Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ I
КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКИЕСАМОСОГЛАСОВАННЫЕ МОДЕЛИ
Глава I. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ТОМАСА-①ЕРМИ
Модель Томаса-Ферми для вещества с заданной температурой и плотностью 16
О статистике Ферми-Дирака для системы взаимодействующих частиц 16
Вывод уравнения Пуассона-Ферми-Дирака для атомного потенциала 20
Постановка краевой задачи 21
Потенциал Томаса-Ферми как решение уравнения Пуассона, зависящее только от двух переменных 23
Основные свойства функций Ферми-Дирака 23
Модель постоянной плотности свободных электронов при высоких температурах 25
Модель Томаса-Ферми для температуры равной нулю 27
Методы численного интегрирования уравнения для потенциала Томаса-Ферми 28
Метод «стрельбы». Графики Лэттера 28
Линеаризация уравнения. Разностная схема 31
«Прогонка» с итерациями 32
Модель Томаса-Ферми для смеси веществ 34
Постановка задачи. Условия термодинамического равновесия ..34
Линеаризация системы уравнений 35
Итерационная схема и метод прогонки 36
Обсуждение результатов расчетов 39
Глава II. ВОЛНОВЫЕ (ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ЗАДАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Описание состояний электронов в сферической атомной ячейке ..41
Классификация состояний электронов в пределах атомной ячей- 42 ки
Модель атома со средними числами заполнения 45
Получение выражения для плотности электронов с помощью квазиклассического приближения для волновых функций47
Средняя степень ионизации вещества 51
О поправках к модели Томаса-Ферми 53
Волновые функции дискретного спектра 54
Численные методы решения уравнения Шрёдингера 54
Водородоподобные и квазиклассические волновыефункции ....55
Релятивистские волновые функции 61
Волновые функции непрерывного спектра 68
Уравнение Шрёдингера 68
Уравнение Дирака 71
Глава III. КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
Квантовомеханическое уточнение обобщенной модели Томаса- ①ерми для электронов дискретного спектра 76
Самосогласованное поле Хартри для среднего атома 76
Вычислительный алгоритм 78
Анализ результатов расчетов для железа 81
Релятивистская модель Хартри 85
Метод самосогласованного поля Хартри-Фока для вещества с заданной температурой и плотностью 89
Вариационный принцип, основанный на требовании минимума большого термодинамического потенциала 89
Уравнения самосогласованного поля в приближении Хартри- ① ока 92
Уравнения Хартри-Фока для свободного иона 96
Модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера 101
Квазиклассическое приближение для обменного взаимодей- 101 ствия
Уравнения модели Хартри—①ока—Слзтера 106
Уравнения модели Хартри-Фока-Слэтера с квазиклассическим приближением для электронов непрерывного спектра 109
Условие термодинамической согласованности 113
Глава IV. МОДЕЛЬ ХАРТРИ—① ОК А—СЛОТЕРАДЛЯ СРЕДНЕГО АТОМА
Система уравнений Хартри-Фока-Слэтера в сферической атомной ячейке 116
Самосогласованное поле Хартри-Фока-Слэтера 116
Периодические граничные условия в приближении119
усредненных сферических ячеек
Электронная плотность и атомный потенциал в модели Хартри- Фока-Слэтера с учетом зон 122
Релятивистская модель Хартри-Фока-Слэтера 124
Итерационный метод решения системы уравнений Хартри-Фока- Слэтера 126
Основы алгоритма 126
Расчет зонной структуры спектра электронов 126
Некоторые результаты расчетов 129
Приближение постоянной плотности для свободных электронов
в случае разреженной плазмы 131
Решение системы уравнений Хартри-Фока-Слэтера для смеси веществ 132
Постановка задачи 132
Итерационная схема 134
Примеры расчетов 138
Учет индивидуальных состояний ионов 140
Функционал плотности системы электронов с учетом индивидуальных состояний ионов 141
Уравнения ионного метода Хартри-Фока-Слэтера в ячеечном и плазменном приближениях 143
Волновые функции и уровни энергии ионов в плазме 147
ЧАСТЬ II
РАДИАЦИОННЫЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВАПЛОТНОЙ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
Глава V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Лучистая теплопроводность плазмы 151
Уравнение переноса излучения в веществе 151
Диффузионное приближение 156
Интеграл Росселанда и коэффициенты непрозрачности 161
Среднее по Планку. Излучение оптически тонкого слоя162
Квантовомеханические выражения для эффективных сечений поглощения фотонов 163
Поглощение в спектральных линиях 163
Фотоионизация 171
Тормозное поглощение 175
Комптоновское рассеяние 177
Особенности поглощения фотонов в спектральных линиях178
Распределение вероятностей возбужденных состояний ионов...179
Положение спектральных линий 181
Волновые функции атома и сложение моментов 183
Форма спектральных линий 190
Эффект Доплера 192
Электронное уширение в ударном приближении 192
Методы вычисления радиационного и электронного уширения.202
Ионное уширение 208
Профиль Фойгта 217
Профили линий плазмы водорода в сильном магнитном поле .218
Статистический метод учета групп линий 224
Параметры сдвига и уширения спектральных линий в плазме .224
Флуктуации чисел заполнения в плотной высокотемпературной плазме 230
Статистическое описание перекрывающихся мультиплетов231
Эффективный профиль совокупности линий 238
Статистическое описание процессов фотоионизации 244
Результаты расчетов росселандовых пробегов и спектральных коэффициентов поглощения фотонов 245
Сравнение статистического метода с детальным расчетом245
Зависимость спектральных и усредненных коэффициентов поглощения от номера элемента, от температуры и плотности вещества 249
Спектральные коэффициенты поглощения. Сравнение экспериментальных и расчетных данных 259
Лучистая и электронная теплопроводность 264
О поглощении фотонов в плазме с неравновесным полем излучения 265
Основные процессы и времена релаксации 265
Совместное рассмотрение процессов переноса фотонов и поуров-
невой кинетики электронов 268
Радиационные свойства плазмы с неравновесным излучением .271
Теплопроводность вещества при больших градиентах температуры и плотности 274
Глава VI. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Описание термодинамики вещества на основе квантовостатистических моделей 277
Формулы для давления, внутренней энергии и энтропии элек
тронов по модели Томаса-Ферми 277
Квантовые, обменные и осцилляционные поправки к модели Томаса-Ферми 285
Модель ионизационного равновесия 290
Распределение Гиббса для атомной ячейки 290
Приближение Саха 291
Итерационная схема для решения системы уравнений ионизационного равновесия 293
Термодинамические свойства вещества по модели Хартри-Фока- Слэтера 295
Термодинамические функции электронов 297
Учет теплового движения ионов в приближении заряженных
твердых сфер 298
Эффективный радиус ионов 301
О методах получения широкодиапазонных уравнений состояния 303
Сравнение результатов расчетов с экспериментом и расчетами по другим моделям 304
Общее описание 304
Кривые холодного сжатия 306
Ударные адиабаты 308
Сравнение с моделью Саха в плазменной области 311
Аппроксимация таблиц теплофизических данных 314
Построение аппроксимирующего сплайна, сохраняющего геометрические свойства исходной функции 315
Некоторые численные результаты 317
ДОПОЛНЕНИЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРАИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Д-1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
.0 задачах квантовой механики, которые могут быть решены аналитически 320
Волновые функции дискретного спектра и классические орто
гональные полиномы 321
Решение уравнения Шрёдингера для центральносимметричного поля 325
Радиальная часть волновой функции в кулоновском поле327
Решение уравнения Дирака для кулоновского поля 335
Система уравнений для радиальных частей волновых функций 336
Приведение системы уравнений для радиальных функций к уравнениям гипергеометрического типа 340
Уравнения гипергеометрического типа для состояний дискретного спектра и их решение 343
Уровни энергии и радиальные функции 346
Связь с нерелятивистской теорией 348
Д-П. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Вариационный метод и метод пробного потенциала 352
Основные черты вариационного метода 352
Получение водородоподобных волновых функций 355
Метод пробного потенциала для уравнений Шрёдингера и Дирака 358
Квазиклассическое приближение 361
Квазиклассическое приближение для одномерного случая362
Применение метода ВКБ к уравнению с особенностью вида 1/ж2. Квазиклассика для центрально-симметричного поля 367
Правило квантования Бора-Зоммерфельда 369
Использование квазиклассики для нормировки волновых функций непрерывного спектра 372
Д-Ш. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Фазовый метод вычисления собственных значений энергии и волновых функций 373
Уравнение для фазы и связь с квазиклассическим приближены- 373 ем
Построение итерационной схемы для определения собственных значений 375
Разностные схемы длявычисления радиальной функции381
Радиальные функции вблизи нуля и при больших г 382
Результаты расчетов 385
Фазовый метод для уравненияДирака 388
Список литературы 390
ПРЕДИСЛОВИЕ
В изучаемых современной физикой процессах реализуются самые разнообразные условия: от температур порядка абсолютного нуля — до температур в недрах звезд, от газовых плотностей — до плотностей, в десятки раз превышающих плотность твердого тела. В связи с этим решение многих актуальных проблем физики требует все большего объема информации о свойствах вещества в различных, в том числе экстремальных, условиях. Одновременно существенно повышаются и требования к точности этих данных, которые в свою очередь определяют надежность и расчетную обоснованность многих уникальных технических устройств и физических установок.
Для описания свойств вещества в достаточно широком диапазоне температур и плотностей, как правило, неприменимы сравнительно простые модели, обычно рассматриваемые в курсах теоретической физики. С другой стороны, проведение экспериментов с целью получения данных о свойствах вещества в экстремальных условиях обычно связано со значительными техническими трудностями и в ряде случаев оказывается чрезвычайно дорогостоящим. Именно поэтому важны систематические исследования по разработке и совершенствованию квантово-статистических моделей и методов расчета свойств вещества, сравнению результатов вычислений с наблюдением и экспериментом. Соответствующей литературы в настоящее время издается недостаточно. Если речь идет о непрозрачности, определяющей лучистую теплопроводность вещества при высоких температурах, можно указать, например, книгу Д.А. Франка-Каменецкого [109], а также книгу Р. Кауэна [134], которая посвящена методам расчета атомных спектров. Имеется также ряд статей и сборников кратких сообщений с международных конференций, в которых анализируются используемые теоретические модели и пакеты программ [130, 139, 140, 191, 208]. Отметим одну из наиболее совершенных программ OPAL и созданную на ее основе астрофизическую библиотеку коэффициентов непрозрачности [158] (Ливерморская национальная лаборатория США). Большая работа по совершенствованию моделей вещества и получению таблиц теплофизических свойств проведена группой Т4
(Лос-Аламосская национальная лаборатория США). Результаты этой работы систематизированы в банке данных SESAME [166].
Целью предлагаемой книги является изложение некоторых хорошо зарекомендовавших себя на практике квантово-статистических моделей самосогласованного поля (часть I) и методов расчета свойств вещества в области высоких температур в условиях локального термодинамического равновесия (часть II), критический анализ этих подходов с многочисленными примерами, иллюстрирующими эффективность применяемых моделей и численных методов.
В части I изложение начинается с достаточно простой и в то же время универсальной обобщенной модели Томаса-Ферми для вещества с заданной температурой и плотностью. Ее сменяют другие, более совершенные модели: модифицированные модели Хартри и Хартри- Фока-Слэтера, а также релятивистская модель Хартри-Фока-Слэ- тера. В последней модели используется самосогласованное поле Хартри, приближение для локального обмена, уточняющее обменный потенциал Слэтера, и релятивистские уравнения Дирака для радиальных частей волновых функций. Интересно отметить, что рассматриваемые модели были первоначально сформулированы для свободного атома при температуре равной нулю, а затем обобщены на произвольные температуры и плотности для так называемого среднего атома [202], соответствующего иону со средними числами заполнения. Так, например, обобщение модели Томаса—①ерми, предложенной в 1926-1928 гг., было выполнено Фейнманом, Метрополисом и Теллером в работе [138].
Перечисленные квантово-статистические модели, в том числе модель Хартри-Фока для вещества с заданной температурой и плотностью, можно получить на основе единого вариационного принципа — требования минимума большого термодинамического потенциала, записанного в соответствующем приближении. Единый подход позволяет увидеть иерархию моделей и проследить пределы применимости различных приближений.
Решение систем нелинейных уравнений, возникающих при построении моделей самосогласованного поля, потребовало разработки специальных итерационных методов. В качестве начального приближения для получения самосогласованного потенциала брался потенциал, найденный ранее для менее точной модели. В результате решения уравнения Шрёдингера (или уравнения Дирака) с полученным самосогласованным потенциалом может быть найден энергетический спектр квантовомеханической системы, соответствующие волновые функции, а также средние числа заполнения электронных состояний и средняя степень ионизации вещества. Широкое использование физических приближений в процессе итераций, особое внимание к узким местам, требующим больших затрат машинного времени, позволило построить эффективные и надежные алгоритмы. Заметим, что надежность вы-
числительных методов особенно важна при получении таблиц теплофизических данных, если учесть, что расчеты могут проводиться в широкой области температур и плотностей для произвольных веществ и смесей.
На основе рассмотренных моделей в части II предлагаются методы вычисления различных характеристик вещества — спектральных коэффициентов поглощения фотонов, росселандовых и планковских пробегов, уравнений состояния — необходимых при проведении сложных расчетов, описывающих гидродинамические процессы с переносом излучения в высокотемпературной плазме, в частности, при воздействии мощного лазерного излучения или других источников энергии на вещество. Объем вычислительной работы, требующей учета большого количества разнообразных эффектов, очень велик. Представление о том, насколько сложными могут быть такого рода расчеты, дает график спектральных коэффициентов поглощения фотонов в плазме золота при температуре Г = 1 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3 (см. рис. 1).
Рис. 1. Спектральный коэффициент поглощения ” в см2/г в зависимости от энергии фотонов %з в кэВ для плазмы золота (Z = 79, Т= 1 кэВ, р = 0,1 г/см3)
При таких высоких температурах перенос энергии осуществляется главным образом фотонами. Основными процессами взаимодействия излучения с веществом, которые при этом необходимо учитывать, являются поглощение фотонов в спектральных линиях, фотоионизация, тормозное поглощение, а также комптоновское рассеяние.
Несмотря на малость ширин линий (менее 1 эВ), из-за огромного количества состояний ионов число линий может быть настолько велико, что теплопроводность плазмы в области высоких температур будет определяться в основном поглощением фотонов в спектральных линиях. Для каждой линии необходимо учесть эффекты расщепления
и уширения, рассчитать ее профиль, обусловленный взаимодействием иона с электронами и другими ионами, вычислить ее интенсивность и вероятность реализации. Достаточно очевидно, что только надежные квантово-статистические модели, эффективные численные методы и быстродействующий компьютер могут помочь в понимании относительной роли различных эффектов при изучении взаимодействия излучения с веществом и дать возможность провести расчеты россе- ландовых пробегов в необходимой области температур и плотностей.
В книге, в основном, рассматривается вещество в состоянии локального термодинамического равновесия. Некоторые проблемы, связанные с неравновесным состоянием плазмы и методы получения ее свойств, рассмотрены в конце главы V.
Расчеты росселандовых пробегов почти всегда требуют детальной информации об уровнях энергии и волновых функциях ионов. В то же время при вычислении уравнений состояния обычно можно ограничиться моделью среднего атома или, точнее, среднего иона. В главе VI сравнительно легко получены формулы для давления, внутренней энергии и энтропии вещества по различным моделям.
Ряд вопросов общего характера, дополняющих традиционный курс квантовой механики, вынесен в дополнение, в котором рассматриваются используемые в основном тексте методы решения уравнения Шрёдингера и уравнения Дирака для частицы, движущейся в заданном центрально-симметричном поле. Излагаются аналитические, приближенные и численные методы решения этих уравнений. Хотя эти вопросы достаточно хорошо изучены, авторы надеются, что читателя может привлечь не только новизна предлагаемых методов, но и их эффективность в приложениях. Так, например, фазовый метод численного интегрирования уравнения Шрёдингера и уравнения Дирака в результате использования соображений, связанных с ква- зиклассическим приближением, позволяет за две-три итерации найти собственные значения энергии с высокой точностью. Кроме того, фазовый метод оказался мало чувствительным к выбору начального приближения и тем самым исключительно надежным и достаточно экономичным при расчете самосогласованных потенциалов в широкой области температур и плотностей.
В тех случаях, когда решения уравнений Шрёдингера и Дирака могут быть найдены в аналитическом виде, рекомендуется опираться не на исследование степенных рядов после выделения асимптотики, а на достаточно общий и весьма простой способ приведения исходных уравнений к уравнениям гипергеометрического типа, позволяющий сразу получать нужную асимптотику и вид решения в замкнутой форме через классические ортогональные полиномы.
Квазиклассическое приближение излагается таким образом, чтобы его можно было легко применять не только для уравнения Шрёдинге-
ра, но и для уравнения Дирака. Для волновых функций дискретного спектра целесообразно использовать интерполяционную форму записи квазиклассического приближения через функции Бесселя, которая обеспечивает получение решений без угловых точек. При численном интегрировании уравнения Шрёдингера для волновых функций непрерывного спектра найден удобный способ нормировки, опирающийся на использование квазиклассического приближения в первом нуле волновой функции.
В течение ряда лет авторы книги принимали активное участие в решении актуальной проблемы ядерной физики в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша. На основе разработанных квантовостатистических моделей и итерационных методов решения нелинейных систем уравнений был создан комплекс программ и банк данных THERMOS, которые позволяют получать таблицы радиационных и термодинамических свойств различных веществ в широком диапазоне температур и плотностей. Физические модели и вычислительные алгоритмы, используемые в программе THERMOS и в других многочисленных приложениях, составляют основное содержание предлагаемой читателю книги. По материалам книги в течение ряда лет читались лекции для студентов старших курсов физического факультета Московского государственного университета.
Авторы глубоко благодарны сотрудникам Института прикладной математики им. М.В. Келдыша и Российского ①е^дерального ядерного центра, принимавшим на протяжении многих лет работы участие в решении отдельных вопросов, проведении расчетов и экспериментов, обсуждении и интерпретации полученных результатов. Нам особенно приятно отметить помощь и поддержку Ю.Б. Харитона, Я.Б. Зельдовича, Ю.Н. Бабаева, В.Н. Климова, А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Ю.А. Романова, В.С. Имшенника и А.В. Забродина.
Авторы сердечно благодарны своим коллегам, с которыми вместе работали, решая порученную Институту задачу — А.С. Скоробогатовой, Н.Н. Кучумовой, Ю.Л. Левитану, Н.①.Битко, В.М. Марченко, Н.И. Леоновой, В.В. Драгалову и А.Д. Соломянной; при подготовке рукописи к печати нам помогали К.В. Иванова и Н.Н. Фимин.
Неоценимую помощь и понимание многих тонких вопросов мы получили в результате многочисленных дискуссий, проводимых на ряде совещаний и конференций по уравнениям состояния на Северном Кавказе в Приэльбрусье под руководством В.Е. Фортова, а также на III и IV международных совещаниях по непрозрачности (opacity), проходившим в 1994 г. в Германии (Гаршинг) и в 1997 г. в Испании (Мадрид) [139, 140]. Ценные замечания были сделаны Стивом Роузом (S.J. Rose), Балашем Рошнаи (B.F. Rozsnyai) и Карлосом Иглесиасом (С.A. Iglesias). Мы благодарны научному редактору книги В.С. Яру- нину, прочитавшему рукопись и высказавшему ряд ценных рекомен-
даций, а также Ю.И. Морозову, Ю.А. Данилову и Ю.Ф. Смирнову за обсуждение отдельных глав рукописи.
Предисловие не подписано одним из авторов книги — Василием Борисовичем Уваровым, неожиданно скончавшимся в 1997 г. Василий Борисович Уваров — главный научный сотрудник Института прикладной математики им. М.В. Келдыша, профессор Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, лауреат Ленинской премии 1962 г., был разносторонне талантливым и удивительно скромным человеком. Он умел находить оригинальные и в то же время простые способы решения многих сложных задач современной физики и математики; некоторые из них содержатся в книге.
Москва, январь 2000 2.А.Ф. Никифоров, В.Г. Новиков
ЧАСТЬ I
КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИСАМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
Глава I
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ТОМАСА-ФЕРМИ
В высокотемпературной сильно ионизованной плазме электроны и ионы взаимодействуют между собой в основном через электростатическое притяжение и отталкивание их зарядов. Поэтому наиболее важной и первостепенной задачей при изучении свойств вещества на микроуровне является задача определения электростатического потенциала, в поле которого находится каждая частица, а также определение плотности заряда в любой точке. Очевидно, эти две величины должны быть согласованы друг с другом, так как электростатическое поле определяет распределение зарядов, которые в свою очередь являются источниками поля.
Определение стационарных состояний системы электронов и ионов является очень трудной задачей. Для ее упрощения можно воспользоваться тем, что масса электронов во много раз меньше массы атомных ядер, в то время как на них действуют силы одного порядка. Вследствие этого ядра движутся значительно медленнее электронов, и с хорошей степенью точности ядра по отношению к электронам можно считать фиксированными силовыми центрами. При смещении ядер электроны быстро перестраиваются, так что можно рассматривать равновесное состояние системы электронов при фиксированном положении ядер, полагая, что в любом макроскопически малом объеме сохраняется электронейтральность.
Будем считать, что равновесное состояние системы электронов с учетом их взаимодействия с ядрами и между собой соответствует наиболее вероятному распределению электронов по энергиям при условии, что полная энергия системы электронов и их общее число сохраняются. Потенциал для наиболее вероятного распределения электронов будет удовлетворять нелинейному уравнению Пуассона, связывающему самосогласованный потенциал с электронной плотностью.
Модель Томаса—Ферми для веществас заданной температурой и плотностью
О статистике Ферми—Дирака для системы взаимодействующих частиц. При высоких температурах достаточно совершенной и простой в реализации является обобщенная модель Томаса-Ферми [138]. В основе обобщенной модели Томаса-Ферми лежит использование статистики Ферми-Дирака и квазиклассического приближения для электронов, т.е. электроны атомов предполагаются непрерывно распределенными в фазовом пространстве в соответствии со статистикой Ферми-Дирака. Распределение Ферми-Дирака обычно выводится для случая идеального газа во внешнем поле, когда можно говорить об уровнях энергии £& отдельной частицы (см., например, [61]). При этом предполагается, что полная энергия системы Е равна сумме энергий отдельных частиц:
石= ＞丿№空)
т.е. взаимодействием электронов друг с другом пренебрегается, благодаря чему значения энергий электронов £& не зависят от чисел заполнения N^. Эти исходные предположения для атомных электронов неприменимы, так как, во-первых, нельзя пренебрегать их взаимодействием и, во-вторых, положение энергетических уровней атомных электронов зависит от населенности уровней.
Приведем вывод распределения Ферми-Дирака, учитывающий кулоновское взаимодействие между электронами в приближении самосогласованного поля. Будем предполагать, что наша система заключена в некотором фиксированном объеме. Для одномерного случая, когда элемент площади фазового пространства равен dx dp (ж — координата, р — импульс), с помощью правила квантования Бора-Зоммерфельда легко показать, что на одно квантовое состояние приходится площадь 2тгН. Если учесть наличие спина у электрона, приводящее к удвоению числа состояний, и воспользоваться атомной системой единиц (е = 1, m = 1,方=1), то после естественного обобщения результата для одномерного случая на трехмерный получим, что в квазиклассическом приближении число возможных состояний электрона, приходящееся на элемент объема фазового пространства dfdp^ равно 2 dr dp/ (2тг)3 (万一импульс электрона, dr = dx dy dz, dp = dp境dpydpz). Эта величина соответствует статистическому весу g& уровня с энергией q (衣一 совокупность квантовых чисел, характеризующих состояние).
Если п(г,р) — степень заполнения рассматриваемого состояния, то полное число электронов в системе
N = "〃B访器.⑴
С другой стороны,
N = / p(r ) dr,
где р(г) — плотность электронов (точнее, их концентрация). Сравнение с (1) дает
0⑺=/八(吃汾誥•⑵
Найдем полную энергию системы электронов Е. Пусть V(г) — потенциал, создаваемый электронами и атомными ядрами с зарядом Z:
V^=Va^ + Ve^
(匕(戸)一потенциал электронов, % (戸)—потенциал атомных ядер). Потенциальная энергия взаимодействия электронов с атомными ядрами и другими электронами
Ер = - [ P^Va^)而Ч gdfdf1.
丿J J \Г - r \
Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергии системы электронов в нерелятивистском приближении дается выражением
В соответствии с основным предположением статистической термодинамики будем исходить из того, что замкнутая система может находиться с равной вероятностью в любом допустимом стационарном квантовом состоянии. Так как мы считаем энергию системы электронов Е фиксированной, то вероятность данного конкретного распределения электронов будет пропорциональна числу способов, которыми реализуется данное состояние при фиксированной полной энергии Е и общем числе электронов N.
Пусть S — логарифм числа допустимых состояний системы, т.е. энтропия [58, 160]. Если предположить, что можно говорить о состояниях отдельного электрона в поле V (г), для которых в соответствии с принципом Паули Nk < дь, то при заданных числах заполнения Nk
s=in ттin -—.
Y 9k Y ^k-Nk)\Nk\
Для использования этой формулы нет необходимости предполагать, что частицы не взаимодействуют. Достаточно, чтобы вблизи равновесного положения при изменении чисел заполнения электронных состояний Nk не изменялось количество этих состояний и их статистические веса.
Использование формулы Стирлинга п! ^ у/2тт(п/е)п для факториалов больших чисел, когда n》Inn, дает
S = ^[9к In gk —(以-NQ ln(^ - N" Nk ln^]=
=£ 9k In=£ 9k In9k1 Nk
=£ 9k In
=£ 9k In
Nk In—g& — Nkgk — Nk
=-e以 ^k In^k + (1 -八k)31 - nk)]
(n^ = N"gk — степень заполнения состояния k). Отсюда в квазиклас- сическом приближении для энтропии S получаем
ос/】2d尸以
S = -〃 [n lnn+ (1 -n) ln(l - n)]
где n = n(r,^), и мы предполагаем, что элемент фазового объема dr dp является макроскопически малым, однако содержит достаточно большое число частиц.
8S — 8石 + 与 8N = 0.8S — 8石 + 与 8N = 0.⑸⑸Надо найти такие степени заполнения электронных состояний п(г,р\ при которых величина S максимальна при заданной полной энергии Е и при заданном общем числе электронов N. Следовательно, наиболее вероятное распределение можно найти, полагая 8S = 0 и варьируя величины 71俨,力)при постоянных значениях 石 и N. Чтобы считать все вариации Sn(f,p) = Sn независимыми, будем решать задачу с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа Ai = —1/3 и А2 =从/e：
8S — 8石 + 与 8N = 0.
8S — 8石 + 与 8N = 0.
⑸
⑸
Как будет ясно из дальнейшего, величина 从 имеет смысл химического потенциала, а 8 — температуры.
Вычислим, используя (1)-(4), вариации bS, SE и 6N〉входящие в (5):
SE = II 6п (^ —% 俨)SE = II 6п (^ —% 俨)2dfdpT^F +2dfdpT^F +++1 //切仍）0（部）2 77『-门1 //切仍）0（部）2 77『-门
SE = II 6п (^ —% 俨)
SE = II 6п (^ —% 俨)
2dfdp
T^F +
2dfdp
T^F +
+
+
1 //切仍）0（部）
2 77『-门
1 //切仍）0（部）
2 77『-门
二"阮円T⑺）督+"“⑺制"5.
Так как
//初⑺悪―//叫/導1寄二
то
SE = II 6n [y-V(f)] ^f^'
т.е. для вариации 8E в самосогласованном поле V(г) получено выражение, которое формально совпадает с соответствующим выражением для невзаимодействующих электронов, находящихся во внешнем поле V ⑺.
Далее, очевидно, имеем
к^dp
5N = H5n^-
Подставляя выражения для вариаций в условие экстремума (5), получим
1[S)占一(卜一川*
В силу произвольности вариаций bn (% 万)должно выполняться условие
In")=。'
откуда
з ;小产")，(6)
Таким образом, учет взаимодействия между электронами приводит к распределению Ферми-Дирака (6), если воспользоваться выражением ⑷ для энтропии. Заметим также, что требование максимума энтропии при фиксированной энергии Е и заданном числе электронов N
эквивалентно требованию минимума большого термодинамического потенциала Cl = Е — 3S —从N при заданных 从 и 8 (см. (5)).
Вывод уравнения Пуассона—Ферми—Дирака для атомного потенциала. Распределение (6) и формула (2) позволяют найти плотность электронов:
=2/4中2 d2
Удобно сделать замену переменной интегрирования у = р2 / (2^), тогда получим
(28)3/2(V(f)+A
丿 1 + exp匂-/) о
—функция Ферми-Дирака [163].
Зная выражение для 〃(戸),можно получить уравнение для потенциала V (г). Действительно, потенциал V (г) удовлетворяет уравнению Пуассона
=—4тг ^2 Zb(戸一咒)+ 47r〃(戸)，
где 咒—радиус -вектор г-го ядра. Используя (7), получаем
=_4" ? Zb俨一元)+ ； (28)3/2/]/2 (『俨]+ 从).(8)
Уравнение (8) с граничными условиями для V (г) позволяет в принципе определить самосогласованный потенциал для любого заданного расположения ядер. Однако очевидно, что решение такой задачи невозможно и ее постановку требуется упростить. Обычно находят средний потенциал V (г) в некоторой области вблизи ядра, положение которого принимается за начало координат.
Чтобы получить средний потенциал V (г), произведем осреднение потенциала V(г) по различным положениям ядер. Средний потенциал будет сферически-симметричным, если в плазме отсутствует выделенное направление. Уравнение Пуассона (8) для V(г) при 0 < г < го имеет вид
= -^Z6(f) + I (28)3/2/]/2,(9)
где величина 丁° определяется из условия электронейтральности
(10)
0(丁) — соответствующая V(г) средняя плотность электронов. Из условия (10) и уравнения (9) с помощью теоремы Гаусса можно получить граничное условие для V (г)
Кроме того, так как потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого, примем
"(丁0)= 0.(12)
В качестве 丁°, вместо того, чтобы определять его из условия электронейтральности (10), естественно использовать средний радиус атомной ячейки, определяемый из условия
4
-7г(гоао)3п = 1,
где п = pNа〔А — число ядер в единице объема, т.е. их концентрация в 1/см3; р — плотность вещества в г/см3; А — атомный вес; Na = 6,022 • 1023 — постоянная Авогадро; а。= 0, 529 • 10-8 см — атомная единица длины. Отсюда
Таким образом, объем атомной ячейки предполагается равным объему, приходящемуся в среднем на один атом в веществе с заданной плотностью р. В дальнейшем вместо V(г) и р(г) мы будем использовать обозначения V(г) и 〃(丁). Кроме того, для электронной плотности р(г) будет, как правило, указываться зависимость от расстояния г (в отличие от плотности вещества р).
Постановка краевой задачи. Переходя в ⑼(12) к сферическим координатам, получим для потенциала Томаса -Ферми V (г) уравнение
；(М)=汨)3”/2 (^4^) (。＜「＜「。) (14)
с граничными условиями
rV (丁) |r=o = Z, V(r0) = О,rV (丁) |r=o = Z, V(r0) = О,(15)(15)
rV (丁) |r=o = Z, V(r0) = О,
rV (丁) |r=o = Z, V(r0) = О,
(15)
(15)
Для решения уравнения (14) достаточно двух условий, третье условие служит для определения значения химического потенциала 从.При численном интегрировании уравнения (14) удобно исключить 从 из правой части уравнения и вместо функции V (г), которая при г = О обращается в бесконечность, использовать ограниченную при 丁一> О функцию. Поэтому сделаем замену
卜(丁)+ 从 Ф(r)
8 一丁
в результате которой получим уравнение
(РФ 4 т /Ф\,、
(16)(16)k^"1/2 ⑴(25。).
(16)
(16)
Функция Ф(г) должна удовлетворять граничным условиям
ZdФФ(г
3 5dr г
Удобно также от независимой переменной г перейти к безразмерной переменной / = г/го, чтобы при любой плотности вещества производитьинтегрирование уравнения на одном и том же интервале О < ж < 1. После замены переменных
ф(х)г
=, х =一ГXГо
приходим к уравнению
^=ас/1/2 ⑵(a=^V20r^\ ,(17)
с граничными условиями
0(0)=—,“⑴=。⑴.(18)
Условие V(го) = 0 позволяет после решения поставленной краевой задачи (17)-(18) найти химический потенциал. Имеем
『(丁0)+从 _0(/)
т.е.从/8 = ф⑴.Наряду с химическим потенциалом 从 удобно использовать соответствующую ему безразмерную величину
и
которая при высоких температурах положительна (если плотность не слишком велика, см. рис. 1.6).
Потенциал Томаса—Ферми как решение уравнения Пуассона, зависящее только от двух переменных. Уравнение (17) с граничными условиями (18) решается для вещества с атомным номером Z и атомным весом А, которое находится в заданных физических условиях, характеризуемых температурой Т в кэВ (8 = 36,75 Т) и плотностью р в г/см3. Однако нетрудно заметить, что решение этой задачи определяется лишь двумя величинами, а = (4д/^/тг)/^ и 0(0) = Z/(分°), которые удобно выразить через новые переменные сг = 〃/(4Z) и г = T/Z4/3, играющие роль приведенной плотности и приведенной температуры:
а = 21,034—-, 0(0) = 0,0196 ——.
Задание величин ст и г определяет функцию 0(/) и безразмерный химический потенциал ту = —0(1).
Таким образом, если проведены расчеты потенциала Томаса-Ферми для некоторого вещества (4],Zi) при температуре Т] и плотности pi, то их можно использовать для другого вещества (厶2,%2)при температуре 厶 и плотности .2, определяемых с помощью соотношений
При этом химические потенциалы 从i и 从2 связаны соотношением 从 1/8] = 从2/。2 = —ту. Рассмотренное свойство автомодельности позволяет получать необходимые данные (внутриатомный потенциал, внутреннюю энергию, энтропию, давление и т.п.) для любого вещества, если предварительно проведены расчеты для одного из веществ в достаточно широкой области температур и плотностей [47].
Основные свойства функций Ферми—Дирака. Для решения задачи (17)-(18) полезно знать свойства функций Ферми-Дирака
几⑺―V(k〉T)(19)
丿 1 + ехр(т/ - ж)
о
и уметь их вычислять. Так как химический потенциал 从 может принимать положительные и отрицательные значения, то аргумент функции /&(/), как видно из (14), может меняться в широких пределах. Поэтому полезно изучить асимптотическое поведение функции /& ⑺ прии уметь их вычислять. Так как химический потенциал 从 может принимать положительные и отрицательные значения, то аргумент функции /&(/), как видно из (14), может меняться в широких пределах. Поэтому полезно изучить асимптотическое поведение функции /& ⑺ при
и уметь их вычислять. Так как химический потенциал 从 может принимать положительные и отрицательные значения, то аргумент функции /&(/), как видно из (14), может меняться в широких пределах. Поэтому полезно изучить асимптотическое поведение функции /& ⑺ при
и уметь их вычислять. Так как химический потенциал 从 может принимать положительные и отрицательные значения, то аргумент функции /&(/), как видно из (14), может меняться в широких пределах. Поэтому полезно изучить асимптотическое поведение функции /& ⑺ при
Пусть / 《—1. Тогда, пренебрегая единицей в знаменателе интеграла (19), получим
几⑺-几⑺-(20)(20)/ e~y^dy = Г(А； + 1)еж. о
几⑺-
几⑺-
(20)
(20)
Следовательно, при больших по модулю отрицательных значениях аргумента
A/2(n) - 2^еХ' /3/2О) - 4.(21)
Пусть /》1. Так как график функции
/(g)=/(g)=11 + exp(g — ж)11 + exp(g — ж)
/(g)=
/(g)=
1
1 + exp(g — ж)
1
1 + exp(g — ж)
имеет вид ступеньки (рис. 1.1), то при фиксированном значении /》1 имеем
几(/) - у ykdy = ^рр(22)
О
2В частности, А/2(/)- х3^2,2В частности, А/2(/)- х3^2,2/3/2 (/) ^ 二//2. Таким образом,2/3/2 (/) ^ 二//2. Таким образом,функция /&⑺ достаточно просто изображается на графике (рис. 1.2).функция /&⑺ достаточно просто изображается на графике (рис. 1.2).
2
В частности, А/2(/)- х3^2,
2
В частности, А/2(/)- х3^2,
2
/3/2 (/) ^ 二//2. Таким образом,
2
/3/2 (/) ^ 二//2. Таким образом,
функция /&⑺ достаточно просто изображается на графике (рис. 1.2).
функция /&⑺ достаточно просто изображается на графике (рис. 1.2).
Дальнейшие члены разложения в асимптотических представлениях (20), (22), а также достаточно точные таблицы и интерполяционные формулы для вычисления функций /&(/) можно найти в статье [131].
В заключение выведем формулу дифференцирования для функции 几⑺：
l + exp(〃-ar)) dy - -/и dy (1 +exp(沙-с))
Оо
+ / i 7? =左/k 一 1(/).丿 1 + ехр(т/ - ж)+ / i 7? =左/k 一 1(/).丿 1 + ехр(т/ - ж)к 1—8
+ / i 7? =左/k 一 1(/).
丿 1 + ехр(т/ - ж)
+ / i 7? =左/k 一 1(/).
丿 1 + ехр(т/ - ж)
=—уК
1 + exp(g - ж)
о
Таким образом,
改⑺=klk-i^x).(23)
Модель постоянной плотности свободных электронов при высоких температурах. Когда кинетическая энергия электронов велика по сравнению с потенциальной, т.е. V(r)/0《1 в большей части атомной ячейки, что соответствует либо высоким температурам, плотности вещества, мы получаем из (7) для плотности электронов в атомной ячейке
.0) ，Оо) =(2*/ А/2(—〃)= ре.(24)
В данном случае ре есть, по существу, плотность свободных электронов, которая равна постоянной по пространству величине. Если — средний заряд иона, то, очевидно,
— (4/3)тг吟•
Заметим, что формула (24) может быть справедлива не только при 『(丁)/8《1, но также и в случае вырожденного электронного газа, когда V{r)/0 достаточно велико, но при этом V{r)/0《 —ту.
Согласно (24) и (25) для средней степени ионизации а получим
° 晋若号等々2(F) = 317,5 哼 (26)
(T — температура в кэВ, р — плотность вещества в г/см3). Из (26) видно, что средняя степень ионизации является функцией переменных а = 〃/(4Z) и г = Т/%4/з, т.е. а = а(сг,т).
При ту》1 статистика Ферми-Дирака переходит в классическую статистику Больцмана. Используя асимптотику функции /]/2(力)при больших отрицательных / (см. (21)), для средней степени ионизации классической идеальной плазмы получим
4^3/2а = 317, 5
Когда эффективный размер ионного остова г = г*, величину которого можно оценить из распределения электронной плотности (см. § 1 из гл. II, рис. 2.3), много меньше размеров атомной ячейки,
Рис. 1.3. Функции rV(г) по модели Томаса-Ферми (сплошные линии) и в приближении постоянной плотности электронов (штриховые линии) для золота при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВРис. 1.3. Функции rV(г) по модели Томаса-Ферми (сплошные линии) и в приближении постоянной плотности электронов (штриховые линии) для золота при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВ
Рис. 1.3. Функции rV(г) по модели Томаса-Ферми (сплошные линии) и в приближении постоянной плотности электронов (штриховые линии) для золота при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВ
Рис. 1.3. Функции rV(г) по модели Томаса-Ферми (сплошные линии) и в приближении постоянной плотности электронов (штриховые линии) для золота при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВ
условие V(r)/0《1 может выполняться почти во всей ячейке. В этом случае мы приходим к модели постоянной плотности свободных электронов. Ей соответствует потенциал V(г), определяемый из уравнения △『=4тг〃е, С условиями
rV (г)rV (г)=Zo, V(r0)=手『=0dr=Zo, V(r0)=手『=0dr=0.r=『o=0.r=『o
rV (г)
rV (г)
=Zo, V(r0)=手
『=0dr
=Zo, V(r0)=手
『=0dr
=0.
r=『o
=0.
r=『o
В результате находим
= &г= &г1 —1 —3 г 1 + -2 го 23 г 1 + -2 го 2(27)(27)
= &г
= &г
1 —
1 —
3 г 1 + -
2 го 2
3 г 1 + -
2 го 2
(27)
(27)
На рис. 1.3 приведены кривые rV(г) при различных значениях температуры для потенциала Томаса-Ферми и потенциала (27), а в табл. 1.1 приведены соответствующие значения химического потенциала ту, среднего заряда иона Z。(см. (26)) и эффективного радиуса ионного остова г*. Как и следовало ожидать, потенциал (27) и потенциал Томаса-Ферми близки при г > г*, а при г < г* сильно отличаются, что хорошо видно из рис. 1.3 и табл. 1.1.
Таблица 1.1. Приведенный химический потенциал 〃, средний заряд иона Z。, эффективный радиус ионного остова г* по модели Томаса-Ферми для золота при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВ (радиус атомной ячейки то = 8,08)
г
0,01
0,1
1
10
2,78
4,75
6,99
10,1
Z。
3,80
17,1
57,8
77,9
3,63
2,58
0,83
0,11
Модель постоянной плотности электронов, как видно из рис. 1.3, может служить хорошим начальным приближением для модели Тома- са—①ерми, как, впрочем, и сама модель Томаса-Ферми при построении более совершенных квантово-статистических моделей.
Модель Томаса—Ферми для температуры равной нулю.
Уравнение для потенциала Томаса-Ферми при ^ —> 0, когда 8《从,т.е. ту《一1, можно получить с помощью предельного перехода из (14), используя (22):
г dr2 Зтг \ J 丿г dr2 Зтг \ J 丿(28)(28)
г dr2 Зтг \ J 丿
г dr2 Зтг \ J 丿
(28)
(28)
(как видно из (28), температура 0 при этом сокращается). Удобно ввести новую функцию
Фо(Г)= г [V (г) +从],Фо(Г)= г [V (г) +从],(29)(29)
Фо(Г)= г [V (г) +从],
Фо(Г)= г [V (г) +从],
(29)
(29)
удовлетворяющую уравнению
г ^2^08，^ 不3/2 /С //、
=寸。(o<r<ro)5
которое исследовалось во многих работах [137, 169, 215]. Уравнение вида (30) справедливо при больших отрицательных значениях ту, что может выполняться не только при 8 —> 0, но и при достаточно высоких температурах в случае сильных сжатий, когда электроны представляют собой вырожденный ферми-газ.
Методы численного интегрирования уравнениядля потенциала Томаса—Ферми
Метод «стрельбы». Графики Лэттера. Предварительно проанализируем качественное поведение решения уравнения (17) из § 1
а = ±д/^*, 0 < ж < 1^ ,(1)
удовлетворяющего граничным условиям
。(0)=0(1) = "(1).(2)
Так как ф" > 0, то кривая 0(/) на интервале 0 < ж < 1 направлена выпуклостью вниз. Для случая ту > 0 (ту = —0(1)) имеем 0(1) = “(1) < 0.
Рис. 1.4. Характерный профиль функции 0(ж) (сплошная линия), ж = т/то и прямая у = —т]х. Расчет проведен для золота: Т = 0,1 кэВ, р = 1 г/см3Рис. 1.4. Характерный профиль функции 0(ж) (сплошная линия), ж = т/то и прямая у = —т]х. Расчет проведен для золота: Т = 0,1 кэВ, р = 1 г/см3
Рис. 1.4. Характерный профиль функции 0(ж) (сплошная линия), ж = т/то и прямая у = —т]х. Расчет проведен для золота: Т = 0,1 кэВ, р = 1 г/см3
Рис. 1.4. Характерный профиль функции 0(ж) (сплошная линия), ж = т/то и прямая у = —т]х. Расчет проведен для золота: Т = 0,1 кэВ, р = 1 г/см3
Если учесть, что потенциал V(г) наиболее сильно меняется при малых г и что в точке ж = 1 кривая 0(/) касается прямой у = —тух, то получим характерный профиль 0(/), который изображен на рис. 1.4. При численном интегрировании уравнения (1) удобно начинать счет от ж = 1 влево при заданном пробном значении ту, затем проверять выполнение граничного условия при ж = 0 и в дальнейшем, изменяя ту, вести «стрельбу» до попадания в «цель» 0(0) = Z/(8丁°) с помощью некоторого алгоритма численного интегрирования уравнения (1).
Так как функция 0(/) сильно меняется при малых ж, то лучше вести счет с переменным шагом по / или с постоянным, но по новой переменной, например, по переменной и = ^^, делающей профиль ф(и) более пологим. Точность вычислений будет обеспечена, если воспользоваться методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага [12, 96].
⑶⑶При использовании метода стрельбы можно применять метод Ньютона для нахождения ту из уравнения /(〃) = Z/(分о), где /(ту) = 0(/)|%=о, полученное в результате интегрирования уравнения (1) с граничным условием 0(1) = О'(1) = —ту. Так как функция F(〃) = In /(ту) ближе к линейной функции, чем /(ту), то будем исходить из уравнения
⑶
⑶
%〃)=1п 友
которое лучше удовлетворяет условиям применимости метода Ньютона. Получаем следующую итерационную схему:
?（*）+（#+】）…喘訂
т.е.
〃 = 〃(s)
Для нахождения dF/dr] можно одновременно с уравнением Томаса- ①ерми (1) решать уравнение для функции х(/) = дф/дг]：
(5)
После интегрирования уравнений (1) и (5) получаем dF/dr] = Х(°)/0(°)・
При выборе начального приближения ту(°)удобно воспользоваться моделью постоянной плотности электронов (24), (25) из § 1 и предположением Z。= Z, что дает
А/2（—〃）=万（28）3/2吟.А/2（—〃）=万（28）3/2吟.⑹⑹
А/2（—〃）=万（28）3/2吟.
А/2（—〃）=万（28）3/2吟.
⑹
⑹
При вычислении начального значения ту = 〃(°)заменим в формуле (6) функцию /]/2 (/) близкой ей функцией
元/2(/)=y I {1П元/2(/)=y I {1Пг1/3/ 2/г1/3/ 2/3/23/2
元/2(/)=y I {1П
元/2(/)=y I {1П
г1/3/ 2/
г1/3/ 2/
3/2
3/2
Рис. 1.5. Графики функций In/1/2(^) (сплошная линия) и In/1/2(^) (штриховая линия)Рис. 1.5. Графики функций In/1/2(^) (сплошная линия) и In/1/2(^) (штриховая линия)
Рис. 1.5. Графики функций In/1/2(^) (сплошная линия) и In/1/2(^) (штриховая линия)
Рис. 1.5. Графики функций In/1/2(^) (сплошная линия) и In/1/2(^) (штриховая линия)
которая при ж —> сю и ж —> —сю имеет то же асимптотическое поведение, что и функция /1/2 (①)，а при ж = 0 отличается от нее меньше, чем на 20% (рис. 1.5). В результате имеем
(о)3 ]3/2^2
гдегде77 = 2 П 6 - 2 П ехр V - 1 5⑻
где
где
q=1r(2/吟=2,795. •禍^
(p — плотность вещества в г/см3, Т — температура в кэВ).
Формулу (8) при достаточно малых или достаточно больших значениях q можно упростить:
/3、2/3
严^-(列 при q》l,
при q《1.при q《1.ту ⑼Inту ⑼In
при q《1.
при q《1.
ту ⑼In
ту ⑼In
Заметим, что значение ту, получаемое по формуле (8), обычно является несколько заниженным по сравнению с истинным.
Итерации по формуле (4) в некоторых случаях могут расходиться, что возможно, например, при очень низких температурах. Это обычно связано с плохим начальным приближением для ту = ту(°). Чтобы добиться сходимости итераций, наряду с методом Ньютона применяется метод деления пополам.
Рис. 1.6. Величина 0(0) в зависимости от 〃 二—0(1) для фиксированных значений параметра а (а = 10-2,10-1, ..., 106)
Представление о зависимости 0(0) от ту = —0⑴ дают графики Лэттера [163], на которых изображены кривые у = 0(0) = /(ту) при различных значениях коэффициента а = (4д/^/тг) 丁^ (рис. 1.6). Ранее эти графики использовались для получения начального приближения ту(°).
Более быстрым по сравнению с методом стрельбы является метод прогонки с итерациями [79].
Линеаризация уравнения. Разностная схема. Непосредственно к уравнению (1) метод прогонки применить нельзя, так как оно является нелинейным относительно неизвестной функции ф(х). Поэтому линеаризуем правую часть (1):
厶/2 G) = /1/2 停)+ F 厶/2 (0 1с=^ = =A/2停)+^3e)⑼
(@(/) — некоторое приближение к функции ф(х». Проведем замену переменной х=и2 и запишем уравнение (1) в разностном виде на равномерной сетке 〃〃 = ih (h = 1/N, г = 0,1,2, ..., N), используя формулу (9). Так как
то получаем
] /如+1 -2如 +如一1 _ 如+1 一如一八 _
4"： I 九22uih 丿
(г = 1,2,— 1).
Запишем граничные условия (2) для разностной схемы (9). При и = О
仇(ID
Для получения в разностном виде граничного условия при и = 1
"⑴=乎du"⑴=乎du]=20 ⑴]=20 ⑴
"⑴=乎
du
"⑴=乎
du
]=20 ⑴
]=20 ⑴
можно воспользоваться формулой Тейлора
(12)(12)= ФN — Ф，Nh + -^Л2 + 0(Л3),
(12)
(12)
где, в соответствии с (2) и (10),
必=20n,。先=20n + 4a/i/2(@N)+ 2a(0n — @n)/—i/2(@n)・
Заменяя в равенствах (10)-(12) j〃 на ф^, фi на ф，”〉где s — номер итерации, получим соответствующую линейную разностную схему для 0；7 в зависимости от 0； \ которую можно решать методом
прогонки (см. [29], а также [95, с. 34]).
«Прогонка» с итерациями. Уравнение (10) имеет вид
aiji—、+ 仇仇 + Q%+i = d{,(13)
где 5 = О；"” — неизвестная функция,
(г = 1, ...,N — 1; s = 0,1, 2 ...).(г = 1, ...,N — 1; s = 0,1, 2 ...).
(г = 1, ...,N — 1; s = 0,1, 2 ...).
(г = 1, ...,N — 1; s = 0,1, 2 ...).
Рис. 1.7. Прогонка с итерациями. Последовательные приближения g(s)(/) = Нф® ⑺ для золота при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВ. С ростом s значения у^ (ж) уменьшаются, приближаясь к функции у(х) = 00(c)
Уравнение (13) будем решать методом прогонки, полагая
仇+1 = &〃仇 + &•(14)
Коэффициенты а〃 и 仇 вычисляются при г = N — 1,N — 2, .「I по формулам, которые получаются в результате подстановки (14) в (13):
电 а & 一 Ci8i
Q〃一 1 = — 7 ：, Рг—1 = 7 ：•
Значения Qn—i и On—i определяются из граничного условия (12):
Так как g° = Z/(8丁о) известно, то по формуле (14) при г = 0,1, ..., N—1 工+1)
получаем yi = ф)
Для проведения вычислений необходимо задать начальное приближение для ту и ф(х). В соответствии с (27) из § 1 имеем
(15)(15)
(15)
(15)
где 〃(°)определяется по формуле (8).
Сходимость итераций иллюстрирует рис. 1.7, где приведены графики функций 80(s)(ж) (s = 0,1, 2,...) для золота (Z = 79) при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВ. Из графиков видно, что даже при Г = 0, когда начальное приближение является достаточно грубым, после двух итераций функция ф^ (/) близка к решению ф(х).
Модель Томаса—Ферми для смеси веществ
Постановка задачи. Условия термодинамического равновесия. Обычно в физике и технике редко приходится иметь дело с простыми веществами, состоящими из одного элемента. Так, например, звездное вещество есть смесь атомов многих элементов (от водорода до железа). С другой стороны, изучая свойства чистого вещества, следует иметь в виду, что даже небольшая примесь может весьма существенно изменить его свойства — например, непрозрачность.
Рассмотрим смесь из N компонент при заданной температуре О и средней плотности р, причем пусть массовая доля г-й компоненты будет равна m〃 (г = 1, 2, ...,N). Так же, как и в случае одного вещества, будем считать атомные ячейки сферами с радиусами Гог, так что объем, приходящийся на одну атомную ячейку г-й компоненты, равен Vi = (4/3) тгг^.
Введем парциальную плотность г-й компоненты р%〉которая получается делением массы компоненты на объем, приходящийся на долю этой компоненты. Так как объем смеси (он пропорционален £mjр) равен сумме объемов, приходящихся на отдельные компоненты смеси, то
Кроме того, в условиях термодинамического равновесия систем, находящихся в диффузионном контакте, их химические потенциалы 从〃 должны быть равны (см. [58, гл. IV]).
Таким образом, вычисление потенциала Томаса -Ферми 匕(丁) для различных ячеек смеси сводится к решению системы нелинейных
дифференциальных уравнений 2-го порядка (см. (14) и (15) из § 1)
с граничными условиямис граничными условиямиЗдесьЗдесь(”12...,N)(”12...,N)cP姦如（/）=电力A/2cP姦如（/）=电力A/2如⑴=如⑴=dфidxdфidx=万=—优=1"=万=—优=1"⑴⑴
с граничными условиями
с граничными условиями
Здесь
Здесь
(”12...,N)
(”12...,N)
cP
姦如（/）=电力A/2
cP
姦如（/）=电力A/2
如⑴=
如⑴=
dфidx
dфidx
=万=—
优=1"
=万=—
优=1"
⑴
⑴
如⑺如⑺%（丁）+色%（丁）+色NN^e矶=鼠 mjWjNN^e矶=鼠 mjWj、P Pi J、P Pi J⑶⑶& =勿=〃=—不& =勿=〃=—不(при любых г и J).(при любых г и J).
如⑺
如⑺
%（丁）+色
%（丁）+色
NN
^e矶=鼠 mjWj
NN
^e矶=鼠 mjWj
、P Pi J
、P Pi J
⑶
⑶
& =勿=〃=—不
& =勿=〃=—不
(при любых г и J).
(при любых г и J).
гx =--
Пн
…388（力乩⑵
Ai, Zi — атомный вес и атомный номер г-й компоненты. Радиусы Гог (и связанные с ними парциальные плотности 勿)должны подбираться таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения:
Линеаризация системы уравнений. Рассматриваемая задача является нелинейной краевой задачей. Для ее решения произведем линеаризацию системы (1), разлагая правую часть (1) вблизи приближенного решения по переменным。為 Wi и ограничиваясь линейными членами. Если в качестве приближенных значений величин фi и Wi брать их значения с предыдущей итерации, то в результате придем к следующей итерационной схеме
(s+D(s+D⑶\丄Wi +⑶\丄Wi +awj ($)2 \Wi = Wawj ($)2 \Wi = W(s+D (s) Фi — Фi(s+D (s) Фi — Фi⑸⑸
(s+D
(s+D
⑶\丄
Wi +
⑶\丄
Wi +
awj ($)
2 \Wi = W
awj ($)
2 \Wi = W
(s+D (s) Фi — Фi
(s+D (s) Фi — Фi
⑸
⑸
с граничными условиями
(s+DФi (0)=(s+DФi (0)=Z〃 2 d(l"o〃) e dwi 9TuiZ〃 2 d(l"o〃) e dwi 9Tui(s+D (s)Wi - Wi(s+D (s)Wi - Wi⑹⑹
(s+D
Фi (0)=
(s+D
Фi (0)=
Z〃 2 d(l"o〃) e dwi 9Tui
Z〃 2 d(l"o〃) e dwi 9Tui
(s+D (s)
Wi - Wi
(s+D (s)
Wi - Wi
⑹
⑹
(s+D d (s+D如⑴=/如⑺(s+D d (s+D如⑴=/如⑺(s+D(s+DC = 12...,N)C = 12...,N)⑺⑺
(s+D d (s+D
如⑴=/如⑺
(s+D d (s+D
如⑴=/如⑺
(s+D
(s+D
C = 12...,N)
C = 12...,N)
⑺
⑺
(s — номер итерации). Используя соотношения
d电 _ 2 R d(l"o〃) _1
dwi 3 wj dwi Згог 仍
преобразуем (5)—⑺ к видупреобразуем (5)—⑺ к виду⑼⑼(s+DФi (0)(s+DФi (0)
преобразуем (5)—⑺ к виду
преобразуем (5)—⑺ к виду
⑼
⑼
(s+D
Фi (0)
(s+D
Фi (0)
(s+D d(s+D(s+i)
如⑴=五如⑺〃〃 = 1,2,(io)
(s+D
В систему уравнений (8)-(10), кроме неизвестных функций фi (ж),
(s+D
входят также неизвестные величины Wi , которые должны удовле
творять условию (3). Величины а〃 и 丁℃ выражаются через Wi в соответствии с (2).
Итерационная схема и метод прогонки. Из свойства ли-
(s+i)
нейности системы (8)-(10) относительно неизвестных ф» (/) вытекает
咛1)(s+i)
возможность выделения в явном виде зависимости 伪 ⑺ от Wi и (s+D
последующего разделения итераций для вычисления величин ф» (/) (S+D тт ■心
и Wi . Действительно, запишем уравнение (8) в виде
гдегде(s+D上如=(s+D上如=万万鋁A/2鋁A/2
где
где
(s+D
上如=
(s+D
上如=
万
万
鋁A/2
鋁A/2
Решение уравнения Ly = &/i(n) +。2了2(/) можно представить в виде g = &J1 + с2g2, где £% = л, Ly2 = /2, Т.е.
/ 「、「с (s+D (s) 口
(于、 (s+明、丄 1 丄 2 Wi -Wi (.+1)
Функции % ⑺ и Sui ⑺ в соответствии с (9)-(11) должны удовлетворять следующим неоднородным уравнениям и граничным условиям:
(s+D(s+D1 (s) 丁 / 如、(s+D _ l(s)
(s+D
(s+D
(s)(s)(s+D(s+D1 (s)(如、(s+D _ (s)-aU-1/2 I )"〃 =电/厶/21 (s)(如、(s+D _ (s)-aU-1/2 I )"〃 =电/厶/2(12)(12)(s+D 仆3 (0)(s+D 仆3 (0)3自介ос3自介ос(s+D/八 d (s+i)3⑴=〜⑺(s+D/八 d (s+i)3⑴=〜⑺(s+D 仆Ui (0)=-(s+D 仆Ui (0)=-E疝E疝(s+D/i、 d (s+D/、"。⑴=L⑺(s+D/i、 d (s+D/、"。⑴=L⑺-2 аг/-1/2( — ) 3 =_y“—1/2
(s)
(s)
(s+D
(s+D
1 (s)(如、(s+D _ (s)
-aU-1/2 I )"〃 =电/厶/2
1 (s)(如、(s+D _ (s)
-aU-1/2 I )"〃 =电/厶/2
(12)
(12)
(s+D 仆
3 (0)
(s+D 仆
3 (0)
3自
介ос
3自
介ос
(s+D/八 d (s+i)
3⑴=〜⑺
(s+D/八 d (s+i)
3⑴=〜⑺
(s+D 仆
Ui (0)=-
(s+D 仆
Ui (0)=-
E疝
E疝
(s+D/i、 d (s+D/、
"。⑴=L⑺
(s+D/i、 d (s+D/、
"。⑴=L⑺
1 раничные условия для функции Ui (/) и о〃 (/) при ж = 1 очевидны, а при ж = 0 их можно получить следующим образом. Так как в силу (9) и (11)
、「° (s+D (s)],丁:)小一.2 Wi -Wi (s+D 3。+ 1 + g…、「° (s+D (s)],丁:)小一.2 Wi -Wi (s+D 3。+ 1 + g…(s+D(s+D(s+D(s+D(s) Wi(s) Wi% (0)=% (0)=(s+D (s)]1 Wi -Wi(s+D (s)]1 Wi -Wi33(s) Wi(s) Wi
、「° (s+D (s)]
,丁:)小一.2 Wi -Wi (s+D 3。+ 1 + g…
、「° (s+D (s)]
,丁:)小一.2 Wi -Wi (s+D 3。+ 1 + g…
(s+D
(s+D
(s+D
(s+D
(s) Wi
(s) Wi
% (0)=
% (0)=
(s+D (s)]
1 Wi -Wi
(s+D (s)]
1 Wi -Wi
3
3
(s) Wi
(s) Wi
то, полагая здесь % (0) = aZ〃(分力)，^〃 (0) = ^Z〃(分力)，находим для коэффициентов а и 0 соотношения а + 炉=1, (2/3)0 = —1/3, которые дают а = 3/2, 0 = —1/2. Из уравнений (12) видно, что (s+D (s+D(s+i)
〃〃 ⑺， 3 ⑺ не зависят от Wi .
Краевые задачи (12) для функции Ui ⑺ и 3 ⑺ удобно решать методом прогонки на равномерной по，^ сетке (см. § 2). По- 工、(s+D/、■
еле вычисления функции Ui и о〃 можно наити величину (s+i) (s+D⑶(s+i)
力 — — ф{ (1), суммируя по г с весом т1rwj 〃〃 (1) равенства (11)
при ж = 1 и принимая во внимание условие (3), которое в процессе итераций будем требовать выполненным при всех значениях s:
£丄£⑶(岩)⑴
* miWi-———
(13)(13)(s+D 』1 三1⑴
(13)
(13)
^⑴
Зная Т, можно найтиЗная Т, можно найтиполагая в (11) х = 1:полагая в (11) х = 1:(s+D 1 (s) 仍=~2Wi(s+D 1 (s) 仍=~2Wi■ (S+D 丄(S+D 小Ui (1)■ (S+D 丄(S+D 小Ui (1)(14)(14)
Зная Т, можно найти
Зная Т, можно найти
полагая в (11) х = 1:
полагая в (11) х = 1:
(s+D 1 (s) 仍=~2Wi
(s+D 1 (s) 仍=~2Wi
■ (S+D 丄(S+D 小
Ui (1)
■ (S+D 丄(S+D 小
Ui (1)
(14)
(14)
Для получения начального приближения, как и в случае вещества, состоящего из атомов одного и того же элемента, удобно воспользоваться моделью постоянной плотности свободных электронов (см. формулы (24), (25) из § 1) и предположением 2。〃 = Z〃. Это приводит к соотношению
2 〜4А/2(1,388)3 >/2/1/2(一〃)， откуда с помощью (3) будем иметь
У /Зтг р £〃 ^〃Z〃4〃
〜 応(1,388)3 濟乃—mi—
Используя (15), (16), а также (7) и (14) из § 2, окончательно получаем
⑼ 自 e6 mi
Wi = w—- ———
儿 ^^iZi Ai
(? = lln^-^ln exp72 6 2 у(? = lln^-^ln exp72 6 2 у(17)(17)
(? = lln^-^ln exp
72 6 2 у
(? = lln^-^ln exp
72 6 2 у
(17)
(17)
o = 2 795 • 10-3 • —
” 2,795T3/2
自(3丄1(о)
Предложенный алгоритм позволяет проводить вычисления при любых значениях температуры и плотности вещества, в частности, при температуре равной нулю. Согласно (17) при фиксированной плотности р и 1 —> 0 начальное приближение ту —> —сю, что справедливо и для истинного значения ту. При ту < —10 функцию /1/2(^/^) можно заменить с хорошей точностью ее асимптотическим выражением /1/2(。//)2/3(%)3/2, что приводит к формулам, фактически
совпадающим с формулами для Г = 0 (см. формулу (30) из § 1). Условие ту < —10 можно заменить более жестким Т < 0,001 р2^3 (Т — в кэВ, р — в г/см3), если воспользоваться оценкой (17) при больших q. Таким образом, чтобы с помощью рассмотренного выше метода вычислить потенциал Томаса -Ферми при температуре Г = 0, достаточно провести расчет при Т = Т* = 0,001 р2/3 и выполнить соответствующие преобразования.
Метод прогонки с итерациями имеет 2-ой порядок точности по шагу h. Если этого недостаточно (например, в случае очень малых плотностей), можно использовать схемы более высокого порядка точности, применяя метод Ньютона для нахождения химического потенциала [73].
Обсуждение результатов расчетов. По итерационной схеме (13), (14) проводились расчеты в широкой области температур и плотностей для различных веществ и смесей. Для иллюстрации схоаи- (s)
мости итераций приведем результаты расчетов величины ту для смеси 10 элементов с атомными номерами Z = 10, 20,..., 100 при mi = Ai (см. табл. 1.2). При mi 济 4〃 итерации сходились не медленнее, чем при mi = 4〃. С ростом температуры число итераций быстро убывает.
Заметим, что число итераций практически не возрастает с увеличением числа компонент смеси: оно остается примерно тем же, что и для случая однокомпонентного вещества. Это обстоятельство является существенным достоинством итерационной схемы, так как для однокомпонентного вещества нет итераций по парциальной плотности，〃.
Как видно из таблицы, предложенный численный метод позволяет получать внутриатомные потенциалы по модели Томаса-Ферми при произвольных температурах и плотностях для вещества, состоящего из смеси любого количества элементов. Область применимости модели Томаса-Ферми определяется малостью квантовых, обменных и осцил- ляционных поправок к потенциалу V(г) (см. п. 2 из § 1 гл. VI). Как правило, с ростом температуры и плотности поправки уменьшаются,
Таблица 1.2. Последовательные итерации 77 для смеси из 10 элементов при некоторых значениях температуры Т в кэВ и плотности р в г/см 3, полученные методом прогонки
р
10-3
10-2
10-1
1
10
0,54991
4,31552
7,79948
11,25669
14,71056
1,19695
4,67097
8,06290
11,37281
14,71547
1,80567
4,98772
8,31204
11,38652
14,71548
10-2
2,39004 2,96247
3,53084 4,09465 4,61664 4,96164 5,03472 5,03344 5,03346 5,03346
5,29413
5,62701
6,00593
6,40929
6,71097
6,78590
6,78521
6,78523
6,78523
8,56695
8,73447
8,76165
8,76153
8,76154
11,38660
11,38660
14,71548
-14,66551
-1,03005
3,12536
6,64434
10,10539
-7,58149
-0,00109
3,52243
6,85742
10,11872
-3,64227
0,83856
3,91206
6,91850
10,11881
-1,61185
1,55669
4,27765
6,92075
10,11881
1
-0,54902
-0,14336
-0,12944
-0,13091
-0,13091
2,13822
2,45274
2,49462
2,49378
2,49378
4,50923
4,55315
4,55316
4,55316
6,92075
-308,991
-31,2226
-3,2089
1,88920
5,48475
-173,017
-17,3531
-1,4698
2,32163
5,54920
ю2
-118,438
-11,8071
-0,6193
2,55149
5,55142
-111,267
-11,0669
-0,4169
2,58634
5,55143
-111,561
-111,563
-111,563
-11,0966
-11,0967
-11,0967
-0,4145
-0,4146
-0,4146
2,58669
2,58669
5,55143
и их относительная величина тем меньше, чем больше атомный номер Z элементов, входящих в состав смеси.
Глава II
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРОНОВВ ЗАДАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Статистический метод Томаса-Ферми занимает важное место в теории многих частиц. Этот метод позволяет приближенно описывать широкий класс пространственно неоднородных многоэлектронных систем и имеет преимущество простоты и универсальности по сравнению с более точными квантовомеханическими методами.
Если потенциал Томаса-Ферми не слишком сильно отличается от среднего внутриатомного потенциала в веществе, что справедливо при достаточно высоких температурах или больших плотностях, то, используя этот потенциал, можно получить в одноэлектронном приближении уровни энергии и волновые функции электронов, соответствующие атому со средними числами заполнения в приближении Томаса-Ферми, а также найти сами средние числа заполнения. Такой подход дает простейшее приближение среднего атома〉т.е. иона со средними числами заполнения в электронейтральной сферической атомной ячейке. В дальнейшем будет показано, как, используя волновые функции и уровни энергии среднего атома, проводить вычисления для конкретных ионов в плазме.
§ 1. Описание состояний электроновв сферической атомной ячейке
Для нахождения волновых функций и уровней энергии будем решать уравнение Шрёдингера
一；△吵 + U(丁)吵=后 次(1)
где U (г) — потенциальная энергия рассматриваемого электрона, определяемая потенциалом Томаса-Ферми. После разделения переменных в сферических координатах (см. дополнение) получим
^(f) = -R(r)(-l)mY£m(^^,г
где радиальная функция Я(г) = Я£^(г) удовлетворяет уравнению
AR^\u^U^^^(2)
или
Rn + 2[e-U£(r)]R = 0.
Для связанных состояний Я(г) = Rn^(r\ £ = £九厶 где n = nr+^ + l — главное квантовое число, пг — число нулей радиальной функции внутри ячейки (см. ниже п. 1). Как видно из (2), собственные значения энергии 2nq и соответствующие радиальные функции 笈九纟(丁) определяются функцией
которая выступает в роли потенциальной энергии для одномерного уравнения Шрёдингера (2).
Классификация состояний электронов в пределах атомной ячейки. Предварительно рассмотрим характер зависимости потенциальной энергии U^^r) от 厶 полагая U(^) = —V(г), где V(г) — потенциал Томаса—①ерми. На рис. 2.1 приведены функции U^(r) (2 = =0,1,2,3) для золота (Z = 79) при температуре Г = 0,1 кэВ и плотности р = 100 г/см3. Температура и плотность выбраны таким образом, чтобы на рисунке были представлены все возможные случаи поведения функции 切(丁)).
Рис. 2.1. Потенциальная энергия U/(t) = 丿—V(r) при С = 0,1,2,3 для золота при температуре Т = 0,1 кэВ и плотности р = 100 г/см3 (V(г) — потенциал Томаса-Ферми, радиус атомной ячейки то = 1,67)
Для удобства дальнейшего исследования функции U^(r) заменим 2(2+1) на (2+ 1/2)2 в соответствии с используемым в модели Томаса- ①ерми квазиклассическим приближением (см. дополнение, § 4) и вве-
дем обозначения
g=（+；） ，/（丁）=-『（丁）+ 楽・
Экстремумы функции Uy(r) при заданном у достигаются при значениях г, которые являются корнями уравнения — Uy(г) = 0, т.е.
р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т в кэВ
Графики функций 尸(丁), как показывают расчеты, имеют, как правило, характерный колоколообразный вид (см. рис. 2.2). Корни уравнения F(r) = у определяют точки положения минимума и максимума кривой Uy(г). Заметим, что при низких температурах для некоторых значений у кривая Uy(r) может иметь несколько минимумов и максимумов (см. кривую F(r) при Т = 0, 01 кэВ на рис. 2.2). Поведение кривых F(r) легко понять, используя уравнение Пуассона и граничные условия для потенциала Томаса-Ферми. Граничное условие при г = 0 дает
Из уравнения Пуассона {r2Vy=^r2p{r) и граничного условия Vz(ro) = 0 следует
F(H)) = 0,尸(П)) = -4 7ГГ0 .(/о)-3Z。< 0,
где — средний заряд иона.
Обозначим максимальное значение F(r) через у*. Из рис. 2.1 и 2.2 видно, что при у < у* уравнение F(r) = у может иметь несколько корней. Для характерного случая двух корней меньший из них соответствует минимуму, а больший — максимуму функции Uy(r). Если g〉у*, то функция Uy(r) монотонно убывает (см. рис. 2.1 при 2 = 3).
Для у < у* при £ < Eg, где Eg — максимум функции Uy(г), уравнение £ = Uy (г) имеет два или более корней. Заметим, что
“£g _ (8Ug I ^^_ ]〉q
dy 卜 dy dr dy J r=~y 2fg
(r = ry — значение, при котором Uy(r) = £夕),т.е. с ростом у максимум и минимум функции Uy (г) сближаются, а величина максимума возрастает. Если у < у* при е > еу и у > у* при £〉/(丁о) = g/(2丁^), то уравнение £ = /(丁)имеет в точности один корень.
Зная поведение функции Uy (г), можно получить представление о характере движения электрона внутри атомной ячейки, если при заданном у = (2 + 1/2)2 на интервале 0 < г < го исследовать расположение корней уравнения
⑶⑶£ - /б = °,
⑶
⑶
определяющих область классического движения электрона, т.е. область, в которой £ — Uy (г)〉0. Возможны три характерных случая.
Уравнение (3) имеет один корень г = ri, т.е. одну точку поворота. Область классического движения электрона £ 〉Uy(r) распространяется вплоть до границы атомной ячейки г = го. Такие состояния, очевидно, имеют непрерывный спектр энергий (см. например, рис. 2.1 при £〉5 для 2 = 0,1, 2, 3). Соответствующие состояния электронов не локализованы и возможны перемещения таких электронов из одной ячейки в другую.
Уравнение (3) имеет два корня ri и 丁2 (две точки поворота), причем г± < Г2 ^ го (см. рис. 2.1 при е < —5 для ^ = 0,1, 2). В этом случае получаем связанное состояние, спектр энергий дискретен^ граничные условия при г = Го можно не уточнять, так как волновая функция пренебрежимо мала вне области классического движения при 丁》丁2 •
Уравнение (3) имеет два или более корней, причем второй корень близок к границе атомной ячейки (см. рис. 2.1 при —1 < е < 3 для 2 = 2). Такие состояния можно отнести к промежуточной группе. По существу, из-за влияния соседних атомов энергетический спектр таких электронов состоит из ряда полос разрешенных энергий. В некоторых случаях расположение полос можно определить путем постановки граничных условий специального вида, например, в твердом теле ставятся некоторые условия периодичности. Наиболее простую оценку положения и ширины полос Де = £] — £2 можно получить, решая уравнение Шрёдингера при заданных п и ^ с условиями Я£1£(го) = 0 и ,£2纟(丁) ) I _ q (см. а также § 1 из гл. IV).
dr у г у lr=r0
Таким образом, мы видим, что для наиболее важных первого и второго случаев волновые функции и уровни энергии могут быть
найдены в результате решения уравнения Шрёдингера (2) методами, рассмотренными в дополнении. Для состояний промежуточной группы требуется проведение дополнительного исследования (см. ниже гл. IV, § 1, 2) Однако во многих случаях, особенно при высоких температурах, в состояниях промежуточной группы находится очень мало электронов и учитывать зонную структуру спектра в этом случае нет необходимости.
Замечание. При решении уравнения Шрёдингера (2) из потенциала Томаса-Ферми V(г), вообще говоря, следует исключить собственную электростатическую энергию рассматриваемого электрона («самодействие»). Поэтому в уравнении Шрёдингера (2) вместо U(r)= = —『(丁)можно брать
Z - 1 1 u(/)= —
(включена поправка ①ерми—Амальги [130]). Очевидно, что такого рода поправки изменяют поведение потенциала при 丁〜丁° и влияют на спектр электронов промежуточной группы.
Модель атома со средними числами заполнения. После определения уровней энергии электронов £ = еп£ в центральном поле, характеризуемом потенциалом Томаса—①ерми〉можно найти средние числа заполнения электронных состояний, непосредственно используя принцип Паули и статистику Ферми-Дирака. При этом среднее число электронов дискретного спектра Nn£m в состоянии с квантовыми числами п儿 т и энергией 2n匕 в пределах одной атомной ячейки определяется формулой
2
NnQm = 夕 • ⑷
Очевидно, что среднее число электронов с квантовыми числами п и
…£n^=2(2；,(5)
где 2(22 + 1) есть степень вырождения энергетического уровня £九纟.
Для подсчета числа электронов непрерывного спектра с квантовыми числами ^, m и энергией в интервале(£, £ + cfe) в пределах атомной ячейки воспользуемся квазиклассикой для центрально-симметричного потенциала V (г), согласно которой число возможных состояний для электрона с квантовыми числами 厶 ш и определенной проекцией спина, приходящееся на элемент объема фазового пространства dp^dr〉 в области классического движения, как это следует из формулы Бора-
Зоммерфельда, равно
-d夕嵬dr,
7Г
где
区2 =2嵬(丁) = \ 2 e +『⑴)一(2 々产)
Суммируя по двум возможным проекциям спина, для среднего числа электронов с квантовыми числами 厶 ш и с энергией в интервале (%£ + de), находящихся в сферическом слое (г, г + d丁), в квазикласси- ческом приближении получаем
122 de dr7 7
——--如嵬 dr = =dr, (6)
+ exp —-— 7r"PeQ 1 + exp —-—
ии
где
N(£") = г:
寸嵬⑺1 + exp — и
Формула (6) приводит к выражению для электронной плотности р(г) по модели Томаса-Ферми, если использовать квазиклассическое приближение (6) для всех электронов, включая состояния дискретного спектра. В указанном приближении для числа электронов в сферическом слое (г, г + d丁) имеем
4тгг2р(г) dr = £N(£") cfe dr,
т.е.
小）=占小）=占fООeЕ/ ——2加=一("1俨2У67ф嵬(丁)fООeЕ/ ——2加=一("1俨2У67ф嵬(丁)2匠2匠1 + exp —т— и1 + exp —т— и⑺⑺
小）=占
小）=占
fОО
eЕ/ ——
2加=一("1俨2У67ф嵬(丁)
fОО
eЕ/ ——
2加=一("1俨2У67ф嵬(丁)
2匠
2匠
1 + exp —т— и
1 + exp —т— и
⑺
⑺
В (7) интегрирование производится по области классического движения электрона
夕%(乃=2 £ +『0)—也 42y 2)> о.
Проводя суммирование по m и заменяя суммирование по 2 интегрированием по у = (2 + 1/2)2, после перестановки порядка интегри-
рования получим
оо2г2 [е+V (г)]
1 Г de/dy_
戸 厶1 + exp 千 /，2[e+『(『)]—庐=
衣 /，£ +『(丁) 7 _ (28)3/2 /y/xdx
-v(r) I + exp °о 1 + exp (ж 1
т.е.
(28)3/2(『6+4(28)3/2(『6+4⑻⑻
(28)3/2(『6+4
(28)3/2(『6+4
⑻
⑻
что совпадает с формулой (7) из § 1 гл. I.
Получение выражения для плотности электронов с помощью квазиклассического приближения для волновых функций. Формула (8) для плотности электронов р(г) может быть получена также непосредственно из квантовомеханического выражения
2
，俨)=£ £Hn£m(r)|2 +
几gm1 + exp——-——
(en2<eo(2))О
+ e / 2 后 _4 IVWnz(戸)『匠,(9)
小〉儿)l + exp-^-
где £о = £о(2) — граница непрерывного спектра для электронов с данным 厶 VWw(汚 и ^££m(f) — волновые функции дискретного и непрерывного спектра:
仍)=-Rn^-^mYem^,夕)，俨)=-Rs^-^mYem^,夕).
В области классического движения для радиальных частей волновых функций воспользуемся квазиклассическим приближением (справедливым, строго говоря, вдали от точек поворота):
R")R")少嵬（丁）少嵬（丁）sinsin（£ - e九2）；（£ - e九2）；笈曼（丁）笈曼（丁）e2.-/sine2.-/sin
R")
R")
少嵬（丁）
少嵬（丁）
sin
sin
（£ - e九2）；
（£ - e九2）；
笈曼（丁）
笈曼（丁）
e2.
-/sin
e2.
-/sin
Здесь ^ = ^(r) = / p££(r,) dr (丁】—первая точка поворота), a nori
стоянные Ci и С2 определяются из условий нормировки. Вне области классического движения будем полагать волновые функции равными нулю.
Если для электронов дискретного спектра потребовать выполнения
условия / 圖2md/г = 1, то для нахождения нормировочной постоян- 0
ной С] в квазиклассическом приближении получаем равенство
7 1 l + sin2e(r)
0riri
Для электронов непрерывного спектра потребуем при 丁° —> сю выполнения условия
/ 笈曼(丁)笈£”(丁)dr = J(e - i),о
что дает С? =，2/тг (см. § 3).
Подставляя квазиклассические волновые функции в (9) и учитывая теорему сложения для сферических гармоник
e1匕加(仇夕)12 = ^±1,
получаем
")=小)=^< Е<(£n£<£0W)")=小)=^< Е<(£n£<£0W)2(22+1)1 + exp —--2(22+1)1 + exp —--瑶伞）+瑶伞）+
")=小)=^< Е
<(£n£<£0W)
")=小)=^< Е
<(£n£<£0W)
2(22+1)
1 + exp —--
2(22+1)
1 + exp —--
瑶伞）+
瑶伞）+
2(22[? 6匠卜(П)
1 + 1 J
Для проведения суммирования по п воспользуемся правилом Бора- Зоммерфельда
『2『2『1『1仇=71 — 2—1),(12)仇=71 — 2—1),(12)
『2
『2
『1
『1
仇=71 — 2—1),(12)
仇=71 — 2—1),(12)
из которого следуетиз которого следуетdr区2（丁）dr区2（丁）(13)(13)т.е.т.е.dnrdnr『2
из которого следует
из которого следует
dr
区2（丁）
dr
区2（丁）
(13)
(13)
т.е.
т.е.
dnr
dnr
cfe / dr
"J夕曼(丁)
Г1
小）小）占 £2(22+1)义占 £2(22+1)义2£。(2)2£。(2)хх11/1 +嵬(丁)._v(r) 1 + exp e \/1 +嵬(丁)._v(r) 1 + exp e \С?С?d<s +d<s +sin2sin2++£。(2)£。(2)Переходя от суммирования по п к суммированию по пг и заменяя суммирование по пг интегрированием по £, получим
小）
小）
占 £2(22+1)义
占 £2(22+1)义
2
£。(2)
2
£。(2)
х
х
1
1
/1 +嵬(丁)
._v(r) 1 + exp e \
/1 +嵬(丁)
._v(r) 1 + exp e \
С?
С?
d<s +
d<s +
sin2
sin2
+
+
£。(2)
£。(2)
1 + eхp千…m1 + eхp千…m1122sin2 (§ + 鼻)匠sin2 (§ + 鼻)匠т.е.
1 + eхp千…m
1 + eхp千…m
1
1
2
2
sin2 (§ + 鼻)匠
sin2 (§ + 鼻)匠
Кроме того, отметим, что модель Томаса-Ферми неправильно передает поведение электронной плотности в окрестности ядра, т.е. при 丁 ~ 0. Из поведения функции /1/2【(『(丁) + 从)/印 при малых г следует, что р(г)〜1/丁3/2 т 0c ПрИ 丁 т 0 (см. формулу (8)), хотя плотность электронов должна стремиться к некоторому конечному значению. В самом деле, при г = 0 вклад в электронную плотность дают только те электроны, у которых 2 = 0:
〃(о)= £ivaK(o)|2 = £^o IK。(仇夕)匕
где Спо — некоторые постоянные, определяемые числами заполнения уровней с 2 = 0. Таким образом, для электронной плотности, вычисленной по волновым функциям, имеем р(0) < сю в отличие от модели Томаса—①ерми. Заметим, что эта особенность модели Томаса-Ферми практически несущественна, если нет необходимости вычислять р(г) при 丁〜0.
Рис. 2.3. Радиальная электронная плотность 4тгг2р(г) в зависимости от ж =，т/то по модели Томаса-Ферми для золота при плотности р = 1 г/см3 и различных значениях температуры Т = 1, 10, 100, 1000 эВ (стрелками показано направление изменения кривых с ростом температуры)
На границе атомной ячейки при г = го, как это следует из формулы (7) из § 1 гл. I, имеем 〃(丁) = 0, что находится в согласии с моделью постоянной плотности свободных электронов. Заметим, что из поведения р(г) оболочечная структура атома не видна. Более точные квантовомеханические расчеты (например, по модели Хартри-Фока) также не позволяют увидеть оболочечную структуру из графика р(г). Ее можно увидеть из графика радиальной плотности 4тгг2р(г) (см. рис. 3.6).
Распределение радиальной плотности электронов 4тгг2р(г) в зависимости от ж = ^/г/го, полученное по формуле (7) из § 1 гл. I для золота при фиксированной плотности вещества р = 1 г/см3 и различных значениях температуры, изображено на рис. 2.3. Как видно
из рис. 2.3, можно найти точку г = г*, в которой функция г2р(г) минимальна. Значение г* позволяет судить об эффективном радиусе иона: в области г > г* находятся, в основном, свободные электроны атома, а при г < г* — электроны дискретного спектра, образующие ионный остов. Для рассматриваемого случая при Г = 1 эВ величина г* = го(0, 5)2 ^ 2 а.е., а при Г = 1 кэВ имеем г* = 丁о(0,05)2 = 0,02 а.е. (г0 = 8,08 а.е.).
Средняя степень ионизации вещества. Используя вывод формулы (8), подсчитаем число электронов непрерывного спектра Z。, содержащихся в одной атомной ячейке. К непрерывному спектру мы будем относить состояния электронов с одной точкой поворота (см. рис. 2.1). Имеем
где
го ос2г2[е+У(г)]
* =/ 办/匠/(15)
о оо寸嵬(丁) 1 + exp —-—
(山「一叩(16)
0"夕嵬(丁)1 + exp —
C7
Область интегрирования в (16) определяется неравенствами
о S g S 2户(£ +『(丁 )) (0<у < у^, Uy{r) < в < ^ (е > 0),
т.е.
0 < у < min{7/*, 2r2[е + V(г)]}, 0 < е <.
Впрочем, существенно не снижая физической точности расчетов, для Z^2)можно получить более простое выражение, если для заданного 2 в качестве нижней границы непрерывного спектра использовать £ = д/(2丁^). Тогда область интегрирования в (16) определится неравенствами
0工e:糸，0工g工2户[e +『(厂)], т.е.
2 联 <У < 2r2[e +У(г)], 0 < е.
Для средней степени ионизации вещества а = Z°/Z окончательно получим
а = а。一 М,
ооV(r)/[(r0/r)2-l]/1 + expV(r)/[(r0/r)2-l]/1 + exp戸 V6p/2/(ro/r)2 - 1 丿о戸 V6p/2/(ro/r)2 - 1 丿о力2 dt力2 dt1 + exp1 + exp]-力2 V(Г) (r0/r)2 - 1 О]-力2 V(Г) (r0/r)2 - 1 О+ 〃+ 〃(18)(18)
о
о
V(r)/[(r0/r)2-l]
/1 + exp
V(r)/[(r0/r)2-l]
/1 + exp
戸 V6p/2/
(ro/r)2 - 1 丿
о
戸 V6p/2/
(ro/r)2 - 1 丿
о
力2 dt
力2 dt
1 + exp
1 + exp
]-力2 V(Г) (r0/r)2 - 1 О
]-力2 V(Г) (r0/r)2 - 1 О
+ 〃
+ 〃
(18)
(18)
Здесь в (17)力= У1 + e/V(r), а в (18)力=，1 一 [(п)")2 — 1]勿『(丁).
Расчеты показывают, что величина &i играет роль поправки, т.е. обычно а】《а。. Заметим, что величина Z^" (и соответствующее ей значение а。) дает число электронов в атомной ячейке с энергией £〉0. Внутренние интегралы в (17) и (18) можно вычислять по формуле Симпсона, а внешние — по формуле трапеций, так как значения потенциала V(г) обычно известны на неравномерной сетке.
Рис. 2.4. Кривые постоянной степени ионизации а = Zq/Z в зависимости от переменных сг = р/(AZ) и т = T/Z4/3Рис. 2.4. Кривые постоянной степени ионизации а = Zq/Z в зависимости от переменных сг = р/(AZ) и т = T/Z4/3
Рис. 2.4. Кривые постоянной степени ионизации а = Zq/Z в зависимости от переменных сг = р/(AZ) и т = T/Z4/3
Рис. 2.4. Кривые постоянной степени ионизации а = Zq/Z в зависимости от переменных сг = р/(AZ) и т = T/Z4/3
Величина а, как и другие величины в модели Томаса-Ферми, зависит только от приведенной плотности а = р/(AZ) и приведенной температуры т = T/Z”3. Кривые а = const на плоскости сг, т приведены на рис. 2.4.
О поправках к модели Томаса—Ферми. Модель Томаса- ①ерми (Т①)нашла широкое применение для описания свойств высокотемпературной плазмы в связи с ее простотой и универсальностью. Сразу после формулирования основ модели ТФ для Г = 0 [215, 137] и обобщенной модели ТФ для Т # 0 [138] возник вопрос об определении области ее применимости и связанный с этим вопрос об усовершенствовании модели. В этом направлении в ряде работ еще в исходной модели для Г = 0 было предложено учесть обменные и корреляционные эффекты [136, 218]. Уточнение обобщенной модели Т① для вещества с заданной температурой и плотностью было проведено на основе разложения исходного гамильтониана по степеням постоянной Планка 方.В результате была построена модель ТФ с квантовыми и обменными поправками, или модель ТФП [52, 53, 47, 48].
Поправку SV (г) к потенциалу Т① в модели Т①II можно выразить следующим образом (см. § 1 гл. VI):
5Vm = ^ох(ж)/г + |/_1/2 — ⑴]—х⑴,
(19) где х = г/го, 0(/) — решение уравнения ТФ (см. формулу (17) из § 1 гл. I), х(/) — решение линейного неоднородного уравнения
(20)(20)
(20)
(20)
с граничными условиями х(。)= 0, х⑴=Х”)・
Для уточнения модели ТФ, даже в первом приближении, учета квантовых, обменных и корреляционных поправок оказалось недостаточно, так как кроме регулярных поправок, т.е. полученных путем разложения гамильтониана в ряд по степеням постоянной Планка 瓦 существенную роль могут играть так называемые осцилляционные поправки, связанные с оболочечными эффектами. Именно оболочечными эффектами объясняются осцилляции величин нормальной плотности различных веществ в зависимости от их атомного номера Z. Напомним, что при получении электронной плотности по модели Томаса- ①ерми с помощью выражения (14) была проведена замена sin2(^+?r/4) на 1/2. Если такой замены не производить, то можно провести прибли-
женный учет оболочечных эффектов и получить аналитические формулы для расчета электронной плотности, качественно передающие ее осцилляции [55].
Область применимости рассмотренных моделей ограничена малостью поправок, причем получаемые в результате использования моделей с поправками атомный потенциал, волновые функции и соответствующая им электронная плотность остаются не согласованными между собой. Более последовательным подходом, не требующим малости поправок и в то же время более точным и простым, является подход, явно учитывающий оболочечную структуру атомов, т.е. основанный на вычислении волновых функций электронов и применении моделей самосогласованного поля.
Волновые функции дискретного спектра
При температуре Т 〜1 кэВ знания потенциала Томаса-Ферми практически достаточно для решения многих задач физики высокотемпературной плазмы. Однако и при низких температурах отличие потенциала Томаса-Ферми от потенциала Хартри-Фока-Слэтера, соответствующего более совершенной физической модели, не слишком велико. Поэтому, используя потенциал Томаса-Ферми, можно без больших вычислительных затрат легко получать различные характеристики вещества, исследовать качественное поведение этих характеристик в зависимости от температуры и плотности и т.п. Кроме того, потенциал Томаса-Ферми практически всегда служит хорошим начальным приближением при проведении расчетов самосогласованного поля с помощью более сложных квантовомеханических моделей.
Для получения одноэлектронных волновых функций необходимо решать уравнение Шрёдингера с некоторым самосогласованным центрально-симметричным потенциалом V (г). Различные методы решения уравнения Шрёдингера — аналитические, приближенные и численные —рассмотрены в дополнении, приведенном в конце книги. В настоящем параграфе излагается практическое применение этих методов и анализируется их эффективность.
Численные методы решения уравнения Шрёдингера. При проведении итераций для получения самосогласованных атомных потенциалов приходится сотни, а иногда даже тысячи раз решать уравнение Шрёдингера с заданным потенциалом V(г). В результате эффективность методов нахождения самосогласованных потенциалов в значительной степени определяется эффективностью метода решения уравнения Шрёдингера
1 Г
一/笈么2『(丁) Н^笈九2 = £九2笈九2(0 < Г < гg). (1)
Граничные условия для радиальной функции R^M吟 при г = 0 определяются ограниченностью функции Rn^(r)/r в нуле, что дает 笈九纟(0) = 0. При г = го в зависимости от физических условий и используемых методов граничные условия могут быть достаточно разнообразными: 笈九2(丁о) = 0, (Rn£(r)/r)f J = 0 или периодические условия (некоторый вариант таких условий рассмотрен в § 1 гл. IV).
При решении уравнения (1) в § 2 и § 3 настоящей главы в качестве потенциала V(г) будет использоваться, как правило, потенциал Томаса-Ферми V(г). Рассмотрим, прежде всего, задачу нахождения дискретного спектра энергий уравнения (1) с условием равенства нулю волновой функции и ее производной при го —> сю. Одним из первых расчеты для свободного атома проводил Д. Хартри еще без применения компьютера [150]. Для решения уравнения Шрёдингера использовался метод Нумерова и некоторая итерационная схема нахождения собственных значений энергии £九纟(см. также [141]).
Более эффективным является фазовый метод [104, 85], основанный на использовании квазиклассического приближения и обобщении условия Бора-Зоммерфельда. Фазовый метод позволяет за две-три итерации найти собственные значения энергии с высокой точностью, причем этот метод оказался мало чувствительным к выбору начального приближения и тем самым исключительно надежным и достаточно экономичным при расчете самосогласованных потенциалов в широкой области температур и плотностей [78].
Для сравнения применялся также метод обратных итераций [78], который оказался более быстрым, однако, менее надежным, так как для него требуется достаточно точное начальное значение энергии, что не всегда выполнимо при проведении массовых расчетов.
Водородоподобные и квазиклассические волновые функции. Кроме прямых численных методов существуют различные приближенные методы решения уравнения (1), опирающиеся на аналитическое представление волновых функций.
Наиболее удобными с точки зрения их дальнейшего использования являются водородоподобные волновые функции
где / = 2Zn£r/n,上為(/) — полиномы Лагерра, а величина эффективного заряда Zn£ подбирается специальным образом, например, методом пробного потенциала (см. дополнение, § 3, п. 3).
С помощью водородоподобных волновых функций легко вычисляются такие величины как силы осцилляторов, вероятности различных радиационных и столкновительных процессов, другие характеристики
атомов. Собственные значения энергии, соответствующие волновой функции (2), определяются по формуле
⑶
где Ап£ — постоянная внешней экранировки.
Рис. 2.5. Радиальные волновые функции 灭九/(т) в зависимости от ж =，т/то, вычисленные в водородоподобном приближении (штриховая линия) и путем численного решения уравнения Шрёдингера (сплошная линия). Приведены графики Rned) для главных квантовых чисел n = 1, 2, 3,4 и ^ = 0 (количество нулей соответствующей функции равно п — 1). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота при Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3
Рис. 2.6. Водородоподобные и численные радиальные функции для n = 1, 2, 3,4, ^ = 0 в потенциале ТФ для золота при Т = 0, 01 кэВ, р = 0,1 г/см3
Водородоподобные волновые функции и численные решения уравнения Шрёдингера с потенциалом Томаса-Ферми, полученные для золота (Г = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3), приведены на рис. 2.5. Для сокращения места радиальные функции рассмотрены лишь при ^ = 0, так как при 2*0 совпадение приближенных функций с точными гораздо лучше. При низких температурах результаты могут быть не настолько хороши (см. рис. 2.6), так как водородоподобное приближение работает лишь тогда, когда атомный потенциал близок к кулоновскому в некоторой существенной для волновой функции области. Условие применимости водородоподобных волновых функций выполняется тем лучше, чем выше температура вещества, однако в некоторых случаях, например, для первой оболочки, водородоподобное приближение применимо практически всегда, за исключением, быть может, случаев заполненной первой оболочки для элементов с малым Z.
