ПРЕДИСЛОВИЕ

По кинетической теории газов и плазмы написано уже много различных книг. Что же побудило автора написать в дополнение :к существующим книгам еще одну?

Основу современной статистической теории неравновесных процессов в газах и плазме составляют известные работы Н. Н. Боголюбова, М. Борна, А. А. Власова, X. Грина, И. Кирквуда, И. Ивона, Л. Д. Ландау, И. Р. Пригожина. В книге сделана попытка дать некоторое развитие идей и методов этих ра- •бот с целью более полного описания кинетических процессов в иеидеальных газах и плазме и развития кинетической теории крупномасштабных флуктуаций. Последняя необходима для построения последовательной теории турбулентных явлений, определяющих, в частности, аномальные диссипативные процессы.

Естественно, что наиболее простой является теория слабо не- адеальных газов и плазмы, когда возможно использование малых параметров: параметра плотности и плазменного параметра. Для более плотных систем, как и в равновесной теории, используются модельные уравнения. В этом направлении в настоящее время делаются лишь первые шаги.

Изложение ведется по пути последовательного обобщения кинетической теории идеальных газов и плазмы. При этом постепенно ослабляются ограничения, которые обычно делаются при выводе кинетических уравнений. Книга в основном написана до- •ступно, поэтому она будет полезна не только научным сотрудникам, но и преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов различных физических специальностей.

Книга состоит из трех частей. Первая часть посвящена классической кинетической теории неидеальных газов, вторая — классической кинетической теории неидеальной полностью ионизованной плазмы, третья — квантовой кинетической теории неиде- .альных газов и плазмы. Заключительная глава книги посвящена •краткому изложению кинетической теории химически реагирующих газов и частично ионизованной плазмы. Эта глава включена в книгу с целью показать возможное направление развития изложенной в книге теории и привлечь внимание к этой важной 阿 интересной проблеме.

Основное внимание в книге уделено принципиальным вопросам кинетической теории. Приложения занимают сравнительномало места. Везде, где это возможно, указана дополнительная литература.

В некоторых разделах книги использованы результаты работ» написанных совместно с моими учениками и товарищами: В. В. Белым, Ю. А. Кухаренко, Вернером Эбелингом, Вольфом Крэфтом, В. А. Пучковым, Е. Ф. Слинько. Совместная работа с ними была для меня не только полезной, но и приятной.

К. П. Гуров был первым читателем моих работ по кинетической теории неидеальных газов и плазмы. Он прочитал также- рукопись книги. Я глубоко благодарен ему. Я также искренне благодарен В. В. Белому, Л. М. Горбунову, М. Е. Маринчуку и« А. А. Рухадзе, прочитавшим рукопись книги, за замечания я советы.

Автор

ЧАСТЬ I

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

ВВЕДЕНИЕ

В основе кинетической теории лежат уравнения для одночастичных функций распределения — кинетические уравнения. Это уравнения Больцмана, Власова, Ландау, Балеску ——Ленарда.

Все кинетические уравнения являются приближенными и «следствие этого дают упрощенное (огрубленное) описание статистических процессов в газах и плазме. Степень возможного •огрубления зависит от рассматриваемой проблемы. Существуют •явления, для описания которых известные кинетические уравнения оказываются слишком грубыми. В связи с этим возникает необходимость ослабления упрощающих предположений с целью получения более общих уравнений.

Так, при выводе кинетического уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля или соответствующей ему цепочки уравнений для последовательности функций распределения (уравнений Боголюбова или В ——В — G — К — Y — уравнений Боголюбова —Борна — Грипа ——Кирквуда — Ивона) используется наличие для достаточно разреженного газа малого параметра е — параметра плотности. В плазме соответствующим является плазменный параметр 卩.

Параметры е и р, характеризуют роль взаимодействия частиц ® кинетическом уравнении для газа и плазмы. Взаимодействие яастиц играет в кинетических уравнениях двоякую роль. Оно определяет, во-первых, релаксационные процессы, приводящие, например, к установлению равновесного состояния. Иными словами, взаимодействие определяет диссипативные процессы в газах и плазме.

Во-вторых, взаимодействие частиц дает определенные вклады в недиссипативные характеристики, примером которых могут <лужить термодинамические функции: внутренняя энергия, давление, энтропия и т. д. Вклады взаимодействия определяют от・ пнчия этих функций от соответствующих функций для идеаль- «ого газа.

В кинетических уравнениях Больцмана, Ландау, Балеску — •Ленарда взаимодействие частиц определяет лишь диссипативные

характеристики. В этом смысле эти уравнения являются кинетическими уравнениями для идеального газа и идеальной плазмы. Одна из задач настоящей книги — построение кинетических уравнений для неидеального газа и неидеальной плазмы. Эти уравнения в рамках определенных моделей: приближение парных столкновений (первое приближение по параметру плотности), поляризационное приближение (первое приближение по плазменному параметру), полностью учитывают вклады взаимодействия как в диссипативные, так и недиссипативные характеристики газа и плазмы [17, 18].

Вторая задача книги — построение кинетических уравнений1 для плотных газов. Первым шагом здесь является, естественно, построение кинетического уравнения, учитывающего наряду с двойными также и тройные столкновения (второе приближение по параметру плотности).

Кинетическое уравнение для газа с учетом тройных столкновений рассматривалось Чо и Уленбеком (см. в [5]). Для построе* ния кинетического уравнения в этой работе использовалось полученное Боголюбовым выражение для двухчастичной функции распределения в первом приближении по параметру плотности.

Кинетическое уравнение Чо — Уленбека учитывает вклад вза* имодействия не вполне согласованно: в диссипативных характеристиках учитывается вклад как двойных, так и тройных столкновений, а в недиссипативных — только двойных столкновений. В книге рассматривается кинетическое уравнение, в котором в приближении тройных столкновений вклад взаимодействия учитывается более полно.

В работе Боголюбова [4] развит метод, позволяющий при выполнении условия полного ослабления начальных корреляции любого порядка определить двухчастичную функцию распределения в любом приближении по параметру плотности. Казалось бы, это дает возможность построить кинетическое уравнение в- любом приближении по плотности, так как интеграл столкновений определяется именно этой функцией. При проведении такой программы возникают, однако, принципиальные трудности.

Исследования, проведенные Вайнштоком [19], Голдманом и Фрименом [20], Дорфманом и Коэном [21], показали, что интегралы столкновений, учитывающие взаимодействия четырех и большего числа частиц, являются расходящимися (см. также [22]).

Возникновение этой трудности потребовало изменения упрощающих предположений, лежащих в основе вывода кинетических уравнений. Оказалось, что требование полного ослабления начальных корреляций за время, много меньшее времени парных столкновений, следует заменить менее жестким требованием ча* стичного ослабления начальных корреляций [23, 24] (гл. 3).

При использовании условия частичного ослабления начальных корреляций из уравнения Лиувилля можно получить уравнение для сглаженной функции распределения всех частиц. Из этого уравнения в свою очередь получается цепочка уравнений, но теперь уже для сглаженных функций распределения. Она отличается от цепочки уравнений Боголюбова тем, что в ней учтена диссипация, обусловленная парными столкновениями. Если цепочку уравнений для сглаженных функций распределения решать при условии полного ослабления начальных корреляций за время, много меньшее времени парных столкновений, то для достаточно разреженного, газа мы снова придем к кинетическому уравнению Больцмана.

Для более плотных газов из цепочки уравнений для сглаженных функций следует кинетическое уравнение, не содержащее расходимостей в интегралах столкновений. Расходимость ликвидируется вследствие учета в цепочке уравнений для сглаженных •функций распределения диссипации, обусловленной парными столкновениями (§ 18).

Таким путем можно построить кинетические уравнения, учитывающие взаимодействия четырех, пяти и большего числа частиц. Однако такой путь построения все более и более сложных уравнений по мере увеличения плотности газа мало эффективен, так как кинетические уравнения становятся чрезвычайно сложными. Вследствие этого при построении кинетических уравнений для плотных газов используется подход, аналогичный тому, который развит в статистической теории равновесных состояний плотных газов и жидкостей. При этом вместо одного кинетического уравнения для одночастичной функции распределения получается система уравнений для одночастичной функции распределения и бинарной корреляционной функции (§ 19).

На основе цепочки уравнений для сглаженных функций возможно построение кинетических уравнений с учетом вклада в интеграл столкновений крупномасштабных флуктуаций. Использование этих кинетических уравнений позволяет построить уравнения газовой динамики, в которых вязкость и теплопроводность определяются не только столкновениями, но и крупномасштабными флуктуациями.

При выводе кинетического уравнения Больцмана используется фактически предположение о непрерывности процесса столкновений частиц, определяющих интеграл столкновений. Это •позволяет считать функцию распределения в кинетическом уравнении детерминированной (нефлуктуирующей). Учет дискретности актов столкновений приводит к флуктуациям функции распределения, которые являются крупномасштабными по сравнению с флуктуациями, определяющими сам интеграл столкновений.

Для описания флуктуаций можно рассматривать кинетиче* ское уравнение Больцмана как уравнение Ланжевена с соответствующим образом определенным источником флуктуаций. Для равновесного состояния идеального газа спектральная плотность флуктуаций источника в уравнении Больцмана была найдена впервые Кадомцевым [25]. Последовательное изложение кинетической теории равновесных и неравновесных флуктуаций в газах также является одной из задач настоящей книги (гл. 4). Кинетическая теория флуктуаций в плазме изложена в гл. 11.

Книга состоит из трех частей. Первая часть посвящена классической кинетической теории неидеальных газов, вторая часть ——классической кинетической теории неидеальной плазмы, третья ——квантовой кинетической теории неидеальных газов и плазмы.

Кинетическая теория неидеальной плазмы, естественно, значительно сложнее, чем кинетическая теория газов. Здесь возникает целый ряд новых проблем. Одна из них связана с построением кинетических уравнений для неидеальной плазмы с учетом сильных взаимодействий частиц на малых расстояниях (приближение парных столкновений) и коллективных взаимодействий частиц на больших расстояниях (поляризационное приближение).

Третья часть книги посвящена квантовой кинетической теории неидеального газа и неидеальной плазмы.

Первая работа, посвященная квантовой кинетической теории неидеального газа, была не вполне удачной (Грин [26]). Более последовательный вывод кинетического уравнения Больцмана для неидеального газа был проведен в работах Каданова и Бей- ма [7], Бэрвинкеля и Гроссмана [27, 28], Климонтовича и Эбе- линга [29].

Для описания кинетических процессов в идеальной плазме используются либо кинетическое уравнение Боголюбова ——Гурова [30], которое является квантовым аналогом классического уравнения Ландау, либо уравнение, которое является квантовым аналогом классического уравнения Балеску ——Ленарда (Балеску [32], Силин [31]).

Квантовое кинетическое уравнение для неидеальной плазмы с учетом сильного взаимодействия на малых расстояниях и усредненной динамической поляризации на больших расстояниях рассмотрено в работе Климонтовича и Эбелинга [29].

Значительно более трудной является задача построения кинетических уравнений для химически реагирующих газов и кинетических уравнений для частично ионизованной Плазмы с учетом процессов ионизации и рекомбинации. Связано это с необходимостью учета внутренних степеней свободы и с несохранениеи чисел частиц отдельных компонент.

Кинетическая теория химически реагирующих газов и частично ионизованной плазмы на основе микроскопических уравнений начала развиваться сравнительно недавно. Она разработана значительно меньше, чем кинетическая теория одноатомных газов и кинетическая теория полностью ионизованной плазмы. Краткому изложению этой теории посвящена последняя глава книги.

Эта глава включена в книгу с целью показать возможные пути развития теории, изложенной в предыдущих главах, а также привлечь внимание к этой очень важной и интересной теме. Естественно, что подробное освещение этих вопросов может быть дано лишь в специальной книге.

МЕТОД ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОД МОМЕНТОВ

Уравнения для функций распределения координат и импульсов частиц одноатомного газа

С точки зрения механики микроскопическое состояние одноатомного газа в момент времени t определяется заданием совокупности координат 片，…，*n и импульсов 卩卜 …，Pn всех N частиц газа.

Для краткости будем использовать обозначения: %%= (г,, р»)— шестимерный вектор, определяющий состояние частицы с номером i (I £ i £ N)、х =(%j,xN)——6^-мepный вектор, опре

деляющий состояние всех частиц одноатомного газа.

Функцию распределения переменных х обозначим через 『№(%,/). Выражение ^(х, t)dx определяет вероятность того, что в момент времени / значения координат и импульсов частиц заключены в пределах dx около значения %. Функция fN нормирована так, что \ fw (х, /) dx= 1.

Обозначим через Ф( |п — g| )三 Ф仃 потенциальную энергию центрального взаимодействия двух атомов с номерами i, /, а через m ——массу атома. Тогда функцию Гамильтона Н для одноатомного газа можно записать в виде

£ (£+〃('“)+ 2 ①屮 а」)

где u(fi)—потенциальная энергия атома во внешнем поле.

Функция распределения fz(%,/) определяется уравнением Лиувилля'

Используя уравнения Гамильтона для частиц одноатомного газа

р£ = —77~ = — 2+^о(^ь 0, (1・3>

уравнение (1.2) можно записать в виде

%+ e (*+尸(脸)=6 I)

Здесь введено обозначение для силы F(rh f), действующей на частицу с номером /:

尸(白，/) = -/ 2 ①"+ f0(人力，(L5)

где F()= — ди/дг{ — внешняя сила.

В дальнейшем будут использоваться и иные формы записи уравнения Лиувилля.

(1・6)(17)(1・8>(1・6)(17)(1・8>Введем обозначения для операторов:

(1・6)

(17)

(1・8>

(1・6)

(17)

(1・8>

" 一dr.肌 也 8pj *

応I'…'L 2 3关+"。謚)-2。"，

鳄，…，%=导+ e 3++f。設)•

lcics ""丿

Используя обозначения (1.6), (1.7), уравнение Лиувилля можно записать в виде

(4+ X 色爲 +尸嗡)- £ V)% = 0，(L9>

' 1《УМ '” yv/WN /

или

Gfr +瓦 1'%)" = 0，(1・1。)

Наконец, вводя оператор (1.8), уравнение (1.9) запишем в форме

(匹*臬 a""(LU)

Уравнение Лиувилля — линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, для которого

уравнения характеристик совпадают с системой уравнений Гамильтона (1.3). Вследствие этого решение уравнения Лиувилля требует знания решения системы уравнений движения всех частиц газа, которое не может быть осуществлено из-за очень большого числа частиц в системе.

Таким образом, нет возможности найти общее решение уравнения Лиувилля. В этом, однако, и нет практической необходимости, так как для описания процессов в газе обычно достаточно знать функцию распределения переменных одной и двух частиц, т. е. одночастичную 力(打“)и двухчастичную 力(打,％2“)функции распределения. Они связаны с функцией ^(х, /) следующим образом:

f 1 (修，t) = V，无(修，• • •，*n、力 dx? ° ・・ d%N， (1・12) f 2 (%I，*2，') == '2，『№(*】，••♦，%M，')"心• » » dXn、 (1.13)

где V — объем газа.

Вследствие введения множителей V, V2 в определениях (1.12), (1.13) (удобство такого определения проявится в дальнейшем) функции А, % нормированы следующим образом:

%)3叁]=1,方，f2d修叁2= 1. (1.14)

Подобным же образом определяется функция распределения /5(хь •••, xs, 0 комплекса s частиц:

f$ = Vs，fn d/+i • • • d%N， ys，fs d%[ ... dxs = 1. (1.15)

Из определений (1.12), (1.15) следует, что -yfidxi определяет вероятность того, что координаты и импульсы первой частицы заключены в пределах d门,dpi около значений 门,pj при произвольных значениях координат и импульсов остальных частиц. Выражение *f2 dxi dx2 определяет вероятность того, что координаты и импульсы двух частиц лежат в пределах dr】, dp〕，dr2, dp? и т. д. около значений 门,pi,方,р2, при произвольных значениях координат и импульсов остальных частиц и т. д.

Покажем, что средние значения функций, наиболее важных для описания газодинамических процессов, можно найти, зная только функцию распределения ^.

В газовой динамике основными характеристиками являются плотность числа частиц, плотность импульса (или скорость) и плотность кинетической энергии (или температура). В нестационарном состоянии эти величины являются функциями координат

и времени, т. &

п = п(г, /), и = и (г, /), W = W (г, f).

Здесь W — плотность кинетической энергии.

Величины п,孔〃,W являются средними значениями соответствующих микроскопических величин им, (пиу\ 1ГМ, которые могут быть определены следующим образом:

пм(г, /)= Е 6&-L(f)),(拉叫= 2 о力& —力⑴)，

「 P?(L16)

旷(，，/)= £ 羲 6(，一门(‘))•

УММ

Используя формулу А= ^ A(x)fN (х, /)dx для нахождения средних значений и принимая во внимание свойства S-функций ，6 (% — /) dM = 1,，f (f) 6 (% — N)" = f (x), получим n(r, Z) = J £ ^(r — ri(t))fNdx = N ^S(r — rj/))fNdx =

У《N

= g，6(r —片)斤&1> Pi，f)"idp] = %\f«,p, t)dp. (1.17)

Аналогично

n (r,力 〃 &，D = g \ 3 (乙 P，0 d",

"Г 2 (L18) 步亿f)=2)务后(乙P，?如•

Из выражений (1.17), (1.18) следует, что для статистического определения газодинамических переменных достаточно знать лишь одночастичную функцию распределения ^ (г, р, /). Множитель NIV, входящий в выражения (1.17), (1.18), определяет среднее по всему объему число частиц в единице объема. Обозначим эту величину через п. Таким образом, N/V = п. Величина 1/п определяет объем, приходящийся в системе на один атом.

Поскольку для определения средних значений многих важнейших величин достаточно знать только первую функцию распределения, то естественно стремление получить уравнение, которое содержало бы лишь эту функцию /\. *

Чтобы найти уравнение для функции 厶，умножим уравнение (1.4) для /n на V и проинтегрируем по переменным всех частиц, кроме первой. Рассмотрим результат интегрирования отдельных

членов уравнения (1.4):

УУ。％2 • • • CIXN = ^ум,。％2 • • • CIXN = ^ум,

У

У

。％2 • • • CIXN = ^ум,

。％2 • • • CIXN = ^ум,

Здесь использовано определение (1.12) функции fi. При интегрировании второго члена следует помнить, что функция распределения обращается в нуль в точках на границе объема, в котором заключена рассматриваемая система. Учитывая это, получим

'\ 2力礬源2厶№=6言.

1</<АГ'1

При интегрировании последнего члена используем то обстоятельство, что функция распределения обращается в нуль при бесконечных значениях импульсов, а также определение (1.13) функции распределения f?：

= V(N- 1)\苦謐d/・・・〃№=▽= V(N- 1)\苦謐d/・・・〃№=▽*12叱”i dpi*12叱”i dpidx2.dx2.

= V(N- 1)\苦謐d/・・・〃№=▽

= V(N- 1)\苦謐d/・・・〃№=▽

*12叱

”i dpi

*12叱

”i dpi

dx2.

dx2.

Учитывая, что N》1, и используя обозначение п = N/У, получим в результате следующее уравнение для одночастичной функции распределения:

(寻+5許十风 訪)九М£事=

=n Ja叱产9 d%2・ (1.19)

Здесь использовано обозначение (1.8). Мы видим, что это уравнение не является замкнутым уравнением для функции 厶,так как в него входит двухчастичная функция распределения. Аналогичным путем, ннтегрнруя уравнение (1.4) по всем переменным, кроме переменных двух частиц, при N》1 получим уравнение для функции %：

三％ \ (6|3 + °23)% d%3・(1 ・20)

Здесь использованы обозначения (1.6), (1.8).

Таким образом, и уравнение для функции ,2 не является замкнутым, так как в него входит функция распределения %• В уравнение для функции /з входит функция，4 и т, д. В результате мы

получаем зацепляющуюся цепочку уравнений и, следовательно, для определения функции 九 в конечном счете надо знать функцию распределения всех частиц системы ^. Эту последовательность уравнений называют системой уравнений Боголюбова или системой уравнений В — В — G — К — Y (Боголюбова — Борна —Грина — Кирквуда — Ивона).

Уравнение цепочки для функции fs (l&sVN) можно записать в виде

2 u=^ £ 但(L2i) l<f </<s 1《У$

Вследствие чрезвычайной сложности цепочки уравнений для последовательности функций распределения fi, ^, • • • естественно стремление получить приближенные замкнутые уравнения для простейших функций распределения. Примером такого уравнения может служить кинетическое уравнение Больцмана — замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения fi(%iJ)・

Переход от уравнения Лиувилля или цепочки уравнений для функций распределения к более простым замкнутым уравнениям дается ценой более огрубленного описания процессов в рассматриваемой системе. Для исследования возможностей перехода к приближенному описанию необходимо рассмотреть соотношение между основными временными и пространственными параметрами в одноатомном газе.

Приближение парных столкновений

При г > Го, при Г W Го-При г > Го, при Г W Го-f О①(" =〔8f О①(" =〔8(2.1)(2.1)Рассмотрим вначале простейшую модель газа, в которой атомы рассматриваются как жесткие шарики диаметра г0- Потенциальная энергия атомов в этом случае может быть определена следующим образом:

При г > Го, при Г W Го-

При г > Го, при Г W Го-

f О

①(" =〔8

f О

①(" =〔8

(2.1)

(2.1)

Отсюда следует, что атомы неОтсюда следует, что атомы невзаимодействуют, если центры

Отсюда следует, что атомы не

Отсюда следует, что атомы не

(2.2)(2.2)атомов находятся на расстоянии, большем г0- Взаимодействие —— столкновение атомов происходит при сближении центров атомов на расстоянии г^ Величина го является одним из основных параметров газа. В качестве второго основного параметра длины можно взять среднее расстояние между атомами гСр 〜(1/п)*\ Из этих двух параметров можно сконструировать безразмерный параметр

(2.2)

(2.2)

6 =館7%/々)3

параметр плотности.

При атмосферном давлении и комнатной температуре величина 几 ^ 1019 сл/-з Для одноатомных газов % q 2-3 -10-8 см. При этих значениях 〃, г0 параметр плотности е 〜10-5《1. Средняя длина свободного пробега 厶 определяющая кинетические коэффициенты в газе, выражается через параметры г0, гср:

1= 1 /(V2 "誣)〜1 /(储)=%/乳

Таким образом, отношение трех параметров

『о：『ср：/~1 : I/Е”： 1/е, и поэтому

「о《『ср《/ При 8 < 1. (2.3)

Если параметр плотности е《1, то газ называют разреженным. Предельным случаем разреженного газа является идеальный газ. Если £ & 1, то газ является плотным.

В разреженном газе можно ограничиться первым приближением по параметру плотности е. При этом надо иметь в виду следующее.

Взаимодействие атомов в газе играет двоякую роль. Оно дает определенный вклад, например, в термодинамические функции газа: внутреннюю энергию газа, энтропию, давление и др. В идеальном газе вклад взаимодействия в термодинамические функции равен нулю. В разреженном газе в термодинамических функциях по сравнению с идеальным газом появляются дополнительные члены, пропорциональные параметру плотности е (см. гл. 11). В общем случае вклады взаимодействия в термодинамические функции можно представить в виде рядов по параметру плотности е.

Взаимодействие атомов в газе определяет также релаксационные процессы в газе, например, процесс установления равновесного состояния и различные явления переноса: вязкость, теплопроводность, диффузию и т. д.

Время установления равновесного состояния порядка среднего времени свободного пробега между последовательными столкновениями выделенной частицы: тст = //^т (vT ——средняя тепловая скорость). В нулевом приближении по параметру плотности £ длина свободного пробега равна бесконечности, так как / 〜『о/е, и, следовательно, время релаксации бесконечно велико, т. е. процесс релаксации не происходит. Этот результат естествен, так как процесс релаксации определяется взаимодействием частиц, а в нулевом приближении по s взаимодействие не учитывается.

Явления переноса также нельзя описать в нулевом приближении по параметру плотности, так как для перехода к гидродинамическому описанию должно выполняться неравенство I《£>

где L, например, — размер системы. В нулевом приближении по & длина свободного пробега I бесконечно велика и условие I《L не может быть выполнено.

Таким образом, для получения кинетических уравнений — замкнутых уравнений для функции 九，описывающих процессы релаксации, необходимо при разложении по е учитывать по меньшей мере члены первого порядка по параметру плотности. В этом же приближении учитываются и соответствующие вклады взан、 модействия в тер моди нам ич ески е функции.

На языке столкновений частиц газа первое приближение по параметру плотности е соответствует учету лишь парных столкновений атомов. Это означает, что вклады взаимодействий, при которых на расстояние г0 сближаются одновременно больше двух частиц, пренебрежимо малы.

Покажем, что в приближении парных столкновений бесконечная (так как в ней N f оо, Vf 8, но N/V = const) цепочка уравнений для функций распределения 九，%, • • • обрывается на втором уравнении и, следовательно, остается замкнутая система уравнений для двух функций распределения fb %• Для этого удобно использовать связь функций распределения %, £з • • • с соответствующими корреляционными функциями g2, g3, …

По определению функции g2

% (%1，尤2, 0 = f I (^1» f) fl (工2, %) + g2 (修，工2，，)•(2・4)

При g2 = 0 % = fif】 и, следовательно, частицы 《1》,《2》статистически независимы.

Функция корреляции трех частиц g3(%i, х2, %з, 0 определяется равенством

f3 =用力 + f I ⑴ g2 ⑵ 3) + 后⑵ g2 (1, 3) + 3 ⑶ g2 (1, 2) + g3・(2・5>

Здесь для упрощения записи вся совокупность переменных первой частицы обозначена через 1, второй — через 2, третьей — 3.

При удалении любой из трех частиц на бесконечное расстояние от двух других g3 обращается в нуль. Пусть для примера в бесконечность удаляется частица 《3》. Тогда g3 = 0. Кроме того, g2(l,3) = 0 и ^2(2,3) = 0 и, следовательно, в (2.5)

% =户加 + fN3) gz(1, 2) = %(1, 2)“ (3).

Здесь использовано равенство (2.4).

Из определений функций распределения 九,%,・•・ через fa (см. (1.15)) следует, что функцию fs можно выразить через fs+1 по формуле

h = F fs + i ^5+1»(2・6>

%也・%也・I = у j /2 d%2,I = у j /2 d%2,Отсюда следует, в частности, что

%也・

%也・

I = у j /2 d%2,

I = у j /2 d%2,

(2.7)

Подставим равенство (2.4) в первое выражение (2.7). С учетом условия нормировки у- f1rfx1 = 1 найдем

万2 dxi = 0, а также у j g2 dx2 = 0.Подставляя /з из (2.5) во второе равенство (2.7) и равенства (2.8), найдем, что} , g3 d修=} , g3 〃%2 = } , g3 〃з = °・万2 dxi = 0, а также у j g2 dx2 = 0.Подставляя /з из (2.5) во второе равенство (2.7) и равенства (2.8), найдем, что} , g3 d修=} , g3 〃%2 = } , g3 〃з = °・(2・8)(2・8)учитываяучитывая(2.9)(2.9)

万2 dxi = 0, а также у j g2 dx2 = 0.

Подставляя /з из (2.5) во второе равенство (2.7) и равенства (2.8), найдем, что

} , g3 d修=} , g3 〃%2 = } , g3 〃з = °・

万2 dxi = 0, а также у j g2 dx2 = 0.

Подставляя /з из (2.5) во второе равенство (2.7) и равенства (2.8), найдем, что

} , g3 d修=} , g3 〃%2 = } , g3 〃з = °・

(2・8)

(2・8)

учитывая

учитывая

(2.9)

(2.9)

Это свойство корреляционных функций g2, g3 будет использовано ниже.

В приближении парных столкновений сближение трех частиц на расстояние г0 не учитывается, поэтому g3 в (2.5) в этом приближении можно опустить.

Рассмотрим результат подстановки оставшихся членов из (2.5) в правую часть уравнения (1.20) для функции f2, но прежде преобразуем уравнение (1.19) для функции 厶.

Подставим выражение (2.4) в правую часть уравнения (1.19) и введем обозначение для средней силы, действующей на частицу 《1》：

F(门，/)=?0(门，力一九^，① 123(X2, f)d工2. (2.10)

Здесь первый член определяет внешнюю силу, а второй — среднюю силу, создаваемую окружающими частицами, плотность распределения которых 〃&2, /) = /г Л (x2f) dp2.

Запишем уравнение для fi в виде

(2Л1)заменой(2 Л 2)(2Л1)заменой(2 Л 2)(4+s詣+尸舒)з曰厶厶=/(%，/)•

(2Л1)

заменой

(2 Л 2)

(2Л1)

заменой

(2 Л 2)

Оператор £%,...,% отличается от 工界…，“ (см. (1.8)) внешней силы Го на F.

В уравнении (2Л1) введено обозначение

/ (修，f)=八党"”浓今泸'力〃2三%，612g2 %

Этот член определяет изменение функции распределения за счет корреляции пары частиц 《1》，《2》.В гл. 2 мы увидим, что для рассматриваемой модели твердых шариков корреляция отлична

от нуля лишь при сближении центров частиц на расстояние 飞尸 т. е. при столкновении частиц. Вследствие этого выражение (2.12) называют интегралом столкновений.

При 尸° = 0 н при пространственно однородном распределении частиц, когда 力=Л(рь 0 и g2 = gz&i — R, Pi,皮/), уравнение (2.11) упрощается и принимает вид

、喘^*g式>-乙，Р” ％, t)dr2dp2. (2.13>

Преобразуем теперь уравнение (1.20) для функции『2・ Подставим в правую часть этого уравнения выражение (2.5) при g3 = 0. Рассмотрим результат подстановки в первый член правой части, содержащий функцию Ф1з：

“喏説(f川i + З ⑴ g2(2, 3) +

、 +fi(2)g2(l, 3) + 3(3)g/l, 2))d/・ (2.14>・

Первый и последний члены в сумме, используя равенство (2.4) > можно записать в виде

Перенесем этот член в левую часть уравнения (1.20) и объединим с FQdf2/dp^ Используя определение средней силы, получим в результате вклад

P(rht)df2/dPl. (2.15>

Второй член в (2.14) в приближении двойных столкновений следует опустить, так как он отличен от нуля лишь при одновременном сближении трех частиц《1》，《2»,《3》. Действительно^ взаимодействие Ф13 отлично от нуля лишь при сближении частиц 《1》,《3» на расстояние го, а корреляционная функция g2(2,3) —частиц《2», «3».

Предпоследний член в (2.14), используя определение (2.12) интеграла столкновений / и уравнение (2.11), можно записать в виде

/(/，f)fi(/，/) = £/(/，>九(%，£). (2・16》

В результате подстановки выражения (2.5) во второй член правой части уравнения (1.20), содержащий функцию Ф23, вместо (2.15), (2.16) получим соответственно

尸色，方)%/加2，/&，/)"(巧，/)=厶3(%2,)%(%，小(2・17%

В результате уравнение (1.20) для функции ，2 в приближении парных столкновений принимает вид

£不以2 - 32f2 =厶/1 (хН 0 f I (x2，‘)•⑵ 18)

Напомним, что оператор £%〔％$ определяется выражением

), если в нем F0-^F.

Используя равенство (2.4), уравнение (2.18) можно записать в виде

工%”£2("1，Х2» 0 — 012f 2 ("1，*2，/) = 0・(2.19)

Уравнения (2.11), (2.18) (или (2.19)) составляют замкнутую систему для функций распределения fi(xb /), /2(-^1, ^2, 0 в приближении парных столкновений.

Обратим внимание на структуру уравнений (2.18), (2.19). Левая часть уравнения (2.18) определяет изменение функции /2 за счет движения пары взаимодействующих частиц. Правая часть уравнения (2.18) не зависит явно от функции ,2 и определяется изменением функций fi(хь /),厶(工2,/) за счет движения невзаимодействующих частиц 《1》，《2» под действием средней силы. Запись уравнения (2.18) в форме (2.19) показывает явно, что оператор LXlXi действует лишь на корреляционную функцию g2, а не на всю функцию %•

При Fo = 0 и при пространственно однородном распределении частиц уравнение (2.18) упрощается и может быть записано в виде

=^3("/)G(P2,/)・g2o)

В гл. 2 мы увидим, что в рамках парных столкновений возможны дальнейшие упрощения системы уравнений (2.11), (2.18), позволяющие свести эту систему уравнений для функций fb % к одному замкнутому уравнению для функции /1 — кинетическому уравнению Больцмана.

Поляризационное приближение и теория возмущений по взаимодействию атомов газа

Приближение парных столкновений, рассмотренное в предыдущем параграфе, является более частным, чем приближение вторых корреляционных функций 依=0). Действительно, при получении уравнения (2.18) мы не только положили g3 = 0 в выражении (2.5) для функции，2, но и опустили еще некоторые

ЧЛены, содержащие двухчастичную корреляционную функцию g2・ Так, при подстановке выражения (2.5) в первый член правой части уравнения (1.20) был опущен в (2.14) член

”，端 g2(2,3)d% 叫产， (3.1)

а при подстановке во второй член правой части (1.20) —член

”，甯 g2(l，3)d& 吗戶• (3・2>

Эти члены описывают корреляцию окружающих частиц с одной из частиц рассматриваемой пары.

Мы увидим в дальнейшем, что эти члены играют существенную роль в плазме, т. е. в смеси газов заряженных частиц (см. часть II). Взаимодействие заряженных частиц убывает с расстоянием, как 1/г, т. е. значительно медленней, чем взаимодей- ствие нейтральных частиц. Вследствие этого оказывается, что эффективный радиус взаимодействия частиц в плазме (радиус Дебая п>) значительно превышает среднее расстояние между частйцами, т. е. гв》гСр- Это неравенство является обратным по отношению к соответствующему неравенству г0 < гср для газа> когда эффективный радиус взаимодействия порядка г0-

Таким образом, в приближении вторых корреляционных функций уравнение для двухчастичной функции распределения /2 имеет вид

=〃 \(&3gw(2, 3)3 ⑴+ 田唔 2(1, 3)3(2))d%・ (3.3}

Это уравнение отличается от уравнения (2.19), соответствующего приближению парных столкновений, наличием правой части.

Уравнения (2.11), (3.3) также составляют замкнутую систему уравнений для функций распределения %, f2, но теперь в приближении вторых корреляционных функций.

В дальнейшем будут использоваться другие, кроме модели парных столкновений, приближенные уравнения для функции 頂， которые могут быть получены из уравнения (3.3) при дополнительных предположениях.

Одно из приближений отвечает теории возмущений по взаимодействию частиц. Безразмерным параметром является отно・ тенне потенциальной энергии взаимодействия (в некоторой эффективной области расстояний между частицами) к средней кинетической энергии.

Обозначим параметр взаимодействия через п и рассмотрим уравнение для % в первом приближении по 斗

При n《l g2(l,2) также много меньше единицы, так как корреляционная функция пропорциональна энергии взаимодействия Ф12. Вследствие этого правую часть в уравнении (3.3) можно опустить, так как она порядка п?・ В левой части уравнения (3.3) в том же приближении можно в членах с 012f2 заменить /2 = hfi +g2 на / Ji. В результате в первом приближении по параметру взаимодействия уравнение для g2 принимает вид

厶х82 = °12『/1・(3.4)

Здесь использован оператор 0i2 (см. (1.6)).

Такое же уравнение следует и из уравнений (2.18), (2.19). Таким образом, уравнение для g2 в первом приближении по параметру взаимодействия п может быть получено как из уравнения для g2, отвечающего приближению вторых корреляционных функций, так и из более частных уравнений (2.18), (2.19), соответствующих приближению парных столкновений.

Рассмотрим еще одно приближение, которое можно назвать поляризационным приближением. Такое название оправдано тем, что это приближение наиболее эффективно для плазмы при описании процессов, в которых необходимо учитывать поляризацию среды.

Уравнение для функции g2 в поляризационном приближении также может быть получено из уравнения (3.3) при следующем дополнительном предположении. В членах левой части, содержащих функцию 612f2，можно (как и в приближении теории возмущений) % = fifi + g2 заменить на 九九.Это означает, что в процессе взаимодействия пары частиц влияние корреляции мало, т. е. •g2《fifi・ Однако вклад членов правой части уравнения (3.3) даже при условии g2《fifi может быть значительным, если лю- $ая из частиц пары 《1»,《2» взаимодействует сразу с большим числом частиц. Именно такая ситуация характерна для плазмы (см. часть II).

Таким образом, в поляризационном приближении уравнение для g2 принимает вид

&必g2 = 6/3 + 吓(6К^2, 3)3⑴+ 屬g2(1，3)%⑵)以з.(3.5)

Это уравнение отличается от уравнения (3.4), соответствующего приближению теории возмущений, наличием членов, учитывающих влияние окружающих частиц, т. е. влияние среды на выделенную пару частиц. Эти члены будем называть поляризационными.

Уравнение для фазовой плотности в шестимерном пространстве координат и импульсов

Микроскопическое состояние в газе определялось заданием в каждый момент времени совокупности координат и импульсов всех частиц %】(/), .・.，尤N(f). Функция распределения fN определяет среднее распределение по всем микросостояниям системы.

При описании процессов в плазме, а также и при описании крупномасштабных флуктуаций в газах удобен другой способ задания микросостояния системы. Микросостояние можно считать заданным, если в любой момент времени / в любой точке х = (”р) шестимерного фазового пространства известна плотность "(爲 0» определенная выражением [8, 18]

У(X, 0=26(y一勺(/)).(4.1 >

Функция У(х, /) является микроскопической характеристикой, так как она зависит от значений координат и импульсов всех частиц системы. Величина

^ (х, t)dx= £ 6(х —х£ (t))dx(4.2>

УУМ

определяет истинное (не среднее) число частиц в элементе объема dx шестимерного фазового пространства около точки х. Эта величина является, естественно, случайной, т. е. зависит от всех m()

Через функцию N(x, /) могут быть выражены все микроскопические характеристики газа, которые являются симметричными функциями координат и импульсов частиц. Так, например^ функцию Гамильтона (1.1) можно представить в виде 以^^察"优分厶 + ^\ ①("一产1)"(匕 /)"(『，Ddxdf. (4.3>

Функция Гамильтона (4.3) отличается от (1.1) лишь тем, что в (4.3) включено самовоздействие частиц. В случае необходимо- сти соответствующий член всегда может быть исключен.

Микроскопические функции (1.16) выражаются через функцию N(х, /) следующим образом:

紋'(г, /)= \ N (х，f) dp, (nu)^t N м t) dp,

(4.4)

W4r9t)=\^N{xit)dp.

Через функцию У(х, t) можно выразить также и микроскопическую силу FM, определяемую всеми частицами и внешним

воздействием:

『亿 /)= _ J。①匕丁" ^(К /)" + Fo(г, /).(4.5)

Это выражение отличается от (1.5) лишь включением самовоз- действия. Уравнение для функции N(x, f) может быть получено с помощью уравнений движения и имеет вид

GN . dN .dN 八〃 а

而丁 +尸(小)冇=О.(4.6)

Сила 尸乂 определяется выражением (4.5).

Подставляя (4.5) в (4.6), получим другую форму записи ):

(為+ " ^ +不。(Г, /)击一，想%」; " N①,/)"击)X

ХУ(х, /) = 0.(4.7)

Уравнения (4.6), (4.7) могут служить исходными микроскопическими уравнениями для построения статистической теории. Рассмотрим одно следствие уравнения (4.7), выражающее закон сохранения энергии. Умножим уравнение (4.7) на р2/2т и проинтегрируем по х.

Первый член дает вклад (d/dt) \ (р2/2/п) ^ dx, определяющий изменение кинетической энергии. Второй член из-за интегрирования по координатам дает нулевой вклад. Последний член после интегрирования по частям по р и г дает

—\ ①(I г - У I) N 3, f) е 吟卢dx dxf =

="^ 4■、①(I г —产 D % (爲')％(K 力 dx "・

При переходе к последнему равенству выражение vdN/dr исключалось с помощью уравнения (4,7). Наконец вклад предпоследнего члена равен 尸。，vN (x, 0 dx(尸о — постоянная сила)»

В результате, собирая все вклады, получаем уравнение 禺[\爲N(xit)dx + ^^Ф(\r■-rf\)^(xit)^ (х\ 0 dx d,d]=

=Fo \ о" (х, 0 dx = nM(r{t)炉尸о,(4.8)

которое является уравнением баланса полной энергии системы»

Метод моментов

Рассмотрим связь моментов микроскопической фазовой плот- :ности N& 0 с функциями распределения и корреляционными функциями.

Используя определение （1.12） функции %, найдем

（％ 办=，£ 6 （% —勺⑴）fw 〃 = g，6 （x —修）3 dxi.

Отсюда следует, что•

N（x, t） = nfi （x, /）, n = N/V.' （5Л）

Таким образом, средняя фазовая плотность отличается от функции 厶 лишь нормировкой:

卜1 （居 f） dx = 1,，斤（x, /） dx = M

Аналогичным путем находим выражение для второго момента фазовой плотности

万衣而冗彳3 = “（%】1）%（居 %，, /）+ в（%—廿）з『[（%"）.（5.2）

Он выражается через две функции распределения fi и f2.

Третий момент выражается через три функции распределения Л, /2,『3 следующим образом:

口 Et'Ng t）Ng f）=生 <M 二翳Л % （%,炉,％〃, /） +

&%】 " [б （% — £） % （%', %〃，0 + 6 停 一 /） % （工〃，X, /） +

6（%〃 一 X）% （居 X, 01 + yS a — /） 6 （炉一%" f 1 （%〃，/）・（5.3）

Рассмотрим выражения для соответствующих центральных моментов. Введем обозначение для флуктуации фазовой плотности

3N = N （к, /）-戸（招 f）・（5.4）

Учитывая, что 6N = 0, получим

丽丽居 ％,, / = N （几 f）N（K/） 一 N （x, f）筋（К f）・（5.5）

Это выражение является просто определением второго центрального момента. Выразим его через функции fi, g2・ Для этого подставим в （5.5） выражения （5.2）, （5.1） и используем равенство

(2.4). В результате получим выражение

^^、X，J =吗尸)g2 (爲 二 f) +

+ 营(6(X 一 /)片(匕 方) 一 } f I(X, /) Л (%； 0).(5.6)

Используя условие нормировки (1.14) для функции /〕и свойства (2.8) для функции g2, найдем из (5.6), что

J (而硒%, * f dxf = \ 丽丽)%, у, f 叁=0.(5.7)

Эти свойства являются следствием постоянства полного числа частиц ^ в системе.

В предельном случае N-> оо, 17foо, но N/V = n = const выражения (5.2), (5.6) упрощаются и принимают вид

n и, /)^(/, /)=〃2f2(%, xz, /)+ 6(%—/)砧 а, /),

(6/V 6А0/ у t = 〃2g2 (%, х\ /) + 6 (х — Xх) "[(%,/)・(5‘‘

Третий центральный момент определяется выражением

(6М6М6А/)к 大宀 / = 2(%, /)2(/, /)2(%〃,力)-

-"(х, 0(^Г^Укx，，t-Ngt)(^F，”,уj-

—斤(%〃，/)(而丽)% у, f —方(x, /)犷(К f) N (%〃，/)・(5.9)

В предельном случае Nf 8, Р-> оо, n = const из (5.9), (5.3),

(2.4), (2.5) следует выражение

丽菰丽戛Ккf = 嗓3а“,у/) +

+ 阳6 (x 一 /) g№ %〃,力 + m/ 一 工〃)g2 (n〃，X, 0 +

+ 6 (/' 一 ％) g? (x, xz, /)] + 〃6 (工-xz) 6 (xz 一 尤〃)f I (х〃, /).(5.10)

Таким образом, третий центральный момент выражается через функции f], g2, g3・

В приведенных здесь выражениях для моментов все сомножители под знаком усреднения относятся к одному и тому же времени. Такие моменты называются одновременными моментами. Одновременными являются и все рассмотреьные выше функции распределения. Рассмотрим определение простейших двухвременных функций распределения и двухвременных моментов.

Одночастичная двухвременпая функция распределения определяет вероятность нахождения одной частицы последовательно

в точке % в момент /ив точке л/ в момент，. Она определяется выражением

巴(х, /, М，) = V j 6 (% - / (/))6(/ 一 х； (О) % (К，)或'・(5.11)

Отсюда следуют три равенства. При t — f

尸 1 (%, 3 V, /) = 6 (x -犬)3 (x, /).(5.12)

Интеграл от 尸】по х

\ Q (爲 /, /,，) dx = f ] (/,，)・(5.13)

Наконец, используя теорему Лиувилля dx = dx\ из которой следует равенство fw(x, 0 = /n(%',产)，найдем

，F, (х,力 /, Г) d,d = A (%, f)・(5.14)

Двухчастичная двухвременная функция распределения определяет вероятность нахождения частицы 《1》в момент / в точке х, а частицы《2» в момент f в точке xz:

f2 (х, /； л/, П = V2 J б (х - х, (/)) б (xz - х2 (/9) ^ (х\ f')dX・(5.15)

При f =，эта функция совпадает с одновременной функцией распPеделения/2(总犬,力

Двухвременной момент по аналогии с (5.2) определяется выражением

m的 t)N*,，) = *(^г1)f2(居方;/,，) + 营尸(工m，).(5.16)

При f =，с учетом (5.12) это выражение переходит в (5.2).

Соответствующее выражение для двухвременного центрального момента имеет вид

^^к.「，, Уg2(X, /； Х\ 0 +

+ g (а(%, /, кс 一 万 з а, о fi з,切• (5.17) Здесь

g2 仇,W /,，) = % (兀 W К，) 一 3 (%, D f 1 £，)(5.18)

—двухвременная двухчастичная корреляционная функция. Она обладает свойствами, аналогичными (2.8). С учетом этих свойств и равенств (5.13), (5.14) из (5.17) находим

\ ®N 6N、小,,『叁=“3^7% 备乱 〃dM = 0.(5.19)

В предельном случае N-> 8, I/f оо, n = const выражение (5.17) принимает вид

丽丽％ /； %,, у = nrg2 (х, /; л/,，)+ 拉尸[(х, f, xz, У). (5.20)

При / = f равенства (5.17), (5.20) совпадают соответственно с равенствами (5.6), (5.8).

Аналогичным образом можно определить и более сложные двухвременные моменты и функции распределения.

Приближения первых и вторых моментов.

Поляризационное приближение

Произведем усреднение по ансамблю каждого из членов уравнения (4.6) для фазовой плотности N(xt /). Используя тождество

•戸灰3 =尸肝(居方) + "7丽)…(6.1)

где 尸一средняя сила, 6尸=尸^ —尸,и учитывая связь функций N(%,f), fi(%，f) (см・ (5.1)), получим следующее уравнение для функции 九(х, /):

(4 + °i+F(r>/)^-)^ = 4嚼厶三№，')， (6Z где 尸(厶力=Fo —拉\ (d①(I г — r^ I )/dr) f 】(%', f) d/・ Это уравнение соответствует уравнению (2.11) для функций f\ (хь /). Отличие состоит лишь в форме записи интегралов столкновений. В уравнении (2.11) интеграл столкновений выражен через двухчастичную корреляционную функцию, а в (6.2) — через одновременную корреляцию флуктуаций силы и фазовой плотности. Можно, однако, убедиться, что эти формы записи эквивалентны. Дейт ствительно, из выражения (4.5) следует, что

6F(г, /) = -J。①"L" 62(V, f)d*・(6.3)

Отсюда находим соотношение

ЕА £ ,=-,外禺宀丽丽V总f dK(6.4)

связывающее функции 防 6M н dN bN. Подставив сюда выражение (5.8), найдем связь функций 6尸 6^, g2 и увидим, что выражение для интеграла столкновений в уравнении (6.2) совпадает с соответствующим выражением в уравнении (2.11).

Уравнение (6.2), как и (2.11), является незамкнутым, так как в него наряду с функцией 力 входит новая функция 6尸 6N —

одновременной второй центральный момент флуктуаций силы и фазовой плотности. Из (6.4) видно, что для его определения в общем случае надо знать функцию (6^ 6N)% %,,尸 Запишем для нее соответствующее уравнение. Для этого сначала с помощью уравнений (4.6), (6.2) найдем уравнение для функции б^(х, /)> Оно имеет следующий вид:

傷 +。"^ + 尸(小备)6"(% 力 + 6F =

=一 ^ [°F 亿 t)6N (x,力)一 (6W)r> x> J(6.5>

Напишем соответствующее уравнение для функции 6N(х\ ^.Затем первое уравнение умножим на dN(xz, /), второе на 6N (х, /), усредним оба уравнения и сложим. В результате получим искомое уравнение для функции (62 62)% %,八 которое, используя определение (1.8) для оператора Lxx^ запишем в виде

к+

=-^ @F bN bN“ %』，一詣(6乂6尸时 公,f ・(6.6)

Это уравнение снова оказывается незамкнутым, так как в него наряду с функцией (6/V 62)$%,」входят более высокие моменты флуктуаций bN, 3尸.Таким образом, получается зацепляющаяся цепочка уравнений для моментов, аналогичная цепочке уравнений В — В — G — К — Y для функций распределения 九，%,

Рассмотрим приближения первых и вторых моментов и срав- ,ннм приближение вторых моментов с поляризационным прибли- л рением.

&口：匸卩 приближении первых моментов случайных функций FM(r, f), 亨整，б’ права気 часть уравнения (6.2) может быть отброшена и Мм получаем замкнутую систему уравнений для средней фазовой плотности R(х, t) = nfI (х, t) и средней силы F (г, 2):

0 需+"Г，/)器=。，(67)

尸=尸0 —九^，①(|r —r'|)fi(x', f)dx'.

Эту систему можно свести к одному нелинейному уравнению для функции 3

Уравнения (6.7) называются уравнениями с самосогласованным полем. Такое название подчеркивает тот факт, что функция

2 К)< 几 Климонтович

распределения /\ определяет среднюю силу, а средняя сила вызывает изменение функции распределения 厶.

Приближение самосогласованного поля широко применяется для описания процессов в газах заряженных частиц и плазме при условиях, когда характерный размер системы много меньше средней длины свободного пробега. Плазма при таких условиях называется бесстолкновительной плазмой. Уравнения с самосогласованным полем впервые исследовались Власовым и называются уравнениями Власова ).

В газе обычно вклад второго члена в выражении (6.7) для средней силы пренебрежимо мал, поэтому первое уравнение (6.7) для газа принимает вид

醬+ 0眷+f。(小岩=0・(6.8)

Уравнение (6.8) используется для описания процессов в сильно разреженных газах, когда характерный размер системы много меньше длины свободного пробега.

Уравнения (6.7), (6.8), соответствующие приближению первых моментов, не описывают диссипативных (или релаксационных) процессов и, следовательно, с помощью них нельзя описать процесс установления равновесного состояния и необратимые процессы: внутреннее трение, теплопроводность, диффузию.

Невозможность описания диссипативных процессов на основе уравнений (6.7), (6.8) следует из того, что энтропия

S(/) = —ки fj (х, /) In % (х, /) dx、(6.9)

где функция fi определяется уравнениями (6.7), (6.8), как легко видеть, не меняется во времени, т. е.

dS/dt = 0.(6.10)

Рассмотрим приближение вторых моментов. Из (6.6), опуская члены, содержащие третьи моменты, получим уравнение

丽砌元北,+ (/硒，,上,叫尹+

+丽硒…四紀」0.(б.п)

Это уравнение может быть получено непосредственно из уравнения (6.5) для д^, если в нем отбросить нелинейные по

флуктуациям члены, и из уравнения для dF:

(6.12)(6.12)(3 + " ^ + 尸亿‘)^) 6"的/)+ 6尸(乙f)^^ = °， 6F(r, f) = -^，①("一k|)6M(K f)d£・

(6.12)

(6.12)

Приближение вторых моментов является не вполне последовательным, так как согласно (5.10) третьи центральные моменты содержат вклад от функций 厶,g2, которые определяют и вторые моменты (см. (5.6), (5.8)).

Учтем в уравнении (6.6) вклады в третьи моменты от функций g2 и 九 при условии g2 <С fifi・ Тогда вместо уравнения (6.11) получим более общее уравнение, которое удобно записать в виде еm丽丽"к 什(齋而)",也然1 +

+ 两■呑L 乂 /而‘野 0 =2w(丽丽):〉,f(6.13)

Здесь введено обозначение

丽丽壮 f =几卜(х 7” (AU) _ % f I (爲 f) 3 (К о]. (6.14)

В предельном случае Mf8, 17 f 8, п = const

(而丽产т = 〃6 (к -/)3(%, /)・(6.15)

Индекс «источник» в выражениях (6.14), (6.15) подчеркивает то, что эти выражения не зависят от вторых моментов, а определяются полностью первой функцией распределения %.

Легко убедиться, что уравнение (6.13) совпадает с уравнением для корреляционной функции g2 в поляризационном приближении, т. е. с уравнением (3.5). Это естественно, так как при выводе (6.13) предполагалось, что в третьих моментах g3 = О н g2《厶%・ При этих предположениях и было получено уравнение (3.5).

Используя уравнение (6.5) для флуктуации фазовой плотности 62(%,/), можно построить и цепочку уравнений для двухвременных и многовременных моментов. Чтобы, например, найти уравнение для функции (62 62)%「％,,产,надо умножить уравнение (6.5) на 6М(К，)и произвести усреднение. В результате получаем

Это уравнение, естественно, также незамкнуто, так как в него входит третий двухвременной момент. В поляризационном приближении, т. е. при g3(x, х〃，t; х',У) = 0, g2(%,/；%',，)《 《fi(x, f)fi(K，)，уравнение (6.16) можно записать в виде 工(MW)Xt ,, + (^ёЯ/ х，, 〃 •屮力=

=以两丽п(6.17) Здесь использовано обозначение

丽丽爲,К尸=% (尸10 力 M ')-万fl(%，f) R (К о). (6.18)

В предельном случае N-> оо, Vf 8, п = const

(^W)£* “ =九吊 а,力 £,，)・(6.19)

Уравнение (6.17) следует решать при начальном условии

Н =(6・20)

и, следовательно, для решения уравнения (6.17) надо знать решение уравнения (6.13) для одновременного момента. Мы увидим, что при определенных ограничениях такое решение может быть проведено.

Заметим, что в отличие от (6.14), (6.15) выражение для но точника (6А/ВАО；。； ％,「 в уравнении (6.17) определяется двух* временной одночастичной функцией распределения 尸i(%, f, %', f).

Чтобы записать уравнение для этой функции, введем двухвременную фазовую плотность

N (х, t, £、t)= <&№(' — %"))℃ — """)•(6・21)

С учетом определения (5.11) из (6.21) следует, что

N (%, f, xz,，)=几尸I (х,厶 xz, У).(6.22)

Это выражение аналогично (5.1).

Уравнение для двухвременной фазовой плотности имеет вид

傷 + "^ + " (г, /)击)^(x, /, X, У) = 0.(6.23)

Микроскопическая сила FM(r, /) определяется по-прежнему выражением (4.5). Усредняя это уравнение и используя равенство (6.22), получим уравнение для функции F):

(弔+ ^ ^； +尸(D告)尸I (居力К，)=

=_務 <^Ж f, у,九 * г 三 /(%，f，/，У)・(6.24)

Это уравнение следует решать при начальном условии

吊(爲 /, х\ f)z=r = 6 (л: — £) % (%, f).(6.25)

При получении уравнения (6.24) использовано тождество

(™r, f：招九п尸=F亿o Ng %，£，，)+(声电.仪居九К f，，(6・26)

в котором 6N (х, f, х\，)= ^(x, f, /, f) —N(x, f, xz, P).

Интеграл столкновений /(x, f, xz, f) в уравнении (6.24) выражается через второй момент флуктуаций 6^ (x,z, /), 3/V(x,/, л/,，). При N->8, Y-> 8 его можно представить в виде

6V б：",%〃，/ =

=公(％ — х〃)F, (х,力 xz, f) + 居& (居 /, /,，； /, f)・(6.27)

Это равенство следует из определений (4.1), (6.21) фазовых плотностей ^(x, /), ^(х, t;x', У).

В (6.27) функция g2(x,t,x\t，x〃，t) определяет в момент f корреляцию двух частиц в точках %,%〃. При этом одна из них в момент ， была в точке л/. Таким образом, здесь имеет место тройная корреляция двух частиц. При t = f

g2(居 3 xz, f; %", /) = б (% — xz) g2 (x, %", f).(6.28)

Интеграл столкновений в (6.24) играет роль лишь на временах f —，〜тст. На временах

/ —，《％(6.29)

можно положить равной нулю функцию g2(%,厶/, У； %〃，/)• Так как первый член из (6.27) не дает вклада в интеграл столкновений /(х, /, х\ f), то в этом приближении /(%, f, %',，)= 0 и, следовательно, уравнение для функции 尸【имеет вид

LxnF{ (х, /, /, f)三 Lx 丽丽;：[『у = 0.(6.33)

Здесь использовано равенство (6.19).

Итак, уравнение (6.17) в поляризационном приближении .и при условии (6.29) имеет вид"

工©G&，，+(^^ 厶 ％，,产甯=о・ (6・31)

Его следует решать при начальном условии (6.20)).

Таким образом, для определения двухвременного момента надо предварительно решить уравнение (6.13). Эта задача в общем случае сложна. Она может быть значительно упрощена, если

в качестве исходного уравнения использовать уравнение (6.12) для д^ с источником, эквивалентным источнику в уравнении (6.13), т. е. уравнение

Lx(62 (X, /) 一 6"8(%, /)) + "(乙 /)甯=0.(6.32>

Корреляция флуктуаций источника определяется уравнением (6.30). Запишем его в развернутом виде

(6.33)(6.33)(层 + " ^ + 尸击)(&м 6М)К “ f, = 0.

(6.33)

(6.33)

Это уравнение следует решать при начальном условии

（丽丽图",/『，=

=%G（% — *）%（%，力一专 fl （%，0 fl （/，力）・（6.34>

Мы увнднм в §§ 34—39, что таким путем можно сравнительно просто найти выражения для двухвременных и одновременных корреляций, не решая интегральное уравнение (6.13).

Уравнения переноса плотности частиц, плотности импульса и плотности кинетической энергии

Рассмотрим уравнения баланса для плотности частиц p(r, f) = mn(r, /), плотности импульса p(r, t)u(r, /) и плотности кинетической энергии W(r, /). Из выражений (4.4), (5.1) находим связь этих функций с одночастичной функцией распределе- НИЯ『［(%, /):

W (г, t) = n

Чтобы найти изменения этих величин со временем, умножим уравнение (6.2) последовательно на mn, пр, пр2/2т и проинтегрируем по р. Рассмотрим по порядку получающиеся таким путем уравнения.

Учитывая, что

，尸器dP =。, m阜强dp = ^

(7.2)(7.2)и что интеграл от правой части уравнения (6.2) по импульсам равен нулю, получим уравнение непрерывности

(7.2)

(7.2)

-~у- + div ра = 0

<—уравнение баланса плотности частиц.

Второе уравнение имеет видВторое уравнение имеет видЕ^旦吊+ 〃 J pj (х, f)dp・Е^旦吊+ 〃 J pj (х, f)dp・(7.3)(7.3)

Второе уравнение имеет вид

Второе уравнение имеет вид

Е^旦吊+ 〃 J pj (х, f)dp・

Е^旦吊+ 〃 J pj (х, f)dp・

(7.3)

(7.3)

Преобразуем в этом уравнении второй член левой части. Представим скорость v в виде и = 〃 + ”(би — отклонение скорости V от средней скорости и). Тогда

nm \ ViV^dp = р〃叱 + Р,/. (7.4)

Здесь введено обозначение для тензора

Рц = nm ^ 6s 6啪 dpРц = nm ^ 6s 6啪 dp(7.5)(7.5)

Рц = nm ^ 6s 6啪 dp

Рц = nm ^ 6s 6啪 dp

(7.5)

(7.5)

— тензора внутренних напряжений.

Тензор напряжений в свою очередь можно представить в виде

Рц = б//Рид + ^ib Рид = 4^ь(7・6)

где

Рид = пт^ (6vf)2hdp = *яТ(7.7)

—давление идеального газа,

KT==2^m(^_fidp(7.8)

—температура, к ——постоянная Больцмана.

Тензор 冗订 называют тензором вязких напряжений, смысл этого названия станет ясным из дальнейшего.

Используя выражения (7.4) — (7.8), запишем уравнение (7.3) в виде ар〃.дрг

—+ 飞ту (р%〃/ + 6〃Рнд + ^ij)= ^г ^ + n j Р^^Р- (7・9) Это есть уравнение баланса плотности импульса, записанное в компонентах.

Последнее уравнение получается из (6.2) умножением на np2/2m и интегрированием по р. Оно имеет вид

号4舞"如+ ^" )@舞力如=专尸" + " ，舞/加(7」。)

Первый член левой части, используя определение температуры (7.8) и средней скорости, можно представить в виде

,导(哈+母击m•亿и)

Представим v во втором члене (7.10) в виде и = 〃 + 6и, используем определения и, Т, Р曾,冗仃,р^д и введем обозначение S для вектора теплового потока

S = П j m 一竺.嗖2 九 dp.S = П j m 一竺.嗖2 九 dp.(7.12).(7.12).

S = П j m 一竺.嗖2 九 dp.

S = П j m 一竺.嗖2 九 dp.

(7.12).

(7.12).

В результате второй член левой части уравнения (7.10) примет вид

(7.13>(7.13>урав-урав-(7.14>(7.14>号回(衅+ I■靑门+ Ph J + %即 + S J .

(7.13>

(7.13>

урав-

урав-

(7.14>

(7.14>

Подставляя (7.13), (7.11) в уравнение (7.10), получим нение баланса энергии

糸(哈+ ^^心)+ +[/(粤+_|*门+内")+

+ allul + S^ = -^Fu + n^-^Idp.

урав-урав-Уравнения (7.2), (7.9), (7.14) и являются искомыми

урав-

урав-

нениями баланса плотности частиц, плотности импульса и плотности энергии. Обратим внимание на то, что под знаком производной по времени в уравнении (7.14) входит сумма плотности1 кинетической энергии р〃?/2 и плотности внутренней энергии иде； ального газа. Естественно, что в неидеальном газе в уравнении баланса энергии под знаком производной по времени должна стоять наряду с плотностью кинетической энергии плотность внутренней энергии реального газа. Мы увидим, что соответствующий вклад под знаком dldt, обусловленный взаимодействием частиц, возникает за счет последнего члена правой части уравнения (7.14). Из этого же члена будет следовать и соответствующий вклад взаимодействия частиц в поток энергии. Аналогии* ную роль играет второй член правой части уравнения (7.9). Он определяет вклад взаимодействия частиц в поток импульса. Все это будет показано в гл. 11. А пока мы видим, что уравнения баланса (7.2), (7.9), (7.14), которые составляют систему пяти уравнений, незамкнуты, так как кроме пяти функций р, 〃， Г в них входят еще функции

(7・15>

Незамкнутость уравнений баланса есть следствие незамкну- тости самого исходного уравнения (6.2), которое является лишь первым уравнением цепочки уравнений для функций распределения. В следующей главе в приближении парных столкновений будет получено замкнутое уравнение для одночастичной функ・ ции распределения — кинетическое уравнение Больцмана для не*

идеального газа. В этом уравнении взаимодействие частиц будет играть двоякую роль. Оно будет определять члены, описывающие диссипативные процессы, и будет также вносить определенный вклад в недиссипатпвные характеристики газа, например внутреннюю энергию, давление, энтропию и т. д.

Если пренебречь вкладом взаимодействия частиц в недиссипативные характеристики газа, т. е. рассматривать уравнение Больцмана для идеального газа, то в этом приближении интеграл столкновений будет обладать свойствами

n^pldp = Q, п ^ ^lrfp = 0. (7.16)

Вследствие этого в уравнениях баланса останутся лишь две «лишние функции» 冗订，S (это восемь скалярных функций, так как 冗汀=冗"и сумма диагональных элементов тензора 冗订 равна нулю). В приближении, когда характерный размер системы /, много больше длины свободного пробега, с помощью уравнения Больцмана можно выразить эти функции через р, 〃. Т следую- .щим образом:

= -n(需+ 需-乳,裁)， (7.17)

S = (7-18)

Здесь п — коэффициент вязкости, а 乂一коэффициент теплопро- бодности. Для этих коэффициентов полуиаются следующие выражения [2, 3, 5, 9, 12]:

5/п / кТ 75 к / кГ

Если в уравнениях баланса (7.2), (7.9), (7.14) учесть равенства (7.16) и подставить в них выражения (7.17), (7.18), то получим замкнутую систему уравнений для функций р, “，Т — систему уравнений газовой динамики для идеального газа. Мы увидим в гл. 2, что из уравнения Больцмана для неидеального газа будут следовать более общие уравнения газовой динамики < учетом вклада взаимодействия частиц в термодинамические функции.

ГЛАВА 2

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

ДЛЯ НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Некоторые результаты статистической теории равновесного состояния неидеального газа

Приведем некоторые результаты статистической теории газов, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Используя каноническое распределение Гиббса

%(%, d Т) = ехр 尸-幣也,(8.1)

где а — внешние параметры,

尸=—&71nZ, Z = ) exp (—吟d"尤

—свободная энергия, можно получить цепочку уравнений Боголюбова для равновесных функций распределения fi(%i), %(%1,%2), ••• При задании функции Гамильтона в виде (1.1) распределение по импульсам каждой частицы — распределение Максвелла, поэтому достаточно рассмотреть цепочку уравнений для функций распределения координат частиц 厶(口),力(门，歹2), • • • Первые два уравнения цепочки имеют вид [4, 5] (их можно получить из уравнений (1.19), (1.20))

船+ $談=一备"2， (8・2)

筹十 3爸%+ А時"一合\端皿 (8.3)

Здесь и — потенциал внешнего поля.

При 〃 = 0 /2 = ^2(1 ri — ^21) и из уравнения (8.2) следует, что

% (门)=1, 4"\fidh = l,(8・4>

что указывает на пространственно однородное распределение частиц.

С учетом (8.4) связь функций распределения f2, /з с пространственными корреляционными функциями g2, g3 определяется соотношениями

，2 = 1 + g2， % = 1 + g2 (I，1 —，2 I) +

+ g2 (I，2 —，3 I) + g2 (I 门—h I) + g3・(8・5)

В приближении парных столкновений (в первом приближении по параметру плотности) для термодинамических функций в (8.5) g3 = 0. Подставляя f3 из (8.5) в правую часть уравнения (8.3) при g3 = 0, получим

，需(l+g2(L 3) + g2(l, 2) +&⑵ 3))"з = 0・ (8.6)

Первые два члена в (8.6) обращаются в нуль вследствие изменения знака подынтегрального выражения при замене ri3-> 今一门з. Следующие два члена дают вклад лишь при взаимодействии трех частиц, поэтому в рассматриваемом приближении их следует отбросить.

В результате уравнение для функции ^ принимает вид

Отсюда

% = е екр(—① [2卜7).(8.8)

Постоянную С определяем из условия нормировки (1.14):

так как вклад второго члена порядка r^/V и равен нулю при V-> оо. Таким образом, из (8.8), (8.5) при С = 1 находим функции f2, g2 в приближении взаимодействия пар частиц:

% = ехр(—① 12/кТ), g2 = exp (— Ф12/кГ) — 1 ・ (8.10)

Рассмотрим в этом приближении выражения для основных термодинамических функций. Для этого выразим внутреннюю энергию и давление через функции 厶，

Усредняя функцию Гамильтона (1.1) с помощью функции 卜 и используя определения (1.12), (1.13) для функций 厶,f2,найдем

выражение для плотности внутренней энергии

U 曰£ ="察3亦 +冬卜("一〃)％(%, /)^^・(8.11>

Отсюда, используя для fi распределение Максвелла и распределение (8.10), получим

и = п^кТ + 2зш2 J ①(г) ехр(—①{г)1кТ)г2 dr 三乙口 + AU. (8.12> о

Через AU обозначен вклад, определенный взаимодействием ча* стиц.

Связь давления со второй функцией распределения следует из выражения

Р = -(紛产 кТ (崂А)?(8」3>

и имеет следующий вид [4,5,9]:

р = пкТ — -^^，广①'(г) % (С 产〃曰 рИд + Др. (8.14> о

Подставим сюда выражение (8.10) для f2 и проинтегрируем во втором члене по частям. В результате получим

Ар = —仃・2仙2、(е-вкт-1)产 dr・(8.15>

о

Из формул (8.13), (8.15) следует выражение для AF—вклада в свободную энергию, определяемого взаимодействием

竽=-以.2冗必\(0-ф(Г)/"一1)产〃.(8.16>

о

Приведем, наконец, выражение для соответствующего вклада взаимодействия в энтропию. Из выражений (8.12), (8.16) для AU, AF/Y находим

AS = к2лп2 \ % е-®кт产打 + к^пп1，(е~ф/кГ — l)r2 dr. (8•⑺ оо

Приведенные выражения для термодинамических функций справедливы для произвольной модели одноатомного газа. Рас* смотрим для примера модель шариков со слабым притяжением,.

когда потенциал взаимодействия

(ООпри Г《「о，

Ф(г) = ( ф(г)<о, |Ф(г)1/кГ<1 при Г>ГО. 818)

Подставим этот потенциал в формулы (8.12), (8.15), (8.17) и введем обозначения для постоянных Ван-дер-Ваальса b и а:

b=^г^ a = 2冗)|0)(Г)1产公.(8.19)

Тогда выражения для AU, Ар, AS в первом приближении по I ①|/&Т можно записать в виде

AU = —*а, Ар =居％丁 g — 〃/кТ), as = —% 紋瓦 (8.20)

Из приведенных формул следует, что вклады, обусловленные взаимодействием частиц, в термодинамические функции ^ nrl = е по отношению к соответствующим величинам для идеального газа.

Рассмотрим выражение для относительных флуктуаций плотности числа частиц в элементе объема АР《 匕 но содержащего в то же время много частиц. Для этого вернемся к формуле (5.6), определяющей связь функций (dNbN)x 寸，〃 g? (%, %',/)• Проинтегрируем в ней во всех членах по импульсам р, р'・ Учи- 0 dp = Ьп (г, /),，g2 0 %') dp dp' = g2 (乙 rf}

и (M/P) J f{dp = n(r)9 найдем связь между одновременной корреляцией флуктуаций ди (г) и пространственной корреляционной функцией g2(*/)：

(盛)г/ = Т” g2 (г,，') +

+(6(r — У) п (г) — }〃 (г) ” (У)). (8.21)

(8.22}(8.22}Обозначим через

(8.22}

(8.22}

N^v = ) л (г) dr

Д7

среднее число частиц в объеме А», а через 6Mw соответствующую флуктуацию и проинтегрируем во всех членах (8.21) по 匸产 по области ДК

Используем выражения

(у-)2 ) g2(r, И dr drf = nN^v J g2 (r) dr,

,[б (г — гг) % ⑺一;〃 (г) п (产)]dr dV =(8.23)

АР

= Nav(1^) = N”・

Из (8.21) — (8.23) находим следующее выражение для относительных квадратичных флуктуаций числа частиц в объеме ДУ:

登(&24)

Второй член в правой части этого выражения учитывает роль взаимодействия. Мы видим, что он определяется корреляционной функцией g2・

Рассмотрим и здесь приближение взаимодействия пар атомов. В этом приближении из (8.10), (8.24) находим

/00、

耳沁=( 1 + 4шг \ (е-*т ^\)r2dr\(8.25)

Для модели твердых шариков со слабым притяжением, когда потенциал Ф(г) определяется выражением (8.18), находим, что

誓个

Как и в выражении для давления, вклад взаимодействия в (8.26) определяется соотношением эффектов притяжения и отталкивания, характеризуемого константами Ван-дер-Ваальса а и Ь.

Приведенные выражения для термодинамических функций определяются нулевыми и первыми членами разложений по параметру плотности — так называемых вириальных разложений термодинамических функций. Аналогичные вириальные разложения существуют и для функций %, g2・ Формулы (8.10) определяют первые члены таких разложений. На основе цепочки уравнений для функций распределения &, %, %,.・・ можно найти функции ，2, g2 в любом приближении по параметру плотности [4, 5]. Так, первые два члена в разложении функций %, g2 по

плотности имеют вид

% = е-ф/кт (1 + /г \ (е-①閔叮—1) (е~ф^кТ — 1) ”з),^ ??)

g2 = % — 1・

Используя это выражение, можно определить первые три члена вириальных разложений термодинамических функций.

Использование более высоких членов вириальных разложений мало эффективно, так как последующие члены разложений оказываются очень сложными и поэтому не удается таким путем рассчитать термодинамические функции плотных газов.

Расчет термодинамических функций плотных газов и жидкостей проводится либо численными методами (метод молекулярной динамики, метод Монте-Карло), либо путем решения модельных нелинейных интегральных уравнений для двухчастичной корреляционной функции [33, 34].

Нелинейные интегральные уравнения для двухчастичной корреляционной функции

В настоящее время предложено несколько типов нелинейных интегральных уравнений для корреляционной функции g2(「). Исторически первым было так называемое уравнение Кирквуда —Боголюбова — Борна — Грина. Оно может быть получено из второго уравнения цепочки уравнений Боголюбова (8.3), если в нем для функции % использовать суперпозиционное приближение Кирквуда. Для пространственно однородного распределения газа суперпозиционное приближение имеет вид

%6, 0，Q)= %(门一，2)%(0-个)"(飞一h)， (9.1)

Исследование уравнения Кирквуда — Боголюбова — Борна — Грина, приведенное в ряде работ [36, 61], показало, что это уравнение дает во многом правильные качественные описания свойств плотных газов и простых жидкостей, но недостаточно для численных расчетов.

Перкус и Йевик предложили для описания свойств жидкостей иное интегральное уравнение, которое дает лучшее количественное описание простых жидкостей. Это уравнение впервые было получено на основе физических соображений о характере коллективных движений в жидкости. В более поздних работах (см. обзоры [33, 34]) были сделаны попытки более строгого обоснования уравнения Перкуса — Йевика.

Формально уравнение Перкуса — Йевика может быть получено из известного уравнения Орнштейна — Цернике [33, 34]:

g2(门，Q)= c(h, &) + 八6 (门，r3) g2(r3)r^dr3, (9.2)

которое служит фактически определением так называемой прямой корреляционной функции с (门，&) через двухчастичную функцию g2・ Чтобы получить уравнение Перкуса — йевика из (9.2), надо использовать второе соотношение между функциями с, g2 в виде

с (г{, r2) = (1 + g,(r{, г2))(1 — e-g/").(9.3)

Из (9.2), (9.3) следует замкнутое уравнение для функции ^2 (или для функции % = 1 + g2)・ Запишем его в виде

%(1, 2)=

=е-①閉订[1 +〃 \ еф'^2(1,3)(^-ф^г—l)(f2(2, 3)—1)^&]. (9.4)

Широко используется также так называемое приближение сверхпереплетающихся цепей. Соответствующее уравнение для функции также может быть получено из уравнения Орнштейна —Пернике, если в нем вместо (9.3) использовать соотношение между функциями с, g2 в виде

с(1, 2) = %(1, 2)—1—1п%(1, 2) — О)12/кГ・(9.5)

Оба соотношения (9.3), (9.5) удовлетворяют общим требованиям относительно асимптотического поведения функций %, с при оо.

В работе [35] предложен иной тип уравнения для %：

%(1, 2)=ee蔺(1+旺(也(1, 3)一1)(^2,3)一1)"3). (9.6)

Оно более симметрично, чем уравнение Перкуса — Йевика, но обладает другой асимптотикой на больших расстояниях.

Все предложенные интегральные уравнения точно учитывают первые два члена вириального разложения функции f2 и по-разному учитывают вклады высших приближений по параметру плотности.

Кинетическое уравнение Больцмана для пространственно однородного идеального газа

В § 2 в приближении парных столкновений была получена замкнутая система уравнений для функций распределения fb f2 (2.11), (2.18). При пространственно однородном распределении газа она упрощается и принимает вид (см. (2.13), (2.20)) ^^^ = п \"^詣g2(门一 R, Pi, P2, t)dx2 = I(Pli /), (10.1) / d , d .0d®? d 。① 12 @

(66dpi dr?电丿 *

义『2(门一R, Pi，P2, /) = 4713, 9fi(P2, Q・(Ю.2)

Рассмотрим дополнительные предположения, при которых из этой системы можно получить замкнутое уравнение для одночастичной функции 力——кинетическое уравнение Больцмана.

Решение уравнения (10.2) можно представить в виде суммы двух частей: решений однородного и неоднородного уравнений. Первая часть решения зависит от вида функции распределения % в начальный момент %. Так как f2 = fifi + ^2, то это решение тем самым зависит от начального вида корреляционной функции g2・

Первое дополнительное упрощение при выводе кинетического уравнения Больцмана состоит в использовании введенного Боголюбовым условия полного ослабления начальной корреляннн частиц.

Однако реально при выводе кинетического уравнения можно пренебречь лишь теми начальными корреляциями, времена корреляции которых тКОр много меньше времени релаксации функции распределения %, последнее по порядку величины совпадает со средним временем свободного пробега тст = 〃％. Итак, можно пренебречь теми корреляциями, для которых

"кор《Ест・ (10.3)

Тем самым условие полного ослабления начальных корреляций соответствует предположению о том, что долгоживущие корреляции (с ткор > тст) не играют существенной роли в кинетической теории. В дальнейшем мы увидим, что это не всегда оправдано.

При использовании условия ослабления начальных корреляций решение однородного уравнения для функции % определяется лишь видом функций fi (pi, 0, R(P2, f) в начальный момент tQ = t-т, где г — t — to, т. е. фукциями fi(pi,f —т), fi (р2, / — т). Это показывает, что функция 力 в момент времени / определяется видом функций fi в более ранний момент времени f — т, т. е. имеет место временное запаздывание.

Второе предположение при выводе уравнения Больцмана из системы уравнений (10.1), (10.2) заключается в полном пренебрежении временным запаздыванием. Иными словами, делается предположение, что функция распределения f2 в момент времени t определяется значениями функций распределения /\ в тот же момент времени f. В этом же приближении можно пренебречь правой частью уравнения (10.2), так как она пропорциональна производным по времени от функций f^ и тем самым оассматривать лишь решение однородного уравнения (10.2).

При сделанных предположениях решение уравнения (10.2) имеет вид

%(门，力，Р” Р2, f) = fi(Pi(—8), t)fdP2 (—оо),力三

^S^f^ Qf^^, /). (10.4)

Здесь PL2(— 8)三 lim P[,2(— т) — начальные импульсы ча'Т->оо '

стиц《1»,《2》，которые сталкиваются в момент времени /, S?% — оператор сдвига переменных《1»,《2» по времени за интервал т. Предельный переход т-> оо возможен в силу неравенства то = —^о/^т «С Тст*

Чтобы найти выражение для интеграла столкновений /, надо подставить выражение (10.4) для g? = % — f\f\ в правую часть уравнения (10.1). В результате получим выражение для интеграла столкновений

7(Р!, 0 = n J ^- -^ f! (Pi (— оо), /)九俨2(—8), /)"2dp2・(10.5)

В такой форме он впервые был получен Боголюбовым.

