорение плазмы волнами плотности заряда (1995—1998 гг.).
Создание кинетических численных кодов (1980—1990 гг.), описывающих тече™ ния релятивистской плазмы в системах со сложными границами.
Создание релятивистских кодов для моделирования процессов в линейных ускорителях большой мощности и в задачах тяжелоионного термоядерного синтеза (1989—1995 гг.).
Нагрев ионов биениями электромагнитных волн в плазме со столкновениями (1994-1996 гг.).
Исследование ускорения плазмы биениями плотности (1990—1994 гг.).
Моделирование неустойчивости двухплазмонного распада в разрядной плазме методом макрочастиц на кинетическом уровне и следований (1993—1995 гг.).
ПОСЛЕСЛОВИЕ
В 1999 году журналы «Математическое моделирование», N 4, «Физика плаз™ мы», N 7 и «Успехи физических наук», N8 поместили некрологи с добрыми словами памяти о Юрии Сергеевиче Сигове, которые подписали:Д.К. Акулина, А.А. Ар™ сеньев, А.Д. Брюно, К.В. Брушлинский, А.С. Бакай, Е.П. Велихов, А.А. Галеев, В.В. Горев, Ю.В. Гапонов, Е.П. Горбунов, В.А. Грибков, Н.С. Ерохин, Г.И. Змиев- ская, А.А. Иванов, Н.Н. Калиткин, В.И. Карась, С.П. Курдюмов, Д.П. Костомаров, Ю.Л. Климонтович, В.Д. Левченко, С.С. Моисеев, А以＜Ж Никифоров, В.И. Пистуно- вич, Т.А. Сушкевич, А.А. Самарский и редколлегия журнала «Математическое мо™ делирование», В.Б. Розанов, А.А. Рухадзе, Я.Б. Файнберг, К.В. Ходатаев, В.Д. Ша™ франов, Т.М. Энеев, а также многие из коллег, друзей, бывших аспирантов, соавто™ ров, сослуживцев, бывших соучеников Физического факультета МГУ, пораженные известием о его смерти, выразили соболезнования в письмах и телеграммах участия, проводили его в последний путь...
Дирекция ИПМ им. М.В. Келдыша РАН провела в марте 1999 г. заседание учено™ го совета ИПМ памяти Ю.С. Сигов а, а через год на конференциях Совета по физике высокотемпературной плазмы и УТС в Звенигороде и по плазменной электронике в Харькове состоялись доклады, посвященные его трудам.
Президиум РАН, Директор ИПМ, депутаты Московской городской думы и Г.П. Хованская помогли в увековечении памяти Сигов а Ю.С.——захоронении его на Донском кладбище Москвы.
И все равно невозможно понять то, что Юрия Сергеевича нет с нами...
БЛАГОДАРНОСТИ
Составители избранных трудов Ю.С. Сигов а ( издательский проект Р ①① II 00 —— ЗОООбд) благодарят Российский фонд фундаментальных исследований, Президиум Российской Академии наук и вице-президента АН РАН академика Геннадия Андре™ евича Месяца за финансовую поддержку издания трудов Ю.С. Сигов а.
Наша глубокая благодарность профессору Анри Амвросиевичу Рухадзе за дея™ тельную поддержку при подготовке проекта издания книги и академику Виталию Дмитриевичу Шафранову за полезные замечания и требовательные советы редакто™ ра. Мы признательны вдове, дочери и брату Юрия Сергеевича (Светлане Константиновне Гужовой, Ольге Юрьевне и Александру Сергеевичу Сиговым) за понимание и помощь, позволившие дополнить публикацию научных трудов воспоминаниями и фотографиями.
Подготовка оригинал-макета книги была связана со значительными технически™ ми трудностями по реконструкции графических материалов, иллюстрирующих приоритетные результаты вычислительных экспериментов шестидесятых-семидесятых годов. Экспериментальные данные и редкие фотографии Ю.С. Сигов а с помощью компьютерной обработки были восстановлены Петром Анатольевичем Овченковым, а ретушь фотографий — Леонидом Васильевичем Молчановым. Трудоемкая ком™ пьютерная верстка оригинал-макета осуществлена Антоном Валерьевичем Ивано™ вым, а набор текстов — молодыми сотрудниками и аспирантами сектора «Численно™ го кинетического моделирования плазмы и плазмоподобных сред» Л.В. Иньковым, А.Л. Бондаревой, В.Ю. Сидоренко, Н.В. Елкиной. Мы благодарим их.