Впрочем, графической близости приближенных волновых функций к точным может оказаться недостаточно. Более надежно о качестве приближенных функций можно судить по точности выполнения условий ортогональности, по погрешности вычисления матричных элементов и т.п. Так, например, условия ортогональности одноэлектронных волновых функций для различных значений главного квантового числа п при совпадающих 2 приводят к равенству / Яп£(г)Яп/£(г) d丁 = 0 (п 济 nz), которое для водородоподобных функций при Zng 济 Zn>£ выполняется лишь приближенно. При различных значениях 2 волновые функции ортогональны за счет сферических гармоник 匕7n (少，夕)•
Более точные волновые функции по сравнению с водородоподобными дает улучшенное квазиклассическое приближение, построенное на основе функций Бесселя (см. дополнение, § 4). В связи с этим квазиклассические волновые функции могут использоваться в более широком интервале температур и плотностей. Надо, однако, иметь в виду, что квазиклассические функции менее удобны по сравнению с водородоподобными с точки зрения получения аналитических формул для вычисления сечений радиационных процессов.
В квазиклассическом приближении значение энергии £ = £九纟 вычисляется из условия квантования Бора-Зоммерфельда (индекс s — от английского слова semiclassical, в дальнейшем может использоваться также обозначение ВКБ)
『2
Г1
где
夕0)=£ +『0) -(' 42y2) ,(5)
гдегде乐 1/3®伪2（丁）＜ 0）,Я(г)= <V⑹[J-1/з(€) + Л/з(€)]伪2（丁）＞ 0）,乐 1/3®伪2（丁）＜ 0）,Я(г)= <V⑹[J-1/з(€) + Л/з(€)]伪2（丁）＞ 0）,Г1, Г2 — ТОЧКИ поворота (夕(丁1)=夕(丁2)= О, Г2 > Г1). Радиальные волновые функции имеют видГ1, Г2 — ТОЧКИ поворота (夕(丁1)=夕(丁2)= О, Г2 > Г1). Радиальные волновые функции имеют вид€ =式丁）€ =式丁）Р = ДР= Р”=I/ p^r^dr1г=I/ p^r^dr1г
где
где
乐 1/3®
伪2（丁）＜ 0）,
Я(г)= <
V
⑹
[J-1/з(€) + Л/з(€)]
伪2（丁）＞ 0）,
乐 1/3®
伪2（丁）＜ 0）,
Я(г)= <
V
⑹
[J-1/з(€) + Л/з(€)]
伪2（丁）＞ 0）,
Г1, Г2 — ТОЧКИ поворота (夕(丁1)=夕(丁2)= О, Г2 > Г1). Радиальные волновые функции имеют вид
Г1, Г2 — ТОЧКИ поворота (夕(丁1)=夕(丁2)= О, Г2 > Г1). Радиальные волновые функции имеют вид
€ =式丁）
€ =式丁）
Р = Р”
Р = Р”
=I/ p^r^dr1г
=I/ p^r^dr1г
г — точка поворота, £ = £九夕 С — нормировочная постоянная.
Рассмотрим некоторые особенности применения формул (4)—⑹ в зависимости от выбора точки поворота г. Пусть
гдегде任*（丁）= ＜任*（丁）= ＜CiCi[J—1/з(€) + Л/з(€)][J—1/з(€) + Л/з(€)]。27i。27i[J—1/з(€) + Л/з(€)][J—1/з(€) + Л/з(€)]戸1/3日戸1/3日(丁 < n),(Г1 < Г < 丁2),(Г1 < Г < г2),(丁 > 丁2),(丁 < n),(Г1 < Г < 丁2),(Г1 < Г < г2),(丁 > 丁2),
где
где
任*（丁）= ＜
任*（丁）= ＜
Ci
Ci
[J—1/з(€) + Л/з(€)]
[J—1/з(€) + Л/з(€)]
。2
7i
。2
7i
[J—1/з(€) + Л/з(€)]
[J—1/з(€) + Л/з(€)]
戸1/3日
戸1/3日
(丁 < n),
(Г1 < Г < 丁2),
(Г1 < Г < г2),
(丁 > 丁2),
(丁 < n),
(Г1 < Г < 丁2),
(Г1 < Г < г2),
(丁 > 丁2),
где
а функция 碎)(г)—а функция 碎)(г)—Функция 笈W (г) имеет особенность при г = Г2,
а функция 碎)(г)—
а функция 碎)(г)—
при г = ri. Изменяя значение энергии £, можно построить квази- классическую волновую функцию без особенностей путем сшивания функций 笈* (г) и 笈^ (г) и их производных в некоторой промежуточной точке г = г* (ri < г* 〈丁2). Однако для получения волновой
функции, непрерывной вместе с производной, лучше воспользоваться на интервале (丁匕 丁2) интерполяцией
/ 夕(丁)dr
石：/丁)=口一。(丁)口胃(丁)+ 认吟喝(丁)，矶Г)= ^•(7)
/ p(r) dr
Здесь коэффициенты интерполяции подобраны таким образом, что в точках поворота ri и г? выполняются условия непрерывности волновой функции и ее первой производной. Заметим, что в некотором интервале энергий, полученная по формуле (7) радиальная функция не будет иметь изломов независимо от того, выполняется или нет условие Бора-Зоммерфельда. Поэтому, если известны значения энергии более точные, чем еп^, их можно также использовать для получения волновой функции по формуле (7).
При практических вычислениях удобно использовать таблицы функций К1/з(€) и 丿一1/3(€) + 丿1/3(€)・ Кроме того, чтобы избежать деления малых величин §(丁) и 夕(丁) друг на друга в окрестности точек поворота, волновую функцию при § ~ 0 можно представить в виде
石：2(丁)=41+42『/3 (€:0,1)(8)
с коэффициентами Ai и 4, вычисленными в соответствии с (6) (4 = =±0,955275 4).
При Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3 для всех рассмотренных п и ^ квазиклассические и точные волновые функции на графиках практи-
Рис. 2.7. Квазиклассические и численные радиальные функции для n = 1, 2, 3,4, ^ = 0 в потенциале ТФ для золота при Т = 0, 01 кэВ, р = 0,1 г/см3 (ср. с рис. 2.6)
Таблица 2.1. Отличия приближенных энергий уровней 8 =(£九纟一巨九纟)/£九纟・100% от точных значений £九纟 в эВ в потенциале ТФ для золота при Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3. Приведены также отклонения △ приближенных волновых функций от численного решения уравнения Шрёдингера (величина △ = △九纟 получена по формуле (9) и умножена на 100 %)
\^nt 1
8 %
△ %
п
С
Шрёд.
Н
ВКБ
н
ВКБ
1
0
77532
0,01
1,73
0,29
1,95
2
0
16992
-0,03
-0,12
2,68
1,35
2
1
16573
0,05
0,03
1,29
2,67
3
0
7039
-0,07
0,06
4,56
2,08
3
1
6883
0,03
-0,12
3,54
2,02
3
2
6645
0,04
-0,09
1,33
2,35
4
0
3794
-0,09
-0,10
5,20
0,83
4
1
3728
0,04
0,04
3,97
0,73
4
2
3636
0,04
-0,07
1,74
0,75
4
3
3576
0,00
0,03
0,44
1,64
5
0
2336
-0,11
-0,05
5,50
0,88
5
1
2302
0,03
0,06
4,21
0,43
5
2
2257
0,05
-0,09
1,98
1,19
5
3
2228
0,01
-0,04
0,52
0,44
5
4
2220
0,00
0,03
0,10
1,84
6
0
1558
-0,14
0,01
5,65
1,22
6
1
1538
0,02
0,13
4,35
0,86
6
2
1513
0,03
-0,02
2,09
1,10
6
3
1496
0,01
-0,06
0,60
0,36
6
4
1491
0,00
-0,02
0,15
0,53
6
5
1490
0,00
-0,01
0,05
1,89
Таблица 2.2. Отличия приближенных энергий и волновых функций от точных для золота при Т = 0, 01 кэВ, р = 0,1 г/см3 (обозначения см. в табл. 2.1)
8
△
п
С
Шрёд.
Н
ВКБ
Н
ВКБ
1
0
72242
0,00
1,83
0,31
1,95
2
0
12015
-0,10
0,19
3,71
1,69
2
1
11523
0,09
0,38
1,95
2,93
3
0
2854
-0,59
0,02
11,99
0,57
3
1
2627
0,15
-0,03
11,03
0,72
3
2
2208
1,31
0,00
6,16
1,88
4
0
672,5
—1,48
0,33
27,44
0,56
4
1
576,3
1546
0,37
27,46
0,56
4
2
401,3
6,47
0,46
27,21
0,59
4
3
169,7
1,29
1,20
5
0
143,5
0,01
—
0,91
5
1
111,4
0,12
—
1,06
5
2
59,84
-0,84
—
1,35
6
0
38,31
—
-0,34
—
0,79
чески совпадают. Хорошая точность имеет место и при более низких температурах (см. рис. 2.7) в отличие от водородоподобных функций, которые хорошо описывают спектр лишь для внутренних оболочек с малыми квантовыми числами.
В табл. 2.1 и 2.2 приведены относительные ошибки 8 в энергиях уровней, полученных в потенциале Т① различными методами. Кроме того, приведены средние квадратичные отклонения △ = △九纟 приближенных волновых функций от численных решений, которые вычислялись по формуле
Дп£ = У \Rn£(r) - Rn£(r^ dr,(9)
где Яп£(г) — соответствующая квазиклассическая или водородоподобная волновая функция. Величина Д^ соответствует квадрату относительной ошибки, усредненной с весом Я^(г):
『о-1 2
0 L」
Анализ результатов многочисленных расчетов, лишь малая часть которых проиллюстрирована в табл. 2.1, 2.2 и на рис. 2.5-2.7, позволяет сделать следующие выводы. При высоких температурах (Т 〜1 кэВ) водородоподобные волновые функции практически совпадают с точными (см. табл. 2.1). Для внутренних оболочек метод пробного потенциала дает хорошие результаты при любых температурах и плотностях (в том числе и для свободного атома). Для внешних оболочек с числом электронов Nn£ > 1 при температурах Т 〜0, 01 кэВ и ниже реальные радиальные функции далеки от водородоподобных. Впрочем, для элементов с большим Z физическая точность всех рассмотренных методов решения уравнения Шрёдингера практически одна и та же, как показывает сравнение с соответствующими численными решениями уравнения Дирака: отличие между релятивистскими и нерелятивистскими радиальными функциями значительно превышает погрешность решения уравнения Шрёдингера приближенными методами.
Релятивистские волновые функции. Для элементов с большим Z необходимо учитывать релятивистские эффекты и решать вместо уравнения Шрёдингера (1) систему уравнений (см. дополнение, § 2):
(丁)+ 仝尸(丁)= aG(D,
dr r
<(10)
、^G(?) - ,G6 = -a以叮 + V(r)]F(r),
где F(r) = Fn£j(г) = r/(r) и G(丁) = Gn£j(г) = rg(r) — так называемые спинорные орбитали Дирака; /(г) и g(丁) — большая и малая радиальные компоненты волновой функции, 2 — орбитальное квантовое число, J = 2±1/2 — квантовое число полного момента (J = 1/2 при 2 = 0); х = —2(/ — 2)(/ + 1/2) = ±(/ + 1/2), или х = —^ — 1 при /=2+ 1/2 и 死=2 при j = £ — 1/2.
Численный метод решения системы уравнений (10) можно построить, используя методы решения уравнения Шрёдингера, в частности фазовый метод (см. дополнение, § 5). Для этого достаточно воспользоваться заменой [152, 222]:
尸(丁) = 口丁)，G(S = а/ИН Q6,(и)
где
'2 1
〃(丁)= a e + V(r) h——-,X(丁)= a[e +『(丁)]■(12)
В результате для каждой из функций Р(^) и Q(^) получим уравнения, имеющие вид уравнения Шрёдингера. Так, для функции Р(г) находим
Р,1 + к2 (г)Р = 0, (13)
3储6 =伏一 w3储6 =伏一 w22〃〃1 〃〃X 叶2 〃丁〃1 〃〃X 叶2 〃丁〃х(х + 1)х(х + 1)
3
储6 =伏一 w
3
储6 =伏一 w
2
2
〃
〃
1 〃〃X 叶
2 〃丁〃
1 〃〃X 叶
2 〃丁〃
х(х + 1)
х(х + 1)
(14)(14)(15)(15)
(14)
(14)
(15)
(15)
Аналогично записывается уравнение для малой компоненты Q(r), которое можно получить из (13) путем замены Р(г) —> Q(r), 〃(丁) —> %(r), %(r) T 〃(丁), х Т — X.
Для получения водородоподобных функций F(r) = F^ (г) и G(丁)= =G^/ (г) будем использовать по аналогии с нерелятивистским случаем решения системы (10) с потенциалом V(г) = Zn£j/r — Ап^. Эффективный заряд Zn£j и постоянную внешней экранировки 4九叮 находим методом пробного потенциала из условия минимума функционала [84]
J(Zn“)= /[rV(r) -rV(r)]2 [P(r) + 守2(乃]drо
при дополнительном условии
/ V(丁)- V(r)][户2(n + 守2(n]dr = 0,
0
где
户6 =瑤足)=以"/lб [力/ЕМ%?⑺+力片二1/2⑺卜帥)=G%6 =以"/l/2 [giN上管匕/2⑺+92片时/2⑺卜
/ = 2ar/a, V = J (J + 1/2)2 - C2,《=a
— Q /O-z/)0-/-l/2)! [а>ф-/-1/2 + 1/)-5也—2川死—z/)q1/2《V— — 1/2 + 2Z/)，
力= a〃d —/ —1/2 + 〃)—g' /2 = * — 〃，史=〒九◎
Для j = n — 1/2 в формулах (16) следует полагать 乙^^⑺=0.
Уровни энергии £：叮 вычисляются по формуле (см. дополнение, § 2):
—1 + у/泞+ «^7^ +⑺
где
0 + 1/2) +，0 + 1/2)2 —#
AnQj = J(丁)[f杀式丁)+ G%7(l)]办.
О
Как можно видеть из формул (16), зависимость релятивистских водородоподобных волновых функций от эффективного заряда ядра Zn£j имеет довольно сложный вид по сравнению с нерелятивистскими. Поэтому использование для поиска минимума функционала (14) итерационного метода, аналогичного (7) из § 3 дополнения, приводит к громоздким формулам. На практике оказалось удобнее вычислять Zg непосредственно из условия минимума интеграла в правой части (14), используя метод парабол.
Рис. 2.8. Зависимость функционала J от Z = Z^%、в потенциале ТФ для золота при Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3. Приведены графики для главных квантовых чисел п = 1,2,3,4,5,10, С = 0 и / = 1/2
Таблица 2.3. Эффективные заряды в потенциале ТФ для золота при Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, полученные методом пробного потенциала
n С
п
С
J
^nt
10
1/2
78,09
77,87
5
1
3/2
68,85
20
1/2
75,91
74,95
5
2
3/2
67,57
67,40
21
1/2
74,66
73,45
5
2
5/2
67,46
21
3/2
73,65
5
3
5/2
66,57
66,53
30
1/2
73,34
72,24
5
3
7/2
66,54
31
1/2
72,10
70,92
5
4
7/2
66,26
66,25
31
3/2
71,17
5
4
9/2
66,25
32
3/2
68,75
68,49
6
0
1/2
69,68
68,99
32
5/2
68,56
6
1
1/2
68,85
68,15
40
1/2
71,54
70,58
6
1
3/2
68,33
41
1/2
70,43
69,44
6
2
3/2
67,28
67,13
41
3/2
69,68
6
2
5/2
67,18
42
3/2
68,05
67,83
6
3
5/2
66,48
66,45
42
5/2
67,91
6
3
7/2
66,46
43
5/2
66,65
66,61
6
4
7/2
66,23
66,23
43
7/2
66,63
6
4
9/2
66,23
50
1/2
70,42
69,62
6
5
9/2
66,17
66,17
51
1/2
69,46
68,65
6
5
11/2
66,17
Типичный вид функционала J(Z九叮)при высоких температурах приведен на рис. 2.8, где расчет проводился для золота (Г = 1 кэВ, р =0,1 г/см3). Функционал J при заданных тг,厶/ имеет единственный минимум, что всегда выполняется при высоких температурах. При уменьшении температуры для больших значений главных квантовых чисел п возможно появление стационарных участков и последующее исчезновение минимума. Это означает, что для таких п не существует водородоподобного состояния. Результаты расчетов эффективных зарядов Zn^j и Z九с различными методами приведены в табл. 2.3.
Рис. 2.9. Большие компоненты Fn^j (г) релятивистских радиальных волновых функций и решения уравнения Шрёдингера 灭九/(т) (штриховая линия). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3
Рис. 2.10. Большие компоненты водородоподобных релятивистских радиальных волновых функций (штриховая линия) и численные решения уравнения Дирака (сплошная линия). Приведены графики для главных квантовых чисел п = 1, 2, 3,4, С = 0, j = 1/2. Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, 0 = 0,1 г/см3
Рис. 2.11. Малые компоненты Gn^j (г) водородоподобных радиальных функций (штриховая линия) и численные решения уравнения Дирака (сплошная линия). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, n = 1, 2, 3,4, С = 0/ = 1/2
Сравнение релятивистских волновых функций с нерелятивистскими проведено на рис. 2.9. На рис. 2.10, 2.11 проведено сравнение водородоподобных радиальных функций и численных решений уранения Дирака. Отличие водородоподобного приближения от численного решения уравнения Дирака в зависимости от п может носить немонотонный характер. Например, при п = 3 отличие от нерелятивистской функции заметней, чем при п = 1 (см. рис. 2.9). Расчеты также показали, что роль релятивистских эффектов при 2 = 0 заметна даже для больших п, что связано с поведением релятивистских функций вблизи г = 0. При увеличении 2 различие в волновых функциях быстро уменьшается.
Таблица 2.4. Энергии уровней в эВ в потенциале ТФ для золота при Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, вычисленные в различных приближениях
п
С
Дирак
Н
ВКБ
Шрёд.
1
0
1/2
85819
85824
87191
77532
2
0
1/2
19314
19317
19406
16992
2
1
1/2
18824
18812
18655
16573
2
1
3/2
16946
16939
16901
3
0
1/2
7755
7756
7784
7039
3
1
1/2
7569
7561
7521
6883
3
1
3/2
7071
7068
7077
3
2
3/2
6814
6811
6810
6645
3
2
5/2
6698
6696
6699
4
0
1/2
4100
4100
4113
3794
4
1
1/2
4022
4017
4001
3728
4
1
3/2
3821
3820
3817
4
2
3/2
3722
3720
3719
3636
4
2
5/2
3674
3672
3669
4
3
5/2
3609
3609
3605
3576
4
3
7/2
3590
3590
3584
5
0
1/2
2493
2493
2497
2336
5
1
1/2
2454
2451
2443
2302
5
1
3/2
2354
2353
2352
5
2
3/2
2305
2304
2303
2257
5
2
5/2
2281
2280
2280
5
3
5/2
2250
2250
2248
2228
5
3
7/2
2240
2240
2237
5
4
7/2
2230
2231
2229
2220
5
4
9/2
2225
2225
2222
6
0
1/2
1649
1649
1651
1558
6
1
1/2
1627
1625
1620
1538
6
1
3/2
1570
1569
1569
6
2
3/2
1542
1542
1541
1513
6
2
5/2
1528
1528
1528
6
3
5/2
1511
1511
1509
1496
6
3
7/2
1505
1505
1505
6
4
7/2
1499
1499
1498
1491
6
4
9/2
1496
1496
1495
6
5
9/2
1495
1495
1494
1490
6
5
11/2
1493
1493
1492
Таблица 2.5. Энергии уровней в эВ в потенциале ТФ для золота при Т = 0, 01 кэВ, р = 0,1 г/см3, вычисленные в различных приближениях
|£n^7 1
п
С
j
Дирак
Н
ВКБ
Шрёд.
1
0
1/2
80522
80534
81885
72242
2
0
1/2
14275
14283
14327
12015
2
1
1/2
13715
13701
13518
11523
2
1
3/2
11883
11871
11887
3
0
1/2
3432
3436
3455
2854
3
1
1/2
3174
3160
3121
2627
3
1
3/2
2771
2766
2760
3
2
3/2
2334
2306
2317
2208
3
2
5/2
2247
2222
2241
4
0
1/2
824,4
821,6
826,4
672,5
4
1
1/2
713,5
694,9
700,2
576,3
4
1
3/2
615,6
605,6
612,1
4
2
3/2
432,9
407,3
427,8
401,3
4
2
5/2
413,4
390,8
410,0
4
3
5/2
176,1
151,7
173,9
169,7
4
3
7/2
172,1
148,2
170,0
5
0
1/2
178,6
172,3
178,3
143,5
5
1
1/2
139,1
125,2
136,6
111,4
5
1
3/2
119,5
110,0
119,1
5
2
3/2
64,22
59,38
64,10
59,84
5
2
5/2
61,64
57,94
61,60
5
3
5/2
15,73
4,06
16,76
15,51
5
3
7/2
15,61
4,06
16,61
6
0
1/2
44,88
50,08
45,36
38,31
6
1
1/2
34,54
49,54
34,36
29,62
6
1
3/2
31,10
45,27
31,19
6
2
3/2
17,39
2,18
17,34
16,60
6
2
5/2
16,94
2,18
16,88
Для получения релятивистских радиальных функций в квазиклас- сическом приближении достаточно воспользоваться формулами (11), (12) и методом ВКБ для уравнения (13). Собственные значения энергии, полученные различными методами, приведены в табл. 2.4, 2.5. При рассматриваемых условиях отличия в значениях энергии, полученных путем численного решения уравнения Дирака, и погрешности водородоподобного приближения не превышают 1%, в то время как релятивистские значения отличаются от нерелятивистских более чем на 10%.
Погрешности релятивистских волновых функций для водородоподобного и квазиклассического приближений аналогичны погрешностям для уравнения Шрёдингера, приведенным в табл. 2.1 и 2.2. Сравнение самих решений уравнения Шрёдингера и Дирака в этом случае показывает, что релятивистские поправки существенно превышают погрешности приближенных методов.
Волновые функции непрерывного спектра
Уравнение Шрёдингера. В нерелятивистском приближении для вычисления волновой функции электрона с заданной энергией £, принадлежащей непрерывному спектру, требуется решить уравнение Шрёдингера
兄：)+ -『б +(2^)R~ = &R~U)
(0 < r < r0)
с граничным условием Я££(г) |^_Q= 0, обеспечивающим отсутствие бесконечностей на интервале интегрирования, и с каким-либо условием нормировки. В практических расчетах, выполняемых в пределах сферической атомной ячейки, нормировка функции 笈£纟(丁) обычно определяется из условия, чтобы величина Я|^(г) dr ds давала возможное число состояний электрона в интервале энергий(£,£ + de), принадлежащих сферическому слою (г, г + d丁), так что
『0『0ОО
『0
『0
О
О
где w(e) — плотность числа состояний электрона с данным 2 и определенным направлением спина в сферической ячейке, рассчитанная на единичный интервал энергии.
В квазиклассическом приближении (см. формулу (14) из § 3 гл. I)
笈%(丁) dr de = ——^-- sin2dr cfe
Р = Pet(r) =6 —匚
что совпадает с числом возможных состояний электрона (без учета спина), отнесенных к соответствующему элементу фазового пространства dr dp. При этом
w(e) ^ — (f = f££ — точка поворота).(3)
г
Полученное выражение для w(e) можно использовать для нормировки решений уравнения (1) в соответствии с условием (2). Как
видно из (2), размерность функций непрерывного спектра отличается от размерности функций дискретного спектра на множитель \]« и при использовании волновых функций непрерывного спектра обычно необходимо проводить соответствующее интегрирование по энергии £.
Функция Я££(г) в квазиклассическом приближении, использующем функции Бесселя, имеет вид (см. дополнение, § 4)
117Г7Г血 К1/з®血 К1/з®(丁 < 打,(丁 < 打,笈曼（丁）= <笈曼（丁）= <⑷⑷
1
1
7Г
7Г
血 К1/з®
血 К1/з®
(丁 < 打,
(丁 < 打,
笈曼（丁）= <
笈曼（丁）= <
⑷
⑷
专 JI [J—1/з(€) + Л/з(€)]“ “
где
dr1 .dr1 .€ =式丁）€ =式丁）
dr1 .
dr1 .
€ =式丁）
€ =式丁）
г
Используя асимптотику функций Бесселя и интерполяцию в окрестности точки поворота г, формулу (4) можно представить в виде, более удобном при проведении расчетов:
乂厂)=1,11985乂厂)=1,119850,826994 m丁).0,826994 m丁).(^ > 0,5; г < г),(^ > 0,5; г < г),(§<0,5),(§<0,5),(^ > 0,5; г > г),(^ > 0,5; г > г),⑸⑸]1/6[е(г + г) + ?V ⑺]卜]1/6[е(г + г) + ?V ⑺]卜
乂厂)=1,11985
乂厂)=1,11985
0,826994 m丁).
0,826994 m丁).
(^ > 0,5; г < г),
(^ > 0,5; г < г),
(§<0,5),
(§<0,5),
(^ > 0,5; г > г),
(^ > 0,5; г > г),
⑸
⑸
]1/6
[е(г + г) + ?V ⑺]卜
]1/6
[е(г + г) + ?V ⑺]卜
При 丁о 》斤 квазиклассические функции (4) и (5) удовлетворяют условию нормировки (2), (3), так как
оого『о
о
о
. 2 /7Г\dr
/ ——Sin2 g + 7 办
гг
При этом, если го —> сю, то
⑹⑹/ 凡小吟凡，小吟办=b(£ 一 4),о
⑹
⑹
что соответствует нормировке, обычно применяемой для волновых функций непрерывного спектра, имеющих при г —> сю асимптотику
笈曼（丁）笈曼（丁）3 件n（f。），3 件n（f。），⑺⑺
笈曼（丁）
笈曼（丁）
3 件n（f。），
3 件n（f。），
⑺
⑺
где k = д/^,夕о — некоторый сдвиг фазы, определяемый видом потенциала V(г) и зависящий от 2 и
Рис. 2.12. Численное решение уравнения Шрёдингера (сплошная линия) и квазиклассическое приближение (5) для радиальных волновых функций непрерывного спектра в зависимости от ж =，т/то (в данном случае кривые совпали). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, 2 = 0Рис. 2.12. Численное решение уравнения Шрёдингера (сплошная линия) и квазиклассическое приближение (5) для радиальных волновых функций непрерывного спектра в зависимости от ж =，т/то (в данном случае кривые совпали). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, 2 = 0
Рис. 2.12. Численное решение уравнения Шрёдингера (сплошная линия) и квазиклассическое приближение (5) для радиальных волновых функций непрерывного спектра в зависимости от ж =，т/то (в данном случае кривые совпали). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, 2 = 0
Рис. 2.12. Численное решение уравнения Шрёдингера (сплошная линия) и квазиклассическое приближение (5) для радиальных волновых функций непрерывного спектра в зависимости от ж =，т/то (в данном случае кривые совпали). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, 2 = 0
В соответствии с (6),⑺ при численном интегрировании уравнения (1) довольно часто применяют нормировку на J-функцию по энергии, проверяя выполнение асимптотики (7) при достаточно больших г (см. например, [130]). Однако, исходя из (4), гораздо эффективнее проводить нормировку численных решений уравнения (1) уже при малых г, используя, например, производную 笈;/丁) в первом нуле г = г* функции Я££(Г)：
I = -0, 801952，т(?*),
、任嵬⑴*) = 0.
Погрешность такой нормировки меньше 1% (см. формулу (29) из § 4 дополнения). Сравнение волновых функций непрерывного спектра при 2 = 0 и £ = 136 эВ, полученных различными методами, проведено на рис. 2.12. Как видно из рисунка, в практических расчетах вполне можно использовать формулы (5). Заметим, что с увеличением 2 и £ применимость квазиклассического приближения становится более оправданной.
Уравнение Дирака. Релятивистские радиальные функции получают путем решения системы уравнений Дирака (см. (10) из § 2)
(丁)+ 仝氏(丁)= a е +『(丁)+= Gfb), drr
<⑼
G式丁)- -G£(r) = -а[е + V(丁)]久(г) V drг
с граничными условиями 久(0) = 0, G£(0) = 0, где 久(丁)= F加⑺) G£(r) = Ge27(丁)，死=—2(/ — 2)(/ + 1/2). Для численного решения системы (9) при заданном значении £ можно, очевидно, воспользоваться теми же методами, которые применяются при численном интегрировании для состояний дискретного спектра (например, методом Рунге- Кутта или методом Нумерова).
w(e).w(e).ооВ соответствии с нерелятивистским случаем потребуем выполнения условия нормировки
w(e).
w(e).
о
о
(Ю)
Выражение для релятивистской плотности состояний w(e) можно получить на основе квазиклассического приближения для функции Р(г) = ^2=久(丁)(ту = 〃(丁)= ci [е + V(r) + 2/а[) с помощью уравнения (13) из § 2, которое позволяет записать выражения для 久(丁) и Gf (丁)в виде, аналогичном (4). При этом надо иметь в виду, что при го —> сю условие нормировки (6) для релятивистского случая переходит в условие
/ [久(乃久/(乃+G式DGh(D] dr a(11)
о
В соответствии с формулами (7) и (13) из § 2 квазиклассическое приближение для большой компоненты 久(丁) можно записать в виде
久 6 = ^^(г) 0 C^rj/k)1^2 sin (§ + 鼻)(丁〉万・ (12)
Здесь § =式丁)= / M")d", &2 (r) = k2(r) — l/(4r2), f — точка поворота (k(r) = 0),
储 丁 =伏一7一 +-——, % = % Г = « e + v r .
Квазиклассическое приближение для малой компоненты G^ (丁) можно получить по аналогии с (12), используя уравнение для Q(丁) = Gf (丁)/у^ (см. (13) из § 2). Однако лучше исходить непосредственно из уравнений (9), учитывая, что в квазиклассическом приближении Р(У) + C(&)i/2 cos(§ + тг/4). Имеем
G式nG式n11ггS山 « + IS山 « + I
G式n
G式n
1
1
г
г
S山 « + I
S山 « + I
то есть
G式丁）=eG式丁）=e户 + (т//(2〃)+ х/г)2户 + (т//(2〃)+ х/г)2戒戒cos(€+；_}cos(€+；_}(13)(13)
G式丁）=e
G式丁）=e
户 + (т//(2〃)+ х/г)2
户 + (т//(2〃)+ х/г)2
戒
戒
cos(€+；_}
cos(€+；_}
(13)
(13)
гдегдеt//(2〃)+ x/rt//(2〃)+ x/r力g 8 =力g 8 =
где
где
t//(2〃)+ x/r
t//(2〃)+ x/r
力g 8 =
力g 8 =
k
Для вычисления нормировочной постоянной С будем исходить из (11) и асимптотики радиальных функций при г —> сю. Предварительно получим полезное соотношение для нормировочного интеграла. Для этого умножим первое из уравнений системы (9) на G^ и вычтем из полученного то же самое уравнение, но в котором £ и Н поменены местами. Аналогично, умножим второе уравнение системы (9) на F£>, затем поменяем местами £ и Н и вычтем их друг из друга. Получим
'久/ + 仝(久Gj —久’Gw) = a(£ - »GGj dr dr r
久— F£-—G£'(Gg 久/ — Gy 久)=—Q(£ — У)久久 4 dr dr r
Вычтем теперь второе уравнение из первого и проинтегрируем результат в пределах от нуля до некоторого значения г:
/产")久№) +G")GM)］ dr,= о
=z 1 .［久(DGu (г)-久/ (『)G式乃］• (14)
Потребуем, чтобы при г —> сю соотношение (14) переходило в условие нормировки (11). Асимптотическое поведение 久(丁)и G^(丁)при
г—>сю легко получить из （12）, （13）, учитывая, что『（丁） 一>0 при г —>сю:
£（八сd3m（焉+ 0。），£（八сd3m（焉+ 0。），（15）（15）
£（八сd3m（焉+ 0。），
£（八сd3m（焉+ 0。），
（15）
（15）
где k = k（£）= Подставляягде k = k（£）= ПодставляяС2С2［久（丁）久/ （г） + G式丁）Gj （丁）］ dr =［久（丁）久/ （г） + G式丁）Gj （丁）］ dr =
где k = k（£）= Подставляя
где k = k（£）= Подставляя
С2
С2
［久（丁）久/ （г） + G式丁）Gj （丁）］ dr =
［久（丁）久/ （г） + G式丁）Gj （丁）］ dr =
G«） + 千 cos（焉+ 00）,
+ &2力 О。— некоторый сдвиг фазы.
в правую часть （14）, при г —> сю получим
sin （必丁 + 0о） cos 丁 + 0о）
Vek'^-e1）.
Так как
lim smCfe-旷）丁 =S（k-k （k-k '）8（k — ^ ）=住—- У）, loo小衣一衣/）
то
r->oc £ —
Покажем теперь, что выражением в квадратных скобках при г —> сю можно пренебречь. Для этого достаточно проанализировать первое слагаемое, так как второе слагаемое совпадает с первым после замены к на А/, £ на Н. Первое слагаемое в квадратных скобках дает
lim —-==sin （Ат + 0。） cos（k /丁 + 0。）=
=z 7^—I™ +lim sin （k + k ）丁+ 2夕°
2L ，e加-g £一£,e沛（£ _ 0ГТ°°L
В полученном выражении первый член равен нулю, так как равен нулю множитель перед пределом при £ = Н, а по свойству J-функции /©*(£ — Н) = /(£)“£ — Н). Во втором члене lim sin[(A; + k ')丁 + 20。] можно положить равным нулю как предел сильно осциллирующей функции. В итоге имеем
aaУ [F£(r)F£f (г) + G式丁)Gd(丁)] dr = о
a
a
что с учетом (11) дает С =，а/тг.
Подставляя полученные квазиклассические функции 久(丁) и G^ (丁) из (12), (13) в (10) и заменяя sin^g + тг/4) и cos2+ тг/4 — 8) на 1/2, имеем
-—- 1 +' /' 丁dr. (16)
о
Релятивистские и нерелятивистские радиальные функции непрерывного спектра в пределах атомной ячейки, полученные путем численного решения соответствующих уравнений (1) и (9) с заданной энергией * приведены на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Большая и малая компоненты релятивистских радиальных волновых функций непрерывного спектра — численные решения уравнения Дирака (сплошная линия), а также численное решение уравнения Шрёдингера (штриховая линия). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, ^ = 0, J = 1/2Рассмотренные в гл. II методы вычисления одноэлектронных волновых функций дискретного и непрерывного спектра используются в расчетах самосогласованных потенциалов для различных моделей вещества, при вычислении сечений поглощения фотонов и сеченийРис. 2.13. Большая и малая компоненты релятивистских радиальных волновых функций непрерывного спектра — численные решения уравнения Дирака (сплошная линия), а также численное решение уравнения Шрёдингера (штриховая линия). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, ^ = 0, J = 1/2Рассмотренные в гл. II методы вычисления одноэлектронных волновых функций дискретного и непрерывного спектра используются в расчетах самосогласованных потенциалов для различных моделей вещества, при вычислении сечений поглощения фотонов и сечений
Рис. 2.13. Большая и малая компоненты релятивистских радиальных волновых функций непрерывного спектра — численные решения уравнения Дирака (сплошная линия), а также численное решение уравнения Шрёдингера (штриховая линия). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, ^ = 0, J = 1/2
Рассмотренные в гл. II методы вычисления одноэлектронных волновых функций дискретного и непрерывного спектра используются в расчетах самосогласованных потенциалов для различных моделей вещества, при вычислении сечений поглощения фотонов и сечений
Рис. 2.13. Большая и малая компоненты релятивистских радиальных волновых функций непрерывного спектра — численные решения уравнения Дирака (сплошная линия), а также численное решение уравнения Шрёдингера (штриховая линия). Расчет проведен в потенциале ТФ для золота Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3, £ = 136 эВ, ^ = 0, J = 1/2
Рассмотренные в гл. II методы вычисления одноэлектронных волновых функций дискретного и непрерывного спектра используются в расчетах самосогласованных потенциалов для различных моделей вещества, при вычислении сечений поглощения фотонов и сечений
других элементарных процессов в плазме.
Глава III
КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИСАМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
В квантовомеханической системе многих взаимодействующих частиц движение любой частицы сложным образом взаимосвязано с движением всех остальных частиц системы. Вследствие этого каждая частица не находится в определенном состоянии и не может быть описана с помощью своей одночастичной волновой функции. Состояние системы в целом описывается волновой функцией, зависящей от координатных и спиновых переменных всех частиц системы. Исходное предположение метода самосогласованного поля состоит в том, что для приближенного описания системы можно ввести волновые функции для каждой частицы системы. При этом взаимодействие с другими частицами приближенно учитывается введением поля, усредненного по движению остальных частиц системы с помощью их одночастичных волновых функций. Одночастичные волновые функции должны быть согласованными в том смысле, что, с одной стороны, они являются решением уравнения Шрёдингера для одной частицы, движущейся в среднем поле, создаваемом другими частицами, а с другой — эти же одночастичные волновые функции определяют средний потенциал поля, в котором движутся частицы. Термин «самосогласованное поле» связан с этим согласованием. Простейший метод введения самосогласованного поля, в котором определяются не волновые функции, а плотность распределения частиц в пространстве, есть метод Томаса-Ферми, предложенный Л. Томасом (1926) и независимо от него Э. Ферми (1928). Дальнейшее развитие метода самосогласованного поля привело к созданию моделей Хартри и Хартри-Фока.
Наличие температуры приводит к существенному усложнению задачи. Понятие самосогласованного поля должно включать в себя элементы статистики. Требуется принять во внимание распределение ионов по различным состояниям с учетом их взаимодействия со свободными электронами и другими ионами. В первом приближении это приводит к понятию среднего атома〉когда ион со средними числами заполнения рассматривается в электронейтральной сферической атомной ячейке. Средний атом можно рассматривать как в приближении Томаса- Ферми, так и в других, более точных приближениях типа Хартри или Хартри-Фока и их модификаций, в том числе и релятивистских. Эти и другие квантово-статистические модели самосогласованного поля для среднего атома можно получать на основе единого вариационного принципа — требования минимума большого термодинамического потенциала.
§ 1. Квантовомеханическое уточнение обобщенной модели Томаса—Ферми для электронов дискретного спектра
Самосогласованное поле Хартри для среднего атома. Модель Томаса-Ферми дает плотность электронов 〃(丁), которая согласована в рамках квазиклассического приближения с создаваемым ими потенциалом V (г). Однако волновые функции, вычисленные в потенциале Томаса—Ферми, дают электронную плотность p(r ) = J2a Na\^a(f)\2, не совпадающую с исходной плотностью электронов по модели ТФ (а — набор квантовых чисел, определяющих состояние электрона). Анализ проведенных в § 1 (п. 3) из гл. II вычислений показал, что при получении электронной плотности в модели ТФ мы, по существу, используем лишь постоянную составляющую от 〃(戸)= J2a Na\^a(f)\2, вычисленную по средним числам заполнения в квазиклассическом приближении, не передавая осцилляций волновых функций.
При высоких температурах вклад осцилляций наиболее существенен для электронов дискретного спектра с малыми значениями главного квантового числа п. Для электронов с большими квантовыми числами и электронов непрерывного спектра можно использовать квазиклас- сическое приближение. В соответствии с этим представим плотность электронов в виде двух слагаемых [76, 202]:
0俨)=办⑴)+他俨)， (1)
где
=£ n（£&）|麻⑺匕 他⑺=£ n（£&）|麻⑺匕
Выбором энергии £о, играющей роль эффективной границы непрерывного спектра, можно добиться того, чтобы в выражении для 〃i(汚 суммирование производилось в основном по тем состояниям дискретного спектра, которые определяют осциллирующую часть радиальной электронной плотности (см. ниже рис. 3.4—3.7). Суммирование по £& в выражении для 〃2(丁) можно заменить интегрированием по £, как это было сделано при выводе модели Томаса-Ферми в п. 3 § 1 гл. II.
Так как потенциал для среднего атома естественно считать сферически симметричным, то, вычисляя 〃2(戸)в квазиклассическом приближении, получим
他俨）=他（丁）=他俨）=他（丁）=1 /р2 dp] + exp^/21 /р2 dp] + exp^/2⑵⑵
他俨）=他（丁）=
他俨）=他（丁）=
1 /р2 dp
] + exp^/2
1 /р2 dp
] + exp^/2
⑵
⑵
где интегрирование производится по области
У - У(г) > £о (Р > о).
Плотность электронов дискретного спектра pi (г ) будем вычислять непосредственно по волновым функциям
九5戸)=VWm(戸)=^ RndrX-l)mY£m^^),
где радиальная функция 笈九纟(丁) удовлетворяет уравнению Шрёдингера
-；R，+ 『6 + ^|^1 笈 ^6 = ^Rndrl(3)
Здесь мы используем потенциал V (г), создаваемый всеми электронами атомной ячейки, что допустимо при больших Z. Вообще говоря, при решении уравнения Шрёдингера необходимо исключать из потенциала V(г) вклад рассматриваемого электрона. Однако, удобнее учесть эффект самодействия позднее при усовершенствовании модели Хартри (см. далее § 2, 3).
К состояниям дискретного спектра будем относить такие состояния, для которых классическая область движения (ri < г < 丁2) принадлежит атомной ячейке, причем 丁2《丁о (丁。——радиус атомной ячейки, ri и Г2 ——точки поворота). Для этих состояний волновая функция на границе атомной ячейки должна быть пренебрежимо мала, и поэтому ее можно считать равной нулю при г = го. Функция Яп£(г) на промежутке (勺,丁2)имеет пг = п — ^ — 1 нулей. Для 〃i(戸) получаем выражение
1 + exp '/
По теореме сложения для сферических гармоник
1
Поэтому для плотности электронов дискретного спектра в среднем атоме получим
£几2<£01 + exp —-—
(сравни с выводом формулы (11) из § 1 гл. II).
Как и в модели Томаса—①ерми, будем полагать, что потенциал V(г) удовлетворяет уравнению Пуассона
1医
-而"87) = 4"历(丁) + 他(丁)](5)
『0『0ООс граничными условиями rV(r)|r=o = Z, V(ro) = 0. Химический потенциал 从 определяется из условия электронейтральности атомной ячейки
『0
『0
О
О
Вычислительный алгоритм. Уравнения (1)-(6) являются достаточно сложной, нелинейной системой относительно функций Rn^(r\ энергий еп£, чисел заполнения N九厶 потенциала V(г) и химического потенциала 从.Поэтому она решалась методом итераций. В отличие от модели Томаса-Ферми модель (1)-(6) передает оболочечную структуру атома. Как и следовало ожидать, при высоких температурах плотность электронов р(г) и потенциал V(г) оказались слабо чувствительными к изменению эффективной границы непрерывного спектра во- На практике величину £° следует выбирать таким образом, чтобы числа заполнения Nn^ были малы для уровней с энергией 2nе〉£о (вопрос о выборе % более подробно исследован в § 3).
Очевидно, что рассмотренная модель среднего атома для вещества с заданной температурой и плотностью является модификацией модели Хартри. Модель (1)-(6) позволяет единообразно проводить расчеты для любой температуры, причем, чем выше температура, тем быстрее сходятся итерации и тем меньше времени занимает расчет. Для тяжелых веществ, когда существенны релятивистские поправки, от уравнения Шрёдингера следует переходить к уравнению Дирака (см. п. 4 этого параграфа, а также дополнение, § 2).
Вычисления можно проводить по следующей схеме. В качестве начального приближения для потенциала естественно использовать потенциал Томаса-Ферми для заданной температуры и плотности вещества и соответствующий ему приведенный химический потенциал ту =—从/仇 Затем решается уравнение Шрёдингера для связанных состояний (например фазовым методом, см. дополнение, § 5), в результате чего определяются уровни энергии 2n匕 и радиальные функции R^M吟.
Для уточнения химического потенциала ту используем условие электронейтральности атомной ячейки (6), записанное в виде
f伪）=e（力＜£0）f伪）=e（力＜£0）2(22+1)1 + ехр (晉 +〃)2(22+1)1 + ехр (晉 +〃)+ 47r+ 47rго/ 户02 (丁)dr = Z, ого/ 户02 (丁)dr = Z, о⑺⑺
f伪）=e
（力＜£0）
f伪）=e
（力＜£0）
2(22+1)
1 + ехр (晉 +〃)
2(22+1)
1 + ехр (晉 +〃)
+ 47r
+ 47r
го
/ 户02 (丁)dr = Z, о
го
/ 户02 (丁)dr = Z, о
⑺
⑺
гдегдеУо = %(丁)= max〈 0;Уо = %(丁)= max〈 0;V(Г)+ £оV(Г)+ £о
где
где
Уо = %(丁)= max〈 0;
Уо = %(丁)= max〈 0;
V(Г)+ £о
V(Г)+ £о
В результате, используя найденное значение ту, с помощью (4) и (8) получаем числа заполнения Nn^^ а также 〃i(丁) и 〃2(丁).
Уравнение ⑺ решается с помощью метода Ньютона. Заметим, что итерации по Ньютону при низких температурах могут расходиться, так как функция F(〃), стоящая в левой части уравнения, имеет при этих условиях участки типа ступеньки (см. например, рис. 3.1, где функция F(〃) вычислена для железа при Г = 1 эВ, р = 0,1 г/см3). В этом случае наряду с методом Ньютона применяется метод деления пополам: это делается тогда, когда очередная итерация по Ньютону дает значение ту, лежащее вне определенного ранее интервала нахождения корня. Как показывает практика, метод деления пополам, примененный таким способом, эффективнее метода секущих.
Знание уточненной плотности р(г) = 〃1(丁) +〃2(丁) позволяет вычислить новый потенциал с помощью уравнения Пуассона (5). В случае среднего атома потенциал V (г) является сферически симметричным и обыкновенное дифференциальное уравнение (5) легко решается.
Однако, выражение для V(г) лучше получать, исходя из известного решения уравнения Пуассона в трехмерном случае
7『⑺=- г7『⑺=- гО,2 d" dQz\r — r'\О,2 d" dQz\r — r'\
7
『⑺=- г
7
『⑺=- г
О,2 d" dQz\r — r'\
О,2 d" dQz\r — r'\
Для этого воспользуемся разложением
1сю .S s
11s=0m= — s 〉
где r< =min(r, “), 丁〉=max(r, “). Интегрирование по углам 少\ 夕/ дает
Y^.^d^ = SmQSsQ / К。(沙，d)dD.
Это приводит к тому, что в исходной сумме no s и ш для V (г) остается лишь одно слагаемое, соответствующее s = 0. Поэтому
У(г) = — - 4тг / Г °")"/ = — - 4тг - / N2as)办‘ + / N.(N) dr'.
r J г〉 г г J丿
оL ог_
⑼ После получения нового потенциала V (г) по формуле (9) итерации повторяются необходимое число раз.
Мы описали простой итерационный процесс V^8^ (г) = AV^ (г), где А — некоторый нелинейный оператор. При высоких температурах, когда основной вклад в самосогласованный потенциал дает центральное поле ядра (например, для Z = 79 при Г > 0,1 кэВ), простые итерации быстро сходятся. Однако при низких температурах такие итерации, как правило, расходятся. Для улучшения сходимости воспользуемся линейной комбинацией полученного потенциала с потенциалом, вычисленным в предыдущей итерации:
V^s+1\r) = (1- a)『(s)6 + aAV^s\r)=匕(丁).(10)
В расчетах Д. Хартри использовалось значение а = 0, 3 4- 0, 5 [110, гл. 5, § 3]. В наших расчетах параметр а выбирался из следующих соображений. Назовем рассогласованностью △ = △(&) величину
△ (a)=觴6-4%6]」(n)
где г =子一точка, в которой значение разности 匕(丁) — AVa(r) максимально по абсолютной величине.
Рис. 3.2. Рассогласованность потенциала △(&) в зависимости от параметра а для золота при температуре Т = 0,01 кэВ и р = 1 г/см3 (звездочки). Минимальная рассогласованность достигается при а' = 0, 320. Путем проведения прямой через точки (штриховая линия), соответствующие значениям △ при а = 0 и а = 0,75, получаем а = а* = 0,323
Расчеты показали, что зависимость △(&) имеет кусочно-линейный характер (рис. 3.2). При некотором значении а = о/ наблюдается скачок △(&), причем именно при этом а имеет место наименьшая рассогласованность.
Вычисление точного значения а' требует проведения многочисленных дополнительных расчетов, поэтому на практике вместо а' удобнее использовать близкое к нему значение а*, полученное путем проведения прямой через значения △(&) при а = 0 и некотором а = 6:
дЖ = △(())-△(盯(12)
Так как величина Д(0) нам известна по предыдущей итерации, то необходим лишь один дополнительный расчет при а = 6. Значение 6 подбирается опытным путем (в расчетах было выбрано а = 0,75). Если значение а*, полученное по формуле (12), слишком мало или слишком велико (находится вне интервала [0,1;1]), то а* полагается равным 0,1 или 1 соответственно.
В итоге получаем итерационную схему
V^s+1\r) = (1 - a*)『(s)0) + a^AV^ (г), (0,1 < a* < 1).
Сходимость итераций определяется малостью величины рассогласованности 〔△(s)| = ]△(&*)] < £. Как правило, требуется не более 10 итераций для получения невязки меньшей, чем 10-6, причем при повышении температуры число итераций быстро падает, а значение параметра а* приближается к единице.
Анализ результатов расчетов для железа. Рассмотрим графики, построенные в результате вычислений для железа (Z = 26)
Рис. 3.3. Потенциал rV(r) в моделях Хартри (сплошная линия) и Томаса-Ферми (штриховая линия) для железа Z = 26, Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3
Таблица 3.1. Уровни энергии £九纟 в эВ и числа заполнения ^n^ для железа при Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3 и трех значениях эффективной границы непрерывного спектра: £о = —5,5 эВ (〃 = 6,06538), £о = —25 эВ (〃 = 6,06537) и во = —50 эВ (〃 =6,06253)
£0 =
-5,5
£о = —25
£о = —50
п
С
1
0
-7120,4
2,000
-7120,3
2,000
-7120,2
2,000
2
0
-1126,8
1,989
-1126,6
1,989
-1126,6
1,989
2
1
-1018,4
5,903
-1018,2
5,903
-1018,2
5,903
3
0
-376,92
0,182
—376,74
0,182
—376,73
0,183
3
1
-344,33
0,405
-344,15
0,405
-344,14
0,406
3
2
-296,34
0,429
-296,16
0,429
-296,14
0,430
4
0
-167,25
0,024
-167,07
0,024
-167,11
0,024
4
1
-154,39
0,064
-154,21
0,064
-154,25
0,065
4
2
-136,48
0,090
-136,30
0,090
-136,34
0,090
4
3
-129,01
0,117
-128,83
0,117
-128,86
0,117
5
0
-80,914
0,010
-80,758
0,010
-80,839
0,010
5
1
-74,684
0,029
-74,530
0,029
-74,612
0,029
5
2
-66,114
0,045
-65,961
0,045
-66,043
0,045
5
3
-62,266
0,060
-62,107
0,060
-62,185
0,060
5
4
-60,520
0,076
-60,348
0,076
-60,420
0,076
6
0
-38,114
0,007
-38,007
0,007
6
1
-34,717
0,020
-34,613
0,020
6
2
-30,036
0,031
-29,936
0,031
6
3
—27,756
0,043
-27,651
0,043
6
4
-26,527
0,054
-26,409
0,054
6
5
-25,474
0,066
-25,336
0,066
7
0
-14,918
0,005
7
1
-12,967
0,016
7
2
-10,261
0,026
7
3
-8,786
0,035
7
4
-7,804
0,045
7
5
-6,834
0,055
7
6
-5,754
0,064
при Г = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3. При этом 丁° = 11,9, ту = 6,058 (〃т声=6,039). На рис. 3.3 проведено сравнение функций rV(г), вычисленных по потенциалу Хартри и по потенциалу Томаса-Ферми. Из сравнения графиков видно, что потенциал Томаса-Ферми может с успехом применяться в области высоких температур и, кроме того, является хорошим начальным приближением для квантовомеханических расчетов.
Для анализа влияния выбора границы непрерывного спектра £° на уровни энергии и числа заполнения были проведены расчеты с учетом связанных состояний для £° = —5, 5 эВ (при этом учитываются оболочки с главными квантовыми числами п < 7), а также для £° = =—25 эВ, п < 6 и £0 = —50 эВ, п < 5 (см. табл. 3.1).
Из табл. 3.1 видна слабая зависимость потенциала V(г) от параметра £о, что подтверждается совпадением чисел заполнения Nn^ и близостью уровней энергии £九纟(отличия в £九纟 определяются, в
Рис. 3.4. Плотность связанных электронов pi (г) в модели Хартри для железаРис. 3.4. Плотность связанных электронов pi (г) в модели Хартри для железаРис. 3.5. Плотность свободных электронов 02(т) в модели Хартри для железа (Z = 26, Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3; то = 11,9, Zo 15)Рис. 3.5. Плотность свободных электронов 02(т) в модели Хартри для железа (Z = 26, Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3; то = 11,9, Zo 15)
Рис. 3.4. Плотность связанных электронов pi (г) в модели Хартри для железа
Рис. 3.4. Плотность связанных электронов pi (г) в модели Хартри для железа
Рис. 3.5. Плотность свободных электронов 02(т) в модели Хартри для железа (Z = 26, Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3; то = 11,9, Zo 15)
Рис. 3.5. Плотность свободных электронов 02(т) в модели Хартри для железа (Z = 26, Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3; то = 11,9, Zo 15)
основном, постоянным сдвигом). Графики функций rV(г) для трех указанных случаев фактически неразличимы. Это связано с тем, что при п > 4, что соответствует £°〉—100, средние числа заполнения N九纟 очень малы из-за сильной ионизации.
На рис. 3.4 и 3.5 приведена плотность связанных электронов 〃i(丁) и плотность свободных электронов 〃2(丁) • Видно, что оставшиеся на оболочках электроны расположены достаточно близко к ядру (см. рис. 3.4). В то же время электроны непрерывного спектра равномерно распределены в пространстве от границы атомной ячейки 丁° = 11,9 вплоть до значений 丁〜2 c гораздо меньшей плотностью (см. рис. 3.5), что допускает использование модели постоянной плотности электронов для 〃2(丁) при высоких температурах. Распределение 〃2(丁) (рис. 3.5),
Рис. 3.6. Радиальная плотность электронов 4тгг2р(г) в зависимости от ж = y/r/tq в моделях Хартри (сплошная линия) и Томаса-Ферми (штриховая линия), вычисленная по самосогласованным потенциалам, Z = 26, Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3 (сравни с рис. 3.3)
Рис. 3.7. Радиальная плотность электронов 4тгг2р(г) в зависимости от ж = y/r/tq по модели Хартри для железа при плотности р = 0,1 г/см3 и различных температурах: Т = 10, 20, 50 и 100 эВ. Видно, как с ростом температуры ионизуется М-оболочка и одновременно увеличивается плотность свободных электронов
вычисленное по формуле (8), имеет вблизи нуля интегрируемую особенность в соответствии с моделью Томаса-Ферми (см. § 1 гл. II). Заметим, что эта особенность практически не влияет на результаты вычислений.
На рис. 3.6 приведена радиальная плотность электронов 4тгг2р(г) как функция х = у/г/г^. Видно, что модель Хартри по сравнению с моделью Томаса-Ферми имеет качественное отличие: она передает осцилляции радиальной плотности электронов. График показывает, что оболочка с главным квантовым числом п = 3 при Г = 0,1 кэВ практически не заполнена (см. средние числа заполнения Nn£ в табл. 3.1). Два резких максимума соответствуют полностью заполненным К- и L- оболочкам. С понижением температуры степень заполнения М- оболочки увеличивается, что видно из графиков электронной плотности на рис. 3.7.
Релятивистская модель Хартри. При больших значениях Z в модели Хартри вместо уравнения Шрёдингера следует использовать уравнение Дирака. При этом 4-компонентную волновую функцию электрона, полный момент которого равен J, а проекция на ось г равна т, можно представить в виде (см. дополнение, § 2):
八
干吋皂
Здесь верхний знак выбирается для £ = J —1/2 и нижний для 2 = / +1/2.
Значения коэффициентов Клебша-Гордана С；^_7n .丄 m приведены в
дополнении, табл. Д.1.'$，2‘ ‘
Радиальные функции Fn^j (г) = F(r) и G九叮(丁) = G(r) являются решениями уравнения Дирака с потенциалом V (г):
(丁)+ 仝f(丁)= а е<?• +『(？)+ = G(S, dr r
(13)
京(丁)-沁)=-小・ + V^]F(r\
-2(;-/)(; +1/2).
Для связанных состояний должны быть выполнены граничные условияF(0) = О, G(0) = 0, F(r0) = 0, G{r^ = 0.
Для плотности электронов дискретного спектра при 2n珏 < £。имеем
pi (И = £n£jm 1 + exppi (И = £n£jm 1 + exp1^n£j 一从1^n£j 一从\^n£jm (丁)I =\^n£jm (丁)I ==En£j 1 + exp=En£j 1 + exp1^n£j 一从1^n£j 一从El%””⑺匕El%””⑺匕
pi (И = £
n£jm 1 + exp
pi (И = £
n£jm 1 + exp
1
^n£j 一从
1
^n£j 一从
\^n£jm (丁)I =
\^n£jm (丁)I =
=E
n£j 1 + exp
=E
n£j 1 + exp
1
^n£j 一从
1
^n£j 一从
El%””⑺匕
El%””⑺匕
Рассмотрим вклад в 〃i(戸)при фиксированных квантовых числах n, J и 2 = / — 1/2:
m=—j^-|
+ £亨I几…("I +
m=-j
+£2/ + 2 I 匕+i，少，夕)I +
J + m +1 I/
+ £2/ + 2 I 匕+i,w+^(少，夕
m=-j
Изменим индекс суммирования m на m + 1 в двух первых суммах в каждой из квадратных скобок:
mm=—j — l丿^-i
+士哥1几宀(3『+
m=-j
Приведем пределы суммирования no m в соответствие с параметрами
сферических гармоник — для этого в первой скобке опустим равные нулю слагаемые, а во второй скобке добавим:
mm=—j 丿-|
-1^2 工 2/ + 2 I匕+i,m+貝仇夕)| +
Объединяя члены в каждой из квадратных скобок, получим
e IVww⑺『=^^ * t Ih/(仇夕)『+
I G3(丁)2/ + 1廿2
7712 = —2—1
Как и в нерелятивистском случае, используем теорему сложения, что при 2 = / — 1 /2 дает
£ Нп^(г)|2 =皆产焉6 + G%#)].(14)
Аналогично доказывается, что равенство (14) справедливо также в случае 2 = / + 1/2. Окончательно получаем
= Е Е^м•产焉6 + G^-(r)],(15)
где
_2/ + 1
—e九"一从
1 + exp —- и
и суммирование проводится по состояниям с энергией 2n珏 < во-
Формулу для 〃2(丁) в релятивистской модели Хартри можно оставить прежней, так как релятивистские поправки для электронов непрерывного спектра обычно малы. Вычисление потенциала V (г) проводится
Таблица 3.2. Уровни энергии в эВ и числа заполнения для золота при Т = = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3, вычисленные в релятивистском и нерелятивистском вариантах модели Хартри. В релятивистском подходе 〃 = 6,830, Z。= 22,99; в нерелятивистском — 〃 = 6, 822, Z。= 23,11
Релятивистский расчет
Нерелятивистский расчет
п
С
Nn0j
\£п£ 1
1
0
1/2
80523
2,000
2,000
73022
2,000
2
0
1/2
14661
2,000
2,000
12639
2,000
2
1
1/2
14054
2,000
6,000
12151
6,000
2
1
3/2
12261
4,000
3
0
1/2
3953,5
2,000
2,000
3435,8
2,000
3
1
1/2
3687,7
2,000
6,000
3211,1
6,000
3
1
3/2
3293,8
4,000
3
2
3/2
2858,4
4,000
10,000
2794,9
10,000
3
2
5/2
2774,5
6,000
4
0
1/2
1279,0
1,995
1,995
1175,4
1,986
4
1
1/2
1163,7
1,984
5,923
1079,3
5,888
4
1
3/2
1100,9
3,939
4
2
3/2
918,77
3,653
9,062
904,68
9,018
4
2
5/2
904,82
5,409
4
3
5/2
677,93
2,920
6,733
675,74
6,756
4
3
7/2
673,85
3,813
5
0
1/2
564,95
0,469
0,469
543,42
0,398
5
1
1/2
519,05
0,325
0,903
503,02
0,854
5
1
3/2
505,31
0,578
5
2
3/2
431,70
0,300
0,738
431,57
0,752
5
2
5/2
428,83
0,438
5
3
5/2
341,74
0,191
0,445
344,04
0,459
5
3
7/2
341,03
0,254
5
4
7/2
265,62
0,121
0,272
268,24
0,282
5
4
9/2
265,46
0,151
6
0
1/2
307,02
0,046
0,046
301,58
0,043
6
1
1/2
285,31
0,037
0,108
281,62
0,107
6
1
3/2
280,91
0,071
6
2
3/2
245,07
0,050
0,124
246,35
0,126
6
2
5/2
244,11
0,074
6
3
5/2
201,36
0,048
0,112
203,20
0,115
6
3
7/2
201,10
0,064
6
4
7/2
163,89
0,044
0,099
165,58
0,102
6
4
9/2
163,81
0,055
6
5
9/2
152,88
0,050
0,110
154,82
0,112
6
5
11/2
152,84
0,060
как и в нерелятивистской модели по формуле (9), где вклад в р(г) от электронов дискретного спектра вычисляется по формуле (15) с использованием уравнения Дирака. На рис. 3.8 приведены графики полной электронной плотности для золота при температуре Г = 0,1 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3, вычисленные по релятивистской и нерелятивистской модели Хартри. Как видно из графика, влияние релятивистских эффектов для элементов с большим Z может быть
ж = у/г/го по модели Хартри для золота (Z = 79, Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3), вычисленная по релятивистским (сплошная линия) и нерелятивистским радиальным функциям (штриховая линия)
существенным для первых трех оболочек (см. также табл. 3.2 для чисел заполнения N九纟 и N^Q.
Релятивистская модель Хартри, полученная нами путем простейших рассуждений, конечно, не является достаточно строгой, однако эта модель позволяет учесть основные релятивистские эффекты (см. [202], [77]). Остались неучтенными обменные и корреляционные эффекты, брей- товские и некоторые другие релятивистские поправки. Заметим, что в отличие от среднего атома при рассмотрении индивидуальных состояний ионов необходимо учесть нецентрально-симметричную часть потенциала и уточнить эффекты спин-орбитального взаимодействия. Более строгий подход при получении квантово-статистических моделей самосогласованного поля может быть реализован с помощью вариационных принципов.
Метод самосогласованного поля Хартри—Фокадля вещества с заданной температурой и плотностью
Вариационный принцип, основанный на требовании минимума большого термодинамического потенциала. Как и ранее, будем предполагать, что вещество находится в условиях локального термодинамического равновесия, причем температура достаточно высока, так что вещество представляет собой плазму, состоящую из электронов и ионов различной кратности. В главе I для получения уравнений модели Томаса-Ферми мы воспользовались наиболее простым вариационным принципом для замкнутой системы — требованием максимума энтропии. Более общее квантово-статистическое описание состояния вещества требует введения аппарата матрицы плотности и применения различных статистических приближений; так, например, очень часто используется приближение большого канонического
ансамбля [11]. На основе выбранного приближения формулируется вариационная задача.
Среднее значение физической величины F при заданной матрице плотности W можно представить в виде [34, 68]
(F) = Sp(WF\ (1)
где W — соответствующий статистический оператор состояния.
Наиболее общим вариационным принципом, который обычно применяется в условиях равновесия для большого канонического ансамбля, является требование минимума большого термодинамического потенциала 0 = Е — rN — 8S. Последовательное проведение этого принципа для плазмы со значительным взаимодействием между частицами практически невозможно, поэтому используются различные приближенные подходы. Одним из наиболее результативных оказался метод функционала плотности [162, 175, 192, 193, 187]. В этом методе строится некоторый приближенный функционал электронной плотности, имеющий смысл большого термодинамического потенциала электронов. Затем решается вариационная задача на минимум для этого функционала, в результате чего можно получать различные модели для описания состояния вещества.
Мы будем опираться на несколько более общий вариационный принцип, не требуя, в частности, чтобы минимизируемый функционал зависел только от электронной плотности. Основанием для применения предлагаемого метода является то, что с его помощью легко получаются известные уравнения, например, уравнения обобщенной модели Томаса-Ферми, уравнения Хартри-Фока для среднего атома и уравнения Хартри-Фока-Слэтера.
Совместное квантовомеханическое рассмотрение системы взаимодействующих ионов и электронов приводит к не преодоленным до сих пор трудностям, в том числе и на основе вариационных методов. Поэтому обычно используется более простой подход, основанный на применении адиабатического приближения. В адиабатическом приближении ионы рассматриваются как классические частицы, движущиеся гораздо медленнее электронов, так что можно предполагать, что при каждом новом положении ионов электроны успевают придти в термодинамическое равновесие.
Будем предполагать, что в равновесии достигается минимум функционала Q, имеющего смысл большого термодинамического потенциала электронов и определенного в соответствии с (1) следующим образом:
Q = (Q) = Sp ^V(H - /J.N + 0 \nW^ . (2)
Здесь Н — гамильтониан системы электронов, N — оператор числа частиц, 0 — температура,从—химический потенциал, W — статистический
оператор, соответствующий матрице плотности (распределение Гиббса):
Если система состоит из N взаимодействующих частиц, то при учете конечной скорости распространения взаимодействия уже классическая энергия этого взаимодействия зависит от всей предистории движения частиц, а не определяется положением частиц в данный момент. Однако, если относительные скорости частиц в системе малы по сравнению со скоростью света, то распределение частиц в пространстве мало изменяется за время, необходимое для передачи взаимодействия между частицами. В этом случае с точностью до величин порядка (о/с)? можно определить классическую функцию Гамильтона как функцию только координат и импульсов всех частиц системы. Оператор Гамильтона при этом можно записать в виде
где U — потенциальная энергия взаимодействия между частицами, зависящая от их взаимного расположения; Н± — оператор, характеризующий спин-орбитальное взаимодействие, взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей эффект запаздывания. Взаимодействия, учитываемые оператором %, имеют порядок (о/с)? и в нерелятивистской теории могут учитываться по теории возмущений.
Если пренебречь всеми спиновыми взаимодействиями электронов и всеми ядерными эффектами (например, конечностью размеров и массы ядра), то в нерелятивистском приближении гамильтониан системы электронов запишется в виде (в атомных единицах)
育=e 卜扛€ + "(*)]+ ? ⑷
где Ua (咒)—потенциальная энергия г-го электрона с координатами 咒 в заданном потенциале атомных ядер %(戸)，т.е. Ua(fi) = — %(咒)• В выбранном представлении для заданной матрицы плотности W среднее значение оператора Q = К —从N + 8 In ГУ вычисляется по формуле
©〉= s2(命处=e 田KQ丽£Q)dQ, (5)
где wn = w(Bn, Nn) — статистическая вероятность состояния системы электронов с заданной энергией Е = Еп и числом частиц N = Nn, Wn(Q) — волновая функция такого состояния; Q — набор координат электронов q〃, где q〃 включает в себя пространственную 咒 и спиновую ai переменные электрона с номером г. Интегрирование по всему конфигурационному пространству Q = {q〃} означает интегрирование по всем пространственным координатам 咒 и суммирование по всем спиновым переменным о》Среднее значение любой величины при таком подходе вычисляется в два приема: сначала вычисляется среднее значение рассматриваемой величины в состоянии с волновой функцией 3九(Q) при заданных энергии Еп и числе частиц Nn, а затем полученные значения усредняются по различным состояниям с весом, равным вероятности wn этих состояний. Заметим, что результат не изменится, если вместо 田九(<2) будет использована любая другая полная система функций.
Электронная плотность 〃(q) при этом определяется по формуле 〃(q) = S夕(俞 £b(q〃 — q)
=£位几£ / |田几(史，q2, 小出n ' i2
.. 歯1 歯2 • •・歯"1 . -dqNn . (6)
Дельта-функция Дирака b(q〃 一q) = 5505g—F) используется здесь для того, чтобы упростить запись. При этом суммирование и интегрирование проводится по всем переменным q〃 (суммирование по cri,a2, . .“n и интегрирование по п, Г2, .. Fn)•
Уравнения самосогласованного поля в приближении Хартри—Фока. Используем в дальнейшем одночастичное приближение, предполагая, что при заданной энергии и числе частиц волновая функция системы W(Q) представляется в виде антисимметризованной суммы произведений одночастичных волновых функций по заполненным состояниям щ (детерминант Слэтера в приближении Хартри-Фока):
%1 （史）
%2（史）
賑1（42）
賑2（42）
賑1（^3）•
賑2（43）•
~1
W(Q) + W(Q)=-= V !
•⑺
%N (史) %n(42) %n(43)… %n(4n)
Система функций ^u(q) предполагается ортонормированной. Воспользовавшись ортогональностью функций 吵〃 (q), можно выразить среднее по координатам значение исходного гамильтониана Н следующим образом (см. далее п.3, а также [110, 107]):
< Ф|Я|Ф > = J2 У C(q) —；△ —%(戸)賑(q)dq +
/砂〃 (G『砂x(~)『dq d~ _
E(q)%(d)嗯(~)以(q)dqdd
где суммирование проводится по таким состояниям 沙 и А, которые содержатся в выражении ⑺ для функции 帀(Q).
Предположим далее, что при не равной нулю температуре одночастичные состояния V заполнены с некоторыми вероятностями Пу (0 < Пу < 1), которые вблизи равновесного состояния можно приближенно считать независимыми [54]. Тогда полная вероятность заданного состояния будет равна произведению вероятностей соответствующих одночастичных состояний. Например, вероятность wn состояния п, при котором первые Nn состояний заполнены, а остальные не заполнены, определяется выражением:
Wn = ПугПу2 ♦ ♦ .口心“ [1 — n^Nn + 1 ] [1 — ^^п+г]…(9)
Заметим, что по смыслу определения значения nv являются средними числами заполнения одночастичных состояний v.
В указанном приближении можно вычислить необходимые нам средние значения операторов. Так, воспользовавшись методом индукции, можно показать, что в формуле (2)
Sp(W In ГУ) = £ wn In wn = У^ \nv \nnv + (1 -八〃)In (1 - nv)]. (10)
Действительно, для одного одночастичного состояния (沙=1) имеем две возможности: wi = ni для заполненного состояния и W2 = 1 — ni для незаполненного. При этом формула (10), очевидно, верна.
Пусть она будет верна для к состояний (沙=1,2, ...,к),т.е.
к
£ Wn In Wn = £[几"In + (1 — n^ ln(l —
沙=1
Добавим (к + 1)-ое состояние. Число возможных состояний системы удваивается, причем вероятности новых состояний следующим образом выражаются через wn:
= Пк + lWn, W^ = (1 - nk + i)wn.
Имеем
=^^nk+YWn^nk+Y + InWn) + £(1 - ^fe+i)w[ln(l - nk+Y)+ Inwn]=
=nk + l innk + l + (1 -几k + 1) ln(l - nk + l) + ^2 Wn In Wn =
=£[几"In ?2" + (1 — n^ ln(l — n^)]
(мы воспользовались тем, что J2 wn = 1). Таким образом, в соответствии с методом индукции, формула (10) верна при произвольном к.
Заметим, что формула (10) совпадает с формулой для энтропии в приближении Томаса-Ферми с обратным знаком (см. § 1, п. 1 из гл. I). Из ортогональности функций ^u(q) и формул (6) и (9) следует, что
〃(q)= ZXl%(q)『・(и)
Используя формулы (2), (8), (10), получаем выражение для термодинамического потенциала Q в одночастичном приближении в указанном выше смысле (обозначим его Q ):
口 = 52^ / C(Q)(戸)賑(q)dq +
I人0)\2[Ф入⑺弋 dqdd
/7 达(q)%(d)叭⑺以(q)dqdq/
+ 3 ^2 [nu In Пу + (1 - Пу) In (1 一八〃)]一从£n〃. (12)
Найдем условия минимума Q при произвольных nv (0 < nv <1)
и произвольных ортонормированных функциях 吵〃 (q). Условия норми-
ровки / |吵〃(4)12 dq = 1 и ортогональности J 吵，4)吵入(4)dq = 0 при А # 沙 учтем с помощью множителей Лагранжа А〃* Тогда условие минимума U примет вид
JQHF + J £А办 / 也(q)以(q)dq = 0.
Подставляя сюда выражение (12) для Q и проводя варьирование, получим
JQHF + J £А办 / 吵/q)吵x(q)dq = £ 阮吵；^q)瓦吵〃 (q) dq +
+ £ 八〃/ 也(q)瓦 b%(q) dq + ^Пу / 8也(q)瓦％ (q) dq +
+ 8 * 8пу In* 8nv +
J 1 -九" J
+ £A办у 5此⑷以⑷dq + у此(q)&必(q) dq = 0, где
育oW"(G= _g△_%(门+?纵/吵^"?,，'的"(。)一
“3)
(при получении (13) в двойных суммах и двойных интегралах в процессе вычислений производились замены А на z/, q на q1 и т.п.).
Так как вариации 8吵〃，8吵｝ а также 8nv независимы, получаем следующие условия минимума U :
Ho%(q) НA办以(q)=-吵"(4)= e"吵"(4),(14)
旌"=旌(£") = [" _从•(15)
Уравнения (13)-(15) являются известными уравнениями Хартри-Фока (ХФ) для вещества с заданной температурой и плотностью, полученными Мацубарой [171] (см. также [54]).
Таким образом, для получения уравнений Хартри-Фока (13)-(15) достаточно потребовать минимума термодинамического потенциала Q = Q в одночастичном приближении. Заметим, что Q записывается в терминах одночастичных волновых функций и чисел заполнения и, вообще говоря, функционалом электронной плотности 〃(q) не является.
Уравнения Хартри—Фока для свободного иона.) При температуре равной нулю средние числа заполнения nv могут принимать значения 0 или 1 в зависимости от знака £〃一//. Если при этом имеет место вырождение уровней (энергии £〃 совпадают для различных значений 沙),то необходимо уточнять значения nv для того, чтобы количество электронов на один атом не превышало Z. Прежде, чем конкретизировать конфигурацию, т.е. набор чисел заполнения nv и одночастичные волновые функции 吵〃(4), покажем, как вычислить среднее значение гамильтониана (4) с однодетерминантными волновыми функциями (7) и выведем формулу, аналогичную (8).
Для вычисления вклада в среднее значение гамильтониана, зависящего от координат одного электрона, например, для
h =一/△1一 %(万)，
представим W(Q) в виде разложения по первому столбцу детерминанта ⑺：
1 „〜
W(Q)=工麻(史)田a(42, 43,4n),
где Фа — некоторые детерминанты порядка N — 1, составленные из одночастичных функций, не зависящих от 史 и не содержащих 2a.
Учитывая, что в силу ортогональности одночастичных функций выполняется условие
〜
屮以…• -dqN = (N - 1)!坛色 (16)
для матричного элемента〈3 | 匕 | Ф) имеем
(3 II J /总(史)匕麻(史)歯＞(17)
В силу независимости (17) от выбора электрона получаем
(Ф£^Ф) = £ /C(Q) —；△ — %(& 麻(q)dq. (18)
Для вычисления вклада двухэлектронных взаимодействий рассмотрим вычисление матричного элемента для оператора
兄一力「
С помощью теоремы Лапласа представим N- частичную волновую функцию Ф в виде разложения по детерминантам 2-го порядка, составленным из элементов первых двух столбцов (7) с одночастичными волновыми функциями, зависящими от Q1 и q2：
а</3а</3吵鼠史）^a（Q2） 办（史）m但）吵鼠史）^a（Q2） 办（史）m但）
а</3
а</3
吵鼠史）^a（Q2） 办（史）m但）
吵鼠史）^a（Q2） 办（史）m但）
где а и 0 пробегают все заполненные состояния (а 济 0), а функции 3&3 представляют собой детерминанты порядка N — 2, не содержащие одночастичных функций 2a и 叽з.
Для 3&0 имеем соотношение ортогональности, аналогичное (16):
…心)Ф7^(^з, Q4, - - •, ^) dq3 dq^ .. .dqN =
= (N -2)!")函鼠(19)
Учитывая (19), для среднего значения от оператора 匕2 получаем
(Ф|^2|Ф)=
]九1（史）次I（42）兄一冷I办（史）2Mq2）]九1（史）次I（42）兄一冷I办（史）2Mq2）dqi 也=dqi 也==1 丁 / <(Qi)
]九1（史）次I（42）
兄一冷I办（史）2Mq2）
]九1（史）次I（42）
兄一冷I办（史）2Mq2）
dqi 也=
dqi 也=
—N(N —1) J J J 5g ^/3(Q2)
2N(N —1)2N(N —1)
2
N(N —1)
2
N(N —1)
/7%（史）办（史）舊（42）麻（42）]
-JJ 瓦F歯叫•（20）
Суммирование по различным парам с учетом того, что (20) не зависит от выбора пары, дает
Ф)=Ф)=
Ф)=
Ф)=
W//W//I麻"「咤产2 dQ У以⑷3⑺胃)麻⑺dQ dq)
W//
W//
\r-r'\W\r-r'\
(21)
Полученные для одночастичных и двухчастичных операторов выражения (18) и (21) доказывают справедливость формулы (8).
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых вариантов модели Хартри-Фока. Для иона с замкнутыми оболочками, когда Nn£ = 2(22+1), числа заполнения n^ = 1 для всех присутствующих уровней v. В приближении центрально-симметричного поля
吵〃 (q) = ^Н(—1 片匕 7n (仇夕)x^s。)， (22)
где X^ms (a) — двухкомпонентный спинор. Каждому 沙 ставится в соответствие набор квантовых чисел n, ^, m и ms, полностью определяющих состояние электрона, a q = {г,少,夕,сг} определяет набор пространственных и спиновых координат. В этом случае уровни энергии £〃 не зависят от проекции орбитального момента т и проекции спина ms (кратность вырождения д〃 каждого уровня 沙 равна 2(22+1)).
Из (13), (14) с учетом (22) можно получить уравнения Хартри-Фока для свободного иона в однодетерминантном приближении центральносимметричного поля, полагая % (戸) =Z/r. Для этого достаточно провести интегрирование по ~ в (13), т.е. интегрирование по “，少-夕/ и суммирование по спиновой переменной сг, с учетом свойства ортогональности одночастичных функций
Рассмотрим сначала член в квадратных скобках из (13), отвечающий за кулоновское взаимодействие (см. также дополнение, § 1, пример 3):
п'^т'т^ a' sin 〉
х/ Y:e(心d)匕M (% d)l^(仇夕)К汾(心^)%1тЛ^)%1^g卜0 где знак + подразумевает операцию транспонирования и комплексного сопряжения. Учитывая, что nn/£/m/m^ = 1 для замкнутых оболочек, и принимая во внимание равенства
/ Yhmi (仇夕)匕2^2 (仇夕)工7П3 (仇夕)融=
_ /(2厶+ 1)(2厶+ /小
где C；：*：q2m2 — коэффициенты Клебша-Гордана, получим
『/）= £ £ j^yх鼠^C^c^ls^：^ п' V т' m's sm
Мы ввели обозначение
XnQ,n' Q1 （/）XnQ,n' Q1 （/）sji Rn^'^Rn'VD ", о Г>sji Rn^'^Rn'VD ", о Г>
XnQ,n' Q1 （/）
XnQ,n' Q1 （/）
sji Rn^'^Rn'VD ", о Г>
sji Rn^'^Rn'VD ", о Г>
r< = min（r,rz）, r> = max（r,г'）.
Коэффициенты °方黑,§/ отличны от нуля лишь при m = 0. Используя равенства 匕。（少，夕）=1/д/4тг, C|,q 00 = 1 и условие ортогональности
Е4^о = （2Г + 1Жо,
получаем
Уб = £Ми Х%5«6, где А^е = 2（2, + 1）.
Для обменного члена
имеем
Xng（T）= （-l）m〉: Пп‘0т‘га!义 п' V т' m's
х^y^/dn/M必l）MW）斤加（沙，d）匕7n（心夕‘）齿У0‘）；ЦуgX
X e ^T 各工^（仇夕）К^沙，d） ^^ 匕，加（仇⑺必皿0）=
_ _'/ 47r/ \ Rn'/2，+Y
-丄丿у 2s+]大~ у 2e+]"oso"义
n' V m' m's sm
X匕，772/（仇夕）К汾（仇夕）8 772§1?6^m50）*
Для произведения двух гармоник имеет место разложение [24]
匕，加（仇夕）工^（仇夕）=
(-1严 e(-1严 eC%）sO C品"S —讯M汾（仇夕）•C%）sO C品"S —讯M汾（仇夕）•/(2e + 1乌 + 1)
(-1严 e
(-1严 e
C%）sO C品"S —讯M汾（仇夕）•
C%）sO C品"S —讯M汾（仇夕）•
У 47r(22+1)
Используя свойство ортогональности
〉:(—1) C；「mJs-讯CQms讯= (_])I]； 〃2踹汾,
(T)S(T)S”0 y’OsO”0 y’OsOпереставляя индексы 00 и 20 сверху вниз у одного из коэффициентов
(T)S
(T)S
”0 y’OsO
”0 y’OsO
,и учитывая, что величина 2 —卩 + s
должна быть четной, получаем
х£ 雜 Е CfUFi—•九必s=|2—e|
В результате уравнения Хартри-Фока для замкнутых оболочек принимают вид
1 d2 2(2+1) Z L …°、
2 ^ +7 + 12X加仆(r) Rn£(r)-
-E吊£ (0九0)飞2"6丛它6=
九必s=”e|
e九2 Rn2 (丁)+ $^ e加厶九2 RvZ (丁)• (23)
Заметим, что при выборе одночастичных функций в виде (22) достаточно потребовать ортогональности радиальных частей с разными п, так как по другим квантовым числам условие ортогональности выполняется автоматически. Это означает, что недиагональные множители Лагранжа отличны от нуля лишь при 2’ = 2.
Для ионов с незамкнутыми оболочками вместо (7) обычно применяют представление волновой функции в виде линейной комбинации детерминантов, отвечающей определенной схеме сложения моментов. Сложение моментов можно приближенно заменить специальным выбором нецелых чисел заполнения п^, таких что £7nms 八〃 =N九纟.В
наиболее простом приближении средней конфигурации, согласующейся с понятием среднего атома, полагаем
2（22+1）'
В этом приближении остаются справедливыми уравнения Хартри-Фока （23） для замкнутых оболочек, а полная энергия иона определяется по формуле [110, 141]
гдегде石—〉:NnQ InQ + 2〉: NnQ（NnQ — 1） Hn0,n0 +〉:〉: Nn^Nn，? Нп£^п>£>, n£n£n£ n'£'>n£石—〉:NnQ InQ + 2〉: NnQ（NnQ — 1） Hn0,n0 +〉:〉: Nn^Nn，? Нп£^п>£>, n£n£n£ n'£'>n£^n£,n£ = 成厶九2 -《в + ]^n£,n£ = 成厶九2 -《в + ]2222Hn£,n'£'=月?厶加« — 42 + 2Hn£,n'£'=月?厶加« — 42 + 2s=0s=0,n'£' *,n'£' *s=\£—£' Is=\£—£' I
где
где
石—〉:NnQ InQ + 2〉: NnQ（NnQ — 1） Hn0,n0 +〉:〉: Nn^Nn，? Нп£^п>£>, n£n£n£ n'£'>n£
石—〉:NnQ InQ + 2〉: NnQ（NnQ — 1） Hn0,n0 +〉:〉: Nn^Nn，? Нп£^п>£>, n£n£n£ n'£'>n£
^n£,n£ = 成厶九2 -《в + ]
^n£,n£ = 成厶九2 -《в + ]
22
22
Hn£,n'£'=月?厶加« — 42 + 2
Hn£,n'£'=月?厶加« — 42 + 2
s=0
s=0
,n'£' *
,n'£' *
s=\£—£' I
s=\£—£' I
Интегралы Слэтера F，n,^, и G^g 九,« вычисляются по формулам
Fn^n'V = // 年г 砲6）成必（丁2）Е d丁2,
丿丿/〉（25）
G^£?n/£/ = УУ^ ^^ ЯП£（Г1） Rn'£'（Г1） Яп£（^2）Rn'V（Г2）drI d丁2・
§ 3. Модифицированная модель Хартри—Фока—Слэтера
Квазиклассическое приближение для обменного взаимодействия. При численном решении системы уравнений Хартри- Фока （13）-（15） из § 2 возникают определенные трудности, связанные с интегральным членом — последним в правой части （13）, который обусловлен обменными эффектами. Если в （13） пренебречь обменным членом, то из （14） получим уравнение Шрёдингера для функции 吵〃（4）, описывающее движение электрона в поле ядер и самосогласованном кулоновском поле электронов （модель Хартри, см. § 1）. Являясь решениями уравнения с заданным потенциалом и соответствующими
граничными условиями, волновые функции в этой модели получаются взаимно ортогональными, однако при этом оказывается, что в самосогласованное поле Хартри включен лишний кулоновский вклад от рассматриваемого электрона, так называемое самодействие. Само- действие можно легко устранить, если вычесть из самосогласованного потенциала Хартри вклад данного электрона в состоянии с волновой функцией 吵〃 (q), но волновые функции при этом уже не будут взаимно ортогональными.
Опираясь на квазиклассическое приближение, можно провести приближенный учет обменных эффектов и тем самым уточнить уравнения модели Хартри. Так как в результате получается единый эффективный потенциал для всех электронов, то соответствующая система волновых функций будет ортогональной. Впервые учет обменных эффектов в локальном приближении для свободного атома при температуре Г = 0 провел Слэтер [209]. Позднее результаты Слэтера были уточнены в работе [162] (см. также [146]), а в работах [77] и [147] распространены на произвольные температуры.
Чтобы получить с помощью вариационного принципа приближенное выражение для обменного члена, будем в качестве пробных функций 吵〃 (q) использовать нормированные решения уравнения Шрёдингера
亙f %(q) = £〃％(q), Hef = -|д ~V(f\ (1) описывающие движение электрона в поле с некоторым эффективным потенциалом V(г), учитывающим обмен локальным образом. Так как в данном случае оператор Hef предполагается эрмитовым, то получаемая в результате решения задачи (1) система функций ^y(q) будет ортогональной.
Вариационный принцип позволяет выбрать наилучший вид потенциала V (г), для которого решения уравнения (1) будут наиболее близки к решениям уравнений Хартри-Фока (13)-(15) из § 2 [78]. При этом имеет смысл сохранить выражение (15) из § 2 для определения чисел заполнения, так как эта формула не зависит явно от вида приближения для обменных эффектов.
Для вычисления обменной энергии (см. последний член в формуле ⑻ из § 2)
及一 一i“//"L)小歯，
предварительно проведем следующие преобразования:
% = -3//厘晋歯歯⑵
где
，(q j) = e八"%(4)也(d)=八(亙卩e吵為)也(力
Здесь введен так называемый оператор чисел заполнения n(Hef), собственные значения которого равны п^, а собственные функции совпадают с собственными функциями оператора Hef, который действует только на функции переменной г (см. выражение (1) для 瓦f). Заметим, что согласно (11) из § 2 имеем 〃(q) = p(Q, q1).
Система функций 吵〃(4)является полной, поэтому
E%(q)也(d) = b(q - d) =(戸一子)
и, следовательно, предполагая, что оператор Н не действует на спиновые переменные, получаем
〃(q, ~) = ^n(Hef) 8(戸一戸').
Воспользуемся представлением J-функции в виде интеграла Фурье:
戸)=読 / е涼涼
Представление J-функции в виде разложения по плоским волнам е凉『 позволяет значительно упростить выкладки. Важно отметить, что здесь используется лишь свойство полноты системы плоских волн, причем не предполагается, что плоские волны рассматриваются в качестве приближенных волновых функций электронов.
Оператор чисел заполнения n(Hef) является функцией суммы двух некоммутирующих операторов (1/2) △ и V(г). Действие первого оператора на £凉『сводится к умножению £凉『на —А;2/2, действие второго —к умножению на V (г). В квазиклассическом приближении можно пренебречь некоммутативностью операторов (1/2) △ и V(г) [143]. Тогда в соответствии с формулой (15) из § 2 получим
71(亙卩e加①一尸)="储产)e加(户尸)，
гдегде/（储尸）=/（储尸）=111 + exp1 + exp『（了）+从）『（了）+从）
где
где
/（储尸）=
/（储尸）=
1
1
1 + exp
1 + exp
『（了）+从）
『（了）+从）
Подставляя полученные выражения в (2), имеем
о 11/（衣2,戸）/（火2,戸）^便一口）尸）d^4"d戸d戸,
Интегрирование по г' можно выполнить в аналитическом виде ввиду того, что объем, занимаемый системой электронов, предполагается достаточно большим. Направляя ось z' вдоль вектора к — к \ получим
i(k-k ')『才)丿-aR+i^k-k^R _
————dr' = lim dR =
\f-f'\ето 丿 R
=lim 27r / e-aRRdR / e泅一口网。S" sin 少加
оо47r\к-к'\47r\к-к'\о
о
о
47r\к-к'\
47r\к-к'\
lim / e~aR sin (|^ — kr\R) dR =—
a—。J\k — kf\2
Так как
£ 脸, =2,
2 (2»)з2 (2»)зsin少d少sin少%伊 友2 — 2A^cos 少+ *2sin少d少sin少%伊 友2 — 2A^cos 少+ *2то использование сферических координат при интегрировании no к и А/ дает
2 (2»)з
2 (2»)з
sin少d少sin少%伊 友2 — 2A^cos 少+ *2
sin少d少sin少%伊 友2 — 2A^cos 少+ *2
Еех
杀/"//""下)"";"® ::； к dk k' dk'. о о
Введем новые переменные интегрирования
28，炉—28
и обозначим
€ =式了）=€ =式了）=『6+从『6+从
€ =式了）=
€ =式了）=
『6+从
『6+从
Я€) =Я€) =/daО/daО〃0о〃0о11 + ехр (а — §)11 + ехр (а — §)1 +ехр (0-0 111Vzs-д/Я1 +ехр (0-0 111Vzs-д/Я
Я€) =
Я€) =
/da
О
/da
О
〃0о
〃0о
1
1 + ехр (а — §)
1
1 + ехр (а — §)
1 +ехр (0-0 111Vzs-д/Я
1 +ехр (0-0 111Vzs-д/Я
Тогда получаемТогда получаемОчевидно,Очевидно,/[ da d/3 Inо о/[ da d/3 Inо од/^ + д/Дд/^ + д/ДXX
Тогда получаем
Тогда получаем
Очевидно,
Очевидно,
/[ da d/3 Inо о
/[ da d/3 Inо о
д/^ + д/Д
д/^ + д/Д
X
X
[ da 卜 1 + exp (a - §)丿 1 + exp ⑺-g)
_色(1]
d"卜 1 + exp (0 - g)丿 1 + exp (a - §)
В результате интегрирования по частям имеем
* 1л/? d /1\ _ f v^T^/S-O) da
J " ”- 潟| da (1 + exp (a - £)丿 J 1 + exp(a - £)
оо
откуда
da / d81 + exp (a - g)丿 1 + exp (0 - g)оda / d81 + exp (a - g)丿 1 + exp (0 - g)о/ qT/2 da/ l + exp(a-§) о/ qT/2 da/ l + exp(a-§) оu/2 d[31 + exp (0 - 0u/2 d[31 + exp (0 - 01a — P1a — P=^-l/2(€)«=^-l/2(€)«
da / d8
1 + exp (a - g)丿 1 + exp (0 - g)о
da / d8
1 + exp (a - g)丿 1 + exp (0 - g)о
/ qT/2 da
/ l + exp(a-§) о
/ qT/2 da
/ l + exp(a-§) о
u/2 d[3
1 + exp (0 - 0
u/2 d[3
1 + exp (0 - 0
1
a — P
1
a — P
=^-l/2(€)«
=^-l/2(€)«
Поэтому
2(V(r)+M)/0
Ex = _^^ y dr /p一1/2(力)『d力
Здесь /& (力)—функция Ферми-Дирака.
В квазиклассическом приближении можно выразить Вех через плотность электронов 〃(q). Для этого установим связь между 〃(q) и V (г), воспользовавшись квазиклассическим приближением и интегралом
Фурье аналогично тому, как это было сделано выше. Имеем
/KG =P(Q^Q，)\q'=q = n{Hei)8(f-f')\ql=q е-^п(Не{) e^dk^/KG =P(Q^Q，)\q'=q = n{Hei)8(f-f')\ql=q е-^п(Не{) e^dk^о 1 + expо 1 + exp4»衣2 dk (28)3/2k2V (г ) + /1\47r21/24»衣2 dk (28)3/2k2V (г ) + /1\47r21/27(戸)+ /7(戸)+ /282888
/KG =P(Q^Q，)\q'=q = n{Hei)8(f-f')\ql=q е-^п(Не{) e^dk^
/KG =P(Q^Q，)\q'=q = n{Hei)8(f-f')\ql=q е-^п(Не{) e^dk^
о 1 + exp
о 1 + exp
4»衣2 dk (28)3/2
k2V (г ) + /1\47r21/2
4»衣2 dk (28)3/2
k2V (г ) + /1\47r21/2
7(戸)+ /
7(戸)+ /
28
28
8
8
что, очевидно, совпадает с формулой (7) из § 1 гл. I, так как p(r) = 2〃(q). Поэтому можно написать
⑶⑶гдегде夕历⑺，可dr,夕历⑺，可dr,夕历（戸）/] = d 〃可夕历（戸）/] = d 〃可2必,2必,
⑶
⑶
где
где
夕历⑺，可dr,
夕历⑺，可dr,
夕历（戸）/] = d 〃可
夕历（戸）/] = d 〃可
2必,
2必,
『6+ 4『6+ 4、0величина §、0величина §1+1+砂〃 (q)『| 吵x(~)12 dq d~砂〃 (q)『| 吵x(~)12 dq d~\f — f'\\f — f'\一/夕历（戸）/] df +一/夕历（戸）/] df +
『6+ 4
『6+ 4
、0
величина §
、0
величина §
1
+
1
+
砂〃 (q)『| 吵x(~)12 dq d~
砂〃 (q)『| 吵x(~)12 dq d~
\f — f'\
\f — f'\
一/夕历（戸）/] df +
一/夕历（戸）/] df +
-корень Ур_я。⑺=咨и тем самым
является функцией р(г)/03^.
Уравнения модели Хартри—Фока—Слэтера. Таким образом, для термодинамического потенциала Q, который в указанном приближении обозначим Q , имеем
C（Q）-；△ — %（戸）賑（q）dq +
гдегде3产S3产S+ b £А〃 / ^(q)^(q) dq+ b £А〃 / ^(q)^(q) dqо,о,
где
где
3产S
3产S
+ b £А〃 / ^(q)^(q) dq
+ b £А〃 / ^(q)^(q) dq
о,
о,
，（q）=e八〃砂為）匕
Аналогично тому, как были получены уравнения Хартри-Фока, потребуем выполнения условия
где множители Лагранжа А〃 введены для учета условий нормировки. Они соответствуют диагональным множителям Лагранжа А〃〃 в уравнениях (14) из § 2. Заметим, что в данном случае нет необходимости требовать выполнения условий ортогональности^ так как решения уравнения (1) взаимно ортогональны. После варьирования получаем уравнения модели Хартри-Фока-Слэтера (X①С)
u「、，L/1以(")『歯/9^1小
где собственные значения £〃 = —A^/n^.
