Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Исследования плазмы с существенными эффектами межчастичного взаимодействия ——неидеальной плазмы ——интенсивно развиваются в связи с разработкой перспективных технических проектов, к которым относятся мощные МГД-генераторы, устройства на основе газофазного ядерного реактора, управляемого термоядерного синтеза, плазмотроны и плазмохимические реакторы. Плазма с сильным кулоновским взаимодействием возникает при воздействии мощных ударных волн, мощного лазерного излучения, электронных и ионных пучков на вещество; в магнитокумулятивных генераторах, при гиперзвуковом движении тел в атмосферах планет, при высокоскоростном соударении тел и т.п. Проектирование устройств новой техники и необходимое при этом моделирование высокоскоростных газодинамических явлений предполагает известными как экспериментально и теоретически изученные термодинамические свойства неидеальной плазмы, так и переносные и оптические свойства такой среды. Актуальность предлагаемой монографии, в которой сведены вместе теоретические, модельные и прикладные аспекты проблемы изучения процессов переноса в плотной низкотемпературной плазме, определяется перечисленными обстоятельствами, а также отсутствием современных публикаций такого рода. Монография состоит из трех разделов: в первом рассмотрена теория процессов переноса в средах с сильным межчастичным взаимодействием, во втором ——модельное, основанное в значительной степени на экспериментальной информации, описание переносных процессов в неидеальных средах, в третьем разделе обсужден ряд задач, в которых переносные процессы являются определяющими.
Основная трудность, возникающая при исследовании переносных свойств неидеальных высокотемпературных сред, связана с невозможностью исчерпывающего теоретического описания данных сред. Поэтому особую значимость приобретают модельные подходы, которые базируются либо на представлениях теории заряженных жидкостей, либо на представлениях теории переноса в газовой плазме, а также на существующей экспериментальной информации. В качестве теоретических асимптотик при построении моделей целесообразно использовать результаты по одно и двухкомпонентным кулоновским, системам.
Теория теплофизических характеристик кулоновских систем с сильным межчастичным взаимодействием рассмотрена в пер-
вом разделе книги. Поскольку изучение переносных свойств кулоновских систем на основе кинетических уравнений возможно лишь при условии слабого межчастичного взаимодействия, в книге применена теория линейного отклика, которая справедлива для сред с произвольным межчастичным взаимодействием. В теории линейного отклика используются понятия механических и термических возмущений. Теория линейного отклика для механических возмущений кулоновских систем построена в работах Кубо. Необходимо отметить, однако, что потоки тепла, массы, импульса и заряда, фигурирующие в уравнениях сохранения для заряженной сплошной среды (и записанные в линейном приближении), не содержат внешних полей, т.е. являются откликами на термические возмущения. Вследствие этого кинетические коэффициенты, определяющие перечисленные потоки, не сводятся, вообще говоря, к коэффициентам Кубо. В книге обсуждаются различные варианты теории линейного отклика на термические возмущения; выражения для кинетических коэффициентов, соответствующих полному набору коэффициентов переноса многоэлемеитной заряженной конденсированной среды; общие ограничения на функции реакции неидеальных сред — аправила сумм” (гл. 1, 2).
В гл. 3 изложен подход к определению коэффициентов отражения и поглощения электромагнитного излучения, а также мощности излучения, рассеянного кулоновской системой с сильным межчастичным взаимодействием, основанный на использовании точных частотных моментов функций реакции и временных корреляционных функций кулоновской системы, с помощью которых вычисляются перечисленные оптические характеристики. Частотные моменты являются по существу термодинамическими характеристиками кулоновских систем; проведен сравнительный анализ частотных моментов. Обсуждается соотношение между теоретическими значениями коэффициентов отражения и поглощения электромагнитного излучения кулоновской системой и известными экспериментальными данными по оптическим характеристикам высокотемпературных конденсированных сред. Таким образом, подробный сравнительный анализ термодинамических, переносных и оптических характеристик кулоновских систем, проведенный в первом разделе книги методами теории линейного отклика, позволил выявить серию точных соотношений между данными характеристиками. Заметим, что кулоновские системы могут служить основой для изучения теплофизических свойств не только не- 4
идеальной плазмы, но и жидких металлов, электролитов, других конденсированных заряженных сред.
Во втором разделе книги (гл. 4—6) рассмотрена проблема определения полного набора коэффициентов переноса низкотемпературной, многоэлементной, химически реагирующей плазмы с сильным кулоновским взаимодействием — коэффициентов вязкости, транспортной теплопроводности, многокомпонентных коэффициентов диффузии и термодиффузии, электропроводности и термоэдс, определяющих потоки импульса, тепла, массы и заряда в данной среде. С этой целью проведен анализ существующих экспериментальных результатов по коэффициентам переноса неидеальной плазмы различных веществ. Основываясь на таком анализе, а также принимая во внимание результаты теории кинетических уравнений для слабонеидеальной плазмы и теории линейного отклика для кулоновских систем с сильным межчастичным взаимодействием, автор обсуждает модельный подход к вычислению полного набора коэффициентов переноса неидеальной плазмы. Введены эффективные коэффициенты переноса, связывающие массовые потоки химических элементов и конвективный тепловой поток с градиентами температуры, массовых долей химических элементов, электрическим полем в плазме. Использование эффективных коэффициентов переноса существенно упрощает решение задач высокотемпературной газодинамики в приближении локального термодинамического равновесия, если число компонентов больше числа химических элементов, образующих плазму. Изложенная в книге схема вычисления эффективных коэффициентов переноса достаточно сложна, поэтому для контроля числовых значений эффективных коэффициентов переноса исследуются также общие ограничения на нелинейную недиагональную матрицу эффективных коэффициентов. Свойства данной матрицы (и связанной с ней матрицы при старших производных в системе уравнений сохранения для среды с сильным межчастичным взаимодействием) важны и при использовании в задачах высокотемпературной газодинамики полного набора эффективных коэффициентов переноса.
Реализация модели для определения полного набора коэффициентов переноса низкотемпературной многокомпонентной плазмы с сильным кулоновским взаимодействием в виде комплекса программ, проведение расчетов коэффициентов переноса низкотемпературной плазмы практически важных веществ и их смесей позволили в ряде актуальных задач высокотемператур-
ной газодинамики рассмотреть эффекты, связанные с корректным учетом процессов переноса. В последнем разделе книги исследованы тепломассообменные характеристики при гиперзвуковом обтекании космического зонда в гелиево-водородной атмосфере, моделирующей верхние слои планеты Юпитер. Последовательно учитываются взаимодействия основных физических процессов в плазме ударного слоя между отошедшей ударной волной и графитовой поверхностью сферического зонда при определении конвективного и лучистого тепловых потоков в передней критической точке зонда. К указанным процессам относятся: вдув графитового теплозащитного покрытия в ударный слой под действием мощных тепловых потоков, лучистый и конвективный перенос тепла через ударный слой к поверхности зонда, многокомпонентный характер диффузионного перемешивания компонентов плазмы в ударном слое; в данной задаче применен подход, связанный с введением эффективных коэффициентов переноса. Кроме того, в третьем разделе книги рассмотрены критические явления в Покоящейся и движущейся низкотемпературной плазме. Изучены взаимодействие процессов многокомпонентной диффузии с объемным тепловыделением в полости газофазного ядерного реактора, а также явление <сгидродинамического взрыва” в низкотемпературной плазме с резкой зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры (гл. 7, 8).
При написании монографии предполагалось, что читатель знаком с элементами термодинамики и кинетической теории плазмы, квантовой механики, неравновесной статистической термодинамики. Наиболее сложные в методическом отношении вопросы вынесены в приложения.
В приложениях изложены различные варианты теории линейного отклика; обсужден подход к определению длинноволновой асимптотики временной корреляционной функции заряд- заряд, необходимой для исследования соотношения между локальной продольной электропроводностью и соответствующим коэффициентом Кубо кулоновской системы; рассмотрено статическое модифицированное приближение Глаубера, позволяющее рассчитать сечение рассеяния электрона на атоме в различных состояниях.
В заключение благодарю профессора С.М. Батурина и К.Т. Сумманена за поддержку.
Автор
Раздел I. Теория переносных и оптических характеристик кулоновских систем
Среди характеристик неидеальной плазмы, которая является примером высокотемпературной конденсированной заряженной среды, особый интерес в связи с многочисленными приложениями представляют переносные и оптические характеристики. При этом из-за ограниченности экспериментальных данных (среди переносных характеристик высокотемпературных конденсированных сред, по существу, измерена только электропроводность, а оптических — коэффициенты отражения и поглощения электромагнитного излучения) весьма важны теоретические и модельные исследования данных характеристик. Теоретические исследования переносных и оптических свойств заряженных конденсированных сред в книге выполнены для одно и двухкомпонентных кулоновских систем, наиболее изученных, хотя и не вполне адекватных (см. разд. II) моделей таких сред, к которым относятся, помимо плазмы с сильным кулоновским взаимодействием, электролиты, жидкие металлы, ядерная материя и т.п. Последовательное вычисление переносных и оптических характеристик кулоновских систем может быть проведено с помощью кинетических уравнений (КУ), либо методами теории линейного отклика (ТЛО).
Получение КУ, т.е. уравнений относительно одночастичных функций распределения частиц системы в классическом пределе традиционно проводится с использованием цепочки уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (ББГКИ), которая эквивалентна обратимому, динамическому, уравнению Лиувилля [1,2]. Решение цепочки ББГКИ разложением по малому газовому параметру wj(Ло - радиус действия межчастичного потенциала; п — концентрация частиц) для систем частиц с короткодействующим потенциалом приводит к появлению секулярных членов, нарастающих со временем, что указывает на применимость такого разложения лишь при малых временах. Для устранения подобных расходимостей в [1] предложено введение трех времен релаксаций (тс 一 времени столкновения, т七—времени между столкновениями и т力 一 макроскопического времени релаксации системы). При выполнении определенного соотношеийя между ними: Тс «т七 «т% — показано, что эволюция 5-частичной функции распределения происходит следующим образом: за время порядка тс зависимость ее от времени устанавливается функционально через зависимость одночастичной функции распределе-
ния от времени, т.е. наступает кинетическая стадия эволюции, когда вся временная зависимость определяется одночастичной функцией распределения. При временах порядка т力 зависимость от времени параметров системы определяется лишь несколькими первыми моментами одночастичной функции — плотностью, среднемассовой скоростью и т.п. Для обоснования необратимого характера КУ в [1] было введено условие ослабления корреляций, т.е. в бесконечном прошлом ^-частичная функция распределения представляет собой произведение одночастичных функций; цепочка ББГКИ для локально сильного потенциала и малого газового параметра приводится к интегралу столкновений Больцмана. Используя аналогичный подход для слабонеидеальной плазмы, цепочку ББГКИ можно привести к интегралу столкновений Ландау [1]. Существует несколько модификаций интегралов столкновений для слабонеидеальной плазмы, учитывающих динамическую поляризацию плазмы и устраняющих нефизические расходимости, сопутствующие различным формам интегралов столкновений [3]. В случае квантовой системы получение КУ, исходя из уравнений для матрицы плотности системы, возможно, также, лишь при условии слабого межчастичного взаимодействия [4].
Исходным пунктом теории линейного отклика как и теории КУ, является уравнение Лиувилля (или уравнение для матрицы плотности квантовой системы), которое решается разложением по малому параметру неоднородности (например, для слабого внешнего поля) [5]. При этом не предполагается, что межчастичное взаимодействие в системе слабое. Таким образом, применение методов ТЛО к кулоновским системам с сильным межчастичным взаимодействием для изучения реакции таких систем на “слабые" возмущения является последовательным подходом; в то время как с помощью КУ, вообще говоря, адекватно описываются слабонеидеальные среды и в сильнонеоднородном состоянии.
Глава 1. Теория линейного отклика кулоновской системы на механические и термические возмущения
Теория линейного отклика, изложению которой посвящена данная глава, позволяет определить функции реакции на продольное электрическое поле, электромагнитное поле, термические возмущения для классических и квантовых кулоновских систем с сильным межчастичным взаимодействием. Поясним понятия механических возмущений, используемых в ТЛО. Механические возмущения системы представляют собой результат действия внешних полей, при этом гамильтониан системы является суммой невозмущенного гамильтониана и гамильтониана взаимодействия системы с внешним полем. С использованием понятия механических возмущений в § 1, 2 данной главы получены микроскопические выражения и изучены свойства функций реакции двухкомпонентных кулоновских систем, представляющих физический интерес. ТЛО для механических возмущений, результаты которой использованы ниже, развита в [5]. Потоки тепла, массы, импульса и заряда, фигурирующие в уравнениях сохранения для заряженной конденсированной высокотемпературной среды, не содержат внешних полей, так продольное электрическое поле в выражениях для электрического тока, потоков тепла и массы, вообще говоря, есть среднее поле в среде. Поэтому в §3 изложен подаод к исследованию локальных значений феноменологических кинетических коэффициентов, соответствующих термическим возмущениям — среднему электрическому полю, градиентам температуры, химических потенциалов компонентов среды, массовой скорости среды, основанный на представлении уравнений сохранения в виде обобщенных уравнений Ланжевена [6—8]. При этом, в отличие от [9], показана несводимость некоторых феноменологических кинетических коэффициентов к соответствующим коэффициентам Кубо (ср. с [10]). Заметим, что помимо развитого в данной главе, существуют и другие подходы к описанию термических возмущений в конденсированных средах [11—14] (см. также § 4).
. Теория линейного отклика двухкомпонентной кулоновской системы на продольное электрическое поле
В данном параграфе кратко изложена квантовомеханическая теория линейного отклика в виде [5, 11, 15]. Сформулирована флуктуационно-диссипативная теорема (ФДТ). С помощью ТЛО
получены определения l/e^o)——обратной продольной диэлектрической проницаемости и е^ш)——продольной диэлектрической проницаемости, соответствующим “внешней" и “истинной" с (Л,ш), о«匕о) электропроводностям, функции реакции заряд-заряд — хРР(^®). Кроме того, выписаны соотношения Крамерса- Кронига для функций реакции и выражения для некоторых временных корреляционных функций двухкомпонентной кулоновской системы.
Пусть матрица плотности невозмущенной системы имеет вид [5, 11, 15]
Ре = ехр(哼Я) [Sp ехр(-₽Я)] т,(1.1)
где Я — гамильтониан системы; 0 = 1/%в» /^xt(0~ малая добавка к гамильтониану вследствие возмущения; %в — постоянная Больцмана; Т — температура. Для общности положим
яех\0 = 一2仲6屈鹤 x*,f).(1.2)
Здесь Bj (г,/) — некоторое наблюдаемое свойство системы (например, плотность заряда 一 ер(г#)； е — заряд электрона);岁'(r,f) — обобщенная внешняя сила (например, потенциал, создаваемый сторонним зарядом). При использовании возмущения в виде (1.2) необходимо иметь в виду следующее: адиабатичность включения возмущения (у(г") ~ ехр(г|0； П ——малая положительная величина) при отрицательных временах, обеспечивающая линейность отклика возмущаемой системы, кроме того, в ТЛО естественно рассматривать лишь системы, устойчивые относительно малых возмущений. Соответствующее (1.2) изменение 且(г/) равно (см. подробнее Приложение I)
ОО
А < BN力>=呼\dtf\#%“(r - Е Т)苧也卄
%他=2 i 6 (f Т)表 V 国(「")3*，)] >0 = 2 i 6 ("仅羸；(1.3)
%“n，①)
二0 71О — z
Здесь [...] означает коммутатор; z — комплексная переменная; а%‘) — оператор в представлении Гейзенберга; <...>()一 усреднение по невозмущенной матрице плотности. Выпишем свойства симметрии функции реакции х%%(г-К» — Г), мнимой части xBBj, вытекающие из ее определения, эрмитовости операторов ^(rj) и их свойств относительно обращения времени
%“/(「一 г'/ 一 ')= Г%/4(г'-г/т)；
[У%% (г т'/ - Q ] = Г%斗(г -「', f f')； (1.4) %%%(「- г'" - ')= £声丿第в'1*' - г" -「)‘
8/ = 1(—1), если соответствующий оператор четный (нечетный) относительно обращения времени. Таким образом, %%3/(г ~ г^ ~ 0 — мнимая функция; часть 寸^卩,-г；①)一 симметричная относительно замены / на у и г на гг, действительная и нечетная по о функция; антисимметричная часть 忘也(г - г；①)一 мнимая и четная. Сопоставление равенств (1.4) показывает, что при одинаковой четности операторов 3〃 Bj относительно обращения времени х%%(г — г； о) — нечетная относительно ш, действительная и симметричная по г и гг, / и у функция; и наоборот, когда 8/ =―弓.
С той же общностью, что и (1.1)—(1.4), запишем флуктуационно-диссипативную теорему, связывающую ^BjB^ш)с соответствующим антикоммутатором (см. Приложение I)
S“, (г т'т) = сЛ(р(оЛ/2)у施(г - "со);
&也(гг1T') = (1/2方)vq(rj)%(r") + 马(1/»心#)>0. ""
Следуя общей схеме ТЛО, для того чтобы найти микроскопические выражения для обратной продольной диэлектрической проницаемости, продольной диэлектрической проницаемости, внешней и истинной электропроводностей кулоновской системы, получаем феноменологические определения данных физи-
ческих величин. Пусть среда находится во внешнем электрическом поле, удовлетворяющем уравнению Пуассона
div D (г, Г) = 4тф (г, Г),
где р — плотность стороннего заряда. Внешнее поле поляризует вещество и флуктуации индуцированного заряда ер(г/) создают внутреннее поле Ер(г,/), среднее поле Е(г,/) есть сумма внешнего и внутреннего полей
(1.6)(1.6)div Е (г, Г) = 4тг [ р(г, /) + « < р(г, /) > ].
(1.6)
(1.6)
В (1.6) <...> означает статистическое усреднение. Поскольку рассматривается теория линейного отклика, естественно положить Е(г,/) - D(r,/), что заведомо справедливо при достаточно слабом внешнем поле
(1.7)(1.7)E(r,0 = J^J^[l/€Z(r-r；r-0]D(r；O.
(1.7)
(1.7)
Переходя к преобразованию Фурье по г, / в (1.6), (1.7), находим
(1.8)
Полагая
(1.9)(1.9)е <J(r,0> = Jdr'j力6&-r',f-f')D(r',f')；
(1.9)
(1.9)
e <J(r,0> = Jdi4"J(r-r',f-f')E(r'/),
используя уравнение сохранения для заряда
*产+div VJ> = O (1.10) и выполняя преобразование Фурье по г, / в (1.9), (1.10), получаем с учетом (1.8) соотношение между 1/i, М а, а7
l/£/(k,co) = 1 — i 4яс (к,ш)/ш;
(ill)(ill)ez(k,co) = 1 + i 4тгь/(к,а))/а).
(ill)
(ill)
При формулировке феноменологических равенств (1.8), (1.11) соотношения (1.6), (1.7), (1.9), (1.10), обычные для макроскопических полей, использованы для исследования явлений с любыми волновыми векторами к и частотами ш, т.е. и для микроскопического случая. Частотная и пространственная дисперсия функций реакции 1/d, У, с, с7 отражает запаздывание отклика и его нелокальность. Учет пространственной дисперсии делает ненужным усреднение функций реакции по малому объему. Эффекты микроструктуры проявляются в виде зависимости функций реакции от волнового вектора при больших значениях этой величины.
Найдем микроскопическое выражение для правой части первой формулы в (1.8) и, следовательно, для 1/J, У, с, о'. Выпишем 庐％Г) в виде
环%)=计力伏中)产(г,*‘・(1.12)
Тогда для <р(к,ш)> [см. (1.3)] получим
<р(к,ш)> = -Xpp(K<o)e(pext(k,a)) = -Хрр(К©) р (к,ш)4яеД2;
ikD(k,o) = 4яр (Ь,ш).(1.13)
Отсюда и из (1.8), (1.11) следуют микроскопические выражения для 1/J, с кулоновской системы
l/e^o) = 1 - 4тге2Хрр(к,ш)Д2;
а(М) = i MoYpp&g)/依.(1.14)
В (1.14) %pp(k,s)=匕рр(к,о) + i x"pp(k,o) функция реакции заряд- заряд, равная
*pp(k,_13-2)加12(—：
PP九2VMI I I①+ ①加 + f 丿(1 15)
N
Pk = Ez,・exp(-ikr,・)；％ =(纥-斗)/瓦 /=1
где 斗,|m> — собственная энергия и собственная функция /п-го состояния невозмущенной кулоновской системы, число частиц в которой N; Z, V — статсумма, объем кулоновской системы; Zi — зарядовое число ьй частицы системы, координата которой rz.
13
Выражения (1.14), (1.15) можно использовать для определения продольной диэлектрической проницаемости и истинной электропроводности кулоновской системы.
Из соотношения (1.15) очевидна аналитичность хРР(К®) и, следовательно, l/ez(k,a)), с(к,ш) в верхней полуплоскости комплексной переменной о. Аналитичность %рр(к,о) означает причинность функции реакции хРР(к,05 т.е. равенство 5cpp(kJ) нулю для отрицательных времен [см. (1.3)]. Аналитичность "「(к,о) в верхней полуплоскости комплексной о [причинность хРР(к,0] является в свою очередь следствием адиабатичности возмущения "xt") в (1.12) [и в (1.2)]. Для функций, аналитичных в верхней полуплоскости о (см. Приложение I), имеют место известные соотношения Крамерса-Кронига. Выпишем одну из форм данных соотношений для 1/У(к,о))
Re[ l/ez(k,o) - 1]=丄尸 jdd(Im 1/J(k,(o)) / (d - ①)；
Iml/e^o) = ~ 1P J Jo1 Re[ l/e^®) - 1 ] / (шг - ш).(1.16)
冗 -00
В [15—17] рассмотрен вопрос об аналитических свойствах е^к,©) [и, следовательно, о/(к,о)], показана аналитичность данных функций реакции в верхней полуплоскости комплексной переменной (о при достаточно малых волновых векторах с привлечением физических аргументов. Поэтому положим в дальнейшем, что соотношения Крамерса-Кронига имеют место между действительной и мнимой частями продольной диэлектрической проницаемости (и истинной электропроводности) в длинноволновом пределе.
Определим необходимую в дальнейшем временную корреляционную функцию заряд-заряд (ср. с (1.5))
%信心)=表记3 еp*р.к(о)>0 м=
-°02(1.17)
%Ze~/(p；)〃j6®-%)・
Из определения (1.17), свойств эрмитовых операторов относительно обращения времени, флуктуационно-диссипативной теоремы вытекают следующие полезные в дальнейшем соотношения
Spp(kf) = Spp(-k,-®);
Spp(k,a)) = eMSpp(k,To);(1.18)
z；p(к<О)=办4力化血)(1 - e-m)/方匕
Кроме того, корреляционную функцию заряд-заряд можно связать с корреляционными функциями различных компонентов (электронов и ионов) кулоновской системы (N^=N/2)
4P(к,ш) =S〃・(k,о) + &(к,о) - 25謚о)];
I(1.19)
%3衝，)=^<р(а)(к,ОрФ)(-к,О)>о.
Все соотношения между функциями реакции и временными корреляционными функциями данного параграфа можно рассматривать и в классическом пределе.
Теория линейного отклика кулоновской системы на электромагнитное поле. Коэффициент Кубо
Определим реакцию заряженной конденсированной среды на электромагнитное поле, используя общий результат теории линейного отклика (1.2), (1.3). С этой целью сформулируем феноменологические соотношения, обычные для макроскопической электродинамики, но ниже примененные и для микроскопического случая [15, 17].
е < F(r") > = J *j di о(г - F" т) Е (г；0；
F(r,f) = Е[ ©УМ) 5 (г - MD) + 5(г-1；.(0) ® у*)] ；(21)
Здесь <F(r,/)> — полный ток в системе, совпадающий с <J(r,0> из предыдущего параграфа в отсутствие А(г,Г) [А(г,0 — вектор-потенциал]. Введем электрическую индукцию
^^ = ^1 + 恤 V F(r,0> с,(2.2)
которая связана с Е(гД) через диэлектрическую проницаемость
Jd^ J Ле (г - f, Г - 0 Цг^, 0 = D(r, Г).(2.3)
Из (2.2), (2.3) для фурье-образов электропроводности и диэлектрической проницаемости следует
£戸(工8)= 6戸+中%仙).(2.4)
Для изотропной кулоновской системы £戸,0戸一диагональны, две поперечные компоненты каждого из данных тензоров одинаковы, обозначим их 3, о1. В общем случае поперечные компоненты ех, сг1 отличаются от соответствующих продольных компонент, обсуждавшихся в предыдущем параграфе. Рассмотрим поперечную реакцию, локальный векторный потенциал в (2.1) определяет Е(г,/), В(г,0：
Е(") =-丄爍& B(r,0 = rotA(r,0, с ot
которые, в свою очередь, связаны с <F(r/)>, FcropS") и между собой уравнениями Максвелла
rot%/)=-丄善& с ot
rotВ(г,0-1 -^^ + ^КF(E> е + 耳т。р(г，川•
Заметим, что локальный векторный потенциал А(г,0 есть сумма стороннего векторного потенциала А 加p(rj) и создаваемого им поляризационного поля — %啦(「/)・
16
Перейдем к формулировке гамильтониана взаимодействия электромагнитного поля с кулоновской системой. При вычислении функции реакции можно выбрать один из двух подходов: вычислить реакцию на внешнее поле Астор(г/) с учетом в гамильтониане полного взаимодействия в кулоновской системе плюс электромагнитное поле; или вычислить реакцию на А(г,0, но принять во внимание лишь кулоновское взаимодействие в гамильтониане. В [15] показано, что второй подход, более удобный для исследования кулоновских систем, обеспечивает достаточную точность при вычислении функций реакции. Поэтому запишем **) в виде
加筑⑴=-^JJrJ(r,OA(r,OenZ.(2.5)
В (2.5) J(r,r) — поток частиц в отсутствие поля А(г,Г). Следуя (1.3), получаем для J(k,o), F(k,o)
2
e<J(k,o)>= -~-x(k,®)A(k,a));
J
e<F(k,o)>= - —х(к,ш)А(к,ш);
3V (k,о)=4 V (k，①)+ (今+±｝戸.
Принимая во внимание первое из равенств (2.1), соотношение между Е(к,ш) и А(к,ш), (2.4), получаем для тензора электропроводности
Две одинаковые поперечные компоненты тензора £” равны ^(К®) = 1 -驾-『(к, о)-为，
здесь о, — плазменная частота;
麓 rZ туп I I麓 rZ туп I I2Зщп2Зщп(о + i T])2 一 唸(о + i T])2 一 唸(2.8)(2.8)
麓 rZ туп I I
麓 rZ туп I I
2Зщп
2Зщп
(о + i T])2 一 唸
(о + i T])2 一 唸
(2.8)
(2.8)
В (2.8) Jj^ = (l/^)kxJk, остальные обозначения совпадают с обозначениями в (1.15). Очевидно, что для мнимых частей функций реакции %戸,Xх имеют место соотношения (1.4) и флуктуационно-диссипативная теорема. Поскольку поперечная диэлектрическая проницаемость не измеряет реакцию на внешнее поле (как и продольная диэлектрическая проницаемость), для определения ее аналитических свойств нельзя использовать соображения причинности. Соотношения Крамерса-Кронига для е^к,©) можно получить, сделав предположение об аналитичности данной функции реакции в верхней полуплоскости комплексной переменной о [15, 17].
До сих пор рассматривалась реакция кулоновской системы на неоднородное в пространстве поле. Отклик системы на однородное переменное электрическое поле исследован в [5, 8]. При
『⑦=yZ zm«) D(0 = -R«) D(0(2.9)
имеет место
e<J(o)> = хлК®) D(o);
(2.Ю)
%心®)=沁⑴营 <[R,J(O]>o /…=S((o). —00
В (2.10) J(f) — оператор тока в представлении Гейзенберга в однородном случае; (2.10) соответствует (1.3) в однородном случае; S(o) в отсутствие внешнего магнитного поля — диагональный тензор, между действительной и мнимой частями которого имеют место соотношения Крамерса-Кронига.
Проведенный анализ показывает, что различным воздействиям на кулоновскую систему соответствуют, вообще говоря, различные определения электропроводностей п(к,ш), с^к,^), (/(к,©), S(o); соотношение между различными определениями электропроводнстей кулоновской системы обсуждаются в следующих главах раздела. 18
Кинетические коэффициенты многоэлементной заряженной конденсированной среды. Обобщенное уравнение Ланжевена
В предыдущих параграфах данной главы получены микроскопические выражения для функций линейной реакции кулоновской системы на продольное электрическое поле, электромагнитное поле, однородное электрическое поле и обсуждены свойства данных функций реакции при произвольных частотах и волновых векторах. Здесь найдены выражения для локальных феноменологических кинетических коэффициентов, соответствующих коэффициентам переноса многоэлементной заряженной конденсированной среды (коэффициентам вязкости г|, 4; теплопроводности X; эффективным коэффициентам теплопроводности 觴，X г, Х£； эффективным коэффициентам диффузии D曲，Z)J, Dq). Локальные значения кинетических коэффициентов определены, следуя подходу [6—8], основанному на представлении уравнений сохранения высокотемпературной конденсированной среды (система таких уравнений приведена, например, в [18—20]) в виде обобщенных уравнений Ланжевена.
Следуя общей схеме подхода, выпишем уравнения неразрывности, диффузии химических элементов, плотность которых р〃, уравнение движения и уравнение сохранения энергии многоэлементной заряженной конденсированной среды [20]:
"立也= -divpy;зm"一銓2%(必=-div J ;
(3.1)
"尊у = - div P;言 〃(r, 0 - - — ■ Pm(r, f) = - div %
L Pm J
В этих уравнениях p^ — плотность среды; v — массовая скорость; Ра [рЛ0/рл- Pm(r") / рМ 三 РтСа^^ Са=ра/ Р/ Р = 〃％ + 吋；
%• = -MSVj / dxj + 吗/ 8х) - % div V^ - 2т] / 3);
p — давление; и — внутренняя энергия среды на единицу объема; За — массовый поток химического элемента; Jg — тепловой поток. Потоки запишем в форме
〃 =^t -久禺；3q/T =邙]尸Т - 瓦坛•(3.2)
В (3.2) К = 7V@b/T)-QcE%p/w цд = ^b-^Na^ 以一 удельный химический потенциал ^химического элемента>, А; ра3 — феноменологические кинетические коэффициенты, микроскопические выражения для которых найдены в данном параграфе, div Е = 4яре, р = с^ / т& rot Е = 0.
Поскольку ядерные превращения не рассматриваются, в уравнениях для рл(г,Г) в (3.1) отсутствуют источники. В число химических элементов, образующих среду, входит р, поэтому уравнение для ср(г,Г) представляет собой уравнение неразрывности для заряда, а ррр соответствует локальной продольной электропроводности среды «• Связь раР с эффективными коэффициентами переноса и X рассмотрена в разд. II. Приведем линеаризованную систему уравнений (3.1) к системе алгебраических уравнений с помощью преобразований Фурье-Лапласа. При записи алгебраической системы используем обобщенные феноменологические кинетические коэффициенты, учитывающие нелокальность пространственной и временной зависимости потоков Jg, J〃，冗歹 от термодинамических сил:
ZQ^^-Q^^^IT^X^^T(^^+T^
zpmca(^^-pmca(^ = ^l^aXT(^^ + ^ab Lb^^]\
Z p£k, z) -pm(k) = -/% 并 v/k, z);(3.3)
Z v/k, z) - v/k) = ^ -A—[p(^ z) + Z<k, Z) i % 力襲 z)];
Z v/k, z) - v/k) = -d — n(K Z) v/k, z).
Pm
В (3.3) Q(r,f) = w(r,0 -「〃(「/)(〃 +p) / P3
4(口) = Т^ь/ T)(口) +(4枚2 / k2)c^^b^m/(mbme)
V/, V,——продольная и поперечная составляющие массовой скорости V, относительно которых в，(3.3) расписано уравнение движения из (3.1); Hr, f) = (4 / 3)” + & 20
Преобразование ①урье-Лапласа определено следующим образом
(3.4)(3.4)о
(3.4)
(3.4)
/(к) = Jtfr</(r,O)>e-ikr.
Запишем (3.3) в матричной форме, поскольку 卩岳 р =卩岳 Р (Т> P/nQ, Р/и)
zY(k, z) - Y(k)= 一廿“衝 z) X(k, z)・(3.5)
Здесь A/(k,z) и Y(k,z), X(k,z) есть
珅11 +「2®咸Pal +以加纟ММ =00珅11 +「2®咸Pal +以加纟ММ =00б同+缪需卜•尸®喈I 公S/丿б同+缪需卜•尸®喈I 公S/丿
珅11 +「2®咸
Pal +以加纟
ММ =
0
0
珅11 +「2®咸
Pal +以加纟
ММ =
0
0
б同+缪需卜•尸®喈
I 公S/丿
б同+缪需卜•尸®喈
I 公S/丿
'Y(k,z)=[0(冗幻,9八式冗2»用貳冗幻卩式冗力,匕曲〃)]；
'X(k, z) = [ T(k, z), {pmca(k9 z)},「川(k, z), vz(k, z),匕(k,力]•
В (3.6) предполагается суммирование по индексу Ь, индексы с меняются от 2 до Na +1,卩；=亚匕 I ПI ST,
崎=a(口"Т)/8pмС 以% =8("/7)/木由
『=зр1ет、pC =dp/dpmCs pm =劭/木加；
частные производные вычисляются при соответствующих постоянных: {q}, р/ Т,р” сь 工 q； Т，©}； индекс р - означает “химический элемент>, объемного заряда; ррр =財2・
Представим уравнение (3.3) в виде обобщенных уравнений Ланжевена. С этой целью определим “функцию памяти” F(k,z) (см. подробнее Приложение II)
(3.7)(3.7)zCyyK Z)- От® н [SQ0 -「(К Z)] Суу(К Z)；
(3.7)
(3.7)
Sf^^^C^C^
где Cyy(k,z), Cyy(k) матрицы, составленные из корреляторов <Kr,f) Кг'『)>о, <К「)Кг')>о подвергнутых преобразованию Фурье-Лапласа (3.4); Кг/) — элементы строки，Y(r,/) из (3.6). Используя структуру уравнений сохранения, перепишем (3.3) в форме
(3.8)(3.8)zy(k*)-y(k) = -ik・Jy,
(3.8)
(3.8)
где Jy — соответствующий поток. Разобьем Jy на две части: jy=j?d+j, 一 “систематическую” и “случайную”，причем первое слагаемое запишем в виде (<S(k) — F(k,z))Y(k,z), так что (-ik・Jf = E <F(^t)Y(r^>Q-%
d(k, z) - Г(к) = [S(k) - № 初 УК z) - i k • J?(k, z).(3.9)
Определим две матрицы временных корреляционных функций
(3.10)(3.10)/уу (к, / — /) = </н(к,Г) Jн(-k,f )>о / 吸вТ； /^(к/ т) = v/；；(kj) 〃；(-к/)>0 /吸口.
(3.10)
(3.10)
Здесь J[ = k J/А. Согласно терминологии [8, 10, 15] элементы Jyy — экранированные корреляционные функции; /уу(к,г), Jyy (к,г), F(k,z) связаны между собой следующим образом [8, 9]:
*^^ ')= р^Т ± Gt® ПК Z)；
/如)-砲=1+負铮0-硒)约71砌(京1电碘)(3.11)
岭)=意4蘸)С^)■
Найдем важное соотношение между матрицей МК^) и матрицей 启(k,z). Поскольку (3.9) представляет собой другую запись уравнений (3.3), сравним (3.7) с уравнениями для тех же корреляционных функций, полученных из (3.5). Тогда, используя первое уравнение из (3.11), будем иметь
甫(к, 0 = ф(к) + 患"(К Z)匾©у(к)・(3.12)
В (3.12) Ryx — матрица перехода от переменных X к переменным У в (3.6), где У= RX:
ди/дТ
0
а〃/арт%
1
…ди/дрт + (и н
...о
D)/pm 0 0
0
0
Ryx =
0
0
…1
0
0
.(3.13)
0
0
…0
1
0
0
0
...0
0
1
В (3.13) частные производные от внутренней энергии вычислены при постоянных 也}, р用；сс 工 q, р* Т; &},Т. Из (3.12) следует выражение для 腐衝幻 через феноменологические кинетические коэффициенты (матрицы Ф(к), Суу(к) вычислены в Приложении II).
TBu(k,z) T^b(Kz)…000
筋(k,z)0 曲(к*)…000
冷=
00…000
• (3.14)
00…0明@ 0
00…00
Заметим, что матрица (3.14) состоит по существу из феноменологических кинетических коэффициентов, в то время как матрица в (3.6) включает в себя коэффициенты переноса, т.е. вместе с 瓦例 Л, 4 еще и термодинамические производные. Поскольку 病(k,z) (в противоположность Jyy(k,z)) не вычисляется аналитически или в численном эксперименте, свяжем JyKk,z) с феноменологическими кинетическими коэффициентами в длинноволновом пределе (соответствующем гидродинамическим задачам), используя второе равенство в (3.11) и (3.14). Выпишем в длинноволновом пределе матрицу, обратную матрице в квадратных скобках в правой части второго равенства в (3.11) (см. подробнее Приложение II)
А -4яе2Тр1дг6рд / 加之- ООО
0 Д5дд - 4яе2рддгЗрд / ^ -ООО
N” 0*)=4
••:
• (3.15)
А
00. A 0 0
00…0 А 0
00…0 0 А
В (3.15) А = z(z + 47се2ррр/т^). После умножения (3.15) на 启(k, z) — Ф(к) и сложения результата с Ф(к) получим окончательно для многоэлементной заряженной конденсированной среды
哨］(k,z)瑜(k,z)…000
m(工力麻(Kz) - 000
Jyy (% f 0, z)=
00…000
；(3.16)
0о ... 0 ^^0
Pm
00... 00
3ap(к*)=瓦в(к*) -警吼歩卽=%Д*) +(J — DP^Ppp / ₽pp.(3.17) 叫A
Используя (3.16), выпишем микроскопические выражения для локальных значений кинетических коэффициентов 24
0" т|,方=lim lim 羯(к, г), п (к, Z),方(К Z) (локальные значения коэффициентов переноса определяются 0亨 вместе с соответствующими термодинамическими производными). Потоки, образующие матрицу корреляторов /уу (к,г) и соответствующие “плотностям” 0(г,Г), ртсд(г,Г), Pm(r,r), vz(r,r), V/(『E, имеют вид (первые четыре потока — продольные)
"(r,f) = M £Jj仙 V加)+ 界歹 V%[次)-%)]} 3(r -女))； /#/ при 1-Г
Pg)=今制/纟八「7"))； /=1
儿№")= -专加 3)+壷^沙M"； 318) P/(rJ) =叫亲(г-h⑴)；
В (3.18) v# (г) — потенциал взаимодействия “ядер” / и 丿 сортов / и /', М — число “ядер” сорта / в системе. Выражения для потоков можно рассматривать как в классическом, так и в квантовом пределах; при вычислении выражений для потоков в квантовомеханическом пределе необходимо учесть, что “плотности” Q(r,0 и т.д. есть операторы в представлении Гейзенберга с соответствующими правилами дифференцирования по времени [21].
Микроскопические выражения для локальных значений кинетических коэффициентов многоэлементной заряженной конденсированной среды легко найти [с учетом (3.18)], сравнивая правую и левую части (3.16). Особенностью микроскопических выражений 0邱 для заряженной среды по сравнению с нейтраль-
ными средами (для г|, b различия нет) является присутствие второго слагаемого в правой части (3.17), недопускающего сведение 0邱 к соответствующему коэффициенту Кубо [22] (т.е. к коррелятору Jy у(к = 0, г = 0)). Отличие ^ от коэффициентов Кубо не согласуется с выводами [9], где утверждалось, что локальные значения кинетических коэффициентов соответствуют определенным корреляторам из матрицы Jy^Qc = 0, г = 0); в частности, для ррр полагалось ррр = %(% = 0, z = 0). Выводы [9] базировались, по-существу, на предполагаемом совпадении матриц /^(% т 0,z) и %(% т 0,z) с %(% = 0,z)・ Но тйкие соотношения имеют место лишь для элементов указанных матриц, определяющихся нелокальными коэффициентами сдвиговой и объемной вязкостей г|(Л,г), H%,z)・ В [23] (см. также гл.З) показано, что частотные моменты внешней продольной ^®0 и истинной продольной а/(£о) электропроводностей (с7 = КтКтс/(Л,ш), см. §4), соот- со-»О Л-»0
ветствующие моментам элементов /рр(Л, z) и 為的 Z)матриц /斤(2,力 и J^(2,z) не совпадают между собой даже в длинноволновом пределе (но моменты с(Л,ш) при % т 0 совпадают с моментами S(o)) — коэффициента Кубо, моменты 3(ш) соответствуют моментам элемента /рр(Л = 0, г) матрицы 友(％ = 0,7))・ Поэтому как следует из результатов [23] и в силу !吧％(6 f 0,Z)= 0 [24], матрицы %(% т 0,z) и J^(k т 0,z) не совпадают между собой и с %(£ = 0, z) •
Таким образом, правильные определения локальных значений феноменологических кинетических коэффициентов многоэлементной заряженной конденсированной среды следуют из низкочастотного предела выражений (3.16), (3.17). Данные выражения имеют более сложную структуру, чем соответствующие коэффициенты Кубо. Из проведенного общего анализа очевидна физическая причина отличия локальных значений кинетических коэффициентов от соответствующих коэффициентов Кубо — существование объемного заряда в многоэлементной заряженной конденсированной среде. Указанное обстоятельство приводит как к появлению второго слагаемого в правой части (3.17), так и к несовпадению в слабонеоднородном случае соответствующих элементов матриц /^(%,z), %(%〃) между собой, а также с элементами матрицы J^ik = 0, г).
Глава 2. Кинетические коэффициенты кулоновских систем. Правила сумм для функций реакции кулоновских систем
Кроме подхода к определению полного набора кинетических коэффициентов многоэлементной заряженной конденсированной среды, основанного на теории линейного отклика, сформулированной с помощью обобщенных уравнений Ланжевена, существуют и другие подходы к определению линейной реакции конденсированной среды на термические возмущения [10—14, 25—31]. Рассмотрим кратко в § 4 следующие варианты ТЛО на термические возмущения: косвенную ТЛО [10, 11, 13, 25] и метод неравновесного статистического оператора [12, 14, 26—31].
Помимо обсуждения общих определений локальных значений коэффициентов переноса многоэлементной заряженной среды очевидный интерес представляет вычисление данных коэффициентов для конкретных случаев. Поэтому в §5 выполнен расчет локальной продольной электропроводности двухкомпонентной кулоновской системы и проведено сравнение данного коэффициента с соответствующим коэффициентом Кубо.