Мы все время чувствовали внимание сослуживцев, официальных лиц, коллег и друзей так или иначе поддерживавших нас и помогавших в период работы над книгой.
Г.И. Змиевская
В.Д. Левченко
Yu.S. Sigov
COMPUTER SIMULATION:
THE LINK BETWEEN PAST AND FUTURE
OF PLASMA PHYSICS
composed by V.D. Levchenko and G.I. Zmievskaya.
PHYSICS AND MATHEMATICS PUBLISHERS
International Academic Publishing Company aNauka^Russian Academy of Sciences
Moscow, 2001
296 pages, 165 figures, 7 tables
This monograph is dedicated to the memory of outstanding russian pliysisist Yurii S. Sigov. The 30-year cycle of computer simulation works by Yu. S. Sigov and his school is presented in the book.
The studying of kinetic stage of both strong and moderate Langmuir plasma turbulence is carried out numerically based on the selfconsistent nonlinear Vlasov^Poisson system.
By means of numerical experiment it was discovered the formation of correlated states of plasma motion (phase correlated wave packets) in open beam-plasma system. The appearence of order from desorder (so^colled correlation instability) results in transition from weak turbulence (described by quasilinear theory) to partially ordered (or moderate) turbulence.
The presented results of kinetic modelling of strong plasma turbulence problems pro™ vide a continues transition from the collapse concept (concentrated in avereged dynamical equations) to conditions of an actual experiments on dissipation of either particle beam or pump wave in plasma. Profound investigation of the kinetic stage of Langmuir collapse allows to obtain the quantitative characteristics like a caviton size, energetics and a form of electron tails, effective collision frequency and so on, as well as to discover the new effects, for example generation of ion sound turbulence or forced (quasi-) collapse regime.
The book also contains the discourse on methodical research and the base of these algorithms (from the PlC^metliods to object-oriented plasma model). Classification of discrete plasma models is based on representation of the model distribution function in the term of product of linear integral transformations with separable and simmetric kernel. It allows to construct models with prescribed conservative and precision properties. The perspective of numerical experiments and computer simulation as the effective tools of theoretical physics are described.
The book includes fragments of reminiscences on personality of Yu.S. Sigov written by his friends and collegues.
The book is addressed to the physicists working in the field of strongly noi>equilibriuni plasmas (thermonuclear, cosmic) as well as plasma-similar mediums by means of applied niatlieniatics methods.
Yu. S. Sigov (1934-1999)〉Dr. Sci., Ph. D., was a Head of the Laboratory of Discrete Plasma Simulation of M.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences, Professor in Moscow Institute of Physics and Technology.
Рис. I. Функция распределения электронов пучка (сверху) и фоновой плазмы (снизу) вмомент времен 1з? = 10 000. Виден захват частиц низколежащими пакетами и их ускорениедо максимальной скорости пучка
10104,54,5Ю-5х/ь 一ОЮ-5х/ь 一О
10
10
4,5
4,5
Ю-5х/ь 一
О
Ю-5х/ь 一
О
Рис. II. Растянутый по ж для детализации структуры участок фазовой плоскости x-v(часть рис. I) Заметен эстафетный характер ускорения электронов пакетами
Ю-Зх/Ь -Ю-Зх/Ь -^/Уте^/Уте0,50,5151510105515151010-10-1010001000x/Xdx/Xd
Ю-Зх/Ь -
Ю-Зх/Ь -
^/Уте
^/Уте
0,5
0,5
15
15
10
10
5
5
15
15
10
10
-10
-10
1000
1000
x/Xd
x/Xd
Рис. III. Функция распределения электронов пучка (сверху) и фоновой плазмы (снизу) вмомент коллапса каверны для Run {О; 1/200; 10/5; 1/1600; 1},心夕 = 2100. Видно ускорениечастиц в как вперед, так и назад до скоростей, значительно превышающих максимальнуюскорость пучка
5
О
Рис. IV. Сверху вниз: функция распределения пучка, фоновой плазмы, корреляционная обработка электрического поля в момент времени 力з? = 2200, следующий за коллапсом каверны (см. рис. III). Внизу — профили плотности ионов (синий) и энергии поля (красный)