Отсюда видно, что в соответствии с (1) эффективный потенциал равен
Кулоновская часть потенциала 匕(戸)вычисляется так же, как и в модели Хартри:
匕⑺=⑹
Для обменной поправки Vex(f) в силу (4), (5) имеем
=除=* =⑺
где § — корень уравнения
2
/]/2® =寸")・⑻
Вычисление обменных поправок можно упростить с помощью интерполяционных формул. В частности, обменная энергия Еех определяется
2
интегралом / [/—1/2(力)] d力 который удобно с помощью (8) представить как функцию одной переменной
7 =爲=^1 А/2(0・(9)
Для интеграла, определяющего обменную энергию Вех, можно построить формулу со свободным параметром а, передающую асимптотики при《т 0 и《т сю:
/ [/_1/2 ⑴ (10)
丄L 」卩+*+ (8"4/81)《2]1/3、丿
Коэффициент а легко найти из условия минимума погрешности. В результате для 夕[〃 8] получаем
夕厶心号J+ 4,9/+辱无 ，（n）
где р = p(r) —плотность электронов. Погрешность формулы (11) не превышает 1%.
Аналогично тому, как было получено выражение (10), можно получить приближенную формулу
/—1/2(0 +/—1/2(0 +[1 + 5,7《+(»4/з)《2]1/з[1 + 5,7《+(»4/з)《2]1/з
/—1/2(0 +
/—1/2(0 +
[1 + 5,7《+(»4/з)《2]1/з
[1 + 5,7《+(»4/з)《2]1/з
где С определяется по формуле (9). Это дает удобную интерполяционную формулу для 3屮IЗр с погрешностью приблизительно 1,5% [77]. Окончательно имеем
где p(r) — плотность электронов. Так как Vex(f) 〉0, то обменные эффекты приводят к уменьшению кулоновского отталкивания в потенциале.
Поведение обменной поправки (12) в зависимости от плотности электронов р = 〃(戸)при различных значениях температуры приведено на рис. 3.9. Там же для сравнения приведены результаты использования интерполяционной формулы из [202]
匕:俨)= [1-А2 (г)] j (”)+ ус 审， (13)
28s
где A(r) = /с ° / 、、°/q . Формула (13) при Т = 0 дает выражение 匕* полученное Слэтером [209]:
Рис. 3.9. Обменная поправка Кх(а) к потенциалу в зависимости от электронной плотности р = а(т) при различных температурах Т = 0,01; 0,1; 1 кэВ. Сплошная линия — выражение (12), штриховая линия — формула (13)
При Г = 0 по формуле (12) имеем Кх = (Зр/тг)1//3, что находится в соответствии с результатами [153, 162] и отличается от выражения Слэтера коэффициентом 3/2. Это является следствием применения вариационного принципа при получении Кх в отличие от работы [209], где аппроксимировался обменный член непосредственно в уравнениях Хартри-Фока. Анализ различных приближений для обменной поправки при Г = 0 содержится в книгах Слэтера [100], а также Кауэна [134, гл. 8]. При Т # 0, как видно из рис. 3.9, формула (12) дает более плавную зависимость Кх от 〃(丁), чем интерполяция (13), причем при высоких температурах в обоих случаях Кх —亨•
и
Как будет показано, вариационный принцип дает более близкие к решениям уравнений Хартри-Фока волновые функции, чем использование других приближенных методов. Заметим, что для одночастичных уровней энергии результат может быть иным, однако использование полученных по модели Хартри-Фока-Слэтера волновых функций и приближения Хартри-Фока для уровней энергии ионов позволяет значительно уточнить результаты.
Уравнения модели Хартри—Фока—Слэтера с использованием квазиклассического приближения для электронов непрерывного спектра. При решении системы уравнений (4)-(8) требуется, вообще говоря, вычислять волновые функции всех возможных состояний, в том числе и для непрерывного спектра. Количество таких функций может быть очень велико. Так как для электронов с большими квантовыми числами хорошие результаты дает квазиклассическое приближение, то для упрощения расчетов естественно использовать квазиклассическое приближение для состояний электронов, энергия которых больше некоторой величины £о, как это уже было сделано
для модели Хартри в § 1. Величину £° можно считать эффективной границей непрерывного спектра.
При высоких температурах в связи с ионизацией средние числа заполнения для для высоковозбужденных состояний очень малы, и если при этом радиус среднего ионного остова много меньше размеров атомной ячейки, т.е. г* 《丁о, то вопрос о выборе £° в практических расчетах решается достаточно просто после вычисления средних чисел заполнения N九纟(например так, как это было сделано для модели Хартри в § 1).
При использовании рассмотренного в § 2 вариационного принципа достаточно предусмотреть, чтобы при выборе £° число состояний, не принадлежащих непрерывному спектру, не изменялось при варьировании, в результате которого получаются уравнения (4)-(8), т.е. чтобы связанные состояния не переходили через фиксированную границу £° при малых изменениях чисел заполнения и волновых функций, или, другими словами, чтобы не появлялись дополнительные дискретные СОСТОЯНИЯ при £ < £о・
Рассмотрим этот вопрос более подробно [86]. Выражение для одночастичной энергии £〃 в модели Хартри-Фока-Слэтера имеет вид
%⑷因,%⑷因,
%⑷因,
%⑷因,
где согласно (6),⑺
V6 = VgT”嗎.V6 = VgT”嗎.(14)(14)
V6 = VgT”嗎.
V6 = VgT”嗎.
(14)
(14)
В квазиклассическом приближении энергия электрона определяется по формуле £〃 = £(q,p) = £ =夕？/2 — V(г)(万一импульс электрона).
HFSU , считая,HFSU , считая,динамического потенциаладинамического потенциалачто квазиклассические сочто квазиклассические соВоспользуемся указанным приближением при вычислении термо
HFS
U , считая,
HFS
U , считая,
динамического потенциала
динамического потенциала
что квазиклассические со
что квазиклассические со
стояния с энергией £ 〉£° заполнены с неизвестной пока функцией распределения n(Q,^), 0 < n(q,万)< 1. В связи с этим в последующих формулах суммирование по дискретным уровням будем проводить для состояний с энергией £〃 < £о, а интегрирование no q и 万一для состояний с энергией £ = £(d万)〉£。・ Заметим, что в дальнейшем при проведении варьирования, хотя £° фиксировано, могут добавляться
или исчезать члены в суммах по 沙,так как условие £〃 < £о меняется на £〃 +(fe〃 < £о. Вариация fc^ определяется при этом независимыми вариациями ^y(q), пу и n(q,p). Чтобы можно было формально прово
дить суммирование и интегрирование по всем состояниям, введем для
упрощения записи ступенчатую функцию
[О (/< 0).
Обозначим соответствующий термодинамический потенциал через Q (во)-Используя формулу (12) из § 2 и применяя квазиклас- сическое приближение при £〉£о, получим
а"“%о)=£О(£о/ C(Q)(-；△)賑(q)dq +
+ "口一 0(£。- ^}\^P)^■黑^歯 一 /OS)%俨)dq +
+ e£0(£o 一 £")^" in71” + (1 一 九" )in(i — 九")]+
+ 8 〃[1 - O(£o - £)] [nInn + (1 - n) ln(l -初(^3 dq -从/，(G 歯・
Здесь %(q), n^, n = n(q,p) — неизвестные функции, подлежащие определению,
為）二^＞鱼 Y〃%|%（q）『 +/[-0鱼一）]九（4⑨券.（15）
Проводя варьирование 口““‘鱼)при условии /|%(q) 12 dq = 1 и используя для вычисления Sp(q) формулу (15), получим
8俨S8俨S也(q)%(q)歯也(q)%(q)歯
8俨S
8俨S
也(q)%(q)歯
也(q)%(q)歯
=5>力鱼-⑦/^(q)*△―⑺+ ^-%(4)歯+
+亠+亠+£ 阮〃0（£0—£〃）C（Q）+£ 阮〃0（£0—£〃）C（Q）賑(q) dq + ein賑(q) dq + ein一丄△-一丄△-八〃八〃26n[L — O(£o — £)] —『俨)+ 8hl26n[L — O(£o — £)] —『俨)+ 8hl++几""鱼-⑦/也⑷нл ■『⑺+ ^ - "卜%⑷dq +
+亠
+亠
+£ 阮〃0（£0—£〃）C（Q）
+£ 阮〃0（£0—£〃）C（Q）
賑(q) dq + ein
賑(q) dq + ein
一丄△-
一丄△-
八〃
八〃
2
6n[L — O(£o — £)] —『俨)+ 8hl
2
6n[L — O(£o — £)] —『俨)+ 8hl
+
+
+ £ Ь"(£о - £〃)口八〃 In 八〃 + 8(1 -八〃)ln(l - П") - /ш〃] +
吵〃 (q) dq -吵〃 (q) dq -+ e 8O(£o - £")九" / 吵吃(4)(-5△-
吵〃 (q) dq -
吵〃 (q) dq -
— [[5P{e()— г) [^nlnn + в(1 — n) ln(l — n) — /in] dq —J J(27Г尸
(16)(16)一〃 b0（е0一£）（^—『（戸））八g，万）^^歯=0.
(16)
(16)
Величина 60(£。— £〃) может отличаться от нуля в интервале £о —(fe〃 < £〃 < £о (при этом ⑺=1 или 5/3 = —1), что соответствует дополнительным членам в сумме по 沙,которые появляются из-за изменения энергий £〃 при варьировании. Соответственно величина 80(£о — е) отлична от нуля в интервале £о — Ье < £.
Для выполнения условия минимума Q (£о) потребуем равенства нулю множителей при вариациях J^*, Jn^, Sn и равенства нулю выражения, содержащего Sf3. Приравнивая нулю множитель при J^* (q) (или при 8吵〃(4)), получим уравнения модели Хартри-Фока-Слэтера с квазиклассическим приближением
一；△ 一『（戸）］吵"（4）= e"吵"（4）,（17）
где £〃 = —Ку/пу + 从,а потенциал V(г ) определяется по формуле (14).
Требование равенства нулю множителей при 8пу и Sn(q,p) приводит к соотношениям
(18)(18)1
(18)
(18)
1 + exp —-—
八④汾=1 + ехр — (7八④汾=1 + ехр — (7(19)(19)
八④汾=
1 + ехр — (7
八④汾=
1 + ехр — (7
(19)
(19)
Воспользовавшись равенствами (17)-(19), а также являющимися следствиями (18)-(19) соотношениями
—яhlnn^,С7—яhlnn^,С7—+lnn,—+lnn,Пу In 71〃 + (1 - Пу) 1п(1 - П^) = (1 - Пу)
—яhlnn^,
С7
—яhlnn^,
С7
—+lnn,
—+lnn,
nlnn + (1 — n) ln(l — n) = (l — n)
из (16) получим
〉:b"(£o —£〃)(£〃 一 /z + eiii72〃)—
一 S^so -£)[£-// + 0\nn(q,p)] dq = 0. (20)
Так как вариации ⑺鱼一£〃)и ⑺鱼一£)могут быть отличны от нуля лишь при £〃 = £о и £ = £о соответственно, то в (20) можно вынести общий множитель
4(£о) = Sq - ^ + 0\п£〃 .
1 + exp —-—
В результате получим
4(£о)8 £О(£о — £〃)—/У "(£。— £)^^ 歯=0.(21)
Условие термодинамической согласованности. Первый член в квадратных скобках (21) определяет квантовомеханическое выражение для количества одноэлектронных состояний с энергиями £〃 < £о：
/1(^0)= £о(£о
Второй член — соответствующее выражение для количества состояний в квазиклассическом приближении:
力鱼)=0(£。- e)(27r)3 歯・
Физический смысл условия (21) заключается в том, что при использовании различных приближений для описания электронов число учитываемых состояний не должно меняться с изменением £о, т.е. при увеличении числа дискретных состояний на такое же количество должно уменьшиться число состояний, учитываемых в квазиклассическом приближении, и наоборот.
В соответствии с (21) имеем
/1(£о) —/2(£о) = Со,(22)
где Со — некоторая постоянная, которую можно определить, анализируя асимптотики при £° —> сю и при £о —> —сю. Действительно,
/1(—сю) = /2(—00) = 0, а при во -> о© имеет место приближенное равенство /1(£о) = /2(^0), так как квазиклассическое приближение при больших энергиях электронов становится точным. Отсюда следует, что Со = 0.
Таким образом, дополнительно к уравнениям (17)-(19) модели X①С с квазиклассическим приближением имеем уравнение для определения £о：
£О(£о—/ / — ° 歯=0. (23) 优 J J 尸
Типичное поведение функций 九鱼)и /2(^0) приведено на рис. 3.10 (Z = 26, Т = 15 эВ, р = 15,64 г/см3). Решениям (23) соответствуют
Рис. 3.10. Число состояний с энергией £ < £о： /1(£о)——квантовомеханический расчет (сплошная линия); /2(^0) — квазиклассическое приближение (штриховая линия)
точки пересечения функций Д и /2- Таких решений может быть много, однако всегда существуют два основных. Первое решение £о = сю соответствует чисто квантовомеханическому расчету, когда для всех электронных состояний решается уравнение Шрёдингера (17) и вычисляются волновые функции. На практике достаточно учитывать состояния с энергией £〃 < £о, где £о определяется с помощью (21) из условия 4(£о) + 0, т.е. ехр((£。一从)/8)》1. При этом для средних чисел заполнения уровней с энергией £〃 > £° имеем по формуле (18) 71〃《 1. Второе решение £о = —сю соответствует приближению Томаса- Ферми (с учетом обмена по формуле (7)), когда для всех электронных состояний используется квазиклассическое приближение. Если при этом пренебречь обменом, то из (14), (15) и (19) получим уравнения модели Томаса—①ерми.
Практическое значение условия (21) проявляется при проведении расчетов в достаточно широкой области температур Т и плотностей р [82].
В этом случае, если не требовать выполнения (21), то при некоторых значениях Тир может происходить переход дискретных уровней через £ = £о, что приводит к резкому изменению термодинамических функций. Особенно сильно это проявляется для давления, которое является производной от свободной энергии. Такое неплавное поведение термодинамических функций не имеет физической интерпретации и обусловлено лишь применением различных приближений в модели при £〉£о и £ < £о. При выполнении условия (21) такого рода некорректности устраняются и поведение термодинамических функций становится плавным. Влияние выбора £о на результаты расчетов рассмотрено более подробно в гл. VI, посвященной уравнениям состояния.
На основе вариационного принципа, использованного в настоящей главе, нам удалось уточнить и обобщить модель Хартри из § 1. Полученная в результате модель самосогласованного поля Хартри-Фока- Слэтера для среднего атома имеет гораздо более широкую область применимости, чем модель Томаса-Ферми. Заметим, что на основе модели Хартри-Фока-Слэтера, используя одноэлектронные волновые функции при построении базиса для волновых функций ионов, можно проводить дальнейшее уточнение модели при рассмотрении различных процессов в плазме.
Глава IV
МОДЕЛЬ ХАРТРИ-ФОКА-СЛЭТЕРАДЛЯ СРЕДНЕГО АТОМА
Система уравнений Хартри—Фока—Слэтерав сферической атомной ячейке
Самосогласованное поле Хартри—Фока—Слэтера. Система уравнений (14)-(19) из § 3 гл. III позволяет в принципе получать волновые функции 2a(q) при заданном положении ядер и заданном значении химического потенциала 从,который определяется из условия электронейтральности системы электронов и ионов в веществе. Однако реально провести вычисления для исходной системы уравнений, очевидно, невозможно. Поэтому, как и в моделях Томаса- Ферми и Хартри, вместо потенциала V(г) при заданном положении ядер будем находить средний потенциал вблизи рассматриваемого ядра, осредняя V(г) по различным положениям других ядер. При отсутствии выделенного направления средний потенциал естественно считать сферически симметричным. Полагая, что в приближении среднего атома одноэлектронные состояния со спином вверх и вниз заполнены одинаково, можно провести суммирование по ст в формулах гл. III, что приводит к замене q на г, dq на 2d% 〃(q) на р(г )/2.
Частные решения уравнения Шрёдингера в центрально-симметричном потенциале V (г) при заданном значении энергии £&=£ имеют вид
必师俨)=(1) г
где радиальная функция Я£^(г) удовлетворяет уравнению
-|^(г)+ —『(丁) + ^|^ Rd* =(2)
При г = 0 для радиальной функции должно быть выполнено граничное условие Я£^(0) = 0. При постановке условий на границе ячейки возможны различные подходы. Рассмотрим сначала случай высоких температур и сравнительно малых плотностей, когда ионный остов составляет малую часть объема атомной ячейки и состояния для электронов так называемой промежуточной группы фактически не заполнены. В этом случае граничные условия при г = го ставятся для связанных и свободных состояний так же, как это делалось в § 2, 3 гл. II. Такой подход дает возможность проведения расчетов росселандовых пробегов, спектральных коэффициентов поглощения фотонов и
уравнений состояния в широкой области температур и плотностей по модели Хартри-Фока-Слэтера, используя вычислительный алгоритм модели Хартри из § 1 гл. III. Для этого достаточно добавить обменную поправку Кх (丁) в формулу (9) для потенциала V (г).
Уравнения модели Хартри-Фока-Слэтера для среднего атома в этом приближении имеют следующий вид. В электронной плотности р(г) вклад наиболее существенных связанных состояний при е < во вычисляется по волновым функциям, а для остальных состояний используется квазиклассическое приближение:
0（丁）=内（丁）+，2（丁）,
где
内(丁)=三^ e 砲(丁)，NnQ = —
⑶⑶⑷⑷他（丁）=他（丁）=(28)3/2 27r2(28)3/2 27r2УоУо1 + exp 丿1 + exp 丿% =加(丁)= max〈 0;% =加(丁)= max〈 0;V (г) + £оV (г) + £о⑸⑸1 + exp “
⑶
⑶
⑷
⑷
他（丁）=
他（丁）=
(28)3/2 27r2
(28)3/2 27r2
Уо
Уо
1 + exp 丿
1 + exp 丿
% =加(丁)= max〈 0;
% =加(丁)= max〈 0;
V (г) + £о
V (г) + £о
⑸
⑸
гдегде卜（丁）=k（n+ 匕х（丁）,卜（丁）=k（n+ 匕х（丁）,Vc(r) =47rгVc(r) =47rггго'丄/ г'2p(r') dr1 + / r'p(r') dr1 оr.гго'丄/ г'2p(r') dr1 + / r'p(r') dr1 оr.匕x(?)=匕x(?)="，(丁) L 丄 H 7 ，6~~Г [1 + 5；必I"，(丁) L 丄 H 7 ，6~~Г [1 + 5；必I++六园叫Г33 > J六园叫Г33 > J⑺⑻⑼⑺⑻⑼
где
где
卜（丁）=k（n+ 匕х（丁）,
卜（丁）=k（n+ 匕х（丁）,
Vc(r) =47r
г
Vc(r) =47r
г
гго'
丄/ г'2p(r') dr1 + / r'p(r') dr1 оr.
гго'
丄/ г'2p(r') dr1 + / r'p(r') dr1 оr.
匕x(?)=
匕x(?)=
"，(丁) L 丄 H 7 ，6~~Г [1 + 5；必I
"，(丁) L 丄 H 7 ，6~~Г [1 + 5；必I
+
+
六园叫Г3
3 > J
六园叫Г3
3 > J
⑺
⑻
⑼
⑺
⑻
⑼
Химический потенциал 从 определяется из условия электронейтральности атомной ячейки:
⑹
В потенциале V (г) в дополнение к кулоновской части К (г) учтена обменная поправка 忆(丁)：
Эффективная граница непрерывного спектра £о определяется из уравнения
/[тах{О,£о +『(>)}] / 户办= £2(22+1) (£^<£о).(10)
0
По сравнению с рассмотренной в § 1 гл. III моделью Хартри в модели Хартри-Фока-Слэтера, во-первых, учтены обменные эффекты, и во-вторых, дополнительное условие (10) дает возможность выбрать оптимальное с точки зрения объема вычислений и получаемой точности
Таблица 4.1. Уровни энергии ^九纟^ в эВ и средние числа заполнения Nn^j по релятивистским моделям Хартри и Хартри-Фока-Слэтера для плазмы железа при температуре Т = 100 эВ и плотности р = 0,1 г/см3. По модели Хартри средний заряд иона Z。= 14, 06, по модели ХФС — Zq = 13, 85
п £ j
Хартри
X①e
Хартри
X①e
101/2
7194
7534
2,000
2,000
201/2
211/2
1142
1247
1,991
1,997
1031
1144
1,972
1,991
213/2
301/2
1020
1132
3,937
3,979
379,6
395,9
0,188
0,215
311/2
313/2
346,3
363,1
0,139
0,160
344,7
361,0
0,273
0,313
323/2
296,3
313,6
0,173
0,201
325/2
401/2
296,0
313,1
0,259
0,300
168,1
171,7
0,025
0,025
411/2
413/2
155,0
158,8
0,022
0,022
154,5
158,2
0,043
0,044
423/2
425/2
136,5
140,5
0,036
0,037
136,4
140,4
0,054
0,056
435/2
437/2
128,9
127,0
0,050
0,049
128,8
126,9
0,067
0,065
501/2
81,31
82,37
0,010
0,010
511/2
513/2
75,01
76,24
0,010
0,010
74,79
76,00
0,020
0,020
523/2
525/2
66,18
67,57
0,018
0,018
66,12
67,51
0,027
0,027
535/2
537/2
62,26
61,17
0,026
0,025
62,24
61,14
0,035
0,034
547/2
549/2
60,49
58,29
0,034
0,033
60,47
58,28
0,043
0,041
значение £о, так как с уменьшением £° объем вычислений сокращается, хотя при этом может уменьшиться точность (см. § 3 из гл. III, п. 4).
В рассматриваемом приближении малых плотностей условия термодинамической согласованности (10) будут выполнены, если величи-
на £о будет удовлетворять неравенству
^п£ < ^0 < ^п+1,£
при всех 2 для некоторого значения n = nmax. Это следует из того, что левая часть уравнения (10) является плавной функцией £о, в то время как зависимость от £° в правой части имеет ступенчатый характер (см. рис. 3.10). Выбранное значение n = nmax в процессе вычислений остается неизменным.
В табл. 4.1 приведены уровни энергии и средние числа заполнения, вычисленные по модели Хартри и по модели Хартри-Фока- Слэтера для плазмы железа при температуре Т = 100 эВ и плотности р = 0,1 г/см3. В расчетах использовался релятивистский вариант моделей Хартри и Хартри-Фока-Слэтера (см. п. 4 из § 1 гл. III). Из таблицы видно, что средние числа заполнения за счет обмена могут измениться на 〜10 %.
Периодические граничные условия в приближении усредненных сферических ячеек. При увеличении плотности вещества в состояниях промежуточной группы (см. § 1 гл. II) может оказаться некоторое количество электронов, поэтому в общем случае необходим учет зонной структуры энергетического спектра электронов. В частности, приближенный учет зон в модели среднего атома был проведен в работе [202] с помощью двух граничных условий, определяющих ширину зоны:
=0 для нижнего края зоны,
(11) для верхнего края зоны.
Кроме условий (11), необходимо знать распределение электронов по энергиям в пределах зоны, т.е. плотность состояний, которую обозначим через w(e) (см. § 3 из гл. II). В [202] в дополнение к (11) предполагается
— ~ дА — £1, (12)
где £] — нижний край зоны разрешенных энергий.
Приближение (11), (12) справедливо лишь для достаточно узких зон, когда их ширина гораздо меньше расстояния между соседними уровнями. Для широких зон это приближение может приводить к неверным результатам как для расположения полос, так и для их заполнения (см. [77]).
Более точные результаты при постановке граничных условий при г = го с учетом зон может дать подход, основанный на известном в физике твердого тела методе ячеек Вигнера-Зейтца [43, 59]. Использование этого метода оправдано лишь при достаточно больших плотностях вещества. Заметим, что при малых плотностях результаты практически не зависят от полученных таким путем граничных условий, и поэтому их можно использовать при всех значениях температуры и плотности, учитывая при этом, что если ширина зоны много меньше расстояния между уровнями, то такие состояния можно рассматривать как дискретные.
Так как физические условия при переходе из одной ячейки в другую в среднем не меняются, то при формулировке граничных условий, соответствующих среднему потенциалу V (г), естественно исходить из предположения о периодической структуре по любому выделенному направлению и в качестве граничных условий для функции Фа(г) использовать условия, вытекающие из трансляционной симметрии. При г = го имеем
Отсюда следует, что
где к — произвольный вещественный постоянный вектор (квазиимпульс) ,巾&^(戸)一периодическая функция. Из условия периодичности функции 巾&^(戸)и непрерывности ее производной получаем граничные условия при г = го для функции 3&(戸)(см. также [186, 26]):
'е-^ФДг) = в^ФД-г) (网=丁。)，
< (13)
J# ⑺=_"尸一戸)(网=丁。)■ ' а 丁 dr
Эффективная обратная ячейка в /^-пространстве будет в этом приближении также сферической, а ее объем равен (2тг)3/ ((4/3)7rrQ), откуда следует, что величина |^| - го, в дальнейшем обозначаемая через к, может принимать значения
0 < А; < А;о = 2,418.
Волновую функцию 3&(戸)будем искать в виде суперпозиции частных решений вида (1), учитывая, что £ = £(к) и при заданном значении квазиимпульса к сохраняется проекция т орбитального момента 2 на
ось г (при решении поставленной задачи в сферических координатах удобно направить полярную ось вдоль вектора квазиимпульса к):
3&⑺=£ М An2m,i(k)田“,mg.(14)
£'>т
Здесь а = n^m обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих состояние электрона при заданном значении к (числа п^ определяют уровень, в который переходит зона при уменьшении плотности вещества, см. ниже), множитель 八 введен для того, чтобы коэффициенты А^2m田(衣)были вещественными.
Таблица 4.2. Коэффициенты Л.九纟7n,“(к) в зависимости от 0 при различных значениях к. Расчет проведен для железа в потенциале ТФ при Т = 0, р = 7,85 г/см3 (ш = 0, п = 4, 2 = 2)
k 夕
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,418
0
0,000
-0,081
-0,270
0,490
0,720
0,900
1
0,000
0,390
0,620
-0,660
-0,530
-0,084
2
1,000
-0,890
-0,660
0,400
0,170
0,170
3
0,000
-0,190
-0,330
0,380
0,360
0,330
4
0,000
0,017
0,065
-0,130
-0,190
-0,210
5
0,000
-0,001
-0,008
0,030
0,067
0,092
6
0,000
0,000
0,000
-0,005
-0,017
-0,028
7
0,000
0,000
0,000
0,000
0,004
0,009
8
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,001
Как показывают расчеты, коэффициенты А^2m田(衣)быстро убывают с ростом 0 (см., например, табл. 4.2). На практике нет необходимости учитывать состояния электронов с орбитальными моментами 0, для которых отсутствует классическая область движения в пределах атомной ячейки. Поэтому далее будем полагать 0 < ^тах.
Волновые функции W&(戸)будем нормировать обычным образом/ |Фа(г )|2 df= 1.
Этому условию можно удовлетворить, если потребовать выполнения равенств
疋е (г) dr = 1,£ A岩=1.
qГ=т
Коэффициенты А^2m田(衣)можно найти, воспользовавшись граничны-
ми условиями (13). В дальнейших преобразованиях учтем, что
Ф^т(-Г)=Ф^т(-Г)=ГГ及e （丁）匕,加比一仇7?+夕）=及e （丁）匕,加比一仇7?+夕）=&e （丁）匕，加（仇夕）.&e （丁）匕，加（仇夕）.
Ф^т(-Г)=
Ф^т(-Г)=
Г
Г
及e （丁）匕,加比一仇7?+夕）=
及e （丁）匕,加比一仇7?+夕）=
&e （丁）匕，加（仇夕）.
&e （丁）匕，加（仇夕）.
Подставляя разложение (14) в условия (13), умножая (13) на 〃—"'Y^lm(^^ (р) и интегрируя по угловым переменным, получим
〉:AnQm,。" (kjcimp” (k)gp” (е) = 0 (2 = ш, ш + 1, ..., ^тах),(15)
2〃=7n
где
(16)(16)если 0 нечетно;
(16)
(16)
, если 0 четно.
Т=го
Коэффициенты
аз«%=' /Y；m^^Y£//m^^e~ikco^dn (17)
могут быть выражены через коэффициенты Клебша-Гордана с помощью разложения e~^cos^ по сферическим гармоникам.
Система (15) имеет нетривиальные решения, если определитель системы равен нулю. Из этого условия мы получаем возможные значения энергии £九纟加(衣).Так как при к=0
a772ё2〃 (0) = be2"，
то уравнения (15) при к=0 будут удовлетворены, если R; (г。) =。(^ —
нечетно) или — (Я££/ (г)/г)= 0 (卩一четно) при некотором 0=4
d 丁=
(при этом An£m^i (0) = Ь〃〃). Значения £, удовлетворяющие этим условиям, обозначим через £九纟,где п — главное квантовое число, соответствующее тому, что функция Я££(г) имеет п — ^ — 1 нулей на интервале (0, го). В связи с этим квантовые числа п и ^ определяют энергию £九厶 которая соответствует краю полосы А; = 0 энергий £ = £(к). Именно эти квантовые числа будут определять дискретный уровень, в который переходит зона при уменьшении плотности вещества.
Электронная плотность и атомный потенциал в модели Хартри—Фока—Слэтера с учетом зон. При заданных значениях п, £ и т число электронов N(e, к), находящихся в состояниях от к до
k + dk)с точностью до нормировочного множителя равно N(e)4：7rk2 dk, где
2
N(<S)=戶—〃 ，£ = ^n£m (^) •
l + exp^
Так как en£m = £п£-т,厶九纟加①=Лп£ _т^, то в дальнейшем можно считать т >0, вводя в формулу для N(e, к) дополнительный множитель Ь/72 :
Sm =Sm =m = 0,
Sm =
Sm =
m > 0.
Учитывая нормировку в фазовом пространстве ^, окончательно получаем
…7т、4灰衣2 dk曲 ⑵(4/3)
Расчет энергетического спектра и волновых функций по формулам (14), (15) проводится для значений энергий электронов е < во - При вычислении электронной плотности 〃i (丁) суммирование по связанным состояниям выполняется по формуле (4). Суммирование по состояниям промежуточной группы необходимо заменить суммированием по квантовым числам п,厶 m,卩 и интегрированием по квазиимпульсу к. Формула для 〃1 (丁) принимает вид
n£nQm 岩 qn£nQm 岩 q£m,Г (衣)笈％ (丁) Р•儿0
n£nQm 岩 q
n£nQm 岩 q
(18)
Здесь в первом члене в квадратных скобках суммирование по тг2 проводится для связанных состояний с энергией £九纟 < £о, а суммирование по n^m, ^ и интегрирование по к во втором члене проводится по СОСТОЯНИЯМ промежуточной группы С учетом ТОГО, ЧТО £п£т(к) < £о・
Формулы для 〃2(丁) и V(г) остаются прежними (см. формулы (5)—(9)), а уравнение (10) для определения £° несколько усложняется:
警 /[max{O,€o + VO)}]"?户《г = £2(20+1) + £ /зб/ 叱
qn£n£m qU
(19) Здесь, как и в (18), суммирование по квантовым числам п£, п£т и интегрирование по квазиимпульсу к проводится для состояний с энергией £ < £q.
Релятивистская модель Хартри—Фока—Слэтера. Для учета релятивистских эффектов вместо гамильтониана системы электронов (3) из § 2 гл. III в соответствии с [145] следует рассматривать гамильтониан
(20)(20)
(20)
(20)
где乙_ 乙
斤产=cdp +(?P -Va{ri),
Вц =Вц =12后一引12后一引庆歹+庆歹+（庆•仍一百））（亏•仍一百））一 \ri~rj\.（庆•仍一百））（亏•仍一百））一 \ri~rj\.
Вц =
Вц =
1
2后一引
1
2后一引
庆歹+
庆歹+
（庆•仍一百））（亏•仍一百））一 \ri~rj\.
（庆•仍一百））（亏•仍一百））一 \ri~rj\.
Поправки Hem, Hmt связаны с эффектами поляризации вакуума и
взаимодействием с радиационными полями; р = —/V, операторы а и 0 выражаются через матрицы Паули 汙(см. дополнение, § 2).
Использование одночастичного приближения в релятивистской кван
товой теории вызывает серьезные методологические трудности, так как понятие одной частицы в релятивистской системе с взаимодействием, строго говоря, не может быть введено. Тем не менее, вводя дополнительные приближения, можно использовать одночастичное представление, аналогичное рассмотренному в § 2 гл. III. При этом полные волновые функции представляются в виде разложения по
одноэлектронным состояниям с определенными значениями полного момента электрона J и его проекции т на ось г.
Для получения уравнений Хартри-Фока-Слэтера с учетом реля
тивистских эффектов необходимо проделать выкладки, аналогичные тем, что были проделаны в гл. III, заменяя оператор —(1/2)Д в соответствии с (20) на —ic衣 + 廿仪 Учитывать при этом поправки, связанные с магнитным взаимодействием (брейтовские поправки В叮)， а также поляризационные Hint и радиационные поправки Нет в до
статочно грубом приближении среднего атома не имеет смысла. При необходимости их можно учесть в рамках теории возмущений при
проведении расчетов детальных характеристик атома, например, при вычислении положения спектральных линий индивидуальных состояний ионов в плазме.
В результате уравнения релятивистской модели Хартри-Фока-Слэтера получаются из уравнений (15)-(19) из § 3 гл. III при замене уравнения Шрёдингера на уравнение Дирака
^-zcdV + с2^- V⑺]賑(q) = £〃％(q),(21)
где под V понимается совокупность квантовых чисел п, 2, J, т, а ^y(q) представляет собой четырехкомпонентный спинор. Для nv остается справедливой формула (18), при этом дискретная часть электронной плотности (18) вычисляется с учетом тонкой структуры уровней.
Функция распределения электронов непрерывного спектра n(q,万) также становится релятивистской, однако в ней, как и в обменном члене, мы будем пренебрегать релятивистскими эффектами, так как их влияние на эти величины мало.
В сферической ячейке в соответствии с § 2 дополнения имеем
^n£jm(Q)= ~^n£jm(Q)= ~I尸匕g(仇⑺Хт。)，
^n£jm(Q)= ~
^n£jm(Q)= ~
(—1)Ум・б£СМ ^门―Гу®,(仇⑺к®。), 、ту ms
(22) где Fn^j(r\ Gn£j(r) — большая и малая радиальные части волновой функции, J — квантовое число момента электрона, т — проекция J на ось z (2 = з•土 1/2, 0 = 2/ —厶衣=(2 —0 + 1)/2).
При расчете свойств вещества, как правило, можно решать уравнение Дирака лишь для внутренних оболочек тяжелых элементов, где релятивистские эффекты наиболее велики, а в остальных случаях удобно воспользоваться приближением Паули [134]. Это позволяет оставить без изменений рассмотренный в п. 2 метод постановки периодических граничных условий, так как в приближении Паули для радиальных частей волновых функций, как и в нерелятивистском случае, решается уравнение Шрёдингера с учетом релятивистских поправок к потенциалу V(г). При рассмотрении внутренних электронов, где используется уравнение Дирака, можно считать, что релятивистские одноэлектрон
ные уровни энергии являются дискретными и не учитывать зонную структуру спектра этих уровней.
Такой подход приводит к тому, что вместо уравнения Шрёдингера (2) для внутренних оболочек используется уравнение Дирака
-耳()=_^房g(/)+Q 蒜+e九叮 +『(/)G九"(丁)，
</‘"(23)
、"G% (丁)= 争皿m -Q [e九"+『(丁)]已"(丁)，
где X = —2(/ — 2)(/ + 1/2). Для более высоких уровней, в том числе и для состояний промежуточной группы, применяется приближение
Паули:
-|^(г)+ —『(/) —%(丁)+ 幺巽 Rd* = &R.”(24)
^ ( r. ,2 _ &0『(n［笈*(丁)/笈曼(丁)一 1/h
1 +吗£ +『(叩/4
Итерационный метод решения системы уравненийХартри—Фока—Слэтера
Основы алгоритма. На практике требуется проведение расчетов уравнений состояния и коэффициентов поглощения фотонов в веществе в широкой области температур и плотностей (около 500-1000 точек на плоскости Т, р для каждого вещества). Поэтому большое значение имеет построение эффективного алгоритма решения системы уравнений для модели Хартри-Фока-Слэтера и ее модификаций, рассмотренных в § 1.
Итерационный процесс вычисления последовательных значений V^ (г) при решении системы уравнений Хартри-Фока-Слэтера аналогичен итерационному процессу решения системы уравнений Хартри, описанному в § 1 гл. III. Отметим некоторые особенности вычислений.
Расчеты без учета зон не представляют затруднений, причем эффективность вычислительных алгоритмов не уступает алгоритмам для модели Хартри. При очень малых плотностях вещества требуется определенное внимание к выбору сеток, однако можно значительно упростить вычисления, воспользовавшись приближением постоянной плотности для электронов непрерывного спектра (см. далее, п. 4). Наиболее трудоемким является расчет зонной структуры энергетического спектра и волновых функций для электронов промежуточной группы состояний. Соответствующие алгоритмы подробно описаны в п. 2.
Важное значение для сходимости итераций по потенциалу как для модели Хартри, так и для системы уравнений Хартри-Фока-Слэтера, имеет условие сохранения электронейтральности атомной ячейки в процессе итераций. Аналогичную роль в сходимости итераций играет дополнительное условие (10) из § 1 для определения параметра £о (или условие (19) для варианта модели с учетом зон). Роль этих условий для сходимости итераций проясняется в случае малых плотностей вещества. При этом оказывается, в частности, что число учитываемых в формуле (4) из § 1 дискретных уровней не должно меняться в процессе итераций.
Расчет зонной структуры спектра электронов. Зонная структура спектра электронов в веществе, т.е. зависимость допустимых
значений энергии электронов £ от квазиимпульса к, в принятом приближении при заданных п, £ и т определяется из условия существования нетривиального решения Ап£т^ системы уравнений
〉:Ап2т,е"ат^е” (k)ge‘e“(£)= 0(2 = ш, ш + 1, ..., -^тах)•(1)
2〃=7n
Таким условием является условие равенства нулю определителя этой системы:
。的 £(k)) = det ||6Ws〃(k)勿2〃(е)|| = 0. ⑵ Прежде чем рассматривать методику расчета £(к), опишем процесс вычисления величин am?w (к) и д#* ®. Для расчета коэффициентов 。加«2〃(衣)по формуле (17) из § 1 воспользуемся разложением плоской волны по полиномам Лежандра, что дает
£ —Ck COS 少£ —Ck COS 少(—y(2£ + l)a(cos#Ji/2(—y(2£ + l)a(cos#Ji/2⑶⑶
£ —Ck COS 少
£ —Ck COS 少
(—y(2£ + l)a(cos#Ji/2
(—y(2£ + l)a(cos#Ji/2
⑶
⑶
где PL (ж) — полином Лежандра, Jb+1/2 (к) — функция Бесселя. Подставляя (3) в формулу (17) из § 1, получим
⑷⑷a7n«2〃(衣)=у^^^У^—(2L + ^JL+i/2(k)Dm£>£iiL^
⑷
⑷
где
DmQWL =PL^^Y^m{^^)Yvlm{^^) dQ =
z^£x0「0 m°L0 2〃oOo 2〃mz^£x0「0 m°L0 2〃oOo 2〃m/(2£ +1)(22〃+ 1)
z^£x0「0 m
°L0 2〃oOo 2〃m
z^£x0「0 m
°L0 2〃oOo 2〃m
V (2e + 1)
Формулы для C^£l,m приведены, например, в [24]. При вычислении Dm?Q"l вместо п! используются заранее вычисленные значения величин п!/10п, что ускоряет счет и позволяет избавиться от слишком больших чисел в процессе вычислений.
Суммирование по L в (4) лучше проводить в сторону уменьшения значений L, начиная с L = 0+2". Такой порядок суммирования уменьшает ошибки при вычислениях, так как члены ряда (4) убывают с ростом L. В связи с этим для вычисления функций Бесселя 丿工+1/2(衣) удобно применить рекуррентное соотношение
^П-1/2(^) = -^^厶+1/2(衣)-(+3/2(衣)(n =，+2" - 1,，+2" - 2,...).
Счет по формуле (5) устойчив к ошибкам округления. Для применения рекуррентного соотношения (5) необходимо иметь значения 丿工+1/2(衣) при L = 0 + 2〃 и L = 0 + 2〃 一 1. Их можно вычислить с помощью рядов для функции Бесселя. Заметим, что при больших £ и к《1 величина Jl+i/2^ может быть пренебрежимо малой, так как при малых к
J工+1/2（衣）—J工+1/2（衣）—(外二+1/2 (上 + 1)!
J工+1/2（衣）—
J工+1/2（衣）—
⑴дА(2£ + 2)!
В этом случае формула (5) применяется при L < Lmax < 0 + 2", а значения 丿工+1/2(衣)при L〉Lmax полагаются равными нулю (величина L = Lmax определяется, например, условием 丿工+1/2(衣)< Ю-20 ).
При решении системы уравнений Хартри-Фока-Слэтера необходимо уметь вычислять волновые функции Я£^(г) и их производные Я^(г) в широкой области значений параметров £ и 2. Для вычисления функций 笈£纟(丁) используется квадратичная интерполяция по энергии на основе вычисленных заранее волновых функций на некоторой сетке по £. Для выбора сетки воспользуемся результатами расчетов £(к) в предыдущей итерации. Так, если вычисленные ранее значения энергий £($)(к) s-й итерации по потенциалу удовлетворяют неравенству
то для проведения (s + 1)-й итерации значения сетки / выбираем таким образом, чтобы обеспечить достаточную точность в интервале (£夕)一 △%£『)+ △£), где △£ = 0, l|4s) - £刷・
При проведении первой итерации для определения величин £夕) и £%°)используются граничные условия в приближении (11) из § 1 и фазовый метод для решения уравнения Шрёдингера (см. § 5 дополнения) .При этом одно из значений 住夕)или £?), в зависимости от орбитального числа 2) совпадает с значением 41(о).
С ростом 2 зависимость волновых функций Я£^(г) от энергии £ становится более простой, поэтому при больших 2 имеет смысл воспользоваться более простыми формулами. Как оказалось, достаточную точность в этом случае дает применение линейной интерполяции по энергии.
Для вычисления разрешенных значений энергии £九纟加(衣),т.е. для решения уравнения (2), наиболее эффективным оказался метод секущих, причем детерминант D (к© вычислялся методом исключения Гаусса с выбором главного элемента. Высокая эффективность метода была достигнута за счет простоты вычисления детерминанта D(k, е), обусловленной использованием заранее вычисленных коэффициентов ат£>£" (к) и простых интерполяционных формул для 笈嵬(丁).
Некоторые результаты расчетов. В табл. 4.3 приведены значения рассогласованностей при вычислении потенциала Хартри- Фока-Слэтера для алюминия при плотности р = 0, 271 г/см3 и различных значениях температуры. Рассогласованность вычислялась по формуле △$ = max | V(s+1)(г)—『⑶(丁)| (ср. с (11) из § 1 гл. III).
Для температуры Г = 1 эВ и той же плотности (р = 0, 271 г/см3) на рис. 4.1 приведены графики потенциала V^ (г), умноженного на радиус. Фактически, уже третья итерация дает величины потенциала, близкие к решению. Высокая точность (△$ < 10-5) требуется лишь
Таблица 4.3. Рассогласованность (по модулю) в потенциале Хартри-Фока- Слэтера при проведении итераций (△$ = max |V($+i)(т)—『(§)(т)|) для алюминия при плотности р = 0, 271 г/см3 и различных температурах Т = 0, 1, 10, 100, 1000 эВ
6
Г = 0
Г = 1 эВ
Г = 10 эВ
Г = 100 эВ
Г = 1000 эВ
0
7,996 • 10-1
8,391 • 10-1
1,108 • 10°
3,229 • 10-1
1,099 • 10-1
1
2,337 • 10-1
2,229 • 10-1
3,438 • 10-1
3,005 • 10-2
1,916 • 10-2
2
5,506 • 10-2
4, 537 • 10—2
8,002 • 10-2
6,754 • 10—з
1,022 • IO"4
3
2,403 • 10-2
2,409 • 10-2
2,850 • 10-2
2,429 • 10-з
1,372 • 10-5
4
1,030 • io-2
9,990 • 10-з
1,449 • 10—2
1,728 • 10-4
6,851 • IO"7
5
5,548 • 10—з
5,032 • 10-з
7,691 • 10-3
4,129 • 10-5
6
2,281 • 10-з
2,220 • 10-з
3,967- 10-3
1,175 • 10-6
7
9,943 • 10—4
1,087- 10-3
2,015 • 10-з
8
5,050 • 10-4
4,865 • 10-4
1,016 • 10-з
9
2,425 • 10-4
2,516 • 10-4
5,093 • 10-4
10
1,176 • КГ 4
1,116 • 10-4
2, 547 • КГ 4
11
5,127-10-5
5,300 • КГ 5
1,272 • 10-4
12
2,572 • 10-5
2,429 • 10-5
6,350 • КГ 5
13
1,210 • 10-5
1,268 • КГ 5
3,171 • 10-5
14
6,434 • 10-6
6,124- 10~6
4,524 • 10-6
Рис. 4.1. Последовательные итерации потенциала (tV(s)(t)) для алюминия при температуре Т = 1 эВ и плотности р = 0, 271 г/см3
квазиимпульса к для алюминия при плотности р = 2, 71 г/см3 и температурах
Г = 10 эВ и Г = 100 эВ
Рис. 4.3. Зависимость разрешенных энергий £п£т(к) от квазиимпульса к для алюминия при температуре Т = 1 эВ и плотностях р = 2, 71 г/см3 и р = 27,1 г/см3
Рис. 4.4. Верхний и нижний края полос разрешенных энергий для алюминия (min еп£т(к) и maxw^z7n(к) в атомных единицах) в зависимости от плотности р т,кт,ке с
в г/см° при температуре 7=0
при низких температурах при вычислении внутренней энергии вещества, которая в этом случае определяется разностью больших величин.
На рис. 4.2, 4.3 представлены результаты расчета разрешенных энергий £九纟加(衣)для алюминия при различных температурах и плотностях. Как видно из рисунков, расчет зонной структуры необходимо проводить лишь при высоких плотностях и низких температурах.
Особенно хорошо это видно из рис. 4.4, где приведены верхний и нижний края полос разрешенных энергий для алюминия, т.е. minеп£т(к) и maxеп£т(к), в зависимости от плотности р в г/см3. Расчеты проведены при температуре Г = 0, при увеличении температуры полосы быстро сужаются, а соответствующие уровни становятся дискретными.
Приближение постоянной плотности для свободных электронов в случае разреженной плазмы. При малых плотностях вещества практически вся атомная ячейка заполнена однородным электронным газом и при вычислении самосогласованных внутриатомных потенциалов требуется использовать специальные сетки, достаточно подробные вблизи ядра при г < г, где г — размер ионного остова, и менее подробные в остальной области г < г < го (го — радиус атомной ячейки). Применение специальных сеток усложняет схему расчета и требует постоянного контроля за точностью, что затрудняет проведение массовых расчетов. Кроме того, ограничение по плотности при этом не снимается. Поэтому имеет смысл воспользоваться приближенными аналитическими решениями, которые имеют место в этом случае.
Считая, что в плазме малой плотности свободные электроны вдали от ядра распределены равномерно, положим плотность электронов при г > г равной постоянной величине р(г) — р — 〃(户),где р(г)— плотность электронов.
Величина г определяется степенью ионизации плазмы и заполнением оболочек иона. Можно приближенно положить
弱 4/"max
где nmax — главное квантовое число последней частично заполненной оболочки, Z。— эффективный заряд ионного остова (средняя степень ионизации).
Вблизи ионного остова, т.е. при г < г, распределение электронов и самосогласованный потенциал будем вычислять по формулам (3)—(9) из § 1. В области 丁〉户,воспользовавшись постоянством электронной плотности, имеем
⑹⑹『(乃=К(丁)+ 匕х(?)(г < Г < Го),
⑹
⑹
гдегде3 г 1 / г2Т； + 2 U3 г 1 / г2Т； + 2 U⑺⑺Обменная поправка Кх вычисляется по формуле (9) из § 1 при р(г) = р.
где
где
3 г 1 / г
2Т； + 2 U
3 г 1 / г
2Т； + 2 U
⑺
⑺
Таким образом, требуется найти решение системы уравнений Хартри- Фока-Слэтера лишь при г < г, учитывая, что в этой области
^r2pdr = Z —夕,
где Z = 47r(吟—f3)p/3.
Выражения (6), (7) используются в дальнейшем при расчетах матричных элементов, когда необходимо знание электронной плотности и атомного потенциала во всей атомной ячейке.
Решение системы уравнений Хартри—Фока—Слэтерадля смеси веществ
Постановка задачи. Для смеси из N компонент с массовыми долями mi (г = 1,2,..., N) при заданной температуре 0 и средней плотности р радиус атомной ячейки г-й компоненты вещества определяется по формуле (см. § 3 п.1 из гл. I):
丁 о〃 = 1,388
где .〃 一 парциальная плотность, 4〃 一 атомный вес.
В соответствии с формулой (3) из § 3 гл. I
Ne矶
Кроме того, необходимо потребовать равенства химических потенциалов или электронных давлений каждой из компонент смеси. Заметим, что при достаточно высоких температурах и не слишком больших плотностях достаточно потребовать равенства химических потенциалов, при этом будут совпадать и другие равновесные характеристики,
а именно, электронные давления и электронные плотности на границах атомных ячеек.
В результате вычисление потенциалов 匕(г) для каждого из атомов смеси проводится с использованием электронных плотностей
科(丁) = риИ +，2e(丁),科(丁) = риИ +，2e(丁),⑵⑵
科(丁) = риИ +，2e(丁),
科(丁) = риИ +，2e(丁),
⑵
⑵
他々）=他々）=(28)3/2 27r2(28)3/2 27r2yoiyoi内伞)=£ 不^Nn0j,i [Fn£j,dr^ +G%^6] (£九切 <£o〃),
他々）=
他々）=
(28)3/2 27r2
(28)3/2 27r2
yoi
yoi
J”? dg
1丄(%(丁)+
1 + exp (g I
2/ + 1( Vi(r) + £oi
Nn£j,i = £Уог = max , 0;
l + exp'R 也I °
Волновые функции Fn£j^(r) и Gn£j^(r), значения энергии £九叮,〃 получаются в результате решения уравнений Дирака (21) из § 1 с потенциалами 匕(丁), которые определяются по формулам (7)—(9) с использованием электронной плотности рДг) и заряда ядра Z〃, соответствующих г-му элементу смеси (см. § 1).
Кроме того, каждая атомная ячейка должна быть электронейтральной:
Z〃 — Z°c (色)=〉：NnQjR (色)(^n£j,z < ^Ог),(3)
где
roi
Zuig =4"/ P2i(r)r2 dr.
О
Условия термодинамического равновесия имеют вид
Д^г — l^j — Ц (〃#/)•
Чтобы не усложнять изложение, мы рассмотрим уравнения для смеси и вычислительный алгоритм для случая сравнительно малых плотностей вещества, когда нет необходимости постановки периодических условий (13) из § 1. В то же время должны быть выполнены условия применимости ячеечного приближения, т.е. ионизация вещества должна быть достаточно высокой.
В рассматриваемом приближении малых плотностей условие термодинамической согласованности (10) будет выполнено, если величины £℃ будут удовлетворять при некотором п =八тах,с неравенствам
ЦДе ^n,i =£ NnQj,i&nQj,i / £ -^n£j,b Причем 71 ТЯКОб, ЧТО Nn^ =£ ^n£j,i《1 для всех элементов смеси (г = 1,2, ..., N). Выбранные значения птах?г в процессе вычислений остаются неизменными (см. п. 1 § 1).
Итерационная схема. Неизвестными в системе уравнений Хартри-Фока-Слэтера для смеси веществ (1)-(3) кроме 匕(丁)，勿(丁)， EnQj,i> Ni =从,как и в случае вещества, состоящего из атомов одного и того же элемента, являются также радиусы атомных ячеек Гог, что значительно усложняет задачу.
Систему уравнений ХФС для смеси веществ можно решать, вычисляя самосогласованные потенциалы для каждого элемента смеси, а затем проводить согласование химических потенциалов. Такая схема недостаточно экономична, так как трудоемкость расчетов быстро растет с ростом числа компонент смеси.
Более экономичную схему можно получить, если на каждой итерации вычисления самосогласованных атомных потенциалов одновременно подправлять значения радиусов атомных ячеек Гог так, чтобы при получении самосогласованных потенциалов для элементов смеси одновременно были бы выравнены и их химические потенциалы [90].
При построении итерационной схемы будем исходить из требования выполнения условий электронейтральности (3) в процессе итераций. Исходя из заданных значений 丁^)и 匕⑶(丁), мы можем вычислить соответствующие им уровни энергии £爲丁 Прежде чем вычислять новые электронные плотности и новые атомные потенциалы ^s+1^ (г), найдем такие новые значения 丁^：+D, которые были бы более близки к искомому решению, как это делалось в модели Томаса-Ферми (см. § 3 гл. I).
Пусть /〃 = 丁^, тогда для любых выбранных нами значений Xi должны выполняться условия электронейтральности (3) и условия (1), т.е.
Bi(Ri〉/ ) + — Z〃 =。 (z = 1, 2, ..N), (4)
У "(1，388)3 e 0⑸
гдегде.^7 осZo〃(％,g) =岂也一 / r2 dr /.^7 осZo〃(％,g) =岂也一 / r2 dr /и"? dyи"? dy7?/О7?/О⑹⑹碎)1 + exp g -碎)1 + exp g -ОО
где
где
.^7 ос
Zo〃(％,g) =岂也一 / r2 dr /
.^7 ос
Zo〃(％,g) =岂也一 / r2 dr /
и"? dy
и"? dy
7?/
О
7?/
О
⑹
⑹
碎)1 + exp g -
碎)1 + exp g -
О
О
?3小:也尸
⑺⑺Big,/）=J2 n九з（Е必e，色）（e必e < €o?）5
⑺
⑺
2/ + 1
人厶g"(e,从)=e _ 〃
1 + exp —Т—и
Так как потенциалы V^s\r) вычисляются при г < 相)，то для того, чтобы выражение (6) было определено при всех д, положим V^s\r) = V^s\r^) при г〉г^.
Будем решать систему (4)—(5) в линейном приближении, разлагая Bi и Z()i вблизи Xi = Xi = (丁^?)3 и 从〃 ="〃.Величины Xi,"〃 удовлетворяют уравнениям (4), (5) для заданных V^ (г), £爲〃,£^"・ Имеем
30dBi
⑻⑻Bi(Ri№i) = Bi(pi^Xi) + 瓦'(色-也)+ 万U(0 一比e)
⑻
⑻
Z(H (色,0) = Z()i (口i, 电)+ 内 °2(色-也)+ 内 °2(0 -比e), где производные берутся при щ = щ п Xi = Xi：
马二 2(28)3/2 д/li7Г^马二 2(28)3/2 д/li7Г^г2 dr хг2 dr хоох <х <gT/2dggT/2dg[”+ exp(g J"/色[”+ exp(g J"/色+ Дг+ Дг+1 + exp+1 + exp
马二 2(28)3/2 д/li7Г^
马二 2(28)3/2 д/li7Г^
г2 dr х
г2 dr х
о
о
х <
х <
gT/2dg
gT/2dg
[”+ exp(g J"/色
[”+ exp(g J"/色
+ Дг
+ Дг
+
1 + exp
+
1 + exp
azoi
_ 2(28)3/2 7
^^dy
dxi
У Qi
1 + exp (g
匕⑶（丁）+也）、
9丿
ж а色
1Nn£j^i
30 _ _ 30 丁 巫弘〃 7
⑼⑼Для вычисления 3£^“/3/〃 будем приближенно полагать, что собственные значения энергии электронов £爲 〃 при изменении Xi изменяются только за счет внешней экранировки, обусловленной свободными электронами. В этом приближении
⑼
⑼
где • i не зависят от T()i. С учетом (6)
дВ{ _ 1 дВ{ 1dxi 2 дщ 濟7дВ{ _ 1 дВ{ 1dxi 2 дщ 濟7
дВ{ _ 1 дВ{ 1
dxi 2 дщ 濟7
дВ{ _ 1 дВ{ 1
dxi 2 дщ 濟7
Подставляя разложения (8) в (4), получим
（◎ 一无6） = Ze 一 0（也，无e） - Z0c（也，无6）一（◎ 一无6） = Ze 一 0（也，无e） - Z0c（也，无6）一++（色一也），（10）（色一也），（10）
（◎ 一无6） = Ze 一 0（也，无e） - Z0c（也，无6）一
（◎ 一无6） = Ze 一 0（也，无e） - Z0c（也，无6）一
+
+
（色一也），（10）
（色一也），（10）
так как 马(也，比〃)+ Zo^pi^Xi) = Z〃 в соответствии с выбором 也，比〃. Будем искать решения (10), удовлетворяющие условию самосогласованной задачи, т.е. такие, чтобы 邑=卩.Тогда для Xi получим
(И)(И)=_j(30/8 色 + azo"a色)(从一也)
(И)
(И)
&& [(dBi/dxi + dZQi/dxi)Xi
Умножим (11) на mi/Ai и просуммируем по г, учитывая, что
NNNN
NN
NN
Имеем
“ 乙儿 \dBi/dxi + dZQi/dxiJ ^/ 乙儿 \dBi/dxi + dZ^/dxi J ' 」 」 (12)
Как показали расчеты, вычисление новых значений // и ж^ по формулам (11), (12) при температурах Г > 10 эВ приводит к достаточно быстро сходящемуся итерационному процессу. Однако при более низких температурах итерации могут расходиться, так как начальное приближение, полученное по модели Томаса-Ферми, оказывается в этом случае достаточно грубым.
Для сходимости итераций применим способ, аналогичный изложенному в § 1 гл. III для простого вещества. Учитывая лишь направление изменения /〃, положим
*+1)= В + g(s)(& 一 В), (13)
где /〃 вычисляется по формуле (11), а параметр итераций §($) (0 < §(s)< 1) определяется условиями сходимости итераций. Увеличение или уменьшение £($)в процессе итераций поставим в зависимость от величины
△⑶=—小)| + ?(山-в| +〔△『)〔)，
где 4(s),从(s+D — значения 从,вычисленные по формуле (12) на (^ + 1)-й и s-й итерациях, △匕(')一рассогласованность в потенциале г-го элемента на s-й итерации (см. формулу (11) из § 1 гл. III).
В начале итераций полагаем §⑼=0,5. Дальнейшее изменение §($) зависит от изменения △($). Если △($)< △min (в расчетах полагалось △min = 0,IN) и △($)< △(S-D, то g(s+D = 1,2 g(s). Если △($)〉△(S-D, то g(s+D = 0,8 g(s). Кроме того, значение ^⑶ следует ограничить некоторым интервалом (обычно полагалось 0,1 < §($)< 0,75).
Итерации проводятся следующим образом. Вычисляя *")по формуле (13), найдем соответствующие значения химических потенциалов 从;удовлетворяющее условиям электронейтральности ⑷.С полученными значениями 从;'+D, ^^ вычислим электронную плотность (2) для каждого из элементов смеси и соответствующие атомные потенциалы ]Л^+1^(г). Далее итерации повторяются до тех пор, пока не выполнится условие △($)< £, где £ — заданная точность (е = 10-6).
Полученная схема легко модифицируется, если вместо равенства химических потенциалов потребовать выполнения других условий равновесия, например, условий равенства электронных давлений [89]. Так как электронное давление г-й компоненты 久〃 при заданной температуре является однозначной функцией 从〃 и /〃, то для того, чтобы получить новые итерационные формулы, достаточно в (11), (12) заменить 卩)Ni на Ре, Pei , а для вычисления производных dBi/dPei^ dZ^i/dPei
3030 /dPei
воспользоваться представлением =—————и аналогичным
oPei 。色/
представлением для производной от Zo〃.
Примеры расчетов. Для иллюстрации сходимости схемы были проведены расчеты для смеси из 5 элементов с атомными номерами Zi = 20 • г — 10, массовыми долями m〃 = 4〃 для средней плотности вещества р = 1 г/см3 и при температурах = 1, 10, 100, 1000 эВ. Последовательные значения 从($)приведены в табл. 4.4, где приведено также значение химического потенциала Д, полученное без учета релятивистских поправок. Из табл. 4.4 видно, что химический потенциал
Таблица 4.4. Последовательные итерации химического потенциала 川 для смеси из 5 элементов Zi = 20 • г — 10, mi = Ai при различных температурах и плотности р =1 г/см3, 6 — номер итерации. Приведено также значение химического потенциала // = Д, полученное без учета релятивистских эффектов
6
Г = 1 эВ
Г = 10 эВ
Г = 100 эВ
Г = 1000 эВ
0
0,009527
-0,89123
-16,5737
-253,798
1
-0,452196
-1,06334
-16,7666
-254,312
2
-0,435761
-1,08857
-16,7659
-254,306
3
-0,380846
-1,07340
-16,7660
-254,308
4
-0,276685
-1,07994
-16,7662
-254,308
5
-0,229350
-1,07795
-16,7663
6
-0,224280
-1,07864
-16,7663
7
-0,211847
-1,07813
8
-0,203926
-1,07837
9
-0,190126
-1,07823
10
-0,182146
-1,07835
11
-0,181542
-1,07829
12
-0,181299
-1,07829
13
-0,181475
14
-0,181249
15
-0,181299
16
-0,181093
17
-0,180894
18
-0,180739
19
-0,180614
20
-0,180649
21
-0,180632
22
-0,180633
Д
-0,177880
-1,09428
-16,7732
-254,121
Таблица 4.5. Последовательные итерации для С190Н190О20ВГ1 при температуре Т=10 эВ и плотности р =0,1 г/см3 (s — номер итерации).
6
H
C
О
Br
0
roi
4,679940
6,486292
6,717963
7,676817
Zoi
0,728529
2,097298
1,425806
1,377438
Ri
-1,174687
-1,121720
-1,304069
-1,465673
1
roi
4,515875
6,584268
6,155903
7,407173
^Ог
0,728529
2,053058
1,817736
2,946070
Ri
-1,174687
-1,129704
-1,211395
-1,178415
2
roi
4,487279
6,575564
6,388097
7,367198
Zoi
0,711451
2,067104
1,893517
2,904261
Ri
-1,146903
-1,142695
-1,105721
-1,146844
3
roi
4,483484
6,572734
6,433727
7,367306
^Ог
0,708375
2,065190
1,941147
2,904244
-1,142000
-1,141674
-1,134700
-1,141254
4
roi
4,483516
6,573425
6,426683
7,368448
Zoi
0,707964
2,065036
1,939742
2,904784
Ri
-1,141348
-1,141255
-1,142349
-1,141198
5
roi
4,483258
6,573039
6,431701
7,368129
Zoi
0,707968
2,065064
1,942909
2,904869
Ri
-1,141353
-1,141359
-1,140592
-1,141347
6
roi
4,483762
6,573742
6,422386
7,368866
Zoi
0,707940
2,065023
1,936132
2,904849
Ri
-1,141309
-1,141305
-1,142718
-1,141305
7
roi
4,483489
6,573333
6,427720
7,368478
Zoi
0,707994
2,065095
1,940392
2,904945
Ri
-1,141396
-1,141403
-1,140385
-1,141396
8
roi
4,483417
6,573249
6,428882
7,368382
Zoi
0,707965
2,065052
1,940996
2,904901
Ri
-1,141349
-1,141346
-1,141126
-1,141348
9
roi
4,483433
6,573284
6,428465
7,368403
Zoi
0,707957
2,065048
1,940477
2,904885
Ri
-1,141336
-1,141334
-1,141414
-1,141336
10
roi
4,483399
6,573229
6,429167
7,368345
Zoi
0,707959
2,065042
1,941081
2,904876
Ri
-1,141339
-1,141340
-1,141229
-1,141341
11
roi
4,483399
6,573229
6,429167
7,368345
Zoi
0,707955
2,065041
1,940948
2,904896
Ni
-1,141333
-1,141332
-1,141331
-1,141330
从 и, тем самым, средние числа заполнения электронных состояний, значительно уточняются по сравнению с моделью ТФ при низких температурах (从Тf =从(°)).
В табл. 4.5 приведены более подробные результаты при вычислении самосогласованных потенциалов для смеси брома с агар-агаром (С190Н190О20ВГ), которая используется в лазерных мишенях [140]. Из таблицы видно, как меняются радиусы атомных ячеек Гог, средние за-
ряды ионов Zui и химические потенциалы 从〃 в процессе итераций. Расчеты проведены при температуре Т=10 эВ и плотности р =0,1 г/см3.
§ 4. Учет индивидуальных состояний ионов
Модель среднего атома, рассмотренная в § 1-3, дает эффективное описание атомной ячейки в плазме для иона со средними числами заполнения. В реальной плазме присутствуют разнообразные состояния ионов. При рассмотрении таких состояний модель Хартри-Фока- Слэтера для среднего атома является хорошим начальным приближением. Для учета индивидуальных состояний ионов в практических расчетах обычно используется теория возмущений, причем считается, что возмущение потенциала связано с изменением электронной плотности, которое обусловлено изменением чисел заполнения электронных оболочек [75, 130].
Основная неточность при использовании методов теории возмущений и модели среднего атома связана с тем, что волновые функции в отдельных ионах при больших флуктуациях чисел заполнения не являются согласованными с внутриатомными потенциалами. Эту неточность можно устранить, вычисляя характеристики отдельных ионов с числами заполнения, соответствующими заданной конфигурации иона.
Рис. 4.5. Коэффициент поглощения (см2/г) в алюминии при температуре Т = 22 эВ и плотности р = 0, 01 г/см3 в зависимости от энергии фотонов (эВ). Сплошная линия — расчет по волновым функциям среднего атома, штриховая — с использованием волновых функций ионов
В качестве примера на рис. 4.5 проведено сравнение спектров поглощения алюминия, вычисленных как по волновым функциям среднего атома, так и с использованием волновых функций ионов. Как мож-
но видеть из рисунка, уточнение положения линий может оказаться весьма существенным при описании деталей спектра.
Функционал плотности системы электронов с учетом индивидуальных состояний ионов. В высокотемпературной плазме, особенно при наличии элементов с большими Z, реализуется очень большое количество различных состояний ионов, и перебор всех возможных состояний требует больших вычислительных затрат. Такой перебор можно осуществить, используя детальное описание лишь для наиболее существенной части состояний ионов и применяя приближение среднего атома для учета остальных состояний. Выбор состояний для детального описания определяется постановкой исходной задачи. Наименее трудоемким является метод, при котором для группы состояний с близкими степенями ионизации выбирается лишь один представитель.
Мы рассмотрим более простой для изложения случай, когда такие состояния определяются заполнением первой из частично заполненных оболочек (или нескольких таких оболочек). В соответствии с этим разделим все состояния электронов на две части. В первую включим состояния », которые определяют выделенные нами основные конфигурации ионов. Значок » описывает набор квантовых чисел, определяющих такие состояния электронов, числа заполнения которых являются фиксированными (заданными). Остальные состояния г/, принадлежащие непрерывному и дискретному спектру, включим во вторую часть и будем описывать их в приближении средних чисел заполнения. Такую эффективную конфигурацию, соответствующую заданным числам заполнения электронных состояний » и некоторым средним числам заполнения состояний 沙,обозначим через Q.
Пусть при температуре не равной нулю, как и в § 2 из гл. III, одночастичные состояния V заполнены с некоторыми вероятностями nv (значения nv совпадают со средними числами заполнения состояний v и удовлетворяют условию 0 < n^ < 1), а каждый набор чисел п^ (ng = 1 или ng = 0 ), определяющих эффективную конфигурацию Q, осуществляется с вероятностью WQ (£@ WQ = 1). Считая вероятности заполнения оболочек вблизи равновесного состояния независимыми (см. вывод формулы (4) из § 2 гл. III), получим, что вероятность заданного состояния определяется произведением WQ и чисел nv или (l — 7i〃) в зависимости от того, заполнено или не заполнено состояние v. Например, для заданных чисел заполнения состояний » конфигурации Q (она реализуется с вероятностью WQ), заполненных состояний с номерами 14- Nn и незаполненных оставшихся состояний с номерами N九+ 九+ 2, ...имеем
J47n = 1Vq 72〃i 72〃2 . . . (1 —八〃77 +i ) О) причем e店+ N九где Nn — число электронов в системе. В
Sp(W\nW) ==Sp(W\nW) ==указанном приближении вместо формул (5), (6) из § 2 гл. III имеем
Sp(W\nW) ==
Sp(W\nW) ==
I 您(q)| +ZXl%(q)『)・⑵I 您(q)| +ZXl%(q)『)・⑵+ £ [八〃 In 八〃 + (1 - 八〃)ln(l - 71〃)] },
I 您(q)| +ZXl%(q)『)・⑵
I 您(q)| +ZXl%(q)『)・⑵
Используя формулы (1)-(3) из § 2 можно получить выражение для термодинамического потенциала Q в одночастичном приближении в указанном выше смысле:
a = ywQEQ+eywQ\nwQ +
+0 E 忆 £ [八" in 八" + a -八")ma -終")]-从e wq e 八? +e 八"，
Q "Q L
(3)
где Eq — энергия состояния Q в атомной ячейке, % (戸)—потенциал, создаваемый ядрами.
Необходимо найти минимум Q при произвольных n^, WQ (0 < nv < 1, £q Wq = 1), а также 吵§(q),吵〃(q), удовлетворяющих условиям ортогональности и нормировки. Применяя вариационный принцип аналогично тому, как это было сделано в § 2, получим уравнения типа Хартри-Фока для каждой конфигурации Q и отдельное уравнение для среднего иона. Заметим, что атомный потенциал среднего иона получается здесь, как мы увидим ниже, путем явного усреднения по конфигурациям Q.
На практике обычно используется приближенное описание обменных эффектов типа Слэтера для заданной температуры и плотности вещества (см. § 3 гл. III). Это приводит к упрощению функционала Q и получаемых путем его минимизации соответствующих уравнений. Выражение для EQ в приближении Хартри— Фока— Слэтера принимает вид
Eq =£碎 J(2?(q)Y -；△ + %⑺ 您⑷dq +
С (q)%(q)歯 + ； "dq 歯，+
丿2 J J \r — г \
где
卢⑷=£圖您(q)| +ZXl%(q)匕 ⑸
а для 夕[р, 3] справедлива формула (16) из § 3 гл. III.
Уравнения ионного метода Хартри—Фока—Слэтера в ячеечном и плазменном приближениях. Дальнейшие упрощения связаны с переходом к плазменной или ячеечной моделям. Рассмотрим вначале ячеечную модель вещества для плотной высокотемпературной плазмы. При описании вещества в целом в уравнения для EQ и для волновых функций должен входить потенциал ядер %(戸),соответствующий их некоторому положению. Решение такой задачи не представляется возможным, поэтому обычно рассматривают средний потенциал вблизи некоторого ядра, усредняя его по положениям других ядер. Если проводить такое усреднение непосредственно в уравнениях ХФС, то задача усложняется необходимостью учета в явном виде взаимодействия ионов, соответствующих различным конфигурациям и различным зарядам атомного остова.
Процедуру усреднения удобно проделать до применения вариационного принципа. Так как в плазме нет выделенного направления, то получаемые средние атомные потенциалы будут сферически симметричными. Соответствующие ядра можно окружить сферой такого размера, чтобы атомные ячейки с выбранными ионными конфигурациями Q были электронейтральными. Итак, будем предполагать, что индивидуальные состояния ионов Q в указанном выше смысле можно описать, задавая различные по размеру электронейтральные сферические атомные ячейки объема VQ. Тогда интегрирование в ⑷ можно проводить только в соответствующих ячейках Q.
Из условия сохранения среднего объема имеем
=『 = ^"(1，388)3±(6)
где А — атомный вес, р — плотность вещества в г/см3. Требование электронейтральности ячеек
e店+e^=厶⑺
где Z — заряд ядра, позволяет не учитывать их взаимодействие и вместо потенциала всех ядер задавать потенциал одного выбранного ядра, т.е. %(戸)=Z/r, полагая, что полный функционал Q можно представить в виде суммы по ячейкам.
Используя выражение (3) для функционала Q и учитывая дополнительные условия ^WQ = 1，E^F += Z, /卜？伍)『歯=1, /|%(q)|2 歯=1 и
£ Wq % = V) с помощью множителей Лагранжа /, Bq , A^, А” и P, получаем в Q соответствии с используемым вариационным принципом:
+ Н%1” +Q+ Н%1” +Q
+ Н%1” +Q
+ Н%1” +Q
+ 邕2 Mzq工 [几"111几"+ (1 - 7Mhi (1 -几"-4工 Wq 工店 +工几"+
Q "Q L Fv _
++_ QJ Q L F"-
+
+
+ ££A? ]/ 卜g(q)『dq — 1] +£a//1%伍)|2歯—1]
+ °— V ｝ =0.
_ Q」丿
Подставляя сюда выражение (4) для Eq и проводя варьирование, получим
工bWq ｛石q + em wQ + e £ [几沙 inn^ +(1 - tiQ m(i - n^)] +
工店+ e八"工店+ e八"+++。+ / + 0Vq —川+。+ / + 0Vq —川L FL F+ £几"/也(q)君q 8%伍)+ £几"/也(q)君q 8%伍)dq +dq +
工店+ e八"
工店+ e八"
+
+
+。+ / + 0Vq —川
+。+ / + 0Vq —川
L F
L F
+ £几"/也(q)君q 8%伍)
+ £几"/也(q)君q 8%伍)
dq +
dq +
+E忆+E忆+£店/(砌 q))*%8 砌 q)歯｝ +
+E忆
+E忆
石Q + 6 £(几"In几"+ (1 — к”) ln(l — к”)) SVQ + AdVQ > +
⑼(10)(11)(12)(13)⑼(10)(11)(12)(13)
⑼
(10)
(11)
(12)
(13)
⑼
(10)
(11)
(12)
(13)
+工普［f 8（虑伍））*虑伍）歯+ / （吵?伍））*8虑伍）歯! +
+ £a“ ]/M/C(q)吵伍)歯 + /C(9)^(9)^ = о,
+ 々"/ \f-rf\ apQ .⑻
Считая вариации Зп”, й^, 8少入 8少,，b (少,),8% и 6VQ независимыми, получаем следующие условия минимума:
小⑷=-产^您@三昌您6
1
1 + exp ——
где введены обозначения
"=从+ e生，瓦=e明瓦・
Так как £歹您 + £〃 ny = Z, то из (12) получаем
/ Е + VV%=Сехр(— Q ° Q
pQ = — _LpQ = — _Lгде постоянная С выбирается из условия нормировки. Из равенств (13) следует, что
pQ = — _L
pQ = — _L
石q + е е m" in九" + а — 九")b(1 一 九"))=0. (15)
Величина 0? есть производная от свободной энергии по объему (с обратным знаком) и в соответствии с [11] является по определению электронным давлением в атомной ячейке Q. Таким образом, условие (15) означает, что электронные давления во всех атомных ячейках Q должны быть равны.
Ячеечное приближение предполагает достаточно высокую плотность вещества, когда нарушение электронейтральности атомной ячейки приводит плазму в сильно неравновесное состояние с быстрой релаксацией к равновесному состоянию, в котором каждая атомная ячейка является электрически нейтральной.
В противоположном случае малых плотностей для идеальной или слабонеидеальной плазмы требование электронейтральности атомных ячеек может быть слишком жестким и не выполняться на практике (например, при наличии отрицательных ионов). При таких условиях, как правило, можно пренебречь взаимодействием атомных ячеек, размеры которых достаточно велики, считая, что свободные электроны равномерно распределены в пространстве. Размеры ячеек для индивидуальных состояний ионов в этом случае удобно взять одинаковыми. Заметим, что условие электронейтральности для каждой из ячеек в этом случае может не выполняться, хотя должно выполняться условие электронейтральности плазмы в целом
QQ(16)(16)
Q
Q
(16)
(16)
(17)(17)(18)(18)
(17)
(17)
(18)
(18)
a Q君q 吵？ (q) = -L查吵？(G = e?吵？(G%%(q)=吵"(4)= e"吵"(4),11 + exp —-—a Q君q 吵？ (q) = -L查吵？(G = e?吵？(G%%(q)=吵"(4)= e"吵"(4),11 + exp —-—В результате применения вариационного принципа (аналогично тому, как это было сделано выше) получим следующую систему уравнений для ионного метода Хартри-Фока-Слэтера в плазменном приближении
a Q
君q 吵？ (q) = -L查吵？(G = e?吵？(G
%%(q)=吵"(4)= e"吵"(4),
1
1 + exp —-—
a Q
君q 吵？ (q) = -L查吵？(G = e?吵？(G
%%(q)=吵"(4)= e"吵"(4),
1
1 + exp —-—
где коэффициент С определяется из условия нормировки £ WQ = 1, а химический потенциал 从 из условия электронейтральности
(21)(21)
(21)
(21)
Итак, ячеечное и плазменное приближения соответствуют двум предельным случаям больших и малых плотностей вещества. Заметим, что при высоких температурах существует достаточно большой диапазон промежуточных плотностей, где результаты расчетов в плазменном и ячеечном приближениях практически совпадают. Это означает, что при высоких температурах имеет место плавный переход от модели (9)-(15) к модели (17)-(21) при уменьшении плотности. При очень малых плотностях плазменное приближение (17)-(21) может оказаться неприменимым из-за нарушения условий локального термодинамического равновесия (см. §7, гл. V).
Волновые функции и уровни энергии ионов в плазме. Рассмотрим применение моделей среднего атома для расчета волновых функций и уровней энергии ионов в плазме. Как правило, в таких расчетах используются одноэлектронные волновые функции, полученные для свободных ионов в приближении Хартри-Фока. Однако, имея в виду необходимость учета огромного числа состояний ионов в плазме при расчетах росселандовых пробегов, можно значительно упростить вычисления, воспользовавшись одноэлектронными волновыми функциями по модели Хартри-Фока-Слэтера. Как показывают расчеты, физическая точность при этом оказывается примерно той же, что и при использовании одноэлектронных функций по модели Хартри-Фока.
На рис. 4.6 проведено сравнение волновых функций, полученных по модели Хартри-Фока-Слэтера, с волновыми функциями, вычисленными по модели Хартри-Фока. Расчеты проведены для плазмы железа при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3. При этих условиях средние числа заполнения определяют среднюю конфигурацию Is22s22p63si，853〃4j23di,24, КОТОрая получается в результате решения системы уравнений Хартри-Фока-Слэтера для среднего атома.
В таблицах 4.6—4.8 приведены энергии термов, вычисленные в приближении связи промежуточного типа с волновыми функциями, полученными по моделям Хартри-Фока и Хартри-Фока-Слэтера. Для удобства взята разность энергии терма и минимальной энергии Eq по соответствующей конфигурации Q. Расчеты проведены для железа
Рис. 4.6. Сравнение волновых функций для иона железа (Z = 26), полученных по моделям Хартри-Фока для конфигурации ls22s22p63s23p43d1 (сплошная линия) и Хартри-Фока-Слэтера (штриховая линия) для той же конфигурации (слева). Справа — сравнение волновых функций по модели Хартри-Фока для конфигурации ls22s22p63s23p43d1 (сплошная линия) и по модели Хартри-Фока-Слэтера для средней конфигурации ls22s22pQ3s1,853p4,123d1,24 (штриховая линия). Радиальные функции здесь практически совпадают
Таблица 4.6. Энергии термов конфигурации Q = 3s23p63d2 железа (Z = 26) в атомных единицах. Приведена разность энергий рассматриваемого терма и терма с минимальной для данной конфигурации энергией. Буквами S, Р, О, ... с цифрой впереди указана доминирующая компонента терма (цифра соответствует мультиплетности).
Терм
J 1 ЭКСП.
X①
X①e
石 о = -1250,436
石 о = -1250,214
3尸
2
0,000
0,000
0,000
3
0,005
0,005
0,005
4
0,010
0,011
0,011
ID
2
0,080
0,097
0,088
ЗР
0
0,091
0,111
0,101
1
0,093
0,113
0,103
2
0,097
0,117
0,108
1G
4
0,132
0,148
0,134
IS
0
—
0,358
0,323
Таблица 4.7. Энергии термов конфигурации Q3 = 3s2 Зр6 3d 4/ железа (Z = 26)
Терм
J 1 ЭКСП.
X①
X①C
石 о = -1247,402
石 о = -1247,218
1G
4
0,000
0,000
0,000
3F
2
0,000
0,008
0,007
3
0,002
0,009
0,008
4
0,006
0,008
0,007
3G
3
0,014
0,024
0,022
4
0,029
0,027
0,026
5
0,039
0,030
0,028
ID
2
0,018
0,022
0,021
IF
3
0,025
0,039
0,037
3D
1
0,027
0,035
0,032
2
0,027
0,035
0,032
3
0,031
0,034
0,032
3P
2
0,036
0,046
0,042
1
0,038
0,048
0,044
0
0,039
0,049
0,046
1Я
5
0,046
0,066
0,061
IP
1
0,053
0,066
0,060
ЗЯ
4
一
0,012
0,012
5
—
0,011
0,010
6
一
0,016
0,015
(Z = 26), а также для хрома (Z = 24). Экспериментальные данные взяты из библиотеки атомных спектроскопических данных Национального института стандартов и технологий США (http://physics.nist.gov/ cgi-bin/AtData).
Таблица 4.8. Энергии термов конфигурации Q = 3s23p63d4 хрома (Z = 24)
Терм 1 J
ЭКСП.
X①
X①C
石 о = -1041,056
石 о = -1040,525
5。0
0,0000
0,0000
0,0000
1
0,0003
0,0003
0,0002
2
0,0008
0,0009
0,0007
3
0,0016
0,0017
0,0015
4
0,0026
0,0028
0,0025
ЗР 0
0,076
0,098
0,069
1
0,078
0,100
0,070
2
0,081
0,103
0,073
ЗЯ 4
0,079
0,090
0,064
5
0,079
0,091
0,064
6
0,080
0,092
0,065
3F 2
0,084
0,104
0,073
3
0,084
0,104
0,074
4
0,085
0,105
0,074
3G 3
0,094
0,114
0,082
4
0,095
0,115
0,083
5
0,096
0,116
0,083
3D 3
0,117
0,143
0,106
2
0,117
0,148
0,106
1
0,118
0,148
0,107
IF 3
0,187
0,207
0,148
3尸2
0,197
0,245
0,176
3
0,197
0,245
0,175
4
0,197
0,245
0,175
ЗР 0
0,222
0,247
0,177
1
0,223
0,249
0,179
2
0,225
0,250
0,180
1/6
一
0,136
0,096
1G 4
一
0,143
0,101
ID 2
一
0,179
0,127
1G 4
一
0,277
0,198
IS 0
一
0,167
0,118
ID 2
一
0,374
0,269
IS 0
—
0,484
0,347
Как видно из таблиц и рисунков, рассмотренное приближение, естественно, не дает точности, необходимой для спектроскопических исследований, однако является вполне удовлетворительным при проведении расчетов спектральных коэффициентов поглощения фотонов и росселандовых пробегов в плазме.
ЧАСТЬ II
РАДИАЦИОННЫЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕСВОЙСТВА ПЛОТНОЙВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
Глава V
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Чем выше температура вещества, тем большую роль в процессах переноса энергии играет излучение. При очень высоких температурах (порядка нескольких миллионов градусов) основным механизмом перераспределения энергии является ее перенос, осуществляемый фотонами, так как поток энергии, переносимой фотонами, гораздо больше потока энергии, переносимой другими частицами. Если при этом длина пробега фотонов мала по сравнению с характерными размерами плазмы, то справедливо диффузионное приближение, которое приводит к уравнению лучистой теплопроводности. Коэффициент теплопроводности в этом уравнении имеет сложную нелинейную зависимость от температуры и плотности вещества, от спектральных коэффициентов поглощения фотонов. Уравнение лучистой теплопроводности нашло широкое применение при описании различных процессов в плотной высокотемпературной плазме [44, 72, 172, 155].
Если пробеги фотонов сравнимы с размерами плазмы, то диффузионное приближение неприменимо, и для описания процессов переноса энергии необходимо решать уравнение переноса излучения с учетом спектральной зависимости коэффициентов поглощения фотонов [133].
Лучистая теплопроводность плазмы
Уравнение переноса излучения в веществе. При изучении процессов прохождения излучения через вещество будем исходить из функции распределения фотонов /(г, Q, z/, t). Функция /(г, Q, z/, t) определяет концентрацию фотонов, которые имеют направление Q и
частоту V в данной точке пространства г в момент времени t. Таким образом, число квантов света в элементе объема dV, содержащем точку г, в интервале частоты du и распространяющихся в элементе телесного угла dQ (будем считать, что Q — единичный вектор) в момент времени t равно
/(% Q,幺力)dV dQ du.
Считая, что в каждой точке пространства задана определенная концентрация фотонов, мы описываем электромагнитное поле классическим образом. При квантовом описании поля фотонам определенной частоты нельзя приписывать определенное положение в пространстве. Поле должно рассматриваться как совокупность радиационных осцилляторов, каждому из которых принадлежит определенное число квантов Пу, характеризующих степень возбуждения каждого осциллятора. Однако квантовые свойства поля излучения проявляются существенным образом только в элементарных процессах взаимодействия излучения с веществом.
Функция /(%а,17,力),зависящая от семи скалярных переменных, удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению, которое называют уравнением переноса излучения. Это уравнение имеет вид
^ + c(Q grad)/ =- c(Naaa + nas)f +
+ c“s〃 勺(6团)~"]/(团")必吃1/ (1)
(под знаком интеграла мы указываем лишь те аргументы функции /, по которым производится интегрирование). Левая часть уравнения (1) представляет субстанциональную (лагранжеву) производную функции /. Если бы фотоны не взаимодействовали с частицами вещества, то эта производная равнялась бы нулю. Правая часть представляет собой изменение потока фотонов в результате испускания излучения веществом и под действием столкновений с частицами вещества. При столкновениях возможно либо поглощение фотона, либо его рассеяние.
В первом слагаемом справа N* есть концентрация частиц вещества, способных испустить фотон частоты г/, А* есть вероятность испускания фотона частоты 沙 в направлении Q. Второе слагаемое выражает уменьшение числа фотонов, движущихся в направлении Q, за счет упругих и неупругих взаимодействий. Частицы вещества, с которыми фотоны взаимодействуют при столкновениях, характеризуются эффективным сечением рассеяния(js и сечением поглощения сга, зависящими от частоты V. В уравнении (1) Na есть концентрация частиц
вещества, способных поглощать фотоны; п — концентрация частиц, способных рассеивать. Во всех процессах взаимодействия излучения с веществом основную роль играет взаимодействие с электронами, так как сечения взаимодействия обратно пропорциональны квадрату массы частицы. Заметим также, что если элементарные сечения зависят от энергии частиц, то соответствующие члены в (1) должны быть проинтегрированы по функции распределения частиц.
Последний интегральный член в правой части характеризует приращение числа фотонов, движущихся в направлении Q, за счет фотонов, двигавшихся ранее в других направлениях Q / и имевших частоту z/, но претерпевших рассеяние на угол (Q, Q Q, т.е. угол между направлениями Q и Q\ в результате которого они приняли направление движения Q и частоту к Ядро интеграла K[(Q, Qz), z/, v'\ есть вероятность рассеяния на угол (Q, Qz), определяемая механизмом взаимодействия. Рассеяние света электронами, принадлежащими непрерывному спектру энергий (комптон-эффект), сопровождается изменением частоты при энергиях фотона, сравнимых с собственной энергией электрона тс2, которая равна 0,51 МэВ. Если же энергия фотона мала по сравнению с тс2, то изменение частоты при рассеянии также мало, а сечение стремится к томсоновскому сечению о。= (8/3) тггд, го = е2/(тс2) — классический радиус электрона. Более детально эффект рассеяния исследован в [207]. В дальнейшем мы будем, как правило, считать, что имеем дело с чисто томсоновским рассеянием, для которого ядро интеграла К[(С, С'),幺 J] вырождается в K[(0Z)] и представляет собой вероятность рассеяния на угол (Q, Q Q. Что же касается вычисления сечения рассеяния на связанных электронах, принадлежащих дискретному спектру энергий, то здесь сечение рассеяния намного меньше соответствующего сечения поглощения. Поэтому в дальнейшем под обозначением п в (1) будем понимать концентрацию свободных электронов и учитывать эффект рассеяния в нерелятивистском приближении.
Прежде, чем рассматривать эффективное сечение поглощения(уа на связанных и свободных электронах и переписывать уравнение (1) с учетом принятых приближений, необходимо обсудить первое слагаемое N*4^ в правой части (1). Если бы фотоны подчинялись классической статистике, то испускание было бы изотропным и его вероятность А* не зависела бы от функции распределения /. Так как фотоны подчиняются статистике Бозе, то вероятность испускания фотонов с частотой 沙 зависит от числа фотонов, уже находящихся в соответствующей ячейке фазового пространства. Если обозначить через f функцию распределения, отнесенную к единице безразмерного фазового объема dVdp/Л3 (夕=hv/с^ dp = dp境dpydpz))то вероятность
испускания будет пропорциональна 1 + f, где f — число фотонов с данным направлением поляризации, уже находящихся в этой ячейке фазового пространства, так что А* = 4〃(1 + f), где 4〃 не зависит от f, а функции распределения / и f связаны следующим образом:
⑵⑵fdV dQ dz/ = 2f
⑵
⑵
Так как для фотонов с абсолютным значением импульса р и направлениями движения, лежащими в интервале телесного угла dQ, имеем dp = р2 dpdCl, то из (2) следует, что
⑶⑶2评dp2*•
⑶
⑶
Вероятность рассеяния фотонов в некоторую ячейку фазового пространства будет также пропорциональна 1 + f, но для рассеяния без изменения энергии этот эффект выпадает из уравнения переноса и его учитывать не нужно (см., например, [109]).
Подставляя (3) в (1), получаем уравнение переноса для фотонов с учетом индуцированного испускания^ когда рассеяние происходит без изменения частоты:
+ 倒 grad)/ = —Naaaf - c otc \/
⑷⑷-nasf + nas-nasf + nas
⑷
⑷
-nasf + nas
-nasf + nas
N*/ H4 cN*/ H4 c(5)(5)-nasf + nas-nasf + nas
N*
/ H4 c
N*
/ H4 c
(5)
(5)
-nasf + nas
-nasf + nas
1 df
Членом в ⑷ в практических расчетах обычно можно пренебречь (квазистационарный случай). Поэтому для нерелятивистского квазистационарного случая получаем уравнение переноса в виде
-/ n*
(Qgrad)/ = -Na(ja (1 -——
°с2 N^Ay「
Величина —- — представляет собой поправку на индуциро-
2川 Naaa
ванное испускание. Форма записи (5) удобна потому, что вероятность испускания и сечение поглощения связаны принципом детального равновесия (см. некоторые особенности для сильно уширенных линий
в [45]). В том случае, когда веществу можно приписать определенную температуру (т.е. когда между частицами вещества устанавливается термодинамическое равновесие), эту связь можно легко найти. Для этого достаточно рассмотреть случай, когда излучение оказалось в равновесии с веществом, так что / = [/], где [/] обозначает функцию распределения фотонов в состоянии полного термодинамического равновесия. Тогда из уравнения (5) в силу того, что
получаемполучаем[/][/]2z/21с3 竺 Na(Ja2z/21с3 竺 Na(Ja
получаем
получаем
[/]
[/]
2z/21
с3 竺 Na(Ja
2z/21
с3 竺 Na(Ja
Согласно статистикеСогласно статистикеБольцмана 笠=ехрБольцмана 笠=ехртемпера-темпера-тура вещества. Поэтому формула для [/] принимает видтура вещества. Поэтому формула для [/] принимает вид
Согласно статистике
Согласно статистике
Больцмана 笠=ехр
Больцмана 笠=ехр
темпера-
темпера-
тура вещества. Поэтому формула для [/] принимает вид
тура вещества. Поэтому формула для [/] принимает вид
[/][/]2z/212z/21с3 2z/2 сгас3 2z/2 сгаmlml—1—1
[/]
[/]
2z/21
2z/21
с3 2z/2 сга
с3 2z/2 сга
ml
ml
—1
—1
С другой стороны, по формуле Планка функция распределения фотонов в состоянии термодинамического равновесия
И =力3)=当И =力3)=当11—1—1ехрехр⑹⑹откуда следует, чтооткуда следует, что=1.=1.⑺⑺
И =力3)=当
И =力3)=当
1
1
—1
—1
ехр
ехр
⑹
⑹
откуда следует, что
откуда следует, что
=1.
=1.
⑺
⑺
В случае частичного локального термодинамического равновесия^ когда вещество характеризуется определенной температурой 仇 а функция распределения фотонов не является планковской, уравнение переноса с учетом (6) и (7) принимает вид
(Qgrad)/ =(Qgrad)/ =
(Qgrad)/ =
(Qgrad)/ =
+ n(js / К[(0 ◎)]/(") dD (8)
где
屮 4 = J (1-产书 4 ⑼
Если условия локального термодинамического равновесия не выполнены, в частности, когда излучение делает неравновесным распределение ионов по возбужденным состояниям, уравнение (5) необходимо решать совместно с системой уравнений поуровневой кинетики, связывающей населенности состояний Na и N* через скорости столк- новительных и радиационных процессов. Важным обстоятельством является тот факт, что скорости радиационных процессов зависят от локальной интенсивности излучения (функции распределения фотонов /, см. (2)). Таким образом, при вычислении населенностей в неравновесной плазме и распределения ее излучения в общем случае требуется проведение определенного согласования этих величин. Так как скорости радиационных процессов, как правило, намного больше столкновительных, то в ряде случаев можно ограничиться различными квазистационарными приближениями, что существенно упрощает задачу [17, 91]. В дальнейшем, как правило, будем предполагать, что условия частичного локального термодинамического равновесия выполнены и, кроме того, излучение является близким к изотропному.
Диффузионное приближение. Если угловое распределение фотонов мало отличается от изотропного и пробег излучения можно считать малым по сравнению с характерными длинами, то при решении задач радиационной газовой динамики для уравнения переноса (8) используется диффузионное приближение. Для этого достаточно разложить функцию распределения / по сферическим гармоникам и сохранить только члены, содержащие первые степени косинусов.
Для вывода диффузионного приближения рассмотрим сначала одномерный случай, когда функция распределения не зависит от g и z и уравнение (5) можно записать в виде
а? = - [Ng (1 - W +
где 从=cos 少,少—угол между направлением импульса фотонов и осью х. В рассматриваемом случае dQ = sin 少 d少 d夕.Введем угловые моменты функции распределения
1
一1
Нулевой момент /о есть просто концентрация фотонов частоты 沙 в точке с координатой х. Первый угловой момент с точностью до множителя равен потоку фотонов частоты v в направлении оси ж:
(И)(И)介 3)= 以/3)da=c〃/3)da = c/i.
