ПРЕДИСЛОВИЕ

В течение последнего десятилетия процесс внедрения компьютерной томографии в физический, эксперимент протекал настолько стремительно, что «захватил» один за другим различные разделы физики. Сегодня уже немало значительных результатов, полученных с помощью томографии в молекулярной физике, физике твердого тела,; геофизике, атмосферной оптике, гидродинамике, квантовой электронике, физике лабораторной и космической плазмы, физике ускорителей частиц и т. п. При этом томографический метод привлекает не только экспериментаторов. Лежащее в основе метода преобразование Радона играет важную роль в современной квантовой теории поля и физике элементарных частиц. Например, известная схема трансформации Пенроуза — Уорда в теории твисторов является обобщенной версией преобразования Радона. С его помощью удается свести исследование многих важных классов уравнений теории поля (в частности, уравнений Янга — Миллса) к решению изученных задач комплексного анализа в проективных пространствах.

Однако первостепенную роль компьютерная томография играет все же как метод дистанционного неинвазивного контроля внутренней структуры объектов, т. е. как метод интроскопии. Под интроскопией следует понимать совокупность'методов реконструкции внутренних характеристик объектов, как правило непрозрачных для видимого света, путем либо зондирования их проникающим излучением, либо регистрации физических процессов, способных нести к наблюдателю информацию из глубин объекта. При этом упомянутые характеристики по своему физическому содержанию чрезвычайно разнообразны: могут восстанавливаться плотности или скорости частиц, температурные или электромагнитные поля, всевозможные функции распределения, параметры релаксации и т. д.

Цель авторов состояла в изложении основных принципов, а также последних достижений реконструктивной томографии с ориентацией на аэрог и газодинамический, а также плазменный эксперимент. Акцент, сделанный именно на эти разделы' физики и прикладной механики, объясняется как собственными научными интересами авторов, так и настоятельными возросшими запросами специалистом. Это отнюдь нб означает, что для представителей других физических

направлений (и даже для медиков и биологов) книга будет лишена интереса. Излагаемые в ней математический аппарат линейной двухмерной, трехмерной и n-мерной томографии, а также техника абелевой инверсии, планиграфии томосинтеза имеют весьма широкую область применения. Это же в целом относится и к приводимому в гл. 6 обзору численных методов и алгоритмов.

Работа над рукописью показала, что ряд новых быстро развивающихся разделов современной реконструктивной томографии, к сожалению, сколько-нибудь обстоятельно рассмотреть не удастся. Основная причина в том, что эти направления еще нельзя считать достаточно устоявшимися. Даже по задачам линейной трехмерной томографии пришлось ограничиться весьма сжатым и беглым обзором результатов последнего времени (гл. 7). Что касается актуальных проблем дифракционной томографии вместе с - нелинейными постановками задач в эйкональном приближении, то последовательное изложение этого большого и важного раздела современной прикладной интегральной геометрии авторы были вынуждены отложить до «лучших времен».1 За пределами книги остались также интересные проблемы связи томографических и голографических, способов отображения информации, ЯМР-интроскопия, томография анизотропных сред, мультиплексный синтез.'

Монография рассчитана прежде всего на научных работников и инженеров, осваивающих или уже применяющих методы компьютерной томографии, а также на специалистов смежных областей^ желающих ознакомиться с возможностями этих методов. В изложении авторы стремились придерживаться так называемого физического уровня строгости; Книга доступна аспирантам и студентам старших курсов технических вузов и физических факультетов университетов.'

. Авторы пользуются случаем поблагодарить А. Е. Булышева, Ю. Е. Воскобойникова, А. И. Седельникова и В. П. Федосова за полезные обсуждения ряда вопросов, а также эа любезное предоставление некоторых новых расчетных материалов. Хочется отметить существенную помощь А. В. Булатовой и Л. Г. Великановой на стадии оформления рукописи.

ВВЕДЕНИЕ

Анализируя и оценивая многогранные возможности современных диагностических методов, используемых в аэро- и газодинамике, в физике горения и взрыва, а также в физике лабораторной и космической плазмы, исследователь без труда обнаруживает в них много общих черт. Прежде всего, для упомянутых областей физики (как, впрочем, и для ряда других) неотъемлемым и достаточно жестким требованием является адекватное'рассматриваемой задаче пространственно-временное разрешение диагностического метода. Например, в задачах лазерного термоядерного синтеза пространственные параметры обычно должны измеряться с точностью до микронов, а временные характеристики — с точностью до десятков или даже единиц пикосекунд. Разумеется, имея в виду сразу и газодинамику, и физику плазмы, вряд ли возможно указать сколько-нибудь общие количественные критерии для разрешающей способности применяемых методов измерений. Однако общие тенденции развития последних выявить не столь уж трудно.

Если сосредоточить внимание в основном на способах, позволяющих обеспечить малоинерционное измерение концентраций компонентов, Температур, скоростей, давлений, радиационных потерь, напряженностей электрического и магнитного полей и тому подобных параметров потока газа или плазмы, то можно легко убедиться в том, что прогресс в этом направлении до последнего времени был связан почти исключительно с чисто физическими, аппаратурными разработками. Успех определяли все более совершенные установки для скоростной кадровой съемки, новые системы фотохронографов, импульсных лазеров, голографических и спекл-интерферометров, многокаскадных электронно-оптических преобразователей и т. п. [1, 2]. Лишь в последнее время наметились пути повышения скорости развертки процессов во времени за счет новых хронотомографиче- ских принципов с применением компьютеров [3J. '

Несколько иная ситуация имеет место при решении проблемы пространственного разрешения. Конечно, и в данном случае трудно переоценить роль физического прибора, с помощью которого осуществляется измерение. Однако такое измерение, как правило, кос-

венное: зарегистрированный сигнал и находимое локальное значение параметра часто разделены-внушительной-дистанцией, для преодоления которой приходится привлекать довольно «тонкие», нетривиальные методы информатики и современную компьютерную технику. ■

Положение, когда характеристики объекта можно считать стационарными либо медленно меняющимися по времени, более простое. Богат и разнообразен арсенал методов, которые являются так сказать изначально локальными, когда фиксируется и затем обрабатывается сигнал, сразу же отнесенный к выделенной малой области пространства. Соответствующие приборы: миниатюрные термоанемометры и зонды Ленгмюра, лазер-доплеровские измерители скорости, фо- тон-корреляционные датчики, инжекционные анализаторы, спектрометры, регистрирующие "резонансную флуоресценцию, томсоновское либо комптоновское рассеяние и др.— широко распространены в диагностической практике. Но было бы ошибкой считать, что окончательное восстановление из измеренного сигнала искомых физических величин является рутинной в математическом плане задачей. Иногда расчетная часть действительно может быть почти элементарной, но это скорее исключение, чем правило.

Возьмрм в качестве иллюстрации, казалось бы, вполне традиционную, хорошо изученную методику зондовой диагностики плазмы, когда функция распределения электронов по энергиям заранее предполагается максвелловой, а по вольт-амперной характеристике отыскиваются электронная плотность и температура [4]. Рациональный подход в данном случае состоит в сочетании обычного метода максимума правдоподобия с информационным. (фишеровским) анализом задачи в многопараметрической постановке-[5, 6]. Тогда процедура извлечения ‘параметров фактически сводится к многократному решению прямой задачи — расчету вольт-амперных характеристик. Но существующие алгоритмы [4], основанные на так называемом методе стрельб при решении краевой задачи для уравнения Пуассона, малоэффективны. Метод стрельб, сводящий краевую задачу к серии задач Коши"[71, еще приемлем вмодели «холодных» ионов Аллена — Бойда — Рейнольдса [4], однако даже небольшое усложнение плазменной модели меняет ситуацию и делает более предпочтительными современные численные методы прямого решения краевой задачи (например, с применением аппроксимаций Кайла). Заметим, что в [6] для решения упомянутой задачи был развит один из вариантов метода установления [7], реализуемый на ЭВМ.

Если ставится более топкая задача восстановления по зондовым измерениям локальной неравновесной функции распределения электронов по энергиям [8-, 9], то «удельный вес» расчетного этапа диагностического эксперимента значительно возрастает. При этом приходится использовать современные обеспечивающие устойчивость решения регуляризующие алгоритмы, которым в данной книге уделено много внимания. Развитие новых теоретических исследований, продвигающих зондовую методику от покоящейся плазмы к движущейся, от разреженной ко все более плотной, от ламинарной к турбулент-

ной, а также к условиям, когда необходим учет магнитных полей, химических реакций, пристенных эффектов и т. п., еще больше повышает роль численных методов (в более общем плане — информатики) в диагностическом эксперименте.

К аналогичным заключениям нетрудно прийти, рассматривая, например, лазер-доплеровскую анемометрию [2j 10], технику фотосмешения [11] и многоэкспозиционных изображений [12], спектроскопию томсоновского рассеяния [4, 13], а также ряд других бесконтактных методов локальной диагностики газа, жидкости и плазмы. Усложнив соответствующую измерительную аппаратуру, иногда можно одновременно регистрировать сигналы для нескольких выделенных элементов объема изучаемого потока газа или плазмы. Например, в работе [14] исследовались особенности процесса ламинарно-турбулентного перехода в трубе прямоугольного сечения, причем лазерным анемометром синхронно измерялась скорость в четырех пространственно разнесенных точках потока, расположенных по нормали к широкой стенке трубы. Тем не менее этот путь развития локальной диагностики сопряжен с очевидными техническими трудностями и ограничениями. Они усугубляются также достаточно жесткими требованиями к светосиле регистрирующих оптических устройств. " ■

Издавна внимание экспериментаторов привлекают методы, позволяющие извлекать полезную информацию из интегрального сигнала, вклад в который вносят различные элементы объема газа или плазмы. Такие элементы могут быть расположены, например, вдоль некоторой линии наблюдения (луча зрения) либо большого набора соответствующих линий, в результате чего сигнал снимается с целого участка поверхности, на которую проецируется исследуемый трехмерный объект. Легко понять, что при этом возникает типичная задача интегральной геометрии. Напомним в нескольких словах ее постановку, достаточную для наших последующих целей [15, 16].

Пусть g(x) — функция в n-мерном пространстве (х е 7?”) и М^уА — семейство Zr-мерных многообразий в Rh, где к < п. Если функцию /(у) определить интегралом ■

/(у) = f W (х, y)g(x)da, (B.l)

где W(x, у) — некоторая весовая функция в (п + й)-мерном пространстве, a de — элемент меры на М(уА, то задача интегральной геометрии состоит в исследовании взаимосвязей свойств функций g и /, весов W и многообразий М. - . '

Если конкретизировать постановку задачи, имея в виду указанную выше экспериментальную ситуацию, когда из интегрального соотношения вида (В.1) подлежат определению локальные характеристики объекта, описываемые функцией g(xA, то мы придем к задаче реконструктивной томографии (РТА. _ _

В РТ считаются известными (с некоторой погрешностью) величины / и W, а определяемой, как уже отмечалось, является функция g. В линейной томографии многообразие М считается также задан-

ным; в ряде нелинейных постановок М зависит от функции g и, следовательно, тоже должно быть найдено. Кроме того, наиболее изучен й распространен на практике случай, когда М — гиперплоскости размерности (и — 1), a W = 1. ■

Неоспоримое преимущество томографической диагностики газодинамических и плазменных объектов перед чисто локальной состоит в том, что, коль скоро необходимый комплекс измерительных операций выполнен, у исследователя появляется возможность для заданного малого интервала времени регистрации данных получить целое двух- либо трехмерное поле искомых характеристик. Такую возможность, в частности, трудно переоценить при изучении пульсаций в турбулентных течениях. Вполне очевидны также достоинства томографического метода, обусловленные его более высокой светосилой. Однако переход от измеренного набора интегральных величин к конечным локальным параметрам сопряжен с достаточно сложной математической обработкой данных, выполняемой чаще всего с помощью ЭВМ, а в некоторых случаях — с привлечением оптических процессоров. ■ ' ’

Как известно, термин «томография» происходит от греческого корня tomos — слой, сечение, срез. На сегодняшнем этапе томография в различных областях науки и техники в основном связана с послойным восстановлением изображений неоднородного объекта. Необходимо подчеркнуть, что многомерный объект, вообще говоря, не обязательно исследовать послойно. Например, объемная структура тела может быть восстановлена и без условного его разделения на совокупность срезов (обычно плоскопараллельных); кроме того, растет число томографических задач, размерность которых выше трех.

. Современную РТ можно без преувеличения считать всеволновой. В зависимости от характера конкретной задачи восстановление структуры объекта может основываться на регистрации пучков электронов, ионов (в том числе протонов и альфа-частиц), нейтронов и, конечно, фотонов во всем диапазоне электромагнитного спектра. Широким фронтом развивается акустическая РТ; впечатляющие результаты, относящиеся к трехмерному картированию мантии Земли, получены методами сейсмической томографии [17]; обретают вполне реальные контуры еще более экзотические проекты нейтринной геотомографии [18, 19]. '

В задачах РТ исследуемый объект просвечивается некоторым внешним источником или сам является излучателем, порождающим регистрируемый сигнал. Просвечивающие источники могут быть когерентными, что в ряде задач чрезвычайно существенно, либо некогерентными. Детектироваться могут как широкие, так и узкие (почти монохроматические) участки спектров испускания, поглощения, рассеяния. Пучок, взаимодействующий с объектом, по своей пространственной структуре может быть различным: широким и квазиодиородным, ленточным (например, «световой нож», гауссов пучок, сильно коллимированный, игольчатый «луч» и т. п.) Внешний источник может работать в импульсном режиме или излучать непрерывно; допустимы разнообразные виды модуляции излучения. Воз-

можны измерения ослабления интенсивности пучка, сигналов флуоресценции, фазовых искажений фронта волны (шлирен-методы, интерферометрия), углов поворота плоскости поляризации (эллипсометрия), сигналов свободной индукции (ЯМР-интроскопия), скорости распространения акустической волны и т. п.

На первый взгляд может показаться, что при таком разнообразии средств, и методов регистрации исходных томографических данных не должно существовать сколько-нибудь универсальной процедуры перехода от измеряемых величин к элементам внутренней структуры объекта. Однако, как будет видно из дальнейшего, этот чрезвычайно многогранный комплекс реконструктивных задач имеет единую, полне определенную математическую основу. -

Несмотря на обилие и разнообразие сегодняшних приложений РТ, по-видимому, бесспорным является лидирующее положение медико-биологического направления развития томографических исследований. Особенно стремительным был рост популярности рентгенодиагностической РТ: первая вполне качественная томограмма головного мозга человека получена в 1972 г. [21], а в 1979 г. серийно выпускаемые многими западными фирмами томографические установки несмотря на их внушительную стоимость работали уже более чем в 2000 клиниках мира. В этом же году английскому инженеру-исследователю Хаунсфилду и американскому математику Кормаку за выдающийся вклад в развитие рентгеновской РТ была присуждена Нобелевская премия по медицине. Еще через три года, в 1982 г., Нобелевской премии по химии был удостоен известный английский микробиолог А. Клуг, который внес значительный вклад в развитие экспериментальных и расчетных методов трехмерной РТ, что позволило ему создать новый прецизионный метод выявления деталей строения транспортных РНК, нуклеосом, входящих в них комплексов гистонов, и т. п. (нобелевские лекции Хаунсфилда, Кормака и Клуга опубликованы в [20—22]). '

Теоретические и экспериментальные проблемы рентгеновской РТ, ориентированной в основном на медицинские приложения, исследованы достаточно основательно. Они в известной мере могут служить сравнительным эталоном при оценке характеристик томографических методов, применяемых в других разделах науки и техники. При этом нужно ясно отдавать,себе отчет в том, что несмотря на общность многих алгоритмических и отчасти аппаратурных подходов каждый класс прикладных задач РТ обладает специфическими особенностями. Это, конечно, относится и к задачам РТ, возникающим в газовой динамике и физике плазмы, на которые ориентирована данная книга. В связи с этимполезпо с самого начала сопоставить некоторые типичные черты медицинской и плазменно-газодинамической РТ [23]. '

Основную роль в медицинской РТ играют способы регистрации ослабления проходящего через тело рентгеновского или ультразвукового излучения, а также сигналов свободной индукции для ЯМР-томографии. Реже используются эмиссионная техника, рефракционные, доплеровские и так называемые дифракционные методы

акустической РТ. Число ракурсов, под которыми рассматривается тело, как правило, велико (10а—10®); методы обработки изображения реализуются почти всегда с помощью достаточно мощной ЭВМ, в большинстве случаев — это спецпроцессор.

В томографических исследованиях по газовой динамике и физике плазмы на первый план выступают эмиссионные и абсорбционные методы в оптическом диапазоне спектра, методы рассеяния, голографическая интерферометрия, эллипсометрия, шлирен-методы. Число ракурсов обычно невелико: в некоторых случаях всего 3—4, редко — больше 20. Чаще всего обработка данных производится с привлечением компьютера (нередко — с небольшими ресурсами по быстродействию и памяти), но заметную роль играют также кодированные апертуры, оптические процессоры и прямые схемы матричного детектирования индуцированной флуоресценции из выделенного слоя газа (плазмы).

В медицинской РТ функция g(x) (см. уравнение (ВЛ)) обычно задана на плоскости (п — 2, к = 1), W = 1, многообразия М^)\ в подавляющем большинстве задач — прямые линии, идущие для измеряемой функции /(у) параллельно друг другу либо расходящимся, веерным пучком. Таким образом, вместо (ВЛ) можно записать

М?) = f £(r)S(P~ r-n)d2r, (В.2)

где п — орт, определяемый углом ср между базисной линией на плоскости и перпендикуляром, опущенным из начала координат на линию интегрирования L; длина соответствующего отрезка равна р (рис. В.1); г — двумерный вектор; 6 — символ дельта-функции Дирака; интегрирование ведется по всей плоскости (.г,, г,). Каких-либо априорных соображений относительно параметризации функции g(r) или свойств ее симметрии, используемых в расчете, чаще всего указать не удается. Отметим еще, что уравнение (В.2) можно представить в операторной форме: '

R-zg^') = /(р), р = рп, . (В.З)

где Н2 является двумерным-(2D) оператором Радона [24 j, а величины /(р) обычно называют проекциями функции g(r).

В диагностических задачах газовой динамики и физики плазмы встречается много случаев, когда все только что сказанное о медицинской РТ _ воспроизводится почти дословно. Однако \ здесь довольно часто приходится сталки- ■ /ваться с ситуацией, когда весовая функ

/ и / йх f ция W отлична от единицы, а также воз/ Ду> ( У " никает необходимость рассматривать трехоX.

X д(г) 1 ОА=р

уРис. ВЛ. К определению смысла переменных /в формуле (В .2).■

О

мерную (SD) задачу "

' Я3£(г) = ^g^^P — r-n)d3r = Др), (В.4).

(г и орт п — трехмерные векторы; р = рп). Важно также иметь в виду, что нередко исследователю, наоборот, удается избежать общей двумерной постановки томографической задачи или переходе} к случаю еще более высокой размерности. Действительно, при .описании свойств потоков жидкости и газа, а также плазменных объектов введение разного рода феноменологических «параметров неоднородности» или безразмерных критериальных величин, например характеризующих автомодельность задачи, является традиционным. Кроме того, определяющими могут стать априорные соображения о наличии замкнутых липни равных значений изучаемого параметра (изолиний), скажем, в виде концентрических окружностей. В последнем случае задача РТ, очевидно, вырождается в одномерную, в эксперименте требуется измерять лишь одну проекцию /(у) (считаем, что орт и на плоскости направлен вдоль оси у), и при W -- 1 получаем

Ag(r)=2\ (^-— y2)-1!2rg(r)dr = f(y). (В.5) , l»l . ’

Здесь г — скалярная радиальная переменная, Л — оператор Абеля [25]. . - ■ . .

В целях снижения доз облучения при медицинском рентгеновском томографическом обследовании создаются методы РТ для ограниченных участков тела пациента [26, 27]. Важную роль в эуом плане могут сыграть методы цифровой рентгенографии, использование которых расширит возможности обычной радиологической техники за счет увеличения динамического диапазона и гибкости дисплейного вывода в условиях прямой регистрации рентгеновского излучения соответствующими детекторами [28]. ,

В плазменных и газодинамических экспериментах проблема ограничения области томографпрования. стоит не менее остро, хотя и приобретает специфические черты. Один из наиболее сложных вопросов связан с просвечиванием объекта, содержащего внутри себя экранирующие" зоны. Экранировка может быть обязана наличию изучаемой модели, сопла, крупных частиц (аэродинамика), электродов, зондов, а также определенному расположению окоп установки (плазма) и т. п. Кормак и Дойл, пытаясь построить эффективный томографический алгоритм для такого рода ситуации, опирались на известную теорему о пустой подобласти (hole theorem), однако, ио-видимому, допустили ошибку в расчетах. Это впоследствии было отмечено самим Кормаком в его нобелевской лекции [21].

В медицинской рентгеновской РТ до сих пор слабо используются широкие возможности повышения информативности томограмм за счет сочетания техники многоракурсной съемки объекта с голографией-и спектроскопией. Можно указать лишь па отдельные предложения- [29, 30];i карающиеся синтеза композиционных голограмм по

набору промежуточных ракурсов с получением конечного оптического изображения внутренних органов, что позволяет снизить дозу облучения. Спектроскопия привлекается главным образом в плане коррекции полихроматических артефактов [31, 32] (это, вообще говоря, не относится к медицинской ЯМР томографии).

В газовой динамике, физике горения, физике плазмы ситуация иная. Здесь уже давно важная роль принадлежит схемам РТ, опирающимся на современные средства интерферометрии и голографии, фазовые решетки Веста, конические отражатели с углом обзора, близким к 2л, наведение светом анизотропии показателя поглощения (эффект Вейгерта), генерацию обращенных (сопряженных) волн, компенсирующих влияние оптической неоднородности среды, и др. [33, 34]. Как известно, по голограмме, в принципе, можно воспроизвести амплитуду, фазу, спектральный состав и поляризацию волнового поля. При этом сам объект может перемещаться со скоростью вплоть до релятивистской, а параметры поля — фиксироваться во времени.

Не меньшими потенциальными возможностями обладает спект- ротомография, основанная на кардинальном повышении информативности регистрируемых проекций (и их дискретных элементов, часто называемых луч-суммами) [35]. В частности, луч-сумма может выступать уже не просто числом, характеризующим трансмиссионное ослабление сильно коллимированного светового пучка, а сложной функцией (функционалом) частоты, поляризации, релаксационных характеристик и т. п. Благодаря этому открывается возможность реконструировать двух- и трехмерные поля разнообразных величин, описывающих свойства потоков газа, жидкости или плазмы. Примерами могут служить томохимия [36], спектротомография рассеяния [37, 38], плазменная эллипсометрия [39] и др.

Новым перспективным направлением газодинамической и плазменной РТ, делающим пока лишь самые первые шаги, следует считать так называемую инверсную томографию [40]. Задачей последней является мультиплексный синтез в реальном времени трехмерного изображения объекта по набору конечного числа плоскопараллельных «срезов».

Существует точка зрения (разделяемая, правда, не всеми специалистами по томографии), согласно которой в основу математического обеспечения медицинского томографа целесообразно заложить некоторую специальную форму принципа регуляризации [41]. Этой форме соответствует так называемый метод локальной регуляризации [42, 43], который позволяет осуществлять гибкую перестройку алгоритма реконструкции в соответствии с вариациями погрешностей измерений, конструктивными изменениями прибора и т. п. Как указывается в [41], за счет использования этого метода достижимое в отечественном томографе СРТ-1000 разрешение оказывается значительно более высоким, чем в аналогичных зарубежных томографах.

Что же касается применений РТ в задачах газовой динамики и Физики плазмы, то можно достаточно уверенно утверждать, что, но

крайней мере в настоящее время, какой-либо заведомо предпочтительной алгоритмической схемы не существует. Причинами этого являются чрезвычайно широкий спектр параметров исследуемых объектов при частом дефиците априорной информации об их структуре, конструктивное разнообразие сцособов томографирования, широкие вариации массива проекционных данных и погрешностей измерений. В связи со сказанным любой реальный пакет алгоритмов и программ, ориентированный на газодинамические и плазменные задачи РТ, должен содержать достаточно большой набор модулейt реализующих разнообразные алгоритмы.

Сопоставление и анализ характерных особенностей медикобиологической и плазменно-газодинамической РТ. можно было бы продолжать и далее. Однако уже и так ясно, что специфика томографических методов, используемых в механике жидкости, газа и плазмы, выражена достаточно отчетливо и определенно. Поэтому в данной книге теоретические и прикладные аспекты томографии будут рассматриваться с учетом соответствующих классов задач»

Глава 1

МЕТОДЫ ТОМОГРАФИРОВАНИЯ В ШИРОКИХ ПУЧКАХ ПРОСВЕЧИВАЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ

. Прежде чем перейти к- изложению наиболее распространенных на практике методов восстановления изображения по набору Проекций, каждая из которых, в свою очередь, является набором лучевых сумм (см. введение), полезно хотя бы кратко остановиться на возможных способах, томографирования с использованием широких неколлимированных пучков. Ряд таких способов известен уже более полувека. Они нашли интересные применения в основном в медицине и биологии, продолжают развиваться в настоящее время, все чаще проникая и в физические задачи. Для газовой динамики и физики низкотемпературной плазмы. ■ особенно важен метод частичной коллимации пучка, превращаемого, например, с помощью системы цилиндрических линз в «световой нож», который дает возможность получить естественный плоский срез исследуемого объекта.

. ПЛАНИГРАФИЯ '

" Приемы, позволяющие улучшить качество восстанавливаемого изображения в некотором не слишком толстом слое изучаемого объекта за счет расфокусировки деталей, не относящихся к данному слою, стали разрабатываться почти одновременно с 'развитием применений* рентгеновского просвечивания в медицине и технической, дефектоскопии. Еще в начале 20-х годов французский врач Бокаж запатентовал весьма простую идею повышения информативности рентгенограммы [1], позволившую вскоре итальянскому инженеру Валлебоне создать первую установку, под названием «томограф». Суть данного метода, часто называемого планиграфией (в медицинских работах иногда — биотомией),'непосредственно видна из рис. 1.1. "Если во время съемки синхронно перемещать в параллельных плоскостях любые два из трех участвующих в ней компонента — источник, объект, детектор,— оставляя неподвижным третий, то получится относительно.четкое изображение только одного слоя, а структурные элементы остальных слоев размажутся. Регулируя скорости перемещений либо сдвигая объект в направлении, перпендикулярном плоскостям перемещения, можно выделять различные слои и тем самым последовательно изучать строение трехмерного объекта.

Рис. 1.1. Схема продольной планиграфии с выделенной плоскостью F. 1 и 1' —положения источника, перемещающегося по закону Fg(t) в плоскости Р; 2 и 2' — положении кассеты с пленкой, синхронно смещающейся в плоскости Q; з — исследуемый объект. Детали объекта, соответствующие плоскости F', размыты.Рис. 1.1. Схема продольной планиграфии с выделенной плоскостью F. 1 и 1' —положения источника, перемещающегося по закону Fg(t) в плоскости Р; 2 и 2' — положении кассеты с пленкой, синхронно смещающейся в плоскости Q; з — исследуемый объект. Детали объекта, соответствующие плоскости F', размыты.Рис. 1.2. Схема поперечной планигра' фин с выделенным слоем.Рис. 1.2. Схема поперечной планигра' фин с выделенным слоем.1—неподвижный источник; 2 — ось вращения объекта; з — ось вращения кассеты; 4 — кассета с пленкой; 5 — выделенный слой»1—неподвижный источник; 2 — ось вращения объекта; з — ось вращения кассеты; 4 — кассета с пленкой; 5 — выделенный слой»Вскоре нашли • применение вместо прямолинейного другие, более сложные способы перемещения : круговой, эллиптический, спиральный, гипоциклическийи т. п. На рис. 1.2 изображены схема с синхронным круговым вращением объекта и кассеты с пленкой вокруг параллельных осей [2]. Конус лучей от неподвижного источ

Рис. 1.1. Схема продольной планиграфии с выделенной плоскостью F. 1 и 1' —положения источника, перемещающегося по закону Fg(t) в плоскости Р; 2 и 2' — положении кассеты с пленкой, синхронно смещающейся в плоскости Q; з — исследуемый объект. Детали объекта, соответствующие плоскости F', размыты.

Рис. 1.1. Схема продольной планиграфии с выделенной плоскостью F. 1 и 1' —положения источника, перемещающегося по закону Fg(t) в плоскости Р; 2 и 2' — положении кассеты с пленкой, синхронно смещающейся в плоскости Q; з — исследуемый объект. Детали объекта, соответствующие плоскости F', размыты.

Рис. 1.2. Схема поперечной планигра' фин с выделенным слоем.

Рис. 1.2. Схема поперечной планигра' фин с выделенным слоем.

1—неподвижный источник; 2 — ось вращения объекта; з — ось вращения кассеты; 4 — кассета с пленкой; 5 — выделенный слой»

1—неподвижный источник; 2 — ось вращения объекта; з — ось вращения кассеты; 4 — кассета с пленкой; 5 — выделенный слой»

ника падает на пленку наклонно, причем ось конуса проходит через оси вращения объекта и кассеты, определяя тем самым положение выделенного слоя. Последний, очевидно, будет тем тоньше, чем ближе к л/2 угол между осью конуса лучей и осью вращения кассеты. Отметим, что если схему, изображенную на рис. 1.1, можно назвать продольной, то томографическую систему, приведенную на рис. 1.2, есть все основания считать поперечной (трансаксиальной); между тем, физический принцип послойной регистрации структуры объекта в обоих случаях фактически один и тот же.

Эффективность планиграфии определяется рядом факторов, среди которых первостепенное значение имеет фактор контраста для деталей в выделенйой плоскости F (см. рис. 1.1). Он зависит от того, насколько хорошо расфокусированы изображения от других плоскостей, таких как F', информация о которых всегда в той или иной степени присутствует в плоскости детектора Q. ■

Математически соответствующую задачу легче всего сформули

ровать с помощью двумерного интеграла свертки как классическую редукционную задачу Рэлея [3]: рельеф изображения в плоскости Q определяется сверткой функции #(г), описывающей истинную структуру (например, в плоскости F'), и аппаратной функции А (г), обычно именуемой в теории передачи изображения функцией рассеяния точки: -

5^, У) = J Jg^'t У')А(х — ж'; у — y'^da/dy'. (1.1)

° о° о‘ — aprg (7)) I dt,‘ — aprg (7)) I dt,(1.2)(1.2a)(1.2)(1.2a)Ясно, что при идеализированном рассмотрении задачи аппаратная функция Л (г) для выделенной плоскости F должна редуцироваться к дельта-функции Дирака, а по мере отхода от F профиль Л (г) начнет быстро уширяться, причем характер деформации этого профиля должен зависеть от вида функции источника Ф(г8) и выбранной траектории перемещения излучателя rs(t). Хардинг с соавторами [41 провел приближенный анализ этой задачи с позиций современной теории оптимального управления. Укажем основной результат этой работы, выражаемый следующей формулой для функций рассеяния Л (г); .

° о

° о

‘ — aprg (7)) I dt,

‘ — aprg (7)) I dt,

(1.2)

(1.2a)

(1.2)

(1.2a)

Здесь в соответствии с обозначениями рис. 1Л:

a- Si -b S« - С•

S1 + S2’ S1 + S2’ ° 4л (У, + S2)2’а = S^S^; р = а — (Ь/а);

t0 — время экспозиции; координата г относится, к рассматриваемой плоскости (например, F'), пересекающей объект параллельно Р ^Q.

. Если для простоты принять, что Ф(г8) = Ф06(г8), то,

" ‘о

[(1.3)[(1.3)СФ с

[(1.3)

[(1.3)

(г) = -27 бХ~iaM(01 dt.

По мере приближения к выделенной плоскости F Р -> 0 и функция рассеяния точки вырождается .в стационарную 6-функцию Дирака. Для расфокусированных плоскостей Л(г) копирует закон перемещения источника г $(7) в некотором масштабе, определяемом геометрией установки. ■

• В качестве простого примера можно рассмотреть циклическое сканирование источника с угловой частотой со: ч L ,

(1-4)(1-4)r£(t) — r0 [х0 cos tot + у0 sin mt],

(1-4)

(1-4)

где x0 и y0 — орты в декартовой системе координат. При подстановке (1.4) в (1.3) 6-функция под интегралом факторизуется:

'. <п■

Л (г) = -s-S I 6 (г — дРг0 cos mt) 6 (у — apr0 sin rot) dt, (1-5) О 0-

и в предположении, что t0 7> и-1 или t0 = 2лп/и, где п — целое число, получаем■'

•2 , х СФо 6 (г - 7?) „ д

А (г) = ~R = °0ГО’(L6>

т. е. функция рассеяния точки сводится К одномерной кольцевой 6-функции. ' ■

Из более подробного анализа данной задачи следуют и другие важные в практическом отношении выводы. Например, расфокусировка при прямолинейном закопешеремещения rg(0, который, конечно, проще всего было бы осуществить технически, оказывается крайне неэффективной. Действительно, в этом случае структурные элементы, края которых параллельны направлению движения, будут резко отображаться в Q от плоскостей, даже далеко отстоящих от F. Достаточно хорошую расфокусировку обеспечивают траектории rg(/) в виде спирали Архимеда и гипоциклоиды; эти свойства использованы в ряде томографов. .

Наконец, весьма существенное значение имеет результат, состоящий в наличии обратной пропорциональности между размерами исследуемого объекта и его визуальным контрастом. С учётом такой зависимости выявляются классы объектов, для которых томография по Бокажу либо заведомо не конкурентоспособна в сравнении с компьютерной, либо, наоборот, может служить вполне приемлемой альтернативой последней, а иногда в силу аппаратурной дешевизны даже иметь определенные преимущества перед ней. В качестве примера, быть может несколько экзотического, приведем томографиро- вание кост.очек субмиллиметрового размера и прилегающих к ним тканей во внутреннем ухе человека [5]. В-данном случае даже с помощью лучших современных компьютерных томографов крайне трудно обеспечить необходимую разрешающую силу и избежать артефактов. В то же время эта задача успешно решается на простой рентгеновской установке, которая снабжена приставкой, использующей принцип Бокажа.

В работах [6, 7] метод планиграфии был рассмотрен с несколько иных позиций. Авторы отказались от подхода, который основан на допущении об изопланатичности системы формирования изображения выделяемого слоя. Действительно, приведенное рассмотрение не является строгим, так как игнорирует тот факт, что для каждого последующего среза объекта зондирующим будет излучение источника, прошедшее через ранее просвеченные слои. Учет этого обстоятельства, сделанный в предположении простейшей прямолинейной траектории перемещения, позволяет сформулировать планиграфи- ческую постановку задачи РТ на языке стандартного математического аппарата компьютерной томографии (см. следующие главы). Сконструированный авторами [6, 7] продольный трехракурсный томографический интерферометр применялся, в частности, при исследовании внутренних и периферийных зон устойчиво горящего пламени небольших размеров. В [7] подчеркивается, что при изучении процессов горения традиционная трансаксиальная томография может оказаться менее, эффективной, нежели планиграфия, так как в продольной плоскости объекты часто имеют большую протяженность или содержат устройства, инициирующие исследуемые процессы (горелки, форсунки и т. п.). .

Для некоторых приложений, главным образом технического характера, представляет интерес модификация схемы продольной пла-

772 В. В. Пмкмю*, Н. Г. ПреображееекмЖ

7

7

Рис. 1.5. Схема продольной планиграфии с набором выделенных плоскостей ^Fv ..., F^. Источник перемещается в плоскости Р; кассетный «сэндвич» 8 синхронно смещается в плоскопараллельном слое (01,..., Qn). '

ниграфии, показанная ■ на рис. 1.3. В данном случаев отличие от рис. 1.1 детектором служит кассетный «сэндвич», перемещаемый синхронно с источником как единое целое. При этом на различных фотопленках (плоскости Q1; . . . ..., Q^ резко отображаются структурные детали из плоскостей Flf . . ., FN. Из геометрического подобия видно, что соответствие

между плоскостями Fn и Q^ устанавливается^ соотношениеммежду плоскостями Fn и Q^ устанавливается^ соотношением(1.7)

между плоскостями Fn и Q^ устанавливается^ соотношением

между плоскостями Fn и Q^ устанавливается^ соотношением

где dn и Dn — смещения по отношению к плоскостям ^ и У,, а величины 51о’ и ^з^ имеют тот же смысл, что и на рис. 1.1, но связаны с плоскостями Fn и Qn. ' -

Описываемую томографическую схему в каком-то смысле можно считать трехмерной. Однако ей присущи очевидные недостатки. Во-первых, фотоматериал по необходимости не может быть высокочувствительным, ибо иначе время экспозиции для верхних и нижних слоев «сэндвича» оказалось бы резко различным. С точки зрения медицинской диагностики цонижение чувствительности детектора (например, устранение усиливающих флуоресцентных экранов) нежелательно, так как сопряжено с увеличением дозы облучения пациента. Во-вторых, проблемы артефактов и расфокусировки мешающих изображений стоят здесь значительно острее, чем в простой схеме планиграфии. Вместе с тем система с кассетным «сэндвичем» в силу своей простоты может оказаться полезной при решении ряда задач дефектоскопии, а также при изучении медленных вязких течений жидкости и газа.

В последнее десятилетие было разработано и описано много вариантов томографических установок, которые также основаны на схеме Бокажа, но при их техническом воплощении уже использованы последние достижения у-лучевой радиологий, электроники, ядерной физики. Роль инерционных и недостаточно строго контролируемых механических перемещений источника, детектора или объекта сведена Здесь к минимуму; везде, где это возможно, применяется электронно-лучевая развертка. Упомянем в качестве примеров у-томокамеру Мюлленера [8] и многоплоскостной томографи-

ческий сканер Энжера [9], которые нашли ряд важных применений в медицинской диагностике. " ■

В целом планиграфия как простой и недорогой метод продолжает и сегодня играть заметную роль в диагностической практике. Наибольшее распространение она получила, по-видимому, в клинике легочных заболеваний. Достигаемое с помощью планиграфии хотя бы частичное снятие наложений структурных элементов резко снижает число ошибочных диагностических заключений, которые встречаются в обычной рентгенографии, особенно у неопытных специалистов [10]. ' ■ -

Вместе с тем принцип последовательного выделения сечений объекта за счет взаимных смещений компонентов диагностической установки заведомо не универсален. Из-за недостаточно полной расфокусировки деталей из прилегающих смежных слоев, паразитной засветки фотопленки и других аппаратурных факторов существенного повышения отношения сигнал/шум и необходимого контраста в изучаемой двумерной структуре обычно достичь не удается. Последовательный перебор одного сечения за другим в" медицинских приложениях сопряжен с опасностью лучевой передозировки. Как и в традиционной рентгенодиагностике чаще всего приходится довольствоваться лишь качественным сравнением плотностей почернений различных участков и т. п. Что касается томографирования крупномасштабных объектов, исследований на микроскопическом уровне; локальной- диагностики излучающих сред, 'регистрации быстроиротекающих процессов и т. п., то описанные схемы имеют довольно ограниченную область применимости.

ТОМОСИНТЕЗ '

' Томосинтез, так же как и планиграфия, относится к числу ставших уже классическими методов отображения выделенных слоев трехмерного объекта и известен еще с 30-х годов [11]. Сущность процедуры томосинтеза непосредственно видна из рис. 1.4. В данном случае источник (7) движется в некоторой плоскости (2) слева направо и в положениях а, 6, с... посылает импульсы, которые, пройдя через объект (5), фиксируются в плоскости детектора (4) на различные фотопленки (5). Каждому положению источника отвечает свое определенное изображение (^'). После того как экспонирование и обработка пленок закончены, наступает этап «обратного проецирования», который заключается в таком совмещении (синтезе) изображений, когда нужная нам деталь выявлена четко и контрастно, а другие размазаны. При этом выделяемая плоскость заранее не фиксирована, и мы, по желанию, можем ориентироваться на любой ин- ■тересующий нас срез, т. е. задавать сечение объекта не в процессе экспонирования, как в планиграфии, а по окончании регистрации всего набора проекций. . . . • Если следовать той же упрощенной схеме расчета, которая приводилась в § 1.1, то легко убедиться в том; что в случае томосинтеза

выражение для функции рассеяния точки Л(г), аналогичное (1.3), приобретает вид

Л(г) =

- N1 N

= -г 2(г—aPrnS)) / 2

(1.8)

Рис. 1.5. Томосинтез с циклическим

сканированием.

а) 1. 2—выделяемые слои; з—траектория движения источника, б) 1*—реконструкция слоя (J), слой (2) расфокусирован; 2*— реконструкция слоя (2), слой (1) расфокусирован-

где 1п — времена отдельных экспозиций, г^ — положения источника, N — полное число зарегистрированных проекций. Остальные обозначения прежние. Подчеркнем, что число N не связано с числом возможных выделяемых сечений объекта, однако при прочих равных условиях N должно быть все же достаточно большим (обычно не менее 30—50), чтобы обеспечить удовлетворительное «размазывание» посторонних деталей. Разумеется, как и в планиграфии, важную роль играет правильный выбор траектории источника r^Si. Дополнительный варьируемый параметр задачи — время каждой экспозиции tu.

На рис. 1.5 схематически показано, как при циклической траектории источника две различные детали, соответствующие слоям (7) и (2), синтезируются при разном совмещении проекций.

Способы технической реализации томосинтеза весьма разнообразны и продолжают совершенствоваться. Укажем на несколько важных работ, выполненных в этом направлении. Дюммлинг [12j предложил систему с запоминанием и записью отдельных изображений на магнитных дисках с дальнейшей электронно-лучевой суперпозицией считываемых проекций. Синтезированные плоские слои выводятся на дисплей. Разрешающая сила при этом невелика (составляет примерно одну пару линий на миллиметр), а изображения

Рис. 1.6. Томосинтез с голографической реконструк- ^ цией. ..'’

в — стадия получения голограммы: 1 — когерентное излучение, г — опорная волна, 3 — первичная проекция, 4 — отображающая линза, 5 — голограмма: б— стадия реконструкции голограммы: 6 — ионохроматический излучатель, г — трехмерное Изображение, 8 — рассеивающий зкран, 9— телекамера, v10 — дисплей.

несколько отличаются друг от друга по увеличению. Более совершенная система с видеозаписью описана в [13]. "

■ Изящное решение задачи томосинтеза с помощью методов некогерентной оптики предложил Грарт [14]. Уменьшенные в отоошепии 1:4 и зафиксированные на пленке рентгеновские проекции отображаются' широкоугольным объективом на_

мы N специальным образом установленных и отъюстированных зеркал. Сдвиг или небольшой поворот экрана выделяет те или иные требуемые сечения, ж том числе с различными углами наклона к базовой плоскости. Предусмотрена и возможность анализа искривленных слоев. Разрешающая сила существенно выше, чем в установке Дюммлинга. В работе [15] схема Гранта сочетается с рентгеновским усилителем изображения и ТВ монитором. При быстром последовательном сканировании слоев осуществляется своего рода трехмерная реконструкция объекта, хотя и, разумеется, в огрубленном виде из-за неполного устранения вклада от соседних сечений.

Кок и Тьеменс, [16] реализовали схему Гранта в голографическом варианте (рис. 1.6). Здесь на первом этапе томосинтеза первичные проекции (фотопленки), последовательно освещаемые излучением лазера под нужными углами, с помощью референтной волны отображаются в виде набора субголограмм (а). В результате синтеза получается полная голограмма, позволяющая восстановить трехмерное изображение, которое формируется и как бы «повисает» в некоторой области пространства (б). Выделение необходимых сечений с произвольным углом наклона к оси системы производится с помощью либо рассеивающего подвижного экрана, либо телевизионной мониторной системы. '

Обсуждаемая здесь задача синтеза композиционных голограмм весьма близка по постанбйке к той* которая возникает на путях ре-

шения чрезвычайно сложной проблемы голографического кинематографа [17, 18]. В условиях, когда подсветка натурной сцены когерентным излучением невозможна, единственно мыслимый выход заключается в реализации идеи многоракурсного томосинтеза, т. е. впечатывания на одну и ту же голограмму серии обычных фотографий, полученных с разных точек зрения. При этом принцип создания иллюзии реального объекта аналогичен тому, который используется в интегральной фотографии Липпмана. .

Полезно сопоставить методы планиграфии и томосинтеза по эффективности устранения мешающего рлияпия посторонних деталей в трехмерном объекте на изображение в выбранном сечении. При этом удобно воспользоваться фурье-трансформантой от функции рассеяния точки Л (г), именуемой обычно оптической ' передаточной функцией (ОПФ) Н(щ у), где и и и — пространственные частоты для двумерной задачи Рэлея. Если принять, что в том и в другом случае источник движется в плоскости по окружности радиуса Я8, то для метода планиграфии на основании результата (1.6) нетрудно получить."i

ЯрШ (р) = Л (ТР), V = ^^У—^,(1.9)

10

где в силу осевой симметрии задачи остается только одна радиальная пространственная частота р. В (1.9) /0 — функция Бесселя, а величины 8Т и Slo имеют тот же смысл, что и на рис. 1.1.

■Для томосинтеза в соответствии с (1.8) оказывается, что ОПФ зависит уже от двух пространственных частот [14, 16]:.

Я1от(р, О) = /0(7Р) + 2 £ *mAX;v(TP)cosKV0), (1.10) 7)1=1

т. е. выражается через «планиграфическую» ОПФ и некоторую добавку к ней. Эта добавка описывает модулированную кольцевую структуру, причем модуляция проявляется все сильнее по мере роста радиуса кольца. Начало заметного влияния модуляции можно оценить по положению первого максимума ^v бесселевой функции J1V, чем определяется допустимая ширина полосы пространственных частот р0. Иными словами, необходимо, чтобы

'U>W '(1.И)

а поскольку ^ — N + 0,80867V1/3, то вместо (1.11) можно приближенно записать■

.Ж>^Ы>/(1Л2)

На рис. L7 дана зависимость ширины полосы частот р0 (в мм-1) от толщины слоя расфокусировки изображения (Si0 — Si) (в мм); параметры, указанные для каждой из кривых в скобках, обозначают соответственно угол <р в градусах, под которым из точки на оси и выделенной плоскости видна круговая траектория источника (RsiS10= .₽ tg (<р/2)), и число синтезируемых ^проекций N.

Рис. 1.7. Зависимость ширины пороговой полосы пространственных частот р0 от толщины слоя расфокусировки (510— Si).

Рис. 1.8. Принцип эктомографии.

Штриховые стрелки указывают направление фильтрации изображения по высоким пространст- венным частотам. Сплошные стрелки — то же для низкочастотной фильтрации. Выделяемая деталь (справа) окружена частично перекрывающимися изображениями другой детали из соседнего сечения (слева).

В последние годы в ряде работ, посвященных томосинтезу, значительное внимание уделяется способам улучшения качества восстанавливаемого изображения, основанным на аналоговых методах, а также на тех или иных приемах машинной цифровой фильтрации пространственных частот. Фильтрационные аспекты особенно детально изучались на модельных задачах группой шведских исследователей [19, 20], предложивших для разработанного-ими метода послойной реконструкции специальный термин «эктомография». В данном случае речь идет о следующем.

Пусть для определенности просвечивающий источник движется в плоскости по кругу. Тогда выделяемая деталь будет” окружена слабым ореолом из концентрических колец, обусловленных наличием других неустраненных деталей, принадлежащих соседним слоям. Если размеры этих деталей достаточно велики, то легко сообразить, что с ростом числа проекций N будет происходить все более

ЛРг> Рг) =ЛРг> Рг) =sinsin- (1.13)- (1.13)значительное взаимное перекрывание элементов соответствующих изображений, так что артефакты могут стать неприемлемыми по интенсивности. Однако развитие этого крайне нежелательного процесса можно подавить, производя фильтрацию изображений по высоким и низким пространственным частотам (рис. 1.8). Важно, чтобы направление высокочастотной фильтрации соответствовало касательным к кольцам ореола, а низкочастотной —- радиусам колец. Математически это можно осуществить, умножая фурье-трансфор- манты изображений деталей (Как выделяемых, так и устраняемых) на функцию фильтрации, например, следующего простого вида:

ЛРг> Рг) =

ЛРг> Рг) =

sin

sin

- (1.13)

- (1.13)

1 + cos1 + cosIPiK^i, 1 Ра I ^ ^2*IPiK^i, 1 Ра I ^ ^2*

1 + cos

1 + cos

IPiK^i, 1 Ра I ^ ^2*

IPiK^i, 1 Ра I ^ ^2*

I Pi I > ^i,I Р2 I ^ ^2‘

Варьируя hx и к2, можно обнаружить ряд интересных свойств, касающихся разрешающей силы, контраста и роли артефактов при томо- синтезе. Например, последовательное увеличение отношения hjha (это при фиксированной величине hx соответствует возрастающей роли низкочастотной фильтрации) ведет к значительному росту глубины слоя, в пределах которого сохраняется высокое разрешение нужной детали. Одновременно заметно снижается и влияние артефактов. За этот выигрыш, однако, приходится платить некоторым снижением интенсивности полезного сигнала, что, впрочем, в ряде задач вполне приемлемо.

Подведем некоторые итоги. У томосинтеза по сравнению с планиграфией даже при отсутствии дополнительной фильтрации по пространственным частотам есть два несомненных преимущества. Во-первых, выбор нужного сечения, причем ориентированного достаточно произвольным образом, осуществляется не до экспозиции, а после получения набора из N проекций. С точки зрения медицинской диагностики это особенно ценно, поскольку не требуется многократного рентгенографирования пациента; и, как следствие, резко снижается 'суммарная доза облучения. Во-вторых, привлечение голографической и электронной техники для регистрации и считывания изображений дает возможность просматривать структуру трехмерного объекта слой за слоем и в разных направлениях. Это существенно как для более полного выявления характеристик интересующих нас фрагментов изображения, так и для более четкой и однозначной идентификации артефактов. Кроме того, хранение изображения на голограмме отличается высокой надежностью.

Использование фильтрации по высоким и низким пространственным частотам дает томосинтезу дополнительные преимущества. Это в первую очередь возможность варьирования толщины резко отображаемого слоя в широких пределах, а также выигрыш в разрешающей силе и контрасте при1 небольших потерях в йнтенсйв- ности полезного сигнала.

Однако не следует забывать, что томосинтез при всей его практической значимости остается все же паллиативом последовательной 3D томографической реконструкции неоднородного объекта. Это связано с тем, что траектория движения источника ограничена всего одной плоскостью, тогда как в «идеале» точки траектории должны были бы заполнять поверхность полусферы. В результате устранение влияния мешающих деталей изображения неизбежно остается неполным и недостаточно хорошо контролируемым.

МЕТОД ПЛАНАРНОЙ

ЛАЗЕРНО-ИНДУЦИРОВАННОЙ ФЛУОРЕСЦЕНЦИИ

В отличие от описанных способов томографирования метод планарной лазерно-индуцированной флуоресценции (ПЛИФ) был предложен и начал развиваться лишь в последнее время; заявочной, по-видимому, можно считать публикацию [21].

Рис. 1.9. Схема метода ПЛИФ.

1 —- частотно-перестраиваемый лазер; 2 — сферическая линза; 3—цилиндрические линзы; 4 — ленточный пучок; 5 — объект исследования; 6 — выделенное сечение; 7 — собирающая линза; 8— фильтр; 9 — уси- _ литель изображения; 70детектор (мат- . рица фотодиодов); 11— дисплей; 12—триггерное устройство.

Важнейшей особенностью метода является формирование и использование лазерного пучка ленточного типа (иначе — светового ножа), с помощью которого в

исследуемом объекте, например в газовой струе или пламени, выделяется определенное сечение (рис. 1.9). Заметим, что световой Нож, вообще говоря, не новинка в газодинамическом эксперименте, однако ранее он обычно применялся лишь для чисто качественной визуализации течений' за счет наличия в них воздушных пузырьков, твердых частиц и т. п. В методе ПЛИФ используется лазер с частотной перестройкой, что позволяет добиться резонансного поглощения для того или иного компонента объекта (атомарного либо молекулярного) и затем регистрировать флуоресценцию этого компонента только из выделенного сечения.

Следуя упрощенной модели метода, предложенной в [22], можно записать следующее выражение для числа фотонов в спектре флуоресценции SF1 попадающих на каждый фотодиод регистрирующей системы за один лазерный импульс:

(LU)

Здесь Е — плотность световой энергии в импульсе; Av :— спектральная ширина (превышающая ширину линии, поглощения); Q — коэффициент скорости электронной дезактивации возбуждённого уровня, заселенность которого описывается множителем Fp; NT — концентрация флуоресцирующего компонента, Ai3 и В13 — коэффициенты Эйнштейна для выбранного перехода. Множитель а характеризует геометрию эксперимента и имеет вид

(1.15)(1.15)а = т]ЙЙУс/4пс,

(1.15)

(1.15)

где г] и R описывают соответственно эффективность проецирующей оптики и матрицы фотодиодов, Q .— телесный угол, обеспечиваемый собирающей линзой, 7С — объем флуоресцирующего слоя, отнесенный к одному элементу изображения (пикселю). Заметим еще, что величина (1 + QIAtjY1 есть часто используемый в кинетике и спектроскопии фактор Штерна — Фольмера (см., например, [23]), а в качестве Fp для широкого круга газодинамических задач можно взять равновесный больцмановский множитель

(1.16)(1.16)гг + 1 Г Е= <") + е (f) + е (/") QeQ,QT ехр LТ

(1.16)

(1.16)

.Рис. 1.10. Схема фокусировки в методе ПЛИФ. '

1—лентйчный пучок; 2— линза; 3— квадратная матрица фотодиодов; 4—поверхностэлемента изображения; 5 — активный участок фотодиода.

В (1.16) входят факторизованная статистическая сумма QeQbQr Для электронного (е), колебательного (г) и вращательного (г) состояний молекулы, соответствующие им энергии е и температура Т, выраженная в энергетических .единицах; принимается также, что вращательное квантовое число J" относится к основному состоянию.

На рис. 1.10 схематически показан принцип фокусировки флуоресценции из плоского слоя на элементы матрицы фотодиодов. Пользуясь обозначениями, указанными ■ на этом рисунке, введем следующие параметры: увеличение системы М = UH = f/Z), нормированный объем плоского излучателя Fc = IPWN"2 и телесный угол в виде Я = л<?/4(/ + Л)2. Целесообразно также ввести величину Ео = EHW^l* гДе Фа. — поправочный множитель для учета радиационного переноса в направлении, перпендикулярном лазерному лучу в сечении, соответствующем световому ножу. Подстановка всех этих выражений в (1.14) приводит к формуле

SF = —2— К1ЕвВ„ NT, (1.17)

16cAv№ \ / / (1 + М)2 ° ’ 1 + ОМу ' которой удобно пользоваться во многих задачах, связанных с оптимизацией эксперимента, выполняемого методом ПЛИФ.

Коснемся далее некоторых диагностических возможностей метода. •

При измерении к’онцентраций компонентов в условиях сложного состава газового потока обычно предпринимаются усилия для снижения влияния температурной - зависимости величины SF, которая обязана фактору Fpl^t. -VQAl3\. На рис. 1.11 представлены результаты расчета этого фактора для разных значений вращательного рвантового числа J" в основном колебательном состоянии (v” = = 0), относящиеся к радикалу ОН. Как видно, выбирая J" = 6 и работая в температурном интервале Д7* = 1500—3200 К, можно с точностью до ~5% пренебрегать зависимостью SF от температуры-. В работе [24] для обеспечения прямой пропорциональности между

Рис. 1.11. Ход температурного фактора в формуле (1.17) при различных значениях вращательного квантового числа /"(г" = 0); радикал ОН.Рис. 1.11. Ход температурного фактора в формуле (1.17) при различных значениях вращательного квантового числа /"(г" = 0); радикал ОН.

Рис. 1.11. Ход температурного фактора в формуле (1.17) при различных значениях вращательного квантового числа /"(г" = 0); радикал ОН.

Рис. 1.11. Ход температурного фактора в формуле (1.17) при различных значениях вращательного квантового числа /"(г" = 0); радикал ОН.

Рис. 1.12. Зависимость отношения

и Ат предлагается приме- as I д.

пять сильную расстройку резо- -у- / — от давления азота. Флуо- нанса, индуцирующего локаль- р ' Р „ -,

’респирующии ■ компонент (присад-

ную лазерную флуоресценцию. ка)-молекула 12; Г - 293 К. ОчеВИДНЫЙ Недостаток при ЭТОМ Частотная расстройка:. 1 — О, Г— 1, состоит в снижении чувстви- . ■3 — 4 ГГц.

тельности измерений NT.■

Температурные измерения в выделенном плоском сечении объекта можно производить либо по относительным интенсивностям сигналов в спектре флуоресценции, либо (после калибровки) по абсолютным значениям SF. Первый способ сложнее в техническом отношении, поскольку часто требуется значительная частотная перестройка лазера, и, кроме того, проигрывает второму с точки зрения временного разрешения. Второй способ основан на подборе молеку

лярных компонентов и спектральных'переходов, для которых зависимость SF от температуры сильно выражена. Авторы [22] подходящей в этом отношении считают молекулу NO.

Измерения двумерного поля скорости потока газа и (дозвуковые и сверхзвуковые течения), а также жидкости или низкотемпературной плазмы возможны путем регистрации доплеровских сдвигов Sti = k u, где к —■ волновой вектор, направленный вдоль линии распространения лазерного пучка. Технические приемы измерения SD могут быть различными: узкополосное сканирование, схема встречных волн при возбуждении флуоресценции поглощением в крыле линии и т. п. [25]. Голографический вариант метода ПЛИФ для восстановления поля скорости конвекции в ячейке Бенара описан в [26]. Оценка точности измерения скорости в сверхзвуковом потоке (флуоресцирующий компонент — пары 1^в азоте), приводимая в [22], составляет ±5 м/с.

Высокая информативность метода ПЛИФ особенно отчетливо проявляется при нзмереняях-флуктуа^ий плотности, температуры, и давления в турбулентных потоках газа [27, 28]. Благодаря достаточно простой связи сигнала флуоресценции SF с основными параметрами потока удается подробно исследовать соответствую-

щие зависимости в численных модельных экспериментах. Один из примеров такого расчета дан на рис. 1.12, где изображена зависимость отношения логарифмических производных сигнала флуоресценции и флуктуирующего давления в потоке от полного давленая; кривые различаются степенью используемой частотной расстройки при возбуждении флуоресценции.

Для каждой конкретной схемы реализации метода ПЛИФ важны оценки пространственного и временного разрешения плоской картины флуоресценции. В самом деле, хотя каждый пиксель воспринимает излучение из объема R^UMN^W (см. рис. 1.12), окончательное изображение, выводимое на дисплей, очевидно, не будет результатом простого суммирования № точечных измерений. Для оценки предельной воспроизводимой пространственной частоты (частоты Найквиста) и теоретической частоты отсечки можно воспользоваться обычным выражением для передаточной функции модуляции [29]

'FM = -^-sin(—5- ,(1.18)

где в нашем случае р — расстояние между центрами соседних фото- ■ диодов, b — размер активной зоны фотодиода и ws — нормированная на Ир пространственная частота. Применительно к экспериментам [21, 22, 25] легко подсчитать, что частоте Найквиста 1/2р соответствует предел разрешения порядка 8 пар линий/мм, в то время как теоретической частоте отсечки — ~15—20 пар линий/мм.

Что касается временного разрешения, характеризующего метод ПЛИФ, то оно, как н в ряде других диагностических экспериментов с импульсными лазерами, определяется соотношением длительности импульсов и периода их повторения [30]. Как пространственное, так и временное разрешение ПЛИФ оказываются вполне достаточными для решения задач количественной визуализации широкого класса до- и сверхзвуковых течений (ламинарных и турбулентных), а также исследования процессов горения.‘

Глава 2

ТОМОГРАФИЯ С АПРИОРНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ.

Т. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ

И ПРОСТАЯ АБЕЛЕВА ИНВЕРСИЯ -

Отличительной чертой томографических методов, используемых в аэро- и гидродинамике, а также в физике плазмы, является привлечение разнообразной априорной информации о структуре изучаемого объекта в выбранном сечении. В ряде случаев соответствующие априорные ограничения достаточно жесткие, так что окончательный алгоритм реконструкции внешне может иметь мало

общего с теми, которые свойственны, например, медицинской РТ или томографии, применяемой в дефектоскопии. Как правило, при этом может существенно упроститься расчетная часть задачи.

В этой и следующей главах мы сосредоточим внимание только на двумерных задачах РТ, опираясь для определенности в основном на эмиссионный и трансмиссионный варианты эксперимента, интерпретируемого в предположении о прямолинейности лучевых траекторий. Выходящее за пределы объекта собственное или просвечивающее (внешним источником) излучение будем считать сколлимирован- ным, а выделяемую плоскость — заранее заданной.

§ 2.1. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ .

‘[ СПЕКТРОТОМОГРАФИИ

При исследовании пространственной структуры потоков нагретых газов и плазменных объектов методами эмиссионной и абсорбционной спектроскопии давно и широко используются приемы параметрического задания зависимостей, определяющих неоднородность функции источника вдоль выбранного луча зрения. Такая феноменологическая параметризация обычно сочетается с некоторыми требованиями на симметрию двумерного поля распределения основных характеристик объекта [1].

Рассмотрим случай, когда 2D поле коэффициентов поглощения x(v, г) (а также испускания e(v, г)).характеризуется «зеркальной» симметрией относительно некоторой линии АВ (рис. 2.1). Запишем однолучевое уравнение переноса излучения относительно луча L, перпендикулярного АВ:,'

'= е (v, 0 - х (v, iy (v, IV(2.1)

где Z(v, Z) — интенсивность выходящего излучения. В обозначениях рис. 2.1 формальное решение уравнения (2.1), очевидно, имеет вид

оо‘о

о

о

I (v, Zo) = j 8 (v> О ехРо

zo

+ I (у, / = 0) ехр+ I (у, / = 0) ехр(2.2)(2.2)— j х (v, I) d,l о

+ I (у, / = 0) ехр

+ I (у, / = 0) ехр

(2.2)

(2.2)

Значок ~ обозначает учет вкладов как от собственного излучения объекта, так и от некоторого постороннего просвечивающего источника; 0 ^ I ^ Zo- Преобразуем (2.2) следующим образом.

Будем учитывать лишь собственное излучение и пренебрегать просвечиванием объекта извне; этому соответствует замена I ~ 1.

Определим «лучевую» функцию источника

(2.3)(2.3)Фо^, Z) = e(v, Z)/x(v, Z)

(2.3)

(2.3)

Рис. 2.1. Схема регистрации реабсорбиро- ' ванного излучения в задаче спектротомогра- ■фии.

А V Р ° J и примем во внимание, что для задач \ Iспектроскопии излучающего газа или

\ I" плазмы, в которых предполагается

диагностика в узком частотном интер- 8вале, например по контурам линий,

'в силу закона Кирхгофа можно с хорошим приближением считать, что Фо(х, Z) ~ Фо(0-’

Введем в рассмотрение оптические толщины для части слоя t(v, Z) и всего слоя т0(х):■

(го.

t(v, Z) = j x(v, l')dl', t„(v) = | x(v, Z')^'.(2.4)

0.0"

Перейдем к безразмерным переменным: х = Z/Zo — 1/2 и 5 — т/т0. Заметим, что величина § задает некоторый «оптический» масштаб, причем, как видно из рис. 2.1, § + х, за исключением точек 1, 2 и 3, для которых геометрический и «оптический» масштабы совпадают.-’'

Будем пользоваться нормированной на величину S(v0, Tm) функцией источника с аргументом £:

• Ф(&) = Фо®Ж Т^.' ■ ■*(2.5)

5(vOj Tm) — функция Планка, рассчитанная по центру рассматриваемого спектрального интервала для равновесной и максимальной на луче температуры. Произведем также нормировку на 5(v0, Тго) выходящей из слоя интенсивности (спектральной энергетической яркости),

y[T,(v)]=Wv0,r„).(2.6)

После всех этих операций вместо (2.2) следует записать -

1/2

У [T0(v)J = 2т0ехр(—т0/2) ] Ф(^)сЬ(т0^)^.1 (2.7)

Формула (2.7) является исходной для различных способов томографического моделирования. Один из простых возможных путей заключается в следующем [1, 2]. - ’

Произведем разложение У(т0) по моментам функции источника:

(2-8)(2-8)У (т0) = т0 exp (—т0/2) 1 + ^^ Hai >

(2-8)

(2-8)

1/8

= J ^Ф®^,

-1/8■

причем в силу свойств симметрии слоя все нечетные моменты, очевидно, обращаются в нуль. Физически реальный интервал изменения моментов р2; определяется вариациями Ф(£), начиная от пространственно однородного излучателя Ф(В) = 1 и кончая «шнуровым» 6-образным излучателем Ф(^) = 6(B). При этом ■

0^ ц2,< 1/1(2/ + 1)22Ч ' (2.9)

Видно, что имеются достаточно веские основания выделить в (2.8) вклад моментов р2 (0 ^ Нг ^ 1/12), поскольку с увеличением-/ область изменения р2, быстро сужается: 0 ^ р.4 ^ 1/80 и т. д. Поэтому уместно поставить следующую задачу: найти такие две функции Ф1(В) и Ф2(В), для. которых:

моменты ц2 совпадают;-

остальные моменты различаются максимально сильно.

Решение этой задачи впервые предложил Бартельс [2], показавший, что'■

.(,-'=, ПК №

‘® (о, ,«/2<|£|<«/2;(2(0)

.(ею, Е О,

ф‘®4, е^о.

где q = 12ц2.

Еслй теперь вернуться к формуле (2.7), подставить в нее (2.10) и найти среднее арифметическое получающихся функций* У4(т0) и У2(т0), то оказывается, что

У(т0) = ехр (—Тд/г)^"1/2 sh (т^1/2^) + т0(1 — ^)/2 +

-+ 9sh (т0/2)1.(2.11)

Погрешность за счет ограничения однопараметрическим приближением составляет здесь менее 10% для т^ ^ 7 и менее 2% для т0 ^ 4.

Рис. 2.2 иллюстрирует процесс формирования симметрично са- мообращенного контура спектральной линии y(v), который играет роль томографической луч-суммы при восстановлении неоднородного распределения того или иного параметра оптически плотного излучающего объекта вдоль интересующего нас направления. Показаны стадии решения прямой задачи, а именно: выбран некоторый частотный профиль t0(v) (а); задан параметр неоднородности q = = 0,5, что согласно (2.11) позволяет рассчитать зависимость У(т0) (б); совершен переход к нормированному контуру линии y(v) (в). Штриховой кривой помечен предельный случай однородного излучателя Vq = .!)• Заметим, что в другом предельном случае, q = 0, который на рисунке не показан, Утах (то) = 2/е = 0,736, т. е. в пике линии не достигается даже 3/4 планковского порога.

