ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ

ТОМ 1

Редактор Л. В. Белова

Переплет художника В. Я. БаташеваХудожественный редактор А. Т КирьяновТехнический редактор О. Д. КузнецоваКорректор Л. С. Тимохова

ИБ 596

Сдано в набор 02.02.83. Подписано в печать 03 08.83. Т-17344. Формат 60x90/16. Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл печ. л. 40,0. Усл. кр.-отт. 40,06. Уч.-изд. л. 48,41. Тираж 1850 экз. Заказ 137. Цена 6 р. 50 к.

Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.

Московская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственномкомитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжнойторговли.

1704040000—556О051(01)—831704040000—556О051(01)—83109088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24.

1704040000—556

О

051(01)—83

1704040000—556

О

051(01)—83

Свод. пл. подписных изд. 1983 г.

© Энергоатомиздат, 1983

ПРЕДИСЛОВИЕК СЕРИИ ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Несколько лет назад Энергоатомиздат и книгоиздательская фирма North—-Holland Publishing Company (Нидерланды) решили .предпринять совместное издание серии книг по физике плазмы на двух языках, русском и английском, и пригласили нас в качестве главных редакторов этого издания. В ходе многочисленных обсуждений между нами, консультаций с издательствами и рядом специалистов мы пришли к единодушному мнению, что представления физики плазмы внедрились не только в различные области фундаментальной науки — физику твердого тела, астрофизику, космическую физику и др., но и в прикладные науки и даже в современную технологию. Поэтому, с нашей точки зрения, назрело время для издания достаточно полного и исчерпывающего пособия, где с единой точки зрения излагались бы не только основные идеи и представления современной физики плазмы, но и ее различные приложения и которое содержало бы обширный фактический материал и могло бы служить настольной книгой для специалистов, занятых оригинальными исследованиями по физике плазмы. Такое энциклопедическое издание, содержащее ■исчерпывающие сведения о современной физике плазмы, безусловно, может быть использовано научными работниками^ и-инженерами, работающими в различных областях науки, и техники. В результате больших усилий авторов, редакторов и издателей удалось подготовить к печати две книги под редакцией А. А. Галеева, и Р. Судана, посвященные фундаментальной физике плазмы. В дальнейшем предполагается провести работу по подготовке аналогичных книг по физике космической плазмы, термоядерному синтезу и вычислительной физике плазмы, а также физике низкотемпературной плазмы и плазменной электронике, которые представляли бы собой обзоры по отдельным темам, написанные крупными учеными, занимающимися этими проблемами.

Р. 3. СагдеевМ. Розенблют

ВВЕДЕНИЕ

^Понятие о плазме. Бурное развитие физики плазмы в 1950— 1960 гг. в основном было связано с развертыванием работ, направленных на решение проблемы управляемого термоядерного синтеза и магнитогидродинамического преобразования тепловой энергии в электрическую. Однако было бы неправильным связывать развитие этой новой области физики лишь с техническими •приложениями. Интерес человечества к изучению околоземного космического пространства., планет солнечной системы и большого разнообразия астрофизических объектов, стимулировавшийся созданием совершенных космических обсерваторий, привел к пониманию неоспоримого факта, что плазма — это естественное состояние вещества во Вселенной. Действительно, плазмой называют ионизованный газ, в котором атомы (все или значительная их часть) потеряли по одному или по несколько принадлежащих им электронов и превратились в положительные ионы. Такая ионизация может происходить под действием различных факторов. В недрах звезд она обусловлена нагревом вещества до колоссальных по земным масштабам температур. Ионизация атмосфер планет и газа в окрестностях звезд происходит под действием ультрафиолетового излучения Солнца и звезд соответственно. Несмотря на то что температура плазмы при этом остается низкой, рекомбинация в такой плазме оказывается медленным процессом из-за разреженности среды и состояние ионизации поддерживается длительное время. Плазменные оболочки нейтронных звезд состоят уже не из элек- трон-ионной, а электрон-позитронной плазмы, что обусловлено рождением электрон-позитронных пар в экстремально сильных электрических полях быстровращающихся (период составляет от сотых долей -секунды -и выше) нейтронных звезд с магнитным полем порядка 1О10—Ю12 Гс. Несмотря на большое различие видов естественных плазм, их объединяет общность физических законов, описывающих их поведение. Все они представляют собой коллектив частиц, взаимодействующих друг с другом по наиболее простым законам —с помощью электростатических кулоновских сил. Методы описания коллективного взаимодействия частиц в плазме к настоящему времени апробированы на большом числе лабораторных и астрофизических приложений и служат надежной основой всех современных исследований по плазме. Поэтому, как

нам кажется, -сейчас наступил момент, когда основы физики плазмы и основные ее приложения должны быть изложены в единообразном стиле и с исчерпывающей полнотой.

Однако, прежде чем перейти к изложению плана такого издания, следует уточнить определение плазмы и дать классификацию плазм, встречающихся в природе. Электрические силы, связывая разноименные заряды, обеспечивают ее квалинейтралъностъ, т. е. приблизительное равенство концентрации электронов и ионов. Всякое разделение зарядов, обусловленное смещением группы электронов относительно ионов, должно приводить к возникновению электрических полей, которые стремятся скомпенсировать созданное возмущение. Для оценки напряженности поля предположим, что в плоском слое размером х произошло полное разделение зарядов и внутри этого объема остались только заряды одного знака. Электрическое поле в рассматриваемой области удовлетворяет уравнению Пуассона divE = 4np, где р — плотность электрического заряда. Если концентрация заряженных частиц п, то р = пе и, следовательно, Е = 4кепх. Потенциал плазмы в области разделения зарядов изменяется на ^~Ех~4л,епх2. В отсутствие внешних сил потенциальная энергия частиц вф при самопроизвольном случайном разделении за.рядов по порядку величины не может превышать -их средней тепловой энергии ~Р. Иными словами, значительное разделение зарядов может происходить лишь в области размером

4^'

Физический смысл Хр можно уточнить, рассматривая экранирование электрического поля в плазме. Допустим, что в плазму введен пробный точечный заряд q. На достаточно малом расстоянии г от этого заряда потенциал будет равен q}r. Однако на большом расстоянии ход потенциальной функции изменится вследствие поляризации плазмы, вызываемой полем заряда q.

При установившемся статистическом равновесии пространственное распределение электронов и ионов -в окрестности пробного заряда определяется законом Больцмана n=noexp(—UfTy Здесь U — потенциальная энергия частицы в поле пробного заряда. Последняя имеет разный знак для ионов и электронов. Вблизи пробного заряда., т. е. при относительно большом абсолютном значении отношения (//Г, концентрация частиц с цр-отивоположным знаком заряда является более высокой. Это приводит к экранированию электрического поля пробного заряда.

Пространственный профиль потенциала ф точечного заряда находим, решая уравнение Пуассона в предположении о больцма-

Здесь и во многих статьях этого издания температура плазмы выражается в электрон-вольтах: Т (эв)=Т (град)/11 600. При таком обозначении температура совпадает с величиной, характеризующей тепловую энергию частиц.

невском распределении зарядов в электрическом поле:

d / , dv \. г / е» \/ 8» \ 1

1 г ——) = — 4тг/ге exp I — —— ] — exp ——) .

гг dr \ dr )I K T ) \T J] ,

В классической идеальной плазме (см. ниже) потенциальная энергия частиц, находящихся на среднестатистическом расстоянии г~\1п1л от пробного заряда, значительно меньше их кинетической энергии. Поэтому, разлагая экспоненты в правой части этого уравнения по малому аргументу, находим его решение в виде

<p=(^/r)exp(—r/XDY

Таким образом, на 'больших расстояниях от заряда q потенциал убывает экспоненциально, а область существования сильного электрического поля вокруг него ограничена сферой с радиусом порядка ХР.

Характерная длина экранирования впервые введена Дебаем при рассмотрении сильных электролитов. В дальнейшем это понятие было перенесено в физику плазмы. Величину XD принято называть дебаевским радиусом или дебаевской длиной. Если дебаевский радиус характеризует пространственный масштаб областей декомпенсации заряда, то время, в течение которого эти области существуют, можно найти, разделив XD на. тепловую скорость более быстрых частиц (электронов):

t~XD/cTe = ^Пе/^ипе^У^.

Чем выше плотность плазмы, тем меньше масштабы декомпенсации зарядов в пространстве и во времени. Внутри области, занятой плотной и холодной плазмой, нарушения квазинейтральности могут происходить только в пределах достаточно малых объемов. В разреженной и горячей плазме дебаевская длина может оказаться значительно больше размеров области, занятой плазмой. В этом случае реализуется независимое движение ионов и электронов и отсутствует механизм для автоматического выравнивания концентрации зарядов противоположных знаков.

С помощью понятия о дебаевской длине можно уточнить определение плазмы как особого состояния вещества. Собрание свободно движущихся разноименно заряженных частиц, т. е. ионизованный газ, называется плазмой, если дебаевская длина мала по сравнению с размерами области, занятой газом. Это определение принадлежит Ленгмюру — отновоположнику учения о плазме.

Наконец, для классификации различных видов плазм необходим еще один важный параметр — частота характерных плазменных колебаний. Хотя в плазме легко возбуждаются самые различные виды колебаний и водн, наиболее важными для характеристики плазмы как упругой среды являются колебания, возникающие при макроскопическом нарушении квазинейтральности. Для простоты рассмотрим опять случай разделения заряда в плоском слое плазмы, когда все электроны смещаются в этом слое на. расстоя-

ние х. Под действием возвращающей силы движение электронов подчиняется уравнению

тех=—еЕх=—4 ппе2х.

Отсюда следует, что рассасывание избыточного заряда сопровождается колебаниями с частотой

tope= ^ппе2/теу/2.

Это так называемые ленгмюровские колебания. В этих колебаниях ионы плазмы практически не участвуют из-за большой массы. В отличие от звуковых колебаний незаряженного газа, где упру* гая ’сила — градиент давления, здесь главную роль играют электрические поля, обусловленные декомпенсацией зарядов. Ленгмюровские колебания могут распространяться в плазме в виде волн с частотой (о = (оре, которая при использованном выше упрощенном подходе оказалась не зависящей от длины волны. При малых длинах волн следует учесть возвращающую силу — силу давления плазмы, возникающую при ее сжатии в волне. При этом в выражении для квадрата фазовой скорости добавляется квадрат скорости звука

^/к2 = ^ре/^-\-дРе/дре.

Здесь А=2л/Х — волновое число; %—-длина волны; ре — плотность электронного газа (pe=nme); ре — его давление. Учитывая, что в рассматриваемом здесь одномерном случае показатель адиабаты у=3, переписываем это выражение в виде, полученном А. А. Власовым с помощью методов кинетического уравнения

to2 = to2pe+3k2Te/me.

Второе слагаемое здесь мало, так как о коллективном поведении плазмы, в том числе и о ее колебаниях, имеет смысл говорить лишь в случае длин волн, достаточно больших по сравнению с дебаевской длиной. В противном случае следует учитывать влияние резонансного взаимодействия волн с частицами плазмы (так называемый резонанс Ландау o) = k-v).

Свойства плазмы усложняются, если одновременно с заряженными частицами (ионами и электронами) в ней существуют также нейтральные атомы и молекулы, т. е. плазма не является полностью ионизованной.

Степень ионизации плазмы — отношение числа заряженных частиц к первоначальному числу атомов — определяется конкуренцией между процессами ионизации (развала атомов) и обратным процессом рекомбинации, т. е. воссоединения электронов и ионов в нейтральные частицы. В термодинамически равновесной плазме степень ионизации не зависит от деталей этих процессов, и в принципе ее можно установить чисто термодинамическим путем. Наиболее просто законы термодинамики выглядят для плазмы, подчиняющейся уравнению идеального газа, т. е. такой, в которой кинетическая энергия заряженных частиц значительно превышает

энергию из взаимодействия. Допустим, что мы имеем дело лишь с однократной ионизацией. Согласно общим принципам статистической физики отношение вероятностей нахождения электрона в состояниях с энергией Wi и w2 при заданной температуре Т равно:

(^1/^2) ехр[— (Ш1 — ау2)/Т].

Здесь gx и g2 — квантовые в-еса состояний с энергиями Wi и w2 соответственно. Степень ионизации газа, т, е. отношение числа свободных электронов к числу нейтральных атомов, определяется этим выражением, если в нем положить wx—w2—I, где / — энергия ионизации.

В этом случае g\ — число квантовых ячеек в фазовом пространстве для свободного электрона; g2 — квантовый вес стационарного энергетического уровня в атоме. Если для простоты не учитывать возможность перехода, электрона на возбужденные уровни атома и предположить, что основное состояние является невырожденным, то /—.энергия ионизации для основного состояния и g2=ll. Свободные электроны имеют сплошной спектр по энергиям. Квантовый вес свободных состояний приблизительно равен объему фазового -пространства для электрона со средним тепловым импульсом (2теГ)1/2. деленному на элементарный фазовый объем:

^=(2теЛ3/2 V0/(2n^)3.

В этом выражении Vo— геометрический объем, приходящийся на один электрон, т. е. V0=Alne. Следовательно,

gx = (2теГ) ^/пе (2лЙ)3.

Используя этот результат, мы получаем так называемую формулу Саха, которая определяет зависимость степени ионизации газа от температуры:

Пе1па= (gi/g^exp (—//Г) =

= [ (2теТ) ^!пе (2лЙ )3] ехр (—//Г).

В другой записи (более удобной для вычисления отношения пе1па при слабой степени ионизации) эта формула приобретает вид:

пе/па« [ (2теГ) ^Чпах п ^Ку/2] exp (-//2Т).

Из формулы Саха следует, что чем меньше плотность (т. е. концентрация атомов) газа, тем легче его ионизовать. При плотностях, значительно меньших плотности конденсированного вещества, высокая степень ионизации достигается еще при температурах Т^1. Но при слишком малых плотностях труднее достигнуть термодинамического равновесия, потому что реже происходят столкновения между частицами, устанавливающие равнораспределение по степеням свободы. В термодинамически неравновесных плазмах для определения степени ионизации приходится рассматривать специфику процессов столкновений, приводящих к ионизации и рекомбинации.

Классификация видов плазмы. Встречающиеся в природе плазмы можно классифицировать на разреженные и плотные, классические и квантовые. Внутренняя энергия плазмы складывается из кинетических энергий ионов и электронов и из энергии их электростатического кулоновского взаимодействия (в плазме, нагретой до релятивистских температур, нужно учитывать и магнитное взаимодействие). Сравним среднюю кинетическую энергию (3/2) Г, приходящуюся на одну частицу, со средней энергией взаимодействия. Из-за дебаевского экранирования взаимодействие заряженной частицы с далекими частицами несущественно, и надо учитывать в основном лишь ближайших соседей. Среднее расстояние до соседней частицы г^\1п>1^, следовательно, энергия взаимодействия приблизительноравна а2и1/3. Поэтому, как правило, плазму можно считать идеальным газом, если eWf3<^T. Если обе части неравенства возвести в степень 3/2, то неравенство примет следующий вид: nX3D">l. Таким образом, условие идеальности плазмы можно записать через число частиц в объеме с размерами порядка дебаевской длины. Это число должно быть много больше единицы. При nVp»l тепловая энергия частиц превышает как энергию электростатического взаимодействия, так и равновесную энергию электронных колебаний плазмы. Межчастичное взаимодействие является слабым, и его можно учесть с помощью хорошо развитых методов термодинамической теории возмущений. Если параметры плазм, существующих в природе, нанести на диаграмму температура—плотность (рис. 1), то большинство из них (космическая, газоразрядная, термоядерная и т. п.) попадает здесь в область идеальной классической плазмы, лежащую выше прямой пХ^в—Х.

Рис. 1. Классификация видов плазм:

БК — вырожденный электронный газ в белых карликах; ГР — плазма газового разряда; И —плазма ионосферы; МГД — плазма в магнитогидродинамических генераторах; МП — плазма в магнитосферах пульсаров; С — плазма в центре Солнца; СВ — плазма солнечного ветра; СК — плазма солнечной короны; ТЯП—Л— плазма в условиях лазерного термоядерного синтеза; ТЯП—М — плазма в термоядерных магнитных ловушках; ЭГМ — электронный газ в металлах

Ниже прямой, где условие пк3в^>1 не выполнено, плазма уже не является газом, а, скорее, напоминает жидкость, статистическая термодинамика -которой с трудом поддается изучению. К настоящему времени о -физических свойствах сильно неидеальной плазмы судят либо на основе численного моделирования методом Монте- Карло, либо с помощью качественных эвристических методов. Целый ряд не очень надежных предсказаний таких теорий (в том числе о возможности появления некоторых неожиданных плазменных фазовых переходов) пока еще не получил экспериментального подтверждения. При дальнейшем повышении плотности плазмы можно ожидать ее металлизации. На диаграмме температура— плотность (см. рис. 1) область неидеальной плазмы оказывается чрезвычайно малой. В первую очередь это связано с квантовыми эффектами при -больших плотностях плазмы. Как только увеличение плотности приведет к выполнению условия К1т€ете^>\1ит3 т. е. длина волны де Бройля будет сравнимой -или большей среднего расстояния между электронами, статистика электронов становится квантовой (распределение Ферми—Дирака вместо больцмановско- го). Это так называемая квантовая вырожденная плазма, в которой основным масштабом кинетической энергии электронов является энергия Ферми Ep^H^^l^me, так как при вышеописанном условии последняя становится -больше тепловой энергии электронов (EF>T). С дальнейшим ростом плотности рост энергии Ферми обгоняет рост энергии кулоновского взаимодействия и при условии Ер^ е^п113 квантовая плазма становится снова идеальной. Учет сла.бого взаимодействия в такой плазме можно провести в рамках модели Томаса—Ферми. Благодаря этому область неидеальной плазмы на рис. 1 заключена внутри треугольника, образованного прямыми hVd=1 и Ег^е2п1/3. При этом левая часть ее (Ер<сТ) относится к больцмановской, а правая (EF>T) —• к вырожденной плаз-ме. Кроме того, следует учесть, что при температурах, меньших потенциала ионизации Т<.1, кулоновское взаимодействие опять является слабым из-за малой степени ионизации плазмы. Таким образом, область неидеальной пламы настолько мала, что максимально достижимые значения параметра неидеальности l/n%3D являются конечными и не превосходят нескольких единиц. Интересно отметить, что квантовые эффекты в ленгмюровских колебаниях проявляются при меньших плотностях, чем для плазмы в целом. Очевидно, что они сказываются тогда, когда квант энергии плазменных колебаний станет сравнимым со средней тепловой энергией, приходящейся на один электрон. При этом условии длина, волны де Бройля для электронов с тепловыми скоростями оказывается сравнимой с дебаевским радиусом.

Неидеальная плазма встречается в природе крайне редко. Примером ее могут служить сильные электролиты. Интересным примером почти идеальной квантовой (вырожденной) плазмы является электронный газ в очень плотном веществе звезд—белых карликов. Представителем неидеальной квантовой плазмы можно считать электронный газ в металлах: при плотности конденсирован- 12

ноте вещества (п^Ю23 см-3) квант энергии плазменных колебаний по порядку величины оказывается равным единицам элек- “ТрОН-ВОЛЬТ.

Учитывая, что как неидеальная, так и квантовая вырожденная плазмы значительно реже встречаются в природе, в первых двух томах настоящего издания, посвященных основам физики плазмы, мы ограничились рассмотрением идеальной классической плазмы. Идеальную плазму общепринято также делить на высоко- и низкотемпературную. Это разделение в значительной степени связано с видами конкретных исследований и приложений. Так, высокотемпературная плазма изучается в исследованиях по проблеме управляемого термоядерного синтеза, а также подавляющее большинство исследований процессов в космической плазме. Низкотемпературная плазма является рабочим телом— газообразным проводником для магнитогидродинамических генераторов. Холодную плазму в ионосферах планет можно рассматривать как одну из природных форм реализации низкотемпературной плазмы.

Наконец, широкое использование численных методов в физике плазмы, первоначально служившее подспорьем при анализе экспериментов и их сопоставлении с теорией, привело сейчас к самостоятельному направлению, имеющему дело с так называемой численной плазмой.

Итак, в двух томах настоящего издания излагаются основы физики классической идеальной плазмы. Поскольку такая плазма представляет собой коллектив слабовза.имодействующих заряженных частиц, то в ней довольно легко возбуждаются различного рода коллективные колебания. Рассматривая плазму как сплошную газодинамическую среду, мы обнаруживаем в ней ионнозвуковые колебания, похожие на обычный звук в газе. Кроме того, из-за. наличия заряда на частицах в плазме возбуждаются и специфические плазменные колебания, например описанные выше ленгмюровские колебания. Наличие магнитного поля в плазме приводит к появлению дополнительных ветвей колебаний, часть из которых поддается описанию в рамках магнитогидродинамического приближения (ольвеновские и магнитозвуковые волны), а часть требует кинетического рассмотрения (ионно-циклотронные, элек- трон-циклотронные и т. п.).

Кроме того, разреженная плазма редко находится в состоянии термодинамического равновесия, поэтому она оказывается неустойчивой по отношению к возбуждению собственных колебаний и волн. Теория колебаний .плазмы и ее неустойчивостей сейчас представляет собой самостоятельную ветвь физики плазмы, насчитывающую огромное число публикаций. Систематическому изложению основных результатов в этой области и методов ее исследования посвящен т. 1 настоящего издания. Методы магнитогидродинамического и кинетического описания плазмы предшествуют этому изложению.

Исследование неустойчивостей неравновесной плазмы представляет собой лишь первый шаг при построении кинетики нерав-

новесной плазмы. Конечной -целью здесь является количественный расчет процессов релаксации плазмы к равновесному устойчивому состоянию на основе нелинейной теории неустойчивости.

В линейной теории плазмы произвольное возмущение можно представить в виде суперпозиции собственных -колебаний, каждое- из которых независимо от других. В нелинейной теории нужно учитывать взаимодействие колебаний друг с другом. Это взаимодействие во многом напоминает взаимодействие движений разных масштабов в гидродинамической турбулентности. Для плазмы, однако, картину такого взаимодействия часто можно представить на знакомом языке суперпозиции линейных собственных колебаний, но учитывая слабое взаимодействие между модами вследствие нелинейности. Это означает, что коэффициенты в разложении по собственным -колебаниям становятся медленно меняющимися функциями времени и в конце концов сильно отклоняются от своих первоначальных значений, предсказываемых линейной теорией.

Такой подход теперь общепринято называть теорией слабой турбулентности. Уравнения этой теории можно вывести из первых принципов с помощью разложения исходных уравнений для плазмы по малому параметру — отношению энергий колебаний к пол» ной энергии плазмы. Источником энергии для возбуждения колебаний в этой теории обычно служат различные неустойчивости плазмы. Изложение м-етодов теории слабой турбулентности плазмы завершает т. 1 издания. В т. 2 на основании этих методов рассмотрены отдельные явления в плазме, наиболее часто встречающиеся в приложениях (аномальное сопротивление и аномальная диффузия, взаимодействие плазмы с пучками заряженных частиц ■и т. п.). Здесь также изложены некоторые принципиальные проблемы плазменной турбулентности, которые не могут быть описаны в рамках теории слабой турбулентности (коллапс ленгмюровских волн, нелинейное уширение резонансов волн и частиц). Эти проблемы вводят нас в еще малоизученную область сильной турбулентности.

А. А. Галеев М. Розенблют Р. 3. Сагдеев

Р. Судан

ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ И РАДИАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

М. С. РАБИНОВИЧ

ВВЕДЕНИЕ

При решении многих задач физики плазмы приходится рассматривать движение заряженных частиц в электромагнитных полях. Такая потребность возникает, например, в бесстолкновительной плазме, для которой решение кинетического уравнения является произвольной функцией интегралов движения. Следовательно, для этого типа задач существенно определить точные и приближенные интегралы движения (адиабатические инварианты) (см. разд. 4). Метод частиц используется и в слабостолкновительной плазме, для определения захвата частиц магнитной ловушкой или электромагнитной волной и для рассмотрения явлений переноса и качественного рассмотрения различных механизмов равновесия и неустойчивости. В этом случае приходится точно или приближенно определять орбиты частиц и проводить классификацию этих орбит. Как правило, точному аналитическому решению поддается ограниченное число задач, и здесь существенную помощь оказывает адиабатическое приближение, о котором речь будет идти позже. В физике плазмы часто используются ионные и электронные пучки и возникает задача их транспортировки и фокусировки. В этом случае обычно пытаются решать эти задачи по аналогии с оптикой, вводя понятие показателя преломления электронных или ионных линз и определяя их фокусные расстояния и явления аберрации (см. разд. 2). В электронных и ионных ускорителях, как правило, легко найти семейство так называемых равновесных орбит, и задача по существу состоит в определении устойчивости этих орбит и в устойчивости уравнений движения (ом. разд. 1). Поперечная устойчивость движения по традиции называется фокусировкой, а неустойчивость — дефокусировкой. Продольная устой-

чивость называется фазовой устойчивостью, или автофазировкой (см. п. 1.2). Проблему устойчивости уравнений принято называть проблемой резонансов, так как именно в резонансных точках при целочисленных соотношениях между тремя частотами внешние возмущения, не учтенные в уравнениях, резко изменяют решение.

Наконец, существенную роль в теории турбулентности и статистической физике играют проблемы сильно неустойчивого движения и перехода от динамического движения к стохастическому (см. разд. 5).

В перечисленных выше случаях, как правило, не принимают во внимание эффекты, связанные с излучением электромагнитных волн. Однако существует множество задач, в которых такое излучение становится существенным, например при взаимодействии волн и частиц в плазме или при движении релятивистских электронов в магнитном поле. Излучение электронов в магнитном поле, получившем название синхротронного, проявляется не только в синхротронах, но и в лабораторной и космической плазмах. Радиационные неустойчивости могут выступать как в роли вредных мешающих эффектов, так и в роли полезных явлений, используемых в генераторах микроволн. Генераторы микроволн излучают когерентное индуцированное излучение. Высокий КПД излучения возможен лишь при сильной группировке частиц в отрицательной (замедляющей) фазе волны. Поэтому с точки зрения движения отдельных частиц теория СВЧ-генераторов — это теория группировки частиц в поле электромагнитной волны.

Движение отдельных частиц в теории ускорителей, электронной оптике и управляемом термоядерном синтезе — это довольно большой самостоятельный раздел, которому иногда посвящают отдельные книги. Здесь мы постараемся сосредоточить свое внимание на принципах этой теории и приведем несколько иллюстративных примеров.

ЗАМКНУТЫЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

Самым простым примером движения частиц является их движение в однородных электрических и магнитных полях. Если мы направим магнитное поле по оси 2 цилиндрической системы координат (г, 0, 2), то получим уравнение винтовой траектории (рис. 1):

г = у^ + ^0; 6 = Q^ + 6O; ’

где Q — циклотронная частота; р — ларморовский радиус; ух — компонента скорости, нормальная к В. Из этого решения автоматически получается движение в скрещенных электрических и магнитных полях.

Предположим, что в лабораторной системе (х, у, 2) имеется электрическое поле Е, перпендикулярное магнитному В. Если най-

Рис. 2. Движение частиц в скрещенных электрическом и магнитном поляхРис. 2. Движение частиц в скрещенных электрическом и магнитном поляхРис. 1. Движение частицпо спирали в однород-ном магнитном поле

Рис. 2. Движение частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях

Рис. 2. Движение частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях

ти другую инерциальную систему (х', у', z'), движущуюся со скоростью vd, в которой электрическое поле Е'=0, то в ней частица будет двигаться по спирали, кг.к описано выше (рис. 2). Тогда движение частицы в лабораторной системе есть суперпозиция двух движений: по спирали (см. рис. 1) и равномерного прямолинейного движения со скоростью vd

E'=(E+[vdXB] )/УТ=Д^р=0.(2)

Отсюда .получаем, что

vd=(EXB)/B2.(3)

Для -исследования движ-ения в более сложных полях удобно использовать лагранжиан

L =—moc2l/l— u2/c2+^(vA) —еФ,(4)

где А, ф—векторный и скалярный потенциалы. Рассмотрим некоторые важные примеры использования лангранжиана.

Во многих задачах возникает проблема устойчивости орбиты* Под орбитой по определению понимается замкнутая траектория, соответствующая данной энергии частиц. В случаях, когда существование орбит очевидно и их нахождение не представляет труда., задача состоит в исследовании устойчивости этих орбит и устойчивости уравнения. Однако можно указать примеры полей, когда орбиты не существуют или когда их нахождение нетривиально. Рассмотрим случай аксиально-симметричного магнитного поля [1, 2], будем считать, что

Ве = 0, Ф (г, 0, 2) =0.

Тогда достаточно использовать только азимутальную компоненту векторного потенциала Ле (г, 2, /):

Л er = Вгг dr =,(5)

О

Рис. 3. При зеркальной -симметрии магнитного поля существует средняя плоскость, в которой Вг=0

Рис. 4. Замкнутая круговая равновесная траектория в средней плоскости (z = 0) и неравновесная траектория. Амплитуда отклонения неравновесной траектории от равновесной обозначена х

тде Т— поток магнитного поля через площадь, ограниченную окружностью радиусом г. Полная система уравнений в цилиндрической системе координат имеет вид:

—— (mr) = mr№ -!--"—■ /цгО;I

dt v 11 m

-^— ktnz\ ~—eBrr^, tn = —t=^== .

dt x '/1 — y2/c2

(6)

Средней плоскостью называют плоскость, в которой ВТ=0 (рис. 3). В этой плоскости могут всегда существовать квазистационарные замкнутые круговые орбиты, если мы положим, что скорость изменения 'Магнитного поля мала: А6/Ае<СеВх1\т (здесь и далее точка сверху обозначает производную по времени). Такие орбиты мы назовем равновесными или мгновенно равновесными. Радиус кривизны равновесных орбит равен мгновенному значению ларморовского радиуса, а частота обращения —мгновенной циклотронной частоте. Рассмотрим в линейном приближении отклонение орбиты от равновесной (рис. 4):

r=p+x, z=z, 6 = —Й+<р.

В нулевом приближении имеем:

ер Г •

P = "2mS2" |5г

Ф(р, о, о

2лр2

(7)

(8)

Круговая орбита стационарна, если выполняется так называемое бетатронное условие [3]:

^/^=вх.

(?)

Орбиты, для которых это условие не выполняется, являются ква- зистационарными из-за малости параметра адиабатичности (см. разд. 3):

(Ю)(Ю)Вг/Вгй<\.

(Ю)

(Ю)

Поэтому в дальнейшем будем считать р^О. В .первом приближении уравнение принимает следующий вид:

<p=Q —; х-^юх2х = 0; z-\-wz2z = 0; wx = Q\^ 1 — /г; ^z = Q]//z, (11) Р

где параметр п— показатель магнитного поля

п — —п — —din В2 \д In г Jr=9din В2 \д In г Jr=9(12)(12)

п — —

п — —

din В2 \

д In г Jr=9

din В2 \

д In г Jr=9

(12)

(12)

Радиальные или вертикальные колебания обычно называются бетатронными (или свободными) даже если бетатронное условие (9) не выполнено ни для одной орбиты. Эти колебания устойчивы при значениях параметра п, определяемых неравенством

0<п<1. (13)

В теории ускорителей вместо устойчивости говорят о фокусировке. Фокусировку принято называть слабой, если отношение частоты -колебаний к частоте обращения меньше единицы:

ух=юх/Й — V 1—п, vz=(oz/Q = l/^.(14)

Амплитуда бетатронных колебаний:-

+ Yx2; ^z —+ Yz2>(15)

Лу 01I 7у 01 у^л I w\/

где х0, Yx, z0, Yz— начальные условия, х0, 20— отклонения от орбиты, a Yx, Yz— углы между направлением скорости частиц и соответственно касательной к орбите и средней плоскостью. Поскольку амплитуды колебаний не могут превышать половину поперечного размера камеры, то объем фазового 4-мерного пространства, для •которого это условие выполнено (х, 2, Yx, у2), определяет так называемый аксептанс системы. Чем больше аксептанс, тем большее число частиц при заданных качествах инжектора может воспринять система. Аксептанс системы пропорционален vxvz. Заметим, что при выводе уравнений (1Ы) мы воспользовались условием, что rot В = 0 {dBzldr=dBrldz). В вакуумном осесимметричном поле, таким образом, фокусировка слабая. Примером сильной фокусировки в осесимметричной системе является стабилизированный электронный пучок Будкера [4], при наличии которого rot В^О.

Заметим, что если мы введем еще полоидальное магнитное поле, то не изменим условия устойчивости, хотя частоты радиальных и вертикальных коле-

баний перемешиваются. Уравнение колебаний в этом случае имеет следующий вид:

2 -{- Q2nz — Q/гх = Oj1(16)

х + Q2(l — п) х 4- ^hz = О, /

где h = В^]ВХ.

Неустойчивость уравнений возникает при целочисленном 'соотношении между частотами вертикальных и радиальных колебаний и частотой обращения (т^, mz, т— целые числа):

mxvx+mzvz=m.(17)

Неустойчивость уравнений вызывается малыми неучтенными членами, описывающими искажения симметрии поля и нелинейные члены [5, 6].

Резонансы vx=im или vz = m связаны о периодическими возму- щения1ми значения магнитного поля и соответствуют перекачке энергии вращения по орбите в энергию колебаний. Искажения поля, когда vz или vx находятся вблизи резонансных значений, приводят к искажению стационарной орбиты, тем большему, чем ближе .система находится к резонансу. Резонанс vz—vx=0 соответствует связи между вертикальными и радиальными колебаниями, не учтенными в первоначальном уравнении. В результате этого резонанса происходит перекачка энергии радиальных колебаний в энергию вертикальных и обратно. Резонанс 2^z = m или 2vx=m называется параметрическим. Он появляется из-за наличия возмущения с азимутальной зависимостью показателя магнитного поля п. Рациональным соотношениям между частотами соответствуют так называемые нелинейные резонансы, связанные с опущенными в уравнениях членами, пропорциональными -разным степеням отклонений от орбиты х и 2. Влияние этого резонанса существенно зависит от амплитуды -колебаний.

Выше мы рассматривали малые колебания частиц около орбиты. Однако в статическом осесимметричном поле при наличии еще средней плоскости симметрии задачу о движении в этой плоскости можно свести к квадратурам методом квазипотенциала. Уравнения (6) можно преобразовать к виду:

mr = — dU/dr, mz — — dUldz,

где = 2тиг2°

М = тг2^ 4- егА^.(18)

Физический смысл константы интегрирования М очевиден — это сохраняющийся обобщенный момент количества движения; U — классическая кинетическая энергия азимутального движения:

U — (mr0)2/2m.(1$)

Конечно уравнения (18) являются релятивистскими, если под т понимать постоянную полную массу частиц. Обратим внимание на то что частицы могут пересечь ось г=0 только в случае, когда Л4=0. На примере данного уравнения можно проиллюстрировать теорему Пуанкаре, которая полезна для понимания теории инжекции частиц в магнитные системы.

Рис. 5. Два типа траекторий, иллюстрирующих теорему ПуанкареРис. 5. Два типа траекторий, иллюстрирующих теорему ПуанкареТеорема Пуанкаре гласит, что в си- системе материальных частиц, находящихся под воздействием магнитного поля и сил, зависящих только от пространственных координат, каждое начальное состояние со сколь угодно большой точностью должно повторяться. В применении к одной частице это означает, что любая траектория или обоими концами уходит в бесконечность, или сколь угодно близко возвращается к точке инжекции (рис. 5). Таким образом, в статических полях нельзя инжектировать частицу извне, так как рано или поздно такая части

Рис. 5. Два типа траекторий, иллюстрирующих теорему Пуанкаре

Рис. 5. Два типа траекторий, иллюстрирующих теорему Пуанкаре

ца покинет область действия поля (например, магнитную ловушку); нельзя ее инжектировать и с помощью материального инжектора, потому что рано или поздно частица ударится о его край. Для инжекции частиц надо использовать какие-либо диссипативные процессы или переменные поля. Часто таким переменным полем является электромагнитное поле самих инжектируемых частиц.

U —U —1 г21 г2U = №^U = №^(г2 — I2—I при г^а;при г^а.(г2 — I2—I при г^а;при г^а.(20)(20)Рассмотрим однородное магнитное поле, направленное вдоль оси г в цилиндрической области г<а. Вне этой области магнитное поле равно нулю. Квазипотенциал и все другие величины можно сделать безразмерными. Для этого за единицу длины примем ларморовский радиус р, за единицу энергии— щу2о/2 (и0— скорость в поперечном к оси г сечении). Единица времени 1/Q, единица момента импульса еДгр2

U —

U —

1 г2

1 г2

U = №^

U = №^

(г2 — I2

—I при г^а;

при г^а.

(г2 — I2

—I при г^а;

при г^а.

(20)

(20)

Здесь М — безразмерный момент импульса, а векторный потенциал в области г^а равен нулю. При инжекции частиц из области нулевого магнитного поля все они покинут область поля. Характер движения зависит также от знака момента импульса. Легко рассчитать минимальное расстояние, на которое частицы подходят к оси системы:

г = уг +г = уг +^г2 + 2 у^И + а=^г2 + 2 у^И + а=(21)(21)

г = уг +

г = уг +

^г2 + 2 у^И + а=

^г2 + 2 у^И + а=

(21)

(21)

припри

при

при

(22)(22)

(22)

(22)

при —а^- Л4 С 0, если л >2, или при —^2 2^М ^ 0, если а<2.

ИI1^1

вО?"

В случае, если выполнено условие #<2и — <2^Л1 ^— —, знак корня в 1^12г

(22) выбирается из физических условий (г должно быть меньше а и из двух корней уравнения следует выбрать наибольший).

Рассмотрим движение частиц в поле магнитного диполя g, направленного вдоль оси z. Азимутальная компонента векторного потенциала магнитного поля диполя:

Л0 = цг/(г2+г2)3 /2 = цг/7?зе

(23)

21

Как и в предыдущем случае, используем безразмерные единицы. В качестве единицы выберем единицу Штермера [7]:

С =1/(24),

где Уо—-полная -скорость частицы. Используем единицу времени Cs/y0, единицу энергии mv02/2 и единицу момента импульса p|pt/Cs. В квазипотенциал в безразмерных единицах не входят параметры системы:

U = -LJIlVm- — Y.(25).

гг \ еR3 J

Закон сохранения запишем в сферической системе координат (R, <Р, 6):

(26)(26)1/ еsin2V99

(26)

(26)

(М- = X) 2 — V2 ,7?2sin2y\ |^|R)960

где у9о — безразмерная начальная скорость при R-^-oo. Поскольку у2е^'1, то

е М sin у [ е | 7^ sin у У?2е М sin у [ е | 7^ sin у У?2^ 1.^ 1.(27).(27).

е М sin у [ е | 7^ sin у У?2

е М sin у [ е | 7^ sin у У?2

^ 1.

^ 1.

(27).

(27).

Уравнение (27) определяет области пространства, -недоступные для частиц, которые движутся из бесконечности. Исследуя уравнение (25), можно проследить за движением захваленных частиц в потенциальной яме. Вернемся к .изучению движения заряженных частиц в осесимметричных полях, когда будем рассматривать задачи электронной оптики, а сейчас исследуем движение в несим

метричных магнитных полях.

Сильная фокусировка. Неосесимметричные поля могут обеспечить сильную фокусировку vx>l, vz>l. Понимание этого факта пришло относительно поздно [8]. Одно из объяснений многолетней слепоты у ученых, занимающихся теорией орбит, было связано с тем обстоятельством, что попытки ввести в уравнения магнитные поля, слабо -отклоняющиеся от осесимметричных, ничего

не дали: в первых нескольких порядках теории возмущения эти отклонения усреднились [см. (45)].

Только в том случае, когда отклонение от осевой симметрии — сильное, появляется сильная фокусировка. И, как часто оказы

d^x d^d^x d^2 = 0,2 = 0,d^z d^d^z d^(28)(28)вается в таких случаях, для изучения этих вопросов математический аппарат уже существовал ранее. Если рассматривать плоскую орбиту и считать р в (12) локальным радиусом кривизны орбиты, а 2 координатой локальной цилиндрической системы, центр которой совпадает с центром кривизны, то уравнения бетатронных колебаний примут простой вид [5, 6]:

d^x d^

d^x d^

2 = 0,

2 = 0,

d^z d^

d^z d^

(28)

(28)

Рис. 6. Расположение одинаковых магнитов вдоль равновесной траектории для создания эффекта сильной фокусировки (система ФОДО). Справа показан разрез магнита, создающего я» 1:

/ — ярмо магнита; 2 — обмотка; 3 — камера

где П и р —периметр и локальный радиус кривизны орбиты соответственно, а эффективный азимут 6 = 2it—, где s— длина, траектории вдоль орбиты. Для круговой орбиты 6 = 6 и (28) переходит в (11). Показатель магнитного поля является периодической функцией 6 и, как правило, по абсолютной величине значительно превышает единицу. На практике очень часто берут магниты с постоянным большим положительным п и такие же магниты с большим отрицательным п. Эти магниты разделены прямолинейным промежутком (рис. 6). Таким образом, магниты являются одновременно фокусирующими в одном направлении и дефокусирующими— в другом. Для одного направления, например радиального, фокусирующие и дефокусирующие участки чередуются. Систему периодичности принято изображать рядом, в который входят три буквы: Ф—фокусирующий магнит, Д — дефокусирующий магнит и О — прямолинейный промежуток. Простейшая система. — это Ф'ОДО, на практике используют более сложные системы: до 1'2 букв в ряду. Уравнения (28) представляют собой уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. Рассмотрим одно из этих уравнений, например для х. Решение уравнения представим в следующем виде:

х (6) = РФ (6) eiv^ ф к. с.,(29)

где Ф(6)—.периодическая функция 6 с периодом 60, равным периоду системы, которая называется функцией Флоке. Зная Ф(6), можно полностью описать фокусировку системы. Для удобства нормируем функции Ф(6)е1''ос9 и Ф*(6)е~1'*9 таким образом, чтобы их вронскиан равнялся —21:

Ф (6) Ф*' (6) — Ф (6)' Ф* (6) — 2ivx Ф (6)* Ф (6) = — 21,(30)

где штрих означает производную по 6, звездочка — комплексное ■сопряжение (к. с.).

*-Рис. 8. Модуль функции Флоке длят системы сильной фокусировки, изображенной на рис. 7 для фокусирующего (Ф) и дефокусирующих секторов (Д). Модуль функции Флоке является огибающей траектории частицы; на рисунке пунктиром показаны две возможные траектории*-Рис. 8. Модуль функции Флоке длят системы сильной фокусировки, изображенной на рис. 7 для фокусирующего (Ф) и дефокусирующих секторов (Д). Модуль функции Флоке является огибающей траектории частицы; на рисунке пунктиром показаны две возможные траекторииРис. 7. Зависимость показателя магнитного поля п от обобщенного азимута 0 для сильнофокусирующей системы ФОДО

*-Рис. 8. Модуль функции Флоке длят системы сильной фокусировки, изображенной на рис. 7 для фокусирующего (Ф) и дефокусирующих секторов (Д). Модуль функции Флоке является огибающей траектории частицы; на рисунке пунктиром показаны две возможные траектории

*-Рис. 8. Модуль функции Флоке длят системы сильной фокусировки, изображенной на рис. 7 для фокусирующего (Ф) и дефокусирующих секторов (Д). Модуль функции Флоке является огибающей траектории частицы; на рисунке пунктиром показаны две возможные траектории

№^)tl

■да

Уравнения (29) можно записать явно в действительном виде

| ^||Ф(6) | со8^0 + (р(6) + 6),(31>

где ф(6)—аргумент периодической функции Ф(6), б— аргумент константы. Таким образом, vx можно рассматривать как среднюю частоту колебаний, а | Ф (0) | как огибающую колебаний. Такая трактовка впервые была предложена в [5 и 9]. Основная идея этих работ состоит в том, что вместо того, чтобы рассматривать колебания частиц, достаточно изучить их огибающую. Можно- показать, что функция Флоке имеет максимум в фокусирующем секторе магнита и минимум в его дефокусирующем секторе (рис. 7 и 8). Используя свойство функции Флоке, легко пояснить, почему при равных размерах фокусирующего и дефокусирующего секторов можно получить сильную фокусировку. Дело в том, что фокусирующая или дефокусирующая сила пропорциональна смещению частицы х от орбиты (в линейном приближении). В среднем в дефокусирующих секторах частица проходит ближе к орбите, чем в фокусирующих. Таким образом, в среднем величина, фокусирующей силы получается большей. Средняя частота колебаний также связана с функцией Флоке. С помощью условий нормировки (30):

ФФ*(ф'+^) = 1.(32)

Например, в осесимметричном магнитном поле функция Флоке постоянна

|ф -2(^^ для ^-колебаний;

I ]/Т — п для л-колебаний.

В несимметричных периодических системах <^(0)|-2>cp=vx,(33)

так как <^ (0)>ср = 0.

24

Для амплитуды колебаний получаем формулу, отличную от <15):

а' <~6) = 7^7^ К+р* 1 Ф (^ I" (Ь-Yo)2),'1ф(9,)1_(з4)

_ х, р1п|Ф(9)р )

Io 2р \ d9 6=4*■

где ух— угол отклонения скорости от касательной к орбите. Таким образом, для того чтобы получить минимальную амплитуду колебаний, угол вылета частиц ух должен равняться уо, а не нулю, кай в осесимметричных системах. Амплитуда колебаний зависит также от |Ф(6,)|4~——. Удобно перейти к такой системе отсчета, в которой эффективный угол 0 отсчитывается на каждом периоде •от нуля и вводится еще одна переменная т — номер периода: 0'=0—т0о. В дальнейшем штрих у переменной 0' будем опускать. Решение уравнения (28) теперь имеет вид:

хт=DW (0) е1* т+к. с.(35)

■Сравнивая с уравнением (29), находим, что

Т(0) = Ф(0)е’^ при О<0<0о и p = vjo. (36)

-Функция Флоке в представлении (35) является решением уравнений (28) и поэтому вронскиан функций ЧДЗ) и ^(В)* мы по- прежнему считаем равным —2i:

¥ (0) Т*' (0) — Т* (0) ^' (0) = — 2L

Из функций ^(У) и Чг*(0) имеем два решения

/Л^^'^Т^ + к. с.;(3?)

f2(0) = -Y‘(O)T(0)/2i + K. с. )

Легко видеть, что /к(0) и f2^ удовлетворяют следующим начальным условиям:

fi(0)=f2z(0) = i; М(0)=Ы0)=0.(38)

Функции fi и f2 удобно непосредственно вычислять аналитически или численно.

Поведение траекторий определяется двумя начальными значениями х и V, которые можно записать в виде столбцов:

(\—(х(60) ^

=при 0=0; X^l _ при 0=0О и т. д.

\ X' (0) /\ х (60) )

^i=№,^i=№,М =М =к (6,) к (ё0)к (6,) к (ё0)(39)(39)

^i=№,

^i=№,

М =

М =

к (6,) к (ё0)

к (6,) к (ё0)

(39)

(39)

Для матрицы перехода М имеем:

где

Отсюда находим, чтоОтсюда находим, чтоcos р =SpM/2 = [Д (90) + £ (90)]/2.cos р =SpM/2 = [Д (90) + £ (90)]/2.(42)(42)

Отсюда находим, что

Отсюда находим, что

cos р =SpM/2 = [Д (90) + £ (90)]/2.

cos р =SpM/2 = [Д (90) + £ (90)]/2.

(42)

(42)

Поскольку все периоды одинаковы, можно написать с той же матрицей

(40)(40)Хт+1 —Х1Хт,

(40)

(40)

где т — номер периода. Собственные значения матрицы М комплексно-сопряжены, ц их произведение равно единице, так как detAf=I [см. (38)]. Поэтому собственные значения матрицы удобно записать в виде е'ц и e_<g:

(41)(41)МХ=е^Х.

(41)

(41)

Условие устойчивости

|cos ц| <1.

Наибольшее практическое значение имеет главная область устойчивости при | ц | <л, хотя имеется счетное множество областей устойчивости.

Рассмотрим для примера систему (ФД) с одинаковыми угловыми размерами фокусирующего и дефокусирующего секторов 0о/2 и одинаковыми по абсолютной величине, но противоположными по знаку показателями магнитного поля п (12). По этой причине сильную фокусировку иногда называют знакопеременной. Уравнения, которые мы решаем, имеют следующий вид:

х" + xfx = 0;0 < 0 < 0о/2;

(43)(43)х” — и,х = 0;0о/2 < 0 < 0О;

(43)

(43)

xf = 1+ | п| ; х| = | п | -1; | п | >1.

Проводя несложные вычисления, находим, что

(44>

где 6=Х1Оо/2, а р=х20о/2.

Разлагая выражение (44) в ряд по 0О, получаем:

Легко видеть, что в первых двух порядках играет роль мСр, т. е. никакой сильной фокусировки не проявляется. Решающее значение имеет член разложения^ пропорциональный 0О4. Считая, что |л|)М, получаем:

(45)

где N — число периодов поля на орбите. Если мы хотим работать в центре 26

Рис. 9. Зависимость квадрата модуля функции Флокс (47), нормированной к поповине периода от 0/0о (для ^ = Х10о/2 = х20о/2 = р = л/2). Это выражение входит в (34), так как|^| = |Ф|Рис. 9. Зависимость квадрата модуля функции Флокс (47), нормированной к поповине периода от 0/0о (для ^ = Х10о/2 = х20о/2 = р = л/2). Это выражение входит в (34), так как|^| = |Ф|Рис. 10. Зависимость нормированной логарифмической производной, входящей в (34), от 0/0о (| Ф | = | Ф I )• Расчет проведен для случая 6 = = х 10 0/2 = х20о/2 = р = л/2Рис. 10. Зависимость нормированной логарифмической производной, входящей в (34), от 0/0о (| Ф | = | Ф I )• Расчет проведен для случая 6 = = х 10 0/2 = х20о/2 = р = л/2

Рис. 9. Зависимость квадрата модуля функции Флокс (47), нормированной к поповине периода от 0/0о (для ^ = Х10о/2 = х20о/2 = р = л/2). Это выражение входит в (34), так как

|^| = |Ф|

Рис. 9. Зависимость квадрата модуля функции Флокс (47), нормированной к поповине периода от 0/0о (для ^ = Х10о/2 = х20о/2 = р = л/2). Это выражение входит в (34), так как

|^| = |Ф|

Рис. 10. Зависимость нормированной логарифмической производной, входящей в (34), от 0/0о (| Ф | = | Ф I )• Расчет проведен для случая 6 = = х 10 0/2 = х20о/2 = р = л/2

Рис. 10. Зависимость нормированной логарифмической производной, входящей в (34), от 0/0о (| Ф | = | Ф I )• Расчет проведен для случая 6 = = х 10 0/2 = х20о/2 = р = л/2

области устойчивости cos|i=0, то между N и |п| существует соотношение jV^2"|/ | д | и безразмерная частота колебаний

уж = ^/4^0,5УТП(46)

может быть сделана значительно больше единицы. Легко вычислить также функцию Флоке. Приведем здесь выражение для квадрата модуля функции Флоке, так как именно квадрат модуля функции Флоке входит в выражение (34) для амплитуды колебания и модуль функций Флоке для обоих рассмотренных представлений совпадает

(

В sh В

Л +cos (8 — 2х,6) — cos8) при 0<6<е„/2;

рVй)

А— В sin 5(chр — oh (3g — 2х29)) при 90/2<9^90,

гдеА = (sin 6 ch Р + р cos 6 sh Р)/х, sin р,

В = (1 + p2)/2xt sin р; р = х1/х2.(48)

На рис. 9 приведена зависимость 2|Чг|2/60 от отношения 6/60 при д=|р=л/2, а на рис. 10— зависимость логарифмической производной -при тех же значениях 6 и р. Наличие сильной фокусировки обеспечивает увеличение аксептанса системы, как это видно из уравнений (34). Действительно, амплитуда колебаний менее чувствительна к отклонениям угла влета частиц ух от оптимального угла уо. Однако при сильной фокусировке существенно уменьшаются расстояния между резонансами ('17), что требует увеличения точности изготовления магнитов. Довольно большая область устойчивости (42) испещрена многочисленными резонансами. Рабочую точку системы стараются выбрать как можно дальше от резонансных значений. Выше уже упоминалось, что когда •система находится вблизи целочисленного резонанса vx=m, то происходит сильное возмущение орбиты.

Предположим, что имеет место возмущение магнитного поля (Afiz/Sz)i=—А(6). Тогда уравнение (43) принимает вид:

(49)27(49)27х"+х2(0)х=— й(6),

(49)

27

(49)

27

2( х® для фокусирующих секторов,

Х ^[ — х22 для дефокусирующих секторов.

Рассмотрим уравнение Штурма—Лиувилля:

xft"+(x2(6)+Xft)xft=0,(50)

'где хА и ^ — собственные функции и собственные значения, соответствующие периодическому решению (50). Раскладывая в ряд по нормированным к единице собственным функциям уравнения (50)

2ic

hh=\H^Xk^^.(51)

6

находим искажения орбиты

+ 00

^(6)= 2 "^^(6).(52)

Для рассмотренного выше примера x2i = x22=|^| легко найти собственные функции и собственные значения Хк. Для этого в (44) следует положить:

и рассматривать его как трансцендентное уравнение относительно Хк. При значениях частот колебаний v~& резонансный знаменатель Хк->0 и, следовательно, из всего ряда (52) только резонансный член вносит существенный вклад в искажение орбиты.

Фазовая устойчивость. Рассмотрим фазовую устойчивость орбит, которая играет большую роль, если частица движется в поле электромагнитной волны. В. И. Векслер [10—113] впервые обратил внимание на то, что фазовая устойчивость (а также неустойчивость) создается самой электромагнитной волной. Поэтому частофазовую устойчивость называют автофазировкой. На основе этой идеи В. И. Векслером были предложены современные типы ускорителей: микротрон, синхротрон и др.

Пусть частица движется в продольном электромагнитном поле е Г 2 1

£^со8ф, где <р р —; у (2)— фазовая скорость волны. В уравнении движения будем считать г-и(г)=А<а(г), + г2, получим следующее фазовое уравнение:

1 d ( и2 (2) со2 dz \ К1 — у2 кА!с%1 d ( и2 (2) со2 dz \ К1 — у2 кА!с%COS(peCOS(pe1 аю1 аюеЕг с а = —тс^ соеЕг с а = —тс^ со(53)(53)-7-) = -^- « (cos у — cos у,); dz / и (2)

1 d ( и2 (2) со2 dz \ К1 — у2 кА!с%

1 d ( и2 (2) со2 dz \ К1 — у2 кА!с%

COS(pe

COS(pe

1 аю

1 аю

еЕг с а = —

тс^ со

еЕг с а = —

тс^ со

(53)

(53)

Уравнение (53) указывает, что из двух равновесных фаз фаза Ф =—ф0 устойчива., а фаза ф=фо неустойчива. Из уравнений электродинамики очевидно, что движение в -перпендикулярном направлении является неустойчивым. Действительно, переходя в систему координат, движущуюся с фазовой скоростью волны, можно воспользоваться теоремой Ирншоу, утверждающей, что в электростатике точки равновесия седлообразные. Если мы имеем яму в направлении 2 (фазовая устойчивость), то должны иметь горб в направлении х или у. Отметим, однако, что по мере роста энергии •яма и горб сглаживаются, т. е. фазовая фокусировка уменьшается и ослабевает поперечная неустойчивость. Характер движения при больших энергиях ясен из простого, но важного примера ускорения частицы .в продольной волне с постоянной фазовой скоростью с. В этом случае уравнение движения принимает следующий вид:

+ а siny^ = 0.(54)

dt \ V 1 +2 1

В этом случае равновесная фаза отсутствует, но фазовое движение замедляется по мере роста энергии. Оказывается, что для любого параметра, а и начальной фазы ф^зтф^й) можно найти такую начальную скорость zb при которой частица, попав в ускоряющую фазу волны, будет непрерывно ускоряться и никогда не попадет в замедляющую фазу волны. Из (54) найдем условие^ налагаемое на параметр а для непрерывного ускорения:

а> 1/(1 — 5Шфг).(55)

Мы уже упомянули, что неустойчивость в поперечном направлении исчезает, и хотя она не сменяется устойчивостью, аксептанс системы оказывается достаточно большим, так как угол наклона скорости (к оси 2) y=pjpz из-за роста, продольного импульса рг и приблизительного постоянства поперечного импульса р± непрерывно уменьшается. Поэтому смещение в поперечном направлении, если z^c, по порядку величины равно — у In—, гдее— энергия частицы. При нерелятивистских скоростях для фокусировки используем магнитные линзы (см. ниже).

В кольцевых ускорителях, а иногда и в прямолинейных вместо* электромагнитной волны используют ускоряющие электроды, разность потенциалов между которыми

t

V(/) = Vecos {шо(0^,(56)

о

где /— момент времени, когда частица, находится между ускоряющими электродами. Электрическое поле

t

£6 = -Ml 5 (6) cos j* ®0 (0 dt,(57)

0

где 6(0) —периодическая функция с периодом, равным 2П, а П — расстояние между электродами для прямых систем или периметр замкнутой орбиты. Угол 6 определен так же, как для уравнения (28). Ускорение в электродах эквивалентно ускорению в продольной электромагнитной волне. Разлагая функцию 6(6) в ряд ■Фурье и опуская все члены, кроме резонансного, получаем:-

fe^^-coscp, у = о>о —^1, (58)

где q— целое число, кратность .резонанса. Можно показать, что остальные члены ряда Фурье не окажут существенного влияния ни на фазовую устойчивость, ни на бетатронные колебания (вдали от целочисленных резонансов).

1 deсо dt1 deсо dtТаким образом, в расчетах скачкообразное ускорение можно заменить непрерывным ускорением в поле (58). Синхронная частица, для которой ф = 0, должна ускоряться в стационарной фазе! ф0 и обращаться с частотой ws = to0/q. Полную энергию -синхронной частицы обозначим es, а энергию несинхронной частицы е: е = = 8s+A. Легко показать, что с точностью до первой степени А

1 de

со dt

1 de

со dt

1 desd f Д XгК ,х

^ = ^() = —^(^S® - COS?0). cos dtdt \ ^s J2л

Здесь А однозначно связана с <р:

(59)(59)(60)(60)? = ^ЮЛ

(59)

(59)

(60)

(60)

где

(д In ю\

A — —

\d In e )s

Отсюда находим уравнение фазовых колебаний, впервые получен

ное В. И. Векслером:

ddtddtI ES ^? X = 9 I e 1 V, \co^ dt J 2лI ES ^? X = 9 I e 1 V, \co^ dt J 2л(cosy — cos y0).(cosy — cos y0).(61)(61)

ddt

ddt

I ES ^? X = 9 I e 1 V, \co^ dt J 2л

I ES ^? X = 9 I e 1 V, \co^ dt J 2л

(cosy — cos y0).

(cosy — cos y0).

(61)

(61)

Значение cos ф,0 находим из условия синхронизма. Уравнение (61 У. выведено в предположении, что вся энергия получается частицами в ускоряющих электродах. Если частицы еще ускоряются вихревым электрическим полем, то вид (61) не меняется, а изменяется лишь значение

(62)(62)| 6 I Vo1des , еd^s

(62)

(62)

J—^—° cos о =- +,

2лtosdt 2лdt

где Vs—। поток магнитного поля через площадь, охватываемую синхронной орбитой в направлении оси г. В уравнение (61) входит параметр К (60), который определяется конфигурацией маг-

30

нитного поля и связан с собственными значениями задачи Штурма—Лиувиля (49)

(I-W^эф us2(I-W^эф us2-^ср-^ср^0 .^0 .^•эф^•эф^эф ^^0 ’^эф ^^0 ’

(I-W

^эф us2

(I-W

^эф us2

-^ср

-^ср

^0 .

^0 .

^•эф

^•эф

^эф ^^0 ’

^эф ^^0 ’

где уs — скорость синхронной частицы; Ко=ЛВг]Вг — постоянная относительная добавка к магнитному полю. В осесимметричных ускорителях %Эф =—-Хо=1—п. В рассмотренном выше примере системы ФД и xi2=X22=|n|,

5 9р /MU — cosy.) ^Эф — 4 ^h d (1 — cos 5) — sin d (1 — ch d)) *

В центре области устойчивости cosp. = 0; 8 = -~-]/|n| =^/2; Аэ$ = = 0,2061 |м|.

Из двух равновесных фаз ф0 и —ф0 одна является устойчивой, другая — неустойчивой в зависимости от знака параметра К. При очень больших энергиях параметр К всегда положителен и устойчивой является положительная, фаза ф0. При любых энергиях К положителен, если Хэф<1, т. е. для слабой фокусировки. Для сильной фокусировки К отрицателен при 8< 8& =т0с2|Аэф- Таким образом, при 8=8^ происходит перестройка фазовой картины. Легко- показать, что частота фазовых колебаний всегда значительно меньше частоты, обращений, т. е. фазовая фокусировка слабая. При изменении параметров системы амплитуда малых фазовых колебаний изменяется адиабатически пропор

/ ^К V/* ционально , а амплитуда бетатронных колебаний пропорциональ

на (В2) ^. Исследование фазового уравнения (58) более детально легко провести по аналогии с колебаниями маятника. Метод сильной фокусировки можно использовать также и для фазовых колебаний {14].

. ЭЛЕКТРОННАЯ ОПТИКА

В электронной оптике изучаются -семейства траекторий пучков: частиц. Чтобы описать поведение пучков частиц, достаточно доказать существование особых точек или поверхностей системы, в которых происходит схождение пучков или образование изображений истойника. Сопряженными плоскостями, или точками, называют точки источника и его изображения.

Предметом электронной оптики, таким образо.м, является изучение оптических свойств электронных пучков. Аналогия между геометрической и электронной оптикой имеет глубокую природу и опирается на аналогию между принципом Ферми и принципом наименьшего действия в форме Мопертюи

\ / ^2 \

8Ц 8 = J (р- | е | (A-s)) dsj =0, (63).

где N — показатель преломления; р— импульс; s—единичный век- т°р касательной к траектории от до ^2. Знак д обозначает вариацию интеграла при заданных точках ^ и ^2. Сравнивая две

вариации (63), можно определить эффективный показатель преломления электромагнитного поля (с точностью до произвольного постоянного множителя)

Константу С обычно выбирают таким образом, чтобы электрический потенциал Ф обращался в нуль в той точке, где р = 0, т. е. полагают С=4; ^эф имеет изотропную и анизотропную части. Однако из-за неоднозначности векторного потенциала А всегда можно •сделать АЭф изотропным в любой точке или на всей магнитной поверхности. Было бы неправильным думать, что сведение задачи электронной оптики с помощью соотношений (63) и (64) к геометрической оптике сильно упрощает задачу, хотя и существуют попытки последовательно применить этот принцип (см., например, [45]). Кажется, что в зависимости от конкретной задачи полезнее иногда использовать (64), а иногда непосредственно решать задачи с помощью уравнений Лагранжа или Гамильтона — Якоби. Довольно толстые книги по электронной оптике [16—18] посвящены в основном рассмотрению аксиально-симметричных полей и небольшим отклонениям от симметрии, хотя, как мы видели выше, сильная фокусировка получается при существенном отклонении от аксиальной симметрии. Это обстоятельство связано с тем, что практически для всех аксиально-симметричных систем удается создавать в параксиальном приближении идеальные оптические изображения. Это справедливо далеко не для всех несимметричных систем.

Предметом нашего рассмотрения будет так называемое параксиальное приближение. Для осесимметричных систем это эквивалентно исследованию движения в линейном приближении по отклонению от оси. Однако для получения -параксиального приближения иногда так же, как для ускорителей (см. разд. 1), следует выбрать за ось некоторую центральную траекторию, которая может отличаться от прямой. Уравнения параксиального приближения могут быть сведены к паре уравнений типа, (28). Практически только такие или сводящиеся к ним уравнения и будут рассматриваться. Конечно, не для всех магнитных и электрических полей можно получить уравнения типа ('28). В общем виде можно показать, что осесимметричные поля, а также поля с зеркальной симметрией обладают такими свойствами. Но такими свойствами обладают и некоторые неосесимметричные поля. В частности, сильная знакопеременная фокусировка, как мы видим, приводит к уравнениям типа (28), хотя и не дает гауссово параксиальное изображение. Однако такое совпадение не всегда возможно, и мы приведем очень важный пример таких сильнофокусирующих полей, которые не сводятся к (28). Оси х, у, 2, в которых уравнения

параксиального приближения сводятся к уравнению типа (28), назовем главными осями системы. Следует обратить внимание, что уравнения типа

d / dx \ । я / \ гх— ^т" +** 2 ^=0;dz \ dz )

dz \ dz J

простой подстановкой x = p-Y^qY и y=zp-№q2 можно свести к уравнению типа (28). Весьма важную роль играет случай xi2=%22, который называется гауссовым параксиальным изображением.

Рассмотрим сначала движение частиц в осесимметричном электростатическом поле. Пусть Ф (2) — электростатический потенциал вдоль оси симметрии (02). Тогда вблизи оси поле имеет следующий вид:

Ф(г, 2)=Ф(г) — —г2Фм^ +-^-г4ф^^(2) + ...,(65)

где штрих означает производную по z. Запишем уравнение Лагранжа для электростатического поля:

d1 4- Ф, -г дфт

,, 1= -V1 + (г')2 —^ .(66) dgК1 + (г')2 рхдг

Здесь

р -.гI £ 1 Ф

Рх == ^2Ф.+Ф/ , Ф, =.(67)

тост0с2

При выводе уравнения (66) мы предположили, что траектории пересекают ось z и поэтому момент импульса равен нулю. Если в уравнении движения ограничиться линейными членами по г и r'=dr[dz, то уравнение Лагранжа упростится

ddzddzdr \"Ф/' (2) г^г dz у 2/?!dr \"Ф/' (2) г^г dz у 2/?!(1 +Ф1№).(1 +Ф1№).(68)(68)

ddz

ddz

dr \"Ф/' (2) г

^г dz у 2/?!

dr \"Ф/' (2) г

^г dz у 2/?!

(1 +Ф1№).

(1 +Ф1№).

(68)

(68)

В нерелятивистском приближении (68) переходит в известное уравнение электронной оптики для приосевых пучков:

(69)(69)d2rФ' drФ"

(69)

(69)

4-4-г = 0.

dz2 т 2Ф dz4ф

Следует отметить, что поскольку мы приняли момент импульса равным нулю (mr29 = 0), то движение частиц происходит в одной плоскости. Поэтому под переменной г с равным правом можно понимать и декартовы координаты х и у.

Поскольку (68) и (69)'—^линейные уравнения второго порядка Для приосевых траекторий, они всегда обеспечивают создание уменьшенного или увеличенного изображения объекта, перпендикулярного оси. Рассмотрим общее решение (68) или (69)

r(z')=Ag(z')-\-BHz'),

33332 Зак. 137

33

33

Пространство предметаПространство предметаРис. 11. Два решения уравнения (68) или (69). Изображены сопряженные плоскости: плоскость предмета z=a и плоскость изображения z=b. Промежуточную плоскость z=c называют плоскостью апертурыРис. 11. Два решения уравнения (68) или (69). Изображены сопряженные плоскости: плоскость предмета z=a и плоскость изображения z=b. Промежуточную плоскость z=c называют плоскостью апертурыОбласть действияхполей.Область действияхполей.Пространство ' изображенияПространство ' изображения

Пространство предмета

Пространство предмета

Рис. 11. Два решения уравнения (68) или (69). Изображены сопряженные плоскости: плоскость предмета z=a и плоскость изображения z=b. Промежуточную плоскость z=c называют плоскостью апертуры

Рис. 11. Два решения уравнения (68) или (69). Изображены сопряженные плоскости: плоскость предмета z=a и плоскость изображения z=b. Промежуточную плоскость z=c называют плоскостью апертуры

Область действияхполей.

Область действияхполей.

Пространство ' изображения

Пространство ' изображения

г

Рис. 12. Схема расположения области действия электрических и магнитных полей и свободных от полей пространств предмета и изображения

где 5(2) и /1(2) —решения, удовлетворяющие следующим условиям:

g(a)=/i(c) = l; g^=h^=Q.

Точки а и b являются сопряженными, точка с— промежуточной. Считаем, что предмет находится в плоскости z=a, а изображение — в плоскости 2=6, в которой /1(6) =0. Увеличение предмета равно K=g^ (рис. 11). Из теории дифференциальных уравнений известно, что нормированный вронскиан системы является интегралом движения

-7- \Р (g’h - gh'^ = 0.(70)

az

С помощью (70) запишем соотношение Лагранжа

г (^)р (^)Л' (a) =r (6)р (6)/iz (6),(71)

где й'(а) и h'^b) —углы вылета частиц в сопряженных плоскостях из точек, лежащих на оси. Угловое увеличение, таким образом, равно К р^— , где К — линейное увеличение.

Вблизи фокуса частицы должны иметь прямолинейные или почти прямолинейные траектории. Таким образом, в области предмета и изображения поле или равно нулю, или очень мало. Будем считать, что поле сосредоточено в интервале между двумя плоскостями, которые пересекают ось 2 в точках а и Ь. Пространство слева от z = a называют пространством предмета (или предметным пространством), а пространство справа от z=b — пространством изображения (рис. 12). Термины для электронной оптики выбираются по аналогии с оптикой. Линза, -кроме фокусов и фокальных плоскостей, характеризуется еще главными плоскостями и главными точками, узловыми плоскостями и узловыми точками. Указанные три пары точек и плоскостей называются кардинальными точками и кардинальными плоскостями. Если известны кардинальные точки, то -построение изображения предмета проводит-

Рис. 13. Одно из возможных расположений правого фокуса z& и главных плоскостей h^z=z^ и Pi2(z=zby Сплошная линия—тра- -ектория частиц. Штриховой участок используют для нахождения правого фокусного расстояния Fb

Рис. 14. Две узловые точки линзы г“ и z^. Штриховая прямая — продолжение траектории предметного пространства, она пересекает узловую точку z^ и параллельна траектории в пространстве изображения, направленной в узловую точку z^

ея автоматически без рассмотрения истинной траектории частиц.

Фокус Fb пространства изображений лежит на главной оси системы. В фокусе Fb сходится пучок траекторий, параллельных главной оси, идущих в предметном пространстве. Аналогично строится фокус предметного пространства (рис. 13).

Главные плоскости линзы позволяют заменить истинную траекторию тремя отрезками прямых. Между главными плоскостями отрезок параллелен главной оси, а вне линзы — совпадает с истинными траекториями (рис. 14). Точки пересечения главных плоскостей с осями называют главными точками.

Расстояние от фокуса до соответствующей главной точки называют фокусным расстоянием. Фокусные расстояния положитель- "ны для действительных фокусов и отрицательны для мнимых фокусов. Фокусные расстояния предметного пространства и пространства изображений совпадают, если эти пространства обладают одинаковым показателем преломления.

В линзе существуют еще две узловые точки. Если из предметного пространства, луч -направлен в узловую точку предметного пространства, то в пространстве изображений он будет параллелен первоначальному направлению луча и его продолжение будет пересекать главную ось в узловой точке пространства изобра.- •жений.

Матричный метод. Для того чтобы найти все кардинальные точки, достаточно построить матрицу преобразований, подобную матрице (39), изменяющую координаты и производные при переходе из плоскости z=a в плоскость z=b, ограничивающих области действия полей. В общем случае эта матрица, четырехрядная, но мы рассматриваем только случай, когда поперечные переменные ортогональны и параксиальное приближение приводит к Уравнениям типа (28). В этом случае матрицы двухрядные. Для

урав-нений типа (68) .и (69) в точной аналогии с уравнением (39) запишем:

Л (6)Л" (6)Л (6)Л" (6)i^bY ta^i^bY ta^л' (а) /л' (а) /(72)(72)

Л (6)

Л" (6)

Л (6)

Л" (6)

i^bY ta^

i^bY ta^

л' (а) /

л' (а) /

(72)

(72)

МаМа1; а - za0;11; а - za0;1; мь =; мь =1; zb — b0;11; zb — b0;1(73)(73)

Ма

Ма

1; а - za

0;1

1; а - za

0;1

; мь =

; мь =

1; zb — b

0;1

1; zb — b

0;1

(73)

(73)

где х и х'— смещение от оси z и производная от смещения по координате z. Функции fi(z) и tAa—решения уравнений, например, (68) или (69), удовлетворяющие начальным условиям:

fi(a) = l, f/(n)=O, )2(а)=0, )2'(а) = 1.

Поскольку при z>6 и z<_a. силовых полей нет, то траектории в этой области являются прямыми. Запишем матрицы перехода от точки z=a предметного пространства до области поля z—b и от

пространства изображенияпространства изображенияобласти поля z—b до точки zb

пространства изображения

пространства изображения

Перемножая матрицу (72) на 1Ла и Мь соответственно, справа и слева получаем матрицу перехода, от точки za до точки zb. Точки za и гь будут сопряженными, если мы потребуем, чтобы член М)2 этой матрицы был равен нулю, а увеличение изображения /С=Л4ц или ^^/(DetAf))-1:

Mi2=fi (b) (а — za) +/2 (b) + (z6 — 6) (f/(b) (a — za) +

№(^))=0;

К=Цьть-ШЬ) =К=Цьть-ШЬ) =fi' (a — za) + fa'Det Л)fi' (a — za) + fa'Det Л)

К=Цьть-ШЬ) =

К=Цьть-ШЬ) =

fi' (a — za) + fa'Det Л)

fi' (a — za) + fa'Det Л)

Видим, что dzb/dza=K2/DetM=K2p(b)/p(a).

Легко также найти координаты всех кардинальных точек zb = — fjf/ + b, zA-fafH»;]

zbb = Mix' - № + b, zA = I'lL' - (Det M^x + «;(74)

- - Ж + (Det M^X +zA = - 1/f / + U Ax + a J

где zh zh и 2U — координаты фокуса, главной точки и узлов соответственно. Верхние индексы а и b указывают на пространство предмета и'изображения. DetM=p(a)lp(b) для уравнения (68); фокусные расстояния

Fb = ztb - Zhb = _V^; Fa=z^ - zf = -^M/^.(75)

Итак, оба фокусных расстояния равны, если потенциалы обоих пространств одинаковы. Следует обратить внимание на равенства^ связывающие узловые точки и фокусы:

(76)(76)ztb — zA=Fa, zua — zf=Fb.

(76)

(76)

С помощью (73) и (74) или просто по аналогии с геометрической оптикой можно получить соотношение Ньютона для координат сопряженных точек источника za и изображения zb

(zo — 2/) (z6 — Zfb^-VFaFb = 0.

Увеличение изображения

(77)(77)K=Fa/(za — zf^ = — (zb — zfb)/Fb.

(77)

(77)

Выше рассмотрен случай, когда предмет и изображение лежат вне силовых полей. Если это не соблюдается (а такое нарушение является характерным для электронной оптики), то, конечно, приведенные результаты не применимы. Однако в [17] было предложено ввести соприкасающиеся кардинальные точки, когда предмет и изображения находятся в области поля. Для их нахождения вне области b^>z^>a реальные траектории заменяются прямыми, совпадающими с касательными к реальным лучам в точках z=a и z = b. Конечно, положение соприкасающихся кардинальных точек будет зависеть от выбора плоскостей z=a и z=b. Обычно эти плоскости выбирают сопряженными. В этом случае формулы (74) применимы. Следует иметь в виду, что, -поскольку z=a и 2=6, сопряженные точки /2(b) =я, а увеличение К = Л(6). Существуют так называемые ньютоновские поля, когда соотношение Ньютона выполняется для любого выбора пары сопряженных плоскостей и постоянных значений фокусных расстояний и положения фокусов. Пример такого поля приведен ниже (86).

Изложенный выше матричный метод расчета электронно-оптической системы очень удобен для получения изображения в системе различных линз. В этом случае матрица системы будет равна произведению матриц всех линз.

Иногда удобно одну линзу разбирать на отдельные участки, на которых легко проводить вычисления матрицы перехода. М, а затем перемножать все полученные матрицы для нахождения параметров линзы.

Рассмотрим ограниченное постоянное поле между областями а и Ь. Такое поле можно создать с помощью прозрачной для пучка сетки или фольги, В этом случае матрица перехода приобретает простой вид; если рассмотреть нерелятивистский случай (69), то

1;0;1;0;ЧУфдД

1;

0;

1;

0;

(78)(78)Уф^ + Уфь •

(78)

(78)

/Ф^"

где Фа и Ф/,— потенциалы плоскостей z^a и z = b, a d=b—а Прохождение лучей в этом случае легко проследить по аналогии с оптикой, используя показатель преломления (64) и закон синусов

(79)(79)sinYa/sinYa = Уфь/Фа

(79)

(79)

Здесь Ча и чь—углы между траекторией и направлением электрического поля в областях z<a и г>Ь.

Большую ошибку можно совершить, если воспользоваться матрицей (78) при .рассмотрении движения частиц через отверстия в пластинах конденсатора, так как силовые линии поля в силу непрерывности пройдут за пределы отверстия. В этом случае матрица перехода будет иметь вид M=MbM0Ma, где Мо определено в (78), а матрицы Ма и Мь указывают на изменение координат и углов в областях z<a и z*>b. Вычисление Ма и М^ для достаточно малого отверстия можно провести следующим образом. Уравнение (69)

d?rldz^ = — Ф"г/4Ф

можно проинтегрировать в районе отверстия в пластинах в предположении, что г' = -АФ'г0/4Фд + 4(80)

1;04ФЙ ’1;04ФЙ ’где АФ'=(Ф&—Фо)/^. Сравнивая формулу (80) с (72) и (73), получаем:

1;0

4ФЙ ’

1;0

4ФЙ ’

Ма =

0101Аналогичным методом находим:

0

1

0

1

1 ,Дф'4фб ’

Перемножив три матрицы в установленном порядке, имеем:

2Кфа<^ ^Фб + ^Фа2Кфа<^ ^Фб + ^Фа

2Кфа<^ ^Фб + ^Фа

2Кфа<^ ^Фб + ^Фа

Зная матрицу М, легко определить все кардинальные точки и фокусные расстояния, например:

Fb МФЬ \ Г фа /V Фь Fa

Изложенными методами можно рассмотреть большее число примеров. В .конкретных случаях часто приходится использовать численные методы для .вычисления коэффициентов матриц.

Магнитные линзы. Расчет магнитных линз требует использования уже рассмотренных выше уравнений движения. Однако в отличие от приведенных там примеров движения частиц вдали от оси системы для электронной оптики существенно движение чг.стиц вблизи оси системы. Для приосевого поля

Д6 =гВ/2 —г3В"/Ю-.(81)

где B = BZ (z, 0), штрих) — дифференцирование по z. В линейном приближении уравнения (6) приобретают следующий вид:

В (82) мы положили обобщенный момент движения равным нулю, т. е. мы рассматриваем траектории, пересекающие ось симметрии:

= —^Bx4l^p4(83)

К (83) применимы все правила и приемы, использованные выше для электростатического поля. Приближенно'

ьаьа+ 00г2 Р+ 00г2 Р4/?24/?2■г=-г- ,84)ГЬ Га■г=-г- ,84)ГЬ Га

ь

а

ь

а

+ 00

г2 Р

+ 00

г2 Р

4/?2

4/?2

■г=-г- ,84)

ГЬ Га

■г=-г- ,84)

ГЬ Га

Здесь мы считали fi^^A и воспользовались выражением для фокусного расстояния (75). Сделанные предложения —^достаточно хорошая аппроксимация для колоколообразного магнитного поля. Для сравнения рассмотрим участок однородного магнитного поля протяженностью d=b—а. Решая уравнение (82), легко находим, что

-КЧ^ =sin —d= —^z Уз Fb-КЧ^ =sin —d= —^z Уз Fb11(85)(85)аа

-КЧ^ =sin —d= —

^z Уз Fb

-КЧ^ =sin —d= —

^z Уз Fb

1

1

(85)

(85)

а

а

Для тонкой линзы расчеты по формуле (84) и (85) совпадают. Другим примером колоколоо'бразного поля, допускающим аналитическое решение, является поле

B^=B^Wm-\(86)

Подставляя (86) в (82) и вводя безразмерную координату zb получаем:

d^r e^Byd2р.z/Q’7\

4-5r = 0, z.=—.(87) dz* 4/>г(1 + зУУ1 d

С помощью подстановки z1=lctgф находим общее решение (87) г (<р) = К, cosec у sin (<о<р + К2); "

Сопряженные плоскости имеют значения ф, удовлетворяющие условию. j

фа—фЬ = л/(О.(89)

Увеличение

М=—(sin фа/sin фЬ).(90)

Легко вычислить соприкасающиеся кардинальные точки и фокусные расстояния

Fa = Fb =dcosec—, zy = ± dctg—, zh = ± dctg~ /gn coco2co v '

Положение соприкасающихся кардинальных точек не зависит от выбора сопряженных плоскостей отсчета, поэтому поле (86) можно считать ньютоновским.

Расчет по приближенной формуле (84) дает

Ра-^РЬ-Х = ^рг/^В»М.(92)

Этот результат совпадает с полученным по формуле (9.1), если

eB^d V 1

р )

Как отмечалось выше, осесимметричное поле всегда приводит в параксиальном приближении к уравнениям типа (28). Перейдем теперь к несимметричным полям. Воспользовавшись принципом наименьшего действия в форме (63), получим уравнения траектории в следующем виде:

ddL.dLxddLxdL.

L-—- = 0;1— = 0;(93)

dzdxfdxdzdyrdy

Lx = N (ds/dz). Ограничиваясь разложением LlX до второй степени переменных (х, х\ у, у^, получаем в общем виде

к = yp(z) (х'8 + у'2) +<(г) (х'у — ху') +

(94)(94)11

(94)

(94)

+ -^-<Mz)x2 + —f2 (z)y2 + g(z)xy.

На первый взгляд выражение (94) кажется недостаточно общим, так как в нем существуют, например, члены х7у\ х'х, у'у. Первый член действительно отсутствует, а второй и третий могут быть преобразованы при интегрировании в (63) по частям. При этом будут иметь место следующие преобразования: х'х-^х\ у'у->у\ xf уА-у'х—^ух. Путем перехода к новым переменным

х+1у= (^Ч-^ехр (iz)

можно разделить переменные, если выполнено условие ортогональности:

Р (г) [g' (г) (е, (г) — е2 (z)) — g (г) (е, (z) — е' (г))] =

= Z(z)[(ei(z)-e2(z))2 + 4g2(z)].(95)

Ниже рассматриваются только электромагнитные поля, удовлетворяющие 195). Приведем очень важный пример использования (95). Легко доказать, что для осесимметричных полей (95) всегда выполняется.

Рассмотрим двухзаходное .винтовое стеллараторное поле в прямой системе

B=V®b, Фв=-у r2sin2(0 —az).(96)

Лангранжиан Lx можно записать в следующем виде:

Lx = -у + и2 Ц— — -^ cos 2м-|-^ sin 2^1,(97)

Легко убедиться, что (97) не удовлетворяет условию ортогональности (95). Условие ортогональности будет выполнено, если на винтовое -поле -наложить постоянное продольное поле Вг вполне определенной величины, так чтобы /(г) = 1 (eBJmuza = 1, yz = z).

91 + ^2 =91 + ^2 =(98)(98)Введем новые ортогональные координаты = (x+iz/)exp(—ш). Получим уравнения типа (28):

91 + ^2 =

91 + ^2 =

(98)

(98)

^+(1+х2)91 = 0; ^+(1-х2)^2 = 0.

Винтовое магнитное поле обеспечивает сильную фокусировку, однако с двумя разными значениями частот?

V1 = V 1+х2, V2 = l/1—х2.

Сопряженные точки находятся на безразмерном расстоянии Их—и2=лп^ где п— целое число (1=4,2), увеличение Л=1. Изображение, как правило, получается астигматическим, т. е. точка изображается линией. Астигматическая разность кп^^—я^/vi характеризует величину астигматизма. Изображение получается стигматическим, если sin— (uv—w2)=sin — (iii—«2), что возможно, когда разность (l/v2—1/vi)—целое число. Стигматическое изображение возможно создать и на дублете, состоящем из повернутых на. 90° двух квадрупольных магнитных или электростатических линз, хотя и в этом случае не получается гауссово параксиальное изображение. Уравнение для любой координаты (х или у) дублета квадрупольной линзы -полностью эквивалентно уравнению (43), в котором следует заменить координату 9 на 2 и положить х2=Xi2=х22 = ealmvz, а = —^В^ду=—дВу/дх = const. Матричные элементы для координат х и у одинаковы, однако их последовательность разная. Например, если для координаты х матричный элемент равен МхМ0М2) то для координаты у он равен М2МоМх, где

cosx — fsinx — )/х

2 к 2 У/ _1 d

. 2а2а ’ Я = Л 1

—xsmx —COSX—и 1

(99)(99)22

(99)

(99)

chx —2х shx — 2chx —2х shx — 2(shx-y^] x

chx —

2

х shx — 2

chx —

2

х shx — 2

chx —

2

где 2o/2 — длина каждой из квадрупольных линз дублета.; d—расстояние между дублетами. Здесь мы пренебрегли полями рассеяния, что допустимо, если за фактическую длину линзы z0/2 принять величину, равную ее физической длине плюс 10% расстояния между полюсами. Поскольку вычисления здесь стандартные, уже использованные выше, дадим сразу окончательный результат:

^Г1 = F^x = х (sin 8 ch 6 — sh § cos 8 -j- nd sh 6 cos 8)=x82 (y 8-|-x8^ 4-...,

8 = x-y-; Fa — Fb = F.8 = x-y-; Fa — Fb = F.(100)(100)

8 = x-y-; Fa — Fb = F.

8 = x-y-; Fa — Fb = F.

(100)

(100)

Поскольку система, не гауссова, т. е. уравнения для координат х и у разные, то .главные точки для координат х и у получаются разными. Поскольку различие уравнений для координат х и у сводится к разной последовательности фокусирующих и дефокусирующих секторов, переход от координаты х к координате у эквивалентен перемене мест пространств предмета и изображения. В соответствии с этим, если увеличение для координат х равно К, то для координат у—К~Ь

zbfx=b+A; zbfV=b+B;

zatx=a — B\ zafV=a — A,

где zlK и zSlj — координаты фокусов для переменных х и у, а верхние индексы, как обычно, указывают на пространство предмета (а) и изображения (6)

(Ю1)(Ю1)(102)(102)А = F (cos 8 ch 8 — sh 8 sin 8 — xi sin 8 ch 8);

(Ю1)

(Ю1)

(102)

(102)

B = F (cos 8 ch 8 —|— sh S sinS -\-xd sh 8 cos 8).

Приближенно

1 — S2 —^-xdfo^ —) ;

6\3 / J

/ Л3

1 4-82_±- + x(Z(8-—) .

6\3

Поскольку А^В, в общем случае получается стигматическое изображение, т. е. точка изображается отрезком прямой. Астигматическая разность (при rf=0)

+<Ж),+<Ж),(ЮЗ)(ЮЗ)Д ^F8 ^a — ^F — z^ (а — za)

+<Ж),

+<Ж),

(ЮЗ)

(ЮЗ)

<a-F-zay

где za— координата, в которой находится изображение; Д = = 26у—zbx— разность точек, сопряженных za в координатах у и х. Стигматическое изображение получается для вполне определенного положения предмета. Однако в этом случае увеличения К для х и у координат отличны друг от друга

. Kx-VU-б2); ^-1/(1+62).

Таким образом, полученное стигматическое изображение не является гауссовым. Выше упоминалось, что осесимметричные электромагнитные поля обеспечивают получение гауссова параксиального изображения. Однако -на практике изображение может получиться неправильным. Причиной искажения могут быть не учтенные в параксиальном приближении нелинейные члены, искажения сим-

метрии, пространственный заряд и магнитное поле пучка и, наконец, разброс начальной энергии электронов.

Геометрической аберрацией линз называют искажения изображений, связанные с использованием непараксиальных пучков. В осесимметричной системе следующий неучтенный в лангранжиа- не член пропорционален полиному четвертой степени отклонений от оси. Исходную систему считаем гауссовой, а нелинейный член — малым. Поэтому, подставляя в нелинейные члены решения линейного уравнения, получаем уравнение для координаты х:

-Г"+х2(2).Г = £(2, х0) Х0\ уо, y^Y(104)

Варьируя постоянные, легко найти матрицу перехода от плоскости z= а до плоскости z=b:

(XW =+ Л Y(105)

\л/ (6))\х' (а) 4- Д' /

где М — матрица (72), а

Д = — J gL (z) dz; A' = J gf, (z) dz.(106)

Искажения, которые происходят на плоскости изображения 2=2б, представим в виде

где Мь—। матрица, определенная для пространства без поля в (76). Аналогичный расчет следует провести для координаты у, изучив зависимость искажения Ас от х и у в предметной плоскости или в плоскости диафрагмы. Даже в простых полях расчеты довольно громоздкие и здесь не приведены.

Хроматическая аберрация проявляется в зависимости фокусного расстояния от энергии частиц. В соответствии со сделанным определением константы электрического потенциала (64) изменение энергии пропорционально изменению потенциала АФ. Подставляя в уравнение движения вместо Ф значение Ф+АФ и проводя расчеты с точностью до первой степени АФ, находим выражение для функций g в (104), которая в данном случае не будет зависеть от констант %о, хоУо, уо, а только от АФ.

Отличие от сферической симметрии может проявляться в дополнительных линейных и нелинейных членах уравнения или в асимметрии граничных условий. Эта асимметрия, как мы видим, приводит к астигматизму изображения. Учет аберрации и в этом •случае приводится по стандартной методике теории возмущений.

Наличие объемного заряда существенным образом меняет характер фокусировки.

Существуют попытки ликвидации ряда аберраций с помощью пространственного заряда, но практически пространственный за-

ряд приводит к расширению пучка. Бели при этом не нарушается сферическая симметрия, то в параксиальном приближении получается правильное изображение.

АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Выше мы рассматривали малые отклонения от известных орбит или от осей системы. Однако в физике плазмы значительно чаще приходится рассматривать движение частиц в некоторой ограниченной области, когда отсутствует высокая степень организации движения, присущая движению частиц в ускорителях, спектрометрах, инжекторах или электронно-оптических системах. К счастью, здесь очень часто появляются малые параметры типа (Ю):

и аналогичные малые параметры для других -компонент магнитного поля. Мы будем считать, что магнитное поле' мало изменяется за. время одного оборота частицы по орбите (пропорционально 1/Q) и на длине ларморовского радиуса р, т. е. параметр е<С1. Приближение, в котором справедливо разложение решения в ряд по параметру е, называется адиабатическим приближением. Как правило, ряды получаются асимптотически расходящимися. Асимптотические методы, лежащие в основе адиабатического приближения, были развиты еще в прошлом столетии в связи с задачами небесной механики. В настоящее время адиабатическое приближение получило достаточное математическое обоснование в работах [19—21] и многих других. Во многих трудах содержится полный библиографический список (например, в [22—27]).

Движение частиц в постоянном во времени магнитном поле. Достоинством адиабатического приближения является не только относительная простота, но и исключительная физическая наглядность адиабатических уравнений движения в первом порядке разложения по малому параметру 8, которое только и используется на практике. Вывод уравнений также можно провести, используя физические, а не строго математические аргументы.

За нулевое приближение принимаем движение в бесконечно большом магнитном поле. В дальнейшем на.м удобно рассматривать безразмерный параметр 8 не как конкретную величину, а как некий условный знак, характеризующий -порядок малости. В окон- чательно-м ответе параметр s следует считать равным 1. Например, запишем магнитное поле как — В, тогда уравнение движения 8

будет содержать параметр малости при старшей производной

8mr=^(rXB).

В нулевом приближении 8=0 получаем r±=v±=0, где v± — компонента скорости, перпендикулярная силовой линии магнитного

поля. Так -как мы считаем, что магнитное поле слабо изменяется во всех направлениях на длине ларморовского радиуса, то в -нулевом -приближении центр вращения частицы движется по силовой линии .в иваз-иоднородном поле (1). Надо принять во внимание, что частица совершит много оборотов, прежде чем центр вращения существенно сместится поперек магнитного поля. Используя параметр е, оба эти допущения запишем в следующем виде?

r = R(^ s) + sp(—, t\ е

где R(/, e) = Ro(O+eRi(O+...

— -радиус-вектор центра вращения, a (//е)~Ш=т— быстрое время. Радиус орбиты р зависит также от обычного времени t, так -как наряду с -быстрым вращением (время т) происходит медленное изменение абсолютной величины ларморовского радиуса при перемещении в слабонеоднородном магнитном поле (время /). Будем, ,как обычно, дифференцирование по времени / обозначать точкой, а дифференцирование по быстрому времени т—"штрихом. Таким образом,

”7 = = R + sp + p? Атт =^ + 2р' + — р" +6Р- atatzе

Подставляя эти выражения в уравнение движения, получаем:

sR + 2sp' + р" =(R + ер + р') X (в (R) + (ер • V) В) + О (s2). (107)

т

Усредним уравнение по быстрому времени т, полагая Z=const. Для этого запишем ларморовский радиус-вектор

р (г) = р (R) [е2 sin j Q J dr + e2 cos j Q f dr],

где eb e2, e3— тройка ортогональных единичных векторов. Пусть -вектор е3 в точке r=R всегда направлен вдоль магнитного поля. Тогда легко видеть, что

<Р>г = <Р>г=<р">г=<р'>г=О.

Здесь угловые скобки—■ символ усреднения по быстрому времени т. После усреднения (107) примет следующий вид:

eR = -^-(RXB)-e-^v£ + O(s2),(108)

тт

где ц=ер21Й/2=ти2J2B— магнитный момент электрона. Ниже мы покажем, что эта величина является адиабатическим инвариантом. При использовании (108) следует иметь в виду, что оно является релятивистским и справедливо только с точностью до первой степени параметра е. Умножая векторно (108) на В, получаем:

R- '= R1=s_L_[1xBXvS)+m(BXR)].

Входящее сюда ускорение R выпишем в нулевом порядке dv и

^^хД +(VII-V)V|| = ^—Не3ун (е3-7)У|| =

у2

= —L{(rotBXe3) + v-6 —е3(е3-7)5} + е3Уц (е3-?)Уц. (109> D

где Rk—'радиус кривизны силовой линии, а и — единичный вектор главной нормали к силовой магнитной линии. Заметим, что- dvy/d^O при постоянном во времени магнитном поле. Используя (109), записываем для R± три эквивалентных выражения (полагаем 8 = '1)

R± =

yj_/2 + у и ^Rk

-(e,>

<n)

y2. /2

• ^ (rot ВЦ;

(110a)

R± =

yj_/2 + о^

QB

-(e3>

<vS)

+J-(rotB)x;

(1106>

R± =

e X!