Микроскопическое вычисление кинетических коэффициентов неидеальных сред, определенных через функции линейной реакции с помощью различных вариантов теории линейного отклика, представляет собой сложную задачу (см. §5) прежде всего из-за неприменимости теории возмущений (вследствие отсутствия малого параметра) к вычислению характеристик неидеальных систем. Вследствие этого особая роль принадлежит общим ограничениям на значения функций реакции, которые относятся к их аналитическим свойствам, пределам изменений данных функций и т.п. Серия таких ограничений рассмотрена в § 6.
Кинетические коэффициенты многоэлементной заряженной конденсированной среды. Косвенная теория линейного отклика и метод неравновесного статистического оператора
Изучение неравновесных процессов в неидеальных средах методами линейной реакции проводится для не слишком малых интервалов времени, когда становится несущественной информация о начальном состоянии системы и сокращается число параметров, необходимых для ее описания. В неидеальных систе-
мах время взаимодействия частиц порядка кинетического [1], поэтому в данных системах отсутствует кинетический этап эволюции. На гидродинамическом этапе эволюции в каждом макроскопически малом объеме устанавливается локальное термодинамическое равновесие с медленно меняющимися по сравнению с микроскопическими временами гидродинамическими параметрами, характерные размеры неоднородностей системы велики по сравнению с микроскопическими, изменение параметров системы описывается уравнениями гидродинамики.
Косвенная ТЛО основана на представлении эффектов от термических возмущений в среде через механические возмущения. Существующие методы косвенной ТЛО развиты в [10, 11], где рассмотрены фиктивные возмущения, соответствующие гамильтониану 环в виде (4.1) и создающие слабонеоднородное состояние среды. Под действием фиктивных возмущений система релаксирует по уравнениям гидродинамики. Средние значения наблюдаемых свойств релаксирующей системы (например, плотности объемного заряда, энергии и т.д.) согласно косвенной ТЛО выражаются через временные корреляционные функции, а также определяются из гидродинамических уравнений, т.е. через феноменологические кинетические коэффициенты. Сравнением указанных определений средних значений наблюдаемых величин и находятся микроскопические выражения для кинетических коэффициентов конденсированной среды. Поясним это на примере п однокомпонентной среды и о' заряженной конденсированной среды. Выпишем *i⑺ в форме [25]
不3」?体脈зr)ej<。； (4Л)
0, t > 0.
Тогда отклик имеет вид соответственно (ср. (1.2), (1.3))
丿兀 8'(4.2)
аf 血 Im %з % (к,о)
§i(k,z) = ZJ—勺(к).
丿 in co (co - ^)
Для определения r| конденсированной среды положим Н^") = -9(-0 f^p(r, 0 5v(r) ^1 (р — плотность импульса в среде); уравнение сохранения (уравнение движения) для тангенциаль- 28
ной компоненты плотности импульса pt в линейном приближении имеет вид [25]
(4.3)
Выполнив в (4.3) преобразование Фурье-Лапласа (z =① + ie), получим
-i 2总,力+"k2р^ z)=以2).
Pm
Отсюда
(4.4)
Re^^^ =^Jl
W)<o2 +(水2 /「у
(4.5)
Поскольку правые части (4.5) и второго соотношения в (4.2) совпадают, для г| конденсированной среды имеет место выражение
"㈣頸％進①)/匹(4・6)
Получим выражение для o' двухкомпонентной кулоновской системы. Определение локальной продольной электропроводности, аналогичное соотношению (4.5), следует из (1.10) и закона Ома в форме [32]
(4.7)(4.7)с Vj>= o' Е — -— Vp
(4.7)
(4.7)
В (4.7)卩=同一呪一разность химических потенциалов ионов и электронов. Выполняя преобразование Фурье в (1.10) с учетом (4.7), находим для о':
ооlim lim Re ®->0 Л->0lim lim Re ®->0 Л->0о <р(Л,ш)>к・Е(А,о))о <р(Л,ш)>к・Е(А,о))илиJ = lim 1叫 Re ，也.сот о 2foi 4冗илиJ = lim 1叫 Re ，也.сот о 2foi 4冗(4.8)(4.9)(4.8)(4.9)
о
о
lim lim Re ®->0 Л->0
lim lim Re ®->0 Л->0
о <р(Л,ш)>к・Е(А,о))
о <р(Л,ш)>к・Е(А,о))
или
J = lim 1叫 Re ，也.
сот о 2foi 4冗
или
J = lim 1叫 Re ，也.
сот о 2foi 4冗
(4.8)
(4.9)
(4.8)
(4.9)
Выражения (4.6), (4.9), естественно, согласуются с результатами (3.16), (3.17). Заметим, что в целом вывод полного набора кинетических коэффициентов заряженной конденсированной многоэлементной среды косвенными методами теории линейного отклика не приводит к столь же прозрачным результатам как подход, основанный на обобщенных уравнениях Ланжевена.
Рассмотрим теперь метод неравновесного статистического оператора в формулировке [26, 27], который связывает отклик системы с “внешними” воздействиями (электрическим полем, градиентом температуры). Отправной точкой подхода является уравнение Лиувилля в форме
穿+ H/,PKP-Pq)・ (4.Ю) otn '
Источник в уравнении Лиувилля вводится для соответствия с принципом ослабления начальных корреляций [1], переход к пределу е -> +0 производится после термодинамического предельного перехода (N, Рт 8； N/P— const). В отличие от ТЛО Кубо, в которой фигурирует равновесный статистический оператор pg, в методе НСО используется квазиравновесный статистический оператор pg в форме
Pq = 7iexp{TB(r)〃(r)力-^(r)pc(r)nc(r)dr + Z0与弓}• (4.11)
Здесь функции р(г) и рс(г) = -цс(г) + %Ег — описывают поля температур и химических потенциалов соответственно; пс — плотность частиц компонента (химического элемента) с;仲)一 плотность гамильтониана системы (仇(г)衣=Н); Bj — параметры отклика. Для описания неравновесного состояния вводятся наблюдаемые Pj； традиционно используются два возможных набора /^ — набор чисел заполнения {п^ для частиц и набор моментов электронных чисел заполнения {?} = {菱力^(^七/)"〃〃/}, где 耳一кинетическая энергия электронов; в последнем случае удобно исследовать электронные свойства переноса; Ро ——полный импульс электронов, так что с <J>= с VR)> /叫匕 а В“ v%> /%Р — имеет смысл “идеальной” составляющей вклада электронов в поток энергии.
зо
Из утверждения, что средние значения операторов <Ру> совпадают со средними значениями данных операторов в квази- равновесном состоянии <丐>9，и из (4.10) следует уравнения движения для <丐>,из которых в свою очередь при условии стационарности в явном виде находятся параметры отклика Bj и, таким образом, выражения для искомых потоков и кинетических коэффициентов. В качестве примера получим определение для электропроводности кулоновской системы по существу для 9(0), методом НСО. При отсутствии градиентов температуры и химических потенциалов компонент системы р^ имеет вид
pq = Z"iexp{-B〃 + ®N + ВД)卅 + 0夕2 尸2}・(4.12)
Параметры отклика 瓦 и & определим из уравнений движения для <Ро>, <Р2>：
^Sp{pPo} = Sp{p^[/,Po]} = O;
^Sp{pP2} = 8р/р|[ЯЕ,Р2]} = 0.(4.13)
Здесь ЯЕ = Я -白2凡(ср. (2.9)). Статистический оператор р имеет вид
р = Pq - jdde网叫i/力)电,pj-i".(4.14)
Данное выражение в линейном приближении по параметрам отклика и электрическому полю имеет вид (Dx||B0||B2)
0/
р = Pg - Ре J dt^jdT(i/h)[H^eDxRx(t-ihT)+
-8 о(4.15)
+ BQPQ(t - i/гт) + В2P2" - i/гт)].
Здесь Л(0 = е1 Ht^ А е~1 Hi^n. Поскольку
Sp{р£х} =4Sp{%[н - §5岗х + §4%Р^ = 0(4.16)
и обозначив
lsp{pJ^x,^]} = ^(₽,H),(4.17)
причем NqmNe、из (4.13) следует:
e2 (% + ^ (仆;砲卜ЭД;匝-安耳玲=0；
e2(% + ^(//；巴))-W 项 - W ^) = 0,(4.18)
где
/=±[乂4」；(4.19)
(%;5) = ]eёfdt]dTSp{peA(t-ihT)B}=(%(£)；5).
—co 0
Решением системы уравнений (4.18), очевидно, являются параметры отклика 瓦，& в зависимости от & и различных временных корреляционных функций. Принимая во внимание определение плотности электрического тока,
е «> = *}SP{P凡}=券}Sp{pg凡} = ^Sp{p」5。％ + °°(4.20)
+B2P2x,Rx]}=矣(/No + B2N2)三 6(0)%
Третье равенство в (4.20) может быть получено из второго с помощью известных тождеств Кубо [5, 14]. Наконец, определив Во, В? из (4.18), можно выписать выражение для электропроводности [27, 28]
5(0) =5(0) =,(4.21),(4.21)/ a（m⑹磅-%禺；&））-02（乂（弓笈）-n2隔坛））
5(0) =
5(0) =
,(4.21)
,(4.21)
й麻硒国Ж硬丽
где Qn = М + (1/制6)(代占;笈)・ Заметим, что выражение для 5(0) (4.21), как можно показать [29], совпадает с известным выражением Кубо (2.10) [5]. Таким образом, метод неравновесного статистического оператора позволяет получить по существу “внешние” значения кинетических коэффициентов многоэлементной заряженной конденсированной среды.
Сравнение локальной продольной электропроводности и коэффициента 26。кулоновской системы
Тензор комплексной электропроводности сцу(к,ш) изотропной заряженной системы, как известно, распадается на продольную и поперечную составляющие: с^к,^), о丄(к,о). В длинноволновом пределе поперечная электропроводность равна коэффициенту Кубо 5(ш), характеризующему отклик системы на внешнее однородное поле (см. § 2). В то же время с^О,^), не совпадает, как показано выше, с 6(о). Тем не менее традиционно [9, 33, 34] при расчетах данные коэффициенты отождествляются с коэффициентами Кубо. Рассмотрим различие между о' и 5(0). Перепишем определение локальной продольной электропроводности, полученное в предыдущем параграфе по косвенной теории линейного отклика [см. (4.9)] [10]
(5.1)(5.1)o' = lim Jim о Im £依,ш) / 4тг.
(5.1)
(5.1)
Перейдем к вычислению (5.1), с тем чтобы сравнить с7 с коэффициентом Кубо S(Q) (2.10) для классической двухкомпонентной кулоновской системы
5(0) =5(0) =4я de»。4я de»。jv J(t) ・J(O) >0 Л. оjv J(t) ・J(O) >0 Л. о(5.2)(5.2)
5(0) =
5(0) =
4я de»。
4я de»。
jv J(t) ・J(O) >0 Л. о
jv J(t) ・J(O) >0 Л. о
(5.2)
(5.2)
Поскольку при %, (D т О Im 1 / J(Z,g>) = -1 / Im г (к, ш) и, кроме того, l/e^jo) согласно ТЛО (см. § 1) связана с функцией реакции заряд-заряд Урр(2,(о) или через флуктуационно-диссипативную теорему с соответствующей корреляционной функцией ХРР(Л,ш), для о' в классическом пределе получим
八㈣㈣焉急^麻^ =黎%&s).(5.3)
В [35—38] найдена длинноволновая асимптотика М(2*) (Z — означает преобразование Лапласа от 45P(%/)) для двухкомпонентной кулоновской системы в виде (см. Приложение III)
麻£，?)={不优女=备厶(厶% ；
”步士⑷-(v”2)2 产.(5.4)
Подставив (5.4) в (5.3) и использовав соотношение ^рр(к,а)) = 2Re Spp(k,力,найдем (仙》“)
J = о； / 4tcv；2(0);
v/ = 0) =比(0)-[rg(O) J2/ 晓(0).(5.5)
В (5.5)瑞⑺—"функция памяти" — имеет вид [39—43] (см. подробнее Приложение III)
「；*) = } Z Jdl・・・d4V Н；(0)▽产(卜「引” 叩2(5.6)
xG*2(i2,34 力▽□ v^(|r3-r4|)Vp3^(p3).
В (5.6) dl 三 dr^dpi；收⑺ 一межчастичный потенциал; {Н^р)}— набор полиномов (1 — ионы, 2 — электроны; ц, v = 0,..., 5; 5 三 Q): { Г Ф / Ра)"?%，Ф / Ра*%，Ф / Р»"%， (6%尸/2伽2 /丸 - 3), (Р / Ie)"%伽2 /也 - 5) }；
V — объем системы；
<Ц / v> s f dpH：S)H：(p) паФ(р) = 5gv,H,v # 5,
①S) — распределение Максвелла.
Выпишем определение Gaaiba2(l2934i)
G{12,34z) = C(12,34z) - J d5d6C(12,5z)C(6,34z)Ul(5,6z)；
J 成Ui(l,2z)C(2,3z) = 5(13).(5.7)
В (5.7) C(12,34z) — преобразование Лапласа от четырехточечной двухвременной корреляционной функции, C(12,3z) — от трехточечной, C(l,2z) — от двухточечной. Определим данные корреляционные функции в классическом пределе [40]
caaiba2 (12,340 =<5/；(0 6冴(0 5/зд (0)5/；2 (0)>0;
С",д(12,30 =<5//(О5/2д, (О5/3д(0)>0;(5.8)
С^(1,2г) = <5/ЛО5/2д(О)>о;
诉⑺=Ё5 & - ％«))№- Р*) - ％①а(Л)・
Заметим, что точность результата (5.5)—(5.7) зависит от приведенного выше набора полиномов. Для вычисления 0(12,34/) воспользуемся аппроксимацией [44]
G^M(12,34/) = ^(GG^Gd +G。爲喧)；
©询儿2= G<12,34r = 0);(5.9)
G/M(12,34/) = Cab(\^t)Caax (2,4r) + С""?(i,4/)c叫(2,3f).
Данная аппроксимация удовлетворяет условию микроскопической обратимости
6{12,3句=G<34,12 - /)•(5.10)
В квантомеханическом пределе соотношение (5.10) доказывается с помощью циклической перестановки операторов под знаком Sp, через который определены корреляционные функции в (5.7). В классическом пределе имеем
V М⑺防⑺次(0) 8Д(0) >о三Z^ ed"S闻怨))/胪.x
x硏⑺訪⑺切(0) 6力(0) = Z-^ ^Н^甯芻)х
X M(f)6E(f)隨(0)嬲(0) = Z-1J ef 〃S仍)^^ X
x M(pTD M(p 觴 з^(Р/(~05 G(-f)) ^A(p；(t), *-/))=
=<M(0)切(O)%(T)^(T)>o・
Переход от первого равенства ко второму в данных соотношениях выполнен с помощью теоремы Лиувилля [14]
4>(0)力(0)=力⑺力⑺.(5.11)
^N
В (5.11) dp = 口力” dr = 口收.Кроме того, i=li=l
d = W) = ip(0); F = B) = iK0);
p(0) = e~i"p'; RO) = e~i"i<(5.12)
В (5.12) L — оператор Лиувилля
i"三{ДЛ,(5.13)
определенный через скобки Пуассона {...}; так же, как и для C(12,34f) свойство микроскопической обратимости доказывается и для остальных корреляционных функций в (5.7). Аппроксимация (5.9) также дает правильное значение функции 0(12,34/) в начальный момент времени; распишем формальное равенство (5.9), чтобы доказать это. По определению [40]
6(12,34/ = 0)=点 dlN2'd立电©(历4)⑨1 Q^G^^t = 0) +
2(5.14)
+GM1234f = 0)妄1 (3 412)5(1234)];
Jd3d3®т(11'33)@(33'22) = ~[5(12) 5(Г2) + 5(12) 5(Г2)].
Используя второе из равенств (5.14) при выполнении интегрирования в первом, легко показать, что (5.9) дает правильные значения функции 6(12,34/) в начальный момент времени. Подставим первое из равенств (5.14) при / 工 0 в (5.6). Поскольку в (5.14) входит G, связанная с тройной корреляционной функцией а(г,Г), используем при вычислении (5.6) дополнительное приближение с целью замены g3 на &(〃，упрощающей дальнейшие вычисления,
2^4不〃。也2(1234)^3 宀(|Г3 -гJ)=
(5.15)
=- Z Jd4 ©片网2(1234)、зС〃2(卜3 一「41).
В (5.15) С(г)——прямая корреляционная функция, фурье-образ которой связан со структурным фактором 5(2) соотношением Орнштейна-Цернике [45]
(nan^/2Cab(k) = Sab(k) / [Saa(k)Sbb(k) - Sba(k)Sab(k)] ;
Sab{k) = (nanbf2j[gab(r) 一 Ucoskrdr + 脇.(5.16)
Применяя (5.15), а также соответствующее соотношение для v“"i(l), при подстановке первого из равенств (5.14) в (5.6), выполняя интегрирование с учетом второго равенства в (5.14), находим для 瞟а)
刈%f叫旧一引)匕3产(1r3-r4() +(5.17)
+Qi v^Cki -г2\)^гСЬаЦ\г3 - r4\)]G^^^
Перейдем в (5.17) к фурье-образам функций C°b(r)9 v而⑺, О% 12), т.е. О犧)，V叫%), a”(kf,piP2)； проинтегрировав в (5.17) по ЙГ]...Л*4 и по к], к?, кз, получим
X [产的屮(Q + С叫6产的]%用(0)%用(pз)X(5.18)
x[C^(-k/,P1p3)^2 (kf,p2P4)- L (-Mp2P4)C砲(МР2Рз)]・
Для дальнейших преобразований удобно представить 瑞(/) в следующем виде:
瑞⑺=Z <Х,О|Г|О, n> <\H^(P0 I П> <^.Н^ |х>・(5.19)
Здесь |Х>, |т]> — функции из набора полиномов {〃：(/>)}; |0> — соответствует полиному *", возникающему при интегрировании по Р2, Р4； оператор Г легко найти сравнением (5.19) и (5.18). Преобразуем (5.19), с тем чтобы получить lf：«),昭《), Г^；«), фигурирующие в (5.5):
帝⑺=е<^о|г|о,п>< % 网2(л)| 哈 < %戶2 sз)| >;
Ln
Г^(0 = S<^O|r|O,T]>< % 用 S1)| П> < %зН^(Рз)| 入> ；(5.20) Ln
「爲⑺=E<^0|r|0,n>< “口麺 i)| 哈 < %3 典(Рз)| А ・
Вычислив Vp哥S), учтя ЕI 入 > V 九 I 三 1, а также определение e為(左/), выпишем比⑺，峪⑺，咙⑺
С*к> =同仲2典(凸)С3к/,Р]Р2)4；(〃2)；(5.21)
青⑴=缁表海4 Лк)с{\к)[С^
"2% 好(2汽)3
"嘿(也)甯2®)一若(也)制即汴»戸产猿^+讎戸)2呻];(5.23)
端(H)=〕力仲2〃”"(k"；PiP2)係也纟-§ J
В (5.23) Cq4 (к,0 определено согласно (5.21):
呢⑺=- 4 e闻 為£嗯[产(QC/r)+ С。气)产⑥卜
X [(3/5严瓦吊4 + (2/5)稣Jg；(七)喷2m)一(5.24)
-爲2( 士)制即)][(3/5)以小+ (2/5严6邙];
C^(k9t) = jdVidp^•
x((財恤)P；E - 6脏).
В (5.24)或(2/), 6^(2") определены согласно (5.21), a C^(k,t\ согласно (5.23). В (5.22)—(5.24) входят термодинамические величины 3(%), а также временные корреляционные функции:
C^{k,tY С*к"), С贯к,6 С飘к,t),嚅(к" С；(%")・
При условии, что перечисленные величины известны при заданных р, % тЛ, 7ab阳,определяющих кулоновскую систему, сравнение 5(0) с <У, очевидно, возможно.
Вычисление временных корреляционных функций может быть проведено в приближении эффективного поля [46], которое позволяет свести C^(k,t) к известным временным корреляционным функциям, полученным либо аналитически, либо в численном эксперименте. В уравнения, определяющие С；：(к#) в приближении эффективного поля, входят соответствующие автокорреляционные функции 鑑(％")：
С^(М)=心〈用 S)exp[-ikE(f)-以0))]比 S)>(,=
=%*借J餐…依(用SM)E(Q…制叫(o))>o. (5'25) Найдем 廓；(k/),C^(k,t),C^(k,t) в гауссовом приближении, т.е. представим каждое статистическое усреднение в (5.25) в виде произведения усредненных пар при всевозможных разбиениях произведения импульсов в (5.25). Следовательно, в гауссовом приближении любая С：： (к") сводится к автокорреляционным функциям скоростей частиц. Выпишем 啸(％") 20 7岁)2(0)>/V代(0)>)
唸(k,t)=工4~^]同…仲〃vp：G)・・.p：(%)>o =
小a丿 00
4т “№)("/‘)# ₽ ma Lo.4т “№)("/‘)# ₽ ma Lo.* -…=(5.26)* -…=(5.26)
4т “№)("/‘)# ₽ ma Lo.
4т “№)("/‘)# ₽ ma Lo.
* -…=(5.26)
* -…=(5.26)
=exp[备}“) "W
Перейдем к вычислению С氯к#)
/(%") =然豈)m…m＜儀*)-3卜
^PaW-Pa^n^Q^PaW-Pa^n^Q17Г-17Г-\za(f)df9\za(f)df9、2、2XX(5.27)(5.27)
^PaW-Pa^n^Q
^PaW-Pa^n^Q
1
7Г-
1
7Г-
\za(f)df
9
\za(f)df
9
、2
、2
X
X
(5.27)
(5.27)
XX2'/2!+2'/2!+++財z№)1-訂卜(”—)" +財z№)1-訂卜(”—)" +к4₽мхк4₽мх(5.28)(5.28)
X
X
2'
/2!+
2'
/2!+
+
+
財z№)1-訂卜(”—)" +
財z№)1-訂卜(”—)" +
к4
₽мх
к4
₽мх
(5.28)
(5.28)
jzW瑞忆).
0丿
Распишем C^{k,t)\
或3)=重額%・也相甌)-3鴉*)-3卜 ^Pa^P^. /6 = Z^(O ^^Zam^f)df+^x
心")(-)")并一莪分唯师卜
x(h№)«T，)q /2!-... /6= z*)-(2/3)^z/)x
心")d'W周仗同编依#•
Выразим временные корреляционные функции 駕(2/), С：；(к/),С：；(к") через С*к"),С^("),С^(к"). Непосредственной подстановкой соответствующих полиномов в (5.21), (5.23), (5.24) доказываются соотношения
• С^(%/) =石С凿(Ю(5.29)
觥(切)=C^(k9t)46 - ^z^t)C^(k9t)6ab;(5.30)
鑑(2/) = 6C：：(") - 4z*)嗡(2 J)% •(5.31)
Выпишем уравнения для С；： (к, n), С；： (к, n), С^ (к, z) в приближении эффективного поля [46]
C^(k9z) ^[^(k9z) - ^п{С°а\к)С^(к^ =盒(k,N)S%k);
國(2,z) +[鶴(2,z) - 1]2%С^ (簡甯(％*)二 C^(k,z)5ab;(5.32)
嘀2*) +翁2勺d的甯(幺力=фкл)5aь .
Таким образом, в результате использованной серии приближений вычисление о' может быть проведено по q(/), С"%%) при заданных р,友，та, v而(％); форма v叫г) взята из [47—49]. В табл. 5.1 приведены данные для сравнения о' с 5(0) двухкомпонентной классической кулоновской системы в гипотетических условиях (ядерная материя [50—53]). Разница между о' и 5(0) (естественно, в приближении, описанном выше — ср. с [54—61]) значительна (ср. с [62, 63]). Указанное обстоятельство необходимо учитывать, в частности, при моделировании переносных свойств высокотемпературных конденсированных сред.
Таблица 5.1. Сравнение о丄 с S((J) классической двухкомпонентной кулоновской системы {Г = р^/а, rs = 〃迎,《0= ^/т^^ а = (3/4яле), 2")= 3b(d〃)(l・exp(・〃M)), М=А(0/2叶必户/2; z/。，口(А) взяты из [60, 61]}
Г
rs
7； К
% СМ'3
ад/^
«м
2
1
1,58105
1,61-Ю24
1,1
1,2
0,5
1
6,3-105
1,61-Ю24
2,15
1,55
0,5
0,4
1,58-106
2,52-Ю25
3,6
3,1
§ 6. Правила сумм для функций реакции и временных кор* реляционных функций систем с сильным межчастичным взаимодействием
Известно, что примером ограничений (правил сумм) для функций реакции служат соотношения Крамерса-Кронига и вы* текающие из них асимптотические (при ш -> оо) разложения, которые используются при определении частотных моментов функций реакции (см. подробнее гл. 3).
Соотношения Крамерса-Кронига для функций линейной реакции являются, как известно, следствием аналитичности функций реакции в верхней полуплоскости комплексной переменной Z, аналитичность в свою очередь следует из причинности возмущения. Механические возмущения являются причинными, но в случае термических возмущений ситуация сложнее. Для продольных диэлектрической проницаемости и истинной электропроводности, характеризующих реакцию кулоновской системы на среднее электрическое поле, соотношения Крамерса-Кронига справедливы в длинноволновом пределе [10, 15, 17]. То же предполагается и для функций реакции, соответствующих другим термическим возмущениям. Выпишем соотношения Крамерса-Кронига; если фурье-образ двухвременной запаздывающей функции Грина 为旦乌衝①)(см. (1.3)) не имеет полюсов на оси о, то для действительных и мнимых частей *4%衝 з)= К%%色 ①)+ i 血в/ ①)имеем соотношения, аналогичные (1.16). При одинаковой четности эрмитовых операторов 5｛口)，乌(rj) относительно обращения времени соотношения между действительными й мнимыми частями фурье-образов функций реакции преобразуются к виду
(6.1)(6.1)(k,8)=jd6(D 驾С：；!
(6.1)
(6.1)
/т 00.0
Функции линейной реакции связаны с равновесными временными корреляционными функциями посредством флуктуационно-диссипативной теоремы, которая позволяет, в частности, упростить получение зависимостей между функциями линейной реакции и координатными корреляционными функциями.
42
Из правила 户сумм для динамического структурного фактора заряд-заряд двухкомпонентной кулоновской системы (1.17) [15]
(6.2)(6.2)jo)S(k,G))血=方炉(1 / 4/ +1 / 4也)
(6.2)
(6.2)
(6.3)(6.3)и флуктуационно-диссипативной теоремы следует асимптотическое поведение при ш-> оо функций реакции кулоновской системы
(6.3)
(6.3)
"(k, со) -> 1 -"(k, со) -> 1 -2冗修叫Ий?2冗修叫Ий?
"(k, со) -> 1 -
"(k, со) -> 1 -
2冗修叫Ий?
2冗修叫Ий?
Функции реакции при о — 8, как это следует из (6.3), описывают газ невзаимодействующих частиц.
Воспользуемся одним из результатов косвенной теории линейного отклика для получения интегральных по частоте соотношений между функциями реакции и термодинамическими характеристиками неидеальных сред. В [25] показано (см. также (1.3))
(6.4)(6.4)!明如№，о)=儀J»，
(6.4)
(6.4)
где 5〃 bj — термодинамические параметры неидеальной системы. Конкретизируем (6.4), с этой целью выпишем 炉xt«)в форме, принятой в косвенной теории линейного отклика для двухкомпонентной нейтральной (неполяризованной) среды (ср.(4.1))
Яей(0 = -J/fr|^£) 9(r>/) + ML£) pM(r>0 +
+ 陶(口) - 6口2(口加*'；(6.5)
q(r,f) = Mr,f) 一岁•p/!打) + P1 噜父-曙]何-诃).
Воспользуемся также термодинамическими соотношениями, первое из которых вытекает из равенства Tpmds = d〃一 -К" + р) / Pmldpm - Pmd -口2)*1 三 dq, где 6, 口 一 удельные
величины:
亦)=7рм阑/的+忆篇L//)+ W凱六)•(66)
Аналогичные соотношения можно выписать для pm(fc)9 Рт%(期 三工(％), которые есть фурье-образы от соответствующих приращений. Из первых равенств в (4.2), (1.3) и (6.4) следует
既咚*$僞67)
Подобным же образом можно получить правила сумм и для поляризованных (заряженных) сред, которым отвечает более сложный вид ds [18] и соответственно 冃叫。Кроме частотных интегралов (6.2), (6.7) и частотных моментов (см. гл.З) функций реакции и временных корреляционных функций существует и другой тип uправил сумм”，соответствующий координатным ин- теграчам от данных функций [64].
Правила сумм для функций линейной реакции и временных корреляционных функций могут быть применены как для контроля различных приближений и модельных подходов, определяющих данные функции, так и для непосредственной оценки различных физических характеристик классических и квантовых кулоновских [60, 65—68] и нейтральных систем [25]. Анализ, в частности, показывает, что многие характеристики однокомпонентной кулоновской системы: коэффициенты сдвиговой и объемной вязкостей, самодиффузии, корреляционная функция скоростей и т.п., <<точно>, рассчитанные методами молекулярной динамики, независимо оценг/ваются с использованием соотношений Крамерса-Кронига для соответствующих функций реакции и временных корреляционных функций, известных частотных моментов и частотных интегралов от данных функций, флуктуационно-диссипативной теоремы. При этом получено удовлетворительное согласие “точных" и оцененных значений локальных коэффициентов переноса и временных корреляционных функций. 44
Глава 3. Оптические свойства кулоновских систем
Последовательное вычисление оптических характеристик кулоновских систем с сильным межчастичным взаимодействием, представляющее теоретический и практический интерес, сталкивается со значительными трудностями (ср. с § 5). Поэтому в данной главе для определения соответствующих функций реакции и временных корреляционных функцией неидеальных кулоновских систем использованы явные аппроксимации данных величин с несколькими подгоночными параметрами; причем параметры найдены из известных частотных моментов функций реакции и временных корреляционных функций. В § 7 определены характеристики отражения, поглощения и рассеяния электромагнитного излучения кулоновской системой. В §§ 8—11 изучены частотные моменты различных динамических характеристик кулоновских систем: поперечной и продольных диэлектрических проницаемостей, коэффициента Кубо, динамического структурного фактора заряд-заряд, а также связанных с ними величин. В § 12 коэффициенты отражения и поглощения электромагнитного излучения кулоновской системой, вычисленные с помощью предложенного подхода, сопоставлены с данными коэффициентами, измеренными для ударно сжатой плазмы аргона и ксенона.
Характеристики линейного взаимодействия лазерного излучения с кулоновской системой
Отражение и поглощение электромагнитного излучения заряженной средой описывается, как известно, поперечной диэлектрической проницаемостью среды е^к,^). Во многих практически важных случаях при вычислении коэффициентов поглощения аеш и отражения 凡,можно ограничиться длинноволновым пределом поперечной диэлектрической проницаемости [69, 70]. Выпишем выражения для аею через поперечную электропроводность о丄(0,о)(三 с(ш)) и для 凡 через 8^0,ш) (= £(со)) [69—71]:
壬 со = 41(^1 с) {4^((0)/со 一 1 +[(1 ~4яс*(а))/а))2 +(4g'®)/o))2 产严；
2(7.1)
^^\(^-\)/(^^)\ ,
где с — скорость света; о； о" — соответственно действительная и мнимая части высокочастотной электропроводности.
Мощность лазерного излучения, когерентно рассеянного средой из объема V с электронной плотностью пе в единицу телесного угла и на единичный интервал частот, есть [72]
(^^ = П^^S)
В (7.2) 5/ ——вектор Пойнтинга падающего излучения с частотой о, и волновым вектором к/； о「(05)——томсоновское дифференциальное эффективное сечение рассеяния излучения с частотой ш^ и волновым вектором k$, S*(k,o)) — динамический структурный фактор электронов [см. (1.19), о = о$ — о〃 к = & — kJ Выражение (7.2) справедливо в приближении, когда многократным рассеянием можно пренебречь, поглощение и отражение излучения в объеме V мало,仰 и ш, больше плазменной частоты 少
Частотные моменты See (к,ш)9 Spp (kg) и связанных с ними функций реакции кулоновских систем
Рассмотрим частотные моменты корреляционных функций See(k,o) Spp(k,o) и связанной с ними мнимой части продольной функции реакции 1/J(k,co) ( и с7 (к,ш), см. (1.11)) в классическом пределе. Зависимость между частотными моментами временных корреляционных функций и функций реакции, вообще говоря, следует из теории линейного отклика (см. (1.14)) и флуктуационно-диссипативной теоремы в форме (см. (1.5))
嘘也0)=冗n%也0))(1 - eXp(т砌)/ ЙИ.(8.1)
Из (1.11), (1.14) и (8.1) следует (й = 0)
Rea(k,G)) = ^那"号4热s)(8.2)
Поэтому в классическом пределе частотные моменты Spp(k,co), Re6‘(k,(o) и мнимой части обратной продольной диэлектрической проницаемости легко связать между собой. В квантовом случае из-за появления ехр(-р(ой) в (8.1) моменты Rec7(к,ш) удобнее находить непосредственно из (1.14), (1.15).
46
В классическом пределе See(k,a)), Spp(k,o) — четные функции о (1.18), т.е. от нуля отличны лишь их четные моменты. Из свойств преобразования Фурье
/ш2л5рр(к,о))^ =喘丿吧〈/“(ркОр—КО))/^*"〉。；
р''°(8.3)
=5< /р*/力[…>0.
Здесь рк(/) = Z и exp(— i ki}(0);石—зарядовое число i-й частицы,
Г/ — координата частицы. Вычисление моментов %(к,о) (Rec(k,a))) означает вычисление средних из (8.3), при этом полезно использовать соотношение [73, 74]
V ^^ '("'坛，…,党 >0= Р 1 V "(q, 1*2, • • •，「%)/2再 >0 ,(8.4)
где U = (1/2)Ev^i; - г/) — потенциальная энергии взаимодействия частиц классической двухкомпонентной кулоновской системы.
Нулевой момент Spp(k,a)), как известно [45, 71], имеет вид (см. (1.19))
%(к) = (1/2)瓦(к) + 厶(к) - 2%(к)]・(8.5)
Определения S曲(к) совпадают с (5.16). Ниже в этом параграфе рассмотрим не моменты динамических структурных факторов заряд-заряд и электрон-электрон, а простым образом связанные с ними моменты Rec (к,о).
Нулевой момент Rec (к,ш) для классических и квантовых кулоновских систем равен [15] 脅=J①方 Rec(k,①)血
(8.6)
Из (8.2), (8.6) легко найти вторые моменты Spp(k,o) и S%(k,o), причем последний соответствует удвоенной электронной части (8.6). Удвоение электронной части (8.6) для второго
47
момента S%(k,o) следует из нормировки последнего на \/Ne (см. (1.19)), что по смыслу соответствует рассеянию на электронной компоненте кулоновской системы.
Поясним процедуру вычисления ш；. Проведя дифференцирование pk(f) в (8.3), сгруппировав члены при одинаковых степенях к и применив формулу (8.4), получим для 6； (k||x; v^ = dU/dx^
XX.22 3N " 1 丄х<若就к >0..22 3N " 1 丄х<若就к >0.(8.7)(8.7)
X
X
.22 3N " 1 丄
х<若就к >0.
.22 3N " 1 丄
х<若就к >0.
(8.7)
(8.7)
Индексы / и /, соответствующие как электронам, так и ионам, могут быть равны и не равны между собой. Приведем выражение для К
U = £vg•+ gv炉 + gv〃• + gvy +Zv“・，・i<j i'<j' i<j i<j' i
Последний член в данной сумме (/, / — электроны, i； /' — ионы) в термодинамическом пределе (N, Рт 吗 N/V — const) дает в ^paз меньший вклад в средние значения, чем остальные. Поэтому усре* няемая величина во всех случаях представима в виде Z /(% 切 \^k<l^N
с определенным числовым коэффициентом (так как в (8.7) суммирование по /, / производится независимо). Используя известные правила [45] для усреднения сумм такого рода, находим для 6； [75] (n=效2匕 h = k/A:)
优=(3/2)启左2 g优=(3/2)启左2 g冗〃廿—T~x冗〃廿—T~x
优=(3/2)启左2 g
优=(3/2)启左2 g
冗〃廿
—T~x
冗〃廿
—T~x
x(J&V)2 V^(r)(l - COSk・r)gee⑺力 + J&V)? Nei(r) gei(r)dr) +
J&~)2 ve/(r)cosk.rge/(r) dr + 哗(J(kv)2 v,(r) X
X(1 - COS k・r) gjj⑺力 + J&V)2 Vej⑺ gei⑺衣)・
Из (8.8) легко найти четвертый момент Spp(k,o)), учитывая коэффициент в формуле (8.2); при этом четвертый момент S/kg) соответствует удвоенному члену 〜1/歷 в (8.8).
Перейдем к вычислению 6；. Из (8.3) после трехкратного дифференцирования р七(f) следует
.4Z& ( д2и д2и
Ю/ =яe — < e厶〕7〜一〜… 〜 ~一 +
t d2U ^U + d2U ^U 1 次(冲-弓)>
+^^7^^+^^7^^7 丿 e0
(8.9)(8.9)3ikN 2 ZiZj d3U 7к®г»
(8.9)
(8.9)
VE―七——2е>о +
BP g g時N dXj銷
3ikN 2 Z& d3U -ikg-Xj) +k？而姦ё>。+
В (8.9) члены 〜к и 依 усреднены аналогично (8.7), причем член 〜％ дает вклад в 6； только при / ^ у; член 〜Л° соответствует парной корреляционной функции ^(г), когда i =j, i =j = к м свободные индексы в Uравны друг другу; % =/ и свободный индекс в U равен i, 2 = i и свободный индекс в U равен У; в остальных случаях данный член соответствует тройной корреляционной функции 8断(「『)[23, 76] (ср. с [77, 78])
6； =15к%е2n _J_ + _J_ + ^―{л3Jdrdrfg3e (г,гг) х
N嚇2丿冠
х[1 + cosk (r - r') 一 2cosk r](k V)(k Vr)(V Vr) vee (r) vee (r') +(8.10)
^n3jdrdrfgeeiM(l - 2cosk・r)(K)&▽)(▽▼)、«)、“) + +n3j^geiiM(k^^
+ 2『Jdrgee ⑺(1 - cosk r)(kWvee(r))2 +
人2
+M2J^rge/(r)(kWve/(r))2} + ^—{n^drdeg^^y) x me mi
xcosk (r - rr) (k-V) (k Vr) (V Vr) ve/ (r) ve/ (rr) + +n2JJrge/(r)(kWveZ(r))2} - -^y— {2л3 Jdrdrfgeei (r,rr) x
x[cos k (r 一 f) - cos kr](k-V)(kV)(W) v” (r) vee(rr) 一 -2n^jdTdTf geH (r,j) cos kr (kV) &▼)(▽•▽) veZ(r)、«') - -2『J dr gei (r) cos k r(k W ve/(r))2}-
(8.10)(8.10)一 -{2/ J drdr' gzZe(r,rr)[cos k(r - r') 一 cos kr ]x 加皿
(8.10)
(8.10)
(k.V)(kV)(W) v“⑺ vj“) 一 2 J Jdr*geei(r^ X cos k r (k V)(kV)(W) ve/ (r) ve/ g -
2/ J dr gei (r) cos k r(k W ve/(r))2} +
+{л3 J 加衣'g加(r/‘) cos k(r-f)(kV) x
x &▽) (VV) Q (r) %，) + 川仲 gei (r)(iw Nei (晒2} +
+ h ^-麓2\dr g%(r)sinkT(LV)3 v^(r)- L^eP
+ JdrgeZ(r)sinkr(k-V)3veZ(r)} +
咿川丿
+ 左2 i^^^[g^(r)^ Уев(г) + g£r)&V)2、«)].
В (8,10) для краткости опущены члены -Л° с коэффициентом 穴//唸 ~2 с коэффициентом 6яе2//п?р и 〜依 с коэффициентом 15тсе2//п?р, которые полностью аналогичны членам с коэффициентами соответственно не2 /т^ и т.п. при замене е т 九 Шестой момент Spp(k^) легко найти из (8.10), учитывая коэффициент в формуле (8.2); шестой момент 8ее(Л,ш) соответствует удвоенным членам ~1/冠 в (8.10). Последующие четные моменты действительной части внешней продольной электропроводности связаны с более сложными корреляционными функциями g4(r, г； г”) и т.д. и имеют существенно более громоздкий вид, чем (8.10).
§ 9. Частотные моменты истинной продольной электропроводности кулоновской системы
Найдем частотные моменты а^к,^) истинной продольной электропроводности, которая характеризует реакцию заряженной среды на среднее продольное электрическое поле и определяет омическую диссипацию в среде. Данная функция реакции является причинной функций, т.е. удовлетворяет соотношениям Крамерса-Кронига лишь в длинноволновом пределе [15, 16]. Выразим частотные моменты Кео^ш) — со} через частотные моменты ш^. С этой целью воспользуемся равенством, справедливым в пределе ш->со：
(9.1)(9.1)j — 4тт Im /(k,(o) _ ； + 47t Im &'(k,(o)
(9.1)
(9.1)
и асимптотическим (при ш -> oo) разложением для Im cz(k, ш), вытекающем из соответствующего соотношения Крамерса- Кронига:
人4
(9.2)(9.2)冗 Im Gz(k, co) = ^ +粤+ %•+...
(9.2)
(9.2)
Разложим правую часть (9.1) в ряд по степеням Imc(k,ш)/ш, подставим в данное разложение выражение (9.2) и сгруппируем члены при одинаковых степенях о. Тогда подобное (9.2) разложение я Im o'(k, о) есть
氏Im J(M)=磷 + 6T(後 + 6"8 魏 +16 (那+(93)
Используя разложение для Im(j/(k,a)), вытекающее из соответствующего соотношения Крамерса- Кронига при о т 8 (А т 0), и сравнивая данное разложение с (9.3), определяем четные частотные моменты Reo'(k,a)), равные числителям в разложении (9.3) [20, 23, 76]. Очевидно, полученные соотношения между 6产 и ш^1 справедливы как для классического, так и для квантового случаев. Заметим, что нечетные (четные) частотные моменты Reo/(k,co), Re cz0t, ш) (Im cz(k, ш), Im c(k, ш)) равны нулю как для квантового, так и для классического случаев, поскольку из действительности функций o(r,t), 6^,/) следует четность (нечетность) по о Reo〈k,a)), ReG‘(k,о)(Im J(k,о),Imc(k,о)). Нечетные частотные моменты мнимых частей внешней и истинной электропроводностей равны нулю в отсутствие магнитного поля [3].
§ 10» Частотные моменты поперечных диэлектрической проницаемости и электропроводности
Частотные моменты мнимой части поперечной диэлектрической проницаемости, очевидно, тесно связаны (см. (2.4)) с моментами действительной части поперечной электропроводности. Из теории линейного отклика следует [15], что действительная часть поперечной электропроводности Reb^k’s), есть
(ЮЛ)(ЮЛ)Re о丄(к, о) = Im 心仙 ш)/ш.