Рассматриваемая здесь задача является спектротомографической, поскольку отдельной луч-сумме соответствует не одно число, а массив данных для некоторого частотного интервала. В связи с этим, если подлежит определению небольшой набор параметров, обратная

Рис. 2.2. Формирование контура спектральной линии с симметричным самооб- ращением.

а — частотные профили последовательно возрастающей оптической толщины слоя t«(v); б — нормированная интенсивность'выходящего излучения Y как функция при фиксированном значении q 0,5, штриховая линяя — q — 1; в — частотные профили Y(v) для различных значений To(ve)> плато, отмеченное штриховой линией,— планковский предел.

задача* всегда может считаться переопределенной и оперировать в расчетах проекциями, т. е. совокупностью луч-сумм, вообще нет необходимости. ’

Вместе с тем было бы ошибкой считать процедуру восстановления параметра неоднородности q на каждом отдельно взятом луче тривиальной. Неэффективной может оказаться и напрашивающаяся на первый взгляд идея уточнения 2D структуры объекта за счет введения дополнительных характеристик неоднородности, например, через 4-й, 6-й и т. д. моменты Ф(£). Дело в том, что в реальном спектротомографическом эксперименте помимо q неизвестными являются еще и некоторые параметры, входящие в функцию t0(v). Чаще всего это — максимальная оптическая толщина т0(уа), отвечающая центру линии поглощения, а также полуширина абсорбционного профиля Wv.; последняя может меняться по некоторому закону вдоль луча зрения, что порождает, как минимум, еще один неизвестный параметр.

В работе 13] изучались вопросы усиления случайной погрешности, неизбежно появляющейся в процессе регистрации контура линии У(у), при восстановлении параметров q, Av1/3 и T0(v0). Предварительные результаты расчетов приводились также в [41; не воспроизводя их здесь, укажем лишь на один из типичных. Если для восстановления трех названных параметров использовать три чаете измеряемые в спектроскопических экспериментах характеристики контура Y(v) — ширину, спектральный интервал между пиками са-

мообращения и величину центральной депрессии контура,— то коэффициент усиления погрешности при восстановлении q превышает 20. Обрабатывая 30 точек на контуре У(у) при равномерной сетке, можно снизить коэффициент усиления погрешности примерно до 5—6. Надо иметь в виду, что для ряда приложений такая величина слишком высока, в связи с чем уместно рассмотреть иные подходы к задаче. Упомянем здесь о двух таких подходах.

' 1. Сохраняя однопараметрическое описание функции источника согласно (2.10), можно на первом этапе оценить q по формуле [2]: q ~ 1,9 arctg [а/(1 + 2а)1/2],(2.12)

где а определяется структурой энергетического спектра атома или иона. После этого t0(v) находится непосредственно по нецентральной части контура K(v). Данная процедура подробно исследована в [5, 6]. Затем, поскольку задача становится однопараметрической, величина q уточняется опять-таки на основе контурных данных Y^ методом наименьших квадратов. После этого вновь находится оптическая толщина t0(v), и итерации при необходимости могут быть продолжены. Любопытной особенностью данного метода является то, что систематическая погрешность при восстановлении t0(v) нарастает как с приближением к центральной части контура, так и с увеличением q. Однако, оба этих фактора действуют в противоположных направлениях и частично компенсируют друг друга. При т0 < 7 систематическая ошибка не превышает 10%.■

2-. На формулу (2.7), содержащую еще не параметризованную функцию источника Ф(§), можно смотреть как на интегральное уравнение 1-го рода. Фактически это уравнение нелинейное, так как исходным аргументом функции Ф должна быть не оптическая,; а геометрическая координата ж; кроме того, частотная и пространственная переменные в та могут быть в общем случае сложным образом связаны друг с другом. Однако достаточно допустить, что коэффициент поглощения х(ж, v) факторизуется, т. е.

х(ж, v) = x1(^)x2(v),(2.13)

и интегральное уравнение (2.7) переходит в линейное уравнение Фредгольма 1-го рода:

.1/2

Y (v) = 2sx2 (v) exp [ — sx2 (v)/2] J Ф (g) ch [sx2 (v) g] d£. (2.14) о.

1/2 .

Величина s = 2 J хг (ж) dx дальше выступает в роли свободного пара- 0~

3333метра задачи, а отношение x2(v)/x2(v) определяет частотную зависимость функции источника, если эта зависимость по условиям эксперимента нуждается в учете. Таким образом, решая уравнение (2.14) относительно Ф(^), мы определяем структуру объекта вдоль взятого луча зрения в оптическом масштабе. Переход от £ к ж проще всего осуществить через переменную (но локально-равновесную) темпера-

33

33

3 В. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский

туру 7(ж), являющуюся аргументом функции Планка; связь хрж) и 7(ж) предполагается известной.

Факторизация (2.13) становится все более оправданной с ростом оптической плотности слоя. Действительно, деформация контура реабсорбированной линии У(т) по мере роста т0(та) как бы сдвигает пики самообращения в область крыльев исходного локального профиля x2(v). С другой стороны, для различных типов уширения линии, обусловленных эффектами давления, правомерность асимптотического выделения ■ частотной- (лоренцевой) зависимости в крыле линии хорошо известна [71.

Основная идея описанного непараметрического подхода излагалась еще в работе [8]. До рабочего программного уровня этот вариант спектротомографии был доведен Л. Л. Фруминым и подробно рассмотрен в [3, 9]. Метод нашел экспериментальное применение при диагностике плазмы продуктов сгорания в МГД-генераторе Института высоких температур АН СССР [3].-

До сих пор речь шла о спектротомографии оптически плотных излучателей. Возможно, однако, указать определенные априорные параметрические ограничения, в рамках которых и для оптически прозрачных неоднородных плазменных объектов можно извлекать существенную локальную информацию нелокальными диагностике- сними методами. Примером может служить работа [10]^

Рассмотрим один из простейших случаев. Пусть стоит задача: * оценить максимальную поступательную температуру 7т = 7(ж = = 0) по доплеровской полуширине линии, фиксируемой вдоль луча L (см. рис. 2.1), причем реабсорбцией можно пренебречь. Обозначим через 7(п) регистрируемый контур линии, и = Av/AvD — безразмерную частоту, Avd — доплеровскую полуширину при температуре 7П. Примем для простоты, что профиль коэффициента испускания е0(п, ж) есть функция Гаусса вида

е0(и, ж) ~ ехр [—(In 2)п2/Дж)],(2.15)

Дж) = Т^1Тт.

Полный коэффициент испускания в(м., ж), интеграл от которого вдоль луча L даст Ци), отличается от в0(м, ж) некоторым весовым множителем НДж): в(п, ж) = ИДж)8о(м, ж). Конкретизация вида W(ж) требует некоторой дополнительной информации. Например, авторы [101, ориентируясь на «плазмохимический» газовый разряд [И], приняли, что:,-

■ а) стационарный разряд в атомарном газе контролируется элект- рон-ионной рекомбинацией, а возбуждение обусловлено прямым электронным ударом. При этом

W) ~ А2(ж) ехр. [-(Л + 7е)/7е(ж) ],(2.16)

где А" (ж) — распределение концентрации атомов в основном состояний, I,, 1е — потенциалы ионизации и возбуждения, 7е(ж) — температура электронов;

отношение 7е/7 определяется параметром Е!р, где Е — напряженность электрического поля, р — давление в разряде, Бла-

годаря этому вместо (2.16) можно записать

(2.17)(2.17)W) ~ N^ exp l-CKTmt№'С ~I e)op!eE,

(2.17)

(2.17)

где ст — сечение столкновений.

Таким образом, выражение для спектральной луч-суммы принимает вид ■'

1/2

(2.18)(2.18)I (и) = 2 j" W (ж) е0 (к, ж) dx,о ■

(2.18)

(2.18)

причем основная координатная зависимость сосредоточена в Дж), входящей в экспоненциальные множители.

В (2.18) возможно приближенное интегрирование методом перевалу. Для этога нужно разложить Дж) в ряд, считать ЛДж) ~ const и продолжить пределы интегрирования до ±оо. В результате

.Ци) = GH^iTm + и2 In 2у/\(2.19)

G(u) = exp [—и2 In 2] — неискаженный гауссов профиль, соответствующий температуре Тт. Более строгий расчет контура Дм) должен производиться численно. Из полуширины контура Ди) стандартным путем определяется поступательная (нелокальная) температура Т, и, таким обрадом, легко проследить за тем, насколько хорошо контур Ци) аппроксимируется функцией Гаусса и соответственно, насколько сильно отличается от единицы отношение TlTm. На рис. 2,3 показана зависимость Т!Тт от С!Тта~ {Ц -|- 1е)1Те. Как видно, при С/Тт^ 5 отклонение Т от Тт не превышает 10% и по мере роста этого аргумента становится все меньше. Иными словами, при больших значениях С!Тт нелокальный эксперимент позволя-

ет выделить слой с максимальной поступательной температурой, причем он будет тем тоньше, чем больше С1Тт. Наоборот, с уменьшением С!Тт слой «размывается», контур Ди) все сильнее отличается от гауссова, а роль множителя ЛДж) ~ Г-Дж) возрастает. При этом необходима уже более общая постановка томографического эксперимента.-■

В заключение упомянем еще один ' чрезвычайно простой результат, относящийся к 'случаю факторизации 2D коэффициента испускания e(v, г) [12]. Пусть на плоскости, в которой лежит вектор г, можно указать такую декар-

Рис, 2.3. Зависимость отношения Т!Тт от С1Тт-

тову систему координат (хъ z2), для которой выполняется приближенное равенство

e(v, г) ~ e^v, ^)e2(v, а:4).(2.20)

Тогда в эмиссионной задаче спектроскопии оптически тонкого слоя при регистрации свечения последовательно вдоль осей х2 и хг получим

' Л (v, *2) = s2 (v, х^ J et (v, х^ dxv

. “°0•(2.21)

72(v, ^i) = e1(v, х^ J e2(v, x^dx^ т, е.

e(v, г) ~ С^^Ду, r2)Z2(v, жг),(2.22)

где C(v) — спектральный нормировочный коэффициент. Иными словами, 2D распределение коэффициента испускания определяется произведением двух проекций по осям хх и х2.

§2.2. ТОМОГРАФИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ОБЪЕКТОВ ■

Случаи, когда считается известной форма замкнутых кривых, на которых искомое распределение g(r) принимает постоянное значение, занимают в диагностике плазмы и газовых потоков существенное место. Их систематическое исследование и разработка соответствующих алгоритмов начались еще в 30-х годах (см., например, литературу в [13, 14]). Можно указать, как минимум, на две немаловажные причины, по которым интерес к изучению неоднородных объектов с заданной формой линий уровня (изолиний) не ослабевает несмотря па прогресс общих методов РТ. Во-первых, это возможность для экспериментатора обойтись регистрацией малого числа проекций, скажем одной, или двух; во-вторых, это радикальное алгоритмическое и вычислительное упрощение задачи.

Прежде чем обсуждать конкретные ситуации, полезно напомнить два математических результата, часто формулируемых в виде теорем и позволяющих подойти к ответу на следующий принципи-. альный для всего дальнейшего изложения вопрос: какая информация о двумерной функции g(r) содержится в каждой одномерной проекции /ф(р) (см. (В.2)). ,

Теорема о центральном сечении. 1D фурье-образ проекции двумерной функции есть центральное сечение 2D фурье-образа самой функции.

Убедиться в справедливости этого утверждения не представляет труда. Действительно, воспользуемся выражением (В.2) и найдем

фурье-трансформанту проекции f^p)'. ■

Л {/ф (»} = J exp (— 2mvp) йр J g (г) 6 (р — г- п) йЧ =

= J g (г) ехр (— 2nivr-n) d^r = G (р) |0=nv = G (nv).(2.23)

Здесь Р\ — 1D фурье-оператор, v — частотная переменная, сопряженная р, р(п, и) — 2D вектор пространственных частот. С другой

^2{я(г)} = У^(г)ехР(—2лф-г)(/гг = G(p),■(2.24)

что и доказывает сформулированную теорему.

В этих выражениях G(p) — фурье-спектр искомой функции, а орт п определяет направление прямой м. sin ф - у cos ср = 0, лежащей в частотной плоскости и проходящей через начало координат (м., у) (отсюда термин «центральное сечение»). Таким образом, при конечном числе проекций N спектр G(p) приближенно представляется набором радиальных прямых, иначе говоря определяется пространственно-частотным фильтром'

N

ФN (и, у) = N-1 2 6 (и sin ф{ — и cos срД.(2.25)

Содержание теоремы о центральном сечении можно также выразить в компактной операторной форме, если воспользоваться символом 2D оператора Радона, уже употреблявшимся ранее в (В.З):

Рг = Мг-(2.26)

При этом число проекций N считается бесконечно большим, т. е. вся частотная плоскость (и, у) предполагается заполненной радиальными прямыми. Отсюда вытекает чрезвычайно важное в практическом плане соотношение, выражающее 2D инверсию Радона через последовательность воздействия на проекцию сначала прямого (Ю), а затем обратного (2D) преобразований Фурье:

R^=F^FV(2.27)

Теорема об одной проекции. Пусть А и В — два целых, положительных или отрицательных числа; т, т', геи п — также целые числа, заключенные в ийтервале 0 ^ т, т’, п^ п' ^ М—1. Тогда ограниченная по спектру 2D функция g^ порядка М точно представима единственной проекцией, определяемой критическим углом q>o = arc 1g (Л/S), если Л и S не имеют общих множителей и равенство Ап-\-Вт=Ап'-\- Вт' выполняется только для т = т', ге = ге'.

Доказательство теоремы приведено, например, в [15]; здесь ради краткости изложения оно опущено. ."

Из теоремы вытекает несколько интересных следствий. В частности, существует оптимальный критический угол ф0 = arctg М-1,

для которого при переходе в частотную плоскость проекция представима полиномом степени (№—1)^ Если при этом выполнить обратное дискретное преобразование Фурье по выборке из ЛР величин, то можно записать формально обращаемую систему линейных алгебраических уравнений, которая устанавливает однозначное соответствие между одномерной последовательностью из Мг спектральных коэффициентов и }И2 значениями 2£> функции g(r). Таким образом, теоретически существует способ приближенного восстановления функции g(r) даже по единственной проекции (тем более — по двум, трем и т. д.), однако реальная трудность такой процедуры заключается . в чрезвычайно плохой обусловленности обратной задачи.

В [15] приводится оценка дисперсии восстановления значений искомой функции ■-

Т] = АГ* ^MelK^^i(2.28) ,

где т| — отношение дисперсий при восстановлении и экспериментальном измерении проекционных данных. Видно, что уже при М = 10 усиление погрешности измерений выражается огромной величиной: ц ~ 102.50. Однако такого рода оценки не учитывают наличия априорной информации о структуре объекта. В частности, задание простых форм изолиний улучшает обусловленность задачи настолько, что отношение ц становится величиной порядка нескольких единиц [12].-•

Рассмотрим одну из конкретных форм изолиний. Как уже отмечалось во введении, наиболее изученным и часто употребимым является случай осевой симметрии объекта, т. е. наличия линий уровня в виде концентрических окружностей. Покажем, как на основе теоремы о центральном сечении записать обращение уравнения (В.5), иными словами, получить формулу абелевой инверсии. .

Будем исходить из операторного соотношения (2.27). В нем, как уже пояснялось, нужно прежде всего произвести замену: 7?^х—>-

Л-1. Затем следует учесть, что для осесимметричных функций 20 оператор Фурье вырождается в самообращаемый оператор Хан- келя - нулевого ■ порядка Яо [16]:

Mg^ = ^0Vg^ = K4g^ =

■■= 2л J g (г) rJ0 (2лрг) dr.(2.29)

о■

Таким образом, вместо (2.27) имеем

Л-1 = HOFV.(2.30)

Действуя оператором Л-1 на проекцию /(у) в (В.5) и учитывая, что /(у) = /(—у), получим.

g (г) = Л-1 {/ (у)} = 2л J р70 (2лрг) dp ^ f (у) ехр (— 2лгру) dy = _ о—00

= IА (2лрг) dp J 2лр/ (у) cos (2лру) dy =

= j А (2лрг) dp J / (y) ^ [sin (2npy)J dy.

Интегрируя по частям и используя равенство ' с*f(b2-a2)-1/2, Ь>а,"

j Jo (at) sin btdt =b<a

запишем окончательный результат:

■■ <<r>-4j(7r^<r>°)-I2-3*)

Разумеется, к классической формуле абелевой инверсии (2.31) можно было прийти и другими способами, многократно приводившимися в литературе, однако описанный путь, по-видимому, наиболее явно и непосредственно отражает томографический характер задачи [171.

С точки зрения вывода, формулируемого теоремой об одной проекции, осевая симметрия, устанавливающая равноправие проекций, соответствует вырожденному случаю, когда понятие критического угла фа теряет смысл. Следовательно, оценка (2.28) становится беспредметно^. Тем не менее наличие простой формулы (2.31), на первый взгляд полностью решающей задачу, не означает, что погрешность восстановления функции g(r) будет того же порядка, что и погрешность измерения проекции /(у). Из-за необходимости дифференцирования /(у) задача является некорректней (неустойчивой), и любой алгоритм численного расчета g(r) нуждается в регуляризации, т. е. в использовании дополнительных ограничений на функцию g(r), согласованных с уровнем случайной ошибки измере- , ний проекционных данных /(у). В следующих главах мы еще не раз столкнемся с этой проблемой.

В связи со сказанным упомянем работу [18], авторы которой исследовали формулу абелевой инверсии, .не содержащую производной f(y). Записать такую формулу, исходя из (2.31), не представляет труда, нужно лишь произвести еще одно интегрирование по частям:

„ м = — А С 9 V(2.32)

л J (y2_r2)3/2';'

Однако подынтегральная функция при у = г дает неопределенность вида 0/0. Можно показать [19], что: а) эта трудность вполне преодолима, притом разными путями; б) примененная в [18] схема расчета g(r) на основе трехточечной формулы Гаусса не вполне корректна; в) удобно реализовать расчеты по (2.32) с использованием ку-

бических сплайнов; г) в ряде газодинамических и плазменных задач восстановление ^(г) с помощью (2.32) дает заметные преимущества по сравнению с (2.31) (некоторые из них будут проиллюстрированы ниже).

Имея в виду прикладные аспекты абелевой инверсии, отметим, что обычно функция g^ считается заданной не на всей плоскости, а лишь в круге радиусом R, причем последний предполагается известным и g^R) = 0. Тогда прямое и обратное преобразования Абеля (формулы (В.5), (2.31), (2.32)) сохраняют вид, но верхний бесконечный предел заменяется на R. Часто употребляется также эквивалентная (2.31) формула обращения

SW<2-33>

Наконец, говоря о математической стороне задачи, следует помнить о простом преобразовании выражения (В.5) к канонической форме линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода типа Абеля

ЭС

^x-y)~ag(y)dy = f(x),(2.34)

где в общем случае 0<а<1,а^0, а^я^Ь. (Переход от (В.5) к (2.34) осуществляется очевидной заменой переменных.) Решение (2.34) имеет вид

g (ж) = л 1 sin (ал)g (ж) = л 1 sin (ал)(ж — af^j (ж) +(ж — af^j (ж) +

g (ж) = л 1 sin (ал)

g (ж) = л 1 sin (ал)

(ж — af^j (ж) +

(ж — af^j (ж) +

ЭС

(2.35)(2.35)+ (1 — а) J (^ — yf"^\1 № — / (^)) Й

(2.35)

(2.35)

причем от /(ж) не требуется непрерывной дифференцируемости, a необходимо лишь выполнение условия Гёльдера (с гёльдеровским показателем X > 1—а). При абсолютной непрерывности /(г) на отрезке [а, 6] формулой -(2.35) определяется единственное решение уравнения (2.34) в классе функций, интегрируемых по Лебегу.

Наличие во всех трех вариантах формулы абелевой инверсии нияшего предела интегрирования, равного г, отражает факт выполнимости условий теоремы о пустой подббласти (hole theorem), упоминавшейся во введении. В данном случае подобласть — круг радиусом г. Если эта подобласть непрозрачна, то данное обстоятельство не отражается на точности восстановления g(r) во всей остальной области определения этой функции.

Нельзя, однако, забывать о том, что в реальном газодинамическом и плазменном эксперименте ситуация бывает менее благоприятной. Например, при восстановлении локальных оптических харак-

теристик потока нагретого газа или плазмы (коэффициентов испускания е(г), поглощения х(г) и т. п.) по выходным интегральным данным зачастую не удается охватить прямыми измерениями все участки объекта. Может также оказаться, что по тем или иным причинам часть измерений сопряжена с очень большой погрешностью, т.. е. малодостоверна. Таким образом, встает задача восстановления функции ^(г) во всей области ее задания по неполной проекции /(у). Эта задача изучалась авторами в [20] и, кроме того, подробно обсуждалась в [4, 21]. В чисто математическом плане (после процедуры дискретизации) она сводится к задаче о поиске нормального решения недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений ■

2 Knmgm = /п, m = 1, 2, ..., М; п = 1, 2, . .., N, (2.36)

при N < М. Для ее решения привлекались как давно апробированные схемы псевдообращения матриц [22], так и современные варианты метода статистической регуляризации [23]. Сводка полученных в этих работах результатов приводится в [4, 21]. Здесь мы несколько дополним эти данные следующими соображениями.

Легко убедиться в том, что по мере увеличения размеров области Ду, для которой отсутствуют проекционные данные /(у), требования к априорной информации в любом применяемом методе регуляризации резко возрастают. В этих условиях более предпочтительной становится схема восстановления g(r) па основе формулы (2.32), не содержащей производной f(r). Это проверялось в числеп- ных расчетах \ часть результатов которых приведены на рис. 2.4. В первом случае (а) предполагалось, что измерения /п с погрешностью 2% выполнены только для хорд в интервале 0 ^ у ^ 0,5; во втором случае (6) считался «пропущенным» интервал 0,6 <7 у <7 ^ 0,75. Крестиками показан результат восстановления g(r); точный результат указан сплошной кривой. Схема использованной при этом сплайновой аппроксимации описана в [19].

Радикальное улучшение решения задачи абелевой инверсии с неполными проекционными данными достигается в спектротомографическом эксперименте, когда, в частности, учитывается влияние эффекта реабсорбции в слое. При этом число хордовых измерений /„ в принципе' можно уменьшить до одного, когда остается лишь одна центральная хорда. Такая возможность используется, например, в известном пирометрическом методе Бартельса [24], где вдоль центральной хорды измеряются абсолютные интенсивности в пиках самообращения спектральной линии и независимым путем оценивается параметр неоднородности q (см. § 2.1). Метод является чисто эмиссионным, не требующим привлечения трансмиссионных измерений. Упомянем также полезную разновидность этого метода [25], в этом1 случае эксперимент заметно упрощается за счет перехода к относительным интенсивностям. '

Рис. 2.4. Результаты восстановления функции g(r) по неполной проекции /(у) с помощью инверсионной формулы (2.32.) Случайная погрешность измерений 2%.а — нет измерений при у > 0,5; б — то же в интервале 0,6 ^ у < 0.75 (зоны заштрихованы).Рис. 2.4. Результаты восстановления функции g(r) по неполной проекции /(у) с помощью инверсионной формулы (2.32.) Случайная погрешность измерений 2%.а — нет измерений при у > 0,5; б — то же в интервале 0,6 ^ у < 0.75 (зоны заштрихованы).

Рис. 2.4. Результаты восстановления функции g(r) по неполной проекции /(у) с помощью инверсионной формулы (2.32.) Случайная погрешность измерений 2%.

а — нет измерений при у > 0,5; б — то же в интервале 0,6 ^ у < 0.75 (зоны заштрихованы).

Рис. 2.4. Результаты восстановления функции g(r) по неполной проекции /(у) с помощью инверсионной формулы (2.32.) Случайная погрешность измерений 2%.

а — нет измерений при у > 0,5; б — то же в интервале 0,6 ^ у < 0.75 (зоны заштрихованы).

7V(r) = -l.V<7V(r) = -l.V<Na (г') dr'Na (г') dr'Если второй момент функции источника ц2 тем или иным способом (§ 2.1) определен и, следовательно, параметр g для центральной луч-суммы известен, переход к радиальным зависимостям важнейших газовых или плазменных характеристик обычно не встречает затруднений. Еще в работе [26] устанавливалась простая связь эмиттеров NV') и абсорбентов ^(г) для фиксированного спектрального перехода: ■ '

7V(r) = -l.V<

7V(r) = -l.V<

Na (г') dr'

Na (г') dr'

(2.37)

где параметр n (1 ^ п < оо) связан с q соотношением q = 6/[(п + + 2)(n + l)L ,

Пусть радиальное распределение эмиттеров NV') определено, например, по схеме Узбба [271, в которой измеряется интенсивность линии, имеющей общий верхний уровень с исследуемой, но не искаженной реабсорбцией.

(2.38)(2.38)Вводя вспомогательную функцию ф (г) = J Na (г') dr\ можно свести (2.37) к дифференциальному уравнению

(2.38)

(2.38)

= - -N^Adrп х '

с элементарным решением ф" = 2 j N (г') dr'. Отсюда легко нолучить-

Wa(r) =^—г(2.39)

Используя условие локального термодинамического равновесия и явньГй вид формулы ионизационного равновесия (Саха), имеем

т IrllAZL1.

'Lr(2 40)

W (т^у^ Г v.?Tm4'

. ЗДеХР[ 2PmU(r) У •

В этих выражениях Т,п — максимальная температура на центральной хорде, ДЕ — энергетический интервал для рассматриваемого перехода, У, — потенциал ионизации, включающий необходимые поправки на его снижение,.

Интересные результаты по одномерной (абелевой) спектротомо- графии низкотемпературной плазмы получены в работах [28, 29]. Показано, что если l(v, у) есть «центр» области распределений 1^, у), которые представимы в виде ряда по ортонорМированным векторам U^y), то аналогом формулы (2.31) будет служить выражение

В качестве U, целесообразно выбрать собственные векторы информационной матрицы задачи (произведения ковариационной матрицы результатов эксперимента на обратную матрицу ошибок [301), соответствующие собственным числам К, ^ 1. Значения А; < 1 отвечают неинформативным направлениям внутри эллипсоида ошибок. Отбросив их, исследователь находит «эффективную» размерность пространства результатов эксперимента, т. е. число р коэффициентов разложения С^ не зависящих от пространственной координаты.

В работе [29] для ряда спектральных линий Na, Cs, Т1 и Нд, возбуждаемых в металлогалоидной лампе, с помощью автоматизированного спектротомографического комплекса регистрировался и обрабатывался массив поперечных профилей для спектральных участков внутри контуров линий. В результате оперативно и с высокой степенью надежности произведена сортировка профилей, отражающих структурную картину"областей вобзуждения различных компонентов плазмы сложного состава. Подчеркнем, что в процессе такой обработки данных извлекается важная информация о статистических характеристиках шумов регистрируемых сигналов: удается проверить гипотезы о гауссовости шума, об однородности дисперсии, оценить ковариационную матрицу задачи.

АБЕЛЕВА ИНВЕРСИЯ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Результаты исследований структуры нестационарных осесимметричных потоков газа и плазмы в сиду одномерности томографической задачи позволяют -продвинуться в решении важного вопроса о взаимосвязи требований, предъявляемых к пространственному и временному разрешению в задачах РТ. До сих пор нестационарный характер процессов, совокупность которых формирует распределение x(v, г), e(v, г) и т. п., не принимался во внимание. Неявно предполагалась возможность достаточно произвольного выбора интервала регистрации Af, от которого существенно зависит расчет в общей постановке 2D задачи локальной диагностики [21]:

г+д</2^,im')"

/ (ж, у, t) = ^-г ^ at' J g (ж, у, z, Г) dz,(2.42)

г~д(/2 z^x.y.t'i

где / — результат измерения, zt, z2 — границы объекта, с — константа, g — функция (функционал) искомых параметров.

По условиям того или иного эксперимента интервал А? может оказаться малым, и приходится считаться с тем, что мгновенной реакцией на изменение сигнала не обладает ни одно реальное ирием- но-регистрирующее устройство. Многочисленным проблемам технического характера при проведении диагностического эксперимента (эмиссионного, интерферометрического с регистрацией рассеяния и др.) в условиях быстрого протекания изучаемых процессов посвящена обширная литература (см., например, монографию [31]). Мы ограничимся здесь лишь краткими комментариями методического плана, касающимися в основном способов учета искажений, которые вносятся в задачу РТ нестационарностью структуры объекта. (Эти способы не очень распространены среди эксперимептаторов, но тем не менее уже продемонстрировали свою перспективность).

Пусть Ц1) — переходная функция, характеризующая реакцию приемно-регистрирующей системы на единичный скачок сигнала. Простейшей из известных, по-видимому, является «релаксационная» аппроксимация вида

■Ц1) = 1 — ехр (—</т), "(2.43)

где т — некоторый параметр релаксации. В этом элементарном рассмотрении пространственные переменные нас не будут интересовать вообще, поэтому искомый неискаженный сигнал запишем в виде g^t); на выходе системы, очевидно, получим ■

t■

/(0= J ^^г(П^.(2-44)

Иногда удобно записать f^ = g(Qy(O и искать корректирующий множитель у((). Например, если h^t) выражается согласно (2.43),

a .ДО — гауссиана:

g^ = go ехР [-4(ln 2W-'w4

(и — скорость сканирования профиля линии с полуйириной ю), то у (1) = (6/2) exp (а2/2) J охр (— ж2/2) dx,

где а = 2,35pJ/w — 6/2; 6 = D,85mVvt. Асимптотика 6 -> со соответствует y(t) —> 1 (бесконечно медленная регистрация и отсутствие искажений). С уменьшением 6 снижается интенсивность в пике профиля линии, происходят сдвиг максимума и рост ширины профиля; минимальное значение последней не может быть меньше от.

В более общей постановке обратная (редукционная) задача сводится к деконволюции вольтерровской свертки (2.44); математическую сторону этого вопроса мы затронем ниже.

Специфические искажения спектральных распределений, в частности, в задачах спектротомографии возникают при скоростном сканировании участков спектра с помощью двойного электронно-оптического преобразователя (ДЭОП) [32—35]. Если и — скорость сканирования электронного изображения спектрального интервала в направлении поперек щели шириной s, то, как показывает простое рассмотрение, зависимость тока от времени /(t) выражается в виде

. et+s/2

. f(.t)-c J g^du, (2.45)

el—s/2

где g(u) — неискаженный участок спектра, с— константа.

Соответствующая прямая задача хорошо известна в спектроскопии: она возникает, например, при расчете интегральных характеристик в конечном спектральном интервале [1]. Сложность решения обратной задачи (например, методом А. Н. Тихонова или статистической регуляризации) заключается в прямоугольной форме ядра уравнения, причем успех решения в сильной степени определяется величиной отношений siw, где w — полуширина функции g^. Стандартные методы восстановления эффективны примерно до значений (s/ш) ~ 5—6, однако уменьшать s можно лишь в определенных пределах, поскольку это непосредственно связано с чувствительностью измерений [36].

Заметим, что задачу о выборе оптимальных характеристик комплекса ДЭОП + томограф можно /решать по схеме ранжировки модельных компонентов информации [37], которая является разновидностью метода дескриптивной регуляризаций [19]. При этом искомая функция g^ находится в виде

. 8 = 8i + Г^, (2.46) где g^ — априорная модель (например, временная зависимость фототока /(f)), аГ^2 — редукционная поправка, состоящая из двух матричных сомножителей: g4 = f — Kf (К — матрица, соответствующая

аппаратной функции комплекса) и «весовой» матрицы Г; Структура Г определяется несколькими факторами, в том числе связанными с информационной обеспеченностью полной обратной задачи. Она позволяет в удобной параметрической форме производить оптимальную ранжировку, т. е. согласованное с реальными возможностями всего комплекса подавление высокочастотных шумовых- составляющих. Для осесимметричной обратной задачи параметризация Г существенно упрощается.

Струя газа, плазменный столб или иной осесимметричный объект могут испытывать без заметного нарушения внутренней структуры случайные поперечные перемещения, нередко характеризуемые значительными средними амплитудами и частотами. Скоростная фотоэлектрическая регистрация эмиссионного или трансмиссионного' спектра при этом не всегда осуществима. В подобных случаях целесообразно использовать дополнительную информацию о плотности вероятности Р(у) отклонения оси объекта от некоторого фиксированного положения [38—401. Эту плотность вероятности можно рассматривать как своего рода аппаратную функцию системы, искажающую распределение /(у), подлежащее дальнейшей абелевой инверсии, т. е. •

Ну) = J Р(У— У'Шу'Ж- (2.47)

В цитированных работах [38—40], а также в обзорной статье [41 ] рассмотрены способы определения аппаратной функции Р^у) по фоторегистрограммам. Отмечается, что перемещения оси цилиндра могут носить как случайный, так и регулярный (хотя и сложный) характер, а функции /(у) и /(у) в (2.47) могут быть как монотонным^, так и немонотонными. -

В работе [421 исследовались способы получения регуляризованного решения комплексной задачи, состоящей в восстановлении радиальных зависимостей коэффициентов поглощения x(v, г) и испускания е(х, г) при наличии регулярных и хаотических перемещений оси излучателя. Из оценок и модельных расчетов [42] следует, что при характерных соотношениях полуширин распределений Р^ и /(у), а также типичных погрешностях измерений Р(,у) и /(у) применение метода статистической регуляризации позволяет восстанавливать x(v, г) с точностью порядка 10—25%, а итерированный коэффициент испускания e(v, г) — с точностью порядка 20—30%. Нужно заметить, что со времени выхода работы [42] как техника съемки фоторегистрограмм, так и численные методы восстановления х и е были значительно усовершенствованы, в связи с чем сегодня указан^ ные оценки погрешностей могут быть снижены по крайней мере наполовину. ■ . - ’

Для задач динамики разреженного газа в последние годы все большее значение приобретает метод нестационарной диагностики течения, использующий эффект лазерно-индуцированной флуорес-

ценции. По существу, это разновидность метода ПЛИФ, описанного в гл. 1. В данном случае перестраиваемым по частоте импульсным лазером индуцируется резонансная флуоресценция в потоке разреженного газа или плазмы (с, выделением или без выделения тонкого слоя), кривую затухания которой/(v; t) на разных частотах v удается регистрировать с хорошей чувствительностью и точностью [43]. С другой стороны, есть возможность связать функцию отклика g(v; Г) с параметрами потока [441. Можно показать, что задача сводится к последовательному решению двух уравнений Вольтерра 1-го рода типа свертки:-

t'

_■ fb; О = ^i(< — <')?i(v; t’^dt*,.

'(2.48)

.^(v; t) = J K(t — t')g(y; t')dt',

■о-

где K^t) — временной профиль лазерного импульса, ^(t) — аппаратная функция отклика.

Точность восстановления функции g(v; t) из (2.48), а по ней — параметров течения может быть значительно повышена за счет того, что независимо экспериментально измеряется интеграл

К2 (t) = J К (Г) К^ ^ - t') df(2.49)

О"

и функцию g(v; £) можно факторизовать в виде g(v; i) = = gl^ exp (—</т).

Из приведенного краткого обзора обратных задач для нестационарных объектов видна важная роль интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода типа свертки:

-t

/G) = f K(t— г) g(r)dr.(2.50),

о■

В работе [45] были найдены новые формы решения (2.50), удобные для целей программной реализации и легко сочетаемый с процедурой абелевой инверсии. Укажем здесь на одну из таких форм.

В трансформантах формальное решение (2.50) имеет вид ■(2.51)

где черта сверху обозначает преобразование Лапласа. Можно выделить класс ядер К, лапласовское отображение L которых обладает следующим • свойством:.

lim ртК (р) = 1, рт = р? -р^ .... ргпп.

Такой класс ядер достаточно широк; для него оказывается справедливым следующее представление лаплас-трансформанты:

К(р) = Q(P}lPm(p),(2.52)

где ^(р) — функция со степенным ростом q = т — г, Ptm,(p) — полином степени т. Отметим, что т > г > 0, т = (пг^ тп2, ..., т^, 9 = ($1, Qs* •■•7 9nY mt 9 6^+, ^+ — выпуклый острый конус. 'Тогда искомая форма решения уравнения (2.50) такова:

g (т) - J 0 (т - 0 Р("° (У / W dtf(2.53)

где к <. п, О = L~1(1 IQ(р)), PW ^j — полиномиальный дифференциальный оператор.

Вопросы построения эффективных вычислительных алгоритмов для сверточных уравнений типа (2.50) подробно изучались Ю. Е. Воскобойниковым с соавторами [19, 46, 47]. В таких алгоритмах-существенным образом используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), причем последнее не только составляет основу расчетной процедуры, но и применяется при выборе параметра регуляризации, оценивании характеристик точности решения, компенсации смещения и т. д. С небольшими изменениями те же алгоритмы могут использоваться при поиске регуляризованного решения уравнений Фредгольма l-ro рода типа свертки, например уравнения (2.47)

Г л а в а 3

ТОМОГРАФИЯ С АПРИОРНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ.

ОБОБЩЕНИЯ АБЕЛЕВОЙ ИНВЕРСИИ

В этой главе мы продолжим рассмотрение двумерных ли нейных задач РТ, постановка которых определяется наложением на вид искомого решения достаточно сильных априорных ограничений. Основу по-прежнему будут составлять прямое и обратное преобразования Абеля, обозначаемые операторами А иЛ"1. Однако в отличие от простых ситуаций, обсуждавшихся в гл. 2, здесь остановимся на более сложных методах диагностики и расчета, в которых преобразование Абеля либо в том или ином смысле обобщено, либ({ выступает как своего рода «операционный блок» комплексного и разветвленного алгоритма. Для более компактной записи возникающих в ряде случаев громоздких выражений мы иногда будем пользоваться сокращением:

А(ф; и — у) = ф(м)и(п2 — г2)-1/2, (3J)

где ф — некоторая функция, 0 ^ и, г ^ R. Такая запись представляется оправданной тем, что указание в формулах одних лишь операторов Абеля А и А-1 при изменении вида и смысла переменных могло бы привести к недоразумениям..

. ПРИМЕРЫ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ И ПЛАЗМЕННЫХ ЗАДАЧ, ВКЛЮЧАЮЩИХ АБЕЛЕВУ ИНВЕРСИЮ•

Восстановление радиальной зависимости . температуры локально равновесной «турбулентной» плазмы

Рассмотрим для определенности дуговой разряд на постоянном токе, который обдувается потоком газа в продольном направлении. Известно, что при этом на некотором расстоянии от катода дуговая плазма приобретает отчетливо выраженный флуктуирующий, «турбулентный» характер [1].' Хаотическим изменениям подвержен и эмиссионный спектр 7(v) такой плазмы, регистрируемый при достаточно малых экспозициях. Для многих практических приложений, в частности для задач плазмохимии, особенно интересно изучение турбулентного поля температур дуги, поскольку температура входит в качестве определяющего параметра в выражение для скорости химической реакции. Соответствующий эксперимент описан в работе [2].

Примем, что средние по времени интенсивность выходящего вдоль хорды L излучения <7(v, у)) и локальный коэффициент испускания (e(v, г)) связаны друг с другом преобразованием Абеля:

■к■

'</(v, у)> = 2 [ A«e(v, r)>; г — y}dr.(3.2)

Пусть длянекоторых частот v; в спектре произведена численно инверсия Абеля: -■

R ■■

<6(vb г)> = — j(лу)-1А ^-^р^ y — r^dy, г = 1, 2, 3(3.3)

Опуская далее указание переменной г и переходя к локальным значениям равновесной температуры Т, получим выражение

<еЫ> = ^ Р (Т) г (vi, Т) dT,(3.4)

. о

где Р(Т)-плотность вероятности температурных пульсаций. Здесь, как обычно, в силу эргодической гипотезы усреднение по времени заменено усреднением по множеству реализаций.

Формула (3.4) заключает в себе систему интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода относительно Р(Т), если дискретную по переменной V; функцию c(v,-, Т) считать ядром, вычисляемым независимо. В [2] такие вычисления производились для линий кислорода 0 1 394,7 нм и 01 436,8 нм, а также для участков прилегающего к линиям континуума. В расчетах использовались известные данные

4 в. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский'40

juc. 3.1. Восстановленные распределения <Г> и 0 для дуговой плазмы с флуктуациями температуры (г — радиальная координата)..

ио термодинамическим функциям [3, 4] и по вероятностям перехода для кислорода. ■

и интенсивности турбулентных пульсацийи интенсивности турбулентных пульсаций6 = <(Г - (Г»2)1^.-6 = <(Г - (Г»2)1^.-(3.5)(3.5)В приближении гауссовой плотности вероятности Р(Г) методом 41ьютона решалась двухпараметрическая обратная задача определения усредненной по времени локальной температуры Т

и интенсивности турбулентных пульсаций

и интенсивности турбулентных пульсаций

6 = <(Г - (Г»2)1^.-

6 = <(Г - (Г»2)1^.-

(3.5)

(3.5)

На рис. 3.1 приведены восстановленные радиальные распределения <Г> и 0, а также указан доверительный 95%-ный интервал. Кроме того, исследовалась задача, содержащая меньший объем экспериментальной информации, когда (Г) и 6 находятся только по одной из спектральных линий и континууму; эти результаты показаны на рисунке штриховой линией. Видно, что интенсивность пульсаций монотонно растет от центра к периферии дуги, что подтверждает точку зрения авторов [1, 5J о развитии неустойчивости в периферийной области плазмы.'

Говоря о расширении возможностей описанного выше диагностического метода, полезно иметь в виду следующее. Поскольку надежных данных для вычисления ядра e(vz, Г) зачастую может не оказаться, желательно переформулировать алгоритм решения задачи в варианте относительных, а не абсолютных коэффициентов испускания:

/.Л<e(v^>гзт

v(v2)/<8(V2)>‘‘

Переход от интенсивностей линий к (р) или (у), очевидно, также вы полняется с помощью абелевой инверсии и каких-либо принципиаль ных трудностей не вызывает (конечно, если слой оптически тонкий) Функциональная зависимость (Р) и (у) от температуры более с лож ная [6, 7]. Опуская ее анализ, укажем лишь на окончательные вы ражения для оценки погрешностей температурных измерений в обо. их случаях:

дг₽ Д£ ,

<Г><г> In (<р>/с)11

Д^ = \Е(

<Г><7’>1п«т>/с)L

Здесь АГр = Гр — <Г>; А7\ = Т^ — <Т>; усредненные температуры Гр и Гу соответствуют способам измерения относительных коэффициентов испускания согласно (3.6); АЕ — разности энергий

б

Рис. 3.2. Относительные отклонения температур при наличии пульсаций, распределенных по закону Гаусса. Ег!<1> = 10. Ег — большая из двух энергий верхних уровней для выбранных линий. ■

а — усредненное отношение двух коэффициентов испускания; б — отношение двух усред- •' ценных коэффициентов испускания.

верхних уровней рассматриваемой пары линий; константа С содержит частоты, статистические веса и вероятности переходов для этой пары.

Характерные результаты расчета отношений (3.6) в процентах представлены на рис.'3.2. По оси абсцисс отложены значения а — квадратного корня из дисперсии, фигурирующей в законе Гаусса. В одном случае (при использовании величины <р>) отклонения ДГ^ сравнительно невелики и меняют знак при переходе через значение параметра AEi^T^ равное двум. В другом случае (для отношения <у>) отклонения Д7\ монотонно и довольно быстро нарастают. Отсюда ясно видны" преимущества процедуры усреднения отношения коэффициентов испускания <₽> в двух участках спектра.-

- Дальнейшее развитие метода связано с восстановлением Р(Г) из (3.4) по большому набору линий и частотных интервалов*континуума без предположения о гауссовой форме распределения плотности вероятностей температурных флуктуаций.

Пирометрия

высокотемпературных струй с калиброванным просвечивающим источником сплошного спектра-

При исследовании струйных потоков нагретого газа, а также некоторых типов газовых разрядов довольно часто применяется так называемый метод линейного поглощения с калиброванным по температуре. (Г8) источником сплошного спектра [8]. Пусть исследуемый объект осесимметричный, причем для просвечивания выбран участок спектра со сравнительно небольшой оптической толщиной. При наличии широкополосного просвечивающего излучателя выбрать такой участок нетрудно. Предполагаются измерения только относительных величин [9].-'

Введем следующие обозначения:.

I^y1) — интегральная интенсивность вдоль у — хорды от просвечивающего источника в отсутствие изучаемой струи;

7а(у) — суммарная (также интегральная по частоте) интенсивность, т, е. свечение нагретой струи плюс ослабленное поглощением в струе излучение источника с температурой Ts;

73(у) — интегральная интенсивность струи, не просвечиваемой извне..

Тогда по определению эквивалентной ширины Q(y) участка спектра Av [101 имеем, с одной стороны,'

Q^ = 1 - ^ЖЛ + 7з1С0; /21 =^ = ЬИм М

а с другой — AV/21/2

dv. ’ (3.9)dv. ’ (3.9)— ехр — 2Zn J к (v, ж) dx—мцL о

dv. ’ (3.9)

dv. ’ (3.9)

Здесь использованы те же обозначения и нормировка, что и в § 2.1.

При небольшом поглощении в интервале Av можно записать ли

неаризованный вариант выражения (3.9):.

Av/2 1/2R -

Q^ — ^ J J х(у,ж)йжс?у = ^^АФ; r — y)drx (3.10) — Av/2 Оу

где■

'Av/2

" D (г) = j к (v, г) dv, '

—AV/2-■

Зависящую от радиальной координаты интегральную по участку спектра Av функцию Z)(r) можно исключить из рассмотрения, заметив, что для локально-равновесного объекта небольшой оптической толщины

’ R'

•/31(y)~24#(v0, Fs) AvF^AU^r)^^^(3.11)

у

где В — символ функции Планка. Абелева инверсия выражений (3.10) и (3.11) позволяет записать

■ ' B(r) = 5[v0, 1W = ^(vo, T^G-^r),(3.12)

где

RI R

Окончательная формула для радиального распределения температуры' в струе приобретает вид '

Т(г) = Нчй In"1 {1+ G(r)[ exp Qt^jT^ - Uh (3.14)

или в приближении Вина, т. е. в пренебрежении вынужденным излучением:

Т^ = ГД! + №^ In ^(г)]"1.(3.14а)

В этих формулах, как и ранее, температура выражена в энергетических единицах и константа Больцмана к = 1.

В качестве примера одного из реальных применений описанного метода можно указать работу [11], в которой восстанавливалось температурное поле плазмотрона.

Определение поля скоростей . движущейся неравновесной плазмы

Рассмотрим, следуя [12, 13], важную для радиационной газодинамики и квантовой электроники задачу о нахождении составляющих радиальных и продольных скоростей атомов или ионов по доплеровскому сдвигу контура поглощения (либо испускания). Идея применяемого здесь метода состоит в -установлении для осесимметричного потока плазмы непосредственной связи между регистрируемыми s(z/) и локальными s(r) доплеровскими сдвигами на основе уравнения ..

.R-

- т (у) = (2/sin «рД J А (х, г — у) dr,(3.15)

где <рт — угол между линией наблюдения и осью симметрии потока. Если положить цц = л/2, то доплеровский сдвиг центра линии s(r) позволит оценить лишь радиальную составляющую скорости частиц Fr(r). Привлечение второго угла наблюдения дает возможность найти продольную составляющую скорости Fz(r) [14]. В частности, при Уг(г) = 0.

-У2(г) = cs(r)/(y0 cos cpj);.(3.16)

здесь v0 — несмещенная частота центра линии.

Последовательный путь восстановления радиального распределения доплеровских смещений s(r) потребовал бы многократного решения уравнения (3.15) для большого набора частот в пределах профиля коэффициента поглощения (испускания). Однако, используя дополнительную, не слишком жесткую априорную информацию относительно формы x(v, г), а также некоторые упрощения сугубо математического характера, удается значительно облегчить решение задачи.

Действительно, запишем выражение для коэффициента поглощения в виде

. x(v, г) = x1(r)x2(v, г),(3.17)

где x2(v, г) — нормированный по частоте на единицу доплеровский профиль:

х.^, г) = л-1^-!^) Схр {— [(v — vm(r))/w(r)]2)r(3.18)

Для сдвигов линии как функций координат г и у запишем 8^ = Vnl(r) — Vo, S^ = vm(y) — Vo, где vm(r) и vm(y) — локальное и регистрируемое положения центров смещенной линии. В случае <рг = л/2:

к •

.t(v, у) = 2 J А (х^, г — у) dr-,(3.19)

^7^ |v=vm(y) = — 4 J Л l^2 (V — V™ ^Ю ^ Г~ ^ dr = °" (3,20> У ■

Если в (3.20) положить в первом приближении w(r') — const, то, как легко убедиться,'

в"

2 J А (х1х2vm; г — у) cZr = vm (у) t(v, у)..

.У"_

После интегрирования по частотам отсюда следует 'R.-

2 j Л(х1(г)5(г); г — y)dr = s^t^,-(3.21)

причем т (у) = J т (v, у) dv. .

•о.

’ Обращая (3.19) и определяя тем самым радиальную зависимость коэффициента поглощения (3.17), мы получаем возможность находить локальные значения сдвигов s(r) по измеренному доплеровскому смещению s(y) и интегральной оптической толщине т(у):

в

т

Если для двух углов наблюдения q>t и ср2 определены величины т^у), s^y) и т2(у), s2(y), то по этим данным обычным путем легко рассчитать компоненты направленных скоростей атомов (ионов) Уг(г) и У2(г).

Рассматривая сходную по постановке обратную задачу Альборн и Моррис [15] показали справедливость соотношений (3.21) и (3.22) при произвольной форме профиля x2(v, г). Это открыло более широкие возможности для локальной диагностики плазмы по сдвигам линий, однако возникла дополнительная трудность — разработка эффективной процедуры сепарации отдельных сдвигов составляющих [10]. '

Косвенным подтверждением применимости методики измерения локальных доплеровских сдвигов для цёлей анемометрии сильно не-

равновесной плазмы ионного лазера может служить работа [16]. Такие измерения весьма перспективны в связи с развитием техники сильноточных разрядов с поперечной сверхзвуковой прокачкой газа, которые используются для создания мощных ионных лазеров непрерывного действия, работающих в видимой и УФ областях спектра [17, 18]. Восстановление полей Fr(r) и У2(г) особенно важно здесь для изучения механизмов возникновения и развития ионно-звуковой неустойчивости разрядной плазмы и возможностей подавления этой неустойчивости.

Авторы известной монографии по диагностике высокотемпературной плазмы [191 отмечают большую важность задачи о восстановлении радиальной зависимости сдвига эмиссионных спектральных линий в связи с развитием инжекционных плазменных методов (плазменные движители, системы заполнения тороидальных камер, обработка материалов плазменной струей и т. п.). Переход от абсорбционных измерений к эмиссионным не меняет схемы вычислений s(r), хотя априорное условие факторизации, эквивалентное (3.17), может оказаться более жестким (см., например, [20]).

Восстановление •'-'

радиальной зависимости доплеровской-

и лоренцевой полуширин контура

■ линии поглощения.

-Описанный подход, позволяющий от измеренных сдвигов

линий переходить к их локальным значениям, можно без больших изменений перенести в задачу определения радиальной зависимости полуширины профиля линии ш(г) [12, 14].\-

Если для простоты принять, что доплеровский сдвиг контура линии поглощения пренебрежимо мал, то можно:

. а) перейти от определяемой обычным образом доплеровской полуширины wD(r) к полуширине локального контура wD(r), измеряемой на уровне точки перегиба:

■ wD(r) = шл(г)№■(3.23)

получить двойным дифференцированием (применяя технику регуляризации [14]) распределение точек перегиба контура как функцию от координаты у : шс(у);

повторяя выкладки предыдущего раздела, записать следующую формулу обращения: .

Г ,-1,

Л _ ы; (у); у — г г/ kdyJ \dy/

WD (г) - д;(3.24)

2 f У — y-1dy

.J \dy /

найти no wD(r) радиальную зависимость температуры 7 (г) атомов или ионов, ■

По мнению авторов [12], в ряде случаев можно избежать довольно трудного этапа (б) и пользоваться сразу формулой (3.24), где вместо ш2(у) стоит непосредственно измеряемая по лучу зрения полуширина w^y) = 2(2-lii 2)1/2шп(у). При этом в знаменателе (3.24) появляется множитель (In 2).•

Расчеты для дисперсионного (лоренцева) контура приводят к следующему результату:

т (У) wl (у) = (2/3) J A (x^l; г — у) dr,(3,25)

у'

где wL(y) — вновь распределение точек перегиба на наблюдаемом контуре. Переход к формуле обращения, аналогичной (3.24), производится тем же путем, что и ранее; благодаря введению в рассмотрение величины шь(у) возможно упрощение задачи. Находя wL^r), исследователь может затем перейти к восстановлению радиальной зависимости плотности частиц в нагретом газе или плазме на основе известной теории уширения спектральных линий давлением [20, 21]

Разные задачи

Уже. говорилось, что уравнения типа Абеля могут возникать при анализе самых разнообразных и подчас неожиданных газодинамических и плазменных ситуаций. В дополнение к предыдущим приведем здесь еще несколько примеров, которые, однако, затруднительно было бы как-то систематизировать. Их объединяет, пожалуй, лишь одно: исследователь должен достаточно свободно владеть современными методами абелевой инверсии и использовать, если это целесообразно, альтернативные пути решения. <■

При исследовании электронной эмиссии с катода в высокочастотном поле плазменного ускорителя-микротрона [22] возникает интегральное Уравнение Шлемильха вида

л/2■

/(у) = 4 J g^ysinx^dx,(3.26)

где по измеряемой функции /(у) требуется восстановить g^yY Заменой переменных

у = Уи, у sin х = Уv

gCVu^Vu = g(.vy, НУи) =7^'

уравнение (3.26) приводится к уравнению Абеля для функций g(dj и /(и). Помимо этого, как показано в [23]т существует другой удобный путь решения (3.26): разложение g^y) по собственным функциям интегрального оператора задачи, которыми являются степенные функции уп (п = 0, 1, 2, ...).■

В задачах лазерного зондирования турбулентных газовых сред [24, 25] возникают различные варианты уравнений абелева

типа, связывающие, например, пространственную спектральную плотность флуктуаций показателя преломления среды с временным спектром флуктуаций логарифма -амплитуды плоской когерентной волны, распространяющейся в этой среде. Реальной ситуации обработки данных спектральных измерений, выполняемых с одномодовым Не—Ne лазером, соответствует, в частности, следующее обобщенное уравнение типа Абеля: *

tto-^^y-^.8^(3'27)

В работах [24, 25] подытожены данные о восстановлении функции g^ из экспериментов по лазерному зондированию, выполненных на приземных трассах различной протяженности.

При отыскании закона распределения радиусов шаровых частиц в задачах моделирования двухфазных (например, газожидкостных) течений [26], когда измеряются сегменты, образующиеся при пересечении частиц случайными плоскостями, появляется уравнение Абеля с бесконечным пределом

у

. KvV= с(3 28)

Для достаточно быстро убывающих на бесконечности функций, а именно |/(у)| ^ с|у|~“^е, остается справедливым стандартное решение

»(А = sinon d Г ' / (у) Дуf3.29)

л dx J ^ — у)1-«

с заменой а на — оо. Если же /(у) имеет на бесконечности нуль произвольного порядка, то решение приобретает вид [27]-

g (ж) =g (ж) =(3.30)(3.30)(1 — a) sin ал Г/ (z) — / (z — у)я J

g (ж) =

g (ж) =

(3.30)

(3.30)

о у

При исследовании отражения магнитогидродинамических и ударных волн в плазме от препятствия с прямолинейной границей [28] приходится решать двумерное уравнение Абеля вида

(3.32)(3.32)где D — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотену- зойна оси ж и вершиной в точке (х6з у0). Алгоритм решения таков [29]:

(3.32)

(3.32)

■ g (*, у) = А 2л■ g (*, у) = А 2л#f\ dz /#f\ dz /

■ g (*, у) = А 2л

■ g (*, у) = А 2л

#f\ dz /

#f\ dz /

F f f ■/(и, г) Ди de ,([^/-(z-u)2]1^

причем Di — теперь равнобедренный прямоугольный треугольник с вершиной в точке (х, у) и гипотенузой на оси и плоскости ии..

В задачах аэродинамики часто используется так называемое уравнение Пакетта [301, связывающее потенциал U(ж, у, z) возмущенных скоростей потока, обтекающего трехмерное крыло, и безразмерную интенсивность «источников» Js(x, у):

U ^,у, ^ =U ^,у, ^ =(3.33)(3.33)_£ Г Г

U ^,у, ^ =

U ^,у, ^ =

(3.33)

(3.33)

Л {^_2;i)2„£2|^_2/^2 + z2jjl/2f

где В = (М2 — 1)1/2, М — число Маха, 5 — область интегрирования, являющаяся частью плоскости (х, у). Последняя «отсекается» конусом Маха с вершиной в точке поля (ж, у, z), расположенной вверх по потоку.

Можно показать, что уравнение (3.33) расщепляется на чисто ■ абелевы комплексы при использовании метода Эвварда и Красиль^ щнковой [31, 32], в котором учитывается то обстоятельство, что для крыла простой формы в плане никакие возмущения не распространяются в область перед передней кромкой крыла, вследствие чего JA^' У} обращается в нуль. —

С. М. Белоцерковский и И. К. Лифанов [33] указывают на важную роль в аэродинамике сверхзвуковых скоростей уравнения вида

Я уЯ у00£(^21)j^Vy]_ г — яД9 (У — Уг)а’£(^21)j^Vy]_ г — яД9 (У — Уг)а’(3.34)(3.34)

Я у

Я у

0

0

£(^21)j^Vy]_ г — яД9 (У — Уг)а’

£(^21)j^Vy]_ г — яД9 (У — Уг)а’

(3.34)

(3.34)

где 0 < а, Р < 1, причем наиболее интересен характерный для оператора Абеля случай а = р = 1/2, /(ж0, .у) = 0. Отметим, что авторы [33], решая широкий класс линейных нестационарных задач аэродинамики детально разработанным ими методом дискретных вихрей, одновременно получают и аффективный регуляризованный метод численного решения уравнения типа Абеля различной размерности (в частности, и (3.34)).

Несколько интересных примеров обобщений уравнения Абеля, также возникающих в задачах современной аэродинамики, приводит в своей монографии Н. Ф. Воробьев [82]. Одна из задач связана со сверхзвуковым течением газа в двугранном угле, образованном пересекающимися поверхностями крыльев; другая относится к концевому эффекту при обтекании потоком параллельных крыльев самолета. В [82] описаны алгоритмы решения соответствующих задач.

Для решения проблем аэроупругости [34], а также пластичности и ползучести материалов интересны постановки, сводящиеся к обобщенному уравнению Абеля с постоянными коэффициентами:

УЬ

^-cAt^ + c.I’t^. °<«<1.(3-35)

Если обозначить 9 = 2 argtCj—С2 ехр (гал)], то можно показать [27], что уравнение (3,35) имеет в классе гёльдеровских функ-

ций с интегрируемыми особенностями на концах единственное решение тогда и только тогда, когда 6 ^ 2ал. Это решение таково:

A f dy _

яЛ (х_у)1_а.

а/ УЬX

. ^/sinanX2 f Z (у) dlr dr Г / (s) ds ] ,

- т I—J J) ZW(S-T)1-" J ^(dJ6)

где'

A = Ci — 2CXC2 cos an + Cg,-

Z^ = (у — a)l-(0/2*-a)(6 _ y^M-a. ■■

Важный частный случай^ = C2 = 1 приводит к уравнению Фредгольма вида~

.6'

f^=\rA^-(3>37)

.■I

Здесь ’

8 = (1 4; а)л > 2ал;

А = 4 sin3 (ал/2);

Z(y) = (у — а)(1+а)/2(^ — уУ1"^'2.

Можно было бы продолжить перечень задач, важных с точки ^рения газодинамических и плазменных приложений, которые приводят к всевозможным обобщениям уравнения Абеля,, но уже не имеют простых аналитических решений. Часто они допускают представление в виде некоторых рядов или произведений, причем элементами последних оказываются либо классический интеграл Абеля, либо его модификации, часть которых была уже рассмотрена. Примеры такого рода можно найти в сборнике [35], а также в монографии [36].

РЕДУКЦИЯ К ОПТИЧЕСКИ ТОНКОМУ ■ ОСЕСИММЕТРИЧНОМУ ИЗЛУЧАТЕЛЮ

Рассматриваемую задачу вполне можно отнести к разряду тех, которые были описаны в предыдущем параграфе, поскольку, как будет видно из дальнейшего, она также расщепляется на операционные абелевы блоки. Однако она носит более общий характер, ее применения разнообразны и многогранны, ей посвящена обширная литература. Ряд особенностей решения осесимметричной редукционной задачи приходится принимать во внимание и при построении алгоритмов так называемой аттенюированной инверсии Радона [37 ]. По этим мотивам мы обсуждаем ее отдельно и несколько подробнее, нежели задачи, рассмотренные в § 3.1. .

■ Сформулируем традиционную постановку редукционной осесимметричной задачи. Даны интегральные по лучам зрения спектральные интенсивности /(v, у) и спектральные пропускании слоя (трансмиссионная функция) 6(v, у) = Z(v, y)/I(y, Z = 0) (см. § 2.1). Требуется восстановить по отдельности радиальные распределения коэффициентов поглощения x(v, у) и испускания e(v, у) [13, 38].

Заметим, что из большого числа известных методов трансмиссионных измерений уместно выделить метод Брауна [39], обеспечивающий получение 9(v, у) для различных хорд почти с одинаковой точностью. Идея метода основана на сканировании центрального луча, отражаемого вогнутым зеркалом и осуществляющего веерное просвечивание столба плазмы в выбранной плоскости. Перемещения зеркала и спектрального прибора связываются специальным сервомеханизмом.

■ Поставленная выше редукционная задача чаще всего решается в «одночастотном» приближении, так что переменная v в нижеследующих формулах может быть опущена. Первая часть задачи, связанная с восстановлением х, сводится к простой абелевой инверсии. Действительно, ' ■ '

R

т0 (У) = — In6 (у) = 2 J Л (х; г — у) dr, (3.38) откуда

*(г\ = ~ТгТг f Л<— 1п6; У~ TW- (3139)

Вторая часть — восстановление коэффициента испускания *е(г) — существенно сложнее. Если ввести обозначение

' .W) = Лу)/[0(у)Р/2,(3.40)

то после некоторых преобразований выражения (2.7) удается прийти к следующей формуле:

лЯ0(у) = 2 J Л(е; г — у')лЯ0(у) = 2 J Л(е; г — у')гch j А (х; г' — у) dr'угch j А (х; г' — у) dr'уdr.dr.(3-41)(3-41)

л

Я0(у) = 2 J Л(е; г — у')

л

Я0(у) = 2 J Л(е; г — у')

г

ch j А (х; г' — у) dr'

у

г

ch j А (х; г' — у) dr'

у

dr.

dr.

(3-41)

(3-41)

Эту формулу одними из первых исследовали Фримен и Кац [40], в связи с чем в литературе ей иногда присваивают имя этих авторов.

При слабой радиальной зависимости х(г) можно, внося лишь небольшую погрешность, произвести замену х(г) -> х, где х = ■ п

= Я-1 У х (г) dr, после чего (3.41) превращается в уравнение типа о ■’

свертки. Очевидным образом оно обращается с помощью преобразования Лапласа [41]:1

6 <r) = — Т J 0о ^ ^~ r2)-V2 cos ^^ —г2)1/21 ^У-■ (3-42)

Из-за необходимости дифференцирования функции ц0(у) задача остается неустойчивой, однако известные методы сглаживания и регуляризации позволяют сравнительно легко получить надежный численный результат.

В [40], а также в [42, 43] обращено внимание еще на следующее важное обстоятельство. Если оптическая толщина слоя невелика, например, -

(3.43)(3.43)(3.44)(3.44)9(у) = ехр[— т0(у)] > 0,8,

(3.43)

(3.43)

(3.44)

(3.44)

то справедлива оценка:

l^chj^(x; г — у) Jz/^1,01,

так что

R

т)в (^) ~ 2 J Л (в; г — y)dr,'1/

т. е. вторая часть задачи редукции решается столь же просто, как и первая. Несколько смягчая, условие (3.43), например полагая 0(у)0,5, получим, что равенство единице гиперболического коси

нуса в (3.41) выполняется с погрешностью не более 6%. Кроме того, легко видеть, что к результату (3.44) мы придем, если допустимо разделение слоя на две коаксиальные не перекрывающиеся зоны: центральную — излучающую и периферическую — поглощающую.

Обсудим теперь некоторые способы решения редукционной задачи в общей постановке..

В соответствии со схемой [42, 43] для решения уравнения Фримена — Каца (3.41) может быть использован следующий итерационный алгоритм:-

Е (Г) = 2 £i ^‘

* (r _-

e6(r) = -^^ f^(n0; У-г)^;(3 45)

„ J ц./

Г

R'

^М = -^ТгЦЛ^“ У-г)^' i = l,2, ...,1V;

П» (У) = 2 J А (е.П» (У) = 2 J А (е.— у) 1 — ch J А (к; т' — у) dr* dr.

П» (У) = 2 J А (е.

П» (У) = 2 J А (е.

Распределение к(г) здесь уже считается найденным по (3.39). Как видим, отличительной чертой этого.алгоритма является то, что он целиком построен из «абелевых блоков» и его структура весьма наглядна. Однако с точки зрения численных расчетов эффективность

данного алгоритма в литературе нередко переоценивается, в связи с чем уместно сделать некоторые замечания. -

Фактически запись (3.45) соответствует реализации метода последовательных приближений в применении к уравнению Вольтерра 2-го рода, получаемого из уравнения Фримена — Каца операцией полуцелого дифференцирования. Тогда при N -> оо разложение е(г) есть ряд Неймана

К"1 = 2 (^ - К)\ ' (3.46) г=0 ■ "

где Е — единичный оператор. Условием сходимости (3.46) для воль- терровских операторов является ограниченность ядра; частичные же суммы ряда можно находить, используя следующее рекуррентное соотношение: - ■ •

8w+i)^ ^ 6i = еСЛ) + Я"1 [/(у) -^FKe^>], (3.47) 1=0 .