(110b)

31 228

2Rk

Таким образом, заряженная частица в сильном слабонеоднородном .и постоянном во времени магнитном поле в нулевом приближении совершает быстрое вращение по орбите с ларморовским радиусом p=^±/Q и движется вдоль силовой линии магнитного поля со скоростью R=^n е3 (рис. 15, 16). С учетом первого приближения по параметру 8 центр кружка совершает еще дрейфовое движение поперек (магнитного поля (L10). Члены в (11'0),пропорциональные у±, дают значения так называемого магнитного пли градиентного дрейфа. Природа, магнитного (градиентного)'

Рис. 16. Вращение частицы по орбите-* радиуса р со скоростью Vj_ эквивалентно (в дрейфовых уравнениях) взаимодействию магнитного поля с кружком, имеющим заряд е и магнитный момент рРис. 16. Вращение частицы по орбите-* радиуса р со скоростью Vj_ эквивалентно (в дрейфовых уравнениях) взаимодействию магнитного поля с кружком, имеющим заряд е и магнитный момент р-<- Рис. 15. Схема скоростей Vy, Vj_, R^. Частица совершает быстрые вращения по окружности радиуса р со- скоростью Vj_. Заштрихованный кружок движется вдоль магнитного поля со скоростью v и и медленно дрейфует поперек магнитного поля со скоростью Rj_

Рис. 16. Вращение частицы по орбите-* радиуса р со скоростью Vj_ эквивалентно (в дрейфовых уравнениях) взаимодействию магнитного поля с кружком, имеющим заряд е и магнитный момент р

Рис. 16. Вращение частицы по орбите-* радиуса р со скоростью Vj_ эквивалентно (в дрейфовых уравнениях) взаимодействию магнитного поля с кружком, имеющим заряд е и магнитный момент р

дрейфа очень простая. Усредняя 'быстрое движение частиц, мы фактически заменяем движение по ларморовской орбите точечным круговым током с магнитным моментом |л. Иногда говорят, что происходит замена электрона или другой заряженной частицы кружком с зарядом е и с магнитным моментом {л. Магнитный дрейф возникает в результате взаимодействия магнитного момента кружка с неоднородным магнитным полем.

Члены (1-10), пропорциональные пн, дают значение центробежного дрейфа частиц. При движении кружка вдоль криволинейной -силовой линии магнитного поля со скоростью Ун центр кружка смещается поперек силовой линии. Это смещение происходит под действием центробежной силы (в системе координат, связанной с центром кружка) mR0. Очевидно, что эта сила направлена вдоль радиуса кривизны силовой линии (в сторону от центра кривизны) и приводит к появлению дрейфа частицы, перпендикулярного магнитному полю В и вектору главной нормали силовой линии п. Из уравнений (110а) видно, что если rotBj_=0, то направления магнитного и центробежного дрейфов совпадают.

Если (108) рассматривать формально, то создается впечатле ние, что центр кружка совершает, наряду с плавным движением вдоль силовой линии и плавным движением поперек поля (1-1'0), еще быстрые вращения вокруг силовой линии, как всякое заряженное тело. Радиус быстрого вращения кружка как целого приближенно равен RJQl^AIQ?^^2 и является величиной второго порядка малости по е. Итак, полученное нами из (108) вращение кружка как целого — результат завышения точности, так как из (108) можно получать результаты только с точностью до первой степени параметра 8. Однако качественно полученный вывод указывает, что для определения высших приближений по 8 надо учитывать -более .мелкие быстрые движения, разлагая его в ряд Фурье по гармоникам циклотронной частоты Q.

Строгий с математической точки зрения метод усреднения в .любом порядке малости развит в [19] и применен к задаче движений частиц многими авторами. В [2] удалось развить метод, удобный для описания поведения частиц во всех порядках параметра 8. Движение частиц раскладывается в ряд Фурье по быстрому времени (при вычислении коэффициентов ряда обычноевремя рассматривается как параметр). Каждому следующему члену ряда Фурье приписывается более высокий порядок по е:

ОО

r = ^)+SHV ^е^ + к.с.], (111) /2=1

тде = — Г В (/?„) Л; т = //е.

ТП J

После подстановки (111) в уравнение движения все коэффициенты ряда Фурье приравниваются нулю. Таким образом, получаем зацепляющийся ряд усредненных по быстрому времени уравнений. Число членов ряда (111), которые надо использовать, равня-

ется желаемому порядку точности по 8. Законность такой процедуры доказана строго математически [20]. При разложении по параметру е получаем асимптотические ряды. Это означает, что хотя бесконечный ряд не -сходится к искомой функции и вообще не сходится, .конечное число членов ряда сходится к искомой функции при 8-^0:

If —5п|<дп8п+1,

где f— искомое решение; sn — сумма п членов ряда. Асимптотические ряды .приводят иногда к таким ситуациям, когда увеличение числа членов ряда при заданном 8 не улучшает, а ухудшает аппроксимацию истинного решения. В работе [21] показано применение асимптотического ряда на примере решения задачи о маятнике с медленно меняющимся положением равновесия и большой частотой колебания:

e2i:+x=f (0.

Постараемся найти неосциллирующую часть решения этого уравнения. Для этого предположим, что х зависит только от времени/ и не зависит от быстрого времени т=//е. Таким образом, дифференцирование по / не понижает порядок величины х. Методом последовательных приближений найдем, что

х(0=И0 — 82d2fM2+s4^4^

Этот ряд в отличие от ряда Тейлора не содержит п\ в знаменателе. Поэтому для того, чтобы ряд сходился, недостаточно потребовать даже аналитичность f. Ряд сходится, если разложение /(/+е) в ряд по 8 имеет бесконечный радиус сходимости, а если /— периодическая функция, то еще требуется, чтобы ее разложение в ряд Фурье содержало конечное число членов.

Движение частиц в магнитном и электрическом полях. Выше рассмотрено движение частиц в постоянном магнитном поле. Сделаем следующий шаг, предположим, что магнитное поле

/ 1 дВ \

медленно изменяется во времени/-^——кроме того, на

частицу действует сила mF=aE+g. Оставаясь в рамках нерелятивистского приближения, перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью:

Vd=fE + -S-)xB/S2.(112).

\ и

В этой системе координат Р±=0 и

fRt=±(RcXB)-e^vB + ^L-Fll),(ИЗ).

т\ тat J

где Rc— скорость кружка в движущейся системе:

R= Rc+v^.

Параллельную составляющую силы, так же как и параллельную составляющую dvdldt, положим порядка е, чтобы не выйти за рамки адиабатического -приближения. Умножая векторно уравнение (113) на В, находим RcJ_:

(H4)(H4)Rei = -^-р| (В X ^ВНт (В х (Rc + Vd)) Rl = Rei + Vd.

(H4)

(H4)

Выражение для Rc следует вычислять в нулевом приближении:

•• ddu и . Г . / I \1

(115)(115)= -dT v" = "dT +v" Ьг +(е’у 11 + Vd) 7 з];

(115)

(115)

vd = -^- + (е3У л + vd) vvd.

Здесь градиенты берутся по координатам неподвижной системы. Аналогичным методом можно получить уравнение продольного движения:

m^- = ^Fttm-WttB-Vmvd —m^- = ^Fttm-WttB-Vmvd —(116)(116)

m^- = ^Fttm-WttB-Vmvd —

m^- = ^Fttm-WttB-Vmvd —

(116)

(116)

Сравним полученные результаты с выражениями для дрейфа в (ПО). Наряду с магнитным и центробежным дрейфами появился электрический дрейф vd, а также дрейфы, связанные с силой инерции —mva и с изменением во времени магнитного поля. Обратим также внимание на то, что выражения для Rc (115) и для Ro (109) не совпадают, так как мы считали vj~l. В рассматриваемом приближении надо положить в (115) dv^ [dt, потому что Rc вычисляется в нулевом порядке. Отметим, однако, что в (115) дУц/д/^О [в отличие от (109)].

Как известно, в постоянном во времени магнитном поле релятивистские и нерелятивистские уравнения движения совпадают, если под т понимать полную массу частицы. Аналогичное совпадение получается, если считать F^ и F^ малыми величинами порядка е, а. магнитные поля медленно меняющимися во времени. Мы не будем приводить полное релятивистское уравнение для. /д_~1> полученное в [28].

Движение частиц в поле электромагнитной волны. Рассмотрим движение частиц в поле электромагнитной волны. Предположим, что частота волны со значительно превосходит частоту ларморовского вращения. Электрическое и магнитные поля будем считать одного порядка (1/е). Нерелятивистское уравнение движения имеет следующий вид:

sr = — Е cos — t 4теsr = — Е cos — t 4теrXBcos — t. еrXBcos — t. е(И7)(И7)

sr = — Е cos — t 4те

sr = — Е cos — t 4те

rXBcos — t. е

rXBcos — t. е

(И7)

(И7)

Для усреднения уравнения по быстрому времени т применим уже использованный метод. Положим:

r=R(/, е)+ер (т, I, е),r=R(/, е)+ер (т, I, е),(П8)(П8)

r=R(/, е)+ер (т, I, е),

r=R(/, е)+ер (т, I, е),

(П8)

(П8)

где т = //е— быстрое время. В нулевом приближении уравнение движения имеет простой вид:

— EcoscdZ, р =— Ecoswt.(Н9)

тт^

Запишем уравнение первого приближения

R04-2p' — "(Ро"v) Е cos сот +-^- Ro X Bcos®t.

Проводя усреднение по т и считая /=const, получаем:

Ro= - —(EV)E = -v-^-.mw22тю2

Таким образом, медленное усредненное движение в электромагнитной волне эквивалентно движению в потенциальном поле

и=е^/^т(й\

Легко видеть, что частицы обоих знаков концентрируются в области минимума амплитуды электрического поля, например в узлах стоячей волны. Указанное выражение впервые получено в [29] и подробно исследовано в [30]. Силу F=—V>17 называют силой Миллера. Если помимо поля волны существует постоянное магнитное поле и при этом возможно провести усреднение по частотам <о, Q, со—Q, то выражение для силы Миллера примет вид [30]:

F = - — v(——|№ Г+ —— I Е^ Г + |£ и |2L

где Ен, E^W, Е^ — амплитуды электрического поля трех волн, на. которые разлагается исходная электромагнитная волна; Ен параллельна статическому магнитному полю; Е^ и Е^—-амплитуды двух волн с левой и правой .круговой поляризацией в плоскости, перпендикулярной статическому магнитному полю. В этом случае быстрое движение происходит с тремя разными частотами: с частотой волны со, циклотронной частотой Q и разностной частотой со—Q. Так же, как и в предыдущем случае, сила F получается в результате усреднения воздействия на частицу по этим трем частотам, поэтому выражение для F не справедливо при |,со—Q| ~

ИНТЕГРАЛЫ ДРЕЙФОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Из теории уравнений Гамильтона известно, что интеграл действия 1 = ^dQ, взятый вдоль замкнутой кривой S, остается по- S

стоянным, если кривая S деформируется во времени в соответст- В1ии с движением точек этой кривой согласно уравнениям Га-

мильтона. Чтобы найти .интегралы движения таким способом, сначала нужно решить уравнения Гамильтона. Но если уравнение решено, становится неинтересной задача вычисления интегралов: действия. Однако ситуация изменяется, если движение периодическое или почти периодическое и кривая S заранее известна. В адиабатическом приближении движение частиц в плоскости,, перпендикулярной магнитному полю, почти периодично по ларморовским орбитам. Этому почти периодическому движению соответствует так называемый поперечный адиабатический инвариант, который легко можно найти с точностью до первого порядка по е. Перейдем к каноническим переменным ^=р+^А и Q=r, в качестве кривой S выберем ларморовскую орбиту. Если при вычислении интеграла действия считать магнитное поле В постоянным,, то легко показать, что поперечный адиабатический инвариант с точностью до постоянного множителя равняется магнитному моменту частиц:

2

p. = ^ = -^(6(p + ^A)dr. (120) 2В втст j

Полезность этого интеграла связана с его локальной зависимостью от значения магнитного поля. Другими словами, значение р в малой окрестности (порядка е) любой точки О не изменяется, как бы ни менялись поля всюду вне этой окрестности.

В адиабатическом приближении поперечный инвариант всегда существует. Наличие других полезных интегралов зависит от характера задачи. При усреднении по быстрому движению мы фактически исключили фазу вращения частицы по ларморовской орбите. Зная интеграл движения ц, можно исключить еще одну каноническую переменную. В [21] показано, что при этом гамильтонова форма уравнения сохраняется. Если в новых канонических переменных меньшей размерности существует почти периодическое движение, то можно усреднить по фазе это движение и получить новый адиабатический инвариант $5MQi, где ^ и Qi — но* вые канонические переменные. Очевидно, что максимально возможное число адиабатических инвариантов равно числу степеней свободы.

Адиабатические инварианты получаются также автоматически, если последовательно провести усреднение по методу, изложенному выше.

Рассмотрим для примера движение частиц, захваченных в простую магнитную открытую ловушку. Если магнитное поле ловушки удовлетворяет условиям адиабатичности, то существует поперечный адиабатический инвариант (120). В магнитной ловушке запертые частицы совершают еще два типа почти периодических Движений: колебание между пробками ловушки и дрейфовое движение поперек линий магнитного поля (рис. 17). Колебаниям между пробками соответствует второй продольный инвариант:

^РИ1=1Ь (121)

Рис. 17. Магнитное поле адиабатической ловушки и движение заряженной частицы (М — поперечный разрез двух катушек с током). Частица, вращаясь по ларморовской орбите, одновременно совершает квазиперио- дическое движение между точками отражения А и В

где р(| — канонический импульс (компонента импульса, параллельная магнитному полю); dl— элемент длины вдоль силовой линии магнитного поля. Действительно, гамильтониан в этом случае име- <ет следующий вид:

Наконец, частица медленно дрейфует поперек магнитного поля (НО), совершая почти периодические движения вокруг оси ловушки. Этому движению соответствует третий, так называемый потоковый инвариант, который в нулевом приближении равен потоку магнитного поля, охватываемому траекторией частицы:

/з = ^Легй0=Т. (122)

Итак, при учете только дрейфового движения поперек магнитного поля и при исключении других движений мы имеем кружок большого радиуса, в котором заморожен поток магнитного поля.

Проведенные здесь 'Качественные рассуждения могут быть обоснованы строгими математическими расчетами [2:1]. Более того, было доказано существование адиабатических инвариантов во всех порядках разложения истинного решения в ряд по параметру е. В литературе обычно принято под адиабатическими инвариантами понимать их значения в первом приближении. Конечно, вид адиабатических инвариантов с учетом вьюших степеней параметра е меняется, и фактический их расчет может оказаться чрезвычайно громоздким и сложным делом. Однако теорема о сохранении первого адиабатического инварианта во всех порядках может быть проверена без фактического вычисления инвариантов в высших порядках. Для этого следует воспользоваться локальной зависимостью инварианта от магнитного поля. Если частица начала двигаться из области однородного магнитного поля, то в точке инжекции 8=0 и поэтому выражение для инварианта (Г20) является точным. Пусть затем частица попадает в поле, неоднородность которого определяется параметром 8. Когда частица вновь вернется в окрестность точки инжекции, значение магнитного момента, будет отличаться от первоначального на величину порядка е-1/е, которая стремится к нулю при 8-^0 быстрее, чем любая степень параметра 8.

Точное нахождение изменения инварианта р в рамках адиабатической теории невозможно. Необходимо выйти за рамки асимп- 52

Рис. 18. Колебания значения магнитного момента р при одном колебании частиц в магнитной ловушке между точками отражения в пробках А и ВРис. 18. Колебания значения магнитного момента р при одном колебании частиц в магнитной ловушке между точками отражения в пробках А и В'готического приближения. Возможен и другой полуэмпириче- ский подход [31, 32]. На роль резонансов в изменении адиабатических инвариантов указали еще в [33].

Рис. 18. Колебания значения магнитного момента р при одном колебании частиц в магнитной ловушке между точками отражения в пробках А и В

Рис. 18. Колебания значения магнитного момента р при одном колебании частиц в магнитной ловушке между точками отражения в пробках А и В

В [31] было изучено влияние резонансов между ларморовским вращением и колебаниями запертой частицы между пробками магнитной ловушки на сохранение адиабатического инварианта и на этой основе была высказана полезная идея об условиях,

при которых происходит сильное нарушение постоянства адиабатических инвариантов.

Резонансы, с которыми мы будем иметь дело, являются нелинейными: частота колебаний зависит от амплитуды. В магнитной ловушке частота колебаний зависит от значения магнитного момента. Порядок резонанса в ловушке очень высокий, так как частоты колебаний между пробками и циклотронная частота разного порядка. Порядок резонанса зависит от значения ц. Сильное изменение р возможно при переходе от одного резонанса к другому. В [31] сделано предположение, что переход частиц от одного резонанса к другому возможен, когда ширины резонансов становятся больше расстояний между ними. Предположим, например (рис. 18), что неадиабатическое (зависящее от ларморовской фазы) изменение магнитного момента за время одного прохождения между пробками магнитной ловушки

_ 1

Ар=рСе 8з1пфп,(123)

где е — параметр адиабатичности; С — константа; фп— фаза вращения по ларморовскому кружку в момент n-го прохождения частицей центральной плоскости между пробками [32, 35]. Величины С и е можно вычислить для конкретной системы (см., например, [34]). Вопрос состоит в том: будут ли малые изменения (123) накапливаться или они усреднятся за многие прохождения через центральную плоскость? Значение Ар зависит от фазы фп, которая вдали от резонансов между продольным и ларморовским колебаниями быстро изменяется:

фп+1 фп — ЛЙ/о),

где Q—передняя циклотронная частота; со— частота колебаний между пробками. При наличии резонанса £2/(0=^ величина ц будет испытывать большие, но ограниченные (из-за нелинейности) колебания. Только в том случае, когда из-за наличия возмущений ширины резонансов становятся больше расстояний между ними,

возникает блуждание частицы от одного резонанса к другому, что приводит к сильному изменению магнитного момента. Указанная неустойчивость связана с переходом от динамического движения к стохастическому. Эта важная проблема, подробно рассмотрена в других главах. Здесь мы лишь укажем, что при перекрытии резонансов изменение магнитного момента должно происходить по диффузионному закону с коэффициентом диффузии

2

7U7U(124}(124}р?с2 е со2тг

7U

7U

(124}

(124}

Укажем на один метод нахождения интегралов дрейфовых уравнений в релятивистском приближении [25]. Пусть магнитное поле В и электрическое поле Е не зависят от времени. Запишем законы сохранения энергии и магнитного момента

т0ус2+^Ф=ео; moy2vl/2B=p,(125)

где

Отсюда можно найти зависимость vB от координат при фиксированных 8о и р:

Здесь скорость частицы рассматриваем в системе, движущейся со скоростью vd=i(Exe3)/B. Полная скорость кружка в лабораторной системе

“7~ = УП e3 + R± + vd’(127)

где Кд определено в (МО). Используя (126), уравнение (127) перепишем в следующем виде:

{

2ч

У;| ^^^(e^otejj + JH.rot(ff?0Ye3). (128) с da d

Рассмотрим случай, когда BrotB=0:

T_^Lrot(A+-^-Bl.(129)

Здесь А — векторный потенциал магнитного поля. Введем эффективный векторный потенциал.

(130)(130)ТГЦ)ХХа*.— д JHr

(130)

(130)

и эффективное магнитное поле В* = rot А*.

54

Легко видеть, что траектории частиц совпадают с силовыми линиями эффективного магнитного поля В*. Следовательно, они лежат на магнитных поверхностях поля В*. Используя это замечание, можно найти интегралы движения для некоторых случаев, когда поле обладает симметрией. Например, если А* -не зависит от 2, то А*2(х, y)=const. При осевой симметрии г А 6 (г, 2) =iconst. При винтовой симметрии А* г-\-шА*6 — const, где шаг винта равен 2л/а.

Рассмотрим для примера движение частиц в многопробочной системе с большим -продольным полем Вг. В такой системе существуют запертые и пролетные частицы. Для запертых частиц наряду с поперечным инвариантом существует продольный. Для пролетных частиц можно также найти продольный интеграл, который будет отличаться от обычного продольного инварианта. Еслр в -цилиндрической системе координат 6г*/62*<1, B^jB^^A, тс уравнение магнитной поверхности, усредненной по периоду лову^ шек L, имеет вид:

ьр 2

j ^Az -{^- j ВДг'Х dz = const.

о2 о

Аналогичные инварианты для продольного движения частиц можно получить и в винтовых магнитных полях.

НЕАСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Как указывалось выше, в адиабатическом приближении мы до сих пор получали только асимптотические ряды. При вычислении с точностью до первой степени е не так уже важно, является ли ряд асимптотическим или сходящимся. Однако при использовании асимптотических рядов остается открытым вопрос о том, будет ли финитным движение на бесконечном интервале времени, какие условия перехода от динамического описания к статистическому? Многие вопросы динамики частиц остаются нерассмотренными до конца. Это особенно относится к проблемам сильно неустойчивого движения при взаимодействии нелинейных резонансов. С математической точки зрения трудность расчетов даже при наличии малого параметра определяется существованием множества малых резонансных знаменателей в разложении решений в ряд и невозможностью избежать прохождения через резонанс при учете последовательности малых возмущений. Изложенная выше методика позволяет избежать нулевых резонансных знаменателей, однако позволяет сделать ряды сходящимися. Ряды, как правило, оказываются асимптотическими.

Возможности нахождения сходящихся рядов теории возмущения основываются на двух идеях А. Н. Колмогорова ([36]. Оказалось, что для многих си- <тем, описанных ниже, можно зафиксировать нерезонансный набор частот. Это удается сделать в результате изменения постановки задачи и использования зависимости значений частот от начальных условий. При введении последовательности возмущений, т. е. при построении ряда со все большими степенями параметра е, следует оставлять выбранный нерезонансный набор частот постоянным (из-за изменения начальных условий). Вторая идея состоит в построении так называемого сверхсходящегося ряда. Вместо того, чтобы разлагать решение в ряд по целым степеням п параметра е77, строится быстро сходящийся ряд по степеням е2. Такие методы известны давно, например метод касательных Ньютона для нахождения корней алгебраических уравнений. Ниже такой метод указан для гамильтоновых систем следующего типа:

где 1к, Фл — переменные действия и угловые переменные, индекс к пробегает значения от 1 до N. Функция V периодична по ф^ с периодом 2л. Решение нулевого приближения уравнений Гамильтона:

7^ = const; 4>k = tokUk) = dH0/dIn. (132>

Движение в нулевом приближении является условно периодическим. В дальнейшем будет рассматриваться невырожденный случай, когда все N частот со^ независимы, т. е. удовлетворяют условию

Det —^- = Det —^ фО. (133)

Таким образом, в фазовом пространстве могут существовать нерезонансные- инвариантные торы (7ft = const) с максимальным набором частот. Множество нерезонансных торов всюду плотное. Для указанной гамильтоновой системы нулевого приближения [36] была доказана теорема о том, что при достаточно’ малом возмущении большинство нерезонансных торов не исчезает, а лишь немного деформируется. Таким образом, в возмущенной системе также имеются инвариантные торы с числом частот, равным числу степеней свободы. Слово «большинство» в формулировке теоремы понимается в математическом смысле, что мера других тороидов стремится к нулю вместе с возмущениями.

На простом примере покажем построение сверхсходящегося ряда. Фактически нахождение ряда сводится к последовательности канонических преобразований, уменьшающих порядок той части гамильтониана, которая зависит от угловых переменных. На первом шаге получим:

#о (4) + еЯ, (/ft)+e2V2 (4, ^к- е),

где 7kl ф& — новые канонические переменные. Продолжая замену переменных, мы последовательно переходим к возмущениям более высокого порядка:

8% - 8% - 8^882^.

Для примера рассмотрим систему:

невырожденаневырождена= 1^ . Введем’= 1^ . Введем’н = Р/2феУтехр^тк9кУ. 12 = ^.

невырождена

невырождена

= 1^ . Введем’

= 1^ . Введем’

где тк—целые числа, а система

преобразующую функцию, чтобы повысить порядок возмущения, зависящего от фаз:

Г (7, 0) = ^1^к + ———- exp [i Ът^Д .S^^(7)

Здесь тсо^Ит^со^; упомянутый резонансный знаменатель

к = 1кк = 1кexp (i т^\.exp (i т^\.

к = 1к

к = 1к

exp (i т^\.

exp (i т^\.

Исключив из рассмотрения резонансный слой, ограничим снизу резонансный' знаменатель. Поскольку все частоты фиксированы, это ограничение сохраняется при нахождении следующих членов ряда. Конечно, ширина резонансного- слоя должна убывать с ростом порядка резонансов. Строгая оценка сходимости рядов при различных условиях на возмущение (теория КАМ) проведена в [37].

Доказательство устойчивости нерезонансных торов еще не доказывает устойчивость или финитность траекторий в общем случае. Действительно, хотя объем резонансных слоев в фазовом пространстве мал, они заполняют всюду плотное множество. Поэтому почти невозможно с физической точки зрения локализовать начальные условия в области устойчивости, несмотря на то что почти все начальные условия приводят к почти периодическому движению да- 56

же при наличии возмущений. Такая картина объясняет, почему траектория изменяется даже качественно с параметром малости ехр(—1/е), как это было описано выше.

Однако совсем другая картина получается в системе с двумя степенями свободы, когда траектория не имеет векового возмущения и остается все время в области, которую занимала в начальный период времени. Данное утверждение справедливо для резонансных и нерезонансных начальных условий. Действительно, размерность нерезонансных торов равняется N— числу степеней свободы, а размерность гиперповерхности энергии 2N—1. Только для двух степеней свободы размерность торов на единицу меньше размерности гиперповерхности энергии. В этом случае, как говорят ^математики, торы делят поверхность энергии, подобно тому как линия (замкнутая или бесконечная) делит плоскость, но 'точки не делят плоскость, а линии не делят пространство. Таким образом, в случае двух степеней свободы переход от одного резонансного тора к другому возможен лишь через инвариантный нерезонансный тор. Траектория, начавшаяся у резонансного тора, окажется запертой между двумя нерезонансными торами. Как бы ни запутана была траектория, она не уйдет из указанного слоя.

Итак, в осесимметричной ловушке возможно вечное существование запертых частиц, которые могут ‘сдвинуться в фазовом пространстве вдоль линии постоянной энергии на ширину слоя. Следует заметить, что приведенные выше рассуждения для двумерных систем оказываются неприменимыми и для так называемых изохронных систем, у которых линия резонансов идет вдоль линии постоянной энергии.

Нарушение осевой симметрии открытой магнитной ловушки изменяет размерность задачи и делает возможным переход из одной резонансной зоны в другую даже при малых е. Уход частиц из ловушки происходит по диффузионному закону, поэтому он получил название диффузии Арнольда. Подробно этот вопрос рассмотрен в '[32, 35, 38, 39].

Теория КАМ широко используется для решения многих задач динамики частиц ,[40}, а также для описания перехода ‘гамильтоновых систем из динамического режима в стохастический [39, 41].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Терлецкий Я. П.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1941, т. И, с. 96—101.

Terletzky Ya. Р. — J. Phys., 1945, vol. 9, р. 159—167.

Wideroe R. — Arch. Elektrotechnik, 1928, vol. 21, p. 387.

Будкер Г. И. — Атомная энергия, 1956, т. 1, с. 9—20.

Рабинович М. С. — Труды ФИАН, 1958, т. 10, с. 23—,173.

Коломенский А. А., Лебедев А. Н. Теория циклических ускорителей. М.: Физматгиз, 1962.

Stormer S. The Polar Auroral. Oxford: University Press, 1955.

Christofilos N. Rep. of California University, Livermore, 1950.

Балдин A. M., Михайлов В. В., Рабинович М. С. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1956, т. 31, с. 993—1002.

. Векслер В. И. —Докл. АН СССР, 1944, т. 43, с. 346—349.

Векслер В. И. — Докл. АН СССР, 1944, т. 44, с. 393.

Veksler V. I. — J. Phys., 1945, vol. 9, р. 157—159.

Veksler V. I. — Phys. Rev., 1946, vol. 69, p. 244.

Файнберг Я. Б. — Журн. техн, физ, 1959, т. 29, с. 568—580.

Старрок П. Статическая и динамическая электронная оптика: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит. М., 1958.

Рустенхольц Н. — Электронная оптика. М.: Изд-во иностр, лит. 1957.

Глазер В. Основы электронной оптики. М.: Гостехтеориздат, 1957.

Кельман В. М., Явор С. Я. Электронная оптика. Л.: Наука, 1968.

Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

Berkowitz J., Gardner S. — Commun. on Pure and Applied Math., 1959, vol. 12, p. 501.

Крускал М. Адиабатические инварианты: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1962.

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.

Нортроп Т. Адиабатическая теория движения заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967.

Сивухин Д. В. Вопросы теории плазмы. Вып. 1/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963.

Морозов А. И., Соловьев Л. С. Вопросы теории плазмы. Вып. 2./Под ред. М. А Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963.

Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967.

Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1972.

Vandervoort Р. О. — Ann. Phys., 1960, vol. 10, р. 401—459.

Гапонов А. В., Миллер М. А. Журн. эксперим. и теорет. физ. 1958, т. 3* с. 751—752.

Миллер М. А. — Радиофизика, 1959, т. 2, с. 438.

Чириков Б. В. — Атомная энергия, 1959, т. 6, с. 630—639.

Чириков Б. В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Новосибирска Изд-во Новосибирского ун-та, 1978.

Андронов А. А., Леонтович М. А., Мандельштам Л. И. — Журн. Рус. физ.-хим. об-ва, 1928, т. 60, с. 41.

Хасти Р., Хобс Г., Тейлор Дж. — В кн.: Конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу. Новосибирск, 1—7 авт. 1968 г.„ т. 2. Вена: МАГАТЭ, 1968, с. 389.

Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1977.

Колмогоров А. М. — Докл. АН СССР, 1954, т. 98, с. 527—531.

Арнольд В. И. — Докл. АН СССР, 4 962, т. 142, с. 758—762.

Чириков Б. В. — Физика плазмы, 1978, т. *4, с. 521.

Chirikov В. V. — Phys. Repts, 1979, vol. 52, р. 263.

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974, с. 365.

Lichtenberg A. J. Intrinsic Stochasticity in Plasma./Ed. by G. Lavals D. Gresillon. Orsey, France: Les Editions de Physique Courtaboeuf, 1979, p. 13.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЛАЗМЕ

А. В. ЕЛЕЦКИЙ, Б. М. СМИРНОВ

Основные свойства плазмы определяются присутствием в ней заряженных частиц, так что наиболее важные процессы соударе- -Ния частиц в плазме протекают с участием заряженных частиц. В данной статье рассмотрены физические механизмы, ответственные за протекание процессов такого рода, представлены основные характеристики этих процессов.

ОБРАЗОВАНИЯ И ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ

Количество заряженных частиц в плазме определяется процессами ионизации атомных частиц и процессами рекомбинации при столкновении двух противоположно заряженных частиц. Эти процессы и будут далее рассмотрены.

Ионизация атома электронным ударом. Наиболее эффективный способ образования заряженных частиц в плазме происходит при столкновении электрона с атомом и молекулой:

е+Л-^2е+Л+.(1)

Рассмотрим этот процесс. Самый простой способ его описания опирается на модель Томсона. В рамках этой модели процесс ионизации является процессом -столкновения налетающего электрона с валентным, которому передается энергия, .превьишающая энергию ионизации атома. При этом считается, что в момент столкновения электронов связью валентного электрона со своим ядром можно пренебречь. Тогда сечение /ионизации

^ion^ J(2)

где do — дифференциальное сечение рассеяния электронов; М — энергия, передаваемая от налетающего электрона атомному. Воспользуемся формулой Резерфорда [1] для do, считая, что валентный электрон -покоится в начальный момент времени:

do=ue4d^§/E^\- (3)

где Е— энергия налетающего электрона. Подставляя (3) в (2) и учитывая, что передаваемая валентному электрону энергия AS меняется от У до Е, получаем формулу Томсона для сечения ионизации

Огои=^/Е^\/3-\/Е^ Е^У.(4)

В том случае, если атом или молекула содержит п валентных электронов, сечение следует умножить на эту величину.

Отметим важную особенность формулы Томсона для сечения ионизации — она зависит только от классических параметров. Причина этого—квантовое и классическое сечения упругого столкновения заряженных частиц совпадают [2]. Продолжим эту аналогию дальше. Учитывая модельный характер формулы Томсона, запишем сечение ионизации в общем виде, опираясь на классические параметры атома и процесса столкновения частиц: Е, У, е2 и те. При этом сам атом мы характеризуем только одним параметром У. Из соображений размерности имеем для сечения ионизации:

Огоп-^/У^ЦЕ/У^(5)

где п— число валентных электронов; f(xz) —универсальная функция, одинаковая для всех атомов, у которых совпадают состояния валентных электронов. Эту функцию удобно восстановить на основании эксперимента. На рис. 1 представлены значения этой универсальной функции [3], восстановленные на основе измерений для атомов и ионов с валентными s-электронами. Как видно, удобная аппроксимация для универсальной функции имеет вид [3]:

f(x) = 10(x— 1)А(х+8).(6)

59

7 7,2 7,6 23 4 5 6 7 8 10 /2 16 20 30 40 50 х^/д

Рис. 1. Сравнение функции /(х), восстановленной на основании выражения (1.5) из данных по измерению сечения ионизации, с аппроксимационным выражением (1.6)

Отметим, что использованные на рис. 1 сечения ионизации для атомов и ионов от He(2,3S) до Li+ различают более чем на три порядка, тогда как полученные на их основе значения универсальной функции оказываются близкими уже при х—1^0,3, т. е. при всех энергиях соударения, исключая узкую область вблизи порога.

Принципиальным недостатком классической теории ионизации является то, что в пределе больших энергий налетающего электрона она дает зависимость aion^l/E, тогда как на основе квантовой механики получается зависимость Gion~In{сЕ)]Е. Эта проблема достаточно полно исследована, более подробное ее состояние и обзор литературы см. [4].

Оказалось, что, несмотря на принципиальное различие классической и квантовой теории, расхождение численных результатов этих подходов невелико. Для возбужденного электрона снимается и принципиальное различие этих подходов, так как в этом случае постоянный член под логарифмом в квантовомеханическом выражении становится большим и логарифмическая зависимость сечения практически не проявляется.

Наряду с рассмотренным процессом ионизации возможен и другой способ ионизации атома в плазме, при котором атом сначала возбуждается, далее при -столкновении с электроном переходит в более возбужденные состояния, а уже из них ионизуется. В этом случае атом в результате столкновения с электроном проходит целую -серию возбужденных -состояний. Такой процесс ионизации называется ступенчатой ионизацией. В отличие от нее рассмотренный ранее процесс ионизации в одну стадию называется 60

прямой ионизацией. Скорости этих процессов мы сравним при исследовании тройной рекомбинации электрона и иона.

Ионизация с участием возбужденного атома. Другой канал образования свободных электронов в плазме обязан столкновению возбужденных атомов с атомами и молекулами и протекает по схеме:

(7)(8)(7)(8)Д*+В-^Д+В++в;

(7)

(8)

(7)

(8)

Л*+В-^Л6++а.

Если атом Л* в процессе (7) находится в метастабильном состоянии, то процесс называется процессом Пеннинга. Он играет важную роль в газоразрядной плазме, являясь источником свободных электронов и влияя на параметры газового разряда. В табл. I

приведены экспериментальные значения для сечения процесса Пенцинга при тепловых энергиях. (Данные взяты из монографии '[4];)\

iB процессе Пеннинга энергия возбуждения ато'ма А превышает -потенциал ионизации атома В. В случае ассоциативной ионизации, описываемой уравнением (8), энергия возбуждения атома А может быть меньше потенциала атома В, так что энергия, необходимая для ионизации, складывается из энергии возбужденного атома и энергии овязи молекулярного иона АВ^. Механизм процесса (8) можно понять из рис. 2. При сближении сталкивающихся атомов Л и В после того, как расстояние между ними стало мень-

Рис. 2. Иллюстрация механизмов ассоциативной ионизации и диссоциативной рекомбинацииРис. 2. Иллюстрация механизмов ассоциативной ионизации и диссоциативной рекомбинациише расстояния пересечения термов Rc, состояние системы сталкивающихся атомов становится автоионизационным. Оно распа- падается (см. рис. 2, стрелка У) с образованием молекулярного иона и свободного электрона. Ассоциативная ионизация может быть ответственной за образование свободных электронов в низкотемпературной плазме, содержащей много возбужденных частиц (например, в пламенах).

Рис. 2. Иллюстрация механизмов ассоциативной ионизации и диссоциативной рекомбинации

Рис. 2. Иллюстрация механизмов ассоциативной ионизации и диссоциативной рекомбинации

Диссоциативная рекомбинация. В зависимости от параметров плазмы рекомбинация

электронов и ионов может протекать по разным каналам. В слабо- ионизованной плазме с невысокой температурой газа, в которой

имеется достаточное количество молекулярных ионов, нейтрализация зарядов обусловлена диссоциативной рекомбинацией электро

нов и молекулярных ионов:

е+АВ+-^А+В.(9а)

Этот процесс противоположен ассоциативной ионизации, и его механизм можно понять из рис. 2. Электрон захватывается на автоионизационный отталкивательный терм системы А*В (стрелка 2), и если ядра успевают разойтись до распада автоиониза- ционного состояния на расстояние, превышающее Rc, то происходит рекомбинация. Сечение этого процесса Огес порядка газокинетического. Поэтому коэффициент рекомбинации* теплового электрона и молекулярного иона «= <уогес> ~ Ю7 см/cXiO"15 см2 — ~10~8 см3/с. В табл. 2 представлены экспериментальные значения коэффициентов рекомбинации электрона и молекулярных ионов при комнатной температуре. (Данные взяты из -[4, 5].)1

Тройная электрон-ионная рекомбинация и ступенчатая ионизация. Если температура плазмы достаточно высока, так что молекулярные ионы в ней отсутствуют, то рекомбинация электрона и иона происходит при столкновении с третьей частицей. Третья частица уносит избыток энергии (при диссоциативной рекомбинации избыток энергии переходил в энергию разлета атомов). Чаще всего третьей частицей является электрон, так что тройная рекомбинация электрона и иона на электроне протекает по схеме:

А++2е~>А*+е.(96)

Если тепловая энергия электрона много меньше потенциала ионизации атома, то процесс тройной рекомбинации протекает в

Таблица 2. Значения коэффициента диссоциативной рекомбинации г молекулярных ионов, усредненные по результатам различных измерений, выполненных при комнатной температуре (если температура отличается от комнатной, она указана в скобках)

Ион

a, 10~7 cm3/c

Ион

a, 10-7 cm3/c

Ht

0,3

n+

15

Не^

0,07

NO+

3,5

CO+

6,8

Ne+

1,8

N2Ot

17

Art

6,3

cot

2,6

Krt

8,2

H3O+

10 (540).

Xet

19

H6ot

20 (540)

He+

34 (80)

H3O+

38

HeNe+

0,2

h9o+

49

Hgt

25 (420)

Huot

60

Cst

1,7 (600)

nh+

18

Cs+

0,2(600)

Na+O2

50

ot

1,9

Na+CO2

50

ot

23 (200)

3

несколько стадий. Сначала, образуется атом в возбужденном состоянии с потенциалом ионизации порядка Те, а затем после нескольких последующих столкновений с электронами возбуждений, атом переходит в основное состояние. Здесь Те — температура электрона, причем здесь и далее температура выражается в энергетических единицах.

В рассматриваемом случае Л<С 3 (Я— потенциал ионизации атома) коэффициент рекомбинации а определяется первыми стадиями процесса, при .которых атом проходит ряд возбужденных, состояний. Поскольку спектр высоковозбужденных состояний атома водородоподобен, то при низких электронных температурах коэффициент тройной рекомбинации одинаков для всех атомов. Далее, в силу тройного характера процесса .коэффициент рекомбинации а пропорционален плотности электронов Ne. Учитывая,, что движение высоковозбужденного электрона в атоме квазиклас- сично, заключаем, что величина отношения a/Ne определяется, только классическими параметрами процесса, каковыми являются Те — температура электронов, е2— параметр взаимодействия- заряженных частиц, иг — масса электрона. Из этих параметров- можно построить только одну комбинацию с размерностью a/Ne. Таким образом, из соображений размерности получаем следующее Выражение для .коэффициента тройной рекомбинации:

Рис. 3. Коэффициент тройной рекомбинации электронов и атомных ионов, вычисленный и измеренный при различных температурах: ф,упрощенные расчеты с учетом конкретной структуры атомов [6, 7]*расчет

по формуле (1.10); +, □—экспериментальные результаты для Н; X—для Аг; О — для Хе

где С — числовой множитель (С^ -3-6 [4]).

На рис. 3 представлена зависимость коэффициента рекомбинации от температуры электронов, рас-

/2 ¥ а 16 32 7 ю^к считанная для разных сортов в ра

боте [6] с учетом структуры атомов и деталей процесса, а также приведены экспериментальные значения. Как видно, при низкой температуре электронов разным сортам рекомбинирующих ионов отвечают одинаковые значения коэффициента рекомбинации в соответствии с формулой (10).

Процесс тройной рекомбинации детально противоположен процессу ступенчатой ионизации. Учитывая это, определим константу скорости ступенчатой ионизации йступ. Если плазма находится в равновесии, то число актов ионизации и рекомбинации, происходящих в единице объема в единицу времени, совпадает, т. е.

(Н)(Н)aNeN— kcrynNa

(Н)

(Н)

NeN{NaNeN{NagegigagegigamTe \3/22лЙ2 )mTe \3/22лЙ2 )exp ^-3(Теуexp ^-3(Теу(12)(12)Плотность заряженных частиц и атомов в термодинамически равновесной плазме связана формулой Саха [8]

NeN{Na

NeN{Na

gegiga

gegiga

mTe \3/2

2лЙ2 )

mTe \3/2

2лЙ2 )

exp ^-3(Теу

exp ^-3(Теу

(12)

(12)

где ge, gt, ga — статистические веса электрона, иона и атома соответственно. Подставляя (12) в (11) и используя для коэффициента рекомбинации формулу (10), получаем для .константы скорости ступенчатой ионизации выражение

^ступ = Л^-^ехр(-//Л); А = -^; ge = 2. (13) ga 1 е

Сравним константу скорости прямой и ступенчатой ионизации в случае Те^У . Прямая ионизация определяется энергиями электрона вблизи порога. Сечение прямой ионизации вблизи порога, равно о1Оп=с'^Е-—J), где Е— энергия электрона. Отсюда находим константу скорости прямой ионизации:

^прям = ^1оп^ = /^- «' exp (- 9)?^ (14)

Рис 4. Зависимость сечения фотодиссоциации гелия от длины волны падающего излучения (9}Рис 4. Зависимость сечения фотодиссоциации гелия от длины волны падающего излучения (9}где усреднение <> проводится по максвелловскому распределению электронов. Взяв отношение констант скоростей прямой (14) и ступенчатой (13) ионизации и учитывая, что все параметры в этих формулах, кроме Те, порядка атомной величины, находим:

Рис 4. Зависимость сечения фотодиссоциации гелия от длины волны падающего излучения (9}

Рис 4. Зависимость сечения фотодиссоциации гелия от длины волны падающего излучения (9}

6прямЖтуп~(Ге^(15)

Как видно, при низких электронных

температурах константа скорости сту

пенчатой ионизации значительно больше, чем прямой. Поэтому в достаточно плотной плазме, где разрушение возбужденных атомов происходит в результате столкновений с электронами, ионизация атомов носит ступенчатый характер.

Фотоионизация и фоторекомбинация. Особенность фотоионизации атомов (процесса ионизации атома под действием фотонов с достаточной энергией) в том, что сечение этого процесса — константа у порога. На рис. 4 для примера представлено сечение фотоЦонизации атома гелия кан функция энергии налетающего фотона [9]. В табл. 3 приведены пороговые значения сечения фотоионизации. (Данные взяты из [10].)

Таблица 3. Пороговые значения сечений фотоионизации некоторых атомов [10]

Атом ,

Пороговая длина волны,

А

Сечение, 10—18 см2

Атом

Пороговая длина волны,

А

Сечение, 10—18 см2

Атом

Пороговая длина волны,

А

Сечение, 10—18 см2

Лн

912

6,3

О

910

2,6

Са

2028

0,45

Не

504

7,4

F

713

6

Ga

2070

0,2

Li

2300

2,5

Ne

575

4

Кг

845

35

Be

1330

8,2

Na

2412

0,12

Rb

2970

0,11

В

1490

19

Mg

1620

1,2

In

2140

0,3

С

1100

И

Аг

787

35

Cs

3185

0,22

N

852

9

К

2860

0,012

Т1

2030

4,5

. Приведем формулы для сечений фотоионизации в простейших конкретных случаях. Сечение фотоионизации атома водорода равно [11]:

256^ ей 2 / д V/2

° ion— "7 ^0 ("Г)’(16)

3 ас \ шо у

а сечение фотоионизации сильновозбужденного атома дается формулой Крамерса [12]

1 бтс тпеХй,.

3,0,1-"зКз" ~спЧ№~'

Лесь у потенциал ионизации атома водорода; Ню—энергия

3 Зак. 137

фотона; п — главное квантовое число; с—-скорость света. Как видно, выражения для сечений фотоионизации содержат в ка.честве множителя малый параметр е2/Йс=1/137, поэтому численные значения Gton значительно меньше характерной атомной величины.

Фоторекомбинация— процесс, обратный фотоионизации. Сечения этих процессов связаны принципом детального равновесия:

«гес = — — ®ion-(18)

gi q2

где ga, gi — статистический вес атома и иона соответственно; к — волновой вектор фотона (.к-о^су со— частота фотона; с — скорость света; q— волновой вектор электрона (q^mvlh ); у — скорость электрона. В частности, для рекомбинации в сильновозбужденное состояние получаем с учетом формулы Крамерса (17):

3 Кз \ Нс ) mu2Hton3

Фоторекомбинация ответственна за рекомбинацию электронов и ионов в разреженной не очень холодной плазме. В такой плазме молекулярные ионы отсутствуют и фоторекомбинация, которая носит двухчастичный характер, более эффективна, чем тройная рекомбинация. В частности, для водородной плазмы с температурой электронов в области 1000—10 000 К коэффициент тройной рекомбинации (/10) сравнивается с коэффициентом рекомбинации при плотностях электронов Ne~ lO^—flO14 см-3.

На рис. 5 представлена зависимость коэффициента фоторекомбинации электрона и протона от температуры [13].

Приведенные значения коэффициента рекомбинации усреднены по максвелловскому распределению электронов.

Диэлектронная рекомбинация. Диэлектронная рекомбинация протекает через образование автоионизационного состояния атома

е-\-А^^А**\(20а)

(206)

Д**-^4 + Йео. (20в) Здесь Д** — автоионизационное состояние атома. Получаем формулу для коэффициента диэлектронной рекомбинации за счет определенного автоионизационного состояния. Будем считать, что скорость процесса стабилизации автоионизационного состояния w мала по-

~сравнению с частотой спонтанного рас-

висимот ^коэффициента фо- ^а автоионизационного состояния торекомбинации электрона и 1/"' (Г ширина автоионизационного- протона [13Jуровня):

w<r/k.(21)

Тогда автоионизационное состояние атома находится в термодинамическом равновесии с электронами и плотность атомов в авто- ионизационном состоянии согласно формуле Саха (12) равна:

Na = N^i -^- f^-f2 exp (-Ml \тГв)

Здесь ga, ge, gi — статистический вес автоионизационного состояния атома, электрона и иона соответственно; Те — температура электронов; §а — энергия возбуждения автоионизационното состояния. Поскольку wNe—। число рекомбинирующих пар в единице объема в единицу времени, то коэффициент диэлектронной рекомбинации [13]1

g« / 2ттЯ2 \3/2_/ОО\

а = йУ -S5- ( —— ) ехр (—За/Те).(22)

Mi \ ште ;

Сравнивая формулы (10) и (22), находим, что при низкой температуре электронов тройная электрон-ионная рекомбинация эффективнее диэлектронной, если тушение гвтоионизационного состояния происходит при столкновении с электроном. В этом случае w='NeKvyin, где константа скорости тушения автоионизацион- ного состояния электроном /(туш порядка атомной величины. По- -этому коэффициент диэлектронной рекомбинации a~NeTe""3,2exp /g \

(— L тогда как коэффициент тройной электрон-ионной ре-

\ Те J

комбинации порядка a~NeTe~№. Отсюда следует, что диэлектрон- ная ,рекомбинация может быть ответственной за рекомбинацию .в разреженной плазме, где стабилизация автоионизационното состояния происходит с излучением фотона по каналу (20в). Кроме того, этот процесс может быть важным при высоких температурах плазмы.

Диэлектронная рекомбинация играет определенную роль в •астрофизической плазме.

СТОЛКНОВЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИИ МОЛЕКУЛАМИ

Упругое рассеяние электрона на атоме или молекуле. Упругое рассеяние электрона на -атоме и молекуле ответственно за явления переноса в слабоионизованном газе, оно определяет проводимость слабоионизованного газа. Практически всегда сечение упругого рассеяния электрона на частицах газа значительно превышает сечения сопутствующих неупругих процессов, так что рассеяние электрона в газе и связанные с ним явления обусловлены Упругими столкновениями. Рассеяние электрона на атомах и молекулах носит квантовый характер. В пределе низких энергий сечение рассеяния о=4л£2, где L — длина рассеяния электрона на -итоме и молекуле. В табл. 4 приведены длины рассеяния для ряда

Таблица 4. Длина рассеяния электрона на атоме [15] (S — синглетная, Т — триплетная длина рассеяния в единицах Qo)

2 о

<

X

Z

<

н

Li

Na

К

Cs

со

Ьч

со

со

со

со

L

1,15

0,3

—1,5

—3,1

—5,7

6,8

1,9

3,3

—6,4

4,1

—6,0

0,4

—15

—4

—25^

атомов [15]. При .конечных энергиях полное о и диффузионное и* сечения рассеяния электрона на атоме или молекуле выражается через фазы рассеяния 61 -следующими формулами:

а==^^ S sin2Sl’ ^Ssin^~W (23>

где & —волновой вектор электрона. При малых энергиях электрона разложение для фаз рассеяния электрона на атоме имеет вид:

8= —Z-& ——&2; 8.=°318= —Z-& ——&2; 8.=°31тга^2тга^2(2/— 1) (2/+ 1) (2/+ 3) ’(2/— 1) (2/+ 1) (2/+ 3) ’/^0.(24)/^0.(24)

8= —Z-& ——&2; 8.=

°31

8= —Z-& ——&2; 8.=

°31

тга^2

тга^2

(2/— 1) (2/+ 1) (2/+ 3) ’

(2/— 1) (2/+ 1) (2/+ 3) ’

/^0.(24)

/^0.(24)

Как видно, если длина рассеяния электрона на атоме отрицательна, то нулевая фаза рассеяния электрона на атоме обращается в. нуль при некоторой энергии, а остальные фазы рассеяния при этой энергии еще малы. Поэтому сечение рассеяния (полное и диффузионное) имеет резкий минимум вблизи этой энергии. Такое свойство сечения носит название эффекта Рамзауэра.

На рис. 6 представлены зависимости диффузионного сечения рассеяния электрона на атомах инертного газа от энергии столкновения [1'6]. Как видно, эффект Рамзауэра наблюдается для атомов аргона, криптона, ксенона, которым отвечает отрицательное значение длины рассеяния. В случае гелия и неона, где длины рассеяния положительны, сечение рассеяния увеличивается с ростом энергии при малых энергиях электрона.

При рассеянии электрона на атоме инертного газа имеется одно спиновое состояние у системы электрон — атом. В случае столкновения электрона с атомами щелочных металлов система имеет два состояния -и поэтому эффект Рамзауэра замазывается. Эффект Рамзауэра не наблюдается и при рассеянии электрона на молекуле, что можно объяснить несферичностью короткодействующего потенциала взаимодействия электрона с молекулой и наличием квадрупольного взаимодействия между ними.

Возбуждение атомных уровней электронным ударом. Рассматриваемый процесс протекает по схеме

е+Д^+Д*. (25)

Бороновское приближение, справедливое для больших энергий столкновения электрона, предсказывает наибольшие сечения для

Рис. 6. Зависимости диффузионного сечения рассеяния электрона на атомах инертных газов от энергии (результаты экспериментальных и теоретических работ различных авторов {16])

резонансных переходов (т. е. таких, (Которые возбуждаются под действием излучения). На рис. 7 представлены измеренные сечения возбуждения резонансных уровней атомов и молекул электронным ударом. Эти сечения представлены в приведенных переменных, которые выбираются с учетом характера резонансного перехода.

Рис. 7. Энергетическая зависимость сечения возбуждения резонансных состояний атомов электронным ударом, представленная с помощью приведенных перемен-

Еа (^Еоп^

ных х= ———, (pW=—~ (А£оп—энергия возбуждения резонансного

on2л/0П

состояния, fon— сила осциллятора перехода, Е— энергия соударения)

Возбуждение вращательных и колебательных уровней молекулы электронным ударом. Возбуждение вращательных уровней молекулы электронным ударом вносит малый вклад в потери энергии электрона, сталкивающегося с молекулой. Поэтому остановимся только на простейшем случае — вращательном возбуждении линейной молекулы при соударении с медленным электроном. Пока энергия электрона достаточно мала (практически меньше 1 эВ), вращательные переходы обусловлены дальнедействующим взаимодействием электрона с молекулой и их можно найти на основе теории возмущений. Если дипольный момент молекулы отличен от нуля, то правила отбора допускают вращательные переходы в линейной молекуле с изменением вращательного квантового числа А/=±1. При этом сечение возбуждения линейной молекулы электронным ударом равно ^}=А) [17]:

= ^УДЭ!\ (26)

ot ЗЕ (2/+ 1) \ VE — YE — ЫЕ f X 7

где D— дипольный момент молекулы; Е— энергия электрона. Пусть В—'Вращательная постоянная, тогда изменение вращательной энергии при переходе равно \Е=йВу-\-\у

Если дипольный момент молекулы равен нулю, то вращательное возбуждение обусловлено квадрупольным взаимодействием электрона с молекулой. При этом согласно правилу отбора Д/ = ±2 и сечение возбуждения [18]

W (/+!)(/+ 2) ЛГ 1Ё^ot— 15 (2/' + 1) (2/+3) V 1 Е ’

где Q — квадрупольный момент молекулы.

Наиболее эффективный механизм возбуждения колебательных состояний молекулы электронным ударом связан с образованием промежуточного автоионизационного состояния отрицательного иона и протекает по схеме:

еЛ-АВ ^-^^АВ^ **-+АВ (г/) +е, (28)

где в скобках указано колебательное состояние молекулы. Таким образом, эффективное возбуждение колебательных уровней молекулы электронным ударом связано с наличием автоионизационно- го состояния отрицательного иона молекулы, которое может быть возбуждено при рассматриваемой энергии электрона. Обычно возможность образования такого состояния устанавливается на основе эксперимента, причем максимальное сечение возбуждения колебательных уровней молекулы, как следует из механизма процесса, оказывается порядка атомной величины. На рис. 8 в ка.честве примеров показаны сечения возбуждения колебательных уровней для молекулы азота и угарного газа.

Отметим, что максимальное сечение возбуждения колебательных уровней молекулы электронным ударом лишь на порядок меньше характерного сечения упругого рассеяния электрона на

Рис. 8. Сечение возбуждения колебательных состояний молекул N2 и СО электронным ударом, измеренное и вычисленное различными авторами [16]Рис. 8. Сечение возбуждения колебательных состояний молекул N2 и СО электронным ударом, измеренное и вычисленное различными авторами [16]

Рис. 8. Сечение возбуждения колебательных состояний молекул N2 и СО электронным ударом, измеренное и вычисленное различными авторами [16]

Рис. 8. Сечение возбуждения колебательных состояний молекул N2 и СО электронным ударом, измеренное и вычисленное различными авторами [16]

молекуле, но энергия колебательного кванта на порядок величины превышает энергию, требуемую электроном при упругом рассеянии на молекуле. Поэтому при наличии рассматриваемого механизма возбуждения колебательных уровней потери энергии электроном, движущимся в молекулярном газе, в основном определяются колебательным возбуждением молекул. В табл. 5 представлены доли энергии, теряемые электроном по различным каналам при движении его в некоторых молекулярных газах в постоянном электрическом поле. Эти характеристики зависят от отношения напряженности внешнего электрического поля Е к плотности молекул газа.

Диссоциация при соударении электрона с молекулой. Диссоциация молекулы электронным ударом представляет собой возбуждение отталкивательного терма молекулы (рис. 9). Поэтому

Рис. 9. Иллюстрация наиболее эффективного механизма диссоциации молекулы электронным ударом. Диссоциация происходит в результате возбуждения молекулы на отталкивательный терм (показано стрелкой)

Рис. 10. Сечение диссоциации молекулы водорода электронным ударом [19]:

/ — с образованием двух атомов в основном состоянии; 2 — с образованием одного из атомов в возбужденном состоянии Н(2Р)

Таблица 5. Средняя энергия электронов ^е и доля энергии т]еь Лго1 > ^vib, теряемой электронами на упругое рассеяние, вращательное и колебательное возбуждения в молекулярном газе при разных значениях отношения напряженности электрического поля к плотности газа [16]

E/N, 10—16 эВх

Хем2

Параметр

н2

n2

O2

со

СО2

¥е, эВ

0,14

0,4

0,2

0,14

0,04

riel. %

25,0

13,4

0,8

0,6

0,3

о,1

Лгон %

75

49

0,6

25

58,4

Tlvib, %

—

37,6

98,6

74,4

41,3

^е. эВ

0,35

0,9

0,5

0,2

0,045

0,3

Т]е1. %

29

10,3

0,5

0,5

0,11

T)rot > %

36

14

0,2

11

6,9

Tlvib> %

35

75,7

99,3

88,4

93

^е, эВ

0,75

1,4

1,6

0,8

0,1

1,0

Т]е1 > %

19,4

2,8

0,9

0,6

0,07

■ПгоЬ. %

8,6

2,2

0,06

2,7

0,9

T]vib, %

72

95

99,0

96,7

99

^е, эВ

1,8

1,8

3,3

1,2

1,6

з

Т)е1, %

12

0,8

0,5

0,6

0,07

Tirol, %

3

0,4

0,02

1,0

0,2

Tlvib, %

85

98,8

99,4

98,4

99,7

Йе, эВ

4,3

2,8 ,

5,1

2,3

4,5

T)el, %

2,5

0,17 1

0,12

0,2

0,1

10

Tirol, %

0,3

0,05

0,002

0,1

0,1

T)vib, %

97,2

99,8 ,

99,9

99,7

99,8

сечение диссоциации молекулы характеризуется теми же свойствами, что и сечение возбуждения атома. Итак, основной вклад в диссоциацию вносит возбуждение резонансных отталкивательных термов, сечение диссоциации в максимуме по порядку величины составляет 1016 см2, максимум сечения расположен недалеко от порога, при больших энергиях Е налетающего электрона сечение диссоциации падает как 1п£/£. На рис. 10 в качестве примера представлено сечение диссоциации молекулы водорода электронным ударом [19].

Прилипание электрона к молекуле. В слабоионизованной плазме, содержащей молекулы определенных сортов, в результате столкновения электрона с молекулами могут образовываться отрицательные ионы. Переход отрицательного заряда плазмы к отрицательным ионам существенно отражается на свойствах плазмы, так как при этом изменяется ее проводимость, пробойные параметры и другие характеристики. Рассмотрим механизмы превращения электронов в отрицательные ионы при столкновении с молекулой.

Диссоциативное прилипание электрона к молекуле протекает по схеме:

е+ЛВ->(ДВ-)**->Л+В"(29)

Как и в случае возбуждения колебательных уровней молекулы, этот процесс протекает через образование автоионизационного состояния отрицательного иона молекулы. При разлете ядер это состояние дает устойчивый отрицательный ион. Как следует из физики процесса, энергетическая зависимость сечения данного процесса состоит из отдельных резонансов. Сечения в максимумах малы по сравнению с атомными сечениями, так как очень мала вероятность разлета ядер без распада автоиониза-

Рис. 11. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]Рис. 11. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]ционного состояния.

Рис. 11. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]

Рис. 11. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]

На рис. 11 представлена зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии, измеренная при различных температурах газа [’20].

Прилипание электронов к сложным молекулам идет по схеме:

e^-M^ (М") **; (Л4-) **+Л-^Л4"+Л.(30)

Молекула^att, см’/сSF62,4-10-7СС144-10-7CC13F1,1-10-7cci2f21,2-10-9Молекула^att, см’/сSF62,4-10-7СС144-10-7CC13F1,1-10-7cci2f21,2-10-9Таблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуреТаблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуреМолекулаК, Ю"3* смв/с&252со2,7n2o0,06МолекулаК, Ю"3* смв/с&252со2,7n2o0,06Таблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуреТаблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуреЗдесь Л — частицы газа, в котором протекает рассматриваемый процесс. Автоионизационные состояния отрицательных ионов сложных молекул обладают большими временами жизни (10~5—10—4 с) и поэтому даже при умеренной плотности газа в последнем успевают произойти тушащие столкновения. В табл. 6 представлены

Молекула

^att, см’/с

SF6

2,4-10-7

СС14

4-10-7

CC13F

1,1-10-7

cci2f2

1,2-10-9

Молекула

^att, см’/с

SF6

2,4-10-7

СС14

4-10-7

CC13F

1,1-10-7

cci2f2

1,2-10-9

Таблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуре

Таблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуре

Молекула

К, Ю"3* смв/с

&

25

2

со

2,7

n2o

0,06

Молекула

К, Ю"3* смв/с

&

25

2

со

2,7

n2o

0,06

Таблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуре

Таблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуре

константы скорости прилипания электронов к некоторым сложным молекулам. Поскольку данный процесс весьма эффективен, добавление ^небольших примесей сложных молекул в газ улучшает его пробойные характеристики.

Таблица 5. Средняя энергия электронов $е и доля энергии т]е1 > ЛгоЬ ^vib, теряемой электронами на упругое рассеяние, вращательное и колебательное возбуждения в молекулярном газе при разных значениях отношения напряженности электрического поля к плотности газа [16]

E/N, 10—16 эВх

Хем2

Параметр

н2

м2

O2

со

со2

Зе, эВ

0,14

0,4

0,2

0,14

0,04

Ле1 > %

25,0

13,4

0,8

0,6

0,3

0,1

Цго1> %

75

49

0,6

25

58,4

Tlvib, %

—

37,6

98,6

74,4

41,3

Зе. эВ

0,35

0,9

0,5

0,2

0,045

0,3

Т]е1. %

29

10,3

0,5

0,5

0,11

T)rot, %

36

14

0,2

11

6,9

Tlvib > %

35

75,7

99,3

88,4

93

Зе. эВ

0,75

1,4

1,6

0,8

0,1

1,0

■ПеЬ %

19,4

2,8

0,9

0,6

0,07

T)rot> %

8,6

2,2

0,06

2,7

0,9

T]vib, %

72

95

99,0

96,7

99

Зе. эВ

1,8

1,8

3,3

1,2

1,6

з

Т)е1, %

12

0,8

0,5

0,6

0,07

Tirol, %

3

0,4

0,02

1,0

0,2

Tlvib, %

85

98,8

99,4

98,4

99,7

Зе. эВ

4,3

2,8 ,

5,1

2,3

4,5

ЛеЬ %

2,5

0,17 1

0,12

0,2

0,1

10

Tirol, %

0,3

0,05

0,002

0,1

0,1

Tlvib, %

97,2

99,8

99,9

99,7

99,8

сечение диссоциации молекулы характеризуется теми же свойствами, что и сечение возбуждения атома. Итак, основной вклад в диссоциацию вносит возбуждение резонансных отталкивательных термов, сечение диссоциации в максимуме по порядку величины составляет 1016 см2, максимум сечения расположен недалеко от порога, при больших энергиях Е налетающего электрона сечение диссоциации падает как In £/£. На рис. 10 в качестве примера представлено сечение диссоциации молекулы водорода электронным ударом [19].

Прилипание электрона к молекуле. В слабоионизованной плазме, содержащей молекулы определенных сортов, в результате столкновения электрона с молекулами могут образовываться отрицательные ионы. Переход отрицательного заряда плазмы к отрицательным ионам существенно отражается на свойствах плазмы, так кан при этом изменяется ее проводимость, пробойные параметры и другие характеристики. Рассмотрим механизмы превращения электронов в отрицательные ионы при столкновении с молекулой.

Рис. И. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]Рис. И. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]Молекула*att. см’/сSF62,4-10-7СС144-10-7CC13F1,Ь IO”7CC12F21,2.10-эМолекула*att. см’/сSF62,4-10-7СС144-10-7CC13F1,Ь IO”7CC12F21,2.10-эТаблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуреТаблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуреМолекулаК, 10-31 СМ6/С&252со2,7n200,06МолекулаК, 10-31 СМ6/С&252со2,7n200,06Таблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуреТаблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуре

Рис. И. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]

Рис. И. Зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии налетающего электрона при разных температурах газа [20]

Молекула

*att. см’/с

SF6

2,4-10-7

СС14

4-10-7

CC13F

1,Ь IO”7

CC12F2

1,2.10-э

Молекула

*att. см’/с

SF6

2,4-10-7

СС14

4-10-7

CC13F

1,Ь IO”7

CC12F2

1,2.10-э

Таблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуре

Таблица 6. Константа скорости прилипания электрона к сложным молекулам при комнатной температуре

Молекула

К, 10-31 СМ6/С

&

25

2

со

2,7

n20

0,06

Молекула

К, 10-31 СМ6/С

&

25

2

со

2,7

n20

0,06

Таблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуре

Таблица 7. Константа скорости тройного прилипания электронов к молекулам в собственном газе (е+2М->М-+М) при комнатной температуре

Диссоциативное прилипание электрона к молекуле протекает по схеме:

е+Л5-^(ЛВ-)**-^Л+5-(29)

Как и в случае возбуждения колебательных уровней молекулы, этот процесс протекает через образование автоионизационного состояния отрицательного иона молекулы. При разлете ядер это состояние дает устойчивый отрицательный ион. Как следует из физики процесса, энергетическая зависимость сечения данного процесса состоит из отдельных резонансов. Сечения в максимумах малы по сравнению с атомными сечениями, так как очень мала вероятность разлета ядер без распада автоиониза-

ционного состояния.

На рис. 11 представлена зависимость сечения диссоциативного прилипания электрона к молекуле кислорода от энергии, измеренная при различных температурах газа [20].

Прилипание электронов к сложным молекулам идет по схеме:

(30)(30)е+М^(Л4-)**; (М-)**+Л-^И-+Л.

(30)

(30)

Здесь Л— частицы газа, в котором протекает рассматриваемый процесс. Автоионизационные состояния отрицательных ионов сложных молекул обладают большими временами жизни (10-5—10“4с) и поэтому даже при умеренной плотности газа в последнем успевают произойти тушащие столкновения. В табл. 6 представлены

константы скорости прилипания электронов к некоторым сложным молекулам. Поскольку данный процесс весьма эффективен, добавление ^небольших примесей сложных молекул в газ улучшает его пробойные характеристики.

В плотном газе .прилипание электронов к молекулам происходит при тройных столкновениях электрона с частицами газа: e^A+B-^A-+B.(31)

В табл. 7 представлены константы скорости процессов такого типа для тепловых энергий электрона.

ПРОЦЕССЫ, ПРОТЕКАЮЩИЕ С УЧАСТИЕМПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ИОНОВ

Резонансная перезарядка. Процесс резонансной перезарядки идет по схеме:

Л++Л-^Л+Л+.(32)

Этот процесс характеризуется большим сечением, значительно превышающим газокинетические сечения, и поэтому играет важную роль в различных явлениях, протекающих в газе и плазме. Этим процессом определяются явления переноса положительного заряда в слабоионизованном газе, им обусловлено торможение потока атомов водорода при инжекции в термоядерную плазму и т. д.

Определим зависимость сечения резонансной перезарядки от скорости. Этот процесс связан с переходом электрона из поля одной атомной частицы в поле другой. Частота перехода электрона от одной частицы к другой v при заданном расстоянии /? между ядрами, значительно превышающем атомные размеры, определяется перекрытием волновых функций электрона при нахождении его у разных ядер и поэтому зависит от расстояния по закону

v(/?)~<Wi)IW2)>~exp(-V£),

где y=y2j (в атомных единицах); J—потенциал ионизации атома. Основной вклад в сечение вносят столкновения с прицельными параметрами порядка Ro, для которых v(7?o)tст /^ll • Здесь Тст^Цу—время столкновения, и — относительная скорость столкновения. Отсюда для этих прицельных параметров имеем Ro~

In—, где и0 — константа. При таких столкновениях с вероятностью 7г электрон переходит в поле другого атомного остатка, так что сечение резонансной перезарядки

Оех=^/^= (л/2у2) In2 (у0М(33)

При этом считается, что скорость столкновения у мала по сравнению с характерной скоростью электрона в атоме. В табл. 8 представлены сечения резонансной перезарядки для некоторых элементов [22].

Нерезонансная перезарядка. Этот процесс идет по схеме

А++В-^А+В+(34)

Таблица 8. Сечение резонансной перезарядки иона на собственном атоме, 10~16 см2

Элемент

Состояние иона

Состояние атома

Энергия в лабораторной системе, эВ

0,1

1

10

Н

!S

2S

6.2

5,0

3,8

Не

2S

IS

3,5

2,8

2,1

Li

!S

2S

26

22

48

С

2p

зр

6,2

5,0

3,8

N

3P

4S

4,9

3,8

2,9

О

4S

3P

5,2

4,3

3,5

F

зр

2P

3,6

2,9

2,2

Ne

2p

!S

3,2

2,5

1,9

Na

*S

2S

31

26

22

Mg

2S

2S

19

16

13

Al

!S

2P

16

13

10

Si

2p

3P

9,8

7,7

6,0

P

3P

4S

8,1

6,5

5,0

S

4S

зр

8,7

6,7

5,5

Cl

зр

2P

5,8

4,6

3,6

Ar

2p

iS

5,5

4,5

3,5

К

IS

2S

41

35

29

Ca

2S

*S

26

21

18

Cr

6S

7S

21

18

14

Fe

3D 1

21

18

14

Cu

^

2S

19

16

13

Br

зр

2P

6,8

5,5

4,5

Kr

2P

IS

4,8

3,9

3,1

Pb

!S

2S

45

39

32

Ag

is

2S

20

17

14

Cd

2S

IS

17

14

12

In

!S

2P

19

16

13

I

зр

2P

8,0

6,8

5,3

Xe

2P

IS

9,1

7,5

6,0

Cs

*S

2S

53

45

38

Ba

2S

IS

35

30

25

Au

!S

2S

17

14

11

Hg

2S

!S

15

12

10

T1

2P

^

19

15

12

и приводит к изменению сорта иона. Процесс ответствен за возникновение полярных сияний при попадании пучка протонов в верхнюю атмосферу, он проявляется в различных явлениях, имеющих место в лабораторных системах и в природе. Характер данного процесса определяется параметром Месси

^=^а/Пи,(35)

где Д£ —энергия электронного перехода; а — характерное расстояние, на котором совершается переход; у— относительная скорость столкновения.

Если £<С1, то процесс (34) идет как резонансный и сечение перехода определяется формулой (33). При §^>4 переход адиэбати-

75

Рис. 12. Сечение перезарядки про тона на атоме кислорода 121]: --теория; О— экспериментРис. 12. Сечение перезарядки про тона на атоме кислорода 121]: --теория; О— эксперимент

Рис. 12. Сечение перезарядки про тона на атоме кислорода 121]:

--теория; О— эксперимент

Рис. 12. Сечение перезарядки про тона на атоме кислорода 121]:

--теория; О— эксперимент

Рис. 13. Зависимость сечения перезарядки атома водорода на многозарядном ионе от приведенной скорости в пределе большого заряда иона Z

чески маловероятен, его вероятность 'порядка ехр—g. Поэтому с дальнейшим уменьшением скорости столкновения сечение перехода экспоненциально убывает. Максимум сечения наблюдается при £~1. На рис. 12 представлено сечение нерезонансной перезарядки протона на атоме .кислорода [21].

Процессы с участием многозарядного иона. Особенность многозарядного иона проявляется в двух отношениях для процессов, в которых он участвует. Большой заряд иона отвечает сильному взаимодействию его с партнером по столкновению. Поэтому, хотя основные закономерности столкновения электрона с многозарядным ионом те же, что и в случае столкновения с атомо-м, количественные характеристики для сечений переходов в приведенных переменных могут сильно возрастать. Другая особенность многозарядного иона проявляется в процессах перезарядки и связана с большой густотой уровней для электрона в поле заряда иона., когда потенциал ионизации для этих уровней порядка потенциала ионизации атома. Это отражается на характере переходов: в поле многозарядного иона переходящий электрон ведет себя как ква- зиклассический и в переходе участвует большое число состояний многозарядного иона.

На рис. 13 в приведенных переменных представлено сечение перезарядки атома водорода на многозарядном ионе в пределе больших зарядов иона [22]. Этот процесс играет определенную роль при инжекции потока атомов водорода в термоядерную плазму.

Образование сложных и комплексных ионов при тройных столкновениях. Как следует из пп. 1.3 и 1.4, рекомбинация электрона и положительного иона существенно зависит от сорта иона. Переход от простых ионов к сложным происходит при тройных столкновениях ионов с частицами газа

Д++В + С-^ДВ++С. (36)

Для простых ионов Д+ механизм этого процесса связан с одновременным столкновением трех частиц. В момент сильного взаимо-

Таблица 9. Константа скорости образования сложных и комплексных ионов в атомных и молекулярных газах при комнатной температуре [22]

Реакция

K, 10-31 CM«/C

Не++2Не-^Не^+Не

Ne++2Ne-*Ne^+ Ne

Аг++2Аг-> Ar^+ Ar K-++2Kr - Krt+ Кг Xe++2Xe - Xe^+ Xe 'Cs++2Cs -* Cs^+ Cs Hg++2Hg-^Hg++Hg (7=700 K) Arj" +Ar+He—»-Ar^" + He Art+2Ar-*Ar^+ Ar

Cs^+ 2С5->Сз^+ Cs Ne++Ne+He-^He+Ne^ Ar+4-Ar+ He -► Ar^ + He Kr++Kr+He-^Kr++ He Хе++Хе+Не-*Хе^+ He Hg++Hg+He-*Hg++ He (7=700 K) Ne+ + 2He (HeNe+) +He Ar++Ar+Ne—>Ar^" + Ne

HeH++2He—^He2H+ +He (7 = 200 K) H^+ 2 Ar —► H3 Ar++ Ar

•q i+4-2 Ar—> L i Ar++Ar N++2N2->N^+ N2 N++N2+He -*N^+ He N++ 2N2-+n++N2 N++ N2+He -> N++ He H++2H2->h+ + H2 DA +2D2—►D^'+ D2 H++ 2H2-+h+ + H2 D++ 2D2->D++D2 O++2O2-^O++ O2 ■0^+ O2+He -0^+ He o++ o2 + K2-^o++Kr (7= 180 К) o++o2+H2o^o++H2o O++2N2^O2n++N2 NO++2NO NO+NO+NO CO+4-2CO - CO+CO+CO CO++2CO2-> cofco2+co2 Mg+4-O2+Ar—>-Mg+O2+Ar Ca++O2+Ar -> Ca+O2+Ar

1,0

0,6

2,2

2,3

2,8

150

1

5,5

32

300

3,0

1,0

0,6

1,3

1,7

0,21

3

0,4

1

1,8

300

300

850

360

300

300

6,5

4,5

25

15

80

15

8

50 1400

3200

25

66

РеакцияРеакцияК, Ю-31 смв/сК, Ю-31 смв/с10 211 202 0,9 240 54 500 0,5 30010 211 202 0,9 240 54 500 0,5 300

Реакция

Реакция

К, Ю-31 смв/с

К, Ю-31 смв/с

10 2

11 20

2 0,9 240 54 500 0,5 300

10 2

11 20

2 0,9 240 54 500 0,5 300

Fe++02+Аг —>• Fe+O2+Ar Na+4-O2+Аг -*Na+O2+Ar Li+4-2O2—>Li+O2+O2 Li++2N2 Li+N2+N2 NO++2N2 -> NO+N2+N2 NO++2O2 NO+O2+O2 NO++2CO2 NO+CO2+CO2 NO++2NH3 -> NO+NH3+NH3 Na++2CO2 -> Na+CO2+CO2 Na+CO2+2CO2 - Na+(CO2)2+CO2 Cs++SO2+N2 - Cs+SO2+N2

действия частиц A+ и В третья частица С уносит избыток кинетической энергии, так что частицы А+ и В оказываются в связанном состоянии. При таком механизме константа скорости этого тройного процесса при тепловых энергиях столкновения порядка Ю-31 см6/с.

Если в процессе (36) участвуют сложные или комплексные ионы, константа скорости этого процесса, может на несколько порядков превысить приведенную величину. В этом случае процесс протекает по схеме:

Д++В^ (ДВ+) **, (ДВ+) **+С-^ЛВ++С (37) и сопровождается образованием долгоживущего промежуточного комплекса (ДВ+)**, время жизни которого значительно превышает характерное время столкновения частиц. Тушение приводит к образованию устойчивого состояния иона АВ^.

В табл. 9 представлены константы скорости тройного процесса (36) при комнатной температуре для некоторых конкретных реакций [123], которые позволяют понять, по какому из рассмотренных механизмов протекает этот процесс в каждом конкретном случае.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ИОН

Параметры отрицательного иона. Поскольку электроны, прилипая к молекулам, образуют отрицательные ионы (см. разд. 5) и сами отрицательные ионы являются источником 'электронов, с точки зрения свойств слабоионизо- ванной плазмы представляют интерес как сами отрицательные ионы, так и происходящие с ними процессы. В табл. 10 приведена энергия связи электрона в отрицательном ионе и его состояние.

Фотоприлипание электрона к атому и фотораспад отрицательного иона. Фотоприлипание электрона к атому происходит по схеме:

А + е->А“ + Аш. (38)

Этим процессом определяется свечение слабоионизованного нагретого газа. В частности, свечение Солнца в оптической части спектра определяется фотоприлипанием электрона к атому водорода. Из закона сохранения энергии сле- 78

Таблица 10. Состояния отрицательных ионов и сродство электронов к атомам [20]. (Для элементов, пропущенных в данной таблице, отрицательных ионов не существует или информация недостаточно достоверна)

Атомный номер

Отрицательный ион

Электронное состояние

Сродство электрона. эВ

Атомный номер

Отрицательный ион

Электронное состояние

Сродство электрона, эВ

1

н—

Is2 (XS)

0,754

35

Вг-

4p’ (4S)

3,37

2

Не-

Is2s2p (4P)

0,076

37

Rb-

4p65s2 (4S)

0,486

3

Li"

1S22S2 (*S)

0,61

39

Y-

4d5s25p(i£>)

0,31

5

Be”

2s23s (2S)

0,30

4d5s25p (3D)

0,16

6

с-

2s22p3 (4S)

1,27

40

Zr-

4d35s2 (4P)

0,43

2s22p3 (2D)

0,034

41

Nb-

4d45s2 (5D)

0,89

8

о-

2s22p6 (2P)

1,465

42

Мо-

4d®5s2 (6S)

0,75

9

F-

2s22p» (4S)

3,40

43

Тс“

4d«5s2 (5D)

1,0 1

11

Na-

3s2 (2S)

0,548

44

Ru-

4d’52 (4P)

1,5

13

А1-

3p2 (3P)

0,5

45

Rh-

4d«5s2 (3F)

1,14

Зр2 ^D)

0,095

46

Pd-

4d»5s2 (2D)

0,56

14

Si-

3p3 ^S)

1,39

47

Ag-

4dl05s2 (4S)

1,30

гр» ^D)

0,526

49

In™

бр2 (3P)

0,5

гр3 (2P)

0,034

50

Sn™

5p3 (4S)

1,25

15

Р-

3p4 (3P)

0,77

51

Sb-

5p4 (3P)

1,05

16

s—

3p6 (2P)

2,077

52

Te-

2p® (2P)

1,9

17

С1-

3P6 es)

3,62

53

I-

2p8 es)

3,07

19

К-

4s2 (!S)

0,501

55

Cs-

6s2 (iS)

0,471

21

Sc-

3d4s24p (iD)

0,19

57

La-

5d26s2 (3P)

0,5

3d4^4p (3O)

0,04

73

Ta-

5d46$2 (4>)

0,32

22

Ti-

3ds4s2 (4F)

0,08

74

w—

Sd^s1 (»S)

0,816

23

v-

3d44s2 (5D)

0,53

75

Re-

5d»6^ (8D)

0,15

24

Сг”

3d54s2 (»S)

0,67

76

Os-

5d’6s2 (4P)

1,4

26

Fe-

3d’4s2 (4P)

0,16

77

Ir-

5d86s2 (3F)

1,57

27

Со-

3d84s2 (3P)

0,66

78

Pt-

5d»6s2 (2D)

2,13

28

Ni-

3d94s2 (2D)

1,16

79

Au"

5d«6^ PS)

2,31

29

Сц—

3d104s2 (iS)

1,23

81

Ti-

бр2 (3P)

0,5

31

Ga—

4p2(3P)

0,5

82

Pb-

бр3 (4S)

1,2

32

Ge—

4p3 (4S)

1,20

83

Bi-

6p4 (3P)

1,0

33

As—

4p4 (3P)

0,8

84

Po-

бр5 (2P)

1,6

34

Se—

4p5 (2P)

2,0

дует, что энергия фотона равна сумме кинетической энергии электрона и энергии сродства атома к электрону (т. е. энергии связи электрона в отрицательном ионе). Отсюда следует, что фотоприлипание определяет свечение слабо- ионизованной плазмы в той части спектра, где энергия фотона превышает энергию сродства атома к электрону. При этом интенсивность свечения за счет данного процесса существенно выше, чем при тормозном излучении при рассеянии электронов на этих атомах.

На рис. 14 представлены значения для константы скорости фотоприлипания электронов к атомам галогенов [20].

Фотораспад отрицательного иона—процесс,обратный фотоприлипанию

электрона к атому:

Л~ + йо^Л + е.(39)

Он может быть ответственным за образование ‘свободных электронов в газе, содержащем отрицательные ионы. Например, на средних высотах в атмосфере Земли (/г<4 100 км) отрицательный заряд ночью связан с отрицательными ионами, тогда как днем в результате процесса (39) в нем образуются свободные электроны, что 'изменяет проводимость на этих высотах, и из-за этого,

Рис. 14. Сечение фотоприлипания электрона к атомам галогенов [20}

Рис. 15. Сечение фотораспада отрицательного иона водорода [20]:

О , А — эксперимент;теория

в частности, отличаются условия дальнего радиоприема на коротких волнах днем и ночью.

Согласно принципу детального равновесия сечения процесса (38) саа и процесса (39) о^/ связаны соотношением (18)

Gau = (g-iga) (W) О det, (40)

где g_, ga —статистический вес отрицательного иона и атома соответственно; к — волновой вектор фотона; q — волновой вектор электрона. Сечение процесса (39) имеет максимум при энергии ‘фотона, несколько превышающей пороговую. По порядку величины — это максимальное сечение порядка Отах ~ ~ (e^lhc) (1/£Д), где e^hc— постоянная тонкой структуры; ЕА— выраженная в ридбергах энергия сродства атома к электрону, что по порядку величины составляет 10-17—10~16 см2. На рис. 15 представлено сечение фотораспада отрицательного иона водорода [20].

Взаимная нейтрализация при парном соударении положительного и отрицательного ионов. Один из каналов исчезновения заряда в плазме связан с процессом взаимной нейтрализации *при столкновении положительного и отрицательного ионов:

Л~+В+-А + В*. (41).

По сути дела, это есть перезарядка с переходом электрона из поля атома А в поле иона ХВ+, причем в поле иона электрон оказывается в возбужденном состоянии. Из-за кулоновского взаимодействия ионов в левом канале процесса (41) по мере сближения ионов электронный терм этого состояния пересекает целый ряд термов квазимолекулы, отвечающей системе А-^-В*. В окрестности такого расстояния между ядрами, где имеется пересечение термов, выполняются резонансные условия для перехода электрона в соответствующее состояние атома В*. Поэтому процесс (41) является резонансным, и при отсутствии упругого рассеяния ядер сечение этого процесса медленно возрастает с уменьшением скорости примерно так же, как сечение резонансной перезарядки (33).

Однако при малых энергиях столкновения в игру вступает кулоновское взаимодействие между ядрами. В соответствии с подбарьерным характером перехода будем считать, что электрон успевает перезарядиться, если расстояние наименьшего сближения равно 7?0. Тогда в пренебрежении кулоновским взаимодействием сечение процесса (41) равно л/?2о, причем Ro слабо зависит 80

0,25Lj।।^—^—i^-J—।0 0,1 ОД ОД 0,8 0,16 0,52 р,105По'0,25Lj।।^—^—i^-J—।0 0,1 ОД ОД 0,8 0,16 0,52 р,105По'Рис. 16. Зависимость коэффициента рекомбинации положительных и отрицательных ионов в воздухе от давления,, найденная и вычисленная различными авторами [20] положительных и отрипатель-Рис. 16. Зависимость коэффициента рекомбинации положительных и отрицательных ионов в воздухе от давления,, найденная и вычисленная различными авторами [20] положительных и отрипатель-

0,25Lj।।^—^—i^-J—।

0 0,1 ОД ОД 0,8 0,16 0,52 р,105По'

0,25Lj।।^—^—i^-J—।

0 0,1 ОД ОД 0,8 0,16 0,52 р,105По'

Рис. 16. Зависимость коэффициента рекомбинации положительных и отрицательных ионов в воздухе от давления,, найденная и вычисленная различными авторами [20] положительных и отрипатель-

Рис. 16. Зависимость коэффициента рекомбинации положительных и отрицательных ионов в воздухе от давления,, найденная и вычисленная различными авторами [20] положительных и отрипатель-

от скорости. Используем связь между прицельным параметром столкновения р и расстоянием наименьшего сближения /?0’

рХ= 1W,e.

где Е— относительная энергия столкновения. Отсюда находим сечение процесса

а = лр2 = л^о + л/?0е2/Е.(42)

Видно, что при малых энергиях столкновения сечение оказывается обратно пропорциональным энергии и может достигать больших значений. Поскольку ^о^Ю-7 см, то при тепловых энергиях столкновения сечение процесса (41) может быть порядка 10-12 см2.

Взаимная нейтрализация положительного и отрицательного ионов при тройных столкновениях. При достаточно высоких плотностях газа взаимная нейтрализащ

ных ионов происходит преимущественно при тройных соударениях

Л"+ в++ С-* Л + В* + С.(43)

В этом случае третья частица уносит избыток энергии, так что сталкивающиеся ионы оказываются в связанном состоянии. После этого они долгое время находятся в связанном состоянии по соседству друг с другом, что обеспечивает в конечном итоге подбарьерный переход электрона, а следовательно, и взаимную нейтрализацию ионов.

Для выяснения зависимости процесса (43) от плотности ионов введем критический радиус Ь=е2/Т— характерное расстояние между ионами, при котором возможно образование их связанного состояния. Здесь Т — температура газа и учтено, что третья частица уносит энергию порядка Т, так что ионы могут образовать связанное состояние с энергией связи порядка Т. Характер* процесса (43) зависит от значения величины параметра [с]63. Если (с]Ь3, то при сближении ионов всегда не будет хватать третьей частицы и константа скорости процесса будет пропорциональной плотности частиц [с]. Если №3^>1, то частиц третьего сорта слишком много, они будут создавать трение при сближении ионов под действием кулоновского притяжения. В этом случае константа скорости процесса (43) обратно пропорциональна плотности третьего сорта. Максимальное значение константы скорости процесса (43) имеет место при [с}Ь3~1. В этом случае всякое попадание ионов в критическую область приводит к их рекомбинации, т. е. отвечает сечению процесса порядка лЬ2, что при тепловых энериях имеет порядок 10-10 см2. Отметим, что при тепловых энергиях это достигается при плотностях газа, отвечающих атмосферному давлению. На рис. 16 представлена зависимость константы скорости взаимной нейтрализации ионов в воздухе от плотности газа {20].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — 3-е изд. М : Физматгиз, 1965.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика — 4-е изд. М.: Наука, 1974.

Смирнов Б. М. Физика слабоионизованного газа. М.: Физматгиз., 1972.

Смирнов Б. М. Ионы и возбужденные атомы в плазме. М.: Атомиздат, □74.

Елецкий А. В., Смирнов Б. М. В кн.: Моделирование и методы расчета физико-химических процессов в плазме/Под ред. проф. Л. С. Полака. М.: Наука, 1974.

Биберман Л. М., Воробьев В. С., Якубов И. Т. — Успехи физ. наук, 1972, т. 107, с. 353; Жури, эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 56, с. 1992.

Bates D. R., Kingston А. Е., McWihirter R. W. — Proc. Roy. Soc., 1962, vol. A267, p. 297; vol. A270, p. 155.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Статистическая физика. M.: Физматгиз., 1964.

Weissler G. L. — Handbuch der Physik, 1956, Bd 21, S. 304.

il'O. Хастед Дж. Физика атомных столкновений: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория. Ч. 1. М.: Наука, 1968, с. 234.

Kramers Н. А. — Philos. Mag., 1923, vol. 46, р. 836.

Бейтс Д., Дальгарно А. Атомные и молекулярные процессы/Под ред. Бейтса: Пер. с англ. М.: Мир. 1964, с. 227.

Massey Н. S. W., Bates D. R. — Repl Progr. Phys., 1942, vol. 9, p. 62.

Смирнов Б. M. Атомные столкновения и элементарные процессы в плазме. М.: Атомиздат, 1968, с. 127.

Елецкий А. В., Палкина Л. А., Смирнов Б. М. Явления переноса в сла- 'боионизованной плазме. М.: Атомиздат, 1975, с. 173.

Crawford О. Н. е.а. — Mol. Phys., 1967, vol. 13, р. 181.

Gerjoy Е., Stein S. — Phys. Rev., 1955, vol. 95, p. 1971.

Словецкий Д. И. — В кн.: Химия плазмы. Вып. 1/Под ред. Б. М. Смирнова. М.: Атомиздат, 1974, с. 156.

Смирнов Б. М. Отрицательные -ионы. М.: Атомиздат, 1978.

Смирнов Б. М. Асимптотические методы в теории атомных столкновений. М.: Атомиздат, 1972.

Думан Е. Л., Меньшиков Л. И., Смирнов Б. М. — Жури, эксперим. и теорет. физ., 1979, 76, с. 516.

Смирнов Б. М. — Успехи физ. наук, 1977, т. 121, с. 231.

ПРОЦЕССЫ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛАЗМЕ

Г. ГРИМ

ВВЕДЕНИЕ

Исследование электромагнитного излучения звезд обеспечило получение большей части информации, на основе которой были развиты современные представления о строении Вселенной. Спектроскопические методы оказались также полезными и при изучении различных типов лабораторных плазм, особенно на раннем периоде исследований. Эти методы занимают видное место в диагностике плазмы.

Однако электромагнитное излучение часто играет и более важную роль в плазменных экспериментах благодаря своей способности взаимодействовать с плазмой, а именно ионизовать, нагревать или охлаждать ее. Эти взаимодействия в астрофизических объектах могут быть представлены в самосогласованном виде, но в экспериментах с лабораторной плазмой они могут в известной степени находиться под контролем экспериментатора. Разработанные к настоящему времени количественные теоретические описания различных радиационных процессов, происходящих в астрофизических и лабораторных плазмах, обобщены в данном обзоре.

Электромагнитные радиационные процессы в плазме можно разделить на две категории. Одна объединяет атомные процессы с изменением электронных состояний атомов, ионов и возможно даже молекул, другая включает процессы, обусловленные в большей степени самой плазмой, для которой излучающие электроны не могут быть приписаны какой-нибудь определенной атомной или молекулярной системе. Общим для обоих категорий является наличие ускорения или изменения в электронных состояниях. По сравнению с этими процессами излучением, связанным с ускорением ионов, почти всегда можно пренебречь.

Обращаясь поэтому к этим двум категориям, следует заметить» что атомные радиационные процессы имеют много общего с другими основными атомными процессами, рассмотренными выше.

Кроме того, плазменные радиационные процессы, в частности излучение циклотронных гармоник и коллективное тормозное излучение, более или менее тесно связаны с различными типами плазменных волн, обсуждаемых пп. 1.2—1.4, особенно когда электроны излучают когерентно. Коллективные эффекты другой природы проявляют себя менее заметно и не рассматриваются.

Ввиду важности процессов излучения атомов вначале рассмотрены линейчатое (разд. 1) и непрерывное излучения (разд. 2). После обсуждения излучения плазмы (разд. 3) даны сведения о потерях мощности на излучение и диагностике плазмы (разд. 4).

ЛИНЕЙЧАТОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ И ИОНОВ

Хотя многие плазмы состоят почти целиком из полностью ободранных ядер (например, водорода или его изотопов) и свободных электронов, переходы относительно малого числа связанных электронов из возбужденных состояний атомов или ионов в нижележащие состояния могут тем не менее составлять основную часть излучаемой мощности. Особенно эффективными в этом отношении являются переходы в основное состояние, приводящие к излучению резонансных линий. Хотя переходы между возбужденными состояниями и дают более слабое линейчатое излучение, они тем не менее могут быть использованы для целей диагностики, так как их сравнительно длинноволновое излучение облегчает спектроскопические измерения. Более того, эти линии являются менее склонными к реабсорбции в плазме или окружающем газе, чем резонансные линии, до тех пор пока не становятся важными процессы фотоионизации или обратного тормозного излучения.

Спектральные линии характеризуются двумя основными параметрами: полной интенсивностью безотносительно к частоте или Длине волны и распределением этих частот внутри данной линии (профиль линии). Теоретические предпосылки этих характеристик представлены в пп. 1.1 и 1.2 соответственно. Далее обсуждаются явления переноса излучения в случаях, когда надо учитывать поглощение и переизлучение (см. п. 1.3).

При всей своей важности такой радиационный перенос представляет интерес только для наиболее сильных атомных и ионных линий. Другое важное применение излучательного переноса касается электронных циклотронных гармоник (см. п. 3.1).

Интенсивность линий. Основное соотношение для полной удельной мощности на. единицу объема, стерадиан и интервал частоты, т. е. коэффициент излучения в линии имеет вид:

е(со) = (Й со/4я)Д/г*£((о). (1)

Это отношение в выражении эйнштейновских коэффициентов спонтанного излучения Д (на единицу объема.) для соответствующих переходов представляется очевидным, если рассматривать Йео как среднюю фотонную энергию в данной линии и п* как концентрацию атомов или ионов в соответствующем верхнем состоянии. Мы также должны определить функцию формы линии Л(со), которая описыв/ает частотный спектр в пределах линии и удовлетворяет условию нормировки

JL((d)Ad=1 (2) с пределами интегрирования, находящимися на достаточно большом расстоянии от линии.

Средняя энергия фотонов задается разностью энергий верхнего и нижнего уровней линии. Эти уровни энергий, а также эйнштейновские вероятности перехода или, как их иногда называют, Л-числа обычно рассматриваются как внутренние свойства, излучающих ионов или атомов. Их можно более или менее точно вычислить квантовомеханически в зависимости от числа связанных электронов, включаемых в данную излучающую систему [1, 2]. Однако для энергетических уровней экспериментальные данные часто оказываются более точными, кроме того, они постоянно уточняются и пересматриваются [3] (см. также более поздние дополнения и исправления [4]).

Кроме того, существуют таблицы [5], составленные на основании весьма приближенной теории или косвенных измерений для относительно малого набора линий. Мы должны уже здесь отметить, что в применении к расчету энергетических потерь высокотемпературной плазмы произведение Ап* часто хорошо оценивается по скорости в результате ударного возбуждения из основного состояния. Знание сечений возбуждения (см. выше) является поэтому часто более важным, чем знание чисел А.