Интеграл столкновений определяется одночастичными функциями L，поэтому уравнение (10.1) с правой частью (10.5) представляет собой замкнутое уравнение для функций %. Это уравнение и называется кинетическим уравнением Больцмана.

Впервые кинетическое уравнение Больцмана было получено иным способом, а именно путем подсчета средних чисел столкновений, приводящих к увеличению и уменьшению числа атомов с импульсами, лежащими в объеме dp{ около значения рь Сам интеграл столкновений записывался при этом в иной форме, чем (10.5). Она может быть получена путем преобразования выражения (10.5). Проделаем .это.

Прежде всего преобразуем с помощью уравнения (10.2) исходное выражение для интеграла столкновений к другому виду. Для этого умножим уравнение (10.2) на п и проинтегрируем по Г2, р2・“

Рассмотрим суммарный вклад первого члена левой части и правой части уравнения (10.2):

〃层卜％ — fif\)dr2 dp2 = N 禺(后—力)=0・(10.6)

Здесь использованы условие нормировки (I.I4) для функции fi и первое из равенств (2.7).“

Далее заметим, что при интегрировании по р2

吁嚮崇"2如2 = 0,(Ю.7)

поэтому вклад последнего члена левой части уравнения (10.2) равен нулю.

В результате из (10.2) получаем следующее равенство:

% 5 ^Г 爵 ”2 d〃 = 〃卜5 -办)塞 de 如2・(10.8)

Заметим, что вследствие пространственно однородного распределения атомов газа в равенстве (10.8) можно % заменить на g2* Тогда левая часть этого равенства совпадает с определением интеграла столкновений (10.1) и, следовательно,

/(Z,方)="卜6 -办)* gz "2 如2・(w.9)

Это и есть искомое иное определение интеграла столкновений.

Подставим в (10.9) выражение для корреляционной функции, которое следует из (10.4). В результате получим следующее выражение для интеграла столкновений:

/(Р“ 0 =

=几卜5 一内)許3停1(-8), /)Л (Р2(-°°)，t) dr2dp公(Ю.Ю)

Напомним, что импульсы Pi, Р2 — это начальные (в момент / — т) импульсы двух взаимодействующих атомов, которые в момент / имеют импульсы рь р2・

Выражая «начальные» импульсы через рь гь р2,女，можно записать

PM—оо) = р[(门一电，pi, р2, — оо),Р2(_оо) = Р2(Г1-г2, Pi, р2, -оо).

Импульсы Р[, Р2 зависят лишь от разности координат，i — r^ а не от самих 片，&.

В «начальном» состоянии частицы настолько удалены друг от друга, что они не взаимодействуют, поэтому имеет место равенство

■£■ + ■£ +①(旧一Г21)=誥 + 爲 (m2) выражающее закон сохранения энергии.

В выражении (10.10) можно проинтегрировать по 方，при этом оно представится в виде разности двух членов

/ = "-/«・(10.13)

Это показывает, что в приближении парных столкновений можно выделить два класса столкновений. Одни из них (столкновения типа а) уменьшают число частиц с импульсом pi в точке г】,

а другие (столкновения типа б) увеличивают число частиц с импульсом pi в точке 门.Схематически оба типа столкновений изображены на рис. 1.

Вклад столкновений типа а описывается интегралом столкновений /а в (10.13), а типа б — интегралом /ь・

В процессах типа а импульсы 卩卜 р2 являются «начальными» импульсами, а р,,卩；—«конечными» импульсами. Наоборот, в・ процессах типа б импульсы р,, р； — начальные, а рь рг—конечные. И в том и другом случаях импульсы рь р2, р,, р； связаны законами сохранения импульса и кинетической энергии:

P|+p2 = " + Р:'券+^ =费+嘉•(1。」4),

Вернемся к выражению (10.10). Произведем под интегралом переход от переменных 门一r2 к цилиндрическим переменным г, р, ср. Ось цилиндрической системы координат направим вдоль вектора относительной скорости s—v2. Выражение (10.10) тогда примет вид

/ (卩 1, f)=.

="\ 电 \ dz\dq)\pdp|6 一б康片仍1(-8),力人02(-8),f). — ООи и

Выполним в этом выражении интегрирование по 2：

/ (Pi，0 =

2Л оо

= n\dp2 \ dq)\pdpl6 — N2lfi(Pi(-8),力九仍2(—°0)，".

J W W'z=±oo

(10.15)

Выясним смысл значений импульсов Рн Р2 при г = ± оо.

При z = —оо вклад в / (рь 0 отрицателен, поэтому Р「 尸2 一 начальные импульсы столкновения типа а, т. е.

Pi (门-72, Pi,p2, - 8)1=_8 = Pi>

P2(门一0，Pb p2, - 8儿=-8 =卩2."

При г = + оо вклад в /(卩[,f) положителен, поэтому Рь Р? —на・ чальные импульсы столкновения типа б, т. е.

Р|, . 4 -，2, Ру ₽2, 一 °°) L+8 = К, 2・(1。・ 17>

В результате выражение (10.15) для интеграла столкновений / принимает вид

2л оо

/(旭,/) = 4^2、d(p \ pdp|q-%|[f](W，/)3(弘 /) — о о

Т®"(Р2, /)]• (10.18)

Импульсы рь р2, рь рз связаны законом сохранения (10.14).

Четырех скалярных уравнений (10.14) естественно недостаточно, чтобы однозначно выразить, например, импульсы р；,爲 через рр р2, поэтому функции Р； = “(Р], Р?)，Р，= Р；(/，Р2) содержат два параметра, в качестве которых можно принять координаты р, ф.

Тогда в (10.18)

.“,2 = Р〔2(Р】，&，Р，9)・(10.19)

Определение этих функций производится на основе решения задачи динамики столкновения двух атомов.

Напомним, что величина

do = pdpdq)(10.20)

есть дифференциальное эффективное сечение рассеяния атомов с прицельным расстоянием р.

Вместо переменных р,屮 в функциях (10.19) можно взять углы рассеяния %, ф. Тогда из решения механической задачи надо найти зависимость прицельного расстояния р от угла рассеяния X» т. е. зависимость р = р(%). При этом вместо (10.20) имеем

du=^\^\d^ dQ = sinxdx №(10.21)

Выражение (10.18) справедливо для любого потенциала вза* имодействия атомов Ф. Рассмотрим случай модели твердых

шариков, когдашариков, когда①(『) = ｛；①(『) = ｛；При Г & Гз при г > г0-При Г & Гз при г > г0-(10.22)(10.22)

шариков, когда

шариков, когда

①(『) = ｛；

①(『) = ｛；

При Г & Гз при г > г0-

При Г & Гз при г > г0-

(10.22)

(10.22)

В качестве параметров в уравнениях (10.19) в этом случае

удобно выбрать значения углов, определяющих ориентацию еди-

-ничного вектора я0, который направлен

I[вдоль линии центров сталкивающихся

атомов в момент их столкновения от 《2》к《1》. При этом функции (10.19) имеют вид

f (叫)％' (10.23) ?2=?2 + m(^0)%

Здесь v = (pi —卩2)/加一относительная скорость сталкивающихся частиц.

Легко проверить, что выражения (10.23) удовлетворяют законам сохранения (10.14).

n‘ = N ——2 (vnj) /1Э.n‘ = N ——2 (vnj) /1Э.(10.24)(10.24)Из (10.23) находим относительную скорость

n‘ = N ——2 (vnj) /1Э.

n‘ = N ——2 (vnj) /1Э.

(10.24)

(10.24)

Отсюда

®‘小)=—(叫)，[vfn^ = \vn^ |，| = |N|・(10.25)

Таким образом, величина относительной скорости остается неизменной, а проекция ее на вектор л0 при столкновении меняет знак.

Для удобства вычислений представим атом 《2》в виде шарика с удвоенным радиусом, т. е. с радиусом 入，а атом «1» в виде точки (рис. 2).

Так как (е&) =—(vnQ) и |叫 =|е|, то углы между векторами—V, Ло и vz, По равны. Обозначим их через а. Угол рассеяния х = л — 2a.

Прицельное расстояние р связано с а равенством р = r0 sin а, м, следовательно, в интеграле столкновений (10.18)

up dp d(p = иг j cos a sin a da dqp = (^/1°) rj dQ. (10.26)

Интегрирование no a надо производить в пределах от 0 до 兀/2, что соответствует интегрированию по полусфере. Можно распространить интегрирование на всю сферу, но тогда вместо (vn0) надо взять модуль \vnQ\ и внести множитель V2. В результате интеграл столкновений в газе из твердых шариков

определяется выражением

/(Pi，力=等\如2，源№叫[{3:, f)f](% /)-

一片5, "(p2,3.(Ю.27А

В этом выражении импульсы р,, р； связаны с рь р2 равенствами (10.23).

Итак, мы установили вид интеграла столкновений для произвольного потенциала Ф (выражение (10.18)) и частное выражение для модели твердых шариков (выражение (10.27)). Напомним, что эти результаты получены при двух ограничениях: 1. Условие полного ослабления начальных корреляций. 2. Полное пренебрежение временным запаздыванием функций 后 при решении уравнения (10.2).

В следующем параграфе мы исследуем общие свойства интеграла столкновений Больцмана. Из них, в частности, будет следовать, что полученное кинетическое уравнение не учитывает вклад взаимодействия в термодинамические функции и в этом смысле является кинетическим уравнением лишь для идеального газа.

§ 11. Свойства интеграла столкновений Больцмана для идеального газа

Умножим интеграл столкновений (10.18) на произвольнук> функцию(р(р1) и проинтегрируем по рь Введем обозначение

I(t) = n^(p})I(pb 9如卜(Н.1>

Подставим в (11.1) выражение (10.18) и произведем двойную симметризацию подынтегрального выражения: 1. Симмет- ризуем по частицам《1»,《2》，т. е. во всех переменных《1»о《2». 2. Произведем симметризацию по импульсам до и после столкновения, т. е. Р],卩2二卩[Ро* Учитывая равенство

up dp d(p dp№2 =加‘ dp'd^ dp\ dp^(11.2)、

(оно следует из решения уравнений движения двух сталкивающихся частиц и выражает эквивалентность с точки зрения механики процессов столкновений типа а и 6), запишем выражение для /(/) после двойной симметризации в виде

2Л оо

/(/)=今 卜尸⑶小 d(p\ рdp[ф(pj + ф(Р2) ~ Ф(Р；) ~ Ф(Р0] X о о

Х[3(% /)33, f)-35, f)f©2,力•⑴・ЗА

Отсюда следует, что интеграл /(/) обращается тождественно (при любых функциях fi (р, /)) в нуль для всех функций ф, удовлетворяющих уравнению

Ф(Р1) + ф(Р2)=①(Р；) + ①(Р)(11 ・4)

Напомним, что pb р2； рь р£ ——импульсы до и после сталкивания, поэтому уравнение (11.4) выполняется для функций ф, сохраняющихся в процессе столкновений, т. е. при (р(р)= =1, Р，Р2/2т.

Таким образом,

/ (0 = « ^ ф (р) / (р, 0 dp = 0 при ф = 1, р, р2/2т. (11.5)

Рассмотрим еще одно свойство интеграла столкновений. Выберем функцию(р(р) в виде

①(р) = —K【nfi(p, О

и запишем выражение (11.3) в такой форме:

2几оо

」吁一叫dpidp2、pdpln

о о 3 ("口 0^1 (% f)

义比(“，/)3(% %)-3(PC)"(P2, /)]• (1L6)

Отсюда следует, что

/(f)》0 при ф(р) = — zclnfj (р, /).(11.7)

Знак равенства имеет место, когда функция 九 удовлетворяет уравнению

%(外处陋，/) = "(“，处("；，)(И.8)

решением которого является распределение Максвелла

з(吁焉kP(-i£r)・⑴

При условии (11.8) сам интеграл столкновений (11.18) обращается в нуль, а следовательно, уравнение (11.1) принимает вид

/|(Р” /)例=0・(11.10)

Таким образом, распределение Максвелла является равновесным решением уравнения Больцмана при пространственно однородном распределении частиц газа. При наличии внешнего поля равновесным решением уравнения Больцмана является распределение Максвелла — Больцмана.

Используем свойства (11.5). Рассмотрим уравнения баланса плотности числа частиц, плотности импульса и плотности энер-

гии (уравнения (7.2), (7.9), (7.14)). В них кроме пяти скалярных функций р, 〃厶 Т, для которых составляются уравнения баланса, входят еще неизвестные функции (7.15). В силу свойств интеграла столкновений Больцмана (11.5)

$р/# = о, ^1аР = о9(ii.li》

поэтому уравнения баланса (7.2), (7.9), (7.14) при 尸° = 0 и пространственно однородном распределении атомов газа принимают вид

空=0 刨L = 0 金且2й=0dt 5 扰 5出2 mu・

Отсюда следует, что величины

Р, Р〃，4•靑心三力〃(Н.12).

при Fo = 0 н пространственно однородном распределении частиц, газа не меняются со временем.

Величина и“д—внутренняя энергия идеального газа. Это показывает, что в кинетическом уравнении Больцмана, полученном при двух указанных выше предположениях, взаимодействие частиц в недиссипативных характеристиках не учитывается. В этом смысле мы будем говорить, что уравнение Больцмана (10.1) с интегралом столкновений (10.18) является кинетическим уравнением для идеального газа.

Свойство интеграла столкновений (11.7) обеспечивает выполнение закона возрастания энтропии

S(/) = — кп Infj (р, /)%(р, t)dp.(П.13>

Действительно, из уравнения (10.1) с учетом свойства интеграла столкновений (11.7) и определения плотности энтропии (11.13) следует, что

WS/成 >0 или dHIdt&q, " = -S (11・14>

(Н-теорема Больцмана). Знак равенства относится к случаю- равновесного состояния.

В следующих параграфах мы будем использовать выражение (10.5) для интеграла столкновений, т. е. будем использовать интеграл столкновений в форме, предложенной Боголюбовым.

Проверим, что интеграл столкновений в форме (10.5) также обладает свойствами (11.5).

Выполнение первого равенства (11.5) очевидно. Проверим справедливость второго равенства (11.5). Для этого умножим

выражение (10.5) на 叩】и проинтегрируем по р! по частям. В результате

也 \ р1/ dpi =

= -〃4 縱f】(B(-8)，力)3便2(—8), t)drl2dP[dp2. (11.15)

Здесь 门 2 =门一4

В силу пространственной однородности подынтегральное выражение в (11.15) зависит только от 片一r2 (см. (10.11)) и при замене Pi=p2， 712f —「12 меняет знак. Таким образом, выражение (11.15) также равно нулю.

Умножим, наконец, выражение (10.5) на пр]/2т и проинтегрируем по частям по р( и симметризуем по《1», 《2》.В результате получим

几\募/如尸

—4 卜&2-S)嶽 f I (В ( — 8), 0 3 归2 ( — 8)，0 d」2 dp/p2・ (11.16)

Добавим в этом выражении интегрирование по т и запишем его в виде

=^ Rd ^1^⑸—5)総^ 3 阳(一t), f) 3 俨2(—力，/)• (11.17) 0

Произведем здесь замену переменных хь х2 -> ^1 (—т),Х2(—т)・ По теореме Лиувилля для задачи двух тел dx\dx2 = d^idX?, по* этому выражение (11.17) принимает вид

〃\誥【dp—

=切"4 ^г叵_叫器I ^% (В(_ t), о 3(巴(—т), 0.

°(11.18)

Скобки []х указывают, что стоящее в них выражение является функцией т и переменных интегрирования Х((—т), Х2(—т).

Используем уравнение для произвольной функции динамических переменных А (х):

^^^[НА](11.19)：

при A = f[ (Pi (— т), 0 f ] (Р2 (— т), /),/ = —1・ В результате получим dh (PD)fi(P2(—т))_

Отсюда следует, что под интегралом в (11.18) выражение 右 ・•・ не зависит явно от т, а зависит лишь от переменных интегриро- лания X】(一т),Xz(—т).

Заметим далее, что

回一02)毓"1П^件小.(11.2了

Подставим выражения (11.20), (11.21) в (11.18). Учтем, что при интегрировании по т останется лишь вклад от т = 0, но X], 2(—т) |т=о = ХЬ 2. В результате

П别% (欝舒+ * 謚)fm, /) f他0坤且=0.

(11.22)-

Таким образом, доказано третье равенство (11.5).

Проведенное здесь доказательство равенства (11.22) будет использовано в § 12 при рассмотрении законов сохранения на основе кинетического уравнения для неидеального газа.

Кинетическое уравнение Больцмана

Для неидеального пространственно однородного газа

Вернемся к уравнению (10.2) и рассмотрим его решение лишь при одном предположении о полном ослаблении начальных корреляций и, следовательно, не будем пренебрегать временным за* паздыванием в функциях f\(p[, /),厶(卩2, %). Вместо (10.4) полу* q“M тогда следующее решение:

%(/, x2, 0 = 3 (в (- a f 一 力力俨2 (一 G，f 一 " +

+ )陽力(6'f)力餌吐(12.D

В первом приближении по запаздыванию (в первом приближении по то d/dt 〜то/тст) находим отсюда

『2(修，x2, 方) = (1-f 与)f](P[ (一矶 /)3仍2(一矶 /) +

Во втором члене проинтегрируем по частям по /. В результате выражение (12.2) примет вид

/2Ui, x2» f)=九(p[(一t), /)3 比2(一力，0 -

一^卜‘券后(в(-⑦，力后便2 (一 И, 0改.(12.3) 0

В этом выражении уже можно произвести предельный переход т->оо. В результате получаем решения уравнения (10.2) с учетом членов первого приближения по запаздыванию — первого приближения по to/тст：

/2(^1，%2, 0 = f 1 (В (— 8)，0 f I 仍2 (— 8)，0 —

一禺•卜最■ fl (в (-矶 ‘)f 1 俨2 (-吗，/) dr. (12.4) 0

Первый член в этом выражении совпадает с (10.4), а второйучи- гывает запаздывание.

Подставим выражение (12.4) для g2 =『2 — fji в правую часть уравнения (10.1) и представим полученный таким образом интеграл столкновений в виде суммы двух частей:

I(Pi> f) = /(i)(Pi, /) + /(2)(Pi，0-(12.5)

Первый член в этом выражении /⑴ совпадает с (10.5), а второй определяется выражением

，(2)(Р1，0 =

=-九禺t \喏證■^后(в(一 D m(Р2(-吟f)T d"r2恥. о

(12.6)

Интеграл /(【)обладает свойствами (11.5), т. е.

〃，屮(pJ/(i)(Pi，f)dp[ = O при ф= 1, рр pj/2/n. (12.7)

Рассмотрим соответствующие выражения с интегралом /(2卜 Из выражения (12.6) непосредственно следует, что \ /(2)dpi = 0.

Умножим выражение (12.6) на пр{ и проинтегрируем по частям по pi. В результате получим

п \ pj(2)dpi =

jdT \ 力[ dp2 "淤縹九(в (一吟 /)方仍2 (一力 /). (12.8)

0

В силу пространственной однородности в (12.8), как ранее в (11.15), подынтегральное выражение зависит только от (门一办) и при замене pi 之 р2, rl2 т—*12 меняет знак и, следовательно, выражение (12.8) равно нулю.

Таким образом,

九 \ Ф(Р)/⑵(Pi，f)dpi =0 при (р= 1, рР (12.9)

Покажем, что в отличие от (11.5) при <р = p]j2tn равенство (12.9) не имеет места.

Умножим (12.6) на 九网/2т и проинтегрируем по рь После интегрирования по частям по pi и симметризации относительно 《1》，《2》полуинм

" S * /⑵"Pl = 3 ^" jd" 用户Sl办)袋义 О

义t言fi(P](一G，/)3仍2(—力，f).(12.10)

Это выражение соответствует (11.17).

Как и в (11.17), произведем замену переменных хь %2f fX[(—т), Х?(—т) и используем равенство (11.21). После этого йолучим

Г Piгг д С f dX, dX? d _

о

Xt^R(Pi(-* 竹仍2(—力，/). (12.11)

Произведем в (12.11) интегрирование по т по частям с учетом, что выражение (11.20) под знаком интеграла в (12.11) не зави* сит явно от т. Так как

\ ^[① 12]Тm7： = - \ [①ddq(12.12)

оо

то после обратного преобразования переменных Х、2(—т) -> хц 2 получим из (12.11), (12.12)

4纂/⑵如尸

=-^ 為卜d ^1 ① 12 ^ 3 (В (— Т), /)厶俨2 (- Т), /). (12.13) 0

Здесь можно выполнить интегрирование по т. Учитывая при этом, что при пространственно однородном распределении выражение

易 \ f 1(Р1，О Л(Р2» 0 dpi d〃 = 0,(12.14)

получим окончательный результат:

九、寨/⑵(①, f)dPi =

=-寻号\ ①品明(一 8), /) 3 俨2 (- 8), /) ^^ • (12.15)

Рассмотрим снова уравнения баланса энергии. Из уравнения (7.14) с учетом равенств (12.7) (при ф = р,2/п) и (12.15)： получим теперь

斗号沁力仍乂一00)，М(Р2(-8), t)dri2dPtdp2} = 0.(12.16)

Таким образом, при учете эффекта запаздывания сохраняющейся величиной является сумма кинетической энергии и потенциальной энергии пар сталкивающихся частиц, и, следовательно, плотность внутренней энергии определяется теперь выражением u=n\^^dpl +

+ 与卜京《(-8), f)%俨2(一8)，t)drl2dPidp2. (12.17)

В равновесном состоянии функция

f 1 (Р] (— оо)) 3 仍2 (— °°))=

_1//2m + 阈2加 + 52](12

—(2лт«Г)зеХр1кТ 」

Здесь использовано равенство (10.12).

Используя формулу (12.18), для плотности внутренней энергии находим выражение

。=^鹏 +到(D]2e-M"|2・(12.19)

Это выражение совпадает с результатом равновесной теории (8.12), полученным в первом приближении по параметру плотности.

Интеграл столкновений в приближении теории возмущений. Кинетическое уравнение Ландау

В приближении теории возмущений вместо уравнения (10.2) надо использовать более простое уравнение (3.4). Запишем его для случая 尸。=0 н пространственно однородного распределения частиц газа:

仔+打詣+砲談)g2 =

=(甯急 + 甯謚)fSM(P2，f)・(ED

При условии полного ослабления начальной корреляции остается лишь решение неоднородного уравнения (13.1). С учетом временного запаздывания функций fi(Pi,/), fi(Р2, 0 это решение можно записать в виде

0

ХЛ(Р1, / — Т)f j (p2, t — r) dx. (13.2)

Это выражение и определяет корреляционную функцию g2 в приближении теории возмущений.

В первом приближении по запаздыванию выражение (13.2) принимает вид

g2g, х2, /)= $ 吗(i-t4)x о

X — ^")fi(Pi, /)3(Р2,力)狂 (13.3)

Покажем, как это выражение получить непосредственно из решения (12.4). С помощью уравнений движения частиц《1»,《2»

dph 2l(it = —дФ^/дг^ 2(13.4)

выразим р» р2 через Р{ (— т),「?(一 т)：

h誥],或』Pi"什 j [器]f-то

(13.5)

В приближении теории возмущений функции 门，2« — т) под интегралом достаточно вычислить в нулевом приближении по взаимодействию, т. е.

匕,2(/ —т)=门,2 (/) — 6,2т.(13.6)

В результате из (13.5) находим

2 (—力=Р" + j 吨十二，一唸^ м・(13.7) о，

Подставим эти выражения в (12.4) и проведем разложение по взаимодействию. В результате получим выражение (13.3).

Найдем соответствующие результатам (13.2), (13.3) выражения для интеграла столкновений.

Из (13.2), (10.1) находим выражение для интеграла столкновений /(рь 0 в приближении теории возмущений, но без пред- положения о малости запаздывания:

/)= 〃jdt,dx2時説X

X…卜%…)川嶋(pj_w (色

(13.8)

Это выражение удобно представить в иной форме. Разложим ф(г) в интеграл Фурье по г:

①")=击鈍便)少""瓦.(13.9)

и подставим это разложение в (13.8). В результате после интегрирования по & получим

/(Р1, 0 = ^)3- ^- \^\ d「2 \ dk 々向① 2 优)ехр[— ik (s -办)т] X

X^"^у—^y)3(P”，-"fi(P2, " т)・(13.10)

В первом приближении по запаздыванию интеграл столкновений можно снова представить в виде суммы двух частей

/ = /(I)+ 厶2)・(13.11)

Из выражений (13.10), (13.11) находим

/⑴=詣就，々向①2 (同6信6 -论砲)(就一訂)f I 3, 0 X

X fi (p2, f)d论如2, (13.12)

X(就一就9片3,f"饱，t)dkdp2. (13.13)

Выражение (13.12), определяющее интеграл столкновений без учета временного запаздывания в приближении теории возмущений, называется интегралом столкновений Ландау. Мы увидим, что это приближение имеет широкую область применимости для системы заряженных частиц, когда взаимодействие частиц происходит по закону Кулона.

Интегралы столкновений (13.12), (13.13) обладают теми же свойствами, что и рассмотренные выше интегралы столкновений в приближении парных столкновений.

Заметим, что до сих пор мы не выяснили, какую роль играют интегралы столкновений /(2), учитывающие временное запаздывание, в формулировке Н-теоремы Больцмана. Этот вопрос мы теперь и рассмотрим.

Н-теорема Больцмана для неидеального газа

В § 8 были приведены результаты расчета термодинамиче* ских функций в нулевом и первом приближениях по параметру плотности. Нулевое приближение соответствует идеальному газу, а первое приближение учитывает вклад взаимодействия в термодинамические функции. В частности, были приведены результаты расчета энтропии S. Результат можно представить в виде

S = Shr + AS・(14.1)

Здесь Sh口 — плотность энтропии идеального газа, AS — вклад в S, обусловленный взаимодействием частиц. В первом приближении по плотности он определяется выражением (8.17).

В § 11 при использовании кинетического уравнения Больцмана получено выражение для энтропии неравновесного состояния

Sb (/) = — кп^ Infjp, f)・ Л(р, f) dp •(14.2>

В равновесном состоянии fi — распределение Максвелла, и

3 Ю. Л. Клнмонтовнч

из (14.2) следует, что Sb = 5ИД. Это показывает, что выражение (14.2) не учитывает членов первого порядка по плотности, которые в состоянии равновесия совпадают с выражением (8.17) для AS.

Это не означает, что выражение (14.2) вовсе не учитывает вклад взаимодействия. Действительно, как и любые термодинамические функции, функции распределения fi, /2, ... могут быть представлены в виде рядов по плотности. В рамках приближения парных столкновений можно получить лишь два первых члена разложения, поэтому, например, функция f{ в этом приближении может быть представлена в виде

" =『； + *•(14.3)

Здесь 『?— функция распределения идеального газа, /}— вклад в функцию /), обусловленный взаимодействием частиц. Функция f[ определяется корреляционной функцией g2・ При учете лишь парных столкновений связь fi с g2 очевидна:

f^Pv f) = C(f； + 〃,g2 3,%2,/)^4^0・ (14・4)

Постоянную С определяем из условия нормировки (1/V) \ "d%i = 1. В силу малости параметра плотности в выражении для С можно удержать лишь члены нулевого и первого порядка по п. Тогда

九(Рр 0 = f?(PP 0 + « J { J dp2g2 - \ dp； dp?g2(rv rv Pi，P2> f)X

Xf?(Pj)}"卢.(14.5)

Для равновесного состояния второй член в (14.5), пропорциональный /г, обращается в нуль и, следовательно,

fi(Pd = fKP^(14 ⑹

Таким образом, для неравновесных состояний выражение (14.2) учитывает частично вклад взаимодействия, который описывается одночастичной функцией распределения. Однако, как мы видели, этот учет не является полным.

В настоящем параграфе мы установим выражение для энтропии, которое полностью учитывает в первом приближении по плотности вклад взаимодействия частиц. Мы также покажем, что это выражение в рамках модели парных столкновений определяет Н-функцию Больцмана для неидеального газа [37].

Представим выражение для плотности энтропии S в виде

S = Sb + AS,(14.7)

где AS ——дополнительный вклад в S, обусловленный корреляциями, входящими через вторую функцию распределения 方2・

Для определения AS поступим следующим образом. Запишем выражение для Sb в расчете на две частицы в виде

-2^ 卜n (f 击).f 击 ^4^ = 一 % u" (f 加)" ^^，

Здесь использованы условия нормировки (1.14) и равенства (2.8). Энтропия пар взаимодействующих частиц в расчете на одну пару равна

Так как число пар равно N(N— 1)/2, то из этих двух выражений следует выражение для части плотности энтропии, обусловленной корреляцией частиц [36, 37]:

^S = -K^\п-^^f2■^^-.(14.8)

Рассмотрим это выражение для равновесного состояния. В этом случае в (14.8) можно выполнить интегрирование по импульсам. В результате получим

А5 =-萼u口%(一，后)丿2(乙，，2)^^.(14.9)

Здесь

h(rh r2) = С exp (—Ф|2/кГ).(14.10)

Нормировочная постоянная

С = (,ехр(—尊〜，(14.11)

где гкор —радиус корреляции.

При Ут 8 С fl. Однако в выражении (14.9) можно положить С = 1 лишь во втором сомножителе под интегралом. Действительно, с учетом (14.11) величина

一叫 ee.%色要一号NEC =

=昇絞卜宀/仃_1)业告,

т. е. имеет тот же порядок, что и остальные члены в (14.9).

С учетом этого выражение (14.9) можно записать в виде

AS =等 \ [* с-®" + (е-su - 1)] " & =门一R)・(14.12)

Это выражение совпадает с (8.17). Первая часть в (14.12) определяется внутренней энергией, а вторая ——свободной энергией.

Для модели шариков со слабым притяжением

AS = - кп2b -冗长%2 \ 半产 dr.

J (К/ 丿 仆

Здесь & = 2/злго"~ постоянная Ван-дер-Ваальса.

Общее выражение (14.8) в неравновесном случае можно также представить в виде суммы двух частей, одна из которых при переходе к равновесному состоянию будет определять вклад внутренней, а вторая ——свободной энергий.

Для этого представим функции 厶，％ в виде

九=(\用粤)7几% = (\ &史守)М2，尺=尸内+ G2.

(14.13)

В равновесном состоянии функции

尸2 = ехр(—①/%「)， G2 = exp (—Ф/кТ) — 1.(14.14)

Выражения (14.14) отличаются от (14.10) тем, что здесь С = 1, т. е. вклад корреляции не включается в нормировочную постоянную.

Учитывая, что \ 尸【■^~= 1 +。(%), и пренебрегая членами * получим

f F d%i d%2

В результате выражение (14.8) принимает вид [37]

AS =—萼 \ [in 鳥 & - G?] ^\^ ・(14.15)

В равновесном состоянии, используя (14.14), снова приходим к выражению (14.12). Мы видим, что первый член (14.15) является неравновесным аналогом вклада внутренней энергии, а второй — неравновесным аналогом вклада свободной энергии.

Рассмотрим теперь выражение для Н-функции неидеального газа [37].

Из формул (14.8), (14.15) видно, что в выражение для AS корреляция входит через f2 и через 1п ^- Чтобы учесть вклад корреляционной функции под знаком логарифма при определении Н-функции, поступим следующим образом.

Используя кинетическое уравнение, запишем уравнение для •функции “(pi, f)fi(p2, %). Умножим это уравнение на

(-等 In(Ш-^vin-A-)色書■

电 проинтегрируем no %i%2. Пренебрегая в правой части членами порядка п3, получим

=—кп ^ In ft • /⑴"^" — кп ^ In f| • /⑵-^у- = Ц + 厶・(14.16)

Интеграл /(【) совпадает с интегралом столкновений Больцмана, поэтому

/尸一仙卜巾/⑴炉》0.(14.17)

Преобразуем второй член правой части (14.16). Используя выражение (12.6), после интегрирования по частям по pi и симметризации, получаем выражение

厶一粵Н (唳^+^^ (咕)X о

х т 糸 Е S」(1, 2) f М, О 3 (а 0 ^^ dr.

Проведем преобразования, аналогичные сделанным в §§ 11, 12 при выводе закона сохранения энергии. Перейдем под интегралом в /2 к новым переменным 打,2fxi*(—т) и учтем, что

T（叫/詣+*謚如抬小T（叫/詣+*謚如抬小=辞f[e仇%）儿2=辞f[e仇%）儿2D •D •

T（叫/詣+*謚如抬小

T（叫/詣+*謚如抬小

=辞f[e仇%）儿2

=辞f[e仇%）儿2

D •

D •

Проинтегрируем по частям по т и снова вернемся к переменным Хь %2・ В результате получим выражение

/2 =一粤中" (沛)禺*S-J1，2)人(出，"S，f)如卢比

Интегрируем по т и учитываем, что в нулевом приближении по запаздыванию вторая корреляционная функция

g2(M，工2)= 3仍1(-8),f)3仍2(- 8), f) —f]("" f)f[(p2, f)， получим выражение

厶(力)=一粤卜" (fifi)吟半华•(14.18》

Используем уравнение (10.2) для функции &, чтобы запи* сать выражение (14.18) в более удобной для нашей цели форме.

Умножим уравнение (10.2) на In % и проинтегрируем по хь 电 В результате получим равенство

卜п % •警愿笋=о.(14Л9>

Из формул (14.18), (14.19) следует, что

"(，) =粤卜n今醬马户(14.20>

В результате из (14.16), (14.17), (14.20) следует неравенство -Kn^\nf^^-^-\\n-^-^-^^- = h (0>0. (14.21> В левой части оператор d/dt можно вывести из-под знаков интегралов, если учесть, что

Последнее равенство следует из уравнения (10.2). В результате получаем неравенство

dS/dt = — 0"似=厶(f)》0,(14.23}

где亠

H = ^S^Kn\filnfi^ + ^^ln^f2^^ (14.24>

есть Н-функция Больцмана при полном учете взаимодействия частиц в рамках приближения парных столкновений. Добавочный член в (14.24) для S совпадает с выражением (14.8).

Если вместо 九，%, g2 использовать функции 尸卜 尸2, ©2，определяемые формулами (14.13), (14.14), то для Н-функции вместо (14.24) получаем следующее выражение:

Н = М \fjnh* +粤，(1П 侖•尸2-G2)^^.

Это выражение соответствует выражению (14.15) для AS.

В §§ 10—14 были рассмотрены кинетические уравнения для случая пространственно однородного распределения атомов газа. В следующем параграфе мы рассмотрим кинетическое уравнение для пространственно неоднородного неидеального газа и из этого уравнения получим уравнение газовой динамики для неидеального газа.

<§ 15. Кинетическое уравнение Больцмана для пространственно неоднородного неидеального газа

Для получения кинетического уравнения для пространственно неоднородного газа в приближении парных столкновений но пользуем систему уравнений (2.11), (2.18) для функций 力，%•

При условии полного ослабления начальных корреляций решение уравнения (2.18) можно записать в виде

力的，х2, 0 = f I (X] (— т), f — t) f I (Х2 (— t), f —力 +

斗“圈+ 5詣+办詣)3(/，f)f I施，%, 2 (_力(15.1)

Здесь Xi(—т), 乂2(—т)—значения координат и импульсов частиц в момент времени / — т. В (15.1) положено 尸=0. Для одноатомного газа это ограничение не является существенным при выводе интеграла столкновений, так как работа силы 尸 на расстоянии порядка го пренебрежимо мала по сравнению с &Т.

Если подставить решение (15.1) в интеграл столкновений (2.11), то получим выражение для интеграла столкновений сученом пространственного изменения функций fi(%i,/),厶(％2, f) в пределах радиуса действия межатомных сил и с учетом временного запаздывания функций %.

Рассмотрим частные случаи.

Функция распределения пространственно однородна и временное запаздывание не учитывается. В этом случае приходим

к кинетическому уравнению Больцмана для идеального газа (§§ Ю, 11).

Пространственное распределение атомов газа однородно, но учитывается временное запаздывание. В этом приближении получаем кинетическое уравнение Больцмана для пространственно однородного неидеального газа (§§ 12—14).

Пренебрегаем временным запаздыванием, но учитываем пространственную неоднородность функций R на расстояниях порядка г0. В этом приближении получаем обобщенное уравнение Больцмана, полученное Боголюбовым (уравнение (9.17) работы [4]). Для модели твердых шариков оно совпадает с обобщением уравнения Больцмана, предложенным Энскогом ([2],. гл. 16).

Различие между этими уравнениями и уравнениями Больцмана проявляется, в частности, при переходе к гидродинамическому приближению. Используя обобщенное кинетическое уравнение, можно в гидродинамических уравнениях получить поправки к уравнению состояния идеального газа и соответствующие поправки к кинетическим коэффициентам в виде рядов по- степеням параметра плотности.

Следует, однако, при этом иметь в виду то, что обобщения, проведенные в работах Энскога и Боголюбова, сделаны в рамках парных столкновений. Вследствие этого поправки к кинетическим коэффициентам и вклады взаимодействия в уравнение состояния второго и высших порядков по плотности не являются точными, так как неучтенные тройные и более сложные взаимодействия дают вклады того же порядка.

Вследствие этого при учете пространственной неоднородности в кинетическом уравнении, полученном в приближении парных столкновений, достаточно учесть лишь члены первого порядка по『о/厶 т. е. члены первого порядка по плотности.

Обобщенные уравнения Больцмана, рассмотренные в работах Энскога и Боголюбова, не учитывают временного запаздывания, поэтому при переходе к уравнениям газовой динамики они не дают поправок, обусловленных взаимодействием, к функциям под знаком dldt. Вследствие этого, например, не учитывается вклад взаимодействия во внутреннюю энергию. Для учета всех поправок первого порядка по плотности в кинетическом уравнении надо учесть как пространственную неоднородность, так и временное запаздывание, т. е. учесть члены первого порядка по 厂о//, То/Тст»

В дополнение к тому, что было сделано в §§ 12, 13, надо- учесть члены первого порядка по пространственной неоднородности. Сделаем это следующим образом.

Введем в 力(门，4 Pi，Р2, 0 переменные гх — г2 = г^ (rj + г2)/2 = /•[ — г!2/2 и произведем разложение по г^/дг^

•В первом приближении получим

%（修，%2, f）=% （门2,"步,Pl，"2, /）=

=（1 謂）％（门 2,门，Pl, "2, /）♦（15.2）

Запишем уравнение для функции

『2亿2,门，Pl，p2, /）三

Wg・2（h2,门，Pl，% f）+R6, Pl，f）RJ, P2, f）・

Из уравнения （2.18） в первом приближении по неоднородности находим

修+中言+（吁力）备-欝隔一壹）］*

X ^2 （r 1，门2，Pl，p2, f）=（為 + 3 "^ 吟-帛*） X

Xfi（h, m, /）% （门，p2,生 （15.3）

При условии полного ослабления начальных корреляций решение этого уравнения имеет вид

扌2 （门，门2, "1，"2, /） = % （门—2哆02 £ P］（—力，/ — T）X

X f 1 （门—也 ^ ”2 T,「2 （—t），/ — t） +

f \ （鳥 + 乌击”2 ^7）fi （у” Pi（— т）> О Л（ri» " （— У）, 0 di.

Во втором члене сразу оставлены лишь члены первого порядка по запаздыванию и неоднородности. В первом члене произведем разложение по т и удержим члены нулевого и первого порядка. Во втором члене проинтегрируем по частям и произведем предельный переход т-> оо. В результате получим выражение

力（门，门2, Pi，Р2, /） = %（门，Pi （—8）, /）% （门，P2 （― оо）, /） —

一（导 + "" ^ "2 崇*） \ 工嘉 h"k Pl（-R f）fl（门,p2（一p）,f）dr.

0

（15.4）

При подстановке этого выражения в （15.2） удержим лишь члены первого порядка по г。//, то/тСт. В этом приближении оператор （——片2/2）8/"i действует лишь на первый член в （15.4）. В результате выражение для функции /2（^1, ^2, Ph р2,0 будет состоять из суммы трех членов. В соответствии с этим и

интеграл столкновений (2.12) можно представить в виде суммы трех частей:

/ (%i，f) = /⑴ + /⑵ + /⑶.(15.5)

Здесь первый член определяется выражением

/](修，/)=

=П \ 甯謚 R (门，P| (— 8), О Л (Гн Р2 (— ОО), /) %•(15.6>

Оно отличается от выражения (10.5) зависимостью функций % от и. Второй член в (15.5) определяется выражением

/⑵3,/)=一忐需謚後+中/)X о

义石負％(门，B(—G,"(入 Р2(-т), QdTdx. (15.7》

В случае пространственно однородного распределения частиц это выражение совпадает с выражением (12.6). Наконец» последний член в сумме (15.5) определяется выражением /(з)(хь ‘)=一打陪読(门2詣)伉(一，PJ-8), 0x

义厶(门，P2(— 8)，力一fl (门，Pl，f)fl(h，P2, f)]d%2.(15・8>

Появление второго члена в [] в правой части выражения (15.8) обусловлено тем, что интеграл столкновений дпределяется не функцией %, а корреляционной функцией g2・ Соответствующий вклад есть, естественно, и в левой части уравнения (2.11) в члене со средней силой (см. (2.10)). Эти вклады сокращаются. При этом 尸 в (2.11) заменяется на %•

Используем кинетическое уравнение Больцмана с интегралом столкновений (15.5) — (15.8) для вывода уравнений газовой динамики неидеального газа. Для этого рассмотрим вклад интегралов столкновений /⑴，/(2), /⑶ в уравнения переноса плотности числа частиц, плотности импульса и плотности энергии. Для этого согласно (7.15) надо рассмотреть интегралы \ 中/ dp при Ф = 1, р, р2/2т. Интеграл /⑴ и при пространственно неоднородном распределении частиц обладает свойствами (11.5), т. е.

〃、屮(Р】)/⑴(修，f)dp[ =0 при (р= 1, Р], p：/2/n. (15.9) Вследствие этого интеграл /⑴ не дает непосредственного вклада в уравнение переноса. Но он определяет тензор вязких напряжений 冗仃 и вектор теплового потока [5, 9].

Интеграл /⑵，как и при пространственно однородном делении частиц, обладает свойствами

〃、屮(Р“/⑵dpi = 0 при (p= 1, pi

распре-распре-(15.10)(15.10)я, следовательно, не дает вклада в уравнение переноса плотности числа частиц и плотности импульса.

распре-

распре-

(15.10)

(15.10)

ии\ Ф(Р1) /(з)dp】=0\ Ф(Р1) /(з)dp】=0лишь при ф = 1.лишь при ф = 1.(15.11)(15.11)В уравнение переноса плотности числа частиц не дает вклада я интеграл /(3), но

и

и

\ Ф(Р1) /(з)dp】=0

\ Ф(Р1) /(з)dp】=0

лишь при ф = 1.

лишь при ф = 1.

(15.11)

(15.11)

При ф = Pi этот интеграл не равен нулю и, следовательно, не равен нулю вклад от него в закон сохранения импульса. Определим этот вклад.

Умножим выражение (15.8) на npi и проинтегрируем по р【)• Проведем интегрирование по частям по рь В результате получим выражение

fдД Р订

九 J Р“⑶ dp、=讯厂♦(15.12)

Здесь введено обозначение АР订 для добавки к тензору 戶订,обусловленной взаимодействием. Тензор ДР：； определяется выражением•

△Р订=—%，乎察fi(h, Pi( —8), f)fi(h,「2( —8), t)drdp\dp2・

(15.13)

oдФ ri d ①

Здесь учтено, что — = -i- —, r = r{^ r2.

В соответствии с определением тензора вязких напряжений 冗仃=戶订—。仃〃 представим тензор АР^ в виде

ДР/у = 6；/ Др + Дл/у.(15.14)

Из выражений (15.14), (15.13) следует, что вклад взаимодействия в величину давления определяется выражением

△р = — ^К*(г)ЗМР|(—8), /)% (门，「2(—8), 0 dr dp{dp2.

(15.15)

В принятом приближении выражения (15.13), (15.15) для АР訂,Др достаточно рассчитать в приближении локального равновесия, так как учет отклонений от локального распределения Максвелла дает вклады порядка еег, где ег—гидродинамический： малый параметр.

В приближении локального равновесия из (15.13) следует

АР” = 6〃 Ар, Дл/у = 0,(15.16}*

где

△р=-45гФ，①用(Pi (- 8))冷(Р2(- 8)) 〃 dp®. (15.17>

Подставим в (15.17) распределения Максвелла и нспользуе^? равенство (10.12). Выполняя интегрирование по импульсам, получим

△р = — -^^，гФх (г) е~ф/кТ 产 dr = о

=賢5 、±5®Кт— 1)声打.(15.18> о

Интегрируя по частям по г, получим окончательно

Ар = - 2шЛсТ I (е-ф/п - \)r2dr.(15・19>

и

Это выражение отличается от выражения (8.15), полученного для равновесного состояния лишь тем, что в (15.19) концентрация и температура — локальные характеристики и зависят по* этому от координаты и времени.

Для модели атомов в виде упругих шариков со слабым притяжением (см. (8.18)) из (15.19) находим, что

Ар = п^кТ (b — 含)，(15.20>

где а, Ь — постоянные Ван-дер-Ваальса (см. (8.19)). Выражение (15.20), как и (15.19), носит локальный характер.

Рассмотрим теперь вклад интегралов столкновений /(2), /(з)в уравнение баланса энергии.

Умножим выражение (15.7) на пр； 12m и проинтегрируем по р[. После преобразований, аналогичных проведенным в § 12 при выводе уравнения баланса внутренней энергии газа для случая пространственно однородного распределения частиц^

получим следующее выражение:

4 ■/⑵ dp1 =\ 52 得+ 立員■詣)X

X f 1 (门，Pl (— 8), 0 f ](门，P2 (— 8), 0 ” dpi dp2. (15.21)

При пространственно однородном распределении частиц газа это выражение совпадает с выражением (12.15).

В приближении локального равновесия равенство (15.21) принимает вид

")£/(2)初1 = 一(吟+彗°)，(15・22)

где

AU = 2ш：2 \ ① е-ф/心产 dr(15.23)

о

—вклад в плотность внутренней энергии, обусловленный корреляцией частиц, а — локальная средняя скорость.

Для потенциала взаимодействия (8.18) выражение (15.23) принимает вид

AU = — /:%,(15.24>

где а — постоянная Ван-дер-Ваальса.

Рассмотрим теперь вклад от /(з)в уравнение баланса энергии.

Умножим выражение (15.8) на 叩：/2团 и проинтегрируем по р|. После интегрирования по частям по р{ и симметризации по《1》，《2》получим

"，許/⑶dp尸之詣卜5 + ?2)i手"①，(Г) X

义3(入 Р|(—8), f)fi(h，P2(—8), 0 dr dp{dp2. (15.25)

В приближении локального распределения Максвелла находим отсюда окончательное выражение

〃，誥/⑶dPi(15.26)

Здесь и — средняя скорость, величина Ар определяется выражением (15.19).

Мы произвели вычисление моментов интеграла столкновений, входящих в уравнения переноса, и теперь можем выписать в

окончательном виде полученную нами систему газодинамических уравнений для неидеального газа в рассматриваемом приближении парных столкновений. Из (7.2), (7.9), (7.14), (15.12), (15.22), (15.26) находи?*!

零+ divp〃 = 0,(15.27)

—^Т2" + 方7【Р〃附 + 6订Р + 冗订］=尸о”(15・28)

足(粤 + u) + 号［心(粤 + u + p) + eg + S J = ^ 尸o".

'(15.29)

Здесь

P = Phu + Ap, u = иил + AU(15.30)

—давление и плотность внутренней энергии неидеального газа. В приближении парных столкновений вклады Ар, At/ в (15.30), обусловленные взаимодействием, определяются формулами (15.18) (или (15.19)) и (15.23).

Тензор вязких напряжений л订 и вектор теплового потока в рассматриваемом приближении определяются выражениями (7.17), (7.18).

Естественно, что вместо системы уравнений для функций р, р〃，р〃2/2 + U можно записать систему уравнений для функций р, 〃，Т, так как давление р и внутренняя энергия могут быть выражены через р и Т.

Для вывода уравнений газовой динамики здесь использовано кинетическое уравнение

(弟 +門詣 +尸0説)3 =厶1)+A2)+厶3),(15.31)

в котором в интеграле столкновений учтены эффекты временного запаздывания и пространственной неоднородности. Если эти эффекты не учитывать, т. е. положить /(2)= /(з)= 0, то в уравнениях газовой динамики (15.27) — (15.29) Др = 0, Аи = 0 и, следовательно, 〃 =риз, U = f/цд. Таким образом, на основе обычного кинетического уравнения Больцмана с интегралом столкновений / = /1 можно получить уравнения газовой динамики лишь для идеального газа.

При выводе уравнений газовой динамики были удержаны только линейные члены по параметру плотности е = %г^ и газодинамическому параметру ег = 〃厶(厶—характерная длина рассматриваемой системы). Вопрос о высших приближениях будет рассмотрен в следующей главе. Здесь же лишь заметим, что ре-

шение кинетического уравнения в виде ряда по газодинамическому параметру является эффективным, когда распределение по скоростям близко к локальному распределению Максвелла. При сильном отклонении от состояния равновесия распределение по скоростям может столь сильно отличаться от распределения Максвелла, что экспоненциальный спад на «крыльях» распределения сменяется степенным [65]. В таких случаях описание процесса с помощью газодинамических уравнений может оказаться менее эффективным.

ГЛАВА 3

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНЫХ ГАЗОВ

Проблемы кинетической теории плотных газов

Интеграл столкновений в кинетическом уравнении Больцмана для идеального одноатомного газа (10.5) определяется выражением (10.4) для двухчастичной функции распределения. Напомним предположения, при которых получено это выражение для интеграла столкновений.

Пренебрежение тройными и более сложными столкновениями атомов. При этом условии из цепочки уравнений Боголюбова получается замкнутая система уравнений (2.11), (2.18) для функций распределения 九，%•

При решении уравнения (2.18) для функции распределения 『2 использовано условие полного ослабления начальных корреляций—условие Боголюбова.

При решении уравнения для функции % не учитывалось временное запаздывание и пространственная неоднородность одночастичной функции распределения f〔. Отказ от этого предположения (§§ 12——15) позволяет в рамках приближения парных столкновений получить кинетическое и газодинамические уравнения для неидеального газа.

Использовано (неявно) предположение о непрерывности процесса столкновений любой из частиц в физически бесконечно малом объеме с окружающими частицами. Это предположение будет снято в гл. 4.

Наличие малого параметра 8 — параметра плотности позволяет, казалось бы, для получения кинетических уравнений с учетом тройных и более сложных столкновений искать решение для функции『2 в виде ряда по параметру плотности е.

В работе Боголюбова [4] развит метод, позволяющий, при выполнении условия полного ослабления начальных корреляций любого числа взаимодействующих частиц, определить вид функ-

цин распределения /2 в любом приближении по параметру плотности 8.

Выражение (10.4) представляет собой нулевое приближение по £. Следующий член разложения (первое приближение по плотности) содержит вклады двух типов. Один определяет влияние тройных столкновений на диссипативные характеристики газа. Второй вклад иной природы. Он включает члены, определяющие влияние парных столкновений на недиссипативные характеристики газа, т. е., например, поправки к термодинамическим функциям, обусловленные взаимодействием пар частиц. Это эквивалентно учету в термодинамических функциях членов первого порядка ПО То/Тст, г0//.

Используя выражение для функции /?，учитывающее членыг линейные по плотности, можно, естественно, получить и более точное выражение для интеграла столкновений в кинетическом уравнении. Это сделано Чо и Уленбеком (см. [5]).

Если учесть в выражении для /2 члены следующего прибли- ткения по плотности, то можно получить еще более общее кинетическое уравнение для газа. В нем дополнительно учитывается вклад четверных столкновений в диссипативные и тройных —— в недиссипативные характеристики газа.

Таким образом, казалось бы, имеется метод построения кинетических уравнений для газа в любом приближении по плотности. В каждом приближении по плотности используются лишь допущения о полном ослаблении начальной корреляции на временах, много меньших тст, и непрерывности процесса столкновений. Однако при осуществлении этой программы возникают принципиальные трудности.

Исследования, проведенные независимо рядом авторов: Вайнштоком [19], Голдманом и Фрименом [20] и Дорфманом и Коэном [21] (см. обзор Коэна [22]), показали, что вклады в интегралы столкновений от высших приближений по плотности содержат расходящиеся (по времени) интегралы.

Интересно, что характер расходимостей в двумерной и трехмерной моделях газа оказывается различным.

В двумерной модели уже первая поправка по плотности (учет тройных столкновений) приводит в соответствующем интеграле •столкновений к логарифмической (In //то) расходимости. Члены порядка еп (孔》2) приводят к расходимости вида (//то)п-1.

В трехмерном случае в первом приближении по е (тройные столкновения) расходимости нет. Расходимость (как In //т0) возникает при учете четверных столкновений. Члены порядка еп в % (/г > 3) приводят к расходимости вида (thQ)n-2.

Это показывает, что построение кинетических уравнений для плотных газов путем непосредственного использования метода

82 КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНЫХ ГАЗОВ [ГЛ. 3 последовательных приближений по степеням плотности оказывается невозможным. Имеется несколько работ (см. обзор [22]), в которых на частных примерах показано, что устранение лога- р?1фмической расходимости может быть проведено путем учета вклада наиболее расходящихся диаграмм, возникающих при использовании разложения по плотности. Это приводит к обрезанию области интегрирования по f при f — тСт. В результате интеграл столкновений оказывается пропорциональным величине In(Тст/то) 〜In (1/е), которая неаналитически зависит от плотности. Вследствие этого оказывается невозможным вириальное (по степеням плотности) разложение кинетических коэффициентов.

Задача построения кинетических уравнений для плотных газов может быть решена иным путем без проведения суммировав ния расходящихся диаграмм в разложениях по плотности, но для этого надо отказаться от условия полного ослабления начальных корреляций на временах, много меньших тст (§ 18).

Уже сравнительно давно было обращено внимание на то, что условие полного ослабления начальных корреляций является приближенным (см., например, работы Сандри и Хопфнлда, Бастина [64]). Ослабляется влияние лишь мелкомасштабных флуктуаций, для которых в приближении парных столкновений длина корреляции /КОр и время корреляции тКОр таковы, что

Г кор《厶 Скор《°ст・ (16.1)

В общем случае имеет место лишь частичное ослабление корреляций. Крупномасштабные флуктуации не затухают достаточно быстро и должны, следовательно, учитываться при построении кинетической теории. Их роль проявляется, в част* ности, в том, что функция распределения 厶，для которой записывается кинетическое уравнение, не является строго детермини* рованной (см.§ 19).

Условную границу, разделяющую области быстрых и медленных флуктуаций, можно ввести следующим образом [23, 24].

Рассмотрим приближение парных столкновений. Обозначим через /ф, тф объем и временной интервал, которые для уравнения Больцмана можно рассматривать как физически бесконечно малые. При этом Тф =厶卜/%.

Величину /<|)определим из условия непрерывности процесса парных столкновений: интервал между последовательными столкновениями любой из частиц в физически бесконечно малом объеме равен Тф, т. е.

= = (16.2)

Отсюда _ _ —

/ф = “е/, Тф = V8 Тст, /肌〜1/“е》1. (16.3)

Будем называть мелкомасштабными такие флуктуации, для которых Ткор ^ Тф, 「кор《%• Из (16.3) следует, что они затухают за время порядка Сет《тст.

Проведем соответствующие рассуждения для столкновений трех и четырех частиц. Обозначим соответствующие времена релаксации через ，豕《?• Они связаны с тст： t^ = tct/s, 曙! =%/е?・ Подставим вместо тст в (16.2) величины 増，曙.

4 4 _

В результате получим Тф} V8 Тст <С тст,僚)〜“е/《/. Но t$)~tcT,増〜/, поэтому при учете четверных столкновений мелкомасштабными являются корреляции, для которых tKopW^cn ，KopW Отсюда следует, что корректное построение интеграла четверных столкновений невозможно без учета корреляций с Ткор~Тст, /кор~/ и, следовательно, интеграл столкновений будет зависеть от тст (или /). Из-за этого появляется дополнительная зависимость от плотности.

Заметим, что для двумерного случая уже для тройных столкновений (в 16.2) Тст/и/ф = Тф = /ф/УтТфТст» /ф 〜/. Следовательно, в этом случае интеграл тройных столкновении нельзя построить без учета корреляций с тКОр ~ тст, /кор 〜厶 Это поясняет, почему разложение по плотности в двумерном случае нарушается раньше, чем в трехмерном.

Таким образом, положение границы, разделяющей области быстрых и медленных флуктуаций, зависит от рассматриваемого приближения.

Из изложенного следует, что при построении кинетического уравнения для плотных газов на временах т《тСт происходит лишь частичное ослабление корреляций, которые существенны при построении кинетического уравнения.

При использовании условия частичного ослабления парных корреляций из уравнения Лиувилля не следует кинетическое уравнение Больцмана. Упрощение исходного уравнения Лиувилля состоит лишь в том, что вместо уравнения для точной функции распределения /^ получается приближенное уравнение для сглаженной на интервалах Тф,厶) функции распределения [N (см. § 18).

Из уравнения для функции In снова следует цепочка уравнений, но теперь уже для сглаженных функций распределения Л 曰九,『2, /з, ••• Эта цепочка уравнений отличается от цепочки уравнений В — В — G — К — Y тем, что в ней уже учтена диссипация, обусловленная парными столкновениями, и все функции являются медленно меняющимися.

В § 18 показано, как можно использовать эту цепочку урав・ нений при построении кинетического уравнения для плотных газов.

При выводе кинетических уравнений для газа в различных приближениях предполагается, что крупномасштабные флуктуации (с ткор》тф, /кор 4 /ф) не играют роли. Однако крупномасштабные флуктуации естественно существуют. Они приводят к тому, что функции распределения, для которых записываются кинетические уравнения, на самом деле не являются строго де- тер ми ни ров энными (§ 19).

Исследование крупномасштабных флуктуаций в последние годы приобрело значительный интерес в связи с исследованием шумов в различных приборах.

При исследовании крупномасштабных флуктуаций в газах используются два подхода.

В первом исходными служат кинетические уравнения, которые рассматриваются как уравнения Ланжевена со случайными источниками. Такой подход для газов развит в работах Кадомцева [25J, Горькова, Дзялошинского, Питаевского [38], Когана, Шульмана [39].

Второй подход основан на приближенном решении цепочки уравнений для функций распределения 厶，%, /з, • • • или соответствующих уравнений для функций Грина [40——45]. В § 19 будет произведен расчет крупномасштабных флуктуаций в газе на основе цепочки уравнений для сглаженных функций распределения fi,『％ %, •••, в которой с самого начала учтена диссипа- ц.ия, обусловленная парными столкновениями [23, 24].

В настоящее время довольно широко обсуждается иной метод получения обобщенных кинетических уравнений. Он основан, •с одной стороны, на работах Пригожина, Балеску, Ресибуа, Хе- нин, Жоржа, Валленборна [46—49] и, с другой стороны, на работах Зубарева, Пе^четминского и Цуканова, Калашникова, Новикова [50—52]. В этих работах авторы стремятся сразу получить наиболее общие кинетические уравнения, учитывающие произвольные взаимодействия частиц.

В § 20 будет рассмотрено такого рода обобщенное кинетическое уравнение с учетом как диссипативных, так и недиссипативных членов. При этом будет использован метод, примененный в § 12 при выводе уравнения Больцмана для неидеального газа. Обобщенное кинетическое уравнение значительно проще уравнения Лиувилля, так как является уравнением для первой функции распределения. Однако оно все же столь сложное, что его практическое применение требует дальнейших значительных упрощений. Тем не менее такого рода подход может оказаться весьма плодотворным.

Кинетическое уравнение для неидеального газа с учетом тройных столкновений

В предыдущем параграфе мы уже говорили, что в работе Боголюбова [4] получено разложение двухчастичной функции распределения ^ для газа по степеням плотности. В частности^ в случае пространственно однородного распределения газа первые два члена разложения функции % по плотности, полученного Боголюбовым, могут быть записаны в виде [4,5] %(/，％，f) = S@8(/, %)f J1 +

+ 吓 dt§ 力3s2 (1, 2) @з + «3)S2L (1,2, 3)-

-S?)8(l, 2)®3s鹭(1, 3) + %S吵8(2, 3))用加｝・(17.1)

Здесь S”(％[,…，xrt) — оператор смещения координат и импульсов частиц %i, •. •, %п・ Оператор @行 определяется выражением (1.6). Нормировка функции Л, % определяется выражениями (1.14).

Для определения соответствующего интеграла столкновений надо подставить выражение (17.1) в (10.1). При этом первый член разложения (17.1) дает вклад, который определяет в приближении парных столкновений диссипативные характеристики газа и приводит к интегралу столкновений Больцмана (10.5).

Из двух членов, пропорциональных плотности п, первый (с оператором S2L) определяет диссипативные характеристики газа в приближении тройных столкновений. Второй определяет вклад двойных столкновений в недиссипативные характеристики газа (например, в выражение для внутренней энергии газа).

Оба этих члена были учтены в кинетическом уравнении в работе Чо — Уленбека (см. в [5]). Мн видим, что кинетическое уравнение Чо — Уленбека учитывает взаимодействие частиц не вполне согласованно: в диссипативные характеристики учитывается вклад как двойных, так и тройных столкновений, а в не- диссипативиые характеристики — только двойных столкновений.

Вследствие этого Чо и Уленбек при выводе газодинамических уравнений с учетом тройных столкновений вынуждены для согласованности приближении при расчете диссипативных и недиссипативных характеристик вводить, например, в давление дополнительные члены, не вытекающие из их кинетического уравнения (см. стр. 264 [5]).”

Рассмотрим кинетическое уравнение для газа, в котором в приближении тройных столкновений учтен вклад взаимодействия частиц как в диссипативные, так и недиссипативные характеристики газа [24, 53].

Запишем три первых уравнения цепочки уравнений Боголюбова для функций распределения 厶,%, % для случая пространственно однородного распределения газа и при Fo = 0:

]自2f2*2 =/,(17.2)

棠 + 百2f2 =九卜①з + @23)『3 dx3 三 /2,(17.3)

祭 + 后3f3 = и j(014 + @24 + G34)L 也曰厶・(17.4)

В § 2 показано, что в приближении двойных столкновений в правой части уравнения (17.3) (см. (2.20))

厶=备汕.(17.4)[

<С учетом (17.4)1 уравнения (17.2), (17.3) в приближении двойных столкновений образуют замкнутую систему уравнений для функций 厶,%, ... Из нее при использовании введенного Боголюбовым условия ослабления начальной корреляции в первом приближении по то/тСт (то = го/^т) следует выражение (12.4). Запишем его здесь в виде

-3 卜关 S" (Ри 舛(р2, /)灭三川 + %(17.5)

и

Первый член в этом выражении при подстановке в (17.2) приводит к интегралу столкновений Больцмана. Второй член определяет вклад парных столкновений в недиссипативные характеристики.

Рассмотрим приближение тройных столкновений. Для этого в правой части уравнения (17.4) выразим функцию 厶 через функции fi, g2, g3,区・ Отбросим член с g4 M другие члены, отличные от нуля при одновременном сближении четырех частиц. Тогда от ,4, например в члене, содержащем в (17.4) оператор 0i4, останутся вклады

丹4)=旧唸+九⑴f ]⑵g2 (3, 4) + 3⑴"(3) g2⑵4) +

+ 色⑵〃3) + g2⑵ 3))g2(l, 4) + f】(2)g3(3, 4, 1) +

+ 后(3)g3(4, 1, 2).

Здесь мы удержим лишь члены, отличные от нуля при сближении двух частиц《1»,《4». Они компенсируют, как мы увидим, расходимость в решении однородного уравнения (17.4) в членах

порядка 工0[0t при т-> оо. Оставляя в выражении для /?，4> лишь эти члены, получим

丹")=，2(1，4)九⑵3(3).

Принимая во внимание аналогичные вклады в остальные члены правой части уравнения (17.4) и используя уравнение (17.2), получим

/з = 4™(17・6)

и, следовательно, для функций 厶，%,『з получается замкнутая система уравнений.

Из уравнения (17.4) с правой частью (17.6) при условии полного ослабления начальных корреляций и в первом приближении по то/тст находим

垓(修,％，％’ £) = S?)J(P], t^f^p^ /)3(Рз,)-

-Ek条S”f№，舛(&,竹(％，»ef什故(17.7)

Это решение для функции /3 аналогично решению (17.5) для функции % в приближении двойных столкновений.

'Рассмотрим решение уравнения (17.3). При условии полного ослабления начальной корреляции частиц 《1》，《2》во втором приближении по параметру плотности (nr^f ^иг^т0/тст получим из (17.3)

『2(%1，%2, 0 = S’”(1, 2)Q — т-^- + 今"^г)%(Р1，D/1(Р2，0 +

+ n\dv\dx3S{^(l9 2)(O13 + 0；3)(l~T，4)f3P(l, 2, 3).(17・8>

Используя уравнение (17.2) для функций fi(pi,f), fi(рг, 0 и выполняя предельный переход т-> оо, можно записать это выражение в виде

f 2 (^1, %2，0 =

=seJ3 + /г \ dt，〃з(1 — т 糸)[S粵(1, 2) (013 + е23) Г?— о

-S?)8(l, 2)(013f?B(l, 3)//2) + 6不产(2, 3)方⑴)]. (17.9А

Если в этом выражении пренебречь членами с nxd/dt, учитывающими эффект запаздывания в приближении тройных столкновений, учесть, что Sdo=S?；8, и подставить в (17.9)

выражения (17.5), (17.7) без учета запаздывания, то выражение (17.9) совпадает с (17.1). Подставляя полученное выражение для 『2 в правую часть уравнения (17.2), получим кинетическое уравнение Чо — Уленбека.

Вернемся к выражению (17.9). Представим его в форме, в которой явно выделен вклад двойных столкновений с учетом запаздывания. Для этого прибавим и вычтем в (17.9) член

о

используем уравнение (17.2) и тождество

一 j(S” 一 S^) ^dx = ^^ SU% 九 dt・(17.10)

Наконец, в члене с nrd/dt заменим S^ (1, 2)->S-t-oo(1, 2). В результате получим следующее выражение для функции % в приближении тройных столкновений f^:

疗(打芍，f)=f『(F/，0 +

+ n\dr\dx3S(^(l9 2)[(九 + &3)* 一 ■ о

-3居(1, 3)九⑵一％J:B(2, 3)%⑴]一

一〃禺卜4 d/tS也(1, 2){(a3 + 鼠)fW -

一 S@8(l，2)[九盘(1，3)匕⑵ + 623fg(2, 3) f{ (1)]}.(17.11)

Функции fl，f? определяются выражениями (17.5), (17.7) без учета временного запаздывания, т. е.

f*s<fj(P|, f)九(a f), f^s^f^Py f)f(%，0Л(Рз> о-

(17.12)

Подставляя любое из выражений (17.8), (17.9), (17.11) в правую часть уравнения (17.2), получим выражение для интеграла столкновений с учетом тройных столкновений и временного запаздывания.

Покажем, что из полученного в этом приближении кинети* ческого уравнения следует закон сохранения суммарной потенциальной и кинетической энергии. При этом выражение для вну-

тренней энергии содержит три первых члена разложения по степеням плотности.

Подставим f^ из (17.11) в выражение

产=小启也，(17.13)

определяющее в рассматриваемом приближении интеграл столкновений.

Из выражений (17.13), (17.11), (17.12) следует, что

〃，屮(Pi)/Tp(pi, f)dpi = O при (р= 1, рР (17.14)

Эти свойства обеспечивают выполнение законов сохранения числа частиц и импульса рассматриваемой системы.

Умножим теперь выражение (17.13) на пр^^т и проинтегрируем по рь После интегрирования по частям по р[ и симметризации получим

九，学严"p1 = -44®1 -02)^^/7"]2如1如2 (17.15) (门2=门一方)■

Рассмотрим вклады отдельных членов из (17.11) в формулу (17.15). Первый член (17.11) определяет вклад двойных столкновений, поэтому на основании результатов (11.22), (12.15) можем записать

=—弟"^•，① 12fl 储(一8), 93務(一8), ^dr^dptdpi. (17.16)

Рассмотрим вклад второго члена из (17.11). Введем обозначение

4修,3 /)=\[(Зз + 623)『；Р — 6€(1，3)匕⑵一

一員陰(2, 3)3⑴]d/.(17.17)

Тогда из (17.15), (17.11) найдем

=-£ U Si -办)嗡 S^A (xb %2, 0 dT 也戶.(17.18)

Произведем здесь преобразования, аналогичные сделанным при выводе равенства (11.22). В результате получим, что

[八м] = 0.(17.19)

Рассмотрим, наконец, вклад последнего члена из (17.11) в выражение (17.15). Введем обозначение

В Ui，3 f) =，{(«з + 0з)及―

一StLa, 2)(a嘗(1, з)"⑵+ 鼠赏(2, 3)3⑴方 加3・(17.20)

Из (17.15), (17.11), (17.20) следует, что

=鳥号口(办-02)畿把"1, 2)B(xb *2, /)dT^j^. (17.21) о2

Производя здесь преобразования, аналогичные проведенным при выводе (12.15), получим

1?居产dp] =

=-导 3 U 62s吼В (хь х2, /) dt 幺戶•(17.22)

о

, Суммируя результаты (17.16), (17.19),(17.22) и используя

•обозначение (17.20), получим окончательный результат:

л$4/ТР5, t)dp\ = —鼻員 Ф12{STJJ.+

H-n JJs(^(l, 2)[(%+%)Sg)8(l, 2, 3) —S鹭(1, 2)(斬3s义(1, 3)+ 0

+ 023S(^oo(2, 3))]f丿由 dtdM}^^. (17.23)

Выражение, стоящее в (17.23) в фигурных скобках, совпадает с выражением (17.1), которое определяет два первых члена разложения функции % по плотности.

Таким образом, из кинетического уравнения (17.2) с интегралом столкновений /тр следует закон сохранения энергии

弘"居九也+2m小马/"} = 0，(17.24)

в котором функция % определена выражением (17.1). Из (17.14), (17.1) следует выражение для плотности внутренней энергии газа в приближении тройных столкновений. Оно имеет вид

Uf，嘉fidpi +3,①庐圖。(1, 2)旧刍黄■ +

+ 善 \ ①“ { U S聲(1,2)[(613 + 02з) S叫一

-S^d, 2)(0135^(15 3) +623s 义(2, ^f^^dx^\^^.

(17.25〉

Это выражение определяет три первых члена вириального разложения внутренней энергии для неравновесных состояний газа.

В приближении локального равновесия выражение (17.25)， принимает вид

и = п^кТ + ^\ ① 3-g%7 ^V^ +

+£ \限宀仪\+£ \限宀仪\(0—(5з+©23)/&Т(0—(5з+©23)/&Т-c一①13，依7-c一①13，依7—«-©23/&Т + 1) 〃3 }"】萨，.—«-©23/&Т + 1) 〃3 }"】萨，.(17.26>(17.26>

+£ \限宀仪\

+£ \限宀仪\

(0—(5з+©23)/&Т

(0—(5з+©23)/&Т

-c一①13，依7

-c一①13，依7

—«-©23/&Т + 1) 〃3 }"】萨，.

—«-©23/&Т + 1) 〃3 }"】萨，.

(17.26>

(17.26>

Оно определяет первые три члена вириального разложения плот* ности внутренней энергии для равновесных состояний.

Если использовать кинетическое уравнение Чо — Уленбека, то в выражениях (17.25), (17.26) будут лишь по два первых члена, определяющих плотность внутренней энергии в приближении парных столкновений. Это одно из проявлений несогласованности приближений для диссипативных и недиссипативных характеристик, о которой говорилось выше, при использовании кинетического уравнения Чо — Уленбека.

Если распределение частиц газа пространственно неоднородно, то в выражениях для f^ и /тр появляются дополнительные члены.

Используя кинетическое уравнение

(4 + ^4 +尸。备)f尸/叫，，Р，0, (17.27〉

можно обычным путем перейти к уравнениям газовой динамики. Выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводност» совпадают с приведенными в работе Чо ——Уленбека (в [5]), для внутренней энергии и давления содержат по три первых члена соответствующих вириальных разложений.

Таким образом, использование рассматриваемого здесь кинетического уравнения позволяет получить уравнения газовой динамики с учетом тройных столкновений как в кинетических коэффициентах, так и в термодинамических функциях.

Напомним, что в приближении парных столкновений коэффициенты вязкости и теплопроводности q, 乂 не зависят от плотности газа, а лишь от температуры (см. формулы (7.19)). Это связано с тем, что, например, q ~ р/ут, но длина свободного пробега / ~ 1/п, а р 〜/г.

При учете тройных столкновений возникает зависимость от плотности и коэффициенты вязкости и теплопроводности можно представить в виде

Т)= Т)3 + 8Т]1, 乂 = % + е%1， 8 =/г 吟. (17.28)

Здесь по, 乂0 — значения этих коэффициентов в приближении парных столкновений.

Расчеты для модели твердых шариков показывают, что [5]

т)| = 9,6т)о, 乂] = 2,9 乂 о・ (17.29)

Значения т)о, "о определяются формулами (7.19).

Рассмотренный метод можно использовать для получения кинетических уравнений для неидеалыюго газа с учетом большого числа столкновений. Такое непосредственное обобщение не представляет, однако, интереса в связи с появлением при учете более сложных взаимодействий расходящихся интегралов.

В следующем параграфе будет рассмотрен один из возможных путей преодоления этой трудности в построении кинетических уравнений для плотных газов.

Кинетические уравнения для газов средней плотности

В §§ 12, 17 рассмотрены кинетические уравнения для неидеального газа с учетом двойных и тройных столкновений. Построение по такой схеме кинетических уравнений для более плотных газов, когда необходим учет более сложных столкновений, не может быть осуществлено, так как соответствующие интегралы столкновений расходятся (см. § 16).

Мы видели, что при выводе кинетического уравнения используется условие ослабления быстрых (мелкомасштабных) флуктуаций. Граница раздела быстрых и медленных флуктуаций зависит от рассматриваемого приближения. Она определяется размерами соответствующих физически бесконечно малых интервалов Тф^_/ф (см. § 16). Для приближения парных столкнове* ний Тф1^ Vе Тст, /$)~“8厶 Из § 16 следует, что интеграл столкновений, определяемый столкновениями четырех частиц, не мо

жет быть построен методом теории возмущения по плотности, так как величины Тф} ^ тст, ^ ^1 и не могут рассматриваться как пренебрежимо малые. Вследствие этого интеграл столкновений явно зависит от тСт (или /). Это вносит дополнительную зависимость интеграла столкновений от плотности.

Иными словами, при построении интегралов столкновений, учитывающих столкновения четырех и большего числа частиц, надо строить теории так, чтобы учесть в высших интегралах столкновений вклад двойных столкновений ).

Используем уравнение Лиувилля, усредненное по физически бесконечно малому объему /ф, определенному в приближении парных столкновений [23, 24]. Из (16.3)(用产〜1/“е% (напомним, что 紀 〜“е/《/)• Обозначим соответствующую усредненНую функцию распределения через ^.

Чтобы получить уравнение для этой функции, поступим следующим образом. Представим двухчастичную функцию % “ь х2, /) в виде

%(/，马，f)= % +f飙 (18・D

Здесь % — сглаженная функция распределения, описывающая по^ ведение частиц на расстояниях |丿1 —「2丨 》/ф：

%i)= 0 при I-—厶|》厶・ (18.2)

При условии полного ослабления начальных корреляций в нулевом приближении по параметру плотности функция f2 вь卜 ражается через одночастичные функции распределения (10.4)

力(修，工2, f)=%(pm-8)，死仍2(一8)，f)• (18.3)

Если вместо условия полного ослабления начальных корреляций использовать условие ослабления мелкомасштабных флуктуаций с Гкор《 厶 тКОр《Пт, то вместо (18.3) следует но пользовать более общее выражение

『2(修，％2,/) =『2(门，Р1(—8),门，Р2(—8), /)・(18.4)

Здесь 『2= гь так как 6 выражении (18.3) не учтено пространственное изменение функций 厶 на расстояниях порядка 『о. Не учтено также и временное запаздывание. Если учесть и то, и другое, то в первом приближении по параметрам то/тСт,「о// вместо (18.3) надо использовать выражения (15.2), (15.4). При

условии ослабления лишь мелкомасштабных флуктуаций вместо

используем более общее выражение

力(修，х2, /) = (1—*/)%(门，Pi (—8),门，Р2(—8), /) —

-(导 + 也 ^" "^7)，t 条 力⑴ 1, Pi (-G,—，P2(-工)，/)八. о

(18.5)

Если ограничиться приближением (18.4), то, как мы увидим, учет парных столкновений в уравнении для сглаженной функ； ции 『n н в соответствующей цепочке уравнений для функций /1 三 fi,『2, /з будет учтен лишь диссипативный вклад, обусловленный парными столкновениями. При использовании выражения (18.5) в первом приближении по то/тст, 『о// будет учтен и недиссипативный вклад.

Для упрощения записи мы используем приближение (18.4). Недиссипативные вклады парных столкновений можно будет учесть в окончательных результатах. Напомним, что в (18.4) Pi,2 — начальные импульсы частиц, сталкивающихся в момент времени

При |ri — Гг| V /ф функция (18.4) —быстроменяющаяся функция 门，& и соответствует функции *)в (18.1). При И1 — Г2| > /ф В (18.4) Р],2 = Р1,2 н %(修，％2,/) =%(修，％2,/), что также соответствует определению (18.1).

В приближении теории возмущений по взаимодействию импульсы Рь2(—т) определяются выражением (13.7). Используя это выражение» из (18.4) в приближении теории возмущений получим следующее выражение для функции /г：

%(修，х2, /) = %(/，冷,Q +

+ S^11^^^ ^)^(18.6)

о

Второй член здесь исчезает при |门一r2| > /ф и соответствует %" в (18.1).

В соответствии со структурой уравнения Лиувилля (1.11) (弱,xn-1九屈)統=0：(18.7)

в каждом из слагаемых 0订,In мелкомасштабные движения в парном приближении достаточно учесть лишь для частиц с номерами i, /• Введем поэтому обозначение

f* = fN (% 1, • • •,门，Pj, ♦ • ♦,入 Р/, ♦ ♦ ♦, %n，/)♦(18.8)

Здесь можно положить у» = г；, так как пространственная неоднородность на малых масштабах не учитывается.

Принимая во внимание, что

箱=瓦几+前(18.9)

получим уравнение Лиувилля для сглаженной функции распределения

26力产2力7皿・(18.10)

В дальнейшем знак ~ над ©订 и над правой частью уравнения (18.10) будем опускать там, где это не будет приводить к недоразумению.