(ЮЛ)
(ЮЛ)
Флуктуационно-диссипативная теорема, определяющая функцию отклика Im x^(k, ш) через соответствующий коррелятор, имеет вид в классическом пределе
(Ю.2)(Ю.2)Im右(к,О)) =粤崂衝①),
(Ю.2)
(Ю.2)
где Ф> ①)=击 J 評，V kxjk(r), k%(。) >o 力 / P
Здесь j (k, 0 = eS z, v/0 exp(- i ki;.(0) ； как и %(kg), Ф^(к,ш)— четная функция частоты в классическом пределе. Из (10.1), (10.2) и свойств преобразования Фурье получим ,
52
Re о丄(к, ш) = I 崂(к, о);
л(10.3)
j/唠度①)血=2兀v| ^jAOL|2>o~.
-«осиу
Таким образом, практически вычисление моментов действительной части поперечной электропроводности не отличается от вычисления моментов ①｝仙①).Нулевой момент действительной части поперечной электропроводности, как легко показать, равен (8.6), что соответствует с коэффициентом (4тт)" первому моменту мнимой части поперечной диэлектрической проницаемости.
Вычислим oj. Проведя дифференцирование в (10.3), сгруппировав члены при одинаковых степенях Л, применив формулу (8.4), получим для oj(k || z):
22 ( 11 ] яе2 ZfZj d2U -ik(Zi-Zj)
о丄=2 7tc 川一у+—г +-тг-<^——~—-- -еJ >0.(10.4)
Выражение (10.4) усреднено аналогично (8.7); в результате о； совпадает с (8.8), если член ~" взять с коэффициентом 1/3, а в членах 〜Л° операторы (k-V)2 заменить на (1/2) (V2 - (k-V)2)- Очевидно, второй момент действительной части поперечной электропроводности с коэффициентом (4тс)" равен третьему моменту мнимой части поперечной диэлектрической проницаемости.
Запишем
+嘴鳴涉т診瀟農
+武¥<沁
” ij 碎请改亦J&jP gkgmjntk
"1碼蘇"阳•两+aх;•耽视历Ldc囱用瓦Jё0，
После усреднения о： совпадает с (8.10), если член ~抬 взять с коэффициентом 1/5, в членах 〜依 операторы 15(k-V)2 заменить на 2( V2 一 (k-V)2) + (k-V)2, в членах 〜к 6(k V)3 - на 3(V2 - (k V)2)(k-V), в членах ~Л° 2(k VV v(r))2 — на ((VV v(r))2 - (k-VV v(r))2), и &V) &V) (V V) на ((V-V)2 - (k-V) (kV) (V-V))/2. Четвертый момент действительной части поперечной электропроводности с коэффициентом (4тс)" равен пятому моменту мнимой части поперечной диэлектрической проницаемости.
Из сравнения (10.4) (10.5) с (8.7) (8.9) очевидно, что 6；, 6； совпадают с соответствующими моментами действительной части поперечной электропроводности в длинноволновом пределе. Последующие четные моменты действительной части поперечной электропроводности связаны с более сложными, чем тройная, координатными корреляционными функциями. Нечетные (четные) частотные моменты Recr^Ko) (Imcr^kg)) равны нулю как для квантового, так и для классического случаев (это вытекает из действительности функции о(т/))・ Нечетные частотные моменты мнимой части поперечной электропроводности равны нулю в отсутствие магнитного поля [5].
Частотные моменты коэффициента Кубо. Соотношение между частотными моментами различных определений электропроводности кулоновской системы
Для определения коэффициентов отражения и поглощения 凡,аеф электромагнитного излучения кулоновской системой необходимо знание длинноволнового предела поперечной диэлектрической проницаемости, который совпадает с е(ш) — коэффициентом Кубо, е(ш)=1 + 1(4я/ш)о(а)). Частотные моменты коэффициента Кубо 5(о)), характеризующего отклик кулоновской системы на внешнее однородное электрическое поле, исследованы в [80]. Моменты ReS(o)) - ш2л и Imo(a)) определяют асимптотическое (при со->оо) разложение для ImS(a)), Rec(a)):
ф(0) Ф(0)+ +Ф(2л)(о)•
(ИЛ)(ИЛ)Reo(o) = -》+ >-••・； ш ш
(ИЛ)
(ИЛ)
Ф(2л)(0) = (-1)幫 §『Red(o))血；
中(2〃+1)(0)=(一1)"2 出2〃+1 [md® 血.冗о
Разложение, аналогичное (11.1), следует также непосредственно из соотношений Крамерса-Кронига (1.16). Как и для продольных внешней и истинной, а также поперечной электропроводностей, нечетные моменты действительной части коэффициента Кубо равны нулю, четные моменты мнимой части коэффициента Кубо и нечетные моменты ImS(a)) в отсутствие магнитного поля также равны нулю. Приведем два первых четных момента Rec(a)) (ш° равен (8.6)):
(Н.2)(Н.2)V 看叫nj %dXj 0，
(Н.2)
(Н.2)
о*о*24 = т^弓8 (а2。》u I》и а2。I ^и а2。]〉
о*
о*
VdXjdxk йх^ ^рУк 张海欲福/(
Очевидно, после усреднения в классическом случае моменты (11.2) совпадут с членами 〜Л° в (8.8), (8.10), если в последних перейти к длинноволновому пределу. Собственно выражение (11.2) справедливо независимо от типа статистики.
Таким образом, в данной главе найдены не только моменты динамического структурного фактора электрон-электрон, поперечной диэлектрической проницаемости, непосредственно используемых при определении характеристик рассеяния лазерного излучения, а также коэффициентов отражения и поглощения такого излучения двухкомпонентной кулоновской системой, но и частотные моменты четырех возможных определений электропроводности кулоновской системы (моменты 5(к, ш), Ф^(К со) однокомпонентных систем изучены в [81—86]). Проведенный анализ позволяет сделать выводы в взаимозаменяемости различных частотных моментов. Сравнение выражений для частотных
моментов четырех возможных определений электропроводности кулоновской системы показывает, что данные моменты различны при конечных волновых векторах для классических систем. Вычисление перечисленных моментов дает конечные результаты. В длинноволновом пределе, как и следовало ожидать, 6产 и of совпадают между собой и с 企？". При этом в длинноволновом пределе вклад в моменты вносят лишь члены, связанные со взаимодействием электронной и ионной подсистем и зависящие для классического случая от принятой модели v£l) при г т. 0. Электрон-ионный потенциал взаимодействия из соображений термодинамической устойчивости должен быть конечен при г -> 0 [47—49]. В то же время для квантовой кулоновской системы электрон-ионный потенциал всюду является кулоновским. Заметим, что несмотря на совпадение oj", 32л, 6“" в длинноволновом пределе соответствующие электропроводности, вообще говоря, не совпадают. Так 工吗 /唄&'(%, о) = 0, но соответствующий предел для поперечной электропроводности не равен нулю (как и статический коэффициент Кубо). Длинноволновый предел частотных моментов истинной продольной электропроводности не совпадает, как это следует из (9.3), с соответствующими пределами частотных моментов других определений электропроводности.
Как показывает анализ, проведенный выше, все частотные моменты определяются статическим поведением системы при равновесии, т.е. термодинамическими свойствами кулоновской системы. Положительность частотных моментов накладывает условия на координатные корреляционные функции, дополня* ющие известные интегральные соотношения для &(/) [20, 64]. Кроме положительности для частотных моментов функций реакции и временных корреляционных функций 1/8^,(0),找工①), 8(ш), соответствующих электропроводностей, 5^р(к,ш) и т.д. справедливы и другие неравенства (см., например, [87]). Серия неравенств следует из соотношения Гауха-Шварца
[Т е "1m %扈 Т 口 勺 /Im %衝 8)-
「 -p ⑴・з)
После замены 1тхРР(к,(о) на действительную часть внешней продольной электропроводности (динамический структурный фактор заряд-заряд в классическом пределе) из (11.3) легко получить серию неравенств для 6产 и, следовательно, частотных моментов других определений электропроводности, которые имеют место как в случае классической, так и квантовой статистики:
6 汽”>(6『У・ (11.4)
Неравенство Холдера также независимо от типа статистики дает возможность получить соотношения между частотными моментами в дробных степенях (Дх),風х) — неотрицательны):
]f(x)dx jg(x)dx.а 」La -]f(x)dx jg(x)dx.а 」La -b^iifmp[g(x)^dx9b^iifmp[g(x)^dx9(H.5)(H.5)
]f(x)dx jg(x)dx.а 」La -
]f(x)dx jg(x)dx.а 」La -
b
^iifmp[g(x)^dx9
b
^iifmp[g(x)^dx9
(H.5)
(H.5)
где p, 4 > 0, p+q=L Если положить /(x)=cth(pa)/i/2) |lm 7Pp(k, a))|, ©x)= a)3|lm XpP(k,G))| и взять для (p,q) наборы (2/3,1/3), (3/4,1/4), (4/5,1/5), (3/5,2/5) и т.д., получим соотношения между частотными моментами в дробных степенях.
Еще одна серия неравенств между частотными моментами 步 следует из положительности числителей в правой части (9.3).
Оптические характеристики кулоновских систем. Сравнение с экспериментом
Восстановление частотного поведения функции по известным частотным моментам или, как в случае, рассмотренном в данной книге, динамических свойств кулоновской системы по ее термодинамическим свойствам (<спроблема моментов”) изучено в [88]. Для решения данной проблемы необходимо знание, вообще говоря, бесконечного числа частотных моментов, задать которые почти всегда практически невозможно. В [88] даны также рекомендации по восстановлению частотного поведения функции по конечному числу известных частотных моментов, по которым в [89, 90] найден вариант частотного поведения внешней и истинной продольных электропроводностей по конечному числу известных частотных моментов для квантовой кулоновской системы, полученных при условии малости параметров неидеальности и вырождения. Используем [23] в противопо- 57
ложность [89, 90] явные аппроксимации 5^е(к,ш), Im е^О,©) (Re е^О,©) получена из соотношения Крамерса-Кронига (1.16)) с несколькими подгоночными параметрами. Последние, очевидно, связаны с правилами сумм для динамического структурного фактора электрон-электрон и длинноволнового предела мнимой части поперечной диэлектрической проницаемости. В свою очередь, по известным е^О,©), 5^е(к,ш) согласно (7.1), (7.2) легко определить 凡,аеш и спектр рассеяния лазерного излучения двухкомпонентной кулоновской системой.
Рассмотрим аппроксимации 5^е(к,ш) двух типов. Первый совпадает с формой 51(к,(о), принятой при анализе рассеяния нейтронов плотными нейтральными средами (например, жидким аргоном [92]), второй восстановлен по результатам рассеяния электромагнитного излучения газовой плазмой (см., например, [72, 93]). В обоих случаях ниже обсуждаются выражения для 5^е(к,ш) в классическом пределе. Для соблюдения необходимой симметрии по ш для квантовых кулоновских систем следует положить 望(к, (о) = eв叫2望к①)
Выпишем 5^е(к,ш), следуя [92]. Согласно формализму “функций памяти” (ср. Приложения II, III), корреляционная функция <<плотность-плотность>, нейтральной жидкости (классической) удовлетворяет уравнению
dFg t)/dt + j А 陷化,f - /)尸(k") = 0. (12.1) о
В (12.1)妬化丿)一“функция памяти”，т.е. корреляционная фун- кпия случайных сил (см. Приложение II), удовлетворяющая цепочке уравнений, подобных (12.1), в которые входят M^,f) все более высокого подярка; F(k,i)-(\/N)< ^(r) р_к(0) >0, ^(г)= =S ехР (- i fc^W) • Фурье-преобразование от 网к/) есть 5(клш)
(умноженное на 1/2). Выполнив преобразование Лапласа в (12.1) и аналогичных уравнениях для М/ (кд), получим следующую цепочку уравнений
F(k,5)= F(k,0)/[5 + M1(k,5)]；
(12.2)
^z(k,5)= Sz/[5 + Mz+1(k,5)].
В (12.2) 5/= Л/Хк/ = 0), кроме того, [92]
В】 =<ш2>； 6色 +S? =<®4>；衍配同 +6i®i +52)2 = <®6>； 51525354 +М(61 +52)3 +26263© +52) + 525з] = <ш8>;(12.3)
шл = |б/а)шл5(к,ш)/ра)5(к,ш).
Для того чтобы определить 5(к,ш) (равный (1/л)КеДМ=Иш), так как Kkj) — четная функция 0, необходимо из определенных соображений оборвать цепочку уравнений (12.2). Согласно модели [92] цепочка (12.2) ограничена на 扬，причем 此 выбрана в форме M(k/)=62 exp(-〃t2 (к)). В этом случае S(k,o) имеет вид
(12.4)(12.4)М)=曾珍8"？ ,__
(12.4)
(12.4)
{шт2(^)(ш —6] _玩)} +3 —6])2
Если (12.2) ограничить на Л/3 и положить Л/^=6зехр(・“тз(к)), то для S(£,(o) получим [86, 92]
Рис. 12.1. Динамический структурный фактор электронов двухкомпонентной кулоновской системы:7 — численный эксперимент [75J, кд = 0,78; 2 — S(kt(a) в форме (12.4),т(А:)=2(82/п)1/2Рис. 12.1. Динамический структурный фактор электронов двухкомпонентной кулоновской системы:7 — численный эксперимент [75J, кд = 0,78; 2 — S(kt(a) в форме (12.4),т(А:)=2(82/п)1/2喻尤心 F丁一^纟呼尹；3(•夕 (12.5)
Рис. 12.1. Динамический структурный фактор электронов двухкомпонентной кулоновской системы:
7 — численный эксперимент [75J, кд = 0,78; 2 — S(kt(a) в форме (12.4),т(А:)=2(82/п)1/2
Рис. 12.1. Динамический структурный фактор электронов двухкомпонентной кулоновской системы:
7 — численный эксперимент [75J, кд = 0,78; 2 — S(kt(a) в форме (12.4),т(А:)=2(82/п)1/2
02(02 -61 -0)2 +寸(%){0)2 ®2 -6[ 一闻一少 + 8色}
Выражения (12.4), (12,5) имеют, вообще говоря, соответственно трех- и четырехпиковые структуры; конкретный вид динамического структурного фактора определят выбор «后)как функции к и 8/, т.е. (12.4), (12.5) могут быть сведены практически к одно- или двухпиковой формам [92]; (12.4) удовлетворяет второму, четвертому, а (12.5) второму, четвертому и шестому моментам динамического структурного фактора независимо от вида т(2).
В [23] (12.4), (12.5) использованы для аппроксимации 足式瓦①)двухкомпонентной кулоновской системы, причем частотные моменты (12.3) заменены на частотные моменты &(к,о) (рис. 12.1).
Рассмотрим форму 5^в(клш), характерную для газовой низкотемпературной плазмы (vy/c «1) с достаточно слабым межчастичным взаимодействием при одинаковых температурах электронов и ионов. При этом рассеяние излучения происходит на независимых электронах и электронах, экранирующих электроны и ионы.
Традиционно [72, 93] для нахождения 邑式瓦①)газовой плазмы используется система кинетических уравнений вида
dt ardt ar=о；=о；
dt ar
dt ar
=о；
=о；
~^К 丁+囂q^T^mq =-%[/ fq%(v)]；
,7(12.6)
% = J6q(r,y")小；divE] = S4TtgJJv^(r,v,0；
Fq = £ 6 (「-「№)№(▼-"«)),々=% + %•
В (12.6) &(f F/ = 佃 三 NqJV) описывает состояние системы в среднем;月g соответствует флуктуациям о^оло среднего уровня; в обозначениях (12.6) &&,о) определяется следующим выражением:
S以к, о) = 2v。<^e(k,叫2>о / W) •(12.7)
В (12.6), (12.7) Q— частота столкновений; q — заряд частиц сорта q. Для максвелловской плазмы (吊g = «o^76^(v)；几 ——распределение Максвелла) в [93] при а > 1 (а = 1/(^р)) для 足式匕①)с учетом межчастичных столкновений получено:
SeJ^ ш) = $е(к, о) + S'(k, ш);
х： fn1/2e~x° + v/(2%ax；)]
S爲⑶.—T——F2——F ；
2切" & - x0)2 + (宕(//4)卜/(2区崎 + n1/2x0 e X°J >
xe = о/履，а = v；;(12.8)
S^ 二 z^2/kb)；
О + а )
X,=①/(%方)，方=Vj* •
В (12.8) 6(к,со) соответствует рассеянию на электронах, экранирующих ионы; S(k,o) — на остальных электронах.足式冗①) при а>1 имеет, вообще говоря, два максимума: один вблизи частоты ионного звука (соответствует ^(к^ш)), другой — вблизи электронной плазменной частоты; максимумы 显式к,о) в приближении [93] примерно соответствуют нулям функции ez(k,o). Заметим, что при 4=7} ионно-звуковой максимум выражен слабо, поэтому в (12.8) S'(k,o) аппроксимируется функцией, не имеющей пиков при х, > 0.
Вид максимумов 显式工①)формируется затуханием Ландау, допплеровским уширением (в бесстолкновительной плазме), а также межчастичными столкновениями (в плазме со столкновениями). При а < 1 максимум вблизи электронной плазменной частоты отсутствует (нет ^электронных сателлитов”)，доминирует рассеяние на индивидуальных электронах; в этом случае спектр определяется допплеровским уширением из-за теплового движения электронов. Полагая 询,v, z параметрами, определяемыми из правил сумм для 5^в(к,ш) (см. § 8), выражение (12.8) (наряду с (12.4), (12.5)) использовано в качестве аппроксимации динамического структурного фактора электронов двухкомпонентной кулоновской системы с сильным взаимодействием. Поскольку экспериментальные данные по рассеянию электромагнитного излучения заряженной конденсированной средой в литературе отсутствуют, сравнение 5^е(к,ш), рассчитанного по данному подходу, проведено с иточными>, результатами [75], полученными методами молекулярной динамики; это сравнение показывает удовлетворительное согласие [23].
Рассмотрим отражение и поглощение лазерного излучения кулоновской системой. Мнимую часть е^О,©) зададим в форме
Im/(0,a)) = aJ ь(…产/叽广侬宀力'• (12.9)
В (12.9) а, т, 5, а)о — параметры (см. соответствующие правила сумм из § 10); Im 3(О,со) — антисимметрична по о. По соотношению Крамерса-Кронига из Im 3(0,о) получим действительную часть длинноволнового предела поперечной диэлектрической проницаемости. Подобная (12.9) гауссова форма мнимой
Рис. 12.2. Коэффициент отражения лазерного излучения двухкомпонентной кулоновской системой. Сравнение с 凡 ударно-сжатой плазмы [96] ксенона (температура плазмы 30000К, частота излучения s=l,8 I015 с")У — аппроксимация Друде [70]; 2 — (12.9)； 3— [89], точки - [96]Рис. 12.2. Коэффициент отражения лазерного излучения двухкомпонентной кулоновской системой. Сравнение с 凡 ударно-сжатой плазмы [96] ксенона (температура плазмы 30000К, частота излучения s=l,8 I015 с")У — аппроксимация Друде [70]; 2 — (12.9)； 3— [89], точки - [96]части 1/£<О,со) применена в [94, 95] для вычисления диэлектрической постоянной полупроводников. С использованием аппроксимации (12.9) и правил сумм из §10 (/w = -2,0,…)b [23] найдены ае^,凡 двухкомпонентной кулоновской системы и сопоставлены с экспериментальными данными [96, 97] (рис. 12.2). Сравнение показало неплохое согласие между расчетными и экспериментальными данными. Такой результат
Рис. 12.2. Коэффициент отражения лазерного излучения двухкомпонентной кулоновской системой. Сравнение с 凡 ударно-сжатой плазмы [96] ксенона (температура плазмы 30000К, частота излучения s=l,8 I015 с")
У — аппроксимация Друде [70]; 2 — (12.9)； 3— [89], точки - [96]
Рис. 12.2. Коэффициент отражения лазерного излучения двухкомпонентной кулоновской системой. Сравнение с 凡 ударно-сжатой плазмы [96] ксенона (температура плазмы 30000К, частота излучения s=l,8 I015 с")
У — аппроксимация Друде [70]; 2 — (12.9)； 3— [89], точки - [96]
означает, в частности, что кулоновская система является вполне приемлемой моделью высокотемпературной конденсированной
среды.
Помимо [23, 89, 90] в [68] предложен возможный подход к определению теплофизических свойств квантовой кулоновской системы с использованием простейших правил сумм для обратной продольной диэлектрической проницаемости. В [98—101] также рассматривается проблема определения оптических и пе
реносных характеристик высокотемпературных конденсированных заряженных сред.
Раздел П. Коэффициенты переноса многоэлементной химически реагирующей среды с развитой ионизацией и сильным межчастичным (кулоновским) взаимодействием (модель)
Проектирование и конструирование перспективных технических устройств стимулирует исследования теплофизических свойств многоэлементных химически реагирующих сред с развитой ионизацией при температурах 103—105 К и давлениях 0,1—104 МПа [19, 20, 102]. Данный диапазон параметров включает важную для приложений и недостаточно изученную область неидеальной плазмы, на теплофизические характеристики которой существенно влияет кулоновское взаимодействие между частицами. Последовательное описание свойств такой плазмы из-за сильного межчастичного взаимодействия невозможно (см. разд. I), поэтому возникла проблема построения теоретических моделей, основанных, в частности, на известных экспериментальных данных.
В данном разделе изложен модельный подход [103] к вычислению полного набора коэффициентов переноса, определяющего потоки тепла, массы, импульса и заряда в неидеальной многоэлементной химически реагирующей среде с развитой ионизацией. Набор переносных коэффициентов, соответствующий корректной постановке задач внешней и внутренней высокотемпературной газодинамики (см. разд. III) в приближении локального термодинамического равновесия, состоит из электронных кинетических коэффициентов а7, а (термоэдс), определяющих электрический ток; коэффициентов сдвиговой и объемной вязкостей, определяющих поток импульса; транспортной теплопроводности X* и эффективных коэффициентов переноса, определяющих поток тепла и массовые потоки химических элементов в среде. Эффективные коэффициенты переноса включают эффективные коэффициенты теплопроводности, диффузии химических элементов, коэффициент химической теплопроводности 九及 и зависят от многокомпонентных коэффициентов диффузии ，公 термодиффузии D：, а также от термодинамических характеристик среды [103]. Заметим, что традиционно в литературе обсуждается лишь электропроводность неидеальной плазмы,
так как данный коэффициент является единственным измеренным коэффициентом переноса плазмы с сильным кулоновским взаимодействием [20, 104—112].
Формальные выражения для полного набора кинетических коэффициентов 0歹 многоэлементной заряженной конденсированной среды, соответствующих набору переносных коэффициентов, приведены в § 3, но вычисление данных выражений связано с нерешенной проблемой определения временных корреляционных функций квантовой электронно-ядерной системы. Выход из положения состоит в использовании ^химической модели" неидеальной среды (см., например, [20]), т.е. в выделении из первоначальной квантовой системы электронов и ядер смеси “свободных" электронов и “составных" частиц — атомов, молекул, ионов, и последующем микроскопическом рассмотрении процессов переноса тепла, массы, импульса и заряда в такой среде. Выделение сортов частиц при термодинамическом описании неидеальной плазмы, очевидно, проводится неединственным образом; в книге использован способ, который подробно обоснован в [20] (другие способы см. в [108]). При дальнейшем рассмотрении положим, что после выделения сортов плазма является невырожденной и взаимодействие заряженных частиц между собой велико по сравнению с взаимодействием заряженных частиц с нейтральными и нейтральных между собой.
Глава 4. Электронные кинетические коэффициенты плазмы с сильным кулоновским взаимодействием
К электронным кинетическим коэффициентам плотной низкотемпературной плазмы относятся электропроводность, термо- эдс, элещронная теплопроводность и электротермический коэффициент, последний по соотношениям взаимности Онсагера (см. гл. 6) может быть найден по первым двум. Электронные кинетические коэффициенты плазмы различного элементного состава с сильным кулоновским взаимодействием, в особенности электропроводность, относительно неплохо изучены экспериментально. Наличие экспериментальной информации, а также относительная простота теоретического анализа электронных кинетических коэффициентов позволяют использовать результаты такого анализа при исследовании всех переносных процессов в гиГазме с сильным кулоновским взаимодействием. В § 13 сформулирована модель для определения электронных кинетических коэффициентов. В § 14 рассмотрено влияние возбужденных атомов на электронные кинетические коэффициенты плотной плазмы. В § 15 обсуждается вклад <сионного остова" и других некулоновских эффектов в электропроводность плазмы; § 16 посвящен вычислению тормозного поглощения электронов в плотной низкотемпературной плазме с учетом некулоновских факторов.
Формулировка модели для определения электронных кинетических коэффициентов неидеальной плазмы
Качественной особенностью компонентного состава частично или полностью ионизованной неидеальной плазмы, характеризующейся высокой концентрацией частиц (“ ~ 1020 см~3), является то обстоятельство, что процесс возбуждения частиц с ростом температуры (на изобаре или изохоре) опережает процесс ионизации частиц. Другими словами, значительная доля как нейтральных, так и заряженных частиц в соответствии с больц- мановской заселенностью находится в возбужденных состояниях. Соотношения между концентрациями ионов, атомов, молекул в основном и возбужденных состояниях при заданных термодинамических параметрах (р, 7) зависит от элементного состава среды. Столкновительные свойства возбужденных частиц и частиц в основном состоянии существенно различаются [103, 113]. Кроме
того, наличие возбужденных частиц, очевидно облегчает прохождение неупругих процессов — возбуждения, ионизации, перезарядки, передачи возбуждения и соответствующих обратных процессов в неидеальной плазме. Еще одна особенность столк- новительных процессов в неидеальной плазме связана с ако- нечным размером" ионов. Эффект ^конечного размера” иона обусловлен двумя факторами: квантовомеханическим характером рассеяния электрона на экранированном ионе (соответствующий параметр (X Д1)2 » 1 в условиях [111], / = е2/瓦 Е — энергия электрона) и малым радиусом экранирования иона в плазме с сильным кулоновским взаимодействием (т.е. сравнимым с размером ионного остова тяжелых ионов) [103].
Учет качественных особенностей состава неидеальной плазмы, ^конечного размера” ионов проведен в [103, 113] при описании экспериментов [109—111] на основе следующего модельного выражения для с7 [113]
и1 =4nne2/(3kBT^(v^ fed V； о
V尸е = N⑺/0)Zg/j0j е-а”⑺+(13.1)
+ 夕工¥Q,aДе(^/)% Qei •
В (13.1) v — скорость; % — максвеловская функция распределения электронов по скоростям; п, п» Qj — концентрации электронов, нейтральных частиц и статистическая сумма нейтральных частиц; Qij (&》— транспортное сечение упругого рассеяния электрона на нейтральной частице (ионе) сорта /(/) в /-м возбужденном состоянии, энергия и статвес которого 匕小 g/j； y(z『)— поправочный коэффициент, введенный для учета электрон- электронных столкновений (табл. 13.1) [114];々 ——заряд иона сорта /. В дополнение к физическим процессам, принятым во внимание в выражении для ve в (13.1), в § 15 обсуадаются вклады в ve неупругих столкновений электронов с тяжелыми рассеивателями и корреляции ионов. В заключение выпишем подобные (13.1) выражения для термоэдс а и электронной теплопроводности Хе:
a = 4加e(3?Уi4 (也 V2/(2кBt) - 5/2)(吟尸勿 v;
:(13・2)
4= (4忆/3)" (“ v2/(2”) - 5/2)2 Л (v，)"dк
о
Таблица 13.1. Поправочные коэффициенты для электропроводности и тещиоэдс
Z
1
2
4
16
ОО
%
0,512
0,68
0,78
0,92
1
Ya
0,273
0,41
0,57
0,83
1
О влиянии возбужденных атомов на электропроводность частично ионизованной плазмы щелочных металлов
Исследования плотной плазмы цезия (р 2 10 МПа, Т N 1 эВ) [109, ПО] показывают, что измеренные значения электропроводности при достаточно высоких температурах существенно меньше значений, рассчитанных по известным методикам [109]. Плазма в области параметров [109, НО] частично ионизована, при этом значительная доля нейтральных атомов находится в возбужденных состояниях. Упругие сечения рассеяния электронов на возбужденных атомах больше, чем на атомах в основном состоянии (см. [115—117]). Рассмотрим вклад процессов упругого рассеяния электронов на возбужденных атомах в о' плазмы щелочных металлов при р ~ 10 МПа, Т 2 1 эВ, основываясь на выражении (13.1) для о'. По оценкам, в интервале температур 1—2 эВ при расчете электронных кинетических коэффициентов плазмы Li необходимо принять во внимание рассеяние электронов на 2р-состоянии; Na—Зр, К—4р, Cs—6р, 5d-состояниях.
Эксперименты по упругому рассеянию электронов на возбужденных атомах крайне немногочисленны, поэтому теоретический расчет является по существу единственным источником информации об этом процессе. Для определения сечений Qij в [113] применялись известные приближения Борна и Глаубера [118]. Результаты вычислений по приближению Глаубера хорошо совпадают с экспериментальными данными по упругому рассеянию электронов с энергией 2 1 зВ на атомах щелочных металлов в основном состоянии [119]. В этом приближении не учтены обменное взаимодействие между налетающим и валентным электронами и поляризация орбиты последнего. Но оценки - и сравнение с экспериментом [119] показывают, что данные эффекты несущественны при £ > 1 эВ (см. Приложение IV). Предположив, что атом щелочного металла состоит из остова с зарядом +1 и валентного электрона в состоянии /, запишем ам-
плитуду рассеяния электрона на атоме в приближений [118] (начало координат помещено в ядро атома)
耳.(k,6)=若J":(r)[l - 户(叫%(r)户上 ^bdr-
X(b,s) = -Ar JK(r,b,OC P(r，b<)= e2|j4^-})， (14・1) г = s + z, z И k, s丄z,r' = b + &b丄k, q||k・
В этом выражении г, г' — радиус-векторы валентного и налетающего электронов; 〃/(/•)——волновая функция валентного электрона (i = 〃，厶 /и [21]); q = 2依in6/2; k ——волновой вектор рассеивающегося электрона; 0 — угол рассеяния; b, s принадлежат плоскости (X, »,诏心Пт© =川*/2.
Расчет амплитуды упругого рассеяния непосредственно по формуле (14.1) сложен, поскольку приходится вычислять пятикратный интеграл, т.е. имеет смысл упростить 耳，используя представление щ в виде [21]
^(г)= ^/(г)ЗДф)(14.2)
и RnM в виде
% =纟。：'宀-2, ct = 2, - 2.(14.3)
r=i
Выпишем необходимые для дальнейшего выражения для По, Но, Н+1 [21]
% = 1/(4汽产；/ = i(3/4»/2cos6;宀
(14.4)
Yi±i =+i(3/87t)1/2sin0e±l<p.
Подставим (14.2) — (14.4) в (14.1), получим:
…(14.5)
70(qA) = ^Je-Xr{l-eix(M)} eiqb d2bdr.(14.6)
Прежде чем перейти к упрощению (14.6), найдем %(b,s) для обрезанного кулоновского потенциала
«Г,Ь<) = V1+V2； %«Г,Ь<) = V1+V2； %e2/|i• — 叫 если г-F v 小, О если г-г' > т,
«Г,Ь<) = V1+V2； %
«Г,Ь<) = V1+V2； %
Z-а <^< z + a
V2 =，V2 =，a = (/•； _]112严； е2 / /, если / < %,
V2 =，
V2 =，
О если г > /5.
Тоща после выполнения интегрирования в (14.1) и разложения результата интегрирования при 用 т 8 найдем [121]
(14.7)(14.7)加间=朴写1
(14.7)
(14.7)
Упростим (14.6), используя (14.7), в предположении q 丄 к (см.
Приложение I办[122]
Jo(Z)=±Jim<P 加，(14.8)
0
вводя замену z = ssh〈 и используя интегральное определениевводя замену z = ssh〈 и используя интегральное определение&(Z) из [122]:〜兀/270(q,X) = 64泊2 J 曲о&(Z) из [122]:〜兀/270(q,X) = 64泊2 J 曲оcose МЛ2 - 2『Ctg2 6) sin30 (X2 +g2 ctg2 0)4cose МЛ2 - 2『Ctg2 6) sin30 (X2 +g2 ctg2 0)4xx(14.9)(14.9)
вводя замену z = ssh〈 и используя интегральное определение
вводя замену z = ssh〈 и используя интегральное определение
&(Z) из [122]:
〜兀/2
70(q,X) = 64泊2 J 曲
о
&(Z) из [122]:
〜兀/2
70(q,X) = 64泊2 J 曲
о
cose МЛ2 - 2『Ctg2 6) sin30 (X2 +g2 ctg2 0)4
cose МЛ2 - 2『Ctg2 6) sin30 (X2 +g2 ctg2 0)4
x
x
(14.9)
(14.9)
x 1 一 2冗(1/cos6)2i“ J d(p(l — sin26cos(рУ“ , n = е2/й v.
_0J
Таким образом, пятикратный интеграл (14.6) сводится к двукратному интегралу (14.9); подставляя (14.9) в (14.5), выполняя дифференцирование по 入 и суммируя по г от 1 до /п, находим амплитуду упругого рассеяния на основном состоянии водородоподобного атома.
Fn i±i(k,0), в свою очередь сводится к сумме [ср. (14.1)— (14.4)] [113]
即士 №3 =忌 е〃7/=1即士 №3 =忌 е〃7/=1af(qn)af(qn)8病28病2(14.10)(14.10)
即士 №3 =忌 е〃7/=1
即士 №3 =忌 е〃7/=1
af(qn)
af(qn)
8病2
8病2
(14.10)
(14.10)
Z(q,九)=3.29后為%0 оZ(q,九)=3.29后為%0 оcose м( - б$『ctg? е+з j 魂4 6) sin30 (乃 +92ctg2 0)6cose м( - б$『ctg? е+з j 魂4 6) sin30 (乃 +92ctg2 0)6X(14.11)X(14.11)После 泣^образований, аналогичных тем, что были проведены при^ получении выражения (14.9) для 70(q,X), JjCqA) приводится к виду
Z(q,九)=3.29后為%0 о
Z(q,九)=3.29后為%0 о
cose м( - б$『ctg? е+з j 魂4 6) sin30 (乃 +92ctg2 0)6
cose м( - б$『ctg? е+з j 魂4 6) sin30 (乃 +92ctg2 0)6
X
(14.11)
X
(14.11)
12л.
X 1-盘(1/8S0 严产(l-sin26cos(p 严
Амплитуда 笈ю(к£) записывается через『()(q,入)，Z(q,入)[ИЗ]:
声Z）（q,九）
_声一2二句,九）
(14.12)
Г加0м2丿-z；乙勺 '兀 r=i
a声
入=6丁一
В плотной плазме цезия в условиях [109, ПО] необходимо учитывать рассеяние электронов на втором возбужденном состоянии атома цезия — 5d (/ = 2), поэтому упростим /勿化乃). Функции Y2m имеют вид [21]
^0 =(5/167t)1/2(l-3cos2 0);
%±1 = ±(15/8я)1/2 cos0sin0e±i<p;(14.13)
}^±2 =-(15/327t)1/2sin20e±2i<p.
Очевидно [см. (14.1)-(14.3)],
(14.14)(14.14)(14.15)(14.15)/〃(к,е)= ^ 2片У2r 产-2| 几 |2 х 刈1一产(瓦5)1 ^b(jx
(14.14)
(14.14)
(14.15)
(14.15)
Отсюда и из (14.13) следует
,кн [а 严М
^1!^. Qd^4J2(qM
ai・入=“2a九入=产
В (14.15)厶(4 入)нмеет вид
%q,入)= 9^2% 曲畔х
о sin 0
(14.16)(14.16)九(小 一 12大%2 Ctg2 0 + 18X294 ctg4e - 4d Ctg6 0)
(14.16)
(14.16)
X(W +才邈268
X 1 - ^-(l/cos9)21^ f j(p(l - 8ш20СО8ф)1Л .
Выражение для амплитуды 爲2±i(kf) имеет вид
尸必№，8） Н ^,自产尸必№，8） Н ^,自产/*(q,九)/*(q,九)声"/2@九)声"/2@九)・(14.17)・(14.17)
尸必№，8） Н ^,自产
尸必№，8） Н ^,自产
/*(q,九)
/*(q,九)
声"/2@九)
声"/2@九)
・(14.17)
・(14.17)
Аналогично 鸟2也 есть
412 土 2(冗 6)412 土 2(冗 6)15 旦/2声"5（qa） 京沪XT15 旦/2声"5（qa） 京沪XT(14.18)(14.18)
412 土 2(冗 6)
412 土 2(冗 6)
15 旦/2声"5（qa） 京沪XT
15 旦/2声"5（qa） 京沪XT
(14.18)
(14.18)
Итак, формулы (14.5), (14.9); (14.10)^(14.12); (14.15)^(14.18) определяют амплитуды упругого рассеяния электрона в приближении Глаубера на водородоподобных атомах с / = 0,1,2. Полное и транспортное сечение рассеяния определяется через Fnim [21]:
Qnlm(k) = i qdq j d^\Fnlm(^
k °n ° 2я(14.19)
瘍加出=与了 dd行加胤加(k,e)『.
о о
Упругие полные сечения рассеяния электрона на атомах лития, натрия, калия, не吳《я в основном и первых возбужденных состояниях в приближении Глаубера рассчитаны по полученным выше формулам [113, 120] (рис. 14.1—14.4), соответствующие транспортные сечения в данном приближении неправдоподобно малы из-за плохого описания рассеяния на большие углы (см.
71
Приложение IV). Волновые функции оптического электрона атомов лития, натрия, калия, цезия выбраны в форме (14.3), коэффициенты для них представлены в табл. 14.1 — 14.4 [120, 123—125]. Полные и транспортные сечения упругого рассеяния электрона на атомах лития и цезия рассчитаны также в приближении Борна [113] (см. рис. 14.1, 14.4). Сечения, не представленные на рисунках, практически не отличаются от Q^. 2ю() соответствующих атомов. Для сравнения на рис. 14.4 приведены известные экспериментальные и расчетные данные по полному упругому сечению рассеяния электрона на атоме цезия в основном состоянии [126—131].
На рис. 14.7 даны изотермы『плазмы цезия, рассчитанные по (13.1) (В условиях [109,110] вклад "конечного размера" однократных ионов цезия и других некулоновских эффектов, кроме
Рис. 14.1. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме лития в приближениях Глаубера и Борна; Qg, 5 — полные сечения, усредненные по распределению Больцмана при Г = 15000 К в соответствующих приближениях; 0в — усредненное транспортное сечение; £» — полное сечение на основном состоянии атома лития в приближении ГлаубераРис. 14.1. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме лития в приближениях Глаубера и Борна; Qg, 5 — полные сечения, усредненные по распределению Больцмана при Г = 15000 К в соответствующих приближениях; 0в — усредненное транспортное сечение; £» — полное сечение на основном состоянии атома лития в приближении ГлаубераРис. 14.3. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме калия (7= 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)Рис. 14.3. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме калия (7= 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)Рис. 14.2. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме натрия, Т = 15000 К, (обозначения те же, что на рис. 14.1)Рис. 14.2. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме натрия, Т = 15000 К, (обозначения те же, что на рис. 14.1)Рис. 14.4. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме цезия (71 = 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)Рис. 14.4. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме цезия (71 = 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)рассеяния электронов проводимости на возбужденных атомах, незначителен (см. §15)). Использование сечений рассея-
Рис. 14.1. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме лития в приближениях Глаубера и Борна; Qg, 5 — полные сечения, усредненные по распределению Больцмана при Г = 15000 К в соответствующих приближениях; 0в — усредненное транспортное сечение; £» — полное сечение на основном состоянии атома лития в приближении Глаубера
Рис. 14.1. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме лития в приближениях Глаубера и Борна; Qg, 5 — полные сечения, усредненные по распределению Больцмана при Г = 15000 К в соответствующих приближениях; 0в — усредненное транспортное сечение; £» — полное сечение на основном состоянии атома лития в приближении Глаубера
Рис. 14.3. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме калия (7= 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)
Рис. 14.3. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме калия (7= 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)
Рис. 14.2. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме натрия, Т = 15000 К, (обозначения те же, что на рис. 14.1)
Рис. 14.2. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме натрия, Т = 15000 К, (обозначения те же, что на рис. 14.1)
Рис. 14.4. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме цезия (71 = 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)
Рис. 14.4. Упругое сечение рассеяния электрона на атоме цезия (71 = 15000 К) (обозначения те же, что на рис. 14.1)
яния на возбужденных атомах цезия улучшает согласие между расчетными и экспериментальными данными для достаточно высоких температур [113] и качественно меняет поведение электропроводности с ростом давления. Наличие возбужденных атомов в плотной плазме щелочных металлов необходимо учитывать при обработке экспериментов, связанной с выделением кулоновской части из измеренной полной электропроводности.
Таблица 14.1. Коэффициенты разложения 尺]в форме (14.3) для атома лития [123, 125], а・е・ Li,
t
1
2
3
q
1
2
3
at
0,571
0,0375
2,71
bt
0,283
6,92
1,31
t
1
2
3
G
2
2
3
4
2,03
0,008
3,35
bt
0,513
5,4
1,3
Таблица 14.2. Коэффициенты разложения 尺]в форме (14.3) для атома
цезия [120, 124, 125], a.e.
Cs, 6s
t
i
2
3
4
5
6
q
i
2
3
3
4
4
勿
1,71
-20,3
4,29-IO4
4,66 • UH
4,63-Ю5
5,83
瓦
102,6
75,96
55,1
48,0
51,1
28,4
t
7
8
10
11
12
q
5
5
7
8
9
959
0,026
-7493
2,19-Ю4
0,38
6,9-10-3
23,4
2,26
13,3
14,6
3,51
1,69
Cs,
6"
t
1
2
3
4
5
6
q
2
2
3
3
4
4
勿
18,3
-17,2
6,54・ 104
-6,49-104
4,38 -105
266
仇
102,2
75,6
55,8
48,8
52,0
27,4
t
7
8
9
10
11
12
q
5
5
6
7
8
9
18,26
2,3-IO'5
-225,3
652
-6,82.10-4
3,9 IO-7
bt
3,37
0,83
10,5
12,4
2,93
1,45
Cs,
5d
t
1
2
3
4
5
6
3
3
4
4
5
6
0,384
7,28
—6,14
-89,7
339
-409
663
2,83
3,15
5,25
6,56
7,79
Таблица 14.3. Коэффициенты разложения % в форме (14.3) для атома калия в [123, 125], а.е.
t
1
2
3
4
5
6
q
1
1
2
2
2
3
勺
1,07
-0,235
-39,4
57,1
-15,3
73,3
仇
38,33
7,93
5
5,88
4,79
К, 4s
K, 4P
t
* 7
8
9
1
2
3
q
3
4
5
2
3
4
at
17,2
0,52
8,56-IO-4
10,1
0,167
8,94-10-5
bt
3,69
2,73
1,34
21,9
5,77
0,967
Таблица 14.4. Коэффициенты разложения 用/ в форме (14.3) для атома натрия в [123, 125], а.е.
t
i
2
3
4
5
q
i
1
2
3
4
勿
-585
585
0,114
-0,267
2,64.10-3
bt
48 .