где KFK— оператор для уравнения Фримена — Каца, X-1 — оператор абелевой инверсии. Пользуясь обычными методами линейной алгебры [44], нетрудно показать, что алгоритм (3.45) дает меньшую точность расчета, нежели итерационный процесс (3.47), так как последний устойчив к ошибкам округления. При условии

||£ - ^-^кП < 1 ' (3.48)

процесс (3.47) сходится при любом начальном распределении е0(г)« а не только при е0 = .4-1т]о, как утверждают авторы [43], причем скорость сходимости дается оценкой [501:

| е - ,<«|< | £ - a-g„ FI I + 1 ^’fe^ ■ @.Щ

Здесь нормы матриц и векторов выбираются любыми, но согласованными. '

Неустойчивая обратная задача, формулируемая с помощью интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. (3.41), в алгоритме (3.45) разбивается на совокупность других неустойчивых задач абелевой инверсии. В итоге требуется многократно дифференцировать экспериментально измеренные функции 1^ и 6 (у), что ведет к возрастанию ошибки восстановления. Не является простым и вопрос о критерии обрыва итерационной процедуры, т. е. о выборе конечного числа ^ при суммировании величин 8;(г). Следовательно, построение регуляризованного решения уравнения Фримена — Каца, непосредст- ственно трактуемого как интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода с заданным ядром, обычно более предпочтительно.

В ряде работ [37, 41, 45—47] для решения уравнения (3.41) применялся метод конечных сумм, причем различие предлагаемых вариантов фактически сводилось к выбору тех или иных правил квадратуры. Область интегрирования 0 ^ г й^Л обычно разбивается

Рис. 3.3. Результаты решения редукционной задачи методом статистической .'- регуляризации [511.-Рис. 3.3. Результаты решения редукционной задачи методом статистической .'- регуляризации [511.-

Рис. 3.3. Результаты решения редукционной задачи методом статистической .'- регуляризации [511.-

Рис. 3.3. Результаты решения редукционной задачи методом статистической .'- регуляризации [511.-

а) 1 — е(г) (формула (3.50)), 2 — ЦоСу)» з — 0(у); д — имитация эксперимента вводом случайной 5%-ной погрешности, х—восстановление е(г) при п = 20, О — восстановление е(г) при п = 40д_с = 2. б) 1 — е(г) = 1—г1, 2 — Чо(У)* 3 — 6(у); д — имитация эксперимента вводом случайной 3%-ной погрешности, х — восстановление е(г) при п — 20, с = 5, О — восстановление е(г), п = 20, с = 5. Штриховая линия — восстановление е(г) при п = 20, ■с — 20 и погрешности 1%,

на некоторое число равновеликих зон, в которых х(г) и е(г) считаются постоянными. Эквивалентная (3.41) система линейных алгебраических уравнений имеет треугольную матрицу; сглаживание экспериментальной функции По(у) можно производить с помощью полиномов Чебышева. Г. А. Колобова [48] для той же цели пользовалась схемой метода наименьших квадратов. В монографии [49] (§ 26) отмечались большие возможности дескриптивного решения интегральных уравнений 1-го рода, к числу которых принадлежит и (3.41), на основе S-сплайнов. .

В работе [50] исследовались способы решения уравнения Фри-- мена — Каца методом статистической регуляризации с выбором параметра регуляризации в «слоистом ансамбле» [51], а также методом послойного расщепления (иначе — «обдирки луковицы»), который в его общей форме предназначен для решепия чисто томографических задач при отсутствии осевой симметрии (см. гл. 6). Показано, что оба метода дают примерно одинаковые, вполне удовлетворительные результаты восстановления е(г) вплоть до значений оптических толщин ~10._

' Типичные результаты восстановления иллюстрирует рис. 3.3, а. Коэффициент испускания е(г) здесь задан в виде

е(г) = ^(1"'-3)1/2(144Н-|-88г"+19).(3‘5°)

При этом■

т0 (у) = с(1 - Зу2 + Sy1 - бу»);

'9(у) = ехр[ — т0(у)],

где с — некоторая постоянная. Имитация эксперимента производилась «набросом» на т|а(у) распределенной по нормальному закону ■ 5 %-ной погрешности. Видно, что указанными методами хорошо

восстанавливается даже довольно сложное распределение (бралось разное количество узлов сетки: п = 20 и п = 40) при умеренных значениях оптической плотности т0 (на рис. 3.3, а с = 2). С ростом т0 из центральной части объекта до наблюдателя доходит все более слабый сигнал, на уровне или даже ниже уровня ошибок измерения. В этом случае регуляризованное решение по мере уменьшения координаты г все сильнее отклоняется от истинного и выходит на плато (рис. 3.3, б).

С практической точки зрения интересны также случаи, когда задачу редукции к оптически тонкому слою удается решить хотя бы приближенно, не прибегая к трансмиссионным измерениям. Действительно, процедура измерения функции пропускания 9(v, у) сопряжена с дополнительными экспериментальными усложнениями задачи, а в ряде случаев вообще неосуществима (например, при дистанционном зондировании' излучающего газа или плазмы).

В § 2.1 уже упоминалась итерационная схема внуТриконтурных эмиссионных измерений r0(v, у) с определением исходного параметра неоднородности q по формуле (2.12). Другой простой прием был уже давно предложен Тьеном и Пелехом [52]. Его суть вкратце такова. При известной средней концентрации данного компонента в нагретом газе или плазме часто бывает возможным ввести внутрь излучающего объема некоторое дополнительное количество того же компонента, чтобы выполнялось равенство

.x2(v, г) = Т^Дх, г), у > 1/(3.51)

Тогда если It(v, у) и /2(v„ у) — интенсивности, отвечающие двум указанным содержаниям эмиттера, то ■

Ki(v,r)= -^l^A(S,y-r>dyf, ■

S(v, у) = 1 — I2(v, уУ^/Дх, у)]..(3.52)

Том самым первая часть задачи редукции решена без привлечения трансмиссионных данных.‘

Можно пойти и несколько дальше. Из соотношений, приведенных в § 2.1, вытекает возможность аппроксимации функции У(то) на некотором участке изменения Дт0 простой зависимостью:

У(т„) ~ т0(1 — т0/2).(3.53)

Отсюда для двух значений оптической толщины т01 и т02 = ут0 можно записать■'

№ = Т(1 - (тт01/2))(1 - т01/2)-1 ~•

~ у(1 — (ут0|)/2),(3.54)

если т01 <§( 1. Таким образом,

То = -1п6(г,у)^[1-^]е(3.55)

что и выражает результат работы [52]. Слой по отношению к рассматриваемому компоненту должен быть до внесения добавки слабо поглощающим из-за (3.54), а (т02)тах — 1 за счет границ применимости (3.53).■

Если на основе той или иной модели низкотемпературной плазмы с самого начала связать коэффициенты поглощения и испускания однозначной функциональной зависимостью, т. е. считать, что х = х(е) [20, 36], можно обойтись без трансмиссионных измерений. Проще всего это сделать с помощью закона Кирхгофа, причем тогда расчеты удается провести и для ЛТР-плазмы довольно сложного состава (см., например, [53])...

В. С. Энгельшт и Л. Т. Ларькина [38] предложили для указанной постановки задачи следующий итерационный процесс: "

е" = h №Ш!Ъ^ ~ ’S QW) efc, / = 1Л.(3.56)

к=1

В этом выражении

Ъц = 2 sh т,"/х”; bjk = 2(sh т^-р — sh т," )/ хй;

^ = х; (^ - ^ +. 2 xt [(г^ -• у^ - и - у^к (3.57) i=h+l

■ п = 0, 7 = 1: & = 2(Я2-У?)1/2; Т10 = 0, п = 0, 7" = 2, N: и® = Xj_v.

Итерации прекращаются либо по условию

‘ КеУ-вГОАГЧСР (Р>0),(3.58)

либо в''том случае^ когда решение перестает «улучшаться». Алгоритм предусматривает также сглаживание экспериментальных данных I, с помощью полиномов Чебышева; значения функции пропускания 6" определяются величинами т^ в соответствии с (3.38).

Таким образом, для каждой зоны, начиная с первой U = 1), решение уточняется итеративно с учетом зависимости х — х(е) и используется далее в качестве нулевого приближения для следующей зоны. Это обеспечивает быструю сходимость процесса по сравнению со схемами типа [54], где на каждой итерации предусматривается вычисление всего радиального распределения коэффициента испускания плазмы..

ТОМОГРАФИЯ '.

С УСЛОЖНЕННЫМИ СИСТЕМАМИ ИЗОЛИНИЙ ■

6565Как уже не раз отмечалось, процедура обычной абелевой инверсии применима к случаю простейшей системы линий уровня (изолиний) — концентрическим окружностям; ей соответствует эквивалентность проекций для заданного 2D сечения объекта. Если

65

65

5 В. В. Пикалов, H. Г. Преображенский

результаты прямого эксперимента или некоторые дополнительные соображения указывают на явное нарушение осевой симметрии и неравноценность различных проекций, то это еще не всегда говорит о необходимости использования самой общей схемы РТ, Задача зачастую может быть успешно решена при выборе очень малого числа ракурсов для наблюдения (например, двух) при условии, что выявлена конфигурация соответствующих изолиний.

Ориентиром для выбора той или иной системы изолиний, на основе которой затем решается обратная задача, могут служить, на- йример, результаты выборочных локальных измерений, полученные методом лазерного рассеяния [551; ими могут быть теоретические и экспериментальные данные по магнитным поверхностям и анизотропии радиационных потоков в установках типа токамак или стелларатор И9, 56] и т. п. Современная теория плазменных неустойчивостей неоднородной плазмы [57, 58] также позволяет в отдельных случаях предсказать характер формирования линий уровня для скорости частиц, температуры и плотности электронов. Как правило, система линий уровня задается не слишком жестко и содержит регулирующие параметры, Рассмотрим далее несколько практически важных подходов к решению этого класса задач.

Системы . неконцентрических окружностей

В работе [59 ] при разработке интерферометрического метода восстановления 2D распределения электронной плотности был принят во внимание факт смещения плазменного шнура относительно центра камеры в токамаке. Линии уровня аппроксимировались семейством. окружностей

(ж — П + Аг)2 + у2 = г1 (0 < г < Я).(3.59)

Значению г = О соответствует точка (хи 0); при г — R имеем окружность радиусом R (граница плазмы) с центром в точке (ж2, 0), где жа = х — kR (рис. 3.4). Промежуточные значения г определяют ок'ружности, центры которых лежат на

оси х в точках (жл — кг, 0); при к = = 0 получаем систему концентрических окружностей.

Удобно ввести криволинейные координаты г, ф, связанные с декартовыми (ж, ^соотношениями:

г = г cos q> + жх — кг, (3.60) у = г sin ф.

Рис. 3.4. Система неконцентрических окружностей (уравнение (3.59)). Регистрация сигнала — вдоль линии ЛВ.

Здесь линии г = const представляют собой семейство окружностей (3.59) и поэтому искомое распределение становится функцией одной радиальной переменной: g(r). Луч-сумма вдоль оси у имеет вид

(3.61)(3.61)/(^)=c J g(r)dg,ф(х) = [Л2-(х~х2)211/2

(3.61)

(3.61)

Учитывая (3.60)f получим окончательно'

г [г(1 — й2) — к (х — г^кСг) йг

/ (х) = - 2с р (1 _ fc2) _ 2fcr (I _ х^ _ (I _ х^ р/2 , (3.62)

где г(х) — положительный корень знаменателя, с — константа.

- В (3.62) фактически объединены два независимых интегральных уравнения Вольтерра 1-го рода: одно для интервала ха — Я ^ х ^ хх, второе для интервала хг ^ х ^ хг + R. Величины хх и к можно считать варьируемыми параметрами задачи.

Что касается луч-суммы, регистрируемой вдоль оси х, то здесь, очевидно, параметры хг и к не могут войти в выражение, связывающее g^ и /(у), и мы получаем обычное преобразование Абеля вида

н/(у) = 2с jIn Iн/(у) = 2с jIn Irg (r) dr(г*-у*)1»•rg (r) dr(г*-у*)1»•(3.63)(3.63)

н

/(у) = 2с jIn I

н

/(у) = 2с jIn I

rg (r) dr

(г*-у*)1»•

rg (r) dr

(г*-у*)1»•

(3.63)

(3.63)

Таким образом, при наличии двух проекций f(x) и f(y) имеем для восстановления g(r) три интегральных уравнения, два из которых содержат «подгоночные» параметры хи kt находимые в процессе сращивания всех трех решений (3.62) и (3.63). Тем самым восстанавливается структура изолиний для искомой характеристики плазмы.

Ниже при рассмотрении смещенных линий уровня эллиптической конфигурации мы покажем несколько иной подход к решению той же задачи. -

Иную схему решения близкой по постановке задачи предложил Такеда [601. Здесь в отличие от [591 закон смещения s вдоль оси х центров окружностей не предполагается линейным, так что вместо (3.59) следует записать

(х — s(g))2 + у2 = r2(g). (3.64)

Сдвиг по оси х каждой изолинии и ее радиус можно рассматривать как функции искомого распределения g(x, у). В результате соответствующих выкладок для луч-суммы /(х) получается нелинейное ин

тегральное уравнение

g(£>8’dgl (3'65)

Если s(g) -> 03 то'

8(B)_£ 2(g)-

№ = J X^^sde’ (М6) g(x).

что эквивалентно преобразованию Абеля:-

Способ решения уравнения (3.65), предлагаемый в [60X таков. Производится дискретизация /(г-) и искомыми считаются (2А + 1) неизвестных: N значений радиусов изолиний, N смещений центров окружностей и максимальное значение величины g. В работе [601 для простоты принято, что спад функций g(r) от центра к периферии плазмы является монотонным (по-видимому, это требование можно смягчить). Целевая функция задачи нелинейного программирования (см., например, [611) строится в виде суммы квадратов разностей ле-' вой и правой частей (3.65), после чего отыскивается ее минимум по отношению ко всем (2А + 1) переменным-. Регуляризацию задачи удобно производить исходя из условия, чтобы окружность с более высоким номером дискретного разбиения при смещении никогда не выходила за пределы окружности с низшим номером, т. е.

—Him С S1 —* г^ < ... С Sy Гу < Sy -[-■

■+ Гу < ... < St + гг < Шт,"(3.68)

где гцш —-наибольший радиус.

Метод апробировался на ряде модельных Задач, а также применялся при восстановлении реального профиля электронной плотности плазмы в токамаке JFT-2. Автором бралась система из 8 изолиний и минимизировалась нелинейная функция, содержавшая 17 параметров; получены весьма обнадеживающие результаты.

Было бы интересно подробнее исследовать возможности метода [601, в частности, с точки зрения рассмотренной в § 2.2 теоремы об одной проекции.

Системы..

деформированных окружностей

В практике газодинамического и плазменного эксперимента нередки случаи, когда в определенных режимах происходит как бы частичное нарушение осевой симметрии: по одной из координатных осей, например по ж, деформации изолиний нет, по другой (у) она имеет место; и проекция становится асимметричной. В работе [62] предложен и применен к анализу проекционных данных, снятых на установке тета-пинч, следующий простой алгоритм. Поскольку круго-

вые изолинии деформированы только вдоль оси у, правомерно записать'

g(r, У) — gl ^g2^

V"^-^. (3.69)

/(У) = 2gx(y) J g2 (r) dx = gt (y) /2 (y).

.о.-

Здесь выделены «базовые» радиально-симметричные множители (g2(r) и /2(У))И введен весовой фактор g^y), характеризующий ту асимметрию, которая наблюдается в реальном эксперименте. Поскольку начало координат (х = у = 0) считается заданным, нетрудно разделить /(у) на два слагаемых:•

/(У) = А(У) + /2(у),

Ш = М^-1к-№.(3.70)

■Ш = W + tl-y№

Комбинируя (3.69) и (3,70), находим

х£1(0 = 1 + МШ-.(3-71)

Таким образом, g^y^) определяется (конечно, с учетом сглаживания) непосредственно из проекционных данных. Радиально-симметричная часть g^ восстанавливается из /2(у) с помощью стандартной процедуры абелевой инверсии. Рисунок 3.5 иллюстрирует результаты решения тестовой задачи. Была взята функция (рис. 3.5, а)

g^r, у) - (1 + 0,5 sin лу)(1 + Юг3 — 23г4 + 12г6)(3.72)

и найдена ее проекция (рис. 3.5, б)

/ (у) = ^ (1 + 0,5 sin лу) (19 + 34уа - 125 у4 + 72у6) (1 - у^'\ ^Л^

Результат восстановления у-расиределения функции g(r, у) применением обычной абелевой инверсии (алгоритм Барра [63]) показан на

Рис. 3.5. Моделирование задачи восстановления функции ^(г, у) при деформации изолиний (окружностей) по оси у.1

а — сплошная линия — тестовая функция g(r, у), х—восстановление; б — проекция /(у) (формула (3.73)); в — результат абелевой инверсии по [63] без учета деформации ,изолиний.

рис. 3.5, в; то же, но по описанной выше схеме — на рис. 3.5, а (крестиками). Комментарии здесь, по-видимому, излишни.

Если сняты две проекции /(ж) и /(у) в двух взаимно ортогональных направлениях, то учет деформации изолиний, если последняя не является слишком сильно выраженной, можно выполнить, представляя 2D функцию g(x, у) отрезком ряда Фурье [64 , 65]. Переходя в полярную систему координат (г, 6), запишем

g(r, 0) = gi(r) + g2(r) cos 0 + g3(r) sin 0.(3.74)

Вновь разделяя проекции /(ж) и /(у) на симметричную и асимметричную части (здесь это удобнее сделать несколько иначе, чем в (3.70)), будем иметь '

А(я) = t/M — /(—ж) 1/2^ .

Л(у) = [/(У) — ^—У^^.

■/ Ш = №) +7(-^)]/2,(3.75)

Ш = Ш + К-№.

В работе [64] показано, что переход от преобразованных проекционных данных (3.75) к коэффициентам g;(r) несмотря на асимметрию задачи опять осуществляется на основе преобразования Абеля:

- R. •

./х (ж) = 2 J A(g2/r; г-ж)dr t

R’

hly^^^A^r^r — y^dr/.

-■ в(3.76)

/2(ж)= 2 j A(gt; г — ж) dr, -X.'

'R

/2(y) = 2j A(gx;r — y)dr. .'

у'

Из уравнений (3.76) видно, что описываемый метод расчета g(r, 0) характеризуется определенной избыточностью данных, поскольку коэффициент g^r) может быть получен путем инверсии не одного, а любого из двух (последних в (3.76)) преобразований Абеля. Это обстоятельство в практическом плане весьма полезно, так как позволяет резко снизить погрешность восстановления g(r, 0), обусловленную неточным заданием положения «центра» деформированных изолиний. Указанную погрешность нетрудно оценить с помощью простого аналитического расчета (см. приложение 2).

В работе [65] коэффициенты gt^, а затем и вся функция g(r, 9) находились последовательной абелевой инверсией (3.76). Ставилась задача спектроскопического определения поля температур аргоновой плазмы в ВЧ разряде при небольших отклонениях параметров плазменного столба от осевой симметрии. Погрешность восстановления

температуры оценивается авторами в 1%, а погрешность локальных коэффициентов эмиссии е(г, 6) —в 7%.

. Отметим, ■ что естественным развитием описанной методики является использование последующих членов ряда Фурье типа (3.74). Возможности такого подхода мы рассмотрим в следующих главах.

Эллиптические изолинии

Естественным обобщением задачи реконструкции объекта по изолиниям является переход от системы линий уровня, аппроксимируемых окружностями, к системе эллиптических изолиний; Изолинии в виде софокусных или смещенных один относительно другого эллипсов характерны для ряда режимов работы стеллараторов [66], токамаков с полоидальными диверторами [67], винтовых дуг [68] и т. п. Кроме того, как отмечают авторы [19], нередко целесообразным бывает наклонное микроволновое зондирование столба плазмы, позволяющее повысить точность восстановления 2D распределения электронной плотности плазмы. Тогда, если столб обладает осевой симметрией, эллиптические" изолинии появляются автоматически.

Рассмотрим систему эллипсов со смещениями в' условиях веерного сканирования излучения оптически тонкого объекта. Такая задача решалась нами в [691; ниже разобран более общий случай.

■ Уравнение изолиний запишем в виде (рис. 3.6):

[и - 4(р)]2/д2.+ [у - 5(р) ]2/й2 = р2,(3.77)

где р имеет смысл обобщенной радиальной переменной, пробегающей значения от р = 1 (внешний эллипс) до р = 0 (точка сгущения (а, Р)); а и Ь — полуоси эллипса. Уравнение (3.77) записано в системе координат XOY, повернутой на угол <р относительно лабораторной системы отсчета; d — сдвиг детектора D в системе X'OY'.

Примем для простоты, что центры эллипсов смещаются по линейному закону:

,Л(р) = а(1 - р)4 5(р) - Р(1 - р).

После' несколько громоздких выкладок, схема которых изложена в [50, 69], приходим к следующей связи проекционных данных /(|) с восстанавливаемым распределением у(р):'

■1,

•Ц^ = $ K^g^dp,т

где-

Ei = ^ p(m2 —Р2)+ р(р —P^siny^l^-p^p-pjtp+pjpt.

’ т2 = д2 cos2 (ф + 5) + b1 sin2 (<р + |),.

р = a cos (<р + £) — 0 sin (<р + £),(3.79)

R5 = Ro + d ctg g,

Pi — IP — Rl sin |[(m T p)""1,,

Pa = IP — Ri sin || (m ± p)"1.

Рис. 3.6. Система эллиптических изолиний со смещениями. Веерная схема регистрации, £ — угол ска- пирования.Рис. 3.6. Система эллиптических изолиний со смещениями. Веерная схема регистрации, £ — угол ска- пирования.Рис. 3.7. Изолинии вида (3.86' с различными показателями 2а:1 — 2, 2 — з, з — 6, 4 — 12,Рис. 3.7. Изолинии вида (3.86' с различными показателями 2а:1 — 2, 2 — з, з — 6, 4 — 12,

Рис. 3.6. Система эллиптических изолиний со смещениями. Веерная схема регистрации, £ — угол ска- пирования.

Рис. 3.6. Система эллиптических изолиний со смещениями. Веерная схема регистрации, £ — угол ска- пирования.

Рис. 3.7. Изолинии вида (3.86' с различными показателями 2а:

1 — 2, 2 — з, з — 6, 4 — 12,

Рис. 3.7. Изолинии вида (3.86' с различными показателями 2а:

1 — 2, 2 — з, з — 6, 4 — 12,

В выражениях для Pi и р2 верхние знаки берутся для луч-сумм, проходящих правее точки сгущения; нижние знаки — в противоположном случае. Результаты работы [69] соответствуют отсутствию сдвига внешнего эллипса, т. е. d = 0; расчетам Сильвера и Рони [67] отвечает еще более частный случай отсутствия внутренних смещений эллипсов, а = р = 0.-

Переход к случаю параллельных лучей зрения производится заменой: JR^ sin В х, (<р + В) -> 0, где 9 — теперь угол поворота внешнего эллипса относительно лабораторной системы координат. При этом-

1

/ (ж) = J К (р, ж) g (р) dp,.(3.80)

. z ■ P1 где

К — — Р (m2 — Р2) + Р (Р — ж) .

[(m2-p2)(p-p1)(p + pa)]V«’

ГО2 — д2 cog2 0 -L J2 g|n2 Q. р _ а cog 0 _ р gjn 0;(3.81)

Pl = ]р — ж|(т т р)*1; Ра = ]р — ж|(т ± р)'1.

Авторы работы [70] с помощью формул (3.80), (3.81) обрабатывали данные спектроскопического эксперимента с плазменным шнуром, помещенным в продольное магнитное поле. Перемещение по круговой траектории максимума интенсивности в выбранном спектральном интервале подтверждало существование винтовой формы дугового шнура; при токах ~100 А и значениях индукции магнитного поля В = (0,035—0,630) Т шнур заметно смещается и в радиальном направлении. Применительно к данной задаче формулы (3.80), (3.81) допускают существенное упрощение: как показано в [70],

можно положить р = 0 = 0, после чего вместо (3.81) будем иметь

- Л(р- J ^-^(р-р^р+р,)^(3.82)

ж — аг — а

р, =; р, = —:—; m = а; р = а: ж а.

.а —а’ a+а’> г >/

Уравнение (3.80) с ядром (3.82) решалось методом статистической регуляризации. Серией модельных экспериментов была показана возможность получения устойчивого решения с небольшим (порядка единицы) коэффициентом усиления погрешности ag!a,t где Og и о2 — дисперсии восстанавливаемой функции и экспериментальных данных соответственно. В качестве д(р) выбирались функции g(p) = 1 _ р2, g(p) = кг ехр(—/с2р2),

причем вторая из них использовалась при обработке данных реального эксперимента, где параметры кх и ка подлежали определению наряду с а, b и а. В описываемой серии экспериментов использовались всего две ортогональные проекции: /(ж) и /(у) (интенсивность континуума аргоновой плазмы на длине волны А. = 428,5 нм). С возрастанием индукции В плазма становилась все более асимметричной и необходимо было" увеличивать число ракурсов наблюдения (конкретно — до 6). Тем самым совершался переход к общей схеме 2D томографии; соответствующие результаты будут рассмотрены в последующих главах..-

Упомянем о некоторых важных в прикладном отношении вырожденных случаях задачи. Если для ядра (3.82) положить а = аг то вместо (3.80) получим уравнение Абеля вида।

1^ = 2ЬугтД^^=$ z1 = ^(3.83)

Для варианта восстановления с веерным сканированием вырождение связано с условием m = a cos (<р + |). Тогда■

f sWp. «-^sinj (3 84^

-■Z2 V P 2

О решении таких уравнений уже говорилось ранее (см. формулу (2.35) и пояснения к ней). Более подробно соответствующий круг вопросов в связи с диагностикой лазерной плазмы и корректностью формулы обращения, полученной в [80], исследован в работе [81], Отметим, что приложения формул (3.83), (3.84) относятся к широкому спектру задач взаимодействия лазерного излучения с мишенями [71]. Они касаются, в частности, исследований рэлей-тейлоровской неустойчивости, возникающей при абляционном сжатии сферических мишеней, а также визуализации газодинамических течений лазер-'

ной плазмы с помощью введения в мишень следовых примесей некоторых органических соединений.

' Если в формулах (3.80), (3.81) взять а = b = 1 и учесть смещение центров изолиний только по оси х, то нетрудно прийти к уже рассмотренным соотношениям (3.59)—(3.62), которые были получены в работе [591 (см. также [72]).

Наконец, если взять еще более частный случай:

а = р = 9 = р = 0; а = b = т = 1, р = г,pL = р2 = xt

то от (3.80) переходим к. стандартному преобразованию Абеля:

/ (ж) = 2 J г (г2 - z2)~1/2£ (г) dr.(3,85)

С точки зрения моделирования более широкого класса задач газовой динамики и физики плазмы полезно еще рассмотреть эллип- - тические изолинии порядка п. Для простоты де будем здесь вводить смещений и поворотов эллипсов и запишем для линий уровня выражение'

Аг + Аг =Р * Р^ЮЗЬ(3.86)

a J \ о /,

На рис. 3.7 в качестве иллюстрации показано несколько кривых такого типа: 2п = 2, 3, 6,12; р = а = 1, b = 0,75. Интегральное уравнение, связывающее проекционные данные и искомую функцию g(p), записывается в виде■

/(ж) = 26 Г(3.87)

' -• у = (2тг — 1)/2п; у е [0,5; 1) при n ^ 1,’

Заменой переменных р2" = 1 — и; (lx,a')m = 1 — у уравнение (3.87) - вновь сводится к канонической форме уравнения Абеля (2.34):

'H^-^v-^gWu.(3.88)

,о'

В переменных (z, р) его решение имеет вид

/ \ sm fол\

<3-8»)

. Для отыскания распределений g(p) по приведенным формулам необходимо предварительно определить входящие в систему параметры: показатель степени эллиптических изолиний, ориентацию эллипсов относительно лабораторной системы отсчета, положение точки сгущения — из независимых экспериментальных данных, расчетов конфигурации магнитных поверхностей, модельных соображе-

ний и т. п. Значение параметров, как правило, удается уточнить в процессе реконструкции g(p), причем использование нескольких направлений наблюдения повышает достоверность интерпретации результатов. Уточнению, в частности, хорошо поддается положение точки сгущения. Из уравнений (3.78), (3.79) видно, что при восстановлении g(p) достаточно знать лишь правую (или левую) часть полного сигнала /(g) относительно луча, проходящего через точку сгущения. Расчеты, произведенные порознь по каждой из частей проекционных данных, обязаны давать близкие решения. Если параметры изолиний заданы правильно, то отклонения в расчетах определяются лишь погрешностями измерений. Варьируя далее, например, величину а (или Р) в окрестности приближенно заданного ее значения, можно получить улучшенную оценку а, требуя минимума нормы отклонения двух решений: ||gr — gz||. На рис. 3.8 показана зависимость нормы отклонения решений по правой части (г) и левой - (Z) частям сигнала /(g) в модельной задаче с точным значением а0 = ■ = 0,5. Видно, что положение а, определяемре минимумом нормы |[gr — g;|[, дает значение, близкое к а0, даже при погрешности измерений в 15 %. . ' ■ ■

Отметим, что в работе [73], посвященной локальной диагностике стеллараторной плазмы, исследовался практически важный вопрос о влиянии двумерности аппаратной функции детектора нй точность восстановления 2D поля коэффициента испускания при моделировании задачи с помощью системы смещенных эллиптических изолиний.

. 3.3.4. Пример изолиний специального вида

• Для уже неоднократно упоминавшихся плазменных систем замкнутого типа, в частности стелларатора, характерно большое разнообразие режимов работы, причем во многих режимах реализуется случай специфической симметрии полей основных плазменных параметров. О режимах, связанных с эллиптическими изолиниями, уже подробно говорилось. Рассмотрим в качестве примера еще один часто встречающийся режим, для которого линии уровня близки по форме к треугольнику или к наконечнику стрелы (рис. 3.9) [74, 76]. Разумеется, углы при этом должны быть сглажены, однако, как показывают оценки, учет такого сглаживания уточняет, результат восстановления g(p) лишь в незначительной степени, и ради простоты аппроксимации изолиний им почти всегда можно пренебречь.

При веерном способе регистрации /(g) в данном случае получается интегральное уравнение существенно более простое, нежели (3.78): 4 .

f^ = K^^g^dp, (3.90) pi

причем для трех вариантов изолиний (а — в), изображенных на

Рис. 3.8. Но^ма отклонения решении по правой и левой частям сиг- • нала. /(J) вблизи а0 = 0,5.Урм*п> шумов намерения: 1 — 0. 2 —5, 2 — 15%.Рис. 3.8. Но^ма отклонения решении по правой и левой частям сиг- • нала. /(J) вблизи а0 = 0,5.Урм*п> шумов намерения: 1 — 0. 2 —5, 2 — 15%.Рис. 3.9. Модели изолиний для стел- лараторной плазмы. Указаны параметры, входящие в формулы (3.91), (3.92).'Рис. 3.9. Модели изолиний для стел- лараторной плазмы. Указаны параметры, входящие в формулы (3.91), (3.92).'

Рис. 3.8. Но^ма отклонения решении по правой и левой частям сиг- • нала. /(J) вблизи а0 = 0,5.

Урм*п> шумов намерения: 1 — 0. 2 —5, 2 — 15%.

Рис. 3.8. Но^ма отклонения решении по правой и левой частям сиг- • нала. /(J) вблизи а0 = 0,5.

Урм*п> шумов намерения: 1 — 0. 2 —5, 2 — 15%.

Рис. 3.9. Модели изолиний для стел- лараторной плазмы. Указаны параметры, входящие в формулы (3.91), (3.92).'

Рис. 3.9. Модели изолиний для стел- лараторной плазмы. Указаны параметры, входящие в формулы (3.91), (3.92).'

рис. 3.9, функции К^") записываются соответственно так:

К ^ —«Г И1.1

(3.91)(3.91)cos g [Л—a 14-tggcos? J’

(3.91)

(3.91)

b '”'sin (у — g) cos g’

К №\ — ^ ~ g) sin V I 9 cos ^ ~ g tg Y-sin T)sin (y — £)cos(§ + t])*

q = H — h + a.

Этим функциям соответствуют различные пределы интегрирования:

(3.92)(3.92)(3.93)(3.93)0 = до + а ‘fftgy-ctg^+g

(3.92)

(3.92)

(3.93)

(3.93)

= (fl0-a)tg5

Plb Pie fftgy—gtg^

Искомая функция g(^ немедленно находится из (3.90):

/ /ехх й Г / (ё) 1 /dpl ®s(p— Pi®)— 51[к©]| »i 18

т, е. задача РТ сводится к дифференцированию неточно заданной функции и может быть решена^ например, с помощью сглаживающих сплайнов.

3.3.5. Изолинии произвольной формы

В работах авторов [50, 69, 70, 75, 76] рассматривались различные возможности более общего задания вида изолиний и соответствующих постановок обратных задач локальной диагностики газовых и плазменных объектов, включая проблему редукции к оптически тонкому слою.

Если ограничиться классом замкнутых выпуклых изолиний без самопересечений Т(х, у, р) = 0, то дифференциал пути ds вдоль луча зрения, направленного под углом | к оси ординат при веерном сканировании (см. рис. 3.6), можно представить в виде

, d*f9+(P, ^dpt dx(dp>Q,

ds = —.=(3.94)

*. sm[6™ (p, £) dp, dxjdp < 0.

Здесь Q+ и Q- — функции, определенные зависимостью ж = ж(р)$ а параметр р однозначно характеризует заданную систему изолиний Т = 0 и тем самым — восстанавливаемое распределение ^(р). Допустим, что функция x(t) двузначная и выполняются . соотношения Q+= q-V Q,. Q- =~q-Q.. .(3.95)

Тогда для 2D задачи редукции к тонкому слою, которая является непосредственным обобщением рассмотренной в § 3.2, в общем случае следует записать

«2

(3.96)(3.96)I ^ = J 6 (^ У) ехр«г

(3.96)

(3.96)

С учетом (3.94) выражение (3.96) приобретает вид

' / р — Q*exp I ]' / р — Q*exp I ]I (g) = exp I O^xcZp I J е Q* exp ( J Q^xdp' I —X Pi . 7 Pi L\Р17

' / р — Q*exp I ]

' / р — Q*exp I ]

Q-xdp'

где рх(£) есть решение уравнения

,dpldx = 0, ре[0, 1L(3.98)

В частности, для q = 0 получается более простое соотношение

/ 1 \ 1/ р \

(3.99)(3.99)1^ = 2 expl — J Qxdp I J е(> ch I У Qxdp' j dp, X Pi / Pi \P1/

(3.99)

(3.99)

которое является обобщейием уравнения Фримена — Каца (3.41). Оптически тонкому слою (х = 0) соответствует интегральное уравнение.■

.1.

7© = У [<2+(рЛ)-<Г(рД)]е(р)ф.(ЗЛ00)

pi

В частном случае эллиптических изолиний из (3.100) сразу же следует (3.78); разумеется, аналогично можно рассмотреть иные конфигурации линий уровня.• .

При переходе к более общему случаю изолиний [74, 76] ориентиром в выборе формы линий уровня могут, как и ранее, служить,- например, изолинии магнитного потока, рассчитываемые в задаче о магнитном равновесии. Численные коды позволяют для заданного сечения плазмы (ж, у) найти распределение магнитного потока 5(ж, у), которое имеет с искомым распределением g(x, у) общие линии уровня. В остальном соответствующие функции могут быть, конечно, совершенно различными.. '

Один из возможных подходов к задаче РТ в такой постановке состоит в следующем. Строим интегральное представление

/(р)= J/£(p,p)g(p)dp,(3.101)

. ь''

где L — некоторая выделенная прямая, вдоль которой регистрируется сигнал, а вид ядра подлежит уточнению. Определяя сепаратрису, за пределами которой магнитные поверхности разрушаются, по таблично заданной функции В (ж, у) находим Bmin и Втах. Диапазон изменения р е [0, 1] разбиваем на (jVp — 1) интервалов (для простоты равных), получая тем самым равномерную сетку по В е G [Smax, -8minl. Используя далее двумерную интерполяцию (например, билинейную), строим для луча L сеточную функцию одной переменной ВЦ,^, i= 1, Nb. Если йЦ— дифференциал пути, то, переходя от него к ф, получим -

JW^Jg^-jg^^dp. (3.102)

Сетку по [ZJ разбиваем на интервалы монотонного изменения функции ВЦ^; число таких интервалов q четное. На каждом интервале определяем взаимно однозначные функции ^ = 2(2?,), а с помощью перехода Bi pi — сеточные функции Z-5) = Z(pj), i = 1, Nb. Используя достаточно гладкую аппроксимацию Z-9), например, кубическими сплайнами, осуществляем требуемое согласно (3.102) дифференцирование /ц в заданных точках. Таким образом, приходим к окончательной формуле описываемого алгоритма:

/w^jlS^I^^I ^р)^(ЗЛ03)

■u [Qt P < Poji*

--L-

P ^ Poj»*

SO — кубический сплайн на /-м интервале, pOjt значения для локальных максимумов B(Zj). .

Подчеркнем, что при численной реализации данного алгоритма возникает необходимость обхода особенностей в точке poj, регуля-

VjCMVjCMплотности и температуры,плотности и температуры,Рис. 3.10. Линии уровня для мощности энергетических потерь по результатам хордовых болометрических измерений на установке токамак-10.

VjCM

VjCM

плотности и температуры,

плотности и температуры,

ризации уравнения Вольтерра 1-го рода, двумерной интерполяции функции В^х, у) и приведения одномерной . сеточной функции {gj к виду g(xi,y^.

Описанный алгоритм может применяться при обработке и интерпретации малопроекционных данных, получаемых, например, на установках типа токамак, стелларатор, гофрированный тор, и т. п. В этом случае форма линий уровня электронной

мощности радиационных потерь и других важных характеристик не является простой (рис. 3.10). В токамаках одной из причин, обусловливающих сложную структуру изолиний (с вогнутостями, самопересечениями, несколькими точками сгущения и т. и.), может быть тороидальный дрейф горячих локально запертых электронов из центральных зон плазменного шнура в периферийные области с последующим их переходом за счет столкновений в тороидально запертые (банановые) 177].'

(3.104)(3.104)Реализация алгоритма с изолиниями произвольной формы в существенной степени облегчается, если применить метод квазиреще- ний [78]. При этом искомое распределение g^x, у) представляется в виде произведения основной базовой функции g^x, у), которая выбирается с учетом априорной информации физического и математического характера, на некоторый полином gT(x, у), с неопределенными коэффициентами. "Последние находятся по принципу невязки. Один из типичных вариантов, предлагаемых в [77—79], таков: измеряются две ортогональные проекции /(ж) и /(у), а решение представляется в виде ■

(3.104)

(3.104)

^ У} = вМу^А^Гу^^go^ У) = [а2 — (ж — Ь)2 — уЧк,^1(^1 У) * 2 ау(ж —6)V,<+)<•

Величины а и 6 определяются путем экстраполяции в нуль проекций /(ж) и /(у); скорость убывания проекций позволяет оценить показатель Л; наконец, величина s в полиноме gl взята равной 6.

При конкретизации формы изолиний, помимо данных о магнитном потоке, может использоваться и такая априорная информация,; как однородность распределений по обходу тора, симметрия относительно экваториальной плоскости, результаты выборочных локальных измерений плотности электронов по томсоновскому рассеянию. '

Глава 4

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ЛИНЕЙНОЙ ТОМОГРАФИИ

, АСИММЕТРИЧНЫХ ОБЪЕКТОВ

(случай п измерений)

Познакомившись с основными способами внесения в задачу РТ априорных ограничений, связанных с теми или иными свойствами симметрии изучаемого газового или плазменного объекта, перейдем теперь к общей задаче о восстановлении по набору имеющихся проекций структуры асимметричного объекта. Сосредоточим внимание на важнейших аналитических подходах к этой задаче, когда можно абстрагироваться от: а) необходимости искать приближенное решение по конечному (зачастую весьма ограниченному) числу проекций/ф(р); б) учета случайных и систематических погрешностей измерений; в) нестационарного характера процессов, определяющих параметры восстанавливаемых распределений; г) искривления лучевых траекторий.

Математической основой всего рассмотрения является аппарат преобразований Радона [1], в котором функциям, заданным в евклидовом пространстве, ставятся в соответствие их интегралы по гиперплоскостям. Важнейшие свойства прямого и обратного преобразований Радона при этом удобнее изложить не по отдельности для 2D и 3D задач РТ, а сразу для «-мерного евклидова пространства. Надеемся, что такое обобщение не отпугнет читателя (в частности, физика-экспериментатора), поскольку выкладки и приводимые формулы достаточно просты, а сама схема обобщения 2D или 3D задачи на «-мерный случай совершенно естественна и прозрачна. Ситуации 2D и 3D будут подробно рассмотрены в гл. 5, 7 соответственно.

С учетом реальных плазменных и газодинамических задач врдд ли целесообразно привлекать здесь более общий и абстрактный теоретико-групповой подход, работая в аффинном и проективном пространствах [2, 31, изучая преобразование Радона на однородных римановых многообразиях [4 ], исследуя причинные обобщенные функции, характерные в основном для квантовой теории поля [5], и т. п. Из числа обзорных и монографических работ, математический уровень которых более или менее соответствует нашему изложению, выделим [6—10]. Особенно часто мы будем ссылаться на прекрасную монографию Динса [8].

ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА

Во введении прямое 2D преобразование Радона было записано в виде формулы

/ф (?) = J S' (г) 6 (р — г ■ п) агг, (В.2)

а также в операторной форме

Яа£(г) = /(р), р = рп.(В.З)

Заметим, что выражение для проекции /ф(р) можно дать и в другом виде, не вводя 6-функции Дирака, а именно:

Ыр') = J Srottp, 1TW-(4.1)

Здесь совершен переход к новой декартовой системе координат (а/, у'), повернутой относительно прежней (ж, у) на угол ф, так что линия интегрирования становится параллельной оси у', а х = р (см. рис. В.1). Однако формула, содержащая 6-функцию, более наглядна, поскольку сразу указывает на выделенную прямую р = = г-п, вдоль которой формируется луч-сумма при заданных р и п (иначе — ф). Попутно нелишне отметить, что далеким предшественником прямого преобразования Радона (В.2) является знаменитый принцип Кавальери, фактически представляющий собой интуитивно построенный алгоритм вычисления площади криволинейной фигуры по сумме длин параллельных отрезков, ее пересекающих. В качестве g(r) выступает характеристическая функция фигуры gD, равная единице в точках, принадлежащих области D, и нулю — вне ее [И].

Вновь используя символику 6-функций, запишем преобразование Радона для. «-мерного случая:

/(Р, ^=Sg = J^(x)8(p — x.^dx, ■ (4.2) где орт п заменен на | во избежание смешивания обозначений, оператор R не снабжается нижним индексом, а в интеграле по гиперплоскости■

Р = 1-Х = В^ + ^Х2 + ... + ХпХп(4.3)

не указываются пределы интегрирования (предполагается, что интеграл берется по всему пространству).

Рассмотрим вкратце элементарные свойства прямого преобразования Радона, следующие непосредственно из определения (4.2).

- 4.1.1. Однородность

' Преобразование Радона есть четная однородная функция от %, р степени однородности —1. Это значит, что Для любого вещественного числа а 0.

/(«1, ар) = lal"1/^, Р).(^>

Полагая, в частности, а = —1, получим важное свойство симметрии:

К-^ -р) = /(I, Р>-• (4.5)

Линейность

Для любых двух функций ^(х) и g2(x) и любых двух чисел а, и а2 справедливо равенство: ’

Я = ^г + a2g2} = ajlg^ + a2^2-(4.6)

6 в. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский81

«3. Преобразование функции с линейно трансформированными переменными '

' Рассмотрим результат воздействия оператора Радона на функцию g(Ax), где А — матрица невырожденного линейного преобразования переменных хг, ха, ..., хп с элементами Ahl (к, I = lj 2, ..., п). Если обозначить В = А*1, то из (4.2) немедленно следует

RWx^ = |det S|/(p, В1^(4.7)

где |det S| — якобиан преобразования, • а «т>1 — символ транспонирования матрицы./■

[Если матрица В ортогональна, т. е. В*1 = Вт = А} |det S| = = 1, то вместо (4.7) имеем -

n{g(4x)} = Кр, ^).(4.8)

Если линейное преобразование сводится к простой операции умножения ах, где а ^= О — вещественное число, то■

8{g(ax)} = а-п/(р,Д/а) .=? а1-»/^. (4.9)

Свойство сдвига аргумента и преобразование Хока - .

Пусть х0 — n-мерный вектор. Тогда

hW — Хо» = /1? — ^ot £)■■(4.Ю)

В частном случае 2D задачи полезно рассмотреть пример: g(r) s — ^i У) " ^х — ж0)6(у — Уо). Из (4.10) сразу же следует, что ?Мб(х - х0)6(у - у0)} = 6(р - р0\,'(4,11)

■р0 = Жо cos ф + Уо sin <р.■-

Таким образом, 2D преобразование Радона от функции, сосредоточенной в точке (х0, у0), порождает функцию, рассредоточенную по окружности радиусом (1/2) (жд + У»)1/2 с центром в точке (х0/2, у0/2).

'Этот пример имеет непосредственное отношение к-так называемому преобразованию Хока, запатентованному автором [12] как метод сжатия изображения и выявления прямолинейных участков в сложной двумерной картине. Преобразование Хока изучалось в расчетном и чисто техническом аспектах в ряде работ (см., например, [13] и библиографию в ней). Динс [14], по-видимому, первым обратил внимание на то, что преобразоание Хока есть частный вид преобразования Радона, связанный со свойством сдвига аргумента исходной функции g(r). Действительно, для всех точек в плоскости - (ж, у), лежащих на прямой, которая определена углом <ре и кратчайшим расстоянием до начала координат р0, в соответствии с (4.11) получим в плоскости (<р, р) набор кривых, пересекающихся в одной и той же точке (<р, р) = (<р0, р0) — рис. 4.1. Таким образом, если выбран способ подходящего графического представления / как функции

-Рис. 4.1. Операция «сжатия» линии на плоскости (г, у) в точку на плоскости (р, ф) с помощью преобразования Хока..

переменных ф и р, то прямое преобразование Радона можно интерпретировать как операцию сжатия прямой линии в точку; Дальнейшая раз

работка такого «компрессионного» подхода связана с 'разного рода обобщениями задачи в целях детектирования кривых [произвольной формы (см., например, [15]).

Преобразование производных от функции

Если свойство'сдвига аргумента (4.10) применить к стандартной формуле предельного перехода, определяющей частную производную ^ ^Ск^пу.-

' 9g sr (х + е/^) - г (х)■

®хк ~.

то после элементарных выкладок получим

Используя далее свойство линейности (4.6), найдем й-11-

где а — вектор с компонентами аь.

При переходе к смешанным производным для произвольных постоянных векторов a, Ь е Я” получается следующий результат:

(4.14)(4.14)$22«A^-]-M>(b.9^s

(4.14)

(4.14)

u=l к=1 I к ).op

Полагая при п = 3 atbh = 6йг, где вк1 — символ Кронекера, приходим к важному частному случаю (4.14). Очевидно, при этом оператор Радона действует на y2g(x), где у2 — лапласиан. Находим

'S{V2g(x)} = |l|2^- = ^^1 161 = 1.(4.15)

ОрОр

Этот результат играет принципиальную роль в установлении связей задач интегральной геометрии и теории дифференциальных уравнений в частных Производных [6, 16, 17].

Наконец, применим оператор Радона к результату предшествующего воздействия на функцию ^(х) линейного оператора Цд18х1г.. ,.., д/джп) с постоянными коэффициентами

RVlg^\=L^, _.,Л^НрЛ\(4-16)

В частности, если действие линейного оператора L сводится к простому умножению на g(x) однородного полинома степени т с постоянными коэффициентами, то получается следующее соотношение:

№) = т^^ы,(4,17)

Уместно подчеркнуть, что результаты, указанные в этом разделе, позволяют весьма просто получить ряд следствий, важных для разработки алгоритмов линейной и нелинейной (дифракционной) томографии. Ограничимся здесь всего двумя типичными примерами.

В монографии авторов [18] описан ряд применений в газодинамических и плазменных задачах алгоритма Мальдонадо — Олсена [19-, 20], основанного на специальном полиномиальном разложении искомого 2D распределения. Как отмечает Динс [14], построение этого алгоритма можно радикально упростить, если воспользоваться результатом прямого преобразования Радона от произведения двух полиномов Эрмита на гауссиану, т. е.'

. g^x, у) = Н^ГШ exp (—ж2—у2).(4.18)

Применяя известную формулу Родрцга -

exp (— i2) Нк (t) = (— 1)*^)А ехр (- t2),

перепишем (4.18) в виде*

,./ 9 \к / 9 \1 ,.

go(^, у) = (—l)^1 ехр (—ж2—у2),

где к в I — неотрицательные целые числа. Тогда в соответствии с (4.16) можно записать

Вновь пользуясь формулой Родрига$ получаем результат

^б^г У)} = ^^(cos ф)%зт ф)г ехр (— р^Нк+1 (р),(4.19)

где.-

§ = (U 5г) = (cos ф, sin ф),

который требуется в алгоритме Мальдонадо — Олсена. Аналогичные выкладки возможны и в том случае, когда функция (4.18) строится на основе полиномов Лагерра; соответствующие преобразования дают формулы, которые в сочетании с (4.19) позволяют завершить построение алгоритма. В оригинальных работах [19, 20], где преобразование Радона не использовалось, та же цель достигалась сложным путем.

Алгоритмы дифракционной томографии, опирающиеся на SD волновое уравнение

□ g^» 0 = 0, г = (ж, у, z),(4.-20)

(

1 д ।

(4.21)(4.21)V2—2^21 — оператор Даламбера, в ряде случаев могут строиться с учетом следующего важного упрощения. Применим к (4.20) оператор Радона Л, учтем, что R и^ коммутирую^ и воспользуемся результатом (4.15). Получим

(4.21)

(4.21)

с2 эг2 ~ др2

где / = /(р, g, /) = Rg^x, у, з, i). Таким, образом, совершив прямое преобразование Радона, переходим от трехмерной формы волнового уравнения к одномерной.

Дифференцирование преобразования Радона

В то время как Дифференцирование /(р, g) по скаляру р вполне тривиально, формулы, содержащие производные от /(р, £) по компонентам орта |, обладают рядом особенностей.

Укажем прежде всего на следующий результат:

. ^-)г(х)^8(Р-?.х)Лх.

Для производной от 6-функции со сдвинутым аргументом имеем ^(х-хД-^х-т.), 7 = 1Т^(4.22)

Поэтому в нашем случае

А-б(р-^.х) = — Жй2б(р_ £.х)

и окончательно

'^^{g(x)}— ^й {Ж^(х)}.(4-23)

Если а е Rn — произвольный постоянный вектор, то на основании (4.23) и свойства линейности (4.6) получим

(а Д) R {g (х)} = - ^ Й {(а-х) g (х)}.(4,24)

Для двух произвольных постоянных векторов a, b е Rn имеем n п2.

(4-25>

1=1 h=l ’ I =h "Р

Преобразование интеграла свертки

Пусть функция g(x) выражается сверткой: •

g (х) = g! ® g2 = J 81 (У) 8г (х — У) ^У*(4.26)

■X, у G Я".S .

Тогда очевидно, что- -

R Vs (х)} = J 81 (у) dy J ga (х — у) 6 (р — ^-х) dx..

Заменяя переменные z = х — у, находим'

' / (А У = ^ SiU^dy Jg2(z)6(p — §-у — ^-i\di == ^1(у)^{я2(р—^-yt W^y =

= J Л Vs» (P — A £)} ds J gT (y) 6 (s - £-y) dy.

Таким образом,--

ftV8i®8i> = № * %}■(4.27)

Для большей ясности в формулах (4.26), (4.27) nD свертка обозначена как ®, a W свертка — как*.

Итак, преобразование Радона от nD свертки двух функций есть 1D свертка преобразований Радона для этих функций. Напомним в связи с этим, что фурье-трансформанта от свертки — это произведение фурье-трансформант каждой функции. Данное обстоятельство также весьма существенно при анализе алгоритмических аспектов РТ.

Связь преобразований Радона и Фурье■ .

Запишем прямое и обратное n-мерные преобразования Фурье в симметризованной форме:

F {8 (х)} = 8 (Р) = J 8 (х) ехр (— 2лip • х) dx, ■(4.28)

8(х) = F-1 (g (р) }= J g (р) exp,(2nip.x) dp.(4.29)

В этих выражениях р = (р1г ра, ..., р„) — n-мерный вектор пространственных частот.

Чтобы установить связь преобразований Фурье и Радона, перепишем, используя фильтрующее свойство 6-функции, формулу (4.28)

в эквивалентном виде

g(p) = J dt J g (х) exp (2ni«) 6(t — р-х) dx,

где t — вещественная переменная. Перейдем к орту £, фигурировавшему в предыдущих разделах, с помощью соотношения р = р§ и положим t = рр. Здесь р — скалярная (частотная) переменная, сопряженная р. Тогда с учетом свойства однородности (4.4) легко найдем^ что

g (Рё) = IРI У dp У g (х) exp (— 2nipp) 6 (рр — р£х) dx =

= У ехр(—2л1рр)^рУ g(x)8(p— £>x)dx.(4.30)

В последнем равенстве (4.30) внутренний интеграл есть преобразование Радона функции g(x), т, е. согласно прежним обозначениям — проекция /(р, |). Итакг

g^ = J /(рЛ)ехР(— 2nipp)dpt(4.31)

т, е. пО-преобразование фурье-функции g(x) есть Ю фурье-образ проекции этой функции, находимый по радиальной переменной р. Иными словами, получено «-мерное обобщение теоремы о центральном сечении (§ 2.2). В эквивалентной операторной форме следует записать

F = F1R, ^^F^F.(4.32)

Сопоставляя преобразования Фурье и Радона, авторы известной монографии [2] подчеркивают определенные преимущества преобразования Радона при решении многих прикладных задач. Действительно, как видно из (4.32), преобразование Фурье можно разложить в композицию преобразования Радона и последующего преобразования Фурье в одномерном пространстве. Но это последнее преобразование в ряде задач излишнее [3]. Кроме того, оно типично только для евклидова пространства, которым мы ограничиваемся в этой главе. Строго говоря, аналог W фурье-образа существует и в других однородных пространствах (например, в пространстве Лобачевского), но он уже связан с представлениями групп и строится значительно сложнее. По мнению авторов [2], в связи с этими обстоятельствами резонно строить операционное исчисление на базе преобразования Радона (эта программа частично реализована в [2]).

Отметим еще, что для преобразования Радона в нечетномерном пространстве может быть получен аналог известной формулы План- шереля, выражающей свойство инвариантности скалярного произведения, Доказывается также аналог классической теоремы Пэли —

Винера (о преобразовании Фурье финитной функции на прямой). Мы не выписываем здесь подробно эти и другие следствия тесной связи операторов Фурье и Радона (они подробно рассмотрены в [2]), поскольку в дальнейшем нам не придется непосредственно пользоваться ими.

Связь преобразований Радона и Гегенбауэра

Некоторые формулы обращения и многие алгоритмы линейной компьютерной томографии как двух-, так и трехмерной основаны на полиномиальных разложениях; для этой цели используются полиномы Эрмита, Цернике, Лежандра, Чебышева 1-го и 2-го рода, Якоби, Лагерра и др. Построение целого ряда таких алгоримтов, сопоставление их между собой и рациональный выбор того или иного способа разложения в конкретной ситуации значительно облегчаются за счет использования полиномов Гегенбауэра бц (ж) и специального, носящего также это-имя преобразования, в котором полиномы С] (ж) играют определяющую роль.

Напомним прежде всего, чтд порождающей функцией (генератрисой) полиномов С} (х) является соотношение

(1 - 2xt + tV1 = ^ <Л (х) tl, v Ф 0.(4.33)

i=o .

Связь С?^) с другими, наиболее распространенными в томографиче- скйх алгоритмах полиномами, устанавливается формулами

Г1(^) = ^(х), '

Ui^ = CH^,(4.34)

p(v-i/2,v-i/2) ( х _ Г (2v) Г (у + 1/2 + i) . х

-W Г (2v + Z) Г (у + 1/2)

где Tt(,x) и U^x) — полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода соответственно, Рг(я) —" полином Лежандра, Р^’а\х} — полином Якоби, Г — гамма-функция.

Допустим, что функция g(x) может быть представлена в следующем факторизованном виде:''

g(x) = й;(г)У1т(<о), г = |х|, ю = х/|х|,(4.35)

где полная ортонормированная система N линейно независимых сферических гармоник Угт(ю) степени Z определена в Я”: У1т = = (Уп, Уг2, . , ., Уш}. При этом

I „ 9+ И — 3\

^ = ^(”,(4.36)

где Р^ = ^ц^у^у — биномиальные коэффиценты..

Подействуем теперь на g(x) (4.35) оператором Радона R / (р, £) = Й (g (х)} = J hi (г) Y1т (<■>) 6 (р — ^х) dx, (4.37)

Опуская несколько громоздкие выкладки, в которых существенным образом используются свойства симметрии сферических гармоник [21], приведем сразу окончательный результат:

Ж ^ = Yim^R<ht^HP^(438)

^(г)^!^-) 1-^ dr.

Первое из соотношений (4.38) устанавливает искомую связь между ним и преобразованием Радона /(р, £) = 7?g(x); второе — принято называть преобразованием Гегенбауэра. В этих формулах v = = ^п — 2)/2, <оп = 2лп/2/Г(га/2), а значение полинома Гегенбауэра Ci (/) вычисляется по соотношению .с^(0=^ + "“3^

Мы увидим далее, что возможность выделить согласно (4.38) сферическую гармонику и. преобразовывать по Радону лишь радиальный фактор ht чрезвычайно упрощает решение многих томографических задач,' ' ,--

' § 4.2. ИНВЕРСИЯ РАДОНА -

Перейдем теперь непосредственно к центральной теоретической задаче, стоящей в линейной компьютерной томографии, а именно: представлению функции g(x) через ее преобразование Радона /(р, £), т. е. к обращению формулы (4.2). Как известно, решение этой задачи впервые было найдено Радоном [1]. Мы, однако, не будем воспроизводить здесь выкладки данной классической работы, а рассмотрим два других метода инверсии. Хотя оба они приводят к одному и тому же конечному результату, но способы его получения существенно различны, и при этом каждый из подходов интересен по-своему. Первый метод основан на теории плоских волн и сферических средних [6, 22]; фактически он является логическим продолжением анализа свойств прямого преобразования Радона, резюме которого дано в § 4.1. Уместно отметить, что метод плоских волн давно и широко применяется в задачах аэро- и гидродинамики; в нем интегральная геометрия особенно тесно смыкается со способами анализа и решения дифференциальных уравнений в частных производных. ■

Второй метод использует глубокую внутреннюю связь преобразований Фурье и Радона и основан на обобщенной теореме о центральном сечении (4.31). Он ведет к конечному результату инверсии быст-

рым и «экономным» путем, давая попутно возможность выяснить некоторые принципиальные вопросы построения томографических алгоритмов с помбщью так называемых схем интегральных преобразований [23]. Оба этих метода, дополняя друг друга, позволяют более конструктивно анализировать задачи РТ в 2D и 3D постановках.

В конце параграфа кратко рассмотрим более частный метод инверсии Радона, использующий свойства преобразования Гегенбау- эра. Он интересен прежде всего с точки зрения обоснования ряда алгоритмов РТ в случае малых размерностей задачи. .

Метод разложения.

по плоским волнам

Рассмотрим наряду с искомой функцией g(x) некоторую непрерывную функцию y(s) скалярной переменной s. Введем два вспомогательных вектора у, z, так же как и х, определенных в евклидовом пространстве R", причем у = х + z. Если вновь использовать вектор %, Для которого р = g-x, то Y(g-z) следует рассматривать как функцию, которая постоянна на гиперплоскостях, перпендикулярных z. Иными словами, эта функция будет плоской волной [6, 8t 24]. Будем далее оперировать неэкспоненциальными плоскими волнами, в качестве которых выберем следующие: ■

?i(s) = lsl». У2(») = ^Н, s = ^«z.'(4.39)

Рассмотрим интегралы по переменной у от произведений g(y)Yi(s) и g^^^s). Первый случай будет соответствовать нечетным значениям размерности п. Имеем ■ 1

Уя(у)Т1(5)^У = У?(У)1^г|^У = Js'Mdy J lz>|6(P-£‘z)dp =

= J lpl/(p+l'Xi S)dp.(4.40)

Здесь использовано свойство сдвига аргумента (4.10).'

Произведем далее интегрирование в (4.40) по сфере £\, радиус которой без ограничения общности можно положить равным единице, поскольку он не должен входить в окончательный результат. Это означает, что

J dHg(y)l^-z|^y = J ^J|p|/(p + ^*x, l)dp. (4.41) ■ Ul=i-161=1•

Можно показать (см. приложение 3, (П.3.5)), что, действуя на левую часть (4.41) (п + 1)/2 раз оператором Лапласа А^мы с точностью до константы получим функцию g^x):; f ■'

(х) anA(xn+1,/2 [ с^Уя(у)|£-2Му,(4.42)

- I6i=i

ап = (2л,)1-”/4; z = у — х, п = 3, 5, 7 ..., i — мнимая единица.

Если теперь, на внутренний интеграл в правой части (4.41) тоясе подействовать оператором Лапласа Дж, но уже однократно, то нетрудно прийти к следующему простому результату (подробности также см. в приложении 3):■.

.A* J |Р|/(р + §-х# У^Р-З/^-х, §).(4.43)

Учитывая^ что возможна • декомпозиция оператора Лапласа вида ^W'a - Д^^Д,,'-(4,44)

и объединяя результаты (4,42) и (4.43), получаем

g(x) = cXn-1>/2 J ^.хЛ)<£Г(4.45)

I6i=i ■,

Сп = 2а„ = (2л01-"/2.(4.46)

Другая часто используемая форма записи (4.45) такова:

gW = Cn J U-Y"1/^^(4.47)

I6i=i r

где имеется в виду, что (а \п~1/ я \п—1

g^j /(§'Х1^)”^/ НР1 §)|р=6'Х'

В работах по интегральной геометрии, а в последнее время и во многих статьях по прикладным вопросам РТ, часто используются и другие операторные представления полученных выше результатов. Укажем на некоторые, наиболее распространенные из них- [2, 4t 7-9].

Для произвольной функции ф(р, ^), где р = §-Х, такой, что ф(р1 §) = ф(—р, — |), вводят сопряженный (адъюнктивный) оператор Радона R+:

^= Л'(4.48)

111=1'

К произвольной функции ф(р, |) применяют оператор Хел- гасона Он(индекс «Н» введен здесь во избежание смешивания с классическим оператором Даламбера):.

ПнФ(рЛ) = ^Р.(4.49)

Для произвольной функции ф(р) вещественной переменной р вводят следующий оператор (п — 1)-кратного дифференцирования:

(4.50)(4.50)_\n-i

(4.50)

(4.50)

Гоф (р) = Ф (О = Сп ^) ф (р) |p=f.

С помощью этих операторов ряд ранее полученных результатов может быть записан в удобной компактной форме. Например, вместо (4.15), можно написать

RW^> = Qh№, 1).(4.51)

Формулы инверсии Радона (4.45), (4.47) выражаются в таком виде:

(Cn^-mR+f(P, £), g(х) = CnZ?+ (П#'^2/ (р, Ю),(4.52)

^+Го/(Р, У-

Полезно также иметь в виду следующие операторные соотношения: '.'

.R40R = I,(4.53)

где I — единичный оператор, воздействие которого на g^ не меняет функции. В случае симметричных дифференцируемых функций можно также записать■

ТОШЬ = I.(4.54)

Перейдем теперь к случаю четных значений размерностей п. Схема получения формул инверсии Радона остается прежней, однако в отличие от (4.40) рассмотрим интегралы по переменной у с другим типом плоской волны y2(s) = In |$[:

■- f #(У) b(sW = f g(y)b|£-z|dy =-

-=Jg(y)^yj ]1пр|6(р — %-i)dp =.

.—ОО.-*

= J lnlPl/(P + 1-^,1) dp.(4.55)

Вновь проинтегрируем левую и правую части (4.55) по единичной сфере и используем результат (п /2)-кратного воздействия оператора Лапласа Дж на левую часть полученного соотношения. Этот результат имеет вид (см. приложение 3, (П. 3.6))

#(х) = —^Д"/2 J ^Jg(y)ln|^-z|dy, п = 2, 4, 6, ,,.(4.56) ‘ lgl=i -

(обозначения те же, что и в формуле (4.42)).

Тогда следующая непосредственно из (4.55) формула обращения

g^-^b^ j ln|^|/(p + |.x, ^dp. (4.57) ui=i -oo- ■.

уже может рассматриваться как результат инверсии Радона; однако

ее чаще преобразуют к виду, который не содержит ln[pjt путем, декомпозиции оператора Лапласа:

Д^2 = А^“2)/а-Ах.(4.58)

В результате находим (см. приложение 3, (П.3.7)), что

. A* J In | р | / (р +-|-х, ^)dp = — ^ 9fp^-^P dp, (4.59)

где в интеграле подразумевается главное значение в смысле Коши.

Тогда формула инверсии для четных значений п приобретает наиболее часто используемый' вид.

.111=1 —ОО.-

■ где fp = djldp, а константа Си по-прежнему определена формулой (4.46), Отметим, что процесс декомпозиции оператора Лапласа (4.58) можно продолжить, воздействуя каждый раз оператором Дя на интеграл по переменной р, а затем производя двукратное интегрирование по частям, т. е.

и т. д. В конечном итоге по аналогии с (4.47) найдеми т. д. В конечном итоге по аналогии с (4.47) найдем

и т. д. В конечном итоге по аналогии с (4.47) найдем

и т. д. В конечном итоге по аналогии с (4.47) найдем

Полученным формулам инверсии Радона можно придать простую и компактную форму, если воспользоваться известным преобразованием Гильберта, связывающим две функции ф(р) и %((), вообще говоря, комплексных, но в нашем случае — вещественных переменных:

(4.63)(4.63)

(4.63)

(4.63)

%(t) = llim“ 6-» о%(t) = llim“ 6-» оФ (р) dp Р— tФ (р) dp Р— t++Интегрирование, как и в (4.59)—(4.62), ведется в смысле главного значения Коши, т. е.’ -

%(t) = llim

“ 6-» о

%(t) = llim

“ 6-» о

Ф (р) dp Р— t

Ф (р) dp Р— t

+

+

С Ф (р) dp

J Р— tх+е

причем пределы интегрирования стремятся к точке х одновременно для первого и второго интегралов; у(<) обычно называют гильберт- образом функции ф(р). Отметим попутно весьма широкие и важные

применения преобразования Гильберта в оптике [25] и аэродинамике [26]. В частности, в оптике с помощью этого преобразования удается визуализировать неоднородности среды с предельно высоким контрастом сразу для всех пространственных частот, пропускаемых оптической системой..

