ГЛАВА 1

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКИХ ЛИСТОВДИЯ 11ЛАЗМЫ И ЕЕ МОДИФИ^ЦГГЯ ДЛЯ ЧАСТИЦК(И1ЕЧНОГО РАЗМЕРА

Дж, Доусон

§ 工 Вж^еиие

Модель плоских листов ——одна из наиболее старых и гибких (}дномерных Аюделей для численного исслсдовашш плазмы. Впервые опа была применена длгя исследования электростатических эффектов, плазменных колебаний, кинетики одномерной плазмы и даухпотоковой неустойчивости [1—5]. В зно贡 главе мы обсудим, электростатическую модель плоских лмстовФ Основное внимание будет уделено методам решеизя этих проблем на ЭВМ и ряду 1рудностей, которые гтрв этом встречаются (пакример, шуму). Однако реальные программы приводиться не будут.

Позднее модель плоских листов была модифицирована для того» чтобы допустить наряду с ие^пендикулярннм движением движение в плоскости самих листов [6—81. Эта модификация позволяет включить магнитные аффекты и эффект соударений в приближении Фоккера — Планка (используя метод Монте-Карло). На основе такйХ модификаций были изучены цшелотроншле волны [6], эффект 1сзлучения 181 и неустойчивосги типа Харриса (см. [9]), связанные с мокоэвергетическими распроцеленнями по скорост处l Хотя эти последние модификации весьма интересны и разпообразпы, мы не будем их здесь рассматривать, поскольку это увело бы нас слишком далеко-

§ ?• Эле^троем тнггчетая модель плоскихлист ов

Имеются две электростат1сческие модели плоских листов: однокпмпонентлая и двухкомпоиеитная. В однокомпонентлой модели (Доусон [2]) рассматризается шшзма» состоящая из боль- июго числа тождественных заряженных плоских листов, помещенных в неподвижный однородный нейтрализующий фон (фиг. 1). Предполагается, что все илоскис листы всегда перпендикулярны какой-то оси 左,по могут свободно двигаться вдоль нее. Считается, Qto они свободно проходят друг через друга-

Двухкомпонентная модель [4, 5] включает кан положительно, так и отрицательно заряжонные листы. Спова предполагается,

что плоские листы всегда перпендикулярвы какой-либо оси а и могут свободно даигаться только в х-маправленин. Допускается, что они свободно проходят друг через друга. Заряды на листах равны и протизоположны по енаку, но их массы выбираются разными. Вообще говоря, отношение масс ве берется таким большим, как 2000 : 1, так как в последпем случае ЭВМ потратит

все свое время на вычисление того, что делают быстро движущиеся электроны. Как правило, используют отноигения масс в интервале от 10 до 100, а затем пытаются пересчитать результаты для реального отношения масс.

Н ачпем с обсуждения одяо- 1сомпопентной модели.

Однокомповентмая модель

Ф и г. 1. Модель luiucKux листов

<У = —，Q)e6. 1И=飞吸聶.

■，4*2風

ЗС г — = X.

В однокомпонентиой модели существует равповеспое состояние, когда листы покоятся- В этом равповесяом состоянии

листы равномерно распределены

в пространстве и среднее элекаричсское иоле, действующее па мкт, равно нулю (см. фиг. 1). У каждого лнета электрическое попе претерпевает скачок на —4яи (закон Гаусса), где —<г — по- верхпостная плотносттэ заряда. Между листами электрическое

поле изменяется линейно с расстоикием из-за заряда фона. Расстояние между ^шетами в равковеенн, 6, равво пё1, где п0 — плотность нейтрализующего фена.

Если один па листов (скажем, лист 0 смещен 心 равновесного

положения на расстояние %“ то оп пересепает положительный заряд un^i на единкцу площади. По закону Гаусса действующее на лист электрическое поле равно “冗九①皿衣 а его движение описывается уравнением

тн± = — иЕ = — ^лп^х.

EUIB

(1)(1)3= —'3斬,

(1)

(1)

曬*

Легко впдетъ. что (1) есть уравнение гармонического осциллятора, так 口то

与⑴= Xf (0) cos 0諸+ 3 '°2 sin 3諸，(2)

/ (力)二 g (0) cos cop^—<0pZi (0) sin 侬諸・(3)

Каждий лист осциллиругет с плазменной частотой неззвисиыо от всех других.

Уравяенл® (1) и определяемое формулами (2) и (3) решение спхрякяются только, если выбранный лист не пересекает др^того- Есим же произошло какое-то лерссетевяс, то электрическое поле скэяком изменяется на —4no н ускорение тол«е испытывает внезапный скачок. Ситуация такая же, как если бы листы поменялись юоложешшлги равновесия. Поэтому ураюнеиие двяэкелмя листа

мринимасг вид

图图g=-噎 Xь

图

图

где Xi — координата листа, a Xf — смещение ето от мтповепного положения равновесия.

Теперь можно построить другую одномерную модель плазмы, которая полностью эквизалентва только что описанвой. Предно- лоашм, что вместо листов, свободно проходящих друг через друга, ми имеем идеально упругие листы. В одномерном случае при совершенно упругих столкновениях идентичные частицы просто обмнппваются скоростями. Последнее приводит к той же ситуации. которая возникает для частиц, проходящих друг аерез друга. Единственное отличие между окончательными результатами ааклю- иаггся в именах, которые мм присваиваем частяцам-

Можно построить мехапмчес.кую модель одномерной плазмьь Модель состоит из набора идемтичпых мантников, каждый из которых имеет упругий шарик на конце. Маятники выстроены в л шило и могут осциллировать только вдоль этой лпиип центров.

С 110Moiцью этой модели можно продемонстрировать ряд свойств одномерной плазмы. Например, если первый маятник отвести R сторону л освободить так, чтобы он смог ударить второй, то он передаст свою скорость второму, второй — третьему и т. д, Таким образом, импульс движется через маятники. Когда какой-то маят- 1‘ик ударяет соседа, ои теряет свою скорость, но не свое смещение. Таким образом, пмиульс оставляет маятник после себя в смсщен- ном состоянии, н маятники начинают колебаться. Это эквмвалепт- н。возбуждению колебании плазмы при двпжонпи быстрого листа "©роз плазму.

Численный метод оии^апия движекшб однокомпсшентноЁодномерной плазмы

Будем искать ре」нен口я уравнения (4) для листов, корректируя

лист nepece-лист nepece-орбиту 〃лл пересечений с соседними листами- Когда кает соседний, ускорение претерпевает скачок,

лист nepece-

лист nepece-

底=士唠6,

где 6 ——расстояние между частицами в исходном равновесии; знак плюс выбирается, если пересекаемый лист вначале находился

справа, а минус, если слева.

соответствии с ихсоответствии с ихДопустим, что частицы пронумерованы в

соответствии с их

соответствии с их

ноложением вдоль оси 宏.Если не происходит пересечение, то решение уравнения 64) имеет вид

(7)(7)g (£ + △£)=/“，)cos ОрД^ — <vpXj (0 sin WpAi.

(7)

(7)

g 但+△，) = g (£) + & (£) sin opAi—Xf (£) (1 —cos <0p&)・

Ком вычисляет эти непересекающиеся положения и проверяет» не произошло ли какое-либо пересечение, т- е, ин разыскивает ситуации, когда

(«)(«)Xi (t 4 At) >?](£ + Ат) для 7 > г.

(«)

(«)

(Напомним, что частицы пронумерованы вдоль оси』.)Если он находит, что такое пересечение произошло, ои вычисляет время

Фиг, 2. Схема пересечения♦

пересечения, определяя сначала хорды двух орбитальных кризых в плоскости ①,& а затем вычисляя времена пересечений для нмх (фиг. 2). Первое приближение для времени пересечения 編 записывается в виде

（汾（汾%〃$)—冲⑴

（汾

（汾

阳(£)—祈(t) +祈 Q+&E)—*『住+At) *

Далее кид вычисляет, исходя из непересекающиАся орбнт, иолол?ения этих двух частиц в нредсказаппый момент пересечения. Затем он вьгшеляет хорды, провсленныо через эти точки в момен- ты £ и £口，е определяет их время пересечения 砲％ Это время используется как правильное время пересечения. Вклад от более ранних пересечений (если таковые были) в течение А£ ие включается. Ес л口 две частицы пересеклись до момента Е из-за поправок к их орбитам от пересечений в предшествузощпй ьрсмснибй хштервап? то f，・2 будет отрицательным и метод найдет поправку. Орбиты частиц корректируются путем добавления постоянного ускорения 土 Орб м их днитеепию на протяжении остальной части временного пгага, причем знак зависит от порядка пересечепия.

В первоначальном варианте этого кода движения вычислялись бев учета поправок для лересечешш в течение At. И даже при временных шагах, настолько коротких, что вероятность пересечет!» одним листом другого мала, было обнаружено, что энергия убывала с иелопустимой скоростью, приблизительно кан

(萼)3a 寸=小加， (4。)

где 竝—временном шаг. Эта скорость довольно велика, кроме тогот точш*сть имеет только первый порядок откосительно AL Благодаря включению Егервой поправки для пересечения закон сохранения эиергин выполняется с большей точностью, ~ △产,и это примерно на три порядка лучше для 8P△[ = 0,05 и пХр = 10. Введя вторую поправку для времени пересечения, мы получили дальнейшее улучшение выполнения закона сохранения энергии на два порядка для @rA£ = 0,05 и пХ/) — 10. Увеличение рабочего времени из-за згой последней поправки сказалось незначительным (~4 %) н с избытком окупалось возможностью использовать большие временные шаги при заданноё точности♦

Наряду с проверкой сохранения энергии ранний вариант кода без второй поправки длй Бремени пересечения проверялся на обратимость во времени. Движение системы из 9 листов было обращено, и мы обнаружили повторение траектории системы с точ* постыо до 10-® (все орбиты имели эту точности в течение 6 колебаний (<0р£ = 36). В этом случае на дебаевской длипе находилось примерно 2】5 частицы.

Если частицы пронумерованы в том порядке, в котором они встречаются па оси х, то при проверке па пересечения нам нужпо проверять только соседние в таблице частицы (т. е. соседние на оси £ частицы). Существует максимальное расстояние по £, при котором частицы еще могут сталкиваться на протяжении временного шага. Это расстояние определяется формулой

мm出e (0 =①一如1记+0⑼芻 (丑)

где Атмакс (0 ——максимальное расстояние, на котором мы должны искать впереди пересечение с Z-й частицей;—少_ макс есть максимальная отрицательная скорость частицы; v (0 ——скорость 扣说 частицы и Ai — времелпой щаг. Мы ищем столкновения только впереди (ло з), так как столниовепия сзади были выявлепы ранее, по мере движения через таблицу. Максимальная отрицательная скорость обновляется каждый период s?1.

Для того чтобы этот метод бил эффективным, частицы должны быть приведены в порядок в соответствии с их положением вдоль оси =・ Это произйодится подсчетом числа случаев, когда лист пересекает Другой справа от себя, и вычитанием из него числа случаев, когда оп пересекается другим слева. Полученное количество дает число мест, на которое нужно порсдвииуть частицу вперед (или назад) R таблице- [Все таблицы данных (положения, скорости, характеристики частиц) также перестраиваются-! Еа;«дое пересечение одна частиц® испытывает справа, а другая — слева. Таким образом, сумма полного числа пересечений (считая правые положительными, а левые огрицательшии) должна равняться пулю; последнее обстоятельство использовалось кан проверка кодов. Далее эта процедура призодит к однозначному распределению для частиц» причем одно место в таблице не могут занимать две частпЩ11. Эго была вторая проверка кодов. '

Граничные условия ставятся след^шнщи образом. На каждом кои!^ помещается набор мнимых зарядов. Выбирается достаточное число этих еарядов, с тем чтобы частица изнутри системы не смогла перескочить через ыоследпюю миимую частицу в точение одного времепиого шага. Если мы хотм иметь условие зеркального отражения па границе, то мнимые частицы должны быть зеркально симметричны (т. е. раснолагаться на равных расстояниях от границы, но иметь отрицательные скорости) частицам, непосредственно примыкающий! к границе. Если же мы хотим иметь псрио' дические граничные условия, то мнимые заряды должны быть тождественны частицам на другом копце системы, за исключением того, что они должны быть елгещевы на расстояние 土Е, где L — длина системы; знак зависит от того, каков конец системы мы рас- сматрнзаем. Движение 1£оследиих мнимых частиц может быть неправильным, но это несущественно, так как они заменяются новыми ыивмыми частицами в конце каждого временного шага.

Обычно код пробегает в среднем от 1/2 до 1 пересечения на частицу за временной шаг* Эпсргия сохраняется с точностью до 40-а иа протяжении 40 временных шагов, когда па дебаевской длине находится 20 частиц. Код требует примерно 2 *10-4 с на частицу и на один временной шаг на IBM 360/65. Как правило, включаются такие диагностики, как .вычисление функции распределения по скоростям, фуръе-образа электрического поля и траекторий частиц в фазовом пространстве. Они могут потреблять заметное время.

Численные методы, используемые в двэ^компонентнои модели плоских листов

Двухкомнонентная модель плоских листов [4] содержит два Л Еиа листов с равными, но противополояшымл по знаку зарядами и различными массами* Эти листы всеща пернендакулирны какой-либо оси 瓮,но могут свободно проходить друг через друга.

Уравнение движения листа имеет вид

eН奇居，（42）

где Ei — среднее электрическое поле у г-го листа （t — ею порядковый номер па оси ж）. Между пересечениями поле Е постоянно и орбита i-ro листа определяется формулой

■ = 3。+"#+•畿f-・（13）

Аналогично для орбиты соседней частицы имеем

町=勾От- ■+ 0疆，（伍）

где j = t 土 1. Поскольку заряд на листе равен ±аэ то по закону Гаусса поле Ej должно быть равно £г 土 4〃о, где выбор знака зависит от эпака заряда на Z-м листе* Время пересечения листов £ и / получается в результате приравнивакия ^ и i?j и определяется уравнением

（勺。-/加）+ （/ —巧0）±+（臂;-学《；）*=0，（45）

（16）（47）（喲（16）（47）（喲Решая это уравнение относительно ±, получаем Ad 士 （自逮一必必1产 55^•

（16）

（47）

（喲

（16）

（47）

（喲

где

△劣=Зо — i“,

А" = б。— v^,

9 2mj •

Возможно, что частицы z и j никогда не пересекутся или время псресетенмя слишком велико, гак что оки пересекут раньпхе другие частицы- Однако вседца верно утверждение, что пересечение может иметь место только для соседних в данный момент частиц.

Теперь мы можем двигать вперед систему, пересечение за пересечением, регистрируя положение и скорость частицы в момент ее последнего пересечения. Мы составляем, спиеон времен пересечений д^1я частиц, пересекающих своих ближайших соседей. Две 2—01236

частицы с самыми короткими временами пересечений персе * < каются. После пересечения »тих частиц для них вычисляютг { новые времена пересечений по отношению к их новым соседям] Старые времена пересечений, соответствующие »тим частицама вычеркиваются, а вовые времена перессчсвдй вносятся в таблип] переселений иа соответствующие места-〔

Чтобы излоисбннып выше метод был эффективным и не требов.， очеш большого машшпгого времени, используегся ряд лриемсм J Во-первых, времена иересечеяия заносится в таблицу пересечения в том порядке, в котором они происходят, так что следующим пер< ； сечением является то, которое приводится в начале таблицы. Чтоб*1 упростить ввод времен пересечения в таблицу, первые несколь> J значащих цифр времени пересечения используются для определи] вия его положения в таблице- Чтобы не возникало пеобходимост^ перестраивать всю таблицу пересечений или передвигать большое число времен пересечений в таблице, когда туда вставляется новое» таблица делается гораздо больше (примерно в 10 раз), ае竄 полвое число времен пересечения, с тем чтобы она содержала глав-； ным образом пустые места. Таким образом, когда вставляете^ новое время пересечения, оно обычно попадает ка свободной место. Если же на этом месте имеется какое-то время пересечения^ то последнее сравнивается с тем, которое нумспо поместить, а。口中 размещаются в таблице в надлежащем порядке. Если занесенное! в список значение нужно подвинуть, то оно обычно перемещаете® только яа одно место из-за большого числа пустых мест. «

Поскольку мы не можем заполнять бесконечно длинную та『 лицу пересечепий, мы должны определить наиболее вероятно^ время пересечения для соседей- Если время больше чем эго, то од нас или другая из этих частиц будет пересечена третьей частицей преисде, чем предсказанное пересечение произовдет, НалбонеД вероятное время пересечения определяется из следующих сообра^ жений. Скорость пересечений, которые испытывает частица со ско | ростью и, приблизительно равнаj

"(/+吟产一鲁=m，(然g

где N© ——число пересечений, которые испытала частица, п --' плотность,流 ——среднеквадратичная 宝аотическал скорость (в это** выралссциц мы использовали среднеквадратичную скорость othg • сительяо других частиц, но можно было бы использовать и ере】「 нюю относительную скорость). Вероятность того, что частиц >J не меинтает пересечения за интервал времени т, равна ；

Вист пересечишн) = 6Хр {—而巡1*(20)：

Максимальное время пересечения, удерживаемое в таблице, выби-* рается таким, чтобы величина Р была крайне малой, обычно'

иорядна 40-8—10-у. (Минимальное значение Nc можно исиоль зовать для вычисления т. причем т должно быть порядка 20 сред 】лх времен пересечения.) Такая малая величина Р действительно требуется, поскольку нужно быть уверенным, что фактическое пересечение не пропущено в системе, состоящей из нескольких тысяч листов, каждый из которых испытывает несколько тысяч пересечений за время счета. Ввиду этого обстоятельства большая qacTL ирсмеп пересечения сковдентриров ана вблизи начала табли ци. Ото нужно учитывать для того, чтобы в начале таблицы имелось место для размещения новых значений пересечении. Дагшук! ситуацию можно былр бы улучшить, оставляя блок из небольшого нисла мест в конце таблшрл, чтобы размещать времена пересечений, в 6——7 раз превосходящие среднее время пересечения, но это могло 6卜I усложнить логическую схему использования и обпов- аення таблица и потому не было осуществлено нами.

Как уже упоминалось, для ускорения ввода поступлений в таблицу пересечений первые несколько цифр времени пересечения используются в качестве адреса. С течепием времени размер времен пересечения становится все больше и больше, и, слодователь- 1Ю] адреса доступлеиий становятся все длиннее и длиннее- Чтобы таблица пересечений не была слишком большой, мы должны сном- иенсировать это- Последнее осуществляется путем использования круговой таблицы, причем расстояние по окружности равно максимальному интервалу, на протяяютш которого нужно рассматривать пересечение. У последнего рассмотренного мременн пересечения помещается флажок- Это время вычитается из новых времен пересечения, и первые несколько еначахцих цифр тогда определяют их И1>ложение в таблице относительно последнею пересечения-

Граничные условия задаются путем помещения мнимых частиц на концах системы. Для получения граничных условий идеаль- ного отражения зеркальные изображения крайних частиц помещаются с обоих концов в зеркальных точнах. Для поаучепмя периодических граничных условий в соответствующие места лпчещаются зеркальные отражепия противоположшдх концов.

Вмшрописапвый метод развития системы ——пересеченне за пе- [)рссчением — имеет ту же точность, что и машина, и очень быстр. На ислользованиой машине энергия сохранялась с точностью 浊 десяти значащих цифр в течение длительного времени ((opf 七 а 10()； машина имела 12 значащих цифр). Вычисления занимали °Ко』】о 1 мни па период 抬％・ для 1000 злретрояов н КИЮ ионов на машине CDC 1604, которая считает на несколько порядков мед- "елн?。, чем современные быстродействующие ЭВМ. Время вычис- “енн宓 пропорциопально числу частиц, умиожениому на число 'асн0H на дебаевской длине. Единственным недостатком кода является то, что для таблицы пересечении требуется большая

память. В момент разработки кода это не было важпо, так к машшшос время существенно ограничивало размер системы, koi рый можно было рассмагреть.

Описанный метод времен пересечений можно исиользовать и д. однокомпонентной задачи. При вычислении времен пересетеи] для соседних частиц нужно решить трансцендентное уравнен

6 =(勺一工卄 1) COS 8р4 十 刍.” sin s/o(2

(6 — расстояние между частицами). С другой стороны, для дву компонентной модели можно использовать приближенный мех разыскания времени пересечения, применяемый в однокомпопеь нои модели. Это было сделано и дало хорошие результаты (по с ществу метод так же быстр и сохраняет энергию с точиостыо четырех значащих цифр в процессе счета при 丹£ 比 100).

4_ Проблема шумов н столгаювешш в модели плоских лист

Посколысу модель плоских листов состоит из отдельш частиц, то в ней происходят явления типа столкновепим, Каясд! pas, когда какой-то лист пересекает другой, появляется скач* в силе, которая действует на листг и его орбита изменяется. Э скачки приводят к эффектам типа столкновений, которые могу замаскировать эффекты, подлежащие исследованию. Если、: намерены использовать ншп код, то важно понять эти эффект Впрочем, эти эффекты интересны и сами по себе, поскольку oi связаны с кинетической теорией плазмы. Многие положения эп теории могут бить детально проверены на этой модели 12, 4, 5, К

Когда стандартная кинетическая теория плазмы, в котор используется только двухчастичная корреляционная функца применяется к однокоьшонентной модели плоских листов, то в устойчивые функции распределения оказываются не зависящий от времени. Этот результат в общем физически естествен. Ра смотрим две одинаковые частицы в одномерном пространств которые вначале имеют скорости q и。2・ Включим взаимодейств] между ними. После взаимодействия их скорости бупут % 口 и Благодаря сохранению энергии и ттпульса имеются две сохр няющиеся величины. Единственно возможными значениями и 方2, которые сохраняют энергию и импульс, являются

% — 9，砲=%(2

ипи

也一02, 以=五.(2

В любом из двух случаев функция распрсделения не изменяете.

Можно было бы ожидать, что в плазме, i^e одновременно БзанЛ£Одействует много частиц, эти два закона сохраиепия не да- д,7Т полной картины. Однако теория рассматривает все взаимо- д^^вея как слабые,班，следовательно, соответствующие эффекты будут аддитивиыми (предполагаем, что сталкивающиеся частицы некоррелнрованы, или хаотичны). Влиянием одного столкновения

畑畑Фиг. 3. Прямоугольная функция / (и).о — слеп за быстрым листом; 6 — начальное распределение по скоростям.Фиг. 3. Прямоугольная функция / (и).о — слеп за быстрым листом; 6 — начальное распределение по скоростям.比

畑

畑

Фиг. 3. Прямоугольная функция / (и).

о — слеп за быстрым листом; 6 — начальное распределение по скоростям.

Фиг. 3. Прямоугольная функция / (и).

о — слеп за быстрым листом; 6 — начальное распределение по скоростям.

на другое пренебрегаете% поэтому законы сохранения по-прежнему фмксирукус результат. На самом деле при одновременном соударении одно столкновение воздействует на другое, и потому должен быть какой-то столкновительпыи эффект.

Эти положения были провероньт на численном эксперименте R однокомпонентной модели плоских листов. Была определена истинная скорость релаксации к максвелловскому распрсделе- бяю 110L Исследовалось изменение во времени распределения, которое вначале имоло прямоугольный профиль, показанный на фвг, 3. Начальную скорость част>щы получали в результате вычисления случайного числа, но70Poe равнораспределено на ин- тервале от —1 до 1, и умножения его на %・ Чтобы определить зависимость эиолюцни во времени от кинетической анергнн или 讐 ^числа частиц на дебаевской длине [1D =(便尸心/恤；(吟= = /滋—среднеквадратичная скорость], использовались раз-

нме и。. Начальные положения частиц выбиралась равпомерн распроделеииымБ и пространстве. За врема первого колебали плазмы вокруг каждой частицы образовывались экрайирующл облака. Образование этих облаков требует некоторой внергив 直 результатом является существовайие короткого периода 6нб〔 рой перестройки, которая скругляет углы распрёдолепия. ПЗ этой вачальиой иерестройки распределение изменяется очев

8080詳卜詳卜>200'>200'60604。4。Z0Z00Х~,S I0Х~,S Iгого6060£=4£5—Максвршювспое£=4£5—МаксвршювспоеЧоиЧои4 6 8 W 1? 14 16 О 2 4 6 8 Ю 1Z /4 /^吁54 6 8 W 1? 14 16 О 2 4 6 8 Ю 1Z /4 /^吁5

80

80

詳卜

詳卜

>200'

>200'

60

60

4。

4。

Z0

Z0

0Х~,S I

0Х~,S I

го

го

60

60

£=4£5

—Максвршювспое

£=4£5

—Максвршювспое

Чои

Чои

4 6 8 W 1? 14 16 О 2 4 6 8 Ю 1Z /4 /^

吁5

4 6 8 W 1? 14 16 О 2 4 6 8 Ю 1Z /4 /^

吁5

©от. 4. Изменение во времени прямоугольной функции расиредел<

медленно. На фиг. 4 показана эволюция распределения по ск《 ростям при 5 частицах па дебаевской длине. На первом график показано распределение непосредствеппо после быстрой перестрой нн; последующие графики показывают, кан распределение релан сирует к максвелловскому. По существу максвелловское распрл деление досгигается при ®戸=425. Это время гораздо больш того, которое требуется, чтобы группа выбранных частиц достмгм основного распределения; последнее составляет только lOoJ1.

График времени релаксации, подученного из таких вычисли iiuii, в зависимости от (пХ^)2 представлен па фкг. 5. Видно, Е времн релаксации пропорционально (八力加金.Последнее товор. о том, что к релаксации ведет одновремонное взаимоднйств^

трех частиц, поскольку время релаксации, обусловленной двух- ^с；ичвь1мн изаимодействиями, было бы мропорционально 込刃, естш бы члены этого порядка не сокращались. В настоящая время

谤

Ф и г. 5. Время релаксации как фуялцип (，认0久

нет теоретических работ, которые предсказывали бы эту релаксацию, хотя время релаксации, во всяком случае ето порядок，

nD=zo

020406。801003

Фиг. 6» Флуктуации функции / (0.

Точка на вертикальной； ося сечь / (0),

можно оценить, изучая излучение и поглощение волн в результате столкповеиий частиц.

Интересно, что функция распределения обнаруживает быстрые хаотические флуктуации около некоторого средивго распределен 屮叫 которое постепенно релаксирует к максвелловскому. Па фиг. 6 показаны флуктуации числа частиц, скорости которых заклю- "eiiw в малом интервале вблизи нуля. Ясно видвы быстрые ©лук- туацин. Последние обусловлены постоянным обменом между

энергией электрического полз и кинетической энергией части® Хотя этот обмен происходит постоянно, его природа такова, чт оп производит очень малое систематическое изменение. Это докз бывает, что медленная релаксация распределения нозникае из очень тонкого баланса, и, следовательно, описываемые вычле лония обеепечЕвают важную проверку кинетической теории плазмы.

5. Излучение и поглощение продольных волн из-sa столкнивенвг

В предыдущем пункте мы видели, что столкновения дну частиц ве изменяют функцию распределения одпокомпононтпо!

唄

ЯГ'

"Г

1

ю го

Хомен Ноды

Ф к г. 7. Зависимость излучательвой спо

собности ст

мсмора шодц.

одномерной плазмы и чт< существующая релаксаци：^ распределения к максвед- ловскому ва самом 耳еК является очень модлеппой Отсюда можно было бь сделать вывод о том, чп эффекты столкновений иг существенны для расчет。； в модели плоских листов Однако это ио так, но скольку столкновения мс гут влиять на разные 玫 личипы по-разному. Пр исследованиях па модел плоских листов такие фа> ты были действительв обнаружены. Одним е. важных примеров этог является излучение и пс глощение продольных вол из-за столкновений.

Когда две заряженны частицы сталкнваютсядру с Тф/гом, их взаимода1 ствие приводит к излу чеяию электромагнитвьи

волн. Более того, продольных волн.

это БзавмодеЁствие также ведет к пзлучопи: Излучение продольных волн может происх<

дить также и в однокомпопентпой одномерной плазме.

Можно спросить: если столкновения двух частиц б моде/ плоских листов не приводят к термализации функции распредел ния, то как сии могут привести к излучению и поглощению пл: менных волн? Ответ заключается в следующем. Отсутствие релг

nj)fl двухчастичных столкновениях является следствием Угонов сохраиснпя энергия л импульса. В случае излучения 3' поглощения вилвы имеется третий партнер — волна, которая и. несет энергию и импульс, так что указанные законы сохра- т”ии} не будут больше полностью определять окончательный результат. Была развита теория излучения продолъицх волн

Фиг. 8. Затухание как фупиция номера моды.

[12, 13], которая учитывает ускорение даух частиц и их экрани рующих оболочек, когда опи сталкиваются друг с другом. По существу эта теория пдекшчпа той, которая используется для описания слабой турбулеитпости в плазме. Таким образом, проверка теории излучешя продольных волн одповред^енно обеспечит и проверку теории слабой турбулевтности у по крайней мере для волн малой интенсЕвности, когорые здесь рассматриваются.

Теория излучения продольных волн проверялась па одноком- повемтпом модели листов 1141. Возникающее здесь излучение апйлогично 才ому, которое появляется от столкновений электронов с элекгропами (столкновения одиншеовых частиц. График зависимости интевсивности излучения от волнового числа (обратно пропорционального п“ин。волны) представлен на фиг. 7. Сплош- й®я кривая дает излучение, предсказываемое теорией. Точки соответствуют результатам численпого эксперимента на системе частиц, когда на дебаевской длине было 7,5 частиц. Согласи© Сеь хорошее, причем интенсивность излучения иамепялась на три порядка.

К излучению волн из-за столкновений частиц тесно иримнка* поглощение волн по той же причине. Столкновительное иоглс щенмо волн можно детектировать по излучению благодаря tomj что излгучбяпс и поглощение должны приводить к тепловом равновесию, в котором каждая мода ко^гебаний штеет энергию kl На фиг» 8 представлен график зависимости декреме1гга затухшш для волн от волнового числа (числа длин волн, которые уклг.тгш ваются в системе). Система содержала 1000 листов и имела 7,5 豆孤 女иц па дебаевском длиие. Сплошная кризая получена из теори и является суммой двух пунктирных кривых, характеризующ^ •«столкновительное затухание» и затухание Ландау. Кривая столе новительного затухания получена из только что обсуждавшей© теории столкновений. Затухание, представленное кривой с ooiei кои <<трария Лаидау», не связаяо со столнновенияадтт, а возник ас ют поглощения энерши частицами, которые движутся с фазово скоростью волны.

§ 3・ Иссле0ова^1 #я。частицами конечного размера

Для преодоления столкнов1етсльных эффектов, связаннь с листами, было бы полезно использовать несколько Езмененнь модели. По существу нас интересуют нс детали движения частил а скорее коллективное движение в цеяом, которое содержит мн( го степеней свободы. Нужно иметь воеможность моделирова* плазму таким образом, чтобы правильно тршетоватъ ее поведет в целом, несмотря па игпормровапне дегалей, связанных со стол новениями частиц.

Существусг несколько подходов к этой проблеме. Пс^рвы который мот бы показаться наиболее прямым, требует решеш уравнения Власова численно. Это было выподнево с некотор* успехом [15—18]. Однако адесь имеется принципиальная тру ность, благодаря которой такой подход пригоден только для on сания движения на ограниченном отрезке времени [16, 18], Де «твителыхо, уравнение Власова списывает систему с бесконечно-: числом степеней свободы (бесконечное число частиц). До тех пи пока функция распределения имеет отиосительпо простую форщ так что ее можно олисать несколькикш параметрами, можно С* дить за ее эволюцией. Однако если функция распределения прио< ретает такую сложную структуру, что для ее описания требустъ большое т£исло параметров (порядка нескольких тысяч), то ш-ь конечных размеров ЭВМ мы не можем больше следить за деталяй движения. Поскольку функция распределения обычно лрноб】 тает такую сложную структуру (вероктно, это так во всех cjtyqaj интересных в аспекте численных расчетов), то этой пробле яе избежать. Когда возникает тшеое положение, мы доляохы отб: скть некоторую информацию (т. е. упростить функцию распр<

пенЕ#), втобы лродьинуться дальше. При любом математическом Методе, используемом для Сглаживания функции распределения, дет ясности в его физических последствиях. Такое сглажЕвание отчасти похоже на влияние столкновений в модели дискретныз: частиц- Однако оно является полностью численвым по своей природе, зависит от процедуры стлажизания и требует анализа еп> воздействия на результаты (теоретического или экспериментального).

Приближение частиц для моделирования ппазмвт автоматически ограничивает информацию, с которой машина должна работать, до того предела： который нрвбуетс臭 для описания движения частиц^- Если повышенные столкновительныс эффекты удастся в достаточной степони умевыпитъ, то этот метод окажется естественным и физически прввлекательпыл! методом такого ограничения информации. Оставшиеся столбцов ительвые эффекгы можно будет понять и учесть на основе физических соображений, которые в общем уже ясны.

Ряд авторов [19—21] уменьшали столкновительпЫе эффекты, сглаяшвая иоле, обусловленное частицами. Хокпи выполнял такое сглаживание, разделяя r-пространство на ячейки и затем вьгчпе^игя ноля так, как будто все частвди одной ячейки находятся в ее центре. Оп пренебрегает взаимодействием частиц внутри Кайедой ячейки друг с другом, обрезая таким образом взаимодействие на малых расстояниях. Бйрдсол [20] модифицировал метод Хокни, распределив заряд ячейки по ее углам. Метод «частиц к ячейке* Морза [21] эквЕвалентеи методу разделения варяда 1^рдсола,

Все эти методы используют какухолибо математическую процедуру для сглажЕвавия потенциала, а это практически зквмва- лептно сглаживапию взаимодействия при близких столкновениях» Однако всем этим методам присуща одна и та же трудность — необходимость сглажЕвания функция распределения при решении УР^неиия Власова. Процедура же математического сглаживания вводит эффекты, последствия которых понятны не вполне- Сомне- Ш1я такого рода мояспо ликвидировать только в результате кро- потливого исследования БОЕедения модели (кяк теоретического, так и экспериментального)-

Поведение системы в целом, по-вйдимому. не аазиаит крити- "ески от дегального движения всех частиц. Оно должно опреде^ 与3TLeл рядом макроскопических параметров- Число этих парамет- р(т может быть большим, но оно должно быть существенно мень- 1ле, чем число частиц. Если это не так, то у нас ве остается вздеж- Ны и紅 описание плазмы. Если зто правильно, то должен существо- валъ метод сохранения важной информаций м исключения массы Деталей, которые неважны. Метод «частиц в зпейке» достигает “1。近 цели путем использования конечного числа частиц и ячеек.

Модель частиц конечного размера

Мы использовали другой подход к этой проблеме. Посколы пас в основном интересуют длинноволновые коллективные дви» ния плазмы, то нам нужно удерзкаяъ при вычислениях только з моды, т. е. только фурье-моды с длинами волн, большими некот рой мл нимальной. Это просто сделать, если。口уегать электрик скис поля с длинами волп короче, чем те, которые считаютс

важными. Таким образом, ми могли бы принять, что электр чесхюе поле, обусловленное частицей, определяется конечн( суммой Фурье:

“MQKC .

Е(г) — 4ло 2 会 expEk・(r—31,(2

"мнн

где 论макс и йщил определяются наименьшей и наиболыпей длина волн, которые нас интересуют, г — координата частицы и и ее заряд. Обычно Мкс должно быть порядка К», где XD — деб евская длина, а 立］чин определяется размером системы;限直耳 порядка 五一1, i^e R — радиус системы.

Если электрическое поле выбрано в виде (24), то опо Суд иметь колебания, которые для одномерного случая представлен на фиг. 9. Такие колебания поля ножелательны и могут бь ликвидированы 今・ Нам не обязательно выбирать поле в виде (3S можно принять и следующее выражение:

%анс

E(r) = 4m 2 告/的以［企.(1 -W,%直口

x) 4* 3衰 Langdon, частное ссюбщекие, 1967,

где у 他)一формфактор. Подходящим выбором для / (份 является ехр (——丘冊/2). Теперь видно, что если к^с было бы бесконечно, т] выражение (25) давало бы электрическое поле, соответствующее распределению заряда по закону Гаусса:

р (г)〜仃 exp [ 一 -.彥尸]• (26)

Таким образом, формула (26) будет определять поле, соответ- ствующее частице конечного размера а. Если 礒ак— велико, то все ч?1елы бесконечной суммы с fc, большими &ыакс* малы, и конечная бумиа дает хорошее приближение для поля такой частицы. Поскольку поле такой частицы гладкое и не осциллирует, то это и основном будет так и для конечной суммы.

Теперь огранггчт! себя одномерным случаем и рассмотрим пзан^одействие между частицами, плотность зарядов которых имеет вид

g вхр [—G^*2/2Z]

где Xt — координата центра облака и (—и) — его полный заряд. Разлагая плотность заряда в ряд Фурье, получаем

p的=p的=о ехр[—(A2a2/2) -j- i痴 Jо ехр[—(A2a2/2) -j- i痴 J(28)(28)

p的=

p的=

о ехр[—(A2a2/2) -j- i痴 J

о ехр[—(A2a2/2) -j- i痴 J

(28)

(28)

期 tg время как Е (fc) опредедгяется выражением

ikE (fc) ^ - ^^1-<^)+^1 .(291

Сила, с которой частица / действует на частицу £, записывается в виде

со

Fl j 届⑺pw@)di =—co

=2" f dkdx =p[咏何一幼一(妙四2)一(*一期)2/2叫,

f訂=勿与J 一P回您.-)二h吗源(31)

•斤а сила имеет ту же функцвональную форму, что м ноле Е в точ*- ,:с 勺，создаваемое частицей в точке 二了 с полушириной /2。и зарядом и.'

Поскольку теперь нам нужно работать с конечЕгым числом чле- ”。当 мы заменим полученное выражение для силы конечной сум-

мой <1>урье

%QKC

尸斤二居I 2 江 exp( —"%2)sinA 任j—з»,(32>

где k ^ 2nn!L9 n — целое число и L — длина системы. Эта сила периодична с периодом L и соответствует рассмотрению бесконечного набора повторяющихся идентичлик систем. Система в хфвлом нейтральна, поскольку пол© периодично. Последнее змвивалент- hq наличию неподвижного нейтрализующего фона.

Сила, с которой на иастиду г действуют все другие частицы, определяется выражением

，18КС尸1 =股勺=2j -^ехр( 一生2a2)Х*мпн，18КС尸1 =股勺=2j -^ехр( 一生2a2)Х*мпнXX(33)(33)

，18КС

尸1 =股勺=2j -^ехр( 一生2a2)Х

*мпн

，18КС

尸1 =股勺=2j -^ехр( 一生2a2)Х

*мпн

X

X

(33)

(33)

(2-近 член можно включить в суммы по J, лредольку отсутствует : воздействие Дастины » само击 на себя).

Чтобы рассмотреть движение частицы во времени, предположим, что в течение временного шага силу мо?кво вычислять мак,' как будто частицы движутся с постоянной скоростью. Далее предположим, что 无макс^А» мало, т. а что частица проходит за один шаг только малую часть самой коротаой ие рассматриваемых длин волн. Тогда ми сможем анпроксидшровать (33) следую-《 щим уравнением:

点=士 令exp(i%2) {卜mM(t)(l—|"ftM⑴甘+]

%нн

+ 阮山)TCOsfcr“E)][》CO»M (习一[fcTSintoi (0 - №iT2C0sfcx£{«)]:■:

X [二力⑴ sin kxj (可-[} fceTs sin Ag ⑴]，唠⑵ cos 加7 «)]—

—[cos kxt (/)^1—-!丘％彳 «)七2)—痴《)zsin kx； (Z)J [》価 M«)]—

—[At cos 占g (£) — A论 «) d ftin % ⑼[》与(*) cos 月力(可 +«

+g AY cos kTi (0 2 谤任)sin fcq (£) }・(34) j

Здес^ t — время в начале вромешюго шага； т — время, встокшее от начала временного шага; удержаны члены не выше второга порядка по т. Уравнение (34) можно проинтегрировать» чтобы получить скорости и коордипаты частиц.

Уравнение (敌)выглядит довольно сложным, поэтому возникает вопрос, нс чотеряли ли м耳 больше, чем выиграли, используя нашу технику. Здесь необходимо отметить следующее. Во-первых, суммы no j не зависят от г и могут быть вычислены для всех частиц раз и навсегда. Каждая сумма по j должна быть определена для каадого рассматриваемого fc. Т^ким обравом, если имеется N частиц и М мод, то ьужно вычпелить aNM членов, где а ——коэффициент пропорциональности, определяемый числом сумм по / (в пашем с;(учае их будет шесть). Аналогично» чтобы описать движение частиц, нам нужно вычиелкть р/If членов для каждой: частицы, что требует нахоэкдения ^MN членов. Следовательно, время полного вычисления будет проиорциопальмо MN. Еслц бы мы попытались вычислять взаимодействия частиц непосредствен- но (последовательно для кажцой парь^, то Бремя вычислений было бы пропорционально N》[2. Таким образом, если 4/ гораздо мепьще числа частиц, то вшца техника дает преимущество по сравнению с прямым вычислением взяемодсйствий. По существу, мы стремимся удержать только несколько мод ——длипновол в овые коллективные моды, которые существенны для рассматриваемых проблем. Следовательно, М должно быть много меньше W. Кроме того, поскольку частицы должны представлять полную функци!р распределения в фазовом пространстве, а моды — только координатную ч^сть возмущения, то необходимо гораздо больше частид, чем мод.

В результате включения в уравневие (34) зависвмссти поло- л<рн1ш частиц от времени мы усложняем вычисления-^ Одвако одмовременпо мы значительно ул^^чшаом точность метода и получаем воаможпость выбирать большие вромеппые шаги, что с лих- вой компенсирует дополнительные вычислония. Если не делать зтог。, то закон сохранения энергия для системы будет выполняться очень плохо. С учетом же временной зависимости энергия сохраняется с точностью до 10-3 в течение 〜100з?‘. Недавно мы обнаружили, что при использовании 〃“н определепия координат н стсоростей схомм «с перешагиванием^》учет указанной времеи- 1т^й зависимости дает много преимуществ.

При одинаковом числе частиц и числе мод7 таком же, кав '/игле точек сетки, используемое в методах Хокни [19], Вэрдсо- ла【20] и Морза 2), вышеуказанный метод является более медлен- 1ntoт (их времена счета пропорциональны a^ -|- 6融「где М —

]В оригинале; leap frog method.— Прим, переа.

~)儿 L. Morse9 частное сообщеия^.

число точек сетки). Однако можно модифицировать эту процедуру, используя комбинацию сеток в г- м /с-пространствах для чтобы сделать число Бычислений пропорциональным N + Мы проделали некоторые предварительные вычисления этого типа и достигли значительной экономии времени, а точность, по^види- мому, сохранилась. Поскольку этот метод прослеживает точную динамику частиц, взаимодействующих через модифицированный' кулоновиний потенциал, то для проверки вычислении можно, использовать многие физические законы сохранения, например' можно проверить вьгполяевие сохранения япергин и импульса.

2. Исследование флуктуаций вблизи теплового равновесияФлуктуации около теплового равновесия явились первой проблемой, которую мы исследовали па модели частиц копеч-；. ного размера. Мы у отели убедиться, что флуъггуации вс/(ут себя；2. Исследование флуктуаций вблизи теплового равновесияФлуктуации около теплового равновесия явились первой проблемой, которую мы исследовали па модели частиц копеч-；. ного размера. Мы у отели убедиться, что флуъггуации вс/(ут себя；00/00/"0而"0而Номер модыНомер модыc £=0一招t^19-76 Лист(теория]-c £=0一招t^19-76 Лист(теория]-так, как предсказывает теория. На фиг, 10 представлен график зависима сти амплитуды средн квадратичной флуктуацг электрического ноля от н< мера моды для заряжении облаков с с — 2Xd 〃мя1«Л刀—2, где Id — Д баевская длина. Сплош пая кривая получена г теории для облаков, вар» которых распределен i закону Гаусса. Эта Kpi вая получается из формулР (&) dEh 〜так, как предсказывает теория. На фиг, 10 представлен график зависима сти амплитуды средн квадратичной флуктуацг электрического ноля от н< мера моды для заряжении облаков с с — 2Xd 〃мя1«Л刀—2, где Id — Д баевская длина. Сплош пая кривая получена г теории для облаков, вар» которых распределен i закону Гаусса. Эта Kpi вая получается из формулР (&) dEh 〜~ exp~ exp巾氏《瓦而—巾氏《瓦而—]d%]d%Фиг, 10. Срсднеквддратичнап флут«туа- ция поля Е как функция номера моды.Фиг, 10. Срсднеквддратичнап флут«туа- ция поля Е как функция номера моды.где Р (Eft) — вероятное иахождения электрпческ< го ноля в интервале dL около величины 百人, 彰—работа, необходим ■где Р (Eft) — вероятное иахождения электрпческ< го ноля в интервале dL около величины 百人, 彰—работа, необходим ■для создания флуктуаций £л;屮卜 определяется следувмцей фор лой:для создания флуктуаций £л;屮卜 определяется следувмцей фор лой:

2. Исследование флуктуаций вблизи теплового равновесия

Флуктуации около теплового равновесия явились первой проблемой, которую мы исследовали па модели частиц копеч-；. ного размера. Мы у отели убедиться, что флуъггуации вс/(ут себя；

2. Исследование флуктуаций вблизи теплового равновесия

Флуктуации около теплового равновесия явились первой проблемой, которую мы исследовали па модели частиц копеч-；. ного размера. Мы у отели убедиться, что флуъггуации вс/(ут себя；

00/

00/

"0而

"0而

Номер моды

Номер моды

c £=0一招

t^19-76 Лист(теория]-

c £=0一招

t^19-76 Лист(теория]-

так, как предсказывает теория. На фиг, 10 представлен график зависима сти амплитуды средн квадратичной флуктуацг электрического ноля от н< мера моды для заряжении облаков с с — 2Xd 〃мя1«Л刀—2, где Id — Д баевская длина. Сплош пая кривая получена г теории для облаков, вар» которых распределен i закону Гаусса. Эта Kpi вая получается из формул

Р (&) dEh 〜

так, как предсказывает теория. На фиг, 10 представлен график зависима сти амплитуды средн квадратичной флуктуацг электрического ноля от н< мера моды для заряжении облаков с с — 2Xd 〃мя1«Л刀—2, где Id — Д баевская длина. Сплош пая кривая получена г теории для облаков, вар» которых распределен i закону Гаусса. Эта Kpi вая получается из формул

Р (&) dEh 〜

~ exp

~ exp

巾氏《瓦而—

巾氏《瓦而—

]d%

]d%

Фиг, 10. Срсднеквддратичнап флут«туа- ция поля Е как функция номера моды.

Фиг, 10. Срсднеквддратичнап флут«туа- ция поля Е как функция номера моды.

где Р (Eft) — вероятное иахождения электрпческ< го ноля в интервале dL около величины 百人, 彰—работа, необходим ■

где Р (Eft) — вероятное иахождения электрпческ< го ноля в интервале dL около величины 百人, 彰—работа, необходим ■

для создания флуктуаций £л;屮卜 определяется следувмцей фор лой:

для создания флуктуаций £л;屮卜 определяется следувмцей фор лой:

肌=；\(I 十員Ъсхр №'〃'])>

2 {4；%2布 exp 伙”2]} *2 {4；%2布 exp 伙”2]} *r」e Е 一 длина системы. Первый член справа есть энергия, содер- 占атдаяся в электрическом поле, а второй ——анергия, которая требуется, чтобы изотермически создать в газе из центров облаков требуемую флуктуацию плотности. Из формул (35) и (36) находится среднее Значение всличиньт 磁厶

2 {4；%2布 exp 伙”2]} *

2 {4；%2布 exp 伙”2]} *

(37)

Видно, qro <£片)сильно уменьшается, когда величина 收。？ больше единицы.

Верхняя пунктирная Ерввая на фиг. 10 получена из теории для плоских листов, т. е. при а, равном нулю. Точки ——результаты численного эксперимента; они очень хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями. Некоторне расхождения имеются при малых номерах мод, но они обусловлены в основе0M тем обсто яте льством, что начальные условия ие обеспечивают эти мода в начальный моыеит энергией КТ, и проходит много времепм. преяеде чем оим релаксируют к своему тепловому значению (здесь используется усреднение по времени). Из фиг. 10 можно ааметигь, что использоваиие частиц копечмого размера почти пе влияет па теоретипескя полученные флуктуации в области длинных волн, но, как и ожидалось, сильно подавляет их в области коротких длип волн. Мы просчитывали другие случаи с различными зна* чрпшши « и всегда приходили к тем же результатам.

Другой интересной задачей, которую можно решить, является вывод дисперспонного соотношения в модели частиц конечиого размера. Уравнение Больцмана в отсутствие столкновений для этих частиц имеет вид

亲+"3十《箓=0， (38)

rje / (ж, г) — функция распределения центров облаков н их скоростей. Действующая па частицы сила получается путем интегрирования выражения £ (|) р {Е,箝 по всем с, где 囂 ——координата дешра заряженного облака：

F^) = M 卜沙”Р=；-_*%2] f f{k9 叨&力

Такое же выражение, за исключением множителя ехр [—乃％Н, получается и для тотечшлх частиц. Линеаризуя уравнение (38) в используя преобразование Фурье по координатам и времен% 3-01236

получаемполучаем

получаем

получаем

跡，З)=器器券，

kF =^пв^ ехр [—左2标]I /(", г) dv_

Здесь добавлено малое затухание е для определения иаправлеиия； интегрирования вокруг полюсов. Подставляя выражение (40》 в (41), получаем дисперсионное соотношение

察ёхР—川明J察ёхР—川明J(dfofdv) dvО + kv—1£(dfofdv) dvО + kv—1£(小(小

察ёхР—川明J

察ёхР—川明J

(dfofdv) dvО + kv—1£

(dfofdv) dvО + kv—1£

(小

(小

За исключением множитс'ля схр [—靑％?], оно совпадает с обычным, дисперсионным соотношением. Таким образом, длинноволновые моды остаются прежними, в то время как коротковолновые моЕ сильно изменяются.

Редкий холодный пучок б модели частиц конечного размера

Вторая проблема, которой мы занимались, сдязана с неустой- чивостью, вызываемой редким холодным пучком, проходящим • через теплую плазму. В этом эксперименте использовались систс*' мы, содержащие 1000 частиц, причем 1/5 их находилась в пучке., На дебаевской длине было 20 частиц, а пучок был холодным и имел скорость, и 4 раза превышающую тепловую скорость (скорости^ всех частиц сдвинуты так, что полный ток отсутствует). Числе» | Е1ый счет был проведен для случаев, когда полуширина частицы 怎| разнялась половине, одной и двум дебаевским длинам (а = i =Aq/2,久р, 2\d)・ Во всех трех случаях начальные координат：^' и скорости были одЕгиаковыми, Для сравнения при идентичных • начальных условиях был проведон небольшой счет на модели^ плоских листов. '

На фиг. 11 приведены графики полной энергии электрическо-

го полят порченные изго полят порченные изэтих четырех расчетов. Имеется оче:

го полят порченные из

го полят порченные из

хорошее согласие между случаем плоских листов и частицамй с а =久d'2一 Для частиц с « =入刃 согласие со случаем листов ещ& достаточно хорошее. Хотя и появляются некоторые расхождения,- однако заметиая часть этих расхождений может быть связана

поправку, добавляя к энергии в случае апоправку, добавляя к энергии в случае ас энергией электрического поля, находящейся в коротковол я овш модах, которые в этом случае подавляются. Можно ввести грубук =Лр разность началь-

поправку, добавляя к энергии в случае а

поправку, добавляя к энергии в случае а

ных зиачений энергии электрического поля в случае с = 7 и в случае листов. Это объясняет примерно половину расхожи иня в момент первого пика.

Когда мы переходим к случаю частиц с с = 2入加 происходит качественное изменение, так как первыл пик анермн электрического поля заметно умепыпается и сдвигается на более позднее

ф и г- 11・ Энергия илектричссБого поля для дьухпотокопой Ееустойчмвости. Кршше соотеегствуют резным размерам частиц.

мремя，а второй пик становится гораздо выше. Такое различие, вероятно, обусловлено тем фантом, что размер частицы влияет на скорость нарастания третьей моды. В табл. 1 прЕведоны ско- р《）стн нарастания первых четырех мод для всех четырех случаев.

Таблица 2

Скорости врастании ыид 2—4 для разных размеров частиц

Номер ЛЮДЫ

1

2

3

4

0

0,163

0,255

0,250

0,148

0,5

0,163

0,255

0,243

0,425

1Q

0,163

0,250

0,220

0,038

2,0

0,162

0,233

0,414

0,002

На фиг. 12 представлены распределения частиц в фазовом рострапстве в моменты £ = 0 н Е = 15. Начальные условия оди- ак°вы во всех случаях, так что распределение при / = О для

& —也/2 можно использовать во всех 1иучаях. Графики дл; Хп/2 и 1ХП удивительно похожи; это касается как числа образе ваинпх вихрей, так и их формы при 丹£ = 15. В случае же а = =2“)образуются только два викря, так что он качественп-

По-впдимому, третья мода былаПо-впдимому, третья мода былаотличен от первых двух случаев.

По-впдимому, третья мода была

По-впдимому, третья мода была

00〃 = "*刀 f=0〃 = "*刀 f=0а 沙 Лр £=/5С・・二.4.а 沙 Лр £=/5С・・二.4.，，3 二，，3 二"=z凡0 i=W"=z凡0 i=W,・•-?•-з К ,5 ‘二。J,・•-?•-з К ,5 ‘二。J・W・W■乂七■乂七• VY -公 匕爲:右喚 2, I• VY -公 匕爲:右喚 2, I■；! m，х -" т，•引■；! m，х -" т，•引注/声.二王ГЖ，注/声.二王ГЖ，品品Фиг. 12. ВихриФиг. 12. ВихриББПЛОСКОСТИ (ж, F),ПЛОСКОСТИ (ж, F),

0

0

〃 = "*刀 f=0

〃 = "*刀 f=0

а 沙 Лр £=/5

С・・二.4.

а 沙 Лр £=/5

С・・二.4.

，，3 二

，，3 二

"=z凡0 i=W

"=z凡0 i=W

,・•-?•-

з К ,5 ‘二。J

,・•-?•-

з К ,5 ‘二。J

・W

・W

■乂

七

■乂

七

• V

Y -公 匕爲:右喚 2, I

• V

Y -公 匕爲:右喚 2, I

■

；! m，х -" т，•引

■

；! m，х -" т，•引

注/声.

二王ГЖ，

注/声.

二王ГЖ，

品

品

Фиг. 12. Вихри

Фиг. 12. Вихри

Б

Б

ПЛОСКОСТИ (ж, F),

ПЛОСКОСТИ (ж, F),

эф^юктивпо стабизизирована ковочным размером частиц, ит привело к качсственному различию в энергиях элснтрическо! поля меасду указанным случаем и остальными. Если бы был больше неустойчивых мод, скажем от 5 до 10, то различие» верос по, не было бы таким большим.

Использование частиц с разлитыми зарядами

Существует еще одна модификация нашей модели, котору мы исследовали. Пусть имеется несколько сортов частиц с зар дами — Qc н мягсами /, где о указывает сорт частиц. Приме ито отношение QJMg одно и то же для всех сортов. Уравнек Власова и Пуассопа для этой системы частиц имеют вид

姉"7Г姉"7Г姉姉赤 %赤 %Е.攻=0,OvЕ.攻=0,Ov

姉

"7Г

姉

"7Г

姉

姉

赤 %

赤 %

Е.攻=0,Ov

Е.攻=0,Ov

▽ ・Е= — 4気{ £Qo j %dv —е%},

где еп^ — заряд неподвижного нейтрализующего фона (здесь рас- сматрйвак>тся точечные частицы, однако аналогичное рассмотре- аде нетрудно провести и для частиц конечного размера). Введем новую функцию распределения

乃(г, % £) = £ 冬％ (г, и, 9，(45)

О

где е — некоторый осповной наименьший заряд. Умножая (43) sa Q"e и суммируя по все сортам а, получаем

/q dF ё-不f e

丁十•苏=a依6)

тогда как уравнение (44) можно записать в виде

▽ •Е = —4л {e\Fd〃 一 en0}r(47)

Эти уравнения совпадают с обычными уравнениями Власова и Пуассона для одного сорта частиц. Таким образом, в приближении Власова рассматриваемая система ведет себя как плазма, состоящая из частид одного сорта.

11 реимущество такого метода заключается в следующем. Во многих задачах основная часть частиц образует фон, который осхщдн имруен под действием пелагогих частиц (например, «горб на хвосте» Функции распределенпя). При использовании обычного метода все машинное время затрачивается на слежсвпе за множеством час- 丄м_ц, с которыми не происходат ничего йнтсрссного. Используя же вышеукаванн^-ю процедуру» мы могли бы заменить основную массу частиц несколькими сотпями частиц с зарядом, скажем* "Ю е, а частицы в интересующей вас области фазового пространства представкть несколькими тысячами частиц с зарядом е. Уто даст нам эквивалент большого количества частиц» Но прежде ^ем это проделать, необходимо уменьшить до приемлемой величины эффекты от столкновений массивных частиц. Эффекты столкно- Beinin, конечно, не учитываются в уравнении Власова. В этом значительно помогло бы использование частиц конечного рйямера. Описанная продедура должна быть полезной как в случае одного» так и двух, трех измерепнп. Мы провели некоторые предваритсль- нме исследования с зтцм методом, и они кажутся перспеитЕвными. Однако щ^кна еще большая работа, чтобы определить его воз- моичности и ограничения.

Благодарпости. Автор благодарит д-ра К, Смита, историй в значзггслтлой «тепсяи рагвт двухкомпонентлый код, д-ров С. Хси, Р. Шэнни и В. Крузра, Которые разработали метод частиц конечного размера и метод аарлдол многих сортоь.

3838Глл J 一 Модель ггллс*ин листов и ее модификация

38

38

ЛИТЕРАТУРА

Випетап tZ. Phys. Rev” lt5r 503 (4 959).

Danson J、Phys. Fluids, 5, 445 (19621.

3.鶴&切sd。J・.Nucl. Fusion, Supply Pt. 3, 4033 (1962).

£ Smith C” Dawson J., Princeton University Plasma Physics Laboratory, Report Matt-154, 1963,

Eldridge 5 C , Feix M・，Phys. Fluids, 5, 1307 (2962).

Hasegawa 4.,痴痴口 С /С, Phys. Fluids, 7, 4 59 0 (4 964).

Shanny 凡瓦.Dtiiojofi J. 3f., Greene J. M., Phyp, Fluids, tO, 4 281 0962).

L/mgdvn B.t Datrsan』..Symp. Comp- Simulation Plasma and Many-Eodj Problem% NASA SP-153, Williamsburg, Va., April 19—21, 4967.

Byers J” Grewal M-. Proc. APS Topical Conf. Numerical Siimilation、 Plasma, Sept . Paper D3, University of California, Los Alamos, N・M・，19€ ?

Dawson J. M.y Phys. Fluids, 7, 449 (1963).

Eeix M.五・，Symp. Comp., Simulation Plasma find Many-Body Problems, NASA SP-152. p. 3 WHliamsbuig, Va., ApH】 4 9—24, 1967.

2. Birmingham 7\, Dawson J.t Oberman Cry ihys Fluids, 8$ 297, (1965}

Birminghafn 7., Dawson J・，Kulstrud 几，Fhys. Fluids» 9, 2013 (1966)

Dawson J., Shanny 〃.，Birmingham T・，Ph". Fluids, 12. 687 (1969).

Kellogg P. J., Phys. Fluids, 8, 102 (1©65).

Ifi. Armstrong Г. P・，Phys. Fluids, 10, 1269 (1967).

Fea AT 风.Grant F, C・」8], p. 454.

Berk H. E“ Robert K. P・，Fhys. Fluids, W, 4 595(4967).

Hockney /L『V., Phys- Fluids. 9, 4826 (4 966).

20、Birdsall C\ K, Fuss 力•, Bull. Am. Phys. Soc” 13, 283 (4 968).

ГЛАВА 2

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА МЕТОДАМИПРЕОБРАЗОВАНИИ

7\ Армстронг*9 Р. Харбин/*, Z\ Я/fopp***, Д. Монтгомери***

§ L Иведение^

1« Постановка задачи

Вероятно, не существует раздела физики, в котором была бы более очевидна необходимость в числешхых методах, чем в физике плазмы. Это обусловлено тремя фактами, которые стали общепризяйнными.

Уравпеиия динамики физики плазмы просто написать, так как не существу они представляют собой уравнения Максвелла цля алектромагпитиых переменных и классические уравнения цвижепия для мехаяичес1сих переменных.

Решить ж© эти уравпепия динамики аиалитически, несмотря на их простую структуру, невозможно, поскольку онн сильно ке^мнеины и описывают систему с бесконечным числом степеней 'Свободм.

Для макроскопического поведения плазмы в целом свойственно многообраЗЕв у по рядоченныу и коллективных движений, кшорне часто удается выявить из численных данных, в то время как ото трудно или невозможно сделать сколько-нибудь удовлетворительным образом аыйлитически.

В применении численного анализа к фиенкс плазмы с самого начала совершенпо естественно наметились -два сутцествеино различных подхода, их можно охгределить как прямое «моделировались частиц и как метод «уравнений движения континуума».

Первый подход основывается на модели, в которой динамика дискретных заряженных масс (для одного, двух и трех иемерении) изучается путем решения уравнений движения для отдельных частиц. Поля постоянно пересчитываются по координатам и скоростям частиц, и система рвзвивается самосогласовакно» Большинство числеышлх расчетов для плазмы представляют собой разновидности этого моделирования. Они широко обсуждаются в данной книге.