47,9
1,7
2,53
1,32
Na, 3p
t
1
2
3
4
q
2
3
3
4
的
0,783
-5,3-IO'3
9,56-IO'4
9,98-IO'5
仇
8,36
2,47
1,22
1,06
Эффекты упругого рассеяния электронов на возбужденных атомах щелочньк металлов (соответствующие сечения представлены на 血Е 14.1П4.3, 14.4) в электронных коэффициентах переноса низкотемпературной плазмы таких металлов очевидны из рис. 14.5-14.9 [113,120].
74
2% ШР,105Па2% ШР,105ПаРис. 14.5. Элеюгропроводность плазмы лития:верхние кривые рассчитаны без учета рассеяния электронов на возбужденных атомах лития, нижние - с учетом данного элементарного процесса [см. (13.1)]Рис. 14.5. Элеюгропроводность плазмы лития:верхние кривые рассчитаны без учета рассеяния электронов на возбужденных атомах лития, нижние - с учетом данного элементарного процесса [см. (13.1)]Рис. 14.6. Электропроводность плазмы калия:/ - 15000 К; 2 - 12000 К; 3 - 10000 К； 4 - 8000 К; 240n - [246]; верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5Рис. 14.6. Электропроводность плазмы калия:/ - 15000 К; 2 - 12000 К; 3 - 10000 К； 4 - 8000 К; 240n - [246]; верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5Рис. 14.8. Электронная теплопроводность плазмы цезия:/ 一 12000 К; 2 - 10000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5Рис. 14.8. Электронная теплопроводность плазмы цезия:/ 一 12000 К; 2 - 10000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5Рис. 14.9. Термоэлектрический коэффициент плазмы цезия:/ 一 12000 К; 2 - 10000 К； 3 - 8000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые ссют- носятся так же, как на рис. 14.5Рис. 14.9. Термоэлектрический коэффициент плазмы цезия:/ 一 12000 К; 2 - 10000 К； 3 - 8000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые ссют- носятся так же, как на рис. 14.5
2% ШР,105Па
2% ШР,105Па
Рис. 14.5. Элеюгропроводность плазмы лития:
верхние кривые рассчитаны без учета рассеяния электронов на возбужденных атомах лития, нижние - с учетом данного элементарного процесса [см. (13.1)]
Рис. 14.5. Элеюгропроводность плазмы лития:
верхние кривые рассчитаны без учета рассеяния электронов на возбужденных атомах лития, нижние - с учетом данного элементарного процесса [см. (13.1)]
Рис. 14.6. Электропроводность плазмы калия:
/ - 15000 К; 2 - 12000 К; 3 - 10000 К； 4 - 8000 К; 240n - [246]; верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5
Рис. 14.6. Электропроводность плазмы калия:
/ - 15000 К; 2 - 12000 К; 3 - 10000 К； 4 - 8000 К; 240n - [246]; верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5
Рис. 14.8. Электронная теплопроводность плазмы цезия:
/ 一 12000 К; 2 - 10000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5
Рис. 14.8. Электронная теплопроводность плазмы цезия:
/ 一 12000 К; 2 - 10000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5
Рис. 14.9. Термоэлектрический коэффициент плазмы цезия:
/ 一 12000 К; 2 - 10000 К； 3 - 8000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые ссют- носятся так же, как на рис. 14.5
Рис. 14.9. Термоэлектрический коэффициент плазмы цезия:
/ 一 12000 К; 2 - 10000 К； 3 - 8000 К - см. (13.2); верхние и нижние кривые ссют- носятся так же, как на рис. 14.5
Рис. 14.7. Электропроводность плазмы цезия: / - 15000 К; 2 - 12000 К; 3 - 10000 К;
g^- [133]; верхние и нижние кривые соотносятся так же, как на рис. 14.5
Вклад ионного остова и других некулоновских факторов в электропроводность плазмы с сильным кулоновским взаимодействием
Анализ экспериментальных данных по электропроводности плазмы ксенона [111], основанный на выражении (13.1), показывает, что в условиях [111] плазма ксенона неоднократно и полностью ионизована (присутствуют первый, второй и третий ион ксенона при давлении в 1000—2000 МПа и температуре 5—9 эВ), поэтому первые слагаемые в выражении для ve из (13.1) можно не рассматривать. Электронные оболочки ионов качественно меняют форму потенциала v^ на достаточно малых расстояниях от ядер ионов по сравнению с кулоновским потенциалом —Zfi/r. Характерный размер ионных остовов первых ионов ксенона порядка 2ао (как и первого иона цезия), что сравнимо с радиусом экранирования зарядов в плазме с сильным кулоновским взаимодействием в условиях [111]. Поэтому область искажения элек- трон-ионного потенциала по сравнению с кулоновским вблизи ионного остова необходимо учитывать при расчете Qei(y) на экранированном ионе при достаточно высоких энергиях (ка 21, где а — область искажения электрон-ионного потенциала на малых расстояниях от ядра иона) налетающего электрона — высоких температурах плазмы. Поскольку в условиях [111] параметр (А/" У »1 [138], целесообразно использовать квантовомеханический подход к вычислению Qei(y) на статическом экранированном потенциале электрон-ион, основные моменты которого изложены в [139].
В [140] влияние ^конечного размера” ионов на сечение Qei(y) учтено методом квантового дефекта [141], который основан на аналогии движения медленного свободного электрона и слабосвязанного электрона в поле ионного остова. Ограничения метода квантового дефекта заключаются в следующем: соотношения данного метода справедливы при £ -> 0, электрон-ионный потенциал является кулоновским вдали от ядра иона. В [142] вклад электронных оболочек иона Cs+ в Qei(y) вычислен в бор- новском приближении. В [111] использован метод определения Qeiiy)^ свободный от недостатков подходов [140, 142], на потенциале вида 76
(15.1)(15.1)v/尸)=-Zi/r + ^^ exp (Z) exp (т/必).
(15.1)
(15.1)
В выражении (15.1), записанном в атомной системе единиц, z и & ——заряды ядра и иона; гр — дебаевский радиус; U= 0,9^/з/8-&)・
Потенциал (15,1) на малых расстояниях от ядра иона совпадает с потенциалом Томаса-Ферми [143], а на больших — соответствует экранированному кулоновскому потенциалу. В [Ш] решено уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции электрона, рассеивающегося на потенциале (15.1); по асимптотикам решения при г -> оо (см. подробнее § 16 и [139]) найдены фазы рассеяния на электрон-ионном потенциале, используя которые по [21]
&(v)=粤 京{⑵ + 1)疝？ * 一⑵ + 2)cos(5z+1 - 5z)sin5z+I sin5Z} (15.2) к /=о
определены Qei(y) для первых трех ионов ксенона (рис. 15.1). В табл. 15.1 представлены расчетные данные по электропроводности плазмы ксенона в условиях [111], полученные с учетом и без учета “размеров" первых трех ионов ксенона, а также экспериментальные данные из [111]. Из данных табл. 15.1 видно, что учет конечного размера ионных остовов у первых трех ионов ксенона существенно улучшает согласие между расчетными и экспериментальными данными из [111].
Таблица 15.1. Электропроводность плазмы ксенона (ст3 —из [111], о ⑴—традиционный расчет; о — расчет с учетом ионного остова Хе+, Хе++ Хе+++; Г =好/皿小一дебаевсюш радиус)
т, к
尸,Мпа
Г
оэ, см"・Ом"
о(1), см^-Ом'1
о, см'1 Ом'1
69000
770
0,6
830
1240
800
95000
1000
0,4
600
1400
900
62000
1600
1
670
1680
950
70000
1900
0,9
700
1850
970
64000
2500
1,4
750
1900
1000
50000
3500
2
830
2100
900
Рис. 15.1. Сечения рассеяния электрона на первом ионе Хе:/-[142]; 2-[111]； 5-[158]Рис. 15.1. Сечения рассеяния электрона на первом ионе Хе:/-[142]; 2-[111]； 5-[158]Обсудим влияние неупругих столкновений электронов, таких как возбуждение и ионизация атомов электронным ударом на частоту уе,Данные по сечениям возбуждения и ионизации атомов щелочных металлов электронным ударом позволяют заключить, что сечения возбуждения (пороговые) при соответствующих энергиях налетающего электрона сравнимы с упругими сечениями рассеяния электронов на атомах в основном
Рис. 15.1. Сечения рассеяния электрона на первом ионе Хе:
/-[142]; 2-[111]； 5-[158]
Рис. 15.1. Сечения рассеяния электрона на первом ионе Хе:
/-[142]; 2-[111]； 5-[158]
состоянии. Таким образом, из-за высокой заселенности возбужденных уровней нейтральных атомов в частично-ионизированной неидеальной плазме щелочных металлов в условиях [109, ПО], указанные процессы могут заметно — на 10—15% увеличить частоту ve и, соответственно, уменьшить значения электронных коэффициентов переноса.
Следующим эффектом, имеющим значение в неидеальной полностью или частично ионизованной плазме, является корреляция тяжелых рассеивателей. Эффект рассеяния электронов проводимости на частично упорядоченных ионах оценен в [20], основываясь на представлениях теории Займана [144], описывающей электропроводность жидких металлов. Показано, что учет корреляции ионов при вычислении электропроводности для плазмы с сильным кулоновским взаимодействием приводит к увеличению последней приблизительно на 15%. Таким образом, можно заключить, что вклады неупругих столкновений и корреляции ионов в электропроводность примерно компенсируют друг друга в условиях экспериментов, обсуждаемых выше.
В заключение параграфа подчеркнем, что модель для расчета электронных кинетических коэффициентов, сформулированная в § 13, удовлетворительно (в пределах экспериментальной погрешности, а также неопределенности в сечениях элементарных процессов и состава плазмы) описывает эксперименты [109— 111] и [112, 145—147]. При анализе экспериментальных данных обнаружены факты, характерные для электронного переноса в неидеальной плазме: рассеяние электронов на возбужденных
атомах, ''конечный размер” ионов, не связанные непосредственно с взаимодействием заряженных частиц между собой, т.е. некулоновские эффекты. Обсуждение асимптотик кинетических коэффициентов, соответствующих кулоновским системам, которые должны быть заложены в предлагаемую модель проведено в разд. I (см. также, § 17).
Вклад ионного остова в тормозное поглощение электронов в плотной низкотемпературной плазме
Рассмотрим для полноты вклад конечного размера ионов в тормозное поглощение электронов в плотной низкотемпературной плазме. Изучению тормозного поглощения и излучения фотонов на ионах (ТИП) посвящено значительное количество работ (см. [148—151] и содержащиеся в них ссылки). Интерес к ТИП связан с тем, что данные процессы ответственны за нагрев плазмы мощным лазерным излучением [151], являются основным источником теплопотерь в высокотемпературных установках [149], играют важную роль в развитии оптического пробоя в газах [150] и т.п. ТИП на ионах также определяет перенос излучения в плотной невырожденной плазме [69], причем при вычислении ТИП помимо учета ионного остова полезно рассмотреть вклад экранировки заряженных частиц плазменным кружением.
В нерелятивистском пределе коэффициент поглощения «ю фотонов частоты о в плазме с температурой Т, концентрацией электронов и ионов пе, обусловленный рассеянием электронов на ионах, вычислен в дипольном одноэлектронном приближении при отсутствии корреляции ионов с учетом вынужденного испускания [69, 152]
壬『~ exp(-pa)ft)]-^G(T,a)), ° 3 丿 師 (16.1)
G(T,①)=В J 威 g(%, о) e'Pe. о
В (16.1) a — постоянная тонкой структуры; 〃о — боровский радиус; 2Ry — атомная единица энергии; g,G — скоростной и температурный факторы Гаунта; ^ = 1 — зарядовое число иона.
79
Выпишем выражение для скоростного фактора Гаунта:
购，е)=亭 7^^Г7Т； 陷%便+婚
e(%,①)=2(/ + 1)(呪覃+r3);e(%,①)=2(/ + 1)(呪覃+r3);(16.2)(16.2)
e(%,①)=2(/ + 1)(呪覃+r3);
e(%,①)=2(/ + 1)(呪覃+r3);
(16.2)
(16.2)
A* = 1%,(4储广)[8v絞(广)/8，]〃,.，(9/，广)"； о
£]—£/= ЙШ, £ = #『/Im© .
Здесь е^у^г)——сферически-симметричный потенциал взаимодействия электрон-ион, фигурирующий в радиальном уравнении Шредингера, решениями которого являются функции
〃/(qj). Потенциал е2Vgz(/•) выбран следующим образом:
『％⑺=•『％⑺=•%_ф&)%_ф&)(16.3)(16.3)
『％⑺=•
『％⑺=•
%_ф&)
%_ф&)
(16.3)
(16.3)
В (16.3) Уу.ф — потенциал Томаса-Ферми [143]; m — радиус иона.
Очевидно, основные особенности поведения ае^ равновесной плазмы содержатся в G(T,^). Для вычисления по (16.1) — (16.3) температурного фактора Гаунта, значения которого приведены в табл. 16.1 [139] (ш, 〃)даны в а.е., z — заряд ядра), радиальное уравнение Шредингера решалось численно по схеме Нумерова [154] с шагом й, выбранном так, чтобы й2 было порядка точности счета (й = 0,0013). При интегрировании уравнений для функций u&q,* u^x(q,r) на участке [0,用]применялся метод, аналогичный [154]. На участке г > m уравнения для обеих функций интегрировались одновременно с вычислением матричных элементов Интегрирование прекращалось при условии, что каждая из функций выходит на асимптотику 〃/ (q,r) ~ A [//(q# cos 5/ — —〃/(4# sin 8/] и [[ drU[d N/dru^ меньше заданной точности счета; 力(q,D, П[ (q,» ——сферические функции Бесселя и Неймана; 5/ —— 80
фазы рассеяния [152]. Естественно, что статическое приближение, использованное в [139], не отражает “тонкую структуру*5 тормозного поглощения и лишь в среднем описывает ТИП. Как видно из данных табл. 16.1, температурный фактор Гаунта зачастую существенно отличается от единицы; причем в рассматриваемом диапазоне параметров отличие связано, в основном, с существованием ионных остовов у ионов Ar+, Cs+. Таким образом, традиционное применение формулы Крамерса [69] в низкотемпературной плазме может внести значительную погрешность в ае0r
Таблица 16.1. Фактор Гаунта 6("(о) [см. (16.1)]; [139]
7； К
z= 1
Z = 18
Z=55
гр= 12 а.е., оо
гр = 12 а.е., оо
/7)=12 а.е., оо
о = 0,787 а.е.
20 000
1,19
1,125
0,37
0,34
1,73
1,7
79 000
1,24
1,18
0,65
0,61
2,36
2,33
200 000
1,31
1,23
1,28
1,28
6,21
6,23
о = 0,0787 а.е.
20 000
1,23
1,16
0,96
0,86
1,31
0,94
79 000
1,33
1,19
1,04
0,83
1,5
1,4
200 000
1,41
1,24
1,35
0,96
2,21
2,27
о = 0,02 а.е.
20 000
0,81
1,14
—
—
—
—
79 000
—
—
0,76
0,9
—
1,08
200 000
—
—
—
0,93
1,94
2,07
Глава 5. Коэффициенты переноса, определяющие потоки импульса, массы и энергии в многоэлементной химически реагирующей плазме
Коэффициенты переноса, указанные в названии главы, определяются, в основном, подвижностью составных частиц многоэлементной химически реагирующей плазмы. Точный расчет данных коэффициентов переноса для сред с сильным межчастичным взаимодействием, как и электронных кинетических коэффициентов (см. гл. 4) невозможен. Кроме того, экспериментальные данные по коэффициентам переноса, определяемым подвижностью тяжелых частиц, практически отсутствуют для плазмы с сильным кулоновским взаимодействием. Поэтому изложенный в данной главе модельный подход к определению переносных коэффициентов (см. § 17) основан на представлениях, сложившихся при анализе электропроводности плазмы различных веществ (см. гл. 4).
Другой проблемой, связанной с описанием переноса массы и тепла в многоэлементной плазме, является проблема многоком- понентности. Система уравнений высокотемпературной газодинамики (см. разд. III) становится в данном случае чрезвычайно громоздкой, поскольку включает в себя большое число (до нескольких десятков) уравнений диффузии компонент. Тем не менее, как показано в §§ 18, 19, в приближении локального термодинамического равновесия удается с помощью введения эффективных коэффициентов переноса перейти от компонентного к элементному описанию потоков тепла и массы. Использование ЭКП существенно упрощает систему уравнений высокотемпературной газодинамики, поскольку включает значительно меньше уравнений диффузии химических элементов, чем таковых для компонент.
Формулировка модели для расчета n, С, Аь ^,九' многоэлементной химически реагирующей плазмы с сильным кулоновским взаимодействием
По представлениям, сложившимся при анализе электропроводности плазмы с сильным кулоновским взаимодействием различных веществ (см. гл. 4), коэффициенты переноса, определяемые в значительной степени подвижностью составных частиц плазмы и экспериментально не измеренные, целесообразно вы- 82
числять на основе системы больцмановских кинетических уравнений [155, 156] (число уравнений совпадает с количеством компонент плазмы). При этом больцмановский интеграл столкновений /^ следует записать с учетом элементарных процессов, существенных в неидеальной плазме, и качественных особенностей ее состава. Другими словами принять во внимание наличие возбужденных частиц, ^конечный размер” ионного остова, вклад которых в кинетические коэффициенты обнаружен при анализе экспериментальных данных по о' неидеальной плазмы, а также неупругие столкновения: возбуждение, ионизацию, передачу возбуждения, перезарядку и соответствующие обратные процессы. Отметим, что при определении /^ в больцмановской форме объемная вязкость будет отлична от нуля в том случае, если в интеграле столкновений учесть химические превращения [156].
Метод вычисления коэффициентов вязкости, многокомпонентных коэффициентов диффузии и термодиффузии, транспортной теплопроводности для ионизованного газа частиц, между которыми происходят неупругие соударения, из системы кинетических уравнений Больцмана развит во многих работах (см. например, [156]). Подчеркнем, что влияние некулоновских эффектов на величину *, % & 0曲 0： зависит от конкретного элементного состава неидеальной плазмы; так, в плазме водорода эффект конечного размера” иона, очевидно, отсутствует, но неупругие столкновения могут заметно изменить сдвиговую вязкость частично ионизованного водорода [157].
Перейдем к асимптотикам кинетических коэффициентов и коэффициентов переноса для кулоновских систем, которые должны быть заложены в предлагаемую модель, в частности в формулу (13.1) для электропроводности. Известно, что строгое исследование кинетических коэффициентов классических кулоновских систем с помощью кинетических уравнений возможно при условии слабого межчастичного взаимодействия, т.е. при условии Г < 1 (Г =欧广汰^?)"4). Несколько форм столкнови- тельных интегралов заряженных частиц (Ландау, Балеску-Ле- нарда, Кихара-Аоно и др.), в том числе и больцмановский 尸 с дебаевским потенциалом взаимодействия между зарядами дают практически одинаковые численные значения с7, X*, г| [158]. Но поскольку из-за дальнодействующего характера кулоновских сил к кулоновским системам неприменима гипотеза парных столкновений, больцмановский 尸 в данном случае является лишь удачной аппроксимацией.
Практическое решение системы кинетических уравнений с больцмановским 7cl в первом приближении Чепмена-Энскога для многокомпонентной плазмы сопряжено с вычислительными трудностями, в частности из-за того, что для получения спитце- ровских значений кинетических коэффициентов в пределе полностью ионизованной плазмы [159, 114], если последнюю рассматривать как классическую кулоновскую систему, необходимо при разложении анизотропных частей функций распределения компонентов принять во внимание значительное число ортогональных полиномов. Данное обстоятельство (наряду с необходимостью учета неупругих процессов в многокомпонентной плазме) крайне усложняет детерминантные выражения для кинетических коэффициентов. Поэтому традиционно прибегают к аппроксимациям соответствующих элементов в детерминантных выражениях для кинетических коэффициентов, определенных небольшим числом ортогональных полиномов, чтобы обеспечить спитцеровскую асимптотику кинетических коэффициентов. Для электронных кинетических коэффициентов удобно воспользоваться аппроксимациями типа (13.1), (13.2). Естественно, что аппроксимации детерминантных выражений или формул типа (13.1), (13.2) для кинетических коэффициентов должны быть такими, чтобы значения данных коэффициентов соответствовали известным результатам (см. разд. I) в предельном случае неидеальных классических кулоновских систем.
Кинетические коэффициенты кулоновских систем с немалым у (у = ^(к^Гг^, “ = (3/4汽〃)"3)рассмотрены в первом разделе книги. Выражения для данных коэффициентов через временные корреляционные функции найдены методами теории линейного отклика. Последовательная методика аналитического вычисления полученных выражений для кинетических коэффициентов в случае неидеальных кулоновских систем не разработана, подробно рассмотрена лишь локальная продольная электропроводность (см. § 5), а также, в основном численно, коэффициенты сдвиговой и объемной вязкостей и транспортной теплопроводности [58] (для однокомпонентных систем). Тем не менее приведенные в табл. 17.1 известные результаты по кинетическим коэффициентам кулоновских систем с сильным взаимодействием, в основном, позволяют задать асимптотики кинетических коэффициентов, используемые в практических расчетах. Значения кинетических коэффициентов кулоновских систем в табл. 17.1 представлены при у = 1, % = 1 (% =用/咕； кроме того в табл. 17.1 представлены значения кинетических 84
коэффициентов т], X*, o' соответствующие интерполяционным выражениям, которые в пределе слабонеидельной среды совпадают со спитцеровскими [114].
疗/2(”т)5/2 15石 25标(标Т)*2 ・
-J〃r)32 '-3&1/2/〃「)'
3(^БТ)3/2
0 = 2)&2]
Значения o' в (17.1) из-за принятого в [58] потенциала взаимодействия между заряженными частицами приведены в табл. 17.1 с L = 1п[1 +(“/入)2] (а не 丄(Г) = 1п[1 +(3方/Г)?], как для г|, X*, (13.1), (13.2), что соответствует замене длины Ландау на длину волны де Бройля электрона). Из табл. 17.1 видно, что интерполяционные выражения (17.1) дают удовлетворительные результаты при немалых значениях Г. Заметим, что объемная вязкость неидеальной классической кулоновской системы мала по сравнению со сдвиговой вязкостью, поэтому пренебрежение объемной вязкостью в пределе полностью ионизованной неидеальной плазмы согласно предлагаемой модели допустимо.
Таблица 17.1. Безразмерные кинетические коэффициенты нецдеальных 22
кулоновских систем (% С = m ф^ % % л*» U [33, 58]; Г = к串人凤 X* [33,58], с = g)p с* [33, 58] 9 ?j, X, о — соответствующие if,炉,о* значения из (17.1))
п*
П
V
X
о*
Ф*, ЮТ
1,04±0,21
1,1
2,9±0,6
3
1,5
1,4
2,6+0,6
§ 18. Эффективные коэффициенты переноса многоэлементной химически реагирующей плазмы
Газодинамические задачи, связанные с исследованием течений химически реагирующей многоэлементной плазмы с сильным кулоновским взаимодействием, решают, обычно, в приближении локального термодинамического равновесия, причем плазма предполагается квазинейтральной. В приближении ЛТР целесообразно перейти от уравнений диффузии компонент, число которых часто составляет несколько десятков, к несколь-
ким, обычно трем-четырем, уравнениями диффузии химических элементов. Массовые потоки химических элементов и ^молеку- лярный>, тепловой поток определяются с помощью введения эффективных коэффициентов переноса через градиенты температуры, массовых долей химических элементов, электрическое и магнитное поля в плазме (давление предполагается постоянным). Подчеркнем, что расчет эффективных коэффициентов переноса корректно отделяется от решения конкретной газодинамической задачи, что существенно упрощает ее постановку (ср. [159, 160] с [161—163]); необходимые переносные свойства многоэлементной среды компактно табулируются в зависимости от давления, температуры, массовых долей химических элементов {%}, образующих плазму. Полная система уравнений высокотемпературной газодинамики, описывающая течение многоэлементной равновесной плазмы обсуждается, например в [19, 20] (см. также разд. III).
Эффективные коэффициенты диффузии в модели ЛТР, которые связывают массовый поток химического элемента J〃 с градиентами температуры, массовых долей химических элементов и полями в плазме, получены в [103]. При их определении использовалось выражение для массового потока компонента J『 через D* 〃[ [155, 156]
J, = (/仆力由抬口此 dj - D：7lnT;
dj = Ух,. + (xy - Qj/p^p/p - pyl Fy - SFy Pj/Pmp •
Здесь %/ = п/п; Б) — сила, действующая на единицу массы у-й компоненты. Массовый поток химического элемента и массовая доля химического элемента равны
N^J孕MJ/%；父寻山喝/小N^J孕MJ/%；父寻山喝/小(18.2)(18.2)
N^
J孕MJ/%；父寻山喝/小
N^
J孕MJ/%；父寻山喝/小
(18.2)
(18.2)
В (18.2) с, = p//pw, uia — количество “ядер” сорта а в компоненте i; та — масса атома сорта а.
Используем уравнения химического равновесия в uидеальнойм форме
(18.3)(18.3)Xi = Ngx：K8p).
(18.3)
(18.3)
В данных формулах (число которых по числу компонент плазмы 7V) 〃万 一 стехиометрические коэффициенты; Na — число химических элементов, составляющих плазму;闯一набор базисных компонент, которых в плазме на единицу больше, чем Na, %此+] = % М+1 химический элемент представляет собой объемный заряд р (-0). В приближении ЛТР справедливо, также соотношение
%, = % (с】,…，с%」Р>Т). (18.4)
Определим градиенты х〃 х6 используя (18.3), (18.4) при постоянном давлении (поскольку в газодинамических задачах, где используются ЭКП, р = const, см. разд, III)
(18.5)(18.5)
(18.5)
(18.5)
Подставив второе из равенств (18.5) в первое, первое в (18.1), (18.1) в (18.2), группируя члены при одинаковых градиентах, определим массовый поток химического элемента 〃 и эффективные коэффициенты диффузии в приближении ЛТР:
kl 勺、。％ 丿p,T…b
т NaI ' dx ； \
Da = Zmauiai(n /pm)mjDijXj 可舒 +(18.6)
+"£?(験)卜订/*
E p N
N
В (18.6) мы пренебрегли членом - g ^iPi/pm из-за условия i = l
квазинейтральности; 0曲,D：, D： — эффективные коэффициенты диффузии, термодиффузии и электродиффузии.
Найдем эффективные коэффициенты теплопроводности, исходя из следующего определения теплового потока [155, 156]
Jq = T'VT + 限gM -пкБТУ 取d〃p% •(18.7)
В (18.7) hk — энтальпия на одну частицу компоненты Л. После преобразований, подобных проведенным выше, получим
т N ,九=£九(〃 /Рт^ mj^ijXj 力1т N ,九=£九(〃 /Рт^ mj^ijXj 力1
т N ,
九=£九(〃 /Рт^ mj^ijXj 力1
т N ,
九=£九(〃 /Рт^ mj^ijXj 力1
(18.8)(18.8)
(18.8)
(18.8)
N9 N
I xt l5c«)PJtcb^caI xt l5c«)PJtcb^ca% = Z 5 %/Pm)£mjDijXj i=lj=l
I xt l5c«)PJtcb^ca
I xt l5c«)PJtcb^ca
% I XXdca)pjtcb^ca
^2N7
“ =Z h^n /pPm)ZmjDijrijNje-TDi zie/mi . i=l./=1-
В (18.8)—— 入* ХЛ,九е ——эффективные коэффициенты теплопроводности, диффузионно-термический и электро-термический.
Для расчета эффективных коэффициентов переноса необходимо знание МКД, /)『，％, {xj и производных от базисных компонент по Т и {%}• Методика вычисления многокомпонентных коэффициентов диффузии и термодиффузии для многокомпонентной химически реагирующей плазмы с сильным кулоновским 88
взаимодействием изложена в § 17. Производные от базисных компонент по температуре и массовым долям химических элементов могут быть найдены численно — с помощью расчета на изобаре состава при близких Т и са. Значения эффективных коэффициентов переноса плазмы различного состава в широком диапазоне параметров приведены в [20, 120, 159, 160].
Очевидно, что тепловой поток Jg, а следовательно и эффективные коэффициенты теплопроводности зависят от уровня отсчета энергии е/ через 瓦 В то же время показано, что уравнение переноса энергии не определяется е, [164]. Данное уравнение в модели ЛТР может быть представлено в виде и^р.Т,^^ —
внутренняя энергия на единицу массы
+р「£：停' а ‘Сь』р,Т,Ср+р「£：停' а ‘Сь』р,Т,Ср(18.9)(18.9)
+р「£：停
' а ‘Сь』р,Т,Ср
+р「£：停
' а ‘Сь』р,Т,Ср
(18.9)
(18.9)
(18.10)(18.10)В уравнении (18.9) опущены члены, связанные с работой внешних сил и сил вязкости. Следующие соотношения хорошо известны (см гл. 7)
(18.10)
(18.10)
Pmdca/dt = - div J〃； p/Ср/必=-div 〃・
Заметим, что второй и третий члены в левой части (18.9) зависят от 8,, чтобы исключить эту зависимость в обеих частях уравнения достаточно положить J〃，Je равными нулю. Тогда, как показано в [165, 166],豳 может быть выражен через единственный эффективный коэффициент “химической” теплопроводности, не зависящий от 8,
豳=-(* +九K)▽工 (18.11) Таким образом, определение теплового потока в приближении локального термодинамического равновесия (18.8) является более общим, чем (18.11), так как при получении (18.8) не используются искусственные ограничения на Jfl, Je. При вычислении эффективных коэффициентов теплопроводности (рис. 18.1—18.6) энергия атомов в основном состоянии принималась за начало отсчета [20, 120, 159, 160]. Типы и параметры потенциалов взаимодействия между частицами среды, использованные при вычислении эффективных коэффициентов переноса, приведены в табл. 18.1—18.4.
Рис. 18.1. Эффективный коэффициент термодиффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 ~ неидеальные термодинамические силы;2, 4- идеальные термодинамические силыРис. 18.1. Эффективный коэффициент термодиффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 ~ неидеальные термодинамические силы;2, 4- идеальные термодинамические силыРис. 18.4. Отношение эффективных диффузионно-термических коэффициентов, рассчитанных без учета и с учетом неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + UРис. 18.4. Отношение эффективных диффузионно-термических коэффициентов, рассчитанных без учета и с учетом неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + UРис. 18.5. Эффективный коэффициент теплопроводности плазмы смеси К + U, рассчитанный с учетом неидеальности в термодинамических силахРис. 18.5. Эффективный коэффициент теплопроводности плазмы смеси К + U, рассчитанный с учетом неидеальности в термодинамических силахРис. 18.2. Эффективный коэффициент диффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 — неидеальные термодинамические силы; 2, 4 一 идеальные термодинамические силыРис. 18.2. Эффективный коэффициент диффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 — неидеальные термодинамические силы; 2, 4 一 идеальные термодинамические силыРис. 18.6. Отношение эффективных коэффициентов теплопроводности, рассчитанных с учетом и без учета неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + UРис. 18.6. Отношение эффективных коэффициентов теплопроводности, рассчитанных с учетом и без учета неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + U
Рис. 18.1. Эффективный коэффициент термодиффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 ~ неидеальные термодинамические силы;
2, 4- идеальные термодинамические силы
Рис. 18.1. Эффективный коэффициент термодиффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 ~ неидеальные термодинамические силы;
2, 4- идеальные термодинамические силы
Рис. 18.4. Отношение эффективных диффузионно-термических коэффициентов, рассчитанных без учета и с учетом неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + U
Рис. 18.4. Отношение эффективных диффузионно-термических коэффициентов, рассчитанных без учета и с учетом неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + U
Рис. 18.5. Эффективный коэффициент теплопроводности плазмы смеси К + U, рассчитанный с учетом неидеальности в термодинамических силах
Рис. 18.5. Эффективный коэффициент теплопроводности плазмы смеси К + U, рассчитанный с учетом неидеальности в термодинамических силах
Рис. 18.2. Эффективный коэффициент диффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 — неидеальные термодинамические силы; 2, 4 一 идеальные термодинамические силы
Рис. 18.2. Эффективный коэффициент диффузии плазмы смеси К + U (р = 50 МПа): 1, 3 — неидеальные термодинамические силы; 2, 4 一 идеальные термодинамические силы
Рис. 18.6. Отношение эффективных коэффициентов теплопроводности, рассчитанных с учетом и без учета неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + U
Рис. 18.6. Отношение эффективных коэффициентов теплопроводности, рассчитанных с учетом и без учета неидеальности в термодинамических силах в плазме смеси К + U
Рис. 18.3. Эффективный диффузионно-термический коэффициент плазмы смеси К + U, рассчитанный с учетом неидеальности в термодинамических силах 90
Таблица 18.1. Тшш использованных в расчетах ЭКП (см. рис. 18.1-18Л) потенциалов взаимодМсгвия мемду частицами плазмы
№п/п
Потенциал
Форма
П^аметры
Литература
1
Леннарда-Джонса
4е[(р/г)12 - (р/г)6]
Р,£
[1561
2
Степенной
-егб
е
[132]
3
Поляризационный
-£(/•? +р2)・2
£,Р
[20]
4
Экспоненциальный
-еехр(-г/р)
е,р
[20]
5
Экранированный (для заряженных частиц)
±е ехр(-г/ р)/г
е,Р
[138]
6
Морзе
е{ехр[-2р(г-р)/р]- -2ехр[-р(г-р)/ р]}; £ ехр[-ле(г- r^/2f\
G Р J
£，體 с> 7
[237]
Таблица 18.2. Параметры потенциалов взаимодействия нейтральных частиц
плазмы (в тех случаях, когда литература не указана, параметры потенциала оценены по комбинационным правилам [1329 238])
Взаимодействие
Потенциал
e, a.e.
P, a.e.
Литература
Н? — Нг
4
1,1
1,85
[236]
Н? — Н
4
5,145
7,372
[236]
Н? — Li?
2
112
—
Н? — Li Н
2
79,1
—
Н? — Li
2
77,4
—
[239]
н —
6
1,745
1,401
[236]
Н — Lio
2
89,8
—
— Lio
2
2838
—
[240]
2
1787
—
Li? — Li
2
2793
—
[239]
LiH 一 LiH
2
1152
(240]
UH 一 Li
2
1216
[240]
Li 一 Li
2
1400
—
[241, 242]
Cs- Cs
2
5200
—
[242]
Cs? — Cs?
2
451
—
Cs? — Cs
2
2500
—
Li - К
4
1,286
1,02
К? — К?
4
2,845
1,974
[243]
К? — к
4
1,57
4,56
к? — и
4
89,4
1,25
к — к
4
2778
2,21
[238, 242]
к — и
4
882
1,17
и- и
4
2808
1,74
[238]
к- н
4
18,1
1,2
К? — Н
4
1,8
2,5
К-Н2
4
190
1,6
Н 一 LiH
2
69,3
—
[236]
Н — Li
4
1,79
1,2
[236, 244]
К2 — Н?
4
3,4
2,91
Na2 一 Na2
4
10,1
2,76
Na? — Na
4
5,66
3,1
Na 一 Na
4
13,5
2,2
[238]
Для взаимодействия атомов водорода между собой 0=1
Таблица 18.3. Поляризуемости атомов и молекул, энергии резонансных возбужцений [141]
Атом9 Mолжула
H
Li
К
Cs
U
H2
Li?
K2
a, a.e.
4,5
160
280
360
185
5,52
243
353
AE, a.e.
0,375
0,0679
0,0592
0,0408
0,0735
0,0418
0,0641
0,0532
Таблица 18.4. Параметры, определяющие сечение резонансной перезарадки атома со своим ионом [20, 245]
Atom
H
Li
Na
К
Cs
У
1,0
0,629
0,615
0,565
0,535
A
2,0
0,82
0,74
0,52
0,39
§ 19. Эффективные коэффициенты переноса в плазме с сильным кулоновским (межчастичным) взаимодействием
В предыдущем параграфе эффективные коэффициенты переноса введены в приближении, по существу, “идеальной” плазмы, поскольку при получении выражений (18.6), (18.8) использовалось уравнение химического равновесия в “идеальной” форме. В [103] предложено помимо кулоновских и некулоновских эффектов, принятых во внимание при определении многокомпонентных коэффициентов диффузии, термодиффузии и т.п. (см. § 17), учесть сильное межчастичное взаимодействие в ''термодинамических силах" при определении ЭКП.
Из соотношений неравновесной термодинамики (см. ел. 6) для многокомпонентной химически реагирующей плазмы следуют такие же, как (18.1), (18.7) выражения для потоков Jfl, %, d七 в виде
(NА
<Ь・=(Р〃Р)УтЪ -(Р〃Р)耳一 Zp 禺/р〃 ；
Ii=l丿(19.1)
卩丿=(W%・)ln〃j +%j(T) + AUj・
В выражении для Цу, второе слагаемое связано со структурой частицы, третье с вкладом в химический потенциал из「за взаимодействия. Форма для термодинамической силы (19.1) совпадает с формой (18.1) в “идеальном” приближении. Рассматривая 山=^^х^.р.Т) находим выражения для потоков в виде (18.6), (18.8) и эффективные коэффициенты переноса:
2ь = (//Р/ £ %%・4“£；(19.2)
5 cb
一(19.3)一(19.3)7山，% ^b7山，% ^b國="“/Рт)^iamjDAMjk K-^/^lh.m^M
一(19.3)
一(19.3)
7山，% ^b
7山，% ^b
)=13cb 丿T,p%f
/=(//pG现勺乌ем/+ S кJPt{ca}
+功炉/加-川制 "f/Pi.
iJPt{ca}
В (19.2), (19.3) выражения для эффективного коэффициента электродиффузии и эффективного электротермического коэффициента отсутствуют, поскольку выражения для данных коэффициентов совпадают с (18.6) и (18.8); матрица “匕 явно учитывающая межчастичное взаимодействие, есть
2龈+d<■一俏…2龈+d<■一俏…(19.4)(19.4)
2龈+d<■一俏…
2龈+d<■一俏…
(19.4)
(19.4)
Заметим, что влияние Ай, — поправки на кулоновское взаимодействие в плазме, на Хг, ХЛ существенно более слабое, чем Дц；. Качественно вклад А固 в эффективные коэффициенты переноса связан с тем, что в неидеальной плазме помимо действия градиентов концентраций компонент и температуры диффундирующие частицы испытывают дальнодействующее отталкивание или
притяжение со стороны одноименно или разноименно заряженных частиц. Производные, необходимые для вычисления эффективных коэффициентов переноса по (19.2)—(19.4), могут быть найдены способом, подобным описанному в предыдущем параграфе. Очевидно, что соотношения (19.2)—(19.4) справедливы для определения эффектов в ЭКП, связанных не только с кулоновским, но и с другими видами взаимодействий частиц между собой. Учет неидеальности в термодинамических силах значительно изменяет ЭКП в многоэлементной неидеальной плазме, причем кулоновское и другие виды взаимодействия могут как увеличить, так и уменьшить различные ЭКП (см. рис. 18.1—18.6).
Обсудим два обстоятельства, не упомянутые в соответствующих параграфах этой главы. Во-первых, несмотря на отсутствие в явном виде кулоновских асимптотик для Dik，D： указанные асимптотики оценены для расчетов Dik, D： с помощью очевидных соотношений между и7 и D：, а также между а и 〃；. Во- вторых, остановимся на виде 7cт в системе кинетических уравнений, совместимом с приближением ЛТР; в [167] показано, что использование гипотезы “полностью обратимых соударений”， устанавливающей связь между вероятностями прямых и обратных упругих и неупругих процессов (см. § 21) позволяет согласовать решение системы кинетических уравнений (конкретнее — использование равновесного состава в выражениях для кинетических коэффициентов и потоков) с приближением локального термодинамического равновесия. Последнее обстоятельство дает возможность строго ввести эффективные коэффициенты переноса.
Таблица 19.1. Химическая теплопроводность смесн К + U (尸=49 МПа9 с^=0,1; 亏 一 традиционный расчет [20], “ 一 расчет с Ar [120]; %《в Вт/(см-К))
т, к
", 10・з
%* 10-4
认 10-3
3000
0,57
0,29
-0,34
4000
1,6
2,6
-0,35
6000
5,4
0,98
Т,9
8000
15
3
-2,2
7； К
X*, 10-1
%К，Ю-з
认ю-2
10000
0,26
0,7
-0,37
12000
0,38
1,8
-0,16
20000
0,93
4,2
-1,8
Глава 6. Общие ограничения на кинетические коэффициенты и эффективные коэффициенты переноса многоэлементной химически реагирующей плазмы
В [103], а также в предыдущих главах данного раздела сформулирован модельный подход к вычислению полного набора коэффициентов переноса неидеальной плазмы. С этой целью предложено использовать систему классических кинетических уравнений, интегралы столкновений которой определены в больцмановской форме с учетом элементарных процессов, существенных в неидеальной плазме, качественных особенностей ее состава и данных по кинетическим коэффициентам неидеальных классических кулоновских систем. Такой подход позволяет разделить вклады в кинетические коэффициенты, обусловленные конкретным компонентным составом плазмы и сильным кулоновским взаимодействием в ней, т.е. некулоновские и кулоновские эффекты. При переходе от Dik, D^ к эффективным коэффициентам переноса, через которые выражены массовые потоки химических элементов (в том числе и электрический ток) и конвективный тепловой поток, следует согласно [103] принять во внимание неидеальность в термодинамических силах.
Изложенная выше схема вычисления коэффициентов переноса и ЭКП достаточно сложна. Поэтому для контроля числовых значений данных коэффициентов необходимо использовать общие ограничения на нелинейные недиагональные матрицы Dik - Df и ЭКП, описывающие перенос энергии и массы (заряда) в многокомпонентной и многоэлементной плазме в приближении ЛТР. Представляет интерес также исследование матрицы ЭКП и соотношения между ЭКП и феноменологическими кинетическими коэффициентами р^. Свойства матрицы ЭКП важны также при использовании последней в задачах высокотемпературной газодинамики (см. раздел III). Элементы матрицы ЭКП связаны с коэффициентами при старших производных (но не совпадают с ними) в системе уравнений диффузии химических элементов и энергии. Очевидно, от свойств матрицы коэффициентов при старших производных в системе уравнений •диффузии и энергии зависит характер решений системы, поэтому данная матрица также исследована в этой главе.
§ 20. Выражение для производства энтропии в компонентном представлении. Условия на коэффициенты переноса
Линейная по градиентам термодинамика необратимых процессов в компонентном представлении [18] позволяет установить общие ограничения на коэффициенты переноса, полученные из решения системы кинетических уравнений, сформулированной в предыдущей главе, в первом приближении Чепмена- Энскога.