Другие величины в формуле (1), такие как п* и L(>co), определяются параметрами плазмы, в которую помещены излучающие атомы или ионы. В общем случае плотности населенностей п* определяются динамическим балансом большого числа столкнови- тельных и излучательных процессов [6, 7]. Только для весьма плотных плазм с умеренно высокой температурой можно предположить, что доминируют столкновительные процессы. В этом случае населенности уровней и статистические веса различных ионизационных состояний находятся в термодинамическом равновесии 84

лри условии, что плазменные электроны имеют максвелловское распределение (будем рассматривать только невырожденные плазмы). Используя приближенные значения поперечных сечений и коэффициентов излучения, можно с точностью до порядка величины написать условия достижения термодинамического равновесия [8J, при которых плотность атомов в возбужденном состоянии п* связана с плотностью атомов в основном состоянии nz соотношением Больцмана

nV«z=(g*/gz)exp(—£*ДЛ> (3)

плотность ионов на основном уровне в соседних ионизационных состояниях пг, пг^х и электронная плотность п связаны уравнением Саха

nen^Jnz = (2^+/^) (^)3/2 exp (- EJkTy (4)

В этих соотношениях Е* и Ег— энергии возбуждения и ионизации соответственно; g— статистический вес, соответствующий вырождениям рассматриваемых состояний, т. е. ^=2/ф1 или g= =Qn2 для систем, вырождающихся только по отношению к магнитному квантовому числу водорода, или других одноэлектронных систем, если пренебречь тонкой структурой (/—квантовое число полного углового момента; п — главное квантовое число).

Если ионная и электронная температуры различны, следует использовать в вычислениях электронную температуру, так как именно электроны доминируют в процессах возбуждения и девозбуждения, ионизации и рекомбинации в плотных плазмах.

При расчетах населенностей в различных состояниях возбуждения и ионизации на основе формул (3) и (4) возникает серьезная трудность, связанная со схождением уровней энергии возбуждения .к энергии ионизации и общим увеличением статистического веса.

Формально это приводит .к расходимости сумм по населенностям возбужденных состояний. Эта трудность может проявиться также и при использовании энергетических уровней, имеющих смысл для изолированных атомов или ионов, в которых учитываются только взаимодействия связанных электронов с ядром и Друг с другом. Если рассматривать также взаимодействие с плазменными электронами и ионами, то необходимо внести существенные модификации для состояний, чьи энергии связи Ez—Е* сравнимы или даже меньше, чем типичные энергии кулоновского взаимодействия между свободными электронами и ионами. В первом приближении можно учесть эти взаимодействия путем соответствующего приведения ионизационных энергий и пренебрежения связанными состояниями, попадающими между первоначальными и приведенными энергиями ионизации [8] (см. также [9, 10]).

Этот подход определенно недостаточен для расчета излучения, происходящего от исчезнувших уровней. Тем не менее простая модель часто оказывается достаточной для расчета рекомбина-

ционного континуума в соответствии с приведенными должным образом фотонными энергиями (ом. п. 2.2). Это приведение границы серии тесно связано с уширением спектральных линий в результате взаимодействия между излучающими или поглощающими ансамблями и плазменными частицами или полями. Пока эти взаимодействия (они обсуждаются выше) не воздействуют существенно на полные интенсивности уширенных линий, может быть справедливой экстраполяция рекомбинационного континуума к пределу Инглиз — Теллера [11]. В противном случае необходимо проводить сложные вычисления, в которых связанные электроны должны рассматриваться с учетом взаимодействия с само- соглгсованным потенциалом ядра, другими связанными электронами и электронами и ионами плазмы [1.2]. Большая часть таких расчетов не идет далее использования средних потенциалов и учета их воздействия на энергетические уровни и волновые функции. Они должны поэтому рассматриваться как индикаторы возможных отклонений от модели Инглиза — Теллера из-за перераспределения в силах осцилляторов (вероятностях переходов) вблизи реальных границ серий.

Такие изменения должны, вообще говоря, возникать, если вероятность нахождения г-плазменных электронов внутри боровской орбиты возбужденного состояния п2а^г достаточно велика., т. е. если пе*^ (32/4л) (п2а0/2)-3.

Оценки Инглиза — Теллера, кроме того, предполагают, что для сохранения дискретности главного'квантового числа электронная плотность должна удовлетворять условию n^z^^j^a^n^^z^12. Оба неравенства выполняются только для п^(2/2)1/3, т. е. если главное квантовое число п наивысшего дискретного уровня очень мала или если ядерный заряд 2 излучающего иона гораздо больше среднего заряда г. (Для ионов, имеющих более одного связанного электрона, ядерный заряд должен быть уменьшен на число дополнительных связанных электронов перед применением этих оценок.)

Возвращаясь к плазмам с плотностями, значительно меньшими тех значений, для которых справедливы соотношения теплового равновесия (3) и (4) для данной температуры и для соответствующих атомных состояний, отметим, что стационарные решения различных уравнений равновесия и пренебрежение ионным или атомным переносом требуют своего обоснования не только в областях такой низкой плотности, но также в переходных и резко локализованных плазмах высокой плотности.

Поскольку не существует никакой общей теории плазмы низкой плотности, отложим дальнейшее обсуждение проблемы населенности до п. 4.1, где приведены расчеты потери мощности на излучение.

Форма линий. В некоторых задачах спектроскопии плазмы оказывается достаточным рассматривать спектральные линии как бесконечно тонкие, т. е. заменять L(co) в уравнении (1) S-функцией. Однако, действуя таким образом, можно потерять ценную для диагностических целей информацию или оказаться неспособ- 86

ным решить проблему излучательного переноса (см. ниже). Имеются три физических эффекта, оказывающих влияние на форму линии. Два из них универсальны, а именно доплеровское смещение или, при усреднении по многим атомам или ионам, доплеровское уширение, связанное с тепловыми или любыми другими движениями излучающих или поглощающих ионов, и естественное уширение, обусловленное конечным временем жизни по крайней мере одного из связанных состояний, между которыми происходит данный переход. Третий эффект сводится к взаимодействию излучающих систем с остальной плазмой, которое не только смещает атомные энергетические уровни, но также сокращает их время жизни в результате переходов под действием столкновений. Общее наименование этих эффектов есть уширение давления, из числа которых штарковское уширение является наиболее важным подклассом в рассматриваемых системах. Последнее название вполне приемлемо потому, что плазменно-атомные взаимодействия в большинстве случаев являются дальнодействующими, т. е. могут быть аппроксимированы диполем, представляющим собой излучатель с электрическим полем, наведенным плазмой в месте нахождения излучателя. Прежде чем перейти к обзору теории штарков- ского уширения [1-3], которое иногда также называется плазменным уширением, обобщим наиболее важные черты доплеровского и естественного уширений линий.

Так как нерелятивистское доплеровское смещение Д(о=#х(о/с пропорционально компоненте скорости ух вдоль луча зрения, невозмущенный доплеровский контур описывается в терминах одномерного распределения по скоростям НухУ

LD^ = f^^ = ^-t^c\ (5) to \ to /

Другими словами, для теплового распределения -излучающих ионов невозмущенный доплеровский контур является гауссовым с шириной (в пределах между точками, соответствующими 7г максимума интенсивности в сторону высоких и низких частот)

^п^^кТ/Му^^/с. (6)

Здесь Т— ионная температура; М — ионная масса.

Естественное уширение линии в тех случаях, когда, оно является единственным механизмом уширения, описывается лоренцо- вым профилем, чья ширина на полувысоте обычно представляется суммой вероятностей переходов для всех спонтанных переходов, происходящих с верхнего и нижнего уровней соответствующей линии. Однако если поглощение или индуцированное излучение также играют важную роль, то необходимо добавить и их вероятности. Аналогичным образом должны быть добавлены соответствующие вероятности, если верхний уровень неустойчив по отношению к процессам безызлучательного затухания, таким, как, например, автоионизация. В действительности же эти вероятности могут быть существенно больше вероятности спонтанных излучательных пере-

ходов, и в большинстве таких случаев необходимо знать численное значение естественной ширины линии для дальнейших расчетов.

Надо отметить, что темп излучения имеет тенденцию сильно возрастать с увеличением заряда излучающего иона., в то время как темп автоионизации слабо зависит от заряда, причем реальные значения имеют существенный разброс.

Штарковское уширение требует в первую очередь изучения отклика атомов или ионов на более или менее хаотические и стохастически меняющиеся электрические поля в плотных плазмах. Другие аспекты распределения плотности заряда плазмы обычно входят в рассмотренные только как малые поправки, за исключением случая, описанного выше. Природа атомного отклика, на плазменные поля в сильной степени зависит от соотношения между соответствующими временными масштабами. При рассмотрении взаимодействия полей с атомами и ионами можно описать эволюцию этого взаимодействия, используя интервалы времени порядка. Acds-1 или Асо""1 соответственно, в зависимости от того, что представляет наибольший интерес — штарковская ширина результирующего профиля Acos или точное описание профилей на расстояниях Асо от невозмущенной линии, превышающих Acos, как,, например, при расчетах излучательного переноса. Откладывая временно обсуждение коллективных полевых эффектов, можно провести сравнение этих атомных временных масштабов с типичными значениями отношения прицельного параметра к относительной скорости движения возбуждающей и излучающей частицы для данного столкновения р/и.

Эта оценка длительности единичного столкновения подразумевает, что ускорение возмущающего электрона в дальнодействую- щем кулоновском поле возмущенного иона не слишком велико и что квантовомеханический предел К(кТ для длительности столкновения не вносит дополнительного ограничения. Как можно ожидать, это ограничение пренебрежимо мало, если рассматриваемые угловые моменты mpvlh велики. Это действительно имеет место во всех случаях, за -исключением предельно плотных плазм с высокозарядными ионами, типичных для исследований по инерциальному термоядерному синтезу.

Для электронов как возмущающих частиц время столкновений становится гораздо меньше, чем атомные масштабы времени, особенно дл^ двух и более электронных систем, для которых невозмущенные уровни, связанные электрическими дипольными переходами, являются невырожденными, т. е. расщепленными на АЕ. Это означает, что только столкновения с hv/^^E или ^<<hx)INE индуцируют переходы между этими уровнями, уменьшают их время жизни и, следовательно, приводят .к уширению линий, излучаемых с участием этих уровней. Детальное временное поведение атомных волновых функций в этом случае не играет существенной роли, так как в расчетах, основанных на применении общепринятой теории столкновений, учитываются только конечные изменения 88

состояний. Форма линий при возбуждении электронным ударом 'Описывается лоренцовым контуром с полушириной, равной сумме вероятностей столкновений на верхнем и нижнем уровнях.

В принципе упругие столкновения также дают свой вклад в ширину линий, но для них амплитуды рассеяния на верхнем и нижнем уровнях должны быть вычтены перед расчетом эффективного оптического поперечного сечения. Как следствие чисто кулоновское рассеяние в потенциале вида 1/г не приводит к какому- либо уширению — это широко известный результат.

Электронные соударения вызывают также смещение линий без искажения их лоренцовой формы, если только справедливо ударное приближение, соответствующее сделанным предположениям о временных масштабах, и если различные атомные уровни остаются изолированными. Тем не менее для некоторых ионных линий контуры могут быть искажены даже в таких случаях, если оказывается важным тормозное рассеяние на этих ионах; так как это тормозное излучение интерферирует с излучением в линии, то это приводит к асимметрии форм линий [14]. Такая асимметрия наблюдалась [15, 16], и ее нельзя путать с асимметрией профиля из-за большого числа других причин [8, 13], а. также с асимметриями из-за квадрупольного и более мультипольных взаимодействий [Ф7].

Для одноэлектронных систем или сильно уширенных, перекрывающихся линий различных атомов или ионов эффективные прицельные параметры ограничены не величиной -расщепления уровня NE, а скорее дебаевской экранировкой, т. е. р^ХР. В этих случаях соответствующий атомный временной масштаб должен быть больше, чем KdIv, другими словами, сдвиг по частоте от положения невозмущенной линии должен быть меньше, чем о)ре, усредненная по скоростям электронов.

Если это условие нарушается только при Aco^>cds, то ударное приближение легко обобщается введением зависящих от частоты операторов ширины и сдвига, действующих на профили спектральных линий, сохраняющих в остальном лоренцову форму. Эта унифицированная аппроксимация формы линии справедлива для всего контура и позволяет вносить также динамические корреляции между возмущающими электронами. Пока соответствующие волны в плазме возбуждаются только до их теплового уровня, возникающие плазменные сателлиты у атомных линий в видимой области спектра слишком слабы, чтобы быть наблюдаемыми и использованными для практических целей. Тем не менее, если флуктуации коллективных полей возрастают, скажем, на два-три порядка, то сателлиты могут быть различимы. Они обычно связаны с диполью запрещенными атомными переходами, от положения которых смещены в обе стороны на величину основной плазменной частоты. Эти сателлиты, предсказанные в [18], наблюдались во многих экспериментах с турбулентной плазмой [13]. Имеется и другое важное обобщение ударной теории для перекрывающихся линий, которое отвечает в физическом смысле за передачу энер-

гии возбуждения при столкновении между близко расположенными уровнями, принадлежащими к группам верхних или нижних уровней, когда излучение линий обусловлено переходами из одной группы в другую. Ударное приближение дает в этом случае, кроме ожидаемой суперпозиции расположенных соответствующим образом лоренцианов, также еще и дополнительные члены, которые стремятся подавить спектральные интенсивности между различными лоренцовыми профилями. За. исключением эффектов взаимодействия линейчатого излучения с континуумом, можно представить уширения контуров в результате соударений с электронами в виде [ 13]

£е(ю) = — — ImТг£) [ftm —/У — (ю)]-1 р.(7)

Здесь Тг— сумм.а диагональных матричных элементов (шпур) соответствующего операторного произведения по всем состояниям излучающего атома или иона, дающим вклад в излучение линии. (Если нижние уровни также значительно возмущены, то должны быть использованы состояния так называемого удвоенного атома, которые соответствуют произведениям верхнего и нижнего состояний). Оператор D определяет относительную силу различных переходов; Н— невозмущенный атомный гамильтониан, описывающий внутренние энергетические уровни; £(со)—обобщенный оператор ударного уширения. Наконец, р — это статистический опера.- тор, описывающий относительные вероятности различных начальных состояний излучательных переходов. Если все компоненты переходов, принадлежащих к линиям, хорошо разделены и если различные наблюденные частоты отличаются от невозмущенных ча.- стот на величины, малые по1 сравнению с у/p, то наиболее важными в рассмотрении оказываются диагональные элементы от ^(со), чьей частотной зависимостью можно пренебречь. В этом случае контуры линий будут лоренцовыми с шириной и сдвигом, описываемыми соответственно функциями Im£(o)O) и Re£(coo), где соо — невозмущенная частота. Однако, как только линии начинают перекрываться или соответствующие расстояния между ними по частотам достигают значений порядка длительности столкновений, приведенные выше результаты претерпят значительные изменения по сравнению с простой суперпозицией лоренцовых контуров.

/Прежде чем завершить обсуждениештарковского уширения из-за высокочастотных полей, следует упомянуть об интересной связи между штарковским уширением и теорией флуктуации (см. 1.3). В электрическом поле плазмы в приближении атомного дипольного взаимодействия и первом борновском приближении типичный матричный элемент имеет вид [13]:

оО

(и | г I и") ■ (и" I г I и') j exp [i (ш -/] X

О

(8)(8)Х{Е(О-Е(О)}ОТЛ,

(8)

(8)

г. е. задается Фурье-образом автокорреляционной функции электрического поля. Тем не менее частота взаимодействия соответствует разности наблюденной и атомной частот cou,,z= ( <zz"|/7 |tz/z> —<1\Н\Г>^Н , как можно ожидать на основании сохранения энергии.

Оператор г представляет собой положение векторов излучающих электронов и их сумму по соответствующим промежуточным состояниям и".

Действительную часть интеграла можно выразить через спектральную плотность поля или плотность флуктуации, а мнимую — через присоединенное главное значение интеграла.

Для равновесных и других стабильных плазм в пределах рас- мотренных приближений методы расчета £(ю) могут быть заимствованы из теории рассеяния света. Однако имеется также важное отличие, заключающееся в том, что ограниченная применимость ударного приближения обычно требует отличного от первоначального разложения поля. Например, в то время как теория рассеяния света требует включения всех флуктуаций плотности заряда, связанных с электронами, в том числе и флуктуации в ионных плазменных волнах, ситуация становится менее ясной в настоящем случае. Из-за низких частот и относительно больших амплитуд поля обобщенное ударное приближение обычно не применимо для низкочастотных флуктуаций поля. Их воздействие на форму линии должно быть поэтому описано на основе дополнительного -приближения к общей, но неудобной для практического использования теории уширения линий. Это дополнительное приближение является квазистатическим, основанным на предельном предположении, что в атомном масштабе времени порядка Acos-1 поля практически не меняются. Тогда можно предположить, что данный излучатель находится под воздействием постоянного возмущающего поля, вызывающего обычный штарк-эффект [1, 2], а именно смещение уровней и возможное изменение относительных интенсивностей.

Суммирование излучения по многим атомам или ионам в этом случае эквивалентно усреднению излучения от единичного излучателя в статистически распределенном поле, описываемом функцией распределения W(E), если, как в случае ударного уширения, мы предполагаем изотропию плазмы, т. е. рассматриваем только изменение амплитуды поля.

Так как излучение такого пробного атома или иона подвергается воздействию также со стороны высокочастотных полей, т. е. будет ударно уширено, комбинированное воздействие квазистати- ческого и ударного уширения приводит к следующей форме линии:

L(o))= JEW,(9)

где Le такое же, как и в уравнении (7), за исключением того, что операторы здесь являются также функциями квазистатического поля Е.

Рис. 1. Функции распределения Р(е) для приведенных электрических микрополей. создаваемых ионами в плотной, многокомпонентной плазме, которая содержит смесь семнадцатикратно ионизованных (х= 17) и однократно ионизованных (г=1) ионов для трех значений отношения их плотностей R [20]. Реальная напряженность поля E = zF^ где Ро — хольтсмарковская напряженность поля, F^e^r^2, а распределение W(E) определяется отношением Р(г)1Е0. Сравнение указывает на важность экранирования и корреляций и на ослабленную зависимость от ионного заряда при фиксированной плотности электронов.

Здесь a=r0/XD

Основная трудность с этим стандартным выражением для штар- ковских контуров спектральных линий заключается в необходимости разделения полей на высокочастотные и низкочастотные в за- BiHCHMOiCTH от отношения их характеристических частот к большей из интересующих нас частот cos и Асо. До тех пор, пока все поля могут быть приписаны некоррелированным электронам и ионам, очевидным решением является включение всех электронных полей в £(со) и ионных пол-ей в W(E), что дает возможность вычислить стандартным образом форму линии и затем проверить справедливость использованных временных масштабов.

Однако в плазмах, которые являются достаточно плотными, для того чтобы штарковское уширение стало заметным, учет корреляций также становится важным. Хупер и сотр. [19, 20] включили такие корреляции в расчеты W(£) для ионных полей. Как показано на рис. 1, корреляционные эффекты весьма заметны, хотя остается неясным, как должны быть учтены низкочастотные поля, создаваемые экранирующими электронами, которые связаны с возмущающими ионами.

В большинстве расчетов этими низкочастотными электронными полями пренебрегают. Кроме того, имеются указания на. то, что их включение в £(со) приводит к завышенной оценке их влияния на форму линии из-за сомнительной справедливости применения ударного приближения в этом случае. Это обстоятельство, а также то, что некоторые штарковские ширины Acds являются слишком малыми, чтобы устранить серьезные сомнения относительно справедливости применения квази-статического приближения для описания эффектов, вносимых полем ионов, делают необходимым

введение по,правок или обобщение квазистатического приближения, учитывающего малые изменения поля, создаваемые ионами или ионными волнами за исследуемый интервал вр-емени. Такие обобщения являются наиболее необходимыми для линий, подвергающихся воздействию со стороны линейного или квазилинейного, штарк-эффекта от квазистатических полей, т. е. водородных линий или сильно уширенных гелиевых линий с перекрывающимися компонентами, которые отличаются только орбитальными угловыми моментами верхних уровней. Наиболее -систематическим путем получения желаемых дополнений к стандартной теории является замещение квази-статического поля медленно меняющимся, которое можно выразить через степенные, зависящие от времени ряды. Этот подход был введен В. И. Коганом [21], который тем не менее не только пренебрег электронным ударным уширением и корреляциями между частицами плазмы, но также использовал адиабатические волновые функции в системе координат, вращающейся вместе с ионными полями. Он показал, что поправки к квазистатическому приближению можно выразить в терминах функции распределения W(E, ^н, Ё^, которые описывают условные вероятности производных по времени Ё^ и S± компонент поля, параллельных и перпендикулярных начальному направлению поля Е при заданной Е.

Для некоррелированных ионов эти функции можно взять из- аналогичных функций для гравитационных полей [22], генерируемых стохастически распределенными звездами с максвелловским распределением в пространстве скоростей. Эти функции распределения являются обобщениями Хольцмарковского распределения для Е [2'3].

Два из приближений Когана — предположение об адиабатичности и пренебрежение ударным уширением — были развиты впоследствии [24] в довольно общей теории для уширения водородных линий.

Хотя эта работа позволила оценить качественные тенденции в расхождениях между измерениями [25] и стандартной теорией, ее нельзя использовать для количественного сравнения потому, что корреляции не были учтены.

Как будет видно из последующего анализа гравитационного случая, предположение о стахастичности не реализуется даже в пределе, соответствующем г0Ао-^0, где г0 —среднее расстояние между ионами, определяемое из условия 4лг03пе/3=1. Теоретическая модель [26] для низкочастотных флуктуаций полей, создаваемых частицами и волна,ми, предполагает, что в этом пределе действительные значения, например значение Ё^. как правило, занижены в 1,5 раза и слабо зависят от отношения r0/XD до тех пор, пока оно остается меньше единицы.

Применение этой модели к водородной линии с использованием других случаях в основном метода работы [24], обобщенного на случай произвольно больших поправок к несмещенным штарков- ским компонентам, дает действительно очень хорошее соответствие

Рис. 2. Сравнение измеренных (точки) [27} и рассчитанных (кривые) [26} профилей линии La водорода при различных плотностях. Штриховыми линиями показаны результаты расчетов [29], в которых пренебрегалось движением атомов относительно ионов. Верхняя кривая (точки), рассчитанная с учетом доплеровского уширения, показывает малость этого уширения даже при самых низких плотностях электронов. Нижняя кривая (пунктир) соответствует учету вклада сдвинутых штарковских компонент в расчеты профиля при самых низких плотностях

с измерениями [27]. Это видно из рис. 2, который также демонстрирует большое улучшение точности расчета по отношению к стандартным расчетам [28, 29].

Прежде чем проведем сравнение результатов расчета с экспериментальными измерениями формы линий, для которых не имеемся несмещенных штарковских компонент, обратим внимание на следующие два момента. Прежде всего флуктуации поля, которые чувствует атом, подвержены влиянию доплеровского смещения при его движении через плазму, т. е. имеется сильная корреляция между штарковским и доплеровским уширениями. Эта корреляция нарушает обычную свертку двух основных профилей. (Эту корреляцию не следует смешивать с эффектом Дике [30], который может приводить к столкновительному сужению доплеровского уширения ионных линий в плотных плазмах [31].) Комбинированные штарк-доплеровские контуры для линии La, вычисленные с учетом этой корреляции [26], продемонстрировали, что поправки на тепловое доплеровское уширение значительно меньше, чем поправки, учитываемые обычной обратной сверткой. Поэтому величина, расхождения между измеренными и рассчитанными штарковскими ширинами была даже больше, чем предполагалось ранее (порядка трех вместо двух с половиной). В дальнейшем были предприняты различные попытки [32—34] учесть эти расхождения включением в оператор ударного уширения ^(со) эффектов низкочастотного поля. По-видимому, они оказались не более успешными, чем попытки применения обобщенного квазиста- тического приближения, и не дали удовлетворительного согласия, например, в случае линии Ц. Эта линия является прототипом во-

Рис. 3. Сравнение измеренных (крестики) (270 и рассчитанных (сплошная кривая) [37} профилей линии L^ водорода для двух значений плотности электронов Ne» Сплошная кривая построена на неподправленных профилях [29}. Стрелки вблизи центрального минимума профиля и сдвинутого максимума указывают на изменения интенсивности в случае использования неподправленных профилей [28]. Показаны также (пунктирная кривая) результаты, полученные при использовании модели микрополей [38J. Частота х отложена в единицах штарковского> сдвига внутренних компонент в хольтсмарковском поле F^ х р соответствует электронной плазменной частоте, измеренной по несдвинутой линии. Что касается линии La, то она предполагается симметричной относительно несдвинутой. линии, и поэтому здесь показана только половина профиля

дородных линий, не имеющих несмещенных штарковских компонент.

Линия Ц также была измерена [27, 35, 36]. Сравнение с систематическими расчетами [37], аналогичными расчета.м для La, за исключением того, что здесь не столь необходимо проводить экстраполяцию от малых поправок к большим, представлено на рис. 3. Наибольшее расхождение составляет примерно 5%, оно- лишь незначительно превышает аналогичное значение для La. Единственными методами, способными обеспечить необходимое соответствие, являются модельные расчеты микро-полей [38] г основанные на замещении действительной временной зависимости поля процессами типа кенгуру (ступенчатой функцией) [39], приводящими к корректным автокорреляционным функциям и функциям распределения, а также методы численного моделирования с помощью ЭВМ [40].

Фактически оба эти метода являются числовыми и поэтому не пригодны для экстраполяции, например, при переходе от водород-

пых линий -к 'водородоподобным аргоновым линиям, представляющим интерес в исследованиях по инерциальному управляемому термоядерному синтезу (см. п. 4.2).

Более того, как и различные обобщения ударного приближения, они включают важные эффекты атомного или ионного движения в весьма произвольной манере, т. е. опираются на. наблюденную зависимость [25] расхождений между экспериментом и теорией (стандартной) от приведенной массы пары излучатель — возмущающий ион. Так как квазистатические поля и их зависящие •от времени производные многочастичны, эта простая зависимость не является полностью очевидной, хотя отклонения от нее действительно малы в стохастическом пределе работы [22].

Излучательный перенос. Многие лабораторные плазмы являются оптически тонкими для большей части электромагнитного спектра. Это означает, что фотон покидает плазму с большой вероятностью, как только он возникает в ней или попадает в нее из внешнего источника. В таких случаях знание коэффициента излучения 8 (со) достаточно для расчета интенсивности спектрального излучения по формуле

а

Z JaM = J^A' + ^H, (10) b

где х—'Элемент длины вдоль луча, проходящего сквозь плазму между некоторой точкой а на противоположной стороне плазмы и точкой 6, из которой выходящий луч попадает в детектор. Входящие и выходящие интенсивности Jb и Ja измеряются в направлениях распространения лучей, которые не обязательно параллельны, если существенную роль начинают играть рефракционные эффекты.

Коэффициенты излучения для линий представлены в (1), а излучение электрон-ионного континуума аппроксимируется уравнениями (25) и (30). Эти и любые другие вклады в интенсивность излучения всегда являются аддитивными, пока рассматриваются элементарные процессы, связанные только с коэффициентом 8, но по отношению к интегральной интенсивности аддитивность сохраняется, если только плазма оптически тонкая на данной частоте по отношению ко всем излучательным процессам.

Наиболее вероятными процессами поглощения являются атомное или ионное резонансное поглощение в линиях. Сечение электрического дипольного фотовозбуждения выразим через классический электронный радиус rQ=e2/mc2

OaW = 2л2Гос{Ь(ы). (11)

Отдельные переходы можно характеризовать силой осцилляторов в поглощении, или f-числом [5]. Последние тесно связаны с вероятностью перехода в уравнении (1) и нормированной функцией формы линии L(cd), которая рассматривалась выше. Умно- ’96

жая оа на плотность п атомов или ионов в нижнем -состоянии, н?.- ходим значение коэффициента поглощения к (со), из которого для Определения эффективного коэффициента поглощения надо вычесть аналогичное выражение, включающее плотность и* в верхнем состоянии

к'=Оап — otn* = 2n,2r0cf (п — gn*/g*) L (to). (12)

Здесь Ог — поперечное сечение процесса вынужденного излучения, сила осциллятора которого связана с силой осциллятора, для поглощения через отношение статистических весов g и g* нижнего и верхнего уровней перехода. (Предположение о равных формах пиний для обоих процессов широко распространено, но не всегда оправдывается на практике.) Кроме эффектов поглощения и вынужденного излучения на интенсивность выходящего из плазмы .излучения могут оказывать влияние различные процессы рассеяния. Из них всех только резонансная флуоресценция имеет достаточно большое поперечное сечение, чтобы конкурировать при обычных лабораторных условиях с поглощением в линиях. Тем не менее это на самом деле не самостоятельный процесс, а комбинация поглощения с последующим за. ним спонтанным излучением. Если плотность плазмы достаточно мала для того, чтобы спонтанный распад был гораздо более вероятным процессом, чем любой вынужденный столкновениями переход из верхнего состояния, тогда наиболее подходящим будет описание в форме резонансного рассеяния. В противоположном случае -надо использовать описа.- ние, включающее рассеяние и полностью некоррелированное спонтанное излучение. Для промежуточных ситуаций применима линейная суперпозиция [41] обоих описаний с соответствующими коэффициентами. Если отношение gn*!g* достигает п, то следует также рассматривать аналогичный процесс вынужденного рассеяния. С другой стороны, релеевское рассеяние обычно не выдерживает конкуренции со столкновительными процессами и его поперечное сечение всегда много меньше поперечного сечения поглощения или резонансного рассеяния.

Строго говоря, релеевское рассеяние не является независимым процессом. Оно скорее соответствует резонансному рассеянию с поперечным сечением, указанным в (111), за исключением того, что функция формы линии представляет собой предельный случай функции L(cd) для естественного уширения линии. В этом смысле только томсоновское рассеяние на свободных электронах является действительно дополнительным процессом с поперечным сечением, выражаемым также через (11), где L^ заменяется на величину порядка (с/г0)-1, эквивалентную ширине линии, которая больше атомной частоты, умноженной на а-3^2,6- 10б, т. е. 5-1022 рад-ст1. Малость сечения томсоновского рассеяния ’объясняет, почему этот процесс или его релятивистское обобщение не играют важной роли в переносе излучения в лабораторной плазме. Но, как было указано выше, процессы поглощения континуума или вынужденного из-

лучения должны быть учтены в радигдионном переносе. Возвращаясь к уравнению (4G), определяем:

а

<13>

ь

как оптическую толщину плазмы вдоль луча, от b до а.

Дифференцирование интенсивности dJ—zdx—Jk'dx приводит к простейшей форме уравнения радиационного переноса:

dJ](ix=zlkr —J=S —J,(14)

где S— функция источника. В случае термодинамического равновесия она равна функции Планка

JD = exp — 1,(15)

р[ \кТ /]’

но в -более общем случае для спектральной области в окрестности сильной линии

. $_J^L (SL _ 1V*(16),

/4тг3с2 \ gn* /

(считаем, что формы линий е(со) и £'((о) одинаковы).

Но даже в этом упрощенном случае возникают проблемы вследствие того, что отношение плотностей зависит не только от скоростей столкновений, но и от процессов излучения, т. е. от локальных значений интенсивностей во всех направлениях. Исследо- -вание таких проблем освещалось главным образом в астрофизической литературе [42, 43J.

Предположение о равной форме линий также весьма спорног особенно в случае чистого доплеровского уширения и относительно сильного фотовозбуждения. В таких случаях необходим детальный учет перераспределения излученных фотонов по всей области частот и по всем направлениям для данного поглощенного фотона. Нахождение функции распределения при значительном столкнови- тельном уширении—'предмет исследования, проводимого в настоящее время.

(Возвращаясь к уравнению радиационного переноса (14), замечаем, что его формальное решение имеет вид:

таь

4 = J 5 ехР I™ ^ab — Т)1 ^т +4 ехР (— 'ab)-(17)>

О

Значения т находят из уравнения (13) с заменой а на х. Интегрирование ведется вдоль луча на отрезке от b до а. Первый член учитывает источники внутри плазмы, второй—-внешние источники, S(t)=5(x) зависит, в общем, не только от локальных значений температур и т. д., но также и от интенсивностей, как было отмечено выше.

98

Если т^ мало, то в (17) можно опустить член экспоненциального затухания и рассматривать оптически тонкую плазму [см. (10)]. Более интересным является другой предельный случай тоЬ^>1, когда плазму может покинуть только излучение, находящееся в тонком поверхностном слое, и если предположить, что сохраняется постоянным во всем этом слое, то (17) упрощается и принимает вид:

Ja^S^, (18)

г в случае выполнения условий локального термодинамического равновесия

Ja^ 7р,

е. плазма излучает как черное тело. Итак, чтобы использовать формулу Планка для описания излучения плазмы, должны выполняться следующие три условия: большой оптической толщины, малой пространственной вариации температуры и близкого к тепловому отношения плотностей верхнего и нижнего состояния п*/п излучательного перехода. В случае, когда преимущественную роль в излучении играют переходы континуума, а не дискретные или генерации циклотронных гармоник, последнее условие становится требованием существования почти максвелловского распределения для излучающих или поглощающих ионов или распределения Ферми, если электроны вырождены. Таким же -образом должно выполняться ионизационное равновесие Саха для связанных уровней, с которых происходит фотоионизация.

В заключение отметим, что теория излучательного переноса является также хорошо разработанной областью математической ♦физики [44, 45] с различными интересными приложениями к спектроскопии плотной плазмы [46].

НЕПРЕРЫВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ЭЛЕКТРОН-ИОННЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ

В то время как излучение атомных линий соответствует переходам между связанными дискретными состояниями атома или иона, т. е. между хорошо разделенными энергетическими уровнями в отсутствие внешних влияний, излучение атомного континуума обусловлено переходами между состояниями, из которых по крайней мере одно соответствует активному свободному электрону •обладающему любой кинетической энергией.

Если, действительно, только одно из состояний — свободное электронное, то такое излучение называют рекомбинационным, так как в конечном состоянии электрон рекомбинирует с ионом или атомом и в последнем случае образует отрицательный ион Если оба состояния являются свободными, т. е. если электрон только теряет кинетическую энергию в процессе замедления, но не -претерпевает захвата, то такое излучение называется тормозным.

Следует отметить, что различие между связанными и свободными состояниями может 'быть нерезким даже в отсутствии значительного взаимодействия с остальной плазмой.

(Это осложнение возникает для всех систем, кроме одноэлектронных, и состоит в том, что вырождение между дважды возбужденными связанными состояниями двухэлектронной системы, в которых один электрон связан с ls-уровнем, а другой свободен, будет, в лучшем приближении, переводить эти связанные состояния1 в континуум, хотя и со структурой, напоминающей суперпозицию дискретных уровней с континуумом. Соответствующие линии могут ■иметь значительные естественные уширения из-за безызлучательного затухания электрона (автоионизация), а из-за' интерференции с нормальным непрерывным излучением их контуры могут сильно^ отличаться от лоренцовых [47]. Процесс обратной автоионизации, т. е. безызлучательный захват, сопровождается возбуждением одного или более уже связанных электронов и является первой ступенью в важном рекомбинационном процессе, который обычно называют диэлектрон ным. Следующей ступенью является излучательное затухание дважды возбужденного состояния, приводящее к излучению диэлектронных сателлитных линий, которые в зависимости от конкретных условий морут быть или не быть разрешенными от резонансных линий первичного иона.

Тормозной спектр. Электроны и ионы непрерывно ускоряются или замедляются в результате их взаимодействия друг с другом, причем приобретаемое ускорение обратно пропорционально отношению масс сталкивающихся частиц. Классические расчеты мощности излучения Р тормозного спектра, основанные на излучении заряда е при ускорении х=еЕ!т) дают величину Р= = 2^х2/3с\

Включение в расчеты электрического поля Е, создаваемого- более или менее стохастически распределенными ионами со, средней плотностью nz, приводит к следующей формуле для плотности мощности излучения тормозного спектра:

4r fe(®)d<o A _£L VEflt^lr^cn-VE?. (19), J 9 т2с3 9

I I

Электрическое поле отдельного иона с зарядом г в области, занимаемой электроном,

Ег = 2вГг/Гг3, (20)

где гг(/)—мгновенный вектор от иона к электрону, гг- — модуль, этого вектора. Необходимо провести также Фурье-преобразование ионного поля £<»*= J e^E^tydt, в результате которого получаем интеграл, используемый также в лолуклассических расчетах поперечных сечений или электрон-столкно1В1Ительного уширения ионных линий [13].

Используя эти результаты, имеем в терминах характерных параметров

(21)

после умножения |EV|2 'единичного иона на 2nyptipnz, т. е. на 'интегрированную по всем параметрам удара вероятность того, что в единичный интервал времени данное столкновение характеризуется параметром удара, р и скоростью у. Записывая Е^ в уравнении (19) в интегральной форме и используя (21), получаем выражение для коэффициента излучения, обусловленного электронами, в виде

е„ (со) «-|z W02 у razne(a2+b2) >/2.(22)

Функции а и Ь, характеризующие ширину и смещение ионных линий, уширенных из-за столкновений, зависят в рассматриваемом подходе только от параметра

(23)

Ни mv2 ’

а если отождествить (a2+^2)v73l/2 с гаунт-фактаром g^ для свободно-свободных переходов, то (22) будет соответствовать выражению, получаемому на основе квантовомеханических расчетов. Однако gn будет зависеть также от значений кулоновского параметра т] = 2е2/йу. Полуклассические расчеты справедливы только для больших т]. После усреднения по максвелловскому распределению получаем, что в этом пределе величины z^E^IkT и z^E^H® должны быть велики, а параметр £ надо заменить на

6 = —шш6 = —шш(г^н/Й®)'/2;,24х

6 = —шш

6 = —шш

^Ен1кТу1ДТи»1кТу’

Голько первый вариант здесь совместим с условием т])М в интересующем нас диапазоне частот и, как видно из рис. 4, гаунт- факторы, оцененные таким способом, действительно довольно хорошо согласуются с результатами, полученными в квантовой механике для больших значений z2E^lkT. Более детальное обсуждение гаунт-факторов можно найти в [1]. В [48, 49] имеются также результаты для случая релятивистских электронов. Полагая gfj=\, т. е. используя аппроксимацию1 Крамерса и усредняя по максвелловскому распределению выражение (22), получаем:

, х16(ад0)3 2/ ^Н Y^2/Hto \

^(Ю)33/2^1/2JеХР ( ~1Т)гПе' ^

При этом мы исключили из интеграла по скоростям вклад электронов с кинетическими энергиями, меньшими, чем фотонная энергия, и выразили энергии частиц через энергию ионизации водорода Ен. (Напомним, что Го=а2#о, а = е2/Йс= 1/137 и E^=e^f2a^ ^me^fa2.) После домножения на g^ эта формула будет почти

PhcZ4. Гаунт-факторы для свободно-свободных и свободно-связанных переходов, усредненные по максвелловскому распределению [5 Г]. Штриховая кривая соответствует полуклассическому приближению, описываемому, уравнениями (22) - (24)

точным выражением для дипольного тормозного излучения ионов, однако она нуждается в модификации как вблизи различных ха.- рактерных плазменных частот [50], так и для столкновений электронов с ионами, имеющими связанные электроны [1].

Интегрирование (25) по ю и домножение на 4л приводит к известной и важной формуле для плотности мощности тормозного излучения нерелятивистской, полностью ионизованной плазмы:

^у" z%ne^4,9.to-31TU42rtzne. (26)

где Т— электронная температура, кэВ; Рг— мощность, Вт-см^3; п— плотность, см-3. Эту оценку еще надо помножить на усредненные гаунт-факторы [51] (рис. 5), чтобы она была верной для тормозного излучения на ободранных ионах. Для многокомпонентной плазмы равенство (26) надо также просуммировать по 2, т. е. по заряду различных ионов, которые до сих пор считались полностью ободранными от связанных электронов.

Несмотря на то что излучение в результате столкновений электронов с примесными ионами, которые полностью не ободраны, потребовало бы расчета электрон-ионного рассеяния с возможным электрон-электронным взаимодействием, тем не менее простая трактовка полученных здесь результатов будет достаточной для многочисленных приложений. Для излучения в тепловом диапазо- 102

Рис. 5. Гаунт-факторы для свободно-свободных переходов, усредненные по частотам и максвелловскому распределению в случае расчетов потерь энергии на тормозное излучение [51]Рис. 5. Гаунт-факторы для свободно-свободных переходов, усредненные по частотам и максвелловскому распределению в случае расчетов потерь энергии на тормозное излучение [51]

Рис. 5. Гаунт-факторы для свободно-свободных переходов, усредненные по частотам и максвелловскому распределению в случае расчетов потерь энергии на тормозное излучение [51]

Рис. 5. Гаунт-факторы для свободно-свободных переходов, усредненные по частотам и максвелловскому распределению в случае расчетов потерь энергии на тормозное излучение [51]

не, т. е. Н^^кТ, можно считать, что характеристический прицельный параметр р~^/(о имеет вид p~(£7V^co))X X ^Е^кТу^а^ Его надо сравнить с характеристической удаленностью связанных электронов от ядра г-п^а^г', где nz— главное квантовое число некоторого электрона, a zr ^z—s — экранированный заряд ядра (s считают равным числу электронов во внутренних подоболочках плюс половина числа других электронов подоболочки П/). Если пр£ этом сравнении оказывается, что г<р, то тормозное излучение можно оценить, используя эффективный заряд, соответствующий разности заряда ядра и общего заряда связанных электронов. Иначе говоря, экранировка ядерного заряда играет менее важную роль. В любом случае в рассматриваемой до сих пор спектральной области тормозное излучение не столь велико по отношению к излуче-

нию спектральных линий.

При высоких частотах можно рассмотреть другой предел. В этом случае следует учитывать близкие столкновения, когда эффективный заряд приближается к заряду ядра при энергиях

рентгеновского излучения значительно выше энергии излучения линий данного элемента ка, к^ и т. д. Для промежуточных вариантов сечения тормозного излучения [1,52] следует рассчитывать с использованием волновых функций ионов-мишеней. Кроме рассмотренных здесь поправок .к формулам тормозного излучения имеется еще три, по-видимому, важных физических эффекта. Прежде всего, электрон-электронные столкновения порождают тормозное излучение, если учитывать квадрупольный порядок. По Сравнению с доминирующим электрон-ионным тормозным излучением этот эффект поэтому имеет порядок (у/с)2 [53]. Тогда возникает вероятность преимущественного испускания двух, а не одного фотонов во время одного столкновения. Этот эффект имеет порядок а(и/с)2, т. е. он пренебрежимо мал [54]. Наконец, так как столкновения с большим прицельным параметром дают свой вклад, тормозное излучение может уменьшаться из-за дебаевской экранировки. Эта поправка должна быть порядка (рХр)2~ (.top/co)2, г. е. она мала для большинства представляющих практический интерес частот (при to^kT)hy Числовые расчеты [55, 56] говорят о том, что соответствующее уменьшение тормозного излучения составляет меньше 1% для обычной плазмы, удерживаемой магнитным полем. Однако для плотной плазмы, возникающей при лазерных термоядерных исследованиях, это уменьшение может состав-

лять более 1'0%. Как будет показано ниже, эта оценка может оказаться завышенной, поскольку коллективные взаимодействия также могут вызывать дополнительное излучение.

Рекомбинационное излучение. Для оценки непрерывного излучения, связанного с электрон-ионной рекомбинацией, удобно сначала рассмотреть обратный процесс, а именно фотоионизацию. Сечение этого процесса тесно связано с сечением дискретного поглощения, выражаемого равенством (И). В равенстве (11) произведение силы осциллятора / и функции формы линии определяет долю полного сечения при данной энергии фотона. Соответствующая доля для непрерывного поглощения определяется дифференциальной силой осциллятора dj/d^^Uf/dE. Для одноэлектронных атомов или ионов можно экстраполировать эту силу осциллятора с помощью асимптотических сил осцилляторов для поглощения при переходах из связанных состояний п в состояния т [57]

„95/ Z2EH V 11

1тп~ пз/2 Is о •

3 ' тс \ Tito / п5 т3

При больших т энергетический интервал, соответствующий Ат= =1, можно аппроксимировать как КЕ^^Е^т^. Дифференциальная сила осциллятора, экстраполированная в область положительных энергетических состояний, в этом случае принимает вид:

241(28)

dE Д£ З3^2л (Й<о)3«5'

и сечение фотоионизации для одноэлектронных атомов или ионов в состоянии п с учетом (11) и (28) можно записать в виде

, .2^Нгос ^Е^_ 2«ла (^Ен Х,5 %2,9QX

°п(Ш) оЗ/2^у — 3З/2Z2 \Дю /„5 •‘

Это приближениеКрамерса, котороенадодомножитьнасоот

ветствующие гаунт-факторы gfb [1, 8, 51], чтобы оно было справедливым для одноэлектронных систем. Как следует из рис. 4, эти коэффициенты лежат в диапазоне от 0,8 до 1,2, т. е. в более узком диапазоне, чем гаунт-факторы свободных переходов gn. Поправки становятся более существенными, если равенство (29) применяется для описания фотоионизации систем е двумя или большим числом электронов [1], хотя равенство (29) и может давать разумную аппроксимацию, если домножить -его на число электронов т]п в n-й оболочке.

Согласно закону Кирхгофа можно получить коэффициент излучения в результате излучательной рекомбинации, умножая эффективный (см. разд. 1.3) коэффициент поглощения для условной плазмы в тепловом равновесии h\=On^*n[l—ехр(—И^!кТ^ на функцию Планка 1Р из равенства (15) и выражая условную плотность п*п с помощью уравнения Саха, содержащего плотности

ионов пг и электронов пе. Используя равенства. (3) и (15), получаем:

, . 32(а«0)3 4„ / £Н 3/2 / *2£Н Йго \

Напомним, что статистический вес и энергия ионизации n-го уровня 2ц2 и z^E^n? соответственно. Это выражение, домноженное на гаунт-фактор, хорошо описывает вклады свободных состояний в непрерывное излучение в плазме с полностью ободранными ионами.

Чтобы получить полную интенсивность рекомбинационного излучения такой плазмы, надо просуммировать по всем п, при которых показатель экспоненты в равенстве (30) отрицателен, что соответствует энергиям фотонов за границей различных серий. Чтобы также учесть излучение от слившихся, т. е. сильно уширенных, линий (см. § 2.2) вблизи границ серий, Йо может быть и меньше z^E-aln? на, величину, соответствующую энергии ионизации верхнего уровня первой линии, у которой ширина становится больше расстояния до следующей линии серии. Этот эффект первоначально обсуждался Инглизом и Теллером [11], однако до сих пор полностью не ясен (см. разд. 1.2). Обычно менее важным является другой эффект, связанный с высокой плотностью, а именно уменьшение энергии ионизации \Е№ [8], учесть который можно, если домножить выражение (30) на ехр(—^EodkT^ (см. также [58, 59]).

Необходимы специальные расчеты для точного описания рекомбинационного излучения частично ободранных ионов или, что эквивалентно, фотоионизации систем с двумя и более электронами [1, 2]. Можно, однако, оценить основные эффекты рекомбинационного излучения двумя простыми модификациями равенства (30). Во-первых, заряд ядра z следует заменить на экранированный заряд из-за присутствия связанных электронов. Во-вторых, чтобы учесть уменьшение числа возможных состояний в n-й оболочке, коэффициент излучения надо домножить на (1—цп)/2п2, где цп — число электронов на этой оболочке.

Возвращаясь к р-авенству (30) и сравнивая его с (25), видим, что в соответствующих областях спектра, отношение рекомбинационного излучения к тормозному без учета гаунт-факторов есть отношение для полностью ионизованной плазмы, состоящей из ионов одного типа:

кТ п3 еХр(пгйг)'

Здесь имеет место суммирование поп, при котором Й(о^г2ЕнДг2. При достаточно больших энергиях фотонов условие преобладания тормозного излучения в полностью ионизованной плазме имеет вид: feT>z2EH, что не всегда справедливо, например, в токамаках, где плазма имеет примеси железа. Соответствующее отношение плотностей мощности, т. е. отношение равенства (30), домножен-

ного на 4л и проинтегрированного по со, к равенству (26) можно записать в виде

_ 2г=£н уи_^9 4 ?2£Н/32)

К — кТ и П3кТ ’’

где снова не учтены гаунт-факторы и предполагается полная ионизация однакомпонентной плазмы.

Из сказанного выше следует, что по сравнению с тормозным излучением рекомбинационное излучение доминирует для тяжелых и полностью ионизованных примесей. Поскольку для всех примесей, за исключением полностью ионизованных, диэлектронная рекомбинация преобладает (см. п. 4.1), то, естественно, возникает, вопрос о возможном доминировании этого процесса над непрерывным рекомбинационным излучением. В интегральном смысле эта ситуация представляется нормальной. Однако излучаемые фотоны в основном близки по энергии к различным резонансным линиям. Поэтому на. практике их можно учесть поправками к интенсивностям линий, которые не обязательно малы [60, 61].

ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛАЗМЫ

Обсуждаемые до сих пор различные радиационные процессы носили в основном атомный характер, хотя на них в той или иной степени оказывали влияние взаимодействия между излучающими атомными системами и плазмой, частью которой они являются. Теперь мы рассмотрим .процессы, которые не имеют прямого отношения к атомным спектрам, рассмотрим излучение, возникающее вследствие движения электронов в магнитном поле, проникающем в плазму, и излучение, связанное с различными плазменными волнами. Первое приводит к электрон-циклотронному излучению, а второе—к аномальному тормозному излучению вблизи, например, плазменной электронной частоты.

Необходимость изучения этих процессов очевидна из-за их влияния на энергетический баланс плазмы и частично из-за их роли в диагностике плазмы. Основной причиной повышенного интереса к изучению коллективных радиационных процессов в астрофизических и лабораторных плазмах является их большой вклад в излучение. На это указывалось, например, в [62] и в недавнем обзоре [63] общее описание этих процессов можно найти [50].

Электрон-циклотронные гармоники. Так же как в случае тормозного излучения (см. п. 2.1), запишем формулу Лармора для полной мощности, излучаемой ускоренным зарядом: Р=2е2|ж|2/3с3, которая при подстановке в нее x—v^toee^u^eBImc примет вид: Р=йе4В2и^Зт2съ=2ге2В2ид_213с. Характеристическое время потери энергии nw^W можно представить, 'Следовательно, как tc= = 3тс ,4г е2В2 «2,6В-2 с, где В измеряется в теслах. При значениях В«10Тл в условиях выполнения критерия Лоусона

/гт—Ю14 см“3 циклотронные радиационные потери будут весьма существенны, за исключением случаев, когда плотность достаточно высока: п^4-1015 см^3.

Эту простую оценку циклотронных радиационных .потерь следует уточнить. Во-первых, излучение не только испускается электронами, но и сильно поглощается ими. Другими словами, следует обратиться к п. 1.3, где рассмотрена проблема переноса излучения. Как показано ниже, излучение вблизи соСе оказывается пренебрежимо малым во многих случаях. Тем не менее, как было указано в [64], очень важно помнить, что формула Лармора носит нерелятивистский характер и является частным случаем более общих выражений, уже полученных в ранней монографии Шотта [65]. Важным моментом является то, что релятивистская теория предсказывает также излучение вблизи гармоник циклотронной частоты и излучением на этих гармониках нельзя пренебрегать даже для Ее^тс2. Детали расчетов радиационных потерь на циклотронных гармониках были суммированы Б. А. Трубниковым [64], который приводит для потерь мощности на единицу объема плазмы следующее выражение:

Pc = пе ^cev^ = <ekTe,= кТ^. (33)

Здесь ср — фактор прозрачности, включающий не только поглощение в плазме, отражение и поглощение на стенках, но также и релятивистские эффекты. С учетом последнего и из-за доплеровского уширения ф зависит от безразмерного параметра, включающего электронную температуру

1е=кТе/тс2. (34)

Второй безразмерный параметр должен учитывать оптическую глубину системы, т. е. быть пропорциональным произведению характеристической длины в плазме а на плотность плазмы. Поскольку плотность плазмы пропорциональна квадрату электронной плазменной частоты, а единственная частота, которая нам известна,— это (осе, то естественно в качестве второго безразмерного параметра выбрать величину

Ра — ^(О^ре/Ctoce* (65)

Для плазмы, представляющей интерес с точки зрения термоядерных исследований, te мало, а ра обычно довольно велико. Кроме того, ф является монотонно возрастающей функцией te и имеет тенденцию к уменьшению с возрастанием ра. При ра-^-оо ф должно изменяться как \]ра, так что объемный интеграл от Рс пропорционален площади поверхности плазмы. Поскольку ф—1 при ра-^0, го можно считать, что ф^1/Ура в наиболее интересной промежуточной области [66]. Если коэффициент отражения стенки г, то эффективная длина имеет вид а-!-аг+аг2+... = а/(1—г), т. е. в промежуточной области фактор прозрачности, а следовательно, и ра-

диационные потери в ]/1—г раз меньше по сравнению с излучением плазмы при нулевом отражении стенок.

Числовые значения ф можно найти в [66]. Однако читатель должен помнить, что величина а не обязательно наименьшая макроскопическая длина в плазме. Если величина магнитного поля, а следовательно, и циклотронная частота изменяются вдоль соответствующего направления, то эффективное поглощение возникает только при AS/B^Acd/cd, где Асо — локальная ширина линии. При малых te Асо определяется нерелятивистским доплеровским уширением, т. е. Асо/со^ ^1е^Ук, поэтому вместо а должна использоваться соответствующая масштабная длина am^^BI{dBldr) ^ ^B^KtelQ-Y^IW^BIdry если ат существенно меньше а. Учет сдвигов циклотронных линий вследствие радиальной неоднородности тороидального поля эквивалентен согласно [67, 64] замене аргумента в ф на ^/}(;1+%), где

(36)

Здесь а и R—'малый и большой радиусы соответственно. При больших а и малых te радиационные потери почти не зависят от а и эффективное значение второго безразмерного параметра

pa-^W2Y,2Rto2pe/Ctoce.(37)

Числовые значения в типичных экспериментальных условиях таковы, что1/Ура-~1/У7?.

Расчеты циклотронного излучения плазмы малой плотности в тороидальных полях можно найти в [67, 68]. Авторы [68] подробно обсуждают радиационные потери и добавочную теплопроводность, связанную с переносом излучения на циклотронных гармониках вдоль температурного градиента. Они также обсуждают возможность использования циклотронного излучения для диагностики (см. п. 4.2 и [69]).

Для этого, так же как и для расчетов циклотронных радиационных потерь, необходимо, например, знание коэффициентов поглощения различных циклотронных гармоник т. При (тюсе/соре)2)^ >•1, т. е. при небольших плотностях, сильных полях и малых 1е, что соответствует слиборелятивистской плааме, эти коэффициенты для случаев двух мод [67] имеют вид:

2 ^*’2) = -^ “^ 2 с (т—1)!

(38) где 6—гугол между направлением поля и волновым вектором, а Цт^1) и т]т(2^ — относительные вклады мод. Последние нормированы так, что т](1) + т](2)= 1 и часто учитывается только необыкновенная мода. Нормированные функции формы линии ^(со) учитывают как нерелятивистокий доплеровский эффект,свяванныйсдвижением электронов параллельно полю, так и релятивистский сдвиг 108

циклотронной частоты, который зависит также от нормальной компоненты скорости. Для максвелловского распределения электронов Lj(co) приближается к гауссовому с полной шириной, удовлетворяющей соотношению

]/2тишах(]/%со8 0, Vmte\ (39) пшсе

Приведенные выше выражения несправедливы при т=1 и когда Ао)т приближается к (осе, а также когда кт существенно не превышает ^т+ь Если 6 достаточно отличается от л/й, то условие А(от<о)се оказывается более строгим, например, при ^Л^Ю кэВ.

При значительно более высоких температурах более высокие гармоники неразличимы, и тогда уместно говорить о синхротронном излучении [50], рассмотрение которого требует других приближений [66].

Аномальное тормозное излучение. Дисперсия и другие коллективные эффекты до сих пор здесь не рассматривались. Они не только влияют на перенос и поляризацию излучения, но и сказываются на различных коэффициентах излучения и поглощения. Об одном таком эффекте уже упоминалось в' пп. 2.1 и 2.2, .а именно о влиянии на тормозное излучение дебаевской экранировки и соответствующем изменении в интенсивностях линий высокосерийных компонент, которые практически сливаются в непрерывный спектр. Однако было показано, что расчеты с использованием статического дебаевского экранирующего потенциала или какого-либо другого статического эффективного потенциала в лучшем случае дают качественную оценку влияния коллективных эффектов в равновесной плазме. Что же касается дисперсионных эффектов, то мы их вообще не будем рассматривать и только отметим, что для большинства высокотемпературных плазм основная доля излучения приходится на частоты, значительно превышающие различные характеристические плазменные частоты, так что эти эффекты, как указано в [50], имеют значение только в относительной узкой части спектра.

Возвращаясь к рассмотрению влияния коллективных эффектов на коэффициенты излучения и поглощения, замечаем, что изменения в тормозном излучении из-за динамических корреляций непременно возникают вблизи плазменной электронной частоты. Поскольку даже в равновесной плазме флуктуации электрического поля на соответствующих частотах довольно велики, то компоненты Фурье-векторов ускорения электронов, а следовательно, и излучения будут иметь пик вблизи (оре. Однако расчеты [70, 71] показывают, что этот пик очень мал, а его интегральная интенсивность обычно пренебрежимо мала. Включение статических ион- ионных корреляций приводит к ослаблению пика, в то время как сильные неравновесные ион-ионные корреляции, соответствующие надтепловым ионным волнам, способствуют существенному увеличению его вблизи соре [70]. Физическая причина этого состоит в том, что вместо того, чтобы излучать полностью некогерентно,

электроны теперь испускают частично когерентное излучение, поскольку часть из них имеет одинаковое ускорение.

Если волны электронной плазмы возбуждаются до надтепловых уровней, то излучение на частоте о)ре также возрастает, даже если ионы -и не коррелируют между собой. Для стабильной плазмы уровень флуктуации поля, а следовательно, и излучение можно выразить через нетепловую, но стабильную функцию распределения электронов [50, 72]. Коэффициент излучения в основном пропорционален плотности энергии волны плазмы, -и это обстоятельство можно использовать для оценки ленгмюровского излучения [62, 73]. Можно обобщить последние оценки и рассмотреть, например, одновременные ленгмюровскую и ионно-звуковую турбулентность. Полезной физической моделью будет тогда рассеяние высокочастотных и низкочастотных электростатических волн друг на друге. Коэффициент излучения в этом случае пропорционален произведению плотностей энергии двух начальных волновых спектров.,

Очевидное расширение той же физической модели до учета рассеяния ленгмюровских волн друг на друге приводит к увеличению интенсивности излучения вблизи частоты 2о)ре, которое пропорционально квадрату плотности энергии ленгмюровской турбулентности. Небольшой пик вблизи этой частоты можно также предсказать для термической плазмы [71] и снова с пренебрежимо малой интенсивностью. Другой возможностью возникновения высокочастотного излучения при условии, что в плазме нет сильных магнитных полей, является комптоновское рассеяние волн электронной плазмы на надтепловых электронах, особенно в релятивистской области [62]. Вообще говоря, этот процесс дает непрерывный спектр, на который следует обратить внимание, прежде- чем делать оценки, исходя, например, из формы спектральной линии жесткого рентгеновского излучения релятивистской плазмы. Здесь следует также упомянуть другой механизм перехода от электростатических волн к электромагнитным, а именно линейную- конверсию в неоднородной плазме [74, 50].

Перед тем как перейти к рассмотрению плазмы в магнитном поле, следует напомнить читателю, что большинство оценок излучения, связанного с ленгмюровской турбулентностью,справедливо только для относительно малых флуктуаций, поскольку предположение об однородности турбулентности может не оправдаться. Переход энергии электростатической волны в солитоны приводит к резким изменениям в электромагнитном излучении [63].

По ряду причин замагниченная плазма является еще более богатым источником различных излучений по сравнению с плазмой, свободной от магнитного поля. Кроме излучения вблизи электрон- циклотронных гармоник и синхротронного излучения, имеется возможность конверсии электромагнитных волн, что приводит к излучению вблизи (осе, 2(оСе и (оЛе+юДе)42. Существенной особенностью, этого случая является большая роль модовой структуры мод и наличие электромагнитных волн с фазовыми скоростями, меньшими

скорости света. Благодаря последнему возможно излучение Вавилова— Черенкова, особенно если пучок надтепловых электронов движется вдоль магнитного поля [75]. Однако соответствующие медленные волны не способны выйти за пределы плазмы.

Другим источником излучения может быть вынужденное рассеяние слабой низкочастотной волны на релятивистском электронном пучке [76]; физический принцип этого процесса близок .к лазерному. В роли гофрированного магнитного поля в последнем случае могут выступать флуктуации плотности в плазме с дрейфующими электронами, и тогда можно говорить о плазменном лазере [63]. Кроме этих и многих других нелинейных процессов, имеется также ряд линейных неустойчивостей электромагнитных волн в плазме в магнитном поле, которые могут дать интенсивное излучение. Краткий обзор таких неустойчивостей можно найти в работе [63]. '

ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ

В экспериментах с плазмой обычно имеется два класса задач, связанных с электромагнитным излучением, а именно проблема расчета энергетического -баланса и возможность интерпретации наблюдаемых спектров через плазменные параметры. Для обеих проблем основная теория одна и та же, и поскольку излучение носит атомный характер, требуется одна и та же совокупность атомных данных. Тем не менее имеется различие в подходе. Так, для оценки радиационных потерь учет всех процессов и полнота атомных данных обычно более важны, чем точность в измерениях линий, и т. д. Для диагностики же, наоборот, лучше измерять и рассчитывать отобранные линии как можно точнее, чтобы свести к минимуму неопределенности в плазменных параметрах. Естественно, что здесь, конечно, не следует чрезмерно концентрироваться на отдельных особенностях спектра. Должна всегда присутствовать некоторая перестраховка в определении требуемых параметров, чтобы убедиться, что любое согласие теории и эксперимента не случайно.

Радиационные потери. Так как тормозное излучение всегда присутствует в плазме и крайне редко испытывает самопоглощение в широком диапазоне частот, то было бы естественно 1[8]1 найти соотношение между неизбежными объемными потерями мощности на тормозное излучение [см. формулу (26)] и другими видами радиационных потерь.

Для случая тормозного и рекомбинационного излучений при соударении свободных электронов с полностью «ободранными» тяжелыми примесными ионами это уже было сделано в п. 3.2. Отношение суммы потерь мощностей при этих процессах к потере мощности при тормозном излучении на ионах водорода имеет вид:

(40)(40)Pjc __ z=n2 / ! 2^£нхРь/

(40)

(40)

где пг — плотность примесных ионов, а п^— плотность ионов водорода или его изотопов.

Введение соответствующих гаунт-факторов (см. рис. 4 и 5) может привести к увеличению отношения (40), поскольку средний гаун-фактор для чистого водорода весьма мал при высоких температурах, например £н~1,1 при &Т«10 кэВ, а гаунт-факторы для тормозного излучения на примесях g^ 1,4. Поэтому эффективный заряд для радиационных потерь с непрерывным спектром часто превышает значение, соответствующее электрической проводимости, даже если рекомбинация несущественна, другими словами, если удвоенная энергия одноэлектронного иона №En<kT Гаунт-фактор для рекомбинации с полностью ободранными ионами £=0,84-1,0.

Хотя эти оценки для излучения с непрерывным спектром следует существенно корректировать для ионов, имеющих связанные электроны-мишени, тем не менее поправки к тормозным потерям чисто водородной плазмы в таких случаях полностью определяются дискретным излучением. Это обстоятельство' устраняет необходимость точных расчетов для излучения с непрерывным спектром. Главная проблема состоит в получении действительных оценок дискретного излучения примесных ионов в высокотемпературной плазме. Полагая, что* полная концентрация примесей данного типа n, = Snz, необходимо прежде всего найти распределение по зарядовым состояниям z.

Что касается концентрации п^ то ее зависимость от координат и времени в основном определяется процессами переноса, которые также могут повлиять на распределение по зарядовым состояниям, и взаимодействием плазмы со стенкой.

В большинстве высокотемпературных плазм плотность электронов слишком мала, чтобы уравнение Саха (4) (см. п. 1.1) было справедливым. Поэтому надо подробно рассмотреть скорости различных процессов ионизации и рекомбинации (см. разд. 2) с помощью, например, следующей системы уравнений: *

dnz

~ = ^z-i.z'^z-i + az+i ,z^z+i— (^z.zH+ az,z-i)nz- (41) ne at

Коэффициенты скорости ионизации s и рекомбинации а представляют собой максвелловские усреднения произведений соответствующих сечений на скорость электронов. Для быстро ионизующейся плазмы может быть также принята в расчет одновременная ионизация с двумя и более электронами. Следует также помнить, что коэффициенты рекомбинации часто не дают действительного представления об одиночном элементарном процессе.

Это усложнение возникает потому, что точное описание процессов переноса плазмы и скоростей атомных реакций требует рассмотрения плотностей, огромного числа возбужденных состояний. Вместо этого делается обычно разумное предположение, что все ионы находятся в основных состояниях или, по крайней мере, образуют группу близко расположенных уровней основного- состояния с энергиями возбуждения Е<сЛТ. В последнем случае различные коэффициенты в уравнении (41) будут тогда усреднениями по этим возбужденным состояниям, а плотности — суммами плотностей. Погрешности в оценке радиационных потерь в силу обычного предположения, что все ионы находятся в основном состоянии, могут быть довольно большими, однако это можно исправить, если воспользоваться приближенными сечениями возбуждения, которые не слишком зависят от состояния иона-мишени.

Еще более сложная ситуация возникает в случае диэлектронных рекомбинационных процессов [77], которые происходят быстрее излучательной рекомбинации на один или два порядка. Рекомбинация на ободранных ионах является исключением, поскольку элементарной реакцией является электронное возбуждение, сопровождаемое безызлучательным захватом. Поэтому конечное состояние в результате этой реакции будет дважды возбужденным, причем захваченный электрон обычно находится в ридберговском состоянии с квантовыми числами п и I. Удобно описать возбуждение первоначально связанного электрона или электронов, рассматривая возбуждение электронным ударом в области ниже пороговых энергий. Важным вопросом является вопрос о переходе в основное состояние дважды возбужденного рекомбинационного иона в результате радиационного или столкновительного процесса до его повторной ионизации. Помимо автоионизации это может быть следствием дальнейшего ступенчатого возбуждения или непосредственного столкновения с электроном. Чтобы получить эффективные коэффициенты скорости диэлектронной рекомбинации для уравнения (41), надо первоначальные скорости захвата умножить на коэффициенты ветвления, полученные из относительных скоростей различных вторичных процессов, и просуммировать по всем дающим вклад дважды возбужденным состояниям.

Возможные кумулятивные погрешности в таких расчетах могут оказаться довольно большими. Кроме того, большинство нужных для расчетов сечений 112

практически невозможно определить экспериментально, однако, к счастью, в. двух работах была проведена экспериментальная проверка эффективных рекомбинационных коэффициентов по их влиянию на временные вариации плотности ионов [78, 79]. Результаты этих экспериментов согласуются с расчетами с точностью до множителя два, за исключением предсказанного уменьшения эффективного коэффициента рекомбинации при высоких плотностях, не подтвержденного лишь одним из экспериментов. Являются ли причиной этого несоответствия теоретические погрешности в определении сечений процессов с участием ионов в высших ридберговских состояниях или неучтенные в эксперименте рекомбинационные процессы, пока неясно (см. также [80]).

Важным атомным процессом, который способствует электронной рекомбинации, идущей в направлении, обратном ионизации электронным ударом, является перезарядка, близкая к резонансной (см. разд. 2), между атомным водородом или его изотопами и примесными ионами в высоковозбужденных состояниях [81, 82]. Сечение этого процесса настолько велико (порядка z^ao2* [83, 84]), что концентрация нейтральных частиц порядка ~ 10-7 пе уже становится заметной [85, 86]. Эта перезарядка может быть причиной относительно низкой ионизации железа, наблюдаемой в экспериментах по нагреву плазмы интенсивными нейтральными пучками [87].

Обычная практика расчетов потерь на излучение с дискретным спектром состоит в рассмотрении скоростей процессов, вызванных электронами, и в предположении, что характеристические времена переноса намного превышают времена самих процессов. Поэтому в уравнении (41) можно пренебречь производной по времени и воспользоваться корональным ионизационным равновесием

^/^Z-l ~ 1 ,z/aZ,Z—1 ^^

для расчетов относительного заполнения основного состояния. Последующий расчет дискретного излучения в принципе весьма прост, поскольку для интенсивных резонансных линий в высокотемпературной плазме естественно предположить, что за возбуждениями при столкновениях следует радиационный распад. Умножая скорость возбуждения на энергию возбуждения и суммируя па всем наиболее интенсивным линиям, получаем мощность потерь

Рг « 2 XzifEznzne. (43). хЛ

Ключевой величиной является коэффициент скорости возбуждения Х^, т. е. произведение сечения перехода U^ на скорость электрона, усредненного по заданному максвелловскому распределению. Различные результаты расчетов потерь по равенствам (42) и (43) отличаются друг от друга в 2—3 раза, а также не совпадают в деталях.

Результаты расчетов [88] для железа, основанные на коэффициентах ди- электронной рекомбинации в предположении автоионизации в возбужденные состояния, представлены на рис. 6. Из аналогичных расчетов [90] для ионов других элементов вырисовываются некоторые систематические закономерности, которые представлены на рис. 7. Сравнение (43) с равенством (30) показывает, что радиационные потери на примесях железа могут существенным образом превышать тормозное излучение из чистого водорода при относительных концентрациях пг/пе^10-5 и кТ=\ кэВ и при цг-М^Ю-4 и £7=10 кэВ. При последних условиях излучение на резонансных линиях составляет около 60% радиационных потерь на примесях, в то время как излучение на линиях-сателлитах в результате диэлектрической рекомбинации на частично ободранных ионах дает 10—20%; остальное составляет непрерывное рекомбинационное излучение и тормозное излучение на полностью или почти полностью ободранных ионах железа, оба из которых дают приблизительно одинаковый вклад согласно равенству (40) и отношению гаунт-факторов ^/ь/^//~0,8/1,3~0,6 при z=26.

Желая установить закономерности, описывающие радиационные потери на примесях, можно обобщить результаты расчетов по корональной модели для

54 8b,2 216,5 544 1366 5450 Те, эВ54 8b,2 216,5 544 1366 5450 Те, эВ5,6 6,0 6,4 5,8 7,2 7,6 1д(т6,;;)5,6 6,0 6,4 5,8 7,2 7,6 1д(т6,;;)

54 8b,2 216,5 544 1366 5450 Те, эВ

54 8b,2 216,5 544 1366 5450 Те, эВ

5,6 6,0 6,4 5,8 7,2 7,6 1д(т6,;;)

5,6 6,0 6,4 5,8 7,2 7,6 1д(т6,;;)

Рис. 6. Удельные потери мощности на излучение для водородной плазмы, содержащей примеси железа согласно расчетам модели короны [88, 89]. Умножение коэффициентов потерь энергии к на электронную и ионную плотности дает плотность мощности, излученной в линиях^ ди- электронных сателлитах и в виде рекомбинационного и электрон-(Fe)- ионного тормозного излучения

различных элементов и написать для них довольно простые выражения [91]

Р2 = (1 + 0,ЗТ) X

X 103iZ(3-7-°-331nr>«zne,(44)

тде Т — температура, кэВ; Z — атомный номер; Рг — мощность, Вт-см-3, а также оценить, например, критическую примесную концентрацию, при которой радиационные потери превосходят нагрев а-частицами в D—Т-реакциях при любой температуре [92, 93}. Для железа эта критическая концентрация >€оставляет 1%, для молибдена — 0,6%, а для вольфрама—0,2%. При работе

Рис. 7. Максимальные значения рассчитанных [90} коэффициентов потерь к на излучение различных примесных элементов с к-, L- и М-оболочек (а) и температура, соответствующая этим значениям потерь для случая коронального равновесия (б)

в области энергий частиц плазмы значительно ниже 60 кэВ требуются более низкие концентрации, поскольку тогда становится существенной диэлектрон- ная рекомбинация [94], которую следует учитывать при расчетах.

Не менее критичным в области исследований по термоядерному синтезу является электрон-циклотронное и синхротронное излучения, которые всегда возникают в плазме с магнитным удержанием. Несмотря на то что основной процесс в этом случае весьма прост, расчет поправок, вызванных поглощением и повторным излучением, настолько сложен [69], что даже трудно сделать общие заключения (см. п. 3.1).

Приведем результаты только для одного простого случая — слаборелятивистской плазмы в тороидальном магнитном поле, характеризуемом малым отношением Ria. В этом случае градиенты магнитного поля достаточно велики», излучение становится в основном локальным, а температурные ограничения обеспечивают разделение линий. Используя выражение (А2.3) из [66] для фактора прозрачности с заменой а на а/%, а также равенство (36) в пределе ^->0 и выражения (26) и (33), получаем отношение мощностей электрон-циклотрон- ного излучения и тормозного излучения на чистом водороде

Р, З3/24О / я X 1/4 / С \'/2 / <й,е\5/2 / кт V ^=(—)( ——{ .(45).

V 2 /\ Rtope /\ фре /\ тс2 /

При ^//—1,0 значение первого числового множителя 3-104; a (clRtopey^\0-^ далее, принимая В = 5 Тл и пе=\^и см-3, находим отношение характеристических частот й)Се/о)ре~2. Поэтому при Н^Ю кэВ имеем Рс/Рь~\, т. е. никаких сколько-нибудь существенных увеличений в общих радиационных потерях не появляется. Однако при более высоких температурах и магнитных полях, например &7~50 кэВ и В = 10 Тл, отношение возрастает в 102 раз, а если стенки отражают, то в 102 (1—г) ^2 раз, где г—коэффициент отражения. Поскольку при таких высоких температурах равенство (45) может оказаться несправедливым, то эта оценка носит только ориентировочный характер.

Диагностика. Использование. спектров электромагнитного излучения для определения параметров источника этого излучения является старым приемом» основанным на теории атомных спектров и излучения плазмы, а также их совместном применении. Некоторые такие возможности обсуждаются в настоящем сборнике; кроме того, имеются книги, посвященные в той или иной степени этой теме (8, 50, 95], а также работы астрофизического направления, примером которых может служить (7], по интерпретации интенсивностей спектральных линий. В этой работе, однако, рассматривается относительно разреженная плазма, и поэтому упомянем еще о работе |[96], посвященной интерпретации дискретного и непрерывного излучения плотной плазмы, в которой радиационный перенос (см. п. 1.3) приводит к существенной модификации- спектра.

Физическими параметрами, доступными спектроскопическому анализу, являются плотности электронов и примесей, электронная и ионная температуры,, а при измерении динамического эффекта Штарка [13] также и флуктуации электрического поля, связанные с турбулентностью плазмы. Поскольку невозможно обсудить здесь все существующие диагностики, мы закончим статью обсуждением двух применений количественной спектроскопии к измерению плотности плазмы в сжатых инерционных термоядерных мишенях и определению температуры электронов в плазме реакторов-токамаков. В первом случае полезная часть спектра лежит в диапазоне энергий рентгеновских излучений от 1 до 10 кэВ. Этот диапазон включает спектральное излучение ионов кремния и других примесных ионов элементов, содержащихся в стекле. Он также включает резонансные линии ионов с одним и двумя электронами таких элементов, как, например, неон и аргон, которые можно добавлять в Д—Т-смесь для диагностических целей. Во втором случае мы имеем дело с малым числом электрон-циклотронных гармоник, т. е. с длинами волн в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах. В зависимости от плотности плазмы и магнитного поля колебания электронной плазмы также могут оказывать влияние на этот спектр, расположенный в далекой инфракрасной области.

Рис. 8. Определение электронной плотности в плазме, сжимаемой лазерным излучением [99], сравнением с рассчитанными профилями Штарка [100] линии Ar XVII в результате перехода (1s ЗруР—(ls)21S. Профили линии (в атомных единицах энергии ДЕ/Ен, Ен = 13,6 эВ) ясно указывают на наличие запрещенной штарковской компоненты и напоминают почти симметричный профиль линии Lp с двумя пиками (см. рис. 3). Электронные плотности для случаев (а) и (б) оказываются равными Л^=5-1023 и 7.1023 см~3 соответственно

Три характеристики рентгеновских спектров плотной высокотемпературной плазмы являются в основном функциями плотности, а не температуры. Прежде всего это контуры линий ионов с одним и двумя электронами. В силу того, что соответствующие верхние уровни почти вырождены по энергии с другими уровнями, имеющими одно и то же главное квантовое число, их линии очень чувствительны к эффектам Штарка, вызванным низкочастотными электрическими микрополями. По той же причине электронные столкновения, порождающие высокочастотные электрические поля, довольно сильно влияют на переходы между этими уровнями. Они укорачивают времена жизни, а также расширяют и сдвигают линии (см. п. 1.2). Если наблюдаемые контуры линий существенно превышают по ширине доплеровские профили и уширения из-за несовершенства прибора, не говоря уже о естественном (радиационном) уширении, и если излучение идет от оптически тонкого (средняя длина свободного пробега фотона превышает характеристические размеры плазмы) и достаточно однородного слоя, то тогда, сравнивая расчетные штарковские контуры с наблюдаемым спектром, можно судить о плотности электронов (рис. 8) [99J.

Второй характеристикой рентгеновских спектров является граница серии, которая из-за увеличения штарковского уширения с ростом главного квантового числа и из-за уменьшения интервалов между соседними линиями серии возникает в плотной плазме при более низких энергиях фотонов, чем в плазме низкой плотности. Следуя работе [11] (см. также п. 1.1), плотность электронов, соответствующую данному главному квантовому числу nmax последней линии, находящейся ниже такой сдвинутой границы серии, можно определить следующим образом:

^{2^3^9/2

пепе(46)(46)— ^ 1024

пе

пе

(46)

(46)

8«^1/2

Для эксперимента (см. рис. 8) с ионами аргона (2=17) в плазме, состоящей в основном из однократно заряженных ионов ф—Т, 2~1), с плотностью ^тах —6, из (45) находим п ^5-1023 см-3. Это согласуется со случаем п=3, хотя следует помнить, что при nmax = 5 концентрация пе уже равна 2-Ю24 см-3.

Рис. 9. Типичный спектр теплового электронно-циклотронного излучения с удельной интенсивностью I для ПБТ (Принстонского большого тора), измеренный с помощью спектрометра с преобразованием Фурье [ЮЗ]. Спектр был искусственно обрезан ниже 3,5 см-1 из-за отсутствия данных калибровки в этой области. Первая циклотронная гармоника появляется здесь при 3,0 ом-1 для разряда ПБТ (а). Точки с указанием погрешности измерений соответствуют радиальному профилю электронной температуры, измеренной методами томпсоновского рассеяния в ПБТ. Сплошная кривая показывает профиль температуры, полученный по форме линии 2сосе в спектре, измеренном с помощью Фурье- спектрометра. Профиль, найденный методом томпсоновского рассеяния, смещен в направлении возрастания большого радиуса тора, чтобы согласовать положение профиля, полученного по циклотронному излучению. Это смещение необходимо частично из-за различных направлений обзора двух диагностик. Профиль температуры, полученный по циклотронному излучению, нормирован на пик профиля по томпсоновскому рассеянию (б)

Третья спектральная характеристика включает отношения интенсивностей линий или сателлитов. Эти интенсивности также будут функциями плотности электронов, если заселенности верхних уровней не зависят от больцмановских коэффициентов |[см. (3)], поскольку в этом случае плотности слишком малы и столкновительные процессы не доминируют над всеми радиационными. Это условие выполняется здесь для уровней с п = 2, т. е. можно связать интенсивности интеркомбинационной (23Р—^PS) и резонансной линиями ^Р—^PS) [7].

Другие возможности связаны с определенными свойствами сателлитов 181, 101, 102]. Однако этот способ труден в экспериментальных условиях, потому что радиационный перенос весьма существен для резонансной линии [96] и спектральные характеристики, необходимые для анализа, недостаточно разрешены. Например, интеркомбинационную линию (23P->PS) нельзя отделить от запрещенной компоненты (2!S—PS), связанной с резонансной линией.

Как указывалось в п. 3.1, авторы [68] довольно детально обсудили диагностические возможности использования излучения на циклотронных гармониках [69]. Поэтому здесь мы только упомянем о наиболее успешном применении этого излучения — об измерении электронных температурных профилей в больших токамаках с достаточно высокой частотой повторения разрядов, обеспечивающей возможность проследить за временной эволюцией этих профилей. Суть метода заключается в том, что излучение на выбранной соответствующим образом нижней гармонике принимается за излучение черного тела, а также устанавливается однозначное соответствие между значением локального поля и действительной частотой в пределах измеряемого спектрального профиля данной гармоники. Таким образом, этот профиль отражает распределение температуры вдоль большого радиуса при наблюдении в этом направлении. Пример подобного измерения показан на рис. 9 [103] вместе с полученным профилем температуры. Пространственное разрешение зависит от спектрального разрешения, градиента магнитного поля и релятивистского доплеровского уширения [см. (39) при 6^л/2]. Временное разрешение ограничено скоростью сканирования по спектру.

До сих пор мы уделяли основное внимание измерениям температурных профилей, а не измерениям абсолютной температуры. Для последних же важно знать не только абсолютные интенсивности, но и решить задачу о поляризации излучения. Часто предполагают, что только одна из двух оснбвных мод является оптически толстой, т. е. интенсивность излучения абсолютно черного- тела, даваемая в обычном случае уравнением (15), должна быть уменьшена в 2 раза. Вообще говоря, абсолютные значения температуры обычно получают на основании данных по томпсоновскому рассеянию [104, 105].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Наука, 1977.

Cowan R. D. The Theory of Atomic Structure and Spectra. Berkeley: University of California Press, 1981.

Moore С. E. Atomic Energy Levels. Vol. SI, II and III, Washington: U.S. ■Govt. Printing Office, 1971 (Пересмотренные и более новые значения см. in J. Phys. Chern. Reference Data).

Kelly R. L., Palumbo L. J. Atomic and Ionic Emission Lines Below 2000 Angstroms. Washington: Naval Research Lab. Rep. 7599, 1973.

Wiese W. L., Martin G. A. Wavelengths and Transition Probabilities for Atoms and Atomic Ions, NSRDS—NBS. Washington: U.S. Govt. Printing Office, 1980.

Elton R. C. Atomic Processes. — In: Methods of Experimental Physics. "Vol. 9a/Ed. by H. R. Griem and R. Ы. Lovberg, N.Y.: Academic Press, 1970.

Gabriel A. H., Jordan C. Interpretation of Spectral Intensities from Laboratory and Astrophysical Plasmas, in Case Studies in Atomic Collision Physics, vol. 2/Ed. by E. McDaniel and C. McDowell. Amsterdam: North-Holland, 1972.

Грим Г. Спектроскопия плазмы: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1969.

Rogers F. J. — Phys. Rev., 1972, vol. 219, p. 375.

Theimer O., Lubowich D. A., Hays J. T. — Phys. Rev., 1980, vol. A23, p. 908.

Inglis D. R., Teller E. — Astrophys. J., 1939, vol. 90, p. 439.

Brush S. G., 1967, Theories of the Equation of State of Matter at High Pressures and Temperature, in Progress in High Temperature Physics and Chemistry/Ed. by C. A. Rouse. Oxford: Pergamon Press, 1967.

Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме: Пер. с англ. М.: Мир, 1978.

Burgess D. D. — Phys. Rev., 1968, vol. 176, p. 150.

Baker E. A. M., Burgess D. D. — J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 1977, vol. 10, p. L177.

Chiang W. T., Griem H. R. — J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 1978, vol. 11, p. L761.

Demura A. V., Sholin G. V. — J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1975, vol. 15, p. 881.

Baranger M., Mozer B. — Phys. Rev., 1961, vol. 123, p. 25.

Hooper C. F., Jr. — Phys. Rev., 1966, vol. 149, p. 77; Ibid., 1968, vol. 165, p. 215.

Tighe R. J., Hooper C. F., Jr. — Phys. Rev., 1976, vol. A14, p. 1514; Ibid., 1977, vol. A15, p. 1773.

Коган В. И.— В кн.: Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций/Под ред. М. А. Леонтовича. Т. 4, М.: Издчво АН СССР, 1964.

Chandrasekhar S., von Neumann J. — Astrophys. J., 1942, vol. 95, p. 489; Ibid., 1943, vol. 97, p. 1.

Holtsmark J. — Ann. Physik, 1919, Bd 58, S. 577.

Демура А. В., Лисица В. С., Шолин Г. В. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1977, т. 73, с. 400.

Wiese W. L., Kelleher D. Е., Helbig V. — Phys. Rev., 1975, vol. All, p. 1858.

Griem H. R. — Phys. Rev., 1979, vol. A20, p. 606.

Griitzmacher K., Wende B. — Phys. Rev., 1977, vol. A16, p. 243; Ibid., 1978, vol. A18, p. 2140.

Kepple P. C., Griem H. R. — Phys. Rev., 1968, vol. 173, p. 317.

Vidal C. R., Cooper J., Smith E. W. — Astrophys. Sup. Ser., 1973, vol. 25, p. 37.

Dicke R. H. — Phys. Rev., 1953, vol. 89, p. 472.

Burgess D. D., Everett D., Peacock N. J.— Proc. V-th Int. Conf. Spectral Line Shapes. Berlin, 1980.

Griem H. R. — Phys. Rev., 1978, vol. A17, p. 214.

Lee R. — J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 1978, vol. Bll, p. L167.

Greene R. L. — Phys. Rev., 1979, vol. A19, p. 2002.

Elton R. C., Griem H. R. —Phys. Rev., 1964, vol. 135, p. A1550.

Fussmann G. — J. Quent. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1975, vol. 15, p. 79L

Griem H. R., Tsakiris G. D. — Phys. Rev. А (в печати).

Seidel J. —Z. Naturforsch., 1977, Bd. 32a, S. 1207.

Brissaud A., Frisch U. — J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1971,. vol. 11, p. 1767.

Stamm R., Voslamber D. — J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1979, vol. 22, p. 599.

Burnett K., Cooper J. — Phys. Rev., 1980, vol. A22, p. 2044.

Jefferies J. T. — Spectral Line Formation. Waltham: Blaisdell Publ. Co., 1968.

Athay G. Radiation Transport in Spectral Lines. Dordrecht: Reidel PubL Co., 1972.

Chandrasekhar S. Radiative Transfer. Oxford: Clarendon Press, 1950„

Sobolev V. V. A Treatise on Radiative Transfer. Princeton: Van Nostrand, 1963.

Преображенский H. Г. Спектроскопия оптически плотной плазмы. Новосибирск: Наука, 1971.

Fano U. — Phys. Rev., 1961, vol. 124, р. 1866.

Brandt Н. Е. The Gluckstern-Hull Formula for Electron-Nucleus Bremsstrahlung, Adelphi: Harry Diamond Lab. Tech. Rep. 1884, Md. 20783, 1980.

Gluckstern R. L., Hull M. H. — Phys. Rev., 1953, vol. 90, p. 1030.

Бекефи Г. Радиационные процессы в плазме: Пер. с англ. М.: Мир, 1971.

Karzas W. J., Latter R. — Astrophys. J. Suppl., 1961, vol. 6, p. 167.

Pratt R. H., Tseng H. K., Lee С. M. e.a. At. Data Nucl. Data Tables, 1977, vol. 20, p. 175.

Maxon M. S., Corman E. G. — Phys. Rev., 1967, vol. 163, p. 156.

Hewitt R. — Plasma Phys., 1976, vol. 18, p. 219.

Schluter D. — J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1980, vol. 23, p. 467.

Grabbe C. L. — Plasma Phys., 1980, vol. 22, p. 785.

Bethe H. A., Salpeter E. E. — Quantum Mechanics of One- and Two- Electron Atoms. Berlin: Springer, 1957.

More R. M. — In: Applied Atomic Collision Physics. Vol. II, Controlled Fusion/Ed. by C. F. Barnett and M. Harrison. N. Y.: Academic Press, 1982, Ch. IX.

Weisheit T. — In: Applied Atomic Collision Phys. Vol. II, Controlled' Fusion/Ed. by C. F. Barnett and M. Harrison. N. Y.: Academic Press, 1982. Ch. VIII.

Bely-Dubau F., Gabriel A. H., Volonte S. — Mon. Not. R. Astron. Soc., 1979, vol. 189, p. 801.

Chandra S., Dularey R. — J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1980^ vol. 23, p. 585.

Каплан С. А., Цытович В. H. Плазменная астрофизика. М.: Наука, 1972.

Papadopoulos К., Freund Н. Р. — Space Sci. Rev., 1979, vol. 24, p. 511.

Трубников Б. А. Докл. АН СССР, 1958, т. 118, с. 913.

Schott G. А. — Electromagnetic Radiation. Cambridge: University Press,. 1912.

Трубников Б. A. — В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973, т. 7, с. 274.

Engelmann F., Curatolo М. — Nucl. Fusion, 1973, vol. 13, p. 497.

Rosenbluth M. N. — Nucl. Fusion, 1970, vol. 10, p. 340.

Boyd D. A. — In: Applied Atomic Collision Physics. Vol. II. Controlled Fusion/Ed. by C. F. Barnett and M. Harrison. N. Y.: Academic Press, 1982.

Dawson J. M., Oberman C. — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 517; Ibid., 1963, vol. 6, p. 394.

Bornatici M., Engelmann F. — Nuovo cimento, 1968, vol. 56B, p. 220.

Dawson J. M. — In: Advances in Plasma Phys./Ed. by A. Simon and W. B. Thompson. N.Y.: John Wiley and Sons, 1968, vol. 1, p. 1—66.

Цытович В. H. Теория турбулентной плазмы. М.: Атомиздат, 1971.

Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. Мд Наука, 1967.

Freund H. PM Lee L. C., Wu C. S. —Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40, p. 1563.

Granatstein V. L., Sprangle P. — IEEE Trans. Microwave Th. Tech. MIT-75, 1977, p. 545.

Seaton M. J., Storey P. J. Dielectronic Recombination in Atomic Processes -and Applications/Ed. by P. G. Burke and B. L. Mosewitsch. Amsterdam: North- Holland, 1978.

Brooks R. L, Datla R. U., Griem H. R. — Phys. Rev. Lett, 1978, vol. 40, p. Ю7.

Breton C., DeMichelis C., Finkenthal M., Mattioli M. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 110.

Brooks R. L., Datla R. U., Krumbein A. D., Griem H. R. — Phys. Rev., 1980, vol. A21, p. 1387.

Dixon R. H., Elton R. C. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 1072.

Isler R.C.,Grume F. C. — Phys.Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 1296.

CrandallD.H., Phaneuf R. A., Meyer F. W. — Phys. Rev., 1979, vol.A19,

D. 504.

RuyfukuH.,Watanabe T. — Phys.Rev., 1979, vol. A19, p. 1538.

АбрамовВ.А., Гервидс В. И.,Крупин В. А., Лисица В. С. — Письма

в ЖЭТФ, 19 79, т. 29, с. 550.

Griem Н. R. Ionization, Recombination and Radiation Barriers. — In: Phys, oi Plasmas Close to Thermonuclear Conditions. Vol. I./Ed. by B. Coppy, G. G. Leotta, D. Pfirsch, R. Rozzoli and E. Sindoni. Brussels: CEC, 1979, p. 411.

Suckewer S., Hinnov E., Bitter M. e.a. — Phys. Rev., 1980, vol. A22, p. 725.

Davis J., Jacobs V. L., Kepple P. C., Blaha M. — J. Quant. Spectros. Rad. Transfer, 1977, vol. 17, p. 139.

Jacobs V. L., Davis J., Kepple P. C., Blaha M. — Astrophys. J., 1977, vol. 211, p. 605.

Davis J., Jacobs V. L. — J. Quant. Spectros. Rad. Transfer, 1950, vol. 24, p. 283.

Vernickel H., Bohdanski J. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1467.

Mead D. M. — Nucl. Fusion, 1974, vol. 14, p. 289.

Gervids V. L, Kogan V. L — JETP Lett., 1975, vol. 21, p. 150.

Jensen R. V., Post D. E., Jassby D. L. — Nucl. Sci. Eng., 1978, vol. 65, p. 282.

Lochte-Holtgreven W. Plasma Diagnostics. Amsterdam: North-Holland, 1968.

Duston D., Davis J. — Phys. Rev., 1980, vol. A21, p. 932; Ibid., 1980, vol. A21, p. 1664.

DeMichelis C., Mattioli M. — Nucl. Fusion, 1981, vol. 20, p. 191.

Key M. H., Hutcheon R. H. — In: Advanced of Atomic and Molecular Physics. Vol. 16/Ed. D. R. Bates and B. Bederson. N.Y.: Academic Press, 1981.

Hauer A., Mitchell К. B., van Hulsteyn D. B. e.a. — Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 45, p. 1495.

Griem H. R., Kepple P. C. Proceedings of 5-th Int. Conf, on Spectral Line Shapes, Berlin: de Gruyter, 1981, p. 391.

Seely J. F. — Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 1606.

Seely J. F., Dixon R. H., Elton R. C. —Phys. Rev., 1981, vol. A23, p. 1437.

Jacobs V. L, Blaha M. — Phys. Rev., 1980, vol. A21, p. 525.

Tait G. F., Stauffer F. J., Boyd D. A. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 719.

Kunze H. J. The Laser as a Tool for Plasma Diagnostics. In: Plasma Diagnostics/Ed. by W. Lochte—Holtgreven. Amsterdam: North-Holland, 1968.

DeSilva A. W., Goldenbaum G. C. Plasma Diagnostics by Light Scattering.—In: Plasma Phys. Vol. 9a/Ed. by H. R. Griem and R. H. Lovberg, of A^ethods of Experimental Phys., ed. by L. Marton. N. Y.: Academic Press, 1970.

Шеффильд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в плазме: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1978.

МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕПЛАЗМЫ

Р. КАЛСРУД

МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПЛАЗМЫ

Плазма — это коллектив заряженных частиц, элементарные заряды и токи которых порождают электромагнитные поля. Для того чтобы найти эти поля, необходимо знать координаты и скорость каждой частицы в любой момент времени. Движение зарядов,, в свою очередь, должно определяться полями, генерируемыми ими и приложенными извне. Решение этой задачи возможно лишь в некоторых простейших ситуациях.

Но существует более грубое описание плазмы, которое во многих случаях с желаемой точностью дает глобальную картину ее поведения. В.место того чтобы следить за каждой частицей, можно ограничиться более макроскопическим приближением, в котором плазма выступает как жидкость. В зависимости от обстоятельств, которые обсуждаются ниже, это гидродинамическое описание может быть одножидкостным, двужидкостным и многожидкостным.

Сначала рассмотрим одножидкостное описание. Известно, что каждый кубический сантиметр плазмы содержит определенное число р граммов плазмы. Скорость изменения данной концентрации определяется потоком массы U через стенки этого кубика. Импульс pU в каждом кубическом сантиметре в свою очередь определяется действующими на него силами. Обычно это электрические, магнитные и гравитационные силы, действующие в объеме, а также силы давления, воздействующие на стенки объема. Поскольку плазма является проводящей жидкостью, ее электрический ток можно найти из закона Ома в некоторой его форме, тогда, как постоянные электрические силы обычно малы. Зная ток, можно из закона Био и Савара определить магнитное поле. Переменное магнитное поле дает индуцированную часть электрического поля, тогда как электростатическую часть находят из условия, что дивергенция тока, управляемого электрическим полем, равна нулю. Слабым местом одножидкостного приближения, как правило, является определение сил давления, так как обычно давление неизотропно, особенно в бесстолкновительной плазме. Кроме того, поток теплоты нередко очень велик (микроскопически, это означает, что частицы, находящиеся в мало'м объеме, остаются вместе только на очень короткое время). Однако во многих интересных случаях процессы в плазме слабо зависят от давления, так что даже неадекватное уравнение состояния для скалярного давления может дать разумное описание макроскопической картины явления. (Многие основные свойства плазмы определяются ее электрической природой.)1

Для более детального описания плазмы в случаях, когда интересуются в основном температурой плазмы и плотностями энергии, наиболее подходящим является двухжидкостное приближение. При этом электронная и ионная жидкости рассматриваются отдельно. Хотя ’Средние скорости почти одинаковы, электронная и ионная температуры часто оказываются совершенно различными вследствие слабого обмена энергией между электронами и ионами. Двухжидкостное приближение целесообразно также для слабо- ионизованной плазмы, где ионно-циклотронная частота может быть меньше частоты соударений ионов с нейтральными частицами, тогда как электронная гирочастота больше частоты соударений электронов с нейтральными частицами. При этом результирующие потоки электронов и ионов могут сильно различаться.