Характерный прниер метода «уравнений движения» будет рас- смотреп зв настоящей главе. В этом методе сразу же отвлекаются

辔 Thacnas Р. Armstrongу University of Kansas, Lawrence, Kansas.

「 ** Bollin C. Earding, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, California.

* GeGrg Knorr^ David Montgomery, The University of Iowa, Iowa City,

от точной микроскопической динамики частиц, решая взамен набор уравнений непрерывности. Эти уравнения были пилучеиъ в результате некоторого процесса сглатлвания. при котором рас преде^ьение дискретных частиц, реально образующих плазму, апп|м)ксимировалось пекоторой гладкой； непрерывной перемекиой (гидродинамическая пер«мснвая или функция распределепия). Таким образом, в то время как в методе уравнеиия двпжонпя проводят сначала усреднение, а затем вычисляют динамическую эволюцию, в методе моделирования эти две операции выполняют в обратном порядке-

Трудно отдать предпочтение одному методу перед другим; каждый дает информацию, кеторую трудно получить каким-либо другим путем. К достоинствам метода моделирования относится то? что соударения дискретных частиц, которые управляют всемй всобратшдамл фиЗЕПескими процессами, представлены естествен-» еым образом; последнее очепь трудно осуществит!, ттри непре!)ывг| ном описании. (Всякий, кто разбирается в физике плазмы,从＜м- жен только представить себе тр^ность слежения за раотитмем, напрвмерг парных корреляций по их уравнениям движения, чтобы попять сущность этого заявления.) Этому достоинству противостоит тот факт, что заряд в численной модели плазмы пин^огда не бывает так хорошо распределен, как в реальной плазме. Обычно имеют дело с тысячами частиц, пытаясь моделировать систе^ му, содержащую, скажем, 1017—1018 частиц. В результате «шум», или нс систематические флуктуации величии нолей (которые стремятся к нулю с увеличением числа частиц), часто оказывается гораздо больше таковых в реальной плазме. Если не проявить ©сторожности, то шум моисет стать настолько большим, что подавит огкидаемьгс макроскопические эффекты，

Главное преимущество метода уравнений движения, по пйшр- му мнению, заключается в том, что гораздо легче провести деталь^ ное сравнение с аналитической теорией и теми результатами, которые можно извлечь из нее. По существу сся икалитическая теория плазлт состоит 迎 приблгеженных решений уравнений континуума. Метод уравнений движения может быть наиболее полезеи для проверки и прогнозирования этих аналитическнх приближений.

Система уравнений, рассматризаемая в этой главе, состоит из уравнения Власова для функции распределения электронов

*) Можно было бы привести ирилгер мз теории одномерной плазма» состоящей из плоских JiuctOB^ Стаигстяческая теория равновесной одпомер- 11ОЙ плазмтл показывает, что ©тнотагнпе сроднсквадратианик флуктуации электростатического поля плазмы к плотецсти тепловой зпергии порядку так называемого ^пзнзмепдого параметра». Для лабораторкой плазмы этот параметр обычно мал, 10^ или 10~^, в модели плоскта ллстов оп ибичгс порядка 1/加.

Dt dt ' Ox 施

в уравнения Пуассона для электрического ноля Е (&, Q

со

—8

(1>(2)(1>(2)9та пара уравнений дает весьма вдеаллзированпое описание плазмы при следующих предполо/кепп£[х и прибллжекияу:

(1>

(2)

(1>

(2)

считается, что положмтельпые ионы (они имеются в любой плазме) неподвижны и распределены однородно;

предполагается, что отрицательные заряды (электроны) бесконечно тонко раздроблены с постоянным отношением заряда к массе и с постоянным зарядом в единице объема;

все возмущения пространственно-однородпого состояния плазмы одномерны;

учитываются только электрсстатические силы между зарядами-

Для удобства все величины б этик уравнениях даны в естественных единицах 1), ОспоБные единицы времени t и скорости и обратно пропорциональны плазмонной частоте электронов <ор и тепловой скорости электропов соответственно. Длины х измеряются в единицах отношения последних, т. е. в дебаевских длинах. Функция распределения электронов / = / (х, и, Е) и электрическое ноле Е = Е {^^ t) также безразмерны. Для дальнейшего ознакомления с физической прщ)одой упомянутых величин можно обратиться к любому вузовскому учебнику по физике плазмы (например, Монтгомери м Твдмап HJ)-

Ыожно прямо сказать, что полное качественное понимание решений уравнений (1) и (2) при различных начальных и [или} граничных условиях является необходимым, хотя и недостаточным условием для понимания поведения плазмы.

Под задачей с началъныжь условиями, которой мы здесь в основном будем интересоваться, мы имеем в виду следующее: задается функция j(£, % 0) (часто периодичесткая по х) и вычисляются

До перехода к безразмерном веммчинам смсшма имеет вцд

寡+曉一藩=。，荒》mT招4

狙£ 才—уункцпн распроцеления злоктропов (вериятпопь на едикппу х-про- странстза м па 咖 ипицу г-иространстБа), Е—электрическое л од с, “。— ср 吐 "ян плотность электронов и яонов л едпгаще л -иространства —с — заряд электропа, т — места электрона. Переход к безразмерным Ееличипаы при- водит к уравнениям (1) и (2).

/ (т, %，)и 右 & £) для £ > 0. Обычно предполагается, что заряди при * = ±8 отсутствуют, поэтому уравнение (2) одноэначн' • определяет £ (х, £) по функции / (名 ％ I). Задача с начальными условиями по своему характеру проще, чем краевая задача (которую мы получаем в очепь упрощенном представлении, поменяв ролями х и ^ в начальных условиях), поэтому в большинства работ не интересовались краевой задачей. Однако в настоящее время она нуждается в изучении.

Существуют различные начальные состояния, при которых электрическое поле £ (х, £) проявляет тенденцию к осцвлляциям •с убывающей амплитудой (Ландау [27]). Говорят, что эти состояния затухают из-за эффекта Ландау (подробное математическо? рассмотрение содержится в работе Сзнза [3]).

В других случаях интеграл 个石纟心 проявляет тенденцию тк осцилляциям н нарастанию. Говорят, что в этих случаях имеет место неустойчивость. Нарастание '芯也 в кон^о концов должн! » прекратиться, поскольку полная энергия

^ f E^dx-\-^{ /у2dedv

является интегралом движение для уравнений (1) и (2), причем оба члена в выражении для 宮 положительно определенные.

Вероятно, двумя наиболее важными эффектами физического характера, кеторые можно нолучить из уравнений (1) и (2), явл乐 ются нелкпейпая эволюция затухаиин Ландау и неустойчивостей. Оба эффекта можно получить из линеаризованной системы Власова —Пуассона, но обоим присуща внутренняя нелинейность.

Вычислительные трудности

выражает постоянство функциии,。 вдоль траектории частицы,выражает постоянство функциии,。 вдоль траектории частицы,из следующего, Уразиение распределения электроновиз следующего, Уразиение распределения электроновОдной нв трудностей, которая больше чем любая другая препятствует применению численного анализа к уравнениям (1) и (2)] является тенденция функции f Q, ь, %) создавать резкие градиента: в плоскости (а?,沙 при возрастании времени £. Это можно попять;

выражает постоянство функциии,。 вдоль траектории частицы,

выражает постоянство функциии,。 вдоль траектории частицы,

из следующего, Уразиение распределения электронов

из следующего, Уразиение распределения электронов

怎(<),V (т), которая определяется уравнениями 噜亠6需= -Е8«).О

Хорошо известным свойством движения частицы в любом поле* (например, Е) является то, что две точки £】(т) и n?(t), вообще говоря, при больших т расходятся достаточно далеко, даже если вначале а:】(0) и х2 (0) находились рядом. Если мы допускаем,1 что начальное распределение / (ж, г, 0) является гладким [в том смысле, что значения / (м, и» 0) в соседних точках плоскости (з,司

отличаются очень мало], то эти соседние точки будут расходиться с течением времени, унося с собой начальные зианення /. Аналогично их новые ближайшие соседи будут в ряде случаев приходить м* совершенно других мест и приносить с собой совершенно отлич- иые значения /. А это значит, что появляются большие и возрастающие значения df/dv и, следовательно, требуется все большая и большая точность при вычислении /.

Этот эффект фактически содержится в уравнении для свободно двшкущихся частиц:

Видно, что ето решение / (瑞 v, Q = / (х —廷，и, 0) имеет нара- ста^щио степенным образом производные по и,

В принципе другие, более тонкие эффекты также мотут разводить частицы в пространстве скоростей- Чтобы рассмотреть этот вопрос, нам нужно разло;«1пъ электрическое поле £ (х, Е) по фурьс-компопептам (разложение по плоским волнам); тогда

^^ = _ Е(£ (т), К) к — ?凤七 о) /[Ю—。叫 (5) 耳3

Не останавливаясь на тех условиях, при которых можно произвести такое разложение для Е (а\ £), заметим только, что из детального рассмотрения теории орбит, основанной на уравнениях (4) и (5), следует, что на траектории частиц оказывают сильное влияиие только те фурье-компопеиты Е (力,з), для которых скорость ь лежит в интервале

△иа±2[З^Г

вблизи фазовой скорости ⑪/左.Этот интервал в пространстве скоростей обычно называют шириной заката волны Е (瓦 о). Орбиты частиц могут легко пересекать только ту область г-пространства» которая охватывается перекрывающимися ширинами захвата волы. Если эта область валика, то соседние ио скорости точки также могут далеко разойтись, и в конце концов нужно ожидать появления больших б//5х, а также больших dfldv.

В численных расчетах, проведенных с уразнсниями [1) и (2) До настоящего момента, эффеет больших dfldv оказывался более сугцестветшым, чем эффект больших б//Эа*. Вообще говоря, когда Допускаются болео сложные спектральные распределения Е (Е о), можно обкидать, что появятся проблемы, свяваииые с обеими производными. Однако имеются основания в пользу того, что пРи малых или средних отклонениях от прострапствеипой одно- родпости ограничение из-за dfldv будет всецда более жестким. Мы убедимся в этом ниже.

Связь с другими моделями

Мы уже останавливались на связи с подходом дискретного моделирования. Что касается уравнений (1) и (2), то мы знаем три осповных подхода к ввм. Их можно определить как модель «водяного мешка», прямое решение и метод преобра^юаний. Основной целью этой главы является обсуждение двух модификаций метода преобразоватш. Одпако вначале немного договорим о первых двух подходах.

В модели «водяного метка» по существу следят за орбитами частиц, (4), используя постоянство функции /. Выбираются некоторые особенно удобные начальные условия: предполагается, что фушащя / в пач^льпый момент постоянна внутри пескольких простых областей плоскости (% г) п раина нулю во всех другш местах. Поскольку орбиты ⑷ никогда не могут пересекаться», то уравнение (1) полностью решается путем сложения за точками： границ этих простых областей, так как / сохраняет свое начальное： значение внутри этих областей и остается нулем вне мх. (В одномерном случае уравнение Пуассона достаточно простое, чтобы пересчитывать Е на каждом шаге.) Этот метод использовали Нильсен и др. [4], Де-Пак [5], а также Бэрк и Робертс (работы [6, 71 и гл. 3 настоящей книги). Его преимуществами являются значительная информация, приходящаяся на каядай истраченимй при вычислениях доллар； и простота понимания. Его недостаток связан с тем, что развизаются упомянутые выше слишком большие градиенты в фазовом лрострапстве и границы областей быстра становятся очень извилистыми. Вряд ли их можно сис^матиче- ски сглаживать без нарушения точности шиислепий- Эта модель в основном применяется к явленпям, в которых интересные физи- ческпе особенности проявляются в течение нескольких перьых ил азыенных периодов •

Единственные прямые решения, которые ми зпаем, были полу— чены Кнорром [8] и Келлогом [9]. При вычислениях Келлог считает моны подвижнтш и рассматривает два уравнения Власова (для ионов и для электронов) непосредственно па сетке ж, и・ Трудно оцинпть практическую значимость этого метода, поскольку подобные проблемы не рассматризались с помощью других известных нам методов. Тенденция к слишком большим градис-нтам / приводит к численным неустойчив остям т которые нелегко преодолеть.. Необходима дальнейшая работа для обоснования этого метода-

Метод преобразований частично порожден стремлением заменить в уравнениях (1) и (2) частное диффе])енцирсваш1е более удобпыми алгебраическими операциями. Обе производные д!дт можно исключить с помощью преобразования Фурье по х. В пространстве скоростей V использовались два разных преобразования?； преобразование Фурье и преобразование Эрмита (Грама — Чар-

лп)- Подробно© рассмотрение этих двух подходов и является предметом этой главы.

В § 2 представлена схема двойного преобразования Фурье, предложенная Кнорром [107 11]- В § 3 обсуждается метод прообра- □овапий Фурье и Эрмита, развитый Армстронгом и Монтгомери [42—46L Параграф 4 посвящен обобщению метода Армстронга, которое было выполнено Хардингом [17, 18] для включвння 冃 задачу 6neiiuaix электрических полей.

Тот факт, что преобразование Фурье ——Зрмпта годится для анализа системы уравнений Власова и Пуассона, был независимо открыт и изучен Грантом и Фиксом [19, 20] и Садовским [21J. Информацию о последующих численных расчетах на основе указанных методов могкно найти в литературе, список которой при- нодотся в конце этой главы.

§ 2・ Метод двойного чмаложенпя Фуръе

Двойное иреобразовя няе Фурье как естественный методрешения вычислительных проблем

Как уже отмечалось в § 1, обычные разностные метода, которые непосредственно используются для уразнения Власова, ста-

повятся непригодными после нескольких плазменных периодов. Сейчас мы болео впимательно разберемся в причинах этой неудачи, поскольку двойное преобразование Фурье позволяет просто м непос-редствепно избазиться от этого недостатка.повятся непригодными после нескольких плазменных периодов. Сейчас мы болео впимательно разберемся в причинах этой неудачи, поскольку двойное преобразование Фурье позволяет просто м непос-редствепно избазиться от этого недостатка.Прежде всего перейдем в уравнении Власова к безразмерным переменным, вводя of как масштаб времени, где сор = р 小乳扌njni^* — плазмонная частота. Если дополнительно приПрежде всего перейдем в уравнении Власова к безразмерным переменным, вводя of как масштаб времени, где сор = р 小乳扌njni^* — плазмонная частота. Если дополнительно принять какую-то тепловуюнять какую-то тепловуюизмерятьсяизмерятьсяв е;в е;■1IS■1ISицахицахдлинах». Электрическое 々Jte/iQ九如длинах». Электрическое 々Jte/iQ九如скорость за единицу, то длины будут %®Г =九力 т. е. просто в «дебаевских поле тогда измеряется в единицахскорость за единицу, то длины будут %®Г =九力 т. е. просто в «дебаевских поле тогда измеряется в единицахМо?кпо записать в этих безразмерных переменных наше оспов- ное уравнение, описывающее электронную плазму и однородный ионный фон, как в уравнениях (1) и (2). Функция распределения/ мормируется иа шшпицу:Мо?кпо записать в этих безразмерных переменных наше оспов- ное уравнение, описывающее электронную плазму и однородный ионный фон, как в уравнениях (1) и (2). Функция распределения/ мормируется иа шшпицу:

повятся непригодными после нескольких плазменных периодов. Сейчас мы болео впимательно разберемся в причинах этой неудачи, поскольку двойное преобразование Фурье позволяет просто м непос-редствепно избазиться от этого недостатка.

повятся непригодными после нескольких плазменных периодов. Сейчас мы болео впимательно разберемся в причинах этой неудачи, поскольку двойное преобразование Фурье позволяет просто м непос-редствепно избазиться от этого недостатка.

Прежде всего перейдем в уравнении Власова к безразмерным переменным, вводя of как масштаб времени, где сор = р 小乳扌njni^* — плазмонная частота. Если дополнительно при

Прежде всего перейдем в уравнении Власова к безразмерным переменным, вводя of как масштаб времени, где сор = р 小乳扌njni^* — плазмонная частота. Если дополнительно при

нять какую-то тепловую

нять какую-то тепловую

измеряться

измеряться

в е;

в е;

■1IS

■1IS

ицах

ицах

длинах». Электрическое 々Jte/iQ九如

длинах». Электрическое 々Jte/iQ九如

скорость за единицу, то длины будут %®Г =九力 т. е. просто в «дебаевских поле тогда измеряется в единицах

скорость за единицу, то длины будут %®Г =九力 т. е. просто в «дебаевских поле тогда измеряется в единицах

Мо?кпо записать в этих безразмерных переменных наше оспов- ное уравнение, описывающее электронную плазму и однородный ионный фон, как в уравнениях (1) и (2). Функция распределения/ мормируется иа шшпицу:

Мо?кпо записать в этих безразмерных переменных наше оспов- ное уравнение, описывающее электронную плазму и однородный ионный фон, как в уравнениях (1) и (2). Функция распределения/ мормируется иа шшпицу:

dx I dvf(x, и> 0=1»-8dx I dvf(x, и> 0=1»-8

dx I dvf(x, и> 0=1»

-8

dx I dvf(x, и> 0=1»

-8

(6)

1工。L — длина рассматриваемой плазмы.

Чтобы продемонстрировать несовершенство традиционных вы- ^ислительнмх методов, достаточно рассмотреть линеаризовашгьгй

вариант уравнений (1) и (2)

需+嘿一司(1陷=0，

吟£9 = 一1力8,以今如・(7>

-8

При выводе уравнений (7) предполагалось, что / (n,酊，。= —/0 (г) + Д @, г, £), Е = Ei (х,可，и пренебрегал ось члеиами второго порядка по А и 孤 Поскольку система (7) линейна,， то теперь можно ввести явн^^ю пространственную зависимость ' 3&н)1=售8 g戸工，

1 ^{х,0 J~l £fe(0 J 7

в результате наша система принимает вид

警+ £狂人一А旦將=0, №(0=- J fh(vrt)dv. (8> —8

Теперь моткно сразу выписать формально© решеиие для функции распределения /л? которое имеет вцд

” ①/)= J ef 现I'况MQ害M + gA 仅)e-f(9>

о

Яспо> что второй член определяется начальными условиями. Величина gk (功 должна быть фушщией, моменты которой существуют. Когда мы берем какие-либо моменты от ", чтобы получить макроскопические величины, например плотность, импульс в т. п” . то лемма Римана —• Лебега гарантирует нам, что•

lim ( d也)a(功厂‘"=d.

JWf 8 J4

-8

Если gk (ь> ——голоморфная функция, которая эксиопенциальяо ； стремится к нулю при больших г, то интеграл стремигся к нулк> ■ также эксловеициальпо (ср. Титчмарш [22]). Если выбрать gh (司 j целон функцией, которая регулярна во всей комплексной плоскости. то интеграл будет стремиться к нулю при больших kt быстрее,.( чем зкенопента (например, это осуществляется для максвелловского распределения).

Из-за такого поведения второй член в празой части форму- j лы (9) обычно опускается. Видно, однако, что он не мал по срав-' пению с первым членом. Это заведомо так для малых времен; для . устойчивой плазмы, в которой электрическое поле не растет：

экспоненциально, это утверждение остается справедливым при

всех временах-

Экспериментальное док азате льство того фанта, что этот член описывает реальное явление, было получено в результате маблю- дспия эффектов эхо [23, 24]. Библиографшо читатель пацдет в статье Бэкуса [25].

Напомним, что этот член определяет основные аслмитотичо- окне свойства решения при больших временах. Только если g (0 удовлетворяет определенным условиям аналитичности, мы можем ожидать экспоненциального спада или нарастанвя типа Ландау для электрического поля. Если эти условия «гладкости» пе выполнены, то решение может вести себя почти произвольна [26, 271.

То, что затухание Ландау (или экспоненциальное нарастание в случае неустойчивости) отнюдь не обычное поведение решения» можно понять без всякой математики из следующих рассуждений. Предположим, что мы численно нашли решение уравнений (1) и (2) вплоть до какого-то момента Т и что это решение указывает на экспоненциальный спад электрического поля. Используем теперь это вознвкшео распределение при £ = 7, но с зеркально

изхененншти всеми скоростями, в качестве начального условия для нового счета, эффективно обращающего время. В результате мы получим экспоненциальное нарастание электрического воля: ro Е = 7. Затем нарастание прекращается и сменяется акспонен- циальЕым спадом. Причина такого поведения, конечно, в тем, ^то уравнение Власова в своем первоначальном виде, так же кейк и в линсарнзоваипом, инвариантно по отношению к обращешно врсмрпи и скорости. Таким образом, второй стет ——просто обращение первого.

Нс только в аналитвческой теории, но и в численных расчетах второй член в (0), который представляет начальные условия, требует внимания. Уж© отмечалось, что по абсолютной величине он сравним с первым членом. Он описывает колебания с частотой 力t в фазовом пространстве. Если попытаться представить функцию распределения ео численными знанешшми на сетке в простраи- £ТЕе х, и с размером ячеек Аз и Av, то эти колебания будут довольно неадекватно описаны, скажем, шестью точками на колебание.

Чтобы описать функцию распределения в пространстве скоро- стей：, иам нужно распространить область по ь, скажем, до четырех тепловых скоростей, так что ——4 W ь《4. Предположим, также, 0то имеется W = 200 точек, попадающих в этот интервал, тогда & 7 Мб'

Отсюда следует, что после момента £/2п = 1/(6△喲 результат вмчислештй должен ухудшаться, поскольку колебания не могут 6°лдпв правильно описываться такой сеткой

В численных расчетах, связаппмх с затуханием Ландау, существуют очень жесткие требования на допустимы© значения волновых чисел. Если выбрать их слишком малыми, то затухание ^удет незаметным на интервале времени порядка 100 плазменных периодов. Если 承е выбрать к большим, то затухание Ландау Еудет очень большим, а электрическое поле будет спадать слишком быстро- Поэтому в расчетах придержмз аются следующего интервала %Wk £ 1/2.

Для к = 1厶 мн получаем 〃2л = 8. Это означает, что после иосъми периодов плазменных колебаний численное решепие нс будет больше представлять решение уравнения Власова. Несколько авторов [8, 9] испытали такую неудачу. Если бы в урав- яешш Власова перейти от координат а：, г к некоторым другим коордииатам, таким, что в этих новых координатах начальные условия не призодили бы к колебанию с нарастающей во времени частотой, то было бы гораздо легче справиться с числениям интег- рировапнем уравнения Власова.

Такое преобразование действительно существует： эт?о преобразование Фурье в просгранстве скоростей.

Для простоты предположим, что g (г) = (2л)_|/2ехр (—i?V2). Тогда второй член в формуле (9) преобразуется к виду

+ 8

j g (и> exp (iktv 十 iyv)曲-二 схр[—^ (/就十 У)[・Н。)

—<х>

Видно, что осцилляторное поведение полностью пропало, В результате возникает г打адкое распределение Гаусса с центром и точке у о =——kt. Однако если ъга захотим предетазпть этот член численно, то сразу столкнемся с другой трудностью. Можно «отобразить только конечный по у интервал, скажем.——;/макс &, & У < Уманс・ Спустя время £ = LwJk ми потеряем существен-, ную долю информации об этом члене, поскольку он будет истерзать с иатпих вычпелителъных матриц. Имеется, однако, важнее отличие от предыдущего случая: верно, что мы теряем ииформа цию об этом члене спустя некоторое время, ио это не парушае вычисление других членов. Как мы впдпм, в линейной теории ука занпый член становится несущественным спустя какое-то время когда мы вычисляем макроскопические величины. Поэтому вюткн надеяться, что пренебрежение этим членом при больших времена не будет слишком большим недостатком и в пелипспиой теорпЕ Однако нужно проявлять осторожность: если мы намереваемс рассчитывать эффекты эхо. то должны выбрать ^макс достаточн большим, чтобы указанный член оставался хорошо представл! ным в течение всего времени развития эхо.

Представление, граничные и начальные условия

а. г D р^д^тзвдсяис

Чтобы изучить распространение волн в яеограничепиой илм ограниченной плазме, удобно разложить неизвестные функции, входящие в уразнонис (1), впачало в ряды Фурье по z:

g，g，/ (叫"，Е) = 2 fu (^, 0 exp g及岛步)н=—ею

g，

g，

Т・8

Е(£/)-= Е £； (0 exp (inkox).

П-w—ОО

Величины h z % определяются ф»рму21ами

工/п 仅，，) = Z J “％ 爲о工/п 仅，，) = Z J “％ 爲оо ехр (—浓必7)也 ％ =о ехр (—浓必7)也 ％ =2л2л

工

/п 仅，，) = Z J “％ 爲о

工

/п 仅，，) = Z J “％ 爲о

о ехр (—浓必7)也 ％ =

о ехр (—浓必7)也 ％ =

2л

2л

£п(0 —^ J 七估，E)exp( — iXr0，H：)d#, 〃=0, ±1, ±2..・.

Подставляя эти выражения в уравнсвис (1), получаем

色噤0+z叫叫一2%备%-"%9=0，(12)

q=—8

Уравнение Пуассона и второе из уравнении Максвел；!а теперь примут ввд

十8卡上

-Ы^М9- J、公；一《&,«}= J vfndv. (13)

-8. 8

Такое представление идеально для огракиченной плазмы; для ^^ог!)аипчснпой же плазмы опо является приблил^ениым, поскольку мн нсегда должны устанавливать некоторое минимальное волновое число 自.Однако последнее не накладывает серьезных ог()аничс11ий. Другой, менее с^тцестненный момент заклк>частся ^тох、что однозначно определяются нее & при п# 0, по не Е* ]}°с“е〃иео есть :мгновенное среднее электрическое иоле в плазме. L неограничепиом плазме оио создартсн скоплением зарядов "а 士8； к ограничишои плазме оно обусловлено внешними i*pa- нич11ЫУ1и условиями. (Пример ——плазма в конденсаторе, когда мме尸сн разность потенциала между пластинами конденсатора.) 八“псе мы постоянно полагаем 万° = О. При маком условии Наз” система полностью эквивалентна уравнениям (1) и (2). J123G

Введем теперь преобразование Фурье по v, которое определи ся формулами

Рп（!/- D = ） % 仅"）exp {tvij） d%

—8

十8

"（d，£）= J Fn&±）exp（—勿у）雾.

— DO

Тогда уравнение Власова записывается в виде

叫（з/^О叫（з/^О"п必D"п必D十包2心（0f…（!М） = 0.（1—ОО十包2心（0f…（!М） = 0.（1—ОО1-8

叫（з/^О

叫（з/^О

"п必D

"п必D

十包2心（0f…（!М） = 0.（1

—ОО

十包2心（0f…（!М） = 0.（1

—ОО

а уравнение Пуассона п второе из уразнепий Максвелла в вг

-tnk^n^F^ 0； ^Г--+^Р^^ Н

П реимущество двойного преобразования бу рве （и равложе'»! Фурье — Эрмита） заключается в том, что в уравнении Пуассо пропадает интеграл с функцией ряспределения н остается толы алгебраическая связь между Е vl F.

Преобразованную функцию распределения 当（у, 0 мота представить как матрицу; тогда числа п характериз^пот строк а сделанные дискретными у — столбцы матрицы. Уравнения （1 показывают, что плотность и электрическое поле определяют веитором, который получается из столбца ;/ = 0 матрицы Е

Для численных расчетов удобно ввести ш = 勺》вместо н объединить уравнение （14） и уравнение Пуассона:

/及（".与 十 办境；尸и （叫 t） = w е £ %（0, t）Fn_q （w? 0-（1

q一一8

Таков окончательпый вид системы, которая будет программир ваться. Характеристиками уравиепий （46） являются прях линии с угловым коэффициентом 1/п （ось времени паправж вверх）:

t ——e' ・ q （"—ip'）.

Можно промптегрировать вдоль этих характеристик и пол формальное решение для Fn:

F"（心，。-尸П （"一"力 0）4

-!-8±

+ 2 ［（小—з） ?т& （°，£ — &） /т （切一耐，％ —$） ds・ g—一8 О

Если ла минуту забыть о член© с суммой, то видно, что форьта 凡(u\ * такая же, как была в момент i = 0, но смещенная вдоль mF 协，Если в машмыЕой программе выбрать временной шаг △Е = Air, то это смещение можно чнелепио выполнить точно. Другими словами, удается точно проинтегрировать первые два чмена уравнения (16). Остается только найти подходящую про грамму для вычисления членов суммы в уравнении (17).

Когда х арактерметики уравпения (16) выходят из области известных величин, первый набор значений при 2 + △£ приходится получать путем аистраполяции. При повторном шаге значения нспразляются, так что ошибка обрывания становится равной О 1®)"・

Заметим, что эти вычисления были проведены на ЭБМ с полной памятью всего в 4 СЮО слов, включая как программу, так и числовые массивы. Была необходима предельпая экономия, так что рассматривались только программы с одной матрицей Fn (w, %) в оперативной памяти.

Функции Fn (叫 £) — обычно комплексная, так что при про граммировавии уравнение (16) приходится разделять на действи- телъвую и мпимую части. Поскольку функция / (с, г, £) действительная, то Fn должна удовлетворять условию

厶(叫 0 = f% (—叨2 0- (18)

Следовательпо, можно исключить мнимую часть &, если вычис- -шгь действительную часть Fn при пологкительных и отрицательных значениях п и гр.

Тот факт, что функция / (х, г, £) является положительно опре- де；1енной, можно представить только как очень сложное условие на характеристгпгескую функцию [25]. По-впдимому, это условие пока пе использовалось в численных расчетах.

Заметим, что преобразованке Фурье по всем переменным от распределения вероятности хорошо известно в математической ста- 1НСТНК& Там его называют «характеристической функцией». Валгная роль последней проистекает из того факта, чтр характе- рмствгческая функция от суммы пезависимых случайных перемен- ш равна произведению их характеристических функций.

Однако применение преобразования Фурье к вычислению Функций распределения, кажется, было новшеством, когда оно впервые было сделано в 1963 г.

б. Законы сохряненил

Система уравиепии (1) и (2) является консервативной системой, 曾я: которой выполняются определенвые законы сохранения, ^«апйолее важными явлиются законы сохранения числа частиц» ммнупьса и энергии.

Постоянство числа частиц выражается следующим равенством 《尸о(。J)^& или Л>(U, Z) = l,(1

которое следует мз (16) при it = 0 н п = 0.

Дифференцируя (16) по w и считая ip = 0 е и ^= U, получим ввиду симметрии суммы следующее равенство:

备白瓦М')|』= °，(2

которое выражает сохранение импульса.

Наконец, дважды дифференцируя (16) по ip и используя фор му”м (13), получаем

со

《［一乱9口+2叫汨"3 Л*=^1

Первый член представляет кинетическую эиергию частиц, a btg рой ——энергию электрического лоля.

в. Обрывание

Суммирование в уравнениях (16) и (17) проводится от ——。 до 4-оо, и возникает вопрос, какова будет ошибка, если сумм； обрезать. Предположим, что мы пренебрегли всеми членам* с n ^ 7V + 1 и что выполняет»：я соотношение Fn — О(£“)в.и как начальное условие, или для какого-то более позднего момента

Тогда член вза^одегютвия

2 ■马(О，——%qоо

который связывает различима моды, будет содержать слегасмн иорядка £|*-M+1W, т. е. порядка ^~п при v > гг- Ннмболыпа ошибка, которая будет получаться, возникает от первого от6р& шспного члена с v ^ Дг + 1; он порядка £2NT・2--n. Поскольк J = О (и")，父。относительная ошибка по отпошепию к 凡 будр порядка e2(w+L-n) 好磔丑©,兄丫。эта омтАбка растет при увеличена порядка п гармииики и становится О (е2) для 〃 — N. Молчалив преддолагалось, хто эти ошибки не иакаилив?к|тся со времен。 и потому не портят оцепку. Можно, однако, прямо из чмелешзы рсзу.и»татов увидеть, насколько вс© 兩е хорошо выполпяютс наши предположения. Оказывается, что в болыиипстве случа( достаточно рзссмотроть всего несколько тарлюши:. Например,即 устойчивых колебаний всегда легко удержать вторую гармонш ниже уровня первой гармоники на два или даже более порядк

В случаях неустойчивости вторая гармоника была связана с первой гармопикой и имела скорость нарастания, в 2 раза большую, qez у первой гармоники. Б результате ко времени, когда неустойчивость выравнивалась» амгт*冃туда второй гармоники нарастала д()%()—"з 8 амплитуды первой гармоники. Зто указывает на то, что обрывание приводит к некоторой неточиосги.

Нам мужпо ввести и другое обрывание мз-за конечности интервала по 口 Как было показано выше, всегда будут члопы, которые звтцутск к границе матрицы и затем просто теряются. Один на примеров представлен на фиг. 3. Кажется, что такая потеря информации является неизбежным свойством интегрирования уравпеимя Власова. К счастью, обрываппе не создает каких-либо численных неустойчивостей. С другой стороны, обрывание матрицы в разло- жспиях Фурье ——Эрмита приводит к численным трудностям (ср. § 3). Ошибку, которая возникает от такого обрывания, могкпо определить экспериментально, и мтл остановимся на этом и § 2, п. 4.

г. Граничные уелишя

При моделировании неограпиченной плазмы разложение функции f (/, г, Z)и ряды Фурье уже обеспсчиьает периодические граничные условия. Однако решение 爲(ip, 0 будет комплексным. Поскольку Fn {—w^ t) = F^ (w, 0, то при вычислениях мо?кно

ограничиться положшельньограничиться положшельньн. Такая схема применялась для

ограничиться положшельнь

ограничиться положшельнь

изучения нелннейяого поведения уединенных бегущих ьоли.

Если мы запптересованьт в снижении стоимости расчетов, то можно исходить из симметричных начальных условий:

/ (爲 S °) = / (—1，—в, 0).(22)

Легко показать, что для всех более поздних времен функция распределения будет сохранить эту симметрию. В /-пространств© условие (22) записывается в виде

典(з,。—戸т ( —w, /)-

Отсюда, используя условие действительности (18), получаем

Fn 仲,£)亠僞伽7 £), или Im Fn (w, Z) — 0、

Мнимая часть F тождествеппо равна нулю, и мы сокращаем 冷двое врамя па вычисления, не говоря уже об упрощении програм ^проваыия.

Однако за это приходптся расплачиваться. В силу симметрии Для любой волны, которая распространяется, долустим, вправо, имеется также еще одна, которая распространяете я влево. Если 电 1R изучаем неустопчпвость типа «торб на хвосте», то всетда долж- н° быть по горбу на каждом из двух хвостов и т. п. Электрическое

поле будет полем стоячей волны, которая будет периодически почти пропадать. Чтобы сопоставить результаты такого расчет^ с простыми понятиями типа захваченных частиц и т. и., необх。 димо призлекать дополнительные аргументы (вапример, считать, что две волны слабо связаны), которые не вполне очевидаш 叩 сильной нелинейности, когда модуляция плотности велика. ；

В качестве граничного условия при w = +肥мане 丑ыбнраа Fn (土趾макс, ±)=。・ Это, кажется, простейший и наилучший nyrt решения данной задачи. Все другие граничные условия, вероятии будут порождать численные пеустойчивоста.

д. Пачалыше условия

В принципе можно использовать любое начальное условм которое представимо с достаточиой точностью в /^-пространств Здесь мы перечислим конкретные начатоные условияг которы успешно использовались.

Для устойчивых волн симметричное условие

/(招卩,0) = (2兀尸％хр (—今№)(1 +/ cos*) (2 описывает затухающую стоячую волну. Ее типичное поведет! иллюстрируется фиг. 4, а—z. Используя различные значен^ амплитуд Л и волновых чисбл 儿，можно изучить изменеш затухания Ландау и его величину как функцию амплитуды и даны волны.

Чтобы изучить двухпотоковые неустойчивости, можно взя два максвелловских распределения, сдвинутых относительно др друга：

/ (爲 ц 0> = (2n)f (1 — 4) ехр [—击(叶噺®] +

十(2处1包含 exp [-+(D十%-外产]H + ecos%4)； (1 функция / всегда нормирована.

В этой формуле можно изменять отношение чисел частиц в дв] потоках, которое равно (1 — А)!АУ отношение соответствую1Щ температур 1/о и сдвиг рр между двумя потоками в прострапсч скоростей. Скорость % — фиктивная переменная, определякящ только координатную систему Галилея, в которой мы лаблюда за неустойчивостью. Ее можно выбрать такой, чтобы электрона| хглазма в целом находилась в покое шш чтобы возникаю 4 электрическое поле соответствовало стоячей волне. Отметим,円 когда полный элсктронвый ток отличен от нуля, он автоматичеа компенсируется равным м противоположным иопным током блая даря условию £0 = 0. Кроме того, испольвовались различи

значения ve для того, чтобы проверить инвариантность программы о1иссительпо преобразовании Галилея (ср. п. 4).

На фиг. 4, 〃 н 6 представлены типичные результаты. Проходит сравнитепгно много времени, прежде чем решение начинает нарастать точно по экслоненте. К тому же экспопенциальное нарастание не представляет подлинного интереса, поскольку оно хорошо описывается линейпой теорией. Монако сэкономить время вычислений, если выбрать в качестве вачальиого условия функцию распределения, которая соответствует линейному реигекмо задачи. В ”ом случае можно избазптъея от сущосгвениой части счета, отвечающего фиг. 4, и сконцентрировать свое впиманж на области- где электрическое поле достигает своею максимума.

Сводка результатов

Обсудим ннячале результаты, связанные с нелинейными зату- М1НИСМ устойчивых распределений. Начшгьпое условие (23) мсполь- :ювалось всюду. Типичиые результаты представлены ва фиг. 1, 〃— ? Графини расположены в соответствии с начальной амплит>7дой электрического поля, которая задана в виде Е(I = 0) = А 依。. Па фиг. 1, а мн наблюдаем затухшше Ландау первой гармоники, которое не меняется ва время вышелений. Это полностью соот- ш-гствует лнпойвой теории. Увеличеппе начальпого ноля в резутгь- татс уменьшения А。приводит нас к фиг, 1, 6. Видно, что в данном смучае затухание Ландау становится очень малым； это иллюстрация того, что в численных расчетах ограничен интервал изменения А. Тщательный анализ фиг. 1, 6 показывает, однако, что декреиент затухания, по-видимому, ^уменьшается. Это лучше бцдпо на фиг. 1, о, где снова увеличено £ (f = 0) и явно видно уменьшение декремента затухания вблизи Е = 30.

На фиг. 1, 2 показано развитие плато у электрического поля, иослсдпео напоминает нам о квагилинеиной теории 129—34], и которой также получается плато электртческото иол я. Квазилинейная теория в своих предположениях сильно отличается ст рассмотренных здесь чнеленвнх расчетов. Вот наиболее важные (* предположения: 1) непрерывный спектр волн, 2) у/^р《4 认；；)Y > 0, т. е. неустойчивость считается слабой.

Отметим, что предложено обобщение квазилинейной теории для устойчивого случая [311.

В численных расчетах все три указанные условия не выиок- иямнгн, поэтому подробное сравпснио невозможно.

Квазилинейная теория приходи! к уравнению диффузии в иро- зранстсе скоростей для одвороднои функции распределения /0* которое обладаем* тем свойством, что функция /0 уплощается в окре- сти℃тн фазовом скорости волны %• Для этой области фазового пр(»странства предсказано появление прн t f 8 гортзопгального

Фиг. 2. Сильно делинвЙБая стоячая волна. Начальное условие 父野ое же,号к для фиг, 1, ноФиг. 2. Сильно делинвЙБая стоячая волна. Начальное условие 父野ое же,号к для фиг, 1, но

Фиг. 2. Сильно делинвЙБая стоячая волна. Начальное условие 父野ое же,号к для фиг, 1, но

Фиг. 2. Сильно делинвЙБая стоячая волна. Начальное условие 父野ое же,号к для фиг, 1, но

плато у функции 瓜 Сравнивая численные результаты с резуль-< татами квазилинейной теории (см, § 3), мы также наблюдаем упло- располагается не точно, у фазовой скорости и. моютт перемещаться подобно волне. В среднем. однако, мо?кно видеть, что частицы, ско-； рости которых близки н ", в устойчивом случае ускоряются и, сл©< довательыо, отбирают от волн анергию.

Эти замечания при* менимы и к слабо 口合 устойчивой плазме, в которой модуляция плот^ ности мала (Дп/п-С 1) захват частиц все еп иесуществен.

При сильпой нелинейности (Дл/п 〜1) w ожидаем поведения, к торое не имеет больи сходства с предсназ пнями квазилинейш теории. На фиг. 2 пре ставлен такой случай к = Ъ^ и Л = %. Дп фузия настолько сильн что плаама порождав так сказать, ссбства ную не^'стойчивооть. В начальном этап© кол бавия сильно затухаю но затем, после 2=4

оин вновь начинают расам. В этом случае, вероятно, нажнз роль играют захваченные частицы.

На ©иг. 3 приведен тшппным графин характериствческ* функции, соответствующей случаю фиг. 1, ?• На фиг. 3, q пока: на характерисгическая фулкция первой гармоники б моме t = 40. Видно, ито в окрестности точки wMaKC функция достите значений, гораздо больших, чем в остальной части интервал При / = 70 инн функции находится в области малых ”.

Амплитуда второй гармоники всегда по крайнем мере на порядка меньше, чем амплитуда первой. Это говорит о том, что

"м т. 3. Характеристическая функция 招(5 %) для % — 40 (а) и t0 _ 70 (б) • '*н»еп|иг нто 凡(0, %) прапорциоиальна мгщленимгу значению нлекорнческого поля, s^ero двух гармоник дает здесь превосходную аппроксимйцию решения уравнения Власова. Затухание второй гармоники почти RUioe 6о』сьте, чем затухание первой гармоники. Это говорит о том, ”т。вторая гармоника свявана с первой: последнее ясно также

Фиг. 4. Завяс1ш»еть илсктрпческого поля от времени в случае ноустойц бого начального услюиия (24),

нз неконорнх аналитических соображений [10, 11]. Такое поведе- ннв и1)отиворечит, однако, предположсниям квааилинспной тсо рнн, согласно которой все гармоиики связаны только с функцией /0, ЯО не 只рут с другим-

На фиг. 4 п|)едсташ1епо характерное развитие двухпотоковой неустойчивости, которая порождается начальными условиями [24].

Мойше различить очень четко три совершенно различные стадии. На первой не видно никакой неустойчивости. Электрическое поле колеблется более или менее случайно. В этим области многие решения лииейяого дисперсионного уравнения дают вклад и элект[)ическое попа Из фиг. 4t а видно, что иоле £t спадает к моменту Е = 3 до вепцчшгы па иорядок ниже псходыого зна

чения.

Спустя некоторое мремя устанавливается явно экспоненциальное нарастание. Теперь самое неустойчивое рептение дисперсионного уравнения доминирует над всеми друшмм. В конце концов нарастание дол;кпо щюкратиться. Видно, что электрическое поле колеблется около очень высокого уровня. Это можно назвать первым приближением к турбулентному состоянию ппазмы. При £ = 60 н позднее Е? близко с точностью до мпожнтемя порядка 3 к уровню £j. Использование большего числа гармоник позволило бы 6htl уверенн1Ям, что найденные решения точно соответствуют ^-равнению Власова. Полученный уровень возбуждения опять но порядку величины совпадает с результатом квазилинейной теории, как это подтверждается и 6о」ее тщательным рассмотрением [101.

IM 17>эфиков характермс'пгческих фупкций видно, что они стремятся к нулю при двшкешш к границам w гораздо быстрое, чем в устойчивом сну час (фиг. 5). Этого нужно было ожидать, посколь 1'У теперь первый член в правой части (9) подавляет второй. На фиг. 6 приведенье фазы первой и второй гармоник электрического поля. Вводу условия (18) можно написать:

尸土М°, t) = \Fn (0, £)| ехр(土 1фп (£))•

Углг(ыкая это в урнвнеипн (12), (15), можно представить электри* ческое поме в виде

Е(*,底备£|『К—IЕ(*,底备£|『К—Isin [〃麻f+對а)]・sin [〃麻f+對а)]・

Е(*,底备£|『

К—I

Е(*,底备£|『

К—I

sin [〃麻f+對а)]・

sin [〃麻f+對а)]・

〔акмм образом,屮八(i) является фазой электрического поля. Фазо- ?ан скорость определяется формулой V =—即门(。也凤“ Во время ^кспоненциальиого роста @< и(р2 являются лилейными функция- как и с.псдует мз линейной теории. Для более поздних врсмеп I U V W V 100) это уже не так. После периодов, во время которых

屮＜ и 屮2 нарастают приблизительно линейно во времени» появляю ся внезапные резкие изменения. Фазовая скорость изменяет евс

В отличие ОТ случая фиг. 3, а функция ва границах в любой момент равна нулю.

Фиг. 6. Графвки фа3ы屮п口。^aё"（真，上）= 辟（0耳тm於户+ w4信）］J 〃 =1, 2 для неустойчивого начального усиовия, соответствующего фвг. 4

знак и спустя примерно одни плазменный период возвращав к своей первоначэльной величине. Вопросы о том, как такое п

пение можно рассматривать в качестве случайного процесса, как oijc зависит от числа гармоник, существующих в илазмс» и вызва- ни ли эти эффекты захваченными частицами» пока ие исследованы.

Вопросы точности

При рассмотрении вопросов точности нужно помнить, что машинная программа имеет дело не с полным нелинейным уравне- нмсм Власова, а с системой, отличающейся от последнего, поскольку было обрезано бесконечное число гармоник. Степень, d которой обрезанная система представляет уравнение Власова, обсуждалась ранее (см. и. 2).。

Для остающейся части вопроса, насколько точно программа решает обрезанную систему, существует несколько тестов:

выбор шагов разной длины по времени и по ir;

!

обращение времени;

исиользоваиме законов сохранения;

инвариантность ио отношению к преобразованию Гали

лея.

Когда мы уменьшаем конечные разности по времени и no wr численное решение должно приближаться к действительному решению системы (16). Соответственно закон сохранения энергии даикеи выполняться все лучше и лучше. На фиг. 7 представлены три расчета для А厶 равного 0,1, 0,2 и 0,4. Соответствующие начальные условия в точности одни и те же. Видпо% что полкан энергия электрического поля с очень большой точностью ведет себя одинаково, за исключением вапаадывания фазы при больших временник шагах. Изменение полной энергии уменьшается примерно в 10 раз, когда временной шаг уменьшается вдвое.

Система (16) инвариантна относительно обращения времени. Если мы изменим знак з, то система должна вернуться точно н исходпое состояние. Однако из-за численных неточностей этого ис происходит. В результате по величине отклонения можно контролировать допущенные численные ошибки.

Ранее было поназапо, что чясленное интегрироваиие уравнения Власова неизбежно связано с потерей информации» поэтому нельзя ожидать, что система вернется точно в свое исходное состояние после обращения времени. Тем не менее для ие очень больших времен можно использовать этот метод как весьма пол^- hyio проверку.

Наиболее часто для контроля мснользуется постоянство Энергии. Закон сохранения числа частиц выполняется уже авто^ ^атичипси, поскольку в программу заложено условие Fn (0, £) = 1. Полная энергия, однако, является суммой кинетической эпергии н энергии электрического поля и изменяется во времени. Из фиг. 7

64 гл, 2. Petaew тгаз方纟""仪 日/會Го6амегпонйхй 程606pa5必a"〃0

видно, что в леустойчивом случае приращение полной энергинй гораздо меньше, чем прирост энергии электрического поля, кот(н| рый в свою очередь составляет только маную долю от молпо届 энергии. Из фиг. 7 следует» что △啓/Н%л = 3,3-10~2 и 14\口，僧=； =2 ・10-2. Здесь 若 ——иолпая энергия системы, а 仆飞亚 ——максм^ мальная знергнн электрического поля. ；

Использованпе npco6j)азовання Галилея для контроля то* ности основывается на следующем: если мы в момент £ = 0 смог- рим на плазму, которая х арактеринуется функциями Fn (w, 0)，

。u г. 7. Полная энергия илектрического поая л лелпп* зпертп как ф>щ ">ш Л1и*мепл длл трех различных н^юмепнык шагов.

Пот«я RtifpruH должна sias&rbca noc/wiiiunft Ви軍to, чтч> мзмснгн«№ гищнай энг-р( • ^•мсныпдется nfmiEDHo в 10 раз, стам иременн向 шаг △〔 уменипагпш вдиог. Л1то<1ы хяр съ^ать графив тшноА анергии, из нее вычли конпгапту С » 2.70-

а б е

А, [О. 0.2 0；4

мз другой галилеевской сисг^яы координат, которая дпижетс, со скоростью и* отноентельио лабораторной системы, то пачальич условия переходят в Fn (妙,0) схр (ivjc^nw). То есть ЭВМ «вида! совершенно другое начальное условие. Амплитуды электричсск, го поля ииварии1ггиы отиоснтсльно такого преобразования п долл ны быть теми 痴9 самкиБ при обоих началышх условиях. Расчет с физически идинаковымп начальиыип уе/овнямн, наблюдаемьв* только из разных галилдеяских координатных систем, не выявили расхождения вплоть до времен £ = 30. При £ > 30 иоявлял иеболыпой фазоьый сдвиг электрических полей, тогда как амп^Я туды оставались удавшельпо постояннымп.

Мешод разложения Фуръе — Эрмита

Представление и начальные условия

Если функция распределения разлагх^тся в ряды Фурье 口。 координатам и в ряды Грама — Чарли (Эрмита) но скоростям, то нелинейное уравнение Власова сводится к бесконечному :на6о~ ру обыкновенных иелинсйпих дифференциальных уравиений первого порядка для коэффициентов 1)азложения (Внсстиас 1321, Знтамман и др. [ЯЗ], Армстронг 112, 13), Гравд и Фикс 119|, Садовский [21|, Хардинг [47, 181, Крюунфапьд п Бродднс 1Л4)). Хогя некоторые результаты можно получить аналитипескм иутем линеаризации по малым простраиствопшш возмущениям и введе- РИ1Я условия аамикаинн для исключения высших коэффит^иеитов Эряят» (см. [19, 32, 331). мн использовали разложенве Грама — Чар in для представления нелпношюго уравнения Власова в форме, удобной для вмененного шггегрирования. Соответственно в нашем рассмотрснпп будет сделай упор на применении и опыты расчетов, в которых нсшмъзсва/ась техника разложение Фурье —— Эрмита; необсуэсд盆емые здесь математические тонкости читатель мо^кет найти в работах Гранта и Фшсса 119, 20].

Рассмотрим конкрстио случай одномерной элентроиной плазмы с однородным нейтрализую«|дм ионннм 00Hoм, которая оинсыва- trftn у равнениями Власова н Пуассона (1) н (2). Функция pacirpe- дслештя разлагается в ряд

ОО8

/(1, % £)二 2 exp (〃成0箝 2 exp ( — -^) %(叨 Zmn(Z), (25) <i---<»m=0

rje 方，d. t ——определенные ранее безразмерные переменные, к0 = — 2л^Л есть осношюе (дискретное) волновое число 瓦

(—l)mexpM/2) • ，庐

j ортогональные полиномы Эрмита степени т. Привексм неко- юрме рекурррптныо формулы для Лт (0;

%、⑵=(加十 I)%，％+,«) + ти'Млт 伍)，(26)

2 % (0 = 1% ® — (т + 1)"扭垢打(d) = т% %т (г),(27)

5^01236

которые используются ддя преобразования уравнения Влассм к виду

^~ Zg“ (f) +，泌0 (m'“Zm-L n + (m + 1) '" Zm+1, n} +

十近2 —.L0，⑵

ф=>—8

m=-l, 2. 3.…，л— 0, ±1, ±2, 土 3,・・・，

■^■Z(jn (£)-J- ink^Zq. n = 0, 〃 一 О, ±1； ±2; ± 3, ... -(2

Комаоненты Фурье электрического поля £л(£), которые вход в разлаженле

ZQ, £)= 2 ехР (^^г) А\ (О.С

Л—— оэ

находятся из уравнения Пуассона

e"О-嚓%。,譚)，уое

и

Еп(0 = 0.::

Условие депствигельиоеги фувкппп / Q, и, £) требует, чтобы

Zmn(t)-Z^ _п(0.с

Использование зсркмьпо отражающих границ приводит к с дуютлм соотношепиям〔35, 36]:

/3 % ±) = / (—N,—以 0(

Й(Z. %)二—£ (—z,。，(

еслп они налагаются в момент 1 = 0. Из формулы (34) следует,〔

^шп (О — (—1 У71 Zgi (0»t

а из формулы (35), что

Е〃 «)=-£>(%)・(

Формулы (33) w (36) приводят к равенству

Zmnd一炉砲⑷

И.1И

R3Zmn(Z)= 0i m — 1, 3, 5. 7,...,ImZmm&) = 0, n> = 0, 2, & ….

Используя соотношения (31) и (37), находим Im Zo, n (。= 0, qro согласуется с условиями (38). Из условий (38) можно зэнлю- 9НТЕ, qr。всничихш Zmn или чисто действительны, или чисто мнимы, поэтому уравнения (28) и (29) можно рассматривать как относяпщсся к действительным частям Znin при четных w и к мни- мым частям Zmn при нечетных т. В результате имеем

^1^ = ( - I)" [*0 ｛一匐е П + 3 卜 l)%Zmm J +

+ 力"X %-必ШТ. q]，m, 72 = 0, 1, 2, 3,..・，(39)

ф=—2

En ⑥-Im E。(0- Z& n Q).(40)

Если теперь задать функцию / (瑞 и. 0), которая в свою очередь определяет все Zmn (0), та можно решить уравнения (39) и (40) ириотмм иигегрированием по вреиенл. Но прежде чем выполнять 4nc>ieuii(je шггегрирование, нужно оборвать бесконечную систему уравнений (39) и (40). В ц. 2 настоящего параграфа перечислены возяожпмо петоздости, которые возникают при таком обрывании; пока же просто предположим, что

名加沦(° = 0 при тп > М ИЛИ п> N、

и получгтм конечную систему уравнений, для решения которой можни применять обычные чгсленпие методы.

Укажем примеры различных форм начальных условий/ (*, и, 0), которые былп исследованы:

/ (勾 "，0)=貿;/:做(1 + 8 cos %0 -(41)

Зто paenpenCTenne приводит к затуханию Ландау первоначально возбуждепиой устойчивой волны с волновым числом kQ п к не.ти- ^епиому возбуждению волн с волновыми числами 2*^ 3在杀・・・,：

/(瑞 i7, 0) у 讲。；昂;С)(1+ecos V)-(42)

3丁о распределение описывает сильно неустойчивые взаимолрони- каницне электронные плазмы, в которых существуют нарастаю- 叫正 водим, если I 左0 I V 1 И91：

/(瑞 и, 0)h

П胃器器[偽(力+仔)"%(")]("ё е cos叫小 (43)

распределению соответствует состоянию «горб на хвосте» -J、30|, 1；огда редкие пучки частиц с большими скоростями :Р?х()Мят через относительно более плотную основпую плазму. K°Fopoii при достаточно малых 左。неустойчиво несколько воля.

5・

Бо всех вышеуказанных случаях интересующие нас воличш зависят только от нескольких отличных от нуля в нача?£ьн' момент элементов матрицы Znm (f). Класс функции распределен- по скоростям, которые можно разложить в ряды Грама — Чар л ограничивается такими расиродслениими； дли которых / (г) —* при г —>- ± оо по крайней мерс так же быстро, как 1’ ехр (—rV< Напрш^ер, для распределений Коши ввдй

/ (и) ^(产，Ь》п

такие разложения не подходят. Ио указанное условие не являет серьезным ограничением метода, поскольку физически питерссьл распределения по скоростям убывают достаточно быстро.

Так как численная проблема была сведена к яитегрироваш системы дифференциальных уравнений (39) вида

dZmn ⑴dZmn ⑴dtdt= &mZ,= &mZ,

dZmn ⑴

dZmn ⑴

dt

dt

= &mZ,

= &mZ,

где Z — {Zmn} и Gmn — нелиненлый алгебраический матричш оператор, то можво использовать иесколькс стандартах метод Ру иге — Кутта или технику управляемой корронции (predictor corrector techniques)- Мы ш：пользоЕа-1и метод Руиге — Кут четвертого порвдка, предложенный Гиллом 137]； ввиду простей начала вычислений и изменения врсмениого шага △£ но сравнен < с методами управляемой коррекции. Эют метод четвертого поря на требует вьгшелеимя правой части уравнения (44) в четыр. точках каждого интервала Д/. Следовательно, нужно лредусмс реть запас в памяти машины для запоминания каждого лз иетыр подынтервал ов в матрице размерностью 61V [мы использовав тот факт, что для вычисления Z^ требуются только строки т 士 I Алгоритм Гилла был занмсах в виде, который исключает необн димссть запси«ш1янпя самой матршцл Z во всех четырех Toq& подынтервал а; как будет видно ниже, трсбуготся только само последние вычпеленпя матрицы Z- Использовался следующий апг ритм.

Обозначаем %п ⑺ 一一 Zmn(7л0 верез 当払 0)，где j нумерл интервалы At, а】一подынтсрва：1ы. Тогда имеем

Z?m(7)= 2J(a 0 — 1),

^»n (I) = Z^m ⑦+ 玄(A±) G線Zj^n (j),

Z> (I) _ Z弘⑺十加{ [ 一 1 + G )，/2] %zu ⑴++ 口-(犷]G%Z%0)}，

Z^J)^^(j} +卽{[』一 G)* G^Z^-G^Z^d)-^

+ 口+ (}广]G統2盆⑺},

益⑺匸义。)+ △[ {4g几很⑺. T (1+/2) G統Z締0) 一一♦ 口十(打(义必①+^/“义⑴},

ZO0 + 1) = Z«I) и 7. д.

Вгяло обнаружено, что для рассмат1>ивасмых задач ошибка обрывания цепочки уравнений в мет<>де Гилла несущественна по сравнению с Другими погрешностями метода, поэтому не предпри- ипмапось никаких попыток улучшить основной алгоритм] (45)

с-обобщенного к<ща,ствляющеги ирсоиразопаыие <1*урье — Эрмита.с-обобщенного к<ща,ствляющеги ирсоиразопаыие <1*урье — Эрмита.S " I • 8 Упрощенная ф^ткциоБальная гемаS " I • 8 Упрощенная ф^ткциоБальная гемаосуще-осуще-

с-обобщенного к<ща,

ствляющеги ирсоиразопаыие <1*урье — Эрмита.

с-обобщенного к<ща,

ствляющеги ирсоиразопаыие <1*урье — Эрмита.

S " I • 8 Упрощенная ф^ткциоБальная гема

S " I • 8 Упрощенная ф^ткциоБальная гема

осуще-

осуще-

иУгем включения членов, мпннмлзирумацих ошибки обривания. В тилияиых расчетах ошибки обрывания оказывались того же Порядна, как и ошибки округления.

Используя выпгеописашше методы, было составлено песка последовательно более сложных вычислительных кодов Фортране; упрощенная фу<Используя выпгеописашше методы, было составлено песка последовательно более сложных вычислительных кодов Фортране; упрощенная фу<КОКО50501010Фиг. 9. Сравнение времен, коюрнс требуются разятгашм матюгам для разных вариантов просраммы разл«г- жения Фурье — Эрмша.Фиг. 9. Сравнение времен, коюрнс требуются разятгашм матюгам для разных вариантов просраммы разл«г- жения Фурье — Эрмша.А : JBM"0fi4, cEppiftfi Фурье рнттагивзетса явно для каждого N. /- е ижэтш один «лю- чевой ход для N = 2. другой длл А' — 3 и т II В : IBM 7044, сврртга «Рурвс оГщая, сдии хпклемй fok иокльвуетсн для все、 коамижных вваченпй N. С : Kl)F-f» (Ц.Ирма «Внглшн заектрик»}. . оп ппоодпров^цнчП вариант, испсшьвукдпий иЛсную свертку D : GE 625, тот ，кс кон, »т н для С. Е : IBM 360Y5, тот л® код, что п для С. Г . IBM ЗСО-65, ряг^рт варяяпта Е с двошюиА : JBM"0fi4, cEppiftfi Фурье рнттагивзетса явно для каждого N. /- е ижэтш один «лю- чевой ход для N = 2. другой длл А' — 3 и т II В : IBM 7044, сврртга «Рурвс оГщая, сдии хпклемй fok иокльвуетсн для все、 коамижных вваченпй N. С : Kl)F-f» (Ц.Ирма «Внглшн заектрик»}. . оп ппоодпров^цнчП вариант, испсшьвукдпий иЛсную свертку D : GE 625, тот ，кс кон, »т н для С. Е : IBM 360Y5, тот л® код, что п для С. Г . IBM ЗСО-65, ряг^рт варяяпта Е с двошюиTD4HOCTLK>«TD4HOCTLK>«Для тиизучЕпия полного рр-цспиДля тиизучЕпия полного рр-цспирасчета ирм вадэврт* 爪 нужлс умвс-яситьна М и на число чребуемык шерачий.расчета ирм вадэврт* 爪 нужлс умвс-яситьна М и на число чребуемык шерачий.избежно менее эффективио, чем циалыю для данного значения N、избежно менее эффективио, чем циалыю для данного значения N、ству соответствуют тсясдествспиим кодам, используемымству соответствуют тсясдествспиим кодам, используемым

Используя выпгеописашше методы, было составлено песка последовательно более сложных вычислительных кодов Фортране; упрощенная фу<

Используя выпгеописашше методы, было составлено песка последовательно более сложных вычислительных кодов Фортране; упрощенная фу<

КО

КО

50

50

10

10

Фиг. 9. Сравнение времен, коюрнс требуются разятгашм матюгам для разных вариантов просраммы разл«г- жения Фурье — Эрмша.