На основе уравнения (18.10) можно построить цепочку уравнений для сглаженных функций распределения Л 三九，%,『з и т. д. Из (18.10) следует, что первое уравнение цепочки имеет вид

(^■ +0言+f。粉)% =

=J 0.2 (F2 (^Р ^2. 0 + /^ 2)(^Р ^2« /)”％•(18.11)

Здесь согласно (18.8)

%»)(/, %, £) = %(〃，Р】(一8), -, Р2(-оо), /). (18.12)

Запишем второе уравнение цепочки

£，『2-%(%+%з)=

=У"，艮3 (厶 + 今 3)) + o23(f3 + 罟 3))] d/・(18.13)

Естественно, что эта цепочка уравнений для сглаженных функций распределения также является незамкнутой. Вследствие этого снова возникает вопрос о приближениях, при которых возможен обрыв цепочки уравнений и получение замкнутой системы уравнений для конечного числа сглаженных функций распределения.

Введем двухчастичные корреляционные функции, соответствующие функциям f2, f)L2). с учетом (18.4)

%(/，%2,方)=%(修，f)后а2,Q+ ?2(修，%2, f),(18.14)

f 产(“ /，%) = %(入 P](-8)，f)九(厶，p2(一8)，f) +

+ 咬2(门，B(—8),门，Р2(—8), /)• (18.15)

Если корреляционные функции в (18.14), (18.15) равны нулю, то первое уравнение цепочки (18.10) становится замкнутым и совпадает с кинетическим уравнением Больцмана с интегралом столкновений (10.5) (или (15.6)).

Итак, самый грубый обрыв цепочки уравнений для слаженных функций распределения, соответствующий полному пренебрежению корреляциями ^2, Рз， • • •， приводит к кинетическому уравнению Больцмана для идеального газа, которое учитывает диссипацию, обусловленную парными столкновениями.

Если вместо (18.4) использовать более общее выражение

то в нулевом приближении по сглаженным корреляционным функциям 营2,金3，. • • получится кинетическое уравнение Больцмана с интегралом столкновений (15.5), т. е. кинетическое уравнение для неидеального газа.

Рассмотрим более высокое приближение по корреляционным функциям. На малых масштабах можно пренебречь корреляционной функцией 营2, т. е. вторым членом в (18.15), так как на малых расстояниях (порядка г0) основную роль играют корреляции за счет парных столкновений, но они учитываются первым членом в выражении (18.15).

При этих предположениях первое уравнение цепочки (18.11) с учетом определения (18.14) можно записать в виде (宗 + б誥+ 尸謚)3(х‘ £)= /(/‘『

三/b (/，/) + 了(修，/)•(18.16)

Здесь / ——соответствующий интеграл «столкновений». Он состоит из суммы двух частей: /в ——больцмановский интеграл столкновений (10.5) или в более общем случае интеграл столкновений, определяемый выражениями (15.5)——(15.8), 7 ——часть интеграла столкновений, определяемая крупномасштабными флуктуациями:

7= "р I j &^/ -^ 金2(修，*2,方)点2・(18.17)

Здесь можно (М——1)/У заменить на п. Именно через этот член и будет учитываться в кинетическом уравнении вклад взаимодействий более сложных, чем парные взаимодействия частиц.

Обратимся теперь к уравнению (18.13) для функции /2. Выразим функции распределения ^1-3), f^31 через корреляционные функции. Эти соотношения аналогичны равенству (2.5). Например,

兮3)(占，&, /, %) = fi(h，Р], /)/](%，/)""】，Рз, /) +

+ 外(一，Pi, /)及2a2,门，р3, f) + %(% f)备(一，p” 门，рз, 0 +

+ 3(门，Р3, f)备(门，Pi，电，f) + g3(门，Pi，出，门，р3, /)• (18.18)

Выражение для функции f^3) следует нз (18.18) при 《1》£实《2». В выражении (18.18) можно пренебречь третьим членом и последним членом, так как крупномасштабные корреляции на малых расстояниях несущественны. Подставим при сделанных упрощениях выражение (18.18) и соответствующие выражения для f^ з)в правую часть уравнения (18.13). Введем обозначение для линеаризованного интеграла столкновений Больцмана (10.5):

6几 /『(修，》=—4 &2 由(门，Pi (—8), /)6/(门，P?(— 8), /) +

+ 6/ (门，В (— 8), f) 3 (门，P・2 (— 8), 3 dx2. (18.19) Знак《一》введен здесь в определение оператора 6? для удобства записи дальнейших выражений.

Рассмотрим результат действия оператора бГна корреляционные функции 金2・ Например,

67Xi {g2(y1，%2, %)}=

=—4 自3 伉(С，「К— 8), f)&(%2,门,爲(一8), /) +

+ g2(门，Р2 (-8),冷，f)九(八，p3(-8),切厶3.(18.20)

Аналогичным образом определяется выражение S/xJ^Ui,^, 0}- Используя эти обозначения, запишем уравнение (18.13) в виде

以 J + (认 + 爪)廃=3/ + Ш^ГлЖ 6,「2, /) —

—% "в У ') f 1 % 0 + /в (尤2, f) f 1 (必，0] +

+ 屮卜① з + @23)%〃з +

+ [%(%，f)3(/，/) + 厶(々，f)fi (巧，/)]• (18・21)

В правой части этого уравнение использовано выражение для интеграла столкновений Больцмана

/в(хh t) = ^~，6 屈(门，Pi (- 8)，讨(门，p2(-8),力也.

В (18.21) из последнего члена выделена часть, пропорциональная 1/(М— 1) ^ 1/N. Смысл такого выделения станет ясным ниже. Мы не приводим также пока предельный переход N fg, Ут 8, чтобы оставить возможность рассматривать флуктуации в системах с конечным числом частиц. При этом можно, конечно» N — 1 заменить на М так как N》1.

Если уравнение (18.21) умножить на 1/У и проинтегрировать по 冷，то оно совпадет с кинетическим уравнением (18.16).Чтобы

4 Ю. Л. Климонтович

убедиться в этом, надо использовать определение (18.20) и свойство корреляционных функций (2.8).

Продолжим преобразование уравнения (18.21). Подставим в левую часть уравнения вместо функции % выражение f Ji + g2 и исключим производные функций 九 с помощью кинетического уравнения (18.16) для функции fi (%】,/) и соответствующего уравнения для функции fi(%2, /)• В результате получим @宀+优,+骏)廃=

= [б,2(修,％2, %)—5\(瓦3%(1, 3亦⑵+ @23『2(2, 3)Л(1))^3] ++ 612fl (丿 W /")‘ 1 (小 Р2, 0 -

—犷[^В (ХГ ') f 1 (*2, ')+ ‘В (工2, 0 f I (XP ')] +

+ ^^，®3 (3 — ％ (1, 3) % (2)) + @23 仅 一 f2 (2, 3)九(1))]厶з・ (18.22)

Второй член в правой части появился вследствие того, что перед интегралами, содержащими функции f2, стоит в (18.22) множитель—2)/匕 а в уравнении (18.16) (N — 1)/К

Исключим функции 『2,『з с помощью выражения (18.14) и соответствующего выражения для функции『з：

3 =用由 + 厶⑴ & (2, 3) + % ⑵ & (1, 3) + 3 (3)纟(1, 2) + 亀・ (18.23)

Выражения, стоящие в скобках, в последнем члене (18.22) принимают вид

%-%(1,3)『/2) = /«)&2дЗ) + /】(3)«(1,2) + &з，

~(18.24)

Гз - Ь(2, 3) f, (1) = f, (2) f2 (1,3) + Л (3) ^2 (1, 2) + ^3. '，

Члены, содержащие функции 力⑶，перенесем в левую часть и используем обозначение (2.10) для средней силы. Тогда в левой части вместо оператора 厶° будет стоять оператор £. Он определяется формулой (1.8), если в ней заменить 尸о на 尸.В результате получаем следующее уравнение для функции 营2： (2也+队+ *)统=%e 力 +亀)一

一 } \ 自3 (f 击 + 負(1, 3)) % ⑵ + @23 (f 曲 + 登2 (2, 3)) 3 ⑴]此 +

— 6/1 (P~ ') f 1 (「2, 0 V* ['в(X" ') f 1 (Х2» 0 + 'в (“2, 0 f 1 (ХР ')] + 十 П \ 自3 (3 ⑴鱼(2, 3) + 备)+ 脇(3 ⑵登2 (1, 3) + 負)]dx3. (18.25)

Рассмотрим роль отдельных членов в правой части этого уравнения. Последний член в правой части пропорционален п. Он учитывает тройные и более сложные взаимодействия частиц. Первые четыре члена определяют вклад парных столкновений.

Этот вклад в свою очередь можно подразделить на две части. Первые два члена определяют вклад взаимодействий на расстояниях ri2 > /ф, а следующие два члена — на расстояниях r】2、V /ф. Второй и четвертый члены, пропорциональные соответственно 1/V и 1/N, обеспечивают существование решений уравнения (18.25) таких, что

\ &(占,%2, 0 dx2=-y\ 营2 (修,х2, 0 d/ = 0.

Необходимость выполнения этих равенств следует из определения корреляционной функции f2 (ср. с условиями (2.8)).

Вклад тройных и более сложных взаимодействий входит в кинетическое уравнение (18.16) через интеграл 工 Этот интеграл определяется функцией f2, которую следует определять из уравнения (18.25).

Сравним уравнение (18.25) со вторым уравнением цепочки уравнений Боголюбова (1.20). Для удобства сравнения с (18.25) запишем вместо (1.20), используя уравнение (1.19), уравнение для корреляционной функции g2 = % — ЛА

Из уравнений (1.20), (1.19) с учетом равенств (2.4), (2.5) получаем'

(2& 石 一 ®12)^2(ХР Х2> 0 = 012fl G】'，)3 (々")+

+ « 卜瓦3 (f I ⑴ g2 (2, 3) + g3)+ 纵(％ ⑵ g2 (1, 3) + g/ 现・(18.26)

Здесь в отличие от (18.25) опущен член 〜1/У.

В приближении двойных столкновений уравнение для функции g2 (см. (2.19)) можно записать в виде

(厶 ®12)^2 (ХР Х2» 0 = ®12^1 (хг 0 f I ❷")，(18.27 )

Из сравнения уравнений (18.26), (18.27) следует, что вклад тройных и более сложных взаимодействий определяется вторым членом в правой части уравнения (18.26), который пропорционален плотности п. Он совпадает по форме с соответствующим членом в уравнении (18.25).

В § 16 уже говорилось о том, что использование теории возмущений по плотности при решении цепочки уравнений Боголюбова приводит в кинетических уравнениях к появлению расходящихся интегралов. Положение, однако, меняется, если теорию возмущений использовать для решения цепочки уравнений для сглаженных функций распределения 力,%, •…

Поскольку в уравнениях (18.25), (18.26) члены, учитывающие вклады тройных, четверных и высших взаимодействий, совпадают, то основное различие будет состоять в замене оператора

в (18.26)(18.28)

на оператор

£力宀一612 + 篇]十6% в (18.25).(18.?9)

При решении уравнения (18.25) можно опустить решение однородного уравнения, так как вследствие наличия членов 6/,口，6厶？в (18.25) начальная корреляция @2 затухает за время порядка т^!, а характерные времена интегралов тройных и четверных столкновений порядка соответственно 工^/% 工^/^三

В решении неоднородного уравнения (18.25) из-за наличия диссипативного члена (6/口 + 6厶)咬2 ~ 亀/工曾 происходит обрезание интегралов столкновений па временах f 〜t^, т. е. на временах порядка времени свободного пробега при парных столкновениях.

Например, при учете тройных столкновений в выражении (17.9) произойдет замена

j dtS鹫(1, 2)・・・ f『dtei%TS”(l, 2).(18.30)

оо

Таким образом, расходимость в интегралах столкновений, учитывающих вклады тройных и более сложных столкновений, лнк・ видируется благодаря учету диссипативного вклада, обусловленного парными столкновениями, в уравнениях для функций %,『з, • • • Аналогичный результат можно получить с помощью диаграммной техники, если просуммировать наиболее сильно расходящиеся диаграммы, возникающие при разложении по степеням плотности [22, 54].

Появление дополнительного обрезания при / 〜т^ приводит к дополнительной зависимости от плотности в интегралах стол к* новепий и определяемых ими кинетических коэффициентах.

Например, для коэффициента вязкости п вместо предполагавшегося вириального разложения по параметру плотности 8 = nr^:

П = nj (D + ет)! (Л + е2т]> (Л + ・・・(18.31)

первые три члена ряда имеют вид

"=W (Т) + % (Т) + е"п (1/е) П‘(Т)・(18.32)

В (18.31), (18.32) величины no, ni определяются соответственно парными и тройными столкновениями. Следующий член вириального ряда (18.31) не может быть найден из-за расходимости интеграла, учитывающего вклад четверных столкновении. Расходимость носит логарифмический характер In (т/то), поэтому при наличии обрезания (18.30) 1п(т/то) может быть приближенно заменен па

Е(曙/%) = Е(1/* (18・33)

Вследствие этого трети也 член в (18.32), учитывающий вклад четверных столкновений, пропорционален е21п (1/е) и, следовательно, неаналнтически зависит от параметра плотности.

Имеющиеся экспериментальные данные зависимости коэффициента вязкости от плотности не позволяют пока подтвердить логарифмическую зависимость от плотности [55].

О статистическом описании неравновесных процессов в плотных газах

Мы рассмотрели кинетические уравнения для нсидеального газа в приближении двойных и тройных столкновений. Возможно, как было показано в § 18, построение кинетических уравнении и для более плотных газов, когда становятся существен* ными одновременные взаимодействия четырех и большего числа частиц. Такой путь последовательных приближений при построении кинетических уравнений для плотных газов, однако, мало эффективен. Здесь нужен иной подход. Он аналогичен тому, который используется в равновесной статистической теории плотных газов и жидкостей (§ 9).

Для термодинамических функций существуют разложения по плотности (§ 8) — вириальпые разложения. Однако практически используются лишь несколько первых членов разложения. Расчет термоди на м и ческих функций для плотных газов и жидкостей производится либо численными методами (метод молекулярной динамики, метод Монте-Карло), либо путем решения (аналитического или численного) модельных интегральных уравнений для двухчастичной корреляционной функции ^2- В § 9 мы рассмотрели различные типы таких уравнений. Все эти уравнения дают возможность точно определить вклады в термодинамические функции первых трех членов вириальных разложений и приближенно вклады более высокого порядка по параметру плотности.

Аналогичный путь возможен и при построении кинетической теории плотных газов. Вместо одного кинетического уравнения для функции fi для описания неравновесных процессов в плотных газах следует по меньшей мере использовать систему двух

уравнений для функций 九，g2 или функций /ь %• Рассмотрим пример такой системы.

Мы видели, что выражение (17.11) для функции ^ определяется суммой вкладов двойных и тройных столкновений с учетом временного запаздывания. Вклад двойных взаимодействий описывается первым членом правой части выражения (17.11). Он в свою очередь состоит из двух членов (см. (17.5)). Первый имеет нулевой порядок по плотности и определяет в интеграле столкновений диссипативный вклад в приближении парных столкновений. Второй определяет вклад парных столкновений* в недиссипативные функции, например внутреннюю энергию, под знаком д/dl. Формально этот член можно отнести к членам первого порядка по плотности в /г- Однако, как уже говорилось- в § 17, формальное использование разложения по плотности в функции ,2 приводит к несогласованности описания диссипативных и недиссипативных процессов.

Учитывая это, при обобщении выражения (17.11) за нулевое приближение для функции % будем принимать выражение f得 определяемое формулой (17.5). Оно описывает полный вклад парных столкновений в кинетическое уравнение. Первое приближение для функции ,2 описывается остальными членами в (17.11). Они определяют полный вклад тройных столкновений в кинетическое уравнение.

Используем для функции распределения аналог суперпозиционного приближения Кирквуда в виде

f У у 八 fTP /2 (勺，%2，f)/2 (%1，%3，，)f2 ("2，%3,力/1 Q 1 \

Входящие сюда функции f：\ f；。 определяются выражениями (17.5), (17.7).

В первом приближении, когда (см. (17.5))

f2 = f：B = S：L"「糸11 ^ S^f^ d^f^ + 故(19.2> и

из (19.1), (19.2), (17.7) находим

%=/=為 i 工^S9%fJ&三f什fl， (19・3>

0

коор-(19.4>коор-(19.4>В равновесном состоянии для функции распределения динат，з(「ь「2,「з) из (19.1) с учетом того, что

коор-

(19.4>

коор-

(19.4>

片 в (—) = ехр (-①詆 Т),

f丁(j Т，飞)=exp[-(Ф12 + ①|з + ①23)/心]，

следует выражение，

/з(^ь ^2, r3) = f2(rb г2)/2(гн r3)f2(r2, r3),(19.5)

совпадающее с суперпозиционным приближением Кирквуда (9.1).

Для определения функции /2 заменим выражение (17.11), определяющее функцию % в приближении тройных столкновений, интегральным уравнением

『2 (/，Z，/)=川 + f； + 4 dt，厶 3s 粵(1, 2) [(£ + &з) % — 0

-6"2(1，3)"⑵一023%(2,3)九⑴]一

一拉弟 j d4现色)Т (1, 2){(013 + &3)g - 4)一 и

一一 SL 8 (1，2) ®3 С2( 1，3) Т； (1, 3))乙⑵ +

+ &3(f2(2,3) — %(2,3丿)3 ⑴]}・(19.6)

Функции % 川，%, входящие в это интегральное уравнение, определяются выражениями (19.2), (19.3), а % — формулой (19.1).

В приближении тройных столкновений в интегральное уравнение (19.6) в интегральные члены следует подставить f2 = /^^ 曰 f； + f； н ^3 = ^р = /з + /д- Тогда выражение (19.6) совпадет с (17.11).

Уравнения (17.2), (19.6) составляют замкнутую систему уравнений для функций fi, %• В равновесном состоянии уравнение (19.6) для функции 『2(丿1，丿2) совпадает с соответствующим уравнением, которое следует в с^шерпозиционном приближении Кирквуда из цепочки уравнений для равновесных функций распределения (§ 8).

Можно использовать вместо (19.6) другие типы приближенных интегральных уравнений для функций /2(修,尤2,力),которые в равновесном случае переходят в уравнения Перкуса — Йевика (9.2), (9.3) или уравнение (9.6).

Обобщенное кинетическое уравнение

В § 16 уже отмечалось, что в последние годы появился целый ряд работ, в которых различными методами стремятся получить наиболее общее кинетическое уравнение, учитывающее сразу корреляции любого порядка. Просто и изящно эта задача решена в работе Зубарева и Новикова [52]. Суть этой работы состоит в следующем.

Выразим интеграл столкновений через функцию распреде* ления всех ^ частиц 尸n = VNfN ((1/丿》‘) \ FNdx\ ... dxy = 1). Для пространственно однородного распределения частиц иа (2.13) следует

2=ю=“\2=ю=“\d%2 …dx Nd%2 …dx N”i dpi”i dpi(20D(20D

2=ю=“\

2=ю=“\

d%2 …dx N

d%2 …dx N

”i dpi

”i dpi

(20D

(20D

Для функции Fn в работе [52] используется уравнение Лиувилля. Решая уравнение для FN при условии ослабления всех начальных корреляций, можно выразить функцию En через одночастичные функции распределения. Подставляя это выражение в уравнение (20.1), получаем замкнутое уравнение для функции 厶一обобщенное кинетическое уравнение.

Использование в качестве уравнения для Fn уравнения Лиувилля приводит, однако, к некоторым трудностям при переходе к обычной (больцмановской) форме интеграла столкновений и при выводе законов сохранения. Этих трудностей можно избежать, если в качестве уравнения для Fn использовать уравнение- (4 + 麻)3 借 +2 Мб證 + ' W))几"б""

、 (20 ⑵,

Это уравнение имеет такую же структуру, как и уравнение (2.18) для % в приближении парных столкновений “лн уравнение (17.4) с правой частью (17.6) в приближении тройных столкновений.

Существенно, что уравнение (20.2) не есть уравнение Лиувилля. Это есть N・e уравнение цепочки уравнений Боголюбова в приближении, когда пренебрегаем столкновениями %+1 частиц. Считаем здесь, что 2》i.

При условии полного ослабления начальных корреляций решение уравнения (20.2) для пространственно однородного газа можно записать в виде [24]

尸尸П 3(小)+，备畝)п f(Z，f — y)di・ (20.3> У WN 3 WN

Подставляя (20.3) в (20.1), получим интеграл столкновений обобщенного кинетического уравнения.

Рассмотренные выше кинетические уравнения следуют из обобщенного кинетического уравнения, если использовать вн- риальные разложения для неравновесных функций распределе*

ния. Эти разложения были получены в работах Коэна [22] и других авторов.

Полученный таким путем интеграл столкновений обладает свойствами (11.5) при ср = 1, рь При qp = ру/2т из (20.1), (20.3) следует

С、гг д С dx. ... dx

\(修，f)d/ =—— \ ① 12尸.v -"aJ J (20.4)

В соответствии с этим выражение для плотности внутренней энергии имеет вид

В равновесном состоянии выражение (20.3) для FN совпадает с распределением Гиббса для системы N частиц.

Для решения конкретных проблем обобщенные кинетические уравнения пока еще не использовались.

ГЛАВА 4

Уравнение для сглаженных функций распределения в поляризационном приближении

Рассмотрим снова газ настолько разреженный, что можно ограничиться приближением парных столкновений. Напомннм (см. введение), что при выводе кинетического уравнения Больцмана используется условие полного ослабления начальных корреляций. В действительности, как уже отмечалось на стр. 83, происходит ослабление мелкомасштабных корреляций с 七尺川)〜 〜д/е%т,，кор~«е/・ Таким образом, при выводе кинетического уравнения Больцмана фактически предполагается, что крупномасштабные флуктуации (с ткор ^ д/e тст, гкор^ Ve/) не играют роли в кинетической теории.

Лишь такой ценой можно получить кинетическое уравнение —— замкнутое уравнение для функций распределения /；.

Крупномасштабные флуктуации в общем случае не успевают затухнуть за время релаксации функции f〕. Вследствие этого из цепочки уравнений Боголюбова (или уравнения Лиувилля) при учете крупномасштабных флуктуаций не следует кинетическое уравнение Больцмана, а получается система уравнений для функции fi и корреляционных функций крупномасштабных флуктуаций 金2, • • • Эту систему уравнений можно заменить приближенно уравнением Ланжевена для случайной функции 九一 уравнением Больцмана со случайным источником y(xi,f). При этом естественно возникает задача определения статистических характеристик случайного источника. Для состояний газа, близких к равновесному состоянию, такая задача впервые была решена Кадомцевым [25]. В этой работе для расчета корреляционной функции случайного источника у использован метод, аналогичный тому, которым впервые было получено само кинетическое уравнение Больцмана.

В работе Горькова, Дзялошинского, Питаевского [38] для построения кинетической теории флуктуаций для равновесного со-

-стояния газа использован метод Ландау, Лифшица [56, 59] и Рытова [57, 58].

Непосредственное обобщение работы Кадомцева [25] для неравновесных, но стационарных состояний газа проведено в работе Когана и Шульмана [39].

В работах Ганиевича, Гуревича, Катилюса [40, 41], Жигулева [43], Садовникова [44], Когана [45] теория равновесных и неравновесных, но стационарных флуктуаций в газе развита на основе приближенного решения цепочки уравнений для функций распределения fb 『2, • • • или соответствующих уравнений для функций Грина.

Здесь мы изложим результаты расчета флуктуаций в газе на основе цепочки уравнений для сглаженных функций распределения 九，%, %, ••• (см. § 18) и соответствующего этой цепочке уравнения для фазовой плотности N(x, /) [23, 24].

Вернемся к уравнениям (18.11), (18.13) —первым двум уравнениям цепочки уравнений для сглаженных функций распределения 3, %,…

Поскольку на малых расстояниях (порядка『о) основную роль играют корреляции за счет парных столкновений, то в выражении (18.15) можно пренебречь вкладом корреляционной функции 金2(丿1，「1(—8)，丿1，「2(—8)) и для f【использовать уравнение (18.16):

О匕备 +f备)人(修，0 = ， (修，力*，B +工(21.1)

Здесь /в — интеграл столкновений Больцмана; без учета временного запаздывания и пространственной неоднородности он определяется выражением (10.5), а в общем случае выражениями (15.5) — (15.8):

『="\岩設痂(修,电,力厶2 ⑵.2)

——часть интеграла столкновений, определяемая крупномасштабными корреляциями.

В том же приближении вместо уравнения (18.13) для функции 『2 можно использовать уравнение (18.25) для корреляционной функции 金2・

Мы уже отмечали, что в уравнении (18.25) последний член описывает вклад тройных и более сложных столкновений. В нем в свою очередь можно выделить «поляризационные» члены (см. § 3) (они определяются двухчастичными корреляционными функциями g2 (2,3),营2 (1,3)) и члены, определяемые трехчастичнои корреляционной функцией.

Здесь будет проведен расчет флуктуаций в газе в приближении двухчастичных корреляционных функций, поэтому

в уравнении (18.25) можно положить 备=0. Кроме того, в силу малости крупномасштабных корреляционных функций в уравнении (18.25) можно пренебречь членом 612P2 по сравнению с О^АЛ в правой части уравнения. В результате получаем следующее уравнение для функции 金土：

@2 + % + 6乙)亀=。/ (Рр f) 3 (Р2, f)-

一 % $(013 +。23)后⑴片⑵ f N3)厶 3 + Кзб,В,М(с,Е* 一

N [，B (XP 0 f 1 (%2‘ 0 + /в (%'，) f 1 (/'，)] +

+ 几 J [013^2(2, 3)3 ⑴ + M2(l, 3)3 ⑵]厶з・ ⑵・3>

Это уравнение по структуре аналогично уравнению (3.5) для двухчастичной корреляционной функции &2(%ь%2,/), полученному в поляризационном приближении из цепочки уравнений, для функций распределения R, %，/з，・・・

Отметим отличия уравнения (21.3) для функции 金2, получен- пого в поляризационном приближении из цепочки уравнений для. сглаженных функций 后,f2, %， •・・

Основное отличие состоит в том, что в уравнении (21.3) в левой части содержатся дополнительные (по сравнению с (3.5)). члены 6厶离2，SQg” Они описывают диссипативные и недиссипативные процессы, обусловленные парными столкновениями.

Поляризационные члены (последние члены в правых частях уравнений (21.3), (3.5)) имеют одинаковую структуру.

Первые четыре члена в правой части уравнения (21.3) определяются одночастичными функциями распределения /ь Их можно рассматривать как источники в уравнениях для корреляционной функции 营2・ Первый член источника соответствует источнику в уравнении (3.5). Второй член компенсирует первый при интегрировании по 修 или 也・

Третий член в источнике имеет вид

612fl (门,B (- 8),力/1(一,Р2(- 8), /).(21.4)

Здесь восстановлен знак сглаживания — усреднение по физически бесконечно малому объему 呢〜(п)/“8)з》抬.

В состоянии локального равновесия, когда f^f® —распределение Максвелла, выражение (21.4) обращается в нуль вследствие того, что подынтегральное выражение меняет знак при 门2 f——片2 и интеграл по 门2, который возникает вследствие усреднения по объему /ф, равен поэтому нулю.

Четвертый член в источнике дополняет третий. Вместе с ним он дает нуль при интегрировании по %i или х2. При этом дают нулевой вклад и первые два члена. В результате уравнение для функции ，g2 dxz/U становится однородным и имеет решение

^g2dx,/V = 0.(21.5)

Необходимость выполнения этого условия следует из определения корреляционной функции 营2 (18.14).

§ 22・ Уравнение для сглаженной фазовой плотности. Метод моментов

В §§ 4——6 в основу построения статистической теории неравновесных процессов в газе было положено уравнение (4.6) для фазовой плотности в шестимерном пространстве координат и импульсов. Усредняя это уравнение, мы получили цепочку уравнений для моментов фазовой плотности, эквивалентную цепочке уравнений для функций распределения 九,f2, /з，・・・

В частности, в § 6 было получено уравнение для второго одновременного момента флуктуаций фазовой плотности (6N бМ%*, (уравнение (6.13)), которое эквивалентно уравнению (3.5) для двухчастичной корреляционной функции g2 в поляризацион* ном приближении. Было также показано, что для описания процессов в поляризационном приближении можно в качестве исходного использовать уравнение (6.32) для флуктуаций фазовой плотности б^. Это уравнение содержит источник 6/VlICT. Корреляция флуктуаций источника определяется уравнением (6.33).

Аналогичное рассмотрение возможно и при исследовании крупномасштабных флуктуаций в газе. Для этого вместо уравнения (4.6) для фазовой плотности /V (х, /) в качестве исходного используем уравнение для сглаженной фазовой плотности N(x, f), из которого усреднением можно получить цепочку уравнений для моментов, эквивалентную цепочке уравнений для сглаженных функций распределения 力，f2,『з, • • •

Запишем уравнение для функции Д7(х, t) в виде, аналогичном уравнению (4.7):

=J 限%，[而(х, /) N (К f) + 斤 6 P (- ОО), 0 右(г, Р (- ОО),切 d/ ・

(22.1)

6 =。①+ 变"：小晶 (22.2) dr др 1 dr др \ 丿

—оператор, аналогичный оператору 0订(L6).

Последний член в (22.1), учитывающий вклад парных столкновений в уравнение для сглаженной фазовой плотности А?(х, /), записан в приближении идеального газа. С учетом временного запаздывания и пространственной неоднородности в первом приближении по to/tcT, П)〃 последний член в уравнении (22.1) сле« дует записать в виде

,6м {(1 - "Ч1- 4)伪(乙 Р (- 8),力 N T, P♦(— 8), 0 -

—N (г, p, /) N (r, pl /)] -(-^-4-卫专匕"^ + 尸。盖' + 尸。备)义

00)

X \ t ^ 斤亿 P (— r), f)月 &, P (— T), /)灭 %/・(22.3) о)

Это выражение записано по аналогии с (15.6) — (15.8).

Уравнение (22.1) для фазовой плотности N при 尸о = 0 и без учета первого члена правой части впервые использовалось в работе Кадомцева для расчета флуктуаин負 в идеальном газе [25] ).

Уравнение для сглаженной фазовой плотности может быть получено из точного уравнения (4.6) для фазовой плотности ^(x, /) тем же путем, который был использован в § 18 при получении уравнения (18.10) для сглаженной функции распределения 『n из уравнения Лиувилля для функции распределения fN(xi,...,无n,/)• Проведем усреднение уравнения (22.1). В дальнейшем там, где это не приведет к недоразумениям, будем опускать знак ~ над функцией N(x, /), т. е.川(%,/)-> 纤(居 f).

Для сглаженных функций имеют место равенства, аналогичные равенствам (5.1), (5.2), (5.6):

N (х, t) = nf{ (х, /),(22.4)

方(%, f)而(廿,/)=心%丁 乜『2 的 £, 9 + 专 6 (% — 炉)Л(х, о, (22.5) 丽丽Lf=史W金2 а, к о +

+ ；卜a—炉)后a,D-^f,а,о后(/,о]. (22.6)

Здесь—

6" (x,力=后(X, f)一方(x, /)(22.7>

—флуктуация сглаженной фазовой плотности. —

Уравнение для средней фазовой плотности N соответствует (учитываем равенства (22.4), (22.5)) уравнению (18.11)—первому уравнению цепочки уравнений для сглаженных функций %,『2, . • • Если пренебречь вкладом корреляционной функции f2 на расстояниях порядка г^ как это сделано при переходе от уравнения (18.11) к уравнению (18.16), то получим следующее уравнение:

(鳥+。%+尸矗)九(居')='B(%，力+тa，坎(22.8)

Это уравнение отличается от уравнения (18.16) лишь тем, что 了一часть интеграла столкновений, учитывающая вклад крупномасштабных флуктуаций, определяется (вместо (18.17)) выражением

&，(22・9)

Как и в (18.16), /в ——интеграл столкновений Больцмана. Без учета временного запаздывания и пространственной неоднородности он определяется выражением (10.5), а в общем случае выражениями (15.5) — (15.8).

Из формулы (22.6), которая определяет связь функций

Это уравнение соответствует уравнению (18.13) для двухчастичной сглаженной функции

Покажем, как можно перейти от уравнения (22.11) к уравнению (18.13). Такой переход позволит установить правила действия оператора столкновений на члены, содержащие сингулярные функции. Такие функции появляются в выражениях, связывающих моменты фазовой плотности с функциями распределения, например в выражении (22.5).

Запишем соответствующее выражение для третьего момента:

= М(" * — 2) % 仪,л/,叱 /) +

+ N (分1 [6(X - /) h (/,工〃,0 + 6 h一%〃)% (尤",X, 0 +

+ 6 (尤〃 -%) f2 (x, k 切 + $ 6 (% - /) 6 停一%〃)九①，力.(22.12)

Подставим сначала это выражение в первые члены, стоящие в квадратных скобках в правой части уравнения (22.11). Опустим члены, описывающие самовоздействие, выполним интегрирование по %〃 в членах, содержащих функции 6(* — %〃), 8“ 一 х"), и учтем, что под интегралом в (22.11)

(&l + 6"№(x一f)...=6a一/)(6汇 + 6『产)...(22.13)

В результате получим

="/ 可F二& k%“ + ©“)右的 * x"，/)“+

+山笠❷ g Mx - /)\ ^XJ2(%，叫 о +

+ &”％ “，％"，f)] dx〃 + 力才2(X, К /)}.(22.14)

А^пожитель !/г перед 6(х — %') возник вследствие симметризации выражения, стоящего в (22.14) под интегралом в квадрат^ ных скобках относительно х, х\

Рассмотрим теперь оставшиеся два члена в (22.11). Они отличаются от рассмотренных двух членов тем, что в них соответственно

爲尤〃—г, Р, г, Р〃， xz, x〃f У, Р‘，У, Р〃・(22.15)

Естественно, что такая замена должна производиться лишь в аргументах функций распределения, определяющих вероятность координат и импульсов взаимодействующих частиц. По-

этому после подстановки в (22.11) выражения (22.12) замена (22.15) в аргументах дельта-функций не производится. Учитывая это, найдем, что

\%，,『£ + ^，х〃 丽4х、р，，р「J W =

—''“ya J |А"з(р，/，р〃, o+W3(^ г，р〃，川厶〃+

+ n(»! ® 6 g 一 犬)\ [紀/(P, p„ /)+

+ L/(P‘，P〃，％)]厶〃 + 兀不(В ",小•(22.16)

Преобразуем теперь левую часть уравнения (22.11). Подставим в левую часть выражение (22.5). Рассмотрим вклад второго члена из (22.5).

Производя симметризацию и используя первое уравнение цепочки уравнений для сглаженных функций Л,応,• • •, т・ е. уравнение (22.8), получим

£1 £ в(%—/)(%(%, о+%(/,力)=

=^ 6(X — /)(£%(X, О + 及力 м 0)=

=4 n(nj 6(X 一 Z) J 艮产伉优尤〃,/)+ f2 (P, p〃, /))+

+ &*色(匕尤〃,0 + f2(P，P〃,•/))]〃〃•(22•⑺

С учетом (22.14), (22.16), (22.17) из уравнения (22.11) находим уравнение для функции 『2, совпадающее с уравнением (18.13), т. е. второе уравнение цепочки уравнений для сглаженных функций распределения /ь 『2, /з, • • • Описанная процедура может быть проведена и для следующих уравнений цепочки.

Таким образом, цепочка уравнений для моментов сглаженной фазовой плотности Л?(х, /), удовлетворяющей уравнению (22.1), эквивалентна цепочке уравнений для функций распределения fi,『2,『з, •••, которая следует из уравнения Лиувилля для сглаженной функции распределения 厶仆 Отметим еще раз, что при доказательстве эквивалентности в цепочке уравнений для моментов замена (22.15) производилась лишь в аргументах функ* ций распределения.

Из доказанной эквивалентности следует, что в поляризационном приближении из цепочки уравнений для моментов функции N(x,следует уравнение, совпадающее с уравнением (21.3). Запишем это уравнение в иной форме, которая более удобна

в»методе моментов. Используя равенство (22.6), можно в правой части уравнения (21.3) объединить последний член правой части с первыми двумя членами правой части. В результате уравнение (21.3) примет вид (хь х2, х3 ->хь xz, x,z)

(厶力+殖+此，)亀(%，" o =

=7 \ [兀"^<,,丈 #№，f) + 以.- ^^*』J (K 叨 ^- +

+//(匕赤(匕 /)一 }厶 a，力 f I(/，力+/в (К %)fi a，办

(22.18)

Продолжим преобразование этого уравнения. Умножим уравнение (22.18) на и2, прибавим к левой и правой части выражение

(£" + 6/х + 必)％(6 (% — У) з — %1 (%, о л(X； /)) (22.19)

и используем равенство (22.6) и связь флуктуаций 6F, 6М:

6F (г, t)= -^-^ ① “，&N (х； /) d£・(22.20)

В результате получим уравнение для второго момента (6N GN)%, %，，尸 Запишем его в виде

(厶「+ 6厶 + 6〃)^^х, к , + ^^，, X，. f ^^ +

4-丽硒X,叱 f 吗厘=Л(X, /, /).(22.21)

Здесь введено обозначение

Л(х, /, /)=(厶%, + 觇 + 优М(6(x — 尤苏一% f &,处①，/))+

+ 赢工(P,力)f I (P‘，f) — £ [/B (x, 0 f] (M 0 + /B ①,f) f{ (x, f)].

(22.22)

Функция А определяется одночастичными функциями распределения и поэтому может рассматриваться как источник в уравнении для вторых моментов. В этом отношении имеется аналогия с уравнением (6.13).

Преобразуем выражение (22.22) для функции А. Предполагая, как и выше, что при действии операторов 0厶，6&， замена (22.15) производится лишь в аргументах функций распределения, и используя уравнение (22.8) для /ь получим следующее

выражение:

Д (х, xz, f) = А =

=“6(% — /)7(х, f) 一 3[/(х,力九(/, f) + 7(К 力3(%,切}. (22.23)

Из этого выражения следует, что функция А обладает свойствами

\ А (х, К t)dx‘ = 0, Л(х, xz, /) dx = 0.(22.24)

Заметим, что к виду (22.23) можно привести и правую часть уравнения (6.13). Действительно, используя уравнение (6.2) для функции fi, получнм

几,丽电7,尸

= n^(x~ /) / (x, /) — %[/(%, /) 6(К о + /(M, о Л (х, /)]} • (22.25)

Мы видим, что источник в (22.23) выражается через 7 — часть интеграла столкновений, которая определяется крупномасштабными флуктуациями. Этот результат является естественным, так как при 7=0, когда крупномасштабные флуктуации не учитываются, уравнение Больцмана в рассматриваемом выше приближении (см. § 10) дает исчерпывающее описание кинетических процессов в газах в приближении парных столкновений.

Уравнения (22.8), (22.18) для функций 九，^2 составляют замкнутую систему уравнений, на основе которой можно производить описание неравновесных процессов в газе с учетом крупномасштабных флуктуаций. Вместо (22.18), (22.8) можно использовать систему уравнений (22.8), (22.21) для функций

Из системы уравнений для функций fbg2 (или fh (^^ M)XtX^t) нельзя получить замкнутое уравнение для функции fi — кинетическое уравнение, если не делать дальнейших упрощающих предположений. Переход к кинетическому уравнению возможен, если функция 九(尤，f) мало меняется на расстоянии / и за время свободного пробега тСт. При этом условии, как и при выводе кинетического уравнения Больцмана, можно, используя условие ослабления начальных корреляций, выразить функцию корреляции &2 через функцию 九 и тем самым получить явное выражение для интеграла столкновений в уравнении (22.8). Это будет сделано в гл. 11, посвященной кинетической теории флуктуаций в плазме.

Мы можем снять еще одно ограничение (ограничение 4 на стр. 80), которое было сделано при выводе кинетического уравнения Больцмана. Оно состоит в том, что процесс столкновений какого-либо атома из физически бесконечно малого объема можно рассматривать как непрерывный процесс. В действительности процесс столкновений является дискретным (дробовой эффект) <

При учете дискретности процесса столкновений в правой части уравнения (22.21) появится дополнительный вклад в источник А (х, xz, /). Его можно будет представить в виде

Д(х, М /) = Д(х, К /) + /в (х,『,f).(22.26)

Функция Л определяется интегралом столкновений 7 (см. (22.23)). Второй член в (22.26) отличен от нуля и при 7 = 0. Он определяется, как мы увидим, теми же процессами, что и интеграл столкновений Больцмана /в. Вследствие этого и поставлен индекс В в функции Ав.

Чтобы учесть дробовой эффект, т. е. дискретность процесса столкновений, надо в функции (22.22) при раскрытии действия операторов производить замену (22.15) во всех аргументах функций под знаком оператора столкновений ). При этом вместо (22.23) получим выражение (22.26), в котором

風,%_ t)= t^^ {Оз [6 (产一г) (6 (pz — p) — 6 (p‘ 一 P)) +

+ 6 (k — и (6 (pz 一 p〃) 一 6 (6 — p〃))] % (р, О 3(р〃, /) +

+ rfp^r\ pf}dxf\ (22.27>

Отсюда видно, что Дв = 0, если замена (22.15) производится только в аргументах функций распределения. Функция 4В обладает свойствами (22.24).

В равновесном состоянии функция Л = 0, так как в этом слу> чае равен нулю интеграл столкновений /, определяющий функ- цшо А (см. (22.23)). Функция Дв отлична от нуля и в равновесном состоянии, так как флуктуации, обусловленные дискретностью процесса столкновений, существуют и в равновесном состоянии. При этом выражение (22.27) упрощается (в нем исчезают члены, содержащие функции б (//— р), б (“一 р〃)，3 (р — р〃)) и принимает вид

“в = - М \ {瞋"В S 一 » 6 (Р‘ 一 Р) +

+ 6 S 一 ") 6 ("' 一 Р〃)] f 1 (Р)九(Р〃)+ 乙 Р * 产，g dx"・ (22.28)

В дальнейшем будет удобна другая форма записи выражения (22.27) для Лп. Она следует из (22.27)), если выполнить интегрирование по г〃，р〃 в членах, содержащих функции 6 (У — “)X X 6 ("' — р〃)，6 (г — ") 6 (р — р"), и вынести функции 6 (rz — г) X X 6 (pz ~ р), б (г —产)6 (р — р') из-под знаков операторов 6“， 6х*'・ В результате получим выражение, которое удобно записать в виде

Дв (х, К /) = пб (х — %') /в (х, /) + 几1汉，—

一出，{区『[6 (产一了)6 (少 一 P)+ 6 (产 一 ")6 ” 一 P〃)] X

X f 1 (P, f) f I (P〃, /) + 乙 P 二产,P’} d%〃・(22.27)z

Здесь /в (x, /) — интеграл столкновений Больцмана, а

&，= 4Lfi(Р，/)К1р‘, /)•(22.29)

Из этого выражения следует, что

、/%k d/ = /в (х, /), Ixxr dK = /в (尤'，/)•

В равновесном состоянии первые два члена в (22.27)2 обращаются в нуль, и мы снова получаем выражение (22.28).

Таким образом, в равновесном состоянии Л = 0, но Дв У= 0. Такое неравноправие вполне естественно. Оно обусловлено тем, что в цепочке уравнений для сглаженных функций распределения или соответствующей цепочке уравнений для моментов, в частности в уравнениях (22.18), (22.21), диссипация обусловлена лишь мелкомасштабными флуктуациями, которые определяют интеграл столкновений Больцмана. Эти уравнения определяют статистические характеристики крупномасштабных флуктуаций. Спектральные плотности этих флуктуаций будут рассчитаны в следующем параграфе. Мы увидим, что через них можно выразить интеграл столкновений /, если характерные масштабы Г, L для функции 九 много больше тст, /, т. е. Т》тст, L》I.

Это имеет место, например, при переходе к газодинамическому описанию. Естественно, что в уравнениях газовой динамики будет учитываться уже диссипация, обусловленная как мелкомасштабными, так и крупномасштабными флуктуациями. Иными словами, диссипативные вклады будут определяться не только больцмаповским интегралом столкновений /в, ио и интегралом столкновений /.

Для расчета пространственно-временных плотностей крупномасштабных флуктуаций нужно использовать уравнения для Двухвременных моментов или соответствующих корреляционных Функций. Уравнение для функции ?2(爲 玄 ％', Q в поляризацион-

ном приближении может быть получено по аналогии с тем, как -было получено уравнение (22.18) для одновременной функции £2(х, л/, £)・ Оно имеет вид

広+*)咬2(爲厶К，)=

=；\ 兀，^＜，，, t %，，,，厶(％，0 "' +

+，6%3 亿 р, о 尸 I(К 厶乙 р", о dx- 一 % 厶(尤，о fi(/，，)・ (22.30)

Из этого уравнения можно получить уравнение (22.18) для одновременной корреляционной функции &2 (%, %',/)• Для этого надо записать второе уравнение (22.30) для функции ^2 (%',厶爲 X), сложить оба уравнения и произвести предельный переход t' ft. Предельный переход во втором члене правой части уравнения (22.30) выполняется следующим образом. Вводим запаздывание и неоднородность, а в конце т = 0, Гз = г, т. е.

］吧 \ 跳3fl (门，Pl，0 尸 1 (%2,，- % 飞，р3, f -力 d%3 =

=\ 613fl (门，P1，/)6(У2—П)6(Р2 — Рз)/"з, Рз, f—Q"3dp3 工=后=

-^fdrbPi.^fdr^P^ a (22.31)

Запишем уравнение для двухвременного момента. Для этого используем равенство

,両丽爲f.h,t，= "仁)画(招力匕，)+

+ 〃(尸 1 (%, /, Xх,，) 一 } fI (%,力 fl (xz, У)),(22.32)

которое при tf — t совпадает с равенством (22.6).

Умножим уравнение (22.30) на ^(^ — 1)/V2 и прибавим к левой и правой частям этого уравнения выражение

(左 + 箱”(尸］(%, t, /, У)— } f】a, о /! (x； *)). (22.33)

В результате получим уравнение для двухвременного момента. Запишем его в виде

也 + 67х)(6ТО)..九，"+ 获丽 Г,尢 ％，, f，=

= A(x, t, V, f).(22.34)

Здесь введено обозначение для двухвременного источника

Л(х,厶 /，) = (2% + 6/х)zig (居 /, xz, У) — ^rfj(x, 0f 1 (/, Г)) + + 紋 J QxJ{ (r, P, t)F. « 匕 r, P〃,力厶〃 一

一“(工,处停,，).(22.35>

Уравнение (22.34) соответствует уравнению (22.21). Преобразуем выражение (22.35) для источника А (х, /, xz, f). Для этого используем уравнение для функции 尸1(匕 ％ л/J):

Z箱=今」\ %，，［备(工，t %'，/； г 0 +

+ 尸”，Р, t, /, У)九⑴，Р〃，/)］厶〃.(22.33)

Это уравнение следует непосредственно из уравнения Лиувилля для двухвременной сглаженной функции распределения (§ 18) или из соответствующего уравнения для фазовой плотности 2(%, %/, У). Оно отличается от уравнения (22.1)лишь заменой №(,% /) f N(匕 /, xz, У).

Запишем в явном виде выражение для 6IXF} в (22.35):

6厶吊(爲力 /"') = - ^f^，6м，［尸】亿 Р,厶 М,，) Л (г, Р〃，0 +

+ Л (г, Р, /)尸《, Р〃, f, К У)］厶〃.(22.37>

Используя это выражение и уравнение (22.36), а также кинетическое уравнение для /ь получим следующее выражение для ф^^нкции 力(х, f, xz, У):

/(X, /, XZ, Г) = 〃2，6%x〃 ［g2 (務 /，%',/'；%〃，/)—

一 + 丕(％, %〃，f) % (К У)］厶〃.(22.38>

Отсюда видно, что источник Л обладает свойствами

\ 力(х, /, xz, У) dx =，若(х,九 К У) dxf = О, аналогичными свойствам (22.24).

Из выражения (22.38) следует, что источник Л (х,玄 犬,Г) порядка и/ 〜〃尸"Пт, поэтому в уравнении (22.34) есть два времени релаксации тСт, тст. При тст《тст правой частью в (22.34) можно пренебречь.

Таким образом, в приближении тст《^ст

Л (х, /, /,，丿=0(22.39卜

и, следовательно, уравнение (22.34) является однородным, т. е.

(厶 + 6厶)两瓦%,/ + 研丽^,，"/ 包嗡0 = 0. (22.40)

Мы пришли к снтуанин, подобной той, которая возникла при описании в поляризационном приближении мелкомасштабных корреляций. Отличие уравнений (22.21), (22.40) от соответствующих уравнений (6.13), (6.31) состоит лишь в том, что теперь

人宀人八宀宀

Lxx，f Lxxz + ”V + 6&, Jf 厶X + 3/x,

и тем самым в уравнениях (22.21), (22.40) учитывается затухание, обусловленное мелкомасштабными флуктуациями, которые определяют интеграл столкновений Больцмана *).

Как и в § 6, для определения двухвременной функции (6Y 6.V)jf, %，/ надо знать решение уравнения (22.21) для одновременной корреляции флуктуаций 3N. Этого можно избежать, если в качестве исходного для определения корреляций использовать уравнение для 6^, которое эквивалентно системе уравнений (22.21), (22.40). Оно имеет вид

(Ах + 6/J(6/V (х, 0 一 6旷5 (%,切 + 6F (r, f) P”尸=0. (22.41)

Корреляция флуктуаций источника определяется уравнением

(厶+肅)丽丽黑к и = 0,(22.42)

которое следует решать при начальном условии

W6V)^, 〃 “ I』’=(工巾 + 优 + ^А(%，犬，/)• (2243)

Здесь (..J-i — обратный оператор. Функция 4 определяется выражениями (22.22), (22.26), (22.23), (22.27) ь

Если вклад крупномасштабных флуктуаций не учитывается, то в этом приближении в уравнении (2.41) можно опустить последний член, а в выражении (22.26) для Л положить А = 0. Тогда из (22.41) следует, что 6N = 3/V“ct, и поэтому уравнение для функции (6W 6”)% f, %,尸 совпадает с (22.42)

(几+吼)丽丽L九％,, r = °・(22.44)

Уравнение (22.44) следует, естественно, и из уравнения (22.40). Уравнение (22.21) в этом приближении принимает вид

伉н + 6/х + 6/х^)(бГбЛГ)х Х^ = Л (х, х； /)・(22.45)

Систему уравнений (22.44), (22.45) можно заменить эквивалентным уравнением Ланжевена

(Lx+6/J6^U, 0 = У(х, /),(22.46)

которое представляет собой линеаризованное уравнение Больцмана со случайным источником у (х, /). Такое уравнение впервые рассматривалось Кадомцевым [25]. Им было получено выражение для спектральной плотности случайного источника равновесного состояния.

Случайные источники в кинетическом уравнении Больцмана и в уравнениях газовой динамики

Найдем выражение для спектральной плотности источника флуктуаций в линеаризованном кинетическом уравнении Больцмана. Будем предполагать, что газ пространственно однороден и / = 0. Тогда уравнение (22.8) примет вид

^+F^ = I^P>^(23.1)

Здесь Fo ——внешняя сила.

Используя уравнение (22.45), запишем уравнения для пространственной спектральной плотности (6/V 6^)A р pt р предполагая, что функция распределения /【мало меняется за время тСт — характерное время крупномасштабных флуктуаций. В пулевом приближении по x^djdt из (22.45) следует уравнение

期 S — а') + % + %，) (6/V 6М)电 р/,,=厂(й, р, р； /). (23.2>

Здесь, следуя работам [40, 41], используем обозначение

力=f。击+"0・(23.3)

Зависимость от времени в уравнении (23.2) входит через функции А(р, /),&)(/)•

Используя (22.27)1, найдем выражение для пространственной компоненты Фурье функции Дв(г — у'，р，р'，/)・ В нулевом приближении по й/ф (/ф ——физически бесконечно малый элемент длины для кинетического уравнения Больцмана — см. § 16) из (22.27) 1 получаем следующее выражение:

/в (fe, р, pz, f) = 〃2 \ dT”ap" X

X {©.“〃 [(6 (" — р〃) + 6(/-р)) 一 (6 / 一 Р〃) + 6(/-Р)) ]Х

X 匕(Р, 0 Л (Р〃, 0 + б”？ [(6 (р 一 р〃) + 6(р-『))一

一 (6 (р — Р〃) + &(р — Р'))] % (Р, /)" (Р〃, /)}•(23.4)1

Мы видим, что в нулевом приближении по 论/巾 правая часть выражения (23.4)1 не зависит от ft.

Произведем соответствующее преобразование для выражения (22.27)2. В результате получим другую форму записи функции А8伊,р, м /)：

“в (瓦 Р，Р‘，f) = 〃 (6 (р — р‘)/в (р, /) + /р,)—

-紋 \ {еххЧб(尸 一 Р)+ 6 ” 一 р〃)]九(Р,力厶(р〃,力 +

十 & Y [6 (Р — Р‘) + 6 (р — Р〃)] % (Р‘，/) % (Р〃, 0}"〃 亦〃.(23・4)2

Здесь 1Рр^ = ^IXxfd(г — rz), функция /门，определяется выражением (22.29).

Итак, пространственная спектральная плотность (6W 6^)й р pf t определяется уравнением (23.2) с правой частью (23.4)】 или (23.4)2・

Запишем теперь соответствующее уравнение для пространственно-временной спектральной плотности (6.V S.V)^ 乳 р р, г В нулевом приближении по x^djdt из уравнения (22.44) находим

(6 V 62虑；"，尸卜3V 6W)i，」b"idd)= о

-i (①一配0 + ?p

•Отсюда находим искомое выражение

которое выражает пространственно-временную спектральную плотность через пространственную спектральную плотность. Используя уравнение (23.2), можно записать выражение (23.5) в виде

八二能佈/f • (23-б)

Таким образом, нам удалось выразить пространственно-временную спектральную плотность флуктуаций сглаженной фазовой плотности через функцию Лв(й, р, pz, /), которая, согласно (23.4)1, (23.4)2, определяется функцией распределения f\(pi, t).

Теперь уже нетрудно найти спектральную плотность случайного источника в линеаризованном уравнении Больцмана (22.46). Из уравнения (22.46) находим выражение, связывающее

спектральные плотностиспектральные плотности[—/ (со — kv) + /р] [Z (со — Н，) + /р/][—/ (со — kv) + /р] [Z (со — Н，) + /р/](23.7)(23.7)Сравнивая выражение (23.6), (23.7), находим равенство

спектральные плотности

спектральные плотности

[—/ (со — kv) + /р] [Z (со — Н，) + /р/]

[—/ (со — kv) + /р] [Z (со — Н，) + /р/]

(23.7)

(23.7)

(以)通 ^, p.p^t = ^^> Pz> 0.

(23•分(23•分Здесь учтено, что в нулевом приближении по 左/ф функция Дв (乳 р, р‘，/) не зависит от ft.

(23•分

(23•分

Таким образом, спектральная плотность случайного источника в уравнении Больцмана определяется выражением (23.4)1 или (23.4)2. Так как правая часть равенства (23.8) не зависит от со н 左,то пространственно-временная корреляция у определяется выражением

(М. r-r^, р、р，、f =肥(Р，М о 6 ⑴ 6 (г -产)・ (23・9>

Таким образом, случайный источник в кинетическом уравнении Больцмана в нулевом приближении по й/ф и по временному запаздыванию функций fi(p, f), fi(p', f) является б-коррелиро- ванным по времени и пространству.

В равновесном состоянии первые два члена в выражении (23.4)2 обращаются в нуль, поэтому спектральная плотность (уу)^ 卜 р р, определяется в этом случае последним членом правой части (23.4)2・ При этом 厶一распределение Максвелла. Используя определение оператора 67P (22.37), выражение для функции (уу)^ л> p,p\t в равновесном состоянии можно записать в виде

(烈)з,飢 р р，=("" + °3)泌(Р -川 3(成 •(23.10>

Этот результат впервые был получен в работе Кадомцева [25].

В неравновесном состоянии вместо (23.8), (23.4)2 можно использовать выражение

(")◎丸 р p,j = Mp — Р‘)九/в (", /) + 叫"，(D +

-+ (忆 + 6&"6 (р 一 pz)后(p, f)・(23.11>

Здесь

Ipp，= n，％*力(P, /) fi (Pz, t)d(r —产).(23.12)

грированный интегралгрированный интегралстолкновений»,так какстолкновений»,так как，Ipp，dp' = 】B(p,t).，Ipp，dp' = 】B(p,t).Следуя работе [40], это выражение можно назвать «непроиите-

грированный интеграл

грированный интеграл

столкновений»,так как

столкновений»,так как

，Ipp，dp' = 】B(p,t).

，Ipp，dp' = 】B(p,t).

В стационарном состоянии, когда функция 九 не зависит от времени, выражение (23.11) совпадает с полученным в работах Ганиевича, Гуревича, Катилюса [40, 41].

В работе Горькова, Дзялошипского и Питаевского [38] спектральная плотность (23.10) выражена через вероятности перехода. Соответствующий результат для неравновесного, но стационарного состояния газа получен в работе Когана и Шульмана [39].

Отметим еще раз, что выражения (23.4)】，(23.4) 2, (23.11) справедливы лишь при условии, что вклад крупномасштабных флуктуаций в кинетическое уравнение (21.1) пренебрежимо мал, т. е. 7 = 0. В этом приближении в уравнениях (22.40), (22.41) можно опустить члены с 3F, учитывающие вклад крупномасштабных флуктуаций силы. Эти ограничения будут сняты в гл. 11, посвященной кинетической теории флуктуаций в плазме.

Рассмотрим общие свойства спектральной плотности (уу)& 々 р”，,(23.8), которые аналогичны свойствам (11.5), (11.7) для интеграла столкновений Больцмана. Для функции Лв(р, р‘，/) будем использовать выражение (23.4) 2・

Умножим функции (23.4)2 па произвольные функции (р(р), •ф(р') и проинтегрируем по р, “. Введем обозначение

/з. Н0= J<P(Pi)^ (pJ (期乂 乱 р|. 〃. f 呐叭- (23.13)

Здесь и ниже вместо р, р' удобней использовать переменные Р1, Р2-

Из (23.13), (23.4)2 после симметризации по pi, р2 получим выражение

厶左(/) = 4•卜① 3) + ①(％)) @12 仲(Pi) + 屮(P2)) X

X fi (P\, f)后仍2, 0 dr2dpxdp2-^^{{^ (pj + <p (p2)) 012 (屮(P【)+

+ W(P2))3(P【，/)后俨2, /) + ф^-ф}dr2dpx d% (23/4)

Здесь использовано выражение для интеграла столкновений Больцмана /в и выражение (23.12) для «пепроинтегрированного интеграла столкновений».

Запись (23.14) соответствует представлению Боголюбова. Для определения общих свойств выражения (23.14) удобней использовать больцмановскую форму. Для этого в (23.14) оператор

А _ d① 12 0 丄 дФ12а а

8时 =+ В f 而+(23.15)

Как и при переходе от выражения (10.10) к (10.18), введем цилиндрическую систему координат z, р, а с осью z вдоль вектора относительной скорости @【一v2. Выражение (23.14) примет

тогда вид

ОО ОО2Л

о оо о^ （0 = -^ \ “2 \ Р dp \ da，dpi d"2 丨力一6 | {（＜р （р,） +

о о

о о

+ 屮电））^"[；件（Pi）+ 屮（P2）） — （2 （Р） +

+ 屮0））] Л （Pi, 0 九阳 /） + ①二叫 （23.16）

Проинтегрируем по z и, как и в § 10, рассмотрим два типа столкновений. При 之=—оо Р【.2fp【，？（см- （Ю-16））, а р[ 0 — импульсы после столкновения типа а. При 2 =+ 8 Р]. 2 f Р；2» a Pi, 2 — импульсы после столкновения типа Ь （см. （10.17））.

В результате выражение （23.16） примет вид

ОО2Я

/^（/）=等\ pdp\ da、 加耽1 叱一6 1 X оо

Х{у[（ф （Р） + ＜Р（Р2））（^ （Pi） + 屮（Р2）） fi （Р；，/）3 （А，/） —

—（＜Р（Р1） + Ф（Р2））仲（Pl） + 屮（Р2）） % （Pl, 0 fl（Р2, 0]—

-[（ф（Р.） + ф（Р2））（^（р；） + ^（р；））Л^ "（% /）-

—（屮（Pl） + Ф （р2）） （*Ф（Р1） + 屮（р2）） fl （Pl，Ofl （р2, /）】+ 屮* 巾}

Преобразуем выражение в фнгурннх скобках. После при веде- йия одинаковых членов и симметризации по импульсам до （рь р2） и после （Рр р；） столкновений получим

{ }=4^ 3）+ ①（Р2））С1*（Р1）+ 屮（р2））—

-2 （＜р （"；） + ＜р （р；））（屮（Р J + 屮（生））+

+ （ф （"；） + 屮（Р；）） О （Р；） + 2 （畸）+屮之屮亦 3，%） f I（Р2, 0 =

=（＜p（₽i）+屮（р2）一 ф（pi）一 屮 e；））（2（pj+

+ 屮（p2）一 屮（P；）-2（p2）） f 1 （Z，%）%（P2, %）.

В результате

ОО2я

/砒（/）=替\ pdp \ da^dpldp2\v2 — vl \fi（ph /）36, OX о0

X（Ф （Pl） + 屮（卩2）— ①（P；） — ф （Р；）） 3（Р|） + ^（Р2）—

— 2（Р；） — 3（Р；））・（23.17）

Отсюда следуют свойства

/(О* (0 = 0/(О* (0 = 0(23.18)!(23.18)!при ф = 1, р, р2/2^ И при любой функции 叭

/(О* (0 = 0

/(О* (0 = 0

(23.18)!

(23.18)!

При 2 = 1, р, р2/2/и и при любой функции ф

/з〃/)》0 при (р = г|), в частности, при (р = \|)= — к1п%(р,/)・ (23.18)2

Знак равенства имеет место для равновесного состояния.

Вследствие свойств (23.18)】 при переходе от уравнения Больцмана для случайной функции ^ с источником у

0^ +0^ +f詣)"(居 /)=

=J 0xx^(r, р, t)N(r. Pz, t)dxf + y (23.19)

к уравнению газовой динамики для случайных газодинамических функций

р(г> t)= rn^NdPi「〃 =卜乂由，W = ^-^Ndp (23.20)

(эти равенства при усреднении переходят в (7.1)) можно считать, что

加 \ У k РV) # = 0, ^ ру (г, р, /) dp = 0, \ 察,亿 Р，0 dp = 0.

(23.21)

(23.22)(23.22)Следовательно, источник у не входит явно в уравнения баланса плотности частиц, плотности импульса и плотности кинетической энергии. Однако уравнения переноса не являются детерминированными, так как в них входят функции 兀订,S^ — тензор вязких напряжений и вектор теплового потока (см. уравнения (15.27)—— (15.29)). При вычислении этих функций, например по методу Грэда, получим выражения

(23.22)

(23.22)

Si = — K 崙"+ 6Sj,

которые отличаются от (7.17), (7.18) наличием случайных источников 6л：j, 6Sf. Спектральные плотности этих источников выра-

жаются через спектральную плотность источника у в кинетическом уравнении Больцмана (23.19) по формулам

6工" Ю® a=话 \ 6% g/ 6办々 6и* (")з hmm dp]叭， f加弼(23.23)

(6Si 6S/)3“ = )(必/)з, 2 Ph p, dp、dp2・

Здесь 切=a — 〃一 относительная скорость.

В тринадцатимоментном приближении Грэда выражения (23.23) принимают вид

(6兀〃 &“/)з а = 2不7 [б//6м + 6/6〃 一 у 6；/6 /,(23.24)

(М・ 6s儿也=2冗Т2/〃.(23.25)

Эти выражения совпадают с полученными феноменологическим путем в работе Ландау и Лифшица [60].

” Таким образом, в уравнения газовой динамики для идеального газа случайные источники входят в выражения для тензора вязких напряжений и в вектор теплового потока (23.22). Для неидеального газа положение может измениться, так как свойства функции /(ок ⑴ будут иными.

Свойство (23.18)2 существенно при исследовании эволюции корреляции флуктуаций энтропии.

Заметим в заключение этой главы, что при учете вклада крупномасштабных флуктуаций в кинетическое уравнение Больцмана, т. е. при 7#= 0, в уравнениях газовой динамики появятся дополнительные диссипативные члены — добавки к коэффициентам вязкости и теплопроводности, обусловленные крупномасштабными флуктуациями. Вследствие этого появляются дополнительные вклады в выражениях (23.24), (23.25) для спектральных плотностей источников бл：；, 6S».

ЧАСТЬ II

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕИДЕАЛЬНОЙ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ

ВВЕДЕНИЕ

В газе основным параметром является параметр пло1 пости 8 =几厂^ Используя малость параметра плотности, удается вместо цепочки зацепляющихся уравнений для функций распределения /\, /2， /з， ••• получить замкнутое уравнение для одночастичной 由ункинн распределения f\ — кинетическое уравнение. В первом приближении по параметру плотности, что соответствует модели парных столкновений, кинетическим уравнением для газа является уравнение Больцмана.

При условии £《1 число частиц газа r объеме с радиусом г0 много меньше единицы. В плазме положение обратное. Роль эффективного радиуса взаимодействия заряженных частиц играет радиус Дебая『d・ Он определяется выражением

Обычно в плазме в сфере с радиусом Дебая содержится большое число частиц, т. е. величина nr^》1. Это означает, что каждая частица одновременно взаимодействует с большим числом частиц. Малым параметром для плазмы является величина

卩=1/(九喲，

которая называется плазменным параметром.

Из определения величин [i и rD следует, что плазменный параметр 卩〜е2/(/^кТ), т. е. порядка отношения потенциальной энергии взаимодействия заряженных частиц на ^расстоянии го к средней кинетической энергии.

Наряду с 林 в теории плазмы вводят параметр

&~卩/

『ср

——параметр взаимодействия. Он определяется отношением средней потенциальной энергии взаимодействия заряженных частиц (точнее, потенциальной энергии на расстоянии 々р) к средней кинетической энергии. При 三《1 роль взаимодействия частиц

мала, поэтому плазма близка к идеальной, когда 自=0, и, следовательно, можно использовать теорию возмущений по взаимодействию.

Из сравнения параметров 堂,卩 следует, что при 々р V『d плазменный параметр ц меньше параметра взаимодействия 堂.

Возможность использования кинетических уравнений для плазмы обусловлена не малостью параметра плотности, как в газе, а тем, что каждая частица плазмы взаимодействует сразу с большим числом частиц. В силу этого малы флуктуации плотности заряженных частиц плазмы в объемах, больших по сравнению с г^р，и флуктации напряженностей электрического и магнитного полей. Нулевое приближение по плазменному параметру соответствует полному пренебрежению флуктуациями.

Современная кинетическая теория плазмы базируется на работах Л. Д. Ландау (1936), А. А. Власова (1938), Н. Н. Боголюбова (1946). Ландау получил, основываясь на кинетическом уравнении Больцмана, кинетическое уравнение для заряженных частиц—кинетическое уравнение Ландау.

При выводе кинетического уравнения Ландау используется теория возмущений по параметру взаимодействия &. Однако теория возмущений недостаточна для описания процессов в плазме. Это проявляется, в частности, в том, что интеграл столкновений Ландау содержит логарифмически расходящийся интеграл по волновым числам.

Расходимость на малых расстояниях (больших волновых числах) не может быть устранена в рамках теории возмущений, так как на малых расстояниях энергия взаимодействия и корреляционная функция не являются малыми. Для устранения расходимости надо просуммировать весь ряд теории возмущения по §. Для разреженной плазмы это приводит к результату, соответствующему приближению парных столкновений (первому приближению по параметру плотности).

Расходимость в интеграле столкновений на больших расстояниях связана с тем, что при использовании теории возмущений (в низшем неисчезающем приближении по J) не учитывается коллективный характер взаимодействия заряженных частиц плазмы, т. е. не учитывается тот факт, что каждая частица взаимодействует сразу с большим числом окружающих частиц. Вследствие этого в интеграле столкновений Ландау не учитываются эффекты поляризации плазмы.

При построении кинетической теории плазмы более естественным является использование теории возмущений по плазменному параметру 卩.Это соответствует теории возмущений по флуктуациям или, более точно, по корреляционным функциям.

Нулевое приближение по плазменному параметру соответствует полному пренебрежению флуктуациями, т. е. полному

5 КХ Л、Климднтович

пренебрежению эффектами корреляции. В этом приближении (см. § 29) получается самосогласованная система уравнений для одночастичных функций распределения fa (а — индекс компоненты плазмы) и уравнений Максвелла для средних напряженностей электрического и магнитного полей. Плотности заряда и тока в уравнениях Максвелла определяются функциями распределения Дь Эти уравнения впервые исследовались А. А. Власовым в 1938 г. и поэтому называются уравнениями Власова.

В уравнениях Власова не учитываются корреляционные эффекты и, как следствие этого, не учитываются диссипативные процессы в плазме. По этой причине полная энтропия плазмы в этом приближении остается неизменной.

В работе Н. Н. Боголюбова «Проблемы динамической теории в статистической физике» показано, что кинетические уравнения Власова и Ландау могут быть получены путем приближенного решения цепочки уравнений для функций распределения %, fab, fabc, т. е. функций распределения одной, двух, трех и т.д. заряженных частиц.

Для вывода этих уравнений была использована теория возмущений по степеням параметра 堂.Уравнения Власова получаются таким путем в первом приближении теории возмущений, а уравнения Ландау во втором приближении теории возмущений по параметру 堂.

Для учета коллективных (поляризационных) эффектов в плазме в работе Боголюбова был использован метод теории возмущений по плазменному параметру (поляризационное приближение). В первом приближении по ц получается замкнутая система уравнений для одночастичных функций распределения fa и двухчастичных корреляционных функций gab- Уравнение для функции gab отличается от соответствующего уравнения в приближении теории возмущений наличием дополнительных членов, учитывающих эффекты поляризации плазмы (§ 35).

В работах Ленарда и Балеску было найдено решение уравнения для функции gab при условии ослабления начальной корреляции и без учета временного запаздывания и пространственной неоднородности функций %. В результате было получено выражение для интеграла столкновений /а с учетом поляризации плазмы — интеграла столкновений Балеску ——Ленарда (§ 37) [5, 6].

Кинетические уравнения «Ландау и Балеску — Ленарда учитывают вклад взаимодействия заряженных частиц лишь в диссипативные характеристики плазмы. В этом смысле уравнения являются кинетическими уравнениями для идеальной плазмы. В гл. 9, 10 будет проведено обобщение этих кинетических уравнений с целью полного учета, например, в первом приближении по плазменному параметру ц, вклада взаимодействия заряжен-

ных частиц. Тем самым будут получены кинетические уравнения для неидеальной плазмы.

В работах [1, 4—6] при выводе кинетических уравнений учитывается лишь кулоновское взаимодействие заряженных частиц (кулоновская плазма). Метод Боголюбова может быть использован и в более общем случае, когда необходим учет не только потенциального электрического поля, но и вихревого электромагнитного поля. Такой подход при описании процессов в плазме оказывается чрезвычайно сложным.

Более удобно для плазмы в качестве исходной использовать систему уравнений для микроскопических фазовых плотностей каждой компоненты плазмы Na(x,t) и микроскопических напряженностей электрического и магнитного полей (§ 24). Использование такого подхода позволяет существенно упростить решение ряда задач. Это обусловлено тем, что вместо очень сложных уравнений для функций распределения координат и импульсов частиц и переменных поля приходится решать сравнительно более простые уравнения для моментов фазовых плотностей Na и микроскопических напряженностей полей или еще более простые уравнения для случайных отклонений этих функций от их средних значений (§§ 34, 35).

Кинетические уравнения Ландау и Балеску — Ленарда обладают одним общим недостатком. Он состоит в том, что в интегралах столкновений при интегрировании по волновым числам возникает логарифмическая расходимость при больших значениях волнового числа. (Это соответствует малым расстояниям между заряженными частицами.) Напротив, если для описания процессов в кулоновской плазме использовать кинетическое уравнение Больцмана, в котором не используется предположение о малости параметра g, то соответствующий интеграл столкновений имеет логарифмическую расходимость на больших расстояниях.

При описании неравновесных процессов в неидеальной плазме необходимо иметь кинетическое уравнение, в котором корректно учтены вклады взаимодействия заряженных частиц как на больших, так и на малых расстояниях. Вследствие этого возникает задача построения обобщенных кинетических уравнений для плазмы, которые учитывали бы и коллективные взаимодействия (они играют основную роль на больших расстояниях) и парные взаимодействия (они играют основную роль на малых расстояниях) .

Возможности построения таких уравнений будут обсуждаться в § 56. Часть Ш будет посвящена квантовой кинетической теории неидеальной плазмы.

ГЛАВА 5

МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ.

УСРЕДНЕНИЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ

§ 24. Микроскопические уравнения для полностью ионизованной плазмы

В первой части были рассмотрены два способа описания неравновесных процессов в газах. Один из них основан на использовании в качестве исходного уравнения Лиувилля для функции распределения значений координат и импульсов всех частиц газа ——функции распределения f^ (%,/)• Основываясь на уравнении Лиувилля, можно построить цепочку уравнений для функций распределения переменных одной, двух и т. д. частиц, т. е. для функций 九，%, • • • Приближенное решение этой цепочки уравнений позволяет при определенных условиях получить кинетические уравнения для газа — замкнутые уравнения для одноча- <тичной функции распределения R.

Второй способ описания неравновесных процессов в газах основан на использовании в качестве исходного уравнения для фазовой плотности в шестимерном пространстве координат и импульсов, т. е. для функции

^ (х, /) = £ й(х — х； (/)), х = (г, р).(24.1)

Эволюция фазовой плотности определяется уравнением (4.6) (или (4.7)).

Используя уравнение для фазовой плотности, можно построить цепочку уравнений для моментов фазовой плотности. Цепочка уравнений для моментов эквивалентна цепочке уравнений для функций распределения R, %，・・.

В полностью ионизованной плазме микроскопическое состояние определяется не только значениями координат и импульсов всех заряженных частиц, но и значениями микроскопических напряженностей электрического и магнитного полей в каждой точке

пространства. Вследствие этого описание неравновесных процессов в плазме, основанное на уравнении Лиувилля для функции распределения переменных частиц и поля, становится чрезвычайно сложным. Более удобным оказывается использование в качестве исходной системы уравнений для микроскопических фа- .зовых плотностей всех компонент заряженных частиц и микроскопических полей.

Обозначим через еа, та заряд и массу частицы компоненты а. В полностью ионизованной электрон-ионной плазме индекс принимает два значения: а = е, i (% m е, &=Z|e|). Используем обозначение Na для полного числа частиц компоненты a; NJV = =па — средняя концентрация частиц компоненты а.

Условие электрической нейтральности плазмы можно записать в виде

£ RaNa = О или Е еапа = 0.(24.2)

аа

Фазовая плотность распределения частиц компоненты а в соответствующем шестимерном пространстве х = (г, р) определяется выражением

解亿 Р，0= 2 б(г-%@(/)) б(р — б。(/))(24.3)

憲〃н короче

Na(X, /)=£6 (% — 打а (/))・(24.4)

Из этих определений следует, что величина N式x,t)dx равна числу частиц компоненты а, координаты и импульсы которых в момент t заключены в объеме 2尤 около точки %. Интеграл по ；всему фазовому пространству

，Na (х, /) dx =储,

т. е. равен полному числу частиц компоненты а.

Эволюция фазовой плотности Na определяется уравнением, аналогичным уравнению (4.6):

警 + е 善 + 爲 К，力嗡• = 0, 0 = р/та. (24.5)

Сила Fa определяется выражением

兴=К。+ еа^ (г, /) + * [&5М (г, /)]・(24.6)

Здесь Г*。。— внешняя сила, действующая на заряженную частицу, Ем, 5M— микроскопические напряженности электрического 弘 магнитного полей.

Микроскопические плотности заряда и тока ^м,/м выражаются через фазовые плотности:

(24.7>(24.7>(гV) = £ % \ 熊(г, р, 0 dp,尸(小=£ % \ vNa(rt р, 0dp.

(24.7>

(24.7>

С учетом этих равенств уравнения для микроскопических напряженностей электрического и магнитного полей — уравне

ния Лоренца — можно записать в виде

rot 5>Т 畫 + 萼 £。J 叫亿 р, /) dp,(24.8)

а

rotEM = _g嘗，(24.9)

div Вм = 0,(24.10)

div Ем = 4л^еа，NJh P, f)dp.(24.11>

Уравнения (24.5), (24.6), (24.8) — (24.11) составляют замкнутую систему уравнений для микроскопических функций Na(x, t). Ем, 5м.

Вместо уравнений для функций Е* Вм можно использовать систему уравнений для потенциалов 4м, <рм Напряженности полей и потенциалы связаны равенствами

5M = rotAM, EM = _grad(pM- ^嘗. (24•⑵

Некоторый произвол в выборе потенциалов позволяет наложить на них дополнительную связь.

Микроскопические уравнения (24.5), (24.6), (24.8) — (24.11) будут справедливы и для релятивистской плазмы, если в них связь импульса и скорости р = mav заменить соответствующим релятивистским соотношением

p = mav / " 1 -絞/e2 = Y优力. (24.13)

Действительно, величина

NJh p, 0 dr dp (24•⑷ определяет число частиц компоненты а в объеме dr dp и не зависит от выбора системы отсчета. Поскольку элемент фазового объема dr dp неизменен, то остается неизменной при изменении системы отсчета и функция Na(r, р, /) (более подробно см. [8,9])-

При описании процессов в релятивистской плазме вместо фазовой плотности Na(rt р, /) можно использовать соответствующую функцию в пространстве восьми переменных — в пространстве четырехмерных координат и импульсов Q = (г, ict), Р=(р, i^lc). Функция 府a(Q,Р) определяется следующим выражением:

M(Q，Р)= £ J 6 (Q - Qia (sz)) 6 (Р - Pia (s^ dsh (24.15) yt&Na

где Si — собственное время частицы компоненты а с номером 厶 Вместо системы уравнений (24.5), (24.6), (24.8) — (24.11) для описания процессов в релятивистской плазме можно использовать систему уравнений для функций ^a(Q, Р) и тензора 户戶, компонентами которого являются напряженности электромагнитного поля 冲，Вм эта система уравнений имеет вид

"，翁+今尸肮А能"=о，(24/6)

謬=% \ 〃小(Q, Р) dp 龙Г,(24.17)

а

翁 + 嚮 + 霊=° g々,/=1,2,3,4).(24.18)

Здесь и： — компонента четырехмерного вектора скорости и = =(Y6 "y) .

Релятивистская инвариантность системы уравнений (24.16)— (24.18) очевидна. Система уравнений (24.16) — (24.18) может быть получена с помощью вариационного принципа [8].

§ 25. Микроскопические уравнения для кулоновской плазмы

В тех случаях, когда можно ограничиться учетом лишь кулоновского взаимодействия между заряженными частицами (кулоновская плазма), система уравнений (24.5), (24.6), (24.8)— (24.11) значительно упрощается и принимает вид

甞 + 0 醬 + (е/м + 尸爾醬=0, (25.1)

rot Ем = 0, div Е” = 4я^еа^ Na (г, р, /) dp. (25.2) а

В уравнении (25.1)

Во — напряженности внешних электриче-Во — напряженности внешних электриче-— внешняя хила, Ео,— внешняя хила, Ео,尸面=e風+号ё/](25.3)

Во — напряженности внешних электриче-

Во — напряженности внешних электриче-

— внешняя хила, Ео,

— внешняя хила, Ео,

скоро и магнитного полей.

