ГЛАВА

1ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТОМОГРАФИИ

В последнее время значительный интерес вызывают процессы, возникающие при взаимодействии потоков плазмы между собой и с различного рода магнитными полями. Часто из-за сложности такого взаимодействия нарушается осевая симметрия плазменного образования. Поэтому при изучении влияния указанных полей на параметры плазмы возникает необходимость использования томографических методов исследования.

В данной главе представлены основные принципы компьютерной томографии (КТ), а также особенности методов плазменной томографии (ПТ), позволяющие определять локальные параметры плазменных объектов при весьма ограниченных экспериментальных данных.

1.1. ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

КТ — это область прикладной науки, сочетающей в себе достижения вычислительной математики, компьютерной техники, физики и многих других современных научных направлений [485, 490, 534]. Рассмотрим общую постановку наиболее простой задачи эмиссионной и абсорбционной плазменной томографии в двумерной случае.

Уравнение переноса излучения вдоль прямой L имеет вид [514]

к = %3 -%(乂⑺， (1丄1) где е, х — соответственно локальные коэффициенты эмиссии и абсорбции на фиксированной частоте »; / ——координата вдоль прямой L. Решение этого уравнения для выходящего излучения запишется так:

4(Р,Е) = / 由£(Z)exp[ - J nil^dt} ♦ (1.1.2)

Интегральное излучение плазмы /#(&,р) (проекция) регистрируется вдоль системы прямых лучей (рис. 1.1), задаваемых направлением 占 и расстоянием р до начала координат 0 (иногда лучи интегрирования задают в системе (р,9), где угол 9 характеризует угловое положение нормали к лучу; мн также иногда будем использовать нормальную систему задания прямой).

Рис. /」• Томографическая регистрация излучения плазмы.

обозначать через ©%,у), а регистрируемое интегральное излучение —обозначать через ©%,у), а регистрируемое интегральное излучение —через f(p』)):через f(p』)):В приближении оптически тонкой плазмы (х 三 0) регистрируемое излучение описывается классическим интегральным преобразованием Радона [457] (далее неизвестные локальные коэффициенты эмиссии будем

обозначать через ©%,у), а регистрируемое интегральное излучение —

обозначать через ©%,у), а регистрируемое интегральное излучение —

через f(p』)):

через f(p』)):

(1.1.3)(1.1.3)/(占,р) = R｛虱х,у)｝三 f g(x,y)dl.

(1.1.3)

(1.1.3)

На рис. 1.1 показано плоское сечение исследуемого плазменного объекта с распределением локальных коэффициентов эмиссии 風х,у)・ Измерив в диагностических экспериментах интегральное излучение для набора углов ｛柒｝,占 £ (0,180°), и набора координат ｛»｝, можно получить оценку искомого решения:

g =乙” + 办(1.1.4)

Здесь К” 一 приближение к обратному преобразованию Радона; 〃 一 шумовая составляющая проекционных данных.

Методам обращения уравнения (1*1,3) в различных приближениях посвящены последующие главы данной книги. Здесь же схематично покажем лишь принципиальную возможность получения такого решения.

Введем повернутую на угол ^ систему координат ($,р):

$ = х с吨 + у sin£

р = -х sin^ + у 8哲.(1.1.5)

В повернутой системе выразим искомую функцию g^Sjp) через ее двумерный фурье-образ gty^Vp)^

貳S,p) = f f i(匕,vjexp [侬(吗 + pv^ ]dv^lvp.(1.1.6)

Запишем теперь выражение для проекции от функции 虱$,р) в направлении £

/(р,幻=J g(s,p)ds = J J g(y3,v^dv3dvj ds ехр[/2л(^ + 吗川=

=/ /eXp [期3?)圆匕/户(%) I % =(A尚,=

=/叱exp [出(叫)圆й匕)1" =o.(1.1.7)

Легко видеть» что здесь получено выражение проекции 厶(р) через обратное фурье-преобразование от фурье-образа искомой томограммы 京％у/, взятое в центральном сечении 匕=0. Отсюда немедленно следует так называемая теорема о центральном сечении, связывающая между собой одномерный фурье-образ проекции с двумерным фурье- образом решения:

，№)=寅 0,vJ.(1-1.8)

Перепишем уравнение (1.1.6) в полярной системе координат:

2л 8

風Х,у) = /w J i(v Л )ехр\thivr sin(^ -占)川必= о о

Я 8

=/ rf^ / IVI /^(v)exp [/2л^р0 ]dvt(1.1.9)

0 -со

Здесь (△夕)一полярные координаты точки (%j)・ Итак, получено решение уравнения (1Л.З), выраженное через фурье-образы 厶(»)|м|, вычисленные для пространственного аргумента р0 = гsin(^ - |), с последующим интегрированием по углам 占.Можно исключить этап фурье-преобразования, если воспользоваться известной теоремой о свертке и заменить в (1.1.9) внутренний интеграл сверткой с обратным фурье-преобразованием от обобщенной функции |м| [18]:

网 1")= -亨T(1.1.10)

Тогда окончательно имеем формулу, известяую как обратное преобразование Радона:

где % = — x sin^ + у8* = /• sin(屮 — 打.

Широко известны успехи медицинской томографии, позволяющей врачу наблюдать на экране дисплея структуру различных органов пациента, ставить диагноз его болезни. В чем же специфика задач плазменной томографии (ПТ), их отличие от задач медицинской КТ? Перечислим особенности задач ПТ, затрудняющие их решение:

―малость числа направлений (ракурсов) наблюдений К;

— малость числа отсчетов (по р) ^;

—— угловые ограничения в регистрации проекций;

—возможное рассогласование проекций;

― наличие самых разнообразных искажающих сигнал аппаратных функций в системах детектирования;

—наличие шумов с различной статистикой в измерительных каналах;

—появление в некоторых случаях непрозрачных включений внутри плазменных объектов;

—возможное отклонение лучевых траекторий от прямолинейных вследствие рефракции.

Методы измерения проекционных данных в ПТ обычно являются дальнейшим развитием классических способов получения диагностической информации о плазме. В основном это эмиссионные (различного спектрального диапазона — от инфракрасного до мягкого рентгеновско- т), трансмиссионные: интерферометрические (также в разных диапазонах электромагнитных волн), дефлектометрические (спекл-, шлирен- и теневые), корпускулярные и т.п. методы [422, 434, 501, 506, 507, 532 ]. Все они, конечно же, получили свое развитие прежде всего для одноракурсных систем измерений. При известных ограничениях на класс изучаемых плазменных образований даже такие системы сбора данных можно отнести к томографическим, если они позволяют по измеренной информации определить локальные характеристики плазмы в некоторых ее сечениях, а инотща и во всем объеме.

К вариантам одноракурсной томографии относятся задачи, в которых известны изолинии (или изоповерхности) локальных коэффициентов змиссии. Самый известный пример подобного рода — случай осевой (или цилиндрической) симметрии. Тогда изолинии представляют собой концентрические окружности, а единственная проекция /(р) связана с искомым решением 貳г) интегральным уравнением Абеля:

〃Р)= 2 / £弓夕,(1.1.12)

методы решения которого интенсивно развиваются уже более ста лет (обзор численных методов см. в [506], а также гл. 19 монографии [459 ]). К несколько иному уравнению типа Вольтерра 1-го рода можно свести задачу для системы смещенных окружностей, послужившей моделью при интерпретации экспериментов на токамаках ТЗ и TEXTOR [377, 267]. Дальнейшее развитие этих подходов естественно приводит к рассмотрению системы изолиний в виде смещенных эллипсов [484 ]:

(X - 40))2 丄(У - 8。)尸 一

Л(0 = а(1 - 0，ДО =伙 1 - 0，(1.1.13)

где параметр fW [0,1 ] играет роль приведенного радиуса плазмы. Искомое распределение 虱办 также удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода, ядро которого впервые получено в работе [484]. Устойчивые методы решения данного уравнения, разработанные авторами [484 ], успешно использовались для эмиссионной и интерфе-

рометрической диагностики плазмы на стеллараторе Л-2 [370, 408 ], а также при диагностике дуговой плазмы [442 ].

Следует подчеркнуть, что развитая в [484 ] теория реконструкции (основанная на более ранней работе [466 ]) позволяет проводить одноракурсное томографирование как в веерной, так и в параллельной системе регистрации. В работе [260], ориентированной на диагностику токамака ASDEX, получены частные результаты для изолиний эллиптической формы (соосные изолинии, а ==尸 =0 в (1.1.13)) при веерной схеме регистрации.

Известны плазменные установки, где расчеты магнитных потоков позволяют предположить наличие треугольной системы изолиний для локальных коэффициентов эмиссии. К их числу относятся торсатроны, и, в частности, для разных режимов работы торсатрона Ураган-3 [328 ] описаны простые алгоритмы интерпретации одноракурсных веерных измерений для трех видов систем изолиний [487, 489, 490]. Наиболее общий случай одноракурсной томографии описан в [487, 489]. Здесь информация о виде изолиний искомых коэффициентов эмиссии может быть задана в виде какой-то иной функции двух переменных В(х，у), чаще всего известной в табличном виде {В^. Примером таких функций могут служить распределения магнитного потока, рассчитываемые в задаче о магнитном равновесии.

Естественно, упомянутые методические принципы можно распространить с двумерных на трехмерные постановки задач одноракурсной томографии, когда интерпретации подвергается также одна, но уже двумерная проекция трехмерного объекта. Так, в работе [143] авторы рассмотрели задачу восстановления профиля показателя преломления л(р) в интерферометрическом эксперименте (р ——расстояние до центра симметрии в трехмерной системе координат) при условии сферической симметрии задачи. Ее обобщение иа случай эллипсоида вращения предложено в [413 ].

Кроме необходимости решать неустойчивые некорректные задачи математической физики [518 ], в задачах эмиссионной томографии возникают осложнения, связанные с учетом самопопгощения в плазме [380 ]. Для реконструкции локальных значении эмиссии ^г) (осесимметричный вариант) в этом случае необходимо предварительно определить в дополнительных трансмиссионных измерениях локальные коэффициенты поглощения я(г) и лишь затем обратить интегральное уравнение вида

/(р) = 2/ 7哭^ [cosh J /?[%] dr. (1.1.14) В отличие от уравнения Хбеля (1.1.12) уравнение (1.1.14) уже не имеет аналитической 'формулы для своего решения, и набор методов его решения существенно беднее по сравнению с арсеналом методов инверсии Абеля [506 ]. Отметим лишь несколько работ, рассматривающих различные аспекты диагностики плазмы с самопоглощением [23, 62, 65, 76 ]. Авторами [450 ] для случая заданных для эмиссии 風х,у) и поглощения я(х,>) одной системы выпуклых изолиний без самопересечений получено общее интегральное уравнение (веерная схема регистрации):

/(占)=exp ( - J F^ndfj x

x J g(t)Г^ехр JF^ndt —尸exp J F^ndt j di, (1.1.15)

(Выражения для интегральных ядер 尸+ и 尸一,а также предела интегрирования 4 см. в [450 ].)

Коротко коснемся задач ультрамалоракурсной томографии, понимая под этим термином исследования плазмы с двух и трех направлений. Запишем искомую функцию в полярной системе координат в виде ограниченного ряда по полоидальным гармоникам:

g(r£) = Я(г) + K(r) cos I + L(r) sin I， (1.1.16) Оказывается, двух взаимно перпендикулярных направлений наблюдения вполне достаточно для восстановления трех неизвестных функций в (1.1.16). Для этого следует из измеренных проекций /90(х) и /0(у) составить следующие комбинации [77]:

/+(х) = а°(х) + М(-х))/2, /_(х) = (//х) - %(-х))/2х, 尸⑴=&(*) + 盘 Г))”， /ХУ) = (f°(x) - /°(—У))/2у,(1.1.17)

которые связаны преобразованием Абеля А{ . } (1.1.12) с искомыми функциями:

Г(х) = А{Н(г)}, /-(х) = А{К(г)}, /+(у) = А{Щг)}, /-(у) = А{Цг)}.(1.1.18)

Используя далее те или иные численные методы инверсии Абеля Л-1{.}, несложно получить радиальные гармоники Я(г), 2C(r), L(r). В работе [157] такой метод использован для спектральной диагностики аргоновой плазмы ВЧ-разряда в условиях слабого отклонения от осевой симметрии. Разложение в ряд, подобный (1.1.16), но с большим числом гармоник, приводит к известному томографическому алгоритму Кормака [46], требующему для своего применения уже бёльшего числа направлений наблюдения.

Бдльшая часть задач физической КТ относится к малоракурсной томографии с числом ракурсов К = 5——15, в отличие от медицинской или промышленной КТ, где К = 102—103. На рис. 1.2 ([183]) приведены результаты реконструкции томограмм простого математического фантома:

g(x,y) = ехр[-а2(х2 + у2) ].(1.1.19)

Рис. /.2. Томограммы простого фантома: осесимметричная гауссиана.

В этих расчетах х,у G [-1,1 ], N — ^5, а = 4,5 метод восстановления SL2 — один из алгоритмов обратного проецирования с фильтрацией (ОПФ), входящих в пакет программ вычислительной томографии газа и плазмы TOPAS—MICRO [472]. Число направлений наблюдения менялось от 4 до 13 (К приведено на рисунке), причем надо учесть, что проекция для последнего направления £ = 180° с точностью до центральной инверсии совпадала с первым (| — 0°), поэтому реальное число ракурсов на единицу меньше. Среднеквадратичная ошибка реконструкции томограммы А】 (в процентах) по мере увеличения К уменьшалась в данных примерах следующим образом: 81,4； 16,3; 11,7; 5,9;1,3, А】 вычислялась по формуле

(1.1.20)(1.1.20)у к уexact、2

(1.1.20)

(1.1.20)

2•马•(犷了 ‘

где gjjact — локальные коэффициенты} соответствующие точной томограмме, a g『/ — восстановленной. Амплитуда исходной модели и положение ее максимума хорошо восстанавливаются сразу, даже для трех ракурсов наблюдения. На приведенных томограммах четко заметен эффект расположения артефактов на uспицах колеса** с числом “спиц" (К — 1) в интервале углов [О,тг) и 2(К — 1) — в интервале [0,2тг) (отрицательные значения здесь занулены, поскольку моделируется задача восстановления положительной интенсивности излучения). Также наглядно видны вытеснение максимумов боковых лепестков артефактов за пределы томограммы с ростом числа ракурсов и различие их структуры в зависимости от четности или нечетности К (по этому вопросу подробнее см. [163]).

Близкие результаты дает моделирование для более сложных, уже аксиально несимметричных, но гладких фантомов (рис. 1.3) [446 ]. Здесь модель, состоящая из суммы трех различных эллиптических гауссиан (рис. 1.3, а), восстанавливалась тем же алгоритмом SL2 для числа ракурсов К = 4,7,19 (рис. 1.3, б). Шум в проекционных данных моделировался на уровне 1 %.

Такое моделирование позволяет сделать вывод о том, что плавные плазменные неоднородности восстанавливаются с достаточным уровнем точности уже для 5—10 ракурсов наблюдения.

Почему же малость числа ракурсов отнесена к факторам, затрудняющим решение задач КТ? Дело в том, что в дискретной постановке задача КТ не имеет единственного решения для конечных чисел X и ^. Построим простейший пример неединственного решения для трех направлений регистрации (правило его построения предложил Е.Ю. Деревцов) •

На рис. 1.4 показаны две системы точечных излучателей одинаковой интенсивности (белые и черные кружки), каждая из которых дает одинаковый набор проекционных данных. Очевидно, что третьим решением обратной задачи с указанными данными будет совокупная система с уменьшенной в два раза амплитудой всех излучателей. Чтобы продолжить построение этого контрпримера с тремя решениями томографической задачи на случай четырехракурсной регистрации, достаточно полученную систему излучателей сдвинуть параллельно на про-

Р〃с. 7.3. Реконструкция Гладких фантомов.

извольное расстояние в четвертом направлении со сменой цвета шарика: белый — на черный и наоборот.

Как же согласуется принципиальный факт неединственности решения задачи КТ с неплохими результатами восстановления модельных томограмм на рис. 1.2 и 1.3 для малого числа углов наблюдения? Конкретно для данных фантомов дело состоит в значительной степени гладкости выбранных модельных функций, а именно в том, что фурье- спектр таких $ункци办 низкочастотный. Поэтому реально методами КТ можно получить обычно не точное изображение выбранного сечения плазмы, а некоторую оценку изображения, тем более точную, чем больше собрано информации об объекте и чем богаче та априорная информация о плазме, которая известна экспериментатору. Немаловажно и то, существуют ли соответствующие вычислительные алгоритмы, способные конструктивно использовать эту информацию.

К таслу наиболее часто применяемых видов априорной информации в ПТ обычно относятся:

—степень гладкости искомого решения, чаще всего формализуемая в терминах дифференцируемости проекционных данных;

——оценка случайного шума в измерениях;

—положительность решения;

—положение непрозрачных включений и характеристики их формы;

— вид симметрии решения (плоскость симметрии, или тип изолиний) И Т.Д.

Важность информации о шумах измерений несложно продемонстрировать при рассмотрении структуры обратного преобразования Радона А'1. Запишем две формально эквивалентные формулы [54 ]:

(/ -оо 5з0丿

Ему) = - —d占 J ——-,(1.1.21)

271 о 乙(P 一 Po)

ИИ% = -x sin I + у cos I,

И

И

展x,y) = / 喈 / 石(v) I v I exp U 2m>po ]dv.(1.1.22)

0-8

Из первой формулы инверсии Радона (1.1.21) видно, что некорректность задачи связана с необходимостью дифференцирования неточно заданной функции /(占,")，содержащей компоненту случайного шума. Свертку с обобщенной функцией (1/"?) в (1.1.21) часто называют операцией фильтрации, поскольку она соответствует в частотной области умножению на фильтр |у| (см. 1.1.22). Так как с ростом частоты полезная составляющая в спектре проекции Д(г) уменьшается, а шумовая — нет, то очевиден механизм усиления вклада высокочастотных шумов в спектр решения. Достаточно эффективно подавить такие шумы позволяют сглаживающие кубические сплайны с выбором параметра сглаживания а по критерию невязки [366, 452, 455]:

Щр) - f^pW ^ ^ (1-1.23)

В работах авторов [226, 446] подробно исследован алгоритм RICSS (Radon Inversion with Cubic Spline Smoothing), основанный на формулах (1.1.21) и сглаживающих сплайнах.

Внешний интеграл в (1Д.21) и (1.1.22) называется оператором обратного проецирования (ОП) — BQ (поэтому различные численные реализации формулы (1.1.22) и получили название обратного проецирования с фильтрацией). Это название отражает тот факт, что при реализации простейших квадратурных формул интегрирования по 占 отфильтрованная операцией свертки функция / E(pJ дает один и тот же вклад в томограмму ^х^у) вдоль прямых, уравнение которых есть

у = + х tg|. (1.1.24) cos i

Отсюда набор углов регистрации ｛占扌 задает те выделенные направления на томограмме, вдоль которых сосредоточиваются артефакты реконструкции. Наглядно такая структура артефактов представлена на рис. 1.2 и 1.3, где период артефактов совпадает с угловым периодом регистрации проекций, а их амплитуда с ростом числа проекций уменьшается.

В ряде случаев артефакты, обязанные сбоим появлением специфическим свойствам оператора ^0, можно значительно уменьшить, использовав априорную информацию о положительности решения. Две цилиндрические неоднородности и их проеющи в трех направлениях схематично изображены на рис. 1.5. Здесь же показаны полосы, даваемые оператором ОП, который применен непосредственно к проекциям 厶(р), а не к сверткам 刃(р) (подобное изображение называется суммарным [19]). Далее, примем во внимание, что те точки плазменного сечения, которые хотя бы в одном из направлений |f дают нулевой вклад в сигнал /&(р), не могут светиться. Такой принцип ^ненаблюда- емости" легко реализовать, если на восстановленную с артефактами I томограмму наложить дополнительно результат обратного проецирования нулевых участков каждой проекционной функции 厶(。)(эту операцию можно назвать нелинейным пороговым обратным проецированием). В итоге операции, как легко видеть из рис. 1.5, останутся лишь области, где перекрываются полосы светимости от всех проекций, что зачастую позволяет подавить артефакты в обширных областях реконструируемой томограммы. Интересно, что такой оператор нелинейного обратного проецирования представляет собой частный случай целого класса нелинейных операторов ОП, позволяющих строить некоторые упрощенные оценки томограмм (см. цикл работ В. Баранова [16, 322]). К примеру, метод минимальных проекций дает оценку сверху для искомой томограммы [322 ].

На рис. 1.6 приведен пример работы нелинейного порогового ОП по реконструкции алгоритмом RICSS модели цилиндрического однородного излучателя с радиусом R。= 0,2 (область томографиро-

Рис. Z.5. Характерные артефакты оператора обратного проецирования.

zgо

sа7

1I1

LL Оптические методы

19

-55Л-Л&О5ОЬ sysrtw НХЭОННОЕННЕЗдн btissbc -ю-^ d£-55Л-Л&О5ОЬ sysrtw НХЭОННОЕННЕЗдн btissbc -ю-^ d£

-55Л-Л&О5ОЬ sysrtw НХЭОННОЕННЕЗдн btissbc -ю-^ d£

-55Л-Л&О5ОЬ sysrtw НХЭОННОЕННЕЗдн btissbc -ю-^ d£

вания — круг с единичным радиусом) по шести ракурсам (К = 7)； центр излучателя находится в точке xQ = 0, % = =0,75, ^ = 61, размерность томограммы 41x41. Здесь рис. 1.6, а — пример реконструкции модели, располагающейся в центре области реконструкции, до подавления артефактов, погрешность А】=46,9 %. На рис. 1.6, б этот же цилиндрический излучатель перенесен б точку % = °， % = °，75, А]= =62,8 %. Включение алгоритма постобработки по подавлению артефактов привело к уменьшению ошибки восстановления до А】=50,9 % (рис. 1.6, 6). Предобработка проекционных данных, связанная с переносом начала координат томограммы в центр масс объекта позволила получить дальнейшее улучшение результата реконструкци (рис. 1.6, г. А】=43,1 %), а добавление рассматриваем 成 постобработки уменьшило погрешность почти в 2 раза по срав- нению с исходной (△!= н 33,6 %, ср. рис. 1.6, й и б).

Ранее среди факторов, затрудняющих решение задач ПТ, отмечалось возможное наличие непрозрачного тела. Однако, если имеется априорная ин(|х)рмация о положении тела и его форме, то так называемый алгоритм ипросветле- ния** тела [490] в постановке трансмиссионной томографии (например, интерферометрии плазмы) дает неплохие результаты реконструкции. На рис. 1.7 изображена схема просвечивания плазменного слоя, имеющего два непрозрачных тела разной формы [490 ]. Их

Рис. /.7. Томография объекта с непрозрачными включениями.

присутствие приводит к потере части информации на проекционных данных. Для произвольной точки В на томограмме всегда можно указать области потери информации об этой точке (на рис. 1.7 ** конуса потерь*4 заштрихованы). С приближением точки В к границе включения угол при вершине такого конуса возрастает до 兀・ Упомянутый алгоритм “просветление" основан на идее замены непрозрачных включений “прозрачными" с заданным коэффициентом поглощения.

Здесь на каждом итерационном шаге решается прямая задача, т.е. выполняется прямое преобразование Радона от той оценки решения g^y), которая была получена на предыдущей итерации. Вычисленные псевдопроекции заменяются вне областей теней на исходные： Такие функции (с внесенными на этом этапе разрывами) интерполируются сглаживающими кубическими сплайнами, а затем подвергаются регуляризованной инверсии Радона К；Х・}; возникает новая оценка решения g"L(x,y). Сходимость итерационного алгоритма существенно улучшается при учете в каждой итерации неотрицательности решения (нелинейным оператором обратного проецирования). Результат численного моделирования подобным алгоритмом приведен в работе [490 ] (более подробное описание алгоритма см. в разд. 4.4). За небольшое число итераций (£ = 5) достаточно простое распределение с непрозрачным включением было восстановлено с точностью А】~ 10 % (число ракурсов К = 7, уровень случайного шума в проекциях 5 %). Возможно обобщение этого алгоритма на случай “оборванных" проекционных данных, когда по техническим причинам периферийные области плазмы не поддаются наблюдению. По-видимому, указанный класс алгоритмов можно легко расширить и на случай с эмиссионной схемой сбора информации. Тогда затененными будут не целиком лучи, пересекающие непрозрачное тело, а лишь отрезки лучей. Следует отметить, что близкие подходы к задачам КТ с непрозрачными включениями рассматривались также в работах [43, 283].

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Рассмотрим типичную схему фильтрации и некоторые простые фильтры, с которых началось развитие этого направления в вычислительной томографии [18 ]. Вновь запишем формулы аналитической инверсии преобразования Радона, упомянутые ранее:

% = —х sin I + у cos I.

Здесь формула (1.2.1) служит основой для вывода большинства сверточных алгоритмов. Иногда используется и формула (1.2.2), в первую очередь в задачах дефлектотомографии (см. гл, 2), когда в эксперименте измеряется непосредственно функция fr^,p), а не 結成

Применяя далее формулу интегрирования по частям, можно получить эквивалентное (в классе дважды дифференцируемых непрерывных функций) выражение, содержащее уже вторую производную проекций и логарифмическую особенность:

]00

g(x,y)= 一声『若/尸(占,p)ln|p - p0\dp. (1.2.3) О -00

АЛГОРИТМ RICSS2

Устойчивость численных реализаций приведенных формул повышается их регуляризацией в смысле регуляризации сингулярных интегралов [538]:

g(x,y)=-薪 J d£ / ~4 [f(Po + P』)+ f(Po - P』)-2/(p0,|)], (1.2.4) 00 P

Г 、1 ；花；dp 卜依 + P，身断Po -

g(x,y) =^ J • (1-2.5)

7 P dp也

Здесь внутренние интегралы свертки понимаются в смысле главного значения.

Алгоритм RICSS2 подробно описан в работах [444, 446 ]. Он основан на использовании регуляризованного варианта аналитического преобразования Радона (1.2.5). Внутреннее интегрирование с обобщенной функцией 1/р ведется здесь с обходом особенности в нуле. Радиус обхода 7 = 10一4灭(灭一радиус описывающей объект окружности) подобран в численном эксперименте. Оценим погрешность такого обхода для заданной величины 7.

Запишем выражение (1.2.5) в виде

虱х，y）=-蔡!曲!^ —^^— +△产方+4,（126）

劫伪)+Р占)_办So - pf)дрЭр劫伪)+Р占)_办So - pf)дрЭр<1.2.7)<1.2.7)

劫伪)+Р占)_办So - pf)дрЭр

劫伪)+Р占)_办So - pf)дрЭр

<1.2.7)

<1.2.7)

Если функцияна всем интервале исследования удовлетворяет условию Гелдера с показателем d:

то получаем следующую оценку для погрешности А^ замены функции 刘МУ) на ^х,у):

I % dp 帆Ро + p，F)^/(Ро - Р^)

W Сз 再(2р)" = I" о/.(1.2.9)

Для выполнения отсечки высоких частот в регистрируемом сигнале, связанных с шумами измерений, в алгоритме используется сглаживание регуляризующими сглаживающими сплайнами с их последующим ана- литическим дифференцированием (для формулы (1.2.5)). Внешнее интегрирование (ОП) осуществляется с применением бикубических сплайнов по переменным р0 и 以

Оценим далее погрешность восстановления решения % алгоритмом RICSS2. Представим решение следующим образом:

1 m .

(1.2.10)(1.2.10)虱Х,у)=-彳2 %/(“)&)，晶),/=1

(1.2.10)

(1.2.10)

где Wj ——веса квадратурной формулы Симпсона ;JVf ——число интервалов разбиения в проинтерполированной функции 7^, в общем случае не совпадающее с числом проекций К. С учетом выражения (1.2.10) имеем

。2 = 5?i Лt — I ~ Af — 3 痒=52 °"? d F^. (1.2.1 1)

g (2л2) « 9l2/18лфи-1)2 /18冗2(М-1)

Аналогично записываем для фильтрованных проекций

貝%，眾)=2 /- 7=1 Pj貝%，眾)=2 /- 7=1 Pjdpdpдрдр(1.2.12)(1.2.12)

貝%，眾)=2 /- 7=1 Pj

貝%，眾)=2 /- 7=1 Pj

dp

dp

др

др

(1.2.12)

(1.2.12)

Полагая далее р^ =斗 у I, получим

С = В 号哈 + I。％'

(1.2.13)

где 歹、о}"——дисперсии первой и второй производных сигнала (по р) в точке % (/, & — шаги по р и |),

_1(iV-3)/2(N-l)/2

(1.2.14)(1.2.14)4= ^t? + z Z “16 z ⑵ 一 a

(1.2.14)

(1.2.14)

Таким образом, находим окончательное выражение для дисперсии

решения:

8R8R81л2(Л/ - 1) (N - I?81л2(Л/ - 1) (N - I?可〃 + <5；0,.可〃 + <5；0,.<1.2.15)<1.2.15)

8R

8R

81л2(Л/ - 1) (N - I?

81л2(Л/ - 1) (N - I?

可〃 + <5；0,.

可〃 + <5；0,.

<1.2.15)

<1.2.15)

АЛГОРИТМ RICSS1

Этот алгоритм, как и алгоритм RICSS2, использует повышенную точность интерполяции и интегрирования, но фильтрованные проекции вычисляются следующим образом:

7(%*) = Г 哗【/(% + Р若)+ /(Ро - Р若)-2/(%看)].(1.2.16) О Р

Интегрирование обобщенной функции (1/р‘) проводится с обходом особенности в нуле. Аналогично (1.2.11) получаем дисперсию решения данным алгоритмом:

4 d e2(：_ 1)寸.g

Фильтрованные проекции имеют вид

五％&) = ??[/(%-今眾)+『(％ + ₽Л)- 2/(&刍)]・(1218)

В предположении непрерывности второй производной по р сглаженного сигнала /(р,Е) запишем 14(5；

С =5%寸"+彳%'(L2/9)

p где ■.(“-3)/2("-1)/2■

6： = + — > * + 16 > 4 •(1.2.20)

2(N-l)44 gg (2—1)4

Окончательное выражение для оценки случайной погрешности алгоритма RICSS1 выглядит так:

4K24K2162 7T2(^ Т) (В - 1)：162 7T2(^ Т) (В - 1)：了6+了6+(N - I)2(N - I)26讨.(1.2.21)6讨.(1.2.21)

4K2

4K2

162 7T2(^ Т) (В - 1)：

162 7T2(^ Т) (В - 1)：

了6+

了6+

(N - I)2

(N - I)2

6讨.(1.2.21)

6讨.(1.2.21)

1.2,3. АЛГОРИТМ SL2

В алгоритме SL2 после сглаживания /(р击)кубическими сплайнами используется фильтр Шеппа — Логана 屮(х) [258 ] и сверточное представление внутреннего интеграла в инверсии Радона:

鼠Х,у)=-今 j d£ / /(p,£)屮(p - pjdp,0—8

4入~

(1.2.22)

以"磕=了(Z庐_' = 0,±1,±2,....

Применение далее прямоугольных квадратур дает

g(x丿)=-奈〃；л £ 2 /(*,)少⑵-poi)•

Оценка дисперсии восстановленного по (1.2.24) решения

[258]仆

(1223)

(1.2.24)

имеет вид

(*2 =證

(1225)

где N — число отсчетов на каждой проекции;歹一оценка дисперсии сглаженного сигнала /(р』)・

t.2.4. АЛГОРИТМЫ RI И R2

При внимательном рассмотрении фильтра (1.2.23) видно, что его дискретная реализация похожа на запись квадратурных формул прямоугольников для обратного преобразования Радона:

х 、1 f f 穴P，»dp

虱х，y)=-京产工行工了

(1.2.26)

Применение таких квадратур в алгоритме R1 дает выражение [470]

g(x,y) = - ^2 hph^ 2 2 f(P』)咽-Ро)

(1.2.27)

где

а. — л» / = ±1,±2V..,

% (V)

% = -2貝2) = - у.

(1.2.28)

Здесь C(z)——дзета-функция Римана, а значение нулевого коэффициента, формально не определенного из-за расходимости в (1.2.26), находится из условия

£ % = 0. (1.2.29)

Оценка дисперсии получается из (1.2.27) достаточно просто [470 ]:

(%】П啰в/嗚盘(%】П啰в/嗚盘(L2.30)(L2.30)Видно, что оценка коэффициента усиления шумов этого алгоритмаВидно, что оценка коэффициента усиления шумов этого алгоритмаУ =У =(1.2.31)(1.2.31)примерно в 2 раза меньше аналогичного коэффициента для алгоритма SL2. В алгоритме R1 также применяется сглаживание сплайнами, поэтому в оценках (1.2.25), (1,2.30) используется оценка дисперсии уже сглаженного сигнала.В алгоритме R2 простейший подход применен к эквивалентному выражению для инверсии Радона:примерно в 2 раза меньше аналогичного коэффициента для алгоритма SL2. В алгоритме R1 также применяется сглаживание сплайнами, поэтому в оценках (1.2.25), (1,2.30) используется оценка дисперсии уже сглаженного сигнала.В алгоритме R2 простейший подход применен к эквивалентному выражению для инверсии Радона:[ Л 8虱 X,y) = - -~2 Jfi^ J 0-00[ Л 8虱 X,y) = - -~2 Jfi^ J 0-00MP，占)dP dP Р - PqMP，占)dP dP Р - Pq(1.2.32)(1.2.32)При этом запись для фильтра <?(х) (1.2.27) имеет вид [497]1Qi = П^, » = ±1,±2,% = °-Иначе выглядит и выражение для дисперсии решения:(4)把=書，При этом запись для фильтра <?(х) (1.2.27) имеет вид [497]1Qi = П^, » = ±1,±2,% = °-Иначе выглядит и выражение для дисперсии решения:(4)把=書，(1.2.33)(1.2.33)(1.2.34)(1.2.34)где су- — дисперсия производной проекции. Интересно, что в последнем выражении “пропала" зависимость от числа пространственных интервалов М В действительности, конечно, она не исчезла, а перешла в дисперсию производной сигнала, поскольку при дифференцировании неточно заданной функции существует связь [515]5~彳=嚏. a.2.35)Отметим, что приведенные оценки дисперсии решения дают лишь случайные компоненты погрешности и только они растут с увеличением числа отсчетов N. Естественно, что систематические ошибки рассмотренных алгоритмов, обусловленные ошибками аппроксимации, с ростом N падают. Поэтому при малом уровне шумовой компоненты сигнала общая погрешность томографической реконструкции падает с увеличением числа измеренных данных.где су- — дисперсия производной проекции. Интересно, что в последнем выражении “пропала" зависимость от числа пространственных интервалов М В действительности, конечно, она не исчезла, а перешла в дисперсию производной сигнала, поскольку при дифференцировании неточно заданной функции существует связь [515]5~彳=嚏. a.2.35)Отметим, что приведенные оценки дисперсии решения дают лишь случайные компоненты погрешности и только они растут с увеличением числа отсчетов N. Естественно, что систематические ошибки рассмотренных алгоритмов, обусловленные ошибками аппроксимации, с ростом N падают. Поэтому при малом уровне шумовой компоненты сигнала общая погрешность томографической реконструкции падает с увеличением числа измеренных данных.

(%】П啰в/嗚盘

(%】П啰в/嗚盘

(L2.30)

(L2.30)

Видно, что оценка коэффициента усиления шумов этого алгоритма

Видно, что оценка коэффициента усиления шумов этого алгоритма

У =

У =

(1.2.31)

(1.2.31)

примерно в 2 раза меньше аналогичного коэффициента для алгоритма SL2. В алгоритме R1 также применяется сглаживание сплайнами, поэтому в оценках (1.2.25), (1,2.30) используется оценка дисперсии уже сглаженного сигнала.

В алгоритме R2 простейший подход применен к эквивалентному выражению для инверсии Радона:

примерно в 2 раза меньше аналогичного коэффициента для алгоритма SL2. В алгоритме R1 также применяется сглаживание сплайнами, поэтому в оценках (1.2.25), (1,2.30) используется оценка дисперсии уже сглаженного сигнала.

В алгоритме R2 простейший подход применен к эквивалентному выражению для инверсии Радона:

[ Л 8

虱 X,y) = - -~2 Jfi^ J 0-00

[ Л 8

虱 X,y) = - -~2 Jfi^ J 0-00

MP，占)dP dP Р - Pq

MP，占)dP dP Р - Pq

(1.2.32)

(1.2.32)

При этом запись для фильтра <?(х) (1.2.27) имеет вид [497]1

Qi = П^, » = ±1,±2,% = °-

Иначе выглядит и выражение для дисперсии решения:

(4)把=書，

При этом запись для фильтра <?(х) (1.2.27) имеет вид [497]1

Qi = П^, » = ±1,±2,% = °-

Иначе выглядит и выражение для дисперсии решения:

(4)把=書，

(1.2.33)

(1.2.33)

(1.2.34)

(1.2.34)

где су- — дисперсия производной проекции. Интересно, что в последнем выражении “пропала" зависимость от числа пространственных интервалов М В действительности, конечно, она не исчезла, а перешла в дисперсию производной сигнала, поскольку при дифференцировании неточно заданной функции существует связь [515]

5~彳=嚏. a.2.35)

Отметим, что приведенные оценки дисперсии решения дают лишь случайные компоненты погрешности и только они растут с увеличением числа отсчетов N. Естественно, что систематические ошибки рассмотренных алгоритмов, обусловленные ошибками аппроксимации, с ростом N падают. Поэтому при малом уровне шумовой компоненты сигнала общая погрешность томографической реконструкции падает с увеличением числа измеренных данных.

где су- — дисперсия производной проекции. Интересно, что в последнем выражении “пропала" зависимость от числа пространственных интервалов М В действительности, конечно, она не исчезла, а перешла в дисперсию производной сигнала, поскольку при дифференцировании неточно заданной функции существует связь [515]

5~彳=嚏. a.2.35)

Отметим, что приведенные оценки дисперсии решения дают лишь случайные компоненты погрешности и только они растут с увеличением числа отсчетов N. Естественно, что систематические ошибки рассмотренных алгоритмов, обусловленные ошибками аппроксимации, с ростом N падают. Поэтому при малом уровне шумовой компоненты сигнала общая погрешность томографической реконструкции падает с увеличением числа измеренных данных.

АЛГОРИТМ ESI

В алгоритме ESI, как и в описанных выше, на первом шаге осуществляется сглаживание исходных проекций кубическими сплайнами. Далее используется алгоритм Ерохина — Шнейдерова ES [389], где кроме квадратур прямоугольников, как это было для алгоритмов R.1 и R2 в (1.2.26), применяется преобразование

7小；仰若)一穴%上)7Q

了(％£) = J —：—dp,(1*2.36)

а формула для фильтрованных проекций выглядит следующим образом (радиус области R принят равным единичному):

穴4,务)=V11(Л+1,7 + Л-1,； - л,у)-

f p3J + 7ПгЬ^+ 工縉• "237)

При выполнении обратного проектирования (по прямоугольным квадратурам) необходимо вычислять значения функции У не в узлах сетки ph а в узлах (少必= -х左 sin 芍 + у, cos 昴 для чего в алгоритмах SL, R1, R2, ESI используется линейная интерполяция.

Оценка дисперсии алгоритма ES в работе [389 ] дается в виде

2(" - 1)2 ,58(" - I)2 ,. с сс

- R ' °/ V(《)е$ V ^°/ ”(1.2.38)

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СВЕРТОЧНЫХ АЛГОРИТМОВСГЛЛЖИВАЮ1ЦИМИ СПЛАЙНАМИ

Как отмечалось ранее, высокочастотные компоненты проекционных данных содержат шумы измерений, которые подлежат в общем случае линейному усилению в силу специфики формул обращения преобразования Радона (см., например, (1.2.1), (1.2.3)). Подавление высоких частот на практике осуществляют различными способами, в частности применяя разнообразные фильтры, как классические низкочастотные (Хэмминга, Винера и др. [534 ]), так и различные их модификации. Рассмотренный фильтр Шеппа ——Логана объединяет в себе как идеальный р-фильтр, необходимый для реализации свертки в процедуре инверсии Радона, так и сглаживание высоких частот по некоторой формуле гладкой отсечки, В фильтре Рамачандрана —— Лакшминарая- нана [241 ] используется простая отсечка частот для р-фильтра на некоторой высокой частоте Qo.

Весьма эффективный метод подавления шумовых высокочасготных компонент экспериментальных проекций — применение сглаживающих регуляризующих кубических сплайнов, параметр сглаживания в которых адаптируется к уровню шумов в сглаживаемой функции.

Рассмотрим схему построения таких сплайнов [444 ].

Следуя работе Морозова [455] (см. также [360]), для определения коэффициентов сплайна F(x), сглаживающего сеточную функцию /(х), будем минимизировать функционал

Ф(О = II 尸(х) - /(х)||2 + af (F"(x))2(ix,(1.2.39)

где норма ||. ]| огэеделена в виде

V(x)『 = W/网,<1-2.40)

1=1

а веса Ж； выбираются обратно пропорционально дисперсии шума для /；. В формуле (1.2.39) параметр сглаживания а, введенный аналогично параметру регуляризации, находится по критерию невязки [453 ]. Отметим, что в процессе минимизации функционала ①(严 определяются коэффициенты кубических полиномов:

3

尸G)= 2 ^(Xi+1 ~ х)£ X G [X,., х,+1),(1.2.41)

k=Q

это позволяет вычислить либо сглаженные значения функции F(x), либо ее производные:

尸；6)= £ ZafOk - X/尸，к=1

з

尸;'(Х) = 2 H& - l)dg+i -咽"土 (1-2.42) Jt=2

Кроме того, в процессе предварительной обработки измеренных в реальном эксперименте значений /(蟲р) иногда возникает необходимость проводить дополнительную калибровку разных каналов регистрации по переменной |；. В такой калибровке используется очевидная для оптически тонкого слоя нормировка:

(1.2.43)(1.2.43)J/(晶,p)dp = const,眾W [0,л].

(1.2.43)

(1.2.43)

При этом, естественно, возникают выражения:

(& + 1)(& + 1)(1.2.44)(1.2.44)

(& + 1)

(& + 1)

(1.2.44)

(1.2.44)

Сглаживающие сплайны, описанные выше, неоднократно применяются в алгоритмах компьютерной томографии*

ГЛАВА

2

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫТОМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИПЛАЗМЫ

В зависимости от свойств объекта, объема информации, которую необходимо получить, используются различные методы томографической диагностики плазмы. Наиболее широко распространен метод эмиссионной томографии. Это связано прежде всего с тем, что плазма — сильно излучающий объект. Например, низкотемпературная плазма излучает в основном в видимой области спектра, высокотемпературная ——кроме видимого, еще и в рентгеновском диапазоне. Используя для диагностики излучение самой плазмы, нет необходимости возмущать ее каким-либо внешним воздействием. Кроме того, эмиссионная томография позволяет исследователю ограничиться довольно простыми оптическими схемами с обычными недорогими деталями, не включая в схему регистрации дополнительные сложные устройства.

Имеются работы, в которых диагностика газа и плазмы реализуется трансмиссионными томографическими методами (абсорбционным, теневым, интерференционным, голографическим). Эти методы имеют свои особенности. Они более трудоемки и требуют более сложной и дорогостоящей диагностической аппаратуры, однако с их помощью можно исследовать слабоизлучающие объекты.

В последние годы появился новый метод диагностики газа и плазмы —спекл-томография, но он пока получил развитие только в единичных работах.

В данной главе остановимся на связи оптических коэффициентов плазмы с ее параметрами, которые в настоящее время применяются в томографической диагностике плазмы.

ЭМИССИОННАЯ И АБСОРБЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ

Мощность, излучаемая в спектральной линии £入 однородным прозрачным слоем плазмы толщиной 1 см с 1 см2 в единице телесного угла (или коэффициент эмиссии) при условии выполнения модели JITP (локального термодинамического равновесия) [380, 434 ], записывается в виде

j = 1,06Т0-[^^卜о(Т)ехр(- у), эрг/(с-ср-см3). (2.1.1) Здесь М⑺ 一 плотность атомов в нормальном состоянии; g】 一 статистический вес нижнего уровня, с которого осуществляется возбуж-

дение; Е2 — энергия верхнего уровня; U(T)——статистическая сумма атома; Г — температура плазмы (эВ); /12 — сила осциллятора; Л — длина волны излучения (мкм). Итак, измерив 〃 и зная зависимость U(T) и М(Т), по (2.1 Д) можно определить температуру плазмы Т.

ехр{-(£2 -弓)/7}・ехр{-(£2 -弓)/7}・Для отношения интенсивностей двух спектральных линий Л и Л\ принадлежащих одному и тому же атому или иону, выполняется соотношение

ехр{-(£2 -弓)/7}・

ехр{-(£2 -弓)/7}・

(2.1.2)

В эту зависимость ^(Г) не входит, а значит, нет необходимости

знать состав плазмы, и задача определения температуры упрощается.

Для диагностики плазмы можно также использовать линии излу

чения, принадлежащие различным компонентам плазмы, тогда

или разным степеням ионизации одного и того же элемента:

Г =ехр{-(£2 -Е^+х- ДХ)/Т}.(2.1.4)

Здесь% и Д% ——потенциал ионизации и снижение потенциала ионизации в плазме соответственно. Если использовать формулу Саха [380], то статистические суммы и числа частиц в основном состоянии исключаются из (2Л.4) и соотношение упрощается.

Информацию о свойствах плазмы можно получить, исследуя контуры спектральных линий. Известно, что среди различных механизмов уширения спектральных линий практическое значение для диагностики плазмы имеют лишь эффекты Доплера и Штарка [380, 434, 532].

При доплеровском уширении, вызванном тепловым движением

частиц, полуширина линии находится из выражения

А"7」6・10ру*А"7」6・10ру*(2.1.5)(2.1.5)

А"7」6・10ру*

А"7」6・10ру*

(2.1.5)

(2.1.5)

Здесь “ ——атомный вес, АЛ и Л измеряются в ангстремах, Т ——в кельвинах. Итак, если уширение линии обусловлено эффектом Доплера, то, измерив полуширину линии, можно определить температуру плазмы. Однако нужно иметь в виду, что уширение Доплера может быть вызвано не только тепловым движением частиц, но и турбулентностью или макроскопическим движением плазмы. В ряде случаев эти механизмы можно отличить друг от друга.

При штарковском уширении полуширина линий атомов тяжелых элементов в широком диапазоне электронных плотностей & и температур приближенно описывается следующим образом:

△ 4〃 - 2n + 1,7510"4^/4«(1 - 0,068^/бТ-1/2)]10-1%^, А,(2.1.6)

а сдвиг линий —

AAj к W/s + 2,0・10一4&；'%(1 - 0,068N；“7-i/2)“о-%%,厶.(2.1.7)

Параметры a、s 强 d/s можно найти в [380, 405].

Формулы (2.1.6), 《2.1.7) достаточно точны, если выполняются неравенства

9,О1О-2^/6Т；1/2 < 0,8,

10-%n：" V 0,5,(2.1.8)

8,0- 10-W-2(Te /^)-1/2^/3 > 1.

Для водородоподобных линий <Н, Не+, Ы++и т.д.) имеет место линейный штарк-эффект (расщепление уровней пропорционально напряженности электрического поля). Линии этих элементов наиболее значительно уширены, и полуширина определяется выражением

/Ui” = 2,5・К)%” N；〃，А,(2.1.9)

где а. — теоретическое значение полуширины [532 ]. Сдвиг у водородоподобных линий практически отсутствует.

Следовательно, измерив полуширину линии и используя эффект Доплера, можно найти температуру, а с помощью эффекта Штарка — концентрацию электронов плазмы.

Интегральный коэффициент поглощения линии J xydv связан с о концентрацией частиц на поглощающем уровне Nk выражением [531 ]

8 e 8黯必(""一^")

I %办=戸 J %曲=wc f -(2.1.10)

оо

Зная силу осциллятора линии Д., измерив коэффициент поглощения и используя зависимость (2.1.10) , можно получить Nk — концентрацию атомов на нижнем уровне, соответствующем данной спектральной линии.

В ряде случаев задача может быть упрощена, а именно: если форма линии известна и аппаратной функцией спектрального прибора можно пренебречь, то интегральный коэффициент поглощения выражается через коэффициент поглощения в максимуме линии 乂。и ее полуширину ДЛ. Так, для доплеровского и лоренцевского контуров соответственно

о

/ ХА^ = y^o^z-(2.1.11)

о

Таким образом, для подобных контуров по коэффициенту поглощения в центре линии х0 и ее полуширине АЛ можно определить Nk .

Коэффициент эмиссии непрерывного излучения плазмы описывается соотношением [324 ]

“ 3囤6麻T 卜 一 exp卜行丿j -l^T) + Gexp卜-J .(2.1.12) Здесь z ——заряд ядра;占 ——множитель, введенный для неводородоподобных атомов, учитывающий тот факт, что излучающий электрон при переходе на возбужденный уровень частично проникает в облако зарядов, окружающих ядро (для водородоподобных атомов | = 1); у —— множитель, учитывающий разницу в статистических весах основного состояния водорода и неводородоподобного иона; G(y^T) —— квантовомеханический фактор Гаунта. Значения этих величин можно найти в [324, 531 ]. Первый член в формуле (2.1.12) отвечает за свободно-связанные переходы, второй — за свободно-свободные.

Для плазмы, находящейся в ЛТР, коэффициенты эмиссии и абсорбции связаны законом Кирхгофа {434 ]:.

%/勺=5(Я,Т),(2.1.13)

где 3“,Т)——энергия излучения абсолютно черного тела.

Измерив 立 и используя систему уравнений Саха, состояния, а также соотношения (2.1*12), (2.1.13), можно получить температуру плазмы. Итак, ряд параметров плазмы можно определить, измеряя энергию, излучаемую или поглощаемую в некотором диапазоне спектра, или изучая форму контура отдельной спектральной линии.

Лабораторная плазма обычно пространственно неоднородна, а по* этому, чтобы от интегральных измерений перейти к локальным коэффициентам эмиссии или абсорбции, необходимо решить дифференциальное уравнение переноса излучения. Это уравнение для изолированных спектральных линий при выполнении поименимости модели ЛТР (локального термодинамического равновесия), если можно пренебречь рефракцией и рассеянием, имеет вид (1.1.1)< Алгоритмы решения данного уравнения рассмотрены в гл. 3—5 настоящей книги.

ТРАНСМИССИОННЫЕ МЕТОДЫ

Кратко остановимся на связи коэффициента рефракции с параметрами газового объекта. Вклад различного рода частиц, из которых состоит плазма (атомов, ионов, электронов, молекул), в рефракцию можно считать аддитивным. А именно, коэффициент рефракции п задается соотношением Гладстона — Дейла [342 ]:

孔 一 1 = 2 К.р;,(2.2.1)

где ——парциальная плотность соответствующей компоненты газовой смеси; К/ — константа Гладстона — Дейла для этой компоненты, сохраняющая свое значение для данного рода газа в широких пределах изменения температуры и давления.

Для плазмы показатель преломления записывается следующим образом:

打-1 = р[(1 — а,К а + ajKj] + (久-1).(2.2.2)

Здесь «у— степень ионизации; КТ—— константа Гладстона —— Дейла для конов, КА — для атомов; «е — электронная составляющая показателя преломления.

Если частота проходящей через плазму волны много больше частоты соударений между электронами и тяжелыми частицами, а также электронной циклотронной частоты, то для рефракции свободных электронов выполняется соотношение [532 ]

打一1 = -4,49*10"14ЛХ»(2.2.3)

где длина волны А измеряется в сантиметрах.

Для паров и газов выведена зависимость коэффициента преломления от частоты зондирующего излучения:

Влияние тяжелых частиц на рефракцию можно исключить, проводя измерения в двух длинах волн. Тогда

п^ - п(Л2) a NR〉- N.2)= -4,49-10-1Х(^ —人；)・(2.2.5)

Практически при ионизации уже в несколько процентов, если длина волны зондирующего излучения далека от линии поглощения, влиянием тяжелых частиц на рефракцию можно пренебречь, а при больших степенях ионизации рефракция определяется только свободными электронами.

Итак, измерив п и используя формулы (2.2.4) или (2.2.5), можно найти Ng плазмы. Вблизи отдельной линии поглощения формула (2.2*4)

Рис, 2. /. Ход коэффициентов рефракции и абсорбции вблизи спектральной линии [394].

сводится к выражению

九一1一25 5九一1一25 5(2.2.6)(2.2.6)

九一1一25 5

九一1一25 5

(2.2.6)

(2.2.6)

из которого следует, что, приближаясь к линии поглощения газа, рефракция растет (рис. 2.1). Используя для трансмиссии излучение с частотой, близкой к линии поглощения, можно измерить концентрацию соответствующих атомов или ионов N『на уровне 厶 при этом значительно увеличивается чувствительность измерений.

Кратко рассмотрим методы, с помощью которых можно измерить коэффициент рефракции прозрачной фазовой неоднородности.

ТЕНЕВОЙ И ШЛИРЕН-МЕТОДЫ

Наиболее простые и часто используемые ——метод светящейся точки и метод ножа и щели [342 ].

В методе светящейся точки (рис. 2.2, а) исследуемый объект просвечивается пучком световых лучей, исходящих из точечного источника. Если коэффициент рефракции исследуемого объекта меняется от точки к точке, то лучи света, проходящие через различные участки объекта, отклоняются на разные углы, т.е. объект вызывает перераспределение освещенности на экране Р. Относительные изменения освещенности экрана в первом приближении описываются соотношением

а — метод светящейся точки;夕—метод ножа и щели.

где / — расстояние между исследуемым объектом и экраном. Интеграл берется по линии наблюдения.

В шлирен-методе роль просвечивающего источника играет щель SI (см. рис. 2.2, &. Объективы Lv 厶 строят изображение щели в плоскости Н、где помещается нож, который частично или полностью перекрывает изображение объекта на экране Р. При появлении неоднородности освещенность экрана меняется пропорционально угловому отклонению луча а. В то же время угол отклонения пропорционален дифференциал у от коэффициента преломления, проинтегрированному по линии наблюдения:

8m(x，y，z).dz・8m(x，y，z).dz・(2.2.8)(2.2.8)

8m(x，y，z).

dz・

8m(x，y，z).

dz・

(2.2.8)

(2.2.8)

В эксперименте угол отклонения луча ау определяется из сравнения в одной и той же точке кадров, полученных с объектом и без него. Проведя интегрирование ау по поперечной координате, получим интегральное уравнение для

/Z2

/%dy = S {n(x.y^\y；=t- n(x.y^\y = y^dz, (2.2.9)

Здесь % ——координата невозмущенного луча, на котором значение п известно заранее. Теневой метод позволяет измерить отклонение луча лишь в некотором выделенном направлении, перпендикулярном кромкам ножа и щели. Для асимметричных объектов измерения проводятся с нескольких направлений. Для этого применяется поворот объекта или измерительной системы на определенные углы. По полученным данным решается уравнение Радона, которое для двумерного случая имеет вид

/ / n(j,z)d(y cos^ + zsing - p)dy dz = /(「，£),(2.2.10)

где

f(pf) = /% dy + J n(xty.z)\y = %dz(2.2.11)

——известная функция.

Уравнение (2.2.10) решается численными методами КТ (см. гл. 3—5).

Итак, исследуя распределение освещенности в плоскости экрана с помощью теневых методов, можно получить информацию о второй или первой производной коэффициента рефракции. По рассчитанному коэффициенту рефракции с помощью приведенных выше формул определяют концентрации различных составляющих многокомпонентной смеси.

Количественные теневые томографические методы в настоящее время находят применение в газовой динамике при исследовании стационарных или имеющих хорошую воспроизводимость во времени объектов (см. гл. 6); однако в плазменных исследованиях для количес-

твенных измерений коэффициента рефракции более предпочтительны интерференционные методы [394 ]. Это связано прежде всего с трудностями обработки теневых картин, контраст которых, а также распределение освещенности на экране значительно искажаются собственным свечением плазмы.

ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Основные типы интерферометров, которые используются для дна4 ностики плазмы, — Майкельсона, Жамена, Маха — Цевдера, Рождественского [415 J. В них исходный световой пучок разделяется на два когерентных, разнесенных пространственно друг от друга. Там, гце эти пучки совмещаются, образуется интерференционная картина.

Рассмотрим интерферометр Маха — Цевдера (рис. 2.3). Параллельный пучок лучей а разделяется полупрозрачной пластиной / на пучки а】и а?, которые после отражения от зеркал 2 и 4 вновь соединяются полупрозрачной пластиной 3 и интерферируют. Картину интерференции можно наблюдать в направлениях N или если разность хода А между лучами не равна нулю (Д = L1n1 - L2nv где 厶 н 厶2 — пути, пройденные соответственно лучами 々 и %; п1 и п2 — показатели преломления сред / и 2). Поворотами зеркал можно изменять угол между пучками а】н a2 H регулировать ширину, направление и место локализации полос.

Если в одно из плеч интерферометра внести фазовый объект, то между лучами а】и а2 возникает добавочный фазовый сдвиг:

Z2

А0 = 2л/А/ [n(xtytz) - nM]dz,(2212)

где zx и z2 ——координаты границ объекта. Соответствующее смещение картины, выраженное в числе полос:

七(х,У)= А 0/2л.(2,2.13)

Рис. 2.3. Оптическая схема интерферометра Маха — Цендера.

Измеряя сдвиги интерференционных полос относительно их положения в отсутствие плазмы, можно получить картину распределения оптической разности хода:

^(x,j) == / [%(xj/) - «м ]dz = N(xjM， (2.2.14)

здесь N ——номер полосы. Для объектов сложной формы сдвиг интерференционных полос измеряется с нескольких ракурсов, тогда для двумерного случая преобразование Радона《2.2.14) записывается следующим образом:

N(P屏=D(p,6) = j j m(”)一九 a(P -，sin(少一占))dx 力,(2.2.15)

где г, <р ——полярные координаты;占一угол наблюдения (см. рис. 1.1 гл. 1); ^ = 0 соответствует широкой светлой полосе в невозмущенной области окружающего газа. Бели искривлением зондирующих лучей можно пренебречь, то формула инверсии имеет вид

J； Г dN/dp

"(”)-“8 = 〃3 )/ 若 J rsin® - К dp・(2216)

-Л/2 -8 и ‘丿“

Следовательно, для асимметричного плазменного объекта необходимо использовать инверсию Радона (2.2.16), т.е. провести анализ большого числа интерферограмм, каждая из которых зарегистрирована под определенным направлением наблюдения. Для этого исследуемый объект или измерительная система поворачиваются на соответствующий угол.

Задачу можно упростить, если применить метод голографической интерферометрии. В данном случае можно избавиться от ряда недостатков, которые имеет метод оптической интерферометрии.

223. ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Голография — метод записи и последующего восстановления волн, основанный на регистрации интерференционной картины, образующейся в результате интерференции предметной волны (прошедшей через исследуемый объект или рассеянной им) и когерентной с ней опорной волной. Голограмма, записанная на светочувствительном материале» представляет собой интерференционную структуру. На рис. 2.4 и 2.5 показано, как происходит получение голограммы и восстановление по ней изображения объекта в осевой и внеосевой голографии.

В осевой голографии (см. рис. 2.4) часть плоской волны монохроматического света проходит через транспарант, на котором имеется какое-либо изображение, а часть испытывает дифракцию на транспаранте. Эти два пучка, интерферируя в плоскости фотопластинки, образуют голограмму (рис. 2.4, а). Освещая голограмму плоской одно*

родной волной (рис. 2.4, & за счет дифракции пучка, восстанавливают предметную волну.

На рис. 2.5 можно видеть, как происходят запись 3) и восстановление (б, в) внеосевых голограмм.

J(x,у) = 2 [1 + cos 竽次叨J(x,у) = 2 [1 + cos 竽次叨(2.2.17)(2.2.17)В диагностике плазмы обычно используют метод голографической интерферометрии в варианте метода двух экспозиций [350]. Он состоит в том, что на одну и ту же фотопластинку записываются две голограммы, соответствующие двум различным состояниям одного и того же фазового объекта. Если во втором состоянии объект изменился, что вызвало фазовые искажения прошедшей волны, то на регистрируемом изображении появятся интерференционные полосы, форма которых связана с изменениями, происшедшими с объектом. Итак, при исследовании свойств прозрачного объекта одну экспозицию делают с ним, другую —— без него. Распределение интенсивности в интерферограмме записывается в ваде

J(x,у) = 2 [1 + cos 竽次叨

J(x,у) = 2 [1 + cos 竽次叨

(2.2.17)

(2.2.17)

где Р(х,у) ——оптическая разность хода двух лучей (2.2.14). Для светлой полосы

3

(2.2.18)(2.2.18)。(大，丁)= / [n(x,y,z) - 0]以=ЛЯ

(2.2.18)

(2.2.18)

Полученную голограмму исследуют одним из оптических методов: интерференционным, шлирен или теневым. Измеряются соответственно

/ f 再出5^/7冶网8g 、、D usoga^cEue

Рис. 2.5. Внеосевая голография [350].

。一оптическая схема для записи голограмм; й — восстановление прямого мнимого изображения;в — восстановление сопряженного действительного изображения.

показатель преломления, его первая или вторая производная, по которым, как отмечено выше, определяется концентрация компонентов газа или плазмы.

Для асимметричных объектов измерения проводятся с нескольких ракурсов и при нахождении локальных параметров решается (2.2.10) или (2.2.15).

Основное преимущество голографической интерферометрии перед обычной состоит в том, что если в обычной интерферометрии суммируются две волны, распространяющиеся одновременно по двум различным путям, то в голографической — складываются две волны, распространяющиеся по одному и тому же пути, но идущие в различные моменты времени. Это значительно снижает требования к оптическим деталям системы.

При исследовании асимметричных прозрачных объектов большие преимущества перед интерферометрией с плоской предметной волной имеет голографическая интерферометрия в диффузном свете. Такой интерферометр содержит диффузный экран (например, матовое стекло), который используется для освещения объекта (рис. 2.6). При получении голограммы рассеянное излучение, прошедшее через объект, складывается с опорным пучком (рис. 2.6, а). Процесс восстановления голограммы осуществляется следующим образом: мнимое изображение объекта (рис. 2.6, б) с помощью линзы L проецируется на экран. В фокусе линзы помещают точечную диафрагму D, выделяющую из лучей, восстановленных голограммой G, параллельный пучок, соответствующий определенному направлению просвечивания. Меняя положение диафрагмы, можно с помощью одной двухэкспозиционной голо-

Рис. 2.6. Голографический интерферометр с диффузным освещением объекта [394]. Схемы: а — получения голограммы фазового объекта с рассеивателем; б — восстановления световой волны, прошедшей через объект в заданном направлении.

граммы получить серию интерферограмм для разных направлений наблюдения, что позволяет исследовать пространственное распределение показателя преломления асимметричного объекта.

Основные недостатки схем с диффузным освещением объекта — наличие спекл-шума в восстановленных интерферограммах, а также трудности в определении угла наблюдения. Поэтому в ряде случаев используются голографические интерферометры с независимыми каналами зондирования, они различаются между собой по способу деления пучка (по амплитуде или по волновому фронту) < Из-за увеличения габаритов таких систем обычное число ракурсов в них не превышает шести. Примеры подобных систем, предназначенных для диагностики плазмы, приведены в гл, 6.

Следует заметить, что наличие спекл-шума в излучении лазера не всегца является нежелательным эффектом. В частности, метод спекл- диагностики в последнее время применяется для определения параметров жидких и газовых потоков, в том числе турбулентных, а также двухфазных сред.

СПЕКЛ-ТОМОГРАФИЯ

Если диффузно рассеивающий или отражающий объект осветить лазерным светом, то все точки объекта будут посылать в окружающее пространство когерентные волны, способные интерферировать. Свет, рассеянный одной точкой объекта, интерферирует со светом, рассеянным другой точкой, и наблюдателю кажется, что вся поверхность пятнистая, т.е. покрыта спеклами (рис. 2.7) (от анг. слова speckles — пятнышки)« Оптика лазерных спеклов в последнее время находит широкое применение в различных экспериментах. Например, с ее помощью можно измерить перемещение, деформацию, поворот и вибрацию диффузных объектов, шероховатость поверхности, а кроме того, исследовать внутреннюю структуру прозрачных объектов [530 ].

Для диагностики наиболее важной статистической характеристикой лазерных, спеклов является их средний размер:

а ~ 1,22 kL/D.

где 久 —— длина волны лазерного излучения; L — расстояние от объекта исследования до плоскости наблюдения; D ——диаметр освещаемой части отражателя.

Если же спекл-поле формируется линзой, то средний размер спекла а d 1,22 廿/%

где / — фокусное расстояние линзы; d — ее диаметр.

Предположим, необходимо измерить перемещение некоторого плоского диффузного объекта в плоскости. Для этого регистрируют на одну и ту же фотопластинку (рис. 2.8, а) спекл-поля объекта до (А) и после (В) его перемещения. Если перемещение Д превышает размер спеклов 6 то на проявленной фотопластинке получается пара идентичных спекл-картин, сдвинутых относительно друг друга на расстояние Д. Для каждой пары спеклов расстояние Д можно измерить, например, с

Рис. 2.7. Образование спекл-поля в диффузном когерентном свете [527].

помощью микроскопа. Можно также действовать иначе: поместить проявленную фотопластинку в сходящийся пучок лазерного света, образованный линзой с фокусным расстоянием / (рис. 2.8, б). В этом

Р〃с. 2.8. Образование полос Юнга [530].

а — спекл-структура на фотопластинке, получающаяся до (Л) и после (? перемещения диффузного объекта; 6 — образование полос Юнга на экране после прохождения света через фотопластинку, содержащую большое количество хаотически расположенных пар спеклов.

случае каждая пара спеклов идентична двум когерентным источникам света, которые, интерферируя, образуют полосы Юнга. Поскольку во всех парах спеклы расположены на одном и том же расстоянии, все полосы совпадают и образуют картину, аналогичную представленной на рис. 2.8)6・ Полосы ориентированы перпендикулярно вектору перемещения в плоскости, расстояние между ними

(5 = Л//(ЛЛ),

Л — увеличение линзы, использованной при образовании полос.

Отсюда смещение объекта:

Л = Л//(Л(5), Л = д/Лх2 + Д>2, Лх = Д sin 仇 А у = A cos /3.(2.2.19) По расстоянию между полосами А и углу их наклона 夕 относительно, например, горизонтальной оси, можно восстановить смещение спеклов в каждой точке в плоскости спеклограммы. Применение техники спекл- фотографии в диагностике потоков жидкости, газа и плазмы, открывает широкие возможности определения полей температур, скоростей час^ тиц, градиентов плотности в потоках.

Рассмотрим, как можно использовать технику спекл-фотографии для измерения внутренних смещений в слаборассеивающих прозрачных объектах, например скорости частиц в жидких или газовых двухфазных потоках. Для этого слой внутри рассеивающего объекта освещают тонким плоским пучком импульсного лазера. Частицы рассеивают свет из исследуемого сечения* Картину образующихся лазерных спеклов можно сфотографировать, сфокусировав фотокамеру на данное сечение. Допустим, за промежуток времени Г между двумя импульсами лазера каждая частица, движущаяся с постоянной скоростью, смещается в сечении по прямой линии на расстояние Д. Таким образом, в эксперименте получают двухэкспозиционную фотографию, которую иссле^ дуют следующим образом. Полученный негатив Н (рис. 2.9) освещают светом от лазерного источника. Интерференционные полосы Юнга, образующиеся в результате дифракции лазерного света на спекл-фотографии, наблюдаются в фокальной плоскости 尸 объектива L. Рядом с негативом Н помещают точечную диафрагму с отверстием Г. Изменяя положение отверстия Т, по ориентации интерференционных полос и расстоянию между ними можно измерить величину и направление смещения частиц в сечении. Перемещение частиц описывается соотношениями

厶=匕=л//(лд)=心2 + Ау2.(2.2.20)

Рис. 2.9. Техника спекл-фотографии для исследования газодинамических неоднородностей [530] •

Отсюда можно найти их скорость У.

Технику спекл-фотографии можно использовать для определения параметров газовых и плазменных потоков. Для измерения поля показателя преломления исследуемого течения достаточно сделать две экспозиции спекл-поля на одну и ту же фотопластинку: одну — без фазового объекта, вторую — с объектом. На фотопленке будет зарегистрировано два спекл-поля, смещенных друг относительно друга. Смещение в каждой точке спеклограммы зависит от градиента показателя преломления вдоль соответствующей траектории лучей:

W 1入 с с

Ay = L Гdz,(2.2.21)

здесь £ — расстояние от объекта до плоскости, в которой фотографируется спевш-поле. Найти смещение спеклов можно путем восстановления дважды экспонированной спеклограммы. В соответствии с (2.2.19) поле градиента показателя преломления определяется расстоянием между интерференционными полосами Юнга, которые появляются при восстановлении полученной спеклограммы, и углом наклона полос. Как и другие оптические методы, техника спекла позволяет получить информацию, проинтефированную по лучу просвечивания, для реконструкции локальных параметров необходимо зарегистрировать проекции (2.2.21) вдоль различных направлений и использовать методы КТ. Однако в отличие от классических оптических методов техника спевша связана с информацией о градиенте показателя преломления вдоль каждой из траекторий лучей (в каждой точке на плоскости (х,у) независимо друг от друга, так как для нахождения расстояния между поисками Юнга и их наклона в каждой точке спеклограммы не требуется их измерения в соседних точках). Эта особенность техники спевша позволяет использовать ее при исследовании сложных турбулентных течений.

Наряду со спекл-фотографией в последнее время при изучении газодинамических течений применяется также техника спекл-интерфе- рометрии [530 ]. Спевш-интерферометрия — метод, в котором происходит когерентное сложение (интерференция) паля, имеющего спекл- структуру, с плоской опорной волной или с другим полем, имеющим спекл-структуру. В результате интерференции спекл-поля с опорной когерентной волной образуется спекл-поле с большим (примерно в 2 раза) среднестатистическим размером спекла.

Следует подчеркнуть, что фазовый сдвиг в спекл-интерферометрии описывается теми же соотношениями, что и в классической интерферометрии (2.2.12). В отличие от спекл-фотографии спевш-интерферо- метрия чувствительна не к градиенту показателя преломления, а к самому показателю. При исследовании асимметричных объектов необ-

Рис. 2J0. Схемы исследования фазовых (прозрачных) неоднородностей с использованием спекл-фото!рафии (а, б) и спекл-интерферометрии (е, г) [527].

1 — импульсный лазер; 2, 5 — линзы; 3 — матовая пластинка; 4 — исследуемый объект; б — полупрозрачные зеркала; 7 — поворотные зеркала; & — фотопластинка.

ходимо провести анализ большого числа спекл-интерферограмм, полученных под различными направлениями наблюдения, и для расчета локальных параметров использовать методы КТ, реализуя, например, соотношение (2*2*16).

На рис. 2.10 приведены используемые в настоящее время схемы регистрации спекл-фотографии и спекл-интерферограмм. Можно видеть, что в некоторых схемах матовое стекло располагают перед исследуемым объектом 3, з), в других же — после него (6f г).

В заключение следует отметить, что главное преимущество метода спекл-диагностики — простота оптической схемы и относительная легкость представления и интерпретации результатов; кроме того, в этом методе требования к механической стабильности измерительной системы менее жесткие, чем в методе голографической интерферометрии.

соотношениемсоотношением

соотношением

соотношением

2.3. НЕТРАДИЦИОННЫЕ МЕТОДЫВ ТОМОГРАФИИ

ХРОНОТОМОГРАФИЯ

При исследовании быстро меняющихся во времени процессов встает задача записи изображений за достаточно короткие промежутки времени, в течение которых можно считать процесс стационарным. Для

регистрации таких процессов чаще всего используются скоростные фоторегистраторы с непрерывной или покадровой системой записи. Однако из-за ограничения механической прочности приборов невозможно достичь больших скоростей развертки. В результате происходит некоторое усреднение во времени в изображении каждого кадра. Для получения покадровых изображений объекта с лучшим временным разрешением в работах [152, 159, 284, 429, 430] предлагается метод хронотомографии.

Пусть имеется двумерный объект, изменяющийся во времени, т. е. описываемый функцией g(x,y,E)・ Необходимо получить набор изображений объекта g(x,y,“) в последовательные моменты времени % (/ = 1,..мл), или, иначе, реконструировать временные срезы трехмерных объектов g(x,y,f). Томографические проекции в этой задаче —— интегралы от функции g(x,y,f), взятые по определенным направлениям. Такие интегралы можно получить, передвигая изображение вдоль фоточувствительного материала, который лежит в плоскости х,у (см. рис. 2.11). Действительно, пусть движение происходит вдоль оси * с постоянной скоростью У. Тогда в каждой точке детектора будут суммироваться интенсивности от различных точек изображения, связанных

х — Vt = const. , Вместе с тем для направления проецирования, лежащего в плоскости у = const и задаваемого углом |, выполняются соотношения tg| = Ах/АЕ и V = tg |. Это означает, что томографические проекции в хронотомографии получаются с помощью регистрации высокоскоростных интегральных фотографий процесса, причем разные направления проецирования 占,соответствуют разным скоростям развертки V? Итак, уравнение скоростной регистрации можно записать следующим ооразом:

/(%У,У)=丿鼠尤 一 Vt,y,f)dt (2.3.1)

Рис. 2.1 L Хронотомографическая схема реги-страции [284],

Из рис. 2.11 следует, что проекцию 3Q объекта вдоль направления, лежащего в плоскости (к,Е), можно выразить в виде

8(х,y,占)=/ 鼠% - £吆6,乂"山.(2.3.2)

Используя преобразование Радона

f(pj£) = / 鼠尤J/)“P - x cos I - t si欣)dx dt,(2.3,3)

из уравнений (2.3.2), (2.3.3) имеем

/(，У若)=-•(234)

cos $ cos € I

Итак, от проекции S(x^y^) можно перейти к проекциям /, перпендикулярным направлениям интегрирования |, а затем реконструировать отдельные мгновенные сечения пространственно-временного объекта 8(х,у^. При этом томограммы, полученные в моменты времени “，и есть покадровые изображения исследуемого образования. Математический аппарат метода томографии при замене координаты z на х остается неизменным.

Все предыдущие выкладки приведены в безразмерных координатах^ нормированных на длительность процесса Т и размер кадра L, Если ввести размерные координаты, то

tg| =匕T/厶

Необходимо заметить, что различным углам зондирования соответ* ствуют различные сдвиги изображения на регистраторе. Их можно получить, не только изменяя скорость развертки, но и изменяя масштаб изображения или поворотом изображения относительно регистратора.

Схема возможного варианта трехканального хронотомографа [4301 показана на рис. 2.12. Здесь полупрозрачные зеркала 3, 4 разделяют световой пучок от объекта исследования по трем каналам /——III с помощью трех фоторегистоаторов (например, типа СФР), задавая скорости вращения зеркал Vv Vv Vv осуществляют взаимный сдвиг изображения объекта и регистрирующей среды.

Вариант с различными масштабами изображения может быть получен, например, путем использования промежуточных объективов 6, 8, 11 с различными фокусными расстояниями, при этом работы регистраторов 7, 9, /2 должны быть одинаковыми. Применяя в каналах I—III призмы Дове или их аналоги, можно получить вариант, в котором изменяется вектор сдвига изображения.

Для исследования возможности реконструкции хронотомограмм в работе [430] проводились численные эксперименты. В качестве тест- объекта была взята функция, представляющая собой две гауссианы, соответствующие двум импульсным процессам, разнесенным во времени (Д/ = 0,28 с) и в пространстве (Ах = 0,35). Вычислялись три фотохронограммы процесса при скоростях

匕=0, % з = ±tg(%/3) = ±73".

Рис. 2.12. Схема трехканального хронотомографа [43OJ.

1 — исследуемый объект； 2, 6, 8, JJ — объективы; 3, 4 — светоделители; 5, / а — зеркала; 7, 9,7 2 — скоростные фстохронографы; 13 — блок синхронизации.

По рассчитанным фотохронограммам на сетке 32x32 были восстановлены сечения 鼠x,Z) при у = const. Для томографической реконструкции применялся итерационный алгоритм Гершберга ——Папулиса (см. гл. 4). На рис. 2.13 приведен график восстановленного процесса. В численных экспериментах авторами установлено, что по трем хронограммам, полученным при различных скоростях развертки, можно достаточно хорошо восстановить 32 разновременных изображения процесса. При использовании высокоскоростных регистрирующих камер с достаточной точностью восстанавливаются покадровые изображения с временным разрешением с.■

Рис. 2.13. Хронотомограмма тест-объекта, представляющего собой две гауссианы, разнесенные во времени и пространстве [430].

7 — теоретическое распределение; 2 — результат реконструкции.

СПЕКТРОТОМОГРАФИЯ

Современные спектральные приборы позволяют получать высокое спектральное разрешение в пределах оптического изображения, однако с их помощью нельзя восстановить спектрограммы двумерных объектов. Следовательно, если спроецировать на призму или дифракционную решетку двумерное изображение какого-либо объекта, то на выходе будем иметь ряд наложенных друг на друга изображений объекта в разных длинах волн fQ 占(х',у‘) (рис. 2.14).

Интерпретировать такую картину очень трудно. Один их самых простых методов разрешения данной проблемы —— применить оптический светофильтр. Однако с помощью интерференционных фильтров нельзя получить одновременно высокое спектральное и пространственное разрешения. У акустооптических светофильтров наилучшая полоса пропускания АЛ — 10 нм, но при этом они имеют апертуру только <5夕=12°. Использование интерферометра Фабри — Перо в качестве светофильтра увеличивает спектральное разрешение (0,01—0,05 нм), тем не менее апертура остается около 13 .

В работе [333] предлагается новый метод получения монохроматических изображений двумерных полихроматических объектов, состоящий в следующем.

Пусть пространственно-спектральный объект описывается функцией g(x,y, Л), которая соответствует распределению интенсивности излучения некоторого двумерного изображения для различных длин волн Л (рис. 2.15). Проекция объекта для угла 8 = 0 — это его фотография, записанная во всей спектральной области, где он излучает. Для получения проекций объекта i(x,y, Я) в других направлениях (启 * 0) необходимо определить физический смысл угла наблюдения 6 в смешанном пространственно-спектральном пространстве. В плоскости (х, Л) проекция вдоль прямой р = х cos 6 + 2 sin 8 записывается в виде

Рис. 2.14. Двумерное изображение объекта, полученное при использовании спектрального прибора [333].

1 — объект; 2 — объектив; 3 — диспергирующий элемент; 4 — двумерное изображение объекта в фокальной плоскости спектрального прибора.

Рис. 2,15. Получение спектротомоизафических проекций [158].

Сделаем замену р = x‘8s 6 и выполним интегрирование по переменной х, тогда

cos 0 Ф(х^со8 0) = / f(x' — 2 tg 仇у, 2)йй = 5(х“, tg6). (2.3.6)

Из уравнения (2.3.6) следует, что плоскость записи модифицированных спектропроекций 5(%'j,tg 9) параллельна плоскости (х,у)・ Кроме того, эти проекции являются суммами изображений g(xtyt Л) для различных длин волн Л, сдвинутых вдоль оси х\ Согласно (2.3.6), такой сдвиг определяется параметром D = tg 0, который по своему физическому смыслу есть дисперсия спектрального прибора £>(Л) =(1х/认

Полное перемещение равно / В(Л)сЙ.

Если дисперсия прибора может быть принята не зависящей от длины волны, то интенсивность спектропроекций, ориентированной вдоль оси у, составит

J = / 風尤—^^^ ^)U(A)dA, (2.3.7)

где U(2) — спектральная чувствительность детектора. Если Z7(A)= =const для всей исследуемой спектральной области, то уравнения (2*3.6) и (2.3.7) совпадают.

Применяя спектральные устройства с различной дисперсией, можно получить набор проекций с различными углами проецирования. Тогда с помощью этих данных и алгоритмов трехмерной томографии восста-

Рис. 2.16. Получение спектротомографических проекций вращением диспергирующего элемента [333].

Обозн. 7 —4 см. на рис. 2.14.

навливается внутренняя пространственная структура спектрального объекта. Устройство для накопления проекционных данных может быть традиционным спектральным прибором без входной щели, имеющим различные диспергирующие элементы, которые можно менять.

Другой метод получения проекций состоит во вращении диспергирующего элемента вокруг оптической оси системы (рис. 2.16). Пространственное и спектральное разрешение зависят от разрешения проекционных данных, а также от алгоритма реконструкции.

Итак, методом спектротомографии можно достичь монохромных изображений двумерных объектов.

,2.3.3, ТОМОГРАФИЯ РАССЕИВАЮЩИХ СРЕД

В представленных ранее томографических схемах исследуемый объект зондировался коллимированным пучком света с различных направлений; при этом регистрировалась и обрабатывалась лишь прошедшая часть излучения, по которой находился коэффициент поглощения объекта; рассеянным же светом пренебрегали. Однако известно, что анализ неоднородных сред можно проводить и по излучению, рассеянному средой.

При изучении процессов распространения света в неоднородной рассеивающей среде с малой плотностью частиц исследователи встречаются с двумя задачами:

—получение оптических характеристик среды по результатам рассеяния пучка света с заданной структурой;

— определение структуры рассеянного светового поля, распространяющегося в среде с известными оптическими характеристиками.

В работе [430] исследуются обе эти задачи. Обратимся к первой. Пусть объект освещается пучком света в направлении z (рис. 2.17). Рассеянное в различных направлениях излучение регистрируется в плоскости ху, нормальной к оси z. Основная проблема ——рассмотреть условия, при которых по регистрируемому излучению можно получить информацию о внутренней структуре рассеивающей среды.

Пусть модель среды с непрерывными параметрами имеет малые флуктуации в исследуемом сечении. Тогда изменения интенсивности поля, рассеянного в направлении 占(с единичным вектором п) неодно-

родностями, лежащими вдоль этого направления, определяются двумя факторами: увеличением интенсивности из-за рассеяния падающего поля в направлении п и уменьшением интенсивности из-за рассеяния света во всех остальных направлениях. Уравнение переноса излучения имеет вид [514]

^^ = 4(Е,п°)%(Е,п — %) - “Е,п)%(а，(2.3.8)

где Л(^,п0) — интенсивность поля, падающего в направлении % в точке 占；J&n) — интенсивность поля, рассеянного в направлении п в точке I; а丄(Зп — п0) — дифференциальное сечение рассеяния в точке 占 в направлениях п 丄顼；％(占)—общее сечение рассеяния. Запишем решение этого уравнения:

и

J(u，n) = f d^J^.n^a^yti - п0) х

О

X exp /%(夕)若，exp -/%(分成•(2.3.9)

0I 0

Здесь 0, и — граничные точки сечения. Предположим, что индикатриса рассеяния /х(^) = °■丄(£)/%(£) известна, например /х(^) = const в каждой точке среды. Заметим, что уравнение (2.3.9) содержит интеграл от искомой функции %(#,у) с переменным верхним пределом, что является

причиной невозможности решения уравнения относительно ст0(х,^). Оптические свойства среды можно найти, если использовать сумму 厶=/(0,п) + /(0,—п), т. е. данные по интенсивностям полей, отраженных в противоположных направлениях. Уравнение для /(0,-п) выглядит средующим образом:

и

/(0,-п) = fj^^a^) X

О

-и]「""

х exp J %(夕)疗 exp - / 外⑹咫•(2.3.10)

При условии равенства с^(п - Пд) = %(-п - п0), которое выполняется для большинства сред, общая интенсивность поля дается выражением

Л = Л J 幽。⑸%⑶gxp j %(9吧 + exp j %(亭)迎｝X оо£

xexp[-j%(幻阁.(2.3.П)

О

В приближении однократного рассеяния

и

火=/%(»成《 1,(2.3.12)

О

и при условиях

/0 = const, /丄=const(2.3.13)

находим

厶=Л70(2 + 灭 + R2/4)Re~K.

Полагая Л2/4 S 0,05(2 4- Л), можно получить

厶(р，8) = /уо[2Л(р,0) + 紹(р,е)峻妝，')，(2.3.14)

гдев

及(р,0) = J J" %(х,у2(р - х cos 0 - у sin 0)dx dy (2.3.15)

—уравнение Радона относительно функции %(%,у)・ Итак, измерив проекции /Х(Р>^)> решаем (2.3.14) относительно Я(р,^) (К < VT). Затем из уравнения Радона (2.3.15) функция а0(х,у) находится одним из известных алгоритмов ВТ. Таким образом, для определения свойств рассеиьающей среды необходимо измерить общую интенсивность отраженного поля в плоскости, перпендикулярной направлению падающего излучения, в пределах углов 0 W 8 S 2тг.

Рассмотрим случай, когда рассеивающая среда представляет собой набор отражающих частиц. Эта модель описывает, например, двухфазные потоки: твердые частицы в потоках газа или жидкости. Если

Р%с. 2.18. Численное моделирование рассеивающей среды, состоящей из 10 отражающих центров [430].

/ — истинное положение рассеивающих центров; 2 — результат реконструкции;

3 — артефакты.

концентрация частиц в потоке невелика, то поле падающего излучения 厶(占,%) испытывает однократное рассеяние. Тогда уравнение переноса излучения можно записать следующим образом:

^2 = 4 倡 П。)％倉)， (2.3.16) а интенсивность зарегистрированного детекторами сигнала ——в виде преобразования Радона от функции /о(х,у,)а±(х,у):

J(p£) = / / JQ(x,y)crx(x,j)d(p - х cos 0 - у sin 0)dx dy. (2.3,17)

Регистрируя поле, рассеянное под различными углами в плоскости, перпендикулярной к направлению зондирующего луча, можно получить проекционные данные для решения томографической задачи (2.3.17) по определению функции /口。丄.Если распределение интенсивности в сечении зондирующего светового пучка {(му) заранее известно, то можно получить дифференциальное сечение рассеяния о■丄(х,у), а в отдельных случаях также форму и размер частиц. В работе [430] приводятся результаты численного моделирования подобной задачи томографии рассеяния. Расчеты выполнялись на модельной функции, состоящей из 10 отражающих центров, лежащих в одной плоскости. Они освещались лазерным излучением, перпендикулярным этой плоскости. Восстановление велось алгоритмом ОПФ. Результаты моделирования представлены на рис. 2.18. Томограмма восстановлена по 12 проекциям. Координаты рассеивателей идентифицированы с достаточной точностью.

ГЛАВА3ОДНОМЕРНЫЕ АЛГОРИТМЫ ТОМОГРАФИИ

РЕДУКЦИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТОМОГРАФИИК ОДНОМЕРНЫМ

Остановимся на ряде упрощенных постановок задач томографии, которые могут быть редуцированы к одномерным интегральным уравнениям, что значительно облегчает их решение. Такое упрощение зачастую возможно при введении предположений о той или иной степени симметрии объекта: круговой, эллиптической, наличия плоскостей симметрии и т.д.

Рассмотрим, что дает при решении задач томографии априорная информация о характеристиках изолиний искомой функции. Самые распространенные примеры заранее известного вида изолиний ——осесимметричные распределения. В этом случае, как известно, интегральное преобразование Радона сводится к преобразованию Абеля, имеющему аналитическое обращение (а также вид некоторого особенного интеграла, называемого инверсией Абеля).

Более сложные геометрии, допускающие редукцию двумерного интегрального уравнения к одномерному. — случай изолиний, заданных в виде смещенных эллипсов, треугольных изолиний, семейства вложенных парабол высших порядков и в весьма общем случае — выпуклых изолиний без самопересечений, допускающих введение обобщенного радиуса [450, 466, 484, 487, 490, 498]. Рассмотрим указанные задачи более подробно.

ОДНОРАКУРСНАЯ ТОМОГРАФИЯ:ИНВЕРСИЯ АБЕЛЯ

Для начала напомним несколько фактов, касающихся случая эмиссии радиально симметричной плазмы. Изолинии локальных коэффициентов эмиссии g(r) (см. рис. 1.1) в этом случае представляют собой концентрические окружности, и, следовательно,

g(r) = go(|r|)三 g0(r).

Тогда все проекции /(р) становятся эквивалентными и независящими от угловой переменной §:

/(р) = G(Ip|)三 G(p)・

В двумерном случае координата точки на томограмме г и прицельные параметры луча наблюдения р задаются в полярной системе координат: г = г(г,^), р = р(р,0). Тогда в декартовой системе координат интегрирование вдоль луча наблюдения можно выполнить, например, вдоль оси у:

/о(р) = /о(х) = j g^dy = 2 j ▼兇]."•(3」・D

Полученное уравнение относительно 氏(г) является интегральным уравнением типа Вольтерра 1-го рода, в данном частном случае имеющим название уравнения Абеля. Таким образом, уравнение Радона в случае осевой симметрии задачи редуцировалось к уравнению Абеля:

/0(Р)= &{易⑺} = "&&)}•(3.1.2)

Известно, что это уравнение имеет аналитическое обращение

г /nW1 d 7 xZ/x).

gg =-目，，^ = -7 dx. (3.1.3)

Отсюда легко заметить природу некорректности задачи обращения интегрального уравнения Абеля: необходимо дифференцировать зашумленные экспериментальные измерения, а также преодолевать каким-то образом сингулярность в интеграле в его нижнем пределе. В силу того что уравнение Абеля встречается как первое приближение к описанию физических явлений самой разнообразной природы, литература по методам его инверсии очень обширна (см. обзоры в [459, 490, 506 ]). В целом, все методы можно разбить на два больших класса. Первый класс —— это представление искомой функции в виде разложения в ряд по каким-либо базисным функциям с последующим решением получившейся системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов такого разложения. В частном случае коэффициентами разложения могут быть и сами значения искомой функции {g『} в узлах сетки по радиусу:

%=2 4)专"(3丄4)

Ко второму классу алгоритмов относятся различные численные реализации использования формул инверсии (3.1.3).

В последнем случае для получения устойчивых решений следует в первую очередь выполнить сглаживание экспериментальных данных, учитывающее уровень шумов и их статистику. Хорошо зарекомендовали себя сглаживающие кубические регуляризующие сплайны [366, 506]. Для методов, связанных с решением СЛАУ, необходимо преодолевать присущую матрице Л плохую обусловленность, растущую с увеличением числа измерений и числа узлов N в разбиении сетки по г для искомой функции 虱「)・ Устойчивое решение СЛАУ получают с использованием разнообразных методов регуляризации, в частности регуляризации по Тихонову или статистической. В работе [479] проведены детальные исследования применения метода статистической регулярит зации в решении уравнения Абеля, показана его высокая устойчивость к случайным ошибкам измерений. Приведем конечные формулы этого алгоритма. Вектор решение g определяется по формуле

g = (A^WA + a^^Wf.(3.1.5)

me А+ — транспонированная матрица А, а диагональная матрица W состоит из обратных дисперсий。尸，оцениваемых для вектора измерений /； в каждой точке. Матрица Q вносит в задачу априорную информацию о степени гладкости искомого решения и определяется из аппроксимации интегральной нормы:

(g,ag)= / ?(小/步)2”. (3.1.6)

Здесь порядок гладкости задается порадком высшей производной L, обычно он не превышает двух.

Наиболее сложная проблема при использовании решения по (3.1.5)——это поиск параметра регуляризации а. В методе невязки он находится из согласования с уровнем шумов [452, 454]:

II/ -阳|| = <52, (3.1.7)

где б? — норма экспериментальных шумов (но только случайных, без систематических). Обычно указанный метод дает несколько переглаженное решение g.

(3.1.8)(3.1.8)В методе статистической регуляризации имеется несколько подходов к выбору данного параметра [366, 506 ]. Неплохо зарекомендовал себя итерационный метод:

(3.1.8)

(3.1.8)

В ряде численных экспериментов более точным оказался выбор параметра регуляризации решением нелинейного уравнения

а = N[Sp{Q(A+WA + аС)Т} + (ga,Qga) ]-1.(3.1.9)

Здесь Sp ——след последующей матрицы.

Интересно, что метод статистической регуляризации позволяет получить и теоретическую оценку ошибки восстановленного радиального распределения в виде его дисперсии в каждой точке:

а] = {^WA + aQ)K・а] = {^WA + aQ)K・(3.1.10)(3.1.10)

а] = {^WA + aQ)K・

а] = {^WA + aQ)K・

(3.1.10)

(3.1.10)

32 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИЗОЛИНИИ

Естественным обобщением задачи реконструкции объекта по изолиниям является переход от системы линий уровня, аппроксимируемых окружностями, к системе эллиптических изолиний. Изолинии в виде софокусных или смещенных один относительно другого эллипсов характерны для рада режимов работы стеллараторов [310], токамаков с полоидальными диверторами [260 ], винтовых дуг [482] и т.п. Кроме того, как отмечают авторы [422 ], нередко целесообразным бывает наклонное микроволновое зондирование столба плазмы, позволяющее повысить точность восстановления 2D распределения электронной плотности плазмы.

Рис. 3.1. Эллиптические изолинии со смещениями.

古—угол веерного сканирования.

В этом случае, если столб обладает осевой симметрией, эллиптические изолинии появляются авто^ матнчески. Рассмотрим систему изолиний в виде смещенных эллипсов в условиях веерного сканирования излучения оптически тонкого объекта. Такая задача решалась нами в [484 ]. В более общем случае уравнение изолиний запишется в виде (рис. 3.1)

[х - Л(р) f/a2 + [у - В(р)『/廿=р2,(3.2.1)

где р имеет смысл обобщенной радиальной переменной, пробегающей значения от р = 1 (внешний эллипс) до р = 0 (точка сгущения (а,夕))；а и Л — полуоси эллипса-

Уравнение (3.2.1) записано в системе координат хоу. повернутой на угол 夕 относительно лабораторной системы отсчета; d — сдвиг детектора D в системе х'оу'.

Примем для простоты, что центры эллипсов смещаются по линейному закону:

43) = а(1 - р), В(р) 伙 1 -川・(3.2.2)

После ряда выкладок, схема которых изложена в [466, 484], приходим к следующей связи проекционных данных /(^) с восстанавливаемым распределением 必)：

/(打=J KS』)№)8，(3.2.3)

巧

где

lab 夕(疗-P2) + P(P - KfE 自)

KS若)/ [(疗 - p% - a)S + Р'产'

m?=公C0片g+8)+力飞口2(夕+ E);

P = a 8S® + e)一万 sin(尹 + 6)；

R^ RQ + d etg ”

々=Ip 一 /国口扌1(m干")7;

р2 = |р -々 sin 占 |(м±р)т.(3.2.4)

В выражениях для р* и р2 верхние знаки берутся для луч-су мм, проходящих правее точки сгущения; нижние знаки —— в противоположном случае. Результаты работы [484 ] соответствуют отсутствию сдвига внешнего эллипса, т. е. d = 0; расчетам Сильвера и Рони [260 ] отвечает еще более частный случай отсутствия внутренних смещений эллипсов: а =夕=Q.

Переход к случаю параллельных лучей наблюдения производится заменой: 夬古 sin ^ -* х, « + »-♦& гце 6 — теперь угол поворота внешнего эллипса относительно лабораторной системы координат.

При этом

1

/(Х) = / K(p,x)g(p)dp,(3.2.5)

где

/*Q(z-P2) + P(P - %)

9用=蒜■[(川-pBs-円)S+勺)产'

m2 = a2cos2。+ "siMe； p = a cos 8 — p sin 8; Pi = Ip - x|(m + p)「 p2 = |p - x\(m ± о)?.(3.2.6)

Авторы работы [450 ] с помощью формул (3.2.5), (3.2.6) обработали данные спектроскопического исследования плазменного шнура, помещенного в продольное магнитное поле. Перемещение по круговой траектории максимума интенсивности в выбранном спектральном интервале электрической дуги, горящей в цилиндрическом канале, подтвердило существование винтовой формы дугового шнура; при токах —100 А и значениях индукции магнитного поля В = (0,035——0,630) Тл шнур заметно смещается с центра канала в радиальном направлении. Применительно к данной задаче формулы (3.2.5), (3.2.6) допускают существенное упрощение: как показано в [450], можно положить р = 6 = 0, после чего вместо (3.2.6) получаем

2d 0({ — a2) + a(a - %) 『 [(/一力3 -%)3 +%)产"

PiР2PiР2% — a a — a*

Pi

Р2

Pi

Р2

-——; 加 ==a; P = a; x at(3.2.7)

a + a

Уравнение <3.2.5) с ядром (3.2.7) решалось методом статистической регуляризации. Серией модельных экспериментов была показана воз-

можность получения устойчивого решения с небольшим (порядка единицы) коэффициентом усиления погрешности о^/су, где а； н 另 —— дисперсии восстанавливаемой функции и экспериментальных данных соответственно. В качестве моделей 欢川 выбирались функции

КР) = 1 - Р2.必)=^ехр^^р2), причем вторая использовалась при обработке данных реального эксперимента, в котором параметры кг и к2 подлежали определению наряду с а, b и а, В описываемой серии экспериментов использовались всего две ортогональные проекции: /(х) и /(у) для интенсивности континуума аргоновой плазмы на длине волны Л = 428,5 нм. С возрастанием индукции В асимметрия плазмы увеличивалась, что вызвало необходимость увеличения числа ракурсов наблюдения (конкретно — до 6). Тем самым потребовался переход к общей схеме 2D томографии. Полученные результаты рассмотрены в других разделах данной работы.

Упомянем о некоторых важных в прикладном отношении вырожденных случаях задачи. Если для ядра (3.2.7) положить а = а, то вместо (3.2.5) получим уравнение Абеля вида

f(x) = 2Wz] J(328)

Для варианта восстановления с веерным сканированием вырождение связано с условием m = a 8s(尹 + 占j. Тоща

2ab L f必)勿m一& Sin6

f⑹= vz J=•(329)

m 2 ；诉 一 z2 2

О решении таких уравнений уже упоминалось ранее (см. формулу (3.1.3)). Более подробно соответствующий круг вопросов, связанных с диагностикой лазерной плазмы и корректностью формулы обращеният полученной в [396], исследован в работе [498 ]. Отметим, что приложения формул (3.2.8), (3.2.9) относятся к широкому спектру задач взаимодействия лазерного излучения с мишенями [117]. Они касаются, в частности, исследований рэлей-тэйлоровской неустойчивости, возникающей при абляционном сжатии сферических мишеней, а также визуализации газодинамических течений лазерной плазмы с помощью введения в мишень следовых примесей некоторых органических соединений.

Бели в формулах (3.2.5), (3.2.6) взять а = А = 1 и учесть смещение центров изолиний только по оси х, то нетрудно прийти к соотношениям для системы неконцентрических окружностей работы [378] (см. также [377]).

Наконец, если взять еще более частный случай

a=g = 8 = p=0, a=b=m=L р = г, р]=р2 = х,

то от (3.2.5) перейдем к стандартному преобразованию Абеля:

1,

/(х) = 2 / г(/ -公)7〃办.(3.2.10)

С точки зрения моделирования более широкого класса задач газовой динамики и физики плазмы полезно рассмотреть также эллиптические изолинии порадка п. Для простоты не будем здесь вводить смещений и поворотов эллипсов и запишем для линий уровня выражение

同 + 电 =Р2л» Р €【0"(3-2.11)

На рис. 3.2 в качестве иллюстрации показано несколько кривых такого типа: 2п = 2, 3, 6, 12; р = а = i, b = 0,75. Интегральное уравнение, связывающее проекционные данные и искомую функцию 网о), записывается следующим образом:

/(X)= 1Ь1^ - {х/а^Г(3212)

у = (2п - 1)/2п; у £ [0,5；0 при n > 1.

Заменой переменных р2и = 1 - и; (х/а)2п = 1 一。уравнение (3.2.12) вновь сводится к канонической форме уравнения Абеля:

/(〃)=：j(〃- u)~Yg(u)du.о/(〃)=：j(〃- u)~Yg(u)du.о(3.2.13)(3.2.13)

/(〃)=：j(〃- u)~Yg(u)du.о

/(〃)=：j(〃- u)~Yg(u)du.о

(3.2.13)

(3.2.13)

В переменных (х,р) его решение имеет вид

Ер)=-Ер)=-(3.2.14)(3.2.14)汽 sin ул }/ l(x)dx

Ер)=-

Ер)=-

(3.2.14)

(3.2.14)

& ；[a/a产-s产产〜

Для отыскания распределения 蛇)по приведенным формулам необходимо предварительно определить входящие в систему параметры: показатель степени эллиптических изолиний, ориентацию эллипсов относительно лабораторной системы отсчета, положение точки сгущения —из независимых экспериментальных данных, расчетов конфигурации магнитных поверхностей, модельных соображений и т.п. Значения параметров, как правило, удается уточнить в процессе реконструкции 心),причем использование нескольких направлений наблюдения повышает достоверность интерпретации результатов.

Рис. 32 Изолинии вида (3.2.11) с различными показателями 2«.

/ 一 2； 2 — 3； 3 — 6； 4 — 12.

Рис. 3.3. Норма отклонения решений по правой и левой частям сигнала /(^) вблизи «0 = 0,5 [490].

Уровень шумов измерений, %: / — о； 2 — 5;

3 — 10.

Уточнению, в частности, хорошо поддается положение точки сгущения. Из уравнений (3.2.3), (3.2.4) видно, что при восстановлении g(p) достаточно знать лишь правую (или левую) часть полного сигнала /⑹ относительно луча, проходящего через точку сгущения. Расчеты, проведенные порознь по каждой из частей проекционных данных, должны давать близкие решения. Если параметры изолиний заданы правильно, то отклонения в расчетах определяются лишь погрешностями измерений. Варьируя далее, например, а (или 6〉в окрестности приближенно заданного ее значения, можно получить улучшенную оценку а, требуя ми

нимума нормы отклонения двух решений: II g, - g/.

На рис. 3.3 показана зависимость нормы отклонений решений по правой (г) и левой (Q частям сигнала /(^) в модельной задаче с точным значением а0 = 0,5. Видно, что положение а, оцределяемое минимумом нормы Ji gr — gjl，дает значение, близкое к %, даже при погрешности измерений 15 %. В работе [370], посвященной локальной диаг

ностике стеллараторной плазмы, исследовался практически важный вопрос о влиянии дв у мерности аппаратной функции детектора на точность восстановления 2D поля коэ4х|)ициента испускания при мо

делировании задачи с помощью системы смещенных эллиптических изолиний.

ПРИМЕР ИЗОЛИНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Для уже неоднократно упоминавшихся плазменных систем замкнутого типа, в частности стелларатора, характерно большое разнообразие режимов работы, причем во многих режимах реализуется случай специфической симметрии полей основных плазменных параметров.

О режимах, связанных с эллиптическими изолиниями, писалось достаточно подробно. Рассмотрим в качестве примера еще один часто встречающийся режим, для которого линии уровня близки по форме к треугольнику или к наконечнику стрелы (рис. 3.4) [486, 487], Разуме-

4⑹4⑹й — ай — аЯЯcos 占 ft-a+l+tg^cosycos 占 ft-a+l+tg^cosy-1;-1;

4⑹

4⑹

й — а

й — а

Я

Я

cos 占 ft-a+l+tg^cosy

cos 占 ft-a+l+tg^cosy

-1;

-1;

Рас 34 Изолинии для плазмы торсатрона.

Указаны параметры для формул (3.2.16), (3.2.17).

ется, углы при этом должны быть сглажены, однако, как показывают оценкк, учет такого сглаживания уточняет ре* зультат восстановления 蛇)лишь в незначительной степени, и ради простоты аппроксимации изолиний им почти всегда можно пренебречь. При веерном способе регистрации /(|) получается интегральное уравнение, существенно более простое, нежели (3.2.3):

熊)^ к⑹/№№， (3.2.15)

А

причем для трех вариантов изолиний (рис. 3.4, 〃一в) функции К(У) записываются соответственно так:

(刀一a) sin 占・cos 占 + q sin (У 一 占)

勺⑹二sin (у - ^) cos；

(л - «)siny ffcos7 - Я tgysin»?

/⑸=孟一 + -—，32.16)

^ = Я — А + а.

Этим функциям соответствуют различные пределы интегрирования:

=3 а

Н tgyctg^ + q

(3.2.17)(3.2.17)_ _(&-a)维e

(3.2.17)

(3.2.17)

Pl6 Plc 耳 tgy-qtg 占*

Искомая функция 必)немедленно находится из (3.2.15):

W =/⑹)=鳴圈]/讐， (3・2•⑻ т.е. задача КТ сводится к дифференцированию неточно заданной функции и может быть решена, например, с помощью сглаживающих регуляризованных сплайнов [366, 506].

33 ИЗОЛИНИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

В работах авторов [228, 450, 466, 484，487] рассматривались различные возможности более общего задания вида изолиний и соответствующих постановок обратных задач локальной диапюстики газовых и плазменных объектов, включая проблему редукции задачи для оптически плотной плазмы к оптически тонкому слою.

Если ограничиться классом замкнутых выпуклых изолиний без самопересечений 屮(х,у/>) = 0, то дифференциал пути ds вдоль луча зрения, направленного под углом § к оси ординат при веерном сканировании (см. рис. 3.1), можно представить в виде

ds = — singds = — singQ+S'E)^，dx/dp N Q, Q~S，占)本，dx/dp v 0.Q+S'E)^，dx/dp N Q, Q~S，占)本，dx/dp v 0.(3.3.1)(3.3.1)

ds = — sing

ds = — sing

Q+S'E)^，dx/dp N Q, Q~S，占)本，dx/dp v 0.

Q+S'E)^，dx/dp N Q, Q~S，占)本，dx/dp v 0.

(3.3.1)

(3.3.1)

Здесь Q+ и Qi ——функции, определенные зависимостью х = х(р), а параметр р однозначно характеризует заданную систему изолиний 屮 =0 и тем самым восстанавливаемое распределение 蛇)・ Допустим, что функция х(Е) двузначная н выполняются соотношения

Q* == 7 + Q, Q- = 7 - Q・Q* == 7 + Q, Q- = 7 - Q・(3.3.2)(3.3.2)

Q* == 7 + Q, Q- = 7 - Q・

Q* == 7 + Q, Q- = 7 - Q・

(3.3.2)

(3.3.2)

Тогда для 2D задачи редукции к тонкому слою интегральную эмиссию плазмы в общем случае следует записать так:

4占)=/ £(х,У)ехр[ - / >t(x,y)ds,] ds,(3.3.3)

где, как и прежде, £(#,у) — локальные коэффициенты эмиссии плазмы, а х(х,у) — ее локальные коэффициенты абсорбции. С учетом (3.3.1) выражение (3.3.3) принимает вид

/(扌)=ехр( -f Q+好)х

J Q'ndp' 1<ф,(3.3.4)J Q'ndp' 1<ф,(3.3.4)/р

J Q'ndp' 1<ф,(3.3.4)

J Q'ndp' 1<ф,(3.3.4)

х J e[Q+exp J Q^ndp' - Q"exp

где Pi售)есть решение уравнения

М = 0, р £ [0,1 ].(3.3.5)

ах

В частности, для q = 0 получается более простое соотношение

11/р '

/售)=2 ехр( - / Qndp) J eQ cos A J @本，本‘ (3.3.6)

Pi勺01

которое является обобщением уравнения Фримена — Каца [76, 77 ].

Оптически тонкому слою (я = 0) соответствует интегральное уравнение

/售)=/ [Q+S，占)一Q-SX)kSM°・ (3.3.7)

В частном случае эллиптических изолиний из (3.3.7) сразу же следует (3.2.3). Аналогично можно рассмотреть иные конфигурации изолиний.

При переходе к более общему случаю изолиний [486, 487 ] ориентиром в выборе формы линий уровня могут, как и ранее, служить, например, изолинии магнитного потока, рассчитываемые в задаче о магнитном равновесии. Численные коды позволяют для заданного сечения плазмы (х,у) найти распределение магнитного потока Б(х,у), которое имеет с искомым распределением 虱％，у) общие линии уровня. В остальном соответствующие функции могут быть, конечно, совершенно различными.

Один из возможных подходов к задаче ВТ в такой постановке состоит в следующем. Строим интегральное представление

/3) = /к@,0)网о)4),(3.3.8)

L

где L — некоторая выделенная прямая, вдоль которой регистрируется сигнал, а вид ядра подлежит уточнению. Определяя сепаратрису, за пределами которой магнитные поверхности разрушаются, по таблично заданной функции Б(х,у) находим Б^ и 3n1ax. Диапазон изменения ° £ [0,1] разбиваем на (Np - 1) интервалов (для простоты равных), получая тем самым равномерную сетку no В £ [^min^max ]• Используя далее двумерную интерполяцию (например, билинейную), строим для луча L сеточную функцию одной переменной В(1», 2 = 1,.», “• Если dl — это дифференциал пути, то, переходя от него к дифференциалу обобщенной радиальной переменной ф, получим

Д«) = / 虱4d夕=^ g(p) -^ dp.(3.3.9)’

Сетку по {Zz} разбиваем на интервалы монотонного изменения 11 репернойи функции 3(4)； число таких интервалов % очевидно, будет четным. На каждом интервале определяем взаимно однозначные функции ,0 = «石)а с помощью перехода В「р^ — сеточные функции 串)=l(pi), i = 1,…,Np. Используя достаточно гладкую аппроксимацию 4®\ например кубическими сплайнами, осуществляем требуемое согласно (3.3.9) дифференцирование 沙 в заданных точках. Таким образом приходим к окончательной формуле описываемого алгоритма:

/3) = 1 斗4^^^ 卜)咖,(3.3.10)

若=若=о, р < POJ,1，Р》Лу・

若=

若=

Здесь S⑦一кубический сплайн на /-м интервале; роу — значения для локальных максимумов 3（办

Подчеркнем, что при численной реализации данного алгоритма возникает необходимость обхода особенностей в точке роу, регуляризации уравнения Вольтерра 1-гх）рода, двумерной интерполяции функции 8（х,у） и приведения одномерной сеточной функции ｛咼｝ к виду 京X吸）.

Описанный алгоритм может применяться при обработке и интерпретации малопроекционных данных, получаемых, например, на установках типа токамак, стелларатор, гофрированный тор и т.п. Именно в этих случаях форма линий уровня электронной плотности и температуры, мощности радиационных потерь и других важных характеристик является весьма непростой [326 ].

ГЛАВА

4

ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТОМОГРАФИИ

В гл. 1 уже упоминались некоторые методы решения задач двумерной томографии и был сделан простой вывод обратного преобразования Радона, на основе которого легко получить так называемые сверточные алгоритмы КТ [534 ]. Эти алгоритмы дают неплохие результаты в медицинской томографии, где число направлений наблюдений обычно весьма велико. Однако в задачах плазменной томографии для малого числа ракурсов особое значение приобретают итерационные методы, позволяющие получать приближенные оценки томограмм путем последовательного введения в алгоритм априорной физической информации.

Рассмотрим лишь некоторые из перспективных алгоритмов данного класса.

ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМГЕРШБЕРГА 一 ПАПУЛИСА

Один из весьма эффективных итерационных алгоритмов для параллельной схемы регистрации проекций ——алгоритм Гершберга ——Па- пулиса (Gerchberg — Papoulis, далее — алгоритм GP) [56, 85, 183, 220], основанный на использовании поочередного исправления оценки томограммы, а затем ее фурье-спектра. В [56, 273, 274] этот метод изучался для задачи с ограниченным угловым диапазоном, 占 С [占minimax I Нами [183 ] была разработана регуляризованная версия алгоритма GP для задач малоракурсной томографии и приведены результаты исследований его свойств для трех ракурсов.