' Обращаясь к формуле инверсии (4]62), положим t = |-х, после чего ее можно переписать так:

с гг / я \ n-i 11

g(x) = -iCn jМ §))](^хЛ).(4.64)

. 'i6i=i

Введем по аналогии с (4.50) оператор Ге, где -

геф (Р) = - tcn ^ {(^)П-1 ф О»)}]тп.(4.65)

Тогд^ уравнение (4.62) примет требуемую компактную форму:

-g(x) = ^+Ге/(рЛ)-(4.66)

Таким образом! задача инверсии Радона решена полностью,

Метод инверсии, основанный на теореме о. центральном сечении

В п. 4.1.8. была установлена тесная связь nD преобразования Фурье с прямым преобразованием Радона, выражаемым функцией /(р, |). Главный результат (4.31), представляющий собой обобщенную nD теорему о центральном сечении, может при этом служить основой получения формул инверсии Радона для нечетных и четных значений размерности задачи.

Воспользуемся обратным преобразованием Фурье (4.29) и подставим в него вместо трансформанты ^(р^) результат (4.31):

g (х) = J J g(р, §) ехр (2лгр^-х) pn-1dpdg =

161=ю

= J d^ J pn-Iexp(2nfp^x)dp [ Др, |) exp(— 2ntpp)dp . 161=1 Lo-*.

(4.67)

Здесь, как и в п. 4.1.8, использована связь вектора пространственных частот р с ортом |, даваемая соотношением р = р^; подчеркнем, что dp = pn-1dpd|, где р — частотная переменная в nD фурье-пространстве, сопряженная скаляру р.-

I Отвлечемся пока от интегрирования по § в (4.67) и преобразуем внутреннее выражение, заключенное в квадратные скобки. Последнее, очевидно, будет некоторой функцией переменных t = ^-х и %, которую обозначим через U^t, §). Воспользуемся тем, что из-за дальнейшего интегрирования по единичной сфере окончательный ре-

зультат в (4.67) не изменится, если произвести замену Ukt, |) на Uekti ^$ где

■ U.ktA^^VUkti^ + Uk-t,-^.(4.68>

Легко убедиться в том, что обладающая свойством четности функция Uekti 6) преобразуется к виду;

^е (^1 У = 4 J Pn~IdP J ^ (А ^ еХ₽ t2111^ ^ ~ РН ^ +

+ 4 J Pn~ldP J fkPi— £) exp [— 2лгр (t + p)] dp =

= 4 J । P l"-1^P J / kpt ^) exP I2niP kt — All dp..(4.69)

Таким образом, мы формально расширили область интегрирования по пространственным частотам |р| на отрицательную часть значений этих величин.

Рассмотрим далее по отдельности случаи нечетных и четных размерностей задачи. -

п — нечетные. Избавляемся от величины |р|п-1 в (4.69), интегрируя по переменной р по частям (га — 1) раз:

Ue kti У =А j dp j dp exp [ — 2nip С? — 0Ц / kPi ■ У =

= cnjtkPtWp-Mp-

-^(iP^/Ml-W^).(4,70)

Здесь, как и ранее, Сп = (2лг)1-п/2, Го — оператор (га — ^-кратного дифференцирования (4.50); использовано также известное экспоненциальное представление 6-функции Дирака.

га — четные. Вновь интегрируй в (4,69) по частям (га — 1) раз, находим .

Ue & I) = Сп J sgn (р) dp J dp exp [- 2лг*р кр - t^^y^fkP! ^) =

- ^ f W9-P^^^S).(4.71)

Б данном случае использовано сверточное свойство преобразования

ГильбертаГильберта(4.63):7.W = ф(«)*МО,(4.63):7.W = ф(«)*МО,h0(^ = 1Р (—\° х ' л \ z )h0(^ = 1Р (—\° х ' л \ z )F-i(Sg^YA_plA\ = h^1 t J л I p I ° 7F-i(Sg^YA_plA\ = h^1 t J л I p I ° 7(4.72)(4.72)

Гильберта

Гильберта

(4.63):

7.W = ф(«)*МО,

(4.63):

7.W = ф(«)*МО,

h0(^ = 1Р (—\° х ' л \ z )

h0(^ = 1Р (—\° х ' л \ z )

F-i(Sg^YA_plA\ = h^

1 t J л I p I ° 7

F-i(Sg^YA_plA\ = h^

1 t J л I p I ° 7

(4.72)

(4.72)

sgn (р) =sgn (р) =Р>0, Р = О, р<0.Р>0, Р = О, р<0.где P — символ интегрирования в смысле главного значения Коши, sgn(p) — знаковая функция:.

sgn (р) =

sgn (р) =

Р>0, Р = О, р<0.

Р>0, Р = О, р<0.

(4.73)

Наконец, оператор Ге определен формулой (4.65).

Остается выполнить интегрирование по векторной переменной |. Согласно (4.48) этому соответствует применение к URt = ^-х, |) сопряженного оператора Радона R*.

Если п — нечетные (формула (4.70)):

(4.74)(4.75)(4.74)(4.75)' g(x) = R+Ue&.x, £) = R*Y0Rp, I).

(4.74)

(4.75)

(4.74)

(4.75)

Если n — чётные (формула (4.72)):

g(x) = R^U^-x, 6) = R*YeRp, §)•

Таким образом, формула (4.74) совпадает с (4.52) (см. третье из эквивалентных равенств); формула (4.75) — с (4.66).

Как мы увидим далее, описанная процедура получения формул инверсии Радона после перехода к соответствующим размерностям задачи кладется в основу построения так называемых сверточных алгоритмов компьютерной томографии.

Метод инверсии с использованием преобразования.

Гегенбауэра

В п. 4.1.9 рассмотрен простейший случай, когда искомое распределение g(x) представлялось в факторизованном виде (4.35), выделяющем одну сферическую гармонику Угт(<о), где о = х/|х]. Обобщая это представление, можно записать ■

gW = ^ AlmhRr')Ytm(to).(4.76)

Здесь А1т — матрица постоянных коэффициентов, а суммирование, вообще говоря, должно пониматься в следующем смысле:

"N оо

■2=2 2,(4.77)

т=1 1=0■

где N находится по формуле (4.36). Однако нужно подчеркнуть, что на практике суммирование по I производится также лишь до некоторого конечного значения ?Шах.

Пользуясь установленной связью прямых преобразований Радона и Гегенбауэра (4.38), запишем ,

/ to 6) = .2 Vlm ® £ ^ (г)} (р)(4.78)

и будем считать, что полный набор проекций /(р, |) известен. Из условий ортогональности и нормировки сферических гармоник получаем■

f /(p,§)rw(§)^ = SHZm^{fez(r)}(p)6zz,6mm,t (4.79)

ISl=ii-m

т. е..'

AIm^{hz(r)}(p) = J f^^Vtm^dl.(4.80)

■I6i=i

Остается найти обращение Радонц для радиальной части восстанавливаемой функции, иными словами, осуществить инверсию преобразования Гегенбауэра (вторая формула (4.38)). Эта задача была подробно исследована Динсом [29, 301, получившим следующий результат (довольно громоздкие выкладки опущены):

hi (г) =hi (г) =ton-lGlИq w (- 2n)2v+V’ton-lGlИq w (- 2n)2v+V’<Ш<Шf d2^1J . dt 10f d2^1J . dt 10[МИН^И^-!? ^dp, (4.81)\ ' / \ r /[МИН^И^-!? ^dp, (4.81)\ ' / \ r /v = (ra — 2)/2, on = 2лп/2Г(н/2), Cl — полином Гегенбауэра.Таким образом, общая схема инверсии с использованием преобразования Гегенбауэра сводится к следующему:от имеющихся проекций /(р, |) совершаем переход согласно (4.80) к величинам Azm7?{/iz(r)}(p);■пользуясь формулой инверсии (4.81), получаем радиальные функции fez(r), а значит, и произведения Aimhi(ry,находим g(x) по (4.76).. Нельзя, однако, забывать о том, что хотя описанный путь достаточно прост и ясен в принципиальном плане, он может приводить к большим вычислительным трудностям из-за сильных осцилляций решений при некоторых значениях отношений р/r. Анализ показывает, что возможны определенные алгоритмические упрощения благодаря использованию следующей формулы, вытекающей из свойств полиномов Гегенбауэра:v = (ra — 2)/2, on = 2лп/2Г(н/2), Cl — полином Гегенбауэра.Таким образом, общая схема инверсии с использованием преобразования Гегенбауэра сводится к следующему:от имеющихся проекций /(р, |) совершаем переход согласно (4.80) к величинам Azm7?{/iz(r)}(p);■пользуясь формулой инверсии (4.81), получаем радиальные функции fez(r), а значит, и произведения Aimhi(ry,находим g(x) по (4.76).. Нельзя, однако, забывать о том, что хотя описанный путь достаточно прост и ясен в принципиальном плане, он может приводить к большим вычислительным трудностям из-за сильных осцилляций решений при некоторых значениях отношений р/r. Анализ показывает, что возможны определенные алгоритмические упрощения благодаря использованию следующей формулы, вытекающей из свойств полиномов Гегенбауэра:t■t■V—1/2 Г ,2V—1/2“21 dx =V—1/2 Г ,2V—1/2“21 dx =ЛГ Г(/ + 2у)12(Z_S)2V22V-1 [ Г (Z + 1) Г (v) J г (2v + 1) *ЛГ Г(/ + 2у)12(Z_S)2V22V-1 [ Г (Z + 1) Г (v) J г (2v + 1) *(4.82)(4.82)7 в. В. Пикалов, H. Г. Преображенские7 в. В. Пикалов, H. Г. Преображенские9797

hi (г) =

hi (г) =

ton-lGlИq w (- 2n)2v+V’

ton-lGlИq w (- 2n)2v+V’

<Ш

<Ш

f d2^1

J . dt 10

f d2^1

J . dt 10

[МИН^И^-!? ^dp, (4.81)\ ' / \ r /

[МИН^И^-!? ^dp, (4.81)\ ' / \ r /

v = (ra — 2)/2, on = 2лп/2Г(н/2), Cl — полином Гегенбауэра.

Таким образом, общая схема инверсии с использованием преобразования Гегенбауэра сводится к следующему:

от имеющихся проекций /(р, |) совершаем переход согласно (4.80) к величинам Azm7?{/iz(r)}(p);■

пользуясь формулой инверсии (4.81), получаем радиальные функции fez(r), а значит, и произведения Aimhi(ry,

находим g(x) по (4.76).

. Нельзя, однако, забывать о том, что хотя описанный путь достаточно прост и ясен в принципиальном плане, он может приводить к большим вычислительным трудностям из-за сильных осцилляций решений при некоторых значениях отношений р/r. Анализ показывает, что возможны определенные алгоритмические упрощения благодаря использованию следующей формулы, вытекающей из свойств полиномов Гегенбауэра:

v = (ra — 2)/2, on = 2лп/2Г(н/2), Cl — полином Гегенбауэра.

Таким образом, общая схема инверсии с использованием преобразования Гегенбауэра сводится к следующему:

от имеющихся проекций /(р, |) совершаем переход согласно (4.80) к величинам Azm7?{/iz(r)}(p);■

пользуясь формулой инверсии (4.81), получаем радиальные функции fez(r), а значит, и произведения Aimhi(ry,

находим g(x) по (4.76).

. Нельзя, однако, забывать о том, что хотя описанный путь достаточно прост и ясен в принципиальном плане, он может приводить к большим вычислительным трудностям из-за сильных осцилляций решений при некоторых значениях отношений р/r. Анализ показывает, что возможны определенные алгоритмические упрощения благодаря использованию следующей формулы, вытекающей из свойств полиномов Гегенбауэра:

t■

t■

V—1/2 Г ,2V—1/2

“21 dx =

V—1/2 Г ,2V—1/2

“21 dx =

ЛГ Г(/ + 2у)12(Z_S)2V

22V-1 [ Г (Z + 1) Г (v) J г (2v + 1) *

ЛГ Г(/ + 2у)12(Z_S)2V

22V-1 [ Г (Z + 1) Г (v) J г (2v + 1) *

(4.82)

(4.82)

7 в. В. Пикалов, H. Г. Преображенские

7 в. В. Пикалов, H. Г. Преображенские

97

97

В следующих главах мы увидим, что основное значение описанного подхода к инверсии Радона заключается в унификации вывода ряда расчетных формул РТ, относящихся к 2D и 3D ситуациям.

О СООТНОШЕНИИ ФОРМУЛ

ИНВЕРСИИ РАДОНА

В ЧЕТНО-И НЕЧЕТНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ

Как видно из процедуры вывода инверсионных формул Радона для задач нечетной и четной размерности п, имеет место явное различие конечных результатов, формально обусловленное разной структурой операторов Го и Гс, которыеописываютспособы дифференциальных и интегро-дифференциальных преобразований проекционных данных. В связи с этим обычно говорят о локальности (п — нечетные) или- нелокальное™ (п — четные) формул обращения Радона [2, 3]. Под этим подразумевается, что при нечетном п для восстановления nD распределения g в точке х достаточно знать интегралы функции g по сколь угодно близким, к х гиперплоскостям. При п четном для достижения той же цели необходимо знать интегралы уже по всем гиперплоскостям.

Этот феномей непосредственно связан с принципом Гюйгенса [22]. Последний, как известно, гласит о том, что при распространении колебаний, описываемом волновым уравнением в пространстве нечетного числа измерений, резко локализованное начальное состояние наблюдается позднее в другой точке как явление, столь же резко ограниченное. В случае четного числа пространственных переменных принцип Гюйгенса не выполняется, т. е. сигнал от локализованного начального возмущения, принятый в точке наблюдения^ будет размытым. Иными словами, при нечетном п отчетливо выражены как передний, так и задний фронты волны; при четном п резкий передний фронт сохраняется, но задний размазан по пространству как бы вследствие диффузии. К этому уместно добавить, что преобразование Гильберта, присутствующее в операторе Ге, всегда нелокально [2].■■

Несмотря на это принципиальное различие, рядом авторов были предприняты попытки унифицировать выражения инверсии Радона при четных и нечетных п путем либо чисто формального операторного обобщения, либо перехода к некоторым частным формам представления g^x). Отметим некоторые из таких попыток, интересных прежде всего с точки зрения возможных новых алгоритмических разработок.

Согласно Людвигу [7], для единообразной записи обращения Радона следует определить оператор -

„ f Гп — для нечетных п,.

' r = L(4.83)

[Г, — для четных п,.

(4.84)(4.84)после чего пользоваться формулой инверсии g(x) = ITTKp, £)-

(4.84)

(4.84)

В [7] выяснены некоторые свойства оператора Г.

Хелгасон [4] предложил путь унификации обратной задачи Радона, связанный с введением в расчетные формулы дробных степеней лапласиана. Дробные производные определяются через потенциалы Рисса [27]:

(4.85)(4.85)Г(7/2)Г ((л - ?)/2) •Г(7/2)Г ((л - ?)/2) •(/v) (х) = ^1^ J ф (у) | х _ у [V »dy>

(4.85)

(4.85)

Г(7/2)

Г ((л - ?)/2) •

Г(7/2)

Г ((л - ?)/2) •

Рассматривая потенциал Рисса как интеграл типа свертки, где |х — у| v-«= zT-n, можно убедиться в том, что полюсы функции zv-” при дробных значениях у компенсируются полюсами функции Г(у/2), вследствие чего потенциал (7тф)(х) может быть продолжен до голоморфной функции в связной области-[4]. Отметим, что развитие упомянутого подхода в интегральной геометрии тесно примыкает к разработке теории фракталей и промежуточной асимптотики, которая в последние годы находит все большее применение в гидродинамике, физике плазмы и общей теории относительности [28].

В приложении 3 выведены соотношения для метода плоских волн, которые являются обобщением формул (4.42) и (4.56), определяющих переход к инверсии. Радона соответственно для нечетных и четных п. Эти два соотношения могут быть формально объединены:

g(x) = A<,n|,1)/2 ReJJ

[ У(2лОп

(4.86)(4.86)Z = у — X.

(4.86)

(4.86)

В (4.86) In з следует понимать как главную ветвь функции, определенной на комплексной s-плоскости и «разрезанной» вдоль отрицательной действительной полуоси. Отсюда возникает возможность, повторяя операции, описанные в п. 4.2.1, прийти, к тому же унифицированному обращению Радона, которое более формальным путем получает Людвиг [7] за счет введения оператора Г (4.83).

Если возможно разложить функцию g^ по сферическим гармоникам (4.76), то, как показал Динс [29, 30], отпадает надобность вводить в целях унификации формул инверсии дробные производные по Хелгасону. Иными словами, алгоритм инверсии с использованием преобразования Гегенбауэра, описанный в п. 4.2.3, остается справедливым как для четных, так и для нечетных п. Подробному анализу особенностей проблемы унификации преобразования Радона на основе свойств полиномов Гегенбауэра. посвящена работа Монтальди [31].

Гл а в a 5

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ЛИНЕЙНОЙ томографии двумерных объектов

В предыдущей главе были рассмотрены важнейшие свойства прямого и обратного преобразований Радона, выполняемых в евклидовом пространстве п измерений. Потребности реального томографического эксперимента, в котором с помощью коллимированных пучков выделен определенный плоский слой, стимулируют продолжение соответствующего математического анализа для двумерных (2D) объектов.

В самом деле, переходя от более общего nD случая к 2D задачам, исследователь быстро убеждается в том, что формальная многомерная линейная теория не решает того комплекса проблем, которые возникают в этих, казалось бы, частных ситуациях. Дальнейшая- разработка математического аппарата применительно к задачам РТ двух измерений необходима, в первую очередь, для построения эффективных численных алгоритмов компьютерной томографии, а также для успешного решения упомянутых задач аналоговыми методами. Кроме того, здесь часто играют важную роль специфические способы инверсии проекционных данных (скажем, для функций с фиксированным носителем), отличные от традиционных постановки (например, так называемое экспоненциальное преобразование Радона), построение высокочастотных квазиизображений объекта и т. п. Наконец, как уже подчеркивалось во введении, газовая динамика и физика плазмы вносят в формальную, интегрально-геометрическую томографию много таких элементов, которые было бы-просто нерационально, а зачастую и невозможно, рассматривать в nD постановках задачи: интерференция пучков, рассеяние, реабсорбция, экранировка посторонними телами части луч-суМм и др.

ДВУМЕРНАЯ ИНВЕРСИЯ РАДОНА

ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ • И ОГРАНИЧЕННЫХ НОСИТЕЛЕЙ - '

| Рассматривая в предыдущей главе прямое nD преобразование Радона, мы уже иллюстрировали некоторые его свойства примерами, относящимися к 2D задачам (преобразование Хока, вычисление Н^х, у) Для важной в приложениях функции (4.18)). Прежде чем перейти непосредственно к 2D инверсии Радона, полезно несколько расширить число таких примеров. .

2D преобразования Радона характеристических функций простейших фигур

ча тесно связана с уже упоминавшимся в гл. 4 принципом Кавальери и в известном смысле полярно противоположна ситуации, рассмотренной, в п. 4.1.4, когда g^x, у) вырождалась в 2D функцию Дирака. Возьмем конечные области (О0) на плоскости, ограниченные окружностью, эллипсом и квадратом. Тогда прямым интегрированием по формуле '

/(р>ф) = 1 g ^i У) 6 (р — х cos <р — у sin ф) dxdy (=о) '

найдем:' а)

g (ж, у\ =g (ж, у\ =х1 + У2^ 1,х1 + У2^ 1,

g (ж, у\ =

g (ж, у\ =

х1 + У2^ 1,

х1 + У2^ 1,

Л2(1-р2)1/2, р<1,

«'’■’Но,Р>1;

(5.1)(5.1)(5-2)(5-2)б)

(5.1)

(5.1)

(5-2)

(5-2)

/ (р, ф) =/ (р, ф) =о,о,Р/З^Л, р/s > О,Р/З^Л, р/s > О,(5.3)(5.3)в)в)g^, У) =g^, У) =И, 10.И, 10.s = [a2 cos2 ф + Ъ1 sin2 ф]1/2;s = [a2 cos2 ф + Ъ1 sin2 ф]1/2;0<;г<1, 0<у<1, О^х, у, 1^х, у,0<;г<1, 0<у<1, О^х, у, 1^х, у,/ (Р> ф) =/ (Р> ф) =2р(з1п2ф) \sec ф,2 (sin ф + cos ф—р) (sin 2ф)-12р(з1п2ф) \sec ф,2 (sin ф + cos ф—р) (sin 2ф)-1О < р < sin ф,О < р < sin ф,sin ф^р^соз ф,sin ф^р^соз ф,созф< рСзтф + соз ф.созф< рСзтф + соз ф.(5.4)(5.4)(1, (ж/а)2 + (y/6)2<l,g^x,y)-^ W2-Vto/b^>l,

/ (р, ф) =

/ (р, ф) =

о,

о,

Р/З^Л, р/s > О,

Р/З^Л, р/s > О,

(5.3)

(5.3)

в)

в)

g^, У) =

g^, У) =

И, 10.

И, 10.

s = [a2 cos2 ф + Ъ1 sin2 ф]1/2;

s = [a2 cos2 ф + Ъ1 sin2 ф]1/2;

0<;г<1, 0<у<1, О^х, у, 1^х, у,

0<;г<1, 0<у<1, О^х, у, 1^х, у,

/ (Р> ф) =

/ (Р> ф) =

2р(з1п2ф) \

sec ф,

2 (sin ф + cos ф—р) (sin 2ф)-1

2р(з1п2ф) \

sec ф,

2 (sin ф + cos ф—р) (sin 2ф)-1

О < р < sin ф,

О < р < sin ф,

sin ф^р^соз ф,

sin ф^р^соз ф,

созф< рСзтф + соз ф.

созф< рСзтф + соз ф.

(5.4)

(5.4)

Из сопоставления этих трех элементарных примеров отчетливо видно, насколько сильно меняется результат прямого преобразования Радона Rag^x, у) одной и той же простейшей исходной функции в зависимости от конфигурации фиксированного носителя. Нетрудно предположить поэтому, что и в обратной задаче реконструкции 2D изображения по проекционном данным тот или иной выбор ограниченного носителя приведет к существенно различным вычислительным алгоритмам. Hii/ке мы будем иметь возможность неоднократно убедиться в этом.

Формулы 2D инверсии Радона

Дадим сводку различных вариантов записи формул 2D инверсии Радона, одна часть которых непосредственно следует из результатов решения общей nD задачи инверсии (для п — четных), а другая может быть получена из пих после дополнительных преобразований. При этом вернемся к прежним обозначениям двумерных векторов: х г, |->п, используемым в большинстве работ по компьютерной томографии..

Из (4.57) видно, что с2/1я = (—4л2)-г. После замены переменных в аргументе функции / (см. приложение 3) имеем

^(г) = ^а Пф /(Р, n)ln|p — r-n|dp=- . О — до

Л со.

- = ^.^ф У^т^1п1р —г’п1^р-<5-5)

.О —оо

Можно также воспользоваться свойством дифференцирования свертки двух функций [11’'

э2' d2lp. (г)d2T|5, (z)

.-2 [Ф1 (4*Фг WI = " , ™ «Фа (ж) = Ф1 ^ *—Ч-(5-6)

ах■oxdx

и переписать (5.5) в виде

•^(rh=n)*ln|p|]p=r-n-

О■•

Л , 2

= ^Ф А-[/(А п)*In |^|]|-

2"" №jP=r.n

. Л •.

= A- ^[/pp(P, n) *ln|p|]p=r.n.(5.7)

.2Л•

О.

Переходя далее к формуле (4.62), в 2D случае получаем

«^-^Ы^-Лс<5-8>

- о —00

Формула (4.65), определяющая оператор Ге, перепишется так:

?^(Р) = -^" [^^"] (г> “)-(5-9)

где оператор преобразования Гильберта дается по-прежнему соотношением (4.63).

В двумерном случае вместо сопряженного оператора Радона Й^ обычно принято использовать оператор обратного проецирования В2-.

Rt = 2В3.(5.10)

Появление коэффициента «2» связано с тем, что во многих двумерных задачах РТ.достаточно регистрировать проекции при изменении угла Ф в пределах 0 ^ ф ^ л, а не 0 ^ ф ^ 2л. Тогда аналогом формулы (4.66) в 2D случае будет ’ "

(5.11)(5.11)

(5.11)

(5.11)

Ниже мы коснемся свойств оператора В2 более подробно.

Важная в практическом отношении разновидность формулы 2D инверсии Радона следует из выражения (4.67), т. е. фактически из nD теормы о центральном сечении:

(5,12)(5,12)g(r)= J | р| dp J G (пр) exp (2лгрг-п) dф,

(5,12)

(5,12)

G(np) = G(p)|p=np-F1{/(p,n)}..

(Пояснения преобразования пределов интегрирования по пространственным частотам и появления множителя |р| уже давались в связи с формулой (4.69).)

В ряде случаев удобнее строить алгоритм РТ, опираясь на формулу обращения, не содержащую производной по параметру р. Прийти к такой формуле можно различными способами.

Перепишем (5.8) в виде.

” Г1 "I

'g(r) =1=г п(5.13)

О

и проинтегрируем это выражение один раз по частям. Если далее по нимать величину 1/р2 как

4=-4д3(-У(5-14)

ра »Р \РГ

где 9s — символ главного значения в смысле Коши (4,72), то найдем"

2л IР Jp=r«n 2л " v (р—

О.О “ОО'

Обозначим ^(р, n) = |p|G(n р) и перепишем (5.12):

Л Г “1

■§(*) = $йф j К (р, п) ехр (2nipp) dp I .(5.16)

О L-°°-■Jp—гп

Интеграл по пространственной частоте р есть, обратное iD преобра-

зование Фурье. Тогда, вновь привлекая известное свойство свертки [1 получим.

"л .■

(г) = J с?ф [Л (р, п) * ^Г {I РI }]р=г П-(5.17)

*.0

Наконец, поскольку

^{IpI^-W?2,(5.18)

мы вновь приходим к (5.15), интерпретируя при этом 1/ра как обобщенную функцию [2].. .

Теория обобщенных функций позволяет, кроме того, записать (5.8) и (5.15) в несколько иной форме, которая полезна во многих алгоритмических построениях (см. гл. 6). Если в соответствии с [2] обозначить .

•(Ф1, Фг) = f Ф1 М Фа И dx,

то нетрудно доказать равенства (см. [2], гл. 2, § И):

О

(^+) = |1«+*<^ЛЖЛ.'

- -о

Обозначая во внутреннем интеграле (5.8) г-п = р0, Р — Ро = t,; согласно первой из приведенных формул находим ■Ъ1^._^ Д Hpaji^w^iL^^ (5Л9)

J Эр р — г-п Jt -’ ''

где штрихом обозначена производная по t. Внутренний интеграл в (5.15) преобразуем пр второй формуле-

f / (Р. n) dp = Г ЦРеА-1; n) + /(p0-t; n)-2/(p9, п) ^

J (р-г-n)2 J<2’ V

—эоО.-

Отметим, что и промежуточные выражения (5.16), (5.17) могут представлять самостоятельный интерес с точки зрения построения алгоритмов 27) реконструкции..

Некоторые формулы инверсии для ограниченного носителя

далеких ч>т принятых в современной РТ. В дальнейшем автор совместно с Н. Д. Введенской вернулся к прежней постановке рассмотренной им задачи, но переформулировал ее уже в томографическом духе 14—6].'

В основе подхода, развитого Н. Д. Введенской и С. Г. Гиндики- ным, лежат следующие теоретические соображения. Если воспользоваться аналогом теоремы Пэли — Винера для преобразования Радона [7], то удается показать, что для случая, когда носитель функции g(r) не ограничен, классическая формула инверсии Радона единственна. Однако при обращении к функциям с ограниченным носителем, например сосредоточенным на круге или квадрате, можно получить разные 2Z> формулы обращения, причем их свойства иногда лучше соответствуют целям вычислительной реализации задач РТ, нежели классическая формула Радона либо ее модификации^ обсуждавшиеся в и. 5.1.2.

В работах [4—6] в качестве носителя выбирался единичный квадрат: 0 < ж, у <. 1. Опуская формулировки и доказательства соответствующих теорем, приведем окончательный результат.

Пусть к = (&ь Л2) — двумерный вектор, причем кг и ка — пара несократимых целых чисел. Тогда уравнение k-r — р задает набор так называемых рациональных прямых (^ ^ 0). Если т— целые числа, то уравнением k-r = р + т при фиксированном значении р задается набор родственных прямых. Рациойальная прямая, пересекающая единичный квадрат, имеет кг + |/с2| родственных прямых^ также пересекающих квадрат.-

Формула обращения по С.„ Г. Гиндикину имеет вид

g^,^ = Ig+ 2 Sg(k, k-r),,

^^,^2^2

5g(k,k.r)= 2 [/(к,к.г + ш)-^]/[к|,(5.21)

mez.

rg = f g^^r.

.Po)

Здесь Z — множество целых чисел, область ф^ — квадрат. Таким образом, суммирование ведется по всем несократимым парам целых чисел (kt, ka и т, т. е. по. рациональным прямым, проходящим через точку, в которой восстанавливается функция g(r), и родственным им прямым. Нелокальность формулы обращения (5.21) проявляется в том, что использован вклад-в ^(г) не только от рациональных, но и от родственных прямых. Каждому значению к в сумме соответствует кг + |&2| + 1 слагаемых, причем для гладких функций слагаемые убывают с ростом кг + |Л2|.

Поскольку в реальных томографических задачах приходится встречаться с негладкими функциями, например кусочно-гладкими с линиями разрыва, сходимость в (5.21) может отсутствовать и соответствующий алгоритм, основанный на формуле обращения Q. Г. Гиндикина, как и прочие алгоритмы РТ, нуждается в регуляризации. Мы еще коснемся этих вопросов в следующей главе.

В приложениях часто встречается модификация инверсионной формулы Радона (5.8), отвечающая заданию функции g(r) на единичном круге (диске): 0 ^ г ^ 1. В данном случае естественно перейти к полярным координатам: г = (г, 6). Формула обращения имеет вид

л 1■

g(r, 0) =С dtp Г У ^——-.(5.8а)

б \ v 2л2 J J "Эр Р — r cos (ф — 6) х / о -1

Эта формула может не только успешно использоваться в ряде алгоритмов РТ, но и служить основой многих преобразований при полиномиальных представлениях функций g и /.

ФОРМУЛЫ го ИНВЕРСИИ,

ОСНОВАННЫЕ НА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ

Конструируя те или иные разложения искомых распределений g/r) и проекций /(р) по полиномам, обладающим определенными свойствами ортогональности, а также сочетая их с аппроксимациями двумерной функции g(x, у) суммами произведений, например типа xhym, можно строить разнообразные формулы обращения для задач РТ. По этой проблеме имеется уже обширная литература» Мы рассмотрим здесь лишь отдельные подходы, нашедшие наибольшее число применений в газодинамических и плазменных Исследованиях.

Преобразование Кормака.

В начале 60-х годов Кормак,, не знавший в то время о существовании формул инверсии Радона, предпринял попытку самостоятельно решить основную задачу, линейной 2D томографии методом полиномиальных разложений [8, 9]. Схема такого расчета изложена в монографии авторов [10]. (см. (гл. 9)). Мы не будем повторять ее здесь, а лишь укажем, как можно воспроизвести результаты Кормака исходя из установленной в гл. 4 связи преобразований Радона и Гегенбауэра. Это позволит более явно и однозначно определить место преобразования Кормака в общей цепи методов и алгоритмов решения 2D задач РТ.

Факторизуя 2D распределение g(r, 9), выраженное в полярной системе коррдинат, запишем в соответствии с (4.76)

-N сю

g (Г, 0) = 2 2 Almht (г) Ylm (0).(5.22)

rn=l !=о

В двумерном случае задача резко упрощается за счет того, что согласно (4.36) N — Л'(2, Z) = 2, т. е. в разложении остаются лишь две линейно независимые сферические (здесь — круговые) гармоники:

Уп = jv^cos /0, Yto = A-V2sin Z0.(5.23)

В дальнейшем удобнее пользоваться их линейными комбинациями л^Уц + гУг2) = ехр (г/0),-(5.24)

л1/2(Уц — г¥и) = exp (—iZO).

Это позволяет в (5.22) вообще избавиться от суммирования по т, распространяя суммирование по Z от —оо до оо:

g (г, 0) = г^ gi (г) exp (ZZ0),йН = A^h^.-(5-25>

При переходе к проекциям /(р, ф) структура гармоник, очевидно, остается той же самой; нужно лишь заменить угловую переменную 0 на ф. Тогда в соответствии с преобразованием Гегенбауэра (4.38) .।‘ .

Цр, ф) = S ехр(1гф)Й2(^(г)}(р).■(5.26)

Z=—ОО•

Введем для упрощения записи обозначение

'^2 {^(г)} (р) = /г(р)' (5.27)

и, действуя по общей схеме, описанной в п. 4.2.3, найдем ■

2Л

А^)” 2S"J/(А ф)ехР(—^ф)^'(5128)

о

Это — 2D аналог формулы (4.80). Остается вычислить обращение Радона радиальной функции д;(г), опираясь на общее выражение (4.81), в котором при п = 2 следует положить v = 0г о>1 = 2,

limY7(z) = -^-rz(z),(5.29)

где Tz(z) — полином Чебышева 1-го рода. Подстановка этих величин в (4.81) приводит к искомой формуле обращения:1)

^г> = - ;МTi(^) ^7 - *)1/2^(5130)

причем г > 0, а штрих обозначает производную dldp. Наконец, преобразование Гегенбауэра (4.38) в рассматриваемом нами частном случав дает’■.

J

”/ „ \\■

gt^TtUr (1-^ dr. (5.31)

|р|' \ r /

Формулы (5.30), (5.31) и выряжают основной результат, полученный в работах Кормака [8, 9] более громоздким путем **.

Для сокращенной записи иногда вводят прямой и обратный операторы Кормака: Cb С^. С их помощью (5.31) и (5.30) преобразуются -'

A,(p) = G{^(r)}, gl (г) = СТХ UMV(5.32)

Укажем на некоторые интересные следствия преобразования Кормака.-

Случай I = 0 соответствует осевой симметрии объекта. T’o(z) = 1 для всех z, так что оператор Кормака Ct автоматически переходит в оператор Абеля А.■

Как видно из формулы (5.30), для восстановления двумерной функции g(r) = g(r, 6) требуется брать значения /(р) = /(р, <р) лишь при р > |г|, что соответствует выполнимости условий теоремы о пустой подобласти (hole theorem), с которой мы уже встречались, рассматривая осесимметричную задачу РТ. Это важное следствие подчеркивает значимость алгоритмов, основанных на преобразовании Кормака, при решении газодинамических и плазменных задач с экранированной для проходящего излучения центральной областью объекта..

Наличие экспоненциального базиса в разложениях (5.25) и (5.26) особенно тесно сближает преобразования Кормака и Фурье. В самом деле, обозначим через р и &р — полярные переменные для фурье-плоскости, сопряженные координатам г и 9. Запишем выражение 2D фурьетобраза восстанавливаемой функции g(r, 0):

g(p, 6р) = f rcZr f g(r, 6)exp [—2niprcos(6 — 6P)J cZO. (5.33) .°®

Поскольку для g(p, 0P) возможна такая же факторизация, как и для g(j, 0) в (5.25), т. е..

StpAH 2 ^(p)exp(iZ9p),(5.34)

Z=—оо•.

то, объединяя (5.33), (5.34) и (5.25), получаем

ОООО”■

2 gi(p)exp(iZOp) = 2 exp(iZ0p) j rdrX '

Z=—oo- Z=—OOg .

2Л'

■ xj ехр(Кф) exp [—2лгрг соэф}^( (r) c(0,(5.35)

о•

где ф = 0 — Op.

Функции exp (i?9p) образуют полный ортонормированный базис для 0 < Ор 2л, вследствие чего можно почленно приравнять множители .перед этими функциями в (5.35), записав

ОО 2л

' gi(p) = f r^r f exp (г^) ехР (— 2лгрг cos ф)#г(г) d^.(5.36)

о о

Но интеграл по переменной ф есть с точностью до константы функция Бесселя порядка I:■

2Л

/г (z) = ^™ J exp (tZ^) exp (— и cos ф) ti^, о поэтому .1

gt (р) = 2juz J rgl (rj Jг (2лрг) dr = ^l H^gl (г)},(5.37)

о

где Н; — оператор Ханкеля порядка I. Отметим, что (5.37) есть непосредственное обобщение формулы (2.29), относящейся к осесимметричной задаче.

Воспользуемся теперь теоремой о центральном сечении (см. § 2.2). В наших обозначениях нужно положить 0Р = ср. Тогда М) фурье-образ проекции /(р, ср) выразится в виде

Fk U (Р> Ф)1 = f [S fi (Р) ехР (^ф)] exp (— 2лфр) dp =

-о L IJ

" - S b (р)ехР(^ф)- '(5.38)

В (5,38) вновь возможно почленное приравнивание, так что £(р) = F.VMY(5-39)

В силу свойства самообращаемости оператора Ht (ff( — Н^1} формулу (5.37) можно переписать в форме■

'^(г) = (-Z/ Яг Г^(Р)}(5.40)

или на основании (5.39) —

, g^r) = (-1/ Ht F^h W(5.41)

Сопоставляя это выражение с (5.32), приходим к следующей записи обратного оператора Кормака:

-^^(-l)1^.(5-42)

Па это чрезвычайно полезное в практическом плане соотношение, по-видимому, впервые обратил внимание Вйп-Гал. [11]. Его значимость определяется прея;де всего тем, что прпмепеппо обратного оператора, 'Кормака лживалептно. иос.гедовательиому . воздействию

на проекционный фактор /г(р) двух преобразований: Ег и Н;, причем оба могут быть «быстрыми». Что касается Ег, то соответствующий алгоритм (БПФ) известен давно и очень широко; быстрое преобразование Ханкеля также вполне осуществимо [12], хотя в данном случае распространение имеющихся компьютерных программ на большие значения индекса I требует дополнительных разработок.

Определяя функцию g(r, 6) на единичном диске, т. е. полагая, что g(r > 1, 0) = 0, нетрудно убедиться в том, что формулы (5.30) и (5.31) сохраняют свою структуру и требуется лишь замена верхнего бесконечного предела на единицу [8, 9]. Однако исходя из обращения Радона в форме (5.8а), можйо прийти к соотношению типа (5.30), уже не содержащему под интегралом полинома Чебышева j'^/Vr). Оно имеет вид

-4 0Х1/2-1—III .

gi^ = "*rEl^V —/dp(.p/r>^.

Т(5.43)

Формула (5.43) выводилась разными авторами и различными методами. По-видимому, наиболее полное исследование этого вопроса, включающее сравнительный анализ свойств (5.30) и (5.43), принадлежит.Хансену [13]. Мы, однако, не будем здесь вдаваться в детали этого анализа.•

Следующий естественный шаг в упрощении прямого и обратного преобразований Кормака для функции g(r, 0), задаваемой на ограниченном носителе (единичном диске), заключается в том, чтобы разложить g^ ъ f^p) по «сопряженным» парам полиномов, ортогональных на конечном интервале (0, 1). Такая процедура позволяет при инверсии проекционных данных полностью избавиться от интегрирования и перейти к конечным суммам. Еще Кормаком был предложен пример подобной «сопряженной» пары: полиномы. Чебышева 2-го рода Uy^E) — полиномы Цернике 2„(х) [9]. В данном случае формулы (5.31) и (5.30) (верхний предел в интегралах — единица!) приобретают следующий вид:-

/((р) = 2(1-л1/!Ш™(^ -

= 2 2 ^ sin [(i + 2fc + 1) arc cos р],(5.44)

gi(r)= S«i (I+ 27=4-1)2^ (г).(5.45)

" h=o

Напомним, что

. Um M = (zn + 1)-J Tm+i (г), а производящей функцией для них является

*—■—W z «1 < ж < 1, [ z [ < 1,

Для полиномов Цернике Z^r), фигурирующих в формуле инверсии (5.45), следует записать выражение.

1»!(; + »—»)!.(& —»)!'

Свойства этих полиномов подробно рассмотрены в [14]. Отметим, что обращение (5.45) можно представить и через полиномы Якоби [15]. Наконец, ив условий ортогональности и нормировки для коэффициентов разложения имеем

. 1-

- а, = 2 J gi (г) Zlmh (г) rdr.(5.46)

о

Преобразованию Кормака можно дать наглядное толкование с_ помощью следующей элементарной модели [16]. Пусть 2D объект представляет собой бесконечно тонкое кольцо (оболочку) радиусом R с азимутальной зависимостью некоторого характерного параметра.’ например плотности, выражаемой простым гармоническим законом: cos fc9, где к — целое число. Тогда

-■' Й^А 6) — 6(г — 2?) cos кО, .'(5.47)

'g^ = Щг-'R^ + 6г._Д,

где biih — символ Кронекера. Подставляя (5.47) в (5.31), получаем

Здесь учтено, что для полиномов Чебышева 1-го рода равенство T^z) = Т_к^ выполняется при всех значениях к и z. Таким образом, если представлять произвольный неоднородный 2D объект как суперпозицию бесконечно тонких колец всевозможных радиусов и брать дискретный набор' частот для гармонической зависимости искомой характеристики по каждому кольцу, то проецирование такого объекта в точности воспроизводит преобразование Кормака.

Основные применения преобразования Кормака до последнего времени были связаны с томографическим исследованием тонких структурных характеристик высокотемпературной плазмы в замкнутых тороидальных системах с магнитным удержанием [17—21]. Математическое моделирование и обработка реального эксперимента относились к диагностическим задачам по измерению плотности электронов интерферометрическим методом (токамак Т-3, СССР), а также к исследованиям разрывной («тиринговой») неустойчивости и структуре «магнитных островов» (токамак PLT, США; ЛРР Т-11, Япония; JET, Англия). Некоторые результаты уже описывались в монографии авторов [10].

5.2.2. Другие варианты полиномиальных разложений. Концепция огибающих функций

Преобразование Кормака рассмотрено нами довольно детально. Не останавливаясь столь же подробно на других способах полиномиальных разложений 2D функций с целью получения удобных формул инверсии проекционных данных, упомянем все же о некоторых подходах, находящих в последнее время все больше практических приложений.

На одну из перспективных для задач компьютерной томографии «сопряженных» полиномиальных пар также указал Кормак в неоднократно цитированной работе [9]. Такую пару образуют полиномы Эрмита Нт^ и присоединенные полиномы Лагерра ti(x), причем предполагается, что функции / и g определены на всей плоскости, а угловые переменные отделены от радиальных, как и в (5.25), (5.28).

Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательные результаты, причем в более общем виде, чем это сделано в [9]:

h кР^ = exp (— aV) 2 bktHmk (ар),' (5.49)

fe=0

gt (р) = ал~1/2 exp (- aV) 2 Ъ\ (- l)h 2wkk\ (ar)1 L\k (a^). (5.50) h=0

Здесь коэффициенты разложения 5i находятся, как и ранее, из условий ортогональности и нормировки для соответствующих специальных функций [22], а множитель а введен ради приобретения большей гибкости при программной реализации алгоритма (у Кормака в [9] а = 1), поскольку его величина влияет на скорость сходимости рядов.

В дальнейшем исследованием возможных вариантов использования разложений (5.49), (5.50) занимались главным образом специалисты по физике низкотемпературной плазмы и аэродинамике. Серия важных работ была выполнена Мальдонадо и Олсеном с сотрудниками [23—25]. Формулы инверсии, полученные этими авторами в несколько ином виде по сравнению с (5.50), приводились и обсуждались нами ранее в [10].Их, в частности, можно записать в форме, когда интегрирование по параметру р сохранено, так что сцособы представления проекционных данных /(/;, <р) могут быть более разнообразными. Рассмотрены также упрощения, когда неоднородный 2D объект обладает линией симметрии. В работах аэрот- динамического профиля, выполненных группой Коллинза [26—28],, принимался во внимание ряд особенностей применения разложений по полиномам Эрмита и Лагерра (5.49), (5.50). Эти особенности связаны как с импульсной техникой голографической интерферометрии, используемой при восстановлении полей плотности в зоне течения, так и со спецификой объекта: наличием скачков уплотнения, экранирующих участков, отражающих поверхностей, погрешностей, обус-

ловленных нестационарностью потока газа, и т. п. В статье авторов [29] разработана регуляризованная версия описываемого метода.

позволяющая по критерию невязки устанавливать согласованное с погрешностью измерений минимально необходимое число суммируемых членов в разложениях (5.49), (5.50) (см. подробнее гл. 6).

Кембриджская группа, возглавляемая лауреатом Нобелевской премии Клугом, с успехом использовала в своих исследованиях по электронной микроскопии на клеточном уровне технику разложений искомых распределений плотности ^(г, 0) по функциям Бесселя [30, 31]. Возможности этого подхода детально исследованы в обзорной статье Снайдера и Кокса [32]; анализ показал перспективность соответствующих полиномиальных представлений в газоплазменных работах. *

В обзоре [32] отмечается также важность (с точки зрения усовершенствования алгоритмов типа ART, MART, SIRT и т. п. (см. гл. 6)) исследования разложений по набору так называемых строб-функций bh. Если область распределения ^(г) разбить на неперекрывающиеся участки Ru R2, ..., Rh, то строб-функция

(5.51)(5.51)определяется соотношением ■К ч f^I/2, (ж, у) е 7?ft,

(5.51)

(5.51)

^^У)-|0, <x,y^Rkl

где Sh — площадь участка Rh. С помощью (5.51) осуществляется кусочная аппроксимация ^(ж, у), что в приложениях к задачам газовой динамики особенно важно при наличии резких градиентов и «разрывов» исследуемых характеристик. В разложениях по bh^x, уУ очевидным образом выполняются условия ортогональности.

Упомянем еще о «сопряженной» паре полиномов, изучавшейся Ча и Вестом [15] в связи с обобщениями задач РТ на случаи, когда необходим учет рефракции среды. Эту пару образуют полиномы Лежандра Р^х^ и Якоби Рк’\ху Напомним, что последние определяются формулой Родрига:.

^°,Р) ^ = ^ (1 * ^(1 + *)“₽^ [(1 - *)“(1 + -4' (1 - ^2)Ч,

' К .Ж(5.52)

а полиномам Лежандра соответствует частный случай (5.52), когда os = Р = 0. Свойства тех и других подробно описаны в [22].

Если формулы, приводимые в [15], записать в обозначениях, которые использовались нами выше, и выделить в них экспоненциальные множители, содержащие угловые переменные (см. (5.25) и , (5.26)), то искомые выражения будут иметь вид

/i(p)= ^Р^рУ 0<р^1,(5.53)

Ь=0

^(гНл-^-г2)"172 2 4(1-2^)А(г)(0,(5.54)

h=i,2',

X(i)(0 = ^-^,,-1/2).t = ¥. 0<r<l.

1131138 в. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский

113

113

В (5.54) суммирование нужно понимать в следующем смысле: к = I, (I + 2), (Z + 4), (Z + 6), ... Отметим, что в [15] авторы использовали также модификации этих разложений, которые получаются, если на проекционные данные наложить дополнительные ограничения.

В заключение рассмотрим кратко интересное предложение, выдвинутое также в [15] и связанное с проблемой рационального выбора «сопряженных» полиномиальных пар с целью осуществления процедуры инверсии. Запишем выражение для проекций в виде

/(А ф) = ^(р)(1 — р^1!а 22 ^(p)exp(iZT). (5.55)

Z=—оо h=l^

Здесь суммирование по к понимается в смысле, указанном выше; Чн^ (0 < Р ^ 1) — некоторая, подлежащая конкретизации система ортогональных полиномов,, определенных, например, на единичном диске; е(р) — так называемая огибающай функция (envelope function). Согласно [15], е(р) нужно выбрать так, чтобы ее форма приблизительно повторяла радиальную зависимость проекций / от - р1, о последней можно судить из эксперимента. Огибающая функция считается определенной на выбранном носителе;' она является чет- йой, непрерывной, интегрируемой по Лебегу. Если носитель не огра- ничем, то радиальные переменные р и г следует понимать как отношения p'R и т'Н при R —> оо.

На основании теорем, приводимых в уже цитированной работе Людвига [331, можно установить необходимые и достаточные условия того, что функция ^р, ф) будет 2/) преобразованием Радона распределения "(г, 9), заданного в области пространства D^, в которой определены функции g(r, 9), домноженные на е (r!R). Анализ показывает, что должны быть выполнены следующие три условия:

К—Р, ф) — функция, определенная на D2;■ -

ftp, Ф + л) = f<p, ф);-

при Z > т и произвольных m ^ 0 справедливо равенство

.2Л R

| j / ^Р, ф) Рт ехР (± ^ф) dpdq> = 0. о -R'

Двумерная область Вг, указанная в условии 1, соотносится с функциями [^р, ф), домноженными на величину е(р/7?)[1 — (р/2?2)]1/-.

После выбора вида огибающей функции е(р) и конкретизации класса полинома q^p) нахождение формулы инверсии для g^r, 9) может производиться по следующей общей схеме:

ЙГ1 (Д (р) ехр (7ф)} = gt (г) exp (ZZ9),.

'gt(r) = »,/?,{E1[/I(p)]}.(5.56)

Здесь, как и ранее,'Е, — оператор 1Р преобразования Фурье, Ht — оператор преобразования Ханкеля. Подчеркнем, что выбор функции с(р) оставляет еще достаточную свободу для использования тех или иных ортогональных полиномов q^py

Рассмотрим, как некоторые из применявшихся выше полиномиальных представлений вписываются в схему Ча — Веста: . а) е(р) = 1; носитель — единичный диск. Беря л качестве дА(р) полиномы Лежандра, приходим к формулам (5.53), (5.54) — разложению, использованному в [151;

е(р) = (1 — р2)’/2; носитель — единичный диск. Если в качестве </А(р) взяты полиномы Чебышева 2-го рода, то получаем преобразование Кормака: формулы (5.44), (5.45);

' в) е(р) = ехр (—а?ргу, носитель — вся плоскость. Если <?А(р) — полиномы Эрмита, то немедленно приходим к формулам (5.49), (5.50) — разложению Кормака — Мальдонадо — Олсена.

Главным преимуществом, достигаемым за счет введения огибающей функции е(р), является существенное ускорение сходимости рядов', а следовательно, значительное сокращение времени машинного счета и улучшение качества восстановления 2D изображения. Отметим, что аналогичные приемы неоднократно применялись авторами при решении одномерных обратных задач (см., например, гл. 6,; § 6 и [10], гл. 10, § 1). Развитие данной концепции при разработке новых эффективных алгоритмов РТ представляется многообещающим. '

§ 5.3. ОБРАТНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ-

Согласно формуле инверсии Радона (5.11) для получения 2D распределения ^(г) нужно" последовательно подействовать на проекции /(р, п) операторами дифференцирования д!др^ преобразования Гильберта 36 и обратного проецирования Вг. Оператор В2 играет во многих методах РТ значительную роль, и его свойства необходимо рассмотреть подробнее.

Действие оператора Вг на произвольную функцию ф((, п), где t = х cos <p + у sin ф, определяется формулой

В2{ф} = j ф(ксозф + у sin ф, ф)йф,(5.57)

о

а при переходе к полярным переменным х = г cos 9, у = г sin 9: л

В2 {ф} = j Ф [г cos (6 — ф), ф] йф.(5.58)

-о

Пусть теперь в качестве ф((, п) выступает проекционная функция п). Запишем

Ъ (г) = Ва {/ (р, n)} = J / (г-п, п) йф(5.59)

,о■

и будем называть i(r) суммарным изображением. Как нетрудно увидеть, суммарное изображение будет приблизительной низкочастот-

ной копией настоящей томограммы, получение которой предполагает выполнение всей последовательности операций (5.11). Тем не менее единственная операция, выражаемая соотношением (5.59), подкупает своей простотой, а в ряде обзоров по РТ (см., например, [34, 351) приводились яркие примеры, когда даже при небольшом числе используемых проекций с помощью обратного проецирования (иначе — фотосуммирования) удавалось непдохо воспроизводить очертания сложных фигур, печатного текста и даже женского портрета. В плане применений РТ к газовой динамике и физике плазмы возникает естественный интерес к возможности использования обратного проецирования в диагностическом эксперименте, выполняемом в режиме реального времени.'

В связи со сказанным необходимо получить ответ на следующие три основных вопроса..

Как связаны друг с другом суммарное изображение 5 (г) и Истинное распределение ^г)?

Как наиболее удобным и экономичным способом перейти от имеющегося набора проекций /(д, п) к новому набору функций f*(s. п) с тем, чтобы, воздействуя далее на /* оператором 52, получить уже не Ь(г), а ^(г)? ,

Как, располагая суммарным изображением 6(г), произвести редукцию к истинному распределению ^(г)?

Рассмотрим поочередно все три указанные задачи.

Свйзь суммарного1

и истинного изображений

Искомая связь устанавливается достаточно просто и притом различными методами. Воспользуемся теоремой о центральном сечении (§ 2.2) и выразим проекционные данные следующим образом:

/ (р) = ^Л {? (г)} = FT1 {G (р)}, р = pn, n = (cos <р, sin <р). (5.60)

Это является непосредственным следствием соотношения (2.26). Тогда для суммарного изображения 6(г) получим

Ъ (г) = B^F^1 (G (р)} = Вг J G (р) ехр (2лгрг) dp =

= j dtp J G (р) ехр [2лгрг cos (0 — <р)] dp = 0— оо

■2лоо•-

= У У p”1G(p)exp [2niprcos(0 — ц}] р dp dtp =;

о о

'= F;1 [р-^ (р)} = F»1 (G (р)}»^1 [р“1}.(5.61)

Здесь по Ходу нреобразовапий были использованы: переход к полярным переменным (5.58), выделение 2D обратного фурье-образа (5,33)

и классическое свойство свертки. По определению

^l{G(p)} = ^W-(5.62)

Функция р-1 = |р|-1 обладает осевой симметрией, благодаря чему ее обратный 2D обратный фурье-образ выражается через преобразование Ханкеля нулевого порядка (2.29), т. е.

^г1 (р11 = 2л J/0(2лрг)с/р = (гр1.(5.63)

'о

Окончательный результат таков:

■6(г) = ^т)**^-1.(5.64)

Формулу (5.64) можно было получить иначе, воспользовавшись понятием функции рассеяния точки (ФРТ). Действительно, выбрав в качестве объекта точку на плоскости (например, г0), запишем для суммарного изображения:

л -

6®(r) = J 6[(г —r0)n]d(p = |r —г„ Г1,(5.65)

'о-

т. е. суммарное изображение 6-функции Дирака есть осесимметричный заостренный выступ с достаточно плавным спадом в радиальном направлении. Отметим попутно, что если бы проекций /(р) было ограниченное число N, точечное изображение при обратном проецировании вырождалось бы в «звезду».''

ФРТ, очевидно, следует понимать как аппаратную функцию редукционной двумерной задачи реставрации изображения [36]. Поэтому для 2D объекта ^(г) общего вида можно записать

6 (Г) = У Ь& (r)g(r0) агг0 = g(r)«[r |_1,

что совпадает с (5.64).

Наконец, укажем еще на одну полезную форму связи Ь(г) и ^(г). Так как согласно (5.61) b (г) = F^1 {p-1G(p)], в области пространственных частот имеет место соотношение

. ад = gw1,(5.66)

т. е.’■'

g(r) = ^l{|P|S2(P)}.(5.67)

В этих формулах 52(р) есть 2D фурье-образ суммарного изображения б(г).,

Обратное проецирование (фильтрованных проекций •

Пусть у нас имеются проекционные данные /(р, ф). Попытаемся так изменить их пуюм' совокупности преобразований /(р, ф) f4s? Q); чтобы при дальнейшем воздействия па /* операто-

ром S2 эффект размытия изображения, обусловленный ФРТ (5.65), оказался устраненным.

Фактически необходимый путь уже был указан (§ 5.1). В самом деле, вычислим W фурье-трансформанту f(p, ф) по- переменной р:

G (р, ф) = F\ U<Р» ф)} = J / (Р» Ф) ехР (— 2nipp) dp. (5.68)

Домножим далее, С(р, ф) на ри найдем теперь уже обратный VD фурье-образ от полученного произведения:

/* (s, <р) = J [| р |G (р, ф)] exp (2nisp) dp.(5.69)

Этим самым воспроизведен результат расчета внутреннего интеграла в (5.16). Таким образом, величина Fi1 (| р | G (р, ф)} должна быть тождественно равной искомой функции /*(s, ф), поскольку последующее обратное проецирование дает истинное распределение g(r). Естественно, альтернативой указанной операции могла быть следующая:

(см. (5.11)); 36 — оператор Гильберта.

Однако из практических соображений было бы желательно представить (5.69) в чисто сверточном виде, т. е.' -

./*(*,Ф) = Л~ЧЛ“Ч/}Л{л}} = .^'(5.70)

поскольку одним из Компонентов свертки согласно (5.68) как раз и являются проекционные данные f(p, ф). Следовательно, задача сводится к отысканию такой функции т), для которой

^{л} = 1Р1-(5.71)

К сожалению, здесь мы сталкиваемся с чисто математической трудностью, поскольку ц попадает в класс обобщенных (сингулярных) функций [2]. Именно:

Tl(s) = -L£^HV(5.72)

2л8 5» Xs/

где, как и ранее, ^ — символ главного значения в смысле .Коши. В справедливости- выражения (5.72) нетрудно убедиться простой подстановкой:

Л (л W) = тт ^1 (^ (Д = И (- ™ sgn Р) = IРI- <5-73) 2л I Xs/) /

Для преодоления указанной трудности производят замену точной сингулярной функции (5.72) на некоторую приближенную:

T](s) —► r)a(s). Обычно формулируется следующее требование:

Л {Па(®Л = Ла(р) |р|, 1р| < Ре- .(5.74)

Это означает, что следует добиваться приближенного равенства 1О фурье-образа цДр) модулю р лишь в некотором конечном (низкочастотном) интервале пространственного спектра, а для высоких частот |р| > р0 функцию ца(р) нужно брать малой, асимптотически устремляя ее к нулю при р —>- оо. Иными словами, появляется проблема выбора частотного фильтра или функции окна ^(р), определяемой из соотношения [Зб]

-*Ир) = Ла(рУ|р|-(5-75)

Здесь нет возможности останавливаться на различных аспектах и способах решения этой проблемы, которой посвящена обширная литература (см., например, [37, 38]). Заметим только, что на практике фильтрацию удобнее осуществлять но в частотной области, а непосредственно в переменных р, s, т. е. переходить от проекций /(р, ф) к набору функций /*(s, ф), вычисляя свертку:

/*(<Л ф) = ЛаОО*/^ ф),'■ (5.76)

ла(^ = Л’1{|р|^(р)}.".

Возможности такого подхода детально рассмотрены в обзорах [39 , 40].'■

Особую известность при разработке алгоритмов медицинской и физической РТ приобрел фильтр Шенна и Логана [41], который в наших обозначениях принимает вид:

.Ла(р) = |p|sinc (p/2p0)-rect (p/2p0)l

« гы _ 1 “ COS 2ра (1/4ро "Н , 1 ~ cos2 ро № - s) ,5 77Х

..Ла(^/2р0) =

Здесь первая формула соответствует фильтрации в области пространственных частот, вторая — методу расчета /*(s, ф) по (5.76), а третья представляет собой дискретизованную версию второй (' — целые числа), причем предполагается, что данные снимаются через интервалы (2ро) _| с частотой Найквиста р0 [36]. Кроме того,

., х sin лг . , .[1, |^| <1/2,.

sine (z) =, rect (z) = ! „ , ,, „

vw (0, |z|->l/2,

где rect и sine — пары преобразований Фурье.

Описанные в этом разделе операции перехода от проекционных данных ^р, ф) к искомому распределению ц(г) схематически представлены на рис. 5.1. Указанный переход можно осуществить непосредственно 20 инверсией Радона, воздействуя на / оператором

Рис. 5.1. Схема преобразований проекционных данных /(р, ср) в искомое распределение g(r) с завершающим этапом обратного проецирования Ва.

R^\ Альтернатива состоит в предварительном получении набора функций /* (s, ср) и из следующего за этим этапа обратного проецирования ha. Показано три возмож

ных пути преобразования /->-/*: а) дифференцирование /(р, ср) по параметру р и вслед эа этим применение оператора Гильберта (штрихпунктир); б) прямое и обратное 1D преобразования Фурье с промежуточным домножением трансформанты на [р| (сплошная линия); в) свертка /(р, ср) с фильтрующей функцией ц„(з) (штриховая линия). Во многих конкретных ситуациях предпочтителен именно последний путь. В следующей главе мы еще вернемся к сверточным алгоритмам РТ.

Фильтрация результата - обратного проецирования ■

Пусть в соответствии с (5.59) йервым этапом преобразования проекций будет обратное проецирование, т. е. получение-суммар- ного изображения &(г). Спрашивается, каковы наиболее рациональные пути перехода от &(г) к ^(г), если качество суммарного изображения (как томограммы) нас не устраивает.

Очевидно, речь в данном случае идет о решении классической сверточной обратной задачи, связанной с реставрацией 2D изображения [36], причем ядром интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода является функция |г|-1 (формула (5.64)). Не удивительно, что идея свести задачу томографии к достаточно знакомой и изученной (реставрационной) с помощью исходной процедуры обратного проецирования была одной из первых при создании компьютерных алгоритмов РТ [42, 43].

Если, как и в предыдущем случае, следовать схеме преобразований через вычисление прямого и обратного фурье-образов с промежуточным домножением трансформанты на |р|, то различие будет состоять лишь в том, что теперь придется находить 2D, а не 1D фурье-образы, ибо обе переменные (ж, у) векторного аргумента суммарного изображения входят в задачу равноправно. Помечая 2D преобразование Фурье значком «~», запишем

Цр) = F2 {Ь(г)У ~ Л{^ФФГ1} - 1р1"Ш (5.78) причем 6(р) следует понимать как обобщенную функцию^ поскольку

ее значение в нуле не определено. Отсюда

J(p) = \р\ТМ) *'

^ (г) = ^"41? ]№{/}).(5.79)

Вновь по аналогии с (5.75) можно ввести функцию окна РК(р) (но теперь аргумент векторный!):

Ла(р) = WW(5.80)

и представить (5.79) в виде двумерной свертки:

g (г) = F-1 {лЛ (6 (г)}] = iia (rW (г),(5.81)

Па(г) = Л-1{|Р|^(р)}.

Описанный 2D сверточный вариант преобразований при компьютерной реализации более сложный, нежели одномерный, рассмотренный в п. 5.3.2. Впрочем, в том и другом случае численные алгоритмы остаются достаточно экономичными за счет использования БПФ. Однако, как было отмечено еще в [42, 43), а затем обстоятельно изучено экспериментально в [44], у процедуры фильтрации обратных проекций имеются немаловажные преимущества при оптической (мультиплексной) реализации алгоритма. Кроме того, эта

процедура легко адаптируется к веерному варианту регистрации проекционных данных [45].

На рис. 5.2 по аналогии с 5.1 приведена схема преобразования проекций /(р, <р) в искомую 2D функцию g(r). Здесь Альтернативой инверсии Радона являются получение суммарного изображения Ь(г) и его дальнейшая реставрация либо, с помощью расчета фурье- образов (сплошная линия), либо применением 2D свертки с фильтрующей функцией т]а(г).

В заключение уместно сделать несколько дополнительных замечаний.

Как указывают авторы работы [46], можно осуществить достаточно общую формализацию процесса восстановления томографического изображения на основе сверточного подхода. При этом измерительно-аппаратурные средства, а также средства и методы обработки результатов томографического эксперимента рассматриваются в неразрывной связи. Целесообразно выделить четыре этапа

полного процесса: 1) регистрация проекционных данных; 2) дискретизация аналоговых сигналов и перевод их в цифровую форму; 3) реконструкция 2D распределения g(r); 4) представление восста

ние. 5.2. Схемы преобразований проекционных данных / (р, ф) в искомое распределение #(г) через промежуточное суммарное изображение Ь(г).

новленной функции g(r) в форме, удобной для ее визуализации. До сих пор мы интересовались исключительно третьим этапом. Однако на первом и последнем этапах также возникает необходимость деконволюции соответственно 10 и 20 сверток. .

Действительно, если измерительная томографическая система линейна и пространственно-инвариантна, то при съемке проекционных данных для фиксированного угла <р получим

- ЭД^Л^^Л). - (5-82)

где Кх^ — аппаратная функция томографа, а /т(р, гр) — измеренные проекционные данные, искаженные ^вследствие того, что

Переходя от третьего этапа к четвертому, мы должны осуществить процедуру интерполяции набора дискретных данных изображения gd(r), связанных с сеткой, на непрерывную область Do, в результате чего получается искомое распределение g(r):

■ A2(r)**g(r) = gd(r). - - (5.83)

Здесь Х2(г) — «яркостная» 2D функция, т. е. отклик дисплея на вырожденную в 6-функцию Дирака функцию g(r).

Таким образом, пользуясь - сверточными формулами инверсии, рассмотренными в этом параграфе, мы в совокупности с (5.82) и (5.83) получаем цепь обратных и прямых задач, выражаемых интегральными уравнениями типа свертки. Для их решения может быть построен единый алгоритм «конвейерного» типа, в основе которого лежит процедура быстрого преобразования Фурье.

Мы практически не касаемся в этой главе регуляризационных аспектов решения 2D задач РТ, однако в связи со сверточным подходом к инверсии полезно напомнить о следующем обстоятельстве. Задачи интегральной геометрии могут быть двух типов: слабо- и сильнонекорректными [47]. В слабонекорректных задачах оператор обращения непрерывен для пары пространств, в определении нормы которых участвует конечное число производных. К классу таких задач принадлежит классическая задача Радона (а также, конечно, и Абеля — в осесимметричном случае). Для • сильнонекорректных задач характер неустойчивости такой же, как, например5 в задаче Коши для уравнения Лапласа [48]. Примерами здесь могут служить задачи интегральной геометрии, связанные с аналитическим продолжением, либо задача о восстановлении функции по сферическим средним, когда центры сфер лежат на плоскости (в общем случае — на гиперплоскости). Редукционная задача, формулируемая на основе уравнения Фримена — Каца [3.41), также относится к сильнонекор-; рентным, на что обращалось внимание авторами в [10].