Система (25.1), (25.2)—замкнутая система уравнений для фазовых плотностей Na и потенциального электрического поля 方 м = —grad(рм.

В кулоновской плазме состояние системы полностью определяется значениями координат и импульсов частиц. Вследствие* этого поле Ем полностью определяется функциями Na(x, /). Дей* ствительно, из уравнений (25.2) следует выражение

Е” (г, f) = — grad 屮“ =—£ % ^г \ j」J I М (К 0 d/・(25.4>

Исключим с помощью этого выражения напряженность поля £м из уравнения (25.1). В результате получим замкнутую си* стему уравнений для функций Ма(%,/)：

学+。堂+几噜一?^咼吟加，醬 '(25.5>

Эта система уравнений аналогична уравнению (4.7) для фа* зоной плотности атомов газа.

Для электронно-ионной плазмы (25.5) — система двух уравнений для фазовых плотностей электронов Ne и ионов 启小

Непосредственное использование микроскопических уравнений для плазмы невозможно из-за чрезвычайной их сложности,, перейдем поэтому к уравнениям для моментов случайных функций Na, Е±

§ 26. Усреднение микроскопических уравнений

Усредним уравнения (25.1) и используем определения функ* ции распределения fa и среднего поля Е:

НаГ, 0 = nja(х, 0,乔=Е亿 0,(26.1>

и тождество

EZNJx,力=Enafa + (林丽J, %, /・(26.2>

В результате получим уравнение для функции распределения /а- Запишем его в виде

而 + N IT +(e/ + 凡。)而--^=厶 У

(26.3>

rot E = 0, div E = 4冗 £ eatia ^ fa (x, /) dp.

Уравнение (26.3) аналогично уравнению (6.2) для газа. Правую часть уравнения (26.3) по аналогии будем называть интегралом столкновений. Такое название лишь подчеркивает аналогию, но не отражает существа дела, так как в плазме каждая частица взаимодействует сразу с большим числом окружающих частиц. Вследствие этого модель парных столкновений заряженных частиц в плазме (откуда и возникло название «интеграл столкновений») не является удовлетворительной.

Для удобства записи введем обозначение для операторов £а> Zab, • • • Например,

% =(等+ "^ + °'/+ 凡^ + ь方 等)•(26・4)

в Lab средняя сила Fa заменяется на Fa^ Тогда уравнение (26.3) можно записать в виде

「 Г(26.5)

rot Е= 0, divE = 4n; > еапа \ fa dp.

Эти уравнения незамкнуты, так как в них входит второй момент dE6?Va・ Используя выражение (25.4), его можно выразить через «функцию (6^a 6Mbz, f：

(^U_, f = — £ 郁 \ 亲 7747rг 丽础”,“,f d/・(26.6)

Запишем уравнение для функции @Nа 6^)х 匸，г Для этого запишем сначала уравнение для отклонения

6Ma =Na — Na = Na —曲 a・(26.7)

Из уравнений (25.1), (25.2), (26.5) находим уравнения для случайных отклонений 6^a, 6Е:

La 6储+ % 6e嚮=一 分為心E&Na 一同而丄也小

「 г(26.8)

rot 6E = 0, div 6E = 4л 七 ％ ) 6储 dp.

Умножим уравнение (26.8) на 6Nb®, t) и усредним. Соответствующее уравнение для функции 6Мь умножим на 6Na и также произведем усреднения. Полученные таким образом урав・ ^ения сложим. В результате получим искомое уравнение для

функции (6^ 6^)х х< р Используя обозначение (26.4), запишем его в виде

厶6⑹^而人у,» + % (近而),”々喏+

+ еЬ(62。6Е%/, f "^^ =

=-%^ (6E6AUM 爲 “,,L 〃推｛MabEbN^ хМ. (26.9)

Это — второе уравнение цепочки уравнений для моментов функций 6Na・ Оно аналогично уравнению (6.6) и также незамкнуто, так как в него входят третьи моменты.

От цепочки уравнений для моментов можно перейти к цепочке уравнений для функций распределения %, %ь, fag • • • нли, что в ряде случаев более удобно, к системе уравнений для одночастичных функций распределения fc и корреляционных функций gab, gabc, • • •

Приведем формулы, связывающие вторые и третьи моменты с функциями %, gab. gabc・ Эти формулы аналогичны формулам (5.6), (5.10):

砒丽及К ,="此病如迤gab (尤，k 0 +

+ 今 $ab [b(Y — /) faУ'fa (爲 0 fb (М О] •(26.10)

Отсюда при N-> g、V-> оо, N/V = n = const

6м16Mo% *，, f = nanbgab + 〃a%2 (% — X) fa(X, /)・(26.11)

В этом же приближении (na = пь = п)

@Na&Nb&Nс)хf =心gabc +

+ 出 Ba疝(X — /) gbc + 6%6(Xх — %") gca + 喝6 ①一％) gab\ +

+ пдм a—父)в(/ 一 ％〃)h ①，/).(26•⑵

Эти соотношения понадобятся нам в следующем параграфе.

В общем случае, когда учитываются и потенциальное и электромагнитное поля, необходимо производить усреднение полной системы уравнений (24.5), (24.6), (24.8) — (24.11) для случайных функций 巾* 冲,Вм.

Производя усреднение этой системы уравнений, учитывая равенство (26.1) и тождество (26.2) и соответствующие выражения

для магнитного поля, получим следующую систему уравнений:

普+。争+几幣=一靑證(近而工”，产厶㈢仪(26.⑶

Fa = % + %E + * [vB],(26.14)

6Fa = eadE + ^-[v6B]9(26.15)

r・B=4学+^2, % dp,(26.16)

rot E = - ^吟，divB = 0,(26.17)

div E = 4л 2%% J fa dp.(26.18)

Как и в случае кулоновской плазмы, эта система уравнений для функций %, Е, В незамкнута, так как в нее наряду с первыми моментами случайных функций ^a, Е》砂，「е наряду с функциями fa, Е, В, входят вторые моменты 6FRN& Они определяются корреляциями случайных отклонений фазовой плотности 6Na и напряженностей полей 6Е, 6В.

Запишем систему уравнений для 6觴，6Е, 6В. Она следует из систем уравнений (24.5), (24.6), (24.8) — (24.11), (26.13) — (26.18) и имеет вид

06Mx+ 6尸а* =—备[6小Ma—乔丽К (26.19)

rot 65 = ^ 響 + 咅 2 %，vMa dp, (26.20) rot6E = T響， ' (26.21) div SB = 0, (26.22) div 6E = 4л 2 e J 6乂 dp. (26.23)

Из этой системы уравнений можно получить систему уравне- ^ий для вторых моментов случайных отклонений bNa, 6Е, 63. Она, естественно, будет содержать третьи моменты. Таким образом, мы приходим к бесконечной цепочке уравнений для момен-

тов фазовых плотностей и напряженностей электромагнитнога- поля.

Покажем, что в первом приближении по плазменному параметру (в поляризационном приближении) цепочка уравнении* обрывается.

§ 27. Приближение парных столкновений и поляризационное приближение для плазмы

Уравнение для функции @Na5Nb)x,x，，t в поляризационном1 приближении аналогично уравнению (6.13) и, следовательно», имеет вид

Zab (而押儿,”，,,+麓而b)…甯+

+ (而押也^等=以(派而般：々，(27.1> где

^t^Ь)黑，,/ =拉孤Ь(6(* 一/)% 一 }h(看分% 3, ％))-(27.2>

В предельном случае N->8, l/->8, n == const выражение (27.2) принимает вид

(丽Г丽膜二 f = паЬаЬЪ (x 一 /) fa (爲 f)・(27.3}

Напомним, что индекс «ист» у функции (6此 6熊)黑,,^ подчеркивает тот факт, что правая часть в уравнении (27.1) не зависит от второго момента, а полностью определяется одноча* стичными функциями распределения fa.

Используя равенство (26.10) и уравнение (26.13) для функции %, можно записать в этом же приближении уравнение для корреляционной функции gab. Оно имеет следующий вид:

^abSab (^» Y , %) = ^abfafb +

+ 2 “с，也酒。匕(*「匕')% + %cgac(xf %〃，t)羽 dxff. (27.4>

Здесь введено обозначение для оператора (ср. с (1.6))

"ab — ” 丽十 dk 而"，(27・5)

где ①ab = %%/l r —产1・Уравнение (27.4) аналогично ЦИОННОЙ функции g2(^l,%2,f)・ В правой части, пропорциональныйгде ①ab = %%/l r —产1・Уравнение (27.4) аналогично ЦИОННОЙ функции g2(^l,%2,f)・ В правой части, пропорциональныйуравнению (3.5) для корреля* уравнении (27.4) второй чле» %, учитывает, как мы увидим〉уравнению (3.5) для корреля* уравнении (27.4) второй чле» %, учитывает, как мы увидим〉

где ①ab = %%/l r —产1・

Уравнение (27.4) аналогично ЦИОННОЙ функции g2(^l,%2,f)・ В правой части, пропорциональный

где ①ab = %%/l r —产1・

Уравнение (27.4) аналогично ЦИОННОЙ функции g2(^l,%2,f)・ В правой части, пропорциональный

уравнению (3.5) для корреля* уравнении (27.4) второй чле» %, учитывает, как мы увидим〉

уравнению (3.5) для корреля* уравнении (27.4) второй чле» %, учитывает, как мы увидим〉

эффекты поляризации. При использовании теории возмущений по Е этот член в первом приближении можно не учитывать. В результате в первом приближении по 自 уравнение для функции gab имеет вид

Labgab (%, %', 0 == ^abf afb(27.6)

и соответствует уравнению (3.4).

Мы не будем выписывать здесь уравнений для двухвременной одночастичной функции 尸а (%,%/,/') и двухвременного момента GNabN丸 t * у. Они соответствуют уравнениям (6.24), (6.17). Таким образом, как и для газа, отличие поляризационного приближения от приближения вторых моментов состоит в том, что в поляризационном приближении в уравнения для вторых моментов входят источники, определяемые функциями (6储 6此心*"，(6储6必):：:* к，которне в свою очередь п0л- ностью определяются одночастичными функциями распределения fa, Fa・

На этом основании, как и в § 6, введем соответствующий источник в уравнения для флуктуаций 6^. В приближении вторых моментов в уравнении (26.19) правая часть обращается в нуль. В поляризационном приближении правая часть заменится источником, соответствующим источнику в уравнениях для функций (GN。6^ь)x х/ f и (GN。bN^x, f, %,,产・ В результате уравнение для 6Ml примет вид

La 6Ma + 6 尸。噜~ = La Ma\(27.7>

Корреляция флуктуаций источника определяется уравнением

3(丽同肾:"，尸=0,(27.8>

которое следует решать при начальном условии

=паЬаЬ(6(无一xz) fa-Y^a ^ ')fb (M ')) •(27・9)

В предельном случае N->8, И->оо, N/V = const начальное условие упрощается:

(^7^禮t, у, г |『，=勿&疝(％ — О 必 (27.10>

В общем случае, когда учитываются флуктуации и потенциального и вихревого полей, к уравнению (27.7) надо добавить систему уравнений (26.20) — (26.23) для флуктуаций

напряженностей электрического и магнитного полей и равенства

ЬРа = еаЬЕ + ^\рЬВ\у(27.11)

связывающее 6尸。в (27.7) с флуктуациями электромагнитного поля 6Е, 6В.

Для кулоновской плазмы к уравнению (27.7) надо добавить уравнения для флуктуации потенциального поля 6Е

rot 6Е = 0, div 6Е = 4п £ %，Ма dp (27.12)

и равенство

dFa = ea6E.(27」3)

Мы используем полученные здесь уравнения для флуктуаций при выводе кинетических уравнений.

Уравнения переноса плотности, плотности импульса и плотности кинетической энергии частиц.

Уравнения переноса плотности энергии и плотности импульса электромагнитного поля

Для вывода уравнений переноса используем систему уравнений (26.13) — (26.18) для функций %, Е, В.

Суммарная плотность числа частиц всех компонент плазмы, суммарная плотность импульса плазмы и суммарная плотность кинетической энергии плазмы определяются формулами, аналогичными формулам (7.1):

р(〃 /) = 2 加小〃 У"р, 2 Ра% = 2 %，pfadp,ааа

2(28.1)

取亿 f)= 2>J器％dp.

Q

Умножая уравнение (26.13) на пата, интегрируя по р и суммируя по а, получим уравнение непрерывности для суммарной плотности плазмы

吗" + div£pa% = 0・(28.2)

Рассмотрим теперь уравнения баланса суммарного импульса плазмы. Тензор потока импульса плазмы П“ определяется

выражением

И” = Z тапа，v^ifa dp 三 £ namauaiuai + Pih (28.3) aa

где

Pit = E J ^alfalfa dp 三 £ P?・?(28・4)

aa

—тензор напряжений в плазме, 6^^ = ^——〃^, Р£)—тензор напряжений компоненты а.

Как и в случае газа (§ 7), тензор Р；? можно представить в виде суммы

W =，鴻+噌，Р臨=Т Р然(28・5)

Здесь р盤—часть давления, создаваемого частицами компоненты а, не связанная с взаимодействием частиц, 嚼)——соответствующий тензор вязких напряжений.

Введем, наконец, определение плотности заряда q и тока /:

9 = 2 %% 卜。dp, j = £ 金乙卜九 dp・ (28.6)

Умножим теперь уравнение (26.13) на 孔〃，проинтегрируем по р и просуммируем по а и проведем преобразования, которые были сделаны при выводе уравнения (7.9). В результате получим уравнение баланса плотности суммарного импульса частиц. Запишем его для компоненты 2 pauai-

а

^ 2 р』м+备 Е R%%+а歯+噌]=

=g& + 4» [问》+ ^пДР1[а dp. (28.7)

Это уравнение аналогично уравнению (7.9).

Первый и второй члены правой части представляют собой i-ю компоненту плотности силы. При получении этого выражения использовано равенство (26.14). Третий член в правой части определяет вклад интеграла столкновений в уравнение баланса импульса. Этот член удобно представить в иной форме. Для этого используем связь интеграла столкновений /а с корреляцией флуктуаций силы и 6^, а также выражение (26.15) и определения флуктуаций плотности заряда 6g и плотности тока 6/:

6-7 = £ % , &N& dp, 6/ = £ % \ е &Nadp・

В результате получим выражение

2% \ р/а如=研 + ^[W].(28.8)

Рассмотрим, наконец, уравнение баланса плотности кинетической энергии. Для этого умножим уравнение (26.13) на пар2/2та, проинтегрируем по р, просуммируем по а и проведем преобразования, аналогичные тем, которые были проведены при выводе уравнения (7.14). В результате получим следующее уравнение баланса плотности суммарной кинетической энергии всех компонент плазмы. Запишем его в виде

ME(呼+强爲)+

+ 彥 X [% (与 + ^口 + "密)+ 鸣、% + S。J = =/ + e%\盡，/p. (28.9)

Здесь Та — температура компоненты a, Sa — вектор теплового потока компоненты а.

Используя определение интеграла столкновений (26.13), можно представить второй член в правой части уравнения (28.9) в виде

贏％dp =価Ё).(28.10)

Из формул (28.10), (28.8) видно, что вклады интеграла столкновений в уравнения баланса импульса и энергии плазмы выражаются через корреляции флуктуаций 6g, 6/ и 6Е, 63.

Рассмотрим теперь уравнения баланса импульса и энергии электромагнитного поля. Начнем с уравнения баланса импульса. Для этого с помощью уравнений Максвелла (26.16) — (26.18} преобразуем выражение для плотности электромагнитной силы, стоящей в правой части уравнения (28.7).

Из уравнений (26.16), (26.18) находим

^+4 т=^^^+-^ mt в • в】_ £ [器斗

Отсюда, используя уравнения (26.17), получим

gE + g[j5] = *(EdivE + 5div5) +

+ * {[rot В-В] + [rot Е •司} - £ Е [ЕВ].(28.11)

Воспользуемся векторным тождеством

Ах div А 十[rot А • А]х =

=永f)+警+ *(28•⑵

Полагая здесь последовательно Ai = £公 В； и складывая, запишем с помощью этого тождества уравнение (28.11) в виде

d [EB]i дТи1 .

石b +号^=一胆-之【问.(28 .⑶

Тензор 7订 определяется выражением

Tц = - *(e间+ 8问-g 生产).(28.⑷

Он называется тензором электромагнитных напряжений или тензором Максвелла.

Из уравнения (28.13) следует, что вектор

姦侬](28.15)

определяет плотность импульса среднего электромагнитного поля.

Складывая уравнения баланса импульса частиц плазмы и импульса среднего (без учета флуктуаций) поля, т. е. уравнения (28.7), (28.13), получим уравнение баланса суммарного импульса—частиц плазмы и поля:

5Г [2 Pa〃ai + 春[Е叫 +

+ 号｛ 2 Q%% + P們 +「〃｝ = ? % I 叫加(28.16)

Это уравнение полезно записать и в иной форме. Для этого преобразуем правую часть равенства (28.8) с помощью уравне。 ний (26.20) — (26.23). Производя преобразования» аналогичные тем, которые делались при выводе уравнения (28.13), получим вместо (28.8) следующее равенство:

£ 加 \ РЛ dp = — * 电瞑一号心.(28.17)

Здесь введено обозначение для тензора электромагнитных напряжений, создаваемых флуктуациями электромагнитного поля:

艮" =一士｛弭码 + ^Bt-^I 研^画｝ • (28.18)

Подставляя выражение (28.17) в правую часть уравнения (28.16), получим

4 { ? Р№，+亲([砌,+【Е,)} +

+ 号{ 2 [Р%% + 哂 + & + К〃 } = 0. (28.19)

Отсюда следует, что суммарная плотность импульса частиц и поля с учетом флуктуаций поля определяется вектором

G = 2 раиа + 提([ЕВ] + [6Е 6В]) =2 р«% + 爲[丽]・(28.20) аа

Выражение, стоящее в уравнении (28.19) под знаком d/drj, определяет суммарный тензор потока импульса частиц и электромагнитного поля в плазме.

Рассмотрим теперь уравнение баланса электромагнитной энергии. Умножим уравнение (26.16) скалярно на вектор Е, а уравнение (26.17) — скалярно на вектор В. После этого второе уравнение вычтем из первого и используем векторное тождество

div [ЕВ] = BrotE-E rot В.(28.21)

В результате получим уравнение баланса плотности средней электромагнитной энергии

4 Т^ + 小卷[ЕВ] = -jE. (28.22) Вектор

Sn = ^-[EB](28.23)

—вектор потока энергии среднего электромагнитного поливектор Пойнтинга.

Сложим уравнения (28.9), (28.22):

計e厚+篇叫)+*]+

十备{? [% (噂+翁也+噌)+^Ual + S俨]+

+展国电} = 2%\恭厶加.(28.24) а

В левую часть этого уравнения баланса энергии входят выражения для плотности суммарной энергии частиц и поля и соответ-

ствующего потока энергии без учета флуктуаций. Вклады в энергию и в поток энергии, обусловленные флуктуациями (или соответствующими корреляционными функциями), входят в уравнение баланса энергии через правую часть, т. е. через интегралы столкновений /а. Так было и в уравнении баланса импульса.

Преобразуем правую часть уравнения (28.24), используя равенство (28.10). С помощью уравнений (26.20), (26.21), поступая так же, как и при выводе уравнения (28.22), найдем

=_4•巫宫更一 m卷[诃丽L(28.25)

Подставим это выражение в правую часть уравнения (28.24). В результате получим уравнения баланса суммарной энергии частиц и поля с явным учетом вклада флуктуаций (корреляционных эффектов):

^以孽+器叫) + *(? + В2) + *硬+叫+

+ 舟{ ? [% (等 + 幾叫 + 嗯)+ ^а/ + S"] +

+ 盘[ЕВ], + * IdEdBh } = 0.(28.26)

Для случая кулоновской плазмы приведенные уравнения баланса упрощаются: 65 = 0, В->Во — внешнее магнитное поле.

ГЛАВА 6

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛАЗМЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРВЫХ МОМЕНТОВ.

УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА

Кинетическое описание процессов в бесстолкновительной плазме

Введем для плазмы понятие времени релаксации тр——времени, в течение которого устанавливается локальное равновесие. /р — соответствующая длина. В случае газа соответствующие характеристики мы обозначали через тст (среднее время между двумя последовательными столкновениями) и / (средняя длина свободного пробега атома газа). Иногда такую же терминологию мы будем использовать и для плазмы.

Плазма состоит из нескольких компонент. В простейшем случае—из двух. Вследствие этого процессы релаксации в плазме, в общем случае, происходят в несколько этапов и соответственно характеризуются несколькими временами релаксации т^ь. Для электрон-ионной плазмы а = е,厶 поэтому можно ввести три времени релаксации %, %, %, %.

Процессы релаксации обусловлены существованием флуктуаций, вклад которых в кинетические уравнения для функций fa определяется интегралами столкновений

/。=_*巫笋三-^^倖砒+；8丽丽/)。(29」)

Здесь использованы определения (26.13), (26.14).

Кинетические уравнения для плазмы — замкнутые уравнения для одночастичных функций распределения fa и средних напряженностей Е, В, поэтому в них интегралы столкновений

Ia = Ja{fa. Et В}(29.2)

определяются функциями fa, Е, В.

Если поля не очень велики (см. § 37), то интегралы столкновений явно от напряженностей Е, В не зависят, т. е.

1а = %{%}•(29.3)

Время релаксации компоненты а определяется так, что

； = £士・(29・4>

В § 38 мы увидим, что наименьшее время релаксации тр и соответствующая наименьшая длина релаксации /р определяются величинами гп,卩 и %:

/Р ~ 小/卩，tp = /p/s ~ 小/外卩.(29.5>

Отсюда следует, что для разреженной плазмы, когда плазменный параметр 卩《1,

/р》го, Ср》гоМ,(29.6>

т. е. длина релаксации много больше величины 「d, которая определяет радиус корреляции флуктуаций плотности и одновременно эффективный радиус взаимодействия заряженных частиц.

Если характерный размер области, занимаемый плазмой, L и соответствующий временной интервал Т таковы, что выполняются неравенства

Zp » L > rD, tp》7》rD/vT,

то в нулевом приближении по L//p, Г/тр можно не учитывать в уравнении (26.13) вклад, обусловленный флуктуациями 6Fa, 6Na, т. е. не учитывать в кинетических уравнениях вклад вторых моментов. В результате получаем замкнутую систему уравнений для первых моментов случайных функций Na, Е> BMf т. е. для функций fa 三 Л?аМа, Е, В：

普+。普+儿给=0,(29.7}

Fa =几 о + %Е + 号 М],(29.8>

rot в = ^•券 + 子 £eana J vfa dp,(29.9)

rotE = -4•票，(29.10)

divB = 0,(29.11)

div£ = 4n^ eanafadp.(29.12>

Эта система самосогласованных уравнений впервые исследовалась А. А. Власовым и ее называют уравнениями Власова.

Для кулоновской плазмы уравнения (29.8) — (29.12) упро- эдаются и принимают вид

Ра = Раь + еаЕу(29.13)

rotE = 0, div Е = 4я ^ еапа ^ fa dp. (29.14)

Вместо уравнения Пуассона для Е часто удобней использо- тзать уравнение полного тока. При этом уравнения (29.14) для потенциального поля Е заменяются уравнениями

rotE = 0, ^7 + 4^ 2 ^а^а $ vfadp = 0.(29.15)

Уравнения (29.7) — (29.12) справедливы и для релятивистской плазмы, если в них соотношение р = т^ заменить релятивистским соотношением р = m^v.

В приближении первых моментов корреляционные эффекты не учитываются, поэтому на основе этих уравнений нельзя описать диссипативные процессы, обусловленные корреляциями флуктуаций 6N% 6Е, 63. Следствием этого является то, что суммарная энтропия всех компонент плазмы

S(t) = -K^a\fa\nfadrdp(29 •⑹

при условии замкнутости всей системы остается неизменной, т. е.

dS/dt = O.°(29.17)

Чтобы убедиться в этом, надо умножить уравнение (29.7) на —кпа In %, проинтегрировать по г, р и просуммировать по а.

На языке теории газов уравнения (29.7) — (29.12) справед- _ливы при полном пренебрежении столкновениями заряженных частиц в плазме, поэтому они описывают процессы в «бесстолкновительной плазме».

Для бесстолкновительной плазмы можно использовать уравнения баланса плотности, плотности импульса и плотности энергии частиц и поля, полученные в § 28, если в них опустить все члены, содержащие интегралы Za и корреляции флуктуаций 6g, «/, 6Е, 6В.

Вследствие неучета диссипативных процессов в уравнениях (29.7) — (29.12) на основе этих уравнений нельзя описать процессы установления равновесного состояния. Следствием этого

является то, что при отсутствии внешних полей, когда Е。。= 0尸 решением уравнений (29.7) — (29.12) при Е = 0, 3 = 0 является, произвольная функция модуля импульса, т. е. функция fa(\p])^

Линейное приближение

Система самосогласованных уравнений для функций /% Е, при отсутствии внешних полей, когда 尸⑪=0, имеет частное ре-

шение

fa = n(\p\^ Е = 0, В = 0.

Действительно,

9=2 ^ana^fa^P^dP = ^ %% = 0 аа

в силу общей нейтральности плазмы и

/=2%% \守式|"|)如=0,

(30.1)

(30.2)"

(30.3)

поэтому уравнения поля в этом случае однородны и имеют решение Е = 0, 6 = 0.

Рассмотрим решение системы уравнений (29.7) — (29.12), близкое к частному решению (30.1). Тогда

fa = n + f\(^ Р，0,冷《瓜

E = E\ 3 = 5L

(30.4卜

Из уравнений (29.7) — (29.12) в линейном приближении no f；>

В1, 51 получим следующую систему уравнений：

扰 I，” л-еаЕ др =0, r。t9 - 。 我 + 。 2%%\ 明如，

ЗЕ — c dt，

divB' = 0,

div El = 4n^ eana \fLdp・ a

(30.5>-

(30.6)

(30.7)

(30.8〉

(30.»

Мы учли, что в уравнении (30.5) выпал член с В1, так как

[^^(IpD/^p-o.

В случае кулоновской плазмы вместо уравнений (30.6) — (30.9) из (29.14) следуют уравнения

rot Е】=0, div * = 4冗 £ e/a\f，dp,(30.10)

а из (29.15) — уравнения

rot Е】=0, 箒 + 4冗 £ еапа \ 鳴 dp = 0.(30.11)

В дальнейшем индекс《1》у f~, EL В1 опускаем, так как это не приведет к недоразумениям.

Иногда вместо дифференциального уравнения (30.5) для функции fa удобней использовать соответствующее интегральное уравнение. Для этого перенесем в уравнении (30.5) последний член в правую часть и будем рассматривать его как неоднородность. Тогда решение уравнения для fa можно представить в виде суммы двух частей: решения однородного уравнения, удовлетворяющего начальному условию fa = fa(^, р, 0) при f = 0, и частного решения неоднородного уравнения, которое при f = 0 обращается в нуль. В результате получим уравнение

fair, Р，/)=

£

=fa (Г-", Р，0) — ％ \ Е (у — о (/ — f), Г) df 砲了・(30.12) о

Легко проверить, что это уравнение эквивалентно исходному уравнению (30.5).

Правая часть уравнения (30.12) через поле Е зависит от функций распределения %, поэтому уравнение (30.12) является интегральным.

Из структуры уравнения (30.12) следует, что плотности заряда и тока можно представить в виде

g = gBH + gHHA, j = j^+ /吗(30.13)

Первые члены qw, /вн определяются выражениями

L = £ %% "а (г —叫 Р，0)dp,

Д г(30」4)

r=Zearia]vfa(r — Vtf р, 0)如

и являются заданными (или 《внешними》), так как под интегралы входит заданная начальная функция распределения /а 亿 Р，0).・

Вторые члены в (30.13) пропорциональны полю Е и поэтому называются индуцированными. Они определяются выражениями gg = _ £ 硝％ J dp J dfE(r^v(t^f\，)雾，(30.15>

a0

『^ = 一 £ 喲。\ dp d dfE (r - ” 一 Q, f)吗也.(30.16) a0

Если подставить выражения (30.14) — (30.16) в уравнения* (30.6) — (30.9) для напряженностей полей £, В, то получим систему линейных неоднородных интегро-дифференциальных уравнений. Неоднородности будут определяться внешними зарядами, и токами (30.14).

Соответствующие уравнения для Е в случае кулоновской плазмы получим, подставляя выражения (30.13) для g и j в уравнения (30.10), (30.11).

Исследуем систему однородных уравнений для напряженностей Е, В. Это позволит выявить электромагнитные свойства бесстолкновительной плазмы.

Электрическая проводимость и диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы

Выражения для электрической проводимости бесстолкновительной плазмы будем рассматривать как предельные значения более общих выражений, учитывающих столкновения, в которых частота столкновений va = l/taf 0. Для этого введем в уравнение (30.5) в правой части дополнительный диссипативный член —vafa. Тогда уравнение (30.5) примет вид

R 指 +%月~^ = —vJaM — vfa・ (31.1)

Здесь считается, что va не зависит от индекса а. В окончательных выражениях wf 0.

Заметим, что уравнение (31.1) не имеет смысла рассматривать при конечных значениях v, так как введенный нами дополнительный член нарушает при конечных v уравнение непрерывности. Чтобы избежать этого, надо ввести диссипативный член так, чтобы он исчезал при v->0, но не нарушал уравнения непрерывности при V =# 0. Сейчас нам нет необходимости рассматривать этот вопрос здесь более подробно, так как мы хотим получить выражения для проводимости и диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы, когда wf 0.

Как и для уравнения (30.5), решение уравнения (31.1) можно представить в виде суммы двух частей, как в (30.12). Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь части, пропорциональной нолю, т. е. будем рассматривать лишь индуцированные вклады в и /.

Будем искать решение уравнений (31.1), (30.6) —(30.9) в виде fair, р, t) = fa (ш, k, p)exp[—i((dt — kr)] + K. с.,

Е(г, П = Е®,左)exp[—i(sf —力у)] + к. с.,(31.2)

5 (г, t) = B (s, fe) exp [— i ®/ — Ar)] + к. с.

Подставляя эти выражения в уравнения (31.1), (30.6)— (30.9), получим систему уравнений для комплексных амплитуд /а®,瓦 р), Е(^ 右)，8((0, А)：

—Z (о — fev + fv) fa = — еаЕ ,(31.3)

i[kB] = -^E + ^jf(31.4)

i 饮用=勺3,(31.5)

^但5)= 0,(31.6)

i(hE) = 4Nq.(31.7)

Здесь введены обозначения для фурье-компонент плотностей заряда и тока, g(s, А) и /(о,力)：

2“ Еа- -2“ Еа- -е解。卜а®，瓦 Р)dp,(31.8)

2“ Еа- -

2“ Еа- -

%九а，叽® 瓦 P)dp.(31.9)

В силу линейности уравнений (31.3) — (31.7) векторы Е (о, А), В®, k) можно представить в виде

Е =+ Е —+ Е 丄，5 = 3 丄，

尼尼(31.10)

[>Е 叮=0,(力Е 丄) = 0.

Индексы II, J_ указывают соответственно на параллельность и перпендикулярность векторов по отношению к вектору 力. Поле Е“ будем называть продольным, а поля Е1, 3丄 ——поперечными.

Соответствующее разбиение проведем для вектора / (со,力): / = /" + Л, [й/1|] = о,伍产)= 0・(31.11)

В соответствии с таким разложением векторов Е, В, / систему уравнений (31.3) — (31.7) можно разбить на две системы уравнений. Одна для продольного поля Е“ и соответствующей (по уравнению (31.3)) части функции распределения /аь Вторая система уравнений для поперечных полей Е丄，5丄 и соответствующей части функции 打2・

Первая система уравнений имеет вид

一力® 一 ^ +汽)%1 = 一%序票，(3L12>

i[kEl[] = 0, i (kE^) = 4冗 £ eana “闵 dp.(31.13>

Из уравнений (31.13) находим

序=一 i 备 £ ^ana\fay dp・(31.14>

Отсюда видно, что E“|]尼.

Второе уравнение (31.13) следует из уравнения Пуассона. Из уравнения Максвелла (31.4) можно получить другое уравнение для Е“・

Выделяя в уравнении (31.4) составляющие вдоль вектора 在, найдем, что

Е" = -^-^=-^-Х ^n« J "Г1 ^»d^ (3L15>

В последнем члене учтено, что /п = Л (А/)/А2. Вторая система

уравнений для функций『成，七丄，В имеет вид

一 / (о — kv + zv) f а2~ — %E丄"^~，(3L16>

i[kB\ = 一J^E 丄 + 晉产，(3L17>

i[_kE^=^B,(31.18>

Z (力3) = 0,"瓦 E丄)= 0.(31.19>

Исключим из уравнения (31.17) вектор В. В результате получим следующее уравнение для вектора Е1:

=—4лйо/丄=—4我(o £ %九a , (и — 户 ^迪)‘或 dp. (31.20》 a

Здесь учтено, что /丄=/ — k(kj)/k2.

Вернемся к уравнениям (31.12), (31.14). Исключим функцию «Ди из уравнения (31.14). В результате получим уравнение для Е^. Запишем его в виде

8° (о,力)E“(s,力) = 0.(31.21)[

Здесь введено обозначение для функции

eS)i + £ 陪，总力dp, (31.22)

которая является диэлектрической проницаемостью плазмы для продольного электрического поля — «продольной диэлектрической проницаемостью».

Действительно, уравнение Пуассона для фурье-компоненты вектора электрической индукции при отсутствии внешних зарядов имеет вид

i(kD (0, *)) = i8 ((о,力)(力E®,力))=迎®,论)他Hi) = 0. (31.21)2

Здесь учтено, что (力e1)=0.

Из сравнения уравнений (31.21)ь (31.21)2 и следует, что функция в11 (о, k) есть диэлектрическая проницаемость для продольного поля.

Если вместо уравнения (31.14) для продольного поля использовать уравнение (31.15), то получим другое выражение для функции еЦсо, G):

叫 (0)1+2 蜂，^#如.(3).23)

Легко видеть, что в пределе vf 0 выражения (31.22), (31.23) отличаются лишь формой записи.

Обратимся теперь к уравнениям (31.16), (31.20) для функций fa2， Е丄. Подставим функции fa2 из (31.16) в последний член уравнения (31.20). В результате получим выражение

缆豊踪侬如(31-24) a

Проинтегрируем в этом выражении по частям по р. Дифференцирование знаменателя дает нулевой вклад. При дифференцировании числителя учтем, что (讫Е丄) = 0. В результате выражение (31.24) примет вид

£? 力 EL(31.25)

Подставим это выражение в (31.20) вместо последнего члена и запишем полученное таким путем уравнение для Е丄 в виде

(а>2“ ®, А) 一。2紋)е丄®, k) = 0.(31.26)

Здесь введено обозначение

1 V 4пеапа(冷(IPI) /е丄®，力)=1 _ 2 J Aa + iv 如・ (3L27)

Из уравнения (31.26) видно, что е1 = /г2, где п — показатель преломления волны с частотой (о и волновым вектором k. Отсюда следует, что е丄—диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы для поперечного поля — «поперечная диэлектрическая проницаемость».

Если в системе уравнений (31.3) — (31.7) не производить разделение полей на продольную и поперечную части, а искать общую связь между векторами D и Е, то эта связь будет тензорной и, следовательно, электромагнитные свойства плазмы будут характеризоваться тензором диэлектрической проницаемости £tj(s,々).Найдем выражение для этого тензора и покажем, что он полностью определяется функциями е", е1.

Подставим выражение для функции fa из уравнения (31.3) в выражение (31.9) для плотности тока /. Полученное выражение запишем в виде

厶®, k) = oif(^ 力)马心，ft).(31.28)

Здесь введено обозначение для тензора электрической проводимости бесстолкновительной плазмы

“7 ®,力)=一 £ £ elna \ /亞鶴 dp・ (31.29)

Чтобы определить тензор диэлектрической проницаемости, за・ метим, что при отсутствии внешних токов правую часть уравнения (31.4) можно представить, используя вектор электрической индукции D(s,无)в виде —y-D (со, А).

Учитывая это, можно записать равенство

一筝D®,九)三一 ?e®, k) + ^j(^ 同.(31.30)

С другой стороны, по определению тензора £订

А = е,/®,斤)£}•(31.31)

Из уравнений (31.28), (31.30), (31.31) находим связь тензоров £"，(7订：

8" = 6" +誓0小(31.32)

Подставляя сюда выражение (31.29) для тензора электрической проводимости, получим явное выражение для тензора диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы ei!(a,k} = 6ll + X^^L_dp.⑶.33) а

Поскольку правая часть этого выражения зависит лишь от одного вектора А (напомним, рассматривается случай, когда внешние поля отсутствуют), то тензор £仃 определяется двумя функциями о, \k\. В качестве этих функций можно выбрать продольную е11 и поперечную £丄 диэлектрические проницаемости.

Действительно, представим тензор £仃 в виде

8,7 =8» + (б,/等")(31.34)

Отсюда находим выражения

@ =М =沙 ⑶.35)

Подставив выражение (31.33) в первое из этих равенств, получим выражение, которое совпадает с (31.23), и, следовательно, функция е° в (31.34) — продольная диэлектрическая проницаемость.

Подставив выражение (31.33) во второе равенство (31.35), получим

8丄®，力)=1 + 2 —^- ) ———L— dp・(31.36)

Здесь использовано тождество

[[kv]用=必2 — 左(Av).(31.37)

Выражение (31.36) лишь формой записи отличается от выражения (31.27). В этом можно убедиться, производя в (31.36) интегрирование по р по частям. Таким образом, функция 8х (о,左) в (31.34) —поперечная диэлектрическая проницаемость.

Функции е", 8х зависят лишь от \k\, а не от самого вектора 论 вследствие того, что функция f® = f^(\ р |), т. е. является функцией модуля импульса.

Используем полученные выражения для электрической проводимости и диэлектрической проницаемости для анализа волновых свойств бесстолкновительной плазмы.

Волновые свойства бесстолкновительной плазмы

При отсутствии внешних токов и зарядов уравнения для продольного и поперечного полей — уравнения (31.21), (31.26)— являются однородными. Ненулевые решения этих уравнений имеют место для со, k, связанных дисперсионными уравнениями

ell®,力) = 0, (32.1)

8%丄®,力)一02力2 = 0 (32.2)

Уравнение (32.1) —дисперсионное уравнение для продольных волн, а (32.2) —дисперсионное уравнение для поперечных волн в плазме.

Если характеризовать электромагнитные свойства плазмы тензором £仃，то уравнения (32.1), (32.2) можно записать в виде одного дисперсионного уравнения

I 普 ％了 ®,力)一 S./fe2 + 瓦財 I = 0. (32.3)

Это уравнение является более общим, чем система уравнений (32.1), (32.2). Оно справедливо и в том случае, когда плазма неизотропна, например, из-за действия внешних полей, и поэтому тензор е订 не может быть представлен в виде (31.34).

Дисперсионные уравнения устанавливают связь частоты и волнового вектора k собственных продольных и поперечных волн в плазме.

Если в плазме существуют волны с вещественными G (такие волны существуют, например, в безграничной плазме, в плазме, находящейся в резонаторе), то дисперсионные уравнения определяют зависимость (о =(о(论).В общем случае частота является комплексной:

со = о/ + 加〃三 о/ — /у. (32.4)

Тогда из дисперсионного уравнения следуют два соотношения:

М = о/(后)， (32.5)

Y = Y(力)， (32.6)

определяющие зависимость частоты со' от k — спектр собственных колебаний и зависимость от k декремента затухания у собственных колебаний плазмы.

Если плазма неоднородна, например, вследствие выделения границы, то возможны стационарные состояния, когда со — вещественная. Из дисперсионных уравнений в этом случае можно най- тн зависимость проекции волнового вектора на произвольную 0cb от (О.

Рассмотрим случай слабого затухания, когда

Y《s'・(32.7)

В этом случае из уравнения (32.1) следует

8" (6 — iY,力)=目(2,力)一 iY 需=0，(32.8>

Мы видим, что в дисперсионное уравнение входит функция 圆(s', А) для действительных значений s',力.Она определяется выражением (31.22) (или (31.23)) и является комплексной функцией, т. е.

е" (о/, А) = Re 或 + i Im в".(32.9)

При этом из (31.22) следует, что

Re е"« 同=1 + £ 岁沪可咨缜 dp,(32.10)

a

Ime11 (a/,论)=_ 2 4几二2 \ 6 ® —H)h*dp・ (32.11) a

Здесь использовано равенство

lim 1/a + Zv) = P/x —讯6 (x).(32.12)

v-*0

Символ P указывает на то, что при интегрировании особенность в точке х = 0 надо понимать в смысле главного значения.

При условии (32.7) в члене с 丫。叫dsz можно оставить (в первом приближении по т/о7) лишь член с Re е11. В этом приближении из уравнения (32.8) получим два уравнения

Res»« 力) = 0,(32.13)

Y = Im 圆(о,力)/(0 Re sn (s',力)/dto')・(32.14)

Первое из этих уравнений позволяет найти зависимость s'= = g/(0). Зная эту зависимость, из второго уравнения находим декремент затухания у = 丫 他).

Производя аналогичные преобразования в дисперсионном уравнении для поперечных волн, получим из уравнения (32.2) два равенства,

* Re е丄 ®z, й) - с?胪=о,(32.15)

Y = a>,2ImeI(<d,, k)l(d^2^^)ld^).(32.16)

Здесь

Ree丄=1两 dp,

а

Im е丄=2嗚詳\ 6 (d -㈣传dp・

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Холодная плазма (Т。= 0). В этом случае 鴛=6(Р)・

Из уравнений (32.13), (32.14) находим со" = %, у = 0.

Здесь введено обозначение

(32.17)(32.18)(32.19)(32.20)(32.21)(32.17)(32.18)(32.19)(32.20)(32.21)для собственной частоты плазмы — частоты Ленгмюра.

(32.17)

(32.18)

(32.19)

(32.20)

(32.21)

(32.17)

(32.18)

(32.19)

(32.20)

(32.21)

Из (32.20) следует, что в холодной плазме могут совершаться незатухающие колебания с частотой ①乙.Частота не зависит от размера колеблющейся области (не зависит от 论).

Волны в электронной плазме.

= &В^хр[-р2/(2 恤忆)],f, = 6(p). (32.22〉

При условии <о/6》％ (фазовая скорость волн много больше гепловой скорости электронов) из (32.13), (32.14), (32.10), (32.11) получаем следующие выражения для с/, у:

*=党(1+3整2), (32.23>

Y 二 V1 林 exp[-l/(2r^)].(32.24>

Здесь

Se = " 4冗ё2 几 J7ne， % = %® = "ктe/( 4nё2佐)

— частота Ленгмюра для электронов и радиус Дебая для электронов.

Декремент затухания у, определяемый выражением (32.24), называется декрементом затухания Ландау. Из выражения

6 Ю* Л« Климонтович

следует, что декремент затухания определяется функцией

◎® J仅唸l川fe (必)=，力(P)也也，(32.25)

т. е. производной функции fe(Px) при значении vXi равном фазовой скорости волны.

Продольные волны в неизотермической плазме, когда Те》？\, для области фазовых скоростей и%》s'/论》и〃・ При этих условиях получаем следующие выражения для о7 и у:

冉犷1 +强?冉犷1 +强?“不"^也（1 讃у“不"^也（1 讃у,(32.26),(32.26)

冉犷

1 +强?

冉犷

1 +强?

“不"^也（1 讃у

“不"^也（1 讃у

,(32.26)

,(32.26)

@t — частота Ленгмюра для ионов.

Из этих выражений для длинных волн (kre <С 1) находим

/ =嚟2, Y = "专 ^. %瓦(32.27)

Здесь введено обозначение

vs = “叫/g(32.28)

для скорости звука в бесстолкновительной неизотермической плазме.

Из формул (32.27) следует, что отношение у/о/для звуковых волн в бесстолкновительной плазме равно «-^ 等 《1.

В противоположном случае коротких волн, когда />归》1, из (32.26) находим—

/ =嗚 Y = "?泞齡庐•(3229)

Таким образом, в плазме существуют колебания с частотой, равной частоте Ленгмюра для ионов.

Поперечные волны в плазме при условии со/々》％,打一 распределения Максвелла. Если От/с《1, т. е. плазма нерелятивистская, то при этих условиях из уравнений (32.15) находим

СО” =无 + С%2, Y = 0.СО” =无 + С%2, Y = 0.(32.30)(32.30)

СО” =无 + С%2, Y = 0.

СО” =无 + С%2, Y = 0.

(32.30)

(32.30)

Равенство нулю декремента затухания поперечных волн в бесстолкновительной плазме обусловлено следующим.

Из формулы (32.18) видно, что Im 8丄 пропорциональна функции распределения 方(。%) (%D电 при рх = m^/k. Но из

выражения (32.30) видно, что фазовая скорость

先=С “ 1 + 8〃。2々2 > % поэтому 依))=0 (32.31)

и вследствие этого равен нулю декремент затухания.

Экранирование статического поля в плазме. При(о = 0 и /^ — распределения Максвелла из (32.1), (32.10) получаем следующее дисперсионное уравнение:

1 + 1/(厂汕2) = 0,必=一 1/吆(32.32)

Для одномерного случая этому дисперсионному уравнению отвечает следующее уравнение для электрического потенциала 屮")：

明)/〃2 —①從=0.(32.33)

Решение этого уравнения при граничных условиях <р ==(р0 при х = 0, ф = 0 при х = оо имеет вид

①(%) = Фо ехр (— %/&)•(32.34)

Отсюда следует, что статическое поле в бесстолкновительной плазме экранируется на расстояниях порядка радиуса Дебая.

Мы рассмотрели несколько примеров, которые будут полезны для дальнейшего. Подробное исследование волновых процессов в плазме при различных условиях не входит в нашу задачу. Изучению этих процессов посвящено большое число книг [8—28].

В дальнейшем нам понадобятся еще некоторые результаты теории волновых процессов в плазме. Они будут приведены в соответствующих местах книги.

ГЛАВА 7

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ

§ 33・ Ограничения, необходимые для вывода кинетических уравнений

Для кулоновской плазмы интеграл столкновений /а согласно (26.3) определяется выражением

专丽同….(33.1)

Используем спектральное разложение для второго момента произвольных случайных функций Л (г, /), В (г\ У):

("В%. ”, г =(』В)г. t— /-№

=(2* 卜"В)®,左 ” exp [—庙(f — f) + ik(r — ')] do dk. (33.2) Вследствие действительности функции (AB)r л r, r спектральная функция (AB% 飢 I г обладает свойством

^ktttr = (AB)\^ttr.(33.3)

Из (33.2) при f =，，r — rf находим

(福"九尸部\ &①九屏" ds d瓦(33.4)

Используя это выражение, запишем интеграл столкновений <33.1) в виде

厶(%, 0 =—鼠院)4 ^Г \ Re(6М@б/ 在 г р td8dh 三 n一不3彳击^(6m6现,"心.(33.5) Чтобы получить кинетические уравнения для функций /л, надо,

таким образом, выразить спектральную функцию (dNa 6E)W л> rtPj

через функции /л. Чтобы найти выражение для этой спектральной плотности в поляризационном приближении (см. § 27), следует решать либо систему уравнений для вторых моментов •®Na 3N丸、%," 也Na 5N丸…,у, либо, что значительно проще, решать систему уравнений (27.7), (27.8) для случайных откло* нений 6Ма・ Будем использовать второй путь.

Перепишем уравнения (27.7), (27.8) в явном виде для куло- .новской плазмы:

(导 + 0 忠 + 8 *)(6m 一 6乂?)= fE*

r(33.6)

rot 6E = 0, div 6E = 4冗 % % ) 6储 dp.

Корреляция флуктуаций источника определяется уравнением 《27.8):

陽+ 0亲+凡备)砒碗累Г =。■(33.7)

В уравнениях (33.6), (33.7) средняя сила Fa определяется выражением

几=。』。+ 号［0瓦］一 分 / 2，173T % (m f) m (33.8)b

Объединяя первый и последний члены правой части, запишем это выражение в виде

Pa-eaE + ^-\vB^(33.9)

тде Е — суммарное среднее поле, создаваемое внешними (£0) и внутренними источниками.

Если вместо уравнения Пуассона использовать уравнение полного тока, то уравнения для б£ следует писать в виде

rot6E = 0, 甯•+ 4冗 £ca 卜 6М1dp = 0.(33.10)

Для определения интеграла столкновений достаточно будет знать спектральные функции для области частот з》“а и области значений волновых чисел k》1/Z, поэтому начальное условие Лля уравнения (33.7) можно задавать в виде (27.10)

(^Ж)*： %，, г L，= падаЬ6 (х 一 /) fa 3, /)・(33.11)

В плазме, как и в газе, для получения замкнутых уравнений УПя одночастичных функций распределения fa необходимо

использовать определенные предположения о характере релаксации корреляционных или спектральных функций.

Обозначим времена релаксации функций fa через %, а минимальное из них через тр; /р = иттр — соответствующая длина. В § 29 уже говорилось о том, что /р 〜「d/卩,тр ~ 1/о)е卩 и, следовательно, для разреженной плазмы, когда 卩《1,

%~Г/卩》F，tp~ 1/①卅》1/曳・ (33.12)，

Поскольку интеграл столкновений выражается через спектральные функции, то сопоставим параметры /р, тр с длиной и временем корреляции /кор, тКОр для спектральной функции.

Для состояний, близких к равновесному, гКор определяется» длиной, на которой происходит экранировка поля заряда в плазме, т. е. радиусом Дебая 「d (см. § 32). Это означает, что основной вклад приходится на область волновых чисел k > 1/「d, т. е.. 々min ~ 1〃D・

Время корреляции для различных пространственных фурье- компонент различно, т. е.

Скор 〜Скор 优)• (33.13)，

Одно из предположений при выводе кинетических уравнений для функций fa состоит в том, что спектральные функции при k V 々mm дают пренебрежимо малый вклад в интегралы столкновений (ср. с предположением (10.3)).

Время корреляции тКОр(^) обычно уменьшается с увеличением k, поэтому сделанное предположение означает, что при выводе интеграла столкновений следует учитывать лишь флуктуации с временами корреляции

Скор 优)《Тщах == Скор (^mln)« (33.14>

Для состояний, близких к равновесному,

%aх~ 1/%Е% 〜%/% 〜1/鱼・ (33.15}

Используя эти оценки и неравенства (33.12), приходим к выводу, что при ц《1 сделанное предположение соответствует предположениям

%ах = ткор (々min)《％，】/左min ~「D《％・ 阳・吩

Вследствие этих неравенств при решении уравнений для корреляционных функций или соответствующих уравнений для функций б^a, 6Е можно пренебречь начальными корреляциями.

Таким образом, как и в кинетической теории газов, при выводе кинетических уравнений для плазмы делается допущениег что крупномасштабные флуктуации с 以州2 " и %р> /рне дают заметного вклада в кинетические уравнения.

Как и в теории газов (§ 16), установим условную границу, разделяющую области мелкомасштабных и крупномасштабных флуктуаций, исходя из условия непрерывности изменения функций вследствие столкновений заряженных частиц.

Обозначим, как и в § 16, через 爲，Тф объем и временной интервал, которые при использовании кинетических уравнений можно рассматривать как физически бесконечно малые. При этом 工Ф ~ /ф/и<г. По аналогии с (16.2).

= = отсюда & = :р" =包.(33.17)

Так как /p~rD^i и 卩=1伍小，то из (33.17)

厶二也/九~「d・(33.18)

Число частиц в физически бесконечно малом объеме

献^〜九用=1/卩》1.(33.19)

Таким образом, за условную границу, разделяющую мелкомасштабные и крупномасштабные флуктуации, можно принять ，d・ Соответствующий временной интервал

%~%/%~1/久・(33.20)

Такой выбор границы мелкомасштабных и крупномасштабных флуктуационных процессов согласуется с условиями (33.15), (33.16).

Отказ от условия полного ослабления начальных корреляций приводит, как и в теории газов, к возможности построения кинетической теории флуктуаций (см. гл. И).

В кинетической теории идеальной плазмы при решении уравнений для спектральных функций или соответствующих уравнений для флуктуаций BN* ®Е можно пренебречь временным запаздыванием и пространственным изменением одночастичных функций распределения fa на временном и пространственном интервалах 「d/% 〜1/se, R.

Введение границы мелкомасштабных и крупномасштабных «флуктуаций позволяет определить понятия сильных и слабых, быстрых и медленных полей при решении уравнений для флуктуаций 6Na, 6Е, т. е. при расчете спектральных функций, которые определяют интегралы столкновений /а.

Электрическое поле является слабым по величине, если

е£7ф/кТ 〜eErJicT《1.(33.21)

Магнитное поле является слабым, если частота Лармора

Ql = еВ]тс《1/飞 〜д.(33.22)

Электрическое поле Е при выводе интегралов столкновений' 1а является медленно меняющимся, если частота поля

So《1/Сф 〜(ое.(33.23}'

Если средние поля Е, В слабые, т. е. выполняются условия (33.21), (33.22), то при расчете спектральных функций можно- вместо (33.6), (33.7) использовать более простые уравнения [29]:

(备 + & Е)(&% - б№ст) = - е« 6Е 咅沪，(33・24)・

(4 + ^4)(^Ж)"〃 =°-(33・25>

В следующих параграфах мы используем эти уравнения для расчета спектральных функций при условиях (33.15), (33.16) и， найдем соответствующее выражение для интегралов столкновений /а.

Спектральные плотности флуктуаций источников в идеальной плазме

Найдем выражение для пространственно-временной спектральной плотности (бМабМь)^：； р р,・ Для этого воспользуемся уравнением (33.25). Чтобы сразу исключить корреляции с Ткор> \ еф ~ 1/se, введем в уравнение (33.25) диссипативный чле» А(бМ16№)“ст・ При этом l/q《А《1/тф. Так как Тф является для функций fa физически бесконечно малым, то в конечных результатах А — 0.

Таким образом, записываем уравнение (33.25) в виде

(4 + ^ + Д)(^^)黑公，尸=°，~(34D

Это уравнение решаем с начальным условием (ЗЗЛ1).

Согласно изложенному в предыдущем параграфе для получения кинетических уравнений надо найти спектральные плотност毋 флуктуаций BN* б£ с

ткор《l/曳 < б %р W F《4・(34・2>

При построении кинетических уравнений для идеальной плаз* мы временное запаздывание и пространственное изменение функций распределения fa не учитывается, т. е. используется нулевое- приближение по параметрам тКор/тр, Гкор〃р・ Иными словами, пр» расчете спектральных плотностей можно считать функции fa не зависящими от г и t

Решение уравнения (34.1) с начальным условием (33.11) имеет вид

《而Г疝濃:"》=

=&b。(，一产一е (/ —，)) 6 (р — Р‘) е-А ”"Е% (X, У). (34.3) Введем обозначения

г — г7 = г, t — f = т.(34.4)

Для стационарного и однородного процесса выражение (34.3) принимает вид

(&V«6M)；； р/ = Пабаьб (Г 一 ”) б(Р - Р‘) fa(Р)。一％(34.5)

Используем разложение Фурье по г

(^^)…"=费 卜6储 6m氏 » 。, e^dk.(34.6)

.Для пространственной спектральной плотности из (34.5) получаем выражение

@Na W^pt р, = &〃而(P 一 川 e" J叫a (p).(34.7)

Чтобы найти пространственно-временную спектральную функ・ дию @Na，N就丫卜 р р,、найдем сначала функцию

(6乂 6W点瓦 Р/ = I 少叫6% 6储)队 “B d*(34.8)

о

w затем используем равенство

®NabNKh,p,p,=

=(6爲6解点+ [(б^я 6必点""工之й(34.9)

справедливое для стационарных процессов.

Из (34.7), (34.8) находим

^abN^Ptpf =%脇6(p - p‘)①一上下五%(p)・(34.10)

Из (31.10), (31.9), производя предельный переход Ат0, полупим искомое выражение для пространственно-временной спектральной плотности флуктуаций

(&V« 6必)^““‘ = 〃/“ (р 一 р‘) 2п6 ® -砌 fa (р). (34.11)

Найдем отсюда спектральные плотности (б^д 6E)^Tft рГ (6Е6Е)£：・ Для этого воспользуемся связью фурье-компонент: флуктуаций 6Е, 6乂庚 которая следует из уравнений (33.6):

6Е (со,力)=—啓• 2 4ле J 6М« (о,瓦 р) dp. (34.⑵ а

Из (34.11), (34.12) находим выражение д,ля искомых спектральных плотностей

(№ 6耽7 产》备 4ле解排6 ® - Av) fa (p),(34.13>

(6E бВД = £ -^^- , 2лб(ш -刖)fa dp. (34.14>

Мы видим, что спектральные плотности (34.11) — (34.14) носят резонансный характер (отличны от нуля лишь при ①=々口). Ширина резонанса порядка Д 〜1/тф и стремится к нулю при» А —0・

Из формул (34.11) — (34.14) интегрированием по(о можно получить выражение для пространственных спектральных плотностей. Например из (34.11),

MN 禮

=击 卜6儿 6必嗚，" dб =乙脇6 (p 一 p') f。.(34.15>

Если подставить это выражение в формулу (34.6) и проинтегрировать по fe, то получим, естественно, выражение, совпадающее с начальным условием (33.11).

Используем полученные результаты, чтобы найти спектральные плотности флуктуаций 6Na, 6Е・

Спектральные плотности флуктуаций в идеальной плазме

В уравнение (33.24), как и в уравнение (34.1), введем диссипативный член A (fiNa — 6N『)・ Тогда для б^a получим следующее уравнение:

(鳥 + е 条 + А)(62a — 6"戸)= — еа6Е 当沪• (35.1}

Найдем отсюда уравнение для фурье-компоненты б^a((o,瓦 р} в приближении, когда зависимость функций fa от г и / не учитывается:

6МЛб 瓦 р) = бМГ ®,瓦 р)^.^ ЬЕ(^ 码等• (35.2>

Используем соотношение (34.12) между фурье-компонентами 3Ng 6£, которое следует из уравнений (33.6).

Уравнения (35.2), (34.12) составляют алгебраическую систему неоднородных уравнений для фурье-компонент 6"% б£.

Исключая 6Na из (34.12) с помощью уравнения (35.2), получим уравнение для 6Е(со, А). Запишем его в виде

£ ®, G) 6Е (①，尼)=SEHCT (①，*).(35.3)

Здесь введены обозначения

GF"” (® 电=—普 £ 4ле J б№ст ®, *, р) dp (35.4) а

для фурье-компоненты источника флуктуаций поля и

е®/)=1+2 陪，^^dp(35.5)

для диэлектрической проницаемости плазмы, определяющей связь флуктуаций 6D, б£.

Выражение (35.5) по форме совпадает с выражением (31.22) для диэлектрической проницаемости плазмы, определяющей связь средних полей D и Е в приближении первых моментов. В (31.22) функция f^ — частное решение уравнений для функций %, Е при полном пренебрежении корреляцией. В (35.5) /а — функция распределения, удовлетворяющая кинетическому уравнению с учетом столкновений.

Выражение (35.5), как и (31.22), справедливо для значений <о, k таких, что со》vp, k》1//р.

2(4几：;a7^ \ 2nd (G) - kv) fa dpI 8(S,々ГР'2(4几：;a7^ \ 2nd (G) - kv) fa dpI 8(S,々ГР'(6Е6 暇7 I 8 (S,々尸(6Е6 暇7 I 8 (S,々尸(35.6)(35.6)Из уравнения (35.3) находим пространственно-временную спектральную плотность флуктуаций электрического поля в кулоновской плазме

2(4几：;a7^ \ 2nd (G) - kv) fa dp

I 8(S,々ГР'

2(4几：;a7^ \ 2nd (G) - kv) fa dp

I 8(S,々ГР'

(6Е6 暇7 I 8 (S,々尸

(6Е6 暇7 I 8 (S,々尸

(35.6)

(35.6)

Здесь использовано выражение (34.14).

Из (35.6) следует выражение для пространственной плотно- стн флуктуаций поля в кулоновской плазме .

(6Е6耽=2 弊包 \ 證* dp・(35.7)

Найдем теперь выражение для спектральной плотности (6A/a6E)3 凯卩,определяющей интеграл столкновений.

Из уравнений (35.2), (35.3) с учетом 6Е \\k находим

(6Z见，产=一兰誥F%GE固Q醬Т(6Z见，产=一兰誥F%GE固Q醬Т(6n-e)『產"e* (co, k)(6n-e)『產"e* (co, k)(35.8>(35.8>

(6Z见，产

=一兰誥F%GE固Q醬Т

(6Z见，产

=一兰誥F%GE固Q醬Т

(6n-e)『產"e* (co, k)

(6n-e)『產"e* (co, k)

(35.8>

(35.8>

Подставляя сюда выражение для функции (34.13), получим

@Na 6Е)4“ =-凸X 4(6Е 6Е)叫 *唸 +

+ i 备 4пеа"а286 (з -红)/疆).(35.9>

Выделим отсюда реальную часть, которая определяет интеграл, столкновений идеальной плазмы (33.5):

Re (S^a 6%, " = 一 冗分%6 (①一㈣ A (6Е 6现.1t 嗡一

一 &g迎尼2Л6 ® 一加)十施%? h (P).(35.10>

Аналогичным путем получим выражение для наиболее общей пространственно-временной спектральной плотности флуктуаций 6m，6№：

侍必 6必)3 乳 Р, г, = 2冗%2 ® 一 ^) 6 (p - р') nafa +

十 k2 (® - fev 4- /Д) (co - W — /Д) \ dp J V dp'丿

4成/j/b「2Л6((0_々0')] H 切。c 丄

—论2(О —在0 + 込 8 (co, k) Л dp 拓十

+険農^2二,及)左禦小(35

Функции 8 (со, Л), (6Е6Е)з/, входящие в выражения (35.9)— (35.11), определяются формулами (35.5), (35.6).

Из выражений (35.9)——(35.11) можно найти соответствующие выражения для пространственных спектральных плотно* стей флуктуаций S^a, 6Е. Приведем выражение для функции Re (б^a б£)л р, которая согласно (33.5) определяет интеграл столкновений /а. Для этого в (35.10) подставим выражение (35.6) и выполним интегрирование по со. В результате получим искомое выражение

Re (GM” 6Е%,р =

一 上吃绪叫黑黯[喏%-噜fa]dP'-

(35.12>

Выражения для спектральных плотностей через функции fa зависят от координат г и времени t Сами функции fa удовлетворяют кинетическим уравнениям, которые будут получены в § 37. Таким образом, найденные нами спектральные плотности являются неравновесными.

Кинетические уравнения описывают процессы релаксации, в ходе которых устанавливается равновесное состояние. При отсутствии внешних полей в равновесном состоянии функции fa — распределения Максвелла. Если в полученные формулы для спектральных плотностей в качестве % подставить распределение Максвелла, то получим соответствующие равновесные выражения. Исследованию равновесных спектральных плотностей для кулоновской плазмы и посвящен следующий параграф.

Спектральные плотности флуктуаций в равновесной плазме

Рассмотрим прежде всего выражение (35.6) для спектральной плотности (6力 GE%

В равновесном состоянии выражение

6®-版)山=-6® 一^)在第售， (36.1)

поэтому формулу (35.6) можно записать в виде

(6Е6叽,產二丽而匕.MW

С другой стороны, из выражения (35.5) для £(з，左)следует, что

Im 8 (о,尼)=—> -4" ^Г ♦ \ 6 (о — kv)й -^- dp.(36.3>

Из (36.2), (36.3) находим

(6e6e)^=票(36.4>

Сопоставляя формулы (36.4), (35.6), найдем выражение для спектральной плотности источника флуктуаций электрического поля в равновесном состоянии

(6Е 6Е)^ =醬 Im & (со,尼)кТ.(36.5)

Используя формулу

8((0, А)=1+±^а(①，就(36.6)

выразим спектральную плотность (36.5) через электрическую проводимость

(6Е 6Е£；=好 Re о ®,同 кТ.(36.7)

Эта формула аналогична известной формуле Найквиста для спектральной плотности электродвижущей силы /, эквивалентной тепловому движению: *

◎% = 2R®)kT.(36.・8)

Здесь R((o) —омическое сопротивление колебательного контура.

Из выражения (36.7) можно получить соответствующие формулы для источников флуктуаций тока и заряда. Из уравнения Пуассона следует, что флуктуации 6qUCT, 6£ист связаны равенством

6严®，力)=*(论 GF5).(36.9)

Из выражений (36.7), (36.9) находим спектральную плотность источников флуктуаций плотности зарядов

(MM%：； = ^Reo®,力)心= £lme®,用心.(36.10)

Из уравнения сохранения заряда следует связь флуктуаций заряда и тока:

(0 “нет =尼 6jHCT ИЛИ 4л 6jHS =心 6严5(36J 1)

и, следовательно,

(б/ В%：； = 2Reo(co, k)&兀(36.12)

Рассмотрим теперь равновесное выражение для пространственной спектральной плотности флуктуаций поля. Из формулы (36.4) находим

=磊j扎占+』][厂®，无)T+®，后)]^"・(36.13)

Здесь

广=1=1-寻m(36/4)

—аналитические функции, соответственно в верхней и нижней полуплоскостях.

Используя формулы Коши при lim / (о) = О (0->ОО

2加2加(0 - (О' 土込(0 - (О' 土込d(o‘ = 土 f (土) (о),d(o‘ = 土 f (土) (о),1 < 尸^(d)2 加 J 0 - 0‘土込1 < 尸^(d)2 加 J 0 - 0‘土込dco' = 0,dco' = 0,(36.15》(36.15》

2加

2加

(0 - (О' 土込

(0 - (О' 土込

d(o‘ = 土 f (土) (о),

d(o‘ = 土 f (土) (о),

1 < 尸^(d)

2 加 J 0 - 0‘土込

1 < 尸^(d)

2 加 J 0 - 0‘土込

dco' = 0,

dco' = 0,

(36.15》

(36.15》

получим из (36.13), (36.14) следующее выражение:

(бЕбЕ), = 4л(1 -т(оу)^.(36.16)

Из выражения для диэлектрической проницаемости (35.5) следует, что в равновесном случае

8(0,力)=1+(36.17)

Подставляя эту формулу в (36.16), получаем окончательное выражение для пространственной спектральной плотности поля в равновесном состоянии

= 吗厂.(36.18)

Сравнивая формулы (35.7), (36.18), видим, что в равновесном состоянии имеет место тождество

£ 绪” J ТД^аР= £ 喇言看.(35.19)

Мы воспользуемся этим тождеством в § 47.

Из формулы (35.11) для спектральной плотности (bNa&N64 ft в равновесном состоянии получаем следующее выражение для пространственной спектральной плотности флуктуаций 6N* 5%ь： (6N/Mb%, р, d = баьб (р — Р‘)九 Ja(Р)—

(36-20)

Здесь fa, fb — распределения Максвелла.、

Учитывая, что

(6Е 6叫=£ £ "營価卜6"a 6Nb)k p p, dp 如‘，(36.21) a b

видим, что формула (36.18) сразу следует из (36.20).

Из сравнения формул (36.20), (26.11) следует выражение для фурье-компоненты корреляционной функции gab равновесной плазмы

gab他Р,p‘)=一卡-厶丝粵・ (36.22)

Найдем отсюда саму функцию gab (匸 Р, Р‘)・ Используя значение интеграла

С JJ 厂"d

-~\eikr dk =p,(36.23)

(2л)3 J 1 4- r^4几用г

получим из (36.22) выражение для равновесной корреляционной функции

gab (Г, р, р‘)= 一 警 fa (P) % (P‘)・(36.24)

Отсюда следует, что радиус Дебая играет роль радиуса корреляции. При расстояниях г》「d корреляционная функция равна нулю.

Двухчастичная функция распределения fab связана с корреляционной функцией gab равенством

fab = fafb + gab，(36.25)

поэтому из (36.24), (36.25) следует, что

九=(1 -筝 ^―^) fa(P)%(P‘)・(36.26)

При г » Td gab—о и fab = fjb・

Из выражения (36.24) видно, что для заряженных частиц одинакового знака функция корреляции отрицательна (fab < fafb), а для частиц разного знака — положительна (fab >fafb)・

Для малых расстояний г (г《「d) применение формулы (36.26) ограничено условием, при котором второй член мал по сравнению с первым. Следовательно, формула (36.26) годится лишь для расстояний

г》I eaeb I/&T, когда | eaeb |/r < &Т,(36.27)

т. е. расстояний, на которых потенциальная энергия частиц много меньше средней кинетической энергии. Для пространственной компоненты Фурье это условие означает, что формула (36.22) справедлива для волновых чисел

(36.28)(36.28)k < кТ/\ еаеь |.

(36.28)

(36.28)

Это условие будет использовано в следующем параграфе при исследовании интегралов столкновений /а.

Из выражения (36.3) следует, что в равновесном состоянии мнимая часть диэлектрической проницаемости определяется формулой

Im е (о, &) = п 2 дД^г ехр (-^^). (36.29)

Отсюда видно, что при со =# 0 Im е((о, fe)->0 при 尼->0. Воспользуемся равенством

!吧(р(7*А于=к @ ⑶)，А > °・(36.30)

С учетом (36.29) для малых Im 8 (о, й)

；：：£%：? =“6(® R^® 初.(36・3I)

Следовательно, при малых G выражение (36.4) для пространственно-временной спектральной плотности флуктуаций поля принимает вид

(6Е ЗЕ% 產=8л?б ® Re е (о, ft)) &Т.(36.32)

Мы видим, что для малых fe, когда Im е мало (область прозрачности), спектральная плотность отлична от нуля лишь для значений о,瓦 связанных дисперсионным уравнением

Ree®,期=0.(36.33)

В нулевом приближении по G из формулы (35.5) следует

Re8(о, A)=1-o)^/(d2.(36.34)

Используем формулу

6 (ф W) = £ I £幻 I二［，(36.35)

где xs — простые корни уравнения ф(х) = 0.

Из (36.32), (36.34), (36.35) находим

(6Е ЗЕ)® 產=4戸［б (е - s" + 6 ® +(oL)］ &Т.(36.36)

Таким образом, спектральная плотность отлична от нуля лишь при(о = 土g)l и не зависит от 々.

Для пространственной спектральной плотности из (36.36) следует выражение

(6Е6Е^ = 4пкТ,(36.37)

совпадающее при малых G с выражением (36.18).

Более подробное изложение теории равновесного состояния плазмы можно найти в книгах [4, 8, 46, 47].

В §§ 33—36 развита теория мелкомасштабных флуктуаций, для которых Екор^ 1/sl,「кор《「d・ Мы увидим, что эти флуктуации определяют интегралы столкновений в кинетических уравнениях для плазмы. Наряду с мелкомасштабнььми флуктуациями в неравновесной плазме могут играть заметную роль и крупномасштабные флуктуации с тКор > l/coL, rKop > R. Они могут определять, например, турбулентное состояние плазмы.

Крупномасштабные флуктуации также определяют диссипативные процессы и в состояниях плазмы, далеких от равновесного, могут давать заметные вклады в интегралы столкновений и в кинетические коэффициенты (см. гл. 11).

Мы увидим (гл. 11), что спектральные плотности крупномасштабных флуктуаций сами зависят от вида тех частей интегралов столкновений, которые определяются мелкомасштабными флуктуациями. Спектральные же плотности мелкомасштабных корреляций, как мы видели, не зависят, естественно, от вида интеграла столкновений.

В бесстолкновительной плазме, когда характерные масштабы 7, L таковы, что Т《тст, L《/Ст, мелкомасштабные флуктуации, очевидно, играют основную роль. В этом случае, однако, спектральные плотности могут существенно зависеть от граничных условий. Вопросу расчета спектральных плотностей флуктуаций бесстолкновительной плазмы с учетом граничных условий посвящены работы Ичимару, Якименко [51] (см. также [52, 53]).

Кинетическое уравнение Балеску — Ленарда

Чтобы получить выражение для интеграла столкновений, подставим выражение (35.12) во второе выражение (33.5). В результате получим

X { h (，，р', О- ^^ fa 亿 р, ОI № dp'. (37.1)

Это выражение впервые было получено в работах Ленарда и Балеску [5, 6] и поэтому называется интегралом столкновений Балеску—Ленарда.

В выражении (37.1) аргументы г, t входят как параметры. Так как пространственное изменение функций 広 fb при выводе интеграла столкновений не учитывалось, то пространственные аргументы функций 広 fb одинаковы.

Рассмотрим другие формы интеграла столкновений. Из первого выражения (33.5) и (35.10) следует

+ ±Н£・!У4Иа}^ 猴.(37.2) Здесь тензор

(6当6Е儿》=等(^6%».(37.3)

Таким образом, мы выразили интеграл столкновений через спектральную плотность флуктуаций поля и диэлектрическую проницаемость. Эти функции выражаются через функции распределения fa по формулам (35.6), (35.5).

Представление интеграла столкновений в виде (37.2) очень удобно при рассмотрении кинетического уравнения для релятивистской плазмы (§ 39) и при учете эффектов неидеальности плазмы (гл. 9).

Интеграл столкновений можно выразить через диффузионный оператор в пространстве импульсов

+就(4叱)•(37.4)

Коэффициенты диффузии и трения, например, для формы (37.2) определяются выражениями

D" (Р)=鳥,6 3 - &V)俗目"/)© ft ds dk, (37.5)

4s(P)=祟 \ ° ® - Gv) -p-黑壊)：! ds dk. (37.6)

Уравнения (26.3) с интегралами столкновений (37.1) (или (37.2), (37.4)) составляют систему кинетических уравнений для плазмы в поляризационном приближении. Интегралы столкновений Балеску — Ленарда в форме (37.1) впервые были получены путем решения интегральных уравнений для корреляционных функций gab (27.4) (см. [5, 6, 8, 10]).

Рассмотрим общие свойства интегралов столкновений Балеску—Ленарда.

Покажем, что при подстановке в интегралы столкновений /а распределений Максвелла они обращаются в нуль. Это следует из того, что в равновесном случае выражение, стоящее под

интегралом в (37.1):

岛6 (fa?—如'){許 fb —證 fa } = — ■传二7ft”)6 (kv —无j/) fafb,

так как по определению 6(%)

Па)= 0・(37.7)

Таким образом, в равновесном состоянии распределение Максвелла является решением системы кинетических уравнений.

Рассмотрим интеграл

/(乙 /)= 2 % \ <Pa (р) /а а，0 dp,(37.8)

а

где <ра (р) —пока произвольная функция.

Подставим в (37.8) выражение (37.1), проинтегрируем по частям по р и симметризуем по а, р; Ь, р'・ Тогда

X{^fb-^fa}dhdpdp，. (37.9)

Отсюда следует, что

/(『，f)= 2〃a J Фа (р) /а(^, t)dp = O ПрИ фа=1, р, ^1^^. (37.10)

Выполнение первых двух равенств очевидно. При подстановке (ра = р2]2та надо использовать равенство (37.7).

Свойства интегралов столкновений 1а (37.10) для идеальной

плазмы аналогичны свойствам (11.5) для идеального газа.

Покажем, что при учете корреляций, определяющих интегралы столкновений, полная энтропия плазмы

= nAfa\nfadx(37.11)

возрастает и при достижении равновесного состояния остается неизменной.

Для этого в (37.8) подставим функцию

(Pa = —&lnfa(37.12)

и введем обозначение для вектора

А = д\п fa/dp 一 d In fb/dp^(37.13)

Тогда выражение (37.8) примет вид

W) = eaelnanb，Н| 鵠:在)戸 6 (如一kv^fafbdkdp dp' > О, ab

(37.14)

так как подынтегральное выражение положительно.

Знак равенства нулю имеет место, когда вектор

дIn fa/dP — din fbldp' = а(Р — Р‘)，(37.15>

где а — константа, не зависящая от индексов а, Ь.

При условии (37.15) не только интеграл /(，,/), но и сами интегралы столкновений (из-за равенства (kv—ки^ б (kv——Е') = =0) обращаются в нуль.

Решение уравнения (37.15) имеет вид

In fa(Р)= %炉 + м + 丫，(37.16>

откуда для fa (р) следует распределение Максвелла

fa (p)=——!-exp Г二 8 -"呷.(37.17>

(2птакТ)/г " L 2такТ J

Используя свойство (37.14), с помощью кинетического уравнения нетрудно установить, что“

dS/dt > 0.(37 J 8)

Энтропия достигает максимального значения, когда функции распределения f式x,t) становятся равновесными, т. е. устанавливаются распределения Максвелла для всех компонент плазмы с одинаковыми Т и 〃.

Заметим, что интеграл (37.1) при интегрировании по 々 от О до оо содержит логарифмическую расходимость при больших k. Действительно, при 々f оо (左》1/пэ) £(<о, A)f 1 и подынтегральное выражение (см. следующий параграф) будет 〜1/" При интегрировании по величине k это дает In k.

Причина появления этой расходимости связана с тем, что на малых расстояниях (г《「d) поляризационное приближение совпадает с приближением теории возмущений по параметру взаимодействия 三=е2/гсркТ. Полученные формулы справедливы поэтому лишь при условиях (36.27), (36.28). Границу применимости при интегрировании по k можно приближенно определить из условия

々max 〜&「/I eaeb |.(37.19>

Поскольку расходимость при больших k носит логарифмический характер, то точное положение границы области интегрирования мало влияет на результат.

Однако при учете эффектов неидеальности положение меняется, так как дополнительные в клады, в интегралах столкновений содержат более сильные расходимости на малых расстояниях (больших 々).

В то же время вклад взаимодействия частиц на малых расстояниях в термодинамические функции оказывается существенным. Вследствие этого в кинетической теории неидеальной плазмы надо более точно учитывать вклад взаимодействия заряженных частиц на малых (г《「d) расстояниях в интегралы столкновений (см. §§ 55, 56 гл. 9).

Кинетическое уравнение Ландау

Интеграл столкновений Балеску — Ленарда весьма сложен, так как зависимость от функций распределения /а, % входит не только непосредственно (через члены в { } в (37.1)), но и через диэлектрическую проницаемость, учитывающую влияние поляризации среды. В связи с этим большую роль играют более простые выражения для интегралов столкновений, но которые тем не менее обладают теми же основными свойствами, что и интеграл столкновений Балеску — Ленарда.

Примером такого более простого интеграла столкновений может служить интеграл столкновений Ландау. Для перехода от интеграла столкновений Балеску — Ленарда к интегралу столкновений Ландау можно поступить следующим образом.