В основе метода лежит применение теоремы о центральном сечении и фурье-синтез с последующей интерполяцией двумерного спектра. Здесь в итерациях участвуют два пространства: фуРье- и обычное пространство томограммы. На каждом итерационном шаге максимально полно учитывается информация об образе искомого изображения в данном пространстве, осуществляется перевод изображения в дуальное пространство; там операция обработки изображения повторяется и вновь происходит возврат в соседнее пространство и т.д. Какие свойства преобразования Радона при этом используются?

Вкратце их схематично можно сформулировать в трех пунктах：

—по теореме о центральном сечении фурье-образ проекции /(£р) дает центральное сечение двумерного фурье-образа томограммы G(唳,у, вдоль прямой (-y/ine) + vjcos(^)) = 0;

——значение такого фурье-образа на нулевой частоте должно быть одним и тем же для всех ракурсов: F(^yp = 0) = const;

—в плоскости томограммы имеется круг некоторого радиуса К, вне которого томограмма равна нулю; диаметр круга задается линейными размерами системы детекторов.

Кроме отмеченных свойств в итерационный процесс можно вводить информацию:

—— о положительности томограммы, как это имеет место для задачи эмиссионной томографии;

——о сохранении энергии на каждом направлении (интегралы под каждой проекцией должны совпадать);

—о гладкости искомого решения и об оценке шума в измерениях.

-1,0 ,,. .

-1,007,0 в

Рис. 4.1. Восстановление алгоритмом MGP **горизонтальногом (а) и “вертикального" (б) фантомов.

Упрощенно итерационные шаги регуляризованного алгоритма MGP можно представить так [183 ]:

Шаг 1. По известному набору проекций получается набор их одномерных фурье-образов (с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ)). По теореме о центральном сечении эти величины дают в полярной системе координат в частотной плоскости значения фурье- образов томограммы на (К — 1) лучах 貿占 + %/2m. На данном этапе значения спектральных амплитуд зануляются вне указанных лучей.

Шаг 2. Выполняется обратное двумерное БПФ для получения оценки томограммы &(х,у).

Шаг 3. Вносится априорная информация о положительности решения и его пространственной ограниченнсхгти (кругом радиуса К).

Шаг 4. Выполняется прямое двумерное БПФ от оценки томограммы g(x,y) после шага 3. Значения спектра на лучах, определенных на шаге 1, заменяются на значения, определенные там же непосредственно по имеющимся проекциям. Вносится также априорная информация о спектре объекта, проводится его сглаживание, согласование с уровнем шумов в измерениях.з

Шаг 5. Проверяются критерии окончания итерационного процесса. Если они не выполняются, то осуществляется переход на шаг 2.

Применение здесь же учета положительности томограммы на основе нелинейного обратного проецирования [183] позволяет ускорить в ряде случаев процесс сходимости итераций и повысить точность конечного результата. Кроме того, на шаге 2 необходимо осуществлять интерполяцию в спектральной области, с переходом от полярной к декартовой системе координат. Для выбранного круга частот |“| W 匕 используется билинейная интерполяция, а для частот |v| > vx —— интерполяция “ближайшего соседа*1. Последняя выполняется лишь для точек, попадающих в некоторую <5-окрестность луча (占 + 九/2卩).Постепенное уменьшение этой полосы “влияния" с ростом номера итерации также дает возможность ускорения итерационного процесса.

На рис. 4.1, 4.2 проиллюстрирована работа этого алгоритма в вычислительном эксперименте [183]. На графиках рис. 4.1 приведены томограммы, восстановленные алгоритмом MGP (Modified Gerchberg — Papoulis Algorithm) двух моделей. Первая модель (рис. 4.1, а)——две гауссианы, центры которых помещены в точки (—0,25; 0) и (0,25; 0); вторая модель (рис. 4.1» & — те же гауссианы, но с центрами в точках (0, -0,25) и (0, 0,25). Параметр а = 9,5, N = 33, К = 4, число итераций L = 60. Погрешность Дх = 13 % J) и 29 % (б). На рис. 4.2 показан ход ошибок решения в зависимости от номера итерации Кривая 丿 соответствует ^горизонтальной** модели рис. 4.1, а, кривая 2 — ^вертикальной** модели рис. 4丄 б.

Рас 4.2. Зависимость погрешности реконструкции Игоризонтальнойм и **вертикальной** моделей от номера итерации L.

К = 4 ⑺ и 7 (б).

Рис. 4.2, 6 дает ход ошибок для восстановления **горизонтальной** модели, но уже с числом ракурсов наблюдения К = 7 (J, б). Отключение в алгоритме механизма подавления артефактов с помощью нелинейного порогового ОП значительно ухудшает свойства итерационного процесса.

4J.L КРИТЕРИЙ ИНФОРМАТИВНОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Разница в качестве восстановления н горизонтальной** и **верти- кальной" моделей (рис. 4.1), а также различия между кривыми J и 2 рис. 4.2 требуют отдельного осуждения. Прежде всего отметим разницу между проекциями этих моделей в системе трехракурсной томографии. В обоих случаях направления наблюдения располагались под углами 占= 0, 60 и 120° относительно оси ох. ^Горизонтальная** модель отличается в данном случае от **вертикальной4* тем, что для нее в число зарегистрированных проекций попала та, на которой изображения двух гауссиан максимально перекрывают друг друга. Для второй модели такая проекция оказалась пропущенной. Таким образом, вопреки очевидному смыслу, максимально раздвинутые изображения оказались менее информативными, чем максимально совмещенные. Выполненные авторами восстановления подобных фантомов другими алгоритмами дали такие же результаты по соотношению информативности проекций.

В работе И.Г. Казанцева [404] введен критерий информативности проекции Q(E) (для томограммы, заданной внутри единичного круга):

'\ 頂p)dp

(411)

Если в распоряжении исследователя имеется априорная информация, позволяющая еще до проведения экспериментов приближенно оценить зависимость Qr от выбранной системы регистрации, то затем можно оптимизировать эту систему максимизацией Q^)- Применение данного критерия к моделям рис. 4.1 легко объясняет более чем двойное повышение точности восстановления томограммы для “горизонтальной" модели по сравнению с **вертикальной*4. Там же [404] показано, что в итерационных алгоритмах типа ART предпочтительно обработку проекций начинать с наиболее информативной, а кончать ——наименее информативной.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД МАКСИМУМАЭНТРОПИИ

Одним из перспективных алгоритмов реконструкции, интенсивно развиваемых в последние годы, является метод максимума энтропии (MENT) [79, 190]. Согласно исследованиям Минербо [190], этот метод обладает прет существом по сравнению с другими алгоритмами, когда число напрат лений наблюдения ограниченно, а также в случае, когда проекционное данные существенно зашумлены. В указанной выше

работе проводилось моделирование системы регистрации проекций, в которой детекторы имели конечную ширину. Далее рассмотрена модификация метода для случая постановки задачи двумерной томографии в ее классическом виде, когда используется интегрирование по лучам, описываемое преобразованием Радона [383 ].

Пусть в системе координат &$), повернутой на угол & относительно лабораторной системы координат (л,^), проекционные данные — инте> ралы вдоль прямых s = Sj：

Z/s击)=J g(t,s)dt.(4.2.1)

Здесь /($』)一регистрируемый сигнал вдоль луча с координатами s и £ а 京#,у) — томограмма объекта, которую необходимо реконструировать.

Функционал энтропии выберем в виде (190]

3(g) = - J J dx dy 5(л,^)1п [^(л,^)Л ],(422)

где Л — площадь области D^ в которой функция 虱х,у) отлична от нуля. Выбирая максимум энтропии (4.2.2) и при условии, что выполняются ограничения (4.2.1), получаем задачу на безусловный экстремум функционала

屮(g,A) = 3(g) 一 У J dsN冋[C(s) - J ^,x,y)dt^ .(4.2.3)

Здесь A； — множители Лагранжа (через Л обозначим также всю совокупность множителей Лагранжа Ар, а связь между системами координат

х(厶s) = Z cos |у — s sin 务

y(t,s) = / sin |y + $8$ 务(424)

После взятия производной по g имеем выражение

-In(gA) - 1 + £ Ay(x 8sm + sin |р = 0,(4.2.5)

что дает нам решение задачи через множители Лагранжа

g(xty) к 4-1ехр[-(1 — 2 Aj(x cos + у sin ^))],(4.2.6)

Обозначим через новую функцию Я элементарные компоненты этого выражения:

4($) = ехр(Л;.(5)- 1//).(427)

Окончательно получим мультипликативное представление искомой томограммы через функции "(s) вида

& = Н'Г!匆("cos 孑 + У sin 务)*(4.2.8)

Отметим, что метод максимума энтропии привел в конечном счете к разложению искомой функции в произведение одномерных по своей сути функций, которые для каждого направления наблюдения постоянны вдоль него и переменны лишь в перпендикулярном направлении.

Подставляя (4.2.8) в (4.2.1), находим для коэффициентов 修($) итерационную схему (вытекающую из применения схемы Гаусса — Зевделя):

芍+1($)=仞 // df[] H^-t sin 臥 + s cos 臥).(429)

Здесь 氤—угол между текущим основным /-м направлением и переменным 尢-м:

加=еk 一务

По окончании итераций томограмма восстанавливается по формуле (4.2.8).

В работе [383] выполнены численные исследования описанного метода для задач малоракурсной томографии плазмы. Регуляризующая часть алгоритма включала сглаживание кубическими сплайнами, что усилило помехозащищенность алгоритма. На гладких фантомах достигнута высокая точность восстановления томограмм для 3—4 ракурсов наблюдения. Для разрывных функций результаты восстановления существенно хуже и сопоставимы по точности реконструкции с другими алгоритмами двумерной КТ.

MENT: ВЕЕРНАЯ ТОМОГРАФИЯ

Выше был описан модифицированный метод максимума энтропии для параллельной системы регистрации проекций. В данном разделе, следуя работе [383 ], выведем формулы для метода максимума энтропии в одной из постановок веерной томографии.

Пустуй ракурс наблюдения характеризуется в повернутой на угол Р систем^ координат (х\у‘)положением “фокусной" точки веера с координатами х' = О, У = -% Лучи веера будем задавать двумя способами, связанными взаимно-однозначными соотношениями. Первый способ приписывает каждому лучу /-го веера угловую координату а. € 1amiнОм L где угол отсчитывается от оси у'. Во втором способе лучи внутри веера приписываются координате пересечения этим лучом оси х^ Для того чтобы отличить эту переменную от произвольной координаты х\ будем обозначать ее через и.

По аналогии с работой [191 ] введем в декартовой системе координат (х\/) также веерную систему координат:

И =

w = у'.w = у'.(4.2.10)

w = у'.

w = у'.

В заданной таким образом системе координат веерный луч (внутри 户го веера) задается условием и = const. Обратное преобразование к (4,2.10) записывается в виде

х' = м/1 +

у' = W.у' = W.(4.2Л1)

у' = W.

у' = W.

Поскольку повернутая система координат (х\У) связана с исходной вращением

д:г = х cos^ + у sin^j ,

У = — jcsin 伤 + у cos 3，(4.2.12)

можно связать координаты на томограмме с веерными координатами соотношениями

хсоз% + у sin Д.

"3 = ］「М + усЗ：dj

w = %(х,у) = -х sin伤 + у cos%(4.2.13)

Нам также понадобится и обращение этого преобразования:

X = X(“,W)= ［м(1 +》］8sg - WSin%

j = Y(utw)=卜(1 + —^ j sin Pj + w8s 分 (4.2.14)

Веерная проекция вдоль луча, проходящего через точку = м, задается уравнением

以u) = J dxj dy“u - u^x,y))g{x,y).(4.2.15)

Якобиан JQ,w) перехода от системы координат (х,у) к системе (и, и») легко находится из (4.2.14):

/(〃,”)=/(〃,”)=(4.2.16)(4.2.16)

/(〃,”)=

/(〃,”)=

(4.2.16)

(4.2.16)

Тогда формула (4.2.15) для проекции сводится к интегрированию в веерной системе координат:

Т“)= / dw(l + ^giX^u^.Y^w)).(4.2.17)

Наконец, подлежащий максимизации функционал (4.2.3) запишется в веерном случае так: JГ•

屮(g,A) = 0 - £ J du^u) fj(u) - Jdw(l + 力虱巧，弓).(4.2.18)

Взяв производную по g, получаем

- In [g(xfy)A ] + 2 A^Uj(x,y)) = 0.(4.2.19)

Последнее выражение дает решение задачи в виде

g(x,y) = ^ехр -1 + J ^j(x,y) ,(4.2.20)

или в мультипликативном представлении

虱 X J)= ~Ц 4(4(占 У))，(4221)

где множители Hj записываются подобно параллельному случаю:

Hj(u) = expt^M) г 1/“(4.2.22)

Далее несложно получить выражение для проекций через множители Hj

£(〃) = ~4^/叫1 + 7)t\.H^Ukj^u^- (4.2.23)

Здесь введены обозначения:

% = U^u^Y^w)).(4.2.24)

Нелинейные итерации Гаусса — Зейделя позволяют искать компоненты Hj искомого решения из формулы

考+1(〃)=^^^—.(4.2.25)

J/(1 + ?口发(%，("出))

Начальное приближение для итераций находится так же, как и в параллельном варианте.

43 АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ПРОЕКЦИЙ

В данном разделе рассмотрен метод восстановления томограммы, когда попутно восстанавливается более полно и синограмма. Назовем такой алгоритм методом синтеза проекций ——МСГТ (иногда будем называть его также алгоритмом восполнения синограммы — ISR (Iterative Sinogram Restoration)).

Восполнение плоскости синограммы фактически означает переход от веерных проекций (либо от нерегулярных систем регистрации) к параллельным. Кроме того, в любом варианте метод дает как бы дополнительные направления наблюдения, так как с помощью интерполяции заполняются пропуски в наблюдениях как по углам, так и по прицельному параметру р.

Необходимость решения подобных задач вполне очевидна. Во многих плазменных установках зарегистрировать эмиссионные проекции в достаточном количестве весьма непросто. Этому мешают ограниченные условия доступа для диагностической аппаратуры ——малые размеры окон (для закрытых разрядных камер) или их малое количество. Кроме того, трудно реализовать и параллельную схему сбора данных, наиболее удобную для классических алгоритмов томографии. В условиях такой сильной неполноты информации интересны методы использования априорной информации в пространстве преобразования Радона, проекционные данные f(^p) в котором, как мы помним, называются синограммой,

К таким априорным данным относятся в первую очередь условия равенства нулю интегральных эмиссий на границах области реконструкции, условие обратимости измерений на данной линии наблюдения (для оптически прозрачной плазмы), а также выполнение моментных законов сохранения, задающих вместе со вторым условием правила совместности проекционных данных. Конечно, в силу случайных и систематических экспериментальных ошибок все эти условия выполняются лишь приближенно, однако лишь при условии их выполнения для полученного приближенного решения задачи последняя будет внутренне непротиворечивой.

ТЕОРИЯ МЕТОДА

Итерационные методы, основанные на реконструкции синограммы и томограммы, с введением ограничений в итерациях не только на получаемое решение, томограмму, но и на псевдопроекции, синограмму развивались в работах [125—129 ]. В [233, 234] также исследовались близкие методы, в частности вводились ограничения в виде моментных законов сохранения в пространстве синограммы. Однако в них рассматривались только параллельные проекции, и неполнота проекционных данных вводилась лишь по угловой переменной, т.е. по прицельному параметру проекции считались заданными полностью. Ниже приведены условия совместности, которым должны удовлетворять синограммы, следуя основным свойствам преобразования Радона.

Идея нового метода, предлагаемого в данной работе, заключается в объединении всех известных априорных ограничений в пространстве как синограммы, так и томограммы, с введением сглаживающих регуляризующих сплайнов для обеспечения гладкости синограммы, согласованной с уровнем экспериментальных шумов.

Изложим основные принципы метода синтеза проекций на конкретном примере томографической системы регистрации излучения видимого диапазона (ViLT), работающей на голландском токамаке RTP [125 ]. В этой системе 5 камер по 16 детекторов каждая располагались в трех портах токамака. Неравномерность расположения лучей наблюдения в системе усугублялась еще и тем, что веерная схема регистрации является неполной: на каждом направлении наблюдения имеются невидимые области плазмы.

На рис. 4.3, а приведено положение детекторов (в координатах 售歩))для uидеального** случая пяти регистрирующих камер с веерным

6

Рас ,.3. иИдеальная** схема распдложения детекторов в пространстве синограммы для веерной и параллельной схем измерений (а)* расположение детекторов для реальной экспериментальной системы ViLT на токамаке RTP (126, 1291 (б).

Усл. шаки описаны в тексте.

обзором, с 17 детекторами каждая (показаны ромбиками) и равномерным расположением камер в диапазоне углов от 0 до 180°. Вершина каждого веера начинается на расстоянии D = 3R от начала системы координат (& — радиус томограммы). Крестиками отмечены положения

детекторов для параллельной системы регистрации (11 камер по 27 детекторов). Далее условно систему регистрации на рис. 4.3，а будем называть идеальной, а систему на рис. 4.3, б — реальной (речь идет, разумеется, лишь об описании системы томографической регистрации ViLT; для других установок “реальным" будет иное расположение детекторов на плоскости синограммы, например возможно расположение, аналогичное изображенному на рис. 4.3, а).

Заметим также, что в реальности каждый детектор “видит" некоторый “конус наблюдения'*, сечение которого плоскостью томограммы дает некоторую расходящуюся полосу. В первом приближении можно считать, что измерения детектора сосредоточены в некоторой точке синограммы, связанной, например, с центральным лучом в этой полосе. Более точно измерение привязано к некоторой малой окрестности такой точки, форма которой зависит от конкретной геометрии системы регистрации проекций.

К сожалению, в практических веерных схемах наблюдения для реконструкции нельзя воспользоваться итерационным процессом, подобным алгоритму Гершберга — Папулиса (GP) [56, 183, 353], хотя он и дает весьма неплохие результаты для малоракурсной томографии [183 ]. Причиной служит невыполнение теоремы о центральном сечении [490, 534 ] для веерных схем томографии» и фурье-образы проекций уже не так просто связаны с фурье-образом томограммой, как это необходимо для алгоритма GP. Однако для построения подобной итерационной схемы интересно использовать идею пары связанных между собой пространств с введением априорной информации на каждом итерационном шаге, но уже в иных пространствах.

Рассмотрим в качестве такой пары обычное пространство томограммы и сопряженное с ним преобразованием Радона пространство Радона, или же пространство определения синограммы.

Пусть проекционные данные /(^,р) измерены на некотором нерегулярном наборе линий (& ,»)• Будем решать задачу интерполяции измеренной функции на декартову систему координат, введенную в пространстве Радона. Эту процедуру можно интерпретировать как добавление искусственных детекторов в систему регистрации и перевод системы из веерной в параллельную. Конечно, от того, что мы осуществим интерполяцию, новых данных не возникнет, но правильным учетом априорных знаний о задаче и об искомом объекте мы сможем полнее извлечь информацию и более точно воспользоваться ею в алгоритме реконструкции.

Процедуру интерполяции запишем как обратную задачу, а именно интерполяцию на систему реальных измерений (占?,嵋)значений функции, заданной в декартовой системе координат (占：,/0. Данной процедуре соответствует алгебраическое уравнение

尸=&"• (43D

Здесь вектор /「一 оценка синограммы в тех ее точках (в общем случае расположенных нерегулярно), где на плоскости синограммы расположе-

ны детекторы;方一значения синограммы в соседних узлах регулярной декартовой сетки, окружающих измерительную точку (占尸,方).Для билинейной интерполяции достаточно взять всего четыре узла, для интерполяции с более высокой точностью число членов в этом уравнении может быть больше. Явные выражения коэффициентов а„ для билинейной интерполяции выглядят следующим образом:

«1 = (1 -勿(1 - %)，

勺=О - dj%，

аз = ЙЛ，

& = S式 1 - dj.(4.3.2)

Смысл величин 6糞,dy поясняется на рис. 4・4・

Если повторить подобную процедуру для всех измерительных точек в плоскости томограммы, то получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

fr = Afd,(4.3.3)

где в матрице А собраны все элементы ат, влияющие на вычисление интерполированного значения /г. В указанной системе уравнений известны коэффициенты системы, те матрица Л, а также измеренный с шумами вектор /二 Если репшть систему относительно неизвестного вектора /d, то проблема восполнения синохраммы будет решена. Поскольку после этого синограмма будет задана в геометрии параллельных измерений» далее для получения томограммы достаточно применить одни из классических алгоритмов томографии, например FBP.

Основная трудность решения СЛАУ (4.3.3) заключается обычно в ее значительной недоопределейности» а также в наличшг шумов измерений. Предлагается решать ее ретуляризованным вариантом метода Качмажа, который широко известен в компьютерной томографии как метод ART. В таком случае алгоритм ART запишется в виде

д = //т+乙伉 _(4i)J 箫д = //т+乙伉 _(4i)J 箫(4.3.4)(4.3.4)

д = //т+乙伉 _(4i)J 箫

д = //т+乙伉 _(4i)J 箫

(4.3.4)

(4.3.4)

где а；у — элемент матрицы A; [|A||j = (Е 唸)и Л； — параметр релак

сации. Норма невязки вычисляется по формуле 尸'=弓历一 (Л/%尸・ Отметим, что обобщение данного метода интерполяции на трехмерный

вариант развито в работе [168 ].

Итак, итерационный алгоритм синтеза проекций, обобщающий идеи метода Гершберга — Папулиса на другую пару пространств, заключается в следующем:

Шаг 1. Для измеренных значений синограммы /「методом ART находится первое приближение функции / d.

Рис. 4.4. Схема билинейной интерполедии.

Шаг 2・ В полученную оценку синограммы вносится вся известная в пространстве Радона априорная информация.

Шаг 3. По значениям проинтерполированных проекций методом FBP находится первое приближение для томограммы.

Шаг 4. Теперь уже в пространстве томограммы также вводится вся доступная физическая априорная информация.

Шаг 5. Вычисляется преобразование Радона от найденной томограммы, и далее осуществляется переход на шаг 2.

Процесс останавливается по одному из возможных критериев останова, например по достижению предписанного значения нормы отклонения последних двух оценок томограммы (либо синограммы) или по достижению минимума нормы невязки между проинтерполированными значениями синограммы на нерегулярной сеТке и реально зарегистрированными значениями.

В качестве априорной информации в пространствах синограммы и томограммы используются:

——гладкость функций, вводимая сглаживанием;

——нулевые граничные условия;

——свойства симметрии и периодичности синограммы для оптически прозрачной плазмы;

—закон сохранения энергии и центра масс для отдельных параллельных проекций.

Сглаживание проводится либо скользящим усреднением в окле 3x3, либо регуляризованными сглаживающими кубическими сплайнами, которые легко адаптируются к заданному уровню измерительных шумов [366? 506].

Граничные условия в пространстве томограммы выглядят так:

Ему) = 0,厶2+ 尸 > 1(4.3.5)

и подобным же образом — для синограммы:

/(，占)=。，IpI ? L(4.3.6)

Очевиден смысл таких граничных условий: вне единичного круга (в приведенных координатах) плазма отсутствует н, следовательно, сигнал равен нулю. Данное условие обычно служит критерием определения самого радиуса плазмы, на который осуществляется нормировка всех размерных пространственных параметров задачи.

Условия симметрии и периодичности синограммы, упомянутые ранее, легко следуют из определения преобразования Радона:

/(Р』)=/(-Р 看 + 初(437)

Это условие задает периодичность, подобную той, что известна для листа Мебиуса.

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА МСП

В разделе описаны различные численные эксперименты по исследованию алгоритма синтеза проекций. В цикле проведенных расчетов рассматривались две схемы измерения проекций ——веерная (иидеаль- ная**) и система ViLT, используемая для эмиссионной томографии плазмы голландского токамака RTP [125]. Для веерной системы пред-

Рис. 4.5. Точные томограммы (а) и синограммы ⑹ модели N 1.

полагается, что система состоит из пяти камер с 15 детекторами каждая; при интерполяции в систему параллельных проекций используется 11 ракурсов и 27 детекторов на каждом (см. рис. 4.3, а). Для системы ViLT

5 камер с 16 детекторами дают расположение точек в пространстве синограммы, приведенное на рис. 4.3, б.*

Модель ^ 1, веерные проекции. В качестве первой модели точной томограммы для исследования свойств алгоритма восполнения синограммы выбрано асимметричное кольцо. Для томограммы радиус вписанной окружности принят равным Л = 1, и восстановление ведется только внутри данного круга. Кольцо выбрано с радиусом RY = 0,9, внутренняя круговая граница имеет радиус R2 = 0,5, и этот круг имеет

сдвннуть^й центр с координатами % = 0,2, % = 0. Амплитуда функции 跃冗，У)= const для- такой модели с0 = 1,0. На рис. 4.5, а изображена точная томограмма модели ^ 1, а на рис. 4.5, б ——соответствующая ей синограмма.

На рис. 4.6 приведены результаты реконструкции синограмм и соответствующие им восстановленные методом SL1 томограммы для набора параметров релаксации Л = 0,5； 1,0; 1,5; 2,0. В методе восполнения синограмм использовались следующие параметры:

Рис. 46 Реконструкция томограмм <а—г) и синограмм (0—з) при вариации параметра релаксации Л = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0.Рис. 46 Реконструкция томограмм <а—г) и синограмм (0—з) при вариации параметра релаксации Л = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0.

Рис. 46 Реконструкция томограмм <а—г) и синограмм (0—з) при вариации параметра релаксации Л = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0.

Рис. 46 Реконструкция томограмм <а—г) и синограмм (0—з) при вариации параметра релаксации Л = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0.

— число камер для веерной геометрии сбора данных К = 5;

—число детекторов ^ = 15;

——шум исходных проекций нормальный, с нулевым средним и

дисперсией 1 %;

Рмс. 4.7. Зависимость норм погрешностей реконструкции томограмм от номера итерации для различных значений параметра релаксации.

Л = 0,5 (/); 1,0(2)； 1,5 (з)； 2,0 «)•

—сглаживание на каждой итерации осуществлялось как скользящим средним в окне 3x3, так и регуляризованными сглаживающими кубическими сплайнами отдельно по переменным 占 н р;

—включены учет нулевых граничных значений синограммы и закон сохранения энергии для нее. -

На рис. 4.7 иллюстрируется погрешность реконструкции томограммы модели ^ 1 в зависимости от номера итерации L и для различных значений параметра релаксации Л.

Отметим, что по теории алгоритм ART, которым осуществляется этап экстраполяции внутри рассматриваемого алгоритма МСП, сходится (в случае незашумленных проекций) для диапазона значений параметра релаксации 0 < Л < 2,0. Расчеты для значений параметра релаксации Л = 3,0 показали колебания уровня погрешности реконструкции вокруг значений порядка 80 % и отсутствие сходимости, что соответствует теории. Однако стоит отметить, что на практике для различных фантомов и различного уровня шумов в проекционных данных граница расходимости может меняться и, в принципе, быть выше теоретического значения 2. Ниже приведены значения норм погрешностей восстановления томограммы, синограммы и норма невязки в зависимости от значений параметра Л между 2,0 и 3,0:

л

2,0

2,1

2,2

2,4

2,5

2,6

з,о

36,10

36,01

35,93

35,79

35,67

“ 48,29

77,06

4йп，%

11,12

11,07

11,03

10,96

11,01

23,47

59,48

Zes，%

4,73

4,62

4,52

4,34

4,83

23,89

47,57

Рис. 4.8. Зависимость норм погрешностей реконструкции для Л = 2,0 (а) н А = 2,4 (б) томограмм ⑺，синограмм ⑵ и норм невязки для синограммы ⑶ от номера итерации L

Видно, что минимум погрешности реконструкции томограммы и синограммы, а также минимум нормы невязки для синограммы находятся вблизи Л — 2,5, далее начинается резкий рост этих величин.

Для иллюстрации характера зависимости погрешности реконструкции синограммы и томограммы от номера итерации при фиксированном

Рис. 49

Реконструкция томограммы модели ^ 1 алгоритмом А*от = 37,82 % (а) и синограммы по этой томограмме, А^п

SL2, погрешность =11,79 % (б).

параметре Л на рис. 4.8, а приведены нормы погрешностей такой реконструкции для описываемой модели ^ 1,1 = 2,0. Здесь / ——ошибка восстановления томограммы, 2 ——то же для синограммы, а 3 ——норма вектора невязки при восстановлении синограммы. Данные кривые показывают, что достижение минимума (или неубывание) нормы не-

Рис. 4.1Q. Реконструкция томограммы (а) и синограммы (б) модели ^ 1 алгоритмом ISR (система ViLT).

Рмс. 4.И, Зависимость погрешностей восстановления томограммы (/), синограммы ⑵ и норм невязки для синоп)аммы (3) модели ^ 1 алгоритмом ISR от номера итерации (система ViLT).

вязки может служить критерием для автоматического окончания итерационного процесса. В алгоритме ISR используется именно этот критерий останова итерационного процесса.

Синограмма и томограм

ма для Л = 2,4 (см. рис. 4.8, & практически не отличаются от таковых

для Л == 2,0 (см. рис. 4.6), однако на зависимости погрешности реконструкции томограммы А：。111 появляются опасные колебания на началь

ных шагах итерационного процесса, хотя они и не приводят в данном случае к расходимости.

Для сравнения с неитерационным алгоритмом выбрана модификация SL2 алгоритма FBP с фильтром Шейпа ——Логана. Модификация заключается в том, что для веерных проекций выполняется билинейная

интерполяция в параллельные проекции с последующим сглаживанием регуляризующими сплайнами. При интерполяции происходит размножение числа камер К и числа детекторов ^ до требуемых значений. Указанный алгоритм (из пакета TOPAS — MICRO) описан и подробно исследован с работе [331 ], где показано, что он не уступает по точности алгоритму свертки с обратным проецированием FFBP, реализующим точную формулу обращения веерного аналога преобразования Радона. По времени счета алгоритм с интерполяцией даже выигрывает по сравнению с FFBP. Для сохранения одинаковости условий, в которых ведется сравнение, в алгоритме SL2 данные на синограмме также интерполировались на размерности N = 27, К = 11.

На рис. 4.9, а приведена томограмма модели ^ 1, восстановленной методом SL2, которую можно сравнить с томограммами на рис. 4.6. Видно, что восстано^ение алгоритмом ISR дает близкие к SL2 результаты. Погрешность реконструкции томограммы при этом Д^га = =37,82 %, что даже хуже на 2 %, чем лучший результат алгоритма ISR. Погрешность отклонения точной синограммы и полученной по восстановленной томограмме (квадратичная интерполяция Рябенького) (рис. 4.9, & A：1n = 11,79 %, Главное же достоинство алгоритма ISR перед SL2 (и многими другими, созданными для веерной томографии) в том, что у него шире область применений — он работает при нерегулярно расположенных детекторах в пространстве синограммы, когда алгоритм SL2 просто неприменим.

Модель N 1, система ViLT, Приведем некоторые иллюстрации работы алгоритма ISR для нерегулярно расположенных детекторов на

Рис. 4.12. Реконструкция томограммы методом SL2 (X = 11, ^ ^ 27, параллельная реп<страция проекций, д|от = 25,48 %) — (а) и синограммьщо приведенной томограмме (интерполяция Рябенького, Д®ш = 11,79 %) — (б).

примере эмиссионной томографической системы видимого диапазона токамака RTP — системы ViLT (см. рис. 4.3, б). На рис. 4.10 показана реконструкция томограммы и синограммы модели N 1 для тех же параметров алгоритма, что и в предыдущем разделе (Л = 2,0), и расположение детекторов, как на рис. 4.3, б. Точность восстановления синограммы А；т = 16,63 %, для томограммы погрешность восстановления по окончании итерационного процесса А；°т = 43,28 %. Ухудшение последнего значения примерно на 7 % по сравнению с ре* зультатом для регулярной схемы сбора проекционных данных связано с пропусками достаточно крупных областей в пространстве синограммы, очевидно, оказавшимися существенными для восстановления данной модели. Отметим, однако, что в целом основные характеристики восстанавливаемой модели переданы верно ——положение и форма провала, а к артефактам следует отнести еще более, чем ранее, выраженную модуляцию амплитуды диска.

На рис 4Д1 показано поведение погрешностей реконструкции и нормы невязки для данного восстановления. На рис. 4.12, а приведена реконструкция томограммы методом SL2 для параллельных проекций для того же количества камер и детекторов, при котором ранее проводилась интерполяция: К = 11, ^ = 27. Погрешность реконструкции томограммы А，111 = 25,48 %. На основе томограммы вычислена синограмма (с применением квадратичной интерполяции методом Рябенького), она приведена на рис. 4.12, 6. Норма невязки между точной синограммой и вычисленной по восстановленной томограмме ДГ = 6,34 %.

4Л. ТОМОГРАФИЯ ОБЪЕКТОВС НЕПРОЗРАЧНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Для диагностики газовых потоков и плазмы нередкой является ситуация, когда проекционные данные оказываются неполными из-за наличия внутри объекта непрозрачных зон, препятствующих прохождению излучения. При этом возникает задача с недоопределенной информацией, не имеющая точного решения. Однако в таких случаях можно построить оценки искомого 2Z> распределения 冢г) в той части области, которая свободна от посторонних экранирующих включений. Некоторые подходы к построению алгоритмов учета непрозрачных включений изложены далее по работе [490] (разд. 6.5).

В постановках одномерной томографии решение указанной задачи часто оказывается довольно простым и очевидным. Это следует, s частности, из условий выполнимости упоминавшейся выше теоремы о пустой подобласти (hole theorem) и относится прежде всего к случаям круговых и эллиптических изолиний: предполагается, что граничный контур непрозрачной зоны — также окружность или эллипс. Напомним, кроме того, о применимости теоремы к 2Z> случаю инверсии на основе преобразования Кормака.

Алгоритмические разработки, относящиеся к двумерным задачам с учетом возможной экранировки части луч-су мм, осуществлялись многими авторами (см., например, [43, 164, 217, 270, 283]). В этих алгоритмах используется ряд характерных допущений; границей тела, как правло, считается окружность, начало координат совмещается с ее центром и т.п. Прн такого рода подходах к задаче довольно естественно применение метода послойного расщепления.

Предлагаемый далее алгоритм отличается от упомянутых в нескольких отношениях. Томографическая постановка основана на использовании обычного (те неэкспоненциального) преобразования Радона. Расположение непрозрачного включения в пределах финитного носителя искомого 2D распределения 冢г) может быть произвольным. Возможна любая, но заранее известная выпуклая граница включения независимо от условий гладкости контура (например, треугольник, прямоугольник и т.д.). Наконец, допустимо различное число включений внутри рассматриваемой области.

Схематично геометрия задачи представлена на рис. 1.7 (см. гл. 1). Как уже отмечалось ранее, на рисунке показаны два включения: круглое (/) и квадратное (2), а также одна из проекций Д(р) с двумя “провалами", соответствующими затененным участкам. Подобная ситуация реализуется, например, при интерферометрических исследованиях обтекания непрозрачных моделей газовым потоком. Каждой точке вне включений (скажем, В) отвечают определенные области потери информации; на рисунке они заштрихованы. Для разных точек на томограмме эти области индивидуальны, причем для точек, расположенных непосредственно на границе включения, угол при вершине двумерного "конуса потерьи возрастает до л.

Из-за указанного дефицита информации задача реконструкции 2D изображения существенно усложняется: ее приходится формулировать как задачу поиска оценки решения, близкого к точному в той или иной норме. На простых примерах (осесимметричных объектах) принципы решения подобных недоопределенных задач рассматривались авторами в работе [480 ], а также s [560 ].

Довольно эффективен следующий итерационный алгоритм, основанный на идее замены непрозрачного включения прозрачным, а также улучшения сходимости процесса последовательных приближений за счет знакоположительности решения либо априорного указания нижней границы отрицательных значений решения. Структура алгоритма такова:

ШаЕ 1. Производится сглаживание экспериментально измеренных проекционных данных кубическими сплайнами, и формируются дополненные проекции путем интерполяции данных в затененные области с помощью тех же сплайнов.

Шаг 2. По совокупности дополненных проекций восстанавливается 2D объект /"(г) в первом приближении.

Шаг 3・ Корректируется решение /"(г) на основе имеющейся априорной информации, в том числе выполняется процедура искусственного "просветления1* включений.

Шаг 4・ По скорректированному на предыдущем шаге изображению при помощи прямого преобразования Радона вычисляется новый массив проекционных данных.

Шаг 5. Там, где это возможно, т.е. s областях, не перекрытых включениями, вычисленные проекционные данные вновь заменяются измеренными и осуществляется повторная процедура сглаживания комбинированных проекций.

Шаг 6. Делается заключение по критерию прекращения нтераци- онного процесса (останова), например с помощью нормы невязки по измеренным проекционным данным либо нормы взаимного отклонения двух последних томограмм и т.п. Если выбранный критерий не удовлетворяется, следует возврат к шагу 2.

Некоторые результаты применения описанного алгоритма показаны на рис. 4.13 [490]. Здесь изображены два центральных сечения g(x,0) и 冢0,у) двумерного объекта s^x^y), представляющего собой смещенную относительно начала координат гауссиану, которая нормирована на единицу в максимуме. Непрозрачным включением был круг радиусом 0,15 с центром в начале координат. В процессе ^просветления*4 включение заменялось константой, равной 0,25. На томограмме выбирался растр 41 х41; уровень “шума" в проекционных данных считался равным 5 %; число ракурсов К = 7* Шаг 2 в итерационном процессе реализовался на основе алгоритма реконструкции ESI, описанного в [446]. Погрешность восстановления оказалась порядка 10 %. Оценки по нескольким модельным экспериментам показали, что если сравнить погрешность восстановления 必"(г) в первой итерации с погрешностью

Рис. 4」3. Реконструкция неоднородного 2D объекта g(x*y), содержащего в центральной оопасти осесимметричное непрозрачное включение.Сечения: а — у = 0, “一 х = 0. / — положение включения; 2 — исходный объект; 3 — результат восстановления после пяти итераций.Рис. 4」3. Реконструкция неоднородного 2D объекта g(x*y), содержащего в центральной оопасти осесимметричное непрозрачное включение.Сечения: а — у = 0, “一 х = 0. / — положение включения; 2 — исходный объект; 3 — результат восстановления после пяти итераций.

Рис. 4」3. Реконструкция неоднородного 2D объекта g(x*y), содержащего в центральной оопасти осесимметричное непрозрачное включение.

Сечения: а — у = 0, “一 х = 0. / — положение включения; 2 — исходный объект; 3 — результат восстановления после пяти итераций.

Рис. 4」3. Реконструкция неоднородного 2D объекта g(x*y), содержащего в центральной оопасти осесимметричное непрозрачное включение.

Сечения: а — у = 0, “一 х = 0. / — положение включения; 2 — исходный объект; 3 — результат восстановления после пяти итераций.

после 10—15 итераций, то последняя, как правило, ниже первой в 2—3 раза.

Очевидно также, что можно построить аналогичный алгоритм, например для экспоненциального преобразования Радона.

МЕТОДЫ РЕКОНСТРУКЦИИ ТОМОГРАММ

С УЧЕТОМ РЕФРАКЦИИ ЗОНДИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Интерферометрия газовых или плазменных сред — широко распространенное диагностическое средство в современных исследованиях [350, 464 ]. Такой эксперимент позволяет визуализировать интегральный набег фазы световой волны, прошедшей сквозь изучаемую оптическую неоднородность. Переход от интегральных характеристик объекта к его локальным свойствам требует применения соответствующих методов томографической интерпретации. Последние наиболее полно развиты в линейном приближении [485, 490, 534 ], когда пренебрегают явлениями рефракции. Учет рефракции приводит к нелинейным задачам томографии, методы решения которых еще недостаточно развиты. Интерес к подобным постановкам возрастает see больше и больше [1, 7, 59, 171, 172, 296, 312, 537 ]. В данном разделе описан метод определения возмущения показателя преломления по измеренным набегам фаз зондирующей волны, развитый в работах [473, 474] и учитывающий реальные траектории лучей в объекте.

ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу восстановления изменения показателя преломления Ан(х,у) в некоторой выделенной плоскости по изм^енным набегам фаз 厶屮 световой волны [464 ]:

А^&Р)=竽/ An(x,y)dL(451)

Оставаясь в рамках двумерной постановки задачи, предположим, что излучение не выходит из заданной плоскости, т.е. градиентами показателя преломления п(г) в направлении оси z можно пренебречь. Кроме того, на входе в объект световую волну примем плоской (рис. 4.14).

Если семейство лучей» вдоль которых выполняется интегрирование в〈4.5.1), суть прямые линии, то в классической задаче томографии уравнение (4.5.1) представляет собой линейное преобразование Радона (ЛПР> от функции 2лАп/А:г

/(Е,р) = &){g(x,y)} = f f g(x,y)3(p + xsinE - y8S^)dxdy・(4.5.2)

Здесь Rq — интегральный оператор Радона; ©х,у) = Ан(х,у)——искомая функция; / =入^/1л — проекционные данные.

Рис. 4./4. Зондирование плоской волной оптической неоднородности.Рис. 4./4. Зондирование плоской волной оптической неоднородности.

Рис. 4./4. Зондирование плоской волной оптической неоднородности.

Рис. 4./4. Зондирование плоской волной оптической неоднородности.

В общем случае криволинейных лучей имеем запись нелинейной задачи интегральной геометрии [428]

及心} = Л及心} = Л(453)

及心} = Л

及心} = Л

где R — оператор криволинейного интегрирования, который логично назвать обобщенным преобразованием Радона (ОПР). Нелинейность задачи (4.5.3) заключается в том, что траектории интегрирования заранее неизвестны и зависят от искомого показателя преломления 几(г).

Решение уравнения (4.5.2) для случая прямолинейных лучей дается обратным линейным преобразованием Радона (ОЛПР) [534]:

g = &U 仍=4 b(р)},g = &U 仍=4 b(р)},(4.5.4)(4.5.4)

g = &U 仍=4 b(р)},

g = &U 仍=4 b(р)},

(4.5.4)

(4.5.4)

которое осуществляется в два этапа. Первый этап — это свертка проекции /(^,р) дл5Г фиксированного угла наблюдения 占 с фильтрующим ядром:

%(%) = (/ * %)三/ /(占,Р)%(Р - %)dp,(4.5.5)

где ядро Л(р) в общем случае есть обобщенная функция -1/[2т2(р - %)2], & = —х sin ^ + у cos ^. Различные численные реализации ядра обладают несколько отличными частотными характеристиками и различаются соответственно коэффициентами передачи шума з решение и разрешающей способностью [490, 534]. Второй этап ОЛПР — реализация оператора обратного проецирования Бо, заключающаяся в вычислении вклада от /^(р) в решение для одного угла наблюдения 占 и интегрировании по углам:

BJ " J%(P就))龙. (4.5.6)

о

Геометрически операция (4.5.6) легко интерпретируется как суммирование tl растянутых ** назад по прямым наблюдения одномерных функций 厶(卩),что и дало оператору》° его название.

Если эффекты рефракции существенны, то использование алгоритма ОЛПР (4.5.5), (4.5.6) не приводит к требуемой точности. Действительно, з таком случае вклад в проекцию /(&,") в точке Р дается не интегрированием функции ©*,у) вдоль точек прямой р = =—х sin + у cos I, а интегрированием вдоль траектории сг(г), определяемой уравнением эйконала:

(VS)2 = М(х,у). (4.5.7)

包-3 ^-^ 32包-3 ^-^ 32Это нелинейное уравнение в частных производных можно переписать в эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на параметры луча:

包-3 ^-^ 32

包-3 ^-^ 32

=tgy,

.(4.5.8) cos у

Здесь первое уравнение есть определение угла наклона у касательной к лучу сг(г) в фиксированной точке (用,у), а интегрирование третьего уравнения позволяет найти оптический путь волны в объекте.

В [36 ] предложен итерационный алгоритм определения поля показателя преломления п(г) из (4.5.3) (далее этот алгоритм обозначается сокращением CV). В основу алгоритма положено построение оценок таких оптических путей 尸'(占歩)，которые получились бы от данного объекта л(г) в случае прямолинейных траекторий лучей. Последовательное нахождение оценок для линейной части проекций 尸'позволяет строить очередные приближения для искомой функции применением обычного ОЛПР: g'=及^七尸'}. Для определения ипсевдопроекцийи &{g‘} в [36] применялся алгоритм лучевой трассировки (4.5.8).

Для улучшения свойств сходимости данного алгоритма и ускорения времени счета на ЭВМ была разработана его модификация CV1 [473,

. Прежде всего s схему итерационного процесса были введены параметры релаксации 0 v a； W 1, которые при а,芒 1 делают схему более устойчивой, и возможная ее расходимость (наблюдаемая иногда, как в [36 J, так и в наших численных экспериментах) проявляется при большем номере итерации. Кроме того, оператор Л"1 реализован в варианте обратного проецирования с фильтрацией (ОПФ) вида (4.5.4), (4.5.5), тогда как в [36] используются полиномиальные разложения и суммирование рядов, что ставит непростую проблему выбора конечного числа членов ряда. Такие разложения обычно требуют больше времени счета на ЭВМ, чем методы ОПФ. Окончательно для метода CV1 итерационные соотношения выглядят следующим образом:

- go + 2%鸟，Z = 0L,

g0 =R1仍，

fi = R{/T + 叫-&{%}，

母=R~l{f - 〃, 2 = !,...,/.(4.5.9)

Здесь l — номер текущей итерации; % ——показатель преломления невозмущенной области; (/ —力)一вектор невязки экспериментальных проекций / и Ипсевдопроекцийи 力，насчитанных по полному показателю преломления (^~1)+ %) с предыдущей итерации по (4.5.8).

Далее свойства алгоритма CV1 будут изложены в сравнении с новым методом, условно названным методом обращенной волны.

4.5.Z МЕТОД ОБРАЩЕННОЙ ВОЛНЫ

Рассмотрим дальнейшее развитие метода восстановления показателя преломления с учетом рефракции, основываясь на физической интерпретации ряда деталей алгоритма (4.5.9).

В первую очередь при вычислении поправок 昌 к % в уравнениях (4.5.9) заменим постоянный оператор Л^1 на набор операторов К[* более точно аппроксимирующих линейную часть нелинейного оператора Л-1. Поскольку в заданную точку 尸 проекции /(р) информация из объекта приходит по криволинейной траектории 乙，а не по прямым L (см. рис. 4.14), при вычислении вклада проекции в решение Ему) на этапе обратного проецирования логично использовать f(p), а не /(рх), как это делается в методе Ча — Веста [36] и его модификации (459).

Как уже отмечалось, составная часть ОЛПР — этап обратного проецирования В。一 трактуется как “растяжение" значений отфильтрованных проекций 刃(р) обратно тому направлению, вдоль которого они регистрировались. Образно это можно представить как зеркальное отражение Л(р) от плоского зеркала 0】назад к входной плоскости 力 (см. рис. 4.14) (кстати, в некоторых аналоговых методах инверсии Радона именно так и осуществляется операция получения суммарного

изображения В，/} [354]). Обобщим операцию зеркального отражения и вместо плоского зеркала А представим зеркало обращения волнового фронта [398 ], которое “растянет" проекцию f^p) (или отфильтрованную проекцию 刃(р)) вдоль реальных траекторий L . Тогда оператор обратного распространения волны запишется как [473 ]

BR {f^,P)}三 J 臂厶。(％) ]. (4510) о

В этой формуле для заданного направления 占 и фиксированной точки г0, в которой вычисляется результат действия оператора Вл( аргумент о определяется как координата той точки 尸 на экране。口 в которую пришел луч Lp из точки г0. Траектория о§(г) вычисляется по заданному полю показателя преломления л(г) с помощью алгоритма трассировки излучения (4.5.8).

Вторая часть процедуры инверсии обобщенного преобразования Радона К-】—этап фильтрации. Для обобщения оператора также воспользуемся наглядными эвристическими представлениями (472 工 На рис. 4.15, а условно изображены функция ©г), представляющая собой константу внутри круга малого радиуса и ее отфильтрованную проекцию /^(р). Поскольку выбранная функция 風г) есть приближение к ^-функции, результат фильтрации ее проекции дает приближенное представление ядра свертки Л(р). На рис. 4.15, а представлен частный случай известного ядра Шеппа — Логана. Результат обратного проецирования Во{/} показан здесь же, причем положительные “полосы" функций 了&必 на поле томограммы даны прямой штриховкой, а отрицательные — волнистой.

Если набрать большое число проекций, то положительные и отрицательные “полосы" компенсируют друг друга везде, кроме тех мест, где должно восстановиться истинное решение — константа в круге. Следовательно, необходимо стремиться к такой же компенсации и для uкриволинейных** полос. Этого частично можно добиться, если ввести оператор нелинейного проецирования Г, который переводит плоскость 工=/х в / = /2 по криволинейным траекториям, и его обращение, выполняющее обратный переход (см. рис. 4.15, б), В случае безрефракци- онного приближения операторы тождественно единичные: К = —Т Е, з общем же случае они позволяют перевести друг в друга начальную и конечную точки траектории ь(г), вычисляемой по (4.5.8). Обозначим f^T~Yp) через %(万)・ Тогда “новую" проекцию %(力 уже можно фильтровать обычным образом:

弘5) = QW®)}三-3?)т J ^(р)Л(р - P^dp. (4.5.11)

Для последующего обращения волнового фронта необходимо в полученных 讶式万)выполнить обратный переход к координатам в пло-

Рис. 4.15, Характеристическая функция круга и ее фильтрованные проекции в алгоритме Шеппа — Логана (а); нелинейная фильтрация импульсной проекции в направлении ^ = 0 и ее иследи на томограмме, полученный оператором обратного распространения волны Br «0.

скости f = q，т.е. получить ^(Тр). Тогда краткая запись оператора &} есть

«&№)} = в^{р)},买(p)=%(入万)，买(方)=0В4碍 Р).(4512)

В этих выражениях индекс (Z — 1) означает зависимость оператора от поля показателя преломления п^(г) с предыдущего шага итерационного процесса: .

%т(г) = рт(г) + 阳.

Итак, окончательно основное уравнение итерации в алгоритме обращенной волны (ARW) выглядит следующим образом:

g^g'-1 + a,R；\f - R｛g л + „J + 飞｛叫｝.(4.5.13)

Регуляризация задачи осуществляется сглаживанием проекций кубическими сплайнами и прекращением процесса (4513), согласованным с уровнем шумов в проекционных данных [473 ].

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Потенциальные возможности алгоритмов CV1 и ARW по учету рефракции при восстановлении показателя преломления изучались в вычислительном эксперименте. Исследования проводились на трех моделях возмущения показателя преломления. Первые две из них — осесимметричные, для них показатель преломления задавался по формулам

勺⑺=noexp[a(l - u2(r)/^) ],(4.5.14)

n2(r) = лоехр[а(1 亠汇⑺/〃；)*(4.5.15)

где 〃(г) 士 rn(r), u0 = rono, a = ln(Mc/〃Q); nc — показатель преломления в центре неоднородности; % —— ее радиус;尼。 —— невозмущенный показатель преломления, Для этих моделей в [36 ] получены аналитические выражения для набегов фаз, являющиеся удобным тестом для проверки методов решения системы (4.5.8). Третья модель была асимметричной, состоящей из двух разноамплитудных добавок к л0:

九з“，У)= % + qexp[-a(x - %> — b(y — у)] +

+ c2exp[-a(x + /У - b(y + у)].(4.5.16)

Испытывались параметры релаксации а『четырех видов:

⑵1⑶由⑵1⑶由=1/厶 г =

⑵1⑶由

⑵1⑶由

=1, а£)= 0,5 / = 2,...,L;

=1, a£)= 0,8, / = 2…/;

=1, i = 1,…,L.(4.5.17)

Погрешность восстановления А модельных показателей прелом- ленияхвычисляется по формуле

，= i ⑸-旷"2(Cct)2.(4.5.18)

аналогично вычислялась норма невязки р, В процессе трассировки использовалась бикубическая интерполяция показателя преломления (g‘ + %)，для решения системы ОДУ (4.5.8) применялся пакет программ Гира [84]. На рис. 4.16, а даны зависимости ошибки реконструкции А от номера итерации I для модели (4.5.15) с достаточно

большим значением возмущения поля показателя преломления (пс = 1,10) и нормы невязкир для новых алгоритмов CV1 (4.5.1) и ARW (4.5.2). Веса из (4.5.17) в обоих случаях брались a^L Заметно более эффективное повышение точности реконструкции томограммы с ростом номера i для алгоритма обращенной волны ARW. Влияние различного выбора параметров релаксации а® демонстрируется на рис. 4.16, б.

Как и следовало ожидать, применение а°)и。0)дает более быструю сходимость к точному решению, но после 3—5-го шага возможна расходимость итерационного процесса (для варианта а°)алгоритм CV1 фактически уже является методом Ча — Веста, если отвлечься от различной численной реализации в этих алгоритмах оператора К；'). Видимо, следует отдать предпочтение применению весов типа а⑵ или же весов а°), но с малым числом итераций. При наличии шумов измерений в проекциях необходимо, естественно, введение регуляризованного прекращения итерационного процесса, например подобного критерию невязки [518] (все численное моделирование в данном разделе выполнялось с помощью пакета программ вычислительной томографии газа и плазмы TOP AS, написанного на языке Фортран и использованного в работах [473, 474] на ЭВМ БЭСМ-6).

На рис. 4.17 показаны центральные сечения точных (сплошные линии) и восстановленных томограмм после первой и пятой итераций (для симметричной модели приведена лишь правая половина). Видно, что не только интегральная, но и локальная точность лучше для алгоритма ARW.

Асимметричная модель (4.5.16) (рис. 4.17, кривые 5—7) выбиралась с параметрами л0 = 1, q = 0,05, с2 = 0, % = 0, % = 0,2, а = 4,方=6,7. Размерность томограммы 21 х21, число ракурсов наблюдения 9, число лучей в каждом направлении 21, веса а°).

Рис, 4.16. Сравнение характеристик алгоритмов CV1 и ARW.

а — зависимость погрешности восстановления Дл(г) от номера итерации (сплошные линии) и нормы невязки/? (штриховые линии); алгоритмы CV1 (/)и ARW(2); б — погрешность восстановления при вариации параметров рслаксащш: / —。⑴,2 — а“); алгоритмы CV1 (сплошные линии) и ARW (штриховые линии).

Рис. 4.17. Реконструкция модельных возмущений показателя преломления А%(х,у) (сечения х = 0) после первой (2 и б) и пятой итераций (3 — CV1, 4 H 7 — ARW).

j —4 — модель (4.S.1S); 5,6 ~ модель(4.5.16); J и 5 — точные значения.

Следует отметить, что во всех случаях первая итерация дает результат применения ОЛПР К^1, не учитывающего рефракцию.

Проведенное численное моделирование показало, что учет рефракции новым томографическим методом обращенной волны позволяет примерно на порядок уменьшить среднеквадратичную ошибку восстановления искомого возмущения показателя преломления Дл(х,у).

ГЛАВА

5ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТОМОГРА①ИИ ПЛАЗМЫ

ВВЕДЕНИЕ

В задачах диагностики плазмы одним из важнейших вопросов, стоящих перед исследователем, является степень ее пространственной неоднородности. Требуются экспериментальные методики, позволяющие достаточно надежно определить пространственное распределение таких разнообразных параметров, как коэффициенты эмиссии плазмы, температура и концентрация ее компонентов, спектральный состав излучения и т.д. Для получения этих распределений и разрабатываются томографические методы. Наиболее сложные (как в экспериментальном, так и в вычислительном плане)——задачи трехмерной эмиссионной томографии, в которых собственное излучение всего объема плазмы регистрируется двумерными детекторами [41, 193, 382].