Фиг. 9. Сравнение времен, коюрнс требуются разятгашм матюгам для разных вариантов просраммы разл«г- жения Фурье — Эрмша.

А : JBM"0fi4, cEppiftfi Фурье рнттагивзетса явно для каждого N. /- е ижэтш один «лю- чевой ход для N = 2. другой длл А' — 3 и т II В : IBM 7044, сврртга «Рурвс оГщая, сдии хпклемй fok иокльвуетсн для все、 коамижных вваченпй N. С : Kl)F-f» (Ц.Ирма «Внглшн заектрик»}. . оп ппоодпров^цнчП вариант, испсшьвукдпий иЛсную свертку D : GE 625, тот ，кс кон, »т н для С. Е : IBM 360Y5, тот л® код, что п для С. Г . IBM ЗСО-65, ряг^рт варяяпта Е с двошюи

А : JBM"0fi4, cEppiftfi Фурье рнттагивзетса явно для каждого N. /- е ижэтш один «лю- чевой ход для N = 2. другой длл А' — 3 и т II В : IBM 7044, сврртга «Рурвс оГщая, сдии хпклемй fok иокльвуетсн для все、 коамижных вваченпй N. С : Kl)F-f» (Ц.Ирма «Внглшн заектрик»}. . оп ппоодпров^цнчП вариант, испсшьвукдпий иЛсную свертку D : GE 625, тот ，кс кон, »т н для С. Е : IBM 360Y5, тот л® код, что п для С. Г . IBM ЗСО-65, ряг^рт варяяпта Е с двошюи

TD4HOCTLK>«

TD4HOCTLK>«

Для тиизучЕпия полного рр-цспи

Для тиизучЕпия полного рр-цспи

расчета ирм вадэврт* 爪 нужлс умвс-яситьна М и на число чребуемык шерачий.

расчета ирм вадэврт* 爪 нужлс умвс-яситьна М и на число чребуемык шерачий.

избежно менее эффективио, чем циалыю для данного значения N、

избежно менее эффективио, чем циалыю для данного значения N、

ству соответствуют тсясдествспиим кодам, используемым

ству соответствуют тсясдествспиим кодам, используемым

циовальпая схема иоказ: на фиг. 8. Действующий рмант кода допускает (] средством карт ввода даины

бвод произвольных ] грвд Zm；

выбор списка ных< ных даииых, включая Z, / (w，/ 5 Е (瑞 t) и t. д.;

графический вывод；

выбор процедуры об] ванн Я-

Кроме того, размер автоматически умеиьшает» когда нужно сохранить еловую устойчивость. F требует примерно 41 (N」・3) W 262# '：- 2500 слов обп памяти плюс еще пример 2500 слов. Типичные зна ния М и Аг равны 100 и 3, г и 9. Для изучавшихся сих пор проблем ограни* ином служило машинное в； мя, а не память. При рас тах для болыпих А/ е время, затрачиваемое на м рацию, примерно пропорц нально М№. 11а 巾иг. 9 г Редены графики времени, трачиваемого на итера* единпды М, для различ вариантов кода, которые пользовались на разных шинах. Сравнение криви и В говорит о том, что ' буется в 4 раза больший сход времени при испол вапии общего енраж^ния свертки Фурв。，которое вырвжепне, паппсаниое Кривые С, D м Е но с、

урех разных машинах. Сравиеним кривых Ё п F показывает» что выпо лнение арифметических действий с двопнпй точностью уве- _73чиваег иродолжктельность расчета примерно на 60%.

Надежпость и точность кодов проверялась равными способами: сравненЕ№А< с линеа|)изован1юм ана.штической теорией в слу- чаяА, когда возмущения малы;

сравпетпием с точными аналитическими решепнями для задачи с.Бободпого точения (Е = 0); это обсуждалось в § 1, п. 2;

интегрированием по времени с последующим его обращением [уравнения (1) и (2) точно обратимы во времен^];

вычислением пшш■屈 энергии» которая сохраняется согласно уравпепиям (1), (2) (полное число частиц точно сохраняется из-за ；пмо贵 ||)прмы преобразованных уравнений);

сравнением результатов чяслсмпых: расчетов с различными Л/, У л А「

Не все из вытеуказйнных проверок проводились в каждом члстном случае, поэтому мы будем ссылаться на результаты разных численных расчетов.

Из танейной аналитической теории колебаний устойчивой и」лзя№ сиедует, что Еп (/) ~ ехр Но 但%)",以。время £ достаточно большое, чтобы исчезли эффекпгът от начальных условий. Рели 72=1 и 心=0,5, то результат аналитического расчета чаьов: Кез= 1,416, Imo = 0,1534, а результат числепиого расчета есть Песо — 1,412 и Ims = 0,153; эти результаты совладают с той гочвостью» и пределах которой аналитические результаты известны из прибллткенных репмчшп дисперсионного уравнения. Строго .)кспояенццадьное поведение Е】(±) продемон- С1 ртцювапо на фит. 10.

Уравлепв© свободного течения нейтрального таза [оно полу- чается, если положить в (39) иоле Е равным 01 описывает развитие больших градиентов скорости» которые будут обсуждаться в и. 2. Хотя урявнеине свободного течения обладает свойствами, которые затрудняют чисяснное иитегрщюванпе, его точное аиалипгаесксе 1)егиенис^11ол5,чйется легко для всех времен. Если использовать читальные ус?(овии пша (41), го точное решение ддя матрицы Zmn вписывается и миле~

/2=*粽看皿一幾勺，-г 2, 3,…，

(46) Zmn(£)=0.n#=± 1.

'『° рсщрние сравнивается в табл. 1 и иа фиг. 11 с решением, кото- Р℃ получается в результате численного интегрирования уравне-

иия (39), когда все Eq = 0. Наблюдаемые расхождения сказы: ются порядка онтддвпшхся накоплсншг< ошибок округления.

Таблт”

Сравнение аналиппеского п численного рсшеплй для свободного тс

Дрехн

Z(d

Р^пхигкленир

Чиглп шггевал

Впсзснпос ргт|1сние

Аналипгжг<й>е решение

0

0,3158093 810-1

0,31л8ЖШ)-10-1

0,1».

0

2

0,19154749-10 1

0,191548077•如 1

—5,87 • 10-8

Й0

4

0,42730032-10^

0,427 40153010-3

—2,21/Ст

160

6

0,3 508276,4 0f

о.зьййзгмо/О"3

—4,9040-9

240

8

0/0592985.4 0-4

0,4059您 50 ТОТ

Т,24・10-9

320

1С

0,11814119 Л0-«

0Д176921ЮиЛСг®

丄 4,ЭМОЮ

*■}

12 - .

0,1期侦3340-8

&48097 70co. КМ»

—6,0440-9

480

Для проверки обратимости во времени численных ротв】 прсЛодилось интегрированно по BjieMeun ири неустойчивом начз ном условпи (42), а затем в обратном направлении на протяжен

Е-ft/Е-ft/

Е-ft/

Е-ft/

"一" I ，「 I 一 」I I - 一 — I — "」

Г7020304。

Ф и г. 10. Зависимость log|Zci (Е) J от времени £ для линеаризованного чая при W = 1, демонстрирующая зкепопепциадьнп вагухакицие wias ные колебапцл |13|

800 времеппыз шагов (20 со才).Конечный результат для 口北5瓜 заряда ZOj (0) отличался на 0,29 ?о от начального значения; в чина ошибки типична для всех матричных элементов Zm・

ошмбка в несколько сот раз больше той, которая ожидалась от ибрт&ний и округлений; возможно, что она связана с процессом обрывания ио кш蚱ксу m в этом расчете.

В недавнем расчете ири неустойчивом начальном условии вида сгорб на хвосте» 1см. (43)] полная энергия сохранялась с точностью до 10-8 в течение времени 65 co$L Для сравнения укажем, что-

0)丄力1・ 11. Сравнение численного н аналптичсскогс решений урагкеввш ^('болиого течения для Zvn (£), которое показывает велитииу ошибок окр^тле* иия и обрывания.

Примерно 3% от начальной кииетйдеском энергии частиц исрешло в энергию волн. Однако полная энергия относительно нсчувстви- тсльна к существе иным ошибкам в / (=, v, Q. которые не распро- ^тр^няются на большпе области фазового пространства. В упомя- Мутом растете ыолпая энергия сохранялась очень хорошо, несмо- у》〔на 父。обстоятельство, что функция / (х,么 Г) в малой области Фазового пространства достигала небольших отрш^ателъныг зна- "°пнн. Тот факт, что функция / '冗,册,t) в нескольких местах при-

иимала отрицательные значения, не был неожиданным в g расчете» поскольку функция / (с, f, 0) в ивчапьный момент равя лась нулю на лмнни 研 — 3; так что если ошибки при вычисление -случайны, то половина значений функции / (名 ь, 0), рав向 вначале нулю, смещается неыиого в область отрицательных знм впй. Участки отрицателышх значений / едва мн влияют на та иость необходимой информации об Еп (Z).

Универсальной проверкой точности члеленмого решения яв/ -ется исследование его чувстЕтгг^льпости к измвБенгао разми используемых конечных разностей, в пашем случае At. В табл, представлены итоги сравнения результатов для одного частно

Таблица

Сравнение Z^ полученных для разных А£ при К=0,5 н е=0,1

Иремп

Zoi

Огюктенце,

At = 0.025

Д/ =0,0125

и

0,31580侬・1()т

0,31580938/0-1

о,0

5

0,1Се28778Л0-1

0,11)228960 40-1

0,00080

10

0.2326УЗКЛ0-2

0,232眦况МО-®

0,0017

15

-0 3 8966850ЛС-3

—0,18907476-10-3

0,0033

2n

—0,3 5402848 4 0-3

—0,3 5 46313 4,10-3

0.00081

25

—0,33775979 40-3

—0,337749 03-Ю-з

0.1МЙ2

расчета. Хотя оценки для ошибки обрывания в методах Рунг« Кутта неизбежно грубы, кажется, что отклонения в табл- 2 боль*

яра можно было бы ожидать от случайно накопившихся оши> обрывания; их величины соответствуют скорее прямому елх нию ошибок. Даже в этом случае неопределенность в ретенил продемонстрированная в табл. 2, является вполне допустим， для любых известных приложений.

Дальнейшее обсуждение ошибок, особеппо тех, которые вс

mmникают из-за обрывания рядов Фурье — Эрмита, будет прове. в п. 2. В качестве последнего замечания к олисанию машш

m

m

кодов нужно отметить, что наше внимание было скоицентрировя на информации, содержащейся в коэффициентах ZOin (дает элч ^рияеское поле) м Z^o (дает кинетилескую энергию частиц), i ^скольку эти величины представляют иаиболыпий @мзннесь интерес. Можно было бы изучить другие матричные племен и получить в общем подобные результаты, 8a ис1а1ючениом toi ■гго для элементов вблиаи границ матрицы ошибкв будут зна тельно больше, чем указанные выше. К счастью, когда матрм достаточно большая, влияние граничных элементов ва физвгаес интересную информацию, содержащуюся в матрице, но-видвмо« ata ло.

2・ Трудности обрывания

Метко видеть, что уравнения (39) и (40) не обравуют замкнутой схснемы ни по индексу Фурье п, ни ло индексу Эрмита т. Нелппей- ^й член, возникающий из выражения Е (秒力8〃), связывает каж- иую моду Фурье с бесконечным набором других мод, а коквектив- нм宜 член, возникающий из выражения г (叨Аг), связывает каждую моду Эрмита с соседними. Рассмотрим вначале эффект обркь ванпя рядов Фурье.

Требоханмз разлоашмости функции / (*, г, /) и £ (吃 £) в быстро сходяшиеся ряды Фурье ограничивает класс начальных условий, для которых применим этот метод. В результате пригодными оказываются только те условия, для которых по крайней мере начальное состояние почти однородно, т. е. отношение

Z°, о (О)Z°, о (О)достаточно мало.достаточно мало.

Z°, о (О)

Z°, о (О)

достаточно мало.

достаточно мало.

Проблемы ударных волв или оболочек могли бы потребовать другото набора базисных функций для пространствениого разложения 138]. Обычвым путем лниеаризоваиное аналитическое решение уравнений (39) и (40) описывает эволюцию малых возмущений однородного начального состояния^ Этот метод создает основу для изучения эффекта обрыва рядов Фурье в нелинейной задаче. Qmcjchho было обнаружено, что- если в начальный момент в устойчивом состояпни (имеется затухание Ландау) возбуждена волна с к — 1 и амплитудой &, то лотом нелинейно развивается л-я тар- MoiuiKa до амплитуды О (Е). Требуемая точность численных рслюпий подучается в результате выбора начального набсра е u fcc)и просчета задаем для нескольких возрастающих зпачеиий N, пока изменения (при фпкеироваином времени) величин, которые пас интересуют (обычно это EJ станут меньше чем долустамж нрточпосги. В табл. 3 сравниваются значения Zoi (可 и Zo2 (£), по.1учснные при одних и тех же устойчивых начальных условиях: Формула (41) с 儿。=0,5 и е = 0,25, причем в последующих расчетах использовались N=2wN = 3. В этом случае наивно ожидать отклонений порядка О (迎)=1,6%. На самом деле и «м^нендя Zo* (±) оказались мепьше чем О (〃), а изменения Z02 (О гораздо больше; сравнение затруднено, потому утс введение третьем гармоники возмущает фазу второй. Если была бы необходима более точпая ниформация о второй гармонике, то трсбо- 心&寻ся бы счет с ^ — 4 для устаиовлеиия сходимости. Главным лрспятствпем для расчетов с большим числом гармоник Фурье яблнстся время вычтлеиий, которое возрастает как №♦

При неугтойчивих начальных условиях число N выбирается ^кам, чтобы необходимая сходимость получалась при отрани- Леиной амплитуде. Обычно, если N содержит две или более волн.

Q笈9ОООz0e юООО9 7 —Z导90 = 8 о о о о—NJ吕о ю о —оQ笈9ОООz0e юООО9 7 —Z导90 = 8 о о о о—NJ吕о ю о —о&0 J8<oh* -BNnFdo: OJE&J м QJedoha BOKBJaKASd Фкяоя5аи ^ 8 e^^&0 J8<oh* -BNnFdo: OJE&J м QJedoha BOKBJaKASd Фкяоя5аи ^ 8 e^^^№ианг^№иангd£d£=2*厶=2*厶иепрер (13)—(.тендинциепрер (13)—(.тендинцФормулыимеетсяФормулыимеется

Q笈9

ООО

z

0e ю

ООО

9 7 —

Z导9

0 = 8 о о о о

—

NJ

吕

о ю о —

о

Q笈9

ООО

z

0e ю

ООО

9 7 —

Z导9

0 = 8 о о о о

—

NJ

吕

о ю о —

о

&0 J8<oh* -BNnFdo: OJE&J м QJedoha BOKBJaKASd Фкяоя5аи ^ 8 e^^

&0 J8<oh* -BNnFdo: OJE&J м QJedoha BOKBJaKASd Фкяоя5аи ^ 8 e^^

^№ианг

^№ианг

d£

d£

=2*厶

=2*厶

иепрер (13)—(.

тендинц

иепрер (13)—(.

тендинц

Формулыимеется

Формулыимеется

устойчивых в линейном прмблпжени мо сходимость оказывается удсвяетв рнтеяьной. Иаш опыт показал, ч в рассмотренныз: задачах сбрыван рядов Фурье приводит к гораздо мен серьезным трудностям, чем те, кстор】 возникают при обрывниии ряд< Зрмнта.

Вызывающие беспокойство больш] производные функции / (х, г, 士) пп ск рости, которые возникают из копве тпвното члеяа уравнения Власова, яв1 видны в решении у|>авпопия для свобо ного течения; замечания, которые 6： дут сделаны сейчас» осповываютск i уравнении для свободпото течения, । они применимы и к случию плазм Козффшщент с помором 机 растет к. 尸 exp I—(就о±У⑵ до максимально (или минимального) значения величиг 鑑ГС=产拼悪R『exp

которую при больших m можно за】 сать в виде

^=-^i^-^(

Этот максимум (или манимую) т коэффициента достигается в момент

причем скорость, с которой коз^ циент, достигающий максимума,;

равн.равн.жетсн б сторону больших т.

равн.

равн.

где m расе матривается как

н«я переменная, показывают, что

нарастепия для кооМипщгентов п больших m и что «скорость», с котор начальное возмушение затронуло м。 с малыми т, нарастает с ростом

Каким бы мы не выбирали граничное М, коэффициенты на этой грашгпе станут больлшми за время t ^ ["Mi(nk^. В реау-иьтате нельзя просто пренебречь вкладом от Zaf+liп (/) и уравнении для Z”」，(')‘ поскольку Z»i+i, п (0 и Z3/_fi п (£) велики и имеют лротиво- лолсягпые знаки, почти сокращая друг друга в урнвпенш： для Z“m С) км・(39)]• Поагому нужно воспользоваться ОДНИМ Н2 г*織№<нх рецептов:

я) Остановить вычисления в какой-то момент £ &「力"Ек@; выбрать Л/ достаточно большим, чтобы получить репгенкя для требуемого момента времени.

^пользовать то свойство системы (39), что уравнения для 2团，с содержат только ZM^ п и Zм_ь п, и уменьшать М на единицу при к：1ждом шаге во времен% начиная с момента £ 二 р Л/(пк(^. Тогди можно выиграть дополпптрльный интерва.1 времени Л/Л# и сохранить точное решение.

Пометатп тому, чтобы ZM п когда-либо стали бдатро пара- сгаюццши, с помощью введения какого-либо искусствсшгого члена в уривненис (1), чтобы «сгладить» большие производане но скоро- ctw (cv. [19, 20] и п. 3 настоящей главы).

г) Точно вычислять Z^—iG) по известным ZAf, пэ 7Л?_К „, %Ак2・ п н т. д. с помощью какой-нибудь экстрапол яппи.

Рецепты «а» 一 «г» успешно использовались для ранных проблем ,по. хотя были затрачены значительные усилия:, до сих пор Hue не найцена удовлетворительная (численно устойчивая) экстраполяция. Кри испо.1ьзовапии рецептов «ах>——《т» дейструющий марпаш’ кода ynpontaeTcn в результате вьгчисзекия всех Zmn ви.ють до значений т, при которых коэффищгепты 名巾“ становятся MciLinc некоторой заранее заданной величины. Зта особенность обеспечивает о^ень быстрое вычисление» пока матрица Z мала па 1гочнльной стадии.

Чз вида системгл (39) можно заключить, что при увеличении ancix Л/ для численной устойчивости нужно уменьшать At. При- меяа к системе (39) грубое ирйблп^еяие коненнмх разностей, nojiynacM (полагаем Е = 0)

玲"5/%к&…,(51)

£ -i (/耽千1. n ~^~ ^m—1. n)/Zm. n. Для того чтобы величина #切口/3血仆 была мело通,необходима малость величины 5т断％№、 иряктик© 6 довольно мало; поэтому если m必А力加0 之 1, то должна иметь место чдшлеииая устойчивость. Обнаружено» что "5 критерий работает хорошо.

Наконец, рассмотрим, как влияет на функции /п (и, 土)отбра- “讐呐。высших коэффициентов Эрмита. На фиг. 12 проведено ср'вяртгис фз'шещгй расиродслспия с 〃 = 1, которые (толучеиы

соответственно при учете 960 и 360 членов в рядах Эрмита. Разл жения представляют нстпшюе решение, полученное в случ. когда допускалось увеличение числа коэффициентов Эрмита мере необходимости. Из фигуры видно, что рааложение с М =： дает почти ту же самую фу1

6Сплоиллал кривая М=9б0 ЦИЮ 露(V, t), КНК И раз

жение с М =960. Ответ вопрос, является ли достат ным разложение с 360 чле: ми, злвпевт от того, наско. ко точно нужно ВЫЧИСЛ! форму /л (г,》В рассмотр ном случае можно было ограничиться М = 3 Остальные 600 козО^нцие 印 были удержаны в качест «гарантии» против расщ ст ранения искаженной инфе Margr, возникающей на гр нице матрицы. Если нес© дима экономия времени & числений пли требуется mgh, точная информация о /п ( £), то можно уменьшить веда чипу М,

Модификация для вкл« ЧСШ1Я «СТ0ЛКН(№€Ш1П»

В этом пункте мы буд в основном следовать Грап и Фиксу [19, 20L Один способов преодоления тр> ности неограниченного у- лвчения числа полиноьтов S

Ф и г. 42. Срапншпю функций Rc /| (”，t = 35,0), HsiywHHNx и виде разложенип Эрмита с 960 и 360 членами для рассматриваемого случая.Наблюдается хорошие совласцг во всем про-схравствм скоростей-Ф и г. 42. Срапншпю функций Rc /| (”，t = 35,0), HsiywHHNx и виде разложенип Эрмита с 960 и 360 членами для рассматриваемого случая.Наблюдается хорошие совласцг во всем про-схравствм скоростей-мита, необходимых для представления фупБцпй / (з, d, Е), связ с введением некоторого члена в правую часть уравнения (1) д создания сглаживающего эффекта столкновений в простраыст скоростей. «Столкновителькые» члены, которые можио нспол зовать 尸 одномерном случае н которые для одного сорта част фиктивны, не обязаны точно пренставлять истинные соударен между дискретньши частицамйа

Ф и г. 42. Срапншпю функций Rc /| (”，t = 35,0), HsiywHHNx и виде разложенип Эрмита с 960 и 360 членами для рассматриваемого случая.

Наблюдается хорошие совласцг во всем про-схравствм скоростей-

Ф и г. 42. Срапншпю функций Rc /| (”，t = 35,0), HsiywHHNx и виде разложенип Эрмита с 960 и 360 членами для рассматриваемого случая.

Наблюдается хорошие совласцг во всем про-схравствм скоростей-

Одна из форм столкиовительного члена, которая мспользов лась, получается из модели Бхатнагара — Гросса — Крука:

(普)「Г [f 6 % E)f0)exp ( ——)1 ・

Ес.ш 冏(％) = "，3© “ — постоянная, то функция / (л, и,」) стре- з jJcH к пространственно-однородному максвелловскому расире- деленпм» а если 冷(#) = j / (弥，г, Qdp, то % (q Е) стремится 式 максвелловскому распределению. После разложения Фурье — 3荷нта вырззкение (52) записывается в ввде

(2mn)c п —VcZmn (£), m # О,

(乞0力。=—%[Zo“(±)—М, если п(л:) — копстаята» (53}

(Zon)c = 0, если m (%) = j / (% Z 0 du.

В таком виде столкновительный член не обладает избирательной способностью р пространстве полиномов Эрмита, действуя одинаково почти на все коэффициенты. В этом случае отсутствует тенденция к преимущественном у сглаживанию тонкой структуры функции / (х, % ±).

Еолсе эффективен упрощенный член типа Фоккера ——Плап- ка 139^41]

(*Ь可夢+襄].(呀

приводящий к предстявлепию [19, 20]

(%пп (±))с т —姓血名皿励(£), (55〉

которое вызывает преимущественное подавлеии© быстних коэффициентов Эрмита. Грант и Фикс показали [20), «ю при J/vr 〜0(1} добавление члена (55) в уравнения (28) и (29) устраняет нарушение представления в момент t — ^M/Nk^ однако столкновп- тельные эффектн становятся доминирующими после момента 立 ~ l/vc =威.Временной интервал, в течение которого можно п^шближсппо изучать бесстолкновительные явления, просгирает- сн от I = Y"JNkg до М_ Если NA。V "РЛ/, то, очевидно, не;ке- лагельно вообще вводить столкповительньгй член. При устой- "口вых начальных условиях эффект от столкиовешгй дол/eG сум- ^ироваться с затуханием Ландау. На фиг. 13 предстявлеиа зависимость Re® и Iino, получению вз линеаризоваппых разложепий бурве — Эрмита, от % и " В нелинейном случае столкпови- тельный член конкурирует с волнами ио взаимодепствнп с ф^шкци- 崎 распределения; столкновения стремятся сохранить К (о = o/fc) V < 9, в то время как нелинейное взаимодействие с волнами ведет “ /； (г ：- (о/Л) — 0. Следовательно, когда форма /0 (г) сушествен- н° вдияет на эффекты, которые нас интересуют, :нужно шпша- 'е“ьцо аналивировать влияние столкновительного члена.

сравниваютсясравниваютсяНа фиг. 14 при пеустойчлиых начальных условиях 1см・(45 функции Ei (0, полученные со столкновительич

сравниваются

сравниваются

如 м г 13. Схояимос^ъ результатов для дейгтпитгльмий н мпиыон частей 1 солучевют ия линеарижшинньтх раз.южсшш Оурм?；加юта, тХлалдау в аавмснмз•尸 m частота соударсшш В и числа оставлгн« коаффшщиитов Зрммтп (N в :ггом случае)..

Лри № ~，始 исвь пплуъажл^я результаты Лайда у [201

云云炉门 a®炉门 a®

云

云

炉门 a®

炉门 a®

10 О 48 12 16 ZD ?4 初附 35 叔川"

Еремяг 3?

<р и г 14. Заьисимость log ! g (/) I。工工 W" неу^ойчишяо случая де.< стрмьуюхидн воздействие столннови1гльп«го члепа па развитие 厶 вс』 монв [М].

членом в форме (54) и без него. Столкиовительяый член не ви& каких-либо качественных изменений- В этом случае интересу лмсь предельной г<милдтудой Е,(，)н характером состояний сй ■

мьь м испол1*зование сто л кновительного члена позволило сущест- веН11о сэкономить машинное время.

Ск1лкновительный член в виде (54) был подробно изучен и работе Диневита и др. |42] с использованием аыалитичвсюхх: в числсывых методов.

Краткая сводка результатов

В этом пункте кратко деречлслсиы аадачи, которые исследо- вадшеъ с помощью метода разложений Фурье — Эрмита или иекого-лмбо близк<ич)к нему метода. Болыпая часть вгелв口она- ний явно оказалась усиеишой: они по-новому осветили ватквне филичрскпе проблемы. Порядок, в котором обсуждаются эти п]>облемы, не отражает паши взгляды на их относительную важ- ноегь- а исходит из довольно ирмближ^нтой последовательности поя1^лсния результатов (заранее мзвивяемся за любой пропуск работы, с которой мы, по-ввдиыому, незпакпмы). Мы стремились до-нюстыо доверять илглсдователям каждой задачи, которые использовали разложения по ортогональным полиномам^

н. Лелш№бмйе янтухшше Ландау в уетойчивой плазме

В макслслловсмой плазме возбуждаются волны с болыплми амплитудами и изучается последующее затухание и нелинейное взаимодействие волн с функцией / @, р, t). Обпаружено, что вначале затухание волны происходит быстрее, чем ни Ландау, что обусловлено, вероятно, сильным захватом резонансных частиц волнами. Чис-ю частиц в распределенип % (弘 i) со скоростями, мсиг>1ними, чем фазовай скорость волны, уменьшается, а со ско- piKi-ями, бсльшикш чем фазовая скорость, увеличивается в соот- всгстшш с картиной взаимодействия реаонансных частиц. Декре- меит яатухания у(I)падает с течением времени, становясь при больших временах гораздо меньше декремента линейно近 меорнм, ш уровень начального возбуждения достаточно велик. Наиболее важными нелинейными членами в уравнении Власова для спреде- лоиия временной эволюции элсктрвгческого поля являкпгя, оче- 匕нлно, члены Е^ (岁—，傢» + f-i (班/0叽 которые дают вклад второго порядка в % (r £). Была успешно построена нелинейная «палити- 'еская теория ]53J, склованная на вьипеуказапном допущении, которая дает у (%) и /0 ("，%), где 乙一асимптотическое время. [幫叱 проблемой занимались Армстронг [12, 13], Грант и Фикс 电 ЭД, а также Садовский [21].

('илыю неустойчивые взашопротекающие илазмы

Ьмаа изучена эволюция начального состояния, соответствую^ 炉。Дьум взаиыопр(>БЗ|Еающим пучкам электронов Гпачельпое “Q""e вида (42)1 в достаточно короткой периодической системе, 6-U236

82 Гл. 2. Рсишше ураенгмия Власова л・тВахи ш>гобрияпеаний такой, что только волна /г = 1 оказывалась неустойчивой. Чис Л выбиралось таким, чтобы включить москолию устойчив тармомпн для обеспечения сходпмостп рядов Фурье. Результа численЕЫх расчетов локазали, что из-за пелинеиннх эффектов растение прекращается после© того, мак малая доля энергии пу« переодет в энергию злектрического поля, н что система длите ное время приближается к неоднородному равновесному с ост ншо. Эта проблема изучалась Армстронгом [12, 13], Гpair м Фиксом【19, 2()1, а так;ке Армстронгом и Мониюмери [14].

■и Одномерный млпзменнып дпол

Эта задача упоминается нами, поскольку в ней испол!>зуе метод решения уравнения Власова при менее строгмх периода скмх граничных условиях. Метод, исиоди^зоиапный Ломаксом [ В1；лютает в себя разложение функции раснредслемяя по полпнов Лагерра. 1>шм мегодом были получены характеристики диод^

г. Боздейггине внешнего апектрнчеосого ноля на э/юктрон^ю плаз*

Эта проблема будет обсул<даться н § 4.

“.Зхо плазменных волн

Кроупфилд и Броддас [341 применили метод разложа Фурье — Эрмита для случаев, когда в устойчивую плазму да ды вносят возмущеипя в разные моценти времени. В соот ствии с аналитической теорией [231 н более позднее врваяпопвл ся ♦волна-эхо*. Форма огибашцей волны-эхо, зявпеиностр амплитуды от возмущений и величина запаздывания согласуй с иредсказапнями аналитической теории. Волна-эко появля несмотря на то, что электрическое иоле обоих приложен возмущений убивает из-за яатухания Ландау. Возмущмшя「 незатухающие кклади в функцию распределения, которые м・ стать когАрентвнмп во фазе и вызвать волну-эхо. Введение бык «столкновений», которые воздействуют на незатухакм часть ф^ашцни распределения, ешьно уменьшает амплитуду. 【45, 46]. П редварител ыше численные результаты при 、： столкновений согласуются с предсказаниями аналитаческой; pim. В дальнейшем планируется исследование рожмма с бод] мн гП|Плит5гдами.

Нелинейные ионно -акустические волны[

Эта проблема будет рассмотрена в § 4, m 3.

Слабая i{еуггойчиросгь типа 餡горб на хвосте»

Йзло/кенные в и. 1 методы бы^и недавно ирпмоиены [16] для пачнльиых условий вида [43). Этот случай соответствует двум [圮黒;нм пучкам электронов (со скоростями 士 Vdr), которые про- ходят через более плотную основную плазму. Ковкретнои целью такого выбора начальных условий явилось стремление выяснить облагп，примевимосги квазилинейной теории [47, 29, 31], которая, по-видпмому, применима к слабым неустойчивостям такого чипа. Были проделаны вычисления для восьми волн, четыре мз которых были линейпо неустойчивыми (п = 2, 3, 4 5); нолиа п — 1 пыла устойчивой и нсзатухиющей, тогда как волны п = -=6, 7, 8 сильно затухали. Как и ожидалось, иелпнейные процессы приводили к тому, что «впадина» функции распределения между осисвной плазмой н пучком заполнялась; результатом, неоиш- jhfhnm с точки зрё1шя квазилинейной теории, явилось иреобмн- данис в состоиипп с большим с амплитудами велны с наибольшим инкрементом нарастаиия. Более % энергии электрического поля при максимальной амплитуд© было сконцентрировано в наиболее нрустойчиной волве. Преобладание одной волны было приписано гому факту, что в начальный момент волны возбуждались с амллИ' тудами, примерно в 20 раз меныпимп предельной ямтштуды, и иаибслсс быстро нарастающая вол па обгоняла другие. Швтрина захвата паибольшей волны перекрывала фазовые скорости других HejcioihiHBwx ьоли; следовательно, памболыиая волна была спо- соСна нелипейно «погасить» другие волны. На основе реаультатов зтого исследования можно предположить, что для прпмештмсстн обычной квазилинейной теории необходимо, чтобы амплитуды начального возбуждевия не были слишком малыми по сравнению с щюдельгой амплитудой.

§ “• Оботцепие мем ода разложен ня Фуръ^> — Эрмита

Осповпое разложение Фурье — Эрмита, описанное в § 3, можно Ьси()льзс*вать с соответствукшцши модификациями для решения бо^се общих вариантов в велинейной системе уравнений Власо- 叫一Пуассона. Обобщения на слушай двух измерений обсужда- ^ся в гл. 5, а в этом параграфе мы обсудим только дополнения К ОДНОМcjjfom модели.

В и. 1 и 2 мы обобщим машу модель на случай элеитрических “°才°", изменяншцгкся во времен且 или стационарных, которые, по "т.нкклсжсиню, поддерживавггся силами, вяепшкши по отноше- ^16 к элек1ро1шой плазме. Обобщение на плазму с подвижными 'RutiRjii и электропами обсуждается в и. 3. Большая велшпша ^и^иенли массы иона к массе электрона приводит к тому, что ЯйЛенин, связанные в основном с движением мспон, развиваются

за гораздо большие времена, чем явления, связанные в основе с движением элекч'ронов. По этой п]>ичине движение электро» рассматривайте я отдельно, а упомянутая модель названа гибр1 ной моделью.

1. Обобщение на случай внешних нолей

Основные элект|ммггатичеснле явления в электронной пла・ имеют характерные длины порядка электронного дебаевского ра, уса экранироваиия и частоты порядка электронной плаямеш частоты. Однако в эксперт ментах встречаются случаи, коз явления не связаны пелосредствеино с этими масштабами. Tai случаи можно исследовать с помощью лредставлеиия Фурье Эрмита при наличии электрического поли или потенциал и» к< рые сохраняются независимы кит от процксюь в плазме. Та иезависимые тюля ми будем называть «вярпшими полями», чт« отличать их от полей, xoropije вычисляются самосогласова по функции распределения электронов, п будем считать вх изв выми функциями координат и времени.

Включение внетиях полей

Расп!)едсле11ие электрического заряда в системе опрсде. электрическое поле Е (или, что эквивалентно, потенциал 屮)ч ураниенио Пуассона

/屮П匹击2--=豆

где правая часть дает полную плотность заряда. Как уже иси аовалось в этом главе, <4» в правой части есть пормировач однородная плотвость неподвижного мойного фона, а и*гге: по скоростям ог функции распр»едолеюия электронов дает г ностг> заряда олектронпой плазмы.

Для моделирования эффекта внешнего поля (иди потенди б нашей системе мы прости добавим в правую чйсть уравнения @пл・>тнссть зарядя эквивалентного источника», которая и в уме могла 6м дать нужное внешнее поле (иотепциал). Обозн; эту дополнительную плотносп» заряда через рьмга к будем счи ее известном функцией 3 Ht. Решение связанных уравнений соаа и Пуассопа проводится, как и раньше, но теперь мм ре скорее смсшапиую задачу, чем чистую задачу с нниалъ* условиямп. 4

Если разложить новый член в ураипешш Пуассона по к нентам Фурье 自 ⑺ н подставить его в преобразооанние по Ф уравнение Пуассона, то вместо соотаоысиия (31) получим в

к，т吟

Ел (0 二上黑~ [Non (%) — pn (%)], 〃耍 О.

Таким образом, плотность заряда внешнего источника опреде- ллегси коэффпдпентама Фурье рп (0, являкяцимися заданными функциями времени для любого частного случая, который мы бпзм рассчитать.

В экспериментах с плазмой обычно ле контролируют непо- с))сдстьснпо длотности заряда или электрические поля, а вместо зхоги измеряют электрический потенциал на разннх поверхностях внутри млн вокруг плазмы. В частности, мы намереваемся еуодсли])овать эксперимент 1481, и котором ряд кольцевых дисков равномерно размещался вдоль и поперек плазменного столба. На диски подавался потенцаал, который нзмеЕялся спнУсовдально во времепп с высокой частотой, причем патенцпалы соседних дисков были сдвинуты пе @азе на 18(Е

[l.'fOTHocTb заряда эквивалентного источника для такого потей' “мала п})едставляст собой ряд 6-фунмций Дирака, знаки которых че]М"дук>тся н которые зависят от врелтеии как sinoM. КоэффнциеВ' см <1>урье рп для такой плотности заряда в рна© S-фунтсций отличны от нуля только для нечетных л в одипаковы для всех иечетпых 九.

На-за ограниченности машинного вре.чеии и памяти большинство наших расчетов нужно было ограничивать только тремя комио- нентнми Фурье функции /, а именно w = 0, i н 2. Следовательно» для распределения в виде б-функцип можно было попользовать только компопеиту pi (。плотности Рпнсшн. Это не является серь- езиым ограничением, поскольку бблыпая часть физической лнфор- мат^ии связана с эволюцлей первых двух компонент Фурье функции распределения электрещов,九(％ Z) и /, (q 小

Эго иокааываег, чю вычисление функции распределения может быть более дорогим, чем прямое моделирование частиц, если необ- ^одцмо одновремепыо изучать развитие большого числа мод. С другой стороны( расчеты по методу разложений могут быть полностью бесстолкнонительяыми и могут дать точную возмущен^ ?'】" Функцию распределения при очень малых уровнях сигнала. CpaiiiniMoe уменьшение столкновигельиого н статистического ?$м(>п ирп прямом моделировании частиц потребовало бы очень °°』мнсго ^исла частиц.

Ннеишле поля, вависящие от времени

Отелик элеитрониой плазмы на осциллпретощее внешнее поле gMepsdcx в двух днаиаяспах часто!-: соо》з^ и ю0^ з”, где Зр© — плазменная частота электронов.

m(j》др©, В этих расчетах нужно было определять ампли^ *У“У・ частсп-у и фаву отклика электронов на внешнее (возбуждаю-

щее) поле и паблюдатъ получающееся изменение функция распр деления. Мы хотели количественно сравнить эти величины в сл чае, когда амплитуда возбужденгш становится выше уровня, а котором проявляются нелинейные эффекту. Эти нелинейна эффекты но природе аналогичны тем, которые описаны в § 3 (фиэ чески они связаны с захватом частиц электрическим полем), I

Фиг. 15. Отклик электротиой плазмы на возбуждаемое извне ：1лектрФиг. 15. Отклик электротиой плазмы на возбуждаемое извне ：1лектрсксе поле.сксе поле.

Фиг. 15. Отклик электротиой плазмы на возбуждаемое извне ：1лектр

Фиг. 15. Отклик электротиой плазмы на возбуждаемое извне ：1лектр

сксе поле.

сксе поле.

Хрлвыр n = 1 si п = 2 дают абголиггяые виачсцил первого м вторик- н<кмЫ«Ць—*■ Фг-рье ялектршеского пс(ля часлв. [кривая К. Э. ипкзеывагт увеличение (к %) пол eetors中 знерпш алешрклв. Сшвусопделькое мвбадаяицее поле имело волне ЧИСЛО 視о = 0,916, частоту ом» = 1,923 ы экплпт^ду р»「V.0458. Пшщпг мнтричм иоле раино сумме ааекпимесного поля чистиц и возбу»цдаюп1его поля,

их было гораздо труднее изучать в презпяееткуюгцем случае I впешнего возбуждения, поскольку возмущенное иоле бысл затухало и захваченные частицы 6нсг]х> освобождались.

Па фиг. 15 приведены результаты одного расчета. KpG с мидсисами п = 1 е[弘=2 дают абсолютные значения пора и второго кодффхщвентсЕ Фурье той части полного электричес1« поля, которая связана только с электронами плазмы (т. е.: полного поля было вычтено внешнее лохе). Кривая с надпг» К. Э. показывает увеличение полной кинетической энергии эд тронов и процеитах. На протяя^нпи первых 17 временных гюр дов захваченные электроны отбирают энергию от возбуждающ иоля; на протяжении следующих 15 временных периодов с

стдают большую часть этой знергпп. В отличие от ситуации в § 3 ^^^ая энергия здесь не сохраняется, поскольку внешнее поле 速 счит8-юсь сизиосогласовахшым.

б)<г； 'оуе- В этпу расчетах внешнее поле выбиралось таким, qT()6u о。。возмущало н.ютылсть заряда ионного фола, который ссинзлмрует гораздо медленнее, чом электронная плазма. Стави- лйСь задача: выясиить, могут ли электроны изменятг» свои скорости м расп!)еделение в пространстве таким образом, чтобы сохранять постоянным опюптенне давления

8[f@, q t)d〃・—88[f@, q t)d〃・—88

8

[f@, q t)d〃・

—8

8

[f@, q t)d〃・

—8

[г2/ (з, V, Е) dp к плотности 兀=

— ОО

Это (пиошепис менялось не более чем па 2%, когда осциллирующие возмущения фона составляли 15%.

Вычисления для 4Vlyчая неоднородного равновесного состиянин

За щ-клммрии^м случаев неустойчивых начальных условий в § 3, равновеспое состояние в описанных расчетах было пространственно однородным. Известно [49： 50], что уравнения (1) и (2) имскя не зависящие от времени решения, которые соогвегетвуюг иеодиородитл* электрическим полям. Аналитические исследования устойчивости разных состояний неоднородного равновесвя 5M.iн проведены Монтгомери [51], Лоу [52], Пирлстсйном [53], <l>l)na6epi4)M [54] и Кнорром 155]. Здес力 мы нсножпм результаты чве.юппого иеследовапия 117г 48] затухания Ландау возротцения одного конкретного неоднородного равновесного состояния.

Нигегралом движения для у.1ектрома является его полная знер- 门〕я, которая равна сумме его кинетической и потенциальной зн^ршй и е безразмерной форме записывается в виде 宫—讲/2 — —|| (г). ^Ьюая функция / от этого интеграла движения является решением уравнения Власова. Если Оункцнн / [Л;2—屮(/)] н Ч (•£)найдены самосогласованно из уравнения Пуассона, то мы "°」уизем неоднородное равновесное состояние. Давайте построим T'h°e ])авновес1юо состояние.

Выберем плотность заряда неоднородного фона в впце рвнешн = 'г eg &f (не зависит от времени), а фушецию распределения в виде

^ (厶功=吊扣。武一号+W (矶，电

Теперь нужно подставить / и рвяешн в уравнение Пуассона омроделитъ ф (х).

Рассмотрим такие решения 屮(х)» которые определяются т< ко первыми членами разложения Фурье по косинусам

屮(ж)二 A cos км 十 4 cos %r + 4 соз 泌脾 + -•

причем 1^! |> |Л2|> ]-4s| мт.入,з—i выбщ)аетея достаточно лым, чтобы разложение экспопентьг ехр 屮〜1 4•▽十 q''2 + ... днлось также быстро. Подставляя эти ₽8зл<>жепия и функцию в уравнение Пуассона и оставляя члены до третьего порядка ( получаем следующие соотвошениг, которые содержат А^ и

& = 1+(题/4)，

4一

4m十4徳）‘

s = 2pi = 4(a+硝+ n:1[

--g44 &-A12/£

"^0十1畸 ‘

期十44

8

Поскольку функция расирсдслеыия считается максвслло:

It-

е. / (г)〜exp (—户/2)], то нетрудно иайти отличные от

百

%

лро-

страпсчгвеняопеоднородяото раьяовесгтого состояния, которое иллюстрирует юяе- репмх декремрпта затухапия 丫 для случая

Время,蚱/

<Р и г. 16. Затухание возмутцгпип

с волновым числом

кп = 0,50 и нподыород-

ВОСТЪК) £ 二

2Pl = (Jr125.

Раяплцэ в каплют двух прямых ；|иний указывает ал «кюи]1еделс1ш«лъ в аначсним 貝 нз口а ^/вовм) ппстагает урейия шума бона.

равновесные матриц элементы Zoi, S()2 И Zqs любой заданной иарМ ЛИЧИН 瓦 И 工 i [Zou ■ равно (2*尸％].

Найденные таким о зом равновесные к® циеиты Z0fl используя затем в качестве нот пых зыачеБпй, чтобы, смотреть, насколько х, шо <ши представляют зависящее от времени игение урависния (28)., средней пары вел】 4 =0,1 и 7со= 0,5 ( найцено, что коэфф ент Ng осциллиру< амшштудой по рядка 0, около своего иычислен рашювссного змане После двух иля трс* пыток можно умен! и амплттгуду колсбани м 0,(ХЮб %, экправлял ходную величину в пр лах 0,001%- (Вычисл- ирородились на IEM，‘

которая имеет 8 цифровых разрядов, причем члены, содер/кагц не вычислялись.) ]Гри меньших 自 вычисленные коэффпци

0Kxsmвались даже более точными- Остающиеся малые колебания VO/KHO {рассматривать как эффективный шум фона для такой численной модели неоднородного равдовосия. Таким образом, эта процедура «настройки» применяется для уменьшения уровня тума，

Hf^Hop&^cfirh pf

① nr. 17. Декремент затухания Ландау у как фупкщгя возрастав»щспз неоднородности р( при кь = 0,22.

Т(т.]«уги^ка11 кривая (см. Е56» получена н ■фсдиьлу.дши, что сийс|пенно& Су^вцнсб* ^4ек71»мчрского поля является функция Мятье $е,(加驾 g), где g = 4〃殴麻).

X。возможно меньшего уровня, с тем чтобы можно было до тех "°р следить за малыми возм^тцениями равновесного состояния, □ока они нс затухнут до уровня шума.

】【”я равновесного набора коэффициснтов Z%, Z,吐 и Z02, про- 牛ррнного прм заданном fc0, измерялось неоднородное затухание ^Ьшдау при использованпл исходного значения Zoa (возмущел- uqp) к 4,妙5 Z。] (равновесное). Илектрилеское иоле возмущения 黑RUO &803М) = i\ (частиц)—居 сра»ловесцдр)- Для ТЙ1СИХ MfimiX КОЗ ^Щ^ййп нелинейные эфф^^^т несущественны и амплитуда

возмущения падаеч' экспоненциально во времени до тех пор

пока она не досгигиет уровня шума фона, г. с. ^возм (。二 马он熱(0)ехр (—W)，г^е у — иостояддая величиям для линейноп затухания Ландау. Результаты пробного расчета с отяосительн» большим т приведены на фиг. 16. Д?гя однородного равновесноп состояния с Ао 5 0,50 декремент линейного затухания Ланд я; равен 0,154. В пробном расчете использовались fc0 = 0,50 и неодно

уровняуровняродноегь е = 2m = 0,125. Из полулогариф»млческого график； находим у & 0,160 для малых времен, пока Е〔 (возм> не затухнет 用 фона.

уровня

уровня

малых 蜀 в соответств Хотя эта теория не П{малых 蜀 в соответств Хотя эта теория не П{丿[екрсмснт затухания у измерялся танин способом для не- скольких волновых чисел *о при одной и той же степени неоднен родностп (которая определялась величиной Л,) и для нескольких степеней пеодиородности при заданном ке. Было обнаружено, чт() возрастает по отношению к величине декремента однорвдне ^ затухания, когда степень неоднородности увеличивается, приче!

малых 蜀 в соответств Хотя эта теория не П{

малых 蜀 в соответств Хотя эта теория не П{

при [5Н].при [5Н].ато нарастание происходит быстрое с теорией неодпородного затухания

при [5Н].

при [5Н].

моиима в полной мере к рассматривасмому случаю, измеренш увеличрипе у оказапось в удивительном согласии с предсказалиян теории. Это согласие продемонстрировано на фиг. 17.

Гибридные модели

а. Нелинейные и»нные волны

Н апболъшим препятствием при любом численном реигепи ураввеиия Власова в случае двухкомпоновтной плазмы являем < знотителькое ратмчме врсменнътх масштабов у ялектрошк-.- и иониого движения. При реальном соотношении масс электро*- должны били бы совершить за то же время примерно в 40 р< больше колебаний, нем ионы. Поэтому трудно получить дай песколысд иоппиа колебаний, н；【м точно раесматрявалъ движ， пне электронов- Эту трудность можно обойти дву^гя путями уменьшить отноитеяпе mjm., и, следовательпо, сблизить нреме шяе масштабы или поло?кить % = 0- Здесь будет описана модел. предложенная Дусетом ‘) для определения вклада электро!， в плотность заряда, которую можно оббсдинпть с уравнениями j и (2) (записанными для ионов), чтобы изучить ионное затухав, Лшщау (илп нарастание), при наличии эхектрониого фона. ?•- модель была усовершенствована Армстронгом м Моптгомери [1「 и она рассматривает электроны как иащкостъ с нулевой масс”： которая описывается адиабатическим уравнением состоянии

Н. О，〃"“・ частное сообщгчшс. 496了.

В результате возникает следующая связь между <р и “：

w(z, £)-占[% (弘旷‘一1],(砌

r《e 兀 一 температура иоиов, £ — температура электропов, у — показатель степени (у ^ 4) в формуле 外 工 /% U%/刃匕 Зк—ь 1Hmо/ьзованы естественные ионные единица：屮三 0, когда 1тл°т~ п，“・ть однородна, п (я:» 0 = 1. Теперь нужио подставить функцию 仄(叉,0 млн сс компоненты ①урье в уравнение Пуассона км. (2)1, которое связывает з#ентропы и иокы. Правую часть уравнения (59) а(>；]；но разложить в ряд по степепим отклонения плотности oi однородного распределения и оставить то^гг.ко линейный член. Введем обозначение: 6% (i, 0 = ^ (彳,立)——1, тогда

ь?|。(二, 0 =马一中(泥、上)，(60)

где 3% не содержит пространствеино-одпородной части и, смедо- кателкно, но имеет компоненты Фурье сп = 0. Приу = 2 иыраже- яие ((к!) является точным; при у = 1 выражение (60) все еще при- xemnro, хотя формула (59) неприменима. Отмстим, что илотпость п户(五,0 лол учена без какого-либо численного мнтегрировапия ^фавпения движения электровон.

Переписывая теперь формули (3U) и (31) для ионов ири наличии электронов, получаем вместо формулы (31) следующее выражение:

/9)= -"2-叱翅, "，0.(61)

Отсюда видно, что ионная волпа ведет себя подобно электронной R。гнс. ecjm Те или 殺卜° велико, и отень сильно отличается от иос гедней, если nkc мало. Остающаяся часть процедуры вычисле- шт(1 аналогична той, которая применяется для электронной водны, за исключепием того. ч：то формула (61) заменяет формулу (31). У，、и предваритолт»ные результата показывай>т? что в области Г» у ?； в этой модели нелинейное развитие устойчивнх пенных но.ги качественно подобно поведению электронных волн- В огшеан- иои Модели нс получепы некоторые с^^щостненнцр эффекты динами- 1KH -лектронов, наирммер электронное затухaii№ Ландау, поэтомj^ <»еб』ется определить, наскахько да.пеко можно продвинуть ату модель.

§ о. Выводы и возможные 0"。"利也6 панрав^геп<лл

[[ел этой главы — дать обзор существующих методов числен- Нсг。рситенин уравнения Власова. Изложенные расчеты были огра- "н“вни одномерным и пространственно-периодическим случаем.

так что это только начало и еще многое предстоит сделать. Сеё мы попытаемся сформулировать в рамках качественно血 физ ской картины то, что, по нашему мнению, достигнуто численн» методами. Мы также выдвинем и*сколько предложений и с< ражений по дальирйшей работе.

Б6.1ьшая часть пакболее опасных трудностей, встречают丁 при решении уравнен灯而 Власова приближенными аналитичес-в! методами, связака, как отмечалось в § 1, и. 1, с нашей несл?. востыо вычислить траектории частиц в той части пространс скоростей, которая лежит вблизи фазовых скоростей воли.( нал】禺ую часть фазовой плоскости можно последовательно расо реть с помощью теории возм^^щений.) В описанных числен схемах ЭВМ во время вычислений в эгой области фазового 】 странстна встречает не больше трудностей:, чом е любой др} области. Можно утверждать, что болышшетво типично ясли- пых эффектов, когорьте возникали до сих пор в ^лсмрппык расче тесно евмзано с этой областью сильного взаимодействия ма частица>ш и волнамм. Теперь можно утверждать, что имев хорошее качественное понимание «нелинемпого затухания Ланде зволшции двухпотоковой неустойчивости (при иалзгигп огра ценного числа иеустойчмвиу волн) м явления эхо. Кажется,. остается немного других качественно новых одномерных явлв( (за важным исключеинем полностью развитой турбулентное включающей много неустойчивых мод)» которые можно открыть. По нашему мнению, параметрический резонанс ( например, [57]) гю очень интересен для исследований с помо • ЭВМ в одномерной плазме, описываемой уравнением Влас*

Потребуются новые идеи для рассмотрения одиомсриых п1 л削,в которых свято требовакис пространственной иериодтгт ・ все описанные до сих пор решения критически зависит от 口 положения о периодичности в пространстве. Имеется ряд hi риодических задач, которые ждут решения. Укяжем векотори, яих: эволюция ударных волн, динамика образования переход слоя, нелинейный отклик бессголкповитсаыюй плазмы на ле] дический сигнал, возбуждаемый в какой-то точке пространо эволюция Т8игеициальнъ1х разрывов.

Очевидно, что некоторые излоткеиные методы м伤侬о неиос Ствеино обобщить для исследования большого числа задач в , мерной бесстолкновительной плазме, которая периодична в 口.， ранстве. При 9ToM число независимых переменных увелмнмв; с трех до четырех или пяти и, следовательно, существенно yi чивается требуемое машинное время. Поскольку боиео ело: расчеты для одномерных задач по-прежнему отнимают почт] ниеютцееся машинное время, (по состоянию пя 1969 г.), т< предложение относится скорее к будущему, по тем не менее д иие в этом наирайленни неизбеисно, поскольку, с одной сто

夕8、［ становятся все более быстродействующими и более совер- ；ие^ннми： а с другой стороны,— не существует других известных методов получения толпой информации о поведшими двумерной пс цщейной бесстолкновительной плазмы, в которой эффекты И jдцви^^ьных частиц несущественны.

Легко ридеть, что система уравнений Власова ——Нуассопа в двумерном случае может быть решена с помощью представления S；：pke — Зрмнта, описанпого в § 2; пе вызывает трудностей и укдючепие магнитных полей и поперечных злектртескиг 2WAeu\ У равнения, которые определяют эволюцию матричных элемеи- ；ов 巾ункцнн рэопределения. снова оказываются обыкновсииыми П〕тфф応енПЕгальнылш уравнениями первого порядка по времеки. Еу〃ет три или четыро шдекса вместо двух, но методы вычисле- яой. исеомиеяно, будут качественпо теми》к&

Весьма вероятно» что можно также успешно применять методы двоиисго преобравования Фурье- Одиако нужна известная осторожность, поскольку дшке d одномерном случае приходится, тем не менее, решать дифференциальпьтс уравнения в «aswwe нроизводпнх.

Можно ожидать, что е двумерном случае интересные фиакче- СКНС зфФ^Н'ЛА возникнут в отсутствие магнитного поля, поскольку при ^той геометрии увелпгшвается вероятность того, что частицы «увпдят» коштонентн электрических полей, которые практически не завися'/ от времени в их собственных системах координат, и потому будут сильно юааимодействовать с ними. Условие такого сильного рзаимодействия для двумерного (или трехмерного) случая записывается в виде

з 比 к •%

которое： очевидно, гораздо менее жесткое, чем условие для одно- мернотп случая:

<0 g Л:〃

В частности, заманчива перспектива ускорепня частиц до скоростей, гораздо больших, чем иаиболъшая фазовая скорость (G|k|bx

Включение в рассмотрение магнитннх полей» что б принципе “р，кто, расширяет область ожидаемых качественно новых 巾гончее- кн' явлений, приводя к циклотронным резонансам частиц с 1юлна- 叫」кн частоты приближенuo образуют рациональные отиоте- HRH С гирочастотами (пЗиолна Т- т<л>частмца 右 0，где m и п — иелне числа). Продольный электростатическпй резонанс, описан- "网立 в этой главе, конечно, заюке будет иметь место, как, • несюмненио, и некоторые резояапси гибридиого типа, вкаючатощне °Двоврем(»1111О оба эффекта. Детали требуют дальнейших исс..1едо- Ramm

В заключение можно довольно уверенно сказать, что с иомощ методов ирсобразоваяий для решения уравнений Власова мо談 иолучааъ важную информацию о иелпнейпом поведении плаз； восьма ясным способом. Можно также довольно он ре де леи утверждать, что мы находимся вблизи начгыа, а нс конца этих i следований.

К гл гидар пост«. Мгл благодарны профессоров Б. Хаббарде, Р. Келд| и Д. Фнрша :出 полс.<пые дискусеии во вротя утех мсс.1едованпп,

ЛИТЕРАТУРА

Montgomery D., Tidsnan D. Я., Plasma Kinetic Theory, New York, 191

Лавдау 〃• Д., ЖЭТФ, 16, 574 (1946).

Saenz A. W., Journ. Math. Phy?., 6, 859 (1965).

Nielsen C. £., Sessler 工一 M., Symw A". 2?” Proc, lutein. Conf, on H： Energy Accelerators (Sept. 14—19.如59, Geneva). CERN, Geneva, ,9 p. 239.

DePackh /). C-, Journ. Electron Control, 10,〔39 (1962).

Berk H・ £., Roberts K・ V., Phys, Fluids, 10, 1595 (4 967).

Berk 〃- L., Roberts К 匕，Phys. Rev. Let!., 19, 297 (19«7).

Knorr C, Zs. Naturfiffsch., 16a, 4 320 (496 4)

Kellogg R J・，Ihys Пшдй, 8, 102 (1%5).

Knorr °., Rept, MPUPA-44/63, Rept. of the Max Planck Inst, fiir Phy und AstropK^slk, Munich, 1963.

Knorr G., Zs, Naturfor?<ch., 18a, 1304 (1963),

Armstrong T・ P., Univ of lewa Rea. Hept. No. 66—34. Ph, D.上g

Univ, of Iowa, Iowa Cily, 19€6,

4 3. Armstrong T. R, Phys. Fluiifa,叫 1269 (1967).

Armstrong Г. P., Montgomery P. C., Journ. Plasma Phys., i, 425 (。冷

Armstrong 兀 Р.» Montgomery D. C., Proc. APS Topical Conf, on Numeri Simulation of Wasma (Sept. 48—20, 19CS). Los Alamos Sci. Lab. Rei No LA-3990, Los Alamos, New Mrxiiu, 196&

Arm<Pt)ng ?• R, Montgomery D, C., Vniv. of Iowa Res. Rept. No. 69—( 1969： Phys. Fluids. 12, 2M4 (1969).，

Harding R. C, Phys. Fluids, H, 2233 (1968).

Harding E. C'.. Ph. D. Thesis, Univ, of Iowa, Iowa City, Iowa, 1068.

Grant F. C” Feix M /?., Phys. Fluids, 10, 696 (1«67).

Grant F. C , Fei父材.産，Fhys. Fluids, 10, 4356 (1砒7).

Sadou^Jri W. L., NASA PubL SF-153, Clearinghouse for Federal Scienti Information, Springfield, Va, 1967.

Titchmursh E. C., Introduction to thf Theory <)J Fourier Integrals, Loud。< Now York, 1937, Ch. $, § 4.27, p. 44. (См, перепод： Титчмарш &, 13в« мне 用 теории» татегралог Фурье, Гостг^лздат, 4948.)]

Could Л. W.. О9Neil 7. 4G Malmberg J. H., Phys. Rev. Lett., 19, 1

(1W7)I

O^Neil 7. M., Gould 〃• Ж» Phys Fluids, 11» 134 (1968).

Hackle G., Journ. Math. Phys.» 4. 178 (1960).

Wciizner 〃.，Phjs. Fluids, 6, 1123 (19ЛЗ).0

Weiizner H・，Phys. Fluids, 7, 476 (1964).•

Cromer Л., Mathematical Methods of Statistics, Princeton, NJ., 4966, ChJ 20. В通uog А., Великое £., Сагдеев P„ NucL Fusion Suppl・，Pt. 2, 465 (£绢 30. Druiamond 诉.Ё Pines O., Ann. Phys, 28, 478 (1964).[

Bernstein 7. B., Enfclatann F., Fluids, 9, 937 (4 966).j

Weissglus R, Plasma Phys. (Journ. Nucl. Energy Qt C) 4, 329 (19J

Е吋Imarm F-, Feix Af., Minardi E., Oxeidue J-, Phys. Muids, G. 26G (1963). 蓋：CrowfiMdF.凡，Broaddue T., Bull. Ain. Phy*. Soc , Scr. П, 12,1515 (1968).

工"“gomery D. €., Corman D, Ph\F・ Fluids, 3, 947 (4962).

СоПц1ла^ S » Phys. Fluids, 6, 451 (1963).

3*f Gill S , Proc. Gamlnidge Ihil. Sou., 47, 96 (1951).

38： Leanns J". ・M., Pbys. Fluids, 10, 2708 (2 967).

豆 »fi«rd /” l^ernslein 1. A, Phys. Rev., 14 2,〔456 (1958).

Toylvr E. C” Comisar O, G., Phyw. Bev., 132. 2379 (1963).

铝.Chandru^khar S., Rev. Mod. Phys., 13, 1 (1Я43)

4 2 Dehtnit J~。。必e 足 W., Hirsch А, Я., Phys. Fluid*. 2& 2 244 (4 9G8).

Ga” S・ R, Phys. Fluids, 10, 570 (1967)

&L Есам /?-丄,NASA Publ. S1/-153, Cleaiinghou?c f” Federal Scinitifie JnfoiTnation, Springfield, Vs, 1967.

Hinton 凡 £・]Obrrmair C., Ph vs- Fluids, 11, 4 982 (2968).

硕.OrNeil T・幽.，Ph*. Fluids, it. 2420 (1968).