(И)
(И)
Второй угловой момент дает поток импульса в направлении ж, т.е. с точностью до постоянного множителя давление Р, производимое фотонами на поверхность, перпендикулярную оси ж:
Р =Р =加。"3) d^ = /?加。"3) d^ = /?从eь /（从）dQ =九沙/2从eь /（从）dQ =九沙/2(12)(12)
Р =
Р =
加。"3) d^ = /?
加。"3) d^ = /?
从eь /（从）dQ =九沙/2
从eь /（从）dQ =九沙/2
(12)
(12)
(夕优一проекция импульса, vx — проекция скорости).
Умножая уравнение (10) на различные степени 从 и интегрируя по 从, можно получить уравнения, связывающие угловые моменты разных порядков. После умножения (10) на первую степень 从 и интегрирования получим
В интеграле в правой части (13) следует производить интегрирование по всем возможным направлениям Q и Qz. При интегрировании можно воспользоваться тем, что вероятность рассеяния К[(0 QQ] зависит только от угла (Q, QQ между направлениями Q и Qz. Пусть 从* = cos(Q, QQ. Очевидно, что результат интегрирования не изменится, если в интегральном члене в (13) произвести замену переменных интегрирования и при фиксированном направлении Qz вместо интегрирования по направлениям Q произвести интегрирование по всем возможным 从* и соответствующим 夕，учитывая при этом, что входящая в подинтегральное выражение величина 从(косинус угла между направлениями Q и оси ж) должна быть выражена через 从* и /?. После этого следует произвести интегрирование по направлениям Qz. Имеем
Kg/jj ⑺ тт‘ =Kg/jj ⑺ тт‘ =/(")/(")从 K(〃*)da*从 K(〃*)da*(14)(14)
Kg/jj ⑺ тт‘ =
Kg/jj ⑺ тт‘ =
/(")
/(")
从 K(〃*)da*
从 K(〃*)da*
(14)
(14)
При интегрировании по Q* удобно выбрать новую систему координат (/_ g\ z‘), в которой ось z' будет направлена вдоль фиксированного
направления Qz. При этом 从,т.е. косинус угла между направлением Q и осью ж, можно записать в виде скалярного произведения соответствующих единичных векторов Q и Qq：
Q = (sin少 cos夕，sin少 sin夕，cos"),
Qo = (sin少о cos夕°, sin少° sin夕°, cos少°).
Здесь углы 少，夕 характеризуют направление Q (cos 少=从*); ось /
Рис. 5.1.
направлена вдоль направления Qq (cos少° =从\ см. рис. 5.1).
Поэтому
从=(С • Qo) = cos少 cos少° + sin少 sin少° cos(夕—夕°).(15)
В результате интегрирования по 夕 во внутреннем интеграле в (14) второе слагаемое из (15) для величины 从 дает ноль, так как ни К^)^ ни /(//) от угла 夕 не зависят. В силу того, что cos少 cos少° =从*从\ интеграл в правой части (13) можно записать как произведение двойных интегралов:
//(") /从k(从*)必* m'=［白5依］QKgm*. (16)
Первый из интегралов есть первый угловой момент Д = j化⑺ /с. Второй интеграл есть косинус угла рассеяния 从*, усредненный по
индикатрисе рассеяния К(从*), т.е. средний косинус угла отклонения 少 частицы при рассеянии, характеризующий анизотропию рассеяния:
/ 从*k(//*)松=而！(17)
Подставляя (16) в (13), получаем важное соотношение, связывающее первый и второй угловые моменты функции распределения, т.е. поток энергии и давление:
■^" = — [МбТа (1 -+ “s(l - COS”)] /1.(18)
Из (18) видно, что роль рассеяния характеризуется величиной
(19)(19)сг加=crs(l - cos"),
(19)
(19)
которая называется транспортным сечением. При изотропном рассеянии, как видно из (17), cos少=0 и atr = crs. Если рассеяние анизотропно, но симметрично, т.е. индикатриса рассеяния является четной функцией от 从*, то из (17) и (19) видно, что сг加=crs, как и в изотропном случае.
Используя (11) и (18), получаем следующее выражение для потока:
介 3) = ~^)с—~,(20)
ох
где
碓)=——7(2D
Na(Ja+ ПСГ5(1 - COS 少)
—эффективный пробег фотонов с частотой 沙,который определяется сечением рассеяния, исправленным на анизотропию, и сечением поглощения, исправленным на индуцированное испускание. В нерелятивистской области дифференциальное сечение рассеяния пропорционально 1 + cos2 少,поэтому согласно (17) в дальнейшем при учете рассеяния будем полагать cos 少=0.
Из (20) и (12) видно, что поток пропорционален градиенту производимого фотонами давления. Формула (20) напоминает элементарную формулу для диффузии частиц в одномерном случае
里也
3 dx
(2 — средний пробег, о — скорость, /о — концентрация частиц).
Действительно, в случае, когда функция распределения
/ = /о + (а — постоянная),(23)
выражения (20) и (22) совпадают при 2(沙)=厶 так как
При этом естественно вместо уравнения переноса использовать уравнение диффузии (аналогичное уравнению теплопроводности) и рассматривать процесс переноса энергии фотонов как лучистую теплопроводность.
Если функция распределения неизвестна, но можно предположить, что
/=*о + Ь,(24)
причем функция распределения почти изотропна (|Ь|《％), то в этом простейшем случае также имеем
т.е. в соответствии с (20)
介3) = 一/2з"鑒。(25)
Формула (25) выражает диффузионное приближение для одномерного случая. Она легко обобщается на трехмерный случай. Для этого достаточно заменить 3% /дх на grad /о:
亍 3) = —?3)cgrad/o.(26)
Можно сказать, что диффузионное приближение применимо всегда, когда в разложении угловой части функции распределения по сферическим гармоникам можно пренебречь всеми членами, кроме первых двух. В дальнейшем наряду с обозначениями h и и мы будем использовать также h = h/(2тг) и g = 2тггл
Интеграл Росселанда и коэффициенты непрозрачности.
В случае полного локального термодинамического равновесия, когда вещество и излучение в каждой точке пространства характеризуются одной и той же температурой, для концентрации фотонов /о(^) согласно (6) имеем
%3) = 4*)=2加〃)=击…_
В диффузионном приближении в соответствии с (26) поток энергии, переносимой фотонами с частотой си, равен
户(си) = — g 2(G)cgrada(s),(27)
2 =砲)=/ ，(28)
Nga (1-
uQ)=方 g/oQ)=冃央/0_ 了(29)
Заметим, что функция распределения плотности энергии излучения “(g) нормирована по шкале g и, в соответствии с законом Стефана-Больцмана, записывается следующим образом:
77r2
и =“(g) dw = а/ ° =(30)
о
Суммарный поток лучистой энергии
戶=/ 户3) dw(31)
о
в диффузионном приближении будет определяться выражением вида
(32)(32)F = —— gradu.
(32)
(32)
Сопоставление формул (27), (31) и (32) дает среднюю по Росселанду длину свободного пробега фотонов (росселандов пробег)
В астрофизической литературе для характеристики свойств вещества по отношению к лучистому переносу наряду с росселандовым пробегом 2 используют величину
11
1
1
которую называют непрозрачностью (р — плотность вещества). Величину хя называют также коэффициентом поглощения фотонов, усредненным по Росселанду.
Хотя полный поток лучистой энергии (32), записанный в виде (см. (30))
F = grad 仇
совпадает по форме с обычным законом теплопроводности Фурье, уравнения, описывающие перенос энергии в высокотемпературной плотной среде, становятся существенно нелинейными, так как к = (4/3) СсаО3
Среднее по Планку. Излучение оптически тонкого слоя. Рассмотрим противоположный предельный случай, когда длина пробега фотонов сравнима с характерными размерами плазмы и приближение лучистой теплопроводности становится неприменимым. Обычно в этом случае можно пренебречь эффектами рассеяния.
Для плоского слоя плазмы в случае локального термодинамического равновесия в соответствии с (8) имеем
从 II =(/ - /Р М),(34)
где спектральный коэффициент поглощения с учетом вынужденного испускания
=冲^ (1- if •
(35)(35)Решение уравнения (34) для однородного слоя плазмы толщиной L в отсутствии каких-либо внешних источников имеет при 0 < ж < L следующий вид (ось / направлена перпендикулярно слою):
(35)
(35)
k吃氏5 =
Выходящее из слоя плазмы излучение (в единицу времени с единицы площади) при ж = L в положительном направлении оси / (从〉0)
определяется двойным интегралом
F+ = cfiw / ds / dfi 从/ = 2тгсНш
4〉0
О ОО О/ x(g)u(g) dw 15/ x(g)u(g) dw 15/ U(G)dw 7Г4/ U(G)dw 7Г4В соответствии с предположением о малости коэффициента поглощения х(си) заменим в (35) экспоненту ее разложением в ряд, сохранив два первых слагаемых. В результате для выходящего из слоя плазмы излучения получаем
О О
О О
/ x(g)u(g) dw 15
/ x(g)u(g) dw 15
/ U(G)dw 7Г4
/ U(G)dw 7Г4
называется коэффициентом поглощения фотонов, усредненным по Планку. Заметим, что выражение для потока F+ может быть записано в виде
= 2不覚ppLo。')
где а = са/4 — постоянная Стефана-Больцмана.
Квантовомеханические выражениядля эффективных сечений поглощения фотонов
1. Поглощение в спектральных линиях. Взаимодействие излучения с веществом при высоких температурах определяется поведением электронов в электромагнитном поле излучения. Для описания такого поведения обычно применяют нестационарную теорию возмущений к системе — электрон в поле излучения. При этом предполагается, что электрон в отсутствии поля находится в некотором стационарном состоянии, принадлежащем дискретному или непрерывному спектру.
В нерелятивистском приближении поправка к гамильтониану равна разности кинетической энергии электрона в присутствии поля излучения и без него
где р = —〃％▽ — оператор импульса электрона, А — векторный потенциал электромагнитного поля.
Второй член в (1) существенен лишь при очень больших плотностях излучения, когда становятся важными многофотонные процессы. В результате взаимодействие иона с полем излучения приближенно описывается оператором
打=-為e力・£・,
3
где сумма берется по всем электронам рассматриваемого иона, Aj — векторный потенциал поля излучения, действующий на J-й электрон.
В первом приближении теории возмущений полную вероятность поглощения фотона в единицу времени при переходе иона из состояния а в состояние b можно найти по формуле (см. [109]):
^2 ш2 ”(Gba) j "口&e凉弓(/(s).办卜^2 ш2 ”(Gba) j "口&e凉弓(/(s).办卜22
^2 ш2 ”(Gba) j "口&e凉弓(/(s).办卜
^2 ш2 ”(Gba) j "口&e凉弓(/(s).办卜
2
2
Здесь “(g) dw — плотность энергии излучения в интервале (g, g + ds); 3ba = % — &а)где 8。〉％ — энергии иона в начальном и конечном состоянии; к = ^Ъа/с — волновое число фотона; dQ^ — элемент телесного угла в направлении волнового вектора фотона к;力($)— единичный вектор поляризации фотона (s = 1,2);亏一радиус-вектор J-ro электрона иона.
Вероятность поглощения фотона в единицу времени с частотой в интервале (g,g + ds) при переходе иона из состояния а в состояние b определяется выражением
W(cj) du = WabJab(5d3,
где Jab(^) — форма линии поглощения (/ Jab(^) du = 1). Вопросам уширения спектральных линий посвящен § 4.
Для практических целей удобно от вероятностей переходов перейти к эффективным сечениям
CU^/^ba)-
=м(沟)) ⑵
(er。= (8/3) 7Г丁^ = 0, 665 • 10-24 см2 — сечение томсоновского рассеяния, го = е2/(тс2) — классический радиус электрона).
В большинстве случаев выражение (2) можно значительно упростить, используя электрическое дипольное приближение. Для расстояния rj электрона в связанном состоянии с главным квантовым числом п справедлива оценка rj 〜п2 /Z. Поэтому показатель экспоненты к • fj 〜з г § I с в формуле (2) обычно мал и при g < Zc/n2 экспоненту можно заменить единицей.
Переходя в (2) к дипольному приближению и учитывая связь матричного элемента оператора импульса электрона с матричным элементом радиус-вектора, получим для сечения поглощения при переходе иона из состояния а в состояние b следующее выражение (в атомных единицах):
⑶
где /。匕—сила осциллятора:
fab = |^"1e6|矶. ⑷ j
Сила осциллятора является безразмерной величиной, ее численные значения меньше единицы (см. теорему о сумме сил осцилляторов В [15]).
При получении выражения (4) для силы осцилляторов была использована следующая связь между матричными элементами импульса и радиус-вектора:
〈"同。〉 =imuba{b\f\a).
Как показано в [15], справедливо также соотношение
Таким образом, кроме (4), для сил осцилляторов можно получить еще два выражения, заменяя оператор fj на Pj/шьа^ или на Zfj/(党。芍). Если бы использовались точные волновые функции состояний а и Ь, то все три выражения должны были бы совпадать. Так как при вычислениях используются приближенные волновые функции, то три различных формы записи для сил осцилляторов могут давать различные результаты. Обычно операторы г и р/шъа приводят к одинаковым результатам, что же касается оператора Zf/(G》a 丁з), т0 вычисление сил осцилляторов с его помощью требует высокой точности волновых функций при малых г.
Перейдем в (4) к одноконфигурационному приближению. Пусть для заданной конфигурации электронов Q определен набор чисел заполнения {n?} и волновые функции для состояний |а〉, |Ь〉имеют вид линейной комбинации детерминантов (7) из § 2 гл. III (мы используем теорию возмущений для учета нецентрально-симметричной части электростатического взаимодействия электронов и их спин-орбиталь- ного взаимодействия). В отсутствии внешних полей (и пренебрегая внутренним электрическим микрополем) можно считать, что состояния \а) и \Ь) характеризуются некоторой величиной момента J и его проекцией на ось г, равной М. Так как для заданной конфигурации иона при фиксированных J и М может быть несколько состояний с различной энергией, то введем дополнительный индекс 7, однозначно определяющий состояние иона в принятом приближении. Мы пока что не фиксируем тип векторной связи, допуская возможность LS-, jj- или связи промежуточного типа (см. далее § 3). Имеем
I。〉三|7JM)= e0机骑т\ь)三lY^M^ = e戏2%2, qq'
где Ф®м, Ф^/М, — однодетерминантные волновые функции, построенные, например, из одноэлектронных функций вида
%(q) = 2П0т2ms (丁，G = ~ 区九2(丁)(- l)771‘匕ТП2 (仇夕)心m50)*
Так как оператор £ fj является суммой операторов, каждый из j
которых действует на координаты лишь одного электрона, то сила осциллятора /а& будет отлична от нуля лишь в случае, когда конечное состояние иона отличается от начального изменением положения только одного электрона (для описания состояний а и b используются одни и те же одноэлектронные функции), т.е.
/аЬ = ^Ьа ^2 (% М‘) ^qM^a^qq‘
八0 =也(q)加/3(q)dq,八0 =也(q)加/3(q)dq,(5)(5)
八0 =也(q)加/3(q)dq,
八0 =也(q)加/3(q)dq,
(5)
(5)
где 吵& (q),吵0 (q) — волновые функции электрона до и после перехода. В зависимости от начального и конечного состояния электрона процессы поглощения фотона удобно разделить на три группы:
поглощение в спектральных линиях, или связанно-связанные (bound-bound) переходы;
фотоионизация, или связанно-свободные (bound-free) переходы;
тормозное поглощение, или свободно-свободные (free-free) переходы.
Полное сечение поглощения в линиях, которое мы обозначим через сгьь(си), получается усреднением (3) по начальному состоянию а = \QyJM) и суммированием по конечным состояниям b = \Q'^' J'М'\.
CTbb(s) = ^^OufPafab Jab(5)⑹
где Ра — вероятность начального состояния иона.
При вычислении сил осцилляторов (в отличие от положения линий, см. § 3) неточность в вычислении зьа слабо влияет на результаты расчетов, поэтому эту величину можно заменить разностью средних энергий по конфигурациям Q и Q\ отличающихся изменением состояния одного электрона (электрон переходит из состояния а в состояние 0). В этом приближении зьа ~ BQ/ — EQ, где средние по конфигурациям энергии EQ и EQ/ определяются набором чисел заполнения {N^} и {N^ }. Вероятность состояния Ра gaPQ /gQ, где ga — статистический вес состояния a, PQ — вероятность реализации конфигурации Q, д@ — ее статистический вес ( £ ga = gQ).
aeQ
Поскольку дипольные переходы возможны только между конфигурациями, отличающимися состоянием одного (переходящего) электрона, изменяющего свой орбитальный момент на единицу, вместо суммирования по конечным конфигурациям Q' можно перейти к суммированию по одноэлектронным переходам тг2 —> п,^/. Если на уровне тг2 было в начальном состоянии N = N? электронов, а на уровне п,^/, соответственно, N' = N%,, то
9q = 9uC?q+2cx+2)
где до — статистический вес не участвующих в переходе оболочек.
Форму линии 4匕(必)при этом обычно считают зависящей лишь от конфигурации {N?} и квантовых чисел тг2 и п,^/ начального и конечного состояний электрона. Это соответствует тому, что группу линий заменяют одной линией с интенсивностью, равной суммарной интенсивности всей группы (мультиплета). Мы также воспользуемся здесь этим приближением, однако в § 5 будет показано, как можно учесть мультиплетную структуру спектра с помощью некоторого эффективного профиля.
Так как (см. [101])
2
£^JM^r^Q^'J'M1}=
yJMy'J'M'j
=Jo。/工:。義+1 £ \{n^mms\r\n',
mmsm' m's
то для сечения поглощения в линиях получаем следующее выражение [134, 205, 72]:
<7ьъМ = ^^(Jq^Pq £ N?qQ 71厶
⑺ Здесь J^ 九必(g) — форма линии поглощения при переходе тг2 —> п,^/, усредненная по конфигурациям Q и Q';用九必—сила осциллятора, усредненная по квантовым числам т, ms начальных состояний и просуммированная по квантовым числам m\ m's конечных состояний:
擒,= 2(22 + 1) £ £ 3 \Q'―纭)\^mms,n'Vm'm's | ,⑻
'丿 mms m'm^
rn£mms ,n'£' m' m's = /2Kmms(qN5qem《q) dq.(9)
Сумма no m, ms и m^ m's в (8) вычисляется с помощью соотношения (см. [15]):
( 2 + ° + 1/
I 2(22+0 P，
у nlmms^n'Vт'm's | 一
гдегдеЕ0при 0 #2±1,
где
где
『0
(10)(10)п£,п'£' =/ RiZ (丁)丁Rve (丁)d兀о
(10)
(10)
Разность средних энергий конфигураций в (8) можно заменить соответствующей разностью в приближении среднего атома по модели Хартри-Фока-Слэтера, что дает [100]
Eq, - Eq ^ e九%-£九2.
Таким образом,
о(后九①一e九2)ого/? I 1 \ (/九厶加nрй " 一 " 土 1, 用…32(22+1)(11)
、0при 夕 # 2 ± 1.
Для веществ с большим Z могут оказаться существенными релятивистские поправки. В первом приближении заменим одноэлектронные функции ^n£m£ms на функции ㈠几圻皿 где / — квантовое число, характеризующее полный момент электрона (т.е. сумму орбитального и спинового моментов). Так как для вычисления crbb(c(j) особенно важно учесть положение спектральной линии, то релятивистские поправки к энергии будем вычислять с помощью решения уравнения Дирака, а при вычислении сил осцилляторов для волновых функций ^n£jm будем исходить из нерелятивистского приближения, в котором
VW77n (q) = ^2 Cmg ^恤麻纟77127ns (力(12)
morris
где。片 1— коэффициенты Клебша-Гордана.
Таким образом, для веществ с большим Z в (7) величины
丿九必(g), 2q/； ][ fn^n'V следует заменить на
nQ
Для сил осцилляторов в релятивистском случае получим
fn£j,n'£'j' = у(£加《夕-£九叮)2/ + ] 22| ‘(13)
n£jm,n'£' j'm' = / ^n£jm^^n'£' j'm' dq.(14)
Дипольные матричные элементы (14) выражаются через коэффициенты Клебша-Гордана и суммирование в (13) по т, т' выполняется с помощью графических методов, разработанных в [111]. Окончательно получаем:
fn£j,n'£'j' = 3(£九必夕一£＜；•) (2/ + 1)(2 + '+1)屮2 ('/"№ (丁九厶九必)2,
где 屮(卩/2力 |1) — коэффициент Рака.
В результате сечение поглощения в линиях для веществ с большим Z можно записать в виде (ср. с ⑺)
°bb(G)=乎％о£& X
X £N烏— 2 fntj.n'Vj' J%加的心)•(15)
n£j,n'£'j'\ 丿 /
Использование водородоподобных функций, если это допустимо, значительно упрощает вычисление дипольных матричных элементов (10). При подстановке функций 笈九纟(丁) в виде (2) из § 2 гл. II (см. также дополнение, § 3, пп.2, 3) имеем
жоп£,П,£, = / e £Pn (上)d工忆ожоп£,П,£, = / e £Pn (上)d工忆о/ в—化 Pn ⑺ dx,/ в—化 Pn ⑺ dx,(16)(16)полином степениполином степенип'N.п'N.ооГ, No =(晉 + ^1) Го, Pn⑺—некоторыйГ, No =(晉 + ^1) Го, Pn⑺—некоторый
жо
п£,П,£, = / e £Pn (上)d工忆о
жо
п£,П,£, = / e £Pn (上)d工忆о
/ в—化 Pn ⑺ dx,
/ в—化 Pn ⑺ dx,
(16)
(16)
полином степени
полином степени
п'
N.
п'
N.
о
о
Г, No =(晉 + ^1) Го, Pn⑺—некоторый
Г, No =(晉 + ^1) Го, Pn⑺—некоторый
(17)(17)Квадратурная формула Гаусса с использованием полиномов Лагерра позволяет вычислять интегралы вида (16) точно вплоть до степеней N = 2sm^ — 1, где Smax ——число узлов в квадратурной формуле (при п < 10 можно положить Smax = 12). В результате была получена формула
(17)
(17)
(^nt^n'V ) = ZnQZn，и (£tiQ,nJU),
'n"= 3一(加2^ + 九2九%)2
п‘ Zn& + nZn，ип‘ Zn& + nZn，и①6)/26①6)/262% —,2% —,MnzO)MnzO)
п‘ Zn& + nZn，и
п‘ Zn& + nZn，и
①6)/26
①6)/26
2% —,
2% —,
MnzO)
MnzO)
Здесь /s, as — узлы и веса в квадратурной формуле Гаусса для интеграла (16) с использованием полиномов Лагерра L*⑺.
В таблице 5.1 приведены дипольные матричные элементы 丁九厶加« для золота при температуре Г = 0, 5 кэВ и плотности р = 1, 93 г/см3, полученные с использованием численных волновых функций (ХФС),
Таблица 5.1. Дипольные матричные элементы т九厶九/“ для золота при температуре Т = 0, 5 кэВ и плотности р = 1, 93 г/см3
疗0
формула (17)
ВКБ
X①e
1 0
2 1
0,016
0,016
0,016
1 0
3 1
0,006
0,006
0,006
2 0
3 1
0,029
0,037
0,037
2 0
4 1
0,012
0,016
0,016
2 1
3 0
0,009
0,013
0,015
2 1
3 2
0,058
0,059
0,060
2 1
4 0
0,001
0,005
0,006
2 1
4 2
0,026
0,023
0,024
3 0
4 1
0,037
0,068
0,068
3 1
4 0
0,021
0,045
0,047
3 1
4 2
0,066
0,093
0,093
3 2
4 1
0,019
0,031
0,035
3 2
4 3
0,146
0,149
0,151
квазиклассических волновых функций (7) из §2 гл. II (ВКБ), а также формулы (17). Расчеты проводились в потенциале Хартри-Фока- Слэтера. Из таблицы видно, что водородоподобное приближение (17) дает для основных переходов вполне приемлемые результаты, не описывая, однако, некоторые переходы с малыми значениями 丁九厶加« (см. 丁21,4。)• Заметим, что квазиклассические волновые функции дают более точный результат, чем водородоподобное приближение, для всех матричных элементов.
Таким образом, водородоподобное приближение (17) может оказаться грубым при описании деталей спектра поглощения, если в нем важны слабые линии (см. [184]).
Фотоионизация. Мы рассмотрели переходы, для которых начальное и конечное состояние электрона относятся к дискретному спектру. Рассмотрим теперь случай, когда конечное состояние (а также как конечное состояние, так и начальное) принадлежат непрерывному спектру. Процессы поглощения фотонов при таких переходах называются соответственно фотопоглощением (фотоионизацией) и тормозным поглощением. Сечения для таких переходов можно получить из формул для <Tbb(G)заменой волновых функций Rn^i (г) на волновые функции непрерывного спектра &必(丁)，нормированные в соответствии с условиями § 3 гл. II (более аккуратное рассмотрение процессов фотоионизации см. например, в [221]). Сумму по квантовым числам п' при этом следует заменить на интеграл по энергии £‘. Кроме того, если при рассмотрении процессов фотоионизации пренебречь эффектами уширения уровней и отклонением заполнения электронных состояний от среднего в непрерывном спектре, то выражение для сечения фотопоглощения в нерелятивистском дипольном приближении принимает
ВИД
dc\(18)(19)dc\(18)(19)bbf(G)=彳。%0 ^PQ^ / 卩 - /(У)] b(G - У + 對)附
dc\
(18)
(19)
dc\
(18)
(19)
(丁九2de)2 при 0=2±1,
ООпри 卩 # 2 ± 1.
О
О
В релятивистском приближении имеем
Obf(G)=号C%o£Pq £ N? J 卩 一 /(У)] “G — K+E^)用，£%”£；
(20)
用川2廿=3一加⑵』1)(2+，+ 1)俨 卜加；；1卜"£也)2. (21)
Здесь £о — граница непрерывного спектра, /©) = ；^
l + exp—)
—функция распределения электронов непрерывного спектра (она соответствует выражению:纟―-в формуле ⑺)，
丁/г 厶 de =丁/г 厶 de =『0/ Rn^r)rR£/£/ (r) dr.『0/ Rn^r)rR£/£/ (r) dr.(22)(22)
丁/г 厶 de =
丁/г 厶 de =
『0
/ Rn^r)rR£/£/ (r) dr.
『0
/ Rn^r)rR£/£/ (r) dr.
(22)
(22)
Рассмотрим метод вычисления радиальных интегралов (22) для случая, когда используются кулоновские волновые функции. Очевидно, что основной вклад в значение интеграла гп£^'£> дает область значений г в районе максимума функции R^M吟.В соответствии с идеей метода пробного потенциала вычисления кулоновских функций Rn^(r\ потенциал V(г) в области, где функция 笈九纟(丁) заметно отлична от нуля, можно заменить на кулоновский потенциал с внешней экранировкой
Р(П = —- Лг2・
Г
В соответствии с этим при вычислении интегралов 丁九厶ие в существенной для интегрирования области ri < г < Г2 в качестве функций
笈ие (丁) естественно использовать радиальные функции, являющиеся решением уравнения Шрёдингера для потенциала V (г):
Rs'V (г) = Си?久①(丁)+。£年 Gew (丁) (ri < г < 丁2)・(23)
Здесь 久/«(丁)— частное решение уравнения Шрёдингера с потенциалом V(г), которое при 丁 т 0 ведет себя как 丁"+】,a Gje(丁) — другое линейно независимое решение того же уравнения. Постоянные C^p и D^ ° следовало бы находить из условий сопряжения при г = ri функции Я£/£/(г), определяемой формулой (23), с решением уравнения Шрёдингера с потенциалом V(г) в области 0 < г < ri. Если решение (23) использовать начиная со значений г = 0, то следует положить Dm? = 0. Можно ожидать, что при небольших значениях ri второе слагаемое в (23) даст малый вклад в интеграл 丁九厶ие, особенно при небольших значениях главного квантового числа п. Справедливость этого предположения была проверена путем сравнения значений гп£?£/£/ , получаемых непосредственно с помощью решений уравнения Шрёдингера Яп£(г) и R£>^ (г), со значениями, полученными рассматриваемым методом.
Если не учитывать отклонения потенциала V (г) от V (г) при г < ri и принять Du# = 0, тогда вместо (23) имеем
Re'(^) = Cgiи 久，е(丁)，(24)
где при Н > ЛП£
久年(丁)沬Г下(^^+，+1,2,+ 2,2/丁) .(25)
Используя водородоподобные волновые функции для дискретного и непрерывного спектра, получаем [72]
中=3(п_Д1)!(п + £)!(泰)今/Q)X+4 义
x[d ±2〉)0 - 1 ±2〉)夕2,e(X)-夕九―e,e(x)『JJ [(足一『)A +『], S=1
(26)
A = Лп£ =碧，2〉= max(厶，)；
U — e九22n2
Рис. 5.2. Сечение фотоионизации в золоте (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в кэВ. Сплошная линия — расчеты по программе THERMOS с использованием численных волновых функций, пунктирная линия — водородоподобное приближение (26). На верхнем рисунке точками нанесены экспериментальные данные [148]Рис. 5.2. Сечение фотоионизации в золоте (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в кэВ. Сплошная линия — расчеты по программе THERMOS с использованием численных волновых функций, пунктирная линия — водородоподобное приближение (26). На верхнем рисунке точками нанесены экспериментальные данные [148]Для случая ^ = 1,^ = 0 произведение 口 [(п2 — s?)A + s?] необх0fди-
Рис. 5.2. Сечение фотоионизации в золоте (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в кэВ. Сплошная линия — расчеты по программе THERMOS с использованием численных волновых функций, пунктирная линия — водородоподобное приближение (26). На верхнем рисунке точками нанесены экспериментальные данные [148]
Рис. 5.2. Сечение фотоионизации в золоте (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в кэВ. Сплошная линия — расчеты по программе THERMOS с использованием численных волновых функций, пунктирная линия — водородоподобное приближение (26). На верхнем рисунке точками нанесены экспериментальные данные [148]
мо заменить на единицу. Функции 夕加2(入)вычисляются по рекуррент-мо заменить на единицу. Функции 夕加2(入)вычисляются по рекуррент-s=l
мо заменить на единицу. Функции 夕加2(入)вычисляются по рекуррент-
мо заменить на единицу. Функции 夕加2(入)вычисляются по рекуррент-
ным соотношениям
= — (m — l)(m + 2^)(^m_2,£(A) + 2[2A(m + ^ — n) —m — ^](pm-i,£W^
где m = 0,1,2,...,夕02(A) = 1,夕—i,z(X) = 0.
На рис. 5.2 (T = 0) проведено сравнение экспериментальных значений сечения фотоионизации в золоте [148], полученных при нормальных условиях, с результатами расчетов в различных приближениях. Расчеты проводились для температуры Г = 1 эВ и плотности р = 0,1 г/см3, так как сечения фотоионизации практически не зависят от температуры вещества в рассматриваемом диапазоне энергий фотонов Нш > 0,1 кэВ (здесь и в дальнейшем на графиках для краткости вместо Нш указано си). Зависимости от плотности при Т 〜0 также нет, так как сечения выражены в см2/г. В расчетах пороги фотоионизации и эффективные заряды вычислялись по модели Хартри-Фока-Слэтера с учетом релятивистских поправок по программе THERMOS.
Как можно видеть из графика, результаты, полученные с использованием численных волновых функций, хорошо согласуются с экспериментом во всем диапазоне энергий фотонов. Водородоподобное приближение, как и следовало ожидать, при Г = 0 дает хорошие результаты для всех внутренних оболочек (п < 3), что позволяет значительно упростить вычисления при больших энергиях фотонов. При температуре Г = 1 кэВ водородоподобное приближение согласуется с численным расчетом для всех учтенных оболочек (п < 9).
Тормозное поглощение. Для тормозного поглощения можно пренебречь отклонением чисел заполнения начального состояния от среднего, т.е. заменить &,對，N?* на 1, е и 2(22 + 1)/(£)соответственно, а также не учитывать релятивистские эффекты. В этом приближении сечение тормозного поглощения принимает вид
bff(s)=彳。％0^2 ^2 //2(22+1)/(e)[1 —/(£‘)3(g+£—E^/wgecfecfe'.
2
(27)
Суммирование производится от ^ = 0 до ^ = ^max (при 2〉^max область классического движения электрона оказывается за пределами атомной ячейки). При суммировании можно применить квадратурные формулы Гаусса, основанные на использовании полиномов Чебышева дискретной переменной [72, 80].
22Для вычисления сил осцилляторов удобно воспользоваться матричным элементом ускорения:
2
2
f - 21— 3 (U — £)3f - 21— 3 (U — £)3"го'
f - 21
— 3 (U — £)3
f - 21
— 3 (U — £)3
/ 笈曼(丁) 一^^~Re," (丁)dr
-0.
Рис. 5.3. Сечение тормозного поглощения в железе (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в эВ. Сплошная линия — расчеты по формуле (29), пунктирная линия — по программе STA [140]. Расчеты проведены при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3 (а), а также при температуре Т = 600 эВ и плотности р = 8 г/см3 (Ь)Рис. 5.3. Сечение тормозного поглощения в железе (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в эВ. Сплошная линия — расчеты по формуле (29), пунктирная линия — по программе STA [140]. Расчеты проведены при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3 (а), а также при температуре Т = 600 эВ и плотности р = 8 г/см3 (Ь)сече-сече-内心)=2,384- 106-^^内心)=2,384- 106-^^//И С1 - f^^g^^^de, о//И С1 - f^^g^^^de, о(29)(29)
Рис. 5.3. Сечение тормозного поглощения в железе (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в эВ. Сплошная линия — расчеты по формуле (29), пунктирная линия — по программе STA [140]. Расчеты проведены при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3 (а), а также при температуре Т = 600 эВ и плотности р = 8 г/см3 (Ь)
Рис. 5.3. Сечение тормозного поглощения в железе (см2/г) в зависимости от энергии фотонов в эВ. Сплошная линия — расчеты по формуле (29), пунктирная линия — по программе STA [140]. Расчеты проведены при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3 (а), а также при температуре Т = 600 эВ и плотности р = 8 г/см3 (Ь)
сече-
сече-
内心)=2,384- 106-^^
内心)=2,384- 106-^^
//И С1 - f^^g^^^de, о
//И С1 - f^^g^^^de, о
(29)
(29)
В приближении Борна-Эльверта [101] с учетом вырождения ние тормозного поглощения можно записать в виде
где Z。— среднее число электронов непрерывного спектра,
д(У,£)д(У,£)"V £- V"V £- V1 — ехр [—2тг2о/а/^]1 — ехр [—2тгХо/д/2ё]1 — ехр [—2тг2о/а/^]1 — ехр [—2тгХо/д/2ё](30)(30)
д(У,£)
д(У,£)
"V £- V
"V £- V
1 — ехр [—2тг2о/а/^]
1 — ехр [—2тгХо/д/2ё]
1 — ехр [—2тг2о/а/^]
1 — ехр [—2тгХо/д/2ё]
(30)
(30)
Расчеты сечений тормозного поглощения по формуле (29) для
плазмы железа в существенно разных областях по температуре и плотности приведены на рис. 5.3. Там же для сравнения приведены результаты расчетов с использованием численных волновых функций по программе STA [140]. При температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3 (разреженная низкотемпературная плазма, см. рис. 5.3а)) при вычислении сечений по волновым функциям используются специальные методы суммирования по квантовому числу 2, так как число слагаемых в (27) очень велико. При температуре Т = 600 эВ и плотности р = 8 г/см3 (плотная высокотемпературная плазма, см. рис. 5.3b)), основная сложность заключается в численном интегрировании по энергии £, так как при больших £ подинтегральные функции сильно осциллируют.
Как видно из рисунков, в области не слишком больших энергий фотонов (си/。< 5) результаты расчетов по волновым функциям и в приближении (29), (30) (типа Борна-Эльверта) дают практически совпадающие результаты.
Комптоновское рассеяние. Для сечения комптоновского рассеяния с учетом формулы Клейна-Нишины [67] и результатов [207] получена следующая интерполяционная формула [72]:
OsQ) = ooZo/(E,T), (31)
где Е — энергия фотона, Т — температура вещества (石 и Т выражены в кэВ),
〃旦 7) = {〃旦 7) = {при Г < 2 или Е < 0,25;
〃旦 7) = {
〃旦 7) = {
矶石)(Т —2)+ Ь(Е), при Г > 2 и Е > 0,25;
J 2,04 • КГ5石—6,44 • 10-4住 +5,13- IO-3, Е < 215;
[3,04 • 10一5石—1,455 • 10一4V/^ + 1,53- IO"3, Е > 215;
Ь（石）=Ь（石）=6,622 • ICT4石—5,365 . Ю"2^ + 1,1116, Е < 215;
Ь（石）=
Ь（石）=
8,455 • 10一4石一5/57 • 10一2V/^ +г 0273, e > 215.
Полное сечение поглощения фотонов с учетом вынужденного излучения и процессов рассеяния определяется суммой
cr(G)= (1 - е~х) KbbQ) + bbfQ) + cTff(s)] + bs(G), / = ^・(32) C7
Для смеси элементов Z〃 (г = 1, • • • , N) с массовыми долями mi (£ mi = 1) коэффициент поглощения в см2/г (непрозрачность) имеет вид
(33)(33)
(33)
(33)
где N/ — постоянная Авогадро, 4〃 — атомный вес,内(си) — сечение поглощения для г-того элемента смеси (см. также [204, 196]).
Вклад различных процессов в росселандово среднее проиллюстрирован в табл. 5.2 на примере железа. Как видно из таблицы, линии
Таблица 5.2. Степень влияния различных процессов поглощения на росселандово среднее в плазме железа при температуре Т = 100 эВ и различных плотностях. Приведены средние по Росселанду коэффициенты поглощения в см2/г: ”丘一 учтены все процессы; "^九 ——расчет без учета линий; м^ — учтено только тормозное поглощение
р, г/см3
貝СОП
哺
0,0001
9,19
1,57
0,0094
0,001
38,6
И,4
0,0773
0,01
261
89,4
0,641
ОД
1240
551
4,48
1
2820
1760
27,5
7,86
4130
3190
171
50
8500
8400
785
1000
21600
21600
20900
10000
29700
29600
28400
определяют росселандов пробег при малых плотностях; при больших плотностях основным становится тормозное поглощение.
Особенности поглощения фотоновв спектральных линиях
Из перечисленных в § 2 процессов поглощения фотонов электронами наиболее сложным как с точки зрения теории, так и с точки зрения объема вычислений является процесс поглощения фотонов в спектральных линиях. Дело в том, что для учета линий необходимо, во-первых, детально описать структуру уровней (термов) огромного количества индивидуальных состояний ионов в плазме и найти вероятности реализации таких состояний. Во-вторых, структура термов дает лишь положение спектральных линий, а для определения их интенсивностей (сил осцилляторов) необходимо построить волновые функции всех состояний ионов в плазме. Наконец, сложнейшую задачу представляет собой вычисление формы (профиля) линий поглощения, которую определяют эффекты взаимодействия иона со свободными электронами и другими ионами плазмы, с полем излучения и эффект Доплера. Этим вопросам посвящено большое количество литературы, в том числе широко известные монографии и учебные пособия (см. например, [31]). Свою задачу авторы видят в построении таких
алгоритмов, которые позволили бы доводить вычисления до удовлетворительного результата даже при наличии сотен тысяч спектральных линий. В настоящем параграфе будет рассмотрено распределение вероятностей различных состояний ионов и положение спектральных линий. Вычислению профиля линий посвящен следующий параграф.
Распределение вероятностей возбужденных состояний ионов. Распределение вероятностей PQ возбужденных состояний ионов для конфигурации Q с числами заполнения N§ (沙一набор квантовых чисел, определяющий одноэлектронный уровень) можно вычислить исходя из распределения Гиббса
р 1( Е -卩 N
где Eq — энергия иона,从—химический потенциал, NQ = £ N?, gQ — статистический вес конфигурации Q:”
Q — статистическая сумма по всем конфигурациям ионов:
a =工气 exp(^
Для предварительной оценки наиболее вероятных конфигураций можно использовать биномиальное распределение [130]. В этом приближении вероятности заполнения уровней
_1
1 +exp (門也)
считаются независимыми, и полная вероятность реализации конфигурации Q с заданными числами заполнения N? определяется биномиальным распределением
建氾=n咪‘2門(1-加产.N"(1)
При использовании распределения Гиббса удобно вместо PQ ввести обозначение
Pks = ^gksexp「；&°s。｝⑵
где к — кратность ионизации конфигурации Q (А; = 0,1,..., kmax = Z); s — номер возбужденного состояния (s = 0,1, 2,...);如，s。— кратность ионизации и номер состояния наиболее вероятного иона (иона с числами заполнения наиболее близкими к средним значениям); P^s — вероятность нахождения иона в состоянии s с кратностью ионизации к (Рк = £ Pks)〉П& — соответствующая статистическая сумма:
с L/ Eks — Ekusu、
* 9&s exp I
Вероятности P^s и 几 удовлетворяют условиям нормировки
^Pks = 1,£р& = 1.
В расчетах обычно учитываются лишь те конфигурации Q, для которых PQ больше некоторого заданного значения. Из этого условия определяются границы изменения чисел заполнения N§.
Для определения вероятностей P^s необходимо установить связь между ионизацией и химическим потенциалом. Предположим, что модель среднего атома дает правильное значение ионизации, тогда должно выполняться условие £ 衣几=Z°. Для определения 几 по- к
лучаем следующую систему уравнений
=exp (力=exp (力
=exp (力
=exp (力
⑶⑶£p& = 1,
⑶
⑶
^kPk = Z。,
где 力—новое значение приведенного химического потенциала.
Чтобы найти величину《=е% был использован метод Ньютона для уравнения
где
^max
F = F(Q =《瓦 ％(Q,加(Q = £ Q,
k=Q
(суммирование по к удобно проводить начиная с к = ® увеличивая и уменьшая к до тех пор, пока соответствующие состояния не становятся маловероятными).
Схема итераций имеет вид
1（р）1（р）⑷⑷小+D _/0/2 +尤Zo -尤/оЛ + /о/l - /1
1（р）
1（р）
⑷
⑷
где начальное значение《⑼ вычисляется с помощью 亓⑼=ту, полученного по модели среднего атома. Итерационная схема (4) получена по аналогии со схемой для нахождения концентраций ионов в модели Саха (см. формулу (19) из §2 гл. VI).
Рис. 5.4. Распределение вероятностей возбужденных состояний ионов в зависимости от кратности ионизации к для плазмы золота при плотности р = 0,1 г/см3 и температурах: (а) Т = 1 кэВ, (b) Т = 50 эВ. Сплошной линией обозначено распределение вероятностей, полученное по распределению Гиббса (2); штрихами нанесено биномиальное распределение (1)Рис. 5.4. Распределение вероятностей возбужденных состояний ионов в зависимости от кратности ионизации к для плазмы золота при плотности р = 0,1 г/см3 и температурах: (а) Т = 1 кэВ, (b) Т = 50 эВ. Сплошной линией обозначено распределение вероятностей, полученное по распределению Гиббса (2); штрихами нанесено биномиальное распределение (1)
Рис. 5.4. Распределение вероятностей возбужденных состояний ионов в зависимости от кратности ионизации к для плазмы золота при плотности р = 0,1 г/см3 и температурах: (а) Т = 1 кэВ, (b) Т = 50 эВ. Сплошной линией обозначено распределение вероятностей, полученное по распределению Гиббса (2); штрихами нанесено биномиальное распределение (1)
Рис. 5.4. Распределение вероятностей возбужденных состояний ионов в зависимости от кратности ионизации к для плазмы золота при плотности р = 0,1 г/см3 и температурах: (а) Т = 1 кэВ, (b) Т = 50 эВ. Сплошной линией обозначено распределение вероятностей, полученное по распределению Гиббса (2); штрихами нанесено биномиальное распределение (1)
В качестве примера рассмотрим распределение вероятностей возбужденных состояний ионов в золоте, вычисленное при различных температурах (см. рис. 5.4). Как можно видеть из рисунка, при температуре Г =1 кэВ биномиальное распределение и распределение Гиббса мало отличаются друг от друга, в то время как при температуре Т=50 эВ отличие существенно.
Положение спектральных линий. Для вычисления центра группы спектральных линий поглощения, соответствующих конфигурации Q = {N?}, рассмотрим конфигурацию 0 = {N^ }, отличаю-
щуюся от Q положением одного электрона:
，N% 沙# а,0；
N? = < N? — 1, г/ = а;
、N9 + 1, и = 3・
В нерелятивистском приближении центр группы линий определяется разностью энергий конфигураций Q и Q' (см. формулу (24) из § 2 гл. III):
Eq/ -EQ=Ia-I^ + £n?Eb - H,J + (8^ -笈^).(5)
Вычисляя Eq по волновым функциям среднего атома, полученным, например, по модели Хартри-Фока-Слэтера, в наиболее простом приближении можно положить
ЗаВ = Eq, — Eq . ⑹
В случае водородоподобных волновых функций, полагая v = п^, А = п^ и сохраняя лишь первые члены в разложении EQ по интегралам Слэтера, получаем простые выражения (см. гл. III, § 2, п. 3):
2(2+1)2丁22(2+1)2丁2
2(2+1)
2丁2
2(2+1)
2丁2
где_
nZn£ + nZ 款nZn£ + nZ 款nZn£ + nZ 款nZn£ + nZ 款^n2(N)=^n2(N)=
nZn£ + nZ 款nZn£ + nZ 款
nZn£ + nZ 款nZn£ + nZ 款
^n2(N)=
^n2(N)=
Релятивистские поправки можно учесть, полагая
^n£j,n' V j' = 3nQ,n‘ Q‘ + ^n' £' j' — E/Ve — ^n£j + ^n£ • (7) Для сил осцилляторов остаются справедливыми формулы (19), (21) из § 2.
Волновые функции атома и сложение моментов. В приближении центрального поля каждой электронной конфигурации Q соответствует набор состояний, отличающихся взаимной ориентацией орбитальных и спиновых моментов электронов. Отнесение всех этих состояний к одному и тому же энергетическому уровню иона (атома) возможно до тех пор, пока мы пренебрегаем спин-орбитальным взаимодействием, а также той частью электростатического взаимодействия между электронами, которая не учитывается в приближении центрально-симметричного поля.
Совместное рассмотрение таких взаимодействий представляет собой весьма сложную задачу, поэтому обычно используют теорию возмущений, причем считается, что одно из взаимодействий намного меньше другого. В таком приближении волновую функцию иона можно построить путем выбора определенной схемы сложения моментов на основе некоторого типа их векторной связи. Говоря о различных типах связи, подразумевают, по существу, только тот факт, что неучтенные в самосогласованном потенциале электростатическое и спин-орбитальное взаимодействия можно интерпретировать как связи разных типов между векторами орбитального 2 и спинового s моментов электрона.
Основная часть энергии спин-орбитального взаимодействия описывается выражением
匕。匕。М1dV 亠М1dV 亠⑻⑻
匕。
匕。
М1dV 亠
М1dV 亠
⑻
⑻
где V(г) — потенциал, в котором движется электрон. Для большинства атомов спин-орбитальное взаимодействие, как правило, значительно меньше электростатического, поэтому им пренебрегают из-за наличия в (8) малого параметра о?. В таких случаях используют приближение LS-связи, при этом орбитальные и спиновые моменты связываются (складываются) независимо, а затем получают полный момент иона J = L + S.
С ростом Z относительная роль спин-орбитального взаимодействия быстро возрастает, и понятия орбитального и спинового момента электрона в отдельности теряют смысл. Можно говорить лишь о полном моменте каждого электрона / = 2 + £ В этом случае обычно используют приближение JJ-связи, в котором сначала связывают моменты 2〃 и 豆 в полный момент /〃, а затем все эти индивидуальные моменты связываются в суммарный момент иона J = ^2ji- Подробное описание соответствующих методов приведено в книгах [71, 25, 94].
Для многозарядных многоэлектронных ионов, находящихся в сильно возбужденном состоянии (возбуждены два и более электронов), приближение LS- или JJ-связи, как правило, неприменимо, так как
спин-орбитальное взаимодействие и неучтенное в самосогласованном потенциале электростатическое взаимодействие — величины одного порядка (особенно для р — d или d — / переходов внутри оболочки). Во многих случаях необходимо также учитывать взаимодействие конфигураций и использовать многоконфигурационное приближение [94].
Мы рассмотрим некоторый сравнительно трудоемкий по вычислениям способ построения волновых функций ионов, который, тем не менее, является достаточно наглядным. Применяемый нами метод прямой диагонализации позволяет в одной манере получать различные приближения: LS-связь, JJ-связь, а также связь промежуточного типа, выбирая различные представления для исходных функций.
Рассмотрим, например, связь промежуточного типа с использованием одноэлектронных функций в представлении nljm. Для заданной конфигурации Q = {N" будем учитывать все ее подконфигурации q — {NnQjm} (NnQjm =。ИЛИ Nn£jm = 1) ТЯКИб, ЧТО g ^n£jm = N^Q. jm
Для каждой подконфигурации q можно построить однодетерминант- ную функцию
^qm = -^= det ||^(5,6Tfe)||,(9)
где к = 1,2, .. .N (N — число электронов: N = £ NQ)а каждому г поставлены в соответствие квантовые числа n^Jm, определяющие состояние электрона с волновой функцией
VW2(%G = ；M№) £ с±2尸匕g(仇夕)心恤。).(1。)
m0ms
Функции ^n£jm могут быть получены путем решения уравнений Хартри- Фока-Слэтера и в этом случае являются собственными функциями гамильтониана
с 1
где V (г) — самосогласованный потенциал Хартри-Фока-Слэтера. Для многоэлектронного иона гамильтониан Н не есть сумма гамильтонианов (11) по всем электронам, так как в (11) учтена лишь главная часть взаимодействия, которая может быть описана центрально-симметричным самосогласованным потенциалом. Оставшаяся нецентрально-симметричная часть, а также другие взаимодействия (в частности, спин- орбитальное) представляют собой поправки к 瓦=£〃 瓦(咒)и могут быть учтены по теории возмущений. Для определенности будем учитывать лишь основные поправки и положим [71]
где, кроме электростатического взаимодействия электронов с ядром и между собой, учтено спин-орбитальное взаимодействие.
Однодетерминантная функция ^qM будет собственной функцией оператора проекции полного момента на ось г, величина которой определяется по формуле
М =〉: mNn£jm.n£jm
Будем искать волновую функцию иона, которая будет собственной функцией для операторов %,户 и Н в первом порядке теории возмущений. Как известно, в нашем случае достаточно, чтобы искомая функция WqjM была собственной функцией гамильтониана 方, тогда она будет собственной функцией для 户 и для Jz (см. [101]; дополнительный индекс 7 введен для того, чтобы отличать решения с одними и теми же J и М). Представим функцию ^^jm в виде линейной комбинации функций (9):
田?JM = e小也.(13)
Коэффициенты разложения находим путем решения секулярного уравнения
e玛2(①曲"〉-石)=。，(14)
где каждое собственное значение Е = E：jm и каждый собственный вектор {с工} отвечают определенным значениям 7, J и М. Из условия независимости энергии Е от М можно провести классификацию состояний и определить величины J и М для каждого решения. Если для определенных J и М таких векторов несколько, то для их отличия используем индекс 7.
Матрица {^Н^} вычисляется следующим образом (см. [62, с. 171]). Если подконфигурации q и q‘ совпадают (диагональные элементы), то
® 方⑺=fNa(1a + △/) + gfNaNBHaB， (15) где
a = {n£jm},0 = {n7,/m,},
△石& _ &,厶 ja(ja + 1)—厶(厶 + 1) — 4 ，
Двухэлектронный матричный элемент определяется выражением
На0 =〈《ВНа0 =〈《В丁 12丁12丁 12丁12
На0 =〈《В
На0 =〈《В
丁 12丁12
丁 12丁12
где
/ . 1l/y %а。)少后е)麻©ем后е)八八
/々1々、 l ff 2以八e雑仅^о'УФАМе’УФвсе 不阿=§ JJ也配
(в последнем выражении ненулевые члены соответствуют состояниям а и 0 с одинаковым направлением спина). Если подконфигурация q‘ получена из q изменением состояния только одного электрона (пусть в подконфигурации q он занимает состояние а, а в подконфигурации q1 — состояние 7), тогда
⑷曲|q〉= ( —1)X^3⑷曲|q〉= ( —1)X^3
⑷曲|q〉= ( —1)X^3
⑷曲|q〉= ( —1)X^3
где Р — число соответствующих перестановок для получения из подконфигурации q подконфигурации ~ (см. [62]). Если выбрать некоторую нумерацию всех возможных состояний электронов, в которой а < ^, 7 < J, то величина Р будет равна сумме всех занятых состояний, находящихся как между а и 仇 так и между)и 8.
В случае, когда изменено состояние двух электронов (а —>), 0 —> 8)
3曲⑺=(-1广3曲⑺=(-1广
3曲⑺=(-1广
3曲⑺=(-1广
В остальных случаях, при изменении состояний более чем двух электронов, {qf\H\q) = 0.
При вычислении матричных элементовс использо-
丁 12
ванием одноэлектронных волновых функций (10) можно провести
интегрирование по угловым переменным и суммирование по спиновой переменной сг. В результате получаем
где
D^rn> = (—1 严"，(22+1)(2е + 1) х
Q 衣 а、(2 k
X yO 0 0 丿 у—m т — т1 т1 J， 笈^^ = // ^ТRn3 6)Rn。е"2)Rnd，\)Rnl g) dr\ 办2・(16) Вычисление собственных значений и собственных векторов можно проводить на основе стандартных процедур, например, методом Якоби. ПРИМЕР. Рассмотрим более подробно случай двух ^-электронов в одноконфигурационном приближении, предполагая промежуточный тип связи, т.е. считая, что поправки за счет спин-орбитального взаимодействия и нецентрально-симметричной части электростатического взаимодействия —одного порядка. Два ^-электрона могут занимать 6 различных состояний с разными квантовыми числами j)m (J = 1/2,т = = ±1/2; J = 3/2,т = ±1/2, ±3/2). Одноэлектронные волновые функции этих состояний определяются по формуле (10), а однодетерми- нантные функции подконфигурации q, где заняты состояния 以 =Jimi м 沙2 = 72^2, имеют вид
1(П,cГ1)%1 后，02)
WqM = ФоО,
賑2ab1)賑2⑺曾2)
где Фоо — волновая функция ионного остова, состоящая из полностью заполненных оболочек (взаимодействием конфигураций пренебрегаем) .
Так как М = mi + m2, то, например, для М = 2 имеют место две различных однодетерминантных функции с 九=3/2, mi = 3/2; 72 = 3/2, m2 = 1/2 и Ji = 3/2, mi = 3/2;力=1/2, m2 = 1/2. Матрица
< q\H\qf〉при М = 2 имеет вид
q
31 3. 31 1
2 + 2, 2 + 2
1 +
3. 11 1
2 5 2 丁 2
3
2
+
3. 3
2
+
1
2
Fq — ЗЕ + С
—
3
2
+
3. 1 2，2
+
1
2
Fq —
三一e/2
Здесь
厅—_J_ е>(2)2 - 25C九2九厶九2九2，厅—_J_ е>(2)2 - 25C九2九厶九2九2，
厅—_J_ е>(2)
2 - 25C九2九厶九2九2，
厅—_J_ е>(2)
2 - 25C九2九厶九2九2，
где Я^^ пЫ — слэтеровские интегралы (16) для оболочки с главным квантовым числом п и орбитальным числом 2 = 1. Заметим, что вычисляется энергия только двух ^-электронов. Диагонализация этой матрицы дает два терма
圖=局-2弓+ 7/4 ± j吟-沁+ ±2
(используются традиционные обозначения с указанием доминирующего терма).
Для М = 1 имеем
3,3.3 _ 1
2 十 Е，Е — 2
3
2
+ 3. 1 _
Т 2，2
_ 1 一 2
3
2
十2，2 十2
3
2
+
3. 3 _ 1
2 5 2 — 2
盟-3f2 + e
3
2
+
3. 1 _ 1
2 5 22
局
-4兄一
C/2
V3F2
3
2
+
I. I _L I 2，2 T 2
V3F2
局
—2兄—C/2
Диагонализация дает, кроме уже полученных двух решений, дополнительный терм
3鸟=局—5F2 + С/2.
И, наконец, для М = 0 имеем
3 1 3 . 3 _ 3
22 5 22
3,1. 3_ 1
豆T豆，22
3,1. 1 _ 1
豆T豆，22
3_ 1 . 1 1 1
22，22
ill. 1 _ 1
豆T豆，22
3
2
+
3. 3 _
2，2
3
2
尸0+尸2+C
—4尸2
-，5 尸2
-，5 尸2
5尸2
3
2
+
I. з _
2，2
丄 2
—4尸2
尸o+尸2+C
-V2F2
-V2F2
—5尸2
3
2
+
1 . 1 _
2，2
丄 2
一，^ 尸2
一，^ 尸2
瓦—3尸2+C/2 2尸2
0
3
2
—
2 ' 2 丁
丄 2
-，5 尸2
-，5 尸2
2尸2
尸0—3 尸2+C/：
20
1
2
+
2，2
丄 2
5尸2
一5尸2
0
0
瓦一2C
Диагонализация этой матрицы дает, дополнительно к полученным, следующие термы
局 + |^2 - 7/2 土 у ^^М + ^弓彳 + ±・
Численные результаты для различных конфигураций пр2 ионов алюминия, железа, молибдена и золота, полученные путем прямой диагонализации рассматриваемых матриц (они совпадают с расчетами по аналитическим формулам), приведены в таблице 5.3. Энергии термов
Таблица 5.3. Энергии термов в атомных единицах для различных конфигураций пр2 ионов алюминия, железа, молибдена и золота
терм
J
Al
Fe
Mo
Au
Зр
0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1
0,0084
0,0410
0,0695
0,5300
2
0,0230
0,0849
0,1153
0,6037
1D,
2
0,2183
0,2324
0,2411
1,1892
勺
0
0,5212
0,4640
0,3974
1,3566
выражены в атомных единицах и отсчитаны от минимальной энергии по конфигурации. Значения интегралов Слэтера и параметров《, вычисленных по модели Хартри-Фока-Слэтера для соответствующих конфигураций, приведены в таблице 5.4.
Таблица 5.4. Интегралы Слэтера и параметры《в атомных единицах для конфигураций пр2 ионов алюминия, железа, молибдена и золота (см. табл. 5.3)
Элемент
п
Конфигурация (нижние оболочки полностью заполнены)
^nlnl,nlnl
^nlnl,nlnl
А1
2
2s2 2@2
1,79271
0,84045
0,00151
Fe
3
3$2 3@2
1,25282
0,63666
0,00551
Мо
4
4s2 4@2
0,80900
0,43070
0,07596
Au
5
5s2 502
0,90334
0,49448
0,40953
Из таблиц видно, что величина мультиплетного расщепления достигает 35 эВ для золота, что гораздо больше ширины спектральной линии (см. далее § 4). Эффекты мультиплетного расщепления особенно важны, когда основной вклад в росселандов пробег дают р — d и d — f переходы многоэлектронных ионов (см. § 5). В этом случае число компонент мультиплета достигает нескольких сотен.
Форма спектральных линий
В силу того, что ион в возбужденном состоянии может существовать только в течение некоторого конечного промежутка времени г, энергия иона в этом состоянии согласно известному соотношению неопределенностей для энергии определена с точностью до △石 〜 方/т. Поэтому спектральная линия не может быть монохроматической, а представляет собой набор монохроматических линий, т.е. имеет некоторую форму. Вероятность поглощения фотона в единицу времени с частотой в интервале з, g + ds при переходе иона из состояния а в состояние b будет равна
W^duj = Wab J(cj) du,(1)
где Wab — полная вероятность перехода (в единицу времени) из состояния а в состояние 仇 т.е.
/ W^du = Wab,
что эквивалентно нормировке / J(G)ds = 1. Выражение для вероятности перехода Wab приведено в § 2. Здесь же мы будем интересоваться лишь относительным распределением интенсивности J(g).
В рамках классической электродинамики распределение интенсивности спектральной линии описывается дисперсионной формулой Лоренца
— (7/2)2 (2)
(си。— положение центра спектральной линии, величина 7 называется шириной линии). Квантово-механическое рассмотрение взаимодействия свободного атома с электромагнитным полем также приводит к формуле (2). Величина 7 в этом случае называется естественной (или радиационной) шириной линии. В общем случае, когда профиль линии не является лоренцовским, шириной линии называют расстояние между точками контура, в которых интенсивность равна половине максимального значения.
Естественная ширина линии 7 для перехода атома из состояния а в состояние b согласно квантовой теории равна сумме ширин начального и конечного состояний: 7 = 7а + 7б, где 7a = 1/та, та — среднее время жизни атома в состянии a; 7b = 1/衣 ％ — среднее время жизни атома в состоянии Ь. Существуют также и другие причины, приводящие к уширению спектральных линий. Перечислим основные из них.
Во-первых, столкновения электронов (а также ионов) с рассматриваемым ионом уменьшают время жизни иона в данном возбужденном состоянии.
Во-вторых, электрические поля в плазме расщепляют и смещают энергетические уровни. Поэтому вместо одной линии с определенной частотой появляется много линий с близкими частотами, испускаемых разными ионами. Такой эффект называют штарковским уширением линий.
Далее, в результате хаотического теплового движения излучающих ионов возникает смещение частоты спектральной линии, испускаемой движущимся ионом. Это так называемое доплеровское уширение линии.
Кроме того, некоторый вклад в уширение линий может дать конкурирующий с испусканием фотонов процесс автоионизации (эффект Оже). В рассматриваемой области температур и плотностей этот эффект, как правило, можно не учитывать.
При термодинамическом равновесии форма линий поглощения совпадает с формой линий испускания. Благодаря тому, что спектральные линии не строго монохроматичны, а занимают некоторую полосу частот, дискретно-дискретные переходы могут оказывать значительное влияние на величину среднего по Росселанду пробега фотонов, так как количество спектральных линий для элементов с большим Z может быть огромным.
Эффект Доплера. Наиболее простым из эффектов, приводящих к уширению спектральных линий, является эффект Доплера.
Пусть J(ш) dw — распределение интенсивности без учета эффекта Доплера. Если ион испускает спектральную линию с частотой сУ и движется со скоростью о в направлении луча зрения к наблюдателю, то в неподвижной системе координат будет наблюдаться спектральная линия с частотой g = ш\1 + ^/с). Это означает, что распределение интенсивности спектральной линии при заданных значениях J и v будет равно b(s — J(1 + v/c)) dw.
Если W(v) — нормированная на единицу функция распределения ионов по проекциям скоростей на выделенное направление, то вероятность того, что ион, скорость которого в направлении луча зрения лежит в интервале (о, v+dv), испустит спектральную линию с частотой в интервале (сУ, сУ + cL/), будет равна произведению J^) dw‘ W(v) dv. Поэтому распределение интенсивности в неподвижной системе координат с учетом эффекта Доплера имеет вид
dw = dw / J ^cj — cj, ^1 + -^ J)do.
После интегрирования no g\ полагая 1/ (1 + ^) « 1 — ^, получим
Ji(s) / J ^cj — W(v) dv.
В случае максвелловского распределения скоростей ионов
W(о) dv =W(о) dv =do,do,⑶⑶
W(о) dv =
W(о) dv =
do,
do,
⑶
⑶
где М = 1836 А — масса иона, А — атомный вес, имеем
D =D =где
D =
D =
Электронное уширение в ударном приближении. Учету влияния на форму линии взаимодействия излучающего иона с другими ионами и с электронами посвящено большое количество работ (см. [114, 161, 151, 31, 60]). Мы ограничимся рассмотрением двух предельных случаев, первый из которых соответствует взаимодействию
медленных частиц с излучающим атомом (статистическая теория), а второй — взаимодействию быстрых частиц (ударная теория).
В первом случае взаимодействие мало меняется за время, характерное для рассматриваемого процесса поглощения фотонов, т.е. оно является квазистатическим и приводит в основном к сдвигу линий. Распределение интенсивности линии J(g)cLj в этом случае равно вероятности того, что положение линии с учетом взаимодействия с возмущающими частицами будет заключено в интервале з〉ш + du. В нашей области температур и плотностей статистическая теория хорошо описывает взаимодействие с ионами, так как среднее время жизни возбужденных состояний иона гораздо меньше времени, за которое ион пролетает расстояние порядка среднего расстояния между ионами.
Элементарное изложение ударной теории впервые было дано Лоренцем. Согласно Лоренцу возмущающие частицы при столкновении с излучающим атомом полностью прекращают процесс излучения, что и приводит к нарушению монохроматичности излучения.
Предположим, что атом испускает излучение частоты cjq в промежутке времени от 0 до Т. Тогда распределение амплитуд, которое можно получить с помощью разложения в интеграл Фурье,
т
t=Tt=T~e"…。"dt =— -
t=T
t=T
0
Если бы наблюдался единичный акт излучения, то распределение интенсивности по частотам было бы пропорционально | J(cj, Т)\2 du. Однако наблюдаемая линия представляет собой смесь излучений от многих атомов, излучающих в течение различных промежутков времени, в среднем равных г — величине, обратно пропорциональной частоте столкновений vc. Вероятность того, что данный атом излучает в течение Т, есть (1/т) е~т^т. Поэтому распределение интенсивности наблюдаемой линии будет равно
о
Мы получили дисперсионную кривую Лоренца, полная ширина которой на половине максимума интенсивности равна 2沙^.
Мы не будем здесь излагать строгую теорию уширения спектральных линий в плазме — этому вопросу посвящено достаточно много работ (см., например, [101, 31]). Для того, чтобы пояснить, как можно получить распределение интенсивности спектральной линии с учетом
взаимодействия излучающего иона с электронами, ионами и полем излучения, будем следовать идеям Вайскопфа и Вигнера, изучавших форму линий при спонтанных переходах.
Рассмотрим квантовомеханическую систему, состоящую из иона (находящегося в электрическом поле напряженности F), свободных электронов и поля излучения. Полный гамильтониан системы
н = М + Не + Нг + Н»е + Н^г + Нес(5)
где Hi — гамильтониан рассматриваемого иона в поле 艮 создаваемом другими ионами, Не — гамильтониан свободных электронов, Нг — гамильтониан поля излучения; Н^〉Н沂〉Нег описывают взаимодействие иона со свободными электронами, иона с полем излучения и свободных электронов с полем излучения соответственно. Член Нег слабо влияет на форму линий, и в дальнейшем будем им пренебрегать, как это обычно делают при изучении уширения линий.
Обозначим через 吵户 и £九 собственные функции и собственные значения энергии гамильтониана иона Н». Пусть в начальный момент времени 力=0 ион находился в одном из стационарных состояний 吵£?. Будем изучать поглощение фотонов с частотами 必『,близкими к некоторой резонансной частоте си° =(£九？ — ^m) /瓦 При этом будем предполагать, что имеются частоты g27n =(£纟一£加)/瓦 близкие к рассматриваемой частоте си。. Такой случай может встретиться, когда верхний или нижний уровень состоят из ряда близко отстоящих уровней.
Для выяснения влияния вырождения на форму линий рассмотрим простейшую характерную задачу: нижний уровень иона ni не вырожден, а верхний уровень состоит из ряда близко отстоящих уровней £П25 (s = 1,2,...), причем частоты других переходов g27n — ^^ — еш сильно отличаются от частот cjqs = £九2$ — ^m при 2 # 八2, т ^ щ.
Для решения уравнения Шрёдингера
(Ф — волновая функция системы) воспользуемся теорией возмущений. Для этого удобно представить гамильтониан (5) в виде
н = но + н；
где
% =印 + Не + Нг + ⑺1| 印е| 八)
⑹
Н' = Hir + Hie - (n^Hie^i) J
(ni соответствует начальному состоянию иона). Мы будем считать возмущающий гамильтониан Н1 малым по сравнению с %.
Собственные функции гамильтониана Но имеют вид
Здесь 吵孔 吵『，血"一собственные функции гамильтонианов 印, Не +(П1 \Hie |ni) и Нг соответственно:
[не + (п^н^щ)]^ =£х^\⑻
Таким образом,
н0^n\v = £九 + £入 + £〃•
Разложим теперь волновую функцию системы 3(力)по функциям 吵九入"=吵:?" ехр (-^ ^nXv 力)：
3(力)=^^a71入"(力)少71入"(力).
Здесь коэффициенты разложения an\y(t) удовлетворяют уравнениям
ihdjnXy =): (nXv\H \n X u)exp -(e九入" -e加*"/)力a加*"，(力).(10) n'X'v'L-
Матричные элементы (nXv\H'\n'У^v'} имеют вид
{пХи\Н,\п,X1 у1) = {ny\Hir\n,y,) •以* +
+ {nX\Hie\n^} • 8^ - {nrX\Hie\n^} •猊加 b〃〃， (П)
(tiAzz) = (niAiz/i), m入沙)济仇无以).(tiAzz) = (niAiz/i), m入沙)济仇无以).(мы воспользовались ортонормированностью системы функций 吵户， 吵『，血"в некотором достаточно большом объеме). Будем решать систему уравнений (10) с начальными условиями
(tiAzz) = (niAiz/i), m入沙)济仇无以).
(tiAzz) = (niAiz/i), m入沙)济仇无以).
/、( 1, если
6M〃⑼={ 0, если
Так как решить уравнения (10)Так как решить уравнения (10)в общем случае невозможно, мы
Так как решить уравнения (10)
Так как решить уравнения (10)
будем решать их приближенно, пренебрегая рядом членов в правых
частях уравнений. При этом будем исходить из следующего качественного описания поведения функций。九入〃(力).При не слишком больших значениях 力 до тех пор, пока |а九Ci〃」 》|。九入〃|, функции \аП1\1У1 (t)| падают, а функции |。九入〃(力)| при (nAz/)济(八 1入1 沙i) растут за счет переходов из начального состояния 仇尢以).
Обычно вероятность перехода за счет взаимодействия со свободными электронами велика лишь в том случае, когда энергия иона в результате взаимодействия меняется незначительно — неупругие столкновения с большой передачей энергии маловероятны. В силу того, что начальный уровень с энергией £九】невырожден, наиболее существенными будут переходы, соответствующие матричным элементам (П1А|Нге|^iAi). Но в выражении для матричного элемента (nAz/lH^niAiz/i) согласно (11) матричные элементы вида (niA|H^e|^iAi) сокращаются. Поэтому для не слишком больших значений t вероятность перехода из начального состояния определяется, в основном, взаимодействием с излучением, и из всех функций 。九入〃(力)быстрее всего будут расти функции。九2s 入2〃2 (力),соответствующие резонансному поглощению фотонов с частотой =(£九2$ — ^m) /方.
Таким образом, в течение достаточно большого промежутка времени наибольшими из функций будут функции \аП1\1У1 (t)| и \an2s\1U2 (t)|. Будем приближенно решать систему уравнений (10) для таких промежутков времени, в течение которых функции \аП1\1У1 (t)| и \an2s\1U2 (t)| будут в среднем больше остальных. Следовательно, в течение рассматриваемого промежутка времени можно пренебречь переходами между состояниями, не включающими состояний (niAiz/i) и (тг2sxi 沙2)・ В результате приходим к следующей системе уравнений:
访“卩1"1(力)=E仇1无以181九入沙〉exp -(e九1入1以一Е心")0心",
访%2sx1"2 (力)=〉：52sxi 沙2 ]8 1^^^) exp -(e九25入1"2 一 ^n\v)人",
nXvL-
ihanXp(t) = (пХ^Н^пгХ^) exp —住心〃 -£九卩1以)+
+ £⑺入沙|81722s尢沙2〉exp — (епху -£九2sxi "2)•
、fL」
(12)
В последнем из уравнений (nAz/) 济(八 1入1 沙i), (nAz/) 济 (八2sxi 沙2)и нет суммы по различным значениям ^ в силу того, что мы пренебрегаем матричными элементами, в которых грубо нарушается закон сохране-
ния энергии, то есть разность en\v — £n2sAi^i велика (мы пренебрегаем матричными элементами {n^i \Н 1^112^2} и(П1А1 \Hie\nX\)при п ^ n±, а также (П2А1 \Hie\nXi) и (п^ \Hir\nv2)при п 济 八2)・ Для удобства введем обозначения:
a九1入1"1 =a0，e九1入1〃1 = £0；a九2$入1"2 = ^as?e九2$入1"2 = Eqs；
。九入〃 —。&, ^nXv — £&, [пХу\Н |ti A Z/〉= Hkki .
При проведении вычислений удобно использовать метод, изложенный в книге Гайтлера [28], гл.IV, § 16 и статье [151]. Переходя, согласно этому методу, от функций ak(t),。。(力)，aas(t) к функциям “&(£), "&$(£), из системы уравнений (12) при t —> сю получим:
'ао(сю) = О
/\ —Uas(£as)
<=£0+访 F(^s)/2
Q&O) = -)/2(衣济 &QS).
Функции “&$(£), “&(£)и Г(£)удовлетворяют следующей системе уравнений:
"as(£)= HqsQ + £ Has> ,as，С(£ — ^as' )^asz (О + £ Has,kC(E — ^k}^k, k
"k(£)— Hku + £ Hk,asC(£ — ^as)^as, <s
/「(£)= 〃〉: H(),asC(£ — ^as)^as (^) + 〃〉: Hok《(£ — £&)"&(£)•
、ask
(13)
В уравнение для “&(£)входит то значение а, для которого H^^as 济 О- Здесь《⑺—сингулярная функция:
=V— — Eb ⑺=lim —x尸-о х + га
Под интегралом 0 /丄 d/ подразумевается интеграл в смысле
главного значения. В дальнейшем будем пользоваться тем, что /《(/) = L
Из (13) для функции uas(e) получим
U&S = Has^ +〉: Hasps' С(^ — EasDUas' + s'
+〉[ Hds,kHkQsV<& — £&)《(£ — £as〃Uas，+〉： Has,kC(£ — £ к) H 卜。.
'(14)
Так как член H^sQ будет первого порядка малости относительно величины возмущения Н\ а сумма £%$,&《(£ — г^)Н^о — второго к
порядка (при суммировании по к сингулярность функции《(£ — 〃) несущественна, так как суммирование по к предполагает интегрирование по непрерывному спектру энергий £&), то последним членом в (14) можно пренебречь. Для решения полученной системы вместо функций uas введем функции
Cas =《(£ — ^as}^as,
которые при фиксированном значении а будут являться решениями следующей конечной системы уравнений:
(& — 8cIS)CCIS = Has^Q + e ^as1 [Hcisqs/ + ^ На8 ^Н^ а81 ^£ — 〃)] . (15) s1k
Пусть A?)и {b^} — собственные значения и собственные векторы соответствующего уравнению (15) однородного уравнения:
(X?)- £ss)b^2 = J2 口吟。^/ + ^2 Has,kHk,as-•(】6)
s'k
Нетрудно проверить, что решение системы (15) имеет вид
5 = £—(17)
где собственные векторы {Ь^} нормированы таким образом, что
£*%s,o・(18)
р
Собственные значения А?)имеют отрицательную мнимую часть. Действительно, с помощью (16) можно получить равенство:
(А^-Л^)£ 震 |2 = £ 犯)砒)£ Has^asl k(£ -〃)-《(£- 〃)]• sss'к
(черта означает знак комплексного сопряжения). Так как,(£ 一 〃)一《(£ 一 q) = —2ttJ(£ — q),
TOTOIm A?)=-Im A?)=-7Г7Г纪阳2纪阳22< 0.2< 0.
TO
TO
Im A?)=-
Im A?)=-
7Г
7Г
纪阳2
纪阳2
2
< 0.
2
< 0.
Заметим также, что в силу малости возмущения ReA?' £&夕,и поэтому в дальнейшем вместо ReA?' мы будем использовать £&夕.
Так как сумма £ H^?as/ ^(е — £&) является медленно меняющейся функцией % то собственные векторы {6^} и собственные значения А?)также будут слабо зависеть от £ (если £ меняется на величину порядка ширин линий, то эти величины можно считать постоянными). Используя (17), получим
“&(£)= н^о + £ 瓦…£ —
60 0 一入а
откуда
（°0）=…。+]н（€）印。+ ¥ e ；^7
2r^ = 2 工 Hjas 工_⑺ +
Hku + ^2 Hk,as £.s。Hku + ^2 Hk,as £.s。Q6夕 e 一入Q
Hku + ^2 Hk,as £
.s。
Hku + ^2 Hk,as £
.s。
+ 〃 ^2 HokC(& - 〃) k
«г^2|Я0^|2С(^-^) +〃£%es£kasp
Воспользовавшись предельным соотношением《(/)=Воспользовавшись предельным соотношением《(/)=1ем е-А^1ем е-А^lim（ь〉。）lim（ь〉。）1ж + гсг1ж + гсгиме-име-^《(£ 一 £сф), откуда^《(£ 一 £сф), откуда
Воспользовавшись предельным соотношением《(/)=
Воспользовавшись предельным соотношением《(/)=
1
ем е-А^
1
ем е-А^
lim
（ь〉。）
lim
（ь〉。）
1
ж + гсг
1
ж + гсг
име-
име-
^《(£ 一 £сф), откуда
^《(£ 一 £сф), откуда
/Г(£)〃 £ \Нок^^{е — 〃)+ 》£Н°з眶 С(£ — £°р).кр as
Второе слагаемое слабо зависит от £ и поэтому оно мало изменится, если в функции ((s—8ap) заменить £ на близкое значение s+(sap—^as)- Поэтому с учетом (18) получим
凯(£)〃 £ \Нок?^ -〃)+〃£ \HO^S\2C(6 - Eqs). (19) kas
Можно показать, что если для некоторых значений к = ка имеем Hk,as 济 0, то при этом Н°к = 0. Следовательно, величину \а^а (сю)|2 можно интерпретировать как условную вероятность того, что система после поглощения фотона с частотой G&, такой, что £&$ = ео-\-Ншо8—Нша, перешла в состояние ка.
Интересующую нас вероятность поглощения фотона с частотой в интервале (g,g + dw) можно найти по формуле:
J(g) dw =£ ЗОЕ
G<Ga<s + dG ка
Результаты вычислений мы приводить не будем, заметим только, что интенсивность линии J(g) не представляется в виде суммы лоренцовских контуров, соответствующих переходам на каждый из верхних уровней П2§, а содержит также интерференционные члены. Покажем, тем не менее, что интенсивность JQ) можно приближенно представить в виде лоренцовских контуров, если воспользоваться приближенным равенством (см. (18)):
где А& — некоторое среднее из значений А^ • Из векового уравнения для А?), соответствующего (16), получим, что среднее арифметическое из значений А?)определяется формулой:
= {^as + H&S,as +〉: \Has,k^ ^ — 〃)〉s
(здесь скобки (... )s обозначают взятие среднего арифметического по s). Отсюда
Re А & ^〈£cis〉s, ImAs = —"〈〉： \Has^ |^(^(<s — ^k}) s — —/〈)cks〉s・
В этом приближении
〈£ Hk^asHas^o)s
&° ()[〃 — £0 + 访Г(£к)/2](£& — {£as)s + 访〈)qs〉s/2)
и для J(g) получаем следующую формулу:
(20)(20)(21)(21)〜@Os〉s)2 + (Tos〉s/2)2, где
(20)
(20)
(21)
(21)
，1
G0s —万(eП2S - e九 1 + ]),
^2 \-^-as,k\2S(£as — £&) + k
Величина Fos представляет собой суммарную вероятность перехода в единицу времени под действием возмущения Н‘ из начального состояния (niAiz/i) и из конечного состояния (тг2sxi 沙2)・ Величину g()s, определяющую положение спектральной линии, согласно определению, можно представить в виде
GOS =另（以2s -以）
где
*九2s = *九2s + ⑺2s"l |8〃e I八2s"l〉，*九1 = ^ni + (^1 Ai \ Hie j721 Ai)
представляют собой энергии иона в состояниях п2s и ni с учетом поправок за счет взаимодействия иона со свободными электронами.
Исходя из полученного результата, следует ожидать, что для переходов между группами близко расположенных уровней распределение интенсивности JQ) будет в некотором приближении также описываться формулой Лоренца с шириной линии, равной сумме средних ширин для верхней и нижней группы уровней.
Подставляя в (21) выражения (18) для матричных элементов, получим для ширины линии (усреднение предполагается выполненным):
7 = Го= +В? +В? +В? +В%・
Здесь
7пГ) = ^e1仇以1印巾‘"2 8(e九+e〃1一£加一£〃)(22)
естественная (радиационная) ширина энергетического уровня иона в n-ом состоянии, равная вероятности перехода в единицу времени из n-го состояния в результате взаимодействия с электромагнитным полем;
淄=^ё亨⑺尢以1心〉『8(e九 + Ex]-e九/ —£Х)(23)
уширение за счет взаимодействия со свободными электронами;
7^2 = у Е1ЬА1|Я,е|п2А) - (п^Н^п^б^^-Ех)(24)
по терминологии [161] это так называемое универсальное уширение, возникающее за счет упругих соударений.
Методы вычисления радиационного и электронного уширения. В дипольном приближении естественная ширина линии при переходе из состояния nlm в состояние п‘0m' в атомных единицах равна [15, 130]
403403Зс3Зс3工 F⑺(1 - 2(^+1))陋W加〉『.工 F⑺(1 - 2(^+1))陋W加〉『.
403
403
Зс3
Зс3
工 F⑺(1 - 2(^+1))陋W加〉『.
工 F⑺(1 - 2(^+1))陋W加〉『.
ЗдесьЗдесь1 - е~жF⑺=x3e~x、1 - е~ж1 - е~жF⑺=x3e~x、1 - е~ж^n^7 < e九2,^n^7 < e九2,E/Ve 〉e九2,E/Ve 〉e九2,
Здесь
Здесь
1 - е~ж
F⑺=
x3e~x
、1 - е~ж
1 - е~ж
F⑺=
x3e~x
、1 - е~ж
^n^7 < e九2,
^n^7 < e九2,
E/Ve 〉e九2,
E/Ve 〉e九2,
x = ^ni—^n'^l^^ а множитель что уровень п,^/ не заполнен.x = ^ni—^n'^l^^ а множитель что уровень п,^/ не заполнен.1 —1 —Муе )2(2e+ 1)丿Муе )2(2e+ 1)丿дает вероятность того,дает вероятность того,Сумма при еп/£/ < 2nq учитывает вынужденное и спонтанное изСумма при еп/£/ < 2nq учитывает вынужденное и спонтанное излучение, а при £九，« 〉 2nq — поглощение фотонов. В последнем случае должны быть, вообще говоря, учтены состояния, относящиеся к непрерывному спектру, но из-за наличия множителя 1/(еж — 1) они практически не дают вклада в естественную ширину. Так каклучение, а при £九，« 〉 2nq — поглощение фотонов. В последнем случае должны быть, вообще говоря, учтены состояния, относящиеся к непрерывному спектру, но из-за наличия множителя 1/(еж — 1) они практически не дают вклада в естественную ширину. Так как
x = ^ni—^n'^l^^ а множитель что уровень п,^/ не заполнен.
x = ^ni—^n'^l^^ а множитель что уровень п,^/ не заполнен.
1 —
1 —
Муе )
2(2e+ 1)丿
Муе )
2(2e+ 1)丿
дает вероятность того,
дает вероятность того,
Сумма при еп/£/ < 2nq учитывает вынужденное и спонтанное из
Сумма при еп/£/ < 2nq учитывает вынужденное и спонтанное из
лучение, а при £九，« 〉 2nq — поглощение фотонов. В последнем случае должны быть, вообще говоря, учтены состояния, относящиеся к непрерывному спектру, но из-за наличия множителя 1/(еж — 1) они практически не дают вклада в естественную ширину. Так как
лучение, а при £九，« 〉 2nq — поглощение фотонов. В последнем случае должны быть, вообще говоря, учтены состояния, относящиеся к непрерывному спектру, но из-за наличия множителя 1/(еж — 1) они практически не дают вклада в естественную ширину. Так как
^1仇w门〃，加)12 = ；/J]；("加"{2,1},
где ｛九/2/3｝ — 3/-символ, который равен 1, если 九 + 力 +/з целое и |Ji — 721 < 7з < Ji + 72, и равен нулю в остальных случаях. Поэтому (г)
естественная ширина %為 не зависит от ш, т. е.
服=3(2；｝ 1” Ее%"*) б - 2(^：；1)) У + 1)(… ” л(25)
При вычислении q4?, 7^ и 7^п2 воспользуемся одноэлектронным приближением, т.е. будем считать, что спектральная линия поглощения связана с изменением состояния лишь одного из электронов иона. Чтобы получить ширину линии, связанную с переходами рассматриваемого электрона, достаточно в формулах (22)—(24) при суммировании по различным состояниям иона ограничиться лишь такими состояниями, при которых меняется положение интересующего нас электрона. После получения одноэлектронных ширин необходимо усреднить их по квантовым числам электрона в пределах группы близко расположенных одноэлектронных уровней энергии.
Для вычисления ширин спектральных линий по формулам (22)—(24) необходимо знать собственные функции 吵孔 吵『，血".Волновые функции фотонов хорошо известны (см. например, [28]). Вычислению волновых функций дискретного и непрерывного спектра 吵£)посвящены §2,3 гл. II.
При вычислении матричных элементов (nAi|H^el^^), входящих в выражения для ширин)£)и 7^п2, с достаточной точностью можно считать, что потенциалы V\ и V\], действующие на электроны непрерывного спектра, равны. Действительно, положим V\] = V\ и вычислим матричные элемента〈nA] |7?^|八‘入〉・ Очевидно, что гамильтониан Н»е можно представить в виде суммы гамильтонианов, каждый из которых действует лишь на координаты одного электрона, т.е. Hie = £%• Так как одноэлектронные функции, соответствующие сор
стояниям А и Ai, при V\ = % ортогональны, то матричные элементы (nAi\Нр\пгХ) отличны от нуля лишь в случае, когда состояния А отличается от состояний Ai положением только одного р-го электрона. Но для таких состояний эффективные потенциалы V\ и V\] действительно будут близки. Гамильтониан взаимодействия Hie в атомных единицах имеет вид
где fs — радиус-вектор s-ro электрона рассматриваемого иона, а г^ — радиус-вектор возмущающего электрона. Учет ортонормированности
одноэлектронных волновых функций приводит к тому, что в одноэлектронном приближении матричный элемент 〈nA] |7?^| 八‘X〉будет отличен от нуля только в том случае, когда начальное состояние отличается от конечного лишь состоянием одного из электронов иона и состоянием одного из возмущающих электронов. Если волновые функции и энергии этих двух электронов в начальном состоянии （nAi） будут 吵& （汚，£& для электрона иона и 夕从（戸'），£从 для возмущающего электрона, а в конечном состоянии （nzA） соответственно 吵飙（戸），q，и 夕从/（戸'），£〃/, то матричный элемент （nAil^el^^） принимает вид
⑺Al I We |т/a）= /麻⑴）3鼠子）『「2产加⑺34’（子）疗疗/• （26） Производя в （23） суммирование no nz, А с учетом принципа Паули, получим
淄= £（「*）几
к'
где
力2 = 2"e^（1 - * х
X ]/吵式戸）3其尸）『]2产飙俨）夕^ （子）由％子 "口林，+后4一£〃,）, / /（27）
где п^ и nM — коэффициенты заполнения электронных состояний, равные 1 для заполненных и 0 для незаполненных состояний, 口&飙一разность между начальной и конечной энергией иона при переходе одного из электронов из состояния к в состояние А/. В дальнейшем, вместо величины □&&/ мы будем использовать ее приближенное выражение, равное £& — £&j так как на величину）£）это практически не влияет. Заметим, что функции непрерывного спектра 夕从（戸）нормированы на S- функцию по энергии.
Величина）^" по своему смыслу представляет собой вероятность перехода электрона дискретного спектра из состояния к в состояние к' в единицу времени в результате взаимодействия со свободными электронами непрерывного спектра.
Аналогично для 7^п2 получим следующее выражение:
中^2 = М = 2к£п* — riQ х
义 ]/ [I以m戸）『一 I以俨）円 ""；*；[）疗疗’"£4 一 （28）
При вычислении ширин линий в широком диапазоне температур достаточно хорошим является приближение, при котором 7^^ и 7^^ вычисляются для средней конфигурации без учета действия электрических полей и релятивистского расщепления уровней. В качестве волновых функций электронов дискретного спектра используются функции
VWm（戸）=；任九2（丁）（一1）7nHzД仇夕），
а в качестве волновых функций электронов непрерывного спектра — функции
Г
где Яп£（г） и 笈е/丁） являются решениями уравнения Шрёдингера с самосогласованным потенциалом Хартри-Фока-Слэтера.
Вместо чисел заполнения пм будем использовать среднюю степень заполнения состояний непрерывного спектра. Суммирование по состояниям непрерывного спектра 从 и /? заменим интегрированием по £ и Н. При подсчете числа состояний электронов непрерывного спектра /? следует иметь в виду, что спин электрона непрерывного спектра после перехода сохраняется.
В результате для）%?, используя в качестве к и А/ квантовые числа nlm и п'С'т\ придем к следующему выражению:
加=4"lеё 〃（Е）/（y）l/°dЕ X
x !/m心）匕^（仇⑺凡於‘）端,（心d）x
12
X产而Rn'Vl）匕，加（仇夕）柒0L）匕我（心d） dr dQ dr,d^ , （29） где n^m 济 ri'0ml интегрирование по г и rz производится в пределах атомной ячейки при Н = е + 后九纟—eni^, /（£）= 1/[1 + ехр（е/^ + ту）], ту — приведенный химический потенциал.
Аналогично для 7^^ получаем
1/
x^^凡2（〃）喻（北夕‘）凡0（〃）”行（心夕/）办融"加/ • （30）
Так как нас интересуют средние ширины линий для ряда близко отстоящих уровней, то проведем усреднение по квантовым числам т и п‘乩 т‘ для)；? и по m и mz для )；?)• Вместо (1 — п^) в этом случае можно использовать среднее значение этой величины, равное 1 — Nni£i/(2(2^ + 1)). В результате будем иметь
("))7i 厶?ve("))7i 厶?ve-2(2e+ 1)丿-2(2e+ 1)丿/ п£т,п' £' т'/ п£т,п' £' т'(nlm 济 п'I'т'\(nlm 济 п'I'т'\1(22+1)(2e + 1)1(22+1)(2e + 1)еE）爲еE）爲
(")
)7i 厶?ve
(")
)7i 厶?ve
-2(2e+ 1)丿
-2(2e+ 1)丿
/ п£т,п' £' т'
/ п£т,п' £' т'
(nlm 济 п'I'т'\
(nlm 济 п'I'т'\
1
(22+1)(2e + 1)
1
(22+1)(2e + 1)
еE）爲
еE）爲
Полная ширина линии для перехода тг2 —> п'0 будет равна
= %? + 淄/ + 7п£ + 娼 + 需Le •(31)
Для вычисления интегралов (29), (30) воспользуемся разложением 1/|г — г х| по сферическим гармоникам
10 、47r
尸—河 j 二 ^ 2s + 1 T^i■工历(”")'^(仍，")(32)
6-ё/° de x6-ё/° de xи выразим интегралы по угловым переменным через З^-символы Вигнера, что дает
6-ё/° de x
6-ё/° de x
От，= 4»ei ^ £ (22 + 1)(22 + 1)(2/ + l)(2f + 1) 2〃
XX夕 о夕 о6060夕 о夕 оo)Uo)U06 “ 〃m' m / \ —m06 “ 〃m' m / \ —m夕т'夕т'22(33)(33)
X
X
夕 о
夕 о
6
0
6
0
夕 о
夕 о
o)U
o)U
06 “ 〃
m' m / \ —m
06 “ 〃
m' m / \ —m
夕т'
夕т'
2
2
(33)
(33)
£ 二 £ + £九/—£n, V ,
XXхх00£/(22+1)(20 + 1)sm£/(22+1)(20 + 1)smfh!fh!)1)12• (34)2• (34)ЗдесьЗдесь-（22 + 1）窗「（-г-（22 + 1）窗「（-гRn，°，⑺ Я^^^) dr dr'.Rn，°，⑺ Я^^^) dr dr'.
X
X
х
х
0
0
£/(22+1)(20 + 1)
sm
£/(22+1)(20 + 1)
sm
fh!
fh!
)1
)1
2
• (34)
2
• (34)
Здесь
Здесь
-（22 + 1）窗「（-г
-（22 + 1）窗「（-г
Rn，°，⑺ Я^^^) dr dr'.
Rn，°，⑺ Я^^^) dr dr'.
Производя суммирование по ш, т' с помощью соотношения ортогональности для коэффициентов Вигнера (см. [24]), можно показать, что для произвольной функции /(s, ш) имеет место соотношение
2
mm' sm '/
ssf mmfmmf
=〉^57^7 产(6，沅){2°6}。(35)
Используя (35), получаем
疗=(22+ 1)(22 + 1名2$ + 1 (j 0 о) (-m т' ^)'师(36)
где
"一》3+1)(22+ о о/ Х
X 〃(£)/(£‘)еТ/° [%疗“品必]“£•
е' =e^enl-eni ^
Аналогично,
'ntm^nf tf mf'ntm^nf tf mf^п\'т' ,n'Vm' + ^ntm^ntm 一 2(22 + 1)(2^ + 1) X
'ntm^nf tf mf
'ntm^nf tf mf
0 。丿（。 о 。丿 X0 。丿（。 о 。丿 X(37)(37)L 1
0 。丿（。 о 。丿 X
0 。丿（。 о 。丿 X
(37)
(37)
x (一1 尸+*x (一1 尸+*X ^ 2s + 1 (°
x (一1 尸+*
x (一1 尸+*
где
北*4»L£3+l)(22 + l)(j J
v / #2/、—g/б /?(s)2(s) Au
/ '(丿ri，U ri，U H， ntntetet1 '
В таблице 5.5 приведены значения радиационных 7^, электронных )；? и )^)九必 ширин, а также их сумма)九厶加« в плазме золота
Таблица 5.5. Радиационные)；? и электронные )；?，7；；)/" ширины уровня в эВ, а также их сумма )九厶九/“ в плазме золота при плотности 0,1 г/см3 и различных температурах (запись 5,32—13 означает 5,32-10-13)
Г, эВ
' nJ ?!