Наконец, когда плазма почти бесстолкновительная, а силы давления играют определяющую роль, используется более детальное описание — приближение ведущего центра. В этом случае магнитное поле должно быть достаточно велико, так что в перпендикулярном магнитному полю направлении плазма остается замагни- ченной, поскольку гирочастоты обеих составляющих велики. Однако потоки частиц вдоль силовых линий не должны быть жидкостноподобными, так что распределение по скоростям, параллельным магнитному полю, необходимо находить из одномерного кинетического уравнения. Даже в этом случае описание может быть сведено к гидродинамическому, которое сохраняет независимость поведения плазмы вдоль и поперек силовых линий. При этом необходимы два уравнения состояния для двух независимых компонент тензора давления, которые определяются уравнениями. Чу- Гольдбергера-Лоу, или двух адиабатических инвариантов.

Следует отметить, что хотя любая реальная плазма является •необычайно сложной системой, тем не менее некоторые ее важные свойства могут быть описаны простыми системами макроскопических уравнений. Последние способны описать только медленно изменяющиеся макроскопические свойства плазмы, которые характеризуются достаточно большими пространственными и временными масштабами, так что микроскопические процессы, такие как соударения и гировращение, способны установить достаточную согласованность -в плазме, чтобы ее можно было рассматривать как упорядоченную жидкость.

СТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА

Как отмечалось выше, гидродинамическое описание плазмы наиболее целесообразно, когда, плазма является, по крайней мере, слабостолкновительной. При этом электроны и ионы в отдельности релаксируют к локальному термодинамическому равновесию за времена, короткие по сравнению со временем значительного изменения условий в плазме, и -в областях, малых по сравнению с размером плазмы. Таким образом, можно приписать плотность р,

среднюю скорость U и скалярное давление р каждой компоненте плазмы.

В простейшем одножидкостном описании плазмы можно не учитывать различия свойств электронов и ионов и просто рассматривать их .как единое целое. Рассмотрим вначал-е это приближение.

Одножидкостное описание. В данном приближении плазма во многих отношениях похожа на высокопро водящий расплавленный металл. Запишемгидродинамическиеуравнения, описываю

щие плотность, скорость и давление плазмы.

dp/^+VpU=0;(1)

pdU/^+p(UV)U-jXB-Vp+pg;(2)

^(A/pv) = O.(3),

at

Здесь (1)—уравнение непрерывности, (2)—уравнение Эйлера для движения жидкости, в левой части которого записано произведение массы кубического сантиметра жидкости на его ускорение в любой момент времени. Ускорение вызывается магнитной и гравитационной силами, воздействующими на этот объем, а также поверхностной силой, представляемой градиентом давления; В — магнитное поле; j — ток в плазме; g— заданное гравитационное поле. Давление является суммой парциальных давлений ионов и электронов, причем предполагается, что градиенты давлений воздействуют на плазму в целом, а не на каждую компоненту в отдельности.

В уравнении (3) d/d/=d/d/+,(UV)—-полная производная; у — показатель адиабаты. Последнее уравнение является уравнением состояния для каждого элемента жидкости, участвующего в движении. Оно справедливо тогда, когда поток тепла, невелик. Отметим, что отношение р/рт связано с энтропией единицы массы элемента жидкости. В более общем случае, когда, например, нужно учитывать ионизацию, радиационное давление и т. д., уравнение (3) должно быть заменено условием постоянства энтропии каждого элемента, жидкости. Тем не менее в большинстве случаев, когда используется одножидкостная теория, этот простой степенной закон, как правило, адекватен. Заметим далее, что противоположным предельным случаям соответствует y=d (изотермич- ность) и у = оо (несжимаемость). Это можно выразить следующим образом: р]р^ является константой движения, но, вообще говоря, различной для разных элементов жидкости.

Необходимо отметить также, что в (2) опущена, электрическая сила рЕЕ, где рЕ — это плотность электрического заряда; Е—электрическое поле. Как будет видно, это связано с тем, что данные силы являются релятивистской поправкой к магнитным силам и для самосогласованное™ ими следует пренебречь, так как рассматриваемая теория является нерелятивистской. Мы видим, что при известных В и g уравнения (1) — (3) составляют замкнутую систему, позволяющую определить эволюцию параметров жидко-

сти р, U и р. Действительно, скорость U, которую необходимо знать, чтобы найти изменение р во времени [см. (1)], определяется в (2). В свою очередь, давление, необходимое для нахождения U [см. (2)], определяется уравнением (3) .и т. д.

Электромагнитные поля подчиняются уравнениям Максвелла:

VXB = 4nj;(4)

dB/dt= —cVXB;(5)

VB = 0;(6)

УЕ = 4еРб,(7)

где с —скорость света. Мы опустили ток смещения в уравнении (4), так как он, как будет ясно, является также релятивистской поправкой. Далее, .поскольку плотность заряда рЕ нигде, кроме уравнения (7), не появляется, то в последнем нет необходимости.

Уравнения для электромагнитного поля и гидродинамические уравнения связаны друг с другом законом Ома, .который в простейшем виде имеет следующий вид [Ф]:

ЕН^ = 7)J,(8).

С

где т]—‘Сопротивление плазмы. Комбинация E+UXB/c=Ez— электрическое поле в системе отсчета, движущейся со скоростью плазмы, так что (8) выражает параллельность и пропорциональность тока j полю Е' в этой системе.

Уравнение (8) не является абсолютно точным для плазмы. Из-за анизотропии поля должен возникнуть текущий перпендикулярно Е и В ток Холла, который в действительности может быть больше, чем предсказываемый уравнением (8). Однако ток в (8) параллелен Ez и дает, в отличие от тока Холла, диссипацию энергии. Таким образом, вековые эффекты, вызываемые этим членом, в общем более значительны, чем вызываемые током Холла. Поэтому общепринято в простейшей форме одножидкостных МГД- уравнений использовать закон Ома в виде (8).

Уравнения (4), (5) и (8) представляют собой три векторных уравнения для векторов Е, В и j. Они могут быть объединены в одно уравнение путем решения (8) относительно Е и исключения j с помощью (4). В результате имеем:

dBfdt = V X (U х В)V X hv х В).(9)

Если т|—постоянная величина., то последний член равен просто, (т]с/4л) V2B, так что

<?B/^ = AX(UXB) + ^-v2B.(9а).

Здесь первый член в правой части описывает изменения магнитного поля, порождаемые переносом силовых линий плазмой. Вто-

12S

■рой дает диффузию магнитного поля, стремящуюся сгладить нерегулярности поля в плазме, вызываемые, возможно, первым членом. Если в плазме нет движений, диффузионный член сгладит все неоднородности за характерное время порядка 4л£2/т]с, где L — размер неоднородности. (По существу, это L^R—-время для плазмы, рассматриваемой как единая цепь.) Это время затухания порядка IO-7 T42L2 с, где Т — температура плазмы, эВ. Для высоких температур или больших размеров время затухания может быть довольно большим. Изменения В, вызванные конвекцией плазмы, часто происходят за времена, настолько короткие по сравнению с временем магнитной диффузии, что последней можно пренебречь. При этом мы можем заменить уравнение (9а) уравнением бесконечной проводимости

dB/d^=VX(UXB). (10)

Подсистема уравнений (1) — (4) и (10) составляют уравнения так называемой идеальной магнитогидродинамики. Они являются, -очевидно, аппроксимацией точных уравнений, описывающих плазму, однако у них так много удобных свойств, что их предпочитают для описания макроскопических плазменных явлений. Уравнение <40) описывает эволюцию В в результате движения плазмы. Из уравнения (4) можно найти j и, следовательно, jXB, чтобы определить поведение жидкости под воздействием электромагнитных сил.

В этом приближении нет необходимости знать электрическое тюле Е, однако его можно найти из закона Ома в пределе бесконечной проводимости

E+UXB/c=0. (11)

Электрическая сила в плазме рЕЕ ценивается из уравнения (7) как

4 т: ^-rLc^

Она, как отмечалось ранее, является релятивистской поправкой к магнитной силе jXB^52/4nL. Аналогично можно показать, что учет тока смещения 1/с дЕ/д/ дает в уравнениях релятивистски малый эффект. Добавка последнего к уравнению (4) изменит j на малую величину dj, и это даст дополнительный вклад в электромагнитную силу в уравнении (2)

4тис dt dt \ 4№ j 4тс/с2

где t— время крупномасштабных изменений. Из сравнения этой добавки с инерционным членом в левой части следует, что добавка мала как В2/4лрс2. Фактически, учет этого члена можно трактовать как добавку массы магнитного поля к массе плазмы.

Полагают, что уравнения идеальной магнитогидродинамики предпочтительнее для описания плазмы, свойства которой близки к идеальной бесконечно проводящей жидкости с адиабатическим, уравнением состояния, чем соответствующая система уравнений для реальной плазмы.

Представим на мгновение, что исследуется как раз такая идеальная бесконечно проводящая жидкость, погруженная в магнитное поле. Из условия вмороженности магнитного потока можно, описать эволюцию поля через распределение магнитных силовых линий, переносимых со скоростью U. Это значит, что поле зависит только от полного смещения каждого элемента жидкости, а не от предыстории смещений жидкости. Величину jX^ можно рассматривать как магнитное натяжение и давление этих силовых линий.. Аналогично как р, так и давление определяется только смещением элементов жидкости. Это значит, что сила, действующая на элемент жидкости, определяется его смещением и смещением его соседей. Это, а также и то, что система является динамической (ее можно задавать лагранжианом) приводит ко многим замечательным свойствам данной идеальной системы. Фактически значительная часть работ по макроскопической физике плазмы посвящена выяснению вопроса, насколько реальная плазма может отличаться от ее идеального двойника. Некоторые из этих вопросов, например магнитное пересоединение, находятся среди наиболее важных современных научных проблем [й].

Двухжидкостное описание. Альтернативным и более точным описанием полностью ионизованной плазмы является двухжидкостное приближение. Две жидкости суть электроны и ионы. Если имеется только одна ионная компонента, то можно приписать плотность, скорость и давление электронам и ионам. Таким образом, уравнения для одной жидкости (1)—(3) должны быть, заменены шестью уравнениями (три для каждой жидкости), которые описывают шесть независимых величин: ръ ре, Uf, Ue, pi, ре. Одножидкостные уравнения введены феноменологически и не являются совершенно точными, кроме предельного случая очень малых (осЛе, где (осе и те — -циклотронная частота и частота соударений электронов соответственно. С другой стороны, большая работа была .проделана для определения системы уравнений, корректных и для более быстрых, чем скорости изменения рг-, ре и т. д., скоростей соударений. Общепринятой (принимаемой сейчас за стандарт) является система уравнений Брагинского [3]. Приведем ее- здесь. Первые два уравнения — это уравнения непрерывности:

d^/^+V(/ziUi)=0; (12)

MM+V(/zeUe)=0, (13)

где пе и гц—। плотности электронов и ионов. Эти уравнения связаны условием зарядовой нейтральности гпг=пе) где 2— число зарядов иона.

Следующими являются два векторных уравнения движения:

Pz (^ + (UzV)Uz) = -^Pi- VHZ + \ dt/

+ Zen/E + -!-U1.XBk-Re(. + Pzg;(14)

pe (^ + (Uev) Ue) = - VPe - vne -

-vfE + lu.xBj + ^ + Peg.(15)

Здесь pt и pe — скалярные давления ионов и электронов; Пг и Пе— нескалярные части тензора натяжений; Rei—i скор ость передачи импульса от ионов к электронам при соударениях. Связь между этими уравнениями дается уравнением для электрического тока 3=\2п^/су\иг—Ue), где е — заряд электрона. Мы полагаем, что zn^. гораздо ближе к пе, чем Uf к Ue. В то же время, так как j не может быть слишком 'большим, чтобы не создать электромагнитные эффекты, можно считать, что Ut- и Ue также достаточно близки. Баланс энергии описывается уравнениями:

-у nt ^ + (UzV) т^ + /?zVUz = - vq, - п,: VUZ + С: (16)

4"^(^ + (U^)7'e) + ^vUg = -Vq6- ne:vUe + Qe, (17) где температуры определяются как р1=п<Т\ и ре=пеТе и даны в энергетических единицах (постоянная Больцмана ^=1). Второй член слева в каждом уравнении — работа сил давления pdV; q; и <1е — тепловые потоки; II^VU» и Пе:Уие—вызванные неоднородностью скоростей вязкие тепловые потоки, a Qt и Qe включают обмен энергией 'между компонентами и джоулев нагрев.

Уравнения (1-4)—/(17) становятся более точными, если время столкновения т-^0. Они содержат жидкостные и диссипативные члены, причем последние меньше, чем первые, примерно как т/Л Поэтому, если т=0, столкновений будет достаточно, чтобы поддерживать изотропное распределение по скоростям в системе покоя жидкости, и П-члены будут малы. Однако, так как скорость U неоднородна, изотропное распределение в одной точке отличается от такового в другой точке, отстоящей на длину свободного пробега.. Поэтому смесь этих распределений приводит к анизотропному распределению и недиагональным членам в тензоре натяжений. Другой диссипативный член Rei является силой трения между электронами и ионами, которая возникла в результате их соударений. Поскольку ток — это разность скоростей электронов и ионов, сила трения включает сопротивление и термоэлектрические эффекты. В большинстве интересных случаев U» близко к Ue и может быть отождествлено с массовой скоростью плазмы. Если сло- 128

жить уравнения (14) и (15), то сила трения электронов и ионов уничтожится, а гравитационными силами и электронной инерцией можно пренебречь. Таким образом, если не считать вязких сил П{ и Пе, мы возвращаемся к одножидкостному уравнению движения (2). С другой стороны, если выразить Ue через Uz и j, из равенства

(18)(18)j=n{Ze(Ui — Ue)

(18)

(18)

получим уравнение, обычно называемое обобщенным законом Ома

Е 1 X ®с j \/ g . ^А? v^g । K?z(19)

c neenee nee nee

Уравнения (12) — (17) описывают электронную и ионную жидкости в отдельности. Для замыкания этой системы необходимо добавить уравнения Максвелла (4)—'(6), в которых j определяется (18). При этом можно пренебречь током смещения в (4) и положить 2Пг=пе, так что в уравнении (13) нет необходимости. (Это справедливо в случае низкочастотных явлений. Хотя двухжидкостные уравнения при условии малости тепловых эффектов можно использовать для описания некоторых высокочастотных волновых явлений, эти выводы являются недостаточно обоснованными.) Выражения для различных диссипативных членов даны С. И. Брагинским [3]. Определим теперь ионное и электронное времена столкновений

Ti=3 ]/т(Т//2/4"|/л lnAe4z2»i;(20а)

.Te=3/^73/74]/2^1nAe4zne,(206)

где In Л —■ кулоновский логарифм; т(, е —массы частиц.

Далее, рассмотрим случай z= 1 и <омт8^>1, где s — сорт частиц. Из [3] имеем:

П, = V ((bv) (U,b) - -1. VUS) (/± - 2bb)+

+ v((bv)(Usb)+4-v^)/J+(V/±- Vbb)ViVi +

+ W ( VAl - 1$V1 - 71/ bb) + (b X vUs) (V/J- V bb) -

- (V1 - Vbb)(b X vUs)+-^vu$(b X /1 - /1 X b), (21)

где

/. =7 — bb; ч/^ОДб/г,^,^; V = 0,73«e 7>e;

(22)(22)Чг1 = 0,3/г;7'1/а)г t-; 4*6 = 0,51жгГе/о)2сет; ; tj/ = 4t|/;

(22)

(22)

Ч/ = 0,5/г^Г;/а>сЛ,<; ч/=|— 0,5nelTelwcet ; 4/ = 2ч/1

Для Rie имеем:

^ie = ene -^ + -^ - 0,7Ue (bV) Te^- i (b X V?'/- (23)

° II °12 toce%e

где о^=e2neTefme* сгн= 1,96(7^; два последних члена, в уравнении (23) — термосилы.

Тепловой пото.к qs запишем в виде ,

q,= - ^п (bV) Ts - KsJr vFs+ A ^ b X ?Д +

z tocsms

+ OjU^^.-l^H+ OjU^^.-l^H-^bX(U;-Ue)K,^ce^eJ-^bX(U;-Ue)K,^ce^eJ(24)(24)

+ OjU^^.-l^H

+ OjU^^.-l^H

-^bX(U;-Ue)K,

^ce^eJ

-^bX(U;-Ue)K,

^ce^eJ

(24)

(24)

где

(25)(25)Kei = 3,\^пеТете!те; Kt и = 3,9пгТ гтг/тг;

(25)

(25)

Ker = 4:,№пеТе1те«?с6те\ Kir = 2пгТ^т^^.

Множитель перед скобками означает, что этот термоэлектрический член присутствует только в выражении для qe.

Внутренние нагревные члены Q определяются так:

Qe = —Rei(Uj — Ue) — Qa .(26)

Здесь первое слагаемое описывает джоулев нагрев, а второе —

Q. = QA=3-^^(7'e-rz)(27)

mi те

обмен энергией между электронами и ионами. Уравнения (12) — (17) составляют набор уравнений для плазменных параметров ^г=^е, Щ Ue, рг и рв) через которые определяются все величины в правой части. Они позволяют описать более богатый комплекс плазменных явлений, чем одножидкостные уравнения, особенно^ в случае различных температур электронов и ионов и при учете неидеальных процессов, таких как теплопроводность, вязкость, сопротивление и термоэлектрические эффекты. Таким образом, уравнения двухжидкостной гидродинамики более полезны для описания длительных процессов, в которых существенны отклонения от идеальности. Учет неидеальных членов возможен и в одножидкостном уравнении. Однако модифицированное одножидкостное приближение обычно является некорректным и приводит к неверным выводам, поскольку у ионов и электронов процессы переноса играют разные роли и важна их зависимость от температуры. Поэтому можно определить границы применимости одно- и двухжидкостного приближений следующим образом. Одножидкостная модель предпочтительнее для описания кор откол ер иодных гидродинамических процессов, в которых эффекты неидеальности несущественны. Главное преимущество этой модели состоит в том, что ее уравнения решаются значительно проще, чем в двухжидкостном приближении. Наконец, ее можно использовать и в более длительных процессах, по крайней мере для оценки поведения плазмы.

Двухжидкостные уравнения более корректны и необходимы для уточненного описания явлений, в которых существенны процессы переноса или диссипации. Они все же довольно сложны для реше-

ния, за исключением задач с простой геометрией. В то же время их используют для получения оценок точности вычислений в одножидкостном приближении.

БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА

Во второй части обсуждалась плазма, в которой самым коротким было время соударений, за исключением, может быть, гиропериода. Таким образом, малый элемент массы плазмы релаксировал к максвелловскому быстрее, чем изменялись его свойства., так что локальное описание через параметры, характеризующие это максвелловское распределение, было целесообразно. Эта упорядоченность оправдывает -гидродинамическое приближение. С другой стороны, во 'многих важных случаях время соударений настолько велико, что соударения можно не учитывать. В такой бесстолкновительной плазме гидродинамическое описание неприменимо. Однако даже для слабых магнитных полей циклотронный период остается короче всех макроскопических времен и у плазмы есть двумерная упорядоченность в направлении, перпендикулярном магнитному полю. Это открывает возможность для гидродинамического описания в ограниченных пределах и является основой приближения ведущего центра.

Приближение ведущего центра в уравнениях Власова. Бесстолкновительная плазма описана полностью, если задана функция распределения по скоростям Л[А(А r> v\d3rd3v—^число частиц в элементе d3rd3x в момент времени /, с координатой г и скоростью v]. Эволюция последних подчиняется уравнению Власова

^ + (vv) fs + ^ (Е +^L = 0,(28)

dtms \ с / v

где E(r, /) и В (г, /) —средние электрическое и магнитное поля, порожденные сглаженными распределениями /3;

vXB^47ty;^ffsv^v + —^;(29а)

С JС 01

S

VE=4«2eJ fsd3v;(296)

dB/^=—cVXE;(29в)

VB = 0.(29г)

Эти уравнения сложнее, чем гидродинамические, так как включают семь независимых переменных t, г, v вместо четырех (/, г). Однако асимптотическое разложение в случае малости гирорадиуса p=mcv/eB по сравнению с характерным размером плазмы уменьшает число независимых переменных в кинетическом уравнении на два, так как переменная фаза вращения выпадает, а перпендикулярная скорость определяется константой движения — адиабатическим инвариантом [4—6].

Известно, что в низшем порядке движение частиц состоит из скорости ЕХВ, перпендикуляртой магнитному полю и одинаковой для всех частиц независимо от их скоростей или состава, а также параллельного движения вдоль поля. Если пг.раллельное электрическое поле ЕИ=ЬЕ, где Ь=В/В, мало [см. обсуждение после уравнения (34)], то, .как хорошо известно, магнитным силовым линиям можно приписать ту же скорость ЕХВ, перпендикулярную им самим [7]. При этом все частицы остаются на одной и той же силовой линии, так что появляется возможность сосредоточить внимание на одной силовой линии и вывести кинетическое уравнение, включающее только две переменные — координату частицы вдоль линии и. параллельную скор-ость.

Для вывода уравнений этой укороченной системы можно провести формальное разложение по степеням отношения mje [8]'. В действительности оказывается удобным разложить величины Е, В, / по степеням обратного заряда 1/е [9].

Рассмотрим вначале уравнение Власова (28), в котором обозначим f=f04-fb где Л = О(1/е) и т. д. С этого момента будем опускать индекс s там, где это возможно. В низшем порядке имеем:

(e+-Lvxb) Vvf.=O.(30)

Введем ЕХВ скорость

Ue=c(EXB)/B(31)

и обозначим v=v'+UE, так что уравнение (28) можно переписать в виде

^Vv'f. + E|i(bV)/. = 0.(32)

Введем теперь цилиндрические координаты v±, ф и vM в v'-прост- ранстве

v' = хих cos ф + ybx sin ф + zu ||(33)

и перепишем (32)

с д<$^и и

Если jE||=O, то из (34) следует, что fo=*const вдоль некой спирали и пространстве скоростей, уходящей в бесконечность, что нефизич-

но. Следовательно, разумные решения (30) существуют, лишь 'когда £"„ также разложено в ряд по 1/е, т. е. £„—О(1/е)£. В противном случае произойдет эффективное ускорение частиц за время порядка циклотронного периода и £„ резко уменьшится до более высокого порядка малости. Результирующая £„ (резко уменьшенная) дает значение, сравнимое с другими силами [см. (19)]. В дальнейшем удобнее не разлагать Е и В, а просто считать Е4 на. одну степень е более высокого порядка малости.

Пренебрегая членом с £„ в (34), видим, что в низшем порядке уравнение Власова дает независимость f0 от ф, но не дает никакой информации о зависимости от г, t, у± и Уц. Удерживая члены первого порядка, получаем:

f - + (vv) f.+1 (Е. + т v X в) Vvf.+1£" А=°' (35) В результате преобразования к цилиндрическим координатам рх и Уц имеем:

— ^- = №+(vv)f0) + — £„ -gi. (36) тс d<f \ dt / т Оуц

(Члены в круглых скобках не преобразуются, но они должны присутствовать). Это преобразование довольно сложное, поскольку для фиксированного v величины у± и Уц зависят от г и 1, так как Ь и UE определяются из (3'1). С другой стороны, .видно, что в действительности преобразование членов в круглых скобках дает ряды синусов и косинусов ф. Когда, это преобразование выполнено, уравнение (36) легко решить относительно fi. Однако любой постоянный член приводит к линейной непериодичной зависимости fi от ф. Таким образом, для получения соответствующего решения для fi, необходимо и достаточно, чтобы среднее значение правой части (36) равнялось нулю. Представим, что правая часть преобразована к переменным у± и Уц, усредним ее по ф. После прямых вычислений находим, что (36) можно решить относительно fi, если только

-^ + (UE+y^vf.-^tvUHHbvMU^^

(37)(37)— b—-+^vb + —£ц )^- = 0,Ш т 2 v 1 т " / ^уц

(37)

(37)

где D\lBIDt = ^--V (U^+ЬУц) vU£. Это уравнение определяет временную эволюцию f0. Строго говоря, необходимо решить уравнение для fi и убедиться в том, что (37) действительно гарантирует возможность этого. Однако, как скоро будет видно, нет необходимости определять fi для описания плазмы в приближении низшего порядка — приближении ведущего центра.

Чтобы замкнуть систему, необходимо использовать уравнения Максвелла (29а)—.(29г) для Е и В. Они содержат f, следова.тель-

но, их также .надо разложить по малому параметру 1/е. В низшем порядке имеем:

0 = 4^-^JfS0v<Z3o;0 = 4^-^JfS0v<Z3o;(38а)(38а)0=4л2е8 J* fs0d3v.0=4л2е8 J* fs0d3v.(386)(386)

0 = 4^-^JfS0v<Z3o;

0 = 4^-^JfS0v<Z3o;

(38а)

(38а)

0=4л2е8 J* fs0d3v.

0=4л2е8 J* fs0d3v.

(386)

(386)

Уравнение (386) —условие зарядовой нейтральности, показывающее, что в низшем порядке по 1/е полные заряды каждой компоненты должны быть равны. Для однозарядных ионов (2=1) это означает равенство концентраций ионов и электронов. (Конечная плотность заряда возникает из-за разницы первого порядка в концентрации вследствие фактора 1/е). Точно так же уравнение (38а) выражает условие отсутствия полного тока. Если выполнять интегрирование в цилиндрических координатах, то из (38а) следует:

О = 4, £ U, + 4я £ ^ J f , 2„

Первый член исчезает согласно (386), так что имеем:

(39)

Уравнения (386) и (39) связаны уравнением непрерывности, которое выводится из (37) или из (28)

. / J^ । (Bv) МУд^Л(40)

Итак, если (39), а также (386) (и другие уравнения ведущего центра) удовлетворяются в некоторый начальный момент времени t, то уравнение (39) будет справедливо для любых t. И наоборот, если выполнено условие зарядовой нейтральности и (39) удовлетворяется в одной точке на каждой линии в каждый момент времени, то оно будет удовлетворяться везде.

Уравнения (386) и (39) являются дополнительными условиями, наложенными на /о, они же облегчают определение эволюции Е и В во времени. Эти условия главным образом контролируют величину Е ц, которая подбирается так, чтобы гарантировать их выполнение. Чтобы система уравнений была замкнутой, необходимо использовать уравнения (29в) и (29г) и учесть члены следующего порядка малости в разложении (29а) и (296). В результате из (29а) и (296) получаем:

cVXB=4nSesJ vf\sd3y+dE/dt;(41а)

VE=4nSeJ Ы3у.(416)

Теперь может показаться, что следует найти fi из (36). Однако в полной информации о поведении fi нет необходимости. Действительно, при переходе в (41а) к цилиндрическим координатам

видно, что нужно знать интегралы J Абйр, Jfisinpdtp и J /i cos <p dtp. Последние можно найти умножением (36) на 1, sin ф и созф соответственно и интегрированием по ф.

Эквивалентный ряд моментов можно получить из точного уравнения Власова (28), переходя к пределу .нулевого порядка. Но они являются просто МГД-уравнениями (см. разд. 1 и 2). Таким образом, j в нулевом приближении определяется из уравнения

V « (4г + <U^^) = - V^ + J X В,(42)

Ы \ Ot/

где массовая скорость Us и тензор напряжений Р определены выражениями:

nsUs= J fsvd3v;

P-^m^fAv- U,) (v - U,) d»v.(43)

S

Отметим, что перпендикулярная b компонента Us есть UE; массовые скорости, параллельные Ь, согласно (89) одинаковы для обеих компонент. Таким образом, U = US. При преобразовании к цилиндрическим координатам тензор напряжений можно представить в виде

P = pJI — ЬЬ) + рцЬЬ,(44а)

где I — единичная диагональная матрица, причем

pL" Jj ^ J ^ "Г d‘0;(44б)

р и = 5m Л f3 (v и -Ub)2^.(44в)

Как уже отмечалось, (42) определяет часть j, перпендикулярную Ь. Параллельная компонента j—это момент fb который также можно определить из уравнений Максвелла. Можно развивать дальше эту схему, однако более разумно сейчас рассмотреть U как первичную переменную, а Е как вторичную, определяемую из (31)

E=_UXB(45)

С

Это разумно, так как Е ограничена условием перпендикулярности b, a U не имеет ограничений и определяет Е, автоматически удовлетворяющее этому условию.

Подставляя решение (29а) для jo в (42) и используя (45), получаем:

p(^-HUv)u) = -vp+^ +

+ "^" ^(и Х В) ХВ+ (UX-^J3(UXB) ,(46)

где p=2nem$. Подставляя затем (45) в (29в), находим: dB/<^=VX(UXB).(47)

Уравнения (45) и (47) являются почти самосогласованными, если не считать, что для определения р и Р необходимо знать fos. В то время как р можно найти из уравнения непрерывности

dp/^+VpU = 0,(48)

Р можно определить только через fo. Таким образом, уравнение (37) для fo и,следовательно, для Р можно рассматривать как условие, определяющее уравнение состояния плазмы. Наконец, из анализа (37) следует, что оно определяет продольное поле Et, которое должно быть найдено из условия зарядовой нейтральности (38а) или из условия на продольный ток (39). Комбинируя уравнения для различных моментов fo, можно показать, что

Е ц =2 (es/ms) (bV)Ps/2 Ц^/т^.(49)

Здесь, однако, заключено противоречие, так как условие (49) появляется при дифференцировании второго члена в уравнении зарядовой нейтральности (38) и в действительности в состоянии равновесия £й из (49) исчезает.

Итак, полная система уравнений ведущего центра включает уравнения (45)—i(48), где Р определено уравнениями (44а) — (44в), a fo и £ц —уравнениями (37) и (38а). Так же как и в одножидкостной теории, в нерелятивистском приближении два последних члена, в (46) можно опустить. При этом система уравнений похожа на одножидкостную, и главная сложность состоит в решении пятимерного уравнения состояния для fo. Однако эти пять измерений t, г, у±, у„ можно свести к четырем заменой у± новой переменной

ц=у1/2В,(50)

являющейся магнитным моментом частицы. При этом уравнение (37) принимает вид:

i + (Ог + », Ь) vf. + (-ь ^ + рву Ы->) ^ = 0. (51)

Здесь нет дифференцирования по р. Магнитный момент входит в это уравнение просто как параметр, так что кроме г и t остается только одна переменная ун.

Отметим, что

UE=U± = U —b(bU).(52)

Приближение ведущего центра демонстрирует, как в отсутствие соударений упорядоченность, почти достаточная для гидродинамического описания плазмы, создается магнитным полем. Последнее препятствует движению поперек силовых линий, заставляя все

частицы дв:игаться вместе, так что частицы в данной силовой трубке в ней и остаются.

Размерность уравнения (51), как отмечалось выше, можно понизить .на два, используя преобразование Клебша для бездивер- гентного поля. Как показано в п. 4.2, любое векторное поле В, такое что VB=p,можно выразить через скаляры аир следующим образом:

B = VaXVp.(53)

При этом аир определяются неоднозначно. Однако, если удается выразить через них В в некоторый начальный момент времени ^о, а и р будут и далее определять В согласно (53) при условии, что сами они удовлетворяют уравнениям

da/d/+(UV)a=0; dp/^+(UV)p=0 (54)

или, другими словами, вморожены в жидкость. Поскольку аир являются как бы метками потока., силовая линия задается условиями a=const, p=const. Это — точное математическое выражение того, что силовые линии вморожены в плазму. Если заменить пространственную переменную г на координаты а, р и /, где / — положение на силовой линии, то (51) переходит в одномерное кинетическое уравнение

dfo ./ dl \ df. / DUeеЕ „ \ df0

dt + VH ( ds ) dl + \ b Dt + P-5Vb + m0 (55)

при условии, что l подчиняется уравнению d//<?/+i(U£V)/=0.

Для замкнутости приведем полную систему уравнений ведущего центра для фундаментальных переменных р, U, В, f0 и £я:

dp/^+V(pU)=0;

pf«L + (uv)u)=LY.X»>.XB _

\ dt/4л

dB/d/=VX(UXB);

P = pJ + (pfl-p±)bb;

Pi =ms J и ^^y; Pw = 5~ Ub)4’v;

ss

X + №+=, b) Tf„ - f± [vU± - (b v> (Ub)r «! ^hl X, '

Dt 2 v ' m

2es f f0X3o = 0.

Теория двух адиабатических инвариантов. Как отмечалось в п. 3.1, бесстолкновительная плазма поддается описанию гидродинамическими уравнениями (с той лишь трудностью, что снача-

137

^^^ ла необходимо определить эво- ^»____^-—^H2 люцию компонент тензора давле-

Iния рз. и р^. Авторы [4, 5]

^"*-показали, что эти величины мож-

Рис. 1но выразить через два уравнения

состояния:

7-^±/рв)=°;(56а)

at

y(p,W=°'<566>

которые применяются при тех же ограничениях, что и адиабатическая теория (см. п. 3.1), плюс еще одно существенное ограничение: система должна изменяться вдоль силовых линий достаточно медленно, чтобы связь частиц из точек с разными свойствами вдоль силовой линии была небольшой. Сформулируем это более точно. Пусть точки Р; и Ps (рис. 1) расположены на одной силовой линии и параметры плазмы р, Т, В и т. д. в этих точках значительно различаются. За время t^l/v частицы из этих точек перемещаются и их нельзя будет рассматривать как независимые. Однако если в Рх за времена, меньшие I, происходят значительные изменения, то изменения в Рг не могут оказывать заметно1говлия- ния на Рх. Частицы в Рх остаются практически невозмущенными, так что для описания поведения плазмы в Рх можно использовать два адиабатических инварианта.

р± пропорционально и2±, усредненному по всем частицам, и плотности р. В силу инвариантности ц величина < а2± ) пропорциональна В, так что Pj_co<u2jl)pqo pS. Разумеется, что соотношение выполняется вдоль траектории движения, так как важны именно частицы, а не их положение в пространстве.

Менее известен второй инвариант vj, где I — это протяженность элемента жидкости вдоль силовой линии. В определении I имеется некоторая неопределенность, поскольку частицы расходятся со значительной скоростью. Известно, однако, что даже при свободном одномерном расширении газа дисперсия скоростей уменьшается с уменьшением плотности обратно пропорционально квадрату длины элемента газа. (В случае газа легко заметить, что -при ограниченной длине наиболее медленные частицы остаются вблизи начального положения.) В рассматриваемом случае длина / пропорциональна В/p, так как объем силовой трубки обратно пропорционален р, а ее поперечное сечение обратно пропорционально В. Таким образом, параллельная составляющая давления оказывается порядка

р И сю р <а2 > сю р//2 сю р3/В2.

Более формально этот результат можно получить следующим образом. Условие того, что точки Р\ и Ps остаются невозмущенными, очевидно, означает отсутствие значительного теплового об-

мена между ними. Таким образом, в третьем моменте уравнения Власова 'можно пренебречь-тензором теплового потока Q. Умножим (28) на ms(v—Us) (v—Us) и проинтегрируем по всем скоростям в фиксированной точке г. Согласно зарядовой и токовой нейтральностям Us одинакова для ионов и электронов (полагаем, что имеется одна ионная компонента). При этом находим:

4 ^+vQ.+^vu+Ps (vU)+ at

+ W + —(ВХЛ-ЛХВ)==О,(57)

'msc

где индекс tr означает транспонирование диады, Ps определено, как и в (43), a Qs — триада:

Qs=ms J (v - Us) (v - Us) (v - Us)M3y.(58)

Как и прежде, считаем, что доминируют последние два члена из-за фактора е/тс (разложение по малым гирорадиусам). Таким образом, в низшем порядке малости давление Ps0 должно удовлетворять условию

ВХЛо = ЛоХВ.(59)

Общим решением этого уравнения является

Pso=Pa.sU — ЬЬ)+рц sbb,(60)

где два скаляра (до сих пор) являются произвольными функциями времени и пространства.

Обозначим левую часть (57) LP0. Тогда в следующем порядке разложения (57) имеем:

LP.S =(Р$1 X В - В X V(61)

msc

где PsX поправка первого порядка малости к тензору давления. Для разрешимости этого уравнения относительно PsX необходимо и достаточно, чтобы оно имело нулевой след, а также при умножении на b справа и слева (обкладка) обращалось в нуль. Выполняя эти операции, пренебрегая Q и суммируя по $, получаем:

4 ^Рх + Р „) + ^PL + Р н) VU + 2р± [Vu - (bv) (Ub)] +

+ 2^н (bV)(Ub)^0;(62а)

-^Рхх +p|)VU + 2/7|| (bV)(Ub) = 0.(626)

Здесь U связано со скоростью изменения р и В следующими уравнениями:

dp/^=—pVU;(63)

dB/^=bdB/d/=b[VX (UXB) + (UV) В] =

=B[(bV) (Ub) — VU],(64)

139

В результате (62) приобретает вид:

d п = — 3^и d? 4. 2/,п dB(65)

откуда сразу следует (566). Теперь вычитая (626) из (62а) и 'используя (63) и (64), находим уравнение, приводящее к (55а)

2dp^2рл dp2pj_ dB

dt pdtВ dt *

Таким образом, два адиабатических уравнения состояния получаются из уравнений ведущего центра, в пренебрежении тепловым потоком. Выражение для Q можно упростить в частном случае, когда ^о, как было показано выше [см. (34)], не зависит от фазы вращения ср. Поток Q представим в виде

Q^q^ (/b+b/+tr) +2^' bbb,(66)

где'

<l=SOTsJ ^^н ~ Ub)^3°: ■ ^6a)

?' = Sms J (V и — Ub)Wy;(666)

tr означает третью возможную перестановку триады /Ь; q\, q\— параллельные составляющие теплового потока перпендикулярной и параллельной энергии соответственно. Они малы только тогда, когда f почти симметрична, что выполняется в случае медленного изменения вдоль В макроскопических параметров плазмы. Кроме того, выражения для следа

VQ = (bv) (10^1 + 2? ||) — ( 10<l + 2^'и) (М в?в(67а)

и обкладки

b (vQ) b = (bv) (6^ + 2^'н) — 2 (^ + q'() (bv) В! В(676)

показывают, что дифференцирование умножает тепловой поток на малый параметр, пропорциональный медленной скорости изменения вдоль В.

Следует отметить, что приближение двух адиабатических инвариантов идентично одножидкостной теории, описываемой уравнениями (1) — (4) и (10), за исключением того, что Vp заменяется дивергенцией тензора давления Р, содержащей скаляры р^ирп, которые определяются уравнениями состояния (56а) и (566).Можно видеть, что формализм двух адиабатических инвариантов является голоно'мным, т. е. все величины могут быть выражены с помощью вектора смещения и описаны формализмом Лагранжа.

Эти удобные свойства в сочетании с очевидным'обобщением на случай нескалярного давления и обеспечили популярность теории двух адиабатических инвариантов. К сожалению, жесткие требования на очень медленное изменение вдоль 'магнитных силовых 140

линий, налагаемые условием пренебрежения Q, сильно ограничивают пределы ее применимости, соответственно когда необходимы точные результаты. С другой стороны, уравнения иногда используются для решения проблем, выходящих за рамки пределов применимости, и полученные ответы, естественно, неверны. Иллюстрацией этого служит пример вычисления критерия устойчивости относительно зеркальной неустойчивости в однородной замагничен- ной плазме с различными параллельным и перпендикулярным давлениями (см. приложение).

СЛЕДСТВИЯ МГД-ТЕОРИИ

МГД-уравнения и, в меньшей степени, уравнения двух адиабатических инвариантов и ведущего центра обладают некоторыми свойствами, которые часто используют, чтобы качественно представить поведение плазмы, не решая уравнений. Эти уравнения содержат некоторые общие глобальные соотношения, законы сохранения и теоремы вириала, а также уравнения сохранения потока и силовых линий, которые также можно считать уравнениями сохранения.'

Законы сохранения. Назовем три величины, сохраняемые в плазме,— это импульс, энергия и угловой момент. Чтобы вывести их в рамках идеальной одножидкостной модели, запишем уравнение Эйлера в виде

Р -^- = - Р (Uv) и +чр- р7Ф, (68а)

dt4п

где j исключен с помощью (4) и введен гравитационный потенциал Ф: g=—УФ. Умножая уравнение непрерывности на U и складывая с (68а), получаем:

А(ри)=-7Т-Р7ф, (686)

где

7 = _pUU+^/__^_)_ pi(69)

\ 8it 4it у

представляет собой тензор напряжений, действующих на произвольную поверхность. Первый член в (69) —это релеевские напряжения, второй — магнитные напряжения (магнитное давление и натяжение), третий член — давление. Интегрируя уравнение (69) по фиксированному объему V и используя теорему Гаусса, получаем:

dt =dt =— ^Г dS4~ Jpgdt.sv— ^Г dS4~ Jpgdt.sv(70)(70)

dt =

dt =

— ^Г dS4~ Jpgdt.sv

— ^Г dS4~ Jpgdt.sv

(70)

(70)

Здесь левая часть—скорость изменения импульса плазмы в объеме, правая — изменение момента, связанное с поверхностными и

гравитационными силами. В изолированной системе в отсутствие гравитационных сил (g=0) полный импульс сохраняется. (В действительности, как будет показано в теореме вириала, это невозможно. Однако если сила гравитации является самосогласованной^ т. е. порождаемой самой плазмой, то ее можно записать как дивергенцию; импульс при этом будет сохраняться, как, например, в. задаче об изолированной звезде.) В любом случае плотность импульса плазмы pU не включает в себя вклада магнитного поля. Изменение плотности импульса связано с силами, действующими на поверхность. Вклад электромагнитных сил является релятивистской поправкой, он не включен в уравнение.

А /, ^1) = <u t(v х =>х в» __ ф _ / и;^ \2 /4л\2А /, ^1) = <u t(v х =>х в» __ ф _ / и;^ \2 /4л\2Более важным является закон сохранения энергии. Он получается умножением (68а) на U с учетом уравнения непрерывности (48): а

А /, ^1) = <u t(v х =>х в» __ ф _ / и;

^ \2 /4л\2

А /, ^1) = <u t(v х =>х в» __ ф _ / и;

^ \2 /4л\2

и). (71>

В левой части этого уравнения — скорость изменения кинетической энергии в единице объема. Изменение кинетической энергии происходит вследствие соответствующего -изменения магнитной энергии (первый член в правой части), давления (второй член) и гра,- витационной энергии (третий член). Действительно, умножая (10) на U, получаем:

AfBL\_B^<^<51(72)

dt V 8л )4тг '

Из (3) и (1) имеем:

a /_l\ _Sf„JLWi(73>

dt \y—1/ у—1 y—1

Из (1) следует также, что

4рФ = -?(ри)Ф(74)

dt

(Ф предполагается независимым от времени). Величины в левой части (70) — (74)—скорости изменения плотности магнитной энергии, давления и гравитационной энергии, соответствующие членам правой части (71). Другими словами, любое изменение магнитной и гравитационной энергии и давления приводит к изменению плотности кинетической энергии.

Складывая уравнения (71)—(74), интегрируя по конечному объему V и используя теорему Гаусса, получаем:

dt dt J [ 2 8лy — 1 J

= -[ds[p-^U + -^^^ +_^ри + Риф]. (75)

J L 24л y —

Таким образом, можно с уверенностью идентифицировать выражение в левой части со скоростью изменения полной энергии gy в объеме V, а интеграл в правой части—с потерей энергии через поверхность S; <gy содержит четыре компоненты: кинетическую и магнитную энергии, давление и гравитационную энергию. Почти любой 'макроскопический плазменный процесс заключается в обмене различными формами энергии и потерей энергии через поверхность. Из (76) видно, что эти потери складываются из прямых потерь кинетической энергии (первый член), потока Пойнтин- га (второй член; напомним, что UXB=—сЕ), тепловой энергии и работы pdV [ypU/(y—l)=pU/(y—l)+pU)] и, наконец, работы гравитационных сил, связанной с жадностью, входящей в объем при одном потенциале и выходящей при другом. (Поток Пойнтин- га также можно представить как потери магнитной энергии плюс работа магнитного давления.)

Если аистема тщательно изолирована, например, твердыми бесконечно проводящими стенками, на которых В-п=О в некоторый момент времени, то произведение В-n будет оставаться равным нулю все время. Поскольку и U-n = 0, то правая часть (75) будет равна нулю, так что энергия внутри объема будет сохраняться.

Наконец, закон сохранения для углового момента 'можно получить в полной (аналогии с (70). Пусть точка 0—'Начало координат и г—радиус-вектор, отсчитанный от этой точки. Тогда

-^-(’rXpUdt = f(rX7^S + fprXg^. (76)

VSV

Видно, что угловой момент содержится исключительно в движениях плазмы. Данное соотношение используется в значительной мере в задаче о выносе солнечным ветром углового момента из Солнца..

Другим важным интегральным соотношением для плазмы является теорема вириала. Введем относительно начала координат0 тензор момента инерции плазмы внутри заданного объема V

Iv= Jprr^T.(77)

Дважды продифференцировав Tv по времени, используя идеальные МГД-уравнения и пренебрегая поверхностными и грави- тационными членами, получим:

^L = J<^ ~~ гг d% = — J v (р U) гг di — Jр (Ur + rU) di; (78) vvv

-^ = -$Г + г (уГ)] d. = 2 J T d..(79)

V

Если движение плазмы в течение длительного промежутка времени происходит в ограниченной области пространства, можно ус-

реднить (79) по времени и пренебречь левой частью. Таким образом, из (70) находим соотношение

(Я^+^'-^М^(Я^+^'-^М^(80)(80)

(Я^+^'-^М^

(Я^+^'-^М^

(80)

(80)

которое носит название теоремы вириала (скобки < > означают усреднение по времени). При учете поверхностных членов это соотношение может нарушаться, поэтому его можно применять только к изолированной системе. Возьмем следующие уравнения (80), получим:

<Г(ри=+<Г(ри=+В28 лВ28 л(81)(81)

<Г(ри=+

<Г(ри=+

В2

8 л

В2

8 л

(81)

(81)

<J42+4+3''+4)d’)<J42+4+3''+4)d’)Поскольку, очевидно, этот интеграл положителен, из данного условия следует невозможность существования изолированной (без катушек), свободной от воздействия системы. С другой стороны, если учесть самосогласованный гравитационный член, то найдем:

<J42+4+3''+4)d’)

<J42+4+3''+4)d’)

= 0. (82)

Так как гравитационная энергия всегда отрицательна, то она может скомпенсировать три других члена. [Отметим, что первый член есть удвоенная кинетическая энергия, второй — магнитная энергия, а третий — тепловая энергия, умноженная на 3(у—1), тогда как последний член — гравитационная энергия].

Другой важной теоремой для идеальных МГД-систем является то, что последние могут быть выведены из лагранжиана.. Чтобы облегчить понимание этого, необходимо рассматривать каждый элемент плазменной жидкости как целое. Динамика потока между моментами ^ и tx представляется как ряд зависящих от времени смещений |(г0, /) каждого элемента жидкости от его канального положения г0 в момент t=t0 до конечного Г1=Го+^ в момент времени ty. Возможное движение определяется зависимостью смещения §(г0, t) от времени t. При этом принцип Гамильтона для идеальных МГД-уравнений гласит, что движение, оставляющее стационарным величину

L = J Ж dt, (83) to

где

является действительно динамическим, удовлетворяющим идеальным МГД-уравнениям, и наоборот. Как должно быть понятно, для любого смещения §(г, /), будь оно динамическим или нет, р, ри В должны определяться из решения уравнений (1), (3) и (10) соот-

ветственно. Известно, что эти величины голономны и не зависят от детальной зависимости §(г0, 0 от времени t.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим заданное движение- §(г0,0 и определим возмущение этого движения, введя функцию^ Эйлера 6§(r, /), -которая определяется как разность между положением элемента жидкости в момент t, который должен был быть, в г при невозмущенном движении, и г. После этого легко видеть,, что возмущения р, р и В в точке г под^влиянием возмущения движения равны соответственно:

P1 = -V(p6|);(85а)

p1=_vpV(6|) - (6gV)p;(856)

B1 = VX(d§XB).(85в)

Остается определить Ub Возмущение скоростиэлемента жидкости:

по определению 6| равно:

56^+(UV)6^ .

В то же время — это возмущение в точке г+б|, так что оно равно U1+(d§V)U. Следовательно,

U. = -^ +(Uv) §§ “(S §V) U(85Г)’

Подставляя эти возмущения в соответствующие возмущения (83) и (84), получаем:

6L = ^£dt = Jdt^dz (Ри[^6L = ^£dt = Jdt^dz (Ри[^HUv)8§-(8gv)UHUv)8§-(8gv)U

6L = ^£dt = Jdt^dz (Ри[^

6L = ^£dt = Jdt^dz (Ри[^

HUv)8§-(8gv)U

HUv)8§-(8gv)U

(86)(86),_vW^. + ^ + №

(86)

(86)

2 у — 1 Y — 1

Интегрируя по частям, убеждаемся, что 6L=0 для всех б^, обращающихся в нуль в моменты to и /ь и на границах, если выполняется (2).

Существование принципа Гамильтона для МГД-уравнений является исключительно важным. Можно показать, что он обусловливает большинство основных результатов магнитной гидродинамики, например самоограничение, энергетический принцип устойчивости статического равновесия и сохранение энергии. Мелкомасштабные пидромагнитные волны сохраняют волновые свойства,, поэтому их можно рассматривать как волновые кванты. И это также прямое следствие того, что система является лагранжевой [10].

До сих пор мы обсуждали свойства одножидкостных идеальных МГД-уравнений. Всеми этими (Свойствами обладает и формализм двух адиабатических инвариантов, если заменить р и у соответствующими выражениями. Например, рК^—1) надо заменить на р±+Рц/2 в (75), (80) и (84), а в (82) Зр заменить на 2р±+рц.

Аналогичные результаты, по-видимому, будут справедливы и для теории ведущего (Центра, хотя до сих пор они в действительности ^были получены только в некоторых предельных случаях.

4.2. Вмороженность потока в плазму. Вероятно, наиболее полезной среди качественных концепций идеальных МГД-уравнений, так же, как теории ведущего центра и двух адиабатических инвариантов, является вмороженность в плазму магнитных силовых линий. Строгая теорема сохранения потока заключается в следующем.

Предположим, что в некоторый начальный-моментвремени магнитные силовые линии распределены в объеме плазмы так, что их плотность пропорциональна напряженности поля В и они везде касательны В. (Для простоты берется очень большое, но конечное число таких линий, так что их плотность, хотя и не совсем точно •определена в каждой точке, но ее можно найти с любой точностью, выбирая достаточно большое число силовых линий.) Таким образом, в момент ^о магнитное поле В полностью представлено этими линиями. Пусть плазма течет со скоростью U и пусть эволюция магнитного поля подчиняется (10). В то же время пусть силовые линии целиком переносятся со скоростью U в некоторую новую конфигурацию, как если бы они были вморожены в плазму. В любой более поздний момент времени t конфигурация силовых линий .будет представлять собой магнитное поле как по интенсивности, так й по направлению, определяемых плотностью линий и касательными к ним соответственно.

Эта, теорема справедлива до тех пор, пока выполняется (10), т. е. если вследствие (конечности сопротивления В отличается от поля (10), то оно будет в той же мере отличаться и от поля, определяемого конфигурацией силовых линий. Поскольку смещение силовых линий происходит непрерывно, их топология должна сохраняться. Замкнутые линии остаются замкнутыми, эргодические — эргодическими, существующие в момент ^о (магнитные поверхности продолжают существовать и в дальнейшем и т. д. Утверждение о вмороженности потока приводит к далеко идущим следствиям, поэтому важно знать, в каких условиях оно нарушается. В некоторых случаях плазма не может перейти в состояние с много меньшей м-агнитной энергией вследствие вмороженности 'магнитного потока.

Изменение топологии, которое может быть вызвано нарушением (10) внутри очень малой области, например в точке х, может привести, как полагают, к превращению значительной ча- •сти магнитной энергии в кинетическую энергию плазмы. Последнее -обычно называют процессом пересоединения, который вызывает большой интерес, так как решение его, возможно, ведет к объяснению некоторых наблюдаемых бурных процессов в плазме, таких как разрывы в токамаках, солнечные вспышки, и т. д.

Теорему о вмороженности потока можно выразить математически двумя способами. Первый из них носит название тождества .Лундквиста, основа второго — формула Клебша [14].

Тождество Лундквиста выражает магнитное поле в момент времени t с координатой г через его значение в момент Zo и координату г0

— (гХ) = —(Г0Х0) 7„Г(г„Х).(87)

РР

В этой формуле г считается функцией г0 и t и представляет собой координату в момент t элемента жидкости, который в начальный момент ^о находился в координате г0. Индекс нуль в операторе Vo означает, что дифференцирование проводится по Го при фиксированном I. Пусть В0 = В(г0, /о) и р0=р(г0,/о). Чтобы доказать справедливость (87), покажем сначала, что оно удовлетворяет уравнению (10). Используя равенство (dr/d^)ro = U, получаем:

^(A) = Pv0)U,(88)

^ \ Р / X Ро V

где Д- = д/<?/4-(и?) —W^)r • Поскольку dt0

v х (U X В) = (Bv) и - (Uv) в - В (vU),

то-5--vX(UXB)=^--(Bv)U + B(vU) =

ot

= (BoVo) и + - -^- в - (Bv)=

РоP dfp dt

= -L[(BoVe)U-((B6ve)r)vUb(89)

Po

Здесь выражение в первой строке следует из определения d/dt^ во второй — из уравнений (1) и (88), в третьей — с учетом уравнения (87). Выражение в квадратной скобке в третьей строке (89) обращается в нуль в силу цепного правила дифференцирования. Таким образом, (87) удовлетворяет уравнению эволюции магнитного поля (10) в начальный момент времени. Следовательно, оно- удовлетворяет ему и в последующие моменты t. Связь (87) с вмю- роженностью легко видна из .геометрии. Действительно, (BoVlO)r/5o — это сдвиг единичного элемента линии вдоль первоначальной силовой линии, вызванный течением плазмы, и, следовательно, (87) констатирует, что В остается параллельной сдвинутому элементу силовой линии. При это-м происходит также растяжение линии потоком, однако -множитель р/ро показывает уменьшение объема. Последнее указывает на сокращение поперечного сечения, т. с. увеличение плотности силовых линий.

Альтернативный математический метод описания сохранения потока основан на формуле Клебша, которая выражает произвольное недивергентное векторное поле, такое как В, через две скалярные функции

B = VaXVp.(90)

Если существуют такие скаляры а и р, то В, определяемое (90), очевидно, является бездивертентным. Далее, домножая уравнение (90) на Va и Vp, получаем:

BVa=0; BVP=O,(91)

так что а и р— постоянные вдоль силовых линий. При этом силовую линию можно определить из условий a=iao и р=)ро> где а0 и Ро—постоянные величины. Наконец, поскольку 7= В- (VaXVp)/5 = — В—।это якобиан преобразования координат r-^a, р, I (Z— сектор длины вдоль силовых линий), то видно, что dadp представляет собой элемент потока. Это значит, что если взять поверхность S, ограничивая силовые линии заданными а и р, то произведение dadp является потоком через соответствующий элемент поверхности (рис. 2). Таким образом, если выбрать силовые линии, задавая одинаковое распределение а и р, то плотность их будет пропорциональна напряженности магнитного поля В. ч

Отмеченные свойства аир указывают, как их можно найти, чтобы удовлетворить (90). Как и на рис. 2, выберем аир7 произвольно на поверхности Sn продолжим их в пространстве, чтобы выполнялись (91) и (BV)p'=0, т. е. считая их постоянными на линиях в. Пр и этом

ВХ (Va X Vp') = (BVp') Va — (BVa)Vp'=0,

так что B=g(VaXVp'), где g— скаляр. Из условия VB=0 следует, что

(VaXVp')Vg=BV^=0,

т. е. g— конста.нта вдоль силовых линий В и, следовательно, g= =g(a, р'). Выберем р так, чтобы

dp/dp'=g(a, р').(92)

Как легко убедиться, при данных аир уравнение (90) выполняется.

148

Очевидно, аир можно выбрать не единственным образом. Однако если они заданы в какой-то начальный момент времени /о, то в последующие моменты их можно определить из условия постоянства на данном элементе жидкости. Последнее означает, что они удовлетворяют уравнениям:

da/d/+UVa=0;(92а)

dp/^+UVp=0.(926)

При этом В, выражаемое (90), удовлетворяет (10) и, следовательно, действительно определяет магнитное поле. Вычислим

-^- (v« X vP) — V X [UX(VaXvP)] = V-^-XvP +

+ vaX V" VX [Uvpva — Uv«vP] = — v(Uva) X vP —

— V<4X V (UvP) — V (UvPva) + v (U?avP) = °-

Здесь выражение во второй строке получается после преобразования тройного векторного произведения в квадратных скобках в первой строке; в третьей — следует из (92) после взятия ротора от квадратной скобки во второй строке.

Очевидно, свойства а и 0 соответствуют свойствам силовых линий в теореме о сохранении потока..

ПРИЛОЖЕНИЕ

Проиллюстрируем формализм теории ведущего центра на примере, который показывает также ограничения метода двух адиабатических инвариантов.

Рассмотрим однородную замагниченную ионно-электронную плазму с различными продольной и поперечной температурами. Выберем ось г вдоль Во. Для простоты будем считать равновесное распределение f0 би-максвелловским с различными продольной и поперечной температурами

п/ msx?^ msv^ \

fos = ^Ь^т^ V/(93)

Рассмотрим синусоидальное возмущение плазмы, пропорциональное ехр(—io)^+ + i^xx+i^z^). Каковы условия неустойчивости для данного возмущения?

Начнем с гидродинамических уравнений (45) и (47). Если ввести вектор смещения плазмы |, так что U=—ico^, то получим:

_= _v (ВД) +;(94)

В4 = 1к^хВйх i^x?x^oz»(^)

где штрих или единица в индексе означает возмущенные величины. Из (44а) для возмущения давления имеем:

Р. = Pj + (р || — Р±)ьь + (Р и — р±) (bib + ьь1) •(96)

149

Наконец, из (95) следует:

в. = -^во;(97а>

ь, = iti,(976)

так что легко находим:

VP, = [ i^P^ — (Р ц — Ра) к^Л X + [ik^ — (р у — Ра) МгУ ^ •(98)

Подставляя (98) в уравнение движения (94) и проектируя на оси х и zv получаем два уравнения для ^х и gz:

В 2

— р<о2^ = -^хР^А-^Рй —Ра) Ь— (^ + Az> "^~^:(99а)

— Р®2^ = — imp'll + кхкг (Р Ц — Р±) k •(996)

Для замыкания системы необходимы еще уравнения состояния для р^ и р\ .

До этого момента теории двух адиабатических инвариантов и ведущего центра совпадали. Они различаются только в определении Pj_ и рц . Пусть замыкание системы происходит благодаря уравнениям состояния теории двух адиабатических инвариантов (56а) и (566), которые связывают pj_ и р у с gx и gz. Подставляя из уравнения непрерывности (48) pi =—^k^xA-k^^ и учитывая (97а), получаем:

PaJPa. = Р1/Р + BVBo = — ^xk& — хк&\(100а)

РII 'Р II = ^Р*(Р ^BJB6= Х^^х 3ifez^z.(1006)-

Подстановка (100а) и (1006) в (94) и (95) приводит к уравнениям для gx и. gz в отдельности. Приравнивая к нулю определитель этих двух уравнений^ получаем уравнение для собственного значения о)=о)(к):

[

/к^В 2

ро= - ^ ^ + fe22) рх +- к^р „ П (рю2 - ^р н) = V Ур\ • (101)

Легко убедиться, что решения относительно ю2 действительны. Таким образом,, неустойчивость возникает, если один из корней о2 является отрицательным. Это происходит при

2^ [^/8л + рх (1 — р^/бр м)] + ^ (^/4зт + Ра. — Р ||) < °•

Это выражение может быть отрицательным, во-первых, когда при кх = 0 и:

Рц >Рх + ^/4«(102)

(случай шланговой неустойчивости); во-вторых, при к^О (но неисчезающем) и р^/6р„ >2^/8л + р±(103)

(случай зеркальной неустойчивости). Уравнения (102) и (103) суть условия неустойчивости, выведенные в рамках теории двух адиабатических инвариантов.

Используем теперь для нахождения р^_ и р у и замыкания (99а) и (996) приближение ведущего центра. В действительности можно определить р^ че" 150

рез ^х и рассматривать только (99а); р^ определяется через возмущение функции распределения f', получаемое, например, из решения (52). Пусть ,f=fo+fi- Тогда, поскольку В — якобиан преобразования к переменным ц и Пц имеем: - х- ^j

р^ = 5 ms J fsp,B (Bdp,) dv ц dtp;

p! = 5] ms f^Bd^o(104)

Возмущая (52) и используя (93), получаем:

— kxk/Sx (у2 I /2) + ^sfms> В,. msv

fis =-rJ+T^,,L 1^7 h- ^

На границе устойчивости можно пренебречь со в знаменателе

(если k2(TslmsVft) и

f is — 1 ^Х^Х ОТ f$ AT fs* Ils\\sИз условия зарядовой нейтральности можно определить Е у:Р _ h. (Ь ► Ч (T'j./7’II >г — (^Z7* II)» .(1/Ги,.)-(1/Г||е)Для простоты выберем (T^JT^)i=(T^ITi)e , чтобы Eg =0. f(106) с Е || =0 в (104) и используя (97а), находим:f is — 1 ^Х^Х ОТ f$ AT fs* Ils\\sИз условия зарядовой нейтральности можно определить Е у:Р _ h. (Ь ► Ч (T'j./7’II >г — (^Z7* II)» .(1/Ги,.)-(1/Г||е)Для простоты выберем (T^JT^)i=(T^ITi)e , чтобы Eg =0. f(106) с Е || =0 в (104) и используя (97а), находим:(106)(106)(107)(107)ПодставляяПодставляя4 =4 =SS(108)(108)

f is — 1 ^Х^Х ОТ f$ AT fs* Ils\\s

Из условия зарядовой нейтральности можно определить Е у:

Р _ h. (Ь ► Ч (T'j./7’II >г — (^Z7* II)» .

(1/Ги,.)-(1/Г||е)

Для простоты выберем (T^JT^)i=(T^ITi)e , чтобы Eg =0. f(106) с Е || =0 в (104) и используя (97а), находим:

f is — 1 ^Х^Х ОТ f$ AT fs* Ils\\s

Из условия зарядовой нейтральности можно определить Е у:

Р _ h. (Ь ► Ч (T'j./7’II >г — (^Z7* II)» .

(1/Ги,.)-(1/Г||е)

Для простоты выберем (T^JT^)i=(T^ITi)e , чтобы Eg =0. f(106) с Е || =0 в (104) и используя (97а), находим:

(106)

(106)

(107)

(107)

Подставляя

Подставляя

4 =

4 =

S

S

(108)

(108)

Если положить Т^^=Т_|_в , то

(109)(109)Pj_ = 2i^x5x ^AjP || РдЗ *

(109)

(109)

Теперь для достаточно малых со (см. выше) из (99а) имеем:

— “2= у- [2^ ^/Р и — Р^ + к^ (р и — Рд) — ^х + $ В^Ц.

И снова, если кх = 0, для шланговой неустойчивости получаем условие (102). Однако при ^z-^0 для зеркальной неустойчивости получается условие p\jP\\ > >р д_ +В20/8л, которое отличается множителем 6 от (103).

Причиной такого различия в критерии зеркальной неустойчивости между теориями ведущего центра и двух адиабатических инвариантов является то, что частота со должна перейти через нуль. При этом связь частиц устанавливается на расстояниях порядка &-1 вдоль силовых линий за времена, меньшие <о-1, так что условие применимости последней теории нарушается.

Этот пример показывает опасности, присущие теории двух адиабатических инвариантов, поскольку нарушение условий применимости становится очевидным только после применения более точного приближения ведущего центра.

Теория шланговой неустойчивости остается справедливой, так как продольный тепловой поток здесь не играет роли (это ясно из качественной картины неустойчивости) .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

Petschek Н. Е. The Physics of Solar Flares. AAS—NASA Symposium/Ed. W. H. Hess. NASA Sp-50, 1964, p. 425.

Брагинский С. И. Вопросы теории плазмы/Под ред. акад М. А. Леонтовича. М., Атомиздат, 1963, т. 1, с. 183.

Chew G. F., Goldberger М. L., Low D. Е. — Proc. Roy. Soc., 1956, vol. 236,. p. 112.

Chew G. F., Goldberger M. L., Low F. E. Los Alamos Lecture Notes on- Physics of Ionized Gases, LA-2055, 1955.

Kulsrud R. M. Rendiconti della Scuola Internazionale di Fiscia «Enrico- Fermi» Course XXV/Ed. M. N. Rosenbluth. — N.Y.: Acad. Press, 1962, p. 54.

Newcomb W. A. — Ann. Phys., 1958, vol. 3, p. 347.

Kruskal M. D. La Theorie des Gas Neutres et lonises/Ed. by C. Dewitt and J. F. Detoeuf, 1960.

Rosenbluth M. N., Rostoker N. — Phys. Fluids, 1958, vol. 2, p. 23.

Dewar R. L. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2710.

Lundqvist S. — Phys. Rev., 1951, vol. 83, p. 307.

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕЬ

Ф. ХИНТОН

ВВЕДЕНИЕ

Процессы переноса в плазме ответственны за потери частиц: и энергии .в условиях, при которых в идеальной плазме можно- было бы ожидать, что потери отсутствуют, за отклонения от поведения идеальной плазмы в других ситуациях. Процессы переноса обусловливаются макроскопическими неустойчивостями, турбулентностью, вызванной микронеустойчивостями и -кулоновскими соударениями.•

В настоящей статье рассматривается только последний механизм. Сила, действующая на данную заряженную частицу со стороны других частиц плазмы, обусловливается флуктуациями электрических и магнитных полей. Эти флуктуации можно разложить в ряды Фурье по плоским волнам с различными волновыми векторами к. Соударениями будем называть действие флуктуаций с длинами волн, меньшими дебаевского радиуса или кХв^Х. Для системы в локальном тепловом равновесии уровень таких флуктуаций хорошо известен [1, 2], а их действие на одночастичную функцию распределения описывается уравнением Фоккера — Планка (1). В этой статье мы ограничимся столкновительными процессами переноса и не будем обсуждать процессы переноса, обуслов-

Пер. с англ. В. В. Красносельских.

ленные более длинноволновыми флуктуациями. Причина не только в том, что стол-кновителыный перенос более понятен, но и в том, что он присутствует всегда и задает нижний предел скоростям возрастания энтропии и переноса в плазме. При этом мы, разумеется, предполагаем, что МГД-активность или быстрое 'макроскопическое движение отсутствует, так же как и флуктуации, связанные с микронеустойчивостями.

В данной статье рассмотрены только процессы переноса в равновесных МГД-системах, в которых плотность тока и градиент давления связаны уравнением (161). Предполагается, что скорость изменения макроскопических величин мала и полностью определяется процессами переноса. Поэтому мы не рассматриваем эффектов переноса, волнами и неустойчивостями, за исключением случая, когда их длина волны так велика, а частота так мала, что удовлетворяются предположения, сделанные в п. 2.1. Обзор процессов переноса в ситуациях, изменяющихся более быстро, выполнен в [3 и 4].

Свойства переноса в плазме изучаются с использованием разложения Чепмена—Энскога [5]. Малым параметром является отношение средней длины свободного пробега к характерному размеру неоднородности вдоль магнитного поля. Предполагается, что оно одного порядка с отношением среднего гирорадиуса частиц к характерному размеру неоднородности поперек поля. Потоки частиц и энергии вычислены с точностью до членов первого порядка по этим малым параметрам. Потоки третьего порядка, связанные с силами вязкости и тепловыми силами более высокого порядка, опущены. Предполагается, что зависимость параметров от времени по отношению к скорости вращения частиц в магнитном поле имеет второй порядок малости. Речь пойдет в основном о переносе в плазме, удерживаемой магнитным полем, а поэтому сильно за- магниченной, хотя будут приведены и некоторые общие формулы. Это соответствует предположению, что средний гирорадиус частицы много меньше средней длины свободного про-бега. Более общие результаты можно найти в [6]. Явные формулы для коэффициентов переноса поперек сильного магнитного поля даны для плазмы с произвольным числом различных сортов частиц (несколько сортов ионов, которые отличаются зарядом и массой, и электроны). Перенос параллельно магнитному полю обсуждается для простой плазмы, состоящей из электронов и ионов одного типа, а также для плазмы -с двумя сортами ионов.

В разд. 1 описана диффузия Фоккера — Планка в пространстве скоростей. Свойства, столкновителыных членов в уравнении Фоккера— Планка получены в п. 1.2. Вопросы о макроскопических временах релаксации и установлении теплового равновесия обсуждаются в п. 1.3.

Движение пробной частицы описано в п. 1.4, а некоторые важные приложения приведены в п. 1.5. В п. 1.6 получены приближенные выражения столкновительных членов в уравнении Фоккера—Планка, которые используются в этой статье.

В разд. 2 обсуждаются классические процессы переноса, обусловленные пространственными неоднородностями и электрическими и магнитными полями. В п. 2.1 описывается процедура разложения в общем случае. Перенос перпендикулярно магнитному полю в пределе сильного поля изучается в п. 2.2. В п. 2.3 рассмотрена простая плазма, указаны изменения в теории удержания при использовании малости отношения массы электронов к массе ионов и приведены плотности тока и потока тепла вдоль поля, переносимые электронами и ионами. Для того чтобы получить соотношения симметрии Онзатера, используется вариационный формализм. В п. 2.4 рассмотрен перенос в плазме с двумя сортами ионов, считается, что отношение массы электронов к массе ионов* обоих сортов мало, а отношение ионных масс произвольно. Кроме перпендикулярных потоков представлены еще и результаты численных вычислений ионных коэффициентов переноса вдоль поля. В п. 2.5 приведены уравнения для моментов) в плазме с несколькими сортами ионов, здесь же обобщены предыдущие результаты.

ДИФФУЗИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОСТЕЙ

Уравнение Фоккера—Планка. Столкновительный перенос в плазме является следствием фундаментальной дискретности структуры среды, которая проявляется в кулоновском рассеянии каждого отдельного заряда всеми остальными. При вычислении свойств переноса необходимо знать влияние этих взаимодействий заряженной частицы на одночастичную функцию распределения /;(х, v, /). Эта функция определяется таким образом, что f(x, v, t)d?xd?v пропорционально вероятности нахождения частицы данного сорта внутри бесконечно малого элемента объема фазового пространства d?xd?u с центром в точке с координатами х, v в момент времени t. Это выражение эквивалентно величине статистического ожидания числа таких частиц в элементе объема фазового пространства в момент времени t. Так как мы не имеем непосредственно дела с флуктуациями, то считаем, что f(x, v, /) (функция распределения) в действительности является плотностью непрерывной жидкости в фазовом пространстве. Пространственная плотность частиц тогда задается интегралом

п(х, 0 = J ФиЦх, v, t).

Обычно для приложений теории переноса в плазме считают, что эффекты взаимодействия заряженных частиц адекватно описываются уравнением Фоккера — Планка [7]. Здесь мы обсудим само уравнение, некоторые приближения, используемые при его выводе, и пределы применимости.

В однородной плазме в отсутствие внешних электрических и магнитных полей предполагается, что зависимость функций распределения частиц от времени определяется уравнениями Фок- 154

кера—Планка (для каждого сорта частиц а свое уравнение) jL[AfL д . cd f \1СП

dt “ dv [ °'а2 dv “ “ J’'

где вектор динамического трения описывается выражением.

(2)

Здесь u—v—V, г. тензор диффузии по скоростям

^S^F’Mv-^hS1’*(3)

ьь

Каждый член под знаком суммирования по индексу b представляет вклад от. рассеяния частиц сорта а на частицах сорта Ь. Рассеяние частиц одного и того же сорта друг на друге учитывается членом с а=Ь.

Для тензоров второго ранга используется аффинорное обозначение, а I — единичный аффинор, эквивалентный d-символу Кронекера в тензорных обозначениях. Кроме того,

саъ = 2пеа2еьЧпА.(4)

Кулоновский логарифм определяется следующим -выражением [8]: 1пЛ=1п(М^о),(5)

где 2vd= (Т/4л^2)1/2—дебаевский радиус экранирования, а

Ь. = е2/гТ-

среднее прицельное расстояние для тепловых частиц.

Эквивалентную форму записи уравнения Фоккера — Планка получим при использовании равенства

d / Iuu \ 2и д / Iuu \

dv \ ии3 )п3dvr \ ии3 )

и интегрировании по частям выражения для Аа. Результат

^faVI саЬ С J1 dt dv ша J \ п^faVI саЬ С J1 dt dv ша J \ пuuи3uuи3- ^(V)-L^fo(v)l (6)

^faVI саЬ С J1 dt dv ша J \ п

^faVI саЬ С J1 dt dv ша J \ п

uu

и3

uu

и3

ma dvnib dvf .

известен как уравнение Ландау [9].

Этот результат получается, если оставить в интеграле столкновений Больцмана, только акты рассеяния на малые углы и провести обрезание интеграла по параметрам столкновения на дебаевском радиусе экранирования, иначе он расходился бы логарифмически при кулоновском законе взаимодействия. Хотя уравнение Больцмана первоначально было предназначено для описания газа частиц, взаимодействующих лишь при парных соударениях, его можно применить для описания плазмы, в которой много заряженных частиц одновременно взаимодействуют попарно, если влияние трехчастичных корреляций пренебрежимо мало. Тог-

да множество одновременных актов рассеяния на малые углы оказывает такое же среднее действие на частицу, как и последовательность независимых парных соударений. Двухчастичная корреляция эффективно обрезает кулоновский потенциал на расстоянии порядка дебаевского радиуса.

В некотором смысле более общий вывод уравнения Фоккера — Планка можно получить, используя аналогию между диффузией заряженной частицы в пространстве скоростей и броуновским движением. Из предположения о том, что диффузия по скоростям является марковским процессом, следует, что уравнение имеет вид уравнения Фоккера—'.Планка [10, 11]. Характерные выражения для коэффициентов Аа6, Dab получим, если используем закон парных соударений с кулоновским потенциалом. Эти коэффициенты запишем в виде [7, 12, 1'3] :■

1ч О cab ^гРЬ ab mj^ On On ’1ч О cab ^гРЬ ab mj^ On On ’(7)(8)(7)(8)

1ч О cab ^гРЬ ab mj^ On On ’

1ч О cab ^гРЬ ab mj^ On On ’

(7)

(8)

(7)

(8)

где

gb (v) = J dWfo (v') | v — v' |;(9)

Нь^=и*р'—1^—.(10)

J|v — v' 1

Используем

d 1ud2zzIuu

dv и а’ ’ dvdv и и* ’

где u=v—V, тогда увидим, что уравнения (7) и (8) эквивалентны уравнениям (2) и (3).

Функции gb, Нь называются потенциалами Розенблюта по аналогии с электростатикой.

Используя v£u = 2/u и Vy— = — 4it6(u), где v^ —оператор Лапласа в пространстве скоростей; б (и) — дельта-функция, имеем

^gb=2hb\(11)

^къ=—Нъ. (12)

Отсюда видно, что потенциал hb аналогичен потенциалу в координатном пространстве, обусловленному плотностью заряда ^ь, gb — потенциал, который .получается, если рассматривать hbl^a как плотность заряда. Из этой аналогии следует, что если функция fb сферически симметрична, то и gb и hb также сферически симметричны и на /ib(v) и gb^v) влияет только /b(v') с 1 v'| ^ | v|'.

Беляев С. Т„ Будкер Г. И. —Докл. АН СССР, 1956, т. 107, с. 807,— Прим. пер.

156

Таким образом, вектор динамического трения Aa(v) и тензор диффузии по скоростям Da(v),, действующие на частицу с заданной скоростью v, определяются только взаимодействиями с более медленными частицами. Другим следствием является то, что сила динамического трения, действующая на быстрый электрон, убывает как у-3 по аналогии с электрическим полем вне сферически симметричного распределения заряда.

Правую часть уравнения Фоккера,—'Планка представим в виде dfa/dt=^cabifa, М.(13)

Столкновительные члены в уравнении Фоккера — Планка с помощью (11) запишем в виде

Р £ 1 р 7 2 ^ / ^аdhb f1d^gb^fa A

^ab Va’ ibl — — V aLb “—I7—ТайI

dv \ mbdv2dvdxdv /

где

ra=4nZa2e4lnA/^a2.(15>

Здесь, по-видимому, следует заметить, что для получения приведенных выше выражений необходимо предположить, что InA^L Так как А пропорционально числу частиц в дебаевской сфере (в сфере с радиусом, равным дебаевскому), то это число должно* быть очень велико. Если это так, то средняя кинетическая энергия частицы много больше средней потенциальной энергии двух заряженных частиц. Большое число актов рассеяния на малые углы дает больший суммарный эффект, чем малое число актов рассеяния на. большие углы. Для большинства интересующих нас плотностей и температур In А находится в диапазоне от 15 до 20,. поэтому это* предположение оправдано.

Еще более общий вывод уравнения Фоккера — Планка начинается с учета того, что кулоновские соударения между двумя частицами видоизменяются остальной плазмой более сложным образом, чем статическое дебаевское экранирование. Дело в том, что* движущийся электрон имеет искаженное экранирующее облако,, и если он движется- быстро, то излучает ленгмюровские волны на черепковском резонансе. Уравнение Ленарда—-Балеску [14—16] у которое учитывает эти эффекты, отличается от уравнения Ландау (6) заменой выражения,

(16)(17)(16)(17)1 а Г 1 (v — v') v — v')In А — ——

(16)

(17)

(16)

(17)

нана[| V — V' |] v— v' |3

на

на

kk 5(kv — k-v') ^ | e(kv, k) |2kk 5(kv — k-v') ^ | e(kv, k) |2

kk 5(kv — k-v') ^ | e(kv, k) |2

kk 5(kv — k-v') ^ | e(kv, k) |2

Здесь e — продольная диэлектрическая проницаемость, нули которой определяют дисперсионные соотношения для электростатиче-

ских волн. В интеграле по волновым векторам, который грубо соответствует 'Интегралу Больцмана по (параметрам столкновения,(не нужно проводить искусственного обрезания на малых к, так как .интеграл сходится (из-за того, что е^^-2 при £->0). Для частиц, •скорости которых ненамного больше, чем среднеквадратичная скорость, можно использовать статическую диэлектрическую проницаемость

е(0, й) = 1 + 1/^М,

тогда уравнение (17) сводится к (16). Таким образом, вновь получилось уравнение Ландау, но с радиусом Дебая, появившимся в кулоновском логарифме естественно, -а не .вследствие искусственного введения обрезания. Для больших скоростей частиц эффекты волна—•частица, которые не включены в уравнение Ландау, могут оказаться важными. Однако эти эффекты не могут быть корректно описаны и уравнением Ленарда — Балеску. Дело в том, что ленгмюровские волны с большими фазовыми скоростями очень слабо затухают и начинают «жить собственной жизнью», особенно в нетепловой равновесной плазме [17]. Поэтому необходимо отдельное уравнение, описывающее временную зависимость амплитуды волн. Так как уравнения, которые при этом получаются, слишком сложны для использования в большинстве приложений к процессам переноса, то мы просто опустим эту часть спектра волн (см. разд. 3).

Уравнение Фоккера — Планка в форме Ландау также часто используется в приложениях, -где присутствует внешнее магнитное поле. Обобщение уравнения Ленарда — Балеску, которое включает магнитное поле, сделано в [18], но оно намного сложнее, чем уравнение Ландау. Монтгомери и сотр. [19] сделали вывод, что единственное изменение, которое нужно сделатыв интеграле столкновений Ландау, когда средний гирорадиус электронов много меньше дебаевского радиуса, это заменить последний на первый в кулоновском логарифме.

Используя уравнение Ландау, мы не рассматриваем переноса конвективными ячейками, возбуждаемыми потоками тепла [20, 21], хотя в некоторых случаях он может оказаться более важным, чем столкновительная диффузия.

Свойства уравнения Фоккера—Планка. Уравнение Фоккера— Планка имеет некоторые общие свойства, которые важны для приложений теории переноса, сейчас мы их продемонстрируем.

Положительность функции распределения. То, что fa не может стать отрицательной, если она неотрицательна вначале, можно показать следующим образом. Предположим, что Д обратилась в .нуль в одной точке v=v0, тогда и dfaldv=O в этой точке

fa (V) = 4" (V - V„) ( (V - V,) > 0

\ dvdv /

для малых |v—v01 =#О. Тензор (d2//dvdv)0 должен поэтому быть положительно определенным. Уравнение (6) при v=v0 приобретет ВИД

^- = V^-^d3v'fb^(— — —У f-^) ,dt таг J\ а и3 ) \ dvdv /0

где u = v0—vz. Определяя e^u/u, е2, е3—любые два других перпендикулярных в! -и взаимно перпендикулярных единичных вектора, имеем:

I UU _ е2е2 + е3е3

а и3 и ’

ИИмои Грмои Гр^2f dvdv^2f dvdv

И

И

мои Гр

мои Гр

^2f dvdv

^2f dvdv

Таким образом, fa становится положительной при v=v0: столкновения стремятся заполнить любые дыры в пространстве скоростей.

Сохранение числа частиц. Запишем уравнение (16) в виде

(18).(18).Ofa d jdtdv а

(18).

(18).

и проинтегрируем по скоростям, используя теорему о дивергенции,, чтобы показать, что

(19>(19>— р3< = (>о —Ja = 0.di J J dv °

(19>

(19>

Здесь мы предположили, что fo->0 достаточно быстро при v->oo„ чтобы поверхностный член при и=-оо был равен нулю.

Остальное законы сохранения проще всего получаются, если использовать следующую альтернативную форму записи уравнения (13):

dfa/dt=^Cab(20);

ь

где

СаЬ = ^ 4- f d?X>ta (V) U (V') (— - ^ lab (w');(21)

та dv J\ и и3 )

u = v — vf;

,22>

Сохранение импульса. Умножая (20) на mav и интегрируя по скоростям, получаем выражение

ьь(23)(23)

ь

ь

(23)

(23)

где

Т0Ь = ^3УШ^СаЬ =

= ~cab f rfWfa (v) и (v') (— — -^ Iab (V, v')(24)

определяет скорость передачи импульса или силу трения. Так как Саь = сЬа и подынтегральное выражение просто изменяет знак при замене а^ Ь, у*-» хз\ то

Fab = -Fba.(25)

Итак, передача импульса при соударениях от частиц сорта b частицам сорта а равна, по величине и противоположна по направлению передаче от а к Ь, что еще раз подтверждает справедливость третьего закона Ньютона.. В частности, при Ь = а имеем:

Faa = 0,(26)

т. е. полный импульс данного сорта частиц сохраняется при соударениях частиц этого сорта между собой. Суммируя (23) по всем компонентам а и используя уравнение (25), имеем равенство

2 J= °"(2?)

аа b

Итак, полный импульс всех сортов частиц при столкновениях сохраняется.

Сохранение энергии. Умножая уравнение (20) на —^- (v — ua)2 и интегрируя по скоростям, получаем:

-^V^ mQ (v - ua)2= у Qa6> У | Uy ^сь - uoFoJ , (28) ot J 2иI J 2J

bb

где

Qab + uaFo6 =- cab f d’y C d3y'fQ (v) fb (v') vf— — -^): Xa6 (v, v') (29) J J\ и и3 у

определяет -скорость передали энергии. Так как саь=сЬа, то, заменяя а^ b,V, получаем:

Qab + uA^CafrJ^JW^V)^^ v'(К _ ^L j%a6 (у, V'). (30) Складывая (29) и (30) и используя равенство

находим:

Qa&H~Q&a— (U^U«) Fab.Qa&H~Q&a— (U^U«) Fab.(31)(31)

Qa&H~Q&a— (U^U«) Fab.

Qa&H~Q&a— (U^U«) Fab.

(31)

(31)

Выражение (31) свидетельствует о сохранении энергии при соударениях между компонентами а и Ь. В частности, если а=Ь, то

Qaa = 0,(32)

т. е. полная энергия данного сорта частиц при столкновениях между собой сохраняется. Суммируя (28) по веем компонентам а и используя уравнение (31), имеем:

А.J ^ ^ fa = 2 £ ^Qab + uaFa„) = 0.(33)

аа b

Итак, полная энергия всех сортов частиц при столкновениях сохраняется.

77-теорема. Докажем, что единственные, не зависящие от времени функции распределения — максвелловские. Представим плотность энтропии в виде

S=-S [ d*vfa (In faWh(34)

a

где ka — константа, определяемая при квантовомеханическом рассмотрении [22]. Дифференцируя (34) и используя сохранение числа частиц, имеем:

' ds/dt=— 2 f d3v In fadfa/dt.(35)

a "

Используя уравнение (20) для dfjdt и интегрируя по частям, находим:

^= SS^H"Uv,k^(36)

а b

Правую часть (36) можно записать иначе, сделав замену а^Ь, и*—» и\ Сложив эти две формы записи, найдем:

4" = 4- У У саЬ Г d3u f d’u'L (V) Ь (V') X

di 244 J J

a b

X lab (v. V') (Д- — lab (V, V').(37)

Свойство неотрицательности следует из

х(-^ Х = —(1 — cos2a)>0,

\ и л3 / и

где cosa=xu/(|x|^). Для выполнения равенства в уравнении (37), что эквивалентно условию независимости от времени решения уравнения (20), необходимо, чтобы

lab^ V') = — -Д~1П[О-— -^-1П fb = Gab(v, V')(V-V') ma dvть ovr

для некоторой скалярной функции Ge6(v, v'). Взяв ротор в пространстве скоростей, получим:

dvdv

Отсюда следует, что

Gab=Gab<\v — v'|).

Полагая v' = 0, а затем v = 0, нетрудно показать [23], что

— f_5_infe) =-L(-A_inf6)

та \ dv a)v—0 nib dvr )vr=0

-и

Gab ( | V — V | ) =V = const.

Отсюда следует, что

J-^L In fa = H-yv,(38)

ma dv

что после интегрирования дает:

lnfa=ma(aa+₽v+yy72),(39)

т. е. функции распределения должны быть максвелловскими с общей средней скоростью и температурой:

г / ГПа \3/2 Г—u)2 1

=еХР[~ 2Г ]•(40)

1.3. Макроскопические времена релаксации. Когда два различных сорта частиц не находятся в тепловом равновесии друг с другом, то столкновения стремятся изменить -их функции распределения таким образом, чтобы установить равновесие. Оценку времени релаксации получим, если вычислим скорость изменения моментов функций распределения при столкновениях, аппроксимируя эти распределения максвелловскими.

Время передачи импульса при столкновениях. Скорость передачи импульса (24) можно записать в терминах вектора динамического трения

^аЬ=та^ davXa^a^V(41)

Пользуясь определением АаЬ, уравнением (7) и интегрируя по частям, имеем:

Yab=-ZbTjno(\-V^\ ^МДуЛ.(42)

\ mb / Jov

Подставив максвелловское распределение с 'направленной скоростью Пь

Ь (V) = -^Т exp [- (v - иьУМ(43)

те1 и3ь

в определение Нъ [уравнение (10)] и выполнив интегрирование, получим:

М,)=А»(44)

I У Г

где y==i(v—и6)/иь; Ф(х) — интеграл ошибок:

ф W = f dy&~y\(45)

6

Возьмем в качестве fa максвелловскую функцию со средней скоростью ua, запишем ее через переменную у и предположим, что |u6—Ua|<0o,

чтобы разложить до первого порядка по и6—ua. Тогда, используя у как переменную интегрирования в уравнении (42), оценим интеграл, используя стандартные интегральные формулы:

Р "W2a(u6 —ua)(46)

'ab

где время передачи импульса

1 _ 4 nbZ^Ta^VjUsHSbL(471

Qb Зтг*/2 (V+Vb2)3'2'

Здесь Z2a=e<?le2, v2a=2TJma, а Га определяется уравнением (15). Заметим, что так как

тапа/таъ=тьпь/тьа,(48)

то.Fab=—Fba(49)

в соответствии с законом сохранения импульса. Таким образом, Таь по порядку величины соответствует времени, которое необходимо для передачи такой доли импульса от одного сорта частиц другому, которая нужна, чтобы исчезла разность их направленных скоростей. Обратим внимание на то, что уравнение (46) дает только грубую оценку, так как количественные результаты для скорости передачи импульса нельзя в общем случае получить без учета отклонения функций распределения от максвелловских.

Время обмена энергией при столкновениях. Скорость обмена энергией >(28) можно записать, используя вектор динамического трения и тензор диффузии по скоростям:

Qab = та j* dsv [\v — uo) Aab 4- Y TrDob j fa,(50)

где Тг означает след матрицы. Используя определения, т. е. уравнения (7), (8) и (11), имеем:

Qab = ^2 Гата С^У [ (1 + ^) (V - ио) ^ + Ц ta- (51)

Взяв fo и fb снова максвелловскими (но на этот раз с нулевыми направленными скоростями), можно использовать уравнение (44) для потенциала Розенблюта hb и получить в результате интегрирования следующее выражение:

Qab — ЗПа^а ( ТЬТа) /Tab (^ьЧ-^а) ,(52)

где таЪ определяется формулой (47), которая впервые получена Спитцером [24]. Из уравнения (48) следует, что

Qab = —Qba>(53)

т. е. имеет место закон сохранения энергии.

Установление равновесия в простой плазме. В простой плазме, т. е. плазме с одним сортом частиц, можно сравнить скорости, с которыми устанавливается равновесие электронов и ионов в отдельности и Друг с другом. Считая, что а и b в предыдущих формулах относятся к двум различным компонентам функции распределения данного вида, частиц, например электронов, видим, что обмен импульсом и энергией между этими частями происходит с характерным временем таал причем

141/2 naZa4e4n\

^« - 3пг^2

Таким образом, переход ионов к равновесию с функцией распределения, стремящейся к максвелловской, происходит со скоростью ТгГ^Тее-1, с которой у ст ан авл ив а стоя максвелловское распределения электронов, точнее,

(предполагая Те~Т^. Обмен энергией, а следовательно, выравнивание температуры между электронами и ионами происходит значительно медленнее, за время порядка (те1тг)тее"х. Передача импульса и уменьшение разности направленных скоростей ие—пг происходит за время

T-i __L(W!2 ”А2еЧпЛ (56)

(которое имеет тот порядок величины, что и Тее ^, если нет электромагнитной индукции, которая стремится помешать плотности тока изменяться так быстро.

Рассеяние пробной частицы в плазме. Процесс диффузии по скоростям, описываемый уравнением Фоккера — Планка, проще понять, если рассмотреть пробную частицу, т. е. частицу, скорость которой предполагается известной в некоторый начальный 164

момент времени. Функцию распределения для этой пробной частицы нормируем так, чтобы пространственная плотность определялась выражением

$dMt = nt.(57)

Пробная частица образует новый сорт частиц, обозначим его индексом t. Предположим, что функция Д пространственно однородна, поэтому пространственные градиенты и электрические поля в задаче отсутствуют. Тогда уравнение, которое надо решить, имеет вид:

-^ = - — [^- — ^-(0^)1.(58)

dt dv L2 dv Mt,Av ’

Сумма no b в коэффициентах Xt и Dz, заданных (2) и (3), не будет содержать вклада от пробных частиц, в силу предположения, что их плотность nt мала по сравнению с плотностями остальных компонент плазмы. Кроме того, функции распределения остальных компонент будем считать заданными функциями. Поэтому уравнение (58) оказывается линейным по Д.

Пусть скорость частицы при Z=0 задана и равна v0, а ее положение неизвестно:

Д = ^6(у— v0) при /=0.(59)

Можно ожидать, что для достаточно м-алых промежутков времени скорость пробной частицы будет оставаться однозначно определенной:

Д(у, 0=^6[v —u(OJ,(60)

где u(Z)—функция, которую нужно определить, причем u(0)=v^ Подставляя это выражение в (58), умножая на v и интегрируя по скоростям, находим дифференциальное уравнение для ожидаемой величины скорости пробной частицы

du/dt = XtW.(61)

Скорость пробной частицы не остается строго заданной для t^O, а приобретет неопределенность, так как рассеяние из-за кулоновских соударений приводит к случайным отклонениям ее от начального значения. Более подходящее приближенное решение можно получить следующим образом. Пусть

ft (V, 0=»r<(w, 0,(62)

где

’ w = v—u(/)(63)

и u(/) изменяется во времени согласно уравнению (61). Таи как Ft должна по-прежнему иметь резкий максимум вблизи w=i0 в течение небольшого промежутка времени, как и в случае приближе-

165

ния с d-функцией в уравнении (60), то можно заменить v в A,(v) и D,(v) на и(/). Тогда получим уравнение

^L = J-Dt^ (64)dt 2 dwdw

Используя начальное условие /у (w, 0) =d(w), решение можно получить используя Фурье-преобразование по переменной w [10, Ы]. Ойо имеет гауссов вид:

(65)(65)(66)(66)exp — —- wM -1 (0 wFt I'M, /) =Ц™775,

(65)

(65)

(66)

(66)

4’(2к)3/2 [detM(O] /2

где detM— детерминант матрицы М: t

Ж^ = D,(u«о

а М-1— обратная ей матрица. Неопределенность скорости пробной частицы через время t теперь 'можно получить -и-з моментов Ft. Пусть в! — единичный вектор, параллельный начальной скорости v0, а е2, е3— два других взаимно перпендикулярных единичных вектора. Тогда неопределенности в скорости в направлении, перпендикулярном или параллельном начальной скорости, по определению соответственно равны:

<(Av±)2> = J t?u [(ve2)2 + (ve3)2] Ft (v — u, 0;(67)

<(Ad g )2> s J d3x) [(v - u) ej2 Ft (v - u, /).(68)

Их можно найти (для коротких промежутков времени) из уравнений:

A ((Av )2) == e2D,e2 + e3Dze3;(69)

at

A((Au|1)!)=eID/eI.(70)

В 'Специальном случае изотропных функций распределения полевых частиц коэффициенты трения и диффузии имеют вид:

At(v)=— vts(v)v,(71)

где скорость замедления

VM^-r.^Z^l+yA^;(72)

ь

Dt(v) = Dlt(v)(l-^-\ + Dnt(v)^.(73)

Здесь

D^M-^dv^Z^;(74)

b

О^-Г^ь2^-(75)

b есть перпендикулярный и параллельный коэффициенты диффузии соответственно, а'

rt=4nZt2e4nA/md;(76)

§ь(и) и hb^—потенциалы Розенблютг. (9) и (10). В этом случае скорость изменения флуктуации скорости пробной частицы за короткий промежуток времени найдем из (69) и (70):

-А<(дУ1)2)=2£>1(М);(77)

A-^y^,^D\AuY(78)

Скорость 'Изменения ожидаемой величины кинетической энергии пробной частицы связана со скоростью замедления vs и коэффициентами диффузии D^ и DH:

4г (v ™t (и + Д v)2\ = - пги^5‘ + tnДп^, +4 D „ 'J = — vg ^. (79)

Эти величины определяют скорость изменения энергии vE. Эта скорость необязательно положительна: быстрая частица стремится потерять энергию, а. медленная увеличить ее.