DrUfttmond W, E.t Pines D.v Nucl. Fusion Suppl., Pt. 3, 105 9 (1962).

Loftier J.足，HtrshjHld J. /,,, Раю. Conf. Phy、Quiescent Plasmas (Jan. 10— 13, 4 967, Frawati), Vol. П, Rome, 1tK»7, p. 4 75).

4fl. Ben^tein J.方.，Gnt麻 J. JW・t Kruskal Ж.刀” Phvs. Rev., 10 8, 54 6 (1957).

Harris 及 6., Bull. Am. Phys. Soc., 2, 67 (19Й7).

Montgomery D C., Phys. Fluids, 3. 274 (I960).

£. L^w /• &, Phys. Fluids, 4, 価 (1961).

53・ Peqrhlein /・ Л., Phys Fluids, 7, 4 464 (1964).

ГгМЪеп /. R, Phys. Fluids, 8, 1031 (4 965).

An。" С* Phys. Fluids, 11, 885 (1»(>8).

多・ Jaeksuti 石.Л., /1 aether 力匚，Phys. Fluids, 9, 1257 (1966),

D〃b“if。- F., «Statistical Ph^ics of Chained Particle Systems», iTnc. Summer School on Statistical 巡班值 uf Charged Particle Sp«l«iis (Kyoto, Jajian).。曲.R. Kubo and T. Kihara, Tokyo — New York, 1969.

6.7, 8.9.10.14.12.43.14.15.16.47, 48.6.7, 8.9.10.14.12.43.14.15.16.47, 48.m2021”23:24.25.26.27.28.29.30-31 :32m2021”23:24.25.26.27.28.29.30-31 :3233.34.35.36.37.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42,43.44,38.39.40.41.42,43.44,

6.

7, 8.

9.

10.

14.

12.

43.

14.

15.

16.

47, 48.

6.

7, 8.

9.

10.

14.

12.

43.

14.

15.

16.

47, 48.

m2021”23:24.25.26.27.28.29.30-31 :32

m2021”23:24.25.26.27.28.29.30-31 :32

33.

34.

35.

36.

37.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42,

43.

44,

38.

39.

40.

41.

42,

43.

44,

OentryR. л ・，Harlot尸.H„Martin 乩 Ts.^felh Comput^ Phj^ 4,2吐 "ос加阳 В, И7-, Journ. Arsoc. Compxit. Mach.,产，沿 &旣卜， Codey J. Ж, Tukey J.忆，Malh. Comput., 19, 297 (1呼5)・ Gentleman 优 M., Sande G , «Fast Fourier transforms 一 for tun and / 1966 Fall Joint Compiiiei Conf, AFIPS Pror・ (Spartan, Wa/ngtg 29, p. 563 (19 66)..

Cochran W. T・・ Cooley J. W・,Farm D. Z., 17。“产 Я. g・,*兽嚟" 6a 阳 W・ W , Mali^ G. C., Nelson D. E・,Rader 6. M.t Welch RD J. Trans. AU』5, 45 (1967)._」

Bunge C., Zs, Math. Phys., 48, 443 仕吵»•.

Hockey /?, W.r Tech. SU1PH Rep. No. 53. Inst, for Plasma Res« fowl Univ., SLanlord, CaL 49G6.c, J

Cooler J. W・，Lewis 尸 A, W^ Welch P. 0 产*吋哄卅乎嘩抬 algorithm and ils applicat"g\ IBM Kes. Rcpt. RC 343, ^eb4 Вилетпап О., Фортран-программы, которнс были распространены : Topical Conf. Numerical Simulation of РГазша (Los Alamos, N.M- см, 2aH黑c SUIPR Kep. No. 294. Inst, for Plasma P<es.t 耳

Univ., Stanfoiil, Cal , 1969.e「n’

痴泌ce R 〃，Golub G. H・，Neil^n C. W” Tdh. Rept. Сз 128. Сй Science Dept., Stanford Cniv., Stanford, Cal：, 1969.

方orcs J., Huberts К. V., те optimization oi particle calculate and 3 diiriension^, Joum. Comput. Phys., 4,552 (1969)。

Veronis G.. Deep-Sea Kes., 13, 34 (1ШОД-

Birdsall C. £., F«« 普•，Joum. Comput. Phy、3, 494 (1 組瞥 扭го】H, Форсайт Дж., Ралпостныс методы решения пиффере них ураиаен脸 в частных ироггзвидних, ИЛ, 1^63- Носкпеу 丑.W., Juura. Appl. Phys., 39, 4166 (1%8).

Hehl F., NASA Tech. Note D-4G46. 4968・

斤。拉 £； Bull А^гипот. Serie 3, 3, Facsimile 2, 227 (1968)»

Varga 7t £, Matrix Relative Analysis, Engleweed Cliffs, NJ Fromm J・ £., Meth. Comput. Phys , 3, 354 (1964).

ourn..ourn..Chvrin &• J,, Math. Coinput,, 22, 7妬(196。・

ourn..

ourn..

Miller R ff., Prervlergust К. Ям Aatrophys. Journ., lol, 699 (1 瓦山2 f, Hockney 瓦以，Joum Compwl. Phys., 4. 306 (1969)." Byers J, Л., Phys. Fluid% 9, 4038 (1966).

Wadhwa У?. P・，Buneman C, Branch 普•尸・，А1ЛЛ Joum., 3, Wi Fu S. P・,Kooyers G. P. Вмещать О,, Journ. Appl. Phys.，36, 25. 厶e，x 冗 Я., Hockney H. W. J'hys. Fluids, H, 766 (1968).

Hvckney 丑.优,Publ, Astron. »«:. Pacilic, 80t 662 (1968). Hockney 丑.Ж, 〃。必戶・，«Effects of velocity dispersion on the ‘ of a disk of stars*, Asiron. Joum., 74, 11U2 (1969).

Шапиро В. %, Письма в ЖЭТФ, 2, 40 (1965).

Sturrock Р Л., Phyn. Rev” 141, 186 (1966). Ригу 5・,Phws. Fluids, 9T 1043 (1S66). Носкпеу /?・让” Phys. Fluids, il,亠384 (1S68).

Birdsall C. K・,Langdon A, В.» McKee C. F., Okuda M.t Wang , APS Topical Coni. Numerical Simulation。£ Plasma (Los Aw Leb., Los Rlamos, N.M.), Publ. LAr3S叫 1968, p. D24.

Killeen J., Rompel E, Joum Comput. Phys., 1, 29 (1966) Hockney R. W., Tech. SUI PR Rept. No. 202, Irst, for Plasma R ford Univ.. Stanford, Califcmtia, 4967.

Htrsdt R.力.，Journ. AppL РЪ<з.? 38t 4522 (1967).

JanesG・S..Lecg K. E・，Bethe H. A., Feld Я 7T., Phy^ Kev., 145,9 Abernathy X, Kronaucr /?・，Joum. Fluid Meeh., 13, 1 仕吗^)， TIohl F・/Syrup, Computer Simulalion of Plasmas and Many-Bu lems NASA Special Publ. SP-153, 1967, p, 323 Toomre &・,Aslrophys. Journ., 139, 1217 (1964).

ГЛАВА 5

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ПЛАЗМЫС ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКЕ

Р. Mops*

§ L Введение

М^тод частиц в ячейке (PIC-метод) был первоначально развит фрэином Харлоу и его сотрудниками в Лос-Аламосе в 1955 г. *та моделирования миогомерпой сжимаемой жидкости и обсуждается в третьем томе настоящей серим. Идея PIC-метода заключается )з том, что можно преодолеть численные неустойчив ости я диффузик» массы метода Эйлера и трудности искажения ячеек метода Лагранжа в результате объедипепия лучших черт этих методов- Метод использует регулярные ячейки Эйлера для вычисления макроскопических исромснных, например давлекия и скорости ткндксста, тогда как вещество переносится мз ячейки в ячейку л агргтокевским образом, в виде отдельных модельных частиц. Такие модельные частицы, которых обычно десять или больше в каждой ячейке, представляют определенное количество массы к сохраняют свою пидлвидуальность на протяжении всего процесса вычисленип. На каждом временном шаге в соответствни с за- комгми сохранения подсчет энергии м импу21ьсов дает внутреннюю, I- е. нскниетичсскую, энергию в каждой ячейке. Эта внутренняя энергия вместе с непосредственно вытасляемой плотностью масс 耳 уравнением состояния вещества определяют р асиределепие дав- аоншт, которое затем испол1>зуется для оыределепия ускорения ^идкоепт и новых скоростей в ячейке. Эти повые скорости в ячей- ках Ш1т^])полируются на координаты частиц и исиользуются для иерсяелхения этих частиц по ячейкам сетки и т. д. Уравнение со- стоянин вещества уста! 1аилиьае1тя совершенно независимо от ®Стамы1Ого кода, Е частности, при рассмотрении очень простой ? УДооной проблемы аксмалыго-симыетричной плгазменной пушки Дявлоние единственной компоненты магнитного поля Ее удевлет- "°Р：ет требованию скалярностл без специальных видоизменеаий.

® данной главе мы кратко обсудим два применения гидродина- :""ескаго PIC-метода к проблемам таком плазменной пушки, загем изложим PIC-метод, который используется при модеиги-

ант〕бесстолкновительном плазмы. Следует иметь » ыиду сле- 's^R различия между двумя областями применения. Скорость

加；产厶 JWoz, Unrver*上у of California, Los Alamos Scientific Ijaburatory, 、с1апик New Mexico.

классической жидкости — однозначная функция itoopzp следовательно, х арактеристика ячейки в гидродинамгмеск- методе, С другой стороны, в бесстолкновительной плазме в к точке пространства существует некое распределение ска частиц и нужно детально рассматривать зту микростру] чтобы полу*иггь важные ф1вические результаты Соответс； скорость становится характеристикой частицы, а модольн cruqa представляет некоторое число реальных частиц с 取 самыми электрическим зарядом, массой, координаталш и скор X арАктеристиками ячейки в атом случае являются электром ные поля, суммарные плотноста частиц и возникающи^^ Макроско1гичсское давление, которое используется в гца мическом PIC-методе, можно в Пришвине определить по делению скоростей в каисдой ячейке в бесстолкновительн методе, но обычно оно не вычисляется.

§ 2・ Гидродинамический PTC-Mew оддая моделирования тгеиа.гъно-симметричнплод л ем 2€ ых пушек

Поскольку двумерное ш^сиально-симметричное течение от циливдр!гческих координат г и z, то используется обычш С прямоугольными ячейкой в этих координатах, а пр вычислений отличается от случая декартовых координат ; поправками к разностным уравненпям.

Благодаря большим плотностям и низким температура рые имеются в плазменных пушках, и из-за дополнптелы чпп, связанных с малостью ларморовского радиуса 3apl частиц, часто можно рассматривать плазму в пушке как ческую жидкость. Для интересующих нас параметров, время процесса, можно пренебречь классической столкм бой диффузией магнитного поля в плазме. Всегда сущест моншость появления какого-то аномального сопротивЛ! сравнение с экспериментом говорит о том, что при мо〃ел1 пушек предположение .о нулевом сопротивлении вполне Кроме того» когда имеется магнитный поток, вмороженны му, отношение потока к массе моделиюй частицы иост< времени, а уравнение ссстоя£1ия связывает возпикающе^. пое давление с уравнением состояппя вещества, кото;' имеет форму «диабатического закона с у = */s.

Подробное изложение гидродииамяческого Р1С-методаг может найти у Харлоу в третьем томе настоящей серий ff на [1]. Одншсо один вопрос полезно будет обсудить здесь, ку, в частности, сп существен для бесстолкновитмьногР, да. Мпогим читателям известие, конечно, что Р1С-коды некоторое сглаживание, ио они не представляют себе 鸵

“и стеиепи. Это сглаживание появляется в результате Интерполя- nuii. и в гидродинамическом PIC-методе оно выполняется следую- образом. Допустим, что модельная частица находится о опре- рЛС1ПЮЙ точке ячейки с номером 4 (фиг. 1), так что четыре из gjibiia^iiiHx к частице центров ячеек, обозначенные крестиками, н^еюг номера от 1 до 6. В результате предыдущих вычислений ©ляп определены скорости потока в каждом из этих центров ячеек； теперь для продвижении частицы пужно определить ее скорость. Из мевианнк физических соображений скорость частицы должна

быть гладкой, пеирерывной функцией координат. Удобным, быстро вычисляемым и накболес часто используемым является следующее определение скорости частили：

V尸■ 4■&十丛十瓦，I J

叫。VI — скорости в центрах ячеек, A j — соответствующие шюща~ Ди лерекрытня ячеек (фиг. 1) с дополнптельяой ячейкой (обозначена пунктиром), центр которой совпадает с центром частицы (i = =1, 2, . . .)- Нетрудно заметить» что эта процедура усреднения 加 площади явлается билинейной интерполяцией и легко обобщайся 1Ш одномерный или трехмерный случай путем тсиользевания ^оответственпо двух или восьми центров ближайших ячеек. Инот- 口％ особенно при рассмотрении сверхзвукового течеинл, также Приходится усреднять по площади вклады частиц в характеристи- Км ячейки. При ограниченном числе модельных частиц па ячейку одна частицп, пересекая границу ячейки, может вызвать значи- тельиы放 скачок давления ла границе, что заставит частицу, если Цвшкется медленно, двигаться обратно через границу; таким образом, возникают лозкиые колебания. Указанное усредневие

характеристики частицы по площади производится с но，: предположения, что вклад от частицы в такие характера ячейки, как плотность, в ближайших к частице центрах пропорционален коэффициентам /・

Плазменный фокус

Аксиалыю-симметричвые плазменные лушки обычно pa6i 岀 двух различных рржпмах. При одном режиме (фиг. 2) ей внутрм к вокруг пушки целиком заполнена неподвижным г обытао дейтерием. Электрический разряд иачинается позади ди- рического электрода и создает пузырь нагретого газа, к( магнитным поршнем, нак снегоочистителем7 выдавливается в закручивается вокруг конца электрода и образует на оси ； малой интенсивности, называемый плазменным фокусом- Даз шее описание системы в ссылки моишо『1айти в гл. 9, а т《 работе Батлера и др. [2]. На фиг. 2 сопоставляется ряд поел тельных во в^иенн гидродинамических Р1С-раснреде;гений» с соответствующими вксперимептальными фотографиями режима работы пушки ]2]. Обычный внешний цилвндри» электрод ис1слючался как при моделировании, так и в эю меше, поскольку было выяснено, что в этом режиме фокуса ний элестрод толгько затрудняет диагностику и мало влил режим работы.

В этих численных экспериментах плазма и магнитное не леремешпиаются. Магпптяое поле 瓦 занимает взку) область внутри пузыря и создает постоянное давление (入 на свободной границе- Остальное сподютя к чисто гидрода вескому вычислению. Однородпая область иле пузыря хол< Очень резкая ввешняя поверхность пузыря представляет ударную волну, которая сильнее при мевыпих радиусах.; она движется быстрее. Слой между ударной волной и вну1^ свободной границей состоит из иагрАтой ударной волной ; которая обеспечивает засветку экспериментальных фото Как было указано вьппе, PIC-метод очень хорошо подхо, описания таких взаимосвязанных поверхностей, как эта св граница (см. далее работу (11 и приведенную там бпблиог в частности, оп устраняет трудность с условием Куранта, и возникает, когда рассматривается непрерывный переход от ной к бесконечной скорости звука поперек этой границы. 1 рассмотрение этой проблемы читатель найдет в гл. 9«

Эти PIC-вьпгисления явились первым полным двумерны лированием течения вещества в плазменном фокусе и, waJ из фиг, 2, они дают адекватпый количественный расчет это1 ния, ыслючая вторичный пузырь, который появляется у вершины самого фокуса [3]. Этот метод молкни было бы обе

4Toe& включить другие физические эффекты л ударном слое, которое зависят от плотности и температуры, поскольку последние

w » г. 2. Последовательные нс времени стадии плаэмемвого фокуга.

Известны на каждом временном таге. Однако из-за двух причин "от метод терпит неудачу вблизи оси, где возникает высокотем- "ературнЗ фокус.

Первая заключается в том, что сетка, которая подходит Д"н пгкхмотреиия всего плазменного потока, елшвкш крупная.

чтобы разрешить фокус- Тонкий ствол (фиг. 2), видимый на находится полностью внутри первого ряда ячеек. Данную - HOCTL можно устранить путем использования более мелкой I в этой области, как сделано Робертсом и ниже при МГД-рас решш проблем слоисто-непрерывного течения. Вторая обусловлена тем, что температуры и градиенты магнитного в фокусе, получаемые из наших гидродинамических мо丿 кажется, не полностью согласуются с гидродинамическими м ми, основаппьпп! па малости свободного пробега или малост моровского радиуса. В то же время необходимые бесстолз тельные методы, например бесстолкновительный PIC-метод, i 〃аемы法 ниже, недостаточно развиты, и нет достаточно бо и быстродействующих ЭВМ, чтобы рассматривать проблемы физической сложности, как проблема фокуса, хотя продвй в атом направлепип происходит-

Режим непрерывного течения для коаксиальной пуч

При втором реткксме работы в плазменной пушке и в др4 , пространстве, куда она стреляет, вначале создается иакуум； тем быстрый клапан впускает порцию газа аксиально-симмеэт относительно внутреннего электрода в точке примерно пос; между задней стороной и вершиной. (В этом реткнме работы БнешБДЯ коаксиальной цилиндрический электрод для отр ния расширения газа.) Затем между двумя электродами ц дывастся разность потенциалов, и разряд развивается так, \ превращается в плазму со вморожепньлм магнитным под раньте, чем возникает значительное течение плазмы. Зто,， в эксперименте. Давление магнитного поля, которое нА начальной стадии значительно превышает давление плазмы, д вызвать истечение плазмы через сопло в дрейфовое простри Такая пушка называется пушкой Маршала. Если, кроме область между электродами достаточно /*ннная, то этот © з«магниченной плазмы может создан» почти непрернвиый на протяжении некоторого времепи.•-'

Гидродинамические PJC-расчеты были выполнены, что( чить работу пушки и предложение Морозова [4] о том, что рывпое течение могло бьс дать очень большие плотности и т‘ туры на оси в так называемых «непрерывных линчах» в рез; адиабатического сжатия 151. В этом случае гидродинам! приближение менее обосновано, чем для пл(азменното ( а начальное распределение плотности и намагниченности сшгьпо меняться и обычно хорошо не известно. Поэтому 1 из слодуюпцп идеалидированных начальных условий, Flrti постоянна в области между коаксиальвнъги электродами и до нуля у сопла. Отношение потока поля к массе также not

на всех потоковых трубках, т. е. для всех модельных частиц. (Зто предполагает, между ирочим, что пока система ограничена раДйамвио, скорость Альфвена также ограничена, что весьма молез- ро.) Последнее условие было названо Морозовым ]4] изомагнитным м вместе с предположением об однородности начальной плотности требуем, чтобы пачальпое поле Ве совпадало с вакуумным нолем Во ~ 1/「, что согласуется с эксперимоктальным методом создания maszH. На фиг. 3 показано, как изменяется во времени распределение частиц, определяемое этими начальными условиями, Распределение является всюду равновесным, за исключением поверхности вакуум — плазма у сопла пушки. Основные уравпения дви;кенмя (до перехода к разностным) имеют вид

р罂="4。考)一慕， з

рМ—±(р 十釣' (26)

рМ~Т。(⑺Г警， 0в)

me p, p и / — соответственно плотность плазмы, давление и удель- иан внутренняя энергия, а и и v — скорости в〃оль г п z-направ- ленин. Последний член в уравнении (2а) представляет эффект стЯ' гивишш от кривизны поля, который приводит как к неустойчиво- С1я.\1 типа перетяжек z-пиичей, так и к большим адиабатическим сжатиям, предсказанным Морозовым.

Сийчала плазма ио всей вакуумной поверхности расширяется пряно в дрейфовое пространство, в то время как полна разрежения бежит назад, к пужке, а затем, частично из-за эффекта стягивания (Фиг- 3), поток начинает поворачивать к оси. Вплоть до момента, ко】兄а поток впервые достигнет оси, плазма остается холодной, имея m“LKO кинетическую энергию направленного течения, получсн- *ук)ст расширения гахваченного поля &• Когда сходящийся "<хсок достигает оси, ок должен создать ударную волну, которая превращает часть энергии направленного движения во внутрен- uioio энергию плазмы.

Вычислмтельпая сетка содержит достаточное количество холод- Ruih замагничениой плазмы, чтобы допустить развитие квазине- ирерь1вного течения в области сопла. Последний кадр па фиг. 3, JJ°Topu疝 сделан чуть позднее, чем первые четыре, показывает эту 吟а— позднюю во времени структуру. Характерной чертой течения '°'&етсн существование стоячей ударной колны и форме тонкого ：°"『са с вершиной на оси иа расстоянии одпого радиуса вкутрон- "о электрода перед соплом и образующими, панравленными вниз ° течению и паружу иушки.

На фиг, 4 представлен ряд графиков распределения скоростей

ь потоке, которые соответствуют по времепи графикам частиц на фиг. 3 и ясно демонстрируют отклонение потока при ирохож- Дении через эту ударную вплпу, которая по существу аналогична фарной волне, возникающей позади снаряда с прямоугольным *ohrom в сверхзвуковом потоке- .Вблизи электрода имеется почти Баку умная область, которая ограничена свободной поверхностью *訣 внутренне直 стороне потока, простирающейся от угла внутрен' 打его электрода к вершине ударной волны. Сама ударная волна, йииболее сильная вблизи веряшны, постепенно ослабевает при

Удэлеттии от пушки; б результате удеАмная внутренняя энергия (ннн телшсратура Г, см. фиг. 5) больше вблизи оси, где лсресека~ ^тсж линии тока, проходящие через области с наиболыпим сжатием.

Фронг ударной волны на фиг« 5 был нарисовал ит Рук。на осно- ；*ин последнего на фиг. 3 распределения плотности частиц, к'назадвне два профиля температуры F были построены по табл. 1; внутренняя пунктирная линия показывает существование двух Структур в области ударной волны, которые проявляются как

ступевъки на графиках Г. Центральная часть определенно го] дем наружная. В горячей центральной области ударпой

~ 〃 ♦ ■ ■ ■・4・ ■•、■♦♦•••••■ •■"•■■ ▲ — ■— • ■•■•■■•♦ — — ••••♦ ・4・ С—♦♦■，♦”• • ••• ■•，♦♦■ "4、4 ■ ▼ • ♦ ♦ • ■ 44.・~・^VB Р •

① н 1、4. Распределения скоростей в истока, соответствующие

имеется падение плотности, которое видно из распределения， Одиако нужно лроявдмть некоторую осторожность ирк 心 тации распределения частиц вблизи оси, полученного из*- цилин^хрического РIC-моделирования, поскольку частил рая фактически представляет собой кольцо с центром на о

постоянную часть полной массы, а не массы на единицу длины; тагам образом, однородной плотности будет соответствовать тзкан плотность модельных частиц, которая растет линейно по радиусу от нуля на оси. Следовательно, хотя в горячей внутрен* 0еп области ударной волны действительно имеется падение ллот- лостн, некоторая часть наблюдаемого паления обусловлена этим

3 №【・ 5. Фронт ударной волны, показантп»и на фиг. 3, с лрофи.1яии гем- пературы 7.

геометрическим эффектом. В некоторых гидродинамических моде- зях освобождаются от этого затруднения, приписывая меньшие массы частицам, которые в начальной стадии находятся вблизи осс.

Физические выводи из этих расчетов суть следующие. В случае :Ун。го внутреннего электрода большие сжатия, предсказанные Морозовым, невозможпы из-за возрастания энтропии благодаря сонутствуклцей ударной волне, а рассчитанный пример потока, включая сопутствующую волну, дает качественно правильное "писание подобных структур (они наблюдались эксперимент а льпо в нмазменпых пушках Маршалом 3) и Маварди 2). Здесь уместно сДеяать несколько общих замечаний, прежде чем переходить к иа- ас>кению бесстолкповительного Р1С-мегода» ^^

：)/• Л/йпЛнИ, частное сообщение, 1968.

)°. Maunrdi^ частное сообщение, 1969.

На последнем графике плотности частиц (фиг, 3) внутри с читатель мезкет видеть радиальные ст])аты плотности. Это( жение иефиз1Г1еских колебаний (обсужденных выше), кон возникав1т из-за отсутствия усреднения по площади характерь частиц, а равно и характеристик ячеек при выбранном сп( моделирования пушки и которые можно было бы устранить' испол ьзованпи такого ус]1^днепия. Однако в нашем случае зялопь, что эти скорости существенно не влияют на интересуй нас части потока. При расчетах плазменного фокуса, в коте усреднялись по площади только характерпстикп ячейки, т страты не возникали. Это, возможно, связано с тем обстоятел ком, что скорость потока всюду равна нулю или очень велию отно(аепию к сетке.

При заданном временном шаге и размере ячейки зйлер и лагранжевы 式одн работают обычно заметно быстрее, PIC-коды, и потому более привлекательны, когда машинное в] ограничено. Однако PJ С-коды пмекп свои препмущсства, котч х^омпеисируют эк» г недостаток* Наряду с тем, что оии свой он эйлеровой диффузии и /агранжеза искагкения ячеек» обычно довольно устойчивы и требуют мевыпе специал иаладки при переходе от одной проблемы к другой. Исиолы пие размера ячейки как меры разрешения приводит к веско пессимистичным выводам, поскольку в некоторых отнопю- распределение частиц внутри ячойки можот дать лучшее ра% кие. Наконец» обыипое распределение положений модел частиц дает хоротпе。наглядное описание плотности жидкости плазмы, в то время как для кодов, прямо вычисляющих плотп построение таких распредепсний с помощью дополнительных программ затруднительно.

§ 3・ Бесстолкнови т^ъиыи ^ТС-метод

В соответствии с бесстолкиовителбеш! приближением для ■сания полностью иоиизировашюй, высокотемпературной пл ■функция распределения по скоростям п координатам К£ сорта заряжепных. частпц /€ (х, v, /) удовлАтворяет бесстол тельпому уравнению Больцмана с силой Лоренца

乌1 V •华•+&(E+2vxB)■隼=0,

где поля Е и В определяются уравнениями Максвелла, в ri заряд р и плотность тока J выражаются через суммы мо @уикци黄 распределения:

Р =工G [炉％ J =』备j d3u・ v/s・

На практике делаются дадьЕсишие приближения для упроще- иня вычислений или для выделения отдельных эффектов. Целью ^сстмкновительных PIC-расчетов является пол^оние решений 37 о Л системы. Поскольку такое описание плазмы, при котором пренебрегаете圮 столкиовениями, корреляциями м т. ж, соответ- с1Hvct пеокимаемому течению жидкости с плотностью / в разовом дрострянстве (х, V), то может возникнуть вопрос: зачем вообще рсло.чьзовать вычислительную модель с частицами? Почему бы не рое пользоваться какой-либо подходящей гидродинамической мо- К«гью для вычислен血я потока / в фазовом пространстве? Дейстзи- TtnHio, Армстроиг и др. (см. гл. 2), используя преобразованный мето/ Эйлера, а также Бэрк и Робертс (см・ гл. 3), используя метод Harpain^a (названный моделью «водяного мешка»), добились успеха ирм рассмотрспии проблем, которые благодаря симметрии сводятся к одномерному случаю в координатном пространстве, т, е. к двумерному случаю в фазовом простраиство (ж, рх), а Кил- лип п Рэмпил【8] путем героических усилий изучили некоторые аспекты поведения плазмы в «Астрове» с помощью прямого метода Эйлера в фазовом пространстве (г, z, %, “. rz).

О диако использование метода Эйлера пли Лагранжа с сеткой, занимающей все фазовое пространство, сталкивается с двум父 суще-

сгвснньгмисгвснньгмиогранлченнями. Во-первых, для многих важных

сгвснньгми

сгвснньгми

проблем необходимое число измерении фазового пространства оказывается больше даух и достигает шести. Оценки размеров памяти и машинного времени, требуемых соответсгвующиьт сетками, приводят к выводу о том, что если нельзя найти лучппш путь, то многие, если пе болыпииство таких проблем просто нельзя рассчитать. Во-вторых, накопленный за последние несколько

методеметоделет опыт в моделировании плазмы показал, что нелинейное развитие неустойчивостей плазмы обычно сопровождается появлением в фазовом пространстве многих тетений с иеоднородтой ско- Р^тью, виогда вихревого типа, которые требуют перервспределе- нкя зоп для лагранжевых сеток и малого размера ячеек или сгла/киванпя для эйлеровых сеток. Таким обравом, с ростом вре- меик все большее число точек требуется, чтобы определить гра- ници зон по методу Бэрка и Робертса (см. гл. 3) и все большее :нсло элементов матрицы преобразования требуется в ^Рмг 1 роига и др. (см. гл. 2).

методе

методе

имеютвычне-имеютвычне-R Песхтолкновительиом PIC-методе модельные частицы ^няющиося во времени скорости и координаты, которые а^ются и запоминаются, причем они движутся так, пак если бы были реальп!*мп зарялгсипыми частицами плазмы. Эдектри- 陇с“°е и магнитное поля, которые ускоряют эти частицы, вычис- "яютсп и запомпвзются на рег^чхярной пространственной яйле- *вс* сетке, во сетки для скоростей не существует. Почти во всех

имеют

вычне-

имеют

вычне-

Р'мепсняях каждая модельная частица эффективно представляет —71235

большое число реальиых частш^ и соответственно дает вклад i чпсляед1ыо токи и заряды ячеек. Ашор, однако, предпочитает сматривать эти модельные частицы в ячейке не как некое собр сулерчастиц, а кик представление / (v) в ячейке типа Монте-Ка Ответ па вопрос, распределяется ли вклад частиц в заряды и : по схюедиим ячейкам в соответствие со схемой усрсдисяия пощади 1подобпо формуле (1) и фиг. 11 при получепии такой эф тинной функции /(V), зависит от применения. Заряды я , полученные в виде этих ячеечных сумм, можио затем понимать иигегралы по скоростпм в формулах (4), витасленные по м« Моцте-Карло, который оказался особенно эффекгизным в у многократных квадратур [9】.

Усредняя ио площади поля Е м В 口 продвигая модель частшщ шаг вй шагом во времени ток, как будто они реальные 嘀 цы, кюиою удовлетворить уравиеиию (3) в пределах ошибок d вания. Затем численпые решепия уравпения Максвелла с р определжмошш формулами (4), должны были бы замкнуть : и дать искомые решения полной бесстолкновительном сис* Но ввиду особенностей модрли остается вопрос ——взаммоде趾函 ли модельные частицы друг с другом или с сеткой канпма】 собом, который дает вклад в парные стоякновстгия, внос^ недопустимо большую ошибку аппроксимации в форме дпф^Й и Олукгуацп注 поля. Ответа на него, вообще говоря, нет. Болы сгво прогнозов в этом отношении каисутся слишком несений ними. Понятно, что псевдостолкнонительшяе эффекты в бес“ вовительпом РК>методе доставят больше беспокойства в вад| в которых рассматривается полное электростатическое изаи^ ствие, нем в моделях с полностью нейтрализованным или <1 нейтральным зарядом. - «

Наиболее хорошо изучен класс проблем, в которых tjm ионы рассматриваются в качестве однородно распределен неподвижного полояжгельного фона, электроны представ модельпыш! частицами, а уравнение Пуассопа репгается fiaJ доы временном шаге с плитностио заряда, которая полуЧ1 в результате вычитания плотности модельных частиц в к/ ячейке из плотности однородного иоложителыного фона. Л работающий в этой области быстро обнаруживает, что усре ш по площади алектронних зарядов сильно помогает делу- Я от усреднения проявляет себя в виде плохого сохранений# гни — б средпем полная энергия возрастает, и одпу возмм ирпчшгу этого легко Еоиять. Если э-(екгростатич(«кос поля ствующес па змс良троп, усреднено по площади, а вюида элем в заряды соседних ячеек пет, то па электрон действует соЯ вая сила, т. е. он взаязюдейстиует с сеткой (дильнейшее， денпе подобные воиросои moxwo найти в гл. 8). Пра1；тическяВ но оценить ве.ипппу остающихся Столкновительпых 口4^

в схем с усреднеппем, начиная машинный счет с ситуации, когда электроны распределены од но jw дно в пространстве и имеют какое- т0 распределение ио скоростям ——устойчивое, но не максвелловское. Подобные расчеты были проделаны коллегями автора в Лис- Апазюсв, которые использовали такие же числа частиц, размеры 网сек, временные шаги и времена счета, канве выбирались при вд\-^енвв различных неусгойчмвостей в мростраггстве скоростей, л показали, что наблюдаемая термализация ничтожна. Таким сбразом, когда параметры выбраны так, чтобы удов л етвор мть п другому критерию ошибки, который обсуждаегея ниже, то этм условия, пшдпмешу, более чем достаточны, чтобы подавдть двфф>зпю в пространстве скоростей.

Было предложено несколько других миогомериых методов для уюделнрованд1я бесстолкновительной плазмы, которые по существу подобны PIC-методу. Бэрдсол (сы. гл. 6) предложил схему, названную «обмане в ячейке?» (CIQ, в которой усреднение одной чостицы ио площади прсводится как прпдапио ей конечной протя- жеяиости подобно облаку. Однако в настоящее время резличия между бесстолкновительным PIC-методом и этими другпми мето- Д8ин кажутся большей частью умозрительяыми, т. е. связанными с точкой зреиия различных азторов на ириближения в численной ьюд^ли. А фактически, ло-вид«мому, все авторы используют почти ояпкаковые уравпения для проведспия вычислеиий-

'1от же самый осповной Р1Офс)р|лализы использовался и в ряде др\шх моделей бесстолкновительной плазмы. Основной прп^нпй: гоявленля различных моделей являемся многочисленность мас- штаоов времен и длип у равных физических явлений в бесстолкио- витрльпой плазые. Наиболее важными масштабами длины являются: дебаевская длина, ларморовские радиусы электронов и ио н《)в (которые из-за разницы в массах сильно отличаются), толщешк 6р»'столк1к)витсльш>1х скии-слсев для электронов и ионов, diape м с"电,(которые также существенно отливаются, поскольку ьыражения для элсетронрой и ионной плазменных частот, о^ н &pi, содержат массы частиц), и размеры лабораторной апларату- 】)ь【. Соответствевно временные маепгтабы изменяются от обьгчво ^еь короткого электронного плазменного периода или элект- Ронгюго ларморовеного периода до относительно большого времени, которое требуется, чтобы обычно медленный, тяжелый ион пересек аииярачуру.

Ране。, при обсуждршш проблем флуктуаций мы затрснулв на»ь °"ее ыикроскопичес кий класс проблем — неустойчивые плаз- ""пте колебания, характерные масштабы которых — деблсвская ^Епа и электронный ллазменный период. В применениях, othoqh- Т^сн к контролируемому термоядерному синтезу, певоамокно 陣водш вичосленря с этими масштаба мп и рассматривать весь "мсиеремент на протяжепви экспериментального никла. Вместо

Ли 5・ Метод частиц в ячейке

этого приходится рассматривать малую часть плазмы, псио叫 периодические грашгтнио условия, на протяжении характер времепи микроскопического явления, а результаты нужно 1 ратить в транспортные коэффициенты для макроскопической 】 ли всей плазмы,

С другой стороны, сугцествугют проблемы, которые тре рассмотрения всей плазмы, поскольку, например, макроско ская неустойчивость может разделить плазму на несколько《 пшх частей. В некоторых задачах такого типа важная бссстз интелъная физика связана с ионами, которые создают постоя] анизотропию в давлении и имеют большой ларморовский pai. тогда как м икроскоп пчоским движением электронов можно , небречь, учитывая их только через гидродийямпческое давле) которое действует на ионы через какую-то форму квадинобтр того приближения, когда дебавская дхина стремится к нулю I

Мы обсудим один пример первого типа, когда микроскоп екн рассматривается малая часть плазмы, и один пример вто] типа, моделирование всей плазмы с помощью схемы, кои подавляет некоторые наиболее мвкроскопическяе детали. В & случаях мн уделим несколько больше внимания полезным чиг ним приемам, чем это обычно делается в журнальных статья физике плазмы.

Двухпотоковая неустойчивость

В этом пункте мм сравним результаты моделирования эле статичес1сой двухпотоковой неустойчивости в] бесстолкнови ной плазме в случаях одного, двух п трех измерений. Предпб втся, что ноны образуют однородный, иеподви/кный фон с жительнгш зарядом, а начальное распределение элект пространственно однородно и представляет собой суперно^ дйух одинаковых вечречных максвелловских потоков:；

做昨叁冋[-(年y"同一(等口｝

Без потери общности мы приняли, что ось £ направлен^ с дельно скоростям потоков, ±〃・ Из линейной теории известя при заданной: тепловой скорости % достеточно большая наир иая скорость и приводит к нарастанию алектростатических бавий, для которых возмущеяиый электростатический лете заппсьтвяктся в виде

<р ~ exp [i (Л-х — со/)], в в случае неустойчивости таких колебаний паибояыиие менты, т. е. значеиие Into, имеют моды с одной лишь ко.< той А*. Эти инкременты оказываются наибольшими при с

значениях А и падают до нуля при 论f 0 м при достаточно боль- m口X *.

Ввиду простоты и того обстоятельства, что наиболее быстро растущие моды можно ваблюдать в одпомерной (яг, "Q проекции долпой трехмерном проблемы, а также кваду ограниченного клас- сл физических экспериментов, для которых достаточно одномерного описания, одномерной проблеме уделялось миото внимания- В частности, этому посвящены последние полные нелинейные моде- лпроЕ8Ния Армстронга (см. гл- 2), Бэрка и Робертса (см. гл. 3), а теките Морза и Нильсона [11—13] (см. также модель плоских листов в гл. 1). Некоторые результаты стих одномерных моделей, рк^ючая устойчив^-ю одиомодовую crpyirrypy, противоречат основным пред по ложен или турбулентной теории плазмы. Обычно иола- галп, что эти одномерные результаты определяются сниметрвей из-за огравичения аг-зависимосаъю. Таким образом, имелся повод /щи обобщения этой работы на случаи двух н трех измерений д-ш тою, чтобы можно было ясно увидеть влияпис перехода от одпого случая к другому.

Чтобы проделать это, выбирались трехмерная функция рао- п[здслепия /о (“к, Vy9 г2) то формуле (5) и определенная длина периода L. Трехмерное кюделлрог^иие выполнялось в кубе с реб- рсм Л при периодических тратшчньп условиях на движение элект- ронив и на электростатический потенциал 屮(ж, у, z), причем оно начшй'лось с пространственно однородного распределения злект- ролов /0. Двумерное моделирование выполнялось в квадрате ", у) со стороной L ири периодических граничных условиях и иачлпалось с распределення по скоростям /о (匕，与)，которое иолучоется в результате интегрирования выражения (5) по t,・ Одномерное моделирование выполнялось только по / с периодом L и распределением /0 (гх), которое получается в результате инте- П»|рсваяия внражспия (5) по % в %•

/ Электроны рассматривались с помощью бесстолкновительного PIC-мегода. На каждом временном шаге координаты электро/а исподьзоъалпсь для вычисления новых усредненных по площади электронных зарядов ячеек. Эти заряды вычитались из заряда нинмого фон% а разпостн зарядов р в каисдой ячейке вспользо- Млис】，для разыскаиия решения уравнения Пунссопа

V2<p = —4 яр (7) “а сет ке из центров ячеек, удовлетворяющего периодическим гра- н^ш м условиям. Для проблем с болиппм чем одно чтюлом изме- 俄ннп коллеги автора пспользовалн метод последовательной ^рхие注 релаксации и прямой метон [14] (в одномерном случае {Рхипснне Пуассона легко решается точно) и кашли, что, несмотря 'йслользозапио очень тонкого критерия сходимости» релавса- 瞰)Ниие результаты оказались хуже результатов, полученных

из прямого метода,— и(к(ная эпергкя сохранялась хуже, а, к^ того, первый метод требовал большего времени для вычпслсм Причина этого в пастоящес время пе вполне понятий, но, по-ш* аюму, это с.ледствис требования высокой точности в проблем в которых явно рассматриъаюгся относительно малые раздел^ зарядов. С другой стороны, ре л а ксацподные методы очень хор работали ирн вычислении полей Е и В в кназииейтральных м лях и в рлссмотрстшом нпже зарядово-иейтральпом примере о потаим р. !1з новых величин 屮 для ячеек новые значения элек： WKoro поля Е в центрах ячее式 получались путеа простиго вы лепия центральных разностей.

Скорости л координаты частшц»! сохра пились в таблице, к рая часго 8аписъп?алясь во внешней памяти (диски или магнш сердечники) и вводилась в оперативную память маленькими i ками. Когда вьгаислення цоходили дп чвстяцы, определяй пидексн ближяйших соседних ячеек и значения пх Е-полей ус □ялисъ по тыощади, чтобы определить поле d точке яахожде частицы. (Нужно разыскать длину, площадь или объем уср© вяя для “вух, четырех или восьми блпжайпенх соседей в сл： соответствекпо одного, двух или трех измерений, а это иссьма д ная операция.) Ввиду этой процедуры Е-поля ячеек будут чайно распределены ио таблице, если ее перестраивать посте】 в соответствии с положением частиц. Если координатами 可敏迦 псполъзуемими при рептеняи уравнения Пуассона, являы допустим, Великины при ^ — 0, то хранимые с ними скорости @ двиены фактически щ)и t = —Д^/2, где At — времеппой а скорости и координаты изменяются на временном шаге * дующей простой схеме:j

v+i/a=-v^/a-j-E0A«, х+1 = .г0+г+1/яЛ^

где Ео — доле в момент £ = 0.

Эта система центрирована по времени и, кроме того, обра причем формулы (8) гак естественна для чисто электростэтич приблем, что вопросов почти не возникает. Однако допустш здесь имелось бы также постоянное магпитпое поле В, так 与 заменилось бы па Ес -J- v0 X В^ В этом случае скорость Vo： средственко ме известна, а доляспа определяться ио схеме» •• ней схеме Рунге — Кутта, справедливой до второго порядк# и вытекающей из подстановки оценки первого порядка a v-i/g Т Ео (Д^).

Можно пойти и дальше, требуя, чтобы разностная схем обратимой, т. е. v0 =- V? (v_p/s •卜 v _i/2)t и давала бы еще uei удобное, явное алгебраическое выражение для 歩弘 вместо 】 иэ выражений (8). В плоскости, перпенцпкулярпой вект

§ 3. Бесстол^акитнклъний PICremoH231

—- . 一—I

зто дает следующий результат:

v±"w= Vf十中m2产"X

x[E + ViXB 十当(ExB—劣 j庐)]・(8a)

Есин лохе В пе постоянно, а полнено определяться самосогласо- валяо по току в плазме, то положеиве значительно ухудшается. Дия такой проблемы Шонк и Моря 110] применили неявную, но ЗнрхЕимую схему; и обратимых схемах трудпо прцд>тнать быструю обработку полных уравнений электромагнитной болим.

Необходимость центрщюванпя по времени связана с тем, ото иер^мещеяие частицы должно быть цеогрироваппым по времени

WQ&^WQ&^

WQ&^

WQ&^

⑺ n，. 6. а — начал⑺ n，. 6. а — началв Ohscbo貝 пространстве (/ %)в Ohscbo貝 пространстве (/ %)

⑺ n，. 6. а — начал

⑺ n，. 6. а — начал

в Ohscbo貝 пространстве (/ %)

в Ohscbo貝 пространстве (/ %)

【ьное расир^дслсиие ] _ с Z и 100%; 6 — функции /0 (%).

по крайней мере до величины порядка (Д^)я, а обратимые схемы им” достаточно хороши, чтобы использовать их всегда, когда мод;но. Эго подтвердилось двумерными моделирова1шяыи зюктро статических iijt4kobhx неустойчивостей, подобных раосмотрепним здесь, но при наличии постоянного магнитного поля? направлеп- ного цр1)пспдпкулярно скорости сталкивающихся иотэков. Соот- 产стнующне расчеты, выполненные Нильсоном и Морзом, иро- Демонстрировали постоянное возрастание полной энергии и слу- 署»х, когда член v X В не цеттгрировался должным образом. (Напомпиаеы, что впервые Оскар Б у неман пастойчпво потребовал ^иолпения обратимости при моделировании плазмы с помощью q^crna)

Hd фиг. 6 представлены： а) начальное распределенЕс в фазовом Пространстве (/, рж) случайной подгруппы модельных частмц для :"Ух одинаковых теплых пучковых распределений е Е = 100 Ар 1 ^ Функция /и (④.

丄〔J фпг. 7 предотавлены результаты: а) одномерного, 1-D, б) дву- Рного. 2-D, и в) трехмерного, 3-D. сопоставимых расчетов этого

случая, который был рассмотрен в 1-D-случае с большим L 8оми Нильсоном [1么 13) и продемонстрировал образование, е ванпе и длительно© сущестлюваяие BGK-моД, видных ыа ф Каждый столбец на фиг. 7 содержит два графика фазового страиства (х, рх) [первый относятся к моменту насыщения вв поля, а второй — к концу интервала в 10 плазменных пер;

404040401(Ю О 吗 ％5斤―]1(Ю О 吗 ％5斤―]妨妨ЮОЮО404070 О40LT70 О40LT"мо о "-奴 ° 1澀吧1卢囁，1 rd IК"мо о "-奴 ° 1澀吧1卢囁，1 rd IК绚绚/7/7о toz-刀о toz-刀% /о3R% /о3R

40

40

40

40

1(Ю О 吗 ％5

斤―]

1(Ю О 吗 ％5

斤―]

妨

妨

ЮО

ЮО

40

40

70 О

40LT

70 О

40LT

"мо о "-奴 ° 1

澀吧1卢囁，

1 rd IК

"мо о "-奴 ° 1

澀吧1卢囁，

1 rd IК

绚

绚

/7

/7

о toz-刀

о toz-刀

% /о3R

% /о3R

о Н г.7.д2嚅爲费Г艦鬻嘱躍Г 3 3。‘

(не 10(Opl)l, функцию / (%) в конце интервала и график & мзмепение во времени полной энергии электростатического, в единице объема.

Во всех трех расчетах энергия поля сначала плавно пара до теплового уровня, а аатем резко нарастала до уровня naf пня, причем сперва экспоненциально со скоростью на рас! самой быстрой лппейнои моды и с болъптей частью энергшг в соответствующей интенсивности | 取 р. (Спектр энерпн! считан, но не приведен здесь.) Тикая концевграцвя энергии i более снлыю нарастающих модах является естественным q вием экспонепциального нарастания интенсивности этих от малого, однородного уровня спектра иачальных шумов 4’

Многочисленные проверки ошибок, которые был к вышм 112, 131» показывают» что число модельных частни должно

д^.таточно большим, чтобы уменьшить начальный тепловой шум 以о уровня гораздо ниже уровня насыщения энергии е (Q и соот- ветствсвно получить превышение эвергии е, т. е. коэффициентов [瓦 Д мод со срсдпими длинами волн и с паибольшизми иикрс- ^ентами над спектральпой энергией теплового шума, которая щю- лорциопальна 1/А2. Если ети критерии не выполняются, то правиль- ные бесстолкновительные результаты нс накладывеются просто на уровень тепловых игумо% а вместо этого разрушаются шумами.

Высота первоначального теплового плато е (±) б нашем случае увелп双мвалась при переходе от 1-D к 3-D из-за возрастающей необходимости экономии числа модельных частиц; в 1-D-расчете использовалось 20 000 частиц, что было более чем достаточно; в 2-D- раенсте вспсльзовалось 80 000; а в З-В-расчете использовалось 332 750 частиц, и этого хватало в обрез. Необходимое имело частиц, можно было бы снизить, уменьшая £, но ввиду огрдппчения на число не^хтойчмлых мод используемая здесь длина 匕=100 入d уже достаточио мала. При счете использовался временной шагг равгый 0,04 плаэмеяного периодо, как м в работах Морза и Пиль- синя 112, 13], по причинам, изложенвым там при анализе ошибок-

Числа ячеек в l-D-% 2-D- и З-Р-еетках были соответственно 64, 64 ；•. G4 м 32 х 32 х 32. Читатель, который хочет запяться ыодели- ровдиисм, должен иметь в виду, что нужно счет осторожно выбирать физическую длину Л и число ячеек в L. Если целью моделирования является ивученле турбулситности плазмы, то длина L Oilmhq быть достаточно большой, чтобы содер^кать по краплен- мере несколько длин волн наиболее неустойчивом в лмпеЁном при- бли；ксиии моды. Нелинейвое поведение системы, в которой укладывается одна или две длииы, может быть интересвым, но оно мало ити I оворит о турбулептносаи. Использование большего числа ячеек увеличивает плотность фурье-мод в й-прострапстве, которая влжна в некоторых случаях турбулентностит и создает возмож- hqmtl для рассмотрспия более коротковолновых мод. В связи с этим недавние исследования показали, что корот ковол новые ^^ с относительно малыми энергиями поля, | Е^ |* оказываются юраздо более вансными при описания некоторых нелинейных про- Ч^^ок, чем 9To можно было бы предположить на основании рас- °рсдрления эпергии.

Иапболее заметное физическое различие существует ыез^ду З'чпнаш 1-D и 2-D. В случае 1-D завихрения в фазовом прост- Рамстве сливаются до тех пор, пока на длине L ие останется один Е^рь, а е после стадии пасыщеиия умепьшается до уровня, соот- Сетс1сующего атой стационарной структура Если £ велико, то Происходит дальнейшее перемепшвание, а е выходит на стацио- н“рпос соответственно более низкое значение, однако одно завихре- :слетается и с не возвращается к тепловому уровню. В 2-В-слу- ■е завихрепия начинают формироваться в момент насыщения».

как видно из фиг. 7, но не оформляются полностью н фактик исчезают в конце. Соответственно & (£) достигает насыщения в ' случае при более низком уровне, чем в 1-D-случае (заметим, масштаб на графиках разный), н затем быстро спадает почт： начального теплового уровня. Отметим, что пасыщеиие про: днт быстрее во вромсии при переходе от 1-D- к 2-D- и к 3/)-спг по-впдимому, мз-зн (по крайней мере частично) последоватс более высоких уровней начальнмх шумов. В З-В-случас эти личпя с l-D-случаом становятся настолько более резко nwpw нымп по сравиепмю с 2-D~cjyqaeM, что для количсствопного • иения с соответствующим экспернмеятом необходимы резут З-В-лычисленин. Частил по сфсфмированные завихрения 1 <>петлшил, чем в 2-Б-случае, а уровень насыщения е еще е Модельные чаепщи. показанные на графиках в фазовой пл стн (х, и”)для 2-D- л &1)-случхеи, бралнсь из плоского， ограипченного по у для умрпыпення влияния мод с конечным которые маскируют появление завихрений.

Конечные графики / (%) на фиг. 7, которые получены с 】 щью простой гистогрэютной процедуры без какого-либо сгл вания, оказываются более гладкими для более многомерных 工 тов ns-ma улучшенной статистики. Все три кривые / (рх) ставлены на одном л том же интервале скоростей (±40), изм ных в едпнпцах дебаевском длины, поделенной на илазьк период, и показывают, что 2-D- и З-В-крпвые на хвостах, вие интервала ±30, по существу ве изменяются б сравз с /о (^х)э в то время как d 1-D-случае хвосты расптирякугся устойчивой вихревой структуры с болыпои амплитудой. 3 самая вихревая структура дает конечную 4-1)-функ11ик> * с заметным провалом в середине, тогда как в более многоме численных экспсрлмекгахt в которых плазма в аю время и рапственпо однородна, функция / (⑷ явлиется по существу -ской ва вершние, особенно для З-В-случяя..

До сих пор ничсто ис было сказано о начальном рас предез модельных частиц. В гидродинашиеском PfC-методе нача^ положонпя частиц наносятся на нечто вроде регул прной шахм доски с той асе псриоД1пностыо, как у сэткн, н с пзменсипями ности, определяемыми различными массами частиц. Нача* скорости, когда они требуются, определяются как характсри ячеек. Напротив, в бесстолкиовительпом PIC-мотоде моде, иастмцы должны иметь непрерывное распределение по нача^ скоростям и иногда неоднородную цачальпую плотность, к< чх)гл «суется с распределением по скоростпм в соотъез'ствии с торым с а мосогл асова пньш стационарным решением бссстол тельных уравлкпий- Почти всегда используются максвелл распределения по скоростям, иногда с разними тспловцм ростями в разных направлениях и иногда с пространствонн<

дородной средней паправлспцоп скоростью. Поскольку обычно котят изучать неустойчивости, которые развиваю гея из такого рав- довес>^я, то начальные условия должны содержать малые откло- реиня (возмущения) от идеального равновесия, продпочтигельно сеорт^гональпые каким-либо возможным неустойчивым модам.

В большинстве случаев не следовало бы использовать непрерывное гидродикампческоо PIC-распределение ма<« модельных qacTinb поскольку сильное перемешивание частиц из разных частей сетки может яатрудпить наглядную ивте]шрстацию дпаграмм q紅- с.твц- Эти требования выполняются с помощью выбора случайных чисел для каждой скорости или координаты одной чястицм и псре- л*а их затем из интервала (0, 1) на область скоростей пли коордн- лат посредством функций пли таблиц.

Максвелловскес распредедавля создают с иомощью функцио- на.тного переноса, включающего логарифмы, синусы и косипуеы. Когда необходимо, направленная скорость вычисляется как функция коордтаат и складывается со скоростями частиц, а анизотропия получается в результате умножения различных компонент скорости на соответствующие множители. Кроме того, обычно обре- заюу хвосты с бо-ьтшвш скоростями на нескольких тепловых скоростях, чтобы л иквидировать малое число частиц с большой энергией, которые не смогли бы взаимодействовать с сеткой должным образом. Йростраиствопные распределения, когда они иеодно- родши, как, палрпмер, распределения, отвечающие жесткому вра- щршвь, можно получить из усредняющей таблицы случайных чисел, которая создается посредством отдельного начального кода. Случайпое рас пределеиве имеет несколько преимуществ. Помимо распределени я в спектре начальных возмущепий, оно позволяет избежать систематических ошибок, обусловленных спсцифи- чожо京 шахматной ропгетком, и допускает проверку на чувствитель- иостъ к начальным условиям и к другпн ошибкам в модели простым способом, сводящимся к выбору другого набора случайных чисел н к новому иросчету задачи.

:Jto касается явных электросгатическиv проблем, подобных Рассмотренным выше, в которых ионы трактуются как нсирернв- н&Х <|юц, то здесь может быть выдвинуто существенное возражение орстив оплгянпой процедуры задания начальных условий. Если нанамьные координаты электронов выбираются случайным обра- ：°м. то соответствующие флуктуации заряда вызовут недопустимо °°大〃口口。 начальные Е-поля. С ледовате л ьно, электроны нужпо Размещать однородно в пространстве, а возмущения оставлять т°пг>ко в начальном задавип скоростей. Заметим, что ато по отно- '1nVh к двухкомпонеятным электростатическим проблемам» в кото- Р"х и Электроны, м ноны тракгуютсн как частицы, поскольку здесь ?3кно просто объединить коордпнэты электронов □ попов в пары, "°бы п^божать начальных флуктуаций плотности заряда. В обоих

случаях примерно аа один плазменный период энергия зл« статического поля достигает уровня тепловых флуктуаций, 1 рый обсуждался выпге и показан на фиг. 7.4

Для того чтобы подавить этот уровень флуктуаций в его яЛ ференцмю с ожидаемыми физическими результатами при / числе модельных частиц, Дж- Байерс недавпо предложил ем зовать более однородное начальное распределение скоростем ординат, которое было названо ^спокойным стартом». Каж( что ота схем。может правильно передать некоторые 严лин^ эффекты, прежде чем первопачально однородная «загруека» j вог。пространства исказится и разовьются большие @лукт寸 2. Аксиально-симметричная плазма, эжра®ваемая перемёр матнитньш полем扌

В качестве пр>шера второго типа моделирования, при ко! рассматриваете# вся удерлсивеемая плазма, м с целью nod читателю, что моделирование применимо не только к злект^ тическим проблемам в постоянных магнитных полях, кратксЛ дим сейчас совершеппо другую бесстолкновительную модель^ модель двумерна, поскольку нее величины зависят от г и z, J от 0. С лсдовател ьно, можно наблюдать только моды с 兩 (здесь вспользовапо обычное обозначение теории устойчиН Эти моды включают вращатсльвую, тиринговую, желом и шланговую моды, которые в соответствии с линейной 迫 будут нарастать, возникая М8 бесстолкновительного и приб^ но ес зависящего от 2-равновесия тиля равновесия в <А咽 или в б-пннче с конечным 0 (конечное 0 означает, что сущео! гцее магнитное поле не настолько сильно, чтобы его нельзя исказить имевшемся давлением плазмы).W

Электромагиитные поля полностью описываются 6-ковп| той магпитвого векторного потенциала Aq (г, z, 。. Это 08H что вычисляются компоненты Вг и Bz магнитного поля и^ цирусмое ахекгрмчсскоо иоле 瓦，a Bg м все электростатв^ поля считаются равпыми нулю. Основанием для этих предп^ ни宣,там где они применимы, служит то, что холодные эле1Ь< могут двигаться вдоль силовых линий магнитного поля • максимумами и минимумами возмущеыш или через торец/ pauMDsa цепь, чтобы точно нейтрализовать плазму, и то,琢 нейтрялнзу^япие токи незначительны по сравнению с oq диамагнитным азвмутельпым током J。. Эти приближения ] быть хорошими или плохими, и их нужно рассматривать ч в каждом случае. Явно рассматривается только один сорт 4 В случае «Астрона» это лижектируемые электроны. В 4 высокотемпературного б-пинча, где, как обнаружево 3吋 ментально, электроны относительно холодные, »то горячим

Тон /о вычисляется непосредственно по этому единственному сорту те1Хл(>вых частиц, а Ле внчисляется по J。.

3『а методика, пока петочная ввиду вытпеуказапных прибли- 知енп% соответствует гамильтововой системе и является точной, кое举 плотность и поля стационарны, причем онн могут зависеть 1mli не зависеть от z Неточность этой модели, когда указанные величюты изменяются, зависит от скорости изменеиия во времени н ог сипа задачи. В худшем случае эту модель плазмы можно понижать как состоящую из двух сортов частиц с равными массами, на с противоположными зарядами. В этом случае моделирование сводится к точным вычислениям в рамках приближенной модели, а хотелось бы обратного.

Частицы имеют все три скорости вдобазок к двум координатам, иизтому фазовое пространство имеет пять измерений. В болыпин- cfB2 применений частицы имеют максвелловское начальное рас- оргделение, которое вращается как твердое толи и не зависит от z. Такой класс вращающихся максвелловских равновесий, которые име听т Вг = 0, зависящую от г плотность н & # 0, ряссмотрек подробно в трудах копференции [3], а тякже Дикманом и др. [15, 6]. где также обсуждается используемая безразмерная система ещпиц. Печальный тепловой разброс вдоль z делается большим илн меньшим, чем перпендикулярная (т> е. по г и 0) температура, чтобы стимулировать соответственно шланговую иди желобковую иеус гойчивости.

Используя размерные единицы, определим ток в ячейке в результате суммирования по всем частицам в этой ячейке:

JlQ£ 詈.(9)

i=i

门е Nc — число частиц в ячейке, Q — число настоящих частиц модальной частице, а п — раднус частицы. Множитель 1/г, ^условлен тем обстоятельством, что модельная частица пред- стэвляет собой кольцо с иостояншнм полним зарядом и потому 知^^ болыпий варяд на единицу длины, когда находится при меньшем радиусе. Скорость % каи?дой частицьт определяется прямо 心 закона сохранения ее капоничоского углового момента

Ре — г (vQ 4- 4日)=const,(10)

Кот<)рый вычисляется и запоминается вначале. Тогда

%

J^^i(^A^)(И)

3I

Учительное упрощение в вычислениях достигается в результате еДения статистического предположения о том, что частицы

<1> и 1*. 8 (а г). Раси^деления частиц л илоскостп (г, s)T по л ученные^! ленного расчета шлнп1ч)вой есаттомчилости:

в Кайедой ячейке распределены одниродно но этой ячейка， обравом, что величины 修 и /* в формуле (11) можно за/ па значения зтмз величии 心 и 4既 в мантре ячейки. Иногда 彳 ла (44) припимает вид

Joc = ^*(5、Ag—"4ес) ♦I

После выполнения суммирования в (11а) потенциал 24c j ляется из размерного уравнения для поля:!

~^+方(77T「4Jn_J°・X

Если формулу (11а) подставить в обычную разностную 40PMy второго порядка для уравнения (12) и использовать метод последовательной верхней ре^гаксации (SOR), то осончательпая итерационная схема для значений Л© н центре ячетш примет ввд

& 亿 К)=& 亿 К)=力阳h■亿典方阈，♦力阳h■亿典方阈，♦

& 亿 К)=

& 亿 К)=

力阳h■亿典方阈，♦

力阳h■亿典方阈，♦

♦ ｛伊4 (『十 1, К) + G^A^ 一 1, К)十 3 (К) 4 (『,〃十 1);

十门%4（北К一4）十圈 Vm｝十（1一切4（几A）,

方伍）一1-,七，（43）

C(K)日-於Т■0(К)=『［Ч^+ 0/ДМ，

J н A — г- и z-индоксы центров ячеек со ответственно, a i значения используются в правых частях там, где выгодно. Гр. ыые условия на Ае накладываются во время релаксации. На i тике используются линейные экстраполяции от последних' временных шагов, чтобы получить пачальные значения потен Aq (J, К) для итерационного решения урнвнеиия (13). Есл耳 ыевной шаг А, достаточно мал, чтобы обеспечить прнемлеи^тс иоегь в других частях проблемы, то эти экстраполированные 4сннн оказываются превосходнымп начальными лриближенг Любое сравнение стерацнсбных методов с другими мото： например с преобразованием Фурье, незаконно, если ле учит ©тот фант. Практически сходимость с точиостью до ［。内 достш после 10—30 итераций с SOR-фактором W а 1,7. Если пспол. достаточное число частиц, чтобы удержать статистические. туации па приемлемом уровне, то эти игерации отнимают прм 45% от полного времени вычислений. После определения / К), поля Вт и & вычисляются нс формуле В = ▽ X A, hj 瓦=一轡.395),

методом центрированных разностей. Вплоть до этого мс положевин частицы известны в текущий момент, а коьпй) скорости % и 匕 известны в предшествующее время, отдй< на половину временного шага. Далее частицы перемещаются 产 ветствни с уравнениями движения

%.+%=%，-"，+［%.。瓦+芈］母.