'nJ //
TxiVnJ 力
100
31 32
5,32-13
3,73-11
2,45-13
2,08-13
5,53-06
5,53-06
31 40
5,32-13
5,22-06
2,45-13
4,65-03
8,91-04
5,54-03
31 42
5,32-13
1,02-04
2,45-13
9,91-04
8,31-04
1,92-03
31 50
5,32-13
1,79-04
2,45-13
4,73-02
2,98-03
5,04-02
31 52
5,32-13
7,51-04
2,45-13
8,85-02
3,21-03
9,24-02
31 60
5,32-13
8,34-04
2,45-13
1,02-01
5,58-03
1,09-01
31 62
5,32-13
7,69-04
2,45-13
1,17-01
6,07-03
1,24-01
41 42
2,02-05
1,02-04
1,14-03
9,91-04
1,76-06
2,25-03
41 50
2,02-05
1,79-04
1,14-03
4,73-02
1,72-03
5,03-02
41 52
2,02-05
7,51-04
1,14-03
8,85-02
2,02-03
9,24-02
41 60
2,02-05
8,34-04
1,14-03
1,02-01
5,83-03
1,10-01
41 62
2,02-05
7,69-04
1,14-03
1,17-01
6,71-03
1,26-01
43 52
1,92-04
7,51-04
6,94-04
8,85-02
2,18-03
9,23-02
43 54
1,92-04
2,97-03
6,94-04
1,83-02
3,94-03
2,61-02
43 62
1,92-04
7,69-04
6,94-04
1,17-01
7,00-03
1,26-01
43 64
1,92-04
1,70-03
6,94-04
1,09-01
9,67-03
1,22-01
1000
31 32
1,49-01
2,60-01
3,17-02
1,28-02
6,20-04
4,55-01
31 40
1,49-01
7,52-01
3,17-02
8,58-02
1,61-02
1,04+00
31 42
1,49-01
1,97+00
3,17-02
6,38-02
1,10-02
2,22+00
31 50
1,49-01
6,75-01
3,17-02
1,45-01
4,84-02
1,05+00
31 52
1,49-01
1,48+00
3,17-02
1,24-01
4,31-02
1,83+00
31 60
1,49-01
4,35-01
3,17-02
3,09-01
8,41-02
1,01+00
31 62
1,49-01
8,95-01
3,17-02
2,81-01
7,94-02
1,44+00
41 42
1,01+00
1,97+00
8,21-02
6,38-02
5,09-04
3,12+00
41 50
1,01+00
6,75-01
8,21-02
1,45-01
2,20-02
1,93+00
41 52
1,01+00
1,48+00
8,21-02
1,24-01
1,71-02
2,71+00
41 60
1,01+00
4,35-01
8,21-02
3,09-01
6,29-02
1,90+00
41 62
1,01+00
8,95-01
8,21-02
2,81-01
5,72-02
2,32+00
43 52
4,00+00
1,48+00
2,62-02
1,24-01
3,92-02
5,68+00
43 54
4,00+00
1,83+00
2,62-02
3,27-02
1,95-02
5,91+00
43 62
4,00+00
8,95-01
2,62-02
2,81-01
9,37-02
5,30+00
43 64
4,00+00
8,99-01
2,62-02
1,49-01
7,31-02
5,15+00
при плотности р=0,1 г/см3 и различных температурах (см. формулы (25), (36) и (37)). Для примера выбраны переходы с уровней тг2 = 31, 41, 43. Из таблицы видно, что при температуре Т=100 эВ электронное уширение уровней мало (〜0,1 эВ), в то время как при Т=1000 эВ уширение достигает нескольких эВ.
Ионное уширение. Исходное допущение статистической теории ионного уширения состоит в том, что расщепление спектральной линии на отдельные компоненты и расположение этих компонент в спектре поглощения зависит от электрического поля F, распределение вероятностей которого W(F) считается известным. Суммарный про-
филь спектральной линии получается в результате усреднения совокупности профилей компонент с функцией распределения их сдвигов в зависимости от поля.Таким образом надо определить функцию распределения ионного микрополя W (F) и штарковский сдвиг частоты △g = △g(F) для каждой компоненты спектральной линии в каждом из ионов.Мы будем рассматривать такие температуры и плотности, при которых эффективный радиус ионного остова много меньше радиуса атомной ячейки. В таких условиях с достаточной степенью точности электрическое поле, создаваемое ионами, можно считать однородным в пределах рассматриваемого иона. Рассмотрим систему N ионов с зарядом Zq, положение которых характеризуется радиус-векторами П,Г2,... ,r/v. Напряженность поля, создаваемого этими ионами в начале координат, где находится данный ион, будет равна (в атомных единицах)филь спектральной линии получается в результате усреднения совокупности профилей компонент с функцией распределения их сдвигов в зависимости от поля.Таким образом надо определить функцию распределения ионного микрополя W (F) и штарковский сдвиг частоты △g = △g(F) для каждой компоненты спектральной линии в каждом из ионов.Мы будем рассматривать такие температуры и плотности, при которых эффективный радиус ионного остова много меньше радиуса атомной ячейки. В таких условиях с достаточной степенью точности электрическое поле, создаваемое ионами, можно считать однородным в пределах рассматриваемого иона. Рассмотрим систему N ионов с зарядом Zq, положение которых характеризуется радиус-векторами П,Г2,... ,r/v. Напряженность поля, создаваемого этими ионами в начале координат, где находится данный ион, будет равна (в атомных единицах)F = —ZqF = —Zq分=1 ZДля заданного положения ионов вероятность того, что напряженность поля находится в интервале (F, F + dF), будет определяться выражением分=1 ZДля заданного положения ионов вероятность того, что напряженность поля находится в интервале (F, F + dF), будет определяться выражениемQGE,N©疝=6QGE,N©疝=6dF.dF.Здесь J(ж) — дельта-функция Дирака. Вероятность заданного положения ионов п,Г2,... ,r/v согласно статистическому распределению Больцмана пропорциональнаЗдесь J(ж) — дельта-функция Дирака. Вероятность заданного положения ионов п,Г2,... ,r/v согласно статистическому распределению Больцмана пропорциональнаехр 一^и(万,力,...，ехр 一^и(万,力,...，dfi df2 ••• df/v,dfi df2 ••• df/v,
филь спектральной линии получается в результате усреднения совокупности профилей компонент с функцией распределения их сдвигов в зависимости от поля.
Таким образом надо определить функцию распределения ионного микрополя W (F) и штарковский сдвиг частоты △g = △g(F) для каждой компоненты спектральной линии в каждом из ионов.
Мы будем рассматривать такие температуры и плотности, при которых эффективный радиус ионного остова много меньше радиуса атомной ячейки. В таких условиях с достаточной степенью точности электрическое поле, создаваемое ионами, можно считать однородным в пределах рассматриваемого иона. Рассмотрим систему N ионов с зарядом Zq, положение которых характеризуется радиус-векторами П,Г2,... ,r/v. Напряженность поля, создаваемого этими ионами в начале координат, где находится данный ион, будет равна (в атомных единицах)
филь спектральной линии получается в результате усреднения совокупности профилей компонент с функцией распределения их сдвигов в зависимости от поля.
Таким образом надо определить функцию распределения ионного микрополя W (F) и штарковский сдвиг частоты △g = △g(F) для каждой компоненты спектральной линии в каждом из ионов.
Мы будем рассматривать такие температуры и плотности, при которых эффективный радиус ионного остова много меньше радиуса атомной ячейки. В таких условиях с достаточной степенью точности электрическое поле, создаваемое ионами, можно считать однородным в пределах рассматриваемого иона. Рассмотрим систему N ионов с зарядом Zq, положение которых характеризуется радиус-векторами П,Г2,... ,r/v. Напряженность поля, создаваемого этими ионами в начале координат, где находится данный ион, будет равна (в атомных единицах)
F = —Zq
F = —Zq
分=1 Z
Для заданного положения ионов вероятность того, что напряженность поля находится в интервале (F, F + dF), будет определяться выражением
分=1 Z
Для заданного положения ионов вероятность того, что напряженность поля находится в интервале (F, F + dF), будет определяться выражением
QGE,N©疝=6
QGE,N©疝=6
dF.
dF.
Здесь J(ж) — дельта-функция Дирака. Вероятность заданного положения ионов п,Г2,... ,r/v согласно статистическому распределению Больцмана пропорциональна
Здесь J(ж) — дельта-функция Дирака. Вероятность заданного положения ионов п,Г2,... ,r/v согласно статистическому распределению Больцмана пропорциональна
ехр 一^и(万,力,...，
ехр 一^и(万,力,...，
dfi df2 ••• df/v,
dfi df2 ••• df/v,
где UgF?〉…,^/v) — потенциальная энергия системы N ионов. Поэтому вероятность того, что напряженность поля лежит в интервале (F, F + d户)при всех возможных положениях ионов можно найти по формуле [128]
/ехр
一^u（万,力，6v）
•bj+Z。£ ^)疗tdf^ .
/ exp 一^u(万,力,
...,F/v)] dfidr2 ... df/v
2(户)dF =
Для упрощения вычислений разложим дельта-функцию по плоским
волнам:
ТогдаТогда
Тогда
Тогда
гдегде(38)(38)
где
где
(38)
(38)
7(6 =7(6 =exp -, U(污，吗，• • •"否)+広必0e^! dr rdf2 ... dfN
7(6 =
7(6 =
—. (39)
一万u(了1,力，• • •，办v) dr rdf2 .. .dr N C7
Так как функция U(fl兄，…，办v) не зависит от выбора системы координат, а зависит только от взаимных расстояний между ионами, то Т(2) является функцией лишь 2 = |2|. В силу этого 夕(F)=夕(F), где f i肉.
W(F) = 4ttF2 P(F)W(F) = 4ttF2 P(F)2 sin(^F) • T^ 或.2 sin(^F) • T^ 或.Пусть W(F) dF — вероятность того, что абсолютная величина электрического поля лежит в интервале (F, F + dF). Тогда согласно (38)
W(F) = 4ttF2 P(F)
W(F) = 4ttF2 P(F)
2 sin(^F) • T^ 或.
2 sin(^F) • T^ 或.
(40)
Исходя из (38), (39) и применяя метод Пайнса-Бома разделения электростатических взаимодействий на далекие и близкие, можно получить различные приближенные выражения для W (F). Для разрежен-
ной плазмы множительной плазмы множительБольцмана ехр — U(fl,力，...,, учи-
ной плазмы множитель
ной плазмы множитель
тывающии неравномерность распределения ионов, можно заменить
единицей, предполагая, что в этом случае распределение ионов по пространству равномерно. В результате приходим к распределению Хольцмарка для W(F). Очевидно, это распределение является предельным случаем, соответствующим ^ —> сю при р = const, либо случаю р —> 0 при фиксированной температуре. Получим распределение Хольцмарка с использованием формул (38), (39), заменяя
больцмановский множитель на единицу:
/ exp (z^Z0 £ =) dr I dr 2 …d^N
T(2)=人阿 —行
NtocJ dn ar2artv
宀丛F /ёхp （色疗宀丛F /ёхp （色疗NN
宀丛F /ёхp （色疗
宀丛F /ёхp （色疗
N
N
1 济 _ехр — Z。dr по бесконечномуV г31 济 _ехр — Z。dr по бесконечномуV г3где N = nV, V — объем системы ионов, п — концентрация ионов в атомных единицах (п = 1/。, о = |тгго3 ——объем атомной ячейки). При фиксированном значении п рассматриваемый предел легко вычисляет
1 济 _
ехр — Z。dr по бесконечному
V г3
1 济 _
ехр — Z。dr по бесконечному
V г3
ся, если учесть, что интеграл J 1 — объему сходится. Действительно,
Интеграл в показателе экспоненты интегрированием по частям сводится к интегралу Френеля. В результате для Т(2) получаем
「4, ■
(41)(41)T(2) = eXр -(2威20)3/2几
(41)
(41)
Подставляя (41) в выражение (40) для W (F), приходим к распределению Хольцмарка
2 7/
W(F) = -— х sin х expdx. (42)
В случае больших плотностей, при малых значениях амплитуды гармонических колебаний центрального иона вблизи положения равновесия (амплитуда много меньше радиуса ионной сферы), справедливо приближение простых гармонических осцилляторов. Чтобы получить соответствующее распределение, найдем силу, возникающую при отклонении иона от положения равновесия на расстояние г. Внешние по отношению к рассматриваемому иону заряды на него не действуют, а действует сила притяжения заряда
q = —Zoq = —Zo
q = —Zo
q = —Zo
Поэтому модуль напряженности поля, действующего на ион, будет равен
r ~~
а потенциальная энергия иона
U6 = Z° / F(D dr = |F2r^.о
По статистике Больцмана вероятность того, что ион находится в области г, г + dr, пропорциональна
ехрехрF2 dF.F2 dF.
ехр
ехр
F2 dF.
F2 dF.
Следовательно, в рассматриваемом приближении
「尸2浊]
(43)(43)ТУ (F)〜ехр 一 一—-
(43)
(43)
Более точное распределение ионного микрополя, справедливое в широкой области температур и плотностей, можно получить, используя модель возмущающих независимых частиц и результаты компьютерного моделирования [156]. Эти результаты аппроксимированы простой зависимостью
dx,dx,оо(44)(44)
dx,
dx,
о
о
(44)
(44)
где и = F/局, Fq = 27r (4Z()7i/15)2/3 — нормальная хольцмарков- ская напряженность поля, Г — параметр неидеальности. В качестве параметра неидеальности можно взять соответсвующий параметр для взаимодействия ионов между собой в приближении среднего атома: Г = 2^/(8丁0). Распределение (44) переходит в распределение Хольцмарка при Г —> 0 и в приближение простых гармонических осцилляторов в противоположном случае Г —> сю.
Рис. 5.5. Распределение ионного микрополя W(F) в зависимости от ад = F/Fq при Г = 0, 03 (а), Г = 0, 3 (Ь) и Г = 3 (с): (1) — распределение Хольцмарка (42), (2) — приближение простых гармонических осцилляторов (43), (3) — формула (44), сплошная линия
На рис. 5.5 приведены полученные в разных приближениях функции распределения ионного микрополя W (F) в зависимости от u = F/Fq при различных значениях безразмерного параметра Г. Этот параметр может меняться в широких пределах, например, для золота при Г = 1 кэВ, р = 1 г/см3 параметр Г 〜7; для железа при Г = 20 эВ, р = 10-4 г/см3 — Г 〜0, 7, для водорода при Г = 1 эВ, р = 10-9 г/см3 —
Г 〜0,02. Из рис. 5.5 видно, что приближение (44) дает хорошие результаты во всей области параметров, практически совпадая с (42) при Г < 0, 03 и с (43) при Г > 3.
В заданном постоянном электрическом поле F одноэлектронные уровни энергии и волновые функции электронов можно найти, используя теорию возмущений. В качестве невозмущенного гамильтониана возьмем Hq = —^Д — V(г), где эффективный центральносимметричный потенциал V (г) есть самосогласованный потенциал релятивистской модели Хартри-Фока-Слэтера, отвечающий наиболее вероятному состоянию иона и свободных электронов. Возмущение имеет вид
Н1 = F-f.
Выберем в качестве невозмущенных волновые функции, отвечающие полному моменту количества движения электрона / = 2 + М
2nQjm = £ С^ ^n£m£ms,
тогда матричные элементы оператора Но в этом представлении диа- гональны и не зависят от ш:
(n£jm\ Яо \ n£jm) =
Найдем матричные элементы оператора F • г, полагая, что ось г направлена вдоль поля, т.е. F-f = Fz. Поскольку Fz =，4тг/3 F丁匕°(仇夕) является неприводимым тензорным оператором 1-го ранга, коммутирующим со спиновым оператором, то по теореме Вигнера-Эккарта
⑺ 2*|Fz|W"加〉=(-( j^ J ^J-Di+'x
x，(2/ + 1)(2夕 + 1)%(з，/; ； 1)仪 II Fz И …
где приведенный матричный элемент
{n^Fz^n1^ = (―1)—+1)/2『+；+1р“^(，=2±1).
Так как 3/-символ Вигнера (°# 0 только при т' = т,
то отсюда следует, что кроме главного квантового числа п уровни энергии характеризуются квантовым числом т. Собственные функции
гамильтониана Н = Ни + Н‘ представим в виде линейных комбинаций функций ^n£jm с фиксированными значениями пит
где s — номер собственного значения £鬻.Коэффициенты с^т являются решениями секулярного уравнения:
При вычислении сечения поглощения в линиях вместо переходов n£j т 加卩，в формуле (15) из § 2 следует учитывать переходы nms т п‘т‘s' (т‘ = т, т ± 1), полагая
abb^ = —c3a0ldFW(F)xabb^ = —c3a0ldFW(F)x
abb^ = —c3a0ldFW(F)x
abb^ = —c3a0ldFW(F)x
гдегдеf nms^n'm' s' = 3 gD'f nms^n'm' s' = 3 gD'%) |y ^Zr^d^%) |y ^Zr^d^
где
где
f nms^n'm' s' = 3 gD'
f nms^n'm' s' = 3 gD'
%) |y ^Zr^d^
%) |y ^Zr^d^
О
nms ri' mJ s'nms ri' mJ s'QQx£&£ £ ^nms (1 - ^Sm1 s1) fnmsyn'm' s' Jnmsyn'm' s' (^),(45)
nms ri' mJ s'
nms ri' mJ s'
Q
Q
Расчеты по формуле (45) достаточно сложны, хотя влияние штар- ковского уширения ионов на росселандовы пробеги во многих случаях составляет 〜1% [72]. При расчетах таблиц ионное уширение обычно учитывают более простым способом [203]. Предположим, что только два уровня расположены настолько близко, что возникает необходимость учета их расщепления — это приводит к задаче на собственные значения для матрицы второго порядка. Так как эффект Штарка наиболее существенен для верхних уровней, где влияние релятивистских поправок мало, то при вычислении штарковского расщепления можно ограничиться классификацией уровней по квантовым числам /г厶 считая, что сдвиги £九叮 при J = 2 ± 1/2 равны.
Рассмотрим уровни 2 n匕 и £九，«, например для п' = тги0 = 2—1. Пусть £九2 = £о + Д/2, £九,2—1 = во - △/?, Где £о = (£九2 + £九,£—1)/2, △ = £九纟—£n^-i. Тогда для энергии уровней £ относительно £° имеем уравнение
△ = 0,V21——£
откуда е = у (Д/2)2 + V12V21, и для величины смещения уровня 2n匕 в электрическом поле F получаем
、2
△<S = £ ——△<S = £ ——(46)(46)e九2 - ^n,£-l \ I T/2 e九2 - ^n,£-l
△<S = £ ——
△<S = £ ——
(46)
(46)
22
Здесь V12 = V21 = (nlm\Fz\n'I'т'} — матричный элемент взаимодействия электрона с электрическим полем F:
(nlm\Fz\n' I'т)= <(nlm\Fz\n' I'т)= <（W）,（/匕十0丿（/匕十丄丿（W）,（/匕十0丿（/匕十丄丿d - ш2d - ш2(22+1)(22—1)(22+1)(22—1)Frn^v (0 = 2—1)Frn^v (0 = 2—1)
(nlm\Fz\n' I'т)= <
(nlm\Fz\n' I'т)= <
（W）,
（/匕十0丿（/匕十丄丿
（W）,
（/匕十0丿（/匕十丄丿
d - ш2
d - ш2
(22+1)(22—1)
(22+1)(22—1)
Frn^v (0 = 2—1)
Frn^v (0 = 2—1)
3(2程 + 1)3(2程 + 1)гдегде△△
3(2程 + 1)
3(2程 + 1)
где
где
△
△
(матричный элемент отличен от нуля при 夕=2 ± 1).
Величину △£ усредним по направлению поля F, что эквивалентно усреднению по проекции орбитального момента т на направление поля. Предполагая, в основном, квадратичную зависимость от поля ((Д/2)2》咤)，среднее значение можно получить, подставляя в (46) вместо 唱 величину
1 J
〈唱〉=。小必=歹 £ \^m\Fz\n'^m}^
(2< = min{2,，}, 2〉= max{2,，}).
Учитывая два ближайших уровня (в случае, если 2 = 0 или 2 = n—1, то один ближайший уровень), для средней величины сдвига в поле F получаем
(£< = min{en£,£n/£/},£〉= max{en£,£n/£/}).
При вычислении коэффициентов поглощения в линиях учтем влияние ионов как дополнительное лоренцовское уширение (см. [203]):
*&е = %2 + “е，
где средние штарковские сдвиги уровней d九厶 d九，« вычисляются в поле F, которое имеет максимальную вероятность в соответствии с распределением (44) (см. рис. 5.5).где средние штарковские сдвиги уровней d九厶 d九，« вычисляются в поле F, которое имеет максимальную вероятность в соответствии с распределением (44) (см. рис. 5.5).5. Профиль Фойгта. Учет эффекта Доплера для лоренцовского5. Профиль Фойгта. Учет эффекта Доплера для лоренцовскогопрофиля спектральной линии по формуле (4) дает профиль Фойгпрофиля спектральной линии по формуле (4) дает профиль Фойгта [101]:та [101]:(47)(47)где 必&0 — положение центра линии для перехода а —> 0(£& < Eg),где 必&0 — положение центра линии для перехода а —> 0(£& < Eg),7 =)&3 — лоренцовская ширина линии, доплеровского уширения,7 =)&3 — лоренцовская ширина линии, доплеровского уширения,DD—параметр—параметрехР(—經)(/-s)2+*ехР(—經)(/-s)2+*(48)(48)
где средние штарковские сдвиги уровней d九厶 d九，« вычисляются в поле F, которое имеет максимальную вероятность в соответствии с распределением (44) (см. рис. 5.5).
где средние штарковские сдвиги уровней d九厶 d九，« вычисляются в поле F, которое имеет максимальную вероятность в соответствии с распределением (44) (см. рис. 5.5).
5. Профиль Фойгта. Учет эффекта Доплера для лоренцовского
5. Профиль Фойгта. Учет эффекта Доплера для лоренцовского
профиля спектральной линии по формуле (4) дает профиль Фойг
профиля спектральной линии по формуле (4) дает профиль Фойг
та [101]:
та [101]:
(47)
(47)
где 必&0 — положение центра линии для перехода а —> 0(£& < Eg),
где 必&0 — положение центра линии для перехода а —> 0(£& < Eg),
7 =)&3 — лоренцовская ширина линии, доплеровского уширения,
7 =)&3 — лоренцовская ширина линии, доплеровского уширения,
D
D
—параметр
—параметр
ехР(—經)(/-s)2+*
ехР(—經)(/-s)2+*
(48)
(48)
Лоренцовская ширина вычисляется по формуле (см. (31))
7а/3 = 7п£,п,£, = 7п2 + 7пхГ + 7п2 + /^ + 大｝,^U*
При вычислении интеграла Фойгта можно использовать методику, описанную в [80]. Существенная для интегрирования область значений s в (48) за счет множителя ехр(—s?) соответствует \s\ < 1. В этой области функция — при заданном значении / будет доста
— s 尸 + *
точно плавной функцией переменной s, если у сравнительно велико. Поэтому при у > 1 для вычисления функции К(/,д) можно использовать квадратурные формулы типа Гаусса, основанные на применении полиномов Эрмита:
]п
(49)
При малых значениях у функция у/[(х — s)2-\-у2] будет иметь резкий максимум в точке / = s и квадратурная формула (49) при небольших значениях / будет давать неудовлетворительные результаты. Чтобы избежать этого, желательно преобразовать выражение для К(/,д) к виду, более удобному для применения квадратурных формул типа Гаусса. Имеем
Г $
= —Im —ds.
7Г 丿 X — S — iy
Если с помощью теоремы Коши от интегрирования вдоль вещественной оси перейти к интегрированию вдоль прямой, параллельной вещественной оси, полагая s = a〃 +力(а > 0, —сю < t < сю), то получим
1 Г £_(а+)2
(5。)(5。)1 а2 Г £—尸[(а + g) cos 2a力—(/ —力)sin 2a力]= -e/ ：-:иd力.
(5。)
(5。)
"丿(/一 力)2+ (a+ g)2
Благодаря такому преобразованию мы вместо функции 1 /[(х — s)2 -\-у2] с резким максимумом получили в подинтегральном выражении более плавную функцию 1/[(/ — t)2 + (а + т/)2], которая в существенной для интегрирования области может быть достаточно точно аппроксимирована полиномом сравнительно небольшой степени. При этом, однако, в подинтегральном выражении возникает дополнительный осциллирующий множитель. Если выбрать а = 1, то в существенной для интегрирования области функция (а + у) cos 2a力一(/ —力)sin 2a力 будет также достаточно плавной. Вместо (49) теперь получаем
K也g)-j.产 + (。+ g)2 (51)
Формула (51) даже при небольшом количестве квадратурных точек дает хорошие результаты при любых значениях /ид [80, 183].
Профили линий плазмы водорода в сильном магнитном поле. Внешнее магнитное поле, в дополнение к электрическим полям ионов и электронов плазмы, оказывает сильное влияние на форму спектральных линий. Рассмотрим влияние магнитного поля на примере плазмы водорода (дейтерия) [181, 35]. Практическая необходимость в постановке подобных задач возникает, в частности, при исследовании процессов переноса излучения в низкотемпературных пристеночных областях токамака. Так, в дейтериевой плазме дивертора токамака Alcator C-Mod при температуре Т 〜1 эВ, плотности электронов пе 〜1015 см-3 и магнитном поле 石〜8 Тл излучение в спектральных линиях играет определяющую роль в процессе переноса энергии, причем этот перенос существенным образом зависит от формы линий [188].
В электрическом и магнитном полях снимается вырождение и спектральные линии, соответствующие переходам между уровнями с главными квантовыми числами пип, расщепляются на отдельные компоненты. Сдвиг каждой компоненты и ее интенсивность зависят от
величины магнитного поля В, величины квазистатического ионного микрополя F и угла между векторами F и В. Кроме того, интенсивность компоненты зависит от направления распространения излуче
(52)(52)ния, точнее, от углов между волновым вектором к и векторами F и В. Суммарный профиль линии для перехода п —> п можно вычислить путем усреднения по величине и направлению квазистатического ионного микрополя (в дальнейшем зависимость от магнитного поля В не указывается, хотя подразумевается):
(52)
(52)
(53)(53)
(53)
(53)
Здесь W (F) — функция распределения вероятностей электрического ионного микрополя, GyV (F),。万〃(必,F) — относительная интенсивность и контур компоненты D Т и перехода п —> п (через 17,沙 обозначены наборы квантовых чисел, определяющих начальное и конечное состояния для каждой компоненты).
Профиль каждой компоненты определяется эффектом Доплера и взаимодействием атома со свободными электронами (естественное уширение здесь пренебрежимо мало):
где 。万〃 =3帀"68^ 1М?1? — доплеровский параметр уширения, М — масса атома,必万〃 一положение центра компоненты 17 —> zz. Для профиля 夕万〃 используется приближение, предложенное Ситоном для расчета уширения штарковских компонент водородной плазмы электронами [208]. В данном случае расщепление линий обусловлено не только эффектом Штарка, но и эффектом Зеемана, что накладывает определенную специфику на методику расчета профилей компонент и требует некоторой модификации теории [208].
Относительные интенсивности компонент 17 —> 沙 в дипольном приближении определяются выражением
ms)(〃『声):
Е|^)«н|2
где 力(S)— единичный вектор поляризации фотона. Для неполяризо- ванного света
где /Пп — полная сила осциллятора перехода п — п.
Линии п —> п будем считать изолированными, для этого их характерная ширина должна быть меньше расстояния между ближайшими уровнями, что накладывает ограничения на величину магнитного поля и плотность плазмы:
(55)(55)В < c/鄒，пе < 0, 05/^15/2.
(55)
(55)
Заметим, что обычное в теории уширения атомных спектральных линий приближение прямолинейности классических траекторий возмущающих электронов не приводит к дополнительному ограничению на величину магнитного поля. Действительно, это условие требует, чтобы ларморовская частота была меньше плазменной или В < (Втгс^Пе)1^2. Но последнее неравенство, как легко проверить, всегда выполняется, если справедливы ограничения (55). Спин-орбитальным взаимодействием также можно пренебречь, так как расщепление тонкой структуры при температурах Т 〜1 зВ меньше доплеровской ширины уровней.
Как было показано в рамках боровской теории Эпштейном (см. [18, 19]), совместное влияние магнитного и электрического полей на орбиту электрона в состоянии с главным квантовым числом п и орбитальным числом 2 в первом приближении по полю может быть описано как равномерная и независимая прецессия векторов |тг2 干広 с угловыми скоростями 行 1 и 行2：
^1,2 =五豆干几户
(Z— момент количества движения электрона, га — его радиус-вектор, усредненный по орбитальному движению). В этом же приближении можно получить поправки к энергии электрона. Квантовомеханическое рассмотрение дает в первом порядке теории возмущений тот же самый результат [35]. Гамильтониан Н записывается в виде суммы Н = Но + Н1 невозмущенного гамильтониана Яо = -А/2 - 1/г и возмущения Н' = (1/2с)^ • Z+ 户• г, которое в подпространстве состояний с заданным п можно представить в виде
Н1 = —5 • 2 — /八F * 4 =仃 1 * /1 + 岔2 * 厶，
где Л,2 = С £)/2,4—вектор Рунге-Ленца, удовлетворяющий в этом подпространстве соотношению А = —2г/(Зп) (см. например, [35]).
Операторы 元总 коммутируют с 瓦 и подчиняются обычным перестановочным соотношениям для оператора углового момента. Отсюда следует, что Zf = Zf = / (/ + 1), где J определяется числом возможных
состояний, т.е. 2(2/ + I)2 = 2п2 и J = (п — 1)/2, причем проекции Л на ось 仃1 и 芯 на ось 电(будем обозначать их через п1 и п", соответственно) могут принимать 2/ + 1 целых или полуцелых значений —7? —7 + 1, • • • , / — 1, /•
В первом порядке теории возмущений
^nn'n"ms = —^J + 8* + 必2 八"+(56)
где ms = ±^ — проекция спина на ось, направленную вдоль магнитного поля.
Соответствующую волновую функцию "фпп'п" можно записать в виде линейной комбинации волновых функций в параболических координатах с осью г, направленной вдоль электрического поля F:
"Фпп'п"— £ £必e1(m)必出(q2)%^2,(57)
ii = -j c2 = _7
где d^kl (a) = D^kl (0, a, 0) — функция Вигнера, соответствующая повороту вокруг оси г на угол а (см. [24]),吵叫^ = "Фп^п^т — волновые функции в параболических координатах. В данном случае эти функции удобно характеризовать квантовыми числами 通 逼，которые являются проекциями операторов 元工 на ось г и связаны с обычными параболическими квантовыми числами ni, П2 и магнитным квантовым числом т (ni + П2 + \т\ + 1 = п) следующими соотношениями:
й + /2 = й - г2 = ^2 - ^1-
Углы «1 и «2 — это углы между осью г (т.е. вектором F) и векторами 岔1 и 电 соответственно:
—В cos 少一 j nF— В cos 少 + j nF
COSQ] = —, COS @2 = —,
где 少—угол между F и В.
Сдвиг компоненты "―> 沙 относительно центра линии (沙 обозначает совокупность квантовых чисел пп,пП) с учетом (56) определяется выражением
Шуу — ^пп = G172’ + 3?"' — З^п/ —必2 八",
где 力1 и 公2 — угловые скорости прецессии для верхнего уровня п.
Дипольные матричные элементы （у\г\и） с волновыми функциями （57） могут быть представлены в виде линейных комбинаций матричных элементов, вычисленных в параболических координатах. Пусть и^\ г4sL 〃产—декартовы координаты единичного вектора поляризации N（s）в системе координат с осью г вдоль F и осью ж, лежащей в плоскости векторов F и В. Тогда
a=x,y,z
Здесь
①同沙〉={пп,пп \а\ пп,пп）=
=££ dn'iSa^dn"iSa^ х
^1 ^2 = —j Zi ,i2 = —j
X 4G（61）4〃各（62）伍爲2汾同八 1 八2^1〉，（58）
где матричные элементы 汕出汾同ziiTi2咽 в параболических координатах для а = х）у）z вычисляются по формулам Гордона [15].
Функция Вигнера 國屮（а） в （57） и （58） может быть выражена через полиномы Якоби [24]:
麻3）=[（:ХМ] / № 斤（cos 丿 P”）（c°s а）,
где 从=|k — k[, v = |k + k[, s = з —（从 + 沙）/2, &飙=1 при kf > к и &加=（―1严при к' < к. Полиномы Якоби 欢“① удобно вычислять с помощью рекуррентных соотношений [80].
В случае неполяризованного света один из векторов поляризации /（1）направим по нормали к плоскости векторов А; и В, а другой （/（2）） выберем лежащим в этой плоскости перпендикулярно вектору к. Усреднение по направлениям /（$）в （52） удобно провести в системе координат, связанной с магнитным полем. Пусть 夕一угол между проекциями векторов к и F на плоскости, перпендикулярной вектору В. Тогда
u^ = cos 少 sin 夕， "旷）=cos 夕， u^ = sin 少 sin 夕，
u^ = — cos 0 cos 少 cos 夕一sin 0 sin 仇 〃俨 =cos 炉 sin 夕，
吟）=—cos 0 sin 少 cos 夕 + sin 0 cos 仇
где 0 — угол между к и В.
Используя (52), (53) и полагая, что профили отдельных компонент не зависят от угла 夕,в итоге получаем
Фпп (^)—Фпп (^)—^пп4п2/Пп^пп4п2/Пп/ dFW(F)о/ dFW(F)о
Фпп (^)—
Фпп (^)—
^пп4п2/Пп
^пп4п2/Пп
/ dFW(F)
о
/ dFW(F)
о
Рис. 5.7. Профили линий Da дейтерия без магнитного поля (1) и в магнитном поле В = 8 Тл, направленном перпендикулярно (2), под углом 45° (3) и параллельно (4) волновому векторуРис. 5.7. Профили линий Da дейтерия без магнитного поля (1) и в магнитном поле В = 8 Тл, направленном перпендикулярно (2), под углом 45° (3) и параллельно (4) волновому вектору
Рис. 5.7. Профили линий Da дейтерия без магнитного поля (1) и в магнитном поле В = 8 Тл, направленном перпендикулярно (2), под углом 45° (3) и параллельно (4) волновому вектору
Рис. 5.7. Профили линий Da дейтерия без магнитного поля (1) и в магнитном поле В = 8 Тл, направленном перпендикулярно (2), под углом 45° (3) и параллельно (4) волновому вектору
х {2 sin2 0(/〃万 sin 少—z〃17 cos 少)2 + (1 + cos2 0)x
(59)(59)X [(/〃17 cos 少 + Z〃17 shi 少)2 + (g〃万)2] },
(59)
(59)
где матричные элементы /〃万,g〃万,z〃万 определяются выражением (58).
Таблица 5.6. Параметры уширения линий (эВ) в плазме дейтерия при Т = 1 эВ, пе = 3 • 1015 см-3, В = 8 Тл.
Линия
Электронная ширина
Параметр Доплера
Штарковский сдвиг
Сдвиг в магнитном поле
Lya
4,1 • 10-5
3,3 • 10-4
1,2 • 10-4
4,6 • КГ 4
Lyp
1,7- IO"4
3,7・ 10一4
1,9 • КГ 4
4,6 • ICT4
Lyy
4, 7 • 10一4
4,2 • 10-4
2,5 • КГ 4
4,6 • ICT4
Da
1,7- IO"4
6,2 • 10-5
1,9 • КГ 4
4,6 • ICT4
Расчеты контуров линий проведены для дейтериевой плазмы при температуре Т = 1 эВ и плотности электронов пе = 3 • 1015 см-3. В этих условиях влияние магнитного поля, эффекта Штарка и эффекта Доплера для нижних линий серии Лаймана и Бальмера одного порядка (см. табл. 5.6), что требует их одновременного учета. На рис. 5.6, 5.7 приведены вычисленные по формуле (59) профили спектральных линий Lya (2 —> 1) и Da (3 —> 2). Вычисления проведены без магнитного поля и в магнитном поле В = 8 Тл, направленном параллельно
Рис. 5.6. Профили линий Lya дейтерия без магнитного поля (1) и в магнитном поле В = 8 Тл, направленном перпендикулярно (2), под углом 45° (3)и параллельно (4) волновому вектору
волновому вектору " перпендикулярно ему и под углом 45°. Из рисунков видно, что магнитное поле оказывает сильное влияние на форму спектральных линий.
Статистический метод учета групп линий
Расчет сечений поглощения в линиях по формуле (6) из § 2 требует существенных затрат машинного времени. Это обусловлено, в первую очередь, наличием огромного количества спектральных линий в плотной плазме. Большое число линий связано с реализацией большого числа состояний различных ионов, которые, имея малую по величине концентрацию, могут давать вклад в коэффициент поглощения из-за большой величины сечения вблизи центра линии. Наряду с огромным количеством линий большие вычислительные трудности связаны с необходимостью учитывать различные эффекты, приводящие к расщеплению и уширению линий в плазме. Например, достаточно аккуратный учет расщепления и уширения линий за счет электрических полей соседних ионов приводит к увеличению времени счета в десятки раз.
В связи с этим возникает необходимость значительного упрощения расчетов, которое может быть основано на объединении спектральных линий в группы и описании таких групп с помощью некоторой эффективной огибающей. Ясно, что применение такого описания для группы неперекрытых линий может приводить к значительным ошибкам и к искажению спектра поглощения. Для того, чтобы избежать этого, необходим анализ механизмов уширения и расщепления линий по степени их влияния на коэффициенты поглощения фотонов.
Параметры сдвига и уширения спектральных линий в плазме. Рассмотрим наиболее существенные эффекты, приводящие к расщеплению и уширению линий в высокотемпературной плотной плазме. Прежде всего, большое количество линий возникает из-за того, что одни и те же одноэлектронные переходы (например, рассматриваемые в приближении (15) из § 2) происходят в полях ионов, которые отличаются друг от друга конфигурацией Q = {n^/} и, в связи с этим, эффективным зарядом ионного остова, внешней экранировкой и т.п. Кроме того, для заданной конфигурации Q существенную роль играет тонкое расщепление уровней по полному моменту электронов иона.
При рассмотрении эффектов, влияющих на форму и ширину линий, кроме естественного уширения необходимо рассматривать уширение за счет взаимодействия иона со свободными электронами, с другими ионами, а также за счет эффекта Доплера и других эффектов (например, эффекта Оже). Все перечисленные эффекты расщепления
и уширения спектральных линий приводят к перекрытию линий и замазыванию деталей спектра. Для характеристики степени возможного перекрытия линий рассмотрим плазму золота (Z = 79) при температуре = 1 кэВ и различных значениях плотности: р = 0,1 г/см3, р = 1 г/см3 и р = 10 г/см3 (см. также рисунок в предисловии).
В табл. 5.7 приведены уровни энергии £& в зВ и средние числа заполнения электронных состояний Na (а = п2/). Кроме того, на
Таблица 5.7. Уровни энергии в эВ и средние числа заполнения в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотностях р = 0,1 г/см3 (Z。= 66, 4), р = 1 г/см3 (Z。= 60, 9), р = 10 г/см3 (Z。= 52,1). В расчете учитывались оболочки с п < 9
Р = 0,
1 г/см3
Р =
1 г/см3
Р =
10 г/см3
П ^j
|£n-£? 1
\^nlj 1
\^nlj 1
101/2
86396
2,0000
85269
2,0000
83850
2,0000
201/2
19648
2,0000
18619
2,0000
17299
2,0000
211/2
19153
2,0000
18100
2,0000
16759
2,0000
213/2
17261
3,9988
16224
3,9996
14897
3,9998
301/2
7919
0,4419
7108
1,0628
6001
1,5157
311/2
7745
0,3848
6911
0,9645
5782
1,4309
313/2
7229
0,4983
6420
1,4525
5317
2,4497
323/2
7011
0,4106
6147
1,2114
4991
2,1312
325/2
6889
0,5520
6034
1,6769
4886
3,0395
401/2
4129
0,0128
3514
0,0606
2644
0,1972
411/2
4048
0,0118
3422
0,0555
2541
0,1796
413/2
3882
0,0200
3277
0,0963
2419
0,3213
423/2
3791
0,0183
3161
0,0860
2277
0,2817
425/2
3746
0,0262
3122
0,1242
2246
0,4104
435/2
3686
0,0247
3027
0,1131
2106
0,3603
437/2
3665
0,0322
ЗОЮ
0,1484
2093
0,4745
501/2
2508
0,0025
2030
0,0141
1330
0,0572
511/2
2468
0,0024
1985
0,0135
1280
0,0544
513/2
2389
0,0045
1919
0,0252
1229
0,1036
523/2
2344
0,0043
1861
0,0238
1158
0,0967
525/2
2322
0,0063
1843
0,0351
1145
0,1431
535/2
2293
0,0061
1796
0,0335
1077
0,1339
537/2
2283
0,0081
1788
0,0444
1071
0,1776
547/2
2264
0,0080
1754
0,0429
1018
0,1686
549/2
2258
0,0099
1749
0,0533
1015
0,2102
601/2
1659
0,0011
1268
0,0661
686,6
0,0345
611/2
1637
0,0011
1243
0,0064
658,8
0,0296
613/2
1593
0,0020
1207
0,0124
633,5
0,0578
623/2
1568
0,0020
1175
0,0121
694,0
0,0556
625/2
1555
0,0029
1165
0,0179
587,1
0,0828
635/2
1539
0,0029
1139
0,0174
548,7
0,0798
637/2
1533
0,0038
1134
0,0231
545,7
0,1060
647/2
1522
0,0038
1116
0,0227
515,4
0,1029
649/2
1519
0,0047
1113
0,0283
513,8
0,1284
659/2
1515
0,0047
1103
0,0280
493,0
0,1258
6511/2
1513
0,0056
1102
0,0336
492,0
0,1508
рис. 5.8 приведены графики распределения вероятностей ионов 几 по степеням ионизации к.
Рис. 5.8. Распределение вероятностей ионов кратности к для плазмы золота при температуре Т = 1 кэВ и плотностях р = 0,1 г/см3, р = 1 г/см3 и р = 10 г/см3
Знание средних чисел заполнения уровней позволяет оценить количество спектральных линий, соответствующих заданному одноэлектронному переходу тг2/ —> п'^'j'. Для оценок будем предполагать, что в плазме с достаточно заметной вероятностью реализуются конфигурации Q с числами заполнения электронных состояний Ng такими, что
Na - SNa <Ng <Na + 6Na.(1)
Здесь SNa — среднеквадратичный разброс чисел заполнения Ng относительно их средних значений Na.
Для вычисления SNa воспользуемся биномиальным распределением (см. формулу (1) из § 3), которое дает
gaNa (^1 - ^ /⑵
(9& — статистический вес уровня а). Так как число различных состояний ионов N (без учета эффектов расщепления) приближенно соответствует числу рассматриваемых конфигураций, то для оценок положим
A/^U(2・[* + 1] + 1),⑶
где [ж] — целая часть х. Очевидно, что число спектральных линий, как правило, значительно превышает N)в частности, вследствие мультиплетного расщепления уровней. Оценка (3) для случая Z = 79, Г = 1 кэВ, р = 1 г/см3 дает ^105, а с учетом дополнительных
эффектов расщепления N 〜108.
Таблица 5.8. Характерные величины сдвига и уширения линий (в эВ) для перехода 313/2т425/2в золоте при температуре Т = 1 кэВ
Эффект
0 = 0,1 г/см3
р = 1 г/см3
р = 10 г/см3
Изменение заряда иона
Изменение заполнения внешних оболочек
Тонкое расщепление по полному моменту
Естественное уширение
Эффект Доплера
Уширение электронами
Уширение ионами
50 - 200
0,1 - 6
0-28
0,06 0,4 0,07 0,006
45 - 200
0,2 - 8
0-28 0,04 0,4 ОД 0,04
40 - 150
0,3 - 12
0-28 0,03 0,4 0,3 0,2
Перейдем к рассмотрению характерных сдвигов линий и параметров уширения для одного из одноэлектронных переходов тг2/ —> п'Оj‘ при п = 3, ^ = 1, J = 3/2, п' = 4, 0 = 2, / = 5/2. Результаты расчета соответствующих величин приведены в табл. 5.8. Как видно из таблицы, изменение заряда иона на величину △% 〜1-5 приводит к сдвигу линий, а также порогов фотоионизации на + 40-200 эВ (см. п. 1 в табл. 5.8).
Величину сдвига можно оценить, используя водородоподобное приближение для уровней энергии
一 2八2 十
Пренебрегая внешней экранировкой и полагая 2：叮 + Zn£j + AZ, где Z：g・—эффективные заряды для некоторой конфигурации Q, получаем
△石=后一 Z)；3 ) (4)
(см. табл. 2.3, где приведены эффективные заряды Zn£j для среднего иона).
Внешняя экранировка влияет гораздо слабее, сдвиг всего + ОД- 12 эВ. Аналогичный сдвиг + 0-28 эВ получен для величины тонкого расщепления уровней по полному моменту (см. п. 3). Суммарный разброс положения линий в ионах с одинаковым зарядом равен △石 + + 20-30 эВ (см. пп. 2, 3).
Если количество линий достаточно велико, так что выполнено условие N,》△石,где 7 — характерная ширина линий для данного перехода, то можно ожидать, что группы спектральных линий, соответствующие заданному интервалу энергий △石,будут перекрываться.
Для плотности р = 0,1 г/см3 имеем N 〜103, для плотности р = 1 г/см3 и р = 10 г/см3 имеем соответственно N ~ 105 и «М 〜107. Как видно из табл. 5.8, условие перекрытия линий для рассматриваемого перехода практически выполняется уже при плотности р = 1 г/см3. При более высоких плотностях, в частности, при р = 10 г/см3, линии полностью перекрываются, что кардинально меняет ситуацию по сравнению с поглощением в отдельно взятой спектральной линии.
Интересно отметить, что до сравнительно недавнего времени существовало представление о том, что спектральные линии не влияют на росселандов пробег, например, в монографии [109], с. 173, при рассмотрении влияния различных процессов на лучистую теплопроводность вещества приведено следующее рассуждение:
пМы не включили в число рассматриваемых процессы, у которых как начальное, так и конечное состояния относятся к дискретному спектру. Это — поглощение, приводящее к возникновению спектральных линий. Вообще говоря, этим процессом не всегда можно пренебрегать, но специально для лучистой теплопроводности он практически не имеет значения в силу особых свойств росселандова среднего. Если мы имеем дело с тонкой линией, то непрозрачность будет очень велика в весьма узком интервале частот. Но, по Росселанду, усредняется по частоте не непрозрачность, а обратная ей величина, т.е. пробег. В пределах линии пробег очень мал, но мал и интервал частот. Если даже считать пробег в пределах линии равным нулю, то это будет значить только, что из росселандова интеграла нужно исключить участок частот, соответствующей ширине линии. В пределе, при бесконечно тонких линиях, влияние их на росселандово среднее тождественно равно нулю, сколь бы сильным ни было поглощение в пределах линии. Естественная и доплеровская ширины линий с этой точки зрения ничтожны. Поглощение в линиях может сказаться на лучистой теплопроводности только за счет расширения линий при высоких плотностях из-за столкновений. Но количественные оценки показывают, что фактически этот эффект в звездных условиях оказывается несущественным. Если плотность столь велика, что линии сильно расширяются из-за столкновений, то тормозное поглощение оказывается существеннее, чем все переходы из состояний дискретного спектра. По изложенным соображениям при рассмотрении лучистой теплопроводности мы будем рассматривать только три процесса, перечисленные выше.п
На самом деле поглощение в спектральных линиях в плотной высокотемпературной плазме во многих случаях является наиболее важным процессом при описании лучистой теплопроводности. Как можно видеть из рис. 5.9, именно группы линий определяют спектр поглощения (рис. 5.9 а) и излучательную способность (рис. 5.9 Ь), оказывая сильное влияние на величину росселандова пробега фотонов
Рис. 5.9. Спектральные характеристики плазмы золота на интервале энергий фотонов 0 < Нш < 20Т при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3 в зависимости от энергии фотона в кэВ: (а) — коэффициенты поглощения в см2/г (непрозрачность); (Ь) — объемная излучательная способность в ТВт/(см3-эВ-стерадиан);
(с) — пробег в см; (d) — пробег, умноженный на весовую функцию Росселанда
(рис. 5.9 с). Излучательная способность вычислялась в соответствии с законом Кирхгофа
7 И = Р^ш)сЬш fp(u)=G)「优.(5)
Заметим, что при вычислении среднего по Росселанду пробега наиболее существенной является область Т < Нш < 7T (см. рис. 5.9 & где приведена подинтегральная кривая 2(g)笈⑺，笈⑺=—优产, х = Нш/Т).
Флуктуации чисел заполнения приводят к расширению области влияния спектральных линий, соответствующих одному и тому же одноэлектронному переходу. Этот фактор наиболее сильно проявляется при высоких плотностях (например, для золота при плотностях р > >0,01 г/см3). При меньших плотностях на первое место выходит муль-
типлетная структура спектра (см. далее п.З). Для элементов с малым атомным номером при высокой ионизации, когда число возможных состояний ионов невелико, может оказаться важным учет эффекта Штарка, определяющего крылья спектральных линий [31].
Флуктуации чисел заполнения в плотной высокотемпературной плазме. Детальное описание структуры уровней каждого иона в плазме при высоких температурах требует огромных вычислительных затрат. На практике удобно объединять группы близких уровней, создавая таким путем массивы переходов из одной группы уровней в другую (в английском языке используется термин transition array). В частности, такие массивы в вычислительных методиках образуются естественным путем, если, например, не проводить детализацию по квантовым числам 2,/ и полагать, что различные конфигурации ионов отличаются суммарным количеством электронов на оболочках с главным квантовым числом n: Nn = 0,1, 2, ..., 2п2. Числа
n(lj) • 103n(lj) • 103002502502002001501501001005050；,4；,43,3,3,23,333,23,33550055443322113,53,53,23,33,43,23,33,400443322113,23,33,4 &,кзВ3,23,33,4 &,кзВРис. 5.10. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 1 г/см3 с различным учетом конфигураций ионов: (а) — учтена одна конфигурация, (Ь) — учтено 24 конфигурации, соответствующие различной степени ионизации, (с) — учтено около 6000 конфигураций, (d) — учтено более 70000 конфигурацийРис. 5.10. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 1 г/см3 с различным учетом конфигураций ионов: (а) — учтена одна конфигурация, (Ь) — учтено 24 конфигурации, соответствующие различной степени ионизации, (с) — учтено около 6000 конфигураций, (d) — учтено более 70000 конфигураций
n(lj) • 103
n(lj) • 103
0
0
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
；,4
；,4
3,
3,
3,23,33
3,23,33
5
5
0
0
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
3,5
3,5
3,23,33,4
3,23,33,4
0
0
4
4
3
3
2
2
1
1
3,23,33,4 &,кзВ
3,23,33,4 &,кзВ
Рис. 5.10. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 1 г/см3 с различным учетом конфигураций ионов: (а) — учтена одна конфигурация, (Ь) — учтено 24 конфигурации, соответствующие различной степени ионизации, (с) — учтено около 6000 конфигураций, (d) — учтено более 70000 конфигураций
Рис. 5.10. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 1 г/см3 с различным учетом конфигураций ионов: (а) — учтена одна конфигурация, (Ь) — учтено 24 конфигурации, соответствующие различной степени ионизации, (с) — учтено около 6000 конфигураций, (d) — учтено более 70000 конфигураций
заполнения соответствующего представителя группы конфигураций определяются по формуле
+ 1
Ng(6)
При таком подходе удобно исходить из величин, полученных в приближении среднего атома, рассматривая различные конфигурации как флуктуации чисел заполнения относительно их средних значений.
На рис. 5.10 приведены коэффициенты поглощения для рассматриваемого перехода при Г = 1 кэВ, р = 1 г/см3, вычисленные по формуле (15) из § 2. В первом случае (рис. 5.10 а) учтена лишь одна конфигурация, соответствующая среднему иону. Вверху справа (рис. 5.10 Ь) учтены основные конфигурации, соответствующие различным степеням ионизации, внизу слева (рис. 5.10 с) — перебрано около 6000 конфигураций с различными числами < N? }, и наконец,
внизу справа (рис. 5.10 d) проведен учет практически всех возможных
Рис. 5.11. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 1 г/см3 с детальным перебором конфигураций без учета мультиплетного расщепления и с учетом мультиплетного расщепления методом Мошковского (плавная линия)
количества конфигураций суммарное поглощение в крыльях линий перехода 3夕| —> 4d^ все более плотно заполняет участок спектра 3,1 - 3,5 кэВ, приближаясь к плавной кривой (см. рис. 5.11).
Статистическое описание перекрывающихся мультиплетов. Мультиплетное расщепление приводит к еще большему увеличению числа линий, что особенно существенно для элементов с боль-
шим Z. При проведении расчетов спектральных коэффициентов поглощения мультиплетную структуру спектра таких элементов следует учитывать не в приближении JJ-связи, а, как правило, в приближении связи промежуточного типа [144, 157, 174], что значительно усложняет расчеты. При вычислении средних величин (росселандовых и план- ковских пробегов, групповых констант) эффекты мультиплетного расщепления можно рассматривать как дополнительное уширение линий, вычисляя объединенный профиль мультиплета на основе некоторого статистического распределения его компонент [121, 122, 179].
Полагая, что волновые функции иона в одноконфигурационном приближении могут быть построены в виде линейной комбинации детерминантов Слэтера (см. (10) из § 3), для средней по конфигурации Q энергии иона имеем
纭纭£ g()刀И) yJM£ g()刀И) yJM三{{yJM\H\yJM))7jM,三{{yJM\H\yJM))7jM,⑺⑺
纭
纭
£ g()刀И) yJM
£ g()刀И) yJM
三{{yJM\H\yJM))7jM,
三{{yJM\H\yJM))7jM,
⑺
⑺
где Н — гамильтониан системы электронов иона, g(^JM) — статистический вес состояния qJM, {..^jm — обозначает усреднение по всем возможным состояниям конфигурации Q.
Для дисперсии энергии электронной конфигурации, используя известное из теории вероятностей соотношение, получаем
吃=《EqjM)2〉qJM -,(8)
где EqjM = (yJM\H\yJM).
Аналогичным образом можно определить дисперсию энергии перехода между конфигурациями Q и Q'\
o[tq尸《Eyj，м，—E?jM)2〉qjM,YJM —(〈石у j/必—E1jm}^jm^'j,m')2 ,
Т⑼
где {..^yjM^' j'М' — усреднение с весами соответствующих компонент мультиплета (с учетом правил отбора).
В явном виде вычисления по формулам (7)—(9) проведены в [118, 119, 120], где получены аналитические формулы для дисперсий (9) в приближении связи промежуточного типа. Однако для практических расчетов непрозрачности такие выражения из-за своей громоздкости представляются не совсем удобными, поэтому мы ограничимся более простым приближением.
Если пренебречь взаимодействием между электронными оболочками, то оценить дисперсию энергии перехода между произвольными
конфигурациями можно по сумме соответствующих квадратов дисперсий переходов для двухэлектронных конфигураций.
Рассмотрим одноэлектронный переход а —> 0 между конфигурациями Q —> Q1, где Q = а и Q' = а 0, полагая, что электрон в состоянии 0 не влияет на состояние а. Тогда, как показано в [179], дисперсия для такого перехода равна
2^Q^Q'—2^Q^Q'—(N — l)(g& — N) 29а —(N — l)(g& — N) 29а —(10)(10)
2
^Q^Q'—
2
^Q^Q'—
(N — l)(g& — N) 2
9а —
(N — l)(g& — N) 2
9а —
(10)
(10)
где сг^етед ——дисперсия для перехода а2 —> а^, да — статистический вес состояния а. При выводе формулы (10) предполагалась квадратичная зависимость дисперсии мультиплетного расщепления от числа электронов N с учетом того, что дисперсия достигает максимума при N 〜g&/2, равна нулю при N = \ 瓜 N = д^, причем если N = 2, то должна совпадать с 统一&夕
Соответственно, для перехода ар —> ар имеем
(11)(11)2〜(Ni - 1)(% - Ni) 2№回_N? —2
(11)
(11)
+
Суммируя выражения для дисперсий переходов az/ —> ^v
(12)(12)
(12)
(12)
с выражением (11) в общем случае для среднеквадратичного разброса компонент мультиплета Q —> Q' одноэлектронного перехода a —> 0 получаем
У aZУ aZ++丁203『华丁203『华+ £+ £N?®-N出 2—丄N?®-N出 2—丄(13)(13)
У aZ
У aZ
+
+
丁2
03『华
丁2
03『华
+ £
+ £
N?®-N出 2
—丄
N?®-N出 2
—丄
(13)
(13)
где двухэлектронные дисперсии。^〃一^〃 вычисляются в приближении jj- или LS-связи.
Выражение (13) удобно для практических расчетов тем, что вычисление дисперсии перехода a —> 0 для заданной конфигурации Q сводится к расчету дисперсий переходов в двухэлектронных конфигурациях, не зависящих в выбранном нами приближении от конкретных
состояний ионов. Это позволяет на основе заранее рассчитанных массивов двухэлектронных дисперсий определять дисперсию для любой многоэлектронной конфигурации с минимальным числом производимых при этом числовых операций.
Двухэлектронные дисперсии будем вычислять в приближении jj- связи:
где параметры〈△石黑一^〃〉вычисляются на основе сдвигов энергий ионов при изменении состояния одного из электронов:
=+ 1)(2JZ + 1)|AK^(J, Jf)r(%—°")—£jj(2J+1)(27+ 1).
Здесь
J = |/〃一/cj, |/〃一/cj + l, • • •,/〃+%； J = |/〃一/" |/〃一//з| + 1, • • •,/〃+//3・
При вычислении В(71,72, J) предполагается, что одноэлектронные волновые функции остаются неизменными при изменении состояния электронов. В этом приближении энергия двух электронов с суммарным моментом J определяется с помощью интегралов Слэтера 理〃 и G^〃 (см. [71], а также аналогичные формулы (24), (25) из § 2 гл. III для нерелятивистского случая):
石(启/〃，/)=〃+/〃+£ ®F「bsGG (14)
s=\ju-ja\
где
a + 1)(2/〃 + 1)屮0""%加 Js)C：a + 1)(2/〃 + 1)屮0""%加 Js)C：soso1-2 1-21-2 1-2soso1-2 1-21-2 1-2bs = (2ja + l)W(jajPMa-Js)bs = (2ja + l)W(jajPMa-Js)22
a + 1)(2/〃 + 1)屮0""%加 Js)C：
a + 1)(2/〃 + 1)屮0""%加 Js)C：
so
so
1-2 1-2
1-2 1-2
so
so
1-2 1-2
1-2 1-2
bs = (2ja + l)W(jajPMa-Js)
bs = (2ja + l)W(jajPMa-Js)
2
2
5(lalys) = [1 + (—/2
(для случая a — v коэффициент bs = 0).
В табл. 5.9 приведены дисперсии некоторых переходов для вольфрама, вычисленные по волновым функциям среднего иона при Т = = 0,5 кэВ, р = 0, 5 г/см3 (в этом случае средний заряд иона Z°=46). Там же приведены дисперсии, рассчитанные для изолированного иона W48 по более точной методике [120]. Если принять во внимание отличие заряда иона W48 от заряда среднего иона, в потенциале
Таблица 5.9. Дисперсии некоторых переходов для вольфрама. Вычисления по формуле (13) проводились по волновым функциям среднего иона при Т = 0, 5 кэВ и р = 0, 5 г/см3
Переход
Оа/3 по формуле (13)
Оа/3 из работы [120]
3"3/2 噂/2 — 3d^/2 脅/2401/2
6,50
8,14
3遞/2噂/2 T 3dg/2齊/2你3/2
6,11
5,18
3d3/2齊/2 T 3d3/2《/?40з/2
6,13
6,43
3週/2虑/2 - 3遽/2虑/2你3/2
6,68
6,47
которого проводились расчеты волновых функций, то можно считать, что приближение (13) дает удовлетворительную точность.
Влияние эффектов мультиплетного расщепления на коэффициенты поглощения проиллюстрировано на рис. 5.12 (см. также табл. 5.10), где приведены некоторые результаты расчетов для плазмы железа, полученные в различных приближениях по программам THERMOS, STA и OPAL. В программах OPAL и STA, в отличие от программы THERMOS, используется параметрический потенциал (см. например, [195]). Учет поглощения в спектральных линиях осуществляется либо в приближении связи промежуточного типа с детальным учетом термов (OPAL), либо в статистическом приближении [122], более точным по сравнению с методом Мошковского, однако требующим гораздо большего объема вычислений (STA).
Рис. 5.12. Средний по Росселанду коэффициент поглощения ”丘 для железа в зависимости от температуры Т в кэВ при плотностях р = 10-4 г/см3 и р = 10-1 г/см3 по программе THERMOS. Пунктирная линия — значения, вычисленные без учета мультиплетной структуры уровней, сплошная линия — с учетом мультиплетной структуры в приближении Мошковского. На график нанесены также значения, полученные по программам OPAL и STA при Т = 0,02 кэВ, р = 10-4 г/см3 и при Т = 0,1 кэВ, р = 0,1 г/см3 (см. табл. 5.10)
Таблица 5.10. Средний по Росселанду коэффициент поглощения ”丘 для плазмы железа
Т, эВ
р, г/см3
Программа
см2/г
20
10-4
THERMOS STA OPAL
7,87-103
7,68-103
6,11-103
100
10-1
THERMOS STA OPAL
1,43-Ю3 1,38-103
1,18-Ю3
Как видно из рис. 5.12 и табл. 5.10, мультиплетное расщепление определяет лучистую теплопроводность железа при Г < 0,1 кэВ для плотностей р 〜10-4 г/см3 (см. также рис. 5.13, 5.14, где приведены спектральные коэффициенты поглощения в плазме железа при Т = 20 эВ, р = 10-4 г/см3 для одного из переходов внутри оболочки п = 3 (рис. 5.13) и на интервале Росселанда (рис. 5.14)). При плотности р = 0,1 г/см3 влияние тонкой структуры менее заметно, так как при таких плотностях определяющую роль играют флуктуации чисел заполнения.
Рис. 5.13. Коэффициенты поглощения для дискретно-дискретных переходов в различных приближениях: (а) — осуществлен полный перебор конфигураций без учета мультиплетной структуры; (Ь) — проведен учет мультиплетной структуры уровней в приближении связи промежуточного типа (учтено более 20000 уровней). Расчет проведен для перехода 3@| т 3d^ в железе ( Т = 20 эВ, р = 10-4 г/см3)
Практическая важность мультиплетного расщепления особенно ярко проявилась в астрофизических приложениях. Как оказалось, являясь хотя и малой, однако самой тяжелой компонентой звездных атмосфер цефеид, плазма железа определяет их непрозрачность [213]. Проведенные с высокой точностью расчеты по программе OPAL в Ливерморской национальной лаборатории США [197] и подтверждающие результаты этих расчетов эксперименты в лаборатории Сан- дия, позволили объяснить загадочное поведение цефеид на диаграмме Герцшпрунга-Рассела [213].
n(lj)
106
105 ю4
103 ю2
Рис. 5.14. Спектральные коэффициенты поглощения железа при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3: (а) — значения, вычисленные без учета мультиплетной структуры уровней; (Ь) — с учетом мультиплетной структуры в приближении связи промежуточного типа по программе OPAL [197], (с) — с учетом мультиплетной структуры в приближении Мошковского по программе THERMOS
Таким образом, при малых плотностях вещества учет дискретнодискретных переходов с детальным перебором конфигураций во многих случаях необходимо дополнить детальным перебором термов, причем удовлетворительные результаты дает расчет только с использованием связи промежуточного типа.
Эффективный профиль совокупности линий. В достаточно плотной плазме могут выполняться условия полного перекрытия линий на характерных интервалах энергии, которые определяются величиной мультиплетного расщепления и смещения линий за счет изменения чисел заполнения в различных конфигурациях Q. Если объединить вклад эффектов уширения и мультиплетного расщепления в виде некоторого профиля ①^(£ — е^), где £^ — энергия перехода а т•仇 усредненная по всем состояниям конфигурации Q (в том числе по полному моменту J), то сечение поглощения, соответствующее одноэлектронному переходу а —> 0, можно вычислять по формуле
*%) = y£ pqNQ (1 -為凰嶋(ё - ё紀(⑸
где /^ — сила осциллятора, также усредненная по конфигурации Q. В наиболее простом случае полного перекрытия линий можно осуществить перебор конфигураций Q, опираясь на приближение среднего атома и заменяя ①^(£ — £^) некоторым суммарным профилем 几09：
аъъ(£)=号 c3a0fa^Na (1 - ^)厶/3(£),(16)
где /&3 — сила осциллятора для перехода а —> 0 иона со средними числами заполнения Na. Проведем вычисление функции 厶/3(£)для случая, когда все линии перехода а —> 0 сгруппированы вблизи одного максимума [214, 36], приближенно считая, что профили линий одного и того же перехода не зависят от конфигурации Q, а отличаются лишь положением центра линии. Будем также предполагать, что волновые функции рассматриваемого иона мало отличаются от волновых функций среднего иона. Тогда для энергий переходов и сил осцилляторов /^, соответствующих средним значениям по конфигурации Q, имеем
噸 ++ £ 5NqGf,(17)
親Q!噸](Е亏)。 ^!嘅％f=!^九/3(18)
где SNq = N? — Ng, G^° 三 Gq = /夕—Haq, H^q — матричный элемент парного взаимодействия электронов в состояниях к и q, вычисляемый по волновым функциям среднего иона (см. (24) из § 2 гл. Ill); £ад, /а/з — соответствующие среднему иону энергия и сила осциллятора для перехода а ^ р.
Подставляя (17) и (18) в (15), имеем
67俨(Е)-x
义 ^2&(ea。+AeQ)(?2ci+阮Q)(l-八。-玩0)①a。("ea0-△eq)， (19)
цде na = Na/ga, 6na = 6Na/ga.
Для дальнейших преобразований удобно представить функцию ①&。 в виде интеграла Фурье
^а^£ - £а^ - A^q) = ^|= / ОО'ехр^Вс^ + △£◊ — £)]ds.(20)
Используя (20), получаем формулу вида (16):
67俨(О =c3aofa(3gana(l - n^J^^),(21)
где
JaB® = ^|^ / 0(s) exp[〃s(£ - ea^] £ Pq exp[-zsA£Q] x
-OCQ
5naПа5naПа阮/3阮/36па6п^九a(1 - n/3)6па6п^九a(1 - n/3)(22)(22)
5na
Па
5na
Па
阮/3
阮/3
6па6п^九a(1 - n/3)
6па6п^九a(1 - n/3)
(22)
(22)
Выражение (22) описывает распределение совокупности спектральных линий, соответствующих одноэлектронному переходу а —> 炉.Если ввести функции
尸⑻ exp[—zs^] ds,尸⑻ exp[—zs^] ds,6na6n^^а(1 —八/3)_(23)(24)6na6n^^а(1 —八/3)_(23)(24)Ю ? & ехр[—26△加卜 + 河]1 + * -咅;
尸⑻ exp[—zs^] ds,
尸⑻ exp[—zs^] ds,
6na6n^
^а(1 —八/3)_
(23)
(24)
6na6n^
^а(1 —八/3)_
(23)
(24)
то, в силу свойства J^^ ехр[—z^(s — s')] dg = 27rb(s — s'), профиль (22) можно переписать в виде
(25)(25)Ja(3 (^) = / Ф«/3 (^ — ^а/З — €)F(€)d&
(25)
(25)
Таким образом, для вычисления Ja/3^) достаточно определить функцию 尸(s). Подставим в (23) выражение (17) и разложим экспоненту в ряд. С точностью до членов (Jn)2 имеем
阮/з阮/з1-^/з1-^/з++L 3nqGq Г Sna+1 +L 3nqGq Г Sna+1 +1-^/з1-^/збПдбПВ ] + 八a(1 -八/3)_]бПдбПВ ] + 八a(1 -八/3)_]+ is^gq8nqGq 1+ is^gq8nqGq 16па + —6па + —1-^/з1-^/з++E6npGp 9p +^г- £ gq9pSnqSnpGqG-E6npGp 9p +^г- £ gq9pSnqSnpGqG-
阮/з
阮/з
1-^/з
1-^/з
+
+
L 3nqGq Г Sna+1 +
L 3nqGq Г Sna+1 +
1-^/з
1-^/з
бПдбПВ ] + 八a(1 -八/3)_]
бПдбПВ ] + 八a(1 -八/3)_]
+ is^gq8nqGq 1
+ is^gq8nqGq 1
6па + —
6па + —
1-^/з
1-^/з
+
+
E6npGp 9p +
^г- £ gq9pSnqSnpGqG-
E6npGp 9p +
^г- £ gq9pSnqSnpGqG-
В дальнейшем усреднение по биномиальному распределению (см. (1) из § 3) будем обозначать скобками (...). В предположении отсутствия корреляций ({SnpSnq) = 0 при 夕# q) имеем
尸(s) = 1 +尸(s) = 1 +9а^а -9а^а -^а(3^а^а(3^а〈8礙「严 G。+〈8礙「严 G。++ is9aGa — ——в +上需+ is9aGa — ——в +上需(8吟睛(8吟睛++
尸(s) = 1 +
尸(s) = 1 +
9а^а -
9а^а -
^а(3^а
^а(3^а
〈8礙「
严 G。+
〈8礙「
严 G。+
+ is9aGa — ——в +上需
+ is9aGa — ——в +上需
(8吟睛
(8吟睛
+
+
+ ^^~ £片(8片隔.(26)
Используя свойство биномиального распределения
(阮力(阮力Пд (1 —八q)9qПд (1 —八q)9qполучим尸(S)получим尸(S)1 +1 +^a(3 /^a(3 /1 + 石1/后a3 1 + E\jea^ 21 + 石1/后a3 1 + E\jea^ 2(27)(28)(27)(28)
(阮力
(阮力
Пд (1 —八q)9q
Пд (1 —八q)9q
получим
尸(S)
получим
尸(S)
1 +
1 +
^a(3 /
^a(3 /
1 + 石1/后a3 1 + E\jea^ 2
1 + 石1/后a3 1 + E\jea^ 2
(27)
(28)
(27)
(28)
гдегде
где
где
石 1 = Gq(1 - Па) - G/зП/з,石2 = £g产q(l - nJG^. (29)
Таким образом, по известным двум моментам распределения (28) функцию F(§) можно аппроксимировать гауссовой зависимостью
гдегде石 1 + Е?〔 Ерф1 + e\] €а3石 1 + Е?〔 Ерф1 + e\] €а3(€ — △)2]202(€ — △)2]202石21 + e\[它38石21 + e\[它38В итоге для профиля совокупности линий получаемВ итоге для профиля совокупности линий получаем""=-- / ①住一— ')eXP [万一]代""=-- / ①住一— ')eXP [万一]代(30)(31)(32)(30)(31)(32)
где
где
石 1 + Е?〔 Ерф1 + e\] €а3
石 1 + Е?〔 Ерф1 + e\] €а3
(€ — △)2]202
(€ — △)2]202
石2
1 + e\[它38
石2
1 + e\[它38
В итоге для профиля совокупности линий получаем
В итоге для профиля совокупности линий получаем
""=-- / ①住一— ')eXP [万一]代
""=-- / ①住一— ')eXP [万一]代
(30)
(31)
(32)
(30)
(31)
(32)
При выводе формулы (32) использовалось выражение для энергии (18) и биномиальное распределение (1) из § 3. Кроме того, предполагалось, что линии существенно перекрыты, а флуктуации чисел заполнения малы по сравнению со статистическим весом уровней, т.е. 8па = SNa/ga 《1. Оба эти условия хорошо выполняются для элементов с большим номером Z при температурах, когда ионизована примерно половина электронов. Заметим, что если биномиальное распределение применимо, то, как следует из (27), условие малости флуктуаций также выполняется.
В большинстве практических задач индивидуальный профиль спектральной линии ①&/з(£ — Еоф) описывается функцией Фойгта (см. (47) из §4):
где 7 — лоренцовская ширина линии, D — параметр доплеровского уширения. Свертка функции Фойгта с гауссовским распределением (30) по формуле (32) также дает функцию Фойгта, но с другими параметрами:
J&B（£）J&B（£）,"(02 + 2卉 I ，1?2 +24，02 +202,"(02 + 2卉 I ，1?2 +24，02 +202(33)(33)
J&B（£）
J&B（£）
,"(02 + 2卉 I ，1?2 +24，02 +202
,"(02 + 2卉 I ，1?2 +24，02 +202
(33)
(33)
Таким образом, суммарный профиль совокупности фойгтовских линий в принятом приближении описывается также функцией Фойгта.
В случае большой плотности линий, когда можно пренебречь шириной отдельной линии 7 по сравнению с величиной их среднеквадратичного разброса ст, полагая ①&/з(£ — eQ = b(£ — £а/з\ и при выполнении условий Е^/га^《1,石2/^073《1 для профиля (32) получаем гауссову кривую
j ⑵ехр.(34)
Выражение (34) использовалось в работе [214], где были получены несколько другие параметры % и 石2 •
Формула (16) дает одну плавную огибающую для всей совокупности линий одноэлектронного перехода а —> 炉.Такое приближение является достаточно грубым, так как во многих случаях суммарная огибающая совокупности линий, соответствующих одному одноэле- тронному переходу, как правило, имеет более сложный вид и представляет собой функцию с некоторым числом максимумов. Эти максимумы обусловлены наличием состояний групп ионов, значительно отличающихся по энергии. Для уточнения (16) представляется естественным группировать линии вблизи таких максимумов и описывать всю совокупность линий рассматриваемого одноэлектронного перехода в виде набора некоторых эффективных профилей.
Такое обобщение проведено в работах [38, 115]. В частности, в работе [38] использован тот факт, что флуктуации чисел заполнения на нижних оболочках более заметно псдвигаютплинии, чем флуктуации на верхних уровнях. Именно такие конфигурации, в которых меняется заполнение самых нижних затронутых ионизацией оболочек, будут определять основные группы линий. Поэтому целесообразно выделить небольшое число оболочек, суммирование по числам заполнения которых в (15) желательно проводить явно. Пусть, например, такой оболочкой является оболочка 从(обобщение на случай нескольких оболочек очевидно). По оболочкам q # 从 можно провести приближенное суммирование в (15) с точностью до (Jn)2, аналогично тому, как это было сделано выше.
В результате имеем
抬方力(35)
Здесь 斗一вероятность того, что на оболочке 从 находится N卩 электронов (№〃 = 0,1, 2,…g j £^ = £&в + (N〃 - N^Gf, — среднее
число электронов на оболочке 从,
(q =从);(q*从),(q =从);(q*从),
(q =从);
(q*从),
(q =从);
(q*从),
-у^У ^a^ - % - €) exp [^ —] d& (36)
'-G/Ng/g。(& = 〃№#〃)，
石f = < G^ (1 - Na/ga)(a# 也 0 =从)，
、G^ (1- Na/ga) - 6宀回(a # 也 0 # 从)，
"=A（一沙G7；
(37)(37)Для фойгтовских профилей ①&。аналогично (16) получаем
(37)
(37)
C(I?2 + 2*)( Q + 2嗚'Q + 2嗚丿
где 7^ — характерная лоренцовская ширина перехода a —> 0 для
Рис. 5.15. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота с детальным перебором конфигураций с учетом мультиплетной структуры в приближении Мошковского (сплошные линии) и полученный по эффективной методике (штриховые линии): (а) — Т = 1 кэВ, р = 1 г/см3; (Ь) — Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3. Пунктирные линии с одним максимумом —расчет по формуле (16); пунктирная линия с тремя максимумами — расчет по формуле (35)Рис. 5.15. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота с детальным перебором конфигураций с учетом мультиплетной структуры в приближении Мошковского (сплошные линии) и полученный по эффективной методике (штриховые линии): (а) — Т = 1 кэВ, р = 1 г/см3; (Ь) — Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3. Пунктирные линии с одним максимумом —расчет по формуле (16); пунктирная линия с тремя максимумами — расчет по формуле (35)
Рис. 5.15. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота с детальным перебором конфигураций с учетом мультиплетной структуры в приближении Мошковского (сплошные линии) и полученный по эффективной методике (штриховые линии): (а) — Т = 1 кэВ, р = 1 г/см3; (Ь) — Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3. Пунктирные линии с одним максимумом —расчет по формуле (16); пунктирная линия с тремя максимумами — расчет по формуле (35)
Рис. 5.15. Коэффициент поглощения в линиях для перехода 3@^ т 4d^ в плазме золота с детальным перебором конфигураций с учетом мультиплетной структуры в приближении Мошковского (сплошные линии) и полученный по эффективной методике (штриховые линии): (а) — Т = 1 кэВ, р = 1 г/см3; (Ь) — Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3. Пунктирные линии с одним максимумом —расчет по формуле (16); пунктирная линия с тремя максимумами — расчет по формуле (35)
группы линий, соответствующих конфигурациям {N〃}. Заметим, что вместо оболочки 从 может быть выделена некоторая группа состояний.
В качестве иллюстрации на рис. 5.15 приведены результаты расчетов для одноэлектронного перехода 3夕| т 4d^ в золоте (Г = 1 кэВ, р = 1 г/см3 и р = 0,1 г/см3) по формуле (15) из § 2 с детальным перебором конфигураций (с учетом мультиплетной структуры методом Мошковского), по формуле (16) (будем называть это приближение эффективной методикой) и по формуле (35). Как видно из рисунка, при плотности р = 1 г/см3 эффективная методика (16) дает результаты, близкие к детальному расчету. При плотности р = 0,1 г/см3 формула (16) не описывает результаты детального расчета, однако уточненная формула (35) дает результат, практически совпадающий с детальным расчетом.
Статистическое описание процессов фотоионизации. Приближение, аналогичное приближению (16) для учета спектральных линий, можно получить и для процессов фотоионизации (см. [37]). Запишем сечение фотоионизации одноэлектронного перехода £&+£—>£‘ в виде
曙％) = у С3<70 £ £ PqN^ - п^]^^а{г\(38)
ния, п(£)= 1/ 1 + ехрния, п(£)= 1/ 1 + ехр.Используя приближения, аналогич-.Используя приближения, аналогич-где функция ①&(£)определяет вклад различных процессов ушире-
ния, п(£)= 1/ 1 + ехр
ния, п(£)= 1/ 1 + ехр
.Используя приближения, аналогич-
.Используя приближения, аналогич-
ные (17), (18), а также биномиальное распределение, имеем
。器'(£)= Т с%о/м/еАЦ1 — 7i(K)]厶(£),(39)
где профиль всех порогов фотоионизации перехода а —> £‘0 описывается выражением, аналогичным (32)
厶(0 = l +)ехр代(40)
где
石1 +石22石2/
石 2 =〉： g产 q (1 —— J И}®)!!? ? j •
Здесь плотность состояний электронов непрерывного спектра w(e) введена для того, чтобы сохранить при вычислении матричных элементов Н^в принятую в § 3 гл. II нормировку волновых функций непрерывного спектра.
Для вычисления полного сечения фотоионизации с уровня а необходимо проинтегрировать выражение (39) по всем конечным состояниям Н (суммирование по орбитальному моменту 0 проводится в окончательных формулах):
唱(0 = / 曙'(£)di.(41)
о
Так как 厶(£)имеет резкий максимум при значении Н = е* = е+е^ —石匕 а функции /&£，и n(e9 изменяются мало в существенной для интегрирования области, то
^ы^) — ^ ^а^ J2— п(€*)] / 厶(£)匠'.(42)
Полагая, как это обычно принято,①(е) = 5(e), и воспользовавшись условиями %/© — £&)《 1,石2/© — £&)《 1, которые почти всегда выполняются, в результате интегрирования получаем
^(€) — ^- а^ J2 f^£'Na\Y - n(£*)] 1 + erf ^^g-^ ,(43)
где erf(/) = (2//F)后 exp(-y)dy.
Статистические методы (16), (35) и (43) позволяют в ряде случаев значительно сократить время счета без большой потери точности.
Результаты расчетов росселандовых пробегови спектральных коэффициентов поглощения фотонов
Рис. 5.16. Коэффициент поглощения в см2/г в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3: (а) — с детальным перебором конфигураций (С = 0,498 см), (Ь) — полученный по эффективной методике (С = 0,575 см)
Следует особо отметить, что с увеличением плотности вещества значительно усложняется перебор конфигураций, так как увеличивается флуктуационная ширина распределения по степеням ионизации (см. рис. 5.8). Однако, как и следовало ожидать, точность описания спектра поглощения с помощью эффективной методики, как правило, повышается.
Коэффициент поглощения для Г = 1 кэВ, р = 1 г/см3 приведен на рис. 5.17. В детальном расчете понадобилось учесть более 106 конфигураций, чтобы коэффициент поглощения вышел на насыщение и приблизился к результату расчетов по эффективной методике (детальный расчет потребовал приблизительно в 1000 раз больше времени). По сравнению с точкой Г = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3 здесь линии гораздо шире и результат расчета по эффективной методике гораздо ближе к детальному расчету: £det = 0, 0076 см, ^eff = 0, 0080 см.
Таблица 5.11. Коэффициенты поглощения в плазме золота, усредненные по Росселанду (мя) и по Планку (мр) в см2/г. Расчеты проведены с детальным учетом конфигураций и по эффективной методике (16) из § 5
ТР
Детальный учет
Эффективный учет
Детальный учет
Эффективный учет
0,10,1
1
10
0,3160,1
1
10
10,1
1
10
3,160,1
1
10
3523 6945 6826
578 1131 1710 20,1 131
302 0,33 1,72 14,9
4721 8043 5741 588 1282 2550 17,4 125 317 0,32 1,55 11,6
7544 11113 13498
1468 23 75 3831
151 443 895 2,59 14,2 67,6
7548 11597 14040
1441 2590 5590
147 436 926
2,44 17,7 67,0
Рис. 5.17. Коэффициент поглощения в см2/г в плазме золота при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 1 г/см3: (а) — с детальным перебором конфигураций (С = 0,0076 см), (Ь) — и полученный по эффективной методике (С = 0,0080 см)
Таким образом, расчет по эффективной методике дает, с одной стороны, неплохой приближенный результат (особенно для средних величин), а с другой стороны, дает предельную оценку коэффициента поглощения в линиях при очень большом влиянии эффектов расщепления и уширения (см. по этому поводу [206]).
Рис. 5.18. Коэффициент поглощения при фотоионизации (см2/г) уровня 2б]/2 в плазме золота при температуре Т = 3 кэВ и плотности р = 1, 9 г/см3 с различными способами учета конфигураций: пунктирная линия с порогами — детальный перебор конфигураций; сплошная линия — эффективный учет конфигураций ионов (сплошная линия с одним порогом получена в приближении среднего атома)
Для сечений фотоионизации в качестве иллюстрации эффективной методики (см. формулу (43) из § 5) приведены результаты расчетов при Г = 3 кэВ, р = 1,9 г/см3 для золота и при Г = 20 эВ, р = 10-4 г/см3 для железа. Для золота сдвиг Е± не очень существенен (несколько атомных единиц), а разброс (величина 石2 в формуле (40) из § 5) приводит к значительному сглаживанию поведения сечения фотоионизации в припороговой области. Это хорошо видно из рис. 5.18, где приведены сечения фотоионизации как с детальным учетом конфигураций (учте-
но 768 состояний ионов), так и по эффективной методике для уровня п = 2, ^ = О, J = 1/2.
Как видно из рис. 5.18, расчет сечений фотоионизации без перебора конфигураций ионов дает слишком грубый результат, тогда как эффективная методика хорошо согласуется с детальным расчетом. Более того, увеличение числа рассматриваемых конфигураций в детальном расчете, а также учет мультиплетной структуры спектра и других эффектов уширения и расщепления приведут, по-видимому, к еще большему соответствию.
Из рисунков также видно, что перебор конфигураций приводит к качественным изменениям в спектре поглощения по сравнению с моделью среднего атома. Заметны и количественные изменения в средних характеристиках, в частности, учет флуктуаций порогов фотоионизации может привести к изменению росселандовых пробегов на ~ 20% (спектральные линии в расчетах не учитывались). При более низких температурах отличие результатов, полученных в приближении среднего атома от детального расчета еще более значительно.
Рис. 5.19. Коэффициент поглощения при фотоионизации (см2/г) в плазме железа при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3 с различными способами учета конфигураций: сплошная линия — детальный перебор конфигураций;
штриховая линия — эффективный учет
На рис. 5.19 приведены результаты расчетов сечения фотоионизации для железа при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3, полученные как путем детального перебора конфигураций по формуле (38) из § 5, так и по эффективной методике (43). Здесь расчет по среднему атому дает результат, в 2 раза отличающийся от детального расчета, в то же время эффективная методика (43) из §5 хорошо описывает детальный расчет.
Сравнение результатов расчета по формуле (35) из § 5 с экспериментальными данными [220] для плазмы гольмия (Z = 67) проведено на рис. 5.20. Приведен спектральный коэффициент прохождения (транс-
Рис. 5.20. Коэффициент прохождения (трансмиссия) в плазме гольмия при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 0,03 г/см3 (толщина слоя плазмы L = 5 • 10-4 см) в зависимости от энергии фотонов в эВ (сплошные линии): (а)— без учета мультиплетной структуры, (Ь) — с учетом мультиплетной структуры спектра в приближении Мошковского и с учетом флуктуаций чисел заполнения по формуле (35) из § 5. Для каждого из случаев (а) и (Ь) приведены также экспериментальные данные [220] (штриховая линия)Рис. 5.20. Коэффициент прохождения (трансмиссия) в плазме гольмия при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 0,03 г/см3 (толщина слоя плазмы L = 5 • 10-4 см) в зависимости от энергии фотонов в эВ (сплошные линии): (а)— без учета мультиплетной структуры, (Ь) — с учетом мультиплетной структуры спектра в приближении Мошковского и с учетом флуктуаций чисел заполнения по формуле (35) из § 5. Для каждого из случаев (а) и (Ь) приведены также экспериментальные данные [220] (штриховая линия)
Рис. 5.20. Коэффициент прохождения (трансмиссия) в плазме гольмия при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 0,03 г/см3 (толщина слоя плазмы L = 5 • 10-4 см) в зависимости от энергии фотонов в эВ (сплошные линии): (а)— без учета мультиплетной структуры, (Ь) — с учетом мультиплетной структуры спектра в приближении Мошковского и с учетом флуктуаций чисел заполнения по формуле (35) из § 5. Для каждого из случаев (а) и (Ь) приведены также экспериментальные данные [220] (штриховая линия)
Рис. 5.20. Коэффициент прохождения (трансмиссия) в плазме гольмия при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 0,03 г/см3 (толщина слоя плазмы L = 5 • 10-4 см) в зависимости от энергии фотонов в эВ (сплошные линии): (а)— без учета мультиплетной структуры, (Ь) — с учетом мультиплетной структуры спектра в приближении Мошковского и с учетом флуктуаций чисел заполнения по формуле (35) из § 5. Для каждого из случаев (а) и (Ь) приведены также экспериментальные данные [220] (штриховая линия)
миссия), который вычислялся по формуле
TQ) = 叫 (1)
где x(g) — спектральный коэффициент поглощения, р — плотность вещества, L — толщина слоя плазмы (для плазмы гольмия £ = 5 • 10-4 см). Как можно видеть из рисунков, расчет по формуле (35) дает удовлетворительное согласие с экспериментом. В то же время расчет без учета мультиплетной структуры спектра не описывает эксперимент в области сильных линий.
Зависимость коэффициентов поглощения от номера элемента, от температуры и плотности вещества. Расчеты таблиц коэффициентов поглощения и пробегов фотонов (спектральных, а также усредненных по Росселанду), проводятся на основе различных программ (кодов). Краткую информацию о программах и принятых в них приближениях можно найти в статьях и отчетах международных семинаров по расчетам непрозрачности (opacity) [139,140]. Там же приведены результаты расчетов для ряда элементов и их смесей, проведено сопоставление программ и сравнение с экспериментальными данными (см. [194,219]). Отметим, что достигнутые в настоящее время успехи в развитии экспериментальных методов, а также использование многопроцессорных суперкомпьютеров позволяют значительно продвинуться в теоретическом описании радиационных свойств вещества (см. целый ряд работ, опубликованных в последнее время, в частности [189, 211, 212, 220, 112, 168, 199, 135]).
На основе разработанных программ создаются библиотеки (базы данных) коэффициентов поглощения фотонов. Широко известна библиотека астрофизических данных OPAL Ливерморской национальной лаборатории, а также библиотека SESAME Лос-Аламосской национальной лаборатории США. Аналогичная библиотека данных и программа THERMOS)разработана в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша. THERMOS позволяет описывать радиационные и термодинамические свойства различных веществ и смесей в широкой области температур и плотностей. Модели и алгоритмы, реализованные в программе THERMOS, читатель может найти в данной книге.
Расчеты подробных таблиц предъявляют особые требования к используемым программам — они должны быть не только точными, но и достаточно быстрыми, чтобы можно было проводить расчеты большого количества точек по температуре и плотности вещества. Для обеспечения точности необходимо достаточно аккуратно рассчитывать каждый из процессов, рассмотренных в настоящей главе, так как любой из них может оказаться определяющим в некотором диапазоне температур и плотностей. Наряду с используемыми приближениями большую роль играет выбор программных параметров — таких, как число учитываемых оболочек, количество перебираемых ионов, расчетные сетки и др.
Так как наиболее трудоемким является учет поглощения в спектральных линиях, то основным параметром, определяющим время расчета, оказывается количество учитываемых электронных оболочек. Заметим, что более сильно на время расчета влияет количество перебираемых состояний ионов (конфигураций), однако эффективные методики, рассмотренные в § 5, позволяют в наиболее сложных случаях значительно упростить такой перебор. В таблице 5.12 приведены результаты расчетов росселандовых пробегов в золоте с учетом различного числа оболочек n < nmax, nmax = 6 4- 15. Время расчета с детальным перебором конфигураций для nmax = 6 и nmax = 15 отличается примерно в 15 раз. Отсюда ясно, что для обеспечения высокой эффективности и точности программ необходимо предусмотреть использование различных физических моделей и методик при проведении расчетов. Универсальность программ позволяет проводить
Таблица 5.12. Влияние числа учитываемых оболочек nmax на коэффициенты поглощения в плазме золота при плотности р = 0,1 г/см3 и температуре Т = 1 кэВ (приведен также соответствующий средний заряд иона Z。)
几max
Zo
мя, см2/г
мр, см2/г
6
66,48
9,34
146
8
66,42
18,4
150
14
66,20
22,9
152
15
66,16
23,4
152
расчеты в широкой области температур и плотностей, а сопоставление результатов, полученных разными методами, позволяет обеспечить их надежность.
Значения средних коэффициентов поглощения в состоянии локального термодинамического равновесия определяются температурой, плотностью и составом вещества. В области высоких температур и сравнительно малых плотностей, когда вещество почти полностью ионизовано, определяющими являются процессы рассеяния (см. формулу (23) из § 2). При этих условиях для росселандова пробега в см становится справедливой простая формула
^ = 2,5—, (2)
где Z。一 средний заряд иона, А — его атомный вес, р — плотность вещества в г/см3.
Если при высоких температурах увеличивать плотность вещества, то наиболее важными становятся процессы тормозного поглощения. Для полностью ионизованной плотной плазмы соответствующая формула для росселандова пробега в приближении Крамерса (см. например, [44]) имеет вид
…71 7上
где Т — температура в кэВ.
Формулы (2), (3) работают тогда, когда не важны связанные состояния электронов. Как правило, зависимость коэффициента поглощения от температуры и плотности имеет более сложный характер. Обычно значительное влияние на коэффициенты поглощения оказывают спектральные линии, весьма существенными являются процессы фотоионизации.
Сравнение сечений фотоионизации, полученных по программам THERMOS, OPAL и STA, проведено на рис. 5.21 для плазмы железа при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3. Как видно из рисунков, более подробная детализация порогов фотоионизации,
принятая в программе OPAL по сравнению с программами THERMOS и STA (в программе OPAL энергии уровней рассчитываются в приближении связи промежуточного типа), приводит к сглаживанию порогов фотоионизации.
Рис. 5.21. Коэффициент поглощения при фотоионизации в см2/г в плазме железа при температуре Т = 20 эВ и плотности р = 10-4 г/см3 с детальным перебором конфигураций, полученный по программе THERMOS (сплошная линия) , по программе OPAL (штриховая линия — левый рисунок) и по программе STA (штриховая линия — правый рисунок)
Спектральная зависимость коэффициентов поглощения х(си) с учетом всех, рассмотренных в § 2 процессов, проиллюстрирована на рис. 5.22 на примере молибдена (Z = 42) при плотности р = 0,1 г/см3. Как видно из рисунка, спектральная зависимость коэффициента поглощения для молибдена в указанной области определяется процессами фотоионизации и поглощением в спектральных линиях. Влияние этих процессов на росселандов пробег зависит от того, какова их роль вблизи максимума весовой функции Росселанда. Заметим, что наибольший вклад в росселандов пробег вносят области с минимальной непрозрачностью (см. рис. 5.23, где приведены соответствующие подинтегральные кривые при вычислении росселандова пробега для молибдена).
Роль спектральных линий хорошо видна на рис. 5.24, где проведено сравнение коэффициентов поглощения как с учетом, так и без учета линий для сравнительно легкого элемента алюминия (Z = 13) и для золота (Z = 79). Как показывает анализ влияния степени заполнения электронных оболочек на коэффициент поглощения, область максимального влияния линий соответствует такой ионизации, когда на первой незаполненной оболочке остается примерно половина электронов (см. также табл. 5.13). Так, например, для золота при Г = 1 кэВ, р = 1 г/см3 на оболочке с п = 3 находится примерно половина электронов от максимально возможного их числа.
106
ю5
ю4
Рис. 5.22. Коэффициенты поглощения в см2/г в плазме молибдена на интервале энергий фотонов 0 < %з < 20Т при различных температурах Т в эВ и плотности р = 0,1 г/см3
ю4
103
ю2
ю1
10°
05000 10000 15000 и,эВ
9•10-4
7 • КГ’
5•10~4
3•10-4
1 • ю-4
9•10-3
7•10-3
5•10-3
3-10~3
1•10-3
О 200040006000О 200040006000
О 200040006000
О 200040006000
0 100 200 300 400 500 600
0,45
0,35
0,25
0,15
0,05
Рис. 5.23. Пробег излучения С(з) в см, умноженный на весовую функциюРосселанда Н(ж), ж =力з/Т, в плазме молибдена на интервале энергий фотонов0 < Нш < 20Т при различных температурах Т в эВ и плотности р = 0,1 г/см3(ср. с рис. 5.22)
Рис. 5.24. Коэффициенты поглощения (непрозрачность ”丘=1/(р^)) в плазме алюминия и в плазме золота с учетом спектральных линий (сплошные линии) и без учета спектральных линий (штриховые линии) в зависимости от плотности р в г/см3. Приведены кривые при температурах Т = 0,1 кэВ и Т = 1 кэВ
Заметим, что в значительной области температур и плотностей спектральные линии плотно заполняют определенные участки спектра, их профили существенно перекрываются за счет флуктуаций чисел заполнения и эффектов мультиплетного расщепления, поэтому результаты расчетов росселандовых пробегов, как правило, мало чувствительны к величине электронных ширин и методу учета ионного уширения (эффекта Штарка). В частности, увеличение электронных ширин вдвое в этой области приводит к изменению пробегов всего лишь на несколько процентов.
Таблица 5.13. Средний заряд иона Z。для золота при различных температурах и плотностях
р, г/см3
Т, кэВ
0,1
0,316
1,0
3,16
10 — 4
32,655
52,906
69,522
77,000
10—3
29,688
51,034
69,021
76,998
10-2
26,357
48,648
68,573
76,996
10—1
22,282
43,920
66,400
76,809
10°
17,868
36,813
60,877
75,601
101
16,095
30,414
52,124
71,329
102
19,119
29,098
45,644
65,198
103
43,001
43,547
47,811
58,950
104
61,000
61,000
61,052
63,067
Зависимость коэффициентов поглощения от номера элемента проиллюстрирована на рис. 5.25, где приведены усредненные по Рос- селанду и Планку коэффициенты поглощения для двух точек по
температуре и плотности (Г = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3 и Г = 0,28 кэВ, р = 0,05 г/см3).