Поскольку процедура деконволюции свертки есть типичная сильнонекорректная задача [49], нужно иметь в виду, что переход от проекционных данных /(р, <р) к суммарному изображению 6(г) с последующей реставрацией g(r) (см. рис. 5.2) сопряжен с более жесткими требованиями к априорной информации, необходимой при

решении задачи РТ, нежели ири непосредственном использовании обратного преобразования Радона Щ\

Наиболее естественно было бы применять двумерный сверточный вариант восстановления функции g(r) в том случае, если бы эксперимент сразу давал суммарное изображение 6(г) или хорошее приближение к нему. При определенном выборе траекторий движения источника и детектора такая ситуация возможна в планиграфии и томосинтезе (см. гл. 1, а также [35]).

В работе [50] рассмотрен случай прямолинейного смещения системы источник — детектор и предполагается, что объект зондируется двумерными плоскими пучками приникающего излучения,; причем веерной расходимостью пучка.преиебрегается. В этом случае телесный угол, который должен был бы фигурировать в обычной пла- ниграфической задаче, заменяется плоским углом обзора фр. Если требуется получить исправленное 2D изображение объекта g^x, у = const, z), то при двумерном зондировании мы находим сначала приближенное суммарное изображение Ь^х, у = const v z = z0), которое соответствует интегрированию растянутых проекций с весовым коэффициентом sec фр. Улучшение такого-изображения достигается с помощью одно-, а не двумерной фильтрации по пространственным частотам р. Затем необходимо перейти к другому значению z, вновь повторить весь цикл операций и в конце концов восстановить все поле g(x, у = const, z) как набор примыкающих друг к другу узких полос. Хотя такая процедура на первый взгляд может показаться искусственной и достаточно громоздкой, у нее имеются определенные преимущества перед 2D фильтрацией плоского суммарного изображения b (г). Они связаны с более скромными требованиями к ресурсам ЭВМ (прежде всего — к машинной памяти) при осуществлении последовательности 1D актов фильтрации.

. Упрощенный способ реставрации, как отмечают авторы [50], мог бы состоять в предположении: зесфр ^ 1, т. е. в сильном ограничении плоского угла обзора. Тогда дополнительного растяжения каждой проекции можно было бы избежать вообще. Однако условие sec фр s 1 лишает нас оснований считать функцию Ьа(х, у = const, z = z0) приемлемым приближением к суммарному изображению, в связи с чем последующие «фильтрующие» операции оказываются необоснованными.

§ 5.4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА '

В гл. 3 мы рассматривали осесимметричную задачу редукции к оптически тонкому излучателю. В ней по двумя (эмиссионной и трансмиссионной) проекциям требовалось восстановить радиальные распределения коэффициентов испускания и поглощения плазменного или газодинамического объекта. .

Естественно поставить следующий вопрос: нельзя ли в двумерной, постановке, отказавшись от допущения об осевой симметрии

излучателя, получить некоторые аналитические формулы обращения, обобщающие инверсию Радона на случай, когда в выражении для проекционной луч-суммы содержится функция ослабления:

/ (Р, ф) = f g (г)w (г; Р, Ф) 6 (р — Г• n) d^r. (5.84)

Для достаточно широкого класса задач РТ можно считать, что весовая функция W, характеризующая радиационное ослабление, есть

экспонента вида

W (г; р, <р) = ехрW (г; р, <р) = ехр— ^ p(r')dl'— ^ p(r')dl'(5.85)(5.85)

W (г; р, <р) = ехр

W (г; р, <р) = ехр

— ^ p(r')dl'

— ^ p(r')dl'

(5.85)

(5.85)

где р(г') — линейный коэффициент ослабления (экстинкции), и интеграл в (5.85) берется от точки локализации рассматриваемого эмиттера г до местоположения детектора rD. Отметим, что в данном случае мы не называем 2D функции g(r) и ц(г) соответственно коэффициентами испускания £ и поглощения х, а также не рассматриваем частотной переменной. В конкретной ситуации такого рода сопоставление, конечно, может быть сделано, а частота введена в соответствующие выражения. Однако в ряде газодинамических и плазменных задач РТ наряду с испусканием и поглощением важную роль могут играть разнообразные эффекты рассеяния (см., например, [51, 52]), что. должно быть отражено в определениях g(r) и |.i(r).

Очевидно, задача о восстановлении 2D поля коэффициентов экстинкции р,(г) на основе трансмиссионных проекционных измерений сводится к обычной инверсии Радона. Значительно сложнее обстоит дело с реконструкцией эмиссионного поля g^ при известной функции ц(г). Ясно, что после соответствующей дискретизации интегрального уравнения (5.84) функцию ^(г) можно восстанавливать с помощью численного итерационного алгоритма (мы не касаемся их в этой главе). Однако аналитические подходы к задаче относятся пока что почти исключительно к частному случаю р ^= const. Кроме того, предполагается, что область р, #= 0 является выпуклой, контур, ограничивающий ее, известен. Рассмотрим прежде всего один из простейших подходов такого рода, предложенный О. Третьяком и К. Метцем [53] и впоследствии развитый в работе [54].

Сверточная схема Третьяка — Метца

Геометрия задачи представлена на рис. 5.3. Орты пип' ортогональны, Lx = i* n', а расстояние Т2 является известной функцией переменных риф, поскольку граничный контур области ослабления задан. Уместно подчеркнуть, что в плазменных и газодинамических задачах могут оказаться далекими от реальности не только допущение ц = const, но и требование, налагаемое на граничный контур. Несколько проще ситуация в медицине; методы определения формы контура при коррекции поглощения у-квантов обсуждаются в 155].

После указанных упрощений задачи вместо (5.84) получаем ' /(?, ф) = f g(r)exp[— ц^ + А2)]б(р — г-н) d2r. (5.86)

Благодаря тому что расстояние LY не зависит от конфигурации области и определяется положением точки г, а расстояние Z2, наоборот, не зависит от г и определяется через форму граничного контура координатами р и щ, можно осуществить двухстадийную компенсацию весового экспоненциального множителя (5.86) в рамках 1D фильтрационной процедуры, описанной в предыдущем параграфе. Умножая обе части соотношения (5.86) на exp (p.L3), получим

/в (р, ф) = / (р, Ф) exp (pL2) = J g (г) exp (- pLJ 6 (р — г- n) d^r.

•оо(q,o7j

Введем далее, как и в п. 5.3.2, фильтрующую функцию т]ц(р) и образуем свертку Vf^p, ф)*Цц(р)]р=г.п- Если теперь выполнить обратное проецирование по полной окружности, предварительно компенсировав оставшийся в (5.87) экспоненциальный весовой множитель фактором exp (pXi) = exp (pr-n'), то найдем искомую формулу обращения:

2Л

(5.88)(5.88)g(г) = J exp (ргп') [/ц (р, ф) * Пи (р)]р=г-п^ф.

(5.88)

(5.88)

6.

Необходимо подчеркнуть, что экстинкция 2D объекта нарушает ра

венство /(р, ф) = /(р, ф + л), которое-повсюду использовалось ранее, вследствие чего приходится выполнять обратное проецирование, интегрируя по углу ф от 0 до 2л. -

Остается указать такой явный вид фильтра цДр), который удовлетворял бы формуле обращения (5.88) и в пределе р -> 0 да

Рис. 5.4. Фильтр Третьяка — Метца в фурье-плоскости (формула (5.90)) (а) и фильтр Третьяка — Метца в реальной плоскости (формула (5.94)) (б).Рис. 5.4. Фильтр Третьяка — Метца в фурье-плоскости (формула (5.90)) (а) и фильтр Третьяка — Метца в реальной плоскости (формула (5.94)) (б).Рис. 5.3. Геометрия задачи 2D эмиссионной томографии с коэффициентом экстинкции ц = const. С — коллиматор, D — детектор.Рис. 5.3. Геометрия задачи 2D эмиссионной томографии с коэффициентом экстинкции ц = const. С — коллиматор, D — детектор.вал бы найденную в § 5.1 инверсионную формулу Радона (5.15). Это и является центральным результатом работы О. Третьяка и

Рис. 5.4. Фильтр Третьяка — Метца в фурье-плоскости (формула (5.90)) (а) и фильтр Третьяка — Метца в реальной плоскости (формула (5.94)) (б).

Рис. 5.4. Фильтр Третьяка — Метца в фурье-плоскости (формула (5.90)) (а) и фильтр Третьяка — Метца в реальной плоскости (формула (5.94)) (б).

Рис. 5.3. Геометрия задачи 2D эмиссионной томографии с коэффициентом экстинкции ц = const. С — коллиматор, D — детектор.

Рис. 5.3. Геометрия задачи 2D эмиссионной томографии с коэффициентом экстинкции ц = const. С — коллиматор, D — детектор.

К. Метца [531, Приведем этот результат, относящийся прежде всего к плоскости пространственных частот, где он выглядит особенно просто. Функции фильтрации Цр/р) отвечает 1D фурье-образ r]u(p)t где

Чв (р) = *-у ехр{— 2nV [р2 Щ ]j Ае (р).

[1/2 л.

Этот сглаженный (аподизированный) фильтр содержит параметры регуляризации в и о и может непосредственно использоваться в численных расчетах. Совершая предельный переход в -> 0, о -> 0, находим

Чи (Р) = ’-Г ( 1 - rect . (5.90)

График функции (5.90) показан на рис. 5.4, а; это обычный р-фильтр}) рассмотренный нами в § 5.3, но с провалом в интервале частот (—р/2л, ц/2п). Тот факт, что область низких частот ]р| вообще не фильтруется, на первый взгляд может показаться странным. Однако никакого противоречия с предыдущими результатами здесь нет и причина заключается в том, что теорема о центральном сечении (§ 2.2) в прежней ее форме для данной задачи не имеет места. К нужной нам формулировке этой важнейшей теоремы легко прийти, если воспользоваться промежуточным результатом (5.87) и по отношению к нему повторить выкладки § 2.2. Выражении (5.87) удобнее представить так:

/я (Р, n) = J g (pn + tn') exp (pt) At. -(5.91)

Если обозначить /„ — 1D фурье-образ модифицированной проекции по первому аргументу, a g — 2D фурье-образ искомой функции, то обобщенная форма теоремы о центральном сечении примет вид (подробное доказательство см. в [56]):

(2л)-^(р, n) = g(pn + ipn'). (5.92)

При р -> 0 получаем прежний результат (см. гл. 2).

Доказательство того, что взвешенная свертка модифицированной проекции j^p, ср) с функцией фильтрации (5.90) дает в- результате обратного проецирования искомое распределение g(r), приведено в приложении 4.

Рассмотренному р-фильтру цДр) нетрудно поставить в соответствие 1D функцию фильтрации, аргументом которой является сопряженная фурье-переменная р:■'

1b (/>) = ^ {^ (р)} = РГ1 (Нг) - ^г {^' rect (^)) =

=1 I Hsin (MP) I sin2 (рр/2) _1

— 4л2р2 L ^Р " 2л V J

=1_ /М. sin (рр) cos (цр)\93)

4л2 к ? р1 У'

Заметим, что функциональный вид части промежуточного выражения (5.93), заключенной в квадратных скобках, соответствует хронологически первому томографическому фильтру, предложенному Брей- суэллом и Риддлом [57] в задаче, не содержащей функции ослаблении. .

Фильтр (5.93) следует понимать как обобщенную функцию [2]:■

ц(р) = ^1(5.94)

ц 4л2 ^Р I L р

где SP— символ главного значения в смысле; Коши (его вид изображен на рис. 5.4, б).•

С учетом (5.94) формула (5.88) перепишется в следующем виде:

•2Л

ff(r) = iJ ?хр^г-пЯ№’ ф),^М^^ (5-95) о-

Устремляя р к пулю, приходим к формуле инверсии Радона (5.15).

Отметим еще, что авторы работы [54] повторили выкладки, аналогичные описанным выше, для получения формулы обращения в случае р = const и осевой симметрии объекта. Предполагается, что экстинкция отлична от нуля на диске радиусом г0, а эмиссия возможна во всей плоскости (х, у). Результат таков:

g Н = - ^ J ^ I/ (У) ехр[р (г2 - у2)1/2] (у» - гу1/2 х

Xcosfp^-r^/ap^ г>0(596)

В гл. 3 мы уже приводили по сути дела ту же формулу (см. (3.42); верхний продел интегрирования в ней конечен), полученную как лаплас-трансформанту уравнения Фримена — Каца (3.41). Обратим внимание на то, что формулой (5.96) можно пользоваться и в случаях, когда '

(5.97)(5.97)9 -> р = г01 J р (г) dr,О

(5.97)

(5.97)

хотя радиальная зависимость ц(г) должна быть достаточно плавной и слабо выраженной. Было бы полезно проанализировать границы применимости и более общей формулы (5.95) (разумеется, применяя аподизацию фильтра, например, по типу (5.89)), ориентируясь на процедуру усреднения (5.97).

О других подходах к задаче

Случай, когда задача РТ формулируется для коэффициента экстинкции р = const ^0 в выпуклой ограниченной 2D области, анализировался многими авторами, причем применявшиеся подходы довольно существенно отличаются друг от друга. В этом разделе мы кратко опишем некоторые из них, представляющие интерес с точки зрения дальнейших возможных обобщений задачи восстановления поля эмиссии ^(г) по проекционным данным.

К рассмотренной в предыдущем разделе сверточной схеме Третьяка — Метца довольно тесно примыкают обширные исследования обобщенной задачи Радона, выполненные в серии работ Гал- берга и Бадинжсра. [40, 45, 58, 59]. Целью этих исследований было сопоставление различных вариантов сверточных алгоритмов.

Прежде всего, необходимо дать определение оператора обратного проецирования 5гц в случае ц ^ 0. В частности, вместо (5.58) в системе полярных координат следует записать

2Л

52ц {ф} = J ф lr cos (0 — <р), <р] ехр [— pr sin (0 — <р)] dtp. (5.98) о '

Введем далее зависящую только от модуля |г| = г функцию Л ц (г) и рассмотрим ее двойную свертку с искомым распределением ^(г). Применяя обобщенный оператор обратного проецирования В^ к модифицированной проекции /„(р, <р), определенной в соответствии с (5.87), получим

524M(r) = ^(r)**4(r),..(5.99)

4(г)=2[гГ1сЬ(И|г[).

Очевидно, что в пределе [и- 0 мы придем к обсуждавшейся ранее формуле (5.64). Однако в нашем случае отсутствие финитной фурье- трапсформанты для результата обратного проецирования S2p,(/p,} препятствует непосредственной деконволюции свертки (5.99), в свя- зи-с чем, согласно [59], рациональнее применять оператор В^ уже к профильтрованным проекционным данным /м.

Вводя, как и ранее, 1D фильтр ц^ и действуя на него оператором В.21Х, получим функцию рассеяния точки (ФРТ) нашей задачи:

= МчМ(5.100)

для которой

ffxW = ^Ф^Дт).(5.101)

Функцию gA^r) в отличие от точной ^(г) можно назвать функцией реальной реконструкции, поскольку ФРТ на практике всегда отлична от 6-функции Дирака (подробнее см. § 6.4).

Ставя задачу восстановления по проекционным данным функции gAW' приходим к следующим двум возможным инверсионным формулам (ср. с § 5.3):

£д(г) = ^•2ц.{/м.*т1р.}(’,>'(5.102)

И

^ (г) = Б21Л (ЕГ1 (/и'У) (г),(5.103)

где, как и ранее, значком «~» помечен 1D фурье-образ функции.

Для пространственно-инвариантной ФРТ, представляемой, например, с помощью гауссианы, нетрудно установить связь ЛДг) и фильтра гщ(г, 6); эта связь выражается формулой

2П

Лц(г) = J Цц (г sin0)exp(— pr cos0) dQ,(5.104)

о

которая по отношению к Цр, должна рассматриваться как интегральное уравнение Шлемильха с весом. Если р = 0, а функция Л0(г) дифференцируема, то [59, 60]

Л/2

По ^ =+ 4 Л» (s-sin6)d6-(5.105)

0

Если по аналогии с (5.75) ввести понятие функции окна:

^рН^МрЬ(5.106)

то после несложных выкладок [59] можно получить

Лр (г) = 4л J Wp [(s2 + р2/4л2)1/2] Jo (2лта) ds = о

= Й6 (2Жц[(х2 + fW^Y d, .(5.107)

где Йо — оператор Ханкеля.

В приложении 4 рассмотрен пример простейшей функции окна И7и(р) и приведены получаемые с помощью этой функции выражения A^rY т1ц(р) и Чц(Р)« Другие, более сложные примеры разобраны в [59]; кроме того, в этой работе обсуждаются важнейшие статистические свойства процедуры фильтрации и' приводятся результаты восстановления нескольких фантомов.

Группа итальянских исследователей [61] предложила путь решения обобщенного уравнения Радона (5.86) с р = const, основанный на преобразовании- фурье-трансформанты модифицированной проекции /Др, q1). Придерживаясь принятых нами обозначений,

запишем в системе полярных координат-

/в ^Рх ф) = J g (ri 6) exp [- pr sin (0 — q>)] dl, (5.108)

где I — линия интегрирования, Вычисляя фурье-образ этой функции, найдем

2 Л со••

/н (Р, Ф) = J J g (G 6) exp [— pr sin (0 — ф) —О о

— 2л tpr cos (0 — <р) ] rdrd'p.■(5.109)

Ситуации, с которой мы многократно встречались ранее (р = 0), соответствует, очевидно, соотношение■

._2Л оо

. /о (Р, ф) = J j-S (г> ®) ехР [— 2лгрг cos (0 — ф)] rdrdtp, (5.110) оо- '

где индекс «0» у фурье-образа проекции отмечает как факт" отсутствия экстинкции в слое, так и интегрирование по всем значениям угла ф.

Если бы удалось так преобразовать аргументы функции f^: р р', <р -> ф\ чтобы оказалось выполненным равенство.

711(р\ф') =7о(р, ф)*.(5.111)

то дальнейшее решение задачи становилось бы стандартным, поскольку можно воспользоваться теоремой о центральном сечении в той или иной, ее форме.. ■

Авторы [61] обратили внимание на то, что прямым следствием интегрального соотношения (5.109) является дифференциальное уравнение в частных производных:

++ —^ = 0,(5.112)

др. р др р дф 1''

для которого могут быть сформулированы необходимые граничные условия и найдено ( в параметрическом виде) общее решение. Опуская эти выкладки, приведем итоговый результат, являющийся ответом на поставленный вопрос:

р' = (р2 + р2)1/а, ф' = ф + 2niArsh (р/р).(5.113)

Таким образом, искомая формула инверсии приобретает вид

2Л оо,'■•

g(r, 6) = J йф J j р|exp [2лipr cos (9 — ф)]/^ [(р2 + р2)1/2; О —оо■

Ф + 2niArsh(p/p)]dp.(5.114)

В ряде приложений описанный подход к задаче может оказаться полезным. Так, Гхош Рой [62] применил erb в расчетах, относящихся к спектроскопии оптически плотной плазмы, когда ц имеет смысл

коэффициента поглощения, постоянного по сечению плазменного столба. В работе Г. Г. Левина с сотрудниками [52] формула (5.114) используется для восстановления 2D сечения светового пучка по данным об однократном рассеянии >.

Более абстрактный и формальный подход по сравнению с рассмотренным был предложен Наттерером [56]. Фактически он также основан на идее перехода от модифицированных проекций iykPi ч ) к искомому распределению эмиттеров ^(г) с помощью теоремы о центральном сечении, однако последняя берется уже в обобщенной форме (5.92). В [56] формулируется задача о пересчете значений фурье-трансформанты g, определенной на 2D поверхности U^ в пространстве С2 комплексных переменных zlt z2, к значениям той же трансформанты на поверхности Uo, для которой d(zv zay /d(p, q>) = р. Для этой цели привлекается известная интегральная теорема Коши — Пуанкаре. Согласно последней, для регулярной аналитической функции ip(z) (z = (z,, z2, . . ., z„)) в области D0 комплексного пространства Cn (га ^ 1) и для любой (га + 1)-мерной поверхности G с Ро с гладкой границей у = dG интеграл

.'J ф (z) dz•= 0,'(5.115)

v-

где ф(г)с?г — сокращенное обозначение голоморфной дифференциальной формы [63]..

Если определить двумерный вектор z =' (z17 z2) и функцию -

-^(z) = ^(z) exp (ir-z), -(5.116)

то можно построить такую замкнутую поверхность U, для которой, с одной стороны, в силу (5.115)'~•

- [ф(г)с/г —О,(5.117)

а с другой — интеграл разбивается на несколько частей, одна из которых дает ц(г) (обратный 2D фурье-образ для (5.116)), а другие части — выражения, содержащие коэффициент экстинкции р. Пример такой поверхности U по Наттереру — поверхность полого цилиндра единичной высоты с внешним радиусом R и внутренним радиусом г. В дальнейшем можно рассмотреть предельный переход /?->-оо.

Окончательный, результат можно представить в двух различных формах. В первом случае.

.-^(r) = gi(r) - ^(г),(5.118)

где

gi <г) = 777577 ) I Р~^ ^ п) ехР <^r‘n — И™') dPd^'

(5.119)

^2(г) = А1 f /в(^пМрЙ +°(^2)- 8л J

Появление остаточного члена в выражении £3(г) обусловлено тейлоровским разложением сложного подынтегрального выражения с выделением главного вклада в g4(jf).

Другая форма представления — через интегральное уравнение 2-го рода с разностным ядром. В данном случае от функции д2(г) вообще можно избавиться и тем самым избежать разложения в ряд Тейлора. Это уравнение имеет вид

^(rHfc J |r^PTji -g(r)^ =^1W> 1Н<1, (5.120) 1И<1

где 1г — модифицированная функция Бесселя, а ^(г) определяется согласно (5.119).

К сожалению, решение уравнения (5.120) не удается получить классическим методом деконволюции свертки и его приходится находить численно. В [56] проделан соответствующий компьютерный эксперимент.

Поскольку, как видно из предыдущего изложения, случай, соответствующий р = const и выпуклой границе объекта, исследован достаточно обстоятельно, представляют первостепенный интерес результаты, связанные с выходом за пределы этих допущении. К со-' жалению, таких результатов пока очень немного. Все же упомянем несколько работ последних лет.

В уже цитированных публикациях Г. Г. Левина с сотрудниками [51, 52] отмечалось, что при определенных физических ограничениях постановки задачи (однократно рассеивающая среда при практически отсутствующем поглощении; подсветка исследуемого слоя по нормали к нему, возможность измерения набора суммарных двусторонних проекций Ыр, ф) /(р, ф) г /(р, ф + л)) исходя из уравнения переноса излучения можно записать следующее выражение для j^p, ц):

Ь (р, ф) = с [2 + М(р, ф)] ехр[— М (р, ф)] X

X J^(r)p(r)6(p —г-п)</2г.. (5.121) ‘

Здесь С — известная константа; п(г) — распределение коэффициента экстинкции, обусловленное слабым рассеянием;

М кр, ф) = Л ц (г) 6 (р — r-n)d2r(5.122)

— независимо измеряемая интегральная характеристика экстинкции.

Таким образом, обычная инверсия Радона, в принципе, позволяет сначала из (5.122) восстановить распределение р(г), а затем после соответствующей коррекции измеренных двусторонних проекций fa найти с помощью (5.121) произведение g(r)u(r), т. е. в конечном счете решить полную задачу редукции при неоднородном распределении в слое коэффициента ц(г).

Описанный подход, проверявшийся пока лишь на очень простом тест-объекте (шестигранная плексиглазовая призма с отполированной поверхностью) в условиях лазерной подсветки, может представлять известный интерес для газодинамического, а также плазменного экспериментов. Не исключено, что его удастся обобщить на случай оптически плотных излучателей. Желательно также осуществить тщательно математическое моделирование задачи.

Наттерер [641 предпринял попытку разработать необходимый математический аппарат, который позволял бы восстанавливать из операторного уравнения

R^ = f ,(5.123)

как распределение /(г), так и коэффициент экстинкции ц(г). Здесь Н^ — «обобщенный» оператор Радона, соответствующий уравнениям (5.84), (5.85). Для этой цели, помимо (5.123), предлагается использовать расширенные условия совместности Хелгасона — Людвига, которые записываются в следующем виде:

ос 2Л ,

Jj «“expJiAcp + у (Е + ij^a) Ra (p}j/(s> n) ds dtp = 0. (5.124) — ос 0

В этом выражении к > т ^ 0 — целые числа, 3^2 — оператор преобразования Гильберта, Е — единичный оператор. Неизвестное распределение ^(г) вообще не входит в (5.24), благодаря чему сначала может быть найдена 2D функция ц(г), а затем из (5.123) — функция g^Y

Как показано в [64], в общем случае такая задача неразрешима: например, соотношению (5.124) удовлетворяют любые осесимметричные распределения ц(г). Однако если представить g(r) в виде произвольной линейной комбинации конечного числа точечных источников (набора 6-функций Дирака), то распределение р(г) определяется однозначно. Вопрос о дальнейшем восстановлении функции g(r) из (5.123) при найденном ц(г) в [64] не обсуждается, хотя имеется в виду, что для этой цели может быть использован тот или иной вариант численного решения, основанный на разложении функций в конечные ряды.

Наконец, если с самого начала произвести подходящую дискретизацию задачи, применяя далее тот или иной алгоритм численного восстановления функций н(г) и g(r), то можно предложить ряд способов решения задачи инверсии экспоненциального преобразования Радона. Например, последовательную реконструкцию 2D полей коэффициента экстинкции п(г) и эмиссии ^(г) зачастую удается осу-

ществить на основе метода конечных элементов по так называемой схеме послойного расщепления [101. На другую возможность указали авторы работы [65]: в данном случае р(г) и ^(г) находятся одновременно из решения алгебраизованной системы нелинейных уравнений, соответствующей (5.123), с помощью итерационного метода субградиентного проецирования. Несмотря на большое число неизвестных, с такого рода задачей все же удается справиться благодаря тому, что подлежащая решению система уравнений сильно разрежена по отношению к неравным нулю производным от проекционных данных по всем 2У переменным. Подробнее эти вопросы будут затронуты в следующей главе.

В целом задачи эмиссионной томографии, в которых необходим учет радиационного ослабления, обусловленного различными физическими факторами, требуют еще большого внимания и усилий как теоретиков, так и экспериментаторов.

Г л а в а 6■

- АЛГОРИТМЫ ЛИНЕЙНОЙ ДВУМЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ ■

Аналитический аппарат двумерной РТ, рассмотренный в предыдущей главе, служит основой для построения разнообразных алгоритмов, применяемых при- решении конкретных томографических задач. Это разнообразие обусловлено рядом факторов. Во- первых, как мы уже видели, исходными для расчета Могут быть различные по структуре формулы инверсии; достаточно несхожим может оказаться и подлежащий обработке экспериментальный материал: более либо менее полные наборы луч-сумм, образующих проекции при параллельной или веерной съемке, различные по характеру квазиизображения и т. и. Во-вторых, переход от той или иной формулы инверсии к последовательности операций, выполняемых на компьютере, может осуществляться не одинаковыми путями. В-третьих, процедуры регуляризации, интерполяции, расчленения изображения на элементы, выбора параметров сетки также могут значительно отличаться друг от друга. Поиски алгоритмов, превосходящих известные по быстродействию, экономичности компьютерных ресурсов, доступности и легкости требуемых измерений, способности выявления тех или иных структурных деталей объекта, гибкости с точки зрения конструктивных изменений элементов томографа и т. п., не прекращаются. " "*

Здесь нет возможности сколько-нибудь"подробно описывать, иллюстрировать примерами и сопоставлять друг с другой известные алгоритмы: фактически осуществление такой программы потребовало бы не одной главы, а самостоятельной' монографии. Ниже

мы ограничимся лишь перечислением важнейших из 2D алгоритмов и краткими комментариями к ним в основном качественного характера.

Предлагались различные способы классификации 2D алгоритмов. Например, выделяют большую группу итерационных алгоритмов (ИА), базирующихся на известных способах разложения функций в конечные ряды [1]. Альтернативной при этом считают группу алгоритмов, основанных на так называемых методах интегральных преобразований (МИ И) [2]. Для такой классификации имеются довольно веские причины. Действительно, йри использовании ИА задача РТ с самого начала решается в дискретной форме, в то время как в МИП решение записывают в аналитическом виде (аргументы функций g и / изменяются на континууме вещественных чисел), и лишь на конечном этапе производится адаптация формул обращения к дискретизованным зашумленным данным. Однако в указанной классификации нетрудно усмотреть логические изъяны: существуют алгоритмы «гибридного» типа (например, continuous, ART — непрерывная алгебраическая реконструкция [2]), возникают затруднения с отнесением ряда алгоритмов вообще к какой-либо из этих двух групп и т. п.

Ниже мы будем придерживаться иного подхода, уже использованного нами в обзоре [31. К первой группе алгоритмов (А) отнесем те, которые являются томографическими версиями общих, ’ широко известных и основательно изученных методов вычислительной математики. Вторую группу (Б) составляют алгоритмы специального назначения, создававшиеся в последние годы непосредственно для решения задач РТ. ■’.

Перейдем к характеристике обеих групп.

. АЛГОРИТМЫ ТИПА А

Прямое обращение матриц

-! Пусть задаче РТ придана дискретная форма, т. е. она

с самого начала редуцирована к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). При этом 2D объект описывается с помощью декартовой сетки отсчетов, узлы которой пронумерованы в лексикографическом порядке [4]. Искомая функция g и проекционные данные / приобретают смысл векторов соответственно с размерностью mg и т,, так что требуется решать СЛАУ'

f = Ag,(6.1)

где элементы матрицы К (в общем случае их число равно mg-mf) суть весовые множители, учитывающие вклад площади каждого элемента изображения (элиза) в измеряемую луч-сумму.

Казалось бы, наиболее естественный и последовательный путь решения состоит в прямом обращении матрицы К, когда

'g = А-Ч. "(6*2)

Однако легко убедиться в том, что во многих задачах РТ такой путь явно неконструктивен. Скаддер [5] приводит следующую простую оценку для рентгенодиагностического томографа со сравнительно скромными по современным меркам параметрами: mg ~ mf ~ 105. Число компьютерных операций по обращению матрицы К имеет порядок nig, т. е. в данном примере составляет 1015. Оценивая среднюю длительность одной операции в 1 мкс, легко подсчитать, что процедура обращения матрицы займет ~ 31 год. Кроме того, для хранения компонентов матрицы К-1 потребовалась бы гигантская память ЭВМ. Наконец, нельзя забывать и о том, что неустойчивая исходная задача РТ в результате дискретизации почти неизбежно приводит к плохо обусловленной СЛАУ, так что фактически приходится осуществлять лишь то или иное квазиобращение матрицы К.

Ситуация меняется к лучшему в задачах малоракурсной томографии: легко видеть, например, что при mg ~ mf ~ 102 особых трудностей в вычислительном плане не возникает. К процедуре прямого обращения матриц прибегают также в блочно-итерационных алгоритмах [61. В этом случае исходная матрица К разбивается на «строчные» блоки, и в процессе последовательных приближений каждый раз участвует только небольшая выборка проекционных данных. Тем не менее операция прямого обращения матриц в задачах РТ применяется лишь в редких ситуациях.

Итерационные алгоритмы алгебраической реконструкции изображений

Итерационные схемы решения алгебраизованных систем типа (6.1), в которых К = (А,,) считается положительно определенной матрицей, а во входных данных f = (А)е1Г учитывается наличие погрешности, исключительно разнообразны. Упомянем здесь лишь некоторые, наиболее распространенные.

Простейший по структуре алгоритма метод ART (algebraic reconstruction technique) был впервые использован в задачах 2D томографии Гордоном, Бендером и Херменом [7]. Вскоре было установлено, что еще в 30-х годах совершенно аналогичную схему решения СЛАУ применял Качмаж [8].,Согласно [7, 8], нужно:'

выбрать некоторое начальное приближение вектора элизов go s Ru\'

выделить при фиксированном индексе / некоторый столбец К1 в матрице Кц, считая его вектором в пространстве R";

произвести коррекцию вектора элизов по формуле (д-я итерация):.

^+1 = gk + ^ у^ ц’Л ■■ К', i = k (mod m) + 1, х (6.3)

(.,.) — скалярное произведение, [[•|| — евклидова норма.

, Таким образом, рассматривается только i-й луч, а корректируются лишь те компоненты вектора gft, которым соответствуют элизы,

пересекаемые данным лучом. Иными словами, значения проекционных данных для z-го луча уточняются путем согласования с /-м измерением, в то время как остальная часть изображения остается без изменений. Можно показать [51, что время, необходимое для выпол-

«2

нения совокупности таких операции, пропорционально mg, а не т®, и поэтому общее время, затрачиваемое на восстановление 2D изображения, существенно сокращается по сравнению с прямым обращением матриц.

В более общем случае начальное приближение gn многократно улучшается путем минимизации более сложных целевых функционалов [9, 10]. При известных погрешностях во входных данных f последовательные приближения, вообще говоря, нельзя продолжать безгранично, так как начиная с некоторого числа итераций к результат восстановления ухудшается. Тем не менее можно сформулировать достаточно общие критерии для номера последней итерации, которые не содержат нормы обратного оператора задачи, что существенно упрощает вычисления [10]. Здесь, однако, нет возможности углубляться в эти вопросы.

Алгоритму ART можно дать простую геометрическую интерпретацию в пространстве векторов элизов [1]. Многообразие

'. Qt = {ge ^[(К1, g) = hV(6.4)

которое содержит все решения i-ro уравнения СЛАУ (6.1), есть гиперплоскость в пространстве R", причем вектор К1 является ее нормалью. Точка gft+1 в пространстве Rn есть не что иное, как ортогональная проекция точки gfe на гиперплоскость Qt. Таким образом, в алгоритме ART осуществляется последовательное проецирование приближенных решений на гиперплоскости Q,, соответствующих уравнениям исходной системы, причем этот процесс выполняется циклически.

Обобщения элементарной схемы ART, описанной выше, производились в различных направлениях. Прежде всего, в алгоритм могут быть введены так называемые параметры релаксации Xft (et ^ ^ Кй ^ 2 — е2, е1( е2> 0). В этом случае формула (6.3) приобретает вид-

§= g + к —^К .(6.5)

Использование параметров релаксации позволяет уменьшать или увеличивать ортогональную проекцию, что облегчает численную реализацию алгоритма [4]. В цитированной вышё работе [6] исследованы свойства релаксационных версий ART в условиях возможной несовместности уравнений в системе (6.1). В данном случае необходимо дать ответ на вопрос: существует ли предел последовательности приближений, получаемых при циклическом ортогональном проецировании на гиперплоскости, которые не имеют точки пересечения. Разумеется, ответ на указанный вопрос далеко не всегда положительный.

Херменом и его сотрудниками было разработано несколько модификаций ART, обычно именуемых в литературе как ART-2 [11], ART-3 [12] и ART-4 [13]. Математической основой ART-2 и ART-4 служит известный алгоритм нелинейного программирования (квадратичной оптимизации) Хилдрета, довольно подробно описанный нами в [14] и применявшийся неоднократно для решения ряда одномерных обратных задач спектроскопии. Идея ART-3 несколько иная: в данном случае систему уравнений

' (K\g) = /„ i = 1, 2, . . ., m, (6.6) определяющих многообразие Qt, предлагается заменить системой неравенств .

. h — Si < (К1, g) < ft + еь г = 1, 2, . . ., пг, " (6.7) где величины е, представляют собой некие заранее определенные «допуски». Таким образом, применяя ART-3, мы не стремимся получить. точное алгебраическое решение системы (6.6), которое, вообще говоря, может и не существовать, а довольствуемся приближением, соответствующим (6.7) и находимым в результате решения системы линейных двусторонних неравенств.

К перечисленным версиям ART примыкает и предложенный Брейсуэллом и Риддлом [15] итерационный метод наименьших квадратов — ILST (iterative- least — square technique), особенностью которого является осцилляционный характер последовательных приближений по отношению к точному решению. Для подавления этих осцилляций в алгоритм вводится коэффициент демпфирования; выбор последнего осуществляется методом наименьших квадратов Гаусса — отсюда и название метода.

Упомянем еще разработанный Гильбертом [16] алгоритм одновременного итерационного восстановления — SIRT (simultaneous iterative reconstruction technique). Б его основе лежит принцип учета всех (а не отдельных, как в ART) уравнений системы (6.1) на каждом шаге итерационной процедуры. SIRT близок к известному методу Ричардсона, широко применяемому в задачах с квадратичной оптимизацией и отличающемуся высокой экономичностью. Как сам метод Ричардсона, так и SIRT подробно описаны в [4], и здесь мы не будем вдаваться в расчетные детали. Отметим лишь, что SIRT все же предъявляет более'жесткие требования к машинной памяти и быстродействию, нежели ART: время счета возрастает приблизительно от двух до десяти раз, а объем памяти —.в два раза. Однако он отличается большей гибкостью, способен лучше «подавлять» шумы в исходных данных, допускает работу с сильно недоопределенными матрицами Кц.

■ . Хемекер и Солион [17] провели интересное теоретическое исследование о порядке, в котором необходимо брать различные ракурсы изображения для ART. Выводы этой работы послужили основой для создания алгоритма гибридного типа CART (continuous ART), позволяющего построить итерационную процедуру, непосредственно оперирующую с матрицами, а не с векторами изображений [18].

' Алгоритм ART успешно использовался в первом медицинском томографе Хаунсфилда. Он также хорошо зарекомендовал себя в электронной микротомографии, где позволил существенно сократить как число необходимых для реконструкции проекций (для рибосомы примерно с 30 до 5—7), так и полный угол обзора (с л до л/3). В методах восстановления, применявшихся ранее, когда требовалась регистрация большого числа проекций, возникала опасность сильного загрязнения образца из камеры микроскопа или даже полного его

разрушения. Из сказанного ясно значение перечисленной группы итерационных алгоритмов для малоракурсной РТ плазменных и газодинамических объектов. •. '

- Коснемся еще разработанного сравнительно недавно итерационного метода циклического субградиентного проецирования CSP (cyclic subgradient projections) [19], с успехом примененного его авто

рами к сложной задаче инверсии экспоненциального преобразования Радона (см. § 5.4). Метод CSP в известном смысле сочетает возможности ART-4 и SIRT. В [19] операторному уравнению (5.123) ставится в соответствие следующая система нелинейных алгебраиче

ских уравнений:"

(6-8)(6-8)ГГ? '

(6-8)

(6-8)

11= ^<ехР2Аi=Z.(-*=i+l

I ё LIST(/), к е LIST(/).

Здесь Wt — весовые множители, а операцией ЫЗТ(/) каждому каналу измерений / = 1,2, . . ., М приписываются два набора чисел: IA, L32i ..., Ai, и ш/, и^, ..., Шт, характеризующие элизы, пересекаемые лучами в чисто эмиссионной задаче регистрации. Нумерация идет от наиболее удаленного от детектора элиза к самому близкому. Если общее число элизов А ^> 1, а количество-неизвестных в задаче равно 2А, то алгоритм должен существенным образом учитывать факт обращения в нуль подавляющего большинства частных производных (субградиентов проекций) типа df}ldgk и dfj'du.k, когда к ^ LIST(/). Такой учет является главной структурной особенностью алгоритма CSP.

. 6.1.3. Метод максимума энтропии '

Метод максимума энтропии (MENT), получивший в последние годы широкое распространение при анализе и решении различных классов обратных некорректных задач, фактически можно считать одной из версий общего подхода к таким задачам, именуемого статистической регуляризацией решений [14]. Существует несколько разновидностей этого метода, из которых наиболее известны варианты Фридена и Бурга [20, 21]. Вариант Фридена — итерационный и при некоторых предположениях, как установил Лент [22], сводится к так называемой мультипликативной модификации ART — MART (multiplicative algebraic reconstruction technique). -

Формально в методе MENT (по Фридену) ставится задача о решении СЛАУ (6.1), но с учетом дополнительного условия:

Hs = max (— ^ gjln g5p (6-9) I j=i )

где величина в фигурных скобках трактуется как энтропия в смысле Шеннона. Однако подход Фридена обладает значительно большими возможностями, нежели те, которым отвечает указанная формальная постановка задачи. Эти возможности подробно рассмотрены нами в [14]. В частности, можно показать, что использование (6.9) эквивалентно сглаживающему воздействию на вектор g. Исследованиями па тсст-объектах показано, что ME NT дает хорошие результаты при восстановлении объектов со сложной структурой, например таких, которые содержат большое число контрастных элементов и имеют близкие к нулю значения везде, кроме ограниченного числа точек. MENT легко обобщается на многомерный случай [23]. Важные практические выводы из цитированных и некоторых других работ состоят также в том, что MENT позволяет использовать весьма небольшое число проекций, когда другие алгоритмы порождают неприемлемые артефакты, и Требует существенно меньшей машинной памяти, нежели обычные версии ART, ILST и SIRT.

Алгоритм MART строится следующим образом. Выбирается начальное приближение g0 = ^Ve, где |° — m-мерный орт, а е — основание натуральных логарифмов. Выражение для &-й итерации имеет вид .

' ,^М/«/(к\ g*)]^, (6.10)

где Хй — параметры релаксации: 0<e^Kft^1,a уравнения перебираются в циклическом порядке, т. е. i = ik = Zc(mod m) + 1.

Пока что ire устраненный недостаток алгоритма MART заключается в том, что его поведение в случае несовместности составляющих СЛАУ (6Л) в совокупности с (6.9) фактически не исследовано, а потому непредсказуемо. Между тем подобная ситуация — далеко не редкость. •

В варианте MENT, разработанном Бургом [21 ], энтропия определяется иначе, нежели в (6.9), что дает возможность обойтись без процедуры последовательных приближений. Однако еще предстоит выяснить, насколько эффективен этот алгоритм для решения задач РТ в сравнении с описанным ранее.

Уместно подчеркнуть, что итерационные алгоритмы, упомянутые в этом и предыдущем разделах, на самом деле разграничены чисто условно. Они имеют много общих черт, и когда в качестве альтернативы им рассматривают, например, алгоритмы сверточного типа, то различия в расчетных схемах с итерациями обычно не принимают во внимание [I]. Основной вывод из сравнения ИА и МИП сводится к следующему. МИП, как правило, требуют меньшего объема вычислений и обладают несколько лучшими качественными характеристиками восстановления при достаточно большом объеме

проекционных данных. Однако ИА имеют ряд преимуществ перед ними в-задачах с малым числом ракурсов, в эмиссионной томографии при ограниченном угловом обзоре, при наличии внутри объекта непрозрачных зон и некоторых других нестандартных ситуациях. Они также легко адаптируются к задачам РТ высокой размерности. Хермен и Лент в резюме статьи [18] справедливо отмечают: «При постановке новой томографической проблемы нетрудно сконструировать итерационный подход к ней. однако необходимы годы, чтобы создать приемлемый метод сверточного типа». ...

Методы конечных элементов и статистических испытаний

Один из важных резервов дальнейшего усовершенствования описанных итерационных алгоритмов состоит в переходе к сильно разреженным матрицам К = {^г;} ИЗ]. Элементы таких матриц зависят от способа разбиения объекта на элизы, от схемй сканирования объекта по углу, от аппроксимации искомой функции g^ на каждом элизе. Оптимизацию алгоритма по' последнему из этих факторов можно осуществить с помощью универсального и бурно развивающегося в прикладной математике метода конечных элементов [24]. .

В этом методе область определения 2D функции (носитель) разбивается на малые, вообще говоря, перекрывающиеся участки — полигоны. Например, в версии билинейных элементов [24] квадратный полигон охватывает четыре элиза; он описывается функцией

А (н) =А (н) =’ о, и + 1, 1 — и, О,’ о, и + 1, 1 — и, О,п< — 1,— 1 <; и <; О,0^u< 1,1<н.п< — 1,— 1 <; и <; О,0^u< 1,1<н.(6.11)(6.11)

А (н) =

А (н) =

’ о, и + 1, 1 — и, О,

’ о, и + 1, 1 — и, О,

п< — 1,— 1 <; и <; О,0^u< 1,1<н.

п< — 1,— 1 <; и <; О,0^u< 1,1<н.

(6.11)

(6.11)

Если Де — ширина элиза, а ж', у' — координаты центра билинейного элемента, то можно определить базисную функцию Ьх,.и- выражением [18] - :

Ьх'.и' <А У) = А((# — л/)/А#)-А ((у — у')/А,). (6.12)

Использование этой функции обеспечивает высокую степень разреженности матрицы К и соответственно значительно повышает эффективность итерационного процесса. *

Представляется достаточно перспективным применение в задачах РТ такого мощного и универсального метода, каким являетсй метод Монте-Карло (статистических испытаний). Правда, пока эта проблема еще не вышла за рамки чисто теоретических рассмотрений ;[25, 26]. Тем не менее ожидается, что техника Монте-Карло позволит радикальным образов преодолеть одну из основных трудностей итерационных , методов, связанную с размещением информаций в памяти ЭВМ и обработкой данных, количество которых стремительно возрастает по мере измельчения элизов.

" A. E. Булышевым и авторами этой книги была развита и опробована на несложных тест-объектах регуляризованная схема метода Монте-Карло в применении к реставрации искаженного 20 изображения [14]. Идея такого подхода ранее высказывалась Фриденом [21], однако не была доведена до завершающей стадии (особенно в части процедуры регуляризации). Ясно, что если под искаженным изображением в случае РТ понимать результат обратного проецирования 6(г), то вопрос о перенесении метода в 20 томографию решается автоматически, поскольку вид ФРТ задачи хорошо известен (см. (5.64)).

Структура алгоритма может быть достаточно простой. Для исходного уравнения (6.1), записанного в форме -

S Kygi = A, t = 1, 2/,(6.13)

реализуется следующая совокупность операций.■

Шаг 1. Случайный выброс узловой точки / на и-м испытании для сетки, устанавливаемой в соответствии с характером искомого распределения (томограммы), дает j — т..

Ш а г 2. Подсчитывается вклад этого выброса в правую часть уравнения (6.13):

Ф< = фГ1 + К* .(6.14)

Оценка интервала h} дается ниже.

Ш а г 3. Сравниваются ф” и /, для набора узлов г: если ф”^ ^ /г, то следует переход к шагу 4, в противном случае выброс / = = т, отклоняется и следует возврат к шагу 1.

Ш а г 4. Для неотклонепного выброса производится подсчет вклада в изображение:

б" = 83^ + Ь*(6.15)

где интервалы hg и /г/, вообще говоря, не одинаковы, но коррелируют друг с другом, например, по условию нормировки сигнала.

Далее следует возврат к шагу 1.

Проекции можно представить в виде

/< =/? (1 + хл),...(6.16)

где х — уровень погрешности, а ц — псевдослучайное число, распределенное по заданному .закону. Тогда оценка интервала h/ получается, например, из критерия невязки.

~ хЦ/ЖЛ ' '(6-17)

т. е. h} выступает в роли параметра регуляризации задачи.

Скоростью процесса можно «управлять», задаваясь тем или иным числом последовательно отклоненных выбросов на шаге 3.

Потенциальные возможности метода усматриваются в следующем. В процессе формирования элизов согласно (6.15) могут быть без труда учтены различные априорные ограничения дескриптивного

характера. Условие неотрицательности решения включается в алгоритм автоматически. Алгоритм легко приспосабливается к флуктуационным факторам, резким сменам контраста, к случаям разрыва производных у функции g(r), наличия экранирующих зон и т. п.; кроме того, он легко обобщается на задачи большей размерности.

Алгоритмы на основе общих методов регуляризации"

Опираясь на известные. формулы обращения для 2D задачи РТ, подробно рассмотренные в предыдущей главе, можно строить алгоритмы восстановления изображения с привлечением таких универсальных и хорошо развитых методов решения некорректных обратных задач, какими являются метод А. Н,-Тихонова [27] или метод статистической регуляризации [28]. Здесь нет возможности углубляться в довольно сложный и разветвленный математический аппарат этих методов (применительно к одномерным задачам диагностики плазмы они.описаны в [14]), и мы ограничимся лишь несколькими общими замечаниями и литературными ссылками. . В работе [29] указан принцип построения двух типов регуляризующих алгоритмов (РА-1 и РА-2) по отношению к задаче деконволюции двумерной и одномерной сверток (формулы (5.64), (5.70)) на основе метода А. Н. Тихонова. G помощью этих алгоритмов создавалась система полной обработки томографических измерений, реализованная в первом отечественном рентгеновском томографе СРТ- 1000, предназначенном для исследования головного мозга человека. Эта система включает в себя сразу несколько этапов обработки данных: снятие и аналого-цифровое преобразование измеренной, информации, калибровку и устранение аппаратурных искажений измерительной системы, собственно томографическую реконструкцию и, наконец, корректную процедуру визуализаций томограммы. При этом РА используются на всех этапах обработки, что обеспечивает получение высококачественных изображений. Более подробно структура пакета программ и организация вычислений в томографе СРТ- 1000 описаны в [30].

В дальнейшем основное внимание этого коллектива авторов было сосредоточено на разработке различных версий алгоритмов так называемой локальной регуляризации, идея которой впервые была высказана в [31]. В [32] исследуемые 2D объекты было предложено подразделять на две группы: к первой относить те, которые характеризуются неоднородностями с высоким контрастом при заданном их размере; объекты второй группы представляют собой распределенные низкоконтрастные неоднородности. Двумерная функция g(r), описывающая объекты первой группы, может, согласно [32], восстанавливаться при помощи регуляризации нулевого порядка с традиционным «глобальным» выбором параметра регуляризации а по невязке [27]. Для реконструкции объектов второй группы требуется более сильная регуляризация. Однако определение при этом параметра а по невязке часто лишает возможности восстановить «тонкую»

структуру решения. Выход из этого положения может быть найден, если воспользоваться понятием переменного а (более строго — функции регуляризации) [31]. В [32, 33] проанализирована та дополнительная информация об искомом решении ^(г), которая необходима для нахождения а(р), где р, как и выше,— векторная частотная переменная. ■

В работе [34] предлагается, в частности, следующий простой итерационный способ расчета а(р). Сначала находится приближенное решение ^(г) при ot1(p) = a0|p|2m, m> 1, причем а0 выбирается по невязке. Затем вычисляется фурье-образ £а1(р), определяется -

а2(Р) = й2/1Мр)Г (6Л8)

(б — оценка погрешности измерений) и с помощью а2(р) находится новое приближение д^Д) и т. д. В [34] отмечается, что эффективность локальной регуляризации установлена на некоторых примерах решения задач РТ, а также в результате использования алгоритмов, построенных на ее основе, в системе математического обеспечения советских рентгеновских томографов СРТ-1000 и СРТ-5000.

Отмстим, что схема с апостериорной коррекцией решения в итерационном процессе не является новой (см., например, [87], § 24 и содержащиеся там ссылки). Одно из ее слабых мест, о котором не следует забывать, состоит в том, что использование критерия невязки при нахождении а0 может приводить к заметному обеднению спектра решения информативными высокочастотными составляющими, восстановить которые при дальнейших, уточнениях осг(р) уже невозможно. .

Теоретическое и практическое исследование алгоритмов РТ, основанных на принципах тихоновской регуляризации, в целом представляет несомненный интерес. Однако если иметь в виду чрезвычайно разнообразные объекты газовой динамики и физики плазмы, не следует надеяться на то, что локальная регуляризация непременно окажется панацеей от всех бед. Во-первых, серьезной проблемой является получение той дополнительной (априорной) информации о структуре объекта, без которой невозможен корректный расчет функции а(р). Дело осложняется тем, что эта информация связана, в первую очередь, со свойствами ^(р), т. е. относится не к 2D пространству (г, //), а к фурье-области определения искомой функции.

Во-вторых, практически любая расчетная схема с локальной регуляризацией решения малоэкономична по отношению к ресурсам ЭВМ, и уже по этой причине применять ее не всегда возможно и целесообразно. ' .

' В-третьих, как показано Д. А. Поповым [35], непростой является проблема применения гладких регуляризаторов при обращении интеграла свертки с помощью квадратурных формул. Регуляризующая функция задачи 7?а(р) должна быть согласована с извэстным критерием Найквиста:

^«(р) = 0, |р| > й, н я/А#, . . (6,19)

где М — шаг квадратурной формулы. Если условие (6.19) нарушено, то даже для гладких функций распределения квадратурная формула может расходиться. Правда, в [35] установлено, что и в этом случае _ иногда можно построить сходящиеся квадратуры (любопытно, что это построение аналогично процедуре перенормировок в квантовой теории поля). Однако уже для неоднородных регуляризаторов типа

да(р) = [1 + а ехр (я|р|)т ]-1'(6.20)

в процессе решения появляется сильная расходимость и вопрос корректного восстановления функции g(r) остается открытым.

Вопросы применения 2D версии метода статистической регуляризации (MGP) к задачам РТ рассматривались в работах [36, 37]. Исходной в данном случае является формула обращения (5.11), которую, имея в виду возможность использования также и спектральной информации,, авторы пишут в виде (обозначения наши)

gb", 0, v) = —(2n)-1D2^D{/(p, ф, V)}.(6.21)

Некорректность задачи проявляется прежде всего при численном дифференцировании проекционных данных. Именно здесь вводится статистическая регуляризация .решения, когда /г-кратному дифференцированию ставится в соответствие интегральное уравнение Вольтерра 1-гб рода:

t.

<6-22)

где ф(<) — искомая производная. -

Применительно к уравнению (6.22) обобщение обычной схемы метода статистической регуляризации на двумерный массив экспериментальных данных (дискретизация / осуществляется на регулярной декартовой сетке) не вызывает каких-либо принципиальных затруднений. Как отмечается в [36, 37], при математическом моделировании плазменных объектов замена, например, сплайн-дифференциро- вания МСР-дифференцированием заметно повышает качество вое- становления, а алгоритм двумерного МСР (сглаживание — дифференцирование) всего массива проекционных данных дает еще лучшие результаты.

В малоракурспых задачах РТ целесообразно вводить в алгоритм процедуру интерполяции с генерацией добавочных проекций. Тогда вместо (6.21), выделяя из общего инверсионного комплекса вспомогательную задачу дифференцирования + интерполяции + сглаживания всего массива спектропроекционных данных,, можно в матричной форме записать'

gV, 9, v) = -(W^(D ® S ® E)f(p, ф, v),(6.23)

где ® — символ прямого произведения матриц, S — матрица интерполяции, Е — единичная матрица.

§ 6.2. Алгоритмы типа Б

Восстановление квазиизображений■

' Обсудим теперь вкратце особенности наиболее распростри-, ненных алгоритмов РТ более специального вида.

Возможны диагностические ситуации, когда задача точной реконструкции 2D функции g(r) не ставится вообще. Так, для некоторых оценок параметров нестационарных процессов может оказаться достаточным получение простейшего суммарного изображения Ь(г) (5.59), особенно когда важно обеспечить томографирование в режиме реального времени.

В работах Б. К. Вайнштейна с соавторами [38—40] характеристики суммарного изображения исследовались достаточно подробно. В частности, предлагалась аддитивная запись: - 1■

. ■Ь(г) — ^(г) + фон(6.24)

и отмечалось, что фон лёгко «вычитается» для контрастных (чернобелых) изображений. Кроме того, простые приближенные способы корректировки могут строиться на основе' интегрального выражения [39]‘.

g (г) = f(6.25)

.2л а • |г — г |

Если обратное проецирование осуществляется фотосуммированием [40], то при последовательном экспонировании на фотоматериале происходит аддитивное накопление почернения. Нелинейность почернения можно также использовать для повышения контраста в Ь(г): если суммарная экспозиция фона E-t*N ^E-t — экспозиция, соответствующая одной проекции, N — число проекций) ниже фотографической'точки инерции, то в квазиизображении ЬЛг(г) при фотосуммировании фон. будет практически исключен. Авторы [40] подчеркивают, .что поскольку подобное «нелинейное» повышение контраста в bN(r),— в сущности, свойство процедурное, его можно использовать при численном суммировании, подвергнув соответствующей нормировке значения bN(r). .■.

В некоторых случаях, например в дефектоскопии промышленных изделии, намеренно стремятся получить несколько искаженное квазиизображение, которое визуально воспринимается как более резкое, с подчеркнутыми контурами границ малдконтрастных неоднородностей и включений. Один из перспективных путей в этом направлении описан в работе [41].

Каждая проекция /(р, q) сначала подвергается пространственной фильтрации путем формирования второй производной по р:

■ Мр, ф) = -(2л)-24- /(р, ф).(6.26)

•др

Затем выполняется обычная операция обратного проецирования:л -

gh (ж, у) = ВаУь^р, ф)} = ^ /Л(ясо8ф + узтф, ф) (/ф,(6.27)

■о■

в результате которой получается «высокочастотная» томограмма с нетрадиционной изотропной частотной характеристикой

Л(|р|)|р|С(|р|),

где Л(|р|) — быстро убывающая при больших |р| аподизирующая функция [42]. Заметим, что, располагая квазиизображением gh(r), нетрудно, если это требуется, перейти к обычной томограмме g(r):

фа (Р, ф) = j J gh (ж, у) 6 [р — я cos ф — у sin ф] dzdy;

.(6.28)

§(ж, у) = J флюсов ф + у sin ф, ф)йф. о* ' '

Иными словами, для преобразования gh^ в g^ на квазиизображение ^(г) нужно подействовать прямым оператором Радона:

'■g^ = RagM(6.29)

что эквивалентно двумерной низкочастотной фильтрации.

Алгоритм обратного проецирования с фильтрацией двойным дифференцированием (ОПФДД) отличается рядом привлекательных свойств. Так, процедура формирования «высокочастотных» томограмм вследствие исключения преобразования Гильберта является локальной, что позволяет исследовать детальную пространственную структуру внутри отдельных зон макрообъекта без сканирования смежных областей сечения. Эти -томограммы обладают повышенной устойчивостью к воздействию нелинейных погрешностей при детектировании проекционных данных. Выполнение операций (6.26), (6,27) вместо традиционных в соответствии с (5.11) дает возможность существенно уменьшить динамический диапазон накапливаемых циф=- ровых массивов, а следовательно, снизить требования к разрядности вычислительного комплекса и градационным характеристикам средств визуализации. Использование ОПФДД позволяет полностью обойтись без операций умножения, что резко сокращает время обработки. В статье [41] приводятся примеры реконструкции с помощью ОПФДД сразу в ходе получения измерительных данных. Для восстановления привлекалось 180 проекций с шагом в 1° при 2000 отсчетов в каждой проекции; при этом реконструкция завершалась в момент регистрации последнего отсчета. Традиционный алгоритм сверточного типа при работе на ЭВМ со временем умножения 10 мкс потребовал бы для восстановления аналогичной томограммы не менее 2 ч.

Наконец, имея в своем распоряжении программы, реализующие как алгоритм ОПФДД, так и обычную последовательность операций,

приводящих к восстановлению ^(г), получаем ценную возможность- раздельно оптимизировать процессы извлечения информации о высоко- и низкочастотных структурах объекта.

Послойное расщепление

Алгоритм послойного расщепления иногда называют еще «обдиркой луковицы» (onion peeling); одна из его простейших версий подробно описана Ченом и Гулардом [43]. Эти авторы разрабатывали алгоритмическую схему вполне целенаправленно: требовалось исследовать поля концентраций и температур в газовых течениях,.^ возникающих при работе реактивного двигателя и при горении; «точечные» измерения с помощью методов рэлеевского или комбинационного рассеяния оказывались неэффективными вследствие малого отношения сигнал/шум. Алгоритм сочетался с известной схемой регуляризации Филллипса — Туоми (она подробно изложена в [14]). Проекции снимались по трансмиссионным данным.

Алгоритм послойного расщепления в известном смысле можно - рассматривать как удачную реализацию уже упоминавшегося метода конечных элементов, хотя у этого алгоритма имеется ряд специфических, чисто томографических черт. Искомая 20 функция g(r) . разбивается на полигоны в результате естественной дискретизации полярной системы координат. Это дает возможность решать вместо исходной 20 задачи набор 1О интегральных уравнений 1-го рода. Тем самым объект, как бы расчлененный на концентрические кольца, исследуется по слоям: путем перехода от внешних колец к внутренним.

- Назовем достоинства такой схемы. Во-первых, резко сокращаются требуемые ресурсы ЭВМ по памяти и быстродействию. Во-вторых, для решения редуцированной (одномерной) задачи в зависимости от конкретной постановки можно использовать многие из рассмотренных. алгоритмов общего типа. В-третьих, послойное расщепление позволяет исследовать структуру внешних слоев объекта, не затрагивая внутренних; это особенно существенно в тех случаях, когда какое-нибудь непрозрачное тело, находящееся в центральной часта исследуемой области, перекрывает лучи (см. подробнее § 6.5). В-четвертых, схема открывает важную возможность по-новому подойти к решению эмиссионной задачи РТ с учетом радиационного ослабления (см. § 5.4). Такой подход был реализован авторами в [44—46]. Укажем здесь его основную идею..

Опишем изучаемый объект окружностью радиуса R и разобьем получившийся круг на концентрические окружности {гг} и угловые секторы {9j}; введем также сетку по переменным р и ф. Переходя в интегральном уравнении , с ослаблением (формулы (5.84), (5.85) к полярной системе координат, запишем' .

,,, f g (г, 9 + <р)/ Р, ф) = Р . 2д " 6ХРО Sin 661■,,, f g (г, 9 + <р)/ Р, ф) = Р . 2д " 6ХРО Sin 661■6а ,' . -- Р. d9, (6.30)J sin 9■6.6а ,' . -- Р. d9, (6.30)J sin 9■6.

,,, f g (г, 9 + <р)

/ Р, ф) = Р . 2д " 6ХР

О Sin 6

61■

,,, f g (г, 9 + <р)

/ Р, ф) = Р . 2д " 6ХР

О Sin 6

61■

6а ,' . -

- Р. d9, (6.30)

J sin 9■

6.

6а ,' . -

- Р. d9, (6.30)

J sin 9■

6.

где г = p/sin (6 — ф). Если теперь ввести кусочно-постоянную аппроксимацию функций g(r, 6) и п(г, 0) по радиальной переменной г, оставляя произвольной аппроксимацию по углу 0, то после простых выкладок приходим к задаче, расщепленной на совокупность Ш интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода: ।

еа(Р)Г ^р(6 + <Р)J ^Гехрв/р)еа(Р)Г ^р(6 + <Р)J ^Гехрв/р)9,(Р)"

еа(Р)

Г ^р(6 + <Р)

J ^Гехр

в/р)

еа(Р)

Г ^р(6 + <Р)

J ^Гехр

в/р)

f Ир (6' + ф)

. 2 а, ^9<(6-31)

J sin 0

'0

где нижний индекс «р» обозначает конкретизацию выбора переменной г:-’ /) '।

gp^ = g(r = р, 9); Цр(9) = р(г = р, 0),

a fp^ — луч-сумма для i-to кольца радиусом гг ^ |р,| в направлении ср. ■■

В результате такой декомпозиции по полярным переменным становится возможным восманавлпвать поло эмиссии g(r) послойно (конечно, при известном распределении ц(г)), двигаясь от внешнего кольца к внутренним. При этом расчетная схема достаточно экономична. Упрощенный вариант алгоритму Чена и Гуларда [43] соответствует частному случаю, когда ц(г) = 0, а кусочно-постоянная аппроксимация относится к обеим переменным г п 9; кроме того, в работе [43] но получено общего интегрального уравнения типа (6.31), а отправным пунктом для расчета служила аппроксимирующая его СЛАУ. ; Результаты некоторых модельных расчетов по схеме послойного расщепления приведены в [14, 44—46]. Общим недостатком, присущим различным вариантам «обдирки луковицы», является накопление погрешности по мере продвижения от периферических слоев внутрь объекта. Вопросы минимизации этой погрешности нуждаются в дополнительном исследовании. .

Полиномиальные разложения '

Важнейшие полиномиальные формулы обращения проекционных данных, обычно задаваемых в полярной системе координат (р, ф), подробно обсуждались в § 5.2, и фактически к этому остается добавить немного. '

В цитированной монографии Хермена [4] значительное внимание уделено анализу структуры неитерационных алгоритмов, в которых используются разложения двумерного изображения на кольцевые гармоники в соответствии со свойствами матрицы проекций. Мы не воспроизводим здесь довольно интересных общих результатов такого -анализа, полезных прежде всего с точки зрения правильного выбора вида полиномиального разложения,1 согласованного со Спецификой томографического эксперимента. О другом подходе к той же проблеме говорилось в § 5.2 в связи с концепцией огибающих функций Ча — Веста. .

П В. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский 149

Привлекательными возможностями обладает алгоритм, основанный на преобразовании Кормака. Уже подчеркивалось, что если воспользоваться связью обратного оператора Кормака С^1 с операторами Фурье ?! и Ханкеля Ht (5.42), то процедуру восстановления, функции ^(г, 6) можно свести к серии «быстрых» преобразований:

'2Л

/z(p) =(2л)-1 J Цр,<р)ехр( —if^^t

.о■

gitrW-iWafMt(6.32)

"g (г, 6)= 2 gz.(r) exp(zZG). .'

I—— ОО

В последнее время ряд новых возможностей реализации быстрого преобразования Ханкеля (в основном в связи с задачей о расчете радиальной . части оператора Лапласа для уравнения Шредингера) был продемонстрирован Бисселингом и Козловым [47]. Нужно, однако, помнить о том, что, поскольку проекционные данные /(р, ср) известны с погрешностью, последняя «передается» через f^ в ^(г); поэтому на последнем этапе неизбежно появляется некорректная задача суммирования ряда Фурье с приближенными (в метрике Z2) коэффициентами. Способы ее регуляризации хорошо известны (см. [27], гл. 7), и может быть поставлен вопрос о нахождении оптимального (в том или ином смысле) метода суммирования. Эту задачу оптимизации, ориентированную на реальный томографический эксперимент, еще предстоит рассмотреть.-

Вопрос о зависимости результатов восстановления 2D функции g^ по формулам Кормака от погрешностей в исходных данных и в их численной аппроксимации анализировался Луиттом и Бейтсом [48]. Выводы из этого анализа не внушают большого оптимизма: указанная зависимость оказывается достаточно сильной. Тем не менее Инойе [49] удалось разработать эффективный способ регуляризации для инверсии по Кормаку, позволяющий получать неплохие результаты восстановления при ограниченном числе ракурсов.

Выбирая в качестве носителя функции ц(г) единичный диск, можно из (5.37) после несложных выкладок получить‘

1ОС ■

gi (r) = Z!1 j f'l(?) j* ^z (2лгр) exp (— 2nzpp) dpdp (6.33) -iо

и далее

"1

gl ^ = пг\ ^ ^ ^1 ^^ dp’ 't6,3^

о

где

. f(l —z2)-1/2sin(|Z|arccosz)„ 0<z<l,

Ql (Z) -(Z2 _ t)-V2 [, + (,2 _ 1)V2]-WI> z > L ()

Частный случай этой формулы уже встречался (см; (5.43)). Хансен, сравнивавший вычислительные свойства (6.34) и инверсии по Кормаку [50], в другой работе (см. [51]) успешно реализовал расчеты по (6.34) оптическими средствами.'