Рис. V. Последовательные этапы релаксации пучка в случае подвижных ионов дляRun {О; 1/200; 10/5; 1/1840; 100}:心夕=1500 (а), 2000 (б), 2500 (в), 3000 (а)
-1-0,500,51t = 200 t = 250 t = 300 t = 350 t = 400 力=450 t = 460-1-0,500,51t = 200 t = 250 t = 300 t = 350 t = 400 力=450 t = 460t = 480 t = 500 t = 520 t = 540 t = 560 力=580 t = 600t = 480 t = 500 t = 520 t = 540 t = 560 力=580 t = 600t = 620 t = 640 t = 660 t = 680 t = 700 力=750 t = 800t = 620 t = 640 t = 660 t = 680 t = 700 力=750 t = 8000100 жО 100 жО 100/0100/0100 жО 100 ж 0100 70100 жО 100 жО 100/0100/0100 жО 100 ж 0100 7О 100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 vО 100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 v
-1-0,500,51
t = 200 t = 250 t = 300 t = 350 t = 400 力=450 t = 460
-1-0,500,51
t = 200 t = 250 t = 300 t = 350 t = 400 力=450 t = 460
t = 480 t = 500 t = 520 t = 540 t = 560 力=580 t = 600
t = 480 t = 500 t = 520 t = 540 t = 560 力=580 t = 600
t = 620 t = 640 t = 660 t = 680 t = 700 力=750 t = 800
t = 620 t = 640 t = 660 t = 680 t = 700 力=750 t = 800
0100 жО 100 жО 100/0100/0100 жО 100 ж 0100 7
0100 жО 100 жО 100/0100/0100 жО 100 ж 0100 7
О 100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 v
О 100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 ж 0100 v
pl/mVr ■^■^H
Рис. VI. Результаты моделирования параметрического возбуждения плазмы, с плотностью порядка четверти критической, полем сильной поперечной волны накачки вида Ех(х, у, t) = Ео cos(3o力—куу) в двумерной периодической области Lx х Ly = (200 х 200)Лг> Параметры вариантов: 3813P = 2,027; eEo/(mVr^o) = 1. Пространственное распределение среднего импульса электронов рж/(mVy) (вверху) и электронной плотности пе (внизу) при фиксированном ионном фоне. Из рисунков видно, что при достаточной интенсивности волны накачки развивается параметрическая неустойчивость. В рассматриваемой периодической области, дискретный спектр существенно влияет (наряду с распадными условиями сохранения импульса и энергии) на выбор растущих волн с максимальным инкрементом. Так, вместе с чисто диагональной модой (1, 1), имеющей максимальный инкремент, присутствует (с меньшей амплитудой) и мода (-1, 2). По материалам доклада Sigov, Yu.S., Levchenko, V.D., ICPIG XXIII, 17-22 July 1997, Toulouse, France
0,60,811,21,4
t - 200 t - 300 t - 400£ = 500 t - 540 t = 580 t 一 600
于=620 扌=640* = 660 f = 6RD 扌=70。 t = 72。 t 二 740
力=760 力=800 力=Q40/ = QXD 7 = 92。 力=96。 扌=1000
0100 с 0100 ж0 100 жО 100 ж 0100 жО 100 жО 100 ж
Рис. VII. Та же задача, что и на предыдущем рисунке. Вверху - временные зависимости энергетических величин: 7 и 3 — средняя электростатическая Wp(t) и кинетическая W^(t) энергия электронов для неподвижного ионного фона; 2 口 / — те же величины в варианте с учетом подвижности ионов (mi/me = 100), 5 — кинетическая W^(t) энергия ионов. Внизу — пространственное распределение ионной плотности п&х、у) в последовательные моменты времени. В варианте с учетом подвижности ионов линейная стадия неустойчивости начинается в тех же модах, что и в случае неподвижного ионного фона, но с меньшим инкрементом. На стадии сильной нелинейности наблюдается выраженное образование каверн: движение огибающей поверхности электронных волн замирает, число и форма квазиодномерных каверн соответствуют профилю пондеромоторной силы, глубина каверн растет. При этом, инкремент роста плотности электростатической энергии увеличивается — примерно на инкремент модуляционной неустойчивости. Поглощение вч-наполнения каверн сопровождается (с соответствующим инерционным запаздыванием ионов) генерацией косых квазиодномерных ионно-звуковых волн
После экзамена, 50-е гг., Физический Факультет МГУ, слева направо: Л.Д. Ланлау,Б. Мурашкин, Ю. Морозов, Ю. Сигов, Е. Ромишевский, Е. Велихов
«Мы одна семья вычислителей» — сказал J.M. Dawson (слева). Ю.С. Сигов (в центре),С.К. Birdsall (справа). Конец 70-х гг.