Рис. 5.25. Средние по Росселанду (сплошные линии) и по Планку (штриховые линии) коэффициенты поглощения в см2/г в зависимости от номера элемента Z для Т = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3 и Т = 0,28 кэВ, р = 0,05 г/см3
На рис. 5.26 приведены средние по Росселанду коэффициенты поглощения фотонов в см2/г для алюминия (Z = 13), молибдена (Z = 42) и золота (Z = 79) в зависимости от температуры Т в кэВ при плотностях р от 10-4 г/см3 до 104 г/см3 с изменением плотности на один порядок для каждой последующей кривой. Характер зависимости коэффициентов поглощения от температуры и плотности зависит от степени ионизации электронных оболочек. Начало ионизации каждой оболочки соответствует уменьшению коэффициента, но затем, когда оболочка ионизуется почти наполовину, возможно заметное увеличение коэффициента поглощения, связанное с ростом влияния спектральных линий.
Сравнение результатов расчетов росселандовых пробегов при плотности р = 0,1 г/см3 для алюминия (Z = 13), меди (Z = 29) и европия (Z = 63), вычисленных по программе THERMOS, с данными библиотеки SESAME [165], опубликованными в [217] (в графическом виде), проведено в работе [88]. Сравнение показало, что при температурах Т 〉 100 эВ отличия между двумя представленными результатами малы (графики неразличимы). При низких температурах, где основной вклад в интеграл Росселанда дает фотоионизация, существуют некоторые отличия [88].
Экспериментальные значения коэффициентов поглощения хя в алюминии и железе при плотности р ^ 1 г/см3 и температурах от 0,5 кэВ до 1,25 кэВ опубликованы в [2, 3]. В табл. 5.14, 5.15 проведено сравнение этих данных с результатами расчетов по модели Томаса-Ферми [72, 75] и по модели Хартри-Фока-Слэтера (расчеты по
Рис. 5.26. Коэффициенты поглощения ”丘=1/(^2) в см2/г в плазме алюминия, молибдена и золота в зависимости от температуры Т в кэВ и различных плотностях р = 10卜 г/см3, где к = —4, -3,-2,—1,0,1,2, 3,4
программе THERMOS), а также с результами расчетов по программам OPAL, НОРЕ и STA [139].
Отметим неплохое согласие с экспериментальными данными при Т S 0,75 кэВ в пределах погрешности эксперимента, в то время как при температурах выше 1 кэВ имеет место заметное отличие. При этом результаты расчетов по различным программам находятся в хорошем
Таблица 5.14. Средний по Росселанду коэффициент поглощения ”丘 в см2/г для алюминия
Т, кэВ
0,5
0,75
1,0
1,25
ТО
40,5
9,09
2,09
0,83
THERMOS
46,1
10,3
2,14
0,83
OPAL
59,3
2,13
HOPE
53,1
1,92
STA
52,5
2,08
Эксперимент [3, 113]
51 ±8
13 ±2
2,9±0,4
1,1 ±0,2
Таблица 5.15. Средний по Росселанду коэффициент поглощения ”丘 в см2/г для железа
T, кэВ
0,5
0,75
1,0
1,25
ТО
62,5
7,81
2,70
1,59
THERMOS
79,6
8,37
3,14
2,29
OPAL
84,2
3,48
HOPE
78,2
3,56
STA
71,8
2,74
Эксперимент [3, 113]
82 士 12
7,8 ±1
2,3±0,4
l,3±0,2
соответствии друг с другом. Так как данные [3] получены в результате обработки расчетов по некоторым программам радиационной газовой динамики, то, по-видимому, требуется проведение дополнительного анализа и обработки этих данных с учетом новых результатов.
Для плотной высокотемпературной плазмы тяжелых элементов теоретические значения коэффициентов поглощения немногочисленны и редко встречаются в литературе. Наиболее полные и точные данные расчетов по непрозрачности содержатся в библиотеке SESAME Лос- Аламосской национальной лаборатории США, однако они не являются широко доступными для исследователей. Среди опубликованных результатов есть данные для золота [180, 125, 126], свинца [127] и
Таблица 5.16. Коэффициент поглощения ”丘 в см2/г для золота
T
P
[126]
[88]
THERMOS детальный
THERMOS эффективный
0,316
19,3
1731
2116
2013
1901
0,316
1,93
1323
1433
1276
1447
0,75
19,3
526
552
545
624
0,75
1,93
260
329
312
374
1
19,3
245
308
287
326
1
1,93
104
167
145
145
европия [217, 154]. В табл. 5.16 сравниваются результаты расчетов, полученные по программе THERMOS, и данные для золота, опу-
бликованные в [126]. Кроме того, приведены данные из работы [88], полученные ранее без учета мультиплетной структуры спектра, однако с использованием варианта эффективной методики (35) из § 5. Из таблиц видно, что различные приближения дают близкие результаты (отличие < 20 %), за исключением случая Г =1 кэВ, р =1,93 г/см3,— здесь результаты расчета по программе THERMOS в 1,5 раза больше, чем данные [126].
Спектральные коэффициенты поглощения. На рис. 5.27, 5.28 сравниваются вычисленные и экспериментальные значения коэффициента прохождения (трансмиссия) для плазмы германия (Z = 32, Т = 76 эВ, р = 0,05 г/см3) и плазмы железа с примесью NaF (Т =59 эВ, р = 0,013 г/см3; примесь NaF составляет 19,8 %). Для германия
Рис. 5.27. Коэффициент прохождения в плазме германия при температуре Г = 76 эВ и плотности р = 0,05 г/см3 в зависимости от энергии фотонов в эВ, полученный по программе THERMOS (сплошная линия), и экспериментальные данные [142] (штриховая линия)
Рис. 5.28. Коэффициент прохождения в плазме железа с примесью NaF при температуре Т = 59 эВ и плотности р = 0,013 г/см3 в зависимости от энергии фотонов в эВ, полученный по программе THERMOS (сплошная линия), и экспериментальные данные [211] (штриховая линия)
толщина слоя плазмы L = 0,0032 см; для железа с примесью NaF величина L = 0, 03 см. Можно увидеть удовлетворительное согласие результатов программы THERMOS с экспериментальными данными для германия [142] и железа с примесью NaF [211].
На рис. 5.29, 5.30 проведено сравнение результатов, полученных по программе THERMOS (с детальным учетом конфигураций и учетом тонкой структуры в приближении Мошковского), с результатами программ OPAL и STA [139, 140]. Как уже указывалось (см. п. 5 из § 5), в программах THERMOS, OPAL и STA используются различные модели и приближения как для расчета уровней энергии ионов и волновых функций, так и для сечений взаимодействия излучения с веществом. Сравнение различных методик позволяет сделать выводы о степени неопределенности в данных, получаемых разными методами, и об их надежности.
Современные информационные технологии позволяют создавать и накапливать базы данных по спектральным и средним коэффициентам
Рис. 5.29. Сравнение спектральных коэффициентов поглощения в плазме Fe при температуре Т= 31,7 эВ и плотности р = 0,01 г/см3, полученных по программе THERMOS (сплошная линия, ”丘=1, 565 • 104), по программам OPAL (штриховая линия, мя = 1, 734 • 104) и STA (штриховая линия, ”丘=1, 640 • 104)
Рис. 5.30. Спектральные коэффициенты поглощения в плазме Ci90Hl90О20ВГ (агар-агар с примесью брома) при температуре Т= 270 эВ и плотности р = 0,2 г/см3 по программе THERMOS (сплошная линия, ”丘=45) и по программам OPAL (штриховая линия вверху, ”丘=45) и STA (штриховая линия внизу, ”丘=46)
поглощения фотонов для различных веществ и смесей. Такие базы данных необходимы для решения многих задач радиационной газовой динамики, при разработке новых технологий и устройств.
Рассмотрим в качестве примера задачу, которая имеет важное значение при получении источников рентгеновского излучения [132]. Для того, чтобы такой источник был эффективным, необходимо провести преобразование (конверсию) максимального количества вложенной энергии в излучение. Такое преобразование требует определенных свойств используемых материалов, в частности, в ряде задач критическим параметром является длина пробега фотонов. Для высокой эффективности конверсии требуется вещество, которое при заданной температуре и плотности обладает минимальным пробегом. Используя базу данных спектральных коэффициентов поглощения, можно проанализировать их поведение в зависимости от номера элемента Z (см. рис. 5.26).
Как мы видели на ряде примеров, спектр поглощения фотонов индивидуален для каждого элемента. При высоких температурах для
элементов с большим Z основную роль играет поглощение в спектральных линиях, которые расположены достаточно узкими группами с чередующимися окнами прозрачности (участками спектра с максимальным пробегом). Это приводит к тому, что перенос излучения для разных элементов происходит в различных участках спектра, хотя лучистая теплопроводность элементов с близкими Z почти одинакова. Специально выбирая элементы с определенными Z, можно закрыть окна прозрачности и получить вещество с минимальным пробегом.
Рассмотрим смесь, состоящую из произвольного числа элементов с массовыми долями mi (г = 1, 2,... , п). Для такого вещества росселан- дов пробег 2 определяется по формуле
весовая функция, мДж)—весовая функция, мДж)—47r4 (1 - е~хУ47r4 (1 - е~хУспектральный коэффициент поглощения для г-го элемента смеси.
весовая функция, мДж)—
весовая функция, мДж)—
47r4 (1 - е~хУ
47r4 (1 - е~хУ
dmi \хяdmi \хяО (г = 1, 2,... , п — 1).О (г = 1, 2,... , п — 1).⑷⑷Необходимо найти такие m〃 (£ m〃 = 1), чтобы значение 2 было минимальным. Условия минимума имеют вид
dmi \хя
dmi \хя
О (г = 1, 2,... , п — 1).
О (г = 1, 2,... , п — 1).
⑷
⑷
3石⑺壶=О,3石⑺壶=О,⑸⑸
3石⑺壶=О,
3石⑺壶=О,
⑸
⑸
п—1
Используя соотношение тп = 1 — £ m〃, можно переписать (4) в видег=1
где死⑺=⑺.
Умножая (5) на mi и суммируя по г, получаем систему п нелинейных уравнений для определения mi
Заметим, что условие £ mi = 1 будет выполнено, если справедливы уравнения (6).
Будем решать систему (6) методом итераций, полагая
m,+D = т^ + 2 mi.m,+D = т^ + 2 mi.⑺⑺
m,+D = т^ + 2 mi.
m,+D = т^ + 2 mi.
⑺
⑺
Подставляя (7) в (6), в линейном приближении получаем систему уравнений для определения △m〃：
к=1к=1⑻
к=1
к=1
где
оо
Из рис. 5.25 видно, что для минимизации росселандова пробега необходимо использовать элементы Z > 40. Получаемая в результате система 〜40 уравнений с элементами Z = 40,41, ..., 83 (исключены радиоактивные элементы), для которых известны спектральные коэффициенты поглощения %(/), требует для решения нескольких итераций по формулам (7), (8).
Таблица 5.17. Массовые доли различных элементов mi для получения состава с минимальным росселандовым пробегом и соответствующие коэффициенты поглощения ”丘=1/(р^) в см2/г, усредненные по Росселанду
Т = 0, 28 кэВ, р = 0, 05 г/см3
T = 1 кэВ, p = 0,1 г/см3
Элемент
mi
Элемент
mi
Се
0,097
529,4
Ce
0,116
7J
Nd
0,074
528,0
Eu
0,072
7,4
Ей
0,103
508,5
Gd
0,072
7,2
Но
0,081
460,4
Ho
0,063
7,5
Yb
0,080
462,0
Lu
0,108
9,2
Hf
0,062
500,8
W
0,090
11,8
Re
0,076
614,1
Au
0,167
19,1
Au
0,115
785,6
T1
0,083
23,0
T1
0,096
851,0
Bi
0,228
28,5
Bi
0,216
922,0
Смесь
1512,6
Смесь
78,1
В табл. 5.17 приведены массовые доли различных элементов mi для получения состава с минимальным росселандовым пробегом и соответствующие коэффициенты поглощения хя, усредненные по Росселанду. Вычисления проведены для двух случаев: Т = 0, 28 кэВ, р = =0,05 г/см3 и Г = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3. Как видно из таблицы, величину пробега для смеси можно уменьшить в 2-3 раза по сравнению с чистым веществом.
Лучистая и электронная теплопроводность. При очень больших плотностях вещества поток энергии, переносимой электронами, становится сравним или даже больше потока энергии, переносимой фотонами. При сравнении потоков энергии в случае высоких температур удобно описывать электронную теплопроводность плазмы как лучистую. Запишем поток тепла 耳,переносимый электронами, в форме, аналогичной приближению лучистой теплопроводности (32) из § 1:
Д = —ме grad 0 = —厶 4；6 grad 0.
Здесь ме — электронная теплопроводность, Се ——средний эффективный пробег тепловых электронов
Зме
Суммарный поток энергии можно тогда записать в виде
F = — Ceff—-— grad 仇
где Ceff = С + Се — эффективный суммарный пробег.
Для среднего пробега электронов можно воспользоваться приближением [13]:
0303[см],
03
03
где м5 — коэффициент теплопроводности для идеальной невырожденной плазмы, а ”н — коэффициент для случая сильного вырождения:
505/2Zef5505/2Zef5= 3,10 • 10-4e2**
505/2
Zef5
505/2
Zef5
нZefL2
Здесь дополнительные множители ei,2 по сравнению с известными выражениями Спитцера и Хаббарда связаны с учетом поправок на неидеальность плазмы [13]. Все числовые множители соответствуют тому, что температура вещества 0 и температура Ферми 0F выражаются в атомных единицах.
Кулоновские логарифмы электрон-ионных столкновений можно вычислять по формулам [13]
L1 =0,5 InL1 =0,5 In宀Г})宀Г})工2 = 0, 5 In工2 = 0, 5 In2/3 /3\ 1/2'1,5+J.2/3 /3\ 1/2'1,5+J.
L1 =0,5 In
L1 =0,5 In
宀Г})
宀Г})
工2 = 0, 5 In
工2 = 0, 5 In
2/3 /3\ 1/2'
1,5+J.
2/3 /3\ 1/2'
1,5+J.
где Г — параметр неидеальности:
Г =Г =го \0 0FJго \0 0FJ
Г =
Г =
го \0 0FJ
го \0 0FJ
Поправки на неидеальность для оценок можно не учитывать и полагать €i = €2 = =1. В качестве эффективного заряда Zey = (Z2)/Zq в соответствии с [13] использовалось приближение
Zef = max{l, Z。+ 0, 5/Z。}, где Z。——средний заряд иона по модели Хартри-Фока-Слэтера.
Замечание. При энергии фотонов з ； з?, где Зр — плазменная частота (Зр = \/4тгт1е = J3Z。/吟),большое влияние на процессы переноса излучения оказывают неучтенные нами коллективные эффекты. Для описания переноса фотонов в этом случае надо привлекать электродинамику, описывая среду с помощью диэлектрической проницаемости £ = n^ik, где мнимая часть определяет поглощение (безразмерная величина к = (с/з) 0”, ” — коэффициент поглощения в см/г), а действительная — преломление. Роль процессов преломления (и отражения) может быть значительной при сравнительно низких температурах и больших плотностях.
§ 7. О поглощении фотонов в плазмес неравновесным полем излучения
Исследования плотной высокотемпературной плазмы, получаемой в лазерных, пучковых или разрядных (z-пинч) установках [210, 123], требуют учета ее неравновесности, связанной с выходом излучения. Использование в программах радиационной газовой динамики коэффициентов непрозрачности, полученных на основе равновесных или квазиравновесных моделей вещества (например, в приближении полного выхода излучения) не всегда правомерно, так как поле излучения формируется в процессе динамики плазмы, существенным образом влияя на микросостояния ионов плазмы и, тем самым, на ее термодинамические и радиационные свойства. В свою очередь, микросостояния ионов определяют излучательную способность плазмы и ее спектральные коэффициенты поглощения. Учет неравновесности поля излучения существенным образом влияет на состав плазмы, степень ее ионизации, коэффициенты поглощения фотонов и излучательную способность при тех же термодинамических параметрах вещества, т.е. при той же внутренней энергии и давлении.
ё +処ё +処Основные процессы и времена релаксации. Будем рассматривать высокотемпературную плазму, состоящую из электронов е, ионов 4g различного заряда J, находящихся в некотором состоянии s, и фотонов /kJ. В плазме идут процессы взаимодействия различных частиц друг с другом и с излучением, например:
ё +処
ё +処
Ь) ионизация и обратный процесс тройной рекомбинации:
e + 丸 二 е У 1 ,
процессы взаимодействия ионов и электронов с фотонами:
поглощение и излучение в спектральных линиях:
丸+质二史,，
фотоионизация и фоторекомбинация:
処 + 质二 4rl + e ,
тормозное поглощение и излучение:
e +丸+方g 二^ У +丸，
эффект Оже и обратный процесс диэлектронной рекомбинации:
4； + 方s 二龙"二 e + 丸+i ,
комптоновское рассеяние:
е + fiw —^ е‘ + /кл/.
Здесь е' — электрон с энергией, отличной от е, s' — возбужденное по отношению к s состояние, s〃 一 дважды возбужденное состояние.
Мы перечислили далеко не все процессы, которые происходят в плазме. В принципе может реализоваться любой процесс с участием нескольких фотонов, электронов и ионов, не запрещенный законами сохранения и правилами отбора. На практике обычно выделяют наиболее существенные процессы, т.е. процессы с максимальной вероятностью.
При термодинамическом равновесии имеет место статистическое равновесие между всеми компонентами системы и всеми процессами в ней. Значения термодинамических величин близки к средним, а энергия распределена по всем степеням свободы в соответствии с законом равнораспределения.
Состояние вещества и излучения при этом характеризуется определенной температурой, которая, в свою очередь, определяет:
функцию распределения частиц в зависимости от их энергии;
скорость процессов возбуждения, ионизации и т.п.;
спектральную плотность равновесного излучения.
Таким образом, в условиях термодинамического равновесия необходимо задать лишь элементный состав, температуру и плотность, чтобы можно было, в принципе, определить все свойства вещества. Если система находится в неравновесном состоянии, то со временем она должна перейти в равновесное; такой процесс перехода называют релаксацией. В ряде случаев имеет место неполное равновесие, например, когда функции распределения частиц по энергии сохраняют свой вид, однако входящая в эти функции температура становится параметром. При описании неравновесных процессов часто полагают, что распределения ионов и электронов по скоростям являются максвелловскими, но с различной температурой. Кроме того, существуют такие понятия, как вращательная температура, колебательная температура, температура возбуждения (распределения), температура заселения некоторого уровня, температура ионизации, температура излучения и т.п. [70]. Очевидно, что в случае полного равновесия все температуры совпадают.
Если равновесия нет, то знания элементного состава, температуры и плотности вещества недостаточно для определения его свойств. В этом случае система, состоящая из частиц вещества и излучения, является нестационарной, в ней идут процессы переноса, она релаксирует к равновесию. Важной характеристикой неравновесной системы являются времена релаксации различных степеней свободы. По определению время релаксации тр некоторого параметра р к равновесному значению 夕° определяется из соотношения
dp〜р。 一2(力) dt тр
Оценим в качестве примера время установления равновесного распределения для примеси частиц массы mi в равновесном газе из частиц массы ш?. При лобовом ударе частиц с различной массой
7711,01 —>^— rn2,V2
в системе координат, связанной с m2, из закона сохранения энергии и импульса имеем
期-0产)=^2也\
、7711(171 +/) = 7712 必，
где 力〉0 и。2 = 0 — скорости частиц до соударения, а 必 о$ — скорости после соударения. Отсюда можно получить относительное изменение энергии молекул с массой mi：
△е ни з-0广)4mlm2
£ГП\吠(7711 + Ш2)2 .
Если в единицу времени происходит 沙 столкновений, то время релаксации тр можно оценить из соотношения ^evrp 〜£, или
〜(Ш1 + т2у 1
Тр — 4mlm2 沙
Отсюда видно, что если mi = ш?, то время релаксации совпадает с временем свободного пробега г = 1/гл Однако, если mi 》ш? (например, для ионов и электронов т^/т2 — 1836 А, где А — атомный вес), то время релаксации во много раз больше времени свободного пробега (примерно в 104 раз).
В реальных процессах полного равновесия практически не бывает, состояние среды, как правило, изменяется во времени. Имеют место потоки вещества и энергии. Поэтому на практике обычно используют предположение о локальном термодинамическом равновесии (ЛТР), т.е. о том, что равновесие имеет место в каждом достаточно малом объеме вещества, который можно характеризовать определенной температурой, причем считается, что изменения в системе происходят медленнее, чем подстройка к равновесию.
Условие применимости приближения ЛТР в существенной степени зависит от роли излучения, т.к. радиационные процессы являются наиболее быстрыми. При большой плотности излучения для применимости ЛТР необходимо, чтобы длина свободного пробега фотонов 2 была гораздо меньше характерной длины изменения температуры и плотности:
-|Vp|<l. (1) т Р
При малой плотности вещества радиационные процессы, как правило, всегда нарушают ЛТР, поэтому приближение ЛТР в этом случае применимо тогда, когда радиационные процессы несущественны по сравнению со столкновительными, или
w^ < w^c\ (2)
где w^, w^ — вероятности излучательных и столкновительных процессов соответственно.
При высоких температурах и малых плотностях условие (1) почти всегда не выполняется, поэтому, если также не выполнено (2), то нельзя, в частности, предполагать равновесную заселенность уровней. В этом случае необходимо вместе с процессами переноса фотонов учитывать неравновесную кинетику заселения дискретных уровней [17].
Совместное рассмотрение процессов переноса фотонов и поуровневой кинетики электронов. Уравнение переноса излучения интенсивности 几 с энергией фотонов g без учета процессов
рассеяния имеет вид
(0▽)几=/(Си,几)一年(s,几)•几，(3)
где х = x(g,几)—коэффициент поглощения, j = j(s,几)—объемная излучательная способность, Q — единичный вектор в направлении распространения излучения.
Коэффициенты поглощения и излучательная способность плазмы определяются населенностью уровней п^, для которых выполняются условия баланса в виде системы уравнений поуровневой кинетики:
牛=е ё (小狐-底2^),⑷
q=r,c 〃W〃
где w^ — вероятность процесса q (радиационного при q = г и столкновительного при q = с) для перехода электрона из состояния 从 в состояние г/, nv — населенность уровня v конфигурации Q (она связана с соответствующими числами заполнения соотношением n^ = PqN%.
Вероятности радиационных процессов существенным образом зависят от функции распределения фотонов f(s)〜 几/^ В частности, поглощение в линиях 〜f, а излучение 〜(1 + f). Таким образом, уравнения (3) и (4) необходимо решать совместно.
В случае одной спектральной линии (двухуровневое приближение) исходя из этих уравнений, можно получить известное интегро- дифференциальное уравнение Бибермана-Холстейна для распределения населенности возбужденного состояния [60]. В общем случае, решение (3) и (4) не представляется возможным из-за огромного количества состояний ионов в плазме и необходимости детального описания многочисленных элементарных процессов с учетом сложной геометрии плазменных образований.
Для того, чтобы исследовать основные зависимости распределений населенностей и излучения, рассмотрим простейшее приближение, в котором вместо детального расчета коэффициентов поглощения используется эффективная методика из § 5, а вместо системы (4) — соответствующая система поуровневой кинетики в приближении средних чисел заполнения [190], в которую, в отличие от [190], включены все основные процессы, перечисленные в п.1.
В этом приближении для коэффициента поглощения 死=死(必,几) и излучательной способности J = / (си,几)имеем
+e 上(1-/(0)
〃丿
5型3升5型3升"3〃 na J"3〃 na J+ e"0e+ e"0e<М + ^Ме-ж ,⑸<М + ^Ме-ж ,⑸
5型3升
5型3升
"3〃 na J
"3〃 na J
+ e"0e
+ e"0e
<М + ^Ме-ж ,⑸
<М + ^Ме-ж ,⑸
где Na — постоянная Авогадро, A — атомный вес,从,沙一наборы квантовых чисел, определяющих состояние электрона, gv — статистические веса, Nv — средние числа заполнения, £〃 一 энергии уровней V при заданной температуре 8, плотности р и интенсивности излучения 几，х = си/仇 g — энергия фотона, £ = g + £〃 — энергия ионизованного электрона, /(£)— фукция распределения свободных электронов, 5bb (g), 5bf(s), 5ff(s) — сечения поглощения в линиях, фотоионизации и тормозного поглощения соответственно (сечения поглощения в линиях отличаются от (6) из § 5 множителем д〃, а в сечении фотоионизации кроме gv выделен множитель (1 — /(£)) для симметрии в записи х и J).
В приближении средних чисел заполнения система уравнений, связывающая эти числа с процессами, протекающими в плазме, имеет вид
⑹⑹
⑹
⑹
где S〃 — суммарная скорость процессов в 1/с, ведущих к увеличению числа электронов в состоянии v^ a Lv — суммарная скорость процессов, ведущих к уменьшению числа электронов в состоянии 沙(в дальнейшем под V понимается совокупность квантовых чисел п и ^, где п — главное квантовое число, 2 — орбитальное квантовое число):
S〃 = £% (а歌 + &历)+ % («36 ++ &呪)+ £% (а/ + а芻),
(а瑞 + <ж)+«><'+<+Е (1-^) (а當 + &謊)•
Здесь для скоростей процессов (вероятностей соответствующих переходов в единицу времени) введены следующие обозначения: а/,, а£片—для возбуждения и, соответственно, гашения уровня 沙；а%〃， &黑—для ионизации и трехчастичной рекомбинации; а需，а常 ——для поглощения и излучения в линиях; а£”\ а£"『一для фотоионизации и фоторекомбинации; а% а黑—для эффекта Оже (автоионизации) и диэлектронной рекомбинации.
Для вычисления скоростей элементарных процессов используются формулы, полученные в работах [23, 167, 176]. Силы осцилляторов и
энергии уровней вычисляются на основе модели самосогласованного поля Хартри-Фока-Слэтера с заданными числами заполнения электронных состояний №)удовлетворяющих системе (6).
Радиационные свойства плазмы с неравновесным излучением. Зависимость радиационных характеристик плазмы (коэффициентов поглощения и излучательной способности) от уровня неравновесного излучения проще всего проанализировать, используя некоторое квазистационарное приближение. Такое приближение хорошо работает, если газодинамические процессы протекают гораздо медленнее, чем столкновительные и радиационные. Тип квазистационарности определяется соотношением скоростей различных процессов, в
частности, широко используется корональная модель, столкновительно- излучательная модель для прозрачной плазмы и другие [17, 116]. Имея целью исследование основных зависимостей от уровня неравновесного излучения, мы рассмотрим квазистационарные решения системы (6) с включением всех перечисленных столкновительных и излучательных процессов, предполагая, однако, произвольную спектральную функцию распределения излучения f(s).
В квазистационарном приближении ^dNv/dt = 0) систему уравнений (6) запишем в виде, удобном для применения итерационных методов:
l+g〃&/Sj
Здесь скорости Sv и Lv зависят не только от всех средних чисел заполнения уровней Nv^ но и от энергий £〃 и сил осцилляторов 九〃, которые, в свою очередь, определяются состоянием среднего иона (т.е. его числами заполнения N〃).
Так как определение уровней энергии и волновых функций электронов при заданном состоянии иона — трудоемкая задача (она решалась в приближении самосогласованного поля Хартри-Фока-Слэтера), то при решении системы уравнений (7) использовалось два цикла итераций.
Сначала при заданных энергиях 茎 и силах осцилляторов £，где s - номер основных итераций, определялись средние числа заполнения Nv в результате дополнительных итераций по формуле:
, ^ = 0,1,2,...(8)
Для улучшения сходимости использовалась процедура релаксации
N〃 = qN#+d +(1 - q)n”
где ct = O, 3 4- 0, 5 и вместо N尸')на следующей итерации бралось Ny.
После того, как итерации (8) сходились, с полученными числами
заполнения определялись новые значения уровней энергии £^+" и сил осцилляторов ,“')путем решения системы уравнений Хартри- Фока-Слэтера с заданными числами заполнения. Затем процесс (8) повторялся снова до тех пор, пока не выполнялось условие
max|2V, ^\ f^ - Ny(£汽您))卜 Ю"6.
В результате получаем согласованные с заданным полем излучения f(s) средние числа заполнения, уровни энергий и волновые функции электронов, которые используются при вычислении коэффициентов поглощения и излучательной способности плазмы. Полученные коэффициенты позволяют уточнить поле излучения путем решения уравнения переноса (3). Затем весь цикл итераций повторяется до полного согласования излучения 几 и населенностей Nv.
⑼⑼Для примера были рассчитаны радиационные свойства неравновесной плазмы молибдена и вольфрама при плотности р = 0, 01 г/см3 и различных значениях температуры Т. Поле излучения задавалось функцией
⑼
⑼
где Tr — эффективная температура излучения. При Tr — Т имеет место локальное термодинамическое равновесие, и мы должны получить 7 И = Р^ЗВз ⑺,где Д/Т) = ^^fpM, fp(G)=陋з叮—1 - планковская функция.
Результаты расчетов для плазмы молибдена (Т = 100 эВ, р = =0, 01 г/см3) и вольфрама (Т = 200 эВ, р = 0, 01 г/см3) представлены на рисунках 5.31, 5.32. Приведена средняя степень ионизации (средний заряд иона) Z。, средние коэффициенты поглощения фотонов по Росселанду и Планку, а также радиационные потери (интегральная излучательная способность) плазмы Q = 4тг J j(cj)dcu в зависимости от параметра §, характеризующего уровень излучения в плазме по отношению к равновесному:
§ / 死(G)f(G)
Величина § определяется не только интенсивностью неравновесного излучения в плазме, но зависит от того, насколько это излучение соответствует спектру поглощения.
Как видно из рисунков, имеются две области в зависимости от параметра §, где характер поведения рассматриваемых величин существенно различается. В нашем случае это происходит при Tr + Т/2, что дает для молибдена § = §* = 0, 34 и для вольфрама § = §* = 0, 27. Анализ
Рис. 5.31. Средний заряд иона Z。 и радиационные потери Q в ТВт/см3 в зависимости от параметра g для плазмы вольфрама (Т = 200 эВ, р = 10-2 г/см3) и молибдена (Т = 100 эВ, р = 10-2 г/см3)Рис. 5.31. Средний заряд иона Z。 и радиационные потери Q в ТВт/см3 в зависимости от параметра g для плазмы вольфрама (Т = 200 эВ, р = 10-2 г/см3) и молибдена (Т = 100 эВ, р = 10-2 г/см3)Рис. 5.32. Обратная величина росселандова 1/^я и планковского 1/С「пробега в 1/см в зависимости от параметра & Обозначения те же, что и на рис. 5.31Рис. 5.32. Обратная величина росселандова 1/^я и планковского 1/С「пробега в 1/см в зависимости от параметра & Обозначения те же, что и на рис. 5.31
Рис. 5.31. Средний заряд иона Z。 и радиационные потери Q в ТВт/см3 в зависимости от параметра g для плазмы вольфрама (Т = 200 эВ, р = 10-2 г/см3) и молибдена (Т = 100 эВ, р = 10-2 г/см3)
Рис. 5.31. Средний заряд иона Z。 и радиационные потери Q в ТВт/см3 в зависимости от параметра g для плазмы вольфрама (Т = 200 эВ, р = 10-2 г/см3) и молибдена (Т = 100 эВ, р = 10-2 г/см3)
Рис. 5.32. Обратная величина росселандова 1/^я и планковского 1/С「пробега в 1/см в зависимости от параметра & Обозначения те же, что и на рис. 5.31
Рис. 5.32. Обратная величина росселандова 1/^я и планковского 1/С「пробега в 1/см в зависимости от параметра & Обозначения те же, что и на рис. 5.31
показывает, что при § < §* основными являются столкновительные процессы, а при §〉§* все определяет излучение. В связи с этим характер аппроксимаций непрозрачностей в газодинамических программах должен быть различным для областей, в которых основную роль играет излучение, и для областей, где основными являются столкновительные процессы. В частности, такие аппроксимации, описывающие приведенные на рис. 5.31, 5.32 данные, построены в работе [91].
При численном моделировании динамических процессов в плазме функция распределения фотонов f(s), конечно, не описывается формулой (9), а должна определяться в результате решения уравнения переноса излучения (3). Совместное решение уравнений переноса фотонов и поуровневой кинетики электронов даже в приближении среднего атома представляет собой весьма сложную в вычислительном отношении задачу. В ряде случаев можно воспользоваться более простыми приближениями.
Теплопроводность вещества при больших градиентах температуры И ПЛОТНОСТИ. Рассмотрим случай, когда температура или плотность вещества меняются существенно на расстояниях порядка пробега фотонов, что нарушает условия применимости диффузионного приближения при вычислении потока излучения [72].
Для простоты ограничимся плоской геометрией, предполагая также, что поглощение в линиях является существенным, что позволяет пренебречь рассеянием фотонов. Уравнение переноса излучения в этом случае удобно записать в виде
(、厶=Ц 石"(Т)・(1。)
dz 厶(z) 厶(z)
Здесь z — координата, 〃 = w/27r,厶=С(з) = 1/ (晔(з)),川—косинус угла между осью z и направлением полета фотонов, /“(〃, z) — спектральная интенсивность излучения, Ви (Т)— спектральная интенсивность равновесного излучения в веществе с температурой Т, нормированная по шкале 〃：
2拉〃 з1
石“⑺=chuip^у
(предполагается выполненным закон излучения Кирхгофа, ж = hv/(кТ}}.
Так как объем, занимаемый веществом, ограничен, то для уравнения (10) будем иметь следующие граничные условия:
厶(也一оо) = 0 при 〃〉0;()
人(也00)= 0 при 〃 < 0.
Решение уравнения (10) с граничными условиями (11) имеет вид
/"(%〃)= /〃 : exp/"(%〃)= /〃 : exp7 dz"7 dz"&(Т) dz' (〃〉0);\T=T(z,)&(Т) dz' (〃〉0);\T=T(z,)
/"(%〃)= /〃 : exp
/"(%〃)= /〃 : exp
7 dz"
7 dz"
&(Т) dz' (〃〉0);
\T=T(z,)
&(Т) dz' (〃〉0);
\T=T(z,)
Поток энергии J, переносимой фотонами, при некотором значении z, которое для определенности положим равным нулю, будет равен
(12)
о
где
1
jy = 2тг / 〃/"(0,〃)如二
-1
1 f 0「0]ОО]、
丿丿〃厶(公)〃厶(N)丿丿 ^(z1) 〃厶(z) I
О I-ОО」оL о」丿
(13)
Преобразуем выражение (13) с помощью интегрирования по частям по переменной z:
ИмеемИмеемdz Jdz Jоо(И(И87r5 友4_ 15 х4е~хIT Км5 ⑺E (l — e-吟2,87r5 友4_ 15 х4е~хIT Км5 ⑺E (l — e-吟2,
Имеем
Имеем
dz J
dz J
о
о
(И
(И
87r5 友4_ 15 х4е~х
IT Км5 ⑺E (l — e-吟2,
87r5 友4_ 15 х4е~х
IT Км5 ⑺E (l — e-吟2,
d〃 =石 з(〃),d〃 =石 з(〃),Еп(и)=Еп(и)=Используя (14) и (15), получим следующее выражение для j”:Используя (14) и (15), получим следующее выражение для j”:dz.dz.(16)(16)
d〃 =石 з(〃),
d〃 =石 з(〃),
Еп(и)=
Еп(и)=
Используя (14) и (15), получим следующее выражение для j”:
Используя (14) и (15), получим следующее выражение для j”:
dz.
dz.
(16)
(16)
где а — постоянная излучения, Н(ж) — весовая функция Росселанда (см. (30), (33) из § 1). С другой стороны, интегрирование по 川 дает
(15)
где
Переходя от переменной 〃 к переменной ж = hp/(кТ) и меняя местами интегрирование ио 〃 и z, получим
j = —2асj = —2асdzdz(17)(17)
j = —2ас
j = —2ас
dz
dz
(17)
(17)
Так как функция 石з(〃)быстро убывает при возрастании аргумента, то в (17) существенной для интегрирования по z областью будет область порядка нескольких длин пробега фотонов. Из газодинамических расчетов известно, что поток тепла является довольно плавной функцией координаты. Поэтому в случае, когда пробег мал, в области порядка нескольких длин пробега можно считать поток постоянным. Предполагая зависимость росселандова пробега от температуры степенной (С 〜Тп) и вычисляя поток в диффузионном приближении, получим приблизительный вид зависимости температуры от координаты:
(18)(18)
(18)
(18)
где То = Т(0).
гдегдеИнтегрирование в (22) удобно проводить по формуле трапеций относительноИнтегрирование в (22) удобно проводить по формуле трапеций относительнопеременной у =石4переменной у =石4т.е.т.е.
где
где
Интегрирование в (22) удобно проводить по формуле трапеций относительно
Интегрирование в (22) удобно проводить по формуле трапеций относительно
переменной у =石4
переменной у =石4
т.е.
т.е.
Используя зависимость (18), для потока (17) получаем
(19)
(И
(15)
Из сравнения (19) с выражением / в диффузионном приближении получаем, что величина С играет роль, аналогичную роли росселандова пробега С в уравнении лучистой теплопроводности (см. (33) из §1), причем если dT/dz = dp/dz = 0, то ^ = ^.
Так как функция 石3 I / ——-~- ) является быстро меняющейся функцией
переменной z даже в случае, когда C"(z) не зависит от z, то интеграл (21) для проведения вычислений удобно представить в виде
Заметим, что при таком способе интегрирования оно становится точным, если dT/dz = dp/dz = 0.
Для пояснения полученного результата напомним, что мы рассматриваем перенос фотонов, когда на величину пробега существенно влияет поглощение в спектральных линиях. Так как положение линий зависит от температуры и плотности вещества, то большие градиенты температуры и плотности приведут к дополнительному эффективному уширению линий. Если в существенной для интеграла (20) области по ж = hp/(кТ) линии уже перекрыты, то следует ожидать, что средний эффективный пробег С будет мало отличаться от пробега, вычисленного без учета дополнительного уширения, т.е. от росселандова пробега С. Таким образом, максимального влияния градиентов температуры и плотности можно ожидать в такой области Тир, где поглощение в линиях существенно влияет на пробег, но линии практически не перекрываются.
Глава VI
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Уравнение состояния является необходимым дополнением к термодинамическим законам, которое делает возможным их применение к реальным веществам. Под словами «уравнение состояния» обычно понимают два соотношения, которые определяют давление и внутреннюю энергию физически однородной системы в состоянии термодинамического равновесия как функцию каких-либо двух параметров, задающих состояние вещества. Этими соотношениями могут быть
p = ?(7»,石=石(7>),
где Т и 〃 一 температура и плотность вещества, Р — давление, Е — удельная внутренняя энергия, т.е. энергия, приходящаяся на единицу массы.
Уравнения состояния не могут быть выведены с помощью одних только законов термодинамики, а определяются из опыта или рассчитываются теоретически на основе представлений о строении вещества методами статистической физики. В § 1 этой главы будет показано, как, используя модель Томаса-Ферми для вещества с заданной температурой и плотностью, можно сравнительно легко получить формулы для давления, внутренней энергии и энтропии. В дальнейшем изложении эти соотношения проверяются и уточняются с помощью более совершенных моделей и сравниваются с экспериментом.
Заметим, что при изучении непрозрачности вещества и вычислении росселандовых пробегов, как это было показано в § 5 гл.У, знания характеристик среднего атома оказалось недостаточно, так как процесс поглощения фотонов (особенно это касается поглощения в спектральных линиях) происходит не в среднем ионе, а в каждом из ионов с конкретными числами заполнения. В то же время квантовостатистические модели для ионов со средними числами заполнения позволяют получать уравнения состояния с достаточно хорошей точностью в широкой области температур и плотностей.
§ 1. Описание термодинамики веществана основе квантово—статистических моделей
Формулы для давления, внутренней энергии и энтропии по модели Томаса—Ферми. Давление электронов легко найти, используя статистику Ферми-Дирака, потенциал Томаса-Ферми и вычисляя величину давления на границе атомной ячейки г = го, где
V(г) = 0, dV/dr = 0. Если установить жесткую стенку на границе атомной ячейки, то изменение плотности потока импульса электронов в единицу времени при их отражении от стенки даст давление электронов Ре. Направим ось г от центра атомной ячейки перпендикулярно стенке. Тогда для электронов с импульсом 立 принадлежащим элементу фазового объема dp = dpxdpydpz = р2 dp sin 少d少 d夕,скорость изменения плотности потока импульса будет равна
N{p)dp • р cos 少• 2р cos 仇
где в соответствии с формулами (2) и (6) из § 1 гл.1
_2dp_2 р2 dp sin ^d'Od^
l +W 1 + exp (笠
cо 穴/227rР「島d"dpОООcо 穴/227rР「島d"dpОООр2 sin 少• 2夕2 cos2 少р2 sin 少• 2夕2 cos2 少После интегрирования по переменным 夕(0 < 夕 < 2тг),少(0 < 少 < тг/2) и р (0 < р < сю) получим
cо 穴/227r
Р「島d"dpООО
cо 穴/227r
Р「島d"dpООО
р2 sin 少• 2夕2 cos2 少
р2 sin 少• 2夕2 cos2 少
_ (28)5/2 丁=林丁/3/2( 一〃)•_ (28)5/2 丁=林丁/3/2( 一〃)•1 + exp (爲 + 〃)
_ (28)5/2 丁
=林丁/3/2( 一〃)•
_ (28)5/2 丁
=林丁/3/2( 一〃)•
p4 dp
О 1 + ехр(^+〃
К этому же выражению можно прийти, подсчитывая давление как средний импульс, переносимый электронами за единицу времени через единицу поверхности:
⑴⑴
⑴
⑴
Для плотности электронов на границе атомной ячейки согласно формуле (7) из § 1 гл. I имеем
⑵⑵
⑵
⑵
Поэтому при высоких температурах, когда ту》1 и средняя кинетическая энергия электронов непрерывного спектра много больше потенциальной, используя асимптотику функций /&(/), получим
⑶⑶Ре = 〃е 仇
⑶
⑶
т.е. известную формулу для давления больцмановского идеального газа. При больших отрицательных ту =—从/仇 т.е. при больших плотностях и низких температурах, формулы (1) и (2) дают
L 15*"'L 15*"'П -生33/2П -生33/2
L 15*"'
L 15*"'
П -生33/2
П -生33/2
откуда для вырожденного ферми-газа получаем степенную зависимость давления от плотности в виде
(5)(5)Ре = ?3"2)2/3 脑/3.
(5)
(5)
Исходя из (1) и (2), а также используя интерполяционную формулу для функции /3/2 (/) (аналогичную формуле (7) для А/2(/) из § 2 гл. I)
厶/2 ⑺-^A/2(n) [125 + 60/1/2 (ж) + 18/^2 ⑺]/，
получим простую аппроксимацию для давления, справедливую как для больцмановского, так и для вырожденного электронного газа [47]:
■q 41/3
Ре = РеРе = Ре⑹⑹ез + з,зб.*з/2 +籌优
Ре = Ре
Ре = Ре
⑹
⑹
где 〃е = Z。/。, Z。一 число свободных электронов на атом, о = ^го — объем атомной ячейки.
Для нахождения полного давления необходимо учесть давление ядер (ионных остовов). При высоких температурах их обычно рассматривают как идеальный газ. Поэтому для полного давления, в частности, имеем
Р = 2,942 -104 (久 + ?) ГПа⑺
(см. рис. 6.1, 6.2).
Выражение для внутренней энергии электронов, приходящейся на одну атомную ячейку, получим по формуле (3) из § 1 гл. I :
及=^|^ / / у - 7 - I (^y(r)- 7) n(r,p)dfdp = Ek+Ep, (8)
& = 訂 / / ^八⑴,夕)d落场=缓/5/2 /川厶/2 0
Рис. 6.1. Изотермы давления (в ГПа) в зависимости от плотности р в г/см3 по модели Томаса-Ферми для золота при температурах Т = 10fc кэВ, к = —3, —2, —1, 0,1 (с ростом температуры давление растет)
д/2тг2
Чтобы вычислить
1
方=//0(/)/1/2
0
)+勺疗=
1
5/2/*片+什磊厶/2”)歳•(1。) 0
входящие в (10) интегралы
1
0
1
% =0(0) / ж/1/2 (^^)壶，
0
Рис. 6.2. Изохоры давления (в ГПа) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 10卜 г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности давление растет)
воспользуемся интегрированием по частям и попытаемся либо свести их к определяющему кинетическую энергию интегралу (9)
либо с помощью уравнения (17) и граничных условий (18) из § 1 гл. I записать в более простом виде. Так как
тото/。0)A/2/。0)A/2
то
то
/。0)A/2
/。0)A/2
и, следовательно, интеграл 方 можно представить в виде
7 —2 2 丁方=一区/.m/27 —2 2 丁方=一区/.m/2111+ g /川厶/2о1+ g /川厶/2ооо1d/ + / /"1/2 о1d/ + / /"1/2 о=_g 厶/2 (_〃)+ 2 / 川厶/2 о=_g 厶/2 (_〃)+ 2 / 川厶/2 о“⑺ dx =“⑺ dx =1d/ + 丄/ хфП{х)ф'{x) dx.о1d/ + 丄/ хфП{х)ф'{x) dx.о
7 —2 2 丁
方=一区/.m/2
7 —2 2 丁
方=一区/.m/2
1
1
1
+ g /川厶/2о
1
+ g /川厶/2о
о
о
1
d/ + / /"1/2 о
1
d/ + / /"1/2 о
=_g 厶/2 (_〃)+ 2 / 川厶/2 о
=_g 厶/2 (_〃)+ 2 / 川厶/2 о
“⑺ dx =
“⑺ dx =
1
d/ + 丄/ хфП{х)ф'{x) dx.о
1
d/ + 丄/ хфП{х)ф'{x) dx.о
1
Последний из интегралов J хфП(х)^(х) dx может быть сведен к инте- о
гралу Ji:
11/ хф" (х)ф' (х) d/= / ^d[“(N)『 оо11/ хф" (х)ф' (х) d/= / ^d[“(N)『 оо=1 [^«[-| /ф'(х) dф(x)==1 [^«[-| /ф'(х) dф(x)=
11
/ хф" (х)ф' (х) d/= / ^d[“(N)『 оо
11
/ хф" (х)ф' (х) d/= / ^d[“(N)『 оо
=1 [^«[-| /ф'(х) dф(x)=
=1 [^«[-| /ф'(х) dф(x)=
=T〃2 —廿⑺Ф⑴=T〃2 —廿⑺Ф⑴11ОО1+ g/ ф ⑺ ф"⑺ dx = о1+ g/ ф ⑺ ф"⑺ dx = оI0(。)"(0)+ ^方・I0(。)"(0)+ ^方・
=T〃2 —廿⑺Ф⑴
=T〃2 —廿⑺Ф⑴
1
1
О
О
1
+ g/ ф ⑺ ф"⑺ dx = о
1
+ g/ ф ⑺ ф"⑺ dx = о
I0(。)"(0)+ ^方・
I0(。)"(0)+ ^方・
Таким образом, для интеграла 方 окончательно получаем следующее выражение:
41г
方=-g/3/2(-〃)+ ,0(。)"(0)+ 4 / /"3/2
dx. (11)dx. (11)不=хф" (х) dx =—不=хф" (х) dx =—хф^х)^— y ф，(х) dx.о.хф^х)^— y ф，(х) dx.о.=結），=結），После интегрирования по частям для интегралов 不 и 方 легко получаем
dx. (11)
dx. (11)
不=хф" (х) dx =—
不=хф" (х) dx =—
хф^х)^— y ф，(х) dx
.о.
хф^х)^— y ф，(х) dx
.о.
=結），
=結），
В результате для потенциальной энергии электронов Ер имеемВ результате для потенциальной энергии электронов Ер имеем
В результате для потенциальной энергии электронов Ер имеем
В результате для потенциальной энергии электронов Ер имеем
=一"0(0)0(0)“(0).
(13)(13)кДж/гкДж/г
(13)
(13)
кДж/г
кДж/г
Из (1), (8)-(12) вытекает теорема вириала:
2 石& + Ер = 3Pev.
Теорема вириала справедлива не только в рамках модели Томаса- Ферми, но и в более точной квантовомеханической постановке [11]. Эта теорема может использоваться для получения давления.
При расчетах удельной внутренней энергии надо иметь в виду, что сама по себе полная внутренняя энергия не представляет интереса —важен избыток этой энергии над энергией, которая соответствует веществу при нулевой температуре и давлении. Поэтому из значения, полученного по формуле (8), имеет смысл вычесть внутреннюю энергию одинокого атома Eq = —0, 76874512 • Z’/з [30], соответствующую Г = 0, р = 0, и, кроме того, следует учесть кинетическую энергию
ядер j kT = j 8:
(см. рис. 6.3, 6.4).
Рис. 6.3. Изотермы внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от плотности р в г/см3 по модели Томаса-Ферми для золота при температурах Т = 10卜 кэВ, к = —3, —2, —1, 0,1 (с ростом температуры энергия растет)Рис. 6.3. Изотермы внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от плотности р в г/см3 по модели Томаса-Ферми для золота при температурах Т = 10卜 кэВ, к = —3, —2, —1, 0,1 (с ростом температуры энергия растет)Рис. 6.4. Изохоры внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энергия при Т = 1 кэВ падает, а при Т = 0,001 кэВ сначала падает, а затем, начиная с р = 10 г/см3, растет)Рис. 6.4. Изохоры внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энергия при Т = 1 кэВ падает, а при Т = 0,001 кэВ сначала падает, а затем, начиная с р = 10 г/см3, растет)4д/^з/2 吟4д/^з/2 吟7Г7Г/+ (j) Mi)]屮 2d宀, О о/+ (j) Mi)]屮 2d宀, О о
Рис. 6.3. Изотермы внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от плотности р в г/см3 по модели Томаса-Ферми для золота при температурах Т = 10卜 кэВ, к = —3, —2, —1, 0,1 (с ростом температуры энергия растет)
Рис. 6.3. Изотермы внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от плотности р в г/см3 по модели Томаса-Ферми для золота при температурах Т = 10卜 кэВ, к = —3, —2, —1, 0,1 (с ростом температуры энергия растет)
Рис. 6.4. Изохоры внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энергия при Т = 1 кэВ падает, а при Т = 0,001 кэВ сначала падает, а затем, начиная с р = 10 г/см3, растет)
Рис. 6.4. Изохоры внутренней энергии (в кДж/г) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энергия при Т = 1 кэВ падает, а при Т = 0,001 кэВ сначала падает, а затем, начиная с р = 10 г/см3, растет)
4д/^з/2 吟
4д/^з/2 吟
7Г
7Г
/+ (j) Mi)]屮 2d宀, О о
/+ (j) Mi)]屮 2d宀, О о
Для энтропии электронов имеем (см. (4) из § 1 гл. I):
In п + (1 — п) In (1 — n)] dr dp =
где g =#2/(28), n =八(丁,夕)=1+ exp(g -屮
23233 I 1 + exp (g3 I 1 + exp (g1 + exp1 + expg --g --
2
3
2
3
3 I 1 + exp (g
3 I 1 + exp (g
1 + exp
1 + exp
g --
g --
Интеграл по у можно вычислить, интегрируя дважды по частям и учитывая, что все подстановки при g = 0 и g = сю равны нулю:
^fnln n + (1 — п) In (1 — n^y^-^dy
n
1 — n
S =S =0,9648 • 1020,9648 • 102кДж/(г-эВ),кДж/(г-эВ),(16)(16)
S =
S =
0,9648 • 102
0,9648 • 102
кДж/(г-эВ),
кДж/(г-эВ),
(16)
(16)
Таким образом,
4，^03/2 吟
3 =
что после использования (11) дает
Se ="广吟扌厶片一〃)—g / X2/3/2 (竽)dx - Z ф'^ . (15)
Учитывая вклад в энтропию от ядер в приближении идеального газа (полагая, что их статистический вес равен единице), окончательно получаем
где М = 1836 • А — масса иона.
Графики давления, внутренней энергии и энтропии для золота, полученные по формулам (7), (14) и (16) приведены на рис. 6.1-6.6. Хотя графики получены для золота (Z] = 79, 4] = 197), для других элементов (Z2,厶2)графики сохраняют свой вид, однако все величины, соответствующие вкладу электронов, домножаются на масштабные
Рис. 6.5. Изотермы энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от плотности р в г/см3Рис. 6.5. Изотермы энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от плотности р в г/см3П° МОЕДЛ0^™^вТХТаХ Т 二 °5001 КЭВ； °501 КЭВ；П° МОЕДЛ0^™^вТХТаХ Т 二 °5001 КЭВ； °501 КЭВ；Рис. 6.6. Изохоры энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энтропия уменьшается)Рис. 6.6. Изохоры энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энтропия уменьшается)
Рис. 6.5. Изотермы энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от плотности р в г/см3
Рис. 6.5. Изотермы энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от плотности р в г/см3
П° МОЕДЛ0^™^вТХТаХ Т 二 °5001 КЭВ； °501 КЭВ；
П° МОЕДЛ0^™^вТХТаХ Т 二 °5001 КЭВ； °501 КЭВ；
Рис. 6.6. Изохоры энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энтропия уменьшается)
Рис. 6.6. Изохоры энтропии в кДж/(г-эВ) в зависимости от температуры Т в кэВ по модели Томаса-Ферми для золота при плотностях р = 1% г/см3, к = —3, —2, —1, 0,1, 2, 3 (с ростом плотности энтропия уменьшается)
множители, зависящие от элемента
Р ТР Т42@42@Р ТР Т10/3•а10/3•аЕ —>Е —>7/37/3St学・SSt学・S(17)(17)
Р Т
Р Т
42@
42@
Р Т
Р Т
10/3
•а
10/3
•а
Е —>
Е —>
7/3
7/3
St学・S
St学・S
(17)
(17)
(см. свойства автомодельности потенциала ТФ в § 1 гл.1).
Квантовые, обменные и осцилляционные поправки к модели Томаса—Ферми. Для уточнения модели Томаса-Ферми можно воспользоваться разложением электронной плотности в приближении Хартри- Фока по степеням постоянной Планка 力.Такое разложение получено в [52] с
помощью записи уравнения Хартри-Фока в виде уравнение Пуассона для самосогласованного кулоновского потенциала
△V(f) = 4тг0 ⑺—47rz8(尸),△V(f) = 4тг0 ⑺—47rz8(尸),(18)(18)
△V(f) = 4тг0 ⑺—47rz8(尸),
△V(f) = 4тг0 ⑺—47rz8(尸),
(18)
(18)
гдегде(19)(20)(21)(19)(20)(21)6二("一访▽)?206二("一访▽)?20—3—3
где
где
(19)
(20)
(21)
(19)
(20)
(21)
6二("一访▽)?20
6二("一访▽)?20
—3
—3
где Z — заряд ядра. Отличие (18) от аналогичного уравнения в модели Томаса- Ферми (см. п.2 из §1 гл. I) заключается в том, что плотность электронов р(г) выражается здесь через оператор матрицы плотности р(Н). Если использовать в качестве базисных функций плоские волны, то
0(左)=/少)=皿$)'
я= |^2-У(г)-Л(г，Й，
2 丿\р — р'\2(2тг)3
Здесь р =—访▽ — оператор импульса, А(г,р) — оператор обменного взаимодействия. Хотя в атомных единицах постоянная Планка /1=1, она частично оставлена в формулах для удобства вычисления разложения по степеням 力.Разлагая входящие в (19) выражения по степеням постоянной Планка %, надо иметь в виду, что такое разложение справедливо только для аналитической по h функции. На самом деле, как видно из (19), условия аналитичности не выполняются, и в результате разложения оказываются неучтенными так называемые осцилляционные поправки (см. далее).
При вычислении действия оператора р(Н) на функцию е"汾/% достаточно заменить в Н оператор 万 на 万一〃％▽ и вместо ^一"汾/% /(方)е"汾/% можно написать действие оператора /(& + Ь) на единицу, где
(здесь мы пренебрегли обменом).
Для /(& + В) имеет место разложение по коммутаторам (см. [53]):
/(& + В) = /(а + 6) + [а, Ь] '(j+匕)+
(22)(22)+ {@&, Ь]] + [向见分]}空产 + (血分])2宀『)+...,
(22)
(22)
что дает
ее5方方2
е
е
= ^) + §Г(^Ф + ^ГИДф-
方2方2方2
-丽尸〃（£）（▽①）2 + 而尸〃（£）（万。2①-巾尸V（8）（万▽①）2 + . . . ,（23）
О（7О（7О（7
где введено обозначение
20 О
Рассмотрим вначале первый член с нулевым порядком по %, отбрасывая остальные члены. Это означает, что наряду с неучтенным пока обменом А = А(г,р)〜/I2, мы пренебрегаем также некоммутативностью операторов р и Ф(г). В этом случае получаем выражение для электронной плотности по модели Томаса-Ферми
"①—(2»)3 / 1 + eхр 停_[①(/忆①)
，^03/2①(尸)+〃т①
^^/1/2 (^
где
4V^03/2/ Vro(f) + /1ТФ A
△ kr①) = 4тгрТФ(Г ) = /]/2 ( ).
Для учета поправок второго порядка по 力 необходимо, кроме членов разложения (23), учесть поправки, связанные с обменом, для которых достаточно использовать линейное приближение по А:
"ех ⑺=/"ех ⑺=/47Г%2 а(务—①)/ (^F — ф) dPdP'2(2тг)30 ЭФ JJI万一万[247Г%2 а(务—①)/ (^F — ф) dPdP'2(2тг)30 ЭФ JJI万一万[2Ф=誓言/团誓心哂Ф=誓言/团誓心哂(24)(24)
"ех ⑺=/
"ех ⑺=/
47Г%2 а(务—①)/ (^F — ф) dPdP'
2(2тг)30 ЭФ JJI万一万[2
47Г%2 а(务—①)/ (^F — ф) dPdP'
2(2тг)30 ЭФ JJI万一万[2
Ф
=誓言/团誓心哂
Ф
=誓言/团誓心哂
(24)
(24)
(см. вычисление обменного интеграла в § 2 гл. III).
Подставляя разложение (23) в (19) и учитывая поправку (24), получим выражение для плотности электронов в модели Томаса-Ферми с поправками
0т①口⑺=^^ /"1/2(①) + ^|^ (4/2(Ф))2 +
++得〃（到+得〃（到+%2(▽①)224^%2(▽①)224^(25)(25)
+
+
得〃（到+
得〃（到+
%2(▽①)224^
%2(▽①)224^
(25)
(25)
Положим Ф = Фо + %2 ①1, где
① 0 = Фо(r)=——,
—"）=為以（如2）+貝斗
и подставим Ф в уравнение АФ = 4тгр/0. Если учитывать только члены порядка /I2, то для поправки《=《(尸)получим уравнение
△С - ¥^/1/2（①。）.《二△С - ¥^/1/2（①。）.《二(26)(26)4V^ “ 、
△С - ¥^/1/2（①。）.《二
△С - ¥^/1/2（①。）.《二
(26)
(26)
У (Фо), 7Г
гдегдеУ(с)二 /1/2(С)/1/2(С)+ 6 / 01/2(力)]d力.У(с)二 /1/2(С)/1/2(С)+ 6 / 01/2(力)]d力.(27)(27)
где
где
У(с)二 /1/2(С)/1/2(С)+ 6 / 01/2(力)]d力.
У(с)二 /1/2(С)/1/2(С)+ 6 / 01/2(力)]d力.
(27)
(27)
Для вычисления функции У (ж) можно воспользоваться аппроксимациями для функций Ферми-Дирака [131] и формулой (10) из § 3 гл. III для интеграла 工RA (矶％ = jj [ j/2 (力『出.
Предполагая сферическую симметрию и переходя к переменной ж = т/то (0 < ж < 1), для функции х(ж) = т《(т)/то получим уравнение модели Томаса-Ферми с поправками (см. п. 5 из § 1 гл. II)
7Г7Г(28)(28)
7Г
7Г
(28)
(28)
Х(0) = 0, х(1) = хЧ1)，= Фо(г).
ж
Поправки для термодинамических функций электронов получаются аналогично тому, как были получены термодинамические функции электронов в модели Томаса-Ферми. Формулы для поправок имеют следующий вид [53, 47]:
для давления
△Р 二市[х(1〃1/2(0(1)) + У (0(1))] ；(29)
для энергиидля энергии
для энергии
для энергии
где △石о = —0,269001725/3； для энтропии
(31)(31)
(31)
(31)
Поправки АР, △石 и AS обладают свойством автомодельности, как и сами величины давления, энергии и энтропии в модели Томаса-Ферми. В частности,
если известны значения для элемента (Zi, Ai), то для элемента (Z2, Л.2)при соответствующем масштабном изменении температуры и плотности (см. (17)) необходимо произвести замену
Т )'/В △石， Т )'б. △$. (32)
Рис. 6.7. Величина поправок к модели Томаса-Ферми для алюминия. Сплошные линии на плоскости (Т, р) соответствуют фиксированной величине квантовой и обменной поправок к давлению (см. формулу (29)): для внешней линии поправка составляет 5%, для внутренней — 30%
Подробные таблицы термодинамических величин по моделям Томаса-Ферми и Томаса-Ферми с поправками приведены в [47]. Представление о величине поправок дает рис. 6.7, где приведены линии, соответствующие фиксированной поправке к давлению в алюминии: ^^ =0,3 и ^^ =0,05. По величине поправок можно было бы судить об области применимости модели Томаса-Ферми, если бы в рассмотрение были включены осцилляционные поправки.
Поясним на простом примере вычисление осцилляционной поправки к электронной плотности при Т = 0 в одномерном случае. Будем исходить из выражения для плотности числа частиц при равной нулю температуре
g) = 2 £ 1^п(ж)|2.(33)
Здесь двойка отвечает двум направлениям спина,吵九(ж) — решение стационарного уравнения Шрёдингера,川一химический потенциал (энергия Ферми).
В квазиклассическом приближении волновая функция ^п (ж) в классически разрешенной области движения ап < х < Ъп имеет вид
^п(ж) =sin匕九(с) + у],(34)
где
3) = / P“(#)m, PnQ)=修疑-。(廟,
sn ——энергия частицы, U(ж)——потенциальная энергия; нормировочная постоянная сп определяется из условия ^n^dx = 1, которое дает с^ = 2/у^,
丁^ = 丁九(匕九)=J?； [l/pn(x)]dx. Подставляя (34) в (33), получим
(35)(35)с27r
(35)
(35)
Р(ж) = 2 * —sin2[<тп(ж) + -] = Ртф(ж) + Росц(ж),
4
гдегде21212121
где
где
2121
2121
Первое слагаемое в (35), которое соответствует модели Томаса-Ферми, дает усредненное распределение плотности. Оно может быть вычислено с помощью условия квантования Бора-Зоммерфельда (см. п.З из §1 гл. II).
Второе слагаемое в (35), описывающее оболочечные эффекты, может быть вычислено в замкнутой форме, если воспользоваться формулой суммирования Пуассона и интегрированием по частям:
1
貳8'2仪C)ctgTTf
где p(x),a(x) и т(ж) вычисляются так же, как и 目九(с), сг九(с) и тп(ж), но для 8n =川. Осцилляционные поправки носят нерегулярный характер и индивидуальны для каждого элемента [55]. Учету обменных, квантовых и осцилляционных поправок для уравнения состояния посвящена работа [57].
Модель ионизационного равновесия
Распределение Гиббса для атомной ячейки. В идеальной равновесной плазме для вычисления ее состава и термодинамических функций широко используется модель ионизационного равновесия (уравнения Саха-Больцмана, см., например, [68]). Уравнения этой модели можно получить, исходя из распределения Гиббса и используя в качестве подсистемы сферическую ячейку объема о = ^го- Вероятность состояния с энергией Е и числом электронов N в этом приближении определяется выражением
W = Cg^⑴
где д — статистический вес состояния,从—химический потенциал.
Поскольку мы интересуемся лишь распределением ионов при любых возможных состояниях свободных электронов, то распределение (1) надо усреднить по всем возможным состояниям свободных электронов. Приближенно можно считать, что такое усреднение эквивалентно тому, что все величины, входящие в распределение Гиббса, берутся для некоторой средней плотности свободных электронов. В частности, энергию Е можно считать равной сумме энергии иона Ejs (j — степень ионизации, s — номер состояния иона с данной степенью
ионизации J), средней энергии свободных электронов Ее и средней энергии взаимодействия рассматриваемого иона со свободными электронами Eje, т.е.
石=Ejs + Eje + Ее.(2)
Число электронов в ячейке запишем в виде
⑶⑶^ = Z — j -\- Zq,
⑶
⑶
где Z — заряд ядра, Z。— средний заряд иона (среднее число свободных электронов на один ион).
В результате для концентрации Xjs ионов с зарядом J в состоянии
s имеемs имеемXjs = С gjs expXjs = С gjs expEjs + Eje + 从/Ejs + Eje + 从/⑷⑷
s имеем
s имеем
Xjs = С gjs exp
Xjs = С gjs exp
Ejs + Eje + 从/
Ejs + Eje + 从/
⑷
⑷
где gjs — статистический вес соответствующего состояния иона, С — нормировочная постоянная (будем считать, что Xjs — доля ионов с зарядом J в состоянии s).
Исходя из (4), можно получить соотношения для концентраций ионов с различной степенью ионизации
从耳/+1,е — Ej,e石7+1,。— Ej,s
勺.S9j s
Приближение Саха. Установим связь между химическим потенциалом 从 и плотностью свободных электронов ре. Будем предполагать, что потенциал V(г), создаваемый свободными электронами и рассматриваемым ионом, является сферически симметричным. Согласно статистике Ферми-Дирака
ДляДля4тг?2 dp4тг?2 dp1 + ехр -『6 -从1 + ехр -『6 -从невырожденного электронного газа ехрневырожденного электронного газа ехр》1, поэтому》1, поэтому1 / Р exp1 / Р exp⑹⑹
Для
Для
4тг?2 dp
4тг?2 dp
1 + ехр -『6 -从
1 + ехр -『6 -从
невырожденного электронного газа ехр
невырожденного электронного газа ехр
》1, поэтому
》1, поэтому
1 / Р exp
1 / Р exp
⑹
⑹
В случае достаточно высоких температур потенциальной энергией электронов можно пренебречь. В этом приближении плотность электронов ре будет постоянной величиной, и мы получим
Так как ре = 3Z0/(47rrQ), то
⑺
Используя (5), (7) и пренебрегая взаимодействием свободных электронов с ионом (при малой плотности свободных электронов Eje ^ 0), получим систему уравнений Саха-Больцмана
吟*exp (^js 3 V тгgjs \吟*exp (^js 3 V тгgjs \石7+1,。— Ejs石7+1,。— Ejs⑻⑻
吟*exp (
^js 3 V тгgjs \
吟*exp (
^js 3 V тгgjs \
石7+1,。— Ejs
石7+1,。— Ejs
⑻
⑻
Эти уравнения дополняются условиями нормировки и электронейтральности
〉：勺S = 1，〉： /勺S =⑼
jsjs
Величины 石7+i,夕 и Ejs, входящие в эту систему уравнений, определяются на основе экспериментальных данных, а также рассчитываются в приближении Хартри-Фока (Хартри-Фока-Слэтера) или с помощью некоторых полуэмпирических моделей (см., например, [32]). Модель ионизационного равновесия применима, как следует из ее вывода, при достаточно малых плотностях вещества. Отметим два обстоятельства, ограничивающие область применимости модели. Во- первых, экспериментальные данные об уровнях энергии ионов с высокой степенью ионизации могут отсутствовать в литературе. Во- вторых, с ростом плотности вещества уровни энергии смещаются и могут не соответствовать экспериментальным данным, полученным для свободных ионов. Кроме того заметим, что в случае очень малых плотностей состояние плазмы, как правило, является неравновесным и не описывается уравнениями Саха (см. § 7, гл. V).
Систему уравнений (8)—(9) удобно переписать для концентраций ионов
xj =а。)
с помощью суммирования гю s и 夕 в ⑻，(9). Имеем
'子J = 0,1,...e/勺•=Zo,'子J = 0,1,...e/勺•=Zo,(U)(U)
'子J = 0,1,...
e/勺•=Zo,
'子J = 0,1,...
e/勺•=Zo,
(U)
(U)
где
勺s =瓦 9js exp (,
仍j,(13)
0 V ^-D Jу ^ /
场4…(一生产(14)
Ij =石升1,0 — Ejo — потенциал ионизации иона с зарядом J,石加— энергия основного состояния иона J (энергии Ejs отсчитываются от основного состояния / = 0, s = 0).
Термодинамические функции вещества по модели ионизационного равновесия вычисляются по формулам идеального больцмановского газа с учетом затрат на ионизацию:
P=(ZO + 1)-,(15)
石=-(Zo + 1)8 + £勺ь(石^ -石。。)■(16)
Итерационная схема для решения системы уравнений ионизационного равновесия. Для решения системы (11) составим уравнение для Z。, исключив величины Xj путем вычисления произведения с первого по (j — 1)-ое уравнение системы (11):
g/оg/о/2 XjЖ1xj-l/2 XjЖ1xj-l(17)(17)
g
/о
g
/о
/2 Xj
Ж1xj-l
/2 Xj
Ж1xj-l
(17)
(17)
7 — jmax , 。0 — •
Так как Xj = x^aj (следствие равенства (17)), то из условия нормировки следует, что /° = 1 / £^・ aj. Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (11), получаем уравнение для определения Z。：
£ ajj£ ajj(18)(18)
£ ajj
£ ajj
(18)
(18)
Для решения уравнения (18) используем итерационный метод Ньютона
(s+D (s) р Zo = Zo _ ^-(s+D (s) р Zo = Zo _ ^-(s) Zq = Zq(s) Zq = Zq
(s+D (s) р Zo = Zo _ ^-
(s+D (s) р Zo = Zo _ ^-
(s) Zq = Zq
(s) Zq = Zq
где
F"(Zo) = Zo-
Учитывая, что да§〔8Zq = —jaj/Z(), приходим к следующей итерационной схеме
(s) Zo = Z °(s) Zo = Z °(19)(19)啰D _ "产〉-0у +⑴Z。 =厶（沁一"一 z。
(s) Zo = Z °
(s) Zo = Z °
(19)
(19)
где
з
Для получения начального приближения заметим, что величины 夕7 убывают с ростом J, так как энергия ионизации Ij с увеличением J растет. Поэтому значения aj либо убывают с ростом J, если 夕o/Z。< 1, либо имеют максимум при некотором значении / = /о, для которого
夕亢—i/Zo > 1, 夕亢/Zo < 1.夕亢—i/Zo > 1, 夕亢/Zo < 1.(20)(20)
夕亢—i/Zo > 1, 夕亢/Zo < 1.
夕亢—i/Zo > 1, 夕亢/Zo < 1.
(20)
(20)
Из уравнения (18) следует, что Z。^ %, так как величина aj имеет максимум при / ^ %. Поэтому в качестве критерия для выбора % вместо (20) можно использовать условие
夕亢一1//о > 1 >夕亢/%,夕亢一1//о > 1 >夕亢/%,(21)(21)
夕亢一1//о > 1 >夕亢/%,
夕亢一1//о > 1 >夕亢/%,
(21)
(21)
из чего следует, что % есть наименьшее значение J, для которого
夕〃/ < 1. Так как Xj夕〃/ < 1. Так как Xj力0。厶 то в системе уравнений (11) для нахожде
夕〃/ < 1. Так как Xj
夕〃/ < 1. Так как Xj
ния приближенного значения Z。можно считать все х^ за исключением двух наибольших, пренебрежимо малыми. Если。亢+1〉。亢一1, т.е. 夕亢—1 夕亢//^ > 1, то в качестве наибольших значений Xj следует брать Xj0 и /%+1・ В результате получаем простую систему
/у ^Jo + 1 —
z。--—夕亢，
叼О
xjo + XJo + l = 1，
< 力/亢 + 0。+ 1)勺b+i = z°,
откудаоткудаZ° =Z° =（% -夕元）+ A/（/о + 夕元）2 + 4夕元（% -夕元）+ A/（/о + 夕元）2 + 4夕元22(22)(22)
откуда
откуда
Z° =
Z° =
（% -夕元）+ A/（/о + 夕元）2 + 4夕元
（% -夕元）+ A/（/о + 夕元）2 + 4夕元
2
2
(22)
(22)
В случае。亢一1 >。亢+1, ℃•夕亢 一1 夕亢//^ 工 1, при выборе приближенного значения Z。следует заменить в равенстве (22) % на % — 1.
При вычислении статистических сумм Bj надо иметь в виду, что для малых плотностей, в частности, для свободного атома, такие суммы расходятся. В практических расчетах проводят обрезание статистических сумм, отбрасывая высоковозбужденные состояния или уменьшая их роль. Как показал анализ, проведенный в работах [74, 49], наиболее эффективным является способ, в котором учитываются лишь те дискретные состояния, для которых область классического движения электрона находится внутри атомной ячейки [73].
Для оценки радиуса орбиты связанного электрона в высоковозбужденном состоянии с квантовыми числами п и ^ иона кратности J можно приближенно считать его движущимся в кулоновском поле О + 1)/г. Область классического движения для такого электрона определяется неравенствами
гдегде(1) // (2)'п£ < ' < 'п£，(1) // (2)'п£ < ' < 'п£，
где
где
(1) // (2)
'п£ < ' < 'п£，
(1) // (2)
'п£ < ' < 'п£，
При вычислении статистических сумм Bj следует учитывать только такие состояния, для которых 丁律 < 丁°. При дальнейшем увеличении плотности необходимо учесть снижение потенциала ионизации на величину ATj + 3〃(2丁°), а также принять во внимание возможное исчезновение слабосвязанных дискретных уровней (их переход в непрерывный спектр). Заметим, что при таких условиях справедливость приближения Саха-Больцмана нарушается. С ростом плотности все более точными становятся так называемые ячеечные модели, и в частности, рассмотренная в гл. IV квантово-статистическая модель самосогласованного поля Хартри-Фока-Слэтера.
Термодинамические свойства веществапо модели Хартри—Фока—Слэтера
Использование модели ионизационного равновесия позволяет получать достаточно надежные результаты при малых плотностях и сравнительно низких температурах. В случае очень высоких температур и плотностей хорошие результаты дает модель Томаса—①ерми. Более точное определение области применимости теоретических уравнений состояния является весьма сложной задачей, требующей разработки
более совершенных подходов. Так, например, модель Томаса-Ферми с поправками (ТФП) была построена при выяснении области применимости модели Томаса-Ферми (см. [53], а также п.2 из § 1). В дальнейшем оказалось, что учет квантовых и обменных поправок в модели ТФП недостаточен, необходимо учитывать осцилляционные поправки. В результате была сформулирована квазиклассическая оболочечная модель (КОМ) [55, 57]. Как следует из вывода уравнений, описывающих модели Т①II и КОМ, область применимости этих моделей определяется малостью учитываемых поправок.
Более последовательными являются подходы, основанные на методе самосогласованного поля, в которых не предполагается малость поправок. Первые расчеты по модифицированной модели Хартри- Фока-Слэтера [77], основы которой для вещества с заданной температурой и плотностью были первоначально сформулированы в [76], показали возможность применения этой модели как для вычисления коэффициентов поглощения фотонов и росселандовых пробегов^ так и для описания уравнений состояния в широком диапазоне температур и плотностей. Тем не менее, при использовании модели Хартри-Фока- Слэтера для расчета уравнений состояния потребовалась существенная доработка некоторых деталей этой модели, состоящая, в частности, в следующем:
При вычислении вклада ионов в уравнение состояния плотной неидеальной плазмы было дополнительно учтено их сильное отталкивание на малых расстояниях, связанное с конечными размерами ионов [87].
При аппроксимации обменного потенциала для больших значений г (в случае малой плотности) следует, как показано в [134], использовать асимптотику самосогласованного потенциала V(г) ~ 1/г, что позволяет лучше описать энергетический спектр возбужденных состояний электронов.
Влияние эффективной границы непрерывного спектра £о, т.е. величины энергии электронов, выше которой в модели X①С применяется квазиклассическое приближение, оказалось более существенным при вычислении уравнений состояния, чем при вычислении коэффициентов поглощения фотонов. Как показано в § 3 гл. III, величина £о для выполнения условий термодинамической согласованности должна выбираться в соответствии с условиями сохранения полного числа возможных состояний электронов [86].
Среди приведенных факторов, влияющих на результаты расчетов, выбор эффективной границы непрерывного спектра £° оказался наиболее существенным. Для правильного выбора £о при расчете таблиц уравнений состояния достаточно зафиксировать номер корня уравнения для определения £° при всех значениях температуры Т и плотности р. Нарушение этого условия может приводить к нефизическим
результатам при некоторых значениях Тир.
Влияние неоднозначности выбора £о, т.е. номера зафиксированного корня, на результаты расчетов уравнений состояния и ударных адиабат проанализировано в [87]. Выяснилось, что результаты расчетов практически не зависят от £°, если значение этого параметра достаточно велико, например, находится в районе разрешенных энергетических зон при нормальных условиях, т.е. при Т = 0, 〃 = .°, где ро — нормальная плотность вещества.
⑴⑴⑵⑵Термодинамические функции электронов. Выражения для термодинамических функций электронов — давления Ре, энергии Ее и энтропии Se — удобно получать, исходя из термодинамического потенциала Cl = Е — OS — [11]:
⑴
⑴
⑵
⑵
V
L С С АП АП
及苏'
S。S。aQaQ⑶⑶
S。
S。
aQ
aQ
⑶
⑶
Здесь V = (4/3)7гГд — объем сферической атомной ячейки.
Для того, чтобы избежать потери точности при вычислениях, требуется проведение некоторых преобразований формул (1)-(3), которые выполнены в [77] (см. также вывод формулы для давления в [27]). В итоге формулы для электронных компонент давления, энергии и энтропии можно привести к виду
РеРе2 72 7g0（T0）g0（T0）g3/2dg1[『(丁0)+川1 + ехр уg3/2dg1[『(丁0)+川1 + ехр у++
Ре
Ре
2 7
2 7
g0（T0）
g0（T0）
g3/2dg
1[『(丁0)+川
1 + ехр у
g3/2dg
1[『(丁0)+川
1 + ехр у
+
+
387r吟战387r吟战小0)+/- P(^0)Kx[p(r0)]-0£ / 储d瓦4%^/)〃£)[B^^PR^R^-r^R^] nQmP q小0)+/- P(^0)Kx[p(r0)]-0£ / 储d瓦4%^/)〃£)[B^^PR^R^-r^R^] nQmP q
3
87r吟战
3
87r吟战
小0)
+/- P(^0)Kx[p(r0)]-
0
£ / 储d瓦4%^/)〃£)[B^^PR^R^-r^R^] nQmP q
小0)
+/- P(^0)Kx[p(r0)]-
0
£ / 储d瓦4%^/)〃£)[B^^PR^R^-r^R^] nQmP q
Здесь уо = %(丁)= max〈0;Здесь уо = %(丁)= max〈0;V (г) + £0V (г) + £000,八0,八0111 + eхр (亍)'1 + eхр (亍)'£ = £n£m(^)5 причем суммирование по n, ^, т, ^ и интегрирование по к£ = £n£m(^)5 причем суммирование по n, ^, т, ^ и интегрирование по к
Здесь уо = %(丁)= max〈0;
Здесь уо = %(丁)= max〈0;
V (г) + £0
V (г) + £0
0
0
,八0
,八0
1
1
1 + eхр (亍)'
1 + eхр (亍)'
£ = £n£m(^)5 причем суммирование по n, ^, т, ^ и интегрирование по к
£ = £n£m(^)5 причем суммирование по n, ^, т, ^ и интегрирование по к
проводятся для состояний с энергией £ < £°. В последующих формулах для внутренней энергии и энтропии вычисление интегралов и сумм проводится таким же образом:
及=贬£В +『(丁)] e4小e (衣)%(丁)办+
0 n£m qq«
*2dg*2dgV(r) + /V(r) + /Lос
*2dg
*2dg
V(r) + /
V(r) + /
7Г 丿 J . о 7/0 1 + exp y-
+ V(r)-Kx(r)+ V(r)-Kx(r)0(丁) 丁2 d丁 -
+ V(r)-Kx(r)
+ V(r)-Kx(r)
ro 0(r)0(r)
r2dr — Eqr2dr — Eq(5)(5)-4"/ / Ve<P‘)dp' - 9 祝 / V^p1) dp'оо0
r2dr — Eq
r2dr — Eq
(5)
(5)
где &i — энергия свободного атома, так что при Т = 0, 〃 = О величина Ее = 0;
Se = ^ £ / [〃。In 〃£)+(1 — 〃。)1п(1 — 〃£))] к? dk —符— 0 n£m q
V(r)p(r)r2 dr + 47rV(r)p(r)r2 dr + 47r++Too(r)
V(r)p(r)r2 dr + 47r
V(r)p(r)r2 dr + 47r
+
+
20^g3/27Г20^g3/27Г1 + exp1 + exp/^ /匕x(d)“户办+о0
20^g3/2
7Г
20^g3/2
7Г
1 + exp
1 + exp
++g3/2 dy
+
+
- 卜(丁)+从 g
『0
⑹⑹+ ^^^3/2 In [/(€о)(1 - /(^о))] / g：/%)户办.
⑹
⑹
0
Учет теплового движения ионов в приближении заряженных твердых сфер. В сильно взаимодействующей неидеальной плазме нельзя проводить разделение термодинамических функций на электронные и ионные составляющие [108]. Однако при высоких температурах, когда основной вклад в уравнение состояния дают электроны, можно учитывать вклад ионов как дополнительное слагаемое.
В основе такого разделения лежит предположение о среднем атоме, характеристики которого, в частности, внутриатомный потенциал, определяются усреднением искомой величины по всевозможным состояниям рассматриваемого иона и по положениям других ионов. В результате такого приближения электронная структура среднего иона вычисляется в электронейтральной атомной ячейке (см. гл. IV), при этом основная часть электрон-ионного взаимодействия оказывается эффективно учтенной (более аккуратное рассмотрение см. в [46]).
Влияние движения и взаимодействия ионов можно учесть, используя характеристики среднего иона и применяя теорию возмущений в адиабатическом приближении [200, 201]. Для учета межионного взаимодействия необходимо выйти за пределы приближения атомных ячеек, например, рассматривая плазму как некоторый идеализированный газ взаимодействующих частиц. Такой идеализированной моделью служит, в частности, модель положительно заряженных твердых сфер (ЗТС), движущихся на фоне равномерно распределенного отрицательного заряда электронов [185].
Так как параметры модели ЗТС, в частности, размеры и заряды ионов зависят от результатов внутриячеечных расчетов, то в общем случае для получения уравнений термодинамически согласованной модели необходимо потребовать минимума полного термодинамического потенциала системы ионов и электронов, что значительно усложняет задачу. В области, где основной вклад в термодинамический потенциал дают электроны, требование минимума полного термодинамического потенциала практически совпадает с требованием минимума термодинамического потенциала для электронов.
Для получения термодинамических величин представим их в виде суммы вкладов, относящихся к электронам (соответствующие компоненты имеют индекс «е») и относящихся к ионам (индекс «г»). Тогда, если ионные и электронные компоненты выражены в атомной системе единиц, для полного давления в ГПа и полной энергии в кДж/г получаем
p=2,942-104(及+в)， (7)
Е= 2'62；1°з(及+旦). (8)
Наиболее простым приближением для учета движения ионов является приближение идеального газа (см. формулы (4), (11) и (13) из § 1). Приближение идеального газа можно применять при достаточно высокой температуре и газовых плотностях. Для плотных и конденсированных сред эта модель слишком груба. Более последовательными являются приближения, учитывающие взаимодействие ионов. Так, например, в модели однокомпонентной плазмы (ОКП) предполагается,
что ионы с одинаковым зарядом движутся в однородной среде с зарядом противоположного знака [149, 63]. Заряд ионов Z。, или среднее число свободных электронов в атомной ячейке, можно приближенно определить по формуле Z。= （4тг/3）丁^〃（丁о）, где 〃（丁о） — электронная плотность на границе ячейки.
Для однокомпонентной плазмы с помощью метода Монте-Карло рассчитана функция распределения ионов, вычислена их энергия взаимодействия и построены соответствующие интерполяционные формулы. В этом приближении
1 +若 ^， 石〃 =!0+△石
где △石〃 —поправка к внутренней энергии по модели ОКП [149].
При проведении расчетов уравнений состояния в энергии взаимодействия ионов △石〃 по модели ОКП удобно произвести некоторую модификацию интерполяционных формул [149] для того, чтобы их можно было использовать при произвольных температурах и плотностях. Дело в том, что в модели ОКП при значениях параметра неидеальности Г + 158, где Г = Z^/（8丁。） имеет место фазовый переход в твердое состояние. Аккуратное описание фазового перехода требует детального анализа термодинамических функций вблизи перехода. Учитывая, что физическая точность модели ОКП не бесспорна, в практических расчетах для простоты при вычислении вклада ионов в уравнение состояния потребуем, чтобы при больших значениях параметра неидеальности Г энергия ионов Ei не превышала асимптотического значения 38:
/3
⑼⑼△石окгт （△石ОКГТ < /8）,
⑼
⑼
△Е = <
где
4
瓦= 4,666486, 匕2 = 13,675411, 加=1,8905603, 询=1,0277554.瓦= 4,666486, 匕2 = 13,675411, 加=1,8905603, 询=1,0277554.例=-0,895929,
瓦= 4,666486, 匕2 = 13,675411, 加=1,8905603, 询=1,0277554.
瓦= 4,666486, 匕2 = 13,675411, 加=1,8905603, 询=1,0277554.
。2 = 0,11340656, аз = -0,90872827, а4 = 0,11614773,
Предлагаемая модификация практически не влияет на окончательные результаты расчетов уравнений состояния, однако позволяет не
проводить подробного анализа фазового перехода в указанной области температур и плотностей.
В модели ОКП ионы считаются точечными и их потенциал взаимодействия предполагается равным Z^]т (см. [63]). Приближение точечных ионов не работает при больших плотностях вещества, когда размеры ионных остовов сравнимы с межатомными расстояниями [33]. Например, такая ситуация реализуется при ударном сжатии а + 34-4, сг = р/ро, где ро — нормальная плотность вещества.
Для приближенного учета влияния сильного отталкивания ионов при произвольных температурах и больших плотностях можно воспользоваться моделью заряженных твердых сфер (ЗТС) [185, 87, 83] или более простым приближением, в котором к модели ОКП добавлена поправка, полученная по модели твердых сфер:
Pi= 1 +"((;:;)? + 争]* Ei = le+g (10)
где ту = (г*/го)3, г* — эффективный радиус иона.
Эффективный радиус ионов. Величину г* можно оценить с помощью следующих соображений. Будем считать, что все электроны атомной ячейки можно разделить на так называемые свободные электроны, равномерно распределенные по ячейке с плотностью 〃(丁о), равной плотности электронов на границе атомной ячейки, и на остальные электроны с плотностью р(г) — 〃(丁о). Вне области 0 < г < г* функция р(г) — р(го) должна быстро убывать.
(11)(11)Взаимодействие ионных остовов становится существенным на таких расстояниях г*, когда плотность связанных электронов р(г) — р(г^) достаточно велика. При этом некоторая часть связанных электронов, очевидно, будет находиться за пределами остова, т.е. при 丁〉 丁*. Если количество таких электронов положить равным числу свободных электронов, проникающих внутрь сферы г < г*, то приходим к выражению:
(11)
(11)
47r /(p(r) — p(ro))r2 dr = 47r г*
Формула (11) дает хорошие результаты при достаточно высоких температурах, когда ионизовано более одного электрона. В частности, для металлов расчеты радиусов ионных остовов по формуле (10) хорошо согласуются с известными результатами вблизи нормальных условий. Для диэлектриков и инертных газов, когда при нормальных условиях ионизация равна нулю, по формуле (11) имеем г* = 丁°. Поэтому в дополнение к (11) потребуем, чтобы в этих случаях величина г*
была ограничена, например, радиусом последней оболочки, на которой имеются электроны. Приближенно можно положить г* < 2n2/Zn£, где тг2 — квантовые числа такой оболочки, Zn^ — соответствующий ей эффективный заряд.
Так как 47r J^° p(r)r2 d^ = Z, то условие (11) можно переписать в виде
о
Эффективный радиус иона, определяемый по формуле (12), зависит от температуры и плотности вещества. С ростом Т и 〃 величина г* быстро уменьшается. В случае экстремально высоких температур и сжатий, когда имеет место полная ионизация, по формуле (12) получаем г* = 0. Заметим, что в некоторых случаях для мало ионизованного вещества отношение г* к радиусу атомной ячейки 丁° может расти с ростом Т и 〃.
Рис. 6.8. Зависимость параметра упаковки 〃 от температуры Т на ударной адиабате алюминия
Рис. 6.9. Ударные адиабаты алюминия с различным учетом вклада ионов в уравнение состояния (сплошная линия — заряженные твердые сферы, штриховая линия —однокомпонентная плазма, пунктирная линия — идеальный газ)
На рис. 6.8 приведен график зависимости параметра упаковки ту = (г*/го)3 от температуры на кривой ударного сжатия для алюминия. Как следует из результатов расчета ударной адиабаты алюминия, максимальное значение ту ^ 0, 2 реализуется при температуре Т 〜35 зВ и плотности 〃〜12 г/см3. При этой температуре можно ожидать большого влияния вклада ионов на ударную адиабату. Действительно, это хорошо видно из рис. 6.9, где приведены ударные адиабаты алюминия с учетом вклада ионов по моделям идеального газа, ОКП и ЗТС (см. различие в поведении кривых при сг ~ 4, 5, Р ~ 104 ГПа).
О методах получения широкодиапазонных уравнений состояния. Так как область применимости уравнений состояния, построенных на основе определенной модели ограничена, то на практике для вычисления таблиц в широкой области температур и плотностей используют различные способы аппроксимации и интерполяции данных, полученных по разным моделям. Различные подходы можно разделить на три основные группы:
полуэмпирические модели уравнений состояния, в которых вид зависимости и постоянные коэффициенты подбираются из условия совпадения результатов расчетов с известными экспериментальными данными и асимптотиками [64, 8, 21];
феноменологические модели уравнений состояния, содержащие параметры, определяемые на основе экспериментальных данных, не связанных непосредственно с уравнениями состояния (например, модель ионизационного равновесия, в которую входят уровни энергий возбужденных состояний ионов) [93, 177, 32, 13];
расчеты на основе статистических и квантово-статистических моделей вещества без привлечения экспериментальных данных [163, 47, 77, 99, 202].
Наиболее распространенным является способ, при котором для построения широкодиапазонных уравнений состояния используется интерполяция результатов, полученных по модели Т①(Т①□) при высоких плотностях вещества, по модели ионизационного равновесия при малых плотностях и полуэмпирические уравнения состояния вблизи нормальных условий (см., например, [177, 216, 50], а также известную библиотеку уравнений состояния SESAME [165, 166]).
Построенные таким путем уравнения состояния проверяются сопоставлением с экспериментом. Заметим, что для плотной высокотемпературной плазмы экспериментальных данных сравнительно мало и они не дают достаточно полного представления о надежности описания уравнений состояния. Оценить точность получаемых и применяемых на практике уравнений состояния в широкой области температур и плотностей возможно лишь на основе последовательных теоретических расчетов по моделям различной степени точности при условии их экспериментальной проверки.
4. Сравнение результатов расчетов с экспериментоми расчетами по другим моделям
Общее описание. С помощью модели Хартри-Фока-Слэтера были проведены расчеты уравнений состояния различных веществ в широкой области температур и плотностей. При проведении расчетов для определения эффективной границы непрерывного спектра £о при произвольной температуре и плотности вещества достаточно зафиксировать номер корня уравнения (19) из § 1 гл. IV, занумеровав корни в соответствии с ростом энергии электронов (см. рис. 3.10). Из физических соображений ясно, что значение энергии £° в нормальном состоянии (Т = 0, 〃 = .°) должно лежать в районе верхнего уровня энергии электронов (или в районе зоны проводимости для металлов). Это условие дает значение номера корня N, близкое к числу электронных оболочек тг2 в атоме (в частности, для алюминия N = 4, для железа N = 6, для золота N = 18).
Невыполнение условий термодинамической согласованности при выборе £о может приводить к физически некорректным результатам, полученным, например, в работах [56, 223]. В работе [56] было выбрано значение £о = 一，〃(丁о), где，(丁о) — электронная плотность на границе атомной ячейки. Для дискретных состояний использовались квази- классические волновые функции, а для состояний с энергией £〉£° — квазиклассическое приближение (см. п. 3 из § 3 гл. III).
В расчетах по методу [56] при увеличении плотности вещества р происходят последовательные переходы дискретных уровней энергии £ = £九纟 через заданную эффективную границу непрерывного спектра £о, так как с ростом р энергии уровней растут, а граница £о = —，〃(丁о) снижается. При этом получаются скачки в термодинамических функ-
Рис. 6.10. Кривые холодного сжатия железа: зависимость давления Р (ГПа) от плотности р (г/см3) при температуре Т = 0 (сплошная линия — ХФС, штриховая линия, переходящая в сплошную при р〉103 г/см3 — ТФ, пунктирная линия с изломом — [56])
Рис. 6.11. Электронное давление Р (ГПа) и энергия Е (кДж/г) в алюминии по различным моделям. Приведены изотермы при температурах 1 — Т=3,98 эВ, 2 — Т=39,8 эВ, 3 — Т=398 эВ в зависимости от плотности р в г/см3 (сплошная линия — ХФС, штриховая линия — ТФ, пунктирная линия — ТФП)
циях электронов, которые интерпретируются как фазовые переходы первого рода (см. рис. 6.10). Как видно из уравнения (19) (см. § 1, гл. IV), после того, как £九纟 становится больше £о, для корректного учета электронов, находившихся в состояниях с квантовыми числами /г厶 необходимо изменить положение эффективной границы во- Такое уточнение приводит к сглаживанию термодинамических функций и к отсутствию фазовых переходов при сверхвысоких сжатиях, хотя характер зависимости от плотности может отличаться от плавной кривой, полученной по модели Томаса-Ферми.
На рис. 6.10 проведено сравнение кривых холодного сжатия в области давлений Р = 108 ГПа, полученных по моделям X①С, Т①,а также по модели [56]. Выбор параметра £о в соответствии с условием (19) из § 1 гл. IV приводит к плавному поведению кривых холодного сжатия в области сверхвысоких давлений, причем этот результат получается независимо от того, учитывается или не учитывается расширение дискретных уровней в зоны.
Подробное сравнение результатов расчетов по различным моделям в широкой области температур и плотностей проведем на примере
алюминия [83]. На рис. 6.11 приведены для сравнения три изотермы электронных компонент давления и энергии при температурах = 3, 98; 39, 8 и 398 эВ, полученные по трем различным моделям: X①С, Т① и Т①II. Из этого графика видно, что наибольшие различия между моделями (в несколько раз!) имеют место при низких температурах в области нормальной плотности, при этом результаты расчетов по модели X① С занимают промежуточное положение между результатами моделей Т① и Т①II. Заметим, что поправки в модели Т①II к исходным данным Т① оказываются здесь порядка основной величины, что указывает на неприменимость модели Т①II в рассматриваемой области Т и р. С ростом температуры различия становятся менее значительными.