Уравнение Фоккера — Планка для пробной частицы можно записать в более простом виде, когда функции распределения толевых частиц изотропны \

Используя формулы (71) и (73), уравнение можно записать в сферических координатах в пространстве скоростей

=+(80)

dt v2и8 от I \2 до )\

причем

,D\. — D\ 1 dD‘„n

F = vs у-I— + (81)

~T 2 dvv 7

и действие оператора L описывается выражением

2Ц ев(1 - Н2) А- + —2— -А(82)

Ор»Ф (1 —р.2) OV

(2L — угловая часть оператора Лапласа); у, -О-, ^ — сферические координаты; p=cos,d'.

Приложения задачи о пробной частице. Максвелловские функции распределения полевых частиц. Для того чтобы вычислить функции v$(y),^j_ (у) и jD|| (у), в конкретном случае мы зададимся видом функций распределения электронов и ионов плазмы по скоростям, считая их максвелловскими:

f» = З/Т 3 ехР [ — SW1 <(83)

где

у6 = ^M)'^.(84)

Тогда можно вычислить потенциалы Розенблюта

Аь (о) = п6Ф (у/у6)/у(85)

и gb (у) = пьиьФ (v/vb),(86)

имеем:имеем:(88)(88)где ф (X) = (х + 1/2х) Ф (х) + л- ‘/’е-^;(87)

имеем:

имеем:

(88)

(88)

Ф (х) — интеграл ошибок (45). Таким образом, из уравнения (72) G х 2Г< V nbZb4 (1 д- mt \ fi( ° ^

ь

а из (74) и (75)

Dit <у) = "^ ^j пьгь2 [Ф — G (^М)];ььгде G^vfvb')—функция Чандрасекара [8, 10, 11];G (х) = [Ф (х) — хФ' (х)]/2х2.Скорость изменения энергии, заданная (79), определяется формулойDit <у) = "^ ^j пьгь2 [Ф — G (^М)];ььгде G^vfvb')—функция Чандрасекара [8, 10, 11];G (х) = [Ф (х) — хФ' (х)]/2х2.Скорость изменения энергии, заданная (79), определяется формулой(89)(89)(90)(90)(91)(91)2Г^^Е =Г" у32Г^^Е =Г" у3(92)(92)

Dit <у) = "^ ^j пьгь2 [Ф — G (^М)];ь

ь

где G^vfvb')—функция Чандрасекара [8, 10, 11];

G (х) = [Ф (х) — хФ' (х)]/2х2.

Скорость изменения энергии, заданная (79), определяется формулой

Dit <у) = "^ ^j пьгь2 [Ф — G (^М)];ь

ь

где G^vfvb')—функция Чандрасекара [8, 10, 11];

G (х) = [Ф (х) — хФ' (х)]/2х2.

Скорость изменения энергии, заданная (79), определяется формулой

(89)

(89)

(90)

(90)

(91)

(91)

2Г^

^Е =Г" у3

2Г^

^Е =Г" у3

(92)

(92)

Когда имеется лишь один тип полевых частиц Ь, скорость замедления, заданная (88), совпадает с £-1s, где t8— время замедления, введенное Спитцером [8]. Можно определить скорость отклонения

(93)(93)vb = (2D±f/y2),

(93)

(93)

которая в этом случае равна t-xD, где tD—спитцеровское время отклонения. Кинетическое уравнение для пробной частицы имеет вид:

Если полевые частицы всех сортов имеют одну и ту же температуру Т, то единственным стационарным решением этого уравнения будет максвелловское с температурой Т. Распределение пробной частицы должно поэтому уширяться в пространстве скоростей, начав с 6-функции, стать изотропным и, разуме-

ется, максвелловским, когда будет достигнуто тепловое равновесие с полевыми частицами.

Сейчас мы приведем результаты конкретных вычислений в различных предельных случаях для простой плазмы, в которой ионы имеют заряд Zv> Предположим, что заряд пробной частицы Zte. Скорость замедления и перпендикулярный и параллельный коэффициенты диффузии задаются приближенными формулами, в которых

(95)(95)Г/ = AnZ^e4 In N!nvt.

(95)

(95)

При у<у<( Уе

v' (у) * (4/Зл1/2) neVt [(1 + mt/me>iv3e + Zz (1 + и^т^Д;(96)

(

1 Z- \

— +(97)

Для очень маленьких скоростей скорость замедления и коэффициенты диффузии не зависят от скорости, поэтому движение пробной частицы аналогично броуновскому движению [10, И].

При у; « у <уе

v' (у) ^Г, [ (4/Зл1/2) (1 + mt/m^ iv3 + Zt (1 + ~ ) / у3] ;(98)

D*l (у) « nevt [^nl^/ve + Zf/yJ;(99)

D' (у) « neVt [(4/Зл*'»)/ув + Zzy2/y3].(Ю0)

В этом диапазоне скоростей столкновения электронов дают тот же результат, что и в случае а, в то время как ионный вклад отличается сильно. Диффузия при столкновениях с ионами происходит в направлении, перпендикулярном скорости пробной частицы, и как скорость замедления, так и коэффициенты диффузии уменьшаются с ростом скорости пробной частицы.

Для уь Уе« у

. V$ (у) * Пе <vtl^ [(1 + mt/me) +Zj (1 + mtlm^y(101)

О^(у)»пе(Г,/у)(1+гг);(102)

(у) « пе (у^ + Z^.(103)

Темп замедления ионной пробной частицы обусловливается в основном столкновениями с электронами, а для электронной пробной частицы вклады от соударений с ионами и электронами сравнимы друг с другом.

Макроскопические времена релаксации, вычисленные в п. 1.3, согласуются с оценками (89) и (92) для частиц с тепловыми скоростями. Однако для скоростей много больше тепловой значения величин, полученных по формулам (101) — (103), много меньше. Отсюда следует, что высокоэнергичные хвосты термализуются намного медленнее, чем тепловая часть функции распределения.

Замедление энергичных ионов. Инжекция нейтральных пучков является методом, который используется в настоящее время в экспериментах по магнитному удержанию ;[25]. Энергичные ионы, которые возникают при ионизации или перезарядке инжектируемых нейтральных частиц, замедляются в результате кулоновских столкновений и передают свою кинетическую энергию плазме [26]. При условии,.что плотность энергичных ионов не слишком велика, их функция распределения удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка для пробных частиц. В предположении, что плазма изотропна, оно приобретет вид Уравнения (80), в которое необходимо добавить также член с источником час-

тиц со скоростью, равной скорости инжектируемых нейтральных частиц. Для плазмы, в которой электроны и ионы имеют максвелловские распределения, Vs определяется согласно (88), а О± и D „ _ уравнениями (89) и (90).

Для этих энергичных ионов наиболее типичный диапазон скоростей vt^ <Си<Сие, и тогда уравнения (98) — (100) можно использовать для нахождения Vs, Sj_ и D у. Так как mt~ т^т^ то скорость замедления

, Г / 4 \^sW^nTt J ^Т/Т j, Г / 4 \^sW^nTt J ^Т/Т jmtтеУ^mtтеУ^(Ю4)(Ю4)

, Г / 4 \

^sW^nTt J ^Т/Т j

, Г / 4 \

^sW^nTt J ^Т/Т j

mtтеУ^

mtтеУ^

(Ю4)

(Ю4)

параллельный коэффициент диффузии

^Н (у)^Н (у)neTfУгneTfУг[з^2[з^2Z^gU^ "узZ^gU^ "уз(Ю5)(Ю5)

^Н (у)

^Н (у)

neTf

Уг

neTf

Уг

[з^2

[з^2

Z^gU^ "уз

Z^gU^ "уз

(Ю5)

(Ю5)

(Юб)(Юб)здесь электронный член доминирует только при (у/у6) >^гПге/т^ V3, перпендикулярный коэффициент диффузии

(Юб)

(Юб)

Dj_ (и) « («еГ^г/у),

здесь существенны только столкновения с ионами. Скорость потери энергии можно приближенно записать в виде

(107)(107)SneTfmtZi 1vE s= —-

(107)

(107)

Е иг; \ vc’

,/З^/2 meZiW

oe = —7— Oe.(108)

\ 4 mt /

Энергия инжектируемых ионов идет главным образом на нагрев электронов, если и>Ус, в противном случае в основном на нагрев ионов.

В (80) параллельной диффузией можно пренебречь по сравнению с перпендикулярной, так как D (| <c£)j_ , поэтому, если включить источник частиц со скоростями инжекции и0, уравнение приобретает вид:

[ 1д Г / у3 \ Н

dhldt=UeTtZl\—4t +—”— +1 Л +sd(y-y0)d(p,-^0),(109

[ У3Щ/У2 ov [ \ Ус / J )

где L определяется уравнением (82); у0 и ц0 — скорость и косинус угла инжекции соответственно. Источник предполагается симметричным относительно оси полярной системы координат. Это уравнение можно решить аналитически [27] и получить динамику изменения функции распределения инжектируемых ионов. Из решений видно, что быстро идет диффузия по углу и уширение по энергиям вследствие замедления ионов с определенной скоростью. Диффузия по энергиям, не включенная в (109), приведет к слабому уширению распределения по энергиям и ускорит малую часть ионов до энергий, больших, чем энергия инжекции.

Убегание электронов. Хотя при выводе уравнения Фоккера—Планка и предполагалось, что электрического поля нет, оно обычно используется и в приложениях, где электрическое поле есть. В дополнение к переносу (ток и поток тепла), вызванному электрическим полем, который рассмотрен в п. 2.3, интересно рассмотреть поведение функции распределения электронов при больших энергиях. Так как предполагается, что доля электронов в энергичном хвосте мала, то применимо уравнение Фоккера—Планка для пробных частиц. Считая, что у>уе»уй и учитывая mt = me, из уравнений (101), (103) получаем-

ПСГР

v^^(2 + Zz);

у3

Dj_ « иеГе (1 4- Z^/u; D „ « 1геГег?е/о\

Запишем теперь уравнение (80), включив в него член с электрическим полемЗапишем теперь уравнение (80), включив в него член с электрическим полем5/ е р /df—•- .С I р» -рdtте \ди5/ е р /df—•- .С I р» -рdtте \ди(1~Р*2)у(1~Р*2)уdf d^df d^Г (1 + Zz)1d (Iу3у2ди \Г (1 + Zz)1d (Iу3у2ди \1 у/ df2 и ди1 у/ df2 и ди(но)(но)где полярная ось системы координат выбрана вдоль электрического поля. Переписывая это уравнение в терминах безразмерной скорости у/уе и безразмерного времени 1/хс> где т-1с=МеГе/у3е, находим, что решения зависят от безразмерного параметра EIED, где полеED = meve/exc (111)где полярная ось системы координат выбрана вдоль электрического поля. Переписывая это уравнение в терминах безразмерной скорости у/уе и безразмерного времени 1/хс> где т-1с=МеГе/у3е, находим, что решения зависят от безразмерного параметра EIED, где полеED = meve/exc (111)называется драйсеровским [28}.Заметим, что столкновительные члены при больших скоростях становятся относительно небольшими. В частности, скорость рассеяния по углу DiJ^2 падает как ш3, а член с электрическим полем как у-1. Поэтому член с электрическим полем становится основным при у^>Уд, где скорость убеганияназывается драйсеровским [28}.Заметим, что столкновительные члены при больших скоростях становятся относительно небольшими. В частности, скорость рассеяния по углу DiJ^2 падает как ш3, а член с электрическим полем как у-1. Поэтому член с электрическим полем становится основным при у^>Уд, где скорость убеганияvR = (E/ED) 1,1 уе.vR = (E/ED) 1,1 уе.(Н2)(Н2)Убегание одиночного пробного электрона описывается уравнением (61), дополненным членом с ускоряющим электрическим полем. Скорость изменения кинетической энергии пробного электрона определяется выражениемd / 1\/ 1\——( — т^?\ = — еЕ-и — vE { — теи2 к(113)Убегание одиночного пробного электрона описывается уравнением (61), дополненным членом с ускоряющим электрическим полем. Скорость изменения кинетической энергии пробного электрона определяется выражениемd / 1\/ 1\——( — т^?\ = — еЕ-и — vE { — теи2 к(113)Так же как и скорость, потери энергии в уравнении (92) можно приближенТак же как и скорость, потери энергии в уравнении (92) можно приближенно записать в видено записать в видемЕ 2пеГе/у3,откуда ясно, что кинетическая энергия при u>x)R возрастает до бесконечности и что при W^>Ur происходит свободное ускорение электрона. Этому вопросу было посвящено много теоретических работ (см. [29] и цитируемую там литературу). Цель этих работ — вычислить скорость убегания уд как функцию отношения Е]Ев, которое определяется следующим образом. Интегрируя уравнение (110) по скоростям до максимальной скорости ит, находим:мЕ 2пеГе/у3,откуда ясно, что кинетическая энергия при u>x)R возрастает до бесконечности и что при W^>Ur происходит свободное ускорение электрона. Этому вопросу было посвящено много теоретических работ (см. [29] и цитируемую там литературу). Цель этих работ — вычислить скорость убегания уд как функцию отношения Е]Ев, которое определяется следующим образом. Интегрируя уравнение (110) по скоростям до максимальной скорости ит, находим:1ут11утJ(И, у) = ^ E^m J l»4*f (l*> ym) = —4r j dW J У2 d»f (У- у).—10—1—1О1ут11утJ(И, у) = ^ E^m J l»4*f (l*> ym) = —4r j dW J У2 d»f (У- у).—10—1—1Огде скорость ит выбирается достаточно большой, чтобы вклад от столкновений был мал. При vm>vR видно, что у я не зависит от ит. Для EfEn^^^ и 7г = 1 Кулсруд и сотр. [30] нашли, чтогде скорость ит выбирается достаточно большой, чтобы вклад от столкновений был мал. При vm>vR видно, что у я не зависит от ит. Для EfEn^^^ и 7г = 1 Кулсруд и сотр. [30] нашли, чтоТд=%=0,35е-3/8Тд=%=0,35е-3/8-[(2/e)1/2 +-[(2/e)1/2 +(И4)(И4)

Запишем теперь уравнение (80), включив в него член с электрическим полем

Запишем теперь уравнение (80), включив в него член с электрическим полем

5/ е р /df

—•- .С I р» -р

dtте \ди

5/ е р /df

—•- .С I р» -р

dtте \ди

(1~Р*2)

у

(1~Р*2)

у

df d^

df d^

Г (1 + Zz)1d (

Iу3у2ди \

Г (1 + Zz)1d (

Iу3у2ди \

1 у/ df

2 и ди

1 у/ df

2 и ди

(но)

(но)

где полярная ось системы координат выбрана вдоль электрического поля. Переписывая это уравнение в терминах безразмерной скорости у/уе и безразмерного времени 1/хс> где т-1с=МеГе/у3е, находим, что решения зависят от безразмерного параметра EIED, где поле

ED = meve/exc (111)

где полярная ось системы координат выбрана вдоль электрического поля. Переписывая это уравнение в терминах безразмерной скорости у/уе и безразмерного времени 1/хс> где т-1с=МеГе/у3е, находим, что решения зависят от безразмерного параметра EIED, где поле

ED = meve/exc (111)

называется драйсеровским [28}.

Заметим, что столкновительные члены при больших скоростях становятся относительно небольшими. В частности, скорость рассеяния по углу DiJ^2 падает как ш3, а член с электрическим полем как у-1. Поэтому член с электрическим полем становится основным при у^>Уд, где скорость убегания

называется драйсеровским [28}.

Заметим, что столкновительные члены при больших скоростях становятся относительно небольшими. В частности, скорость рассеяния по углу DiJ^2 падает как ш3, а член с электрическим полем как у-1. Поэтому член с электрическим полем становится основным при у^>Уд, где скорость убегания

vR = (E/ED) 1,1 уе.

vR = (E/ED) 1,1 уе.

(Н2)

(Н2)

Убегание одиночного пробного электрона описывается уравнением (61), дополненным членом с ускоряющим электрическим полем. Скорость изменения кинетической энергии пробного электрона определяется выражением

d / 1\/ 1\

——( — т^?\ = — еЕ-и — vE { — теи2 к(113)

Убегание одиночного пробного электрона описывается уравнением (61), дополненным членом с ускоряющим электрическим полем. Скорость изменения кинетической энергии пробного электрона определяется выражением

d / 1\/ 1\

——( — т^?\ = — еЕ-и — vE { — теи2 к(113)

Так же как и скорость, потери энергии в уравнении (92) можно приближен

Так же как и скорость, потери энергии в уравнении (92) можно приближен

но записать в виде

но записать в виде

мЕ 2пеГе/у3,

откуда ясно, что кинетическая энергия при u>x)R возрастает до бесконечности и что при W^>Ur происходит свободное ускорение электрона. Этому вопросу было посвящено много теоретических работ (см. [29] и цитируемую там литературу). Цель этих работ — вычислить скорость убегания уд как функцию отношения Е]Ев, которое определяется следующим образом. Интегрируя уравнение (110) по скоростям до максимальной скорости ит, находим:

мЕ 2пеГе/у3,

откуда ясно, что кинетическая энергия при u>x)R возрастает до бесконечности и что при W^>Ur происходит свободное ускорение электрона. Этому вопросу было посвящено много теоретических работ (см. [29] и цитируемую там литературу). Цель этих работ — вычислить скорость убегания уд как функцию отношения Е]Ев, которое определяется следующим образом. Интегрируя уравнение (110) по скоростям до максимальной скорости ит, находим:

1ут11ут

J(И, у) = ^ E^m J l»4*f (l*> ym) = —4r j dW J У2 d»f (У- у).

—10—1—1О

1ут11ут

J(И, у) = ^ E^m J l»4*f (l*> ym) = —4r j dW J У2 d»f (У- у).

—10—1—1О

где скорость ит выбирается достаточно большой, чтобы вклад от столкновений был мал. При vm>vR видно, что у я не зависит от ит. Для EfEn^^^ и 7г = 1 Кулсруд и сотр. [30] нашли, что

где скорость ит выбирается достаточно большой, чтобы вклад от столкновений был мал. При vm>vR видно, что у я не зависит от ит. Для EfEn^^^ и 7г = 1 Кулсруд и сотр. [30] нашли, что

Тд=%=0,35е-3/8

Тд=%=0,35е-3/8

-[(2/e)1/2 +

-[(2/e)1/2 +

(И4)

(И4)

где

е = E/2ED.

То, что уд не обращается в нуль, означает что некоторые поверхностные члены в интеграле по скоростям при интегрировании по частям не обращаются в нуль, если Е^О. Поэтому необходимо пользоваться моментами уравнения Фоккера—Планка осторожно, когда есть электрическое поле, хотя члены, которыми обычно пренебрегают в действительности, экспоненциально малы при малых E!Ed.

Приближенные выражения столкновительных членов в уравнении Фоккера—Планка. Приближение малого отношения масс. Приближенные выражения для столкновительных членов Саъ и СЬа в уравнении Фоккера — Планка, более простые и удобные для приложений, получим, если mafmb<^3. Сначала рассмотрим выражения для СаЬ, записанные в форме уравнения (14). Член, содержащий hb, пренебрежимо мал ввиду малости отношения та1тъ, так что необходимо вычислить только потенциал gb, определенный уравнением (9). Используя

| V — v' I = IV — иь — (v' — u6) I « IV — u6 I,

т. e. приближение, которое верно для скоростей v (частиц сорта а) и V (частиц сорта 6) таких, что

| V — 11ь | ~УО> |v' — Ub| ~Уь,

где иъ •— средняя скорость частиц сорта Ь, находим:

Z_L_(Ц5)

dvdv ° \ w w3 /

Здесь w=v—u6 и поэтому

(Н6)

2 и, dw [\ ^ w3 / dw J

Это выражение описывает изотропное рассеяние частиц сорта а в системе координат, движущейся относительно лабораторной системы со средней скоростью и6 частиц сорта Ь. Следующая поправка к (116) будет порядка та1тъ, обычно ее явный вид не нужен, а второй момент, вычисленный с максвелловскими функциями fa и fb, -можно получить из уравнения (52).

Уравнение (Ы6) можно линеаризовать, считая, что fa и f6 близки к максвелловским распределениям, т. е.

fa = fao + fab(П7)

где

f(118)

ч

и

|fal/fao|<l(Н9)

(и аналогично для f6), т. е. иь предполагается величиной первого порядка малости:

|Иб/Уа|<1-_(120)

Пренебрегая членами, квадратичными по fai, /ы и иь, 'получаем:

CU(fai, fbl) = n-^[~(v2l~vv)^ + ^-vilt>fJt (121)

2у3[ dvovJ

гдегде(122)(122)nbub=$ d^vvtw

где

где

(122)

(122)

представляет собой линейный оператор, действующий на fa\ и fb\. Оценка скорости передачи импульса, полученная при использовании этого линеаризованного оператора, следующая:

Fp^Mv).(123)

^abJ У3

Здесь Tab определяется уравнением (47), если пренебречь членами порядка. та1тъ.

В пределе малого отношения та1тъ СЪа получается аналогично. Взяв в качестве исходного (выражение

СьаУь- ia)--Za2Tb^-(-^^fb--L^^.\(124)

dv \ та dv 2 dvdv dv /

необходимо вычислить приближенные выражения для dhaldv и д2§а]дхдх. Первое получается из определения ha (10) с использованием u = v—V как переменной интегрирования и разложения ^ в ряд Тейлора в предположении, что

v~vb<§;u«v' ~иа.

Таким образом, dha ^ ^ dfa । у 0 ^f д2;а dv ) и du J ы dudu

(125)(125)Аналогично находим:

(125)

(125)

Cdev'fo(v')(-—V(126)

dvdv J\ о' (у')3 /

Линеаризованное выражение для (129) получим, если используем уравнения (147)— (149) и пренебрежем 'Квадратичными членами, как и ранее. В результате имеем:

Cba^ Cba(fbO) fao) +Clba,

где

СьЛШ = ^ I*"тьПь^дЬ \

а Та» определяется формулой (47) и

ri 1 /Р тпппиь

manaть^Ь^аЬmanaть^Ь^аЬTg тьTg ть4по4поd2gax dfbo dvdv dvd2gax dfbo dvdv dv(127)(127)(128)(128)^Ьа =I га6 таПЬ \^ab

mana

ть^Ь^аЬ

mana

ть^Ь^аЬ

Tg ть

Tg ть

4по

4по

d2gax dfbo dvdv dv

d2gax dfbo dvdv dv

(127)

(127)

(128)

(128)

Здесь Fa6 определено уравнением (123), а d2gaJdvdv— (126), если зам'енить f„ на fal.

Линеаризованные операторы соударений в уравнении Фоккера — Планка. В приложениях теории переноса столкновительные члены в уравнении Фоккера — Планка (21) обычно линеаризуют, считая функции распределения близкими к максвелловским, как в уравнениях (117) — (119). Подставляя формулу (117) и аналогичное выражение для fb в уравнение (21) и пренебрегая квадратичными по fai и fti членами, находим:

Cab[fao+fal> fbo+fbl] CablfaO, fbo]+CZab,(130)

где первый член в правой части равен нулю, если обе максвелловские функции имеют одинаковую температуру.

Второй член в правой части уравнения (130) представляет собой линеаризованный оператор столкновений

czab^co6[faijj+ca6[fao,fbJ;(131)

С°6 ~ тадх Г a6 b0 V « ” / Х

X / — ^ _ _L 4k + 21+22 ( ’ _ ' ) Ifot (v)+к (v')l U132) l ma dvmb dv' 2\ Tb Ta JI

Здесь /«1—fai//ao и fbi=fbi/fbo- Первый член в правой части уравнения (132) является дифференциальным оператором, действующим на fai, в то время как второй интегральный оператор действует на /бь Дифференциальный оператор описывает действие столкновений с максвелловской частью функции распределения частиц сорта b и является таким же, как оператор столкновений в уравнении Фоккера — Планка для пробных частиц (94). Интегральный оператор в уравнении (132) описывает действие возмущений функции распределения полевых частиц сорта Ь. В приложениях теории переноса уравнение (132) используется только, когда Ть= = Та. Лишь в случае mJmb-cY можно взять Тъ=#Та, тогда удобно пользоваться приближением малого отношения масс, рассмотренным в п. 1.6. Линеаризованный оператор столкновений обладает свойствами, многие из которых присущи нелинейным столкнови- тельным членам и часто используются в теории переноса (см. п. 1.2).

Так как уравнение (132) по-прежнему имеет тот же вид, что и уравнение (18), то легко получить сохранение числа частиц:

$d3yCiab=0.(133)

Заметим, что подынтегральное выражение в (132) изменяет лишь знак при замене а*» Ь, у** у'.

Сохранение импульса и энергии получим как и раньше:

J d4'mavCab -|- J d8ymbvClba = 0;(134)

^d3u^Clab + ^d3y^-Clba = 0.(135)

Если Та=Ть, то тем же способом, -как доказывается Я-теоре- ма, можно показать, что линеаризованный оператор столкновений равен нулю

5С^ = 0 (136)

ь

в том и только в том случае, когда f»i имеет вид:

Li=ma^aa+pv+y-jfaa (137)

(и аналогично для /ы), т. е. возмущение -функции распределения состоит только из возмущений плотности, импульса и энергии в первом порядке разложения в ряд Тейлора по этим возмущениям.

Интересно, что линеаризованные операторы столкновений Фоккера— Планка обладают еще одним свойством — самосопряженностью. Для оператора столкновений частиц одного сорта друг с другом оно записывается в виде:

I d^ATai = У а^^^, (138) а для оператора столкновений частиц разных сортов между собой это свойство описывается равенством

2 У d8OgalCab Qa» 7bl) ='S У ^^аЬ &i, gb^ (139) a,b a,b

Эти соотношения легко получить, взяв в качестве исходного уравнение (132) с Та=Ть, проинтегрировав его по частям и симметри- зовав по переменным интегрирования и индексам, отмечающим сорта частиц, как это сделано в п. 1.2.

Аналогично можно показать, что каждый из операторов (в отдельности дифференциальный и интегральный) является самосопряженным в следующем смысле:

' У d8ygalCab Vov ^ = У сРуТ^ь (gal) М; (140)

Уd3ygalCab(fb0, fbl) = Уd8yfblCbaQ№ galY (141) Эти соотношения используются в приложениях теории переноса, которые рассмотрены в п. 2.4.

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

Рассмотрим теперь перенос в пространстве, обусловленный диффузией по скоростям, когда в плазме есть пространственные неоднородности, электрические и магнитные поля. Уравнение Фоккера— Планка с учетом соответствующих членов имеет вид:

%- + vvfa +~МЕ + В) -^ = V СаЬ, (142) dt тпа \ с у ov

ь

где Е и В — электрическое и магнитное 'поля соответственно; СаЬ — столкновителыный член. Предположим, что столкновитель- ный член описывается уравнением (14), даже если есть градиен-

ты плазменных параметров и поля. Среди явлений, описываемых (142), есть классические процессы переноса, локализованные в пространстве, т. е. потоки частиц и энергии, вызванные силами, приложенными примерно в тех же областях пространства. Для того чтобы реализовалась такая ситуация, плазма должна быть столкновительной со средней длиной свободного пробега много меньше характерного масштаба неоднородности вдоль магнитного поля. Кроме того, средняя длина свободного пробега и гирорадиус тепловых частиц также должны быть много меньше характерного масштаба неоднородности в направлении, перпендикулярном направлению магнитного поля. Тогда на частицу в заданной точке будут действовать только те силы, которые приложены на расстоянии не более длины свободного пробега или гирорадиуса от нее. При этом считаем, что средний гирорадиус меньше средней длины свободного пробега и что он задает расстояние, на котором локализована частица в направлении, перпендикулярном магнитному полю.

Когда процессы переноса локальны, можно считать, что плазма состоит из множества почти замкнутых подсистем со слабо отличающимися плотностями, средними скоростями и температурами. Столкновения заряженных частиц стремятся ycTaHOBiHTb в каждой подсистеме локальное термодинамическое равновесие с максимумом энтропии подсистемы при условии, что число частиц, импульс и энергия сохраняются. Из-за малых отличий подсистем Друг от друга распределения по скоростям для этих подсистем несколько отличаются от максвелловских. Например, распределение по скоростям в направлении градиента температуры несколько сдвинуто в ту сторону, куда движутся частицы, приходящие из более горячих областей. В результате этого есть слабые потоки частиц, импульса и энергии между подсистемами, которые в первом приближении линейны по термодинамическим силам (градиентам плотности и температуры). В результате потоки энтропии между подсистемами стремятся привести плазму как целое в состояние глобального теплового равновесия. Из-за граничных условий и других внешних ограничений, таких как приложенные электродвижущие силы, плазма в общем случае не может перейти в это равновесное состояние, а остается в неравновесном стационарном состоянии. Заряженные частицы и энергия теряются с той же скоростью, с какой они в ней производятся в этом ста- цион-арном состоянии. Целью теории переноса является вычисление скорости потерь в предположении, что они обусловливаются кулоно в ским и стол иновения ми.

Процедура разложения в общем случае. Предполагаемая малость средней длины свободного пробега и среднего гирорадиуса используется при построении математической процедуры разложения, аналогичной методу Чепмена—Энскога в кинетической теории газов (5). Функции распределения раскладываются в ряд по степеням малого параметра 8, где

е = X ] I у ~ Р/^ j_ ~ Е | Ed,

Здесь % — средняя длина свободного пробега; р — средний гирорадиус; I ц и /j_—характерные размеры неоднородностей вдоль и поперек магнитного поля; Е— электрическое поле, Еп— драйсеровское поле, заданное (111). Таким образом,

fa = fao + fai + fa» + • • • ,(143)

где числовой индекс указывает порядок разложения по е. В уравнении Фоккера—Планка (142) члены с градиентами и электрическим полем считаются величинами первого порядка по е, производная по времени второго порядка по сравнению с членами с магнитным полем и столкновительным. Последние считаем величинами одного порядка. Уравнение нулевого порядка

^^B^-^Co6(fo,,(».)•(144)

ь

Единственными решениями этого уравнения являются максвелловские функции. Покажем это следующим образом. Умножим (144) на lnfao, проинтегрируем по скоростям и просуммируем по а, найдем

2 p2ylnfooCa6 = 0.(145)

а, b -

Отсюда согласно (38) следует, что fao имеет вид:

fae = —^°, ехр(—у2/у=а),(146)

где'

?в = 2Та/та(147)

и Та=Т для всех а. Общая средняя скорость всех сортов частиц выбрана равной нулю. Хотя все температуры должны быть равны в этом случае, будем по-прежнему отмечать их индексом в целях дальнейшего удобства.

Члены первого порядка в уравнении (142) дают:

S

V^ab (fav fbo) Cab (fae’ fbi)l ^a vXИ\ = (v b

+(^-4-)^H„.(1«)

a £ J * a

где &a = eaBlmac — гирочастота; n = B/B— единичный вектор, касательный к магнитному полю; ра = ^аТа— парциальное давление частиц сорта а. Уравнения (148) представляют собой систему линейных интегродифференциальных уравнений для функций fal и основная проблема состоит в их решении.

После того как решение (148) получено, вычислим поток частиц первого порядка

naviQV = J d?uvfau(149)

Поток тепла определяется как поток энергии за вычетом той его части, которая переносится при движении частиц

Г 1

Ча = ] ^Зу-у ^а (у — uaY (v — Ua) fa.(150)

Используя (143) и оставляя в нем первые ненулевые члены (первого порядка по е), получаем поток тепла первого порядка

(151)перпендикулярно скоростям(151)перпендикулярно скоростямЧах = d’-y 1-^-тау2 —-5- 7ojvfal.

(151)

перпендикулярно скоростям

(151)

перпендикулярно скоростям

Можно найти выражения для компоненты потока частиц магнитному полю, умножая (148) на тач и интегрируя по

^J J ^ab (fai> f^o) + Cab (fao> fbi)l “h c uai X ® — ^Pa ^a^a^* (152)

С учетом определения силы трения первого порядка

Гab— ^ d*umaN \Cab (fai> fbo) “h Cab (fao> fbi)l(153)

получаем:получаем:(154)(154)exb\

получаем:

получаем:

(154)

(154)

Па^ак=ПаС +^§F BX V^—2j Fab Ь\ b^a /

Заметим, что сила трения не является известной величиной, так как ее можно вычислить лишь после того, как найдены функции fa\ и /ы из (148).

Аналогичное выражение получим для перпендикулярного потока тепла, / и2 5 \

если умножим (148) на тах —~ ""РГ | и проинтегрируем по скоростям и решим полученное уравнение относительно qaJ_

^1“ 2 еаВ^ BXV^ + еаВ2 ^Ga(,XB,(155)

b

где вектор теплового трения (термосила) определяется уравнением

Р /и25 \

^ab 55 \ ^Зу ( п2 — о ) 11га^ [^ab (fap fbo) + С а^ (fao> fbiYl •(156)

Уравнение (155), как и (154), используется в п. 2.2 для получения выражений для потоков через известные величины. В их настоящем виде эти уравнения можно использовать, чтобы указать физическую природу потоков.

В (154) первый член связан с электрическим дрейфом ведущих центров частиц. Второй член обусловливается диамагнетизмом плазмы, микроскопическая природа которого связана с вращением частиц вокруг их ведущих центров. Третий член — это поток, связанный со столкновительным переносом перпендикулярно магнитному полю. Перенос происходит в направлении, перпендикулярном полной силе трения. Заметим, что так как Fao = 0, то столкновения частиц одного сорта друг с другом не дают вклада в перенос, поэтому член с Ь = а в (154) опущен. Если бы поток частиц был вычислен до третьего порядка по параметру 8, то был бы и вклад от столкновений частиц одного и того же сорта за счет членов типа вязких напряжений [31, 32]. Вычисление этих членов выходит за рамки настоящей статьи.

Для того чтобы получить перпендикулярную плотность тока, уравнение (114) нужно умножить на еа и просуммировать по всем сортам частиц

L = ^ Пае°иа1 = 52-bXvp.(157)

а

где р—^Ра — полное давление. а

Согласно закону сохранения импульса члены с трением сократились (25). Поэтому столкновительный перенос является амбиполярным и не приводит к возникновению полного тока. Члены с электрическим полем также сократились, так как мы предположили, что плазма электрически нейтральна

^П<#а=0.(158)

а

Заметим также, что компонента уравнения (152) вдоль поля имеет вид:

n S Fab = n VPa — naeanE.(159)

6

Просуммируем теперь по всем сортам частиц и используем закон сохранения импульса, уравнение (25), электронейтральность и (158). В результате найдем:

пур=0.(160)

Уравнения (157) и (160) эквивалентны уравнению баланса сил при МГД-рав- новесии

4-jXB = vA(161)

В (155) первый член представляет собой поток тепла, связанный с вращением частиц вокруг своих ведущих центров, а второй — перенос тепла при столкновениях. Заметим, что в поток тепла вносят вклады и столкновения частиц одного и того же сорта друг с другом, и столкновения между частицами разных сортов. Возвращаясь к разложению (142) по степеням е, получаем во втором порядке уравнение

S

dfo2 l^ab (fa2> fbo) + Cab (fan fbi) + Cab (fa0’ Мг)1 — ^avn ^v =

b

dfao _ unc f Ca P ^1-

Интегрируя его по скоростям и используя свойство сохранения числа частиц при столкновениях, находим:

дпа{д1 + v (^auai) — 0,(163)

где яоио1— поток частиц первого порядка, определенный (149). Умножая (162) на maV2/^ и затем интегрируя по скоростям, получаем уравнение энергетического баланса

д / 3\/5\«

дГ\^ТпоТа ) + v (4ai + -<f Vauai ) = nO^aUaiE + V (0аб + иоРаб). (164)

Ь

где qoi— поток тепла первого порядка (151), а Qab— скорость передачи энергии (28). Отметим, что Qab не равно нулю за счет вкладов от fa2 и fb2 в (162). Для того чтобы убрать эти неизвестные вклады, просуммируем уравнение (164) по всем сортам частиц. Используем также равенство температур (146) для всех сортов частиц в их максвелловских распределениях нулевого порядка. Тогда

д / 3\

+vQ = jE,(165)

где п=У1па — полная плотность частиц; Т— общая температура всех сортов частиц; Q — поток энергии, причем

Q=S (Чах + “|-;(166)

а

j — плотность тока:

(167)(167)j — 2 ^aeauai •a

(167)

(167)

Сохранение энергии при столкновениях (33) использовалось для того, чтобы исключить столкновительные члены.

Целью теории переноса является получение выражений для потоков частиц и тепла через градиенты плотностей па и температуры 7, для того чтобы после этого можно было использовать (163) и (165) и найти зависимости плотностей и температуры от времени координат.

Приближение Сильного магнитного поля. Мы рассмотрели перенос в равновесных МГД-системах. В наиболее важных случаях плазма в таких системах сильно замагничена, т. е.

Йатаа»1.(168)

Это соответствует пределу сильного магнитного поля, в котором период вращения частицы 2n/Qa^Toa, а следовательно, средний гирорадиус pa = Ua№a<.

Xa = VaTaa-

Чтобы исследовать этот предельный случай, используем цилиндрические координаты в пространстве скоростей у у , Уц_, 2

v = о и n + Од_ (е, cos £ -ь <$2 sin 9 = о ц n + v±,(169)

где п=В/В— единичный вектор, касательный магнитному полю; еь е2— два других перпендикулярных п и взаимноперпендикулярных единичных вектора. Запишем поправку первого порядка к функции распределения в виде суммы двух членов

fai = fat + fan(170)

(171)(171)где fai — функция, усредненная по углу вращения,

(171)

(171)

fai = ^) 2тс bi-

Усреднение по £ (148) дает:

[Cab kfan fbo)~\~ Саь (fao, fbi)]—У ц[Cab kfan fbo)~\~ Саь (fao, fbi)]—У цpapa

[Cab kfan fbo)~\~ Саь (fao, fbi)]—У ц

[Cab kfan fbo)~\~ Саь (fao, fbi)]—У ц

pa

pa

(172) где V у и E у — параллельные компоненты градиента и электрического поля соответственно. Это уравнение, определяющее перенос параллельно магнитному полю, рассмотрено в п. 2.3.

VPa _ ea £\ ।Pa 7 a JVPa _ ea £\ ।Pa 7 a J(173)(173)Вычитая (172) из (148), получаем:

VPa _ ea £\ ।Pa 7 a J

VPa _ ea £\ ।Pa 7 a J

(173)

(173)

[Cabtfai» fbo) 4“ Саь (fao> fbi)l + ^a ^£ — Vj^ b

2 ) M^’

где Vj_ определяется уравнением (169).

Теперь используем предположение (168) и разложим faX по степеням’

(174)(174)^а^ааУ1-

(174)

(174)

В нулевом порядке столкновительные члены в (173) отсутствуют, поэтому уравнение (173) можно проинтегрироватьВ нулевом порядке столкновительные члены в (173) отсутствуют, поэтому уравнение (173) можно проинтегрировать7<о) УХЛ.Г«' ~ 2а7<о) УХЛ.Г«' ~ 2аГ/ Via5 \ ^Тап "Т ^ I л2 — 97| \ Ра 1 а / \и а ^ ) 1 аГ/ Via5 \ ^Тап "Т ^ I л2 — 97| \ Ра 1 а / \и а ^ ) 1 аfa^(175)fa^(175)Подставляя (175) в (149), находим первые два члена (154), а подставляя в (151), — первый член (155). Для того чтобы получить столкновительные члены в (154) и (155), нужно вычислить силу трения Fa& и вектор термосилы Gad Это можно сделать, аппроксимируя первую поправку к функции распределения выражением (175). Заметим, что этой поправки нулевого порядка по частоте столкновений достаточно, чтобы получить столкновительные потоки первого порядка, если использовать (154) и (155), в которых столкновительные члены входят в выражения для Fa6 и Ga6. Поэтому не( нужно вычислять f^»Подставим уравнение (175) (и аналогичное выражение для ^ы) в (153) и вычислим интегралы. Используя (132) для С1аЬ при Та = Тъ = Т, находим: тапа с Г у^У^д3 (1 — zama/zbmb^ ]ab tab eBnXyzbnb zana’2za ц+та/ть) v p ''Подставляя (175) в (149), находим первые два члена (154), а подставляя в (151), — первый член (155). Для того чтобы получить столкновительные члены в (154) и (155), нужно вычислить силу трения Fa& и вектор термосилы Gad Это можно сделать, аппроксимируя первую поправку к функции распределения выражением (175). Заметим, что этой поправки нулевого порядка по частоте столкновений достаточно, чтобы получить столкновительные потоки первого порядка, если использовать (154) и (155), в которых столкновительные члены входят в выражения для Fa6 и Ga6. Поэтому не( нужно вычислять f^»Подставим уравнение (175) (и аналогичное выражение для ^ы) в (153) и вычислим интегралы. Используя (132) для С1аЬ при Та = Тъ = Т, находим: тапа с Г у^У^д3 (1 — zama/zbmb^ ]ab tab eBnXyzbnb zana’2za ц+та/ть) v p ''Подставив это выражение в (154), получим:Подставив это выражение в (154), получим:««“a^««“a^спатасгеав nXSFa6= егВг 2j ТаьЬч^аспатасгеав nXSFa6= егВг 2j ТаьЬч^а2a ^Pb ^jPa^ ^Ь ^Ь ^а2a ^Pb ^jPa^ ^Ь ^Ь ^а3 a—Zama/Zbinb')2 (l+maM)3 a—Zama/Zbinb')2 (l+maM)(177)(177)Аналогично можно вычислить Оаь (156), тогда из уравнения (155) имеем:Аналогично можно вычислить Оаь (156), тогда из уравнения (155) имеем:qq(1) сТ 41 г патасЧ ГЧ 1 I 3 |Vila_2aVi№A «Iе5 - еаВ " 71- е^В» 71, та\\ 2 \ па zb пь)bb1 +((1) сТ 41 г патасЧ ГЧ 1 I 3 |Vila_2aVi№A «Iе5 - еаВ " 71- е^В» 71, та\\ 2 \ па zb пь)bb1 +(27 mQzQ4 mbzb27 mQzQ4 mbzb(178)(178)

В нулевом порядке столкновительные члены в (173) отсутствуют, поэтому уравнение (173) можно проинтегрировать

В нулевом порядке столкновительные члены в (173) отсутствуют, поэтому уравнение (173) можно проинтегрировать

7<о) УХЛ.

Г«' ~ 2а

7<о) УХЛ.

Г«' ~ 2а

Г/ Via5 \ ^Та

п "Т ^ I л2 — 97

| \ Ра 1 а / \и а ^ ) 1 а

Г/ Via5 \ ^Та

п "Т ^ I л2 — 97

| \ Ра 1 а / \и а ^ ) 1 а

fa^(175)

fa^(175)

Подставляя (175) в (149), находим первые два члена (154), а подставляя в (151), — первый член (155). Для того чтобы получить столкновительные члены в (154) и (155), нужно вычислить силу трения Fa& и вектор термосилы Gad Это можно сделать, аппроксимируя первую поправку к функции распределения выражением (175). Заметим, что этой поправки нулевого порядка по частоте столкновений достаточно, чтобы получить столкновительные потоки первого порядка, если использовать (154) и (155), в которых столкновительные члены входят в выражения для Fa6 и Ga6. Поэтому не( нужно вычислять f^»

Подставим уравнение (175) (и аналогичное выражение для ^ы) в (153) и вычислим интегралы. Используя (132) для С1аЬ при Та = Тъ = Т, находим: тапа с Г у^У^д3 (1 — zama/zbmb^ ]

ab tab eBnXyzbnb zana’2za ц+та/ть) v p ''

Подставляя (175) в (149), находим первые два члена (154), а подставляя в (151), — первый член (155). Для того чтобы получить столкновительные члены в (154) и (155), нужно вычислить силу трения Fa& и вектор термосилы Gad Это можно сделать, аппроксимируя первую поправку к функции распределения выражением (175). Заметим, что этой поправки нулевого порядка по частоте столкновений достаточно, чтобы получить столкновительные потоки первого порядка, если использовать (154) и (155), в которых столкновительные члены входят в выражения для Fa6 и Ga6. Поэтому не( нужно вычислять f^»

Подставим уравнение (175) (и аналогичное выражение для ^ы) в (153) и вычислим интегралы. Используя (132) для С1аЬ при Та = Тъ = Т, находим: тапа с Г у^У^д3 (1 — zama/zbmb^ ]

ab tab eBnXyzbnb zana’2za ц+та/ть) v p ''

Подставив это выражение в (154), получим:

Подставив это выражение в (154), получим:

««“a^

««“a^

спатасг

еав nXSFa6= егВг 2j Таь

Ьч^а

спатасг

еав nXSFa6= егВг 2j Таь

Ьч^а

2a ^Pb ^jPa^ ^Ь ^Ь ^а

2a ^Pb ^jPa^ ^Ь ^Ь ^а

3 a—Zama/Zbinb')

2 (l+maM)

3 a—Zama/Zbinb')

2 (l+maM)

(177)

(177)

Аналогично можно вычислить Оаь (156), тогда из уравнения (155) имеем:

Аналогично можно вычислить Оаь (156), тогда из уравнения (155) имеем:

q

q

(1) сТ 41 г патасЧ ГЧ 1 I 3 |Vila_2aVi№A «Iе5 - еаВ " 71- е^В» 71, та\\ 2 \ па zb пь)

bb1 +(

(1) сТ 41 г патасЧ ГЧ 1 I 3 |Vila_2aVi№A «Iе5 - еаВ " 71- е^В» 71, та\\ 2 \ па zb пь)

bb1 +(

27 mQzQ

4 mbzb

27 mQzQ

4 mbzb

(178)

(178)

Отдельные члены под знаком суммы в (177) и (178) можно интерпретировать как случайные блуждания с шагом, равным среднему гирорадиусу pa = ^a/^a, за время передачи импульса при столкновениях хаъ. За это время средняя

частица за счет диффузии по скоростям изменила бы свой угол примерно на 90°, если бы не было магнитного поля. В сильном магнитном поле диффузия

по скоростям приводит к диффузии = r + vXn/Qa, где г и v — положение образом, коэффициент диффузии,по скоростям приводит к диффузии = r + vXn/Qa, где г и v — положение образом, коэффициент диффузии,ведущего центра в пространстве: rg = и скорость частицы соответственно. Таким который является сомножителем при

по скоростям приводит к диффузии = r + vXn/Qa, где г и v — положение образом, коэффициент диффузии,

по скоростям приводит к диффузии = r + vXn/Qa, где г и v — положение образом, коэффициент диффузии,

/ гапа \„

равен:равен:Vno-"z^"^nb ) в (177>’

равен:

равен:

\у

1 ?2аТа5

УРь Аеьпь ) 1УРь Аеьпь ) 1(179)(179)Именно в такой комбинации в (177) стоят градиенты давлений, так как поток за счет столкновений пропорционален силе трения, которая в свою очередь пропорциональна разности направленных скоростей нулевого порядка двух рассматриваемых сортов частиц:

УРь А

еьпь ) 1

УРь А

еьпь ) 1

(179)

(179)

.„№) _„(0)LRv / ^РаиП и«±-В2 вх ( еапа

В отсутствие градиента температуры диффузия за счет столкновений между частицами двух сортов а и b прекратилась бы, если бы их плотности оказались связаны соотношением nba[nJ3 =const, так как направленные скорости нулевого порядка были бы при этом равны друг другу. Для простой плазмы с 2а=—1 для электронов, если только электронная плотность не постоянна, этого быть не может, так как плазма считается нейтральной. Если а и b относятся к двум сортам ионов, это может произойти, если частицы с большим зарядом (примесь) сконцентрированы к центру сильнее, чем остальные сорта ионов.,

Если указанное соотношение между градиентами не выполняется, то происходит диффузия, которая стремится установить его. В общем случае это означает, что в гипотетической ситуации, когда есть лишь один сорт примеси, частицы примеси будут диффундировать внутрь плазмы.

Наличие градиента температуры в (177)—эффект Нернста — связано с тем, что градиенты температуры приводят к возникновению сил трения вследствие того, что частота столкновений зависит от энергии частиц. Поэтому вклады в процесс передачи импульса от соседних областей с различной температурой отличаются, приводя к суммарному обмену импульсом и как следствие суммарному потоку числа частиц. Например, если градиенты плотности равны нулю, то более легкий из двух сортов частиц будет диффундировать в область более высокой температуры в результате столкновений, если считать, что Ша 2а

<— < 1 .Направление тепловой диффузии изменится на обратное, если ^ъ

эти неравенства не выполняются.

Аналогичное явление — эффект Эттингхаузена связано с наличием градиента давления в (178) для теплового потока. Более быстрые электроны диффундируют медленнее при наличии градиента давления, чем более медленные. Из-за этого поток тепла противоположен потоку числа частиц, когда градиент температуры равен нулю.

Полученные выше результаты для потоков частиц и тепла сформулируем следующим образом. Поток частиц

П^а = ^aUal + паУ^ + паиа || п ’(180)

где

пс^аХ_ ” по^~ ^ X ^ 4” еаВ2 ^ X ^Ра-(1^1)

Скорость и^а^задана (177), a ua ц нужно найти. Первые два члена в (180) имеют первый порядок малости по параметру e=p//j_, связанному с гироради* усом, причем первый из них нулевого порядка по параметру (Йатаа)-1, отношению частоты столкновений к гирочастоте, в то время как второй — первого

порядка по (QaTaa)""1. Поток тепла

Ча = 401 + ^1 +Яа|| п>(182)

где

<183)

a q^a ^определено выражением (178), а дау пока не определено. Параллельные компоненты потоков частиц и тепла

«а«оц = n(navai);(184)

9ag=nqot(185)

можно вычислить, если известно решение (172) для fa\:

naUal = J срио || fan<186)

Г / 15\—

9ац = \ d?y ("^аУ2 — "2~ Та1 и^О1.(187)

Прежде чем продолжить рассмотрение плазмы с различными плотностями и массами нескольких сортов частиц, мы остановимся на плазме, в которой один сорт ионов, а затем рассмотрим плазму с несколькими сортами ионов.

Перенос в простой плазме. Приближение малого отношения масс. Рассмотрим простую плазму, где лишь два сорта частиц— электроны и ионы одного типа. Это позволит сократить число параметров, таких как отношение зарядов, и упростить операторы столкновений между различными сортами частиц с учетом малости отношения масс melmi (см. п. 1.6). Так как общая процедура разложения, описанная в п. 2.1, несколько отличается, то для этого специального случая воспроизведем ее здесь.

В правой части (144) для электронов содержится член Cei, описывающий столкновения электронов с ионами. Если пренебречь поправками порядка те1ть то его можно записать аналогично (116). В правой части (144) для ионов столкновениями электронов с иона.ми, т. е. членом Cie, можно пренебречь. Вывод, сделанный в п. 2.1 о том, что функции распределения нулевого порядка максвелловские с одной и той же направленной скоростью, остается в силе, но здесь мы можем позволить себе взять температуру электронов и ионов различной Те^Т{. Анализ уравнений первого порядка (448) проводится так же, как и в п. 2.1 и п. 2.2, за исключением того, что для Clei используется приближенное выражение (421), а членом Clie пренебрегаем всюду, кроме (172), описываю- щего перенос вдоль поля, который будем обсуждать в п. 2.3. В уравнениях второго порядка (162) для электронов удержим поправки порядка 0(те1т^ к Cei и Cie оставим в уравнении для ионов. В обоих этих членах используются только максвелловские функции нулевого порядка и только уравнения для энергии, которые описываются формулой (52) и дают для ионов

Qie =(Ге - Tz)(188)

и уравнением (31) для электронов

Qei = — Qie+(U, — U„)FP.(189)

Следует рассмотреть (164) для электронов и для ионов, так как теперь нам нужно определить две температуры.

В приближении сильного магнитного поля вычисления такие же, как в п. 2.2; перпендикулярный поток электронов описывается выражением

/3\

Сс

пеие1 =- П X VА+«е "Г" Е X И—, (190)

6Dоте^еге1

где p^Pe-Vpt — полное давление, а перпендикулярный поток .ионов определяется формулой

^il = -^”Xv/,i + "i-rEyn—• (191)

г^еВВmeQe4eiZi

Мы использовали условие нейтральности ne=zttii в обоих этих выражениях. Электронный поток теплоты в перпендикулярном полю направлении

5 сТеf Те [ 3( 13 I ^2 п Т '

Че1 = - — Пе^В °Х V^ + ^^7 [— V±P - (— + —) ^J *]>

(192) а перпендикулярный ионный поток тепла

5 СТ1 \/ 'Гп№х

Ч<± = П X ^Тi•(193)

Электрон-ионное и ион-ионное времена между столкновениями Тег и Та определяются выражениями (56) и (59). Поток тепла, переносимый ионами в результате столкновений, превышает соответствующий электронный поток примерно в (Шг1теу12 раз, хотя диамагнитные члены, пропорциональные nVTe и nVТь одного порядка (если считать, что Те)Тг и Zt порядка единицы).

Заметим, что наличие членов с электронной температурой в (190) и (192) связано с использованием приближенного выражения (121) для электрон-ионного столиновительного члена, которое не содержит в явном виде ионной температуры. При выводе уравнения (193) удерживается лишь член, отвечающий ион-ионным столкновениям, поэтому в нем присутствует только ионная температура. В уравнении (191) при вычислении столкновительного диффузионного члена, использовано сохранение импульса в форме Е^=—Fei и выражение (190) для потока электронов.

Параллельный перенос. Рассмотрим сначала уравнение (172) для электронов

(194)(194)

(194)

(194)

Здесь и в дальнейшем черта сверху — усреднение по углу вра.- щения частицы, будет опущена для простоты обозначений. Так как функция распределения ионов входит в уравнение только посредством параллельной направленной скорости и^ь то ее можно исключить, перейдя в систему координат, где и{ц = О. Это эквивалентно преобразованию

= + (195)

Определив не зависящие от скорости силы A^Vwpe/pe+еЕ \\/Те, A2 = V4 Те/Те,

(196)

(197)

Ceeget-V^eiLgei^OflCeeget-V^eiLgei^Ofl(198)(198)уравнение для ge\ запишем в виде

Ceeget-V^eiLgei^Ofl

Ceeget-V^eiLgei^Ofl

(198)

(198)

гдегдеV<>f (о) =Пе2гГе/Уа;V<>f (о) =Пе2гГе/Уа;(199)(200)(199)(200)

где

где

V<>f (о) =Пе2гГе/Уа;

V<>f (о) =Пе2гГе/Уа;

(199)

(200)

(199)

(200)

г 1^/12\^

L =(1 — р )

2 дрдр

так как функция, определяющая процессы переноса вдоль поля, симметрична относительно вращения вокруг поля. Заметим, что решение для ge\ должно представлять собой линейную комбинацию Д1 и Л2, поскольку такой вид имеет правая часть (198). Параллельная плотность тока

Ли г — пее(ие# — uqi) = — e$d3wngel(201)

и параллельный электронный поток тепла

q „= Te{d^[—-V.g,,(202)

можно вычислить, используя выражение для geX, и они также будут линейными комбинациями Д1 и Д2

/ и de = (пеТe^eilm^ (^^ + Х12Д2);(203)

— Яе\\!Те = ^%Т^dtn^ (^i^i + ^22^2)•(204)

Эти результаты можно выразить в несколько иной форме. Для этого возьмем соответствующие моменты уравнения (194). -Найдем выражения для силы трения и вектора теплопередачи

Fe и = V и ре+пееЕ || =реАх;(205)

6е\\ = --пв^ххТв = ^-рЛ-(206)

Определяем из уравнений (203) и (204) Ai .и А2, получим соответствующую обратную связь между коеффициентам'и переноса

^п =W-cei)\vlljAereArv.ltqe4ITe\;(207)

<М =~ (4* ^У^МеЛ-мЛА’ (208) X 2 те/ /

гдеЦп = А,22/А; pi2 = ^i2/A;(209)

Ц21=^21/А; |Ш22 :=:^11/А(210)

ИД = Х11А(22 А,12^2Ь

Таблица коэффициентов переноса Спитцера—Харма

zi

Хц

М 2(—Х21)

Х22

Ци

Ц1 2

Ц22

1

1,975

1,389

4,174

0,661

0,220

0,313

2

2,320

2,107

6,830

0,599

0,185

0,203

4

2,665

2,910

10,15

0,546

0,157

0,143

16

3,132

4,216

16,31

0,490

0,127

0,094

ОО

3,395

5,093

21,22

0,460

0,110

0,079

Уравнение (194) решалось численно в [33]. В таблице приведены значения коэффициентов Хц и ц^ при ^=1, 2, 4 и 16. Их можно получить также и 'вариационным методом (см. п. 2.4). Коэффициенты Хц и ц,, в лоренцовской плазме, где гг->оо, можно легко найти аналитически, решая (194), если пренебречь членом Cleegev

Равенство коэффициентов Мг и Х21 и соответственно pi2 и Р21 представляет собой пример общего соотношения термодинамики необратимых процессов, одного из соотношений симметрии Онза- гера [34]. Такие связи существуют, когда затухание малых флуктуаций описывается макроскопическими уравнениями, учитывающими соответствующие процессы переноса, и когда тензорная корреляционная функция для этих флуктуаций обладает свойством симметрии в результате обратимости во времени микроскопических уравнений движения. Тогда за счет микроскопической обратимости операторы столкновений оказываются самосопряженными. Это свойство будет использовано при доказательстве соотношений Онзагера в п. 2.3.

Существование ненулевых недиагональных членов %12 и Х21 в соотношениях переноса называется термоэлектрическим эффектом и обусловливается зависимостью частоты столкновений от скорости. Для того чтобы понять природу этого эффекта, перепишем соотношения переноса в форме обобщенного закона Ома:

Е» + — = 4^-—(211)

М° и.е 11

и обобщенного закона Фурье

^\ = - ^^ Iе - 1^ - ^ AD]V/e- (212)

где электропроводность описывается выражением

о || =ХпПее2Тег/те,(213)

а термоэлектрический коэффициент

а=Х12/А,ц.(214)

Последний член в (211) описывает явление, аналогичное эффекту Сибека в металлах, который лежит в основе термо-э.д.с. в термопарах. Даже в отсутствие тока, когда градиент температуры не 186

равен нулю, существует суммарная аила трения, так как электроды, движущиеся в одном направлении, имеют большие энергии и соответственно меньшие частоты соударений, чем движущиеся в противоположном направлении. Первый член в уравнении (212) описывает явление, аналогичное эффекту Пелтье в металлах. Даже в отсутствие градиента температуры при наличии электрического тока будут существовать потоки тепла из-за асимметрии функции распределения по скоростям, которая возникает в результате зависимости частоты столкновений от скорости.

Теплопроводность

ТСце2^ (^22 А^г/А/п) (РеТег/file)(215)

положительна. Это следует из свойства отрицательной определенности операторов столкновений и соответствует положительной определенности производства энтропии, что будет показано вп.2.3. Параллельная электронная теплопроводность превышает соответствующую, перпендикулярную (178), примерно в (Йетег)2 раз.

Вернемся теперь к (172) для ионов. Линеаризованный элек- трон-ионный столкновительный член следует удержать, но в упрощенном виде, учитывая только первый член, пропорциональный Fei. Связано это с тем, что добавки к функциям распределения и направленным скоростям для процессов переноса вдоль поля удовлетворяют соотношению

/а1//а0 ^а ||/^а^а/^ || ,(216)

где Xa=UaTaa одного порядка как для электронов, так и для ионов. Ион-электронным членом можно пренебречь для процессов переноса перпендикулярно полю, так как

fei/feO ~ РеДд. ^Pi/^X*

Здесь ре и р—средние гирорадиусы электронов и ионов. Используя (152), видим, что члены с силой трения, так же как и с ионным градиентом давления и электрическим полем, сокращаются, в результате уравнение для fn приобретает вид:

си,=«,

Это уравнение решено в [35] с использованием метода моментов. Раскладывая функцию распределения по полиномам Сонина, подставляя это разложение в уравнение и умножая его на полиномы Сонина, после интегрирования получаем достаточное число уравнений для моментов, чтобы определить (коэффициенты в функции распределения. Результат Брагинского для параллельного ионного потока тепла 'имеет вид:

Яг || =—3,91 ^ПгТгТгг/т^ V [| Тг-(218)

Параллельная теплопроводность ионов меньше электронной примерно в {те1ШгУ1г раз.

Заметим, что решение, полученное для fn, не является единственным, можно получить другое решение, если добавить член (2Уц/^2) Ди^о, соответствующий изменению направленной параллельной скорости на А^ц. То, что -ионная направленная скорость и^ не определена, не является результатом использования приближения малого отношения масс, а связано с более общим результатом. Направленная скорость центра масс, в общем случае, не определяется из каких-либо физических соображений, расам отменных здесь, так как они не приводят к возникновению суммарной параллельной силы, действующей на (нейтральную) плаз-му как целое. Проводя разложение по степеням 8 до более высокого порядка, можно получить уравнение, описывающее ускорение центра масс, учитывающее эффекты вязкости. Это слабые эффекты с учетом предположения, сделанного в этой статье, что скорости сами по себе малы и что рассматриваются процессы переноса в равновесных МГД-системах. Так как эти малые эффекты усложняются эффектами теплопроводности более высокого порядка,-мы не будем их рассматривать в этой статье. Кажется всерьез в литературе эти вопросы не рассматривались.

Соотношения Онзагера и вариационный принцип. Соотношения симметрии Онзагера, упомянутые в п. 2.3, являются следствием самосопряженности линеаризованных операторов столкновений, установленной в п. 1.6. Для простой плазмы коэффициенты 1^ возникающие в (203) и (204), удовлетворяют соотношению симметрии Xi2=X2i, которое является следствием вариационных выражений для Хц. ’

Решение (198) можно выразить в виде линейной комбинации переменных Л1 и А^

gei = hxAx-Vh^A 2,(219)

где Ах и Л2 заданы уравнениями (196) и (197). Функции Нх и /г2 должны быть решениями уравнений

Oeeh\A-'^eiLhx = X) \\1е^\(220)

CUs + v.M-V^-vK<221>

Эти уравнения представляют собой уравнения Эйлера для следующих задач вариационного исчисления

Ц5п-2Р^=0, /=1, 2,(222)

где функционалы Sy и Ру определяются выражениями:

St) = J М + velLhj) ;(223)

Pu=Sd?v'htdj;(224)

^1 = У ||/е0*,(225)

Символ б здесь означает первую вариацию, т. е. разность значений функционала для й+6й и h в пренебрежении квадратичными по д/г членами. Экстремальные значения, в данном случае максимальные, варьируемых величин piaiB-ны:

8й-2Р5з = -Р5Ь(227)

как следует из (220) и (221).

Эти вариационные принципы можно использовать для получения приближенных решений уравнений (220) и (221), пользуясь пробными функциями, линейно зависящими от параметров. Эти параметры затем определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений [36]. Например, простую пробную функцию

hi = v^ (av+bv2)fe0l

содержащую лишь два параметра, можно использовать для вычисления коэффициента Mi, при этом он отличается менее чем на один процент от значения, найденного Спитцером и Хармом, при 2г-='1. Высокая точность полученных таким образом результатов связана с тем, что неопределенность в значении функционала пропорциональна погрешности пробной функции. Заметим, что прямое вычисление (коэффициента переноса из определения потока [см. (201)] не дает такой точности, даже если использовать найденную вариационным методом пробную функцию.

Получив решения (220) и (221), видим, что следующее выражение также представляет собой вариационный принцип:

6(S12-Pi2-P2i)=0,(228)

где S12, Р\2 и P2i по-прежнему заданы (223) и (224). Когда варьируется Ну при фиксированном /г2, получаем уравнение Эйлера в виде (221), варьируя же h2 при фиксированном hb находим (220). Используя выражение для h2) получаем экстремальное значение функционала

S12 Р12 ^21 =^21-(229)

Кроме того, заметим, что Si2=S2i из самосопряженности С1ее, установленной в п. 1.6, и оператора L, заданного уравнением (200), что легко показать. Используя выражение для h^ видим, что экстремальное значение дается выражением»

S12 — Pit — P2i = S2i - Р12 — P2i = —Р12,(230)

откуда

Р2Х = Р12.(231)

Связь между Р^ и Х^ находим, подставляя (219) в (201) и (202) и сравнивая их с (203) и (204):

Pij= ^еТе^ег/^е)^!^(232)

в результате чего

,к\2 = ,к2\.(233)

189

Эти вариационные принципы непосредственно связаны с уравнением (37), определяющим скорость возрастания энтропии. Оставляя только линейные по параметру разложения 8 члены в (37) и пользуясь малостью отношения масс в члене, описывающем элек- трон-ионные столкновения [см. (121)], находим, что скорость изменения энтропии, связанная с поправкой к функции распределения электронов, имеет вид:

5е = — I (Pugel [ CLgel + Vei^l , (234) где gei определяется (195); эта скорость больше или равна нулю

toO,(235)

Причем знак равенства будет иметь место при ^1 = 0. Подставляя выражение (219) для йд, получаем:

Se=— SS^HHj^O, (236)

где Si3 определяется (2'23). Так как экстремальные значения Si3 даются формулой Si3=Pi3, то, используя еще уравнение (223), имеем:

Se= (реТег/те)5ДЛМ^0. (237)

Гаким образом, «матрица коэффициентов переноса положительно определена и симметрична, и, следовательно, диагональные члены и определитель больше нуля:

Хц>0, А-2 2^0, Х11Х22— %i2>0. (238)

Перенос в плазме с несколькими сортами ионов. Рассмотрим теперь перенос в плазме, содержащей произвольное число сортов ионов плюс электроны, которые могут обусловить наличие ионов в плазме. Примеси в плазме могут обусловить наличие нескольких сортов ионов, как и в реакторе. Отношения масс каждой пары сортов ионов будут новыми параметрами задачи. Эти параметры могут принимать любые значения. Предположим, что все сорта ионов имеют одну и ту же температуру Та = Т, а электронная температура Ыожет быть отлична от нее Те^Т. Общие формулы для процессов переноса поперек поля в сильном магнитном поле приведены в п. 2.2. Поэтому надо рассмотреть только перенос вдоль поля.

Электронный перенос вдоль поля. Задачу о процессах переноса для электронов можно свести к той же задаче в простой плазме. Используя уравнение (121), в котором

с

Vet = (Зл‘/г/4) г”1 (Oe/v)3.

(240)

а

4 пеТегеП

(241)

и

zeff = S neZc J 2 исгс >

(242)

получаем:получаем:C^eefe! 4“ V<J MeiЗдесьЗаметим, чтоC^eefe! 4“ V<J MeiЗдесьЗаметим, что2U|,Meff ]e\ / v2SXVn^l^o'-^hLk p„ TTeII/ \D2e2 / Te J 'e"-(243)«ef f = 5 nc£uc. / 2 пД.(244)C ' u I 02U|,Meff ]e\ / v2SXVn^l^o'-^hLk p„ TTeII/ \D2e2 / Te J 'e"-(243)«ef f = 5 nc£uc. / 2 пД.(244)C ' u I 02 nczc = ne(245)c2 nczc = ne(245)cиз условия нейтральности. Сделав подстановкуиз условия нейтральности. Сделав подстановку2d п aefffei" Т>2 feo "V" gevv е2d п aefffei" Т>2 feo "V" gevv е(246)(246)получим (198) для ^ei, где vei теперь определяется уравнением (240). Таким образом, плотность тока электроновполучим (198) для ^ei, где vei теперь определяется уравнением (240). Таким образом, плотность тока электронови электронный поток теплаи электронный поток тепла

получаем:

получаем:

C^eefe! 4“ V<J Mei

Здесь

Заметим, что

C^eefe! 4“ V<J Mei

Здесь

Заметим, что

2U|,Meff ]e\ / v2SXVn^l

^o'-^hLk p„ TTeII/ \D2e2 / Te J 'e"-

(243)

«ef f = 5 nc£uc. / 2 пД.(244)

C ' u I 0

2U|,Meff ]e\ / v2SXVn^l

^o'-^hLk p„ TTeII/ \D2e2 / Te J 'e"-

(243)

«ef f = 5 nc£uc. / 2 пД.(244)

C ' u I 0

2 nczc = ne(245)

c

2 nczc = ne(245)

c

из условия нейтральности. Сделав подстановку

из условия нейтральности. Сделав подстановку

2d п aeff

fei" Т>2 feo "V" gevv е

2d п aeff

fei" Т>2 feo "V" gevv е

(246)

(246)

получим (198) для ^ei, где vei теперь определяется уравнением (240). Таким образом, плотность тока электронов

получим (198) для ^ei, где vei теперь определяется уравнением (240). Таким образом, плотность тока электронов

и электронный поток тепла

и электронный поток тепла

даются уравнениями переноса (203) и (204), в которых тег определяется (241). Заметим, что полная сила трения из (194) дается выражением

f( 2и и ^ef! А С

^ II = j d3vmev и »ei [Mei + —^— feo) * J d3umcu H NeiLgex.(247)

Она выражается через плотность тока электронов и электронный поток тепла, если обратить уравнения связи потоков с силами, уравнение (207), в котором Тег определяется уравнением (241). Отметим, что /ец не является полной плотностью тока

j и =—е| <Pdd ц /е1 + е 2 «сгс«с 0.(248)

Ионный вклад при этом

h II = ^ II — ^ || ~е 5 nczc (ис || ueff),(249)

где uett определяется уравнением (244).

Ионный перенос вдоль поля. Задачу q процессах переноса для ионов можно также рассмотреть в общем случае. Кинетическое уравнение первого порядка для ионов сорта а имеет вид:

S

V^ac Vav fc.) + Сае Уае, Л,,)] + С1ав = D ц [(Zl^—^ £ ) + " Ра Т II/

„ 5 \ [У|/ 1 .

v2a 2 / Т J Га»‘

Используя те же приближения, что в п. 3.3, электрон-ионные столкнови- тельные члены приближенно выразим формулой

CL ~ "(^еаЦ /М yjao = (^ ц /Ра) U\\fao*(251)

Члены с электрическим полем и градиентом давления из (152) запишем в виде

V^Pa/Pa еаЕ^,Т = ^ 2 ^ ц + Рае^Ро-^^

Подставив это выражение в (250), увидим, что члены, пропорциональные Fae у , сокращаются и уравнение принимает вид:

У \Рас (fav fCo) + Сас уао> fci)j = и ц I-4г-1 faQt (253)

1 Ра х и a / у J с

где

Еа=УРаср(254)

/ и25 \

Умножая уравнение (253) на mav у [ — ——] и интегрируя по скоростям, \2 /

находим, что теплопередача для частиц сорта а

/ и25 \5

^а — j cFvmaV |[ I у2а” v )1^66 (fai> fco) ^ас Uao> /ci)] = 2 ^°^ II *

C(255)

Будем считать Fa и Ga заданными, выразим через них иа^ и qa g • Приближенное решение уравнения (253) (в действительности по одному уравнению для каждого сорта ионов) можно найти, используя вариационный принцип

6(S —2р) =0.

Здесь

S=SJ М, [СоЬ w + Cab (fao. fbM;(256)

a,b

P= У Г (Fu " и и I Fa + 5 f 2 — 2 ^«1 •(2^^)

a

Разложим функции распределения по полиномам Сонина [4]

Га1=^гЕ“^3/2)(^)’(258>

где

Д</2Чх) = 1; L^W=^-х; ф2’(х)=^|—4-х + 4-х2 (259)

и т. д. Точное решение найдем в пределе при Nr-y-oo, но, как увидим ниже, достаточная степень точности получается уже при ^=2. Заметим, что коэффициенты с ^=0 и 1 пропорциональны направленной скорости и тепловому потоку:

Взяв в качестве пробной функции (258), получим:

Р— Т ^[“011^ + 5 ра °а/(261>

а

Используя ортогональность полиномов Сонина и

= Зт?^ ^ Па^аЬ Jj Uak ^abaaj + ^ababj) >^62)

a, bb, J

где

пьхгьТа 4тьхгаг2ье^ In Л

^ab — оз ~^2пз,(263)

v ama

M^ и N^—безразмерные матричные элементы дифференциальных и интегральных операторов столкновений соответственно:

/ и2 \\£/3/2)М-^«); <264) 7 \и а / // и2 \\£/3/2)М-^«); <264) 7 \и а / /.Зл1/2па^аЬ^^ь= 4.Зл1/2па^аЬ^^ь= 4£(3/2)£(3/2)• (265)• (265)

/ и2 \\

£/3/2)М-^«); <264) 7 \и а / /

/ и2 \\

£/3/2)М-^«); <264) 7 \и а / /

.Зл1/2

па^аЬ^^ь= 4

.Зл1/2

па^аЬ^^ь= 4

£(3/2)

£(3/2)

• (265)

• (265)

мЧ = м]Ч ab ab*мЧ = м]Ч ab ab*naNab^ai — nbNba^i)a>naNab^ai — nbNba^i)a>Шк ba*Шк ba*(l + mg/mb)00.(l+»Wa)3/2"Ьа>(l + mg/mb)00.(l+»Wa)3/2"Ьа>,01 _ Ь+та/пгь> _01.062 (1 + »Ж)5/2 " bo’,01 _ Ь+та/пгь> _01.062 (1 + »Ж)5/2 " bo’^0)^0)

мЧ = м]Ч ab ab*

мЧ = м]Ч ab ab*

naNab^ai — nbNba^i)a>

naNab^ai — nbNba^i)a>

Шк ba*

Шк ba*

(l + mg/mb)00.

(l+»Wa)3/2"Ьа>

(l + mg/mb)00.

(l+»Wa)3/2"Ьа>

,01 _ Ь+та/пгь> _01.

062 (1 + »Ж)5/2 " bo’

,01 _ Ь+та/пгь> _01.

062 (1 + »Ж)5/2 " bo’

^0)

^0)

Так как и дифференциальный и интегральный операторы каждый в отдельности являются самосопряженными в том смысле, как это понимается в уравнениях (140) и (141) при Та = Ть, то эти матричные элементы обладают свойствами симметрии

(266)

(267)

(268)

Используя уравнение (25) и закон сохранения импульса, при /ы = 0 находим следующие дополнительные соотношения между матричными элементами:

(269)(269)< + С = о.

(269)

(269)

Явные выражения для этих матричных элементов при к, /^2 имеют следующий вид [37]:

м02 _ 15 О + та!ть) _02-068 (1 + f2&/n2a)7/2Ь°’

[15 ,13 1

|^— (пй/иа)4 + 4 kPbiVaY + — J

[6369

(271)(271)[— Ы«аУ + 6 (Vb/uay + Jg-

(271)

(271)

»=[1 + (v^/v^)]7/2

<= -

Г433

(175/8) (Уб/Уо)Ч28 (Уб/Уа)6+(459/8) (Уь/иа)4+17 (Уб/Уо)г + §Г

П+W^)?72

! 1 _ 27 7-а ^аУ*

аь 4 Ть [Ц-(Уг,/оа)2]5/2

12^25 ^д(^b/^g)5

; Z“6=16 Ть [1 + (У=Ь/У=а)]

(272) 7/2" J (273)=

(274)-(274)-v22 2625 Та(Рб/Уд)''

(274)-

(274)-

^^ 64 Ть [1 + (У=6/Уа2)]9/2 '

Заметим, что, используя эти матричные элементы в приложениях данной теории переноса, следует считать Та=Ть, поэтому v2bfu2a = maIWb. Действительно, лишь при Та — Ть соотношения симметрии (206) и (268) не будут противоречить остальным выражениям с к, j^2. Отметим, что М^ и N^ не зависят от па, Пь, za и Хь, они зависят только от отношения масс Ша1пгь и отношения: тепловых скоростей vblva.

Найдем минимум функционала S—2Р по отношению к вариационным параметрам Пак, используя СВОЙСТВО

^(S-2P) = 0,(275)

что дает:

N

^ 5 п^ь 2 ^U“«i + N^Ubj) = ^ (FadAo - Gad61).(276)

bj-Q

Эти линейные уравнения для коэффициентов иак совпадают с уравнениями, которые получаются, если использовать метод моментов [37}. Упрощая (262) с помощью уравнения (276), находим S—P (тождественно), так что вариационное выражение принимает вид S—2Р=—Р при любом числе членов (2V+1) в пробной функции.

Теперь, считая заданными параметры иа ц , qa ц, выразим через них силу- трения Fa и теплопередачу Ga. Для этого из системы (276) выразим иак с ^^2 через иао и иаХ. После этого, подставив эти выражения в (276) с ^ = 0 и 1, получим соотношения вида

f — V ^ labu 4-— iab ;(277>

“||б + 5 z12 pb J ’л

— 5ij ( ^1“ l| 6 + 5 ^22 рь\(278)

Подставив (277) и (278) в (261) и приняв во внимание, что S—2Р=—Р, уви* дим, что значения 1^ полученные в результате решения системы линейных уравнений (276) описанным выше способом, являются решениями вариациоя* ной задачи. Поэтому можно ожидать высокой точности при небольшом числе членов в пробных функциях. Если взять N=2 в (258), т. е. три члена в пробных функциях, то необходимо решить (276) лишь при к=2

2

^2^3 ^Uaj + N^bj^O.(279)

b j—o

Эти уравнения, по одному для каждого сорта частиц а, необходимо решить относительно иаг, число которых совпадает с числом уравнений. Решение можно найти методом, предложенным в [38].

Суммирование по сортам ионов b можно представить в виде суммы по различным изотопам (т. е. различным массам ионов) и суммы по различным ионизационным состояниям (т. е. зарядам г^е) данного изотопа 5=22. Та- 6 тЪ1Ь ким образом, индекс сорта частиц b эквивалентен паре индексов (mbl ib). Просуммировав уравнение (279) по индексу ионизационных состояний 1а, по всем состояниям, относящимся к частицам с заданной массой та, и разделив на ^паг2а, получим:

2

= 0.= 0.(280)(280)(281)(281)uaj + 2

= 0.

= 0.

(280)

(280)

(281)

(281)

т.

Мы определили средние величины

^ак — (2 ^а^а^ак\ 1а

которые зависят только от индексов та, к, и использовали то, что Мд и N^, зависят только от массовых индексов та, ть. Далее, определив

п^ЛМ^ *аЬ +п^ЛМ^ *аЬ +Nkiab’Nkiab’(282)(282)

п^ЛМ^ *аЬ +

п^ЛМ^ *аЬ +

Nki

ab’

Nki

ab’

(282)

(282)

L с \ с запишем уравнение (280) в виде

ibabj*ibabj*(283)

ibabj*

ibabj*

тьть/=0 ть

ть

ть

Тогда решение можно выразить через обратную kL22 матрицу:

^02 — — 2 2 S ^L^adLdi)Ubp(284)

/=0 md ть

Так как обычно нас интересует лишь небольшое число различных изотопов, то можно считать, что размерность матриц L20, L2X и L22 мала.

Число возможных ионизационных состояний в общем случае для каждого изотопа много больше числа самих изотопов. Однако неизвестные ио2 можно довольно просто выразить через средние ыа2. Разделим (279) на naz2a и вычтем (280), увидим, что члены, содержащие N^, сократились, в результате .имеем:

/=° [^ \ 1ьРешая относительно иа^ находим:/=° [^ \ 1ьРешая относительно иа^ находим:22 2f2^^2^^^^ ^Uai uaj) = ^*22 2f2^^2^^^^ ^Uai uaj) = ^*гдегдеиаъ — ыа2 2 ^а №aj ^aj^/^a >-/=0т, \Jb \ b /иаъ — ыа2 2 ^а №aj ^aj^/^a >-/=0т, \Jb \ b /(285)(286)(287)(285)(286)(287)

/=° [^ \ 1ь

Решая относительно иа^ находим:

/=° [^ \ 1ь

Решая относительно иа^ находим:

2

2 2f2^^2^^^^ ^Uai uaj) = ^*

2

2 2f2^^2^^^^ ^Uai uaj) = ^*

где

где

иаъ — ыа2 2 ^а №aj ^aj^/^a >

-/=0

т, \J

b \ b /

иаъ — ыа2 2 ^а №aj ^aj^/^a >

-/=0

т, \J

b \ b /

(285)

(286)

(287)

(285)

(286)

(287)

Таким образом, используя уравнения (284) и (286), получаем выражения для иО2 с помощью иа<) и маь Подстановка в (276) с 6=0 и 1 дает в результате обращенные отношения переноса типа уравнений (277) и (278). Представим их в виде

4 топаТа4 топаТаЗл1'2Зл1'2У2аУ2а^?об(“а6 — Иа^ +£=0 -^?об(“а6 — Иа^ +£=0 -(288)(288)Ga =Ga =4З^24З^2тапаТаУ2атапаТаУ2а6=06=0тьтьР*°16 (^аб ^а^) “В 1^16^66Р*°16 (^аб ^а^) “В 1^16^66тьть(289)(289)

4 топаТа

4 топаТа

Зл1'2

Зл1'2

У2а

У2а

^?об(“а6 — Иа^ +

£=0 -

^?об(“а6 — Иа^ +

£=0 -

(288)

(288)

Ga =

Ga =

4

З^2

4

З^2

тапаТа

У2а

тапаТа

У2а

6=0

6=0

ть

ть

Р*°16 (^аб ^а^) “В 1^16^66

Р*°16 (^аб ^а^) “В 1^16^66

ть

ть

(289)

(289)

где использованы формулы (284) и (286),

^/6 = < -(290)

^/6= ^”22^ ^?М-(291>

с а Здесь иао = иа\\1иа-*' и<н — ( 2/5) (^а у/иора)(292)

■'и средние значения велиичн, отмеченных чертой сверху, определяются (281). Эти соотношения для любой конкретной задачи лучше всего вычислять на ЭВМ. Так как нужно найти функцию и небольшое число линейных уравнений,, то вычисления не требуют больших затрат времени. Обращение (288) и (289) для определения средних скоростей и тепловых потоков как функций сил трения и вектороа теплопередачи или применение (252) и (255) как функций градиентов давления и температуры, т. е. соотношений переноса, можно выполнить на компьютере. В некоторых приложениях нужны обращенные соотношения переноса типа уравнений (288) и (289). Например, при решении задачи Пфирша—Шлютера о переносе в тороидальных системах [39, 37} параллельные потоки иа у , q а || в силу геометрических и временных связей являются функциями радиальных градиентов, а радиальные потоки частиц и тепла определяются параллельной силой трения и теплопередачей. Таким образом,. (288) и (289) дают непосредственно радиальные соотношения переноса в этом; случае.

Уравнения для моментов. Чтобы подвести итоги в теории переноса, приведем уравнения для моментов в плазме с несколькими сортами ионов. В дальнейшем индексы а и b будем относить, к сортам ионов, электронные величины будем обозначать индек* сом е. Сохранение числа частиц описывается выражения миг

dne/dt+V (М1е) = 0;(293)

dria/dt+V (Malla) = Пе^&аьПЬ)(294)

где учтены источники ионов, связанные с ионизацией и рекомбинацией, коэффициенты sab описывают скорости этих реакций. Обсуждение этих коэффициентов выходит за рамки этой статьи^ поэтому все остальные атомные эффекты такого типа, как, например, потеря энергии электроном при ионизации опущены. Урав* 196

некие изменения энергии ионов после суммирования по всем их сортам принимает вид:

1? (тпТ)+v ■Q=2 ^^-е+S№ае+da iFJ ’(295)

aa

где 11=^»—-полная плотность ионов; Т — их общая температу- а

ра, а

Q^^a. + ^VX.)(296)

а

есть полный поток энергии ионов. Полную окорость передачи энергии от ионов к электронам представим в виде

Qie = £ Qae= ^^в - Г),(297)

где Тег и Zeff заданы (241) и (242) соответственно. Оставшиеся члены в правой части можно преобразовать, используя соотношение

uoi (Fae+SFab) =uai V^ Ра — naedEV(298)

о

которое является следствием того, что ual удовлетворяет уравнению

^Ра + паеа (е + ^L х в) + Fae + J Fab = 0.(299)

Члены, пропорциональные электрическому полю, сокращаются, в результате остается уравнение

Чг ("Г пТ) + vQ = Qie + 5 u- ^Ра - 2 F^) •(30°)

аb

Члены в правой части уравнения, описывающего изменение энергии электронов, связанные со столкновениями с ионами, равны соответствующим членам в уравнении, описывающем изменение энергии ионов, с обратным знаком. Поэтому уравнение, описывающее изменение энергии электронов, имеет вид:

А- (А пвТ^ + v • Qe = jE - Qie - ^ uol ^Pa - 2 pa») > (301) ab

где

Qe = 4el4“ (5/2) HeTeUei.(302)

Здесь добавлены члены, пропорциональные электрическому полю, чтобы учесть скорость джоулева нагрева.

Потоки, возникающие в этих уравнениях, являются суммой перпендикулярного и параллельного потоков по отношению к магнитному ПОЛЮ

n«ua=nauaj_+паиад п;(303)

9а = ^аХ +П^а || ,(304)

где и — единичный вектор, касательный к силовым линиям магнитного поля.

Перпендикулярные ионные потоки описываются выражением'

”«« = Па "^ Е X В + -^в X Wa + (305) + («вЧа±)г + naUaL\,

где naua± определяется (177), в мотором опущен электродный член. Электронный вклад в результате столкновений находим из (176) как функцию 1перпендакуля'р1ной -аилы трения между электронами и ионами:

^а^а1)е —«2 В X Fae “

пе Г V I Ра V \Ре .3*1

= у и О 2-— -Л1™ + -9- V /е •(306)

2ате^а "еа L *апа пе zj

Перпендикулярный 'поток чме л а электронов

neue± = «e-^-EXB--^rBX

\ LlZL + _»— 2-v Т .(307)

Перпендикулярный ионный поток теплоты

VL = v^BXv7'- + <t'<308,

где q(1)aJ_ описывается уравнением (178), в .котором можно пре- не1б|речь электронным членом. Перпендикулярный электронный поток тепла к

<Ьх<Ьх5252срееВ^срееВ^6X7^ +6X7^ +РеI 3 I Vj_£e^e^e^el L 2 \ Л-еРеI 3 I Vj_£e^e^e^el L 2 \ Л-е5 эд^рььМеИ5 эд^рььМеИУ*2 xeftУ*2 xeftПараллельный поток электроновПараллельный поток электроновМе^е || —1 || e/^-H^e^eff >Ме^е || —1 || e/^-H^e^eff >(310)(310)где ^eff определяется уравнением (244), а /це — соотношением переноса. (203). Параллельный электрон/ный поток тепла—соотноше-где ^eff определяется уравнением (244), а /це — соотношением переноса. (203). Параллельный электрон/ный поток тепла—соотноше-

<Ьх

<Ьх

5

2

5

2

сре

еВ^

сре

еВ^

6X7^ +

6X7^ +

РеI 3 I Vj_£e

^e^e^el L 2 \ Л-е

РеI 3 I Vj_£e

^e^e^el L 2 \ Л-е

5 эд^рь

ь

МеИ

5 эд^рь

ь

МеИ

У*2 xeft

У*2 xeft

Параллельный поток электронов

Параллельный поток электронов

Ме^е || —1 || e/^-H^e^eff >

Ме^е || —1 || e/^-H^e^eff >

(310)

(310)

где ^eff определяется уравнением (244), а /це — соотношением переноса. (203). Параллельный электрон/ный поток тепла—соотноше-

где ^eff определяется уравнением (244), а /це — соотношением переноса. (203). Параллельный электрон/ный поток тепла—соотноше-

нием переноса (204). В уравнениях (203) и (204) те< определяется формулой (241).

Параллельные потоки числа .ионов и параллельные ионные потоки тепла можно получить обращением соотношений переноса (288) и (289). Тогда для Fo и Go используем формулы । (252),, (254) и (255). Заметим, что в (252) член, который описывает аилу трения, действующую на электроны, FaeU =—Кац. Отсюда с помощью (239), (246) и (247) имеем:

Л“*“Т^Ь+^(“^“4(31,)

где Лц описывается выражением (297).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Thompson W. В., Hubbard J. — Rev. Mod. Phys., 1960, vol. 32, p. 714.

Rostoker N. — Nucl. Fusion, 1961, vol. 1, p. 101.

Kaufman A. Plasma Transport Theory. — In: The Theory of Neutral and Ionized Gases/Ed. by C. de Witt and J. F. Detouf. N.Y.: Wiley, 1960, p. 319.

Брагинский С. И. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 1/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963, с. 183.

Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов: Пер, с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1960.

Shkarofsky I., Bernstein I., Robinson В. — Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 40.

Rosenbluth M. M., MacDonald W., Judd D. — Phys. Rev., 1957, vol. 107, p. L

Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1962.

Ландау Л. Д. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1937, вып. 7, с. 203,

Chandrasekhar S. — Astrophys. J., 1943, vol. 97, p. 255.

Chandrasekhar S. — Rev. Mod. Phys., 1943, vol. 15, p. 1.

-12. Трубников Б. A. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1958, вып. 34, 134L

Трубников Б. А. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 1. Под ред« М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963, с. 198.

Balescu R. — Phys. Fluids, 1960, vol. 3, p. 52.

Lenard A. — Ann. Phys., 1960, vol. 3, p. 390.

Hubbard J. — Proc. Roy. Soc., 1961, vol. A260, p. 114.

Register A., Oberman C. — J. Plasma Physics, 1968, vol. 2, p. 33.

Rostoker N., Rosenbluth M. N. — Phys. Fluids, 1960, vol. 3, p. 1.

Montgomery D. C., Turner L., Joyce G. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 2201.

Taylor J. B., McNamara B. — Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 1492.

Okuda H., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 408.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Статистическая физика. Л.: Гостехтеор- издат, 1951.

Montgomery D. С., Tidman D. A. Plasma Kinetic Theory. N.Y.: McGraw- Hill, 1964, p. 88.

24. Spitzer L. Monthly Notices, Roy. Astron. Soc. (London), 1940, vol. 100,

p, 396.

Stix T. — Plasma Phys., 1971, vol. 14, p. 367.

Сивухин Д. В. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 1/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963, с. 7.

Brecht S. Н., Hitchcock D. A., Horton W. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 447.

Драйсер X. — В кн.: Труды Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Избранные доклады иностранных ученых. Т. 1. М.: Атомиздат, 1959, с. 170.

Cohen R. Н. —Phys. Fluids, 1976, vol. 19, р. 239.

Kulsrud R. M., Sun Y. C., Winsor N. K., Fallon H. A. —Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 690.

Simon A. — Phys. Rev., 1955, vol. 100, p. 1557.

Kaufman A. — Phys. Fluids, 1958, vol. 1, p. 252.

Spitzer L., Harm R. — Phys. Rev., 1953, vol. 89, p. 977.

Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1964.

Брагинский С. И. — Журн. экспер. и теорет. физ., 1957, т. 33, с. 439.

Robinson В. В., Bernstein I. В. — Ann. Phys., 1962, vol. 18, р. НО.

Hirshman S. Р. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 589.

Boley C. D., Gelbard E. M., Hirshman S. P. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1280.

Hazeltine R. D., Hinton F. L. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 1833.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ИДЕАЛЬНОЙМАГНИТОГИДРОДИНАМИКЕ

Г. ВЕИТЦНЕР

ОБЩИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙИДЕАЛЬНОЙ МГД

Общее введение и уравнения идеальной магнитогидродинамики как симметричной гиперболической системы. Идеальная магнитогидродинамика МГД является относительно простой жидкостной моделью плазмы без учета диссипации и дисперсии.

Она введена и описана в п. 1.5.

Приняв эту модель, мы можем анализировать ее математически, чтобы сначала убедиться во внутренней согласованности модели, а затем получить важные физические свойства идеальной МГД плазмы. В этом параграфе представлено общее обсуждение структуры н свойств уравнений идеальной МГД, сопровождаемое описанием решений различных проблем распространения волн и соответствующих явлений. Вначале статьи дана характеристика уравнений .идеальной МГД как симметричной гиперболической системы уравнений в частных производных. Затем вводится дисперсионное соотношение для идеальных МГД-волн, поверхность волновых нормалей и характеристические поверхности. Далее дается описание семейств относительно простых решений уравнений: простых волн, ударных волн и других точных решений. Затем рассматривается вопрос: какие проблемы следует решить в идеальной МГД? Рассмотрены начальные и граничные условия, данные на бесконечности, и .другая информация, необходимая для спецификации физического решения. В конце статьи разобраны решения нескольких задач распространения линеаризованных волн, рассмотрены функции Грина в двумерном и трехмерном измерениях, двумерная дифракция волны на проводящей полуплоскости, двумерное отражение волны от проводника, связи с анализом устойчивости, МГД-спектры и волны .на неоднородном фоне. Диапазон

рассматриваемой тематики очень широк, поэтому здесь представлены результаты и приведены ссылки на литературу, где читатель может найти дополнительную информацию.

Напомним, что систему уравнений МГД можно написать в форме:

dp/d/+ v (pu)=0; (1) p[du/<%+(u- v)ul + VP=JXB; (2)

dS/d/+(u- v)S=0 (3) и

5B/^=VX(uXB), (4) где p — плотность плазмы; u — скорость течения; S—удельная энтропия; р— давление плазмы; В — магнитное поле; VXB=J. Для некоторых задач 'необходимо заменить (3) уравнением сохранения энергии

-^ {Р (е + и2/2) + В2} + v • {ри (е2 + и2/2) - up - В X (и X В)} = 0, (5) где е — удельная внутренняя энергия. Однако другой вариант сохранения энергии имеет вид:

-^-/7 + (u-V)p + p-^-(P’ S)-v-u = 0. (6)

Из четырех термодинамических (переменных р, S, е, р и -четырех связанных уравнений -(1), (3), (5), (6) можно взять любые две переменные и соответствующие уравнения как основные, а две другие определяющиеся по ним. Таким образом, можно взять систему уравнений (1), (2), (3) и (4) как основную и задать р= =р(р,5), e=e(p,S) или взять систему (I), (2), (5), (4) как основную и задать р=р(р,в), S=S(p, е). Если прямое следствие (4)

удовлетворяет условию

V-B = 0 (7)

в один момент времени, то (7) будет выполняться в любой момент времени. Ясно, что для стационарных задач, т. е. установившихся течений или равновесий, (7) является существенным дополнительным уравнением, в то время как для действительно нестационарных задач оно является лишь начальным условием. Дополнительное условие (7) будет вызывать второстепенные усложнения на протяжении нашего рассмотрения.