Сигов, Ю.С. (слева), Г. Хакен (справа). Таллин, 1982 г.
«Мы одна семья вычислителей» — сказал J.M. Dawson (слева). Ю.С. Сигов (в центре),С.К. Birdsall (справа). Конец 70-х гг.
Сигов, Ю.С. (слева), Г. Хакен (справа). Таллин, 1982 г.
ммНа работе, 1997На работе, 1997Случайность мира неслучайна. А почему? В том Божья тайна.Случайность мира неслучайна. А почему? В том Божья тайна.
м
м
На работе, 1997
На работе, 1997
Случайность мира неслучайна. А почему? В том Божья тайна.
Случайность мира неслучайна. А почему? В том Божья тайна.
Конференция в Хабокене (США), июль 1995 г.
После семинара сектора «Численное кинетическое моделирование плазмы и плазмоподобных сред», 1997 г. в центре слева Ю.С. Сигов, 1 ряд слева направо: В. Левченко, А. Иванов, П. Овченков, в центре справа А. Бондарева, верхний ряд Г. Змиевская, Л. Иньков и В. Сидоренко. («Сии птенцы гнезда
УДК 533*9
ББК 22333
С 34
上#三
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту^ 00-01-30005
Сигов Ю. С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. Избранные труды / С о ст. Г.И. Змиевская, В.Д. Левченко.——М.: ФИЗМАТЛИТ, 200L — 288 с. — ISBN 5^922L0193^5.
Монография посвящена памяти Юрия Сергеевича Сигова и содержит оригиальные труды этого выдающегося ученого. Рассматриваются принципиальные механизмы развития сильной и умеренной плазменной турбулентности, ставшие классическими в современной физике, впервые обнаружены© автором в численных экспериментах 70-90-х годов. Обсуждаются вопросы самоорганизации и диссипации в плазме: образование когерентных волновых пакетов в пучково-плазменных системах, генерация сверхтепловых электронов и ионного звука, возникающие на кинетической стадии ленгмюровского коллапса, и другие примеры, а также методические вопросы эффективности численных методов, созданных школой Сигова: от модификаций метода макрочастц до современной объектно-ориентированной модели плазмы. Раскрываются возможности и перспективы вычислительного эксперимента, как метода теоретической физики, используемого в фундаментальных и прикладных исследованиях плазмы и плазмоподобных сред.
В книгу включены фрагменты воспоминаний о Ю.С. Сигове друзей и коллег.
Для специалистов-физиков, исследующих сильно неравновесную плазму (термоядерную, космическую) и плазмоподобные среды методами прикладной математики.
Табл. 7. Ил. 167. Библиогр. 314 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2001
ISBN 5・92214Л93・5ISBN 5・92214Л93・5© Г.И. Змиевская, В.Д. Левченко, составители, 2001
ISBN 5・92214Л93・5
ISBN 5・92214Л93・5
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ СОСТАВИТЕЛЕЙ8
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ12
Глава 1. Корреляционная неустойчивость и частично-упорядочен
ная турбулентность плазмы ..........................13
Введение: плазма — турбулентная среда ..................13
Классификация турбулентных состояний в жидкости и плазме . . . . .14
Переходы типа порядок-беспорядок в плазме ...............16
Квазилинейная теория .............................19
Квазилинейная теория в задаче о релаксации размытого пучка в плазме 20
Ограничения КЛТ: история вопроса .....................22
Полуфеноменологическая теория умеренной турбулентности ......24
Численный эксперимент — проверка КЛТ ................. 27
Постановка численного эксперимента ....................27
Характеристика используемой модификации «облаков в ячейке» . . . .29
Образование скоррелированных волновых пакетов и специфика перехода в вырожденный (одномодовый) режим при Qtr 之？Z ...........29
Нелинейная модуляция монохроматической плазменной волны, возбуждаемой размытым электронным пучком .................33
Бесстолкновительная релаксация размытого электроннного пучка в усло
виях непрерывной инжекции .........................36
Численное моделирование двумерной релаксации размытого электронного пучка, инжектируемого в плазму ....................40
Когерентные эффекты в открытой системе плазма ——слабый размытый
пучок ....................................... 44
Открытые системы. Проблема SIEB ..................... 44
Основные выводы КЛТ в задаче SIEB ................... 46
Переход в режим умеренной турбулентности ................48
Постановка численных экспериментов для задачи SIEB .........52
Полное кинетическое моделирование задачи SIEB .............54
Подкритический случай ............................ 61
Проблема SIEB с подвижными ионами ................... 66
Список литературы ................................. 73
Глава 2. Сильная ленгмюровская турбулентность ...........77
Сильная турбулентность плазмы .......................77
Ленгмюровская турбулентность и кинетические уравнения Власова—Пуао сона78
О роли вычислительного эксперимента в теории сильной турбулентности 79
Одномерные численные эксперименты по физике сильной ленгмюровской турбулентности ..............................80
Усредненное квазигидродинамическое описание коллапса ленгмюровских колебаний ....................................81
Эволюция монохроматического возмущения в виде стоячей ленгмюровской волны большой амплитуды .......................84