%.+Vs = Vz,-1" — %瓦仪,

-+1 L0+匕,+*aAe,

*4 = Zo 十匕,+】/?&•

Взятые в таком виде, эти уравнения центрированы во фактически обратимы (иолезный результат сохранения Р©). довательно» дают ошибки обрывания порядка (А£)±<

Величпиы Де, В「и Bz в уравнениях (15) опредвляготся дат жения калсдой частицы отдельно путем усреднения по ・ блигкаЁшим центрам ятеек. Ну^сно заметить, что пока ；

не било необходимости использовать усреднение ио площади при в1дчпслепии сумм в уравнешти (13) для J©c н 〃•

На фиг. 8 представлена последовательлость распределений КЕШ е плоскости (г, z), полученных из численного расчета шлан- гиво屯 неустойчивости. Нижний край соответствует оси цилиндра, верхнн立 край является электропроводящим, т. е. здесь Aq = 二 cor^tj граничные м отражающие условия применяются как для «4®, так и для движения частиц на концах. Нанесенные лянии явяя- Ктс仃 лпииями уровня функцкш потока Мо и, следовательно, видовыми линиями магнитного поля. Начальное поле 3名 измепяет ewe направление на обратное между внутренней и внешней сто- ровамн слоя плазмы, обращаясь в нуль в середине. Система неустойчива, поскольку начальная температура Tz вдоль z в 25 раз болипе иоиеречтой температуры 7丄・ В этом расчете бкло исполь- зонано 2-104 модельных частиц и решетка 25 (по г) >. 100 (по %). Временно酋 шаг составляет примерно %)ларморовского периода частицы в вакуумпом магнитном поле.

Физический результат этого счета заключается в том, что нофор項21；нн плазмы и ноля нарушала —ишетрию и вследствие эюго вызывала выравнивапие 北 и 匚£• Впоследствии плазма опять образовывала ие зависящий от z слой с большей толщиисй по г, чем вначале, из-за возросшей температуры Q. Применения этой модели к >келобковым и тиринговым модам можно пайти в работах Дикмапа и др. [15, 6]. Применение к потерям с торца из 6-пинча можно пайти в работе Т&ка [7L

ЛИТЕРАТУРА

J. Amsden А. Л., Los Alamos Report LA-3166, 1966.

Hutter T. D・，疗е〃"м 7., Jahhda F., Alanhall /., Mvrse R. £., Pbys. Fluids, 12, 49N (4969).

l^ciceediiigs APS Top. Conf. Pulsed, Higb-Deosity PlasinRS (Sept., 1967). BiKbuiaeiCH как Los Alamos Report LA-3770. '

Морозов Л. 〃・，ЖТФ, 38 (4侬).

Butler 7. D.^ Ccdk J. £., Могяе A. L., Paper 6 в трудах Proc. APS Top. Conf_ Numerical Simulation “ Plasma (Sept., 196&. Высылаемся как Ь»я Alamos Report LA-3990.

§ Dickman D.t Morse 凡 £.t Nielson C. W., 1%^. Fluids 12, 1708 (1969).

f- Tdch J. £., Paper К-5 в трудах Third. Intern., Atomic Energy Agency Conf. Plasma Phys, and Controlled Nuclear Fusion Research- Novosibir盛 USSR (Zg.. 4968).

Killeen J.. Hampel b. J., Journ. Comput. Phys., 1)29, НЮ6.

K“hn> Я., Mathematical Methods for Digital Compilers, eg. A. Holsten and IIS Wilf, New York,夕 965.

Sii，mk C. 7?.. Mors 〃_， Ря»»аг「2 a —у『j

8.

9.

〕0. и.

12.

13.

М・

Moi'SK Morse . Morse Lett., UazAre

/?.» Morse Л. £., Paper СЗ ь трудах [5[.

工.,Los Alamub Report LA-3846-MS, 1968.

丄Nialxon С. Ж, Paper A4 в трудах [5[・

£., AS$g C・ W., Phys. Flulib, 12, 2418 (1965); Phys. Rov.

3 1087 (1969).

£•. Golub G. Я., NUlson С. W.9 Los Alamos Report LA-4141, см. такаж SIAM Journ. Minier. Anal. (1969).

f г» r ■- >--—~

限焼盆标.,^ 凡L.^iekonC；W：P^^ 171236

в трудах [5]

ГЛАВА 6

ФИЗИКА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕЛИ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПЛАЗМ

М Бэрдсол, 4 Ленгдон9 X. Окудой

§ /• Введение

Моделирование плазмы с использованием ионов и элека как частиц способно воспроизвести все электрические и маг』 взаюмодействия реальной плазмы. Конечно, при полном яироваиии трудно следить за всеми нонами и электронами m Поэтому обычно используют меныпее число частиц, каж^ которых имеет больший варад; во это приводит к увеличению • туаций около средних значений (нвпример, флуктуации плод ~ 纟 VM или шуму частиц (более точное название — дробовой Другая трудность — нефизическое взаимодействие частиц < стравственными и временными сетками, используемыми для I леннн таких величин, как плотность, потенциалы, поля, силки рое также увеличивает шум (называемый сеточным хпумо дробовой, так и сеточный шумы легко могут стать наст болыиами, что замаскируют планируемое моделирование*

Численно можно умеиыпить эффекты от дробового или се1 го шума, увеличивая число частиц или используя более 弔 сетки. Такие улучшения были внесены в одномерные p4f в двумерные они введряются, а в трехмерных они в 丑&日 время неосуществимы. У нас пет возможности не иметь дел4с викой (и шумами) очень немногих частиц и очень вубнмп 叫 следовательно, мы должны понять эту физику и найти подхо| способы для уменьшения шума.}

Электроны и ноны можно рассматривать как точечные q[ в большинстве задач физики плазмы. Часть взаимодействий j частицами происходит на малых расстояниях и за короткое J являясь причиной эффектов в области коротких длин воли л ких частот; к счастью, детали таких взаимодействий относив малоинтересны для плазмы. Главные эффекты обусловлен лектиснымщ дальними езаимсдействилжи^ которые cootie圖 длинам волн, гораздо болвтиим, чем расстояиия меиеду чаем и частотам, периоды которых много больше, чем вршена см вении частиц. Такая физика допускает введение некоторое соба егяажиеания сил на близких расстояниях. ПсследовашЛ

山仔丿山仔丿Фит. 1. н — формфактор S (х). определяющий изменение пдот- носэтг облака радиусом А с оадо- родлой плотностью.Облако представляет собой плоский лист н одномерном случае, цнлиндр*н ческий стержгнь в двуигрном и сферу в трехмерном. Формфявто|)8 (х) не обязательно изотропен, ис в последующем наЕаяепжи ©то. нэк правило.РЫПОЛНЯМСН.6 — сравнение потенциала <р (а)внутри и вне облака а с иотен-цпелом точечной частицы (А = О).Облако находится среди других о6л&—ков в те гл ой плавме, поэтому имеетместо екрбшпровапяе.6 — графин силы, с Korofonпробное облако, находящееся ьточке О, дейггвуеа' па облако,находящееся в точке z.Потенциал и сила, а сдедоБатеньно» и другие сн«曲еш (например, сечения рассеяния) длс облаков другой формы. ireimmdcp для рвспрещ^лрнля Гаусса 6 (г» = ехр <—></2用)・ весьма подобны по хяряктеру п величине, если сделэть соогветстеующие Е8Мсяетшя в апред^лсЕ皿 радиуса облака, мв ^однородное ^= ^ ^гауссово.Фит. 1. н — формфактор S (х). определяющий изменение пдот- носэтг облака радиусом А с оадо- родлой плотностью.Облако представляет собой плоский лист н одномерном случае, цнлиндр*н ческий стержгнь в двуигрном и сферу в трехмерном. Формфявто|)8 (х) не обязательно изотропен, ис в последующем наЕаяепжи ©то. нэк правило.РЫПОЛНЯМСН.6 — сравнение потенциала <р (а)внутри и вне облака а с иотен-цпелом точечной частицы (А = О).Облако находится среди других о6л&—ков в те гл ой плавме, поэтому имеетместо екрбшпровапяе.6 — графин силы, с Korofonпробное облако, находящееся ьточке О, дейггвуеа' па облако,находящееся в точке z.Потенциал и сила, а сдедоБатеньно» и другие сн«曲еш (например, сечения рассеяния) длс облаков другой формы. ireimmdcp для рвспрещ^лрнля Гаусса 6 (г» = ехр <—></2用)・ весьма подобны по хяряктеру п величине, если сделэть соогветстеующие Е8Мсяетшя в апред^лсЕ皿 радиуса облака, мв ^однородное ^= ^ ^гауссово.со-со-напри-напри-возможность для сущест- силы на больших раесто-46・возможность для сущест- силы на больших раесто-46・

山仔丿

山仔丿

Фит. 1. н — формфактор S (х). определяющий изменение пдот- носэтг облака радиусом А с оадо- родлой плотностью.

Облако представляет собой плоский лист н одномерном случае, цнлиндр*н ческий стержгнь в двуигрном и сферу в трехмерном. Формфявто|)8 (х) не обязательно изотропен, ис в последующем наЕаяепжи ©то. нэк правило.

РЫПОЛНЯМСН.

6 — сравнение потенциала <р (а)внутри и вне облака а с иотен-цпелом точечной частицы (А = О).Облако находится среди других о6л&—ков в те гл ой плавме, поэтому имеетместо екрбшпровапяе.

6 — графин силы, с Korofonпробное облако, находящееся ьточке О, дейггвуеа' па облако,находящееся в точке z.

Потенциал и сила, а сдедоБатеньно» и другие сн«曲еш (например, сечения рассеяния) длс облаков другой формы. ireimmdcp для рвспрещ^лрнля Гаусса 6 (г» = ехр <—></2用)・ весьма подобны по хяряктеру п величине, если сделэть соогветстеующие Е8Мсяетшя в апред^лсЕ皿 радиуса облака, мв ^однородное ^= ^ ^гауссово.

Фит. 1. н — формфактор S (х). определяющий изменение пдот- носэтг облака радиусом А с оадо- родлой плотностью.

Облако представляет собой плоский лист н одномерном случае, цнлиндр*н ческий стержгнь в двуигрном и сферу в трехмерном. Формфявто|)8 (х) не обязательно изотропен, ис в последующем наЕаяепжи ©то. нэк правило.

РЫПОЛНЯМСН.

6 — сравнение потенциала <р (а)внутри и вне облака а с иотен-цпелом точечной частицы (А = О).Облако находится среди других о6л&—ков в те гл ой плавме, поэтому имеетместо екрбшпровапяе.

6 — графин силы, с Korofonпробное облако, находящееся ьточке О, дейггвуеа' па облако,находящееся в точке z.

Потенциал и сила, а сдедоБатеньно» и другие сн«曲еш (например, сечения рассеяния) длс облаков другой формы. ireimmdcp для рвспрещ^лрнля Гаусса 6 (г» = ехр <—></2用)・ весьма подобны по хяряктеру п величине, если сделэть соогветстеующие Е8Мсяетшя в апред^лсЕ皿 радиуса облака, мв ^однородное ^= ^ ^гауссово.

со-

со-

напри-

напри-

возможность для сущест- силы на больших раесто-

46・

возможность для сущест- силы на больших раесто-

46・

■ вопроса, как численное, так и физическое, в большинстве случаев I приводит (см. § 6) к концепции использования частиц конечного I размера. В данной главе рассма

тривается физика плазмы, состсш- 晔近 из таких укрупненных частиц (облаков); последнее представляет реальный интерес, поскольку обла- 1 к& в форме листов (одномерный

случай), стержней (двумерный) или кубов (трехмерный) сейчас используют для моделирования пмнзмы по существу все плазмен- ннс лаборатории.

Облака являются настолько гжеипнми, что ови могут дно проходить друг через друга и иметь любую подходящую форму и распределение илотио- сти — например, однородное или гауссово. Прещде чем переходить к 1СНК0СТЯМ теоршг. укажем не- которые свойства облаков. Допу- етжг, что плотность облака, задаваемая формфактором S (а), спветствует графику, представлен- ному ва фиг. 1, а для облака ря- диусом В с однородной плотно- пью. Предположим, что облако является пробной частицей, нахо- дяп世йся в точке л: = 0 в двух- или трехмерной плазме, состоящей ия йиэлогичных облаков. Тогда по- тенциал вблизи этой точки будет меняться так, как показано па М「1, б, причем в начале коор- 池нит ие будет расходимости, ко- 〃М妹 была бы для частицы нуле- 眈£。радиуса (7?f 0). Сила, с кото- Р豊 пробная частица действует па ^лако в точке х, иокааана на ^Ur- 1, 6； сингулярность снова ，叫 тстпует- Ввдно также, что е только устраняются расходимо- Т" иа близких расстояниях, как

Санировалось, но и появляется 叫©г° уменьшения потенциала и

яниях; последнее происходит при Л > Х^ где XD — де€ ^ длина. У

Простые критерни для реализации указанных прек1м^| суть следующие: 1) облака должны мною раз пересекаться, I 忆》1，где Лгс — число облаков, находящихся в объеме « (Nc = пйя); 2) радиус Л должен быть достаточно больтнм. .* устранить нежелательные взаимодействия на близких рассточ! но достаточно малым, чтобы допустить взаимодействия,毁鳩 соответствуют большим длинам волн; 3) 2/?扭Ан, где Дх — 质 ячейки сетки (если используется сотка), для умепьшешш сеп> шума. я

Первоначальные теории частиц коночного размера содер ряд соображений в пользу систем без сеток Ш и с сеткам^ Концепцнн облаков объединяет такие системы м, по-шщц| является самом простой интерпретацией остающихся сгла/ взаимодействий. Теория систем с сетками (Лонгцон 工))口亩 дила эту концепцию. Общее заключение таково, что хорошие • мы с сетками весьма походят на системы без сеток с подход| взаимодействием, которое можно потом трактовать как мулон. звзаимодайствие между соответствующими облаками.

В этой главе рассматривается теория систем с сетками i них, представляющая собой краткое изложение результатов 彳 дона и Бэрдсола '), Окуды и Бэрдсола *), а также Уон га и : сола，

Общая теория модели частот конечного #。弔

Теорию взавмодействмй в системе облаков мозкио неп<1 ствевпо получ!ггь лэ существующей теорик взапмодействий [ них частиц. При этом плотпость заряда облака, цеитр 时oq находится п начале координат, изменяется от 曲(х) к 9 где q — полный заряд. Если JF и рр — плотности тока и 3, системы точечш» частиц, то плотности Jc н рс для системы коп, центры которых совпадают с точечными частицами, 4 равны

(*"=№'£(—心制).■

Для нахо;кдопия полей E и В эти плотпостм облаков нуткя^ ставить в уравиения Максвелла. В результате сила Лореиц^ ствующвя па облако с центром в точке х и скоростью v, пр响 вид!

F(x, v,£) = q j dMS(x'_x)(E(M, t)+：vxB(M, £))彳

x) Неопублпсоюнпые результаты, 4969.

Поскольку полученные выражения содержат свертки, то их можно упростить, используя преобразование Фурье:

—(噴翻⑹

F(Ь, v") = qS(一k)(Е(k, /) |~vxB(k, t)J ,(4)

где

S 化)=“к(—ik・x)・

Теперь можно воспроизвести большую часть теории плазмы путем замены заряда g на gS (Ь), Например, тензор диэлектрической проницаемости однородного бесстолкновительного газа из облаков в приближении Власова м, следовательно, диспсрсиовные соотноитепия не изменяются по форме, за исключением тото, что квадрат плазменной частоты (咤 нужно всюду умноисить на S2 伯). Однако нужно проявлять некоторую осторожность; например» в однородном внешнем магнитпом поле правильное значение А, которое нужно использовать в циклотронной частоте нулевого порядаа <осО = qS (A)/me, равно 0, гюзтому “и не пзмВБяется во сравиеншо с величиной для точечной частицы.

Рассмотрим теперь два примера, чтобы пояснить переход к теории сблаков.

Продольные плазменные колебания малоМ амплитуды

Продольная диэлектрическая проницаемость плазмы из облаков имеет вид

^^^к^\^^(6)

где введены стандартные обозпачепия. Зависимость от времени и координат выбрана в виде exp (ik ・х —心工)и использованы обычщде соображепвя относительно аналитических свойств. Для Максвелловского распределения по скоростям без дрейфа и с теп- ЛОВОЙ скоростью 0T —因3 «吟亜卢會 диэлектрическая пронипае- Mocvb принимает вид

m，心7(需*(*排⑺

恥—一млагменпая дисперсионная функция [7].

е 1*юлерсионвое соотношение для иродольных волн имеет влд 'Q Точные со ——A-диаграммы представлены па фиг. 2 для (郡，' сблаков (А = 0,仅力)и на фнг. 3 для больших облаков 0 2^ь), причем в обоих случаях плотность облака однородна.

Поучительно выяснить апалнтическн, где и почему эти peayj отличаются от результатов для точечных частиц, которые жены пиже.

, В случае krjS®p = kkD/S<^i можно использовать ас， тическое разложение для Z' при больших аргументах и

Ф и г, 2. Диспорсионнан диаграмма: зависимость частоты з от вол числа к для сднорадвой теилон наксвелловскои илазмн лз малых d с однородной плотностью (R = 0,1А/)).“

Согласие с результатами для плазмы. <ххпч)ящей иа точечных частиц, в целом doe. Оно несколько хуже б области, где преобладает вятухание. ио лишь npj ■опник&ют Винчи сильные расхождения. Снйгулярност 时 появляютсн при очень I длинах воле, когда ь облаке лохещаютея одна, дяе или три длвны fqi«J ириближениое регление для со, которое соответствует спа. туканию колебаний из-за эффекта Ландау (см. 181),

(Re 3)2 a S2向 囲 +3/嫌1

InKD^-jz/^SiOp (_^_)sexp[^|(-J^_)2_|],

В случае малых облаков (Я V К» и слабого вагухани^ VAAd《1, поэтому S а 1・ Таким образом, как можно ожидать, слабо затухающие колебания изменяются мало, подтверждается фнг. 2.号

В случае больших облаков (Я > Х^) и слабого ватуханТ может сильно отличаться от значения для точечных частпД> ЛЯ > 1, что видно из фиг. 3.|

_

В случае kkDIS 扭 1 колебания сильно затухают. Таким обра- зоУ； и плазме из облаков при увеличении к затухание резко нарезает, когда 倉入普~ 1 или когда kR достигает достаточно больших значений (см. фнг. 2 и 3). Для некоторых форм облаков, например ддя облаков с однородной плотностью [S (无)二 sin kRIkR}^ M f 0 0рй конечных 力.Когда это происходит, асимптотическпе решения

◎ 口 г・ 3. Дисперсиовная диаграмма, подобная фиг. 2* во для толсты! облаков R к 2£q.

Н на этот рав при AR > 1 полвллется расхимдаше (это «хлжтетеует теперь А% = 0.5》. Укахы1Mmiцсс 1ш петжиепие физшчи в длипипволювой области по сравнению со 3|уч»ем точечных частиц в привывеющее к осторожпостп при использовании облаков большого pdSNtpA.

Длясп.1ьпото затухания ведут себя так, что Im со -> — 8, Re s f °, Зк было уже соказапо на фиг. 2 и 3. Конечно, когда S очень 丸а;【о, электрическое взаимодействие нарушается, облака не ьзаямодействуют и изменение во времени не описывается более Функцией ехр (— is。.

2・ 11отенциалы1ая энергия экрааировапиого пробного облака;

статическая сила

В линейном приближении потепциал пробиого облака, центр ;°т°рого движется через однородный устойчивый бесстолкнови- елЫ1ый газ и имеет координаты х。十 votf определяется

выражением

屮包，£)=激瑞吋1*气n。办

Допустим, что пробное облако в горячей плавме нахо. в начале координат; тогда для во*геяциальной энергии о(

99Фиг. 4. Потенциальяан энергия в окрестности шарового пробного однородной пл относит с зарядом q* ваходящггося в теплой плазме из :ннх облаков.Отметим кончнои значение потенциала У <й> и 6ыс*фы& спад его при возрастуФиг. 4. Потенциальяан энергия в окрестности шарового пробного однородной пл относит с зарядом q* ваходящггося в теплой плазме из :ннх облаков.Отметим кончнои значение потенциала У <й> и 6ыс*фы& спад его при возрасту

9

9

Фиг. 4. Потенциальяан энергия в окрестности шарового пробного однородной пл относит с зарядом q* ваходящггося в теплой плазме из :ннх облаков.

Отметим кончнои значение потенциала У <й> и 6ыс*фы& спад его при возрасту

Фиг. 4. Потенциальяан энергия в окрестности шарового пробного однородной пл относит с зарядом q* ваходящггося в теплой плазме из :ннх облаков.

Отметим кончнои значение потенциала У <й> и 6ыс*фы& спад его при возрасту

У (к) = qS (к)屮(к) иилучпм

y阳二y阳二4妆2总(Л)4л92524妆2总(Л)4л9252W (к, 0)г上2+62/陽.W (к, 0)г上2+62/陽.

y阳二

y阳二

4妆2总(Л)4л9252

4妆2总(Л)4л9252

W (к, 0)г上2+62/陽.

W (к, 0)г上2+62/陽.

В качестве примера на фнг. 4 представлен график 卩(х) для ков с однородной платностью.

В случае м&лнх облаков (7?《入力)можно заменить £ на 1 Менатепе выражеиия (44), поскольку Л2^>52/АЬ там, где,5 ：

тельно отличается оттельно отличается отединицы. Таким образом, энергия.

тельно отличается от

тельно отличается от

приближенно совпадает с энергией для точечной частицы, женвоЁ на квадрат 8 (х), и, следовательно, отличается от з； точечной часггицы только в области г 乜凡 где она предст； неэкранировйнную иотещиальную энергию облаков, а не ных частш^ М аксималгэйая энергия

p(* = 0)~等=/手， ，

где Nd =几九 1)，может стать меньше тепловой энергии 6, поаволян облакам легко проходить друг через друга и подазляя • соударе- 呻丹，приводящие к белый им отклонениям.

В случае больших облаков, Е > Х^, потенциальная зиершнт существенно другая из-за того, что плазма может поддерживать зарядовую нейтральность на расстояниях г > R и XD; нейтрали- §ующн宜 плазму заряд находится внутри пробного облака, а не

Q'mf. 5. Сила F? с которой сферическое облако однородном илогаисти, находящееся в точке г = 6, деистьуег в теплой плазме па облаха, находя

щееся и точке г.

№i；c]|M«j|bii»e вначение F (и приближенно вся кривая) иамеЕяегсп прилгрно пропор- Ц*ьплльцо ар/ХН гюотому блкэвяе п дальние Рванмодсйетппц ПисЁ^ю умшыизиотся с Рлт>'П Я. Kpnshie для двумерного и одаомсриого сдучасЕ подоены приведеивыга, но иоказааль сгепепи 3 агшеияется па 2 и 1 сдотвеготвенно.

снаружи, как раньше. Это проявляется в следующем: при к <Zkc auepiHH V (Ь) близка к 4л§2ХЬ, затем спадает к нулю как 4п7а52/Л3, 近 становится больше Ас, где кс находится из равенства = 6% (儿)・ Если S быстро надает до нуля при к > R^x то ♦〜R-i. График V (fc) будет иметь инк шириной 〜Л, Учитывая 打о и общие свойства преобразований Фурье, мы заключаем, что РЗДиуе У (х) будет порядка 论｝〜7? и 卩(х) может иметь несколь- ° осцмлЛЯций благодаря резкому спаду У (к)； эти свойства про-

Демоистрированы ьа фиг. 4. Кроме того, поскольку

J dxV(x) - У (к = О) ^4л5%

не изменяется, когда радиус увеличивается, то необходимо, G величина У (х = 0) уменьшалась до 〜4畋先沙/??〜GlN^ № 三 пЯ3 характеризует количество перекрываний облаков.

М》4 большие облака легко проходят друг через друга больших отклонений. Следовательно, Nc в плазме из облаков 勤 ет ту же роль, что Wq в плазме из точечных частиц.

Соответствующая статическая сила F = — VF представ, на фиг. 5. Максим^ш силы F в точке г ^ R, так же как вел на F ври любых г, уменьшается примерно как (^DIR^ в трег ном случае и приблизительно как (入/衣户 и (Хл/Я) соответств и двумерном и одномерном случаях. Следовательно, увеличен от нуля быстро уменьшает силу и сечение рассеяния, которое ■сматривнется в следующем параграфе.

Сечеиие рассеятт

Выше мы использовали уравнение Власова и пренебре -столиповениями. В реальной плазме оправдапием такого п] •брежени旦 является условие Nq》1, которое трудно выпол .при двумерном мод ел ированип и нереально но затратам при мерном моделировании. Следовательно, нам нужно epaj частоту столкновений иля сечение рассеянии для облаков с ветствующнм значением для точечных частиц. Сначала мы ц лаем это, используя статическую силу, которая найдена в дыдущем мараграфе, и определяя транспортное сечение paccej «для трехмерного случая»

о = 2冗 j (1 — cos В) р dp,

где р — прицельный параметр и 0 — угол рассеяния.

Для плазмы из точечных частиц существует небольшое pi дение между транспортными коэффициентами и, следоват течениями рассеяния» полученными для кулоновского в действия с дебаевским обрезанием, и результатами для э> ровапного кулоновского взаимодействия без обрезания, кулоновском вз аимодействии — 1/г-) сечение рассеял ня , выражением

Ем「晟1吐耍]。謡in a =爲in9暇,、 где Л =机力凯£>/,2 — 9^D, и 机卩：заменено на среднее з「： ЗАТе，что возможно для i — е- и е — е-соударений; т『—пре пая масса, vr — относительная скорость.

При рассеяняи облаков потенциальная энергия хорошо себя аналитически, т. е. не имеет сингулярностей, но не яв Еростой функцией от г, поэтому интегрирование для нахоящ

ГО^О^^^^^ —ГО^О^^^^^ —видно из фиг. 7, ще прсд-видно из фиг. 7, ще прсд-бит. G. Сечплме рассеявия для столк- кв^ггаК, определенаое по статической 即е в теплой плазме ыз сферических «ьлаков с однородЕой плотностью и "типу пртюпимое к обликам, скорость «оторих меньше тепловой скорсстн. ^^Еснпьп мгаднтюм модепщ)оиашш на- т, что увеличение течения. которое когда Wp уменьшается от аначе- 雑出1 Сильной шщзмы к значению, подхо- 飞焉» Xin ЭВМ. вюжио частично огапкк- ут^лчепием радиуса облвпа ■•бит. G. Сечплме рассеявия для столк- кв^ггаК, определенаое по статической 即е в теплой плазме ыз сферических «ьлаков с однородЕой плотностью и "типу пртюпимое к обликам, скорость «оторих меньше тепловой скорсстн. ^^Еснпьп мгаднтюм модепщ)оиашш на- т, что увеличение течения. которое когда Wp уменьшается от аначе- 雑出1 Сильной шщзмы к значению, подхо- 飞焉» Xin ЭВМ. вюжио частично огапкк- ут^лчепием радиуса облвпа ■•Фиг. 7. Отношение сечений для обла-ков и для точечных чаешц как функ-ция радиуса облака.НаСлкф^стся сильное уиепьш^ние отношения при малом увеличении радиуса сблака от нуля. Модель такая же. как в слу^ий фаг. 6.Фиг. 7. Отношение сечений для обла-ков и для точечных чаешц как функ-ция радиуса облака.НаСлкф^стся сильное уиепьш^ние отношения при малом увеличении радиуса сблака от нуля. Модель такая же. как в слу^ий фаг. 6.лроводклось численно. На фиг. 6 ириведавы результаты для облаков с одаородпой плотностью.

ГО^О^^^^^ —

ГО^О^^^^^ —

видно из фиг. 7, ще прсд-

видно из фиг. 7, ще прсд-

бит. G. Сечплме рассеявия для столк- кв^ггаК, определенаое по статической 即е в теплой плазме ыз сферических «ьлаков с однородЕой плотностью и "типу пртюпимое к обликам, скорость «оторих меньше тепловой скорсстн. ^^Еснпьп мгаднтюм модепщ)оиашш на- т, что увеличение течения. которое когда Wp уменьшается от аначе- 雑出1 Сильной шщзмы к значению, подхо- 飞焉» Xin ЭВМ. вюжио частично огапкк- ут^лчепием радиуса облвпа ■•

бит. G. Сечплме рассеявия для столк- кв^ггаК, определенаое по статической 即е в теплой плазме ыз сферических «ьлаков с однородЕой плотностью и "типу пртюпимое к обликам, скорость «оторих меньше тепловой скорсстн. ^^Еснпьп мгаднтюм модепщ)оиашш на- т, что увеличение течения. которое когда Wp уменьшается от аначе- 雑出1 Сильной шщзмы к значению, подхо- 飞焉» Xin ЭВМ. вюжио частично огапкк- ут^лчепием радиуса облвпа ■•

Фиг. 7. Отношение сечений для обла-ков и для точечных чаешц как функ-ция радиуса облака.

НаСлкф^стся сильное уиепьш^ние отношения при малом увеличении радиуса сблака от нуля. Модель такая же. как в слу^ий фаг. 6.

Фиг. 7. Отношение сечений для обла-ков и для точечных чаешц как функ-ция радиуса облака.

НаСлкф^стся сильное уиепьш^ние отношения при малом увеличении радиуса сблака от нуля. Модель такая же. как в слу^ий фаг. 6.

стазлен график отношения оьоакд/^точки* а также соответствую- 卜电 график для двумерных облаков с однородной плотностью (в сразненмн с линейным зарядом). Переход к облакам с гаус- Зв〃м распределением S (г) = ехр {—产/2А?) происходит примерно “РН /＜吨^1Ko = Еснноюолмое » 22?гауссово.

Связь с бесстолкновительным подходом в члелешюм •： моделировании

Рассмотрим двумерную плазму с размерами 100 入幻 на 100 Частота столкновений точечных (линейных) частиц равна

v ==加。а пгта а ?ё无，

где 火力= лгг?ир- Если мы истребуем выполнения условия Ws工 < 1/1000, то для точечных частиц будет нужно “刃 〜200, так полное число частиц ^ будет равно 600 000. Если мы тр^Й W3Pg < 1/1000 для плазмы из облаков и выбираем 八，V тогда нз фнг. 7 видно, что пам нужно /?/1 D = 1,3 и только 60 облаков; если ж© выбрать 及力 = 2, то нуткно R!%d~ 6 и мерно 6000 облаков.

Для трехмерной плазмы с размерами 100 入刀 X 100XD А 10 частота столкновений точечных частиц равна

于爲* IM*

Если мы потребуем v/mpc V 1/1000» то для точечных тиц "d = 300 м М = 72 миллиона частиц. Для облаков ■/Spz С 1/1000 в случае ZD = 30 требуется 丑/九.一1； W = 7,2 мпллнона, а в случае ^D = 1 требуется 11昧0> W = 240 000.

Такое уменьшение числа частиц в 10 и 100 раз, необхо^ для снижения эффект<1В от соударснпп, делает более реаль моделирование плазмы больших размеров с использовапием к дики точных траекторий- Примером успешного применения ; идей является недавнпё эксперимент Морза и Нильсона^ Они работали с N = 332 750 облаками в трохмернойплазме в ме куба с ребром 100 九厶，находящемся в сетке 32 X 32 X 32. этих параметрах n7uf> у 0,3, так что, будь частицы точкам! нельзя было бы рассматризать как плазму. Одпако частицы R и Нильсона можно трактовать как облака с Nc ^ п (Дя*)8 > поэтому мозкно надеяться, чти они будут вести себя как пл Используя теперь формулу (15) и фиг. 7, получаем (v/OpJod 弋 1/240. Поскольку их вычисления продолжались до Г плазменных периодов, величина『Т а 4 и нельзя поли， пренебрегать эффектами от столкновений. Креме того, 入d а 0,3 Д<г сеточный шум (см. § 5) также может существенным.

« /. Коэффициенты wрения 衣 диффузии Фоккер —П.шики О/& плазмы,, состоящей из обмков

Вьтшеизложенпые результаты, использующие статическую силу, лрпдеинмы главным образом к частицам плазмы со скоростями, мемыпиии тепловой, и < иг. Теперь мы обобщим эти результаты, дспо^ьзуя кинетическое уравнение Балеску ——Ленарда, при~ годное для любых V.

Рассмотрим сначала трехмерную однокомпонентвую простран- ctdchiio однородную плазму в отсутствие макроскопического поля. Выделим пробное облако и найдем эволюцию функции расиреде- мепмя пробного облака благодаря столкновениям с окружающей плазмой. Допустим» что функция распределения по скоростям qchohuu成 плазмы является максвелловской и но меняется во времени из-за взаимодействия с пробным облаком. Кинетическое уравление Балеску — Ленарда для функции распределепия / (р, /) пробного облака можно записать в виде

%=急(加器)+ +(A由,j. j = *y,z,(16)

где введены коэффициенты диффузии

2,胡)=冊「j }1^^^6(k.v^k.v3f(^(17)

и 1^о?)ффпф1^нты трения

4(Р)= "“ J Щ„*5(k.v_kk)置展:М. (18)

По всем повторяющимся индексам 厶 / выполняется суммирование. F (р) — трехмерное м аксвел л овск ос распределение по скоростям <*：1говпой плазмы:

£（Р）=£（Р）=合P(—Р*⑵"2碍)

£（Р）=

£（Р）=

(У占 m%)* '

£ (k, k-v) — диэлектрическая проницаемость плазмы, которая ©иремслена формулой (7).

Величины Боэффициентов 力小 Рц и D^ зависят в основном от 八。для точечных частиц или от Я/Хв для облаков. При малых 4% (о/% V《)коэффициент А 〜vlv^ это означает, что Л 〜vp,

v — частота соударений в уравнении типа Ланжезена, кото- Р。。использовалось в предтпествующих вычнслениях стетической chjiu： обусловленной столкновениями. Было обнаружено, что "нитеине сечений рассеяния облака и точечной частицы (фнг. 7)

имеет тот тке порядок, что и отношение получепных здесь 里 фиционтов 4к (фнг. 8). Однако убывание коэффициента Лн

Урастае Байесу-Ленарда Уравнение Лапдау

三N『*

笈

ЛЛд

увеличении равмера d зависит также от ско облака. Например, прш =0,5 отношение Ли (Kj

=0, Nd ^ Ю^Мц (R =5) а 8/0", в как при v!vT = 3

Еве составляет 2,5 ЛО3.

§ 5・ Эффект

Фиг. 8. Козффтщпент трения 4〃 (полученный из кинетического уравнения, пригодного для любых скоростей) для сферических облаков с гауссовым распределением как функция скорости премного облака.

Хфяаал с JVp = [0g соптвететвует точечным уастяцвм. IIjih мвлыу скоростях, нмда 勾 5 ®, можно считать, что ко^Фиц&ет1 幺卸 пропгфцлопапс!； частоте столкновений w. сле- довательпо. сечению рассеяния, щ»едп1шлен- ному на фиг, 6; убПвлпи. »в-эа шхаржгга- ния Я rqiUMcpii。сдикаково. При болиппх скоростях убыБшше нс так велико. А£ •— 6. Ии- лексм X и Н сбоаначпют зтравобни" отно- <зп£пы>о скорости грлбнбго обдана. Моаффч- циент Лц должен стремиться к нулю, когда т-> 8. ii<»qijNy 1фи и > Иг* имеются манс11мум1<.

ТОэто опр：

от

странстеен ной се

Обычно при моделв нии мы используем сет пространстве с и опред.， значения поля только в j сетки. Однако поло» частиц все еще измена непрерывно. Для связи чений воля, определи только на сетке, и хар ристик частиц, которые • ются непрерывными, нс； зуют различные алгорг Важно знать, какие из НИЯ МОГЛИ бы прОИЗО! физике из-за испольво! нефизической сетки.

Рассмотрим сейчас ритм, который использ б методах «облака в яч (CIC) (101 и «частицы в , не» (PIC) [11], причем простоты ограничите見， мерным случаем. В \ методах заряды nsie s сматривать как облакн* чем элементы каждого : могут находиться в не ких ячейках; каждыйs

заряда облака с помощью линейной интерполяции приппс£ к ближайшему узлу сетки как при нахождении источи уравнениях поля, так и про определении сил от волей.

255255§ 5・ 3@@е*лг <?m простракстеенной сетки

255

255

рующм бя частицы. Пусть уразнения для полей имени вид

V2<p= — 4冲 f q)t+i—2g 十恥т= —4 叫^及巡

迫匸qi

и公и公узламн сетки.узламн сетки.311f. 9. Коуффициенэ диффузии Рц *°н облаков, прсдставлениых ва фиг. 8. У^^гро убывает, когда размер облака ■^^^встся от нуля. Завпсшиебь от скорости слабая.311f. 9. Коуффициенэ диффузии Рц *°н облаков, прсдставлениых ва фиг. 8. У^^гро убывает, когда размер облака ■^^^встся от нуля. Завпсшиебь от скорости слабая.8 п г. 10. Коэффшщемт диффузии 1?丄 для облаков, представленных на фпг. 8. Снова каблторается убывание, но без эамктноЙ 8amicшм&сти от скорости.8 п г. 10. Коэффшщемт диффузии 1?丄 для облаков, представленных на фпг. 8. Снова каблторается убывание, но без эамктноЙ 8amicшм&сти от скорости.где Et — Е (гДж) и т. д. Действующая на облако сила представляет собой сумму сил, действующих на все его элементарные заря- дъь связанные с несколькимигде Et — Е (гДж) и т. д. Действующая на облако сила представляет собой сумму сил, действующих на все его элементарные заря- дъь связанные с несколькими

и公

и公

узламн сетки.

узламн сетки.

311f. 9. Коуффициенэ диффузии Рц *°н облаков, прсдставлениых ва фиг. 8. У^^гро убывает, когда размер облака ■^^^встся от нуля. Завпсшиебь от скорости слабая.

311f. 9. Коуффициенэ диффузии Рц *°н облаков, прсдставлениых ва фиг. 8. У^^гро убывает, когда размер облака ■^^^встся от нуля. Завпсшиебь от скорости слабая.

8 п г. 10. Коэффшщемт диффузии 1?丄 для облаков, представленных на фпг. 8. Снова каблторается убывание, но без эамктноЙ 8amicшм&сти от скорости.

8 п г. 10. Коэффшщемт диффузии 1?丄 для облаков, представленных на фпг. 8. Снова каблторается убывание, но без эамктноЙ 8amicшм&сти от скорости.

где Et — Е (гДж) и т. д. Действующая на облако сила представляет собой сумму сил, действующих на все его элементарные заря- дъь связанные с несколькими

где Et — Е (гДж) и т. д. Действующая на облако сила представляет собой сумму сил, действующих на все его элементарные заря- дъь связанные с несколькими

Введение сетки ставит новую проблему. Сила / (%, ©), с кото- Р°й частица в точке ^ действует на частицу в точке =2, может зази- %ть не только от расстояния ме?вду частицами, но и от места их Размещения на сетке, а это нефизично. Нефизическую часть м°Жно отчетливо представить себе, если проделать два простых ^сцеримента с облаками однородной плотности. Первый: ^креи2/яем заряд в точке ^ и изменяем х2; при 丑=0 (NGP) сила F /需呼“ьсн скачкамл; при 2Л > О (CIG, PIQ сила непрерывна I ' /血2 изменяется скачками). Второй: сохраняем расстояние

256256/>, 6, Cucm£“& ygcmi",地。"£""唠才 f 〃*/>竺

256

256

О сида 尸 опять изм!О сида 尸 опять изм!между зарядами х = хг — xt постоянным, но изменяем с координату 支=(勾 十 х2)/2; при Я

О сида 尸 опять изм!

О сида 尸 опять изм!

-скачками, при Я > 0 сила F снова непрерывна и имеет го时 меньшие флуктуации, чем при й = 0. Графики 尸 легко постр^ или можно воспользоваться фпг. 3 и 4 из работы Бэр/ц к др. 121.

Эти эксперименты подсказывают, что силу удобно равдай на две части,尸=尸十 6尸,где 尸 ——усреднениая часть, коп не изменяемся при перемещениях вдоль сетки.

户(修,厶)=戸5-支2)=心j月(上一》窃十君石，4

Ax《

a 6F ——яефизическая сила, обусловленная сеткой.J

Еслп аффектatiii от 6尸 можно пренебречь, то с«стед<у мм анализировать, используя обсуждавпшесн ранее методы, Н* мер, в дисперсноином соотношении нужно ум пожить ($2)供『[ на (sin ЛДх/^Дх)； некоторые предварительные вичислештя холодной плазмы подтвердили этот эффект ]2|. Такимобр^ одна из функций сетки —— сгладить взаимодействие, что, по『 му мнепию» полезно.К

Более подробное рассмотрение проблемы силы, обусловлр сеткой, показывает х), что главным следствием силы 6尸 явля; связь возмущений, обладающих волновым велюром к3 с н@ (цепнями, волновой вектор которых отличается от к на велич| кратную 2я/Дх. Эта связь несущественна, когда %》Дх・'?

6 6. Немного истории/

В ранних численных экспоримептах методы, используемые связи характеристик частиц и сетонных характеристик, вы! лись в остов пом из соображений простоты вшшслешш. Напр^ принимаюсь, что плотность частиц в узле сепш равна J частиц в ячейке, поделенному па объем ячейки, содержаниеif увел сетки; так считалось в гидродинамическом методе «чм * ячейке» (PIC) в работах Харлоу и Эванса ]12), а также Х< 113, 31. Такое распределение по 6・ппкайппш узлам сетки (ц примененное к плазме, приводит к некоторому сгнатки^! нацример уничтожает силы между двумя зарядами против。!^ пых знаков в одной и той же ячейке 141, по создает скачкц^ иости и сипы, когда застнци переселает границу ячейки.^

Следующий таг заключался в том, что илотиость частиц 4 распредапялись по ближайшим к частице узлам сетки путем《 ной интерполяции, как в методе «облака в ячейке^, CIC (Б1 и Фасс 1101 развили идею Дж. Байерса, высказанп>»ю 口“

1)Л- В- Langdon, неопубликованные результаты, 1969.

в 190$ г.), а усреднение скорюстей ио площади в методе PIC (см. ]3], стр. 329) было приспособлено к вычисл©пиям плотности ллп8А11Л и силы в методе Морэа и Нильсона [111. Такие Интерпол я- nnii устранили скачкп плотности и силы, присущие методу NGP. н привели к заметному уменьшению шума НО].

Были проделаны иаралленьные попытки сглаживать процесс 痴 сетки, чтобн, например, уменъпшть ошибку из-за скачка снпм，когда сталкиваются частицы нулевого размера (ZSP). Одпа из попыток была связана с предполсженисм о том, что плотиость зарина является однородной между координатами зарядов 151; родствепхпды решением было использование тонкого силового цнинтдра, указывающего па то, что моделируемнй заряд является цилиндрическим облаком J6I. Доусон м др. (1| снижали роль коротконолповых компонент раэло/кения ①урьс для поля. Их ре- ыенпя позволяли частицам относительно гладко проходить друг через друга.

Все эти шаги сыграли свою роль в эволюцпо концепции облаков м стимулировали развитие изложештой здесь физики облаков.

§ 7・ Заключ^нме

Ми рассмотрели основные свойства плазмы, состоящей на частиц конечного раамера (облаков), чьи взаимодействия сглажены на малых расстояниях. Мы иагпли, что, когда раамер облака fl мспынс дебаевской длины А。，продольные волны и дебаевское экранирование почти такие we, как и для «реальной^ плазмы, в то время как столкновения (н коротковолновые флуктуатдии, которые рассмотрены и других работах) сильно уменьшаются. Это1 вывод не является неожиданным и иодтверждает тендепцию к пслользованию моделей, которые содержат такие «искусственное сглажеииые взаимодействия- Когда размер облака Я становится болыпо дебаевской длины XD, столтсновения и флуктуации быс гро исчезают, но свойства плазмы сильно иаменяются-

Благодарности. Напш группа в Баркли имела полез пип контакт :Дж Доусивом и его группой е Прмнстоле, за что мы мм очень благодарны. Ми также тешго сотрудпмчали с члш1ща группы моделирования и^аимы ? Лоурснс<1юской ра/^аацпонпол лаборатории (Ливермор), особенно с "ж. Ьайерсом, X. Бэрком и Д. Фассом.

ЛИТЕРАТУРА

'• /)“1гмп J. А/., НЛ С. С； Shanny 凡,Paper Al.Conl. Numerical Simulation Plasma. Los А1ашоз Scientific Lab., LASL Report LA-3990. См. реферат 今 u Bull. Amer. Phys. S«., 13, 4 744 (1968).

厶 Hirdwll C. A” Z>a，zgdo「/. ?., McKee C. A* Okuda H； Wong D.j Paper 阴 в трудах Ц|.

立 UarWw F- H・,и книге Meth. Comp. Phys., vol. 3. New York, 1964, p_ 319.

S~0123G

9.9.；1： Morse Я. %；1： Morse Я. %12.12.竺厶.4eВК包空吧

9.

9.

；1： Morse Я. %

；1： Morse Я. %

12.

12.

现输1：史賦cX過體弋隸兩%也,М

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ|ПЛАЗМЫ БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ

〃*. Байерс*^ 乃*• Киллин*^

§ X. Введение

Конечно-разиостине методы, пригодные для математьческих зЮЛрне立 плазмы» в которой преобладают столкповевия, обсуждаются в других главах настоящего тома- В частности, подробно обсуясдается решение уравтопия Больцмана — Фоккера — П:гап- ка м уравнений магнитной гидродинамики. Однако большипство теоретических работ последнего времеии, особенно в исследовави- ях по управляемом у синтезу, основывалось на приближении бесстолкновительной плазмы, В настоящей главе мы рассмотрим коиечио-разБостные методы, иригодные для решения некоторых таких задач,

В большей части работ по числонпому решению уравнения Власова используется представление Лагранжа, т. е. интегрируются траектории большого числа частиц (листов, стержней, облаков и т. д.) и по этим, распределениям частиц еычмслеются влот- ностн зарядов м токов. В пастоящей главе мы будем использовать эйлеров подход для уравнения Власова в фазовом пространстве. Будут даны методы прямого решения уравнений для функций распределевия. Вначале рассматриваются нелоторые методы и примеры для двумерного фазового пространства. Затем подробпо 呱у拼額аются проблемы в четырехмерпом пространстве.

В § 3 мы обсудим некоторые задачи, используя уравпения движения в дрейфовом приближении. Здесь мы снова используем эйлерово представление для изучаемых моделей. Первым примером бу&с工 линейная модель, нсполъзуемая при изучении устойчивости Зазин в ловушках с магпитпыми пробками. Обычная процедура Решения таких задач состоит в том, чтобы получить дисперсионное 1равлешге и затем попытаться решить его- Мы же в этом примере »'?м исходить аз аадачи с началышми условиями для возмуще- электрического поля и плотности ларморовских центров I「гид. Описан конечно-разностный метод, с иомощыо которого Решается： сформулированная задана с начальными условьями.

①а т 于“"4. Вут，Lawrence Radiation Laboratory, University of Calilor- '±Z0r[use, California.

玲d I)JoE KHleen, Lawrence Radiation Leboratory, Livermore, California apartment of Applied Science, €niv№ity of Califoraia, Davis, California.

&7‘

丁眾 6. Систем частицкон^^Р^^

九 Hockney 々黑♦ №.

Hess ASD

WrigM 丁…

Mihran T-'

FriedB-Lf^T- ^

Jackson J・ M C W

Morse R. W\» 噜Comput. PM・,弋曲 ^^' 易統號或黯:序需偏公吗吵嘗暮 後臨J：記ЙП鬻了歉Ne…--

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙрЛАЗМЫ БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ

〃冗.Байер^, Дж. Килли^

§ 1. Введение

Ковечио-раэностяые методы, пригодные для математических моделей плазмы, в которой преобладают столкновения, обсуждается в других главах настоящего тома. В частности, подробно обсуисдается решепис уравнения Больцмана ——Фоккера — Планка н уравнений магнитной гидродинамики. Однако большинство теоретических работ последнего времени, особенно в мсследоБани- лх по управляемому сиптезу, основывалось на ириближении бесстолкновительном илазмы. В настоящей главе мы рассмотрим

конс'гно-развостньге метоны, пригодпые для решения некоторых таких задач.

В большей части работ по численному решению уравнения Власова используется представление Лагранжа, т. е. интегрируются траектории большого числа час!иц (листов, стержней, облаков и т. д.) и по этим распределениям частиц вычисляются плотности зарядов и токов. В настоящей главе мы будем использовать эйлеров подход для уравнения Власова в фазовом пространстве. Будут даны методы прямого решания уравнений для функций распределения. Вначале рассматриваются пекоторые методы и ирн- меры для двумерного фазового пространства. Затем подробно Осуждаются проблемы в четырехмерпом пространстве.

В § 3 мы обсудим неноторые задачи, исиользуя уравнения Дьцжеаия в дрейфовом приближении. Здесь мы снова используем 我пероне представление для изучаемых модолей. Первым примером 与四射 линейная модель, используемая при изучении устойчивости 皿ззыи в ловушках с магнитными пробками. Обычная процедура Решения таких задач состоит в том, чтобы получить дисперснопно© уравнение и затем попытаться решить его- Мы же в этом примере У.м исходить 必з задачи с начальными условиями для возмуще- ВЕ электрического пиля и плотаости ларморовских центров &стн*・ Описан конечно-разностЕЫЙ метод, с помощью которого Ретаетсн сформулированная задача с начальными условиями.

Uh [F〃4 Л. Вуега^ Lawrence" Radiation Laboratory, University of Califor-* 'М^гшоге, California.

td d "砲冷 Killeen^ Lawence Radiation Laboratory, Livermore, CaliforDia ePailxnrnt of Applied Science. University of CalAoirnfa, Davis, California.

17»

2(502(50Гл. 7. MoMan пл/дм& без ?〃м」」°бе〃晔

2(50

2(50

Затем ю порядке изучения неустойчивостей плазмы с болч амплитудами колебаний мы рассмотрим двумерную нелине задачу. При этом нсполъзуется двух жидкостная модель н j ются урависыия в эйлеровой форме. Важной частью этого графа является обзор различных разностных аппрокст. промзводню по времени н уравнениях для плотностей “ас»

§ 2. Численное решение уравнения В.шсова^

Одномерные модели

а. Введгиие

Рассмотрим систему уравнений

皮一 口当一且染h,at дх 惟而

冊冊。£。£t , °九丄 еЕ °" — Оt , °九丄 еЕ °" — О

冊

冊

。£

。£

t , °九丄 еЕ °" — О

t , °九丄 еЕ °" — О

警=4貝e J df)他—8

где /е (咼 г, t) и /f(X, v,。一 электронная м тюиная функц иределения. Мит — массы нопов и электронов, +「 (纟 * 1) — их заряды и £ (х, 0 — папряженпость электр,

ноля.

С точки зрения численного решеиия этой системе y^ вероятно, больше впимапия, чем любой другой в физике Это обусловлено ее левым, простим видом и важностью ментальных проблемах физики плазми. Такое при! используется при изучении псу стоил ивостей, например J ковой неустойчивости, в теории бесстолкповигельных волн, затухания Ландау и в других задачах. Его наэыва ньйным уравнением Власова», что несколько длшшовато во, что оно нелинейно, так как £ зависит от /с и /*. Одн« усилий было затрачено па аналитическое решение лине ного уравпепия Власова.

Мы будем записывать уравнение (1) влн (2) d виде

a噥+禮=。■

Уравнение (4) можно переписать так:

где

АТ二百十"蘭十尸■祐.

Мы будем ссылаться па уравпепия (4) и (5) как ла эйлерову и ла- граижеву фо1)иы уравнения. Уравнение (5) означает, что / оста- 如笈 постоянной вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнениям

(6)(6)⑺⑺dr后…，

(6)

(6)

⑺

⑺

必 r'

\与(о，где Xj Q) И 力(Z) =N/, и (0)= 力.Различные\与(о，где Xj Q) И 力(Z) =N/, и (0)= 力.Различныен. с.力 постоянна вдоль кривых 芍(£) решения уравненпй (6) и (7) при х (0)： »юдсли «листов^ основываются па уравнениях (5)—(7). Другим метод, которий также основан на уравнениях (5)——(7), называется мод₽л!>к> «водяного метка». В этом методе используется кусочпо- ппстоянная функция распределения, и границы областей, в ко?о- рнх функция / постоянна, нычпсляются как Зункцми времени, внтег|>ированмем уравнений (6) п (7) для копечиой сетки граничных точек. С помощью тако而 системы дискретных точек на каждом I汀ате по времени стройся новая граничная кривая.

\与(о，где Xj Q) И 力(Z) =N/, и (0)= 力.Различные

\与(о，где Xj Q) И 力(Z) =N/, и (0)= 力.Различные

Третий метод дает решение уравнения Власова в форме (4) м осиовап па двойном разложении / @, р, t) по ортогоналвлым функциям от ж и г. Коэф4|11циеити в разложенпп являются функ^ Цияып времени и удовлетворяют бескоиечной системе обыкиовея- нмх дифферен! щ а льных уравнений. Ряды обрываются, начииая с некоторых номеров, и иолучепиая конечна兄 система уравпепмп решасмсн чтеленно.

/рм названных метода детально обсуждаются в других главах 9To直 КНИГИ.

Четвертый ыртод ирсдсташ)яет собой решеиие уравнения в з乐 У 1,ов°й форме нолосрсдственно методом конечных разностей. Рнвненнн (1) и (2) можно записать в виде снстеми уравнений

普十"祭+e普十"祭+e可可л*л*=0,=0,(8)(8)

普十"祭+e

普十"祭+e

可

可

л*

л*

=0,

=0,

(8)

(8)

图NT 5非

"弋的入=一 (e/m) е m е=(e/м)民

в уРавнение (8) является гинербидпчелой системой, записанной “0R системы уравнетш переноса- Мы будем также писать

262 Гл. 7» Модели плазмы бев столкновений

•"^^"^^^M^^^^V^^^^^^H^^^M^^^^mmm^^MMH^^^A^^^^^^^^^^^m^m^^^v^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^НЙ^^^^^^^^^М^^»^м

ев в виде

] 6G ан п崇冬年+ r=0，

где

-[;:]■ -[:;:]* 吋閣•

Уравнение (9) является гиперболической системой, валив в ковсервативпой форме. В следующем пункте обсуждаются иостныс методы для гиперболических систем обоих видав.

Разностные методы для гинерболяческих систем

Гиперболическую систему мояско записать в виде

к+』+У=。，

где 17 и Р — m-мерные вектор-столбцы,厶一m х m-мат] Система (10) называется гиперболической, «>ли матрица.

только вещественпые собственные значения и m линейно еммых собственных векторов. Так как нас интересует г образом слагаемое переноса, мы будем испольвовать "- стую систему

Рассмотрим конечно-разностную сетку с узлами 芍 = 力 —пД£, где j к 九一целые числа ъ U^ — U (芍，厶).Пре разностная аппроксимация уравнения (11)

w Q力一長河仍+ L tJ)

веустойчввя ML

Простой разновидностью ее является схема

号t =等(倏，+以0一盜g(吟”一辱)

которая уясе устойчива. Условие устойчивости имеет вид |g V 1 для всех собственных значений а матрицы Л. (Обсу здесь критерии устойчивости получены в предположен коэффициенты постоянны, так что для наших нелинейна пений опи должны рассматриваться как локальные 、 которые проверяются в ходе вычислении-) Несколько лу

по течепо тече(13)(13)называемая разностная схема «вверх по течению — вниз ли» 丄)・ Для скалярного уравнения

по тече

по тече

(13)

(13)

8“ ди с毎十°右=°

зта разностная схема имеет вид

W—m_豆竺'〃％_%，ОСЕ 哼 V0,

\ f "储-%—号'0.")

Схема устойчива, если И △〃Ан| V 1. Повышенный порядок топ иоста обеспечивает схема «е перешагиванием 与,разностные уравнения которой имеют вид

E7"=仁1一^离(%1一以1). (15)

Схема устойчива при условии |а △"△土| < 1» но она невыгодна яз-за трехслойности разностных уравнений. Другая схема, которая также имеет второй порядок точности, но использует только 五иа временных слоя, основывается на разложении

疗一睜也闺了衅 儒): (16) Если матрица А постоянна, то мы получеем разностное уравнение 疗1 "号-赛 4%lGt)十在督/(％-2町上仁—>

(17)

Если матрица Л нс постояппа, то уравнение (17) становится гораздо болев сложным. Условие устойчивости имеет вид |。А〃Ал:| V 1.

В пскотормх случаях можпо написать систему (11) в консервативной форме

(18)(18)也乎里一 0

(18)

(18)

di十0% —U・

где F есть m-мерин黄 вектор<толбсц. Разностную схему второго □орляка точности для системы (18) можно записать в особенно простои форме, которая называется двухшаговой схемой Лакса — ВенароАфа. Она легко обобщается ма случай двух измерений “ имеет то преимущество, что сохраняет величину U. В качестве ^Г®ого шага в промежуточных узлах сетки используется урав-

切§ ') В оригинале, (be «up^trecni-iluvvnstrcam» differonae scheme.— Прим.

2： В оригинале: (lie «leapfrogs difforence scheme.— Прим, персе.

неиие （12）, т. с.

侬證=J （時h十功一蔡（呼h 一丹）•

На втором шаге используется схема «с перешагиванием^

叮”=叮_左（務囂:一務堂）.

Система (19а),=Л (dUldx) иРазностныеСистема (19а),=Л (dUldx) иРазностные(496) сводится к уравнению (17), если 3F」 матрица Л постоянна.

Система (19а),=Л (dUldx) иРазностные

Система (19а),=Л (dUldx) иРазностные

схемы, определяемые уравнениями (44) и

непосредственно обобщаются на большее число измерений. 4 щепне же схемы (17) не элементарно и может привести к н/ чивому методу, если не выполнить его корректно. Если п добавить члены, аппроксимирующие производные по 翌 направлениям, как в уразненш! (17), то получится неустой1 схема. Однако если применять технику «расщепления», то( будет устойчива, т. е. для двумерных ураввеняй мы вычю перенос в одном направлении, а затем, используя резул! предыдущего цикла, вычисляем перенос в другом направл Подробности будут описаны пшке, в и. 2.

в. Примснишя

Уравнение (9) является гиперболической системой в коне тивной форме, и его удобно решать двухшаговым методом Лш Вендроффа для двух измерений. Пусть g —込z, * =卜国班 =nM. Единичной ячейкой консчпо-разностной сетки считать ячейку со сторонами 2酸,2Аи н 2Af・ Промедаут величины будем вычислят)- но 00PMузам

£淋 ^^ (/?+1, А -Г /?-1, k — f^h^l -Ь/^А-1)—

—^^(G?+3 lG£”,点 一^; (Я?,й+1—Я£л-1)»

затем окончательные ааачения вычислим мз соотношений

f?^ = ^~(G^h-^^^

Элентрическое поле можно получить непосредственным рированием уравнения (3)- Для определенных граничных у необходимо решить уразнение

j^c £ = ——dg/dr и р есть правая часть уравнения (3). Аппрокси- /ация уравнения (22) имеет внд

■ь£ — 2ф7 + <P?-f (А%)2 р?-

Написанные выше разиостпые уравнения использовались в иро- граэдме Дяс-^ Кларка, предназначенной для изучения проблем страни^епнов плазмы. Математической моделью плазмы служили уравпеиля (1)—(3) с соответствующпми граничными условиями, результаты будут опубликованы как часть его диссертации- Программа продемонстрировала превосходные копсервативпые свойства в такнх задачах.

Другая одномерная модель реализована в программе RESIST [2, 31, которая предназначалась для изучения эффекта сопротивления захваченного электрониога сдоя в экспериментах на установке «Астрон». В качестве математической модели плазмы ис- лидп>зовалось уравнение Власова для функции раенределения электронов в фазовом пространстве (z,匕』・ Вычислялись также самоссгласоваипые электрическое и магнитное осля, которые «а- тем подставлялись в уравнение Власова. Для решения уравне- имн Власова применялась обобщенная па двумерный случай разностная схема «вниз по течению — вверх по течению», представ- жнцая формулой (14).

Еще одна одномерная модель реализована • в программе MNTLAYER. Это упрощеннкгй вариант программы LAYER [4]. Программа MINILAYER рассчитана па penieime уравнения Власова д^я функции распределения электронов в фазовом пространстве 伉匕)п то время как ирграмма LAYER предназначена да я четьтрехмерпого фазового пространства. При этом использовалась схема второго порядка точности типа уравнении (17), обобщенная на случай двух измерений с применением техники рас- щелления. Мы обсудим программу LAYER в следующем пункте. 一 Кеялогом 15] при изучепмн двухпотоковой неустойчивости билн решены уравнения (1)—(3) с применением разностной схемы «с перешагиванием».