Обычно число доступных ракурсов наблюдения в подобных экспериментах весьма невелико (порядка 3—10), и реконструкция томограмм объекта с приемлемой точностью представляет собою трудную задачу. В алгоритм решения такой задачи необходимо привлекать максимально доступную априорную информацию об исследуемой плазме. Влияние данной информации, оптимальные способы ее учета можно выяснить лишь в специальном вычислительном эксперименте;

Материал настоящей главы изложен в основном по работе [317]. Здесь содержатся описание двух итерационных алгоритмов трехмерной томографии, определение в численном моделировании их точностных характеристик, а также выявление в процессе обработки реальных экспериментальных измерений в эмиссионной диагностике микропин- чевого разряда по возможности всех этапов предварительной обработки двумерных проекций. Рассмотрим постановку задачи трехмерной эмиссионной томографии плазмы (рис. 5.1).

Здесь М「)一 искомое трехмерное распределение локальных коэффициентов эмиссии плазмы; fe p(u,tz) — двумерная проекция, т.е. интегральная светимость плазмы, зарегистрированная каким-либо двумерным детектором излучения (например, фотопленкой). Пренебрегая эффектами рефракция, рассеяния и с^мопоглощения, для параллельных систем регистрации излучения получаем связь между интегральными и локальными характеристиками плазмы в ваде интегрального уравнения лучевого Р-преобразования [209 ]:

%,*、* = J 風 г)"?， (5.1.1) где d/ ——дифференциал вдоль прямой, характеризуемой направлением ng F и координатами (〃,力 в плоскости UOV. (Преобразование (5.1Л)

13Zr-813Zr-8"q) -的‘)|q-q'|3"q) -的‘)|q-q'|3/q-/q-(5.1.2)(5.1.2)

13

Zr-8

13

Zr-8

"q) -的‘)|q-q'|3

"q) -的‘)|q-q'|3

/q-

/q-

(5.1.2)

(5.1.2)

Рис. 5.1. Регистрация двумерных проекций в задаче трехмерной эмиссионной томографии.

называется Р-преобразовани- ем для системы параллельных лучей и О-преобразова- нием для конусного пучка лучей [209]).

Задачей трехмерной томографии является решение уравнения (5.1.1) относи

тельно 就)при известных наборах функций fe ^и.и), г = 1,…,М； j = 1,…,纥. Методам нахождения подобных решений в настоящее время посвящено уже значительное число работ, особенно связанных с медицинской томографией и промышленной дефектоскопией (см. обзоры и основополагающие исследования [71, 92)98, 145, 193, 209, 278, 287, 462, 490, 534 ]).

Как и в двумерном случае, в трехмерной задаче имеется несколько эквивалентных формул аналитического обращения преобразования (5.1.1). Одна из них — полный аналог обратного.проецирования с фильтрацией:

Здесь через q обозначен вектор точки в плоскости детектирования двумерной проекции /(q):

q = г - п(г-п). (5.1.3)

Внешнее интегрирование в (5.1.2)——это трехмерный оператор обратного проецирования (ОП), оно ведется по верхней полусфере направлений для единичного вектора п. Внутренний двойной интеграл —— фильтрация двумерных проекций с весом l/|q|3. Отметим избыточность приведенной формулы: для нее необходимо получить проекции с большого числа ракурсов, среди которых будут и те, для которых нормаль опишет полный круг по экватору единичной сферы. Однако ясно, что даже ^экваториальных*1 проекций достаточно для полного решения задачи, так как в этом случае возможно перегруппировать данные так, что задача сведется к набору двумерных задач в отдельных горизонтальных сечениях объекта исследования.

Кроме того, еще в работах Орлова [462 ] показано, что имея ^экваториальные4* проекции, можно методами двумерной томографии восстановить все остальные проекции трехмерного объекта (в том числе и “полярную", т.е. вид сверху на объект). Тем не менее в случаях с неполно заданными проекциями, со сложным расположением приемников излучения в пространстве алгоритм обратного проецирования с фильтрацией, опирающийся на формулу (5.1.2), может дать приемле-

мую оценку плазменного распределения. Подобный алгоритм применялся авторами [382 ] для восстановления распределения рентгеновской эмиссии плазмы в исследованиях по лазерному термоядерному синтезу на установке “Кальмар".

Точность реконструкции была невысокой, поскольку число проекций ультрамало —— всего три. Естественным подходом для таких задач служат итерационные методы, допускающие итерационное уточнение трехмерных распределений. Алгоритм ОПФ, к сожалению, подобных возможностей не имеет.

ТРЕХМЕРНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ

В этом разделе излагаются разработанные при участии авторов модификации трехмерных итерационных алгоритмов Гершберга — Папулиса и максимума энтропии, развивающие двумерные подходы на трехмерный случай [56, 193, 317, 353, 430].

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМГЕРШБЕРГА — ПАПУЛИСА

Трехмерная модификация алгоритма 3DMGP предназначена для обращения ^-преобразования в трехмерном случае [209]. В его основу положена проекционная теорема о центральном сечении, которую для случая трех переменных можно сформулировать следующим образом.

Пусть М「)= g(x,yyz) — функция трех переменных, Д *(〃№)— ее параллельная проекция в направлении (6,夕).Обозначим их фурье-образы соответственно 寅％ 勺"J и /(vu, vv). Тогда значение функции 夙V# 廿俨"3 на плоскости, проходящей через начало координат и имеющей вектор нормали % 夕 совпадает со значением функции『(％%)• Допустим, имеется ^ проекций Л (и,б/). Согласно проекционной теореме, их фурье-образы совпадают с сечениями трехмерного фурье- образа решения g(v) плоскостями, имеющими те же направления векторов нормалей и проходящими через начало координат. Таким образом, известен фурье-образ решения на совокупности из N плоскостей. Экстраполяция значений с указанных плоскостей на все пространство Фурье дает фурье-образ некоторого приближения искомой функции. Делая обратное преобразование Фурье, находим саму функцию. Далее вносим в нее априорную информацию об искомом решении, например положительность решения, и эту функцию принимаем за первое приближение к решению. Затем осуществляем прямое преобразование Фурье и переходим вновь к фурье-образу. В него вносим известные значения на плоскостях и снова переходим в пространственную область. После ввода в полученную функцию априорной информации о решении имеем второе приближение к решению и т.д. Символически данный итерационный процесс можно записать следующим образом:

& = «I»/-%

К - ]ф,&т，t> 1, (5.2. D где 尸 и F~l ——операторы прямого и обратного трехмерного преобразования Фурье; Фхи Ф^,——операторы внесения априорной информации в пространственной и частотной областях соответственно; gQ — фурье- образ, вычисленный в результате начальной экстраполяции.

В алгоритме, реализованном в [318], в качестве оператора Ф% был взят оператор, зануляющий все отрицательные значения функции и все значения функции вне шара единичного радиуса. В качестве Ф” выбран оператор, который для каждой из плоскостей, где известны преобразования Фурье искомого решения, выполняет следующие операции: для каждой точки Av фурье-области, расстояние от которой до данной плоскости 矗 3, присваивается значение фурье-образа, равное среднему арифметическому между тем, которое было ранее в этой точке, и значением, взятым на плоскости в точке, которая является проекцией 4 на данную плоскость. В остальных точках значения фурье-образа не меняются. Данная трехмерная модификация алгоритма Гершберга — Папу лиса есть обобщение соответствующей двумерной модификации, развитой авторами в работе [183] (см. также разд. 4.1 данной книги).

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА

В предыдущем разделе предполагалось, что восстановление происходит по идеальным данным, в том смысле, что фурье-образы проекций в плоскости дают сечение фурье-образа точного решения. Однако проекционные данные, полученные в ходе какого-либо эксперимента, содержат некоторые погрешности — шумы измерений. В настоящее время разработано множество методов для подавления шумов как в пространственной, так и в частотной областях. Шумоподавление в пространственной области часто основано на том, что предполагается известным распределение шумов — обычно его предполагают гауссовским с нулевым средним. В алгоритм входит преобразование Фурье, которое при численной реализации заменяется дискретным преобразованием Фурье и в конечном итоге приводит к суммированию ряда. В работе [518] указан метод устойчивого суммирования рядов Фурье с неточно заданными коэффициентами ряда, который заключается в следующем. Пусть дан ряд Фурье некоторой функции

©х) = 2 с#»(х), (522) в котором коэффициенты с„ известны приближенно. Устойчивый метод суммирования состоит в том, что вместо ряда (5.2.2) суммируется ряд с другими коэффициентами сп = с〃/(1 + а^п), где |п ——числа, порядок роста которых на бесконечности не ниже чем 2"乙 A 扌 0; а — параметр регуляризации. При этом получается функция 瓦,являющаяся приближением g. Значение а определяется с учетом погрешности исходных данных, например по критерию невязки [453 ]:

(5.2.3)

где ст2 — дисперсия сигнала.

В численных экспериментах были предприняты попытки для нахождения значения а исходя из разности в норме L2 между фурье-образами точного решения и решения, выполненного на данной итерации. Получены явно завышенные параметры регуляризации. Это связано, по-видимому, с тем, что на первой итерации отклонение между фурье- образами наибольшее и найденное большое значение а вносит значительные искажения уже на второй итерации. Более подходящим оказался метод, при котором а вычисляется в виде определенного процента £ от значения нормы фурье-образа решения 寅у), полученной на данной итерации. При определении а таким способом достигнуты более удовлетворительные результаты в численном эксперименте. Итак, в итоге экспериментов установлено, что итерационный процесс хорошо сходится при а = 0,001—0,005 и шумах в проекциях от 5 до 20 %.

ТРЕХМЕРНЫЙ АЛГОРИТММАКСИМУМА ЭНТРОПИИ

В данном разделе рассмотрена модификация трехмерного алгоритма максимума энтропии (MENT) [193].

Для повышения точности реконструкции обычно необходимо использовать всю доступную априорную информацию об исследуемом объекте. В алгоритме MENT достаточно эффективно учитывается свойство положительности искомого решения (например, локальных коэффициентов эмиссии плазмы), Суть алгоритма заключается в том, что для проекционных данных % 户(“),связанных с искомым решением g(r) матричцым уравнением\

匕・=4凰g孑0,(5.2.4)

(дающим матричную аппроксимацию трехмерного лучевого, или Р-пре- образования [193 ]), вводится функционал энтропии

Я = -J d侬г)1п(У虱г)),(5.2.5)

где V —— объем той области, в которой искомое распределение g(r) отлично от нуля. Максимизация этого функционала при условиях (5.2.4) сводит проблему к задаче условной минимизации:

min但 + 多 / du^(fj - 4g)}・(5-2.6)

Здесь АДи) — множители Лагранжа; 2D — вектор и состоит из двух компонент ЗЛ-зектора rf = Tjtt связанного с системой координат объекта г 三(х，у/) матрицей вращения Т『Последняя, в свою очередь, задается тремя углами Эйлера (9, у>, у). Интегрирование в лучевом преобразовании ведется в повернутой системе координат г' вдоль оси и\

Нетрудно показать, что решение ©г) должно иметь форму [193 ] 《)= §□%(》「)，(5.2.7)

где функции 为(и) нужно искать решением системы нелинейных уравнений

以U) = %(u) / dw [] %(%7屮).(5.2.8)

В таких уравнениях матрица 今 представляет собой подматрицу 2x3 матрицы Tj и состоит из первых двух строк последней.

Комбинацией (5.2.8) и (5.2.7) несложно получить явную форму итерационного процесса, упрощающую обычно используемый циклический итерационный алгоритм Гаусса —— Зейделя [41, 317):

g'*i(r) = g'(r)瑞，j = imod% + 1.(5.2.9)

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ

Программный комплекс имеет два режима работы: режим вычислительного эксперимента и режим обработки результатов реального эксперимента. В первом из них подключается блок вычисления модельного решения (фантомов), а также проекций точного решения в различных направлениях. В случае необходимости работает блок зашумления проекционных данных. В обоих режимах могут быть включены сглаживание проекций по пяти и девяти точкам, медианная фильтрация и регуляризация по Тихонову. При этом в алгоритме имеется несколько режимов поиска параметра регуляризации, включая задание его постоянным; есть возможность вывода нескольких оценок погрешности решения и невязок. В программном комплексе предусмотрен вывод различных видов графики (аксонометрическое либо тоновое изображение заданного сечения или нескольких сечений трехмерного объекта; отрисовка изолиний; одномерная графика).

Состоит комплекс из нескольких пакетов. Пакет TOP AS, ориентированный на решение задач диагностики газа и плазмы, реализован на ЭВМ БЭСМ-6 и ЕС-1061 [468 ]. Пакеты TOPAS3 и 3DGP решают задачи двумерной и трехмерной томографии (алгоритмы 3DMGP и 3D MENT соответственно) на персональном компьютере типа IBM PC АТ/386/486. В целом эти программы являются составными частями ППП TOPAS — MICRO, последняя версия которого на момент написания данной рукописи (версия 6.18) датирована 15.03.95.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

В задачах плазменной томографии (см., например, [490 D вычислительный эксперимент необходим для ответа на следующие вопросы:

какова точность реконструкции изображения при малом числе ракурсов наблюдения;

какова чувствительность такого решения к шумам измерений;

как влияют на итоговое изображение отличия в информативности проекций, полученных в разных направлениях;

какие численные процедуры позволяют контролировать взаимную привязку проекций, их внутреннюю непротиворечивость и согласованность.

Рассмотрим ответы на поставленные вопросы, опираясь на результаты численного трехмерного моделирования. Вычислительный эксперимент заключается в том, что по известному модельному решению находятся проекции, а затем с помощью этих данных решается обратная задача. Полученный результат восстановления сравнивается с точным решением. В качестве критерия сравнения двух сеточных функций взята следующая норма:

N

厶2 = 2 (g" - g2i )2，(5.3.1)

1

где суммирование берется по всем узлам. Норма (5.3.1)——дискретный аналог нормы J

Для контроля сходимости итерационного процесса выбраны следующие семь видов отклонений:

~n———ТО。?，%•(5.3.2)

Здесь и далее g^ ——точное решение;丛')——оценка решения, полученная на Z-й итерации.

А, = — • 100, %.(5.3.3)

Индекс max означает максимальное значение функции на сетке.

2(Re^ - Яец)2

А； = -~N— • 1002, %,(5.3.4)

号(RepEj

Знак ~ над символом означает фурье-образ, Re ——действительную часть функции.

д4 =(Re^E)晒.100 %,(5.3.5)

где К ——число проекций; f0m tpm ——фурье-образ проекции по направлению (dm ,「№)； 80т ^т 一 значение функции @ в сечении проекционной

плоскостью.

д6 = -У6 kJд6 = -У6 kJ• 100, %, (5.3.7)• 100, %, (5.3.7)

д6 = -У

6 kJ

д6 = -У

6 kJ

• 100, %, (5.3.7)

• 100, %, (5.3.7)

£冲一沪叩

Д7 = -~^ 1002, %,(5.3.8)

2|i,l2

здесь I?/ = (Re / + (Im g)2; Im — мнимая часть функции.

£3」. РЕКОНСТРУКЦИЯ ТОМОГРАММ:ТОЧНЫЕ ПРОЕКЦИИ

В качестве тестовых функций в процессе вычислительного эксперимента был взят набор гауссовских трехосных эллипсоидов. Пусть

41п2(л - xj 41п2(у —切立 41n2(z - zj?

/V Q С、

ЕМУ/) — a exp

1尸 ‘ 尸

,(j.j.yj

где а,乩 у — полные полуширины гауссиан по координатным осям. Тогда проекция функции g(x,ytz) по направлению (6,р) будет

/(〃,〃)= ад/^ехр 夕0(“ - %) 2 +，

+ Е(〃 - %尸 + 尸(и - %}(〃 - %)J .,(5.3.10)

здесь

Л -兄产山汨 со?* + 久2 side sin2y> + Л3 cos20, D = AtA2sin20 + 久4со『е sinV + 久丸cod© sinV»

E = %B3 8bg + A^ sin2y>,

/ F = cos d sin 匆厶(A — A2), % = f®” + % cos*, % =飞 cos / cos 6 + 儿 sin / 85 8 - % sin 0,

(5.3Л1)(5.3Л1)41n241n241n2

(5.3Л1)

(5.3Л1)

1 - a? ' 2 r 户'3 —旷 *

Формулы (5.3.10), (5.3.11) можно получить следующим образом.

Повернув систему координат сначала вокруг оси z на угол р против

Рис. 5.4. Поведение иорм отклонения А3 и А4 от номера итерации L при изменяющемся значении <5.а — модель ^l; б — модель №.Рис. 5.4. Поведение иорм отклонения А3 и А4 от номера итерации L при изменяющемся значении <5.а — модель ^l; б — модель №.Рис. 5.5. Расходимость итерациоиного процесса. Модель ^ 3 (сглаживание и фильтрация отсутствуют).

Рис. 5.4. Поведение иорм отклонения А3 и А4 от номера итерации L при изменяющемся значении <5.

а — модель ^l; б — модель №.

Рис. 5.4. Поведение иорм отклонения А3 и А4 от номера итерации L при изменяющемся значении <5.

а — модель ^l; б — модель №.

Рис. 5.6. Точная модель из трех эллиптических гауссиан, подлежащая восстановлению.

Плоскости сечения: а — у = о；£—z = 0.

часовой стрелки, а затем систему координат (x^y^z1) вокруг оси у на угол 6 + я/2 против часовой стрелки, находим систему координат (х'\уг,,2п), в которой ось хм направлена вдоль вектора (仇р) в системе координат (х,у/). Тогда координаты на проекции (%叫 совпадают с координатами (у"/”)，а системы координат (xTy,z) и (к",『/") связаны

Рис 5.7. Реконструкция модели рис. 5.6 методом 3DMGP за пять итераций.

Плоскости ссчвния: а — х = 0;6—y = O;g — 2 = 0.

следующим соотношением:

(5.3.12)(5.3.12)sin 6 cos е —sin 0 —cos 0 cos，sin ® sin e cos p —cos 0 sin p

(5.3.12)

(5.3.12)

cos 00 sin &

Переходя в (5.3.9) к системе координат g",y”,z'') и осуществляя интегрирование по х\ выводим формулы (5.3.10), (5.ь.11).

В целях экономии машинного времени численный эксперимент проводился в основном на сетке 17 х 17 х 17 и лишь в нескольких случаях на сетке 33 х 33 х 33. Однако везде, исключая вариант сильно зашумленных проекций, без какого-либо сглаживания и риуляризации на первых итерациях наблюдалась сходимость итерационного процесса (в том смысле, что отклонение А^ уменьшалось от итерации к итерации). При увеличении номеров итераций / иногда происходило незначительное увеличение А】. Обычно это имело место при большом числе ракурсов и постоянной толщине слоя сноса д. В некоторых расчетах получен четкий минимум на графике зависимости А】 от номера итерации, причем на первых итерациях отмечалось резкое уменьшение Дг Зависимость Д3 от номера итерации практически повторяла поведение графика А】. На еще больших номерах итераций (~20) для большинства вычислительных экспериментов наблюдалась сходимость в смысле уменьшения нормы Д7. Во всех экспериментах, где считалась эта норма, к 20-й итерации она становилась менее 1. %. Можно сделать вывод, что итерационный процесс сходится к некоторому пределу (во всяком случае, при постоянных параметрах). Такое поведение зави-

а

симости объясняется тем, что погрешности, которые мы вносим в фурье-образ на каждой итерации при сносе данных с проекционных плоскостей, становятся сравнимыми со значением А「

Итак, по сходимости алгоритмов можно заключить, что при больших номерах итераций итерационный процесс сходится в смысле стрем-

Рис. 5.8. Реконструкция точной модели методом 3DMGP за 10 итераций.

Плоскости сечения: а — х = 0;6—у = 0;& — z = 0.

ления к 0 отклонения Д7. При этом погрешности Д2 и Д3 стремятся к постоянному пределу, который в значительной степени зависит от полярного угла, под которым располагаются проекции (в численных экспериментах все проекции имели одинаковый полярный угол, а по азимутальному углу они были распределены равномерно), и в меньшей степени — от числа проекций. Сходимость алгоритма можно проследить, например, на рис. 5.2.

Здесь представлен результат восстановления гауссианы с параметрами а = § = 丫 = 0,4, &==% = % = 0,0, где &, %, % — координаты центра гауссианы. Этот фантом в дальнейшем будем называть моделью ^ 1. На рис. 5.2 приведено отклонение А】, причем верхняя кривая соответствует углу 0 = 30°, нижняя — 0 = 60°, X = 20 проекциям. Видно, что при уменьшении полярного угла отклонение полученного решения от точного заметно возрастает.

В численном моделировании изучено влияние толщины слоя сноса <5 на точность реконструкции. В местах изменения толщины слоя сноса на первых итерациях четко видны изломы зависимости погрешности решения от номера итерации /. Преимущество, получаемое при постоянно уменьшающейся толщине слоя сноса, подтверждается рис. 5.3. На рис. 5.3, а показана ошибка восстановлена幺 модели ^ 1, а на рис. 5.3, 6 — модели N 2: две гауссианы, разведенные по оси х: 不肌=0,5, х02 = -0,5 (в обоих случаях 6 = 60°, 20 проекций). Здесь и

далее стрелка отмечает номер итерации, после которой толщина слоя уменьшается; 6丄—значение толщины в шагах сетки (далее все толщины слоя сноса будут измеряться в этих величинах), 3Q ——толщина слоя сноса при первичной экстраполяции. На рис. 5.3, q / ——кривая для итерационного процесса, при котором использовалась постоянная толщина слоя сноса, равная 1, а 2 —— кривая для переменной толщины

Рис. 5.9. Неудачный выбор углов регистрации проекций (см. рис. 5.7, 5.8).

Набор углов 戸：0° (а); 30° (⑨；150° (в).

слоя сноса: d0 = 1, 4 = 0,5, d? = 0,25. На рис. 5.3, б д3 = 0,125, 4 = 0,0625. Поведение отклонении Д3 и Д4 при тех же значениях(5 приводится для моделей ^ 1 и ^ 2 на рис. 5.4, а, 6 соответственно.

По точности восстановления и сходимости итерационного процесса получены следующие результаты (значения погрешностей даны в процентах, для каждой модели в скобках указаны значения полярного угла и номер итерации):

Модель

5

Д2Д3Д4

N 1 (60°, 15) 20 проекций: d постоянная

11.2

0,7

11,6

1,8

d переменная

9,1

0,7

9,6

0,3

N 2 <60°, 15) 20 проекций: d переменная

12»8

4,0

13,2

2,0

N 3 (60°, 15) 20 проекций: <5 переменная

9,1

4,1

11,2

2,8

Модель N 3 — эллиптическая гауссиана, расположенная в начале координат, а = 0,1,夕 = 0,5, у = 0,2, она использовалась в основном для изучения влияния шумов на процесс восстановления изображений.

5.3.2. РЕКОНСТРУКЦИЯ ТОМОГРАММ: ВЛИЯНИЕ ШУМОВ

При помохци генератора случайных чисел моделировались шумы двух типов: тип А — шум равен 5 % от максимума проекций, тип В — шум в каждой точке составляет 20 % от проекции в данной точке.

Рис. J.JO. Восстановленная томограмма для углов регистрации проекций: % = 30°, *2 二 60°; рз = 180° (ср. с рис. 5.S).

Плоскости сечения: а~х = Q\6~y-^ в — z = а.

Эти шумы накидывались на проекционные данные. Шумы типа А искажали проекции значительно сильнее шумов типа В, отклонение зашумленных проекций от точных было более 100 %. Последнее, очевидно, связано с тем, что выбранная модель быстро спадала к нулю на границе области, поэтому в большей части точек значения проекций были малы. Шумы типа В, как и следовало ожидать, давали отклонение в проекционных данных порядка 20 %.

При наложении шумов типа А наблюдалась расходимость итерационного процесса в смысле увеличения отклонения Дг Графики зависимостей Ai(L) и A3(L) приведены на рис. 5.5.

Для борьбы с шумами применялась медианная фильтрация и сглаживание по 5 и 9 точкам. При этом были получены следующие результаты (значения погрешностей приводятся после 20-й итерации, е = 60°):

сглаживание по 5 точкам: △】=38,6 %, Д2 = 58,9 %;

сглаживание по 9 точкам: А】=47,9 %, А2 = 46,5 %;

медианная фильтрация и сглаживание по 5 точкам: А】=47,7 %, Л2 = 44,3 %.

ИНФОРМАТИВНОСТЬ ПРОЕКЦИЙ

Исследования влияния на итоговое изображение отличий в информативности проекций, полученных в разных направлениях, проводились на сложной составной модели из трех эллиптических гауссиан.

Были выбраны следующие параметры гауссиан:

аа# j у飞

冲4

11,0

21,0

31,0

0,250,25

0,250,25

0,250,25

0,75-0,5

0,750,0

0,250,5

0,00(0

0,00,0

0,00,0

Рис. 5.11. Восстановленная томограмма для углов регистрации проекций:屮】=45°, >2 = 75°. % = 195° (ср. с рис. 5.8, 5.10).

Плоскости сечения: а — х = 0；6—y = o；g — z = o.

Такая модель соответствует двум плазменным струям и одному шаровому образованию. Использовалась дискретизация 33x33x33, причем переменные х, у, z полагались изменяющимися в пределах [-1,1 ]. Для работы трехмерного БПФ отбрасывались последние значения по каждой из сеток, чтобы получились размерности 32x32x32 (для выполнения требования периодичности необходимым условием являлось приближенное равенство нулю функции g на границах единичной сферы).

На рис. 5.6 дано изображение точной модели, подлежащей восстановлению. Сечения а, б соответствуют сечениям функции g(x,y,z) плоскостями у = 0 и z = 0 соответственно.

Реконструкция томограмм проводилась по самому малому числу проекционных данных ——по трем проекциям, зарегистрированным под азимутальными углами ^ = 0, 30,150° (полярный угол 0 = 90°). Такой набор соответствовал углам регистрации в реальном эксперименте (см. ниже).

Реконструкция объекта за 5 итераций методом 3DMGP (модифицированный алгоритм Гершберга — Папулиса) представлена на рис. 5.7. Достигнутые точности восстановления: Дх = 57,3 %, А?= = 42,4 %. При этом толщина "слоя сноса** д по итерациям варьировала так: 4 + 4 = 1,0; д3 4- д8 = 0,5;仆 + 心口 = 0,3; du -ь 九=0,2; *\б + 6加=0，1・ Такой порядок задания д; сохранялся во всех описываемых здесь расчетах. После 10-й итерации в данном случае погрешности стали: А】=55,3 %, А? = 41,2 %. Центральные сечения восстановлен-

】24 Гл. 5 Трехмерные задачнтомоерафии плазмы

Рис. 5.12. Реконструкция модели методом 3DMENT для набора углов 夕】二 30°; р? = 60°; *з = 180°. Плоскости сечения: а~х^ Q; б—y = 0;e~z-Q.

ного решения показаны на рис. 5.8. Из приведенных рисунков видно, что при заданных углах наблюдения точность восстановления невысо- кая, внутренняя структура сложного объекта проявилась лишь качественно.

Данный пример иллюстрирует проявление неудачной схемы регистрации проекций. Действительно, при наличии в модельном объекте плоскости симметрии у = 0 вторая и третья проекции оказались полностью эквйвалентными, и тем самым независимых проекций реально имелось лишь две (рис. 5.9). Поскольку такая ситуация может быть скорее исключением, нежели правилом, проведены расчеты для других наборов углов регистрации. На рис. 5.10 дана реконструкция искомой функции Ex,y,z) для набора углов (30, 60 и 180°) (угловая разница сохранена). На этот раз разделение всей структуры на три отдельных образования просматривается весьма отчетливо, хотя среднеквадратическая ошибка по всей трехмерной матрице осталась достаточно высокой: А】=51,0, А2 = 43,2 %. Результат приведен здесь для 20~й ите~ рации, хотя близкие изображения получены уже на 10-й итерации (А】=51,8, А2 = 43,8 %). Интересно, что на сечении z = 0 (рис» 5.10, в) структура артефактов содержит выделенные направления вдоль направлений регистрации проекций.

Важную роль в выборе углов наблюдения демонстрирует рис. 5.11» где показана реконструкция для набора углов (45, 75 и 195°). Разрешение здесь уже ухудшилось по сравнению с предыдущим вариантом расчетов (А】=63,4, А2 = 50,0 % — на 10-й итерации; \ = 61,9, Д2 = 51,6 % — на 20-й итерации).

РЕКОНСТРУКЦИЯ ТОМОГРАММ АЛГОРИТМОМ 3DMENT

Для проверки данного алгоритма в численном эксперименте и его сравнения с алгоритмом 3DMGP выполнены расчеты на той же модели из трех гауссиан. На рис. 5.12 даны три сечения восстановленного образа соответственно для х = 0 (а), у = 0 (б) и z = 0 (в). Полная погрешность по всей трехмерной матрице оказалась А；" = 9 %, а в сечении у = 0 получено А；" = 6 %. Соответствующие значения для алгоритма 3DMGP были △；" = 34 и △；" = 30 %. При этом схема сбора данных выбиралась наилучшей из исследованных (углы 尹=30, 60, 180°). Ниже приведены результаты вычисления погрешности реконструкции алгоритма 3DMENT в зависимости от шумов в исходных данных:

Уровень шума, % А；” А产

1 13 95 18 U10 34 22

Видно, что погрешности алгоритмов 3DMGP и 3DMENT сравниваются при уровне шумов в 10 % для 3DMENT и отсутствии шумов для 3DMGP.

5・4・ ЗАДАЧИ ПРЕДОБРАБОТКИДВУМЕРНЫХ ПРОЕКЦИЙ

В процессе решения задачи реконструкции трехмерного объекта по его двумерным проекциям на первом этапе необходимо начинать с проблемы, которую в самых общих терминах можно назвать задачей взаимного согласования проекционных данных. Действительно, необходимым условием использования таких данных в вычислениях, очевидно, является условие самой их принадлежности набору проекций одного и того же ЗР-объекта, а не разным объектам, либо другой временной версии того же объекта, меняющегося во времени. В этой проблеме можно выделить следующие подзадачи:

—проверка взаимного согласования всех геометрических параметров задачи, что означает фактически определение точности привязки к набору проекций значений соответствующих наборов углов (仇*); определение погрешности задания системы координат (и,0 на каждой из 2В-проекций; сюда же входит проверка на возможность грубых ошибок в идентификаиди проекции, таких как возможные зеркальные отражения (перевороты и повороты) проекции по осям и или и либо транспонирование проекционных матриц;

—приведение к одному линейному масштабу различных проекций, причина отличия которых может объясняться разными увеличениями изображений оптических систем регистрации (причем эти масштабы могут быть разными по осям и и ^);

——согласование амплитудных факторов для различных проекций: проверка калибровки возможных различий в каналах регистрации проекций под разными углами (различный фон, различные шумы), что сводится к проверке закона сохранения энергии для каждой проекции; устранение случайных выбросов в данных, а также сглаживание с учетом уровня шумов и их статистики;

—приведение амплитудных распределений различных проекций к линейным распределениям, понимая под этим устранение нелинейных искажений, вносимых системами регистрации (например, связанных с нелинейностью характеристических кривых фотопленки, если проекции получались фотосъемкой или нелинейной чувствительностью приемников).

Рассмотрим далее математические формулировки некоторых из изложенных здесь задач, а также разработанные авторами [317] алгоритмы их решения.

541. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ КООРДИНАТ

НА ПРОЕКЦИИ И НА ОБЪЕКТЕ

Зачастую в экспериментах трудно с приемлемой точностью задать начало системы координат, связанной с объектом, и привязать к ней соответствующие системы координат на каждой из двумерных проекций. Осуществить такую привязку позволяет (< закон сохранения*\ связывающий между собой первые моменты ЗВ-объекта с такими же моментами его 2£>-проекций. Следуя этому закону, центр масс (м0, %)

двумерного изображения /(“,а) совпадает с проекцией на плоскость данного изображения центра масс (х。,%,%) самого трехмерного объекта g(x,y,z). Соответствующие координаты вычисляются по формулам:

=乙川弘")

и° МДи,“)'

=М收и)

% =

_ /8(x，y，z)

*M0^y,z)'

_ "»及内衣)

У° "о«(х，У”

"КЕМ)

z()=(5.4.1)

M0^x.y,z)

Здесь моменты 227-проекций вычисляются следующим образом:

"1 J(“Q)= / / uf(u,u)dudo,陷。/5，。)= / / vf(u,u)dudu,Mq f(u,叫=J J f(u,u)dudo,(5.4.2)

а для моментов ЗПобъекта имеем:

Н g(x,y,z) = / / / g(x,y,z)dxdydz,Mlx g(x,y,z) = f f f xg(x,y,z)dxdydz,%,風 x,y,z)= f f f уЕх，У，z)dxdydz,^\z 8{^y^ = J J J zg^x.y^dxdydz.(5.4.3)

Таким образом, если на проекциях неизвестно положение точки вращения системы регистрации двумерных проекций либо необходимо проверить точность юстировки системы, то отмеченный закон вводит новую uточку вращения", позволяющую жестко увязать все системы координат, участвующие в расчетах. Данную процедуру обычно называют переходом в центр масс объекта и его проекций [318, 382, 490].

КОРРЕКТИРОВКА АМПЛИТУДПРОЕКЦИОННЫХ ДАННЫХ

Под корректировкой амплитуд, как правило, понимается:

—переход от сигнала детектора (при фотографической регистрации проекций, например, это плотность почернений) к относительной интенсивнскти излучения, пришедшего на детектор;

исправление рассогласования в разных каналах регистрации, связанное с разбросом свойств детекторов, погрешностями калибровок каналов;

——устранение шумов в данных путем их сглаживания с учетом статистических характеристик шума.

Первая задача решается путем расчета зарегистрированных данных с учетом известных (или измеренных в специальных калибровочных экспериментах) переходных кривых (например, характеристической кривой фотоматериала).

Вторая задача сводится к выполнению мультипликативной нормировки каждой из проекций, учитывающей “закон сохранения энергииu для проекций. По этому закону требуется соблюдение равенства между собой нулевых моментов всех проекций и нулевого момента искомого трехмерного решения: MQf = Мо g. Нормировка выполняется приведением моментов проекций к их среднему либо к заранее заданному значению.

Третья задача в работе [317 ] выполнялась несколькими алгоритмами:

построчным сглаживанием каждого, изображения кубическими сплайнами, учитывающими априорную дисперсию реальных измерений;

усреднением значений в скользящем по проекции окне (9x9 точек);

выполнением в таком же окне медианной фильтрации.

К недостаткам первого алгоритма относится отсутствие учета связи между соседними строками изображения в процедуре сглаживания. Второй и третий алгоритмы, наоборот, не учитывают уровня шумов измерений. Актуальна, очевидно, проблема разработки алгоритмов, устраняющих подобные недостатки, а также алгоритмов, позволяющих в процессе сглаживания учитывать угловые корреляции между проекциями (что требует трехмерных алгоритмов сглаживания).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КОРРЕКТИРОВКАОРИЕНТАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЕКЦИИ

Под ориентационными характеристиками проекции будем понимать связанные с ней углы (6,*), а также ориентацию системы координат (〃,о), заданную поворотом на угол 占 относительно первоначально заданной. В общем случае можно поставить задачу определения (или хотя бы уточнения) всех трех углов (6,*,}), однако, по-видимому, в произвольной постановке она не имеет решения. Напротив, ряд частных задач имеет достаточно простые решения.

Рассмотрим основной инвариант, позволяющий ставить и решать задачи ориентационной коррекции. Таким вариантом для каждой пары проекций f^u^u) и f^u.u) яаляется прямое преобразование Радона R^f^ выполненное вдоль вполне определенных направлений 占]для проекции 71H 占а для проекции fr Если каждую из проекций характеризовать углами (6p*i)и (62,^2) соответственно, то для углов инвариантности можно получить следующие выражения:

tg 宦=COS е Jtg %ctg %/sin(% - %) - Ctg(匕-r J ]；

tg 占2 = -cos e2 [tg 62ctg 6/sin(^2 -匕)-ctg(% - rj]・ (5.4.4)

Таким образом, для каждой проекции из взятой пары 21)-проекций существует единственное направление интегрирования |, дающее для этой пары инвариантную ID-проекцию 氏占厶 = Л^ /2 = ^(р). Рассмотрим частные случаи формул (5.4.4). Если 斗=%, те все детекторы находятся на одной широте в единичной сфере направлений, образованной векторами нормалей к плоскости регистрации 21)-проекций, то

получаем

tg & = Tg 占 2 = cos 0 tg ~ 2 厶

(5.4.5)(5.4.5)COS g = ±，/8夕 .

(5.4.5)

(5.4.5)

S + COS2 9 tg2( Ap)

Отсюда для случая uэкваториальной системы съемки (0 = 90°) имеем важный для дальнейшего результат： |х = |2 = 0°. Он означает, что в случае вертикального расположения плоскостей регистрации интегрирование 22?-изображений по строкам должно обязательно дать одинаковые функции q(o)・

Важность данного частного случая заключается в том, что он позволяет проверить, не присутствует ли при интерпретации проекций такой грубый промах, как переворот части негативов (что может сопровождать, например, процедуру регистрации обскурограмм), либо их поворот на 90° (транспонирование матриц изображения).

ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИАЛГОРИТМОВ ТОМОГРАФИИ

Одна из особенностей вычислительного обеспечения современных томографов — его реализация на спецпроцессорах либо на мини- и микроЭВМ. Однако при этом пропадает возможность широкой вариации алгоритмами пред- и постобработки, что особенно важно в часто меняющихся условиях проведения томографических исследований^ Таким образом, очевидна необходимость разработок комплексов и пакетов прикладных программ вычислительной томографии, поставленных на универсальных ЭВМ, например таких, как персональные ЭВМ.

Дал戸 очень сжато описан пакет TOPAS — MICRO (см. [490]), ориентированный, на получение томографических изображений широкого круга объектов как в численном, так и в реальном физическом эксперименте. Разработка пакета начата в 1977 г. (первые результаты его применения для плазменной томографии описаны в [444 ]), и на первых порах он включал в себя алгоритмы двумерной томографии (в том числе инверсию Абеля и алгоритм инверсии эллиптических изолиний) .

f Г - ~ъ — \ Вч，VA

Пакет написан на языке Фортран-77, использовался ранее на ЭВМ БЭСМ-6, позже был адаптирован на персональном компьютере РС386/486. Комплекс построен на принципах модульного программирования, с момента создания постоянно сов ершенствуется и пополняется новыми функциями и возможностями [468, 472].

Модульный анализ задач томографии. При создании проблемноориентированных пакетов важную роль играет модульный анализ. Выполнению такого анализа способствует как наличие текущего программного обеспечения по проблематике (в данном случае томография для физических приложений), так и опыт осуществления близких по сути разработок.

Проведение модульного анализа и соответствующее структурирование большого программного комплекса — непростая задача. Возникающие при этом требования зачастую конкурируют между собой и взаимно противоречивы. Примером являются требования легкости модификации пакета, его открытости для пополнения и быстрота счета при реализации того или иного алгоритма КТ. Более того, эксплуатационная эффективность пакета и его конкурентоспособность могут определяться не только тем, насколько широк класс задач, охватываемых пакетом, какие алгоритмы используются и как они реализованы, но и тем, какие сервисные возможности предоставляются пользователю [402].

Следует иметь в виду, что программы, ориентированные в значительной степени на обработку эксперимента, обязательно должны содержать блоки, позволяющие проводить вычислительный эксперимент (ВЭ). Это необходимо для всестороннего анализа характеристик новых алгоритмов, включаемых в пакет, а также для выполнения немаловажного этапа оптимизации томографических установок или проведения реального эксперимента (РЭ).

Конкретная модульная структура TOPAS — MICRO складывалась под влиянием специфики математического аппарата КТ, а также прикладных интересов авторов в области диагностики газа и плазмы. Основные стадии решения задачи РТ, очевидно, следующие: построение сеток по угловой и пространственной переменным для проекций; ввод (режим РЭ) либо вычисление (режим ВЭ) соответствующих сеткам проекционных данных; расчет двумерной сетки (декартовой либо полярной) ,на которой необходимо реконструировать томограмму; наконец, непосредственно стадия самой реконструкции.

Архитектура пакета. Перечисленные этапы решения задач КТ реализованы в пакете в соответствующие модули и составляют в нем крупный блок решающих модулей (рис. 5.13).

Полученная в итоге томограмма является лишь 44 полуфабрикатом14, и в последующем необходимо провести ее содержательную физическую интерпретацию (например, перевести в значения температур плазмы либо концентраций ее компонентов или в значения плотности газового потока, его давлений и т.п.).

Такая интерпретация, а также сервисная постобработка томограмм (нулевые и первые моменты решения) проводятся в блоке модулей интерпретации. Документирование и представление томограмм требуют

威㈱捻КН；СИСТЕМАСИСТЕМА

кпнтрот ^^^^^^у Х^МОДОКУМЕНТАЦИИ ^САМОТЕСТИРОВАНИЯ

Рис. 5/3. Архитектура пакета программ компьютерной томографии TOPAS — MICRO

[490].

графики, которую выполняет графопостроительный блок. Последний нуждается в промежуточном хранении цифровых томограмм (впрочем, такое хранение независимо может понадобиться для взаимного сопоставления многих томограмм либо их использования для каких-нибудь сложных газодинамических или магнитно-газодинамических численных исследований). Хранение осуществляется в базе данных (БД), сопровождаемой своим блоком модулей.

Каждый из блоков нуждается в управляющей его работой информации: размерность массивов, вид алгоритма КТ, характер работы с БД и т.п. Управляющие параметры вводятся в модулях ввода данных, имеющихся в каждом блоке. Пока такая процедура выполняется в пакетном режиме, хотя было бы удобнее разработать диалоговый вариант задания управления. После ввода параметров управления монитор (головная программа) выбирает необходимый граф реализации заданного пользователем алгоритма из большого набора графов.

На протяжении всего жизненного цикла пакета многократно вставали проблемы введения в него новых методов решения основных задач КТ, а также его “стыковки" с новыми задачами экспериментаторов- пользователей. В результате решения этих проблем было проведено несколько **глобальныхи реконструкций, позволивших привести структуру комплекса в соответствие (максимально близкое на доступной конфигурации ЭВМ и системных средств) с современными требованиями к надежности, гибкости и изменяемости больших программных систем, обычно излагаемых в руководствах по структурному программированию. Кроме того, постоянное прохождение цепочки от исследования численных особенностей нового алгоритма КТ до его доводки в стадию обработки реального эксперимента сформировало опре-

деленную дисциплину работ с пакетом на стадии как использования, так и разработки.

Образно основные правила такой дисциплины показаны на рнс. 5.13 в виде трех взаимопроникающих систем: диагностики ошибок, самодо- кументации и самотестирования.

Система диагностики — это тщательная проверка возможно большего числа входных параметров того или иного модуля для обнаружения возможных ошибок пользователя. Предусмотрена возможность автоматического исправления легко устранимых ошибок, например в диапазоне задания некоторых целых управляющих параметров, путем присвоения им целых значений. Разумеется, программа печатает соответствующее диагностическое сообщение, предупреждающее о замене, а затем продолжает свою работу. Если обнаруженная ошибка для данного модуля фатальная, т.е. он не может удовлетворительно закончить свою работу, то печатаются информация о номере ошибки, имя модуля, где она допущена, а в идеале ——причины ее возникновения и рекомендации по устранению. При этом решение о дальнейшем ходе вычислительного процесса принимает более высокий по иерархии вложенности модуль.

Система самодокументации включает в себя как достаточное количество комментариев по тексту модулей, как и специальный раздел в каждом модуле — его паспорт. Паспорт составляется на первом этапе проектирования модуля (а не после его кодирования!) и содержит следующие основные разделы; функциональное назначение модуля; описание формальных параметров; описание предусмотренных возможных ошибок модуля; перечисление вызываемых внешних модулей; ограничения модуля, связанные с используемыми статистическими описаниями внутренних массивов; даты создания модуля, его последней ревизии и число ревизий. Последний раздел позволяет хранить некую “историю" модуля, по числу ревизий судить о степени напряженности его “борьбы за существованиеu, Кроме того, информационная служба пакета включает в себя информационный модуль, содержащий описание всех управляющих параметров пакета. Имеются также системные средства для распечатки не только полных текстов модуля, но и их паспортов, что дает возможность проводить оперативное обновление документации.

Система самотестирования заключается в разработке набора стандартных графов решений, которые включаются лишь по одному номеру теста. При таком механизме можно периодически проводить uпрофилактический осмотр** пакета, проверять отсутствие побочных, непредусмотренных воздействий новых модулей, подключаемых к пакету, на хорошо отлаженные старые режимы его работы. Упомянутые стандартные графы обеспечивают пользователю полуавтоматический режим работы с пакетом, когда по умолчанию задаются практически все управляющие параметры, а пользователь меняет по желанию лишь небольшое число таковых. Разумеется, сохранен полностью и ручной режим работы, когда все параметры считываются из раздела данных запускаемой на счет задачи.

Важной составной частью блока решающих модулей является библиотека разнообразных математических фантомов, призванных обслуживать режим ВЭ, Библиотека содержит наборы пар томограмм и их проекций: эллиптические гауссианы произвольной ориентации и произвольных значений полуширин, параболоиды вращения с различными радиусами оснований, характеристические функции круга, прямоугольника и некоторые другие. Можно составлять “наборный" фантом, собранный из нескольких элементарных с произвольным их числом} любыми амплитудами (в том числе и по знаку), в разных сочетаниях.

На рис. 5.14 показана сумма первых трех из перечисленных моделей: гауссианы, параболоида и ступеньки в круге, а на рис. 5.15 дана сумма из 12 элементарных моделей, в совокупности дающих слово “ИТПМ“ [490].

Перспективы развития. Результаты использования пакета TOPAS — MICRO в реальных физических исследованиях, главным образом плазменных и газодинамических, описаны в работах [185, 186, 444, 471, 506]. Проводимые изменения архитектуры пакета позволяют хранить проекционные массивы в БД, отображать их на графопостроителе и использовать в решающих модулях. Такая необходимость возникла в первую очередь в задачах трехмерной томографии, где проекции являются двумерными [382 ].

Функциональное наполнение пакета развивается путем разработки и подключения следующих алгоритмов:

——решения задачи трехмерной томографии (обратное проецирование с фильтрацией и без нее) [382];

—линеаризации трехмерной задачи геофизической томографии в рефракционной постановке [335 ];

Рис. 5.14. Составной фантом из библиотеки элементарных фантомов пакета TOPAS — MICRO [490].

о,2о-蔺.•ммашмйРШ^^#»

小 &

Рис. 5.75. Составной ступенчатый фантом пакета TOPAS — MICRO из 12 элементарных прямоугольников [490].

——продольной томографии для набора одноракурсных данных (в допущении круговых [506] и треугольных [487 J изолиний);

—теневой томографии осесимметричного потока с центральным непрозрачным телом;

——обратного распространения для эйконального приближения в томографии;.

—фурье-синтеза с набором различных способов регуляризации [364];

—— реалистической трехмерной визуализации на основе лучевой трассировки, с введением эффектов затенения, частичного просветления, одновременного отображения двух и более изояркостей плазмы [478].

Представляется, что развитие пакетов прикладных программ в области компьютерной томографии существенно ускорит развитие этой молодой области науки, повысит производительность труда исследователей, работающих в ней.

НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫТРЕХМЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ

Выполненный ранее анализ двух трехмерных итерационных алгоритмов реконструкции томограмм излучающей плазмы показал их приемлемую точность, достаточную устойчивость к шумам измерений, возможность применения в обработке реального эксперимента. В качестве перспективных направлений развития работ по трехмерной томографии плазмы следует отметить ряд физических, математических и компьютерных аспектов проблемы.

Физическая модель распространения излучения, принятая в данной работе, в первую очередь может быть развита в сторону учета самопо- глощения излучения, что приведет к необходимости восстановления второго трехмерного распределения — локальных коэффициентов поглощения плазмы [490]. К сожалению, это существенно усложняет

эксперимент и алгоритмы его обработки, однако значительно повышает информативность таких исследований. Весьма интересным в плазменной диагностике представляются нетрадиционная постановка задач томографии в фазовых пространствах: спектро- и хронотомография [159, 284, 429, 430, 491].

Требуют дальнейшего совершенствования процедуры ввода априорной информации в итерационные алгоритмы, например на основе обобщения критериев информативности И.Г. Казанцева Q^ [136, 308, 404 ]. В алгоритмах типа 3DMENT можно провести упорядочение обрабатываемых проекций в порядке убывания значений такого критерия. В алгоритмах типа 3DMGP, возможно, необходимо связать внутренний параметр алгоритма 6 с Qv Метод минимальных проекций [16] дает оценку сверху для трехмерного образа объекта, что также может быть использовано в качестве априорной информации.

Из проблем программной реализации рассматриваемых трехмерных задач отметим необходимость поиска оптимальных по быстродействию и используемой оперативной памяти реализаций итерационных алгоритмов. Их адаптация на ПЭВМ позволила бы уменьшить время счета с часов и десятков минут до нескольких минут. Кроме того, по-прежнему актуальна проблема отображения получаемых трехмерных распределений. Необходимы модификация и доработка под специфику отображения диффузных плазменных объектов программ машинной графики (трассировки лучей, затенений и т.п.). По-видимому, следует развивать и специальные базы данных, хранящие исходные проекционные данные, результаты их предобработки, восстановленные трехмерные матрицы светимости плазмы, а также библиотеки готовых изображений плазмы в различных сечениях и разных условиях проведения эксперимента. Такие БД могли бы оказаться важным источником информации для численного моделирования трехмерных газодинамических и радиационных процессов в плазме.

ГЛАВА6ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯВ ПЛАЗМЕННОЙ ТОМОГРАФИИ

В данной главе рассматриваются различные томографические методы, которые использовались для диагностики газа и плазмы. При описании остановимся на задачах, которые стояли перед экспериментаторами, подчеркнем особенности томографической аппаратуры, укажем на основные результаты, полученные с помощью томографической методики.

Надеемся, что после ознакомления с этими материалами читатель увидит, насколько перспективны томографические методы в физических исследованиях различных плазменных образований.

6」.ЭМИССИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ ПЛАЗМЫ

ТОМОГРАФИЯ ПОПЕРЕЧНО ОБДУВАЕМОЙЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ,ПОМЕЩЕННОЙ В ПОПЕРЕЧНОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Первые работы t в которых эмиссионная томографическая диагностика применялась для измерения локальных параметров плазмы, посвящены исследованию взаимодействия поперечно обдуваемой электрической дуги с поперечным магнитным полем.

Поперечно обдуваемые дуги — основная часть конструкции электрических выключателей, где осуществляется взаимодействие поперечного магнитного поля с потоком газа. Возникающая в таких устройствах магнитная сила Лоренца перемещает дуговой столб с высокой скоростью, что способствует гашению дуги.

В ряде экспериментов исследовались условия, при которых поперечно обдуваемый дуговой столб, помещенный в поперечное магнитное поле, удерживается в стационарном положении. Во всех работах приходится сталкиваться с условиями, когда осевая симметрия шнура нарушается.

В [216] изучалась стационарная, свободно горящая аргоновая дуга атмосферного давления (р = 1,1 • 105 Па) в поперечном магнитном поле индукции В = 3 • 10-3 Тл. Ток дуги составлял / = 400 А. Регистрация поперечных распределений велась с 15 направлений, равномерно расположенных в 180°. На каждом направлении снималось 73 отсчета. Использовалась фотографическая регистрация. Реконструкция изображений осуществлялась с помощью алгоритма Мальдонадо, осно-

ванного на разложении сигналов по специальным полиномам, ортогональным относительно вращения [179 L Температуры определялись методом абсолютной интенсивности континуума. Приводятся изотермы в двух продольных и одном поперечном сечениях дуги. Впервые показано, что под влиянием поперечного магнитного поля дуговой шнур изгибается и нарушается его осевая симметрия. Восстановлены поля температур асимметричной плазмы. Это была первая работа, в которой продемонстрирована возможность использования томографической методики для измерения полей плазмы сложной формы без плоскости симметрии.

Серия публикаций (например, [21, 22 ]) также посвящена томографическим измерениям полей температур стационарной аргоновой дуги, помещенной в поперечное магнитное поле и обдуваемой поперечным потоком газа. Межэлектродный промежуток составлял 1,27 см, сила тока дуги / = 40 — 100 А, магнитное поле варьировалось от 0 до 6,8 • 10-3 Тл, скорость потока — от Одо 7,31 м/с. В качестве особого достоинства следует указать на оригинальную компактную томографическую систему измерений (рис. 6.1), которая содержала зеркала, интерференционный светофильтр и фотокамеру.

Основное ее преимущество перед ранее описанными состояло в том, что измерения проводились одновременно с 12 направленийt что позволяло исследовать нестационарные объекты. Одиннадцать зеркал были ориентированы в одной горизонтальной плоскости, двенадцатое служило для определения плоскости зеркальной симметрии в поперечном сечении дуги. С помощью интерференционного светофильтра выделялась область спектра с максимумом на длине волны 494,5 или 445,4 нм и полушириной спектрального интервала соответственно 1,25 и 0,95 нм.

Рис. 6.L Оптическая схема аэродинамической трубы и системы сбора томографической информации для исследования влияния на электродуговой столб комбинации конвективных и магнитных полей [22].

/ — направление потока газа; 2 — электроды; 3, S — пластины, поддерживающие зеркала; 4 — оптические окна; 6 — интерференгхионный светофильтр; 7, 5 — фотокамеры;厶一& — зеркала.

Около каждого изображения дуги помещались данные калибровки фотопленки. Для реконструкции использовался метод Мальдонадо в варианте с зеркальной симметрией. Переход к температурам осуществлялся с помощью формулы (2.1.12), предполагалось выполнение модели ЛТР. Получены изотермы в поперечном сечении дуги на различных расстояниях от электродов в зависимости от значения продольного магнитного поля и скорскти потока. Сделаны выводы, что увеличение скорости обдува дуги приводит к уменьшению ее поперечного сечения и увеличению максимальной температуры плазмы. Увеличение же напряженности магнитного поля 6 сначала сопровождается ростом максимальной температуры, а при дальнейшем увеличении В ——ее уменьшением.

Томография стационарной дуги, обдуваемой поперечным потоком азота и помещенной в поперечное магнитное поле, рассматривается в [257]. В задачу входило объяснить механизм, удерживающий дугу в стационарном состоянии. Для этого необходимо было определить все силы, действующие на дуговой столб. Решение значительно упрощается, если исключено влияние электродов и в плазме не развиваются различного рода возмущения. Эти условия обеспечивались конструкцией установки (рис. 6.2).

Специфику конструкции составляли стабилизаторы и экраны, организующие поток с малой степенью турбулентности и определенной скоростью. Две магнитные катушки использовались для создания однородного поперечного магнитного поля в области дуги. Магнитное поле Земли компенсировалось маленькой катушкой, расположенной вокруг дуговой камеры. Если известно температурное поле плазмы, то поле потока массы внутри дуги можно оценить из конвективного члена уравнений энергии и неразрывности. Исследования проводились при следующих параметрах: токи дуги I = 15 — 25 А, скорость потока азота 80 см/с, магнитное поле (1,4 - 1,6) • 10~3 Тл. Температурное поле плазмы определялось по измеренной абсолютной интенсивности трех линий атомарного азота. Схема измерений очень проста, она представлена на рис. 6.3. Окно оптической системы позволяло проводить изме-

Рис. 6.2. Конструкция экспериментальной установки для определения паля потока внутри дуги [257].Рис. 6.2. Конструкция экспериментальной установки для определения паля потока внутри дуги [257].

Рис. 6.2. Конструкция экспериментальной установки для определения паля потока внутри дуги [257].

Рис. 6.2. Конструкция экспериментальной установки для определения паля потока внутри дуги [257].

/ — экраны； 2 — стабилизатор； 3 — сопло； 4 — электрическая дуга; 5 — окно; б — катушки, компенсирующие магнитное поле Земли； 7 — патрубки для охлаждающей воды.