В выражении (37.1) поляризация определяется диэлектрической проницаемостью £(со, А) на частоте Е, поэтому можно говорить о том, что в (37.1) учитывается динамическая поляризация плазмы. Будем учитывать лишь статическую поляризацию плазмы. Для этого заменим 8(со, k) в (37.1) на £(0, А) и fa — на распределение Максвелла. Тогда согласно (36.17) е(0,力)=1 + 京

Поскольку диэлектрическая проницаемость стоит в выражении (37.1) в знаменателе, то при интегрировании по величине 尼 основной вклад будет приходиться на область значений 々 > 1〃d・ На этом основании в интеграле столкновений (37.1) положим -е = 1, но будем производить интегрирование по области значений

^/rD<k<km^KT/\eaeb\.(38.2)

Тогда выражение для интеграла столкновений примет вид

总Qi**“訝屮м(38.3)

Здесь для удобства записи введено обозначение

Q户=2绪鳍，粤6伊0 一力吟dk.(38.4>

Область интегрирования по величине 々 определяется неравенствами (38.2).

Выполняя в (38.4) интегрирование по А, получим с учетом (38.2) следующее выражение:

Q歹)=ТЗ 二К In |^i [(V - d)26〃 一 e-i)j g-i)/]・ (38.5>

Уравнения для функций распределения заряженных частиц, плазмы с интегралами столкновений (38.3), (38.4) и называются кинетическими уравнениями Ландау.

Впервые [1] это кинетическое уравнение было получено иа уравнения Больцмана для функций распределения fa заряженных частиц. Однако уравнения Больцмана учитывают лишь парные столкновения заряженных частиц. В то же время в плазме* как мы знаем, в сфере действия заряженной частицы находится одновременно большое число частиц. Поэтому использование уравнений Больцмана для вывода кинетических уравнений Ландау не является последовательным. Это проявляется, в частности, в том, что при получении кинетических уравнений для плазмы из уравнений Больцмана в выражении (38.4) появляется логарифмическая расходимость и приходится делать дополнительные предположения об ограничении области интегрирования При МаЛЫХ 々(々mln 〜1/「D)・

Использование интеграла столкновений Ландау позволяет значительно упростить многие расчеты, например, вычисление' коэффициентов вязкости и теплопроводности, электрической проводимости, определяемой столкновениями заряженных частиц> И т. д.

Однако замена интеграла столкновений Балеску — Ленарда более простым интегралом столкновений Ландау возможна невсегда. Для сильно неравновесных состояний, в которых вклад спектральных плотностей для области прозрачности (малые значения k) значителен, учет динамической поляризации оказывается существенным и необходимо использовать интегралы столкновений Балеску — Ленарда. Некоторые примеры такого рода разобраны в работах [10, 30].

В заключение настоящего параграфа произведем оценку частот электрон-электронных vee и ион-ионных vh столкновений.

Для электрон-ионной плазмы (а = е, /) интегралы столкнове* ний /е,厶 можно представить в виде

где lee ——вклад, обусловленный столкновениями электронов с электронами, а /爪一электронов с ионами, в полный интеграл столкновений электронов. Аналогично 1ц ——вклад в 厶,обусловленный столкновениями ионов с ионами, a he—ионов с электронами.

Выражение (38.3) определяет все четыре интеграла столкновений /^, /爪，厶е,厶з Оценим соответствующие частоты и времена столкновений. Начнем с оценки частоты электрон-электронных столкновений vee = 1/“

Полагая в выражении для 1ее р ~ те^, получим из (38.3), (38.5)

G ~ Weef е = fe，傑・7)

где

产厶(38.8)

L = In гвкТ/\еаеъ \ —«кулоновский логарифм».

4冗62小4冗62小в ином виде. Учитывая, что

4冗62小

4冗62小

1

ц = ——, получим для vee сле

дующее выражение:

Vee ~ 久卩(2 = % /〉е ~「D / 卩)•(3工 9)

Так как для разреженной плазмы плазменный параметр 卩《1, то частота столкновений vee много меньше частоты Ленгмюра электронов плазмы, а соответствующая длина свободного пробега много больше радиуса Дебая.

Для оценки величины va мы можем воспользоваться выражением (38.8), заменив в нем me^mi (считаем, что Те ^ 7\, т. е. плазма изотермична). Тогда

〜兀诉"~д/^t Vee《"綱.10)

Подставляя сюда выражение (38.9) для “ее, получим

、н 〜7tn』nii SeeU = SiN・(38.11)

Здесь использовано выражение 心尸、4rce2n/mi для частоты Ленгмюра ионов.

Перекрестные электрон-ионные столкновения определяют различные процессы, например, выравнивание разности скоростей 〃е, 〃厶 разности температур 7^, 7\, электрическую проводимость.

Процесс выравнивания скоростей 〃& 〃》происходит за время порядка tee, т. е. для него характерной является частота vee. Эта

же частота столкновений входит и в выражение для электрической проводимости (см. § 48). Процесс выравнивания температур определяется частотой столкновений электронов и ионов w^L Индекс Т у Vei указывает на то, что речь идет о выравнивании температур:

嗯)冨 V".(38.12)

Вследствие того, что те《仆，имеют место неравенства

%е》^》哪，7 < %i < 吗*(38.13)

Таким образом, имеются несколько различных стадий в процессах релаксации в плазме, обусловленных столкновениями. За время 〜т^е устанавливается локальное равновесие для электронов, за время %ц ^> %ее — локальное равновесие ионов. При этом распределения Максвелла для электронов и ионов могут иметь разные температуры Т^ Л. Процесс выравнивания температур наиболее медленный. Он происходит за время порядка 吧》%%

Спектральные плотности флуктуаций в релятивистской плазме

Для расчета корреляций флуктуаций фазовой плотности 6Na и напряженностей электромагнитного поля 6Е, 65 используем систему уравнений (27.7), (26.20) — (26.23).

Рассмотрим сначала случай пространственно однородной и изотропной плазмы, когда функция распределения

fa = fa(\p\，t).(39.1)

В этом приближении в уравнении (27.7) член с

号m 65] 5a端 h " = 0.(39.2>

Добавляя в (27.7) диссипативный член Д (бЛ^а — 6AfSCT)> получим из (27.7) уравнение, совпадающее с (35.1). Вследствие этого для фурье-компоненты 6Nd®h,p) мы снова можем использовать уравнение (35.2)

6Ml ®, h,p) = WA 一 UfK 6Е ®, k)需•(39.3)

Отличие от уравнения (35.2) состоит в том, что здесь 6Е = 6Е° + + 6Е丄,т. е. 6Е имеет продольную и поперечную, по отношению к вектору fe, составляющие.

Из системы уравнений (26.20) — (26.23) находим уравнения для фурье-компонент флуктуаций поля бЕ(со, А), бВ((о, А):

i \k 63] = —^6Е + *2%，е 6此 dp,(39.4)

w司=^63,(39.5)

i(k 6B) = 0,(39.6)

i(k 6E) = 4л £ %，6M« dp.(39.7)

В силу линейности этой системы уравнений ее можно разбить на две системы, описывающие соответственно поперечные 6Е丄, ЪВ и продольные 6Е“ флуктуации в плазме. Для этого представим векторы 6Е, б/ в виде

6Е = 6Е” + 6Е± [йбЕп] = 0,(力 6Е丄) = 0,(39.8)

6/ = 6扪 + 6j 丄，[k 6川=0,(k 讨丄)=0.(39.9)

Для продольного поля 6Е” из системы (39.4) — (39.7) следуют уравнения

，|>6Е4 = О, l(kdE^ = 4^ea\Ma dp ,(39.10)

«ли, при использовании уравнения полного тока,

"力 6еq] = 0,一加 6序=-4 冗У =

=- 4冗 £ % ] ^^ № dp.(39.11)

a

Уравнения для поперечного поля имеют вид

"左 6b] = — ^ 6Е丄 + * £ е八毁乌 № dp,(39.12)

i 但 6E 丄]=偿65, /(A6B) = 0, i(G6E，) = 0・(39.13)

В уравнении (39.12) использовано тождество

4 =翠1 + 4一%=炉 +屮^ = 4" 丄.(39.14)

Исключая из уравнений (39.12), (33.13) 63, получим уравнение- для 6Е丄：

(со2 — с?左 2) 6Е1 = — 4nis 6/丄=

=一 4几沁2 ^][1^&!6必dp, (39.15> a

65 = ^他肉.(39.16>

Из уравнений (39.11), (39.15) следует, что флуктуации продольного и поперечного поля определяются соответствующими составляющими S/!l, б/L. Выразим б/11, 6/丄 через флуктуации источника. Для этого подставим выражение (39.3) в выражение для б/:

6/ ®,盼=£ % 卜 6АМ①，瓦 р) dp(39.17>

и полученное таким путем выражение запишем в виде

仙=5/6e/ + 6/厂.(39.18>

Здесь

。产一*现\黑也 dp(39.19У

—тензор электрической проводимости плазмы, определяющий связь флуктуаций б/, 6Е,

б/нст = ^еа^ б№ст ®, kt р) dp(39.20>

a

-—фурье-компонента источника флуктуаций тока.

Выражение (39.19) по форме совпадает с выражением (31.29) для тензора проводимости бесстолкновительной плазмы. По аналогии с (31.32) можно ввести тензор диэлектрической проницаемости

eil^il+^ou^il+x^^^dp. (39.21> a

Отличие выражений (39.19), (39.21) от соответствующих выражений (31.29), (31.33) в том, что здесь функция fa определяется кинетическим уравнением, учитывающим столкновения частиц (§ 38), а в § 31 制一частное решение кинетическихурав* нений для бесстолкновительной плазмы.

представитьпредставить6/= k2 О"+(М 厂一割也=胪 8J +(6"-一等Отсюда находим выражения для в11,8丄：6/= k2 О"+(М 厂一割也=胪 8J +(6"-一等Отсюда находим выражения для в11,8丄：Qij, 8叮 МОЖНОQij, 8叮 МОЖНОДля изотропной плазмы тензоры в виде (ср. с (31.34))Для изотропной плазмы тензоры в виде (ср. с (31.34))(39.22)(39.22)

представить

представить

6/= k2 О"+(М 厂

一割也

=胪 8J +(6"-

一等

Отсюда находим выражения для в11,

8丄：

6/= k2 О"+(М 厂

一割也

=胪 8J +(6"-

一等

Отсюда находим выражения для в11,

8丄：

Qij, 8叮 МОЖНО

Qij, 8叮 МОЖНО

Для изотропной плазмы тензоры в виде (ср. с (31.34))

Для изотропной плазмы тензоры в виде (ср. с (31.34))

(39.22)

(39.22)

生尸ei卜" __^_)8小(39.23)

и соответствующие выражения для о", о丄.

Из (39.19), (39.21), (39.23) находим выражения для продольной и поперечной диэлектрических проницаемостей

3=1+2 陪，將*,(39.24)

小 1 . Ь 2冗成％ f [[kv] k] dfa/dp

"®J)= 1 + 2) F 二配+；A dp・(39.25)

Выражение (39.24) лишь формой записи отличается от соответствующего выражения (35.5) для диэлектрической проницаемости кулоновской плазмы.

Вернемся к выражению (39.18) для б/((о, k). Подставляя в него выражение (39.22) для ст仃,найдем выражения для продольной и поперечной компонент:

б/" = о" 6砂 + б/11 ист,冴丄=о丄 6Е丄 + 计丄 ист. (39.26) Здесь

S/!l "в =上丝广。, 6产 и” = 口嘗L旦. (39.27)

Теперь мы уже можем найти выражения для продольной и поперечной составляющих вектора б£. Для этого подставим выражение (39.26) в уравнения (39.10) и (39.15). В результате поТеперь мы уже можем найти выражения для продольной и поперечной составляющих вектора б£. Для этого подставим выражение (39.26) в уравнения (39.10) и (39.15). В результате получимлучим6Е丄=6Е丄=о2 6Е 丄 ист(Л丄一国2・о2 6Е 丄 ист(Л丄一国2・(39.28)(39.28)

Теперь мы уже можем найти выражения для продольной и поперечной составляющих вектора б£. Для этого подставим выражение (39.26) в уравнения (39.10) и (39.15). В результате по

Теперь мы уже можем найти выражения для продольной и поперечной составляющих вектора б£. Для этого подставим выражение (39.26) в уравнения (39.10) и (39.15). В результате по

лучим

лучим

6Е丄=

6Е丄=

о2 6Е 丄 ист

(Л丄一国2・

о2 6Е 丄 ист

(Л丄一国2・

(39.28)

(39.28)

Здесь использованы обозначения

соста-соста-対I нет = _ 響 у нет, 6Е丄 нет = _ 讐 6产 нет(39 29)

соста-

соста-

для источников флуктуаций продольной и поперечной вляющих 6Е® 论).

Из (39.28) находим 。

у (4几)j% \ 2лб ® - Н)% dp

(对 6E% 产，而而，(39.30)

L (4兀)2成3f

〉,^to2 I 2nd (о —论е)[论叨2 fa dp

^^ = -^1热丄(3/)—国吓.(39.31)

Здесь использованы выражения для спектральных плотностей источников флуктуаций поля

(б£ 6砂)：：】=2 (叱“竺 J 2лб (s - Av) fa dp, (39.32)

(6E丄 6E丄)黑=£ 粤沁 \ 2k (s - kv)樓 fa dp, (39.33) a

которые следуют из выражений (39.29), (39.27), (39.20) и выражения (34.11) для спектральной плотности (bNRN龍：卜卩卩,.

В изотропной плазме продольная и поперечная составляющие вектора 6Е не коррелируют между собой, поэтому тензор (6Et6Ej)^ k можно представить в виде

(g 6Е/)з,尼=(6咫 6Е%,在 +(6Е丄 6縻％ 6(39.34)

где

(6成纵L粤(6E%叽炉

1 ь ь 、(39.35)

(6用6岁)3,也=歹(知一一*)(6Е丄6£丄)^.

Таким образом, две спектральные плотности (39.30), (39.31) в изотропной плазм-е полностью определяют тензор (б£? 6Е/)Ш л< Отметим, что выражение (39.30) совпадает с соответствующим выражением (35.6) для кулоновской плазмы.

Найдем выражение для спектральной плотности (б^a 6Е)Ш ^ р, определяющей интеграл столкновений /&. Для этого умножим выражение (39.3) на 6ЕМ(о,А) и произведем усреднение. Учтем, ето с помощью (39.28), (39.27), (39.20) функцию 6е®,论)мож- йо выразить через bN^T： &Е (со,同=

=-誓? %，得黑+ ^ 裁%] 6巾8,瓦p) dp.

°(39.36)

Используя это выражение, можно выразить спектральную плотность (6^a ЗЕ% Л р через спектральную плотность (б^a 6N/：； которая определяется выражением (34.11). В результате получаем следующее выражение:

(6М ЗЕ,)%- ■制*^ (6Е/ 6& А, * 務 +

+ '$2/®—叫 f+ ^етфа・(39.37)

Отсюда

Re (6解 6Е% *=一冗分〃/ (s - kv) (6f/ 6Е儿產券一

4яеапа о_я j、「在 1т£“((о，在)I co3[[^J k] Im 81 (co, ^)1 c zon OO4 +-|畳丄一探2|2(39.38)

Тем же путем получим выражение для самой общей спектральной плотности флуктуаций

(6”〃б%%,軌 р,р, = &心(р — р‘)2п6® -砌nafa +

%ё//八6々6弓)3»d厶%

'(co - fev + 込)(co - kv/-込)dp,0乃一

Лг2((о — ^v + /Д) L е11 (со, k)(о2&丄(со,在)一с?在2」d"/ 。

4neaebnati^b (о -狂)「即 ,①[【狂]同 ±] dfb /оп

経血_审一込)L卡3,同十输丄* g同一С2在2」嬴%.2»•呦

Мы видим, что спектральные плотности (б^ 6F)o k р, @NabN6s 卜 р р, выражаются через спектральную плотность флуктуаций поля (ЬЕ^Е^ k и диэлектрические проницаемости 8'1, 81.

Интегрируя полученные здесь выражения по со, можно найти пространственные спектральные плотности, например, функцию

(6"。6熊)丸"，=盡卜6储6必h … d0

Рассмотрим некоторые конкретные результаты для случая статистического равновесия.

Подставим в формулы (39.30), (39.31) распределение Максвелла. Используя выражения

Im 或=—£ 4":户 \ 6 (s — kv)尼寫 dp,

[me1 = — 2[me1 = — 2■^^ , 6 (s -力o)[[力。]k]雾 dp,■^^ , 6 (s -力o)[[力。]k]雾 dp,(39.40)(39.40)

[me1 = — 2

[me1 = — 2

■^^ , 6 (s -力o)[[力。]k]雾 dp,

■^^ , 6 (s -力o)[[力。]k]雾 dp,

(39.40)

(39.40)

которые следуют из выражений (39.24), (39.25), получим

昔器師кТ,(39.41)

(6Е丄6叫雰熏粵产(39.42)

Выражение (39.41) совпадает, естественно, с выражением (36.4). При малых k из (36.4) следует выражение (36.32). Аналогичным путем из (39.42) находим, что при малых k (для области прозрачности)

(6Е丄 6Е丄)з 左=16л2 sign <oS (со2 Re е1 — с2А2) кТ. (39.43)

Отсюда

(6Е丄 6Е丄％ 无=8冗2 [6 ® — 崛 + 6® + %)] кТ, (39.44)

где % =\/呜 +02部.

Для пространственной спектральной плотности из формулы (39.44) следует выражение

(6Е丄 6Е丄％ = 8лк7\(39.45)

Полученный результат аналогичен результату (36.37) для продольного поля, который справедлив, как следует из сравнения с (36.18), при 论《1/fD- Покажем, что в отличие от этого результат (39.45) справедлив при любых k. Для этого проинтегрируем в (39.42) по(о и запишем полученное выражение в виде

(6Е丄 6Е丄% = -8шсТ娼次丄 1 с2在2 — к. c] co ds. (39.46)

Первый из интегралов содержит особенность только в нижней полуплоскости, а второй — в верхней, поэтому в первом замкнем контур интегрирования в верхней полуплоскости, а во втором —в нижней.

Учитывая, что

^в1 — с2й2-> оо при (о-> оо,

и используя значение интегралов

一丄丄

получим из (39.46) результат, совпадающий с (39.45).

Такое совпадение обусловлено следующим. Интеграл (39.46) определяется значением функции е1((о, k) при(о-> оо, но при фиксированном k. При этом (о/归 > с, т. е. фазовая скорость больше скорости света.

Из выражения (39.40) следует, что Im е1((о, fe)->0 при Д ->0, если ^fk > с, так как условие со = kv, при котором подынтегральное выражение в (39.40) отлично от нуля, не может выполняться: все заряженные частицы имеют скорости, меньшие скорости света. Поэтому вклад в (39.46) в равновесном состоянии приходится только на область прозрачности.

Учет флуктуаций поперечного поля не влияет в равновесном состоянии на вид корреляционной функции. Чтобы убедиться в этом, надо подставить в выражение (39.39) распределения Максвелла для функций %, fb и проинтегрировать по(о. При интегрировании по(о все члены, обусловленные флуктуациями поперечного поля, выпадают и для корреляционной функции

gab (瓦 Р，P‘) = gVa&Vb)“p，—九仓施(p-p，)f//%q получается следующее выражение:

ga& 便，Р，р') = - £е九7：L讃)%(P)fb(P) (39.47)

Это выражение остается справедливым и для релятивистской плазмы, если под fa, fb понимать релятивистские распределения Максвелла (см. § 40).

Выражение (39.47) совпадает с выражением (36.22) для фурье-компоненты корреляционной функции заряженных частиц в кулоновской плазме.

Приведенные в настоящем параграфе результаты относятся к случаю пространственно однородной и изотропной плазмы, когда функции распределения f。= %(|р|,力)，т. е. зависят лишь от модуля импульса.

При наличии внешних полей функции % становятся анизотропными. В анизотропном состоянии тензор диэлектрической проницаемости £订 зависит не только от вектора 瓦 но и от других векторов, поэтому тензор £仃 не определяется уже двумя функциями £", £1.

Отметим те изменения, которые произойдут в исходных выражениях (39.3) —(39.7), при учете анизотропии.

В уравнении (39.3) теперь нельзя опустить член, содержащий [у 6В] д}а/др, поэтому уравнение для(①，瓦 р) принимает

вид

ЬА/д (о, А, р) = 6乂片(о, А, р)—

一凸;К 3 ®，力)+ % W 65 ®,砌 > ・(39.48>

Вследствие этого тензор диэлектрической проницаемости определяется теперь выражением'

Sf/ + E 乎4丛2Т + < / 切(39.49)

В изотропном случае это выражение совпадает с (39.21).

В выражение для тензора @Е,6Е0® 卜 будет входить тензор Л"Д обратный тензору

4/ = V 町-(М/胪一々肉)・(39.50)

В изотропном случае

(39.51>(39.51>— c2 r 瓦同 ]6订论2 -论法/

(39.51>

(39.51>

"①2在2 L 811 ((0,同,81 ((0,同一。2也2/g2

Способ нахождения спектральных плотностей остается преж* ним.

§ 40. Кинетические уравнения для релятивистской плазмы

Рассмотрим две формы записи интеграла столкновений для релятивистской плазмы.

Подставим выражение (39.38) во второе выражение (33.5) и запишем полученное выражение для интеграла столкновений в виде (37.4):

厶(也)•(4。/)

Коэффициенты D%、Д? определяются теперь выражениями °% = 為 "® -㈣[G咫6Е九无+ G縻6縻U』ds沫，(40.2) ла 磋k： Im еи co3 [[kv] k]； Im e1 1

4 = * \ [卢I 8(8»)产 + ^V^tJ 6 (s -b) d^dk. (40.3)

7 Ю. Л. Климонтович

Входящие сюда функции G砂 бЕ；% 修(6£心 6Е扌% 炉 е°, / определяются выражениями (39.30), (39.31), (39.35), (39.24), (39.25).

В нерелятивистском приближении, когда можно пренебречь вкладом флуктуаций поперечного поля, выражения (40.2), (40.3) совпадают с (37.5), (37.6).

Вторая форма записи соответствует выражению (37.1) для нерелятивистской плазмы. Чтобы получить ее, исключим из (40.2), (40.3) спектральные функции поля и функции Im £“， 1m £丄 с помощью формул (39.30), (39.31), (39.35), (39.40) и выполним интегрирование по со. Полученное таким путем выражение для /а удобно записать в виде

『卩言^?借"》/犷.(40.4)

Здесь введено обозначение

Q# = 2e%U [品紛产

+ i /?伊少2，小学6做一题，)能(40.5) 1伍»染(也左)一％12」‘

При получении этого выражения использовано равенство

([固^同党)м=依叫[阮П(力需)，(4°，6)

Для нерелятивистской плазмы второй член в выражении (40.5) пренебрежимо мал и из (40.4), (40.5) следует выражение (37.1).

Выражение (40.4) представляет, таким образом, обобщение интеграла столкновений Балеску — Ленарда на случай релятивистской плазмы. Оно было проведено в работе Силина [31].

Интеграл столкновений (40.4) является очень сложным, поэтому естественно использование более простого выражения для интеграла столкновений, в котором учет поляризации плазмы производится более грубо.

В § 38 было показано, что для состояний плазмы, не сильно отличающихся от равновесного состояния, можно вместо (37.1) использовать более простое выражение для интеграла столкновений, предложенное Ландау. Покажем, что аналогичное упрощение можно произвести и для релятивистского интеграла столкновений.

Прежде всего заметим, что равновесным решением кинетического уравнения с интегралом столкновений (40.4) является

релятивистское распределение Максвелла

fa(Р)= Аа ехр [— f^-^^—]・(40.7)

Величина Аа определяется из условия нормировки.

Чтобы убедиться в этом, подставим (40.7) в (40.4), (40.5) и учтем, что для функции (40.7)

так как р = *・так как р = *・д de а ре? д d др — др ~дг — е ~дг —” ^Г *

так как р = *・

так как р = *・

В результате выражение (40.4) примет вид

/“ = — 3 2 “匕7^" \ Q曾 ® — °" %(Р)%(Р‘)dp'・

Это выражение обращается в нуль, так как в (40.5) есть б ® ——力ь‘) и (kv ——力o') 6 (kv ——h吟=0.

Вернемся к вопросу об упрощении интеграла столкновений для релятивистской плазмы.

Мы видим (§ 39), что флуктуации поперечного поля не влияют на вид корреляционной функции gab (瓦 Р, "')• Действительно, выражение (39.47) отличается от соответствующего выражения (36.22) для кулоновской плазмы лишь тем, что в (39.47) функции fa, fb — релятивистские распределения Максвелла. Вследствие этого выражение для корреляционной функции gab(Г Р, Р‘) совпадает с выражением (36.24).

Таким образом, и в релятивистской плазме радиус корреляции порядка радиуса Дебая 小・ Это означает, что в равновесном состоянии пространственный спектр ограничен со стороны малых значений 瓦 При этом 々mm ~ 1/「d・ Это положение сохраняется и для состояний, близких к равновесным, поэтому в (40.4), (40.5) можно приближенно положить 或=1, £丄=1, но интегрировать по й лишь по области 々 > 1/「d・ В результате выражение (40.5) примет вид

Q, = 2e觀，^^ [1 + ](?：，f：2?2产]6 (kv - fe/) dk

(々 > 1"d)・(40.8>

Здесь следует, как и в интеграле столкновений Ландау, произвести ограничение области интегрирования и со стороны больших значений k. Величина 尼max может быть определена из условия, аналогичного условию (38.2).

Выражение (40.8) для изотропной плазмы можно записать в виде

Q* = 2ва4，"^ [1 + •(霖丫工2了6 (*» —左°，) dk. (40.9)

Это выражение отличается от (40.8) членом, который исчезает при интегрировании по р1.

Выражение (40.9) после некоторых упрощений можно записать в более простом виде [8, 9]:

Q0 = 2e 録[d - (yv}^，戸士 *)呼 6 (初一力")d 瓦(40. 10)

В выражениях (40.9), (40.10) интегрирование производится по Области 々max > 应 > 1/「D・

При ст8 выражение (40.10) переходит в (38.4). Как и в (38.4),здесь можно выполнить интегрирование по k. В резуль* тате получается выражение, которое при ст 8 переходит в (38.5) [10].

Кинетическое уравнение с интегралом столкновений (40.1), (40.8) (или (40.1), (40.10)) является релятивистским обобщением кинетического уравнения Ландау для функции распределения fa (г, р, 0, т. е. обычной функции распределения семи переменных. Можно записать соответствующее кинетическое урав・ яение и для функции распределения

%&(Q, P)m 麓(Q, Р)(40.11)

восьми переменных Q = (г, icf), Р = (р, ^/с). Микроскопическая функция Na(Q, Р) определяется системой уравнений (24.16)— (24.18).

Кинетическое уравнение для функции Fa имеет вид [32, 9, 8]

u’岩=沙，叫箫a一論%}川%, (40.12) где

^/ = 2е储式UQ；y J /^ 6 (Ш)б (k^i) dk ds. (40.13)

В (40.12), (40.13) U = (yv, iyc) — четырехмерная скорость, R・= = maUi, k =(々，i(o/c) — четырехмерный волновой вектор.

В выражении (40.13) можно выполнить интегрирование по <о,瓦 При этом следует воспользоваться симметрией тензора 甘方 отно сительно G, U\ и тем, что

。浄号=0, U份，=0.

При учете этого для определения тензора 赞夕 достаточно найти сумму его диагональных элементов. В результате получим следующее выражение:

3樂=孕 In 片{[(UiUi)^ 一 1 ] M — (〃S + U5d 一 C *min

一 (SS) (G“ + as)/e4}/[(Sg)2/e4 - 1]\ (40.14)

ЗдССЬ Г min = 1/尼 max・

Кинетическое уравнение (40.12) с ядром (40.14) было получено впервые в работе Беляева и Будкера [32, 9, 8].

' В равновесном случае кинетическое уравнение (40.12) имеет •решение

& (Р) = Сб (А + 欣d) exp (等)，(40.15)

^которое является четырехмерным релятивистским распределением Максвелла.

Чтобы перейти от уравнения (40.12) для функции Fa к кинетическому уравнению для функции fa, надо использовать связь функций Fa、fa：

Fa (Q, P) = fa g p、t)&您一c“戸・^")a。険.(40.16)

Используя эту связь, можно, в частности, перейти от распределения (40.15) к релятивистскому распределению (40.7).

ГЛАВА 8

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ НА КИНЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ

§ 41. Уравнения для функций 力,0Nq при наличии внешнего электрического поля

Исследуем влияние внешнего электрического поля на кинетические свойства пространственно однородной плазмы. В этом случае система уравнений (26.5), (27.7) для функций fa, 6Na принимает вид

霊+ eR(f)幣=-^訂 Re@Na6E)11m為―式p, /),⑷.》

傷 + д + ^^ + %Е (/) ^)(6М — 6N『) = — еаЬЕ "^^, (41.2>

rot 6Е = 0, div 6Е = £《ле。§ 62。dp.

Корреляция флуктуаций 6VaCT определяется уравнением

(1 + А + и % + е/ (/) ^) (^7^；)黑〃尸=0,⑷.3》

которое следует решать при начальном условии

(6М“/)黑,认 /у = падаЬЬ(х 一 V) fa (У, У).(41.4>

Из-за действия внешнего поля функция распределения fa (р, /) может и не быть медленно меняющейся функцией. Это существенно усложняет расчет спектральных плотностей флуктуаций dNa, 6Е. В случае пространственно однородной плазмы расчет можно существенно упростить, если вместо функции

распределения %(Р，%) ввести новую функцию

f а (「а + еа , Е (X)由'，)=Fa (Р&, f).(41.5)

Из (41.1) получаем следующее уравнение для функции 尸°：

^ = /а(Ра+е。J Е (У)山'，'三 Д. (Р&, /).(4L6)

Интеграл столкновений /“(Р。, /) связан со спектральной плотностью (6М, 6Е" р f следующим образом:

〃但，f)=-T 晶 \ Re (6必 6Е);d瓦(41.7)

Из выражений (41.6), (41.7) видно, что в первом приближении по плазменному параметру (этому приближению отвечают исходные уравнения (41.1) — (41.4)) производная функции распределения по времени порядка 卩①丄户* Вследствие этого быстрые (вибрационные) вклады в функции Fa при ц《1 малы. Основной является медленно меняющаяся часть функции распределения. Если внешнее поле является периодическим с частотой sq, то при со。2(ol медленно меняющуюся функцию распределения можно получить из Fa(pa, 0 усреднением по периоду 2л/(оо-

Ниже, если не будет сделано оговорки, под Fa, /а будем по« нимать медленно меняющиеся части этих функций.

Из уравнений (41.2) — (41.4) следует, что для расчета спектральной плотности, определяющей интеграл столкновений (41.7), надо знать спектральные плотности флуктуаций 6N『* 6ЕНСТ.

§ 42. Спектральные плотности флуктуаций источников при наличии высокочастотного электрического поля

Спектральная плотность флуктуаций 6乂萨’ определяется уравнением (41.3) с начальным условием (41.4). При наличии высокочастотного поля флуктуационный процесс не является стационарным даже для идеальной плазмы. Это существенно усложняет решение задачи.

Используем уравнения движения

dpldt = eaE(t).(42 Л)

Запишем решение уравнения (41.3) с начальным условием (41.4):

两码員…=

=几/а 前 \Р — pf — ^а \ Е (')成‘=几/а 前 \Р — pf — ^а \ Е (')成‘—ет ——ет —(f-t_，)E(，)df)%((f-t_，)E(，)df)%(p-% } E(，)“，t-xy (42.2)，p-% } E(，)“，t-xy (42.2)，

=几/а 前 \Р — pf — ^а \ Е (')成‘

=几/а 前 \Р — pf — ^а \ Е (')成‘

—ет —

—ет —

(f-t_，)E(，)df)%(

(f-t_，)E(，)df)%(

p-% } E(，)“，t-xy (42.2)，

p-% } E(，)“，t-xy (42.2)，

Учтем, что согласно (41.5)

fa^P — ₽a E (X)成'，/ —=

^fa(p + ea \e (У) dtf-ea Je (，)也 f—0 =几(P, f-t)・(42.3T \—ootf/

Таким образом, функция (42.2) может быть выражена через медленно меняющуюся функцию 户* Для идеальной плазмы мо・ ж но ограничиться нулевым приближением по запаздыванию^ функции Fa. В этом приближении из (42.2), (42.3) находим искомую спектральную плотность

侍乂6必)黑:,p,”尸乙％2 Re\ 6(p -少一分，е(y)df)Х

X exp! — Ат + i ® — Av) с —

-i 红 £ 一 t 一 У)力E (f) d，de Fa (P, f). (42.4>

При E (0 = 0 это выражение совпадает с (34.11).

Из (42.4) следует выражение для более простой функции：

ОО

@Na 6Е 広；p,t=i ^^ 力 2 Re \ 八 exp — Ат + i ® — ^) т 一 一，務 $ (f — t — /'№E(，)d，|&(P,2)(42.5>

и для спектральной плотности флуктуаций поля

«Е 6Е%% / = 2 竺尸 2 Re "j dp X

t

x exp I - Ac + Z ® -砌 t - i 丄 £ (f - L，) kE (，) df\ Fa (P, t). ma J

t—x

(42.6)

В этом выражении удобней перейти к интегрированию по Р. Учитывая, что

屁т + 区〈一 с一，)GE(fz)“ = ma , J

=力”一上、"^E(方〃)成",U = P/m。,(42.7)

можно записать выражение (42.6) в виде

аЁ噌「

2 Re )dt)dPexpj - ^ + i(a)— kV)x + о

+粵力]"\必"Е (片)几(P,力 (42.8) ：—8)

Мы видим, что спектральные плотности (42.4) — (42.6) явно зависят от времени, что и указывает на нестационарность процессов, являющихся источниками флуктуаций фазовой плотности и поля.

Ниже при конкретных расчетах будем задавать поле в виде Е(/) = Esin со。/・(42.9)

Тогда f—Т 尸

{ df \ Е sin So/"成〃=与[sin 例/ — sin <oo (/ —力] (42.10)

« выражение (42.8) принимает вид

皿砒"

=£(吗启"2 Re ^dx^dP exp{ —At + i (co — AV) c —

—iaa [sin co。(f — t) — sin(o0/]} Fa (P, /)・(42.11)

В выражении (42.5) сделаем замену ° =尸 + % ) Е(，)"， Тогда, используя равенство (42.7), получим выражение (МадЕГг $=

0 队 P + % S ^(zz) dt^

=「学％ 2 左 Re , dt exp — Дт + / (о — feV) т — о

謚△ " \ 成〃Е (f〃)Fa (忆 f)・(42.12>

При E(f) в виде (42.9)

，E (f) df = — * cos co。f(42.13>

и выражение (42.12) принимает вид

(Ма6Е)^ еа = Р£ cos(0计 (do

=力出；片。左 2 Re \ dt exp {— z Дт + f (о — feV) t — о

—/Qa[sin(Oo(f — т)—sinsofj}尸а(Р, /)•(42.14)

В формулах (42.11), (42.14) введено обозначение ^ = ^/(^0)*(42•⑸

Используем выражение (42.11) для определения спектральной плотности флуктуаций поля для случая, когда(оо > sl・

§ 43. Спектральная плотность флуктуаций электрического поля

Из первого уравнения (41.2) находим, что при E(f)= ==Е sin со。/ фурье-компонента фазовой плотности в нулевом при* ближении по запаздыванию определяется уравнением 6乂 (瓦 Р — ^ cos (ОоЛ f) = 6УГ (瓦 Р — ^ cos 铀力 f) 一

一 0小a一 0小aХ6Е 优，/-т)^-(Р, 0.(43.1)Х6Е 优，/-т)^-(Р, 0.(43.1)

一 0小a

一 0小a

Х6Е 优，/-т)^-(Р, 0.(43.1)

Х6Е 优，/-т)^-(Р, 0.(43.1)

Из уравнения (41.2) для флуктуации поля находим

ik 6Е (財 f) = 4л £ 6% (瓦 t) = 4^ea\ &V« (Ер, f) dp. (43.2)

Здесь bqa (左,f) — флуктуация плотности заряда компоненты a.

Из уравнений (43.1), (43.2) следует система уравнений для .функций 67a (G, /). Используя разложение

ехр(— ZaasinW)= 2 厶(％) exp (―加①()/)(43.3)

〃=—8

но функциям Бесееля, запишем систему уравнений для функций (о,同 в виде

6% ®，*) = 6窗т ®，后)+ 告 4冗吟г« Е N 厶 Sa) Im (%) X

b n, m=—8 oo

X , \ "t "「exp[ — At + i (s + n(oo —左Q 寸 X

x QF喘П bqb ® + 仇一m)伽,k).

Эта система уравнений может быть упрощена, если вместо функций 6%(瓦 /), б?。®, k) ввести функции

6〃 (瓦 0 =sin^(k. /)= f 1п (%)от”6%伍,0,

二;8(43.4)

6乙 ®, *)=工Jn (%) 6% (о 一 /ТОО*).

Система уравнений для функций б^л ((о, А) имеет вид

6〃 ®, *) + 4几% ®,力)e S Л Sab) ^ь (» —公0,力)=6%ет (①，力). b Z=—ОО

(43.5)

Здесь aa (о, А)——поляризуемость компоненты а:

% (со,а)=誓 § n:，工 dP'

8 (о, fe) = 1 + 4л 2 % (①，左)，(43.6)

a

и a^ = (% /忆-% /嗚力Е/端

Систему уравнений (43.5) решаем, используя теорию возмущений по малому параметру те/т1. В нулевом приближении^, т. е. при /п, = оо, из (43.5) находим

Me®,力)=

6需ст ((о，左)4九a ((о,在)£

= -^kjЦ^Г 2 4 (&)"产(s-叫，硕

北^=""*8f a Q 7\

60(S, k) = M产(CO,用.

Входящее сюда выражение для &(s, fe) определяется формулой (43.6) при mt = оо.

Совершим обратный переход от функций dqa (со, А) к функ* циям 67a (①,左)• Для этого используем соотношения, обратные- (43・4),

М。(瓦 0 = 6〃 (瓦 /) /%sin 0)^ = I Л &) ein^dqa 他 0,

8(43.8>

Ma(8,力)=2 几 За) Ма (① + 砌(Л)・л=—оо

С помощью этих соотношений из (43.7) получим систему уравнений

叠 / 八 V j / \ т I \ Г М尸(s + S —о0, k)

6%®,力)= % 厶(%)％(%)[2(汴林。，紛

n, m=—8

-^(^同]，

6% ®,力)=6望CT(S,后).(43.9》

Подставим эти решения в правую часть равенства

6Е®,左)=-普4冗® ®，力) + М®, fe)],(43.10)，

которое следует из (43.2), и используем тождество

е (со, k) — е (со, k)е (со, k) — е (со, k)(43.11》(43.11》

е (со, k) — е (со, k)

е (со, k) — е (со, k)

(43.11》

(43.11》

В результате получим следующее выражение для SE (о,左)： ^^ *)= f MWI1MM篇:筱*,同.(43.12» m=—8

Таким образом, в нулевом приближении по me/mi мы выразили 6E((d, k) через фурье-компоненты 6£UCT((o, k). Из (43.12) с уче-

том разложения (43.3) находим выражение для пространствен* ной компоненты Фурье флуктуации поля

6Е他 f) = \(鼠,, exp {— iae [sin(oo (/ — t) — sin 铀/]} X

°X 6ЕИСТ (fe, f — T)dt. (43.13>

Здесь использовано обозначение

磊 Тб)*/”％.(43.14〉

С помощью решения (43.13) и выражения (42.11) для (6E6E)^：；f находим выражение для пространственной спектральной плотности флуктуаций поля

/ ь х рч (4л)2 у С”尸е(Р)f

+河川"Gh G)：,叫(*D 一

—iae [sin g (f — t) — sin(oo (f —工')])九/, (P)} • (43.15>

Первый член в этом выражении определяет вклад электронов^ а второй — ионов. Вклад ионов в спектральную плотность явно зависит от быстрого времени. Производя в (43.15) усреднение за период 2л/(оо, получим [33]

修恥l

= 用""需说+元/:⑷而乱尸].(43.16А

При получении этого выражения учтено, что при m = оо・ функция распределения ионов 尸尸(卩)=6(卩).

Выражение (43.16) в нулевом приближении по mJ” определяет усредненное за период распределение энергии электромагнитных флуктуаций в плазме, находящейся в высокочастотное электрическом поле.

Кинетические уравнения для плазмы в высокочастотном электрическом поле

Установим вид кинетического уравнения для функции Fa (Р,仏 Интеграл столкновений определяется согласно (41.7) простран* ственной спектральной плотностью флуктуаций 6N* 6Е.

Для определения этой спектральной плотности обратимся к уравнениям (43.1) для функций 6乂。(瓦 Р —等 Е cos ①也 0 ・ Умножим (43.1) на б£*(й, t) и усредним. В результате получим выражение для искомой спектральной плотности. Представим его в виде суммы двух членов. Первый определяется спектральной плотностью флуктуаций поля. Выражение для этой функции нам известно. Второй член имеет вид

(44.1)(44.1)(б№стб£) %k, Р—Е cos ©of, f

(44.1)

(44.1)

Подставим сюда выражение для 6Е(瓦 t) из (43.13), чтобы выразить функцию (44.1) через спектральную плотность флуктуаций 6乂7, 6ЕИСТ, которая нам уже известна.

Таким образом, нахождение интеграла столкновений /а(Р, /) сводится к подстановке известных выражений. Приведем ре-

зультат.

Для пространственно однородной плазмы кинетическое уравнение для функции распределения электронов (ионы неподвижны, так как рассматривается приближение 忆=оо) имеет вид

dFJdt = Ie (Р, /) = 1ее + &・(44.2)

爷

—интеграл столкновений электронов с электронами. Это внра・ ж<гче по форме совпадает с интегралом столкновений Балеску——Ленарда. Оно не зависит явно от электрического поля. Эта зависимость появляется лишь при переходе к функциям распределения fa (см. (41.5)).

Интеграл столкновений электронов с ионами при /п^ = оо определяется выражением

Л dPaЛ dPaО О О''О О О''

Л dPa

Л dPa

О О О''

О О О''

"e (P, f)"e (P, f)XX"в"в(44.4)(44.4)X ехр{— Ас — iWx + iae [sin o0« — S — sin^(t — x — с")]} X

"e (P, f)

"e (P, f)

X

X

"в

"в

(44.4)

(44.4)

Используя разложение (43.3), это выражение можно представить в виде [33]

Iei = 2e2e]ni -^- £\ d左一^■厶(％)%(&) X

п, m=—оо

x 6 二产一订 exp 口 (九 一 m) gf] "e职)..(44.5) е (m©0, k)炉(«(oo, k)尸 I、/ и」 др。 \/

Выражения (44.4), (44.5) содержат все гармоники частоты о)о.

Произведем в выражении (44.5) усреднение по периоду. Тогда

42 =20 0吃"^ Ze) I 8 (几恤，在)12舛6 ,(44・6)

门=—8

Напомним, что это выражение получено при условии 仆=оо, поэтому оно не содержит функцию распределения ионов.

Рассмотрим свойства интеграла столкновений /е. Нетрудно проверить, что

п^ Ф(Р)/еdP = 0 при q)= 1, Р・(44.7)

Эти свойства обеспечивают выполнение законов сохранения числа частиц и импульса плазмы.

Рассмотрим уравнение баланса энергии. Для идеальной плазмы интеграл столкновений не дает вклада в уравнение баланса для средней кинетической энергии, поэтому из уравнения (41.1) следует

鳥 2 % \ it *adp=招・(44.8)

Перейдем от функции fa к функции Fa. Оставляя в Fa лишь медленно меняющуюся часть, получим при ги^ = оо

1 2 % I ^； % 如=Е 3 泰 & dP •(44.9)

Из этого уравнения, используя (44.2), находим

系"\金久"=小羲5(44.10)

Из формул (44.10), (44.8) следует равенство

% '"^/eidPH 沼胃。停)^，(44.11)

выражающее средний баланс энергии в плазме при наличии внешнего электрического поля.

Мы провели расчет флуктуаций 6A'a, 6Е и нашли соответствующие интегралы столкновений в нулевом приближении по отношению масс те1шь Это приближение достаточно, в частности, для расчета электрической проводимости (см. следующий параграф). Во многих случаях, например, при расчете релаксации температур, спектров ионно-звуковых волн, это приближение, естественно, не является достаточным.

Развитый выше метод может быть использован для расчета •флуктуаций и определения интеграла столкновений для плазмы в сильном высокочастотном поле и при конечном отношении масс. Это сделано в работе [48]. Приведем здесь для иллюстрации выражение для интеграла столкновений /ei для частот внешнего поля <оо》А%:

(44.12)(44.12)& = 2堂犯詣，dP'dh争/式%)制湍X 义(為一訖)&

(44.12)

(44.12)

Здесь

%(①，斤)=e (①，力)+ [1 - /:(%)] 4ge4л%.

Функции 8 (co, fe), ae, ah aei определяются формулами (43.6).

При отсутствии внешнего поля (Е = 0) выражение (44.12) совпадает с соответствующим интегралом столкновений Балеску—Ленарда. При 恨/仆=0 выражение (44.12) переходит (с учетом со。》kvTe) в (44.6).

Используем равенство (44.11) для определения электрической проводимости плазмы.

Проводимость плазмы в сильном высокочастотном электрическом поле

Для определения проводимости о(Е) подставим в равенство (44.11) выражение (44.6) для /^. В качестве функции Fe возь* мем распределение Максвелла. Оно устанавливается за счет электрон-электронных столкновений. Выполняя в (44.11) интегрирование по Р, получим следующее выражение:

《限x е)《限x е)不/: (%%)1 8(〃(00,在)]2不/: (%%)1 8(〃(00,在)]2o(E)F

《限x е)

《限x е)

不/: (%%)

1 8(〃(00,在)]2

不/: (%%)

1 8(〃(00,在)]2

2—

(45.1)(45.1)heE

(45.1)

(45.1)

U若

Рассмотрим предельный случай слабого поля. Из формулы (45.1) следует, что поле можно считать слабым, если во всей

области интегрирования по k |馄|《1, т. е.

k \ е \ Е

(45.2)(45.2)При 0)〜Se，々maJ^En 〜「"mln ~ 】/沫 ИмеемПри 0)〜Se，々maJ^En 〜「"mln ~ 】/沫 ИмеемI % I =2~ *^ 1 При 电nln V 々 V 々max・

(45.2)

(45.2)

При 0)〜Se，々maJ^En 〜「"mln ~ 】/沫 Имеем

При 0)〜Se，々maJ^En 〜「"mln ~ 】/沫 Имеем

Здесь / — длина свободного пробега при электрон-электрон- ных столкновениях.

Таким образом, поле можно считать слабым при выполнении условия

\義旧闌 < 1,(45.3)

т. е. работа поля на длине свободного пробега должна быть малой по сравнению с кТ.

В слабом поле правую часть равенства (45.1) можно разложить по Е. Разложение начинается с Е2. Сокращая на £2/2, получим выражение для проводимости в слабом поле с учетом поляризации плазмы

? за Л,r "Хр (- 誥%), o=~V^F^^—,项 J 1&а，在)|2 —т)

Это выражение соответствует результату работы Переля и Эли- ашберга [34], в которой рассчитывалась проводимость равновесной плазмы.

При зо》со。эффект поляризации можно не учитывать. В этом случае обрезание области интегрирования в (45.4) происходит за счет экспоненциального множителя (左巾皿 ~ 0c/и%).

В обратном предельном случае, когда(оо 《о)е， эффект поляризации оказывается существенным и выражение (45.4) принимает внд

o = M 需（门产 "项）工帀#•（45.5）

Рассмотрим теперь случай сильного поля, когда \ае\ Э> 1. Из (45.1) находим следующее выражение для проводимости:

О кО к8 75Hleel%XW%8 75Hleel%XW%пг^[АЫ + В^)Ы^пг^[АЫ + В^)Ы^

О к

О к

8 75Hleel%XW%

8 75Hleel%XW%

пг^[АЫ + В^)Ы^

пг^[АЫ + В^)Ы^

(45⑹

Здесь использованы обозначения

z®)=2 f誓-川卜海)弘+ п оI о

8I

+ [[爲①)一嵩]% + ! E + ，(45・7)

3®。)= % )1%(/。:研一 V (45・8)

%0

При зо《(Ое учет поляризации обеспечивает в этих выражениях сходимость интегралов.

При о)о》со。в выражениях (45.7), (45.8) можно пренебречь поляризацией. Если также учесть, что

Д((оо)<В((оо)1п-^^

то выражение (45.6) примет вид [35]

Х=8

0=岑簪&几e备。{冬em一5?}I _ X

义Е包雙乌庄.(45.9)

Заметим, что условие сильного поля, при котором справедливы выражения (45.6), (45.9), означает, что

еЕркТ》1.

Это условие является очень жестким. Зависимость проводимости от поля имеет место уже в значительно более слабых полях, когда еЕг^кТ《1, но eEl/кТ А 1. Это следует из критерия слабого поля (45.2).

При расчете проводимости плазмы в сильном поле мы предполагали, что плазма устойчива. В нулевом приближении по отношению масс tnelmi это действительно так. Однако с учетом конечности этого отношения возможно возникновение апериодической неустойчивости (см. § 8, [17]). В неизотермической плазме возможны параметрические неустойчивости (см. §§ 9, 10 в [171). Неустойчивости имеют место по отношению к возмущениям с длинами волн, большими радиуса Дебая.

В связи с возможностью появления неустойчивостей возникает вопрос. Может ли проявиться найденная нами нелинейная зависимость электрической проводимости от поля?

Из изложенного следует, что нелинейная зависимость проводимости от поля проявляется уже в сравнительно слабых полях, когда еЕ1 〜кТ (I — длина свободного пробега). Это условие можно записать в виде Е2/пкТ 〜ц2 (к — плазменный параметр). Критическое поле при апериодической неустойчивости таково, что Е2/пкТ ^ |,1 (см. (8.9) в [17]). Таким образом, при 卩《1 нелинейная зависимость проводимости от поля проявляется раньше, чем наступает апериодическая неустойчивость.

В неизотермической плазме параметрическая неустойчивость наступает при Е2/пкТ ^ Vtnjmi ц. При ц <С Vtne/tni нелинейная зависимость проявляется раньше, чем наступает неустойчивость.

Отметим, что в работе [48] проведено вычисление времени релаксации температур для плазмы в сильном поле.

Низкие частоты

Рассмотрим кинетическое уравнение для случая низких частот, когда

So《①е 〜％ J「D・(46.1)

Отношение частоты столкновений электронов к частоте Ленгмюра порядка плазменного параметра ц, поэтому при условии (46.1) частота и” может быть сравнима с частотой столкновений.

Зададим поле в виде

E(t) — E cos со。力(46.2)

это позволит рассмотреть и случай постоянного поля. При этом вместо (42.13), (42.10) надо использовать выражения

Р = Р +響 sin ①(А(46.3)

成'〈成"E cos s# = -Д- [cos s()f — cos со。(f — t)].(46.4)

При условии (46.1) в правой части (46.4) можно разложить по тзо. Ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим

cos so (/ — т) — cos(o0f = sot sin s(/ —冶一cos s()f • (46.5)

Запишем в этом приближении уравнение для фурье-компоненты 62a. Из уравнения (43.1) с учетом (46.2) — (46.5) получим

6Na (k.P + ^E sin з(А f) = б№ст (k,P + ^E sin g力 f) 一

—eana \ exp [— At —汾(P + ^^- E sin gf) + iaa (/) (coo^)2/2] X о

dfa(P + 看 E sin 5 (t T), t

X 6E 便，t -力一^^^九 (46.6>

Перейдем в этом уравнении к обычным переменным р (см， (46.3)) и учтем, что при условии (46.1)

(46.7}(46.7}sin со。(/ — т) — sin <оо/ = — cos (<oof)(о0т.

(46.7}

(46.7}

Тогда из (46.6) получим

6АМ瓦 Р, /) = 6此в (瓦 р, /)-

\ ехр [— Ат — ikvx + iaa (f) s証2/2」X о

X 6E (fe, / _ T)垄七吟丁，f dt, aa (0 = aa cos s(/•X 6E (fe, / _ T)垄七吟丁，f dt, aa (0 = aa cos s(/•(46.8>(46.9)(46.8>(46.9)При интегрировании по т в (46.8)ОСНОВНОЙвклад прнходится на областьТ V ^тах 〜1/^тах%еС"1/Зе・(46.10)При условии (46.1)®0^тах《1,(46.11)поэтому“пах @：《『а，(46.12}При интегрировании по т в (46.8)ОСНОВНОЙвклад прнходится на областьТ V ^тах 〜1/^тах%еС"1/Зе・(46.10)При условии (46.1)®0^тах《1,(46.11)поэтому“пах @：《『а，(46.12}гдегде

X 6E (fe, / _ T)垄七吟丁，f dt, aa (0 = aa cos s(/•

X 6E (fe, / _ T)垄七吟丁，f dt, aa (0 = aa cos s(/•

(46.8>

(46.9)

(46.8>

(46.9)

При интегрировании по т в (46.8)

ОСНОВНОЙ

вклад прнхо

дится на область

Т V ^тах 〜1/^тах%еС

"1/Зе・

(46.10)

При условии (46.1)

®0^тах《1,

(46.11)

поэтому

“пах @：《『а，

(46.12}

При интегрировании по т в (46.8)

ОСНОВНОЙ

вклад прнхо

дится на область

Т V ^тах 〜1/^тах%еС

"1/Зе・

(46.10)

При условии (46.1)

®0^тах《1,

(46.11)

поэтому

“пах @：《『а，

(46.12}

где

где

На этом основании в уравнении (46.8) можно произвести разложение по xd/dt. В нулевом приближении (идеальная плазма) можно совсем пренебречь запаздыванием функций fa.

Интеграл столкновений 1а определяется спектральной плотностью @Na6E)9 tl p для области частот со » ①丄 н 々 > 1/гп- Вклад крупномасштабных флуктуаций в интеграл столкновений будет рассмотрен особо в гл. 11. Вследствие этого при условии (46.1) можно при расчете спектральных плотностей не учиты-

вать в (46.8) явную зависимость от времени, входящую через E(t), %«)• Тогда из (46.8) получаем

6Nа (й), k, р) = S^aCT(CO, А, р)—

—еапа ^ ехр [— Ат + Z (о — Av) т + 1аа (/) s^/2] 6Е (со, k) X о

X 5agM『(业 “ dr.(46.13)

Используя уравнение (41.2), с помощью (46.13) получим уравнение для 6E(s, G):

8(о,左)6Е®,力)=-碧4冗 2% 卜N『®, fe, p)dp = bE^\ (46.14>

Диэлектрическая проницаемость определяется выражением

9 ОО

в (о,力)=1 ——Z 2 学;白 \ \ ехр [— Дт + / (о — Av) t + a0

+ iaa (0 嗚*2] (fe 普)…e(猿" #.(46.15)

Выражение для спектральной плотности флуктуаций 6ЕИСТ можно получить из (42.8), если принять во внимание (41.5) и равенства(46.3) — (46.5):

(6Е 6Е)：：： = £2 Re jdT X

aО

X，dp ехр [— Ат + i (s —论0)т + iaa (f)党弍住]f« (p — eaE(t) t, f).

(46.16)

Это выражение можно записать в более удобной форме. Для этого произведем замену переменных интегрирования

(46.⑺(46.⑺р — eaE(t)x^p.

(46.⑺

(46.⑺

С учетом (46.9) получим из (46.16)

аО

Х^ dp cos [® —师)т — аа (0 "^-] fa (р, 0- (46.18)

Из уравнения (46.14) следует, что спектральная плотность -флуктуаций поля выражается через функции (46.15), (46.18) обычным образом:

(6Е6Е)з» = Е清.(46.19)

Теперь уже все подготовлено для нахождения интеграла -столкновений

/а (Р,力=一 ^ 击、Re (62。6E)3,財尸 ds dk.(46.20)

Запишем сразу результат:

9 = ?岁辱标、dedh加雜/1 h评X

>< Re，dt exp [— Ат + i ® — kv) т + iaa (f) co怨/2] X

X Re \ di exp[— Atz + f (s — M) i + iab (/) u)：t"/ 2] X

X [争%-霊%I.(46.21)

l叫"/ Pa~eaE{t}Vt Pb-ebE(t)C

При E(f) == 0 это выражение совпадает с интегралом столкновений Балеску — Ленарда (37.1).

Нетрудно убедиться, что интеграл столкновений (46.21) обладает свойствами

/")= 2乙、①а (р) Az(Р，t)dp = Q при фа= 1, р, р2/2та. (46.22) а

Интеграл столкновений Балеску — Ленарда и соответствующий ему интеграл столкновений (46.21) получены в первом при- сближении по плазменному параметру р,. Учет динамической поляризации обеспечивает в них сходимость интегралов по k при малых значениях волновых чисел — больших расстояниях между заряженными частицами.

Вклад взаимодействия на малых расстояниях учитывается в этих интегралах столкновений не вполне корректно. Следствием этого является логарифмическая расходимость интегралов при больших 々.Из-за логарифмического характера расходимости эта некорректность для идеальной плазмы не является -существенной. Однако для неидеальной плазмы вклад взаимо-

действия частиц на малых расстояниях в недиссипативные характеристики является существенным. Вследствие этого возникает задача получения интегралов столкновений, которые учитывали бы достаточно корректно вклады взаимодействия частии как на больших, так и на малых расстояниях. Мы увидим (см. §§ 55, 56), что эту задачу можно решить, если вместо точнога учитывать усредненный вклад динамической поляризации. Это соответствует введению эффективного потенциала.

§ 47. Эффективный потенциал, учитывающий усредненную динамическую поляризацию плазмы

Из выражения для функции Re (64Va 6^)w. k,p, определяющей интеграл столкновений Балеску ——Ленарда (37.1), видно, что за счет поляризации происходит следующая перенормировка компоненты Фурье потенциала взаимодействия заряженных частиц:

(47.1>(47.1>'ab 他）f 1£；爲然）卩，"。0 3）=噸% •

(47.1>

(47.1>

На этом основании эффективный потенциал, учитывающий усредненную по скоростям динамическую поляризацию, можно определить выражением [7] '

^ 便)=但)\ 号震■磊 М (47.2>

Рассмотрим это выражение в приближении локального рав* новесия, когда функции fa — распределения Максвелла с Та= Т.

Используя равенство (36.19) и определение радиуса Дебая^ получим из (47.2) следующее выражение:

3b(竹= Vqb(后)哈依/(1 +总城).(47.3>

Отсюда, используя значение интеграла (36.23), находим

毎 ab (г)=① ab (厂)「"D,①册(г) = eaeb/r.(47.4>

Таким образом, в состоянии равновесия эффективный потен* циал совпадает с потенциалом Дебая.

Эффективный потенциал можно выразить через спектральную плотность флуктуаций поля (6Е6Е%・ Для этого используем выражение (35.7). В результате

.® ”b (6Е6Е%(bq bq)k

Nab (*) =~ = Vab (论)"F^—・(47.5>

Здесь (6g 5g)& — спектральная плотность флуктуаций заряда.

Выражение (47.5) можно принять за определение эффективного потенциала при использовании его в более общих случаях, например, при наличии внешних полей.

Перепишем выражение (47.5) в виде

论一 2 @。 后)]£(@ 左)12 'S.(47・6)

Затем учтем, что

回瓏\=晶丽琛3(47.7)

Используя эти равенства, покажем, что для идеального газа, т. е. при gab = 0, эффективный потенциал совпадает с потенциалом взаимодействия. Для этого заметим, что по определению 6g

(6? ”)在=£ еаеь 卜6必 6必)在 m 〃 dpi d% ab

Для идеального газа из (26.11) следует, что

ЗМ 6 储久,р/2 =賜&6 3 — б) %・(47・8)

Из (47.7), (47.8) следует, что при gab = О

(б? б?)л = Е Ф«-(47.9)

Подставляя (47.9) в (47.5), убеждаемся, что при gab = 0 Фаь = —①ab・

Из сравнения выражений (47.1), (47.6) видно, что при введении эффективного потенциала в интеграле столкновений происходит замена:

力#)小 11「(”м)旷_ z^ 1

I 8®,切2 f %b®£@c 豆)|£(CD,W) |2 dS=^®—|£(CD/)|2，

со с функ・со с функ・(47.11)(47.11)'(47.10)

со с функ・

со с функ・

(47.11)

(47.11)

т. e. происходит усреднение функции l/|e(co, й) |2 по цией распределения

f®)= 5^£(MM)*・

Используя это, введем эффективный потенциал в интеграле столкновений (46.21). Произведем в (46.21) замену (47.10) и выполним после этого в (46.21) интегрирование по ш и /.

В результате получим выражениеВ результате получим выражение4z(p, /)==£4z(p, /)==£2%；曲d2%；曲dл dpjл dpj\ dk dpz \ dr-о\ dk dpz \ dr-о(3)(3)XCOS [(论b——论i)T—"a匕(f) W。；)”] {^"%—^V"}\ ma mb /°0Из формул (47.10), (47.7), (46.18) следует, что1 XCOS [(论b——论i)T—"a匕(f) W。；)”] {^"%—^V"}\ ma mb /°0Из формул (47.10), (47.7), (46.18) следует, что1 (47.12>(47.12>I e(co, k)\2 —82 e^^a \ dr \ dp cos [(co — kv) r — aa (/)1 f a 0I e(co, k)\2 —82 e^^a \ dr \ dp cos [(co — kv) r — aa (/)1 f a 02&с2&сI е(со,走)|2I е(со,走)|2后.后.(47.13>(47.13>для интеграладля интегралаИспользуем приближенное выражение (47.12) столкновений при расчете проводимости плазмы.

В результате получим выражение

В результате получим выражение

4z(p, /)==£

4z(p, /)==£

2%；曲d

2%；曲d

л dpj

л dpj

\ dk dpz \ dr-о

\ dk dpz \ dr-о

(3)

(3)

XCOS [(论b——论i)T—"a匕(f) W。；)”] {^"%—^V"}

\ ma mb /°0

Из формул (47.10), (47.7), (46.18) следует, что

1

XCOS [(论b——论i)T—"a匕(f) W。；)”] {^"%—^V"}

\ ma mb /°0

Из формул (47.10), (47.7), (46.18) следует, что

1

(47.12>

(47.12>

I e(co, k)\2 —8

2 e^^a \ dr \ dp cos [(co — kv) r — aa (/)

1 f a 0

I e(co, k)\2 —8

2 e^^a \ dr \ dp cos [(co — kv) r — aa (/)

1 f a 0

2&с

2&с

I е(со,走)|2

I е(со,走)|2

后.

后.

(47.13>

(47.13>

для интеграла

для интеграла

§ 48. Электрическая проводимость. Эффективное (действующее) поле

Найдем уравнение баланса для плотности электрического тока / = ^ еапа ^ vfa dp. Из кинетического уравнения (41.1) следует, что

■^ = 2 等1 E(t) + ^eana^vla dp. (48.1)

Преобразуем второй член правой части этого уравнения. Подставим в него выражение (47.12), проинтегрируем по частям по р, симметризуем относительно а, р; Ь, р‘ и проведем замену переменных р — eaE(t)r-^p. В результате получим WeMa\*dp = — W*^_^)\dhdpdp'X

义“备 18k严 COS [(M - М) т + 啞(/)弩]X

0х"需％-泰fj・(48.2)

Дальнейшие вычисления проводим с функцией

fiexp[-Rg叫.(48.3)

ТГогда в (48.2)

m器%-霊h} = -3[恤-初‘)-(風-后砧山%• (48・4)

Рассмотрим результат подстановки первого члена из (48.4) в (48.2). Учитывая, что

=0,=0,(48.5)(48.5),cos [比(v — vz) т + aab (0 尚-]d [论(и - g т + aab (f) ч)

=0,

=0,

(48.5)

(48.5)

запишем первую часть выражения (48.2) в виде

[2 еапа ,叫 dp] =аЕ cos ш0^

Здесь введено обозначение

. =_2定戶(^一^)d・(48.6)i

ab"

Через /；" обозначен интеграл

~®)

'"= W\d5dhdp dp，、占(J(g)2 |£®,在)|2 X

X cos [限-kvf) т + aab (0 笥4 fa (p) fb (p) (48・6)2

Рассмотрим результат подстановки второго члена из (48.4) в (48.2). Представим вторую часть (48.2) в виде

(£ О та，叽 dp) = — VJ.(48.7)

Здесь введено обозначение

v=Y ，电畐〃/限(空/乳 (48.8) £ кТ (eana^ebn^\ma9

где ~・(«)

jab-^}dx\dk dp 犷翳"R号研 X о

X COS [(论и — k吟 т + aab (/) ^~] %%• (48・9)

Здесь учтено, что j = (еапа — еьпъ) (〃а — 〃ь)/2・

• Выражение (48.5) в сумме с первым членом правой части уравнения (48.1) определяет эффективное поле в плазме при наличии сильного внешнего электрического поля (с(оо《<оь) и с учетом усредненной динамической поляризации плазмы.

Второй вклад (48.7) определяет диссипацию в уравнении (48.1) для тока и, следовательно, определяет при тех же условиях проводимость плазмы.

Приведем результаты расчета эффективного поля и проводимости плазмы в слабом поле, но с учетом поляризации.

В слабом поле из (48.6) 2, (48.9) находим

(48.10>(48.11>(48.10>(48.11>

(48.10>

(48.11>

(48.10>

(48.11>

Подставляя выражение (48.10) в (48.6) ь получим

(48・12>(48・12>1 с? е2п

(48・12>

(48・12>

"=一石不 ^，ё = \^ = ё-

Объединим выражение (48.5) с первым членом правой части уравнения (48.1). Тогда получим выражение для эффективного (действующего) поля [41, 49]

%『(1一書爲^艮 В电

Отсюда видно, что отличие эффективного поля от внешнего пропорционально плазменному параметру 卩〜*1г»кТ.

Рассмотрим теперь выражение (48.8) для величины v, определяющей затухание тока в плазме.

В слабом поле выражение (47.13) в (48.11) принимает вид

(®)р

「= =-\ ■ У \ I 试dp. (48.14>

|s(C0, k)\22&с— a aj |g(M,无)|2 “，

Поскольку fa — распределение Максвелла, то мы можем использовать равенство (36.19). Тогда выражение (48.11) примет вид

/0=鲁“煮Г J 體=e "I + 哈絲 aх •

(48.15〉

Подставим этот результат в (48.8) и запишем выражение для v

в виде—

” =4产"訂:呼е"1 +吊矶х・(48.16)

Из (48.13) следует, что при е^ = \ее\ эффективное поле не зависит от индекса а, поэтому уравнение (48.1) с учетом выражений (48.13), (48.7) можно записать в виде

* + 廿=Езфф. (48 .⑺

Из этого уравнения следует, что

7(®)=許二 М^вЕзфф ®) м а(ю) Еэфф- (48.18)

Отсюда находим реальную часть проводимости [7]

卩％ 0)2+ v2з V|iez (kT)'2

(48.19)

Если использовать интеграл столкновений Ландау, то в выражении для V

in Vl + Гостах 三厶‘ f In rDfemax 三厶 (48.20)

L — так называемый кулоновский логарифм. Из (48.20)

厶/ — £ — Г ГD^n:ax/2ПрИI 1 — Гостах ПриВ статическом поле (s = 0) замена 厶 нию проводимости, так как厶/ — £ — Г ГD^n:ax/2ПрИI 1 — Гостах ПриВ статическом поле (s = 0) замена 厶 нию проводимости, так как「D^max《1, 1 — ГD^max《1 • на U ведет к「D^max《1, 1 — ГD^max《1 • на U ведет к(48.21)(48.21)уменьше-уменьше-0® = 0) =謂〜；0® = 0) =謂〜；и Г >L.и Г >L.(48.22)(48.22)

厶/ — £ — Г ГD^n:ax/2ПрИ

I 1 — Гостах При

В статическом поле (s = 0) замена 厶 нию проводимости, так как

厶/ — £ — Г ГD^n:ax/2ПрИ

I 1 — Гостах При

В статическом поле (s = 0) замена 厶 нию проводимости, так как

「D^max《1, 1 — ГD^max《1 • на U ведет к

「D^max《1, 1 — ГD^max《1 • на U ведет к

(48.21)

(48.21)

уменьше-

уменьше-

0® = 0) =謂〜；

0® = 0) =謂〜；

и Г >L.

и Г >L.

(48.22)

(48.22)

Флуктуации при наличии магнитного поля

Рассмотрим влияние внешнего магнитного поля на спектральные плотности флуктуаций в нерелятивистской плазме. В этом случае вихревое электромагнитное поле, создаваемое частицами, мало. Поэтому для описания флуктуаций в приближении вторых корреляционных функций можно использовать уравнения (27.7) — (27.10), полагая в ннх

Таким образом, исходные уравнения для флуктуаций имеют вид

(备+ V号[响亲)(叽- 6m尸)=-% 6e等，

rot6E = 0, div бЕ = 4л ^ ea б^a dp,(49.2)

a

傍 + V 备 + ■?■【啲击)8Na 6M度:= о, (49.3)

(6Na 6储)；；^z, t, [=r = 6abna 6(x — /) % (/,，)•(49.4)

B уравнении (49.2) опущен член

%W6b]*・(49.5)

Это оправдано, если функция распределения зависит лишь от продольной и поперечной по отношению к вектору В составляю- 1цйх импульса, т. е. не зависит от угловой переменной в пространстве импульсов. Здесь будут рассматриваться только такие функции распределения, т. е. функции вида

fa(P，t) = fa(P\ Р1，0.(49.6)

При этом условии выражение (49.5) обращается в нуль и уравнение для функции % принимает вид

警=一 击 ^ \ Re(°此 6Е)瓦 °" dk.(49.7)

Отсюда следует, что функция (49.6) является медленно меняющейся функцией времени. Поэтому для идеальной плазмы, когда можно пренебречь временным запаздыванием функций /л, флуктуационный процесс при условии (49.6) является стационарным.

При учете зависимости функции распределения от фазы флук^ туационный процесс в сильном магнитном поле не является ста* Дионарным. Расчет спектральных плотностей в этом случае мо、 жет быть проведен по аналогии с тем, как это было сделано в §§ 41—46 при исследовании статистических свойств плазмы при наличии сильного высокочастотного поля.

Приступим к решению уравнений (49.2), (49.3). Для этого рассмотрим сначала решение уравнений характеристик

甞=号[响，亲=〃 p = m歩. (49.8)

Обозначим начальные (в момент f) значения координат и импульсов частиц через R, Р・ Тогда решение уравнений (49.8)

можно записать в виде

р = (РЬ) Ь + [[ЬР] 6] cos Йл (/ 一 0+ [Pb] sin Qa (/ - f), (49.9)

r = Rr = R+ 粤"-')+ 粤"-')[研0加0Q@[研0加0Q@sin&(f —，)+sin&(f —，)+疆 1—cos%i)・疆 1—cos%i)・(49.10)(49.10)

r = R

r = R

+ 粤"-')

+ 粤"-')

[研0加0Q@

[研0加0Q@

sin&(f —，)+

sin&(f —，)+

疆 1—cos%i)・

疆 1—cos%i)・

(49.10)

(49.10)

Здесь использованы обозначения

b = Bf\B\t Qa = I е, I В/M，(49.11)

Из (49.9), (49.10) следуют обратнье соотношения

р = (“) Ь + [[Ьр] 6] cos Qa (，-/) - [bp] sin Qa (У - /), (49•⑵ R = i 喏L(D +嘿旦 sinQaD-

一等 1一 cos&(，一/))・ (49.13)

Наряду с векторными выражениям нам понадобятся ниже выражения для отдельных компонент.

Направим вектор ВЦ г, тогда из (499) получим

Рх = Рх cos G (/ —，) + Py sin 2a (/ -，)，

Ру = Py COS Q“ (f 一 У) — Px Sin 勿(/ 一 Q,厶=Pz・ )

Запишем также в компонентах равенство (49.10):

rx = ^ + -^-sinQa(/-f) + -^-(l-cosQa(f-f)), J = Ry + 盒 sin Qa (/ -')-盜 ° 一 c°s 5(/ - О), (49.15) % = & + %(/ —，)•

Используя решение (49.12), (49.К), находим из уравнения (49.2) выражение для функции 6乂

ЗМа (ш, ft, р) = 6М片т ®,財 р) — еапа j (хр {— Ат + о

+ i[^ + k(R(-т)-叨} (6Е(о,砌需)「у у ^ (49.16)

Здесь использовано то, что функция Д ——медленно меняющаяся функция времени. При В = 0 это выражение совпадает с (35.2).

Из уравнения (49.2) для б£ находим

6Е ®,期=—鲁 £ 4ле J 6Mz ®,瓦 р) dp ・(49.⑺

a

Подставим сюда выражение (49.16). В результате получим уравнение для флуктуации поля

е (s,论)6Е (о,同=—鲁 4п £ % 卜2尸(©, й, р) dp 三 бЕ*'. (49.18) a

Здесь введено обозначение для диэлектрической проницаемости плазмы в магнитном поле

98

8 ® 左)=1 —力 2 4冗沪.\ j exp {—Дт + "an + 左(R (—t) — r)]}X

义(论 与") dtdp. (49.19) \ 叩 丿p=p (一0

Преобразуем это выражение, используя условие (49.6), из которого следует, что fa(P(—т)) = fa(p). Используем равенство

(&器)1>1)= 得岛就= p(一Т'无)包耙.(49・2。)

Здесь вектор Р(—т,々)определяется выражением (49.12), если в нем заменить вектор р на вектор k.

Введем цилиндрическую систему координат р°, р1, <р с осью 2 вдоль вектора В. Тогда

рх = р^ cosqp,做=々丄 cos 叭(49 21)

py = р丄 sin ср, ky =々丄 sin 叭

Используя эти равенства, из (49.13) получим

hR (— %) = kr —后切к —

О— [sin (qp —屮 + Qat) — sin (ф — -ф)], (49.22)

"J *后)* =載器+ 85(屮-2 + 0小)々丄券.(49.23)

В последнем равенстве учтено, что функция fa не зависит от <р. Подставим равенства (49.20), (49.22), (49.23) в выражение 、(49.19) и используем разложение

8丄丄

ехх ^(ф-ф)^ у 厶(х)е%$7),尤=*一・(49.24)

Так как функция распределения не зависит от <р, то можно выполнить интегрирование по 屮.Используя равенства

оо 2Л

*2 、厶 21т ⑶ eXр [一打((Р 一 2 + 0小)+

n, m=—8 J)

+ zm (ф —屮)]d(p = ^ /m (x) exp (— ZmQaT),

(49.25)(49.25)in

(49.25)

(49.25)

oo 2Л

击 2 \ 〃(x)/m(%)exp[-j〃((₽-2 + £2小)+ im (中一")]* n, m=—8 и

X cos (<p —屮 + Q# d^= ^ exp (— imQax) ?落(%)m=— oo

и выполняя интегрирование по т

получим следующее выражение для диэлектрической проницаемости:

图=1 + 2祭" £ f 2Пр丄如丄 j am=—8 0—oo

X —前n」oГm寻 + 映fa (6, P丄，f).(49.26) © — knvn — mQa + 4Д L dp"и丄 dp J

При условии (49.6) выражения (49.19), (49.26) эквивалентны.

Найдем теперь выражение для спектральной плотности флуктуаций поля. Для этого обратимся к уравнению (49.17). Из него следует, что

2萼心"mq 6也)黑"如川(6e б£)ис；

(6Е 6Е)з,尼=—I g (со,悶 |2三 I е (со, ^)|2

(49.27)

Для определения спектральной плотности флуктуаций 6/V^‘ обратимся к уравнению (49.3). Используя снова условие медленности функции 瓜 в нулевом приближении по запаздыванию

получим следующее выражение:

2解)黑,";

=%储& 2 Re \ dt exp {— At + i [шт + Jfe (R (— т) — г)]} X о

X6(p(_T)— p/)h(p, f)・(49.28)

Отсюда находим

(6e6 砥”

=Х 空〜:& 2 Re I \ exp {—Ат + aО

+ Z [шт + ft (/? (—т)—r)]} fa (p,力)dr dp・(49.29)

2Re \ ехр [—Ат + Z (ш — ^иии о2Re \ ехр [—Ат + Z (ш — ^иии оСнова используем равенства (49.22) и разложение (49.24). Интегрируем по ф и используем равенства (49.25). Учитывая, что

2Re \ ехр [—Ат + Z (ш — ^иии о

2Re \ ехр [—Ат + Z (ш — ^иии о

—tnQa) т] dr = 2п6 (со —右3—mQa).

получим искомое выражениеполучим искомое выражение(49.§0>

получим искомое выражение

получим искомое выражение

(6Е 6矶：：=2 (4力后:2竺 £ , 2Л 6 (0 -也"—加aj x am=—oo

X 森 P^)fa(6, P丄，/)2唱丄 dp丄 d/A (49.31)

Подставляя это выражение в (49.27), найдем спектральную плотность флуктуаций поля.

Найдем теперь выражение для спектральной плотности Re (6^ 6E)w л р, определяющей интеграл столкновений /а.

Из равенства (49.16) следует, что

Re (“Q (й 6Е))叫 ® ° = Re (б№ст(й 6Е)% 瓦「一

—е@孔a Re [ exp {— Ат + i [шт + ife (R (— т) — г)]} X о

X瓦(岭6认论(務 L(r.(49.32)

Преобразуем сначала второй член правой части. Здесь можно произвести усреднение по переменной <р, так как интеграл стол к* новеннй в кинетическом уравнении не зависит от нее.

8 Юк Л. Климонтович

Согласно (49.17) 6£||fe, поэтому тензор

(6Е*Е儿，产Н(6£6Е)4 力(49.33)

и, следовательно, определяется выражением для спектральной плотности флуктуаций поля.

Преобразуем в (49.32) интеграл по т. Подставим в (49.32) равенства (49.20), (49.22), (49.23) и произведем усреднение по угловой переменной. После этого выполним интегрирование по т. При интегрировании по <р, т используем выражения (49.25). В результате второй член в (49.32) после усреднения по (р примет вид

一曰力 W Im (-^) б (CD - k^ - mQ^ (6E 6E)at , X m=—8

х(?方十誉粉)h3' P丄'')• (4934)

Преобразуем теперь первый член правой части выражения (49.32). Используя уравнение (49.18), запишем его в виде

Re (6№ст 3 GE)%, “ = Re鳥葡2 4叫卜6熊风)黑,"川. ь

(49.35)

Подставим сюда выражение (49.28), просуммируем по 6 и проинтегрируем по р‘. Учитывая, что при условии (49.6) fa (р)= =fa(P(—т)), получим

Re(6№CT(*6E))tt^>p =

=Re е篋旨2Re \ dt exp {—Ат + /[от + 论(R(―力一r)]} fa (p, /).