Все только что сказанное в значительной мере справедливо в отношении другой часто используемой модификации метода полиномиальных разложений, которую обычно связывают с разработками Мальдонадо и Олсена [52—54] (хотя принцип разложения также впервые был высказац Кормаком). В случае сильно асимметричных распределений ^(г) и при наличии резких градиентов восстанавливаемого. скалярного 2D поля приходится суммировать большое число членов. Так, в [55] при реконструкции профиля ударной волны пришлось использовать до 2000 членов..

Важная в практическом отношении частная форма этого алгоритма, соответствующая объектам с плоскостью симметрии относительно ср = 0, имеет вид (см. обозначения и пояснения к формулам • (5.49) и (5.50)):.

.ЛОО

В™ (а) = 2 J cosmqxAp J /(р, ср) Hm+lh (ар) dp,

к'.

- gm(r) = Qm(r) 5 R^(a),■

й=0

Qm (г) = (аг)т ехр (— а2г2)(а/л)2,(6.36)

Rm (г) = (- 1)^! [(т + 2к)\ГЧ^ (а8г2), м

gun (г, 6) = 2 gm (г) cos тй ~ g (г, 9).

■ Авторами в [56] разработана регуляризованная версия этого алгоритма (в несколько более общей форме, нежели (6.36)), позволяющая находить верхние пределы суммирования К и М на основе критерия невязки [27]. В этой версии многократно вычислять gMK(r, 6) нет необходимости: достаточно найти решение уравнения

8А(р, ц)^А2,(6.37)

где S — норма ошибки измерения проекционных данных f(p, ф), а А — функция невязки, для расчета которой в [56] предложен специальный экономичный алгоритм.

Фурье-синтез

Метод фурье-синтеза в двумерной томографии берет свое начало с известной работы Брейсуэлла [57]. Соответствующий алгоритм формулируется как непосредственное следствие теоремы о центральном сечении, ее компактным выражением является операторное соотношение (2.27): R^1 = F^F^. Таким образом, используя

величины, входящие в (2.23), (2.24), можно записать

g (г) = J G (р) ехр (— 2лгрг) dep,

"(6.38) '

G (р) = G (р, ф) = j / (р, ф) ехр (2nipp) dp, причем прямое преобразование Фурье выполняется вдоль центральных сечений, т. е. линий, проходящих в фурье-плоскости через начало координат; р(ы, к) — 2D вектор пространственных частот.

На практике часто ограничивают двойное интегрирование некоторой конечной областью Г на плоскости (и, у) и вводят фильтрующую «функцию окна»: ie(/u8 + у2). Тогда выражение для еще не дискретизованного алгоритма фурье-синтеза в декартовых координатах приобретает вид

gw (ж, у) = J J F! {/ [ ]Ли2 + у2, arctg (у/ы)]} ir( Vи? + и2) X г ■

,Хехр[—2ni (ли + yvyVdudv. '(6.39)

Запись и подробный анализ следующих из (6.39) дискретных формул для gw приводятся в [2, 4]. Поскольку искомое изображение обычно формируют именно в декартовой системе координат, в фурье-плоскости приходится осуществлять ту или иную интерполяцию трансформанты Gt,pY Процедура восстановления выполняется, как правило, на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ). ,

Укажем на основные достоинства и недостатки фурье-синтеза. Одно из важнейших преимуществ этого алгоритма перед большинством других состоит в том, что главным образом вследствие использования БПФ он требует меньшего ‘суммарного объема вычислений. Несомненным плюсом. фурье-синтеза является возможность достаточно простой и удобной его реализации в аналоговом виде — с помощью оптических процессоров [58—60.]. Еще немаловажные достоинства, отмечавшиеся рядом авторов,— удобство применения данного алгоритма и высокое качество восстановления в тех задачах РТ, где объект характеризуется определенной группой симметрии [61, 62].

Методу присущи и некоторые недостатки. Так, при обобщении алгоритма фурье-синтеза на случай обработки веерных проекций возникают трудности в связи с операцией повторного разбиения области интегрирования [2]. из-за которых расчетная схема становится довольно громоздкой. Нередко высказывается также следующая точка зрения. Поскольку в алгоритме явно присутствует оценка комплексной амплитуды частотных компонентов изображения, погрешности в этой оценке сильно влияют на качество всего восстановления, причем главный источник ошибок — неточность интерполяции массива данных. Иногда утверждается даже, что из-за интерполяционных погрешностей качество реконструкции с помощью фурье- синтеза всегда ниже, чем обеспечиваемое, скажем, в рассматриваемом

основное внимание в нихосновное внимание в нихGa (и, v) = G (и, у)Ga (и, v) = G (и, у)1 + а 2 M“2 + п2)*к—О1 + а 2 M“2 + п2)*к—О(6.41)(6.41)

основное внимание в них

основное внимание в них

Ga (и, v) = G (и, у)

Ga (и, v) = G (и, у)

1 + а 2 M“2 + п2)*

к—О

1 + а 2 M“2 + п2)*

к—О

(6.41)

(6.41)

Рис. 6.1. Связь относительной погрешности восстановления с погрешностью измерений проекционных данных в алгоритме фурье- синтеза. Число ракурсов N = 12.

далее алгоритме обратного проецирования е фильтрацией. Однако в работе [63] установлено, что при более тщательном выборе параметров дискретизации и метода интерполяции в фурье- пространстве качество восстановления резко улучшается.

Исследования в этом направлении были продолжены авторами (см. пред- ‘ варительную публикацию [64]), причем

обращалось "на случай небольшого числа проекционных данных и присутствия достаточно заметной погрешности измерения последних, что соответствует типичным условиям газодинамического и плаз-

менного экспериментов.

Па рис. 6.1 показан один из характерных результатов расчета . Дана зависимость относительной погрешности восстановления сг от уровня случайной ошибки измерения проекций от; число ракурсов наблюдения N^ = 12. Кривая 1 соответствует обычной схеме использования алгоритма фурье-синтеза, когда ве принимается специальных мер для сглаживания проекционных данных или последовательной регуляризации в процессе реконструкции изображения. Кривой 2 на рисунке отвечает случай фильтрации шумовой составляющей проекционных данных при помощи сглаживающих кубических сплайнов [14]. Наконец, кривая 5 получена с применением регуляризованного алгоритма фурье-синтеза. Именно, переходя по второй из формул (6.38) от проекций i^p, <р) к фурье-трансформанте (?(р, q>), находим

Np

G (щ и) = 2 2 & (picos Фй Pi sin Ф;) X (u — Pi cos Фц и — pi sin q>j). i=l j=l

. .(6.40)

Здесь у — фактор билинейной интерполяции [4], а 2УР — число от

счетов по переменной р на каждой проекции (в расчетах кривых, приведенных на рис. 6.1, бралось Np = 64). Далее осуществляется соб

ственно процедура регуляризации решения, состоящая в переходе от спектра G(u, у), найденного по (6.40), к его сглаженной модификации Ga(u, v), где

Параметр а находится по формуле, отвечающей методу статистиче-

ской регуляризации (см. [14], гл. 7, § 3), весовые множители Ьк в расчете взяты следующими: Ьо = bY = О, Ъ^ = 1, порядок регуляризации I равнялся 2. Окончательное восстановление g(r) производится по первой из формул (6.38), где в двойном интеграле используется функция Ga(w, г) = Ga(p). В математическом эксперименте в качестве модельной функции g(r) выбиралось наложение трех взаимно смещенных гауссиан (модель № 1 из [77]).

Основной вывод из проделанных расчетов сводится к тому, что регуляризованный алгоритм фурье-синтеза при сравнительно небольших дополнительных затратах компьютерных ресурсов дает по сравнению с нерегуляризованной версией значительный выигрыш в повышении качества восстановления за счет снижения уровня случайной погрешности, «переносимой» из проекционных данных Др, <р) в изображение g(r). Нужно, правда, отметить и известный недостаток рассмотренного подхода: необходимость иметь Np равным 2’, где ' q — целое число, что при обработке реального физического эксперимента часто вызывает затруднения.

Дальнейшие исследования в этом направлении, по-видимому, помогут существенно усовершенствовать традиционную схему фурье- синтеза в томографии. ■ ■

Сверточные алгоритмы .

■ и р-фильтрация

Алгоритм обратного проецирования с фильтрацией (в отечественной литературе используется аббревиатура — ОПФ) значительно чаще других встречается в системах современных коммерческих томографов, особенно рентгеновских. Математическое содержание алгоритма было подробно рассмотрено в п. 5.3.2. Не выписывая здесь снова общих интегральных соотношений, сформулируем алгоритм в виде, максимально приближенном к его дальнейшей компьютерной реализации.

Пусть носитель (единичный диск) полностью покрывается совокупностью лучей

{(тДр, иДср) : М- <_т<_ ДР, 1 ^ и ^ АД,

где

ДР = (Л/ — 1)/2'

•М — нечетное:-

ДГ = - {М — 1)/2

,/(6.42)

-М+ = М/2-1'

,} М — четное;

ДР1 = - М/2 J

. Д<р = л/У; Др = 1/Л?+.

Тогда если

Др/2•

Л™(Р) = j | p|ir(p)exp(2nipp)dp,(6.43)

причем u?(p) — функция окна, то

?ш(ж, у) = J^J / (р, ф) ц,,, (z cos ф + г/sin ф — р) </р.(6.44)

о -1.

В качестве функции окна обычно выбирают выражение

(1,—а|р|/р0, |р|<ро,“’<’>-(0.|р!>р..( )

где 0 ^ а^ 1. Если в соответствии с критерием Найквиста взять Ро = 1/2 Др, то подстановка (6,45) в (6.43) дает следующие выражения:

■' ' г\ю(т\р) = —а/л2(шДр)2, т ^ 0 — четное; '

т]„(»гДр) = (а — 1)/л2(тпДр)2, m — нечетное; .

ЛюР) = (3 — 2а)/12(Др)2.-

Чаще других рассматривают случаи а = 0 (ядро Рамачандрана — Лакшминараянана), а также а = 1/2 и а = 1.,

Большим преимуществом алгоритма является возможность «конвейерной» обработки проекционных измерений. Применяя известные схемы распараллеливания счета, можно подвергать обработке уже 'имеющиеся проекционные данные, не дожидаясь окончания скани- рования по углам. Заметим, что в алгоритме фурье-синтеза это сделать крайне затруднительно хотя бы потому что для интерполяции в пространстве фурье-спектров требуются данные обо всех измеренных проекциях. Алгоритм ОПФ удобен при аналоговом восстановлении g(r) с помощью процессоров, реализующих принципы гильберт- оптики [58, 65].'-■

Сильной Стороной ОПФ является его малая чувствительность к интерполяцириным погрешностям; причины этого детально анализируются в обзоре Луитта [2]. Алгоритм легко трансформируется на схему веерной регистрации проекционных данных, не теряя при этом других своих преимуществ.

' Практически полезные выводы о свойствах ОПФ при обработке дискретных данных (конечное число лучей М и ракурсов N) можно получить, вычисляя функцию рассеяния точки (ФРТ) для различных модельных ситуаций. В частности, минимизацию систематических погрешностей при численной аппроксимации интегралов обеспечивает выполнение неравенства [2]:■'

N - 1 > лМ/2.(6.46)

Ряд вопросов анализа и синтеза сверточных алгоритмов будем рассматривать в § 6.4.■ '

Отметим еще, что, располагая набором фильтров, можно подчеркивать либо, Наоборот, ослаблять те или иные детали восстанавливаемого 2D изображения.

Алгоритмы так называемой р-фильтрации (этот жаргонный термин, ведущий начало от ранней работы Бейтса и Питерса [42], по

существу, означает фильтрацию результата обратного проецирования'; см. формулы (5.79), (5.81)) фактически уже рассматривались в связи с применением метода Монте-Карло и локальной регуляризации по А. Н. Тихонову.

Обычно отмечают такие трудности в применении р-фильтрацйи, как повышенные требования к ресурсам компьютера и формулировка корректного критерия «усечения» неограниченно протяженной функции суммарного изображения 6(г) и ее фурье-трансформанты 6(р) (последняя, кроме того, я’вляется не определенной в нуле обобщенной функцией). Во избежание известного паразитного эффекта наложения частот (aliasing) размеры массива спектральных компонентов при дискретном преобразовании должны по крайней мере вдвое превышать размеры массива, соответствующего g(r). Все это существенно снижает эффективность реализации р-фильтрации на ЭВМ. Тем не менее р-фильтрация, особенно в варианте веерной, регистрации- проекционных данных, легко сочетается с возможностями современных оптических процессоров [58].

Алгоритмы, непосредственно использующие формулы инверсии Радона'

В заключение этого параграфа рассмотрим алгоритмы; которые непосредственно базируются на формулах обратного 2£) преобразования Радона, приведенных в § 5.1. Среди многих специалистов по РТ распространено мнение, что такие алгоритмы, хотя и вполне осуществимы с теоретической точки зрения, не выдерживают конкуренции, например, с ART, MENT, фурье-синтезом или ОПФ из-за их неэкономичности. Так, по оценкам [67], времена восстановления одного и того же 2Z? объекта с помощью формул инверсии Радона и фурье-синтеза различаются (не в пользу первых) примерно в 30 раз. Однако если принять во внимание не только быстродействие, но и другие характеристики алгоритма, например возможность получения лучшего качества восстановления при ограниченном числе ракурсов, то оценка роли и значения рассматриваемых здесь алгоритмов может оказаться совсем иной.

Теоретические вопросы построения регуляризующих алгоритмов, опирающихся на формулы инверсии (5.5), (5.8), (5.15), (5.19), (5.20), изучались И. Н. Штейном [68], Н. II. Липатовым [69]. Идея регуляризации [69], основанная на замене искомой функции g(r) ее некоторой сглаженной версией gs(r), развивалась в дальнейшем Шейпом и Крускалом1 [70].

Среди алгоритмов, использующих инверсию Радона и пригодных для реконструкции асимметричных 2D объектов по относительно небольшому числу измеренных проекций, отметим варианты, предложенные в [71—73]. В последние годы американскими [74, 75] и советскими [76—78] исследователями был выполнен ряд практически важных алгоритмических разработок, в которых использование

формул обращения Радона сочеталось с широким применением сглаживающих сплайнов.'

' Укажем более конкретно, как осуществляется процедура регуляризации на примере одной из версий алгоритма, описанной в [76—78] (RICSS-2; Radon Inversion with Cubic Spline Smoothing-2). Исходим из формулы обращения (5.8), преобразуя в ней внутренний интеграл в соответствии с (5.19):

,1 СS/^o + p, ср) df(p0-р,Ф) 1_

п(г, 0 =— 1 dtp I — —^— , (6.4/)

s с v 2л2 J Р L 8Р8Р J

о о

Ро = —х sin ф + у cos ф.■

Во внутреннем интеграле интегрирование с обобщенной функцией (1/р) выполняется путем обхода особенности в нуле. Радиус обхода 1] = 10-4го, гДе <о — радиус окружности, описывающей объект, подбирался в процессе численного эксперимента. Далее регуляризация задачи производится с помощью сглаживающих кубических сплайнов, согласованных с уровнем погрешности экспериментальных данных (подробнее см. [14], гл. 9, § 3). Наконец, обратное проецирование выполняется с применением бикубических сплайнов по переменным ро и ф. .■

В работе [77] сопоставляются по ряду характерных свойств несколько модификаций алгоритмов, в основе которых лежат те или иные формулы инверсии Радона. Для этих модификаций удается найти аналитические оценки дисперсии решения 2D задачи реконструкции, выяснить зависимость погрешности восстановления от числа проекций и т. п. Любопытно, что упомянутый алгоритм RICSS-2 позволяет неплохо идентифицировать простые объекты (например, пару гауссиан) даже при регистрации через 60° всего трех проекций, а кроме того, восстанавливать распределение g(r) не во всем сечении.-а лишь в некоторой его части с соответствующим «сгущением» сётки.

В связи со сказанным отметим еще упоминавшуюся в гл. 5 работу [79], в которой рассматриваются особенности восстановления 2D функции, заданной в квадрате, по малому числу направлений. В основе алгоритма лежит формула обращения С. Г. Гиндикина (5.21). В качестве тестовых авторы выбирали характеристические функции кругов, используя 4, 8 и 12 равноотстоящих по углу направлений. В численном эксперименте были получены приемлемые результаты реконструкции. Возможности такого алгоритма следует изучить подробнее.

В приведенном в этом й предыдущем параграфах перечне алгоритмов решения двумерных задач РТ не были затронуты разнообразные гибридные и комбинированные варианты восстановления изображений, а также более сложные постановки задачи, методы интерпретации проекционных данных, получаемых при веерном сканировании и в ограниченном секторе угловых направлений, специальные приемы мультиплексной томографии и т.п. Тем не менее общий вывод, который может быть сделан из всего сказанного, сводится к сле-

дующему: практически каждый из упомянутых алгоритмов имеет свои положительные качества (а также и слабые стороны), проявляющиеся обычно в той или иной конкретной ситуации, Поэтому было бы неверным отдать безусловное предпочтение какому-то одному или двум из них, объявив остальные неэффективными и не заслуживающими дальнейшего развития. В газовой динамике и физике плазмы исключительное разнообразие экспериментальных постановок задач РТ выдвигает на первый план и различные требования к алгоритмам.

■ § 6.3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ

ТЕСТИРОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ

Важной стороной деятельности специалистов, разрабатывающих и совершенствующих алгоритмы РТ, является тщательная проверка предлагаемых новых вариантов на стандратных, унифицированных тест-объектах (гетерогенных фантомах). Фартом может быть как чисто аналитическим (скажем, набор из нескольких гауссиан или функций, имитирующих разрывы), так и выполненным в виде физического объекта, с которым Ставится не только вычислительный, но и, реальный томографический эксперимент. Так, в работах Г. Г. Левина с сотрудниками [80, 81] для имитации светорассеяния в неоднородной среде служили диски с 10 фиксированными рассеивающими центрами, многогранные плексигласовые призмы, освещаемые с торца лазерными пучками разной интенсивности, и т. п. Б рентгеновской и у-томографии получили известность фантомы Кормака и Чо [82—84].

- На рис. 6.2, а изображено сечение простейшего фантома Кормака; в данном случае компоненты фантома изготовляются из алюминия (заштрихованные области) и люсита (незаштрихованная внутренняя часть круга). Отношение коэффициентов поглощения алюминия и люсита для просвечивающих у-лучей, испускаемых изотопами eoNi или в0Со, равно примерно 3, что в известной степени имитирует ситуацию, имеющую место при эмиссионной рентгенодиагностике опухоли головного мозга: алюминию ставятся в соответствие кости черепа и пораженные участки, люситу — здоровый мозг. На рис. 6.2, б—г сплошными линиями изображены зависимости коэффициента поглощения от радиальной координаты, измеряемой по направлениям ОД, ОВ и ОС. Ширина пучка а предполагается конечной, а сечение пучка — прямоугольным. ' '

Результаты реального эксперимента, выполненного с описанным фантомом еще в 1963 г. Кормаком и Хеннажем, обрабатывались в дальнейшем авторами с помощью алгоритма, основанного на полиномиальных разложениях (5.25), (5.30). Бралось 25 проекций, составленных из 19 луч-сумм; погрешность регистрации была порядка 1%. Штриховой линией на рисунке изображен типичный результат восстановления. При математическом воспроизведении той же задачи с моделированием по замкнутому циклу — расчет луч-сумм и проекций, ввод в данные случайной ошибки, процедура реконструкции— получаются результаты, мало отличающиеся от приводимых на

оА ВоА ВРис. 6.3. Фантом Кормака и типичные результаты его реконструкции в трех сечениях: по линиям ОД, ОВ и ОС. Значения плотности в относительных единицах. На рис. 6 — г по сравнению с а масштаб по оси абцисс увеличен [82].Рис. 6.3. Фантом Кормака и типичные результаты его реконструкции в трех сечениях: по линиям ОД, ОВ и ОС. Значения плотности в относительных единицах. На рис. 6 — г по сравнению с а масштаб по оси абцисс увеличен [82].

оА В

оА В

Рис. 6.3. Фантом Кормака и типичные результаты его реконструкции в трех сечениях: по линиям ОД, ОВ и ОС. Значения плотности в относительных единицах. На рис. 6 — г по сравнению с а масштаб по оси абцисс увеличен [82].

Рис. 6.3. Фантом Кормака и типичные результаты его реконструкции в трех сечениях: по линиям ОД, ОВ и ОС. Значения плотности в относительных единицах. На рис. 6 — г по сравнению с а масштаб по оси абцисс увеличен [82].

рис. 6.2. Второстепенную роль до определенных пределов играет учет ширины пучка. При этом можно, конечно, использовать разные алгорит

мы восстановления и сопоставлять их друг с другом по различным характеристикам. Результаты проведенных авторами расчетов показывают, что можно добиться существенного улучшения качества реконструкции, привлекая дополнительную априорную информацию о структуре фантома: знакоположительность функции, наличие разрывов производных [85] и т. п., т. е. применяя так называемую дескриптивную регуляризацию [14]. Как уже отмечалось, такого рода регуляризацию удобнее всего реализовать в рамках итерационных алгоритмов (ART, SIRT, MENT и др.), а также решая задачу РТ методом Монте-Карло.

§ 6.4. ПОГРЕШНОСТИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ, СЛУЧАЙНЫЕ ОШИБКИ

И ВОПРОСЫ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ )

Выбор того или иного алгоритма 2Z) реконструкции из числа описанных тесно связан с возможностью предварительной оценки точности восстановления изображения. Если такого рода оценка осуществима и достаточно содержательна, то в рамках той или иной общей расчетной схемы (например, MENT, фурье-синтеза, послойного расщепления, обратного проецирования с фильтрацией и т. п.) может быть поставлен вопрос не только об анализе, но и о синтезе алгоритма, обладающего заданными точностными характеристиками.

Точность томографического алгоритма определяется суммой неизбежно присутствующих систематических и случайных погрешностей измерения проекционных данных. Поскольку, в зависимости от конкретной постановки эксперимента РТ и применяемой аппаратуры систематические ошибки могут быть самыми разнообразными, какой-либо общей теории их учета построить невозможно. Тем не менее в томографии можно выделить по крайней мере два источника систематических ошибок. Во-первых, неидеальность обработки проекционных данных (погрешности сглаживания, интерполяции, численного дифференцирования и т. п.): во-вторых, наличие конечного числа ракурсов, а также луч-сумм, измеренных в одной проекции. Первый фактор обусловливает искажение (заглаживание) «тонкой» структуры объекта^ второй — появление ложных структур (артефактов) в восстановленном изображении. В совокупности с влиянием случайных данных (причем нередко со значительным усилением по абсолютной величине), оба фактора определяют в основном разре- решающую способность алгоритма.

Упомянутые систематические ошибки, обязанные в первую очередь дискретизации по углу <р (конечное число проекций), целесообразно учитывать, вводя уже неоднократно использовавшуюся функцию рассеяния точки (ФРТ). Упрощенный варинт такого учета изложен в [2]. Далее будет описан более общий подход к той же задаче, дополненный, кроме того, введением в расчет характеристик случайных погрешностей измерений проекционных данных.

Будем ориентироваться на алгоритмы, в которых для случая параллельной лучевой геометрии непосредственно используются формулы инверсии Радона, а также на алгоритмы сверточного типа. Допустим прежде всего, что. проекционные данные Др, ср) измерены точно для любых значений р; дискретизацию но углу <р введем позже. Будем исходить из формулы (5.16), записывая ее в несколько ином виде и заменяя-употреблявшуюся ранее пространственную частоту р угловой, т. е. домноженной на 2л

g(r)= ^<Др J К(р', п) ехр (2.тгр'р) dp' оL-°°2Л г оо-|g(r)= ^<Др J К(р', п) ехр (2.тгр'р) dp' оL-°°2Л г оо-|= ^Г J ^ J ^ (Р, n) exp (фр) dp О 1-0■= ^Г J ^ J ^ (Р, n) exp (фр) dp О 1-0■р = 2лр'.р = 2лр'.(6.48)(6.48)Р=Г'ПР=Г'П

g(r)= ^<Др J К(р', п) ехр (2.тгр'р) dp' оL-°°

2Л г оо-|

g(r)= ^<Др J К(р', п) ехр (2.тгр'р) dp' оL-°°

2Л г оо-|

= ^Г J ^ J ^ (Р, n) exp (фр) dp О 1-0■

= ^Г J ^ J ^ (Р, n) exp (фр) dp О 1-0■

р = 2лр'.

р = 2лр'.

(6.48)

(6.48)

Р=Г'П

Р=Г'П

При этом функцию 2Цр, н) определим формулой .7С(р, я) = р(Др, п)шо(р), .При этом функцию 2Цр, н) определим формулой .7С(р, я) = р(Др, п)шо(р), .

При этом функцию 2Цр, н) определим формулой .7С(р, я) = р(Др, п)шо(р), .

При этом функцию 2Цр, н) определим формулой .7С(р, я) = р(Др, п)шо(р), .

(6.49)

где в силу смены пределов интегрирования сделана замена |р| -> р и введен дополнительный множитель ша(р), играющий роль обобщенной функции окна; в (5.16) ш$(р) = 1. В дальнейшем под ша(р) понимается некоторая вводимая в задачу частотная характеристика фильтра проекций, причем а — это параметр (или группа парамс-

тров), варьируя который, можно менять точность обработки массива проекционных данных. Таким образом, определяя структуру 2D объекта в декартовой системе координат, <можно записать

^(ж, У) = G(P, ф)юа(р)ехр[ф(жсо8ф + у sin ф)] р^рйф. (6.50)

О о

Для перехода к ФРТ, обозначаемой далее как Аа(х, у), достаточно принять, что исследуемый объект есть дельта-функция Дирака, т. е.

g^, У) = 6(ж — Жо, У — Уо).(6.51)

Фурье-образом для (6.51) будет обычная экспонента, т. е.

2Л оо

^а (ж, У) = ^-J J wa (р) exp {ip [(ж — z0) cos ф + (у —Уо) sin <р] pcZpcZtp = О о

= ^2 J wa (р) рйр J exp [ ipl cos (ф — у)] с?ф. (6.52)

.оо

где обозначено: , .

I = [(ж — Хо)2 + (у — Уо)2Г/г, 1 = arctg {(у — уву(х — ^в)^

Замечая, что внутренний интеграл в (6.52) есть 2лУ0(р^) (А — функция Бесселя нулевого порядка), получим следующее компактное выражение для ФРТ:

Ла(1, Y)-^a) = 2^J^a(p)pA(P§)^p.(6.53)

о

Круговой симметрии объекта относительно точки (ж0, у0) соответству- - ет и круговая симметрия ФРТ. Заметим также, что

'Л^) = ЯоМр)/4л21,(6.53а)

где HQ — оператор преобразования Ханкеля нулевого порядка.

Пусть теперь N — конечное число проекций. Тогда для реализации процедуры обратного проецирования приходится использовать ту или ийую квадратурную формулу. Найдем выражение для ФРТ, соответствующее формула трапеций в предположении равного шага по углу ф: Аф = фл^ — ф, = n/N. Вместо (6.52) запишем

'N ”"

Лцм^, У) = тт2 I wa(p)pexp[ipgcos(<pj — у)]с?р. (6.54) 2л а

.3 0

С помощью известного разложения

exp [ iz cos ф] = 2 ^А (z) ехР К^Ф)

находим

(6.55)(6.55)ЛсЛ & у)=^ © + ^ 2 (- w™cos ^^н А^к ®,

(6.55)

(6.55)

^2Кк © = J ^а (р) рЛлл (Ps) dp = H2Nh [ша (р)/2л], о

причем Ла(§)< вычисляется по формуле (6.53) или (6.53а), a H1Nh — оператор преобразования Ханкеля. порядка 2Л7с.

Таким образом, переход к конечному числу проекций N существенно изменяет характер ФРТ. Во-первых, у функции появляются периодические по углу у (с периодом л/Nk, к = 1, 2, 3, ...) слагаемые, так что ФРТ принимает одинаковые значения на «спицах колеса» .с центром (,г0, ?/о). Во-вторых, при £ —>- р величины |Л2№1(£)р в отличие от (6.53) могут не стремиться к нулю асимптотически, что ведет к появлению удаленных отточки (:с0, у0) «лепестков» ФРТ. Этот факт хорошо виден на рис. 6.3, где изображены сечения ФРТ: А^,6(£, 0) и ЛаД2(?, 0), нормированные по центральному максимуму на единицу. ,--

Выбирая некоторую частоту среза рю, перепишем выражение для -Агкк^ в виде■

■Ро

Ака (I) = j Wa (р) I р I /Ш (р?) dp.(б-56)

о■’

Очевидно, выбор р0 следует производить с таким расчетом, чтобы в (6.55) роль члена Ла(£) по сравнению с суммой всех остальных была определяющей. При этом в (6.53) интегрировать нужно также лишь до значения частоты среза р0. Как показывает анализ поведения функций Бесселя больших порядков, значения этих функций пренебрежимо малы по сравнению с первым максимумом, если

'р^<2(Ж-1),(6.57)

откуда следует, что величина критического радиуса §0 связана с частотой среза р0 своего рода «соотношением неопределенностей»:

§0 = 2(W - 1)/ро.■(6.58)

Отметим, что приводивщаяся ранее оценочная формула для минимизации систематических погрешностей в алгоритме ОПФ (6.46) соответствует случаю, когда вычисленная по (6.58) величина ?в превышает диаметр кругового носителя объекта ^(г).

Как на практике можно увеличить критический радиус g0? Согласно (6.58) этого можно добиться либо увеличением числа проекций N (ср. рис. 6.3, а и б), либо уменьшением частоты среза р0. Последнее, однако, сопряжено с подавлением информативных высо- - кочастотных компонентов проекционных данных,, что обусловливает ухудшение контраста изображения и заглаживание тонких структурных деталей.

Рис. 6.3. Сечения ФРТ ^„,6(Е, 0) (а) иЛа12(£, 0) (^), нормированные по центральному пику. Виден различный характер формирования удаленных «лепестков». '

Существует еще один способ снижения уровня артефактов (а также случайной погрешности восстановления изображения). Он связан с такой конкретизацией характеристик зависящего от параметра а фильтра wa(p), при которой достигается компромиссный выбор между шириной ФЕТ, интенсивностью удаленных «лепестков» и некоторой величиной, описывающей случайные погрешности восстановления. Следуя обычной схеме, используемой в теории йзмерительг ных систем (см.,, например, [86, 871), введем в рассмотрение такие три характеристики ФРТ:‘

их — ширину ФРТ на уровне 0,4 от максимума

^ = 2 min {5: А„Я 0)/Л„л(0, 0) = 0,4};(6.59)

и2 — эквивалентную ширину ФРТ в

^ = 2 j | Aa,N (£, 0) I d^Aa,N (0, 0)(6.60)

(здесь R — радиус области, внутри которой восстанавливается функция g^;■-

и3 — относительную амплитуду удаленного «лепестка» (фона ФРТ), измеряемую на расстоянии = R,

,«з = 2О18|ЛдМо,л(О,О).(6.61)

Ширина ФРТ их определяет минимальный размер «тонкой» структуры объекта, которая может сохраниться на томограмме. Однако величиной их определяется лишь необходимое, но не достаточное условие различимости элементов этой «тонкой» структуры в полученном 2D изображении. Последнее, очевидно, связано со значениями двух других характеристик ФРТ: w2 и м3. Кроме того, при

анализе и синтезе алгоритмов РТ следует принимать в расчет величину случайной ошибки восстановления, в простейшем случае характеризуемой дисперсией

и4 = f Гт| ^^ (р)<б-62>

ion N

где Гл(р) — спектральная плотность шума измерения проекционных данных.

Здесь уместно обратить внимание на возможность более общего подхода к описанию .случайных погрешностей томографического эксперимента. В процессе измерения дискретных значений проекционных данных получается величина

. ' fmiPt, Фа) = fi.Pt, ф;) + т)(Ры Фт),(6.63)

i = 1, 2, ..., и, / = 1, 2, ..., N.■

При этом с достаточной степенью общности можно считать, что:

шум измерения ц(р;, cpj) имеет нулевое среднее, дисперсию

oj и не коррелирован по углу ср;

как и ранее, для реализации оператора обратного проецирования используется квадратурная формула трапеций с равным шагом но углу: Аф = л/Л";

шаг дискретизации внутри проекции одинаков и равен h.

Сделав эти допущения, можно показать, что корреляционная функция Qp случайной 2D величины Ра(ж, у) зависит от разности аргументов и выражается формулой

я

Qt (^ — ха,У1— У^ = -^у 2 ®₽ [^i— ?^ cos +

+ (У1 — Уз) sin Ф,, ф;],-(6.64)

где q^ip, фу) — корреляционная функция, относящаяся к проекции fmip, фу) и находимая по формуле

Ч»(Р, Ф;) = ^ J Гч(р’ ^^«(Р’ ф;) Рг exp (ipp) dp. (6.65)

Спектральная плотность шума Г^(р, ф;) в силу предположения (а) (некоррелированный шум) может вырождаться в о). Пренебрегая угловой зависимостью функции окна ша и вводя расстояние между двумя точками на томограмме

112 = 1(^1 — ^гУ + (У1 — У^У^я получим вместо (6.64)

f г..(рМ(р)р^М12№(6.66)

ion Л

Тогда дисперсии и4 соответствует равенство

и4 = <?р(0)..,(6.67)

Рассмотрим теперь задачу синтеза томографического алгоритма. Отметим сразу, что она по своей сути противоречива. В самом деле, меняя параметры алгоритма, например частоту среза р0, можно уменьшить дисперсию и размеры удаленного «лепестка» ФРТ, но это повлечет за сорой рост ширины ФРТ ut и заглаживание «тонкой» структуры 2D объекта. Поэтому параметры алгоритма целесообразно выбирать на основе вариационной постановки задачи РТ, сформулированной в терминах точностных характеристик, зависящих от параметра (группы параметров) а.

Наиболее естественной и физически очевидной представляется постановка вариационных задач следующих двух типов: обеспечить

В качелиВ качели■■ и3 (а) ^ Пз,

В качели

В качели

inf Mj (а) при ограничениях 1(6.68)

а' . .м4(сс)^и";

U1 № ^ Ub ' infu4(a) при ограничениях(6.68а)

а,«з (“)<“»•'

е иллюстрации рассмотрим пример анализа и синтеза

2D алгоритма РТ, основанного на непосредственном использовании формулы инверсии Радона (см. и. 6.2.6).

Ранее уже отмечались трудности, связанные с неустойчивостью операции дифференцирования и последующим вычислениемщреобра- зования Гильберта от производной 3f(p, ^'др (5.11). В описанном в работе [88] алгоритме, позволяющем в определенной степени устранить эти трудности, используется аппарат сглаживающих кубических сплайнов [87, 89]. По проекционным данным )m(Pi, Ф^Г содержащим случайную погрешность (6.63), при фиксированном угле фу строится сглаживающий сплайн 5п,а(р), используемый далее для вычисления производной. Параметр сглаживания выбирается различными способами в зависимости от априорной информации о шумовой составляющей р(рг, фу) [87]. Главное значение внутреннего интеграла (преобразование Гильберта) однозначно выражается через коэффициенты сглаживающего сплайна. В этом случае численную реализацию формулы обращения можно представить в виде '

(6.69)(6.69)ga (х, у) =2 ^j^ ( U cos фу 4- у sin — р)-1

(6.69)

(6.69)

. 2лvар

где К, — коэффициенты используемой квадратурной формулы (для формулы трапеций К, — А<р). .

Сглаживающие свойства сплайна определяются характеристиками фильтра ша(р). Подробный анализ спектральных параметров сглаживающих сплайнов дан в работе [90]; здесь мы укажем лишь окончательное выражение для функции zva(p), используемой при конкретизации Sn^p), которое получается в случае одинакового шага

дискретизации h внутри проекции и равенства весовых множителей bt = b (с = 1, 2, .... п) сглаживающего сплайна:

(6.70)(6.70), . h /sin (ph/2) \а / ■1 — cos ph

(6.70)

(6.70)

•рй/2 у ( ^ + Х2 cos ph + хз cos 2p/i

где Xj = h/3 + Зссй/Л2, Z2 = h№ — 4a.b№, ?.3 = abihr. Меняя параметр сглаживания .а, можно варьировать ширину полосы пропускания для данного сплайна (граничную частоту среза р0), Устремляя а к нулю, получим частотную характеристику интерполяционного сплайна:.

(6.71)(6.71), ,1 [sinph)2\a( 1—cos ph

(6.71)

(6.71)

" (^ \W / 11/3+ (1/6) cos ph

Заметим, что применение даже интерполяционного сплайна при обработке проекций вносит искажения в область частот р > л/к. Это обстоятельство, с одной стороны, обусловливает наименьшее при, заданном шаге h, 'значение ширины ФРТ иъ а с другой — для получения высокого разрешения требует выбора соответствующего значения h при. дискретизации отсчетов внутри проекции.

Для иллюстрации сказанного был проделан следующий вычислительный эксперимент. В качестве объекта g(x, у) бралась сумма трех гауссиан (см. (771, модель № 1); на рис. 6.4 показано сечение gU, 0) объекта. Число направлений наблюдения N = 12, радиус области восстановления R = 1, шаг дискретизации h = 0,1. Кроме того, считалось, что дисперсия шума измерения al = 1. Это позволяло трактовать параметр м4 как коэффициент передачи шумовой составляющей в получаемое изображение. На рис. 6.5 показаны зависимости величин пх — м4 от параметра а; по аналогии с [91, 92] их можно

Рис. 6.4. Сечения ?(г, 0) и ga($, 0) объекта, состоящего из трех.Рис. 6.4. Сечения ?(г, 0) и ga($, 0) объекта, состоящего из трех...гауссиан.■...гауссиан.■.

Рис. 6.4. Сечения ?(г, 0) и ga($, 0) объекта, состоящего из трех.

Рис. 6.4. Сечения ?(г, 0) и ga($, 0) объекта, состоящего из трех.

..гауссиан.■.

..гауссиан.■.

Сплошная линия — точное решение; штриховая — результат восстановле-ния: а — а = 0,14 (вариационная задача (6.68); б — а = 0,03 (вариацион-ная задача (6.68а)).

Рис. 6.5. Оперативные характеристики алгоритма обращения преобразования Радона.

1 — «t, 2 — иа> 3 — ttat 4 — и4,

назвать оперативными (паспортными) характеристиками комплекса: томограф + алгоритм. .

Пусть параметр а находится из решения вариационной задачи, постановка которой соответствует (6.68), где «з = — 25, и® = 1, Из поведе

ния оперативных характеристик (см. рис. 6.5) видно, что решение данной задачи существует, единственно и дает av =0,14, при котором н1 = 0,2, и2 = 0,255, ц3 = —28, u4 = 1 (активное ограничение). Соответствующее сечение ga($, 0) показано на рис. 6.4, а. Видно, что в восстановленном изображении правая гауссиана, характерный размер которой равнялся ~0,15, оказалась заглаженной.

• Найдем теперь параметр и из решения задачи (6.69) при значе

ниях и® — 0,15, и® = —25. Легко убедиться, что при этом единственное значение ы2 = 0,03 и ему соответствуют параметры: и4 = 0,15 (активное ограничение), и2 = 0,23, и3 = —25,3, м4 = 3,2. В сечении объекта g^c, 0), изображенном на рис. 6.4, б, все три гауссианы выражены отчетливо. Однако следует иметь в виду, что повышение разрешающей способности алгоритма достигнуто ценой ухудшения отношения сигнал/шум на томограмме (коэффициент передачи дисперсии равен 3,2), и если бы объект содержал дополнительные структурные элементы с малой амплитудой, то они могли бы «раствориться» в случайном фоне томограммы. Поэтому исследователь исходя из имеющейся у него априорной информации об объекте должен строить алгоритм РТ с точностными характеристиками, фактически диктуемыми физическим содержанием задачи.

Уместно еще сделать несколько замечаний о роли погрешности, связанной с дискретным шагом h и обусловленной известным эффектом «перекачки» высокочастотных составляющих спектра непрерывного сигнала в 'низкочастотную область сигнала, представляемого как совокупность конечного числа отсчетов. Отметим, что в англоязычной литературе к указанному классу артефактов обычно относят термин «aliasing». .

Пусть интервал частот, на котором осуществляется фильтрация проекций, равен [О, рл], где, как и ранее, рд = n'h, риг = Pt + + h. Если /D(p, фу) — фурье-образ дискретизованной проекции КРь фЛ, а /(р, фу) фурье-образ той же проекции при непрерывно меняющемся параметре р, то эти функции связаны между собой лег

ко проверяемым соотношением

(6.72)(6.72)/о(р, фу) = 2 7(р + 2ЛрЛ, фу),к——со

(6.72)

(6.72)

из которого следует, что равенство fD к j возможно лишь при выпол* нении условия

7(р, Ф;) = 0 при |р| > ph. '(6.73)

Если же это условие нарушено, то формально можно записать 7d(P. Фу) = 7(Р, фу) + Фн(Р, фу),(6.74)

интерпретируя слагаемое '

фо (Р, Фj) = 2 17(Р + 2^рЛ1 ф,) + /(Р — 2*рл, ф,)](6.75)

.й=1- /

как фурье-образ ошибки дискретизации внутри проекции. Конечно, спектральная плотность шума Г^р, ф,), входившая ранее в выражение корреляционной функции (6.65), и величина

Гд(р, Фу) = |фл(Р- Ф;)Р

— ато совершенно различные метрологические характеристики (Гр, например, зависит от структуры восстанавливаемого объекта). Тем не менее с точки зрения задач синтеза алгоритмов РТ, полезно ввести с рассмотрение аналог дисперсии (6.62) для погрешности дискретизации, определяемый формулой-'

J Го (р, фу) Wa (р, ф,) рУр ,(6.76)J Го (р, фу) Wa (р, ф,) рУр ,(6.76)'1 N

J Го (р, фу) Wa (р, ф,) рУр ,(6.76)

J Го (р, фу) Wa (р, ф,) рУр ,(6.76)

“51бл2№ ^

где сохраняется зависимость параметра и5 от числа проекций N. Если исследователь располагает априорной информацией о фурье- образа'х проекций, использование дополнительных ограничений на иа может оказаться важным при выборе шага дискретизации 1г в процессе синтеза алгоритма.

В . заключение отметим, что рассмотренный в этом параграфе подход к анализу погрешностей и вопросам синтеза томографических алгоритмов не является единственно возможным. Упомянем здесь, в частности, интересную работу Р. Найленда [93], в которой предложен способ отыскания конечного числа «инвариантов» (моментных характеристик объекта), свободных от искажающих влияний, вызванных дискретизацией угловых отсчетов. Показано, что для N проекций при равномерном угловом разбиении имеется ровно N2 таких инвариантов. Сочетая такой расчет, например, с использованием метода максимума энтропии MENT, можно производить реконструкцию 2D объекта, как бы сводя на нет роль погрешностей дискретизации, т. е. оперируя имеющейся проекционной информацией в максимально «очищенном» виде.-.

Нужно, однако, не забывать по крайней мере о двух обстоятельствах. Во-первых, процедура получения полного набора «инвариантных» величин сопряжена с рядом трудностей, так что исследователю зачастую приходится довольствоваться неполным набором. Во-вторых, реконструкция объекта только на основе проекционных

данных, свободных от погрешностей дискретизации по углу наблюдения, отнюдь не обязательно должна быть признана оптимальной, поскольку утрата полезной информации от других данных, не привлекаемых для расчета томограммы по причине их некоторой «засоренности» систематическими ошибками, может быть весьма существенной. Все эти вопросы до конца не изучены.

АЛГОРИТМ РЕКОНСТРУКЦИИ 2D ОБЪЕКТА, СОДЕРЖАЩЕГО НЕПРОЗРАЧНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

Как уже неоднократно отмечалось, для диагностики газовых потоков и плазмы важно рассмотреть такую ситуацию, когда проекционные данные оказываются неполными из-за наличия вну-* три объекта непрозрачных зон, препятствующих прохождению излучения. При этом возникает задача с недоопределенной информацией, не имеющая точного решения. Однако вполне правомерно строить оценки искомого 2D распределения ^(г) в той части области, которая свободна от посторонних экранирующих включений.

В одномерных постановках, рассматривавшихся в гл. 2 и 3, решение указанной задачи часто оказывается довольно простым и очевидным. Это следует, в частности, из условий выполнимости упоминавшейся выше теоремы о пустой подобласти (hole theorem) и относится прежде всего к случаям круговых и эллиптических изолиний; предполагается, что граничный контур непрозрачной зоны — также окружность или эллипс. Напомним, кроме того, о применимости теоремы к 2D случаю инверсии на основе преобразования Кормака (5.30).

Алгоритмические разработки, относящиеся к двумерным задачам с учетом возможной экранировки части луч-сумм, осуществлялись многими авторами (см., например, [94—98]). В этих алгоритмах используется ряд характерных допущений: границей тела, как правило считается окружность, начало координат совмещается с ее центром и т. п. При такого рода подходах к задаче довольно естественно также применение метода послойного расщепления (п. 6.2.2). Фактически развитием этого метода является предложенная в [99 ] схема разложения искомого решения по базисным функциям, носителями которых являются концентрические кольца. Иной базис рассмотрен в работах [100, 101].

Предлагаемый далее алгоритм ртличается от упомянутых в нескольких отношениях. Томографическая постановка основана на использовании обычного (т. е. неэкспоненциального) преобразования Радона. Расположение непрозрачного включения в пределах финитного носителя искомого 2D распределения g(r) может быть произвольным. Возможна любая, но заранее известная выпуклая граница включения независимо от условий гладкости контура (например, треугольник, прямоугольник и т. д.). Наконец, допустимо различное число включений внутри рассматриваемой области.

169169Схематично геометрия задачи представлена на рис. 6.6. Изображено два включения: круглое (7) и квадратное (2), а также показана

169

169

12 в. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский

Рис. G.6." Схема - томографирова- ния объекта с двумя непрозрачными включениями. -

одна из проекций f^p) с двумя «провалами», соответствующими затененным участкам. Подобная ситуация реализуется, например, при интерферометрических исследованиях обтекания газовым потоком непрозрачных моделей. Каждой точке вне включений

, ■ (скажем, Р) отвечают определенные области потери информации; на рисунке они заштрихованы. Для разных точек на томограмме эти области индивидуальны, при

чем для точек, расположенных непосредственно на границе включе

ния, угол при вершине двумерного «конуса потерь» возрастает до л.

. Из-за указанного дефицита информации задача реконетрукции 2D изображения существенно усложняется: ее приходится формулировать как задачу поиска оценки решения, близкого к точному в той или иной норме. На простых примерах (осесимметричных объектах) принципы решения подобных недоопределённых задач рассматривались авторами в работе [102], а также в [14].

Довольно эффективен следующий итерационный алгоритм, основанный на идее замены непрозрачного включения прозрачным, а также улучшения сходимости процесса последовательных приближений за счет знакоположительное™ решения либо априорного указания нижней границы отрицательных значений решения. Структура

алгоритма такова. ■

Шаг 1. Производится сглаживание экспериментально измеренных проекционных данных кубическими сплайнами и формируются дополненные проекции путем интерполяции данных в затененные области с помощью тех же сплайнов.

Шаг 2. По совокупности дополненных проекций восстанавливается 20 объект gW (р) в первом приближении. - -

Шаг 3. Корректируется решение g(1)(r) на основе имеющейся априорной информации, в том числе выполняется процедура искусственного «просветления» включений. '

Шаг 4. По скорректированному на предыдущем шаге изображению при помощи прямого преобразования Радона вычисляется новый массив проекционных данных. , ■

. Ш а г 5. Там, где это возможно, т. е. в областях, не перекрытых включениями, вычисленные проекционные данные вновь заменяются измеренными и осуществляется повторная процедура сглаживания таких комбинированных проекций.

Шаг 6. Делается заключение по критерию прекращения итерационного процесса (останова), например, с помощью нормы невязки по измеренным проекционным данным либо нормы взаимного отклонения двух последних томограмм и т. п. Если выбранный критерий не удовлетворяется, следует возврат к шагу 2, '

6

, Рис. 6.7. Реконструкция неоднородного 2D объекта g(x, у), содержащего в центральной области осесимметричное непрозрачное включение (положение включения указано штрих', пунктирными линиями).

Сплошные линии — исходный объект? штриховые — результат восстановления (после 5 итераций,) Сечения: а — g(x, 0), б — g(0, у).

Некоторые результаты применения описанного алгоритма показаны на рис. 6.7. Здесь изображены два центральных сечения g(x, 0) и g(0, у) двумерного объекта g^x, у), представлявшего собой смещенную относительно начала координат гауссиану, которая нормирована на единицу в максимуме. Непрозрачным включением был круг радиусом 0,15 с центром в начале координат. В процессе «просветления» включение заменялось константой, равной 0,25. На томограмме выбирался растр 41X 41; уровень «шума» в проекционных данных считался равным 5%; число ракурсов N=7. Шаг 2 в итерационном процессе реализовался на основе алгоритма реконструкции ES-1, описанного в [77]. Погрешность восстановления оказалась порядка 10%. Оценки по нескольким модельным экспериментам показали, что если, сравнить погрешность восстановления gf1)^) в первой итерации с погрешностью после 10—15 итераций, то последняя^ как правило, ниже первой в 2—3 раза.

' Отметим в заключение, что возможна модификации алгоритма, например, с использованием экспоненциального преобразования Радона.

Г ла в а 7.-.-

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ

Как отмечалось в предисловии, за рамками основного текста оставлен' ряд важных классов задач РТ, интенсивно изучаемых в последнее время: задачи линейной многомерной (3D и выше) томографии, а также весьма широкая проблема с не совсем ясно очер-

чепными границами, которая несколько условно обозначается термином «дифракционная томография». К ней часто относят разнообразные постановки томографических задач, в которых приходится оперировать криволинейными траекториями лучей. Когда форма этих траекторий заранее не известна, то даже в самых упрощенных подходах, опирающихся на приближение геометрической оптики, задача РТ становится нелинейной.

В газовой динамике и физике плазмы приложения упомянутой рафинированной теории пока немногочисленны: экспериментаторы еще лишь нащупывают пути перехода к более высокому и технически сложному уровню подобных исследований. Сказанное может служить . известным оправданием тому предпочтению, которое было отдано выше линейным 2D задачам и задачам с относительно жесткими априорными ограничениями. Тем не менее в заключительной небольшой главе авторы сочли полезным хотя бы в очень сжатом виде коснуться важнейших современных проблем линейной 3D томографии, чтобы читатель смог составить представление о тех более широких возможностях локальной диагностики неоднородных объектов, которые при этом открываются.■

7.1. РЕКОНСТРУКЦИЯ ТРЕХМЕРНОГО ОБЪЕКТА ПО 2D ПРОЕКЦИЯМ'

Пусть положение точки внутри объекта определяется трехмерным радиус-вектором г, а орт m фиксирует направление некоторой прямой, проходящей через точку г. Очевидный и в то же, время практически важный частный случай восстановления структуры 3D объекта ^(г) — это так называемое коаксиальное проецирование [1, 2], когда при нахождении проекций все направления берутся перпендикулярными некоторой фиксированной оси, т. е. объект либо детекторы поворачиваются вокруг этой оси или она будет осью симметрии. Ясно, что при этом трехмерная задача РТ сводится к набору уже знакомых нам двумерных задач: объект g(r) восстанавливается по 2D проекциям, тривиально расщепляющимся на одномерные, и представляется совокупностью взаимно параллельных 2D сечений (слоев).

Ярким примером применения коаксиального проецирования является динамический пространственный реконструктор [3], позволяющий за время At ~ 10' 2 с осуществить одновременное сканирование большого числа тонких параллельных поперечных сечений 3D объекта с частотой повторения до 60 Гц. Для медицинских целей (сердце, легкие, кровеносные сосуды и т. п.) бралось до 240 слоев толщиной 0,45 мм с шагом 0,9 мм. Известны и другие системы быстрого послойного сканирования (см., например, [4]), которые интересны также с точки зрения некоторых физических и технических приложений.

При коаксиальном проецировании в каждом выделенном сечении образом точки (ФРТ) служит 2D функция |г — г0|-1, которая

при конечном числе ракурсов N превращается в «звезду». Если лучи, образующие двумерную проекцию, идут параллельно оси z, то

(7.1)(7.1)fa (ж, у) = jg (х, у, z) dz.

(7.1)

(7.1)

Теорема о центральном сечении в этом случае приобретает вид

СОООСО

^2 (/2(2, У)} = j* dx j* dy J g(x, y, z)exp[ — 2ni(ux + vy^dz =

= ^з (g (ж, у, z)}„=0 = G (u, v, 0),(7.2)

где p = (u, v, w) — 2D вектор пространственных частот.

Легко представить себе далее, что, осуществляя проецирование по различным телесным углам, например, в пределах полусферы, можно извлекать о структуре функции ^(г) более богатую информацию. Если находить ФРТ способом, рассмотренным в гл. 5, то нужно определить суммарное изображение для 2D проекций вида

/2(2, У) = 6 И б (у),(7.3)

где предполагается, что совершен необходимый поворот декартовой системы координат, причем при переходе в сферическую систему отсчета г = (г, 9, ф) выполняются соотношения•

.’ж — г sin 9 cos ср,

у — г sin 0 sin <р,(7.4)

dQ = sin 9 й0йф.

Таким образом, вместо (5.65) нужно записать

Ь6 (г) = J j6 ^х, у) dQ = ^ dtp J 6 (г sin 9 cos9) 6 (г sin 6 sin ф) sin 9<Z0. (2Л)00

Учитывая наличие сингулярностей 6-функции 6(r sin 0 cos ф) при ф = л/2, Зл/2, воспользуемся выражением

(г sin 9 cos ф) = -^^Ц^,(7.5)

Другая 6-функция в обеих сингулярных точках есть б(г sin 0), поэтому

Л/2

i«(r)„2j'sine^5*d9-A(7.6)

..о

Следовательно, при бесконечно большом числе ракурсов N в качестве ФРТ для произвольной исходной точки г0 справедливо выражение |г — г0|~2; при конечном N «звезда» коаксиального проецирования переходит в пространственного «ежа».

Когда направления проецирования занимают на единичной сфере ракурсов Гш некоторую область (например, полусферу (2л) или

ее часть), то выражение для 2D проекции удобно записать в виде

fa (Ч) = J g (г + ms) ds,, (7.7)

где *

q = г — m(r-m)(7.8)

есть двумерный вектор, перпендикулярный орту т. Следуя выкладкам, приводимым в [5, 6], можно получить формулу линейной 3D инверсии по двумерным проекционным данным /2(q), относящимся к заполненной полусфере:

g(r)=7T-^т. Л ^*<7'9)

4я (/«)4 |q-qi

Здесь внутреннее интегрирование распространяется по всей плоскости Sm, проходящей через начало координат и ортогональной вектору ш, Дискретная версия формулы обращения (7.9) приводится в [71...

Тот же результат можно выразить в несколько иной форме. Определим для полусферы суммарное изображение'

b^=^f^q)dtim(7.10)

2Л.

и с учетом (7.6) представим его в виде тройной свертки:

Ь(г) = g(r)***|r|-2.(7.11)

Рассматривая (7.11) как интегральное уравнение для нахождения g(r), 'запишем его решение

g(r) = —(2л)-2А2[Ь(г)***|т|~2].(7.12)

Эквивалентность (7.9) и (7.12) устанавливается без труда [5,6].

В работе С. С. Орлова [5] выявлены условия полноты набора 2D проекций и исследован важный частный случай, когда объект обладает точечной группой симметрии, т. е. функция ^(г) инвариантна относительно операторов преобразования атой группы. Нужно иметь в виду, что для корректности процедуры 3D реконструкции функции ^(г) необходимо и достаточно, чтобы замкнутая область Гш на сфере ракурсов имела общие точки с любой окружностью большого круга. Подчеркнем в связи с этим, что интегрирование по всей полусфере, осуществляемое в формулах (7.9) или (7.10)—(7.12), является операцией с избыточной информацией. Более общая ситуация, когда ракурсы сосредоточены лишь в некоторой части полусферы, рассматривалась в работе Ра н Чо [8]..

Математический аппарат линейной 3D томографии, опирающейся на регистрацию 2D проекций, развивался в применении к задачам физики высокотемпературной плазмы, а также пространственной диагностики пучков частиц в ускорительных системах. Так, группа исследователей из Лос-Аламосской лаборатории (США) [9]

изучала степень однородности сжатия мйкромишени в процессе имплозии с помощью СО2-лазера. В этой работе использовалась система из четырех камер-обскур, причем в основе обработки данных эксперимента лежало выражение для 2D проекции типа (7.7). Расчет осуществлялся с помощью метода MENT в сочетании с циклической итерационной процедурой Гаусса—Зайделя (подробности см. в [10], гл. 10, § 6). Задача реконструкции в дальнейшем была усложнена вследствие увеличения размерности на единицу [11]: соответствующий алгоритм 40 томографии был применен для получения поперечного изображения пучка отрицательных ионов водорода Н~ в усеченном фазовом пространстве.

Авторы в составе большого коллектива исследователей [12] занимались обработкой данных и реконструкцией 3D изображений лазерной плазмы, изучавшейся методами интерферометрии, а также с помощью рентгеновских обскурограмм. В данном случае основой линейной части задачи являлся алгоритм 2D фильтрации проекций (с их предварительным сглаживанием сплайнами), непосредственно опирающийся на формулу обращения (7.9), Кроме того, в интерферометрической части задачи учитывалось отклонение траекторий лучей от прямолинейных; с этой целью строился оператор, как бы имитирующий эффект обращения волнового фронта на регистрирующем экране. '

Можно было бы упомянуть еще интересные алгоритмические разработки [13—15], ориентированные в основном на позитронную томографию, но имеющие более широкую сферу приложений. Отметим здесь простой и полезный результат, приводимый в [13]. Применим к выражению (7.11) 3D преобразование Фурье: ■

Е3{6 (г)} = F3 {g (г)»**| г Г2} = ?з fe (г)} • F3 [ | г Г2} = F3 (g(г)}/1 р|,

. ' (7.13)

где, как и выше, р — трехмерный вектор пространственных частот,- |р| = р. Отсюда . ' ' 1 ■

. g^ = F3X [pf3{6(r)}] = F^ (p}*»*b(r) = 6(r)»**[c/r4] (7,14)

(c — константа). Если при p > po можно положить E3{b(r)} = 0, то сингулярности четвертого порядка устраняются и соответствующий фильтр не имеет того резкого отрицательного выброса, который появляется в аналогичной схеме 1D фильтрации. Он близок по своим характеристикам к фильтру, разработанному в [16] для 2D задачи РТ.

§ 7.2. РЕКОНСТРУКЦИЯ ТРЕХМЕРНОГО ОБЪЕКТА ПО iD ПРОЕКЦИЯМ _ .

Рассмотрим теперь более широко известный и чаще упоминаемый в литературе случай линейной 3D томографии, который непосредственно следует из общей 77-мерной теории инверсии Радона (размерность п — нечетная; формулы (4.45),.(4.52)) и основан на вос-

становлении трехмерного изображения по набору одномерных (плоскостных) проекций. Введем орт п, нормальный к некоторой плоскости, и кратчайшее расстояние р от этой плоскости до начала координат; при этом уравнение плоскости есть

р = гп.(7.15)

Одномерная проекция в отличие от (7.7) выражается в виде ■

А(Р)= А(Р) == J^(r)6(P —r-n)d3rr p = p-n. (7.16)

Таким образом, проекционные данные выступают здесь как результат интегрирования- не по отдельным лучам, а по всей плоскости (7.15).

■ Переходя к декартовой системе координат, запишем формулировку теоремы о центральном сечении для этого случая:

ОО00ОО.

^1 (А А)} = J dx j* dy J g (x, y, z) exp (— 2n,iux') dz = — DO— ОО —OO

= ^3 и А> У' z)}»=w=o = G Ai 0, 0),(7.17)

где использованы те же обозначения, что и в (7.2). Разумеется, если ось ж не является нормалью к плоскостям интегрирования, всегда легко прийти к (7.17) с помощью поворота системы координат.

По аналогии с предыдущими рассуждениями нетрудно вывести и формулу для ФРТ. Вместо (7.3) следует взять •

Л6 А) = 6 А),.1(7.18)

что после перехода в сферическую систему координат дает 1

Л/22 Л '

■Ь6(г\= J sin 9d9 J 6 (г cos 6) dtp = n/r,(7.19)

оо

Таким образом, выражение ФРТ в виде |г — г0|-1 совпадает по форме с двумерным случаем, однако нельзя забывать о том, что вектор г — трехмерный и для передаточной функции теперь получится

.7’3(л/г) = р-2(7.20)

(напомним, что в 2D задаче передаточная функция равнялась р-1).

Формула инверсии, прямо следующая из (4.45), имеет вид

^) = - A v2 Га (r.n) d^= - А У<7-21)

411 А4Л (2Л) эр

Вместо (7.10) для суммарного изображения запишем

,Ж = МА} = J А(г-п)&(7.22)

(2Л-)

Тогда аналогом сверточного выражения (7.11) будет

i>(r) = ng(r)***|r А1;.(7.23)

а для формулы обращения получается

g(r) = --^V25(r).(7.24)

Важным следствием из этих соотношений, имеющим самостоятельное значение (в частности, и в задачах физики плазмы), является выражение для 3D обратного оператора Лапласа:

=(7.25)

Подчеркнем, что в отличие от (7.25) для 2D обратного оператора Лапласа имеет место связь:

^2 = -^/А[111Ы*1й2-(7.26)

Свойства локальности, обсуждавшиеся в гл. 4, проявляются при четных и нечетных размерностях задачи РТ не только в различии ф^м операторных связей (7.25) и (7.26), но и в том, что в 3D случае величина |г — г0|-1 есть одновременно ФРТ задачи томографии и функция Грипа для уравнения Пуассона теории потенциала. В 2D случае ФРТ [г— г0|-1 и пуассоновская функция Грина — 21и|г— г0| не совпадают друг с другом [17, 18].

Во многих трехмерных задачах РТ целесообразно бывает устранить асимметрию между прямым (7.16) и обратным (7.21) 3D преобразованиями Радона. Способ симметризации для таких задач предложил Барретт [19], который ввел в рассмотрение так называемый базис двойного слоя или дипольного листа. Идею такой симметризации легко понять, переписав (7.21) в виде

1 Г 6" (р — т-п)

g (г) = 7?з1 {А (Р)} = - J А (р)—1 азР.(7.27)

где штрихами обозначена вторая производная от 6-функции'Дирака, Ясно, что если воспользоваться базисом

ф(р, г) = г8'(р — г-п)/2лр,(7.28)

где I — мнимая единица, то вместо (7.16) и (7.21) можно будет записать

Ad (р) = D<g (г)} = J g (г) ф (р, г) d®r,(7.29)

g (г) = D-1 (fw (р)} = J /ю (р) ф* (р, г) а^р, (7.30)

причем символом (*) обозначена операция комплексного сопряжения.

Укажем на важный частный случай сферически-симметричного объекта g(r\ Из (7.29) сразу находим

Ао(р) = ^ J^W^pJ 6'(р-т-п) <К2 --ig(p),(7.31)

04Д

откуда следует, что сферически-симметричная функция есть собственная функция оператора дипольного листа D и, кроме того:

= J7'32)

Эту элементарно простую, не содержащую операции обратного проецирования формулу инверсии, конечно, можно получить и как следствие обычного преобразования Радона [17].

В каких, случаях экспериментальные данные снимаются в виде одномерных проекций /Др) в соответствии с (7.16)? Во-первых, известны специальные рентгеновские, электронно- и ионно-пучковые, а также у-детекторы (щелевые коллиматоры), интегрирующие прошедшее излучение не вдоль луча, а по плоскому участку, причем некоторые типы таких детекторов уже находят применение в диагностике плазмы (см., например, [20] и цитируемую там литературу). Есть все основания ожидать в ближайшее время их непосредственного использования при решении трехмерных задач РТ.

Во-вторых, ID проекционные данные естественным образом возникают и регистрируются в импульсных методах ЯМР-интроскоции с фурье-преобразованием сложного сигнала . свободной индукции [21]. При этом орт п, фигурирующий в-теории, определяет направление линейного градиента магнитного поля \/Вх, а роль сканера по скалярному параметру р играет фурье-анализатор интегрального сигнала, обязанного ларморовой прецессии макроскопической ядер- ной намагниченности М. Конкретные алгоритмы реконструкции 3D ЯМР-изображений описаны, например, в [22, 23]. Мы не рассматриваем этой интересной и весьма перспективной для медико-биологических приложений проблемы более детально, поскольку ЯМР-ин- троскопия фактически еще не проникла в газовую динамику и физику плазмы. Правда, уже и сегодня ЯМР-методы могут дать немало полезной информации при исследованиях твердотельной плазмы, в особенности полупроводниковой [21, 24]. -

В-третьих, на преобразовании одномерных проекций строится широкий класс задач 3D спектротомографии в пространстве скоростей (v) или импульсов (q). Именно такие задачи представляют для газовой динамики и физики плазмы первостепенный интерес. Приведем типичные примеры.

Кинси [25] предложил метод восстановления локальной функции распределения (ФР) частиц потока газа по компонентам вектора скорости gk (vx, vy, kz) в заданном внутреннем состоянии к. Регистрируется спектр флуоресценции при частотном сканировании лазером в пределах доплеровского профиля линии поглощения. При этом меняются полярный и азимутальный углы падения лазерного луча в заданную область пространства (т. е. фактически вектор п), что сравнительно просто осуществляется с помощью волоконной оптики. В результате проекцией /L(p) = /Др, п) является доплеровский профиль линии, причем р = kMD, где X — длина волны, a AvD — доплеровский сдвиг. Таким образом, исходным оказывается уравне-

ние Радона (7.16), записываемое в виде

Л (XAvd, n) = J gk (v) 6 (XAvD — v -n) d?v. (7.33)

Оценки показывают, что этот перспективный метод томографической кинетики обеспечивает разрешение по скорости порядка —0,5— 5 м/с и дает спектроскопический «выигрыш Фельжетта» [26] около 3-104. По-видимому, можно считать реальным использование в этом методе широких лазерных пучков, что, в принципе, способно дать пространственное распределение скоростных ФР. Осуществление подобного эксперимента (конечно, достаточно сложного в техническом отношении) соответствовало бы уже не 37), а 67) томографии в фазовом пространстве. _

Сходную в принципиальном плане постановку 37) задачи спект- ротомографии еще раньше предложили Вильямсон и Кларк [27]. Однако в данном случае объектом исследования является уже не поток газа, а высокотемпературная плазма, причем регистрируется спектр томсоновского рассеяния. Усложнения в теории метода возникают из-за необходимости учета релятивистских эффектов в поперечном сечении рассеяния. В работе отмечается, что основные детали структуры асимметричной ФР электронов по трем компонентам вектора скорости v улавливаются уже при четырехракурсной съемке спектра.