Модуляционная неустойчивость и квазиколлапс ленгмюровских волн .91
Общая картина квазиколлапса ........................ 92
Формирование высокоэнергичных электронных «хвостов» (теория и чис~
ленный эксперимент) ..............................94
Модель системы с параметрическим возбуждением плазмы и выбыванием «быстрых» электронов ........................... 100
Ионно-звуковая турбулентность и конверсия плазмонов ......... 104
Параметрическая неустойчивость плазмы в поперечном магнитном поле 107
Диамагнетизм циклотронных волн в плазме ................ 109
Основные механизмы СЛТ, обнаруженные в одномерных численных экс
периментах ................................... 109
Одномерный численный эксперимент по аномальному сопротивлению плаз™ мы ........................................ 110
Численная модель и ее параметры ...................... 111
Численные исследования ........................... 112
Многомерные кинетические расчеты по физике ленгмюровской турбулентности .................................... 116
Объект и цели численного эксперимента .................. 117
Численное моделирование двумерной ленгмюровской турбулентности . 119
Динамика процесса самофокусировки ленгмюровских колебаний и кине
тические эффекты ............................... 122
Эффективная частота столкновений. Турбулентные спектры и функции распределения частиц ............................. 127
Двумерные кавитоны в поле волны накачки ................ 136
Вынужденная модуляционная неустойчивость ............... 136
Анизотропия вынужденной модуляционной неустойчивости ....... 139
Заключение ................................... 143
Список литературы ................................. 144 Глава 3. Методика численного эксперимента: метод макрочастиц 148
Идеи, принципы и обоснование метода макрочастиц ........... 149
Дискретная модель плазмы .......................... 156
Классификация основных дискретных моделей .............. 157
Локальные законы сохранения в моделях и уравнения движения макрочастиц165
Вычисление сил и потенциалов. Сеточные эффекты ........... 168
Примеры решения физических задач методом частиц (6。—70-е годы) . . 172
Кинетические модели сверхзвукового обтекания заряженных тел разре
женной плазмой ................................ 173
Трехмерная кинетическая модель плазмы в задаче об эволюции ленгмюровской волны большой амплитуды ..................... 182
Пример численной модели плазмоподобных сред ............. 186
Численное моделирование открытых плазменных систем методом частиц в ячейках: (80-е гг.) ............................... 192
Постановка задачи, метод решения и реализация модели ......... 194
Явление коллапса электрического поля в сильных двойных слоях . . . 200
Численное моделирование методом частиц открытых систем сложной
геометрии .................................... 208
Список литературы ................................. 214 Глава 4. Некоторые приложения обьектно ориентированного моде
лирования плазмы ................................ 220
Объектно-ориентированная модель плазмы ................. 222
Классификация и декомпозиция ....................... 223
Схема расщепления .............................. 226
Модульность и универсальность ....................... 226
Основные классы и объекты модели ..................... 227
Основные методы модели ........................... 232
Релятивистские электромагнитные коды .................. 234
Коды SUR/SS и COMPASS235
Задача о возбуждении плазменной волны биениями электромагнитных волн ....................................... 235
Поглощение лазерного излучения высокой интенсивности плотной плазмой238
Кинетическое моделирование динамических процессов в пылевой плазме 240
Характерные параметры пылевой плазмы ................. 241
Механизмы взаимодействия пылинок в плазме .............. 242
Кинетическая модель пылевой плазмы ................... 243
Реализация модели и первые результаты .................. 244
Список литературы ................................. 246
Приложение. О Юрии Сергеевиче Сигове ............... 250
Г.И. Змиевская Мастер и слуга науки ..................... 250
А.С. Бакай Впереди — жизнь... ......................... 273
Р.П" Федоренко Он был очень увлечен своей работой ............. 277
Ю.Л. Климонтович Уход талантливого человека изменяет жизнь . . . . . 278
С. Рябенький Он был душевно щедр ..................... 279
Савченко Не вырвать из памяти ...................... 280
Дж. Майно Мы потеряли большого ученого и большого человека . . . . . 280
Об авторах приложения .............................. 281
ТВОРЧЕСКИЙ ВКЛАД282
ПОСЛЕСЛОВИЕ .................................... 285
БЛАГОДАРНОСТИ286
Монография Юрия Сергеевича Сигова (1934—1999) посвящена дискретному моделированию нелинейных коллективных процессов в плазме.①ундаментальшле за™ дачи нелинейной физики плазмы, которые решал Ю.С. Сигов, были тесно связаны с развитием вычислительного эксперимента в физике и совершенствованием чис™ ленных методов. Работы, выполненные Ю.С. Сиговым в течение почти 40-летнего периода, внесли существенный вклад в вычислительную и теоретическую физику плазмы.