рения в пределах 90°. Объектив (3) / = 20 см фокусировал изображение объекта на плоскость диафрагмы (4) с отверстием диаметром 1 мм, которая обеспечивала большую глубину резкости. Интерференционный светофильтр (б) пропускал излучение в области шириной 1,15 нм с максимумом на длине волны 868,4 нм. Все оптические элементы были смонтированы на плато (8), которое могло вращаться относительно фокального отверстия (5), сигнал регистрировался фотоумножителем (0). Сканирование изображения дуги осуществлялось поворотом плато, при этом угол падения света на интерференционный светофильтр не менялся. Движение плато ограничивалось двумя боковыми стопорами, которые давали также и метки на сигнале для ориентировки в координатной системе. Запись велась самописцем в координатах у — г, Для калибровки сигнала в абсолютных единицах энергии использовалось излучение ленточной вольфрамовой лампы. Переход к локальным коэффициентам эмиссии выполнялся методом Мальдонадо. Погрешность в эмиссии авторами оценена в размере 3 %, что соответствует ошибке в температуре 1 %. По полученным температурным полям с помощью уравнений баланса газовой динамики построено поле скоростей. По этим данным рассчитано поле потока внутри дуги. Впервые показано, что в то время как вне дуги поток обтекает ее как твердый цилиндр, внутри дуги появляется противоток, и поток близок по форме к двойному вихрю; появляются точки торможения потока (/, 2), что и удерживает дуговой шнур в равновесии (рис. 6.4). Ранее считалось, что внутри дуги никаких потоков нет.

Рис. 6.3. Томографическая схема регистрации излучения дуговой плазмы [257].

I — исследуемый объект； 2 — оптическая ось системы; з — линза; 4 — апертурная диафрагма; 5 — фокус линзы; 6 — интерференционный светофильтр；7 — щель; & — плато основания; 9 — фотоумножитель.

В работе [2301 изучалось влияние кривизны столба дуги на поле потока внутри нее. Электрическая дуга помещалась во вращающееся поперечное магнитное поле. Схема экспериментальной установки приведена на рис. 6.5. Дуга горит свободно между двумя осевыми электродами в камере высотой 25 и диаметром 200 мм. Под действием однородного поперечного вращающегося магнитного поля индукции 3 • 10~3 Тл дуговой шнур изгибается приблизительно в полуокружность и вращается с частотой вращения магнитного поля. Параметры разряда, при которых проводились исследования: ток дуги 5 А, газ — смесь по объему 40 % водорода и 60 % азота. Показано, что только при таком составе получается достаточная стабильность формы и сердцевина дуги не вращается. Кроме того, ток 5 А выбран потому, что при больших токах в плазме появляются спиральные нестабильности. Угловая частота вращения магнитного поля менялась в пределах 15—60 Гц. Температурное поле плазмы измерялось по абсолютной интенсивности излучения линии 得,электронная температура ——по излучению континуума на длине волны 480 нм. Поперечные распределения интенсивности излучения плазмы регистрировались с одного направления (рис. 6.6). В предположении^ что при вращении дуга поворачивается вокруг собственной оси, получено 24 поперечные проекции в угле 360°. Число отсчетов 200. При восстановлении локальных коэффициентов

Рис. 6.4. Поле потока в сечении поперечно обдуваемой электрической дуги, помещенной в поперечное магнитное поле [257].

1,2— точки торможения потока. / = 23,5 А.

Рис. 6.5. Схема поперечного сечения электродуговой камеры для создания вращающейся дуги [230].

/ — электрическая дуга; 2 — анод; 3 — катод; 4 — каскадные пластины； 5 — оптическое окно; б — отверстие для ввода газа.

эмиссии использовался метод Мальдонадо. В работе приведена серия температурных полей, полученных при разных скоростях вращения дугового столба. При частоте 15 Гц температурное поле в некотором приближении можно считать схгесимметричным, с увеличением частоты появляется асимметрия поля, которая увеличивается с ростом частоты. По измеренному температурному полю и уравнениям МГД определены поля потоков во вращающейся дуге. Найдено, что при всех частотах вращения поле потока состоит из 6 вихрей и 6 точек торможения (рис. 6.7), удерживающих дуговой шнур в стационарном состоянии.

Интересным объектом, с точки зрения автора работы [277 ], для экспериментального изучения магнито и термодинамических эффектов в дуговой плазме, помещенной в поперечное магнитное поле, является дуга, горящая между двумя изолированными плоскопараллельными пластинами (рис. 6.8). Для создания такого объекта в работе используется дуговая камера, собранная из расположенных в ^-направлении охлаждаемых водой медных секторов, имеющих форму клина. В средней части камеры имеется щель высотой 3 мм, которая образует диск

Рис. 66 Схема расположения оптической аппаратуры для измерения параметров вращающейся дуги [230].

L — линза; А — апертура; М — монохроматор; О — оптическая ось системы.

дуговой камеры. Под действием собственного магнитного поля тока и внешнего поперечного магнитного поля дуговой шнур принимает форму кольца. Для дуги кривизну кольца и влияние собственного магнитного поля тока можно точно определить. Тогда, измерив температурное поле дуги и используя систему уравнений МГД, такой объект можно рассчитать. Эксперименты проводились при токах дуги I = 10 — 100 А и радиусах кольца К = 35 - 45 см. Исследуемым газом служил аргон при давлении 1 атм. При этих параметрах в плазме выполняется модель ЛТР, Система измерений довольно проста. Схематично она представлена на рис. 6.9.

На опоре закреплен качающийся корпус, который может перемещаться как по углу наблюдения, так и по радиусу дуги. В корпусе помещены: линза (2), фокусирующая весь диаметр дуги на диафраг-

Рис. 6.7. Поля потока вращающейся электрической дуги [230].

Частота вращения: а — 15 Гц; 6—60 Гц. Стрелками показаны 6 точек торможения потока.

Рис. 6・8. Экспериментальная установка для создания дуги между двумя плоскопараллельными пластинами [277].

丿 一 электрическая дуга； 2 — область электродов.

му ⑶，вырезающую телесный угол, с которого собирается излучение, интерференционный светофильтр (4), выделяющий область в сплошном спектре аргона около длины волны 443 ± 5 нм, ФЭУ (6) с диафрагмой (5) перед катодом. Аппаратура калибровалась по излучению ленточной вольфрамовой лампы. Изме

рения проводились в диапазоне углов 0——90°. Предполагалось наличие плоскости симметрии. Инверсия осуществлялась методом Мальдонадо. При переходе к температурам использовалась модель ЛТР. Из изме^ рительных температурных полей на основе уравнений МГД и перенос' ных свойств аргоновой плазмы построены поля потока массы. На рис. 6.10 в качестве примера показаны температурное поле и поле потока массы в плоскости z — г для параметров: I = 75 А, К = 4,5 см. Можно видеть наличие двойного вихря и противотоков, удерживающих

кольцо в равновесии. Исследования прове* дены при разных токах дуги и радиусах искривления дугового шнура.

Итак, используя томографическую методику, авторам описанных выше работ впервые удалось получить поля темпера-

Рис. 6.9, Схема измерительной оптической аппаратуры для определения параметров электрической дуги, горящей между двумя плоскопараллельными пластинами [277].

/ — электрическая дуга; 2 - линза; з, 5 — диафрагмы; 4 — интерференционный светофильтр; 6 — фотоумножитель,

Z,MM

?■Экспериментальные исследо-°них

Рис. 6.70. Температурное поле и поле потока массы в поперечном сечении дуги, горящей между двумя плоскопараллельными пластинами

[277].

7

тур в сечениях асимметричных дуг. На основании этих данных рассчитано поле потока внутри поперечно обдуваемого электродугового столба, помещенного в поперечное магнитное поле. Это позволило обнаружить наличие точек торможения потока и установить, за счет каких процессов дуговой столб удерживается в стационарном положении.

ТОМОГРАФИЯ ЭЛЕКТРОДУГОВОЙ ПЛАЗМЫ,ПОМЕЩЕННОЙ В ПРОДОЛЬНОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ,И ПЛАЗМЕННОЙ СТРУИ

Несколько иная задача стояла перед авторами работ [183, 184, 186, 187, 392, 439, 440, 442, 444, 446—449], в которых исследовалось влияние продольного магнитного поля и расхода газа на температурные поля электродуговой плазмы. Было замечено, что при наложении на дуговой столб продольного магнитного поля растет напряжение на дуговом промежутке и уменьшается энергия, излучаемая плазмой. Поскольку эти параметры чрезвычайно важны при конструировании плазменных генераторов ——устройств, предназначенных для нагрева газа, наблюдаемые явления требовали объяснения.

Эксперименты проводились на установке, представляющей собой цилиндрическую электродуговую камеру длиной Z = 90 см, собранную из водоохлаждаемых шайб внутренним диаметром Z) = 3 см. Параметры разряда: ток дуги 7 = 100 и 130 А, рабочий газ — аргон при атмосферном давлении и расходах G = 0,034 — 12,7 г/с. Поток газа направляли от катода к аноду. Установлено, что при некоторых параметрах разряда дуговой шнур становится нестационарным, при этом нарушается его осевая симметрия.

Для измерения температурных полей нестационарной плазмы сложной конфигурации был сконструирован и построен эмиссионный плазменный томограф (рис. 6.11).

Оптическая шайба, которая является частью плазменного канала, имеет 12 окон, расположенных по периметру через каждые 30°. Сечение канала с помощью короткофокусных линз L* - ^^проецируется на торцевые поверхности соответствующих световодов О】—О^ с ответных концов которых, собранных в блок (4), наблюдаемая картина регистрируется с помощью фото- или кинокамеры (6). Для оптически прозрачной плазмы достаточно проводить измерения лишь с первых шести световодов, так как проекции получаемые с противоположных направлений, идентичны. На синограммах рис. 6.12 можно видеть, как от положения и формы шнура 尸 в сечении камеры 5 меняется картина, регистрируемая на блоке световодов. Здесь же приведены фотографии, полученные на блоке световодов в экспериментах по исследованию электродуговой плазмы для соответствующих положений плазменного шнура. Поперечные распределения излучения плазмы фотометрирова- лись и использовались для расчета полей температур. Измерения проводились в узком диапазоне сплошного спектра аргона с максимумом на длине волны 465 нм и полушириной спектрального интервала 5 нм, выделяемом системой, состоящей из стеклянного и интерференционного

Рис. 6.//. Схема измерений с плазменным томографом, являющимся частью элегродуго- вого канала [440].

;.—элекгродуговой канал; 2 — плазменный шнур; 3 — измерительная шайба; 4 — блок световодов; 5 — система светофильтров； 6 — кинокамера.

светофильтров (5) (см. рис. 6.11). Энергетическая калибровка каналов осуществлялась с помощью ленточной вольфрамовой лампы СИ-10-300, реконструкция локальных коэффициентов эмиссии — алгоритмом RICSS2 [446, 468].

В работах введено понятие аппаратурной функции плазменного томографа (АФ), благодаря которой можно характеризовать отдельно искажающее влияние аппаратуры и алгоритмов на результаты реконструкции.

Вычислительная часть наиболее подвижна и легко модифицируема. Она дает возможность на основе использования априорной информации об объекте учитывать такие характеристики, как шумы в экспериментальных данных, пространственное разрешение и т.д. В работах широко представлено исследование ошибки восстановления коэффициента эмиссии различными алгоритмами КТ на модельных функциях, состоя-

Р〃с. 6.12. Синограммы на блоке световодов [440].

а — дуговой шнур Р расположен на осн камеры; 6—а — шнур смещен с оси; д—е — расщеплен на два шнура; ж — расширен в одном из направлений. / —6 — лучи, которые указывают направление регистрации и номер световода 处.

щих из разного рода гауссиан, а также ступенчатых фантомов, реализующих д-функцию.

Для определения экспериментальной АФ томографа измерялась эмиссия в поперечном сечении капиллярного разряда. Жестко закрепленный на столике, он имел возможность перемещаться в исследуемом сечении в двух взаимно перпендикулярных направлениях с фиксацией положения с помощью микровинтов. Результаты восстановления модифицированным алгоритмом RICSS2 локальных коэффициентов эмиссии капиллярного разряда, помещенного в различные точки исследуемого сечения, представлены на рис. 6.13. На основе полученных данных сделан вывод, что в сечении томографа радиусом Л = 1 см вариация полуширины восстановленной светимости капилляра не превышает 20 %. Соответственно в диапазоне температур (8—10) • Ю3 К для

4

Рес 6^13. Результат реконструкции модифицированным алгоритмом RICSS2 коэффициентов эмиссии капиллярного разряда, помещенного в различные точки исследуемого сечения [391].

/ —6 — направления регистрации, диаметр области 2,3 см.

аргоновой плазмы атмосферного давления ошибка в определении температуры не превышает 5 %.

При расчете полей температуры применялась модель ЛТР, данные по составу плазмы взяты из [57], значения параметра е (А,Т) — из [259]. Е работах приводится несколько серий томограмм, полученных в различных условиях горения электрической дуги. Установлено, что при малых расходах газа (до 0,25 г/с) в плазме наблюдается развитие МГД неустойчивости типа змейки, причем дуговой шнур хаотически перемещается внутри камеры, а температурное поле в сечении меняет свою форму во времени: шнур то прижимается к стенке и уменьшается в сечении, то смещается к центру камеры и расширяется (рис, 6.14). При таких параметрах напряжение на дуговом промежутке велико. С

Рис. 6」4. Поля температур электрической дуги, горящей в цилиндрическом канале в потоке газа [446].

Параметры разряда: / = 100 A, G — 0,034 г/с, /) = 3 см, Z = 15 (Z = z/D), 5 = 0； f — время от первого кадра До каждого последующего; 7^^ — максимальная температура на каждом распределении.

увеличением расхода газа место появления неустойчивости смещается вниз по потоку, т.е. сносится потоком к аноду, поэтому устойчивый участок дуги растет и напряжение на дуговом промежутке уменьшается. При дальнейшем увеличении расхода газа дуговой шнур становится стационарным, он осесимметричен по всей длине, а напряжение на дуговом промежутке становится минимальным. Излучение нестационарной плазмы меньше, чем стационарной из-за уменьшения сечения шнура, снижения общего уровня температур, а также за счет увеличения энергии, уходящей в виде теплового потока в стенку электроду- говой камеры.

Обнаружено, что при наложении на стационарный осесимметричный дуговой столб продольного магнитного поля в плазме развиваются винтовые возмущения (МГД неустойчивости) с определенным направлением вращения. С ростом магнитного поля дуговой шнур может разделяться на несколько проводящих каналов ——винтов (наблюдалось до трех таких каналов). Такое состояние плазмы неустойчиво, происходит перезамыкание между отдельными плазменными шнурами, и поле температур в сечении канала быстро меняется во времени. В этих случаях напряжение на дуговом промежутке и тепловой поток в стенку камеры значительно возрастают, а излучение плазмы уменьшается в десятки раз. На рис. 6.15, а в качестве примера приведено поле температур осесимметричного плазменного шнура, а на рис. 6.15, б — изменение во времени поля температур, полученное в том же сечении, но при наложении на дуговой шнур продольного магнитного поля (параметры разряда указаны в подписи к рисунку). Время экспозиции каждого кадра 50 мкс.

Как видно из приведенных распределений, при появлении нестационарной плазмы поле температур может значительно отличаться от осесимметричного и меняться во времени.

Влияние формы температурного поля на напряжение на дуговом промежутке можно, например, проследить, рассчитав среднюю по сечению канала напряженность электрического поля плазмы v£>* Используем для этого данные измеренных температурных полей:

<Е> = 7/ f а (х, у) dx dy・ (6.1.1) s

Здесь / ——ток дуги; а (х,у) ——проводимость плазмы [57 ], соответствующая измеренному температурному полю Т (х,у); S — область интегрирования. На рис. 6.15 указаны средние по сечению камеры значения <E>j рассчитанные по (6.1.1) для приведенных температурных полей. Можно видеть, что в нестационарной плазме напряженнсхгть электрического поля значительно меняется во времени, и больше, чем в стационарном случае (сравни < £ > на рис. 6.15, а и б). Это объясняет тот факт, что при появлении нестационарной плазмы напряжение на дуговом промежутке увеличивается.

С помощью описанного плазменного томографа в [188] измерялись температурные поля плазменной струи, истекающей из плазмотрона в окружающую атмосферу. Такая задача возникает, в частности, при использовании плазмотронов в процессах получения и обработки порошковых материалов. В этих случаях однофазные и гетерогенные плазменные струи в большинстве своем не обладают осесимметричными полями температур, скорости фаз, концентраций газовых компонентов и дисперсных частиц из-за преимущественно односторонней привязки дуги на аноде, а также асимметричного ввода транспортирующего газа и порошкового материала в плазменную струю. Применение томографических методов диагностики к подобным объектам весьма перспективно.

Схемы плазменной установки и системы измерений приведены на рис. 6.16. Вследствие большого объема регистрируемых данных и для оперативного сбора, обработки и отображения информации система

a

Ттат-i *

с Е〉,В

1,75

2,89

4,05

3,50

2,44

2,73

Р〃с. 6.Л5. Поля температур осесимметричного плазменного шнура в цилиндрическом электродуговом канале (а) и нестационарной электродуговой плазмы, изменяющиеся во времени (б) [444].

Параметры разряда: a — / = 100 A; G = 0,25 г/с; D = 3 см; Z = 15 (Z = z/А); В = 0; 6 — / = 100 А; G = 0,25 г/с； 2 = 15； В = 0,001 Тл; <Е> — средняя по сечению канала напряженность электрического

поля плазмы.

А-А

Рис. 6.76. Схемы плазменной установки и томографических измерений эмиссии плазменной струи [188].

1 — турбулентный плазмотрон с самоустанавливающейся длиной дуги, предназначенный для процесса напыления; 2 — плазменная струя; 3—6 — составные части томографа (см, рис. 6.11)； 7 — линза, переносящая изображение с блока световодов на фотоматрицу 8,

автоматизирована. Блок-схема измерений показана на рис. 6.17. Видеосигналы с фотоматрицы (FDM) после аналого-цифрового преобразования (ADC) записываются в буферное оперативное запоминающее устройство (RAM), позволяющее хранить четыре последовательных кадра изображения. Далее числовой массив с помощью устройства параллельного обмена вводится в ЭВМ для накопления информации во внешней памяти компьютера или непосредственной обработки информации для восстановления полей температур в сечении струи с последующим отображением изотерм на экране дисплея. Отличительная особенность прибора — достаточно высокая скорость регистрации, что достигается за счет одновременной (параллельной) работы четырех аналого-цифровых каналов преобразования информации. Диапазон спектральной чувствительности прибора 0,4 — 1,6 мкм, регулировка времени экспозиции поля в пределах 0,25 ——2 мс изменяет динамический диапазон для длины волны А = 663 нм соответственно от 7,8 ■ 103 子 4,5 • 104 до 8,6 • 104 + 5,6 • 105 Вт/см. Чувствительность преобразования свет — код в одном элементе разложения 2,Ы0'13 Дж/бит. Программа сбора данных позволяет осуществлять

Рис 6」7. Структурная схема регистратора изображений [188].

коррекцию неоднородности чувствительности фотоячеек и учитывать темновой шум фотодиодной матрицы.

Исследовалось влияние на поле температур плазменной струи, истекающей из турбулентного плазмотрона, холодного потока газа, исполь

зуемого для ввода в струю дисперсной фазы. Плазмотрон работал при следующих параметрах: мощность W = =18 кВт, ток дуги I = 300 А, расход плазмообразующего газа 2 г/с (состав газовой смеси Аг — 90 %, N2 — 10 %).

Поля температур измерялись в трех сечениях струи: 1, 2 и 3 см от

выходного сопла как в отсутствие, так и при наличии холодного инжектирующего потока газа (G = 0; 0,07; 0,15 г/с). Холодный газ — аргон вводился нормально к оси струи через отверстие диаметром 2 мм в стенке канала. Центр отверстия находился на расстоянии 1 см от среза сопла. Измерялись поперечные проекции интенсивности излучения струи с шести направлений. С помощью системы светофильтров выделялась область спектра излучения плазмы ДА = 420 — 370 нм с максимумом на длине волны Я = 392 нм. В эту область кроме сплошного спектра попадают линии аргона Ari: Л = 420; 415,8; 404,4； 394,8 нм. Рассчитывалась зависимость энергии, излучаемой в линиях и в сплошном спектре, от температуры для плазмы, находящейся в JITP, с учетом пропускания светофильтра. Данная зависимость использовалась при переходе от коэффициента эмиссии к температуре плазмы. Калибровка измерительного канала по энергии выполнялась с помощью ленточной вольфрамовой лампы СИ-10-300.

Расчет локальных коэффициентов эмиссии проводился модифицированным алгоритмом Ерохина — Шнейдерова (ESI) [389 ] с помощью процедур очистки томограмм от артефактов, сглаживания экспериментальных распределений кубическими сплайнами и перехода в центр масс на проекциях (описание модифицированного алгоритма ESI см. в [446]). Ошибка восстановления коэффициента эмиссии £ (х, у) исследовалась на модельных функциях вида

С(X, у) = ехр [-а (х - %尸一# (у -先尸 L (6.1.2)

в качестве которых были взяты:

одна круговая 2 — х0 = 0, % = 0, а =夕=0,3

и две эллиптические гауссианы:

2 - % = 0, % = 0,3, а = 0,4,夕=0,2;

3 - % = 0, % = 0,2, а = 0,2,夕=0,4.

Модельные функции и результаты их восстановления при 5%-м шуме на проекциях приведены на рис. 6.18. Шум вводился в значения проекций с помощью генератора случайных чисел пропорционально значению интенсивности J (р, £). При восстановлении использовались процедуры сглаживания данных кубическими сплайнами и нелинейной очистки томограмм от артефактов.

Температурные поля, полученные методом ESI в трех сечениях плазменной струи, показаны на рис. 6.19. Как и следовало ожидать, поля температур струи, невозмущенной инжектирующим потоком газа, осесимметричны в пределах ошибки восстановления во всех трех исследуемых сечениях. При введении инжектирующего потока форма температурного поля меняется наиболее значительно вблизи сопла. Здесь изотермы расширяются в направлении, поперечном вектору скорости этого потока. При малом расходе инжектирующего газа (G = 0,07 г/с) температура на оси струи в сечении, отстоящем на расстоянии 1 см от сопла, практически та же, что и без потока; в сечении, отстоящем от сопла на 2 см, она уже несколько меньше, что можно объяснить турбулентным перемешиванием основной и дополнительной струй. В сечении 3 см уменьшение более заметно. Особенно значительны изменения температур при расходе инжектирующего потока G = 0,15 г/с. В данном случае температура на оси начинает уменьшаться в сечении 1 см, а в сечении 3 см струя настолько турбулизуется, что интенсивность излучения значительно уменьшается и проведение измерений становится невозможным (струя фактически распадается).

На основании полученных результатов сделан вывод, что инжекция холодного газового потока поперек струи нарушает осевую симметрию течения вблизи сопла, на больших расстояниях происходит турбулизация течения, что сопровождается значительным охлаждением струи. Указанные особенности необходимо учитывать при исследовании процесса нагрева частиц в плазменной струе.

В работах [232, 424—426] описан автоматизированный томографический комплекс, предназначенный для измерения полей температур потока плазмы, используемой при травлении, очистке поверхности, осаждении пленок различного состава. Плазменный поток создавался слиянием струй двух или четырех плазмотронов, каждый из которых имел мощность 15 кВт. Между плазменными струями по центру вводилась пятая струя химически активных веществ (хладоны, элементоорганические соединения). Для образования необходимой конфигурации плазмы в рабочей зоне и управления ею с помощью квадрупольной системы катушек создавалось магнитное поле*

Оптимальные параметры работы плазмотронов: ток дуги 1 = 100 А, напряжение U = НО В, расход плазмообразующего газа (Ar, N2) G = 0,15 г/с, расход химически активных веществ G = =0,02 г/с. Поток плазмы после слияния струй имеет диаметр 4 10-2 м, скорость не более 150 м/с.

Автоматизированный томографический комплекс использовался для контроля и управления процессами, происходящими вблизи обра-

б

Рис. 6」& Исследование ошибки восстановления модифицированным алгоритмом ESI на модельных функциях [188].

а — модельные функции (6.1.2, параметры см. в тексте; б — результаты их восстановления.

батываемой поверхности. Он представлял собой устройство, управляемое микроЭВМ. Схема его приведена на рис. 6.20. Оптический центр 8-ракурсного эмиссионного томографа, работающего в веерной схеме

Рис. 6.19. Поля температуры в сечениях плазменной струи, расположенных на расстояниях от среза сопла: Z = 1,2 = 2, 2 = 3 (Z = z/D, Z> = 1 см — диаметр выходного сопла плазмотрона) [188].

Расход инжектируемого потока, г/с: / —G=0;〃一 G = 0,07; III ~ G = 0,15. Стрелка показывает направление инжектируемого потока. 7}11ax — максимальная температура на каждом распределении.

регистрации, совмещен с центром держателя подложки (7), на котором располагается обрабатываемая пластина. Информация от плазменного потока через отверстие камеры-обскуры, линзу, светофильтр, световод (или оптический переключатель (4)), монохроматор (3) проецируется на матрицу видикона (5). Считанная с видикона информация через интерфейс (6) поступает на микроЭВМ (7). Контроллер видикона выполнен таким образом, чтобы в процессе работы дискретизировать матрицу на 256 строк и 500 столбцов. Диаметр фотоматрицы 16 мм, размер фотодиодов 25 х 25 мкм, пространственное разрешение системы 0,5 х 0,5 мм, время регистрации томограммы 50—500 мс. Томографи-

Рис. 6,20, Схема автоматизированного томографического комплекса для измерения параметров плазменных потоков сложной формы [425].

/ — плазменный объект； 2 — поверхность, на которой располагаются входные поверхности световодов； 3 — монохроматор; 4 — оптический переключатель; 5 — видикон; 6 — интерфейс; 7 — микроЭВМ.

ческая система тарировалась по пространственной и спектральной чувствительности. Пространственная чувствительность для каждой из S проекций определялась следующим образом: в центре томографа помещалась вольфрамовая лампа, которая затем двигалась поперек оптической оси исследуемого направления на расстояние ± 3 смс шагом 1 см. Измерялась интенсивность излучения лампы. Затем система поворачивалась на угол 2я/8 и совмещалась с осью следующей проекции, процедура измерений повторялась.

В результате получены интенсивности излучения в относительных единицах во всех положениях лампы в сечении томографа и во всех проекциях и каналах видикона, В каждом положении лампы проводилось три измерения. Отсюда определялась средняя погрешность измерения интенсивности. После некоторых математических расчетов найдены функции пространственной чувствительности томографа в относительных единицах. Калибровка томографа по абсолютной чувствительности совмещалась с калибровкой по спектральной чувствительности* Для такой калибровки ленточная вольфрамовая лампа СИРШ-6-100 помещалась в оптический центр томографа, ее излучение регистрировалось в некотором диапазоне длин волн, выделяемом светофильтром. Использовалось 10 различных светофильтров в области А 2 = 420—760 нм с полушириной окон каждого светофильтра А А = =10—14 нм и коэффициентом пропускания в максимуме 22——36 %. Таким образом, томограф был прокалиброван в широком диапазоне длин волн.

Профили температуры плазменного потока, образованного при слиянии четырех плазменных струй, полученные в сечениях, отстоящих на расстоянии 6 и 2 см от места слияния струй, представлены на рис. 6.21. Время реконструкции от 2 до 30 мин. Видно, что в некоторых сечениях плазменный поток асимметричен, что может оказать сущест-

•【ZE"1sнмнннщ EQK s G^ I OZ 工(ssw s SSKSO& вн Хиткот。-SSKUT8 и -иояо^нохзё X9dlqx¥ ^^&ъ SUSKMK5 а1оннвяоееа9оXOIOU OJOHHenmwfu Iqndato€s•'9 з*

венное влияние на свойства наносимого покрытия. Приведенный пример показывает, насколько эффективно с помощью томографической диагностики можно контролировать параметры плазменного потока. Используя далее обратную связь, можно оказывать влияние на процесс осаждения пленок и обработки поверхности.

СХЕМЫ СКАНЕРОВ ДЛЯ СБОРАТОМОГРАФИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИПО ЭМИССИОННЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПЛАЗМЫ

Имеется большое число работ [437, 451, 460, 461, 465, 523—526], в которых описаны оригинальные схемы сканеров, предназначенных для сбора эмиссионной томографической информации.

Два варианта таких томографов показаны на рис. 6.22. В одном из них (рис. 6.22, а) излучение оптического диапазона от объекта иссле' дования (/) через блок коллиматоров (2) направляется на блок свето* водов (3), противоположные концы которых собраны в линейку. Изо* бражение с линейки проецируется объективом (5) на входную щель спектрографа (6) так, что распределение интенсивности вдоль спект^ ральной линии соответствует проекционным функциям со всех направ' лений (их 3 или 6), расположенных одна за другой. Преобразование полученных интенсивностей в видеосигнал осуществляется линейным ПЗС фотодатчиком и занимает 2——4 мс. Другой вариант сканера изоб-

Рис. 6.22. Блок-схемы сканеров для сбора информации при исследовании плазмы по эмиссионным характеристикам [460].

а : 1 — объект исследования; 2 — блок коллиматоров; 3 — волоконные световоды; 4 — оптико-элек- тронный затвор; 5 — объектив; 6 — спектрограф; 7 — каретка; 8 — ПЗС-фотоприемник.

6:1 — светопроводы; 2 — линза; 3 — зсркалы1Ь1Йпризматический барабан; 4 — зеркало; 5 — спектро-

ражен на рис. 6.22, б. В этом случае выходные концы световодов собраны в пакет (7) и с помощью вращающегося зеркала (3) изображения отдельных проекций последовательно попадают на щель спектрографа (5). Время сбора информации в данной схеме 100——200 мс. Основное внимание при разработке схемы уделялось полной автоматизации процесса. Система использовалась для измерения распределения эмиссии линии 01 в поперечном сечении струи плазмотрона. Результаты измерений не приводятся.

В работе [437] описана спектротомографическая система, предназначенная для исследования крупномасштабных слабосветящихся объектов. Оптическая схема системы приведена на рис. 6.23. Регистрация поперечных проекций ведется с 6 ракурсов. В каждом ракурсе имеется по три канала, расположенных под углами 冗/25 относительно друг друга. Оптические изображения в каналах суммируются достаточно корректно в зоне сложения изображений, за счет чего увеличивается светосила в каждом ракурсе. Симметрия ракурсов позволяет использовать такую систему и при зондировании исследуемого объекта посторонним источником. В этом случае зондирующее излучение вводится, например, через каналы 1—/〃, а регистрация его осуществляется через диаметрально противоположные: IV—VL В качестве спектрального прибора можно использовать монохроматор. Однако исходя из условий требуемой светосилы и разрешения, не всегда можно спроецировать пакет проекций на входную щель монохроматора. Здесь стандартную щель предлагается заменить многощелевой насадкой (рис. 6.24) и ска-

Рис. 6.23. Оптическая схема томографа для диагностики слабосветящихся объектов [437]. I—VI — направления наблюдения. / — исследуемый объект; 2 — линзы; 3 — световоды; 4 — зона сложения изображений; 5 — бленды; 6 — полупрозрачные зеркала; 7 — зона регистрации опорных проекций; 8 — зона' пол учения изображений.

Рис. 6.24. Схема двухракурсного томографического устройства [437].

а — получение поперечных проекций; б — многощелевой вращающийся диск; / — пакет проекций; 2 — вращающийся диск с щелевыми прорезями; 3 — траектории щелевых прорезей.

нирование всего пакета производить вращающимся диском с щелевыми прорезями.

В работе [526 ] описан малоракурсный оптический томограф* предназначенный для исследования процесса горения органических продуктов в сечении факела. Схема его приведена на рис. 6・25・ В общем случае пламя факела (/) излучает, поглощает и рассеивает свет. Это учитывается в схеме томографа. Шесть оптических каналов образуют три группы, по два канала в каждой. Группы расположены с интервалом 60°, каналы в группах имеют угловое расстояние 6°, линзы (3) проецируют исследуемое сечение на торец соответствующего световода (4). Напротив одного из оптических каналов каждой группы расположен источник зондирующего излучения (2). Такая конфигурация системы измерений позволяет определять распределение излучающей, поглощающей и рассеивающей компонент исследуемого объекта. Система автоматизирована. Технические характеристики томографа: время сбора данных для одного набора проекций при измерении эмиссии 20 мс, абсорбции и рассеяния — 10 — 2 • 104 мкс.

Томографическая система, предназначенная для измерения эмиссии стационарных или медленно меняющихся объектов, описана в [106 ]. В схеме измерений используется свойство эллипса: если в один

4| к

4 4 Н I I?

Л3

T屮¥

Рис. 6.23. Схема малоракурсного оптического томографа для измерения излучающей, поглощающей и рассеивающей компонент плазменного объекта [526].

丿 一исследуемый объект; 2 — источники зондирующего излучения; 3 — линзы; 4 — световоды.

из его фокусов поместить излучающий объект, а внутреннюю поверхность сделать зеркальной, то лучи света, вышедшие из одного фокуса и отраженные от этой поверхности, пройдут через второй фокус. Итак, в один из фокусов эллипса (рис. 6.26) помещается плазменный объект (О), по поверхности эллипса располагаются зеркала (/——/О), во второй фокус помещается зеркало М, при вращении которого на входную щель монохроматора (〃)попадают последовательно во времени поперечные распределения интенсивности излучения плазмы — соответственно &1，|2, …，|10. Сигналы регистрируются на ленте самописца (/2), на нее же наносится сигнал от калибровочного источника света ^. Система

Рис. 6,26. Схема эмиссионного плазменного томографа для изучения стационарных плазменных объектов [106].О — исследуемый объект; М — вращающееся зеркало; ^ —калиброванный источник излучения.I —ю — зеркала; 11 — монохроматор; /2 — самописец.Рис. 6,26. Схема эмиссионного плазменного томографа для изучения стационарных плазменных объектов [106].О — исследуемый объект; М — вращающееся зеркало; ^ —калиброванный источник излучения.I —ю — зеркала; 11 — монохроматор; /2 — самописец.

Рис. 6,26. Схема эмиссионного плазменного томографа для изучения стационарных плазменных объектов [106].

О — исследуемый объект; М — вращающееся зеркало; ^ —калиброванный источник излучения.

I —ю — зеркала; 11 — монохроматор; /2 — самописец.

Рис. 6,26. Схема эмиссионного плазменного томографа для изучения стационарных плазменных объектов [106].

О — исследуемый объект; М — вращающееся зеркало; ^ —калиброванный источник излучения.

I —ю — зеркала; 11 — монохроматор; /2 — самописец.

очень компактна, но основной ее недостаток ——большое время регистрации.

Свойства плазмы можно определить, исследуя контуры спектральных линий. В этом случае для получения поперечных проекций приходится сканировать излучение в отдельных спектральных интервалах в пределах контура. Такая методика вполне приемлема в отношении стационарных стабилизированных разрядов. При исследовании импульсных плазменных объектов имеет место аналогичный режим работы по точкам, когда за один импульс регистрируется единственное значение спектральной интенсивности, в одном диапазоне длин волн, для одной временной фазы процесса и одной пространственной координаты. Полная информация собирается за достаточно большое число импульсов, и здесь необходима уверенность в повторяемости процесса от импульса к импульсу. Однако данная методика совершенно неприемлема при исследовании свободно горящих дуг, когда наблюдается нестационарность параметров плазмы в пространстве и во времени. В работах [343, 344]

344].344].丿—коллиматор; 2 — зеркала интерферометра Фабри — Перо ИТ-28-30; з — призма Дове; 4 — объектив; 5 — монохроматор МДР-12; 6 — оптическая система монохроматора (показана условно); 7 — выходная щель монохроматора; 8 — торцевое окно диссектора; 9 — фотокатод; / 0 — диссектор; // — кожух блока диссектора.丿—коллиматор; 2 — зеркала интерферометра Фабри — Перо ИТ-28-30; з — призма Дове; 4 — объектив; 5 — монохроматор МДР-12; 6 — оптическая система монохроматора (показана условно); 7 — выходная щель монохроматора; 8 — торцевое окно диссектора; 9 — фотокатод; / 0 — диссектор; // — кожух блока диссектора.

344].

344].

丿—коллиматор; 2 — зеркала интерферометра Фабри — Перо ИТ-28-30; з — призма Дове; 4 — объектив; 5 — монохроматор МДР-12; 6 — оптическая система монохроматора (показана условно); 7 — выходная щель монохроматора; 8 — торцевое окно диссектора; 9 — фотокатод; / 0 — диссектор; // — кожух блока диссектора.

丿—коллиматор; 2 — зеркала интерферометра Фабри — Перо ИТ-28-30; з — призма Дове; 4 — объектив; 5 — монохроматор МДР-12; 6 — оптическая система монохроматора (показана условно); 7 — выходная щель монохроматора; 8 — торцевое окно диссектора; 9 — фотокатод; / 0 — диссектор; // — кожух блока диссектора.

для таких объектов при регистрации поперечных распределений контуров спектральных линий предлагается использовать интерферометр Фабри ——Перо (ФП) в схеме со скрещенной дисперсией, с регистрацией пространственного распределения интенсивностей линий однострочным диссектором с электрической системой фокусировки и отклонения электронного пучка, обеспечивающим субмикросекундное время регистрации по всему полю одновременного изображения. В предлагаемом спектрометре (рис, 6,27) ИфП помещается перед входной щелью спектрального прибора, а фотокатод диссектора совмещается с сагитальной ^юкальной плоскостью спектрального прибора. На рис. 6.28 показан пример регистрируемой интерференционной картины. Сканируя распределение интенсивности излучения по высоте выходной щели, получаем информацию как о контурах спектральной линии, так и об их пространственном распределении по источнику излучения. Следует отметить, что при обработке регистограммы нужно учитывать, что абсцисса каждого элемента изображения содержит пространственную координату и спектральную характеристику ИФП, поскольку дисперсия различна в разных порядках интерференционной картины. При оценке вклада инструментального контура в результат измерений необходимо учитывать особенности согласования системы ИФП — монохроматор.

Регистрация информации с выхода диссектора осуществляется цифровым осциллографом С9-8 (скорость отсчета 20 МГц) с дополнительным блоком памяти и в дальнейшем вводится в ЭВМ. Спектрометры описанного типа предлагается использовать для многоракурсной диагностики асимметричных плазменных образований. В этом случае применяется несколько спектрометров или поперечные проекции с нескольких направлений с помощью волоконной оптики сводятся на соседние по высоте участки входной щели спектрального прибора и последовательно регистрируются диссектором.

ТОМОГРАФИЯ ТОКОВОГО СЛОЯ

В последнее время метод эмиссионной томографии находит применение при исследовании очень сложных физических процессов, происходящих не только в лабораторной, но и в астрофизической плазме. В частности, в работах [74, 75, 346, 406, 529] метод эмиссионной томографии использовался при исследовании процесса пересоединения силовых линий магнитного поля в плазме. Эти процессы эффективно осуществляются в токовых слоях (ТС) — областях со значительной плотностью электрического тока, разделяющих магнитные поля противоположных направлений, и играют существенную роль в разнообразных явлениях астрофизики и физики плазмы.

Обнаружено, что внутри ТС образуется метастабильная фаза, в течение которой происходит трансформация электрической энергии в тепловую и кинетическую энергию плазмы. После сравнительно длительной фазы метастабильного состояния в ТС наступает быстрое разрушение (пробой). Измерение плотности электронов, температур плазмы, скоростей потока, турбулентности и т.д. спектральными методами позволяет успешно исследовать указанные процессы. Схема экспериментальной установки, используемой для изучения ТС, показана на рис. 6.29. Исследуемым объектом является импульсный разряд с током, направленным вдоль нулевой линии двумерного магнитного поля с радиальным градиентом Л = 0,05 — 0,3 Тл/см. Нулевая линия (ось oz) была совмещена с осью цилиндрической вакуумной камеры диаметром 10 см и длиной 40 см. Предполагалось, что все условия однородны в z направлении. Камера наполнялась гелием или аргоном при давлении Р = 10-1 - 10-2 Торр. После формирования вспомогательного разряда между электродами прикладывалось электрическое поле Е = =150—350 В/см, которое возбуждало электрический ток в плазме и приводило к формированию ТС, Максимальное значение тока / = —40—60 кА достигалось к моменту / = 1,5 мкс.

ТС представляет собой двумерный объект, параметры которого зависят от л и у и не зависят от z. Кроме того, ТС симметричен относительно плоскостей х = 0, у = 0, поэтому приемники излучения для съема информации располагались в пределах одного квадранта под углами 0, 30, 60, 90° к оси х. В качестве приемников использовались жгуты из пяти кварцевых световодов диаметром D = 400 мкм и длиной 6 м, которые передавали излучение на монохроматоры МДР-12 или МДР-3 и затем на фотоумножители ФЭУ-79. Каждый приемник собирал излучение из конуса с углом при вершине 10°, что соответствует пространственному разрешению в центре камеры 8 мм. Измерения проводились за несколько циклов работы установки с последующим усреднением. При томографической обработке данных использовался алгоритм Монте-Карло, который легко адаптируется к реальной геометрии эксперимента и не требует каких-либо априорных предположений об объекте. В результате исследований получены двумерные распределения свечения плазмы в линиях Hei Я = 587,6 нм и Hell 入=468,6 нм в различные моменты времени.

Рис. 6.29. Схема экспериментальной установки и расположения диагностической аппаратуры для изучения токового слоя [74J.

а ： у — проводники тока для создания квазнстационарного квадрупольного магнитного поля; 2 — стеклянная вакуумная камера; з — проводники электрического тока; 4 — сечение токового слоя; 5 — коллиматоры; 6 — коллимированная область; 7 — монохроматор； в — ФЭУ; 9 — осциллограф;

6: поперечное сечение вакуумной камеры. Области, в которых восстановление проводилось по четырем проекциям（4）, по трем ⑶ и тд.

Рис. 6,30. Двумерные распределения свечения плазмы ТС в линии Hei А = 587,6 нм в последовательные моменты времени [74].

Время от начала плазменного тока, мкс: а — 0,45; 6 — 0,75； е — 1,05.

Эксперименты показали, что во времена 0,45—0,6 мкс от начала плазменного тока интенсивность линии Hei практически однородна во всем поперечном сечении, интенсивность линии Hell незначительна. В момент времени 0,6 мкс интенсивность Hell возрастает, причем на периферии камеры она больше, чем в центральной части. С момента 0,75 мкс интенсивность линии Hell возрастает значительно, появляются два максимума. В момент времени 1,5 мкс максимумы сжимаются к центру камеры, а затем исчезают. На рис. 6.30 в качестве примера приведены поперечные распределения излучения линии Hei, полученные во времена 0,45; 0,75; 1,05 мкс от начала плазменного тока. Томографические исследования в этих системах продолжаются.

ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ

При изучении высокотемпературных плазменных образований томографическая диагностика проводится по излучению не только в видимой, но и в рентгеновской области спектра.

В работах [15, 317, 348, 349] томографический подход применен при изучении внутренней структуры микропинчевого (МП) разряда. МП-разряд ——локальная область горячей плотной плазмы " ~1 кэВ, $ W Ю21 см~3, размером 100 мкм, которая образуется путем разряда через зазор батареи конденсаторов с энергией ~0,3-0,5 кДж, при этом ток разряда достигает в максимуме —100 кА. МП-разряд является мощным источником рентгеновского излучения.

Изображения плазмы в собственном рентгеновском излучении МП регистрировались шестью вакуумными камерами-обскурами, лежащими в одной плоскости (рис. 6.31, а). Углы между камерами составляли 30°. Диаметр микроотверстий камер-обскур 10—12 мкм, пространственное разрешение на объекте 12 мкм. Изображения формировались по параллельным проекциям, расхождение лучей было пренебрежимо малым. Для выделения квантов излучения с энергией 加》8 зВ (регистрировался спектр железа) использовались фильтры из алюминия толщиной 6 мкм. Регистрация осуществлялась на фотопленку УФ-BP с

Рис. 6.31. Схема измерения эмиссии микропинчевого разряда (а) и результаты восстановления коэффициентов эмиссии МП (б) [317].

Показаны поперечные сечения МП плоскостями： 7 —х = 0；2—у = 0；3—z = 0.

усреднением во времени. Длительность импульса мягкого рентгеновского излучения на полувысоте составляла 2 нс. При реконструкции коэффициента эмиссии использовался модифицированный метод Гершберга —Папулиса. Источник излучения предполагался оптически тонким. По результатам модельных расчетов ошибка восстановления коэффициента эмиссии всего трехмерного объекта 30—50 %. На основании восстановленных коэффициентов эмиссии для центральных сечений МП-разряда, полученных после 5 итераций, сделан вывод, что микропинчевая область представляет собой образование, напоминающее эллипсоид вращения, вытянутый вдоль оси разрядной камеры. Длина его изменяется от 50 до 200 мкм, а поперечный размер 30—— 60 мкм (см. рис. 6.31, б).

В последние годы появилось большее число публикаций, посвященных томографическим измерениям параметров плазмы в термоядерных системах, в частности в установках типа токамак. В них представлены данные по измерению параметров плазмы в различные периоды разряда, исследованы время и место появления примесей. Такие сведения необходимы для объяснения физических процессов, происходящих в плазме, а также механизмов потерь энергии.

В работе [199] с помощью томографической методики измерялись параметры плазмы, образующейся в троидальной установке Tormac IV в процессе сжатия.

По пространственному распределению профиля линии эмиссии 々, испытывающей штарковское уширение, определялось поле электронной

концентрации, а по линии Hell, подверженной доплеровскому уширению, —поле температур. Состав газа: 90 % водорода и 10 % гелия. На рис. 6.32 показана форма плазменного с^разования после процесса

сжатия. Здесь же обозначены углы наблюдения: 0, 45, 90, 135°. Схема томографических измерений приведена на рис. 6.33. Излучение плазмы

через световод (У) подается на входную щель монохроматора ⑵， изображение выходной щели с помощью цилиндрических линз (3, 4) фокусируется на блок из 16 прямоугольных световодов (5) поперечного сечения 0,0125 х 1,5 см, разделенных между собой слоем резины. Разрешение каждого канала 0,39 А. Шестнадцатью каналами регистрируется область спектра 6,2 А. Регистрация профиля линии осуществляется 16 фотоумножителями (6), запись в компьютер с каждого канала после процесса накопления обеспечивается с частотой 2 МГц. Для уменьшения термических дрейфов все устройство поддерживалось при

Рис. 6.32, Схема сечения установки Tormac IV [ 199].1 — стеклянный вакуумный объем; 2 — главная ось тора; 3 — область горячей плазмы; 4 — область холодной плазмы.Рис. 6.32, Схема сечения установки Tormac IV [ 199].1 — стеклянный вакуумный объем; 2 — главная ось тора; 3 — область горячей плазмы; 4 — область холодной плазмы.

Рис. 6.32, Схема сечения установки Tormac IV [ 199].

1 — стеклянный вакуумный объем; 2 — главная ось тора; 3 — область горячей плазмы; 4 — область холодной плазмы.

Рис. 6.32, Схема сечения установки Tormac IV [ 199].

1 — стеклянный вакуумный объем; 2 — главная ось тора; 3 — область горячей плазмы; 4 — область холодной плазмы.

5

Рис. 6,33. Схема спектрографа для регистрации контуров спектральных линий на уста-новке Tormac IV [199].

/ -- световод; 2 — монохроматор; 3, 4 — цилиндрические линзы; 5 — 16 световодов; 6—16 фотоумножителей; 7 - выходы к системе записи сигналов.

постоянной температуре. Каналы были прокалиброваны по энергии с помощью дуговой ксеноновой лампы. Исследуемый объем плазмы составлял приблизительно 14 х 24 см. Пространственное разрешение около 2 см. Доплеровское уширение линии Hell в рассматриваемой области параметров в пределах i — 5 А, штарковское уширение линии 4 ~ 3 А. При реконструкции использовался метод мультипликативного ART.

В работе приводятся профили линии Н^ полученные в стадии предварительной ионизации, по которым определены параметры плаз

мы в центральной пин- чевой области: Ne W W 1014см"3; Г- W 30 эВ. Построены также томограммы интенсивности линии Hell А = 468,6 нм в моменты, соответствующие фазе сжатия плазмы и после нее, в предположении наличия плоскости симметрии при z = 0. Оценки показали, что

Рис. 6.34. Система регистрации изображений плазмы на токамаке Alcator А [39].

/ — лимитер; 2 — щель（42X10 мм）；

3 — фильтры; 4 —17 поверхностнобарьерных детекторов.

Рис. 6・35. Схема томографической диагностической аппаратуры токамака Alcator С [33].

1 — плазма; 2 — система детекторов.

асимметрия составляет 10—15 %. Получено, что в стадии сжатия максимум интенсивности линии Hell лежит вблизи центра камеры, но вследствие выгорания нейтрального газа светимость в этой области быстро уменьшается. Температура ионов, измеренная по доплеровскому уширению линии Hell до выгорания, составляет ~100 эВ.

Особенностью томографической постановки эксперимента применительно к высокотемпературным плазменным установкам является ультрамалое число ракурсов и хорд наблюдения. Последнее связано с конструктивными ограничениями подобных систем. Однако в рамках физической томографии часто появляются дополнительные возмож-

Рис 6.36. Последовательность томограмм интенсивности МРИ, характеризующая осцилляции —предвестники мгигантских** пилообразных колебаний на токамаке Alcator С [33].

Между томограммами (д—е) интервал 100 мкс.

ности для введения в задачу априорной информации физического и математического характера. В качестве примера можно привести исследование свойств плазмы на токамаке Alcator А [39] (Cambridge, USA). С помощью томографической методики в рентгеновских лучах исследовались возникающие в плазме неустойчивости с модой m = 2. Схема измерений показана на рис. 6.34. Предполагалось, что при вращении 团 = 2 в полоидальной плоскости картина эмиссии плазмы не меняется, т.е. плазма вращается как твердое тело. Тогда измеренные в различные времена с одного направления поперечные распределения эквивалентны различным угловым измерениям в одно и то же время. Таким образом, за один период вращения плазмы《0,456 мс) получено 18 поперечных распределений. В работе приводится томограмма излучения вращающейся моды /п = 2 в плазме токамака Alcator А. Отчетливо видны два максимума излучения.

На установке Alcator С [33] с помощью томографии в мягких рентгеновских лучах (МРИ) исследовались процессы, возникающие в плазме при инжекции в нее таблеток твердого водорода или дейтерия. Токамак Alcator С (Massachusetts, USA) — тор с размерами: малый радиус а = 16,5 см, большой радиус 0 = 64 см, ток I = 800 кА, магнитное поле В = 12 Тл. Замечено, что при инжекции таблеток в плазме появляются “гигантские" пилообразные колебания интенсивности МРИ, причем в каждом периоде перед спадом интенсивности наблюдаются малые осцилляции. Задача авторов работы состояла в том, чтобы объяснить природу таких колебаний.

Рис. 6.37. Расположение детекторов излучения плазмы в рентгеновском диапазоне спектра на установке Т-10.

а~в — системы детекторов； О — плазма.

Томографическая система (рис. 6.35), предназначенная для исследования локальных полей МРИ, имела 128 детекторов, регистрирующих рентгеновское излучение плазмы с трех направлений в одной полоидальной плоскости. Система детекторов представляла собой отдельные фотодиодные матрицы. Угол зрения одного диода был таким, что вблизи центра плазмы просматривался участок около 2 см・ Полагалось, что сигнал от каждого диода можно представить интегралом по линии наблюдения. При реконструкции коэффициента эмиссии использовался алгоритм, разработанный Кормаком [45]. По томограммам излучательной способности плазмы, полученным в период малых колебаний МРИ, сделан вывод, что в эти моменты в плазме развиваются МГД возмущения с модой /п = 1 (рис. 6.36).

На установке токамак Т-10 (ИАЭ им. И.В. Курчатова, Москва) (а = 0,3 м,《=1,5 м) томографический подход использовался при изучении процесса быстрой перестройки внутренней структуры плазменного шнура, получившей название внутреннего срыва [26, 58, 141, 253, 385, 386 ]. Изучение механизма этих процессов важно для понимания условий стабилизации, продления времени жизни плазмы и создания условий для зажигания управляемой термоядерной реакции. Мягкое рентгеновское излучение регистрировалось с помощью двух- трех камер-обскур с кремниевыми поверхностно-барьерными детекто-

Рис. 6.38. Томограммы модельной (/) и восстановленной (2) интенсивности излученияРис. 6.38. Томограммы модельной (/) и восстановленной (2) интенсивности излученияплазмы в токамаке Т-10 для двух различных стадий внутреннего срыва.плазмы в токамаке Т-10 для двух различных стадий внутреннего срыва.

Рис. 6.38. Томограммы модельной (/) и восстановленной (2) интенсивности излучения

Рис. 6.38. Томограммы модельной (/) и восстановленной (2) интенсивности излучения

плазмы в токамаке Т-10 для двух различных стадий внутреннего срыва.

плазмы в токамаке Т-10 для двух различных стадий внутреннего срыва.

рами, расположенными в одном из сечений тороидального плазменного шнура под углами —30, +30, +90° к экваториальной плоскости тора (рис. 6.37)L Система содержала 48 детекторов, регистрирующих рентгеновское излучение плазмы в диапазоне энергий £ = 2,5 — 15 кэВ. Область обзора — центральная часть плазменного канала, пространственное разрешение 2 см. Спектральный состав регистрируемого излучения изменялся сменой фольги (из алюминия и бериллия). Система сбора и обработки информации обеспечивала временное разрешение до 10 мкс.

В основу алгоритма обработки пространственно-временных зависимостей положен метод Кормака [46], использующий разложение в ряд Фурье по угловой и по ортогональным полиномам Цернике ——по радиальной переменным. Точность и устойчивость алгоритма исследовалась в вычислительном эксперименте на полной пространственно-временной модельной задаче, причем модельная эволюция по степени сложности соответствовала наблюдаемой в эксперименте. Интегральная проекция, рассчитанная для пространственно-временного распределения, возмущалась случайным нормально распределенным шумом с заданной дисперсией. Полученные решения сравнивались с исходными. На рис. 6.38 приведены томограммы модельных распределений (7) и полученных решений (2), характерные для двух различных стадий внутреннего срыва в Т-10 при использовании двух ракурсов реальной схемы регистрации и относительной величине измерительного шума 0,03. Нормализованная ошибка по данным авторов составила 0,05 и 0,07 соответственно. Важно, что томографическая реконструкция сохраняет основные топологические структуры решения*

На рис. 6.39 приведено несколько томограмм временной эволюции пространственной структуры плазменного шнура в акте внутреннего срыва, полученных на Т-10 в режиме с низким значением запаса

Днестровский Ю.Н., Лядина Е.С., Саврухин П.В. Пространственно-временная томографическая задача диагностики плазмы. — М” 1990. — 47 с. — (Препринт / ИАЭ; № 5201/15).

Рис. 6.39. К^дры временной эволюции изолиний интенсивности МРИ в акте внутреннего срыва на установке Т-10 [385].Рис. 6.39. К^дры временной эволюции изолиний интенсивности МРИ в акте внутреннего срыва на установке Т-10 [385].t =578,77 мсt =578,77 мс

Рис. 6.39. К^дры временной эволюции изолиний интенсивности МРИ в акте внутреннего срыва на установке Т-10 [385].

Рис. 6.39. К^дры временной эволюции изолиний интенсивности МРИ в акте внутреннего срыва на установке Т-10 [385].

t =578,77 мс

t =578,77 мс

устойчивости. Авторами также получены фильмы поведения линий уровня как суммарной интенсивности излучения, так и отдельных мод возмущения. Отмечается, что разложение в тригонометрический ряд Фурье по угловой переменной очень удобно при анализе модовой структуры возмущений плазмы. Анализ результатов томографической реконструкции позволил сделать вывод о наличии двух механизмов

внутреннего срыва в плазме Т-10 и о зависимости их от профиля электронной температуры, что значительно проясняет физический механизм развития неустойчивости.