(49.36)

Подставим сюда выражение (49.22), произведем разложение по функциям Бесселя, усредним по угловой переменной, используем (49.25) й выполним интегрирование по t. С учетом равенства (49.30) получим следующее выражение:

~\^Nr(k6E)lkpd^ = о

=6(® -咫别-mQ〃)f а 3"丄，о • (49.37)

Из (49.26) находим мнимую часть диэлектрической проницаемости

Im ё (8,к)=—2 学密竺 j 2叩丄 dp丄 \ dp^ 2 森('q： )х bО—8"1 = —8

X 6 (co —載别一mQ^ 俨晶р + 号^ -~rj fb 3, P丄，/)・(49.38)

Выражения (49.32), (49.34), (49.38) и определяют усредненную по ① спектральную плотность gN. бЕ% 欠“.Проинтегрируем в этом выражении по со, чтобы найти пространственную спектральную плотность. В результате получим

2л0о

^\^Na^E)K^2М皆)X

UГП=—оо

X { ЗЕ 6%, Р 告卄墻器^ LiU+mQ J("風机(49.39)

Здесь для сокращения записи введено обозначение

足靑+曙詣=[^]■足靑+曙詣=[^]■(49.40>(49.40>

足靑+曙詣=[^]■

足靑+曙詣=[^]■

(49.40>

(49.40>

Полученные нами выражения определяют интеграл столкновений.

§ 50. Кинетические уравнения для плазмы при наличии внешнего магнитного поля

Запишем выражение (49.7) для интеграла столкновений в виде

/а = 7 訂靑 Re \ / ^ 8储他 6Е%“, f dk. (50.1)

Принимая во внимание, что левая часть уравнения не зависит от <р, усредним выражение (50.1) по(₽. Чтобы произвести усреднение в явном виде, поступим следующим образом.

Используем, как и в § 49, цилиндрические координаты с осью n||5. Обозначим через 屮 угол между векторами Вир. Тогда оператор

尼3 =必gp + cos® —叨号汽 + sin® — 叨餐£・(50.2) dp dp" др' P @Ф

Представим спектральную плотность, входящую в (50.1), в виде Re@Na (kbE))k p =

=exp [ix sin((p —屮)]£ exp [— im (<p —叨](6储(k SE))露」，

x = A>S±/Qa. (50.3)

Найдем выражение для функции 俗"。(论 6Е))*；(. Для этога подставим в (50.3) разложение (49.24) и произведем усреднение по <р. В результате получим выражение

2Яоо

盡 \ Re(6AM/UE))“fd(p= £ 〃(岩)Re(6AU^ECi・ 0m=—оо

(50.4)

Сравнивая выражения (50.4), (49.39), найдем 、

Re (6必信 GE))?； £ =-兀笃力〃 (-Ц^) X

X [3 6Е)叫小靑]+然:瑞百м』h(户，认/)•(5。6)

Подставим теперь выражения (50.2), (50.3) в правую часть (50.1) и произведем усреднение по <р. Используя разложение (49.24) и значения интегралов

2л

£ 厶(х) \ exp [in (①一屮)一加(ср —屮)]要=Im (x), (50⑹ п0

2л

2 In 3) \ cos(Ф —屮)exp [in ((P —屮)一im (<p —屮)]寥= n0

=%[%+«) + W]=子 〃 (x), (50.7) получим

2л

击，Ia (P，f)d(p = 0

=—77 (2冗)3但書](*)侍解焦6硼*fd瓦(50.8)

Подставляя сюда выражение (50.5), найдем искомое выражение для интеграла столкновения при наличии магнитного поля. За* пишем его в двух формах.

Первая содержит явно оператор Фоккера — Планка и имеет •вид

4 (6, pу)=N U快彥I呼3"丄,0 [*显X m=—8

XfaipK P丄，t) + \k ^A^(p\ p^, f)%3, p丄，/))}№・ (50.9)

Коэффициенты £>?", Л^ определяются выражениями

。~ = 16爲2 “" ( &“ )(6Е 6Е)加加+叫,*'(50.10)

小向_ Ja_广，…)1me (必枕+叫,论)

Aa -厶丿 I e(献"Л)F•e0.")

Как и в § 37, коэффициент диффузии определяется спектраль- 'ной плотностью флуктуаций поля, а коэффициент систематического трения пропорционален мнимой части диэлектрической проницаемости.

Чтобы получить другую форму записи интеграла столкновений, аналогичную (37.1), используем выражения (49.27), (49.38) для спектральной плотности флуктуаций поля и мнимой части диэлектрической проницаемости. После подстановки этих функций в (50.5) получим для интеграла столкновений следующее выражение:

乙(6, Р丄, 9=2% £/告L q裔义 b m, m'=—8

x{g*Ld謚L}%M * 力从”，尸，Dx

X 2叩‘丄如‘丄dp" 2nM d々丄d曲.(50.12) Здесь использовано обозначение

=2彰旣(若)累,(詈)安赛諡产1.

(50.13)

Кинетическое уравнение для плазмы в магнитном поле с учетом процессов поляризации рассматривалось в работах Росто- кера [36], Елеонского, Зырянова, Силина [37], в работах [38, 8]. В более ранних работах Беляева [39] исследовались кинетические

уравнения для плазмы в магнитном поле без учета процессов динамической поляризации, т. е. рассматривалось приближение, аналогичное приближению Ландау (§ 38).

В приближении Ландау в интеграле столкновений возникает логарифмическая расходимость при интегрировании по волновым числам. Вследствие этого приходится накладывать ограничения (38.2) на область интегрирования. Ограничение со стороны малых k соответствует приближенному учету поляризации плазмы.

При наличии сильного магнитного поля, когда частота и радиус Лармора Ql, Rl таковы, что

Ql> 8口 R^Od, (50.14)'

учет поляризации не является необходимым, так как в этом случае расходимость при малых значениях волновых чисел исчезает. При этом эффективное значение 也加〜1/Rl V 1"d.

Таким образом, учет поляризации плазмы в интеграле столкновений существен, когда

Й£ < ©£, (50.15)，

Выражения (50.9), (50.12) для интеграла столкновений очень сложны. Они существенно упрощаются, если использовать эффективный потенциал (§ 47), учитывающий усредненный вклад динамической поляризации.

Заметим, что в приближении Ландау можно не вводить ограничение (49.6) на вид функции распределения 広 т. е. учесть- вклад и быстрых изменений функции распределения fa. Представляет несомненный интерес построение кинетических уравнений для плазмы в магнитном поле с учетом динамической поля* ризации и без ограничения (49.6).

Изложенные в этой главе методы могут быть перенесены и на квантовые системы. Здесь нет, к сожалению, возможности привести соответствующие результаты. Отметим лишь, что существенный вклад в исследование процессов в сильных магнитных полях внес Павел Степанович Зырянов, трагически погибший зимой 1974 года.

ГЛАВА 9

ПРОСТРАНСТВЕННО ОДНОРОДНАЯ НЕИДЕАЛЬНАЯ ПЛАЗМА

§51. Спектральные плотности нестационарных процессов

При расчете спектральных плотностей, определяющих интегралы столкновений в неидеальной плазме, необходимо, как и в газах, учитывать временное запаздывание функций распределения. Иными словами, нельзя пренебрегать изменениями функций распределения за времена корреляций флуктуаций, определяющих кинетические процессы. Вследствие этого флуктуационный процесс оказывается нестационарным и возникает поэтому необходимость расчета спектральных плотностей нестационарных процессов.

Рассмотрим примеры.

Пусть процесс характеризуется случайными функциями времени

%1 (f)，*2 (力)，， • •, ^П(0»(51 • 1)

для которых средние значения равны нулю, а одновременные вторые моменты являются заданными функциями времени. При •стационарном процессе они от времени не зависят.

Обозначим через

(Р〃(力 / —т) =(р/у(/, т)=勺(/) х7 (/ — т),(5] 2)

Ф// (Л/一t)三学打(力T)=，⑴ /(f - t)‘

корреляции случайных функций х^ х；; х；, х^ в моменты времени /, / — т. Для стационарного процесса функции 屮仃 не зависят от t и определяются равенствами [45]

修 4), 上 — T)=/(方 + t),(/)，(51.3)

(51.4)(51.4)выражающими тот факт, что корреляции не изменяются при замене /-> / + т. Из (51.3), (51.2) для стационарного процесса следует равенство

(51.4)

(51.4)

①〃(т) = Ф// (—"・

В линейном приближении функции 屮订（厶£ ——т）,屮兴（厶力一т） удовлетворяют уравнениям

方中疗（九/ - t） +入优①论, （厶f - t） = 0, （t > 0）,

（51.5>

Z 9〃 （玄 / — т） + ^j^ki （t f — t） = 0, （t > 0）,

которые следует решать при начальных условиях

Ф//（力 /—力陽—=（^t^ 屮〃（力方—т）if=jt=a产i）f—・（51.6>

Для нестационарного процесса спектральную плотность определим следующим образом:

也济底」 = j ［（修尤力九『Т е‘机+ （盯勺）九f— ?т門dt.（51.7> о

Отсюда следует, что

（，，）з/ =［（„）“］；之厂（51.8》

Таким образом, спектральная плотность нестационарного процесса определяется односторонними преобразованиями Фурье по t от корреляций 屮仃（/, / — т）,屮戸（大 t — т）.

Для стационарного процесса из （51.7） с учетом равенства （51.3） и замены во втором интеграле т->—т получим обычное- определение

（修学）3= \（x//）f. I 统次 dt m，屮"（t）e心зT.（51.9>

Разложение Фурье для корреляций имеет вид

Г（51.⑦

Из условия вещественности корреляций

^iZt t =（心切-З」，（打勺）:,/ =（々修）-公f・（5 L1"

Рассмотрим для примера случай одной переменной. В этом случае вместо двух функций （51.2） останется одна

屮（力f - T） m①色力=（/）九I・（51.12）

Юна определяется уравнением

^Ф (Л / — т) + Л(р (/, / — т) = 0, 9(力方一丁儿曰_當=两_「(51.13) Решение этого уравнения имеет вид

中伉 /-^ = ^(^)^,(Tа0),(51.14)

必 из (51.7)

U%, / = 2 Re j (xv)九、工緑砒 dc・(51.15)

о

Подставляя (51.14) в (51.15), получим спектральную плотность нестационарного процесса

(%% / = 2 Re j е-^+^ 画-dx.(51 •⑹

о

При стационарном процессе это выражение принимает вид

(%% = &芻.(51Л7)

Выражение (51.16) для спектральной плотности нестацио- парного процесса можно представить в виде

(х% / = I e^^T^t-^e^d%.(51.18)

Оба определения (51.16), (51.18) удовлетворяют, естественно, условию

歳，停)^廡=舗*(51.19)

Заметим, что и общее выражение (51.15) можно представить в виде, аналогичном (51.18):

(炉)= j ^t.t-\x\ei^dx— I 函九旧级叽*1：. (51.20)

Соответствующее обратное преобразование имеет вид-

函小-g = £ |(%%，*Т8Е^・(51.21)

Рассмотрим теперь соответствующее уравнение «Ланжевена. В случае одной переменной оно имеет вид

dx/dt + Kx = l(t)9(51.22}

где & — случайный источник:

1 = 0, 画“ = 3(/)6 (/-，)•(51.23)，

Установим связь интенсивности флуктуаций источника 8 с (х2)/ для нестационарного процесса. Для этого используем решение уравнения Ланжевена

t

x(f)= J 尸(1” 6 dh(51.24}

Отсюда с учетом (51.23) находим

丽力=，еТАтв (/ 一 т) dr.(51.25>

о

Мы видим, что связь (%2)f с В для нестационарного процесса включает эффект запаздывания.

От (51.25) можно перейти к дифференциальному соотношению*

d 同/df + 2研力=В (f).(5 L26>

В стационарном случае оба выражения (51.25), (51.26) приводят к известному результату:

В = 2痉(51.27>

Установим соответствующую связь для спектральных плотностей (л：2)з,t,(自2)叫з Подставим для этого выражение (51.25) в правую часть равенства (51.16) и проведем интегрирование по частям. В результате получим уравнение для спектральной плотности

?(謬 J + 2九(X% 力=2 Re，е^+^В (/ 一 т) dt. (51.28} о

Если здесь выполнить интегрирование по(о и учесть равенство (51.19), то получим уравнение (51.26).

Для стационЬ^ного процесса из уравнения (51.28) следует равенство [45]

(%%=5/®2 + m)(51 29)

С учетом (51.27) оно совпадает с (51.17).

Из определения (51.23) следует, что для стационарного процесса

Ш = Вб(т),儀)® = 5(51.30)

поэтому выражение (51.29) для спектральной плотности можно записать в виде

a% =(久/(炉+炉)・(51.31)

Это равенство определяет связь спектральных плотностей (х?)^, (?)з при стационарном процессе.

Для нестационарного процесса спектральная плотность источника определяется выражением

2九(工2)£ = 2 Re \ e-入计^В (f 一 т) dr.(51.32)

о

С учетом этого уравнение (51.28) для спектральной плотности можно представить в виде

霁吧=—2九［(ж%, l 停谓］(51.33)

Для стационарного процесса отсюда следует равенство (51.29).

Полезна еще одна форма записи уравнения для спектральной плотности.

Из уравнения Ланжевена (51.22) находим

(嘗j—九(xx)t I + 3八 I，

——__(51.34)

(% 后｝ f」=-九(双)九 I + (尤зa f-r

Используя эти равенства и формулу (51.7), найдем

z dx^9(51.35)

Складывая эти равенства, получим уравнение

d*且 + 2九併)叫 f =原h f + (啕3, f = 2 Re (啕@, f. (51.36)

По общей формуле (51.7) имеем

(啕通f =卜(麻,i e‘次+ (施,I еT叫任(51.37)

Таким образом, для определения спектральной плотности надо знать две функции (挺)九…中 隽工)九~工・ Для их определение используем решение уравнения Ланжевена (51.24) и равенства (51.23). Тогда

(4)t …=j е-м m«v t^ = e"阳(/ 一 т),(51 ・3涉

о

(玩)九f-Т =

=j e-九『(詢九 J一丁 di = j e-^B (Од(т + i) di/ = 0. (51.39% оо

Из (51.37) — (51.39) следует, что

2 Re (啕* £ = 2 Re I ^-厶计心山｛t 一 r) dr. (5 L40> о

Подставляя это выражение в правую часть (51.36), снова, приходим к уравнению (51.28).

§ 52. Спектральные плотности флуктуаций источников в неидеальной плазме

В соответствии с определением (51.7) спектральная плотность флуктуаций 6^a, BNb для неидеальной и пространственна неоднородной плазмы выражается через корреляции следующим образом:

(6储 6N鹏」,厶 “n [(^^, 一亠一，，佃1"宀 +

о

+ 也Nb&N£ I, г,—，“，“етмт(—0dtd(p — k). (52.1>

Отсюда следует свойство спектральной плотности

也Na 6必)з,丸九「““, = gMa 6乂丸,瓦 a “.，]；» 喰p,・(52.2〉,

Удобна другая форма определения (52.1). Введем обозначение (6з6心)，，九….，=

=(、(^Жк ~亠 -,，，""，?"т T(-'))di:d 什一y). (52.3>

Из （52.1）, （52.3） следует, что

（&\以6%）9,机а г. р, =

=©V小必）j,+ ［（°觴 6也）匕・ ““,/»,‘"，・（52・4）

Для стационарного и однородного процесса выполняется условие

（6乂6此）£ f_「r r_r, p p, = GNa&N6ty,九 f 八 p、p” （52.5） аналогичное условию （51.3）. Выражение （52.1） для этого случая можно записать в виде

m必）…。,=

=j dT、d（f_y）（^Wf,，一" 一у Ре統（次乩（—））=

=j dr（6Na6Nb）h ft> p> p,e^.（52.6>

В этой главе мы рассмотрим кинетические уравнения для неидеальной, но пространственно однородной плазмы. В этом случае флуктуационный процесс является однородным, но нестационарным, поэтому спектральная плотность определяется выражением

@V"必力，""=

=i ［（б^a 6M儿 i h,p,p，戸 + （耽 6N£ 5 f p,“ e-叫 dr 三 6

三（6^a 6^ 力,a " + 0。Wt 拓力"］：*"打，・（52.7）

Используем это определение для нахождения спектральной плотности флуктуаций источника.

Из уравнения （34.1） с начальным условием （33.11） следуют уравнения для пространственной спектральной плотности флуктуаций дЛ^дСТ:

（4 + 制 + А）（6储 6N蠶…* = 0 （т> 0）,

（6熊 6熊）片二」,Р 。, Iе」=乙%6 （p 一 “） fa （p, / 一 T）.（阻8）

Решение уравнения （52.8） имеет вид

（6 熊 6M）；：L/, р р,=乙脇 6 （р —川 6一 А J的尤 3 t — T）- （52.9）

Таким же образом находим решение для входящей в выражение (52.7) функции 也Nb^NGt J — р р,

也Nb3N£*r 一“, p，= %%6(p-d)e-AH/s%(p, t-x\ (52.10)

Подставляя эти решения в выражение (52.7), найдем спектральную плотность [7]

(6熊6n成7九.“，=

=拠Г/ (р 一 Р‘)2 Re 卜-△*(吁畑％ (р, t 一 T) dz. (52.11) о

Из этого выражения в нулевом приближении по запаздыванию (для идеальной плазмы) следует выражение (34.11).

Используя выражение (52.11), можно найти более простые спектральные плотности, например [7],

(6“а 6耽％ f” =告 4n%%2 Re I e-A* ⑥…先(p, t — t) dq

о

0/6^7.=

=i4л 2 需 2 Re \ dt \ dp 论^一А计"吁包)Т匕(p, / 一 T), (52.12) а0

d00

(6月 6e)/；/= 2阿科2 Re \ dj dp e-А计》(…5叶式p, / 一吟

а0

Производя в (52.11), (52.12) интегрирование по ①，найдем выражения для соответствующих пространственных спектральных плотностей. Например, из (52.11) следует

(6乂6解片“ °, = %%6 (р 一 pz) fa (р, /)・(52.13)

Здесь при интегрировании по s учтено, что интеграл

击,ds К叫(f — Gd—Bf «)•(52.14)

—ЭО0

Рассмотрим вместо уравнения (52.8) соответствующее уравнение Ланжевена для 6“^'：

Здесь уа — дельта-коррелированный источник. Среднее значение его равно нулю, а корреляция

(%%)*, г,拓 р“，= Bab (Р，Р‘,，) 6 S - /〃)，(52.16)

где Ваь — интенсивность флуктуаций %,勿.

Установим связь интенсивности с функцией (52.13). Для этого используем решение уравнения (52.15)

t

6N『也 p,t)= J е^^^^уа(к, p,，)〃• (52•⑺

Используя соответствующее решение для уъ и выражение (52.16), найдем искомую связь:

(6必6必):：j3='2-2卅№1*戰仙，乂 t _ *d3(52.18)

о

Сравнивая выражения (52.13), (52.18), видим, что функция Ваъ имеет структуру

В^(Р，М 0 = %6 (р — р') паВа (р, /).(52.19)

С учетом этого из (52.18) следует, что

GNa 6N蠲:р. X , = j е-2 ^Bab (р, р； / - т) dXtо

Отсюда находим соответствующее дифференциальное соотношение:

4 (6鵰&N龍…,+ 2A@Ма6必)胃“,р, = ВаЬ(р, р； /)・(52.20)

Подставляя в (52.20) выражения (52.13), (52.19), получим

СВЯЗЬ функций Ва С %：

dfa/dt + 2^fa = Ba{tt р),(52.21}

Отсюда следует, что в стационарном состоянии

Ba(p) = 2^fa(p)(52.22)1

и, следовательно,

Ваь (Р，Р； 0 = 2Д (S^a S^ь)Гt р“，・(52.23)

Найдем, наконец, связь функции В“ с пространственно-временной спектральной плотностью (52.11). Для этого исключим из выражения (52.11) функцию fa с помощью соотношения

(52.21). В результате получим уравнение

(^ + 2a)(6"/20)/1 力 р, 。,=

= 2Re J е-^^~^хВаЬр9 р\ f- т) dr. (52.24) о

Заметим, что уравнения (52.21), (2.24) соответствуют уравнениям (51.26), (51.28).

Используя уравнения (52.21), (52.3), можно получить соответствующие уравнения для любых спектральных плотностей флуктуаций б£, 6/. Например, уржнения для спектральных плотностей флуктуаций поля имеют ви【

导(6£ 6磁；+ 2А (6Е 6Е)；：： = £ 空菱加，纥(р, /) dp, (52.25)а

(备+2А)(6Е6Е)/Х尸

=2也評1 U eF+〃i%P，t-Qdrdp. (52.26) а0

В стационарном случае из (52.26) (с/четом равенства (52.22)) получается выражение (34.14).

§ 53. Кинетическое уравнение Ландау для неидеальной плазмы

Интеграл столкновений может бытьвыражен через пространственную спектральную плотность флуггуаций 8Na, 6Е. Для пространственно однородной плазмы это выражение принимает вид

/а (Р, /) = - ^ 部 ^ \ Re (М 6Е)“ , dk, (53.1)

Уравнения для флуктуаций б^a, S5 следуют из (33.6):

6Na®P,t) = 6N『®p, /)-

一 еапа \ ?-a JM 6Е (fe, / 一)也号/ 二立 dr,(53⑵

6E (瓦 О = — 告 £ 4哂 \ 6?а(Л, р, /) dp.(53.3)

Подставляя 6Na из (53.2) в (53.3), получим интегральное уравнение для 6Е：

网比/)一

一42 4呜з口 ……h包喝0 6E(瓦t-*dtdp = aО

=一告 2 4冗。J S№CT (瓦 p, f) dp = 6ES (瓦 f).(53.4)

Используем для решения этого уравнения теорию возмущений. В нулевом приближении

6Е(。)= GE”".(53.5)

В первом приближении

6Е⑴=备 £ ^^а \ \ е■向％。叱;-也 SEHCT(fe, / 一 T)rfr#. aО

(53.6)

Представим спектральную плотность в (53.1) в виде суммы двух частей:

(6М 6Е" р.产(6儿 6现北.》+ (S№CT 6E)“, r (53.7)

Из уравнения (53.2) следует, что

(6Na6E)Z\t =

=一左号、e-aim(6E 6E)；,九 I 论 ^^^一 九 (53.8) о

Это выражение пропорционально спектральной плотности флуктуаций поля и поэтому определяет индуцированный вклад в (53.7).

В первом приближении теории возмущений в (53.8)

(6Е6Е)；,小- = (6E6E)g：i・(53.9)

Спектральную плотность флуктуаций 6Е“ст находим с помощью выражения (52.9):

(6Е 6砒；у = £ 粵;沁 \ L』s%(“, — T)dp^(53.Ю)

Из (53.8) — (53.10) находим

% (б^a 6伉)冷,/ = 一 £(4冗)2 ^elnanb * X b

义 U e-2 gigf 也.％-T) fb(炉,/ — t) dt dp'・ (53.11) о/

Рассмотрим второй член в (53.7). В нулевом приближении с учетом (53.5), (52.9) находим

(б№ст 6Е)： “尸告 ^eanafa (р, /).(53.12)

Это выражение не дает вклада в интеграл столкновений, так как реальная часть его равна нулю.

В первом приближении, используя (53.6), получаем

励尸 6Е)? “『—£ £ ^elnb j$ X ь о

X 论叫F)@N小Е卷\ I” dT dp\(53.13)

Используя (52.9), находим

GNabE^p t ^ = ^^еапае-^^а(р, /一矶(53.14)

Подставим это выражение в (53.13). В результате

(6N『础“尸 £ (4冗)2e^naiib 备 j、J 仅一吟。x

X论色唸二)％(p, t — QdTdp'.(53.15)

Подставляя теперь (53.11), (53.15) в (53.1), находим интеграл столкновений [40,7]

Л (p，f)= 2 £ /?汕。3^7 Re н 響 ?-А(^-^9ТX ь" о

fa(Р，f — t) 〃(Р , t — x)dx dpf dk. (53.16)

Если в этом выражении пренебречь временным запаздыванием и выполнить интегрирование по т, то оно совпадет с инте-

гралом столкновений Ландау (38.3), (38.4). Как и в (38.4), интегрирование по Л в (53.16) производится по области (38.2).

Таким образом, выражение (53.16) отличается от интеграла столкновений Ландау лишь учетом временного запаздывания. Мы увидим, что это соответствует учету неидеальности плазмы, поэтому выражение (53.16) можно назвать интегралом столкновений для неидеальной плазмы.

Легко проверить, что интеграл столкновений (53.16) обладает свойствами

/(/) = £ 九《 卜а(р)/а(р, f)dp = O при ф= I, Р， (53•⑺ а

обеспечивающими выполнение законов сохранения числа частиц и импульса плазмы.

В отличие от (37.10) равенство /(/)=0 не имеет места при Фа = р2/2та^ Действительно, из (53.16) следует

Е%\ 磊 Iadp = -£ ^^，J К Sin 做—论吟 T X aab0

X 負(糸—^ОЗ'аЗ t —弋)f ь(P‘，t — ^dk dp dp'd%. (53.18)

Покажем, что это выражение в первом приближении по запаздыванию можно представить в виде

)丽■〃"" = 一济画―丽—dk = ~di^T- (53・19)

Из (53.5), (53.6) в первом приближении следует, что

(6Е 6Е〃, f = (6Е 6Е片 +(6Е⑴ 6以。))同,+(6Е(°)б£⑴)机尸

Y弊订№海+2色2X «ab

X2Re，，sin [(论и—kv') т] fa (р, /—т)й^Д^~-drdpdp'. (53.20) о

Первый член в этом выражении не зависит от времени и учитывает вклад самовоздействия в спектральную плотность флуктуаций поля. Второй член при подстановке в правую часть (53.19) и симметризации приводит к (53.18).

Таким образом, с учетом запаздывания для пространственно однородной плазмы уравнение баланса энергии имеет вид

备{ ?"八孟f。如+w^ } = °(53.21}

и, следовательно, сохраняется полная энергия плазмы.

В равновесном состоянии выражение (53.20) принимает вид

(6Е 6Е)в = 2 (4п)："а 卜& (р) ~р +

+ 2 ""；密"""口传"一尼")Sm[但v -M)T]fa%dtdpdp'. (53.22) ab0 t

Отсюда после интегрирования по т, р, р‘ получим 欠m V(4冗)統凯a V(4n)3以机a4

ab

也)产(]_ 爲)(53.23)

Здесь использовано обозначение для радиуса Дебая.

Заметим, что это выражение может быть получено и из (36.18). Для этого запишем выражение (36.18) в виде

(6Е 6e)产 7^詳=? 出产 6 + 加讃)(5324)

и произведем разложение по 1/厂^々2 (разложение по поляризации) .Тогда в первом приближении получим выражение (53.23),

§ 54. Кинетическое уравнение Балеску — Ленарда для неидеальной плазмы

При выводе выражения для интеграла столкновений с учетом поляризации плазмы удобней вместо (53.1) использовать, первое определение (33.5) для интеграла столкновений

/а(Р，" — ^击击 \ Re(№6叽,“ td^dk. (54.1)

В неидеальной плазме следует учитывать нестационарность флуктуационного процесса. Для этого поступим следующим образом.

Перепишем уравнение (35.1) в виде интегрального уравнения

б^a (х, /) = 6М产 一 еапа \ 6Е к -也,/ - т) %yF dt. (54.2)、 о

В нулевом приближении по запаздыванию отсюда следует уравнение (35.2), в которое f входит как параметр.

Принимая во внимание, что интеграл столкновений (54.1) определяется спектральной плотностью быстрых флуктуаций- (см. § 33), произведем в (54.2) разложение в интеграл Фурье по координатам и быстрому времени. Тогда из (53.2) получим уравнение

6Na® k, р)=

=6n7一编\/(力论也喘二^论6e®, k, f-t)dt. (54.3) о

Здесь для сокращения записи введено обозначение

Л (т) = ехр [— Ат + / (со — kv) т].(54.4>

Из уравнения Пуассона получим второе уравнение

6Е(со,瓦 /) = —^2 4леJ bNa® 瓦 P, 0dp. (54.5)

Если же использовать уравнение полного тока, то

(备— *® +込))6Е®，瓦 D =

=—4冗 £ е J '筈"bNa (co,论，p, f) dp 三一4n S/(o,左).(54.6>-

Исключим из (54.5) 6猫 с помощью (54.3). В результате- получим интегральное уравнение для 6Е(о,瓦 /)：

д£ (со, й, /)—

—i 2 勺飴 j\ 4 (Q 论 &2喘 i 6Е (со,瓦 / — t) dr dp = a0

=—4冗备 £ % \ GN、(s,瓦 p, 0 dp 三 GE"''.(54.7)»

Для идеальной плазмы (§ 35) флуктуационный процесс, определяющий интеграл столкновений, можно было рассматривать как.

-стационарный и однородный процесс. Зависимость от времени в этом приближении входит неявно (через функции fa) и при расчете спектральных плотностей б^, б£ не учитывается. Для неидеальной (при учете временного запаздывания) плазмы вме・ сто уравнений (35.2), (35.3) возникают интегральные уравнения (54.3), (54.7). Флуктуационный процесс теперь является нестационарным. Это существенно усложняет расчеты.

Мы уже проводили расчет спектральных плотностей флуктуаций 6A/a, 5Е для нестационарного процесса при выводе кинетических уравнений для плазмы в сильном высокочастотном поле (§§ 41—44). Там эту задачу удалось свести к более простой, когда нестационарность процесса определяется явной зависимостью внешнего электрического поля от времени. Здесь же для расчета спектральных плотностей будем использовать теорию возмущений по запаздыванию. Метод расчета, развитый в §§ 51, 52, здесь неудобен, поскольку не удается найти в явной форме решение интегрального уравнения (54.7).

В нулевом приближении по запаздыванию уравнение (54.7) совпадает с уравнением (35.3). Рассмотрим решение уравнения (54.7) в первом приближении по запаздыванию. Для этого произведем разложение по rd/dt и удержим два первых члена разложения. В результате получим уравнение

200

ТЕ®,瓦 ^1 U %⑴(1 一，4) X aО

X 论•刃嚅J) 6E (s,瓦 /) dr dp = 6EH5 (s,瓦 /).(54.8)

Произведем здесь интегрирование по т. С учетом обозначения (54.4) имеем

4 %⑴ dT = E^ + 〃「卜⑴Ed" = -z•忌^THS・ (54・9)

Используя выражение (35.5) для диэлектрической проницаемости, получим в первом приближении следующее уравнение:

е (со,左)6Е (со, й, /) = 6Е”ст 一 / 4 (也箫4 筈).(54.10)

Рассмотрим уравнение баланса энергии с учетом временного запаздывания и поляризации плазмы. Для этого используем уравнение (54.6) и соответствующее уравнение для 6Е*. Тогда

0(6Е6以…dt 8л0(6Е6以…dt 8л= _Re(6j6E)s»,.・= _Re(6j6E)s»,.・(54.11)(54.11)

0(6Е6以…

dt 8л

0(6Е6以…

dt 8л

= _Re(6j6E)s»,.・

= _Re(6j6E)s»,.・

(54.11)

(54.11)

Вспомним, что из кинетического уравнения (26.3) следует уравнение баланса для средней кинетической энергии плазмы.

Для пространственно однородного распределения оно имеет вид 宗 2>JW；hdp =豆覇三2川备(54.12).

Для идеальной плазмы интеграл столкновений обладает свойствами (37.10), поэтому из (54.12) следует, что

画=备 \ Re同6Е)® bd^dk = 0.(54.13)

Из (54.13), (54.11) видно, что для идеальной плазмы

--dead论=次一^- = °

и, следовательно, в уравнении баланса энергии вклад электрического поля равен нулю. Это согласуется, естественно, с результатами предыдущего параграфа.

Рассмотрим правую часть уравнения (54.11) с учетом временного запаздывания.

Для удобства расчета добавим к правой части (54.11) нулевой член Re /ш (6Е 6Е)® ^ f и рассмотрим выражение

-Re (6/ 6e)* 机 t + Re йо "t""三 Re (^^ - 6/, 6E)一.

(54.15>

Найдем из (54.3) функцию S/(со,瓦 /):

6/ = 6严Т 一 2 警 U 论^ ⑴々 %Pj 二^ 6E ®,瓦/一 T) dr dp. a 0P

(54.16)

С помощью этого выражения и выражения (54.7) преобразуем комбинацию функций, входящую в (54.15):

i(co + iA)6Ei(s + 2)6EHCT ——

4л J — 4лJ

—2 ~^ g((3 + 込)—左 и)力(т)论'“"訳 6^ (®,瓦 / — т) dxdp. a О

(54.17>

Проинтегрируем по частям во втором члене этого выражения. Используя выражение (54.4) и учитывая, что подстановка т = =0, оо при интегрировании по т дает нулевой результат.

•получим следующее выражение:

*со +込)6».» (СР + 込)6£НСТ — ・нв —

4л J — 4лJ —

今 00

-0 醫 N 4⑺^论张叫尸6E(cd,电 f - t) dtdp. (54.18) a 0

Заменим в этом выражении дифференцирование по т на дифференцирование по t (д/дх = —d/dt). Поскольку интегральный член пропорционален d/dt, то в нем можно пренебречь запаздыванием. Используя значение первого интеграла (54.9) и выражение (35.5) для диэлектрической проницаемости, получим из (54.18) следующее выражение:

11Ц^-6/ = -［偿 7(8 +込))等+6 产］+

,1 d，б£нст、十ё-丿.

В силу уравнения полного тока для флуктуаций 6ЕИСТ, 6/ист выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, обращается в нуль, поэтому

空=(等)・(54.19)

Подставив это выражение в (54.15), найдем

一Re ^^拓尸紘^ LU奇冃•(54・2。)

Здесь (6Е6Е)黑；/ — спектральная плотность флуктуаций 6Е"。' в нулевом приближении по запаздыванию. Она определяется выражением (34.14), т. е.

(6Е GE%% 产 £ 坦学 \ 2冗 6(s -砌 fa dp. (54.21) a

Таким образом, из уравнений баланса средней кинетической энергии (54.12) и уравнения баланса энергии поля (54.11), (54.20) снова следует уравнение сохранения полной энергии (53.21). Теперь, однако, вместо (53.22) для пространственной ►спектральной плотности флуктуаций поля имеет место более общее выражение

(6Е6现尸£ ，|篇二|2 dp， (54.22)

которое следует из (54.21). Выражение (53.23) следует в частном случае из (54.22). Для этого надо произвести разложение- по поляризационным членам, удержать члены первого порядка и использовать приближение локального равновесия.

Рассмотрим теперь интеграл столкновений с учетом поляризации и временного запаздывания.

Как и в § 53, спектральную плотность флуктуаций 6乂，6Е можно представить в виде суммы двух частей (53.7). В соответствии с этим интеграл столкновений

/. ="二請焉亲、Re(6货6矶乱 。 №rf^/r + /Г (54.23>

Из (54.3) следует, что индуцированная часть интеграла столкновений определяется выражением [7, 40]

Re j \ 备 exp [— At + i ®㈣ т] X

о

X (6Е 6Е)；…，I 论也喘 Т)dr ds dk. (54・24>

Входящую сюда спектральную плотность флуктуаций поля можно в первом приближении по запаздыванию представить в виде

(6后 6叭，也，力1=(6e 6E)，，l T(6E 吟):尼尸

=(1+ 心D (6Е GE)®,居 f + т4л (S/ GE)®»,,・(54.25)

Здесь использовано уравнение полного тока для 6Е((о, й, t).

С помощью выражений (54.10), (54.16) спектральные плотности, стоящие в правой части равенства (54.25), можно выразить через спектральные плотности флуктуаций источника (см. (52.12)). Проделав это, получим явное выражение для /*"“・ Мы не приводим здесь соответствующие выкладки, так как в дальнейшем (в § 57) нам понадобится лишь выражение (54.24).

Рассмотрим второй член в правой части равенства (54.23). Используя выражение (54.10) для функции б£*, запишем выражение для ГаТ в виде

"=-备刷Re { J (1 + »黑鳥£传此6E)終p +

+疋当优此把「]ds掠 (54.26)

Входящая сюда спектральная плотность @Nq 6Е)^：； р определяется выражением (52.12). Для второй спектральной плотности в (54.26) с помощью формул (52.11), (52.12)1 находим следующее выражение:

®Na т^)^ =备 4吟码2 Re , ® — kv) X

X exp [— Дт + Z (co —航0 г] fa (р, t — т) dT・(54.27)

Таким образом, с помощью формул (52.12)卜(54.27) из (54.26) находим явное выражение для /«ст.

Результаты (54.24), (54.26) и определяют искомый интеграл •столкновений для неидеальной плазмы с учетом поляризации среды. В нулевом приближении по запаздыванию он совпадает с интегралом столкновений Балеску — Ленарда (в форме (37.2)).

Интеграл столкновений для неидеальной плазмы с учетом поляризации обладает теми же свойствами (53.17), (53.19), что и интеграл столкновений Ландау для неидеальной плазмы. Разница лишь в том, что энергия поля определяется теперь выражением (54.22), в котором полностью учтена поляризация плазмы.

§ 55. Интеграл столкновений для неидеальной плазмы с учетом усредненной динамической поляризации

Рассмотрим интеграл столкновений для неидеальной плазмы, в котором путем введения эффективного потенциала приближенно учитывается вклад динамической поляризации.

Эффективный потенциал определяется формулами (47.2), (47.6). Если в этих формулах использовать локально равновес- •ное распределение по скоростям, то для эффективного потенциала будут справедливы выражения (47.4), (47.3):

^ab 优）=vab （论）］；户在2，^ab 优）=vab （论）］；户在2，где vab (论)=4冗%%/胪,где vab (论)=4冗%%/胪,

^ab 优）=vab （论）］；户在2，

^ab 优）=vab （论）］；户在2，

где vab (论)=4冗%%/胪,

где vab (论)=4冗%%/胪,

為（Г）=华「9 （551

В этом приближении для определения интеграла столкновений можно использовать результаты § 53 с той разницей, что при расчете спектральной плотности (53.7) вместо фурье-компо- зенты кулоновского потенциала va6 (fe) = 4леавь/й2 следует использовать выражение (55.1) для 歹❶(论)• Тогда для интеграла столкновений можно использовать выражение (53.16), если в нем

(55.2)(55.2)电电 瓦同 小必

(55.2)

(55.2)

Рассмотрим свойства нового интеграла столкновений. Свойства (53.17) останутся, естественно, неизменными, а вместо- (53.18) теперь надо использовать выражение

2 %)贏 - 2 守丁" 4 L Ат Sin [便。一 М) т] х ааЬО

X m(1’¥总可论(^一最)^匕(Р' D%"，t-^dkdxdpdp\ (55.3>

Отсюда для случая локального равновесия в первом прибли- менни по запаздыванию

2n△羲 元dp = _ ^詣 Z 等 J 号总 gad (后)掠(55.4Г

Здесь

g2 0一爲? I+TР5' (55,5>

—фурье-компонента пространственной корреляционной функции заряженных частиц (см. (36.22)).

Перейдем в (55.4) к координатному представлению. Для этого используем значение интеграла (36.23). В результате

2"八盡厶如=-'^2"¥4 晋 ga")"。(55.6) aab

Здесь

ga")= — *3「"D(55.7>

—пространственная корреляционная функция для кулоновской плазмы в дебаевском (поляризационном) приближении. Напомним, что мы рассматриваем приближение локального равновесия, поэтому температура Т в (55.6) является функцией координат и времени.

Из (54.12), (55.6) следует закон сохранения энергии

dU/dt = 0,

Г 2(55.8>

U=E乙)奈打如+万2孔a^b j J J gab (丿)d，・ aab

Функция gab определяется выражением (55.7).

Если в выражение (55.8) для U включить собственную энер тию, которая согласно (53.23) определяется выражением

dk,dk,(55.9)(55.9)1 f 1『(4л)2 е^па

dk,

dk,

(55.9)

(55.9)

Тад3- J紘乙а

то равенство (55.4) примет вид

(55.10)(55.10)=д1_ f 14лкТ dk =д_

(55.10)

(55.10)

dt (2л)3 J 8л 1 + 用必di 8л

Здесь использовано выражение (53.24) для спектральной плотности флуктуаций поля в состоянии локального равновесия в поляризационном приближении.

Из (54.12), (55.10) следует закон сохранения энергии в виде (53.21).

Заметим, что для пространственно однородной плазмы двухчастичная функция распределения связана с корреляционной функцией равенством

%匕=1+gab什)，(55.11)

поэтому выражение для внутренней энергии в законе сохранения (55.8) можно записать в виде

u=2"厶說%亦+；2nanb^-^fab(r) dr.(55.12)

aab

00В общем случае, когда нет локального равновесия, пространственная фурье-компонента корреляционной функции опреде* ляется выражением

0

0

gab 也 Р，Р‘，0 = ^ab (*)

X ^ (-^- — ^г) fa(Р，% — t)fb(p‘，t — x) dr. (55.13)

В приближении локального равновесия отсюда следует (55.5).

Формула (55.13) следует из (53.2), (53.5), (53.6) с учетом равенства

^Na ^N^k р р, t = SadS (р — pz) nafa + nanbgab (й, p, p‘，/)・(55.14)

Используя это соотношение, интеграл столкновений (53.1)

можно представить в виде

〃(Р，^ = 2^Пь} ^ТТ Vga&(r, р, Р，t) dr dp dp，=

=£f 2"傷卜胃導 Im gab 他 p, p', t)dhdp< (55.15) b

Из выражений (55.13), (55.15) следует, что в первом приближении по запаздыванию интеграл столкновений можно представить в виде

〃(p, /) = /。1+厶2・(55.16)

Здесь /ai — интеграл столкновений идеальной плазмы (нулевое приближение по запаздыванию). Интеграл /Я2 определяет вклад взаимодействия в недиссипативные характеристики. Из формул (55.13), (55.15) находим [7, 40]

2 (p, /)= 表 2他訂\瓦&"аЬ 3户而(同6做一^) X

* (就一爲0 % 仇力 %(m ‘)dk dP'，(55・ 17)

'a2(P，/) =(2冗)3 2 % 勿 J j ^i^j^ab W ^ab (论)COS [(kv —

b' 0

—к吟可(囁* —备)鳥 ％(〃 /)%，01 dtdh dp- (55.18)

Входящие сюда функции va& (fe), Nab (尼)определяются выражениями (55.1).

Выражения (55.16) — (55.18) соответствуют формулам (13.11) — (13.13) для газа. Различие в том, что формулы (13.12), (13.13) получены в приближении теории возмущений по взаимодействию. В выражениях же (55.17), (55.18) путем введения эффективного потенциала Фя&(г) произведен учет усредненной динамической поляризации плазмы.

Кинетическое уравнение Больцмана для неидеальной плазмы

В §§ 37, 54 были рассмотрены кинетические уравнения в поляризационном приближении (первое приближение по плазменному параметру) для идеальной и неидеальной плазмы.

В поляризационном приближении вклад взаимодействия на малых расстояниях учитывается неточно. Это проявляется,

в частности, в том, что в интеграле столкновений Балеску — Ленарда при интегрировании по волновым числам возникает логарифмическая расходимость при больших А (малых расстояниях). Вследствие этого приходится производить обрезание области интегрирования на некотором значении femax (см. § 37). Поскольку 々max входит в интеграл столкновений под знаком логарифма, то значения кинетических коэффициентов мало чувствительны к выбору границы области интегрирования.

Для неидеальной плазмы положение иное. Вклад взаимодействия частиц на малых расстояниях в недиссипативные характеристики является существенным, поэтому использование поляризационного приближения недостаточно. Необходимо иметь кинетические уравнения, в которых корректно учитывается вклад взаимодействия частиц как на больших, так и на малых расстояниях.

Заметим, что приближение парных столкновений, приводящее к кинетическому уравнению Больцмана (см. §§ 10, 12), может быть использовано и для плазмы при учете вклада взаимодействия частиц на малых расстояниях (г《『d), когда коллективные эффекты не являются существенными. Однако из-за медленности убывания взаимодействия заряженных частиц с расстоянием интеграл столкновений Больцмана содержит при интегрировании по & расходимость при малых k (большие расстояния). В поляризационном приближении, наоборот, корректно учитывается вклад взаимодействия частиц на больших расстояниях и недостаточно корректно на малых расстояниях.

Попробуем объединить эти два противоположных приближения.

Наиболее простое решение этой задачи состоит в использовании в качестве интеграла столкновений комбинации трех интегралов столкновений: Больцмана /^, Ландау /?, Балеску — Ленарда 1а~Л：

/«ТТ +尸". (56.1)

В этом выражении, если использовать его для идеальной плазмы, интеграл /? компенсирует логарифмическую расходимость в интеграле Больцмана при малых k (большие расстояния) и логарифмическую расходимость в интеграле столкнове* ний Балеску — Ленарда /а~л при больших k (малые расстояния).

Такое обобщение интеграла столкновений привлекательно своей простотой, но для неидеальной плазмы не является удовлетворительным. Покажем это.

Интеграл столкновений Больцмана для неидеальной плазмы в первом приближении по запаздыванию может быть записан

сразу по аналогии с соответствующим выражением (12.5) для газа:

抬(р, /) = £〃'堂击 ％(Р(_8), t)fb (РЧ-ОО), t)Wdp' — ь

- 2 & i \ *言T晶 ％ (p(一0力)%(p‘ (一唸/)dt"' dp‘. b 0

(56.2) Здесь

①ab (力=%%/1川・(56.3)

Как и в случае газа, второй член в (56.2) определяет вклад взаимодействия в недиссипативные характеристики плазмы.

Интеграл столкновений Ландау 1а для неидеальной плазмы определяется выражением (53.16), а интеграл столкновений Ба- леску — Ленарда — выражениями (54.24), (54.26). Если учитывать вклад лишь усредненной динамической поляризации, то вместо (54.24), (54.26) можно использовать более простые выражения (55.17), (55.18).

Рассмотрим добавку к энергии плазмы, обусловленную учетом неидеальности. Она определяется корреляционной функцией gab (г). Для приближения Больцмана

g^) = exp[—葡-1.(56.4)

В приближении Ландау используется теория возмущений по взаимодействию, поэтому из (56.4)

g%(『)= -哥.(56・5)

Наконец, в поляризационном приближении, приводящем к интегралу столкновений Балеску — Ленарда,

gL ⑺一給产 D(56.6)

—корреляционная функция Дебая.

В соответствии с предполагаемой структурой интеграла столкновений в виде (56.1) вклад взаимодействия частиц в энергию плазмы будет определяться корреляционной функцией -

ga") = ехр [-欝]-1 + 器-欝 е- S(56.7)

Отсюда следует, что на больших расстояниях второй член, соответствующий члену /R в (56.1), компенсирует первый член

лишь в первом приближении теории возмущений. Вследствие этого корреляционная функция (567) на больших расстояниях убывает не экспоненциально по закону ехр (—r〃D), а как 1/г2. Это показывает, что приближение (56.1) не является удовлетворительным для описания процессов в неидеальной плазме.

Развиты и другие способы определения интеграла столкновений для плазмы, не содержащего расходимости. Один из них состоит в замене кулоновского потенциала дебаевским, т. е.

①研=中Т毕「"D曰嗚. (56.8)

Такое приближение также приводит к неправильному выражению для термодинамических функций. Так, например, при вычислении плотности внутренней энергии в дебаевском приближении вклад взаимодействия будет определяться выражением

4 2 Мь \ ①応⑺ Фаь ⑺ dr, (56.9) ab

что не совпадает с (60.11)—результатом равновесной теории.

Такое несоответствие вполне естественно, так как выбор потенциала в виде (56.8) предполагает, что равновесная пространственная корреляция устанавливается быстрее, чем равновесное распределение по импульсам. Однако нет оснований считать поляризацию статической.

Интеграл столкновений для неидеальной плазмы, в котором корректно учитывается вклад взаимодействия частиц на малых расстояниях и на больших расстояниях, очень сложен. Вследствие этого мы рассмотрим упрощенное описание, при котором путем введения эффективного потенциала на больших расстояниях учитывается усредненный вклад динамической поляризации.

Напомним, что эффективный потенциал определяется формулами (47.2), (47.6). Будем для упрощения предполагать, что в Фаь функция fa — локальное распределение Максвелла. Тогда функции vab(k), ®аь(г) будут определяться формулами (55.1).

В этом приближении вклад взаимодействия частиц на больших расстояниях в кинетическое уравнение описывается, как мы знаем, интегралом столкновений (53.16), если в нем произвести замену (55.2), т. е. интегралом

=£ ： е滥％ 訂口 攀 уД^ ехр [— 2Ат Т (М — М，) т] X

X (島-聶)『。(Р，/ - °)%(Р'，/ 一 °)〃 dhdp'. (56.10)

В первом приближении по запаздыванию это выражение можно представить в виде (55.16), где /ai, /а2 определяются выражениями (55.17), (55.18).

Чтобы учесть вклад взаимодействия на малых расстояниях, поступим следующим образом.

Для функции распределения fab (^, ^, 0 используем уравнение, аналогичное уравнению (10.2) для пространственно однородного газа. В этом уравнении вместо потенциала парного взаимодействия Фаь(г) используем эффективный потенциал Фа^(г). Это позволит при определении функции /аь учесть влияние усредненной динамической поляризации. Принимая во внимание, что при пространственно однородном распределении в интеграле столкновений корреляционную функцию gab можно заменить на функцию распределения fab, запишем исходную замкнутую систему уравнений для функций %, %ь в виде

需 7>b\**iabdJa，(56.П)

b

仔+。显券一号普告一若5"备)几的/，‘)=

= ^fa(P，f)h(P'")・ (56.12)

Существенно здесь, что эффективный потенциал входит лишь в уравнение для функции fab- Это соответствует тому, что поляризация плазмы в интеграле столкновений учитывается лишь через посредство корреляционной функции gab (или функции распределения /^ь).

Вследствие аналогии уравнений (56.12), (10.2) мы сразу можем записать решение уравнения (56.12), используя решения (12.4) уравнения (10.2). Тогда в первом приближении по запаздыванию решение уравнения (56.12) можно записать в виде [7]

fab = fa(P(-^ /)%(户(一8), f) 一

一^，T 含 山(户(一R/)%(户(一力，方)狂 (56.13) 0

Здесь 戶(一т),戶，(一匸)一начальные (в момент t — т) импульсы двух частиц, взаимодействующих по закону Фаь (г).

Из (56.11), (56.13) следует, что интеграл столкновений можно снова представить в виде [7]

9 КХ Л« Климонтович

где

〃】(Р，/) = 2〃八■^^■^"№(—8)，力)％(户(一8), /)drf dp\ b

(56.15)

，a2(P，%) =8

=一* 2 饱㈠ 堂 ± p ^ 九(户(一 T), и % (»(一 w)dWd“. ь о

(56.16)

Эти выражения аналогичны соответствующим формулам (10.5), (12.6) для газа. Однако выражение (56.15) существенно отличается от интеграла столкновений Больцмана, так как благодаря введению эффективного потенциала учитывается вклад не только парных (на малых расстояниях), но и коллективных (на больших расстояниях) взаимодействий частиц.

Интеграл столкновений (56.14) для неидеальной плазмы обладает свойствами

2% \ 屮jadp = О при фа= 1, р,(56.17)

обеспечивающими выполнение законов сохранения числа частиц и импульса плазмы. При(ра = р2/2та из (56.14) — (56.16) следует результат, аналогичный результату (12.15):

X 〃八蟲〃"p = -糸^ 2 %%，①丸⑺X aab

Xh (户(一8), /)% (户(-8), /) dr dp dp\ (56•⑻

Используя это свойство, снова приходим к закону сохранения внутренней энергии U с учетом взаимодействия

dU/dt = 09(56 •⑼

где

U=2%，幻。如 + ^2nanb J Ф«Ь (г) X aab

Xfa(P(-oo), /)% (户(—8), t)d『dpdp、(56.20)

Отсюда видно, что вклад взаимодействия в плотность внутренней энергии определяется нулевым приближением (по запаздыванию) функции (56.13).

В состоянии локального равновесия, используя закон сохранения энергии

%曳+亘戸1 =娱+貯+ Sb⑺，(56.21)

где

必ь(г) = ©е"Е(56.22}

получим из (56.13) для пространственной функции распределения следующее выражение:

〃&) = «-%/" = ехр [— 崇 L"d]・(56.23}

На малых расстояниях это выражение совпадает с распределением Больцмана для частиц, взаимодействующих по закону Кулона, а на больших расстояниях — с распределением Дебая.

Из (56.20), (56.23) находим выражение для плотности внутренней энергии в приближении локального равновесия u =2>u左7 + ^2 九解八华exp [-絵？-5D] ". (56.24) aab

Подведем некоторые итоги.

Выражения (56.14)——(56.16) определяют интеграл столкновений для неидеальной плазмы, в * котором в приближении эффективного потенциала произведено объединение приближений парных столкновений и поляризационного приближения. Мы видели, каким образом учет неидеальности плазмы и учет, путем введения эффективного потенциала, усредненной динамической поляризации сказываются на термодинамических функциях плазмы. Оба эти фактора влияют также и на кинетические коэффициенты. Покажем это на примере электрической проводимости.

При частотах электрического поля s, много меньших частоты о* проводимость определяется формулой (48.19). Если вычисление проводимости проводить на основе интеграла Ландау, то частота в (48.19) пропорциональна кулоновскому логарифму L (см. (48.20)). При учете усредненной динамической поляризации Lf L' = \п 小 +「^^^ах>£・ Таким образом, расчет проводимости с учетом поляризации дает меньшее значение проводимости. При малых значениях плазменного параметра, т. е. в слабо неидеальной плазме, относительное уменьшение проводимости порядка 卩.

При выводе формулы (48.19) для проводимости достаточно использовать лишь интеграл столкновений 1а\ в (56.14). Это и было фактически сделано в § 48. Второй член в (56.14), т. е. член б (56.16), учитывает неидеальность в пространственно однородной плазме и при отсутствии внешних полей. В этом случае для включения эффектов неидеальности в интеграл столкновения достаточно учесть запаздывание функций

В пространственно однородной плазме, но при наличии внешнего поля этого уже недостаточно. Для полного учета эффектов неидеальности необходимо при расчете спектральных функций учитывать действие среднего поля. Это приводит к зависимости интеграла столкновений 1а от поля (см. гл. 8). Если поле слабое, то в выражении (56.14) для интеграла столкновений появится дополнительный член, пропорциональный полю. Вследствие этого при расчете проводимости поле Е заменяется на действующее (эффективное) поле ЕЭфф (см. (48.131)) и проводимость

(т->(т(1 —^ у^г)〜°(1 —卩)・ (56.25)

Мы видим, что учет зависимости интеграла столкновений от поля в слабом поле дает дополнительное уменьшение значения проводимости плазмы. Изменение величины проводимости снова пропорционально плазменному параметру 卩.

Таким образом, при расчете проводимости плазмы неидеаль- ность плазмы проявляется дважды: через эффективный потен- циал и через зависимость .интеграла столкновений от поля. В пространственно неоднородной плазме в интеграле столкновений (56.14) появится еще один член (см. гл. 10). Это приводит к появлению соответствующих дополнительных вкладов в коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности. В слабо неидеальной плазме эти дополнительные вклады также пропор- циональны плазменному параметру jut.

Расчет проводимости проводился нами бее учета влияния электрон-электронных столкновений. При низких частотах (со《”ее) электрон-электронные столкновения существенны [42]. Это не меняет, однако, сделанные выводы о дополнительном уменьшении электрической проводимости за счет эффектов неидеальности плазмы.

Взаимодействие заряженных частиц с плазмонами

В интегралах столкновений для идеальной и неидеальной плазмы учитывается вклад флуктуаций б^a, 6Е, времена корреляции которых тКОр меньше времени свободного пробега, т. е. характерного времени изменения функции fa. Флуктуации, удовлетворяющие этому условию, в свою очередь можно подразделить на две группы: флуктуации, для которых времена корреляции Sb много меньше гп/^т, и флуктуации, для которых『d/?t <* '< тКор < Тд. Радиусы корреляции флуктуаций первой группы меньше гп, а второй — больше『d, но меньше длины свободного пробега 厶，т. е.

小 V 厂кор V & (57.1)

Напомним (см. § 33), что при выводе кинетического уравнения для плазмы физически бесконечно малый элемент длины 7ф 〜гп» поэтому флуктуации поля с гКор (57.1) нельзя полностью выразить через fa> 6ЕПСТ по формуле (54.10). Вследствие этого интеграл столкновений (54.28) нельзя полностью выразить через функции %. Для спектральной плотности флуктуаций поля •с Гкор в интервале (57.1) надо записать дополнительное уравнение.

Флуктуации 6£ с гКОр в интервале (57.1) можно рассматривать как случайные волны в бесстолкновительной плазме. Их принято называть плазмонами.

Согласно (32.13), (32.14) для волн в бесстолкновительной кулоновской плазме (опускаем штрих у о/ и знак || у 8й)

Re 8 ®, й) = 0, y 便)=Im в/ (О Re g/do). (57.2)

'Здесь первое уравнение определяет связь со и fe (дисперсионное уравнение), а второе определяет декремент затухания. Выражения (57.2) справедливы при условиях

8(同>Y但)>%.(57.3)

,Мнимая часть диэлектрической проницаемости

Im & = — £ 4冗；；% \ 6 ® — йг) k^-dp (57.4)

•и, следовательно, пропорциональна (при 々||%) производной функ・ •ции распределения fa(px) при % =(о/瓦 При 丫(々)《со伍)фазовая скорость много больше тепловой скорости, поэтому скорости частиц, взаимодействующих с волнами, велики по сравнению с тепловыми скоростями. Для распределения по скоростям, не •очень сильно отличающегося от равновесного, число частиц с vx = s/々 мало. Этим и обусловлена малость Im е.

Выделим в интегралах столкновений (54.24), (54.26) для неидеальной плазмы вклады, определяемые плазмонами. Для •области (57.1) в равенстве (54.25) можно

(醬导(6Е曲….(57.5)

Отброшенный член пропорционален

и является поэтому членом второго порядка. Таким образом,, вклад плазмонов в /^“" определяется выражением

[WLi = ^Г 备 Re J J -^ exp [— At + f (<o — kv) т] X

X (6E 6E)g 力，,I/?左—^― dr d® d瓦(57.6>

Здесь следует, разумеется, удерживать лишь члены первого приближения по запаздыванию.

Запишем в этом же приближении выражение, определяющее вклад плазмонов в /^°'・ Для этого обратимся к формуле (54.26).

При условиях (57.2), (57.3) в выражении (54.26) члены, содержащие производные по времени, оказываются второго порядка малости, поэтому в первом приближении

尸上“=-諳备 ^ \ Re [土 ММ J ds dk. (57.7>

Используя формулу (52.12)1, из (57.6), (57.7) находим выражение, которое определяет вклад взаимодействия заряженных частиц с плазмонами в интеграл столкновений для неидеальной плазмы [7, 8]:

【Um =謁4" Re N G旳[-Ат +力® -初)引X (J

+ KV瑞了 f 。(p" 一 喇 dr dec 源(57.8>

В этом выражении следует удерживать лишь члены первого* порядка по запаздыванию. В равновесном случае выражение (57.8) обращается в нуль. В этом легко убедиться, если подставить в (57.8) распределение Максвелла для fa и выражение (36.4) для спектральной плотности флуктуаций поля.

Выражение (57.8) можно упростить, если учесть, что при малых Im в

Те；黑评—冗sign шб(Reв(ш,无))・(57.9}

Выражение (57.8) надо дополнить уравнением для спектральной плотности (6Е6Е)з 尼,определяющей распределение- энергии плазмонов по спектру. Чтобы найти это уравнение, используем уравнение баланса (54.11). Входящее в него выраже*

ние для спектральной плотности Re (б/ SE)Q k t определяется формулой (54.16)и имеет вид

Re (6/6Е)皿=Re (旷曲…—

—Re 2 ^^ j ^^ exp[— At + /(gj — kv) т] X a0

X (6E 6叽・拓 1/2 无。吗;T)dtdp・(57.10)

Здесь использовано возможное упрощение (57.5).

Рассмотрим первый член правой части (57.10). Подставим в него выражение (54.10) для 6Е*, удержим члены первого порядка. В результате получим

Re (“RE% 吼尸 Re 营(б/ 6耽％ f(57.11)

Отсюда, с учетом выражений (52.12)2, (52.12)3, находим

Re (旷6e)…=Re (旷6e)…=Ime (6月6魏3 4л j e (co, k) I2 •Ime (6月6魏3 4л j e (co, k) I2 •(57.12)(57.12)

Re (旷6e)…=

Re (旷6e)…=

Ime (6月6魏3 4л j e (co, k) I2 •

Ime (6月6魏3 4л j e (co, k) I2 •

(57.12)

(57.12)

Во втором члене правой части (57.10) произведем разложе

ние по запаздыванию и удержим члены нулевого и первого порядка. Используя интегралы (54.9) и выражения для действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости

Reg®,无)=1P卜①一在0 -dp,

(57.13)(57.13)a

(57.13)

(57.13)

Im £(G),同=-2證\，6(G)一砌左~^ dp,

которые следуют из (35.5), представим второй член в (57.10) в виде

(6Е6Е)通肌,^ (Re 8-1) 0 (6E6E)3»,f

i m 88T-^k^h

(57.14)(57.14)d2co Re e (6E6E)®

(57.14)

(57.14)

dt dco4冗

Используя выражения (57.12), (57.14) и формулу (57.2) для декремента затухания 丫 (总),получим следующее уравнение для спектральной плотности плазмонов

(6Е 6现,_ 2Y (ft) [(6Е 6现,机L需制-

-2將[塞『晔巩…(57.15)

Если при выводе этого уравнения учесть зависимость частоты- от времени, которая возникает вследствие зависимости от времени функции fa в дисперсионном уравнении (57.2), то в правой： части уравнения (57.15) появится дополнительный член

-翁導[等『(6e6e)(57®

Соответствующий дополнительный член появится и в интеграле- столкновений [/а]пл.

Из (57.15), (57.16) следует, что эффективный декремент затухания спектральной плотности плазмонов определяется выражением

rФФ = Y3)+而+• (57.17%

Кинетическое уравнение с [/а]пл приводит к закону сохранения энергии с учетом вклада плазмонов в энергию поля.

Напомним, что в выражении (57.8) и в уравнении (57.15) учитывается взаимодействие заряженных частиц лишь с теми плазмонами, для которых декремент затухания больше частоты столкновений (см. неравенство (57,3)), но меньше частоты плазменных колебаний.

Выделение вклада плазмонов в кинетическом уравнении? имеет смысл лишь при рассмотрении состояний, значительно отличающихся от равновесного состояния. В противном случае- вклад плазмонов оказывается малым [43, 44]. Состояния, сильно отличающиеся от равновесного, возникают при наличии внешних полей или иных внешних воздействий, приводящих к появлению н развитию неустойчивостей в плазме.

Рассмотрим для примера неустойчивость, возникающую при， прохождении через плазму пучка быстрых электронов (пучковая неустойчивость). Пусть и — средняя скорость злектроноь. пучка, “》От (^т — тепловая скорость электронов плазмы). Известно (см., например, [1.5, 28]), что при 〃i《〃(九1 — концентрация электронов в пучке) инкремент наибольший для волн， с з = sl и 龙=coj〃《col/^t 〜1〃d・ Здесь учтено, что и》的.

Оценим величину декремента затухания волны с со = sl " k = col/w. Для этого используем выражение (57.2) для 丫(々)・. Если % — распределение Максвелла, то

Y = V¥ ^号尸 хр[—1/(2 厂證)]・(57.18)，

Это декремент затухания Ландау. Подставим в это выражение- k =(ol/u и учтем, что coLrD = ут/д/2* Тогда

丫 = “冗(〃/%)3 ехр [— (w/vT)2J.(57.19%

Мы видим, что у экспоненциально убывает с ростом 〃/的，поэтому при “》ibp декремент затухания, вычисленный по формуле (57.19), меньше частоты столкновений и, следовательно, условие у(й) > va (см. (57.3)) не выполняется. Это означает, что лри расчете спектральных плотностей флуктуаций б^a, 6Е для плазмонов нельзя ограничиться областью частот со и значений fe, •соответствующих приближению бесстолкновительной плазмы. Иными словами, при расчете спектральных плотностей надо принимать во внимание столкновения, которые в свою очередь определяются флуктуациями, но с волновыми числами k > 1/гп.

Рассмотрим другой пример.

В неизотермической плазме возможна так называемая ионнозвуковая неустойчивость. Она возникает, когда относительная -скорость электронов и ионов превышает скорость ионного звука ^)s = ^KTelmi. Из формулы (32.27) для декремента затухания монно-звуковнх волн следует, что у (总)имеет максимальное значение при kr^e = 1. При этом

Ye = «弋^ ^max ^若.(57.20)

С другой стороны, частота электрон-электронных столкновений (см. (38.9))

(57.21)

『де 科一плазменный параметр.

Таким образом, при условии

melmi < 卩(57.22)

•условие y(k) > va (см. (57.3)) снова нарушается и, следователь- (но, расчет спектральных плотностей флуктуаций для области плазмонов надо производить с учетом столкновений.

Рассмотренные примеры показывают, что существуют уело ；ввя, при которых в интеграл столкновений могут давать заметный вклад спектральные плотности флуктуаций с временами корреляции, превышающими время свободного пробега, и с радиусами корреляции, превышающими длину свободного пробега. При этом подразумевается, что время и длина свободного пробега определяются интегралом столкновений, в котором учтены мнишь флуктуации с тКОр < l/vfl> rKop < 厶・

Из сказанного следует, что существует необходимость построения для плазмы кинетических уравнений с учетом долгоживущих (с Ткор > l/va) и крупномасштабных (с гКор > /) флуктуаций. Этой проблеме посвящена гл. 11, в которой изложена акинетическая теория флуктуаций в плазме.

ГЛАВА 10

ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОДНОРОДНАЯ НЕИДЕАЛЬНАЯ ПЛАЗМА

§ 58. Связь интеграла столкновений со спектральной плотностью флуктуаций

Используем выражение для интеграла столкновений

8р8р(58.1》(58.1》

8р

8р

(58.1》

(58.1》

Для кулоновской плазмы, выражая б£ через б^, с помощью- уравнения Пуассона можно записать это выражение в виде

厶(3)= ^ 2 % 备 \ ^ •П^й"(^^%“・，М (58.2>

В пространственно однородной плазме функция (6/V« 己乂万)％ %,, зависит лишь от разности координат г —产.В пространственно* неоднородной плазме введем, как и в § 15, вместо г, rz переменные г — г7 = гаЪ, (г + у')/2 = у —，аь/2 и произведем разложе* ние по гаЬд/дг. В первом приближении получим

W^“"“,产(1 —簣 ^)(^^*'"“・(58・3>

Это выражение аналогично (15.2).

Подставим выражение (58.3) в (58.2) и произведем под интегралом замену г — / = гаЬ. В результате получим

X (1 -号召(^^)5f %w・X (1 -号召(^^)5f %w・(58.4>(58.4>

X (1 -号召(^^)5f %w・

X (1 -号召(^^)5f %w・

(58.4>

(58.4>

Произведем здесь разложение в интеграл Фурье по гаъ- Используем формулы

11=―L \ — e^r dk(2门)3 )月2 c=―L \ — e^r dk(2门)3 )月2 c,d 1万石7 TH,d 1万石7 TH—w"、普舟—т] id肌—w"、普舟—т] id肌(58.5)(58.5)

1

1

=―L \ — e^r dk(2门)3 )月2 c

=―L \ — e^r dk(2门)3 )月2 c

,d 1

万石7 TH

,d 1

万石7 TH

—w"、普舟—т] id肌

—w"、普舟—т] id肌

(58.5)

(58.5)

Тогда

Ja = па (2л)3 ?丽，Re 方［―2电 +

+ (*一巻)号］gNa 6M以宀dk M. (58.6)

Используя равенство

(6Ma 6耽,р, f =告 2 4 冗％ 卜陽 6M 必.p.p，j dp\

еыразим интеграл столкновений (58.6) через спектральную плотность флуктуаций 6鵰，6Е:

〃亿 Р，9\ Re(6必bE^rtP^tdk +

十 ^^p 备，® -绊)"i■森 Im (6Na 传 6E))&s 0" dk. (58.7)

Мы видим, что по сравнению с интегралом столкновений для однородной плазмы здесь появился дополнительный член, который определяется мнимой частью спектральной плотности ^abE)kiP^t［8Y

Чтобы найти явный вид интеграла столкновений, надо выразить спектральную плотность (6熊6£)力“门 через функции fa с учетом временного запаздывания и пространственной неоднородности, т. е. найти решение, аналогичное (15.4). Это мы сделаем в следующем параграфе. Здесь же лишь отметим, что, как и в § 15 для неидеального газа, интеграл столкновений можно представить в виде суммы трех частей

4z (乙 Р，•) = Лн +/а2 +/〃3・(58.8)

В следующем параграфе мы найдем для них явные выражения, основываясь на модели, которая была использована в §§ 55, 56.

§ 59. Интеграл столкновений

Чтобы одновременно учесть вклад взаимодействия заряженных частиц на малых расстояниях и поляризационные эффекты,, используем уравнения (56.11), (56.12), но с учетом пространственной неоднородности. Эти уравнения можно записать по аналогии с уравнениями (2.11), (2.18) для газа:

V(Ео + Е)击)h =

=Е % \ ■^4' 盡 ga"*，匕""=j(59.1»

(显 + "显 + ^自一^^^一^^許)%^，匕 f)=

=後 + 0 ^ +。'券)fa 的 /)% (匕 /)•(59.2»

Напомним, что функция ®Na 6N&) в (58.2) связана с корреляционной функцией gab соотношением

(6Na 6乂3% %,,力=nanbgab + 6ab6 (% — /)(59.3}

Член с 6(x — xz) не дает вклада в интеграл столкновений, поэтому выражения (58.2), (59.1) для интеграла столкновений эквивалентны.

В уравнении (59.2) Фа& — эффективный потенциал, учитывающий усредненный вклад динамической поляризации плазмы. Используем для него выражение (55.1). Действием среднего пол込 в уравнении (59.2) пренебрегаем. При частотах поля соо《соь. это возможно, если еЕг^《кТ (см. § 46).

Решение уравнения (59.2) в первом приближении по xd/dt^ Гаъд/дг и при условии полного ослабления начальных корреляций можно по аналогии с (15.4) записать в виде

fab (^，Г, р, р\ 0 = fa (Г, Р (— оо), 0 fb (г, А‘ (一 ОО), f) 一

-係 + 三产 4)fT4^^ p(-叫 0 h (г, "(一 Т), о dr. о

〜〜(59・4》

Здесь Р(—т),戸(一т) — начальные импульсы двух частиц, взаи- модейств^^ющих по закону Фа&.

Для пространственно однородной плазмы выражение (59.4) совпадает с (56.13).

Интеграл столкновений определяется функцией gab = fab — —fafb. Выражение для корреляционной функции по аналогии с

можно записать в виде

gab (^, Р，У ",力=(1 -粤 ^)gab(『ab,T，Р, р\ 0- (59.5) Функция

gab^ab. Г, р, р‘，f) = fab(hb，乙 р, % /) — fa(Г, р, /) fb(rt 乂 t)

(59.6) и, следовательно, определяется выражением (59.4).

Из выражений (59.1), (59.6), (59.4) следует, что интеграл столкновений /а может быть представлен в виде суммы трех частей (58.8), которые определяются формулами, аналогичными формулам (15.6), (15.7), (15.8) для газа:

厶=2 饱，堂盡 fа К 户(一 8)，/) fb (Г, F (一 ОО), 0 drf d*

”(59.7)

〃=-2＞永堂击陶+中豁义 b о

X t 条 h (乙戸(一 T), 0 fb (г,户(一 т), 0 dr dk а/ (59.8) /43 = -E年\"^^(%6^)[h(Г，0(-8), f)%X

X (Г, * (一 оо), /) 一 fa (г, p, /) fb (r, /, /)] dk dpL (59.9)

Сравним эти выражения с соответствующими выражениями для пространственно однородной неидеальной плазмы.

Формула (59.7) отличается от (56.15) зависимостью функций fa, fb от координаты г. Выражение (59.8) отличается от (56.16) заменой оператора d/dt на d/dt + V2 (^ + ^Э (д/дг). Выражение (59.8) для пространственно однородного распределения обращается в нуль.

Как и в (15.8), второй член в [ ] в (59.9) компенсируется соответствующим вкладом в члене со средним полем Е в левой части уравнения (59.1). Это учитывается ниже.

Свойства интеграла столкновений

Для интеграла столкновений (58.8), (59.7)—— (59.9) равенство (56.17) имеет место лишь при (pa = 1. При ^а = р равенство (56.17) выполняется только для первых двух частей интеграла столкновений Для /^ из (59.9) следует, что

2 % \ р/«з dp = —£'(60.1)

где АР% ——вклад в тензор Р?〃 обусловленный взаимодействием частиц плазмы. Он определяется выражением

ььXXXfa (^,广(一8), t)fb (^» 户(一8), 0 drabdpdp\Xfa (^,广(一8), t)fb (^» 户(一8), 0 drabdpdp\(60.2)(60.2)аналогичным выражению (15.13) для газа. Соответствующий вклад в давление определяется выражениеманалогичным выражению (15.13) для газа. Соответствующий вклад в давление определяется выражениемАра = % АР%・Ара = % АР%・В приближении локального равновесия (при (60.2), (60.3) следует выражениеВ приближении локального равновесия (при (60.2), (60.3) следует выражение_ 2史礬[「04宀кт г丸 ьо_ 2史礬[「04宀кт г丸 ьо(60.3)Та = 7) ИЗ(60.4)(60.3)Та = 7) ИЗ(60.4)гдегдеОтсюда в дебаевском приближении сОтсюда в дебаевском приближении сучетом £ еапа = 0аучетом £ еапа = 0аА%=2 ^^，①厶疝"炉〃一麓ьойА%=2 ^^，①厶疝"炉〃一麓ьой(60.5)(60.5)

ь

ь

X

X

Xfa (^,广(一8), t)fb (^» 户(一8), 0 drabdpdp\

Xfa (^,广(一8), t)fb (^» 户(一8), 0 drabdpdp\

(60.2)

(60.2)

аналогичным выражению (15.13) для газа. Соответствующий вклад в давление определяется выражением

аналогичным выражению (15.13) для газа. Соответствующий вклад в давление определяется выражением

Ара = % АР%・

Ара = % АР%・

В приближении локального равновесия (при (60.2), (60.3) следует выражение

В приближении локального равновесия (при (60.2), (60.3) следует выражение

_ 2史礬[「04宀кт г丸 ьо

_ 2史礬[「04宀кт г丸 ьо

(60.3)

Та = 7) ИЗ

(60.4)

(60.3)

Та = 7) ИЗ

(60.4)

где

где

Отсюда в дебаевском приближении с

Отсюда в дебаевском приближении с

учетом £ еапа = 0а

учетом £ еапа = 0а

А%=2 ^^，①厶疝"炉〃一麓

ьой

А%=2 ^^，①厶疝"炉〃一麓

ьой

(60.5)

(60.5)

и, следовательно, суммарный вклад взаимодействия заряженных частиц в давление определяется выражением

Ар = £ А% = - £ 崙=--^ (g еХ1y, (60.6)

которое совпадает с известным выражением теории Дебая (см. (75.15) в книге [45]).

При(ра = р2/2та равенство (56.17) справедливо лишь для /аЬ

Для 7a2 из (59.8) находим

2М£Зр —£等Ф。,(戸中召X аab

X九⑴，户(一8), f)fbk 户‘(一8), t)dTabdpdp'. (60.7)

Это выражение аналогично (15.21).

Наконец, вклад 7л3 определяется выражением

а“abI

XfabK,户(一8), /) fb(rt A'(—8)/)d“dpdp‘，(60.8) аналогичным (15.25).

В приближении локального равновесия из выражений (60.7), (60.8) находим

2 % \ 长(2 + /аз) dp=_£ ("Ц^* + iu 2а + А%)) • аа

(60.9) Здесь

А" = 2 ^папь ,①劝 е」％/" г2 dr(60.10)

&о

——вклад в плотность внутренней энергии компоненты а, обусловленный корреляцией заряженных частиц, Ар〃 определяется выражением (60.4).

В дебаевском приближении выражение (60.10) принимает вид

А% = 一 2 ^5^ j ①ab®a*2dr = 一 犖-(60.11)

b0D

Суммарный вклад взаимодействия частиц в плотность вну- трепней энергии определяется выражением

_ 2 笠a//QW%, (60.12)

совпадающим с известным выражением теории Дебая (см. (75.11) в [45]).

Таким образом, на основе кинетического уравнения для неидеальной плазмы с интегралом столкновений (58.8), (59.7)— (59.9) можно получить уравнения газовой динамики для неидеальной плазмы, т. е. уравнения с учетом вкладов корреляции заряженных частиц в термодинамические функции.

Естественно, что вклад взаимодействия заряженных частиц в термодинамические функции определяется не только корреляционными функциями, по и одночастичными функциями, так как двухчастичная функция, определяющая полный вклад в термодинамические функции, имеет ВИД fab = gab + fafb-

В кинетическом уравнении (59.1) вклад взаимодействия заряженных частиц разделен на две части. Вклад, определяемый корреляционными функциями gab, включен в интеграл столкновений, а вклад, определяемый функциями /а, %, включен в член 箒=一 £ 〃，嚮告 ％ (%, f) % (匕 /) d,匕

b(60.13)

①。Ь=警・rab

Здесь Е — среднее электрическое поле, создаваемое заряженными частицами, распределение которых задается одночастичной функцией распределения %.

Такое разделение вклада взаимодействия в кинетическом уравнении на две части во многих случаях очень удобно. Оно не является, однако, абсолютным, так как зависит от соотношения времен релаксации функций распределения и поля. Это соотношение в свою очередь зависит от близости рассматриваемого состояния к состоянию равновесия.

Действительно, в газодинамическом режиме изменение функций распределения fa определяется изменением газодинамических функций па)“а, Та, для которых характерные времена изменения 叮 («г» — гидродинамическое)

так как 厶》％・(60.14)

Здесь L — характерный параметр длины для гидродинамического процесса, тп> /а — время и длина свободного пробега частиц компоненты а. Неравенство 厶》厶一условие, при котором справедливо газодинамическое описание.

Таким образом, если при кинетическом описании среднее электрическое поле — поле с временем релаксации, большим та, то при газодинамическом описании среднее поле — поле с временем релаксации, большим 吃》％•

Вследствие этого, по мере приближения к равновесному состоянию, интеграл столкновений должен учитывать вклады флуктуаций со все большими и большими временами корреляции. Естественно, что при этом меняется доля вклада взаимодействия частиц, которая определяется .членом (60.13). В следующей главе, посвященной кинетической теории флуктуаций, эти вопросы будут рассмотрены более подробно.

В заключение настоящего параграфа заметим, что в соответствии с изложенным в §§ 26, 58 вклады в термодинамические функции, обусловленные корреляцией частиц, могут быть выражены через корреляции флуктуаций 6^, ЗЕ. Так, например, из

выражения (58.4) следует, что интеграл столкновений /а3 можно представить в виде

X (№ 6N%, “p，，t dx dp'・(60.15)

Отсюда для корреляционного вклада (60.1)

£ АР% = — 2 内丄即"“仃(5)(6〃a ^n^rQb，r "竝，(60.16) aab

где

(玩前)“ r t = 6abS (rab) na (r, /) + nanbgab (rab, r, /)(60.17)

—корреляция флуктуаций плотности частиц компонент а, 6. Из (59.4) следует, что эта корреляция определяется выражением

(^йГЗ^)%ь，г, f = %2 (гаЬ) па (г, /) +

+ папь，[fa (г, Р(— оо), f) fb (г,户(一оо), /)—

—fa ⑴，P, 0 力(乙 Р‘，/)] dp d". (60.18>

Для состояния локального равновесия это выражение принимает вид

(6% 6%)“, r,t = 6。2 ⑴加 ％ (乙 /) + nanb 储-%/" — 1) (60.19}

Вклад корреляций во внутреннюю энергию определяется выражением

AU (〃 /) = 2 ^ [ Фаь(K^J“, 〃 f drab, (60.20> ab

Оно отличается от выражения, которое следует из (60.7), лишь тем, что здесь учтено самовоздействие.