Мы могли бы также обсудить уравнения идеальной МГД в интегральной форме. Эта форма тесно связывает уравнения с фундаментальными физическими законами сохранения массы, импульса, энергии и магнитного потока. Рассмотрим произвольный меняю-

щийся во времени объем V(0> так чт0 каждая точка в объеме движется со скоростью плазмы и (г, /), и введем граничную поверхность dV(^Y Аналогично введем открытую поверхность 2(0> каждая точка которой движется со скоростью и (г, /), и определим граничную линию как 55(/). Тогда, мы можем переписать систему (1), (2), (5) и (4) в виде

— fp(r, t)dV = O;(8)

dt J

vw

A- ^ P(r, Ou(r, Z)dV = 4- JdSI-pn+(n-B)B-n-B72]; (9) VWW)

A. C {p(e+u72) + B72}dV= JdS[-n-u(p+B72) + n.Bu.BJ;

Vu)dVU)(10)

A- J B-ndS = 0.(11)

Ясно, что уравнение (8) —-уравнение сохранения массы;'(9) —второй закон Ньютона, т. е. уравнение сохранения импульса, с внешним тензором напряжений (р+В2/2)пп—ВВ, приложенных .к поверхности объема; -(ЬО)—уравнение сохранения энергии с учетом преобразования энергии, обусловленного заданным напряжением, и, наконец, (11) —уравнение сохранения магнитного потока. Интеграл, эквивалентный (7), есть

J B-ndS = 0,(12)

dVW “

который мы должны применять так же, как уравнение (11), или как начальное условие, или дополнительное уравнение в нестационарной задаче. Интегральная форма уравнений идеальной М.ГД используется в последующем обсуждении ударных волн. Здесь же обсуждается физический смысл интегральных форм и их связь с уравнениями в частных производных. Следует заметить, что интегральные формы часто выбираются в качестве базиса консервативных конечно-разностных схем для исходных уравнений.

Изучать свойства уравнений (1) — (4) можно с введения характеристических поверхностей системы [1, 2]. Характеристики могут вводится различными эквивалентными способами, а уравнения для характеристик описывают множество различных физических явлений. Начнем с одного простого определения. Допустим, что V представляет собой восьмимерный вектор (р, и, В, S), запишем дифференциальное уравнения в форме

+ — + Л — + V = 0,(13)

\ * dt 1 х дх 1 у ду 1 г dz /v '

где матрицы размерностью 8x8 At, Лж, Ау и Аг являются функциями одного только V. Выберем V в виде комбинации (р, и, В, S),

тогда матрицы совершенно симметричны и At положительно определено. Введем поверхность ф(х, /)=0 и зададим вопрос, при каких условиях можно найти производную от V по нормали к поверхности при заданном значении V на поверхности, т. е. определить

(п • у) V = (уф ■ у) V = д¥/дф

при заданном значении V(х, /) на поверхности ф(х, /)=0 [3]. Для определения OVjd^ необходимо и достаточно, чтобы линейная алгебраическая систем.а

^(^А1-\-кхАх-\г^"уА'у-\-кгА^ dN/dtp—0(14)

не имела решения. В системе (14)

й) = дф/д/; к=у ф.(15)

Поверхности, для которых (14) имеет решения, называются характер истическими. Для такой поверхности

D^to) k) = det | ^А1-\~кхАхА~к-уА-у-\~кгАг | = 0,(16)

где;

D (<о, К) = pc2 (ре2 —ХВ • к)2) (р2с4 — (ро| + В2) ре2 4- pv| (В l)2) к8; (17) &с=(о4-к-и;(18)

^ = -^-(р, S).(19)

Ясно, что ут — скорость звука в среде. Несложно проверить, что уравнение (16) всегда имеет восемь действительных корней <о = |=ю>(£), подсчитанных с учетом кратности. Здесь введена фазовая скорость волны с. В соответствии с данными выше обещаниями -мы будем давать много различных физических интерпретаций введенной терминологии.

Мы показали, что уравнения идеальной МГД (2), (3), >(4), (6) образуют -квазилинейную симметричную гиперболическую систему. Симметричный гиперболический характер следует из замечаний, что матрицы At) Ах, Лу, Аг действительные, симметричные и что At положительно определена; их квазилинейный характер следует из того, что матрицы являются функциями одного только V. Сим- (метричные гиперболические уравнения изучены подробно в теории дифференциальных уравнений. Их используют для расчета задач с начальными значениями без учета дисперсии и диссипации и задач распространения волн. В физически разумном классе функций можно задать начальные значения и ожидать решений в том же -классе. Обычно используемый класс функций требует, чтобы начальные данные и их производные до некоторого порядка были квадратично-интегрируемы. Для постановки физически важных задач недостаточно того, что система нелинейных уравнений явля- л.ась гиперболической, т. е. (16) им-ело только действительные корни со(&) [3, 4]. Нам достаточно выяснить, что система симмет-

ричных гиперболических уравнений -имеет физически реализуемое решение того типа, которое мы обычно связываем с задачей с начальными условиями в динамике жидкости без диссипации в теории упругости или распространения электромагнитных волн. Этот специальный характер системы уравнений позволяет нам рассматривать распространение волн или проблему устойчивости и получать разумные ответы. Хотя мы не будем ссылаться на эту характерную особенность уравнений далее, она является существенньпм теоретическим обоснованием, которое позволяет нам завершить анализ проблемы. Позже мы будем рассматривать граничные условия применительно к нашим уравнениям.

Перед анализом уравнений (14)—'(19) (см. п. 1.2) мы предлагаем две непосредственные физические интерпретации символов <р(со, й) и D^to, k). Можно рассмотреть специальное решение уравнений (13), в которых V является функцией только комбинации <р(а, х, /), где а есть векторная константа, т. е.

V(x, /)=У(ф(а.х, /)).

Такое решение — обычная простая волна [5], которая является точным нелинейным частным решением исходной системы (13). Ниже мы рассмотрим эти простые волны.

Можно рассмотреть уравнения (13)—/(19) и установить связь их с наиболее известной интерпретацией обозначений. Предположим, что мы линеаризуем уравнение (13) относительно фиксированного состояния V(0) и получаем систему

(аГ ± + 5 ± + А^ ^- + Д^ V(1) = О, (20)

V 1 dt ~ х дх ~ g ду ~ 2 dz / v у

где матрицы Л/°), Ах^\ А^\ Л2<°) также являются константами. Если рассматривать решение в виде

V1) = Vi exp i (со/+^+&уу+^2), (21)

то в этом случае со и к связаны условием D(co, &)=0— дисперсионным соотношением, a Vi находится из нетривиального решения (14). Таким образом, в этом отношении можно рассматривать уравнения (14) — (19) как описание характеристических поверхностей простых волн или распространения линеаризованных волн. Ниже будут приведены и другие интерпретации.

(1.2. Дисперсионное соотношение и характеристики системы для линеаризованных волн. Для того чтобы описать волны в идеальной МГД, надо изучить дисперсионное соотношение и характеристики. Рассмотрим дисперсионные соотношения (16) и (17). Исследуем различные возможные волновые возмущения и характеристические поверхности, которые они генерируют. Полезно представить решение (14), dV/dq> или Vi вместе со связанными корнями дисперсионного соотношения. Будем использовать интерпретацию -линеаризованных волн в, идеальной М1ГД. Рассмотрим однородное фоновое состояние р0, и0, Во, р0, So и возмущение в форме (21), так что возмущенные величины имеют вид? (pb пь Вь pbSi)exp i(co/+

4-к-х). Последуем каждый нуль выражения (17) (т. е. точку, в которой оно равно нулю) отдельно, а также дадим-нормальную моду V,. Свойства Vi позволяют дать физическую характеристику каждого типа МЕД-волкового возмущения. Начнем с простейшей пары корней, с2=0. Если с2=0 и к-В0^=О, тогда легко проверить, что решение (14) удовлетворяет Ui=pi=O, Bi=Xk с возмущенной плотностью и произвольной энтропией, удовлетворяющей ограничению 0 = ^, — —р,-j-^Sr Теперь с=0 эквивалентно <о=

dpovS0

='—k-Uo и представляет собой волну, распространяющуюся со скоростью жидкости.

Таким образом, можно различить две волны, распространяющиеся СО скоростью ЖИДКОСТИ, В ОДНОЙ ИЗ НИХ ТОЛЬКО В1=Ак отлично нуля, а в другой только pi и Si отличны от нуля. Эти волны связаны ограничением Pi=0. Первая волна! Bi=Xk никогда не возбуждается, так как 0=V-Bi=Xk2. Следовательно, имеется только одна физическая волна этого типа, которая распространяется со скоростью жидкости и возмущает плотность и энтропию, но не давление. Ясно, что это есть МГД-аналог гидродинамической энтропийной волны. Легко проверить, что даже если к-Во=:О, вопреки нашему предположению, волны только что описанного типа с=0 существуют. Тем не менее имеются другие решения с нулевыми к-Во и с, они рассмотрены ниже. В конечном счете симметричный гиперболический характер системы гарантирует существование такого числа волн, какова кратность данного корня, так что волны не теряются, когда корни сливаются .Обычно мы пренебрегаем корнями, соответствующими с2=0.

Второй множитель в (17) дает:

сА2=(к .Во)2/Ро.(22}

Эти нули соответствуют обычным альвеновским волнам, для которых р, Sb k-iii и ^0Bi обращаются в нуль, а щ и Bi связаны соотношением

ckXB1 = (k-B0)(kXu1); pck X их = (к• Во)(к X BJ. (23)

Альвеновская волна возмущает только компоненту Вь перпендикулярную Во, и, следовательно, является поперечной. Возмущения Ui и Bi также поперечные относительно к. Скорость волны является функцией угла между к и Во и обращается в нуль для к, перпендикулярных Во. Ниже мы иллюстрируем геометрическое место скорости волны.

Третий множитель в (17) дает быструю F и медленную S волны"

4,э = ^Ж + ^) ± К^Н^Г -4«(k-B.)W(24)

где альвеновская скорость

х)Ч = В%/^(25)

Рис. 1. Поверхности волновыхРис. 1. Поверхности волновыхнормалей ит>иА №» ^т^^а ^ и ^Т^а ^нормалей ит>иА №» ^т^^а ^ и ^Т^а ^

Рис. 1. Поверхности волновых

Рис. 1. Поверхности волновых

нормалей ит>иА №» ^т^^а ^ и ^Т^а ^

нормалей ит>иА №» ^т^^а ^ и ^Т^а ^

Во — единичный вектор в направлении Во; знак «+» в (24) соответствует c2F, знак «—» соответствует c2s. Легко проверить, что

cF^cA2>cs\(26)

где равенство выполняется только для к*Во='0, когда c2A=c2s=0, или для к-Во=0 и тогда c2A = c2F или с2^ в случае v2T = v2A имеем u2a='C2b=c2f. Здесь не приведены уравнения для pi, ub Bi и Si. Следует заметить только, что kiUb р1иВ0-В1 отличны от нуля, в то время как Si обращается в нуль.

Скомбинируем информацию, заключенную в уравнениях (22) и (24), в так называемую диаграмму скоростей нормальных волн (приведенную на рис. 1), Во выбрано в направлении х и принято кх, Av=cos0, sin0 так, что k-BlO=cos0. (Можно построить поверхности в трехмерном пространстве вращением кривых относительно оси ху Для волн с волновым вектором к, распространяющихся в направлении с заданным 0, на луче 0=const отмечены три скорости волны: с^(0), сА(0) и с5(0). Штриховыми линиями обозначены волновые фронты альвеновской, быстрой или медленной волн, распространяющихся в направлении 0. Поверхность, обозначенная сА, является геометрическим местом точек значений скорости, т. е. годографом скорости альвеновской волны, и состоит из двух окружностей (или сфер в трехмерном случае). Две лежащие глубоко внутри кривые являются годографом скорости медленной волны, в то время как самая отдаленная кривая относится к быстрой волне. Годографы скорости быстрой и медленной волн есть две части одной неприводимой алгебраической кривой, в то время как годограф скорости альвеновской волны содержит отдельную неприводимую алгебраическую кривую. Наличие связи между годографами скорости быстрой и медленной волн приводит к тому, что обычно мы не можем возбуждать отдельно быструю или медленную волну, а только комбинацию из двух волн. Большое значение имеет то обстоятельство, что годограф скорости медленной волны самопересекается при 0=л/2, c2s=0. Пересечение годографов скорости альвеновской, быстрой и медленной волн ме-

Рис. 2. Характеристические поверхности или диаграммы Фридрихса ^т^^д ^’Л ит = ид (б) и иТ < va ^

■нее важно. Довольно частный случай и2т=и2А имеет много интересных особенностей. Оценим эти замечания ниже, когда будем исследовать решения общих задач распространения волн, а не ^осто плоских или нормальных волн.

Существует другая поверхность, связанная с поверхностью волновых нормалей, которая имеет большое значение в задачах распространения волн. На рис. 1, а—в штриховыми линиями показаны фронты плоской волны exp{i^(c(6)^ + k-x)}, соответствующие точке (с, 6) на поверхности волновых нормалей. Можно взять поверхность, которая является огибающей всех этих линий (плоскостей в трехмерном случае), и найти характеристические поверхности для МГД-волн, или диаграммы Фридрихса, рис. 2, а—в. Действительно, диаграмма Фридрихса дает волновые фронты для "’возмущений, распространяющихся от начального возмущения при х=б и t—0. Ниже мы исследуем кривые подробно, а '-сейчас укажем следующие моменты. Точки с координатами [±утиА/ К^т + ^а)1!2, О, 0] часто называют точками возврата. Штриховая "линия на рис. 2, б соединяет две точки возврата и является, вообще говоря, частью поверхностей фронта волны. Для некоторых задач МГД штриховая линия не существует, а для некоторых существует. Появление или отсутствие пунктирной линии связано скорее с особыми свойствами МГД-системы, чем просто с поверхностью волновых нормалей. Диаграмма Фридрихса для фронта альвеновской волны сходится к двум точкам (±уа, 0), и в некоторых случаях прямая линия, соединяющая эти две точки, также может быть частью поверхности фронта волны. Довольно частный случай х)А = х)т имеет еще и другие особые компоненты поверхности фронта волны, а именно часть линий (плоскостей в трехмерном случае) хД= ±оА=±ог. Исследуем значение этих поверхностей детально ниже, когда будем рассматривать несколько частных задач в последующих подразделах.

Простые МГД-волны. Простые волны — это точные решения нелинейных уравнений идеальной МГД, которые зависят только от одной пространственной координаты и времени. В динамике 208

жидкости простые волны полезны и необходимы при построении решений многих задач о течении. Они также существенны при решении многих задач идеальной МГД. Мы построим простые волны в предположении, что решение V=i(p, и, В, S) системы (1) — (4) является функцией одной комбинации величин ф(х-а, О, ГДС а—произвольный постоянный единичный вектору Без потери общности выберем в качестве а единичный вектор х, тогда в предположении V(x, /)=У(ф(х, /)) найдем, что систему (13) можно- представить в виде

/лД^дЛ\£.= 0.(27)

\ 1 dt х dx J d^

Теперь сравним (27) и (14) — (19), установим соотношения со = —^Idt. к=|(дф/дх, 0, 0) и, что более существенно, из (18) получим:

д^/д!-\-ихд^/дх= с (V) дф/дх,(28)

где c(V)—один из корней дисперсионного соотношения1 (17), соответствующих быстрой, медленной, альвеновской или энтропийной волнам. Вектор решения ¥(ф) определяется из условия, что- dN/d^—'.нулевой вектор системы (27) или

dV/^ = N(V), (29)

где N(V)—любой нулевой вектор, соответствующий моде волны. Поскольку скорость распространения волны с(¥) зависит только от V, видим, что -^- / -^-и, следовательно, нулевой вектор N(¥) dt / dx

тоже зависят только от V. Таким образом, можно решить уравнение (29) независимо от конкретных временной и пространственной з ависимостей волны. Простр анственно-временны е свойств а волны даются решением начальной задачи, связанной с (28).

Явно мы решаем систему уравнений:

(30)(31)(32)(33)(30)(31)(32)(33)fo ^р ।^ ^ — О-

(30)

(31)

(32)

(33)

(30)

(31)

(32)

(33)

dt dy дх dy

p^L ^L + x-^_ JL(p + b72)=Bx-^ 2l.

dt dy dx d^dy dx

d^ d^ g d^ du dax p d'^

dt d^ x dx d^ d^ dx ’

dep dS Qedt d^

где4где4d^ d^ dtdtd^ d^ dtdt(34)(34)

где

4

где

4

d^ d^ dtdt

d^ d^ dtdt

(34)

(34)

Простейшее решение состоит из энтропийной простой волны, для которой d^]dt=O. В энтропийной волне u=(wx, иу, uz)—тожде-

ственная константа, так что ф(х, t)=x—\tux, и Вх—(тождественная константа (V-B = 0), а р, S, В^ Bt — произвольные функции ф, удовлетворяющие условию

Р(Р- S) +-у (6у + вг) = const.

Мы предположили, что Вх#=0. Если #«='0, тогда и.у и их не являются постоянными, а описываются произвольными функциями ф. Энтропийная волна является наиболее элементарной простой волной.

Если мы предположим, что d^ldt^O, тогда S и Вк постоянны, а простые волны представляют собой или альвеновские волны, или быструю и медленную волны. В альвеновской простой волне р, «ж, Вх и S постоянны [см. обсуждение, следующее за уравнением (22)], а ф(х, /) имеет следующий вид:

ф(х, t)=x —t(ux±Bx/Kp)>(35)

тогда как Bv и Вг— произвольные функции ф, удовлетворяющие ограничению

Ву2 4-Bz2=const.(36)

Представим и, и и, в виде

uu = u^^BulV^ иг = и^Вг[У^.(37)

Здесь UyW и uzw—। произвольные константы. Ясно, что альвенов- ская простая волна является поперечным возмущением, которое только вращает компоненты В, перпендикулярные направлению распространения волны. Следует подчер'кнуть, что (35)—<(37) представляют точное, нелинейное решение системы.

Быстрая или медленная простые волны изучены лишь в общих чертах, и мы только наметим их структуру. Как и раньше, Вх и S постоянные, а скорость волны (быстрой или медленной) удовлетворяет уравнению

(ре2 - В2Х) (с2 - v2T)= с2 (В^+В^),(38)

так что можно считать, что с — функция параметров состояния р, Ву и Вг. Для идеального политропного газа [р(р, S)=Д(S)pV] имеем:

274" * ^-7- Н/В^) —~ ^ № - 1)}. (39)

Если в качестве двух независимых переменных в уравнении (39) рассматривать отношения ^v2TIB2x и v2Tlc2, тогда можно проинтегрировать (39), чтобы найти одну (переменную как функцию другой. Для определенности будем считать р основной переменной. Уравнение состояния дает у2т как функцию р, так что можно рас- 210

сматривать скорость волны как функцию р. Далее иж определяется как функция р из выражения

— А 4- А*. — 0.(40)

р d^ d^

Получим теперь пространственно-временную структуру волны из выражения

di х dx dx *

Поскольку их и с — непостоянные функции р, а следовательно, и Ф, то можно ожидать, что решение (41) будет порождать особенности, которые можно интерпретировать как образование ударной волны. Такие особенности должны быть заменены ударными волнами, или должны лежать за границей интересующей нас физической области.

Выражения (38) — (41) полностью не характеризуют быструю или медленную простые волны; еще надо определить Uy, иг, Ву и Вг, Отношение By/Bz есть константа, не зависящая от р-или ф,причем можно Ву и Вг найти из (38). Окончательно иу и uz определим; из выражений

(42)(42)pcduyldq = BxdBy/dqpcdujd^ = BxdBz/dq<

(42)

(42)

Ясно, что быстрая и 'медленная волны могут существовать, и обычно возникают либо волны сжатия, либо волны разрежения. Простые и ударные волны (см. ниже) используются для решения •многих простых задач распространения МГД-волн и течений. Мы не будем здесь касаться этого вопроса, который подробно проанализирован в работе [6].

Ударные-МГД волны и контактные разрывы. В настоящее время существует обширная литература, в которой рассматриваются ударные-МГД волны и контактные разрывы. Полный анализ перехода течения через скачок уплотнения очень сложен и здесь не рассматривается. Подробное описание многих результатов можно найти в [6]. Тем не менее множество вопросов осталось за ее пределами и, в частности, ряд тем, связанных с ударными волнами, которые обсуждаются в [7, 8]. Ударная волна или контактный разрыв представляет собой течение, в котором параметры состояния р, и, В, р и S являются гладкими и терпят разрыв при пересечении поверхности ф(х, /)=0. Ясно, что течение со скачками параметров не удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных (1) — (4). Мы должны расширить определение решения системы, и поэтому предположим, что разрывное решение должно удовлетворять интегральным соотношениям (8) — (11) [и уравнению (Г2), когда это необходимо]. Любые течения, непрерывно дифференцируемые в области и удовлетворяющие (8) — (И), также удовлетворяют уравнениям в частных

производных (1) — (4) в этой области, но .когда в течении появляются разрывы, интегральные соотношения накладывают новые условия на течение.

Таким образом, интегральные соотношения эквивалентны уравнениям в частных производных для гладких течений, но это не подразумевает априори очевидность того, что интегральные уравнения правильны, когда дифференциальные уравнения уже не пригодны. Это беспокойство усиливается знанием того, что из дифференциальных уравнений следует много других интегральных соотношений, эквивалентных им в случае гладких течений; например, уравнение (3) означает

— fPSdV = O, (43) dt J

ПО

и если использовать (43) вместо (5), то ударные волны окажутся совершенно другими. Но дело не только в том, что надо решить, каким интегральным соотношениям удовлетворяют параметры течения; мы также должны учитывать, что не все решения интегральных соотношений физически возможны. Таким образом, чтобы найти физическое оправдание существованию ударных волн и контактных разрывов, надо выйти за пределы формулировки общепринятой идеальной МГД.

Были проведены различные условия, при которых разрывные 'течения являются физически оправданными. Простейшее условие .заключается в требовании, чтобы энтропия была неубывающей функцией по потоку. Другое условие требует того, чтобы при добавлении диссипации к модели идеальной МГД течение описывалось гладким решением, которое в пределе нулевой диссипации становится бездиссипативной ударной волной или контактным разрывом. Большое ограничение налагает требование, чтобы с добавочной диссипацией течение имело единственное решение. Еще одно условие, которое можно наложить на моделыидеальнойМГД, состоит в том, что течение должно быть эволюционным. В дальнейшем мы опишем кратко смысл этой концепции.

Допустим теперь, что все эти условия выполняются для физически реализуемых течений и мы должны установить логические связи между ними, т. е. найти, какое или какие из них обусловливают остальные условия. Из диссипативных теорий следует, что основными интегральными соотношениями действительно являются уравнения (8)—i(ll); мы не заменяем (10) на (43). Используем (43) в модифицированной форме:

— f PS dV > 0, (44) dt j

соответствующей утверждению, что энтропия является неубывающей в потоке. В гидродинамике можно показать, что если выбрать соотношение, аналогичное (10), тогда все другие нерассмотренные

условия физической реализуемости эквивалентны. В идеальной МГД критерии отличны, и в действительности для двух предельных случаев они даже не решают вопроса. Для наших целей используем интегральные соотношения (8) — (11) и предположим, что течения должны быть эволюционными (это условие объяснено ниже). Другие условия, включая (44), будут следовать из этого требования, исключающего два предельных случая.

Перейдем теперь к изучению интегральных соотношений (8) — (11) [иногда и (12)]. Предположим, что течение разрывно при пересечении поверхности ф(х, ^)=0. Единичный вектор, нормальный к поверхности, есть n=Vф/|Vф|. Введем скорость точки на движущейся поверхности U, в результате получим:

хотя такое обозначение будет непоследовательным, введем нормальную компоненту скорости поверхности U

[/ = n.U=--^-/|V?|. (45)

Используем индексы 1 и 2 для обозначения параметров течения непосредственно на одной или другой стороне поверхности разрыва и обозначим:

[^1=^-^; <Е> = (Е1+Е2)/2.

Стандартные для динамики жидкости или электромагнитной теории рассуждения о бесконечно малом элементе разрыву переводят интегральные соотношения (8)—'(Н) в условия на разрыве

[p(n-u —1/)]=0;(46)

[(n-u — t/)pu+n(p+B2/2) — (n-B)B]=0;(47)

[(n.u-[/)(pu72+e+B72) +

+n-u(p+B72) — tvBu.B]=0;(48)

[(n'-u — 17) В — n‘-Bu]=0.(49)

Перепишем уравнение (12) в виде

[n-B]=0.(50)

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы отличить ударные волны от контактных поверхностей. Если u-n—U обращается в нуль на одной стороне ударного фронта, тогда u-n—U обращается в нуль также и на другой стороне фронта (или р обращается в нуль на другой стороне — этот случай рассмотрим ниже). Течения,для

213

которых un—U обращается в нуль на обеих сторонах фронта,, являются контактными разрывами; течения с un—Z7^0 на обеих сторонах являются ударными волнами. Ясно, что жидкость движется через ударный фронт, в то время как сквозь контактный разрыв течение жидкости отсутствует. Для ударных волн удобно* ориентировать поверхность и присваивать индексы 1 и 2 так, чтобы оба выражения (п^—{7) и (n-u2—U) были положительны, а плазма переходила из состояния 1 в состояние 2. При этих условиях индекс 1 соответствует области до скачка уплотнения, а индекс 2—(позади. В случае контактных разрывов индексы могут присваиваться любым образом.

При сделанной формулировке условий допускается возможность того, что состояние на. каждой стороне поверхности разрыва может меняться в пространстве и времени. Такие разрывные течения представляют ,практически большой интерес, они обсуждаются ниже. Здесь лишь отметим, что поверхность разрыва ср(х, /)=0 и течения в этом случае развиваются согласно начальным и граничным условиям. При этом условия на скачке (46) — (50) устанавливают ограничения на параметры течения на обеих сторонах разрыва. В такой сложной постановке задача не рассматривается, чаще независимую от времени плоскость рассматривают в пространстве как 'поверхность разрыва и предполагают, что параметры течения на обеих сторонах плоскости постоянны. Не будем вводить это упрощение явно, а попытаемся сформулировать задачу в наиболее общем виде.

Если, мы введем удельный объем

т=1/р(51)

как новый параметр и поток массы, текущий через фронт,

m=(n-Ui — L/)pi= (n-u2 — t/)p2^0,(52)

тогда, система (46)—'(49) примет вид:

т[т] = [и-п];(53)

m[u]4-n[p]+n'<B> • [В] —

— <гГ-В> [В] =0;(54)

т{И + <Р> м + [т] [В] 74} =0;(55)

т<т>[В]+ [п-и] <В> — <п- В>[и]=0,(56)

а (50)

и-Bi=n-В2 = <п-В>.(57)

Теперь будем считать, что п-В можно представить в любой из заданных выше форм: п-Вь п-В2 или <п-В>», которая нам будет удобна. Если взять п-компоненту из (56), тогда либо т=0, либо [п-В]=0. Ясно, что корень с т—О и [п-В]^0 физически не существует и должен быть отброшен. Если исключим [и] и [В] из (53), (54) .и (56), то найдем связь

т<т>(<т>т2 — (В-п)2) {<т>т4 —т2Х

Х«В>2-<т>[р]/[т]) + (В.п)2(-[р]/[т])}=0. (58)

Можно установить идентичность (58) и дисперсионного соотношения для волн в плазме (17), воспользовавшись правилами соответствия

р-><т>; В-><В>;

рУ2т~*<т>[р]/[т]; , k->n; с-^т. *

Таким образом, исходная система эквивалентна уравнениям (55) и (58). Гидродинамическая аналогия состоит в том, что (58) является кинематическим соотношением, а (55)—соотношением Рэнкина—Тюгонио [5].

Проанализируем теперь решения системы (55) и (58). Видим, что каждое уравнение имеет корень т=0, а уравнение (17) имеет два корня с=0. Как и прежде, один из этих корней ложный и соответствует разрывному решению с [п-В]^=0. Легко проверить, что этот корень получен из (58) .и является п-ко-мпонентой из (56). Пренебрежем сейчас этим корнем (58). Корень (55) с т=0 есть ранее введенный контактный разрыв. Е-сли мы вернемся к уравнениям (53) — (56), то увидим, что значение [т] произвольно и Iu-n]=0. Контактные разрывы удовлетворяют различным условиям в зависимости от п-В. Если п-В=0, то [р+В2/2]=0 — единственное дополнительное ограничение на контактный разрыв. Если п-В#=0, то в контактном разрыве [р]=1[В]={и]=0. Оба эти решения являются 'Очевидными пределами простых волн [см. обсуждение, следующее за уравнением (34)].

Теперь мы вернемся к корням уравнений (55) и ('58) с т=/=0, соответствующим ударным волнам. Аналогия между уравнениями (17) и (58) позволяет нам ввести стандартную терминологию для ударных волн. Корень уравнения (58), связанный с множителем

<т>/п2— (В-п)2=0,

известен как поперечная ударная волна. Корни, образованные полиномом четвертой степени относительно т

<т>т4 — т2(<В>2 — <т>[р]/[т]) +

+ (В-п)2(—[р]/[т])=0,(60)

известны как быстрая или медленная ударные волны сжатия. Мы ■вряд ли можем решить уравнения (55) и (59) или (60), так как в уравнения входят значения параметров на обеих сторонах фронта ударной волны. Мы можем только использовать уравнения, чтобы образовывать семейства решений ударных волн, а затем изучать их свойства. Названия быстрая, .медленная или поперечная, которые мы применяем к ударным волнам, даны в значительной степени по аналогии и в согласии с решениями для слабых ударных волн и с явлениями распространения волн. Поперечные ударные волны удовлетворяют уравнениям (55) и (59) in имеют простое представление. Легко проверить, что для них

М = [е] = [р] = [и.^ - [В=] =0,(61)

так что только компоненты и и В, перпендикулярные п, меняются в соответствии с ограничениями

[иХп]= + [ВХп]«т>№(62)

[В2]=0(63)

и уравнением (59). Ясно, что поперечные 'ударные волны — это- предельные формы альвеновских простых волн, когда профиль функций, описывающих параметры течения, становится более крутым. В ударных волнах поперечное магнитное поле поворачивается на произвольный угол, а поперечная скорость меняется согласно (6'2). Хотя это действительно ударные волны в том смысле, что имеется поток через фронт волны, энтропия не меняется поперек фронта.

Прежде чем приступить к изучению более общего и сложного случая быстрых и медленных ударных волн, рассмотрим один простой специальный случай. Спросим себя при каких условиях чисто газодинамическая ударная волна является также ударной волной в идеальной МГД? Для таких ударных волн мы требуем [В] =0 и из уравнений (53), (54) и (56) заключаем, что n, [nJ и В параллельны. Следовательно, если В непрерывно непараллельно п, то возможна чисто тазодинамическая ударная волна с разрывами только в е, т, р и u-n. Такие ударные волны также удовлетворяют всем условиям, которые мы впоследствии наложим на физически осмысленные ударные волны. Согласно нашим определениям чисто газодинамическая ударная волна является быстрой или медленной в зависимости от того, больше или меньше (П-В)2 значения <т>{р]/1[т].

Вместо того чтобы характеризовать ударную волну как быструю или медленную в соответствии с природой корней соотношения (60), можно описать отдельно параметры состояния перед и за ударной волной. Построим годограф нормальных скоростей (см. рис. 1, а—в) для состояния 1 перед ударной волной и отдельно годограф нормальных скоростей для состояния 2 за ударной волной. Обозначим различные области пространства на этих рисунках цифрами: пространство, внешнее по отношению к годографу быстрой волны /, область между годографами быстрой и альвеновской волн //, область между годографами альвеновской и медленной волн /// и внутреннюю область по отношению к годографу медленной волны IV. Изобразим вектор n(urn—Щ, х=1, 2 в плоскостях нормальных скоростей для состояний перед ударной волной 1 и после ударной волны 2. Тогда можно идентифицировать течения до и после ударной волны как находящиеся отдельно в состоянии /, //, III, IV. В противоположность -описанию быстрой или медленной ударной волны, основанному на уравнении (60), которое смешивает параметры до и после ударной волны, новое описание характеризует состояния до и после ударной волны почти независимо друг от Друга, потому что скорость ударной волны U и направление нормали п связывают состояния до и после ударной волны.

Перечисление всех решений системы (55), (60) типа ударных волн представляет трудную задачу, требующую -большой аналитической и вычислительной работы. К тому же связь между только что введенными состояниями /—-IV и быстрой и медленной ударными волнами на первый взгляд не является очевидной или естественной. Вместо того чтобы приводить детали вычислений, опишем критерии, используемые для исключения разнообразных решений типа ударных волн, и укажем, какие ударные волны в конце концов остаются. В процессе изложения мы также приведем дополнительный наглядный материал по физически реализуемым ударным волнам.

Наиболее известный критерий реализации ударных волн состоит в том, чтобы энтропия не уменьшалась при переходе через ударную волну. Для быстрых или медленных ударных волн энтропия строго возрастает. Из элементарных термодинамических свойств функции Гюгонио [е] + <Р>{т] и удельного объема [т] заключаем, что и давление и плотность возрастают при пересечении1 ударного фронта, т. е. ударная волна является уплотнением. Следовательно, отношение [р]/{т] в уравнении (58), аналогичное величине ру2г в (17), является положительным. Из уравнений ,(50), (53) и (54) находим:

[В]— — т2[т] (<В> — п<В-п>)/(т2<т> — <п- В>2); (64)

[В2]=—т2[т] (<В>2 — (<В-п>2)/(т2<т> —

— «^В»2.(65)

Теперь ударная волна — быстрая или медленная в зависимости от того, является ли т2<т>—-(<п-В>)2 положительной или отрицательной величиной. Таким образом, в быстрой ударной волне В2* возрастает, а вектор пХВ2 параллелен nXBi и первый из них больше по величине, чем последний. В медленных ударных волнах В2 уменьшается, а вектор пХВ2 или параллелен, или анти- параллелен nXBi, но первый из них меньше по величине, чем последний.

Имеются Две другие специфические ударные волны, представляющие значительный практический интерес. Если состояние перед ударной волной имеет параллельные Bi и п, в то время как в состоянии за ударной волной В2 имеет компоненту, параллельную ударному фронту, тогда ударная волна называется ударной волной включения, поскольку включается тангенциальная компонента магнитного поля В. С учетом перечисленных выше свойств ударная волна включения должна быть быстрой ударной волной. Противоположным случаем является ударная волна выключения, в которой Bi имеет компоненту, параллельную ударному фронту, в то время как В2 параллельно п. Ударная волна выключения должна быть медленной ударной волной. Ударные волны включения и выключения существенны для решения МГД аналогов задачи о движущемся поршне в плазменной трубе и задачи о плазменной ударной трубе. Можно также описать ударную волну включения в терминах состояний I—///, IV. Ударная волна включения представляет собой переход из состояния / к границе раздела между состояниями // и ///. Ударная волна выключения представляет собой переход из той же границы раздела между II и III в со- состояние IV. Тот факт, что одно из состояний этих ударных волн лежит на границе раздела между двумя областями, имеет очень важные следствия.

Ниже мы введем критерийэволюционности ударных волн. Предположим теперь, что мы имеем два постоянных состояния, разделенных плоской границей раздела, являющиеся переходом через скачок уплотнения. Можно задать следующий вопрос. Предположим, что мы слегка искажаем границу раздела, т. е. из плоскости превращаем ее в некоторую другую поверхность и допустим, что мы слегка возмущаем состояния до и после ударной волны. Можно ли в этом случае решить линеаризованные МГД-уравнения и соотношения на ударной волне, чтобы найти слегка возмущен-, ■ное состояние ударной волны вместе с волнами, уходящими от границы раздела, или существует только большое нелинейное перестроение плазмы и конфигурации ударной волны. Возможность нахождения соседней ударной волны и состояния течения является физическим и математическим выражением утверждения, что исходная ударная волна эволюционна. В гидродинамике ударные волны эволюционны тогда, когда энтропия возрастает. В плазме 218

^единственные эволюционные ударные волны представляют собой переход из -состояния / в состояние // — быстрые ударные волны или переход из состояния /// в состояние IV—медленные ударные волны. Другие волны имеют возрастающую энтропию, но не являются эволюционными. Эволюционность представляет особый тип динамической устойчивости конфигурации и является разумным условием, налагаемым на течение. Имеется (Принципиально простая процедура для определения, эволюционное™ ударной волны, требующая, однако, значительного анализа вычислений. Интересующемуся читателю следовало бы обратиться за подробностями к уже цитированной литературе.

Последний критерий применимости ударной волны, который мы предложим, касается влияния дополнительной диссипации на идеальную МГД-моду. Потребуем, чтобы при введении диссипации в идеальную МГД-модель имелось единственное решение, соответствующее ударной волне, и (чтобы в пределе нулевой диссипации единственное решение становилось ударной волной. Этот очень разумный критерий согласуется с условием эволюционное™, где бы он ни применялся. Ни условие эволюционное™, ни диссипативное условие не дают определенного ответа, относительно приемлемости предельных ударных волн включения и выключения. Нелинейные численные расчеты изменения параметров при переходе через фронты ударных волн включения и выключения с диссипацией показывают, что эти ударные волны являются устойчивыми в том смысле, что малые возмущения фронта! волны изменяют ударную волну и добавляют волны [7], но эти изменения малы.

Некоторые точные решения. В литературе часто встречаются и достойны упоминания два типа точных решений нелинейного течения -и распространения волн. Они систематически изучались Трэдом [9]. Предположим сначала, что все величины зависят только от х и у, но не от 2, и что и имеет только х- и у- компоненты, а В(х, у, t)=zB^x, у, /). Такие течения называются поперечными. Легко проверить, что закон Фарадея (4) сводится к уравнению

dB/d^+v • (uB)=0,

так что если введем величину, подобную второй энтропии,

т] = 5/р,(66)

то вторая энтропия будет удовлетворять тому же уравнению, что и настоящая энтропия (3)’

5r]/^+(u-v )ц = 0.(67)

Если мы введем эффективное давление

р <р, s,^=p<9, SWB4^=P^. 8Wx\V/^(68)

219

тогда уравнение сохранения .и мд улье а примет вид:

Р (-^+(u-v)u) +vi*==0.(69>

Та.ким образом, поперечные волны определяются уравнениями сохранения массы (1), сохранения импульса (69), двумя энтропийными соотношениями (3) и (67) и уравнением состояния (68). Следовательно, поперечные течения по существу родственны двумерным течениям жидкости. Можно было бы продолжить аналогию дальше, введя новую функцию внутренней энергии

е*(р, S, т])=е(р, 5)+т]2р72,(70)

которая удовлетворяет

dejdt + (и • v) ^ + P*V • и = 0,(71)

причем (70) может заменить (3) или (67).

Если существует связь t]=t]-(S) или S=S(r]), то система точно сводится к уравнениям двумерной гидродинамики. Перечислим условия для такого сведения: т] = т|(5) в начальный -момент; т] или S в начальный момент равны константе; течение точно одномерное и нестационарное; течение стационарное и двумерное. Во всех этих -случаях можно рассматривать р*(р, S, т]) как функцию только р и S (или, возможно, только риц),в этом случае течение описывается точно так же, как двумерное течение жидкости^

За пределами любых таких ограничений для установившихся течений имеет место закон Бернулли: выражение

u2/2+/i(p,S)+n2p/2

постоянно на линии тока, где——(р, S) = ——— (р, 5).

дрр др

Для очень специальных зависящих от времени безвихревых течений с тождественно постоянными S и г], соотношение

5<p/^+u2/2+/i(p, 5)+т]2р/2

тождественно постоянно, причем u=Vcp.

Другой класс специальных течений, который мы упоминаем, представляет собой параллельные течения, для которых иХВ=О и ноторые неизбежно не зависят от времени. Ясно, что можно взять

В=Х(ри),(72)

где(u-v)%=0.(73)

Тогда уравнения идеальной МГД сводятся к (73) и

V(pu)=0;(74)

p(u-y)u+VP = 72P( V+pu) хu'>(75)

(u • v)S=0.(76)

Закон Бернулли записывается в форме u2/2+A(p, S)= const на линии тока так же, как .в динамике жидкости. Здесь снова X есть- эффективная вторая энтропия. Течения с какой-либо симметрией (цилиндрической, винтовой, сферической) или не зависящие от 2 допускают введение функции тока ри; тогда S и X определяются этой функцией тока и уравнения по существу сильно упрощаются.

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ИДЕАЛЬНОЙ МГД

Корректно поставленные задачи в идеальной МГД. Выше мы привели точные решения уравнений идеальной МГД: простые и ударные волны, линеаризованные плоские волны и некоторые другие точные решения. Теперь вернемся к более систематическому исследованию уравнений идеальной МГД. Опишем задачи, представляющие теоретический и практический интерес. Эти вопросы уже обсуждались после уравнения (19). Мы полагаем, что наряду с уравнениями (1)— (4) необходимо привести условия, которые наложат дополнительные ограничения на решение. Обычно- задаются некоторая информация в начальный момент времени и. по возможности данные на более поздние времена, а также данные на протяжении всего времени на специальных граничных кривых, поверхностях или точках, так что типичная задача в идеальной МГД представляет собой систему дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями. Необходимым условием задачи является утверждение, что она корректно поставлена [3]. Для корректно поставленной задачи требуем, чтобы решение задачи также изменялось непрерывно, если исходные данные меняются непрерывно. Предположим также, что для каждого набора данных имеется единственное решение задачи. Концепция корректно поставленной задачи особенно подходит для гиперболических или параболических дифференциальных уравнений. И в меньшей степени подходит к нелинейным эллиптическим уравнениям, где может иметься бифуркация (разветвление) или неединственность или даже отсутствие равновесных состояний. Используем понятие корректной постановки, чтобы выбрать разумные начальные и граничные задачи для идеальной МГД, а также рассмотрим соответствующую информацию на поверхностях разрыва. В большинстве случаев не было показано, что предложенные начальные и граничные условия и соотношения на разрывах дают корректно поставленную задачу. Результаты этих исследований тем не менее вполне удовлетворительны и совместимы с обычно принятыми идеями решений уравнений в частных производных и общепринятыми идеями физики плазмы.

Мы намеренно исключим два. очень важных типа задач, которые далеки от обсуждаемой здесь темы, но каждый из них физически О1чень важен и заслуживает внимания. В идеальном МГД- равновесии мы ищем решение уравнений (1) — (5) с д/д^=О и и=0. Имеются критические проблемы, касающиеся существования и единственности МГД-равновеоия, речь о них пойдет ниже. Уста-

носившиеся МГД-течения (5/^=0, u^O) являются еще более трудными для описания. В динамике жидкости хорошо известно, что дозвуковые течения ведут себя совсем отлично от сверхзвуковых течений. МГД является более сложной для рассмотрения, так как возможны три звуковых перехода—быстрый, альвеновский и медленный. Задаваемые условия и корректная постановка задачи зависят от ожидаемой природы самого решения. Однако звуковые переходы вносят дополнительные сложности. В общих чертах об этих проблемах известно очень мало, хотя решено несколько специальных задач точно или с помощью асимптотического разложения.

Поэтому ограничимся зависящими от времени решениями уравнений (1) — (4). Зададим некоторые начальные условия, некоторые условия на границах и на поверхностях разрыва1 и на границераз- дела с другой средой. Легко распорядиться начальными данными. С физической точки зрения разумно задать р, и, В и S (или р) в некоторый начальный момент времени, например /=0. Конечно, данные для В ограничены условием V-B(x, 0)=0; в остальных случаях можно задавать эти функции достаточно произвольно. Для поставленных таким образом задач имеются теоремы существования .и единственности в соответствующей области.

Ниже приведены граничные условия и условия на скачке для различных задач. Установление корректности задачи основывается на физических и математических рассуждениях. Можно перечислить различные условия, которым мы хотели бы удовлетворить на границе раздела. Математически мы должны определить сначала, сколько условий должно быть задано, и лишь затем установить логическую связь между предложенными условиями. Далее мы выбираем набор условий, совместимых с математическими и с физическими требованиями. Наметим в общих чертах физические принципы, которые используются на границах раздела. Применим сначала- простое условие механического течения. Если на одной стороне поверхности раздела плазма отсутствует, тогда нормальная компонента скорости плазмы на другой стороне должна, равняться нормальной компоненте скорости поверхности раздела. Если это условие не выполнено, то на границе плазмы возникают фиктивные источники и стоки. Если имеется плазма на обеих сторонах границы раздела., тогда мы имеем либо ударную волну, либо контактный разрыв и рассматриваем их соответственно. Второе условие, электромагнитное по происхождению, относится к тангенциальной компоненте электрического поля на границе раздела. «Фундаментальное неотъемлемое граничное условие состоит в том, что в локальной -галилеевской системе координат, в которой сегмент границы покоится, тангенциальное электрическое поле непрерывно. Эти два условия должны всегда! выполняться. Другое условие, которое мы иногда применяем, есть условие на механическое напряжение. Напряжение, которое плазма^оказывает на границу раздела, есть п(р+В2/2)—В(В п), где п — единичная нормаль со стороны плазмы. Применяемые при постановке задачи 222

♦математические условия включают определение числа характеристических поверхностей, покидающих сегмент границы раздела^ и наложение одного граничного условия на каждую характеристи- ку, причем каждое условие на разрыве, связывающее данные на обеих сторонах границы раздела, рассматривается как половина граничного условия. Эта процедура .известна в математике также- хорошо, как и описанные выше условия в физике. Конечно имеются определенные сложности, .которые будут рассмотрены ниже.

Граничные условия для плазмы на жесткой границе. Когда мы ставим граничные условия на стенке, мы должны тщательно различать проводящую и .непроводящую стенки. Так как в проводнике Е=0, делаем вывод, что электромагнитные граничные условия на плазму должны быть такими, чтобы тангенциальная компонента электрического поля Е обращалась в нуль. Если п—единичная нормаль к границе, тогда граничные условия примут вид:

n-u=0(77>

и

—nXE=0=nX (иХВ) =и(п • В).(78)

Если п-В#=0, тогда необходимые граничные условия имеют вид: и = 0.(79)

Мы имеем опять три граничных условия. Кроме того, еслип-В —0^ тогда имеется только одно граничное условие (77). Неудивительно, что этот физический анализ вполне совместим с математическим анализом. Если n-В^О, тогда существуют три нетривиальные особые характеристические поверхности, которые покидают границу,— это быстрая, медленная и альвеновская характеристики, и для нахождения решения необходимо задать три граничных условия. Если п-В = 0, тогда медленная и альвеновская характеристики сливаются с энтропийной и единственной нетривиальной, характеристикой будет быстрая характеристика. Обычно нет необходимости ^задавать какую-либо информацию для энтропийной характеристики, и, конечно, в случае появления кратных характеристик, нельзя вводить дополнительные условия. Таким образом, математически совершенно оправдано, что (77) справедливо для п-В=0 на границе, в противном случае справедливо уравнение (79). В этих случаях как раз имеются в распоряжении несколько теорем существования и единственности.

Следует заметить, что мы не задали никаких условий для п-В. Элементарное следствие из 5В/<%=—VXE состоит в томг что если 2 — произвольная поверхность, 55— ее граница, тогда

В. nds) = — J Е. dl.(80>,

IдЕ

Таким ^образом, если тангенциальная компонента Е обращается в нуль на поверхности, то п-В не зависит от времени. Следо-

вательно, если п-В непрерывно на границе при /=О, тогда, так как В не изменяется в проводнике, п-В непрерывно для любого момента времени.

Для плазмы, находящейся в контакте с изолятором, -мы имеем значительно более сложную ситуацию, и трудности возникают не только из-за граничных условий. Принципиальное осложнение состоит в том, что необходимо искать решение для Е и В внутри изолятора и потом сшивать поля на границе раздела. Можно использовать любую подходящую модель для* непроводящей среды, чтобы охарактеризовать Е и В. Обозначим Е и В в изоляторе Еи и Ви. Ясно, что мы должны наложить еще и 'Механическое условие (77), чтобы плазма не перетекала через границу, в то время как электромагнитное условие принимает вид:

nxEu=— u(n-B). £81)

Заметим, что (77) и (81) опять гарантируют непрерывность п-В, поскольку мы легко находим аналог (80) для скачков В и Е?

^-JlB-n]dS=-J [Е]<П=0,Е дЕ

и, следовательно, п-В непрерывно для всего отрезка, времени, если оно непрерывно в начальный момент. Теперь можно подсчитать число граничных условий на жесткой стенке. Уравнение (77) является первым условием. Две компоненты уравнения (81), перпендикулярные п, дают два соотношения, связывающие параметры на каждой стороне границы раздела,. Согласно нашей договоренности граничное условие, связывающее переменные на обеих сторонах границы раздела, рассматривается как одна, половина истинного граничного условия. Таким образом, нам представлены два граничных условия с тремя характеристическими поверхностями и мы должны найти дополнительное граничное условие.

Используем подход Трэда [9], который ввел граничное условие, заключающееся в том, что касательное напряжение (тангенциальная компонента вектора, напряжений) на границе раздела обращается в нуль. Вспоминая форму напряжений в плазме и предполагая аналогичную форму для напряжений в изоляторе, находим граничное условие

пХ[В]=0. (82)

Согласно нашей договоренности о том, как считать граничные условия, две нетривиальные компоненты уравнения (82) дают одно дополнительное граничное условие. Таким образом, мы имеем три необходимых граничных условия. Заметим, что из (82) и непрерывности п-В следует непрерывность В на границе раздела. Тогда на непроводящей границе раздела мы используем соотношения (77), (81) и (82) в качестве трех граничных условий. Если по некоторым причинам граница является характеристикой, т. е.

п-В=О, тогда единственным условием со стороны плазмы было бы точно такое же условие (77), что и для проводника, в то время как для изолятора следовало бы взять nxEu = 0, а условие (82) не являлось бы необходимым. По существу нетривиальные задачи с непроводящими границами подробно здесь не рассматривались.

Может показаться странным, что в случае идеального проводника мы пренебрегаем условиями на касательные напряжения, в то время как для изоляторов мы накладываем их на касательные напряжения. Сначала, мы заметим, что математические факты задачи почти вынудили нас принять такую точку зрения. Затем мы можем взглянуть на физическое происхождение явления. Автор работы [9] показал, что в некоторых очень частных случаях, когда, плазма рассматривается как высокопроводящая, но не идеальнопроводящая, имеется тонкий пограничный слой, в котором касательное напряжение меняется от значения, соответствующего почти идеальной проводимости среды снаружи, до значений касательных напряжений, соответствующих непроводящей $реде на границе раздела сред. Такой пограничный слой подобен пограничному слою в гидродинамике, в котором тангенциальная скорость течения под действием вязкости изменяется от значения в случае идеальной жидкости до нуля на границе, так что разумно строить гипотезу о пограничном слое около границы в идеально- проводящем случае, когда касательное напряжение 'меняется. Однако ясно, что многие вопросы с непроводящими границами остаются открытыми.

Условия на деформируемой границе. Читатель часто интересуется динамикой плазмы в случаях, когда имеется поверхность разрыва в плазме или имеется граница раздела между плазмой и областью вакуума. Сейчас мы рассмотрим условия на границе для этих двух случаев, начнем с поверхности разрыва в плазме. Эти поверхности являются как раз контактными разрывами и ударными волнами, которые рассматривались выше. Условия разрыва (46) — (50) включают параметры жидкости на обеих сторонах фронта и нормальную компоненту скорости фронта. (45). Разрыв может быть контактным, поперечной ударной волной либо быстрой или медленной ударной волной. Мы конечно имеем как раз то число условий на скачке, которое необходимо, и если мы ограничимся эволюционными ударными волнами, то увидим, что задачи поставлены корректно. Действительно, именно потребность использовать ударные волны в построении нетривиальных, зависящих от времени течений подсказала идею о критерии эволю- ционности.

Расчеты гидродинамических течений с ударными волнами или контактными разрывами хорошо1 истолкованы, и их обобщение на случай МГД не является принципиально отличным.

Условия, на границе плазма—вакуум получаются также относительно просто. Допустим, что граница задана уравнением

<р(х, /)=0. Согласно определению границы раздела точка на границе должна двигаться со скоростью плазмы, если и — скорость плазмы,

-J-(x, o + (u-v)v(x. 0 = °-(83)

01

Мы также считаем, что граница является поверхностью потока магнитного поля ни обеих сторонах границы или

п- В = ф<р-В=0.(84)

Вряд ли существуют какие-либо решения уравнений МГД, если уравнение (84) становится неприменимым. Мы вернемся к этому предположению ниже. Магнитное поле в области вакуума определяется уравнениями:

VXB = V-B = 0,(85)

которые вместе с уравнением (84) и другими граничными условиями (и периодами многократно связанных областей вакуума) полностью определяют В в вакууме. Обсудим определение Е(х, t) в вакууме после рассмотрения плазменной области. Поскольку мы предположили справедливость (84), то граница, плазмы является характеристической поверхностью со стороны плазмы и, так же как и выше, мы можем наложить на м-агнитное поле одно граничное условие. Теперь уравнение (83) не является правильным условием, так как оно просто служит для определения нового положения границы раздела.. Остающееся граничное условие1 — это непрерывность нормального напряжения. На границе раздела результирующая сила отсутствует

[р+В2/2]=0.(86)

Поскольку В в вакууме полностью определяется с помощью уравнений (84), (85) и граничных условий, то (86) определяет р+В2/2 на границе со стороны плазмы и обеспечивает необходимое гра,- ничное условие в плазме. Следует заметить, что уравнение (84) со стороны плазмы автоматически следует из уравнения (11).

Чтобы закончить анализ области вакуума, необходимо решить, как определить Е. Запишем уравнения, которые характеризуют Е:

VXE= — дй/dt; V • Е=0.(87)

Подходящее граничное условие для Е на границе есть непрерывность тангенциальной компоненты от Е в системе покоя границы раздела. Со стороны плазмы тангенциальная компонента от Е в этой системе координат равна пХ(ЕХВ)=0. Следовательно, пра.- вильное граничное условие со стороны вакуума имеет вид:

^Х(Е+иХВ)=0.(88)

Можно представить магнитное поле в вакууме в терминах векторного потенциала

B = VXA(89)

и, таким образом, Е =—dA/^+Vx, где

АХ=О.(90)

Теперь .покажем, как получить граничные условия на границе раздела для х из (88). Та-к как уравнение (84) справедливо на движущейся поверхности для любого момента времени, то

о= t-^-dS — fu х в-dl, J dt 3 £di

где 2—произвольная часть границы ф(/,.х)=0, или

0 = J^-uXB)-d/.(91)

di '

Можно интерпретировать уравнение (91) как утверждение, что выражение dX[dt—uXB, проинтегрированное вокруг любой замкнутой 'кривой на границе раздела, обращается в нуль. Кроме того, dXJdt—их В представляет собой поверхностный градиент, т. е. существует функция" ф (х, Z) такая, что соотношение

пХ (-^- —иХВ^ =пХ¥ф(х, 0(92)

выполняется на границе раздела. Если теперь наложить граничное условие

%(х, /) —ф(х, ^)(93)

на границе раздела, тогда уравнение (88) удовлетворится и Е мы определим сразу же, как только будут заданы другие граничные условия, не имеющие отношения к плазме. Подобное рассмотрение проведено в [10].

Наконец, разъясним предположение (84) о том, что граница раздела является характеристикой и поверхностью потока. Предположим, что п-В^О или во всяком случае [п-В]=0. Тогда нам необходимо три граничных условия на границе раздела,. Если предположить, что на границе раздела напряжение отсутствует, тогда получим, что [пХВ]=0 или окончательно [В]=0. Наконец, мы приходим к выводу, что р=0 на границе раздела, что согласно стандартным термодинамическим уравнениям эквивалентно р = 0. Этот особый случай соответствует вырождению. Таким образом, исключая возможность таких особенностей, кажется невозможным допустить случай п-В^О на границе. Плазма без давления (р=0) и бессиловая (р=р—0) является сильно вырожденной и имеет различные особенности [11].

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ ВОЛН

Функция Грина. Выше приведены элементарные условия распространения волн в плазме: плоских волн и их дисперсионные соотношения, простых и ударных волн и соответствующие начальные и граничные условия. Ниже мы применим эти идеи к различным конкретным задачам и обсудим распространение линеаризованных волн в идеальной МГД, где уравнения линеаризуются на фоне меняющегося состояния. При этом будут рассмотрены распространение волн, их устойчивость и спектры линеаризованного оператора идеальной МГД. В дальнейшем речь пойдет о распространении только линеаризованных волн в стационарной фоновой плазме. Рассмотрим сначала, до какой степени можно надеяться разделить быструю, медленную и альвеновские волны в обычном возмущенном потоке, а потом введем функцию Грина или фундаментальное решение задач распространения волн. Затем изучим особое представление функции Грина в идеальной МГД на примере задачи двумерного распространения волн и рассмотрим функцию Грина в общих чертах и ее свойства. Качественно и с помощью иллюстраций обсудим точные решения двух конкретных задач распространения волн.

Изучим теперь уравнения ’ идеальной МГД, линеаризованной относительно однородного фона с плотностью р0, нулевой скоростью течения, магнитным полем Во=ВоВо и давлением^0, для которых уравнения для возмущенных параметров течения рор', и', В'В0 имеют следующий вид:

др' /dt + v-u' = 0;

(94)(94)du'/dt + u^- vp' — ^л (V X В') X Bo — 0;

(94)

(94)

dW/dt — v X (u' xB0) =0,

где и2т — постоянная скорость звука — (po, So) и u2A — постоянная альвенов-dp

ская скорость В02/р0. Уравнения для возмущенной энергии, энтропии и давления выделяются из системы (94), которая оказывается системой седьмого порядка по времени, но условие V-B'=0 эффективно понижает ее до системы шестого порядка, хотя не без некоторых сложностей. Для удобства опустим штрих у возмущенных величин р', и', В'.

Согласно {12}, исследуем сначала возможность разделения быстрой, медленной и альвеновской волн в решениях системы (94). Легко показать, что р, Vu, и В0, Во В удовлетворяют системе

(95)

-^■(^•В)- (b,.V)(u.'8o) + vu=o

или более симметрично р и (Во-В) удовлетворяют системе четвертого порядка

р + о=гДр + У=л.Д(В.6о)= о;

(96)

Легко проверить из дисперсионного соотношения для (95) или (96), что каждая система порождает только быструю и медленную волны, но не альвенов- скую волну. Следовательно, заданные переменные описывают только быструю и медленную волны, но не альвеновскую волну.

Для выделения альвеновской волны исследуем переменные иХВ0 и ВхВ0, которые удовлетворяют

"ЭГ и хХ, - "2Л (X-V) в хХ= - ^Д Xvp —

-v^B.XvX'B); j-Bxfi'o-(Bo.V)uXBo = O, (97)

и переменные B0X(VXu) B0X(VXB), которые удовлетворяют

дд

(Во X (V X и)) - о2л (Во. V) (Во X (V X В)) - 0; -^ (Во X (V X В)) -

- (fi;.V)(BoX(vXB)) = 0.(98)

Проинтерпретируем альтернативные формы (97) и (98). Сначала заметим, что левые части уравнений (97) и (98), рассматриваемые как система дифференциальных уравнений, по существу образуют систему четвертого порядка, в то время как альвеновские волны соответствуют только системе второго порядка [см. (17)]. Таким образом, (97) и (98) имеют дополнительные ложные решения. Видим, что переменные быстрой и медленной волны, стоящие в правой части (97), действуют как источники альвеновских волн. Чисто альвеновская волна возможна тогда, когда быстрая и медленная волны обращаются в нуль. Для отсутствия быстрой и медленной волн р, V u, Bo u и В0В должны обращаться в нуль в любой момент времени. В предположении, что уравнения (95) представляют собой невырожденную систему дифференциальных уравнений, эти переменные будут равны нулю в любой момент времени, если первоначально они обращались в нуль Теперь, если V u = v • B = u- Во= В-Во = О, по существу только одна компонента и и одна компонента В произвольны и (97) в действительности является системой второго порядка. Альтернативно мы видим, что уравнение (98) определяет B0XVXu и BOXVXB. Восстановление и и В из комбинаций, заданных с помощью (98), включает решение дифференциальных уравнений, которые смешивают альвеновскую волну с быстрой и медленной волнами. Таким образом, разделение на быструю и медленную волны, с одной стороны, и альвеновские волны, с другой стороны, является исключительным и не является типичным. Наконец, заметим, что ни для каких из решенных задач, за исключением задачи о плоских, простых или ударных волнах, невозможно разделить быструю и медленную волны. Они полностью связаны. Этим же свойством обладают и функции Грина (см. ниже). Источником связи является алгебраическая неприводимость характеристического полинома системы (95) или (96) [см. (24)].

Функция Грина, или фундаментальное решение (94), может быть определена двумя эквивалентными способами: либо в виде функции распределения, являющейся решением (94) с начальными условиями:

р (х, 0) =^б (х —х0); и (х, 0) = L-б (х —х0); В (х, 0) = М-б (х — х0), (99) либо в виде функции распределения, являющейся решением (94) с правой частью уравнений системы, замененной на

/(б (х — х0) б (/), L-d(x— х0) 6 (0 и Мб (х — х0)б(/),

и условиями, что все зависимые переменные обращаются в нуль при ^<0. Напомним, что начальные условия для В должны быть соленоидальными, однако

у-В(х, 0) = М-уб (х — х0) ф 0.

Если заменить правую часть третьего условия в уравнении (99) на поперечную 6-функцию:

В(х, C) = (^J(rfkpik'(x-Xo)(M-k(k^ (100) тогда V-B(x, 0)=0, но правая часть уравнения (100) не равна нулю для всех х в отличие от величины 6(х—х0), которая отлична от нуля только при х=х0. Разрешим трудность иначе. Не будем модифицировать (99), а исследуем возможность использования функции Грина. Вспомним, что функцию Грина применяют для решения задачи Коши с начальными условиями [ср. с уравнением (99)]:

р(х, 0)=^(x), u (х, 0)=L(x), В(х, 0) = М(х) с помощью интеграла со сверткой

(р (х, 0, и (х, о, В (х, 0) = f №') (G, (х - х', /)-К (х') 4-

+ О2(х —х', O-L(x') + G3(x — х', t)-M(x')}.

Мы опустим в G3 такие члены, которые при v-M(x)=0 дают J G3(x—х', <)Х ХМ(х') (dx') =0, так как любые начальные условия будут автоматически удовлетворять условию v -М(х)=0. Ясно, что любые члены в G3, которые являются градиентами функции, принадлежат к этому типу. Этой процедурой мы сохраняем стандартное определение (99) для функции Грина, а также сохраняем свойство соленоидальности В(х, f). Выражения, опущенные в G3, описывают некоторые физические явления, отсутствующие в других частях функции Грина. Поэтому их надо отбросить, иначе можно прийти к ложным выводам.

Короче говоря, нет никаких трудностей в определении функции Грина. Определяющая система дифференциальных уравнений (94) является системой однородных, с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений в частных производных. Краткие теоремы представления для фундаментальных решений общеизвестны и рассмотрены в (13, 14]. Эти теоремы основаны на формальных преобразованиях Фурье-распределений, однако во многих случаях обратное преобразование является очень сложным и нестандартным. (При исследовании трудностей реализации обратных преобразований читателю следует посмотреть [15, 16]). Будем искать явное представление функции Грина такое, из которого можно было бы сделать физически значимые выводы. Используемый метод представления в виде плоских волн и преобразование Радона иногда являются сильной альтернативой преобразованиям Фурье (полное описание и некоторую историю вопроса см. в [17]). Довольно подробно решены три задачи. Автор [18] изучал распространение быстрых медленных волн в трех измерениях; в [15, IQ} рассмотрена полная задача с альвеновски- ми волнами в случае строго двумерного распространения и в определенном случае двумерных возмущений, когда невозмущенное поле имело компоненту в пространственном направлении, не принимаемом в расчет. Наше общее за мечание основывается на свойствах этих решений и элементарных свойствах, получаемых прямо из преобразований Радона.

Имеется две трудности, относящиеся к функциям Грина. Преобразования Радона наиболее легко применяются для систем строго гиперболических уравнений. Для строгой гиперболичности годограф нормальных скоростей (см. рис. 1) не должен иметь точек самопересечения. Ясно, что идеальная МГД не может удовлетворить этому условию, так как годографы медленной и альве- новской волн самопересекаются и пересекают друг друга при нулевой скорости. К тому же имеется еще пересечение годографа альвеновской волны с годографом быстрой или медленной волн, тогда как в частном случае и^ — уд (см. рис. 1,в) может существовать еще одно дополнительное пересечение годографов быстрой, альвеновской и медленной волн. В случае самопересечения можно еще применять преобразование Радона, но при этом появляются своеобразные эффекты. В дополнение к обычным алгебраическим кривым и поверхностям, которые описывают характеристические поверхности (диаграмма Фрид- 230

рихса), могут появиться отрезки линий или части плоскостей. Это один источник усложнения картины явления. К тому же многие системы уравнений в частных производных порождают те же самые поверхности нормальных скоростей волн и характеристические поверхности. Уравнения идеальной МГД дают лишь частную реализацию поверхностей волновых нормалей, показанных на рис. 1. При этом из нашего рассмотрения могут выпадать и фактически в других задачах выпадают некоторые специфические дополнения к характеристическим поверхностям, такие как линии или плоскости. Таким образом, надо найти специфические дополнения в общих чертах и затем понять, присутствуют ли они в нашей конкретной задаче. Еще более важным моментом является то, что некоторые из этих величин могут отсутствовать в функциях Грина, а в конкретных задачах дифракции или отражения волн они снова появляются. Другая интересная тема — это возможность существования пробелов, или лакун, в функциях Грина. Хорошо известно, что. функция Грина для волнового уравнения Ыц—с2Ды=0 в трехмерном случае отлична от нуля только на поверхностях светового конуса r2=c2t2, тогда как в двумерном случае она отлична от нуля внутри светового конуса r2^c2t2. Внутренняя часть светового конуса в трехмерном случае образует лакуну в функции Грина. Хотя лакуны существуют только для линейных одномерных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами и исчезают в нелинейном случае или в случае непостоянных коэффициентов, их существование представляет некоторый теоретический интерес (их практическое приложение не ясно). Описанные в этом параграфе явления не специфичны для идеальной МГД, а имеют место при распространении волн в анизотропной среде и в теории упругости [3]. Ниже рассмотрим функцию Грина для идеальных МГД-систем.

Частный пример двумерной функции Грина. Рассмотрим одно простое представление двумерной функции Грина. Допустим, что все зависимые переменные являются функциями только х, у и t и что невозмущенное магнитное поле направлено вдоль оси х, В0=х. Легко проверить (97), что ^-компоненты от и и В удовлетворяют уравнениям для однородных альвеновских волн и отщепляются от быстрой и медленной волн. Далее мы их не рассматриваем. Легко показать, что х- и у-компоненты от и, т. е. и и у соответственно удовлетворяют уравнениям

' d Vд < да ди\

(Ю1)(Ю1)(Ю2)(Ю2)it)и— ° тог к аг+1х) = 0;

(Ю1)

(Ю1)

(Ю2)

(Ю2)

/ d V / д V( д у дги.

(if) ИЦ^) « - (^т + у2д) ^) и-и"тд^-й’

где и и р связаны соотношением ддр

дГ“ + у2гЗГ = °-

Мы видим, что в двумерном случае уравнения (101) являются более простой системой уравнений, чем (94) или (95). Решим уравнения (101) с начальными условиями:

и (х, у, С) = у (х, у, 0) — 0; ' д

(ЮЗ)(ЮЗ)у, ^ = Цх, у)

(ЮЗ)

(ЮЗ)

д (х, у, 0) =6у, д')

Находим функцию Грина со специальными начальными условиями:

Цх. У) = № (х — х,) 8 (у — УоУлg У. У^Уоб У — х0) 5 (у— У о). )

Функции f(x, у) и g(x, у^, которые мы ввели в (103), должны тождественно обращаться в нуль для достаточно больших х2+#2, а также вследствие справедливости (102) f(x, у) должна быть производной по х от функции, которая обращается в нуль для достаточно больших х2А-у2. Поскольку 6(х—х0) = ~ "~дх ^Х—Х°^ видим» что заданная в (104) функция f(x, у) не совсем удовлетворяет нашим условиям. В результате этого противоречия возникают некоторые осложнения, которые мы разрешим позже. Для нахождения функции Грина используем уравнения (104). Будем считать, что источник (х0, Уо) помещен в начало координат (0, 0).

В [19] показано, что решение уравнений (101), (104) есть

a+i ОО

и (х, у, 0 = Re -~х|- j dp {f, ^ - ^л - ^AV (р) + ^Хг) + a—i ОО

Xm t — хXm t — х^Т±^А ^Т^А .^Т±^А ^Т^А .+ i4 g.t (р) Sign (х)}/Д (Цр), 1, р) + -у 1/ -уу8 (У) X у Ти А

Xm t — х

Xm t — х

^Т±^А ^Т^А .

^Т±^А ^Т^А .

(Ю5)

где

A (s, к, р) = р4 — (и^ + Уд) р2 (s2 — &2) + v^v^s2 (s2 — к2); (Юб)

Ш = (п/ + р0/1-И(107)

и о>0. В приведенном представлении р возникает из-за преобразования Лапласа по переменной времени, as — из-за преобразования Лапласа по переменной х; к появилось вследствие преобразования Фурье по у. Таким образом, при следующих заменах p^-ico, s-h&x, к-^ку (106) переходит в функцию дисперсионного соотношения (17) только для быстрой и медленной волн; далее ^р^ по существу чисто мнимое (каким было бы и ikx). Интегрирование в выражении (105) проводится по любому контуру так, чтобы в области 0<Reр<о у функции А(£(р), р) отсутствовали нули, т. е. точки в комплексной плоскости, в которых рассматриваемая функция обращается в нуль. Исследуем выражения (105) — (107), чтобы увидеть, какие физически существенные выводы можно извлечь. При рассмотрении (105) начнем с интеграла и отложим обсуждение выражений, пропорциональных 6(у). Заметим, что знаменатель подынтегрального выражения в (105) является полиномом четвертой степени по ip с чисто действительными коэффициентами. Таким образом, можно оценить интеграл алгебраически через нули знаменателя и вычеты подынтегрального выражения при этих значениях ip. Далее, знаменатель может иметь только четыре действительных нуля (по ip), или два действительных нуля и одну пару комплексно-сопряженных нулей, или две пары комплексно-сопряженных нулей. Если все четыре нуля действительны, тогда о может быть устремлена к бесконечности и интеграл тождественно обращается в нуль. Вскоре мы увидим, что имеется самое большее одна пара комплексно-сопряженных нулей. Когда имеется только одна пара комплексно-сопряженных нулей, о может быть устремлена к плюсу бесконечности и интеграл оценивается' через полувычеты и нули знаменателя в верхней полуплоскости. Сейчас мы дадим геометрическую и физическую интерпретацию нулей (106). Предположим, что со, кх, и ку порождают нуль дисперсионной функции (17), (18) для быстрой и медленной волн, тогда соотношения *

кх = Му — 1р0/1 х |; 1ку = —X; со =—Xip; I

определяют нуль (106), и, наоборот, нуль выражения (106) дает нуль дисперсионного соотношения быстрой и медленной волн (17), (18) с учетом (108). Следовательно,

xkx-Vyky = tot (109) или х, у, t лежат на фронте плоской волны, заданном с помощью соотношений (108) и (109).

Продолжая изучать смысл интегрального выражения (105), мы приходим к другой, более удобной характеристике нулей функции (106). Поскольку интеграл в (105) оценивается в терминах комплексных нулей (106), делаем вывод, что функция Грина (105) меняется поперек тех поверхностей в пространстве х, yf t, где два действительных нуля (106) сливаются и становятся комплексными. Далее из оценки вычета легко видеть, что функция Грина устремляется к бесконечности, как только х, у, t приближаются к этим поверхностям со стороны, на которой два комплексно-сопряженных корня подходят друг к другу и к вещественной оси. Так как корень выражения (106) соответствует точке х, у, / на фронте плоской волны согласно уравнениям (108), (109), то только что введенные особые поверхности соответствуют точкам, являющимся двойными корнями (108), (109), или эквивалентны огибающей действительных фронтов плоских волн (108), (109), но огибающая действительных фронтов плоских волн является как раз характеристической поверхностью (см. рис. 2,«—в).

Итак, мы видим, что характеристические поверхности — это поверхности, на которых функция Грина сингулярна, они были введены ранее. Кроме того, вещественные нули (106) как раз соответствуют вещественным касательным из точки x,t, yjt к характеристической поверхности. Видим, что для любых отношений хЦ y/t (рис. 3,а—в) в областях I и III существуют четыре вещественные касательные, в то время как в области // существуют только две вещественные касательные к геометрическому месту точек характеристик.. Таким образом, и^х, у, ^) тождественно равна нулю в областях I и III и отлична от нуля в области //. Далее, и^х, у, t) стремится к бесконечности в момент, когда х, у, t из области // приближается к границе областей / или III. Следовательно, мы получили характеристические поверхности, область влияния' решения и пробелы в области III.

Обратимся теперь к 6-функции в выражении (105), которая действительна является решением системы (161). Самопересечение точек годографа нормаль-

Рис. 3. Касательные к характеристическим поверхностям:

а — точка вне быстрой поверхности; б — точка между быстрой и медленными поверхностями; в — точка внутри медленных поверхностей

ных скоростей медленных волн порождает точки на характеристической поверхности на оси х

(х/02 = у^л/(ог + ул); У = °- ою)

и особенность 6-функции определяет решение на отрезке, соединяющем эти точки, как это должно было бы быть при появлении кратных точек £3]. С учетом представления (105), если член, пропорциональный f0, обозначить через и^х, У» IV а член, пропорциональный go,— через ug, тогда решение задачи (103) примет вид:

и(х, у, t) = Sdx'dy'У(х', у’^и^х — х’, у — у', 0 ++ g(x', y')ug(x — x', у —у', 0)-

Согласно (102) f(x\ у') фактически является непроизвольной гладкой функцией х', у', тождественно обращающейся в нуль для достаточно больших I ^ | + J у' |, а производной по х' от такой функции. Приближенный, но прямой анализ показывает, что в этом случае явная 6-функция в выражении (105) сокращается с неявной и скрытой 6-функцией в интеграле. Таким образом, в действительности 6-функция отсутствует в функции Грина для системы уравнений идеальной МГД (101)—(103), хотя она присутствует в более общей системе (101), (102). Также верно то, что в случае идеальной МГД отсутствует 6-функция вида ^У^кх^^тУ а!^А-^

Можно проанализировать (105) более подробно 119] и получить поведение функции Грина вблизи какой-нибудь точки характеристической поверхности. Вдали от поверхности функция Грина аналитическая по х, у, 1. Мы удовлетворимся качественным описанием того, что функция Грина тождественно обращается в нуль в областях / и /// стремится к бесконечности на границе области II, что член 6 (у) в (105) фактически отсутствует, так же как и 6-функция в точке возврата на оси х. Проведенная оценка показывает, что в действительности функция Грина имеет наибольшее значение (т. е. она наиболее сингулярна) около точек возврата (ПО).

Функция Грина и две точно решенные задачи. Ниже дано качественное и графическое описания некоторых задач, точно решенных разными авторами. Ограничимся таким рассмотрением, так как исчерпывающее обсуждение любой задачи заняло бы много места и потребовало бы изложения слишком многих деталей. Рассмотрим сначала полную функцию Грина в двумерном случае, затем функцию Грина в трех измерениях и обсудим два точных решения двумерных задач, в которых отражено влияние границ на волны в плазме. В первой задаче рассматривается дифракция слабого разрыва или ударной волны на проводящей полуплоскости. Вторая задача состоит в определении функции Грина для полупространства плазмы, ограниченной проводящей стенкой. Мы хотим поставить читателя в известность о большом многообразии явлений, имеющих место в простейшей задаче распространения волн в идеальной МГД, о их сложности и скудности полученных результатов.

При рассмотрении функции Грина в двумерном случае мы должны отличать две фундаментально различающиеся физические постановки задач. Предположим, что все переменные зависят от х, у, t (но не от г), тогда имеются два случая: строго двумерный случай, когда невозмущенное магнитное поле не имеет компоненты вдоль направления 2, и общий случай, когда Во имеет такую компоненту. В строго двумерном случае быстрая, медленная и альве- новская волны полностью разделяются. Все компоненты функции Грина, исключая ^-компоненту от и и В, являются суммами членов с некоторыми общими свойствами, которые рассмотрены выше. Особенности, характеристические поверхности, лакуны и области влияния в основном те же. 2-компоненты от и и В состоят из таких членов, как 6(x^uAt)b^yV и, очевидно, представляют собой распространение чисто альвеновских волн. Подробные результаты приведены в [15]. В общем случае двумерного распространения [16] быстрая, медленная и альвеновская волны не разделяются. Вид функции Грина существенно меняется, хотя характеристические поверхности, лакуны и области влия- 234

ния остаются практически неизменными. Следует отметить, что точечное возмущение, соответствующее чисто альвеновской волне, больше не лежит на годографе быстрой и медленной волн, а находится между годографами быстрой и медленной волн. На первый взгляд кажется, что линейных особенностей у функции Грина нет, хотя она в точно двумерных случаях тщательно не изучена и здесь могут быть некоторые неожиданности.

Трехмерная функция Грина до конца не исследована. Часть функции Грина, соответствующая чисто быстрой и медленной волнам, была рассмотрена [18] на основе уравнения (95) или (96). Характеристические поверхности получаются вращением двумерных поверхностей относительно оси В. Пробел больше не существует, хотя функция Грина тождественно обращается в нуль вне годографа быстрой волны (как это и должно быть). Между годографами двух медленных волн особенности отсутствуют. Взаимодействие альвеновской волны с быстрой и медленной волнами не рассматривалось, и вопрос о том, появятся или не появятся линейные особенности, остался в общем неясным Очевидно, что работу нужно было бы продолжить.

Две задачи распространения волн в областях с проводящей границей яв

ляются строго двумерными со всеми переменными, зависящими только от х, у и t, и с невозмущенным магнитным полем в плоскости х, у, поэтому мы без потери общности возьмем В, лежащим в направлении х. Эти задачи объединяют большое число явлений, которые мы рассматриваем: ударные волны, простые волны, характеристические поверхности, особые линии, лакуны и различные граничные условия. Так как мы рассматриваем строго двумерные задачи, то взаимодействие быстрой и медленной волн с альвеновской не происходит. Первая задача сформулирована и решена автором ([20]. Рассмотрим теперь падение слабой ударной волны на проводящую полуплоскость, параллельную невозмущенному магнитному полю и оси х(рис. 4). Предположим, что впереди ударного фронта линеаризованные переменные равны нулю, в то время как позади ударной волны имеется стационарное состояние. Состояния

впереди и позади связаны линеаризованными соотношениями на разрыве, полученными из (52)—(57). Допустим, что ударные волны должны быть эволюционными, и нам остается рассмотреть быструю или медленную ударные волны. Будем искать решение после того, как ударная волна пройдет край полуплоскости. Поскольку характерный размер в задаче отсутствует, делаем вывод, что решение должно быть автомодельным в переменных x/t и yjt. Проводящая граница (полуплоскость) является характеристикой, поэтому мы накладываем на решение только одно граничное условие пи=0, означающее.

на верхней и нижней гюверх- для случая падающей быстройна верхней и нижней гюверх- для случая падающей быстройчто ^-компонента скорости обращается в нуль ностях плоскости. На рис. 5 показано решение ударной волны.

на верхней и нижней гюверх- для случая падающей быстрой

на верхней и нижней гюверх- для случая падающей быстрой

Рис. 4. Фронт ударной волны, падающей на проводящую полуплоскостьРис. 4. Фронт ударной волны, падающей на проводящую полуплоскостьГеометрическое место точек характеристик— это кривая, на которой терпят разрыв производные от решения. Течение со слабым скачком не возмущается присутствием плоскости впереди фронта ударной волны в областях А и В и позади фронта ударной волны в области С. Граница между областями С и D — это фронт слабой отраженной ударной волны, в области D имеется состояние с постоянными параметрами. Дифрагированная волна подобна интегралу в функции Грина (105). Линия, соединяющая , край проводящей полуплоскости и точку воз- ' врата области Г, является контактным разрывом, на котором параметры течения испытывают скачок. Итак, a-функция в (105) вновь появляется в этой граничной задаче и описывает разрыв параметров состояния. В областях F, G, и Н возмущенные величины постоянны, они не соответствуют ни одному из

Рис. 4. Фронт ударной волны, падающей на проводящую полуплоскость

Рис. 4. Фронт ударной волны, падающей на проводящую полуплоскость

Рис. 5. Дифракция быстрой ударной волны на проводящей полуплоскостиРис. 5. Дифракция быстрой ударной волны на проводящей полуплоскостиРис. 6. Дифракция медленной ударной волны на проводящей полуплоскостиРис. 6. Дифракция медленной ударной волны на проводящей полуплоскости

Рис. 5. Дифракция быстрой ударной волны на проводящей полуплоскости

Рис. 5. Дифракция быстрой ударной волны на проводящей полуплоскости

Рис. 6. Дифракция медленной ударной волны на проводящей полуплоскости

Рис. 6. Дифракция медленной ударной волны на проводящей полуплоскости

состояний А, В, С или D. Эти постоянные состояния являются результатом наличия лакуны в функции Грина. Соответствующее решение представляет собой однородную функцию х, у, t нулевого порядка, в то время как функция Грина является однородной функцией порядка — 1. Таким образом, это решение по существу является интегралом от функции Грина, так что Ь(у) в функции Грина после интегрирования дает разрывную функцию, а лакуна в результате интегрирования дает константу. Кроме того, все переменные ограничены.

Слабая медленная ударная волна возбуждает несколько более сложную дифрагированную волну (рис. 6). Отраженная ударная волна совпадает с границей между областями D и G и оказывается на противоположной стороне препятствия. Однако распространение энергии происходит не перпендикулярно фронту слабой ударной волны, а в направлении групповой скорости Vk=<o(k). По отношению к этому направлению распространения отраженная волна и область тени Н находятся справа от ударного фронта. Другими словами, состояния постоянны в областях D, D\ F, G к Н, в то время как решение в области Е подобно решению (105). Снова контактный разрыв соединяет край проводящей плоскости и точку возврата области F. Заинтересованный читатель должен обратиться к исследованию, проведенному в [20].

Последняя явно решенная задача, которую мы рассмотрим, касается функции Грина для системы (101) в области х>0 с проводящей плоскостью по оси у. Поскольку граница нехарактеристическая, но проводящая, то граничные условия сводятся к требованию, чтобы х- и ^/-компоненты скорости тождественно обращались в нуль на границе. Полная функция Грина представляет собой функцию Грина без проводящей плоскости, но с дополнительными членами, необходимыми для удовлетворения граничных условий и соответствующими отраженной волне. Изобразим только волновые фронты, соответствующие членам, добавленным к функции Грина для свободного пространства. Мы изобразим также местоположение источника в_ точке (х, 0, 0) и выберем отношение звуковых скоростей vT/vA равным 0,8. Как только фронт быстрой (или медленной) волны функции Грина для свободного пространства столкнется с проводящей плоскостью, два волновых фронта, соответствующих быстрой и медленной волнам, отразятся. Следовательно, эта часть решения включает отраженные быстрые и медленные волны, отраженные быстрые волны, преобразованные в медленные, и отраженные медленные волны, преобразованные в быстрые. В дополнение к этому в определенном месте в решении появляет- 236

Рис. 7. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,00Рис. 7. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,00Рис. 8. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,11Рис. 8. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,11

Рис. 7. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,00

Рис. 7. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,00

Рис. 8. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,11

Рис. 8. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,11

ся простая волна. Мы построили конфигурацию с такой симметрией, что контактный разрыв не может появиться.

Ниже развитие волновых фронтов продемонстрировано на рис. 7—13. Для простоты опустим здесь волновые фронты функции Грина для свободного пространства. Следует отметить, что рисунки вычерчены в различных масштабах. На каждом из них положение начального импульса в виде 6-функции (Ло, 0) отмечено символом X, а время измеряется в единицах Ло// итиА. На рис. 7 появляются фронты отраженной быстрой волны и быстрой, преобразованной в медленную. Их пересечения с прямой х=0 совпадают, и отраженная быстрая волна (или отраженная медленная волна, когда она появляется) имеет волновые фронты, описываемые функцией Грина для свободного пространства, центрированной на точку изображения (—Ло, 0). На рис. 8 появляются отраженная медленная волна и медленная волна, обращенная в быструю. Вначале эти две волны практически нераздельны, но на рис. 9 все четыре волны уже легко различаются, так как отраженная медленная волна все еще соприкасается с плоскостью х=0, в то время как медленная волна, обращенная в быструю, больше не касается этой плоскости. Точка возврата на оси х, соответствующая медленной волне в функции Грина для свободного пространства, еще не коснулась плоскости х=0. Ситуация после того, как точка возврата коснется плоскости, изображена на рис. 10, где в дополнение ко всем только

Рис. 10. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; /=1,43

Рис. 11. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; / = 3,33

Рис. 12. Функция Грина, отраженная: от проводящей плоскости; /=5,00

что описанным фронтам появляется также простая волна. Все линии, касательные к отраженной медленной волне и пересекающиеся с плоскостью х=О внутри годографа медленной волны, обращенной в быструю, являются элементами простой волны. Параметры простой волны по существу постоянны на этих линиях. На рис. 10 показаны только две линии с наибольшим наклоном к границе. Медленная волна, обращенная в быструю, постепенно теряет принадлежащую ей заостренную область, а быстрая волна, обращенная в медленную, замедляется и пересекает фронт первой волны (рис. 11). Наконец, на годографе быстрой волны, обращенной в медленную, появляется точка возврата (рис. 12) и по истечении длительного времени решение выглядит так,, как показано на рис. 13. Тщательный анализ показывает, что лакуны возникают в некоторых частях решения, а по истечении очень большого времени в полном решении (см. рис. 13)—в тех частях заостренных областей медленных волн, которые не покрыты простыми волнами. Полное решение представляет собой сумму членов, подобных (105), и членов, описывающих простую- волну [19].

Волны на неоднородном фоне. Тема распространения линейных волн на неоднородном фоне так широка, что включает теорию устойчивости идеальной МГД как одну из специальных задач. Наша цель состоит в исследовании темы в довольно общих чертах и в обсуждении подобий и отличий от общепринятой теории линеаризованной гидродинамики без диссипации или линеаризованной электромагнитной теории. Для начала рассмотрим известную задачу распространения линейных волн, описываемого волновым уравнением в неоднородной среде

d2u

?(х)^(х, 0 = v(^(x) V«(x. /))(111)

для неизвестной амплитуды u(x, /), где р(х) и ^(х) являются гладкими, строго положительными функциями. Напомним, что имеется два очень стандартных и очень различных подхода к уравнению (111). Можно задать начальные du

условия и(х, 0),-^у (х, 0) и соответствующие условия на каких-нибудь границах и на бесконечности и искать решение во времени.

Для маленьких интервалов в малой пространственной области можно рассматривать р(х) и &(х) приблизительно как константы, тогда можно строить 238

Рис. 13. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; t=50,00Рис. 13. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; t=50,00

Рис. 13. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; t=50,00

Рис. 13. Функция Грина, отраженная от проводящей плоскости; t=50,00

приближенное решение, так же как в случае постоянных коэффициентов. Итак, мы надеемся, что решения уравнения (111) должны вести себя подобно решениям для случая постоянных коэффициентов, постепенно искажающимся из- за медленного изменения параметров с координатами. Мы могли бы исследовать фронты волн, лакуны, области влияния, области, где решение достигает максимума, фокусировку волн, дифракцию, приближение геометрической оптики и т. п. Аналогичным образом мы могли бы исследовать идеальную МГД. Для этого необходимо линеаризовать основные уравнения (1)—(4) относительно стационарного состояния (ро(х), ио(х), В,(х) и S0(x)) и исследовать уравнения для возмущенных величин (pi(x, /), Ui(x, /), Bi(x, t) и S/x, /)). Можно ожидать, что решение будет иметь вид постепенно искажающихся быстрой, медленной, альвеновской и энтропийной волн. В общем случае уже невозможно будет разделить типы волн: вследст-

вие переменных коэффициентов одна мода постепенно- превратится в другую или, иначе говоря, преобразование мод было бы очень сильным. Единственными волнами, которые сохранили бы свой характер, были бы линеаризованные простые волны (см. разд. 1.3).

Существует, однако, другой подход для рассмотрения (111), который пригоден для иного класса задач. Если мы возьмем Фурье-преобразование (более правильно, преобразование Лапласа) по времени, то придем к урав

нению

V*(^ (х) у и (х)) + ю2р (х) и (х) = 0, (112) где функция и^ должна также удовлетворять граничным условиям и ограничениям на бесконечности. Ясно, что такая задача является задачей на собственные колебания или на собственные значения. Будем искать собственные значения со2 и собственные функции w(x, о2), которые удовлетворяют (112), и дополнительные условия. В некотором подходящем обобщенном смысле мы знаем, что любое решение уравнения (111) можно представить в виде

м (х, 0 = 2 A (to) и (х, го2) ei<0<. (113)

Собственные частоты и собственные векторы являются частотами и формами колебаний среды в отсутствие внешних источников. Мы можем, конечно, следовать той же самой процедуре для уравнений идеальной МГД и рассматривать собственные значения и собственные векторы. Ясно, что любые собственные значения с Im o<0 представляют собой собственные колебания, которые растут экспоненциально во времени, и если такие моды существуют, мы говорим, что установившееся состояние (экспоненциально) неустойчиво. Так как, если идеальная МГД-система неустойчива, тогда обобщение уравнения (113) на идеальную МГД показывает, что большинство решений линеаризованной системы будет также расти экспоненциально во времени. Очевидно, для неустойчивых систем гипотеза распространения линеаризованных волн несостоятельна, и мы должны окончательно исключить неустойчивые системы. Следует заметить, что экспоненциально устойчивые системы не обязаны быть устойчивыми, так как решения могут расти, например, как ^п, л>0 или даже ехр (ХУО- '

Задача о собственных значениях в идеальной МГД имеет некоторые очень существенные отличия от таких задач, которые описываются уравнением (112) в электромагнитной теории или гидродинамике. В ограниченной области спектр уравнения (112) состоит из дискретных величин со2, которые скапливаются только при неограниченном со2. В неограниченной области спектр становится непрерывным, и суммирование в (113) становится, по крайней мере частично, интегралом. В идеальной МГД, даже в ограниченной области, спектр почти всегда содержит континуум наряду с более типичным точечным спектром Наличие континуума имеет нетривиальные последствия для проблемы распространения волн в идеальной МГД. Отметим другое очень важное свойство континуума в идеальной МГД. В определенных случаях непрерывный спектр может иметь Im со < 0 и давать экспоненциально неустойчивые решения даже при возможном отсутствии настоящих собственных колебаний elto^u(x, со), Imco<O. Такая ситуация может иметь место в случае равновесия, и0^=О [21] или установившихся течений [22}. Неустойчивые непрерывные спектры, по- видимому, довольно необычны в математической физике.

Теперь давайте вернемся к'экспоненциально устойчивым состояниям с чисто вещественным спектром. Считаем, что общее решение задачи распространения волн должно иметь следующий вид: [ср. с (113)0

00•

^(х, /) = У ajU (х, оу) е1<0^ + dccf (со) eXtotu (х, со),(Н4)

7=-л‘

где интеграл в (114) берется по непрерывному спектру. В общей лемме Римана—Лебега подразумевается, что для больших t интеграл в (Н4) стремится к нулю. Таким образом, волны, распространяющиеся в ограниченной плазме, могут частично поглощаться, даже в отсутствие явного механизма поглощения энергии. Это замечание является основой работ по нагреву альвенов- скими волнами в идеальных МГД-системах [23}. Механизм поглощения энергии представляет собой, конечно, фазовое перемешивание Гиббса и появляется в физике плазмы как естественное объяснение затухания Ландау [24ф Поглощение энергии обратимо, хотя оно может быть достаточно^ эффективным и полным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Friedrichs К. О. — Non-Linear Wave Motin in A^agnetohydrodynamics. Los Alamos Scientific Laboratory Department, № 2105, 1954.

Friedrichs К. O., Kranzer H. — Non-Linear Wave Motion in Magnetohydrodynamics. Courant Institute of Mathematics Sciences, New York University, Report № MH-8, 1958.

Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. IL N.Y.—Lond., 1962.

Friedrichs К. O. Comm. Pure Appl. Math., 1974.

Courant R., Friedrichs К. O. Supersonic Flow and Shock Waves. N.Y.: Intersci. Publishers, 1948.

Jeffrey A., Taniuti T. Non-Linear Wave Propagation. N.Y.: Academic Press, 1964.

Chu С. K. Some Remarks on the Stability of Hydromagnetic Shock Waves. — In: Proc, of Symposia in Applied Mathematics/Ed. Harold Grad. American Mathematical Society, Providence, 1966, R. 1, vol. 18, p. 1.

Germain P. A Model of Some Plasma Shock Structures. — In: Proc, of Symposia in Applied Mathematics/Ed. Harold Grad. American Mathematical Society, Providence, 1966, R. 1, vol. 18, p. 17.

Grad H. — Rev. Mod. Phys., 1960, vol. 32, p. 830.

Blank A. A., Friedrichs К. O., Grad H. Notes on Magneto-Hydrodynamics Theory or Maxwell’s Equations Without Displacement Current. Courant Institute of Mathematical Sci., New York University, Dapartment № NYO-6486-V, 1957.

Weldon D., Friedberg J. P., Weitzner H. — Plasma Physics, 1970, vol. 12t. p. 987

Grad H. Propagation of Magneto-Hydrodynamic Wave Without Radial Attenuation. — In: The Magneto-Hydrodynamics of Conducting Fluids/Ed. D. Ber- shader. Stanford, California; Stanford University Press, 1959, p. 37.

Malgrange B. — Ann. Inst. Fourier, 1955, vol. 6, p. 271.

Ehrenpreis L. — Am. J. Math., 1954, vol. 76, p. 883.

Weitzner H. — Phys. Fluids, 1961, vol. 4, p. 1238.

Weitzner H. — Phys. Fluids, 1961, vol. 4, p. 1246.

John F. Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations. N.Y.: Intersience, Publ. Inc., 1955.

Friedlander F. G. — Proc. Cambridge Phill. Soc., 1959, vol. 55, pt 4, p.341.

Weitzner H. Reflection of a Point Disturbance from a Conducting Wall in Two-Dimensional Magneto-Hydrodynamics. Courant Institute of Mathematical Science, New Pork University, Report № MF-81, 1975.

Gardner C. S. Diffraction of a Hydromagnetic Wave by a Half-Plane, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, Report № MF-6, 1960.

Spies G. O. — Phys. Fluids, 1978, vol. 19, p. 427.

Hameiri E., Hammer J. H. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1700.

Tataronis J. A. — J. Plasma Physics, 1975, vol. 13, p. 87.

Weitzner H. Longitudinal Plasma Oscillations. — In Proceedings of Symposia in Applied Mathematics/Ed. Harold Grad. American Mathematical Society,, Providence, 1966, R. 1, vol. 18.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙПЛАЗМЕ

В. Н. ОРАЕВСКИЙ

ВВЕДЕНИЕ

В обзоре изложены, основы физики периодических волн в плазме. Главное внимание уделено специфически плазменным явлениям. Такие явления разыгрываются обычно в пространственновременных областях, характеризуемых масштабами, существенноменьшими столкновительных. Поэтому в обзоре, как правило, используется приближение бесстолкновительной плазмы. Это не означает, что взаимодействие частиц нс учитывается. Именно благодаря дальнодействию кулоновских сил в бесстолкновительной плазме возникают самосогласованные электромагнитные поля, ответственные, в частности, за ее волновые движения.

Сказанное выше означает, что при изложении теории волн в бесстолкновительной плазме правомерно использовать кинетические уравнения для ионов и электронов в форме Власова и уравнения Максвелла для самосогласованного электрического поля. Эта система уравнений является замкнутой и представляет собой систему нелинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных. Их сложность не позволяет надеяться на получение общих решений. Поэтому для различных случаев используют определенные приближения, с помощью которых удается упростить исходные уравнения, а затем получить решения упрощенной системы уравнений. '

Для волн малой амплитуды, например, можно пренебречь слагаемыми нелинейными по амплитуде или, как принято говорить, линеаризовать исходную систему уравнений. В предыдущем обзоре показано, как проводится линеаризация уравнений магнитной гидродинамики. Процедура линеаризации кинетических уравнений не отличается принципиально от процедуры линеаризации уравнений магнитной гидродинамики. Обычно исследование таких линейных уравнений является первым шагом при рассмотрении волновых свойств плазмы.