Следует обратить внимание на особенность поведения изотерм, рассчитанных по модели X①С при Т = 3,98 эВ. Эти кривые при плотностях 〃〜30 г/см3 пересекают соответствующие кривые модели Т①II перед тем, как выйти на асимптотику, соответствующую моделям ТФ и ТФП. Эта особенность связана с перестройкой энергетического спектра электронов и с изменением в связи с этим заполнения полос.
Кривые холодного сжатия. Учет зонной структуры энергетического спектра электронов в модели Хартри-Фока-Слэтера позволяет применять ее не только для расчета свойств разреженной и плотной газовой плазмы, но и для расчета свойств твердых веществ при сильном сжатии. Результаты экспериментального исследования уравнений состояния твердых веществ сосредоточены, в основном, вблизи нормальных условий (Р < 100 ГПа). При очень высоких давлениях (Р 〉10 ТПа) становится применимой модель Т①(или более точная модель ТФП). Так как уравнения состояния необходимы в широкой области сжатий, то на практике широкое распространение получили методы расчета уравнений состояния вещества с использо-
Рис. 6.12. Холодные кривые натрия и алюминия (давление в ГПа в зависимости от сжатия а = р/ро, сплошная линия — ХФС, штриховая линия — ТФ, пунктирная линия — ТФП, точки — эксперимент [9])
ванием имеющихся экспериментальных данных и экстраполяции на асимптотику по статистическим моделям Т ① и Т ① II. Однако эти методы не всегда приводят к надежным результатам из-за того, что в переходной области, где не применима модель Томаса-Ферми и нет экспериментальных данных, большой вклад могут давать неучитываемые в статистических моделях нерегулярные оболочечные эффекты.
Остановимся сначала на результатах расчетов по различным моделям для щелочных металлов. Как известно, поверхность ①ерми для них близка к сфере, поэтому приближение сферических ячеек Вигнера-Зейтца здесь, по-видимому, не должно приводить к большим ошибкам, так как в приближении сферических ячеек поверхность ①ерми также является сферой. В то же время как раз для щелочных металлов из-за сильного влияния оболочечных эффектов не применимы модели Т① и Т ① II.
Сравнение полученной с помощью модели X①С кривой холодного сжатия натрия с экспериментальными данными [10] на рис. 6.12 показывает, что модель X① С сравнительно хорошо описывает холодное сжатие натрия. Полученное теоретическое значение нормальной плотности натрия ро = 1,36 г/см3 (т.е. такой плотности, при которой Р = 0) ближе к экспериментальному ро = 0,97 г/см3, чем полученное по модели Т①II ро = 2, 8 г/см3. Для лития теоретическая нормальная плотность по модели ХФС ро = 0, 54 г/см3 всего на 2% отличается от экспериментальной ро = 0,53 г/см3.
Рис. 6.13. Холодные кривые гелия и неона (давление в ГПа в зависимости от плотности р в г/см3, сплошная линия — ХФС, штриховая линия — ТФП, точки — эксперимент [69])
На рис. 6.13 проведено сравнение результатов расчетов холодного сжатия гелия и неона по модели X① С с расчетами по модели Т①II и экспериментальными данными, полученными методом молекулярных пучков [69]. Имеет место хорошее согласие результатов расчетов по модели X① С с экспериментальными данными при достаточно больших
сжатиях, причем, если для гелия результаты согласуются с данными по модели Т①□, то для неона модель Т①II дает результаты хуже, чем X①С.
Для кривых холодного сжатия алюминия, железа и золота (см., например, рис. 6.12 для алюминия) имеет место заметное отличие от экспериментальных данных [9, 39] при малых сжатиях, которое составляет около 10% для алюминия и золота, и 20% — для железа.
Ударные адиабаты. Подробные таблицы уравнений состояния, полученные по модели Хартри-Фока-Слэтера, позволяют построить кривые ударного сжатия вещества, которые называют также ударными адиабатами или адиабатами Гюгонио. Последнее название связано с тем, что при сжатии вещества за фронтом ударной волны в соответствии с законами сохранения выполняется соотношение Гюгонио [44]:
2(石—石0)= (Р + Ро)(),⑴
PJ
где 石°, Д), ро — внутренняя энергия, давление и плотность невозмущенного вещества, а В, Р, р — соответствующие величины за фронтом
ударной волны для сжатого вещества. При этом массовая U и волновая D скорости ударной волны связаны с Р и 石 соотношениями
2(石—石о)(Р —Ро)Р-Р.
u = Md =⑵
Так как в соответствии с уравнением состояния Р = Р(р, Г) и Е =石(〃,Т), то, задавая значение плотности р, можно определить температуру Т и давление Р на ударной адиабате (1).
Ударные адиабаты алюминия и железа, рассчитанные по модели Хартри-Фока-Слэтера, приведены на рис. 6.14, 6.15. Кроме расчетов
Рис. 6.14. Ударная адиабата алюминия по разным моделям (давление в ГПа в зависимости от сжатия сг = р/ро)： сплошная линия — ХФС, пунктирная линия —
КЗИ, точки — экспериментальные данные
Рис. 6.15. Ударная адиабата железа (сплошная линия — ХФС, штриховая линия — ТФП [51]). Приведены также экспериментальные данные [7, 6, 5, 4]
по модели X①С приведены также результаты, полученные по модели t①□ для железа, а также с использованием интерполяционного уравнения состояния [50] (так называемая квазизонная интерполяция — КЗИ) для алюминия. Здесь же приведены результаты экспериментов. По оси абсцисс отложено сжатие а = 〃/〃о (ро = 2,71 г/см3 для алюминия и .° = 7, 81 для железа), по оси ординат — давление в ГПа.
Как видно из рисунка, оболочечные эффекты играют весьма существенную роль после того, как вещество сжато почти до предельной плотности и начинает интенсивно нагреваться. При этом температурная ионизация каждой оболочки дает на ударной адиабате плавную осцилляцию относительно расчетной кривой ТФП.
Анализ приведенных на рис. 6.14 данных показывает, что в области сжатий сг + 14-1,8 (давления Р < 200 ГПа) положение ударной адиабаты алюминия на основе имеющихся экспериментальных данных и полуэмпирических уравнений состояния установлено достаточно надежно. В области сжатий а + 1,8 - 2,8 результаты экспериментов отчасти противоречат друг другу, поэтому необходим критический анализ полученных в разное время экспериментальных данных в этой области. При более высоких сжатиях (ст 〉 3) часть экспериментальных данных имеет плохо контролируемую и достаточно большую погрешность, поэтому можно считать, что результаты расчетов как по модели X①С, так и КЗИ, не противоречат этим данным. В целом, из приводимых результатов видно, что ударная адиабата по модели X① С при сжатиях сг > 1,8 хорошо согласуется с экспериментом. Ударная адиабата по КЗИ имеет в области сжатий а < 3 тенденцию к значительному отклонению от эксперимента и приводимых расчетных данных.
В области сильных сжатий (ст + 5) первая осцилляция ударной адиабаты по КЗИ сдвинута относительно первой осцилляции по модели ХФС в область более высоких сжатий. Вторые осцилляции на
Рис. 6.16. Изотермы давления Р для золота в зависимости от плотности р
Рис. 6.17. Изотермы внутренней энергии Е для золота в зависимости от плотности р
адиабатах, которые соответствуют ионизации АГ-оболочки при температурах Т + 1 кэВ, находятся существенно ближе друг к другу. Сдвиг положения осцилляций на адиабате КЗИ по отношению к осцилляциям адиабаты X①С, по-видимому, обусловлен тем, что в КЗИ при расчетах по модели Саха используется некоторое приближение для снижения потенциалов ионизации при высоких температурах, в то время как в модели X① С такое снижение получается без каких либо дополнительных предположений. Надежность полученных по модели ХФС ударных адиабат в этой области подтверждается хорошим согласием результатов расчетов уравнений состояния для высокотемпе-
Рис. 6.18. Ударная адиабата золота (сплошная линия — модель ХФС с использованием полуэмпирического уравнения состояния; пунктирная линия — модель ТФП [51]). Приведены также экспериментальные данные [159, 164, 4, 5, 9, 173]
ратурной неплотной плазмы с расчетами по модели ионизационного равновесия с учетом неидеальности в приближении большого канонического ансамбля Дебая-Хюккеля (Саха-БДХ [32], см. ниже).
Используя результаты расчетов по модели Хартри-Фока-Слэтера и полуэмпирические модели, в частности, модель [22], можно построить уравнения состояния, пригодные в широкой области температур и плотностей. Такие уравнения состояния необходимы при численном моделировании газодинамических процессов. На рис. 6.16, 6.17 приведены изотермы давления и внутренней энергии для золота, полученные на основе построенного таким путем уравнения состояния. Эти результаты были любезно предоставлены нам В.В.Валько. Соответствующая ударная адиабата золота приведена на рис. 6.18.
Сравнение с моделью Саха в плазменной области. В идеальной и слабонеидеальной плазме уравнение состояния и другие характеристики вещества можно независимо вычислить по модели ионизационного равновесия, в которой используются экспериментальные значения уровней энергии ионов. То, что в модели ионизационного равновесия используется экспериментальная информация, позволяет во многих случаях получать достаточно надежные результаты. Поэтому большой интерес представляет сравнение существующих теоретических моделей с результатами расчетов по модели Саха в области, где применимость этой модели не вызывает сомнений.
В таблице 6.1 проведено сравнение средних чисел заполнения, полученных по моделям ТФ, ХФС и Саха для алюминия при температуре Т + 25 зВ и плотности 〃 + 1, 5 • 10-4 г/см3. В моделях Т① и X①С эти числа для состояний с главным квантовым числом п и орбитальным числом 2 были получены по формуле
斯 _2(22+1)
+ exp (九2J")
где 从—химический потенциал, £九纟—собственное значение энергии, вычисленное с помощью потенциала Т① или X①С, соответственно (использование потенциала ТФП дает практически тот же результат, что и ТФ). В модели Саха числа заполнения были получены с помощью усреднения населенностей уровня с данными значениями п и ^ по всем состояниям ионов. Необходимые для усреднения вероятности возможных состояний ионов определялись из полной системы уравнений Саха-Больцмана (см. (11) из § 2). Заметим, что средние числа заполнения электронных состояний являются одной из наиболее важных характеристик вещества, определяющих среднюю степень ионизации, а значит, и уравнение состояния.
Таблица 6.1. Сравнение некоторых характеристик алюминия при = 24, 28 эВ, р = 1, 49 • 10-4 г/см3, полученных по моделям ТФ, ХФС и Саха.
Модель
Средние числа заполнения электронных состояний
Число свободных электронов
Химический потенциал
п = 1
п = 2
п = 3
п = 4
ТО
2,000
4,870
0,040
0,010
6,048
9,177
X①e
2,000
4,157
0,016
0,005
6,804
9,270
Саха
2,000
4,317
0,015
0,005
6,674
9,276
Из табл. 6.1 видно, что результаты расчетов по модели X①С хорошо согласуются с расчетами по модели Саха, в то время как модель Т① дает, например, для оболочки с главным квантовым числом п = 3 среднее число электронов, в 2,5 раза большее. Заметим, что при достаточно высокой температуре результаты расчетов по модели Томаса-Ферми хорошо согласуются с результатами расчетов по модели Хартри-Фока- Слэтера. С понижением температуры неточность определения чисел заполнения, а значит, и других характеристик вещества по модели Т① быстро увеличивается.
Для характеристики возможной величины отклонений приведем в качестве примера результаты расчета внутренней энергии лития при давлении Р = 0,1 ГПа и различных значениях температуры. На рис. 6.19 представлены результаты расчетов по моделям ТФ, ТФП,
Саха и модели X①С. В рассматриваемой области температур и плотностей при Г > 1 эВ результаты расчетов по модели Саха можно считать практически экспериментом, так как уровни энергии возбужденных состояний лития хорошо известны, а плазму при этих условиях можно считать идеальной. Как видно из рис. 6.19, результаты расчетов по модели X① С находятся в хорошем согласии с результатами расчетов по модели Саха. В то же время наблюдается заметное отличие от результатов расчетов по моделям ТФ и ТФП, которые в данной области дают практически совпадающие результаты. Например, при
Рис. 6.19. Полная внутренняя энергия лития по различным моделям при давлении Р = 0,1 ГПа (сплошная линия — ХФС, штриховая линия — ТФП, пунктирная линия — ТФ, точки — Саха [32])
температуре Т = 5 зВ энергия по модели X①С в 2,5 раза меньше энергии, полученной по модели Т①□, а при температуре Г = 15 эВ наоборот, энергия по модели ХФС в 1,3 раза больше энергии, полученной по модели Т ① II.
Различие в термодинамических функциях в указанных точках по температуре и плотности обусловлено большим вкладом оболочечных эффектов, которые значительно превышают квантовые и обменные поправки модели Т①II. Результаты расчетов по модели X① С согласуются с расчетами по модели ТФП, начиная лишь с температур Т > 50 эВ, т.е. тогда, когда литий становится полностью ионизованным. Влияние оболочечных эффектов на термодинамические функции плазмы остается существенным и для более тяжелых элементов. На рис. 6.20 проведено сравнение давления и внутренней энергии алюминия при плотности р = 0, 01 г/см3 и температурах Т = 3, 98 4- 700 эВ, полученного по моделям ХФС и ТФП, с результатами расчетов по модели Саха-БДХ (точнее, по модели Саха с учетом эффектов неиде- альности в приближении большого канонического ансамбля и использования потенциала Дебая-Хюккеля [32]).
Хорошее согласие данных, полученных по модели X①С, с результатами расчетов по модели Саха неудивительно, так как потенциалы ионизации ионов высокой кратности описываются в модели ХФС весьма точно, а приближение среднего атома тем точнее, чем больше реализуется различных состояний ионов. Именно два последних обстоятельства характерны для высокоионизованной неплотной плазмы.
Анализ полученных результатов показывает, что в области жидкометаллической ,плотной и разреженной плазмы при температурах Т〉5 зВ модель X①С дает достаточно надежные результаты, что подтверждается сравнением с экспериментальными данными в области ударного сжатия, а также с расчетами по различным полуэмпириче-
Рис. 6.20. Отношение давлений (а) и внутренних энергий (Ь) в алюминии при плотности 0=0,01 г/см3 к соответствующим величинам для полностью ионизованного идеального газа по различным моделям (сплошная линия — ХФС, штриховая линия — ТФП, точки — Саха)
ским моделям и модели Саха. При этом отличие данных, полученных по модели X①С, от результатов модели Т①II при низких температурах (Т ^ 5 4- 10 эВ) достигает + 100%, при высоких температурах (Т + 50 + 100 эВ) отличие < 15%. Что касается твердотельных характеристик вещества, в особенности термодинамического описания фазовых переходов, то здесь необходимо проводить более аккуратный учет зонной структуры энергетического спектра электронов, обменных и корреляционных эффектов, чем это принято в настоящее время в модели X①С.
§ 5. Аппроксимация таблиц теплофизических данных
Рассмотрим некоторые вопросы использования уравнений состояния и пробегов фотонов в газодинамических расчетах. Необходимые теплофизические данные, как правило, хранят в виде таблиц, которые можно легко модифицировать и уточнять по мере необходимости. Подробность используемых в таблицах сеток определяется требованием передачи особенностей поведения физических величин, при этом наиболее экономичными обычно оказываются неравномерные сетки, в частности, по температуре и плотности. Полученные табличные данные используются в дальнейшем на более подробных сетках, определяемых методами численного решения задач радиационной газовой динамики. Это обуславливает необходимость многократной интерполяции таблично заданной информации.
Аппроксимация двумерных таблиц теплофизических данных должна удовлетворять определенным требованиям гладкости, в частности, аппроксимирующая исходные данные функция F(x, у) должна быть
непрерывна вместе с первыми частными производными по переменным /,д (пусть, например, / = IgT, g = lg〃). Кроме того, достаточно часто исходные физические величины удовлетворяют условию зна- копостоянства, являются монотонными либо выпуклыми функциями одной из переменных в некоторых областях изменения / ид. Интерполяционные сплайны в общем случае таких свойств не сохраняют, поэтому для построения приближений с передачей геометрических свойств исходных зависимостей целесообразно использовать локальные аппроксимирующие сплайны [40, 65]. Применение этих сплайнов в газодинамических программах дает также определенные преимущества в связи с относительной простотой и локальным характером коэффициентов сплайна, определяемых лишь ближайшими к рассматриваемой точке значениями таблично заданной функции.
Построение аппроксимирующего сплайна, сохраняющего геометрические свойства исходной функции. В работе [41] на основе локальных сплайнов минимального дефекта построена аппроксимация F(x, у) функции /(/, д), заданной таблично на равномерной сетке в прямоугольной области. Построение аппроксимирующего сплайна F(n, д) довольно естественно и наглядно проводится на основе представления смешанной производной Fxy искомого сплайна в виде билинейной формы в каждой ячейке двумерной сетки так, чтобы первые производные в центре ячейки совпадали с соответствующими разностными производными. Путем интегрирования смешанной производной Fxy относительно несложно получить частные производные Fx, Fy и аппроксимирующий сплайн F(x, у) в рассматриваемой прямоугольной области.
Представление сплайна F(x, у) через нормализованные В-сплайны одной переменной имеет вид
г+р j+q
= ££ 喟 В?)⑺(1)
k=i £=j
Здесь индексы * / , а также порядки 夕,q нормализованных В-сплайнов определяются положением точки (ж, у) в рассматриваемой прямоугольной области задания таблицы {/&纟} (внутри таблицы р = q = 2; вблизи границ одно из значений р или q равно 1; вблизи угловых точек — р = q = 1). Сплайн §『)(/) задан на сетке Xi и является кусочно-линейной непрерывной функцией на интервале (/〃_],n〃+i), причем В『)(/) = 0 вне этого интервала. Сплайн В^ (/) задан на сетке ж* = (д + &+i)/2, является полиномом второй степени на каждом из отрезков (或碇+1), k = i — 2〉i — L% интервала (ж*_2,ж*+1), имеет там непрерывную первую производную и равен нулю вне этого интервала. Нормализованные В-сплайны — неотрицательные функции с макси-
мальным значением, равным единице (см. [65]). Аналогично задаются сплайны 瓦D(g), В?)(у).
Для равномерной сетки коэффициенты сплайна 弘，=九厶 где fk£ = /(/&,沙2)— табличные данные. При этом аппроксимирующая функция (1) является биквадратичным сплайном во «внутренней» части таблицы, представляет собой билинейную функцию вблизи «углов» таблицы и имеет смешанный порядок вблизи границ таблицы. Результаты исследований сплайна F(x, у) показывают гладкий характер аппроксимации таблично заданной исходной функции /(ж, у) с передачей ее геометрической структуры, то есть с сохранением тех геометрических свойств (знакопостоянство, монотонность, выпуклость, наличие «плато» и пр.), которые имеются в исходной функциональной зависимости /(/,д) во всей рассматриваемой прямоугольной области D либо на некоторой ее части. При этом аппроксимирующий сплайн (1) сглаживает особенности типа «изломов» (если таковые есть в исходной зависимости) на 1-2 узла, не привнося дополнительных структурных изменений: колебаний, немонотонности и т.п.
В случае неравномерных сеток в качестве коэффициентов сплайна берется линейная комбинация с соответствующими весами ближайших к (к,2)-ому узлу сетки данных таблицы:
磴=(1 — 7k) (1 —必)九2 + Ук (1 —必)fk+m,Q +
+ (1 一 )k)必九,2+九 + Tk 82九+6,2+九.(2)
Веса 7k, 8纟 и сдвиги индексов т, п определяются формулами
— I— hx,k—i I в —— I
4max{/i%,&;i}4max{/ig,z； hy
m = sign(/^,k -色,1), n = sign(^,£ -i),
где hx^k = /&+1 - /&, %,2 =驻+1 -驻・ Коэффициенты 必工球；и 6^, необходимые в приграничных областях, определяются из условий гладкости F(/,g) (см. [42]).
Представление (1), (2) на неравномерных сетках фактически является некоторой симметризацией, основанной на кусочно-билинейной интерполяции данных таблицы {九纟} в двумерном случае [42]. Результаты численного исследования сплайна (1), (2) на равномерных и неравномерных сетках показали, что такая аппроксимация:
обеспечивает требуемую гладкость F(x, у\ т.е. ее непрерывность вместе с первыми частными производными;
переходит в одномерную аппроксимацию, если в таблице {力^} нет зависимости от одной из переменных в соответствующей подобласти рассматриваемой области D;
обеспечивает точный выход на «плато» при его наличии в исходной зависимости /也д);
совпадает с данными таблицы в углах прямоугольной области D;
позволяет передать геометрические свойства (монотонность, выпуклость, знакопостоянство), имеющиеся в исходной функциональной зависимости /(ж,т/);
обеспечивает точную аппроксимацию для билинейных функций.
Перечисленные свойства в определенном смысле достигаются за счет некоторой потери точности на гладких функциях. В то же время очевидно, что погрешность применяемых моделей, как правило, превышает погрешность интерполяции. Более высокую точность можно было бы получить, используя аппроксимации, точные на многочленах более высоких степеней, например, точные на квадратичных функциях. Однако уже для одномерного случая легко указать примеры функций, сеток и точных на квадратичных функциях аппроксимаций, которые не сохраняют геометрических свойств исходной функции (в частности, знакопостоянства).
Некоторые численные результаты. Предварительно проведем сравнение предложенной аппроксимации с хорошо известными способами аппроксимации кубическими сплайнами и интерполяционными в среднем сплайнами второй степени [40] для функции одного переменного /(/) (в сплайне (1) при этом предполагается, что зависимости от переменной у нет). Расчет коэффициентов интерполяционных кубических сплайнов и интерполяционных в среднем сплайнов второй степени проводился путем решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений, отличающихся лишь правыми частями. В качестве дополнительных краевых условий, замыкающих систему уравнений для интерполяционного кубического сплайна, использовались точные значения второй производной /〃(а) и /"(b) на концах отрезка [а, 6]. Для интерполяционного в среднем сплайна задавались значения первой производной /'(а) и /'(b). При этом интерполяционный кубический сплайн строился по значениям fi = /(&) функции /(/) в узлах сетки {&}, а интерполяционный в среднем сплайн - по точным значениям интегралов S〃 =匸f(x)dx. Для рассматриваемого локального сплайна (1) использовались лишь значения функции /(&). Аппроксимации строились на различных неравномерных сетках, одинаковых для всех трех сплайнов. Результаты расчетов для гладких функций показывают удовлетворительную точность приближения как функции, так и ее производной. В качестве гладкой функции, была взята функция /(/) = sin ж. Рассмотрена неравномерная сетка с плавно меняющимся шагом: Лтах ^ 0,3,
Рис. 6.21. Результаты аппроксимации «излома» (пунктирные линии): (а)— интерполяционный кубический сплайн, (Ь) — интерполяционный в среднем сплайн, (с) — локальный сплайн (1). Сплошной линией представлена исходная зависимость /(ж), ромбики соответствуют данным таблицы
九min ^ 0,2, коэффициенты уменьшения и увеличения шага — 0,9 и 1,1. В частности, в равномерной метрике погрешность локальной аппроксимации лежит в пределах 0, 5% от максимума для функции и 1% для производной. Как и следовало ожидать, кубический сплайн дает наименьшую погрешность приближения как для функции, так и для производной. Интерполяционный в среднем сплайн дает для функции промежуточную погрешность — на порядок меньшую, чем погрешность локального сплайна (1). Для производной погрешности интерполяционного в среднем сплайна и локального сплайна практически одинаковы.
Таким образом, для случая гладких функций на сетках с относительно подробной передачей характера поведения исходной зависимости /(ж) различные типы аппроксимации дают вполне удовлетворительную точность и практически неразличимы на графиках. Для функций с особенностью типа «излом» (резкое изменение производной, характерное для уравнений состояния) результаты различных аппроксимаций приведены на рис. 6.21. Была взята кусочноравномерная сетка с шагом Л = 0, 2 слева от точки излома и с шагом Л = 0,1 справа от нее. Как и ожидалось, в отличие от интерполяционных сплайнов, локальный сплайн (1), (2) передает поведение функции /⑺ в окрестности особенности с сохранением знакопостоянства, монотонности и выпуклости.
Отмеченные преимущества сплайна (1) являются весьма важными на практике, особенно тогда, когда характер зависимости используемых табличных функций может резко меняться. Типичным примером является уравнение состояния с фазовым переходом. На рис. 6.22 приведена часть изотерм давления уравнения состояния железа в области двух фазовых переходов: пар-жидкость, жидкость-твердое
тело. Так как исходные величины изменяются на несколько порядков, то интерполяция проводилась в логарифмических переменных.
Рис. 6.22. Изотермы давления железа при температурах Т от 1 эВ до 10 эВ. Сплошные линии — аппроксимация, звездочки (через них проведена пунктирная линия) — данные таблицы
Как видно из рис. 6.22, несмотря на то, что выбранная сетка в таблице является слишком грубой в области фазового перехода жидкость-пар, результаты аппроксимации с помощью локального сплайна (1) дают вполне удовлетворительную точность для практических задач.
ДОПОЛНЕНИЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯУРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРАИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Д-1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
.0 задачах квантовой механики,которые могут быть решены аналитически
Многие задачи квантовой механики могут быть сведены к решению дифференциального уравнения вида
и" +а = 0 (а < ж < 6),(1)
где сг(ж), 5(/) — полиномы не выше второй степени, т(ж) — полином не выше первой степени. Уравнение (1) может быть получено из известного в аналитической теории дифференциальных уравнений и теории специальных функций уравнения Римана с тремя особыми точками после замены, переводящей одну из особых точек на бесконечность [170]. Уравнение вида (1) позволяет описать гармонический осциллятор, движение частицы в сферически симметричном поле, атом водорода или водородоподобный ион в релятивистском и нерелятивистском случаях, а также многие другие задачи атомной, молекулярной и ядерной физики. Так, например, уравнение Шрёдингера для линейного гармонического осциллятора
吵〃 + -吵=£吵 ( — сю < ж < сю)(2)
является частным случаем (1) при а(х) = 1, т(ж) = 0, 5(/) = 2е — ж2.
При решении уравнения Шрёдингера для сферически-симметрич- ного потенциала методом разделения переменных для угловой части волновой функции получаем уравнение
(1 — /2)“〃 _ 2хи' + (从т J и = О(3)
\1 М ,
(ж = cos少， m = 0, ±1, ±2 ..., 从=const).
В данном случае а(х) = 1 — ж2, ^(/) = —2/, 5(/)=从(1 — /2) — т2.
К уравнению вида (1) сводятся многие модельные задачи, связанные, в частности, с изучением процессов рассеяния и взаимодействия нейтронов с тяжелыми ядрами, анализом вращательноколебательного спектра молекул (см. также решения уравнения Шрёдингера с потенциалами Морза, Кратцера, Вуда-Саксона, Пешля- Теллера и др. [106]).
Все эти задачи могут быть решены с единых позиций на основе простого метода [80, 182]. Прежде всего, уравнение (1) заменой и =夕⑺g следует привести к уравнению гипергеометрического типа
сг⑺д〃 + т(х)у' + Ат/ = 0 (а < х < Ь),
где А — постоянная, т(/) — некоторый полином первой степени. Функция 夕(/) удовлетворяет легко решаемому дифференциальному уравнению и строится таким образом, чтобы правильно передавать асимптотику волновой функции (см. ниже п.1). Для этого необходимо, чтобы полином т(/) обращался в ноль внутри интервала (а, Ь) и имел отрицательную производную при сг⑺ > 0. Эти требования вытекают из условия интегрируемости квадрата модуля волновой функции и однозначно определяют функцию 夕(/). Оказывается, что только полиномиальные решения уравнения гипергеометрического типа, для которых
А + пт + "п2_—^-^ = 0 (п — степень полинома, тг = 0,1,...), (4)
могут быть использованы при нахождении волновых функций для связанных состояний. При этом собственные значения энергии определяются из условия (4). Изучим этот вопрос более подробно.
Волновые функции дискретного спектра и классические ортогональные полиномы. Рассмотрим частицу, движущуюся в некотором, не зависящем от времени силовом поле. Если при этом внешние силы удерживают частицу в ограниченной области пространства, так что она не может уйти на бесконечность, то говорят о связанных состояниях частицы. Чтобы найти волновые функции 吵(戸)， описывающие эти состояния, и соответствующие им уровни энергии 石, решают стационарное уравнение Шрёдингера
方2
—-—厶吵 + U(f)^ = E2)(5)
2m
где 方—постоянная Планка, m — масса частицы, U(г) — ее потенциальная энергия.
При этом волновая функция 吵(戸)должна быть ограничена при любых конечных значениях |г | и удовлетворять условию нормировки
⑹⑹/ |以了)『dr = 1.
⑹
⑹
Уравнение Шрёдингера (5) для многих задач квантовой механики, которые решаются методом разделения переменных, можно записать в виде обобщенного уравнения гипергеометрического типа (1). Энергия Е входит в коэффициенты уравнения (1) как параметр. При этом можно предполагать, что а{х)〉0 для ж 6 (а, 6), а на концах интервала (а, 6), если они не уходят в бесконечность, полином сг(ж) равен нулю. Уравнение (1) заменой и = ^р(х)у может быть приведено к уравнению гипергеометрического типа
0 ⑺ у" + 70)“ + 1g = 0,0 ⑺ у" + 70)“ + 1g = 0,⑺⑺
0 ⑺ у" + 70)“ + 1g = 0,
0 ⑺ у" + 70)“ + 1g = 0,
⑺
⑺
или эквивалентному ему уравнению
+ А〃(/)д = 0, (8)
ах ах
где функция 〃(/) удовлетворяет уравнению [сг(/)〃(/)У = т(/)〃(/), а функция т(/) связана с функциями т(ж) и 夕(/) соотношением т = = г + 2(夕'/夕)сг. Приведение уравнения (1) к виду (7) может быть осуществлено несколькими способами \ Функция 夕(/), которая определяет асимптотическое поведение волновой функции, удовлетворяет уравнению
где
土 У - 5(/) + (10)
—полином не выше первой степени. Постоянная к должна быть выбрана из условия, чтобы выражение, стоящее под знаком корня, являлось квадратом полинома первой степени; т(/) и А в уравнении (7) вычисляются по формулам
т(ж) = т(ж) + 2тг(ж), А = & + ?/(/). (11)
Для большинства задач квантовой механики, допускающих аналитическое решение, среди возможных способов приведения уравнения (1) к виду (7) существует такой, при котором удовлетворяется условие /\уИ\2 p(x)dx < сю и, тем самым, условие нормировки волновой функции. Имеет место следующая
ТЕОРЕМА. Пусть функция у = у® — решение уравнения гипергеометрического типа (7)〉а функция р(х) удовлетворяет уравнению [сг(/)〃(/)『 =т(х)р(х) и на некотором интервале (а, Ь) является ограниченной, принимает неотрицательные значения, а на концах интервала (а, Ь) удовлетворяет условию
о(/)〃(/)丿\x=a^b= 0 (k = О J,...).
Тогда нетривиальные решения уравнения (7)〉удовлетворяющие требованиям ограниченности 〃 квадратичной интегрируемости функции g⑺，〃(/) на интервале (а,Ь)〉существуют лишь при
и имеют види имеют вид(12)(13)(12)(13)А = Ап = —пт — п(п2_116T“ (n = 0,1,...)
и имеют вид
и имеют вид
(12)
(13)
(12)
(13)
В dn
An) = g/) = ^^П^Р^] (Вп - постоянна^
т.е. являются классическими ортогональными полиномами степени п, которые ортогональны с весом р(х) на интервале (а,Ь).
Чтобы удовлетворить условиям, налагаемым на функцию 〃(/) для классических ортогональных полиномов, полином т(/) должен равняться нулю в некоторой внутренней точке интервала (а, Ь) и иметь отрицательную производную, если а(х) 〉0 при / С (а, Ь). Действительно, из формулы Родрига (13) для полиномов уп(х) видно, что У1(х)=石1丁(/), и поэтому т(/), как любой ортогональный полином, имеет нуль, принадлежащий интервалу ортогональности (а,Ь). Умножая уравнение (8) на д(/) и интегрируя левую часть по частям, для функции % ⑺ получим соотношение
Так как согласно (12) при п = 1 имеем Ai = — т\ то очевидно, что 丁/ < 0, если сг(ж) 〉0 при / С (а, Ь). В результате, требования
ограниченности волновой функции 吵(戸)，удовлетворяющей уравнению Шрёдингера (5) и условию нормировки (6), оказываются выполненными [80].
Применим рассмотренный метод для решения некоторых характерных задач квантовой механики.
ПРИМЕР 1. Чтобы определить спектр энергий гармонического осциллятора, найдем для уравнения Шрёдингера (2) такие значения энергии £, при которых волновая функция 吵(/) удовлетворяет условию нормировки (6).
Поставленная задача принадлежит к рассматриваемому типу задач: сг(ж) = 1, ^(/) = 0, 5(/) = 2е — ж2. Для полинома 7г(ж), используя (10), получаем выражение
⑺=土，逹-2£ + 友.
Постоянная к выбирается из условия, чтобы подкоренное выражение имело кратные корни, т.е. к = 2е. Из двух возможных видов полинома 7г(/) = 土/ следует выбрать такой, для которого функция т(/) = т(ж) + 27r(/) имеет отрицательную производную, т.е. выбираем т(/) = —2/, что соответствует (см. формулы (9)-(11))
7г(ж) = —ж, 夕(/) = ехр(—/2/2), .(/) = ехр(—/2), А = 2е — 1.
Собственные значения энергии определяются из уравнения (12)
= о,
что дает
£ = £九=八 + / (八= 0,1,...).(14)
Собственные функции уп(х) находим по формуле (13):
g九(/) = Bn exp (ж2) — [exp (- ж2) ].(15)
Если Вп = (—1)п, то функции уп(х) совпадают с полиномами Эрмита Нп ⑺.Для волновой функции 吵(/) получаем выражение
吵九0) = Сп ехр(-ж2/2)Яп(ж), Сп = / ；.(16)
л/л/7г2пп!
В данном случае требование квадратичной интегрируемости волновой функции 吵(/) и функций g九(N)y^^J совпадают.
Решение уравнения Шрёдингера для центрально-симметричного поля. Основной задачей квантовой механики атома является задача о движении электрона в центральном притягивающем поле. Это связано с тем, что описание движения атомных электронов, использующее приближение центрального поля, лежит в основе расчетов различных свойств атомных структур [16, 110, 134]. Такое описание позволяет удовлетворительно понять особенности поведения атомов и найти их энергетические состояния, не решая чрезвычайно трудную квантовомеханическую задачу многих тел.
Чтобы найти волновую функцию 吵(戸)частицы, движущейся в некотором центрально-симметричном поле с потенциальной энергией U(г), требуется решить уравнение Шрёдингера (5)
△吵+ 謂[石一0(丁)侬=0.(17)
Будем искать частные решения уравнения (17) методом разделения переменных в сферических координатах, полагая
以戸)=F(r)W (i^, ^р).
Для функций F(r) и W(少,夕)получим уравнения:
卜士W + ^W = 0,(18)
sin少\/sm/少少夕2
(从—некоторая постоянная).
Уравнение (18), как можно убедиться после разделения переменных 少，夕 и использования рассмотренной в п.1 теоремы, имеет решения, удовлетворяющие условиям ограниченности и однозначности для 0<^<7г, 0<(^ <2тг, лишь при 从=2(2 + 1), причем в этом случае ГУ (仇夕)= (—D^H7n (仇 夕)，где 匕7n(仇 夕)一 сферические гармоники порядка ^ (^ = 0,1,...; m = 0, ±1,... , ±2):
нтП(仇夕)—927n(/)①тП (夕)(/ — COS 少)，
1 .
①m(夕)=⑺=0, ±1,, ±2),
@W(N)= eМ1 -川产/2牛"丁⑺=
2戏！ V 2(2-'丿
Здесь &“'")(/) — полиномы Якоби. При m < 0 имеем по определению 0£?_т(ж) = (—1)т0£т(ж). Нормировочная постоянная Cq^ для сферических гармоник выбирается простейшим образом, как это сделано, например, в известной монографии Бете и Солпитера [15]:
Ведение в угловую часть волновой функции ГУ (少，夕)фазового множителя (—1)т, как это сделано в большинстве книг по квантовой механике, позволяет записать многие соотношения для операторов углового момента в более простом виде. Так, например, для повышающих и понижающих операторов Lx 土 iLy имеем (см. § 2):
(上优 士 ULy)22nl =，(2 干 771)(2 ± 771 + 1)吵厶7n±1 •
Следует также заметить, что в ряде книг по квантовой механике, для того чтобы упростить обозначения, сразу записывают решение уравнения Шрёдингера для центрально-симметричного поля в виде 以汚 =-笈九£ (丁)匕7n (仇 夕)，подразумевая, что Y£m^,(p) уже содержит г
фазовый множитель (—1)т. Однако при рассмотрении уравнения Дирака все равно требуется введение дополнительных фазовых множителей в угловые части каждой из четырех компонент релятивистской волновой функции (см. § 2).
Перейдем к рассмотрению радиальной части волновой функции. Уравнение (19) заменой Я(г) = rF(r) сводится к уравнению
+ [謂(Е - U6)- 冗(20)
Для состояний дискретного спектра волновая функция должна удовлетворять условию нормировки / \^(f)\2r2dr dQ = 1. Так как
/匕7n (仇夕)匕:加(仇夕)℃ =
то условие нормировки для функции Я(г) принимает вид
о
При этом предполагается, что функция F(r) = R{r)/г должна быть ограничена при 丁一> 0 .
Радиальная часть волновой функции в кулоновском поле. Единственным атомом, для которого уравнение Шрёдингера может быть решено точно, является самый простой из всех атомов — атом водорода. Это, однако, не уменьшает, а увеличивает значение точного решения задачи для атома водорода, поскольку аналитические решения, полученные в явном виде, часто могут быть использованы в качестве исходного пункта для проведения приближенных вычислений, относящихся к более сложным квантовомеханическим системам. Кроме того, они необходимы также как тесты для проверки качества вычислительных алгоритмов и программ.
Для квантовомеханического описания атома водорода следует рассмотреть относительное движение электрона (масса т, заряд —е) и ядра (масса М, заряд е). Мы решим несколько более общую задачу, считая заряд ядра равным Ze.
Рассматриваемая задача о движении электрона легко сводится к задаче одного тела — частицы с приведенной массой
тМ
4 =m + М
в кулоновском поле U(г) = —Ze2/г^ т.е. к решению уравнения
吵
Так как т/М ^ 1/(1836 4)《1 (4 — атомный вес), то в дальнейшем мы будем полагать 乩=т.
После перехода к сферическим координатам для радиальной функции 笈(丁), очевидно, получаем уравнение (20). В этом уравнении удобно перейти к безразмерным переменным, используя атомную систему единиц, в которой в качестве единиц заряда, длины и энергии используются заряд электрона е и величины
方2
do — —q = 0,529 • 10 8 см, Eq = — = 27,2 эВ.
В результате уравнение (20) принимает вид
R" + 2(Е + |^) —，' ° R = Q.(22)
Требования ограниченности и квадратичной интегрируемости волновой функции 吵(戸)приводят к требованию ограниченности функции R(r)/r при г —> 0 и условию нормировки (21).
Уравнение (22) является частным случаем обобщенного уравнения гипергеометрического типа (1), для которого
а(г) = г, т(г) = 0, 5( 丁)= 2 石户 + 2Zr — 2(2 + 1).
Приведем (22) к уравнению гипергеометрического типа
ет(丁)g" + 7(丁)“ + аg = 0,
полагая Я(г) = ^(г)у(г\ где 夕(丁) является решением уравнения
夕/ 7Г(Г) 夕 СГ(Г)*
Для полинома 7г(г) в данном случае получаем выражение
7г(г) = ； ±— 2石丁2 _ 2Zr + 2(2 + 1) + kr.
Постоянная к должна выбираться из условия, чтобы подкоренное выражение имело кратные корни. В результате получаем следующие возможные значения к:
к = 2Z± (22+ 1)，—2石
(из вида потенциала вытекает, что состояния дискретного спектра могут быть лишь при В < 0). Из всех возможных видов полинома 7г(г) выбираем такой, для которого функция т(г) имеет ноль на интервале (0, сю) и отрицательную производную. Этим условиям удовлетворяет функция т(г) = 2(2 + 1 — д/—2石丁), что дает
k = 2Z - (22 + 1),—2旦 小丁)= 2 + 1 -2石％
夕6 _expа/—2石г), р(г)=户2+1 expа/—2石г),
А = 2 [z — (22+ 1)д/^ё] •
Собственные значения энергии Е определяются с помощью (12), т.е.
А + пт + п(п2_126T“ = Q (п = 0,1,...
где п — степень полинома 沙(丁) и соответственно число нулей радиальной части волновой функции. Используя полученные выражения для Лит, имеем
—2d+ 2+1)2 •
Величина Е полностью определяется числом тг + 2 + 1, которое называют главным квантовым числом.
Число нулей радиальной функции Я(г) обычно обозначают через пг, а главное квантовое число обозначают через п. Чтобы пользоваться этими обозначениями, следует в полученных формулах заменить п на тг — 2 — 1. Тогда функции g(丁) = Уп^) согласно (13) и (23) принимают вид (п — главное квантовое число)
丁22+1 exp （-咨丁）d严一丁22+1 exp （-咨丁）d严一丁九+2 exp丁九+2 exp
丁22+1 exp （-咨丁）d严一
丁22+1 exp （-咨丁）d严一
丁九+2 exp
丁九+2 exp
и совпадают с точностью до множителя с полиномами Лагерра £^£匕](/), где х = 2Zr/п. Для радиальной функции Я(г) = Яп£(г) получаем выражение
=以 2ё一"/2/+1疗^1 ⑺.(24)
Легко проверить, что функции Яп£(г) удовлетворяют исходному тре
бованию / 嗎2mdт < сю. Постоянную Сп£ найдем из условия нормио
ровки (21):
昼％/£-3+2 [L^+^x)]2 dx = 1.(25)
о
Интеграл в (25) можно вычислить, используя рекуррентное соотношение для полиномов Лагерра
"其/)= 一⑺ + 1)£^+10) + (2п + а + l)L^x) - (п + а)£：乂吟 Отсюда на основании свойства ортогональности полиномов Лагерра получим
/「优川2+2 [疗^)]⑺]2壶=2n y e^x^^^^^x^dx = 2nd%, оо
где *2 — квадрат нормы полинома £*，(/). Поэтому
(26)(26)/Z(n-^ - 1)7у 712 m+ 2)!
(26)
(26)
Наиболее простая радиальная функция соответствует случаю пг = О, т.е. ^ = п — 1:
Rn£(r)=Rn£(r)=「/2/+1「/2/+1
Rn£(r)=
Rn£(r)=
「/2/+1
「/2/+1
Рис. Д .1. Распределение электронного заряда в атоме водорода для К, L, М, N оболочек при ^ = 0 в зависимости от ж = $. Положение главного максимума соответствует среднему расстоянию между электроном и ядромРис. Д .1. Распределение электронного заряда в атоме водорода для К, L, М, N оболочек при ^ = 0 в зависимости от ж = $. Положение главного максимума соответствует среднему расстоянию между электроном и ядром
Рис. Д .1. Распределение электронного заряда в атоме водорода для К, L, М, N оболочек при ^ = 0 в зависимости от ж = $. Положение главного максимума соответствует среднему расстоянию между электроном и ядром
Рис. Д .1. Распределение электронного заряда в атоме водорода для К, L, М, N оболочек при ^ = 0 в зависимости от ж = $. Положение главного максимума соответствует среднему расстоянию между электроном и ядром
Наиболее сложный вид радиальная функция имеет при 2 = 0: у нее максимально возможное число нулей при заданном главном квантовом числе п. Однако зависимость волновой функции от углов 少，夕 в этом случае будет наиболее простой: при 2 = 0 волновая функция будет сферически-симметричной, так как 匕）。（仇夕）=1/，5^・ На рис. Д.1 представлено распределение электронного заряда Я^（г） для некоторых состояний атома водорода при 2 = 0 для оболочек с главными квантовыми числами п = 1, 2, 3,4, т.е. для К, L, М, N оболочек.
ПРИМЕР 2. Зная радиальные функции 笈九纟（丁）, можно вычислять различные характеристики водородоподобного атома, в частности, среднее расстояние между ядром и электроном в состоянии с квантовыми числами п, 2:
^п£〉=^п£〉=^n-L^Ydx'^n-L^Ydx'
^п£〉=
^п£〉=
^n-L^Ydx'
^n-L^Ydx'
Для вычисления интеграла достаточно воспользоваться рекуррентным соотношением для полиномов Лагерра и их ортогональностью:
< ^п£ >=互［Зп2 — 2（2 + 1）］ •（27）
Знание волновых функций позволяет получить некоторое зрительное представление об атоме водорода с электроном в различных возбужденных состояниях. На рис. Д.2 изображено распределение радиальной электронной плотности 笈%（丁 ）| 匕7n （仇夕）『 для состояний
Рис. Д .2. Пространственное распределение электронного заряда в атоме водоро-да для состояний п = 7, ^ = 0,1,... , п — 1 при m = 0. На графиках изображенафункция z = /(ж, у), где ж = tcos», у = Tsin», /(ж, у) = 灭^/(t)P^(cos »)
атома водорода с п = 7, m = 0 при 2 = 0,1,... ,6. На каждом из рисунков показаны значения функции 笈％(丁)肾(cos 少)на плоскости, проходящей через ядро.
Линии, где плотность заряда равна нулю, имеют вид концентрических окружностей, центр которых совпадает с ядром, и прямых, проходящих через ядро. В трехмерном пространстве эти линии были бы сферами или конусами соответственно.
Объяснить монотонность возрастания и убывания последовательных максимумов радиальной электронной плотности вдоль прямых, проходящих через ядро по направлению 少,и на окружностях заданного радиуса г можно, исследуя поведение функций Я^(г) и %(cos"). Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение вида
[к^уУ + q(x)y = О,
частными решениями которого являются функции 巧(/) (ж = cos 少) и Яп£(г) = Cn£X£+1 е~х^2L^^^x) (ж = 2г/п) при соответствующих 衣⑺ и q⑺.Чтобы исследовать качественное поведение функции у(х) на интервале, где 衣⑺〉0, q(/)〉0, удобно ввести функцию
=才(/)+ 矶/*(/)"(/)\
для которой множитель а(х) подбирается специальным образом. Имеем
= а'{х)\к{х)у'^ + 2gg[1 - a{x)k{x)q{x)].
Если выбрать а(/) из условия 1 — а(化)к(化)q(化)=0, то получим
心)=力⑺+縉了(叫依⑺"(叫
Отсюда видно, что области монотонного возрастания и убывания функции v(x) будут совпадать с аналогичными областями для функции 1/(衣⑺q⑺).Заметим, что значения функций v(x) и 力⑺ равны друг другу в точках максимума функции 力⑺ и в точках, где 衣⑺=0. Это позволяет найти области, в которых последовательные максимумы функций %(/) и Я^(г) будут возрастать или убывать. Так, например, для полиномов Лежандра Ре (ж)
衣⑺=1 —川，q⑺=2(2 + 1),〃⑺=в" №(/)『.
Поэтому при 0 S 少 < 7г/2 величины последовательных максимумов функции % (cos 少)убывают с ростом 少，а при тг/2 < 少 < тг —
возрастают. Аналогично исследуется поведение функции 笈%(丁)： при г〉2(2 + 1)/Z последовательные максимумы возрастают (см. рис. Д.1 и Д.2).
ПРИМЕР 3. Найдем электростатический потенциал, создаваемый в фиксированной точке пространства водородоподобным атомом, используя водородоподобные волновые функции.
Пусть электрон, движущийся в кулоновском поле ядра с зарядом Z, находится в стационарном состоянии с волновой функцией ^n£m(f). Если считать ядро неподвижным и находящимся в точке г = 0, то потенциал ядра равен Z/r. Поэтому для среднего потенциала V(г), который создается в точке г электроном и ядром, получим
『0)『0)4г4г|VWm(沔)『\f— f'\|VWm(沔)『\f— f'\(г1)2 dr' d^l'.(г1)2 dr' d^l'.
『0)
『0)
4г
4г
|VWm(沔)『\f— f'\
|VWm(沔)『\f— f'\
(г1)2 dr' d^l'.
(г1)2 dr' d^l'.
При вычислении интеграла воспользуемся производящей функцией для полиномов Лежандра и теоремой сложения для сферических гармоник:
1；
00 rS「
s=0 〉 Lm‘ = — s.
где g — угол между векторами f и r \ r< = min(r, r'\ r> = max(% "). Так как
%师(户)=二 MzS)(一1 产匕“(心 d),
г'
то
/g2MdD = £ ^ e К加(仇夕)/ 告成//)"Х
丨丨s=0m'〉
x J Y^m小yк22)Y泉 22)dM (28)
Если использовать явный вид сферических гармоник
1 .
匕Тn(仇夕)="®27n(cos"),V 27r
то интегрирование по “ приводит к тому, что в сумме по т' остается лишь одно слагаемое, соответствующее т' = 0, что дает
V (г)=V (г)=47rГ
V (г)=
V (г)=
XX7Ko(仇⑺ ^R^rf)drf
X
X
2s + 丄J
0
X /『mg ”m22)Y；°m 9)dM
Интеграл no dr1 можно представить в виде
/总成伞/)"=鳥/l)'成伞')"+产/ |^У 0>0г
Интеграл от произведения трех сферических гармоник сводится к интегралу от произведения трех функций ❷纟7n(cos"):
/ Hm (心")Х；Л 心")瑞(心")dD/ Hm (心")Х；Л 心")瑞(心")dD1
/ Hm (心")Х；Л 心")瑞(心")dD
/ Hm (心")Х；Л 心")瑞(心")dD
^^= / ®/m(/)®s0 (/)d/.
一1
Последний интеграл отличен от нуля лишь при s = 0, 2,... , 2厶 т.е. сумма по s в (28) содержит конечное число слагаемых. Это следует из связи функций 0£т(ж) с ортогональными полиномами:
9师⑺=eМ1 -川产/2牛"丁)⑺.
Здесь &“'")(/) — полином Якоби, который при а = ^ = 0 совпадает с полиномом Лежандра 兄⑺，С2m — некоторая постоянная. Поэтому
端⑺%⑺=%(1 - 川广［B疗)⑺『2⑺.
Известно, что ортогональный полином (и, в частности, полином Лежандра) ортогонален любому полиному меньшей степени. Отсюда видно, что при s〉22 рассматриваемый интеграл равен нулю. Далее, так как при нечетных s подинтегральная функция является нечетной в силу свойства
Ps (一比)=(一1户2(吟
то при нечетных s интеграл будет также равен нулю.
В том случае, когда электрон находится в основном состоянии (п = 1, 2 = 0), все интегралы легко берутся. В результате получаем
(29)(29)V(г)=———-++ 丄)exp(—2Zr).r \ г /
(29)
(29)
При малых г, как и следовало ожидать, V(г) ^ Z/r, а при г —> сю имеем V(г) ^ (Z — 1)/г (потенциал ядра, заэкранированного электроном).
Заметим, что интеграл от произведения трех сферических гармоник 匕 17nl (仇 夕)匕2м2 (仇夕)匕тп (仇 夕)может быть выражен через коэффициенты Клебша-Гордана С紀711g2m2 = (^i^i^2^2|^), для которых существуют таблицы и множество различного вида формул [24]. Коэффициенты Клебша-Гордана (и родственные им коэффициенты Рака) удивительно просто связаны с классическими ортогональными полиномами дискретной переменной на линейной и квадратичной сетках [81, 183]. Эта связь позволяет, используя основные свойства ортогональных полиномов, изучить свойства коэффициентов векторного сложения и вывести необходимые формулы.
§ 2. Решение уравнения Дирака для кулоновского поля
Для атомов с большими атомными номерами Z энергии электронов становятся сравнимыми с энергией покоя тс2. В этих случаях при нахождении уровней энергии и волновых функций необходимо переходить к уравнению Дирака. Уравнение Дирака для электрона в центрально-симметричном поле с потенциальной энергией U(r) имеет вид [15, 34]
ЯФ =卜(而)+ mc2^ + U(r^ Ф =石3,
где Ф — четырехкомпонентная волновая функция
Ф =Ф =зз2 дхк 丿2 дхк 丿（血）=e原泣 k=l（血）=e原泣 k=lВ качестве сг& обычно используют двумерные матрицы ПаулиВ качестве сг& обычно используют двумерные матрицы Паули内=(1 I) ' °2 = С 7) , 。3 =(：二)内=(1 I) ' °2 = С 7) , 。3 =(：二)
Ф =
Ф =
з
з
2 дхк 丿
2 дхк 丿
（血）=e原泣 k=l
（血）=e原泣 k=l
В качестве сг& обычно используют двумерные матрицы Паули
В качестве сг& обычно используют двумерные матрицы Паули
内=(1 I) ' °2 = С 7) , 。3 =(：二)
内=(1 I) ' °2 = С 7) , 。3 =(：二)
Выпишем уравнения Дирака для каждой из компонент волновой функции:
石(丁)一石0)31 h—+ 1 万COZ
——(Е - U(r)-石0)32+ 1
ncOZ
一应(石一U(丁)+ к0)33 + -^- + 1
一应(石 一 U(丁)+ 石0)34 ^- +
(石0 = тс2 — энергия покоя электрона).
Если воспользоваться релятивистской системой единиц, в которой масса электрона т, постоянная Планка 方 и скорость света с равны единице, то уравнения Дирака для электрона в кулоновском поле U⑺==—(Z&2") примут вид
(石+2 г1Ф1 +鹏 dz+ 1га . a 卜石一瓦=0,—г(石+g г132 一3山+ 1卜 3/ z 3g=0,—i(石+g г+1)133 +а%+ 1)*2=0,—г(石+g г+1)134 -鹏 dz+ 1(a 、.a 1瓦+ 2瓦0皿=0.(石+2 г1Ф1 +鹏 dz+ 1га . a 卜石一瓦=0,—г(石+g г132 一3山+ 1卜 3/ z 3g=0,—i(石+g г+1)133 +а%+ 1)*2=0,—г(石+g г+1)134 -鹏 dz+ 1(a 、.a 1瓦+ 2瓦0皿=0.⑴⑴
(石+
2 г
1Ф1 +
鹏 dz
+ 1
га . a 卜石一瓦
=0,
—г
(石+
g г
132 一
3山
+ 1
卜 3/ z 3g
=0,
—i
(石+
g г
+1)
133 +
а%
+ 1
)*2
=0,
—г
(石+
g г
+1)
134 -
鹏 dz
+ 1
(a 、.a 1瓦+ 2瓦
0皿
=0.
(石+
2 г
1Ф1 +
鹏 dz
+ 1
га . a 卜石一瓦
=0,
—г
(石+
g г
132 一
3山
+ 1
卜 3/ z 3g
=0,
—i
(石+
g г
+1)
133 +
а%
+ 1
)*2
=0,
—г
(石+
g г
+1)
134 -
鹏 dz
+ 1
(a 、.a 1瓦+ 2瓦
0皿
=0.
⑴
⑴
Здесь 从=aZ, q = с?/(方с) — постоянная тонкой структуры, 1/а = 137,036, энергия Е включает энергию покоя тс2 (0 < В < 1).
Система уравнений для радиальных частей волновых функций. В сферических координатах (г,少，夕)переменные в системе уравнений (1) можно разделить, если воспользоваться тем, что угловой момент частицы в центрально-симметричном поле сохраняется и можно построить собственные функции, соответствующие определенным собственным значениям операторов Н, J^ и Jz (户—оператор квадрата углового момента, Jz — оператор проекции углового момента на ось z; оператор углового момента J складывается из оператора орбитального момента L и оператора спинового момента S). Если частица
со спином 1/2 находится в состоянии, где ее полный момент равен J, то ее орбитальный момент может иметь два значения £ = j — 1/2 и 1 + 1/2.
В соответствии с этим волновую функцию состояния, в котором полный момент частицы равен J, а его проекция на ось г равна т, можно представить с помощью коэффициентов Клебша-Гордана в виде суммы произведений пространственной и спиновой частей волновой функции частицы, то есть в виде
= £ С黑 ^ms^N爪吟 WemWGXsnis ⑺〉 ⑵
Здесь спиновые волновые функции Xsms (。) представляют собой двухкомпонентные базисные спиноры, соответствующие s = 1/2, ms = ±1/2 (ст — спиновая переменная):
Xl/2,1/2 = (j), Х1/2 -1/2 = (I)；
%加2 (少，夕)=г^(—l)m£ Ует^ (少，夕)一угловые части волновых функций; /n”(丁) и (―1)('—'+D/2gN«7(丁) — радиальные части волновых функций (индекс N связан с числом нулей функции /ж^(г)); °；^2 17n = =〈2me I ms \jm)— коэффициенты Клебша-Гордана (m = m^ + ms).
Угловые части волновой функции удовлетворяют соотношению
①优 土 iLy)Wtm^,夕)=[(2 干 7П2)(2 ± Ш2 + l)]1/2 W^m^.夕).
Для выполнения последнего соотношения в угловую часть волновой функции %加2 (少，夕)вводится множитель (—l)m^, если сферические гармоники 匕mg (少，夕)нормированы простейшим образом [15, 182]. Множитель г^ введен для того, чтобы функции /(г) = /n<^(丁) и д (丁) = gNQ^m удовлетворяли дифференциальным уравнениям с вещественными коэффициентами. Как будет видно из дальнейшего, введение в (3) множителя (—1)(2—'+1)/2 в радиальную часть волновой функции позволяет получить систему уравнений для радиальных частей волновых функций /(г) и д(г) в едином виде как для 2 = / —1/2, так и для 2 = / + 1/2. Заметим, что при заданных значениях /, ш и 2 в уравнении (3) следует полагать 2 = 2/ —2. Это связано с тем, что после подстановки выражений (2) для Ф1 и Ф2 в последние два уравнения
Дирака (1) мы получаем для Фз и Ф4 представление (3) при С = 2j — 0 (см. ниже формулы (6) и (7)). Поэтому радиальная часть волновой функции gNUjg в дальнейшем обозначается gN"(丁)•
Напомним, что в уравнениях (2) и ⑶ / — квантовое число, характеризующее полный угловой момент электрона (J = 1/2, 3/2,...). Квантовое число т принимает полуцелые значения в пределах от —J до j. Очевидно, что при 2 = /干 1/2 имеем 0 = / ± 1/2. Значения коэффициентов Клебша-Гордана C^£im (^ = ^2 + ^s) приведены в табл. Д.1.
Если подставить в (2) и (3) выражения для спиновых и угловых частей волновых функций Xsms (ст), %口(仇夕)，甌/加乂仇夕)，а также значения коэффициентов Клебша-Гордана, то при 2 = / —1/2 получим
加叮（丁）^£,т-1/2（^,^）
'2/* 1 〃дЛ^0）Н+1,тпТ/2（仇夕）
'1箱n瓜丁）H+1冲+1/2（仇夕）
Аналогично, полагая в (2) и (3) 2 = j + 1/2, находим
/Ф1
Ф2
Фз
\山
力V" （丁）н,ТП —1/2（仇夕）
力V" （丁）H,m+l/2（仇3）
+ 1
2
m + 1
2；+2
3^Wj(^) Y£-l,m-l/2(^^ ^)
M 笛n"(丁)H-l,m+l/2(仇夕)
( 刀/
⑷
(5)
В результате подстановки (4) и (5) в систему уравнений (1) после
ms
1
2
1
j + m
V 2/
j — m
V 2/
2
_m + 1
V 2/ + 2
p + m + 1
V 2/ + 2
Таблица Д .1. Значения коэффициентов Клебша-Гордана С^т г
использования приведенных в [15] следующих формул
[/(丁)н(仇夕)]=
/(2 + 771+1)(2 — 771 + 1) У (24 + 3)(24+1)
匕+1,7n (仇夕)
/ (2 + m)(2 — т)
V (22+1)(22—1)
нТ冲(也0]* +(' +D平
⑹
_ , /(2±тп + 2)(2±тп + 1)
-m (22 + 3)(22+1)h+1冲±1(仇夕)
/(2 干 771)(2 干 771 - 1) V (22+1)(22—1)
Нт 冲±1(仇⑺]* + (2+1)#
⑺
получаем систему уравнений для /(г) = /ж^(г) и ^(r) = gz^O：尸+1^/ 一(石+ i + f)g = o,
d + ^^g+ (石一1 + 幺)/ = 0,
⑻
где 从=aZ, постоянная 死 зависит от 2:
J —(2+1) при 2 = / —1/2,"-[2 при 2 = / + 1/2.
Очевидно, что |х| = J + 1/2. Заметим, что в нерелятивистском приближении |/(r)|》|д(丁)| (в дальнейшем это будет показано, см. п. 5).
Функции /(г) и ^(г) для состояний дискретного спектра должны удовлетворять условию нормировки
/ 户[产(丁) + g2(D] dr = 1,(9)
о
вытекающему из условия нормировки четырехкомпонентной волновой функции Ф.
Приведение системы уравнений для радиальных функций к уравнениям гипергеометрического типа. Запишем систему уравнений (8) в матричной форме. Пусть
Тогда
и' = Аи,(10)
где
I。21I。21°12°22°12°22гг1 —石一21 —石一21 +石+2、г1 +石+2、г1 — X1 — X
I。21
I。21
°12
°22
°12
°22
г
г
1 —石一2
1 —石一2
1 +石+2、г
1 +石+2、г
1 — X
1 — X
Для нахождения функции 〃1(丁) исключим из системы уравнений (10) функцию 〃2(丁)・ В результате для функции и\(г) получим дифференциальное уравнение второго порядка
(a11 +а22 h~^ * + (a11a22 -a12a21 - ajl~^ii^ "i = 0.
Аналогично, исключая 〃i(丁), получим уравнение для функции 〃2(丁)：
"；-(Q11 +022 +"；-(Q11 +022 +\a21/\a21/
"；-(Q11 +022 +
"；-(Q11 +022 +
\a21/
\a21/
Коэффициенты матрицы А имеют вид
°，к = Ьгк +
где bik и Q& — некоторые постоянные. Уравнения (11) и (12) не являются обобщенными уравнениями гипергеометрического типа (см. формулу (1) из § 1). Это связано с тем, что
a；2 _e12
。12 С12Г + &12Г2
и Ui (г) имеюти Ui (г) имеютв силу чего в уравнении (11) коэффициенты при и^г)
и Ui (г) имеют
и Ui (г) имеют
вид
例］+。22 + ^ =屮一 С］？，；；］2/ (瓦 2 = 1 + 石*a 52=4*0),
a11022 -a12021 - ^11 +a11022 -a12021 - ^11 +5 =弊012丁25 =弊012丁25251 + 瓦1丁С12Г + 612 丁 2Г5251 + 瓦1丁С12Г + 612 丁 2Г
a11022 -a12021 - ^11 +
a11022 -a12021 - ^11 +
5 =弊
012丁2
5 =弊
012丁2
5251 + 瓦1丁
С12Г + 612 丁 2Г
5251 + 瓦1丁
С12Г + 612 丁 2Г
(夕1 (г) и 夕2 (г) — полиномы не выше первой и второй степени).
Уравнение (11) было бы обобщенным уравнением гипергеометрического типа, для которого а(г) = г, если бы коэффициенты Ь】2 или С12 равнялись нулю. В связи с этим удобно воспользоваться следующими соображениями. При линейном преобразовании
^2 7\ "2
с невырожденной матрицей Т, не зависящей от г, мы получаем систему уравнений относительно функций 力(丁) и。2(丁) того же вида, что и исходная. Действительно, вместо уравнения (10) мы получаем уравнение
v'=誑，
где
Коэффициенты 衣沬 являются, очевидно, линейными комбинациями коэффициентов а^. Поэтому они также имеют вид
^ik — H Г
(bik и Cik — некоторые постоянные). Следовательно, уравнения для функций。1(丁) и。2(丁) будут аналогичны уравнениям (11) и (12):
也-(@11 + 方22 + ^")也 + (方11方22 - ^12^21 - ^11 + ^"方11)。1 = 0,
(14)
^2 -(G口 + g22 + ^~) ^2 + (g11022 一 ^12^21 一 ^22 + ^"^22^ "2 =0.
Чтобы уравнение (14) было обобщенным уравнением гипергеометрического типа, достаточно положить bi2 = 0, либо С12 = 0. Аналогично для уравнения (15) получаем условие: 621 = 0, либо С21 = 0. Эти условия накладывают определенные ограничения на выбор матрицы Т. Пусть
]/a11a8-a12a)+a2108- ^22^7]/a11a8-a12a)+a2108- ^22^7Тогда
]/a11a8-a12a)+a2108- ^22^7
]/a11a8-a12a)+a2108- ^22^7
才_丄(a11a8-012a)+02108一a220)a12a2 一a21 俨 + (a22 -a11)a0 A
-△卜a21户一01272+ («11 -a22))6-0ц^7+a12a)一a2106+ a22ab/
Существует несколько возможностей для выбора величин а, ^, 7,6. В книгах по квантовой механике фактически рассматривается лишь одна из возможностей, соответствующая условиям Ь】2 = 0, 621 = 0. Мы рассмотрим случай, когда постоянные а, ^, 7,6 выбираются из условий С12 = О, С21 = 0, которые дают 2ха^ + //(а2 +0?) = О, 2х)Ь +从()2 + 台2) = 0 (впоследствии будет показано, что это требование предпочтительнее требования 612 = 0, 621 = 0). Условия С12 = О, С21 = О будут удовлетворены, если выбрать матрицу Т в виде
где 从=aZ, v =，死2 _ 从2. в результате приходим к следующей системе уравнений для функций 力(丁)и。2(丁)：
也=(也=(士+ 生)力+(1 + 2)。2,r V /\ V )
也=(
也=(
必=(1 —竽)+ (F -挈)"2・(17)
Если 1 + Ex"济 0, то из системы уравнений (16) и (17) можно исключить функцию。2(丁) и получить дифференциальное уравнение ДЛЯ фуНКЦИИ О] (г):
也'+ /也+(Л"I = 0.(18)
Пусть теперь 1 + 石死/沙=0, т.е. Е = —z//x, что возможно лишь при х < 0, так как 沙〉0 и 石〉0, т.е. когда 2 = / — 1/2. В этом случае решение уравнения (16) имеет вид
771(Г)=С\ГГ-%ЕМ.
Функция °1(丁) удовлетворяет условию нормировки (9) лишь при Ci = 0. При этом для функции。2(丁) из (17) получаем выражение
。2(丁 ) =e2 丁" -(19)
Функция V2(r) при。2 济 0, очевидно, удовлетворяет условиям задачи.
Уравнения гипергеометрического типа для состояний дискретного спектра и их решение. Рассмотрим уравнение (18). Выясним предварительно поведение функции vi (г) при малых г. Так как при 丁一> О
|(В2 - 1)户+ 2石从"《山+ 1),
то в окрестности точки г = 0 поведение функции。1(丁) будет приближенно описываться уравнением Эйлера
г%； + 2 n4 —沙3 + 1)力=О,
решение которого имеет вид
Из условий, налагаемых на функцию v± (г), вытекает, что。2 = 0. Поэтому при 丁〜0 имеем °i(丁) ^ С\гу.
Уравнение (18) является обобщенным уравнением гипергеометрического типа, для которого a(r)=r, т(г) = 2, а(г) = (В2 — 1)г2 + 2В//г— —z/(z7 + 1). Приведем уравнение (18) к уравнению гипергеометрического типа заменой о】=屮⑺у , где 夕(丁) удовлетворяет уравнению 屮"屮=7г(г)/сг(г)(7г(г) — некоторый полином не выше первой степени). Из четырех возможных видов полинома 7г(г) выберем тот, для которого функция т(г) = ^(丁) + 27r(丁) имеет отрицательную производную
и ноль на интервале (0, сю). При 7г(г) = —аг +，где а =，1 —石2, и =，死2 —从2, функция т(г) = 2(1/ + 1 — аг) удовлетворяет этим требованиям, и мы получаем
夕6 = rye~ar, 〃(丁)= 丁2"+%—2* А = 2 [/1Е — (г/ + 1)а].
Значения энергии Е = En определяются из уравнения
А + W + ；N(N - " = 0 (N = 0 J,...), откуда
liE — (N + и + \)а = 0,(20)
а собственные функции — по формуле Родрига
"n6 =肃戸匕、丁"(丁)]=小广21發。『戸(川+2"+1「2写
(21) (мы обозначаем степень полинома g (丁) через N, так как сохраняем обозначение п для главного квантового числа, которое потребуется для уравнения Дирака в дальнейшем). Функции yN (г) с точностью до коэффициента пропорциональности совпадают с полиномами Лагерра Z/^+i ⑺，где х = 2аг.
Найденное нами ранее собственное значение энергии Е =—沙/死 удовлетворяет уравнению (20) при N = —1. В соответствии с этим естественно заменить в формулах (20) и (21) А^ на А^ — 1 и определять собственные значения энергии из равенства
“Е — (N + “)а = 0 (N = 0,1,…).(22)
Функции 力(г) будут иметь вид
({/%一"/2上也:⑺(N = 12..) 力(丁)= <(23)
I0(N = 0).
Легко проверить, что функции rv± (г) удовлетворяют исходному требованию квадратичной интегрируемости.
Из уравнения (16) при Е = En (N = 1,2,...) имеем
Подставляя сюда выражение для функции о】 (г), находим
。2(丁)=2g(/),
где д(/) — полином N-й степени. Для определения полинома у(х) получим предварительно уравнение для функции。2(丁) , исключая из системы уравнений (16) и (17) функцию v± (г):
〃2 .(Е2 - l)r2 + 2Eur +с/
心 + 心 + f—-—-。2 = 0.(24)
Это уравнение приводит к следующему дифференциальному уравнению для полинома д(/)：
хуп + (2沙—х)у' + Ny = 0.(25)
Уравнение (25) является уравнением гипергеометрического типа. Единственным полиномиальным решением этого уравнения является полином Лагерра g(/) = BNL^~r{x)^ откуда
У2б=В/1「/21^т ⑺. (26)
Нетрудно убедиться, что полученное ранее решение (19) при Е =—沙/死 содержится в этой формуле при N = 0. Как и следовало ожидать, вид функции。2(丁) в (26) можно получить из выражения (23) для v\ (г) заменой 沙 на 沙一1. Это связано с тем, что уравнение (18) переходит в уравнение (24) при замене 沙 на 沙一1.
Чтобы найти связь между постоянными AN и BN в (23) и (26), сравним поведение левой и правой частей равенства (16) при 丁一＞ 0, используя формулу
上为(0)=上为(0)=F(N + a + l)N!F(q + 1)F(N + a + l)N!F(q + 1)
上为(0)=
上为(0)=
F(N + a + l)N!F(q + 1)
F(N + a + l)N!F(q + 1)
Имеем
2a 〃4 L^{^ = -2心 ^\)AnL^^ + (1 + 苧)入冰 Г。)，
откуда
Так как в силу (22)
тотоN(N + 2沙)=(N + z/)2 - z/2 = —^z/2 =—
то
то
4е
4 = £?%_〃"•
Зная функцииЗная функцииУровни энергии и радиальные функции.
Зная функции
Зная функции
01(丁) ио2(丁), можно найти /(г) и ^(г):
Поэтому
гдегде2〃 (死—〃丿e2〃 (死—〃丿e92 丿〈£『(/)92 丿〈£『(/)а(死—z/)后二7, ◎ j；а(死—z/)后二7, ◎ j；EE=ENj ==ENj =1J1 + (从/(N + 沙))21J1 + (从/(N + 沙))2X = 2aqX = 2aq卩l\N +吟卩l\N +吟〃 =aZ.〃 =aZ.
где
где
2〃 (死—〃丿e
2〃 (死—〃丿e
92 丿〈£『(/)
92 丿〈£『(/)
а(死—z/)
后二7, ◎ j；
а(死—z/)
后二7, ◎ j；
E
E
=ENj =
=ENj =
1
J1 + (从/(N + 沙))2
1
J1 + (从/(N + 沙))2
X = 2aq
X = 2aq
卩l\N +吟
卩l\N +吟
〃 =aZ.
〃 =aZ.
В случае N = 0 (2 = / — 1/2) формулы для /(г) и g(r) остаются справедливыми, если формально положить равными нулю слагаемые, содержащие 上^^气/). Когда 2 = / +1/2, мы имеем N = 1,2,.... Число N определяет число нулей функций /(г) и ^(г): как будет показано ниже, число нулей функции /(г) равно N при / = 2+1/2 и равно N — 1 при / = 2 — 1/2.
Вычислим нормировочный коэффициент BN с помощью условия нормировки (9). Имеем
/户/6 +92mm = 4〃2(衣匕产(2。)3X
оо
x{[/i"Q；O) +/2£^t(n)『+ E"Q；(n) +g2£^T(/)『}d/ =1.
При вычислениях возникают два типа интегралов:
Jl =Jl =/「优廿+1 ［号⑺『壶, о/「优廿+1 ［号⑺『壶, о
Jl =
Jl =
/「优廿+1 ［号⑺『壶, о
/「优廿+1 ［号⑺『壶, о
丿2 = /1(/)1/尸⑺d/.
О
Интеграл Л можно выразить через квадрат нормы полиномов Лагер- ра
* = / е~хха [L^{x)^ dx = ^ Г(п + а + 1), о
если воспользоваться рекуррентным соотношением
/疗⑺=一⑺ + 1)疗+10) + (2ti + а + 1)疗⑺ 一 d + а)疗—О)
и свойством ортогональности
/ е~ххаL^x^L^x) dx = 0 (т п).
о
Отсюда
Ji = (2n + а + 1) / е~хха [£其/)『d/ = ；(2тг + а + 1) Г(п + а + 1). о
Для вычисления интеграла 厶 достаточно разложить полином 上^一？(/) по полиномам £乳/):
上尸⑺=&邛⑺+ g上瞋⑺+ ....
Коэффициенты С] и С^ легко найти, если сравнить коэффициенты при хп и ①九―1 в обеих частях этого равенства: Ci = 1, С2 = —2. Это дает
ПоэтомуBn ='Окончательно получаемдт = 2*1)2 I^-pXE^-u)NI箝 V /(N + 2z/)•%У/2 [Лх^+Н^+М^-1^)],(27)% -"б E"Q:⑺ +92上^一1(/)],ПоэтомуBn ='Окончательно получаемдт = 2*1)2 I^-pXE^-u)NI箝 V /(N + 2z/)•%У/2 [Лх^+Н^+М^-1^)],(27)% -"б E"Q:⑺ +92上^一1(/)],Л = -2 У е~хха [L^x^dx = -2 *^・ ОЛ = -2 У е~хха [L^x^dx = -2 *^・ О
Поэтому
Bn ='
Окончательно получаем
дт = 2*1
)2 I^-pXE^-u)NI
箝 V /(N + 2z/)•
%У/2 [Лх^+Н^+М^-1^)],
(27)
% -"б E"Q:⑺ +92上^一1(/)],
Поэтому
Bn ='
Окончательно получаем
дт = 2*1
)2 I^-pXE^-u)NI
箝 V /(N + 2z/)•
%У/2 [Лх^+Н^+М^-1^)],
(27)
% -"б E"Q:⑺ +92上^一1(/)],
Л = -2 У е~хха [L^x^dx = -2 *^・ О
Л = -2 У е~хха [L^x^dx = -2 *^・ О
где
上an上а(死-沙)
Л =石，力=女一% 91 =石，92 =从 厶死-V厶死-V
(при N = 0 (2 = J — 1/2) в соответствии с (23) и (26) величину xL^^1 (ж) следует полагать равной нулю). Заметим, что для решений уравнения Дирака с кулоновским потенциалом обычно используется другое представление (см., например, [15, с. 111]), которое можно получить из (27), используя рекуррентные соотношения для вырожденных гипергеометрических функций и их связь с полиномами Лагерра [117, 14].
Волновые функции (27) соответствуют значениям энергии
石=EnJ = / 1 ,从=qZ, 〃 = J (/ + 1/2)2 —储.
+ 3/(N + 沙))2
(28) В формулах (27) и (28) N = 0,1, 2,... при 2 = / — 1/2 и N = 1,2,... при 2 = / + 1,2.
Связь с нерелятивистской теорией. Рассмотрим переход к нерелятивистскому пределу, т.е. перейдем от уравнения Дирака к уравнению Шрёдингера, для которого обычно используют атомные единицы (е = 1, m = 1, /г = 1). Так как в атомной системе единиц в качестве единицы энергии используется величина те’/方2, а выражение для уровней энергии в (28) записано в единицах md)то в атомной системе единиц формула (28) примет вид
ENj =ENj =(29)(29)
ENj =
ENj =
(29)
(29)
Если aZ является малой величиной, то z/=— (aZ)2 ^J+l/2.
Исключая из E^j энергию покоя 石° = тс2 , получим
Z2
=ENj - ^0
где
п = N + j + ^ =п = N + j + ^ =N + 2+ 1N + 2N + 2+ 1N + 2при / = 2+1/2 (N = 0,1,...),при / = 2—1/2 (Л^ = 1, 2,...).
п = N + j + ^ =
п = N + j + ^ =
N + 2+ 1
N + 2
N + 2+ 1
N + 2
Очевидно, что эта формула совпадает с формулой (23) из § 1 для уравнения Шрёдингера, дающей уровни энергии электрона в кулоновском поле, причем п играет роль главного квантового числа.
Рассмотрим теперь переход к нерелятивистскому пределу для радиальных частей волновых функций /(г) и д(У). Для этого перейдем в формуле (27) к атомной системе единиц, полагая N = п — j — 1/2. Так как в атомной системе единиц в качестве единицы длины используется величина 方2/(те2), а в релятивистской системе единиц 方/(шс), то в силу условия (9) при переходе к атомной системе единиц правую часть (27) следует умножить на
h/mc3/23/2
В результате формулы для радиальных функций F(r) = r/(r) и G(丁) = rg(r) в атомных единицах можно получить, умножая (27) на 丁 Q — 3/2 = //(20a1/2)：
F6三=0…"l/2 [力"管匕/2⑺+ /2片？L/2⑺卜
G6三G^6 =以2产"「б卜1"m匕/2⑺+92上m)1/2⑺].
(30) Здесь
(一(2+1) при £ = j - 1/2
x = <(^ = 0,1,..., n — 1),
[2при 2 = j + 1 /2
aZ
x = 2ar/a, a— -' '"2 + ", 〃 =，(/ + 1/2产一(a2产,
以"2沙(死-Z7)Zq3/2*
/ (x — z/) (n — J — 1/2)! [ax (n — j — 1/2 +и) — aZu]
уГ (n — J — 1/2 + 2z/)'
a(aZ)2
xa(n — j — 1/2 + z/) — aZu
91 =91 =X — Z7aZX — Z7aZ/1,/1,92 = aZ92 = aZ
91 =
91 =
X — Z7
aZ
X — Z7
aZ
/1,
/1,
92 = aZ
92 = aZ
(при j = n — 1/2 следует полагать L^^^x) = 0).
Заметим, что число нулей функции Fn£j(r) всегда равно пг = п—£—1, хотя при 2 = / + 1 /2 степень полинома
九"管：3/2(/)+ /2上：?；1/2(/)
равна п — j — 1/2 = пг + 1. В этом случае один из нулей рассматриваемого полинома является отрицательным, что не изменяет числа нулей радиальной функции Fn^j (г) при г > 0.
Оценим порядок малости коэффициентов Д, /2 и ^1, g? при малых значениях aZ в формуле (30). При этом
a =-石2——,пa =-石2——,п
a =-石2——,
п
a =-石2——,
п
х—г/ =死_，死2 — (qZ)22х,х—г/ =死_，死2 — (qZ)22х,(aZ)2 2(2+l)naZп(aZ)2 2(2+l)naZп
х—г/ =死_，死2 — (qZ)22х,
х—г/ =死_，死2 — (qZ)22х,
(aZ)2 2(2+l)n
aZ
п
(aZ)2 2(2+l)n
aZ
п
Пусть 2 = J —1/2. Тогда 死=—(2+1), 石死—z/ ^ 2х и, следовательно,
-2(2+1)、
aZ ,
Пусть 2 = / + 1/2. Тогда
откуда
< 2 孤(aZ)2、
тт2 一俘22
aZn7
Из этих рассуждений видно, что в обоих случаях |G(r)| 《 产(丁)| при aZ《1. В первом случае, когда 2 = / — 1/2, имеем
p（Г）。d号詣¥/+%f2疗什3⑺,
где / = 2ar/a ^ 2Zr/n, что совпадает с соответствующим решением уравнения Шрёдингера (24) из § 1. Очевидно, что в этом случае число нулей радиальной функции F(r) равно nr = N = п — £ — 1.
Аналогично во втором случае, когда 2 = J + 1/2, получим также выражение (24) из § 1. При этом число нулей функции F(r) будет равно nr = N — 1 = п — £ — 1.
Представление функций F(r) и G(丁) в виде (30) удобно для перехода к нерелятивистскому пределу, так как только один из коэффициентов fi, f2,91, ^2 при aZ —> 0 во много раз больше всех остальных. В то же время в традиционном представлении для функций F(r) и G(r\ имеется несколько одинаковых по порядку малости коэффициентов и поэтому для установления совпадения нерелятивистского предела с решением уравнения Шрёдингера приходится дополнительно использовать рекуррентные соотношения для гипергеометрических функций.
—,(31) n2—,(31) n2Рассмотренный предельный переход позволяет записать формулу для £九27 в атомных единицах в более удобном для проведения расчетов виде
—,(31) n2
—,(31) n2
(aZ)2
С — 0 + 1/2) + ,0 + 1/2)2 — (aZ)2『
啥+小啥啥+小啥fl = N + 17 = 71 —fl = N + 17 = 71 —%2
啥+小啥
啥+小啥
fl = N + 17 = 71 —
fl = N + 17 = 71 —
/ + 1/2 + ,0 + 1/2)2 — (qZ)2
.1 3
—главное квантовое число, ] = , n —-).
Как видно из формулы (31), при заданном J собственные значения энергии водородоподобного иона не зависят от 2. Таким образом, кроме вырождения по проекции момента J на ось г (уровни энергии не зависят от т) имеет место двукратное вырождение по 2 при J < п—1/2.
В табл. Д.2 для К—, L-, М-, N- оболочек приведены квантовые числа п, J и 2, характеризующие возможные состояния электрона в водородоподобном ионе золота и соответствующие уровни энергии.
Таблица Д .2. Уровни энергии водородоподобного иона золота (Z = 79) в атомных единицах. Для сравнения также приведены нерелятивистские значения энергии £九=—Z2/(2n2) и их отличие △ от релятивистских в %
n
j
2
△
n
j
2
△
1
1/2
0
-3121
-3435
9,1
4
1/2
0
-195
-211
7,4
4
1/2
1
-211
7,4
2
1/2
0
— 780
—879
11,3
4
3/2
1
-200
2,6
2
1/2
1
—879
11,3
4
3/2
2
-200
2,6
2
3/2
1
— 797
2,1
4
5/2
2
-197
1,2
4
5/2
3
-197
1,2
3
1/2
0
—347
-381
9,1
4
7/2
3
-196
0,5
3
1/2
1
-381
9,1
3
3/2
1
—357
2,8
3
3/2
2
—357
2,8
3
5/2
2
-350
0,9
При переборе квантовых чисел (тг,厶/) в указанном порядке значения энергии электрона, даваемые формулой (31), возрастают с увеличением п и J.
Д-П. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Лишь незначительное число задач квантовой механики, которые относятся к простым системам, может быть решено с помощью точных аналитических методов. Для реальных физических систем, как правило, нельзя обойтись без использования подходящего приближенного метода. В ряде случаев приближенное вычисление уровней энергии и волновых функций может быть успешно проведено с помощью вариационного метода и на основе квазиклассического приближения. Приближенные методы позволяют определить относительную роль различных факторов в данной физической системе, выбрать подходящее начальное приближение и построить эффективные численные методы для дальнейшего более точного исследования рассматриваемой задачи.
§ 3. Вариационный метод и метод пробного потенциала
Основные черты вариационного метода. Вариационный метод вычисления энергии £° основного состояния системы частиц сводится к использованию неравенства
£。＜2*（田9咚£。＜2*（田9咚⑴⑴
£。＜2*（田9咚
£。＜2*（田9咚
⑴
⑴
где § — совокупность значений всех независимых координат (§ — точка в конфигурационном пространстве), dg — элемент объема в конфигурационном пространстве,以§) — произвольная функция, удовлетворяющая условию нормировки
Н — полный оператор Гамильтона системы.
Действительно, пусть 方夕九=£n^n, f ^(C^n^dC = ^mn- Тогда
Таким образом, вычисление энергии основного состояния сводится к вычислению минимума интеграла (1) при варьировании нормированной волновой функции 以§). Следовательно,
Практически вычисление £о сводится к выбору пробной функции, содержащей некоторое число неизвестных параметров а, 0,... . Эти параметры находят в результате решения системы уравнений
где
J(a,仇...)= 吵*(&&№,...) Н 以&Q,仇...)d&
При удачном выборе вида пробной функции получается значение £о, близкое к истинному даже при малом числе параметров. Волновая функция 夕° будет приближенно совпадать с функцией 吵(§, а, 0,...).
Указанный метод отыскания энергии £° основного состояния называется вариационным методом^ или методом Ритца. Выбор вида пробных решений базируется на качественном анализе решений с учетом симметрии задачи.
Вычисление энергии первого возбужденного состояния 印 сводится к решению вариационной задачи
Ei = min *力电恋
при дополнительных условиях
*如恋=1, *现恋=0-
При вычислении следующих возбужденных уровней задача усложняется. В некоторых случаях требуемые условия ортогональности выполняются при подходящем выборе пробных функций просто в силу свойств симметрии. Например, при исследовании состояний движения частицы в центрально-симметричном поле ортогональность состояний, соответствующих разным 厶 обеспечивается ортогональностью сферических гармоник 匕7n （仇夕）•
ПРИМЕР. Найдем энергию основного состояния двухэлектронной системы в поле ядра с зарядом Z в нерелятивистском приближении. Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид
где гамильтониангде гамильтониан方吵=石也
где гамильтониан
где гамильтониан
1 Л1 л ZZ 1
h =— — — - — - +.
22『1『2『12
Так как гамильтониан не содержит спиновых переменных, то полная волновая функция представляет собой произведение функции, зависящей от пространственных переменных, на функцию, зависящую от спиновых переменных, такое, чтобы полная волновая функция была антисимметричной.
При вычислении энергии основного состояния антисимметричную спиновую часть волновой функции можно не выписывать. В качестве симметричной пробной функции, зависящей от пространственных переменных, используем произведение двух простейших водородоподобных функций с эффективным зарядом Zf < Z:
吵（尸尸2）=7（Г1+T2）.
47r
Постоянную С находим из условия нормировки:
/ I以丸尸2）『"1 "2 = С*2/ I以丸尸2）『"1 "2 = С*24c2（27）64c2（27）6
/ I以丸尸2）『"1 "2 = С*2
/ I以丸尸2）『"1 "2 = С*2
4c2（27）6
4c2（27）6
С = 4（7）3.
Выражение для энергии Е принимает вид
石（Z ）=吵*（丸沦声以尸配 = -——I—— ZZ -
гдегде丿Г12丿Г12
где
где
丿Г12
丿Г12
так как
1 4Z/31 4Z/3『2/『2/
1 4Z/3
1 4Z/3
『2/
『2/
где т〉= max(Ti,『2)(см. пример 3 из § 1).
Таким образом,
石(7)=/2 - 2ZZ + |/.
Из условия минимума 石(Z‘) получаем
О,О,dE .5
О,
О,
——=2Z‘ 一 2Z + —
dZ'8
что даетчто даетz~^z~^11611622
что дает
что дает
z~^
z~^
116
116
2
2
(2)2一〒+(2)2一〒+Экспериментально измеряемой величиной является не полная энергия атома, а его потенциал ионизации /. Для гелиеподобного атома потенциал ионизации / = Eq — E, где 石о = —Z2/2. В частности, для гелия (Z = 2)
(2)2一〒+
(2)2一〒+
(2 - # = 0,848 а.е. = 186114 см-1
Дальнейшие усовершенствования вариационного метода [124] дали для потенциала ионизации значение
/ = 198317,974 士 0,022 см-1,
в то время как экспериментальное значение потенциала ионизации равно
/экс. = 198310,82 士 0,15 см-1.
Учет движения ядра, релятивистских поправок и взаимодействия электрона с собственным полем (лэмбовский сдвиг) приводит к исправленному потенциалу ионизации
/теор. = 198310,665 см-1.
Получение водородоподобных волновых функций. Вариационный метод можно применять и для вычисления энергий и волновых функций многоэлектронных атомов. В наиболее простом приближении предполагается, что на каждый электрон в многоэлектронном атоме действует единый (независимо от состояния рассматриваемого электрона) потенциал, создаваемый остальными электронами и ядром. Рассмотрим в связи с этим следующую задачу.
Пусть требуется решить уравнение Шрёдингера
—；風纟+ ]—『6 + ^|J^]丛纟=£丛2 (0 < г < ОО) (4)
с заданным потенциалом V(г). В качестве пробных функций для электрона с квантовыми числами п, 2 будем использовать радиальные функции 笈九纟(丁)，соответствующие пробному потенциалу
у^ = ^L _ Ап^(5)
г
где Zn£ — эффективный заряд ядра, 4九纟一постоянная внешней экранировки. Функция Rn^(r) удовлетворяет уравнению
丘+ '(；，] 冗2 = 云丘九厶(6)
где
云=^n£ = -^f + AiZ,冗2(丁)= CnQ /"IL^^^x),
О
Представление внутриатомного потенциала в виде (5) находится в соответствии с используемой в главе I моделью Томаса-Ферми и вытекающей из нее при высоких температурах моделью постоянной плотности свободных электронов. В самом деле, электрон дискретного спектра с квантовыми числами п и ^ находится в основном в сферическом слое (г, г + Дг) в окрестности главного максимума функции 笈九2(丁) • Объем такого сферического слоя составляет, как правило, малую долю от объема атомной ячейки. Внешние по отношению к рассматриваемому слою электроны создают в области главного максимума постоянный потенциал, определяемый постоянной внешней экранировки Ап£. Внутренние электроны уменьшают притягивающее действие ядра (Z九纟 < Z). Параметры Z九纟 и родственные им экрани- ровочные параметры Слэтера широко используются в атомных расчетах [ПО, 133, 176].
При использовании вариационного метода постоянную Z九纟,определяющую вид волновой функции Rn^(r\ можно находить непосредственно из условия
7〜.
=min Rn£(r)HRn£(r)dr.
о
При этом дополнительные условия взаимной ортогональности радиальных функций можно не учитывать, так как
если значения 2 различны, то волновые функции будут ортогональны в силу ортогональности сферических гармоник;
если значения 2 совпадают, а квантовые числа п различаются, то главные максимумы функций Rn^(r) и Rn4(r) находятся в существенно разных местах, что приводит к приближенному равенству /Яп£(г) Rni£(r)dr 0 (см. рис. 2.5).
Имеем
где Мп£(ж) — полином степени 2п — 1, то
= min 呉一e~xMn^x)rVdx .(7)
2n2丿I r=nx / (2Zn£)
_o_
Используя условие минимума den£/dZn£ = 0, получим
Zn£ = / e-xMn^x) 一户 I壶，
0\r=nx/{2Zn^
ИЛИ
厶纟=/ e~xMn£(x) rV(r) -(rV(r))dx. ⑻
/dr
Ог=пх/(2Zn£)
Чтобы найти Z九с, воспользуемся простейшей итерационной схемой, вытекающей из (8):
(s+D (s)(s)
Z九2 = Q九£ + /3九q
где
(九=/ е~хMn£(x)rV(г)dx,
丿(s)
0r=nx/(2 Z
e~xMn^x)Idx,
dr(£)
I r=nx/(2 2九2)
s — номер итерации, s = 0,1, 2,... . В качестве начального приближения можно использовать предыдущие значения Z九纟：
(0)(0)(0)
Z10 = Z, z 20 = Zio, z 21 = @0,•..,
так как обычно Z〉％о〉@о〉@1 и т.д.
(S)⑶
Величины ап£ и 炉九纟 будем вычислять с помощью квадратурных формул типа Гаусса [80]
%N
(Ю)(Ю)f(x)p(x)dx ^^ajft.Xj).
(Ю)
(Ю)
В нашем случае естественно выбрать 〃(/) = е~х. Тогда Xj — нули полинома Лагерра £^(/), f(x) = Mn£(x)rV(r) или /(ж) =-Mn£{x)r^ [rV(г)] (г = tin/2Z九с). Интеграл (8) вычисляется точно, если /(ж) — полином не выше (2А^-1)-ой степени. Надо выбрать N таким образом, чтобы функции rV(г) и r^； \rV(г)] достаточно точно аппроксимировались полиномами в существенной для интегрирования области. Как правило, при п < 10 можно положить N = 12. Заметим, что числа Mn^(xj) не зависят от вида потенциала V(г), что удобно при вычислениях.
После вычисления Zn^ находим, используя (7), значение энергии £九纟 и постоянную внешней экранировки 4九纟：
(U)(U)
(U)
(U)
Метод пробного потенциала для уравнений Шрёдингера и Дирака. К вариационному методу, по существу, близок так называемый метод пробного потенциала [103], который основан на том, что функция Яп£(г) заметно отлична от нуля в небольшом интервале значений г. Поэтому поведение потенциала V(г) вне этого интервала, по-видимому, мало влияет на характер функции Rn^(r).
В методе пробного потенциала эффективный заряд Z九纟 находится из условия минимума функционала
Ф(^п£)= / 卜『6 - rv(r, Zn£, An£)^ 丘％6 ZQ办， (14) где постоянная экранирования Ап£ определяется из дополнительного условия близости собственного значения энергии V к £. В качестве такого условия естественно положить первую поправку к энергии 云 по теории возмущений равной нулю:
(15)(15)/[V(г) - V(% Zn£, 4九2)]丘％(% Zn^dr = О,
(15)
(15)
Таблица Д .3. Собственные значения энергии £九纟,полученные с помощью метода пробного потенциала и вариационного метода, а также полученные путем численного решения уравнения Шрёдингера в потенциале ТФ для золота (Z = 79) при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3
п
С
п
С
пробы.
вар.
Шрёд.
пробы.
вар.
Шрёд.
1
0
2848,956
2848,733
2849,178
7
0
40,349
40,353
40,209
7
1
39,791
39,792
39,795
2
0
624,644
624,667
624,434
7
2
39,166
39,167
39,177
2
1
608,827
608,869
609,049
7
3
38,794
38,795
38,799
7
4
38,683
38,678
38,677
3
0
258,848
258,950
258,662
7
5
38,648
38,645
38,645
3
1
252,887
252,906
252,937
7
6
38,631
38,630
38,628
3
2
244,108
244,120
244,180
8
0
29,502
29,507
29,247
4
0
139,554
139,587
139,432
8
1
29,004
29,004
28,947
4
1
136,949
136,951
136,992
8
2
28,543
28,544
28,560
4
2
133,562
133,565
133,623
8
3
28,307
28,308
28,309
4
3
131,390
131,392
131,395
8
4
28,225
28,225
28,225
8
5
28,204
28,206
28,201
5
0
85,948
85,956
85,855
8
6
28,190
28,188
28,187
5
1
84,586
84,586
84,609
8
7
28,179
28,176
28,176
5
2
82,917
82,919
82,953
5
3
81,868
81,871
81,873
9
0
22,118
22,120
21,788
5
4
81,568
81,569
81,569
9
1
21,617
21,617
21,578
9
2
21,285
21,286
21,308
6
0
57,328
57,333
57,252
9
3
21,133
21,133
21,132
6
1
56,521
56,521
56,534
9
4
21,071
21,071
21,071
6
2
55,578
55,579
55,597
9
5
21,057
21,057
21,052
6
3
54,984
54,986
54,988
9
6
21,045
21,042
21,041
6
4
54,802
54,802
54,802
9
7
21,034
21,030
21,031
6
5
54,760
54,757
54,757
9
8
21,024
21,019
21,020
Таблица Д .4. Собственные значения энергии £九纟 в потенциале ТФ для золота при температуре Т = 0,01 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3. При п > 5 рассмотренный вариационный метод не работает
n С
пробы.вар. Шрёд.
n С
пробы. вар. Шрёд.