С. П. Толпиной и одним из автором в [28] теоретически исследовались постановки 37) задач спектротомографии в пространстве импульсов т] на основе комптоновского рассеяния. Спектроскопия комптоновского рассеяния стала приобретать в последние годы все более важную роль в радиационной газовой динамике [29], астрофизике, физике твердого тела, атомной и молекулярной физике и т. д. (см. обзор ГЗО]). Смысл одной из простейших постановок упомянутых задач можно пояснить следующим образом. Пусть связанные электроны, рассеивающие рентгеновские кванты, имеют некоторое распределение по импульсам т] (напомним, что в традиционной элементарной трактовке комптон-эффекта исходный электрон считается неподвижным). Из законов сохранения энергии и импульса в элементарном акте рассеяния следует, что энергия, теряемая (либо приобретаемая) фотоном: . -

ЛЕ ~ ^- (Е2 + £q — 2ЕЕо cos 9 — 2Яс2т) • Ак) ~

Е2\ t

|(1 —сонб) Ац-Ак, ЛЕ-^тс2. . (7.34)

Здесь 9 — угол рассеяния, Ак = к — к0 — разность волновых векторов фотона при рассеянии, остальные обозначения — общепринятые (см., например, [31]). Тогда поток рассеянного излучения, соответствующий разности энергий ЛЕ, определится формулой

I (ЛЕ) = const J|i]’(t[)]26 ЛЕ — (ЛЕе) + ^-тр Ak с/3ц, (7.35)

где

(ЛЕо) = ^(l — cos 9)/mc2, a ф(ц) — волновая функция связанного электрона в импульсном представлении (т. е. 3D фурье-образ обычной ф-функции, записанной в координатном представлении). Но (7.35) совпадает по смыслу с одномерной проекцией (7.16), и поэтому с помощью комптоновской спектротомографии можно извлекать важную квантово-механическую информацию о характеристиках рассеивающей среды.

Остановимся еще на некоторых особенностях процедуры восстановления 3D функции по одномерным проекциям, важных с точки зрения построения конкретных алгоритмов РТ..

Благодаря простой и локальной по характеру, формуле реконструкции (7.24) возрастает роль алгоритмов, в которых на первом этапе обработки проекционных данных получается суммарное изображение' Ь(г). Эквивалентом формуле (7.24) может служить выражение для g(r) в виде тройной свертки t>(r) и некоторой фильтрующей функции ^(г):

g(r) = t>(r)**»A.1(r),(7.36)

Фильтр %/г) нетрудно найти из следующих соображений [32]. В силу зависимости передаточной функции (7.20) от модуля пространственной частоты можно выразить 3D фурье-образ искомого фильтра в форме /

ЛДр) = Я{Мг)} = 2лр2ш(р),(7.37)

где ш(р) — аподизирующая функция (функция окна), а множитель 2л выделен из соображений нормировки. Тогда

Хх (г) = Fg1 (Ах (р)} = 8л2 [ p4m (р) sine (2rp) dp. (7.38) _ о

Если выбрать «идеальное» частотное окно w^ = 1, то

Мг) = ~ Jp’sin (2лрг) dp = ^-^,(7.39)

о

где штрихами обозначена третья производная от одномерной дельтафункции Дирака. Следовательно, при расчете тройной свертки (7.36) фильтрация осуществляется лишь в одном из трех интегралов. Разумеется, при обработке реального эксперимента условие н’(р) = 1 выполняться не должно, так что вид фильтра Хх(г) окажется более сложным.

Таким образом, представляют существенный практический интерес обобщения методов построения регуляризирующих операторов, близких к оптимальному, на многомерные интегральные уравнения 1-го рода типа свертки [33]. При этом для перенесения теоретических результатов исследования локальной регуляризации с од-/ номерного случая на многомерный достаточно воспользоваться аналогом понятия кусочной непрерывности функций регуляризаторов

нескольких переменных. Заметим, что локальная регуляризация может применяться не только к формуле обращения (7.36), по и к (7.12), соответствующей реконструкции структуры объекта по 2D проекциям. '

Среди других, пожалуй, уместно выделить алгоритм фурье-синтеза, возможность обобщения которого с двумерных задач РТ на трехмерные в принципиальном отношении достаточно очевидна [28, 34]. Из теоремы о центральном сечении (7.17) ясно, что конструирование полного 3D фурье-образа функции g^r) было бы реальным, если бы ось и в р-пространстве меняла свое положение, заполняя полусферу ракурсов. В методах РТ, связанных с регистрацией спектральных характеристик рассеянного излучения, это соответствует вариациям угла рассеяния. Проблема интерполяции трансформанты G(p) и возникающих при этом погрешностей стоит здесь еще значительно острее, чем в случае 2D томографии (см. п. 6.2.4), однако развитие техники регуляризации позволяет надеяться на создание вполне приемлемых алгоритмов. По аналогий с (6.41) сглаженную версию фурье-образа Ga(u, v, w) можно вычислять по формуле

Са(м, v, w) = G(u, v, и?)Са(м, v, w) = G(u, v, и?)г1 + a 2 Ьл(и2 + к2 + w^h fe=0г1 + a 2 Ьл(и2 + к2 + w^h fe=0(7.40)(7.40)

Са(м, v, w) = G(u, v, и?)

Са(м, v, w) = G(u, v, и?)

г

1 + a 2 Ьл(и2 + к2 + w^h fe=0

г

1 + a 2 Ьл(и2 + к2 + w^h fe=0

(7.40)

(7.40)

где все обозначения те же, что и в~и. 6.2.4, а величины v и w зависят от угла рассеяния. . .

В заключение коснемся еще одного практически полезного трехмерного алгоритма, в котором удается осуществить резкое сокращение числа обрабатываемых проекций АО?) за счет использования свойств симметрии объекта [28, 34, 361. ’ -

Если объект обладает точечной группой симметрии Р, то, согласно [5], из этой группы добавлением центра инверсии можно сконструировать группу симметрии направлений (ракурсов) 2D проекций /2(q). Она является аналогом широко используемого в задачах кристаллографии класса Лауэ, соответствующего группе Р [351. Если Ак — операторы преобразования данной группы (к = 1, 2,... ..., /с0), то нетрудно показать, что полусферу ракурсов можно разбить на к0 независимых областей Г„щ, которые преобразуются друг в друга при воздействии Ак: 1

. V&=r&r (7.41)

причем в Гдт нет точек, связанных между собой преобразованиями симметрии Ah. ' ■

■ Аналогичные рассуждения о принадлежности классу Лауэ удается провести и в том случае, когда регистрируются 1D проект ции А(/>). Это легко понять, если перейти в 3D пространство, частот и вновь воспользоваться результатом теоремы о центральном сечении (7.17).

Учитывая (7.41), введем две ортогональные координатные системы: ка = (та, уа, za), связанную с объектом реконструкции, и к = = (ж, у, з), связанную через одну из осей (например, г) с проекцион-

ным ортам п. Совмещение систем ка и к достигается операцией поворота на углы Эйлера (а, р, у), причем 0 и а — суть полярный и азимутальный углы оси z по отношению к ка (предполагаем, что ось z совпадает с вектором рассеярия), а углом у определяется поворот объекта как целого относительно вектора рассеяния. Пусть далее В1 (а, р, у) обозначает (2Z + 1)-мерную матрицу вращения, переводящую систему кв ZcQ; 0 и ср — полярный и азимутальный углы в системе к.

Разложим g(r) по сферическим гармоникам Stxi пользуясь тем,; что для точечной группы вращения Рп [35]

■ Szv = 2«imv2^(«,P,^^(7.42)

Подставим это выражение в (7.16), опустим для краткости при записи проекции индекс «1» и проинтегрируем по азимутальному углу ср

/р,а (р) = 2л 2 2 aimvRmo (а, Р, 0) Г glv (г) У® (9, 0) rdr. (7.43) Zv mО

Перейдем в (7.43) от частной формы матрицы вращения В^ к шаровой функции У™, а от частного вида шаровой функции У? — к полиному Лежандра Pt

Rmo («* Р, 0) = [4л/(2/ + 1)]1/4УГ (Р, а), „,(-7.44)

У® (9, 0) = [(2Z-|-l)/4n]1/2.P; (cos 9).41

После этих преобразований, задача расщепляется на две части:

Ум (р) = 2л 2 5IV (р, а) к„ (р), .(7.45)

"zv -,

^ZV (р) = J glv (г) Pl (p/r) rar. .(7.46)

|р|

(7.47)(7.47)Если в результате измерений получено / проекционных данных /р,а (р), а в разложении (7.45) оставлено f членов, то процедуру перехода от /ро к к№ можно представить в операторной форме

(7.47)

(7.47)

2лл = L- - l(s+s)-s+/, Г</.

При этом вторая из формул (7.47) соответствует обычному методу наименьших квадратов Гаусса, при необходимости регуляризуемому по А. Н. Тихонову. .

После того как набор значений hlv(p) найден, остается решить 1Z) уравнение (7.46) для glv(r) и записать окончательное решение 3D задачи: -

g (г) = 2 2 «zmvgzv (Г) У? (<»). (7.48) lv m

Здесь орт о» определяет направление вектора г в системе ка1 а индекс

v нумерует неприводимые представления для каждого конкретного значения I. Заметим, что вывод выражения (7.48) можно было бы осуществить более коротким, хотя и более формализованным путем, используя общий метод инверсии с привлечением преобразования Ге- генбауэра (гл. 4,-п. 4.2.3). Однако при этом труднее было бы усмотреть роль связи групповых (лауэвских) свойств объекта и проекционных данных. '

Применяя при решении интегрального уравнения (7.46) преобразование Фурье — Ханкеля, находим

(7.49)(7.49)

(7.49)

(7.49)

Легко видеть, что при I = 0 второй и третий члены в квадратных скобках (7.49) обращаются в нуль, т. е. задача вырождается в сфери- чески-симметричную, решение которой уже приводилось выше (см. (7.32)); из (7.47) и (7.49) оно следует непосредственно. Таким образом, второй и третий члены в (7.49) при I =^ 0 дают вклад в g;v(r), обязанный асимметрии задачи. Особенность решения при г-> О является легко устранимой; как показано в [36], для Z ^ О

Jim g№ (г) = - -^.^^ h<^ (0) г1..(7.50)

При Z = 0 ■-

'lim^o (г) = — ^' (0).(7.51)

Вопросы, связанные с программным обеспечением алгоритмов 30 реконструкции по одномерным проекциям (в том числе с учетом определенных, свойств симметрии объекта) в применении ^главным образом к проблемам электрон-позитронной аннигиляции и комптоновского рассеяния, довольно подробно рассмотрены в работах Мий- нарендса [36, 37]. Ряд более свежих публикаций на эту тему цитируется в обзоре Купера [30],

Приложение 1>

ПОКАЗАТЕЛЬ КОРРЕКТНОСТИ И ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА 1-го РОДА ТИПА СВЕРТКИ

Б § 2.2 было приведено решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода типа свертки (2.50) в виде

g (т) = ^ 6 (т - 0 Рт (^) / (0 at,(П.1.1)

где А: ^ п, 6 = £_1(1/0(р)), Pw ^) — полиномиальный дифференциальный оператор, 0(р) — функция степенного роста q = т — г, носитель 7?+ — выпуклый острый конус. В этом приложении во избежание. загромождения записи операторы не помечаются знаком (Д),: как в основном тексте. Напомним, что, по определению, конусом в Rh с вершиной в точке 0 называют такое множество Г, что из факта,■ f е Г следует Xf е Г VX > 0. Возможность записи решения в форме (П.1.1) связана, очевидно, с выделением из лаплас-трансформанты ядра К(р) полиномиальной части..

Рассмотрим интегро-дифференциальный оператор с ядром типа потенциала

СФ = КпРтФ = J К (г - у) Рт ^ Ф (у) ау, (П.1.2)

К^ = Г^ %(<), где у—достаточно гладкая функция и у(0) 5^ 0.

Для векторов из R+ введем норму | т | = У, т, и определим показатель 3=1

корректности оператора К™ в виде.

Р (К„) = п + | пй | — | «-| — | т\,(П.1.3)

где

Pi (А”) = 1 + noi — «„г — т;,

_ (— Pi, Hi < о,_ |0, Р;<0,

' ”oi = I 0, Pi > 0,“ (pi, Pi > о, .

т. е. По, и» — порядок нуля либо полюса в Ув(ж)-шаре с центром, принадлежащим ребру х = у:

V6^=\y;\x-y\^Y(ПЛ.4)

В этом случае L — отображение оператора К™ — характеризуется следующей асимптотикой при р->оо:

L (КпРт) ~ р~^\(П.1.5)

причем

Р^"1) = -ГО-(П.1.6)

Поясним смысл показателя корректности Р(Я). Под множеством корректности оператора S понимается такое банахово пространство, в норме которого оператор S-1, обратный к S, является ограниченным. Возникает вопрос: можно ли, зная свойства ядра уравнения в У€(а:)-шаре, определить локальные свойства правой части из условия ограниченности решения (П.1.1) в норме С°(Я”). Оказывается, для этого достаточно, чтобы'

феС№)№).(П.1.7)

При дробном р (П.1.7) понимается как промежуточный класс

С[Р1 с= С9 с: С[9+1],(ПЛ.8)

I /к (^(1)) - 4₽il W к с | х^ - х^ г, о > р -1р],

т. е. Д(#(1)) — f(xti ха, ..., х^\ ..., х^; [pi—целая часть р. [р]-я производная удовлетворяет условию Гёльдера с показателем {Р — — (Р1} — мантиссой р.

Доказательство данного утверждения несложно и основано на понижении порядка дифференциального полинома по координате уг интегрированием по частям (ц; < О, «0 — m = const) и последующем использовании леммы С. Л. Соболева о вполне непрерывных интегральных операторах с ядром типа потенциала *\ " При дробных р применяется следующее тождество:

J ^-R^ — ^dy= У yf-^(^ —y)[/i (у) —/(у)]^ +

+ j KUx-yAfi^-П^ау,(П.1.9)

где.-

/{(//) = КУи Ун . • -, «и . . ■, УпУ 'Ki^—y^K^i — yv -и х^ ..., хп— уп).

185185*) Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализам математической физике.— Л., 1951.

185

185

13 в. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский

24 г 2^4 ,, ■ z^zsooj J^^

0

[^^ figp

4ip № Ф h +"^ — ^э\^

0

й^4^^Лгч8]т

0

/^(^Ф^-^ДВКОО^ ^-V —

Reж 4 г и

Rp Фе (^ —^)”4гчд.) i ,0

ф»+^

7 У

г е

т

г

i

г

zpzuisj IV/D

0

9tti lRp (^) Ф (^ — a:) S'

0

/гр (^) ф (/г — ж) т)Д_ uis j*

0

Up (^) ф (^ — ж) » Bsoo j

Rp W Ф (^ — j.) юд_ j soo J

. 0

Rp № Ф (R — ®) ® soo ^

0

Rp (R) Ф (R — ^ ® ujs j"

s/iK-v^ + Z)]

а/»-3^/8-<1'» ^Д d^V + Ed

d/ii-3z/\-d 224

g^±/ d

» + d

И

s

■ e

г

ФТ_Я

(8d ‘’d)_я ‘(^Я

(я)5

*8

СО |м т< |«1СО |n

J (Z — y)v Zv (a (z — у)) Ф (y) dy, о

- 1/2 < y< 1/2

J (® — уУ1^ Zv (2 У« (z — у)) Ф (y) dy о

— 1 < V < 1

J 0е — у1)^2 (ж — у + P) v/2 Zv [a {(я— — у)2 + P — у)}1/21 Ф (y) dy

C expj-a^y)} ф ^ dy

J y$ — у

1 С Г COS {л У (г — g) (у — Т1)}х 2л J J -у^ _щу — т])

оо

X Ф (ё, т]) d№

J J arctg д/"^ _-| Ф (ё, Т]) с/У н £ о о

l+2v

(2°У, 1\

(/л\^ /

X (p2 - a2)-v-1/=

cos nv (Z — у')-'11 Ja (z — y))^—2 — a2| Ф(у^У 0

1+v

aV/8p-v-le«/p

p д2ф

J (я — У) V/2Z_V {2 У a (ж — у)} -^ dy

1-i-v

ex v(p2 — а2)1^аХ Xe-v aECh p/«x у „plp-lp^a3)1/2)

2

Jx» - УГ^ (- у + X - P)v/2 I_N [a {(» - y)2 - 0

— P (г — p)}1/2] f -^1 — a2) Ф (y) dy

*\dy3/

1

Ул

1 f exp {-la (г - 0} f Э , J ф , , d

2

Ур + a

л J.1/$ — ух^У J

0

X У

1

1 (' (' COS (X У (ж — ё) (у — тр} х 2лУ(Я _ £) (у - п)

Х[^+Ь2]Ф(^ ^^

]/ X2 + ^PiP^

2,5

Л

л \ЭхЭу J J -|/(ж _ у (у - тр 6W

2p2 (?! 4- У рУ^ '

Окончание табл.

1

2

3

4

ос у

лХ '

X у

J j —1?М^У ~ ^ ^ ~ ^Ф^.грД^т] О О

2

1 Г C sin (2Х V (z — g) (у — П)} x nV J Jy-n

0 0

Pl VР1Р2 + ^

х у

1 isln {2ХУ(а_— Шу — Л)1 ф^ п)^П ооw-n

5

"2

1 f 13 f 52 , „ J m

/Р"1(Р1Р2 + Х2)

X Vit j Vx - g 9%T J

J JУТ^л Ф <5’n) '№

0 01

3

a 5Ф । 1 Г 1 д2Ф л

2

VK (Р1 + a ]<^)

"VH 9y Д/л J Уу — Л 9t\9x

I a | < л/4

Г (v/2 + 1)

x у

j j (t- Ш- Jv y2V(x-XKy-^X 0 0

И у v

Pl (Р1Рз + l)V/2+1 ;

^^]|(^-Ю ^J-^w-^ky-v^x 0 0

xL^+i <Wn

1^31]j

x у

2 Д-v

av

J J \pr^) ■M2aV^-^ (у — wx 0 0

^(Plp3 + a2)

К7ГГ (^-B)яЕя-+“ Ф^-У)^

г (1 — v) J ,ax \9Уу j

0

X Ф (g — 4) dXdT\, — 1 < v < 1

С № - У J2V-1 {2 У(Д - В) (У - П)} хУ(* - У (у^п)

хФ (5,1]) rfgcZn> о < v < 1

ОС У

n^xlvi^lili^iilx

ОО"

X /_v {У(*-Ю (у-п)} Ф (5, п) ^Ч

X У еХр f_

Г Г —Ф (g, п) а^ч

J J У(х — I) (у — Т))

г (V)

X у

*Ш+‘Г

/Mv 1

sin л v J J (а 0 0

Х 5 f 4 0g Wn

Ш)

О О

у{2У^ — ^) (у —11)} у

У ^ — У (у — п) 1^ Ф (5, П) d^n

VI/ УГР1Рг(Р1Рг + *)

^v iy^-IXy-n^x

л

х /_v (У (z — У у — п))

хФ$, п) ^^П

4- 4-+1х з^уа^т] /

V р2 Vrp1 + p2

Л J J 1/77

0 0 к '

-1) (у — П)

[^п 3y—t

х4< ^at аг

Ф (|, т]) ^ЭП

2

Формула (ПЛ.9) представляет собой результат регуляризации производной dfldy. В частном случае получается формула регуляризации обратного оператора Абеля:

fЭФ, Г Ф (ж) — Ф fy) Ф (ж) — Ф (0)

J s4» - ’J t.^w4» +■ <плл0>

оО'

Заметим, что операторы Кп, Рт коммутируют на классе функций, обращающихся в нуль при < ^ 0 вместе с производными до порядка р включительно:

Рт (^) J К (ж - у) Ф (у) dy = J' К (я - у) Рт (^) Ф (у) dy. (П.1.11)

Если носитель функций g, / компактен в Я", т. е. ограничен со стороны конуса R+ (множество Л ограничено со стороны конуса Г* если Л с Г + S, где В — некоторый компакт), то решение (П.1.1) также справедливо. В случае, когда функции не обращаются в нуль вместе со своими производными на границе носителя, операторы Кд, Рт на данном классе функций не коммутативны и решением исходного интегрального уравнения Вольтерра служит выражение g И = РЛЙ J 9 (т — г) / ^ dt- (ПЛЛ2)

Приведем в качестве примера уравнение, встречающееся в- спект- ротомографии. оптически плотной плазмы:

ЯФ = j^-y^ch^CaGr-y)1/2)]®^,(П.1.13)

о

Легко найти, что К(р) = (л/р)1''2 ехр (а/p), Рт(р^ = р, Q(p) = = р1/2 exp (dp), р(А) - -р^"1) = 1/2.

Формула обращения имеет вид

А-1Ф = л J (ж — у)”1/2 cos [2 (а (ж — у))1/2] ^dy. (П.1.14) о .

Следовательно, для ограниченности решения (П.1.14) в норме С® достаточно, чтобы•_

[Ф^) — Ф(ж2)| ^ С 1^ — ж2Г, г > 1/2 (ПЛ.15)

В приведенной на стр. 186—191 таблице дан ряд интегральных операторов (как одномерных, так и двумерных), допускающих эффективное обращение описанным методом. В первом столбце указано исходное уравнение КФ, во втором — показатель корректности р(А)е в третьем — лаплас-трансформанта ядра уравнения К(р), в четвертом — формула обращения А-1Ф.

Приложение 2

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ЦЕНТРИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ИЗОЛИНИЙ

Фримен и Кац (см. [64] из гл. 3) предложили несложный аналитический способ оценки погрешности восстановления 2D распределений g^r, 9) (см. (3.74)) при слабом нарушении симметрии концентрических изолиний в условиях, когда положение «центра» системы изолиний задано неточно. Этот способ в той или иной конкретной ситуации допускает разнообразные обобщения, в связи с чем его полезно рассмотреть хотя бы на одном простом примере.

Будем пользоваться обозначениями, введенными в формулах (3.74) и (3.75). Пусть 2D объект обладает осевой симметрией, но центр системы изолиний сдвинут по оси ж из начала координат о точку (^о, У — 0). В этом случае нам достаточно использовать одну х- проекцию, для которой «сдвиговая» погрешность

\х = Цх) - g^c - x»Y(П.2.1)

В соответствии с (3.74) запишем

Цзе) = ^1(г)1г=х + ^[^(г)/г]Р=ж.(П.2.2)

Для асимметричной f^x) и симметричной f^x) частей проекции /(ж) при небольшом сдвиге хй (x0/R -С 1) получим

№) = Vf(x — хй) — Rx + ж0)]/2х = —XoMRxRx) + • ■ •,

/а И = \f^ — хй) + Цх + ж0)]/2 = / (ж) + x^f (ж)/2 + ....

Используя инверсию Абеля (оператор А-1), найдем

gi Н = Я-1 {/ (я)} + (^/2) АГ1 {/" (z)} + ...,gaWr = — ЖоА-1 Ц'(х)/х} + . . .(

что в соответствии с (П.2.2) дает

I (х) = АГ1 {/ (ж)} |Р=Ж — z^A'1 {/' ^х^х) |г-х +

+ (^/2) А"1 V" (^} |г=х + . - - •(П.2.3)

Первый член в (П.2.3) есть, очевидно, g(x), а преобразование следующих членов можно провести так. Положим для простоты, что на границе объекта g(,R) = g'(R) = 0 (это упрощение при необходимости легко устранить). Тогда производя однократное, а затем двукратное интегрирование по частям в прямом преобразовании Абеля

я

/ (х) = Ag (г) = 2 J g (г) (г2 — x^'^rdr,

найдем

/(ж) = — 2 J g'(г) (г2 — Ж2)~1/2с?г,-

R”

/ (ж) = J g" (r) ^r (r2 — ж2)1/2 — ж2 In [~^~—~^—j j dr-

Продифференцировав по x каждое из этих соотношений, получим /'(ж) = хА^'^'т^

& [^1=4я<^<г»-

Выполняя инверсию Абеля, убеждаемся, что

•А-Д/'^Уж} = g'(r)!r,А"Ч№ = gV) + g\r)!r.

Таким образом, возвращаясь к формуле (П.2.3), имеем

1 (ж) = g (ж) — xog' (х) 4- (жо/2) [g" (х) + g' (х)/х] — ....

Поскольку

g^ — ^ = g (ж) — x^g' (z) + (х2й/2) g"^ —

оцениваем погрешность центрирования системы изолиний согласно (П.2.1) простой формулой:

Д (ж) = x»g' (х)/2х,(П 2 4)

A(0) = W/2)g"(0). .

Для достаточно гладких распределений g(r), например суммы парабол (см. [64] из гл. 3)

зз

g (Г) = S «г (1 - Г2)^, / ^ - 2 (1 - Ж2)i=li=l

и сдвига хйШ = 0,1 погрешность центрирования Д(х) во всем интервале изменения 0 ^ ж, г ^ R не превышает 2—3%. Однако в случае более сложных распределений, при наличии у ^(г) резких пиков или провалов, погрешность (П.2.4) может сильно возрасти.

Приложение 3

К ИНВЕРСИИ РАДОНА МЕТОДОМ ПЛОСКИХ ВОЛН

- Установим здесь некоторые соотношения, с помощью которых выводятся формулы nD обращения Радона в методе разложения по плоским волнам (литература указана в конце гл. 4).

Пусть, как и в § 4.2, у($) — непрерывная функция скалярной переменной, а уеД" — фиксированный вектор; у(|'у) как функция § будет плоской волной, и для нее можно записать интеграл по внутренности шара радиуса г, описанного вокруг начала координат. Отметим, что здесь пока еще может не соблюдаться условие HI = 1. На плоскости ^-у = |у| р, отстоящей от начала координат на расстоянии р, имеем у (|у|р), а объем У (п — 1)-мерного пересечения этой плоскости с шаром,; очевидно, равен:.

где ®п — площадь поверхности n-мерной сферы. Отсюда следует,; ЧТО■

J т (I -у) d§ = ^П J О'2 — P2)<n-1)/2Y (| УIР) dp.

Продифференцируем это равенство по г и подставим в результат г = 1; этим будет обеспечена нормировка вектора § (||| = 1), становящегося теперь нР-ортом, который фигурирует в §4.2. Тогда для всякого п ^ 2 будет справедливо тождество

1"

7 Т(^уИ = ^-Л (1~^(П.3.1)

161=1-1

Конкретизируем теперь вид y(s). Если взять y(s) = 1, то получим рекуррентную формулу для сферических гиперповерхностей разной размерности:-'

(0„ = (On-! J. (1 - p^-5^dp = Г [(га — 1)/2] Г (1/2)/Г (п/2),: -1

и при ЭТОМ"

юп = 2л”/2/Г(п/2).(П.3.2)

Полагая y(s) — exp (is), что, очевидно, соответствует обычному фурье-разложению, из (П.3.1) найдем

f exp(is)dl = C4m’nV”Vm(s),(П.3.3)

.151=1'.

где т = (п — 2)/2, c<m-n) = 2т+1л"/2Г((га + 1)/Г(п/2), /т — функция Бесселя индекса т.'~

Перейдем теперь к неэкспоненциальным плоским волнам Y^ (s) = |s|h и у^0 (s) = И”In И, которые представляют собой обобщение выражений (4.39), где к ^ 0. Подстановка в (П.3.1) дает

111=1.

J l^-y l^lnl^-yl^^ C^-^lyl^Inly I + C^’^), (П.3.4)

C^ = 2л(п"1)/2Г [(A + 1)/2]/Г [(n + Л)/2Ь

Вид константы Cg1’1^ для дальнейшего не важен.

Произведем в тождествах (П.3.4) замену у —> z, где z = у — хх умножим каждое из них на g(y) и проинтегрируем по у. Будем считать к таким целым неотрицательным числом, чтобы число (п + к) всегда оказывалось четным. Наконец, к полученным выражениям (га + /с)/2 раз применим оператор Лапласа Дж. Замечая, что

■ Дж]ф = к{к + п-2) |z|*A

после элементарных выкладок получим:

п — нечетные, к = 1, 3, 5, ...

^(х) = апЛДГ&>/2 J ^ У^(у)|^-2|^у,(П.3.5)

. .|Ё|=1

п — четные, к = 0, 2, 4, ....

8^=-^^™ У ^(уНИ^И^У- (П.3.6)

В этих формулах an^ = (2ni)1-n/4k!. Для перехода от (П.3.5) к (4.42) нужно положить к = 1, а для перехода от (П.3.6) к (4.56) — к =0.,

Поясним еще вывод формул (4.43) и (4.59). Преобразуем сначала внутренний интеграл в (4.41) с помощью замены переменных: Р=t—gx

J |р|/(р + Vх, X)d,p =

ооg.X

= J (i-|.x)/(f, ^)dt- J M-xM ^)dt.

S'*-°0

Применяя при воздействии на эти интегралы оператора Лапласа правило дифференцирования Лейбница, находим, что

дЛ? (1-^х)/(1,Д)^- j ^t-Vx)Ht, |)J = 2|-V(t-x, I).

l£-X.-00J

Но поскольку |-| = 1, мы получаем результат (4.43).

Введем для внутреннего интеграла в (4.57) обозначение.

Г(х)= J ln|p|/(p + |-x, %) dp ■

и примем во внимание, что

м (р+^. х, ^=2 ^. / (? + |.х, =133

■ = |^а/(Л 8|^.х = МЖ'Х, I).

Тогда, записав

М(х) = J 1п|р|/»(р + ^-х, ^dpt

совершив замену переменных р = t — |-х и проинтегрировав по частям, получаем искомую формулу

М (х) = - J ар.(П.3.7)

совпадающую с (4.59).

Приложение 4

/ ФОРМУЛЫ ИНВЕРСИИ■

В ЭМИССИОННОЙ ТОМОГРАФИИ С КОЭФФИЦИЕНТОМ ЭКСТИНКЦИИ ц = const

Покажем прежде всего, что при использовании предельного выражения для функции фильтрации ^^(р) (5.90) формула обращения (5.88) является точной [1]. Пусть задача заключается в восстановлении точечного объекта

g6^ = 6(Г - г0).(П.4.1)

Согласно (5.86) получаем'.

?Чр. ^ = ехР l—P^io + ДЖр — г0.п), .

Ты = г0-п .

Найдем предельную форму функции рассеяния точки (ФРТ), подставив это выражение в (5.88) и учитывая (5.87):

2п’

.gi(r) = J exp[p(r —r^n'l^fr —г0)п]Фф. (П.4.2)

.о

Заметим, что к такому же выражению для предельной ФРТ несколько иным путем пришли авторы работы [2], Очевидно, дело сводится далее к сравнению g6(r) и g® (г). Поскольку! как видно из (П.4.2),

^(г) зависит только от разности г — г0, выполнено свойство инва риантности объекта по отношению к сдвигу. Направим поэтому разностный вектор вдоль оси ж (см. рис. 5.3) и запишем

2Л

gi (г) = У exp (pTZsin ф) Чц (Я cos ср) dф,

° R I I<ПЛЗ>

R = | г — г01,

Перейдем далее к фурье-образу ц^ (Я * c°s ф):

2Лоо

^i(r) = У охр (pd? sin ф)йф У Чц (р) exp [2nipR cos ф] dp

и проинтегрируем по углу ф [3]: ал

У exp [ p.R sin ф + 2лгрЯ cos ф] dф = о

= 2л70 \R [(2лр)2 - р2]1/81, (2лр)2 > ц2.(П.4.4)

Подставляя теперь в выражение gi(r) результат (П.4.4) и (5.90), находим

gi (г) = 2л J р/0 (Д [(2лр)2 — p2)1/2j dp = 2л J рц/0 (2лрцД) с/рце Ц/2Ло

(П.4,5)

Ри = Р2 — (р/2л)2.

Полученный результат есть не что иное, как преобразование Хан- келя от постоянной функции, равной единице. Поскольку, с другой стороны, это преобразование является 2Р-фурье-образом осесимметричной функции (2.29), то

^(г) = /(г) = б(г-г0). (П.4,6)

Согласно принципу суперпозиции, любое распределение ^(г) можно представить как совокупность точечных элементов. Поэтому фильтр Чц(р) (5.90) удовлетворяет точной формуле обращения (5.88).

Рассмотрим основные элементы процедуры фильтрации с простейшим видом функции окна (5.106):

(П.4.7)(П.4.7)_ (1, ц/2л<|рКрт,ц Р 10, |р|<р/2л, рт<|р|.

(П.4.7)

(П.4.7)

Таким образом, осуществляется полное «обрезание» высоких и частичное — низких пространственных частот (так называемая рэмп- фильтрация). Действуя на ТРДр) оператором Ханкеля согласно (5.107), найдем ФРТ задачи

Ау, (г) = 2 (р^ — ц2/4л2)1/2г-1/1 [2л (р|, — ц2/4л2) г], ^ 4 8^ Л (г) = 2л (Pm — Р2//1Л'2),

Ji — функция Бесселя. Из этих выражений видно, что реконструкция поля эмиссии становится невозможной, если коэффициент экстинкции р. превысит значение 2лрт. '

Частотный рэмп-фильтр в соответствии с (5.106) имеет вид

(П.4.9)(П.4.9)~ м _ flPl> Н/2л<|Р|<Р™ Пи (Р) - ^ р | < р/2з11 рт < | Р |.

(П.4.9)

(П.4.9)

Для получения функции фильтрации ^Др), используемой в формуле обращения (5.102), необходимо найти XI) фурье-трансформанту для (П.4.9). Имеем

^(р) = 2prn sin С j(2pmp) — pm sine3 (pmp) -

(П.4.10)

Беря для p дискретный ряд значений (р = ...., —2, —1, 0, .1, 2,...) и полагая ц = 0, рт — 1/2, получаем часто применяемый в компьютерной томографии фильтр Рамачандрана — Лакшминараянана [4]

(П.4.11)(П.4.11)1/4,к=0,

(П.4.11)

(П.4.11)

к — четные,к — четные,0,0,Ло V0 = ' — (л^) 2> ^ — нечетные,

к — четные,

к — четные,

0,

0,

Как известно, он дает хорошие результаты восстановления ^(г) в условиях низкой шумовой составляющей сигнала; с ростом случайных погрешностей измерений в областях с резкими изменениями функции р(г) появляются осцилляционные артефакты. .

Аналогичные выкладки можно без труда произвести и для упоминавшегося фильтра Шеина — Логана [5]. В этом случае при р Ф 0 функция окна имеет вид

(sine [(р2 — p2/4n2)1/2/2pm, ц/2л^|рКрт, №,|р|< р/2л, |pj>pm.

Соответствующие выражения для АДг) и цДр) можно найти в [2].

Приложение 5

ПАКЕТ ПРОГРАММ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТОМОГРАФИИ TOPAS ДЛЯ ЗАДАЧ РТ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ ■

Одной из особенностей вычислительного обеспечения сов

ременных томографов является его реализация на спецпроцессорах, либо на мини- и микроЭВМ. Однако при этом пропадает возможность широкой вариации алгоритмами пред- и постобработки, что особен-

но важно в часто меняющихся условиях проведения томографических исследований. Поэтому очевидна необходимость разработок комплексов и пакетов прикладных программ вычислительной томографии, поставленных на универсальных ЭВМ, таких как БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ.

Нами очень сжато описан пакет программ TOPAS, ориентированный на получение томографических Изображений широкого круга объектов как в численном, так и в реальном физическом эксперименте. Разработка этого пакета начата в 1977 г. (первые результаты его применения для плазменной томографии даны в работе [1 ]), и на первых порах он включал в себя алгоритмы двумерной томографии (в том числе инверсию Абеля и алгоритм инверсии Для эллиптических изолиний). . '

Пакет написан на языке ФОРТРАН-IV, используется на ЭВМ БЭСМ-6, работает в настоящее время в рамках ОС ДИСПАК, МС Монитор-80 и транслятора Фортран-ГДР. Комплекс построен на принципах модульного структурного программирования, с момента создания в 1977 г. постоянно совершенствуется и пополняется новыми функциями и возможностями [2—6]. По состоянию на 1.12.85 г. (версия 4.55 У) пакет содержит около 150 модулей, что составляет примерно 16 тысяч операторов.

Модульный анализ задач томографии. При создании проблемноориентированных пакетов важную роль играет модульный анализ [7, 8]. Выполнению такого анализа способствует как наличие текущего программного обеспечения по проблематике (в данном случае — томографии для физических приложений), так и опыт осуществления близких, по сути, разработок [9—12].

Проведение модульного анализа и соответствующее структурирование большого программного комплекса — непростая задача. Возникающие при этом требования зачастую конкурируют между собой и взаимно противоречивы. Примером являются требования легкости модификации пакета, его открытости для пополнения и быстрота счета при реализации того или иного алгоритма РТ. Более того, эксплуатационная эффективность пакета и его конкурентоспособность могут определяться не только тем, насколько широк класс задач, охватываемых пакетом, какие алгоритмы используются при этом и как они реализованы, но и тем, какие сервисные возможности предоставляются пользователю 113].

Следует иметь в виду, что программы, ориентированные в значительной степени на обработку эксперимента, обязательно должны содержать блоки, позволяющие проводить вычислительный эксперимент (ВЭ). Это необходимо для всестороннего анализа характеристик новых алгоритмов, включаемых в пакет, а также для выполнения немаловажного этапа оптимизации томографических установок или проведения реального эксперимента (РЭ). .

Конкретная модульная структура пакета TOPAS складывалась под влиянием специфики математического аппарата РТ (в значительной своей части описанного в данной монографии), а также прикладных интересов авторов в области диагностики газа и плазмы.

Рис. П.5 Л. Упрощенная схема алгоритмов РТ, входящих в пакет TOPAS.

На рис. П.5.1 приведена упрощенная схема алгоритмов РТ, уже реализованных в пакете, либо подготавливаемых к реализации. На рис. П.5.2 показаны основные прикладные задачи томографии газа и плазмы, при решении которых успешно применяется пакет. TOPAS.

Основные стадии решения задачи РТ, очевидно, следующие: построение сеток по угловой и пространственной переменным для проекций; ввод (режим РЭ), либо вычисление (режим ВЭ) соответствующих этим сеткам проекционных данных; расчет двумерной сетки (декартовой либо полярной), на которой необходимо реконструировать томограмму; наконец, непосредственно стадия самой реконструкции.

Архитектура пакета. Перечисленные этапы решения задач РТ реализованы в пакете в соответствующие модули и составляют в нем крупный блок решающих модулей (рис. П.5.3). Полученная в итоге томограмма зачастую является лишь «полуфабрикатом», и необходимо провести ее содержательную физическую интерпретацию (например, перевести в значения температур'плазмы либо концентраций ее компонент или в величины плотности газового потока, его давлений и т. п.).

201201Такая интерпретация, а также некоторая сервисная постобработка томограмм (нулевые и первые моменты решения) осуществ-

201

201

14 n п Пикалов Н. Г. Ппеобпаженский

Струи (теневые методы)Струи (теневые методы)Сверхзвуковое обтекание(интерферометрия)Сверхзвуковое обтекание(интерферометрия)Пламена (тепловидение)Пламена (тепловидение)Дуговая плазма, плазмотрон(спектроскопия)Дуговая плазма, плазмотрон(спектроскопия)Лазерные пучки(рассеяние)Лазерные пучки(рассеяние)

Струи (теневые методы)

Струи (теневые методы)

Сверхзвуковое обтекание(интерферометрия)

Сверхзвуковое обтекание(интерферометрия)

Пламена (тепловидение)

Пламена (тепловидение)

Дуговая плазма, плазмотрон(спектроскопия)

Дуговая плазма, плазмотрон(спектроскопия)

Лазерные пучки(рассеяние)

Лазерные пучки(рассеяние)

Конвекция в газе и жидкости(голографическая интерферо-метрия)

Внутренние течения(акустика)Внутренние течения(акустика)Газовый разряд(оптогальваника)Газовый разряд(оптогальваника)Плазма с инерциальнымудержанием (обскурография)

Внутренние течения(акустика)

Внутренние течения(акустика)

Газовый разряд(оптогальваника)

Газовый разряд(оптогальваника)

Плазма с магнитным удер-жанием (спектроскопия, ин-терферометрия)

Рис. 41.5.2. Основные прикладные задачи томографии газа и плаз-мы, решаемые с помощью пакета TOPAS.

лаются в блоке модулей интерпретации. Наконец, документирование и представление томограмм требуют графики, которую выполняет графопостроительный блок. Последний нуждается в промежуточном хранении цифровых томограмм (впрочем, такое хранение независимо может понадобиться для взаимного сопоставления многих томограмм либо их использования в качестве экспериментальных данных для каких-нибудь сложных газодинамических или магнитно-газодинамических численных исследований). Хранение осуществляется в базе данных (БД), сопровождаемой своим блоком модулей.

Каждый из блоков, естественно, нуждается в управляющей его работой информации: размерность массивов, вид алгоритма РТ, характер работы с БД и т. п. Такие управляющие параметры_вводятся в модулях ввода данных, имеющихся в каждом блоке. Пока такая процедура выполняется в пакетном режиме, хотя было бы удобно разработать диалоговый вариант задания управления. После ввода параметров управления монитор (головная программа) выбирает необходимый граф реализации заданного пользователем алгоритма из большого набора таких графов.

На протяжении всего продолжающегося жизненного цикла пакета многократно вставали проблемы введения в него новых методов решения основных задач РТ, а также его «стыковки» с новыми экспериментаторами-пользователями. В результате решения этих проблем было проведено несколько «глобальных» реконструкций, позволивших привести структуру комплекса в соответствие (максимально близкое на Доступной конфигурации ЭВМ и системных средств) с современными требованиями к надежности, гибкости и изменяемости

ГСИСТЕМА\ДИАГНОСТИКИ1КОНТРОЛЬ И ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ, кОШИБОКJГСИСТЕМА\ДИАГНОСТИКИ1КОНТРОЛЬ И ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ, кОШИБОКJ

ГСИСТЕМА\

ДИАГНОСТИКИ1

КОНТРОЛЬ И ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ, кОШИБОКJ

ГСИСТЕМА\

ДИАГНОСТИКИ1

КОНТРОЛЬ И ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ, кОШИБОКJ

Рис. П.5.3. Архитектура пакета программ вычислительной томографии TOPAS.

больших программных систем, обычно излагаемых в руководствах по структурному программированию {14—17]. Кроме того, постоянное прохождение цепочки от исследования численных особенностей нового алгоритма РТ до его доводки в стадию обработки реального эксперимента сформировало определенную дисциплину работ с пакетом как на стадии использования, так и разработки. -

Образно основные правила такой дисциплины показаны на рис. П.5.3 в виде трех взаимно проникающих систем: диагностики ошибок, самодокументации и самотестирования.

Система диагностики — это тщательная проверка возможно большего числа входных параметров того или иного модуля для обнаружения возможных ошибок пользователя. Предусмотрена возможность автоматического исправления легко устранимых ошибок, например в диапазоне задания некоторых целых управляющих параметров, путем присвоения им средних значений. Разумеется, программа печатает соответствующее диагностическое сообщение, предупреждающее о замене, а затем продолжает "свою работу. Если обнаруженная ошибка длящанного модуля фатальная, т. е. он в принципе не может удовлетворительно закончить свою работу, то печатаются информация о номере ошибки, имя модуля, где она допущена, а в идеале — причины ее возникновения и рекомендации по устранению. При этом решение о дальнейшем ходе вычислительного процесса принимает более высокий по иерархии вложенности модуль.

Система самодокументации включает в себя как наличие достаточного количества комментариев по тексту модулей, так и специальный раздел в каждом модуле — его паспорт. Паспорт составляется на первом этапе проектирования модуля (а не после его кодирования!) и содержит следующие основные разделы: функциональное назначение модуля; - описание- формальных параметров; описание предусмотренных возможных ошибок модуля; перечисление вызывае-

мых внешних модулей; ограничения модуля, связанные с используемыми статическими описаниями внутренних массивов; даты создания модуля, его последней ревизии и число этих ревизий. Последний раздел позволяет хранить некую «историю» модуля, по числу ревизий судить о степени напряженности его «борьбы за существование». Кроме того, информационная служба пакета включает в себя информационный модуль, содержащий описание всех управляющих параметров пакета. Имеются также системные средства для распечатки не только полных текстов модулей, но и лишь их паспортов, что дает возможность проводить оперативное обновление документации.

Система самотестирования заключается в разработке набора стандартных графов решений, которые включаются лишь по одному номеру теста. При таком механизме можно периодически проводить «профилактический осмотр» пакета, проверять отсутствие побочных, непредусмотренных воздействий новых модулей, подключаемых к- пакету, на хорошо отлаженные старые режимы его работы. Упомянутые стандартные графы обеспечивают пользователю полуавтоматический режим работы с пакетом, когда по умолчанию задаются практически все управляющие параметры, а пользователь меняет по желанию лишь небольшое число таковых. Разумеется, сохранен полностью и ручной режим работы, когда все параметры считываются из раздела данных запускаемой на счет задачи. 1

Важной составной частью блока решающих модулей является библиотека разнообразных математических фантбмов, призванных обслуживать режим ВЭ, Библиотека содержит наборы пар томограмм и их проекций: эллиптические гауссианы произвольной ориентации и произвольных значений полуширин, параболоиды вращения с различными радиусами оснований, характеристические функции круга, прямоугольника и некоторые другие. Можно составлять «наборный» фантом, собранный из нескольких элементарных с произвольным их числом, любыми амплитудами (в том числе и по знаку), в разных сочетаниях. На рис. П.5.4 показана сумма первых трех из перечисленных моделей: гауссианы, параболоида и ступеньки в круге, а на рис. П.5.5 дана сумма из 12 элементарных моделей, в совокупности дающих слово «ИТПМ».

На рис. П.5.6 приведен пример фантома, являющегося основным для многих авторов при сравнительном анализе алгоритмов РТ [3, 18, 19]. Здесь функция двух переменных g^x, у) представлена в виде изолиний (а), двух центральных сечений g(p, у} (штрих) и g^x, о) (сплошная линия, б), а также в виде изометрической проекции (в). Данный рисунок также наглядно демонстрирует результаты работы блока отрисовки пакета на графопостроителе. Здесь не представлены лишь служебные надписи, сопровождающие листы отрисовки и содержащие всю информацию об управляющих параметрах и условиях получения данной томограммы. Кроме того, графический блок содержит модуль тонового отображения томограммы на графопостроителе, позволяющий малым числом градаций (обычно 3—5) представить «дисплейное» изображение реконструированного объекта.

Рис. П.5.4. Пример составного фантома из библиотеки гетерогенных фантомов пакета TOP AS. .

Система управления базой данных пакета, хранящей восстановленные томограммы (совместно со служебной информацией об условиях их получения), основана на системных средствах, предоставляемых пакетом прямого доступа (ППД), входящим в штатное матобеспечение ИТПМ СО АН СССР [20]. Эта система позволяет генерировать архив, записывать в него поименованные файлы, считывать эти файлы, выдавать их каталог и уничтожать ненужные. Имеется возможность закрыть несанкционированный доступ в архив, вести запись в файл и чтение из него, начиная с любого слова и т. д.

Основные технические характеристики пакета (на 1 декабря 1985 г.): максимальный растр томограммы 65x65, максимальное число проекций — 27, минимальное — 3, максимальное число отсчетов на каждой проекции — 101, минимальное — 7.

Перспективы развития. Результаты использования пакета TOPAS в реальных физических исследованиях, главным образом

Рйс. П.5.5. Сложный ступенчатый фантом пакета из 12 элементарных прямоугольников.

Рис. П.5,6. Томограмма модельной функции, используемая для сравнения характеристик алгоритмов двумерной томографии.

плазменных и газодинамических, описаны в работах [3, 4, 12, 21— 281. Проводимые изменения архитектуры пакета позволяют хранить нроекцйонные массивы в БД, отображать их на графопостроителе и использовать в решающих модулях. Такая необходимость возникла, в первую очередь, в задачах трехмерной томографии, где проекции являются двумерными [28].

Функциональное наполнение пакета развивается путем разработки и подключения следующих алгоритмов:

решения задачи трехмерной томографии (обратное проецирование с фильтрацией и без нее) [29];

линеаризации трехмерной задачи геофизической томографии в рефракционной постановке [24];

продольной томографии для набора одноракурсных данных (в допущении круговых [12] и треугольных [30] изолиний);

теневой томографии осесимметричного потока с центральным непрозрачным телом;

обратного распространения для эйконального приближения в томографии [31];

фурье-синтеза с набором различных способрв регуляризации [32].

Представляется, что развитие пакетов прикладных программ в области реконструктивной томографии существенно ускорит развитие этой молодой области науки, повысит производительность труда исследователей, работающей в ней.

Приложение 6j>

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА И ЦИФРОВАЯ ГОЛОГРАФИЯ

В последнее время в задачах аэро- и газодинамики, а также физики плазмы все большую роль начинает играть цифровая (компьютерная) голография. Хотя принято считать, что основой алгоритмов синтеза и реконструкции голограмм является преобразование Фурье, нетрудно убедиться, что и преобразование Радона, составляющее теоретическую основу томографии, также для этих алгоритмов весьма важный математический компонент. Покажем это на одном характерном примере.

Часто трехмерные объекты, 2D голограммы которых требуется получить расчетным путем, моделируют набором блестящих точек, Пусть схема синтеза опирается не на упрощенный подход через вычисление интеграла Френеля — Кирхгофа, а на волновое уравнение

V - 7 *Ь)Е (г’ О = 0. г G R\ (П.6.1) причем скорость распространения волны внутри фазового объекта

С,(г) = с/[1 ч-/(г)],(П.6.2)

где /(г) имеет смысл варьируемой в пространстве части показателя преломления среды. Полагая /(г) •< 1, запишем (П.6.1) в виде

(П.6.3)

\ са St2/ хса St2х '

Воспользуемся далее первым борцовским приближением, когда

Е^ t) - Е^т, t) + S2(r, t\(П.6.4)

поле E(r, t) в правой 'части (П.6.3) заменяется на -Е^г, t), а Е2(т, t) находится методом функций Грина как частное решение неоднородного волнового уравнения с известным Источниковым членом:

^(г’0 = -^ f(П.6.5)

т = t •— f'j R = | г — г' [.

Если блестящие точки, о которых говорилось выше, считать центрами рассеяния падающей волны EJj:, t), испускаемой в момент t = te импульсным точечным излучателем, находящимся в точке г„ то приближенно можно записать:

Ет (г', f) = R?^ (t' - te - R,?^ Я, = | г' - г, I. (П.6,6)

Тогда согласно (П.6.5) отклик ^(0-от этого импульса в точке Р на

голограмме выразится в виде

№ - - A f av f Ш 6" (Г - t„ - Rjc) 6(t — t' — Rp/c) dV,

— OO 00

(П.6.7)

Rp = I г' - гр I,6" = д28 (.„)/дГа,

В приближении Фраунгофера для отрезков R, и Rp разумно удержать лишь первые члены разложений:

Rg ^зИg • Г “)* • • • JRрГрПр • Г “)“ • ■ . ,

Пд == Гд/Гд^Пр == Tplrр,

а в аргументах 6-функций следует сохранить по крайней мере два члена разложения. Это дает

QW = — f / (r')6" (Р — r' -m) dV, " (П.6.8)

ОО

Р = г, + Гр — c(t — #0); m = п, + пр.

Отметим, что вектор m в приближении Фраунгофера можно считать ортом, направленным но нормали к своего рода плоскому «зеркалу», которое эффективно отражает сферическую волну от источника к голограмме. Плоскость «зеркала» есть геометрическое место точек г', для которых время распространения короткого импульса вдоль пути г, -*- г' ->- гр одинаково.

Таким образом, формулу (П.6.8) можно выразить через вторую производную по скаляру р от прямого 3D преобразования Радона функции /(г):'

^W = constf-8fl3{/(r)}.‘ (П.6.9)

«Р

Отметим, что если вдоль направления ш зависимость /(г) внутри объекта окажется линейной, то волна в сторону голограммы не рассеивается, т. е. упомянутое выше плоское «зеркало» как бы перестает быть отражающим.

ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ,

Нестерихин Ю. Е., Солоухин Р. И. Методы скоростных измерений в газодинамике и физике плазмы.— М.: Наука,. 1967.— 172 с.,

Климкин В. Ф., Папырин А. Н., Солоухин Р. И. Оптические методы регистрации быстропротекающих процессов.— Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.— 208 с.'

Левин Г, Г., Вишняков Г. Н. О возможности хронотомографии быстропротекающих процессов.— В кн.: Вопросы реконструктивной томографии/Под ред. А. С. Алексеева и др. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 87—93.

Чан П., Тэлбот Л., Турин К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме.— М.: Мир, 1978.— 202 с.

Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.— 238 с.

Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л. К вопросу интерпретации зондовых измерений в плазме.— Материалы 3-й Всесоюз. школы-конференции по современным методам магнитного удержания, нагрева и диагностики плазмы. Харьков, 1982, с. 161—164.

Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1980.— 536 с.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л. К вопросу о корректной обработке результатов зондовых измерений в неравновесной плазме.— В кн.: Физическая газодинамика. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1976, с. 181—183.1

Китаева В. Ф., Осипов Ю. И., Пикалов В. В. и др. Локальные зондовые измерения плазмы аргонового лазера.— Журн. техн, физики, 1978, т. 48, № 8, с. 1663—1671.

Дубнищев Ю. Н., Ринкевичюе Б. С. Методы лазерной доплеровской анемометрии.— М.: Наука, 1982.— 304 с.

Преображенский Н. Г., Толпина С. П. Восстановление характеристик поли- дисперсных сред методами спектроскопии оптического смешения.— Оптика и спектроскопия, 1982, т. 52, № 4, с. 696—705.

Булышев А. Е., Преображенский Н. Г. Способы интерпретации многоэкспо- зицноиных изображений потоков двухфазных сред.— Оптика и спектроскопия, 1981, т. 51, № 5, с. 751—753.

Шеффилд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в плазме.— М.: Атомиздат, 1978.— 280 с.

Белоусов П. И., Дубнищев Ю. Н., Евсеев А. Р. Исследование характеристик ламинарно-турбулентного перехода многоканальным лазерным анемометром.— В кн.: Лазерная доплеровская анемометрия и ее применения. Новосибирск: Ин-т автоматики и электрометрии СО АН СССР, 1980, с. 82.

Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.— М.: Наука, 1980.— 286 с.

Лаврентьев М. М. Интегральная геометрия и обратные задачи.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1984, с. 81—86.

Андерсон Д. JI., Дзевонский А. М. Сейсмическая томография.— В мире науки, 1984, № 12, с. 16—25.'

Wilson Т. L. Neutrino tomography: tevatron mapping vs. the neutrino sky Nature, 1984, v.*309, N 5963, p. 38—42.

Преображенский H. Г. Перспективы нейтринной геотомографии.— В кн.: 2-й Всесоюз. симпоз. по вычислительной томографии,— Куйбышевск. авиац. ин-т, 1985, с. 131—132.

Hounsfield G. N. Computed medical imaging.— Science, 1980, v. 210, 3 Oct., p. 22-28.

Cormack A. M. Early-two-dimensional reconstruction and recent topics stemming from it.— Science, 1980, v. 209, 26 Sept.., p. 1482—1486.

Клуг А. От макромолекул к биологическим ансамблям,— Успехи физ. наук, 1984, т. 142, 1, с. 3-30.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Вычислительная томография в газовой динамике и физике плазмы.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сио. отд-ние, 1984, с. 106—111.

Хелгасон С. Преобразование Радона.— М.: Мир, 1983,— 150 с.

Преображенский И. Г. Абелева инверсия в физических задачах,— В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978, с. 6—24.

Wagner W. Reconstruction of restricted region sean data — new means to reduce the patient dose.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1979, v. NS-26, p. 2866—2871.

Ohyama N., Shiraishi A., Honda T. e. a. Analysis and improvement in region- of-interest tomography.— Appl. Opt., 1984, vr 23, N 22, p. 4105—4110.

Вару С. E., Макаров И. P., Савинов Г. А. и др. Цифровая рентгенографическая установка для медицинской диагностики.— Новосибирск, 1984 14 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, Ип-т ядорп. физики; 84).

Kock М., Tiemens U. Tomosynthesis: a holographic method for variable depth display.— Optics Communications, 1973, v. 7, N 3, p. 260—265.

Денисюк Ю. H. О некоторых свойствах аспектограммы применительно к задаче синтеза композиционных голограмм.— Тр. ГОИ им. С. И. Вавилова, 1979, т. 44, вып. 178, с. 70—80.

Alvarez R. Е., Macovski A. Energy-selective reconstuctions in X-ray computerized tomography.— Phys. Med. Biol., 1976, v. 21, p. 733—744.

Введение в современную томографию (методы, средства, клинические иссле- дования)/Под ред. К. С. Тернового и М. В. Синькова.— Киев: Наук, думка, 1983.— 232 с.

Вест Ч. Голографическая интерферометрия.— М.: Мир, 1982.— 504 с.

Денисюк Ю. Н. Голография и ее перспективы.— В кн.: Проблемы оптической голографии. Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1981, с. 5—27.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Атомно-спектральная томография.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1984, т. 48, N 7, с. 1289—1296.

Kowalski G., RieckheerR., Wagner W. New means for picture formation in computer tomograhy.— Optik, 1980, v. 55, N 1, p. 67—86.

Yoneda Y., Chikaura Y. Scattering tomography.— Jap. J. Appl. Phys., 1982, v. 21, N 1, p. 131—133.

Mijnarends P. E. Reconsftuction of three-dimensional distributions.— In: Compton scattering/Ed. B. Williams. N. Y.: Me Graw-Hill, 1977, p. 323—345.

Segre S. E. Use of ellipsometry for measurement of electron density and magnetic field in tokamak plasma.— Preprint ENEA N 82—19, 1982, Frascati, Italy, 24 p.

Колфилд Г. Синтезированные голограммы.— В кн.: Оптическая гологра- фия/Под ред. Г. Колфилда. Т. 1. М.: Мир, 1982, с. 225—235.

Рубашов И. Б. Компьютерная томография.— Вести. АН СССР, 1985, N 4, с. 47-61.

Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Рубашов И. Б., Тимонов А. А. О решении проблемы восстановления изображения в ЯМР томографии,— Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 4, с. 872—876.

Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Об использовании дополнительной информации при построении на основе локальной регуляризации алгоритмов на-

хождения приближенных решений интегральных уравнений 1-го рода типа свертки.— М., 1983,— 26 с. (Препринт/AH СССР, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша; 40).

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1

Bocage Е. М. French Patent 536464, Paris, Frace, 1921.

Christensen E. E., Curry T. S., Nunally J. An introduction to the physics of diagnostic radiology.— Lea and Febiger, Philadelphia, USA, 1973.

Фриден Б. Улучшение и реставрация изображения.— В кн.: Обработка изображений и цифровая фильтрация. М.: Мир, 1979, с. 193—270.

Harding G., Bertram U., Weiss H. Towards optimum blurring in spiral tomography.— Med. Phys., 1978, v. 5, p. 280—284.

Littleton J. L., Durizch M. L., Geary J. C. Tomography: physical principlesand clinical applications. William and Wilkins, Baltimore, USA, 1976.

Вишняков Г. H., Власов Н. Г., Левин Г. Г. Получение продольных томографических интерферограмм.— Оптика и спектроскопия, 1983, т. 54, вып. 5, с. 911—913.

Вишняков Г. Н., Левин Г. Г. Методы восстановления продольных томограмм.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, вып. 3, с. 629—633.

MuehllehnerG. A tomographic scintillation camera.— Phys. Med. Biol., 1971, v. 16, p. 87—96.-

Anger H. O. Tomography and other depth-discrimination techniques.— In: Instrumentation in nuclear medicine/Ed. Hine G. H. and Sorensen J. A., 1974, v. 2, p. 61—100.

Грицман Ю. Я. Диагностические и тактические ошибки в онкологии.— М.: Медицина, 1981.

Ziedsesdes Plantes В. G. Serieskopie. Eine rontgenographische Methode, welche ermoglicht mit Hilfe einiger Aufnahmen, eine unendliche Reihe paralleler Ebe- nen in Reihenfolge gesondert zu betrachten.— Fortschr. Rontgenstr., 1938, Bd 57, S. 605-612.

Dummling K.— Der Radiologie, 1969, Bd 9, S. 37.

Meyer-Ebrecht D., Weiss H. Tomosynthesis — 3-D X-ray imaging by means of holography or electronics.— Optica Acta, 1977, v. 24, N 4, p. 293—303.

Grant D. G. Tomosynthesis: A three dimensional radiographic imaging technique.— IEEE Biomed. Trans., 1972, v. 19, N 1, p. 20—28.

Baily N. A., Grepeau R. L., Lasser E. C. Fluoroscopic tomography.— Invest, Radiol., 1974, v. 9, N 1, p. 96—103.

Kock M., Tiemens U. Tomosynthesis: A holographic method for variable depth display.— Optics Communications, 1973, v. 7, N 3, p. 260—265.

Денисюк Ю. H. О некоторых свойствах аспектограммы применительно к задаче синтеза композиционных голограмм.— Тр. ГОИ им. С. И. Вавилова, 1979, т. 44, вып. 178, с. 70—80.

Денисюк Ю. Н. Перспективы" и проблемы голографического кинематографа.— Журн. техн, физики, 1973, т. 43, № 12, с. 2457—2462.

-Edholm Р., Granlund G., Knutsson Н. е. a. Ectomography: A new radigraphie method for reproducing a selected slice of varying thickness.— Acta Radiolo>- gica, 1980, v. 21, N 4, p. 433—442.

Knutsson H. E., Edhohn P., GranlundG. H. e. a. Ectomography.— A new radiographic reconstruction method. Parts I, II.— IEEE Trans. Biomed. Engineering, 1980, v. BME-27, N 11, p. 640—655.

Kycbakoff G., Howe R. D., Hanson R. K., McDaniel J. C. Quantitative visualization of combustion species in a plane.—Appl. Opt., 1982, v. 21, N 18, p. 3225-3227.-

Kycbakoff G., Howe R. D., Hanson R. K. Quantitative flow visualization technique for measurements in combustion gases.— Appl. Opt., 1984, v. 23, N 5, p. 704-712.,

Биберман Л. M., Воробьев В. С., Якубов И. Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы.— М.: Наука, 1982,— 376 с.

McDaniel J. С., Baganoff D., Byer R. L. Density measurement in compressib-

Ie flows using off-resonant laser-induced fluorescence.— Phys. Fluids,-.1982, v. 25, N 7, p. 1105—1107.

McDaniel J. C., Hiller B., Hanson R. K. Simultaneous multiple-point velocity measurement using laser-induced iodine fluorescence.— Opt. Letters, 1983, v. 8, p. 51—53.

Ueda M., Kagawa K., Yamada K. e. a. Flow visualization of Benard convection using holographic interferometry.— Appl. Opt., 1982, v. 21, N 18, p. 3269— 3272.

MasseyG. A., Lemon C. J. Feasibility of measuring temperature and density fluctuations in air laser-inducedO2fluorescence.— IEEE J. Quant. Electron., 1984, v. QE-20, N 5.

Ackerman U., Baganoff D., McDaniel J. C. Dependence of laser-induced fluorescence on gas-dynamic fluctuations with application to measurements in unsteady flows.— Experiments in Fluids, 1985, v. 3, p. 45—51.

Schwartz M. Information transmission, modulation and noise.— N. Y.: McGraw-Hill, 1959,— 478 p.

Применения лазеров/Под ред. В. П. Тичинского.— М.: Мир, 1974,— 446 с.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2

Преображенский Н. Г. Спектроскопия оптически плотной плазмы.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1971.— 178 с.

Цвиккер Г. Определение параметров оптически толстых плазм.— В кн.: Методы исследования плазмы/Под ред. В. Лохте-Хольтгревена. М.: Мир, 1971, с. 169—194.

Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л. Вопросы локальной оптической диагностики полупрозрачной плазмы.— Новосибирск, 1983.— 36 с.— (Пре- принт/АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теорет. и прикл. механики; 26—83).

Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы,— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.— 238 с.

Zwicker П. Die Bestimmung der Linien form aus der Linien-kontur bei Linien mit Selbstumkehr. II. Anwendung auf Linien eines Quecksilberhochstdruck- bogens— Z. Phys., 1962, Bd 166, H. 2, S. 163—175.

Pingel H., Siekmeier E.-W. Die Bestimmung der Linienform aus der Linien- kontur bei Linien mit Selbstumkehr. III. Bestatigung der Methodik dnrch di- recte Messungen.— Z. Phys., 1962, Bd 166, H. 2, S. 176—183.

Вайнштейн Л. А., Собельман И. И., Юков Е. А. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий.— М.: Наука, 1979,— 318 с.

Преображенский Н. Г., Юделевич И. Г. О методах оптической диагностики пламени.— Жури, прикл. спектроскопии, 1970, т. 12, № 1, с. 3—7.

Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л. Некоторые возможности полихроматической томографии.— Всесоюзн. симпоз. по вычислит, томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 164—165.

Животов В. К., Калачев И. А., Самарин А. Е., Фридман А. А. Особенности спектральной диагностики пространственно неоднородного разряда.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, № 1, с. 43—47.

Русанов В. Д., Фридмаи А. А. Физика химически активной плазмы.— М.: Наука, 1984.— 416 с.

Пикалов В. В. Некорректные задачи локальной оптической диагностики газовых и плазменных объектов произвольной конфигурации.— В ки.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978, с. 25—67.

Скотников М. М. Теневые количественные методы в газовой динамике.— М.: Наука, 1976.— 160 с.

Преображенский Н. Г. Абелева инверсия в физических задачах.— В ки.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978, с. 6—24.

Mersereau R. М., Oppenheim А. V. Digital reconstruction of multidimensional signals from their projections.— Proc. IEEE, 1974, c. 62, N 10, p. 1319—1338.

Gaskill J. D. Linear Systems, Fourier Transforms and Optics.— N. Y.: Wiley, 1978.

Barrett H. H. The Radon transform and its applications.— In: Progress in Op- tics/Ed. E. Wolf. Elsevier Sci. Publ., 1984, v. 21, p. 217—286.

Deutsch M., Beniaminy I. Derivative-free inversion of Abel’s integral equations— Appl. Phys. Lett., 1982, v. 44, N 1, p. 27—28.

Воскобойников Ю. E., Преображенский H. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984.— 240 с.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. О восстановлении локальных характеристик плазмы в условиях ограниченной экспериментальной информации.— Оптика и спектроскопия, 1976, т. 40, № 6, с. 1094—1096.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. О некоторых проблемах диагностики низкотемпературной плазмы, решаемых с помощью ЭВМ.—■ В кн.: Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977, с. 138—176.