В книге представлены современные вычислительные эксперименты и некоторые кинетические модели сильно неравновесной плазмы, разработанные Юрием Сергее™ вичем в последние годы жизни. Составители объединили их с материалами, вотед- шими в докторскую диссертацию Ю.С. Сигова, в пленарные доклады, представ™ лившиеся им на крупнейших конференциях по физике плазмы, во многие статьи Ю.С. Сигова, опубликованные в разные годы, а также результаты, включенные в изданный в 80-х годах курс лекций, который он читал студентам МФТИ.
Наибольшее внимание в работах Ю.С. Сигова уделено исследованию сильной и умеренной турбулентности плазмы (гл. 1 и 2). В гл. 3 приведены вопросы обоснова™ ния, использования и интерпретации результатов численного метода макрочастиц в плазме, в том числе и для моделей открытых физических систем, включены при™ меры использования эффективных методик, созданных автором в 60х ——80х годах. Современный уровень дискретного моделирования плазмы в рамках объектно™ори™ ентированного подхода отражен в гл. 4, в которой намечены пути к созданию пол™ номасштабных гибридных кинетических кодов для моделирования плазмы и плазмоподобных сред.
Завершают книгу краткие воспоминания о Юрии Сергеевиче.
Исследование умеренной турбулентности в плазме (гл. 1) проводится на примере бесстолкновительной релаксации плазмы в открытых сильно неравновесных пучко™ во™плазменных системах. Кинетическое рассмотрение поведения плазмы позволило говорить о смене диффузионного характера переноса частиц плазмы на конвектив™ ный, т. е. в численном эксперименте был обнаружен режим умеренной турбулентно™ сти (этот термин был введен Б.Б. Кадомцевым в 1971 году). Рассмотрена классиче™ ская задача о релаксации размытого электронного пучка, непрерывно инжектиру™ емого в плазменное полупространство. Подавляющее число реальных плазменных систем с заданной инжекцией частиц, фигурирующих как в астрофизических зада™ чах, так и в реальных лабораторных установках, фактически являются открытыми системами подобного типа, и к ним полученные результаты имеют прямое отноше™ ние.
Численные эксперименты, описанные в гл. 1, позволили сделать выводы об огра™ ниченности применения квазилинейной теории (КЛТ). В сильно неравновесных средах возникают пространственно-временные диссипативные структуры в виде коге™ рентных волновых пакетов. Их формирование радикально меняет известную из КЛТ
диффузионную картину и механизм релаксации пучка в плазме. Численный эксперимент показывает, что неустойчивость квазилинейной релаксации по отношению к усилению корреляций волна^частица приводит к образованию скоррелированных волновых пакетов. Введен критерий их образования, детально описана динамика этих пакетов.
Новые численные методы и технологии программирования позволили рассмотреть эффекты, связанные с подвижностью ионов (в подавляющем числе численных экспериментов полагаемых неподвижными). Численные эксперименты позволили одновременно исследовать проявления пучковой и модуляционной неустойчивостей в открытых плазменных системах с образованием каверн ионной плотности и их дальнейшим форсированным коллапсом с генерацией солитонов или ионного звука. Эти результаты так же, как и результаты, полученные для сверхслабых пучков с параметрами, близкими к натурным и лабораторным экспериментам, иллюстрируются на цветной вкладке.