ГЛАВА 11

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ В ПЛАЗМЕ

Уравнения для сглаженной фазовой плотности и поля

При построении кинетической теории флуктуаций в газах (гл. 4) были использованы два подхода. Один был основан на цепочке уравнений для сглаженных функций распределения fi, %， ... Она отличается от цепочки уравнений Боголюбова тем, что в ней с самого начала учитывается диссипация, обусловленная парными столкновениями. Другой подход основан на уравнении (22.1) для сглаженной фазовой плотности в шестимерном пространстве координат и импульсов.

Мы видели, что оба подхода эквивалентны. Однако использование метода фазовой плотности позволяет существенно упростить расчет спектральных плотностей крупномасштабных флуктуаций, поэтому он будет использоваться и при построении кинетической теории флуктуаций в плазме.

В кинетической теории флуктуаций рассматриваются крупномасштабные и долгоживущие флуктуации, т. е. такие, длина и время корреляции которых много больше величин /ф, Тф —— физически бесконечно малых элементов кинетической теории.

Для плазмы /ф ~『d, тф ~ 1/sl (см. § 33), поэтому в кинетической теории рассматриваются флуктуации, для которых

%Р>1/М， Гкор > rD-%Р>1/М， Гкор > rD-(61.1)(61.1)

%Р>1/М， Гкор > rD-

%Р>1/М， Гкор > rD-

(61.1)

(61.1)

Мелкомасштабные флуктуации с тКОр《1/col, rKop М 『d определяют сам интеграл столкновений.

В кинетической теории газов уравнение (22.1) для сглаженной фазовой плотности записано на основе кинетического уравнения Больцмана и совпадает с ним при усреднении в приближении первых моментов, когда не учитываются корреляции.

В плазме в зависимости от выбранного приближения уравнение для сглаженной фазовой плотности можно записать на основе различных кинетических уравнений: уравнения Ландау»

уравнения Балеску — Ленарда, уравнения Больцмана (§§ 56,59) с учетом поляризации плазмы.

Будем использовать уравнение Больцмана (56.11) с интегралом столкновений (56.15) или (с учетом запаздывания и неод* породности) с интегралом (58.8), (59.7) — (59.9). В этих интегралах столкновений учтены и сильные взаимодействия на малых расстояниях и эффекты поляризации.

Запишем соответствующее уравнение для сглаженной фазовой плотности &(%,/). Ниже знак ~ над ^a будем опускать там, где это не будет приводить к недоразумениям. Запишем сначала уравнение для идеальной плазмы, а затем проведем соответствующее обобщение. Уравнение для идеальной плазмы имеет вид

("^ + © "^ + 尸аО 盡)Na(X, 0 =

=Е\響备①的t)N№ f)+

+ N/, P(- oo), f)熊⑴,F(-oo),切 ％ (61.2)

Здесь, как и в (56.13), Р(—т),戸(一т) —начальные (в момент / — т) импульсы двух частиц, взаимодействующих по закону 小吟 Фаь — кулоновский потенциал.

Второй член в правой части уравнения (61.2) учитывает сильные парные взаимодействия заряженных частиц на малых расстояниях и, через эффективный потенциал, коллективные взаимодействия. В нем, однако, не учтено запаздывание и пространственная неоднородность функций распределения. Для неидеальной плазмы в первом приближении по запаздыванию и неоднородности его следует записать в виде (ср. с (22.3))

2 J 等备{(1 -粤 Е)此(г，户(-8), 0 Nb (Г,户(-8), о- b

—N式т, P，t)Nb(T> p\ 0]—(禺 + 吋 J 招 + 尸心备)X

X$ X^N^ ^(~ « 0 必(r,声(一 т),力 dr} d 匕(61.3) о

Уравнения (61.2), (61.3), как уже говорилось, учитывают коллективные эффекты, поэтому в них нельзя перейти к больц- мановской форме.

Для дальнейшего полезна другая форма записи уравнения (61 ：2):

、(弟+и ^:+(%自+f加"^)м a, /)=

=2*詣熊(乙 °(-8), /)М(Г,户(一8), /)» (61.4} ь

Введенная здесь напряженность электрического поля E(r, £) для кулоновской плазмы определяется уравнениями

rot百=0, div自=2 4冗％，N Jh P，/) dp (61.5}

или, если вместо уравнения Пуассона использовать уравнение полного тока, уравнениями

rot Е = 0,嗎=—4п £%，&%«",", /)dp・(61.6}

Знак 〜над Е подчеркивает, что источником в (61.5), (61.6) является сглаженная фазовая плотность.

Сравним уравнения (61.4), (61.5) с уравнениями (25.1), (25.2) для микроскопической фазовой плотности Na (х, t) и микроскопической напряженности электрического поля £м(г, /).

Уравнения (25.1), (25.2) для кулоновской плазмы являются точными микроскопическими уравнениями. В уравнениях же

(61.5) уже учтен вклад мелкомасштабных корреляций. Он определяет правую часть уравнения (61.4). Уравнения (61.4),

являются поэтому менее общими. Они описывают лишь крупномасштабные флуктуации (с rKOp > rD и тКОр > 1/соь).

Запись исходных уравнений в форме (61.4), (61.5) удобна, в частности, тем, что позволяет провести обобщение на случай релятивистской плазмы. Для этого в уравнении (61.4) надо

。金 + 尸《of % (忘 +~^®》])+Fao，(61.7)

правую часть заменить релятивистским интегралом столкновений и вместо уравнений (61.5) использовать уравнения Максвелла для сглаженных напряженностей электрического и магнитного полей Е, В.

Метод моментов. Поляризационное приближение

На основе уравнения (61.3) или уравнений (61.4), (61.5) можно, как и в § 22, построить цепочку уравнений для моментов случайных функций N© 后.Рассмотрим первое уравнение этой цепочки.

Используем определение одночастичной функции распределения fa и среднего поля через сглаженные функции Е (ср. с (26.1)):一

^af а == ^а， Е = Е,(62.1)

и тождество

此(м /) Е (г, /) = nafaE + (6犷а 6月工乙 р (62.2)

где bN а = N а — nja, 6Е = Е — Е. Тогда после усреднения из (61.4), (61.5) получим уравнения для функций 九，Е. Запишем эти уравнения в виде

(3 + ь^: +(%ё+f加書)厶=培+*

rotE = 0, divE = £ 4冗％九』，fqdp.(62.3)

Здесь использованы обозначения

la (-^, 0 =

=2 % \ ^^^ ^" %(匚 ° J 8), 0 % (乙 * (— 8), 0 dx (62.4) Ь

для части интеграла столкновений, определяемой мелкомасштабными флуктуациями, и

已=电"/(62・5)

для части интеграла столкновений, определяемой крупномасштабными флуктуациями (ср. с (22.9)).

В (62.4) опущен член с функцией 经亿户(一8),户(一8),/), так как вклад крупномасштабных флуктуаций на малых расстояниях (г V『d) мал.

Чтобы подчеркнуть аналогию с кинетической теорией газов, мы будем называть интеграл /^ интегралом столкновений Больцмана. Это не вполне последовательно, так как в /д учтены не только парные, но и (через эффективный потенциал) коллективные взаимодействия заряженных частиц.

Система уравнений (62.3) не является замкнутой, так как в нее кроме функций f* Е входит второй момент 6Nа$Е.

В уравнение для второго момента входит третий момент и т. д., возникает цепочка уравнений, аналогичная цепочке уравнений для сглаженных функций распределения 力，力，『з, • • • (см. §§21,22).

Рассмотрим, как и в § 22, уравнения для моментов в поляризационном приближении. Поскольку выкладки аналогичны проведенным в § 22, то приводим окончательное уравнение.

Уравнение для одновременного момента (bNa S^)x %, f (опускаем, как и выше, знак 〜над 8Na, 6必)аналогично уравнению (22.21) и может быть записано в виде

@ab + 6證 + 6兀，)(^^〃 к f + % (^W% %，, f 等 +

+ еь GN a 6E)x「, ｛噜=Aab(X, /, /)・(62.6) Здесь функция

^ab (^，К %) =(£ab + 6『a% + 6几，)/2。6^ (б(X — %') fa^fafbj +

+ 乙％ [£% (户,%)% (户,/)一 V (応(招 f)fb 停，0 +

+ 7b« t)fa(Xi 0)] (62.7) определяется одночастичными функциями распределения fa и может рассматриваться поэтому как источник (ср. с (22.22)).Опе- рато辿I £аь， ^аь определяются выражениями (26.4), (27.5); А =》(一8),户三户(一8); интеграл^ /^ определяется выражением (62.4); действие операторов S/ax, 6%% на произвольную функцию Fa(x, /) определяется выражением (ср. с (22.37)) ^IaXPa(X, £)= 一2& \ 飢儿(Г Р, /)尸с 6 А〃, /) +

+ 几亿 Р, /) tAr. А〃，切 dk・(62.8)

Уравнение для двухвременного момента (6Na 6^)х е х/>г в поляризационном приближении аналогично уравнению (22.40) и может быть записано в виде

也+必)(而Ю…『+

+ % (丽丽；)〃 f,匸 f,色吟产=о. (62.9)

Решение этого уравнения выражается через одновременной момент (GN。S^&)x %, f (начальное условие для уравнения (62.9)). Вследствие этого для определения пространственно-временной спектральной плотности крупномасштабных флуктуаций 6&а,6左 надо знать решение уравнения (62.6). В § 22 мы видели, что этого можно избежать, если для определения корреляций использовать уравнение для 6Mb эквивалентное системе уравне-

ний (62.6), (62.9). Оно аналогично уравнению (22.41) и может быть записано в виде

(厶 + 麓%)(6此(х, /) 一 6乂胃(х, /)) + % 6Е (广,/)嚮=0,

一l г(62.10>

rot 6E = 0, div 6E = 4冗 £ % ) 6猫 dp・

Знак ~ над 6^a, 6Е здесь опущен.

Корреляция флуктуаций S^aCT определяется уравнением, ана* логичным уравнению (22.42):

(4 + 簿> @NMN禮з XT，= 0.(62.11>

Это уравнение следует решать при начальном условии

(疝厂砒k，，,『I』,=砒丽；)工，产

Функция (6Na 6^ft)^cL * в свою очередь определяется уравнением (ср. с (22.43))

(厶6 + 6匕+ 6九，)研丽俄力,f = 4ab(招M力(62.12>

Функция Ааь (x,x\ /) связана с одночастичными функциями рас^ пределения формулой (62.7).

Это уравнение существенно проще (62.6), так как не содер* жит поляризационных членов, пропорциональных функциям 3E6Nb, 6N&近.

В приближении локального равновесия члены в [ ] в (62.7) обращаются в нуль. Тогда из (62.12), (62.7) следует, что начальное условие для уравнения (62.11) можно записать в виде

(6М 6 必)工,,f = nadab [s(X 一 /) fa — }h (x, 0 fb (X, /)]・(62.13>

Рассмотрим приближение, когда не учитывается поляризация, обусловленная крупномасштабными флуктуациями 5Е. В этом приближении в уравнении (62.6) выпадают члены с 6Е 6^ь, S^a 6Е и уравнения (62.6), (62.12) совпадают. Вследствие этого

2N小N丸,",=(丽"必)黑,,r(62.14>

Это показывает, что при пренебрежении флуктуациями 6Е корреляция флуктуаций бМ% 5Nb совпадает с корреляцией флуктуаций источника.

В том же приближении в уравнении (62.10) можно опустить член с 6Е. Тогда &Na = &N『 и, следовательно, для двухвременных корреляций имеет место равенство

丽丽)芻九К f，=(丽丽心；，，,f，・〜(62.15)

Таким образом, при пренебрежении флуктуациями 6^ уравнения (62.11), (62.12), а в приближении локального равновесия уравнение (62.11) с начальным условием (62.13) дают полное описание крупномасштабных флуктуаций.

Вместо системы уравнений (62.11), (62.12) можно использовать эквивалентное уравнение Ланжевена

(0 + 6电)6N『 = %(x, /),(62」6)

которое представляет собой линеаризованное уравнение Больцмана для плазмы с учетом поляризации (через эффективный потенциал).

В следующем параграфе мы установим связь корреляции и спектральной плотности случайного источника уа в уравнении Ланжевена с функцией Да&(х, х\ /), являющей ся источи и ком в уравнении (62.6) для одновременного момента (S^a 6^)х %，广

Как и в § 22, функцию Ааъ можно представить в виде суммы двух частей

ааЬ(x, f)=筋6 +魏(62J7)

Первое слагаемое определяется крупномасштабными флуктуациями и обращается в нуль в равновесном состоянии. Оно определяется выражением, аналогичным выражению (22.23):

4ab(%’ К ')=九《6«Ь [б(X — X)'а(X，0 —

一 v Ua (x, /) % 停,0 + h 停，f) %(X,切],(62.18)

и, следовательно, выражается через интеграл столкновений 7a. Явное выражение для него будет найдено в § 64.

Второе слагаемое в (62.17) определяется формулой, аналогичной формуле (22.27) 2. Эта часть функции Ааъ определяется дискретностью актов столкновений и остается не равной нулю и в равновесном состоянии.

Спектральные плотности крупномасштабных флуктуаций

Рассмотрим спектральные плотности крупномасштабных флуктуаций для идеальной плазмы, т. е. без учета временного запаздывания и пространственной неоднородности функций распределения %•

Найдем сначала спектральные функции источников флуктуаций и через них, используя уравнение (62.10), найдем спектральные плотности крупномасштабных флуктуаций 6#。，6Е.

Заметим, что уравнения (62.11), (62.12) аналогичны уравнениям (22.44), (22.45). Используя эту аналогию, можно сразу записать решение уравнений (62.11), (62.12), соответствующее решению (23.6):

(叽(63.1>

Здесь использовано обозначение

fap = FaQ-^ + ^ap，(63.2}

соответствующее обозначению (23.3). Оператор 81 ар совпадает с (62.8). Зависимость от г и / не указываем, так как для идеальной плазмы эти переменные входят в интеграл столкновений как параметры.

Выражение для пространственной компоненты Фурье в (63.1) для функции Ааь находим из выражения (62.7):

4b (瓦 Р，Р‘) = (fap + 后")ndab (6 (p — p‘) fa — fa(P)fb ”)) + +пЛ 竹 &abfa 便)fb 伊)dr - (*(") % (/) + If (川 ％ (P))}・(63・力

При получении этого выражения учтено, что в нулевом приближении по 机ф 〜 后『d компоненты Фурье выражения

Qabfa(P)fb^)

не зависят от k (ср. с соответствующим приближением при выводе (23.4)). Кроме того, учтено равенство (2n)36(fe = 0)/V = 1， которое использовано при преобразовании второго и четвертого членов в (62.7).

Выражение (63.3) обладает свойствами

\ A^k, р, р‘)dp =，Ааь (论，р, р‘)dp' = 0.(63.4)

Сопоставляя решение (63.1) с соответствующим решением уравнения Ланжевена (62.16), находим связь спектральной плотности случайного источника в уравнении (62.16) с функцией Ааъ：

(%%)®, к,р,р，= Aab (財 Р, Р‘)・(63.5>

Это равенство соответствует равенству (23.8) для газа.

Поскольку правая часть в (63.5) не зависит от з, а пр» 左《1 и от 瓦 то случайный источник в уравнении Ланжевена является 6-коррелированным и по времени и по пространству.

В приближении локального равновесия в (63.3) i член в фигурных скобках обращается в нуль и

41b (瓦 р, = (fap+ ?3)%a6ab (6 (р — fa (р) — fafb)- (63.3)2

(63.6)(63.6)Тогда из (63.1), (63.3)2

(63.6)

(63.6)

俗"° °№h 瓦■ 〃’=—[吁砌+ %][® 二 3—%，厂 °

Обратимся теперь к уравнениям (62.10), чтобы найти спектральные плотности флуктуаций 6而％ 5忘.Из первого уравнения (62.10) следует

而V” (о,瓦 р, 0 =

=6"尸®,瓦 p, f)丝6E®,同^^.(63.7) (i)— kv + ifQpдр

Из уравнений поля получаем второе уравнение

6Е ®,砂 + 告 £ 4не J 6必(s,瓦 p) dp =

=—告 £ 4не J S№CT dp w GE"" ® 同.(63.8)

Система уравнений (63.7), (63.8) отличается от системы уравнений (35.2), (34.12) заменой

k"'I f7―. .г一" w L】4 k, p,(63.9)

co — kv + “A co — kv + "ap

лучаем выражение(66戒质无лучаем выражение(66戒质无_ (666而糕—103,同 |2 '_ (666而糕—103,同 |2 '(63.10)(63.10)поэтому для спектральной плотности флуктуаций поля снова по

лучаем выражение

(66戒质无

лучаем выражение

(66戒质无

_ (666而糕

—103,同 |2 '

_ (666而糕

—103,同 |2 '

(63.10)

(63.10)

подобное (35.6). Однако диэлектрическая проницаемость и спектральная плотность источника флуктуаций определяются теперь иными выражениями:

电® 无)=I +2—詳X ^a^k.pk^dp,(63.11)

ab

(6百戒)/ = g ^^ j 窃厶 ktPLb,Z к,Р^АаЬ (p, p”pdp-

(63.12)]

Последнее выражение следует из (63.8) и (63.1).

Для состояния локального равновесия выражение (63.12} принимает значительно более простой вид:

(睛 ^С = 2 ^^ 2 Re \ iL-\无/ (р) dp・(63.12%

Преобразуем это выражение для равновесного состояния^ Учитывая, что в равновесном состоянии

&九=觴/=。，(63.13А

можно в (63.12)2 записать

2 Re S "%13 Л(p)如=2 Re ) “_呪品 ^^%p =

=2Re \'狂：戸_%dp=_2Re \匸

J CO - kv + 笛1 apJ 8一无N + ibl州

(63.14>

Используя также выражение для мнимой части диэлектрической проницаемости, которое следует из (63.11), можно записать выражение (63.12” в виде

(戒解)g产з:露:%2 m(63.®

Такая форма записи для состояния равновесия является универсальной.

Рассмотрим теперь выражение для спектральной плотности- (6Na SE)O kt р, определяющей интеграл столкновений 7a. Из уравнения (63.7) следует, что эту спектральную плотность можно представить в виде суммы двух частей (знак 〜 опускаем)

俗储 GE)® 电 р =俗陽 6Е)誅"+ (S№CT GE)® 尼“.(63.16>

Индуцированная часть спектральной плотности определяется формулой

(6m 6e)黑.=- f% (6Е 6现,"专《誉)，(63.17>

и, следовательно, она выражается через спектральную плотность флуктуаций поля. Второй вклад в (63.16) определяется

выражением

(6АС 6Е)з,瓦产 fy 俗限 Е,р・ (63.18)

В этом выражении диэлектрическая проницаемость определяется формулой (63.11), а спектральная плотность

К“ст 第f 』Qb (瓦 Р，Р)dp

a 8，生Р左2 4jЬ)[(①_在N)+疗。/ [(①一在『)_i%p，].

(63.19)!

Это выражение следует из (63.1) и (63.8).

В приближении локального равновесия вместо (63.1) следует использовать более простую формулу (63.6). Тогда вместо (63.19)1

(6此 6Е%7 р =啓 4冗％%2 Re ZL； k>pfa (p).(63.19)2

Запишем, наконец, выражение для реальной части спектральной плотности (63.16). Она определяет интеграл столкновений /а идеальной плазмы. В приближении локального равновесия из (63.17) — (63Л9)2 находим

Re @N"E)% 电 р = — еапа Re iL^tP (SE 6E)® 々 / (尼嘗)一

-4Н%% 庐]e(co, 大]2 2 Re必\,^,pf。・(63.20)

Если приближение локального равновесия недостаточно, то при получении выражения для спектральной плотности (63.20) вместо (63.12)2 надо использовать выражение (63.12)1.

Аналогичным путем можно найти выражение для самой общей спектральной плотности крупномасштабных флуктуаций (6南弧儿也

Приведенные выражения для спектральных плотностей крупномасштабных флуктуаций не являются явными, так как содержат операторы L^1©, л, р, которые в свою очередь определяются операторами /ар, 61ap. Из-за сложности операторов столкновений получение явных выражений для спектральных плотностей представляет сложную задачу. В некоторых случаях для упрощения целесообразно использовать модельные выражения для интегралов столкновений 1а. Так, например, в работе Ситенко й Гурин^ [54] для расчета флуктуаций в равновесной плазме для интеграла столкновений использовано приближение Батнагара— Гросса — Крука [55]. Использованный в работе метод расчета флуктуаций подробно изложен в книгах [15].

§ 64. Кинетические уравнения для плазмы с учетом крупномасштабных флуктуаций

Представим интеграл столкновений (62.5) в виде

Т" = ~ 豈"^г 而 \ Re ®Na GE% k р d(o dk. (64.1)

Используя выражение (63.20), получим

厶(X，力=募掇［$ Re右鼠Р О^, R左吗*“ +

'+ y制黯L % (厶P，川 廡a瓦(64.2)

Если в этом выражении в операторе 厶-〔заменить fap на А и произвести предельный переход Д -> 0, то оно совпадет с интегралом столкновений Балеску — Ленарда в форме (37.2).

В равновесном состоянии выражение (62.5) обращается в нуль. Действительно, при подстановке в (64.2) распределения Максвелла подынтегральное выражение, с учетом формулы (63.15), можно представить в виде

(6月6叽象/ReiL£,^.电〃快需+导山卜

=9'：：'" -p- Re iLa\t 吼 p ® — kv) fa = 0,

так как в равновесном состоянии ^1а^а = 0-

Интеграл столкновений (64.2) обладает свойствами

£ % \ <Ра (р) 〃 dp = 0 при (рд= 1, р, р2/2та.(64.3)

Напомни, что форма (64.2) для интеграла столкновений 7a справедлива, когда в формуле (63.3)【можно пренебречь членом в фигурных скобках и использовать для функции Ааь более простое выражение (63.3)2・ Это справедливо, в частности, для состояния локального равновесия.

Поскольку при конкретных расчетах из-за сложности опера* тора bfap приходится использовать модельные выражения для интеграла столкновений Больцмана, то целесообразно использовать форму (64.2) и для состояний, отличающихся от состояния локального равновесия. Кинетическое уравнение с йнтегра* лом столкновений (62.4), (64.2) справедливо лишь для идеала ной плазмы. Рассмотрим соответствующее уравнение для неидеальной плазмы.

Кинетическое уравнение для неидеальной плазмы также можно записать в виде

(^F + vi +(%Е + 尸爾 ^г) fa = Ia+ 备(64・4>

Теперь, однако, интеграл столкновений /^ состоит из трех частей (см. (58.8)), которые определяются формулами (59.7)— (59.9).

Для интеграла 7a вместо выражений (62.5), (64.1) следует использовать выражения, аналогичные выражениям (58.4), (58.7). Таким образом, вместо (64.1) получим

兀(Х, /) = --^ 部竟[{ Re (МаЬЕ^ …+

+ "F (*廿)布7 1m 3府a 便 6百))叫 6. р. Г, i} da d"(64.5)

'Чтобы найти явное выражение для этого интеграла, надо произвести расчет спектральной плотности (6Na 6E)O л р r f с учетом (в первом приближении) временного запаздывания и пространственной неоднородности функций распределения fa.

Поскольку в формулу (64.5) входит спектральная плотность флуктуаций с временами корреляции тКОр > 1/соь, то флуктуации можно рассматривать как плазмоны (см. § 57). Тогда для пространственно однородной плазмы учет неидеальности, связанной с временным запаздыванием, можно произвести по аналогии с тем, как это было сделано в § 57. В частности, выражение для интеграла 7a неидеальной пространственно однородной плазмы можно записать по аналогии с (57.8):

/a(p，0 =%:尸~&р，京"*五6Ш,丸P [(虎应\ k f-T/2 X

X 论 а吗;Y + 8；黑齡 fa (p, f - T)] dk d8.(64.6)

Если пренебречь запаздыванием, то это выражение совпадет с (64.2). Как и в (57.8), здесь имеет смысл удерживать лишь члены нулевого и первого порядка по запаздыванию.

Спектральная плотность флуктуаций поля в (64.6) удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению (57.15):

(^6<Vd|е (со, Л) I2 J(^6<Vd|е (со, Л) I2 J变噜红=一 2V[(储6取…

(^6<Vd|е (со, Л) I2 J

(^6<Vd|е (со, Л) I2 J

-2豁[*『開6風….(64.7)

Здесь

р = ImЕ[°j^° ] » Reg®,尼)=0(64.8)

—декремент затухания и дисперсионное уравнение крупномасштабных колебаний.

С учетом зависимости частоты от времени в уравнении (64.7) появится дополнительный член, аналогичный (57.16). Соответствующий член появится и в кинетическом уравнении.

При учете пространственной неоднородности в выражении для 7. возникнут два дополнительных члена. Один из них определяется вторым членом в (64.5). Для его преобразования достаточно использовать выражение для спектральной плотности в нулевом приближении по запаздыванию и пространственной неоднородности. Это выражение нам известно. Оно определяется формулами (63.16) — (63.19)2・

Второй дополнительный вклад связан с учетом неоднородности спектральной плотности (6Na BE)® ^ р г ^ в первом члене (64.5).''''

§ 65. Газодинамические уравнения с учетом крупномасштабных флуктуаций

При учете крупномасштабных флуктуаций дополнительные вклады появятся в газодинамических уравнениях для плазмы как в термодинамических функциях, так и в кинетических коэффициентах.

Так, например, вместо выражения (60.20) для части плотности внутренней энергии, определяемой взаимодействием, теперь будем иметь выражение

AU。= 2 万(2门)3 [，"ab (左)(6九a 5吟u" +

ab(k>l/rD

+ \ ^传)(6亢。б瓦)左//尼卜(65.1)

k<\/rDJ

Второй член здесь и учитывает вклад крупномасштабных флуктуаций.

В равновесном состоянии оба интеграла объединяются, и мы получим известный результат равновесной теории. Вклад второго члена в (65.1) значителен, если состояние для области спектра k V 1/『d заметно отличается от равновесного.

Выражения, аналогичные (65.1), могут быть записаны и для других термодинамических функций.

В соответствии со структурой интеграла столкновений 厶=吟+北(65.2)

коэффициент вязкости можно представить в виде

Здесь va 二 частота столкновений для интеграла /а, а 勺〃——для интеграла 1а.

Для состояний, близких к равновесному, выражение (65.3) соответствует обычному выражению для коэффициента вязкости. Если же в области крупных масштабов (尼 V 1〃d) есть сильные отклонения от равновесия, например, плазма находится в турбулентном состоянии, то возможно изменение знака частоты столкновений va. В результате произойдет увеличение коэффициента вязкости.

Здесь нет возможности разобрать конкретные примеры, поэтому лишь укажем литературу, которая может быть полезна при решении такого рода задач [19—24, 26—30].

Заметим, что проблема разделения флуктуаций на мелкомасштабные и крупномасштабные существует и в теории бесстолкновительной плазмы. Времена корреляции мелкомасштабных флуктуаций определяются, например, затуханием Ландау. Времена же корреляции крупномасштабных флуктуаций могут, например, определяться временами пролета ——временами жизни частиц в рассматриваемом объеме, диссипативными процессами на границе системы и т. д.

Кинетические флуктуации играют существенную роль в различных системах. Они, например, определяют естественные флуктуации излучения лазеров и молекулярных генераторов [56—58]. При этом кинетические флуктуации в лазерах схожи с кинетическими флуктуациями в столкновительной плазме, а в молекулярных генераторах — с флуктуациями в бесстолкновительной плазме.

Отметим, наконец, что в настоящее время интенсивно развивается теория крупномасштабных флуктуаций в электрон-фонон- ных системах [59—62].

ЧАСТЬ III

КВАНТОВЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

ВВЕДЕНИЕ

Последняя часть книги посвящена изложению квантовой кинетической теории неидеального газа и неидеальной плазмы. Термин «неидеальный» означает, как и выше, что в рамках определенной модели (приближение парных столкновений, поляризационное приближение и т. д.) вклад взаимодействия учитывается не только в диссипативных, но и недиссипативных членах.

Первая попытка построения квантового кинетического уравнения Больцмана для неидеального газа была сделана в работе Грина [1], но она оказалась не вполне удачной. Более последовательный вывод кинетического уравнения Больцмана для неидеального газа проведен в работах Каданова и Бейма [2], Бэр- винкеля и Гроссмана [3, 4], Климонтовича и Эбелинга [5].

Квантовые кинетические уравнения для неидеальной полностью ионизованной невырожденной плазмы рассмотрены в работе Климонтовича и Эбелинга [5]. В работе Климонтовича и Крэфта [6] проведен учет обменных эффектов в кинетическом уравнении для неидеальной полностью ионизованной плазмы.

Для описания кинетических процессов в квантовой идеальной плазме обычно используется кинетическое уравнение, которое является квантовым аналогом кинетического уравнения Балеску—Ленарда [7, 8]. В этом уравнении, как и в классическом уравнении Балеску — Ленарда, учитывается динамическая поляризация плазмы, что обеспечивает экранировку взаимодействия заряженных частиц на больших расстояниях. Вклад взаимодействия частиц на малых расстояниях учитывается в интеграле столкновений лишь в приближении теории возмущений по взаимодействию (борновское приближение).

Для неидеальной плазмы приближение теории возмущений не является удовлетворительным, так как вклад взаимодействия частиц на малых расстояниях в термодинамические функции является существенным. Вследствие этого на малых расстояниях следует использовать приближение парных столкновений.

Мы уже знаем, что одновременный учет эффектов динамической поляризации, проявляющейся на больших расстояниях, и

Ю Ю, Л. Климонтович

сильных взаимодействий на малых расстояниях для неидеальной плазмы приводит к очень сложным уравнениям. Вследствие этого, как и в §§ 55, 56, в интеграле столкновений будет учитываться лишь усредненная динамическая поляризация, но зато на малых расстояниях будут учтены вклады всех членов теории возмущений по взаимодействию. Тем самым на малых расстояниях будет учтено сильное взаимодействие заряженных частиц.

Значительно более трудной является задача построения кинетических уравнений для химически реагирующих газов и частично ионизованной плазмы. Это связано с необходимостью учета внутренних степеней свободы атомов и молекул.

Кинетическая теория химически реагирующих газов и частично ионизованной плазмы, основанная на квантовых микроскопических уравнениях, начала развиваться сравнительно недавно и, естественно, развита значительно меньше, чем кинетическая теория газов и полностью ионизованной плазмы. Краткому изложению этой теории будет посвящена последняя глава книги. Она включена в книгу, чтобы показать возможные пути обобщения изложенной здесь теории и привлечь внимание к этой очень важной и интересной теме. Естественно, что подробное освещение этих вопросов может быть дано лишь в отдельной книге.

ГЛАВА 12

КВАНТОВЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

§ 66. Цепочка уравнений для квантовых функций распределения. Приближение парных столкновений

Пусть газ состоит из нескольких компонент. Обозначим через р@(У, “，/), pab (г р г] г,\ /•?, /),... одночастичную, двухчастичную и т. д. матрицы плотности (а, Ъ — индексы компонент).Через %, fab обозначим соответствующие квантовые функции распределения —матрицы плотности в представлении Вигнера [9—12]. Функции fa, pa связаны следующим образом:

fa(r, р, /) = ^уг，Pa G +4*力“ Г — 4•力Y)ei* (^^)%丫・(66・1) Условия нормировки:

，山小 6 f)^^ = L \p/宀力)%=1，(66.2)

Соотношения, аналогичные (66.1), имеют место и для функций fabt Pab； fabc, Pabc； • • •

Для квантовых функций распределения %, %ь,.… или для матриц плотности Qa, раь можно записать цепочку уравнений, аналогичную цепочке уравнений Боголюбова для классических функций распределения. Первое уравнение цепочки ——уравнение для функции распределения fa имеет вид [10—12] 普+ 5醤—专蒜S М。(г】一｝力Y)- % a + 4力Y)] X

XeW(Lm)№i, % /心明=常蒜? M，[①也(I ^i-^2- 4■力YI)一 一①必(卜i - Q + 4■力丫|)] A Sr 呼硏(rh 4, &, p2) dy dM ^§^ ♦

(66.3)

Здесь Uao — потенциал внешнего поля. При 方一> 0, т. е. в классическом пределе, уравнение （66.3） принимает вид

k + s石+儿0万7一乙必）f-丽儿7W.（66.4） ь

Для однокомпонентного газа это уравнение совпадает с урав・ нением （1.19）. При сопоставлении следует учесть различие в нормировке классических и квантовых функций распределения. Из выражений （1.14）, （66.2） следует, что

―Z—产В —产〃Н кв _ еКЛ/fifi

（2%方）3〃一%，（2л5）6 fab -lab-

В дальнейшем вместо функции %ь удобней использовать соответствующую матрицу плотности раь. Функции fa&, раь связаны соотношением, аналогичным соотношению （66.1）. По аналогии с （2.4） введем корреляционную матрицу плотности

Pab = Pg + gab （4 巴，力‘ W，/），（66・6）

где ра, рь — одночастичные матрицы плотности.

В результате уравнение （66.3） примет вид

"> + 4 磬-^ 击"а（% - %犯）-力（'+ 'MV）1 X

Хехр [zv （Ч —pi）]fa （^ь 期,/）外小1 = /@（门，p], /）・（66.7）

Здесь введено обозначение для интеграла столкновений

乙=±/ 2 m \[①研（I打一方一 %力Y I） 一 ь

一①》（"!—&+% 力 Yl）]X

Xgab （/ + %力y，「I 一 %力% 电，戸2, 0e7" ^^ 力争 （66.8）1

я для потенциала среднего поля

Uag,力）=UaO + £ "八① ab （ I 门 一 & I ） Pb （力，Q, 0 争-（66.9） b

Для случая пространственно однородного распределения частиц газа выражение （66.8万 для интеграла столкновений при* яимает вид

乙S，/）=42m\[%（h一厶 1）-941「厶]）]>< b

,,, dr!

X Pm（4 Г；, r2,力，f） exp [一，6 -*‘）Pi/同7з•（66.8%

Здесь учтено, что при пространственно однородном распределении частиц в интеграле столкновений можно заменить gab на ра&.

В классическом приближении уравнение (66.7) для одноком- понентного газа совпадает с уравнением (2.11), а выражение (66.8)I —с (2.12).

Рассмотрим, как и в классическом приближении, модель парных столкновений. Для матрицы плотности раь в этом случае получим уравнение, аналогичное уравнению (2.20) для функции /г- Оно имеет вид

— 2ab(H —刃)—①研(卜 7 —^1)]Pab =

=访等、厶 SO fb (%，0exp[«*-")P開 +

+ £ (r2 -^2)Р21^ dp】 dp?三访 4 p^ «, £, <f r£ /).

(66.10)

Здесь p*& ——двухчастичная матрица плотности pab, но без учета корреляции частиц.

Произведем разложение двухчастичной матрицы плотности по собственным функциям гамильтониана двух частиц, т. е. по функциям, определяемым уравнением

[-^г--^^г + ФаЬ^-М}\ 写 3 (入力)=•

“联(66.11)

，写朽G，％)%&(一，乙)"国厶=噌^3-p7)6侬一從).

“(66.12)

С учетом зависимости от времени

屮^t)-^P(-^PlP^%)• (66.13)

В приближении свободного движения

ТР^(гг г2)= V ехРV(riPi + г2р^)Щ (66.14)

Разложение матрицы плотности по собственным функциям запишем в виде .

久匕('；ГП Г2»，；，') = [ (2冗方)3 ]，Pab (рр Р1> ₽2> Р?，') X

X 屮唯(И,项屮喇(4 r^dp{ dpf dp；办八(66.15)

Используя это разложение, из (66.10) находим уравнение дл田 матрицы плотности в импульсном представлении

m- ер^ Ра!)(Р； Р；, р；, р?, 9=

= /-^(%р7，К，р1，f)・(66.16»

Запишем решение этого уравнения при условии полного ослабления начальных корреляций (ср. с решением (12.1)):

Р“ь = ехр[Т (Е* — В%)"九]Р^ь (W，₽2,限力一工)+

+ J exp[T (E* — E喇尸門 4 P^b (% P7, % 偿，f _ С "0(66.17>

Используя это решение и разложение (66.15), найдем матрицу плотности раь в координатном представлении. Введем обозначение для матрицы перехода

4(7)=，中喇("』)中设储,喲写怎«, 4, 一Т)X

X 匕寓 @'，q'}-0dp；dp，；d& dp^ [_^У •(66.18>

Тогда

Pab (X，％’，鸟,r2)=，{ A(—力 Pab «；，《'，％，％'才一工)+

+ j 4 (_ Y)宗 p^«, <,唯 哟—i)“ } W 對7 d% dq^ 0)

(66.19>

Это выражение аналогично выражению (12.1) в классической» теории.

Подставим это решение в выражение (66.8)2. Мы выразим,, таким образом, интеграл столкновений через первые функции* распределения. Напомним, что функция р^° определяется выражением (66.10).

Выражение (66.8)2 можно упростить, если ограничиться первым приближением по x^d/dt, т. е. первым приближением по запаздыванию. Представим, как и в § 12, интеграл столкновении в виде суммы двух частей

〃 = 〃 + &・(66.20>

Первый член соответствует нулевому приближению по запаздыванию. В этом приближении из (66.19) следует

p『，"—o°)раб G，外，@，%,,0 對:對7 齒；d味

При т-> оо в выражении (66.18) для 4(—т)

f -jk exp [T (p& + p阅阿 exp 卩 ^q\ + &%)传], так как в нулевом приближении по запаздыванию корреляция начальных состояний полностью отсутствует. В результате после интегрирования по %, q；、《,%’ и р,, р；, р；, р： в нулевом приближении по запаздыванию получим

嗚а 1 〃吆/)=鷗，不З(乂抬)写m a，喲X

Xfa(Pl，t)fb(p2. t)dPidp2. (66.21)

Из (66.8)2, (66.21) находим выражение для первой части инте- трала столкновений. Запишем его в виде

Лиз, f)Н品7^2 必 \[①。Ь(1勺一方一^■方Y I) 一

-①ab (卜I — & + 4•力YI)] e-l^p\p2 (「] + ｝力Y, /«2)X

•Х闿区(，一；力Y，R儿(片,汕(%，t)d、dp； ^L.(66.22)

Это выражение совпадает с полученным в работе Грина [1]. В работе [13] показано, что это выражение можно привести к обыч- яому виду интеграла столкновений Больцмана с квантовым селением.

Учет запаздывания дает дополнительный вклад в интеграл столкновений Больцмана, который учитывает неидеальность газа< Выражение для матрицы р^, определяющей вклад первого при^ ^лижения, имеет вид

PS = -4$dT$ 對;歯 7 dq\ 咖 т^Д(-т) р2ь ®，<> %，呢，О- о

(66.23)

Подставляя это выражение в (66.8)2, получим выражение для /а2. Как и в классической теории, интеграл /а2 определяет вклад запаздывания в недиссипативные характеристики газа.

§ 67. Уравнения переноса и термодинамические функции для неидеального газа

Как и в классическом приближении (см. (11.5)), интеграл столкновений обладает свойствами

Е% 5<Рл (Pl)/a^Pl = 0 при %=1, Р1・

Эти равенства обеспечивают законы сохранения числа частиц и импульса газа.

Рассмотрим более подробно закон сохранения энергии. Из кинетического уравнения (66.7) следует закон сохранения энергии с учетом парных столкновений. Вычисления, аналогичные проведенным в § 12, приводят к следующему выражению для плотности внутренней энергии:

а

+ ^2"八①Q#以小ГР乙，了2”(一一々)・(67.D ab

Здесь p：b — функция распределения координат двух частиц в нулевом приближении по запаздыванию. Выражение для нее следует из (66.21) и имеет вид

P：bS，5 々，小)=

=譌产卜中p⑵(乙，，2)|2h3, t)fb^ 0 dp{ dp2. (67.2>

В выражении для внутренней энергии взаимодействие атомов определяет не только второй член (потенциальную энергию) ^ но дает вклад и в кинетическую энергию. Как мы знаем (§ 14),. первая функция распределения, как и любая термодинамическая функция, может быть разложена по плотности. В первом приближении по плотности из уравнений (66.7), (66.10) получаем, следующее выражение:

gab (修，X^dr{dr2gab (修，X^dr{dr2x = (r, p), (67.3>x = (r, p), (67.3>

gab (修，X^dr{dr2

gab (修，X^dr{dr2

x = (r, p), (67.3>

x = (r, p), (67.3>

аналогичное классическому выражению (14.4). Постоянная С определяется из условия нормировки, /^—функция распределения идеального газа, gab = fab — fafb — корреляционная функция.

Используя выражение для С, из (67.3) в первом приближении по плотности получим

/а(РгО = ^ + 2^П$ gab 伪 1，电'0 髙уг 如2 -

—j gab (巧，尤2, 0 [(2^)з] dpi 加2他(外 0 }qy 力・(67.4)

Здесь в правую часть можно подставить выражение для gg в нулевом приближении по плотности и запаздыванию.

Отличие функции %(",/) от функции распределения идеального газа，2 обусловлено корреляциями двух типов: квантовыми корреляциями распределений координат и импульсов частиц и классическими корреляциями, обусловленными взаимодействием. В состоянии равновесия остаются лишь квантовые корреляции, которые исчезают при 力一＞0. Получим выражение для fa с точностью до 方2.

Используем уравнение для квантовой функции распределения в представлении Вигнера — уравнение (66.3). Решим его методом последовательных приближений по 方,беря в качестве исходной классическую функцию распределения /^ — распределение Максвелла — Больцмана для пары частиц. В приближении парных столкновений приходим к результату c⑺=窗+IX累a (陪詣)2«"…)娱，(67.5) b

совпадающему с полученным в работе Грина [1]. Здесь g^ — парная корреляционная функция больцмановского газа в парном приближении.

Из (67.5) находим известное выражение (§ 33 книги [14]) для средней кинетической энергии в состоянии локального равновесия

谓窃击 吁犷+就諄戸皆理

Выражение (67.1) для плотности внутренней энергии можно представить в виде

U = Uha + Ukop・(67.6)

Здесь [7Пд — плотность энергии идеального газа. Величина С/Кор определяется потенциальной энергией и корреляционной частью кинетической энергии.

Рассмотрим выражение для t/KOp в случае локального статистического равновесия. Из (67.4) следует, что корреляционная

добавка к суммарной кинетической энергии всех компонент может быть представлена в виде

哨=^ £ nanbV j (說■ + 謊—3/сТ)飓鴇醤' •(67.7)» ab

Здесь f^b ——равновесная квантовая функция распределения.

Функцию 几叩=。源 + t/пот можно выразить через более простую функцию распределения рд&(гь rb г2, ^2)- Покажем это.. Из (67.1), (67.7) следует

% =4 2 s к% - з⑴ & 騎.ab

Полагая Фа& (Л) = ЛФД&, запишем это выражение в виде

j

Ukop =2 папь 卜入备，наь (簿 ％ 晦請♦(67.8%

ab О

С другой стороны,

衆，наь (А)胤卷黯=—譌Iln Sp exp [—睛ab U)] =

= ^P$%"笈嗡需=詣6，智生р2в色将J(67.9А

Подставляя (67.9) в (67.8) с учетом определения потенциальной энергии (см. (67.1)), получим

11

= ^'^^ПаПь\^tФ^ь 仇)р2b "^^贵仆警^吁仇,Р), ab ОО

0=1/仃.(67.10>

Последняя формула (67.10) совпадает с известным результатом квантовой статистической теории равновесного состояние (см., например, приложение 7 в книге [15]).

Полученное нами выражение (67.10) определяет второй ви- риальный коэффициент разложения внутренней энергии по степеням плотности.

§ 68. Две формы записи квантового интеграла столкновений

В классической теории были использованы две формы записи интеграла столкновений для идеального газа. Одна из： них — обычная форма интеграла столкновений Больцмана

《10.18), а вторая—(10.5) была предложена Боголюбовым. Для доказательства эквивалентности этих двух форм было использовано равенство (10.8), которое в нулевом приближении по 'xdldt следует из уравнения (10.2) для двухчастичной функции распределения，2・

Аналогичное равенство легко установить и для квантового случая, используя уравнение для двухчастичной квантовой функ・ 1ции распределения 沁・ Оно следует из уравнения (66.10), если учесть связь функций %ь, раь. Выполняя преобразования, подо6・ 田не проведенным в § 10, получим вторую форму записи выражения для интеграла столкновений. При пространственно однородном распределении частиц газа она имеет вид

几(Pi，力=2 М \(6*+办設)九(修，3力勺^券. (68.1)

-Здесь вместо функции fab можно использовать квантовую корре- .ляционную функцию gab = fab — fafb> ТНК КЗК фуНКЦИИ fa, fb Нв зависят от координат.

Для однокомпонентного газа выражение (68.1) соответствует ^классическому выражению (10.9). При сопоставлении следует ^учитывать соотношения (66.5) между классическими и квантовыми функциями распределения.

Для идеального газа выражение для двухчастичной квантовой функции распределения следует из (66.21), если учесть связь ^функций fab, pab, которая аналогична соотношению (66.1). Таким образом, для модели парных столкновений в нулевом приближении по запаздыванию функция fab определяется выражением

九ь(А, Р» 力，Р2, 0 =

=^г \ d% dp\ 外2 #2 ехр (— %Pi —叱p2)x

X 3;怎(八 一 %力Y]"2 一 %方%) h (p；，0 fb (弘，0- (68・2)

:Мн видим, что функция fab зависит от времени лишь через посредство одночастичных функций распределения fa, %•

Если подставить выражение (68.2) в (68.1), перейти к сферическим координатам и выполнить интегрирования, то получим квантовое выражение для интеграла столкновений Больцмана. «Оно отличается от выражения (10.18) заменой класоического эффективного сечения (10.20) на квантовое эффективное ceqe・ 吼не [13].

§ 69. Приближение теории возмущений

В § 13 было показано, что кинетическое уравнение для неидеального газа в приближении теории возмущений может быть, получено двумя способами. Можно либо производить разложение по взаимодействию непосредственно в интеграле столкновений Больцмана, либо использовать соответствующее уравнение для корреляционной функции gab. Оба способа возможны, естественно, и в квантовой теории.

Уравнение для корреляционной матрицы плотности в приближении теории возмущений следует из уравнения (66.10) и имеет вид

+ [备(智-幻+羲(牝-牝)]gab =

= Pab ( М - Г； I ) - Qb ( I X'-吧)]Pa «，不 0 P& (% 〃'，/)♦

(69.1}

Оно соответствует классическому уравнению (13.1).

Подставим сюда разложение (66.15) для функции gab по собственным функциям нулевого приближения по взаимодействию (по функциям (66.14)). В результате для функции gab (рр р2, рЗ 哆 /) получим следующее уравнение:

Da4 - (3犯-З'м)] ^\>^ Р7, РЗ 9 =

=a (% 風 p7, pZ，f), gg =更 + 薪.(69.2>

Здесь введено обозначение

4=，[①必(Н 一吋)一①/I，7一方 I)] % (乂/f) Pb (% 啧 f) X

X exp F &P： + г^Х)/й] exp [— (r>； + 巾。传]X

X*"J.(69.3}

При пространственно однородном распределении частиц , Рл«> 力,f) = Pa『一"，0 =

=Jfa(Pp о exp [i (% — Г；) Р,/Й] ^т dp】・ (69.4)

Используя это равенство, разложим в (69.3) функцию Фаь (г) в интеграл Фурье и выполним интегрирования по всем координатам.

В результате получим, что

Л = (2冗力)з 〜ь (也抖)б(Р； + 网-Р7 一 Pl) X

X [fa(P^ o w f) - 〃(К о fb (% A (69.5)

”ab(*)= 5 фаь(\r I)exp(— ikr) dr.(69.6)

Запишем решение уравнения (69.2) при условии полного ослабления начальных корреляций:

ёаь(ру Р2> Р7, р£「)=

-~^\-^р\р-ер^1^^ р；, р7, р；, f т)県

°(69.7)

Преобразуем выражение (66.8)2 для интеграла столкновений. Подставим в (66.8)2 разложение (66.15) для функции gab по со6・ ственным функциям (66.14), разложим функцию Фаь(|г|) в интеграл Фурье и выполним возможные интегрирования. В результате получим выражение

о= тХ"Г SVab(| I ) 6 (Pl + Р2 - р； - ₽2)X b

X Im (圻，弘 Рр %, /)嚼)什.(69.8)

Из (69.8), (69.7), (69.5) находим искомое выражение для интеграла столкновений неидеального газа в приближении теории возмущений

〃(Р” /) =4 £ М j\ 唸("?/) 6(Pi + Р2 — К 一 К) X ь о

x cos [(%&一 Ер>^ [% (% f _ с) % 陋,f_c)_

一 fa(Pl，f — б fb(P2, % —力]窑黑驚片・(69.9)

В первом приближении по запаздыванию это выражение снова можно представить в виде суммы двух частей

/а(Р1> 0 = 'al + /а2,/а(Р1> 0 = 'al + /а2,(69.10)(69.10)

/а(Р1> 0 = 'al + /а2,

/а(Р1> 0 = 'al + /а2,

(69.10)

(69.10)

где

乙\脸(^4"^) 6(諡 + 羲一羲 - 盡)X

Xd(P1 + p2-P；-P0 [% (%, f) % (弘,/)-厶(P|, 0 fb (P2, 0] X

X(69.⑴

—интеграл столкновений для идеального газа в приближении теории возмущений. Это выражение впервые было получено в работе Боголюбова и Гурова [11]. Интеграл /Л2 определяется выражением

〃2 = _^^工 / i ,嗑I'力"I) “Pl + P2 - P0 X b 0

X cos [(%% - E*) J] [%(%/)% 佑 f) 一

Ta(P“ /)%(P2,切岑彳緇•(69.12)

Это выражение учитывает вклад взаимодействия в недиссипативные характеристики газа, т. е. неидеальность системы.

В классическом приближении полученные здесь квантовые формулы для /ai，/。2 совпадают для однокомпонентного газа с выражениями (13.12), (13.13).

§ 70. Квантовый интеграл столкновений Больцмана для неидеального газа с учетом обменных эффектов

В кинетической теории неидеальных газов и плазмы даже при высоких температурах, когда нет вырождения, обменные эффекты могут играть существенную роль. Это связано с тем, что вклад взаимодействия на малых расстояниях в недиссипативные характеристики является существенным. На малых расстояниях существенными являются и обменные эффекты.

Как и выше, будем рассматривать разреженный пространственно однородный газ. В приближении парных столкновений без учета обменных эффектов свойства газа описываются системой уравнений (66.7), (66.10) для квантовой функции распределения %(",/) и для двухчастичной матрицы плотности ₽ab (ГР г1> г2» 啜')•

Запишем соответствующие уравнения с учетом зависимости от спиновых переменных, т. е. для функций [6]

〃(《，о] Pi/)，Pab (% %, 4 r$ <, %，N、q、f)： (70.1) ^.^V. /) = ^2"八 2 ab(H—2|)-① ab(H-T)]X 瓦

X Pab (吟 %, %，％，4 彳'％，厶，0 exp [ - 2 (4 - G p J X dZ dr!dr2 / ,、

X厶(％ 唯〃，力)，(70.2)

{访关 + [羲(A 4- *7)+薪(%-")]-[%(н r I)一一①ab (卜7 一 ^1)1 Р» (%《，％，％，乙《％ 塚，0 ==^4 , {L(% 旷，Pl，‘)%(唯唠 P2,方)><

X exp [彳(犬一寸)P] + ^ Z 一方)P2]±

± h (《，可，Pl，f) fb («，《，P2, 0 X

Хб^ехр[春(* -喲 pi+^ a -r э рз]}[盛尸] dpi dp2 m n 历易p^(% <> 4,可，4 力‘，厶 ^‘，0- (7°，3) Здесь р^ь — двухчастичная матрица плотности за вычетом корреляционной матрицы, определяемой взаимодействием частиц. Правая часть уравнения (70.3) отличается от правой части уравнения (66.10) учетом корреляции, обусловленной обменными эффектами.

Верхний знак (знак +) в правой части уравнения (70.3) для частиц, подчиняющихся статистике Бозе, а нижний знак (знак —) —статистике Ферми.

Мы не будем рассматривать процессы, связанные с переходами частиц из одного спинового состояния в другое. Тогда зависимость от спиновых переменных в функциях (70.1) имеет вид 厶(吟唯pe) = *%/(Ю

Pab (% 暗 ％，唯","'，厶味 f) =(70.4)

= 1^б4<%。厂「而 &《4 T厶 4

Здесь ga = 2Sa 土 1, где Sa — величина спина в единицах й.

Функции (70.1), (70.4) нормированы следующим образом:

£ 卜。(5 5 Р, f)£ 卜。(5 5 Р, f)譌7如=1，譌7如=1，

£ 卜。(5 5 Р, f)

£ 卜。(5 5 Р, f)

譌7如=1，

譌7如=1，

,0]，02, e?, /*],夕1，?2，r2，f)

(70.6)(70.6)Дальнейшие расчеты проводим по аналогии со сделанными в § 66. В результате получим выражение для двухчастичной матрицы плотности неидеального газа, которое аналогично выражению (66.19). В первом приближении по запаздыванию его можно представить в виде суммы двух частей

(70.6)

(70.6)

Pab = PLb + P鳳

где

Р^ь = (2：方)6 \ “Pi力2{屮pm("』)屮im(秣 r2)fa®，а7，Pi，0 X

Xfb^^. P2, f)±*BpgU，^)X

X 写旧(％ 喲 f/吟唱,％, /) fb (必 <,p2, /)}, (70.7)

P^ = -4j dT\dq；dq〈 dq；dqC 条 A(—*X

X p^b«, <, «,崂,g；,抬,G，視 /).(70.8)

В этих формулах А (——т) —матрица перехода. Она определяется выражением

" D 7、的（4唠屮;岗（力，喲w;®a，%，- о X

X中彳成（峪 啞-T）[-（2^f]4如同网如7如1，（70.9）

Интеграл столкновений в первом приближении по запаздыванию также состоит из суммы двух частей

厶（а，片，p卩方）=厶+厶2•厶（а，片，p卩方）=厶+厶2•(70.10)(70.10)

厶（а，片，p卩方）=厶+厶2•

厶（а，片，p卩方）=厶+厶2•

(70.10)

(70.10)

Из (70.2), (70.7) следует, что

Дn =专(2*/ 2 M k①做(I片一方一%力Y I)-

一①而(H-6 + %力Y) I ] Сf加｛中从& 6 + %自Y』)X

X B；的(h一% 力Y，6)〃 (% 4 k，0 % (%，％，р2, 0 ±

士 ％、的色 + %'% ")'7& 色'一一"的)X

х〃(《，％，篇，^fb^ Jf, p2‘ f)｝dYdp；dp2”2・ (70.11)

Это — квантовый интеграл столкновений Больцмана с учетом обменных эффектов для идеального невырожденного газа.

Выражение /а2, как и ранее, определяет вклад корреляций, которые теперь определяются не только взаимодействием, но и обменом, в недиссипативные характеристики газа. Оно получается при подстановке (70.8) в (70.2).

Если зависимость от спиновых переменных определяется выражениями (70.4), то от кинетического уравнения (70.2) можно перейти к более простому кинетическому уравнению

包噸也=2/а(5, 5, Z，£)=〃(р|, 0.(70.12)

Чтобы получить выражение для /аь надо подставить в правую часть формулы (70.11) выражения (70.4) для одночастичных функций распределения, выполнить суммирование по cq и использовать равенство

В результате получим следующее выражение:

厶1 =方(2时方3 2um)[①ab(l门一 Q - %力Y I)一 b

-①ab(I 匕一方 + %力Y I)]X

X ｛屮。向(厶 + "力 "")'；:或(八 - % 力 Y，i) 士

土 击 ％屮力(А + Ч^ Г^Р ^- h - %项｝ fa(P；，f)X

X fb (p2, /) dydp\ dp2 dr2. (70.13)

Без учета обмена это выражение совпадает с (66.22).

В приближении теории возмущений выражение (70.13) упро* щается и принимает вид [16] 脑=年2 \к6 (也广[)±

ь

士$/一儿(*吵，

X 6(p] + Р2 一 p； 一 Р0 6 (羲 + 急一羲一款)X

х & (К，о fb (弘 /) 一 h (Pi，o fb (% 91 •^^ •(70•⑷

Без учета обменных эффектов это выражение совпадает с (69.11)<

Для однокомпонентного газа бесспиновых частиц кинетическое уравнение с интегралом столкновений (70.14) совпадает с уравнением (10.41) книги Гурова [11].

Перейдем теперь к квантовой кинетической теории неидеальной плазмы. При расчете термодинамических функций неидеальной плазмы мы убедимся в значительной роли обменных эффек* тов для неидеальных систем.

ГЛАВА 13

КВАНТОВЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ ПЛАЗМЫ

§ 71・ Оператор фазовой плотности 、

В §§ 4, 5 было показано, что в кинетической теории газов в качестве исходных вместо уравнения Лиувилля можно использовать уравнения для фазовой плотности в шестимерном пространстве координат и импульсов ——уравнения (4.6), (4.7). Функции распределения fb ,2，・• • связаны с моментами случайной функции (§ 5).

Мы видели, что использование уравнения для фазовой плотности весьма эффективно в кинетической теории крупномасштабных флуктуаций в газах и особенно в кинетической теории плазмы.

В квантовой теории вместо фазовой плотности

Na (^，0 = X 6(%—打(切，尤=(LP)(71.1)

l《y %

для системы частиц с нулевым спином следует использовать оператор фазовой плотности

Na а, %) = "^р*，°а(' + % 力Y，г — %%Y)exp (— iYp)卩賞 &Y・ (7L2) Здесь

VPa« "，9=屮^⑴"，D 屮式产，0(71.3)

—операторная матрица плотности 4f甚 ^а — квантованные волновые функции, удовлетворяющие перестановочным соотношениям [17]

屮а (г, О Ч^ (产，0 士 Ч^ (r； f) Ва (г,力)=даьЬ(Г —产)，

屮。(Г, 0 屮匕(Г； 0 ± 屮匕(Г；力)屮°(Г, 0 = 0,

(Г, 0 屮十(Г； 0 ±« /) Ч^ (Г, /) = 0.

Знак плюс — для статистики Ферми и минус — для статистики Бозе.

Оператор Гамильтона для бесспиновых частиц выражается через 中+, 4f следующим образом [17]:

方=-2盡，3^亿f)А浬亿" dr+

+ ； 2，①。Ь(I 门 一 Q D 中^ (力")屮^(R，力)35(0，0 X ab

><中。(门，方)"]公2.(71.4).

Выразим оператор Гамильтона через операторные матрицы плотности (71.3) и затем, используя соотношение (71.2), через оператор фазовой плотности. Если не учитывать спариваний, обусловленных обменом, то получим следующее выражение:

方=2，矗万a+ ； 2，①aW(X")凡(/, f) • aab

(71・5).

Второй член правой части можно симметризовать по а, %; &, %'.

Выражение (71.5) для однокомпонентного газа соответствует классическому выражению (4.3). Как и в (4.3), здесь учтен член, определяющий вклад самовоздействия.

Уравнение для оператора фазовой плотности может быть получено с помощью известных уравнений для квантованных волновых функций 4r+, Т. Используя эти уравнения и определение (71.2) при отсутствии внешних полей, получим следующее уравнение [18]:

(分+ 0书户。 (/0一专W" E，[Sb (I—"一%为Y I一

一① ab (I r — 产 + % 力 Y I)] Rb (K 0 Na 亿 ％ 0 X

X exp /у(П - P) ★ d"告請=0.(71.6)

Это уравнение соответствует классическому уравнению (4.7). Введем оператор потенциальной энергии частицы

Оа^ 1) = ^фаь(\г^г^\)猫(£, /) ^^ ・(71.7)

Тогда уравнение (71.6) можно записать в другой форме [18]:

(4 + ^Й 丸 У) - +蒜，[^ (У - % 力Y)- S ⑴ + % 力 Y)i X

X 斤° (乙 Л, 0 exp [Zv(П — P)] ^V dn = 0. (71.8)，

Это уравнение соответствует классическому уравнению (4.6).

Используя определение (71.7), запишем оператор Гамильтона в виде

方=2，(it + %) "а 7^7 +

+ ^ 2，％ 亿 0 Na (х, 0 谣訐.(71.9)・ а

Это выражение можно использовать и при учете обмена, если вместо (71.7) использовать более общее выражение для оператора потенциальной энергии бесспиновых частиц

必(•％ D = £ \ [0ь(" — У I)干 ь

干 %卢政 (1^1) S (r 一 力]Na(N, o(^ •(71.10)-

Верхний знак соответствует статистике Ферми, а нижний — статистике Бозе.

Выражения (71.9), (71.10) совпадают с (36) работы [18]. Чтобы получить выражение (71.9) с (71.10), надо в (71.4) учесть все возможные спаривания вида TW.

Если рассматривать систему частиц со спином, по не учитьь вать переходы между различными спиновыми состояниями (см. § 70), то вместо (71.10) надо использовать выражение

Оа (%, 9=2,[①аЬ (" — V I)干 b

干 * 喝％ (^Ч^1) 6 ⑴一力]Nb (К f)磊，(71.ID-

где ga = 2Sa+ 1.

Таким образом, при учете обмена потенциал взаимодействия Фа& заменяется потенциалом

①。Ь ( " - У)丨干％Ь 贵 W〃a l1^11) 6 S 一 У)•(71.12)

При учете обмена вместо уравнения (71.8) следует использовать более общее уравнение, соответствующее гамильтониану

(71.9) с (71.10) или (71.11). Усложнение обусловлено тем, что потенциальная энергия, соответствующая оператору Оа, зависит теперь не только от координат, но и от импульса. С учетом этого вместо (71.8) получим следующее уравнение:

(务 + 0 -^г) "а 的 9 - 4"哥^，〔"а " - ％，％ Р + "砌-

-4卜 + %方Y, P - %力①]exp [/V (" - p) +

+ 2(g-r)]Wa(g, ", /)dxdx\dQdq = O. (71.13)

Для системы частиц, подчиняющихся статистике Ферми, можно использовать более простое уравнение, если импульсы ча- <тиц мало отличаются от граничного импульса. Оно следует из (71.13) при разложении по 方丫，方8 и имеет вид классического уравнения

(备 + G + 甯居一槩备)也(х，/)= 0 (71.14)

< оператором потенциальной энергии (71.11).

Для случая короткодействующих сил в (71.11) можно потенциал Фаь задавать в виде

①ab(I Г 一 V I) = ”(0)6(г — 产).(71.15)

Такое приближение используется в теории ферми-жидкости 119, 20].

Уравнения для моментов

Перейдем от операторных уравнений (71.6), (71.8) к цепочке уравнений для моментов. Будем обозначать чертой усреднение по распределению чисел заполнения [17]. Тогда

冗 Jx,t) = N33t).(72.1)

Здесь fa — одночастичная квантовая функция распределения. Она связана с одночастичной матрицей плотности равенством (66.1).

Для второго момента без учета обмена получим следующее выражение (знак А над ^ опускаем):

N。(居曾心“,9 = @风 一 babNa) fab(x, /, 0 +

+温m (2П力)3部，外d" ★' dt)飞& 一 y + ｝力(Y +w)X

X6(i)M土当匕吗", Ox

X exp 口丫 (П — P) + 4YZ (« — P‘)l,(72.2)

где fab — двухчастичная квантовая функция распределения. В классическом пределе это выражение принимает вид

不。(居 ％)№g f)=

={NaNb 一 ％Ma) fab + N&疝й 一 X) (2 Л方产 % (居以 (72.3> Это выражение (с учетом соотношений (66.5)) совпадает для однокомпонентной системы с равенством (5.2).

Для пространственно однородного газа выражение (72.2) упрощается и принимает вид

Na{x, t)Nb(x\t) = (NaNb 一 6abN) fab +

+ N&b (2/)3 6 (p 一 川 \ w — V + %力丫) X

X exp財("一p)]fa(n, /)外d".(72.4>

Из выражений (72.2), (72.4) следуют соотношения между вторым центральным моментом и квантовой корреляционной функцией. Например, для пространственно однородного распределения из (72.4) находим

3N а б^ ь)%, xliNaNb — %М«) gab +

+ Nа% [(2лЙ)3 б(р — р‘) ■^产，6 (у — У + % йу) X

X exp [zv(Т| — р)] fa(Т|, о dy dT| — % (居 f) % (К 川・(72・5>

В классическом пределе это выражение совпадает с выражением (26.10). При сопоставлении снова надо учесть соотношения (66.5).

При учете обменных эффектов в выражениях (72.2), (72.4) появятся дополнительные члены. Не будем их выписывать, так как в дальнейшем они нам не понадобятся.

Усреднение уравнений (71.8), (71.13) приводит, как и в классической теории, к системе зацепляющихся уравнений для момен* тов. В приближении первых моментов из (71.13), (71.11) получим квантовую систему уравнений с самосогласованным полем для функций распределения fa и функции Ua(r,p,t)・ Так, например, для ферми-системы из (71.14), (71.11) получаем следую* щую систему самосогласованных уравнений:

修 + (" + 誉)-常备]fa 他 f)=。，(72.6)

и Ar, pj) = 2 必，[rmi г -产 I) 一

b

一喝畳" (小")6(- ^fb (乙仙)告新

.Уравнения такого рода лежат в основе теории ферми-жидкости Ландау [19, 20].

Уравнения с самосогласованным полем не учитывают вклада флуктуаций и поэтому не описывают диссипативные процессы.

Поляризационное приближение

При описании процессов в поляризационном приближении можно исходить из уравнений, аналогичных классическим уравнениям (27.7). Они, как это видно из уравнения (71.8), имеют вид

乙(ВМаУ t)-^r(Xt /)) =

一百再戸一百再戸J е/ (г 一 %的)一6Ua (Г + Ш)] fair, Т|，О X

一百再戸

一百再戸

X exp [zv (" — р)]外 d"・(73.1)

Здесь использовано обозначение для оператора

£諸",Р)=(弟 + и ^г) / К р) — ■^(2&，Qa К — !Mv)—

—% & + %力Y)] / (厶哨 exp [zv(n — p)] ★ dt), (73.2)

где Ua — потенциальная энергия частицы.

При 方->0 (с учетом (66.5)) уравнения (73.1), (73.2) совпадают с (27.7).

К уравнению (73.1) надо добавить уравнение, связывающее флуктуации 6%, б^a. Без учета обменных эффектов это уравнение следует из (71.7) и имеет вид

6% G, f) = £，0ь (I г — 产 I) 6必 3, 0 "^ ・(73.3)

(27.8):(27.8):爲(6必6必)黑х“ = 0.爲(6必6必)黑х“ = 0.(73.4)(73.4)Двухвременная корреляция флуктуаций источника 3N『определяется уравнением, аналогичным классическому уравнению

(27.8):

(27.8):

爲(6必6必)黑х“ = 0.

爲(6必6必)黑х“ = 0.

(73.4)

(73.4)

Начальное условие для этого уравнения следует из выражений для одновременной корреляции (б^aб^6)x> x\t при gab = О.Так, например, для пространственно однородной плазмы из (72.5) следует, что

I(б^аб^ь)：：；%，,£，If■ f，=此&ь[(2冗九)3й(р — р')孟产 X

X^b(r — rf+ %%Y)exp [tv (n - p)] fa (", f) dY d"—

— % (居力 〃(/，/)]・(73.5)

В предельном случае N -> 8, V-> оо второй член правой частж с fafb может быть опущен.

При й->0 выражение (73.5) совпадает с (27.9)・

Квантовый интеграл столкновений в поляризационном приближении

На основе уравнений (73.1) —(73.4) можно произвести расчет спектральной плотности флуктуаций 6乂必 bU» Поскольку расчеты подобны проведенным в §§ 34—37, то приведем сразу некоторые результаты.

Для идеальной плазмы, т. е. без учета запаздывания и пространственной неоднородности одночастичных функций распределения %, выражение для спектральной плотности флуктуаций поля имеет вид

(6Е 6Е)",л =冗自击 2 涼記* ,如‘如飞(标一(p‘一p"))X

乂“fis-(d12та-р〃 12m詛(％(р\ 力)+山(乂 ％))• (74.1>

Здесь е(з,尼)—диэлектрическая проницаемость с учетом квантовых эффектов. Она определяется выражением

8 ®,竹=1 + 2,亦‘ dp〃6 (hk — (/- P〃))X

方(co + 込)一(p〃/2〃％ — pff2/2m^ *•

При 方->0 выражения (74.1), (74.2) совпадают с классическими выражениями (35.6), (35.5).

В равновесном состоянии выражение (74.1) для спектральной плотности поля принимает вид

(6e6e)明 " =^^^(1/加 +?^)(74.3)

и совпадает с известным выражением теории равновесных электромагнитных флуктуаций [21].

Запишем выражение для мнимой части диэлектрической проницаемости, которое следует из (74.2):

Im в 面尼)=—£ 竺产-^5F , ^Р' dp" 6 (济一(p‘ 一 p〃)) X

X 6 S(0 —(丁/2忆 一 p〃2/2/nj (h (К f) — fa(P〃"))・(74.4)

Квантовый интеграл столкновений можно, как и в классической теории (см. § 37), выразить через функции (6Е 6Е)®足 w®, k). Прежде чем приводить соответствующее выражение, запишем уравнение для одночастичной функции распределения fa. Оно получается усреднением уравнения (71.8). Используя обозначение (73.2), запишем его в виде

£/=/а (г，Р，£)•(74・5)

Здесь введено обозначение для квантового интеграла столкновений

〃 (г, Р,"=彳 ~(2^，[(6% 6NJ_%配 у % f —

-画匸丽】+%方Y； r, % f] exp [/V (" - P)] dY d& (74.6)

Таким образом, интеграл столкновений определяется корреляцией флуктуаций 6^a, би а. Квантовый интеграл столкновений можно выразить через спектральную плотность (3Na 6UJ8 fg 卩. Для определения этой спектральной плотности следует произвести расчеты, аналогичные классическим расчетам, проведенным в §§ 36, 37. В результате для идеальной плазмы получим следующее выражение для квантового интеграла столкновений:

la (р，0 =(2冗；3方,^pZ dasdk-^b (йй — (р — р'))6 (力(0 ——

-(爲-舞)){(6Е 6Е)з, * (fa (Р‘, /) 一 fa (P，/))- 一里嚣:韜)(fa(P'，/)+ fa(P，/)»• (74.7)

В равновесном состоянии интеграл столкновений обращается в нуль. В этом нетрудно убедиться, если подставить в (74.7) распределение Максвелла для функций /* учесть, что в равновесном состоянии

6-(矗-蟲)"挑4 士需)=

=6 G® _ (盍-£?))(! + 寻Г?)'(74.8)

и использовать равенство (74.3)..

В классическом пределе выражение (74.7) совпадает с интегралом столкновений Балеску — Ленарда в форме (37.2).

Квантовый интеграл столкновений можно записать в форме, аналогичной (37.1). Для этого надо подставить выражения

(74.1), (74.4) для спектральной плотности флуктуаций поля и мнимой части диэлектрической проницаемости в (74.7). В результате получаем следующее выражение:

厶(Р「，)= £ ^еаеьпь(2冗力户，“Р； "Р； "р2。8。尼 X ь

义6(力々-(р.-р；)) б (fi© - (Д- 一羲))6(Р1 + р2-Р；-Р。X

X 6(Д- + 急-乳-急)^1e;,砂产ua(P；，/)%侬,0 -

-fa(Pv 0f6(P2. 01-(74・9)

В этом выражении можно выполнить интегрирование по g> и 尼.После этого оно примет вид

厶Si，0=2 4冗鳍线阳*(^ \吻加dp?"% + & — К -我)X

х[(p]一p)卜((羲一羲)/也,(р]一р:)/力)]х

х Ua(Pv f)% (% /)-%(% 0%(P2, f)]・(74.10>

Интеграл столкновений в такой форме был впервые получен в работах Силина [8] и Балеску [7].

Сравним выражение (74.10), полученное в поляризационном приближении, с выражением (69.11) для квантового интеграла столкновений, полученным в приближении теории возмущений. Для этого надо в выражении (69.11) положить vab(k) = \пе^еь1^г что соответствует взаимодействию частиц по закону Кулона. Тогда, как легко видеть, отличие будет состоять в том, что в (74.10) имеется множитель l/|s(...) |2, который и описывает влияние поляризации среды. Поскольку аргументы диэлектрической проницаемости в (74.10) зависят от импульсов, то поляризацию можно назвать динамической.

Удобна еще одна форма записи выражения (74.10). Введем под интегралом в (74.10) новые переменные: р2 — р^= ^> %(р2 + Р0 = Р・ Отсюда

Р2 = Р+ %м, Р： = Р — %М・(74.11)

Выражение (74.10) тогда примет вид

л(Р1，/) = 2 **7^F J dp； dp dk “Pl - p；-力尼)X b

义 6 (誌'—-恤)ft4 I e (kv)k) |2 X

X [fa (/, /) % (P - %M, 0 - fa (P，0 九(p + %标,/)]•(74.12)

Мы видим, что при учете поляризации в квантовом интеграле столкновений, так же как и в классической теории, в функции взаимодействия, входящей через корреляционную функцию, происходит замена

%ь (同 f *ь (*)/|8(й^, ft) I2(74.13)

Эффекты поляризации сказываются на больших расстояниях между частицами (порядка 『d)・ На малых расстояниях взаимодействие частиц в квантовом интеграле столкновений учитывается в приближении теории возмущений (борновское приближение) .Л4ы говорили уже о том, что при построении кинетической теории неидеальной плазмы надо использовать интеграл столкновений, в котором учитываются и поляризационные эффекты и вклад сильных взаимодействий.

Однако одновременный учет сильных взаимодействий и эффектов поляризации очень сложен. Вследствие этого, как и в классической теории (§§ 55, 56), мы ограничимся учетом усредненного вклада динамической поляризации.

Эффективный потенциал. Псевдопотенциал

Замена (74.13), отвечающая учету поляризации плазмы в квантовом кинетическом уравнении, аналогична замене (47.1) в классической теории.

Напомним, что в классической теории эффективный потенциал, учитывающий усредненную динамическую поляризацию, определяется эквивалентными выражениями (47.2), (47.5). Определение (47.5) по форме записи является более общим и может быть принято в качестве определения эффективного потенциала и в квантовой теории. Таким образом,

Выражение для пространственной спектральной плотности флуктуаций поля следует из (74.1) и имеет вид

，(6Е6Е)『 =

V ^^а ( 6(加一 "一力)(〃 (P‘，f)+ 厶(，，f)) r

一乙一^ 一 J[( p，2 厘p~- (2门方)3 dp dp •

。I 8 \ 2mah2m °方 * "丿

(75.2)

'Под интегралом здесь можно ввести переменные р' —— р〃 = %^[ %(р' + р") = Р и проинтегрировать по 勿.В результате

idE6E)kt =

V 8^W% f fa(P+ %加，O + fa(P- %摄，，)丿，一 /~『*

=乙一依 jR7而而而丽 S "3)

Из (75.1), (75.3) следует, что выражение для эффективного потенциала можно записать в виде

1 Е^Х=Vab 传)亍—о~ь1 Е^Х=Vab 传)亍—о~ь^ab (^)==

1 Е^Х

=Vab 传)亍—о~ь

1 Е^Х

=Vab 传)亍—о~ь

V―—dp. (75.4) (2咽3产、,V―—dp. (75.4) (2咽3产、,%(Р + % 施,/) + %(р—%脆 QI £ (初 Й) I2

V

―—dp. (75.4) (2咽3产、,

V

―—dp. (75.4) (2咽3产、,

При 方=0 это выражение совпадает с классическим выражением (47.2).

В равновесном состоянии выражения (75.2), (75.3) можно представить в виде [22]

«Е 物…т[ (1-击)+ 2 £ Re (1 -哂孤К) _(75 ⑸

Диэлектрическая проницаемость на нулевой частоте е(0,尼) может быть найдена из (74.2). В равновесном состоянии

ё(0М)=1 +2-^^毋%,一晒衣),(75.6)

a

где I尸1 — вырожденная гипергеометрическая функция.

В классическом пределе в (75.6) iQ(l, 3/г, 0) = 1 и в (75.5) второй член обращается в нуль. В результате из (75.5), (75.6)

(6Е6Е「書夕.(75.7)

Подставляя (75.7) в (75.1), получим выражение (47.4) н, следовательно, Фаь (г) — потенциал Дебая.

Квантовые эффекты сказываются при 入。々三 1 (Ла = =h[72ткТ)・ Поскольку те《 加厶 то квантовые эффекты существенны только для электронов.

Исследование квантового эффективного потенциала (75.4)* проведенное в работе |23], показало, что при малых расстояниях (М》1) оба члена в (75.5) дают одинаковый вклад 2nicT/^k^ и в сумме

(6Е 6e)& =*,%6 (同=学沪. (75.8>

Таким образом, на малых расстояниях (九е尼》1) квантовый эффективный потенциал совпадает с кулоновским потенциалом. В обратном предельном случае (九е尼《1) квантовые эффекты не играют роли и, следовательно, эффективный потенциал Фаь (г} совпадает с потенциалом Дебая.

Из этого следует, что отличие квантового эффективного потенциала от классического имеет место лишь в промежуточной области, где 九^尼 ~ 1.

В классической теории в равновесном состоянии с помощью эффективного потенциала (47.5) —потенциала Дебая можно определить двухчастичную функцию распределения (56.23)

fab ⑺=exp (— ФаЬ ⑺/к Т), (75.9)

которая на малых расстояниях (г V『d) совпадает с распреде* лепием Больцмана, а на больших расстояниях с распределением Дебая.

В квантовом £лучае положение более сложное и эффективный потенциал Фаь(г) не определяет двухчастичную функцию распределения электронов и ионов pet(r)・ Связано это с тем, что частицы разных знаков образуют связанные состояния. Это не учитывается формулами (75.1), (75.2). Вклад связанных состояний можно учесть путем введения так называемого псевдопотенциала.

Пусть степень ионизации плазмы настолько велика, что нейт* ральные атомы образуют идеальный газ. Неидеальность обусловлена лишь взаимодействием заряженных частиц. При этом условии связанные состояния можно исключить из явного рассмотрения и ввести псевдопотенциал по формуле, аналогичной классической формуле (75.9):

реДг) = ехр(-йе///сГ). (75.10)

В работе [23] получено выражение для псевдопотенциала, который при больших〜расстояниях (г ~「d) совпадает с эффективным потенциалом 近аь(?)—потенциалом Дебая, в промежуточной области (а0 < г < td, «о —боровский радиус) близок к кулоновскому потенциалу и при г = 0 имеет конечное значение.