Формулирование соотношений термодинамики необратимых процессов возможно, если существует квазиравновесное распределение частиц по энергии, т.е. введение локальных термодинамических параметров, при этом химического равновесия может не быть. Выражение для производства энтропии многокомпонентной химически реагирующей плазмы может быть получено следующим образом [18, 169]. Полная производная энтропии на единицу массы определяется формулой Ги&5са (v = 1/р/
嘿=警+ P集-配等.(20.1)
Подставив в (20.1) выражения (24.5), (24.2) (см. гл. 7), получим
N
P/n 享=-div——T"J " 一 厂1口 凱一
-尸 tjjAj-K 玄"・{TV(L/T)-〃(E+gH]/c)}・ 丿=i2=1
;% — стехиомет-;% — стехиомет-Здесь % — скорость /・й химической реакции; г — число химических реакций; 4. =向弘；％ = %№/b扌+]%叫
;% — стехиомет-
;% — стехиомет-
рические коэффициенты в j-й реакции; компоненты с ^ + 1 до ^ являются продуктами 户й реакции. Выражением под знаком div обозначим J$ — поток энтропии, остальное о — локальное производство энтропии, которое согласно второму началу термодинамики —неотрицательно. Такой способ разбиения полной производной от удельной энтропии определяется следующими соображениями: производство энтропии равно нулю, если в плазме имеется полное равновесие; о — инвариантно относительно преобразования Галилея; интегрирование pmds / dt по объему дает с учетом о > 0 для замкнутой системы соотношение, эквивалентное теореме Карно-Клаузиуса: dS/dt > -Jdiv(Jq/T)dp.
Запишем выражение для производства энтропии
о = -Т ~2jq・VT - Г1 纟九・{Т V(h/T) -〃(Е + [▼ * Н]/с)}-
5v 广(20.3)
Для исследования ограничений на многокомпонентные коэффициенты диффузии более удобной является, форма производства энтропии, вытекающая из (20.3), если использовать соотношение
V@"：0 =丐以-(%/：0V7. (20.4)
Введем тепловой поток в виде
(20.5)(20.5)(20.6)(20.6)N
(20.5)
(20.5)
(20.6)
(20.6)
Jq = % + £М
и, используя (20.4), (20.5), перепишем (20.3) в виде
о = -L(.vT —厂1 翫・{VR - 〃(Е + [▼ * Н]/с)}- 2=1
1 Sv； Г 一厂口号一平4".
丿=1
В целях определения знаков коэффициентов вязкости следует разбить симметричный тензор И歹 и 加『/ 冈 на части, тогда для производства энтропии получим выражение
0 = 一广2%~T - 石儿”也 一〃(e + [▼ X H] /e)}/T -
一务＜ Пdivv + П^[儔嚼)/2 - div v/3卜，〃・4".
В сокращенном виде производство энтропии есть
0=4%.=羯.戈为，(20.8)
поскольку в линейном приближении
厶=В/丿.(20.9)
В (20.8), (20.9) Ji ——потоки; % ——термодинамические силы; В修 —— феноменологические кинетические коэффициенты (ср. § 3).
Феноменологические кинетические коэффициенты — скалярные величины, причем все главные миноры матрицы, составленной из % неотрицательны, так как о — представляет собой неотрицательную квадратичную форму и к ней применим критерий Сильвестра (в предположении, что “потоки” и “термодинамические силы” независимы). Кроме того, коэффициенты 0修 удовлетворяют соотношениям взаимности Онсагера. Соотношения взаимности означают симметричность или антисимметричность матрицы феноменологических кинетических коэффициентов в изотропной (в отсутствие магнитного поля плазме). Симметричность 0〃 имеет место в случае, если параметры состояния, обозначаемые индексами i и 丄 являются одновременно четными или нечетными функциями скоростей всех частиц; антисимметричность ——когда параметры i,丿 разной четности. Соотношения взаимности справедливы и для линейно зависимых потоков и термодинамических сил, хотя в этом случае феноменологические кинетические коэффициенты определены неоднозначно, но их всегда можно выбрать так, что соотношения взаимности выполняются — см. ниже (20.16), (20.17) [18].
Феноменологические уравнения (20.9), вообще говоря, связывают потоки с термодинамическими силами любой тензорной размерности Однако, если Jb % разной тензорной размерности, то при преобразованиях вращения и отражения декартовы компоненты этих величин преобразуются различно. Может оказаться, что из-за свойств симметрии рассматриваемой системы, компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил — это называют принципом Кюри [18]. В изотропной системе, свойства которой в равновесии одинаковы во всех направлениях, потоки и термодинамические силы различной тен- зорнрй размерности не связаны друг с другом. Среда в данной работе предполагается изотропной, поэтому производство энтропии в (20.7) можно разбить на три слагаемых, каждое из которых неотрицательно (следствием изотропности среды является то, что % — скаляры). Выпишем три слагаемых производства энтропии
о。= -T^ndivv —厂目丿斗;
^^-Т-2^Т-ТЛ 纟九•{▽/& —〃(Е+[ухН]/с)}; (20.10) 七=1
"2 =-l备[(鲁+ 鳥")/2-3・divv/3 •
По принципу Кюри
n = -T”div— £脇“；
з-Fdiv— £ w/；
J” -吗№ —广1 Z%{VR - 〃(Е +[▼ X Н]/с)}; (20.11)
Jj =-厂20 VT-广1 纟阻{VR-〃(E+WxH]/c)}; hl
為=一务 像+爵)f divv/3 .
Выпишем в явном виде соотношения взаимности Онсагера
% = %，限=%，瓦 г By” ^jm = ^mj-(20.12)
Из положительности производства энтропии, очевидно, следует
Pw > 0, п > 0, р^ > 0,(20.13)
Данные неравенства, по-существу, доказывают положительность г|, & *; заметим, что перекрестные кинетические коэффициенты, вообще говоря, не имеют определенного знака. Из с > 0 следует, также, положительность с7.
Получим из соотношений взаимности для % ограничения на многокомпонентные коэффициенты диффузии [см. (18.1)]. Поскольку диффузионные потоки в сумме (по всем компонентам) равны нулю, перепишем (20.10)臓=q(E +[v х Н]/с))
5 = Т苫 J厂 WM厂⑪-^^-Г\^Т(20.14)
Обозначим ▽#；-耳 символом 儿 тогда согласно принципу Кюри для диффузионного потока справедливо выражение (р = 7а)
J； =-T-&jT-七、(九厂儿)，i^k.(20.15)
/=1 川
Просуммируем данное уравнение по z (/ ^ Л) и выразим к-й поток через остальные потоки, так как их сумма по всем компонентам равна нулю. Тогда уравнение (20.15) будет справедливо для потока %-й компоненты, если положить
⑹(20.1⑹(20.1
⑹(20.1
⑹(20.1
Положим также чтобы выполнить соотношения взаимности
NN
" а然=-J % •(20.17)
Ясно, что используя (20.16), (20.17), получаем
Z^.=Zayz=0;Za^=0.(20.18)
i /i
Перепишем (20.15), используя (20.18),
J； = -La产-•(20.19)
Определим Aj следующим равенством [ср. (18.1), (19.1)]
А1 N
dj = р /к j / Р - (р j /р тР~Р + Р j(PmP)ZPj%, (20.20) /=1
Принимая во внимание (20.18), перепишем (20.19) через 必[ср. с (18.1)]
J/ = f q 毕一 Р¥(a"p》dj•(20.21)
Заметим, многокомпонентные коэффициенты диффузии определены в [155] (как и в [20, 159, 160]) условием、Dw = 0, поэтому зависимость между многокомпонентными коэффициентами диффузии и феноменологическими кинетическими коэффициентами усложняется. Используя условие g d, = 0, исключаем диагональные элементы в матрице феноменологических кинетических коэффициентов, затем сравнивая одинаковые члены в массовых потоках (18.1) и (20.21) , находим 100
(20.22)(20.22)
(20.22)
(20.22)
%• = л р/т, -Pm勺乌• + ZygDik(P諸)・
Последнее равенство в (20.22) должно быть симметрично, что целесообразно использовать для проверки расчетов МКД.
Отметим, (20.20) совпадает с (18.1) в “идеальном” случае, а также с (19.1).
Соотношения взаимности Онсагера для феноменологических кинетических коэффициентов
Покажем, используя явный вид 7cт с учетом неупругих столкновений, справедливость соотношения взаимности Онсагера для ан, определяющих массовый поток компоненты к [о связи феноменологических кинетических коэффициентов с МКД см. (20.22)].
Кинетическое уравнение в больцмановской форме, используемое в данной работе (см. ел 5), с упругим и неупругим интегралами столкновений имеет вид [157, 167]
% / ^ + ykdfki / аг + rkdfki / 5V, = -Е/Х - ^- (2L1)
В (21.1) fAk，2 — функция распределения частиц к-го сорта в i-м возбужденном состоянии; первый член в правой части (21.1) включает в себя упругие столкновения и неупругие столкновения, не сопровождающиеся химическими превращениями (q, 2 = 1, 2, 3; 1 — атомы, 2 — ионы, 3 — электроны).
^kt(kqУ = ^(fkifqf 一启&)0黑"、此叫• ⑵.2)
Предположим для упрощения выкладок, что второй член в правой части (21.1) определяется только процессом ионизации электронным ударом и соответствующей рекомбинацией
/；；п = ZK/1//3 ~ ^юпАу/з/з)О)'；33小3小2小冲；；
/片=SjC/2/Л/з - &0；/1)/)0:：¥心3心3小;也；
'.*(21.3)
/：n П ZJ(6/ - 2沁11/{/方方)0芻戸的2小/；+
^(f2jf3f3 -k；onfM•
Вероятности столкновений о удовлетворяют гипотезе аполно- стью обратимых соударений”
嚼錯。% =。舒3 唸.(21.4)
Пусть в плазме отсутствуют градиенты температуры, среднемассовой скорости, неравновесные химические реакции, тогда Ф^- имеет вид (fki =窗(1 + ①Q)
吗i = -史曙.(匕口厂巧-pNp+P二ep/丿)；
(o)以exp[-(以久/2 + £依)(标7尸]
/” в £хр(-%•/标T)gj&，
причем 〃七 в 猾 связаны законом действующих масс, т.е. определяются равновесным составом химически реагирующей плаз« мы [см. (21.9), § 19]. В силу соотношения Гиббса-Дюгема
Zp尸#/ = vp
коэффициенты с? определяются неоднозначно и могут содержать произвольный член вида еру, где с = const. Поэтому можно потребовать выполнения условия
咨=0
и с помощью него переписать ①以 в виде:
①后=一£吟)-Wt^^^n)^^-^ •(21.5)
/=1
Выражение для а〃 следует из уравнения
и из определения массового потока 2・й компоненты ( J^ =
=Zj/?①依"叫)
% =3-%?加。)(力-v)•或＞/ =号列成% .e%%. (21.6)
Подставляя в КУ (21.1)①々 в форме (21.5), получаем после простых преобразований интегральное уравнение относительно 處
击出?叫("-У)(% -p//pQ =吟 7£爲一窃П；
礙)，=渺虐窗 + f^f^ + %6V"(21.7)
一膚』-理冷爾-君f*f甘力%№ ；
聲' =4那N① +4%①閒 ^-k^'f^fr-
+/(ОУЛ(ОУ+4；))磚з也小血財三嘴ззу ；(21.8)
/ion 一 r(2j33) . rion 一 7(310 丄)了(2丿33)
丄2丿=勺八U3)'，丄3 - 73(2/33)* 十々3(31i)' •
Интегралы столкновений ^Jn и ^on записываются аналогично ^оп. В (21.8) £? связаны соотношениями, которые можно получить с помощью Я-теоремы, симметризуя соответствующие интегралы также, как это сделано ниже для доказательства соотношения взаимности
f(0)f(0) 一 ~о)7(оу. 一 “а
Jki Jlj 一 Лf JI｝，几刀 一 %ion/2jЛ •3丄・力
Докажем симметричность матрицы а以一умножим обе части (21.7) на 碌р просуммируем по i, к от I др N, проинтегрируем по dv£・ Левая часть (21.7) сводится к выражению [см. (21.6)]
弊 + 次？”▼「▼)•啜忆.(21.Ю)
小/ Pma
Последний член в (21.10) равен нулю, поэтому получим
等=孙优必/ +Z胤孑阮的+ kqii
川(21.11)
+z22 . 4瑞,小2 + M .殴% + 2础?)也•
Симметризуя первый член в правой части (21.11) по /, т, т.е. меняя местами штрихованные и нештрихованные величины и величины с немыми индексами д, % и используя (21.4), будем иметь
4"z J(或 + ^ -或一喘)(咽 + *)- e<?.e<Р)х kqi 用’(21.12)
x盟信G乳,小&小冲7明•
Запишем симметричные по /, т представления других членов в правой части (21.11), полученные аналогичным образом с использованием второго из соотношений (21.4)
2-t1(项+с3曜-<4? -2%)(d？ +сзle驴-2或)"
“(21.13)
х#°№%% 小仲3小冲/； + и т.п.
Равенства (21.12), (21.13) доказывают соотношения взаимности Онсагера, при этом существенно используется гипотеза “полностью обратимых соударений>, (21.4). Простой вид интеграла столкновений (21.3) выбран для наглядности, его усложнение не нарушит соотношений взаимности, если оставаться в рамках первого приближения Чепмена-Энскога и сохранить (21.4).
Заметим в заключение параграфа, что столкновительные интегралы в системе КУ, обсуждавшиеся здесь, определяют “идеальные” значения термодинамических функций [3, 170]. В [3, 170] предложена форма интеграла столкновений для полностью ионизованной плазмы, которая дает термодинамические функции и уравнение состояния в кольцевом приближении в каноническом ансамбле (см. например, [171, 172]), причем соответствующая поправка в 尸 не приводит к изменению значений кинетических коэффициентов по сравнению со случаем “идеальной” плазмы. В модельном подходе, описанном в данном разделе книги, соблюдается асимптотика кинетических коэффициентов, соответствующая кулоновским системам с сильным межчастичным взаимодействием (см. § 17). 104
Выражение для производства энтропии в элементном представлении. Некоторые условия на ЭКП
Исследование общих свойств эффективных коэффициентов переноса, определяющих массовые потоки химических элементов и поток тепла, возможно с помощью линейной по градиентам термодинамики необратимых процессов, сформулированной относительно химических потенциалов химических элементов [19, 20].
Следуя подходу, изложенному в § 20, сформулируем выражение для производства энтропии многоэлементной заряженной сплошной среды относительно химических потенциалов химических элементов, т.е. в приближении локадьного термодинамического равновесия
о = -Lj • VT - 厂任 J〃 -{Т^а/т)- qа=1(22.1)
-q (E+[vxH]/c)} - T-“j8j/dx「
В (22.1) естественно, отсутствует член, соответствующий неравновесным химическим реакциям; данной форме производства энтропии соответствуют определения Jfl, % [см. (3.2)] через феноменологические кинетические коэффициенты 0苏 口а = (дй/дс^р^ СьФСа ——удельный химический потенциал химического элемента 〃； и = u{p^s,{ca}) — удельная внутренняя энергия среды. Для преобразования (22.1) к более удобному виду подставим в данное выражение соотношение 7V(L/7}=丐口〃-(%//) V7, а также симметричный тензор вязких напряжений П^ (расчлененный на скалярную и тензорную части), и используем условия Z J〃 = 0, тогда
о =•"一кg ・【％旧也)一
_(e/S)E」-L (ndivv + n：T),
Здесь Е* = Е + [vxH]/c; в (22.2) выделен химический элемент аэлeктpoны,, (соответствующий ср), заряд которого на единицу массы есть ・е/“ (остальные равны нулю)
т = ^(а%・ / 8巧・ +а, / dx) -|5^.vv； n .(22.3)
где ha — удельная энтальпия химического элемента. Заметим, что J" в (22.3) не совпадает с J% в (20.5). Перепишем (22.2) в виде
о = ВХь & = %/)(22.4)
В (22.4) а^ ——феноменологические кинетические коэффициенты.
Потоки и термодинамические силы в (22.2) и (22.4) линейно независимы между собой, феноменологические кинетические коэффициенты симметричны (антисимметричны) относительно индексов 〃,方；(22.2), (22.4) представляют собой положительно определенную квадратичную форму, удовлетворяющую критерию Сильвестра, согласно которому все главные миноры матрицы ~ь положительны. В изотропной среде феноменологические кинетические коэффициенты — скаляры, (22.2) можно разбить на три слагаемых — скалярное, векторное и тензорное, каждое из которых — неотрицательно. В изотропной среде для массовых потоков химических элементов и теплового потока имеем
J； = 7州 * -厂七％〃 [" (L - He) -(C / “)E*l；
T :(22.5)
J" = -%g 景-厂富%[丐(口厂 ?е) - (ё / %)E*].
Из соотношений взаимности Онсагера и положительности векторного слагаемого в производстве энтропии, очевидно следует: aaq = %〃； aab = а儿 поскольку а^/Т2 =(入'+ 九灭)•昌 X [см. (18.11)], X > 0.
Определим эффективные коэффициенты диффузии и теплопроводности через феноменологические кинетические коэффициенты. При условии, что давление в плазме постоянно, выразим 力(口〃-口6)через градиенты са и, подставив полученное выражение в (22.5), будем иметь для J〃 ([д(11а^е)/дсь]р^ 106
N
Ja=&D^Cb + U^T-D：£;
(22.6)(22.6)(22.7)(22.7)% = -T 鳴 a”/；
(22.6)
(22.6)
(22.7)
(22.7)
國=
D：=一焉7工%"*
Аналогично для теплового потока
Jq = -a - F)VT + £九/%一九eE*； a=l
N
% = £(%一也)川；
統=il^qb^a/T +(%-%)%】；
/>=1
*E = ^[-~тТa^ +(% -加)0/】.
Формулы (22.6), (22.7) удобны при исследовании свойств и структуры ЭКП. Рассмотрим следствия положительности производства энтропии для двухэлементной смеси Введем обозначения: 爲= 7qM/T,簿= ("-%)%,入「心+%, тогда J〔 = -XV T + ^са (члены ~Е* отбросим для простоты). После подстановки『力 J〃 в выражение для производства энтропии и простых преобразований с использованием условий устойчивости относительно диффузии [18](卩：> 0), получим: <% > 惠國. Из (22.6), (22.7) очевидно следует: D；第=X ТDaa, поэтому
%(广-%) > "川.(22.8)
Заметим, что 炉 не совпадает с А/ из (18.8), поскольку при определении 产 Jg записан через компоненты плазмы. Можно убедиться также в знакоопределенности эффективного коэффициента диффузии: —Дш > 0; эффективный коэффициент термодиффузии не имеет определенного знака. Для эффективного 107
коэффициента термодиффузии (как и для D：) справедливы предельные соотношения: Z)^(T, р, са = 0)= 必(Т,р,с〃 = 1) = 0; закон стремления D： к нулю при са -> 0; 1 зависит от состава смеси, температуры и давления.
В случае смеси, состоящей из трех и более химических элементов, не удается, вообще говоря, получить точные соотношения только между ЭКП, исходя из соотношений взаимности Онсагера и положительности производства энтропии. Например, векторному слагаемому в о соответствует симметричная положительно определенная матрица, элементы которой зависят как от ha9^9 так и от ЭКП. Соотношения взаимности Онсагера для а〃} накладывают ограничения на эффективные коэффициенты диффузии. Обозначим а матрицу а〃岳 а %, как Z), тогда из (22.6) очевидно следует TD = —ац (ц — матрица из 鸿).Так как а = а, то [аналог (20.22)]
D^ =『1 方.(22.9)
В (22.9) тильды над буквами означают транспонированные матрицы. Рассчитывая термодинамические производные в матрице ц и приравнивая соответствующие элементы левой и правой частей (22.9), можно получить соотношения между эффективными коэффициентами диффузии в форме равенств.
О свойствах матрицы при старших производных в системе уравнений диффузии и энергии многоэлементной среды с сильным межчастичным взаимодействием
Многоэлементная среда в состоянии механического равновесия описывается системой уравнений диффузии химических элементов и энергии (см. подробнее § 24)
Р/G /力=-div J。； pmdh / dt = -div 七 + …(23.1)
Во втором уравнении (23.1) опущены члены, связанные с работой сил вязкости и т.п.; А — удельная энтальпия среды. Запишем (23.1) в матричной форме, используя выражения для Jfl, Jg (22.6), (22.7),
ди/di = V(o(〃)V〃) + •••; 〃三(％ …，с%」TIQ(23.2)
«(〃)=«(〃)=PmОООоо оPmОООоо оPm%/入 PnficJ' …^bPmcp/^Pm%/入 PnficJ' …^bPmcp/^-Д1_今-Д1_今一九］/大一九］/大一寿理一寿理一大2"一大2"笃a一戸)“笃a一戸)“
«(〃)=
«(〃)=
PmООО
оо о
PmООО
оо о
Pm%/入 PnficJ' …^bPmcp/^
Pm%/入 PnficJ' …^bPmcp/^
-Д1
_今
-Д1
_今
一九］/大
一九］/大
一寿理
一寿理
一大2"
一大2"
笃a一戸)“
笃a一戸)“
b (23.2) %=0初7)，{%}, % =%/*])",%巧；n > 0,九 > 0 нормировочные коэффициенты. Первая матрица в выражении для а(й) (обозначим ее 方一上〃))определяется термодинамическими свойствами многоэлементной среды, вторая а (и) — ЭКП; в (23.2) опущены члены при младших производных. Заметим, что матрица а(и) не является нормальной, т.е. а(и)万(〃)工万(〃)а(①; таким образом, а(и) не диагонализуется с помощью унитарного преобразования. Кроме того, матрица а(и) является существенно нелинейной, так как D^ (сд = 0; 1) = 0.
Традиционно [173—175], при исследовании решений (23.2) с определенными граничными и начальными условиями, матрица а(й) полагалась параболической (т.е. собственные значения данной матрицы должны иметь положительные вещественные части). Данное условие гарантирует положительность и непрерывность решений (23.2) [173—175]. Исследуем параболичность матриц 〃(〃)，优(〃)используя соотношения взаимности Онсагера для。4岳 ад〃 и условия термодинамической устойчивости. Выразим 认〃)через феноменологические кинетические коэффициенты и термодинамические производные, воспользовавшись формулировкой производства энтропии относительно химических потенциалов химических элементов [и, следовательно, выражениями (22.6), (22.7)]
火〃)=火〃)=101001010о0о入入…0；；(23.3)…0；；(23.3)
火〃)=
火〃)=
1
0
1
0
0
1
0
1
0
о
0
о
入
入
…0
；；(23.3)
…0
；；(23.3)
Матрица, равная произведению двух последних матриц в (23.3), есть параболическая матрица, так как данные матрицы положительно определены. Матрица — D, которая получается из а《〃) без последних строки и столбца, также параболическая и определяет матрицу при старших производных в системе уравнений диффузии химических элементов (без баро- и термодиффузии). Матрица。《〃)一матрица ЭКП, вообще говоря, как это следует из вида левой матрицы в (23.3) непараболическая. Умножая две последние матрицы в (23.3) слева на матрицу
Р；100Р；/〃)=PmCpTbР；100Р；/〃)=PmCpTbОО...ОтОО...От(23.4)(23.4)
Р；10
0Р；
/〃)=
PmCpTb
Р；10
0Р；
/〃)=
PmCpTb
ОО
...О
т
ОО
...О
т
(23.4)
(23.4)
получаем матрицу при старших производных в системе уравнений диффузии химических элементов и энергии. В идеальном случае, когда {加} не зависят от {%}, bf(u) — диагональная и, следовательно, а(〃) — параболическая матрица; в инеидеаль- ном” случае {儿} зависят от {%} и 〃(〃), вообще говоря, непараболическая матрица.
%宀0:+г一产2Р/« 2РщСр%宀0:+г一产2Р/« 2РщСр士 d2^^K(ha^heyCaca +I 2р/р士 d2^^K(ha^heyCaca +I 2р/р(23.5)(23.5)В качестве примера рассмотрим собственные числа а(и) для двухэлементной среды
%宀0:+г一产
2Р/« 2РщСр
%宀0:+г一产
2Р/« 2РщСр
士 d2^^K(ha^heyCaca +
I 2р/р
士 d2^^K(ha^heyCaca +
I 2р/р
(23.5)
(23.5)
7\V2
+ (%〃)川+川+粵①-q%)/2.
РМр丿
В (23.5) d — удвоенное предкоренное выражение в формуле \ля 九 i,2・ Второе и третье слагаемые под корнем ,вны Daa)i + D：< < 0 [см. (22.8)] и свойства матрицы а(и) в (23.5) определяются, в основном, знаком d. Предкоренное выражение в (23.5) положительно в “идеальном” случае, в <<неидеальном,> его знак неопределен.
по
Если в плазме при достаточно высокой температуре принять во внимание перенос излучения, например, в приближении лучистой теплопроводности (соответствующую теплопроводность 九 1 следует добавить к *), то в (23.5) предкоренное выражение, как правило, положительно, так как М > V. Таким образом, в “неидеальном” случае матрица а(й) в (23.2), вообще говоря, непараболическая и, следовательно, задача (23.2) с определенными граничными и начальными условиями может быть некорректной [176]. Заметим, что выяснение гидродинамических следствий возможной непараболичности матрицы а(и) в определенных условиях допускает совместную экспериментальную проверку приближений, по. которым рассчитываются как термодинамические так и переносные характеристики равновесной неидеальной многоэлементной плазмы. Традиционно, экспериментальная проверка термодинамических и переносных характеристик неидеальной плазмы проводилась, по-существу, независимо; причем из переносных свойств плазмы с сильным кулоновским взаимодействием измерена лишь электропроводность.
Раздел IIL Коэффициенты переноса многоэлементной низкотемпературной плазмы > задачах высокотемпературной газодинамики
Построение полного набора коэффициентов переноса химически реагирующей многоэлементной плазмы с сильным кулоновским взаимодействием позволяет перейти к решению ряда актуальных задач высокотемпературной газодинамики, связанных с изучением процессов переноса тепла, массы, импульса и заряда в движущихся многокомпонентных газах или плазме с существенно неоднородными газодинамическими параметрами. В разделе III проведено систематическое исследование эффектов в процессах тепломассообмена в ударном слое космического зонда в верхних слоях Юпитера, связанных с последовательным учетом взаимодействия основных физических процессов в плазме ударного слоя и, в особенности, процессов многокомпонентной диффузии. Кроме того, в данном разделе книги рассмотрены критические явления при движении низкотемпературной плазмы, обусловленные как взаимодействием диффузионных процессов и процессов объемного тепловыделения в тепловыделяющем элементе газофазного ядерного реактора [102]; так и конкуренцией процессов теплопроводности и вязкости в движущейся низкотемпературной плазме.
Глава 7. Гиперзвуковое обтекание сферического зонда в верхних слоях Юпитера
Различные характеристики гиперзвукового обтекания (v « « 20+60 км/с, давление в атмосфере 1()т — 10 кПа) космического зонда в гелиево-водородной атмосфере, моделирующей верхние слои планеты Юпитер и других планет солнечной системы, интенсивно исследуются в последнее время [178—188]. Особенностью данной работы является последовательный учет взаимодействия основных физических процессов в многокомпонентной химически реагирующей плазме ударного слоя между отошедшей ударной волной и графитовой поверхностью сферического зонда при определении конвективного и лучистого тепловых потоков в передней критической точке зонда. К указанным процессам относятся: вдув графитного теплозащитного покрытия в ударный слой под действием мощных тепловых потоков, 112
лучистый и конвективный перенос тепла через ударный слой к поверхности зонда, многокомпонентный характер диффузионного перемешивания компонент плазмы в ударном слое.
С методической точки зрения наиболее сложно корректно исследовать влияние многокомпонентной диффузии в плазме ударного слоя на тепловые потоки при заданной интенсивности вдува (учет многокомпонентной диффузии в данной задаче имеет смысл, когда вдув не слишком интенсивен) теплозащитного покрытия (здесь углерода) в ударный слой. В данной главе применен подход (см. раздел II), связанные с введением эффективных коэффициентов диффузии и теплопроводности, описывающих соответственно массовые потоки химических элементов и конвективный тепловой поток. Данный подаод позволил систематически рассмотреть зависимость тепловых потоков, массовых потоков химических элементов, профилей газодинамических параметров от полноты учета диффузионных процессов в ударном слое.
Система уравнений высокотемпературной газодинамики для исследования течения в окрестности передней критической линии сферического зонда.
Граничные условия
При описании движения многокомпонентной (многоэлементной) химически реагирующей плазмы качественно различают следующие характерные времена: ту — время между упругими столкновениями частиц плазмы; тх, тну — времена между неупругими столкновениями сопровождающимися и не сопровождающимися химическими превращениями; т — характерное время макропроцессов — диффузии компонент плазмы и т.п. В приближении т »ту , тну, тх, называемом ниже приближением локального термодинамического равновесия, достаточно быстро по сравнению с временами макропроцессов устанавливаются равновесные распределения частиц по скоростям и энергиям, химическое равновесие при данных температуре, концентрациях химических э；Аементов и давлении в каждой точке объема, занимаемого плазмой. В приближении ЛТР (примененном в данной главе для описания течения многоэлементной плазмы в ударном слое сферического зонда) гидродинамическая система уравнений, описывающая движение многоэлементной ионизованной однофазной среды при наличии электрического и магнитного полей и поля излучения, имеет вид [19, 20, 169, 189]
aPm/ar + v(pmv)= o；(24.1)
P*aq / ar) + PM • Vq + VJ〃 = 0;(24.2)
Pm@p / 执)+ PZ • V% + VJe = 0;(24.3)
pm [5v/ar + (vV)v] = -Vp+vn +
+e[Je x H] / {cm^ + ?(E + [v x H] / c);< ”
Pm [5Й / 8/ + у • VA] = Эр / ЭГ + v • Vp + + 口 ： V— V(Jq + J a) + (e / 叫)J； • E.
Здесь (24.1) — уравнение неразрывности. Уравнение (24.2)— уравнение диффузии химических элементов, число которых равно Ад — 1, где для случая ударного слоя 乂 = 3 (Н, Не, С). Уравнение неразрывности для заряда — (24.3); е Зе/ те — электрический ток; ? = р/е / “ —— объемная плотность электрического заряда. Уравнение (24.4) — уравнение движения среды; (24.5) — уравнение баланса энергии; Jk — поток энергии излучения.
Система уравнений (24.1) — (24.5) должна быть дополнена уравнениями Максвелла, определяющими поля в плазме, уравнением переноса излучения (см. § 25), уравнением состояния плазмы и системой уравнений для расчета термодинамических функций плазмы в зависимости от д Т, {%}, % (см. § 26), выражениями для J〃 (JJ, J«, П через градиенты температуры, давления, массовых долей химических элементов, массовой скорости, поля в плазме, определением лучистого теплового потока (см. § 25). Выражения для потоков тепла, массы, заряда и тензора П имеют вид (см. разд. II).
藹=Y乂一严)V7 + 纟4Vq -入eE*；(24.6)
N
J〃 = tDa^cb - ^T -國E*;(24.7)
國6 / / = tp^Cb-吶т -成E*;(24.8)
弱・=-n 0 %/ dXj + 8 v/ ax) - J % div v - ^ div v.(24.9)
В выражениях (24.6) — (24.9) X* ——коэффициент транспортной теплопроводности; Хг, 1Л,九后——эффективные коэффициенты теплопроводности; Dab,D^D^ — эффективные коэффициенты диффузии; n, С —коэффициенты сдвиговой и объемной вязкостей (см. § 26).
Система уравнений высокотемпературной газодинамики, приведенная выше, в общем случае чрезвычайно сложна, однако, учитывая гиперзвуковой характер обтекания космического зонда, предполагая ламинарный характер течения в окрестности передней критической линии и используя ряд оценок параметров физических процессов в ударном слое, ниже система существенно упрощена.
В окрестности передней критической линии при умеренных интенсивностях вдува применена концепция вязкого ударного слоя с “исчезающей” вязкостью (см., например, [190, 191]). Данная концепция заключается в том, что при решении задачи о гиперзвуковом обтекании затупленного тела в системе уравнений движения и энергии в ударном слое сохраняются вязкие члены, существенные в пограничном слое (по порядку величины больше, чем l/(R%)i/2, где Re产 pjJ?/財 р© % — плотность и скорость в набегающем потоке; R — радиус кривизны поверх-
Рис. 24.1. Гиперзвуковое обтекание сферического зонда в верхних слоях Юпитера. Ударный слой зондаРис. 24.1. Гиперзвуковое обтекание сферического зонда в верхних слоях Юпитера. Ударный слой зонданости тела; ц5 — динамическая вязкость плазмы непосредственно за ударной волной), а на ударной волне справедливы соотношения Гюгонио- Ренкина [192]. Для применимости данной концепции кроме предположения о тонкости ударного слоя 6/&« 1 (5 — величина отхода ударной волны от поверхности зонда — толщина ударного слоя) необходимо также чтобы толщина вязкой области была меньше или порядка 5, т.е. 6/К » l/(Reb)i/2. Определим систему координат следующим образом (рис. 24.1): координата х направлена по образующей тела, координата у отсчитывается по нормали к по-
Рис. 24.1. Гиперзвуковое обтекание сферического зонда в верхних слоях Юпитера. Ударный слой зонда
Рис. 24.1. Гиперзвуковое обтекание сферического зонда в верхних слоях Юпитера. Ударный слой зонда
верхности тела от передней критической точки, проекции мас- совой-скорости обозначим соответственно и, v.
Упростим систему уравнений (24.1) — (24.5) согласно концепции вязкого ударного слоя с “исчезающей” вязкостью. Выпишем уравнение движения (24.4) в стационарном случае (и без внешних сил) в проекции на ось х
Рт〃(8〃 / 8х) + Pm vS〃 / 办 + 勿 / 8х = ^{t][2(5w / дх)-
，(8〃 / дх + Sv/ ду)]} +^-[х](ди / ду + ду/ дх)]. 3оу
Приведем данное уравнение к безразмерному виду таким образом, чтобы все входящие в него производные были одного порядка, т.е. введем следующие определения
〃* = 〃/%; v* = vL/(噤)；х* = х / £; 炉= У/6；(24]о)
Р* = Pm / Рв； П* = П / %； Р* = Р / 0 4).
Тогда получим (L ~ 7?)
ри ди / йх* + р* V* ди / Эу* = -др* / дх + Rej1 д / дх* х
XXЛ* 28〃* / дх - ^(8〃* / 8х* + 3V*/ Sy*)]} + (L / 5)2 Rej1 д / Зу* х
X
X
х{ П*[8〃*/ду +(5/丄 У Sv* / дх*]}.
Поскольку 8/R « 1, R%》1, (〃6)2/R% 21, будем иметь для данного уравнения
ради / дх + р* V* 8〃* / ду = ® * / Эх* + 3 / ду(у\ди / ду). (24.11)
Аналогичным образом упрощены и другие уравнения из системы (24.1) - (24.5).
Прежде чем выписать окончательную систему уравнений вязкого излучающего пограничного слоя сделаем оценки электрического тока, электрического и магнитного полей, объемного заряда, характерных для течения многокомпонентной плазмы Не + Н + С (число компонент равняется 20) в ударном слое. Качественно ясно, что Е = /ах, когда электрический ток в ударном слое равен нулю, т.е. когда электрическое поле запирает термоэдс; поэтому сг'/ах ~ аУТ В плазме ударного слоя
住7~ 1эВ, УТ~ 104К/см, p ~ 1МПа, a 108 r"2cMi佐後眼七. T~ 1014c", тогда /” ~ 1в/см. По 晶” найдем объемный заряд Z ~ 10% « %. Максимальное магнитное поле оценим из rotH =几(4冗4); полагая Е~ 0, Je^ aV7^ найдем /献 ~ 102 Э. О сравнительном влиянии электрического и магнитного полей на массовые потоки химических элементов и конвективный тепловой поток можно судить по соотношению между | ^пах I и (1/с) I [vxH] I при V ~ 103 м/с: I Дпах1》亡1 I [vxH] I. Сравнение полевого и концентрационного членов в выражении для 必[см. (18.1)] выясняет вопрос о соотношении полевого и концентрационного вкладов в J〃 и %: аналогичные проведенным выше оценки показывают, что указанные вклады одного порядка. Точно также членом с объемным зарядом в % следует пренебречь. Легко показать, что электрическое поле, оцененное по максимуму, не возмущает максвелловское распределение частиц по скоростям, а магнитное —не приводит к сколько-нибудь заметной анизотропии в коэффициентах переноса. Сравнение электрической и лоренце- вой сил, входящих в уравнение движения, с использованием оценок, полученных для ЕтаХ9 &献 с силами давления показывает, что последние дают основной вклад в уравнение движения в условиях ударного слоя. Точно также джоулево тепловыделение мало по сравнению с работой сил вязкости (хотя вклад последних в уравнение энергии имеет прядок (Reg)'1/2).
В результате проведенных оценок, систему уравнений вязкого излучающего ударного слоя в стационарном случае запишем в следующем виде [189]
divp/ = 0;
Pm udCal eXfYdCal 5y = -^N、£
pm и ди / dx + pmN ди / ду = (д / ду) (r|8〃 / ду) - др / йх; (24.12) др / dy = 0;
pmudh / dx + pmv dh / ду + и dp / dx = - div(J^ + Jr).
Интегрируя четвертое уравнение в (24.12), получаем р = const, т.е. давление поперек пограничного слоя можно считать постоянным и равным %.
Полученная выше система уравнений является системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В (24.12) входят два уравнения диффузии химических элементов, в (24.6), (24.7) суммирование выполняется до 乂―1・ Ог- 117
раничиваясь исследованием автомодельных решений в окрестности передней критической линии, сведем (24.12) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью переменных Дородницына-Лиза [193]
乳 х)=卜5%〃5*办'；讯 х,7)二也以(29-1/2 jp〃 力'，(24.13)
оо
где rb ——расстояние от оси симметрии до любой точки пограничного слоя;*
^/^ = Р5П5^；而/方=W^4^(24.14)
Введем функцию Т такую, чтобы уравнение неразрывности удовлетворялось тождественно:
Р/Ь = 5T/SK -Рт”ь = ^ / Зх.
Определим безразмерную функцию тока
f = ^/^ 分/而="/ 匆.(24.15)
тогда
Pm U^r^&V/dy^M ㈤ T/2^/而；
(24.16)
Pm v = -仄^ / ax = -/Л就/公)(^/8© + (^/d^^V/^
Ч = 3&/坛=(刘/2启
弓(24.17)
¥ = 3/2伍/^)而=(刘/2/.
0
Используя (24.13)—(24.17), находим выражение для конвективного оператора в переменных Дородницына-Лиза
ртид/дх^ртуд/ду = ртщ (20~\d^/dx)x
(24.18)
"["停/试-40/饱-/8/询.
Применяя к (24.12) соотношения (24.13)—(24.18) при & « 1 и полагая, что 厶=р^ v^Q - х2 / Л2),坛=v^ х / К, а также учитывая вид массовых потоков химических элементов, электрического тока, конвективного теплового потока — (24.7)—(24.9), будем иметь [189] 118
xx值?+険TWf + div加m/(2%3G.值?+険TWf + div加m/(2%3G.
x
x
值?+険TWf + div加m/(2%3G.
值?+険TWf + div加m/(2%3G.
тг + Г + (2рл/рт-/г2)/2 = 0;
(^7；y-(^<y-(^y = -(% / D^fda;
(24.19)(24.19){М^У-^М^-Щ^У = -(П5/Х5)х
(24.19)
(24.19)
В (24.19) использованы следующие обозначения (электрическое поле исключено из условия равенства нулю электрического тока)
В (24.20)入& 爲一нормировочные коэффициенты, равные соответственно 九Не，AleHe за ударной волной.
В качестве граничных условий для решения системы (24.19) на ударной волне (rj = 5) использованы соотношения Гюгонио— Ренкина. Концентрации химических элементов непосредственно за ударной волной приняты равными их значениям в набегающем потоке. На поверхности тела заданы условия отсутствия скольжения (〃” = 0, индекс w — определяет значения на поверхности тела), интенсивность вдуваемого потока углерода, уравнения баланса массы химических элементов и температура (V = 40 км/с, К ~ 25 см). На ударной волне т] = 5 граничные условия имеют вид
Т^Т^ %в =分 £ Л =(Рз/ Vg)(K / (2pg vG 产；(24.21)
/?= 1; 7Ь =13000 К, 15000 К; а =1 МПа. А на теле rj = 0
т-т^ 几=-啖；Л =0; 7；=3000К;
-力Zf + ^HeHeCHe + 力HeC СС - А^НеМРв / P/n =。；(24.21)
-足77 + 力CH&e + ^СССС - А^сНбРб / Р/И = ~%Рв兀 / ^m'
В формулах (24.19), (24.21) штрих означает производную по 行. В данной постановке задачи вопрос о механизме разрушения поверхности не рассматривается; предполагается, что для каждой параметрически заданной интенсивности вдува углерода £ температура поверхности остается постоянной (другими словами рассматривается не сопряженная задача — ср. с [194]). Лишнее граничное условие для уравнения движения (уравнение третьего порядка, а условий для / четыре) используется для нахождения значения отхода ударной волны — 5.
§ 25. Определение характеристик поля излучения в ударном слое
Для решения многих практических задач, связанных с переносом лучистой энергии в высокотемпературной среде, используется приближение плоскопараллельного локально одномерного излучающего объема [195]. Смысл данного приближения заключается в замене истинной геометрии излучающего объема плоскопараллельным слоем с распределением газодинамических параметров (температуры, давления, концентрации химических элементов), определяющих перенос лучистой энергии, и геометрической толщиной такими же, как и в соответствующем сечении реального объема (рис. 25.1). В случае большой оптической толщины излучающего слоя газа данная модель является практически точной, так как в указанном случае радиационные характеристики определяются локальными значениями газодинамических параметров и, по-существу, не зависят от реальной формы излучающего объема. Для случая меньшей оптической толщины подход [195]
Рис. 25.1. Первое изучения в удар- нуждается В ДОПОЛНИТеЛЬНОМ обо- ном слое в приближении плоскопарал- '广_
дельного излучающего объемаСНОВИНИИ. ПрИМСНИМОСТЬ ПрибЛИ-
жения [195] к задаче лучистого теплообмена в ударном слое исследована в [196], где доказана справедливость приближения плоскопараллельного локально одномерного излучающего объема в случае 6 «К (в [196] показано, что при 5/Л - 0,05 и т - 0,1, т — оптическая толщина ударного слоя, погрешность в расчетах характеристик поля излучения по [195] « 10%).
В приближении плоскопараллельного локально одномерного излучающего объема уравнение переноса лучистой энергий запишем в виде [192, 193] (см. рис. 25.1)
cos 6d7(v, 0, Ф, у) / rfy =虱у, у) [B(v, у) - /(V, 0, ф, у)], (25.1)
где V ——частота; ф и 0 — азимутальный и полярный углы; у — координата поперек ударного слоя; 7(v,(p,0,y)——интенсивность излучения; ae*(v,y) — спектральный коэффициент поглощения света с учетом переизлучения; 5(v,y) — интенсивность излучения абсолютно черного тела — функция Планка.