Этот важнейший для актуальных практических приложений случай, не менее интересен и для нелинейной теории плазмы. Обнаружен основной механизм насы™ щения неустойчивости очень слабого размытого пучка ——захват электронов фоновой плазмы (в том числе баллистический). Большинство результатов, суммированных в гл. 1, может служить основой для постановки целенаправленных лабораторных экспериментов. Следует добавить, что в 1977 году уже в первых численных экспериментах, использовавших метод макрочастиц и одномерную модель плазмы, были получены результаты, как теперь стало ясно, сильно опережавшие свое время: при достаточно больших амплитудах шумов в плазме было обнаружено формирование скоррелированных волновых пакетов.
Глава 2 посвящена математическому моделированию кинетической стадии силь™ ной ленгмюровской турбулентности. Прикладным аспектом этих работ явилось от™ крытие в численных экспериментах механизма аномального поглощения лазерно™ го излучения в плазменной короне и генерации быстрых электронов. В 70-х годах Ю.С. Сигов обнаружил высокочастотные солитоны, возникающие при параметриче™ ском воздействии излучения на плазму. Стала возможна их интерпретация как след— ствие модуляционной неустойчивости в плазме. Расчеты, выполненные Ю.С. Сиго вым, позволили определить механизм аномального (бесстолкновительного) погло™ щения высокочастотной энергии на основе концепции ленгмюровского коллапса, в котором была зафиксирована и исследована коротковолновая перекачка плазмонов. Численные эксперименты показали превалирующую роль затухания Ландау бес™ столкновительной диссипации на нелинейной стадии модуляционной неустойчиво™ сти.
Исследованы процессы генерации и динамики быстрых электронов («хвостов» функции распределения) в турбулентных режимах, обусловленных модуляционной неустойчивостью. Установлен степенной характер спектров колебаний в пространстве волновых векторов и экспоненциальная (в пространстве скоростей) форма «хвостов» электронной функции распределения, построена полуфеноменологическая теория связи эволюции спектров турбулентных пульсаций и формы «хвостов».
Замечательно то, что в численном эксперименте был обнаружен и эффект генерации коротковолнового ионного звука на кинетической стадии коллапса в неизотермической плазме, открывающего возможность дополнительного канала бесстолкновительной диссипации волновой энергии в режиме сильной турбулентности — конверсии плазмонов на коротковолновых флуктуациях ионной плотности. Именно кинетический уровень исследований позволил изучить относительную роль коллапса и конверсии плазмонов в режиме их конкуренции, исследовать влияние «горячих»
электронов на характер ленгмюровской турбулентности.
Составители восстановили материалы по исследованиям квазиколлапса в дву™ мерной геометрии, что позволило проиллюстрировать специфику неустойчивости плоских ленгмюровских солитонов при различном соотношении ионной и электрон™ ной температур. Современные возможности численных исследований сильной турбулентности плазмы — моделирование двухплазмонного распада внешней волны в плазме отражены в гл. 4 как пример цветовой визуализации кинетических расчетов.
Методическим основам дискретного моделирования плазмы методом макрочастиц посвящена гл. 3, где рассматриваются вопросы обоснования численных методов и первые многомерные модели плазмы и плазмоподобных сред. Примеры, содержа™ щиеся в этой главе, относятся к разным десятилетиям, но именно они создали пред™ посылки для современных исследований нелинейных процессов самоорганизации в плазме.
В середине 70-х годов Сиговым были предложены классификация и метод анали™ за дискретных моделей разреженной плазмы (введен формфактор крупных частиц), применение которых стало основой для построения эффективных алгоритмов. Этот результат вошел во многие монографии и учебники. Такой формализм позволяет, в частности, конструировать новые модели с заданными вычислительными свойства™ ми. В течение 1977—1978 гг. были разработаны многомерные электростатические коды 2D3V— и 3D3V— размерности, позволяющие решать нестационарные задачи, ана™ лизировать самосогласованное поведение нерелятивистской плазмы для широкого набора граничных и начальных условий в присутствии внешних электромагнитных полей. Затем в 1979 году появилась 1D3V— модель магнитоактивной плазмы. В результате к середине 8。一х годов школой Сигова был создан универсальный эффективный кинетический код на основе метода макрочастиц с ориентацией на задачи пучково-плазменных систем, микроэлектроники и физики ускорителей.