Golub G. Н., Kahan W. Calculating the singular values and pseudo-inverse of a matrix.— SIAM J. Numer. Analys., 1965, v. 2, N 2, p. 205—224.

Турчин В. Ф., Козлов В. П., Малкевич М. С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач.— Успехи физ. наук, 1970, т. 102, вып. 3, с. 345—386..

Bartels Н. Eine пене Methode zur Temperaturmessung an hochtemperaturen Bogensaulen.— Z. Phys., 1950, Bd 127, H. 3, S. 243—273.

Wesselink G. D., de Mooy M., van Gemert J. 0. Temperature determination of high-pressure optically thick gas discharges by a modified Bartels’method.— Appl. Phys., 1973, v. 6, N 4, p. 127—130.

Преображенский H. Г. К вопросу о взаимном пространственном распределении излучающих и поглощающих атомов в плазме дугового разряда.— Изв. вузов СССР. Физика, 1959, № 2, с. 129—134..

Webb С. A new technique for measurements of radial distributions of excited species in plasmas and its application to capillary discharge.— J. Appl. Phys., 1968, v. 39, N 12, p. 5441-5470.1

Козлов В. П., Луизова Л. А. Выбор рационального алгоритма обработки экспериментальных данных в методах «локальной спектроскопии» плазмы.— Оптика и спектроскопия, 1977, т. 43, № 1, с. 194—196.

Луизова Л. А. Радиальное преобразование массива поперечных профилей.— В Кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978, с. 221—234.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений.— М.: Физматгиз, 1958.— 334 с.

Климкин В. Ф., Папырин А. Н., Солоухин Р. И. Оптические методы регистрации быстропротекающих процессов.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1980— 208 с.

Кругляков Э. П., Нестерихин Ю. Е. Электронный прибор для регистрации оптических спектров и контуров спектральных линий во времени.— Теплофизика высоких температур, 1965, т. 3, N 4, с. 617—622.

Кругляков Э. П. Об одном методе сверхскоростной регистрации контуров спектральных линий.— В кн.: Диагностика плазмы. Вып. 2. М.: Атомиз- дат, 1968, с. 117—126.

Безъязычный И. А., Лифшиц Е. В., Березин A. Ki и др. Применение двойного электронно-оптического преобразователя для исследования импульсного плазменно-пучкового разряда.— В кн.: Диагностика плазмы. Вып, 3. М.: Атомиздат, 1973, с. 59—63.

Преображенский Н. Г. Возможности метода реабсорбции (линейчатого поглощения) при диагностике неоднородной плазмы.— В кн.: VI Всесоюз. конф, по генераторам низкотемпературной плазмы. Tea. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1974, с. 359-362.

Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Оптимизация характеристик спектральных приборов.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1984, т. 48, № 4, с. 810—814.

Яковлев А. А. Алгоритм редуКции к идеальному прибору.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, № 1, с. 167—171.

Аньшаков А. С., Даутов Г. Ю., Петров А« П. К вопросу измерения темпе-

ратуры дуговой плазмы.— В кн.: Генераторы низкотемпературной плазмы. М.: Энергия, 1969, с. 394— 403.

Колесников Н. Г., Ларькина Л. Т., Эигельшт В. С. Спектроскопия колеблющихся объектов,— Изв. СО АН СССР, 1974, № 3. Сер, техн., выл. 1, с. 31—35.

Даутова Н. Г., Залялов Н. Г., Тухватуллин Р. С. и др. Определение распределения спектральной интенсивности излучения и температуры дуговой плазмы с учетом ее колебаний,— Журнал прикл. спектроскопии, 1975, т. 22, № 6, с. 976—980.

Ларькина Л. Т., Энгелыпт В. С. Редукция к однородному оптически тонкому слою в осесимметричных объектах.— В кн.: Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977, с. 229-244.

Преображенский Н. Г. Диагностические Схемы исследования осесимметричной плазмы в условиях ее случайных поперечных перемещений.— Nukleo- nika (Польша), 1975, т. 20, № 5, с. 429—438.

Measures R., Houston W., Stephenson D. Spectroscopy by timing decay of laser induced fluorescence.— J. Opt. Soc. Amer., 1975, v. 65, N 2, p. 199—204.

Раздобарин Г. T., Фоломкин И. Л. Диагностика плазмы методом рассеяния света на атомах.— Журн. техн, физики, 1979, т. 49, № 7, с. 1353—1372.

Преображенский И. Г., Федосов В. П. О некоторых обращениях свертки.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984, с. 237—239.

Воскобойников Ю. Е., Томсоне Я. Я. Выбор параметра регуляризации и ошибки восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации.— Автометрия, 1975, № 4, с. 10—18.

Воскобойников Ю. Е., Колн А. Я. Восстановление сигналов на входе линейного преобразователя методом статистической регуляризации.— Уч. записки ЦАГИ, 1976, № 4, с. 77—87.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 3

Дубровин В. М., Лебедев А. Д., Урюков Б. А. и др. Электрическая дуга в затопленной струе.— Журн. прикл. механики и техн, физики, 1971, № 5, с. 17—23.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л., Щербик Н. М. Определение параметров турбулентной плазмы дугового разряда.— В кн.: Тр. 8-й Всесоюз. конф, по генераторам низкотемпературной плазмы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1980, с. 209—212.

Предводителей А. С., Стуноченко Е. В., Плешанов А. С. и др. Таблицы термодинамических функций воздуха.— М.: Изд-во АН СССР, 1962.— 268 с.

Burhorn F., Wienecke R. Berechnung der inneren ZustandSsummen einiger Zweiatomiger Molecule bei hoheren Temperaturen.— Z» Phys. Chemie, 1959, Bd 212, H. 1/2, S. 105-177.

Лебедев А. Д., Щербик H. M. К вопросу об измерениях температуры в «турбулентных» дугах.— Изв. СО АН СССР, 1979, № 3. Сер. техн, наук, вып. 1, с. 33—37.

Garscadden A., Weber R. F. Effects of time-averaging spectral line intensities in the presence of electron temperature fluctuations.— In: Proc. 10-th ICPIG. Oxford, Contributed Papers, 1971, p. 405.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Оптическая диагностика дуговой плазмы при наличии температурных флуктуаций.— Изв. СО АН СССР, 1976, № 3. Сер. техи. наук, вып. 1, с. 47—50.

Фриш С. Э. Определение концентраций нормальных и возбужденных атомов и сил осцилляторов методами испускания и поглощения света.— В кн.: Спектроскопия газоразрядной плазмы. Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1970, с. 7—62.

Преображенский Н. Г., Шарапова Т. А. Новый прием пирометрии оптически плотной плазмы.— В кн.: VII Уральск, конф, по спектроскопии. Вып. 1. Атомная спектроскопия. Свердловск, 1971, с. 3—4.

Изотова С. Л., Преображенский Н. Г,, Тамбовцев Б. 3., Фриш М. С. О методах корректной обработки контуров спектральных линий.— Оптика и спектроскопия, 197 5, т. 38, 5, с. 842—847.

Юделевич И. Г., Черевко А. С., Преображенский Н. Г. К вопросу о температурном поле плазмотрона.— Иэв. СО АН СССР, 1973, № 14. Сер. хим науи, вып. 6, с. 127—129.

Bohn W. L., Beth M.-U., NedderG. On spectroscopic measurements of velocity profiles and non-equilibrium radial temperatures in an argon plasma jet.— J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1967, v. 7, N 5, p. 661—676.

IX Пикалов В. В., Преображенекий Н. Г. О некоторых проблемах диагностики низкотемпературной плазмы, решаемых с помощью ЭВМ.— В ки.: Свойства- низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977, с. 138—176.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Алгоритмы абелевой инверсии для сложных задач радиационной газовой динамики.— В кн.: Динамика излучающего газа: Тр. 2-й Всесоюз. конференции. М., 1975, с. 37.

Ahlborn В., Morris R. N. Plasma velocity measurements by Abel-unfolding of Doppler shifts.— J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1969, v. 9, N 11, p. 1519-1525."

Barthel K., Boscher J,, Salk J., Schafer G. Components of the anisotropic ion movement in noble gas ion lasers.— In: Proc. 12-th ICPIG. Eindhoven, Contributed Papers, 1975, p. 213.

Алферов Г. H., Доиин В. И. Ионный лазер с поперечной сверхзвуковой прокачкой газа.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1980, т. 44, № 10, с. 2079—2082.

Алферов Г. Н., Допив В. И., Смирнов Г. И., Шапиро Д. А. О неустойчивости плазмы ионных лазеров.— Квантовая электроника, 1981, т. -8, № 1, с. 13— 19.,

Кузнецов Э. И., Щеглов Д. А. Методы диагностики высокотемпературной плазмы.— М.: Атомиздат, 1974.— 160 с.; 2-е изд.— 1980.— 200 с.

Грим Г. Спектроскопия плазмы.— М.: Атомиздат, 1969.— 452 с.

Вайнштейн Л. А., Собельман И. И., Юков Е. А. Возбужденно атомов и уширение спектральных линий.— М.: Наука, 1979.— 318 с.

Косарев Е. Л. Измерение катодных потерь в микротроне.— Журн. техн, физики, 1972, т. 42, № 4, с. 843—845.

Косарев Е. Л. О численном решении интегрального уравнения Абеля,— , Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, т. 13, № 6, с. 1591—1596. '24. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере/Гуревич А. С., Кон А. И., Миронов В. Л., Хмелевцов С. С.— М.: Наука, 1976,— 278 с.

Когерентность лазерного излучения в атмосфере/Беленький М. С., Лукин В. П., Миронов В. Л., Покасов В. В.— Новосибирск: Наука, Сиб. отд- ние, 1985.— 176 с.

Ван Вейнгарден Л. Некоторые проблемы составления уравнений для газожидкостных течений.— В кн.: Теоретическая и прикладная механика/Под ред. В. Т. Койтера. М.: Мир, 1979, с. 528— 552.

Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Наука, 1977.

Электродинамика плазмы/Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В. и др.— М.: Наука, 1974.— 720 с.

Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.— М.: Физматгиз, 1959.— 232 с.

Эшли X., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов,— М.: Машиностроение, 1969,— 318 с.

Eward I. Theoretical distribution on luft on thin wings at supersonic speeds.— Appl. Meeh. Rev., 1948, v. 1, N 8.

Красильщикова E. А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке.— М.: Наука, 1978,— 224 с.

Белоцерковский С. М., Лифаиов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике.— М.: Наука, 1985.— 254 с.

Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость.— М.: Изд-в»- иностр, лит., 1958.— 800 с.

Инверсия Абеля и ее обобщения/Под ред. Н. Г. Преображенского.— Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН, 1978.— 272 с.

Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.— Новосибирск: Науна. Сиб. отд-ние, 1982.— 238 с.

Clough А. Н., Barrett Н. Н. Attenuated Radon and Abel transforms.— J. Opt. Soc. Amer., 1983, v. 72, N 11, p. 1590—1595.

Ларькина Л. T., Энгельшт В. С. Редукция к однородному оптически тонкому слою в осесимметричных объектах.— В кн.: Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977, с. 229—244; Engelsht V. 8., Larkina L. Т. Determination of spectral emission and absorption coefficients in axisymmetric plasmas.— J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1979, v. 21, N 1, p. 65—73.

Braun W. Technique for measuring the absorption coefficient of a plasma.— Rev. Sci. Instr., 1965, v. 36, N 6, 802—805.

Freeman M., Katz S. Determination of the radial distribution of brightness in a cylindrical luminous medium with self-absorption.— J. Opt. Soc. Amer., 1960, v. 50, N 8, p. 826-830.

Иванов А. В., Скотников M. M. Определение радиального распределения параметров излучения в осесимметричном газовом объекте при наличии самопоглощения.— Жури, прикл. механики и техн, физики, 1963, № 4, с. 83—87.'

Elder Р., Jerriek J., Birkeland J. W. Determination of the radial profile of absorption and emission coefficients and temperature in cylindrically symmetric sources with self-absorption.— Appl. Opt., 1965. v. 4, N 5. p. 589— 592.

Birkeland J. W., Oss J. P. Spatial resolution of the volume emission coefficient in strongly eelf-absoVbing sources of cylindrical symmetry.— Appl. Opt., 1968, v. 7, N 8, p. 1635—1639.

Фаддеев Д. К., Фаддеева В. И. Вычислительные методы линейной алгебры.— М.: Физматгиз, 1960.— 656 с.

Porter R. W. Numerical solution for local emission coefficients in axisymmetrical self-absorbed sources.— SIAM Rev., 1964, v. 6, N 3, p. 228—242.

Von Riemann M. Zur Bestimmung der radialen Verteilungen der Emission-und Absorptionkoeffizienten sowie der Temperaturen in ahsorhierenden rotations- symmetrischen Plasmen.— Beitrage aus der Plasmaphysik, 1970, Bd 10, H.2, S. 103—113.

Meiners D., Weiss С. O. Zur Messung der radialen Temperaturverteilung in Plasmasaulen mit Selbstabsorption.— Z. angew. Physik, 1970, Bd 29, H. 1, S. 35-40.'

Колобова Г. А. Влияние погрешности эксперимента на точность расчета коэффициента излучения и поглощения в оптически плотной плазме.— Изв. вузов. Физика, 1970, N 1, с. 19—23.

Воскобойников Ю. Е., Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние.— 240 с._

Пикалцв В. В. Некорректные задачи локальной оптической диагностики газовых и плазменных объектов произвольной конфигурации.— В ки.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978, с. 25-67.

Турчин В. ф., Козлов В. П., Малкевич М. С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач.— Успехи физ. наук, 1970, т. 102, № 3, с. 345—386.,

Tien С., Pelech I. Determination of temperature distributions in high-temperature gases by two-seeding method.— J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1968, v. 8, N 2, p. 685—690.*

Колобова Г. А., Мельникова T. С. Диагностика поглощающей плазмы по непрерывному спектру.— Изв. СО АН СССР, 1976, № 8. Сер. техн, наук, выл. 2, с. 19—22., .

Olsen Н. N. The electric arc as a light source for quantitative spectroscopy.— J. Quant, Spectr. Rad. Transfer, 1963, v. 3, N 4, p. 305—333.

Шеффилд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в плазме.— М.: Атомиздат, 1978.— 280 с.•

Рабинович М. С. Экспериментальные исследования на стеллараторах.— В кн.: Физика плазмы. Т. 2/Под ред. В. Д. Шафранова. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ 1981, с. 60—79.*

Кролл И., Трайвелпис А. Основы физики плазмы— М.: Мир, 1975.— 526 с.

Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 2. Неустойчивости неоднородной плазмы— М.: Атомиздат, 1977.— 360 с.

Горбунов Е. П., Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П., Мульченко Б. Ф. Определение пространственного распределения плотности плазмы по фазовому сдвигу при многонакальном микроволновом зондировании.— В кн.: Диагностика плазмы. Выл. 2. Mv. Атомиздат, 1968, с. 188—199.

Taheda Т. Numerical method foT solution of the integral equation of the first kind — application to analysis of plasma density profile.— J. Comput. Phys., 1976, v. 21, N 3, p. 305—318.

Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1980.— 536 с.

Yasutomo Y., Miyata К., Himeno S.-I. е. a. A new numerical method for asymmetrical Abel inversion.— IEEE Trans. Plasma Science, 1981, v. PS-9, N 1, p. 18-21.

Barr W. Method for computing the radial distribution of emitters in a cylindrical source.— J. Opt. Soc. Amer., 1962, v. 52, N 8, p. 885—888.

Freeman^M., Katz S. Determination of a radiance distribution of an optically thin radiating medium.— J. Opt. Soc. Amer., 1963, v. 53, N 10, p. 1172—1179.

Lapworth K. G., Allnutt L. A. A fully automatic optical system for determining the volume emission coefficient of radiation throughout plasmas.— J. Phys., E: Sci. Instr., 1977, v. 10, N 7, p. 727—732.

Андрюхина Э. Д., Бережецкий M. С., Гребенщиков С. Е. и др. Стелларатор Л-2,— М., 1977.— 32 с,— (Препринт/ФИАН им. П. Н. Лебедева; 154).

Silver Е., Roney W. Distribution of emitters in an elliptical source.— IEEE. Trans, on Plasma Science, 1980, v. PS-8, N 3, p. 231—234.*

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Восстановление поля локально-равновесных температур среды по изучению.— Инж.-физ. журн., 1977, т. 33, № 6, с. 1042—1046.

Пикалов В. В., Прёображеиский Н. Г. «Локальная диагностика газовых и и плазменных объектов с заданными изолиниями,— Оптика и спектроскопия, 1979, т; 46, № 1, с. 194—196._

Мельникова Т. С., Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. О локальной диагностике оптически плотной асимметричной плазмы.— Оптика и спектроскопия, 1980, т. 48, № 3, с. 474—479.

Laser Interaction and Related Plasma Phenomena. V. 6/Ed. by H. Hora, * G- H. Miley.— N. Y.: Plenum Press, 1984.— 1161 p.

Горбунов'Е. П., Днестровский Ю. H.t Костомаров Д. П. Определение пространственного распределения' плотности плазмы с помощью фазовых измерений.— Журн. техн, физики, 1968, т. 38, № 5, с. 812—817.

Гиппиус Е. Ф., Илюхин Б. И., Лунин Н. Н., Пикалов В. В. Особенности восстановления распределения интенсивностей излучения плазмы стеллараторов,— Физика плазмы, 1983, т. 9, № 5, с. 1111—1115._

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Алгоритмы плазменной вычислительной томографии.— В кн.: 3-е Всесоюз. совещ. по диагностике "высокотемпературной плазмы. Дубна, 1983, с. 85.

Pickalov V. V., Preobrazhensky N. G. Restoration of two- dimensional radiation field for an optically thick plasma.— J. de physique, 1979, t. 40, N C7, p. 855— 856.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Атомно-спектральная томография.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1984, т. 48, № 7, с. 1289-1296.

Бобровский Г. А., Васин Н. Л., Виноградова Н. Д. и др. Асимметрия профиля электронной температуры на токамаке-10.— Физика плазмы, 1982, т. 8, № 5, с. 1027-1036.,

Васин Н. Л., Горбунов Е. П., Есипчук Ю. В. и др. Обратные задачи для восстановления пространственных распределений параметров плазмы.— В кн.: Всесоюз. симпоз. по вычислительной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 30—31.,

Есипчук Ю. В., Виноградова Н. Д., Ковров П. Е. и др. Исследования пространственной асимметрии функции распределения электронов по энергиям в токамаке Т-10.— Физика плазмы, 1981, т. 7, № 1, с. 5—10.

217217Захаренков Ю. А., Крохин О. Н., Склизков Г. В., Шиканов А. С. Исследова-

217

217

15 В. В. Пикалов, Н, Г. Преображенский

ние возмущений профиля плотности лазерной плазмы методом высокоскоростной интерферометрии.— Квантовая электроника, 1976, т. 3, № 5, с. 1068—1079.

Пикалов В. В., Федосов В. П. Определение локальных характеристик плазменных объектов эллиптической формы— В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978, с. 190-199.

Воробьев Н. Ф. Аэродинамика несущих поверхностей в установившемся потоке.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985.— 240 с.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 4

Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen dutch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten.— Ber. Verb. Sachs. Akad., 1917, Bd 69, S. 262— 277. (Рус. пер. в приложении к книге [4]).

Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.— М.: Физматгиз, 1962.— 656 с.

Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Интегральная геометрия в аффинном и проективном пространствах — В кн.: Современные проблемы математики. Т. 16. (Итоги науки и техники.) М.: ВИНИТИ, 1980, с. 53—226.

Хелгасон С. Преобразование Радона.т- М.: Мир, 1983.— 150 с.

Владимиров В. С., Завьялов' Б. И. Автомодельная асимптотика причинных функций и их поведение на световом конусе.— Теорет. и мат. физика, 1982, т. 50, № 2, с. 163—194.

Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными.— М.: Изд-во иностр, лит., 1958.- 156 с.

Ludwig D. The Radon transform on Euclidean space.— Gommun. Pure and Appl. Math., 1966, v. 23, N 1, p. 49—81.

Deans S. R. The Radon transdorm and some of its applications.— N. Y.: Wiley, 1983 282 p.

Луис А. К., Наттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной вй- числительной томографии.— ТИИЭР, 1983, т. 71, № 3, с. 111—125.

Barrett Н. The Radon transform and its applications.— In: Progress in Optics, v. 21/Ed. E. Wolf. Amsterdam: Elsevier, 1984, p. 217—286.

Бухштабер В. M., Гиндикин С. Г. От принципа Кавальери к томографу.— Природа, 1983, № 6, с. 12—24.

Hough Р. V. С. Methods and means for recognizing complex patterns.— U. S. Patent 3.Q69.654., 1962.

Eichmann G., Dong B. Z. Coherent optical production of the Hough trasform.— Appl. Opt., 1983, v. 22, N 6, p. 830—834.

Deans S. R. Hough transform from the Radon transform.— IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1981, v. PAMI-3, p. 185—188.

Ballard D. H. Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes.— Pattern Recognition, 1981, V.-13, p. Ill—122.

Лаврентьев M. M., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа,— М.: Наука, 1980.— 286 с.

Лаврентьев М. М., Кирейтов В. Р., Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Проблемы физической томографии.— В кн.: Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 77—86.

Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы—■ Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.— 238 с.

Maldonado С. D. Note on orthogonal polinomials which ate «invariant in form» to rotations of axes.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, N 12, p. 1935—1938.

Maldonado C. D., Olsen H. N. New method for obtaining emission coefficients from emitted spectral intensities. Part. 2. Asymmetrical sources.— J. Opt. Soc. Amer., 1966, v. 56, N 10, p. 1305—1313. .

Корн Г., Корн T. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука, 1968.— 720 с.

Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964.— 830 с.

Луитт Р. М. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований.— ТИИЭР, 1983, т. 71, № 3, с. 125—147.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Атомно-спектральная томография.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1984, т.’ 48, № 7, с. 1289—1296.

Сороко Л. М. Гильберт — оптика.— М.: Наука, 1981.— 160 с.

Воробьев Н. Ф. Аэродинамика несущих поверхностей в установившемся потоке.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985.— 240 с.

Riesz М. L’integrale de Riemann Liouville et le probleme de Cauchy.— Acta Math., 1949, v. 81, N 1, p. 1—223.

Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика.— Успехи физ. наук, 1985, т. 146, № 3, с. 493—506.

Deans S. R. A unified Radon inversion formula.— J. Math. Phys., 1978, v. 19, p. 2346— 2349.

Deans S. R. Gegenbauer transforms via the Ration transform.— SIAM J. Math. Anal., 1979, v. 10, p. 577—585.

Montaldi E. On the Radon inversion formula.— Lett. Nuovo Cimento, 1979, v. 26, p. 593—598.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 5

Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки.— М.: Наука^ 1978.— 296 с.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс.— М.: Наука, 1965,— 328 с.

Гиндикин С. Г. Об универсально-интегральной формуле для кратио-круго- вых областей в n-мериом комплексном пространстве.— Сиб. мат. жури., 1966, т. 6, № 3, с. 699-709.

Введенскан Н. Д., Гиндикин С. Г. Реконструкция изображения, основанная на формуле Пуассона для преобразования Радона.— В кн.: Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии. Новосибирск: ВЦ и Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1983, с. 32— 33. ,

Введенская Н. Д., Гиндикин С. Г. Формула Пуассона для преобразования Радона и численный алгоритм реконструкции изображения.— Докл. АН СССР, 1984, т. 279, № 4; с. 780— 784.

Введенская Н. Д., Гиндикин С. Г. Обращение преобразования Радона по малому числу направлений.— В кн.: 2-й Всесоюз. сймпоз. по вычислительной томографии,— Куйбышевск. авиац. ин-т, 1985, с. 35—36.

Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.— М.: Физматиз, 1962.— 656 с.

Cormack А. М. Representation of a function by its integrals with some radiological applications.— J. Appl. Phys., 1963, v. 34, N 9, p. 2722—2727.

Cormack A. M. Representation of a function by its integrals with some radiological applications. 2— Ibid., 1964,-v. 35, N 10, p. 2908—2913.

Преображенский H. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982,— 238 с.

Ein-Gal М. The shadow transform: An approach to crosssectional imaging.— Technical Report SEL-74-050, Information Systems Laboratory, Stanford Univ., Stanford CA, 1984.'

Anderson W. L. Computer program: numerical integration of related Hankel transforms of orders 0, and 1 by adaptive digital filtering.— Geophysics, 1979, v. 44, N 7, p. 1287—1305.

Hansen E. W. Theory of circular harmonic image reconstruction.— J. Opt. Soc. Amer., 1981, v. 71, N 3, p. 304- 308.

Борн M., Вольф Э. Основы оптики.— M.: Наука, 1970.— 855 с.

Cha S., Vest С. М. Tomographic reconstuction of strongly refracting fields and its application to interferometric measurement of boundary layers.— Appl. Opt., 1981, v. 20, N 16, p. 2787—2794.

Barrett H. H The-Radon transform and its applications.— In: Progress in Op- tics/Ed. E. Wolf. V. 21. Amsterdam: Elsevier, 1984, p. 217—286.

Горбунов Е. П., Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Определение пространственного распределения плотности плазмы с помощью фазовых измерений.— Жури. техн, физ., 1968, т. 38, № 5, с. 812—817.

Sauthoff N. R., vonGoeler S., Stodiek W. A study of disruptive instabilities in the PLT tokamak using X-ray techniques.— Nuclear Fusion, 1978, v. 18, N 10, p. 1445-1458.

Sauthoff N. R., vonGoeler S. Techniques for the reconstruction of two-dimensional images from projections.— IEEE Trans. Plasma ScL, 1979, v. PS-7, N 3, p. 141—147.

Nagayama Y., Tsuji S., Kawahata K. e. a. Soft X-ray tomography of the m = 2 magnetic island structure in the JIPP T-ll tokamak.— Jap. J. Appl. Phys., 1981, v. 20, N 11, p. L779—L782.

Bickerton R. J. Progress on the physics of tokamaks.— In: XVI ICPIG, Invited Papers. Dusseldorf, 1983, p. 1—8.

Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены.— 2-е пзд.— М.: Наука, 1979.— 400 с.

Maldonado С. D. Note on orthogonal polinomials which are «invariant in form» to rotations of axes.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, N 12, p. 1935—1938.

Maldonado C. D., Olsen H. N. New method for obtaining emission coefficients from emitted spectral intensities.— Part 2 — Asymmetrical sources.— J. Opt. Soc. Amer., 1966, v. 56, N 10, p. 1305—1313.

Olsen II. N., Maldonado C. D., Duckworth G. D. A numerical method for obtaining integral emission coefficient from externally measured spectral intensities of asymmetrical plasmas.—J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1968, v. 8, N 10, p. 1419—1430.

Matulka R. D., Collins D. J. Determination of three-dimensional density fields from holographic interferograms.— J. Appl. Phys., 1971, v. 42, N 3, p. 1109—1119..

Jagota R. C., Collins D. J. Finite fringe holographic interferometry applied to a right circular cone at angle of attack.— J. Appl. Meeh., 1972, v. 39, p. 897—903..•■

Kosakoski R. A., Collins D. J. Application of holographic interferometry to density field determination in transonic corner flow.— AIAA J., 1974, v. 12, p. 767—770.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Восстановление поля локально равновесных температур среды по излучению.— Инж.-физ. журн., 1977, т. 33, № 6, с. 1042—1046.

Crowter R. A., Amos L. A., Klug A. Three-dimensional image reconstruction using functional expansions.— In: Proc. 5-th European Congress on Electron Microscopy. London, 1972, p. 593—597.

Klug A., Crowter R. A. Three-dimensional image reconstruction from the viewpoint of information theory.— Nature, 1972, v. 238, p. 435—440.

Snyder D. L., Cox J. R. An overview of reconstructive tomography and limitations imposed by a finite number of projections.— In: Reconstructive Tomography in Diagnostic Radiology and Nuckear Medicine/Ed. M. M. Ter-Pogos- sian e. a. Univ. Parc Press, Baltimore, 1977, p. 3—32.

Ludwig D. The Radon transform on Euclidean space.— Commun. Pure and Appl. Math., 1966, v. 19, N 1, p. 49—81.z

Вайнштейн Б. К. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромолекул.— Успехи физ. наук, 1973, т. 109, № 3, с. 455—497.

Gordon R., Herman G. Т., Johnson S. A. Image reconstruction from projections.— Sci. American, 1975, v. 233, ,N 4, p. 56—68.

Фриден Б. Улучшение и реставрация изображения.— В кн.: Обработка изображений и цифровая фильтрация. М.: Мир, 1979, с. 193—270.

Harris F. J. On the use of windows.form harmonic analysis with the discrete Fourier transform.— Proc. IEEE, 1978, v. 66, N 1, p. 51—83.

Rowland S. W. Computer implementation of image reconstruction formulas.,— In: Image Reconstruction from Projections/Ed. G. T. Herman. V. 32, Topics in Applied Physics. N. Y.: Springer Verl., 1979, p. 7—79.

Скаддер Г. Дж. Введение в машинную томографию.— ТИИЭР, 1978, т. 66, № 6, с. 5—16.

Budinger T. F., Gullberg G. T., Huesman R. H. Emission computer tomography.— In: Image Reconstruction from Projections/Ed. G. T. Herman. V. 32, Topics in Applied Physics, N. Y;: Springer-Verl., 1979, p. 147—246.

Shepp L. A., Logan B. F. Fourier reconstruction of a head section.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1974, v. NS-21, N 3, p. 21—43.

Bates R. H. T., Peters T. M. Towards improvements in tomography.— New Zealand J., 1971, v. 14, p. 883-896.

Smith P. R., Peters T. M., Bates R. H. T. Image reconstruction froni finite numbers of projections.— J. Phys. A: Math. Nucl. Gen., 1973, v. 6, p. 361— 382.

Barrett H. H., Swindell W. Radiological imaging. The theory of image formation, detection and processing.— Academic Press, 1981,- v. 2, ch. 8, p. 465-531.

Gullberg G. T. The,reconstruction of fan-beam data by filtering the back-projection.— Gomput. Graph. Image Proc., 1979, v. 10, N 1, p. 30—47.

Тихонов A. H., Арсенин В. Я., Рубашов И. Б., Тимонов А. А. О решений проблемы восстановления изображения в ЯМР томографии.— Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 4, с. 872-876.

Лаврентьев М. М. Интегральная геометрия и обратные задачи.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984, с. 81—86.

Курант Р. Уравнения с частными производными.— М: Мир, 1964.— 830 с.

DeConvolution with application in spectroscopy/Ed. P. A. Jansson.— N. Y.: Academic Press Inc., 1984.— 342 p.

Вишняков Г. H., Левин Г. Г. Методы восстановления продольных томограмм.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, № 3, с. 629—633.

Ы. Валлескалн А. Я., Левин Г. Г., Старостенко О. В. Томографическое исследование рассеивающих сред.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, № 4, с. 850-853.

Левин Г. Г., Семеиов Э. Г., Старостенко О. В. Томографическое исследование пространственного распределения интенсивности излучения.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, № 5, с. 1161—1164.

Tretiak О. J., Metz С. The exponential Radon transform.— SIAM J. Appl. Math., 1980, v. 39, p. 341—354.

Clough A. V., Barrett H. H. Attenuated Radon and Abel Transforms.— J. Opt. Soc. Amer., 1983, v. 73, N 11, p. 1590—1595.

Нолл Г. Ф. Однофотонная эмиссионная реконструктивная вычислительная томография.— ТИИЭР, 1983, т. 71, № 3, с. 43—53.

Natterer F. On the inversion of the attenuated Radon transform.— Numeris- che Mathematik, 1979, Bd 32, S. 431—438.

Bracewell R. N., Riddle A. C. Inversion of fan-beam scans in radio astronomy.— Astrophys. J., 1967, v. 150, p. 427—434.

Budinger T. F., Gullberg G. T. Three-dimensional reconstruction in nuclear medicine emission imaging.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1974, v. NS-21, N 1, p. 2—20.

Gullberg G. T., Budinger T. F. The use of filtering methods to compensate for ' constant attenuation in single-photon emission computed tomography.— IEEE Trans. Biomed. Engineering, 1981, v. BME-28, N 2, p. 142—157.

Tanaka E., Iinuma T. A. Correction functions and statistical noises in transverse section picture reconstruction.— Gomput. Biol. Med., 1976, v. 6, p. 295— 306.

Bellini S., Piacentini M., Cafforio C., Rocca F. Compensation of tissue absorption in emission tomography.— IEEE Trans, on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1979, v. ASSP-27, N 3, p. 213—218.

Ghosh Roy D. H. Radon inversion of plasma emission.— Phys. Lett., 1983, v. 96A, N 9, p. 463—466.

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ.— М.: Наука, 1969.— 576 с.

Natterer F. The identification problem in emission computed tomography.— In: Mathematical Aspects of Computerized Tomography (Lecture Notes in Medical Informatics. V. 8)/Ed. G. T. Herman, F. Natterer. Berlin: Springer, 1981 p. 45— 56.

Censor Y., Gustafson D. E., Lent A., Tuy H. A new approach to the emission

computerized tomography problem: Simultaneous calculation of attenuation and activity coefficients.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1979, v. NS-26, N 2, p. 2775—2779.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 6

Цеисор Я. Методы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды.— ТИИЭР, 1983, т. 71, № 3, с. 148—160.

Луитт Р. М. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований,— Там же, с. 125—147.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент.— Успехи физ. наук, 1983, т. 141, № 3, с. 469—498.

Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям (основы реконструктивной томографии).— М.: Мир, 1983.— 350 с.

Скаддер Г. Дж. Введение в машинную томографию.— ТИИЭР, 1978, т. 66, № 6, с. 5—16.

Eggermont Р. Р. В., Herman G. Т., Lent A. Iterative algorithms for large partitioned .linear systems with applications to image reconstruction.— Linear Alg. Its AppL, 1981, v. 40, N 1, p. 37—67.

Gordon R., Bender R., Herman G. T. Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and X-ray photography.— J. Theor. Biol., 1970, v. 29, p. 471—481.

Kaczmarz-S. Angenaherte Auflosung von Systemen Linearer Gleichungen.— Bull. Acad. Polon. Sci, Lett., A, 1937, v. 35, p. 355—357.

Ortega J. M., Rheinboldt W. C. Iterative solution of nonlinear equations in several variables.— Academic Press, 1970, 286 p.

Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1980.— 536 с._

HermanG. Т., Lent A., Rowland S. W. ART: Mathematics and applications.— . J. Theor. Biol., 1973, v. 42, N 1, p. 1—32.

Herman G. T. A relaxation method for reconstructing objects from noisy X- _ rays.— Math. Program., 1975, v. 8, N 1, p. 1—19.

Herman G. T., Lent A. A family of iterative quadratic optimization for pairs of inequalities, with applications in diagnostic radiology.— Math. Program. Study, 1978, v. 9, N 1, p. 15—29.

Преображенский H. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982,— 238 с.

Bracewell R. N., Riddle А. С. Inversion of a fan-beams scans in radio astronomy.— Astrophys. J., 1967, v. 150, p. 427—434.

Gilbert P. Iterative methods for the three-dimensional reconstruction of an object from projections.— J. Theor. Biol., 1972, v. 36, p. 105—117.

Hamaker C., Solmon D. The angles between the null spaces of X-rays.— J. Math. Anal. AppL, 1978, v. 62, N 1, p. 1—23.

Herman G. T., Lent A. Iterative reconstruction algorithms.— Gomput. Biol, and Med., 1976, v. 6, p. 273—294.‘

Censor Y., Gustafson D. E., Lent A., Tuy H. A new approach to the emission computerized tomography problem: Simultaneous calculation of attenuation and activity coefficients.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1979, v. NS-26, N 2, p. 2775-2779.

Frieden B. R. Restoring with maximum likelihood and maximum entropy.— J. Opt. Soc. Amer., 1972, v. 62, N 4, p. 511—518.

Фриден Б. Улучшение и реставрация изображения.— В кн.: Обработка изображений и цифровая фильтрация. М.: Мир, 1979, с. 193—270.

Lent A. Maximum entropy and multiplicative ART.— In: Image Analysis and Evaluation/Ed. R. Shaw. Washington (SPSE Conf. Proc.), 1977, p. 249— 257.

Minerbo G. MENT: A maximum entropy,algorithm for reconstructing a source from projection data.— Gomput. Graph. Image Process., 1979, v. 10, N 1, p. 48-68.

Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.— М.: Мир, 1977,— 392 с.

Gordon R., Herman G. T. Reconstruction of pictures from their projections.— Commun ACM., 1971, v. 14, N 12, p. 759—768.

Gordon R., Herman G. T. Three-dimensional reconstruction from projections: A review of algorithms.— Intern. Rev. of Cytology, 1974, v. 38. N 2, p. Ill— 151.

Тихонов A. H., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— 2-е изд.— М.: Наука, 1979.— 286 с.

Турчин В. Ф., Козлов В. П., Малкевич М. С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач.— Успехи физ. наук, 1970, т. 102, № 3, с. 345—386.

Рубайгов И. В., Тимонов А. А., Пестряков А. В. О вычислительной томографии.— Докл. АН СССР, 1981, т. 258, № 4, с. 846— 850.

Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Рубашов И. Б. и др. Регуляризующие алгоритмы и пакет программ для первого отечественного сканирующего рентгеновского томографа СРТ-1000.— М., 1982.— 30 с,— (Препринт/АН СССР, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша; 41).

Арсенин В. Я., Загонов В. П., Трахонитовская Р. А. О численном решении интегральных уравнений первого рода типа свертки на неравномерных сетках.— М., 1978.— (Препринт/АН СССР, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша; 141).

Тихонов А. Н., Арсении В. Я., Рубашов И. Б., Тимонов А. А. О решении проблемы восстаиовления изображения в ЯМР томографии.— Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 4, с. 872—876.

Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Об использовании дополнительной информации при построении на основе локальной регуляризации алгоритмов нахождения приближенных решений интегральных уравнений 1-го рода типа свертки.— М-, 1983.— 25 с.— (Препринт/АН СССР, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша; 40).

Арсенин В. Я., Тимонов А. А. О локальной регуляризации математических задач компьютерной томографии.— В кн.: 2-й Всесоюз. симпоз. по вычислительной томографии. Куйбышевск. авиац. ин-т. 1985, с. 14—15.

Попов Д. А. О применении гладких регуляризаторов для вычисления свертки.— Докл. АН СССР, 1984, т. 276, № 1, с. 38—42.

Salakhov М. Kh., Grachev I. D., Latipov R. Z., Fishman I. S. The regularized algorithm of local emission reconstruction in the spectroscopic study of an optically thin plasma of arbitrary shape.— Computer Enhanced Spectroscopy, JL984, v. 2, N 3,'p. 117—124.

Грачев И. Д., Латипов Р. 3., Салахов М. X. Алгоритм эмиссионной томографии с использованием метода статистической регуляризации,— В кн.: Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 45—57.

Вайнштейн Б. К. Синтез проектирующих функций,— Докл. АН СССР, 1971, т. 196, № 5, с. 1072—1075.

Вайнштейн Б. К., Орлов С. С. К теории восстановления функций по их проекциям.— Кристаллография, 1972, т. 17, № 2, с. 253—257.

Вайнштейн Б. К., Михайлов А. М. Некоторые свойства синтеза проектирующих функций.— Кристаллография, 1972, т. 17, № 2, с. 258—263.

Вайнберг Э. И., Казак И. А., Курозаев В. П. Реконструкция внутренией пространственной структуры объектов по интегральным проекциям в ре- альиом масштабе времени.— Докл. АН СССР, 1981, т. 257, № 1, с. 89—94.

Вайнберг Э. И., Кантер Б. М., Файнгойз М. Л. Об аналоговой реконструкции рентгеновских томограмм.— В ки.: Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 20—27.

Chen F. Р., Goulard R. Retrieval of arbitrary concentration and temperature fields by multiangular scanning techniques.— J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1976, v. 16, N 10, p. 819—827.

Pickalov V. V., Preobrazhensky N. G. Algorithms for optical diagnostics of plasma layers with complicated geometry and different transmissivity.— In: Proc. 13-th ICPIG, Berlin, 1977, Contributed Papers, v. 1, p. 201—202.

Пикалов В. В. Некорректные задачи локальной оптической диагностики газовых и плазменных объектов произвольной конфигурации.— В кн.: Ин-

версия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978, с. 25—67..

Pickalov V. V., Preobrazhensky N. G. Restoration of two-dimensional radiation for an optically thick plasma.— J. de physique, 1979, t. 40, C-7, N 7, p. 855—856.

Bisseling R., Kosloif R. The fast Hankel transform as a tool in the solution of the time dependent Schrodinger equation.— J. Comput. Phys., 1985, v. 59, N 1, p. 136-151.

Lewitt R. M., Bates R. H. T. Image reconstruction from projections. 1: General theoretical considerations.— Optik, 1978, v. 50, N 1, p. 19—33.

Inouye T. Image reconstruction with limited view angle projections.— In: Proc. Int. Workshop on Physics and Engineering in Medical Imaging. Silver Spring, MD, IEEE Comput. Soc. Press, 1982, p. 165—168.

Hansen' E. W. Theory of circular harmonic image reconstruction.— J. Opt. Soc. Amer., 1981, v. 71, N 3, p. 304—308.

Hansen E. W. Circular harmonic image reconstruction: Experiments.— Appl. Opt., 1981, v. 20, p. 2266—2274.*

Maldonado C. D. Note on orthogonal polinomials which are «invariant in form» to rotations of axes.—J. Math. Phys., 1965, v. 6, N 12, p. 1935— 1938.

Maldonado C. D., Olsen H. N. New method for obtaining emission coefficients from emitted spectral intensities. Part 2.— Asymmetrical sources.— J. Opt. Soc. Amer., 1966, v. 56, N 10, p. 1305—1313.

Olsen H. N., Maldonado C. D., Duckworth G. D. A numerical method for obtaining integral emission coefficients from externally measured spectral intensities of asymmetrical plasmas.— J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1968, v. 8, N 10, p. 1419—1430.

Matulka R. D., Collins D. J. Determination of three-dimensional density fields from holographic interferograms.— J. Appl. Phys., 1971, v. 42, N 3, p. 1109—1119.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Восстановление поля локально равновесных температур среды по излучению.— Инж.-физ. жури., 1977, т. 33, № 6, с. 1042—1046.

Bracewell R. N. Strip integration in radio astronomy.— Austral. J. Phys., 1956, v. 9, p. 198—217.

Barrett H. H., Swindell W. Radiological Imaging. The theory of image formation, detection and processing.— N. Y.: Academic Press, 1981, v. 1, 2.— 694 p.

Ауслендер А, Л., Вишняков Г, H., Левин Г. Г. Решение интегрального уравнения Радона в оптическом процессоре.— Оптика и спектроскопия, 1980, т. 49, № 5, с. 946—951.

Ауслендер А. Л., Вишняков Г. Н., Левин Г. Г. О восстановлении изображений поперечных сечений объектов по их проекциям.— Оптика и спектроскопия, 1981, т. 50, № 2, с. 408—412.,

Cormack А. М. Reconstruction of densities from their projections, with applications in radiological physics.— Phys. Med. Biol., 1973, v. 18, p. 195— 207.

Клуг А. От макромолекул к биологическим ансамблям.— Успехи физ. наук, 1984, т. 142, № 1, с. 3—30.

Stark Н. Н., Woods J. W., Paul I. е. a. Direct Fourier reconstruction in computer tomography.— IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, 1981, v. ASSP-29, p. 237—245.

Воскобойников Ю. E., Пикалов В. В., Седельников А. И. Регуляризующий алгоритм фурье-реконструкции.— В кп : 2-й Всссоюз. симпоз. по вычислительной томографии. Куйбышевск. авиац. ин-т, 1985, о. 40—41.

Сороко Л. М. Гильберт-оптика.— М.: Наука, 1981.— 160 с.

Bates R. Н. Т., Peters Т. М. Towards improvements in tomography.— New Zealand J. Sci., 1971, v. 14, p. 883—896.

Tam К.-C., Perez-Mendez V., Maedonald B. 3-D object reconstruction in emission and transmission tomography with limited angular input.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1979, v. NS-26(2), p. 2797—2805.

Штейн И. Н. О применении преобразования Радона в голографической интерферометрии.— Радиотехника и радиоэлектроника, 1972, т. 17, № 11, с. 2436—2437.*

Липатов Н. П. Метод регуляризации обратного преобразования Радона в одной медико-биологической задаче.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1977, т. 17, № 1, с. 238—241.

Shepp L. A., Kruskal J. В. Computerized tomography: the new medical X- ray technology.— Amer. Math. Monthly, 1978, v. 85, N 6, p. 420—439.

Пресняков Ю. П. Вычисление двумерной функции показателя преломления.— Оптика и спектроскопия, 1976, т. 40, № 1, с. 124—127.

Зимин В. Д., Фрик П. Г. Теневой метод исследования трехмерных неоднородностей.— Оптика и спектроскопия, 1976, т. 40, № 6, с. 1060—1063.

Ерохин В. А., Шнейдеров В. С. Трехмерная реконструкция (машинная томография). Моделирование на ЭВМ.— Л., 1981.— 47 с.— (Препринт/ /АН СССР, Ленингр. науч.-иссл. вычисл. центр.; 23).

Craven Р., Wahba G. Smoothing noisy data with spline functions.— Numer. Math., 1979, v. 31, p. 337^-403.

Wahba G. A new approach to the numerical evaluation in the inverse Radon transform with discrete, noisy data.— In: Mathematical Aspects of Computerized Tomography/Ed. G. T. Herman, F. Natterer. Springer, 1981, p. 189— 203/„

Мельникова T. С., Пикалов В. В. Инверсия Радона в эмиссионной томографии нестационарной плазмы,— Новосибирск, 1982,— 52 с.— (Преп- принт/АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теплофизики; 80—82).

Мельникова Т. С., Пикалов В. В. Исследование параметров электрической дуги с помощью плазменного томографа.— Новосибирск, 1983.— 48 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теплофизики; 99—83).

Pickalov V. V., Melnikova Т. S. Tomographic measurements of plasma temperature fields.— Beitrage aus der Plasma Physik, 1984, Bd 24, N 4, S. 417— 430.

Введенская H. Д., Гиндикин С. Г. Обращение преобразования Радона по малому числу направлений.— В кн.: 2-й Всесоюз. симпоз. по вычислитель- ‘ ной томографии. Куйбышевск. авиац. ин-т, 1985, с. 35—36.

Валлескалн А. Я., Левин Г. Г., Старостенко О. В. Томографическое исследование рассеивающих сред.— Оптика и снектроскопия, 1985, т. 58, № 4, с. 850—853.

Левин Г. Г., Семенов Э. Г., Старостенко О. В.Томографическое исследование пространственного распределения интенсивности излучения.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, № 5, с. 1161—1164.

Cormack А. М. Representation of a function by its integrals, with some radiological aplications 2.— J. Appl. Phys., 1964, v. 35, N 10, p. 2908—2913.

Cho Z. H. General views on S-D image reconstruction and computerized transverse axial tomography.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1974, v. NS-21, N 3, p. 44—71.

Cho Z. H., Chan J. K., Hall E. L. e. a. A comparative study of 3-0 image reconstruction algorithms with reference to number, of projections and noise filtering.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1975, v. NS-22, N 1, p. 344—358.

Ведерников Г. А., Преображенский H. Г. О некорректных обратных задачах восстановления функций с разрывами производных.— Оптика и спектроскопия, 1978, т. 44, № 1, с. 204—205.

Кей С. М., Марпл С. Л. Современные методы спектрального анализа.— ТИИЭР, 1981, т. 69, № И, с. 5-51.

Воскобойников Ю. Е., Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984.— 238 с.

Воскобойников Ю. Е. Численный алгоригм обращения преобразования Радона на основе сглаживающих сплайнов.— В кн.: Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 36—44

Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функ- ций.— М.: Наука, 1980,- 352 с.

Воскобойников Ю. Е. Частотный подход к оцениванию точности сглаживания и дифференцирования с использованием сглаживающих сплайнов.— Автометрия, 1986, № 2, с. 11—18.

Николаев В. И., Пытьев Ю. П., Русаков В. С. и др. Новый принцип организации комплекса «спектрограф 4- ЭВМ».— Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 4, с. 848—852.

Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Оптимизация характеристик спектральных приборов,— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1984, т. 48, № 4, с. 810—814.

Niland R. A. Maximum reliable information obtainable by tomography.— J. Opt. Soc. Amer., 1982, v. 72, N 12, p. 1677—1682.

Oppenheim В. E. More accurate algorithms for iterative 3-dimensional reconstruction.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1974, v. NS-21, N 3, p. 72—77.

Lewitt R. M., Bates R. H. T. Image reconstruction from projections. 3 Projection completion methods (Theory).— Optik, 1978, v. 50, N 3, p. 189—204.

Strichartz R. S. Radon inversion-variations on a theme.— Amer. Math. Month., 1982, v. 89, N 6, p. 377— 384.

Choi J. S., Ogawa K., Nakajima M. e. a. A reconstruction algorithm of body sections with opaque obstructions.— IEEE Trans. Sonics and Ultrason., 1982, v. SU-29, N 3, p. 143-150.

Vest С. M., Prikryl J. Tomography by iterative convolution: empirical study and application to interferometry.— Appl. Opt., 1984, v. 23, N 14, p. 2433— 2440.

Михайлова H. H. Восстановление изображения в двусвязной области методом разложения в ряд.— В кн.: Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985.

Белоцерковский С. М., Сухоруких В. С., Татаренчик В. С. Определение поля плотностей пространственных газодинамических течений на основе оптических методов.— Ж урн. прикл. механики и техн, физики, 1964, N 3, с. 95-99.

Беляев А. Г., Комиссарук В. А., Менде Н. П. Применение методов томографии для изучения аэродинамических объектов.— В кн.: Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 3—7.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. О восстановлении локальных характеристик плазмы в условиях ограниченной экспериментальной информации.— Оптика и спектроскопия, 1976, т. 40, № 6, с. 1094—1096.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 7

Вайнштейн Б. К. Синтез проектирующих функций.— Докл. АН СССР, 1971, т. 196, № 5, с. 1072—1075.

Вайнштейн Б. К., Орлов С. С. К теории восстановления функций по их проекциям,— Кристаллография, 1972, т. 17, № 2, с. 253—257.

Робб Р. А., Хоффман Э. А., Сайнак Л. Дж. и др. Высокоскоростная трехмерная рентгеновская реконструктивная томография: Динамический пространственный реконструктор.— ТИИЭР, 1983, т. 71, № 3, с. 27—42.

Boyd D. Р., Gould R. G., Quinn J. R. e. a. A proposed dynamic cardiac 3-D densitometer for early detection and evaluation of heart disease.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1979, v. NS-26, p. 2724-2727.

Орлов С. С. Теория трехмерной реконструкции.— Кристаллография, 1975, т. 20, № 3, с. 511—515 (ч. 1); 1975; т. 20, № 4, с. 701-709 (ч. 2).

Захаренков Ю. А., Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. и др. Томографическое восстановление изображений плотной неоднородной плазмы.— В кн.: 3-е Всесоюзн. совещ. по диагностике высокотемпературной плазмы. Дубна, 1983, с. 89.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г., Трашкеев С. И. Томографическая интроскопия трехмерной фазовой неоднородности.— Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, № 6, с. 1357-1358.

Ra J. В-, Cho Z. Н. Generalized true three-dimensional reconstruction algorithms.— Proc. IEEE, 1981, v. 69, p. 668—670.

Minerbo G. N., Sanderson J. G., van Hulsteyn D. B. e. a. Three-dimensional reconstruction of the X-ray emission in laser imploded targets.— Appl. Opt., 1980, v. 19, N 10, p. 1723—1728.

Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы,— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.— 238 с.

Minerbo G. N., Sander О. R., Jameson В. A. Four-dimensional beam tomography.— IEEE Trans. Nucl. Sei., 1981, v. NS-28, N 3, p. 2231—2233.

Денисов В. И., Захаренков Ю. А., Кологривов А. А. и др. Методы эмиссиои- нои и интерферометрической томографии лазерной плазмы,— Кратк. совещания по физике, 1985, № 12, с. 17—21.

Nalcioglu О., Cho Z. Н. Reconstruction of 3D objects from cone beam projections— Ptoc. IEEE, 1978, v. 66, N 11, p. 1584—1585.

Schorr B., Townsend D. Filters for three-dimensional limited-angle tomography.—Phys. Med. Biol., 1981, v. 26, N 2, p. 305—312.

Townsend D., Schorr B., Jeavons A. e. a. Image reconstruction for a rotating positron tomograph.— IEEE Trans. Nucl. Sei., 1983, v. NS-30, N 1, p. 594— 600.

Tanaka E., Iinuma T. A. Correction functions for optimizing the reconstructed image in transverse section scans— Phys. Med. Biol., 1975, v. 20, p. 789—798.

Barrett H. H. The Radon transform and its applications.— In: Progress in Op- tics/Ed. E. Wolf. Elsevier Science Publishers, 1984, v. 21, p. 217—286.

Лаврентьев M. M., Кирейтов В. P., Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Проблемы физической томографии.— В ки.: Вопросы реконструктивной-' томографии— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 77—86.

Barrett Н. Н. Dipole-sheet transform.— J. Opt. Soc. Amer., 1982, v. 72, N 4, p. 468—475.

Волков E. Д., Супруненко В. А., Шишкин А. А. Стелларатор.— Киев: Наук, думка, 1983.— 312 с.

Адаркин В. А., Скроцкий Г, В., Сороко Л. М., Федин Э. И. ЯМР-интроско- пия— Успехи физ. наук, 1981, т. 135, № 2, с. 285—315.

Shepp L. A. Computerized tomography and nuclear magnetic resonance.— J. Comput. Assist. Tomography, 1980, v. 4, N 1, p. 94—107.

Хиншо У. С., Лент А. X. Основы ЯМР-визуализации: от уравнения Блоха к уравиению визуализации.— ТИИЭР, 1983, т. 71, № 3, с. 63—78.

Mansfield Р., Morris Р. G. NMR imaging in biomedicine.— N. Y.: Academic Press, 1982— 354 p.

Kinsey J. L. Fourier transform Doppler spectroscopy: A new means of obtaining velocity-angle distributions in scattering experiments.— J. Chem. Phys., 1977, v. 66, N 6, p. 2560— 2565.

Зайдель А. П., Островская Г. В., Островский IO. И. Техника и практика спектроскопии— М.: Наука, 1976— 392 с.

Williamson J. Н., Clarke М. Е. Construction of electron distribution functions from laser scattering spectra.— J. Plasma Phys., 1971, v. 6, part 1, p. 211— 221.

Преображенский H. Г., Топлина С. П. Спектротомография в пространстве импульсов на основе комптоновского рассеяния.— В кн.: Линейные и ие- линейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. с.

Pomraning G. С. The equations of radiation hydrodynamics..— N. Y.: Pergamon Press, 1973.— 288 p.

Cooper M. J. Compton scattering and electron momentum determination- Reports on Progress in Physics, 1985, v. 48, N 4, p. 415—481.

Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика,— М.: Наука, 1980— 398 с.

Chiu М. Y., Barrett Н. Н., Simpson R, G, Three-dimensional reconstruction from planar projections— J. Opt. Soc. Amer., 1980, v. 70, p. 755—761.

Арсенин В. Я., Тимонов А. А. О построении регуляризующих операторов, близких к оптимальному, для одномерных и многомерных интегральных уравнений 1-го рода типа свертки.— Докл. АН СССР, 1985, т. 284, № 6, с. 1289—1293.

Клуг А. От макромолекул к биологическим ансамблям.— Успехи физ. наук, 1984, т. 142, № 1, е. 3—30.

Хамермеш М. Теория групп и ее приложение к физическим проблемам— М.: Мир, 1966— 588 с.

Mijnarends Р. Е. Reconstruction of three-dimensional distributions.— In:

Compton Scattering/Ed. В. Williams. N. Y.: McGrow-Hill, 1977, p. 323— 345.

Mijnarends P. E. UNEOLD. A Fprtfan-IV code for synthesis of momentum'distributions by deconvolution of angular correlations of positron annihilation radiation or Compton line profiles.— Report RON-217, 1974.

ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ 4

Clough A. V., Barrett H. H. Attenuated Radon and Abel transforms.— J. Opt. Soc. Amer., 1983, v. 73, N 11, p. 1590—1595.

Gullberg G. T., Budinger T. F. The use of filtering methods to compensate for constant attenuation in single-photon emission computed tomography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1981, v. BME-28, p. 142—157.

Градштейи И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,— М.: Физматгиз, 1962, с. 502 (см. формулу (3.937(2))).

Ramachandran G. N., Lakshminarayanan А. V. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrographs: application of convolutions instead of Fourier transforms.— Proc. Nat. Acad. Sci. U. S., 1971, v. 68, p. 2236—2240.

Shepp L. A., Logan B. F. Fourier reconstruction of a head section.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1974, v. NS-21, N 3, p. 21—43.

ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ 5

Мельникова Т. С., Пикалов В. В. Измерение поля температур в нестационарной дуге,— В кн.: Материалы 7-й Всесоюз. конференции по генераторам низкотемпературной плазмы. Алма-Ата, 1977, т. 1, с. 195—198.

Пикалов В. В. Комплекс программ томографической реконструкции локальных характеристик плазмы.— В кн.: Комплексы программ математической физики (СКПМФ-7). Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1982, с. 317—319.

Мельникова Т. С., Пикалов В. В. Инверсия Радона в эмиссионной томографии нестационарной плазмы,— Новосибирск, 1982,— 51 с. — (Препринт/ /АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теплофизики; 80).

Мельникова Т. С., Пикалов В. В. Исследование параметров электрической дуги с помощью плазменного томографа.— Новосибирск, 1983.— 47 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теплофизики; 99).

Пикалов В. В. Проблемы разработки и сопровождения программного обеспечения по плазменной томографии.— В кн.: Всесоюз. симпоз. по вычислительной томографии: Тез. докл. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 148-149.

Пикалов В. В. Пакет прикладных программ, ориентированный на задачи вычислительной томографии.— В кн.: Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 132—135.

Яненко Н. Н., Карначук В. И., Коновалов А. Н. Проблемы математической технологии.— В кн.: Числ. методы механики сплошн. сред. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, с. 129-157.

Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики,— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981.— 304 с. —

Марченко Н. А., Пергамент А. X. Обработка интерферограмм на ЭВМ.— М., 1982.— 26 с,— (Препринт/AH СССР, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша; 42).

Тихонов А. Я., Арсенин В. Я., Думова А. А. и др. О многоцелевой проблемно-ориентированной системе обработки результатов экспериментов.— М., 1976.— 50 с.— (Препринт/AH СССР, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша; 142).

Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Бурдонский И. Н. п др. О системах автоматизированной обработки данных в диагностике плазмы.— М., 1982.— 34 с,— (Препринт/AH СССР, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша; 196).

Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982,— 238 с.

Ильин В. П. Сравнительный модульный анализ алгоритмов решения краевых задач,— В кн.: Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1983, с. 102—117.

Дал У., Дейкстра Э., Хоор К. Структурное программирование.— М.: Мир, 1975.— 248 с.

Подан Э. Структурное программирование и конструирование программ.— М.: Мир, 1979— 416 с.

Майерс Г. Надежность программного обеспечения,— М.: Мир, 1980,— 380 с

Фокс Дж. Программное обеспечение и его разработка— М.: Мир, 1985— 368 с.

Воскобойников Ю. Е. Вариационный подход к синтезу сверточных алгоритмов вычислительной томографии.— Автометрия, 1986.

Градев И. Д., Латинов Р. 3., Салахов М. X. Алгоритм эмиссионной томографии с использованием метода статистической регуляризации— В кн.: Вопросы реконструктивной томографии.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985, с. 45—57.

Иванов М. С., Малыхин С. М. Комплекс программ для обеспечения диалога.— Новосибирск, 1982.— 22 с.— (Пропринт ААН СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл. механики; 18).

Melnikova Т. S., Pickalov V. V. Temperature field measurements of electric arc plasma in longitudinal magnetic fieod.— Beitrage aus der Plasma Physik, 1982, Bd 22, H. 2, S. 171—180.,

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент— Успехи физ. наук, 1983, т. 141, вып. 3, с. 469— 498.

Черевко А. С., Пикалов В. В., Тагильцев А. П. и др. Изучение температурного поля плазменной струи двухструйного плазмотрона.— Жури, прикл. спектроскопии, 1983, т. 38, вып. 3, с. 497—499.-

Бухгейм А. Л., Зеркаль С. М., Пикалов В. В. Об одном алгоритме решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики.— В кн.: Методы решения обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 38—47.

Pickalov V. V., Melnikova Т. S. Tomographyc measurements of plasma temperature fields.— Beitrage aus der Plasma Physik, 1984, Bd 24, H. 4, S. 417— 430.

Melnikova T. S., Pickalov V. V. Tomographic measurements of temperature field in non-stationary arc plasma— Beitrage aus der Plasma Physik, 1984, Bd 24, H. 5, S. 431-445.

Мельникова T. С., Пикалев В. В. Эмиссионная томография нестационарной плазмы.— Теплофизика высоких температур, 1984, т. 22, № 4, с. 625—633.

Денисов В. И., Захаренков Ю. А., Кологривов А. А. и др. Методы эмиссионной и интерферометрической томографии лазерной плазмы.— Кратк. сообщения по физике, 1985, № 12, с. 17—21.

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г., Трашкеев С. И. Томографическая интроскопия трехмерной фазовой неоднородности.—■ Оптика и спектроскопия, 1985, т. 58, вып. 6, с. 1357—1358. 1

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Атомно-спектральная томография.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1984, т. 48, № 7, с. 1289-1296. _

Пикалов В. В. Алгоритм обратного распространения Для эйконального приближения "В томографии.— В кн.: 2-й‘Всесоюз. симпоз. по вычислительной томографии. Куйбышевск. авиац. ину, 1985, с. 121—122._

Воскобойников Ю. Е., Пикалов В. В., Седельников А. И. Регуляризующий алгоритм фурье-реконструкции— Там же, с. 40—41.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие,". .3

Введение5

Глава 1. Методы томографирования в широких пучках просвечивающего излучения 14

Планиграфия —

Томосинтез 19

Метод планарнойлазерно-индуцированной флуоресценции 24

Глава 2. Томография с априорными ограничениями. I. Параметризация и простая абелеваинверсия 28

Параметрические постановки задач спектротомографии . .29

Томография осесимметричныхобъектов 36

Абелева инверсия нестационарных объектов 44

4848Глава 3. Томография с априорными ограничениями. П. Обобщения абелевой инверсии

48

48

- §3.1. Примеры газодинамических и плазменных задач, включающих абелеву инверсию .......; 49

Редукция к оптически тонкому осесимметричному излучателю 59

Томография с усложненными системами изолиниц . « . .65

Глава 4. Основы математического аппарата линейной томографии асимметричных объектов (случай п измерений) 80

Прямое преобразование Радона —

Инверсия Радона 89

О соотношении формул инверсии Радона в четно- и нечетномерном пространствах■ 98

Г л а в я 5. Теоретические основы линейной томографии двумерных объектов 100

Двумерная инверсия Радона для неограниченных и ограниченных носителей

Формулы 2D инверсии, основанные на полиномиальных

разложениях' 106

Обратное проецирование 115

Экспоненциальное преобразование Радона 123

Глава 6. Алгоритмы линейной двумерной томографии ......1.34

Алгоритмы типа А —

Алгоритмы типа Б 146,

Некоторые вопросы тестирования алгоритмов £5$

Погрешности дискретизации, случайные ошибки и вопросы синтезаалгоритмов 159!

Алгоритм реконструкции 2D объекта, содержащего непрозрачныевключения 169

Глава7. Задачилинейной трехмернойтомографии .,,,,,.,471

§7.1. Реконструкция трехмерного объекта по 2D проекциям . . 172: § 7.2. Реконструкция трехмерного объекта по 1D проекциям . . 175,

Приложение 1. Показатель корректности и вопросы аналйтиче- екого решения интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода типа свертки . . г.,184

Приложение 2. Оценка погрешности центрирования системы изолинии . • • ....,,..*1*«1............193

Приложение 3. К инверсии Радона методом плоских волн . ; , 194

Приложение 4. Формулы инверсии в эмиссионной томографии с коэффициентом экстинкции |i=const .197

Приложение 5. Пакет программ вычислительной томографии TOPAS для задач РТ газовой динамики и физики плазмы . . . . 199

При ложение 6. Преобразование Радона и цифровая голография . $ 207

Литература 209

Валерий Владимирович Пикалов Николай Георгиевич Преображенский

РЕКОНСТРУКТИВНАЯ ТОМОГРАФИЯ В ГАЗОДИНАМИКЕ И ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ

Утверждено к печати Институтом теоретической и прикладной механики СО АН СССР

Редакторы издательства И. Ф. Головнев, Л. П. Голышева

Художественный редактор Т. Ф. Каманина

Художник В. А. Тельных’

Технический редактор Л. П, Минеева

Корректоры В. К. Жихарева, Т. Ф. Погиблова t

ИБ № 29866

Сдано в набор 10.07.86. Подписано в печать 31.12.86. МН-01553. Формат 60X90/16 Бумага типографская №3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 14,5. Усл. кр.-отт. 14,5. Уч.-изд. л. 17. Тираж 1200 экз. Заказ М 262. Цепа 2 р. 90 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука», Сибирское отделение. ■630099, Новосибирск, 99, Советская, 18.

4-я типография издательства «Наука».

630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.

[АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

В. В. ПИКАЛОВ

Н. Г. ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ

РЕКОНСТРУКТИВНАЯ ТОМОГРАФИЯ

В ГАЗОДИНАМИКЕ И ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ

Ответственный редактор акад. М. М. Лаврентьев ■

^1 н

НОВОСИБИРСК

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1987

УДК 533.9 + 518.517.948 + 539.143.43 + 615.47

Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Реконструктивная томография к газодинамике и физике плазмы.— Новосибирск: Наука, 1987. ■

В монографии впервые последовательно рассмотрены физические принципы, математический аппарат и основные прикладные . аспекты реконструктивной томографии в применении к задачам аэро- и газодинамики, а также физики плазмы. Особое внимание уделено численным алгоритмам физической- томографии, которые широко иллюстрируются модельными расчетами и примерами обработки данных реального эксперимента. - -

Книга предназначена для .специалистов в области физики, ■ . вычислительной математики, информатики.

Рецензенты А. Н. Папирин, И. Б. Хриплович

125—87—1125—87—1©Издательство «Наука», 1987 г.©Издательство «Наука», 1987 г.1704050000 — 731

125—87—1

125—87—1

©Издательство «Наука», 1987 г.

©Издательство «Наука», 1987 г.

П 042(02) — 87