Решение неоднородного линейного уравнения первого порядка (25.1) записано для лучей, направленных соответственно в верхнее и нижнее полупространства; в первом случае 0<6<тс/2, во втором — тс/2<0<л.. Предполагая, что оптические характеристики среды, а также граничные значения 式+)(v,0) и /-)(v,5) не зависят от 0, ф находим выражения для односторонних потоков в виде (см., например, [189])
у
q(+)(v,y) = 2M /+)(v,0)^[T(v,y)] + JB(y,t)E^x(y,y) -T(v,0]A(v,/)k
8
4㈠(vj) = 2n]/(-)(v,5)£^[T(v,5) - «v/)] + J 5(v,f)且 h(v,f) -T(v,y)]tfr(v,/)k(25.2)
T(v,y) = Jaer(v,/H, 0
„ 2
где т — оптическая толщина; En(x) = Ju ехр(-х/ц)ф интег- o
ропоказательная функция 〃・го порядка. Суммарный лучистый тепловой поток в точке у есть
JkOO= Т lQM(v,у) - qH(v,y)]dv.(25.3)
vmin
Поскольку в правую часть уравнения сохранения энергии [см. (24.19)] входит член с divJ/j, получаем выражение для дивергенции лучистого потока, используя (25.3) и дифференцируя (25.2) по у (е > 0),
Ках(У(1~£)
div Jr =-2冗 j ^(v9y)< J5(v/)EM(v,y)-«v,f)]由(v,f) + vmin. °
8
+ E2【«VJ)] 5(v,0) + J5(v,f)& k(vj) -T(v,y)]A(v,0 一 (25.4)
-25(v,y)鬲[®Xv,y) £丁]} dv.
Заметим, что входящая под знаки интегралов (25.4) функция Е\ имеет логарифмическую особенность при /ту. Поэтому при выводе (25.4) интервал 0, 5 разбит на следующие 0, у(1-£); у(1—£), у; у, у(1+£)；貝1+£), 5. На подинтервалах, не содержащих точку у, подинтегральные функции особенностей не имеют; а на подынтервалах, содержащих у, интегралы могут быть оценены по теореме о среднем [189]. Значение £ обуславливается необходимой точностью вычислений. При выводе (25.4) использованы также предположения о том, что поверхность зонда излучает как абсолютно черное тело (т.е. /+)(v,0) = 5(v,0), а опережающее излучение отсутствует /-)(v,8) = 0).
§ 26. Теплофизические свойства ударно-сжатой плазмы Не+Н+С
Термодинамические и переносные свойства плазмы Не+Н+С рассчитаны в [160] по методике, изложенной в [159, 160]. Остановимся подробнее на определении коэффициента спектрального поглощения ae*(v), необходимого для расчета поля излучения (см. § 25) [189]. Заметим, что кулоновское взаимодействие в особенности сказывается на оптических свойствах плазмы ударного слоя.
Поглощающими компонентами в плазме ударного слоя при Т - 3000 К + 15000 К в спектральном интервале 10000 см"1 — 100000 см~1 являются атомы — Н, С, Не; ионы Н+, С+, Н~, Не , Не+, C++ и молекулы Н2, С?, CH, С3, CH?, СН3, CH% С2Н, 122
C2H2, С2H4・ Однако из-за отсутствия данных по сечениям поглощения многоатомных молекул, а также вследствие малой концентрации данных компонент в плазме ударного слоя ограничимся учетом вклада в коэффициент поглощения, вносимым двух- и трехатомными молекулами: Н?, С?, СН, Сз, Сн?. Спектральный диапазон 10000 см"1 — 100000 см"1 выбран по рекомендациям [188], переносом излучения в других диапазонах волн пренебрежено. К элементарным процессам поглощения излучения, существенным для плазмы ударного слоя относятся: тормозное поглощение электронов в полях заряженных и нейтральных частиц, фотоионизационное поглощение атомов и ионов, поглощение излучения в атомных и ионных линиях И молекулярных полосах. Остановимся кратко на методике расчета вкладов в суммарный коэффициент ae*(v) каждого из перечисленных элементарных процессов.
Тормозное поглощение. При достаточной степени ионизации газовой смеси в инфракрасной области спектра основной вклад в поглощение дают процессы тормозного поглощения электронов в полях ионов. В приближении Крамерса [192] коэффициент поглощения излучения в данном процессе есть
/ О ”22 6
где G(Kv)—— фактор Гаунта, который в условиях ударного слоя близок к единице [139]. В полях нейтральных атомов значение коэффициента поглощения в тормозном канале рассчитывалось по формуле
/'%) = WU7»,(26.2)
где величина Ое〃(驾v), характеризующая поглощение излучения при рассеянии электрона на атоме, взята из [197].
Фотоионизационное поглощение атомов и ионов. Фотоионизационное поглощение атомов Не, Н, С является существенным для определения ae*(v) в видимой и ближней ультрафиолетовой частях спектра, а ионов Не+, С+ ——в дальней ультрафиолетовой части. Для атомов Н и С учтена фотоионизация с основного и всех возбужденных состояний; для Не, С+, Не+, Н? (и фотоотрыв Н~, С~) — только с основного состояния, поскольку в исследуемой области параметров заселенность возбужденных 123
энергетических уровней данных частиц незначительна. Коэффициент поглощения излучения, обусловленный фотоионизаций, есть (см., например, [152, 198])
产С) = ^Z^/(v) g“ exp(-纥〃自Т), (26.3)
Где па — концентрация поглощающих частиц; Qa — статистическая сумма частиц, дл/ — сечение фотоионизации с уровня (〃,/), энергия и статистической вес которого Е〃/, g〃/. Поскольку в плазме ударного слоя имеет место сильное кулоновское взаимодействие частиц, порог фотоионизации сдвигается в длинноволновую область на величину, равную ^I/hc (где А/ — сдвиг порога фотоионизации, который в данной работе принят равным термодинамическому снижению потенциала ионизации [20]). При данном v суммирование в (26.3) выполнялось по всем энергетическим уровням, удовлетворяющим условию I—Eni < Av (Z ——потенциал ионизации частицы). Для расчета сечений фотоионизации атомов и ионов использован полуэмпирический метод квантового дефекта Берджесса-Ситона [199], который дает хорошее согласие с известными экспериментальными результатами [20]. В плазме ударного слоя содержится также определенное число отрицательных ионов Н~, С~, которые могут поглощать излучение в широком диапазоне спектра за счет фотоотрыва электронов. Сечение данного процесса по расчетам различных авторов велико [20], поэтому наличие даже небольших количеств отрицательных ионов в плазме ударного слоя дает значительный вклад в суммарный коэффициент поглощения в инфракрасной и видимой частях спектра. В [189] использованы данные по 〃〃/(v) для ионов Н~, С~ из [199].
Поглощение в атомных и ионных линиях. При определении спектральной зависимости коэффициента поглощения в атомных и ионных линиях в [189] приняты во внимание серии Лаймана и Бальмера для атома водорода, а также большое количество линий гелия, углерода и его двух первых ионов. В условиях, реализующихся в ударном слое, спектральные линии уширены главным образом за счет взаимодействия с нейтральными и заряженными частицами, т.е. имеют место вандерваальсовский, резонансный и штарковский механизмы уширения, а допплеровский и радиационный — несущественны [20, 200—205].
Контуры линий атома водорода, используемые в данной работе, предполагались дисперсионными, полная полуширина получена суммированием полуширин всех механизмов уширения. Коэффициент поглощения в спектральной линии атома водорода определен по
壬〃切(V)=嘤 ехр(-0 / kGfJ® £• (26.4) mec
В (26.4) gH, Eh — статистический вес и энергии того состояния атома водорода, с которого происходит переход; / — сила осциллятора перехода [206—208]; J(v)——дисперсионный контур спектральной линии, затабулированный в [209]. Атомы гелия и углерода (с его первыми двумя ионами) характеризуются обширным набором плотно лежащих уровней. К тому же линии сильно уширены и, следовательно, перекрываются. Поэтому в [189] рассчитан средний для частотного интервала Av коэффициент поглощения [210]
/не,С)® = ^ 全 exp(F / "DgJ ^ • (26.5)
Частотный интервал выбирался порядка нескольких сот обратных сантиметров с учетом известных спектроскопических данных Не, С, С+, C++. Вклад поглощения излучения в атомных и ионных линиях в суммарный коэффициент поглощения является существенным для видимой и ближней ультрафиолетовой областей спектра.
Поглощение в молекулярных полосах. При достаточно низких температурах в плазме ударного слоя присутствует заметное количество молекулярных компонент Н2, С2, CH, С3, С2H. В [189] учтено поглощение излучения в электронных системах полос молекул, существенное в видимой и ультрафиолетовой областях спектра, пренебрежено фотодиссоционным поглощением излучения и поглощением при колебательно-вращательных и вращательно-вращательных переходах из-за низкого уровня поглощения излучения за счет данных механизмов. Спектральная зависимость коэффициента поглощения излучения в электронных системах двухатомных молекул, вращательные линии которых уширены и перекрыты, определена в [20]
史心® =磊I Re I" ^& we纥/ 3)x
x f f exp(-£v, / 府丁)％▽翁exp(-E / ЛБТ) q~ *(26.6)
v『0 v'=0j=0丿
X / % 勾》/jeV/ •
Здесь v‘, vH,瓦‘,瓦"—колебательные квантовые числа и энергии, соответствующие нижнему и верхнему электронным состояниям; &, g© ——энергия и статистический вес нижнего электронного состояния; q^^ — фактор Франка-Кондона, характеризующего интенсивность колебательных полос;劝—фактор Хенля-Лондона, определяющего интенсивность отдельных вращательных линий; Re — определяет вероятность электронного перехода; vevyeV7* — определяется как разность электронных, колебательных и вращательных термов. Величины, входящие в (26.6) определены спектроскопическими константами и данными из [211, 212]. Граничные значения 勺, 友 в [189] взяты в приближениях [20]. Молекулярное поглощение излучения трехатомными молекулами СН?, Сз рассчитано в соответствии с данными [213]. Суммарный коэффициент поглощения aefv) найден в [189] суммированием (26.1)—(26.6).
§ 27. Характеристики тепломассообмена в окрестности передней критической линии в ударном слое сферического зонда
Рассмотрим характеристики тепломассообмена в ударном слое сферического зонда, движущегося с гиперзвуковой скоростью в верхних слоях планеты Юпитер следуя [189].
Перепишем систему уравнений (24.19) в матричной форме
(27.1)(27.1)(W +Г-/г2/2 + £ = 0;
(27.1)
(27.1)
(Az9) + (^У + Cz = D.
В (27.1) введены следующие обозначения
Ml -死-上厶
厶e% /入6Оп$ / 4厶e% /入6Оп$ / 4(27.2)(27.2)A= N% -嗚一%； 兄-N：-N：
厶e% /入6Оп$ / 4
厶e% /入6Оп$ / 4
(27.2)
(27.2)
叁П% / % 〃日% / % 5 =0% / 4
ОО
с = —5 ； L = Рб / Рт ；
'〃 =(div J&%K / (2Vs X5pm),0,0);
‘Z = (7i,cHe,cc).
Первое из уравнений (27.1) является нелинейным дифференциальным уравнением третьего порядка. В [189] уравнение после линеаризации решено методом трехточечной немонотонной прогонки [214]. Векторное уравнение в (27.1) не разрешено относительно старшей производной & что накладывает ограничения на матрицы А, В, С. Согласно [173, 174] вторая краевая задача для векторного уравнения [второе уравнение в (27.1)] имеет положительное решение при условии, что матрица А — параболическая (т.е. собственные значения матрицы имеют положительные вещественные части), а элементы матрицы С удовлетворяют условиям
%伉力＞0; %工с;玄％伉力《 0.(27.3)
В отличие от традиционного приближения “бинарной” диффузии [когда 4 и 5 — диагональны, А — параболическая, С — удовлетворяет (27.3)], при котором решения векторного уравнения в (27.3) заведомо положительны, в [189], поскольку в данной работе матрица А полностью заполнена, параболичность А и условие (27.3) проверялось в процессе решения системы (27Л).
Решение системы (27.1) с граничными условиями (24.21) проведено методом последовательных приближений, включающем три цикла итераций. В первом цикле, при некотором начальном приближении для функции тока 工 распределений Т, сне，牝 и значения отхода ударной волны решается первое урав- 127
нение из (27.1) и находятся значения отхода ударной волны от поверхности тела и новые значения функции тока / Во втором цикле, используя полученные значения функции тока и считая известным поле излучения, находят новые распределения Т, сне, 牝・ После этого, используя новые профили Т, сне, сс вновь решается уравнение для функции тока и т.д. и так до тех пор, пока различие между профилями газодинамических параметров на двух соседних итерациях не будет меньше некоторого заданного значения. Используя установившиеся профили газодинамических параметров в [189] найдены лучистый тепловой поток и его дивергенция, затем div Jr (cm. § 25) подставляется в уравнение энергии и весь цикл повторяется заново до установления профилей лучистого теплового потока.
В [189] исследовано влияние различных процессов тепломас- сопереноса в ударном слое на распределение Т, {%} в окрестности передней критической линии (рис. 27.1, 27.2) и на величины J〃，4(4 =-(九'+九/J)VQ, Jk (рис. 27.3—27.5) в критической точке зонда. Расчеты проведены как для непроницаемой поверхности, так и для случая, когда в ударный слой вдуваются продукты разрушения углеродного теплозащитного покрытия. В обоих случаях вычисления выполнены как с учетом, так и без учета переноса излучения (на рис. 27.1—27.5 представлены данные с учетом переноса излучения). Значения вдува не превышало 7,5% интенсивности набегающего потока — значение £ в (24.21) менялась от 0 до 0,075. Использованы четыре модели матриц Л и В в (27.1): 1) 4 и 5 — диагональны при (入*=(入'+入应看；2) в 力一/)*， 瓜，％с，%не= 0, 5 - полная; 3) в 4 -瓜е，星=。，5 - полная; 4) 4 и 5 в виде (27.2).
Расчеты при отсутствии вдува показали, что использование первых трех моделей для А и В дает одинаковые профили газодинамических параметров. Учет термодиффузионных процессов в А (четвертая модель) приводит к разделению химических элементов Не и Н около поверхности зонда. Значение J$ незначительно (до 6—7%) колеблется в зависимости от модели, используемой для матриц А и В. Численные значения /%, рассчитанные с матрицами / и 5 в виде (27.2), при 看=15000 Кис учетом переноса излучения в ударном слое есть 131 Мвт/м2, а при 雹=13000 К - 105 Мвт/м2.
Рис. 27.2. Доли химических элементов Н и С поперек ударного слоя:7—4 соответствует различным моделям матриц № ВРис. 27.2. Доли химических элементов Н и С поперек ударного слоя:7—4 соответствует различным моделям матриц № ВРис. 27.4. Конвективный тепловой поток в передней критической точке зонда (7； = 13000 К):1—4 представлены так же, как на рис. 27.1Рис. 27.4. Конвективный тепловой поток в передней критической точке зонда (7； = 13000 К):1—4 представлены так же, как на рис. 27.1
Рис. 27.2. Доли химических элементов Н и С поперек ударного слоя:
7—4 соответствует различным моделям матриц № В
Рис. 27.2. Доли химических элементов Н и С поперек ударного слоя:
7—4 соответствует различным моделям матриц № В
Рис. 27.4. Конвективный тепловой поток в передней критической точке зонда (7； = 13000 К):
1—4 представлены так же, как на рис. 27.1
Рис. 27.4. Конвективный тепловой поток в передней критической точке зонда (7； = 13000 К):
1—4 представлены так же, как на рис. 27.1
Рис. 27.1. Температура поперек ударного слоя：
7—4 соответствует различным моделям матриц А, В
Рис. 27.3. Массовые потоки химических элементов С и Н в передней критической точке зонда в зависимости от интенсивности вдува углерода в ударный слой:
7—4 представлены так же, как на рис. 27.1
Расчеты течения при наличии вдува в ударный слой углерода показали сложную зависимость профилей газодинамических параметров (рис. 27.1 соответствует Т& = 13000 К, е = 0,055; рис. 27.2 —看=15000 К, £ = 0,05; на всех рисунках цифры 1—4 соответствуют различным моделям матриц Л и 5) и значений Ja, Js от вида матриц Л и Я Различие в значениях 麻 Jc (рис. 27.3 Т& = 15000 К, чтобы выразить массовые потоки в г7cM2 c 701V следует домножить на 2,32-Ю2) в передней критической точке достигает -100%, в значениях Js — 35% (рис. 27.4, 27.5). На рис. 27.4 П = 13000 К,几 соответствует значениям Js для непроницаемой поверхности для первой модели матриц Л и А На рис. 27.5 кривая 5 — данные из [188], 6 — [189].
Наибольшее влияние на значение 厶(см. рис. 27.3) оказывает процесс термодиффузии. Данный эффект связан с тем, что эффективный коэффициент Dq имеет резкий максимум (увеличение ~6 раз) при значениях с^ (Т = 7^), которые соответствуют значениям £=0,03+0,04. Изменение значений 瓜” следует из условия 工〃 =0. Эффект в 厶 определяется, в основном, величиной У%, которая слабее, чем 】餘 зависит от полноты учета диффузионных процессов в плазме ударного слоя. Отличие в поведении J^ / /]0 в [189] и в [188] объясняется помимо различия в описании диффузионных процессов и значений 焉，Tw (в [188]看=17000 К, Tw =4580 К) также и несовпадением данных по теплофизическим свойствам плазмы Не + Н + С. Так, значения суммарной теплопроводности (九'+九应 в пристеночном слое в диапазоне % Т, соответствующем £ 2 0,02 (см. рис. 27.5), в [189] приблизительно в 4 раза меньше в области пика 樓 чем в [188]. Значения коэффициента поглощения излучения, используемые в [189], также существенно меньше по сравнению с данными [188] в пристеночном слое, что связано с различием в концентрациях двух и трехатомных молекул углерода при расчете состава многоэлементной плазмы ударного слоя.
Таким образом, использование метода эффективных коэффициентов переноса в [189] позволило показать, что в той части траектории полета зонда в атмосфере Юпитера, где преобладает конвективный нагрев поверхности ап-
Рис. 27.5. Конвективный тепловой поток в передней критической точке сферического зонда в зависимости от интенсивности цдува углерода в ударный слой (Т8 = 15000 К):1—4 — различные модели матриц А и В; 5 — [188]; 6-[189]Рис. 27.5. Конвективный тепловой поток в передней критической точке сферического зонда в зависимости от интенсивности цдува углерода в ударный слой (Т8 = 15000 К):1—4 — различные модели матриц А и В; 5 — [188]; 6-[189]парата, корректный учет диффузионных процессов весьма важен. Вследствие малой оптической толщины уцар-
Рис. 27.5. Конвективный тепловой поток в передней критической точке сферического зонда в зависимости от интенсивности цдува углерода в ударный слой (Т8 = 15000 К):
1—4 — различные модели матриц А и В; 5 — [188]; 6-[189]
Рис. 27.5. Конвективный тепловой поток в передней критической точке сферического зонда в зависимости от интенсивности цдува углерода в ударный слой (Т8 = 15000 К):
1—4 — различные модели матриц А и В; 5 — [188]; 6-[189]
ного слоя в условиях, рассмотренных в [189], зависимость лучистого теплового потока от полноты описания диффузионных процессов в плазме ударного слоя незначительна. Очевидно ситуация изменится на обратную для оптически толстого слоя многоэлементной плазмы. В [189] выяснены ограничения традационной “бинарной” модели диффузии, использующей, по-существу, неопределенные единые коэффициенты диффузии и теплопроводности. Данная модель дает лишь монотонные профили газодинами-
ческих параметров, неточно определяет массовые потоки химических элементов и конвективный тепловой поток, а в случае оптически толстого ударного слоя — и лучистый тепловой поток. Информация о профилях са и значениях 〃 полезна для изучения разрушения поверхности зонда. Значения лучистого теплового потока составляют согласно [189] — 250 Мвт/м2, 85 Мвт/м2 для 看=15000 К,看=13000 соответственно.
Глава 8. Критические явления при движении низкотемпературной плазмы
В связи с многообразными приложениями в физике, химии, биологии интенсивно теоретически и экспериментально исследуются разного рода диссипативные структуры, описываемые устойчивыми, пространственно неоднородными решениями системы нелинейных диффузионных уравнений с источниками [215—217]. Теоретические исследования диссипативных структур традиционно проводятся с простейшей (диагональной с постоянными элементами) матрицей коэффициентов переноса, но со сложными (нелинейными) источниками [218—221]. В данной главе книги, напротив, изучены диссипативные структуры, соответствующие системе диффузионных уравнений с недиагональной и нелинейной матрицей коэффициентов переноса, но с линейным источником [222, 223]. Смоделирована ситуация в твэле газофазного ядерного реактора [102], где тепловыделяющим элементом является уран и тепловыделение пропорционально его доле в плазме. Физической причиной возникновения диссипативных структур является термодиффузионная неустойчивость из-за диффузии урана в область с более высокой температурой. В практическом отношении данное исследование важно, например, для проектирования теплозащиты поверхностей, соприкасающихся с плазмой в твэле, а также для решения вопроса об устойчивости работы реактора.
В данной главе рассмотрено также явление агидродинамического взрмва” [224, 225] применительно к условиям движения плазмы в каналах мощных МГД-генераторов, устройствах адиабатического сжатия плазмы [226] и др. Существо явления гидродинамического взрыва заключается в следующем: вязкая диссипация энергии при скоростном движении плазмы в условиях недостаточного теплоотвода приводит к значительному повышению температуры потока, уменьшение коэффициента вязкости с температурой, в свою очередь, может вызвать взрывное ускорение потока плазмы. Резкая температурная зависимость коэффициентов теплопроводности и вязкости, характерная для плазмы, обусловливает, как показано ниже, качественное изменение по сравнению с традиционным анализом [227—228] условий реализации стационарного и взрывного режимов течения.
§ 28. Диссипативные структуры в плазме с объемным тепловыделением
Система уравнений, качественно моделирующая ситуацию в твэле газофазного ядерного реактора (ГЯР) [102, 222, 223] , состоит в простейшем случае (т.е. в отсутствие электрического тока, электрического и магнитного полей, среднемассовой скорости, и при р = const) из уравнения диффузии химического элемента (урана) и уравнения энергии со следующими граничными условиями:
(28.1)(28.1)Pmac/a/ = -divJc -〃с-“)， g = 0,/) = 0,
(28.1)
(28.1)
Pm血 / 执=-div(Jq + J&) + 4c — ％) - F(T - 7^), c；(/• = (),/) = О,
где с — доля урана в среде; J& — лучистый поток энергии, рассматриваемый ниже в приближении лучистой теплопроводности [192]; £, Л, Е с(ъ П — положительные постоянные; задача рассматривается на отрезке 0, /. В плазме при параметрах, реализующихся в твэле ГЯР естественно пренебречь J« по сравнению с лучистым тепловым потоком; в данном параграфе массовый поток урана и лучистый тепловой поток используется в форме:
(28.2)(28.2)〃 =D0c + if^T;
(28.2)
(28.2)
Jr =一大广7，
где 2, DT — эффективные коэффициенты диффузии и термодиффузии; 入& — коэффициент лучистой теплопроводности. Подставим (28.2) в (28.1) и обезразмерим данную систему уравнений, полагая все теплофизические параметры плазмы постоянными, но сохраняя нелинейность в эффективном коэффициенте термодиффузии (член с сс = (ди/де)р т отброшен вместе с JJ. Тогда в матричной форме (28.1) имеет вид (〃(〃)一 положительно определенная матрица,绪 > 0)
ди/дх = (д/дх)(а(и9^{)ди/дх) + /(w,ae2,ae3,ae4)； 9w/9x|x；s01 = 0;(28.3)
1 叱，5“01 叱，5“0
1 叱，
5“0
1 叱，
5“0
-®4(С — %)
(ае2/В)(с-с0)-аез(е-1)/Б
= с/4|/3 T = |4|f/(/2pQ； e = T/To； (28.4) x = r//; DT =DT/D^; $1=^ /\DC\;
®2 =%/2 / (入及G)； 3s3= К2 / 九人； ®4=，‘2 / I оc 1■
Поскольку в данном параграфе проводится аналитическое исследование (28.1), положим, что DT может быть представлен в аналитической форме как функция с (и 6) с учетом естественного условия DT (с = 0,1; 6) = 0 необходимого для ограниченности по с (0 < с < 1) решений системы (28.1).
При L, F, со, То * 0 система (28.3) имеет постоянное решение и = “о, матрица а(й) — положительно определена, поэтому применим подход, развитый в [216, 217], для исследования условий возникновения неоднородных решений (28.3)——определим бифуркационные значения безразмерных параметров из (28.4), а также устойчивость решений (28.3) вблизи бифуркационных значений параметров. По-существу, проводимый в данном параграфе анализ относится лишь к окрестности бифуркационного значения безразмерного параметра 壬2 из (28.4) и окрестности постоянного решения (28.3), т.е. имеет локальный характер. Собственно вид решения системы (28.3) и поведение последнего вне окрестности бифуркационного значения параметра «2 могут быть установлены лишь численными методами.
Введем некоторые определения, необходимые для дальнейшего. Задача на собственные значения для системы (28.3), линеаризованной на постоянном решении ц)9 есть
а(〃о負心 v+ б%負2田з挿4)v =入 v; d v/ ^х|хя0Д = 0.(28.5)
Вычисление собственных значений и собственных функций (28.5) связано со следующей задачей на собственные значения
Аф = ®Ф； d(p / сЬс|х=од = 0.(28.6)
В [216, 217] показано: собственное значение 九 матрицы
a(w0 ,ае!) ш + 6 (w0 ,ае2 ,аз3 ,ае4) .(28.7)
есть собственное значение задачи (28.5). Кроме того, если р есть собственный вектор матрицы (28.7) (соответствующий некоторому X), а ф — собственная функция (28.6) для некоторого собственного значения ш, то
V = /хр(28.8)
есть собственная функция (28.5), соответствующая данному 九; наоборот — каждая собственная функция (28.5) при некотором 又 есть линейная комбинация функций вида (28.8). Непосредственной подстановкой проверяется, что
w =抑(28.9)
есть собственная функция задачи, сопряженной к (28.5) [соответственно, q — собственный вектор матрицы, сопряженной к (28.7), при некотором X*]. Пусть при единственном ш = ш [см. (28.6)] матрица (28.7) имеет нулевое собственное значение и оно является простым. При этом функции v =瓦，可=而 есть собственные функции (28.5) и сопряженной ей задачи (九=0) при ае2 = а^, а р и g соответствуют нулевому собственному значению (28.7). Очевидно, при 叁 > 奇 постоянное решение (28.3) становится диффузионно неустойчивым [216, 217]. Поскольку ф, 瓦 q известны с точностью до постоянного множителя, доопределим данные величины условиями
摩2 欣=1；30) = 1,(28.10)
где (p,g) — означает скалярное произведение в Я2.
Перейдем к выяснению условий существования стационарных пространственно неоднородных решений (28.3). В [216, 217] с этой целью вводится “уравнение разветвления” вида
Ч>(5®2)= о- V U(x, 5 aB2)，№ > = ь¥(5®2)=1 八
=Q (1- < У(Х, СТ負2),市 >)•
Здесь ст — параметр, U = qY9 sl U — есть решение следующей граничной задачи [зависимость U от других безразмерных параметров из (28.4) опущена]
(d/dx)(a(u^x)du/dx) + f(u^2,ae3^^^<u,W> v- cv = 0;
—n(28.12)
x=o,i = U・
Заметим, что о = 0 соответствует постоянному решению (28.3) и (28.12) [216, 217]. Теорема существования неоднородного стационарного решения (28.3) формулируется следующим образом [216, 217]: пусть выполняется условие 麻 + 麻 > 0, тогда в окрестности точки п= 0,吗=£ в плоскости о, аз каждой точке кривой, определяемой уравнением,
*(5吃)=0,(28.13)
в которой о 工 0, соответствует неоднородное стационарное решение (28.3). Выражения для 用卜 гю есть
%酸(原;)=([卷&闻"+项個易®3用4)lP，q)三%i；
Ч(М)= J H4%®M，4必万 +(28.14)
о_
+ [启(％戸2用3用4为也"10厶三"()•
0
Здесь
效("用I)= 8o("用])/ 8%启("叁令用4)= a；W •
uU^uU^
В нашем случае % = 0・ Проведем вычисление по, Ли； с этой целью найдем ш, ф, ^ Д q для граничных условий (28.3) из условия равенства нулю собственного значения матрицы (28.7)
Ф = V2 costcmx, со = ~тс2л2, ае；=-® / (DjaeJ
^Pi /®2®2?2 / S”)(28.15)
(1 + l)7/2厶
В формулах (28.15) Dq = q)(l —①)(в дальнейшем положим 力7 = ±с(1 - с); при нижнем знаке ае；<0, что не соответствует физическому смыслу данного параметра). Значения 矶 и о (точнее их знаки) приведены в табл. 28.1. В той же таблице про- 136
Таблица 28.1. Критические значения параметра 寂 в зависимости от типа граничных условии, ав® = 一诃(風当)
Тип граничных условий
Ф
ш
ПО
Ли
〃о
4
Вт/см3
(28.3)
cos ппх
・冗 2 л2
0
>0
<0
105л2
(28.16)*
cos^zx 2
一叱+1)2
*0
>0
—
10%2〃+1)2
(28.16)”
sin ппх
-冗2 〃2
工 0, 〃 一 нечетное;
=0, 〃 一 четное
>б
<0
105л2
ставлены значения данных величин и величин из набора (28.15) для других пар граничных условий
(28.16)(28.16)d〃 / 幽*=0 = 0,〃⑴=Ц);〃(0) = 〃(1) = %.
(28.16)
(28.16)
Помимо утверждения о существовании неоднородного стационарного решения (28.3) [или (28.16)], необходимо решить вопрос об устойчивости существующих стационарных решений. В [216, 217] показано, что при условии 〃о=О, которое имеет место для (28.3), так как J@% = о (см. табл. 28.1), необходимо рассмотреть знаки 用1 и второй производной по о функции 比式0叁) в точке о=0, ае；.
%购砲=< ("必)(爲^需卜>=
停[殁/(Ц)，®2)P，qiPkP，/前dx 三攵о •
Поясним качественную картину поведения решений (28.3) с различными типами граничных условий: (28.3) и (28.16) вблизи ае； полагая, что остальные безразмерные параметры из (28.4) много меньше ае；・ Для системы уравнений (28.3) с граничными условиями (28.3) гю = 0, поэтому (см.табл.28.1) при докритичес- ких значениях параметра ае? непостоянные стационарные решения отсутствуют, но постоянное решение является устойчивым; при закритических значениях параметра 段 существует два устойчивых непостоянных стационарных решения, а постоянное
становится неустойчивым. Для (28.3) с первой парой граничных условий из (28.16) при докритических значениях параметра существуют устойчивое постоянное и неустойчивое неоднородное стационарное решения; при закритических значениях параметра происходит смена устойчивости: постоянное решение становится неустойчивым, а неоднородное — устойчивым. Для второй пары граничных условий из (28.16) ситуация сложеннее, поскольку ф ~ siminx, ш = 一冗2〃2 и 用]> о, 〃о = о (〃о < 0) при п — четном и 切 > 0, по 工 0 при п — нечетном; таким образом в данном случае происходит в зависимости от п чередование качественных картин, справедливых для граничных условий (28.3) и первой пары (28.16). Значения А (объемное тепловыделение), представленные в табл. 28.1, найдены для критических значений параметра ае? [см. (28.4)] для плазмы смеси К + U из [20] (при сс = 1/2, 7о=ЗООО К), такие значения А реализуются в твэле газофазного ядерного реактора.
§ 29. Диссипативные структуры в плазме с объемным тепловыделением &, £ Z = 0)
Для исследования характера решений (28.3), (28.16), проведенного в предыдущем параграфе, существенно наличие постоянного решения (28.3), (28.16) в виде 〃 =砌.В данном параграфе рассмотрим систему уравнений (28.3) с первой парой граничных условий из (28.16) с с。，月 £ = 0, т.е. при отсутствии фиктивных источников и постоянного решения. Перепишем в данном случае систему (28.3) и соответствующие граничные условия
cхх +国1(0'e1)1 =0； as]= TqDq / I Z)J
8限+国2c = °；.国2 = 4/2 / (九к%)，
(29.2)(29.2)4(о)= 0；(о)= о；
(29.2)
(29.2)
с⑴=% 6(1) = 6卜
Используем для DT ty же аппроксимацию, что и в предыдущем параграфе: DT- ±с (1 - с). Тогда при 叁=const интегрируя дважды первое из уравнений (29.1) с учетом условий (29.2), найдем
138
e=《产"(1 + 《看У)， (29.3)
где у = 0/aei, Кх = [q / (1 - q)]exp(±K); заметим, (29.3) гарантирует попадание с в интервал (0,1). Подставляя выражение (29.3) во второе уравнение из (29.1), умножая обе части на у1 и производя интегрирование по у, получаем
(^/2^(у^ + 1п(1 + & е刁)=&•
Константу & определим из первого из условий (29.2); так как %(0) = 0, то & = "п(1 + % е»。)，у。= 9(0)/®!
(У)2 = М2壬2/研)ln[(l + & 审)/ (1 + & *)]. (29.4)
Правая часть (29.4) всегда положительна, поскольку из второго из уравнений (29.1) следует 州 > у. Проинтегрировав (29.4) найдем (у0)
Следовательно, можно утверждать, что решение (29.1), (29・2) существует при ae2,aei > 0, если существует значение у。, удовлетворяющее (29.5).
Рассмотрим вопрос о единственности решения (29.1), (29.2) при разных знаках в выражении для 网州)，соответствующим разным знакам в аппроксимации для 力'=士с(1 - с). Проведено численное исследование функции 网儿)；показано, что при верхнем знаке 敬))一монотонно возрастающая функция и поэтому (29.5) имеет одно решение. При нижнем знаке в (29.5) в зависимости от значения К] (точнее & = q / (1 - с,))网儿)имеет либо монотонный, либо немонотонный характер (рис.29.1): при 石 Nx；内0,12内())—монотонна, при 街 vx； — немонотонна. В последнем случае появляется область значений 2ав2/ав1, в которой решение (29.5) и, следовательно, (28.3) оказывается неединственным; значение ае； соответствует касанию кривой Дуо) при Н] = £； и равно 3 as】.
Рис. 29.1. Поведение функции Дуо) в зависимости от 冲 =ехр(-^о) и 商 =ci/(l-ci) [222]Рис. 29.1. Поведение функции Дуо) в зависимости от 冲 =ехр(-^о) и 商 =ci/(l-ci) [222]пературой, т.е. положительность термодиффузии. Указанное поведение DT(c,T) имеет место в условиях ГЯР [20]. Включение конвективного теплового потока в правую и соответствующего члена в левую части уравненияпературой, т.е. положительность термодиффузии. Указанное поведение DT(c,T) имеет место в условиях ГЯР [20]. Включение конвективного теплового потока в правую и соответствующего члена в левую части уравнения
Рис. 29.1. Поведение функции Дуо) в зависимости от 冲 =ехр(-^о) и 商 =ci/(l-ci) [222]
Рис. 29.1. Поведение функции Дуо) в зависимости от 冲 =ехр(-^о) и 商 =ci/(l-ci) [222]
пературой, т.е. положительность термодиффузии. Указанное поведение DT(c,T) имеет место в условиях ГЯР [20]. Включение конвективного теплового потока в правую и соответствующего члена в левую части уравнения
пературой, т.е. положительность термодиффузии. Указанное поведение DT(c,T) имеет место в условиях ГЯР [20]. Включение конвективного теплового потока в правую и соответствующего члена в левую части уравнения
Таким образом, в § 28, 29 показано, что взаимодействие процессов термодиффузии и объемного тепловыделения приводит к качественным особенностям в профилях с и Т задачи (28.3), (28.16) — появлению диссипативных структур и неединственности стационарных решений при s,月丄=0. Физической причиной многообразия режимов, описываемых (28.3), (28.16), является термодиффузионная неустойчивость из-за диффузии тепловыделяющего элемента в область с более высокой тем- эффективного коэффициента
сохранения энергии незначительно усложнит анализ с помощью подхода [216, 217] при условии сохранения положительной определенности матрицы а(й) (см. § 23). Для определения вида решений (28.3), (28.16), а также анализа решений вдали от ае； необходимы численные расчеты. Очевидно также, что решение реальной задачи высокотемпературной гидродинамики, например, задачи организации в полости ГЯР допустимых концентрационных и температурных полей требует учета наряду с взаимодействием процессов диффузии и тепловыделения всех факторов, определяющих искомые характеристики.
§ 30. О режимах плоского течения плазмы под действием постоянного градиента давления в случае экспоненциальной зависимости вязкости и теплопроводности от температуры
Рассмотрим условия существования и устойчивости стационарного одномерного течения плазмы, полагая, что теплопроводность и вязкость определяют наиболее существенные диссипативные процессы в такой среде. Пусть равновесная плазма движется между двумя параллельными пластинами под действием постоянного градиента давления b = —dp/dz, температура пластин То поддерживается вдоль по потоку постоянной, тече- 140
ние симметрично, скорость среды v на пластинах равна нулю, расстояние между пластинами 2%). Начало системы координат расположено в плоскости симметрии потока, ось z направлена по V, ось х перпендикулярна пластинам. Уравнения движения, энергии плазмы и граничные условия имеют вид
(d/dx)(r\d v/dx) - dp/dz = О,
{d/dx) (KdT/dx) + xy(d v/rfx)2 =0;(30.1)
U(0) =厂(0) = 0, v(x°) = 0, T(x0) = T0.
Здесь n — коэффициент вязкости;九'+九& = X сумма коэффициентов “молекулярной” и “реакционной" теплопроводностей; последующий анализ относится к таким условиям течения плазмы, когда
т] = R。exp(g / 标Т), Х = Х0 ехр(-Е2 / 從丁)； ⑶？) £j До,Ло > 0,const.
Экспоненциальный закон изменения п,九 плазмы реализуется в диапазоне температур, соответствующем интенсивной диссоциации и ионизации компонентов. В безразмерных переменных
(30.3)(30.3)7 - " = 6”甯 / g ； V = bxQ ехр[-£*| / (Ic^Tq)]w / rj0;
(30.3)
(30.3)
г = х / х0; а =(々-£]) / (包忌)；Р = %в" / &
уравнения (30.1) запишутся как
+ (d/dr)(^,{^} dw/dr) = 0;
exp (-0/(1 + %))(dw/dr)2 厂 К +
+ (d/d"(exp[(e - а) / (1 + ^Q)])dQ/dr = 0;
(30.4)(30.4)叭 0) = “О) = 0; Ml) = 0(1) = 0,
(30.4)
(30.4)
ипри|ар0|« 1 сводятся к
(30.5)(30.5)z" + К(1 + ap)r2z 二 о,炉(0) = 0, z⑴=1；
(30.5)
(30.5)
К = Z^xjge。/ (入оПо后6丁()2), 6' = z' / [z(l + aP)].
Общим решением (30.5) является линейная комбинация функций Бесселя qrI/2J1/4(0 + с2г1/2Л1/4(0, где / = [(1 +ар)^]1/2г2/2, причем q = 0, так как 7(0) = 0;⑦—находится из условия &1)= 1.
Характер функции с戸〃丄[/4(f) меняется в зависимости от знака (1 + сф) (1 +(Х0 — положительно, если 历一положительно и наоборот). При 1 + а₽ положительном, функция с/4/?丄〔/К。меняет знак при возрастании аргумента; поскольку данная функция должна быть конечна на интервале 0,1 условие равенства нулю выражения 丄 1/4KI + сф)1/2К/2/2] = 0 определяет критические значения параметра К которое оказывается равным 16(1 + ар)*1. При докритических значениях параметра К существует решение (30.1), при закритических значениях — реализуется “взрывной" режим течения плазмы. В случае отрицательных значений 1 + а₽ с戸〃丄〔/《(г) монотонная функция г, поэтому решение (30.1) существует при любом положительном К, в области существования решения должно быть 6 «1, так как lapkl.
Исследуем устойчивость решения системы (30.1) относительно одномерных возмущений. Нестационарный вариант данной системы сводится к
е-е/("Ре)曲 / 次=6" + (1 + ap)(0)2 + Kb; < (30.6)
ег(о,о = 0(i,o = о； 0(о, г) = 0(г)
при условии, что параметр (%% / \)) » 1 (/ / т =君р/ / %). После замены переменных (см. (30.5)) и линеаризации получим уравнение относительно возмущения 口 [z = & + Zi, 6 — стационарное решение (30.5)] с соответствующими граничными и начальными условиями
^1/°+呻)図 / St = z； + (1 + aP)^Ar (30.7)
Для устойчивости решения при 1 + ар > 0 достаточно выполнения условия К < (1 + сф) 1冗2/4 [229].
Исследования уравнений, аналогичных (30.1) и записанных для осесимметричного течения плазмы, показывают, что качественный характер стационарных решений не меняется по сравнению с решениями (30.5). Для (1 + а₽) > 0 существует &р ~ 102(1 + аР)*1. Достаточное условие устойчивости стационарного решения при 1+сф>0:К<(1+ сф)"/ Заметим, что традиционная теория гидродинамического взрыва [227, 228] дает для &р значения 0,88, 2,00 соответственно в плоском и осесимметричном случаях. Выше для z(l) использовалось граничное условие (30.5); выбор для данной величины других граничных условий, очевидно, не приведет к качественному изменению характера решений и условий существования стационарного и “взрывною” режимов течения плазмы.
В качестве примера в табл. 30.1 приведены параметры плоского течения низкотемпературной плазмы цезия и калия (То = 2000 К, р = 0,01 МПа) при К« /. В указанных условиях перенос тепла осуществляется молекулярным и “реакционным" механизмами теплопроводности, экспоненциальные уменьшение вязкости и возрастание теплопроводности обусловлены процессами диссоциации и ионизации в плазме; значения г|,入 для плазмы цезия и калия рассчитаны по методике [20]. Использование граничного условия (30.5) естественно вследствие малости 7(). Из данных табл.30.1 следует, что течение низкотемпературной плазмы является ламинарным, | а₽01 « 1 (так как 0 ~ 1), причем нагрев плазмы таков, что ДО) находится в области экспоненциальной зависимости вязкости к теплопроводности от температуры.
Таблица 30.1. Параметры докритического плоского течения низкотемпературной плазмы К, Cs (в СГСЭ, То3s 2000 X, р = 0901 МПа)
Элемент
ПоДО-4
Хо,Ю5
Г1,10-12
瓦/О"?
&
仇102
Re,103
СрПо А
К
1,28
1,47
0,88
0,84
1
7,04
2,05
102
Cs
0,198
4,17
1,678
1,63
1
3,91
2,8
103
§ 31. О режимах плоского течения плазмы под действием постоянного градиента давления в случае степенной зависимости вязкости и теплопроводности от температуры
Критические условия, при которых отсутствуют стационарные профили гидродинамических переменных при движении низкотемпературной плазмы с экспоненциальной зависимостью вязкости и теплопроводности от температуры, рассмотрены в [224] и в предыдущем параграфе в предположении, что теплопроводность и вязкость определяют диссипативные процессы в такой среде. Очевидно, помимо экспоненциальной зависимости в низкотемпературной плазме 口 и 入 в определенном диапазоне параметров имеют степенные температурные зависимости [20]. Таким образом, возможны следующие комбинации температурных зависимостей вязкости и теплопроводности в (30.1):
.九 ~ 口厶 n - е2；
2•九 ~ 口, п ~ ехр(Е"任7);
З.Х-^Е2/къТ)^-^(31.1)
4•九 ~ ехр(・Е2/2вП, П ~ ехр(Е/住7).