Предложенная более двадцати лет тому назад методика моделирования «открытых» плазменных систем позволила зафиксировать в численном эксперименте «сильные» электростатические двойные слои, как следствие развития в сильноточ™ ной плазме бунемановской неустойчивости. Эти результаты заложили основы кинетических численных моделей в плазменной электронике.
Перспективам современного вычислительного эксперимента посвящена гл. 4, где содержится описание объектно-ориентированного подхода к моделированию нелинейных плазменных систем. Модернизация программного обеспечения кинетиче™ ских расчетов на основе языка Cdh привела к резкому повышению эффективности кинетических кодов. Примеры реализации электромагнитных кодов, приведенные в книге, относятся к таким актуальным проблемам нелинейной физики плазмы и плазмоподобных сред, как численное исследование одного из новых методов уско рения в плазме и создание кинетического кода пылевой плазмы.
В гл. 3 также содержатся прикладные задачи дискретного моделирования и ки™ нетические модели так называемых плазмоподобных (гравитирующих, твердотельных) сред. На преемственность вычислительных моделей плазмы и плазмоподобных сред одним из первых обратил внимание Ю.С. Сигов. К таким задачам относятся расчеты гравитационной неустойчивости на основе уравнений Власова—Пуассона*
Первые кинетические модели обтекания заряженных тел плазмой и расчеты, про™ веденные в 6。一х годах, предсказали возникновение стоячей ионно™звуковой волны в плазме, в следе за движущимся со сверхзвуковой скоростью заряженным телом, впоследствии было подтверждено измерениями в космосе. Экспериментальное под™ тверждение получили и коллапсы электростатических полей в сильноточной плазме (эта задача также описана в гл. 3). Стоит упомянуть о подтверждении кинетиче™
скими расчетами теории «блинов» Зельдовича, возникающих согласно космологическим моделям расширяющейся Вселенной. Соответствующие результаты вошли в 1980 году в докторскую диссертацию Юрия Сергеевича. Здесь двумерные кинетические коды, разработанные им для исследования термоядерной плазмы, были модифицированы на случай систем с гравитационными полями. Это направление успешно развивается тогдашними соавторами Ю.С. Сигов а и в настоящее время.
Строгие обоснования численных методик, постоянное стремление постичь самые трудные задачи, возникающие в нелинейной физике, объем вычислений и широта интересов Ю.С. Сигов а создали «вычислительный» мост между теорией и реальным экспериментом в плазме, между первыми численными экспериментами и современными перспективными кодами, между прошлым и будущим физики плазмы.
Юрий Сергеевич всегда был окружен учениками и коллегами, творческое сотрудничество с которыми позволило вычислительному эксперименту в физике плазмы продвигаться по пути познания закономерностей поведения сильно неравновесной плазмы. Научные труды, собранные в этой книге, безусловно будут способствовать поддержанию и развитию исследований в этой актуальной области науки.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
в,Ше -
М, eZa^mi - ^ре 7 ^pi — '几 ё,8 —
заряд и масса электрона
заряд и масса ионов определенного сорта
электронная и ионная ленгмюровские плазменные частоты
плотность электронов и ионов
KeH-
卜小吃-
曝-
% rap-
электронная и ионная температуры
кинетическая энергия электронов и ионов
электронная и ионная тепловые скорости
фазовая скорость волны
групповая скорость волны
амплитуда изменения скорости частиц, захваченных волновым пакетом
(Ю-
应exp-
l^pump-
)СОГ-
7клт-
)索-
7мн-
)КОНВ—
средняя скорость электронов
частота колебаний захваченных волной частиц
протяженность когерентных волновых пакетов
напряженность внешнего электрического поля
плотность энергии волны накачки
скорость усиления корреляций
квазилинейный инкремент колебаний
инкремент роста фазы волн
инкремент модуляционной неустойчивости
эффективное затухание за счет конверсии
затухание ионного звука
скорость ионного звука
плотность звуковой энергии
эффективная частота столкновекний
方kf,石hf-
высокочастотная (вч) сила, вч поле
функция распределения частиц в фазовом пространстве
координаты в конфигурационном пространстве
Ve,3 Ue,2-
P一
— скорости частиц (электронов, ионов)
-плотность заряда
j _-
Xk.Kk-
вектор плотности тока
длина волны, волновой вектор, характерное число волнового пакета
Ал, А-
кР居方)-
- длина Дебая и плазменный параметр
—корреляционная функция