Рассмотрим работу [155，в которой авторы, используя ультрамалое число ракурсов, с помощью томографической методики получили достоверные физические результаты. При восстановлении коэффициента эмиссии они использовали метод глобальной нелинейной интерполяции, позволяющий проводить восстановление неизвестной функции по минимальному количеству проекций за счет генерации дополнительных проекций. Исследовалась эволюция излучения примесей в плазме установки токамак ФТ-2 (Санкт-Петербургский технологический университет) .Данные по излучению линии ОШ 2 = 376,0 нм, OV й = 278,1 нм, CV 2 = 227,1 нм и g получены с помощью двухракурсной (с двух взаимно перпендикулярных направлений) спектротомографической системы с оптико-механическим временным сканированием. Временное разрешение системы 3 мс. На каждой проекции снималось 32 отсчета. Дополнительно генерировалось 20 проекций. Точность реконструкции исследовалась на модельных функциях. При шуме в экспериментальных данных 10 % точность восстановления по результатам модельных экспериментов составляет 15—20 %. На рис. 6*40 в качестве примера показаны томограммы излучения примесей ОШ и OV, полученные в стационарной фазе разрвда. По ним сделан вывод, что место локализации примесей находится на периферии разряда и во времени поворачивается с некоторой угловой скоростью. То же можно сказать о других примесях и водороде.

Рис. 6-40. Томограммы эволюции излучения примесей на установке токамак ФТ-2 [155]. а — эмиссия линии OV А = 278,1 нм; б — эмиссия линии ОП1 А = 376,0 нм.

Компьютерная эмиссионная томография в рентгеновском излучении использовалась при исследовании плазмы в Varennes токамаке (TdeV) (Canada) [132, 133 ]. TdeV токамак — устройство среднего размера с параметрами % = 0,85 м, а = 0,27 м, 5 = 1,5 Тл, Те = =0,8 кэВ,厶=0,5 кэВ, ток через плазму 150—270 кА,做= 三 2 • 109—4 ■ 1019 NT*

В большинстве токамаков наблюдаются пилообразные осцилляции, за которыми следует большой срыв. Цель работы состояла в том, чтобы с помощью выбранной модели объяснить наблюдаемое явление. Схема экспериментальной томографической системы представлена на рис. 6.41.

Проекции плазмы в рентгеновском излучении регистрировались с пяти направлений. На каждом направлении имелось по 16 детекторов. Это кремниевые поверхностно-барьерные детекторы с низким шумом, прокалиброванные с точностью 2 %. С помощью бериллиевых окон различной толщины можно было регистрировать энергии Х-лучей от 1 до 10 кэВ. Для реконструкции эмиссии опробовано три метода: ART, максимума энтропии и разложения на гармоники. Лучшим оказался последний метод.

Типичные данные реконструкции экспериментальных результатов при пилообразном срыве показаны на рис. 6.42. Горячее ядро сдвигается к стенке, в плазме развивается возмущение с модой m = 1, и через некоторое время оно исчезает. Детальные исследования показали, что это явление хорошо объясняется МГД теорией.

На установке токамак RTP (The Netherlands) собрано две томографические системы, одна из них [175, 305] применялась для измерения эмиссии плазмы в X- лучах (диапазон энергий 1——10 кэВ). Цель проводимых исследований —изучение аномальных транспортных свойств и турбулентности плазмы. Вторая томографическая система [125] предназначена для исследования структур и флуктуа-

Рис. 6.4/. Томографическая система регистрации рентгеновского излучения на така- маке TdeV [132, 133].

А 1—А 5 — направления регистрации.

尸以а 6・42. Томографическая реконструкция Х-излучения плазмы во время пилообразного срыва, указывающая на процесс перезамыкания на токамаке TdeV [133].

ций плазмы у стенок канала, где излучение происходит в основном в видимой области спектра (200——1100 нм). В обоих случаях измерения проводятся в одном и том же полоидальном сечении, через одну и ту же систему окон.

На рис. 6.43 приведена система сбора томографической информации в рентгеновской области спектра. Эмиссия Х-лучей из центральной части канала регистрируется с пяти направлений (Л——Е), на каждом имеется по 16 детекторов. Это кремниевые диоды. Изображения плазмы строятся с помощью камер-обскур. Расстояние между хордами наблюдения 1—2 см, временное разрешение системы 5 мкс. Электронная температура плазмы определялась по суммарному сигналу, обусловленному излучательной рекомбинацией, тормозным излучением электронов на ионах и излучением в линиях. Предполагалось, что плазма в исследуемом диапазоне оптически тонкая. При восстановлении эмиссионных томограмм использовалась техника, основанная на методике Кормака. Ошибки восстановления исследовались на модельных функциях. Наименьшую ошибку показал SPACE-TIME Method (STM). С его помощью удалось уменьшить стохастические и систематические ошибки в результатах расчетов. В работе [175] приводятся томограммы эмиссии плазмы на токамаке RTP в течение пилообразного распада (внутрен-

ЕЕРас. 6.44. Томограммы (а—е) эмиссии плазмы на токамаке RTP в течение процесса пилообразного срыва при омическом нагреве [175].Рас. 6.44. Томограммы (а—е) эмиссии плазмы на токамаке RTP в течение процесса пилообразного срыва при омическом нагреве [175].

Е

Е

Рас. 6.44. Томограммы (а—е) эмиссии плазмы на токамаке RTP в течение процесса пилообразного срыва при омическом нагреве [175].

Рас. 6.44. Томограммы (а—е) эмиссии плазмы на токамаке RTP в течение процесса пилообразного срыва при омическом нагреве [175].

Рис. 6,43. Система сбора томографической информации в рентгеновской области спектра на токамаке RTP [125].

1 — плазма; А—Е — камеры с 16 детекторами каждая.

него срыва) во время омического нагрева. Формы изолиний напоминают чечевицу, смещенную с центра разряда и вращающуюся вокруг оси камеры (рис. 6.44, а——е). В томографической системе, предназначенной для измерений в видимой области спектра, построение изображений с четырех направлений осуществляется с помощью зеркал, с пятого — с использованием линзы. На рис* 6.45 показаны расположение зеркал, линзы и детекторов в половдаль- ном сечении вакуумного объема RTP, а

также лучи, вдоль которых происходит

регистрация эмиссии отдельными детекторами. Зеркальная система позволяет

получить сигнал, более чем на порядок

превышающий таковой, получаемый с помощью камер-обскур. Для

выделения необходимой области спектра применяются интерферен

ционные светофильтры. Одна из возникающих трудностей связана с

экранировкой датчиков от постороннего света, не участвующего в формировании изображений. Оценки показали, что поскольку угол

Рис. 6.46. Геометрическая схема регистрации рентгеновских лучей в трехмерной томографии эмиссии лазерной плазмы [193].J —4 — направления регистрации.Рис. 6.46. Геометрическая схема регистрации рентгеновских лучей в трехмерной томографии эмиссии лазерной плазмы [193].J —4 — направления регистрации.Рис. 6-45. Схема регистрации томографической информации в видимой области излучения плазмы на токамаке RTP [125].

Рис. 6.46. Геометрическая схема регистрации рентгеновских лучей в трехмерной томографии эмиссии лазерной плазмы [193].

J —4 — направления регистрации.

Рис. 6.46. Геометрическая схема регистрации рентгеновских лучей в трехмерной томографии эмиссии лазерной плазмы [193].

J —4 — направления регистрации.

叫一必一зеркала； L — линза; D^—D^ — детекторы.

падения лучей на интерференционный светофильтр около 20°, а селективные свойства интерференционных светофильтров имеют угловую зависимость, с помощью описанной системы можно изучать поведение только очень интенсивных спектральных линий.

Трехмерная томография эмиссии лазерной плазмы в рентгеновской области спектра выполнена в [193]. Исследовался процесс сжатия сферической микромишени ——таблетки диаметром 200 мкм, облучаемой двумя пучками мощных СО2 лазеров. Регистрация велась с четырех направлений камерами-обскурами (рис. 6.46). Оптические оси рентгеновских камер наклонены под углом 45° к оси z и расположены на равных расстояниях друг от друга. Отверстия камер-обскур диаметром 10 мкм для защиты от фотонов с энергией менее 1 кэВ закрыты пленкой бериллия толщиной 0,012 мм. Коэффициент увеличения системы 9, разрешающая способность на объекте 11 мкм. Сигаалы регистрировались на рентгеновскую пленку. На каждой проекции снималось 100 х 100 точек. Восстановление объекта в кубике 100 х 100 х 21 проводилось по проекциям, отцифрованным в четыре матрицы с применением алгоритма максимальной энтропии Минербо в трехмерном варианте. В работе приведены цветные томограммы четырех поперечных и двух продольных сечений объекта. По ним установлено, что после сжатия таблетка имеет форму сплющенного сфероида, сжатого вдоль юго-северной линии.

Ряд параметров плазмы можно определить, исследуя световой поток, прошедший через объект. Такие задачи решаются с помощью трансмиссионной томографии.

6.2. ТРАНСМИССИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ ПЛАЗМЫ

Известно, что при прохождении света через оптическую неоднородность могут происходить изменения как амплитуды, так и фронта световой волны, т.е* лучи света могут поглощаться, рассеиваться или

подвергаться рефракции (отклоняться от своего первоначального направления или испытывать фазовые искажения). Таким образом, свойства среды можно определить, если измерить локальные коэффициенты абсорбции, рефракции или рассеяния. Рассмотрим, как можно получить характеристики среды по ее поглощению. Наиболее легко такие измерения проводятся для неизлучающей среды. В этом случае основной закон, описывающий процесс прохождения света в объеме,——закон Ламберта — Беера:

J = %Xp (一№，七), (6.2.1)

где Jo, / — интенсивности соответственно вошедшего в объем и вышедшего из него излучения;怎一число частиц сорта t； Q『—поперечное сечение поглощения света элементом / на частоте »;厶一длина поглощающего слоя.

Если концентрация поглощающего вещества мала, то выполняется условие

AJ/Jq = (J - J^/J^ = -MQ『乙(622)

Для объекта, неоднородного вдоль L, имеем

~+оо'

AJ/J0==exp-J(№»)dS(6.2.3)

илиL-

-ln(AJ/J0)=/(2Q『)dS.(6.2.4)

Здесь AJ/J0 измеряется в эксперименте, значения Q / для большинства радикалов можно найти в [221 ]. Отсюда вычисляется М・ Авторы работы [64 ] использовали метод абсорбционной томографии для определения состава аргон-метановой струи, истекающей при комнатной температуре в окружающую атмосферу. Схема экспериментальной аппаратуры

Рис. 647. Схема экспериментальной аппаратуры для определения состава аргон-метановой смеси методом абсорбционной томографии [64].

2 — HeNe лазер; 2 — светофильтр; 3 — оптический затвор； 4 — струя; 5 — PbSe детектор; б — усилитель; 7 — осциллограф; з — затвор; 9 — DVM.

представлена на рис. 6.47. Струя истекала из медной трубки внутренним диаметром 10,8 мм, расположенной на расстоянии 19 мм от центра медной пластины диаметром 15,25 см. Первоначальный состав газовой смеси: 10 % — СН, 90 % — Аг. Скорость потока 0,57 л/с. Луч света HeNe лазера, прерываемый механическим сканером с частотой 1,015 кГц, пересекал исследуемое сечение струи. Прошедшее излучение регистрировалось PbSe детектором. Постоянная времени детектора 4 с, пространственное разрешение определялось диаметром луча лазера и составляло 2 мм. Концентрация метана в струе измерялась по поглощению линии излучения лазера длиной волны Л = 3,39 мкм. Регистрация проводилась с 12 направлений через каждые 15°, что осуществлялось поворотом струи. Предполагалось, что сама струя должна быть симметрична относительно своей оси, но сдвинута относительно центра медной пластины.

Уравнение (6.2.4) решалось методами преобразования Фурье с использованием фильтра Шеппа ——Логана (SL) [258 ] и модифицированного фильтра SL. Ошибка реконструкции исследовалась на трех модельных функциях, в качестве которых были взяты: одна гауссиана (число направлений 女=2, 6, 10), три гауссианы К = 3, 6, 10, 20) и три гауссианы плюс цилиндрическая функция (К = 20 без модифицированного фильтра SL и с использованием последнего). Шум в экспериментальные данные не вводился. Число отсчетов на каждом направлении N = 100. Как показали расчеты, только при К = 10 качество восстановления достаточно удовлетворительное. В работе приводятся томограммы, соответствующие концентрации метана в нескольких сечениях струи. Как и предполагалось, струя симметрична в сечении, расположенном на расстоянии 12,7 мм от выходного сечения трубки, максимум концентрации метана сдвинут на 19 ± 1,3 мм с центра пластины, что совпадает с первоначально известным значением 19 мм.

Концентрация метана в максимуме распределения в этом сечении 9,6 %, что находится в хорошем соответствии с первоначально введенным значением, равным 10 %. Указанные эксперименты ——начальный этап исследования параметров струи по поглощению излучения. В последующем авторы предполагают оптимизировать фильтрацию шума в экспериментальных данных} улучшить пространственное разрешение, расширить область измерений на более низкие концентрации, исследовать поток более сложной геометрии с включением процесса горения. Кроме того, при изучении быстро меняющегося объекта появляется необходимость зондирования его проникающим излучением одновременно с нескольких направлений. Для этой цели, как указывается в работе, сконструирована система, схема которой приведена на рис. 6.48. Здесь поглощение в пламени измеряется одновременно с пяти направлений, для чего сформировано пять световых потоков, проходящих через объект. Детекторы в различных каналах расположены на одинаковых расстояниях, поэтому эффект рефракции в них должен сказываться одинаково.

Ряд параметров газовых потоков и плазмы можно определить по отклонению светового потока от его первоначального направления или по его фазовым искажениям при прохождении через оптическую неоднородность. Указанные свойства среды исследуются с помощью теневых и интерференционных методов: вычисляется коэффициент рефракции

Рис. 6・4& Схема пятиканального абсорбционного томографа [64].

/ — разделительные пластины; 2 — зеркала; з — датчики; 4 — источник света,

среды, который связан с концентрацией частиц в газовых потоках. До последнего времени теневые и интерференционные методы применялись только при диагностике осесимметричных объек тов. Использование их в варианте КТ позволяет значительно расширить возможности диагностики, т.е. изучать асимметричные объекты. Рассмотрим это на примере некоторых работ.

В [510, 511 ] шлирен-ме- тодом в варианте КТ исследовалась струя воздуха, истекающая из конического сверхзвукового сопла в окружающее пространство. Диаметр критического сечения сопла 8 мм,

выходное сечение наклонено

под углом 45° относительно оси сопла. В сверхзвуковых струях наклон выходного сечения сопла приводит к перестройке параметров в ядре струи и является одним из способов управления ею. Поле плотности в такой струе существенно трехмерное. Для получения локальных значений плотности в указанных выше работах применялся теневой томографический метод ножа и щели. Схема теневого томографа показана на рис. 6.49. Источником света служила импульсная лампа (/), которая в отличие от лазера не дает спекл-структуры. Измерялось семь проекций струи под углами 0, 10, 20, 40, 60, 80, 90°. Регистрация проводилась на фотопленку (5). По изменению почернения на фотопленке с потоком и без потока находился угол отклонения луча а, приходящего в некоторую точку изображения. Относительная погрешность измерения углов отклонения составляла 7——8 %. Теневой метод позволяет определить отклонение луча лишь в направлении, перпендикулярном кромкам ножа и щели, поэтому нож и щель располагались параллельно оси потока. Многоракурсное зондирование осуществлялось вращением объекта исследований. Итак, в эксперименте изме

ряласьрялась/Z2Z2

рялась

рялась

(6.2.5)(6.2.5)a = f a dy = f孔|y=dz - J川尸厶d瑞

(6.2.5)

(6.2.5)

Рис. 6.49. Схема теневого томографа [510, 511].; —импульсная лампа ДРШ-1000; 2 — объективы; 3 — струя; 4 — визуализирующий нож; 5 — фотоаппарат; б — щель; 7 — зеркала.Рис. 6.49. Схема теневого томографа [510, 511].; —импульсная лампа ДРШ-1000; 2 — объективы; 3 — струя; 4 — визуализирующий нож; 5 — фотоаппарат; б — щель; 7 — зеркала.где % — координата невозмущенного потока; zn z2 — координаты границ объекта. Второй интеграл в уравнении (6.2.5)——известная функция. Для расчета локальных значений коэффициента рефракции применялся модифицированный алгоритм ART [534 ], при этом использовалась априорная информация о наличии плоскости симметрии потока, совпадающей с плоскостью симметрии сопла. Ошибка реконструкции изучалась на модельной функции, представляющей собой эллиптическую гауссиану. Установлено, что при шуме 6——7 % относительная ошибка реконструкции лишь в 1,1—1,3 раза превосходит относительную ошибку измерений* Кроме метода ART исследовались также другие алгоритмы КТ. В работе приводится несколько томограмм плотности потока газа, полученных в разных сечениях струи, на которых вВДна значительная асимметрия потока (рис. 6.50). По результатам работы сделан вывод, что изменяя конструкцию сопла и контролируя поле плотности потока методом КТ, можно получить поток необходимой конфигурации.

Рис. 6.49. Схема теневого томографа [510, 511].

; —импульсная лампа ДРШ-1000; 2 — объективы; 3 — струя; 4 — визуализирующий нож; 5 — фотоаппарат; б — щель; 7 — зеркала.

Рис. 6.49. Схема теневого томографа [510, 511].

; —импульсная лампа ДРШ-1000; 2 — объективы; 3 — струя; 4 — визуализирующий нож; 5 — фотоаппарат; б — щель; 7 — зеркала.

В работе (393 ] показана возможность использования томографиче

ского шлирен-метода для измерения поля плотности сложного струйного течения. Такие течения не поддаются точному расчету, и методы КТ при изучении подобных объектов наиболее эффективны. Исследовалось поле плотности четырехструйного трансзвукового течения у среза сопел методом теневой томографии. Углы

Рис. 6・50. Томограмма плотности потока газа, истекающего из конического сверхзвукового сопла, в сечении z = 1,5 [510].

万max = LK 万min = ~0-05 0 = S - P®)/Pa>)-

Рис. 6.51. Томограмма поля плотности четырехструйного трансзвукового течения [393].

отклонения лучей регистрировались с шести ракурсов через каждые 30° прибором Тепл ера ИАБ-451 с дистанционно управляемой фотокамерой. Реконструкция локальных значений коэффициента рефракции проводилась с помощью модифицированного алгоритма ESI [389]hRICSS1 [468]. Предварительно проекционные данные сглаживались куби

ческими сплайнами с учетом шума в экспериментальных данных, В работе приводится томограмма плотности потока, полученная в сечении 2 = 3 мм от среза сопел, на которой хорошо видны четыре максимума плотности, что соответствует ожидаемому распределению (рис. 6.51).

Итак, с помощью теневых и шлирен-методов можно получить информацию о второй и первой производных показателя преломления

и по рассчитанному показателю определить концентрации различных составляющих многокомпонентной смеси.

Однако в плазменных экспериментах для количественных измерений коэффициента преломления более предпочтительны интерференционные методы [434 ]. Это связано прежде всего с трудностями обработки теневых картин, контраст которых, а также распределение освещенности на экране значительно искажаются собственным све

чением плазмы.

6・3・ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ ПЛАЗМЫ

Существует несколько способов получения интерферограмм под различными углами, например формирование независимых каналов зондирования, сканирование зондирующего луча по углу, использование диффузного освещения объекта.

В работах [147, 151, 306, 372, 416 ] методом интерференционной томографии исследованы поля плотности газа при обтекании сверхзвукового баллистического объекта ——летящего острого конуса, совершающего свободные колебания в полете. Томограф представлял собой пятиракурсный блок сдвиговых интерферометров. Исследуемая область просвечивалась параллельными пучками света. По зарегистрированным интерферограммам рассчитывалось трехмерное поле показателя преломления среды п (х, у, г), а именно, восстанавливались функции и (х, у) при разных z (ось z совпадала с направлением полета объекта).

При реконструкции применялся зонный метод. Рефракцией света в неоднородности пренебрегалось.

В [60, 121 ] описан фазовый интерферометр изображения с двумя направлениями регистрации, с помощью которого можно измерять плотность электронов в плазменных системах. Интерферометр установлен на токамаке Microtor (University of California, Los Angeles, USA). Большой радиус тора 2fo = 40 см, малый радиус 〃 = 11,2 см. Схема интерферометра приведена на рис. 6.52. Обычно в подобных схемах (например, на токамаках TFTR и ТЕТ) число измерительных каналов не больше десяти. Это связано с тем, что подобные измерительные системы очень сложны, в них содержится большое число оптических элементов (например, в указанных выше установках их больше 200), что делает такие системы довольно дорогостоящими. В приведенной на рис. 6.52 схеме число деталей 36. Основные из них: томсоновский источник CSF (2), работающий на длине волны А = 1,05 мм с энергией 300 мВт; линзы, зеркала, детекторы (3) — линейки с висмутовыми микроболометрами, имеющими гибкие золотые выводы и выполненные в виде монолита, и т.д. В каждом детекторе 30 каналов регистрации. Отражающие преобразователи поляризации излучения предназначены для отделения падающих и отраженных от вращающейся решетки пучков.

В вертикальном направлении интерферометр собран по схеме Маха —Цендера, в горизонтальном — по схеме Майкельсона. В горизонтальном направлении пучок отражается от внутренней стенки вакуумной камеры и дважды проходит исследуемый объем. В этом направлении

Р〃с. 6.32. Система получения изображений плазмы с двух направлений на токамаке Microtor (60, 121].

2 — плазма; 2 — источник излучения; 3 — детекторы; 4 — вращающаяся решетка； 5 — отражатели для преобразования поляризации излучения; б — поляризаторы.

самые большие потери энергии — КПД всего 15—20 %. Для восстановления полей концентрации электронов использовалось несколько методов: в случае симметричных образований ——инверсия Абеля, в случае асимметричных данных предполагалось, что распределение имеет вид

% (м) = 8(X)и0 (г), (6.3.1)

где g (х)——весовая функция, учитывающая асимметрию профиля; п0(г)——симметричное распределение. Для восстановления применяется матричный метод, программа для которого взята из (291 ], а также метод максимума энтропии. Для уменьшения влияния шума на результат реконструкции экспериментальные данные сглаживались полиномами по пяти точкам. С помощью описанной двухракурсной томографической системы найдено положение центра масс плазменного распределения непосредственно из проекционных данных на установке Microtor и рассмотрены эти величины во времени при разных условиях разряда. Исследовано развитие возмущения с модой /и = 1, которое появляется при отключении минорного тока и выносит плазму на внешнюю стенку вакуумного объема. Система позволяет также обнаружить вращение моды дп = 1 н изучать пилообразные осцилляции и модификацию профиля во время дополнительного нагрева. Получены данные с использованием техники впрыска газа, которые позволяют изучать коэффициенты диффузии и переноса электронов.

В работе [246] с помощью интерферометрического метода в варианте трехмерной томографии исследованы поля плотности сверхзвуковых стационарных свободных струй, истекающих из деформированного сопла Лаваля. Генерация струй осуществлялась при расширении воздуха из камеры повышенного давления в окружающую атмосферу. Струя помещалась в поле зрения интерферометра Маха ——Цендера (рис. 6.53). Для освещения объекта применялся источник света с длиной

Рис. 6.53. Оптическая схема интерферометра Маха — Цендера для томографических исследований сверхзвуковых струй [246].

丿一струя； 2 — камера повышенного давления; 3 — интерферометр Маха — Цендера; 4 — излучающий диод; 5 — CCD камера; 6 — процессор изображения; 7 — регистратор.

волны Л = 660 нм. Каждый кадр регистрировался с экспозицией 550 нс. Запись велась с частотой 25 кадр/с. Диаметр сопел подбирался таким образом, чтобы поток массы был мал, поэтому состояние струи во время измерений можно было считать квазистационарным. Интерферограммы с разных направлений регистрировались при повторе объекта на заданный угол. Регистрация осуществлялась камерой CCD SONI ХС-77СЕ. При восстановлении использовался алгоритм AVART ——модифицированный алгоритм ART. В работе приводятся томограммы поля плотности сверхзвуковой струи (число Маха М — 1,1) от сопла, имеющего 7 отверстий, каждое диаметром 1 см, восстановленные по данным с 20 направлений. Реконструкция проводилась на решетке 30 х 30, число итераций 20. Полученные томограммы показывают, что у сопла все 7 струй разделены, ниже по потоку из-за роста турбулентности струи все более и более перемешиваются. Исследовалось также поле плотности сверхзвуковой струи, истекающей из деформированного сопла Лаваля (М = 1,65). По этим томограммам видно, что вблизи сопла поле плотности струи в сечении имеет приблизительно эллиптическую форму. Ниже по потоку происходит разделение поля плотности на два похожих на эллипс максимума. В данном случае разрешение составляло 24 х 24 пиксела, число итераций 20. Ошибка в экспериментальных проекциях оценивается 5 %, точность реконструкции различных фантомов приблизительно 7 %. Сделан вывод, что даже небольшое возмущение струи приводит к значительным 3D эффектам.

Задачу диагностики можно упростить, если применить метод голографической интерферометрии. Обзор библиографии по применению указанного метода в оптико-физических исследованиях до 1977 г, приведен в [350]. Там же можно найти различные схемы голографических интерферометров.

Рассмотрим несколько публикации последнего времени, в которых описаны схемы голографических интерферометров, позволяющих проводить томографические исследования газодинамических и плазменных объектов.

В работе [246 ] приведена схема голографического интерферометра, предназначенного для исследования полей температур нестационарных газовых потоков, с помощью которого можно регистрировать интерферометрические данные одновременно со многих направлений (рис. 6.54). Голограммы записываются одновременно в горизонтальном направлении в пределах телесного угла 90° и в вертикальном в пределах 50°. В схеме опорный пучок отклоняется на 20°, объектный разбивается на два и при прохождении через две загрунтованные стеклянные пластинки освещает исследуемый объект. Источник излучения ——аргоновый лазер, работающий на длине волны Л = 514 нм. Голограммы регистрируются методом двойной экспозиции. Интерферометрические данные записываются с каждой восстановленной голограммы с помощью CCD-камеры, которая смонтирована на специальном держателе с двумя степенями свободы, обеспечивающим движение камеры по поверхности сферы с центром в месте голографически восстановленного объекта. Так как камера располагается на расстоянии 1 м от объекта, то отклонение от параллельности лучей составляет 2°, т.е. можно предположить, что

Ри& 6.” Оптическая схема голоп)афического интерферометра [246].

1 — исследуемый объект; 2 — лазер; з — расщепитель луча; 4 — зеркала; 5 — расщепитель пучка; 6 — пространственный фильтр; 7 — линзы; 8 — загрунтованные стеклянные пластинки;，一 голографическая пластинка.

интерферограммы получены по параллельным лучам. Для реконструкции использовался алгоритм AVART. Проверка работы системы и алгоритма реконструкции проводилась при исследовании полей потоков внутри колбы электрической лампочки. Одна экспозиция делалась при напряжении на лампе 50 В, вторая — через 10 с после отключения напряжения. Полный угол наблюдения в 180° реализован с помощью двух голограмм, вторая из них регистрировалась при повороте лампы на 90°. Для полного восстановления данных от двух голограмм требуется 20 направлений в пределах 180°. Однако снять две голограммы при нестабильном потоке невозможно, поэтому здесь для качественного восстановления томограмм необходимо применение априорной информации. Авторы [246] приводят томограммы распределения температуры внутри колбы электрической лампы, когда интерферограммы получены от двух и от одной голограмм. В последнем случае, как и следовало ожидать, качество восстановления хуже.

Для иллюстрации метода голографической интерферометрии применительно к диагностике плазмы можно указать работу [248 ], в которой двухволновой голографический интерферометр с восемью направлениями наблюдения служил для измерения 3D полей плотности и температуры в угольном дуговом разряде атмосферного давления. Согласно сведениям, приведенным в гл. 2, коэффициент рефракции плазмы есть сумма рефракций нейтрального газа, ионной и электронной компонент. Основываясь на методе двухволновой интерферометрии, можно разделить вклад в рефракцию электронной и газовой компонент. Допуская, что в видимой области спектра изменение коэффициента рефракции определяется в основном газовой компонентой н 範=^ii из уравнения Гладстона ——Дейла можно получить температуру газовой компоненты

1/%(х，У)= (Р。％ R)/(pK&) 口/Т。-几(x,y)/S。G° А) ]. (6.3.2)

Здесь р ——давление; К ——константа Гладстона ——Дейла; р ——плотность нейтралов; А ——газовая постоянная смеси газов, которые исследуются; О ——индекс, соответствующий состоянию газа при атмосферном давлении.

Итак, объект исследования ——дуговой разряд между угольными электродами. Диаметр электродов 7 мм, ток разряда 150 А. На рис. 6.55 приведена схема 8-канального двухволнового голографического интерферометра, который использовался для измерения параметров плазмы. Луч рубинового лазера ⑺ ％ = 694,3 нм и Л2 = 347,1 нм) с помощью расщепителей и зеркал разделяется на восемь объектных пучков (2——9). Каждая пара объектных лучей проходит через исследуемый объект (/0) и фиксируется на голографической пластинке (//). Зеркала и расщепители лучей располагаются так, что каждый луч проходит один и

11

Рис. 6.". Оптическая схема двухволнового 8-канального голографического интерферометра [248].

/ — двухволновый рубиновый лазер; 2—9 — объектные пучки; 10 — плазма; и — голографические пластинки; / 2 — отверстия камер обскур; 13 ~ HeNe лазер.

тот же путь от источника лазерного излучения до голограммы. Для экранировки от света плазмы в фокусах линз помещены камеры-обскуры (/2) с отверстиями диаметром около 1 мм. Голограммы регистрируются на фотопластинках методом двух экспозиций. Для установки системы на одном уровне и восстановления интерференционных полос используется HeNe лазер (/5). Система интерференционных полос в каждом направлении регистрируется на 35-мм фотопленку. В эксперименте получены интерферограммы угольного дугового разряда на длине волны излучения лазера 694,3 нм. Локальные коэффициенты рефракции рассчитывались методом свертки. В предположении, что влиянием электронной компоненты можно пренебречь, реконструированы профили плотности и температуры нейтральной газовой компоненты в средней части межэлектродного промежутка и у электрода. В обоих сечениях поля асимметричны. У катода профиль температуры имеет провал, который авторы объясняют охлаждающим влиянием электрода.

Оригинальный голографический интерферометр используется в работе [266 ] при исследовании поля концентраций струи сложного состава. Струя состояла из двух потоков: внутренняя часть — поток гелия, внешняя — воздуха. Выходной диаметр струи D = 2,5 см, скорость гелия в центре струи на выходе из сопла 4,4 м/с. Измерялась концентрация гелия в сечении струи, отстоящем от сопла на расстоянии Z = z/D = 5,4* В этом сечении скорость потока 6 м/с.

На рис. 6.56 представлена схема голографического интерферометра. Луч Аг+ лазера (2) проходит через расщепительную оптику и попадает на цилиндрическое зеркало (3), которое направляет свет на 36 фокусирующих зеркал (4). Каждое зеркало коллимирует пучок и поворачивает его к центру объекта (7) с 36 различных направлений в пределах 180°. Свет, прошедший через объект, падает на другой ряд фок у сирующих зеркал, расположенных с противоположной стороны объекта. Эти зеркала фокусируют свет и отражают его на цилиндрическую поверхность, на которой находятся регистраторы (5). Голографическая интерферограмма регистрируется при наложении двух интерферограмм: одной ——без потока, второй ——с потоком. Временное разрешение 320 мкс определяется временем срабатывания затвора. Концентрация гелия в воздухе вычисляется по измеренному коэффициенту рефракции (при комнатной температуре коэффициент рефракции гелия значительно отличается от коэффициента рефракции воздуха). Длина оптического пути регистрируется как фаза в голографической интерферометрии. В отсутствие потока интерференционные полосы ——прямые линии, параллельные друг другу, поток возмущает объектный луч так, что полосы смещаются пропорционально изменению длины оптического пути. В описанном эксперименте использовалось 18 направлений. Реконструкция проводилась методом ОПФ. Ошибка реконструкции оценивается в 3 %. Показан результат восстановления поля концентрации гелия в сечении струи Z = 5,4.

Рис. 6.56. Оптическая схема голографического интерферометра для исследования состава струи [266].

/ — исследуемый объект; 2 — источник излучения; У — цилиндрическое зеркало; 4 — система зеркал;

5 — фотопленка.

Многоракурсный голографический интерферометр описан в работе [397]. Излучение импульсного лазера светоделительной пластиной разделяется на два пучка: опорный и объектный. Опорный пучок направляется на регистрирующую среду, объектный падает на фазовую дифракционную решетку, на выходе которой образуются 0, ± 1 и ± 2-й порядки дифракции. Эти пучки используются как объектные. Через систему зеркал они направляются в рабочую зону интерферометра. Пять объектных пучков имеют между собой угловой интервал 36° в диапазоне углов от 0 до 180°. С помощью системы зеркал объектные пучки, прошедшие через исследуемый объект, направляются на регистрирующую поверхность, где они совмещаются с опорным пучком. В оптической системе объектные пучки ориентированы в вертикальной плоскости, опорный ——в горизонтальной, под углом к ее нормали, что

Рис. 6.57. Оптическая схема трехракурсного поперечного томографического интерферометра [355].

/ — лазер ЛГ-38; 2 — светоделительная пластинка; 3 — компенсатор хода объектного и опорного пучков; 4, 5 — расширители пучка; 6 — исследуемый объект; 7, 9, 7 % 7 2 — зеркала;

8, " — призмы Дове; 7 3 - фогорегистратор.

позволяет пространственно разделить восстановленные пучки в 0-м и ± 1-м порядках. Голограммы получали двухэкспозиционным методом. В [397 ] приводятся результаты исследования поля плотности газодинамического течения вокруг модели, представляющей собой летящий конус.

Рис. 6・58. Оптическая схема трехракурсного продольного томографического интерферометра 1352].7 — лазер; 2 — светоделитель; 3 — оптическая линия задержки; 4,13 — расширители светового пучка; 5 — объект; 6 —9 — зеркала; 10, 11 — цилиндрические линзы; /2 — регистратор.Рис. 6・58. Оптическая схема трехракурсного продольного томографического интерферометра 1352].7 — лазер; 2 — светоделитель; 3 — оптическая линия задержки; 4,13 — расширители светового пучка; 5 — объект; 6 —9 — зеркала; 10, 11 — цилиндрические линзы; /2 — регистратор.В последние годы появились оптические измерительные устройства, содержащие отдельные элементы, которые позволяют проводить преобразования волнового фронта, соответствующие определенным математическим операциям. В частности, в работах [245, 314, 352, 354, 355, 430] описаны оптические процессоры, предназначенные для решения уравнения Радона. Поскольку излучение, прошедшее через объект, уже несет информацию о проекции, в таком процессоре уравнение Радона решается без предварительной регистрации проекций. Для целей визуализации полученного распределения фазы удобно использовать интерферометрический метод. В этом случае искомая информация о пространственном распре-

Рис. 6・58. Оптическая схема трехракурсного продольного томографического интерферометра 1352].

7 — лазер; 2 — светоделитель; 3 — оптическая линия задержки; 4,13 — расширители светового пучка; 5 — объект; 6 —9 — зеркала; 10, 11 — цилиндрические линзы; /2 — регистратор.

Рис. 6・58. Оптическая схема трехракурсного продольного томографического интерферометра 1352].

7 — лазер; 2 — светоделитель; 3 — оптическая линия задержки; 4,13 — расширители светового пучка; 5 — объект; 6 —9 — зеркала; 10, 11 — цилиндрические линзы; /2 — регистратор.

делении показателя преломления фазового объекта имеет вид системы интерференционных полос, которые являются изотетами восстановленного показателя преломления, причем при переходе от одной полосы к другой значение показателя преломления меняется на одну и ту же величину. Метод восстановления суммарного изображения показателя преломления в процессе зондирования объекта назван томографической интерферометрией, а соответствующие оптические томографы — томографическими интерферометрами. Подробное описание метода и схем томографических интерферометров можно найти в [430 ]. В качестве примеров на рис. 6.57 и 6.58 показаны взятые из этих работ схемы поперечного и продольного томографических интерферометров.

Возможности метода продемонстрированы при восстановлении поперечных томографических интерферограмм газовых потоков, истекающих в окружающую воздушную среду, а также продольных сечений пламени свечи.

4. СПЕКЛ-ТОМОГРАФИЯ ГАЗОВЫХИ ПЛАЗМЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

К методам, которые позволяют определить параметры конвективных потоков, в том числе и двухфазных, относится метод спекл-томо- графии. В работах [25, 527, 528] показана возможность использования метода спекл-томографии в диагностике асимметричных газовых пого

ри с. 6.59. Схема оптической части установки для получения спеклограмм одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях [527].

/ — импульсный лазер; 2,2' — поворотные призмы; з — диафрагма; 4 — делительная пластинка;

5,5’ — коллиматоры; б,б' — матовые пластинки (генераторы спскл-полсй); 7 — исследуемый объект;

6,6' — формирующие объективы, проектирующие спвкл-поля на голографичеосие пластинки 9, 9'.

Р〃с 6.60. Схема оптической части установки, позволяющая получить спекл-поля одновременно с четырех направлений [527].

/ — синхронизованные лазеры; 2 — делительные пластинки; з — отражающие зеркала; 4 — коллиматоры； 5 — матовые пластинки; б — объективы； 7 — фотопластинки.

ков и пламен. Схема оптической части установки для получения спеклограмм одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях, взятая из этих работ, приведена на рис. 6.59. Спекл-поля генерируются в пространстве за диффузны

ми рассеивателями (6, 6 )

при освещении их излучением импульсного рубинового лазера. Первая экспозиция делается с исследуемым объектом, вторая — без него. Регистрация ведется на голографические фотопластинки. Приводятся

измеренные поля градиента плотности в трех сечениях асимметричного пламени газовой горелки.

Более сложная система, позволяющая получить спекл-поля одновременно в четырех направлениях, показана на рис. 6.60. Здесь излу

чение двух идентичных импульсных лазеров разделяется на четыре пучка. Запись ведется на 4 голографические пластины. Данные обрабатываются на ЭВМ. Кроме того, описана автоматизированная система обработки спеклограмм. Полосы Юнга, спроецированные на экран ⑵ (рис. 6.61), регистрируются камерой CCD, имеющей 512 х 480 элементов. Изображение отцифровывается 8-битовой ADC. Полученные данные обрабатываются алгоритмом, приведенным в [66 ], и алгоритмом, основанным на использовании теоретического соотношения для интенсивности света в дифракции гало. Сканирование по координатам х и у осуществляется с помощью шагового двигателя, контроль за которым проводится ЭВМ. Ошибка реконструкции исследуется на модельных функциях. Представлены данные полей плотности и температуры,

Рис. 6.6/. Схема автоматизированной системы для записи спеклограмм【25].

/ — экран для регистрации полос Юнга; 2 — CCD камера; 3 — ADC; 4 ——ЭВМ.

полученные по спеклограммам открытого асимметричного пламени одновременно с четырех направлений. Ошибка оценена в пределах 10—15 %.

Итак, на основании изложенного в настоящей главе материала можно сделать вывод, что томографические методы в диагностике газовых потоков и плазмы позволяют определять и эффективно контролировать локальные параметры исследуемых объектов. Это предполагает осуществлять управление ими, а также открывает широкие возможности в понимании физических процессов, происходящих в указанных объектах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, зачем все-таки нужна томография в плазменных исследованиях? Информация в наше бурное время становится коммерческим товаром* В триаде “что? цце? когда?** заключена мощная движущая сила развития современных технологий, опирающихся на прогресс в фундаментальных и прикладных научных исследованиях. Томография отвечает на эти неразрывно связанные вопросы там, где мы нуждаемся в интроскопии какого-либо физического явления, во ивнутривидениии, причем максимальный упор при этом делается на вопросе “где?"

Уже ведутся отдельные исследования по включению систем томографической диагностики плазмы в устройства обратной связи, предназначенные для коррекции температурных распределений в заданных областях плазмохимического реактора. Представляется, что дальнейшее развитие систем аналоговой обработки сигналов совместно со встроенными процессами также открывает значительные перспективы для внедрения методов томографии в наукоемкие технологии.

Хочется также подчеркнуть, что, как это нетрудно ввдеть из всего материала данной книги, для специалистов в области математического анализа} интегральной геометрии, численного моделирования томография являтся источником многих интересных нерешенных проблем, нетривиальных постановок, казалось бы, знакомых задач.

Ждут своего развития в томографии с учетом ее специфики и новые виды обработки сигналов: фракталы (сжатие изображений), вэйвлеты (разложение томограмм в иерархический ряц разномасштабных структур), преобразование Хартли (более экономная реализация методов фурье-синтеза томограмм) и т.д. Методы стимулированного отжига, минимума энтропии (а не только максимума!), применение теории нейронных сетей — все эти новинки численных методов томографии еще не опробованы в исследованиях плазменных объектов. Не нашел своего должного применения в плазменной диагностике и метод высокочастотной фильтрации томограмм, высоко зарекомендовавший себя в промышленной томографии (дефектоскопии).

Развитие указанных подходов, в особенности для трехмерной томографии, ——дело ближайшего будущего. Неизбежна более тесная кооперация со специалистами в области обработки изображений, научной визуализации. Наиболее естественно в ответ на вопрос “где?" показать на картинке ——14 здесь!u. Но получение трехмерных изображений, их представление пользователю ——это уже отдельная наука, связанная с решением задач построения фотореалистичных изображений (методы лучевой трассировки, излучательности). Здесь же необ-

ходимо исследовать роль динамики в восприятии и анализе трехмерных изображений (компьютерная анимация).

Демонстрацию широчайших связей томографии с другими разделами фундаментальных и прикладных наук хочется закончить на проблеме обмена информацией между исследователями и потребителями их результатов. Здесь ключевые слова в наши дни — Internet и Web. В компьютерных сетях стремительно растет число баз данных (библиографических, фактографических). Появились первые физические журналы on-line (American Physical Letters Online и др.): еще не началась рассылка подписчикам журнала бумажного варианта} а подписчики электронной версии уже могут читать его за своим рабочим (или домашним) столом на экране компьютера. Ну а прочие любознательные читатели все же могут “пролистать" содержание, прочитать отдельные информационные и рекламные материалы заинтересовавшего их номера.

Сеть всемирной компьютерной паутины, World Wide Web-серверов, составляет техническую основу для рождающегося нового информационного мира, киберпространства, всемирной библиотеки, где многие ссылки на другие публикации можно “активизировать", перейти тут же к просмотру цитируемой статьи. Возможно распечатать понравившуюся работу или ее часть на своем принтере, нажатием кнопки мышки “оживить" отдельные картинки в научно-исследовательских отчетах, прокрутить небольшой видеоролик с визуализацией результатов трехмерного моделирования плазменных процессов.

На призыве к построению своего томографического острова в этом мире МетаНауки, заполнению его соответствующей справочной информацией и оригинальными разработками позвольте и закончить заключительные страницы нашей работы.

Авторы выражают глубокую признательность за частичное финансовое содействие Сибирскому отделению Российской Академии наук, а также Нидерландской научно-исследовательской организации (NWO).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Aben Н.К. Kerr effect tomography for general axisymmetric field // Appl. Opt.— 1987. — Vol. 26, N 14. — P. 2921—2924.

Ahlborn B” Morris R.N. Plasma velocity measurements by Abel-unfoldlng of Doppler shifts // JQSRT. — 1969. — Vol. 9, N 11. — P. 1519—1527.

Akima H. A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting for irregulary distributed data points // ACM Trans. Math. Software. — 1978. — Vol. 4, N 2.— P. 148—159.

Alpatov V.V., Bulygin F.VM Levin G.G., et aL Optical tomography techniques applied to study geophysical artificial structures // Analytical methods for optical tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843. — P. 302-314.

Alpatov V.V., Likhachov A.V., Pickalov V.V., Romanovsky Yu.A. Optical tomography of natural and artificial optical disturbances in the near terrestrial space // Computerized tomography: Proc. Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, Russia, 1993. — Utrecht： VSP, 1995. — P. 12—24.

Alpatov V.VM Pickalov V.V., Likhachov A.V. Informational analysis of auroral tomograph // Auroral Tomography Workshop. March 9-11, 1993, Kiruna, Sweden: IRF Technical Report 213. — 1993. - P. 35—46.

Andrienko Y.A., Dubovikov M.S. Optical tomography of tensor fields: the general case // JOSA (A). — 1994. — Vol. 11, N 5. — P. 1628—1631.

Artzy E” Elfving T., Herman G.T. Quadratic optimization for image reconstruction. II // Comput. Graph. Image Processing. — 1979. — Vol. 11. — P. 242—261.

Baba N~ Murata K. Maximum entropy image reconstruction from projections // Opt. Commun. — 1981. — Vol. 38, N 2. — P. 91—95.

БаЬа N., Murata K. Image reconstruction from limited-angle projections // Optik.— 1982. — Vol. 60, N 3. — P. 327—332.

Baba N., Murata K., Okada K., Fujimoto Y. Image reconstruction from electron micrographs by maximum entropy method // Optik. — 1981. — Vol. 58, N 4. — P. 233—239.

Baev V.K., Bazhaikin A.N., Buzukov A.A., Pickalov V.V. The spatial temperature distribution in nonstationary burning spray of pulverized liquid fuel // Arch. Combustion.— 1986. — Vol. 6, N 2. — P. 115—124.

Balandin A., Fuchs G” Pickalov V.V. et al. Vector tomography of plasmas using Faraday rotation // Computerized tomography： Proc. Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, Russia, 1993. — Utrecht: VSP, 1995. — P. 78—81.

Balandin A., Pickalov V.V., Fuchs G. Some applications of tomographic methods for vector fields // Proc. Intern. Symp., Comput. Tomography, 8—10 June 1994, Berlin (series DGZfP BAM, Berichtsband 44). — Berlin: BAM, 1994, — P. 82—87.

Balandin A.L., Likhachov A.V., Panferov N.V. et al. Emission microtomography of plasma // Analytical methods for optical tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843.— P. 68—82.

Baranov V.A. A variational approach to non-linear backprojection // Computerized tomography: Proc. Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, Russia, 1995. — Utrecht: VSP, 1995.— P. 82—97.

Barillot C. Surface and volume rendering techniques to display 3-D data // IEEE Engng. Med. Biol. — 1993. — Vol. 12, N I. — P. 111 — 119.

Barrett H.H. The Radon transform and its applications // Progress in Optics / Ed. E. Wolf. — Amsterdam: Elsevier, 1984. — Vol. 21. — P. 217—286.

Barrel H.H., Swindell W. Analog reconstruction methods for transaxial tomography // Proc. IEEE. — 1977. — Vol. 65, N 1. — P. 89—107.

Barrett Н.Н., Swindell W. // Radiological Imaging: The Theory of Image Formation, Detection and Processing. — N.Y.: Acad. Press, 1981. — Vol. 1, 2. — 694 p.

Benenson D.M., Baker A.J. Transverse magnetic field effects on a cross-flow arc // AIAA J. — 1971. — Vol. 9, N 8. — P. 1441—1446.

Benenson D.M., Сепкпег А.Л. Effects of velocity and current upon temperature distribution within cross-flow (blown) electric arc // Trans. ASME. Ser. C. J. Heat Transfer.— 1970. — Vol. 92, N 2. — P. 276—284.

Birkeland J.W*( Oss J.P. Spatial resolution of the volume emission coefficient in strongly self-absorbing sources of cylindrical symmetry // Appl. Opt. — 1968. — Vol. 7, N 8.— P. 1635—1639,

Blackledge J.M. Digital image processing In Radon space and the inversion of limited Fourier data // Optik. — 1986. — Vol. 73, N 2. — P. 74—82.

Blinkov G.N., Fomin N.A., Vitkin D.E. Gas dynamic flow tomography using multidirectional speckle photography // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE.— 1992. — Vol. 1843. — P. 141 — 149.

Bobrovsky G.A., Dnestrovskiy Yu.N., Kislov D.A. et al. Different mechanisms of the sawtooth crach in the T~10 plasma // Nucl. Fusion. — 1990. — Vol. 30, N 8.— P. 1463—1473.

Bockasten K. Transfonnation of observed radiances into radial distribution of the emission plasma // JOSA. — 1961. — Vol. 51, N 9. — P. 943—947.

Bohn W.L., Beth M.U., Nedder G. On spectroscopic measurement of velocity profiles and non-equilibrium radial temperatures In an argon piasma // JQSRT. — 1967. — Vol. 7, N 5. — P. 661—676.

Bracewell R.N., Riddle A.C. Inversion of fan-beam scans in radio astronomy // Astrophys. J. — 1967. — Vol. 150. — P. 427—434.

Bronnikov A.V. Degradation fransform In tomography // Pattern Recognition Lett.— 1994. — Vol. 15. — P. 527—532.

Bronnikov A.V. X-ray cone-beam tomography with nonplanar orbits // Proc. 1995 Intern. Meet. Fully Three-Dimensional Image Reconstruction in Radiol. Nucl. Medicine.— Grenoble; LETI, 1995. — P. 299—302.

Bulygin F.V., Vishnyakov G.N. Spectrotomography： a new method of obtaining spectrograms of two-dimensional object // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843. — P. 315—322.

Camacho J.F., Granetz R.S. Soft X-ray tomography diagnostics for the Alcator C tokamak // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 3. — P. 417—425.

Cao Z.J., Tsui B.M.W. A fully three-dimensional reconstruction algorithm with nonstatlo- nary filter for improved single-orbit cone beam SPECT // IEEE Trans. Nucl. Sci.— 1993. — Vol. 40, N 3. — P. 280—287.

Casey J.A., Sevillano E., Irby J.H., Lane B.G. Pseudotomographic fitting algorithm for density profile reconstruction from a sparse 1-D interferometer array // Rev. Sci. Instrum. —1988. — Vol. 59, N 7. — P. 1067—1071.

Cha SM Vest C.M. Tomographic reconstruction of strongly refracting fields and Its application to interferometric measurement of boundary layers // Appl. Opt. — 1981.— Vol. 20, N 16. — P. 2787—2794.

Cha S., Sun H. Complementary field method for interferometric tomographic reconstruction of high speed aerodynamics flows // Opt. Engng. — 1989. — Vol. 28, N 11.— P. 1241 — 1246.

Cha S” Sun H. Tomography for reconstructing continuous fields from ill-posed multidirectional interferometric data // Appl. Opt. — 1990. — Vol. 29, N 2. — P. 251—258.

Chase R.C., Seguin F.H. Gerassimenko M., Petrasso R. Application of computerized tomography techniques to tokamak diagnostics // Opt. Engng. — 1981. — Vol. 20, N 3.— P. 486—492.

Chen F.P., Goulard R. Retrieval of arbitrary concentration and temperature fields by multiangular scanning techniques // JQSRT. — 1976. — Vol. 16, N 10. — P. 819—827.

Chen YrW., Miyanaga N., Yamanaka M. et al. Three-dimensional imaging of laser imploded targets // J. Appl. Phys. — 1990. — Vol. 68, N 4. — P. 1483—1488.

Chiu M.-Y., Barrett Y.Y., Simpson R.G. Three-dimensional reconstruction from planar projections // JOSA. — 1980. — Vol. 70, N 7. — P. 755—762.

Choi J.S., Ogawa K., Nakajima M・，Yuta S. A reconstruction algorithm of body sections with opaque obstructions // IEEE Trans. Sonics and Ultrason. — 1982. — Vol. 29, N 3.— P. 143—150.

Chu Т-H., Lee Р-С. Projection deconvolution algorithm for image reconstruction from incomplete spectrum data // Appl. Opt. — 1988. — Vol. 27, N 18. — P. 3800—3805.

Cormack A.M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications // J. Appl. Phys. — 1963. — Vol. 34, N 9. — P. 2722—2727.

Cormack A.M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications // J. Appl. Phys. — 1964. — Vol. 35, N 10. — P. 2908—2913.

Crawford C.R., Как A.C. Aliasing artifacts in computerized tomography // Appl Opt.— 1979. — Vol. 18, N 21. — P・ 3704—3711.

Cremers C.J” Birkebak RC. Application of the Abel integral equation to spectroscopic data // Appl. Opt. — 1966. — Vol. 5, N 6. — P. 1057—1064.

Ddcoste R. X-ray tomography on plasmas with arbitrary cross sections and limited access // Rev. Scl. Instrum. — 1985. — Vol. 56, N 5. — P. 806—808.

Dasch CJ. One-dlmensional tomography: a comparison of Abel, onion-peeling and filtered backprojection methods // Appl. Opt. — 1992. — Vol. 31, N 8. — P. 1146—1152.

De Marco F., Segre SLE. The polarization of an e.m. wave propagating in a plasma with magnetic shear. The measurement of poloidal magnetic field tn tokamak // Plasma Phys.— 1972. — Vol. 14, — P. 245—252.

De Pierro A.R. On the convergence of the iterative image space reconstruction algorithm for volume ECT // IEEE Trans. Med. Imag. — 1987. — Vol. 6, N 2. — P. 174—175.

De Pierro A.R. Multiplicative iterative methods in computed tomography // Mathematical Methods in Tomography: Leet. Not. Math. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.— Vol. 1497. — P. 167—186.

Deans S.R. // The Radon transform and some of its applications. — N.Y.: Wiley, 1983.— 289 p.

Decker AJ” Izen S.H. Three-dimensional computed from interferometric measurements within a narrow cone of views // Appl. Opt. — 1992. — Vol. 31, N 36- — P- 7696—7706.

Defrise M., De Mol C. A regularized iterative algorithm for limited-angle inverse Radon transform// Opt. Acta. — 1983. — Vol. 30, N 4. — P. 403—408.

Devoto^Xs. Transport coefficients of high pressure argon in magnetic field // ARL 71-0075. — 1971. — 70 p.

Dnestrovskly Yu.N., Lyadina E.S., Savrukhin P.V. Space-time tomography problem for plasma diagnostics // Proc. 17-th Europ. Conf, on Controlled Fusion and Plasma Heating. —Ainsterdam, 1990. — P.1620—1623.

Dolovich A.T., Gladwell G.M.L. Convergence criteria for iterative schemes in holographic interferometry and the tomography of strongly refracting objects // Appl. Opt. — 1989.— Vol. 28, N 20. — P. 4411—4418.

Doyle EJ・，Howard J., Peebles W.A., Luhmann N.N., Jr. Determination of the two- dimensional den»ty distiibution in a tokamak plasma using phase-imaging interferometry // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 8. — P. 1945—1950.

Durst R.D. On-line tangential soft X-ray // VUV tomography on COMPASS-C // Rev. Scl. Instrum. — 1990. — Vol. 61, N 10. — P. 2750—2752.

Elder Pr Jerric J., Birkeland J.W. Determination of the radial profile of absorption and emission coefficients and temperature in cylindrically Symmetric sources with self-absorption // Appl. Opt. — 1965. — Vol. 4, N 5. — P. 589—592.

Elfving T. On some methods for entropy maximization and matrix scaling // Linear Algebra and Its Appls. — 1980. — Vol. 34. — P. 321—339.

Emmerman PJ” Goulard R., Santoro R.J., Semerjian H.G. Multiangular absorption diagnostics of a turbulent argon-methan jet// J. Energy. — 1985. — Vol. 4, N 2. — P. 70—77.

Engelsht V.S., Larkina L.T. Determination of spectral emission and absorption coefficients in axisymmetric plasmas // JQSRT. — 1979. — Vol. 21, N 1. — P. 65—73.

Erbeck R. Fast image processing with a microcomputer applied to speckle photography // Appl. Opt. — 1985. — Vol. 24. — P. 3838—3841.