Основное внимание при анализе линейных уравнений уделяется эффектам, которые связаны с кинетикой плазмы и отсутствуют в гидродинамическом приближении. Сюда относятся затухание Ландау и соответствующие ему типы затухания в магнитоактивной плазме, волны Ван-Кампена, моды Бернштейна, просветление плазменных волновых барьеров резонансными частицами, нелокальное отражение волн от волновых барьеров, баллистическая трансформация волн.

В некоторых вопросах физики плазменных колебаний возникает необходимость нелинейного рассмотрения процесса, предсказуемого в линейной теории. Это относится, например, к явлению затухания Ландау, просветлению плазменных волновых барьеров, баллистической трансформации волн. Поэтому вслед за линейным рассмотрением приведены результаты нелинейной теории.

Кроме перечисленных изложены также тс вопросы физики нелинейных волновых процессов, которые естественным образом примыкают к указанным выше, но имеют самостоятельную ценность (эхо в плазме, волны Бернштейна — Грина — Крускала).

В заключение приведена таблица результатов исследования линейных колебаний магнитноактивной плазмы.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ

Приближение однородной плазмы означает, что мы не будем учитывать влияния неоднородностей параметров плазмы и ее границ на волновые свойства. Следовательно, излагаемая в обзоре теория, строго говоря, применима в тех случаях, когда характерные масштабы рассматриваемых волновых процессов много меньше масштабов неоднородностей плазмы. В линейной теории найденные собственные частоты являются действительно собственными частотами реальной плазмы тогда, когда соответствующие длины волн много меньше размеров неоднородностей плазмы; пользоваться же уверенно декрементами затухания, приведенными в обзоре, можно, если соответствующие длины затухания малы по сравнению с длинами неоднородности плазмы.

Выше уже говорилось о процедуре линеаризации уравнений. Здесь же отметим, что уравнения Максвелла линейны относительно средних токов и зарядов плазмы. Поэтому линеаризации следует подвергнуть лишь уравнения Власова для функций распреде-

ления заряженных частиц. Стандартные рассуждения здесь таковы. Волны малой амплитуды мало возмущают и состояние плазмы. Поэтому функции распределения fj-частиц сорта / можно представить в виде h=h j+6/л Здесь 6fj—малое слагаемое, описывающее отклонение (под влиянием самосогласованного поля волны) функции распределения от невозмущенного (стационарного) состояния плазмы, характеризуемого функцией распределения fOj. Малость 6f, позволяет отбросить в уравнении Власова нелинейные по амплитуде волны слагаемые и свести его к виду:

4-(V.v)Sf.+X

dt 1 mj с dv— m} \ cl

dv

где Bo — вектор магнитной индукции постоянного магнитного поля; остальные обозначения стандартны.

Тензор диэлектрической проницаемости. Уравнения для собственных колебаний. Прежде всего отметим, что система уравнений Максвелла и уравнений (1) является линейной системой интегродифференциальных уравнений с постоянными относительно координат и времени коэффициентами. Это позволяет сделать ряд, общих выводов без решения уравнений (1) относительно 6/у Так, для электромагнитных волн пространственно-временную зависимость электрического и магнитного полей, а затем и 6^-, без нарушения общности, можно представить в виде: ехр(—io/+ikr). В соответствии с этим линейная (в силу линейности уравнений) связь полной плотности тока с электрическим полем имеет вид:

ja=a^WE^ (а, Р=1, 2, 3),(2)

где тензор оаР называют обычно тензором проводимости!. Его* компоненты являются функциями частоты и волнового вектора. Обычно для рассматриваемых здесь гармонических колебаний вводят 8аР— тензор диэлектрической проницаемости:

Sa=8ap (СО, к)£р;(3)

определяя Da — электрическую индукцию следующим образом:: dDa/dt=4 л ja+dEa/dt.(4 >

Учитывая временную зависимость ехр(—i со/), а также (2), нетрудно записать связь оаР и 8аР:

8ар(со, к) =дар+14лоар(со, к)/о.(5);

Используя (4) и (5) и учитывая пространственно-временную зависимость полей, из уравнений Максвелла нетрудно получить: Лар(ю, k)2?9^{AP(^-aepJ + eag(<o, к^(6)

Уравнение (6) определяет собственные векторы е°^ описывающие собственные колебания плазмы.

Дисперсионное уравнение. Собственные частоты и декременты затухания волн. Эрмитова и антиэрмитова части тензора диэлектрической проницаемости. Система (6) есть система линейных алгебраических относительно компонент вектора напряженности электрического поля уравнений. Хорошо известно, что условием разрешимости такой системы является обращение в нуль ее определителя:

Л(о), k)det{Ла3 (со, к)}=0. (7)

Уравнение (7) определяет собственные значения задачи и называется обычно дисперсионным уравнением. В соответствии с постановкой задачи могут быть заданы либо со, либо к, тогда дис- лерсионное уравнение определяет другую величину как функцию заданной. Так, если решается задача о распространении волны определенной частоты, то, естественно, задается частота, и тогда дисперсионное уравнение определяет к как к(со). Когда же мы хотим определить собственные колебания плазменной системы, то к считается заданным, а (7) определяет собственные частоты со •как функции волнового вектора к.

Обратимся к задаче о собственных колебаниях плазмы. Как видно из (6) и (7), тензор диэлектрической проницаемости еар полностью определяет свойства собственных колебаний — их поляризацию и собственные значения соа. Следует отметить, что уравнение (7) дает, строго говоря, комплексные собственные значения, т. е. coa=Re co^+i Im coa. Легко видеть, что Re^^-co^— частота колебания, а ImcDa=ya характеризует поглощение волны и называется декрементом затухания.

Для рассматриваемых в обзоре периодических, или почти периодических, волн coar»у*и- Это обстоятельство позволяет сделать вывод о наличии поглощающих свойств среды без решения дисперсионного уравнения, используя лишь общий вид тензора еар. Действительно, Q — энергия почти периодической волны, поглощаемая в единицу времени средой, определяется средним по периоду от скалярного произведения вектора плотности тока j на вектор электрического поля волны Е, т. е.

Q = Re j Re Е = Л -^- М (»> к) Е.Е^, (8)

где е"ар— антиэрмитова часть тензора диэлектрической проницаемости, определяемая следующим образом:

ea3 = ^ар + iea£*> iga£ ^ (еа|3 6ра)/2» есф ^ (еар 4" ера)/2. (9)

Иными словами, антиэрмитова часть тензора диэлектрической проницаемости определяет поглощение волны средой или, иначе, ее затухание.

1 В связи с этим индексы г у со ^ опустим (где это возможно).

Как видно из (9), eza₽— эрмитова часть тензора диэлектрической проницаемости. Нетрудно понять, что при малом затухании эрмитова часть тензора намного превосходит антиэрмитову и определяет собственные частоты волн. Поэтому задачу о нахождении собственных колебаний соа можно решить методом теории возмущений. В нулевом приближении в Л(0)ар вместо еар подставляется эрмитова часть тензора диэлектрической проницаемости. Затем с помощью А(0)ар находят собственные частоты соа и собственные векторы еа, после чего, используя ортогональность собственных векторов эрмитовой задачи, нетрудно получить следующее выражение для декремента затухания волны:

Г = — dX'^Mf —-^- el-(10)

дю

Итак, тензор диэлектрической проницаемости еар определяет собственные значения соа (7) и поляризацию (6) собственных колебаний плазмы. При этом эрмитова его часть ezap ответственна за собственные частоты; антиэрмитова ezzap определяет соответствующие декременты затухания (10).

ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ

Тензор диэлектрической проницаемости изотропной плазмы. Продольная и поперечная проницаемости. Для нахождения явного вида тензора диэлектрической проницаемости необходимо, прежде всего, разрешить уравнения Власова (1) [1] для ионов и электронов относительно bfb иными словами, выразить 6/у через самосогласованное поле волны. Для изотропной плазмы Во=О. Поэтому, используя пространственно-временную зависимость величин, описывающих волну, в виде ехр(—icoZ+ikr) (см. п. 1.1), нетрудно записать:

/ vXB\ Ofo

Sf, = — i —- ^ '-.(11)

mj со — kv

Заметим, что для -изотропной плазмы (д1^1дч)=туд1^1д&^ где ej=mjV2/2 — энергия частицы. Это означает, что в (11) слагаемое, связанное с самосогласованным магнитным полем, обращается в нуль, так как (vx В)с^/ду = 0. Учитывая последнее, имеем выражение для связи плотности тока с электрическим полем волны:

2Ua ■■ -

,12>

//

S

e1! г* У“ дич

— ^—dav.(13)

т, J kv— <o

С помощью (5) и (13) и простых преобразований можно выражение для тензора диэлектрической проницаемости изотропной плазмы привести к виду [2]:

’ар’арЬ Ь \ь ь-^W, к)+-^е>. к),Ь Ь \ь ь-^W, к)+-^е>. к),гдегдее1^, к) =е1^, к) =^fo/ о кW, с dv — d?u, msk2 J kv —co^fo/ о кW, с dv — d?u, msk2 J kv —co8*8*^(kXvlXk]-^- rrijk^to Jkv —co^(kXvlXk]-^- rrijk^to Jkv —co(14),(15).(16)(14),(15).(16)

’ар

’ар

Ь Ь \ь ь

-^W, к)+-^е>. к),

Ь Ь \ь ь

-^W, к)+-^е>. к),

где

где

е1^, к) =

е1^, к) =

^fo/ о к

W, с dv — d?u, msk2 J kv —co

^fo/ о к

W, с dv — d?u, msk2 J kv —co

8*

8*

^(kXvlXk]-^- rrijk^to Jkv —co

^(kXvlXk]-^- rrijk^to Jkv —co

(14),

(15).

(16)

(14),

(15).

(16)

Ниже будет рассказано, как вычисляются интегралы в (15) и (16).. Здесь же выясним смысл величин г1 и е+. Для этого подставим (14) в (7), а затем в (6) и определим поляризацию собственных, колебаний.

Итак, подставляя (14) в (7), получаем:

Л(о), к)=ег(о), к)[Л^2 —8+(со, к)]2 = 0,(17)

причем (17) распадается на два независимых уравнения:

ez (со, к)=0;(18).

^2 = е+(й), к).(19>

Покажем, что первое уравнение определяет частоты и декременты затухания продольных волн в плазме, а второе — то же, но для поперечных. Для этого подставим (14) в (6) и перейдем в систему координат, где ось 2 направлена вдоль волнового вектора к. Тогда уравнения, определяющие собственные векторы, преобразуются к виду:

^-N^Ex>ti = ^(20),

^£z=0.(21)

Из уравнений (20) и (21) следует, что если выполняется дисперсионное уравнение (18), то Ех=Еу=0, а Ех^0. Это означает, что^ 8z(cd, к) определяет продольно поляризованные волны. Поэтому е7 называют продольной проницаемостью плазмы. В другом случае, когда удовлетворяется дисперсионное уравнение (19), Ех#=0, Е^^О, a Ez^O, и мы имеем дело с поперечными электромагнитными волнами, для которых 8+(о, к) —диэлектрическая проницаемость плазмы (иначе поперечная проницаемость).

Из сказанного выше следует, что в изотропной плазме попереч- • ные и продольные волны распространяются независимо.

Выше мы не затрагивали вопроса о вычислении интегралов, входящих в правые части (15) и (16). В этих интегралах интегри- 246

рование идет по всему пространству скоростей. Поэтому интегралы могут содержать полюсы в точках (D=kv. О правилах обхода полюсов и о физическом смысле получаемых при вычислениях результатов см. пп. 2.3 и 5.1.

Электромагнитные волны. Используя (16) и (19), нетрудно записать дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в изотропной плазме в явном виде:

^2с21 , V 2^2 f [kX v)Xk] dfoj/dv

—Г- = 1 + 71 —11 dv.(22)

со21 rrtik^to Jco — kvv z

/

Для решения уравнения (22) прежде всего необходимо задать невозмущенные функции распределения по скоростям /о?. Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что невозмущенное состояние плазмы является термодинамически равновесным, т. е. распределение частиц по скоростям максвелловское.

Если посмотреть на интеграл, стоящий в правой части (22), то нетрудно заметить, что подынтегральное выражение может в принципе содержать полюс в точке co=kv. Покажем, что для электромагнитных волн полюс отсутствует, и решим дисперсионное уравнение. Рассмотрение проведем следующим образом. Вначале предположим, что co>kv (полюс отсутствует) для всех скоростей частиц вплоть до скорости света. В этом предположении вычислим интеграл и решим дисперсионное уравнение, т. е. найдем зависимость частоты от волнового вектора. А затем покажем, что фазовая скорость со/k электромагнитных волн в изотропной плазме действительно больше скорости света.

Итак, если (со/Л)>с, то для рассматриваемой нерелятивистской плазмы (T^ztZjC2) в подынтегральном выражении в (22) kv можно пренебречь по сравнению с со, так как основной вклад в интеграл дает область тепловых скоростей, а полюс отсутствует. Для двухкомпонентной плазмы (рассматриваемой в обзоре), состоящей из электронов и однозарядных ионов одного сорта, уравнение (22) нетрудно преобразовать к виду:

^=1- ""+,“'“ ;^. = ^ = п..(23)

to2to2тед

где соо е и coo г — электронная и ионная ленгмюровские частоты. Так как о2ог в mijme раз меньше (о2Ое, то в (23) можно отбросить <d20i. Это говорит о том, что в высокочастотные колебания плазмы ионы вносят пренебрежимо малый вклад.

Легко видеть, что решением (23) служит:

to2 = k<Zc2 + to2Qee(24)

Отсюда видно, что (со/й)>с. Таким образом, исходное предположение является правильным. Выражение (24) связывает волновой вектор и частоту для электромагнитных волн. При точном вычислении интеграла, стоящего в (22), находим, что поправки имеют порядок Tlrriiec2. Так как такие же поправки нами не учтены в ис-

ходных кинетических уравнениях, то формулу (24) следует считать точной в нерелятжистском приближении.

В заключение еще раз заметим, что поляризацию электромагнитных волн определяют из уравнений (20) и (21). Из (20) следует, что Ех- и ^-компоненты не связаны между собой. Это означает, что в изотропной плазме могут распространяться электромагнитные волны с произвольной поперечной поляризацией, иначе — с произвольным отношением Ех/Еу.

Ленгмюровские колебания. Затухание Ландау. Неизотермический звук. Исследуем теперь продольные колебания плазмы. Прежде всего рассмотрим случай высоких частот. Нетрудно понять, что при исследовании высокочастотных колебаний движением ионов можно пренебречь. Действительно, инерционные ионы не успевают «следить» за быстроосциллирующими электронами и создают лишь однородный практически неподвижный фон [см., например, (23) и последующее объяснение]. Поэтому, подставляя (15) в (18), отбросим ионное слагаемое. Переходя затем в систему координат, где ось z направлена вдоль к, и интегрируя по поперечным электронным скоростям, получаем:

ОО

8/(ю, ^) = i+±£l(25)

v 71 kme J co — RDx 7

—oo

В (25) подынтегральное выражение имеет полюс в точке со—&у. Поэтому необходимо указать правило обхода этой точки. Эта задача, имеющая принципиальное значение для кинетической теории волн в плазме, была решена Л. Д. Ландау [3]. При ее решении автор показал, что в бесстолкновительной плазме существует особый тип затухания, которое с тех пор называется затуханием Ландау. Прежде чем перейти к изложению сути работы Л. Д. Ландау, заметим, что для рассматриваемых здесь продольных высокочастотных колебаний плазмы удобно совместно с уравнением Власова для электронов использовать уравнение Пуассона для электрического потенциала ср. В рассматриваемой системе координат эта система уравнений одномерна и в линейном приближении имеет вид:

еdydf0

(26)(26)тедгди

(26)

(26)

5-5- = 4»е f bfedv.

дх1J

Легко показать, что для линейных колебаний, когда 6fe и ф пропорциональны ехр(—ico^ + i&z), условием разрешимости (26) является дисперсионное уравнение (25).

В чем суть подхода Ландау? Прежде всего Ландау указал, что в реальной постановке задачи о линейных колебаниях плазмы должны быть заданы либо начальные, либо граничные условия.

методом с(27)(28/(29)(30)методом с(27)(28/(29)(30)ехр( — iro/) е ^к, to)ехр( — iro/) е ^к, to)(31)(31)

методом с

(27)

(28/

(29)

(30)

методом с

(27)

(28/

(29)

(30)

ехр( — iro/) е ^к, to)

ехр( — iro/) е ^к, to)

(31)

(31)

В рассматриваемом здесь случае, когда задается волновой вектор к, надо решать задачу с начальными условиями. Будем считать, что внешнее воздействие включается в момент времени <=0. Воздействие создает некоторое начальное возмущение ^(u)expi^z электронной функции распределения (так как задача однородная линейная, то достаточно рассмотреть одну гармонику по к). Сказанное означает, что в правую часть уравнения Власова (26) мы должны ввести 6-образный источник 6(i/)g(y)exp ikz. Естественно, что зависимость по координате навязывается начальным гармоническим возмущением. Это означает, что ф, 6f„~exp ikz.

Решение системы (26) будем искать стандартным помощью преобразования Лапласа по времени:

| fkp (у) 1 _ f exp (— рЦ |^У’ | dt.

I Tap JI 1

Тогда из (26) получаем:

f —I ^6 ^ m .

ip — ku ' ip— ku m du p

Подставляя (28) в (26), получаем:

OQ__Г g(u^U

^kp &2e/(£, ijp) J ip — ku *

В соответствии с теорией преобразования Лапласа: a + ioo с—ioO

где интегрирование по р проводится в правой полуплоскости. Теперь можно перейти .к введенной ранее частоте путем замены переменной р=—ico. Тогда зависимость потенциала от времени определяется формулой:

ОО + Ь

Чк (0 = J dm

—оо+Ь

причем в (31) интегрирование проводится в верхней полуплоскости по комплексной переменной со. Проанализируем выражение, стоящее в правой части (31). Так как интегрирование проводится по всем со, то, строго говоря, определенной связи со с к не существует. Тем не менее в асимптотике при больших / фл(0 может быть пропорциональна ехр(—ico°7). В самом деле, если g^ не имеет особенностей, то ф^(/) будет определяться нулями 8z(co, ку В этом

Как видно, (28) отличается от dfe в (11) заменой со-нр и добавлением слагаемого, связанного с g(p).

случае 8fk(t) и ф6(/) пропорциональны ехр(—i®"/), где ®°(Л) определяется дисперсионным уравнением (25), причем ez(со, k) в подынтегральном выражении в (31) есть заданная в верхней полуплоскости функция комплексной переменной со. Это, в частности, означает, что вблизи действительной оси нужно слегка приподнять ю вверх, т. е. в (25) заменить ow-co+is. Это и есть правило Ландау обхода полюсов.

После сказанного мы в состоянии исследовать дисперсионное уравнение (25). Прежде всего необходимо в (25) подставить явное выражение для fo — одномерную максвелловскую функцию распределения электронов по скоростям, т. е. fo=rto(m/2nT)exp (—mu2/2TV Затем можно использовать формулу Сохоцкого—Племеля, в соответствии с которой в интегралах типа (25) (о—^o+ie)-1 следует заменить на Р(®—ки)—1л6(<о—Ло), где символ Р означает главное значение интеграла. После этого нетрудно вычислить интеграл в (25) для наиболее интересного случая т">куе (ие=^2Т,те— тепловая скорость электронов). После таких вычислений дисперсионное уравнение (25) имеет следующий вид:

(32}(32}

(32}

(32}

Решение (32) есть ®=(0г+1уь, где тд = тЛ “^ + ЗЛТ fme;

Югсо2 Л<2n^^yЮгсо2 Л<2n^^y“He&3Ue3“He&3Ue3to2^7/to2^7/(33)(33)

Югсо2 Л

<2n^^y

Югсо2 Л

<2n^^y

“He&3Ue3

“He&3Ue3

to2

^7/

to2

^7/

(33)

(33)

Формулы (33) определяют частоту и декремент затухания продольной высокочастотной волны, которую называют электронной ленгмюровской волной. Как видно из (33), скорость ленгмюровских волн зависит от волнового вектора к (об этом иначе говорят как о пространственной дисперсии ленгмюровских волн). Этот результат впервые получен в работе [1].

Важным результатом, который отражают формулы (33), является то, что электронные ленгмюровские колебания в бесстолкновительной плазме затухают. Этот факт и формула (33) для декремента затухания -\L были установлены Л. Д. Ландау [3]. Как видно из формулы для уь, при ю^к-Ое затухание Ландау экспоненциально мало.

Рассмотрим общий случай произвольных частот. В (25) интеграл как функция комплексной частоты со или лучше как функция комплексного переменного 2= (<о/^ие) выражается через табулированную функцию w(z), имеющую асимптотические разложения и называемую интегралом вероятностей [4]:

exp (/2) dtexp (/2) dt(34)(34)

exp (/2) dt

exp (/2) dt

(34)

(34)

Дисперсионное уравнение (25) в общем случае можно предста

вить в виде

I + -7— [1 4-i ^^(z)] = 0,(35)

где A,Ds (Уе/юое) —дебаевский радиус экранирования.

Рассмотренному выше случаю ю^кое соответствует Rez)>l; Тш2<С1. Для таких z w(z) представима в виде следующего ряда:

^2) = rM + ^ + ^ + ---)+exp(~2£)' (36)

Несложно проверить, что подстановка (36) в (35) приводит к дисперсионному уравнению (32) и выражениям (33) для частоты и декремента бесстолкновительного затухания ленгмюровской волны.

Нетрудно понять физический смысл бесстолкновительного затухания Ландау. Он© определяется, как видно из (33), значением производной от равновесной функции распределения в точке у=со/^. В этой точке частицы находятся в резонансе (иногда говорят в черепковском резонансе) с волной \ а следовательно, и взаимодействуют с ней наиболее эффективно. Нетрудно понять, что частицы, проекция скорости которых на_ направление распространения волны лежит в интервале у —7 О г-< у — ,

Рис. 1. Захваченные частицы в плазме с максвелловским распределениемРис. 1. Захваченные частицы в плазме с максвелловским распределениемпопадают в потенциальные ямы волны, причем электроны, скорость которых несколько превышает фазовую скорость ленгмюровской волны, отдают свою энергию при отражении от потенциального барьера, движущегося со скоростью ю,к, а отстающие электроны подталкиваются барьером, забирая энергию у волны [5]. Для максвелловского распределения число последних больше числа первых (рис. 1). Поэтому суммарный эффект приводит к отдаче энергии волны частицам плазмы, т. е. к ее затуханию. Естественно, что в связи с малостью области захвата (рассматриваем линейные волны — волны малой амплитуды) разность числа частиц, отбирающих энергию у волны и отдающих ей свою энергию, выражается через производную функции распределения. Это находится в соответствии с приведенным в (33) точным решением. Теперь нетрудно понять, что наиболее сильно затухают волны, чьи фазовые скорости лежат вблизи тепловых скоростей частиц Uj. Как видно из (33), для фазовых скоростей, много больших тепловых, затухание Ландау экспоненциально мало, так как в этом диапазоне скоростей экспоненциально мало частиц.

Рис. 1. Захваченные частицы в плазме с максвелловским распределением

Рис. 1. Захваченные частицы в плазме с максвелловским распределением

В другом предельном случае, когда 4>lk^vh затухание Ландау мало по другой причине. В этом диапазоне скоростей функция распределения меняется слабо с изменением скорости частиц. В соответствии с этим мала и производная (хотя и неэкспонен- ч циально). Рассматриваемый случай реализуется для низкочастотных продольных колебаний, называемых неизотермическим звуком.

Пусть температура Te^>Tt. Тогда, учитывая ионное движение- (колебания низкочастотные) и решая дисперсионное уравнение способом, описанным выше, нетрудно найти выражения для частоты <BS и декремента затухания у, неизотермического звука:

®s = hV -^(1+3-р-);

Г «/ \те 7,3?х

д.(ТеА312(

Y = 1/ ~ё" ^ У —~ ( V —- + Iv) ехР I — отН • г 8 v пц \ г mt \Ti / r \ 27 / //

Выражения (37) справедливы для длин волн, много больших' дебаевской длины экранирования.

Нетрудно понять формулу для частоты неизотермического звука. Пусть имеется избыточное давление электронного газа. Электронный газ стремится расшириться, но его движение может происходить независимо от ионов лишь на расстояниях, меньших дебаевской длины экранирования. При дальнейшем движении образующееся электрическое поле «привязывает» к электронам ионы. Поэтому с точки зрения больших длин ансамбль частиц можно рассматривать как совокупность связанных полем электронов и ионов, локализующихся в дебаевских сферах. Следовательно, несмотря на то что рассматриваемое движение характеризуется электронной температурой, масса связанной частицы естественно определяется ионной массой.

Из (37) видно, что фазовая скорость неизотермического звука много меньше тепловой скорости электронов. Поэтому имеется неэкспоненциальная малость в затухании волны на электронах. В то же время (ю81к)^>г)г — ионной тепловой скорости. Поэтому затухание Ландау на ионах экспоненциально мало. Легко понять, что в изотермической плазме звук сильно затухает.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТИЦС ВОЛНАМИ

Волны Ван-Кампена. Если обратиться к уравнению (1), то нетрудно заметить, что оно является неоднородным относительно функции 6fe. До сих пор мы рассматривали частное решение этого неоднородного уравнения. Если же рассмотреть и однородную часть, то к решениям типа (11) следует добавить решение уравнения (со—kv)6// = 0. Это решение имеет вид:

Sf/ = zzres^6 (cd—kv) exp (—icoZ+ikr),

где fires — произвольная постоянная относительно v. Функция 6/еш описывает односкоростной модулированный пучок электронов, скорость которого (о/Й, а ПЛОТНОСТЬ — fires-

Рассмотрим продольные высокочастотные волны. Следует напомнить, что решение с 6 (со—kv), но с фиксированной константой фактически уже есть. В самом деле, из (11) и результатов, разд. 3.3 следует:

g^ i 5£ ^fo р I 1\ e^k dfo

e тДю — ^u + ie) du \co — ku / m3 du

+X8(®- kv).(38)

me du

Добавляя 6fe" к (38), получаем общее решение в виде

6^ = Ip (—-—^^2*_L (/res Ф68 (ю — to)У exp (— i^-]-ito), (39)

(\ co — kv J me duJ

где dres — новая произвольная относительно v константа.

Подставляя (39) в уравнение Пуассона [см. (26)], получаем дисперсионное уравнение в виде

1 + -^ f p^l^dvA-^—d.res = 0.(40)

г тек Jto —fev' k*\k\

—ОО

В уравнении (40) имеются две независимые величины со и dres, каждую из которых при заданном волновом векторе к можно рассматривать как функцию другой. Иными словами, (40) не дает однозначной связи частоты со с волновым вектором [это находится в соответствии с выводами Л. Д. Ландау, см. (31)]. Уравнение (40), в частности, показывает, что для любой частоты можно подобрать такую плотность резонансных частиц (задать такое dres), ПрИ КО- ТОрОЙ решением (26) будет незатухающая волна с частотой со. Такие волны называют волнами Ван-Кампена. Из (39) видно, что* волна Ван-Кампена есть модулированный пучок частиц, движущийся вместе с поляризационной волной, фазовая скорость которой совпадает со скоростью модулированного пучка. Можно сказать иначе. В волнах Ван-Кампена к резонансным частицам, захваченным волной из максвелловской плазмы, добавлены резонансные частицы модулированного пучка, компенсирующие затухание Ландау. Нетрудно сообразить, что для ленгмюровских волн, рассмотренных в разд. 3.3, компенсирующая добавка экспоненциально мала. Поэтому мала разница волны Ван-Кампена и ленгмюровской. Лишь в том случае, когда плотность модулированного* пучка электронов fires не экспоненциально мала, волны Ван-Кампена заметно отличаются от ленгмюровских. Именно такие волны принято называть волнами Ван-Кампена в узком смысле этого названия.

Резюмируя, можно сказать, что спектр собственных продольных высокочастотных колебаний плазмы состоит из набора ленг-

мЮровских (волн .и волн Ван-Кампена. Как показано в работе [6], такой набор является полным, т. е. любое возмущение (в частности, начальное) можно разложить по этому набору функций. При этом решение задачи с начальными условиями, естественно, совладает с решением Ландау.

Взаимодействие резонансных частиц с волной конечной амплитуды. Проще всего разобрать физику указанного взаимодействия на примере ленгмюровской волны.

Как это следует из п. 2.3, в линейном приближении взаимодействие резонансных частиц с ленгмюровской волной приводит к затуханию Ландау. Если обратиться к качественному анализу причины затухания Ландау, то можно понять необходимость нелинейного рассмотрения указанного эффекта. Действительно, при рассмотрении баланса энергии между частицами, отдающими энергию волне и приобретающими ее у волны, учитывается лишь однократное отражение частиц от стенок потенциальной ямы волны (такое рассмотрение соответствует линейному приближению). Нетрудно понять, однако, что после первых отражений частицы могут как бы поменяться ролями: отстающие от волны становятся догоняющими и наоборот. На первый взгляд может показаться, что в бесстолкновительной плазме рассматриваемый процесс будет обратим. Однако вопрос более сложен. Прежде всего происходит процесс «разбегания» резонансных частиц с чуть отличающимися скоростями по большому набору мод Ван-Кампена. Со временем этот набор волн может потерять фазовую корреляцию. Тогда в игру вступает перемешивание фаз резонансных частиц, ведущее к необратимости, так что для ,ответа на вопрос, как развивается процесс затухания Ландау, необходимо перейти к нелинейному рассмотрению.

Как и в п. 2.3, исследуем случай больших фазовых скоростей (tojk^>>ue. Из-за экспоненциальной малости числа резонансных частиц в этом случае задачу о взаимодействии резонансных частиц с ленгмюровской волной удобно рассмотреть с помощью теории возмущений. В первом приближении такой теории будем считать волну стационарной и рассмотрим кинетику частиц в этой волне. Затем учтем обратное влияние резонансных частиц на исходную волну.

Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с волной, и выберем нормировку потенциала волны в виде

ф = ф0 (1 — cos kz) /2 = (p0sin2 ^kz/^, (41) после чего исследуем движение частиц на фазовой плоскости 2, о (рис. 2).

Резонансные с волной электроны можно разделить на захваченные в потенциальные ямы волны, совершающие финитное движение, и пролетные, инфинитное движение которых заметно искажено потенциалом волны.

Рис. 2. Фазовые траектории частиц в поле ленгмюровской волны

Рассмотрим захваченный электрон, движущийся вблизи дна ямы. Для него &2<С1, а следовательно, уравнение движения можно записать в виде

mez=e(5(p/5.2) =e^((p0/2)sin(n+^) ^

—(^о/2)^22.(42)

Это уравнение, как хорошо известно, описывает колебания с частотой Qb=£ ^777* Естественно ожидать, что характерный временной масштаб изменения функции распределения резонансных частиц будет порядка ть=$2ь“1, причем, если за время, которое нужно захваченной частице для того, чтобы сделать хотя бы один оборот, амплитуда волны изменится существенно, частица не попадет в захват. В этом случае затухание волны определяется однократными отражениями частиц от горбов потенциала, что означает применимость линейного приближения. Иными словами, линейное приближение справедливо, если уьть^>1 или фо^уъ2^/^. В противоположном случае, когда фо^>Уь2^е/£2е, необходимо привлечь нелинейное рассмотрение.

Итак, пусть фо^Уь2^/^, но все же амплитуда волны невелика, так что невелика область захвата частиц по скоростям. Это- позволяет разложить в ряд начальную функцию распределения резонансных частиц: f0 (у) — fo W^) + ^Г^ ~Считая /о(^) заданной в начальный момент времени ^=0, функцию распределения в последующие моменты можно получить методом интегрирования по траекториям [7]. Для этого нужно найти траектории частиц в электрическом поле волны (41). Затем заменить v—tolh-^o'V(2/m) {е—e<po[sin(kzQ(2, е, ^)/2)]2}, где 20(2, е, /) — начальная координата электрона с энергией е, попадающего в момент времени t в точку 2; ог= + 1 определяет направление движения частицы. После выполнения указанной процедуры, следуя [8], можно записать функцию распределения захваченных частиц в виде

(• Г / 1 kz\ i 11)

f f(2, 8,— СП \F — ’— ~ ’> — ?X

xj2me(S + ^0sin2-|-)}"(43)

ф

где х2=ефо/е; F (а; ф) = / d$(l—a2sin2)-172 — эллиптический инте- о

Г г / 1 кх \ t 11

грал первого рода; сп|г1~» "Tj”’ ” эллиптический косинус, который является осциллирующей функцией х, причем период осцилляций по х уменьшается с ростом L Иными словами, с течением времени усиливается перемешивание частиц по фазам. Это позволяет произвести усреднение по быстрым осцилляциям, в результате чего быстро осциллирующая часть исчезает, и на -функции распределения образуется плато в области резонансных частиц, причем <//> ^(со/6), где < > означают усреднение по быстрым осцилляциям.

Следует отметить, что процессу сглаживания — платизации— функции распределения захваченных частиц способствуют столкновения. В самом деле, увеличение осцилляций означает появление на функции распределения большой ряби. В этих условиях нельзя пренебрегать интегралом столкновений, который, как было показано в [9], носит диффузионный характер (в пространстве скоростей). В рассматриваемых условиях после определенного момента времени вторые производные по скоростям становятся большими и «быстро рассасывают «мелкомасштабную рябь на функции распределения. Таким образом, в результате совместного действия фазового перемешивания и столкновений с малым изменением скоростей частиц на функции распределения устанавливается плато в области захваченных частиц.

В области пролетных резонансных частиц картина иная. Функция распределения пролетных частиц, найденная тем же способом, что и (43), имеет вид:

Mz,+bdnx

\ \ к ) dv ! k r те

/ kz \ tГо I „. 2 kz 1/2..

Fix,) —, x у 2/zz s ^ф sin21.(44)

\2 / xt^ J J2 / J

Так как среднее значение эллиптической функции dn не равно пулю, то </inf (а) >#=/о(а>/&)—второе слагаемое в (44) также дает ненулевой вклад.

Теперь, зная поведение во времени функции распределения захваченных и пролетных частиц, можно определить изменение во времени амплитуды волны. Для этого введем зависящий от времени декремент затухания: у (/) =dW/Wdt, где W= — ~- J dz -^- [д<р/(?2]2 — энергия волны (X — длина волны). о

Прежде чем перейти к изложению результатов вычисления для синусоидальной волны, необходимо отметить, что в [10] была найдена функция распределения /(у, /) для случая волны, имеющей периодическую последовательность прямоугольных барьеров. В [10] показано, что в этом простейшем случае затухание Ландау обя-

зано лишь захваченным частицам. Затухание определяется вначале значением уь из линейной теории, затем осциллирует с периодом, имеющим порядок т6, исчезая после полного перемешивания фаз частиц.

Для синусоидальной волны, как это показано в [8], вклад в затухание дают также и пролетные частицы. Подставляя (43) и (44) в выражение для у (0, находим следующую зависимость У (0 [8]:

ОО1п=0 оОО1п=0 о2лл2 sin [ —-х5т<2(1 + ^2та) (1 + q-m)

ОО1

п=0 о

ОО1

п=0 о

(45)(45)( (2п 4- 1) ret(2/г+ 1)тс2 sin —

(45)

(45)

#2(1 ^дйп + г^ (1 +^-2/г-1)

где 7<(х) =£(х; л/2)— полный эллиптический интеграл первого рода; q=exp(n,K',K')> а К'=К^^—х2)- Этот ряд считается численно. На рис. 3 приведен график функции у(/)/уь в координатах QbZ. Видно, что у(0/Ть представляет собой осциллирующую с затуханием функцию. Это означает, что амплитуда волны выходит на плато за время, за которое y(Z) становится приблизительно равным нулю.

В рассматриваемой задаче естественно возникает сдвиг частоты. Этот сдвиг найден в [11] (см. рис. 3).

В заключение остановимся кратко на стационарных волновых решениях нелинейной кинетической задачи. Для ее решения в’[12] использовалось уравнение Пуассона (с учетам ионного фона) и нелинеаризованное уравнение Власова для одномерного движения электронов. Характер совместного решения этих уравнений можно понять с помощью анализа траекторий электронов на фазовой плоскости. В используемой здесь системе координат, связанной с волной, эти траектории определяются уравнением е=ту2/2+ 4-e<p(z). Значение энергии определяет конкретную траекторию. Полностью же движение частицы задается не только е, но и величиной 6, указывающей местоположение частицы на траектории.

Рис. 3. Зависимости декремента затухания и сдвига частоты ленгмюровской волны от времени в режиме захвата частиц волной (качественные кривые)Рис. 3. Зависимости декремента затухания и сдвига частоты ленгмюровской волны от времени в режиме захвата частиц волной (качественные кривые)

Рис. 3. Зависимости декремента затухания и сдвига частоты ленгмюровской волны от времени в режиме захвата частиц волной (качественные кривые)

Рис. 3. Зависимости декремента затухания и сдвига частоты ленгмюровской волны от времени в режиме захвата частиц волной (качественные кривые)

9 Зак. 137257

Поэтому от переменных 2, у можно перейти к переменным е, 6 в функции распределения частиц. Эта функция распределения f (е, 9) может не зависеть от времени, если частицы распределены по траектории так, что / постоянна вдоль всей траектории. Это означает, что / не зависит от 0, а является функцией лишь энергии е. Если такую функцию согласовать с потенциалом с помощью уравнения Пуассона, то можно найти стационарные решения, описывающие нелинейные установившиеся волны. Такая задача была решена в работе Бернштейна—Грина—Крускала (БГК) [12]. Поэтому соответствующие волны называют волнами БГК.

ЭФФЕКТЫ ПАМЯТИ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ

Посмотрим с несколько иной точки зрения на процесс затухания Ландау. Пусть применима линейная теория. Как мы знаем, в этом случае никакого захвата частиц в потенциальные ямы волны нет, так как затухание происходит быстрее, чем частица успеет пройти между горбами потенциала. При этом отдельные Iруппы резонансных частиц как бы «разбегаются» по несфазиро- ванным ван-кампеновским модам, а поэтому не возникает макроскопических волновых полей. Иными словами, можно сказать, что затухающая волна тратит свою энергию на расфазировку частиц, иначе — на перемешивание фаз частиц.

Здесь так же, как и в нелинейном случае, возникает вопрос об обратимости процесса. Вопрос не простой. Не рассматривая его подробно, подчеркнем, что число мод Ван-Кампена, между которыми произошло перемешивание резонансных частиц, велико. Это означает, что время обратимости весьма велико. Поэтому за такое большое время в игру могут вступить неучтенные воздействия (в частности, столкновения), нарушающие обратимость. Тем не менее фазовая память частиц о породивших их макроскопических колебаниях может сохраняться весьма долго. Это приводит к существованию в бесстолкновительной плазме явлений, объяснение которых возможно лишь в рамках кинетической теории. К таким явлениям относится эхо в плазме, просветление плазменных волновых барьеров резонансными частицами, баллистическая трансформация волн и нелокальное отражение от волновых барьеров в магнитоактивной плазме.

Эхо в плазме. Плазменное эхо было предсказано в [13]. Явление состоит в следующем. Возбудим ленгмюровскую волну, линейно затухающую по Ландау (во времени или в пространстве). После .того, как эта волна затухла, возбудим вторую ленгмюровскую волну. Тогда после затухания и второй волны в плазме возможны вспышки высокочастотных колебаний через определенные интервалы времени (для временной задачи) или через определенные пространственные интервалы (для пространственной задачи).

Естественно связать явление плазменного эха с фазовой памятью резонансных частиц. Чтобы показать, что это действительно так, рассмотрим более простой пример, когда последовательно 258

создаются лишь модулированные, уже расфазированные потоки электронов [14].

Пусть в точке z=0 внешним источником возбуждается элек- тричеакое поле с частотой ®1^>®о« (например, с помощью сетки). Для таких частот поляризацией среды можно пренебречь. Это означает, что в продольных движениях не возникает самосогласованное электрическое поле. Тогда, если исходный сигнал невелик, кинетическое уравнение принимает вид:

± i ^ + у 4- (8f,) = -£-£_ 4- exp (+ i«/) 8 (z),(46)

^2те ди

где f(y) —функция распределения, описывающая состояние плазмы, невозмущенное высокочастотным полем fiexpt+icoi^etz) первого источника. Решением этого уравнения служит:

Sf, (2, v, h = G (2) ——— -^- exp f dz i со U—

те v ди \\и )

где 0(2)—функция единичного скачка. Нетрудно видеть, что из-за быстрых осцилляций функции 6fi интеграл от нее по и вдали от 2=0 равен нулю. Иными словами, модулированный поток электронов, создаваемый первым источником, не создает макроскопического электрического поля. Это типичный пример ван-кампенов- ских волн.

Включим теперь в точке z—d второй модулятор потоков электронов, аналогичный первому, но работающий на другой частоте (также много большей (о0е). Невозмущенное вторым модулятором состояние плазмы описывается теперь функцией распределения ^=^^-^5^^ уДУ В соответствии с этим

8f2(z, у, /)=a(z — d) —4" exp {^zi^p — -——11 4т v ди ([ у J J

хехрхехр(47)(47)2 1( . Гу2 — d 1 ]

хехр

хехр

(47)

(47)

— } exp ^dzi^ />.

и UI L у JI

Как и для 6/1, первое слагаемое в правой части (47) не дает вклада в макроскопическое поле. Во втором же слагаемом произведение экспонент, связанное с разностной частотой coz=co1—<о2, перестает зависеть от v в точке

2=й)2б//(о)2 — coi). (48)

Это означает, что -быстрые осцилляции по у исчезают в этой точке и возникают макроскопические колебания плотности на разностной частоте, приводящие к возбуждению высокочастотного электрического поля — эха на комбинационной частоте.

Вывод о возникновении эхового сигнала справедлив и для плазменных волн, так как он, как видно из предыдущего, основан на рассмотрении поведения только резонансных частиц. В теории

Рис. 4. Профиль плотности в прямоугольном волновом барьере для ленгмюровских волнРис. 4. Профиль плотности в прямоугольном волновом барьере для ленгмюровских волнНаряду с эхом на плазменных частотах было рассмотрено эхо,Наряду с эхом на плазменных частотах было рассмотрено эхо,эха на плазменных волнах, помимо резонансных, необходимо учитывать возмущение остальных электронов, так как на этих частотах важную роль играет поляризация среды. Поэтому количественная формулировка меняется — в выражение для функции распределения второго порядка войдет диэлектрическая проницаемость плазмы.

Рис. 4. Профиль плотности в прямоугольном волновом барьере для ленгмюровских волн

Рис. 4. Профиль плотности в прямоугольном волновом барьере для ленгмюровских волн

Наряду с эхом на плазменных частотах было рассмотрено эхо,

Наряду с эхом на плазменных частотах было рассмотрено эхо,

соответствующее другим типам бесстолкновительно-затухающих

волн в плазме.

Итак, длительное сохранение в бесстолкновительной плазме фазовой памяти частиц о затухшем высокочастотном электрическом поле приводит к возможности создания макроскопического эффекта — эха в плазме.

Просветление плазменных волновых барьеров резонансными частицами. Баллистическая трансформация волн. Другим эффектом, в котором проявляется сохранение фазовой памяти резонансными частицами, является просветление плазменных волновых барьеров резонансными частицами [15—18].

Рассмотрим случай [15], когда профиль плотности плазмы имеет вид плато с прямоугольным холмом в центре (рис. 4). Пусть слева, из области /, на холм падает ленгмюровская волна с частотой охСсоое (2), где (Doе (2)— ленгмюровская частота в области 2 [естественно, со>о)ое (/)]. Тогда, очевидно, эта волна не может распространяться в области 2 -и, дойдя до границ областей 1 и 2, казалось бы. лишь отразится от нее, проникая за эту границу на расстояние порядка дебаевской длины экранирования поля этой волны. Если ширина области 2—А^>ХЛ, то электрическое поле исходной волны в область 3 не проникает. На первый взгляд кажется, что исходная волна в область 3 не проникает, т. е. для нее холм 2 будет барьером непрозрачности. Это было бы так, если бы не было резонансных частиц. В действительности же резонансные частицы, отрываясь от волны на границе 1—2, беспрепятственно проходят в область 3 (бесстолкновительная плазма) и здесь могут частично регенерировать исходную волну. Эффект возможен в том случае, если на длине барьера не произойдет перемешивания фаз резонансных частиц.

Для случая, когда справедливо линейное приближение, т. е. Ф-Су^т/^е, длина, на которой происходит расфазировка частиц, нам известна. Она определяется пространственным декрементом затухания х=уь((/(о/^)-1. Иными словами, длина барьера, для которого работает описанный механизм просветления волнового барьера, удовлетворяет условию

А<х-1=уь-1^о)/^.

(49)

Нетрудно оценить D-коэффициент прохождения волны сквозь волновой барьер, равный отношению квадрата модуля амплитуды падающей волны l^l2 и |ЕП|2, соответствующей величине для регенерированной волны. Перед барьером ток резонансных частиц можно оценить с помощью следующих рассуждений. Уменьшение

потока энергии за период в результате поглощения ее резонансными частица-ми приблизительно равно (х/й) (Jco/d^)^2. Кроме того, эта величина пропорциональная работе, совершаемой волной над резонансными частицами, т. е. /п(—а^Е^ откуда уп(а^^^-^Е^ Теперь можно сравнить работу, произведенную резонансными частицами над регенерируемой волной ju(a?)En, с потоком ее энергии—£п2, откуда Ыа) ~Еп. Пренебрегая dkdk

малым уменьшением тока резонансных частиц внутри барьера,

—Ей или D к—Ей или D кполучаем, что Еп~получаем, что Еп~2. Строгое теоретическое рас

—Ей или D к

—Ей или D к

получаем, что Еп~

получаем, что Еп~

смотрение, проведенное в [15], приводит к следующему результату:

D ^\ — ехр' кD ^\ — ехр' к2х\V1 + ^yg/to22х\V1 + ^yg/to2(50)(50)

D ^\ — ехр' к

D ^\ — ехр' к

2х\

V1 + ^yg/to2

2х\

V1 + ^yg/to2

(50)

(50)

где 8О=|^(ро|/Л а |фо| —абсолютная величина скачка потенциала на границах волнового барьера.

Если рассмотреть амплитуды волн, для которых применима нелинейная теория ^^ч^тЬ^е^ то аналитические выражения для D можно получить в следующих предельных случаях [17]:

D^^lbP, если А<С/&;

D^(xlby(—\ sin2 (—— —) , если ^^1Ь,(52)

\ △ / Mb 4 )

где lb = xb^lk— характерная длина, на которой резонансные электроны совершают колебания между горбами потенциала. Результат (52) находится в соответствии с осциллирующе-затухающим характером нелинейного декремента затухания Ландау (см. в разд. 4.2).

Как видно из проведенного выше рассмотрения, эффект просветления волновых барьеров возникает и для барьеров нерезких, при этом, естественно, меняются выражения для соответствующих D, качественная же картина процесса сохраняется [16, 18].

Нетрудно понять, что если резонансные частицы, пройдя область непрозрачности, могут затем возбуждать волны другого типа, то возможна нелокальная трансформация волн, названная баллистической тромоформацией волн [19, 20]. Иными словами, если «точка» трансформации лежит за точкой поворота, то в бес* столкновительной плазме возникает явление баллистической трансформации волн.

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНВ МАГНИТОАКТИВНОИ ПЛАЗМЕ

Магнитное поле заметно меняет картину волновых движений в плазме. Прежде всего следует отметить, что магнитное поле увеличивает число собственных колебаний пладмы. Велико влияние магнитного поля на поляризацию волн. Продольные и поперечные волны в магнитоактивной плазме оказываются, вообще говоря, неразделимыми. Иными словами, поляризация собственных колебаний плазмы такова, что эти колебания, как правило, характеризуются и продольными и поперечными компонентами электрического поля. Лишь при определенных условиях (соотношение между параметрами плазмы, выбор направления распространения волны) могут возникать чисто продольные или чисто поперечные волны.

Интересным явлением, характерным для магнитоактивной бесстолкновительной плазмы, является существование волн, не имеющих аналога в газодинамике. Эти волны называют обычно модами Бернштейна [21].

К особенностям магнитоактивной плазмы следует отнести и то обстоятельство, что магнитное поле вовлекает в резонанс с волнами заметно большее число частиц в сравнении с изотропной плазмой. Так, например, для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, резонансы возникают не только для частиц, движущихся вместе с волной (со = ^— черепковский резонанс), но и для частиц, совершивших дополнительно краткое число оборотов по ларморовской окружности (co = 6v+^Qj — циклотронный резонанс, целое число).

Тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы. Циклотронное затухание. Колебания холодной замагни- ченной плазмы. Тензор диэлектрической проницаемости однородной магнитоактивной плазмы найден в [22, 23]. Для его вычисления (как и в п. 2.1) необходимо связать плотность тока, возникающего в самосогласованном поле волны, с напряженностью электрического поля волны. Для этого нужно разрешить линеаризованные уравнения Власова (1) для ионов и электронов относительно 6Де. Для максвелловской функции распределения (как для любой изотропной по скоростям) слагаемое (VXB)Xd/o/dv обращается в нуль. Учитывая это и переходя в систему координат, где ось 2 направлена вдоль Во, получаем следующее уравнение для монохроматических волн:

-1 - kv) Я Я -дГ = " Е <53> где <р — азимутальный угол в пространстве скоростей, определяемый cos Ф = е±у/у±; v±—перпендикулярная Во компонента ско-

роста частиц; е±—орт вдоль их. При 'интегрировании по ф (53 следует учесть однозначность 6f,, т. е. что 6А(ф+2л) =6^(ф). Тогда решение (53) можно записать в форме:

(Е^) -kv) ■ ,54) ОО к Ф

В этом выражении для проведения промежуточных интегрирований обычно переходят в систему координат, в которой волновой вектор расположен в плоскости хоз, т. е. к= (&±, 0, kuy Нетрудно ф

видеть, что / (kv—co)dp'= (^Уц—to)+^±y± sin ф. Подставляя этот о

результат в (54) и используя формулу ехр(—i ^ sin ф) = = ^ ^„(^expt—i и<р), где^-п(^) — функция Бесселя п-гопо- рядка; ^^k^vj^j, получаем:

со

ехр о */sin v) S ^-^.T-wехр F1 (55)

7Л = —ОО

д^ П -и V /у 1е д^п^ п ^о/ гч /а \^"'^1 0; ^П^^ ау — Х 0У±^.’ а^~ ^ц ^n^jY

Найдем с помощью (55) высокочастотный ток и получим затем следующее выражение для тензора диэлектрической, проницаемости:

В (56) указано правило обхода полюсов Ландау. В (56):В (56) указано правило обхода полюсов Ландау. В (56):(56)(56)7С ^ар7С ^арI _ i ^n l^L ;- i y±y H ;I _ i ^n l^L ;- i y±y H ;(57)(57)

В (56) указано правило обхода полюсов Ландау. В (56):

В (56) указано правило обхода полюсов Ландау. В (56):

(56)

(56)

7С ^ар

7С ^ар

I _ i ^n l^L ;- i y±y H ;

I _ i ^n l^L ;- i y±y H ;

(57)

(57)

^l0!!^"^""’ *yiVll^«^ra: A^n •

В (55) и (56) видны резонансы, аналогичные тем, которые возникали в изотропной плазме. Нетрудно понять физический смысл этих резонансов. Как видно из (56), знаменатели обращаются в нуль при ®=^цУц+п£2,. При п=0— это условие черепковского резонанса частиц с волной, бегущей вдоль магнитного поля с фазовой скоростью ®/йц. Этот резонанс, как мы знаем, в изотропной плазме приводит к затуханию Ландау. При п#=0 возникает циклотронный резонанс для частиц, испытывающих также продольное движение. Действительно, в системе координат, где волна не дви-

жегся вдоль магнитного поля, резонансная частица также не совершает продольного движения. Ее резонанс с волной определяется условием равенства частоты волны частотам, кратным циклотронной. Возвращаясь в лабораторную систему координат, получаем доплеровский сдвиг, что и приводит к записанному выше условию резонанса. Часто говорят, что при положительных п мы имеем нормальный доплер-эффект, а при отрицательных—аномальный, подчеркивая этим, что во втором случае фазовая скорость волны вдоль Во меньше скорости резонансной частицы.

Выражение (56) для максвелловской плазмы интегрируется до конца в терминах табулированных функций. В результате вычислений получаем:

to0y

—у тю(г„) nA';

toAyVy rп ’

®уу~£хх 5 юй у ^К^^ЗХ/Л/;

(58)(58)j ,П *

(58)

(58)

s = еi -kw (zn) —~ Лп;

х2 2Хku to^j У Х Ху п

Ьп

syz— гу~ 5 <»2/

ЗдесьЗдесь= 1 + £ АпАп (1 + i V^«ti •

Здесь

Здесь

Прежде чем перейти к анализу дисперсионного уравнения, отметим, что определитель Л является довольно сложной, трансцендентной функцией частоты и волнового вектора. Это значит, что число типов собственных решений, иначе — ветвей колебаний, может быть бесконечно большим. Однако реально подавляющее большинство ветвей колебаний являются сильнозатухающими. Такие решения, строго говоря, не могут называться собственными колебаниями плазмы. В свою очередь число типов слабозатухающих колебаний бесстолкновительной магнитоактивной плазмы с тепловым движением частиц ограничено. Поэтому и здесь можно говорить об отдельных ветвях собственных колебаний.

Проанализируем свойства холодной магнитоактивной плазмы, т. е. рассмотрим случаи, когда тепловым движением частиц можно пренебречь или в введенных обозначениях Znj^X, х^1. Плазму, в которой выполнены эти условия, обычно называют замагни- ченной. В нулевом приближении еаР приобретает вид:

/ 61 °\

I : _ л I ._ 1V °2°/

М —1—1£ ®! 0 |;6±— 1L (ш2 —2у2)

(60)(60)\ О О S|J z

(60)

(60)

to2 ’(O^ — S;2)'

//

Тензор диэлектрической проницаемости холодной бесстолкновительной плазмы, как видно из (60), является эрмитовым. Это неудивительно, так как, пренебрегая тепловым разбросом частиц, мы не учли резонансы^ т. е. полностью пренебрегли диссипативными процессами.

Уравнения, определяющие собственные колебания и собственные частоты, приобретают вид:

к „ — е .\Ev-\gЕи — к I к и Ez = 0;

(61)j(61)j• to2 у-1 I / у о ^^\Л

(61)

j

(61)

j

\ с /

Л (to, к) = к2 (е±^ + S н ^) — ^. [^ - g2 - s±$ н) 61 + 26=^8 n] 4-

+ -^6n (®l-^)=0-+ -^6n (®l-^)=0-(62)(62)

+ -^6n (®l-^)=0-

+ -^6n (®l-^)=0-

(62)

(62)

Уравнения (61) и (62) свидетельствуют о том, что даже в холодной магнитоактивной плазме собственные колебания нельзя разделить в общем случае на чисто продольные и чисто поперечные

265

волны. Такое разделение возможно лишь при распространении волн строго вдоль магнитного поля (&±=0; &н = &). В этом случае первые два уравнения в (61) описывают поперечные электромагнитные волны, дисперсионное уравнение для которых выглядит следующим образом: k2c2=to2^4zg). Нетрудно показать, что здесь верхний знак отвечает левополяризованной волне (£'%/£’%= =.—i), а нижний — правополяризованной поперечной волне (E-yJE”x—iy Волну первого типа называют обыкновенной, второго— необыкновенной. Третье уравнение в (61) соответствует продольным колебаниям плазмы, для которых ем = 0 является дисперсионным уравнением, согласно которому со2='со2ое.

1 + Л/с21 + Л/с22/(142/(14— альвеновские и быстрые магнито-— альвеновские и быстрые магнито-Несмотря на то что мы рассматриваем весьма частный случай — распространение волн вдоль магнитного поля в холодной плазме, простые аналитические выражения для спектров частот можно записать лишь в предельных случаях (при ox^Qi <о2=

1 + Л/с2

1 + Л/с2

2/(14

2/(14

— альвеновские и быстрые магнито-

— альвеновские и быстрые магнито-

звуковые волны, где уд = В0/у4ли0т0— альвеновская скорость, при П/<Сю<Сйе (о2Ое/йе, (o=^2c2Qe/(o2oe — свисты или геликоны, при w^>Qe о)2=^2с2+о2е (1 ^ —обыкновенная и необыкно-

венная электромагнитные волны).

В промежуточных случаях зависимость частоты от волнового вектора можно изобразить графически. Такие графики представлены на рис. 5, а.

Проанализируем дисперсионное уравнение в другом предельном случае чисто поперечного распространения (£±=£, &п=0). Для этого случая дисперсионное уравнение (62) сводится к сле

пли /г2=ю2(ех—^2)/с2ед. Первое из этих уравнений описывает обыкновенную, второе — необыкновенную волну. Спектр частот обыкновенной волны определяется тем же соотношением, что и для

е*о о*я]2

Верхняягибридная

нижняягибридная

Рис. 5. Дисперсионные кривые для холодной магнитоактивной плазмы при раз-личных углах 0 по отношению к Во

электромагнитных волн в изотропной плазме [см. (24)]: w2= = (о2ое + ^2- Подставляя это выражение в уравнение (61), нетрудно убедиться, что обыкновенная волна является поперечной с линейной поляризацией вдоль 2. Учитывая дисперсионное уравнение для необыкновенной волны, можно показать, что эта волна имеет продольно-поперечную поляризацию Ех =—i g е^^Еу. На рис. 5,6 приведены дисперсионные кривые для обыкновенных и необыкновенных волн во всем диапазоне частот.

Рассматривая рис. 5, а и б, видим, что число ветвей при поперечном распространении волн в холодной магнитоактивной плазме равно четырем в отличие от пяти при продольном распространении. При произвольных углах распространения (отличных от О и л/2) число ветвей равно пяти. Дисперсионные кривые для этого случая представлены на рис. 5, в.

Интересно отметить, что при определенных условиях необыкновенные волны могут быть почти продольными (это означает, что Е^Е^ Егу Так, при строго поперечном направлении распространения это означает, что |g|^>|e±| или проще: 8±=0. Нетрудно видеть, что это выполняется для коротких длин волн ife2c2^>ico2. Это является отражением общего свойства распространения волн в плазме, не связанного с приближением холодной плазмы, — коротким волнам соответствует квазипродольное распространение волн [Д = 0 в дисперсионном уравнении (58)]. В рассматриваемом здесь случае коротких длин волн, распространяющихся поперек магнитного поля в холодной плазме, уравнение 8±=0 дает решения: (0+ = У (020 е+^2е И (0—= ( 1 + Q2e/C020 е) ”1/2У ^е^г (ДЛЯ СЛуЧаЯ Й^СоЛе, й)-^У йеЙг). Часто колебания, соответствующие со+, называют колебаниями на верхней гибридной частоте, а со- — на нижней гибридной частоте. На рис. 5 представлены кривые зависимости частот квазипродольных волн от угла 6 (угол между волновыми векторами к и Во).

Влияние теплового движения частиц на волновые свойства магнитоактивной плазмы. Моды Бернштейна. Для рассмотренных выше собственных колебаний холодной магнитоактивной плазмы учет теплового движения частиц приводит к появлению поправок к собственным частотам и собственным векторам, которые обычно можно учесть в рамках двухжидкостной гидродинамики, учитывающей конечность ларморовского радиуса (газокинетическое давление, магнитную вязкость и соответствующие тепловые потоки [24]). Декременты слабозатухающих волн можно найти затем по формуле (10), где 8"а₽— антиэрмитова часть тензора диэлектрической проницаемости [слагаемые, определяемые резонансными частицами, а следовательно, пропорциональные 1л6(о)—&ц0ц—nQj)]; собственные векторы еа гидродинамической задачи составляют в этом случае ортогональный набор эрмито- вого оператора.

Результаты вычислений собственных частот и соответствующих декременгов затухания магнитоактивной плазмы с тепловым движением частиц для характерных случаев приведены в таблице.

267

Таблица волн в магнитоактивной плазме

Тип волн

Закон дисперсии

Декремент затухания

Поляризация (Г=0)

Альвеновская to ^ toBi «А » 4i

о = koA cos 0 (ул« с)

X

, / Л

7 = 1/ ^Х

m CD6 tg2 0,99 \

Д4 2 \з 3 еХР (-Ул/2«ге) ПРИ УЛ > Че ^ВГ^Те

^pi/2 ^2 2 \

Ь^ с» МР (“ПРИ УЛ« Че

/too-\

е= i ——ctg2e,t,0

\со/

6 + л/2

Быстрая магнитозвуковая

со < «si to/^z ^ У т(

<0 = У [у4 ул + О$ + 2улр8со$0 + + ]Л o>i + v$ — 2оло$ cos 0 ]

X

Г m Че sin2e/<02 \

ю м »л |coseiexP^ ^J при to/^z » vTe

т/J2L х

21 cos 01 у М cos 20 ——* cos 26 — 11

х i+ г х L—

Г us°s

1/ 1 + "~Т ~" 2 —-j-cos2 6 »лул

при 0)/^2 < VTe

/. to1

\^Bi sin2 0

1, о^

0=5^ 0

Медленнаямагнитозву-ковая®« toBiyTi^to^^<VTeМедленнаямагнитозву-ковая®« toBiyTi^to^^<VTe® = -^-[К "a+ »$ + 2уло8 cos 6—® = -^-[К "a+ »$ + 2уло8 cos 6—?а + Л~ ^Av$ cos?а + Л~ ^Av$ cose#= — 2e#= — 2Спиральные волны (вистлеры)Ope >totoBe toBt <to< «®Ве to/k2 ^ Vj.Спиральные волны (вистлеры)Ope >totoBe toBt <to< «®Ве to/k2 ^ Vj.^c^ to = \toBe cos°|top=^c^ to = \toBe cos°|top=Я co3 tg2 0/ co2 \

Медленнаямагнитозву-ковая

®« toBiyTi^to^^

<VTe

Медленнаямагнитозву-ковая

®« toBiyTi^to^^

<VTe

® = -^-[К "a+ »$ + 2уло8 cos 6—

® = -^-[К "a+ »$ + 2уло8 cos 6—

?а + Л~ ^Av$ cos

?а + Л~ ^Av$ cos

e#= — 2

e#= — 2

Спиральные волны (вистлеры)

Ope >totoBe toBt <to< «®Ве to/k2 ^ Vj.

Спиральные волны (вистлеры)

Ope >totoBe toBt <to< «®Ве to/k2 ^ Vj.

^c^ to = \toBe cos°|

top=

^c^ to = \toBe cos°|

top=

— exp I ——— X

8 kvTetoBe2^Угв /

r 1, to/v2<vTe

0 =^= rt/2,0 =^= rt/2,to4,

0 =^= rt/2,

0 =^= rt/2,

X, ^^Te

^Te кгпри 0^=0

V = -^- -^T exP (- toV^Te) при e = 0

Продолжение табл.

Тип волн

Закон дисперсии

Декремент затухания

Поляризация (Т=0)

Обыкновенная

си

уре

При CD > COj

КС

—х/

/

/

/

/ 9 *0,51 )2

К

Зе “^Р

/ Те \Че (2) <0«1

\ пгс^ /

уТеО2

V ~ ю V „ — ,, 2 при top < со5в

Г Л с ! _ ю2^ю2

СО > (дре > toBe e(i cos 0,1, — i sin 6)

Быстрая необыкновенная

0) 1

0

При со > со

/

/

/

! 9*9^2

К

! + 4" ЮВе

Be <0 - И'

+ 4~ ®ве

Ир6+^С2

CO > tope > toge e(— i cos0,1, isin0)

Медленная необыкновенная

VTe/cC^C 1

со,

^«ре^Ве

tope 2

+ "/«.+"У2-"

— 4“p«“Lcos2 9

при

^-<1

toBe

юве ^®pe

е = (— i cos 0,1, i sin 0)

Продолжение табл.

Тип волн

Закон дисперсии

Декремент затухания

Поляризация (Т=0)

Квазипро- дольные

а)

со = иЦ> -» тах(соре, со5е) при 0^0 V юрА ®Ве ПРИ 0 я/2 б)

/ ,.wBn“Be \Ч*

( ^Ве +2,2 )

\1 + ^е^ре /

1 при c.o^^<,mlM.

( “^ + “^1

ю= \22 ^

х/ Це + ^Ве)2-

— ^р^Ве COS20 )

e°s2 6 > ^т м

а)

Т з®2—(tope + «L) #Че cos ех

/со2 \

Хбхрпри tope »<ове

\^z° Te /

0

/т

при cos2 6 > т]М.

toBitope cos 0

при cos2 0 < т/М . VtoBe + tope

273

Бернштей-новскиемоды

Электрон-циклотрон-ные

| О—Л“Ве I >

Й Е « 1 В»

274

Тип волн

Закон дисперсии

Декремент затухания

Поляризации (Г=0)

Асимптотики при 1)

®Ве ^ tope

Ып = ПЮВе[1+Дп(-%)]

Л ,П_/п(Р)е-Р

п()^+1-/O(p)e-P

0=мв

2)toBg«: tope

Р« Г.со2 — п2а^е %

Ф4 х

(S2 — 1) (O^ — to^

^l±3L(W-i (п — 2)!'

Р < 1 СО2 = СО^ + СО^ + ЗРсО^ огп^ре

Р » 1 : о2 — пга?в «— -

р У2лр

_ / V «о>Ве [д„ (fe)]2

2 кгУте X

[[«“5еДп(й)р)

1 Wre /

Продолжение та(

Ионно-циклотронные

I со—т<йв1|.» ^ kzVfi

со = ntoBl [1 + А^’ (*)]

А^) (ft) =

Tn = ton

X exp

/" л ^bJaV^)F

2^Ti

/„ (Pi) Г^

^zvTij

при ^ > toBl^ *

^gr CR \ ~ ^i

1 e"v 1 г

И bz< k^n(k)

to

Помимо рассмотренных выше ветвей колебаний в тепловой или горячей плазме возникают новые ветви. Довольно очевидно, что при учете теплового движения частиц в неизотермической плазме с T^Ti появляется звуковая ветвь. Так как сильное магнитное поле запрещает звуковые движения поперек поля, в плазме .малого давления (р= (8лр/Я2) <С 1) звуковые колебания распространяются вдоль магнитного поля с дисперсией: to=k^Te!m^.

Однако наиболее интересным следствием теплового движения частиц в магнитоактивной плазме является существование колебаний, не имеющих газокинетичеокого аналога. Речь идет о квази- продольных колебаниях, распространяющихся поперек магнитного поля и имеющих частоты, близкие к циклотронным и их гармоникам. Продольные электронные волны с частотами, близкими к nQe, обнаружены и исследованы в [21]. Автор работы показал, что для произвольных хе дисперсионное уравнение для квазипро- дольных волн А = 0 [см. (58)] имеет в каждом из -интервалов ^Qe<(o<(n+l)Qe одно решение. В дальнейшем такие моды, а часто и вообще циклотронные волны стали называть модами Бернштейна.

Рассмотрим вначале ионно-циклотронные волны, распространяющиеся почти поперек магнитного поля [25, 26]. Пусть Vi<^— <уе, а 2гп^>1 (п=0, ±1, ±2...). Используя асимптотиче- к

окне 'разложения для функций Крампа w^ и функций /„, можно из (58) получить дисперсионное уравнение для квазипродольных волн (Д=0) в виде 1 + (ТУТ;,) =fi (ю) Д-i л/2(<о), где Л=До(хО +

4-2го2 S Дп (х,) /со2—n2Q2,.; /2 (со) = (2Ю20 е^кЧе^Л" (2ю20X

Х2Ап(хг-)ехр(—г^). Из сравнения Л (со) и /2(00) видно, что в рассматриваемом приближении /i^>f2. Это означает, что в дисперсионном уравнении мнимое слагаемое, ответственное за слабое затухание волн, можно вначале не учитывать. Тогда дисперсионное уравнение приобретает вид:

ЩТг/TeHN(63)

и его можно решить графически. Решению уравнения (63) соответствуют точки пересечения кривых y=fi(co) с прямыми //=1 + Л/Те. Из рис. 6, а видно, что в каждой зоне от пй; до (n+l)Q^ имеется одно решение ю^^к), причем с ростом Т^)Те (о<п)(&) приближается к nQi. Отметим, что для плазмы с горячими ионами и холодными электронами ^г>Те^ <о(п)(&) =пйг[1+(Ге/Л)Ап(^)]; в обратном предельном случае частоты мало отличаются от (п-Н)^г- Общий характер графического решения для <ofn)(&) представлен на рис. 6. Из него видно, что как для малых (Хг<К1), так и для больших (Хг^>1) ионных ларморовских радиусов частоты to^^ близки к гармоникам ионно-циклотронной частоты. Зная ю(п)(Л) и учитывая fa^/i, нетрудно определить декременты затухания ионно-циклотронных мод (см. таблицу).

ние дисперсионного уравнения для мод Бернштейнание дисперсионного уравнения для мод БернштейнаРис. 6. Зависимость частот ионно-(а) и электронно-циклотронных (б) волн от волнового вектора

ние дисперсионного уравнения для мод Бернштейна

ние дисперсионного уравнения для мод Бернштейна

Для электронно-циклотронных волн движением ионов можно пренебречь и записать дисперсионное уравнение для квазипро- дольных волн в виде: 1—(cd20 е/со) S /z2xe-M(хе) (со—n|Qe|)~ = 0.

П=—оо

Его графическое решение приведено на рис. 7. Отметим, что для больших ларморовских радиусов хе3>1 можно записать аналитическое решение уравнения для электронных мод Бернштейна: С0<") W = П | Qe | [ 1 + СО20 J^e (2 Л • в3) 1/2].

Проявление эффектов фазовой памяти частиц в магнитоактивной плазме. Довольно очевидной является возможность возбуждения эховых сигналов, возникающих вследствие затухания волн в результате циклотронного резонанса. Физика эха на циклотронном резонансе принципиально не отличается от физики эха на черепковском резонансе (см. п. 4.1). Поэтому всех, кто интересуется расчетами этого эффекта, отошлем к обзору [27].

Среди эффектов, связанных с фазовой памятью частиц, которые отражают специфику магнитоактивной плазмы, следует, прежде всего, отметить нелокальное отражение волн от волновых барьеров. Теоретически этот эффект был рассмотрен в [28].

Эффект нелокального отражения, так же как и эффект просветления волновых барьеров1, связан с резонансными частицами. Пусть в некоторой точке 21 слабо неоднородного внешнего магнитного поля 50(г) выполняется условие циклотронного резонанса

k\z^=Va—Si(2i)]/uH с частицами, имеющими продольную компоненту скоростей 0ц, в результате чего вблизи этой точки происходит затухание волны. Если резонансные частицы, отразившись от магнитных пробок в другой точке, могут вернуться в точку 21 относительно ^фазированными, то они на обратном пути возбудят волну того же типа, что и исходная, но движущуюся в обратном направлении. Таким образом, произойдет нелокальное отражение от барьера непрозрачности. Следует отметить, что неоднородное магнитное поле может способствовать фазовой фокусировке частиц, заставляя частицы не разбегаться по фазам. Как показано в [28], в слабонеоднородной плазме в условиях, когда обычный коэффициент отражения экспоненциально мал, коэффициент нелокального отражения может быть сравним с единицей.

Фазовая фокусировка частиц играет существенную роль при просветлении слабонеоднородных волновых барьеров резонансными частицами. Так как такая фокусировка препятствует фазовому перемешиванию, то, как показано в [16], это приводит к усилению эффекта просветления волновых барьеров. В частности, в условиях фазовой фокусировки заметно увеличивается ширина волновых барьеров, для которых возможно просветление резонансными частицами.

Заключение. Автор настоящей статьи не преследовал цели детально изложить результаты теории периодических волн в плазме. В рамках настоящего издания это и невозможно. Поэтому читателям, интересующимся конкретными результатами, можно порекомендовать другие обзоры и монографии [14, 26, 29—38].

Автор благодарен Р. 3. Сагдееву и А. А. Галееву за обсуждение вопросов, освещенных здесь. Автор благодарен также Е. В. Мишину и В. Г. Коробейникову за помощь, оказанную ими при составлении таблицы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Власов А. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1938, т. 8, с. 291.

Герценштейн М. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 4952, т. 22, с. 202.

Ландау Л. Д.—Журн. эксперим. и теорет. физ., 1946, т. 46, с. 574.

Фаддеева В. Н., Терентьев Н. М. Таблицы значений интеграла вероятностей. М.: Гостехиздат, 1954.

Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. — Успехи физ. наук, 1961, т. 73, с. 701.

Van Kampen N. S. — Physica, 1955, vol. 21, p. 949.

Шафранов В. Д. — Физика плазмы и проблема управляемых реакций. Т. 4. М.: Изд-во АН СССР, 1958.

O’Neil Т. — Phys. Fluids, 1965, vol. 8, р. 2255.

Ландау Л. Д. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1937, т. 7, с. 203.

Мазитов Р. К. — Прикл. мех. и техн, физ., 1965, № 1, с. 27.

И. Morales G. J., O’Neil Т. — Phys. Rev., 1965, vol. 28, p. 417.

Bernstein I., Green J., Kruskal M. — Phys. Rev. Lett., 1957, vol. 108, p. 546.

Gould R. W., O’Neil T., Malmberg J. H.— Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 19, p. 219.

Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976.

Лиситченко В. В., Ораевский В. Н. — Докл. АН СССР, 1971, т. 201, с. 1319.

Водяницкий А. А., Ерохин Н. С., Моисеев С. С. Жури, эксперим. и теорет. физ., 1971, т. 61, с. 629.

Красовский В. Л., Ораевский В. Н. — Докл. АН СССР, 1978, т. 242, с. 284.

Vodyanitskii A. A., Erokhin N. S., Lisitchenko V. V., Moiseev S. S., Oraevskii V. N. — Nucl. Fusion, 1974, vol. 14, p. 267.

Водяницкий А. А., Ерохин H. С., Лиситченко В. В. и др. — В кн.: Доклад на Конференции по теории плазмы. Киев, 1971, с. 33.

Красовский В. Л., Лиситченко В. В., Ораевский В. Н. — Физика плазмы, 1979 т. 5 с. 1322

Bernstein I. — Phys. Rev., 1957, vol. 109, p. 10.

Герценштейн M. E. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 11954, т. 27, с. 180.

Ситенко А. Г., Степанов К. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ. 1956, т 31, с. 642.

Oraevski V. N., Chodura R., Feneberg W. — Plasma Phys., 1968, vol. 10, p. 819.

Ломинадзе Д. Г., Степанов К. Н. — Журн. техн, физ., 1964, т. 34, с. 1823.

Ломинадзе Д. Г. Циклотронные волны в плазме. Тбилиси: Мецниереба, 1975.

Кадомцев Б. Б.— Успехи физ. наук, 1968, т. 95, вып. 1, с. 111—129.

Berk Н. L, Horton С. W. е.а. — Phys. Fluids, 1968, vol. II, р. 367.

Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме: М.: Наука, 1960.

Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: Атомиздат, 1961.

Stix Т. Н. The Theory of Plasma Waves, McGraw-Hill Company, Inc., 1962.

Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. З/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963.

Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1970.

Ахиезер А. И., Ахиезер И. А. и др. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974.

Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1975.

Александров А. Ф., Богданкевич Л. С., Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978.

Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат. 1979.

ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ В ПЛАЗМЕ

К. ОБЕРМАН, Е. ВИЛЬЯМС

ВВЕДЕНИЕ

В этой статье мы рассмотрим теорию флуктуаций в плазме. В статье о кинетической теории волн, описываемой в приближении Власова, было показано, что начальное возмущение или волна малой амплитуды в плазме (при отсутствии внешнего источника) просто затухает до нуля (бесстолкновительное затухание Ландау), если плазма устойчива, или растет до определенного уровня, оп-

ределяемого нелинейными взаимодействиями и (или) изменением фоновой свободной энергии источника, ответственного за неустойчивость. Эти нелинейные механизмы рассмотрены в других статьях настоящей книги.

Однако даже в устойчивой плазме дискретность частиц может быть причиной того, что эти флуктуации будут постоянно возбуждаться вновь (излучение Вавилова—Черенкова отдельных частиц, продольное или поперечное тормозное излучение при парных соударениях частиц и т. д.), так что даже в том случае, когда среднее электрическое поле <Е(х, /)> = 0, например в тепловом равновесии, ожидание или средние величины <Е2(х, Z)>, например, будут отличны от нуля. (Терминология и обозначения детально рассмотрены ниже.) Эти флуктуации в общем ответственны за процессы диффузии и переноса в плазме. Даже в глобально устойчивой неоднородной плазме в случае, когда локальное дисперсионное соотношение е[к(х), со] указывает на слабую устойчивость или неустойчивость, эти флуктуации могут вырасти до локально больших уровней и связанный с ними перенос может быть очень большим.

Рассеяние электромагнитного излучения на флуктуациях электронной плотности является мощным диагностическим методом для определения структуры плазмы. Например, рассеяние лазерного излучения обычно используется для определения электронной температуры и плотности во многих лабораторных устройствах.

Другим примером может служить тот факт, что рассеяние на флуктуациях плотности в ионосфере великолепно подтвердило теорию плазмы. Причем, если основная волна достаточно интенсивная, но не настолько, чтобы вызвать параметрические неустойчивости (распад на электронную и ионную волны), то другой процесс излучения, вторичное индуцированное рассеяние, может оказывать доминирующее влияние на уровень флуктуаций.

Систематическое обоснование теории флуктуаций в плазме в рамках равновесного и неравновесного состояний были изложены в классической работе [1] (см. также [2 и 3]). Многое из того, что изложено в этой статье, является более новым упрощением и расширением этой работы [4—6].

Воспользуемся теорией возмущений и ограничимся низкими порядками разложения по степеням плазменного параметра 8=1M3d или Е218ппТ ^Т=квТ— температура в энергетических единицах). Поскольку мы вообще будем рассматривать только линейно-устойчивую плазму, то эта теория возмущений обычно, но не всегда (!) применима (см. статью А. А. Галеева и Р.В. Сагдеева в настоящей книге (стр. 590). На возможные трудности в применении или полную неприменимость, а также на необходимость перенормировки и т. д. будет указано в соответствующих местах.

В п. 1.1 развиты одно- и двухвременные иерархии, в п. 1.2 показано, как находить ожидания, в п. 1.3 введены неприводимые 280

групповые разложения, а в п. 1.4 дана их связь с уравнениями Климентовича для флуктуирующей микроплотности.

В разд. 2 рассмотрена теория флуктуаций в низшем порядке по е в основном для однородной плазмы. В п. 2.2 дана связь между спектрами мощности и корреляционными функциями и выведено соотношение Крамерса—Кронига. Далее показана простота процедуры для нахождения спектра мощности для флуктуаций плотности заряда и электрического поля как в случае теплового равновесия, так и при его нарушении и приведена флуктуационнодиссипативная теорема. В п. 2.3 выведено кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения для многокомпонентной плазмы. В п. 2.4 показано, как учесть влияние магнитного поля. В п. 2.5 выведено выражение для рассеяния электромагнитных волн с малой амплитудой на флуктуациях электронной плотности. Затем рассмотрено индуцированное излучение в случае, когда интенсивность накачки выше и механизм рассеяния отличается от механизма, обусловленного электронами и электронной компонентой поляризационных облаков вокруг электронов и ионов, и связан с рассеянием вверх и вниз от движущихся ионов. Здесь сформулирован и использован принцип суперпозиции Ростокера— см. также [7]. Сделаны некоторые замечания по поводу неоднородной плазмы.

В разд. 3 приведены аргументы в пользу описания флуктуаций в кинетическом масштабе времени и, наконец, в разд. 4 изложена теория гидродинамических флуктуаций.

ОДНО- И ДВУХВРЕМЕННЫЕ ИЕРАРХИИ, ВЕРОЯТНОСТИ,ГРУППОВЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И СВЯЗЬ С ФОРМАЛИЗМОМКЛИМОНТОВИЧА

Иерархия уравнений для корреляционных функций. Рассмотрим s-компонентную полностью ионизованную плазму в объеме V, в котором содержится NT частиц r-й компоненты с зарядом ет и массой тт. Предположим, что плазма нейтральна, т. е.

VA^rer = 0.(1)

Предположим также, что плазма нерелятивистская и, следовательно, взаимодействия между частицами можно описывать как электростатические. Таким образом, состояние плазмы полностью описывается точкой в Г-пространстве, являющемся бМмерным пространством (А=2АГ) с одним измерением для каждой из г

координат положения и скорости каждой частицы плазмы. Все поведение плазмы описывается траекторией этой точки в Г-пространстве, которая в принципе получается решением ньютоновской задачи N тел. Такое решение, даже если бы оно имелось, содержало бы чрезмерно подробную информацию, связанную с начальными условиями задачи. Метод, введенный Гиббсом, состоит в том,

что он предусматривает ансамбль реализаций состояний плазмы и пытается описать эволюцию средних величин ансамбля.

Рассмотрим ансамбль состояний плазмы, описанный плотностью ансамбля Di^Y, t), где Y — точка в Г-пространстве. Dt(Y, t)dY является вероятностью того, что в момент времени / есть член ансамбля в объеме dY около Y. Подобным же образом мы определяем двухвременную плотность ансамбля D^Yo, iV, Y, t), так что D^Y», to; Y, t^dYodY — суммарная вероятность того, что член ансамбля находится в (Уо, Уо+^Уо) в момент времени to и в (У, Y+dY') в момент времени t.

Как Dx, так и D^ удовлетворяют уравнению Лиувилля в переменных У, t

N

[ д/ \ дхп тпсdvn) .

п=А

N

L

d L])°i(y- О 1=0,(2)

д^п mn\Yn—xt\ dvn J р2(У0, /0; Y, 0 )

где У=(Х1, ... Х^ и Хг= (хг-, ¥г); Во— внешнее магнитное поле; D2 имеет сингулярное начальное условие:

Д2(Уо, /0; Y, ^=ПХ^ ^о)6(У- Уо).(3)

В то же время предполагается, что Dy имеет гладкие начальные условия.

Нормируем Dv и D2, так что

SdYD^Y^^L ^dYdYQD2(YQ,tQ; Y,t)==l.(4)

Сохранение этой нормировки во времени гарантируется теоремой Лиувилля.

Без ограничения общности можно считать, что Dy и D2 симметричны относительно перестановки тождественных частиц. Так как это, очевидно, является следствием симметричности гамильтониана, то она подобным же образом сохраняется во времени. Сделаем следующие определения:

“С^.- XV...XS, t^V^D^Y, t)dXs+xdXs^...dXn (5) при интегрировании Di(Y, I) по всем частицам, за исключением «-компонент fi, г21 — г,.

t; X\...X’S+V t’)^V^ ^DAY, t; У', t'^dX,...

...dXNdX's+2...dX'N;(6)

при интегрировании D2 по всем нештрихованным частицам, кроме одной компоненты ri, и по всем штрихованным частицам, кроме «-компонент гх, г2, ... rs, причем « штрихованных частиц отличаются от выделенной нештрихованной частицы;

sFri"t,4Xv t. X'...X'S, t'^-l^DAY, t; Y', t'^dX^...

...dXNdX's+l ...dX'N(7)

при интегрировании D2 по всем нештрихованным частицам, за исключением одной из 'Компоненты г^ и по всем, за исключением s штрихованных частиц из компонент п, г2, ... rs. Частица 1' — это частица 1.

Теперь определим 6FS с помощью соотношения

§/-: ^-^‘(Х,, t; X\...X'S+V n = Fr*'r2"'fs+4Xv t;

X'2...Xs+i, n-fax,, tnrs2''"rs+4X'2...Xs+v П (8)

И, наконец, находим новую иерархию корреляционных функций Г3:

Tr"ri-r4X6. кХ^.Х,, 0^[8/°:r,-r4X6, t- X,...XS, 0 +

-V^r^^’^vx., к xt...xs, tw

t;, X„ Х^.-.Х^ 0+-..

...^M^'"^'' (^o- к xs, x2, x^.., xs+1xv ^шх.а\ (9)

Здесь Qs и Fs, введенные Ростокером, являются корреляционными функциями пробных и полевых частиц. Ниже увидим, что комбинация Г5 функций Ростокера Qs и Fs имеет простую физическую интерпретацию, возникает естественным образом при вычислении спектров флуктуаций и удовлетворяет очень простым уравнениям.

Будем сначала интерпретировать эти функции распределения как вероятности, а затем выведем уравнения и начальные условия, которым они удовлетворяют. Можно интерпретировать эти функции Ростокера следующим образом: fs^X^ ... Х8, t)— плотность вероятности обнаружения частицы 1 в Хь 2 в Х2 ... и s в Xs в момент времени t; йДХ^ t; X/, Х2, ... X8l f) —условная вероятность, позволяющая после обнаружения частицы 1 в Xi в момент Z найти эту же частицу в X/ в момент времени f, а частицу 2, ... s в Х2, ... X/ соответственно. FS^XX) t; X2l Х^, ... Xr^ t') —условная вероятность, позволяющая после обнаружения частицы 1 в Xi в момент времени t обнаружить в момент времени f другие частицы 2, ... s+1 в Х1^ ... Xrs+i соответственно. Таким образом, 6Fs(Xi, I; ХЧ, ... Х'^ ?) есть изменение вероятности обнаружить частицы 2, ... s+1 в Х'2 ... Х'8-н в момент времени F при условии, что частица 1 была .в Xi в момент времени t. Qs есть, таким образом, пропагатор пробной частицы, a 6FS — отклик пропагатора полевой частицы на присутствие пробной частицы. Наконец, rs(X0, /0; Xi, Х2 ... Х8) t) можно интерпретировать как пропагатор, в котором совершенно не учитывается, какие частицы находятся

в Х^ ... Xs — пробные (возникающие в Хо, tQ) или полевые. Пропагатор Г5 включает как пробную частицу, так и самосогл асов энный отклик на пробную частицу.

Мы получаем иерархию уравнений для fs путем интегрирования уравнения Лиувилля [уравнение (2) для D^X, ■/)] по всем X кроме первого, второго и т. д., последовательно интегрируя по частям, если необходимо, и затем беря термодинамический предел NT, 7->оо, NTJV — nr=£onst. В результате находим знакомую иерархию Боголюбова—Борна—Грина—Кирквуда—Ивона (ББГКИ, см. [8—13])

(10)

Уравнения для функций Ростокера Qs и Fs находим, интегрируя уравнения Лиувилля для ^(Уо, to; У, 0 по всем переменным Уо, кроме Хо, и по соответственно меньшему числу переменных У. Для корреляций пробных частиц Qs имеем:

Л f dXt -^.X-^l n"' "+1 (^,0, t;,mr J 1 oxi | х,- — x, I dv, s+t ' 10 «Л f dXt -^.X-^l n"' "+1 (^,0, t;,mr J 1 oxi | х,- — x, I dv, s+t ' 10 «5+1

Л f dXt -^.X-^l n"' "+1 (^,0, t;,mr J 1 oxi | х,- — x, I dv, s+t ' 10 «

Л f dXt -^.X-^l n"' "+1 (^,0, t;,mr J 1 oxi | х,- — x, I dv, s+t ' 10 «

xv...,xs^v /)+yiVrV-^ tax-4—.—ЦтJ’s+>> >V f r mT J dxt |х,— x' Ir'i=21xv...,xs^v /)+yiVrV-^ tax-4—.—ЦтJ’s+>> >V f r mT J dxt |х,— x' Ir'i=211=2 5+1 e

xv...,xs^v /)+yiVrV-^ tax-4—.—ЦтJ’s+>> >V f r mT J dxt |х,— x' I

r'i=21

xv...,xs^v /)+yiVrV-^ tax-4—.—ЦтJ’s+>> >V f r mT J dxt |х,— x' I

r'i=21

(12)(12)^/^2,..r$+1,r t Xt...Xs+v X', t)

(12)

(12)

dVi 5+1v 1002 + 1

для корреляций полевых частиц Fs. Из уравнений (10) и (12) нетрудно * -получить уравнения для возмущений полевых частиц 6FS, (которые совпадают с аналогичными уравнениями для Fs

д дхд дхечтгсечтгсV-XB,^- -V-XB,^- -

д дх

д дх

еч

тгс

еч

тгс

V-XB,^- -

V-XB,^- -

Xx...Xs+v 0 + nr,er, v^ ^dX' dx- |x._r'1=21

х-к^",Г5+1,Г^х- ^ ^-^+r x\ ty (13)

Используя уравнения для Qs и 6FS и определение (9), можно без труда записать уравнения для Г,

ddt +L^V/^7_

ef.д \

^~^ViX^o dNi

r°:n-^(xo, t- xx...xs,

д 1 d

dxi | x/ — x' | d-V(

(И)285(И)285

(И)

285

(И)

285

xr^;1-^'(X„ t- Xx...Xs, x-,ty

Гз удовлетворяет иерархии ББГКИ! Это, по-видимому, может вызвать удивление, так как 6FS и Qs, без сомнения, этой иерархии не удовлетворяют. Причина заключается в том, что в нашем определении Г8 мы пожертвовали информацией относительно того, какая именно частица была первоначально в точке Хо в момент времени to. Ниже мы дадим определение Г, в терминах математического ожидания от произведения плотностей в фазовом пространстве [14], где этот результат становится совершенно очевидным.

Показав, что наша новая иерархия функций удовлетворяет иерархии ББГКИ, определим их начальные условия, которые выводятся из начальных условий для Da (3). Используя (3) и определение (7), (6), (8) и (9) для й„ F„ 6FS и Г, соответственно, получаем:

£,rt-r4Xu, t;, Х^.Х^ tQ) = fs1'’rs(Xl...Xs, Q-1-ЦХ.-Х^

(15)

р^-^чх^ t,; х^.х^, t^fr;+;r^4Xw x^.x^,, t6y

(16)

^-^ЧХ^, t;,X,...Xs+v=

=Cr^ (x10,x2...xs+v /„)-

-fl4Xwt<-rs+4X2...Xs+1/t0y(17)

- f; ■''• (X,X.. t.1 + £ 8vjS (X, - X.) J-.

Z = 1

(18)

Покажем теперь, что корреляционную функцию любой одночастичной (см. далее) макроскопической величины, такой как плотность, скорость или электрическое поле, можно написать только с использованием Г1 и /1. Необязательно знать в отдельности 6Fi и Й^

Вероятности. Среднее по ансамблю любой фазовой функции Ч^Х; У(01, определенной в шестимерном ц-шространстве,

<Т (X, 0> = J dYD^ (У, й ^ № Y (01,(19)

что по теореме Лиувилля

(20)(20)$dY0D4Y0, ^^{Х; Y [Уо (0]}.

(20)

(20)

Говорят, что Y — одночастичная функция, если ее представить в виде

(21)(21)^[Х-, Y(t)] = ^r(X, о 2 §Н-х;(0].

(21)

(21)

Если мы определяем одночастичную функцию ТП; У(01 по формуле

V[X; У(01 = 2 2Фг№ Х#(01,г г

то оператор ^(Х, ?) имеет вид:

¥ДХ, /) = Ж'ФГ(Х; X'), где ХУ^) —точная траектория г-й частицы компоненты г, например когда ТГ=6ГГ,Т, Т есть микроплотность фазового пространства компоненты г, тогда

<Т(Х, 0> = Mf№ ^(22)

что легко можно проверить, подставив уравнение (21) в (19) и проинтегрировав полученное соотношение.

Подобным же образом определяется среднее по ансамблю любой двухвременной фазовой функции ЧУХо, УоСО: X, У(/)]:

<Т2(Х0, ^ X. t^^dYD^ ^ Y, 0 х

xY2[X0, Y.^ X, Y(t^(23)

Таким образом, корреляционная функция флуктуаций одночастичного оператора W имеет вид:

(ГП*.! УО-ОПХ/, У О)} {Ф[Х; У(01-^[Х; У (0])} =

= <^1^; У(иНИ; УЮП-^Н»; ^О)^^; У (01) =

= S^A(X- Wix, оЫ^., 0; X, 0+ Г, Го

Г, ГоГ, Го-F^ ЧХ0, t; X, 0] - ^«А(Л. t^X., Q хx'S^rGY, t^VAX, t^ = ^nrn^rAX„, QX

Г, Го

Г, Го

(24)(24)^AX, <ЧХ<„ t^AX0, t0; X, ty

(24)

(24)

Примером применения (24) могут служить типичные макроскопические величины, являющиеся средними по 'ансамблю, такие как плотность числа частиц, плотность импульса и плотность кинетической энергии г-й компоненты при условии, что

(25)287(25)287^(Х, 0 = 8,r')^Si(v),

(25)

287

(25)

287

где 5Ду) = 1,тг¥, -~ Шт^ (26) соответственно. А временные корреляции флуктуаций этих величин определяются формулой

n^d^^ftlX., t^d^Y^X,, t;, X, t\ (27) Еще один пример — временная автокорреляция электрического поля:

(Е(х'„ /0)Е(х', Ц) = 2 f dX.dXf^X,, t^4X„. t„ X, ПХ Го, Г

еГо (х% —x0)^r(x/— х) z2gx |х% — х0131 хЛ — х р

Еще раз подчеркнем, что для вычисления временных корреляций любой локальной (одночастичной) макроскопической величины необходимы fi и F^ которые являются низшими членами в этих иерархиях соответственно. Чтобы решить уравнения для Л и Г1, нужно оборвать иерархии по какой-либо подходящей приближенной схеме.

Большая работа была проделана с использованием f иерархии для получения замкнутого кинетического уравнения для Д Чтобы сделать это последовательно, нужно оценить различные члены в иерархическом уравнении (10) и определить -подходящий малый параметр, по которому затем попытаться построить асимптотическое решение. Известно, что существует три режима, в которых такой параметр имеется — больцмановский, слабой связи и плазменный, в которых малыми параметрами соответственно являются число частиц в области потенциала взаимодействия одной частицы, отношение потенциальной энергии взаимодействия к тепловой энергии и плазменный параметр (определенный ранее как число частиц в дебаевском радиусе).

Мы рассматриваем плазменный режим, при котором порядок членов в уравнении следующий:

1 : 1 :Qe/toP:s: 1, (29) где йе=еВ1пгс — циклотронная частота; ^^=^кпе21т— квадрат плазменной частоты, когда мы соразмеряем характерные размеры и времена с дебаевским радиусом и плазменным периодам соответственно. Требования к параметрам, описывающим плазму, на самом деле несколько слабее, чем приведенные в (29). Единственное, что требуется, это чтобы плотность энергии электрического поля была мала по сравнению с энергией частиц, т. е. Е2,8шгТ<С\. Для большей общности мы предполагаем, что Йе!top О (1): в этом случае можно описать пределы сильного или слабого магнитного поля путем дополнительного разложения. Следует отметить, что можно и не получить результатов теории ведущего центра в пределе произвольно большого магнитного поля, так как это влечет за собой перестановку порядков величин 288

большого магнитного поля и плотности плазмы, что не всегда оправдано.