Двумерная модель

а. Ведение

Существуют программы для решения двумерного уравнения вдасова, т. е- в четырехмерпом фазовом пространстве. Рассмотрим Уравнение

(23)(24》(23)(24》系十"某+ "奇十厶募+ a祭Ё。

(23)

(24》

(23)

(24》

口"я каждого сорта частиц и уравнение Пуассона 329丄з2中

Можно также написать J где

，笈一备斗"/+"喘+厶急+小备• ';

Уравнения характеристик имеют вид 扌 嘗=“，署=”，*一%,黑П年 彳

Обобщение модели листов на случай двух измерений о® называют моделью «стержней*. В нелоторых таких протру в выражение для сил включается не зависящее от оремешг4 нитаое иоле. Важной особенностью этих программ является | рык метод решения уравнения Пуассона. :

Уравнение (23) можно решать также конечио-разностныМя томами. Двухтаговый метод типа уравнений (20) и (21) м： обобщить ла четыре :измерение. Такая четырехмеркая " возникает при вычислении самосогласованного магнитного : установки «Астроп», которая была решена конечно-разпосг^ методами [4]・ ,-

В экспериментах по управляемому синтезу на установке < рок» (Ливермор) релятивистские электроны инжектируются I линдрмческую область с внешним магнитным нолем. В рез^ те формируется Я-слой (цилиндрический слой электронов)^ ственное поле которого превшпает пиешпее поле. Результиру#( конфигурация иредполагается аксиально-симметричной без мутальнои компоненты магнитного ноля. ；

Математачнясой модолыо, описывающей формирование《 тронного слоя и собственного поля, служит уравнение Влу которое иитегрируется по времени совместно с уравнениями V липла. При этом компоненты поля Вг и 方力 могут быть зап 工 с помощью функции потока 屮(г, z, 0. Каионнчесжий угловой мент ре является интегралом движения, и мы предполагаевй все алектроЕы инжектируются с фиксированным зпачшше« Тагам образом, необходимо рассматривать функцию распр& ния электронов /, определенную в четырехмерпом фазовом | странстве ",名,р『,pj・ В настоящем обсуждении мы считаем система электрически нейтральна в каждой точке. Распреде^ монов явно не вычисляется, но предполагается, что их лрисувс нейтрализует заряд слоя. :

В настоящее нрем/ М- Бретнлаайдер разрабатывает носы竜 £ ант программы, в котором снимается предположение о нейт^ 1юсти. В этом варианте эдектрмческий потенциал 屮(г, z, £) ”

вычисляется копечно-разностными методами.

Математическая модель фо(л01Poeания слоя

В обсуждаемой модели существуют случайные радиальные ^ аксиальные токи, но они малы по сравнению с азимутальным ^окоМ- В настоящем обсуждении мы пренебрегаем также радиальной и азимутальной компонентами магнитного векторного иотеици- ала. Введение 幺=(г,名,％) в модель предусматривается в новом варианте программы LAYER.

Будем описывать магнитное поле одной компонентой Л е (г. z, £) векторного потенциала. Уравпеии© для Ае имеет вид

金 4^ 一 -S1 -/[；《(收)]=4%(27)

л мы имеем

耳=一芻，В,=4 A (Me),马=-!^・(28)

Канонический утловой момепт можно записать в виде

p& = m^Ve+-^rAet

где т = (1 ——%) "・ Удобно ввести функцию

@=子皿，(29)

так зто

2 余-忘"е，(3。)

血 там как мы предполагаем, что вс© электроны имеют фиксированный момент ре. то можно использовать 巾 вместо Де для описания помя. Из соотношении (27), (28) и (30) следует

1 。绯 搜牛 х 0「4 叫1 4we

0 mW 1纱“淄10屮&

Введем безразмерную скорость и при помощи соотпошения g、.(33)

『ог^а выражение для у приобретает вид

Y = (1 +靖十婿+城产,

“，используя уравнение (29) в форме Q)= ше9 мы получаем

Y = (l；疋+砖十吟)场.(34)

Пусть / (г, z, 〃т, и*, 0 — функция распределения злектрс в фазовом пространстве, так что / (г, z, 〃九 u2,。dr dz de/r duz < число электронов в элементе dr cfe dur duz в точке (г.纟,%, в момент времени £・ Функция / имеет размервость числа элок нов на квадратный сшзтиметр- Уразнение для функции / ммеот

О/ t df dr 瓦■下石石寸О/ t df dr 瓦■下石石寸df dz ! df du,df dz ! df du,庆虑8吃必庆虑8吃必丁 .力 du£ g丁 .力 du£ gгде S — мощность источпика электронов, пнжектиру€*мых в 杀где S — мощность источпика электронов, пнжектиру€*мых в 杀вое пространство- Иа drвое пространство- Иа drсоотношениясоотношения7L7L沙沙ии(33) следует, чтоdz с石亠”(33) следует, чтоdz с石亠”

О/ t df dr 瓦■下石石寸

О/ t df dr 瓦■下石石寸

df dz ! df du,

df dz ! df du,

庆虑8吃必

庆虑8吃必

丁 .力 du£ g

丁 .力 du£ g

где S — мощность источпика электронов, пнжектиру€*мых в 杀

где S — мощность источпика электронов, пнжектиру€*мых в 杀

вое пространство- Иа dr

вое пространство- Иа dr

соотношения

соотношения

7L

7L

沙

沙

и

и

(33) следует, чтоdz с石亠”

(33) следует, чтоdz с石亠”

Мы определяем ditrldt иМы определяем ditrldt иdujdt с помощью релятивисте

Мы определяем ditrldt и

Мы определяем ditrldt и

уравнений движения электронов. Радиа?гьное и аксиальпое у нения имеют ввд

m。(3 T 附 一 YГ伊)一 yr°人"m0(yz- 72) 4 — y г8Вг.

Из уравненн竟(33) мы имеем

•• С • с・С • С •

г = ^и^^^Г,2 =歹以一戸 Y"i

и, учитывая соотнотепия (29) и (32), получаем

烈=一£dt — Y 刁「\2г^ Г Уравнение для / можно телерь 募w第*4T儀)烈=一£dt — Y 刁「\2г^ Г Уравнение для / можно телерь 募w第*4T儀)С 0С 0祖——"7 77祖——"7 77(#)•(#)•записать в виде包±/空Д旦=S?。〃/ d% I 2r2 / duz c 'записать в виде包±/空Д旦=S?。〃/ d% I 2r2 / duz c '

烈=一£

dt — Y 刁「\2г^ Г Уравнение для / можно телерь 募w第*4T儀)

烈=一£

dt — Y 刁「\2г^ Г Уравнение для / можно телерь 募w第*4T儀)

С 0

С 0

祖——"7 77

祖——"7 77

(#)•

(#)•

записать в виде

包±/空Д旦=S?

。〃/ d% I 2r2 / duz c '

записать в виде

包±/空Д旦=S?

。〃/ d% I 2r2 / duz c '

Плотность азимутального тока jo дается формулой

7е7еУчитывая соотношениеУчитывая соотношение哼白J J脸加加，

7е

7е

Учитывая соотношение

Учитывая соотношение

(29). ее можно записать так:

,^—^^md^du^

При этом уравнение (31) приобретает вид

《寫一璽-《吕罢］=f，甲『W，％，

где % =戌/机祁约 Уравнения (34), (37) и (39) образуют самое。】 данную систему уравнений, которая описывает формиров £-слоя.

Безразмерные уравнения, граничные утловми

При выполнении такого рода расчетов естествеиио ввести подходящую систему безразмерных переменных. Вместо функции 牛, определяемой равевством (30), введем переменную pi, которую определим следующим образом:卩=屮/(pe/sc)・ Для оценки ре рассмотрим равновесную орбиту в вакуумном поле. Будем считать, что в среднем плоскости z = 0 влияй не гршшчного пробочного поля пренебрежимо мало, т. е. поле в вакууме при z = 0 определяется соотпошенисм 幺© (г, 0) = х，2 刀о『,где В。一 константа, завися14aH от энергии инжекции, редауса и угла наклона. Для равновесных орбит ирв z = 0 из ра.1ц<ального уравнения движения мы имеем

т^го©2 — —~*го° 瓦，

где г。— радиус равиовесной орбиты при z = 0. Следовательно,楠=一千方。4+44马寸=一々g凤唸

и ми иолучаем

Введем следующие безразмерные переменные：

С учетом этих обозначений из соотпошений (30), (32) и (40) имеем

/ = ' |-2Ra0J 厶г =-菱誇、％н白靄，

Удобно положить р = Jie + Мэ где рг характеризует поле в вакууме, которое создается внешними катушками, а 卩一вклад электронного слоят. Функция рс удовлетворяе-f уравнению

产к敷Cа ■ / 1即叫

вместо электроииий функции распределения введем безразмерную величину р：

Р = М>/・(41)

Введем еще иараметр С\:

g=-第二-(2,93 •心 4)痴。

и определим функцию Р (足 Z, т):

p="：嗚，

Это потенциал движения электронов, и уравнения движения вых переменных ирипимают вид

дРдр

Полную систему уравнений можно записать теперь в безразм< форме. Уравнение (39) принимасуг вид

-一鶴-R力信器)一凱評"

Уравнение (37) принимает вид

Op .丹 Op而十十丽Op .丹 Op而十十丽/0P/0Pрr印 Р*即рr印 Р*即у 8〃г у 0〃zу 8〃г у 0〃z=6=6

Op .丹 Op

而十十丽

Op .丹 Op

而十十丽

/0P

/0P

рr印 Р*即

рr印 Р*即

у 8〃г у 0〃z

у 8〃г у 0〃z

=6

=6

где

о-З言 r(2,82・10T3)wJ,Pl券= e：白西一靑回，昨"[5寸，

br = brcbr = brcbz = bzc4bz = bzc4fl 祖2R~dZ，1 %fl 祖2R~dZ，1 %2五 8R '2五 8R '

br = brc

br = brc

bz = bzc4

bz = bzc4

fl 祖

2R~dZ，

1 %

fl 祖

2R~dZ，

1 %

2五 8R '

2五 8R '

т=а+博+禮+2р)%・

Мы хотим решить задачу с начальными условиями, спред мую уравнениями (4狗 л (44) с учетом обозначений (45)— При 力=0 мы имеем

р = рс：=1 + 2Ra0c-

Следовательно, начальвор условие для уравнения (43) имее1

n(忆 Z 0) = 0.

—Z・ W,—Z・ W,У равнение решается в области

—Z・ W,

—Z・ W,

0《К《7?макс,

где 尸=〃％ и Кхакс выбирается достаточно большим, ■ влияние электроппого слоя было пренебрежимо малым. Гр< ные условия ставятся для проводящих стенок и имеют вид

Р (Нмамс, Z, т) = 0, N (R,—尸，Т) = О, N (К, 1・，Т) = 0.

JJачальным условием для уравнения (44) служит равенство

р (R, Z, — uZ9 0) = 0.

Уравнение решается в области

均《R《丑2, -^<z<i%

—(^г)макс《〃r《(иг)макс»— (%)мане《“z《(〃2)макс,

где Л1 и Д2 — радиусы внутренней и внешней материальных стенок цилиндрической области, в которой формируется электронный слой. Область скоростей, т. е・(Пг)макс и (^мако берется достаточно большой, чтобы умещалось все, кроме больших скоростей в《хвосте» функции распределения, который мал, так как электроны со слишком большими скоростями будут покидать систему.

Граничные условия для уразпения (44) в пространстве скоростей имеют вид

р = 0 при ^>(иг)макс, Wz< —(Кг)макс,〃г > (〃г)манс и 〃” V — (〃т)макс・

В геометрическом пространстве используются следующие условия:

При z = I* для 以 V 0 полагаем р = 0 при всех А, за исклю- шепнем точки ишкекции; для 以 > 0 мы должны вычислить р, а также поток частиц, теряемых при Z = Z*.

При Z = ——Z* для % > 0 полагаем р = 0 при всех R; для 出 V 0 мы должны вычислить р и иоток частиц, теряемых при Z = — 4*.

При В = В2 для и? V 0 полагаем р = 0 при всех Z; для а, > 0 мы должны вычислить р и поток частиц, теряемых при Н н К»

Пр口 R = В1 для %■ > 0 полагаем р = 0 для всех Z; для "г V 0 мы должны вычислить р и иоток частиц, теряемых при

г- Конечно-разностные методы

Разделим фазовое пространство конечно-разностиой сеткой 户знаад % q imA, К, = jh,业狐=kh*. (иг)г = 1抹,где Z, j,论〉 厶 m — целые числа. Мы имеем

— /<i</, 0</W4 —К《к£К,—匕<2〈厶 以8

'm 论=» I，Jh= "макс, К九.—(^х)мкас> 七九.=(^г)макс*

Усть тп = иДт н n = 0, 4, 2, 3, ••・,введем также обозпачсыия

吠尸 Ц(^ Zh тЛ) и р£ 工 м = р (々，Z” 〃门，и*, %)・

Простейшим методом решения уравнения (43) является i разпостпая схема. По соображениям устойчивости удобно ис ковать половмиу тага по времени для этого уравнении.Мы HYCCUПростейшим методом решения уравнения (43) является i разпостпая схема. По соображениям устойчивости удобно ис ковать половмиу тага по времени для этого уравнении.Мы HYCCU这左方一戒,士或亡.J^j一?：?+畔* +了3+这左方一戒,士或亡.J^j一?：?+畔* +了3+（A可2产（A可2产+紀玲声一^^可戚学 —2唬/千四j 曙指-峙我+卩喷+若寸+ f~一 +T吗雪一吟:+紀玲声一^^可戚学 —2唬/千四j 曙指-峙我+卩喷+若寸+ f~一 +T吗雪一吟:гдегде或尸-2%(城)2 2 2或尸-2%(城)2 2 2pt J,几 Ipt J,几 I

Простейшим методом решения уравнения (43) является i разпостпая схема. По соображениям устойчивости удобно ис ковать половмиу тага по времени для этого уравнении.

Мы HYCCU

Простейшим методом решения уравнения (43) является i разпостпая схема. По соображениям устойчивости удобно ис ковать половмиу тага по времени для этого уравнении.

Мы HYCCU

这左方一戒,士或亡.J^j一?：?+畔* +了3+

这左方一戒,士或亡.J^j一?：?+畔* +了3+

（A可2产

（A可2产

+紀玲声一^^可

戚学 —2唬/千四j 曙指-峙我+卩喷+若寸+ f~一 +T吗雪一吟:

+紀玲声一^^可

戚学 —2唬/千四j 曙指-峙我+卩喷+若寸+ f~一 +T吗雪一吟:

где

где

或尸-2%(城)2 2 2

或尸-2%(城)2 2 2

pt J,几 I

pt J,几 I

皆儿…Н十仲»十(抬产+G (№ (位捫"

Выражение для 区；"° содержит аналогичную сумму 口勺 к множитель м^1" вместо 趴弋 ‘•

В другом варианте программы цлн ременнн уравнеэт исгользовался неявный метод переменных направлений Этот метод требует много времени для вычшлепмй, но m преимущество, что его молено исиользовать прм решении з ннй поля» не содержащих промзводпой но времени. По/^рс гримснеиия методя переменных паиравлешгй к обсуж проблеме изложены в работе К ил л мн а и Ромпель 141-

В хонде полного тага по времени магнитное поле выч» во всех узлак облясти (г,司.Из равенств (48) и (49) следа (6&： / =-> (Ьгг)/. j — (4/mft2)"1" 1Я —成-1.",

—…仇)з十(4*尸[成中一成i].

Выражения brc и bzc для моля в вакууме считаются ие ми н будут обсуждаться лонже. Зншюанние выше ковш поля br ri bz используются при рапонмм уравпения (44) этого, опи выводятся на печать м графопостроитель, венств (46) и (47) следует

(Л)?. J=с： (2(АГЙ “&)£ 厂(,尸研瘠,(p*):：$= 一仁12(北尸固/戍丸

где成？=（口），j +威力

J3 повой программе конечио-разностным методом вычисляются iaKR、e электрический потенциал 守(г, z, 2) и аксиальная компо- ]]С1【та векторного псиенциала /z (j z，°. В явной записи разносг- [亦:с уравнения для этих величии сходны с уравнениями (51). Существует вариант программы, в котором решаются три урав~ лнтия для нолей методом переменных направлений.

Рассмотрим теперь копеннс-разностпые мегоды рошелия урав・ иепия (44)，Оно являечся уравнением с частными производными гиперболического типа, и, с:<сдоватсльпо, подходящими будут методы, обсуждавшиеся в п. 1, б. Схема «вниз по течению — вверк по течению», определспиая формулой (14)- может быгъ обобщена на с?гучай четырех измерении, и условия устоичи- роси принимают вид

爆H，I需人儲h，制口. <58)

Н первом варианте програмаш LAYER использовал ас ь эта схема м явная аппроксимацпи для уравнения (43). К солсалению. тдкая схема вызывает искусственную диффузию, которая через коротко© время портит результат.

卩ассмотрмм центрированнук» по пространству м времени трех- глс|йиую аппроксимацию типа «с перешагмз янием», определяемую Мрмуло血(15). Обобщение* на нисколько измерений выполняется неих'редствеппо и приводит к условиям устойчввости схеми вида (58). Такая схема использовалась во втором варианте про- град1мы LAYER- Внчмслсния, вьшолнонш!© этим методом, дали цополвио хорошие результаты, оддако на грубой сетке, примеяяв-

Шепс г при йычисяенппШепс г при йычисяенппрстпепии зада«ш, опи были недостаточно точны для на большом промежутке времени. Кроме того, метод

Шепс г при йычисяенпп

Шепс г при йычисяенпп

оказался невыгодным из-за трехслойпости формул, и когда шаг н° времени приходилось уменьшать по соображениям устойчивости, иозиикало много затруднений.

В третьем варианте программы LAYER использовалась трех- 】wemaf? аппроксимация переносного члена, аналогичная форму- "Q (17). Схема имеет второй порядок точности и обладает тем nP»TiMyniecTBOMt что является двухслойной. Обобщение на пе- с*зш;о измерений нетривиально и может привести к неустойчивому методу, если не выполнить его корректно 161. Апироксимацию )•心上я одномерного уравнелия можно записать в матричной ®<фме: p^i = (/ + 幺)рп Е<ли мы рассмотрим 口вунерпос урав- :и возьмем аппроксим ацию вида pn+I = (1 十 N + 为 Рп» то бучится ^устойчивая схема. Однако если использовать опера- °рноо уравнение у" — (/ 4- Л) (/ + В)рТ то сюма будет 沪o®iro玩 Такая схема и была реализована в третьем варианте Рограммм LAYER- Разностные уравпеммя можно представить ：Z125c

в виде

p'田^(/ + A)(I + B) (/+Q(7-hО)р”・

Вычислительный процесс, выполняеиый на каждом шаге п< ысн% делится на четыре этапа. На первом этапе вычисл перенос в направлсинп Z, на втором — в направлении Е пользовапием результатов первого этапа, затем — в нал*1 иии % с использованием результатов второго этапа и, uar< в направлеипи 〃『с использовал нем результатов третьего w 7^ля уравпения (44) соответствующие разностные урав! даются формулами (5Яа) — (59г); при этом дробная запись Bpi используется для удобства обозначения этапов и не предста дробных временных шагов: .

P*幻=Pi. M 〒 }。2, M ' 一

-(-(弱*Az弱*Az2mMm,l2mMm,l)(Рньл 九 t —P：-i, j,丸【)+)(Рньл 九 t —P：-i, j,丸【)+НУНУ4/ -ар,丸17P力・％) ‘I■%立-pN”箝勾/：九%[I福h,九A,1十嘿3M 此大九/十噁*1,箱Е：4/ -ар,丸17P力・％) ‘I■%立-pN”箝勾/：九%[I福h,九A,1十嘿3M 此大九/十噁*1,箱Е：

-(

-(

弱*Az

弱*Az

2mMm,l

2mMm,l

)(Рньл 九 t —P：-i, j,丸【)+

)(Рньл 九 t —P：-i, j,丸【)+

НУ

НУ

4/ -ар,丸17P力・％) ‘I■%立-pN”箝勾

/：九%[I福h,九A,1十嘿3M 此大九/十噁*1,箱Е：

4/ -ар,丸17P力・％) ‘I■%立-pN”箝勾

/：九%[I福h,九A,1十嘿3M 此大九/十噁*1,箱Е：

pW片,I = P#*, i + ^GK3.九心T— (•：*•£“•； ) x

x (pRl, A. LP#1 .儿 1)斗(^^) F '二 X

к / pC^1・——哨:A. ? ■£战 lp喫 1," }

' 胃,*i. >i, i+胃：к 儿。j,瓦 I+、£ з—，，a, t' 「Е當/=p方%j+；S.).机/子

+ (蠡為)(P1X給.，一 P吠G.，) +

十十党亢li I它Л宀,什曙Л瓦/党亢li I它Л宀,什曙Л瓦/

十

十

党亢li I它Л宀,什曙Л瓦/

党亢li I它Л宀,什曙Л瓦/

р丹我L碼粪f白 式入儿产宣工1.〃'

Р汽М Е Р工战I +} В・厶乩& + (斯G ：乙)*

X (p转% 屮一рй*, it) +

+S4b(+S4b(р3：华中-Р法亀/

+S4b(

+S4b(

咬九耳1+1十豈"比/

_」：~—Р仃黎

丽（制）

Условия устойчивости для этого Koue*mo-разностного метода ука- зани в соотношениях (58).

T；ik как конечно-разяостпан сетка четтлрехмерпого @азо- 30ro пространства ссстомт из очень большого числа узловt то для 1、аК久0ro момента времени только часть информации можно по- месхтаь в оперативной памяти; остальная часть размещается на магиитных дисках. В оперативной памяти находятся все значения рн* для четырех полос по 厶 т. е. при фиксированном зпаче НИИ • В4＞，1Т1ИНН 標儿厶，，р£九九厶 Р?-1,5. h, ь 貿一1.5.Z，f?弋 1,九瓦 I 0 т. д. при всех /, А, I использ^аотся для вычисления р；亡 *, при всех А к, I. Велнчипы р：古招при всех j, Л, I вычисляются и ио- мсчцант函 на место pj〕，九七厶 которые в дальнейшем не нужны; затне кычисляются「：±菖 и помещаются па место pе必пако- псц, Ы.1ЧИСЛЯЮТСЯ pR 扌&」и помещаются па место p"請.До перехода к следующему значению Z вычисляются вклады в раз- личиые интегралы, такие, как 7, п проводится контроль ковсер- ватшшогм- Когда циклы вычисления р закончены д.пя всех значений г, можно решить уравпение для р, завершая самосогласоваи- ное решсшге на шаге ло времени.

Рассмотрим рсалмвацию граничных условий для уравнения, которому удовлетворяет функция р, и вопрос о сохранении числа уастиц. Частицы могут теряться на физических границах Z = /*, Z± — I*, R = Ri и Я = й2- В холе ьычислепий они могут теряться также м на границах области скоростей.

При / =■ / (Z — 4- /♦) для 无》0 вместо формул (59а) мы используем

P銹乜】=p£ 力 M —(謂f ) (P* 办,L P?T,九 L I),(60)

h июрм используем формулы (596) — (59г) для вычисления р^ W /• к》О- В этих формулах мм полагаем S.j.r,i = ° Для 々＞0・ Грн г = / для А ＜ 0 инжектируются частицы. В этом случае *^°Г*»иа (59а) принимает вид

Р^・3 = р£Р^・3 = р£九瓦，［ ; ；°7・入a，2AY+ （九瓦，［ ; ；°7・入a，2AY+ （2m人啞j丸人丸I2m人啞j丸人丸I++

Р^・3 = р£

Р^・3 = р£

九瓦，［ ; ；°7・入a，2AY+ （

九瓦，［ ; ；°7・入a，2AY+ （

2m人啞j丸人丸I

2m人啞j丸人丸I

+

+

阿阿

阿

阿

十(2^V_J_/二£1… P?・g-Pj.…

1迅' y外.j2喘j.M 一石:m十崂一/小

Дальше для вычисления р£К/ при А V 0 использулотся мулы (596)—(59г)・ Необходимо также вычислить поток тори частиц при Z ь I叫 Для 丘>0 зоачеиия 卩陛必 включс В суммуДальше для вычисления р£К/ при А V 0 использулотся мулы (596)—(59г)・ Необходимо также вычислить поток тори частиц при Z ь I叫 Для 丘>0 зоачеиия 卩陛必 включс В сумму此双=7产%а<此双=7产%а<all К £ J.X 2 5祭wi=l h—1 l=—Lk‘all К £ J.X 2 5祭wi=l h—1 l=—Lk‘При 纟—~^ (ZПри 纟—~^ (Z—I *) для 丘 & о вместо (59а) мн ист—I *) для 丘 & о вместо (59а) мн истp2昭上瓦尸吃.J，%L（Gp2昭上瓦尸吃.J，%L（G齡/Л' g'g)齡/Л' g'g)и затем для вычисления р巴£% 丸 < при 加 < 0 используем ф мн (596)—(59г). Так как с этой сторопы при А:>0 части ивжектируготе я. мы ставим уровне рН1 丸 । = 0- При X =' для А: < 0 вичпедясм сумму田-К Е J m .м^^/^т 2』2 』1W^4^・m_l h=-1 (=-Ь —I T 九儿'Внутренней границе近 по радиусу для уравп^нпя (44), А - мы считаем значение Bf =- /即值刀 п другой границей — зна Az = J^ при/ 7 Jp И /-< о МЫ ставим условие 此%儿 t = всех /, А, п. При 2》0 и j = /「значения р вычисляются, этого сначала по формулам (59а) вычисляются р?£“ ь Ви затем для вычисления р巴£% 丸 < при 加 < 0 используем ф мн (596)—(59г). Так как с этой сторопы при А:>0 части ивжектируготе я. мы ставим уровне рН1 丸 । = 0- При X =' для А: < 0 вичпедясм сумму田-К Е J m .м^^/^т 2』2 』1W^4^・m_l h=-1 (=-Ь —I T 九儿'Внутренней границе近 по радиусу для уравп^нпя (44), А - мы считаем значение Bf =- /即值刀 п другой границей — зна Az = J^ при/ 7 Jp И /-< о МЫ ставим условие 此%儿 t = всех /, А, п. При 2》0 и j = /「значения р вычисляются, этого сначала по формулам (59а) вычисляются р?£“ ь В(59б) мы используем(59б) мы используемPi,Jp，儿Pi,Jp，儿ХМТ否）（吟l岗2ХМТ否）（吟l岗2Затем звачения p?, jp, h,i (Z N。)Затем звачения p?, jp, h,i (Z N。)вычисляются п。формуламвычисляются п。формуламб (59г). В сумиые при 丑=б (59г). В сумиые при 丑=му теряемы^ частиц 二 Az,му теряемы^ частиц 二 Az,добавляются частицы, п>добавляются частицы, п>n3с Кn3с К0片匸人*3 (砌ате3 2 3 w.=1 k^Kl^^I0片匸人*3 (砌ате3 2 3 w.=1 k^Kl^^I、Pi % % I"階%•% I、Pi % % I"階%•% I

Дальше для вычисления р£К/ при А V 0 использулотся мулы (596)—(59г)・ Необходимо также вычислить поток тори частиц при Z ь I叫 Для 丘>0 зоачеиия 卩陛必 включс В сумму

Дальше для вычисления р£К/ при А V 0 использулотся мулы (596)—(59г)・ Необходимо также вычислить поток тори частиц при Z ь I叫 Для 丘>0 зоачеиия 卩陛必 включс В сумму

此双=7产%а<

此双=7产%а<

all К £ J.

X 2 5祭

wi=l h—1 l=—Lk‘

all К £ J.

X 2 5祭

wi=l h—1 l=—Lk‘

При 纟—~^ (Z

При 纟—~^ (Z

—I *) для 丘 & о вместо (59а) мн ист

—I *) для 丘 & о вместо (59а) мн ист

p2昭上瓦尸吃.J，%L（G

p2昭上瓦尸吃.J，%L（G

齡/Л' g'g)

齡/Л' g'g)

и затем для вычисления р巴£% 丸 < при 加 < 0 используем ф мн (596)—(59г). Так как с этой сторопы при А:>0 части ивжектируготе я. мы ставим уровне рН1 丸 । = 0- При X =' для А: < 0 вичпедясм сумму

田-К Е J m .

м^^/^т 2』2 』1W^4^・m_l h=-1 (=-Ь —I T 九儿'

Внутренней границе近 по радиусу для уравп^нпя (44), А - мы считаем значение Bf =- /即值刀 п другой границей — зна Az = J^ при/ 7 Jp И /-< о МЫ ставим условие 此%儿 t = всех /, А, п. При 2》0 и j = /「значения р вычисляются, этого сначала по формулам (59а) вычисляются р?£“ ь В

и затем для вычисления р巴£% 丸 < при 加 < 0 используем ф мн (596)—(59г). Так как с этой сторопы при А:>0 части ивжектируготе я. мы ставим уровне рН1 丸 । = 0- При X =' для А: < 0 вичпедясм сумму

田-К Е J m .

м^^/^т 2』2 』1W^4^・m_l h=-1 (=-Ь —I T 九儿'

Внутренней границе近 по радиусу для уравп^нпя (44), А - мы считаем значение Bf =- /即值刀 п другой границей — зна Az = J^ при/ 7 Jp И /-< о МЫ ставим условие 此%儿 t = всех /, А, п. При 2》0 и j = /「значения р вычисляются, этого сначала по формулам (59а) вычисляются р?£“ ь В

(59б) мы используем

(59б) мы используем

Pi,Jp，儿

Pi,Jp，儿

ХМТ否）（吟l岗2

ХМТ否）（吟l岗2

Затем звачения p?, jp, h,i (Z N。)

Затем звачения p?, jp, h,i (Z N。)

вычисляются п。формулам

вычисляются п。формулам

б (59г). В сумиые при 丑=

б (59г). В сумиые при 丑=

му теряемы^ частиц 二 Az,

му теряемы^ частиц 二 Az,

добавляются частицы, п>

добавляются частицы, п>

n3с К

n3с К

0片匸人*3 (砌ате3 2 3 w.=1 k^Kl^^I

0片匸人*3 (砌ате3 2 3 w.=1 k^Kl^^I

、Pi % % I

"階%•% I

、Pi % % I

"階%•% I

(mA — AZ н 川一индекс сумдшрования).

При J = /мин и Z>01 мы став喇 условие р^痴用丸i всех 厶无,m Для 2《0 сначала вычисляются р?之需，\i по лам (59а). Вместо (596) ми используем

Р税小LP啕:宀-(/侬梵臼»-Р耽:

- МИН» М

Затем вычисляем р^ 訐 11H.M。＜ °), используя формулы (59в) Н(59г). В сумму тepяc^шx частиц добавляются яастицы, потерян- 1nде при К =国

=士 £ мы=士 £ мып +1 к т I 网号 A £ 闻产叫叫а, е 2 2工0号系，(68)

=士 £ мы

=士 £ мы

Вдоль границ в пространстве скоростей к -=. ± К ц I вычисляем р по обычным формулам (59а)—胸т). При этом мы

ставим условие

Р^ 九 к+1,1- Р£ N -к-i, а =。

для иссх 厶 j, I, % когда исполг^ются формулы (59в), н

Р£ 人 ％ —1 = Р? /•兑一Е-1 R °

для всех г, /, Z, п, когда используются формулы (59г), Чтобы танан процедура была оправданной, необходимо взять О* и £Л* дисгаточно большими-

Кроме сумм М и Q для потерянных на материальных границах частиц, вычисляются также сумма ивжектировашзых частиц и сумз1а частиц на сетке.

Общее число частиц, инжектировэнных в систему в момепт Е,

лается выряжением Aiz,лается выряжением Aiz,△% Ar Az f S Jt\ где A" Auz Ar & — эле-

лается выряжением Aiz,

лается выряжением Aiz,

мент фазового пространства, используемый: для инжекции. Если мн инжектируем частицы в одну ячейку, то вычисляем безразмерную величин》，

^11雨e=五*2标血£产公".^11雨e=五*2标血£产公".(69)(69)

^11

雨e=五*2标血£产公".

^11

雨e=五*2标血£产公".

(69)

(69)

Полное число частиц в системе в момент времени I =厶+i пропор- Циона.(ьно

(70)(70)suM^^h^m 2 2 s S pOju-0=—JT j=l Л=—К l=—L

(70)

(70)

”РМ сохранении числа частиц должно выполняться равенство .

SUM^ +可外+1+ 0桃1 ^可"匕(71)

；ксгоршс M и Q означают полно。число частиц, потерянных на ，彳芻екмх границах и определенных формулами (62), (64), (66) ^ироделмм энергию электромагнитного поля выражением

2я I гыинс

J d0 J dz J rdr[£2 + ^2l-UTO

278278Разделив это выражение велитаяуРазделив это выражение велитаяуна постоянную 明*4, мы п,на постоянную 明*4, мы п,гдегдеFH）=，FH）=，RdR[務 + 昆+ %hRdR[務 + 昆+ %hКвадратурная формула для этого интеграла имеет ввдQ“i2m 2 £ 〃К标町产+1（瓦毋卜+[&）*¥）• Энергию инжектировавших частиц можно определить выра;Квадратурная формула для этого интеграла имеет ввдQ“i2m 2 £ 〃К标町产+1（瓦毋卜+[&）*¥）• Энергию инжектировавших частиц можно определить выра;m^^^u^z \ YS 或匚m^^^u^z \ YS 或匚Разделив его на ции получимРазделив его на ции получим尊渺,с учетом описанного выше способа尊渺,с учетом описанного выше способа7宀=0丁俨无血S噹尹m&mr7宀=0丁俨无血S噹尹m&mrгде 霭з — значение у для того элемента, в который руются частицы. Энергия частиц в системе равнот^ ] J ] Yfd「dzdurdurгде 霭з — значение у для того элемента, в который руются частицы. Энергия частиц в системе равнот^ ] J ] Yfd「dzdurdurСнова, разделив величинуСнова, разделив величинуее на т^В^ будем вычислять безр；ее на т^В^ будем вычислять безр；庁+1 =党冊秘m庁+1 =党冊秘mXlUmm”XlUmm”Тогда уравнение сохранения энергии,两皿厘屮。。子Тогда уравнение сохранения энергии,两皿厘屮。。子ля, принимает видf"1一f。十肥ля, принимает видf"1一f。十肥Н =”。Н =”。д. Применения*禺=比籌爲咨р贾還母碎зутотся формулы.他=4 H十42八（入R） CDS ?Z,jд. Применения*禺=比籌爲咨р贾還母碎зутотся формулы.他=4 H十42八（入R） CDS ?Z,j

278

278

Разделив это выражение велитаяу

Разделив это выражение велитаяу

на постоянную 明*4, мы п,

на постоянную 明*4, мы п,

где

где

FH）=，

FH）=，

RdR[務 + 昆+ %h

RdR[務 + 昆+ %h

Квадратурная формула для этого интеграла имеет ввд

Q“i2m 2 £ 〃К标町产+1（瓦毋卜+[&）*¥）• Энергию инжектировавших частиц можно определить выра;

Квадратурная формула для этого интеграла имеет ввд

Q“i2m 2 £ 〃К标町产+1（瓦毋卜+[&）*¥）• Энергию инжектировавших частиц можно определить выра;

m^^^u^z \ YS 或匚

m^^^u^z \ YS 或匚

Разделив его на ции получим

Разделив его на ции получим

尊渺,с учетом описанного выше способа

尊渺,с учетом описанного выше способа

7宀=0丁俨无血S噹尹m&mr

7宀=0丁俨无血S噹尹m&mr

где 霭з — значение у для того элемента, в который руются частицы. Энергия частиц в системе равно

т^ ] J ] Yfd「dzdurdur

где 霭з — значение у для того элемента, в который руются частицы. Энергия частиц в системе равно

т^ ] J ] Yfd「dzdurdur

Снова, разделив величину

Снова, разделив величину

ее на т^В^ будем вычислять безр；

ее на т^В^ будем вычислять безр；

庁+1 =党冊秘m

庁+1 =党冊秘m

XlUmm”

XlUmm”

Тогда уравнение сохранения энергии,两皿厘屮。。子

Тогда уравнение сохранения энергии,两皿厘屮。。子

ля, принимает вид

f"1一f。十肥

ля, принимает вид

f"1一f。十肥

Н =”。

Н =”。

д. Применения

*禺=比籌爲咨р贾還母碎зутотся формулы.

他=4 H十42八（入R） CDS ?Z,j

д. Применения

*禺=比籌爲咨р贾還母碎зутотся формулы.

他=4 H十42八（入R） CDS ?Z,j

Гл. 7. Мо^^азмы_б^толхнюв^ии^

》е =九力 2厶(入Е) sg XZ,(766)

% = 24 + ХЛ2/0 (XT?) cos 九Z,(70в)

tqc『q и Л ——модифицировапяые функции Бесселя первого рода I； X,总4,总？ 一 заданные постоянные.

Другой вариант ш<еет вцд

痴产告 + * 4 (AR) e-乳佯 ch XZ,(77a)

brc 〜一a J艮 @R) e4* sb 7^,(776)

bzc = 1T - a J。(AR) e-川* ch TiZ,(77b)

r* Jo и J< — функции Бесчгсля первого рода и 1, сс — заданные постоянные. Преимущество этого сиюсоба ссстоит в том, что если 入 удоилстворяет уравнению

九人④=A 0),

то『г у 0 при 2? = 1 для всех Z. Следовательно, если частицы 1п1жсктпруются при К = 4 с 〃г т 0, но они не будут распространяться вдоль радиуса в начальной стадии формирования элек- гриииого слоя. Конечно, вследствие роста собственного поля Рг не будет потом равно нулю при Я = 1 и слой будет расширяться в раимальпом направлении.

Значение а определяется желаемым углом наклона в средней плоскости. Рассмотрим равновесную орбиту частицы, Я = 1, с компонентами скорости в среднем плоскости z = 0

(R, RQ, Z) = (0, г sin 6, V cos 6);一

ш』а для той орбиты, которая повернет назад при Z = Z\ будет выполняться равенство

2Х (соэесб+1) a=— ~777k)—， Введенную выше постоянную 3“ можно определить следую- 叫四 образом:

及一一书如0

r^e В 口 丫 一 параметры, зависящие or энергии ипжекции. Зван Во и %,期оясно вычислить значение параметра С*. В частности, при 'о х 30 см и В” = 600 Гс получается & = — 5,27.

^ помощью описанной программы было выполнено много вычис- * TuKi Для разлиявых условий инжекции и иссколъких вариантов ^'^^пя внешнего магнитного поля в случае длинпого и ко- fOTKCF。Eynow. В первых вариантах для вычисления внешнего "нетпою поля обычно использовались формулы (77). Часть

результатов вычислений обсуждается в работе Киллина и I пель 14].

В более поздних вариантах внешнее магнитное поле вычи( лось по формулам (76) с заданными, но различными при Z. н Zv° параметрами At и «名.Основанием для такого вы( служит пеобходпмоспэ полупить сильную млгшггную лробку Z = — /* в случае йнжскции со стороиы Z =十 Z*.

На фиг. 1 показаны силовые линии магнитного поля для шеняЯ} при котором суммарное ноле меияст направление.

Ф п г. 1. Силовые линии магнитного моля дли решспня и изменрсаем в вленля поля, полуаеппого с помощью прпграшил LAYER.

В случае фиг. 1 область Z имеет размеры —3 < Z W 3 с пицей длины г。= 30 см. Об.1асть В имеет размеры 0《А К】=0,5 и /?2 = 1,5. Область скоростей имеет размеры —*1 〈L&IO и — 5<«7《5・ Применявшаяся конечно-раз вая сетка имела ячепю! со сторонами ДЯ = % = 0」,AZ = 1 =0,2, Аз =■ △% = Л * = 1,0.・

Источнш; электронов описывается функцией о согласно g ле (45). Инжекция осуществлялась в одной точке фазового странства» а именно в точке Z = 3, Л = 1. 必 = — 1, 〃了 причем на каждом временном шаге вводилось о Ат элеитр Если ток электронов в 1000 А пиякестируегся в объем 小а『 пространства ЛЯ AZ △〃/以=(0」)(0②(30户 см2, то из《q лы (45) получается значение <т — 3,0. Обычная процедура с「 в том, чтобы решать задачу формироиаиня, определяемую нениями (43) и (44), до установления стационарного pei， при котором уравновеишваготси поступление и потери ч • Затем можно удвоить о и продолжать решение до уставе] - нового стационарного состояния и т. д. Результат вычисл изображенный на фиг. lt был получен для о = 12»0. Нсобл । отметить, что захватывающий эффект проводящих шин *• включен в модель. Он учитатвается в новом варианте пр » мы LAYER.'

§ 3- Модели плазмы о ма.лым 也 нс п о л ш i/ao#<{ не дрейфовые уравненмя Свижеигт ведущего центра

].Лпвейиая модель

а- Основные у|Я1шенмн

Мы рассматриваем проблему крупномасштабной устойчивости осрашпенмой неодио^юдной плазмы, в которой отсутпъуют столкновения м з】ал параметр 0. В теоретическом исследовании учм- п»1вцется стабилизирующий эффект, обусловленный конечным размером иоппых орбит, а также некоторые новые особенности, не учиплвавтапеся м предыдущих работах. В частности, изучается вчлянне электрического поля нулевого порядка и эффект неравен- cihh плогносгей иоиов и электронов. Иредполегается, что Бак эласгрическое, так м магнитное поля являкггся произвольными функциями ирострапстаенной координаты г. Учет этых особенное грй представляет собой попытку объяснить энсперимеиталь- вие явления, ыаблюдави1песи в экспериментах на установке «Алиса» с внешней инжекцией нейтральных атомов [71.

Мы запишем уравнения в цилиндрической гсюметрми и используем подход работы 181, в которой учитывалась цплшщрическая <(юрма плазмы л граничные условия на мета-плической стспке. В общем случае певозмолшо полнить аиалитическое решение соотистствующих уравнение, поэтому основные уравнения реша- ютсн числеппо копеч но-разпостпым и методами. А я а л птические реигснмя, которые удалось получить для некоторых предельных с口у，1аев, находятся в согласии с ^пп^енвымп расчетами.

Рассмотрим двумерную двухжидкостную модель. Все возмуще- 'шг величин будем считать функциями цилиндрических координат /• и 屮 и времени t. Невозмущеппые плотности компонент плаэ- Ebi, магпи'гиос поле и электрическое поле нулевого порядка являются функциями только г. Уравпение для возмущенного ^ктростатического потенциала 巾 имеет вид ”

W『一4好辞%"%行f " 6吓 (78)

rue % 口 n一 一 возмущенные плотности ведущих центров нонов н »лс)стронов, е — заряд электрона, с — скорость света и а — "арморовскц義 радпус попов. Уравнение {78) было получено иод- Становкой в уравнение Пуасс-она выражения для плотности попов 也口也

2Л2Лy+af%佯，0工)RdKy+af%佯，0工)RdK厶［4核2_(T?2 + f2一吟2产，厶［4核2_(T?2 + f2一吟2产，

2

Л

2

Л

y+a

f%佯，0工)RdK

y+a

f%佯，0工)RdK

厶［4核2_(T?2 + f2一吟2产，

厶［4核2_(T?2 + f2一吟2产，

которое является точным выражение*! для плотности ча№ писанной через плотность ведущих центров 19]. В отношении' тронов мы полагаем, что плотность частиц совпадает с плот&< всд^тцих центров.

Так как магпитное поле и электрическое поле нулевого ■ ка, Eq, зависят только от г и Ео направлено вдоль радиуса, альные компоненты дрейфовых скоростей нулевого порядка ] нулю. Линеаризовавшие уравнения непрерывности для плсш ведущих центров имеют вид

醬Т (¥+♦▽)叫十("•▽)№+協divv+ = Q

年~HV_・V)机]W・V)AL+N.divv_=O,

где ^+ (力 и ^_(г) — невозмущенные плотности ларморс центров ионов и электронов, V+ и V_ — дрейфовые скорости кого порядка для ионов и электронов, обусловленные град! магнитпого поля и снагаемим Ео X В/В2, м 匕，w_ j возМ пые дрепфоЕьге скорости. Последние имеют вид

-1xВ ■経严/穴―

где

Кr▽也 b =耳(r) 0 子 / (r)例子生(r"0，

"=屍 \-B^+Bl

В формуле (81) учтено выражение

画:一届+牛V2均

для среднего значения вдоль ионной орбиты, которое со, слагаемое второго порядка относительно ларморовского [ монов а. В внраясеннп для возмущенной скорости электр нужно выполвять усреднения, так как ларморовский электронов считается пренебрежимо малым. В вьтражевв и (82) мы пренебрегли также слагаемыми д]юйфовой ск, эзмда (d!dt+ V±・V)E〕仍g, которые для типичных полей в ей с магнитными пробками малы по сравнению с поправочные ламп, возникающими из-за конечных размеров монвых

\【м предполагаем, что возмущенный электростэтическн! ^щал л возмугценнтле плотности иоиов и электронов имеют' ЩУ^ форму：，

W(r,屮，D = W(r,。0m吗 几+ (A屮，*)=冷+ (匚*)〃叫， 几.(г,屮,= n_ (r< ^)炉喚.

Тог式а уравненив (78) принимает вид

1 0屮Г dr1 0屮Г dr话 声”话 声”

1 0屮

Г dr

1 0屮

Г dr

话 声”

话 声”

二-一目：■解:三冲LS小怦)

Магнитное и электрическое поля того типа, который мн рассматриваем, приводят к появлению компонент дрейфовых ско- piK'rcM в направлении £, однако эти компоненты нс вк-иочаются ъ уравнения. Из формулы (81) можно получить выражения для рвшшопенты дрейфовой скорости ионов и со дивергенции:

也Г=一？ 舞［中十当V纣卜叫(85)

div V+ = -~ / (矍)［什分▽/］ 4.(86)

Дрейфовую скорость нулевого порядка для ионов можно записать в виде V+ = и。匕(г), где

匕(力=г^м + %}•(87)

11 родиолагается, что функция распределения энергии ионов имеет вид б-футщми. Частота прецессии из-за градиента магнитного голя равна

Ql《装罂•’(88)

где Т — энергия новов. Электрическая составляющая частоты пре- иессми, вызываемой электрическим полем нулевого порядка, равна

Q——如鳴-Г)j ”+(r')r'dr',(89)

W q+ (r) — невозмущешгая плотность иопов. В формуле (89) и«л1()льзовано предположение, что ионная и электронная плотности ьп!еют одинаковую пространственную зависимость, т. е. э)_ ⑺=

-I*］ (。, где Г — постоянная величина. С учетом соотнопте- 口財宓(85)——(89) уравнение (79) принимает вид

那 + tGn^tH\^+^ V绅］=0,(90)

где

G (г) = ?■+(，) =m (Qm I 口总)，"0一？隆警+入会(釣］•"ри решении уравнения (90) мы подставляем Д2^ из уравнения▽绅=-4лее ^n+一〃-+?▽2?1+］.

дп+дп+Это уравнение поггучается подстановкой в уравнение Пуас^ выражения 叫 + (а2/4)V2^ для пгютности ионов, которое со* лент сл агаемое второго порядка по ларморовскому радиусу повц Уравнение (90) можно теперь переписать в виде

дп+

дп+

卜 £G“ + гЯ [屮—ттеса[( n+ —办—十《v2«+)]-a

Уравнение (91) имеет то преимущество, что оно сходно по g с уравнением диффузии относительно 小①，今 и для его р« иия можно использовать неявную развостиую схему.

Ана^юги'шым образом негрудно убедиться, что уравнение [ примет вид

3n_~дГ3n_~дГн%а 3=0,н%а 3=0,

3n_~дГ

3n_~дГ

н%а 3=0,

н%а 3=0,

где

尸(г) = ?Р-(г)е丹 Q(r)=-子谁第」N$(崇)]

Уравнения (84), (91) и (92) являются основными в нах модели- Они образуют систему уравнений с частными произво ? ми для комплексных функций ®, % и п_. Если положить

9=9=V + iW, % = p 士村，n_ — 6 + iS,

9=

9=

и приравнять действительные н мнимые части уравнений, то чится система действитсльвых уравненийг-}-аи приравнять действительные н мнимые части уравнений, то чится система действитсльвых уравненийг-}-а尹Г尹Г1 dV m21 dV m2勿】勿】г дгг дг卢卢V =- —4лесV =- —4леср(Я, £)以 dKр(Я, £)以 dK[弓! J4K3_传2 +产—吟2][弓! J4K3_传2 +产—吟2]…亿…亿毋评毋评1 &W1 &Wm2m2小 中2小 中2w-w-

и приравнять действительные н мнимые части уравнений, то чится система действитсльвых уравнений

г-}-а

и приравнять действительные н мнимые части уравнений, то чится система действитсльвых уравнений

г-}-а

尹Г

尹Г

1 dV m2

1 dV m2

勿】

勿】

г дг

г дг

卢

卢

V =- —4лес

V =- —4лес

р(Я, £)以 dK

р(Я, £)以 dK

[弓! J4K3_传2 +产—吟2]

[弓! J4K3_传2 +产—吟2]

…亿

…亿

毋评

毋评

1 &W

1 &W

m2

m2

小 中2

小 中2

w-

w-

г 4-а

一妊心办2唸*，f“].

需П向 士 HW ——бесв^н [y 一5需П向 士 HW ——бесв^н [y 一5J£J£_—еp —ду、1冗8加卜一8 +牛(需1 票 JP5+QW, ^ = —P6 — QV._—еp —ду、1冗8加卜一8 +牛(需1 票 JP5+QW, ^ = —P6 — QV.1 8y m21 6р №1 8y m21 6р №р)].р)].

需П向 士 HW ——бесв^н [y 一5

需П向 士 HW ——бесв^н [y 一5

J£

J£

_—еp —ду、1冗8加卜一8 +牛(需1 票 JP5+QW, ^ = —P6 — QV.

_—еp —ду、1冗8加卜一8 +牛(需1 票 JP5+QW, ^ = —P6 — QV.

1 8y m2

1 6р №

1 8y m2

1 6р №

р)].

р)].

Л1ы хотим найти решения уравнении (94)—(99), удовлетворяю- щле следлгющпм начальным условиям: при 2 = 0 дейсгъптельпъге части возмущений плотности электронов и ионов имеют виц р ⑺= е(г) = ^=^ для rv「o, Р；(г) = 8 (Г) = О для г > г0,

где Го — З^нс ——а 双 後——ларморовский радиус ионов. Гранич- яые условия при 丁 = 0：

dv — d\v dp ay ее ©6 °dr dr dr — dr — dr — dr '

Грантдые условия ири г =』広沒

Р = 1Г = р= у= 0=6=0.

6・ Разностные методы

Итак, мы будем решать задачу с начальными условиями для уравнений (94)—(99) в области

О < г <「макс, £ ? 0.

Рассмотрим в этой области конечно-разностную сетку вида

口 = 1М / — 0, 1, 2, 3,…，J, где 口 =仆厶к。= J^r ntn ^ mA厶勿=U, 2, 2? 3,….Мы используем обычпые обозначения, т. е.

呼=p(5%)И T• Д"

и следующие разностные аппроксимации:

,加、「3-喙］ f ■ г%1—2叩 + 可T

I 办 J j — 2Ar ，I —(Дг)2'

〃J订 уравнений (94) и (95) можно записать разностную аппрокемма- 耳且io вида

-硕芻+W+1- сЛ绸=d产(too)

一与吵出+b］W『-CjW貶-可凡(101)

тде

一与广西另十砌7,力西5—耳，与=逐乎_可芯，

T-f-r

歹」仁u码举』而『-耽］，

歹i、(l福"』广57

7一 a

А = 4лес, а — ионный ларморовский радиус. Интегралы в фе пах находятся численно в точках。с использованием значений нуЗ〉* / = 0, 1, 2, •・.,/. Подынтегральные функции имеют бенности в граиичпых точках, но интегрируемы. В окрести граничпьгх точек использовалась теорема о главном апаче а в оставшейся области, г — 〃 + △</?《「+〃 一 △> п( няласв формула трапеций. Для обеспечения нужной точв интегрирования использовалось не менее десяти точек, так на отрезке。умещалось не менее пяти точек г,. Для м, значевпп г, когда область интегрирования содержит меньше де точек °, требуется интерполяция.

Для развостиой аппроксимацни уравнения (96) ислользз следующее неявное разностное уравнение: ^^-^(у^ + у^ + Н^^

-1忘阻」卜?" 一学"+导(一wY股+勿竹"亠e珅箕：)

+ "g"儿吗% [府-喈 + 界(一"1疗+1 + 力V? - с/7；

Аналогично аппроксимируется и уравнение (97): 1^21=_^ 6⑺尹'宀pF)—品W—《码办[р?н—%"十 +享(一 "邦激;十 ад+1-^/)] 一

—g"可"j [p； —叫 丁半(一％Р；н+&Р?—с#：

Напмсапные выше разностные уравнения мо;кнО предС1 в вице системы линейных алгебраических уравнений

Л^-У^- w1^ с* 匿亠円，—Ap3* + Bjp?i i-y?”一Gp?学「к?,

где，

Aj=^ktijffia/&t1

в$ =4 G^t^k^HiM + 击礴弁也 M

C尸急硒"心纯

再=-A^ + p^+Bj^^C^+IljW^t^^

"=4叫- ад十科十c^- %打削+|м (岡+改

Уравнения (98) и (99) содержат только производные по времени, н мы аппроксимируем их разностными уравнениями

咪】=啓т十2A “Р舟十Q"%(104)

6Г =輝t 一 2A"尸四十(小分(105)

рассмотрим вопрос о pememut системы уравнешш (lfx>)—(105). При фиксированном ананенша времени величины с верхним индексом п 】〔п — 1 известны, а величины с верхним индексом 九 卜 1 я(*пзв^<*тнм- Первый mar состоит в вычислении О?" м 学+1 для всех зиатеиий / по формулам (1(4) и (405). Следующим тагом елркмт вычмелепте р/】и 崂+】для всех значений у. г1тобы реигить системы уравнений (102) и (103), запипгем их в виде одной системы

一 a^^В^ 一 己刃学L五(106)

где

e訂八間，

и

一研Ж，瓦"[:,"0胃，Y=d]■

Для решения системы (106) мы воспользуемся следующим алго- ритмом:

可:=E/開丄寻〉j —a 4, 2,…，J-4, W матрицы Ej и векторы 疗+■ определяются рекуррентными coot- нопгепиямп

瓦=(房一6扇7尸4，

加'=(^-С}Е^^+С^У

На граничных условий при г = 0 следует

®Ччислспия выполняются в два этапа. На первом этапе вычисля- 耽5 всо коэффициенты Ej и 乃"，на втором этене вычисляются рачения У?”, натаная с тех 吗+* которые задаются с помощью- ^ичпп р (гиакс, 0 и Т (「мнвс, 0- Вычисление векичин FJ** и Wf^1 丁貝 всрх значений j составляет третий шаг вычислительного цикла

момента времени 左 Метод решения уравнений (100) и (101) Ro直；ке, как только что описанный метод решения уравни- 収(Ю2) и (103).

Сформулированная математпчсская модели и описалиые въ« лительмые методы были использованы для объяспения hokotJ явлений, наблюдавшихся в плазме, образуемой путем инжен нейтральных атомов в ловушку с магмитпьпш пробками. Оц)| кованы результаты 17), которые объясняют киняпие боль^ ттотеццмала на к«>.1лектпвкое поведение разреженной пл」 и подтверждакгг стабилизацию плазмы конечным размером * в условиях, наблюдавшпхся зксперименталтшо. С помощьюj □рограмми можно также изучать устойчивость плазмк в лробо< полях с поло画мтем匕шш градпеатом (с мгнммугмом В).1

2* Двумерная нелинейная модель

Осшншиг уравнения

Неустойчивости п/азмы с болтлпимп амплитудами мы 6】 изучать с помощью расчета на ЭВМ двумерного движения по и эл^нтрониой жпдкосгем. 1(вс заряженные жидкости движ с дрепфовшш скоростями во Бнешппх магнтггном и rpaBHWi ноы полях и в собствеппом электрическом поле, возникла! из-за ыалнчпя некомиенсиронаниого заряда или разделения з дои. Обе аспдкости являются ])аареженными, взаимопроникаю^ в некоторой области пространства и иодверясены допегвик* наковмк сил. Действие сил, иропюрциональпых 乂规了。, на от тельпо легкие электроны не ^считывается; следовательно, г ствуст различие б скоростях исидкостей. Песоападепие скор вызывает разделение зарядов и, следовательно, возникя<^ электрического поля Е. В свою очередь это поле вместе с магняа полем В вызывает колебания или экспоненциальное H&pacj малых возмущений. Одним из вопросов, изучаемых в' вычислрбпй, является выявлеште особенностей конечной d (известных) неустойчивостей, когда в начальный момент 川 возмущается мальпш колсбаииямп.

Нуазма нейтральна или почти нейтральна и находится в явном однородном магнитном поле В и внешнем силовом q Выражения для скоростей каждой жидкости следуют мз дрей теории 110J. Каждая исмдкость удовлетворяет уравнению q рывпости. Плотность некомпенсированного заряда е (七 йспользусгся в уравнении Пуассона для вычисления потеилл Новое электрическое попе ц.в1еняет дивергенцию скоростей | довательпо, плотности.力

Перемещение плазмы рассматривается как коллективна жен не заряженные частиц, перпендлпул яриое мягнптпому пй Отношение давления плазмы к давлению магнитного лол呼 мало, что мьмеиепия в веничипе В, вызываемые токами в《 не лгчптываются. Сильное магнитное поле позволяет такясе d

,(вйн<с11ис двумерным. Влияние кривизны магнитного поля модо^ даруется однородным гравитациошшм полем g, перпендикулярным ^аглитпому полю В. Как известно, дрепфовоо приближение прлгодво для описания большого числа ппзкочастотвых яв;(е- ufii 1111- Влияние конечного размера гмроорбит можно учесть с помощью поправочных членов (12]. Соответствующая физическая теория и результаты оичцелешш обсуждались в работах [13, 141.

Независимыми оеременнымп являются пространственные коор- дкнатьг ", у 0 время 九 Плазма заполняет область, ограниченную при у = U и У =五 проводящими стенками, потенциал которых ра^рн нулю; по 彳 задача предполагается периодической с периодом 厶 _= 48 Аз Зависимыми исроменныъги являются плотности злек-

тринов пе и монов П[, потенциал, создаваемый иск л юч ителъно ие^омпеисированным (полным) зарядом, или разделением нарядов @ 一 尤 1r соответствующее электрическое поле Е = — V<P и дрей- фюсыс скорости vc и vt электронной и жшнс必 жидкостей.

Уравнения, описывающие движение плазмы, имеют вид

w= 一吗手，

(107)

e= 一▽屮，

(108)

_ [ЕХВ]

%炉，

(109)

[EX В] , m [fix В] . /л dE

"抨! c 霏十加成，

(НО)

—-^-v-(^).

(Ш)

& —V-(n^vc),

他2)

Ре»аение разностных уравнений вычисляется в точках 勺 ^ iAx, Z = 1, 2,…•，硏打•=於弘 / = 4,2,・・.，48

Для моментов времени £〃 — мАС.九 <■= L 2, 3> •・•.

извест-извест-Обгцаи схема решения состоит в следующем. Сначала по зн значрнпям плотностей 冷学。九 вычисляются потенциал 屮，злеи П'ическоо поле Е и, следовательно, скорости ведущих центрси для фиксированного временного слоя. В вычислениях, содержащих 必Ифс^епцирование но времени, требуется хранение более чен °Дього ср€«мснцого слоя. Новые значеипя плотиостей п^ и пе вычи- cjinoTG# с помощью разностного решения уравнений непрерывности

извест-

извест-

Мы рассматриваем плазыу, в которой коллективное Движение ^^ix заряженных компонент представляет собой медленный дрейф 晚UuMix центров сс скоростью Е У В/В2 поперек создаваемого мзнпс магнитного поля. Такое описание двюкения ааряжепных I9-05G

частиц в когда все ионов.частиц в когда все ионов.виде дрейфа ведущих центров пригодно только 言частоты малы по сравиеншо с циклотронной ч^

частиц в когда все ионов.

частиц в когда все ионов.

6《Sc%

ssи все макроскопические длины намного больше, чем ионный моровский радиус

s

s

L》仰.i

Эти требования прмзодят к огрэннчепшо максимальной пл свободного заряда:

|七一"1瑛《九

Заметим, что значение К =龍肥/加歹 может быть много 6。 единицы, если велнчяна |r?f — %] достаточно мала. Парамс является критическим м характеризует реакцию плазмы на； иение электрического поля.

Предположение о том, что магнитпое поле постояино 域 менм, требует, чтобы все токи в плазме были достаточно м* Это и есть по существу приближение «малого 0% которое、 иичивает величипу «тепловых» скоростей, или, проще, тр1 чтобы плотность тепловой энергии плазмы была намного *

плотности магнитной энергии.

tintinполя.поля.Читатели, знакомые с гидродипямическини моделями 斗 сжимаемых жидкостей» заметят близкую скязь их с обсужу моделью илазми. В предельном случае, когда рассматриваете] ко одна заряженная компопепта со скоростью у^ = Е X такай модель плазмы вполне аналогична гмдродиаампческ дели, в которой плотность заряда играет роль плотности 1 (компонента, скорость которой перпендикулярна плоскости мсения), а электростатический потенциал играет роль фушш 厳а. Новым фактором в этой модели плазмы является палгга' протизоположио заряженных жидкостей, в которых и通 свободиого заряда обусловлена различием в плотности ж―** Его выражением служлт следующий факт. Если две зар& жидкости имеют примерно равные плотности, то даже неб относительные шсорости важыы, поскольку они могут т разделение зарядов и, следовательио, привести к изл электрического поля. По этой причине два последних с口i в скорости исаов очень важны (аналогичные слагаемые в с электронов не учитываются, так как отношение масс I Слагаемое вида (т^еВ2) lg X В) ведет к разделению й служит причиной возникпоиения м<елобкоЕ (гармоник I Тейлора) в плазме {151. Последнее слагаемое (mJeB^dtldt. но。как полярпзациоиннй дрейф, также вызывает ра& зарядов и является причиной существования пиакоча

tin

tin

поля.