Eshelman C.D., Tseng H.K., Dolan TJ” Prelas M.A. Plasma diagnostic X-ray tomography system // Rev. Sci. Instrum. — 1991. — Vol. 62, N 3. — P. 751—754.

Faris G.W., Byer R.L. Quantitative optical tomographic imaging of a supersonic jet // Opt. Lett. — 1986. — Vol. 11, N 7. — P. 413—415.

Faris G.W., Byer R.L. Beam-deflection optical tomography // Opt. Lett. — 1987.— Vol. 12, N 2. — P. 72—74.

Faris G.W., Byer R.L. Bram-deflection optical tomography of a flame // Opt. Lett.— 1987. — Vol. 12, N 3. — P・ 155—157.

Feldkamp LA” Davis L.C., Kress J.W. Practical cone-beam algorithm // JOSA (A).— 1984, — Vol. 1, N 6. — P. 612—619.

Fish N.J., Kritz А.Н. Loop-voltage tomography in tokamaks using transient synchrotron radiation // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1990. — Vol. 32, N 5. — P. 335—357.

Frank A.G., Kiselev D.T., Kyrie N.P. et al. Spectrotomography of current sheet plasma in nonlinear regime of magnetic reconnection // Proc. XIX ICPIG. Contr. papers, Belgrade, Yugoslavia. — 1989. — Vol. 4. — P. 740—741.

Frank A.G., Kiselev D.T., Kyrie N.P. et al* Tomographic approaches in the study of magnetic field reconnection: Part I // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843. — P. 2—18

Frank A.G., Kiselev D.T., Kyrie N.P. et at Tomographic approaches In the study of magnetic field reconnection: Part II // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843. — P. 19—30.

Freeman MM Katz S. Determination of the radial distribution of brightness in a cylindrical luminous medium with self-absorption // JOSA. — 1960. — Vol. 50, N 8. — P. 826—830.

Freeman M., Katz S. Determination of a radiance distribution of an optically thin radiating medium // JOSA. — 1963. — Vol. 53, N 10. — P. 1172—1179.

Frey E.C., Ju Z.-W., Tsui B.M.W. A fast projecto-backprojector pair modeling the asymmetric, spacially varying scatter response function for scatter compensation in SPECT imaging // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1993. — Vol. 40, N 4. — P. 1192—1197.

Frieden B.R Restoring with maximum likelihood and maximum entropy // JOSA.— 1972. — Vol. 62, N 4. — P. 511—518.

Frieden B.R Statistical models for the image restoration problem // Comput. Graph. Image Processing. — 1980. — Vol. 12. — P. 40—59.

Frieden RR, Aumann H.G. Image reconstruction from multiple LD scans using filtered localized projection // Appl. Opt. — 1987. — Vol. 26, N 17. — P. 3615—3621.

Frieden BR, Zoltani C.K. Maximum bounded entropy: application to tomographic reconstruction // Appl. Opt. — 1985. — Vol. 24, N 2. — P. 201—207.

Fuchs G., Miura Y“ Mori M. Soft X-ray tomography on tokamaks using flux coordinates // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1994. — Vol. 36. — P. 307—316.

Gear C.W. // Numerical initial value problems in ordinary differential equations.— Prentice-Hall, 1971.

Gerchberg R.W. Super-resolution through error energy reduction // Opt. Acta.— 1974. — Vol. 21. — P. 709—720.

Gippius E.F.» Egorova E.V., Ilyukhin B.L et al. Tomography research of the transversal HF-discharge plasma // ESCAMPIG-92. — St. Petersburg: EPS» 1992. — Vol. 16F.— P, 330—331.

Glazkov V.N., Kazantsev LG., Pikalov V.V. Fast algebraic reconstruction algorithm in three-dimensional tomography // Analytical Methods for Optical Tomography; Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843. — P. 58—61.

Goncharov A.B., Gelfand M.S. Determination of mutual orientation of identical particles from their projections by the moments method // Ultramicroscopy. — 1988. — Vol. 25.— P. 317—328.

Gottardi N. Evaluation of electron density profiles in plasmas from integrated measurements // J. Appl. Phys. — 1979. — Vol. 50, N 4. — P. 2647—2651.

Granetz RS, Camacho J.F. Soft X-ray tomography on Alcator C // Nucl. Fusion.— 1985. — Vol. 25, N 6, — P. 727—731.

Granetz RS.. Smeulders P. X-ray tomography on JET // Nucl, Fusion. — 1988.— Vol. 28, N 3. — P. 457—476.

Grangeat P. Mathematical framework of cone beam 3D reconstruction via the first derivative of the Radon transform // Mathematical Methods in Tomography: Leet. Not. Math.— Berlin: Springer-Verlag, 1991. — Vol. 1497. — P. 66—97.

Grevenkamp J.E., Swindell W., Gmitro A.F., Barrett H.H. Incoherent optical processor for X-ray transaxial tomography // Appl. Opt. — 1981. — Vol. 20, N 2. — P. 264—273.

Groh G. Optics at the cross-roads // Opt. Acta. — 1977. — Vol. 24, N 4. — P. 287—291.

Guerrero T.M., Cherry S.R., Dahlbom M. et al. Fast implementations of 3D PET reconstruction using vector and parallel programming techniques // IEEE Trans. Nucl. Sci.— 1993. — Vol. 40, N 4. — P. 1082—1086.

Gull S.F., Daniell G.J. Image reconstruction from incomplete and noisy data // Nature.— 1978. — Vol. 272, N 5655. — P. 686—690.

Gull S.F., Skilling J. Maximum entropy method in image processing // JEE Proc.— 1984. — Vol, 131, Pt F, N 6. — P. 646—659.

Gullberg G.T., Zeng G.L. An elliptical orbit backprojection filtering algorithm for SPECT // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1993. — Vol. 40, N 4. — P. 1102—1106.

Gullberg G.T,, Zeng G.L. A reconstruction algorithm using singular value decomposition of the exponential Radon transform using natural pixels // IEEE Trans. Nucl. Sci.— 1994. — Vol. 41, N 6. — P. 2812—2819.

Hohne K.H., Bernstein R. Shading 3D-images from CT using gray-level gradients // IEEE Trans. Med. Imag. — 1986. — Vol. 5, March. — P. 45—47.

Hohne K.H., Bomans M., Pommert A. et al. 3D visualization of tomographic volume data using the generalized voxel model // The Visual Computer. — 1990. — Vol. 6.— P. 28—36.

Hamasaki J” Yokota K. Direct recording and reconstruction of 3D X-ray images // Appl. Opt. — 1978. — Vol. 17, N 19. — P. 3125—3132.

Hansen E.W. Fast Hankel transform algorithm // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. — 1985. — Vol. 3 3, N 3. — P. 666—671.

Hansen E.W., Goodman J.W・ Optical reconstruction from projections via circular harmonic expansion // Opt Commun. — 1978. — Vol. 24, N 3. — P. 268—272.

Hansen P.C. The truncated SVD as a method for regularization // BIT. — 1987.— Vol. 27. — P. 534—553.

Harna Z., Gross B., Harnova J. Strahlungsintensitat und Temperatur von unsymmetri- schen Plasmen // Folia Prirodovedcska Faculta University. Ser. Physica USSR.— 1979. — N 20. — P. 83—95.

Hazou I.A., Solmon D.C. Filtered-backprojection and the exponential Radon transform // J. Math. Anal. Appls. — 1989. — Vol. 141. — P. 109—119.

Heil C” Walnut D. Continuous and discrete wavelet transforms // SIAM Review.— 1989. — Vol. 31, N 4. — P. 628—666.

Helgason S. // The Radon transform. — Boston: Birkhauser, 1980. — 186 P.

Herman G.T. // Image reconstruction from projections: The fundamentals of computerized tomography. — N.Y.: Acad. Press, 1980. — 316 p.

Herman G.T., Lakshminarayanan A.V., Naparstek A. Convolution reconstruction techniques for divergent beams // Comput. Biol. Med. — 1976. — Vol. 6, N 4.— P. 259—271.

Herman G.T., Odhner D. Evaluation of reconstruction algorithms // Mathematical Methods in Tomography: Leet. Not. Math. — Berlin: Springer-Verlag, 1991. — Vol. 1497.— P. 215—228.

Hino M., Aono T., Nakajiama M., Yuta S. Light emission computed tomography system for plasma diagnostics // Appl. Opt. — 1981. — Vol. 26, N 22. — P. 4742— 4746.

Hogan J.P., Gonsalves R.A,, Krieger A.S. Microcomputed tomography: removal of translational stage backlash // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1993. — Vol. 40, N 4.— P. 1238—1241.

Holland A” Fonck R.J., Powell E.T., Sesnic S. Tomographic imaging of MHD activity in tokamaks by combining diode arrays and a tangentially viewing pinhole camera // Rev. Sci. Instrum. — 1988. — Vol. 59, Pt II, N 8. — P. 1819—1821.

Holland A., Navratil G.A. Tomographic analysis of the evolution of plasma crosssections // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 8. — P. 1557—1566.

Hora H-, Miley G.H. <Eds.) Laser interaction and related plasma phenomena. — N.Y.: Plenum Press, 1984. — Vol. 6 — 1164 p.

Horn B.K.P. Fan-beam reconstruction methods // Proc. IEEE. — 1979. — Vol. 67, N 12. — P. 1616—1623.

Hounsfield G.N. Computerized transverse axial scanning (tomography). I: Description of system //Brit. J. Radiol. — 1973. — Vol. 46. — P. 1016—1022.

Howard J. Tomography and reliable information// JOSA (A). — 1988. — Vol. 5, N 7.— P. 999—1014.“

Howard J., Doyle EJ“ Reibiz G. et al. Two dimensional imaging interferometry on the Microtor tokamak // Proc. 14th Europ. Conf. Contr. Fusion Plasma Phys., June 1987, Madrid. — Oxford: Pergamon, 1987. — P. 1310—1313.

Howard J” Doyle EJ” Reibiz G. et al. Density profile reconstructions from 2-D interferometric data on Microtor using novel tomographic analysis techniques // Rev. Sci. Instrum. — 1988. — Vol. 59, N 10. — P. 2135—2138.

Hsu J., Chelberg D.M. Visible light and X-ray tracing of generalized cylinders // Craph. Models and Image Process. — 1994. — Vol. 56, N 5. — P. 392—401.

Hudson H.M., Larkin R.S. Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data // IEEE Trans. Med. Imag. — 1994. — Vol. 13, N 4. — P. 601—609.

Ingesson L.C, Koning J J, Donnd A JH” Schram D.C. Visible light tomography using an optical imaging system // Rev. Sci. Instrum. — 1992. — Vol. 63, N 10. — P, 5185—5187.

Ingesson L>C, Pickalov V.V., Donn® AJH. Visible light tomography using on RTP // I Oth Topical Conference on High-Temperature Plasma Diagnostics. Rochester, NY, 8—12 May 1994: Abstracts. — Rochester, NY, 1994. — P. 58.

Ingesson L.C., Pickalov V.V., Donnd A.J.H. and RTP'team. First tomographic reconstructions and a study of interference filters for visible light tomography on RTP // Rev. Sci- Instrum. — 1995. — Vol. 66, N I ■ — P. 622—624.

Ingesson LC, Pickalov V.V., Donn4 A.J.H., Schram D.C. and RTP-team. First results with the visible light tomography system on RTP // Proc. 20th EPS Conf. Contr. Fusion Plasma Phys. Lisboa, 26—30 July 1993. Part 1П. — 1993. — P. 1147—1150.

Ingesson L.C., Pickalov V.V., Donne AJH” Schram D.C. and RTP-team. Interpretation of measurements from visible light tomography system on RTP // 21th EPS Conf. Contr. Fusion Plasma Phys. Abstracts. — Montpellier: EPS, 1994. — P. 409.

Iwama N., Takami H., Takamura S., Tsukishima T. Ал approach with akaike information criterion to the radiation distribution reconstruction of toroidal plasma // IEEE Trans. Plasma Sci. — 1987. — Vol. 15, N 5. — P. 609—617

Iwama N., Yoshida H., Takimoto H. et at Phillips-Tikhonov regularization of plasma image reconstruction with the generalized cross validation // Appl Phys. Lett. — 1989.— Vol. 54, N 6. — P・ 502—504.

Janicki C., Ddcoste R., Noel P. Soft X-ray imaging diagnostics on the TdeV tokamak // Rev. Sci. Instrum. — 1992. — Vol. 63, N 10. — P. 4410—4417.

Janicki C., Ddcoste R, Simm C. High-resolution soft X-ray tomography of sawtooth oscillations on the tokamak de Varennes // Phys Rev. Lett. — 1989. — Vol. 62, N 26.— P. 3038—3041.

Joseph P.M. An improved algorithm for reprojecting rays through pixel images // IEEE Trans. Med. Imag. — 1982. — Vol. 1, N 3. — P. 192—196.

Как A.C., Slaney M. Principle&computerized tomographic imaging. — N.Y.: IEEE Press, 1988.— 329 p.諄

Kazantsev I.G. Information content of projections // Inverse Problems. — 1991.— Vol. 7. — P. 887—898.

Kazantsev LG” Pickalov V₽V. Space resolution limits in tomography reconstruction of plasma emission // XII ESCAMPIG, Noordwijkerhout, The Netherlands, August 23—26, 1994. — 1994. — Vol. 18. EPS. — P. 317—318.

Kim J.H・， Kwak K.Y., Park S.B. Iterative reconstruction-reprojection in projection space // Proc. IEEE. — 1985. — Vol. 73, N 6. — P. 1140—1141.

Kim J.H., Kwak K.Y., Park S.B., Cho Z.H. Projection space iteration reconstruction- reprojection // IEEE Trans. Med. Imag. — 1985. — Vol. 4. — P. 139—143.

Kinsey J.L Fourier transform Doppler spectroscopy: A new means of obtaining velosity- angle distributions in scattering experiments // J. Chem. Phys. — 1977. — Vol. 66, N 6. — P. 2560—2565.

Kislov D.A., Lyadina ES・，Rasumova K.A., Savrukhin P.V. MGD-perturbation in T- 10 // Proc. 17th Europ. Conf. Contr. Fusion Plasma Heating, — Amsterdam, 1990.— P. 315—318.

Klimiun V.F., Pickalov V・V・ Optical interferometry of pulsed micro-discharges // J. de Physique. — 1979. — Vol. 40, N 7 (C-7). — P. 329—330.

Klimkin V.F., Pickalov V.V., Soloukhin R.1. Optical interferometry of spherical shock waves // Shock waves, explosions and detonations: Progr. in astronautics and aeronautics. —N.Y.: AIAA, 1983. — Vol. 87. — P. 196—204.

Klotz E., Tiemens U” Weiss H. X-ray tomography by grid coding // Appl. Opt.— 1980. — Vol. 19, N 3. — P. 474—476.

Knuts son H.E., Edholm P., Granlund G.H., Petersson C.U. Ectomography — A new radiographic reconstruction method — I. Theory and error estimates // IEEE Trans. Biomed. Eng. — 1980. — Vol, 27F N 11. — P. 640—648.

Kodama H. Automatic method for fabricating a three-dimensional plastic model with photo-hardening polymer // Rev. Sci. Instrum. — 1981. — Vol. 52, N IL — P. 1770— 1773.

Komissanik V.A., Mende N.P., Popov L.N. Tomographic study of a supersonic aerodynamic object in free flight // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE.— 1992. — Vol. 1843. — P. 114—126.

Kondoh T-, Cho T., Hirata M. et al. X-ray tomography of hot electrons in barrier region of the tandem mirror GAMMA 10 // J. Appl. Phys. — 1990. — Vol. 67, N 4.— P. 1694—1699.

Kosarev E.L. Application of integral equations of the first kind In experimental physics // Comput. Phys. Commun. — 1980. — Vol. 20, N 1. — P. 69—75.

Kos lover IL, McWilliams R, Measurement of multidimensional ion velocity distributions by optical tomography // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 10. — P. 2441 —2448.

Kovalev P.J., Komissanik V.A., Mende N.P. A system combining several interferometers to investigate spatial gas-dynamic phenomena and high-speed photography of axisymmetrical processes // Optical and Laser Technology. — 1983.——VoL 15, N 3.— P. 141 — 144.

Krapukhin D.V., Levin G.G. Tomographic approach to high-speed process registration // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843.— P. 323—328.

Krishnapuram R,, Casasent D.P. Hough transform detection of 3-D curves and target trajectories // Appl. Opt. — 1989. — Vol. 28* N 16. — P. 3479—3486.

Kunitsyn V.E., Tereshenko E. Radiotomography of ionosphere // Antennas and Propagation Magazin. — 1992. — Vol. 34. — P. 22—32.

Kuteev B.V., Ovsishcher M.V., Philonin O.V. Tomographic diagnostics of impurity transport in tokamak // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE. — 1992.— Vol. 1843. — P. 101 — 112.

Lahart M.J. Estimation of reconstructions in computed tomography // JOSA. — 1981.— VoL 71, N 10. — P. 1155—1161.

Lapworth K.G., Allnutt L.A. A fully automatic optical system for determining the volume emission coefficient of radiation throughout plasmas // J. Phys. E: Sci. Instrum.— 1977. — Vol. 10, N 7. — P. 727—732.

Levin G.G” Starostenko O.V. Tomographic studies of scattering media // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843. — P. 183—193.

Levin G.G” Vishnyakov G.N. On the possibilities of chronotomography of high speed processes // Opt. Commun, — 1985. — Vol. 56, N 4. — P. 231—234.

Levitan R On true 3-D object reconstruction from line integrals // Proc. IEEE.— 1979. — Vol. 67, N 12. — P. 167 9—1680.

Levoy M・ Displey of surfaces from volume data // IEEE Comput. Graph. Appl,— 1988. — Vol. 8, N 3. — P. 29—37.

Levoy M. Efficient ray tracing of volume data // ACM Trans. Craph. — 1990. — Vol. 9, N 3. — P. 245—261.

Lewitt R.M. Reconstruction algorithms: transform methods // Proc. IEEE. — 1983.— Vol. 71, N 3. — P. 390—408.

Lewitt R.M., Bates RH.T. Image reconstruction from projections. 3. Projection completion methods (Theory) // Optik. — 1978. — Vol. 50, N 3. — P. 189—204.

Li H・，Manjunath B.S., Mitra S.K. Multisensor Image fusion using the wavelet transform // Graph. Models and Image Process. — 1995. — VoL 57, N 3. — P. 235—245.

Liao C.WM Medioni G. Surface approximation of a cloud of 3D points // Graph. Models and Image Process. — 1995. — Vol. 57, N 1. — P. 67—74.

Likhachov A.V., Pickalov V.V. A modification of ART method for cone-beam tomography of high space resolution // Computerized tomography: Proc. Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, Russia, 1993. — Utrecht: VSP, 1995. — P. 309—317.

Likhachov A.V., Pickalov V.V. A new approach to the problem of 3D interpolation from arbitrary set of points // Computerized tomography: Proc. Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, Russia, 1993. — Utrecht: VSP, 1995. — P. 318—323.

Likhachov A.V., Pickalov V.V. Subpixel resolution In 3D cone-beam microtomography // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. (A). — 1995. — Vol. 359, N 1—2. — P. 370—375.

Likhachov A.V., Pickalov V.V. Frequency filtration In the algebraic algorithms of 3D- tomography // Proc. 1995 Intern. Meet. Fully Three-Dimensional Image Reconstruction in Radiol. NucL Med. — Grenoble: LETI, 1995. — P. 103—107.

Lira I.H., Vest C.M. Perturbation correction for refraction in Interferometric tomography // Appl. Opt. — 1987. — Vol. 26, N 5. — P. 774—776.

Lira I.H., Vest C.M. Refraction correction in holographic interferometry and tomography of transparent objects // Appl. Opt. — 1987. — Vol. 26, N 18. — P- 3919—3928.

Lo S.-C.B. Strip and tine path Integrals with a square pixel matrix: A unified theory for computational CT projections // IEEE Trans. Med. Imag. — 1988. — Vol. 7, N 4.— P. 355—363.

Lu B., Yang X. et al. Measurement of a 3-dlmensional temperature field applying ESPI and CT techniques // Opt. Commun. — 19閱.一Vol. 69, N 1. — P. 6—10.

Lyadina ES., Tanzi C.P., da Cruz D.F. et al. A space-time tomography algorithm for a five-Camera soft X-ray diagnostics at the RTP tokamak // Computerized tomography: Proc. Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, Russia, 1993. — Utrecht: VSP, 1995.— P. 324—331.

Maass P. The X-ray transform: singular value decomposition and resolution // Inverse Problems, — 1987. — Vol. 3. — P. 729—741.

Maass P, Singular value decompositions for Radon transforms // Mathematical Methods in Tomography Leet, Not. Math. — Berlin: Springer-Verlag, 1991. — Vol. 1497.— P. 6—14.

Maeda J., Murata K. Digital restoration of incoherent bandlimited images // Appl. Opt — 1982. — Vol. 21, N 12. — P. 2199—2204.

Maldonado C.D. Note on orthogonal polynomials which are ^Invariant in from*' to rotations of axes // J. Math. Phys. — 1965. — Vol. 6, N 12. — P. 1935—1938.

Maldonado C.D., Olsen H.N. New method for obtaining emission coefficients from emitted spectral intensities. Part 2. Asymmetrical sources // JOSA. — 1966. — Vol. 56. N 10.— P. 1305—1313.

Matulka R.D., Collins D.J. Determination of three-dimensional density fields from holographic interferograms // J. Appl. Phys. —1971. — Vol. 42, N 3. — P. 1109—1119.

McFarland E.W., Dai H,, Na Н.» Lanza R. Segmented array reconstructions for tomographic imaging of large objects: Theory and application to neutron computed tomography // IEEE Trans. Nud. Sci. — 1993. — Vol. 40, N 4. — P. 1275—1281.

Melnikova TS・，Pickalov V*V. Computer-aided plasma tomography // High temperature dusMaden jets in plasma technology: Proc. Intern. Workshop, 6—8 Sept. 1988, Novosibirsk, USSR / Eds. O.P. Solonenko, A.I. Fedorchenko. — Utrecht: VSP, 1990.— P. 257—282.

Melnikova T.S., Pickalov V.V. Radon inversion in dynamic studies of asymmetrical arc temperature fields // Proc. XV ICPIG. — Minsk, 1981. — Vol. 2. — P. 1729—1730.

Melnikova T.S., Pickalov V.V. Temperature field measurements of electric arc plasma in longitudinal magnetic field // Beitr. Plasmaphysik. — 1982. — Vol. 22, N 2.— P. 171 — 180.

Melnikova T.S., Pickalov V.V. Tomographic measurements of temperature fields in non- stationary arc plasma // Beitr. Plasmaphysik. — 1984. — Vol. 24; N 5. — P. 431—445.

Melnikova T.S., Pickalov V.V. The electric arc in a gas flow // Proc. 17 ICPIG: Contr. papers. — 1985. — Vol. 2. — P. 789—791.

Melnikova T.S., Solonenko O.P., Tsibisov A.M. et al. Automated tomography for study plasma jets // Plasmajets in the development of new materials technology. — Utrecht: VSP, 1990. — P. 133—148.

Milanfar R, Karl W.C, Willsky A.S. Reconstruction binary polygonal objects from projections: A statistical view // Graph. Models and Image Process. — 1994. — Vol. 56, N 5 — P. 371—391.

Minerbo G. MENT: a maximum entropy algorithm for reconstructing a source from projection data'// Comput. Graph. Image Processing. — 1979. — Vol. 10. — P. 46—68.

Minerbo G. Maximum entropy reconstruction from cone-beam projection data // Comput. Biol. Med. — 1979. — Vol. 9. — P. 29—37.

Minerbo G.N. Convolution reconstruction from cone-beam projection data // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1979. — Vol. 26, N 2. — P. 2682—2684.

Minerbo G.N., Sanderson J.G., van Hulsteyn D.B., Lee P. Three-dimensional reconstruction of the X-ray emission in laser imploded targets // Appl. Opt. — 1980. — Vol. 19, N 10. — P. 1723—1728.

Mohammad-Djafari A” Demoment G. Maximum entropy Fourier synthesis with application to diffraction tomography // Appl. Opt. — 1987. — Vol. 26, N 9. — P.1745—1754,

Monnig C.A., Marshall K.A., Rayson G.D., Hieftje G.M. Tomographic image reconstruction techniques for spectroscopic sources. I. Theory and computer simulations // Spectrochimica Acta (B). — 1988. — Vol. 43, N 9-11. — P. 1217—1233.

Montani C., Scopigno R. Using marching cubes on small machines // Graph. Models and Image Process. — 1994. — Vol. 56, N 2. — P. 182—183.

Mottershead C.T. A tomographic streak camera for ultrahigh-speed movies // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1982. — Vol. 29, N 1. — P. 900—903.

Mumcuoglu E.t)M Leahy R., Cherry SR, Zhou Z, Fast gradient-based methods for bayesian reconstruction of transmission and emission PET images // IEEE Trans. Med. Imag. — 1994. — Vol. 13, N 4. — P. 687—701.

Myers B.R., Levin М.А. Two-dimensional spectral line emission reconstruction as a plasma diagnostic // Rev. Sci. Instrum. — 1978. — Vol. 49, N 5. — P. 610—616.

Nagayama Y. Plasma tomography using smoothing technique // Jpn. J. Appl. Phys.— 1985. — Vol. 24, N 6. — P. 787—788.

Nagayama Y. Tomography of m = 1 mode structure in tokamak plasma using least-square fitting method and Fourier-Bessel expansions // J. Appl. Phys. — 1987. — Vol. 62, N 7. — P. 2702—2706.

Nagayama Y., Buchse R-, Cavallo A. et al. Image reconstruction of ECE and X-ray signals for high p plasmas on TFTR // Rev. Sci. Instrum. — 1990. — Vol. 61, N 10.— P. 3265—3267.

Nagayama ¥., Edwards A.W. Rotational soft X-ray tomography on noncircular tokamak plasmas // Rev. Sci. Instrum. — 1992. — Vol. 63, N 10. — P. 4757—4759.

Nagayama Y., Tsuji S., Kawahata K. Soft X-ray tomography of sawtooth oscillations in the JIPP T-П tokamak // Phys. Rev. Lett. — 1988. — Vol. 61, N 16. — P. 1839—1842.

Nalcioglu O., Cho Z. Reconstruction of 3-D objects from cone beam projections // Proc. IEEE. — 1978. — Vol. 66, N 11. — P. 1584—1585.

Nalcioglu O., Cho Z.H. 3-D interpolation technique for total volume imaging in NMR tomography // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1983. — Vol. 30, N 1. — P. 689—691.

Nardone C, Multichannel fluctuation data analysis by the Singular Value Decomposition method. Application to MHD modes in JET // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1992.— Vol. 34, N 9. — P. 1447—1465.

Nassi M., Brody W.R., Medoff B.P., Macovsiu A. Iterative reconstruction-reprojection: An algorithm for limited data cardiac-computed tomography // IEEE Trans. Bioraed. Eng. — 1982. — Vol. 29, N 5. — P. 333—341.

Natterer F. // The mathematics of computerized tomography. — Stuttgart et al.: B.G. Teubner, John Wiley, 1986. — 222 p.

Navarro A.P., Рагё V.K., Dunlap J.L. Two-dimensional spatial distribution of volume emission from line integral data // Rev. Sci. Instrum. — 1981. — Vol. 52, NIL — P. 1634—1643.

Ney D.fL, Fishman E.K., Magid D・，Drebin R.A. Volumetric rendering of computed tomography data: principles and techniques // IEEE Comput. Graph. Appl. — 1990.— Vol. 10, March. — P. 24—32.

Niland R.A. Maximum reliable information obtainable by tomography // JOSA.— 1982. — Vol. 72, N 12. — P. 1677—1682.

Nishimura M” Casasent D., Caimi F. Optical inverse Radon transform // Opt. Com- mun. — 1978. — Vol. 24, N 3. — P. 276—280.

Okoshi T., Nishimura M. Measurement of axially nonsymmetrical refractive-index distributions of optical fiber preforms by a triangular mask method // Appl. Opt. — 1981.— Vol. 20, N 14. — P. 2407—2411.

Olivo J[-C. Automatic threshold selection using the wavelet transform // Craph. Models and Image Process. — 1994. — Vol. 56, N 3. — P. 205—218.

Olsen H.N., Maldonado C.D., Duckworth G.D. A numerical method for obtaining internal emission coefficients from externally measured spectral intensities of asymmetrical plasmas // JQSRT. — 1968. — Vol. 8. — P. 1419—1430.

Oppenheim B.E. More accurate algorithms for iterative 3-dimensional reconstruction // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1974. — Vol. 21, N 3. — P. 72—77.

Palamodov V.P. Some singular problems in tomography // Trans. Math. Monographs.— 1990. — Vol. 81. — P. 123—140.

Palamodov V.P. Inversion formulars for the three-dimensional ray transform // Mathematical Methods in Tomography (Leet. Not. Math., voi. 1497). — Berlin: Springer-Verlag, 1991. — P. 53—62.

Papoulis A. A new algorithm in spectral analysis and band-limited signal extrapolation // IEEE "rans. Circuits Syst. — 1975. — Vol. 22. — P. 735—742.

Patel C.K.N. Laser detection of pollution // Science. — 1978. — N 202. — P. 157—173.

Petersson C.U., £dholm P., Granlund G.H., Knutsson H.E. Ectomography — A new radiographic reconstruction method — II. Computer simulated experiments // IEEE Trans. Biomed. Eng. — 1980- — Vol. 27, N 11. — P. 649—655.

Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind // J. ACM. — 1962. — Vol. 9, N 1. — P. 84—97.

Pickalov V.V., Ingesson L.C., Donnd A.J.H. An iterative projection-space reconstruction algorithm for visible light tomography on the RTP tokamak // Intern. Symp. Comput. Tomography, Novosibirsk, Russia, August 10—14, 1993; Abstracts. — Novosibirsk: Inst. Math. SB RAS, 1993. — P. 100.

Pickalov V.V., Ingesson L.C,, Donnd AJ.H., Schram D.C. Tomography algorithms for visible light tomography on RTP // 1992 Intern. Conf, on Plasma Phys., Innsbruck, June 29 — July 3: Abstracts, vol. 16C( Pt II. — Innsbruck: EPS, 1992. — P. 1143— 1146.

Pickalov V.V., Melnikova T.S. Tomographic measurements of plasma temperature fields // Beltr. Plasmaphysik. — 1984. — Vol. 24, N 4. — P. 417—430.

Pickalov V.V., Preobrazhensky N.G. Algorithms for optical diagnostics of plasma layers with complicated geometry and different transmissivity // Proc. Xlllth ICPIG: Contr. paper, pt.l. — Berlin, 1977- — P- 201—202.

Pickalov V.V., Preobrazhensky N.G. Restoration of two-dimensional radiatian fields for an optically thick plasma // J. de Physique. — 1979. — Vol. 40, N 7(C-7).— P. 855—856.

Pickalov V.V., Preobrazhensky N.G. Three-dimensional image reconstruction of the dense plasma by nonlinear tomography // Proc. 16 ICPIG. — Dusseldorf, 1983. — Vol. 3.— P・ 396—397.

Plessl A. The flow mechanism in a bent, rotating arc // Appl. Phys. — 1980. — Vol. 21, N 4. — P. 377—%9.

Pommert A., Tiede U” Wiebecke G., Hohne K.H. Surface shading in tomographic volume visualization: a comparative study // Proc. First. Conf. Visualization in Biomed. Computing (VBC*90). — Los Alamitos: IEEE Comp. Soc. Press, 1990. — P. 19 —26.

Poplevina L.I., Tokmulin I.M. Emission spectral tomography control of configuration of multijet plasma flow // Analytical Methods for Optical Tomography : Proc. SPIE.— 1992. — Vol. 1843. — P. 93—100.

Prince J.L., Willsky A.S. A geometric projection-space reconstruction algorithm // Linear Algebra and Its Appls. — 1990. — Vol. 130. — P. 151 — 191.

Prince J.L. Wills® A.S. Constrained sinogram restoration for limited-angle tomography // Opt. Eng. — 1990. — Vol. 29, N 5. — P. 535—544.

Quinto E.T. Singular value decompositions and inversion methods for the exterior Radon transform and a spherical transform // J. Math. AnaL Appls. — 1983- — Vo!.- 94-— P. 437—448.

Quinto E.T. Tomography reconstructions from incomplete data — numerical inversion of the exterior Radon transform // Inverse Problems. — 1988. — Vol. 4.. — P. 867—876.

Quinto E.T. Computed tomography and rockets // Mathematical Methods in Tomography: Leet. Not. Math. — Berlin: Springer-Veriag. 1991. — Vol. 1497. — P. 261—268.

Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte 血呻 gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sachsische Akademie der Wissenschaften. — Leipzig: Math.-Phys. KI, 1917. — Vol. 69. — P. 262—267.

Ramachandran G.N., Leith D・,Todd L. Extraction of spatial aerosol distributions from multispectral light extinction measurements with computed tomography // JOSA (A).— 1994. — Vol. 11, N 1, — P, 144—154.

Ramachandran G.N. Reconstruction of substance from shadow // Proc. Indian Acad. Sci. — 1971. — Vol. 73, A. — P. i4.

Ramachandran G.N., Gkshminarayanan A.V. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrograph application of convolutions instead of Fourier transforms // Proc. Nati. Acad. Sci. USA. — 1971. — Vol. 68. — P. 2236—2240.

Rizo Ph., Grangeat P., Guillemaud R. Geometric calibration method for multiplehead cone-beam SPECT system // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1994. — Vol. 41, N 6.— P. 2748—2756.

Rogoff G.L. Optical system for automatic Abel inversion of emission from a cylindrical volume radiator // JOSA. — 1977. — Vol. 67, N 1. — P. 44—47.

Rossi DJ., Willsky A.S. Reconstruction from projections based on detection and estimation of objects. Part 1 and II: Performance analysis and robustness analysis // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. — 1984. — Vol. 32, N 4. — P. 886—906.

Russanov E.V., Vishnyakov G.N. Tomographic interferometry // Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE. — 1992. — Vol. 1843. — P. 127—130.

SGUer C., Wenskus R., Middendorf P. et al. Interferometric tomography for flow visualization of density fields in supersonic jets and convective flow // Appl. Opt. — 1994.— Vol 33, N 14. — P. 2921—2932.

Salakhov M.Kh. An algorithm for the differentiation of arbitrary order in the solution of inversion problems in applied spectroscopy // JQSRT. — 1989. — Vol. 42, N 6.— P. 635—643.

Sato S., Aniada S<f Uematsu S.« Senda T. Measurements of three-dimensional plasma density fields by holographic interferometry and computed tomography // ISPC-8.—— Tokyo, 1987. — P. 473—478.

Sato T., Norton SJ“ Linzer MJ. et at Tomographic image reconstruction from limited projections using iterative revisions in image and transform spaces // Appl. Opt. — 1981.— Vol 20. — P. 395—399.

Sauthoff N.R., McGuire K.M., von Goeler S. Reconstruction of m = 1 MHD models from projections // Rev. Sd. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 8. — P. 2139—2141.

Sauthoff N.R., von Goeler S. Techniques for the reconstruction of two-dimensional image from projections // IEEE Trans. Plasma Sci. — 1979. — Vol. 7, N 3. — P. 141 — 147.

Sauthoff N.R., von Goeler S・，Stodiek W. A study of disruptive instabilities in the PLT tokamak using X-ray techniques // Nucl. Fusion. — 1978. — Vol. 18, N 10.— P. 1445—1458.

Savrukhin P.V., Dnestrovskiy Yu.N., Kislov D.A., Lyadina E.S. Tokamak T-10 soft X-ray imaging diagnostics // Proc. 17th Europ. Conf. Contr. Fusion Plasma Heating.— Amsterdam, 1990. — P. 1484—1487.4

Schielke W*, Schleinitz W„ Ohl A・，R6pcke J. Diagnostics of ^e-dimensional structure of DC and RF discharges with irregular and structured electrode geometries by optical emission spectroscopy with tomographic reconstruction // Proc. XXIICPIG, Sept. 19—24, 1993. — Bochum.: Ruhr-Universitat Bochum. Pt I. APP, 1993. — P. 267—268.

Schivell J. Reconstruction of plasma radiation features from projections measured with two bolometer arrays // Rev. Sci, Instrum. — 1987. — Vol. 58, N 1. — P. 12—16.

Schivell J・，Bush C.E. Analysis of highly asymmetric radiation loss profiles in TFTR // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 8. — P. 2081—2083.

Sebald N. Measurement of the temperature and flow fields of the magnetically stabilized cross-fiow N2 arc // Appl. Phys. — 1980. — Vol. 21, N 3. — P・ 221—236.

Shepp LA, Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section // IEEE Trans. Nucl. Sd — 1974. — Vol. 21, N 3. — P. 21—43.

Shulz-Gulde E. The continuous emission of argon in the visible spectral range // Z. Phys. — 1970. — Vol. 230, N 5. — P. 449—459.

Silver Eo Roney W. Distribution of emitters in an elliptical source // IEEE Trans. Plasma Sci. — 1980. — Vol. 8, N 3. — P. 231—234.

Smeulders P. Tomography of quasi-static deformations of constant-emission surfaces of high-beta plasmas in ASDEX // Nucl. Fusion. — 1986. — VoL>26, N 3. — P. 267—273.

Smith B.D. Image reconstruction from cone-beam projections: necessary and sufficient conditions and reconstruction methods // IEEE Trans. Med. Imag. — 1985. — Vol. 4, N 1. — P. 14—25.

Smith B.D. Cone-beam tomography: recent advances and a tutorial review // Opt. Eng.— 1990. — Vol. 29, N 5. — P. 524—534.

Smith 足T” Zoltani C.K. An application of the finite element method to maximum entropy tomographic image reconstruction // J. Sci. Comput. — 1987. — Vol. 2, N 3,— P. 283—295.

Smith R.T., Zoltani C.K., Klem GJ, Coleman M.N. Reconstruction of tomographic images from sparse data sets by a new finite element maximum entropy approach // Appl. Opt. — 1991. — Vol. 30, N 5. — P. 573—582.

Snyder R., Hesselink L. Measurement of mixing fluid flows with optical tomography // Opt. Lett. — 1988. — Vol. 13, N 2. — P. 87—89.

Soltwisch H.Current distribution measurement in a tokamak by FIR polarimetry // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 8. — P. 1939—1944.

Stewart G.W. On the eariy history of the singular value decomposition // SIAM Rev.— 1993. _ Vol. 35, N 4. — P. 551—566.

Strang G. Wavelets and dilation equations: A brief introduction // SIAM Rev. — 1989.— Vol. 31, N 4. — P. 614—627.

Strichartz R.S. Radon inversion — variations on a theme // Amer. Math. Month.— 1982. — Vol. 89, N 6. — P. 377—384.

SUgimoto S・，Niina T・，Goto S. Spectroscopic plasma tomography on field-reversed configuration // J. Appl. Phys. — 1989. — Vol. 66, N 11. — P. 5228—5231.

Sweeney D.W., Vest C.M. Measurement of three-dimensional temperature fields above heated surface by holographic interferometry // Intern. J. Heat and Mass Transfer.— 1974. — Vol. 17, N 12. — P. 1443—1454.

Tam K.C. The use of multispectral imaging in limited-angle reconstruction // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1982. — Vol. 29, N 1. — P. 512—515.

Tam К.С( Multispectral limited-angle image reconstruction // IEEE Trans. Nucl. Sci.—— 1983. — Vol. 30, N L — P. 697—700.

Tam K.C., Perez-Mendez V. Tomographical imaging with limited-angle input // JOSA. — 1981. — Vol. 71. — P. 582—592.

Teague M.R. Image analysis via the general theory of moments // JOSA. — 1980.— Vol. 70, N 8. — P. 920—930.

Tiller W. Investigations on the radially free full circle arc // Appl. Phys. — 1981.— Vol. 25, N 3. — P. 317—328.

Tuy H.K. An inversion formula for cone-beam reconstruction // SIAM J. Appl. Math.— 1983. — Vol. 43, N 3. — R 546-552.

Twomey S. On the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by the inversion of the linear system produced by quadrature // J. ACM. — 1963.— Vol. 10, N 1. — P. 97—101.

Twomey S. The application of numerical filtering to the solution of integral equations encountered in indirect sensing measurements // J. Franklin Inst. — 1965. — Vol. 279, N 2. — P. 95-109.

Van den Eisen P.A., Pol ErJ.D., Viergever M.A, Medical image matching — A rewiev with classification // IEEE Engng. Med. Biol. — 1993. — Vol. 12, N 1. — P. 26—39.

Veklerov E. On decision making in tomography // IEEE Eng. Med. Biol. — 1993.— Vol. 12, N 1. — P. 56-61.

Vest C.M., Prikryl J. Tomography by iterative convolution: empirical study and application to interferometry // Appl. Opt. — 1984. — VoL 23, N 14. — P. 2433—2440.

Vishnyakov G・N・, Drozhbin Yu A, Levin G.G. et al. Chronotomography: a new approach to high speed frame recording // High speed Photography, Videography and Photonics IV： Proc. SPIE. — 1986. — Vol. 693. — P. 170—173.

Vukidevld D., Jager H., Neger T. et al. Tomographic reconstruction of the temperature distribution in a convective heat flow using multidirectional holographic interferometry // Appl. Opt. — 1989. — Vol. 28, N 8. — P. 1508—1516.

Walsh D.O., Nielsen-Delaney P.A. Direct method for superresolution // JOSA (A).— 1994. — Vol. 11, N 2. — P. 572—579.

Wang L., GraneU R.S. Series expansion method in three-dimensional tomography // JOSA (A). — 1993. — Vol. 10, N 11. — P. 2292—2295.

Wang L., GraneU S. A simplified expression for the Radon transform of Bessel basis functions in tomography // Rev. Sci. Instrum. — 1991. — VoL 62, N 3. — P. 842—843.

Watt D.W. Column-relaxed algebraic reconstruction algorithm for tomography with noisy data // Appl. Opt. — 1994. — Vol. 33, N 20. — P. 4420—4427.

Weng Y., Zeng G.L., Gullberg G.T. A reconstruction algorithm for helical cone-beam SPECT // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1993. — Vol. 40, N 4. — P. 1092—1101.

Williamson J.H. JETCAT: A programme for computerized tomography. — Abingdon, 1982. — 37 p. — (Report / Culham Lab.; CLM-R210.)

Williamson J.H., Clarke M.E. Construction of electron distribution functions from Jaser scattering spectra // J. Plasma Physics. — 1971. — VoL 6, pt 1. — P. 211—221.

Williamson J.H., Evans D.E. Computerized tomography for sparse-data plasma physics experiments // IEEE Trans. Plasma Sci. — 1982. — Vol. 10, N 2. — P. 82—93.

Wu K., Hesselink L Computer display of reconstructed 3-D scalar data // Appl. Opt.— 1988. — Vol. 27, N 2. — P. 395—404.

Yudelevich I.G., Cherevko ASL, Engelsht V.S. et al. A two-jet plasmatron for the spectrochemical analysis of geological samples // Spectrochimica Acta (B). — 1984.— Vol. 39, N 6. — P. 777—785.

Zakharenkov Yu.A., Kosterin A.V,, Shikanov A.S. et al. Laser produced plasma refractometry // Laser and Particle Beams. — 1990. — Vol. 8, N 1-2. — P. 339—342.

Zeng G.L., Hsieh Y-L.t Gullberg G.T. A rotating and warping projector / backprojector for fan-beam and cone-beam iterative algorithm // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1994.— Vol. 41, N 6. — P. 2807—2811.

Zeyher A. Numerical tokamaks illuminate plasma physics // Computers in Physics.— 1993. — Vol. 7, N 3. — P. 256—258.

Zhang Y., Coplan M.A., Moore J.H., Berenstein C.A. Computerized tomographic imaging for space plasma physics // J. appl. Phys. — 1990. — Vol. 68, N 11. — P. 5883— 5889.

Zhuang W., Gopal S.S., Hebert T.J. Numerical evaluation of methods for computing tomographic projections // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1994. — Vol. 41,N4.— P. 1660—1664.

Zukov M.F., Melnikova T.S., Pickalov V.V., Preobrazhensky N.G. Studies of electrical and optical properties of an arc discharge by emission ptasma tomograph // Proc. 16 ICPIG. — 1983. — Dusseldorf, 1993. — Vol. 4. — P. 542—543.

Zintl M., McWilliams R. Improved optical tomography device // Rev. Sci. Instrum.— 1994. — Vol. 65, N 8. — P. 2574—2579.

Zoletnik S” Kelvin S. A method for tomography using arbitrary expansions // Rev. Sci. Instrum. — 1993. — Vol. 64, N 5. — P. 1208—1212.

ZolUny C.K., White KJ Flash X~ray computed tomography facility for microsecond events // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — Vol. 57, N 4. — P. 602—611.

Da Cruz D.F.Jr., Ооппё A.J.H. Soft X-ray tomography on the RTP tokamak // Rev. Sci. Instrum. — 1990. — Vol. 61, N 10. — P. 3067—3069.

Агеев Б.М., Беляев А.Г., Головизнин В.П., Менде Н.П. Применение методов томографии для изучения аэродинамических объектов // Всесоюз. симп. вычисл. томографии: Тез. докл. — Новосибирск, 1983. — С. 3—4.

Аксенов В.П., Пикалов В.В. Томографическая реконструкция критериев качества лазерных пучков в атмосфере 〃 Оптика атмосферы. — 1988. — Т. 1, № 10. — С. 30—35.

Аксенов В.Щ Пикалов В.В. Томографическое восстановление пространственно- энергетических параметров лазерных пучков // Квантовая электрон. — 1990. — Т. 17, № 2. — С. 167—172.

Алпатов В.В., Левин Г.Г., Пикалов В.В., Романовский Ю.А. Оптическая томография искусственных образований в околоземной среде // Космич. исслед. — 1993. — Т. 31, вып. 1. — С. 121 — 134.

Аидрюхина Э.Д., Бережецкий М.С., Гребенщиков С.Е, и др. Стелларатор Л-2.— М., 1977- — Шрепринт / ФИАН СССР; № 154).

Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. —Новосибирск: НГУ, 1990, — 64 с.

Аптер КФ., Кинбер ЕЕ Учет влияния рефракции в оптической томографии // Оптика и спектроскопия. — 1989. — Т. 67, № 6. — С. 1353—1359,

Ауслендер А.Л., Вишняков Г»Н., Левин Г.Г. О восстановлении изображений поперечных сечений объектов по их проекциям // Оптика и спектроскопия. — 1980.— Т. 50, № 2. — С. 408—412.

Ауслендер А.Л., Вишняков Г.Н., Левин Г.Г. Решение интегрального уравнения Радона в оптическом процессоре // Оптика и спектроскопия. — 1980. — Т. 49, № 5. — С. 946—951.

Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некоторых за、 дач. — М.: Наука, 1989. — 128 c.

Бакушинский А.Е., Гончарский АВ., Левитан С,Ю. О применении регуляризующих алгоритмов в рентгеновской компьютерной томографии // Вести. МГУ. Сер. 15. — 1989. — № 4. — С. 24—28.

Балакдин А.Л., Лихачев А.В., Панферов Н.В. и др. Томографическая диагностика излучающих плазменных объектов. — М.,1991. — 55 с. — (Препринт / ФИ- АН СССР; № 78).

Баландин А.Л., Лихачев А.В., Пикалов В.В. Итерационный алгоритм реконструк' ции коэффициентов эмиссии в задаче трехмерной томографии плазмы // Генераторы низкотемпературной плазмы： Тез. докл. XI Всесоюз. конф. Ч. II. — Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1989. — С. 236—237.

ЕалаяЗнн А.Л., Пикалов В.В. Трехмерный алгоритм максимума энтропии в мало- ракурсной оптической томографии потоков // Оптические методы исследования потоков: Тез. докл. I Всесоюз. конф. — Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1991.— С. 83—84.

Баландин А.Л., Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Трехмерная реконструкция объектов с непрозрачным включением по неполному набору 20 проекций // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 68—69.

Баландин А.Л., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Томографическое определение трехмерного распределения частиц по скоростям // ПМТФ. — 1989.— № 6. — С. 34—37.

Баранов В.А., Чекалин А.С., Темник А.К. Синтез томограмм из разноракурсных рентгенограмм — модифицированные алгоритмы, программная и аппаратурная реализация // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. II. —■ Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 87—88.

Березовский А.В., Каблуков В.И., Козлачков В.А. и др. Рабочая станция для реконструкции и обработки томографических изображений // Автометрия. — 1995.— № 1. — С. 108—119.

Биберман Л.М., Норман Г.Э. Рекомбинационное и тормозное излучение плазмы // JQSRT. — 1963. — Т. 3. — С. 221—245.

Блинков F.H” Солоухин Р.И., Фомин Н.А. Спекл-фотография градиентов плотности в свободном пламени // ФГВ. — 1987. — Т. 23, № 6- — С. 40—46.

Бобровский Г.А., Васии Н.Л., Виноградова Н.Д. и 〃р. Асимметриа профиля электронной температуры на токамаке-10 // Физика плазмы. — 1982. — Т. 8, № 5.— С. 1027—1036.

Борн М” Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970. — 855 с.

Боряк Н.А” Бочаров В.К” Бурченко П.Я. и др. Исследование магнитной системы модульного торсатрона // Вопросы атомной науки и техники. Сер. термояд, синтез. 一 М.: ЦНИИатоминформ., 1986. — № 1. — С. 47—56.

Бронников А.В. Идентификация поглощения среды по данным эмиссионной томографии // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 72—73.

Бронников А.В., Воскобойников Ю.А. Комбинированные алгоритмы нелинейной фильтрации зашумленных сигналов и изображений // Автометрия. — 1990.— № 1. — С. 21—27.

Бронников А.В., Воскобойников Ю.А., Пикалов В.В., Шарапова Н.В. Сравнение алгоритмов восстановления по веерным проекциям // Электронное моделирование. —1988. — Г 10, № 6. — С. 81—86.

Бронников А.В., Воскобойников Ю.А., Преображенский Н.Г. Итерационные алгоритмы в задачах томографии полупрозрачных сред. — Новосибирск, 1989. — 43 с. — (Препринт / ИТПМ СО АН СССР; № 18—89).

Булыгии Ф.В., Вишняков Г.Н., Левин Г.Г. Применение томографических методов для получения спектрограмм двумерных объектов // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 156— 157.

Бухгейм А.Л., Зеркапь С.М., Конев В.Т., Пикалов В.В. Асимптотические постановки обратных задач для уравнения Гельмгольца // Методы исследования некорректных задач математической физики. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.— С. 23—39.

Бухгейм А.Л., Зеркаль С.М., Пикалов В.В. Об одном алгоритме решения трехмерной обратной задачи сейсмики // Методы решения обратных задач. — Новосибирск： ВЦ СО АН СССР, 1983. — С. 38—47.

Вайнштейн Б.К. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромолекул // УФН. — 1973. — Т. 109, № 3. — С. 455—497.

Вайнштейн Б.К., Гончаров А.Б. Определение пространственной ориентации произвольно расположенных идентичных частиц неизвестной структуры по их проекциям // Докл. АН СССР. — 1986. — Т. 287, № 5. — С. 1131 — 1134.

Вайнштейн ЕК, Биргер Е.С., Конюхова Н.Б. и др. Коротковолновая диагностика плазменного шнура // Физика плазмы. — 1976. — Т. 2, № 4. — С. 658—671.

Валлескалн А.Я., Левин Г.Г., Старостенко О.В. Томографические исследования рассеивающих сред // Оптика и спектроскопия.——1985.——Т. 59, № 4.——С. 850—853.

Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. — 214 с.

Василенко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений. — М.: Радио и связь, 1986. — 304 с.

Васильев Л.А. Теневые методы. — М.: Наука, 1968.

Веклич А.Н., Жовтянский В.А. Скоростной плазменный томографический спектрометр // ЖПС. — 1989. — Т. 50, № 4. — С. 565—570.

Веклич А.Н., Жовтянский В.АМ Кандалов С.А., Пчелов Е.М. Скоростная томографическая спектрометрия высокого разрешения // Физика плазмы. — 1992.——Т. 18, № 2. — С. 267—269.

Великанова Л.Г., Кирий Н.ПМ Киселев Д.Т. и др. Эволюция токового слоя по результатам спектротомографических исследований // Физика плазмы. — 1992.— Т. 18, № 12. — С. 1545—1557.

Великанова Л.Г„ Кирий Н.П., Киселев Д.Т. и др. Спектральная томография и диагностика плазмы токовых слоев // Оптическая томография: Тез. докл. Всесоюз. семииара. — Таллинн, 1988. — С. 54—56.

Веретенников А.В., Кошевой М.О” Панферов Н.В. и др. Эмиссионная томография плазмы микропинчевого разряда // Физика плазмы. — 1992. — Т. 18, № 2.— С. 249—252.

Веретенников А.В., Кошевой М.О., Панферов Н.Б. и др. Эмиссионная томография плазмы микропинчевого разряда // V Всесоюз. совещ. по диагностике высокотемпературной плазмы: Тез. докл. — Минск: БГУ, 1990. — С. 336—337.

34g. Веретенников А.В., Панферов Н.В., Пикалов В.В. и др. МР-томотрафия плазмы микропинчевого разряда // IV Всесоюз. симпоз. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 165—166.

Вест Ч. Голографическая интерферометрия. — М.: Мир, 1982. — 504 с.

Вишняков Г.Н. Восстановление томограмм трехмерных объектов по двумерным проекциям // Оптика и спектроскопия. — 1988. — Т. 65, № 3. — С. 677—683.

Вишняков Г.Н., Власов Н.Г., Левин Г.Г. Получение продольных томографических интерферограмм // Оптика и спектроскопия. — 1983. — Т. 54, № 5. — С, 911—913.

Вишняков Г.Н., Гильман Г.А., Левин Г.Г. Восстановление томограмм при ограниченном числе проекций. Итерационные методы // Оптика и спектроскопия.— 1985. — Т. 58. № 2. — С. 406—413.

Вишняков Г.Н., Левин Г.Г. Оптическая томография фазовых объектов // Оптика и спектроскопия. — 1982. — Т. 53, вып. 4. — С. 731—735.

Вишняков Г.Н., Левин Г.Г. Определение пространственного распределения показателя преломления в томографическом интерферометре // Оптика и спектроскопия. —1982. — Т. 53, № 5. — С. 929—932.

Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Пикалов В.В. Методы нормировки данных при количественной интерпретации томографических интерферограмм // Оптика и спектроскопия. —1987. — Т. 62, № 6. — С. 1361 — 1366.

Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Уманский М.С. Оптический радон-процессор для анализа изображений методом моментных инвариантов // Оптика и спектроскопия.— 1989. — Т. 67, № 4. — С. 860—865.

Воронцов СС” Гаранин А.Ф., Пикалов В .В. Исследование осесимметричного водородного факела оптическим методом // Инверсия Абеля и ее обобщения. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978. 一 С 244—251.

Воронцов С.С., Пикалов В.В” Преображенский Н.Г., Шарапова Н.В. Алгоритм са- мосогласования проекций в тепловизионной томографии 〃 Автоматизация аэродинамического эксперимента. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1985.— С. 63—74.

Воскобойников Ю.Е. Алгоритм обращения уравнения Абеля с использованием кубических сплайнов // Инверсия Абеля и ее обобщения. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978. — С. 180—189.

Воскобойников Ю.Е. Построение сглаживающих кубических сплайнов при машинной обработке результатов экспериментов // Автометрия. — 1979. — № 4.— С. 110—118.

Воскобойников Ю.Е. Частотный подход к оцениванию точности сглаживания и дифференцирования с использованием сглаживающих сплайнов // Автометрия.— 1986. — № 2. — С. 11 — 18.

Воскобойников Ю.Е. Устойчивый алгоритм восстановления изображений по непол- ному набору проекционных данных 〃 Автометрия. — 1995. — № 1. — С 53—61.