Можно показать, что в первом (при п\ или & равных нулю) и третьем случаях критические условия отсутствуют; второй случай с 〃 = 0 изучен в [227], четвертый ——в [224]. В [225] исследованы критические условия в первом (幫卜 也工 0) и втором (〃 工 0) случаях. Рассмотрим подробнее второй случай. В геометрии и безразмерных переменных, использованных при переходе от (30.1) К (30.5), в данном случае будем иметь (₽0 «1)
(31.2)(31.2)Z” + ^^х/м = 0,以0) = 0, &1) = 1; 壬=?^，e' = z'/©〃z).
(31.2)
(31.2)
Все положительные решения (31.2) монотонны [230] и зависят от параметров ае, 0〃. Критические значения ае при заданных 0〃 в [225] определены по отсутствию конечных решений задачи
в нестационарном варианте при %/(时0)vv 1. Другими словами, численное решение нестационарного варианта (31.2) с некоторым z(〃 0) показало, что при ае > аекр z(〃f) возрастает со временем, а при ае < аекр стремится к своему стационарному значению. Для 0〃 = 25 аекр = 7; р« = 0,1 аекр = 6;財=-0,25 在 кр — 6,5.
Аналогично в [225] исследован первый случай при 〃卜 п2 * 0. В безразмерных переменных w = (по/^х；) v, 0 = T/Tq, х - x^r уравнения (30.1) в стационарном варианте сводятся в этом случае к виду
⑶.3)⑶.3)z" + 々[% (1 + 勺尸广 +"2 aB 户「2/(1+」)=0;
⑶.3)
⑶.3)
九 0rIo九 0rIo«= е' = -^Т， а = 〃1/(1+%)・
九 0rIo
九 0rIo
Из рассмотрения следует исключить варианты с — 1 < «1 < 0. Так же, как и в предыдущем случае, критические значения ае при заданных 力，也 определены по отсутствию конечных решений нестационарного варианта задачи (30.1) при % / (%%) « 1. Численное решение нестационарного варианта уравнения (31.3) с заданным z(厶0) показало, что при закритических значениях параметра ае решение возрастает со временем, а при докрити- ческих — стремится к некоторому стационарному значению. При 〃ь 〃2 положительных критическое значение параметра ае отсутствует; при 力=2,汲=一31 аекр=10-5; п\ = —2, & = 2 аекр = 10;修=-2, 〃2 = 一3 аекр = 1.
Таким образом, в §§30, 31 исследованы критические условия, реализующиеся при одномерном движении низкотемпературной плазмы с различными зависимостями сдвиговой вязкости и суммарной теплопроводности от температуры. Резкая температурная зависимость данных переносных коэффициентов обусловлена процессами диссоциации и ионизации компонент химически реагирующей газовой смеси. Как следует из результатов аналитического и численного анализа критические явления существуют при различных комбинациях температурных зависимостей n, X. Проведенный анализ по смыслу сделанных пред-
положений и характеру данных о т], X применим для исследования течений в устройствах, где плазма находится при достаточно низких температурах. При исследовании течений более нагретой и более плотной (Т~ 10000 К, р ~ 1 МПа) плазмы следует, вообще говоря, изменить граничные условия для температуры и учесть радиационный перенос тепла, например в приближении лучистой теплопроводности. Коэффициент лучистой теплопроводности характеризуется еще более сильным, чем X, изменением с ростом температуры.
Резюмируем, в данном разделе книги показана необходимость корректного учета процессов переноса в ряде актуальных газодинамических и гидродинамических задач, обусловленная резкой зависимостью расчетных газо- и гидродинамических характеристик от полноты учета переносных процессов в рассмотренных задачах.
Приложение I
Теория линейного отклика
В данном приложении изложены теория линейного отклика, свойства функций реакции: симметрии, флуктуационно-диссипативная теорема, соотношения Крамерса- Кронига.
% = Н + L；
h^ = 一列公取中)号气)(L1)
Где Bj — “плотности”，тогда, при / = -8 Яех1 = О, Ь^^ 訓一с- число; п > 0・ Матрица плотности р удовлетворяет квантовому уравнению Лиувилля
\hdp/dt = [H^H^^Y P|,i =Р”(1.2)
Перейдем от р к р〕
р「е®/力 ре-®/。(1.3)
Тогда квантовое уравнение Лиувилля преобразуется к виду
ihdPl/dt^[HM(t\P}]； Р]|,=у =Ре，(1.4)
где H^\t)^eHl/n ца%тн小
Уравнение (1.4) с соответствующим начальным условием запишем в виде интегрального уравнения
Pl =Ре+ \^lH^(f\^}dtf
или
р ⑴= ре+ /「""")/力 ^[i,p]eiW/力"，(1.5)
(1.6)(1.6)(1.7)(1.7)А<^> =А<^> =-±J i Z<IB^B^.O]>0b^^^dfdr1.-±J i Z<IB^B^.O]>0b^^^dfdr1.(1.8)(1.8)
(1.6)
(1.6)
(1.7)
(1.7)
А<^> =
А<^> =
-±J i Z<IB^B^.O]>0b^^^dfdr1.
-±J i Z<IB^B^.O]>0b^^^dfdr1.
(1.8)
(1.8)
если возмущения Н^ мало, то решение уравнения (1.5) можно получить итерациями; принимая ре в качестве нулевого приближения получим в линейном приближении
Р« = Ре+ \^lH^-^dt\
-00 1 й
Поскольку
<В> = Sp(p",
после подстановки (1.6) в (1.7) получим
Здесь БХг,г) — операторы вида (1.3); очевидно,. (1.8) совпадает с определениями (1.3).
Перейдем к обсуждению свойств симметрии функций реакции у%”!* т'/ -，')• Меняя местами 5〃 ％ г, г*; % f получим
— К / —力=一倉 вН — г"' —，)；
」(1.9)
%%%(「—「；①)=Т^вЕ _「м).
Данное выражение совпадает с первым из равенств (1.4). Покажем справедливость второго равенства из (1.4). Из эрмитовости операторов ВХг,0 следует, что [耳 与]— “антизрмитов” оператор [21], кроме того ре эрмитов оператор [21], поэтому и, учитывая (1.9), будем иметь
(1.10)(1.10)[*%%•(「—「'"—')】=_*%% (「_「；_，')= XBjBi (「' 一 г/ —，)； %%%• (г т'，①)=Ту%% (「-“-<»)『=[у%з*‘ - г,(о)『・
(1.10)
(1.10)
Таким образом, 寸в>《-《/ - U — мнимая функция; часть 瀛％(「- г；①)，симметричная относительно замены / на j и г на г\ — действительная и нечетная по ш функция, а антисимметричная ее часть — мнимая и четная. Последнее из равенств (1.4) следует из свойств эрмитовых операторов относительно обращения времени.
148
Оператор обращения времени Т имеет следующие свойства
(1.11)(1.11)(Т^9ТФ) = (Ф^);
(1.11)
(1.11)
7Д・(г #7-1 = £/j(r,T)・
Учитывая (1.11), а также возможность перестановки операторов под знаком шпура, получаем
(1.12)(1.12)Хв^ (г -「',' 一「)= £声 //%В[ (「'_「/_『)
(1.12)
(1.12)
忘.%.(г 一 г» = ^jUjB^- h8).
Если соответствующий оператор четный (нечетный) относительно обращения времени,勺=1(-1). Сравнение (1.12) с (1.10), (1.9) показывает, что при одинаковой четности операторов ВХг,Г), 以「丿)относительно обращения времени %^^(г - г', ш) — нечетная по ш и симметричная по г, г* и z, j функция; и наоборот, когда 8,=—弓.
Докажем флуктуационно-диссипативную теорему (ФДТ), которая связывает мнимую часть функции реакции с фурье- образом антикоммутатора. Потребуется равенство
(1.13)(1.13)Sp[e邙"4(1•，叫(I•⑺]=Sp[4(r" + i 随 产"勺(1•⑺] = Sp[e^B/r；OA(r,^i₽ft)].
(1.13)
(1.13)
Определим величины 厶从①-г',о),电与(1*' 一 г,-®)
(1/2) J <В^4)В^^ 評g'Z(" Q = /м.(г-г»;
(1/2) J <В^^М>. е W)d(f Т') = fBjBi(f-г-а)).
Выразим fBjB^ 一 匕①)через fBjB,(гг 一 г,-о), используя (1.13)
А»(г-г» = (1/2)&5«,网仁力入 3咐％« Т)=
=(1/2)卜5屈力原中+ i随＞。 3w%~ -0 =
у 丿(1.15)
=-評气分斤4六⑺原!")% ^^t，｝d(f - т)= +8
Мнимая часть %В/^(г 一匕①)и антикоммутатор ^与与① 一 F,①)связаны с 几%(г -匕 о) и с 広肃'-rm)
爲％(г - г；①)=Q/方)4в*Т①)-倉再片-re)】；
$4乌(「- r；①)=Q//UBjBjd，①)+ 倉再(「' -「')]•
Тогда [см. (1.15)]
血％ (г - г；①)=т(\-^/в^-^ ①)；
/用(г - г:⑨=1/力)(1 + e"")倉用(г - К ①).
Наконец, сформулируем ФДТ
Sbr~T со) = cth@(o 力/2) Хд/г/г-г».(1.18)
Рассмотрим соотношения Крамерса-Кронига. Выпишем интеграл
修血("9)
Данный интеграл вычисляется по контуру Г, который проходит по действительной оси от —оо до оо (огибая сверху особую точку ш = ш*) и замыкается по полуокружности в верхней полуплоскости комплексной переменной ш*. Функция реакции Чв^^^У аналитична в верхней полуплоскости комплексной переменной о' и на действительной оси, поскольку %^%(к") = 0 при Г < О (т.е. является причинной функцией). Согласно теореме Коши интеграл (1.19) равен нулю вследствие аналитичности функции реакции в верхней полуплоскости комплексной переменной ш*. Можно, следовательно, выделить вклады от трех участков контура Г: интеграл по большой полуокружности обращается в нуль, так как на бесконечности функция реакции уо^ [ср. с (1.15)]; остаются — интеграл по двум отрезкам действительной оси (который по определению представляет собой главное значение интеграла от —оо до оо) и интеграл по малой полуокружности вокруг точки о. Таким образом, получим
尸 j%“№，硝血7® - о) + i 冗％恥№，о) = 0・ (1.20)
Взяв действительную и мнимую части соотношения (1.20), получим соотношения Крамерса-Кронига типа (1.16). Заметим, что соотношения Крамерса-Кронига можно получить непосредственно из выражения для функции реакции типа (1.15).
Приложение II
Обобщенное уравнение Ланжевена
Покажем, что уравнение движения оператора величины у может быть представлено в виде обобщенного уравнения Ланжевена [231], т.е. в следующей форме:
办(f)/df = j 0(" 0)施 + /()(ПЛ)
Здесь 贝。——оператор в представлении Гейзенберга, для которого существует уравнение движения
dy31dt = (1/й)[Я,Х01.(IL2)
Представим 贝/) в виде суммы двух операторов
ЯО = Е«)У+ У«)； f(П.З)
У«) = JE(""(s)办.
тогда преобразование Лапласа от Z (Г) есть 力⑵三 J е~〃 Л(г>/^ Z(z) = (z - 6(z))", как рто следует из формул (ПЛ) п (П.З). Разложение (П.З) имеет интерпретацию
Е (Оу = ^у)^уУху, У(0 = (1 - ？W),(П.4)
где Е(/)у — проекция 刈 на у, а у〃)一 составляющая 刈，ортогональная у. В (II.4) (А, В) — скалярное произведение, Р — проекционный оператор N (Г)Л =尸(/(/)))
(Я(Г),У)三 0寸<評 А 产 В*〉。以(II.5)
(IL6)(IL6)Первое из уравнений (IL4) следует из (IL3), а из равенства (У(0), У*) нулю вытекает
(IL6)
(IL6)
(ЯО, У*) = 0.
Для доказательства (II.6) используется также второе из равенств (П.З).
Свяжем ДО с оператором у. С этой целью выпишем равен* ство, справедливость которого можно непосредственно проверить
(И.7)(И.7)y^i[H,y]/h = i&y^K9
(И.7)
(И.7)
где
i6 三骏(/)/必=0 =9力9力二 к^^-?)у.(n.8)
Подействуем оператором (1 — Р) на уравнение (II.2), тогда получим
^(0M-(l-P)i W = Z «)К.(П.9)
Отсюда и из второго равенства в (П.З) следует
(11.10)(11.10)Л0三喲К；
(11.10)
(11.10)
М0 = ехр[г(1 - Р)\Ц.
Таким образом, функции 6(f), «/) в (ПЛ) определены через у (и S(0), Я; кроме того, показано [см. (II.6)], что Д/) — ортогонально у. Запишем (II. 1) в несколько иной форме, введя функцию Г(Г)： 6(9= 2 i 63(f) - Г(0,
dy^/dt - iшЯО + js s)M0ds = ЛО-(П.Н)
Можно также показать, что [231]
「⑺三(/,/*(-))(乂£)"•⑴ 12)
Заметим, что обобщенное уравнение Ланжевена (11.11) можно трактовать как матричное уравнение [231], тогда ХО и Д/) — вектора (столбцы), а ш и F(f) — квадратные матрицы.
Проинтерпретируем уравнения сохранения (3.3) как обобщенные уравнения Ланжевена, преобразование Фурье-Лапласа от которых, записанное в матричной форме, имеет вид (3.9).
Докажем первое из соотношений (3.11) (которое, заметим, также непосредственно следует из (11.12)). Распишем, используя (3.9), матрицу <- ik・ J：(kJ + fo), ik• J^(-k,r0)>0
廿 VJ；：(k" + Q, JjjTQl
=<[5Ж f + Q/扭-S(k)y(k, f + G +
+ j " QXk, /”〃 E-K Q - S(-k)於k, r0)]>0 =
=<9Ж^ + Q/а/ X-工 G>o -
-S(k) </k,^ + Q м-k,G>0 +
，(11.13)
+ fr(k,r-0 <^9^^^>0 川'-
-S(-k) V3丸kJ + tQI3/ j(-k, Q>o +
+ S(k)S(-k) <Xk, ^ + G 火-k, /о)〉。-
一 S(-k)Jг(к,^ - 0 V№,力为-及右)>0*.
Выполнив преобразование Лапласа по времени в (11.13), используя соотношение c盘，+ ©m也小>0 = - <^(М+ 0/次m也@>(), заменив последний член в правой части (11.13) на его выражение из (3.7), получим первое из соотношений (3.11) [с учетом (ЗЛО)]
(П.14)(П.14)J；；(k,力=”E?V)" C^(k)r(k, Z).
(П.14)
(П.14)
Получим вторую из формул (3.11). Поскольку, как это следует из (3.8)
(11.15)(11.15)k^Vk^TJy^ /) = <5y(k,/ + Q/扭义-к, © >0,
(11.15)
(11.15)
после применения преобразования Лапласа к (11.15) найдем
d % 衝 ^^zC^ - S(k) %(k) ^^УкъТ Jy)^ z).(11.16)
Определим из (11.16) и (3.7) %(k,力 и приравняем оба выражения для /(к, z)
-? cy)^{z - s(k) + № 力尸=Vk^TJy^ Z)-
-z%(k) + S(k)Jy(k)・
после преобразований, выпишем выражение для 融卜，z)
(IL17)(IL17)Jyy(kz)-哂=[1 + (^/^^i) - Ф(к))х
(IL17)
(IL17)
которое совпадает со вторым равенством в (3.11).
Остановимся также несколько подробнее на выводе соотношения (3.14), которое следует из (3.12). Распишем матрицу (Ук^хМ^^К^у^, с этой целью введем кроме Kk,z),風k,z) еще один набор переменных
X^z) = (T^z)9pa(k^--^t^^.(П.18)
Матрицу перехода между A(k,z) и 必k, z) обозначим U欣.Тогда М(к〃)胤 ％(Q = М(к,力麗 弘 UxxCxx^{Ryx U欣)・(H・19)
В (11.19) знак t означает транспонирование матрицы в круглых скобках, неизвестной является лишь матрица С^(к). Определим ее, следуя [9, 232]. Изменение энтропии единицы объема системы вследствие флуктуаций термодинамических переменных во втором порядке есть
85 = 5е/Т85 = 5е/Т-(1/2Т) (су/П5Т2--(1/2Т) (су/П5Т2-(11.20)(11.20)
85 = 5е/Т
85 = 5е/Т
-(1/2Т) (су/П5Т2-
-(1/2Т) (су/П5Т2-
(11.20)
(11.20)
Заменим в (11.20) 5е из закона сохранения полной энергии в единице объема (поток энергий через границу — отсутствует)
(11.21)(11.21)SCe + p^v^ + ^W1) = 0.
(11.21)
(11.21)
Тогда после перехода к фурье-образам флуктуирующих переменных и интегрирования по объему получим для изменения полной энтропии системы
(11.22)(11.22)AS = Y2K7y[p* 丫卜 J + (cJT)^^ + + W，夕统+(4冗*勺/d)*,肉4，
(11.22)
(11.22)
где cv = (Зе/87)侬；％ = ©%• /dp^T^f Перепишем AS в матричной форме
AS = -(2КТ尸 Е 疗(k) D(k) Дк).(11.23)
к
Зная матрицу D(k), можно найти матрицу С^(к), так как Cj^(k) /)(Ю = Рк/ [232]. Для доказательства (3.14) (а также (3.16), (3.17)) необходимо знать матрицу Ф(к), которая вычислена в [9]
00...000
00...000
Ф(к)=
00 ...0-1/iA0
00 ...1/iZ00
00...000
После подстановки РквТТН(к) в (11.19) и сложения (11.19) с Ф(к) [см. (3.12)] получим (3.14).
В заключение этого приложения поясним выражение (3.15). Выразим произведение матриц в квадратных скобках в правой части второй формулы (3.11) через известные матрицы Л/(к, г), Ryx [см. (3.12)]
(為-Ф(к))%ТС>) = M(k,z)4・
Поэтому все выражение в квадратных скобках есть
1 + (d〃)(书-Ф0О)Vk^T圖(k) = 1 + (d/z)M(k,z)用・(11.24)
Оставляя в (11.24) лишь члены ~Л°, вычислив в этом приближении матрицу, обратную матрице 1 + (廿/z) Af(k,z)《，получим (3.15). Наконец, используя (3.14), выражение для Ф(к) и (3.15), легко доказать выражения (3.16), (3.17).
Приложение III
Длинноволновая асимптотика временной корреляционной функции зарад—зарад
Выведем кинетическое уравнение для О°Л(кг,Р1Р2)
^(UP1P2)= f*eizz jd(r} -r2)e-ik(r'~r2)C曲(1,2力(III.l)
о
Определение С(1,2/) дано в (5.8). Положим [35—38]
(z-4尸(收曲)=]旷(及加.(m.2)
Здесь L — оператор Лиувилля
L = % + 6L;
N
4=-~、・8/忆；(III3)
"=i 纟(犷(J宀)• (a/通一 д/дрь). b>a=l
В (Ш.З) суммирование ведется по всем частицам (электронам и ионам) дву^компднентной кулоновской системы.
Введем* проекционный оператор Р и дополняющий оператор 0p + e = i
户 |g) = Е 仲仲 2工| 旷 Ykp】))％2(k,P|P2)(y2(kp2)|g)； 叩2& ](IIL4)
匕〃2(k，山P2)= 6师6(Р「Р2)(%①小必)尸-CW2(k)/%,
где C(k) — прямая корреляционная функция [см. (5.16)]. Операторы Р, Q обладают следующими свойствами: Р2 = Р, 尸Q = 0 = QP, © = Q.
Преобразуем (III.2), подействовав на обе части равенства операторами Ри Q
叫尸(kz,p)) - PLP\ F4kz,p)) - PLQ\尸ЧЕр)) = Р| 旷(кр));
zQ\Fa(kz^)) -QLP\ 尸“俶,p)) -QLQ\尸(kz,p)) = Q\旷(kp))
Заменим в этих уравнения Р на Р2 и Q на 0? во втором и третьем членах в левой части; выразим Q\Fa) из второго уравнения и подставим в первое
zP\ 尸當,Р))-也尸21 F(Up)) - PLQ{z - QLQy{QLP\ Г(кг,р)) -
-PLQ(” @0尸。| 旷(kp) = p\ 旷(kp))・
Из определения (III.4) следует, что Q\bfa) = 0, поэтому последний член в левой части данного уравнения выпадает; умножим данное уравнение слева на 炉'(кр) и усредним
(III.5)(III.5)Z(bfa\P\Fb)-^fa\PLP\Fb)- -(8fa\PLQ(z - QLQYXQLP\PFb)^ =(旷1尸1旷).
(III.5)
(III.5)
Поскольку Р|8/) = У [см. (IIL4)], первый член в левой части и член в правой части (III.5) есть
i(8fa\P\Fb) = i(旷Чк,р】)| 戸當也))=C而做;pg)；(Ш.6)
(炉〃仅册)1 炉%k,Р2)) = 0Rk,PiP2)=
=传①〃(Pi)瓦/(Pi -Р2)+ %(к)М(Р2)],
Здесь hab()^n^ — фурье-образ gab(r) - 1; C(k) связана с й(к) соотношением Орнштейна-Цернике (5.16). Вычислим два оставшихся члена, заметив, что оператор Р слева можно опустить, тогда
(旷(кр)卜..尸1f(5> =
=2m力的2(旷(кр)1…I炉飞I同))х 迎42
X%2(1P1P2)(旷2(lP2)F(g>'))・
В этом равенстве все члены с 1 н к уничтожаются, поэтому
(5ГЛ(к,р)|...Р| 尸々кф')) = XJdp 仲 2(炉〃(кр)| L +
41，42
+¥(矶旷(кР1))%2 (кР]Р2)С 吟 kg>2P')=(IIL7)
=EJ产(收叫兀叫g2p，)力2.
В (IIL7) E““2(kz,PiP2)и T(z) имеют вид
工叱(女,P1P2)= £J41(炉〃(kp)|L + ¥(Z)| x
X 旷I (kPi)兄向(кР1Р2)；(III.8)
^-LQiz-QLQY^LP.
Представим 工曲宮巾闻 в виде суммы трех членов соответствующих Zo, 6厶 Т(г) в (III.8): S3”，骋，爱"• Найдем данные слагаемые, учитывая J СаЬ(^^ /^卸小?)dp】=8(p3 - р2) [см. определения (III.4), (III.6)]
^(kpp) = (k・p/%)%6(p-p);
羽(крр) = -(к • р / 以)产化)(“炉/2 ф(р);(III.9)
^(У) = &(1ф)| 次(・〃。尸囲 旷(kp))%d(d)『・
Таким образом, кинетическое уравнение для ^(кгФьРг) имеет вид
zC(kz,P]P2)- EJdpE% (kz,P]P)T(Up'P2)=
“(ШЛО)
=T(kPiP2)・
Запишем (ШЛО) в матричной форме. С этой целью построим на первых пяти полиномах из набора ｛母｝ (см. § 5) проекционный оператор: Р = Z 2%><斗(здесь i〃一 соответствует первым пяти полиномам из набора ｛取⑨｝, < i〃 14 > = %, определенным в § 5); соответственно Q = 1 - Р, Q2 = 0,尸？ = Р. После преобразований (III.10), находим (R = 0(z - 020尸 Q)
£ 玄[瑯入8C(kz)]C^(kz) = i鑑(k)；
〃[=1,2 入=0
奩(收)=例仲2 *(P1)C曲(kZ,P]P2)个(P2)；(III.ll)
图(女)=Zj3 + /<成(Pi)严及叫戶m(P2)>
Выражение для С^(к) следует из вторых формул в (III.6) и (III. 11); здесь 咪宮)(а также второй матричный элемент в выражении для С；：) есть интеграл, подобный интегралу в определении С；；(收)с весом /vMp), соответствуюхций ^ (kz, Р1Р2)[см. (III.9)]. Матричная форма (IIL11) позволяет, в принципе, найти длинноволновую асимптотику временных корреляционных функций С^(кг) (см. (III.18) и ниже), и, следовательно, локальные значения кинетических коэффициентов (см. §§ 3, 5). Заметим, в частности, что 5^р(кг) [см. (5.3), (5.4)] легко определить, зная 嘲(收)
Spp(lK)= £%乩(%/产喏(以)(£&.尸.(Ш.12)
aba
Из других 鑑(кг) можно получить более сложные корреляционные функции. Вычислим слагаемые в 咪宮),соответствующие Е^ и Z嗽[см. (IIL9)]
買爲)戸 ® = %、3 曲[(5g05vi + 5gl5v0) +
(IIL13)
+(2/3)1/2(玩自4 + 5g45vl) - 4自0a吨)1/2c%k),
где y° = Qn科е. Обозначим S^v(kz), следуя символике § 5, как -瑞3・
Выясним зависимость “функции памяти" от волнового вектора. Выпишем выражение для “функции памяти"
r；；(kz) = -j 亦仲 2”；(Р1)Х
x 仍傾)| Q(z - 0丄0尸0| 犷 dФ2)>(in. 14)
хЯ；(р2) = -倂(k) 10(" QLQ)“ 3 此(k))
Здесь 耳(k) = J4^(p)旷3, 犷Оф) = i丄旷鹼=a『g№k・
Распишем 耳®
碍(k) + ik[J；(k) + J；(k)] =尤依=0);
£(10 = 2*值)%一网.；
第仅)=力"禺.叫(pj)/范.)『收；(m15)
K(k = o)= E(aH；g)/dp>F； =
Используя (111.13)—(111.15) и принимая во внимание зависимость Q^(kz) от 号£ (кг) [см. последнее равенство в (III.11)], в [35—38, 54] Q^(kz) представлено в следующем виде
Q駕(1⑵=0,5：(1⑵=к、％, G：(kz) = О；
Q；；(kz) = kN^ab-(nan^/2Cab^
可：b)=-"咪⑵+公07r力]；
可：(kz) = kD^. &脑力=0;(Ш.16)
Q：：(kz) = 5；：(kz)；
Q^^ - -x\y^ k^D^^
Q^^^-^a^^^D^}.
Соотношения (IIL16) использованы при построении длинноволновых асимптотик временных корреляционных функций из (III. 11) [см. [35—38], п.З данного приложения, (5.4)]. Коэффициенты V, Z) в (III. 16) остаются конечными в длинноволновом пределе и при z т 0 [35—38].
Из вида последнего члена в правой части (IIL13) следует, что [см. также вторую строчку в (III. 16)]噺(kz) расходится при 2 -» 0 как 1/2 (так как С(2) -> Л~2 в длинноволновом пределе [58]). Но в дисперсионном уравнении [см. (НЕ 18)], в других алгебраических соотношениях, необходимых для определения длинноволновых асимптотик С^(кг), фигурирует комбинация Q^o(k) Qoj(k), которая не приводит к формальным трудностям. Действительно, при % т 0,
cftk)嘲(к) ~ Ъ^р^ + 疵 + 0(无В),
где о)р,а — плазменная частота частиц сорта 〃； 4 — коэффициент соответствующей размерности.
Обсудим соотношения между ^функцией памяти" в форме (III.14) и определением (5.6) (см. § 5). В [54] кинетическое уравнение (ШЛО) выведено другим способом, чем в данном приложении и 笈"(⑵)найдено в виде
£' (12/) пь ①統)=J ^25Д1 Т)5Д22) G*q「》),
где 51(12) = У「1 ▼叫《-i^CVpj - Vp2)； dl 三力i力i・ Матричные элементы от £"(kz,P]P2), полученного с помощью преобразования Фурье-Лапласа от 笈"(1>) в данной форме, 一瓏宮)согласуются в длинноволновом пределе с определением (5.6).
Поясним определение V/ в (5.5). Из определений (III. 11), (III. 16), (III. 14), (III. 15) и сохранения полного импульса кулоновской системы [см. последние равенства в (III. 14), (III. 15)] будем иметь [35—38, 60, 61]
供Z)=比⑵-2唠⑵磔密⑵；
計%+哎(力]磁(力=%；(Ш.17)
敦产旗)=卢冤)3产=0.
Находя из второго равенства (III. 17) &汝)，подставляя соответствующий результат в первое равенство, получаем выражение для у}⑵,содержащее лишь 瑞⑵.Используя последнее равенство в (III. 17), оценивая различные 瑞⑵ по отношению масс mjmb и отбрасывая члены ~znjg в выражении для v『(z), докажем второе равенство в (5.5).
Обсудим коротко, следуя [35—38], вывод разложения (5.4) для %М), связанного соотношением (IIL12) с 嘲(女).Построение разложения C^(kz) в длинноволновом пределе проведено, исходя из решения системы алгебраических уравнений (III.11). Поскольку C：：(kz) = Д^/д(кг), где Д(кс) — детерминант системы (Ш.Н), а 嶼俶)一соответствующее алгебраическое дополнение, рассмотрим корни дисперсионного уравнения Д(кг) = 0. Представим Д(кс) в виде:
仅收)=Д2(кг) /(!② А/М) • (1П. 18)
Факторизация детерминанта А(кг) возможна из-за расщепления anonepe4Hbixw компонент (ц = 2,3), с остальными, "нро・ дольными** компонентами (ц = 0,1,4), образующими ~(kz)・ Расщепление поперечных и продольных компонент есть следствие равенства нулю перекрестных матричных элементов. “Продольный” сомножитель в свою очередь представим в виде
A/kz) = До]3 Д4(к) + 如)・ (Ш. 19)
Последнее сддгаемое в правой части данного равенства зависит от всех трех компонент 0, 1, 4; и в длинноволновом пределе т0. В то же время Aoi(kz), ~(女)—остаются конечными в длинноволновом пределе. Уравнение А/ (кг) = 0 имеет шесть корней; первая пара корней 〃，& — соответствует диссипации энергии и обмену энергией между компонентами кулоновской системы; вторая пара z； соответствует двум звуковым модам, третья 厶 колебаниям зарядов в кулоновской системе.
Кроме перечисленных “продольных” корней, — имеются два корня уравнения А丄(Н) = 0： 或.
Далее зададим 嘲(к?) в форме (5.4), дополненной членами с другими корнями дисперсионного уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от волнового вектора. В целях определения коэффициентов в числителях членов разложения сравним данное выражение с 驢客)/ Д(кг) • После определения коэффициентов в разложении 嘲(女)，из (III. 12) найдены коэффициенты разложения %(k0； в результате коэффициенты 4P(七)，оказавшиеся наименьшего порядка по к (~N) сохранены в длинноволновом разложении %3 — (5.4). Заметим, что аналогичным способом могут быть найдены длинноволновые разложения и других C^(kz).
Приложение IV
Модифицированное приближение Глаубера
Найдем выражение (14.1) для амплитуды рассеяния электрона на статическом потенциале в приближении Глаубера [233]. Известно, что [21]
尸⑼=玄⑵ + l)(e2iS/-l)^(cos0),(IV. 1)
2К /=0
где к — волновой вектор рассеивающегося электрона; 5/ фазы рассеяния; McosB) — полиномы Лежандра [122]. В квазикласси- ческом приближении, т.е. полагая, что рассеивающий потенциал №/) слабо меняется в пространстве и при условии малости «/) по сравнению с кинетической энергией налетающего электрона, 5/ имеет вид [21]
В этом выражении г9 — радиус-вектор рассеивающегося электрона; 用一точка поворота (е = (/ + 1/2)Д). Разложим Н г' = b + & где Ь — проекция г'на % К плоскость; g — проекция г'на ось z||k.
В квазиклассическом пределе основной вклад в (IV.2) вносят большие /. Положим (/ + 1/2)Д = Ь, тогда
т.е.
龙l-台i庭a鸣(IV.3)
При малых 0 /}(cos 0) « ^)1(2/ +1) sin 0/2], в свою очередь Jq имеет интегральное представление
1 2я
厶⑵=^ Jexp(izsin(p)rf(p. (IV.4) Подставим (IV.3) в (IV. 1) и, используя (IV.4), заменим суммирование по / интегрированием по Ь, тогда получим Д0) в приближении Глаубера
F(0)=竺 j/be喲 1 - 孑吗. (IV.5)
В (IV.5) q = 2fein0/2. Статическое приближение Глаубера для амплитуды рассеяния на атоме щелочного металла (14.1) легко получить из (IV.5).
При выводе (14.1) ясно просматриваются ограничения, перечислим их: кинетическая энергия рассеивающегося электрона Е больше потенциальной энергии в поле атома; квазиклассичность движения электрона; qlk; пренебрежено обменным взаимодействием между налетающим электроном и валентным, поляризацией орбит^т последнего.
Для достаточно быстрых электронов (ка > 1, а порядка радиуса действия потенциала электрон-атом, диаметра орбиты атомного электрона) влияние поляризации и обмена на амплитуду рассеяния несущественно, так как рассеивающийся электрон “пролетает" сквозь атом быстрее, чем валентный совершает один “оборот" вокруг ядра; быстрая осцилляция волновой функции налетающей частицы приводит к тому, что ее интерференция с волновой функцией атомного электрона в “обменном" интеграле будет не существенна [21]. Оценим параметр ка при £ - 1 эВ для атома цезия; положим 〃 ~ 5, % ~ 1/3 тогда ка > 1. Условие q ||Ь естественно следует из 6 «1. Предположение V/E < 1 искусственное, так как нарушается на малых расстояниях, где налетающий электрон взаимодействует с ионным остовом. Другими словами, в приближении Глаубера дифференциальное сечение рассеяния на большие., углы несколько занижено. О соотношении между приближением Глаубера и другими статическими при-
ближениями — борновским и квазиклассическим можно судить по параметру 幺/%v для случая рассеяния на потенциальном центре. В приближении Глаубера данный параметр может быть как больше, так и меньше единицы; в борновском приближении — много меньше, а в квазиклассическом — много больше единицы; таким образом глауберовское приближение имеет более широкую область применимости [233].
Применение приближения Глаубера к расчету дифференциального сечения упругого рассеяния электрона с Е ~ 1 зВ на атоме щелочного металла на большие углы не вполне корректно, так как на малых расстояниях от ядра, которыми оно обусловлено, нарушается условие V/E < 1. Полное сечение рассеяния определяется, в основном, малыми углами, поэтому метод Глаубера дает для 0曲 хорошее совпадение с экспериментом. Идея модифицированного приближения [234] заключается в разбиении потенциала взаимодействия «方 на мелкий % и глубокий 匕，потенциалы, причем %/Е < 1. Тоща
(IV.6)(IV.6)尸⑼=京⑵ +1)(^5俨一 l)^(cose)+
(IV.6)
(IV.6)
+ %T Z⑵ + 1Н%砂 sin5俨司(cose). МО
В (IV.6) 6? соответствует “ 5黑=6,-碎).
6俨=fdr^(r)[l - ((/ + l/2)/M2 - У^/ЕГ112 冃
°h/2 = -^亿⑺叱亿⑺*(27)
[1-(匕/e"2]1/2]
Это выражение аналогично (IV.3); Е ==空O/lr% Подставив (IV.7) в (IV.6), будем иметь (ср. (IV.3)—(IV.5)):
F(0)=半j/bJ% -金吗 + 父$(2/ + 1)х
2"丁(IV.8)
х P^cos 0) e‘仰 e呻 sin 5®.
Формула (IV.8) приводится для рассеяния электрона на ьодо- родоподобном атоме к виду
£(9)=乎 j w*(r)[l - 3处叫也⑺ eiq b d2bdr +
⑺(IV.9)
+ AT 扌(2/ + l)4(cos 0) £ % sin 6?J u*(r) ej 购闾“")在
Потенциал 匕⑺ в (IV.9) должен быть таким, чтобы
Р-匕 т 0; Рт е?" при г т 0.(IV. 10)
Таким образом,匕⑺ можно выбрать, например, в виде статического потенциала атома водорода:
匕⑺= -(1 + 1〃)е-2，.(IV.11)
Фазы рассеяния 6® на потенциале V\ могут быть рассчитаны методом, аналогичным изложенному выше (см. § 15).
Приближение (IV.9) подобно приближению Глаубера, но условие %/Е < 1 для него выполняется автоматически. Вычислим X(b,s), когда V\ есть статический потенциал атома водорода (IV. 11) и пренебрежено вторым интегралом в выражении для Х(6) [см. (IV.7)],
м) = W *3,0或+L j匕(力%
Л V 70ft V 70
Значение первого интеграла здесь известно из (14.7), второй интеграл, также, легко вычислить [122]:
jV^d^^ f[l+ (户+ 69产"产区=
^^[к^^ькт，
где b в а.е. Итак %(b,s) имеет вид (〃 = е2/力v)
(IV.12)(IV.12)Х(Ь,8)= 2л m 宁-Ко(»)-6К](力)
(IV.12)
(IV.12)
Выражение (IV.9) представляет собой пятикратный интеграл, как и (14.1), но его удается выразить через трехкратные. Выпишем выражения для /о,丛小，爲2勿，используя (14.2), (14.3)
"亲冢。因施，大)/叫м +
+ " *2/ +1)丐(cos e) ej 5^X(IV.13)
xsin砂皆，即柒九)/3叫"川；
石(9,入)=-2 i 灯 dbdsbs2JQ(qb)Ki (Ху)х
х<_ У cos ①严 e，2Mb)_ 27t s
\bY) о
〜r(IV・14)
石д8)=Jdsy2^(M -j з(1 - X СО8Ф)1Л e2研幻；
I城/丿о
% = 72-4 ； /3) = Ко(2» + ьк. (2 圾 4+s
Здесь Jo, Ло, & — известные спецфункции, их дифференцирование проводится по рекуррентным формулам [122]. Амплитуды рассеяния Fn\m выглядят сложнее, выпишем их
歸「隸呻f（q&/a戸2J +歸「隸呻f（q&/a戸2J ++%TZ(2/ + l)6(cose)e /+%TZ(2/ + l)6(cose)e /i5{，)sinBp/"*^) / 8/'=j;i5{，)sinBp/"*^) / 8/'=j;(IV.15)(IV.15)
歸「隸呻f（q&/a戸2J +
歸「隸呻f（q&/a戸2J +
+%TZ(2/ + l)6(cose)e /
+%TZ(2/ + l)6(cose)e /
i5{，)sinBp/"*^) / 8/'=j;
i5{，)sinBp/"*^) / 8/'=j;
(IV.15)
(IV.15)
ZiC^X) = -2i k\dbdsbs' J“Ь)К《2 x
x<x<傍 JT ^①(1 - У cos ①严 exp[-2i”(b)] - 2л 二
x<
x<
彳g,九）=版4&（務）彳g,九）=版4&（務）爲J",d①(1 一 ％ cos①严 exp[-2 i 叭4)];
彳g,九）=版4&（務）
彳g,九）=版4&（務）
-d^2T{(qM / д^^^
(IV. 16)
+ 后7§(2/ + l)6(cose)e"「sinsj0 x
X (a%(q⑴/a班X -/臂(孤)/拼工財)].
iFiF『2(0，M = fdss6K} (Xs)『2(0，M = fdss6K} (Xs)XX(IV. 18)(IV. 18)
iF
iF
『2(0，M = fdss6K} (Xs)
『2(0，M = fdss6K} (Xs)
X
X
(IV. 18)
(IV. 18)
Формула для 鸟20 получена также
%。=10产吗
[4経疗0（弘九）/纵支=6尸-
-Пд^Ч^М / д^2\^ +
(IV. 17)(IV. 17)+ 9/1厶匂内/纵引-4l"尸+
(IV. 17)
(IV. 17)
+ £"*2/ + l）P/（cose）eM）sinbfD x
中0吃（办）/叫5-
-12/T%（柒人）/纵22k"严+
+9/z厶@大小门l产｝].
В (IV. 17)厶厶 есть
了2匂，入)=~2 i k\dbdsbs6JQ (g, Ь)К{ (Ху) x
J rfO (1 - К cos0)j л exp[-2 i rtf(6)] - 2ns
x j dd>(l -匕 cos①)i" exp[-2iz|f®)]・
Выражения для 耳2土 1，F心2 имеют, соответственно, вид
爲中争小f(з)/а»2% _
-afд,九)/3戸4匕严+
+ К*2/ + 1)目(cos6)ei炉 sinS^ x(IV. 19)
Jd^T.iqM/d^ +
(IV.20)
+2“Е(2/ + l)/(cose)eW sin砂)x
х於4力匂小)/3戶
Список литературы
Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.: Гостехиздат, 1946.
Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках: Пер. с англ. М.: Наука, 1985.
Климонтович Ю・Л・ Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. М.: Наука, 1975.
Ichiyanagi М. A contribution to the theory of nonequilibrium statistical mechanics. III. Derivation of the quantum kinetic equation // J.Phys. Soc. Jap. 1989. V. 5 8, №8. p. 2727-2740.
Кубо P* Некоторые вопросы статистическо-механической теории необратимых процессов/Дермодинамика необратимых процессов: Пер.с англ. М.: Изд-во иност. лит., 1962.
Zwanzig R. Memory effects in irreversible thermodynamics//Phys. Rev 1961. V. 124, №4. P. 983-992.
Mori H・ A continued-fraction representation of time-correlation fiinctons//Progr. Theor. Phys. 1965. V. 34, №3. P. 399-416.
Kubo R. The fluctuation-dissipation theorem//Rept. Progr. Phys. 1966. V. 29, Part 1. P. 255-284.
Bernu B・ Generalized transport coefficients of an ^component fluid. Application to the hydrogen plasma//Phys. A. 1983. V. 122, №1. P. 129—172.
Martin P*C. Sum rules, Kramers-Kronig relations and transport coefficients in chained systems//Phys. Rev. 1967. V. 161, №1. P. 143—155.
Kadanoff L・P・, Martin P・C・ Hydrodynamic equations and correlation fiinctions//Ann. Phys. 1963. V. 24, №1. P. 419-469.
Me Lennan J・R The formal statistical theory of transport processes//Adv. Chem. Phys., 1963. V. 5, №1. P. 261-317.
Luttinger M・ Theory of thermal transport coefficients//Phys. Rev. 1964. V. 135, №6. P. 1505-1514.
Зубарев Д・Н・ Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971.
Пайне Д・,Нозьер Ф・ Теория квантовых жидкостей. Пер. с англ. М.: Мир, 1967.
Киржниц Д.А・ Всегда ли справедливы соотношения Крамерса- Кронига для диэлектрической проницаемости веществ//УФН. 1976. Т.119. №3. С. 357-369.
Киржниц Д.А. Общие свойства электромагнитных функций откли- ка//УФН. 1987. Т. 152. №3. С. 399-422.
Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1964.
Иевлев В・М・ Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М.: Наука, 1975.
Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядерного реактора. М.: Атомиздат, 1980.
Лацдау Л・Д・, Лифшиц Е・М・ Квантовая механика. М.: Физматгиз, 1963.
Павлов Г・А< К теории линейного отклика на термические возмущения заряженной сплошной среды/ДМФ. 1992. Т.20. №3. С. 460—468.
Павлов Г*А. К определению оптических характеристик высокотемпературных конденсированных сред//ЖТФ. 1991. Т.61. №2. С. 6—12.
Adams Е・М・, Me Donald I.R., Singer К. Collective dynamical properties of molten salts: m.-d. calculations on scxlium chloride//Proc. Roy. Soc. Lond. 1977. V. 357 A, №1. P. 37-57.
Martin P.C. Non・local transport coefficients correlation functions//Statistical mechanics of equilibrium and non equilibrium/ Ed by J. Meixner. Amsterdam, 1965, P. 100-125.
Крефт В.Д.9 Кремп Д・，Эбелинг В., Репке Г. Квантовая статистика систем заряженных частиц: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.
R6pke G・，НбЪпе F.E. Quantum transport theory of impurity and electronelectron scattering//Phys. Stat. Sol. B. 1981. V. 107, №2. P. 603—615.
Christoph V., R6pke G. On the relation between the resistivity formula and the Boltzmann equation//Phys. Stat. Sol. B. 1977. V. 80, №2. К 117 — К 120.
Репке Г. Электропроводность системы локализованных и делокализованных электронов//ТМФ. 1981. Т. 46. №2. С. 279—288.
Бобров В.Б.9 Редмер Р., Репке Г., Тригер С.А. Функция распределения и электропроводность системы заряженных частиц в теории линейного отклика: теория Кубо и метод неравновесного статистического оператора/ДМФ. 1991. Т. 86. №2. С. 300-311.
Бобров В.Б.9 Редмер Р., Репке Г., Тригер С.А. Функция распределения и электропроводность системы заряженных частиц в теории линейного отклика: метод неравновесного статистического оператора и кинетические уравне- ния//ТМФ. 1991. Т. 86. №3. С. 460-473.
Иоффе А.Ф. Полупроводниковые термоэлементы. М.-Л.: Изд-во АН СССР, Ленинградское отделение, 1960.
Bernu В・，Hansen J.P. Thermal conductivity of a strongly coupled hydrogen plasma//Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48, №20. P. 1375-1379.
Baus M, Hansen J.P., Sjogren L. Electical conductivity of a strongly coupled hydrogen plasma//Phys. Lett. A. 1981. V. 82, №4. P. 180—182.
Baus M. Long-wavelength fluctuation spectra of charged versus neutral one component systems//Phys. A. 1975. V. 79, №4. P. 377—396.
Baus M. Microscopic theory of the long-wavelength modes of two component plasmas and ionic liquids. I. The trasverse modes//Phys. A. 1977. V. 88, №2/3. P. 319-335.
Baus M. II. The longitudinal modes//Phys. A. 1977. V. 88, №2/3. P. 336-346.
Baus M. III. The spase-time correlation fiinctions//Phys. A. 1977. V. 88, №4. P. 591-599.
Baus M・，Wallenborn J. Long-time behavior of the nonlocal shear viscosity of a one-component plasma a microscopic approach 〃J. Stat. Phys. 1977. V. 16, №1. P. 91-111.
Mazenko G.F., Yip S. Renormalized kinetic theory of dense fiuids//Statistical mechanics, P. B. / Ed. by B. J. Berne. N.-Y., 1977. P. 181—231.
Sjogren L. Kinetic theory of current fluctiations in simple classical liquids//Phys. Rev. A. 1980. V. 22, №6. P. 2866-2882.
Baus M, Hansen J.-P. A statistical mechanics of ionic matter 〃J. Stat, Phys. 1983. V. 31, №2. P. 409-422.
Wallenborn J. Kinetic theory of transport properties of a strongly coupled one-component plasma// J. Phys. C. 1985. V. 18, №23. P. 4403—4426.
Wallenborn J., Baus M. Kinetic theory of the shear viscosity of strongly coupled classical one-component plasma//Phys. Rev. A. 1978. V. 18, №4. P. 1737— 1747.
Фишер И.З. Статистическая теория жидкостей. М.: Физматгиз, 1961.
Kerr W.C. Correlation motions in simple classical liquids//Phys. Rev. 1968. V. 174, №1. P. 316-325.
Minoo H.9 Gombert M.M., Deutsch C. Temperature-dependent coulomb interactions in hydrogenic sistems//Phys. Rev. A. 1981. V. 23, №2. P. 924—943
Bernu B・，Hansen J.-P., Maxighi R. Influence of effective potentials on the pair correlations in dense, semiclassical hydrogen plasmas//Phys. Lett. A. 1984. V. 100, №1. P. 2823-2825.
Deutsch C. Nodal expansion in a real matter plasma//Phys. Lett. A. 1977. V. 60, №4/5. P. 317-321.
Rozmus W., Cauble R. A model for thermal conductivity of two component strongly coupled plasma//Phys. Lett. A. 1985. V. 112, №9. P. 440—444.
Cauble R.・，Rozmus W. Electrical conductivity in strongly coupled hydrogen plasma//Phys. Lett. A. 1986. V. 117, №7. P. 345—348.
Zehnle V., Bernu B・，Wallenborn J. Kinetic theory of the thermal conductivity of a strongly coupled semiclassical hydrogen plasma//Phys. Rev. A. 1986. V. 33, №3. P. 2043-2046.
178
Lei X.L.9 Cai J. Long-time divergence in perturbative response theory for weak-field de conductivity//Phys. Lett. A. 1990. V. 144, №6/7. P. 316-321.
Sjogren L. Kinetic theory of classical liquids//Ann. Phys. 1979. V. 113, №2. P. 304-329.
Forster D. Properties of kinetic memory function in classical li(|uid§//Phys. Rev. A. 1974. V. 9, №2. P. 943-956.
Boley C.D. Projection operator approach to renormalized kinetic theory//Phys. Rev. A. 1975. V. 11, №1. P. 328-339:
Castresana J.L, Mazenko G.F., Yip.S. Thermal fluctuations in gas mixtures//Ann. Phys. 1977. V. 103, №1. P. 1—28.
Baus M., Hansen J.-P. Statistical mechanics of simple coulomb systems //Phys. Rep. A. 1980. V. 59, №1. P. 1-67.
Mazenko G.F. Fully renormalized kinetic theory//Phys. Rev. A. 1974. V. 9, №1. P. 360-387.
Hansen J.P., Joly F., Me Donald I.R. Self-diffusion, interdiffusion and long-wavelength plasma oscillations in binary ionic mixtures//Phys. A. 1985. V. 132, №2/3. P. 472-488.
Sjogren L・,Hansen J.-P., Pollock E.L. Self-diffusion, conductivity and long- wavelength plasma oscillations in strongly coupled two-component plasmas//Phys. Rev. A. 1981. V. 24, №3. P. 1544-1560.
Eykholt R. Extension of the Kubo formula for о-tensor to arbitrary polarization of the electric field//Phys. Rev. B. 1986. V. 34, №10. P. 6669—6674.
Magan J.R. Correction to the Kubo fbrmula//Phys. 1967. V. 35, №1. P. 193-210.
Martin Ph.A. Sum rules in charged fluids// Rev. Mod. Phys. 1988. V. 60, №4. P. 1075-1127.
Cauble R・,Boercker D.B.爪尤①)two-component plasmas//Phys. Rev. A. 1983. V. 28, №2. P. 944-951.
Rovere M・，Tosi M.P. Structure and dynamics of molten salts//Rep. Progr. Phys. 1986. V. 49, №9. P. 1001-1081.
Ichimaru S” Mitake S・,Tanaka S・,Yan X*-Z* Theory of interparticle correlations in dense high-temperature plasmas. I-V//Phys. Rev. A. 1985. V. 32, №3. P. 1768-1798.
Yan X・-Z・, Ichimaru S・ Theory of interparticle correlations in dense high- temperature plasmas. VI-VII//Phys. Rev. A. 1986. V. 34, №3. P. 2167—2176.
- Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме: Пер. с англ. М.: Мир, 1971.
Гинзбург В・Л・ Распространение электромагитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.
Ишимару С* Основные принципы физики плазмы: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1975.
Шеффидц Дж・ Рассеяние электромагнитного излучения в плазме: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1978.
De Gennes P* Liquids dynamics and inelastic scattering of neutrons //Phys. 1959. V. 25, №4. P. 825二839.
Kugler A・A* Collective modes, dampind and the scattering function in classical liquids//J. Stat. Phys. 1973. V. 8, №2. P. 107-153.
Hansen J・P・, Me Donald LR. Microscopic simulation of a strongly coupled hydrogen plasmas//Phys. Rev. A. 1981. V. 23, №4. P. 2041—2059.
Павлов Г・А・, Карахтанов B.C・ Оптические свойства кулоновских систем. Препринт ОИХФ АН СССР, Черноголовка, 1987.
Brami В・，Joly F* Frequency sum rules and charge fluctuation spectra in binary ionic mixtures//Phys. A. 1986. V. 139, №2/3. P. 306-326.
Hansen J*-P*, Me Donald LR, Pollock E・L・ Statistial mechanics of dense ionized matter. III. Dynamical properties of the classical one-component plasma//Phys. Rev. A. 1975. V. 11, №3. P. 1025-1039.
Zhang C・，Tzoar H・ Theory of electromagnetic absorbtion in strongly correlated plasmas//Phys. Rev. A. 1989. V. 40, №2. P. 1004—1010.
Вопросы квантовой теории необратимых процессов: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1961.
Forster D・,Martin Р・С・, Yip S・ Moments of momentum density correlation functions in simple liquids//Phys. Rev. 1968. V. 170, №1. P. 155—159.
Bansal R, Pathak ICN・ Sum rules and atomic correlations in classical liquids//Phys. Rev. A. 1977. V. 15, №6. P. 2519-2530.
Bansal R, Pathak KN・ The coherent and incoherent scattering fiinctions//Phys. Rev. A. 1977. V. 15, №6. P. 2531-2537.
Ranganathan S・,Pathak K・N・ Dynamical structure factor of dense gases//Phys. Rev. A. 1984. V. 29, №6. P. 3320-3326.
Pathak K・N・, Ranganathan S・,Bansal R., Bruns W* Frequency sum rules of correlation functions in dense gases. I. Modecular-dynamics results//Phys. Rev. A. 1985. V. 31, №2. P. 960-965.
Ranganathan S・,Pathak K・N・ IL Applications//Phys. Rev. A. 1985. V. 31, №2. P. 966-969.
Iwamoto N・ Inequalities for frequency-moment sum rules of electron liquids//Phys. Rev. A. 1986. V. 33, №3. P. 1940-1947.
Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961.
Адамян В・М・, Ткаченко И・М・ Высокочастотная электропроводность неидеальной плазмы/ДВТ. 1983. Т.21. №3. С. 417—425.
Адамян В・М・, Майер Т・,Ткаченко И・М・ Высокочастотная диэлектрическая проницаемость неидеальной плазмы//Физика плазмы. 1985. Т. 11. №7. С. 826-835.
Адамян В・М・，Ткаченко И*М. Определение параметров плазмы по интегральным характеристикам спектра рассеяния электромагнитного излуче- ния//Физика плазмы. 1988. Т. 14. №1. С. 105—107.
Copley J・R・D・, Lovesey S・W・ The dynamic properties of monatomic liquids//Rept. Progr. Phys. 1975. V. 38. №4. P. 461-563.
Salpeter E・E・ Electron density fluctuation in plasmas//Phys. Rev. 1960. V. 120. №5. P. 1528-1535.
Taut M・ Frequency moments of the dielectric function for an inhomogeneous electron gas//J. Phys. C. 1985. V. 18. №13. P. 2677-2690.
Taut M・ Model calculations of the dielectric constant including local-field corrections/J. Phys. C. 1985. V. 18. №13. P. 2691-2696.
Запорожец Ю・В・, Фортов B・E・, Батовский O・M・, Минцев В・В. Отражение лазерного излучения от ударно сжатой плазмы ксенона высокого давле- ния//Письма ЖТФ. 1984. Т.10. №21. С. 1339-1343.
Беспалов В・Е・，Грязнов В・К・，Фортов В・Е・ Излучение ударно сжатой плазмы высокого давления//ЖЭТФ, 1979. Т. 76. №1. С. 140—147.
Kawakami R, Mita К・,Tatsuji Н・,Yokoyama Y* Bremsstrahlung from hot, dense, partially ionised plasmas//Phys. Rev. A. 1988. V. 38. №7. P. 3618—3627.
Zhang Y・Q・，De SUwa A.W*, Mostovych A.N* Density fluctuation spectra of a collision-dominated plasma measured by light scattering/Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. №16. P. 1848-1851.
Ichimaru S・,lyetomi H・,Tanaka S. Statistical physics of dense plasmas: thermodynamics, transport coefficients and dynamic correlations//Phys. Rept. 1987. V. 149. №2/3. P. 91-205.
Драгалов В.ПМ Никифоров А«ФМ Новиков В・Г・, Уваров В・В・ Статистический метод расчета поглощения фотонов в плотной высокотемпературной плазме//Физика плазмы. 1990. Т. 16. №1. С. 77—85.
Иевлев В.М. Некоторые результаты исследований по газофазному полостному ядерному реактору//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1977. №6. С. 24-31.
Павлов Г.А. Коэффициенты переноса плазмы с сильным кулоновским взаимодействием//ЖТФ. 1984. Т. 54. №5. С. 873—878.
Milchberg H.V., Freeman R.P., Davey S.G. Resistivity of a simple metal from room temperature to 106 K//Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. №20. P. 2364—2367.
Rinker G.A. Systematic calculations of plasmas transport coefficients for the periodic table//Phys. Rev. A. 1988. V. 37. №4. P. 1284-1297.
Ефременко Л.А., Прохоренко В.Я., Фортов В.Е. Электросопротивление Си, А1 в области конденсированных состояний при давлениях ~10 ГПа//ТВТ. 1989. Т. 27. №2. С. 397-399.
Боржиейский А.А., Сеченов В.А., Хорунженко В.И. Электросопротивление неидеальной цезиевой плазмы/ДВТ. 1989. Т. 27. №3. С. 417—424.
Воробьев В.С., Хомкин А.Л. Столкновительные комплексы в плазме и их влияние на электропроводность//Физика плазмы. 1977、Т. 3. №4. С. 885-893.
Сеченов В・А・, Сон Э.Е., Щекотов О.Е. Электропроводность цезиевой плазмы/ДВТ. 1977. Т. 15. №2. С. 411-414.
Ермохин Н.В.9 Ковалев В・М・，Кулик П.П.9 Рябый В.А. Температурная зависимость электропроводности плотной цезиевой плазмы, полученной импульсным изобарным омическим нагревом/ДВТ. 1977. Т. 15. №4. С. 695—702.
Минцев В.Б.9 Фортов В・Е・, Павлов Г.А., Грязнов В.К. Электропровод- нсхлъ сильноразогретой неидеальной плазмы Хе//Письма ЖТФ. 1980. Т. 6. №4. С. 234-237.
Алипов СВ., Ткаченко Б.К. Электропроводность воздуха за ударными волнами/ДВТ. 1974. Т. 12. №6. С. 1292-1293.
Павлов Г.А., Кучеренко В.И. О влиянии возбужденных атомов на проводимость плотной плазмы щелочных металлов//ТВТ. 1977. Т. 15. №2. С. 409-411.
Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1965.
Bhaskar N.D., Jaduszliver В・,Bederson В. Scattering of low-energy electrons by exited sodium atoms using a photon and electron atomic beam recoil technique//Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. №1. P. 14-17.
Moores D.L. Electron scattering from exited states of neutral sodium// J. Phys. B. 1974. V. 7. №3. P. 371-375.
Островский B.H. Взаимодействие возбужденного водородоподобного атома с заряженной частицей в дипольном приближении //ЖЭТФ. 1977. Т. 73. №6. С. 2007-2087.
Tai Н., Basse! R.H., Geijuoy Е・,Franko V. Glauber theory of atomic- hydrogen exitation by electron impact//Phys. Rev. A. 1970. V. 1. №6. P. 1819—1835.
Walters H.R.J. Electron scattering by Li, Na, К in the frosen core Glauber approximation//J. Phys. B. 1973. V. 6. №6. P. 1003-1019.
Кучеренко В.И. Коэффициенты переноса плотной низкотемпературной плазмы. Дис. на соискание учен, степени канд. физ.-мат. наук. ОИХФ АН СССР (п. Черноголовка). 1981.
Franko V. Diffraction theory of scattering by hydrogen atoms//Phys. Rev. Lett. 1968. V. 20. №14. P. 709-712.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.
Szasz L・,Me Ginn G. Atomic and molecular calculations with the pseudopotential method//J. Chem. Phys. 1967. V. 47. №9. P. 3495—3507.
Грязнов В.К., Иванова A.H. Программа расчета атомов по методу Хартри-Фока. Отчет ОИХФ АН СССР, Черноголовка, 1975.
Gutsev G.L., Levin А.А. SCF DVM-X with basis set of numerical HF functions and its application to MoFg, WF6 and UF6〃Chem Phys. 1980. V. 51. №3. P. 459-471.
Burke P.C., Mitchel J.F.B. Low energy scattering of electrons by Cs// J. Phys. B. 1973. V. 6. №7. P. L. 161- L 167.
Visconti P.J., Solvin J.A., Rubin K・ Absolute total cross sections for the scattering of low-energy electrons by Rb, Cs, K// Phys. Rev.A. 1971 V. 3, №4. P. 1310- 1317.
Gehenn W., Reihert E. Scattering of electrons by Cs atoms at low enemies〃丄 Phys. B. 1977 V. 10, №15. P. 3105—3116.
Nighan W.L. Low energy electron momentum transfer collisions in cesium plasmas//Phys. Fl. 1967 V. 10, №5. P. 1085-1094.
Grown J.C., Russek A. Electron-alkali-atom interaction potential and elastic scattering//Phys. Rev. 1965 V. 138A, №3. P. 669—682.
Вайнштейн Л.А., Собельман И.И., Юков E.A. Сечения возбуждения атомов и ионов электронами. М.: Наука, 1973.
Елецкий А.В., Палкина Л.А., Смирнов Б.М. Явления переноса в слабо- ионизованной плазме. М.: Атомиздат, 1975.
Saelee H.J., Lucas J. Electron drift velocity and momentum transfer crosssection in caesium vapor//J. Phys. D. 1979 V. 12, №8. P. 1275—1283.
Perel J・,Englanger P., Bederson B. Measurement of total cross sections for the scattering of low energy electrons by Li, Na, К //Phys. Rev. 1962 V. 128, №3. P. 1148- 1154.
Williams W., Trainear S. Electron impact exitation of potassium at 6, 7, 16 and 60 eV //J. Phys. B. 1977 V. 10, №10. P. 1955— 1966.
Друкарев Г.Ф. Столкновения электрона с атомами. М.: Наука, 1978.
Callaway J. Scattering of electrons by atoms//Adv. Phys. 1980. V. 29. №5. P. 771-867.
Hanh H・,Mason E・A・, Smith F.J. Quqntum transport cross sections for ionised gases//Phys. Fl. 1971. V. 14. №2. P. 278-287.
Грязнов B.K., Павлов Г.А., Рудавец М.Г. Тормозное поглощение электронов в плотной низкотемпературной плазме//ЖТФ. 1981. Т. 51. №9. С. 1980-1981.
Подлубный Л.И., Ростовский В.С. Теория равновесных и кинетических свойств плазмы с учетом электронных оболочек ионов//Физика плазмы. 1980. Т. 6. №6. С. 1339-1351.
Смирнов Б.М. Атомные столкновения и элементарные процессы в плазме. М.: Атомиздат, 1968.
Маев С.А. Влияние конечного размера ионов на частоту столкновений электронов в плазме//ЖТФ. 1970. Т. 40. №3. С. 567—574.
омбаш П. Статистическая теория атомов и ее применение: Пер. с англ,. М.: Изд-во иностр, лит., 1951.
Займан Дж. Принципы теории твердого тела. Пер. с англ. М.: Мир, 1974.
Иванов Ю.В., Минцев В.Б., Фортов В.Е., Дремин А.Н. Электропроводность неидеальной плазмы//ЖЭТФ. 1976. Т. 71. №1. С. 216—224.
Митин Р.В., Канцедал B.IL, Глазунов Г.П. Экспериментальное определение электропроводности плотной плазмы при малых значениях кулоновского логарифма/ДВТ. 1975. Т. 13. №4. С. 706-711.
Огурцова Н.Н., Подмошенский И.В., Смирнов В.Л. Измерение электропроводности неидеальной плазмы при 38000 К и давлениях 5+25 • 107 н/м2/ДВТ. 1974. Т. 12. №3. С. 650—652.
Коган В.И., Кукушкин А.Б. Тормозное излучение электронов в атомном потенциале: классичность спектра, закон подобия//Письма ЖЭТФ. 1983. Т. 37. С. 272-275.
Жданов В.П., Чибисов М.И. Расчеты тормозного излучения электрона на ионах с учетом экранировки//ЖТФ. 1977. Т. 47. №9. С. 1804—1808.
Зон Б.А. Поглощение оптического излучения слабоионизованными га- зами//ЖЭТФ. 1979. Т. 77. №1. С. 44-51.
Прохоров А.М., Анисимов С.П., Пашинин П.П. Лазерный термоядерный синтез//УФН. 1976. Т. 119. №3. С. 401-424.
Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Наука, 1977.
Хартри Д. Расчеты атомных структур: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1960.
Иванова А.В., Иванова А.Н., Прихоженко А.И., Пятницкий-*Шапиро Н.Н., Тарнопольский Б.Л. Численный метод решения уравнений Хартри-Фока для атомов//Лит.физ.сборник. 1963. Т. 3. №3. С. 137—146.
Гиршфелъдер Г., Кертисс К・,Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей: Пер. с англ. М.: Мир, 1961.
Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.
Герасимов Г.Я. Явления переноса в частично ионизованном газе с учетом реакции ионизации//Изв. АН СССР МЖГ. 1974. №3. С. 178—182.
Шкаровский И., Джонстон Т., Бачинский И. Кинетика частиц плазмы: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1969.
Кучеренко В.И., Павлов Г.А., Грязнов В・К・, Сон Э.Е., Фортов В.Е. Теплофизические свойства плазмы смеси Не+Н в интервале температур 2800 К — 30000 К и давлений 1—100 атм. Препринт ОИХФ АН СССР, Черноголовка, 1978.
Кучеренко В.Н., Павлов Г.А. Теплофизические свойства плазмы смеси Не+Н+С в интервале температур 3000 К - 25000 К и давлений 1—500 атм. Препринт ОИХФ АН СССР, Черноголовка, 1981.
Тирский Г.А. Определение эффективных коэффициентов диффузии в ламинарном многокомпонентном пограничном слое//ДАН СССР. 1964. Т. 155. №6. С. 1278-1282.
Тирский Г.А. Вычисление эффективных коэффициентов диффузии в ламинарном диссоциированном пограничном слое//ПММ. 1969. Т. 33. №1. С. 180-192.
184
Суслов О.Н., Тирский Г.А., Щенников В.В. Описание химически равновесных течений многокомпонентных ионизованных смесей газов в рамках уравнений Навье-Стокса и Прандтля//ПМТФ. 1971. №1. С. 73—89.
Де Гроот С. Термодинамика необратимых процессов: Пер. с англ. М.: Гостехиздат, 1956.
Butler J.N., Brokaw R.S. Thermal conductivity of gas mixtures in chemical equilibrium//!. Chem. Phys. 1957. V. 26, №6. P. 1636-1641.
Кринберг И.А. Влияние реакции ионизации на теплопроводнсхлъ плаз- мы/ДВТ. 1965. Т. 3. №6. С. 838-844.
Герасимов Г.Я., Колесниченко Е.Г. Явления переноса в неравновесном диссоциирующем газе//Изв. АН СССР МЖГ. 1983. №5. С. 159—166.
Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987.
Лаццау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
Климонтович ЮЛ. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.
Щ)асников Ю.Г. Термодинамика неидеальной низкотемпературной плазмы//ЖЭТФ. 1977. Т. 73. №2. С. 516-525.
却асников Ю.Г., Кучеренко В.И. Термодинамика неидеальной низкотемпературной многокомпонентной плазмы на основе химической моде- ЛИ//ТВТ. 1978. Т. 16. №1. С. 43-53.
Вольперт А.И., Тишакова Р.С. Положительные решения квазилинейных параболических систем уравнений. Препринт ОИХФ АН СССР, Черноголовка, 1980.
Вольперт А.И., Тишакова Р.С. Положительные решения второй краевой задачи для квазилинейных параболических систем уравнений. Препринт ОИХФ АН СССР, Черноголовка, 1981.
Петровский И.Г. Системы уравнений с частными производными. М.: Наука, 1986.
Павлов Г.А. О корректности псютановки задач с многокомпонентной диффузией для многоэлементной взаимодействующей смеси газов и плаз- мы//Письма ЖТФ. 1985. Т. 11. №18. С. 1141-1145.
Ларышв Н.А.9 Новиков ВА, Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск, Наука, Сибирское отд., 1983.
Нельсон Х.Ф. Влияние неравновесности на лучистый нагрев в передней критической точке при входе зонда в атмосферу Юпитера//РТК. 1980. Т. 18. №9. С. 129-138.
Мосс Дж.Н.9 Симмоцдс АЛ・，Авдерсон Э.К. Расчет турбулентного излучающего ударного слоя на аблирующем теле//РТК, 1981, Т. 19. №2. С. 75—83.
1^мар А*, Грейвс Р.А.-МЛ., Веймюнстер К.Дж. Расчет'обтекания зонда, входящего в атмосферу планеты с учетом изменения в результате абляции формы носовой части//РТК. 1980. Т. 18. №7. С. 128—130.
Белоцерковский О*М*, Голомазов М・М・，Шабалин А・В・ Исследования влияния сильного вдува с поверхности на гиперзвуковое обтекание затупленных тел//РТК. 1983. Т. 21. №4. С. 1018-1030.
Биберман Л・М・, Бронин С・Я・, Брыкин М・В・, Мнацаканян А・Х・ Влияние газообразных продуктов разрушения геплозащитного покрытия на теплообмен в окрестности критической точки затупленного тела//Изв. АН СССР МЖГ. 1978. №3. С. 129-136.
Гершбейн Э*А*, Суходольская 9・Я・，Суходольский С・Л・，Тирский Г.А. О движении тел в атмосфере Юпитера с учетом изменения их массы и формы под действием аэродинамического нагрева//Космические исследования. 1978. Т. 1. №3. С. 378-387.
Tiwari S・N・, Szema K・Y・, Moss J.N., Subramanian S・V・ Convective and radiative heating of a Saturn entry probe//Intern. J. Heat Mass Transfer. 1984. V. 27. №2. P. 191-205.
Знаменский B・B・, Поляков И.Н. Стационарные формы тел, оплавляющихся при аэродинамическом нагреве//Изв. АН СССР МЖГ. 1987. №4. С. 122-127.
Беден А.ПМ Мишин Г・И・, Чистякова М.В. Экспериментальное исследование обтекания затупленных тел в различных газовых средах//ЖТФ. 1985. Т. 55. №4. С. 719-722.
Немчинов Н.В., Попов С*П* Гиперзвуковое обтекание плоского тела в режиме интенсивного лучистого теплообмена//Изв. АН СССР МЖГ. 1983. №5. С. 126-129.
Гудаовский А・В・, Карасев А・В・, Коцданин Т・В・ О немонотонной зависимости конвективного теплового потока от скорости вдува непрозрачных примесей в излучающей Не-Н ударный слой//Изв. АН СССР МЖГ. 1981. №3. С. 106-113.
Павлов Г*А*, Ширяев А.А. Эффекты многокомпонентной диффузии в одной задаче высокотемпературной газодинамики//Изв. АН СССР МЖГ. 1985. №4. С. 163- 170.
Румынский А・Н・, Чуркин В・Г・ Обтекание затупленных тел гиерзву- ковым потоком вязкого излучающего газа//ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. №6. С. 1553-1570.
Дорренс У*Х* Гиперзвуковые течения вязкого газа: Пер. с англ. М.: Мир, 1966.
Зельдович Я・В・, Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных газодинамических явлений. М.: Наука, 1966.
Хейз У*Д*, Пробстин Р・Ф・ Теория гиперзвуковых течений： Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1962.
Зинченко В・И・, Пырх С・И・ Расчет неравновесного вязкого ударного слоя с учетом сопряженного теплообмена//Изв. АН СССР МЖГ. 1984. №2. С. 146-153.
Hoshizaki Н・,Wilson К・Н・ Convective and radiative heat transfer during superorbital entry//AIAA J. 1967. V. 5. №1. P. 25—35.
186
Лебедев В.ИМ Фомин В・Н・ Обтекание затупленных тел гиперзвуковым потоком с учетом селективного излучения и поглощения энергии //ЖВМ И МФ. 1969. Т.9. №3. С. 655-663.
Каменщиков ВА, Пластинин Ю.А., Николаев В・М” Новицкий ЛА Радиационные свойства газов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1971.'
Собельман ИМ Введение в теорию атомных спектров. М.: ФкзМатгиз, 1963.'
Грим Г* Спектроскопия плазмы. Пер. с англ. М.: Атоммздат, 1969.
Климонтович Ю.Л・, Сухин С.А. Кинетическая теория уширения спектральных линий в плазме//ТМФ. 1981. Т. 47. №1. С. 89—95.
Андреев Е.А., Мнацаканян А.Х. Влияние промежуточных ионных состояний на уширение спектральных линий//ДАН СССР. 1981. Т. 258, №1. С. 75-78.
Сыркин М.И. Расчеты электронного уширения спектральных линий в теории оптических свойств плазмы//Оптика и спектроскопия. 1981. Т. 51. №5. С. 778-784.
Peach G. Theory of pressure broadening and shift of spectral lines//Adv. Phys. 1981. V. 30. №3. P. 367-474.
Hitzschke L・，Ropke G・，Seifert J・，Zimmermann R Green's function approach to the electron shift and broadening of spectral lines in non-ideal plasmas//；. Phys. B. 1986 V. 19, №16. P. 2443—2456.
Dhanna-wardana M.W.C., Perrot F. Electrical microfield distributions in plasmas of arbitrary degenerasy and density//Phys. Rev. A. 1986. V. 33, №5. P, 3303- 3313.
Fauchier J・，Dow J.D. An analytic approach to the hydrogen strrk effect in weak, strong, ultrastrong fields//Phys. Rev. A. 1974. V. 9, №1. P. 98—107.
Корлисс Ч., Бозман У. Вероятности переходов и силы осцилляторов 70 элементов: Пер. с англ. М.: Наука, 1968.
Фано У., Купер Дж. Спектральное распределение сил осцилляторов в атомах: Пер. с англ. М.: Наука, 1972.
Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме: Пер. с англ. М,: Мир, 1978.
Добкин С.В., Лаппо Г.Б., Сон Э.Е. Оптические свойства низкотемпературной плазмы урана и его смесей с калием/ДВТ, 1979. Т. 17. №6. С. 1121-1127.
Пеннер С.С. Количественная молекулярная спектроскопия и излучательная способность газов: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1963.
Rosen В. Spectroscopic data relative to diatomic molecules. N.-Y. — Lond., Pergamon Press, 1970.
Arnold J.A.9 Cooper D・M・, Park C. Line-by-line transport calculations for Jupiter entry probes//AIAA-paper. 1979. №79. P. 1082—1091.
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. Пер. с англ. М.: Мир, 1979.
Вольперт А.!!., Иванова А.Н. О диффузиэнной неустойчивости и диссипативных структурах в химической кинетике//Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький, 1981. С. 33—45.
Иванова А.Н., Маганова Н.Е. О нелокальном характере поведения диссипативных структур//ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24. №8. С. 1217—1229.
Ebeling W., Engel F., Esser B・,Feistel R. Diffusion and reaction in random media and models of evolution processes//J. Stat.- Phys. 1984. V. 37. №3/4. P. 369—384.
Mikhailov A.S., Yasbin V.V. Quantum field methcxls in the theory of diffusion controlled reactions//!. Stat. Phys. 1985. V. 38. №1/2. P. 347—359.
Балкарей Ю.И. Диссипативные структуры в активной диффузионной среде с пространственно периодическим источником//ЖТФ. 1986. Т. 56. №2. С. 238-245.
Nicolis G. Dissipative systems//Rept. Progr. Phys. 1986. V. 49. №8. P. 873-949.
Павлов Г.А., Ширяев А.А. Диссипативные структуры в плазме с объемным тепловыделением//Письма ЖТФ. 1983. Т. 9. №21. С. 1301—1305.
Павлов Г.А., Ширяев А.А. Эффекты взаимодействия процессов переноса энергии и массы с химическими реакциями в многокомпонентных высокотемпературных средах//Тезисы I Всесоюзного симпозиума по макрокинетике и химической газодинамике. Черноголовка. 1984. Т. 2. Ч. 2. С. 23—25.
Павлов Г.А., Фортов В・Е・，Овчинников А.А. Критические явления при движении низкотемпературной плазмы//ДАН СССР. 1980. Т. 251. №5. С. 1085-1087.
Павлов Г.А., Овчинников А.А. Критические явления при течении низкотемпературной плазмы//ТВТ. 1980. Т. 18. №6. С. 1302—1303.
226・ Алексапольский Н.Б., НаЯденов В.И. Критические явления при течении вязкой жидкости по трубам/ДВТ. 1979. Т. 17. №4. С. 783—791.
Бостацджиян С.А., Мержанов А.Г., Худяев С.И« О гидродинамическом тепловом взрыве//ДАН СССР. 1965. Т. 163. №L С. 133-136.
Семенов Н.Н. Тепловая теория горения и взрывов//УФН. 1940. Т. 23. №3. С. 251-325.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.
Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1954.
Mori Н. Transport, collective motion and Brownian motion //Progr. Theor. Phys. 1965. V. 33. №3. P. 423-455.
Ляццау Л』・, Лифшиц E.M. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1976.
Geijnoy E・,Thomas B.K. Applications of the Clauber approximation to atomic collisions//Rept. Progr. Phys. 1974. V. 37. №4. P. 1345—1431.
Ishihara J・,Chen J.C.Y. Two-potential eikonal approximation for electronatom collisions//Phys. Rev. A. 1975. V. 12. №2. P. 370—374.
Mason E.A., O'Hara H・,Smith F.J. Mobilities of polyatomic ions in gases: core model//!. Phys. B. 1972. V. 5. №1. P. 169-176.
Леонас B.B・, Беляев Ю.Н. Потенциалы взаимодействия атомов Н, Не и молекул Н2//ДАН СССР. 1967. Т. 173. №2. С. 306-308.
Соколова И.А., Тирский Г.А. Свойства молекулярного переноса диссоциированных и ионизованных смесей газов//ПМТФ. 1988. №3. С. 14—28.
Abrahamson A.A. Born-Mayer-type imteratomic potetial for neutral groundstate atoms with z = 2 to z = 105//Phys. Rev. 1969. V. 178. №1. P. 76—79.
Helling R.K.B., Rothe E.W. Glory scattering of Li by a series of molecules//!. Chem. Phys. 1968. V. 48. №9. P. 3945-3955.
Knipenie P・H・，Mason EA, Vanderslice J.J. Interaction enei^ies and transport coefficients of Li + H and О + H gas mixtures at high temperature//J. Chem. Phys. 1963. V. 9. №6. P. 2399-2408.
Рождественский И.Б., Цителаури H.H.9 Воскресенская Н・В;, Са- муйлов Е.В. Параметры потенциала Морзе для С-С, С-О, C-N взаимодей- ствий//Исследования по физической газодинамике. М.: Наука, 1966. С. 3-13.
Chang С・К・, Walker R.H. Calculation of spin-exchange cross sections of alkali atoms by partial-wave analysis// Phys. Rev. 1969. V. 178. №1. P. 198—204.
Erhang W.R., Helbing R.K.B. Alkali-alkali glory scattering in the 3S state///. Chem. Phys. 1968. V. 48. №11. P. 4750-4755.
Bender C.F., Davidson E.R. Theoretical study of LiH molecule//!. Chem. Phys. 1968. V. 49. №9. P. 4222-4229.
Gentry W.B., Mahan H.B. Charge transfer between positive alkali ions and atoms//J. Chem. Phys. 1968. V. 49. №4. P. 1758-1762.
Kieffer L.I. Atomic data on electron collision with atoms and molecules. Boulder, Colorado: Pergamon Press, 1973.
Оглавление
Предисловие3
Раздел I. Теория переносных и оптических характеристик кулоновских систем7
Глава 1, Теория линейного отклика кулоновской системы на механические и термические возмущения9
Теория линейного отклика двухкомпонентной кулоновской системы на продольное электрическое поле9
Теория линейного отклика кулоновской системы на электромагнитное поле. Коэффициент Кубо15
Кинетические коэффициенты многоэлементной заряженной конденсированной среды. Обобщенное уравнение Ланже- вена19
Глава 2. Кинетические коэффициенты кулоновских систем. Правила сумм для функций реакции кулоновских систем27
Кинетические коэффициенты многоэлементной заряженной конденсированной среды. Косвенная теория линейного отклика и метод неравновесного статистического оператора.... 27
Сравнение локальной продольной электропроводности и коэффициента Кубо кулоновской системы33
Правила сумм для функций реакции и временных корреляционных функций систем с сильным межчастичным взаимодействием 42
Глава 3. Оптические свойства кулоновских систем45
Характеристики линейного. взаимодействия лазерного излучения с кулоновской системой45
Частотные моменты 5^е(Л,ш),习р(尤о) и связанных с ними функций реакции кулоновских систем46
Частотные моменты истинной продольной электропроводности кулоновской системы51
Частотные моменты поперечных диэлектрической проницаемости и электропроводности52
Частотные моменты коэффициента Кубо. Соотношение между частотными моментами различных определений электропроводности кулоновской системы54
Оптические характеристики кулоновских систем. Сравнение с экспериментом57
Раздел II. Коэффициенты переноса многоэлементной химически реагирующей среды с развитой ионизацией и сильным межчастичным (кулоновским) взаимодействием (модель)63
Глава 4. Электронные кинетические коэффициенты плазмы с сильным кулоновским взаимодействием65
Формулировка модели для определения электронных кинетических коэффициентов неидеальной плазмы65
О влиянии возбужденных атомов на электропроводность частично ионизованной плазмы щелочных металлов67
Вклад ионного остова и других некулоновских факторов в электропроводность плазмы с сильным кулоновским взаимодействием 76
Вклад ионного остова в тормозное поглощение электронов в плотной низкотемпературной плазме79
Глава 5. Коэффициенты переноса, определяющие потоки импульса, массы и энергии в многоэлементной химически реагирующей плазме82
Формулировка модели для расчета н, &,厶火,Р{, X многоэлементной химически реагирующей плазмы с сильным кулоновским взаимодействием82
Эффективные коэффициенты переноса многоэлементной химически реагирующей плазмы85
Эффективные коэффициенты переноса в плазме с сильным кулоновским (межчастичным) взаимодействием92
Глава 6. Общие ограничения на кинетические коэффициенты и эффективные коэффициенты переноса многоэлементной химически реагирующей плазмы95
Выражение для производства энтропии в компонентом представлении. Условия на коэффициенты переноса96
Соотношения взаимности Онсагера для феноменологических кинетических коэффициентов101
Выражение для производства энтропии в элементном представлении. Некоторые условия на ЭКП105
О свойствах матрицы при старших производных в системе уравнений диффузии и энергии многоэлементной среды с сильным межчастичным взаимодействием108
Раздел Ш. Коэффициенты переноса многоэлементной низкотемпературной плазмы в задачах высокотемпературной газодинамики112
Глава 7. Гиперзвуковое обтекание сферического зонда в верхних слоях Юпитера112
Система уравнений высокотемпературной газодинамики для исследования течения в окрестности передней критической линии сферического зонда. Граничные условия113
Определение характеристик поля излучения в ударном слое120
Теплофизические свойства ударно-сжатой плазмы Не+Н+С:122
Характеристики тепломассообмена в окрестности передней критической линии в ударном слое сферического зонда. 126
Глава 8. Критические явления при движении низкотемпературной плазмы132
Диссипативные структуры в плазме с объемным тепловыделением133
Диссипативные структуры в плазме с объемным тепловыделением (со, Л 丄=0)138
О режимах плоского течения плазмы под действием постоянного градиента давления в случае экспоненциальной зависимости вязкости и теплопроводности от температуры140
О режимах плоского течения плазмы под действием постоянного градиента давления в случае степенной зависимости вязкости и теплопроводности от температуры144
Приложение I. Теория линейного отклика147
Приложение II. Обобщенное уравнение Ланжевена152
Приложение III. Длинноволновая асимптотика временной корреляционной функции заряд-заряд158
Приложение IV. Модифицированное приближение Глаубера168
Список литературы176
ЕА. ПАВЛОВ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ с сильным кулоновским взаимодействием
ЕА.ПАВЛОВ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ с сильным кулоновским взаимодействием
МОСЖВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1995
УДК 533.9
Павлов Г.А. Процессы переноса в плазме с сильным кулоновским взаимодействием. — М.: Энергоатомиздат, 1995. - 192 с. - ISBN 5-283-04067-4
Проблема изучения теплофизических свойств веществ с высокой концентрацией энергии актуальна как для проектирования и создания перспективных технических устройств, так и с научной точки зрения. Проведен теоретический анализ теплофизических свойств кулоновских систем с сильным межчастичным взаимодействием. Построена модель для определения полного набора коэффициентов переноса низкотемпературной многокомпонентной неидеальной плазмы. При решении актуальных задач высокотемпературной газодинамики обнаружены и обсуждаются эффекты, связанные с резкой зависимостью расчетных газодинамических характеристик от полноты учета переносных процессов.
Для научных работников, аспирантов, студентов университетов и физикотехнических вузов, специализирующихся в области физики низкотемпературной плотной плазмы.
Табл. 15. Ил. 26. Библиогр.: 246 назв.
Рецензент И.Т. Якубов
Научное издание
Павлов Георгий Алексеевич
Процессы переноса в плазме с сильным кулоновским взаимодействием
Заведующий редакцией Е.В.СатароваРедактор О.П. ДунаеваХудожник обложки Ю.С.ШлеперХудожественный редактор Б.Н.ТуминТехнический редактор Н*М. БруднаяИБ № 4026
ПР №010256 от 07.07.92.
Набор выполнен на компьютере. Подписано в печать с оригинал-макета 29.12.95. Формат 60x881/16. Бумага офсетная №2. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,76. Усл. кр.-отт. 12,0. Уч.-изд. л. 12,34. Тираж 1120 экз. Заказ 626・ С024.
Энергоатомиздат 113114. Москва М-114, Шлюзовая наб., 10.
Отпечатано в Московской типографии № 9 Комитета Российской Федерации по печати 109033, Москва, Волочаевская ул・,40.
Без объявл.Без объявл.1604120000 - 024
Без объявл.
Без объявл.
051 (01) - 95