поля.

диэлектрической проницасмострг плазмы, “ (1 + 〃)，Где

冷1强

Ihieimo нтот поляризационный дрейф вызывает сильную ке- угтойчивость вычислений, в которых используется обычная прс・ кеДУРх дифференцирования по времени (схема «с иерешагизани- ем» ил” с\ема «средией точки»). Мы будем применять чередующиеся методы дл<|)форен г жирования по времен% которые сохраняют положитеаьныо свойства схемы «с перешагиванинм» и ликвидируют леустойчизость выяислений, вызываемую поляризационным дрейфом.

Процедуры Кв>иечии-разииепюг<| двфференцироьаняя в пространстве

В нашей модели применялись обычные хорошо известные про- страистьенно-центрированные консервативные схемы разностного дифференцирования, которые обсуждались в § 2.

Метод, использованный при решеннм уравнений пятиточечном раапостной схемы для уравнения Пуассона, аналогичен мето- ду, ошюахшому в работе 1161. Он представляет собой быстрое, прямое решение уравиеяии Пуассона. Метод основан на ире- образовашш Фурье для плотности зарядов по каждому направлению, вычжлеинн коэффициентов Фурье для потенциала л иIследующем вычислении потенциала в каждой точке сетки суммированием членом Фурье вдоль каждого направленна. Как оказалось, этот метод позволяет получить решеппе гораздо бьютрее, чем любой известный релаксационный метод. К тому и<с зиапие козф^ицмептов Фурье для плотности ааряда и электро^ статического потенциала может служить полезной диагпоогикой.

R ходе интегрирования уравнения непрерывности сохранение жидкости достигается применением пространстве«но-центриро- иаииого разностного аналога оператора v • («V), который в про- CTeRine击 двуточечной форме для одномерного случая имеет вид

五Е KMj+i—(Mj-iJ.五Е KMj+i—(Mj-iJ.(ИЗ)(ИЗ)

五Е KMj+i—(Mj-iJ.

五Е KMj+i—(Mj-iJ.

(ИЗ)

(ИЗ)

Если интерпретировать величину

十&*/2

[ndx=Ni

-Ах/2

；■? Полное количество жидкости в ичейке ддшной △力 с центром в г°чко сстаи /, то станет ясно, что полные потоки жидкости "°йках 什 2 и / — 2 будут содержать вклады, в точности ком-

пенсирующис количество жидкости, протекающее через яче. [см. (ИЗ)). Такая схема имеет довольно неприятную <х ность: соседние ячсйяи оказываются разьединсшшдш (% ячейки компенсируют лоток жидкости в других четных яче а нечетные ячейки компенсируют поток жпд!«)сти в других l них ячейках). Для одной специальной модели было показано отмеченная особениость ивля©тся причиной пел инейной выяй тельяой неустойчивости па коротких волнах {171. В работе； показано, что эта особая неустойчизость может быть поца « применением специальных пространственно-разностных схем.、 молено применение и многих других рааностнмх шшроксим по пространствен ним переменным. Известно, чти расчеты дл； линейных уравлеыив жидкости часто наталкиваются на серьс проблемы уснойчлвости в числений (проявляющиеся в большой ^ршгпты ложной энергии в коротких волнах), кот вогппкают из-за слагаешь с разиостинми лроизводныт координатам. Во многие модели для подавления коротких вносится искусственное затухание. Один из таких методов ос. вается яа специальной разностной схеме, определяемой ур пнем (17). Для этой схемы мноакитель роста, получаемый анализе устойчивости, имеет вид

I 簿=,-О (AA/六.

Знак минус означает, что схема будет иметь тенденцию К. хапию волн, а зависимость вида (kf^y означает, что коротка ньг будут подавляться наиболее сильно.

Результаты коротких мап(икшых вычислений, приемлем: простых «частных случаев», нельзя переносить на другие г мн. Другими словами» полный расчет должен быть по во»! сти кратким, чтобы 8a это время погрешности с малой j волны не выросли до опасных уровней. Отдельные кратко? ные вычисления для обсуя«даемой модели были усиетно п) ны с незначительвым влиянием или при полном отсутствк бпемы коротких волн [13, 141- Другие расчеты для этой ж< ли, проведенные в более сложных случаях, требовавших & продолжительности машинного счета, поставили проблему. ЧИВОСТИ БЫЧИСЛОНПИ F8K рНЗ ТЯКОГО тппа. ПеЛЙ0С1ЪЮ ус* вычисления требовали определенной формы контроля за.; кнмп волнами.:

Поправки к дрейфовым уравнекпям двюкепия ведущих 9 за счет конечности орбит можно учесть простым добавлен в уравнение непрерывности для яовов. Эти дополнител! еы содержат операторы npocipaаствснного длфферемц) ун 炉.Они усложняют описанную выше проблему корот но пс вносят ничего прши(ши[альло нового в проблему / цирования ио координатам.

в. Процедуры ди(])феремцнропапия по времени.

И<*шк1ъзование юмбмнироиаппых схем

Рассмотрим внчислнтельиую неустойчизссть конечио-разностях уравнена近；являющихся аналогами уравнения

(114)(114)警一…)，

(114)

(114)

которое есть общая форма уравнений непрерывности. Погреш- floC7b шшроксимации находится из сравнения уравнения (114) с рязлоя;ениел! в ряд Тейлора конАЧИо-разностной формы этого уравнения. Полная погрешность, вовникающая за счет иакопле- кия погрешности аппроксимации для каждого шага по времен, додисна оставаться малой. Лрентически все расчеты неливепиых н?ид^остей, когда в схемах с дифферендированием по времени для получения новых значений используется информация на двух врсмрииых уровнях, ограничиваются памятью машины. Однако до сих пор существует большое упгло схем такого класса, » они сильно отличаются по точности и устойчивости.《Наплучший» выбор схимы обычно зависит от фактического типа ожидаемого решения.

Изучим устойчивость (нвкоплбнио погрешиости вычислений) от^рльпых схем, применяемых для рошеиия уравнения колебаний.

(115)(115)匹 .

(115)

(115)

k = mu・

В риботах [18, 191 приводится сравнительное описание раз- лпчяых схем, основанное на ирммвпенлп их для решения урав- неннх (115). В этом яодпункте мы построим и проанализируем ьлмбпипрованные схемы, которые сохраняют положительные свой- ьна отдельных схем. Аяалптическоо решение уравнения (115) нпь_ конечно,

〃 «) — % exp (icoi).

Конс<тио-разностное решение уравнения (115) должно как моясно "gqme соответствовать аналитическому решению в виде колеба- “гп с постоянной амплитудой. Мы получили номбинироиаимьте Разностные схемы, которые сохраняют почти постоянную амплмту- "У и сриемленую погрешность в фазе.

Втор。台 проблемой являются ликвидация или ослабление вы- иелнтельнъгх мод, которые возникают всегда, когда разпостпая ема имест более высокий порядок точности, 4ом порядок диф- “ ?°1гцна刁Riioro уравнения. При определенных услоинях наши равнения подвергаются воздействию особенно сильной веустой-

℃тп из-за нарастания вычислительных мод. Этот вопрос ъУ^дае1ся в следующем разделе- Ослабление вычислите л ьных

мод является требованием к любой композиционной схеме, рую мы строим.

Схема «с псрешагинанием>> (LF), записанная для обп;его пения (444), для временных уровней, отмеченных верхнш<и i

сами, имеет иидсами, имеет иид1Д ■~^1 口T _ г g1Д ■~^1 口T _ г g

сами, имеет иид

сами, имеет иид

1Д ■~^1 口T _ г g

1Д ■~^1 口T _ г g

причем погрешвсстьпричем погрешвсстьаппрокс иыации пропорциональна При получении решеппя конечно-разностного уравнения дуем обычной методике И], когда разностное решение

причем погрешвссть

причем погрешвссть

представляется в виде

丿=^ifi.

где величины 入 носят пазванме множителей роста. Таким об; схема 《с перешагиванием» записывается для уравнения;, б виде

№ — «г1 = 2ibu°,

где Ь = coAt; характеристическое уравнение дает K^ib^ii—b2^

причем А* соответствует истинной моде, а 入一 一постороня| чиелмтельвой моде. Заметим, что |А±] — 1, если 匕纟 & 4. С видно, что истилная мода не содержит погрсипюсги в амх^ волны. Вычислительная мода в этом случае не нарастав* затухает. К солсаленик!, схема с «перетагвванием» подв^ сильно» вычислите.1 ьной яеустойчпсости, 1согда используем наших уравнений:, и ее пришлось отвергнуть..

Схема Адамса — Бапгфорта (АВ) в применении к ур, (114) имеет вид

М—〃о

S=0：s牆鬻払笛調嚅縱嶽 小一公=冬加? 一吃血尸，

что приводит к дисперсионному уравнению稔一九,十4为)+4■为一*

Когда 匕《I он。№■

队1 = 4+0(b4)+…,

т с. небольшое нарастание истинной мода, и

伍一1=冬《4,

1r. с, сильное затухапме вычислительной моды. Нарастание истин- иой моды может оказаться неприемлемым при большом времени няблюдеиия,

Комбинированные схемн, в которых используются различные коминпат^ии одношатпвых схем для полного шага по времени, всиптьтвачмсь по отношению к уравнению (115). Требовалось получить частичную компенсацию погрешностей аппроксима叫пн и иодавмть вычислительные моды. Суммарный эффект：, однахсо, яиляется более томи им, чем простое сложение погрешностей проговотоложного «знака». Напрнмер, в применении к уравпе- иш«» (115) схема «с перел!агивапием> (нет роста)十 схема Адамса — Бя>ифорта (медленный рост) дают вместе медленное затухание.

Лодробиости анализа устойчивости комбмиированныл схем ммсто найти в работе Байерса 120]. Было проаыадизировапо много различных комбинировапных схем м открыто несколько иревос- \о;илх схем. В качестве примера получаемых улучшений сравняй (<емз Адамса — Батпфорта с комбинированной схемой LF АВ АВ, т. е. схемой, использующей *перешагиваиие^ для 4-1 о； 4-го и т. д. шагов по времени и схему Адамса — Башфорта для 2-го, 3-го, :то. б-го и т. д. шагов ио времени. Мм сравнивали квадрат амплитуды, R2, в момент времени со£ = 50,0, т. е. после примершо восьми полных волновых периодов. Если b = 0,2, то для схемн Адамса —

Ьашфорга и этот моментЬашфорга и этот момент,Яй — 4,24, а для комбинированной схемы

Ьашфорга и этот момент

Ьашфорга и этот момент

А? — 0.99- Таким образом, видно, что схема Адамса — Башфорта

увеличивает энергию волны па 24%, тогда как комбинированная схема умеяг>1иает анергию волны всего иа 1%.

Может показ<сгься, что простому ураьненмю (415) придается стппком большое апачение, так как в действительности наша в^Ч1н\,(итсльная процедура не содер/кмт решения этого уравпе- "Мп. Но поскольку мы ожидаем много осцилляций млм решений nomsBQTQ типа» проведенный анализ и наша задача должны нахо- Дигьсн и согласии, по крайней мере качественно. Некоторые схемы "им опробованы в нашей программе, 1№гда линейный анализ пР(аскизывал простое осциллирующее рогаегаге. Схемы с пре- °°ладаяием «перешагивания» оказались неустойчивыми из-за ^Фасгаъ»щпх вычислительных мод, что будет обсуждаться в сле- "切1°显 подпункте. Другие схемы оказались устойчивыми к вьпи- ；"Tu・iLnRz модам, и во всех случаях было хорошее количествен- с ^глдсие предсказаний анализа и результатов. (Большинство е ” ан〃о испытано до того, как был предпринят их анализ. Отио-

£П1лю большие затухания и усиление подвергались анализу,)

г, Разпиетно-временпая неустойчивость us-за имчисштельних м

Хороню известно, что схема «с перешагиванием> неусто; для уравнения

диW=-m

В атом случае характеристическое уравнение имеет вид 炉 + 2ЬХ — 1 = О, где b -= зА厶

откудаоткудаЗаметим, чтоЗаметим, что1±=^ь±а+^\1^-1 >■ 1, позтему Еьгчислмтел1>иая мода napiсвоей величине превосходит решение，Сопос;1±=^ь±а+^\1^-1 >■ 1, позтему Еьгчислмтел1>иая мода napiсвоей величине превосходит решение，Сопос;и вскоре поэто со схемой Адамса ——Башфорта, для которой характерно”и вскоре поэто со схемой Адамса ——Башфорта, для которой характерно”

откуда

откуда

Заметим, что

Заметим, что

1±=^ь±а+^\

1^-1 >■ 1, позтему Еьгчислмтел1>иая мода napiсвоей величине превосходит решение，Сопос;

1±=^ь±а+^\

1^-1 >■ 1, позтему Еьгчислмтел1>иая мода napiсвоей величине превосходит решение，Сопос;

и вскоре по

это со схемой Адамса ——Башфорта, для которой характерно”

и вскоре по

это со схемой Адамса ——Башфорта, для которой характерно”

ское уравнение записывается в виде

"一入（2一孔）一白一0,

или

（」白）±我，一6十勤2户，

и заметим, что ]Л_|< 1 для малых Ь. Это означает, что исполу иие схемы Адамса — Багпфорта приводит к сильному затух вычпслитсльпой моды. ；

Для наших уравнений существует опасность появления тойчивости из-за нарастающих вычислительных мод при и* зовании схемы «с нерешагиванием^ или комбинированной < в которой «псрешагизание» преобладает. Пользуись мето, списанной Рихтшшсром и Мортоном И], легко сформули проблему полного анализа устойчивости задачи в целом,' решение ее затруднительно. Наилучпшй результат для боа ства сложных систем достигается с помощью разбменш системы на отдельные заетн, после чего определяются V устойчивости каждой подсистемы. Хотелось бы надеятьс： суперпозиция таких отдельных условой устойчивости будет точным условием устойчивости всей системы. В цальиейшем использовать именно этот метод. （Стоит, однако, указать/ что Насахара 124! привел пример, когда подобная про разбиения па подсистемы оказалась непригодном.）

В рассматриваемой задаче ясус.тойчивостъ обусловлена ‘ мым скорости шнов, связанным с полярлзационным ДЦ В связи с этим мы пренебрегаем остальными членами и псе подсистему» которая является равумным приближением ре системы.

Затаивая плотность зарядов в виде

Р，二 £Q, ре = — е叫,р = Pi + & =。(,* — %),(116>

поучаем то (111), (112) и (116) уравнение для мелпой плотности заряда

雾=—eV・m应—R)a・(147)

Для примера будем считать, что полшлй ноток образуется только 3g счет разности скоростей ионов и электронов, что дает нам 1граво иолсйнмтъ

& — % = гг・

Размоств +Z — ve состоит из v& (〜mg X В) м v「(~ mdE/山). Поскольку в dE/df наибольшие затруднения связаны с членом dEFdE, мм оставим v「〜m (JE/Ot) ii отбросим vx (обычный дрейф Ve'vp). Таким образом, приближенно

患一V•愕答H…•("8)

Подставляя —£叔飞 вместо р, Е = — ▽屮 м раскрывая. инра;ке- лис цля дивергенции, мы получаем уравнение, куда «ходят п и ip: 易俨Ф)=一謠已同叫一誨[白▽¥)•▽〃] +…("9)

В процессе решеиян мы вычисляем правую часть на предыдущем н 工екутцем временных слоях и используем пояучешпис величины для определения последующих значений. Как будет показано кяже, подробности зависят от выбора разностной схемы. Дна чле- на, содеркащие J (V4')/°玄 не объединяются, так кая в нашей двухжидкостой модели зто уравнение ие решается явно.

Н」я просторы предположим, что п является переменной нуле- 砲0 порядка и что 屮 зависит только от одпой координаты xs — = jAj- Аппроксимируем Vy двухточечпым выражепием (电一一 J 屮*_f)/(2Ar), a ▽?▽——трехточечныА! выражением (屮了+【一2屮？ -}- 「мО/ДлВ Пусть далее 屮 задало фурьс-разложениом

屮⑺-=<р (jA 紡=£ 屮"exp (ffcyAx).(120)

^огДи для фиксированного к из уравнения (119) следует 黎二鎌{-+(警)(警)[■玩П響+…，№4) ИЛИ

警=(一 к + 近Q)苦 + •・•，(122)

гдегде八 Vn sin kA工 Г八 Vn sin kA工 Гk&r/2sin3叫k&r/2sin3叫

где

где

八 Vn sin kA工 Г

八 Vn sin kA工 Г

k&r/2

sin3叫

k&r/2

sin3叫

В правой части можпо использовать предыдущий и текущие мевпые слои, в леной части — предыдущий, текущий и поста 1ЦИЙ.

Схема «с перешагиванием» даст уравнение (индекс ф разложения к опущеп)

炉一4rl 一(一 2K+2冰0)W。一屮円，

в правой части которого используй»тся прошедший и текущи менты времеин, а в левой - - прошедший и будущий мом： Если положить

SS2 爪 + 21KD92 爪 + 21KD9

S

S

2 爪 + 21KD9

2 爪 + 21KD9

то характеристическое уравнение примет вид

0.0.九2 - SA — d — S)

0.

0.

-Физическому решению отвечает корень

几=4,

а корень, соответствующий нежелательном вычислительной равен

久一一—4丁S» причем |к_12 = 4+4^ + 4^2+4№02>£

Строгое неравенство выполпено, так как К — п^|/80Ва

Таким образом, эта мода оказывается безусловно ыеустойч

Разностная аппроксимация по схеме Адамса — Башфорта

廿一8 = 白仁祉一『)一幺屮t 一 门],

и харшстеристмеское уравнение принимает вид

箝_終《十|_s)+?8-#=u・

В этом случае физическому решению отвечает корень К = 4, внеиие

炉一浙+白h

4； ДЛ.4； ДЛ.•определяет два корпя, ответственвых за вьгчислитешлые ■ Если D пренебрежимо мало, то при К — 0,5 для одном да； мод выполнено предельное условие устойчивости |Х]=

4； ДЛ.

4； ДЛ.

той моды |Х| — 0.25т и- следовательно, оиа затухает.

(£ омбинированиые схемы устойчивы для К < 1, если в них ае преобладает «иерешагмвание». Вообще схемы с иреимущестаен- 】口悟1 ш.пользовани€Фт «перешагиваниям хуже поддаются стабилизации, т, G- чем больше вклад схемы «с перешагивание^) в комбини р0Сапную схему, тем ниже для такой схемы значение К, обесие- 4ивйк*щее устойчивость. Комбинированные схемы, в которых 布冗❾咫巾石工口冃価豆©» преобладает, зттайчпвы лишь при 爪《4・

Необходимо сделать некоторые замечания относительно ёоз- манашу значений коэффициента D 1ем.(422)]・ Тригонометрическая функция изменяется ме?кду 4,0 и 0,0 при возрастании 巾厶力 от 0 до 3 причем няжняя граница 入—2А/ определяется условием различимости на пространственной сетке. Множитель^ V献尿 при йлмдеепно равен 4/&3, где 6 — толщина пограничного слоя. При «алих kt т. е. больших длинах волп, здесь возникают определенные * рудпости. Действительно, если к мало, то даже схема Адамса — Бан»форта может стать неустойчивой из-за некоторого длии- жлзолпового воздействия поляризационного дрейфа на змектро- сгатическое ноле. Источник неприятностей заключен и разностном аналоге оператора Лапласа/. Подобные проблема нознлкали и в предшествующих исследованиях устойчивости 1221, где было отмечено： что длинноволновые явления, по-видимому, не выбывают и₽л;ел ательных последогЕйй. В проделанных расчетах мы не обнаружили неустойчивости, которую нельзя было бы предсказать (К'повываясь па иреддоложепии, что 刀 V 4・

Гели условие 2^1 не выполнено, то существует дополнитель- 幵се затухание физической моды, обусловленное неточностью принятой разностной схемы для d^)dt при f — 0, так как аппроксимация (qW —屮 т)/А± имеет погрешность ^ 刁之屮/已射.Это затухание

0,3 оно еще0,3 оно ещеуменьшается с уменьшением @А£, но при зАЕ

0,3 оно еще

0,3 оно еще

досгаточио велики, если К 〜4. Более точное разностное выражение имеет вид

4(冢-2唄+白-2),

но игнользование большего числа временных с«юев вносит до- ш»лиителыгые вБпшслителыгые моды, которые могут привести к Знев жестким условиям усто&тивостм, Например, схема «с пе- P^iu агивапи^ил, испол!>зуЮ1цая это уточненное выражение для ^^* стаповится еще более неустойчивой, а схема Адамса — Ьаи1форта допускает значение К, разное лишь половине получе卅 Hoi? pauee для границы устойчивости.

Таким образом, при К V 4 можно разработать различные устой- ?Raue разностные схемы длн поляризационного члена. Однако ^inian ситуация не пиолне удовлетворительна» так как хоте- 野к 6м иметь такие схемы для любого А в области от Х<^4 до Б следующем подпункте описана модификация рассматри- ‘31。互 модели для случая А > 4.

300300Гл, 7.加03耐〃 плазмы без столклоеений !

300

300

д. Ошибки округления; однояшдкостная модель „

ЕЕ- ，

Быпхе мы показали, что затруднения, связанные с выча тельной модой в вашей двухжидксстной модели, обуслхоь иоляриз ациопной скоростью ионов vp — mi! [еВ^ (dE/d-i),工 рая является ренкциея плазмы на изменение поля Е. Чем 6. величина К = т^т/е。方2, тем сильнее плазма отзываете^ изменения Е. С увеличением К до больших значений резуль! ющее разделение зарядов становится очень малым ([仍一&「 Даже если двухжидкостная модель численно устойчива, все； но при /»4 будет происходить возрастание ошибок округл^ связанное с вычислением разности приблизительно равных 中 чип. ；

Для того чтобы устранить как ошибки округления, так 注 ленную неустойчивость, свойствеппые двухжидкостяой мо, перейдем от двухжидкостного описапия к одножидкоста Вместо раздельного рассмотрения электронной и ионной яп стой введем нейтральную жидкость (孤=/^ 比 啕 м заряже， жидкость (网="/ — we) и будем учитывать только Е/В -др остальные виды дрейфа ионов, %, vp, слузкат только для раз； пня зарядов. (Эти приближения означают, что справедливо J вие i^；》%, которое обычно хорошо выполняется при К > £

Можно найти изменение условия устойчивости вычисли Уравнение (118) (дополненное членами, которые были опу^ в предшестнующем рассмотрении) в случае одножидкостной мс| решается явно, поэтому можно объедпнпть слагаемые с V2屮;」 писав уравнение (119) е форме "

對V帥)一(4 +籍尸(一制仁(WAV小…。 !

Уравнение (122) переходит в j 票一备刀(祭)=。(禦)+…- ]

Условие устойчивости для схеьщАдамса — Башфорта теперь nJ вид Dr < Vg и выполняется при любом значении К (если вед на В достаточно мала). Такая ситуация типична для мпогйХ< бинированных схем. Схема «с перешагиванием» no-np&tj неустойчива (хотя и не так сильно), по комбинированные dJ Лаже если в ппх «ыернхиагпвайпе» играет значительную роМ гут быть устойчивы. 3

В области А < 4 однолсидкостная модель может быть irj зована для оценки ошибок округления, возникающих в J ?кидкостной модели. Некоторые просчеты проводились ка^ одножидкостном, так и для даухжидкостной моделей иоМ

редполагалось преимущественно одножидкостиое поведепяе (пре- 扌танвюле Мб-дрейфа). При атом существенной разницы не было 繡кару衣ено, что с определеннсстью указывает на незначмтель- цоГТЬ ошибок окрутле!гия в двухжидкостной модели.

е. Пр£м»1ен11я

В процессе вычислений проводился контроль электрической, кииетическом и гравитациопиой энергий как функций времени

仪Плазма

30 j ・••.

$Вакуум

I■♦♦•♦■

1J — 一•

г

?0 一.

玲 и I 2. Развитие неустойчиво- ciii Рслея — Тейлора.

Веьт«7»1л спорости и ■«фдиняты ме- Уснмх частиц иокаг；>1№г для двух Тфц^рп.уг-ршик Мтяаецтйв иремеил.

£ 广彳 200, б) t _ 9,：<а0; в) 71»«1£мто~ 削卜 叫юйцгняые за rcp brwmh расчггз L n i?,075)темп нагтищют. з^оторые 毁 * — О находнлигь на динил у ^^ ="“ Маленькв更Е ирсуги.1ьнпкяади ””ез координаты частиц в мочен?

Фит. 3. Развитие нсуетойчмЕ<»смвКельпина •— Гельмгольца.Кслрдннлта « векторы скорости мечгньг? частиц показаны для четырех разпилиьгх шхирнтов времени е) 13△& S ЗОД4Т «) BOAf. ?) 12оД< Центр ппг|»эничного слоя расположен тфи 〃 = 30 Проводящая стенка находится яа 'тинии у = 0, &tNQ』AM%aiAФит. 3. Развитие нсуетойчмЕ<»смвКельпина •— Гельмгольца.Кслрдннлта « векторы скорости мечгньг? частиц показаны для четырех разпилиьгх шхирнтов времени е) 13△& S ЗОД4Т «) BOAf. ?) 12оД< Центр ппг|»эничного слоя расположен тфи 〃 = 30 Проводящая стенка находится яа 'тинии у = 0, &tNQ』AM%aiAни 土「11,775. Время Е = 7,200 чизитрокно оютвегствует 5-крат- т^У времени роста по лшчейкой itc- У巴 与冋“"V «ттечена пптчедцнн траектории част^ци, которая 悬呼 13 находапзеь в тмшем ряду R黑仆 纺=(48△招 16Дх). Граница 〜野'"атпло леяевлв между и ~ 眈廿(” 一 О для Г < 15Л») и з力汽(а 一 Нмдрс ДЛЯ у > 25&R).

Фит. 3. Развитие нсуетойчмЕ<»смвКельпина •— Гельмгольца.

Кслрдннлта « векторы скорости мечгньг? частиц показаны для четырех разпилиьгх шхирнтов времени е) 13△& S ЗОД4Т «) BOAf. ?) 12оД< Центр ппг|»эничного слоя расположен тфи 〃 = 30 Проводящая стенка находится яа 'тинии у = 0, &tNQ』AM%aiA

Фит. 3. Развитие нсуетойчмЕ<»смвКельпина •— Гельмгольца.

Кслрдннлта « векторы скорости мечгньг? частиц показаны для четырех разпилиьгх шхирнтов времени е) 13△& S ЗОД4Т «) BOAf. ?) 12оД< Центр ппг|»эничного слоя расположен тфи 〃 = 30 Проводящая стенка находится яа 'тинии у = 0, &tNQ』AM%aiA

и иолной гпергии, которая должна сохраняться. Графики за часто позволяют выявить раннюю стадию числснаых веу чнвостой.

Зависимость от времени прострапствемных фурье-комп« (зависимость от z предполагается периодической) полезна детального понимания и для разработки нелинейной теории. Ф]

VVZO十ZO十фиг. 4. Двухжидкостпый ясе лобок.фиг. 4. Двухжидкостпый ясе лобок.Для отдельннх ютених моппв □ алеюропо» ттгкяваиы траекп«рпн, прьйденш* В • всего времени расчета. Попы п>афпчееки мэпйражены тан же, наи и ^деетро^^ легко мличить но амАгий ислвчине &/%工 смещенын в трицатепьним направленииДля отдельннх ютених моппв □ алеюропо» ттгкяваиы траекп«рпн, прьйденш* В • всего времени расчета. Попы п>афпчееки мэпйражены тан же, наи и ^деетро^^ легко мличить но амАгий ислвчине &/%工 смещенын в трицатепьним направлении

V

V

ZO十

ZO十

фиг. 4. Двухжидкостпый ясе лобок.

фиг. 4. Двухжидкостпый ясе лобок.

Для отдельннх ютених моппв □ алеюропо» ттгкяваиы траекп«рпн, прьйденш* В • всего времени расчета. Попы п>афпчееки мэпйражены тан же, наи и ^деетро^^ легко мличить но амАгий ислвчине &/%工 смещенын в трицатепьним направлении

Для отдельннх ютених моппв □ алеюропо» ттгкяваиы траекп«рпн, прьйденш* В • всего времени расчета. Попы п>афпчееки мэпйражены тан же, наи и ^деетро^^ легко мличить но амАгий ислвчине &/%工 смещенын в трицатепьним направлении

За все время расчета ионы моглв переместиться на [мссютгае, несколько, тэгапеч гаи^к» длину системы, кипфая равна дяум цзиннм н(шн. Дииженые по ж нате V кан “омов, так и влектронов обусловлено 我/8-収36 »м. Маленькие ireyrci показывают нэчзльное рааюлтакрнте »ченых частиц. Цехтр могцапичного слоя ложен при у = 20. Мажио заметить, что амплитуда неустийчницста повстает' ио ereiiHti (распилОчЯ'НнсЛ на лпбии у — 0>, а взтем нгмнз” уменыилггся к Ив прекращения вычмеленпй.'

в процессе вьписления потенциала, никаких дополнительных расчетов.Сначала основная цель состоялав процессе вьписления потенциала, никаких дополнительных расчетов.Сначала основная цель состоялаамплитуды для р = е 脑一&) м 屮 Ip"(办 d 匂)1 олредел. Таким образом, ие треб

в процессе вьписления потенциала, никаких дополнительных расчетов.

Сначала основная цель состояла

в процессе вьписления потенциала, никаких дополнительных расчетов.

Сначала основная цель состояла

в ий^снии развития р* ных не^хтойчивостой пограничного слоя до больших амп

При этом особенно желательно было отделить те неустойчг которые достигают пасьпцения, т. е. когда плазма остаетс странстъенно ограниченной, от иеустойчивостой, выталкив плазму на стенку, когда плазма не удерживается. Первые I таты покаввли, что развитие ноустойчпвссти Рэлея — Т< нарушает удержание» а развитие неустойчивости Келы

Гельмгольца не нарушает,— и то и другое относится к случаю 風亦/僦 плотностей,驳《4 I13J. Дальнейшее развитие связано с графиками меченых частиц, на которых 3Tli частицы показаны точками с иаправлешиими вперед «хвостами», изсбражшощнми векторы скорости. Были пилучеш* моментальные снимки и место- иолозкспия ьо времени, или графики траекторий. Мнение частицы —9To воображаемые частицы» которые помещаются (обычно однородней в плазме и движутся с локальной скоростью, равной Е仍.Результаты приведены в работах Байерса ИЗ, 14, 20L

Иа фиг. 2, 3, 4 приведено несколько типичных кадров и графиков местоположения» показывающих ионЕые и электроппые траектории для выбранных меченых частиц.

Благодарности. Джои Киллин выражает благодарность г-же Шерли Рсмирм、Д-РУ Арчеру X. Фату (младшему) и м-ру Роберту П. Франсу, удзетвоваыпим в работе но ирименмнию иадю^кешпдх е настоящей работе ыетипов к решению задач ядерпого синтеза.

ЛИТЕРАТУРА

】.Richiuiyer В. D., Morion К. W., Difference Methods for Initial Value Problems, New York, /967. (См. перевод: H Риапмайе^ К. Мортон, Разностные методы решепия краевых ладич, мз*во «Мир», 1972.)

Killeen J., Neil Г. К., Hech-vtte Ж, в вниге Р1нята Physics snd Con- trolled Nuclear Fusion Rcsuarch, Vol. IL, IAEA, Vienna, 1966, p. 227.

Brettschneider M.9 Wess F.从,Bull. Am. Phys. Soc., 13, 1532 (4 968).

Killeen J., Rompei £. Л., Joum CompuL Phys., 1, 29 (1966)

K№gg P. J.. Phys. Fluids, 8, 102 (1965).

Leith C. 6., Meth. Ccmput. Phys., 4. 4 (1965).

凡“с% А. Я., Jr., Damm С. C , Rete J. Й.,尸гейт R., Ccrdon. F, У. Hunt A Hr Kilian J.» Mafcs K. G・.Post A. F., Steinhaus J. F. |2J, p. 3.

Kuo L. 6., Murphy E. C Petraoic Af., Sweetman D. Я., Phys. Fluids, 7, 期(191И).

Futch Л.方.，Jr., Heckrolte W.tDanini С. C., Killeen /.» Mish L. F. Ph》>. Fluids, 5, 1277 (1962)

Norlhrop T. G., The Adiabatic Motion"Charged Particles, New York. 4963.

* Chandnwkhar S., Plasma Physics, Chicago П1., 196().

Riiirnbluth M- M, Simon 4 r Phys. Fluids, 8, ^300 (1965).

/打"吿 J・ /., Phj匕 Fluids, 9, 338 (l?Oi).

Bg /. 4.» Phys, Fluids, W, 2235 (4967).

KtKvnbluth M. N・、Longmire C. L., Ann. Phys 1, 130 (1957).

IMcney Л. W., Phys. Fluids, 9, 1826 (1S66).

力 PAi^ipy M A,, The Atmo冊here and Sea in Motkm, New York. 1959. N?・ 304--504.

〃由у D К, Monthly Weather Rev., 93, 11 (1965).

非 £叱及仃@ <., Monthly Weather Rev., 93, 33 (1965).

# ?"〃 J. 4 r J cum. Comput. Phys., 1, 496 0 967).

^лига Г., Monthly Wcathor Kev., 93, 27 (4 065).

'C&ar/zey J_ G., Fjortoft R., von Neumann Л, Tellus, 2, 237 (1950)

ГЛАВА 8

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА К АНАЛИ ПРОЦЕССОВ В ПЛЛЗХЕ В ПР11БЛПЖЕШШ ВЛАСОВ

X. "ьюис

Введеигсе

Задача конструктивного ятател!атического моделироБзпня Нессов в высокотемпературной плазме всегда вызывает огра интерес, особенно и области исследований по управляв термоядерному синтезу，Если температура достаточно в» то моишо жпользовать аппроксимацию, иредложепп^то Вл叫 согласно которой каждый тип частиц описывается с помощи вйсящей от времени функции распределепия. Эти функции ирсдсления зависят от координат и скоростей в одночастл фазовом пространстве и удовлетворяют бесстолкновлтел уравнениям Больцмана, в которых электрсмагнитное иоле, • гнемое частицами, аппроксилшруется там называемым • ■согласованным, нолем. Другой, полностью эквпвалентпый с- опцеания движения частиц — задание траекторий точ©^ 1шл<дого типа частиц в одночастпчном фазовом простри Эти траектории, являющиеся характерястмчккими кривым^ уравнений Еольцмана,― решения одыочастичннх уравнений； женнв, которые удовлетворяются для наждой частицы/ ； обусловленное частицами элрктромагяитное поле заменить ；« согласованным» полем. Этот второй метод описапия двм часгицы, заключающийся в определении траекторий частиц」 функций распределения, используется все шире, особенно ленных расчетах.

В этой главе в рамках основанного пя траекториях пода разовьем общий мето口 построения аппроксимяциоиннх расчета. Этот метод основан па описании плазмы в прибли Власова с помойные точного лагранжиана. Функции, к должны быть определены при лспользоватши лагравж&йа । лиама,— это скалярный и векторный потенциалы 叩(г. Е) и ^ вависящие от коорд»гаат г и времен” £, и функщш R；f (/, описывающие 7раекторпв частиц в зависимости от navi

усг(оний и времени，Векторы г = Rft (r\ v\ /) w v = П^ (г‘，v', £) ()7ilоделяют ссютветсгврнно положепио и скорость частицы типа Л, У ьсяорой начальное положенно в скорость равны соотБстствсиио 卜 и V*. Точка над символом овнанаот дифференцирование но вре- 3ietni・ Мы рассмотрим произвольные аппроксимации зтих функций, каирне можно иостроить с помощььэ параметров, зависящих от pjjcM^uH. Например, скалярный потенциал ф (г,。можно задал» его зависящими ог времени значениями б узлах некоторой нонан- ноП ирсстранствениой сетки. Для спреде/сння же иотенциала 妙 точках мещду узлами можно использовать иптирполяцмю. Н более общем случае, который включает рассмотренный выше, потенциал 屮(г, 。аппроксимируется суммой линейно пезавнем- “и\ 41yHкци血 координат с зависящими от времени коэффициентами. Зашкчтмость апнроксимацим потенциала 屮(г, 2) от параметров, кспорме в свою очередь зависят от времени, также может бнть СИЛ1ДЮ иелииейной. В самом общем случае мы допускаем любые а1тпр<жсимацми 屮(г,。、А (г, £) и R^ (г\ у', £) следующего вида:

屮(г, £)内① Ir,厶{%(£)}],

А (г, /) « ^ к・厶{Pm (0}L(1)

% К v< 力)q 巩[Г,匕&仇：(£)}],

где Ф, ■ и 阕& — произвольно выбранные функции, а зависи- моегь от времени параметре® ап (/), Вт (0 н Уи (0 толята быт> онределена.

После выбора функций Ф7 ^ f 阕久 необходимо еще выбрать 1ринцип, который позволил бы определить, как параметра «эвпеят от времени. Для одних и тех и?е точных уравменм也 движения, используя различные принципы, почти всегда мояшовывести €«tконечно много систем уравнеипй для зависящих от нрвменн параметров. Наш подход состоит и том, чтобы для выбора одной пз лих возмпяшых систем уравнений использовать вариационный яршщип Гамильтона. Если использооать принцип Гамильтона, 加 енгтема уравнений будет единственно証 Ее можно получить, 叱口" ныражетшя (4) подставить в точный лагранжиан и затем УДоичетворить вариационному принципу только для таких варпа- 3心 Ч» А и Кй. которые возможны при даниоб аппроксимации. ^-ДШхтвеиная рааница между выводом точных уравнений и выво- ^1 Уравнений для зависящих: от времена параметрон в том, что :d Ыором случае варьирование проводится d ограниченном классе »УНкцийв Эти уравнения для параметров в некотором отношении ^^\и был» оптимальными.

'ч—^

Е *> Несколько отлнчаънцпйся подход# в котором электромагвитъые ^^й,Шалы с самого начала пс^ютались нз-за щ^еш^режешая аффектами "^^ысашш. рнзЕмвдл Мжолспгсс (2],

®236

Вахкнос следствие выводя уравпенн 证 для и ара метров к ilHOUHbw методом — строгая теорема энергии для этих yg штй, которая будет справедливой независимо от конкретного ； ра функции Ф, М и 阕а・ Паирпмер, ©i：jh эти функции нс з^ явно от времени к если система консервативна, то из уравк для параметров следует точное сохранение пнергнн.

Из-за сложности поведения плазлты в пj)h6лщкепии Вл очень желательна билыпая свобода выбора фрикций ①，М к Эти функции должны выбираться так, чтобм отразить паше ния или интуитивные представления о самых важных особ стих плазмы, характерные для {решаемой задачи; они до. модифицироваться по мере накопления информации или обе пия интуиции. При к аж долг выборе м? вариацтшгпюго прш следует единственная система уравнении для параметров.] того, вариациопный принцип можно вмдоизменстъ так,. учитывать допплнихеаьпые п|)иближения. которые можно ел для коикретиой физической задачи. Болыггая о&цпость г циоиного иодхода ——цепное свойство для числснцого ре задач, возпикагощих при йксперментальных исследоваиня

В простейшем случае применения принципа Гамильтоне тмнуум частиц, характерный для приближения Власова, av спмирустся конечным чш*лом чнетгщ, а пот^гщиалы — пека классом непрерывных ф^пткций. Некоторые анпроксимаци схемы, пол}7ченпые таким опразом, тесно связаны с находящ постоянно в упот|)еблс1111И числе1шъптя методами- Например преиебречь магнитным полем, а для скалярного поте*» исполсзонать кусоино・6нлп“е员ную anupoKcimar^io, то для к него можно полнить формулу конечных разностей,冠 внлюнает процедуру учета «весе侬 для областей, лспольз) в расчетах типа «частицы в ячейке» (PIC или CIC) [3—5]. £ случае мз принципа Гамильтона следует специфическая pg ная схема для уравнения Пуассона и спецпфпческпп метод g элект ричсского поля, обеспечивающей выпогшение : сохранения энергии. Нарлацноьшы養 подход для системы с， ным числом частиц неносредственно применим в трехмернц( вас с подлыми уравиениями Максвелла и пнешнамп ш Таким образом, можно вывести класс схем, которые будут《 нлями метода «“хстип в ичейкс», 5гчитг>1вающ1ши закон с：《 имя энергии. я

Принцип Гамильтона применим и к задачам, в которых/ нуум частиц приближение описывается конечным днслТ метрос. Частный пример такого рода рассматривался в раЯ В этом примере исследуется двухпотокосая неустойчиво^ низшк температурах. По-видимому, мз этого исслодоваи J ио получить пол5гапалитичесвое оппсапие асимптотическJ тояния этого типа псуетойчивости. Вероятно, наиболее i

дательная сторона еариацмопного метода — это возможность С1^ета iia воирос, как з^^ктпыю описать континуум частиц малмм числом парнметров.

Пргшцит>г Гамильтона можно применить к чисгенному апа- qU3、процессов d плазме в мриближепии Власова, когда частицы х apflin，eP изуюте я их тр аектори ями. Мохшо рассматривать случай шлк^пого или бесконечного кмла частиц. Для оценки иерспек- “ibnoctii метода мы кратко сравним его с мстодадгщ в которых фигурируют зависящие or гремели функции распределения-

ОсноБпая трудность, с которой приходится сталкиваться при pac^ci мх хараьтеристйк плазмы в приближении Власова, когда qaCTHUj" описьтвакутся с помощью завигящих от времени функций рйспределения, охтоит в следующим: линии уровня для фуннцми раси ределения тптеют тенденцию с течением времени все более закручиваться в фазовом пространстве, если в начальный момент вымени илазмл неустойчива. Этот эффект — самое ткссткоо огра- нипеиис на применилик*ть метода, н котором используются QiyiiK- дин распределения, зависящие от времени,— будь то схема вычти、 леипя конечных разностей для уравиенмя Больцмана, меюд «рй«яод;е1ШЙ> (гл. 2) или модель «водяного мешка» (гл. 3),

(В модели «водяного мстпка» используются зависящие от времени фуи1»цни распределения, даже если двткение грашщ в фазовпм нрпгтрннстве 1)ас считывается мз уравнений двлягенмя частиц.) Ла^гсйшая причина, почему иримеияюгея ра^ичнне методы траекторий% состоит в том. что описапме частин их траекториями, taibiio (пянчающеесн б дета.чя^ от пгнользования функций раенределелия, 〃ает нозможяость применять численные методы 乂口野 более д.?1птсл1>нътх промежуткг)в времени.

Между варлационктлм принципом и методами, в которых функции рас предел спи я представляч>тся лшшйными комбинациями «опс«шо1 о числа базисных фупкцмн от координат и спорости с козф- фчциентпми, зависнп(пми от времени, имеется впешнее сходство. 历。с \ одство в оби^м методе параметризацин временных зави- пшосгои. Одлнхо на этом смо и кончается. В случае вариационного «Р^пцтиа мы параметризуем не функции распределения? а реше- "по уравнений движепия частип как функции начальных услсвпй “ времени. Оба подхода эквивалентны, если кажцый осущсст- Мнигся точно.

В § 2 мы подробно опишем метод Л?»гранжа и применение “ ^>азлте в пр1гбл|тстши Власова. Охшсапие содержит иизмо冰- "octl учега иеэлект(>ом ашитных ттотенциалов, которое могут —Riie曰 к от скорости. Оно тикже содержит описапис сред, которые ；o『Vi обладать нелинейной иолярнз>гсм«>сг1>ю и вамагипчиваемо- JK)・ Хотя никакие особые яв-юния, которые могут воииикнуть 日卜"азАтс с уиетпм нелинейности среды, не обсуукдаются, воэмеж- ^чторссныр применения при численном анализе нелипейннх

308Гл. & 佻〃*cxe，cue 叩4〃у/ш Талиизпона；

оптических явлений. Вывод аппроксимацпонной схемы из 《 цииа Гаммьтопа иривцдмтся в § 3・ Мн рассмотрим два ио词 метод Лагранжа и метод Гамилт.тона, и получим теорему эне| В § 4 мы разовьем метод для рассмотрения конечного имел， стиц н тем самым получим рааллчн&р сохраняющие а% обобщения метода счастнц в ячейке九 Применение вариацией метода к исследованию двух потоковой ие^^тойтовости при р« температурах в случщ- бесконечного числа частиц мы опишем i

§ 2・ Описание физической ^исз^мы методом

-Лагранжа

Физическая система

Рассмотрим пладму, состоящую из частиц 芥 типов, и обоья массу и заряд частиц типа Л через М^ и Qh соотвстствеыпо, < частичную функцию распределения для частиц типа к в фщ прострайстве (г, v) обозначим через ” (г,匕。к нормируем полное число частиц типа 九 Частицы двимхугся и «самосш： ванном» электромагнитном поло и, возможно, в обобщ' пеэлектромагннтном поле, потенциал которого дпя -частиц 呼 обозначим через Uh (г, v, £). Мы также допускаем бозмо>н существования внешннк нарядов и токов с плотностями рб「 и j。(％ £)• Полные плотисстя зарядов р (г, £) и токов j(r, /) делим сыраяссылями，

к

Р (г. 0 = Ро (Г. £)十 3 Q&J d?xfh (г, V, О и

](Г, 0 = Jo (г. £)1- 2 Qh ( d^y^fh (г, X £)・

Сина F,{ (т, V, £),] действующая на частицу типа fc, полся и скорость которой определяются в момрнт времени t вект. гит, есть сила Лоренца плюс сила, представляемая обобщ- потепцпалом “ (г, v, Е):

F& (г, V, £)=0 [Е(г, £)十]V X В (г. £)]-

—居办«, v, 0~^vvf/k(r, v,力

где Е — электрпческое поле, В — магнитное поле м с ростъ света. Точные сырагксния градиентов по переиенным действующих на функцию от г и v, приведены в приложен

радиус-вектор частицы типа 儿,начальное положение и скорость кгяорой рэв™ соответствеппо г' и v', будем обозначать как & (г] V ： £)• ^*^0 простоты мы часто будем опускать аргументы у зтс前 функции. Она удовлетворяет обычному иерелятивлстскому уравнению движения

(4)(4)(5a)(5a)MjRa=Fa (%,瓦,£) с начальвымм условиями

(4)

(4)

(5a)

(5a)

&К 匕 0)7

и

旬(/ • v\ O) = V，・(56)

Точ1：сй всегда мы будем обозначать Д1п|)ференцпрова11лс по вре- \1РЗ /:

—g v\。三《R« •匕£)・

Если число начальных условий бесконечно, то уравнению двиясе- ния дяп R* (г', v', £) с<ютветствует бесстолкновительное уравнение Больцмйпа для /ь (г, v,力：

警" + ▼•▽)氏十肃F1t (r, v")・％" = 0. (6)

ypsDiitnue (6) эквивалентно уравнению (4), так мак решения уравнения (4) — характеристичесни© кривые уравнения (6). Если маписатъ обратные соотношения для уравнений

(7а)(7а)(76)(8а)(76)(8а)г=&(!•', К о

(7а)

(7а)

(76)

(8а)

(76)

(8а)

达 виде达 видеv-RA(r\ vYO

达 виде

达 виде

Y = G" (г, v, £)

▼ ьРа(1■宀力 (86)

‘° h (г, V, 2) можно будет выразить следующим образом：

fic(Г, V, £) = /к [Ga (г, V, £)■ Р〃 (г, V, £)■ [0]. (9) Аппроксимация, при использовании которой процессы в плазме ^исква|<>тся с помощью одночастячнш функций распределения, У°6нп\ рассмотренной выше, известна как приближение Вла-

В uauif^M описании электромагнптпого поля мы будем рассмат- 般ать определенный класс сред, которые могут обладать вели- 9*皿【口 поляризуемостью и немагниченностью. Оказывается, что

ЗЮГл. 8- Применение，屮инцмпа Там〃/ьтона

ври этом пе возникнет трудностей, если использовать вари《 пый принцип. Это также может быть полезно для некоторых у нелинейной оптики^ Рассмотрение такого класса сред может . применение м и физике плазмы, хотя мы и не предлагаем \ ничего конкретного. Чтобы рассматривать поляризуемые й ' гнпчпваемне среды, мы запишем уравнения Максвелла в

•В = 0,'

> Е=—；宜

V-D —4яр,

кнТт"

Векторы D и Н определяются скалярными фикциями 屮(Е и х (В» г» О с помощью формул

D(r, 0-4^Vc4'(E, г, О

и

Н(г, ±) = 4戸蹴(В, г, £)•

Векторы D и Н зависят от г и Г неявно, через зависимость ； от г и /. Кроме этой неявно笹 зависимости, допускается также' зависимость от г и ^. Функции ф и х 产°寸弋 быть полезны, природа и распредеиепие поляризуем(ж и намагничиваемой, иямеляются в пространстве и времени. Обычно в областя. могут быть частиды, мы будем исмользова1Ь

纯4白炉И 片《歩•

так что

D —Е и Н В-

Скалярный и вскторпый потенциалы,屮(г. £) и А (г, fi, мы < стандартным стТособом:

Е ~=■ Vcp—■二 А

и

b 二 ▽:、 a.•

В 9ToM случае уравнения (10) удовлетворяются автомат^

Вывод точных уравнений из принципа Гамильтона

Дл>т конечного чисяа точечных частиц, которые взаимодей ьвуют ^срсз электромагыптное поле, имеется точный лагранжиан qjj описания и частиц, и поля 171. Лагранжиан, который мы будем исиольяовать, — обобщение лагратпциаиа точечных частиц на случай нелрерынных систем, которое учитывает возмо/кность оллегшия нелинейной среды и обобщешндх незлсктр・м#г1Ш1 пых дгпелциалов 18, 91. Впервые на возможность описания плизмы r лрмблнисешш Вло1*ора такой аип]юкст<ацлей лагранжиана для 5、ая непрерывных систем указали Jlcy liOl м Старрок [ill н связи с ан!Ш«иом линеаризованныл уравнений.

■mi раижиан имеет пид

L S J d^^fh ("匕 6 G以而一以(Ra,鼠 ±)一 k -1

—&叫Ry 0 ту Q,爲• A (Rft, £)｝十! d3r ｛叭E, r, Z) — x(B, r")

—Pn G J)屮(L 0 -I- J jo «• E)・ A (r. Z) ｝ . (16)

В лой формуле p&w простоты мы использовали запись R^ вместо R； (/- vz, 土). В последующем, если аргументы у функции П頁 будут ◎ттущрны, их следует иметь в виду. ]I нтегрированне по г' и v' выполняется ло всей области пзменемнн аннх переменных. Интегрирование тто г производгп：ся по объему V, на гранлце которого иоп.ьны быть заданн соответствующие граничные условия для электромагнитного полл. В объеме V доллшы находиться нее частицы в течение всего рассматриваемого в реме л и, т. о. вектор Щ (г*. v\ Q до^1жсн лежать внутри объема для всех значений гх ”1' в течепие птоги промежутка времени. Впрочем, если система "Лазает бмкоиеино成 периодачсской структурой, то можно модифицировать уравнение (Ifi) таким образом, чтобы интегрировать "о『'нт только внутри << ячейки периодичности». Интеграл по «ячейке периодичности* пр зависит от выбора ячейки, поэтому иятегрироъание по одной ичвйке вмн*то интегрирования ио всему °%/му изменяет лагранжиан лишь на несущественный числен- “кг贵 М1юн<итель. Векторы Е и В должны бмть выражены иерез 屮 虹 А 1гз уразпепий (15).

Тотане уравнения для физюгеской системы могут быть выве- '「"u，i из принципа Гамильтона

fi j Ldt -0.(17)

Фикции 屮,А з На н (47) варьируются независимо,厶 и 灰 произвольных момента времени. В этом пувлте мы выведет пне У1>а1шеншя из (17) и в процессе вывода определим, какие ннчення должны быть наложены на BappanitM функций 屮,А

Вариация интеграла от лагранжиана по Rj< имеет вид

^Rk J Ldt=，% j 我р3,"(" v', 0) {[-▽叫UMR和京及 J)

—<?"▽%¥ (R爪。+ J QM▽叫 A (R〃/)) • RfeJ- $& +

+「M^応一、丁色(及» 丧а，£) l~QhA(叫 ±)]•6礼}=

j dVd/力 К 匸 0) {— ад - V^uk (R.,露")

+小、/我(现 & ±)一0尸%屮8儿f)一!q*(R出9T

у Qh l(VRftA (&, £))・血—Й/4-ТКлА (R/j, E)]卜 6Ra +

+ { [m^丧片一V^ Uk (%,丧九，fi -"。QaA (R&. £)] • 6Rr} L「

Ограничим вариации no R>, потребовав, чтобы они обр» 】 в нуль при £ =厶 и t = i2：

— к V',幻hb— к в,幻=&

Это означает, что R& варьируется в классе функций, к< совпадают при £ = £1H Е「£2 c искомым решением. В резу 9тото отраничеиия часть выражения (18). представляюща хення вариални для 友 и %，исчезает:

{[7^风一▽1%(马，乩/)十。q2(r，2)」0&} R = 0.

Так кате вариация (1与 должна обращаться в нуль для прои ной 6Rft, удовлетворяющей условию (19), то подынтег|и выражение в (48) также должио обрещаться в нуль. Еслн гг нять нулю подынтегральное выражение (48) и воспользо. векторным тождеством

(▽叫А^аСА.Па — ПхР/А (R. £)=気 X (▽叫 X AfRk")"；

то получим уравнение движения частицы (4).

Вариация интеграла от лагранжиана по <р есть sw т

& f LdA — 2 卜吓 d¥d3”％(“ v\ 0)<?Л6(р-(Щ7 /)4

Аи 〃

F f dfJ d3r{ —|ТЕф(Е. г, £)1/[9屮仁 t)]-po(% >)6 屮(г/)}. (22)

В по цы птег р альном выралсепии А-то члена суммы в (22) перейдем от переменных г* и ”' к поремептш г и v в еоотнстствим с (7) и (8), Можно показать, что якобиан этого преобразования ровен единице. Используем также тождество (9). Тогда вариацию по 屮 можно заипсать в виде

<2*2N

生 j e或T 或 j "々{一[%©4 矛*& V, e)]配",ё)一

A 力 Уk—t

—AD(% £)・b[▽屮(!•")]一po(r,看)加(r, /)}-

『j或]奸{ -p (Г, t) ^- ^ V -D (г, /)} бф (г, 0 ^-

加

一去，或 J ⑥.国(Г, £)D(r,/(23)，

*1 граница V

Наложим теперь граничное условие

(2分(2分J rfS.[«v(r, OD(r, <)1=0. граница У

(2分

(2分

°;шн из способов удовлетворить этому граничному условию — потожитЕ 屮(г» i) равным такому значоншо па границе У, чтобы на зт。前 границе 6ф (г, Z) была равна нулю. Так как вырая^ппр (23) •зуно обращаться в пуль для произвольной 6(р, удовлетворяю- 1rle济 условию (24), то подшггегральное выражение в интеграле по ^Ъ™У тоже должно обращаться в нуль. Полученпое таким обра- з(ш уравнение есть одно мз уравнений Максвелла, (11а).

Вариация интеграла от лагранжиана по А есть 与N也

勾 j £ 由 и》J di ] d^d^fh (r\ U 0) 4 Q^jMA (&, 0 1-

+ J 必[炉「{ - ； [▽或(E, г, П1-« [A(r，0]-

-[%%(B, r, £)] • 6 [▽ x A (r, £)1 +》“「, E)・ 6A (r, 1)} • (25)，

314 凡 JT^Mjggwg/wg пр〃 鼻!竺р Т4^1凹/，戸〃ни

Преобразуем иптегралы, входящие г сумму в (25)； таким образом, как и интегралы в (22). Тогда вариация по А м< быть записана в виде

仙"N

6а \bdt=^dt，姓{口、Qh J d"*% (厶 v, oJ"6A (r? t) — 〃厶 Vk=l

-白DkGB区伍 01 —^H(r, £)・6]VxA(r.E)]T

+ 力o(r」)"A (「")} =

-j 曲『©3工{ ! j", %)十白。"*)- * ▽:、н <r J)}. 5A 仁 1

—白 Jd勾{D“,£).4A(,,如悟一

—亲 J威 J Л5-]«А(г, Г)чН(г, 0Р

〃 граница V

Юг|)аиичим нариацию компоненты 6А, параллельной некто г потребован, чтобы она обращалась в нуль при £ =右 н £

D(r, %)・6А储幻= D(r, Z2)-M(r,与=0・

Это означает, что А Барьи})уется в классе функций, компов которых вдоль D совпадают с аналогичными компонентам瓜. мс>го решения 即〔я: А в мем肥л ил & и /2- Н результате этого ог( чевнн и редпос л едкий член в (26) исчезаот:

В(г, 0-СА(г; /)1ч = 0.

Наложим также граничное условие:

J dS-f6A(r,/).<H(r,/)J-0,

Г1мнцца V

чтобы х последний член и (26) исчезал. 0дш1 мз способов ум・ вори1Ъ атому граиичпомз^ условию — мол ожить А (г,。р> такомх^ аиачснин» на границе V. чтобы вариация 6А (г, 0 o6j лась в нуль iia этой границе. Однако так сильно ограиичиоват нет нсобходммости. Гак как правая часть выражения (26)国怠 исченатг. для произвольной вариации в А, удовл етворяющей ； виям (27) и (29), тс подыитегральиое выражение интеграл объему также .чолжпо исчезнуть. В результате получится N требуемое уравнение Максвелла (116).

Подьттож>шая, отмстим» что из принцииа Гамильтона следуют правильные урарнсняя для физической смстемы, вариации ограничены усуговиями (19), (24), (27) и (29).

3. Обсуисд^ние ограничении, налагаемых на вариации векторного потенциала

Мы будем рассматривать такие аппроксимационные схемы, в Кб тори* приходится пгикладмвать ограничения на все компоненты иарнации вектора А (г, £)• Мы буцем требовать, чтобы всо эти KO'SOLCHTU обра1ца..1вс1> :в нуль ири ^ и Z2- Конечно, это намного Лол^с сильное огрипичение,』ем (27), которое было единствешн»1м огра1пгсенярм? налагаемых на ЗА, при выводе точных уравнений in принципа Гамильтона. Сейчас мы покажем, ито требонапме калибровочной ин« ар па птности для элект ролгагнитного ноля т:оз- 1Ю глет потребоват!. обращения в нуль вариаций А (г, 2) при % л & без потери обиуюстн.

II режце всего заметим, что ялсктромагнптпые потенциалы псиочьзч-ются голько для расчета амсктричсского м магнитного полей. Поэтому если варьируются потепциалы в лагранжиане, то варьироваться они должны и определенном классе футцкций. Последние должны удовлетворять гранитным м начальным усовн- ям. которые мы получили в пр^дыдутцем пункте, и из них должны выводиться все нул?ные электрические и магпитныс поля. Имеется множество такт классов функций, в все опи связаны калибровоч- ним преобразованием.

Вариацпп векторов Е и В, которые следуют из вариаций g в А. имеют вид

ЬЕ 亿 /) = 一 5Vq)亿 £) 一 g В ( А А (г. ±))=

-一 veg. (г, /)-4 4 «А (г, 0,(30а)

6В (г, Z) ^ 6 (V х А (г, 0) = V X 6А (г,讣(306)

На дальнее уелговия, согласно которым моле В (г, Е) должно быть сди((ствеиным. эквивалентпы фиксировашоа В (г, ^ в моменты А и /2- Поэтому мы должая рассматривать только такие вариации, нрн которых 5Е (г,友)и 6В (г, ^2) равны нулю. В 9ToM случае из урпвненмя (306) следует, что 6А (г, &) и 6А (г,幻 градиенты скпщрных функций. Пусть 刀(г, 0 ——некоторая скалярная Фу п кция. Используя калибровочную; инвариантность - введем новые (M，t рпхованныс) вариации потепциалов:

画(г. Е» - 6<р (% £)—]备期(% .

]6А(г, i)f =СА(гг 工)+ 飞(4 Е).

'т。преобразование нарпакий ис измепяет вариси(ий Е (г,。 ? В (г? 2). Так как 6А (г,力)и 6А (г,切一градиенты скалярных ЗзнкМий, то величюш ICA (г, &)]' и [6А (г, ^^ можно сделать Рниными нулю, рсди выбрать q (г. Q так, чтобы удовлетворялись

соотношения

▽刀(г,幻=—6А (г,幻 и ▽期(г,幻=—6А (г, t2).

Следовательно, применяя прмн(ц1и Гамильтопа, мы можем нить условие (27) гораздо более удобным условием

6А (г, %) = 6А (г,勾=0.

Впредь мы будем использовать условие (31) вместо (27).