Простейшее выражение для псевдопотенциала имеет вид

И =— 1). (75.11)

Три константы, d, /, с, определяются из условий

d = -^KT ("Т^- + Е*总)，

dc-i = *KT^Wei,(75.12)

d/c + f = 1.

Здесь lab = — еаеь1кТкаъ — борновский параметр, Kab = =卩部力(2长几/m。+ 2&TJ7n6)-什 % 一 боровский радиус.

Из (75.11) следует, что при г = 0 псевдопотенциал имеет конечное значение

〃et (г = 0) = — кТ+ 1п ^~ 隨—*'；：空]•(75.13)

Здесь учтено, что 吼％尸叫"При г》的 из (75.11) следует, что

% (г) = 3>е/ (Н = —-^ ехр (—力d)・(75 ・ 14)

Заметим, что без учета поляризации (力=8)выражение (75.11) ведет себя на больших расстояниях как 1/г2. Известно, что* слэтеровская сумма Set(r), определяющая в этом случае функцию pei(r) для кулоновского потенциала, убывает с рас* стоянием как 1/г4. Выражение (75.11) можно усовершенствовать так, чтобы на больших расстояниях в нем исчезали члены с 1/г2, 1/г3. Тогда выражение (75.11) на больших расстояниях без учета поляризации будет вести себя как 1/г4 [23].

Выражение (75.11) для псевдопотенциала следует рассматривать лишь как достаточно простое модельное выражение, удовлетворяющее определенной совокупности требований. Последовательная теория псевдопотенциала для плазмы очень сложна и в настоящее время еще не развита.

§ 76. Квантовое кинетическое уравнение Больцмана для неидеальной плазмы

В поляризационном приближении квантовое кинетическое уравнение для идеальной плазмы было рассмотрено в § 74. Как и в классической теории (§§ 53, 54), можно построить более общие кинетические уравнения для неидеальной плазмы. Однако, как мы знаем на примере классической теории (§ 56), в поляризационном приближении вклад взаимодействия частиц на малых расстояниях учитывается недостаточно корректно. Эта некорректность особенно существенна при расчете недиссипативных характеристик плазмы.

Таким образом, возникает необходимость построения квантовых кинетических уравнений для неидеальной плазмы, в которых учитываются эффекты поляризации и сильные взаимодействия частиц на малых расстояниях. Как и в классической теории (§ 56), при решении этой задачи будем учитывать лишь усредненный вклад динамической поляризации. Это позволяет учитывать эффекты поляризации путем введения эффективного потенциала или псевдопотенциала.

В этом приближении для двухчастичной матрицы плотности р“，определяющей интеграл столкновений, можно снова использовать уравнение (66.10), которое соответствует приближению парных столкновений. Однако теперь в нем

①abf 〃ab・ (76.1)

Потенциал иаъ определяется следующим образом:

(76.2)(76.2)_ / ФаЬ при а = >(йаЬ при а^Ь.

(76.2)

(76.2)

Итак, потенциал иаъ — эффективный потенциал для частиц одинаковых знаков и псевдопотенциал для частиц разных знаков.

Если при вычислении потенциалов Фаь, йаь ограничиться приближением локального равновесия, то для ®аь при а = b можно приближенно (§ 75) использовать потенциал Дебая, а для йаь ——выражение (75.11).

Обозначим матрицу плотности, удовлетворяющую уравнению (66.10), по с потенциалом (76.2), через 0ab. Как и в § 66, разложим эту матрицу плотности по собственным функциям ^pXrjjTg), определяемым уравнением (66.11) с заменой (76.1).

Решение уравнения для функции 0ab снова можно представить в виде (66.19) с заменой в (66.18) Т-^Ф.

Для определения интеграла столкновений следует поставить найденное таким путем выражение для функции 0ab в формулу

Интеграл столкновений снова можно представить в виде суммы двух членов (66.20). Для /ai вместо (66.22) получим теперь выражение

ЛЛРь 0 = т(2烏-\ £ № [Фаь (I 门一电一% 力Y I)- b.•

一①ab (I h — ％ + % 力丫 I)] е-2%；& (h + JMv, Г2) X

X 屮;仇(h — ％ 力“ ◎ 〃 (W，0 fb(P2, 0 ★ dp\dp2 "2，(76.3> где Ф — собственная функция, удовлетворяющая уравнению [^T" "| 一 ^7 a'' + "ab(1门—r2 l)j 可m.(门，电)=

=E。g屮pm(门，г2).(76.4)

Выражение (76.3) уже нельзя свести к больцмановской форме с квантовым эффективным сечением (§ 68), так как благодаря замене Фаь -> иаъ учитываются коллективные взаимодействия.

Решение уравнения (76.4) пока неизвестно. В работах [24] получены численные данные о собственных значениях уравнения (76.4) для потенциала Дебая.

Термодинамические функции неидеальной плазмы

Цель настоящего параграфа — показать, в какой мере выражения для термодинамических функций, полученные в рамках рассматриваемой модели, согласуются с соответствующими выражениями квантовой статистической теории. Конкретные вычисления проведены пока не с потенциалом иаъ, а с эффективным потенциалом Фаъ — потенциалом Дебая.

Из формулы (67.10) следует, что корреляционная часть внутренней энергии U“op выражается через потенциальную энергию. Можно записать соответствующее выражение и для свободной энергии

&» = \ -V “от (В，九)'(op = ^ 6&ор・(77.1>

о

Из выражения (67.1) следует, что

UgT = % 2 Мь，① ab ( к - % I) % (j j %，f) d (门 一 Г2). ab

(77.2) Функция 0Lb определяется выражением (67.2), если в нем 屮f 审.

]1 Ю. Л. Климонтович

Точное решение уравнения для функции 屮р^р. даже для потенциала Дебая пока неизвестно, поэтому выражения для термодинамических функций представим в виде рядов по борновскому параметру &ь・

В борновском приближении для состояния локального равновесия компоненты Фурье функции 0；^ определяются выражением %但)=(2炉6便)一瓦；^К. %働巴(1, 4, -1^).

(77.3)

Из (77.2), (77.3) находим

= 一 2冗 2 ”/WВ (儿九)・(77・4)

abab a

Здесь использовано обозначение

G ⑺=―^~r \ dp p2 \ dh'ijb W) exp (— p2) X nWD * 宀

X [證 sin (睢’p) — cos (唯’p)],(77.5)

где W = rDk. Выражения (77.4), (77.5) справедливы для произвольного потенциала 〃心 Для эффективного потенциала Фаь — потенциала Дебая

G (哨=("司冷{1 一 eXp (明4) [1 一 ①(n/2)]}.(77⑹

При “《1 отсюда

G (桀)=1 一 Z 点儿"d +。(%/%)•(77.7)

Для изотермической плазмы из (77.7), (77.4) получаем выражения, совпадающие с результатами равновесной теории [25, 5, 44, 39].

Таким образом, в первом приближении по ХаьЛо при использовании дебаевского эффективного потенциала в равновесном состоянии получаются правильные классические выражения и правильные квантовые поправки порядка \аъ1^

Заметим, что выражение (77.7) практически не зависит от выбора эффективного потенциала.

Для изотермической плазмы в приближении локального равновесия при (Хаь/го)《1 можно провести вычисление термодинамических функций в любом приближении по борновскому параметру.

Для плотности внутренней энергии получается выражение

U = —/сГ V па鼻

2— a 8几小

一木T g %阳簿ь { — ^ 〃£ % 一 Q + In *)即 +

+ 赤 f> + 3) •闆譚 1 (%UT + О (^) }' (77.8> ш =4

гдегде1/" + 山2 一 %,1/" + 山2 一 %,

где

где

1/" + 山2 一 %,

1/" + 山2 一 %,

где 匕—дзета-функция Римана, Г — гамма-функция, С — постоянная Зйлера.

Этот результат согласуется с результатом равновесной теории. Отличие состоит лишь в численном значении коэффициента а. Это отличие, однако, не является существенным, так как для плазмы с Се = —^г член с &^б в (77.8) обращается в нуль.

Формула (77.8) неявно учитывает вклад связанных состояний, времена жизни которых много меньше времени свободного пробега. Чтобы выделить этот вклад более явно, преобразуем выражение (77.8) для водородной плазмы.

Воспользуемся формулой [39]

立 2 (团 + 3) р落2)3(%&е)"= т=4, 6, &…

% 2+(% 鼠)，Xs=2м== 1

=舘 * £ 紋(ахР(-限)一1 + В J)卜(77・9) < n=l丿

Здесь учтено, что 自^/4〃？ = — 0Е〃, Е九—уровни энергии водорода.

Формула (77.9) определяет суммарный вклад в (77.8) членов ряда по четным степеням Е^, начиная с ^|р Это вклад связанных состояний. Мы видим, что он определяется производной от статистической суммы атома водорода, обрезанной по методу Планка — Ларкина (см. [28] и обзор [29]).

Остальной вклад ряда по 自川 обозначим через К*(В)・ Тогда выражение для внутренней энергии плазмы можно записать

в виде

—/4 捻 8л Ул At ^ п2 (exp (- p£J - 1 + pEJ + ^* (Р) • (77.10) Lп—\-

Вклад К* слабо зависит от температуры. Для К* можно использовать следующую интерполяционную формулу:

k*⑹^一4冗"三九諸陇11,

где Ei — энергия основного состояния атома водорода.

Вернемся к выражению для двухчастичной функции распределения 02b (У” у” г2, г2). Оно конечно при всех расстояниях г = |fi ——г^\^ Убывание на больших расстояниях обусловлено поляризацией. Конечность на малых расстояниях обусловлена квантовыми эффектами.

Например, для состояния локального равновесия неизотермической плазмы при использовании потенциала Дебая из формулы (77.3) следует

Р^(г = 0)=

=1 -力聂匕黒禽eхр (唸/4喲[1 一①&出)].(77.11)

Для изотермической плазмы при 入Md《1 это выражение принимает вид

现6& = °)=1_V£7^现6& = °)=1_V£7^(77.12)(77.12)

现6& = °)=1_V£7^

现6& = °)=1_V£7^

(77.12)

(77.12)

и совпадает с соответствующими результатами работы Кельбга [30] и Трубникова и Елесина (см. [25] и в [44]).

Обменные эффекты

Рассмотрим некоторые результаты квантовой кинетической теории неидеальной плазмы с учетом обменных эффектов.

Квантовое кинетическое уравнение Больцмана для неидеальной плазмы с учетом обменных эффектов рассмотрено в работе [6]. Это уравнение получается из уравнений § 70 по схеме, описанной в § 76. Для иллюстрации роли обменных эффектов приведем некоторые результаты.

С учетом обмена выражение (77.3) для компоненты Фурье •функции распределения %&) принимает вид [6]

^аь 他)三 2 嗚 @，5, ％，%，论)=

=(2 冗)36但)一｝%Ь 働尸(，3/2, 一% 九歌 2)一

一 迪n%大裔exp (— %規欣2) +ga

+晉論Г ехр (-7^й2) J成exp(-脸尸)^⑵)曲(学).

°°(78.1)

Это выражение справедливо при произвольной функции иаъ-

В выражении (78.1) обменные эффекты учитывают члены, пропорциональные 6@匕.Для кулоновского потенциала последний •член в (78.1) имеет вид

以一eхРM)厶4可必+产

Функция распределения 。^^(厂)для кулоновского потенциала определяется выражением (Кельбг [30])

&г> (г) = 1 -晉 е"% -

一等｛ J (1 -+ ^ О —①(£)) ｝ +

При 厂=0 н ga = 2 из (78.2) следует выражение (ср. с (77.12))

pgr = О) = (1 -备：?) (1 -容)•(78.3)

Таким образом, при а = Ь из-за обменных эффектов результат меняется вдвое.

Для дебаевского потенциала из (77.3) или из (78.1) без учета обменных эффектов можно получить выражение

羯(')= 1 —7 [ехр С- ^ + % 券)义

X{①任一貓+ 2①/)一} +

+ ехр(-^+'/4^){1-Ф(^ + ^)}]. (78.4>

Учет обменных эффектов приводит к сложному выражению. Запишем лишь результат при г = 0 (ga = 2):

%⑴= 0)=

Т -訖 еХР (% 霜(1-①段■))] (1•(78.5》

Мы видим, что и в этом случае при а = b из-за обменных эффектов результат меняется в два раза.

Рассмотрим термодинамические функции с учетом обменных эффектов. Мы знаем, что термодинамические функции можно по формулам (67.10), (77.1) выразить через потенциальную энергию- Us = 72 £ Мь \ 隨⑺ 2& 6 "= ab

=%£晒®便)W)儲(78・6> ab

Здесь Фаь&) —кулоновский потенциал.

Для части потенциальной энергии, определяемой обменными эффектами, для дебаевского потенциала из выражения (78.1) на* ходим

ab(fexP{等 I»2Л%分*5 +. \ \ J产■二一 一 ，M L2%ab V1 — П2У2ab(fexP{等 I»2Л%分*5 +. \ \ J产■二一 一 ，M L2%ab V1 — П2У2

ab(

fexP{等 I»

2Л%分*5 +

. \ \ J产■二一 一 ，M L2%ab V1 — П2У2

ab(

fexP{等 I»

2Л%分*5 +

. \ \ J产■二一 一 ，M L2%ab V1 — П2У2

Первый член в фигурных скобках определяет вклад обмена в приближении Хартри — Фока. Первый интеграл (78.7) вычисляем точно, а второй разлагаем по 九ab〃D・ В результате получаем

〃о6м _

V п<^ь *{+ 2飞 W [v^ln 2-青]J.

而(78.8)

При 『d —8 (для кулоновской плазмы) это выражение совпадает с результатом равновесной теории.

Вычисление термодинамических функций с учетом обмена, как и в § 77, можно провести в любом приближении по борнов- •скому параметру &ь = —еаеъ/кТХа^ Приведем соответствующие результаты:

КОрН-忘照-

一 2ns £ 九也％ { — 後 E ^-i^n^ + Q (U)}. (78.9) ab

Первый член соответствует приближению Дебая ——Хюккеля. Член, содержащий функцию £ (§а&), описывает обменные эффекты. Функция Е(Еаь) определяется выражением

+為£(1 - 225)程爲(粤y+。(%尚.(78.10)

Последние два члена в (78.9) описывают обычные (без обмена) квантовые эффекты. Функция Q(Eab) определяется выражением

Q(賜)=—"е 隘一■甌 +

+ * f：哥5洋Т (麼Г +。個笫.(78.11) m=4

Здесь а =，j2c + In 3 — V2> C — постоянная Эйлера.

Д4ы кратко изложили некоторые вопросы квантовой теории неидеальных газов и неидеальной плазмы. Из-за недостатка места здесь нет возможности изложить квантовую теорию кинетических флуктуаций. Заметим лишь, что она может быть построена по аналогии с соответствующей классической теорией.

ГЛАВА 14

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВ И ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ

Частично ионизованная плазма. Исходная модель

В настоящее время значительно разработана кинетическая^ теория молекулярных газов (см. обзоры Даллера и Хоффмана [31], Вальдмана [32]). Усложнение теории в этом случае связано с необходимостью учета внутренних степеней свободы молекул газа.

Кинетическая теория химически реагирующих газов и частично ионизованной плазмы значительно сложнее. Число работ» посвященных выводу кинетических уравнений с учетом химических преобразований, невелико.

В работах Пелетминского [33] и Колесниченко [34] сделана попытка построения таких кинетических уравнений путем использования разложений по параметру плотности, но с измененными условиями ослабления начальных корреляций. Такой подход при достаточно большой концентрации связанных частиц оказывается не очень удачным.

В работах Якуба [35] и Колесниченко [36] проведено обобщение метода Боголюбова для построения кинетических уравнений» химически реагирующих газов. Исходным является уравнение Лиувилля для функции распределения ^ одинаковых частиц, которые могут образовывать связанные комплексы — молекулы. Отличие от уравнения Лиувилля (1.2) состоит в том, что здесь нельзя делать предположение об аддитивности потенциальной, энергии взаимодействия. Вследствие этого правые части цепочки уравнений для функций распределения имеют вид бесконечных рядов по плотности.

Для построения кинетических уравнений с учетом химиче* ских реакций нужно обрывать ряды по плотности таким образом, чтобы в каждом приближении были учтены все возможные

разбиения данной группы частиц. Такая методика развита в работе Колесниченко [36].

В работах [22, 37] для систем заряженных частиц с кулоновским взаимодействием [22] и электромагнитным взаимодей- •ствием [37] был развит иной метод построения кинетических уравнений для частично ионизованной плазмы. Поясним существо этого метода.

Рассмотрим трехкомпонентную плазму, состоящую из электронов, ионов и атомов водорода. Величины, характеризующие свободные заряженные частицы, обозначаем индексами е н i, а атомы — индексом ei. Заряженные частицы взаимодействуют между собой по закону Кулона.

В частично ионизованной плазме возможны два предельных состояния: состояние с нулевой степенью ионизации — нейтральный газ и состояние полностью ионизованной плазмы.

В качестве исходного возьмем первое состояние, в котором есе частицы по парам связаны в атомы. Такое состояние газа можно характеризовать операторной матрицей плотности атомов—пар связанных заряженных частиц. Обозначим ее через &«；，厶叫/3D (ср. с (71.3)).

Вместо re, rt удобней использовать переменные

R = {mere + mzrf)/(me + mJ, h = R + 加产/(乙 + g),、

D "1、79.1)

r = re—rhri = R — tner/(fne + nii)

阻 соответствующую матрицу плотности 0d (RI R〃，产，产，0- Она удовлетворяет уравнению

林 警=—昼(д^- 5) % —罢 5 — %)“ +

+ [(Фе/ (Н + 0e JR', Г')) — (①е,(Г") + 0“(R", S)1 0e£・ (79.2)

Здесь Фе/ — кулоновский потенциал взаимодействия,

М = mе + mh 卩^ =卩=①3①/(①3 + 色)■(79.3)

•Функция

UedR, r) = eeU(re) + eiU(ri)

—потенциальная энергия частиц пары в поле окружающих частиц. Оператор U (д) удовлетворяет уравнению Пуассона

△0 (% 0== 一 他，[%6(0 -(R + ^^ Г)) +

十 eQ(g —(R — m，欣 г))] 0e, (R, &, r, r, f)—戶一.(79.4)

Уравнения (79.2), (79.4) составляют замкнутую систему уравнений для операторов 0^, U. Ее следует дополнить условием нормировки

，储(R К",г)^^ = М(79.5}

N ——полное число атомов при нулевой степени ионизации.

В обратном предельном случае, когда все заряженные частицы свободны, исходной является система (71.6), (71.7) для операторов Na(X, t) , О (Г, /) (ИЛИ рд, О(Г, 0)-

Произведем разложение jet по собственным функциям оператора Гамильтона пары частиц, образующих атом, т. е. по собственным функциям уравнения

[_恭 Ar一龄 & + ①e〃)] ▽" T，R) = EaNaP (乙 R)・(79.6> Из этого уравнения следует, что

屮ар (г, R) = Уа ⑺ ^Р (R), Eg =爲 + 以・ (79.7> Индекс а = п, р (п для дискретного спектра и р для непрерывного спектра).

Условия нормировки для собственных функций имеют вид 卜РЕ (R)屮У (&) dR = -^^ б (Р — Р〃)，屮р =六 exp (罟> J Va(r)阴(r) dr = ^ =

6〃m при a = n, B = m；

= 0при a = p\ B = 〃z； a = 〃，p = p"； (79 价

、^^6(p‘一p〃)при a = / p = p〃・

Используем разложение по собственным функциям

>i = (2 冗方)6£、0ав(Р，P〃，f)X aB

X 屮a (力屮6(")屮屮(R‘)屮/ (R") dm dP"・ (79.9)

Из (79.2), (79.9) находим уравнение для операторной матрицы плотности 0呼(Р‘，Р", D：

簿签=(约 + 以，一综一 еР，) % В Р"，0 +

+ 备Г £ ,【4y (Р，Р) 0YB (Р，Р〃)一 Pay (Р, Р) °YB (Р，Р")] dP・

丫(79.10>

Здесь

^^ • • • = ^^ • • • + (加万)3、•…dp, а = /1, pl P = m、p", (79.11) Vа

力 аз(Р，Р〃，£)=

=，屮；⑺抄，依)L(R‘ r> £)”R)呼⑺厶 dR. (79.12)

Уравнение (79.10)——краткая запись системы четырех уравнений для функций Рм/Р', Р", 〃 Рр，“„, Рп“ Рр,,т・ Первые два уравнения описывают свободные и связанные состояния частиц, входящих в пары (в атомы), а остальные два уравнения — переходы между свободными и связанными состояниями.

Система уравнений (79.10), (79.12), (79.4) служит исходной при построении кинетических уравнений для частично ионизованной плазмы.

Кинетические уравнения для функций распределения электронов, ионов и атомов [22]

Вывод кинетических уравнений для функций распределения электронов, ионов и атомов проведем в два этапа. Сначала получим кинетическое уравнение для функции распределения атомов в предположении, что степень ионизации равна нулю, а затем введем в него условия ослабления корреляции, соответствующие образованию свободных заряженных частиц при ионизации NTOMOB.

Рассмотрим пространственно однородный газ. Тогда

&з(Р, Р〃，％) = 6稣 ^^ 6(Р 一 Р〃)九(Р‘，0, 6 = 0 (80.1)

м уравнение для функции распределения f^ имеет вид (ср. с (74.6))

/а(Р, f) 一

dt _

=—譌戸 2 , lH1 @。師(P，P"，f)6Uas(P'，P〃，f))必〃曰几(P，力)・

(80.2)

Если расчет корреляции флуктуаций брав，б^ар произвести в поляризационном приближении, то для интеграла столкновений (расчеты аналогичны проведенным в §§ 73, 74) получим

следующее выражение:

/а(p，0 =爵万 2 ,而 d在 dP〃 丄粤" 6 (係一(p - p^ X

x60 一(凡 + 0,一耳一坛)h(6e6臥“。俨",t)一7們 /))一 一竿粉然备仍"，f)+九俨，切］■(8。・3>

Здесь использовано обозначение для диэлектрической прони* цаемости

£®,尼)=1+筈《^ £, dp dp* 期一(P - “))x

|PaB(4)|2(fa(P‘，f)-fB(P〃，力)阳仆公

к方g +込)一(/+七.一 r 一 E%)('

и обозначение для спектральной плотности флуктуаций пол优 (6Е GE)®, к = ^^аР'必"几(Р，0 + % Ф〃，01Х

аВ

Х6 (济一(Р - Р"))6(ЙШ - (Еа + Ер-Ев- Ер，)) /能％'・ '(80.5>

Использовано также обозначение для матричного элемента

Р呻(后)=，［ % exp(，Ю+

+ е» ехр (-/-^^у kr^ 匕⑺陲(г) dr. (80.6>

Выражения (80.3) — (80.5) соответствуют формулам (74.7) > (74.2), (74.1) для полностью ионизованного газа. Исключая из (80.3) функции (6Е6Е)з &, Ime®,臥 с помощью формул (80.4), (80.5) получим выражение для интеграла столкновений, аналогичное выражению (74.9) или (74.10).

Чтобы получить из (80.3) интегралы столкновений для электронов, ионов и атомов частично ионизованной плазмы, поступим следующим образом.

Заметим прежде всего, что в соответствии с (79.11) правая часть (80.3) может быть представлена в виде суммы двух частей, учитывающих по переменным р, Р，= (п, Р‘； р‘，Р‘) вклады от дискретного и непрерывного спектров.

Выражения для спектральной функции (6Е 6Е)О л и мнимой части диэлектрической проницаемости Im е((о, k) в соответствии

с (79.11) в свою очередь могут быть представлены в виде суммы четырех частей. Например, поляризуемость может быть пред* ставлена в виде

а ®,々)=上％? — 1 = aff + afb + a^ + abb. (80.7)

Индексы 厶 b отмечают свободные и связанные состояния. Аналогичное разбиение имеет место и для спектральной плотности флуктуаций поля (80.5).

Для частиц, находящихся в свободном состоянии, собственные функции определяются выражениями

Ba(p)f，рТ) = х^ехр@ 際)・(80.8)

Для описания движения свободных частиц от переменных р, Р удобней перейти к переменным pa, рь {а^Ь), которые определяются формулами, соответствующими формулам (79.1):

Р = ре + Pi，

Р _ me + miР _ me + miт.Pi = ^+~^Ptт.Pi = ^+~^Pt(80.9)(80.9)

Р _ me + mi

Р _ me + mi

т.

Pi = ^+~^Pt

т.

Pi = ^+~^Pt

(80.9)

(80.9)

При такой замене переменных

勿(В f)f f(Pe,Pi,f)・(80.10>

Функция

Nfp(P, 0 = ^(Ре, Рь 0(80.11)

определяет среднее число пар частиц (атомов), в которых частицы разведены настолько далеко, что их можно считать свободными. Если степень ионизации равна нулю, то состояния (80.11) невозможны и интеграл столкновений определяется выражением (80.3) при a = /г, р = т.

(80.12>(80.12>Если степень ионизации не равна нулю, то для описания частично ионизованной плазмы снова можно использовать выражение (80.3), если в нем произвести замену

(80.12>

(80.12>

Л7 (ре，р£，0 f Nf (Ре, 0 Л7 (р/, 9,

т. е. заменить число свободных пар произведением средних чисел свободных частиц с теми же значениями импульсов. Это и есть дополнительное условие ослабления корреляции, о котором говорилось выше.

Чтобы записать систему уравнений для функций распределения электронов f(pe, %), ионов f(рг, 0 и атомов fn(P, f), исполь* зуем кинетическое уравнение (80.2), (80.3) и условие (80.12).

Проделаем следующее. Положим в (80.2) а = р‘, произведем замену переменных (80.9). Тогда наряду с (80.10) произойдет замена

/р，(Р")т/(Ре, р/)・(80.13)

После этого произведем последовательно интегрирование по ре, pi и введем обозначения

fa(Pa，f) = "j^jr\f (Ра, Р°, f)dpb (% =#〃，〃 = % 力(80.14) для функций распределения электронов (а = е) и ионов (а = i). Полученные таким путем уравнения можно представить в виде 亚%* =U (Ра，Pb，0 dPb = 〃 (Ра,力) 3 = % 0- (80.15)

Полагая в (80.2), (80.3) a = n, получим кинетическое уравнение для функции распределения атомов fn (Р\ 0:

包唠也= %(「，/)・(80.16)

Функции распределения электронов, ионов и атомов нормированы следующим образом:

(8°」7)

备N)h(P, t)dP = ^ = cei.

Здесь ca (a = e, /)— концентрации электронов и ионов, c^t — концентрация атомов. Концентрации'связаны условием

% + %/ = 1・(80.18)

Рассмотрим некоторые свойства полученных таким путем интегралов столкновений.

Интеграл 1а (ра, 0 представим в виде суммы двух частей

/а (Ра，0 =儿(Ра，3 + 卩а (ра，切2(。= % »)•(80.19)

Здесь

Ua (吸 01=壽 \ 物 d® d 屮(*(% - p：)) X Xbdg-宴)){(6E 6E)“, / [北(pZ，/) - f “ (吸 /)]-

-然器矗曳 & (PZ，0 + 九(P：，5 } • (80・20)

Чтобы получить это выражение, надо в (80.3) положить а = р\ В = рх,, произвести для р\ Р‘，р", Р〃 замену переменных (80.9), использовать в матричном элементе (80.6) собственные функции для свободного движения.

Так как спектральная плотность флуктуаций поля и мнимая часть диэлектрической проницаемости (см. (80.7)) состоят из четырех частей, то выражение (80.20) в свою очередь состоит из четырех частей ——четырех интегралов столкновений. Они описывают четыре процесса.

1・Pf %' + %

—рассеяние свободных частиц. Везде ниже указываем реакцию в направлении

2・ Р'а + 吗Р： — Р： + 叱 + Р；ь S 耍匕)

—ионизация атома из состояния т^Р^ электронным (а = е) или ионным ударом.

% +啖+p；7-或+吋；

—рекомбинация в присутствии электрона (а = е) или иона.

% + %р; 一 或 + п^

—иеупругое столкновение электрона или иона с атомом.

Во всех этих четырех процессах среднее число частиц с индексом а, взаимодействующих со свободными частицами или атомами, не меняется. Вследствие этого интеграл столкновений (80.20) обладает свойством

(2冗方)號 j【/а(Ра，Oil dpa = 0,(80.21)

и, следовательно, при процессах 1——4 не меняется концентрация свободных частиц %.

Второй член в правой части (80.19) определяется выражением

Ua(pa，01г =

=， |2х

(2几)3方(2口方)3乙J ~々2 %%一m科

tn： , m

X 6 (欣一(% + Pi - P〃))6 (九® — (^- + 務-% - Ер，)) х х [(6Е 6% k(fm (P〃, f) - MJ (吟 0 % (吸 /)) —

-4^^ C- ^^ Z)+ Nfa (P^ 0 h ^ 0)] (b，Q)・(80.22)

Чтобы получнть это выражение, надо в (80.3) положить а = р\ ^ = т, произвести замену переменных р‘，Р‘ на р：, pj по формулам (80.9), проинтегрировать пор； и произвести под интегралом замену (80.12).

Интеграл (80.22) также описывает четыре процесса. Присвоим им номера 5—8.

5・Р； + Р； + Р% —加「" + Р；а

—процесс рекомбинации частиц а, b (а 耍 6).

6・Р； + % + %Р； — ГПР^ + р\а + %

-—процесс неупругого рассеяния, сопровождающийся обменом частицами.

匕 + % + % + 咪 一 mP〃 + 〃£

—процесс двойной рекомбинации.

Ра + Рь + 加£7 — тР〃 + %Р；

•—процесс рекомбинации в присутствии атома.

Для интеграла столкновений (80.22) условие (80.21) не выполняется, т. е.

(2冗方)3 卜/«(Ра‘ 0]г ^Ра 干。・(80.23)

Таким образом, при процессах 5—8 меняется концентрация свободных частиц плазмы.

Если плазма полностью ионизована, то из всех процессов возможным оказывается лишь процесс 1. При этом вместо (80.7)

е((о,尼)=1 + 4ла,"(80.24)

и выражение для диэлектрической проницаемости в этом случае совпадает с выражением (74.2) для полностью ионизованной плазмы. В свою очередь выражение (80.5) переходит в выражение (71.1) для спектральной плотности полностью ионизованной плазмы. Интеграл столкновений (80.22) обращается в этом случае в нуль, а интеграл столкновений (80.20) совпадает с квантовым интегралом столкновений Балеску — Ленарда в форме (74.7).

Интеграл столкновений в кинетическом уравнении для атомов также можно представить в виде

厶(Р, 0 =乙(Р, 31 +[In (Р,切2・(80.25)

Выражение для первой части следует из (80.3) при а = п, Р = т. Этот интеграл описывает четыре процесса. Обозначим их

номерами 1)—4):

犷+ p；Z — /nP〃 +唯

nP^ + tn^^mP^ + p^ + p^

〃P‘ + p；； + p；； — /nP〃 + %PJ

/гР + m^； 一 mP" + ~P：・

При этих процессах среднее число атомов не меняется, поэтому

2 \ 乙(乙切| 晶F dP' = о.(80.26)

Чтобы получить вторую часть интеграла столкновений (80.25), надо в (80.3) положить а = п, В = р", произвести замену переменных р〃，P"f Р：, Рь и замену (80.12) под интегралоль В результате получим выражение

w*击,此如工挈p

ma^tnb

X {(6E 6E)g 鼠叫。(pZ) fb(РГ) - fn (p)) -

一噺熠• gag h (PZ) + L(P')) }・(80・27)

Этот интеграл описывает четыре процесса — обратные процессам 5—8.

5) п^ + р^^ + р^ + р^

欣‘ + Р；； + Pi； — Р： + М + 〃环

пР^ + 加尸7 — р； + PZ + "а + р%,

МР + %Р：—%+р/+〃К

Эти процессы меняют среднее число атомов, поэтому интеграл столкновений (80.27) обладает свойством (ср. с (80.23))

2 ,【厶(Р，切2 ~^Г dPf，0.(80.28)

Интегралы столкновений (80.19), (80.25) обладают свойствами, которые удобно выразить следующим образом:

/ ⑺=2 2 中а(Р‘)/а(Р‘)晶F "Р = 0(8°・29}

а

при Фа(Р')=1，Р'，Ех + Еь. Эти свойства обеспечивают выполнение законов сохранения суммарного (в свободном и связанном состояниях) числа частиц каждого знака, полного импульса плазмы и суммарной средней энергии свободных частиц и атомов. Кроме того,

/(/)》0 при (ра = — к In fa (Р\ /).(80.30)

Это свойство обеспечивает рост суммарной энтропии частично ионизованной плазмы, изолированной от окружающей среды.

Чтобы записать выражения (80.29), (80.30) в развернутом виде, надо использовать равенство (79.11).

Рассмотрим равновесное решение уравнений (80.15), (80.16). Из кинетических уравнений для состояния равновесия следуют два уравнения

/(%, /) = [/(&, /)L + [/(Pq, /)Ь = о,(Р, /) н 小(PV)L + 14 (Р，切2 = 0.

Если для функций распределения электронов, ионов и атомов использовать равновесные выражения

f(Pa)= 4-exp 7「@，fn(P) = -^-exT?—―^~—, (80.32)

в которых

岩(舄丹

m Г力2J -I(80.33)

(Z — статистическая сумма), то этого еще недостаточно, чтоб!>! удовлетворить уравнениям (80.31). На химические потенциалы 卩％ рг, р-г надо еще наложить условие

Не + Ц/ = Цгь(80.34)

которое является условием химического равновесия.

Из выражений (80.33), (80.34) следует, что условие химического равновесия можно записать в виде

— формула Саха.

Таким образом, из кинетических уравнений (80.15), (80.16) следует, что в равновесном состоянии функции распределения атомов, электронов и ионов — распределения Максвелла — Больцмана, дополненные условием химического равновесия.

На основе кинетических уравнений (80.15), (80.16) можно получить газодинамические уравнения для частично ионизованной плазмы с учетом химических превращений [22].

В работе [37] по такой же схеме построены кинетические уравнения для системы заряженных частиц с электромагнитным взаимодействием.

Химически реагирующие газы. Исходная модель

Рассмотрим трехкомпонентный газ, состоящий из атомов а, b и молекул ab. Здесь снова можно рассмотреть два крайних состояния: молекулярный газ (степень диссоциации равна нулю) и полностью диссоциированный газ — смесь двух атомарных газов.

Примем за основу, как и в теории частично ионизованной плазмы, состояние, в котором степень диссоциации равна нулю — молекулярный газ. Рассмотрим газ настолько разреженный, что можно ограничиться приближением парных столкновений молекул. Тогда в качестве исходного достаточно взять уравнение для двухчастичной (переменных двух молекул) матрицы плотности. Обозначим ее через

P*a& = Paii(4,必，4/ 唱'崂'％ 峻'O'(8L1) где 《1》,《2》—индексы молекул, а а, b — индексы атомов в молекулах.

Введем обозначения:

хЧ方2方2

3(81⑵

для оператора Гамильтона молекулы,

"^1 瓦"力 2 = "。1瓦 + "a 也(81.3)

для оператора Гамильтона двух невзаимодействующих молекул,

U*a也= 〃(％,(8L4)

для потенциальной энергии взаимодействия двух молекул.

Если обе взаимодействующие молекулы находятся в диссоциированном состоянии, то

Ua.b.a.b.=①am +①。也+①防4 +①d历，(81・5)

где Фаь — потенциал взаимодействия атомов a, b. Если в диссоциированном состоянии находится только одна из молекул пары,

(81.6)(81.6)например《2》，то

(81.6)

(81.6)

U %匕1a2匕2 =卩4卩@ + V "也也，

Таким образом, потенциал U аддитивен только для случая свободных атомов. В общем случае следует задать потенциалы

U ахЬха2Ъгу V aib^i Уа© 也，① аа,① ab,①沛•(81.7)

Уравнение для матрицы плотности в приближении парных столкновений молекул можно записать по аналогии с уравнением (66.10):

伊4 -(/，哂(厶，厶/工)-死也叫a，^, r；? r^)\ x

X (「Qi瓦a2b2 一 PaibFa2b2)— ["%瓦饱瓦' ГЬ^ %，『b)—

一几也以式%唱，喝,崂）］Pa山但瓦，一几也以式%唱，喝,崂）］Pa山但瓦，(81.8)(81.8)

一几也以式%唱，喝,崂）］Pa山但瓦，

一几也以式%唱，喝,崂）］Pa山但瓦，

(81.8)

(81.8)

(81.9)(81.9)В приближении теории возмущений по взаимодействию молекул в правой части этого уравнения

(81.9)

(81.9)

。勿瓦色尻 PaibiPfljbJ

и тогда мы получаем уравнение, аналогичное уравнению (69.1).

Кинетические уравнения для химически реагирующих газов

Вывод кинетических уравнений, как и в § 79, можно провести в два этапа. Сначала можно получить кинетическое уравнение для функции распределения двух молекул, а на втором этапе вывести из него (используя условие ослабления корреляции при образовании свободных частиц) три кинетических уравнения для атомов и молекул.

Вывод кинетических уравнений для химически реагирующих газов проведен в работе [38] ). Приведем здесь лишь некоторые результаты.

Используем приближение теории возмущений по взаимодеГь ствию молекул. Для пространственно однородного молекулярного газа в диагональном приближении кинетическое уравнение для функции распределения f” (Р/」%) можно записать в виде 々ja№，/)・(82・1)

Интеграл столкновений определяется выражением

仆仇(Р/，，0 = з|^ 2\ dP/‘"/ "/ X

加a力f8九^a2b2

XI uWai^^^6 (P/+P/—p^—p/) X

X6 (% 品 + 七喩，+ Ejb?+ Ep 生「Е“-Ер 部—Е”[Ер/К x口3"瓦，％)九哂 PM f)T”f /，tVna^b,切・(82.2>

Здесь использованы обозначения: ^ — число молекул при нуле* вой степени диссоциации,

^naiblmaibi 3) = \ ° (Л, Га1Ъ^ Га2Ь)屮％〔瓦(гаф)屮;哂('备坛)X

〃a2b2ma2庆

X 屮％1 瓦(七血)屮％2b2(r^ibi) dra©i d『a2b2(82.3>

—матричный элемент потенциальной энергии взаимодействия молекул. В (82.3) ^паЬ (гоь) — собственные функции гамильто* ниана Haby U (ft, Гаф^ гагъ)——компонента Фурье потенциальной энергии взаимодействия молекул

U%bia2b2 = U®瓦a2b2(R/瓦—Ra2b2，夕％瓦，^a2b2)・

В приближении упругих столкновений из (82.3)

u%力产a血出)Н"出)6气品"广"尸峽(82.4)

паф^паф1

и из (82.1) следует выражение I (Pabt f) = 2 ^nab (Pab> f)，совпа・

дающее для одноатомного газа с выражением (69.11) для интеграла столкновений Боголюбова — Гурова.

Из выражения (82.2) можно получить интеграл столкновений и для системы частиц с кулоновским взаимодействием, но без учета поляризации, так как здесь с самого начала была использована теория возмущений. Для этого надо использовать представление U в виде (81.5). Тогда для матричного элемента (82.3) получим выражение

尸总®」(需)”气也产叫(田I21 P〃叫“出)I2-(82.5)

Здесь использовано обозначение (80.6) для матричного элемента.

Теперь, как и в § 80, используя условие, аналогичное (80.12), можно получить систему трех уравнений для функций распределения атомов а, & и молекул. Эти уравнения имеют такую же структуру, как и уравнения (80.15), (80.16) [38].

Уравнения для концентраций свободных и связанных заряженных частиц. Коэффициенты ионизации и рекомбинации

Рассмотрим неравновесное состояние пространственно однородной частично ионизованной плазмы. Будем предполагать, что уже установилось распределение Максвелла — Больцмана для электронов, ионов и атомов, но состояние химического (ионизационного) равновесия еще не наступило. Вследствие этого концентрации заряженных частиц и атомов не удовлетворяют условию ионизационного равновесия (80.35).

Чтобы получить, например, уравнение для па(1), умножим кинетическое уравнение (80.15) на 九У/(2冗方)з, проинтегрируем по /?а, подставим выражения (80.5), (80.4), (80.7) для функций 彳б6бЕ)зм е(з,左)и используем распределения ААаксвелла — Больцмана (80.32). В результате получим следующее уравнение [22]:

若=(^папаь - 6吗)+ (%db -告吟2而)+

+ (。2嗚一好M) + (a/；%5 - Рз〃”<")・ (83.1)

Здесь принято во внимание равенство концентраций электронов и ионов. В уравнении (83.1) a — коэффициент ударной ионизации, р — коэффициент тройной рекомбинации (два электрона и ион, два иона и электрон), ai — коэффициент ионизации при столкновении двух атомов,仇一коэффициент рекомбинации при тройном столкновении электрона, иона и атома, §2 ——коэффициент рекомбинации четырех заряженных частиц, в результате которой образуются два атома, а2 — соответствующий коэффициент ионизации, аз, рз—коэффициенты процессов обмена.

Приведем для примера выражения для коэффициентов а, р[22]: 。=(2砌з £ 從 2 \ "“ dP‘ dP〃 dp； d% ds dk %( &從、卩 X с m

x 6+ 皴-& + 需 + 盡))X

х в(必一(р‘ 一 Р"))6Gs—(気+4r 一 ％—昜))X

(83-2)

^ = (2Hh2/ixKT)hZa.(83.3)

Выполним в выражении (83.2) интегрирование, предполагая^ что поляризационные эффекты несущественны (gjs,左) = 1), ионизация осуществляется электронами, атомы покоятся (М = =оо), ионизация происходит с основного уровня. При этих условиях из (83.2) находим следующее выражение для коэффициента ионизации:

2】。кТ

а = -g；- 35«-％―^з^- exp (— I/кГ),(83.4>

где / — потенциал ионизации, а。一 боровский радиус. При получении этой формулы использовано выражение для матричнога элемента | />а 伍)|2 при m = 0 (см. [40], стр. 667).

При расчете коэффициента ионизации в классической теории [41] получается результат, отличающийся от (83.4) в [41] пред- экспоненциальным множителем (вместо кТ/I в (83.4) стоиг (кТ//)力).Вследствие этого вблизи порога зависимость эффективного сечения от превышения над порогом не является линейной.

Выражение (83.4) получено в борцовском приближении. Зто приближение используется и при численных расчетах (см., например, [42]).

Влияние флуктуаций электромагнитного поля на кинетические процессы в частично ионизованной плазме

Используя схему, рассмотренную в §§ 79. 80, можно учесть в кинетических уравнениях (80.15), (80.16) и процессы, которые обусловлены взаимодействием заряженных частиц с флуктуирующим поперечным электромагнитным полем [37].

Дополнительные вклады в интегралы столкновений (80.19)> (80.20), (80.22) для заряженных частиц и в интегралы столкновений (80.25), (80.3) (при а = /г, р = т), (80.27), обусловленные флуктуациями поперечного поля, определяются аналогичными формулами. Например, дополнительный вклад в внраже- ние[^(Р«> 01 нмеет вид [37]

及(心必=Т(^Т ) dp* ds dh 喀 6 dpz - P0) X

X 6 (> -(案一寫)){(6E 丄 6E 丄阪[fa 侬,/) 一厶(％ /)]-

Здесь (BE丄 6E丄)за—— спектральная плотность флуктуаций поперечного электрического поля, sL (g>, k) — соответствующая

диэлектрическая проницаемость. Как и для кулоновской плазмы, эти функции можно представить в виде (ср. с (80.7))

(6Е丄ЗЕ%也=(6Е丄6Е丄Н左+ (・・•严+ (・・・)"+(・・・)”

(84.2) e l (s,力)=1 + 4冗(aff + af& + abf + %/

Выражения для этих функций приведены в работе [37].

В равновесном состоянии спектральная плотность флуктуаций поперечного поля определяется выражением

(6e丄6e丄J(84.3) з比I <d2e1 (s.尼)一о%? F k 2exp (方s//cT) — 1 丿

При 方f 0 это выражение переходит в (39.42). Соответствующее выражение для временной спектральной плотности имеет вид

«6Е丄 6Е丄К =欝 VReiT (у + exp (読?)-「)三

三窜^ “Re" + 4n 泣.(84.4)

Здесь р^ — температурная часть функции Планка.

Используя выражения (84.2), можно представить интегралы <толкновений, определяемые флуктуациями поперечного поля, в виде суммы восьми членов и произвести классификацию всех вкладов, аналогичную той, которая проведена в § 80 для кулоновской частично ионизованной плазмы.

Интегралы столкновений учитывают взаимодействие частиц в поляризационном приближении (борновское приближение, дополненное учетом эффектов поляризации плазмы). Вследствие этого в них, наряду с обычными процессами фотоионизации, фоторекомбинации, излучения, поглощения и т. д., учитываются «аномальные» (сверхсветовые) эффекты [43]. К ним, кроме эффекта Черенкова, относятся аномальный эффект Доплера, аномальное торможение, а также эффекты спонтанной и вынужденной ионизации атомов с испусканием квантов, вынужденной рекомбинации с поглощением квантов и т. д.

Приведем для иллюстрации выражения для коэффициентов «нормальной» фотоионизации и фоторекомбинации (аи и ри) в приближении бесконечной массы тяжелых частиц [37]: 也=差 72mL)% ? 卜8 "p I / 6 (力8 - I 点 I - /)Х

加X (BE丄 SF-L^exp (— Р2/2текТ). (84.5)

Здесь J r^m ^—соответствующий матричный элемент, (6E丄 6E丄)① —спектральная функция поля без учета вклада нулевых коле*

баний. В равновесном состоянии эта функция совпадает с 4л2р^ «м. (84.4)).

Из выражения (84.5) можно определить коэффициент фотоионизации, если произвести замену

(6Е丄 6Е丄％ f (翦)% 4 ехр(-力s/叫(6Е丄 BE丄)小(84.6>

Для процесса рекомбинации на основной уровень выражение (84.5) принимает вид [37]

■*(請)％，ехр [-崎』(6Е丄 6E%ds. (84.7>

3>〃方

Отсюда, используя замену (84.6), находим соответствующее выражение для коэффициента фотоионизации [37]

恤=工募4闘，(6Е丄BE丄)з &о・(84.8>

При равновесном распределении флуктуаций поля, когда (6Е丄 ЗЕ丄)з = 4冗2卩瞋(см. (84.4)) и / > кТ, из (84.8) находим [37}

2】*4 з /3〃Reg(〃方)кт

% = з “о g^s[ ехр (— 〃 кТ).(84.9}

Этот результат лишь численным множителем отличается от полученного квазиклассическим методом (см., например, (6.96) в [41]).

Более подробно изложенные здесь вопросы рассмотрены в работе [37].

Настоящую главу следует рассматривать лишь как краткое введение в кинетическую теорию частично ионизованной плазмы и кинетическую теорию химически реагирующих газов. В этой области еще много нерешенных проблем. Одна из них — построение кинетической теории неидеальных химически реагирующих систем.

К первой части

Л. Больцман, Лекции по теории газов, Гостехиздат, 1956.

С. Чепмен, Г. Каулинг, Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.

Дж Гиршфельдер, Ч. Кертис, Р. Берд, Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961.

Н. ". Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, Гостехиздат, 1946.

Дж Уленбек, Дж. Форд, Лекции по статистической механике, «Мир», 1965.

И. Пригожин, Неравновесная статистическая механика, «Мир», 1964.

, Л. КаЗоАОб, Г. Бейм, Квантовая статистическая механика, «Мнр», 1964.

Ю.力.Климонтович, Статистическая теория неравновесных процессов в плазме, Изд. МГУ, 1964.

К. П. Гуроз. Основания кинетической теории, «Наука», 1966.

М. Н. Коган, Динамика разреженного газа, «Наука», 1967.

Р. Балеску, Статистическая механика заряженных частиц, «Мир», 1967.

В. /7. Силин, Введение в кинетическую теорию газов, «Наука», 1971.

Д. Н. Зубарев, Неравновесная статистическая термодинамика, «Наука», 1971.

К. Черчиньяни, Математические методы в кинетической теории, «Мир^, 1973.

И. Шкаровский, Т. Джонстон, М. Бачинский, Кинетика частиц плазмы, Атомиздат, 1969.

Lectures in theoretical physics, v. 9C, Kinetic theory, Gordon and Breach, N. Y.. 1967.

Ю. 〃. Климонтович, О кинетическом уравнении Больцмана для неидеального газа, ЖЭТФ 60, 1352 (1971).

10. Л. Климонтович, О кинетических уравнениях для классической неидеальной плазмы, ЖЭТФ 62, 1770 (1972).

/. Veinstock, Claster formulation of the exact equation for the evolution of a classical many-body system, Phys. Rev. 132, 454 (1963).

G. Goldman, E. Frieman, Logaritmic density behavior of a nonequilibrium Boltzmann gas, J. Math. Ph vs. 8, 1410 (1967).

/. Dorfman, E Cohen, Difficulties in the kinetic theory of dense gases, J. Math. Phys. 8, 282 (1967).

E. Cohen, The generalisation of the Boltzmann equation to higher densities. In the book «Statistical mechanics at the turn of the decade», ed. by E. Cohen, N. Y., 1971.

Ю. Л. Климонтович, О неравновесных флуктуациях в газе, ТМФ 9, 109 (1971).

Ю. Л. Климонтович, Кинетические уравнения для неидеального газа и неидеальной плазмы, УФН ПО, 537 (1973).

6. £• Кадомцев, О флуктуациях в газе, ЖЭТФ 32, 943 (1957).

Н. Green, Boltzmanns equation in quantum mechanics, Proc. Roy. Soc. A66, 325 (1953).

K. Baerwinkel, S. Grossmann, On the derivation of the Boltzmann-Landau equation from the quantum mechanical hierarchy, Z. Phys. 198, 277 (1967).

K. Baerwinkel, Die Vielteilchen Т-Matrix und ihre Anwendung in der Theorie realer Gase von mittlerer Dichte 1, 2, Z. Naturforschung 24a, 22, 38 (1969).

Ю. Л. Климонтович, В. Эбелинг, Квантовые кинетические уравнения для неидеального газа и неидеальной плазмы, ЖЭТФ 63, 905 (1972).

Н. Н. Боголюбов, К. 〃. Гуров, Кинетические уравнения в квантовой ме・ ха нике, ЖЭТФ 17, 714 (1947).

В. П. Силин, Об интеграле столкновений для заряженных частиц, ЖЗТ® 40, 1768 (1961).

R. Balescu, Approach to equilibrium of quantum plasma, Phys, of Fluids 4> 94 (1961).

Сб. статей «Физика простых жидкостей»,《Мнр», 1971.

Н. /7. Коваленко, И. 3. Фишер, Метод интегральных уравнений в статистической теории жидкостей, УФН 108, 209 (1972).

Ю. Л. Климонтович, Интегральные уравнения для парной корреляционной функции плотных газов и плазмы, Письма в ЖЭТФ 15, 495 (1972).

Н. Green, The molecular theory of fluids, Oxford, 1953.'

10. Л. Климонтович, Н-теорема Больцмана для неидеального газа, ЖЭТФ 63, 150 (1972).

Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, Вычисление флуктуаций величин, определяемых кинетическими уравнениями, Тр. ИЗААИРАН, в. 17 (27), 239 (I960).

Ш. М. Коган, А. Я. Шульман, К теорнн флуктуаций в неравновесном электронном газе, ЖЭТФ 56, 862 (1969); ФТТ ", 308 (1969).

С. 8. Ганцевич, В. Л. Г уревич, Р. Катилюс, Флуктуации в полупроводниках в сильном электрическом поле и рассеяние света горячими электронами, ЖЭТФ 57, 503 (1969).

С. В. Та〃«еб〃& В. Л. Гуревич, Р. Катилюс, О связи между различными методами теории флуктуаций в неравновесном состоянии, ЖЭТФ 59, 533 (1970).

П. М. То мчу к, В. А. Шендеровский, Рассеяние и трансформация волн на флуктуациях в неравновесной плазме полупроводника, Препоинт Ин-та физики АН УССР, № 12. 1971.

В. Н. Жигулев, Исследование уравнений Боголюбова для сильнокоррели* рованных статистических систем, ТМ① 7, 106 (1971); К проблеме фундаментальных характеристик движения сплошной среды, ТМФ 7, 27Г (1971).

Б. И. Садовников, Уравнения для классических функций Грина в кинетическом приближении, ДАН СССР 164, 785 (1965); Асимптотика классических функций Грина в «вязком гидродинамическом приближении», ДАН СССР 164. 1024 (1965).

Ш Л4. Коган, К теории флуктуаций в неравновесном газе с парным» столкновениями, ТМФ 10, 143 (1972).

Prigogine, G. George、J. Rao, Classical dynamics as an eigenvalue problem. Physica 56, 25 (1971).

7.尸.Henin, A theor-em in dynamics of correlation, Physica 54, 385 (1971).

R. Balescu, L. Brenig, J. Wallenborn, Subdynamics of constrained many body systems and the theory of transport coefficients. Physica 52, 29 (1971).

丸.Balescu, Dynamical correlation patterns： a new representation of the Liouville equation, Physica 56, 1 (1971).

Д. H. Зубарев、В. /7. Калашников, Эквивалентность некоторых метопов в статистической механике необратимых процессов, ТМФ 7, 372 (1971).

С. В. Пелетминский, В. Д. Цуканов, К кинетике систем в переменных внешних полях, ТМФ 7, 395 (1971).

Д. Н. Зубарев, М. Ю. Новиков, Обобщенная формулировка граничного условия к уравнению Лиувилля и цепочке Б — Б — Г—К — И, ТМФ 13, 403 (1972).

Ю. Л. Климонтович, Е. Ф. Слинько, Кинетическое уравнение для неидеального газа с учетом тройных столкновений, ТМФ 19, 137 (1974).

/С Kawasaki, /. Oppenheim, Logarithmic term in the density expansion of transport coefficients, Phys. Rev. A139, 1763 (1965).

/. Ke st in, E Poykoc, /. Sengers, On the density expantion for viscosity in gases, Physica 54, 1 (1971).

Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Статистическая физика, «Наука», 1964.

С. М. Рытое, Теория электрических флуктуаций и теплового излучения. Изд. АН СССР, 1953.

М. Л. Левин, С. М. Рытое, Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродин амике, «Наука», 1967.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Гостех- издат, 1957.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, О гидродинамических флуктуациях, ЖЭТФ 32, 618 (1957).

Я. 3. Фишер, Статистическая теория жидкостей, Физматгиз, 1961.

The Boltzmann equation theory and application, Ed. E. Cohen, W. Thirring, Springer-Verlag, 1973.

Проблемы теории плазмы, Под ред. А. Г. Ситенко, Киев, 1972.

G. Sandri, The foundations of nonequilibrium statistical mechanics, Ann. Phys. 24, 332 (1963); J. Hopfield, A. Ba"九，New approach to transport theory in classical gases, Phys. Rev. 168, 193 (1968).

刀.В. Кац, В. М. Конторович, С. С. Моисеев, В. £. Новиков, Степенные решения кинетического уравнения Больцмана, описывающие распределения частиц с потоком по спектру, Письма в ЖЭТФ 21, в. 1, 13 (1975).

М М Bogolubov, Microscopic solutions of the Boltzmann — Enskog equa・ tion in the kinetic theory of hard pheres, Препринт ОИЯИ E-4-8789, Дубна, 1975 (см. также ТМФ 24, 242 (1975)).

Ко второй части

Л. Д. Ландау, Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия, ЖЭТФ 7, 203 (1937).

4 4 Власов, О вибрационных свойствах электронного газа, ЖЭТФ & 231 (1938).

А. А. Власов, Теория многих частиц, Гостехиздат, 1950.

Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, Гостехиздат, 1946.

4 Lenard, On Bogolubovs kinetic equation for a spatially homogeneous plasma, Ann. Phys. 3, 390 (I960).

•6. R. Balescu, Irreversible processes in ionized gases, Phys, of Fluid 3, 52 (I960).

Ю. Л. Климонтович, О кинетических уравнениях для классической неидеальной плазмы, ЖЭТФ 62, 1770 (1972).

Ю. Л. Климонтович, Статистическая теория неравновесных процессов в плазме, Изд. МГУ, 1964.

Ю. Л. Климонтович, Релятивистские уравнения для плазмы I, II, ЖЭТФ 37, 735 (1959); 38, 1212 (I960).

В. /7. Силин, Введение в кинетическую теорию газов, «Наука», 1971.

В. Л. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плазме, «Наука», 1957.

В. П. Силин, А. А. Рухадзе, Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, Атомиздат, 1961.

Сб. статей «Вопросы теории плазмы», Под ред. М. А. Леонтовича, вв. 1— 8, Атомиздат, 1963—1974.

6. Л. Гинзбург, А. А. Рухадзе, Волны в магнитоактивной плазме, «Наука», 1975.'

А. И. Ахиезер, И. А. Ахиезер, Р. В. Половин, А. Г. Ситенко, К. Н. Степанов, Коллективные колебания в плазме, Атом изд ат, 1964; Электродинамика плазмы,《Наука», 1974.

Л. В. Гуревич, А. Б. Шварцбург, Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере, «Наука», 1973.

В. /7. Силин, Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму, «Наука», 1973.

Г. X. Стэке, Теория плазменных волн, Атом из дат, 1965.

В. 〃. Шафранов, Электромагнитные волны в плазме, в сб. [13], в. 3, 3 (1963).

5. 5. Кадомцев, Турбулентность плазмы, в сб. [13], в. 4, 188 (1964).

А. А. Веденов, Е. П. Велихов, Р. 3. Сагдеев, Нелинейные колебания разреженной плазмы, Ядерный синтез 1, 82 (1961).

В. И. Цытович, Нелинейные эффекты в плазме, «Наука», 1967.

А. А. Веденов, Теория турбулентности плазмы, ИНИ АН СССР, 1965.

В. ". Цытович, Теория турбулентной плазмы, Атомиздат, 1971.

Физические основы термоэмиссионного преобразования энергии, Под ред. И. П. Стаханова, Атомнздат, 1973.

Е. К. Завойский, Л. И. Рудаков, Коллективные процессы в плазме и турбулентный нагрев, «Знание», 1967.

А. Г. Ситенко, Электромагнитные флуктуации в плазме. Изд. ХГУ, 1965.

А. 5. Михайловский, Теория плазменных неустойчивостей, т. I, Неустойчивости однородной плазмы, т. II, Неустойчивости неоднородной плазмы, Атомнздат, 1971, 1972.

Ю. Л. Климонтович, Вопросы статистической теории взаимодействия ато мов с излучением, УФН 101, 578 (1970).

Л. М. Горбунов. В. П. Силин, Теория явлений переноса в нензотермн- ческой плазме, ЖЭТФ 34, 385 (1964).

А П. Силину К теории электромагнитных флуктуаций, ЖЭТФ 41, 969 (1961).

С. Г. Беляев, Г. И. Будкер, Релятивистское кинетическое уравнение, ДАН СССР 107, 807 (1956).

Ю. Л. Климонтович, В. Л. Пучков, Влияние поляризации плазмы на кинетические свойства при наличии сильного электрического поля, ЖЭТФ 67, 556 (1974).

В. И. Перель, Г. М. Элиашберг, Поглощение электромагнитных волн в плазме, ЖЭТФ 41, 886 (1962).

В. П. Силин, Нелинейная высокочастотная проводимость, ЖЭТФ 47, 2254 (1964).

^. Rostoker, Kinetic equation with a constant magnetic field, Phys, of Fluids 3, 922 (1961).

В. M. Елеонский, /7. С. Зырянов, В. П. Силин, Интеграл столкновений заряженных частиц в сильном магнитном поле, ЖЭТФ 42, 896 (1962).

Ю. Л. Климонтович, В. /7. Силин, К теории флуктуаций распределения частнц в плазме, ЖЭТФ 42, 296 (1962).

С. Т. Беляев, Кинетическое уравнение для разреженных газов в сильном поле, В сб. «Физика плазмы и проблемы термоядерных реакций», т. 3, стр. 50, 66, Изд. АН СССР, 1958.

Ю. Л. Климонтович, Кинетические уравнения для неидеалыюго газа и неидеальной плазмы, В сб. «Проблемы теории плазмы», Киев, 1972.

Б. Б. Кадомцев, Действующее поле в плазме, ЖЭТФ 33, 151 (1957).

Л. Спитцер, Физика полностью ионизованного газа, ИЛ, 1957.

5. И, Давыдов, О влиянии колебаний плазмы на ее электропроводность и теплопроводность, В сб. «Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций», т. I, стр. 77, Изд. АН СССР, 1958.

Ю. Л. Климонтович, Потери энергии заряженных частиц на возбуждение колебаний плазмы, ЖЭТФ 36, 1405 (1959).

Л. Д. Ландау, £. М. Лифшиц, Статистическая физика, «Наука», 1964.

Г. Эккер, Теория полностью ионизованной плазмы, «Мнр», 1974.

Л. П. Кудрин, Статистическая физика плазмы. Атом из дат, 1974.

В. А. Пучков, Эффекты поляризации в кинетическом уравнении для плазмы при воздействии высокочастотного электрического поля, Вестник МГУ 16, 385 (1975).

Ю. Л. Климонтович, В. Эбелинг, Квантовые кинетические уравнения для неидеального газа и неидеальной плазмы, ЖЭТФ 63, 905 (1972).

S. Ichimaru, Basic principles of plasma physics. A statistical approach, W. A. Benjamin. 1973 (Основные принципы физики плазмы, Атомиздат, 1975).

S. Ichimaru, /. Р. Yakimenko, Transition probability approach to the theory of plasmas, Physica scripta 7/ 198 (1973).

/. P. Yakimenko, A. G Zagorodny, Transition probabilities, correlation functions and dielectric permitivity tensors for semibounded and bounded nonequilibrium plasma, Physica scripta 10, № 5 (1974).

В. С. Попов, И. П. Якименко, Электромагнитные флуктуации в полупространстве неравновесной плазмы, Препринт ИТФ-74-23Р, Киев, 1974.

А. Г. Ситенко, А. А. Гурин, О влиянии столкновеЕшй между частицами на флуктуации в плазме, ЖЭТФ 49. 1591 (1965).

Р. Batnagar, Е. Gross, Af. Krooh, A model for collision processes in gases I, Phys. Rev. 94, 511 (1954); E Groce, M. Krook, II, Phys. Rev. 102, 593 (1956).

A. H. Оравевский, Молекулярные генераторы, «Наука». 1964.

Н. Haken, Light and Matter Ic. Enciclopedia of physics, C. ed S. Flugge, v. 25/2c, Sprin^er-Verlag, 1970.

Волновые и флуктуационные процессы в лазерах, Под ред. Ю. Л. Кли- монтовича, «Наука», 1974.

С. В. Ганцевич, В. Л. Гуревич, Р. Катилюс, Флуктуации в полупроводниках в сильном электрическом поле и рассеяние света горячими электронами. ЖЭТФ 57, 503 (1969).

Ш. М. Коган, А. Я. Шульман, К теории флуктуаций в неравновесном электронном газе, ЖЭТФ 56, 862 (1969).

П. М. То мчу к, В. А. Шендеровский, Рассеяние и трансформация волн на флуктуациях в неравновесной плазме полупроводника, ЖЭТФ 62, 1131 (1972); П. М. Томчук, 4. А. Чу мак. Высокочастотные флуктуации в неравновесных электрон*фононных системах, УФЖ 18, 1625 (1973).

V. V. Bely, Yu. L. Klimontovich, Low-frequency nonequilibrium fluctuations in electron-phonon system, Physica 73, 327 (1974).

К третьей части

H. Green, Boltzmanns equation in quantum mechanics, Proc. Roy. Soc. A66, 325 (1953).-

Л. Каданов, Г. Бейм, Квантовая статистическая механика, «Мир», 1964.

К. Baerwinkel, S. Grossmann, On the derivation of the Boltzmann-Landau equation from the quantum mechanical hierarchy, Z. Phys. 198, 277 (1967).

/(. Baerwinkel, Die Vielteilchen Т-Matrix und ihre Anwendung in der Theo- rie realer Gase von mittlerer Dichte 1, 2, Z. Naturforschung 24a, 22, 38 (1969).

Ю. Л. Климонтович, В. Эбелинг, Квантовые кинетические уравнения для неидеального газа и пеидеалыюй плазмы, ЖЭТФ 63, 905 (1972).

Ю Л. Климонтович, В. Крэфт, Обменные эффекты в квантовых кинетических уравнениях для неидеального газа и неидеальной плазмы, ТМФ 19, 364 (1974).'

R. Balescu, Approach to equilibrium of quantum plasma, Phys, of Fluids 4, 94 (1961).

В. П. Силин, Об интеграле столкновений для заряженных частиц, ЖЭТФ 40, 1768 (1961).

Е Wigner, On the quantum correction for thermodynamycs equilibrium, Phys. Rev. 40, 749 (1932).

К) Л. Климонтович, 8. /7. Силин, О спектрах систем взаимодействующих частиц и коллективных потерях при прохождении частиц через вещество, УФН 70, 749 (1962).

К. /7. Гуров, Основания кинетической теории, «Наука», 1966.

В. /7. Силин, Введение в кинетическую теорию газов, «Наука», 1971.

D. Hoffman, /. Mueller, С. Curtiss, Quantum mechanical Boltzmann equation, J. Chem. Phys. 43, 2878 (1965).

〃. 〃. Ландау,巨.Al Лифшиц, Статистическая физика, «Наука», 1964.

Р. Балеску, Статистическая механика заряженных частиц, «Мир», 1967.

Q. А. Кухаренко, Некоторые вопросы кинетической теории неравновесных процессов в многосортных квантовых системах, Канд, диссертация, ФИАН СССР, Москва, 1970.

Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике, Избранные труды, т. 2, стр. 287, «Наукова думка», 1971.

Q Л. Климентович, О методе вторичного квантования в фазовом пространстве, ЖЭТФ 33, 982 (1957).

Л. Д. Ландау, Теория ферл!и-жидкости, ЖЭТФ 30, 1058 (1956).

В. /7. Силин, К теории вырожденной электронной жидкости, ЖЭТФ 33, 495 (1957); Колебания вырожденной электронной жидкости, ЖЭТФ 35, 1243 (1958).

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифиищ、Электродинамика сплошных сред, Гостех- нздат, 1957.

/О. Л. Климонтович, Статистическая теория неупругих процессов в плазме,

Кинетические уравнения для кулоновской плазмы с учетом неупругих процессов, ЖЭТФ 52, 1233 (1967).

心.Л. Климонтович, В. Крэфт, Псевдопотенциал для слабо неидеальной плазмы с учетом поляризации среды, ТВТ 12, 239 (1974).

В. Л. Бонч-Бруевич, В. 5. Гласко. Энергетические уровни в дебаевском поле, Оптика и спектроскопия 14, 495 (1963); М. В. Ваврух, Решение уравнения Шредингера для одного класса центрально-симметричных потенциалов, УФЖ 18, 2012 (1973).

Б. А. Трубников, В. Ф. Елесин, Квантовые корреляционные функции в максвелловской плазме, ЖЭТФ 47, 1279 (1964).

W. Ebeling, К. Kraeft, D. Kretnp, Quantum statistical second virial coeffi- ccnt for real gases and plasmas, Beitr. Plasma Physik 10, 237 (1970).

呼.Ebeling, Zur freien Energie von Quantenplasmen kleiner Dichte, Zur Quantenstatistik der Bindungszustande in Plasmen 1, Ann. Phys. (Leipzig) 21, 315 (1968); 22, 383 (1969).

Л. И. Ларкин, Термодинамические функции неизотермической плазмы, ЖЭТФ 38, 1896 (I960).

Г. Э. Норман, А. Я. Старостин, Термодинамика сильно неидеальной плазмы. ТВТ 38, 1896 (I960).

G. Keibg, Theorie des Quanten Plasmas, Quantenstatistik der Gase mit Coulomb — Wechselwirkung, Ann. Phys. (Leipzig) 12, 219, 354 (1963).

J. Dahler, D. Hoffman, Theory of transport and relaxation processes in poliatomic fluids, Wiley Interscience 13, 1970.

Л. Вальдман, Явления переноса в газах при средних давлениях, В сб. «Термодинамика газов». Под ред. В. С. Зуева, «Машиностроение», 1970.

С. В. Пепетминский、К теории кинетических уравнений при наличии связанных состояний, ТМФ 6, 123 (1971).

Е. Г. Колесниченко, О выводе кинетических уравнений для разреженных химически реагирующих газов, ТВТ 3, 854 (1971).

£. С. а&у6, К кинетической теории реагирующих газов, ТВТ 10, 507 (1972).

Е. Г. Колесниченко, Кинетические уравнения для химически реагирующих газов, Отчет № 1509, Ин-т механики МГУ, 1973.

Ю. Л. Климонтович, Статистическая теория неупругих процессов в плазме, II. Процессы, обусловленные поперечным электромагнитным полем, ЖЭТФ 54, 136 (1968).

Ю. 〃. Климонтович, Кинетические уравнения для химически реагирующих газов, УФН (1976).

W. Ebeling, W. Kraeft, D Kremp, Bound states and ionization equilibrium in gaseous and in solid state plasmas, In Ergebnisse der Plasmaphysik und Gaselektronik (Hrsg. R. Rompe, M. Steen beck) Band 5 (in press).

Л. Д. Ландау, E M. Лифшиц, Квантовая механика, Физматгиз, 1963.

Я. Б. Зельдович, Ю. /7. Райзер, Физика ударных волн и высокотемпературные гидродинамические явления, «Наука», 1966.

И, Л. Бейгман, Л. П. Пресняков, О сечениях ионизации ионов электронным ударом, Препринт ФИАН, Москва, 1966.

В. Л. Гинзбург, Некоторые вопросы теории излучения при сверхсветовом движении в среде, УФН 69, 537 (1959).

Л. П. Кудрин, Статистическая физика плазмы, Атомиздат, 1974.

О. Petrus, On the quantum kinetic equation for molecular gases, Physica 71, 113 (1974).

/. Lowry, R. Snider, Kinetic theory of dimer formation and decay, J. Cliem. Phys. 61, 2320 (1974); Quantum kinetic theory of Chemical recombination, J. Chem. Phys. 61, 2230 (1974).

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И НЕИДЕАЛЬНОИ ПЛАЗМЫ

тал. климонтович

ю. л. климонтович

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

И НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

ИЗДАТЕЛЬСТВО《НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1975

530.3

К 49

УДК 539.19

Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. К лим онтович Ю. Л., изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1975.

В книге впервые дано систематическое изложение кинетической теории неидеального газа и неидеальной плазмы. Основное внимание уделено изложению новых результатов. Традиционный материал изложен лишь в той мере, в какой это необходимо для создания полной картины кинетических процессов в неидеальных системах. Большое внимание уделено, в частности, кинетической теории крупномасштабных флуктуаций ——флуктуаций с временами корреляции порядка или больше времени свободного пробега и с длинами корреляции порядка или больше длины свободного пробега. Учет крупномасштабных флуктуаций необходим, например, при построении кинетических уравнений для плотных газов и плазмы и при описании турбулентной плазмы.

Книга состоит из трех частей: I. Кинетическая теория (классическая) неидеального газа. II. Кинетическая теория (классическая) неидеальной полностью ионизованной плазмы. III. Квантовые кинетические уравнения для неидеального газа и неидеальной плазмы. Последняя глава книги посвящена кинетической теории химически реагирующих газов и частично ионизованной плазмы.

Рис. 2. Библ. 176 назв.

Юрий Львович КлимонтовичКИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯНЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫМ., 1975 г., 352 стр. с илл.Редактор Л. 〃. РусаковаТехн, редакторы И. Ш. Аксельрод, В. В. Морозова Корректор Я. £ Румянцева

Сдано в набор 16/V 1975 г. Подписано к печати 12/XI 1975 г. Бумага 60x90l/le № 2. Физ. печ. л. 22. Условн. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 21,75. Тираж 5000 экз. Т-18548. Цена книги 1 р. 58 к. Заказ № 710.

Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы117071. Москва, В*71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знаменн Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975.© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975.20402-152

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975.

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975.

К 053(02)-75 2°'5

77ОГЛАВЛЕНИЕ

7

7

Предисловие

Часть IКИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗАВведение • • .9

Глава 1. Метод функций распределения и метод моментов14

Уравнения для функций распределения координат и импульсов частиц одноатомного газа . . 14

Приближение парных столкновений19

Поляризационное приближение и теория возмущений по взаимодействию атомов газа 24

Уравнение для фазовой плотности в шести мерном пространстве координат л импульсов27

Метод моментов 29

Приближения первых и вторыхмоментов.Поляризационное

приближение32

Уравнения переноса плотности частиц,плотностиимпульсаи

плотности кинетической энергии 38

Г лаба 2. Кинетическое уравнение Больцмана для нендеального газа .42

Некоторые результаты статистической теории равновесного4 состри ни я неидеалыюго газа 42

Нелинейные интегральные уравнения для двухчастичной корреляционной функции,47

Кинетическое уравнение Больцмана для пространственно однородного идеального газа . . . 48

Свойства интеграла столкновений Больцмана для . идеального

газа 55

Кинетическое уравнение Больцмана для неидеального пространственно однородного газа 59

Интеграл столкновений в приближении теории возмущений. Кинетическое уравнение Ландау63

Н-теорема Больцмана для неидеальногогаза65

Кинетическое уравнение Больцмана для пространственно неоднородного неидеального газа . . 71

Глава 3. Кинетические уравнения для плотных газов80

Проблемы кинетической теории плотных газов80

Кинетическое уравнение для неидеального газа с учетом тройных столкновений 85

Кинетические уравнения для газов средней плотности . ... 92

О статистическом описании неравновесных процессов в плотных газах 101

Обобщенное кинетическоеуравнение 103

Глава4.Кинетическая теория флуктуацийвгазе106

Уравнения для сглаженных функций распределения в поляризационном приближении106

Уравнение для сглаженной фазовой плотности. Метод моментов ЮЭ

Случайные источники в кинетическом уравнении Больцмана и в уравнениях газовой динамики .121

Часть IIКИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕИДЕАЛЬНОЙ ПОЛНОСТЬЮИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ

Введение •128

Глава 5. Микроскопические уравнения для полностью ионизованной плазмы. Усреднение микроскопических уравнений ..132

Микроскопические уравнения для полностью ионизованной плазмы 132

Микроскопические уравнения для кулоновской плазмы • . . 135

Усреднение микроскопических уравнений136

Приближение парных столкновений и поляризационное приближение для плазмы140

Уравнения переноса плотности, плотности импульса и плотности кинетической энергии частиц. Уравнения переноса плотности энергии и плотности импульса электромагнитного поля . . . 142

Глава 6. Кинетические уравнения для плазмы в приближении первых моментов. Уравнения Власова148

Кинетическое описание процессов в бесстолкновительной плазме 148

Линейное приближение 151

Электрическая проводимость и диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы .. . ,153

Волновые свойства бесстолкновительной плазмы159

Глава 7. Кинетические уравнения для идеальной полностью ионизованной плазмы ..164

Ограничения, необходимые для вывода кинетических уравнений 164 § 34. Спектральные плотности флуктуаций источников в идеальной плазме168

Спектральные плотности флуктуаций в идеальной плазме . • .170 § 36. Спектральные плотности флуктуаций в равновесной плазме . . 173 § 37, Кинетическое уравнение Балеску — Ленарда .,...貝..178 § 38. Кинетическое уравнение Ландау182

Спектральные плотности флуктуаций в релятивистской плазме . 185 § 40. Кинетические уравнения для релятивистской плазмы . . . .193

Глава 8. Влияние внешних полей на кинетические свойства плазмы . . . 198

Уравнения для функций fa, ^Na при наличии внешнего электрического поля198

Спектральные плотности флуктуаций источников при наличии высокочастотного электрического поля199

3- Спектральная плотность флуктуации электрического поля ...

Кинетические уравнения для плазмы в высокочастотном электрическом поле .. <

Проводимость плазмы в сильном высокочастотнол! электрическом поле

Низкие частоты

Эффективный потенциал, учитывающий усредненную динамическую поляризацию плазмы

Электрическая проводимость. Эффективное (действующее) поле

Флуктуации при наличии магнитного поля

Кинетические уравнения для плазмы при наличии внешнего магнитного поля . . т

d/aea 9. Пространственно однородная неидеальная плазма

Спектральные плотности нестационарных процессов

Спектральные плотности флуктуаций источников в неидеальной плазме

Кинетическое уравнение Ландау для неидеальной плазмы .

Кинетическое уравнение Балеску — Ленарда для неидеальной плазмы

Интеграл столкновений для неидеальной плазмы с учетом усредненной динамической поляризации

Кинетическое уравнение Больцмана для неидеальной плазмы .

Взаимодействие заряженных частиц с плазмонами

Г лава 10. Пространственно неоднородная неидеальная плазма ....

Связь интеграла столкновений со спектральной плотностью флуктуаций .

Интеграл столкновений

Свойства интеграла столкновений

4rлава //. Кинетическая теория флуктуаций в плазме ..

Уравнения для сглаженной фазовой плотности и поля

Метод моментов. Поляризационное приближение

Спектральные плотности крупнол(асштабных флуктуаций ...

Кинетические уравнения для плазмы с учетом крупномасштабных флуктуаций

Газодинамические уравнения с учетом крупномасштабных флуктуаций

Часть IIIКВАНТОВЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗАИ НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

0205081115172027

2 2 22 222 2

31^ ^^ ^505363

2 2 2 2 2 2 2 2

6

6

2

666869

2 2 2

4 46 0 527272728^

7

8

2

Введение

289

^лава /2. Квантовые кинетические уравнения для неидеального газа . . 291

§ 66. Цепочка уравнений для квантовых функций распределения. Приближение парных столкновений . . . . 291

§ 67. Уравнения переноса и термодинамические функции для неидеального газа 296

§ 68.Две формы записи квантового интеграла столкновений .... 298

§ 69.Приближение теории возмущении300

§ 70. Квантовый интеграл столкновений Больцмана для неидеального газа с учетом обменных эффектов302

Глава 13. Квантовые кинетические уравнения для плазмы307

Оператор фазовой плотности . 307

Уравнения для моментов 310

Поляризационное приближение . . 312

Квантовый интеграл столкновений в поляризационном приближении 313-

Эффективный потенциал. Псевдопотенциал316

Квантовое кинетическое уравнение Больцмана для неидеальнон плазмы320

Термодинал!ические функции неидеальной плазмы321

Обменные эффекты324

Глава 14. Кинетические уравнения для химически реагирующих газов и частично ионизованной плазмы . 32&

Частично ионизованная плазма. Исходная модель328

Кинетические уравнения для функций распределения электронов, ионов и атомов . 331

Химически реагирующие газы. Исходная модель 339,

Кинетические уравнения для химически реагирующих газов . • 340

Уравнения для концентраций свободных и связанных заряженных частиц. Коэффициенты ионизации и рекомбинации . . . . 342

Влияние флуктуаций электромагнитного поля на кинетические процессы в частично ионизованной плазме 343

Литература 346»