Воскобойников Ю.Е., Пикалов В.В., Седельников А.И. Регулирующий алгоритм фурье-реконструкции // П Всесоюз. симпоз. по вычисл. томографии: Тез. докл.— Куйбышев: Ky^I, 1985. — С. 40—41.

Воскобойников Ю,ЕМ Преображенский НгГ. Разрешающая способность и синтез одного класса алгоритмов вычислительной томографии // Электронное моделиро- вание. — 1986. — № 6. — С. 34—39.

Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984. — 238 с.

Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н«Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. — М.: Физматгиз, 1962. — 656 с.

Гиппиус ЕФ” Егорова Е.В., Илюхин В.Н. и др. Малоракурсиая эмиссионная томография плазмы в условиях о1раииченного обзора // V Всесоюз. симпоз. по вычисл. томографии: Тез. докл. — М.: ВНИИФТРИ, 1991. — С. 175—176.

Гиппиус Е・Ф“ Илюхин Б.И., Колесников В.Н. и др. Шестиракурсная томографическая установка СТ-1 для спектроскопических исследований плазмы 〃 Оптическая

томография: Тез. докл. Всесоюз. семинара. — Таллинн: ИК АН ЭССР, 1988.— С. 78—79.

Гиппиус Е.Ф., Илюхин Б.И., Лунин Н.Н., Пикалов В.В. Особенности восстановления радиальных распределений интенсивностей излучения плазмы стеллараторов // Физика плазмы. — 1983. — Т. 9, № 5. — С. 1111 — 1115.

Глазков В.НМ Казанцев И.Г., Пикалов В.В. Итерационные методы трехмерной томографии // Обработка изображений и дистанционные исследования (ОИДИ- 90). — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1990. — С. 62—63

Головизнин В.П., Ковалев П.И., Комнссарук В.А. и др. Блок сдвиговых интерферометров для баллистических исследований // Тр. 14 Междунар, конгр. по высокоскоростной фотографии и фотонике- — М.: ИМ АН СССР, 1980.

Гольдин С.В. Преобразование и восстановление разрывов в задачах томографического типа. — Новосибирск: ИГиГ СО АН СССР, 1988. — 100 с.

Гончаров А.Б. Интегральная геометрия и трехмерная реконструкция по электронным микрофотографиям произвольно ориентированных идентичных частиц // Кристаллография. —1987. — Т. 32, № 5. — С. 1131 — 1136.

Гончаров А.Б. Методы интегральной геометрии и нахождение взаимной ориентации произвольно расположенных в плоскости идентичных частиц по их проекциям на прямую // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 293, № 2. — С. 355—358.

Гончаров А.Е・, Вайнштейн Б.К., Рыскин А.И., Вагин А.А. Трехмерная реконструкция произвольно ориентированных идентичных частиц по их электронным микрофотографиям // Кристаллография. — 1987. — Т. 32, № 4. — С. 858—866.

Горбунов Е.П., Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Определение пространственного распределения плотности плазмы с помощью фазовых измерений // ЖТФ.— 1968. — Т. 38, № 5. — С. 812—817.

Горбунов Е.П., Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Мульченко Б.Ф. Определение пространственного распределения плотности плазмы ио фазовому сдвигу при многоканальном микроволновом зондировании // Диагностика плазмы. — М.: Атом- издат, 1968. — Вып. 2. — С. 188—199.

Грачев И.Д., Салахов М.Х., Фишман И,С. Статистическая регуляризация при обработке эксперимента в прикладной спектроскопии. — Казань: КГУ, 1986. — 186 с.

Грим Г. Спектроскопия плазмы. — М.: Атомиздат, 1969. — 452 с.

Губарени Н.М., Попова Т.И. Итерационный алгебраический метод восстановления томограмм из суммарного изображения при малом числе проекций // Электрон, моделирование. — 1990. — Т. 12, № I. — С. 85—90.

Денисов В.ИМ Захаренков Ю.А., Кологривов А.А. и др. Методы эмиссионной и интерферометрической томографии лазерной плазмы // Краткие сообщения по физике. 一 1985. — № 12. — С. 17—21.

Деннсова^И：, Пикалов В.В., Баландин А.Л. Модифицированный метод максимума энтропии в томографии плазмы // Оптика и спектроскопия. — 1996. — (В печати).

. Денисова Ьм； Пикалов В.В., Чугунова Н.В. Упрощенные алгоритмы затенения изоповерхностей в задачах трехмерной томографии // V Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. — М.: ВНИИФТРИ, 1991. — С 246—247.

Днестровский Ю.Н., Лядина Е.С., Саврухин П.В. Томографическое исследование процесса внутреннего срыва в Токамаке-10 // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск, 1989- — С- 190—19L

Днестровский Ю.Н., Ладина Е.С, Саврухин П.В. Простраиственно-времениая обратная томографическая задача рентгеновской диагностики плазмы // V Всесоюз. совещ. по диагностике высокотемпературной плазмы: Тез. докл. — Минск: Б ГУ, 1990. — С. 330—331.

Днестровский Ю.Н., Лядина Е.С., Саврухин П.В. Пространственно-временная томографическая задача диагностики плазмы // Физика плазмы. — 1992. — Т. 18, № 2. — С. 201^204.

Долгачев Г.И.* Закатов Л.П., Знаменская И.А. и др. Исследование динамики плазмы импульсного разряда методом эмиссионной томографии // Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. — С. 48—53.

Ерохин В.А., Шнейдеров В.С. Трехмерная реконструкция (машинная томография). Моделирование на ЭВМ. — Л., 1981. — 47 с. — (Препринт / ЛНИВЦ; № 23).

Жданова Т.А., Пикалов В.В. Алгоритм априорного подавления теневых артефактов томограмм // Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. — С. 54—60.

Жуков М.Ф., Девятов Б.Н., Новиков О.Я. и др. Теория термической электродуговой плазмы. Ч. П. // Нестационарные процессы в термической плазме. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. — 262 с. - ы *р・

Жуков М.Ф., Мельникова Т.С., Пикалов В.В/Томография низкотемпературной плазмы // №в. СО АН СССР. Сер. техн. наук. — 1984. — № 10, вып. 2.— С. 39—46.

Журавлев В.К., Максимова Е.М., Пикалов В.В” Шарапова Н.В. Томографическая реконструкция сложных струйных течений 〃 IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск： ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 196—197

Зайдель А.Н” Островская Г.В. Лазерные методы исследования плазмы. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1977. — 221 с.

Захаренков Ю.А., Костерин А.В., Шиканов А.С. и др. Рефрактометрия лазерной плазмы // Оптическая томография: Тез. докл. Всесоюз. семинара. — Таллин: ИК АН ЭССР, 1988. — С. 97—101.

Захаренков Ю.А., Крохин О.Н., Склизков Г.В., Шиканов А.С. Исследование возмущений профиля плотности лазерной плазмы методом высокоскоростной интерферометрии // Квантовая электрон. — 1976, — Т. 3, № 5. — С. 1068 — 1079.

Зелинский И.Н., Черных В.Т., Беляев А.Г. и др. Многоракурсная голографическая интерферометрия и ее применение в аэробаллистическом эксперименте // Опт.-мех. пром-сть. — 1987. — N? 7. — С. 25—28.

Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф” Шкунов В.В. Обращение волнового фронта.— М.: Наука,— 247 с.

Зельдович1®^) Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966. — 686 &

Зимин В.Д” Фрик П.Г. Теневой метод исследования трехмерных неоднородно* стей // Оптика и спектроскопия. — 1976. — Т. 40, № 6. — С. 1060—1063.

Зимин В.Д., Фрик П.Г. Восстановление трехмерных полей показателя преломления по ракурсным теневым картинам // Оптика и спектроскопия. — 1981. — Т. 50, № 4. — С. 736—743.

Ильин В.П. Сравнительный модульный анализ алгоритмов решения краевых задач // Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. — М.: Наука, 1983. — С. 102—117.

Казанцев И.Г. Нахождение прямых линий на изображение с помощью проекций // Тез. докл. Всесоюз. конф. "Микропроцессоры-85К. — М., 1985. — С. 95—96.

Казанцев И.Г. Критерий выбора информативной проекции и вычислительной томографии. — Новосибирск, 1986. — 20 с. — (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 656).

Касабов Г.А., Елисеев В.В. Спектроскопические таблицы для низкотемпературной плазмы. — М.: Атомиздат, 1973- — 160 с.

Кирий Н.П., Киселев Д.Т., Марков В.С. и др. Спектроскопическое изучение локальных характеристик свечения плазмы токового слоя в линиях Hei и Hell // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 204—205.

Китаева В.Ф., Осипов Ю.И., Пикалов В.В. и др. Локальные зондовые исследования плазмы аргонового лазера // ЖТФ. — 1978. — Т. 48, № 8. — С. 1663 — 1671.

Кладов С.В., Смирнова А.Д. Система для измерения радиального профиля плотности плазмы в стеллараторе Л-2 на основе субмиллиметрового интерферометра // ЖТФ. — 1984. — Т・ 54, № 6. — С. 1101-1106.

Климкин В.Ф., Осодоев А,М. Томографическое восстановление фазовых объектов с помощью интерферометра Маха — Цендера // II Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. — Куйбышев： КуАИ, 1985. — С. 80—81.

Климкин В.Ф., Папырин А.Н., Солоухин Р.И. Оптические методы регистрации быстропротекающих процессов. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1980. — 208 с,

Климкин В.Ф., Пикалов В.В. Методика высокоскоростной микроинтерферометрии для исследования импульсных разрядов // Инверсия Абеля и ее обобщения.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978. — С. 252—272.

Климкин В.Ф., Пикалов В.В. О возможностях микроинтерферометрии при исследовании нестационарных процессов // ПМТФ. — 1979. — № 3. — С. 14—26.

Климкин В.Ф., Пикалов В.В. О методе расчета распределения показателя преломления при интерферометрии сферических объектов // Оптика и спектроскопия.— 1988. — Т. 64, № 1. — С. 159—164.

Клюев В.В., Вайнберг Э.И・, Казак И.А. и др. Вычислительная томография — новый радиационный метод неразрушающего контроля // Дефектоскопия. — 1980. — Ns 3. — С. 42—60.

Коломиицов Ю.В. Интерферометры. — Л.： Машиностроение, 1976. — 295 с.

Комиссарук В.А., Менде Н.П.Т Попов Л.Н. О некоторых особенностях зонного метода интерференционной томографии аэродинамических объектов // Реконструктивная томография. — Куйбышев, 1987- — С. 34—39.

Косарев Е.Л. О численном решении интегрального уравнения Абелн // ЖВММФ. — 1973. — Т. 13, № 6. — С. 1591 —1596.

Косарев 区Л., Песков В.Д., Подоляк Е.Р. Восстановление спектра ультрамягкого рентгеновского излучения из измерений его поглощения в газе // ЖТФ. — 1983.—— Т. 53, № 6. — С. 1101 — 1114.

Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. — М.: Наука, 1980. — 304 с.

Кругляков Э.П., Нестерихин Ю.Е. Электронный прибор для регистрации оптических спектров и- контуров спектральных линий во времени // Теплофизика высоких температур. — 1965. — Т. 3, № 4. — С. 617—622.

Кряиев А.В. Итерационный метод решения некоторых задач //Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1974. — Т. 14, № L — С. 25—35.

Кузнецов Э.ИМ Щеглов Д.А. Методы диагностики высокотемпературной плазмы.— М.: Атомиздат, 1974. — 159 с.

Кузнецова Е.А., Пресняков Ю.П. Расчет пространственных характеристик объекта при помощи трехмерного преобразования Радона // РЭ. — 1979. — Т. 24, № 7.— С. 1453—1455.

Кулик П.П., Иванов В.В., Поплевина Л.И., Токмулин И.М. Разработка технологических процессов метода ДПО с использованием спектрально-томографической диагностики // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I.— Новосибирск： ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 208—209.

Кулик П.П., Комиссаров А.А., Поплевина Л.И., Токмулин И.М. Оптическая томография плазменного потока в веерных лучах // Оптическая томография: Тез. докл. Всесоюз. семинара. — Таллии: ИК АН ЭССР, 1988. — С. 116—117.

Кулик П.П., Поплевина Л.И. Эмиссионный спектральный контроль плазменного потока в технологии ДПО // Оптические методы исследования потоков: Тез. докл. I Всесоюз. семинара. — Новосибирск, 1989. — С. 228—229.

Куницын В.Е., Преображенский Н.Г., Терещенко Е.Д. Восстановление структуры неоднородной ионосферы по данным радиозондирования // Докл. АН СССР.— 1989. - Т. 306, № 3. — С. 575—579.

Лаврентьев М.М” Романов В.ГМ Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980. — 286 с.

Левин Г.Г., Вишняков Г.Н, О возможности хронотомографии быстропротекающих процессов // Вопросы реконструктивной томографии. — Новосибирск, 1985.— С. 87—93.

Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. — М.: Радио и связь, 1989.— 224 с.

Левин Г.Г., Семенов Э.Г., Старостенко О.В. Томографическое исследование просг- ранствениого распределения интенсивности излучения // Оптика и спектроскопия. —1985. — Т. 59, № 5. — С. 1163—1164.

Липатов Н.П. Метод регуляризации обратного преобразования Радона в одной медико-биологической задаче // Журн. вычисл. математики и мат. физики.— 1977. — Т. 17, № 1. — С. 238—241.

Лихачев А.В., Пикалов В.В. Частотная фильтрация в алгебраических алгоритмах трехмерной томографии // Автометрия. — 1995. — № 4. — С. 83—89.

Лохте-Хольтгревен В. (Ред.) Методы исследования плазмы. — М.: Мир, 1971.— 552 с.

Луис А.К., Нэттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной вычислительной томографии // ТИИЭР. — 1983. — Т. 71, № 3. — С 111 — 125.

Луитг Р.М. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований // ТИИЭР. — 1983. — Т. 71, № 3. — С. 125—147.

Лукачев С.ВО Олейникова Г.В., Панин В.В. Оптические системы для спектральнотомографических устройств // Реконструктивная томография. — Куйбышев, 1987. — С. 45—51.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980. — 536 с.

Мельникова Т.С., Попенко В.Г., Уланов И.М. Влияние аксиального магнитного поля на электрическую дугу // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. — 1979. — № 3, вып. 2. — С. 21—32.

Мельникова Т.С, Исследование неустойчивостей электрической дуги // Теплофизика высоких температур. — 1980. — Т. 18, № 5. — С. 949—956.

Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Измерение поля температур в нестационарной дуге // Материалы VII Всесоюзн. конф, по генераторам низкотемпературной плазмы. Т. 1. — Алма-Ата, 1977. — С. 195—198.

Мельникова ТС, Пикалов ВВ Изменение локальных температур нестационарной асимметричной дуги // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. — 1978. 一 № 13, вып. 3. — С. 26—31 ■

Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Поле температур винтовой дуги // VIII Всесоюз. коиф. по генераторам низкотемпературной плазмы. Тез, докл. Ч. 2. — Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1980. — С. 213—216.

Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Инверсия Радона в эмиссионной томографии неоднородной плазмы. — Новосибирск, 1982. — 51 с. — Препринт / ИТ СО АН СССР; № 80—82).

Мельникова ТС, Пикалов В.В. Изучение некоторых характеристик плазмы в шестиканальном плазменном томографе // IX Всесоюз. конф, по генераторам низкотемпературной плазмы. Тез. докл.丿缪厶斤幺2纳_^4%?

Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Исследована лйййм с помощью плазмен(гого томографа. — Новосибирск, 1983. — 47 с. — (Препринт / ИТ СО АН СССР; № 99—83).

Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Эмиссионная томография нестационарной плазмы // Теплофизика высоких темп^затур. — 1984. — Т. 22, № 4. — С. 625—633.

Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Влияние расхода газа на температурные распределения дуговой плазмы // Теплофизика высоких температур. — 1984. — Т. 22, № 6. — С. 1067—1075.

449・ Мельникова Т.С-, Пикалов В.В. Томографическая диагностика низкотемпературной плазмы // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. — 1987. — № 11, вып. 3.— С. 60— 68.

Мельникова Т.С., Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. О локальной диагностике оптически плотной асимметричной плазмы // Оптика и спектроскопия. — 1980.—— Т. 48, № 3. — С. 474—479.

Меркулов А.М., Гусаков А.М. Автоматизированный вычислительный комплекс для малоракурсной томографической диагностики // Реконструктивная томография.—— Куйбышев, 1987. — С. 52—57.

Морозов В.А. Методы решения неустойчивых задач. — М.: Изд-во МГУ, 1967.— 148 c.

Морозов В.А. О принципе иевязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1968. — Т. 8, № 2. — С. 295—309.

Морозов В.А. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений // Журн. вычисл. математики н мат. физики. — 1970. — Т. 10, № 4. — С. 818—829.

Морозов В.А. О задаче дифференцирования в некоторых алгоритмах приближения Экспериментальной информации // Вычислительные методы и программирова- иие. — М.: Изд-во МГУ, 1970. — Вып. 14. — С. 46—62.

Нальчоглу О., Чжо З.Х. Восстановление изображений трехмерных объектов по проекциям, полученным при облучении коническим пучком // ТИИЭР. — 1978.— Т. 66, № 11. — С. 345—347.

Нахтерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. — М.: Мир, 1990. — 288 с.

Николаев В.ИМ Пытьев Ю.П., Русаков В.С. и др. Новый принцип организации комплекса испектрограф + ЭВМ" // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 260, № 4.— С. 848—852.

Овсянников А.А., Энгелыпт В.С., Лебедев Ю.А. и др. Диагностика низкотемпературной плазмы // Низкотемпературная плазма. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд- ние, 1994. — Т. 9. — 485 с.

Овчинников К.В., Меркулов А.М., Уваров Г.В., Лагутская Л.И. Система для томографической диагностики плазменных потоков // Вопросы реконструктивной томо* графии. — Новосибирск, 1985. — С. 112 —121.

Олейникова Г.В., Меркулов А.М. Томографические системы для диагностики высокотемпературных потоков ионизованного газа // Реконструктивная томография.— Куйбышев, 1987. — С. 68—75.

Орлов С.С. Теория трехмерной реконструкции // Кристаллография. — 1975.— Т. 20, вып. 3. — С. 511—515, 701.

Островская Г.В., Филиппов В.Н. Оптический метод измерения радиального распределения показателя преломления // ЖТФ. — 1978. — Т. 48, №11. — С. 2381 — 2388.

Островский Ю.И., Бутусов ММ” Островская Г.В. Голографическая интерферометрия. —М.: Наука, 1977. — 339 с.

Панин В.В., Лукачев С.В., Левченко М.А. Спектрально-томографические методы диагностики плазмы // Реконструктивная томография. — Куйбышев, 1987.— С. 82—87

Пикалов В.В, Некорректные задачи локальной оптической диагностики газовых и плазменных объектов произвольной конфигурации // Инверсия Абеля и ее обобщения. —Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978. — С 25—67.

Пикалов В.В. Программа восстановления локальных коэффициентов эмиссии эллиптического плазменного объекта (ELLIPS) (ИТПМ, 19^9, 28 с), П004148 // Алгоритмы и программы. Информ, бюл. ГФ АП. — 1980. — № 2(34). — С. 48.

Пикалов В.В. Комплекс программ томографической реконструкции локальных характеристик плазмы // Комплексы программ математической физики (VII СКПМФ). — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1982. — С. 317—319

Пикалов В.В. Инверсия Радона для треугольных плазменных конфигураций // Материалы Ш Всесоюз. школы-семинара: Современные методы магнитного удержания, нагрева и диагаостики плазмы. — Харьков: ХФТИ, 1982. — С. 160 —162.

Пикалов В.В. Модификации сверточного алгоритма оптической томографии газового потока // Ш Всесоюз. шк. по методам аэрофизических исследований: Сб. докл. Ч. 2. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1982. — С. 232—235.

Пикалов В.В. Проблемы разработки и сопровождения программного обеспечения задач плазменной томографии // Всесоюз. сим. по вычисл. томографии: Тез. докл.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. — С. 150—151.

Пикалов В.В. Пакет прикладных программ, ориеитироианный на задачи вычислительной томографии // Вопросы реконструктивиой томографии. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. — С. 132—135.

Пикалов В.В. Алгоритм обратного распространения для эйконального приближения в томографии // П Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. — Куйбышев: КуАИ, 1985. — С. 121 — 122.

Пикалов В.В. Восстановление томограммы прозрачной неоднородности методом обращенной волны // Оптика и спектроскопия. — 1988. — Т. 65, № 4. — С. 956— 962.

Пикалов В.В. Методы оптической томографии плазмы // Оптическая томография: Тез. докл. Всесоюз. семинара. — Таллин: ИК АН ЭССР, 1988. — С. 136—140.

Пикалов В.В. Многомерная томография: алгоритмы и приложения // IV Всесоюз. симп. по вычисл- томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С 127—128.

Пикалов В.В. Возможности пакета программ TOPAS для задач компьютерной томографии // Математическая обработка и интерпретация результатов физических экспериментов. —М.: Эиергоатомиздат, 1989. — С. 57—63.

Пикалов В.В. Трехмерная томография： предобработка, реконструкция и визуализация на персональной ЭВМ // V Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл.— М.: ВНИИФТРИ, 1991. — С. 222—223.

Пикалов В・В., Преображенский Н.Г. О преобразовании Абеля при голографической интерферометрии точечного взрыва // ФГВ. — 1974.——Т. 10, № 6. — С. 923—930.

Пикалов В.В., Преображенский НГ О восстановлении локальных характеристик плазмы в условиях ограниченной экспериментальной информации // Оптика и спектроскопия. — 1976. — Т. 40, № 6. — С. 1094—1096.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Оптическая диагностика дуговой плазмы при наличии температурных флуктуаций // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук.— 1976. — N& 3, вып. 1. — С. 47—50

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Восстановление поля локально равновесных температур средь! по излучению // Инж.-физ. журн. — 1977. — Т. 33, № 6.— С. 1042—1046.

Пикапов В.В., Преображенский Н.Г. О некоторых проблемах диагностики низкотемпературной плазмы, решаемых с помощью ЭВМ // Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977.— С. 138—176.

Пикалов 8.В., Преображенский Н<Г, Локальная диагностика газовых и плазменных объектов с заданными изолиниями // Оптика и спектроскопия. — 1979. — Т. 46, № 1. — С. 209—211.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент // УФН. — 1983. — Т. 141, № 3. — С. 469—498.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Алгоритмы плазменной вычислительной томографии // Сб. докл. III Всесоюз. совещ. по диагностике высокотемпературной плазмы. — Дубна: ИАЭ, 1983. — С. 85.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Атомно-спектральная томография // Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1984. — Т. 48, № 7. — С. 1289—1296.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография в газовой динамике и физике плазмы // Некорректные задачи математической физики и анализа. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984. — С. 106—111.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Алгоритмы плазменной вычислительной томографии // Диагностика плазмы. — М.: Энергоатомиздат, 1986. — Вып. 5.— С. 263—266.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. — 230 с.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Синтез методов спектроскопии и томографии // XX Всесоюз. съезд по спектроскопии: Тез. докл. Ч. 2. — Киев: Наук, думка, 1988. — С. 435.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Гиппиус Е.ФМ Колесников В.Н. К вопросу о надежности определения локальных значений интеисивности излучения плазмы // Физика плазмы. — 1978. — Т. 4, № 4. — С. 926—930.

Пикалов В.В” Преображенский Н.Г., Тамбовцев Б.З. Статистическая регуляризация решения интегрального уравнения Абеля // Аэрофизические исследования.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1973. — Вып. 2. — С. 35—37.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Тамбовцев Б.З. Статистическая регуляризация и некоторые новые методы решения у словно-корректных задач // Некорректные обратные задачи атомной физики. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1976.— С. 17—33.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Трашкеев С.И. Томографическая интроскопия трехмерной фазовой неоднородности // Оптика и спектроскопия. — 1985.—— Т. 58, № 6. — С. 1357—1358.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Шаимова И.В. Задача поляризационной томографии магнитоактивной плазмы // VI Всесоюз. конф, по физике низкотемпературной плазмы. Т. 2. — Л・：ЛИЯФ, 1983. — С. 297—299.

Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Шарапова Н.В. Томографические алгоритмы реконструкции локальной эмиссии плазмы// Материалы Ш Всесоюз. школы-семи- н^ра： Современные методы магнитного удержания, нагре&а и диагностики плазмы. —Харьков: ХФТИ, 1982. — С. 156—159.

Пикалов В.В., Федосов В.П. Определение локальных характеристик плазменных объектов эллиптической формы // Инверсия Абеля и ее обобщения. — Новосибирск： ИТПМ СО АН СССР, 1978. — С. 190—199.

Пикалов В.В., Шарапова Н.В. Реконструкция изображений по неравномерным проекционным данным // Оптическая томография: Тез. докл. Всесоюз. семинара.— Таллин: ИК АН ЭССР, 1988. — С. 141 — 142.

Пикалов В.В., Шарапова Н.В. Быстрые алгоритмы обнаружения трещин на основе нелинейного обратного проецирования //IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. И. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 152—153.

Подгорный И.М. Лекции по диагностике плазмы. — М.: Атомиздат, 1968.——217 с.

Половиков А.И., Пикалов В.В., Жаинаков А.Ж. Радиальное распределение температуры дуги в потоке аргона, азота, водорода // Тр. Кирг. уи-та. Сер. физ. наук.— Фрунзе: КГУ, 1975. — Вып. 6, ч, 1. — С. 23—30.

Попов А.А., Стоянов АК, Янисова Л.К. Оптическое преобразование Радона при обработке проективных изображений // Автометрия. — 1981. — № 3- — С. 27—32.

Попов Д.А. О применении гладких регуляризаторов для вычисления свертки // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 276, № 1. — С. 38—42.

Преображенский Н・Г・，Пикалов В.В. Обратные задачи прикладной спектроскопии // В.В. Лебедева. Техника оптической спектроскопии. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — С. 343—371.

Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.—— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. — 238 с.

Пятницкий Л.Н. Лазерная диагностика плазмы. — М.: Атомиздат, 1976. — 424 с.

Ра Дж.Бм Чо 3・Х. Обобщенный алгоритм реконструкции действительного трехмерного изображения // ТИИЭР. — 1981. — Т. 69, № 5. — С. 202—204.

Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. — М.: Мир, 1989.—512 с.

Седельников А.И., Чернов Е.И. Измерение газодинамических полей плотности с использованием методов ВТ. — Новосибирск, 1988. — 42 с. — (Препринт / ИТПМ СО АН СССР; № 20—88).

Седельников А.М., Чернов Е.И. Томографическое определение поля плотности в сверхзвуковой струе за соплом с косым срезом // Изв. СО АН СССР. Сер. техн, наук. — 1990. — Вып. 4. — С> 77—80.

Скаддер Г.Дж. Введение в машинную томографию // ТИИЭР. — 1978. — Т. 66, № 6* — С. 5—16.

Скотников М.М. Теневые количественные методы в газовой динамике. — М.: Наука, 1976. — 160 с,

Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. — М.: Наука, 1967.—528 с.

Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1976. — 248 с.

Терновой К.С., Синьков М.В., Закидальский А.И. и др. Введение в современную томографию (методы, средства, клинические исследования). — Киев: Наук, думка, 1983. — 232 с.

Тимонов А.А., Пестряков А.В. Об одной структуре параллельных томографических вычислительных систем // Докл, АН СССР. — 1989. — Т. 305, № 6. — С. 1321 — 1324.

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я” Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. — М.： Наука, 1987. — 160 с.

Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. — М.: Радио и связь, 1989.— 240 с.

Троицкий И.Н., Уманский М.С. Распознавание проекционных данных, полученных в томографическом эксперименте, при наличии свободной альтернативы // Автометрия. —1989. — № 1. — С. 54—59.

Турчин В.6, Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // УФН. — 1970. — Т. 102, № 3.— С. 345—386.

Филонин О.В. Некоторые вопросы получения и обработки информации в задачах трехмерной томографии // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. I. — Новосибирск： ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 240—243.

Филонин О.В., Меркулов А.М., Ярцев В.ф. Разработка и исследование ИВК для томографической диагностики плазменных потоков 〃 Всесоюз. симп. по вычисл. томопжфии: Тез. докл. — Новосибирск, 1983. — С. 197—198.

Филонин О.В., Овсищер М.В., Теплоухов В.Л. Исследование возможностей применения методов типа свертки для диагностики плазменных потоков по их собственному излучению // Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии.— Новосибирск, 1985. — С. 149—160.

Филонин О.В., Панин В.В., Левченко М.А., Щербачеико Г.В. Мультималоракурс- ный томограф для диагностики факелов и пламен // IV Всесоюз. симп. по вычисл. томографии: Тез. докл. Ч. П. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 172— 173.

Фомин Н.А. Применение техники спекла для диагностики газодинамических течений. —Минск, 1987. — 43 с. — (Препринт / ИТМО АН БССР; № 44).

Фомин Н.А. Спекл-интерферометрия газовых потоков. — Минск: Наука и текника, 1989. — 231 с.

Франк А.Г. Формирование, эволюция и взрывное разрушение токовых слоев в плазме // Труды ФИАН СССР. — 1985. — Т. 160. — С. 93—121.

Франсон М. Оптика спеклов. — М.: Мир, 1980. — 171 с.

Фриш С.Э« Оптические спектры атомов. — М.; Л.: ГИФМЛ, 1963. — 640 с.

Хадцлстоун Р・，Леонард С. (Ред.> Диагностика плазмы. — М.: Мир, 1967. — 515 с.

Хелгасон С. Преобразование Радона. — М,: Мир, 1983. — 152 с.

Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. — М.: Мир, 1983. —3 5 纟

Черевко А.С., Пикалов В.В., Тагильцев А.П. и др. Зависимость температуры плазменной струи двухструйного плазмотрона от потенциала ионизации запыляющего плазму вещества// Изв. СО АН СССР. Сер. хим. — 1983. — № 14, вып 6.— С. 80—85.

Черевко А.С.» Пикалов В.В., Тагильцев А.П. и др. Изучение температурного поля плазменной струи двухструйного плазматрона // ЖПС. — 1983. — Т. 38, № 3.— С. 497—499.

Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1993. — 233 с.

Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Наука. 1965. — 328 с.

Штейн И.Н. О применении преобразования Радона в голографической интерферометрии // Радиотехника и радиоэлектроника. — 1972. — Т. 17, № 11. — С. 2436— 2437.

Яненко Н.Н., Карначук В.И” Коновалов АН. Проблемы математической технологии // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. — С. 129—157.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТОМОГРАФИИ 6

Оптические методы —

Основы математических методов 22

Алгоритм RICSS2 —

Алгоритм RICSS1 24

Алгоритм SL2 25

Алгоритмы R1 и R2 —

Алгоритм ESI 27

Регуляризация сверточных алгоритмов сглаживающими сплайнами

Глава 2

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ

ПЛАЗМЫ 29

Эмиссионная и абсорбционная томография ； —

Трансмиссионные методы 32

Теневой и шлнрен-методы 34

Интерференционные методы 36

Голографические методы 37

Спекл-томография 41

2.3. Нетрадиционные методы в томографии 46

Хронотомография ——

Спектротомографня 49

Томография рассеивающих сред 51

Глава 3

ОДНОМЕРНЫЕ АЛГОРИТМЫ ТОМОГРАФИИ 55

Редукция двумерных задач томографии к одномерным —

Одноракурсная томография: инверсия Абеля —

Эллиптические изолинии 57

Пример изолиний специального вида 62

Изолинии произвольной формы 64

Глава 4

ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТОМОГРАФИИ 67

Итерационный алгоритм Гершберга — Папу лиса —

Критерий информативности проекций 71

Модифицированный метод максимума энтропии —

MENT: веерная томография 73

Алгоритм синтеза проекций 75

3.1. Теория метода 76

Численное исследование алгоритма МСП 80

4-4. Томография объектов с непрозрачными включениями 92

Методы реконструкции томограмм с учетом рефракции зондирующего

излучения 95

Постановка двумерной задачи —

Метод обращенной волны 98

453, Численное моделирование 101

Глава 5

ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТОМОГРАФИИ ПЛАЗМЫ 104

Введение —

Трехмерные итерационные алгоритмы 106

Модифицированный алгоритм Гершберга — Папу лиса —

Регуляризация итерационного процесса 107

Трехмерный алгоритм максимума энтропии 108

Программная реализация алгоритмов 109

Вычислительный эксперимент —

Реконструкция томограмм: точные проекции 111

Реконструкция томограмм: влияние шумов 120

Информативность проекций 121

Реконструкция томограмм алгоритмом 3D MENT 125

Задачи предобработки двумерных проекций 126

Определение систем координат на проекции и на объекте ....—

Корректировка амплитуд проекционных данных 127

Определение и корректировка ориентационных характеристик проекции 128

Проблемы программной реализации алгоритмов томографии 129

Некоторые проблемы и перспективы трехмерной томо1рафии 134

Глава 6

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ПЛАЗМЕННОЙ ТОМОГРА-

Эмиссионная томография плазмы

- 5 957054 794- 4 566889 99211 1 I* 1 1 1 11 11 11 2- 5 957054 794- 4 566889 99211 1 I* 1 1 1 11 11 11 2Томография поперечно обдуваемой электрической дуги, помещенной в поперечное магнитное поле

- 5 957054 794

- 4 566889 992

11 1 I* 1 1 1 11 11 11 2

- 5 957054 794

- 4 566889 992

11 1 I* 1 1 1 11 11 11 2

Томография электродуговой плазмы, помещенной в продольное магнитное поле, и плазменной струи

Схемы сканеров для сбора томографической ин4юрмации по эмиссионным характеристикам плазмы

Томография токового слоя

Томографические исследования высокотемпературной плазмы

Трансмиссионная томография плазмы

Интерференционная томография плазмь!

Спекл-томография газовых и плазменных объектов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК РИСУНКОВ

СПИСОК РИСУНКОВ

Рис. I」，Томографическая регистрация излучения плазмы 7

Рис. 1.2. Томограммы простого фантома: осесимметричная гауссиана 12

Рис. /.3. Реконструкция гладких фантомов 14

Рис. /4. Пример неединственмости задачи томографии 15

Рис. /.5. Характерные артефакты оператора обратного проецирования 17

Рис. /.6. Пример работы нелинейного порогового оператора ОП 20

Рис. J.7. Томография объекта с непрозрачными включениями 21

Рис. 2.1. Ход коэффициентов рефракции и абсорбции вблизи спектральной линии [394] 33

Рис, 2.2. Схемы получения теневых картин[350] 34

Рис. 2 3. Оптическая схема интерферометраМаха — Цендера 36

Рис. 2.4. Осевая голография [350] 38

Рис. 25 Внеосевая голография [350] 39

Рис. 2.6. Голографический интерферометр с диффузным освещением объекта [394] 40

Рис. Z7 Образование спекл-поля в диффузном когерентном свете [527] 42

Рис. 2.8. Образование полос Юнга [530] —

Рис. 29. Техника спекл-фотографии для исследования газодинамических неоднородностей [530] 43

Рис. 2.10. Схемы исследования фазовых (прозрачных) неоднородностей с использованием спекл-фотографии и спекл-интерферометрии [527] 45

Рис. 2.11. Хронотомографическая схема регистрации [284] 46

Рис. 2」2. Схема трехканального хронотомографа [430] 48

Рис. 2.13. Хронотомограмма тест-объекта, представляющего собой две гауссианы, разнесенные во времени и пространстве [430]

Рис. 2.J4. Двумерное изображение объекта, полученное при использовании спек

трального прибора [333] 49

Рис. 2.J5. Получение спектротомотрафических проекций [158]. 50

Рис. 2.16. Получение спектротомографических проекций вращением диспергирующего элемента [333] 51

Рис. 2.17. Схема изучения неоднородной среды по рассеянию излучения [430].52

Рис. 2.78. Численное моделирование рассеивающей среды, состоящей из 10 отражающих центров [430] 54

Рис. 3.7. Эллиптические изолинии со смещениями 58

Рис. 3.2. Изолинии вида (3.2.11> с различными показателями 2п 61

Рис. 3.3. Норма отклонения решений по правой н левой частям сигнала /( £ ) вблизи а0 = 0,5 [490] 62

Рис. 3.4. Изолинии для плазмы торсатрона 63

Рис. 4.1. Восстановление алгоритмом MGP игоризонтального1* и "вертикального" фантомов 69

Рис 4.2. Зависимость погрешности реконструкции игоризонтальной** и wверти- кальнойи моделей от номера итерации L 70

Рис 4.3. ^Идеальная** схема расположения детекторов в пространстве синограммы для веерной и параллельной схем измерений, расположение детекторов для реальной экспериментальной системы ViLT на токамаке RTP [126, 129] 77

Р%с・ 4.4. Схема билинейной интерполяции 79

Рис. 4.5. Точные томограммы и синограмма модели N 1 81

Рес 4.6. Реконструкция томограмм и синограмм при вариации параметра релаксации Л к 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 85

Рис. 4.7. Зависимость норм погрешностей реконструкции томограмм от номера итерации для различных значений параметра релаксации 86

Рис. 4.8. Завнснмость норм погрешностей реконструкции для Л = 2,0 и А = 2,4 томограмм (7), синограмм (2) и норм невязки для синограммы (3) от номера итерации L 87

Рис. 4.9. Реконструкция томограммы модели N 1 алгоритмом SL2, погрешность

А：°т = 37,82 % и синограммы по этой томограмме» 厶；必=11,79 % .88

Р〃с. 4.10. Реконструкция томограммы и синограммы модели N 1 алгоритмом ISR (система ViLT) 89

Рис. 4〃 Зависимость погрешностей восстановления томограммы (/), синограммы (2) и норм невязки для синограммы (3> модели N 1 алгоритмом ISR от номера итерации (система ViLT) 90

Рис. 4.12. Реконструкция томограммы методом SL2 (К = 11, N = 27, параллельная регистрация проекций, А：°т = 25,48 % и синограммы по приведенной томограмме (интерполяция Рябенького, А产 =11,79 %) 91

Рис. 4.23. Реконструкция неоднородного 2D объекта g(x, у), содержащего в центральной области осесимметричное непрозрачное включение . 94

Рис 4.14. Зондирование плоской волной оптической неоднородности 96

Рис. 4.15. Характеристическая функция круга и ее фильтроваиные проекции в алгоритме Шеппа —— Логана; нелинейная фильтрация импульсной проекции в направлении е = 0 и ее “сле〃“ на томограмме, полученный оператором обратного распространения волны 办 100

Рис. 4」6. Сравнение характеристик алгоритмов CV1 н ARW 102

Рис. 4,17. Реконструкция модельных возмущений показателя преломления Лп (х, у) (сечення х = 0> после первой и пятой итераций 103

Рис. 5」.Регистрация двумерных проекций в задаче трехмерной эмиссионной томографии 105

Рис.，2 Завнснмость нормы отклонения А】 от номера итерации £ для модели ^ 1 112

Рис. 5.3. Влияние изменяющейся толщины слоя сноса d на норму отклонения..—

Рис, 54 Поведение норм отклонения Д3 и Л4 от номера итерации L при изменяющемся значении d ■—

Рис. Л5. Расходимость итерационного процесса. Модель ^ 3 (сглаживание и фильтрация отсутствуют) —

Рис. 5.6. Точная модель из трех эллиптических гауссиан, подлежащая восстановлению 113

Рис. 57 Реконструкция модели рис. 5.6 методом 3DMGP за 5 итераций115

Рис. 58. Реконструкция точной модели методом 3DMGP за 10 итераций117

Рис. 5.9. Неудачный выбор углов регистрации проекций (см. рис.5.7, 5.8). . . .119

Рис. 5」0. Восстановленная томограмма прн углах регистрации проекций:

W1 = 30°, ^2 = 60°, & = 180° (ср. с рис. 5.8) 121

Рис. 5.11. Восстановленная томограмма для углов регистрации проекций:

W] = 45°, ^2 = 75°,屮з = 195° (ср. с рис. 5.8, 5.10) 123

Рис. 5.12. Реконструкция модели методом 3DMET для набора углов 卜】—30°, @2 = 60°, @з ~ 180° •• 4 124

Рис.，丿 3. Архитектура пакета программ компьютерной томографии TOPAS — MICRO [490] 131

Рис. 5.14. Составной фантом из библиотеки элементарных фантомов пакета TOPAS — MICRO [4901 133

Рис. 5.15. Составной ступенчатый фантом пакета TOPAS — MICRO из 12 элементарных прямоугольников [490] 134

Риа 6.丿.Оптическая схема аэродинамической трубы и системы сбора томографической информации для исследования влияния на электродуговой столб комбинации конвективных и магнитных полей [22]. . . 137

尸“с. 6-2. Конструкция экспериментальной установки для определения поля потока внутри дуги [257] 138

Рис 6.3. Томографическая схема регистрации излучения дуговой плазмы [257] •139

Рис. 6.4. Поле потока в сечении поперечно обдуваемой электрической дуги, помещенной в поперечное магнитное поле [257] 140

Рис. 6.5. Схема поперечного сечения электродуговой камеры для создания вращающейся дуга [230]. . 141

Рис 6.6. Схема расположения оптической аппаратуры для измерения параметров вращающейся дуги [230] 142

Рис. 6.7. Поля потока вращающейся электрической дуги [230] —

Рис. 6.8. Экспериментальная установка для создания дуги между двумя плоскопараллельными пластинами [277] 143

Рис- 6 9. Схема измерительной оптической аппаратуры для определения параметров электрической дуги, горящей между двумя плоскопараллельными пластинами [277] —

Рис. 6」0・ Температурное поле и поле потока массы в поперечном сечении дуги, горящей между двумя плоскопараллельными пластинами[277] 144

Рис. 6」？・ Схема измерений с плазменным томографом, являющимся частью алектродугового канала [440] 146

Рис. 6. /2 Сикорамма на блоке световодов [440] 147

Рис. 6.13. Результат реконструкции модифицированным алгоритмом RICSS2 коэффициентов Эмиссии капиллярного разряда, помещенного в различные точки исследуемого сечения (391 ] 148

Рис. 6.14* Поля температур электрической дуги, горящей в цилиндрическом канале в потоке газа [446] 149

Рис. 6. J5. Поля температур осесимметричного плазменного шнура в цилиндрическом электродуговой канале и нестационарной электродуговой плазмы, изменяющейся во времени [444] 151

Рис. 6.16. Схемы плазменной установки и томографических измерений эмиссии плазменной струи [188] 152

Рис, 6」7. Структурная схема регистратора изображений [188] 153

Рис. 6.18. Исследование ошибки восстановления модифицированным алгоритмом ESI на модельных функциях [188] 155

Рис. 6.19. Поля температуры в сечениях плазменной струн, расположенных на расстояниях от среза сопла: Z = 1,Z=2, Z=3(Z = z/D, D=1cm — диаметр выходного сопла плазмотрона) [188] 156

Рис. 6.20. Схема автоматизированного томографического комплекса для измерения параметров плазменных потоков сложной формы [425] 157

Р〃с 6.21. Изотермы плазменного потока, образованного слиянием струй четырех плазмотронов, в сечениях, отстоящих на расстоянии 60 и 20 мм от места слияния струй [232] 158

Рис 6.22. Блок-схемы сканеров для сбора информации при исследовании плазмы по эмиссюнным характеристикам [460] 159

Рис. 6.23. Оптическая схема томографа для диагностики слабосветящихся объектов [437] 160

Рис. 6.24.Схема двухракурсного томографическогоустройства [437] 161

Рис. 6.25. Схема малоракурсного оптического томографа для измерения излучающей, поглощающей и рассеивающей компонент плазменного объекта [526] 162

Рис. 6.26. Схема эмиссионного плазменного томографа для изучения стационарных плазменных объектов [106] —

Рис. 6.27. Ход лучей в спектрометре и схема его конструктивного выполнения [343, 344] 163

Рис. 6.28. Регистрируемая интерференционная картина [343] 164

Рис. 6.29. Схема экспериментальной установки и расположения диагностической аппаратуры для изучения токового слоя[74] 166

Рис. 6.30. Двумерные распределения свечения плазмы ТС в лннни Hei Л = =587,6 нм в последовательные моменты времени [74] 167

Рис. 6.3J. Схема измерения эмиссии микропинчевого разряда и результаты восстановления коэффициентов эмиссии МП [317] 168

Рис. 6.32. Схема сечения установки Tormac IV [199] 169

Рис. 6.33. Схема спектрографа для регистрации контуров спектральных линий на установке Tormac IV [199] 170

Рис, 6.34. Система регистрации изображений плазмы на токамаке Alcator А [39].—

Рис. 6.35. Схема томографической диагностической аппаратуры токамака Alcator С [33] 171

Рис, 6.36. Последовательность томограмм ннтенсивностн МРИ, характеризующая осцилляции — предвестники “гигантских" пилообразных колебаний на токамаке Alcator С [33] 172

Рис. 6.37. Расположение детекторов излучения плазмы в рентгеновском диапазоне спектра на установке Т-10 173

Рис. 6.38. Томограммы модельной (?) и восстановленной (2) интенсивности излучения плазмы в токамаке Т-10 для двух различных стадий внутреннего срыва 174

Рис. 6.39. Кадры временной эволюции изолиний интенсивности МРИ в акте внутреннего срыва на установке Т-10 [385] 175

Рис. 6.40. Томограммы эволюции излучения примесей на установке токамак ФТ-2 [155] 176

Рис. 6・4L Томографическая система регистрации рентгеновского излучения на токамаке TdeV [132, 133] 177

Рис. 6-42. Томографическая реконструкция Х-излучения плазмы во время пилообразного срыва, указывающая на процесс перезамыкания на токамаке TdeV [133] 178

Рис. 6.43. Система сбора томографической информации в рентгеновской области спектра на токамаке RTP [125] 179

Рис. 6.44. Томограммы эмиссии плазмы на токамаке RTP в течение процесса пилообразного срыва при омическом нагреве [175] —

Рис. 6.45. Схема регистрации томографической информации в видимой области излучения плазмы на токамаке RTP [125] 180

Рис. 6.46. Геометрическая схема регистрации рентгеновских лучей в трехмерной томографии эмиссии лазерной плазмы [193] —

Рис. 6.47. Схема экспериментальной аппаратуры для определения состава аргон- метановой смеси методом абсорбционной томографии [64] 181

Рис. 6.48. Схема пятиканального абсорбционного томографа [64] 183

Рис. 6.49. Схема теневого томографа [510, 511] 184

Рис. 6J0. Томограмма плотности потока газа, истекающего из конического сверхзвукового сопла, в сечении Z = 1,5 [510] —

Рис. 6." Томограмма поля плотности четырехструйного трансзвукового течения [393] 185

Рис. 6.52. Система получения изображений плазмы с двух направлений на токамаке Mtcrotor [60, 122] 186

Рис. 6.53. Оптическая схема интерферометра Маха — Цендера для томографических исследований сверхзвуковых струй[246] 187

Рис. 6.54. Оптическая схема голографического интерферометра (246] 189

Рис. 6-55. Оптическая схема двухволнового 8-канального голографического интерферометра [248] 190

Рис. 6.56. Оптическая схема голографического интерферометра для исследования состава струи [266] 192

Рис. 6.57. Оптическая схема трехракурсного поперечного томографического интерферометра [430] 193

Рис. 6・58・ Оптическая схема трехракурсного продольного томографического интерферометра [352] —

Рис. 6.59. Схема оптической части установки для получения спеклограмм одновременно в двух взаимно перпендикулярныхнаправлениях [527] 194

Рис. 6.60. Схема оптической части установки, позволяющая получить спекл-поля одновременно с четырехнаправлений[527] 195

Рис. 6・6丿・ Схема автоматизированной системы для записи спеклограмм [25]....——

Научное издание

НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯПЛАЗМА

Том 13

Пикалов Валерий Владимирович

Мельникова Татьяна Сергеевна

ТОМОГРАФИЯПЛАЗМЫ

Редактор М£. УспенскаяХудожественный редактор J15. МатвееваТехнический редактор ЛЛ. МинееваКорректор Л£. КомароваОператор электронной верстки ЯЛ. Меретина

ИБ 51075

ЛР № 020297 от 27.11.91, Сдано в набор 11.10.95. Подписано к печати 18Л1.96. Бумага типографская. Фор-мат 60 х 90 1/16. Гарнитура тайме. Офсетная печать. Усл. пен. л. 14,5. Уч.-изд. л. 15,0. Тираж 360 экз.Заказ № 460.

иНаукам. Сибирская издательская фирма РАН. 630099 Новосибирск, ул. Советская, 18.Оригинап-макег изготовлен на настольной издательской системе.

Новосибирская типография № 4 РАН, 630077 Новосибирск, ул. Станиславского, 25.

Ейзкотёмпературная

ПЛАЗМА

脸

ТОМОГРАФИЯПЛАЗМЫ

СИБИРСКАЯ ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА РАН“НАУК А “ВЫПУСТИЛА В СВЕТ СЛЕДУЮЩИЕ ТОМА СЕРИИ

НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ПЛАЗМА(гл, ред. серии академик МФ. Жуков)ТЕОРИЯ СТОЛБА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ. Т. 1(nod ред. В.С. Энгелыита)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИИ ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМОЙ. Т. 2(под ред. О.Я. Новикова)

ХИМИЯ ПЛАЗМЫ. Т. 3(мд ред. Л.С. Полака)

ПЛАЗМОХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ. Т. 4

(под ред. В.Д. Пархоменко)

УСТОЙЧИВОСТЬ ГОРЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ- Т. 5(лдд ред. О.Я. Новикова)

ВЧ- И СВЧ-ПЛАЗМОТРОНЫ. Т. 6

(под ред. С.В. Дресвина)

СИЛЬНОТОЧНЫЙ ДУГОВОЙ РАЗРЯД В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. Т. 7(под ред. 6.4 Урюкова)

ПЛАЗМЕННАЯ МЕТАЛЛУРГИЯ. Т. 8(под ред. Ю.В. Цветкова)

ДИАГНОСТИКА НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ. Т. 9 .

(под ред. 44 Овсянникова)

ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ ПРИЭЛЕКТРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. Т. 10(под ред. ИТ. Паневина)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАТОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. Т. И(под ред. В.И. Хвесюка)

ТОМОГРАФИЯ ПЛАЗМЫ. Т. 13

(под ред, В.В. Пикалова)

И ГОТОВИТ К ИЗДАНИЮ

ПЛАЗМОХИМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ УЛЬТРАДИСПЕРСНЫХ ПОРОШКОВ И ИХПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ. Т. 12(под ред. В.М. Фомина, А.Н. Черепанова}

ПЛАЗМЕННАЯ БЕЗМАЗУТНАЯ РАСТОПКА КОТЛОВИ СТАБИЛИЗАЦИЯ ГОРЕНИЯ ПЫЛЕУГОЛЬНОГО ФАКЕЛА. Т. 16(иод ред. М.Ф- Жукова)

ЭЛЕКТРОДУГОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ. Т. 17《3 ped М.Ф. Жукова)

НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ

ПЛАЗМА

13

В.В. ПИКАЛОВ, Т.С. МЕЛЬНИКОВА

ТОМОГРАФИЯПЛАЗМЫ

Ответственный редакторкандидат физико-математических наукВ.В. Пикалов

НОВОСИБИРСК“НАУКА"СИБИРСКАЯ ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА РАН1995

УДК 533.9 + 518.517.948 + 539.143.43 + 615.47

ББК 22.333

П32

Томография плазмы / В.В. Пикалов, Т.С. Мельникова.— Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. — 229 с. — (Низкотемпературная плазма. Т. 13).

ISBN 5—02—030372—0.

В монографии представлены современные методы томографической диагностики плазменных объектов по характеристикам световой волны, излучаемой либо проходящей через них. Излагаются математические основы компьютерной томографии, описаны соответствующие дву- и трехмерные алгоритмы, нашедшие применение в реальных экспериментальных исследованиях плазмы. Дается краткая характеристика пакета прикладных программ TOPAS, разработанного для задач компьютерной томографии газа и плазмы. Характеризуются конструктивные особенности плазменных томографических систем, работающих в эмиссионных, интерферометрических и теневых схемах сбора диагностической информации. Приводится обширная библиография по соответствующим разделам теоретических и экспериментальных основ компьютерной томографии.

Книга предназначена для специалистов в области физики плазмы, информатики, вычислительной математики, а также для студентов вузов соответствующих специальностей.

Ил. 122. Библиогр/ 540 назв.

This monograph is devoted to the modern problem of plasma tomography diagnostics. It deals with interpretation of emis»on and transmission data in plasma experiments. Mathematical background of computerized tomography is given together with (wo- and three-dimensional algorithms thal were applied in the real experimental investigations of plasma.

Software package "TOPAS" developed specially for gas and plasma tomography is described in short. The book presents characteristics of a wide variety of plasma tomography systems, that were developed for emission, interferometric and Schlieren types of diagnostic setup.

The book is intended for academic and industrial researchers, especially those new to the field, and students.

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ СЕРИИ

Э.П. Волчков, Г.-Н.Б. Дандарон, Б.Н. Девятов (отв. секрЗ Г.А. Дюжев,М.Ф. Жуков (гл. ред.), В.В. Кудинов, Ю.В. Курочкин, А.И. Леонтьев, В.П. Лу-кашов, О.Я. Новиков, А.А. Овсянников, И.Г. Паневин, В.Д. Пархоменко,Л.С. Полак, Н.А. Рубцов, Л.М. Сорокин, П.И. Тамкиви, Б.А. Урюков (зам. гл.ред.), Ю.В. Цветков, В.С. Энгельпгг

Рецензенты

доктора физико-математических наук А.Л. Бухгейм, А.Н. Папырин

Утверждено к печати

1604120000-00©口 042(02口9厂"8-94 II полугодие g1604120000-00©口 042(02口9厂"8-94 II полугодие gISBN 5—02—030372—0ISBN 5—02—030372—0Институтом теоретической и прикладной механики СО РАН

1604120000-00©

口 042(02口9厂"8-94 II полугодие g

1604120000-00©

口 042(02口9厂"8-94 II полугодие g

ISBN 5—02—030372—0

ISBN 5—02—030372—0

В.В. Пикалов, Т.С. Мельникова, 1995 Российская Академия наук, 1995 “Наука". Сибирская издательская фирма РАН. Серия '"Низкотемпературная плазма*1. Основана в 1990 г., 1995 Разработха.М.Ф. Жуков, 1990

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга содержит попытку рассмотрения задач плазменной томографии, как они видятся с объединенных позиций экспериментатора и теоретика.

Приводятся описания наиболее интересных томографических систем, реально использованных в томографии газовых и плазменных объектов. Авторы постарались охватить все основные методы оптической диагностики: эмиссионныеf интерференционныеа также системы дефлектсметрии: шлирен, теневые и спекл-методы. Дано краткое введение в физические основы этих методов. Показано, что принципиально новые результаты удается получить с помощью описываемых томографических систем. Несмотря на то, что серия, в которой издается настоящая монография, посвящена низкотемпературной плазме, авторы сочли возможным коснуться томографических методов исследования высокотемпературной плазмы, поскольку на уровне проблем плазменной диагностики высокого пространственного разрешения границы подобного разделения весьма условны.

Решение обратных задач диагностики плазмы было бы невозможно без соответствующего математического аппарата, поэтому описаны также методы и алгоритмы решения задач плазменной томографии, от одномерных до трехмерных, в пределах физического уровня строгости.

Кроме того, представлены основные результаты оригинальных исследований авторов по томографии дугового разряда и по созданию алгоритмов малоракурсной томографии, проводимых в течение последних 15 лет.

Монография снабжена расширенным списком литературы по математической теории, алгоритмам и численным методам компьютерной томографии, а также по экспериментальным исследованиям в области плазменной томографии. Не все указанные работы упомянуты непосредственно в тексте книги, однако все они повлияли на ее содержание.

Авторы выражают глубокую признательность своим коллегам по томографическим исследованиям, постоянные обсуждения н дискуссии с которыми помогали в нашей работе.

Новосибирск, ■ апрель /995 с.