§ ?■ Вывод а^пронсижацгюип ы/а схем иа прин Гампмтп'ни

Метод Лагранжа

Чтобы исиолгъзовать принцип Галшльтоиа для вывода ап еммационных схем расчета функций д, А н R^, надо спадал或 рать соответствующий способ аппроксимации этих функций, рассмотрим такие аппроксимации, которые можно предст *. с помощью набора зависящих от временн параметров. Зависим этих параметров от времени подлежит определению- Иными:： вами, мы будем рассматривать любые аппроксимации 卓yi# q (г, 0, А (г, ,) и R" (/, у', 0 вида

« (% 0«Ф 1т. £, {а九(9}|,

А (г,。а * к,力{% (0)1

и

% (г', V', 0 а風 К 匕厶{tai (ОМ,

где 6,減 0 4九一выбираемые функции своих аргументов,; рнсммсств от t параметров а九 «), pm (» и 丫制 Q) доляша быть ； делена. Функции ⑦,* н 亥片 и начальные условия для о Pm (0 и Та/ ⑴ должны выбираться таким образом, чтобы уда верить граничным л иачальным условиям для иотенцналов и екторий, соответствующих рассматриваемой аадаче. 6皿 нашего вывода аппроксил^ациониых схем — в использовании i ципа Галшльтона для получения единственной системы уравх для параметров. Прежде чехт применить принцип Гамиль рассмотрим пример выбора функций Ф, W и 历幻 В npocmei .случае можно выбрать функции Ф, л# и 灰比：которые не аавк времени явно и выражаются линейннми комбинациями кон< имела линейно-независимых базисных функций с зависящ!

времени коэффициентами:

ф 1〔, 9 3n «)}]=£ ап (95 (г),н=1

邸 11，』{/(о}1 = 2 飯(о 邸m (г),(336)

m=l

晶1匕匕ё, {加⑶]=S加虫络«, v> 阳吗

Tai、o】i часгпый выбор, когда используется линейная зависимость от конечного числа параметров, часто очень удобен. Однако это oqcnb специальный выбор. Функции можно определить так, чтобы зхмлсшюстъ от параметров бы^а бы существенно аелинейиой. Вы])ажения (32) должиы быть еопергпенно общими, с тем чтобы ирм решепии конкретной задачи выбрать на основании имеющихся 311alш丘 м нптунтивиых представлений о физической системе удобный тми аппрокс има ।(ии_ В самом деле, если точное решение выражается через Ф,弘,阕女,то при этом не делается никаких при- <1Л1Ккенин.

Если функции 中, W и Sih определены, то их можпо использовать в лагранжиане (16) имеете обычннх функций @： А и R^・ Велспппы, которые нйдо варьировать по принципу Гамильтона,— 9To зависящие от времени параметры а氾(Е), р^ (2) и yta (%). Возможные вариации Ф, л# и 络 имеют вид

6① fr, G {а〃 (01) р 2 妥 W"，(34а)

[r, 上，仇⑼]一£ 渠 6%，(346)

tn=l

Ns

叔儿k % £, {西❷}] 一 、 総班,.(34b)

八口刃 того чтобы вариации Ф, % и 阕八,соответствующие варьиро ^пп1ю каждого из параметров в отдельности, были липейно-неза- «ш ишгмй, должны быть лияейно-независшпми три набора фуик- Чип，貫D/应。* 0函8% и f^^ih^ki 评5 всех 大 Как следствие этой ^инойпой пезавпсимости на вариации 0m (£) и р股(Е) в моменты 友 п 7? чо.'глены быть наложены ограшгчеиия, чтобы удовлетворить К.ндшям (19) и (31). налагаемым па 6R" и 6А в те же моменты времени:

бРт (^1) = 6% (切=0 (35а)

8м "D』Х. (4) = 0.8м "D』Х. (4) = 0.(356)(356)

8м "D』Х. (4) = 0.

8м "D』Х. (4) = 0.

(356)

(356)

()ст“н1nHec玄 условия (5), (24) и (29), которые требуются для пр<ме-ненкп принципа Гамильтона, также удовлетворяются, так как

граничные и начальные условия для потенцшиов и траек^ >-донлепюршснся н силу формул (32).Единственная разница ме*^у игиодьзоБаиисм прг« Гамильтона для вывода точных уравнений физической о： и использованием его для вынода у])авнсний для зависяпХ < времени параметров в том, что в последнем с&умас определ， вариации внутри 02Ptiниченнзо класса《ушиц【近。，譚 л §丸・ b условий (35) уравнения, полученные из вариациопиого пр期“ для параметров,——это обычные уравнения Эйлера ——JJarpa в которых L считается функцией обобщенных коорципат 0t м Ум, обобщенных скоростей 0叱 加 и, возможно, /. Велич «и отсутствуег, тяк как g не вхзигг в »сражение точного J【・； жнанн. Ураннеимн Замера — Лаграшка имеют видграничные и начальные условия для потенцшиов и траек^ >-донлепюршснся н силу формул (32).Единственная разница ме*^у игиодьзоБаиисм прг« Гамильтона для вывода точных уравнений физической о： и использованием его для вынода у])авнсний для зависяпХ < времени параметров в том, что в последнем с&умас определ， вариации внутри 02Ptiниченнзо класса《ушиц【近。，譚 л §丸・ b условий (35) уравнения, полученные из вариациопиого пр期“ для параметров,——это обычные уравнения Эйлера ——JJarpa в которых L считается функцией обобщенных коорципат 0t м Ум, обобщенных скоростей 0叱 加 и, возможно, /. Велич «и отсутствуег, тяк как g не вхзигг в »сражение точного J【・； жнанн. Ураннеимн Замера — Лаграшка имеют видЗто пр([ближеппые уравпрпвя, получеппме из принципа Гал тона. Следует заметить, что уравнение (Sib)——пе дифферент ное. В принципе его всегда можно решить и выразшъ а^ (今、 остальные переменные, а резул 1«тат подставить в уравнения ■ п (Збб).2. Метод Гамильтона и теорема энергииТеорема знергпн, которая была охарактеризована в § 1 важнейшее следствие вариа!(ионного подхода, может бътть иллюстрирована при переходе к методу Гамильтона. Этот ь может быть полезен и в случае численных расчетов, так как с ма уравнений Эйлера — Лаграюта (霸)заменяется системой ференциальных уравнений: первого порядка.Определим обобщ^нпыо моу^пты 仃耽 м 任卜人 которые сос ствук/г обобщенным скоростям рт и 血〃Зто пр([ближеппые уравпрпвя, получеппме из принципа Гал тона. Следует заметить, что уравнение (Sib)——пе дифферент ное. В принципе его всегда можно решить и выразшъ а^ (今、 остальные переменные, а резул 1«тат подставить в уравнения ■ п (Збб).2. Метод Гамильтона и теорема энергииТеорема знергпн, которая была охарактеризована в § 1 важнейшее следствие вариа!(ионного подхода, может бътть иллюстрирована при переходе к методу Гамильтона. Этот ь может быть полезен и в случае численных расчетов, так как с ма уравнений Эйлера — Лаграюта (霸)заменяется системой ференциальных уравнений: первого порядка.Определим обобщ^нпыо моу^пты 仃耽 м 任卜人 которые сос ствук/г обобщенным скоростям рт и 血〃оm -оm -dLdL

граничные и начальные условия для потенцшиов и траек^ >-донлепюршснся н силу формул (32).

Единственная разница ме*^у игиодьзоБаиисм прг« Гамильтона для вывода точных уравнений физической о： и использованием его для вынода у])авнсний для зависяпХ < времени параметров в том, что в последнем с&умас определ， вариации внутри 02Ptiниченнзо класса《ушиц【近。，譚 л §丸・ b условий (35) уравнения, полученные из вариациопиого пр期“ для параметров,——это обычные уравнения Эйлера ——JJarpa в которых L считается функцией обобщенных коорципат 0t м Ум, обобщенных скоростей 0叱 加 и, возможно, /. Велич «и отсутствуег, тяк как g не вхзигг в »сражение точного J【・； жнанн. Ураннеимн Замера — Лаграшка имеют вид

граничные и начальные условия для потенцшиов и траек^ >-донлепюршснся н силу формул (32).

Единственная разница ме*^у игиодьзоБаиисм прг« Гамильтона для вывода точных уравнений физической о： и использованием его для вынода у])авнсний для зависяпХ < времени параметров в том, что в последнем с&умас определ， вариации внутри 02Ptiниченнзо класса《ушиц【近。，譚 л §丸・ b условий (35) уравнения, полученные из вариациопиого пр期“ для параметров,——это обычные уравнения Эйлера ——JJarpa в которых L считается функцией обобщенных коорципат 0t м Ум, обобщенных скоростей 0叱 加 и, возможно, /. Велич «и отсутствуег, тяк как g не вхзигг в »сражение точного J【・； жнанн. Ураннеимн Замера — Лаграшка имеют вид

Зто пр([ближеппые уравпрпвя, получеппме из принципа Гал тона. Следует заметить, что уравнение (Sib)——пе дифферент ное. В принципе его всегда можно решить и выразшъ а^ (今、 остальные переменные, а резул 1«тат подставить в уравнения ■ п (Збб).

2. Метод Гамильтона и теорема энергии

Теорема знергпн, которая была охарактеризована в § 1 важнейшее следствие вариа!(ионного подхода, может бътть иллюстрирована при переходе к методу Гамильтона. Этот ь может быть полезен и в случае численных расчетов, так как с ма уравнений Эйлера — Лаграюта (霸)заменяется системой ференциальных уравнений: первого порядка.

Определим обобщ^нпыо моу^пты 仃耽 м 任卜人 которые сос ствук/г обобщенным скоростям рт и 血〃

Зто пр([ближеппые уравпрпвя, получеппме из принципа Гал тона. Следует заметить, что уравнение (Sib)——пе дифферент ное. В принципе его всегда можно решить и выразшъ а^ (今、 остальные переменные, а резул 1«тат подставить в уравнения ■ п (Збб).

2. Метод Гамильтона и теорема энергии

Теорема знергпн, которая была охарактеризована в § 1 важнейшее следствие вариа!(ионного подхода, может бътть иллюстрирована при переходе к методу Гамильтона. Этот ь может быть полезен и в случае численных расчетов, так как с ма уравнений Эйлера — Лаграюта (霸)заменяется системой ференциальных уравнений: первого порядка.

Определим обобщ^нпыо моу^пты 仃耽 м 任卜人 которые сос ствук/г обобщенным скоростям рт и 血〃

оm -

оm -

dL

dL

дУк1Используя эти моменты, определим функцию Гамильтона

ноюРЗ* векует рассматривать как функцию 乙，0匸血：，。皿富浦財> bojNOHUto, А Этот гаылыьтонпан иесколгько отличается от ана- дОгпчмой всличюаы для обычной мехапичес.кой систеьты, так мак в неги но входят имлулвсы, сопряжнппыр с 々曾・ Это случилось П|Т1ояу, 'ИЧ) С/т, не входят в Z. Тем не менее, используя (36)—(ЗЯ)Г трудно доказать справедливость cлeдyюп^lгv гамильтоновых уравнений движения:

• 0H加=京高， дН• 0H加=京高， дН(39а)(39а)TW =TW =°m°mм丽м丽叔" иН 丽， он 一丽，=0“叔" иН 丽， он 一丽，=0“(明G)(明G)(39b)(39b)(39r)(39r)(39д)(39д)

• 0H

加=京高， дН

• 0H

加=京高， дН

(39а)

(39а)

TW =

TW =

°m

°m

м

丽

м

丽

叔" иН 丽， он 一丽，

=0“

叔" иН 丽， он 一丽，

=0“

(明G)

(明G)

(39b)

(39b)

(39r)

(39r)

(39д)

(39д)

ак и в случае последпего уравнения Эйлера —— Лаграижн (ЗЬн). пслсднес уравнение Гамильтона, (39j°,— не дифференциальное; принципе его всоща можно решить, выразив ап (/) через 'талг>ныс переменные.

¥1з уравнений Гамильтона следует

(40)(40)亜_ ОН

(40)

(40)

% =直-.

(41)(41)Зто уравнение и выражает теорему энергии. Оно справедливо пру любом иыборс функций Ф, М и ^?Л (32). Иптересея частный слу- ияй* когда ни одна из функций Ф. ^ и 历 не зависит от времени 〃б"“. Тогда ураиненме (40) имеет тот же вид, что и аналогичное сот шипение для реальной физической системы, так как пряная ?ac?L может отличаться от нуля, только если фуш^ции р(> (г, ", М (г, 0 n U (т, V, 9 зависят от времени явно. Если же и р(), j0 н U?《не зависят от времени явно, то в реальной физической системе знергпя сохраняется и уравнение (40) сводшгя к

(41)

(41)

Нз (41) следует, что р случае рассматриваемой аппроксимацношюй "emlt, как и л реальной физической системе, энергия сохраняется.

口 заключенно приведем формулы для L к 妙 в случае, когда отсутствует материальная среда и нм одна из функций ①，京 м ^h "° вг\висит от ьремнпи явно. Общие формулы будут приведены ” приложении Е.

Так как материальная среда отсутствует, то ф (E»i и % (В, г, Z) имскуг простом вид, (13), и потому D — Е и h км. (14)1. Учитывая, что функции не зависят от времени ' мы будем писать в формулах Ф 1г, {ал (t)}l, %k, и %'*"•{加(0}| вместо Ф lrr 厶{% «)}1, Wk 与犠 и，必&', v', {Тл/ (0}J- Выражение для L можно полупить, подставить эти функции в уравнение (16):

L=± "3/期，扭(“VL=± "3/期，扭(“V'，0）e麻，加齡了一'，0）e麻，加齡了一

L=± "3/期，扭(“V

L=± "3/期，扭(“V

'，0）e麻，加齡了一

'，0）e麻，加齡了一

一6(晶 g v\ {ykl}). 2加篇 ^ 0 -

-Qg> (晶(rT,匕{加}),{%})丄十我丈2編鬻］•解(琳&*млм>}*

十J而{*［-▼①(心佃В)-: 2 "謠］一

V X W (l(pm})p 一p。r 0Ф (力mП))」

+ ；j(r, £)・W(t{Pm})} •

Обобщенные импульсы 1см. (37)］ имеют вид

%%5=百］dF5=百］dFJ 0¥匹0（匕七0）J 0¥匹0（匕七0）•卜。（l{%）+; 2自黑］需m工加陪一•卜。（l{%）+; 2自黑］需m工加陪一

%

%

5=百］dF

5=百］dF

J 0¥匹0（匕七0）

J 0¥匹0（匕七0）

•卜。（l{%）+; 2自黑］

需m工加陪一

•卜。（l{%）+; 2自黑］

需m工加陪一

-RU人（络（"9，他», VJ）L?脸（通冲#十小Q途（0反（必心 旧祝，伸3}}}

В выражения (43а) обобщенный импульс % и обобщенные с. С1и р； связаны линейной зависвмостью. Если U& (г, v, Е) равно с, или зависит от скорости только через «Л то уравнение (436); связывает лияейиой зависимостью обобщенный импульс? и обобщенные скоростиу/и. Если не накладывать киких-либо ?

пилений на Uh (г, v, Q, то галтильтониаи (38) принимает видпилений на Uh (г, v, Q, то галтильтониаи (38) принимает вид

пилений на Uh (г, v, Q, то галтильтониаи (38) принимает вид

пилений на Uh (г, v, Q, то галтильтониаи (38) принимает вид

н = £ (好小力к v\O){±Mft[S/総了+

+u方(晶(J, v\ {taJ), 27m 黑^"，0一

-[^^■^^ %缶小' V'‘儿讶，“例J-[^^■^^ %缶小' V'‘儿讶，“例J+Q^(^ (/, v\ (牲,» 口Q)};+Q^(^ (/, v\ (牲,» 口Q)};+ 备 N X 邸(г, {₽гл}))2-Г ро (г, 0 6 (% {<М)—+ 备 N X 邸(г, {₽гл}))2-Г ро (г, 0 6 (% {<М)—

-[^^■^^ %缶小' V'‘儿讶，“例J

-[^^■^^ %缶小' V'‘儿讶，“例J

+Q^(^ (/, v\ (牲,» 口Q)};

+Q^(^ (/, v\ (牲,» 口Q)};

+ 备 N X 邸(г, {₽гл}))2-Г ро (г, 0 6 (% {<М)—

+ 备 N X 邸(г, {₽гл}))2-Г ро (г, 0 6 (% {<М)—

一90(7)，图(Г.他г})} ,(44)

где обобщенные скорости нужно выразить через обобщенные координаты и импульсы с помощью (43).

§ 4. Случай копечноео числа- частмц

Ба^лхационзти подход легко применить для численного моде

лирования плазмы с помощью конечного числа точечных частиц.

II ростейшие численные методы для конечного числа частиц тесно

связаны с другими находящимися в употреблении методами (3——5]. При кодеином числе точечных частиц вариационный метод при

водит к специфичньш аппрокси5{ациопньпгГ схемам для потенциалов

и к специфичным методам расчета полей, которые входят в уравнения 〃ви?кення частиц. В этом параграфе мы рассмотрим два часгиых случая: одпомерный электростатпческий случай и дву^ мерный электростатический случай.

Одномерный электростатический случай

Рассмотрим случай одной пространственной переменной ж ^периодическими граиияиыми условиями, налагаемыми при 况 = О М 太 二入.Будем рассматривать только один тип частиц при падпчим заданного однородного нейтрализующего фона с плотностью зараза Ро. Векторный потенциал можно положить тождественно Равным нулю, так как имеется только одно измерение. Начальная 2J123B

функция распределения задается суммой 6-фупкцвй:Ns

/S,* 0)—2 6任‘一*6(</一吟，i—1

AiAiФ的力仇(±)}1 =та〃 (上)①“仔)Ф的力仇(±)}1 =та〃 (上)①“仔)где Xi и гг — соответсявенво координата п скорость г-й ча< и 7VS — число частиц. У функции 例勿 в рассматриваемом с будет только одна ^-компонента. Обозначив эту компоненту 5, выберем ^ и Ф в виде

Ai

Ai

Ф的力仇(±)}1 =та〃 (上)①“仔)

Ф的力仇(±)}1 =та〃 (上)①“仔)

И

EY,"",("閒 Jg产⑺ X"紋，И.

Соотнотеиия (46) — частный случай (33) Функции Фп (葡 j мы удовлетворять гратпгашм условиям при х = 0 и ж = Z как сача льва я функция распределения сингулярна, удобно делить ве.тичину X； так；

еслл У =Xi и i/=〃h

0 в других случаях.

1'огда начальные условия для у/ (/) будут иметь ви^ 也(0)=аmа(0)=也・・

Очевидно, что у/ ⑺一координата частицы I в момепт 厶 По ляя (45) и (46) в лагранлсиан (42), получаев<

XN,ZVs

■ = j dr' f rf^^ 6任'一g)6(“一切{}"[2 y，X"/, t/)

MN§

-Q f a® ( . YiK (吟吟)} +

ii=id

AM•M

+ [ d«r [ 2 厶3 ⑺]—Po』an①「(£)} j

<)n亠|u1

Ns . Nt

-2 {4■叫i _Q 2 am(”)}十

Г=1ti=<1

入队，Ni

十 f &r {"^F [ 2 а^Фп ("汀一Po 幺 a「d (z}}・

0n^lTl=l

гас

5m) F/①"仔卜 уравнения Эйлера ―• Лагранжа (36а) и (36в) для этого лагран- и<иаиа имеют вид

w也—-Q 2 % e)①2 (州)，(50a)

Yi人А、з

去 * %，姦它(м) Ф； (х) V ро f dxФn (算)+ Q、Фп (&) • (506) 公 Iсс1=1

Уравнение (50а) — обычное уравнение движения для частицы с номером I, а уравнение (506) — некоторая аппроксимационная схема для решошя уравнения Пуассона. Вследствие (41) из этих у|ювнснии следует закон сохранения эпергии.

Простой частный случай уравнений (50) тесно связан с чис- лсппым методом 131. Из вяриациоипого подхода следую! вариант атзх? метода, а также различные обобщения, в каждом из 1соторых энергия сохраняется- Вариант метода [31, в котором энергия сохраняется, можно полнить, если для ска^1 яркого потенциала jicno^i.soEaTb кусочео-линейную аипроксимацию. Мы приравняли схалярнн立 потенциал в крайних точках х = 0 н л = X нулю п попользовали локалььый базис для периодических, кусочно- пинсш1ых функций, которые в крашшх точках обращаются в нуль. Локальные базисные функции — это функции g〃 (х):

{

(1/Д) [х—(п —1)Д], если (办一1)А《1<пА,

("А)[(п 十 1) А —司，если пД<аг<(п + 1)Д,(51}

。в других случаях,

Lie А -•- V (Wq 十 1). Если в качестве функций Фп Q) выбрать кусотоо-лмиейные функции g。(/), то ап (0 определит потенциал в точке 力=кА и интегралы в (506) будут равпы

J d?：①“ (© = Д,(52а)

п

久f 2/Д, если Z —%

J й.гф；(д?) Ф；仔)={ — "А, если "—唱=1,(526)

。I 0 и других случаях.

^'йтрица (526) — обычная центральная разностная апироксима- "Мн второй производной. Как следствие этих форьтул уравне- '"с (506) идентично формуле для уравнения Пуассона, используе- 21»

мой в (3). Метод (3] отличается от нашего только тем, что исиольз^^ется кусочно-линейна я аппроксимация произв Ф^ (у。в уравнении движения (50а); из-за этой разницы в мен энергия не сохраняется.

Двумерный электростатический случай

Наш второй пример в случае конечного числа частиц ан чен рассмотренному, за исключением того, что теперь мы у ваем две пространственные декартовые координат!.!, а; и у. жим периодические граничные условия на краях квадр стороной Л. Как и прежде, будем рассматривать один тип 】 при наличии одпородного нейтрализующего фона с пяоп заряда р0 и будем пренебрегать векторным потенциалом. Н иая функция распределепия имеет вид

Ws

/« 匕 0)= X0(r'-O)6(U —V»,

где Г£ и v}——соответственно начальные радиус-ьектор и ско частицы с номером 厶 а Л^ — число частиц- Как и раньше, । только одна функция 9?虫；обозначим ее через 图 и выбор и Ф в виде

N1 N.'

①〔Г, Е, {6仙(#)}) ~ S 2 ^пт (0 ①пт (爲 У}

Tl^l тп^\

Н

0X, 5, 1,付"(1),加(》]=；

=W {Rk(£)§h«', b)十力。(今出切(t'，▼)}•'

Эти выражения ——частный случай (33}. Примем» что на , квадрата иотекцпал должен обращаться в нуль. Для этого' потребовать, чтобы фуикция ①皿(ж, у) обращалась в ну《 краях квадрата. Базиспы© функции 乡々 и 回垣 определим'

加；，л'—”'i；

JIОвдругихслучаях$

n:

М乐典亚 r'=F, M w'=Vi,；

5阿1 ' 'I0вдругихслучаях,j

где i и ] — единичяые векторы в направлении осей R и у ссы ственно. Начал>>ные усмовнх для 力3c (0 и 丫功(Z) имеют вид ；

T/x(0)i+v^ (0) j=r,

9K（°）E 十 Y切（0） j — ”•（556）

Очевидно, что ylx （/） j ^|-加（£） j есть радиус-вектор частшхы с уером I в момент Z. Подставляя в лагранХп （獄丈漂: L=g停"1慎十所一0 £ £以皿m（Y、加）｝ +

7«•=! m^lj

十产J可｛-§S-[z二*9』（吗行- 芥■抽

—Рq 2工加小①m（爲y）｝ .（57）

力=1 m=iJ

Введеат следующие обозначения:

6…@处=白0加伊,力，①呷依У）=^фПт（伤У）,（58）

тогда

Эйлера —Эйлера —（59а）（59а）（596）（596）①nm （了，U）= Qnm. м 3 У）十 j^nm, 一 （％ У）・ Если испольвовать эти обозначения, то уравнении Лагранжа （36а） и （36в） примут вид

Эйлера —

Эйлера —

（59а）

（59а）

（596）

（596）

・N1 町

取Y以=—Q £ 2 %巾（0 Фпт. к （у<ж> Ти）， п«=1 тпТ

.N1 N1

М\"у = 一Q 5j 2 a«m （0 ①5. у（7— Y功）， n^l fn=l

%T 2 S ^ J dx J电[①订.x（名 У）①"矶*（冬у） +

i^l >х=1%0

+小5 日 （/处嗅./% У）】=A A2V1

=Р。] "“ J dgnml£ 必+Q 2 Флт（Ти» Vlv）- сравнения （59） — обычные уравнения движеиия частицы с иоме~ 地| L а уравнение （60） — некоторая аппроксимационная схема 汕虹 рылоппя уравнения Пуассона. Как и выше, из этих уравнений с®3ует закон сохранения энергии.

Простой: частный случай уравнений （59） и （6（^ тесио связан :мьтодом 13] it с одной из процедур [4, 51. Как и в случае одного прения, из вариационпого метода следует вариант методов

(3—5] и различные обобщения, в каждом из которых эне? сохрлпяется. Вариант методов (3—51, в котором сохрапм энергия^ получается, если доя скалярного потенциала пспоа вам кусочно-билинейлую аппроксимацшо. Локальный базис： периодичрсБих, кусочно-билияейннх функций, которые обращу ся и нуль на краях квадрата, задается функциями g“,( Локальные базисяые фуркции ——это произведения « &(£)gm ®)・ Соответственно изберем теперь ①榊(①，у) в。叫

5m 8, у) = gn GOWm ®)・

Если использовать обозначение g： (х) = (d/djr)gn (z). то ура- ипя (59} и (60) можно переписать в виде

••N，払

MYzx = — Q £ 2 «пт (f) g£ (Vlx) gm (丫而，《

it=l ■=!

“Y冊=—Q \ S «nm «) gn(YH)g；n (Yl川(

n—i л»Т

N1 Ki 入 К

去 2 Е<х〃 j di j 电【城 GO点(①)gj(y)gm(V)T

I J=I °I J=I °О

I J=I °

I J=I °

+ gf И gn ⑺ g] ®) gj ®)]=

Ws

=Po j 右[电gy. (?) gin ®) + Q W gn (Trx) fim (T切卜!

Интегралн в (63) равны：

f "gn ⑺ gm ⑺=у A6nm + 專△(6n・ mH十5用.m), к

j digit 传)始(*) = К 6”“д~ (Йп m*l + ^л+i. m)-

Следовательно, уравнение (63), которое определяет annpok цпоннух> схему решения уравнеимя Пуассона, можно лере口 в виде• I

№ м _,

£" S 2 勾[弘皿6加—з"(&П + fif+1. nd-^i. nil) X'

13T4

X (6jm 十 5抖 1. m + 6j, m+1)] = P心? + Q £ g，t (Y%) gm(Tly)・,

5・耳吗第nQ"tcKoea& мсусми飙usocnib %&e низких mewnepamgpar 327

П or л одним член в правой части этого равенства в точности соот- вм】вуег прщедуре «весовых множителей для областей», которая оррмсил»1ась Морзом и Нильсоном ИЛ, а также Бэрдсиллом и Фас- з»〔 Н，5] для расчета заряда в лх ащзроксммацмоштын схемах решетя уравнения Пуассона. Левая часть равенства (65) соот- рс*гг<тует девятиточечной разностной аппроксимации двумерного лап>1асиана, матрица которой имеет вид

5. Примеиепие 竈 слууаю d«yjrnoтолковой"，，/e加0心冤"в0ё"2" npn w инких температурах^.1Я комтимуума частиц

В зтом параграфа мы испольаусм вариациопный метод для вывода а11П1юксимадио11ноп схемы в случае, когда рассматривается континуум частиц вместо конечного имела частиц (8, 6]. Как мы видели в § 2, именно в случйе коптпнуума аппроксимацпопная схема приводит к описанию плазмы в приближешш Власова, ьигда частицы опмсывакпся одиочастичными функциями распределения, удовлетворяющими бесстолкяовительиым уравнениям Бо1ы^1нна. Одна из мнибс」％ привлекательных сторои варинциои- ього подхода к числеиным мегодам — 3To возмолшость определить, I泳“ с помощью малого числа параметров эффективно шатать Кошину ум частиц. Пример, который мы рассмотрим в настоящем иармра^е,— первый шаг в этом наиравметт. Данная вепмюж- иостъ в настоящее время активно мсс^гсдуется Льюисом и Милен- аея.ем.

Рассмотрим плазму из одного типа частиц в простринстве °диого измерения х при па-нппи одиородпого иейтралпзующегс Фона с плотностью заряда рл. Наложим периодические граничные Уловил при х — Q их 二一入.Так как имеется только одно измерс- ""/• положим векторпш пот1»1|1диал тол^дрственно равныл( нулю. Отсть снаиама частлцы образуют два, возможно искаженных, "агскп в фазовом пространстве. Начальная функция распрсделе- mix есть

2

“и, 1/, О) = Z 厶侬)6S—& 侬爪(66)

гдегдеg,(/)== —У ^- Ля sin>~^- xr -f- Bi cosg,(/)== —У ^- Ля sin>~^- xr -f- Bi cos2лт2лтLL&2 (*') = У + “2 sin ^^" 0’ + “2 COS *^—"&2 (*') = У + “2 sin ^^" 0’ + “2 COS *^—"ИИ力⑺小+c力⑺小+c」um」umКК"+。£ cos 多^ "."+。£ cos 多^ ".В етих формулах m — цемое число, V — скорость,冷。一нэт пая средняя пространствеппая шотпость, а Лг, В^ Cf и £ ковстанты, определяютцме отклонение начальной функции ^ прцделения от равновесиой. Плотпость заряда фона можно й зить через % н Q:В етих формулах m — цемое число, V — скорость,冷。一нэт пая средняя пространствеппая шотпость, а Лг, В^ Cf и £ ковстанты, определяютцме отклонение начальной функции ^ прцделения от равновесиой. Плотпость заряда фона можно й зить через % н Q:po = — %Q・Имеется только одна функция 笈玄,z-компоненту обозначим через |, Мы выберем | и Ф в несколько виде, чем в (33):оk. Е,(为")}1一%(9+ 2v/?XП=1X |ct(2n)@) sin -^- 7 十а⑵Т) (£) cos-^Е ",心力{暗(%唯(e)}-•+ W eS，吟义po = — %Q・Имеется только одна функция 笈玄,z-компоненту обозначим через |, Мы выберем | и Ф в несколько виде, чем в (33):оk. Е,(为")}1一%(9+ 2v/?XП=1X |ct(2n)@) sin -^- 7 十а⑵Т) (£) cos-^Е ",心力{暗(%唯(e)}-•+ W eS，吟义КОТОрО]более сКОТОрО]более с}}№№х {т督(£) + 2 [凭，("sin 苧"+ T督(力)cos 号2r[ }，х {т督(£) + 2 [凭，("sin 苧"+ T督(力)cos 号2r[ }，1=11=1гдегде,,J 白仔‘)， ^i^ , v) = j о,,J 白仔‘)， ^i^ , v) = j оНачальные условия для т，?(/) иНачальные условия для т，?(/) иесли г/ — gq (书， в других случаях. 噌(9 имеют видесли г/ — gq (书， в других случаях. 噌(9 имеют вид

где

где

g,(/)== —У ^- Ля sin>~^- xr -f- Bi cos

g,(/)== —У ^- Ля sin>~^- xr -f- Bi cos

2лт

2лт

L

L

&2 (*') = У + “2 sin ^^" 0’ + “2 COS *^—"

&2 (*') = У + “2 sin ^^" 0’ + “2 COS *^—"

И

И

力⑺小+c

力⑺小+c

」um

」um

К

К

"+。£ cos 多^ ".

"+。£ cos 多^ ".

В етих формулах m — цемое число, V — скорость,冷。一нэт пая средняя пространствеппая шотпость, а Лг, В^ Cf и £ ковстанты, определяютцме отклонение начальной функции ^ прцделения от равновесиой. Плотпость заряда фона можно й зить через % н Q:

В етих формулах m — цемое число, V — скорость,冷。一нэт пая средняя пространствеппая шотпость, а Лг, В^ Cf и £ ковстанты, определяютцме отклонение начальной функции ^ прцделения от равновесиой. Плотпость заряда фона можно й зить через % н Q:

po = — %Q・

Имеется только одна функция 笈玄,z-компоненту обозначим через |, Мы выберем | и Ф в несколько виде, чем в (33):

оk. Е,(为")}1一%(9+ 2v/?X

П=1

X |ct(2n)@) sin -^- 7 十а⑵Т) (£) cos-^

Е ",心力{暗(%唯(e)}-•+ W eS，吟义

po = — %Q・

Имеется только одна функция 笈玄,z-компоненту обозначим через |, Мы выберем | и Ф в несколько виде, чем в (33):

оk. Е,(为")}1一%(9+ 2v/?X

П=1

X |ct(2n)@) sin -^- 7 十а⑵Т) (£) cos-^

Е ",心力{暗(%唯(e)}-•+ W eS，吟义

КОТОрО]более с

КОТОрО]более с

}

}

№

№

х {т督(£) + 2 [凭，("sin 苧"+ T督(力)cos 号2r[ }，

х {т督(£) + 2 [凭，("sin 苧"+ T督(力)cos 号2r[ }，

1=1

1=1

где

где

,,J 白仔‘)， ^i^ , v) = j о

,,J 白仔‘)， ^i^ , v) = j о

Начальные условия для т，?(/) и

Начальные условия для т，?(/) и

если г/ — gq (书， в других случаях. 噌(9 имеют вид

если г/ — gq (书， в других случаях. 噌(9 имеют вид

小?(0)=壮2(。)=0，

R?(O} = T督(0) = 0, если，娱 0,

湖(0)=?-

редставляя (70) в лагранжиан (42), получаем

L^rM^ ^f^f) ЙS) {碗 I-

+ X [油е誓门-泳OS苧刁} J

一Q2 3 士/争卜力3)xi=l n«l0

X {a. sin 户岂 E S,欧⑺，T)] +

4为25"[w4開'，欣(力，T)]}+4 2依統+a乳-J, (73> я=1

где мы использовали сокращение

e(人%Y) =ES,叭厶刊？(+唱/)}].(74>

Для этого лагранжиана уравнения Эйлера — Лагранжа, (36а》 и (36в), имеют вид

2 ,

«3)=。//^》["力 8)sm [手 V，g*S), Y)|,(75а>

азт)=0：/孽金 р^АЮх i=l О

хcos[^^EQ\ 统(К), Y)] ,(756)

w J "L(")g：S) {確)+ 2 [瓶sin手叫一砲COS芋][}=

=-Q /J d頰力他')gf 仅‘)x

* {a《2n)COS ["^^-Е (力'，gi (算')，T)J —

-a⑵1,或口[^"е(3, gi(i'), Y)]} .(75В>

■ j d『z （公）欣（"）sin 争 £' { %, +

+ 2 [乱？或口子3'+.偷cos手金[}=

Nt入

_= 一 Q/^" \ I ^fi （ж，） gi （x，） sin —^"，、： л--1 0

X {a⑵“co*[^p4（",且（夕'）• Y）] —

-%2nf疝1[^^（", g"彳'）. "}、

"f小看（吟博8） cos平"｛初+

W ［沁П*十砲cos*］｝=

=—Q> -у- 2 J de% О 幻（？）仪壮 ~^"^ 八

К ^ |a（2w,cos［-^E（^,豆伍）的］一

一區7遇m［手4（"，白（"），相1｝ •

II* этих уравпений следует, что зпсргия сохраняется.

Результаты численного нятегрировапия уравнений （75） с с вовесными пачалышми функциями распределения показа что некоторые величины, которые мотут быть полуиенм из peuj не чувствительны к чиеяу базисных функция （m = 1; N* № W 5）. В частности, иечувствите.'|ьньт к числу базисных 0yq максимальная велишна электрической эяергии, время, энергия достигает максимума, средняя величина электрич ниергии и распределение но скоростям по истечсыли длие； времедя./

Интегралы в уравнениях （75е）—（75д）, которые умпожакм 漁.磽）и yj, нс содержат Е, и потому их надо Е1хчяслить с один 'раа. Другие мптегралы в уравнениях （75） вкт" g （Z, gt 传'）,у） и потому зависят от t, так как 喘?, 丫黑 и 丫乂）寸 •о” 厶 Все интегралы, в которые входит Е （&', gi （夕'），Т）,]

представить как лтшейпые колйинации интегралов вида 2л

/(“ :/，加})=+ j "°Х

о

к екр {@8+\ (4cos ко -}瓦9山无9)]} , (76)

I%。$ и М — целые числа, a cfc и Ьй — линсйние комбивации 増, 丁川 и ?：：). Интегралы зтого вида в общем случае нельзя вычислить аиалнт,1ЧССКИ» и их численна и оценка — главная трудность ва пути получения чнслеппого решения уравнений (75). По этой причине были разработаны специальные методы точного х з^Оеп- тнвиого вьтчпелеьтия таких интегралов 112|. Если значения 〃灰 и &方 увел напваются но трудности пр肌 шггегрировав ин возрастают, тйк как подыитегральныс в1Лражепия начина к/г осциллировать бис грее. Анн/из показывает» что в случае неравновесных началь- hmn функций распределепия решение уравнений (75) в конце концов приводит к таким большим величинам ak и 6虫,что иитс- rpA.iM могут быть довольно точно вычш'лгены методом стационарной 巾азн. Зта возможиость асимптотической оценки интегралов может привести к некоторому полуаиалитическому оппсаиим» поведешш двухпотоковой неустойчивости при болыпмх /.

Приломсение Л. Гриоиенты по /оор。畿н@»〃а*и спорости

Оператор垃 VT и Vr., действующие на функцию U (г, г), где г 二 dr：山.определены по отиошению к вариации U (г, г), кото- ран обусловлена вариацией Or и связаппой с ней вариацией бг 二 /(小d£}&. Когда говорят, что U есть фунтщия г и г, то подразу- AfHwinT, что она есть функция трех пезавиевмых координат векто- ра г н еще трех переменных, которое определяют г для фиксиро- 皿 1н°го г. Предположим, что три последние переменные — компоненты г в системе координат, выбранной для г. Завись "оз 厶[/ от г всегда может быть выражепа через эти переменные. °"严 1Aей им систему коордпцит для г единичными векгирами е7 (г) н обозначим координата г в этой системе через 町.Мы считаем, что “ (т：г) — явная функция переменных 才了 и 徐・т. Произнояная г по 弓 ^мражаегся, как обычно, через функцию 为(т):

—=^(г)е7.(Л1)

Вариация функции U （г, т）, которая обусловливается варич 6г и 6г, имеет вид

з

冊=且｛坊器十抽；）試丁｝

з

=且{尼阿（专岩）十断.（0"十备而渦力

=&•&{合器&+7^（%加；} +

3

X御ej・r）

Операторы Vr 酬 у. определяются так：

6U = 6r・％U ^-6r*V.f7t

гдегде%u=±G3=i%u=±G3=i必必& +& +初初

где

где

%u=±G

3=i

%u=±G

3=i

必

必

& +

& +

初

初

上=*）廻Г，承?力（/戸上=*）廻Г，承?力（/戸М}{4必罔US2М}{4必罔US2州《 J :,州《 J :,

上=*）廻Г，承?力（/戸

上=*）廻Г，承?力（/戸

М}{4必罔US2

М}{4必罔US2

州《 J :,

州《 J :,

И

3=1 #G闾

Видно, что Yr。— обыипый градиепт по радп^^су-вектору, j вектор г фиксировал. Аналогично、

v; = S防亏l，

где дифференцирование по =了 выполняется при фиксировав^

Прпл ожение !>• Формулы оля К 气 II е общем Са

ф к & К ⑵ф к & К ⑵Вьфажепие для L можно получить, если

ф к & К ⑵

ф к & К ⑵

авить в уравне）авить в уравне）弊「％ % {% （0 }] М% к' w, J {Tftf （О }1 подст.

авить в уравне）

авить в уравне）

一/（济x士 Y’, 1,（Y用），堂+ Whi 時f ①（典 k v',力（%»卜&傾｝｝+

十我/*+S編需］•辞係№，0％ m})，勿伸曲} +

十"％ {W — VO(i,{%J)—；^-42Bm^, Г, 丁 Г7П

—%“Х 邸代力{飯}), ■") —p« Г)ф(г, t, {ал}) +

十 2 jo (г. о ■邸(Г?力 M } ♦ (Б1) сйобп^снные импульсы, которые оиределены уравнениями (37), нмеют вид

%■* 鬻 X

'丁-,叫Г。…吁绛一言3簪，g)

з7 残'旳力(心匕0}需 X

X {%［■Т？加■

-▼m(死(A 屮，t, m»), ▼♦ "呼,5 吟 +

+!Qa譚(缀(匕仁九{加%我他г})} ，(Б26)

J^aMiwbTOHHaH (38) имеет вид

( JdM网%К匕0) h%受+?к盗了一

-必欝•［陪+у脸総］十

+4 (阳"，匕右作就，不+2祐陪，"一

-［沔需卜'

；＜▽&」％(/, v\ «,{тм)), V,.卜 嚟〕? •,哪 +

334334〃• 8-订р〃・мен「/ше 〃pimtp5a，а.м〃儿u，d

334

334

+Qa①（倒（"匕&引力，人（a"）一

九嘗■•弁（祐H匕力依办九体}）） +

+ >%{_][£院黑卜

? qq (E, Г, 01\ ^ < V « ^

77n&黑宀卄 mn&黑宀卄 m

7

7

n&黑宀卄 m

n&黑宀卄 m

+ %(▼>< 学(Г, £,伊〃J), Г, C) + po(r, £)①(г，£,忆))一 ]jo(f・ E)，*(!*• . {P〃J)} •

ЛИТЕРАТОРА

Prov. APS. Topical Coni. Numerical Suiiulation of Plasma, Sept.： 1968. Los Ahmn8 Scientific Laboralorv Report LA-3990.

MjolanessR. C., «Variational Solution of the Vlawv Equation», ц . Mcrse R. L.・ Nielson С. В.,自per A4 r трудах fl].

Birdwll C.人'7 Fuss D., Рнрег DI л трупах (1).

Birdsall С, K., Fuss P„ Jown. Gtfiipiit. Phys., 3, £91 (1969). Lewit H. К” Melendez K. J.. Paper Bl в трудех ]1| Goldstein Я., Classical Mechanics, Reading, Мая«., 1950. (См ио^; Z\ ГолъдстеИн, Классическая механика, М-, 1957.

&&Lewis 〃. К.? «Hamilton's Principe and Numerical Solution. Vlasov Equations», Los Alamos Snentific Laboratory Report L

&

&

1967.

9・9・Lewis Я. Я., «Energj-Cons«rviDg Numerical Apprnjinations for： Plusims», Journ. Coiaput. Ph vs., G, N 1, 136 (1970).

9・

9・

Z“ 尸.E. Prue. Roy. Soe., A*. 282 (IfteS).

Sturrock P・ 4, Ann. Phys., 4, 3% (1958).

Thomas J. Or，痴心".足.Melendez К. J., «Ал Efficient； for Computing a Class of Definite Integrals», n печати.

ГЛАВА 92

МАГНИТ0ГИДР0ДШ1АМПЧЕСК11Е МЕТОДЫ五.Робертс，Д. Поттер**

§ 3 Введение

Численное моделирование поведения проводящей текучей сре- ды или плазмы в магнитном поле представляет иптерсс в астро- физике, геофизике, космической физике, а также в мсследовапиях по управляемому термоядерному синтезу. Изучаемые явлсвия, как и рав пл о, носят двух- иля трехмерный характер» причем знаяитслиная часть их имеет нслипейную природу. Это затрудняет аналитические расчеты, а проведение коптролируемык экспериментальных измерений часто является делом столь же трудным — либо по причине недосягаемости физических процессов (межэнсзд- выс гайовио облака, физика поверхности Солнца, проблема земного дютймо) , либо из-за того, что введение зонда d плазму может лривсстм к разрушению и зонда, и плазмы. Поэтому итирокое применение числеиного моделирования позволит понять основные процессы магнитной гидродинамики (МГД) и н<1глвдпо п|)^д- станнть их себе благодаря ыотоцам графической индикации. l'aKofi путь исследований протиеоположеи пройденному обьртной гидродинамикой, где уравнения проще, а границы их применимости сп(юделеннее и где еще до начала теоретической разработки иред- метл многие явления были хорошо знакомн оз повседневных наблюдоц|П1.

R то же время следует признать, что МГД в сущности «незам- ^тая» теория. МГД-модель плазмы — это лишь модель, и часто, 院 ин требуется сксл г.ко-мибудь точное совпадение с эксперимен- *「，м, пристейигую систему уравнений приходятся дополнять цоба- ^очными членами, учитывающим и конечный ларморовский радиус, анизотропию теплопроводпости, ионизацию и рекомбинацию с ней- Tj^naMH, испускание и поглощение воли ит. д Часто МГД-модель оказывается непригодной, и тогда необходимо исиользова^ъ бомее g“Hue уравнения Власова или Фоккера ——Планка. Во всей уазме или локально может возникачъ мелкомасштабная турбу- 遮"тнигть, которую необходимо моделировать эмпиричен ими ^Ффицпонтами диффузии. Для полного исследования вопроса Уте” наблюдения и эксперимента с применением аналитической

亀*Ке血 V, Roberts^ Culhain Laboratory, Abi“骐0】，Berkshire, Enxbed. 刃・ E. Potter^ Imperial College, London, England.

METHODS IN COMPUTATIONALPHYSICS

Advances in Research and Applications

Edited by

BERNI ALDERSIDNEY FERNBACH

Дли rence Radiation LaboratoryLairrence Radiation Laboratory

Livermore^ CaliforniaLivermore^ California

MANUEL ROTENBERG

Vninersity of California£g Jolla, California

Volume 9

PLASMA PHYSICS

ACADEMIC PRESSNEW YORK AND LONDON1970

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫВ ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ

Под редакцией

Е. ОЛДЕРЛ, С. ФЕРНБАХА и М. РОТЕНБЕРГА

Перевод с ашлиЬского

Под редакцией

доктора @нз.-мат. наук, профессора

Н. ДНЕСТРОВСКОГО

口

диктора физ.-мат. наук, профессора

Д. II. КОСТОМАРОВА

Издательство «Мир»

МОСКВА 4974

УДК 533.9 + 518.5

Предлагаемая книга является первой в мировой литературе ыопографней по вычислительннм методам r физике плазмы. Основное внимание уде- лево различным мгтодам решения снтзЕасован- вон системы уравнения Власова н Пуасада длл одно- и двухксмпога*1гпк1и плазмы. Л，«дро6но изложен метод укрупненных частиц. Ряд глав лпснящен моделированию илагмы со оголкногштиями.

Книга рассчитана на научных работников, асипрантов и студентов старших кур»'or университетов и втузов, работающих в области физики плазмы, ащрофизики 11 фпаикл твердою зела и иптере- сук.щпхся современными методами мпделироваыия сложных систем.

20409—34 8_岀 041(01)-74 4 5—7320409—34 8_岀 041(01)-74 4 5—73Редакция литературы по физике

20409—34 8_

岀 041(01)-74 4 5—73

20409—34 8_

岀 041(01)-74 4 5—73

© Перевод 口а руегкпй язык, >Мир», 1974

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА

«Вероятно, пет другой такой области физики, в которой была бы яснее необходимость моделирования на ЭВМ, чем в физик© плазмы».— такими словами пячипают авторы одну из глав этой югиги» и с ними нельзя не согласиться. За последнее десятилетие создание и исследоваяие математических моделей плазменных процессов стало, по существу, самостоятелъной частью физики плазмы. Количество работ в этой области исчисляется уже многи- ми десятками. Каждый научный центр считает необходимым иметь группу по моделированию плазмы. Непрерывно появляются новые идеи по постановке задач, методам расчета, развитию разностных схем. Накоплен опыт по решению больших задач па ЭВМ с фантастическим объемом перерабатываемой икфермации- Растет число специализированных совещаний и симпозиумов. На традиционных конференциях заметную часть составляют доклады по хюделиро- ванию плазмы.

В этих условиях вполне назрело подавление первых итогов, обзор используемых идей в методов, оценка имеющихся возможностей. Предлагаемая кипга является первой в мировой литературе попыткой решить зту задачу. Как и другие тома серии «Методы ылчислительной физики», она представляет коллективнуто монографию, Неизбежность некоторого дублирования при этом вполне окупается многосторонним характером оценки применяемых методов.

Основпая часть книги посвящена различным аспектам численного решения кинетического равнения Власова. В главах 1 и 4——6 раосмотрен метод укрупненных частиц, теперь уже ставший классическим. Этот метод в настоящее время наиболее апробирован. В последние годы с его помощью решен ряд даумерных и даже трехмерных задач. Для широкого круга проблем он является оковомичным с точки зрения затрат машинного врсмешт- Сущсствепнюг для метода являются вопросы о числе частиц н размере разностной сетки, необходимых для правильной передачи физики явления. Эта вопросы подробно исследуются н главах 1 п4.

В главах 2, 3 к 7 рассмотрены другие прямые методы решения Уравнения Власова. Разложения решения по системе базисных функций (разложения Фурье в Эрмита) используются с начала

шестидесятых годов. С помощью этого метода решен ряд одномер* пых задач, однако его дальнейшее распространение наталкивается на ряд трудпостей. Вариации метода и различные способы преодоления трудностей мзаожеиы к главе 2- Сравнительно новой является модель «водяного мешка», излагаемая в главе 3. Суть метода заключается в замене непрерывной функции распределения па кусочпо-постояпиую и в прослеживании движения разрывов. Комбинируя этот метод с методом укрупненных частиц, можно существенно снизить число частиц и объем вычислеЕпм. Конечно- разностный метод на эйлеровой сотке пока еще не пилучил широкого распространения из-за трудностей с устойчивостью счета. Некоторые примеры имеющихся программ описаны в главе 7.

Оригинальной ио идеям является глава 8, в которой развивается вариадиоппая формулировка задач для бесстолкновительной плазмы. Следует ожидать в ближайшие годы численной реалн~ задии этого метода-

Последние главы посвящены моделироБэнию плазмы со столкновениями. В главе 9 дан подробный обзор раввостных методов, используемых в гвдродппаыической модели плотпой плазмы. Наконец, в главе 10 на примере плазмы в нробкотрове анализируется техника решения двумерного уравпопия Лавдау -①ок- кера ——Планка. Впервые обсуждается проблема учета зависимо- стм функции распределения от продольной простравствснной координаты («квазитрехыерная» задача). Расчеты подобного рода важны для учета влияния алектрического поля в пробкотроне.

Советская литература по численному моделированию плазмьт совершенно не отражена в кпиге, хотя первые работы появились У нас более десяти лет назад. Список работ советских авторов, частично восполпяющпй этот пробел, приведен ннже.

Быстрое развитие вычислительной физики привело к появлению большого числа новых терминов. Возникающие в связи с этим трудности при переводе разрегпались нами с учетом мнения советских ученых, работающих в этой области. В ряде случаев мы не рискнули изобретать новые термины, а использовали буквальные перевод с английского, что, ыесомпеппо, не является лучшим выходом. Поэтому мы заранее приносим извинения за неуклюжесть некоторых терминов и будем благодарны за конструктивную критику.

За время, прошедшее после выхода книги, появилось много новых материалов. С одной стороны, продолжают развиваться традиционные идем и направления. С другой стороны, быстро расширяется крут рассматриваемых задач и используемых моделей. Отметим некоторые тенденции в моделировании плазмы с помощью метода укрупненных частиц.

Решаются задачи, для коюрых характерно наличие нескольких пространственных и временных писал，Наиболее важными

HJ них являкпся задачи о турбулентпом сомротивлеиии плазмы м о бесстолкновительных ударных волнах-

Исследуются столкновительные эффекты, определяющие процессы переноса в плазме.

Разрабатываются программы с полтям описанием электро- 、］агнитпнк процессов, включая излучение.

Совсем недавно в двумерной модели удшгось получить величину аномального сопротивлеяия турбулентной плазмы, которая приближаем я 丛 экспериментальному значению-

К наиболее важиым новым задачам, связанным с моделированием процессов к высокотемпературной плазме, следует отнести задачи по исследованию баланса энергии и частиц и установках змиа «Токамак» и установках с быстрым нагревом плазмы за счет □Сергии лазерного излучения или Пучка релятивистских влек- тронов. Расчеты по нагреву плазмы в токамаках были начаты после Гретьей международно宜 копфореиции по физике плазмы и контролируемому синтезу (Новосибирск, 1968 г-) по инициативе акадешша Л. А- Арцимовича. В настоящее время во всех крушаых •абораториях, имеющих или строящих такие установки, созданы 1 рупнъг. проводящие соответствующие расчеты. В приложении >；русскому переводу книги дано описание используемых при этом медалей н математических методов. К сожалению, второй круг задач остался в этой книге совершенно пезанронутым.

Июнь 1S73 г.Июнь 1S73 г.Перевод книги выполнен И. С. Байковым (предисловие, т」а- вы 1, 2, 5, 6), Г. В- Переверзевым (главы 幺 7, 9) и Л. Г. Дедеико (главы 3, 8, 10). Больш^то помощь в переводе и редактировании главы 7 оказал В. И. Телегип.

Июнь 1S73 г.

Июнь 1S73 г.

Ю. II- Днестровский

Д. 〃• Костомаров

ЛМТЕНАТУРА

Уравнение Власова

Масленников М. 〃.，Сигов Ю. С., ДЛИ СССР, 159, 1013 (1964).

ЕпалъскиИ В. Л., Имш^нник 6. С, ПМТФ, № 1, 3 (4965).

Тс^фенб ". Af.t Зусеа Я. М^ Имшекнак В. С・,Яокуцив^ский О・ В.,

Рябепъкий В. Хазин 誕.Г., ЖВМ п МФ, 7, 322 (1967).

Телегин Н. 〃., Востпик МГУ, № 5, 25 (1968).

^ое Ю. С., ДАН СССР, 192, 534 (1У70).

С〃初冃 Ю^ С., ХоОапшо Я.瓦，ХоОмреб Ю. В., ДАН СССР, 207, 75 (4972).

Уравнение Ландау-Фоккера—Пяалва

Днестровский Ю. Н・,Костомарос Д. 〃.‘ Nucl. Fusion, 11» 141 (1971}.

Гидродbiiaмичес|сое приближение. Р&зреженпая плазма

Д нестроеский Ю. Я., Костомаров Д. Я., Телегин В.几,Панов Д. А о 4узноб 刃.4, Plasma Phys., It, 6S1 (4969).

Гjf「雷u А^^Д^нестроеский Ю. 〃., Костомаров Да 〃., Глухих В.Л^ ЖТФ»

Гидродинамическое приближение. Плотная плазма

Дьяченко В. ◎“ Илиитник В. С、、ЖВМ и МФ, 3, 915 (1963).

Дъячепко В. О” Имшеилик П. ПММ, 2 9, 9 93 (106 5),

Брг/иминский К. В., Зуева Н. ЛГ.» Морозов А я “., Изв. ДМ СССР, сер.《Мехн- нмкн»,驼 5, 3 (1!М>5).

Брцшлииекий /С.也,Герлах Н. 〃., Морозов А Л М・,Изв. АП СССР. сер. МЖГ, N 2, 139 (1906).

Тигин^ Л. 〃., Самарский А. А. и 如・,ДАЛ СССР, 173, 808 (1*Ю7).

Дъячеикв 石・ О., Имщекник В. С, в с6・ «Вопр«ы теории плазма», в&и. 5, !

Лтомиздат, 1967, стр. 394.,

Врушлипский К. В., Герлах 〃• 〃., Моро^ие А. Я., Магнитная гидродинамика -: № 1, 3; № 2, 31 (1967).

Сахарский А. А. и др.. ЖВМ и МФ, 8, 4025 (1968).

Брушлииский К.反，派ВМ и МФ, 8, 1039 (1968).

Величие 君-II,t Дегтярев Л. МСамарский И . Л.. Фаворский 4・ 〃..ПЛИ СССР, 184, 578 (1969).

Дьяченко 6. 0, Имшенник В. С.,撩ЗТ@, 56, 1766 (4969).」

Имшеппик В. С・？ Отрощтии Я.心” Рябенький 瓦 С., Осоеец С М„ ХоС〃- « таеб R. 5., Nucl. Fusion, 9, 307 (1969).

Самарский А. Л., Вюеденде л теорию разностных схем, лзд-во «Hayi?a₽, 1971. i

Самарский А, А. и 0尸・，ДАН СССР, 2U6, 307 (1972).

Гольдин В.肌，Четверушкин 右.〃・，?КВМ н МФ, 12, 990 (1972).

Днестровский Ю, Н., Костомарм R. 〃.，Uvnoe А . Л/., ЖТФ, 42, 2255 0 972).

Брушлипский К. В., Мороас® 4. 〃.，Палейчик В.瓦,в сб. «Плазменные уско- < ригели?, изд-во ^Машиносцюение», 4973, стр. 251.!

ПРЕДИСЛОВИЕ

К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Интерес к физике плазмы сильно возрос за два иоследпмх дсся тилигия из-за задач, связанных с программой использования

энергии управляемого термоядерного синтеза и изучения магнитного ноля в околоземном пространстве. В обеих областях экспсрп- ыснты слоэстът и дороги и, следовательно, весьма желательны результаты, полученные теоретически Поскольку теоретическое изучение плазмы связано с рептенпем очень слозкной математической задачи о коллективном поведении многих заряженных частиц, ЭВМ становится важным средством решения уравнений, хотя сами вычислсввя оказываются весьма сложными. Ато справедливо по отношению к любой из двух моцемей, :которые разра- 6ai нвались: к методу укрупненных частиц и к методу ретиения уравнений непрерывности.

Метод частиц является гибким, но требует много машинного вреиснн. Одномерный вариант этого метода дается в главе Доусона, двумерные варианты описаны в главах Хокни, Морза м Бардсола с соавторами. Последсвате*тьное решение уравнений

двоения отдельных заряженных иастми при наличии магнитного и электрического полей дает детальную информацию о поведении илазми, включая неустойчивые случаи. С другом стороин, методы.

мсполъзующис непрерывное описание, позволяют проводить вьпше- 口синя, результаты которых согласуются с аксперпмеитами на Алаз-

меиных установках, с меныигтта затратами машинного времени и с использованием реалистических граничных условий. Это.

в частности, спранедливо в задачах, в которых определяющую рол играют столкновения, как показано в главах Робертса и Пот-

тера】а также Киллина и Маркса. В общем случае метод расчет% который используется в непрерывных моделях, представляет собой

м-б конечных равпостей для уравнений тина гидродинамических,

услояшснных наличием магнитного и электрического подей-: В бесстолкновительном случае (случай Власова) в одномерных 丿 задачах был發 использованы также два специальных метода, omi- > санные в главах Армстронга с соавторами и Бэрка и Робертса，■

Январь 1970Январь 1970Дальнейшее совершеиствование чнолешшх методов и вьгаислит: тельных машин должно привести к еще более правдоподобному ' ыоделироватппо плаямы, включая трехмерные расчеты- К сожалению, применение описанных пшке численных методов к близким по характеру задачам диыамики звезд не могло быть включено из-за ограшгюнного объема книги.

Январь 1970

Январь 1970

Берни Олвер

Сидни Фернбах Ману^яъ Ротенберг

ГЛАВА £

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКИХ ЛИСТОВДЛЯ ПЛАЗМЫ И ЕЕ МОДИФПК/ЩИЯ ДЛЯ ЧАСТИЦКОНЕЧНОГО РАЗМЕРА

Дж. Доусон^-

§ £ В&е^еиие

Модель плоских листов — одна из наиболее старых н гибких одномерных моделей для численного исследовадин плазмы. Впервые оиа была применена для исследования электростатических заи^ктов, плазменных колебаний, кинетики одномерной плазмы и даухпотоксвои неустойчивости 11—5]. В этой тлане миг обсудим электростатическую модель плоских листов. Основное внимание будет уделеио методам решения этих проблем на ЭВМ и ряду трудностей； которые при этом встрсчаютсн (наирнмер^ шуму). Однако реальные программы приводиться не будут.

Позднее модель плоских листов была модифицирована для того, чтобы допустить иаряду с перпендикулярным дви?кением движение в ллоскостн самих листов [6—8], Эта модификация позволяет включить магнитные эффекты и эффект соударений в приблшкепии Фоккера — Планка (используя метод Монте-К арло). На основе t&ichx модификаций были изучены циклотронные волны [61, эффект излучения [8] и неустойчивости типа Харриса (см. [9]), связанные с моноэЕергетмчесиими распределениями по скоростям- Хотя эти последние модификадии весьма интересны и разпообразвы, мы не будем их здесь рассматривать, поскольку это увело бы нас елнлжим далеко.

§ 3・ 9лектрост ам ическая тод&лъ плоскихлист os

Имеются две электростатические модели плоских листов: однокомпононтпая м двухковшонешная. В однокомпонеитиой модели (Доусон [2]) рассматривается плазма, состоящая из боль- пюго числа тождественных заряженных плоских листов, помещенных в неподвижный однородный нейтрализующий фоп (фиг- 1). 11редполагается, что все плоские листы всегда перпендикулярны какой-то оси х, ио могут свободно двигаться вдоль нее. Считается, 叮го они свободно проходят друг через друга.

Двухкомпонентная модель [4, 5] включает как положительно, мак и отрицательно заряженные листы. Снова предполагается,

усло51£иснных наличием магнитного и электрического полей. В бесстолкновительном случае (случай Власова) в одномерных задачах были использованы также два специальных метода, описанные в главах Армстронга с соавторами и Бэрка и Робертса^ Дальнейшее совершенствование чисаенных методов и вичислит тельных машин чолжпо привести к еще более правдоподобному

моделированию плазмы, включая трехзтерние расчеты- К сожале

Январь 1970Январь 1970нию, применение списанных ниже численных методов к близким по характеру задачам динампкп звезд ие могло быть включен。 из-за ограниченного объема книги.

Январь 1970

Январь 1970

Верни Ол^ер

Сидни Фернбах Мануэль Ротенберг