1 0
2655,0402655,0192654,842
5 3
0,149-0,570
2 0
441,965442,042441,559
6 0
1,671-1,408
2 1
423,276423,089423,464
6 1
1,592-1,088
6 2
0,333-0,610
3 0
105,494106,452104,885
6 3
-0,010-0,164
3 1
96,45696,76396,562
3 2
80,30380,54981,159
7 0
1,012—0,485
7 1
0,630-0,364
4 0
25,05327,30924,677
7 2
0,014-0,178
4 1
20,93322,28421,159
4 2
13,98814,27214,748
8 0
0,559-0,140
4 3
3,1365,3936,235
8 1
0,232-0,088
8 2
0,016-0,010
5 0
5,3237,8915,270
5 1
3,8195,4214,095
9 0
0,360-0,005
5 2
2,0282,1012,199
что дает
В табл. Д.3, Д.4 и на рис. Д.3, Д.4 приведены некоторые результаты решения уравнения Шрёдингера с потенциалом Томаса-Ферми для золота при плотности р = 0,1 г/см3 и двух температурах Г = 1 кэВ и Т = 0,01 кэВ. Как видно из рисунков и таблиц, результаты расчетов методом пробного потенциала несколько лучше, чем полученные с помощью вариационного метода. Даже в случае низких температур, когда волновые функции далеки от водородоподобных (см. рис. Д.4), метод пробного потенциала хорошо передает положение главного максимума волновой функции.
Простота вычислений делает метод пробного потенциала достаточно эффективным и в релятивистском случае при нахождении параметров Zn^j и An£j. Для этого в формулах (14) и (15) достаточно заменить Я^(г) на F^ (г) + G^- (г) (см. формулы (30) из § 2). Укажем, что время счета предложенным методом примерно в 50-100 раз меньше, чем время, необходимое для численного интегрирования соответствующих уравнений.
(Z = 79) в потенциале ТФ при температуре Т = 1 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3 (сплошная линия — численное решение, штриховая линия — метод пробного потенциала, штрих-пунктирная линия — вариационный метод)
Более подробно результаты расчетов методом пробного потенциала для уравнений Шрёдингера и Дирака анализируются в гл. II, § 2.
§ 4. Квазиклассическое приближение
Квазиклассическое приближение оказалось очень эффективным при рассмотрении многих вопросов квантовой механики и математической физики. В основе квазиклассического приближения лежит задача о получении равномерной асимптотики при А —> сю для решений дифференциального уравнения вида
№(/)/『 + Хг{х)у = 0.
Первоначальное изучение этого вопроса было проведено Лиувиллем и Грином в первой половине 19-го века [92, гл.6]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна и Джефриса (метод ВКБ), а также многих других авторов.
Квазиклассическое приближение для одномерного случая. Выясним поведение решений уравнения вида
⑴⑴\к{х)у'У + Хг(х)у = О
⑴
⑴
при А —> сю. Как показывает простой пример уравнения (1) при A;(x)=const и 丁(/)=const, поведение решений существенно зависит от знака функций к(х) и 丁(/). Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать уравнение (1) в областях, где функции к(х) и г(х) знакопостоянны. Рассмотрим сначала случай, когда на некотором интервале (а, Ь) функции к(х) и 丁(/) имеют одинаковые знаки, например 衣⑺ 〉0, 丁⑺ 〉0, и пусть эти функции имеют непрерывные производные первого и второго порядка.
Чтобы упростить уравнение (1), воспользуемся заменой переменных
ИмеемИмеемд(/)=夕(n)〃(s), S = S(N).д(/)=夕(n)〃(s), S = S(N).⑵⑵Ух = d〃 + a4或,Ух = d〃 + a4或,(kg) = {k^p'u^k^pu' s')' = {к^р'У u^k^p'u' s' ^{ks1)1 ^pu' ^ks' ^' и' ^^pu" s').После подстановки в (1) получим(kg) = {k^p'u^k^pu' s')' = {к^р'У u^k^p'u' s' ^{ks1)1 ^pu' ^ks' ^' и' ^^pu" s').После подстановки в (1) получим/ + /(s)〃 + 队 g(s) — q(s)]u = 0,/ + /(s)〃 + 队 g(s) — q(s)]u = 0,гдегде/(s)=/(s)=2k(N)s/(N)d(N)+ \k{x)s' {x)]'(p{x)2k(N)s/(N)d(N)+ \k{x)s' {x)]'(p{x)k^x^^x^s1 {х)У'k^x^^x^s1 {х)У'g⑻=衣⑺w⑺]2,g⑻=衣⑺w⑺]2,衣(/)夕(/)!У(/)]2 •衣(/)夕(/)!У(/)]2 •
Имеем
Имеем
д(/)=夕(n)〃(s), S = S(N).
д(/)=夕(n)〃(s), S = S(N).
⑵
⑵
Ух = d〃 + a4或,
Ух = d〃 + a4或,
(kg) = {k^p'u^k^pu' s')' = {к^р'У u^k^p'u' s' ^{ks1)1 ^pu' ^ks' ^' и' ^^pu" s').
После подстановки в (1) получим
(kg) = {k^p'u^k^pu' s')' = {к^р'У u^k^p'u' s' ^{ks1)1 ^pu' ^ks' ^' и' ^^pu" s').
После подстановки в (1) получим
/ + /(s)〃 + 队 g(s) — q(s)]u = 0,
/ + /(s)〃 + 队 g(s) — q(s)]u = 0,
где
где
/(s)=
/(s)=
2k(N)s/(N)d(N)+ \k{x)s' {x)]'(p{x)
2k(N)s/(N)d(N)+ \k{x)s' {x)]'(p{x)
k^x^^x^s1 {х)У'
k^x^^x^s1 {х)У'
g⑻=衣⑺w⑺]2,
g⑻=衣⑺w⑺]2,
衣(/)夕(/)!У(/)]2 •
衣(/)夕(/)!У(/)]2 •
⑶⑶
⑶
⑶
4 \ к г4 \ к гДля исследования поведения у(х) при А —> сю удобно выбрать функции s(n) и 夕(/) из условий /(s) = 0 и g(s) = 1, что дает
4 \ к г
4 \ к г
В результате уравнение для функции 〃(s) принимает вид и" + [А — q(s)]〃 = О,
⑷
где
丁 (/)夕(/) 1ж = Ж(«)丁夕
竺+竺
В случае, когда функции k(/) и 丁(/) имеют разные знаки на (а, 6), уравнение (1) заменой s'? = —r(x)/k(x) приводится к виду, аналогичному ⑷，
〃"(s) - [А + q^s^u^s) = О,
⑹
где q(s) определяется той же формулой, что и в первом случае. Так как изучение поведения решений при А —> +сю для уравнения (6) проводится, в основном, теми же методами, что и для уравнения (4), то в дальнейшем мы будем рассматривать лишь первый случай, когда уравнение (1) заменой (2) можно привести к уравнению (4).
Из равенств (3) имеем
s(n) = / \(а < xq < b\ 夕(/) = [&(/)丁(n)「i/4.
Пусть s(a) = с (с < 0), s(b) = d (d > 0). Функция s(n) непрерывна и монотонно возрастает на (а, Ь). Поэтому существует обратная функция / = /(s), которая также будет монотонно возрастающей непрерывной функцией на (с, d).
1.2. Естественно ожидать, что при А —> +сю решения уравнения (4) будут в пределе совпадать с решениями более простого уравнения
и" + Au = 0,
т.е. при А —> +сю будет выполняться приближенное равенство
〃(s) A cos “s + В sin 从s,
где 从=д/A, А и В — некоторые постоянные (см. доказательство в [80]).
Возвращаясь к старым переменным, получим, что при 衣⑺〉О, 丁(/) > 0 на (а, Ь) решения уравнения (1) при А —> +сю представляются в виде
U(N)= /‘J、/ [4cos§(N)+Bsing(N)],(10)
где优
式/)=/2(y)d#.
Замена решения уравнения (1) приближенным решением (10) лежит в основе квазиклассического метода решения уравнения (1).
В случае, когда к(х)〉0, г(х) < 0, аналогичным образом получим
g ⑺=/⑺ + Ве-^l(и)
где
При замене точного решения приближенным, по существу, важно было лишь выполнение неравенства L《卩(L = J^|q(s)|ds) для уравнения (4). Поэтому приближенными решениями (10) и (11) можно пользоваться не только в тех случаях, когда велико значение А , но и при А 〜1, если L ^ 1. Как видно из формулы (5), это имеет место, когда производные функций к(х) и 丁(/) малы, т.е. при медленном, плавном изменении коэффициентов уравнения (1). Заметим, что в правую часть формулы (5) входят логарифмические производные функций к(х) и 丁(/), а также производные от соответствующих логарифмических производных. При плавном изменении коэффициентов уравнения (1) производными от логарифмических производных функций к(х) и 丁 (/) обычно пренебрегают и считают, что более существенным в правой части (5) будет второе слагаемое, для которого должно выполняться условие
(12)(12)3 к1 1(А/ г14 к 4丁r
(12)
(12)
Это условие является несколько более грубым, чем условие £《1. Однако, если мы рассматриваем уравнение Шрёдингера, записанное в виде
гдегде夕⑺=，2[е - U(n)],夕⑺=，2[е - U(n)],
где
где
夕⑺=，2[е - U(n)],
夕⑺=，2[е - U(n)],
то для него условие (12) будет совпадать с обычно используемым в квантовой механике условием применимости квазиклассического приближения
4из)
если в (12) положить к(х) = 1, 丁(/)=夕？(/).
Практический интерес представляет также получение приближенного решения уравнения (1) при А —> +сю, справедливого вплоть до концов интервала (а, Ь) в случаях, когда функции г(х) и к(х) на концах интервала (а, Ь) имеют особенности или равны нулю. Рассмотрим, например, вопрос о приближенном представлении решения уравнения (1) при а < х < Ь, когда
к^х) = (ж —。尸如⑺，丁⑺=(ж — а)%о(/),
где функции 如⑺ 〉0 и 丁o(n) 〉0 имеют непрерывные вторые производные при а < х < Ь. Для того чтобы величина s(a) была конечной, будем предполагать, что
(14)(14)/(О - а)〉-1.
(14)
(14)
Перепишем выражения для s(n) и q⑺ при /° = а:
(15)(15)Если / ^ а, тоЕсли / ^ а, то
(15)
(15)
Если / ^ а, то
Если / ^ а, то
/丁о(а)— а)(0г+2)/2
s(/)V 如(。)КО —а+ 2)/2]
и, следовательно, выражение для q(s) можно представить в виде 仙)=〃 _2"4 + L/(s),
где
а функция /(/) непрерывна при 0 < s < s(b). В данном случае функция q(s) имеет особенность при s —> 0. Для применения метода Стеклова удобно выделить главную особенность функции q(s), т.е. переписать уравнение (4) в виде
и" + (从2 _ ^_J/4) u = S)—2/(s)u (从=д/Х) (16)
и решать это уравнение, рассматривая правую часть как известную функцию. Так как уравнение
имеет решение
〃 =4?〃3) + Bv-y^s),
где vy(x) = ^^^(ж), А и В — постоянные, J丿⑺—функция Бесселя 1-го рода, то в результате получаем решение уравнения (16) в виде
〃(s) = 4?〃3) + Во—〃3) + %(s),(17)
где
%(s) = / KNsQgTagd]So
К^О，#) = -―?——®〃3s)。—〃(从s') - Vy^S^V-y^s)].
2从 Sin 7TZ7
при припри приМожно показать, что величиной 笈〃(s) в (17) можно пренебречь 从—> +сю. При оценке величины 笈〃(s) удобно выбрать s°〉О
при при
при при
В ^ 0 и sq = 0 при 5 = 0. Оценки величины 笈〃(s) производятся по тому же плану, что и ранее, но технически они сложнее ввиду того, что при оценке функций。土〃 (//s), которые в данном случае возникают вместо cos 〃s и sin 从s, приходится в отдельности рассматривать малые и большие значения величины 从s:
(С — некоторая постоянная).
Возвращаясь к старым переменным, получаем решение уравнения (1) в квазиклассическом приближении:
и ⑺= Уед1ЬЬЛЖН(18)
夕⑺=夕⑺=008/)8/)
夕⑺=
夕⑺=
0
0
8/)
8/)
При целых v в (18) следует заменить /_〃(§) на К(§). Заметим, что при §(/)》1 замена функций Бесселя в (18) первым членом асимптотического разложения приводит к формуле, эквивалентной (10).
Если ko(N)〉0, го (ж) < 0, то представление (18) следует заменить
на
川 G）］+°K"G）｝（19）
где /〃⑶ и К〃⑶—модифицированные функции Бесселя.
Аналогичные формулы можно получить для области а < х < Ь, если функции к(/) и 丁 (/) имеют вид
衣⑺=(b — /尸衣о(/), 丁⑺=(b — х)^г^х).
Применение метода ВКБ к уравнению с особенностью вида 1/х2. Квазиклассика для центрально-симметричного поля. При рассмотрении движения частицы в центрально-симметричном поле представляет интерес получение квазиклассического приближения для уравнения вида
(20)(20)у" + г{х)у = 0,
(20)
(20)
где функция 川 丁⑺ непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядка при 0 < х < Ь. Полученное ранее приближение (18) оказывается неприменимым для уравнения (20), так как а = 0, 0 = — 2 и условие (14) не выполняется. Однако заменой переменных х = ez, у = ^l^v^z} это уравнение приводится к виду [178]
(21)(21)В（2）+ 丁 1（2）0 = 0,
(21)
(21)
где
丁 l(z) = -- + x2r(x)\x=ez.
Функция ri (z) при г —> —сю (что соответствует ж —> 0) мало отличается от постоянной, равной —| + lim /?丁Кроме того, можно показать, ЧТО lim 丁申(z)=。(k = 1,2,...). Например, при k = 1 имеем
丁⑺]TO0).
can
Поэтому при достаточно больших по модулю отрицательных значениях г функция 丁i(z) и ее производные будут медленно меняться и для уравнения (21) будет применимо квазиклассическое приближение. Если условие применимости квазиклассического приближения для уравнения (21) выполнено при всех требуемых значениях г, то, возвращаясь к старым переменным, мы получим приближенное решение уравнения (20) в рассмотренном ранее виде, но с заменой функции 丁⑺на
/、 1
/⑺一
Так, например, при решении в сферических координатах уравнения Шрёдингера
一；区〃++笈=e区
для радиальной части волновой функции Я(г), где U(^) — потенциальная энергия, £ — полная энергия частицы, ^ = 0,1, 2,... — орбитальное квантовое число, в квазиклассическом приближении получаем выражение
НЛ/зЮ+В7_1/3О (丁之户)，
笈 О) =(22)
[CI1/3^+DK1/3^] (г <f),
где
Р = РИ =-U(г)] -([2"，(23)
€ =式丁）€ =式丁）=|/ p^r^dr^,=|/ p^r^dr^,
€ =式丁）
€ =式丁）
=|/ p^r^dr^,
=|/ p^r^dr^,
f — ближайший к точке г = 0 корень уравнения р(т) = 0 (мы предполагаем, что этот корень является простым). Приближение (22) справедливо и при ^ = 0, если в (20) предел ^г^х) существует при / т 0.
Так как функция 笈(丁) должна быть ограниченной при 丁一> 0, т.е. § —> сю, то следует положить С = 0. Из условий сопряжения при г = г функций 笈(丁)и R (г) постоянные А и В можно выразить через постоянную D. Разлагая подкоренное выражение в формуле для 夕(丁) по степеням (г — г), нетрудно убедиться в том, что функции р(г)/^/|г — f|, ^(г)/|г — f|/2 и их первые производные непрерывны при г = г. Поэтому из условий сопряжения функций Я(г) и R(г) в точке г = г вытекают аналогичные условия сопряжения функции ①(丁)= (€/2)i/3vWI 任(丁) и ее производной. Имеем
Ф(г)= <Ф(г)= <Dtt2 sin(7r/3)Dtt2 sin(7r/3)[Г (2/3) Г (4/3)[Г (2/3) Г (4/3)+ 0[{r - f)3]+ 0[{r - f)3](丁 > 户),(丁 < 户)•(丁 > 户),(丁 < 户)•
Ф(г)= <
Ф(г)= <
Dtt2 sin(7r/3)
Dtt2 sin(7r/3)
[Г (2/3) Г (4/3)
[Г (2/3) Г (4/3)
+ 0[{r - f)3]
+ 0[{r - f)3]
(丁 > 户),
(丁 < 户)•
(丁 > 户),
(丁 < 户)•
Из условия непрерывности функции Ф(г) и ее производной при г = г с учетом того, что ^ ^ |г — f|3/2 вблизи точки поворота, получаем
4 = 5 =三4 = 5 =三D.D.
4 = 5 =三
4 = 5 =三
D.
D.
Рис. Д .5.Рис. Д .5.
Рис. Д .5.
Рис. Д .5.
торой изображен на рис. Д.5. Будем считать, что при любой энергии £〉UmE имеются только две точки поворота /] и /2, определяемые условием U(Ж1) = U(/2)= в. Как было показано, волновая функция частицы в квазиклассическом приближении в области х^ < х < Х2 имеет вид
如(/) = 4^^[4/3(а) + /一1/3(8)],
& = / p(x')dx'. p(x) =，2[е — U(n)]・
Если в качестве фиксированного предела в интеграле §(/) взять вторую точку поворота /2, то из аналогичных соображений получим при Х1 < X < Х2
/ Ж2
吵2(/) = В/^ [4/з(&) + J—1/з(&)], & = /p{x')dx'.
В любой точке ж, расположенной между точками поворота /】и /2, можно потребовать выполнения условий сопряжения
如⑺=呪⑺，2〔⑺=必(ж) •(24)
Выберем точку / таким образом, чтобы она была расположена вдали от точек поворота и чтобы выполнялись условия gi = §1(力) 》1, & = &(力)》1- Тогда, используя асимптотику функций Бесселя
J±l/3(€)из (24) получаемA cos (& —A sin (& —При дифференцировании мы修3(6干合9，9 = в cos (& — g,(25)J = -В sinвоспользовались условием применимостиJ±l/3(€)из (24) получаемA cos (& —A sin (& —При дифференцировании мы修3(6干合9，9 = в cos (& — g,(25)J = -В sinвоспользовались условием применимостиквазиклассического приближения (13)Так как & = J：： p(x)dx — & , то равенства на первое получимиз (25) после деления второго优2\7 - / Р(冗)j , /квазиклассического приближения (13)Так как & = J：： p(x)dx — & , то равенства на первое получимиз (25) после деления второго优2\7 - / Р(冗)j , /
J±l/3(€)
из (24) получаем
A cos (& —
A sin (& —
При дифференцировании мы
修3(6干合9，
9 = в cos (& — g,
(25)
J = -В sin
воспользовались условием применимости
J±l/3(€)
из (24) получаем
A cos (& —
A sin (& —
При дифференцировании мы
修3(6干合9，
9 = в cos (& — g,
(25)
J = -В sin
воспользовались условием применимости
квазиклассического приближения (13)
Так как & = J：： p(x)dx — & , то равенства на первое получим
из (25) после деления второго
优2\
7 - / Р(冗)j , /
квазиклассического приближения (13)
Так как & = J：： p(x)dx — & , то равенства на первое получим
из (25) после деления второго
优2\
7 - / Р(冗)j , /
откуда непосредственно вытекает правило квантования Бора-Зоммер- фельда:
优 2(£)
/ p(x)dx = 7г ^n + |^ (n = 0,1, 2,...).(26)
Так как нули волновой функции находятся внутри интервала (①匕 /2), что следует из (11) и (19), то п в (26) есть число нулей волновой функции 吵(/). Подставляя & =灰⑺ + 1/2) — & в любое из уравнений (25), находим В = (― 1)九4. Таким образом, в квазиклассическом приближении уровни энергии дискретного спектра £ = £九(п = 0,1,...) определяются из уравнения (26).
Для частицы, движущейся в центрально-симметричном поле U(г), условие Бора-Зоммерфельда в соответствии с (23) и (26) принимает вид
Г2（£）Г2（£）П（£）П（£）
Г2（£）
Г2（£）
П（£）
П（£）
dr =dr =//2e + 2Zn -(2+1/2『川］x=1/r//2e + 2Zn -(2+1/2『川］x=1/r
dr =
dr =
//2e + 2Zn -(2+1/2『川］x=1/r
//2e + 2Zn -(2+1/2『川］x=1/r
где пг — число нулей радиальной функции.
ПРИМЕР 1. Найдем в квазиклассическом приближении уровни энергии водородоподобного атома, когда U(^) = —Z/r. Для этого вычислим интеграл в левой части (27), используя интегрирование по частям:
『2
/ p(r)dr = rp(r)
『1
=Z /= +
4 ,2仃2 + 2Z丁 一(2 + 1/2)2
优2D
/(2 + 1/2『壶
Сравнение с (27) дает
Z2
где главное квантовое число п =八厅 + 2 + 1. Отсюда видно, что в квазиклассическом приближении уровни энергии водородоподобного иона совпадают с точными. Аналогичный факт имеет место и для линейного гармонического осциллятора.
Использование квазиклассики для нормировки волновых функций непрерывного спектра. Как известно, для волновых функций непрерывного спектра квазиклассические функции являются довольно хорошим приближением, При этом, однако, известную трудность представляет их нормировка. Волновые функции непрерывного спектра 笈嵬(丁), нормированные условием (см. гл. II, § 3)
/ R£^r)R£/£(r)dr = b(£ - У),(28)
о
в квазиклассическом приближении имеют вид
冗｛叫厂(29)
|[^-1/з(€) + Л/з(€)] (丁 扌丁嵬)
(г. — точка поворота). Первый нуль г = г* функции 笈嵬(丁) соответствует первому нулю § = §* уравнения
^-1/з(Г) + Л/з(Г) = 0.
В квазиклассическом приближении
e(Г)L=广？)[乙/з(£*) + 1/3任*1
Учитывая, что §* = 1,929379, в результате получим
= -0,801952 灰吁.(30)
drlr=r*
Условие (30) может быть использовано при численном интегрировании уравнения Шрёдингера для нормировки функции непрерывного
спектра. Значение dR££ (г) /dr в первом нуле 笈嵬(丁) полагается равным dR££(r)/dr.
ПРИМЕР 2. Рассмотрим нормировку волновой функции непрерывного спектра для кулоновского поля U(^) = —Z/г. При £ = 0 уравнение Шрёдингера имеет точное решение, которое может быть выражено через функции Бесселя. В частности, для 2=1 имеем
Rw(r) = V2rJ3(VbZ г).
Вычисления с использованием формулы (30) в этом случае дают нормировочный коэффициент равный 0,99998 вместо 1.
Д-Ш. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 5. Фазовый метод вычислениясобственных значений энергии и волновых функций
Уравнение для фазы и связь с квазиклассическим приближением. Для нахождения уровней энергии и волновых функций электрона, движущегося в заданном центрально-симметричном потенциале V (г), рассмотрим задачу о решении уравнения Шрёдингера
一；任"+ _『6 + '(:丿 R = eR (0 < г < оо) (1)
с граничными условиями 笈(0)=笈(сю) = 0 и условием нормировки Jq В2 (г)dr = 1. При этом функция Я(г) должна иметь заданное число нулей Пг = п — 0 — \ внутри интервала (0, сю) (п — главное квантовое число).
Обычно поставленную задачу решают следующим образом. При некотором значении энергии £ производят интегрирование уравнения (1) в сторону возрастающих значений г от г = 0 с начальными условиями, соответствующими поведению радиальной функции Я(г) при 丁〜0, т.е. Я(г)〜Х+1. Полученное решение назовем 笈。(丁). Для определенности, как это обычно принято, будем считать 笈о(丁)〉0 при малых г. Аналогичным способом, интегрируя уравнение (1) в сторону убывающих г, можно найти решение 笈^(丁), которое при г —> сю ведет себя как ехр(—,—2£ г), если V(г) т 0 при г сю.
Собственные значения энергии £ = £九纟 обычно находят из условий непрерывности функций 笈。(丁)и ^^(г) и их первых производных в
некоторой промежуточной точке г = г*. Непосредственное использование этих условий при вычислении собственных значений энергии требует, как правило, достаточно большого числа итераций, так как функции Я(г) и R(г) зависят от £ довольно сложным образом. Более эффективным является метод, когда для определения £ используется функция, которая почти линейным образом зависит от £. Для введения такой функции воспользуемся квазиклассическим приближением.
В квазиклассическом приближении решение уравнения (1) в области классического движения г± < г < Г2 имеет вид
sin (/Р(г)" +'⑵
где
夕(丁)=区\ 2 £ +『0)—,(3)
2⑴1)=#(丁2)= 0.
Исходя из представления (2) получают условия Бора-Зоммерфельда для определения собственных значений энергии в квазиклассическом приближении (см. вывод формулы (27) из § 4).
Найдем такое представление для функции R(r\ которое в квазиклассическом приближении естественным образом переходило бы в представление (2). Для этого будем искать функцию 笈(丁) в виде
石(丁)= g(丁)sin 夕(丁).(4)
Для производной R (г) будем исходить из выражения
Д^г) = a{r)g{r) cos (^(r),(5)
так как в квазиклассическом приближении
R，(r) =，p(r) cos (/p(r)dr + 力-
Потребуем, чтобы функция а(г) в квазиклассическом приближении переходила в р(т). Тогда фаза 夕(丁), очевидно, перейдет в
/ p{r')dr' + 鼻
и мы легко сможем получить условия, аналогичные условиям Бора- Зоммерфельда.
Выведем уравнения, которым должны удовлетворять функции ^(г) и 夕(丁)，считая функцию。(丁) заданной. Дифференцирование выражения (4) для Я(г) дает
⑹⑹g1 sin 夕 + g/ cos 夕=ag cos 夕.
⑹
⑹
Аналогично, дифференцируя (5) и используя уравнение Шрёдингера (1), получаем
ag1 cos 夕—ад^р1 sin 夕 + a1 g cos 夕=—fg sin 夕,
где
〃厂)= 2[e+『(『)] —
Отсюда
夕 =а — sin ср аsm 夕cosg ,
—=cos (а — — ) sin(^ — — cos
9。」
Из уравнения (8) видно, что функция ^(г) не имеет нулей, т.е. она, действительно, носит характер амплитудного множителя в (4).
Построение итерационной схемы для определения собственных значений. В соответствии с квазиклассическим приближением естественно положить。(丁)=夕(丁) в области классического движения. Вне области классического движения в качестве а(丁) выберем ограниченную, не обращающуюся в нуль функцию, такую, чтобы при всех г выполнялось неравенство d夕/d丁 > 0 в соответствии со смыслом фазы 夕.Для определенности положим а (сю) = ,—2е, тогда согласно ⑷ и (5)
/、石(丁)
电3=矶乃加亍(9)
Из поведения функции Я(г) при г —> 0 и г —> сю можно найти, что
tg 3(0)=иm = 0,(10)
tg 夕(а) = - lim =-1.(11)
Пусть 夕0(丁)и 夕8(丁)— решения уравнения (7), удовлетворяющие условиям (10) и (11), а именно 夕о(О) = 0,夕^(сю) = —тг/4. Для
собственного значения энергии £ = 2n匕 имеем tg 夕。(丁) = tg 夕^(丁) или ^^—^^(r) = 7гк, где к — целое число. Очевидно, что к = пг + 1 = п—£, т.е. в любой промежуточной точке г = г (ri < г*〈丁2) должно быть выполнено равенство
夕0(丁*) — ^oo(r*) = 7rm - 2)・ (12)
Заметим, что значение фазы 夕(丁) в узлах функции Я(г) равно тгт (т — целое число), а в узлах функции R (г) равно тг(т + 1/2) при любом выборе функции 。(丁). В какой-либо промежуточной точке г = г* значение фазы 夕(丁) определяется значением 矶Г*).*)
В области классического движения вдали от точек поворота а(г) =р(г). В качестве точки сшивания всегда можно выбрать такое значение г = г* (丁］〈丁*〈丁2), для которого 夕'(丁*) = 0, т.е. (см. (3))
При г = г* условие применимости квазиклассики |夕［《р2 всегда выполняется.
Заметим, что квазиклассическое приближение (2) можно получить непосредственно из уравнения (7), полагая а(г) = р(г) ^，/(丁):
9=-—^夕 Нsin 2夕，
dr
откуда
夕 p(r)dr + / ^^2(丁)sin 2(p(r)dr.
Малость второго слагаемого обеспечивается не только тем, что \р'/р21 《1, но и наличием под интегралом множителя sin 2夕(丁). Из
этой формулы также следует, что в области классического движения d(r) ^ р(т)〉0, что предполагалось при выводе условия (12).
Уравнение (12) в квазиклассическом приближении совпадает с условием квантования Бора-Зоммерфельда. Для того, чтобы решать это уравнение численно (например, методом Ньютона), было бы хорошо привести его к виду F(e) = 0, причем такому, чтобы функция F(e) была почти линейной относительно переменной £. Ясно, что практически такое приведение осуществить трудно. Поэтому подобная процедура была проделана для характерного случая кулоновского потенциала с внешней экранировкой V(г) = Z/r — A (см. пример 1 из § 4, п.4, а также § 3, п.З). Взяв в этом случае вместо уравнения (12) эквивалентное ему уравнение
_1 = 0
［夕0(丁*) 一зоо(丁*) + "2Кn2'
получим, что в квазиклассическом приближении оно принимает вид
2(—)1 二 °
贫八2 - 0
т.е. удовлетворяет требуемому условию линейности по £. Поэтому можно ожидать, что и в общем случае левая часть уравнения (13) будет почти линейной по переменной £, и для нахождения собственного значения энергии это уравнение будем решать методом Ньютона. В результате приходим к следующей итерационной схеме для определения собственного значения £ = £ng：
в0（丁*） 一夕8（丁*）+威7ГПв0（丁*） 一夕8（丁*）+威7ГП(s+D _ (s)1 夕о(丁*) 一夕оо(丁*)+ "2
в0（丁*） 一夕8（丁*）+威
7ГП
в0（丁*） 一夕8（丁*）+威
7ГП
£=(工)(14)£=(工)(14)* - *2 а 夕о(丁 *)_ а 夕$丁 *)
£=(工)
(14)
£=(工)
(14)
% де
(s — номер итерации).
Значения функций 夕° (г) и 夕g (г), а также 3夕о (г) /% и 3夕g (г) /де при г = г* могут быть найдены с помощью значений Ro(r\ Яд (г) и ^^(г),笈段(丁), которые получаются в результате численного интегрирования уравнения (1). Исходя из (9), построим непрерывные функции
夕0(丁) и 夕ос(У), используя главные значения арктангенса и полагая 矶丁)= р(г):
arctg 1
ад>0.
в0(丁)= <
arctg
Здесь ki — число нулей функции 笈。(丁) на интервале (0, г*), к? — число нулей функции 笈(^(丁) на интервале (г*, сю).
Для вычисления 3夕/Зе также воспользуемся формулой (9), полагая 矶丁)=夕(丁)：
13夕 _ 1 R(r)- 1 dR(r) R(r) 3任/(丁)一
cos?夕％ p(r) R'(r)^(r) 庆 (Я^г))2 庆 _ 5
откуда
如 為r'⑺r⑺+爪乃卜⑺警齊:
%一(R(厂)产+评(n笈2(n•()
С помощью (1) можно получить, что
- £(г)^^] = 2/?2(т).(16)
Для этого достаточно продифференцировать уравнение (1) по е, умножить получившееся уравнение на Я(г) и вычесть из него уравнение (1), умноженное на dR(*〔дв. Интегрируя (16), находим:
笈厶6殁“一笈。6嘗1 = 26办,
о
RM^^ -笈ооб嚥⑴=—2 /咚⑺dr.
Поэтому в силу (15) получим:
+ 2р(г)
330(产)
-(R#))2+评⑺屬6 i
<(17)
-YlR^^R^r) - 2p(r) /R^^dr
小⑴*)=/
、% 一(必(丁))2+评6鹏6
Мы видим, что при использовании итерационной схемы (14) достаточно знания значений радиальной функции Яп£(г) и ее производной Я^(г). Поэтому реальные расчеты уровней энергии и волновых функций естественно проводить непосредственно с помощью разностной схемы для уравнения Шрёдингера (1) без использования дифференциального уравнения для фазы 夕(丁).
Замечание 1. Чтобы понять роль функции а(г), рассмотрим следующую модельную задачу на собственные значения:
у" + к2у = 0 (0 < ж < 1).
Надо подобрать значения к таким образом, чтобы выполнялись граничные условия g(0) = д(1) = 0 (очевидно, что к = птг, п = 1,2,...).
Перейдем к полярным координатам:
g = gO) sin 夕 О),
J = g{x) cos 夕⑺.
Для решения у = sin к/, удовлетворяющего граничному условию т/(0) = 0, имеем
g sin 夕=sin к/, g cos 夕=k cos kx^
откуда
17
tg 夕=7tg kx.
Используя граничное условие g(l) = 0, при ж = 1 получим:
tg к 3夕 к — sin к cos к
‘8 " к ' Нк x=1 N cos2 к + sin2 к
к (справа)к (справа)
к (справа)
к (справа)
В частности,
3夕дк3夕дк、1/к、1/кприприприприк = — + П7Г, к = П7Г.к = — + П7Г, к = П7Г.
3夕
дк
3夕
дк
、1/к
、1/к
при
при
при
при
к = — + П7Г, к = П7Г.
к = — + П7Г, к = П7Г.
Для определения собственных значений к имеем уравнение
夕(1) = 7ГП.
Использование метода Ньютона для решения этого уравнения оказывается неэффективным, так как величина 夕(/) при ж = 1 зависит от к существенно нелинейным образом (см. рис. Д.6, где приведены значения 夕(/)%=]. в зависимости от параметра к). Как видно из рисунка, сходимости может вообще не быть из-за ступенчатого характера функции. Однако, если положить у1 = a(/)g(/) cos 夕(/) и ввести а(х) = к, то произойдет выглаживание фазы и при ж = 1 получим tg 夕=tg 衣,т.е.夕=k (см. рис. Д.6). Метод Ньютона при этом сходится за одну итерацию при любом начальном приближении. Замечание 2. При нахождении уровней энергии в квазиклассиче- ском приближении с помощью метода Ньютона непосредственно из условия квантования Бора-Зоммерфельда
Г2(£)
/ p££(r)dr = 7Г(7% + ；)
естественно записать его в виде, аналогичном (13):
Г2(£)
В результате в соответствии с (14) получим итерационную схему
(S+D ⑶[夕(0 + "4 {1 -[(夕(£)+ ^)/(7ГП)]2|
где
T2(£)а夕(о _ / dr% J2嵬6.
门(E)
Разностные схемы для вычисления радиальной функции. Для нахождения значений функции Я(г), являющейся решением уравнения (1), обычно используют разностные схемы достаточно высокого порядка точности с постоянным или переменным шагом по г. Вначале рассмотрим разностную схему 4-го порядка точности для уравнения о" = д(/) на равномерной сетке /〃+】=д + /г (г = 1, 2,..., N). Интегрируя это уравнение, приходим к равенству
0(/) = /(/ 一 力)g⑴出 + 3 + e(/ - 0) (з =0(0)).
Xi
Отсюда
XiXi+1
3+1 - 2з + Зт = / (力—g—i)g⑴必 + / (&+1 - t)g(t)dt. (19) 优C - 1优C
При вычислении интегралов можно различными способами аппроксимировать функцию д(/) при / С (/〃_],/〃+1). Используем для д(/) квадратичную интерполяцию
+ 例+1 -伊Т g + 例+1 - 2仇 +
y W丿一仇十 2八 W 人丿十2^2W 人丿*
Тогда после подстановки в (19) получим
=仇 + T^to+i — 2g〃 + 仇—i).(20)
Выясним точность полученной формулы. Согласно формуле Тейлора
,I h3 (IV)Л45
3±1 = 3 土。抱 + vi -^ ^vi 石 + °〃 五 +。(')
и, следовательно,
叫+1胃 +J = m + d")g + 0 們=a + 風^ + 0(們.
Так как по формуле Тейлора для д(/) имеем
仇+i — 2g〃 + дт =鼠'九2 +。(九з),
то
^‘ + "I =例 + ±(例+1 - 2例 + 仇一1) +0(戸).
Сравнение с (20) показывает, что при заданных значениях з и。一 мы действительно получили для з+i разностную схему 4-го порядка точности.
Применим полученные результаты для численного интегрирования уравнения вида о" = F(x)v (например, одномерного уравнения Шрёдингера) .Полагая в (20) g⑺=F(x)v, находим
3+1 - 2g + о—3+1 - 2g + о—Л2Л2FiVi + 通(月+13+1 — 2月 з + 月—i3—i),FiVi + 通(月+13+1 — 2月 з + 月—i3—i),
3+1 - 2g + о—
3+1 - 2g + о—
Л2
Л2
FiVi + 通(月+13+1 — 2月 з + 月—i3—i),
FiVi + 通(月+13+1 — 2月 з + 月—i3—i),
откуда возникает схема Нумерова [110]:
1 —毎月+1) 3+1 — 2 (1 + ^'2月)3 + (1 —通月т) Зт = °，(2D
Чтобы применить схему Нумерова для численного интегрирования уравнения (1) на равномерной по г сетке, следует положить
我2 +
3 =笈(先)，Fi = —2[е + V(rj] Н2—，С = 2,3,N — 1).
В результате получим
品+1品+12 1 +备九2月1 一告九2月+12 1 +备九2月1 一告九2月+1RiRi1 -卷九2月一11 一告九2月+11 -卷九2月一11 一告九2月+1(22)(22)
品+1
品+1
2 1 +备九2月
1 一告九2月+1
2 1 +备九2月
1 一告九2月+1
Ri
Ri
1 -卷九2月一1
1 一告九2月+1
1 -卷九2月一1
1 一告九2月+1
(22)
(22)
Если задать значения Я(г) при г = ri и г = Г2 = ri + Л, то схема (22) позволяет вычислить значения 笈о(丁) в заданных точках сетки. Чтобы вычислить ^^(г), можно применить схему (21) при г < rN в виде
(23)(23)肝2 1 +备九2月D 1 -卷九2月+1肝 用T = 2—卷犷月一］品-1 —表犷月一］用+1•
(23)
(23)
Радиальные функции вблизи нуля и при больших г. Для использования формул (22) и (23) необходимо иметь значения функции Я(г) в двух начальных точках 丁匕 丁2 (и соответственно, в точках rN и 丁n—1). Рассмотрим сначала вопрос, когда численное
интегрирование уравнения (1) проводится от точки г = 0 в сторону возрастающих значений г.
Для определения значений Я(г) в окрестности 丁 ^ 0 запишем уравнение (1) в виде
石〃 _^^R = "丁)石(〃 丁)= _2[e + V(r)]).(24)
В рассматриваемых задачах lim rV (г) = Z. Если считать правую г—>0
часть (24) заданной функцией, то с помощью принципа Дюамеля, позволяющего найти решение неоднородного уравнения с помощью решений однородного уравнения, получим
区6 = c— +区6 = c— +22+1 丿22+1 丿оо1 —1 —f^r,)(r,)~£R(r,)dr,.f^r,)(r,)~£R(r,)dr,.
区6 = c— +
区6 = c— +
22+1 丿
22+1 丿
о
о
1 —
1 —
f^r,)(r,)~£R(r,)dr,.
f^r,)(r,)~£R(r,)dr,.
ПолагаянаходимПолагаянаходимR(r) = Cr£+1y(r) (lim 沙(丁)= 1),R(r) = Cr£+1y(r) (lim 沙(丁)= 1),
Полагая
находим
Полагая
находим
R(r) = Cr£+1y(r) (lim 沙(丁)= 1),
R(r) = Cr£+1y(r) (lim 沙(丁)= 1),
沙6沙61 + 22 + 1 丿о1 + 22 + 1 丿о1 —1 —r，f(r,)y(r,)dr,.r，f(r,)y(r,)dr,.
沙6
沙6
1 + 22 + 1 丿
о
1 + 22 + 1 丿
о
1 —
1 —
r，f(r,)y(r,)dr,.
r，f(r,)y(r,)dr,.
Так как при г —> 0 существует предел функции rf(r)y(r\ то для вычисления интеграла при малых значениях г можно использовать линейную аппроксимацию функции г/(г)т/(г):
丁/(丁)g(丁) = a + b%
где a = — 2Z. В результате интегрирования получим
Подставляя сюда br = 2Z + rf(r)y(r) и полагая С = С。, окончательно находим при малых г
1Zr
任0(/)=с。/+1《〉0).(25)
—2(22 + 3)
Используя (25), можно найти значения 笈。(勺)и 笈о(丁2)и по формуле (22) вычислять 笈0(丁).
При г = rN в соответствии с выбором знака Я(г) при малых г полагаем R^ (rN) =(С^ 〉0). Значение 笈8(丁^—1) вы-
числим с помощью квазиклассического приближения. Это приближение хорошо работает, если точка rN находится на достаточно большом rN
расстоянии от второй точки поворота г = Г2, т.е. / \p{r)\dr》1 (здесь
户1 и 户2 ——точки поворота, их не следует путать с точками сетки ri и 丁2)・ С другой стороны, заметим, что слишком большие значения rN приводят к дополнительному накоплению ошибок округления при вычислении Rg，). Поэтому в расчетах величину rN удобно выбирать rN
из приближенного равенства / \p(r)\dr ^ 10.
Итак, в квазиклассическом приближении
При использовании итерационной схемы (14) кроме значений 笈。(丁*) и Яос(^*), которые можно получить с помощью (22) и (23), необходимо вычислить также R((r*) и 笈段(丁*). Значения производных R (г) можно найти по значениям функции 笈(丁) с помощью формулы Тэйлора, учитывая, что R"(г) = F(r)R(r):
刀2刀3刀4
R(r±h)=冗2±%n«) +万尸gng士戮［尸gng丫+不■［尸gn2「+0(戸).
Разрешая выражение для R(r + /г) — R(r — h) относительно Я^г), получим с точностью О (Л4) требуемую формулу:
После вычисления собственных значений энергии по схеме (14) радиальную функцию Я(г), удовлетворяющую условию нормировки
J В2(г)dr = 1 и условию непрерывности в точке г = г*, можно полу- 0
чить с помощью найденных ранее функций Яо (г) и Rg (г) следующим образом:
"(i絡(。＜Г" R…^ "
Результаты расчетов. Как показали расчеты, вычисление функции Я(г) по разностной схеме (21) с постоянным шагом Дг = Л требует достаточно большого числа точек 丁〃. Это связано с тем, что в области малых г функция U^(r) = —V(г) + 2(2 + 1)/(2г2) быстро меняется. Более надежными оказались разностные схемы с переменным шагом △先,использующие при численном интегрировании, например, классический метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага при заданной точности вычислений.
На практике в качестве независимой переменной удобнее вместо г использовать / = « или / = In г. При этом можно по-прежнему применять метод Нумерова с △/ = const. Например, в случае / = “ уравнение (1) с помощью замены переменных / =，F, R{r) = y/xW(ж) приводится к виду, не содержащему первой производной:
=F⑺屮⑺, F(x) = —8r [e + V(r)] H
Интегрирование этих уравнений методом Нумерова проводится на интервалах (/],/* + △/) и (/* — △冗，冗双)с использованием начальных значений W(xi) и W(^2), определяемых с помощью формул (25), и значений W(xN) и W(xN-i), определяемых с помощью квазиклассического приближения (26).
Вычисления показали, что процесс итераций (14) является вычислительно эффективным [85]. Для иллюстрации точности вычислений и скорости сходимости итераций в табл. Д.5-Д.6 приведены последовательные значения энергии 2n匕 для потенциала Томаса-Ферми (Z = 79, Г = 1 кэВ, р = 0,1 г/см3), полученные методом Нумерова. Приведены результаты для различного числа N точек сетки, равномерной по ^/г/го, го = 17,4. Точное значение £九纟 получено методом Рунге-Кутта с контролем точности (погрешность меньше 10-6). Для сокращения таблицы результаты приведены для п < 4 и для п = 9. При п > 4 скорость сходимости, как показали расчеты, не ухудшается.
口(°)〜
Начальное значение £九纟=£九纟 вычислено в квазиклассическом приближении по формуле (18). Влияние начального приближения на скорость сходимости итераций иллюстрирует табл. Д.6, где в первом столбце взято £九纟=1,5 £九纟,во втором £九z = 0,5 еп£ и в третьем, для сравнения, !* = (число точек сетки N = 500). Сравнительно большое значение N связано с тем, что одна и та же сетка использовалась для всех значений п (п = 1,2,... , 9), что является удобным при вычислениях самосогласованных атомных потенциалов, электронной плотности и т.д. (при этом, например, функция Яю(г) существенно отлична от нуля лишь на 20 первых точках сетки).
Таблица Д.5. Итерации £ п^ для потенциала ТФ (Z = 79, Т= 1 кэВ, р = 0,1 г/см3)
п
2
N = 125
N = 250
N = 500
£九2 (Р・-К.)
1
0
-2661,98638940
-2902,33409669
-2852,65239995
-2849,17788058
-2852,68543528
-2848,54090217
-2849,04011851
-2858,53546993
-2848,92042311
-2849,04118595
-2858,95317352
-2848,92011080
-2849,04118589
-2858,98357033
-2848,92011107
-2849,04118589
-2858,98578532
-2858,98594674
-2858,98595851
-2858,98595936
-2858,98595942
-2858,98595943
-2848,92011107
2
0
-595,37770290
-628,38311020
-626,10921430
-624,43437793
-626,58135038
-624,41279501
-624,42145950
-625,54395006
-624,42421953
-624,42095247
-625,54288033
-624,42418770
-624,42095251
-625,54288041
-624,42418779
-624,42095251
-625,54288041
-624,42418779
2
1
-599,25361751
-604,09464834
-607,58726534
-609,04915129
-609,22795813
-609,07079676
-609,05232485
-609,15574781
-609,06222871
-609,05155792
-609,15607315
-609,06223107
-609,05155793
-609,15607167
-609,15607168
-609,06223107
-609,05155793
3
0
-253,66806911
-258,23657499
-259,25176745
-258,66158054
-259,18033446
-258,66602217
-258,65927606
-259,02899288
-258,66463146
-258,65876493
-259,03004624
-258,66463557
-258,65876498
-259,03003834
-258,66463556
-258,65876498
-259,03003840
-259,03003839
-258,66463556
3
1
-256,83614063
-254,16789552
-252,72990557
-252,93686050
-253,02176538
-252,94593219
-252,93777058
-253,00603191
-252,94287109
-252,93767461
-253,00611075
-252,94287199
-252,93767461
-253,00611035
-253,00611036
-252,94287199
3
2
-242,92187909
-244,07358263
-244,48978619
-244,18008049
-244,19337568
-244,18113102
-244,18084667
-244,18867280
-244,18110016
-244,18066156
-244,18867866
-244,18867865
-44,18110016
-244,18066156
4
0
-137,81652997
-139,71655719
-139,66788434
-139,43180899
-139,60745024
-139,43457064
-139,43126146
-139,61361153
-139,43518570
-139,43079378
-139,61357070
-139,43518385
-139,43079379
-139,61357098
-139,61357097
-139,43518386
-139,43079379
9
0
-21,63165056
-21,79779582
-21,80696817
-21,78817276
-21,81917858
-21,78936719
-21,78817983
-21,81724104
-21,78936920
-21,78819009
-21,81725231
-21,81725225
-21,81725225
-21,78936920
-21,78819009
Таблица Д .6. То же, что в табл. Д.5, но для различных значений £ 九纟(числоточек N = 500)
п
2
£ п£ — °〉5巨7^2
(0)_ ~
1
0
-4278,97859992
-1426,32619997
-2852,65239995
-2901,57021032
-2306,53497848
-2849,04011851
-2848,87180002
-2811,28303029
-2849,04118595
-2849,04119440
-2848,94523986
-2849,04118589
-2849,04118589
-2849,04119117
-2849,04118589
-2849,04118589
-2849,04118589
-2849,04118589
2
0
-939,16382146
-313,05460715
-626,10921430
-716,82873046
-583,03029883
-624,42145950
-630,81321159
-624,21186547
-624,42095247
-624,43131044
-624,42098171
-624,42095251
-624,42095156
-624,42095251
-624,42095251
-624,42095251
-624,42095251
-624,42095251
2
1
-911,38089801
-303,79363267
-607,58726534
-707,84877667
-542,48283307
-609,05232485
-615,49440987
-609,39429220
-609,05155792
-609,06707413
-609,05159433
-609,05155793
-609,05155778
-609,05155793
-609,05155793
-609,05155793
-609,05155793
-609,05155793
3
0
-388,87765117
-129,62588372
-259,25176745
-279,42283108
-304,63958151
-258,65927606
-260,04599856
-267,38720905
-258,65876493
-258,66189055
-258,83742839
-258,65876498
-258,65876469
-258,65879800
-258,65876498
-258,65876498
-258,65876498
-258,65876498
-258,65876498
3
1
-379,09485836
-126,36495279
-252,72990557
-242,77148845
-261,07316148
-252,93777058
-253,14347454
-253,08076261
-252,93767461
-252,93776185
-252,93771602
-252,93767461
-252,93767461
-252,93767461
-252,93767461
-252,93767461
3
2
-366,73467928
-122,24489309
-244,48978619
-329,73651407
-247,25717717
-244,18084667
-281,47443353
-244,20017403
-244,18066156
-248,77557031
-244,18066221
-244,18066156
-244,22545811
-244,18066156
-244,18066524
-244,18066156
-244,18066156
-244,18066156
4
0
-209,50182650
-69,83394217
-139,66788434
-120,09361223
-145,24226617
-139,43126146
-142,05794293
-139,65009864
-139,43079378
-139,48393238
-139,43119357
-139,43079379
-139,43081592
-139,43079378
-139,43079379
-139,43079379
-139,43079379
-139,43079379
-139,43079379
9
0
-32,71045225
-10,90348408
-21,80696817
-21,72346630
-21,37967389
-21,78817983
-21,78806957
-21,78248161
-21,78819009
-21,78819009
-21,78818932
-21,78819009
-21,78819009
-21,78819009
-21,78819009
Как следует из 3-го столбца табл. Д.5, уже первая итерация позволяет получить фактически 5 верных цифр для собственного значения энергии. Заведомо плохое начальное приближение （см. табл. Д.6） лишь незначительно увеличивает число итераций. Очевидно, что фазовый метод может применяться для решения многих других задач на собственные значения.
Фазовый метод для уравнения Дирака. Рассмотрим уравнение （13） из § 2 гл. II для функции Р（г）, определяющей большую компоненту радиальной части волновой функции Fn£j（r）:
（27）（27）而+*（「*=°，
（27）
（27）
где
衣2（丁）衣2（丁）3 伏一43 伏一4+券+券х т/+ 1）广〃r2х т/+ 1）广〃r2（28）（28）
衣2（丁）
衣2（丁）
3 伏一4
3 伏一4
+券
+券
х т/+ 1）
广〃r2
х т/+ 1）
广〃r2
（28）
（28）
Итерационная схема аналогична схеме для уравнения Шрёдингера:
（s+D _ （s）1 夕о（丁*） 一夕оо（丁*）+ "2 Г/ 夕 о（ 丁 *） 一夕 оо（ 丁 *）+ 吟 2
£ - £2 а 夕 о（ 丁 *）_ а 夕 $ 丁 *）［（丿
де де
arctg
+灰衣1,
用（产）'
夕о（丁*）= <
arctg
+ 7Г 隔 + 1）,
用（产）'
arctg
弘& （丁 *）
-"（居 + 1）,
农（产），
в eо （丁）= <
arctg
秋 & （丁 *）
必㈠ •
Здесь ^2（r）=衣2（丁） — -—г, ki — число нулей 马（丁） от г = 0 до г = г*, 衣2 ——число нулей 2с（丁） от г = г* до г = го- Положение точки г* определяется тем, что она должна находиться в области осцилляций функции Р（г）, причем 禺&（丁）卜=『* ^ 0. Значения производных
3夕0(丁*)/8е и 3夕oq(丁*)/3e вычисляются по формулам
8 з0（丁*）8 з0（丁*）Po(r)Po(r) + 乂丁)Po(r)Po(r) + 乂丁)/修"6）p証）办0/修"6）p証）办0
8 з0（丁*）
8 з0（丁*）
Po(r)Po(r) + 乂丁)
Po(r)Po(r) + 乂丁)
/修"6）p証）办
0
/修"6）p証）办
0
де —(Р^г)У +k\r)P^r)
（书（丁））段 0）роо0）-mП / 修储（丁））成（丁）办
3夕8（丁/
% 一（必⑴））2+户（丁）磯⑴）
Значения Д)(丁) в начальных точках для схемы Нумерова можно определить, выделяя главную особенность при 丁〜0. Записывая (27) в виде
- 也#^品 =从(丁)品， 〃 =一^ + ,死2 — a2z2, dr2 丁22
и действуя аналогично случаю уравнения Шрёдингера (т.е. полагая = С。丁〃+ig(L), lim g= 1), получаем
Роб = Со 产+Роб = Со 产+J+ 3 + 2)a"[(2沙 +2)(2沙+ 3)]
Роб = Со 产+
Роб = Со 产+
1 -从(丁) 丁2/(4沙 + 6)
где Со — постоянная нормировки, а = lim r/i(r)y(r). Асимптотиче- >0
4г к2 (г)4г к2 (г)ские значения /^(г) при г —> сю удобно определять с помощью квазиклассики. Заметим, что на практике целесообразен переход к неравномерной по г сетке, например, с помощью замены 丁 = /2. Тогда для функции Z(n) = Р(丁)/丁 1/4 получим уравнение
4г к2 (г)
4г к2 (г)
Z(n).
Интегрирование этого уравнения методом Нумерова проводится аналогично рассмотренному выше случаю уравнения Шрёдингера.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абрамов В.А., Коган В.И., Лисица В. С. Перенос излучения в линиях // Проблемы теории плазмы. Т.12 / Под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева. —М.: Энергоатомиздат, 1982.
Аврорин Е.Н., Водолага Б.К., Волошин Н.П. и др. Экспериментальное изучение оболочечных эффектов на ударных адиабатах конденсированных веществ // Ж9Т①.-1987. - Т. 93, вып. 2(8). - С. 613-626.
Аврорин Е.Н., Водолага В.К., Симоненко В.А., Фортов В.Е. Мощные ударные волны и экстремальные состояния вещества. — М.: ИВТАН, 1990.
Альтшулер Л.В., Крупников К.К., Леденев В.Н. и др. Динамическая сжимаемость и уравнения состояния железа при высоких давлениях // ЖЭТФ. -1958. - Т. 34. - С. 874-885.
Альтшулер Л.В., Крупников К.К., Бражник М.И. Динамическая сжимаемость металлов при давлениях от четырех тысяч до четырех миллионов атмосфер // Ж9Т①.-1958. - Т. 34. - С. 886-893.
Альтшулер Л.В., Кормер С.Б., Баканова А.А. и др. Уравнение состояния алюминия, меди и свинца для области высоких давлений // Ж9T①.一1960. —T. 38, Вып. 3. —С. 790-798.
Альтшулер Л.В., Баканова А.А., Трунин Р. Ф. Ударные адиабаты и нулевые изотермы семи металлов при высоких давлениях // Ж9T①.一1962. — T. 42. —C. 91-104.
Альтшулер Л.В. Применение ударных волн в физике высоких давлений // У①Н. — 1965. — Т. 85. — С. 197-258.
Альтшулер Л.В., Баканова А.А., Дудоладов И.П. и др. Ударные адиабаты металлов. Новые данные, статистический анализ и общие закономерности // Прикл. мех. и тех. физика. — 1981. — Вып. 2. — С. 3-34.
Баканова А.А., Дудоладов И.П., Трунин Р. Ф. Сжатие щелочных металлов сильными ударными волнами // Физика твердого тела. — 1965. — Т. 7, Вып. 6. -С. 1615-1622.
Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1. — М.: Мир, 1978.
Бахвалов Н. С. Численные методы. Т.1. — М.: Наука, 1975.
Баско М.М. Уравнение состояния металлов в приближении среднего иона // ТВТ. - 1985. - Т. 23, вып. 3. - С. 483-491.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1 - 3. — М.: Наука, 1965 - 1967.
Бете Г.А., Солпитер 3. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М.: Физматгиз, 1960.
Бете Г.А. Квантовая механика. — М.: Мир, 1965.
Биберман Л.М., Воробьев В. С., Якубов И. Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. — М.: Наука, 1982.
Борн М. Лекции по атомной механике. — М.-Л.: ОНТИ, 1934.
Буреева Л. А., Лисица В. С. Возмущенный атом. — М.: Изд АТ, 1997.
Бушман А.В и др. Термодинамические свойства материалов при высоких давлениях и температурах / РИО ИХФ АН СССР. — Препринт. — Черноголовка, 1983.
Бушман А.В., Фортов В.Е. Модели уравнения состояния вещества // У①Н. -1983. - Т. 140. - С. 177- 232.
Бушман А.В., Ломоносов И.В., Фортов В.Е. Уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии. — Черноголовка: ИХФЧ РАН, 1992.
Вайнштейн В.А., Собельман И.И., Юков Е.А. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий — М.: Наука, 1979.
Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
Веселов М.Г., Лабзовский Л.Н. Теория атома. Строение электронных оболочек. —М.: Наука, 1986.
Воропинов А.И., Гандельман Г.М., Подвальный В.Г. Электронные энергетические спектры и уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах // УФН. — 1970. — Т. 100, вып. 2. — С. 193-224.
Воропинов А.И., Гандельман Г.М., Дмитриев Н.А., Подвальный В.Г. и др. Давление в металлах в приближении Хартри-Фока // ФТТ. — 1977. — Т. 19, вып. 11. — С. 3332-3338.
Гайтлер В. Квантовая теория излучения. — М.: ИЛ, 1956.
Годунов С.К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977.
Гомбаш П. Статистическая теория атома и ее применение. — М.: ИЛ, 1951.
Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме. — М.: Мир, 1978.
Грязнов В.К. и #0. Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядерного реактора. — М.: Атомиздат, 1980.
Грязнов В.К., Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамика сильно сжатой плазмы мегабарного диапазона давлений // Письма в ЖТФ. — 1982.— Т. 8, вып. 22. — С. 1378-1380.
Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Физматгиз, 1963.
Демков Ю.Н., Монозон ВС, Островский В.Н. Уровни энергии атома водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях // ЖЭТФ. — 1969.— Т. 57.— С. 1431.
Драгалов В.В., Новиков В.Г. Распределение спектральных линий в плазме по флуктуациям чисел заполнения // ТВТ. — 1987. — Т. 24, вып. 6. — С. 10571061.
Драгалов В.В., Новиков В.Г. Приближенный учет конфигураций ионов в расчетах сечений фотоионизации плотной высокотемпературной плазмы / / ТВТ. - 1989. - Т. 27, вып. 2.- С. 214-219.
Драгалов В.В., Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. и др. Статистический метод расчета поглощения фотонов в плотной высокотемпературной плазме // Физика плазмы. — 1990. — Т. 16, вып. 1. — С. 77—85.
Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н., Трунин М. Ф., Фортов В.Е. и др. Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому расширению конденсированых веществ при высоких плотностях энергии. — Черноголовка: ВНИИ9 ①，1996.
Завьялов Ю. С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. —М.: Наука, 1980.
Загонов В.П., Новиков В. Г. Локальная аппроксимация двумерных таблиц теплофизических данных / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. — Препринт.— М., 1996. — 18с.
Загонов В.П., Новиков В.Г. Локальная аппроксимация двумерных таблиц на неравномерных сетках / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. — Препринт. — М., 1997. — 21с.
Займан Д. Вычисление блоховских функций. — М.: Мир, 1973.
Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966.
Земцов Ю.К., Старостин А.Н. Зависит ли вероятность спонтанного излучения от плотности и температуры? // Ж9T①.一1993. — T. 103, вып. 2.— С. 345-373.
Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. — М.: Атомиздат, 1975.
Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Таблицы термодинамических функций вещества при высокой концентрации энергии / ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. — Препринт. — М., 1975. — 73с.
Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Квантовостатистическое уравнение состояния // Физика плазмы. — 1976. — Т. 2, вып. 5. — С. 858-868.
Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Сравнение моделей атома в плазменной области / ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. — Препринт. — М., 1988.— 13с.
Калиткин Н.Н. Квазизонное уравнение состояния // Математическое моделирование. —1989. — Т. 1, вып. 2. — С. 64-108.
Калиткин Н.Н., Кузьмина Л. В. Квантово-статистические ударные адиабаты пористых веществ // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, вып. 7 -С. 109.
Кирэюниц Д.А. Квантовые поправки к уравнению Томаса-Ферми // Ж9T①. —1957. — Т. 32, вып. 1. — С. 115-123.
Кирэюниц Д.А. О границах применимости квазиклассического уравнения состояния вещества // ЖЭТФ. — 1958. — Т. 35, вып. 6. — С. 1545-1557.
Кирэюниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц. — М.: Госатомиздат, 1963.
Киржниц Д.А., Шпатаковская Г.В. Осцилляционные эффекты атомной структуры // Ж9T①.一1972. — T. 62, вып. 6. — С. 2082-2086.
Киржниц Д.А., Шпатаковская Г.В. Осцилляции упругих параметров вещества // Ж9Т①.-1974.- Т. 66, вып. 5. - С. 1828-1843.
Киржниц Д.А., Шпатаковская Г.В. Широкодиапазонное уравнение состояния вещества на основе усовершенствованной статистической модели / ФИАН им. П.Н.Лебедева РАН. — Препринт. — М., 1998. — 46 с.
Киттель Ч. Элементарная статистическая физика. — М.: Наука, 1960.
Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1975.
Коган В.И., Лисица В. С., Шолин Г.В. Уширение спектральных линий в плазме // Вопросы теории плазмы. Вып. 13 / Под ред. Кадомцева Б.Б.— М.: Энергоатомиздат, 1984.
Компанеец А. С. Курс теоретической физики. Т.2. — М.: Просвещение, 1975.
Кондон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров. — М.: ИИЛ, 1949.
Копышев В.П. О термодинамике ядер одноатомного вещества / ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. — Препринт. — М., 1984. — 18с.
Кормер С.Б., Фунтиков А.И., Урлин В.Д., Колесникова А.Н. Динамическое сжатие пористых металлов и уравнение состояния с переменной теплоемкостью при высоких температурах // ЖЭТФ. — 1962. — Т. 42, вып. 3. — С. 686702.
Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. — М.: Наука, 1984.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Квантовая механика. Т. 3. —М.: Наука, 1989.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Релятивистская квантовая теория. Часть I. Т. 4. — М.: Наука, 1990.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Т. 5. Часть I. — М.: Наука, 1990.
Леонас В.Б., Родионов И.Д. Перспективы микроскопического подхода в исследованиях экстремальных состояний вещества / ИПМ им. М. В. Кел дыша АН СССР. — Препринт. — М., 1984. — 21 с.
Малкин О.А. Релаксационные процессы в газе. — М.: Атомиздат, 1971.
Никитин А.А.,Рудзикас З.Б. Основы теории спектров атомов и ионов. — М., 1983.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Теплопроводность тяжелых веществ в области высоких температур // Отчет Отделения прикладной математики математического института им. В.А. Стеклова — М., 1965.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Вычисление потенциала Томаса-Ферми для смеси веществ // ЖВ血иМ①.一1969. — Т. 9, вып. 3.— С. 715-720.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Коэффициенты поглощения света в плазме / ИПМ им. М. В. Кел дыша АН СССР. — Препринт. — М. — 1969. — 26 с.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Вычисление непрозрачности звезд с учетом поглощения света в спектральных линиях // Доклады АН СССР. — 1970.— Т. 191, вып. 1. — С. 47-49.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Описание состояния вещества в области высоких температур на основе уравнений самосогласованного поля / / Численные методы механики сплошной среды. Т. 4. — М., 1973.
Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера для веществ с заданной температурой и плотностью // Вопр. атомной науки и техники. Методики и программы числ. решения задач мат. физики. — 1979. — вып. 4(6). — С. 16-26.
Никифоров А.Ф. Численные методы решения некоторых задач квантовой механики. — М.: МГУ., 1981.
Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Решение уравнений Томаса- Ферми для смеси веществ методом прогонки с итерациями // Вопр. атомной науки и техники. Методики и программы числ. решения задач математической физики. — 1982. — вып. 1(9).— С. 12-17.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. —М.: Наука, 1984.
Никифоров А.Ф., Суслов С.К., Уваров В.Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. — М.: Наука, 1985. 213 с.
Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера и ее применение для получения уравнений состояния вещества в области высоких температур // Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества / Под ред. Самарского А.А. и Калит- кина Н.Н. — М.: Наука. — 1989.
Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Труханов С.К., Уваров В.Б. Расчеты уравнений состояния алюминия в области высоких температур на основе модифицированной модели Хартри-Фока-Слэтера // Вопр. атомной науки и техники. Методики и программы числ. решения задач мат. физики. — 1990. — вып. 3.— С. 62-74.
Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Соломенная А.Д. Самосогласованная водородоподобная модель среднего атома для вещества с заданной температурой и плотностью // ТВТ. — 1996. — Т. 34, вып. 2. — С. 220-233.
Никифоров А.Ф., Новиков В.Г. Применение фазового метода для определения собственных значений энергии // Математическое моделирование. — 1998.— Т. 10, вып. 10. — С. 64-78.
Новиков В.Г. Модели самосогласованного поля с квазиклассическим приближением / ИПМ им.М.В .Келдыша АН СССР. — Препринт. — М. — 1984.— 19 с.
Новиков В.Г. Ударное сжатие лития, алюминия и железа по модели МФХС / ИПМ им.М.В .Келдыша АН СССР. — Препринт. — М. — 1985. — 27 с.
Новиков В.Г., Никифоров А.Ф., Уваров В.Б., Драгалов В.В., Поглощение фотонов в высокотемпературной плазме / ИПМ им.М.В .Келдыша РАН.— Препринт. — М. — 1992. — 22с.
Новиков В.Г. Учет индивидуальных состояний ионов в модифицированной модели Хартри-Фока-Слэтера // ТВТ. — 1993. — Т. 30, вып. 4. — С. 701-708.
Новиков В.Г. Метод расчета самосогласованных атомных потенциалов для смеси веществ в релятивистском приближении Хартри-Фока-Слэтера // ЖВМиМ①.-1997. - Т. 37, вып. 1. - С. 107-116.
Новиков В.Г., Соломенная А.Д. Спектральные характеристики плазмы, согласованные с излучением // ТВТ. — 1998. — Т. 36, вып. 6. — С. 858-864.
Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — М.: Наука, 1978.
Романов Г. С., Станчиц Л.К. О расчете термодинамических параметров по полной системе уравнений Саха // Доклады АН БССР. — 1971. — Т. 15, вып. 3.
Рудзикас З.Б., Никитин А.А., Холтыгин А.Ф. Теоретическая атомная спектроскопия. Руководство для астрономов и физиков. — Л.: ЛГУ, 1990.
Самарский А.А. Введение в численные методы.— М.: Наука, 1987.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
Сапожников А.Т., Першина А.В. Полуэмпирическое уравнение состояния металлов в широком диапазоне плотностей и температур // ВАНТ. Сер. Методики и программы числ. решения задач мат. физики. — 1979. — вып. 4(6). -С. 47-56.
Свиридов Д. Т., Смирнов Ю. Ф. Теория оптических спектров ионов переходных металлов. — М.: Наука, 1977.
Синько Г.В. Использование метода самосогласованного поля для расчета термодинамических функций электронов в простых веществах // ТВТ.— 1983. — Т.2 , вып. 6. — С. 1041-1052.
Слэтер Д. Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел.— М.: Мир, 1978.
Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. — М.: Наука, 1977.
Стеклов В.А. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1956.
Уваров В.Б., Никифоров А.Ф. Об одном приближенном методе решения уравнения Шрёдингера // ЖВМиМФ. — 1961. — Т. 1, вып. 1. — С. 177-179.
Уваров В.Б., Алдонясов В.И. Фазовый метод определения собственных значений энергий для уравнения Шрёдингера // ЖВМиМФ. — 1967. — Т. 7, вып. 2. — С. 436-439.
Уилкинсон Дж..Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.
Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Т.1. — М.: Мир, 1974.
Фок В.А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
Фортов В.Е., Якубов И. Т. Неидеальная плазма. — М.: Атомэнергоиздат, 1994.
Франк-Каменецкий Д.А. Физические процессы внутри звезд. — М.: Физматгиз, 1959.
Хартри Д.Р. Расчеты атомных структур. — М.: ИЛ, 1960.
Юцис А.П., Левинсон И.Б., Ванагас В.В. Математический аппарат теории момента количества движения. — Вильнюс: Госиздат политической и научной литературы Литовской ССР, 1960.
Abdallah Jr. J., Clark R.E. X-ray transmission calculations for an aluminium plasma // J. Appl. Phys. — 1991. — V. 69, N 1. — P. 23-26.
Avrorin E.N., Vodolaga B.K., Simonenko V.A., Fortov V.E. et al., Report on the International Conference on High Pressure Science and Technology. — University —Paderborn (W.Germany), 1989.
Baranger М. Spectral line broadening in plasmas in atomic and molecular processes / by Bates D.R. (Ed.) — New York: Academic Press, 1962.
Bar-Shalom A. et al. Super-transition-arrays: a model for the spectai analysis of hot, dense plasma // Phys. Rev. A. — 1989. — V. 40, N 6. — P. 3183-3193.
Bar-Shalom A., Oreg J., Klapisch M. Collisional radiative model for heavy atoms in hot non-local-thermodynamical-equilibrium plasmas // Phys. Rev. E. — 1997. -V. 56, N 1. - P. R70-R73.
Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. V.l-3. — New York - Toronto - London: McGrow - Hill, 1953.
Bauche-Arnoult C., Bauche J., Klapisch M. Variance of the distributions of energy levels and of the transitions arrays in atomic spectra. Part I // Phys. Rev. A. — 1979. — V. 20, N 6. — P. 2424.
Bauche-Arnoult C., Bauche J., Klapisch M. Variance of the distributions of energy levels and of the transitions arrays in atomic spectra. II. Configurations with more than two open subshells // Phys. Rev. A. — 1982. — V. 25, N 5.— P. 2641-2646.
Bauche-Arnoult C., Bauche J., Klapisch M. Variance of the distributions of energy levels and of the transitions arrays in atomic spectra. III. Case of the spin-orbit-split arrays // Phys. Rev. A. — 1985. — V. 31, N 4. — P. 2248-2259.
Bauche J., Bauche-Arnoult C., Klapisch M. // Adv. At. and Mol. Phys. — 1988. —V. 23 — P. 131.
Bauche J., Bauche-Arnoult C., Wyart J.F. et al. Simulation of atomic transition arrays for opacity calculations // Phys. Rev. A. — 1991. — V. 44, N 12. — P. 5707— 5714.
Benattar R., Zakharov S. k, Nikiforov A.F. et al Influence of magnetohydrodynamic Rayleigh-Taylor instability on radiation of imploded heavy ion plasmas // Phys. Plasmas. — 1999. — V. 6, N 1. — P. 175-187.
Bethe H.A., Jackiw R. W. Intermediate quantum mechanics. — New York- Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc., 1968.
Blenski T., Ligou J. Average atom calculations of radiation opacities for gold at high density and temperature // Jour.de Physique, Colloque C7, suppl.au N 12. -1988. - V. 49. - P. 259-265.
Blenski T., Ligou J. Radiation opacities for high Z elements, in "Laser Interaction with Matter", ed. by G.Velarde, E.Minguez and J.M.Perlado. — Singapore: World Scientific, 1989.
Blenski T., Cichocki B. Density-functional approach to the absorption bands in a dense, partially ionized plasma // Phys. Rev. A. — 1990. — V. 41, N 12.— pp. 6973-6981.
Broyles A.A. Stark fields from ions in a plasma // Phys. Rev. — 1955. — V. 100, N 4. - P. 1181-1187.
Bruneau J., Decoster A., Desenne D. et al. Time-resolved study of hot dense germanium by L-shell absorption spectroscopy // Phys. Rev. A. — 1991. — V. 44, N 2. - P. R832-R835.
Carson T.R., Mayers D.F., Stibbs D. W.N. The calculation of stellar radiative opacity // Month. Not. Roy. Astron. Soc. — 1968. — V. 140, N 4. — P. 483-536.
Cody W.J., Thacher H. C. Rational Tschebyshev approximation for Fermi-Dirac integrals of orders -1/2, 1/2 and 3/2 // Math, of Computations. — 1967. — V. 21, N 97. — P. 30-40.
Colombant D., Klapisch M., Bar-Shalom A. Increase in Rosseland mean opacity for inertial fusion hohlraum walls // Phys. Rev. E. — 1998. — V. 57, N 3.— P. 3411-3416.
Cox A.N. Stellar absorption coefficients and opacities // Stars and Stellar Systems. V. 8 / ed. by L.H. Allen and D.B. McLaughlin. — Chicago: University of Chicago, 1965.
Cowan R.D. The theory of atomic structure and spectra. — Berkeley: Berkeley University of California press, 1981.
Crowley B.J. Average-atom quantum-statistical cell model for hot plasma in local thermodynamic equilibrium over a wide range of densities // Phys. Rev. A. -1990. - V. 41, N 4. - P. 2179-2191.
Dirac P.A.M. Proc. Cambridge. Phil. Soc. — 1930. — V. 26. — P. 376.
Fermi E. A statistical method for the determination of some atomic properties and the application of this method to the theory of the periodic system of elements // Z. fiir Phys. - 1928. - V. 48. - P. 73-79.
Feynman R., Metropolis N., Teller E. Equations of state of elements based on the generalized Fermi-Thomas theory // Phys.Rev. — 1949. — V. 75, N 10.— P. 1561-1573.
Final Report of the Third International Opacity Workshop & Code Comparison Study. — Garshing: Max-Planck Institut fiir Quantenoptik. — 1995.
Final Report of the Fourth International Opacity Workshop & Code Comparison Study. — Madrid: Institute of Nuclear Fusion, 1998 (in press).
Froese Fischer C. The Hartree-Fock method for atoms. — New York-London- Sydney-Toronto: A Wiley Interscience Publication, 1977.
Foster J.M., Ho arty D.J., Smith С. C. et al L-shell absorption spectrum of an open-M-shell germanium plasma: comparison of experimental data with a detailed configuration-accounting calculation // Phys. Rev. Lett. — 1991. — V. 67, N 23. -P. 3255-3258.
Glauber R.J. // Phys. Rev. — 1951. — V. 84.— P. 395.
Goldberg A., Rozsnyai B.F., Thompson P. Intermediate-coupling calculation of atomic spectra from hot plasma // Phys. Rev. A. — 1986. — V. 34, N 1. — P. 421427.
Grant I.P. Relativistic calculation of atomic structures // Advances in Physics. -1970. - V. 19. - P. 747-811.
Gunnarsson O., Johnson M., Lundqvist B.I. Descriptions of exchange and correlation effects in inhomogeneous electron systems // Phys. Rev. B. — 1979.— V. 20, N 8. — P. 3136-3164.
Gupta U., Rajagopal A.K. Inhomogeneous electron gas at nonzero temperatures: Exchange effects // Phys. Rev. A. — 1980.— V. 21, N 6. — P. 2064-2066.
Handbook of optical constants of solids. —N.Y.: Academic Press, 1985.
Hansen J.P. Statistical mechanics of dense ionized matter. I. Equilibrium properties of the classical one-component plasma // Phys.Rev.A. — 1973. — V. 8, N 6. - P. 3096-3109.
Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part II. Some results and discussion // Proc. Camb. Phil. Soc. — 1927. — V. 24. —P. 111-132.
Heitler W, Ma S. T. Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1949. — V. 52 — P. 109.
Hogelstein P.L., Jung R.K. Atomic Data Nucl. Data Tables. — 1987. — V. 37.— P. 121.
Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. — 1964.— V. 136, N 3B. — P. 864-870.
Huebner W.F. et al., Astrophysical opacity library, Los Alamos Scientific Laboratory Manual LA — 6760 — M / New Mexico: LASL, 1977.
Huebner W.F. Physics of the Sun // ed. by Sturrock P.A. et al. (dordrecht: Reidel), 1986. - V. 1.
Iglesias C.A., Hooper C.F., DeWitt H.E. Some approximate microfield distributions for multiply ionized plasmas: A critique // Phys. Rev. A.— 1983. -V. 28, N 1. - P. 361-369.
Iglesias С.A., Rogers F.J., Wilson В. G. Spin-orbit interaction effects on the Rosseland mean opacity // Astrophys. J. — 1992. — V. 397. — P. 717.
Iglesias C.A., Rogers F.J. // Astrophys. J. — 1996. — V. 464. — P. 943.
Jones A.H., Isbell W.H., Maiden C. J. Measurements of the very-high-pressure properties of materials using a light-gas gun //J. Appl. Phys. — 1966. — V. 37 -P. 3493-3499.
Kittel C., Kroemer H. Thermal physics. — N.Y.: John Wiley, 1980.
Kivel B, Bloom S, Margenau H. Electron impact broadening of spectral lines // Phys.Rev. — 1949. — V. 98, N 2. — P. 495-513.
Kohn W., Sham L.J. Selfconsistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. A. — 1965. — V. 140, N 4.— P. 1133-1141.
Latter R. Temperature behavior of the Thomas-Fermi statistical model for atoms // Phys. Rev. - 1955. - V. 99, N 6. - P. 1854-1870.
LASL Shock Hugoniot Data // ed. by Marsh S.P. — Berkeley: University of California Press, 1980.
Los Alamos Nat. Lab. Report SESAME'83: Report on the Los Alamos equation- of-state Library.T4-Group, Los Alamos LANL — 83 — 4 / New Mexico: LANL, 1983.
Los Alamos Nat. Lab. Report SESAME: The Los Alamos National Laboratory Equation of State Database LA — UR — 92 — 3407 / New Mexico: LANL, 1992.
Lotz W. Electron-impact ionization cross-sections for atoms up to Z = 108 // Ztschr. Phys. - 1970. - V. 232. - P. 101-107.
Mancini R. C., Hooper Jr. C.F, Coldwell R.L. Modeling of absorption spectra in dense argon plasma //J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf. — 1994. — V. 51, N 1/2. — P. 201-210.
March N.H. Self-consistent Fields in Atoms (Hartree and Thomas-Fermi atoms). —Oxford: Pergamon Press, 1975.
Mathews J., Walker R.L. Mathematical methods of Physics. — New York- Amsterdam: W.A.Benjamin, Inc., 1964.
Matzubara T. A new approach to quantum-statistical mechanics // Prog, of Theoret. Phys. - 1955. - V. 14, N 4. - P. 351-378.
Mayer H.L. Methods of opacity calculations // Los Alamos Scientific Lab. Rep. LA - 647(4石CO - 1870) /New Mexico: LASL, 1947.
McQueen R. G.,Marsh S.P. Equation of state for nineteen metallic elements // J. Appl. Phys. — 1960. — V. 31 — P. 1253-1269.
Merdji H., Miflalla, Blenski T. et al. Absorption spectrocopy of a radiatively heated samarium plasma // Phys. Rev. E. — 1998. — V. 57, N 1. — P. 1042-1046.
Mermin N.D. Thermal properties of the inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. A. - 1965. - V. 137, N 5.- P. 1441-1443.
More R.M. Electronic energy levels in dense plasmas //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf. — 1982. — V. 27, N 3. — P. 345-357.
More R.M., Warren K.H., Young D.A., Zimmerman G.B. A new quotidian equation of state (QEOS) for hot dense Wmatter // Phys. Fluids. — 1988.— V. 31, N 10. - P. 3059-3078.
Morse P.M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics. — New York-Toronto- London: McGraw-Hill, 1953.
Moszkowski S.A. On the energy distribution of terms and line arrays in the atomic spectra // Progr. Theor. Phys. — 1962. — V. 28. — P. 1-23.
Nardi E., Zinamon Z. Radiative opacity of high-temperature and high-density gold // Phys. Rev. A. - 1979. - V. 20, N 3. - P. 1197-1200.
Nguen-Hoe, Drawin W.A., Herman L. Effet d'un champ magnetique uniforme sur les profils des raies de Phydrogene //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf.— 1967. - V.7. - P. 429-474.
Nikiforov A.F., Uvarov V.B. Special functions of mathematical physics. — Basel- Boston: Birkhauser, 1988.
Nikiforov A.F., Suslov S.K., Uvarov V.B. Classical orthogonal polynomials of a discrete variable. — Berlin-Heidelberg: Springer- Verlag, 1991.
Nikiforov A.F., Novikov V. G., Solomyannaya A.D. Analytical wave functions in self-consistent field models for high-temperature plasma // Laser and Particle Beams. - 1996. - V. 14, N 4. - P. 765—779.
Palmer R. G., Weeks J.D. Exact solution of the mean spherical model for charged hard spheres in a uniform neutralizing background //J. Chem. Phys. — 1973.— V. 58, N 10. — P. 4171-4174.
Perrot F. HF study of the ground-state energy and band structure of metallic copper // Phys. Rev. B. — 1975.— V. 11, N 12. — P. 4872-4884.
Perrot F., Dharma-wardana M. W. C. Hydrogen plasmas beyond densityfunctional theory: dynamic correlations and onset of localization // Phys. Rev. A. -1984. - V. 29, N 3. - P. 1378-1390.
Pigarov A. Yu., Terry J.L., Lipschultz B. Study of the discrete-to-continuum transition in a Balmer spectrum from Alcator С-Mod divertor plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion — 1998. — V. 40. — P. 1-18.
Perry T.S., Springer P. T., Fields D.F. et al. Absorption experiments on X-ray- heated mid-Z constrained samples // Phys. Rev. E. — 1996. — V. 54, N 5.— P. 5617-5631.
Post D.E., Jensen R. V., Tarter C.B. e力 al. Steady state radiative cooling rates for low density high temperature plasmas // Atomic Data Nucl. Data Tables.— 1977. — V. 20. — P. 397-439.
Proceedings of the 3-d International Conference on Radiative properties of hot dense matter //by ed. Rozsnyai B. — Williamsburg, Virginia — Oct. 14-19, 1985.
Rajagopal A.K. Theory inhomogeneous electron systems: spin-density-functional formalism // Advances in Chemical Physics. — 1980.— V. 41. — P. 76-136.
Rarr R. G., Yang W. Density-functional theory of atoms and molecules. — N.Y.: Oxford University Press, 1989.
Rickert A. Review of the third international opacity workshop and code comparison study //J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf. — 1995. — V. 54, N 1/2. —P. 325-332.
Rogers F.J., Wilson B. G., Iglesias C.A. Parametric potential method for generating atomic data // Phys. Rev. A. — 1988. — V. 38, N 10. — P. 50075020.
Rogers F. G., Iglesias C.A. Rosseland mean opacities for variable compositions // Astrophys. J. — 1992. — V. 401. — P. 361R.
Rogers F.J., Iglesias C.A. The Opal opacity code: new results, UCRL-JC-119032 // Proceedings of the Astron. Soc. of the Pacific Conf. Ser. — Hague, The Netherlands, 1994.
Romanov G.S., Stankevich Yu.A., Stanchits L.K., Stepanov K.L. Thermodynamic and optical properties of gases in a wide range of parameters // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1995. — V. 38, N 3. — P. 545-556.
Rose S.J. Calculations of the radiative opacity // J. Phys.B. — V. 25. — 1992.— P. 1667.
Ross M. Matter under extreme conditions of temperature and pressure // Rep. Prog. Phys. - 1985. - V. 48. - P. 1-52.
Ross M., Young D.A. Theory of the equation of state at high pressure // Ann. Rev. Phys. Chem. — 1993. — V. 44. — P. 61-87.
Rozsnyai B.F. Relativistic Hartree-Fock-Slater calculations for arbitrary temperature and matter density // Phys. Rev. A.— 1972. — V. 5, N 3. — P. 11371149.
Rozsnyai B.F. Spectral lines in hot dense matter //J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf.- 1977.— V. 17.- P. 77-88.
Rozsnyai B.F. Quantum-statistical models for multicomponent plasmas. II.// Phys. Rev. A. - 1977.— V. 16, N 4. - P. 1687-1691.
Rozsnyai B.F., An overview of the problems connected with theoretical calculations for hot plasmas //J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf. — 1982.— V. 27, N 3. — P. 211-217.
Rozsnyai B.F. Bracketing the astrophysical opacities for the King IVa mixture // Astrophys. J. — 1989. — V. 341. — P. 414-420.
Sampson D.H., Parks A.D. // Astrophys. J. Suppl. — 1974. — V. 28, N 263.— P.323.
Seaton M. J. Atomic data for opacity calculations: XIII. Line profiles for transitions in hydrogenic ions. //J. Phys. B: At.Mol. Opt.Phys. — 1990. — V. 23. — P. 32563295.
Slater J. C. A simplification of the Hartree-Fock method // Phys. Rev. A. — 1951. -V. 81, N 3. - P. 385-390.
Spielman R.B., Deeney C., Chandler G.A. et al // Phys. Plasmas. — 1998.— V. 5. — P. 2105.
Springer P. T., Fields D.J., Wilson B. G. et al. Spectroscopic absorption measurements of an iron plasma // Phys. Rev. Let. — 1992. — V. 69, N 26. -P. 3735-3738.
Springer P. T., Fields D.F., Wilson B. G. et al. Spectroscopic measurements of Rosseland mean opacity //J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf. — 1994.— V. 52. -P. 371S.
Springer P. T., Wong K.L., Iglesias C.A. et al. Laboratory measurements of opacity for stellar envelopes // J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf. — 1997.— V. 58, N 927.
Stein J., Shalitin D., Ron A. Average-atom models of line broadening in hot dense plasmas // Phys. Rev. A.— 1985. — V. 31, N 1. — P. 446-450.
Thomas L.H. The calculation of atomic fields // Proc. Camb. Phil. Soc. — 1926. —V. 23. — P. 542-548.
Trainor K.S. Construction of a wide-range tabular equation of state for copper // J. Appl. Phys. - 1983. - V. 54, N 5. - P. 2372.
Tsakiris G.D., Eidmann K., An approximate method for calculating Planck and Rosseland mean opacities in hot dense plasmas //J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf. - 1987. - V. 38, N 5, P. 353-368.
Weizsacker C.F. // Z. Phys. - 1935. - V. 96. - P. 431.
Winhart G., Eidmann K., Iglesias C.A. et al. XUV opacity measurements and comparison with models //J. Quant. Spectrosc. Radi at. Transf. — 1995. — V. 54, N 1/2. - P. 437-446.
Winhart G., Eidmann K., Iglesias C.A., Bar-Shalom A. Measurements of extreme uv opacities in hot dense Al, Fe and Ho // Phys. Rev. E. — 1996. — V. 53, N 2. -P. R1332-R1335.
Yan Yu., Seaton M. J. Atomic data for opacity calculations: IV.Photoionisation cross sections for С II // J. Phys. B. — 1987. — V. 20. — P. 6409-6429.
Zhang H.L., Sampson D.H., Mohanty A.K. Fully relativistic and quasirelativistic distorted-wave methods for calculating collision strengths for highly charged ions // Phys. Rev. A. - V. 40, N 2. - P. 616-632.
Zink J. W. Shell structure and the Thomas-Fermi equation of state // Phys. Rev. —1968.— V. 176. — P. 279-284.
A.F. Nikiforov, V.G. Novikov, V.B. Uvarov
QUANTUM-STATISTICAL MODELS
OF HOT DENSE MATTERand
METHODS FOR COMPUTATION
OPACITY AND EQUATION OF STATE
Fizmatlit
Physics and Mathematics Publishers CompanyRussian Academy of Sciences
The subject and the purpose of the book. The most widely used nowadays theoretical models for describing properties of hot dense matter — the generalized Thomas-Fermi model, Hartree-Fock and Hartree- Fock-Slater models for the matter with given temperature and density are considered. The book consists of two parts: I. Quantum-statistical self-consistent models. II. Radiative and thermodynamic properties of hot dense matter. There is also Mathematical Addendum: Methods of solving the Schrodinger and Dirac equations.
The purpose of the book is to make clear how on the basis of such quantum-statistical models to calculate different characteristics of matter such as Rosseland mean free paths and frequency-dependent opacities, composition of ions, equation of state etc. Calculation methods and computational algorithms are developed for solving the corresponding systems of nonlinear equations. What is the most important in the book it is the simultaneous account of problems both in physics and in computational mathematics.
Knowledge of thermophysical properties — opacities (sometimes depending on huge number of spectral lines) and equations of state (EOS), sys- temized in a data base, is very essential for investigating many physical processes in high-temperature plasmas, for numerical simulation in hydrodynamics with radiation, describing, for example, an action of impulse power sources on different materials.
Possible readers. The book is aimed at a wide range of specialists in atomic physics, quantum-mechanical models and computational mathematics and may be used also for undergraduate and graduate students of physical and mathematical disciplines and for studying and lecturing on quantum mechanics, statistical physics, plasma and atomic physics. The material of the proposed book was partially presented during about 10 years in a special course of lectures for the students of the Physical Faculty at the Moscow State University.
Moscow, 2000, 400 pages, 97 figures
CONTENTS
Preface
PART I
QUANTUM-STATISTICALSELF-CONSISTENT MODELS
Chapter I. The generalized Thomas-Fermi model
. The Thomas-Fermi model for the matter with given temperature and density
. Numerical integration of Poisson-Fermi-Dirac equation
. The Thomas-Fermi model for mixture of elements
Chapter II. Electron wave functions in the given potential
. The description of electron states in spherical atomic cell
. Wave functions for bound states
. Wave functions for free states
Chapter III. Quantum-statistical models of self-consistent field
. Quantum-mechanical treatment of bound states in the generalized Thomas-Fermi model
. The Hartree-Fock method for the matter with given temperature and density
. Modified Hartree-Fock-Slater model
Chapter IV. Hartree—Fock—Slater model for the average atom
. System of Hartree-Fock-Slater equations in spherical atomic cell
. Iterative process for Hartree-Fock-Slater equations
. Hartree-Fock-Slater model for mixture of elements
. Accounting for individual states of ions
PART IIRADIATIVE and THERMODYNAMIC PROPERIESof HOT DENSE MATTER
Interaction of radiation with matter
. The transport of energy by radiation
. The main radiative processes contributing to opacity
. Absorption in spectral lines
. Profile of lines
. Statistical approach for accounting of overlapped lines
. Calculation results for Rosseland mean free paths and spectral opacities
. About absorption in plasma with non-equilibrium radiation field
The equation of state
. Thermodynamic properties of matter on the basis of average atom models
. The model of ionization equilibrium
. The calculation of the equation of state with the aid of Hartree- Fock-Slater model
. Comparison of calculation results with experiment and with calculations using another models
. Tables of thermodynamic data and their approximation
ADDENDUM
METHODS of SOLVING the SCHRODINGER and DIRAC EQUATIONS
A-l. Analytical methods
. About some problems of quantum mechanics which can be solved in analytical form
. Solution of Dirac equation for hydrogen-like atom
A-2. Approximate methods
. Variational method
. Semiclassical approximation
A-3. Numerical methods
. The phase method for Schrodinger equation
References
Если в (14) заменить sin^g + тг/4) = (1 + sin2§)/2 на 1/2, а затем перейти от суммирования по ^ к интегрированию по у = (2 + 1/2尸 и произвести его в первую очередь, то в результате получим выражение, совпадающее с (8).
Как следует из вывода формулы (14), в модели Томаса-Ферми пренебрегается осцилляциями волновых функций и, тем самым, осцилляциями электронной плотности. Метод Томаса-Ферми описывает лишь усредненное поведение физических величин, не передавая их осцилляций, связанных с оболочечной структурой. Таким образом, электронная плотность среднего атома по модели Томаса-Ферми и его потенциал в результате использования уравнения Пуассона оказываются согласованными между собой, однако полученные в этом потенциале волновые функции электронов и вычисленный с их помощью потенциал согласованными не будут.
1. Сравнение статистического метода с детальным расче
Г = 1 кэВ и плотности р = 0,1 г/см3 для золота, рассчитанные как по эффективной методике (формула (16) из § 5), так и путем детального перебора более 70000 конфигураций по формуле (15) из § 2, приведены на рис. 5.16. Из рисунка видно, что эффективная методика хорошо передает поведение коэффициента поглощения в среднем, огрубляя, естественно, детализацию. Гораздо точнее передаются средние характеристики (см. табл. 5.11).
1) упругие столкновения частиц, т.е. столкновения без изменения их внутреннего состояния;
1 /V
А.Ф. НИКИФОРОВ, В.Г. НОВИКОВ, В.Б. УВАРОВ
КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
методы расчета росселандовыхпробегов 〃 уравнений состояния
УДК 533 ГГ Издание осуществлено при поддерснске ББК 22.333 Российского фонда фундаментальных
Нбб исследований по проекту 99-07-7/734
Никифоров А.①.,Новиков В.Г., Уваров В.Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы и методы расчета росселандовых пробегов и уравнений состояния. — М.: Физико-математическая литература, 2000. — 400 с. — ISBN 5-9221-0052-1.
Рассмотрены модели Томаса-Ферми, Хартри-Фока и Хартри-Фока-Слэ- тера, обобщенные на произвольные температуры и плотности. Цель предлагаемой книги — показать, как на основе этих моделей вычислять спектральные коэффициенты поглощения фотонов, росселандовы пробеги и уравнения состояния. Банки данных таких величин необходимы для количественного описания и понимания многих физических процессов, протекающих в горячем плотном веществе. Результаты расчетов иллюстрируются графиками, таблицами, сравнением с экспериментом и результатами других авторов.
Для специалистов, работающих в области атомной физики и прикладной математики. Может быть использована в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов физических специальностей, для чтения лекций по квантовой механике, статистической физике и вычислительной математике.
Табл. 41. Ил. 97. Библиогр. 223 назв.
Научное издание
НИКИФ ОР О В Арнольд Федорович, НОВИКОВ Владимир Григорьевич,УВАРОВ Василий Борисович
КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ И МЕТОДЫ РАСЧЕТАРОССЕЛАНДОВЫХ ПРОБЕГОВ И УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
Редактор В. С. ЯрунинОригинал-макет И.И. Каледина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 01.06.2000.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 27,5. Тираж 1000 экз. Заказ №
Издательская фирма "Физико-математическая литература"МАИК "Наука/Интерпериодика"117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90
Отпечатано с пленок в Чебоксарской типографии № 1
428019, г. Чебоксары, пр. Яковлева, 15
© ①ИЗМАТЛИТ, 2000
ISBN 5-9221-0052-1ISBN 5-9221-0052-1© А.①.Никифоров, В.Г. Новиков,
ISBN 5-9221-0052-1
ISBN 5-9221-0052-1
В.Б. Уваров, 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9