Групповые разложения. Во-первых, отметим, что иерархия /8 удовлетворяется тождественно в низшем (нулевом) порядке по е

f;-r4x1...xs, t^fxx, <\xv iy-.fx4xs, о (SO) при условии, что f удовлетворяет уравнению Власова:

/ дд✓ т> д \ or / w i\

(~зг+'у ~сьг+/п7с~ухв<>~^у лх, t)

5 ^dX'UX', 04-1—4г4-/1(^> tY (31) nr Г JI X Х I dv 1147 х -

Г’

Отметим также, то иерархия Fs тождественно удовлетворяется в нулевом порядке

Va’ri-r4Xv к, Xl...Xs, t^=Vf’r\xe, t.; xv ox

X O...^(X$, 0+f?№, 0Г? r2(^„ к Xv

...^...A-f^Xv t)...f/-1 (Xs^, ^г?^, 0; Xs, t) (32) при условии, что f удовлетворяет уравнению Власова (31), а Г1—линеаризованному уравнению Власова "

f4-+v4-+—vXBo44riGVo. 0; х, t)-

-4г 5 Mr-5dxr''r' x'* °x T*

^[гАт^ГЛХ. n-^n,.=„x

xijdXT.(X-, i)^T_LFT4-r;"№. i.; X. 0 = 0(33)

с сингулярными начальными условиями из (18). Это одновременно с успехами метода в равновесной статистической механике дает основание ввести групповое разложение Майера [15] для f, и его (линеаризованную) модификацию для Г5, т. е. имеем:

A(i) = A(i);

/,(1, 2) =/2(1. 2)-ктм;

/з(1, 2, 3) =/3(1, 2, 3) -Л(1)/2(2, 3)-Л(2)Л(3, 1)-

~/1(ЗШ1, 2) + 2^(1)ш/1(3);’

Л = (1.2«) = Л(1, 2, . . „s)-S(_l)"(n-l)!X

л, р

fpi fp2 --tpa)

289289Ю Зак 137

289

289

Сумма берется по всем выборкам p=pi, ..., р^ полученным' группированием, набора частиц 1, 2, .... s в п подгрупп рь ..., ри; /(1, 2) служит сокращенным обозначением ta^ №, Л2, 0 и т. д.; 2pn=s.

С учетом того, что если частицы от 1 до s разделены на группы plt ..., рп (это эквивалентно очевидно более слабому предположению о возможности деления только на две группы) и группы далеко разнесены в пространстве, то функция распределения f» выражается в форме Ai, Д2, — > fpn\ можно показать, что функция /3, определенная выше (34), является неприводимой в том смысле, что она обращается в нуль при любой такой -выборке и делении частиц на группы.

Снова, решая уравнение (34) для функции распределения в обозначениях ее неприводимых частей, получаем:

fi(i)=fiO); _

))(35)(35)№ 2НМ(Ш(1, ^;_

)

)

(35)

(35)

/a(L 2,^)=А(1)Д(2)А(3) + А(1)Ш 3)+А(2)/2(3, 1) +

+ Д(3)А(1, 2)+f3(l. 2, 3); _

/.(14 = 2?Р1 . . ЛРтС

п, рп

Используя свойство факторизации, имеем:

Г.Ю:1, 2d ^ TJJ„/s„ +

НМ-.-НЛ,' • • ЛП_Г,„; <36>

если частицы 1, ..., s разделены на п групп pi, ..., р„, то можно показать, что приведенные ниже выражения определяют непри- водимыечасти Г, в Г, [для удобства записи первоначальные аргументы (Ло, /) )В (36) и (37) опущены]:

А = Г, (1); Га (1, 2) = Г2 (1, 2) - Г, (1) fx (2) -1\ (2) А (1);

Г3(1, 2, 3) = Г3(1, 2, 3)-Г1(1)/а(2, 3)-1\(2)А(3, 1)-

-^(3)^(1, 2) —А(1)Га(2, 3)-А(2)Га(3. 1)-

- А (3) Г2 (1, 2) + 2ГХ (1) А (2) А (3) + 2А (I) Гх (2) а (3) +

+ 2А(1)А(2)Гх(3);

rs(l, 2, . . „5) = Г,(1, 2, . . .)-

-5/-!)"(«-1)!(ГрЛ,bn-VfpypLp • • -’Ьт +

+ . . .+/Р1, . . fPn_,, . . .Лрп-1 гр)-|

Решая снова уравнения для Г„ получаем:

r1(i)=T1(D;

(38)(38)Г2(1, 2) = Г1а)71(2)+Т1(2)710) + Га(1, 2);

(38)

(38)

Г80, 2,_3)=Г1(1)А(2)71(3)+А(1)Г2(2, 3) + + Гх(1)72(2, 3) + (1 -> 2, 23, 31 +

+ (13, 32, 2-* 1);

Г8(1, 2, . . .,8)=^^, . ур^ИМ,, • • • . . ., fpn+ . . .+ fp? . . ofpn_VPn).

Теперь можно написать уравнения для /, и Г„ используя групповые разложения (35) и (37) и иерархию уравнения ББГКИ уравнения (20) и (14)]. Нам-Понадобятся уравнения только до порядка е2, т. е. для fi, /2, /з, Ft и Г2. Переобозначим неприводимые функции распределения низкого порядка и используем эти обозначения в дальнейшем

71^7, k^g* 7з-*й. Т^Г, Т2->Д, Г8-е.(40)

Значит, групповые функции f, g, h, Г и А удовлетворяют следующим уравнениям:

Г^+у4-+—vxb.-J-Vcy, /)-

_M£_tx, ^yi е AdX'f <х\ t)-^--.—Цт-тг дч х ' r J7 дх | х — х' |

г»

^^^п е AdX'4-gn' кХ. X', 0;(41)

^r г J дх |х —-х' | dv s хп х 7

[ dt ^ дх^ dx^ mr А° дч +

, в.» , дд 1/ 1 д 1 М

^^7V ^^° ^v' r^r' ^х |x — x'|\^r dv mr, ^v'yj^x ’7

t r jdx IX — xM ] dv u x 76 x71

rM

A-f^X", t)g(X, x', t)+h(X, X', X", t^+vx—x^-v

L4-V(x, t)f{Xr, ty, (42)

J r r1 Ox ] x — xf J mr dv mr, dv J 171 x 7’7

eJ— v" X В -д-—erer, -т—1/—— 1 6

mr,6 dv" r ^x | x — x' | \mr dv mr, dv'

d 1 / 111\

f1 r" ^x' | x'— x^|^mr/ dv' mr,,dv" J

-^^п^(т^-4^-)]',(-¥’ x’- x"- " =

^^..«r^M-'^^i^^^X. WX'. IX".

X"'. n-V-g^x, X', t)g(X", X'", ПА-g^X. X", t)g(X', X'", 0’+

+f(^”'. t^h^x, x', x", t)+k(x, X', X", X"', m +

+ ^x-.—.^} + {Л-"—X}| + eTe 4--, 1 ,, f-L4

1j । iл i г v dx I x — x'| ymr dv

”Х;^УАНХ, w., X", twUX', t)g(X", X, o]+

+ ^X' X -* X" -* X") + ^X' -> X" -* X—X'Y (43)

dx +V dx' + V Л U« dv mr, A • dv'

r rf dx | x — xr | mr dv mf, dv') v o’ °’1)

=<0, X, t)f(X', 0 +

r t* dx | x —• x' | mr dv mr, dv' ) 1 x 0 0 H x 1

+ У;^Л- (^" Я— 4-i—1-Tn4r(f(X, t)^(X., te; x\

X", tWHX", t^<x6, t,; X', tWT^Xv t.; X", t)e(X, x\ o-b +Г(^„ /.; X, t)g(X', X", tH4Xe. t6; x, X’, X", /))] +

+ 1^^—>X-y(44)

Здесь опущен индекс компоненты у функций распределения. Здесь и в дальнейшем они могут подразумеваться ib контексте следующим образом. Под любой функцией, записанной в виде x(Xi ... Х8) >/), следует понимать ^ *-rs (Xi ... Х8) /) под функцией вида х№, t0; Xi ... Х8, t^->^r°x^-*rs (Хо, to; ^i Xs, /), где индекс компоненты всегда соответствует аргументам фазового простран*

спва функции. Из начальных условий на Г, (18) можно легко показать, что Г, имеет следующие начальные условия:

Г(Х0, /,; Xv Хг...Х„ IivA^JLi^J^asL^.

sX 0”12 s 0h(^„/.)

+- V,M kXt - X.Y (45) M nr«u r°rt

Л=1

Простота этого результата следует из того, что начальные уело* вин на Гs являются неприводимыми. Для нас же интересны следующие случаи:

ГЛХ.. t.; X,.4&-2^+«„_Lmx, - X.);(46)

Mfr, t«: xv *„ у_2М^1^_У_ +

I \X0 > ♦ о/

4—2’ ^-— I6ror, ^ —%0) 4" 8ror,6 (X2 Xq)].

f(*0> *0> Го

Физическая интерпретация уравнения (45) следующая: в момент времени i0 в точке Ai находилась пробная частица, которая обусловила наличие члена с 6-функцией или же сама были членом экранирующего облака, вследствие чего появился член с g. Подобную же интерпретацию можно дать и уравнению (46). Из этой интерпретации ясно, что Г] можно рассматривать как пропагатор одетой пробной частицы. Сингулярная часть описывает раздетую частицу, а несингулярная часть описывает оболочку. Относительный порядок членов в уравнениях для f, g и № следующий:

1:1: Qe/cop: 0 : е;(47)

1:1:1: йе/»р : йе/юр : е : [1: 0 : е] : [1 :0 : е] : 1;

1:1:1:1 :йe/(Bp:Qe/wp:Qe/Wn:8:8:e([l: 1:1 :е]:[1:1:1 :е]1: 1:1 :е]: 1:1)

(48)

Мы использовали оценку /s = 0(es-1)- Относительный порядок членов в уравнениях для Г и Д следующий: 1:1: £Ц®р : 1 : 0 : е;

1:1:1 :Qe/(op:Qe/<d„:e: 1:1 :[1:0:1:1 :е]:[1:0:1:1 :е].

(49)

Члены порядка 0 исчезают в однородном пределе и малы на размерах порядка дебаевского радиуса в неоднородной плазме. Подходящий порядок Г„ согласующийся^ уравнением (49) и начальными условиями (45), следующий: Г,=О(е’). Отметим, что порядок Г, на единицу выше, чем соответствующий порядок f„ потому что знание начального условия для одной частицы создает возмущение фона порядка 0 (е). Используя это разложение по плаз-

менному параметру е, можно оборвать иерархию уравнений для /, и Г„ доходя до любого нужного порядка по е. Ростокер работал до первого порядка по е. После того, как мы заново получим результаты низшего приближения Ростокера, мы будем раскладывать .иерархию уравнений до е2, причем основными уравнениями теории являются'уравнения (40), (43) и следующие:

(4г + v V" + v' 4т+—v X В, -/-4--^-у'ХВ04-Й g (X, X', f)=

I dt 1 dx 1 dx’ 'mr 0 dv ’ mr, 0 dvr 6 v ’ 7

d 1d_f i" dx | x — x' | \ dvd 1d_f i" dx | x — x' | \ dv-L-L^UX, t^X'. o+m,, dv* y*x MXX 71-L-L^UX, t^X'. o+m,, dv* y*x MXX 71

d 1d_

f i" dx | x — x' | \ dv

d 1d_

f i" dx | x — x' | \ dv

-L-L^UX, t^X'. o+

m,, dv* y*x MXX 71

-L-L^UX, t^X'. o+

m,, dv* y*x MXX 71

+У!^„а„ f^"PL-^i—Цп^-^(^> t)g^x', x". o+

1 rM r" Jdx | x—-x,r | dv u v 76 x71

W- ngkX, X’, t^X' — Xfy(50)

4—Н'-Д ь—VXB.-5-+—v'XB.-Л )A(X., t;, dx 1 dxr mr ° dv mr, • dvf J x •

1/ d1 д X ГТД4

7 r r* dx \x— x' | mr dv mf, dv1 / 1 1 x **

X-W О + Г.(Хо, к x*. Г)ЦХ. t)]+^mr„er,^dX' X

TM

x^4fT^nIr If.^. <)»№. I.; X - X". /)+

+f(X”, OA(Xo> t»; X, X'. О4-Г(^о, /.; X'. t)g(X, X'. 0+

+ Г(Х„ к, X, t^g^X', X", tMkX — X'^(51)

вместе с начальными условиями (47). Полезно заметить, что для получения уравнений для Г, Д и е и т. д. из более знакомых уравнений для f, g и h и т. д. можно формально заменить f на f+Г, g на gf+Д, h на /i+е в уравнениях для f, g и к, рассматривая Г, Д и е как малые возмущения и собирая члены первого порядка по этим возмущениям. В этом случае полученные уравнения точно совпадут с уравнениями для Г, Д и 8.

Стоит указать, что наш подход к теории флуктуаций через двухвременную иерархию, по сравнению с феноменологическим или термодинамическим подходом начинается с точных уравнений, и, несмотря на то что аппроксимации необходимы для их решения, оценку погрешности можно в принципе получить.

Г-иерархия в формализме Климонтовича. Определим регулярные иерархические функции как математические ожи- 294

дания произведений функций плотности в фазовом пространстве (15).

Nr (X. О = ± 5 8 [X - Хг( (/)].(52)

!=1

где Х^А—точная траектория f-й частицы r-й коМ1П|Оненты; f/ (X, /)—величина ожидания МДХ, /), т. е.

^ДХ, ^=А_и¥ОД¥,ПХг=ГДХ,(\ (53) "г J

Если мы определим оператор вычитания S, который, действуя на любое произведение функций N„ удаляет все члены, содержащие произведение 6-функций одной и той же частицы в различных точках, например:

8ХДХД)МгДХ',^=-1- у

L /=1Ж

=4 Я я - д-', m№' - 4 <<».<54>

«=1 /=1г*г*

тогда легко показать, что

(SNrAXv t)NrAXv t)...NrjXt, ny^fyAX.. Xt...X„ ty (55)

Из уравнения движения для N,(Xi, t)

0 “ (4 + ’ A^ -ХВ. 4) N, (X. О -

ЕмД" 414тт4^(х м,дх', о. (56, Г»

которое легко получить, если учесть, что

4г8 и - xrt (/я=- ^г^ ^vx- Х\ (/)](57)

и что оператор вычитания возникает из-за отсутствия электростатических самосогласованных сил, можно доказать, что SXTi (Xi, t)X„(X2, t) ... Xr2(Xs,it) удовлетворяет иерархии ББГКИ.

Ожидания с Dx (У, t) обеспечивают альтернативный вывод иерархии для fs. Ясно, что ХГДХО, t0)SNrt (Хь ДХГ,(Х2, t)...Nri (Xs,t) должна тоже удовлетворять иерархии ББГКИ в переменных (Я, /), так как ХГДХО, /0) коммутирует со всеми дифференциальными и интегральными операторами. То же самое должно выпол-

мяться для ее ожидания с Дг^о» to. У> О- И', наконец,

<МгДХ01 ^SNrAXv WAX» О . . . МГДХ$, t))/(NrAX0, W =

= SNrAXv t^NrAX^ f) . . . NrAXs, O> (58) тоже должна удовлетворять той же иерархии, а непосредственные вычисления -показывают, что она может быть только такой:

Гг;1Гх "гЧХ.. t0; Xt...X$. ty(59)

Другой подход для вывода формализма первой главы потребовал бы определения Г, выражением (58) на том основании, что оно явно удовлетворяет иерархии ББГКИ. Этот подход был отклонен и остановились на развитии теории в терминах функций Росто- кера, иллюстрирующих их вероятностную интерпретацию.

'2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ

Введение. Найдем спектр флуктуаций однородной плазмы в различных приближениях для частот порядка плазменной частоты «^ го, или, более точно, значительно превышающих частоту столкновений. Рассмотрим волны, у которых столкновительное затухание преобладает над затуханием Ландау, а также и такие, при которых преобладает затухание Ландау.

Спектр флуктуаций электронной плотности важен для эксперимента, так как он определяет некогерентное рассеяние электромагнитной волны из плазмы. Некогерентное дифференциальное сечение рассеяния на волновой вектор к с частотой ко пропор- циально спектральной интенсивности флуктуаций электронной плотности с волновым вектором (К—к) и частотой Q—ю, где К и Q волновой вектор и частота падающей волны соответственно. Объяснение экспериментов Боуля [17] по некогерентному рассеянию радиоволн от ионосферы явилось большим успехом кинетической теории плазмы, в то время это был один из немногих случаев прекрасного согласия теории с экспериментом.

Приближение низшего порядка теории флуктуаций устойчивой однородной плазмы. Результаты, приведенные здесь, ранее были получены в [1]. Цель настоящего раздела — установление связи между формализмами. Сначала мы установим условия для преобразований Фурье и Лапласа и определим спектральную интенсивность для величины флуктуаций. Для любой функции координат/(х) определим преобразование Фурье/(к)

f (к) = J d3xf (х) exp (ikx)(60)

и формулу для обратного преобразования Фурье:

f(x) = J^f(t)exp(-ikx).(61)

Для любой функции времени /(/) определим одностороннее преобразование Фурье

/((») = ” f^exp^dt(62)

и обратное преобразование

00

М —"гГ ^(®)exp(-i*t)d®.(63)

—••

причем контур интегрирования лежит выше всех особенностей /(и») в комплексной ю-плоскости. Предположим, что у^— стационарный случайный процесс. Определим его автокорреляцию

С(0=<У(Му(М-т)>.(64)

Среднее являетсй средним по ансамблю. Одним из тезисов равновесной статистической механики является эргодическая гипотеза, которая среднее по ансамблю заменяет усреднением по /о. Ее спектральная интенсивность

S (<о) = J С (t) exp (ioot) dt,(65)

—00

откуда со

C(t)= Jc (<») exp (—iwi)^-.(66)

—oo

Нам придется использовать преобразование Лапласа, поэтому определим S(ico) как образ преобразования Лапласа автокорреляций

S+ («))= С exp (i^) С ^dx,(67)

о а о

S- (оэ)= J exp (i«x) С (i) d^ = [S+ (ш)]*,(68)

—00

здесь С(/)=С(—d) из-за обратимости времени. Следовательно,

S(to) =S+((o)+S-(<o) =2ReS+(to),(69)

если имеет место процесс t/(:/).

Можно получить ряд дисперсионных соотношений, учитывая, что S+(<o) является аналитической функцией в верхней полуплоскости со, в результате чего

=0, e>0=0, e>0(70)(70)(71)(71)С S+ (»') d»' J to' — to -f- ie — 00

=0, e>0

=0, e>0

(70)

(70)

(71)

(71)

и, следовательно,

Lpf S+(to')dto2. = js+ (ю)|л Ito'— to7

и используя формулу Племеля

1- ®),(72)

со'—to + ieюг—tov7х 7

беря действительную и мнимую части, получаем соотношения Крамерса—Кронита (см., например, £180)

Re S+ (<о) = — Р ((уз)

Im S+ (®) = - — Р [ 51^2^ е(74)

V /ТС J to' (О4 7

Спектр мощности и преобразование Лапласа корреляционной функции, таким образом, взаимосвязаны и поэтому содержат одну и ту же информацию. Спектральную интенсивность и автокорреляционные функции можно обобщить на однородном фоне, чтобы включить пространственную и временную флуктуации

С(р, т) = <у(х0, /о)у(хо+р, /о+т)> ;(75)

S (к, <о)= J d8p Jd-t exp (iwc —|—ikp)С (р. t)(76)

v

и перекрестные корреляции

СДр, T) = <yi(x0, /о)у,(хо+р, ^о+т)> ;(77)

S^ (k, ®)= J d3p j d-t exp (1шт -]- ikp) Сц (p, t).(78)

V —oo

В этом -случае обратимость времени принимает вид:

СгД(р,т)=±С^(р,-т);(79)

5ъ(к, (о)=±5^*(к, со).(80)

Знак плюс .возникает, когда у< и у5 имеют одинаковую зависимость по отношению к обращению времени, знак минус — когда противоположную. Онсагер [19, 20], опираясь на свойства обращения времени, вывел теорему взаимности, которая является одним из краеугольных камней теории необратимых процессов. При обра- -Щении времени магнитные поля изменяют направление. Теорема взаимности Онсагер а, таким образом, связывает коэффициенты переноса в противоположно направленных магнитных полях.

Теперь найдем спектр флуктуаций плотности заряда. Для простоты допустим, что внешнее магнитное поле отсутствует. Результаты, полученные для плазмы в однородном внешнем магнитном поле, приведены в конце п. 2.4 без доказательства.

Приближение низшего порядка получено в пренебрежении членом А порядка 0(е2) в (43). Заметим, что электрическое поле фоновой плазмы исчезает в том случае, когда плазма пространствен- 298

но однородна. Тогда уравнение (43) можно записать в виде

/-^л-у^Г,^». X. i) —Ux'^-X

дх )°' тг Ц r r ) дх А

г

X^W^X'.t^O(81)

с начальным условием

ГЛ^., V, X. ^=g(X„ X, шх„ t^^^x-x.V

которое является величиной порядка 0(e).

Опять заметим, что это эволюционное уравнение для Г является линеаризованным уравнением Власова с заданными начальными условиями, если известна g. Поскольку время изменения фоновой плазмы гораздо больше на временной шкале, чем период флуктуаций, так как df/d/ = O(e), то можно рассматривать Г как функцию быстрой переменной /—/0 и медленной переменной /0. Проведем преобразование Лапласа по быстрой переменной, определяя:

ОО

Г, (v0; V, к, ш) = J exp [i<o( / — /„)] dt J d’x exp [ik (x — x0)] X 0

ХГ,(^„ t^X.t).j :(82)

Спектр мощности флуктуаций плотности заряданаходим

<pp>k,.=2R=«^<83)

<РР)|Л = &гЛ.&гХЙ'”,^°,,1‘<'!’Г,*'',:Vl kl^

используя (27) и (69). (Не следует смешивать плотность заряда р с пространственной переменной р, введенной ранее.)

Спектр мощности сохраняет медленную зависимость от /о, отражая адиабатическое изменение спектра флуктуаций с изменением фоновой функции распределения f. Это может быть объяснено с помощью метода многих временных масштабов, введенного в кинетической теории плазмы [21, 22]. Такой подход требует четкого разделения временных масштабов флуктуаций и изменяющегося фона. Этот подход неприменим, например, когда время распада флуктуаций приближается ко времени столкновений.

Используя преобразование Фурье в (82), получаем:

(.o + kv + ^rjv,; v, к, о))-^!^^^^, х

Г*

xjVvT (ve; v', к. ®) = i^,(v,( v. k)/f (v0) + 8rr„-^ 8 (v - v.)L (85)

Здесь е — малая положительная константа, которую в конце вычислений мы будем считать равной нулю, что обеспечит правильное аналитическое продолжение Г1 для действительных <о. Деля уравнение (85) на co+kv+i е, интегрируя по v и суммируя по всем сортам частиц, получаем:

ЪпгеД й3уГ(у0; v, к, ф) =ЪпгеД й3уГ(у0; v, к, ф) =i е(к, to) [toi е(к, to) [toг» I+ kv0 +ie^г» I+ kv0 +ie^

ЪпгеД й3уГ(у0; v, к, ф) =

ЪпгеД й3уГ(у0; v, к, ф) =

i е(к, to) [to

i е(к, to) [to

г» I

+ kv0 +ie^

г» I

+ kv0 +ie^

(86)(86), ^Mr frf^gofVo, V, к)""^fW J <o + kv + k ,

(86)

(86)

где e (к, co)—диэлектрическая проницаемость плазмы, определяемая следующим образом:

df/dvto + kv + ie "df/dvto + kv + ie "(87)(87)

df/dvto + kv + ie "

df/dvto + kv + ie "

(87)

(87)

Умножая уравнение (86) на f(v0), интегрируя по v0 и суммируя по воем сортам частиц, получаем:

<PP>t « = 2 nraeranrer J dXt ^ J ^Гх (v,; V, k, to). (88)

ГоГ

(89)(89)Используя (86), находим:

(89)

(89)

чтобы погасить начальные корреляции достаточно быстро, как это требуется, если мы хотим обоснованно заменить g на ее асимптотический предел при больших временах.

Следовательно, функция g удовлетворяет следующему уравнению, полученному из уравнения (50), если опустить член в h, который является членом более высокого порядка по плазменному параметру, а преобразование Фурье—Лапласа рассматривает f как константу во времени

(i« + k(v' —v))^,(v. v', ^ = 4те,е„-р (Д—^L_y(v>+Ar(k. v)] —

Отметим, что g известно, если известно h, где й(к, а) определяется из соотношения

erhr4k, уЛ — ^Мг J d*vg, (v„ v, k).(91)

r

При симметрии относительно замены частиц имеем:

е^ = 2 nr6er. J ^. (v,. V, к).(92)

Го

Сделаем следующее удобное определение:

(/(k^A^^ft-J^L<93)

Г

и заметим, что мнимая часть U

Im У (к, =(тг+лг) (94)

Г

И ЧТО

(„.(к.,)^^.^^»^^).(95)

Деля уравнение (90) на [k(v'—v)4-is], суммируя по всем сортам частиц и интегрируя, получаем:

Ar(v, к)е(к, —kv)=(l — s(k, -kv))f(v)-

к _^Г4U(к, -k.^-Y^d^'Vn^., ьГЧКчЧ I (96)

й2 dv к хJ Ц г к-(v'—v) + is I

Сделаем еще одно определение

Н (и, к) = Ъпгегг СdW(v, к) 8 (и - ^

[опять заметим, что h (а следовательно, и g) известно, если известно И, поскольку правая часть (96) зависит только от Щ.

Умножая теперь уравнение (96) на 6(co+kv), интегрируя по ^ и суммируя по всем сортам частиц, находим:

Н (—^, k)s(k, ш) = -[1-е(к, a>)]Im(7(k, ®) —

А* (к, у')со + kv + isА* (к, у')со + kv + is(97)(97)

А* (к, у')со + kv + is

А* (к, у')со + kv + is

(97)

(97)

Замечая, что уравнение (89) для <рр)+кю можно записать через U и h с (помощью уравнений (92) и (93) как

<РР)к <о=—ю) + У! f dV ^ ТМ (98>

\rr/K, to е(к, to) к V 7 2J J to + kv' + ie • x z

Используя (97), выразим (pp)+k, ю через 77: (pp ^ito=

■7. ■i” ■ . Г( J v- - 1) Im U (к, ®) - H (—k)l. (99) &Irne(k, <o) 11 e(k, to) ) x '\^ /J л

Спектральная интенсивность получается удвоением реальной части преобразования Лапласа

Im^7(k, со)ТчкТ^ГрIm^7(k, со)ТчкТ^ГрIms (к, со)Ims (к, со)(100)(100)

Im^7(k, со)ТчкТ^Гр

Im^7(k, со)ТчкТ^Гр

Ims (к, со)

Ims (к, со)

(100)

(100)

Однако, (как впервые показано в [25], мнимая часть Н исчезает. Мы увидим это, если запишем уравнение (97) для Н^, причем для мнимой части Н(и) используем формулу Племеля (72)

ии(Ю1>(Ю1>Н( \ — f ^ fV дРг‘ j mrfV диг

и

и

(Ю1>

(Ю1>

- 2 -^ т [S w <-')+"•<“')

И в самом деле действительная часть Н удовлетворяет приведенному выше уравнению, и решение является единственным. Мы определили Fr(u) следующим образом:

^(Ы)^ d^(v)8 ы-^-^(Ы)^ d^(v)8 ы-^-(Ю2)(Ю2)

^(Ы)^ d^(v)8 ы-^-

^(Ы)^ d^(v)8 ы-^-

(Ю2)

(Ю2)

2тс Im U к Ims2тс Im U к Ims(103)(103)

2тс Im U к Ims

2тс Im U к Ims

(103)

(103)

Запишем теперь тривиальное обобщение результата Ростокера для многокомпонентной плазмы

, х 2л: Im^7(k, со) \^ к, со к Iе (к, со)|2

Заметим, что флуктуации становятся очень большими, когда мода смещается к границе устойчивости, но тогда эта теория может оказаться неадекватной.

В тепловом равновесии специальный вид функции распределения Максвелла позволяет найти связь е и ^

(104)(104)8(^, <о) = 1+—_-1/(к, «>),

(104)

(104)

где, как всегда,

(105)

г

является квадратом дебаевского волнового числа. Следовательно, Iml/ = -^-Ime(106)

К ТЬ21

(рр). =_±Lim ;/ —.(107)

wr/k, со 2лсо e(k, co)v 7

Используя уравнение Пуассона, связывающее электрическое поле с плотностью заряда, находим:

4-(Е(х, 0Е(х„= — T\m( J •■ \кк, (108)

8л х v 7 v 0 07/k, toI we(k, to) уv 7

что является результатом применения флуктуационно-диссипативной теоремы [26—29] для бесстолкновительной плазмы (см., например, [30]).

Сравнивая уравнение (103) с (107) и -используя (94) -и (95), можно определить температуру флуктуаций Тп:

\ daFt^S (и

р 4rc2toImZ7 со J\& /

к* I*116 к Xne2/m^dudF/du6<a + to/kV

Отсюда видно, что конкуренция между излучением Вавилова—Черенкова и затуханием Ландау определяет спектральную интенсивность. В определенных ситуациях, например, когда благодаря фотоионизации ионосферы образуются вытянутые хвосты на функции распределения, эта формула дает величину, значительно большую, чем температура частиц. Конечно, при тепловом равновесии это значение дает температуру частиц.

Уравнение Балеску— Гернси—Ленарда. Сейчас у нас есть все необходимое для кинетического описания функции распределения f(X, ty Из уравнения (39) для пространственно-однородной плазмы без внешнего магнитного поля имеем:

или

(НО)(Н1)(НО)(Н1)dL=__Lvdt дм 1 ’

(НО)

(Н1)

(НО)

(Н1)

где

v)'

Здесь Ф(А)=4л/&2— преобразование Фурье для кулоновского потенциала 1/|х—х'|, a /zr(k, v) определяется уравнением (91). Так как Ф(А) действительно, а вся правая часть (109) должна быть действительной, то остается найти только мнимую часть h.

К сожалению, метод Ленарда [25], который избежал решения интегрального уравнения при нахождении Im h9 не подходит для случая многокомпонентной плазмы, и надо решить уравнение (96), но сначала необходимо найти решение для Н из (101). Упростим обозначения и определим

W)^"(И2)

^^^ne^F^uY^^^ne^F^uY(ИЗ)(ИЗ)

^^^ne^F^uY

^^^ne^F^uY

(ИЗ)

(ИЗ)

Опустим индексы компонент в суммах. Тогда можно переписать (101) в виде

Н(и) = [Т(м) +Я(и)] f -^+77Х (“') -

-ш f ^Л+и^^+^^ь(114)

Помня, что Н действительно, сделаем дальнейшее упрощение и запишем:

*(») = ^(“) + K(“)f Т^^-ХЙр' 7—^7, (115)

(П6)(П6)где

(П6)

(П6)

К^=Н-^,

и введем функции

= л*М-р' „^ц ;

3(z) = j<z«j^L: 3‘(“) = p“'-7^rir-

Теперь функции А^ и В (г) являются аналитическими везде -в комплексной плоскости 2, за исключением значений на действительной оси, где они имеют скачки 2лi^(w) и 2шх(м) соответственно. (Функции К и х действительные).

Перепишем теперь (114) в виде

ИЛИ

_1_ р+ (1 - в-) - Д- (1 - 5+П = ТН

Если мы разделим это уравнение на (1—В~)/(1—S+), получим:

Г Л+ _ Л~ 1 2тФ(а)

1—5+ ’I — В J — (1 — B+J (1 — В-) •

Заметим, что 1—В-— дисперсионная функция плазмы е(к,— гки^ которая для устойчивых плазм не имеет нулей в нижней части полуплоскости г. Подобным же образом (1—В™)* не имеет нулей в верхней полуплоскости, а знаменатели обращаются в нуль. Используем теперь обобщение теоремы Коши, чтобы записать решение

(117)

Следовательно,

A (z) = [1 - В (z)] J du' ^MZL^-ZL^IH.(ng)

Из уравнения (96) следует, что для нахождения h надо знать А-. Следовательно,

д-=«(к. -k;(119)

Теперь уравнение для hr можно переписать в виде h’W -kv) = r(cO(l-s)-^^-(“).(120)

Используя результат для А-, находим:

Запишем мнимую часть

т / г / х £r z ч Im е* , 4я2 dfrv Ene8F

Imk4v) = f (v)-|7p-+^ dtt- jep-=

_^fW 4ше* dF^jie^^ rl22Y

^| * P m ди ' кгтг du |ep ’

Таким образом, запишем выражение для jr

Гdf(y')

8(kv —kv'), (123)8(kv —kv'), (123)/г4 | £(/г, — ^y) |2/г4 | £(/г, — ^y) |2kk l/m^f, du£ns2f (v') — fr (ч^пеЧт ^r™

8(kv —kv'), (123)

8(kv —kv'), (123)

/г4 | £(/г, — ^y) |2

/г4 | £(/г, — ^y) |2

где суммы берутся по всем сортам частиц.

Можно показать (следуя [25]), что эти кинетические уравне- ния остаются положительными, если они первоначально были положительными, сохраняют число частиц -и дают законы сохранения импульса и энергии, если их просуммировать по всем сортам частиц. Далее можно показать, что распределение Максвелла является стационарным решением и может быть получена //-теорема.

Учет однородного магнитного поля. Здесь мы учтем эффекты, связанные с однородностью магнитного поля. Для этого, используя метод Ростокера [1], находим дисперсионное соотношение для электростатических колебаний.

Чтобы включить магнитное поле в уравнение для корреляционных функций и т. д., обратимся к [31].

Рассмотрим возмущения Л(х, v, /), £i(x, 0=—V, Т вблизи равновесия /о(х, v, 0, dfo/d® = O, где

у = (о±созФ, yj_sinO, V||) = ejLyj. + e|iy||

в цилиндрических координатах в пространстве скоростей с yH = v-—. Если мы рассматриваем возмущения для компонент в виде fis a exp (i k х + i w t), у = Im <о < О для неустойчивости, тогда

дд , еФ.

дмг>± дФ II

(+i<»+ikv)f^-Qs^=-^-trVке. ^+АП

х 11s дФ ms1 оу^ ‘ II оу и )

ИЛИ

(ito + iА || у и) /i + ifej-Vj. cos (Ф—a) ft —

—Оcos (ф а\ dfs« । ъ(125'1

дФ — ms ^й±С05(ф а) дфТ^п^^ j-

Здесь Q,s — esBlm3c и ^=(^±cosa, &±5ша, Йц). Теперь допустим, что любую функцию Л (А, у) можно представить в виде следующего разложения:

Л(к,2 4(^,)^'"",-'Л(Ь,01.»|,) (126)

П-— ОО

с формулой обращения

2те2теЛ„(к, оЛ„(к, о2tC^(^J_^s) J62tC^(^J_^s) J6^ФЛ(к, у)е-‘^”<*-»> ^t»-)^ФЛ(к, у)е-‘^”<*-»> ^t»-)(127)Здесь a,=yjQs и U— обычные функции Бесселя первого рода.. Воспользуемся формулой(127)Здесь a,=yjQs и U— обычные функции Бесселя первого рода.. Воспользуемся формулой

2те

2те

Л„(к, о

Л„(к, о

2tC^(^J_^s) J

6

2tC^(^J_^s) J

6

^ФЛ(к, у)е-‘^”<*-»> ^t»-)

^ФЛ(к, у)е-‘^”<*-»> ^t»-)

(127)

Здесь a,=yjQs и U— обычные функции Бесселя первого рода.. Воспользуемся формулой

(127)

Здесь a,=yjQs и U— обычные функции Бесселя первого рода.. Воспользуемся формулой

(128)(128)

(128)

(128)

7Z=—00

Заметим, что, если —— А (к, v) =0, то отсюда немедленно следует, что А (к, v) =An(k, v±, уп). Умножим (125) на

1 1й . a sin (Ф-а) ^(4^)е

и проинтегрируем по Ф. В результате получим:

—i^n^sla (Ф—а)—i^n^sla (Ф—а)2тс

—i^n^sla (Ф—а)

—i^n^sla (Ф—а)

О

21

т (Ф—а) rs Sg (* i^afsin (Ф—а) ^ in (ф_а)

О

1Ф^1^lg2kJ fl1Ф^1^lg2kJ fl—i^ I а sin (Ф—а) 1ф Гxdf0

1Ф^1

^lg2kJ fl

1Ф^1

^lg2kJ fl

li ’ 1 v 7 da.

Интегрируя по частям, находим:

(+i„+ it Л +i„G,)f„ = 4- T L &.+4^ai+^g

_l£s_Xp(k d?S« 1 П d^« \ms Il du || as Ou^ у ’

где использовано равенство

Таким образом, Л dfs0 п df% \

п ms (^цУц+/г2$4-чо)1

Теперь, из (126) и (127) следует:

J d‘vA (k, и) = J d8v 2 janAn-

Итак,

=ф22т)"'-(^,1') S п

'^Л.— ^2-\

ft II дуц • as ди у / ^Оц Н-^ + м

Тогда

дает дисперсионное соотношение. Для устойчивой плазмы аналитическое продолжение в область Im со ^ О осуществляется в результате преобразования контура интегрирования, который раньше совпадал с действительной осью, в контур Ландау, так как это имеет место в отсутствие магнитного поля.

Уравнения для спектральной интенсивности, найденные в п. 2.2, можно легко получить, используя метод Ростокера. Для этого нужно заменить e(i&, со) и U ^к, со) на

е (к, О)) = 1

S«2P f^y VVM^jJ [к^¥]Л1

&2 J L to+(Mn + ie ’

(130)

Здесь

и

и (к, со) = — ^пе4 f d1^ (о) V. , J\ . , v ’it J ' х ’ 71 со 4- (&. и)„ 4- i

S0 = S02, к=кгг+кд_

(к- v)n = ^zyz+nQs;

( dv )п — ду2 a dyL*

2.5. Рассеяние на флуктуациях плотности. Из потенциалов Ленарда—Вихерта (см. [32]) можно получить выражения для электромагнитных полей в точке г, возникающих от движущегося заряда, который находится в точке р(0-

Е (г, /)= е

r(p^mN^ , nxh^^g3^2"Г ^3С^

B=NXE,

где

₽ = v/c; ^=1 —Np; /? = ] г — p(0 I ;

N — единичный вектор вдоль R. Здесь f означает, что все величины должны быть определены в момент времени t'—\t—R^t')!c.

В волновой зоне второй член в (131) доминирует, и в нереля- тивистаком пределе имеем

E(r,O = -^INX(NXv)](„(132)

Представим себе большой объем плазмы, в среднем пространственно-однородной, на который падает плоская волна E0cos(Kx—Ш). Это приведет к ускорению каждого заряда, вычисляемому по формуле:

viЕ«cos (КР. (О - й0

в первом борновском приближении (т. е. мы предполагаем, что плазма оптически тонкая). Суммируя вклад от всех частиц и пренебрегая вкладом от ионов, который мал в отношении масс, получаем:

E(r, ^=^г\^ [X

х cos (Кр tn - at-) ^ § [р - Р,- (ПЬ(1зз)

На больших расстояниях от плазмы |г|>>|р| (представляя 6-функцию в пространстве со) можно написать:

E(r, O = -^-[E„-NN.Eo]Re Ге^ и”к,с) J^pp/

X J dfe' 1(™-=) " + (к- -^ n) p ^ 8 (p - p. О* .(134)

Здесь r0 — классический радиус электрона e^jmc1. Нас интересует .ожидание:

to 4' jdt (| Е* I) = J -^ N^-1E„ j2 [1 - sin2 a cos2 (Ф - Ф.)] X

XS(K--4N,(135)

где a — угол между N и К, а Ф и Фо — азимутальные углы, определяющие N и Ео в плоскости, перпендикулярной К соответственно. Если падающая волна не поляризована, то фактор ооз2(Ф—Ф0)-И/2. Величина

$№,..)= ^^.[(Iti^)](136)

— это спектральная мощность флуктуаций электронной плотности. Следовательно, усредненное по 'времени среднее значение рассеянной в единицу (Времени в единицу телесного угла Q энергии на Асо/2л (полоса пропускания в точке г пропускает только* частоты в интервале Асо) равно:

^1/2- <к’ -»Г". [' - Si"’1 "<Ф - Ф» (‘37> Величину S можно вычислить с помощью (27) и (82), как это было сделало при вычислении f или спектральной интенсивности для флуктуаций плотности заряда. Приведем здесь только результаты:

4г 5 (к, «>) = 1(1 ^^- С <М (v) 8 (ш + kv) +

+L^.J^/(v)8(<» + kv), (138)

где x определяются согласно формуле -

е(к, со) = 1+хе(к, со)+хг(к, со). (139) Подробное обсуждение этих результатов для различных ситуаций, а также ссылки даны в [33] (см. также [34]). Ниже приведем только некоторые свойства.

Рассеяние происходит только на электронах, т. е. на электронах в облаке поляризации движущихся ионов и на ядре и электронной части О'блака поляризации движущихся электронов.

Если co~Q, то рассеяние происходит на частицах со скоростями, близкими к нулевой. Так как уравнение для спектральной интенсивности зависит только от Fe^u^^=^\l^nyf2*luTe- [см. (102)] и Ег(ы«0) = (1/2л)1/2Мь то при примерно одинаковой температуре Утаите кривая поперечного сечения рассеяния вблизи (со—Q) должна иметь доплеровское уширение AcD~£yTi. Эта действительно наблюдалось для |^о|<^1 (см. [35]).

Когда (со—Q)^cope, должен иметь место точный резонанс для малых |&Хо|, что наблюдалось в экспериментах по радио* отражению, проведенных в Арисибо [36]. Это, конечно, происходит из-за резонанса ю~юРе в е(А, со). ,

Если Те^Тг, I^dI^I, то акустические волны становятся резонансами 8 (/г, со) и так называемые ходы будут наблюдаться на акустической частоте.

Если |6Xd |>1, то коллективное поведение частиц в плазме не имеет .места (за исключением почти обратного рассеяния) и

S(k, со) «2л J d3yfe(v)6((o+kv), (140) т. е. имеет формулу для рассеяния от неэкранированных электронов. В действительности распределение электронов может быть, найдено (с помощью лазера), и если оно максвелловское, то температура определена.

При тепловом равновесии поперечное сечение рассеяния, проинтегрированное по всем частотам, можно вычислить:

^\! + ^^)21/2 при |^в|<1;

-7г- О (к. О)) = 7'^

2л1 + (^W1 при |&Ло|>1.

Эффекты, связанные с поляризацией плазмы для малых |MD|, уменьшают томсоновское поперечное сечение рассеяния на 1/2.

Повышенное индуцированное излучение. Принцип суперпозиции Ростокера. Рассмотрим совершенно общий расчет для индуцированного излучения высокочастотных волн в плазме, когда амплитуда падающей волны как раз ниже критической для возбуждения параметрических неустойчивостей. Это увеличенное излучение, которое может быть значительно выше теплового уровня при отсутствии падающей волны, наблюдалось в ионосферных и лабораторных (и вычислительных) экспериментах. (Фактически усиленное излучение продолжается и в закритической области, но интенсивность возбужденных волн определяется в первую очередь конкуренцией между неустойчивостью и нелинейным насыщением [37]).

Вычисление проводится с помощью формализма Дрейка и других [38] для рассмотрения параметрических взаимодействий, а затем используется принцип суперпозиции Ростокера [39] (см. также [7]) для одетых, но некоррелированных частиц, чтобы учесть их дискретность.

Рассмотрим плоскополяризованную электромагнитную волну с большой амплитудой

.E=2e0E0cos(Kx— Q/) = Eoexp[i(KoX — Q01 +

+ Еоехр[—i(Kx — Q/)]>(142)

распространяющуюся в пространственно-однородной плазме. Ис- щользуем замечание Дрейка и других для целей симметрии. Заметим, что условие применения преобразования Фурье отличается от того, которое мы использовали раньше. [Множитель 2 в (142) избавляет нас от выполнения расчетов с множителем 1/2.] Взаимодействие накачки с электронными флуктуациями бпе(к, со), обусловленное дискретными заряженными частицами и их облаками, приводит к возникновению сателлитов с k±z=k±/K, co±z=(o±/Q. Мы рассматриваем случай, когда еЕ^т^с<^ 1, т. е. имеем дело с первыми сателлитами при k±=k±K, o)± = o)zhQ. Преобразование “Фурье волнового уравнения для сателлита E±(k±, со±) можно записать в виде

' К^-^2)7-^^^-^^.<143)

Здесь / — единичный тензор. Выражение для плотности тока состоит из обычного линейного отклика о±Е± и 6/±, -причем

8J± = ±^-toe(k. «)Е0±.(144>

Здесь 8J± в свою очередь состоит из произведения скорости колебаний в высокочастотной волне накачки и низкочастотных электростатических флуктуаций плотности. В приведенных ниже формулах считаем Q/cdp»1 (или, если Q/co^^ 1, MD^1) и to/Q^L Запишем теперь уравнение (143) в виде

{[(^V* - а>2±) - 4w±®] (7 -ДД±) -

-ю=(1 + 1±дЬдН£ =-<»=(145)

\1 (О / ± ±/1±р п04 Л

Здесь ^=к/|Л|.

Для изотропных распределений по скоростям имеем:

<i46>

где

1± —4m^± J и — <о±/^± — iv/£± ’

^^ f идЕ^/да°Н±4т£± J ^ и — ^/^— iv/&± ’

a Fq^ = / d3vfo(v)6(w—&±v) определено ранее. Тогда (145) представим в виде

(^/-^Д-ш^е^Зд^^^Eot, (147>

где при высоких частотах D± и е± можно аппроксимировать следующими выражениями:

£)±=fe±2c2+(Dp2 — со±2 — i(Dp2v/co±(148)

и

(149>(149>

(149>

(149>

Здесь v — электрон-ионная частота столкновений (или, возможно^ затухание Ландау в (149), зависящее от кДпУ Уравнение (147) легко преобразовать к виду

Е±=- .■„ !г^ [(7'„ у^ _ XkJ-V.) е01.

Следующей задачей является нахождение 6пе(к,о). Мы утверждаем, что она находится из системы уравнений:

«»); (150)«»); (150)S^(k, «>)=^(^ «>)ik[E(k, ю)+21ф(к, ш)]+5в(к,

«»); (150)

«»); (150)

8д.(£,ю) = -.Х£1^1кТ(^^®)(151)

И

ik* Е(к, со) =4ле(бПг — бпеу(152)

Эти уравнения представляют собой коллективный отклик плазмы при наличии волны накачки на микроплотность флуктуаций, т. е.

S/(k. e>) = 72^yexp(-ikxoi)3(®-kvz) (153)

(154)(154)суть преобразование Фурье ионной микроплотности S (X, /) = 56 (X — Хог — Vit) .

(154)

(154)

Подобное уравнение применимо для описания электронов Se. Линейными восприимчивостями Власова являются величины %. Пондермоторный потенциал, который представляет собой влияние волны накачки, входит в электронный отклик Власова как сила, действующая на электроны Fto =—VTo при

Т = "£г№е ^+-^4-— У) — = ^г(Ес+Е +Е,_Е+).

(155) Скобки ( W представляют собой низкочастотную компоненту, которая остается после усреднения по быстрому времени Q^>cd. Соответствующий член в ионном уравнении опущен, так как в отношении масс электронов и ионов он был бы меньше оставленных членов. Вывод этих уравнений в отсутствие источников обсуждается в [38]. Там флуктуации были каким-либо образом первоначально возбуждены, причем, если они были выше порога возбуждения, они росли, а если же нет, то они исчезали. Мы же рассматриваем ситуацию ниже пороговой, поддерживаемую микроскопическими источниками.

Уравнения (150) — (152) можно разрешить относительно 6пе:

8^=~-Т(кЬг[Х'(к’ ^S-' + t1 +Xz)Se— ^^(l+xa], (156)

где е(к, to) = 1+хе+х<—низкочастотное дисперсионное соотношение. Уравнение (156) можно подставить в уравнение для Е±, получим:

wb>!Z'(k' ",s-(kl -> + <Ч+^У х

где £nl — нелинейное дисперсионное соотношение,

bnl = е (к, со) — А2%е (1 + Xi) ( I к+ X v0 |2/Z)+ + | £ X v0 \^D_ —

— | k+v0 |2/®+e+— | 2 v0 |2/<o—s_).(158)

Здесь vo=eEo/mQ. Критическим является условие, когда 8Nb->0. Чтобы вычислить ожидание (среднее по ансамблю), найдем квадрат электрического поля

<Е2 (х, 0> = И ^ dt^k'd^ X

X <E(k, co)E*(k', co'))expi[(k— k')x—(co — m')/], а теперь определим ожидание

(S (k, ®)S*o.(k,> ®'))-^(£eXp(-ikxob-Hk^^ X

X 8 (® — kvj 8 (to' - kv/a,) у(159)

где о—индекс определенной компоненты частиц. В соответствии с принципом суперпозиции Ростокера (мы одели частицы) можно рассматривать их -как нескоррел|иро1В1анные. Тогда для любой величины

^/х,,/, v^^^i-d’Oif^v^a^Xio, vz) И

(a.(x<0. vjao,(x/0, vy)) =

Отсюда немедленно следует, что

<\(Ь ®)S*.(k', «')) =

=-^т 8 (к - к') 8 (о, - <»') 8„, Jd3ofa (v) 8 (<» - kv). (160)

Теперь подставим (157) .и (160) в выражение для <’52(х, !()>, получим

<£’(х. ^ = "(2^г-{тТ77(кТй7)Р (|х»<е-- “-И’х

хг(^)4|1+х,(»-.^|^,^))+^дТ_х

Х(1х.«+. -♦)1,^(т7)+11 + ха,Л(У)}х

Уравнение (161) является основным результатом настоящего раздела. Интенсивность в каждой из линий получается интегрированием последовательно по каждому из возможных частотных резонансов. Сделаем теперь несколько замечаний.

Волна накачки может быть электростатической и электромагнитной, однако ее электромагнитные свойства шока еще нигде не использовались. Кроме того, формулы (160), (161) можно использовать для суммы волн накачки, пока их фазы случайны. Таким образом, в теории слабой турбулентности можно вычислить член с усиленным излучением в волновом кинетическом уравнении для моды с волновым вектором к, обусловленной не только волной накачки, но и параметрически возбужденными модами. Использовалось несколько упрощений в зависимости от моды (ионная или электронная).

Для ю^к^ите можно пренебречь ионным откликом %,- и источником А. Для ®± ^к±ии можно пренебречь электронным источником Fe и взять Хе, Х<>1- Этот формализм неприменим для рассеяния электронных мод при M.De^l, так как тогда излучение обусловлено продольным тормозным излучением, а не излучением Вавилова—Черенкова. Однако если заменить Fe членом, соответствующим нужному типу излучения, то оставшаяся часть вычислений остается прежней (см. [34]).

Специальное вычисление электрон-ионного затухания при Те~Т( рассматривали многие авторы. Этот случай интересен для многих ионосферных экспериментов [40].

В лазерных экспериментах также представляют интерес рассеяния Бриллюэнна и Рамана. Для примера приведем здесь вычисление резонанса бриллюэнновского рассеяния при Те~Т<; вычисление совпадает с изложенным выше.

(1(0\ЮГ~ т~2^~^^) ’ (162)(1(0\ЮГ~ т~2^~^^) ’ (162)Рассмотрим случай, при котором D(k, ®)«0, в то время как Z)(k—2К, <о—2Й), е (к, <о) и 8 (к—2К, го—2Q) являются нерезонансными. Для м«£2«®я= (ю^+^с2)1/2 находим:

(1(0\

ЮГ~ т~2^~^^) ’ (162)

(1(0\

ЮГ~ т~2^~^^) ’ (162)

eNL^b-> <0-)£)(к’ «^Цк,. Ш_) где

v^-v+i'.lFxC.I-^lm ^J™ .(163)

(0_ \^Г/(0_ \^Г/Действительная часть члена с нелинейной накачкой дает небольшой сдвиг частоты, которым можно пренебречь. Если kor— —\Q^\K\(Ti?miy/2) то только тогда член, включающий Ft умноженный на |кХЕ0|2, дает вклад в (161).

(0_ \^Г/

(0_ \^Г/

Интегрируя по электромагнитному резонансу, получаем следующий результат для нормированной интенсивности флуктуаций электромагнитного поля в линии вблизи частоты падающего из-

лучения Q:

I = m~a =| к уЕ Р £2° top Qk° Утг XК,ш~а 4лГ#/(2л)81 А «I Дли^ 2 к_ vTl

X W%) ’ (H^nD | 1 4. TeiTi (1 + z(x)]|2’^б^

где х= (юв—Q)/V 2 к-Уте, z(x)—дисперсионная 'функция плазмы. Повышение уровня флуктуаций идентично повышению флуктуаций в случае электрон-ионного распада, за исключением фактора to^/Q. Увеличение флуктуации при других возможных резонансах можно вычислить подобным же образом. В заключение отметим, что хотя принцип суперпозиции Ростокера избегает сложностей при использовании Г1 для вычисления двухточечных флуктуаций, он не был обобщен на случай более высокого порядка, чем е.

Некоторые замечания о неоднородной плазме и эффектах более высокого порядка О(е2) в однородной плазме. В [41] принцип суперпозиции применялся для описания уровней флуктуаций в слабонеоднородной плазме, в дрейфовых волнах, где имеет место конвективная неустойчивость, а плазма всюду строго устойчива. Балдвин и Коллен [42] также применили этот метод для определения переноса, обусловленного конусными (конвективными) неустойчивостями в установках зеркального типа. Наконец, Невинз и Чен [43}' вычислили уровни флуктуаций и переноса для бесстолкновительных дрейфовых волн (они в целом слабоустойчивы), включая вклад от глобальных нормальных мод. Последняя работа обсуждает ограничения этих теорий. Теория О(е) не подходит для обсуждения вкладов в спектральную интенсивность, обусловленных тормозным излучением (продольным и поперечным), нужно* перейти к более высокому порядку по в. При тепловом равновесии (флуктуационно-диссипативная теорема) уравнение (108) можно использовать для экономии одного порядка при вычислениях, так как температура Т формально» имеет порядок 0(e). Напомним, что плазменным пределом является е—>0, ш—>0, те — конечное, иг — конечное. Следовательно, Т = 1 /2 ти^ — 0(e). В (108) величина (Е Е) имеет порядок 0(e), а е(к, со)—диэлектрическая функция Власова. Для учета столкновений нужно в 8 (к, о) учесть следующий порядок по е (или, что то же самое, проводимость). Этот метод применялся авторами [2, 44—46], которые нашли столкновительный вклад в проводимость для высокочастотных волн, а затем применили его к излучению. Здесь мы указываем на то, что решение уравнения для Д, а затем для Г в высокочастотном пределе нисколько не сложнее и по существу идентично решению для парной корреляционной функции, на которое указывали предыдущие авторы.

3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЛУКТУАЦИИВ КИНЕТИЧЕСКИХ МАСШТАБАХ

Введение. Рассмотрим флуктуации с частотой порядка есор и волновым вектором порядка 8^3- Вспомним сначала вывод кинетического уравнения для функции распределения частиц f по многовременной шкале. Рассмотрим сначала устойчивую плазму без пространственных градиентов и в отсутствие внешних полей. Одно- и двухчастичные функции f и g удовлетворяют уравнениям (39) и (40):

4т- (^, П = — f dX'-j——Tj- -£-g(X, X', ty(165)

ot x ' m J dx |x-x'| dvK '

/ д дd \ne2 dfd

( dT + v "dT + v' "dF")8 ^X- X'* ^ ~ "m" dv J dX dx X

ne2 Г д 1

X irrvT gЛj dX" -^ ^^р g (X, X", t) =

e2 д 1/ д д \

= 1тГ дх |х — х'| dv dvr у^'’ ^*(166^

Вместо того, чтобы провести лишь разложение по степеням плазменного параметра е, которое не было бы пригодным при достаточно больших временах (порядка 1/ео)р) вследствие секулярности, используем метод многовременных масштабов [21, 22], где заменяют временную переменную / на последовательность формально независимых временных переменных t, et, вЧ ... и используют дополнительную свободу действий, чтобы исключить секулярность, о которой мы говорили выше. Этот метод связан с методом усреднения Боголюбова [10). Итак, представим f, g, h и djdt в следующем виде:

f = /(0) (^, st, ^tх, v) +

-w(1) (^ е/, е2/, . . . , X, V) + » • • ;(167)

g=eg^^(tt st, е2/. . . х, v) + e2^(2^( ) + . . .(168)

А=е2Д2( )+...;(169)

д д д дat = at + elS"+e2 д^Ч +•••>(170>

тогда (165) в нулевом порядке по е принимает вид d^!dt=Q. Функция fr таким образом, является постоянной на плазменном временном масштабе. В первом порядке по е (165) и (166) принимают вид:

dfC1) дНЧ . ne2 С д 1 д

X'. t.(!71>

f»+L + 1A,(.,_«L

у at 1‘ у6 т дх |х— х'[ I dv

д \

(172)

где L—'оператор Власова;

д ne2 df С д1 е v* дх ~ "т dv" j * dx |х —х"|

Для того чтобы f^ было несекулярным по времени, потребуем, чтобы df(°)пе2d 1 d

"кг = ^ irVx'liriCTVl^^x. ХМ.е1..Л (173) St—V11

6 ^конечное

Можно решить уравнение (172) для g(l) и получить два члена: один ив начальных условий на g, который чаще всего затухает до нуля в сильноустойчивой плазме в пределе достаточно больших времен; и второй член, возникающий из-за наличия ff (физически это корреляции, создаваемые столкновениями). Подставляя £<12оов (^^)> получаем кинетическое уравнение для f (109), описывающее ее эволюцию на столкновительном временном масштабе. Член, обусловленный наличием начальных корреляций, связан со спектром флуктуаций, присутствующих в плазме. Когда плазма неустойчива или только находится на границе устойчивости, этот член может доминировать и изложенный выше метод неприменим, и в этом случае находят квазилинейные

уравнения Драммонда—Пайнса [47, 48]. Наоборот, когда плазма сильноустойчива, доминирует второй член, и получают уравнения (ПО) и (123) Балес- ку—Гернси—Ленарда, которые мы обсудили выше. Роджестр и Оберман [49, 50] получили теорию, которая охватывает переход между теориями Драммонда—Пайнса и БГЛ на границе устойчивости в рамках теории слабой тур- -булентности. Имеется два непосредственных продолжения этой теории, которые мы опишем, прежде чем браться за разложение уравнений для флуктуаций по многовременным масштабам. Первое продолжение — это включение .пространственных градиентов, а второе — учет внешних полей. Учет пространственных градиентов в f необходим только тогда, когда масштаб вариаций гораздо длиннее дебаевской длины. Это является гарантией того, что индивидуальные столкновения (на расстояниях порядка дебаевской длины) происходят в локально-однородной плазме. Если это условие не учитывать, то это .очень сильно усложнит интеграл столкновений.

В теории такие пространственные градиенты и сопутствующие электростатические поля подбирают использованием многовременных и пространственных масштабов, при этом пространственная вариация в f должна иметь место на масштабе ех. Соответственно пространственная вариация g как функции разностной переменной происходит на масштабе (х—х'), а как функции суммарной переменной — на масштабе е(х4-х'). Разложим теперь f и g в ряд:

^_ ^(°)(^ £^ ^^ , , е , 8Х, е2хv) +

•V ef^ (t> st, 82, e . . , ex, 82x, . . . , v) + 0 (s2);(174)

g = e^1) (f, e^, . . . , x—x', s(x — x'), . . .

. . . , 8 (x + x'), 82 (x + x'), . • . , V, v'] +0 (82).(175)

Уравнения (171) и (172) теперь*приобретают вид: d^(dt=^—в нулевом порядке, .а

dft1) dt(°)df(°) еdW

dt= det "“v dex‘ т Е° (ех’ dv +

(176)

В низшем порядке на уравнение (172) не влияет новое разложение. Значит/ влияние неоднородности состоит в изменении левой части (173) (в замене ее на производную по фазовому пространству), при этом правая часть (173) •остается без изменения. (Фактически, масштаб пространственной неоднородности совершенно необязательно должен быть порядка 8, чтобы эти аргументы имели место).

Другое развитие теории — это включение внешних полей, которые возникают в левых частях уравнений для f и g. Для получения интеграла столкновений нужно найти g, решив уравнение (40) с учетом внешних полей. Это можно сделать методом интегрирования вдоль траекторий.

На практике интересен случай внешнего магнитного поля (однородного или медленно меняющегося), которое превращает траектории в спирали, и уравнение для g может быть решено с помощью преобразования Фурье—Бесселя. Следует отметить, что введение внешних полей не вызывает никаких новых принципиальных трудностей, но несколько усложняет результаты. Появляются две сложности. При учете самосогласованного электрического поля кинетическое уравнение имеет высокочастотные решения, которые должны быть подавлены, для того чтобы выражение для g было справедливо. Это достигается наложением условия квазинейтральности ^епгг(х, t)=0t так как Md^I. Второй трудностью является то, что наличие градиентов магнитного поля, хотя и слабых, приводит к дрейфам и захвату в магнитные ямы, и эти важные эффекты необходимо учесть в выражении v-djdx. Эти трудности преодолеваются подходящим усреднением по гировращению (и по баунс-дви- жению) для получения так называемого дрейфового кинетического уравнения. .318

Мы опускаем его, чтобы сделать более ясной сущность приведенных аргументов. Мы сейчас увидим, что подобный анализ уравнений для Г1 и А привел^ к кинетическому уравнению для Гь Дальнейшие сложности возникают от сингулярных начальных условий на Г1 и А по сравнению с гладкими начальными условиями на f и g. Давайте вспомним [см. (43) и (51)], что Г1 и А удовлетворяют следующим уравнениям и начальным условиям:

(

д дд \

дГ + v • -дГ + vXB^) Г. (X., fe; -

er(X, t) Гд 1

- тгдмj dX Г, (Х„ X , 0 дх |x_xq -

-^; х, ^ J nr,er, J<1Х^ кх-. о 4г тг^Г =

-х'-<177>

г

dt +v дх +v dx' + mr vXBo dv +

. ег,д \d 1

+ ^7^X8.-^^t.; х. X'. п = «rer.-ar-^Tx

X (^^-^v) tp- ^” '- х- ^^Х'. 0 +

+ г, (Х„. /,; X', п f кХ. 01 + 2 nf ег„рХ" 14г^Х

X ir^PT^rff* Iх’ ')д ^«’ ^; х'’ х"- ° +

+ f, (X". 0 д кХ„ /.; х, X', 0 +Г, кХ„ t,; X”, ngkX. X', о +

+ г, (Х„ t; X, t) g (X’, X", 0J + (%*—ЛГ') J; (178>

Г, кХ», х, t,) =gkX„ xv t^/f кХ,. te) +4-8rir,8 kXt-X.); (179) ro

Д (^„ M X, X', t.) = h (X„ X, X-, t,Vt kX.. /,) + 8 ^^'iy— X

X 4; 18 kX - x6> 8ГеГ + 6ГоГ,6 (X’ - X.) ].(180>

Следует отметить, что (177) и (178) точно совпадают с уравнениями, которые были бы получены при формальной линеаризации f—>/+Г, g->g-V-А уравнений (39) и (40) для f и g, как это было указано ранее.

Это наводит на мысль, что если бы Г и А удовлетворяли тем же гладким условиям, что f и g, то тогда Г1 должна была бы удовлетворять линеризован- ному уравнению, которому удовлетворяет f.

Покажем, что столкновительная диффузия сглаживает начальные сингулярности в Г и А достаточно быстро, чтобы оправдать вывод кинетического

319i

уравнения для Г методом многих масштабов. Единственное, что требуется, это одна простая основная оценка. За время / пробная частица будет диффундировать в сферической области радиусом г, где r2^Dt, a D^vX2 есть коэффициент диффузии. Теперь имеем v^ecop (фактически elnecop, но мы при оценках не будем учитывать кулоновский логарифм) и Хт{р~ №. Следовательно, г!Хп~гШ (^ptyi2 а за время, большое по сравнению с плазменным периодом 1/о)р, но малое по сравнению с временем столкновения 1/есор, на которое мы далее будем ссылаться как на промежуточное время, область диффузии станет гораздо больше, чем дебаевская сфера. (Этот аргумент можно применять для замагниченной плазмы, если гирорадиус значительно больше дебаевской длины, что и предполагается ниже.) Таким образом, установили, что Г1 « удовлетворяет линеаризованным кинетическим уравнениям для /. Для устойчивой плазмы, которую мы в основном будем рассматривать это уравнение является полностью линеаризованным уравнением БГЛ

/ д д iE0 d \ r . г^

(dT + v^r + -V--d7-)r^r^»';

J -1Ьл J (2п), |е (k, k-v) |2^dv' Г0 И.'(о.^<) +

+ Г (V) -^7(X„ te; X, f) - —(X„ t6; X', f) +

,(181)

д r,1 Г 1 dfs

W^IX.. t.; X', 0 - -^rf№-

dfrГ de de* 1

<v')5 (k-v-k-v);

S

n,e\ 4лк f d3u d ,,

' mr F~ J to + k-v + is"dF Г‘ ^” ^’ X’

Этот вывод может вызвать ряд возражений.

Мы показали, что размер сферической области диффузии Ft есть XD/eV2 (что подтверждается результатом, полученным из кинетического уравнения) - В анализе многих пространственных масштабов, приведенном выше для f, мы предполагали, что масштаб длины неоднородности равен О(Ха/е), хотя на самом деле он больше. Так как (было принято выше) масштаб неоднородности значительно больше Хо, то изменение Г1 в больших временных масштабах определяется следующим выражением:

<Л\ ne2 f д 1 д к

что точно совпадает с линеаризованным кинетическим уравнением.

Мы договорились, что сингулярные начальные условия на Г сглаживаются в результате столкновительной диффузии. Теперь надо определить начальное условие на А. Для того чтобы существовало кинетическое уравнение, А должно сводиться к функционалу от Г1 и f независимо от начальных условий на промежуточном временном масштабе. Теперь можно утверждать, что сильная устойчивость плазмы достаточна, чтобы это выполнялось.

Члены де в интеграле столкновений выглядят несколько необычно, и может возникнуть вопрос, каков их смысл. Если распределение f является локально максвелловским, то члены де в интеграле столкновений в результате интегрирования обращаются в нуль, и мы получаем обычную форму уравнения Фоккера—Планка [51]. Однако при отсутствии теплового равновесия, когда может иметь место турбулентность на кинетическом уровне описания, та- 520

кие члены присутствуют. Таким образом, в гидродинамическом случае, который надо рассмотреть, член бе не вносит никакого вклада в результаты. Однако следует заметить, что даже при наличии членов бе оператор столкновений сохраняет число частиц, импульс и энергию. Стоит отметить, что не следует ожидать, что оператор столкновений для кинетического уравнения пробной частицы для Qi будет удовлетворять сохранению импульса и энергии, поскольку импульс и энергия могут (и будут) передаваться полевым частицам.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ

Введение. Зная кинетическое уравнение и (181) для <6f6f> [мы используем обозначения Климонтовича <6f(X, t)6f(X', f)> для ЦХ, 'ОГДХ, t; X', f)], находим гидродинамические флуктуации в плазме, обусловленные дискретностью частиц, рассматривая гидродинамический предел (считаем масштабы длины и времени большими по сравнению со средней длиной свободного пробега и средним временем между столкновениями соответственно). В замагниченной плазме длина волны в направлении, перпендикулярном магнитному полю, должна быть большой по сравнению с ларморовским радиусом.

Найденные результаты аналогичны результатам, полученным Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [18] для однокомпонентной жидкости, но имеют более широкую область применения. Авторы [18] показали, что гидродинамические флуктуации простой жидкости можно описать с помощью линеаризованного уравнения Навье—Стокса с учетом случайных напряжений и. потоков тепла, время корреляций которых определяется вязкостью жидкости и тепловой проводимостью соответственно. Хинтон [52], используя метод, подобный тому, который применен здесь, показал, что результаты Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица пригодны не только при тепловом равновесии, но и в любом неравновесном случае, если пригодны гидродинамические уравнения. Тогда случайные напряжения и тепловые потоки остаются такими же, как в равновесии, и их модификация состоит в том, что уравнения Навье— Стокса линеаризованы вблизи заданного неравновесного потока, а не вблизи состояния теплового равновесия.

Уравнения моментов для флуктуаций. Вместо того, чтобы решать (181) для <6f6f) с начальными условиями (179) непосредственно, используем следующий эквивалентный формальный метод. Сначала решим линеаризованное уравнение БГЛ для 6f:

l£ + v 4-+— fE + — уХВ^-^Ы^УЧС’,+<2 ) (183)

[ 1 дх ~ т 1 с ] дм J х гг 1 гг 7 7 г

с начальным условием б/^бЦХ, tfo), при ^^о, где К — линеаризованный оператор столкновений (181). Теперь вычислим автокорреляцию, используя (179)

ОДЦХ, tt))=fr°(X„ t^tx,,, te; X, tt)= (184)

= hXX)y(W.) + /X, X,t\ (185)

Обратимся теперь к уравнению (183), которое является линеаризацией уравнений БГЛ для fr

^4-v-^+—fE<0)+—vXBj^lfGY, t^Vc^Af, f'y

dt x dx * m у 1 c °y dv J 1 vu ' 7

(186) где

Crr, Цг„ ЩГ,) = К^ ; Cn, ^r„ f^^K^,;(187)

КУСАКУ;,.(188)

Некоторые свойства C„. переносятся на Krr,, в частности

(189)

где подразумевается, что

(190)(190)Krr'd‘o = 0; J^K^t, = O; 4-/nrD8№u=0.

(190)

(190)

Уравнения (189) и (190) появились после того, как мы пренебрегли всеми процессами (ионизацией, рекомбинацией), которые превращают частицы из одного вида в другой.

Можно сконструировать уравнение моментов из уравнения (183) таким же образом, как это можно сделать для уравнения (186), т. е. умножая всюду на /, v или ти2)2 и интегрируя по скорости. При определении линеаризованных гидродинамических величин б/ir, 6ur, 6Т, и др. уравнения, которым они удовлетворяют, точно совпадают с линеаризованными уравнениями моментов для макроскопических переменных пг, и„ Тт и др. Определим макроскопическую плотность п„ скорость и, и температуру Т„ а также

тензор напряжений П„ со следом, равным нулю, и тепловым потоком qr r-й компоненты

. $fr(X, t)d3y=nr(x, t);(191)

J vfr(X, 0 d3u = nr (x, /) ur (x, ty(192)

^-^-tnrvvfAX, t^d3y = mrnryx, t)ur(x, t)ur(x, f)+

+ nr(x, ^^(x, 01+К(х> 0

(193)

и

LXm^AX, t')d*y=^x, О+ПДх, O«r(x- 0 +

+ur(x, О [-|-«r(x, ^ТДх, ^Д-^т^Дх, f)

(194)

Перепишем (193) и (194) в более простом виде:

ТДх, t^-HTTtT-T^AN-Urkx, ^ДХЛ^у,(195)

щ(х, t^^ni^-иДх, 0Hv-ur(x, 0]-

—LT[v-ur(x, 0Р}№ №(196)

^(х, 0 = 4" f^r[v — ur(x, о] [v — Ur(x, OPP(^> 0^- (197)

Найдем 6nr, 6ur, 6Tr, 6ПГ и 6qr, линеаризуя уравнения (191)— (194), т.е.

ЬпДх, 0= I бр(*. О^3о;(198)

d[nr(x, 0*Мх, 01=6nr(x, 0ur(x, 0 +

+«r(x, 06ur(x, 0 = J v6fr(X, t')')d3y;(199)

6 (Пг + пД\Л + mrnrurur) = J mrwbf d3y;(200)

5[чг+(4

12

j mru. \

А-т^ДХ, t^d*y.

Окончательно запишем:

8uf (x, 0 = -^(;;—j" J lv - ur (x. 01 ^r (X, Д d*y;

8|[«f(x, 1)ТДх. 0] =^-J[v-ur(x, 0]28fr(^. 0’^;

8Цг(х, t)=mr§ |[v — ur(x, 0] [v —ur(x, 01 —

—4-T[v-ur(x, 0]2}sfr(^. 0^;

Sep(X, 0 = ^ J ([V - Ur (X, 01 ([V - Ur (X, OP -

-^^-Л5^^’ W-йДх, t^UrkX. 0.

(201)

(202)

(203)

[(204)

(205)

Заметим, что уравнение (205) отличается от 6qr, найденного

-в [52], членом Пг-иг. Однако приведенное выше определение 6qr

появилось бы более естественным образом в теории [52], так как при переопределении (205) флуктуирующие величины подчиняются линеаризованным уравнениям моментов: приведенная выше величина 6qr непосредственно связана с флуктуирующим градиентом температуры. Конечно же, уравнения моментов ничего не означают до тех пор, пока 6q и 6П не определены через более низкие моменты, .а тогда различие, упомянутое выше, становится непринципиальным. Может возникнуть вопрос, почему при взятии моментов линеаризованного уравнения Больцмана Хинтон не получил линеаризованных моментов уравнения Больцмана, хотя после замыкания их с помощью метода Чепмэна—Энскога он действительно получил линеаризованные уравнения Навье—Стокса? Ответ на этот вопрос связан с определением величины 6q.

Найдем теперь силу трения R между электронами и ионами

и электрон-ионный столкновительный тепловой поток R= jme(v— u)Ce^3^;(206)

Q^-L^nte^-uWx),(207)

а затем 6R и 6Q:6R=jme(v—u)Keid3v,(208)

8Q = A- J те (v - u)2 Keid‘v.(209)

После этого запишем уравнения моментов для и, u, Т:

(210>

которые являются уравнениями непрерывности и импульса для каждой компоненты'

ma \dF*i"Ui "дх? )ui~~ пТ —П</ +

+ ^[£1/+4(uXB)i]+-R/.(211)

И, наконец, д / titnu^ 3 гр \ д / 5 гр ।12 \। тт .> I

+++ ^-iiui + Ai j =

^enEtU^RiU^Q(212)

суть уравнения переноса энергии. Первый член в (212) представляет собой скорость изменения суммарной плотности энергии частиц данной компоненты, состоящей из кинетической энергии (1/2)/пу2 и внутренней энергии (3/2) пТ. Дивергентный член представляет собой поток суммарной энергии, включающий в себя работу, произведенную полным тензором давления (р7+П)и, потоком макроскопической энергии (,(3/2) пТ+( 1/2) mnu2) и и микро- 324

скопическим потоком тепла q. В правую часть уравнения входит темп, с которым производит работу электрическое поле enEu (магнитное поле не совершает работу), нагрев за счет трения Ru и передача тепла Q между компонентами. Уравнения (210)—• (212)—стандартные уравнения моментов для двухкомпонентной плазмы [38]. С определениями (198), (202) — (205\, (208) и (209) уравнения для 6пТ) 6ur и 6ТГ точно являются линеаризацией уравнений (210) —(212).

Теперь замкнем эти уравнения, отнеся П, qr, Rr, Q к более низким моментам п, и, Т и 6П, 6qr, 6Rr и &Qr к пгм urz, Гг/, Ьит„ 6ur„ бТг, соответственно. Основанием для этого является разложение Чепмэна—Энскога, где полагают, что масштабы дли* ны и времени являются большими по сравнению со средней длиной свободного пробега и временем между столкновениями соответственно.

И именно на этот режим мы ссылаемся как на гидродинамический. Эта процедура была полностью проделана в [53] для моментов Д В (52] для случая нейтрального газа показано, как решения уравнений Чепмэна—Энскога для моментов связаны с решениями линеаризованных уравнений Чепмэна—Энскога для 6/. Для нейтрального газа уравнения переноса имеют вид:

дТ

(2,3)

/ ди^ ди? 2 дик \

В [37] показано, что соответствующие уравнения переноса для 6q и 6П имеют вид:

ддТdk

^i=бк^дТ-^г;(215)

/ дд2 д \

8Пч = ~ d“z + dx{ 6ui — 3 6И дхк д“к) —<216)

1 дТ

При определении 6q (205) уравнения (215) и (216) являются линеаризацией уравнений (213) и (214), что и следовало ожидать. Можно легко показать, что ту же процедуру можно использовать в плазме. Имеются некоторые трудности, связанные с тем, что они хотя никак не влияют на процедуру, но усложняют вычисления. Еще одна трудность [38] в случае плазмы заключается в том, что можно разложить интегралы столкновений по степеням квадратного корня из отношения масс (melmi)^/^, которое даже для водородной плазмы является малым числом (1/40). Из-за этого различия в массах электроны гораздо сильнее связаны с электронами, чем с ионами. То же можно сказать и об ионах. И поэтому имело смысл определить в отдельности скорости и температуры для двух компонент. Фактически

Тее«Ta'Tei = 1 ‘Л^е/^1^ ‘^^el^i)»

где Тее, Та, —электронное, ионное и электрон-ионное времена установления равновесия.

У нас есть две взаимопроникающие жидкости с разными температурами и скоростями. Это приводит к появлению новых коэффициентов переноса, от-

сутствующих в теории простого нейтрального газа: коэффициента трения между компонентами, который связывает силу трения между различными компонентами с их относительной скоростью (и^—uz=u), и коэффициента переноса тепла между компонентами, который связывает тепловой поток с разницей их температур ^Те—Т^.

Дальнейшим усложнением задачи (по сравнению с нейтральным газом) является возможное наличие внешнего магнитного поля, которое превращает (ранее скалярные) величины тепловой проводимости и вязкости в тензорные, так как перенос поперек магнитного поля в основном подавлен.

Эти две трудности приводят к увеличению числа коэффициентов переноса, но не оказывают влияние на общий результат: флуктуирующие величины 6q, 6Q, 6П, 6R удовлетворяют полной линеаризации уравнений, которым удов- слетворяют q, Q, П и R соответственно.

Уравнения переноса, которым удовлетворяют q, Q, П и R, приведены ниже 153]. Обозначения || и 1 относятся к направлениям, параллельному и перпендикулярному внешнему магнитному полю, поэтому

usU||+u±;(217)

V^=V||^ + Vj_^(218)

и т. д.

Передача импульса от ионов к электронам R благодаря столкновениям состоит из двух частей — силы трения Rwh термосилы Rr, возникающей от относительной скорости и градиентов электронной температуры соответственно:

R = R« + R^;(219)

RM = — a J, u л — aj_Uj_ + a^f*X u;(220)

Rr = - Pf VII Те - Pf Vj/e - X vTe.(221)

где b— единичный вектор, параллельный внешнему магнитному полю. Тепловые силы, обусловленные градиентами ионной температуры, пренебрежимо малы по сравнению с электронной тепловой силой вследствие малости отношения массы электрона к массе иона.

Соответственно электронный тепловой поток q состоит из двух частей

Це=Цеи + Цвт»'(222)

Ч=и = ^“и н + £"и± + £и?Хи;(223)

qer= -X'nVH^-X^Vl^-X^XvT-e. '(224)

Тепловая сила Rr и тепловой поток qa Нернста связаны соотношениями взаимности Онсагера [19, 20], причем подразумевается, что

■ ••(225)

Следует отметить, что это происходит из-за антисимметрии [знаки в (221), (223) противоположны} кинетических коэффициентов, так как и — нечетная величина при обращении времени, a VTe — четная Множитель Тс возникает из-за того, что мы не определили кинетические коэффициенты в терминах сопряженных сил и потоков. Тензор напряжений (след его равен нулю и симметричен) образует пятимерное представление группы вращения. Наличие магнитного поля определяет выделенную ось, а вязкость становится невырожденной, поэтому имеется пять независимых вязкостей т]

0, 1, 2, 3, 4:

п„9 = -- ^^^ _ ^^ + ^3«₽ + ъ^;(22 6)

^Оа₽ = (3/2) V>ab9- (1/3) 6ap) (6Д- (1/3) 8^) ^;

(227)(227)^afi=(»^ + (1/2)61 b^W^;

(227)

(227)

^3a9 = (1/2) (®а^^Т» + ^ 8«Tp) ¥^!

^4ap = epTy + ^p ^T ^p) ^t^^»

которые являются проекциями IT ар на собственные состояния вращения (Eap)j здесь

6^И6ар-Ш(228)

SaPv— антисимметричный единичный псевдотензор; Wa0— тензор натяжений, причем

диа2,

= дхр + дха " ~ 8«Р дхч '^229^

И, наконец, Q^=K(ljTi—1/Те) определяет отношение межкомпонентного потока тепла к разнице температур.

Индексы компонент (t, е) опущены, так как все сказанное выше относится к электронам и ионам. Тензоры (226) подробно определены в ,[53], где также приведены выражения для различных коэффициентов переноса, через плазменные параметры. Следует обратить внимание на то, что a^,^,^, -q3 и т)4— в некотором смысле ненастоящие коэффициенты переноса, так как давая тепловые потоки вдоль изотерм, силы, перпендикулярной скорости и т. п. они не связаны с диссипативными процессами. Они возникают только из-за гировращения частиц вокруг линий поля, так называемые гиронапряжения.

Теперь мы имеем замкнутую систему уравнений для моментов 6пт> биг и 6ТГ от 6fr: линеаризацию уравнений (210) — (212), (220) — (224) и (226). Важно отметить, что линеаризованы не только пт> цг и Тг, но также и коэффициенты переноса. Это вместе с начальными корреляциями представляет собой полную систему уравнений, из которой можно вычислить тепловые корреляции любой из этих гидродинамических переменных. Можно легко вычислить начальные корреляции из (185), используя для этого моменты, где можно пренебречь вкладом второго члена (экранирующего облака), который имеет порядок ^пУ, за исключением тех случаев, когда плотности заряда приходится рассчитывать и в этом приближении электронные и ионные плотности уничтожаются.

Метод Ланжевена. Поверхностно метод, который мы предложили для вычисления функций гидродинамических корреляций в плазме, совпадает с методом [54], описанным в [18], т. е. корреляционные функции, удовлетворяют однородным линеаризованным жидкостным уравнениям с заранее заданными начальными условиями. Действительно, в тепловом равновесии они являются идентичным описанием. Однако вывод из кинетической, а не термодинамической теории показал, что этот метод имеет значительно больший диапазон применимости: 1) метод пригоден всегда, когда применимо гидродинамическое описание и 2) флуктуации остаются малыми по сравнению с фоновыми величинами. Условие 1 возникает для того, чтобы можно было применить метод Чепмэна—Энскога. Ясно, что оно необходимо, чтобы данное описание имело смысл. Условие 2 необходимо, чтобы не нарушить порядок, принятый при вычислении кинетического уравнения для флуктуаций. Ниже сделаны некоторые замечания относительно того, что могло бы случиться, если бы условие 2 было нарушено. (Мы не применили оператор столкновений в замагниченной форме, что верно при (OP/QC>1. Однако, например, на краях разряда в термоядерных установках неравенство меняется на обратное. Значит, тогда следует

использовать оператор столкновений в замагниченном виде. Насколько нам известно, это не было сделано.) В равновесной теории флуктуаций имеется два эквивалентных подхода: метод Онсагера (решают однородные уравнения с заданными начальными условиями) и метод Ланжевена (вычисляют отклик устойчивого состояния на движущие силы с заданными корреляциями). Так как уравнения линейны, такое соответствие должно существовать.

Имеется несколько способов получения описания Ланжевена из приведенного рассмотрения. Один из методов заключается в постулировании существования линеаризованного по Ланжевену БГЛ уравнения для 6f, такого, где 6f является откликом устойчивого состояния (или, по крайней мере, меняющимся на гидродинамическом временном масштабе) на быстро флуктуирующий хаотический источник 6S. Для случая нейтрального газа в [55] предложен такой формализм для теплового равновесия (см. также [56, 57]) и это обобщено на равновесные системы в [52].

Автокорреляцию 6S можно легко вычислить, исходя из начальной корреляции 6/:

<6S(X0, ySS(X, O> = 6^-/o)6(x-xo)2Kof(Xo, y6(v-v0), где Ко — линеаризованный (БГЛ) оператор столкновений. Вывод подобен тому, который мы вскоре сделаем при рассмотрении гидродинамических уравнений.

Тогда моменты 6S могут быть связаны с коэффициентами переноса, если связать их с решениями интегральных уравнений Чепмэна—Энскога. Найдем моменты уравнений для df, получим линеаризованные гидродинамические уравнения со случайными источниками (их можно определить как случайные напряжения и тепловые потоки) с известными корреляциями. В случае нейтрального газа [52] полученные уравнения такие же, как и уравнения Ландау и Лифшица [18], за исключением того, что гидродинамические уравнения были линеаризованы вблизи потокового режима, о котором идет речь, а не теплового равновесия, а корреляции случайных движущих сил принимают такую же форму в терминах коэффициентов переноса, но в общем случае имеют пространственную и временную зависимость.

Метод, примененный в [52], можно использовать в плазме, если учесть наличие магнитного поля с постоянным током и разделение электронов и ионов, имея в виду малость отношения их масс.

Возможен и другой метод получения гидродинамических уравнений, в котором мы имеем систему линейных уравнений для гидродинамических корреляционных функций С известными начальными условиями. '

Так как уравнения линейные, то можно заменить задачу с начальными значениями задачей с движущими силами и выбрать соответствующие члены так, чтобы воспроизвести те же корреляции. Этот метод используется всюду при условии, что уравнения устойчивы. (Это условие является обязательным, если мы хотим поверить тому, что результаты проявляются в виде нелинейных эффектов, когда корреляции растут достаточно быстро. На языке механики жидкости речь идет о режиме ниже критического.)

Самый простой метод получения результатов состоит в том, чтобы применить равновесные методы Ландау и Лифшица и обобщить их на неравновесный случай. Оправдание этого подхода изложено выше в кинетических методах. Ниже мы приводим описание Ландау и Лифшица.

Пусть at — отклонения термодинамических переменных от их равновесных значений. (В рассматриваемом случае — это плотность, скорости электронов и ионов и температура.) Для малых отклонений релаксацию этих величин до их равновесных значений запишем с помощью линейных соотношений:

da^dt = — Xtjaj.(230)

Скорость генерации энтропии в плазме можно представить в виде сц\

'д$1д1 = ^аг,(231)

где

^-д^З/да^.(232)

Если определить силы Ь^ соответствующие потокам а^,,

bi = ^цаь(233)

то можно переписать соотношение переноса (230) в виде.

dat/di = — yihbk,(234)

где

^ik^kl ~ ^ip(235)

а dS/dt = (daildt)bp(236)

Это позволяет сформулировать результаты теории Ланжевена в ее простейшей форме. В теории Ланжевена флуктуирующие величины at рассматриваются как результат воздействия случайных сил, поэтому dat/dt = — yikbh 4- Ср(237)

Покажем теперь, что, если выберем случайные силы, при которых корреляции будут иметь следующий вид:

<Ci (У Ч (0> = ^15 + ^ 6 У - U >(238)

то уравнения Ланжевена (237) при этом будут эквивалентны описанию Он- сагера д (a, (t0) a; (/0)) + -Kik (<ц (f0)(0) = 0; t > f0(239)

с требуемыми начальными условиями

<aiVo)«iV»)) = ^.(240)

что эквивалентно

<^(U^O = 6U-(241)

Определяя требуемые <од>, получаем: / д \ / д \

<4 (<о) ci (0 ) = ^Sik~dT + ^ ) ( 8/z "дГ + КП) (Л* ^ а1 ^ / д \ ( д \

- И/й -^ + hk ) I - 5je ^ + ^jej ^к V.) ае (/))//(/„-/).(242)

Используя (239) и микроскопическую обратимость для достаточно малых времен |/—^о 1 • находим, что (242) равно (242а): / д \

( ^о + ^ikj V 1Дкт "V ^kni^e) кат (^о) ^г (0 ) ^ (^о— 0»(242а)

и далее, используя (239), переставим временные аргументы

k^i^im + ^im^je) кат (^о) ае (^о)) ^ Vo t^ — (уц 4“ Tji) ^ V t^ •(2426)

Мы учли, что р симметрично.

Основным результатом теории Ланжевена является то, что корреляции случайных сил даются с помощью коэффициентов переноса yt^ которые связывают потоки at с сопряженными силами bj.

В [19, 20] показано, что матрица у 13 симметрична или антисимметрична в зависимости от свойств at и а3 по' отношению к обращению времени, причем она симметрична, если а^ и а, ведут себя одинаково при обращении. Это говорит о том, что случайные силы, которые меняются на противоположные при

обращении времени, не скоррелированы со случайными силами, которые направления не меняют. Важно отметить, что соотношение (239) является инвариантом при линейных преобразованиях а^ в то время как at не инвариантно (на сц наложено единственное требование: аг — набор термодинамических переменных для системы).

Чтобы применить этот метод для двухкомпонентной плазмы, определим сначала подходящий набор термодинамических переменных. Рост энтропии запишем в виде [53]

4/ + V^SeneUe -{-S^U; 4" *7^ Qe 4* "jy 4i^ = ®^ 4"®i 4“ ®eb(243)

^e% =4eV In 7e — Rll *~2~ ^a^eap»(244)

r Z0Z =— qzV In Ti — 4 «Za^Za9;(245)

(246> \ z t 1 e J

где S — Serie+Sitii — плотность энтропии плазмы на единицу объема; Se и Si являются энтропией, приходящейся на каждый электрон и ион соответственно:

3

^е, I = 2 ^ ^б» i ^^е,(247)

Таким образом, подходящими потоками являются qe, qz, R, Пе ар и Щар, им соответствуют силы

WefT2, ^П*, -yW^Te, -yW^Ti, <\ITt-\ITey

Уравнения (219) — (224) и (226) связывают потоки и силы через коэффициенты переноса. Теперь можно написать корреляции случайных тепловых потоков и напряжений, используя уравнение (2426), обобщенное до непрерывной системы [18]

<6qe(x, 06Че(х', /')>= '

= 6? (х - х') 8 (t - П 2Т2 [х „ в 6 6 + %Хе (Т - 66)];(248)

<8qz(x, 0 6qz(x', <')> =

= 8з (х-х') 8 (( - П 2Т2 [х„ £Tb + xxz (Т-Т>)];(249)

<8R(x, t)8R(x', О>=83(х —х^6(< —f^T^ap^+aj-tY—86)]; (250) <8R(x, t')6qet(x'. П> = 0;(251)

(dlF^ (х, 0 8П^ (х', t')) = 4Tr6rr, 8» (x - x') 8 (<-<') X

Г 3/1\ /1\

x 2 1,0 (Ms “ 3 5”9/ ( 6p-6» ——

— (dap. 6^ d«p by.b^~ 8ik bab9^ -

-Ч2 (8^6, + 8^W]'(252>

Если мы запишем 6П'р в виде пяти независимых симметричных тензоров со следом Еар =0 [как UZap в (227)]

4

5П'ар=2 ^Р-»*

р=0

то найдем

<бп; (х, п бп;' (х', 0> = 2ТГ6» (X - х') 6 ((- П 6pq6rr, <Р при Р, q <2 (254)

или р, q=Q в других случаях.

Компоненты напряжений р, q>3 не содержат диссипации, так же как чд и Ra, поэтому соответствующие коэффициенты переноса т|з,4» Ха, «а не появляются в приведенных выше корреляциях.

И, наконец, корреляция случайного межкомпонентного теплового потока имеет вид:

(6(?д(х, 06<2д(х'. Г)> = 2Х63(Х—х')6(< —Г).(255)

Очевидной трудностью является то, что силы VTe, VTt и VUJTe) — (1/7\)] не являются полностью независимыми в том смысле, что, задавая градиенты VT^, VTt- везде, а Те и Т^ в определенной точке (месте), можно найти [(l/re) — (1/7\)] везде. Это может заставить подумать, что, возможно, имеется корреляции между 6Q, 6qe и 6q,. Анализ показывает, что случайные тепловые потоки не являются одинаково определимыми, но являются неопределенными в пределах следующих преобразований:

6qe-*6qe+ 6q,;

(256)(256)6qi -* 6q, + 6q2;

(256)

(256)

6Q -* 6Q — v6q, — v6q2.

Это сохраняет инвариантным количество тепла, приходящего и уходящего от любого малого объема плазмы. Значит, можно выбрать 6qe и dqt- так, чтобы корреляции были такими, как это следует из уравнений (248), (249) и (255)^ и выбирались с учетом микроскопических механизмов передачи тепла.

Просуммируем результаты подхода Ланжевена: мы показали, что флуктуирующие гидродинамические переменные удовлетворяют плазменным гидродинамическим уравнениям, линеаризованным вблизи режима потока, создаваемого за счет случайных напряжений и тепловых потоков, чьи корреляции известны в функции коэффициентов переноса плазмы. Эти результаты внушают доверие, потому что, во-первых, следовало бы ожидать, что любое возмущение в заданном потоковом режиме удовлетворяет уравнениям, линеаризованным вблизи этого режима, и, во-вторых, корреляции движущих напряжений и тепловых потоков при полном тепловом равновесии являются локальными и микроскопическими по своему происхождению, поэтому можно надеяться, что они в основном такие же при наличии локального термодинамического равновесия.

В заключение мы выражаем свою глубокую признательность миссис Барбаре Саффати за помощь в подготовке и напечатании этой рукописи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Rostoker N. — Nucl. Fusion, 1961, vol. 1, p. 101.

Dupree T. — Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 1714.

Климович Ю. Л., Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1962, т. 42, с. 286.

Williams Е. Dissertation. Prinston University, 1973.

Krommes J., Oberman C. — J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 193.

Krommes J., Oberman C. — J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 229.

Krommes J. — Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 649.

Born M., Green H. A General Kinetic Theory of Liquids. Cambridge Univ. Press, 1949.

Green H. The Molecular Theory of Fluids. N.Y.: Interscience, 1952.

Bogoliubov N. Problems of a Dynamical Theory in Statistical Mechanics.— In: Studies in Statistical Mechanics. North Holland, 1962, vol. 1.

Kirkwood J. — J. Chern. Phys., 1946, vol. 14, p. 180.

Kirkwood J. — J. Chern. Phys., 1947, vol. 15, p. 72.

Yoon J. La theorie des Auides et 1’equation d’etat actualities et indust- tielles. Paris: Herman et Cie, 1935.

Климонтович Ю. JI. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1957, т. 33.

Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика: Пер. с англ М.: Изд-во иностр, лит., 1952.

Климонтович Ю. Л. — Журн. эксперим. и теорет. физ.. 1959, т. 37, с. 735.

Bowles К. — Phys. Rev. Lett., 1958, vol. 1, p. 454.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. М.: Физматгиз, 1964.

Onsager L. — Phys. Rev., 1931, vol. 37, p. 405.

Onsager L. — Phys. Rev., 1931, vol. 38, p. 2265.

Frieman E. — J. Math. Phys., 1963, vol. 4, p. 410.

Sandri G. — Ann. Phys., 1963, vol. 24, p. 332.

Balescu R. — Phys. Fluids, 1960, vol. 3, p. 52.

Guernsey R. Dissertation, University of Michigan, 1960.

Lenard A. — Amer. Phys., 1960, vol. 10, p. 390.

Callen H., Welton T. — Phys. Rev., 1951, vol. 83, p. 834.

Callen H., Welton T. — Phys. Rev., 1952, vol. 86, p. 702.

Kubo R. — J. Phys. Soc. of Japan, 1957, vol. 12, p. 570.

Kubo R. — J. Phys. Soc. of Japan, 1957, vol. 12, p. 1203.

Ситенко А. Г. Электромагнитные флуктуации в плазме. Харьков: Изд-во ХГУ, 1965.

Oberman С., Shure F. — Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 834.

Джексон Дж. Классическая электродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

Rosenbluth М., Rostoker N. — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 776.

Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме: Пер. с англ. М.: Мир, 1971.

Evans J., Loewanthal М. — Planetary Space Sci., 1964, vol. 12, p. 915.

Perkins F., Salpeter E., Yugvesson K. — Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14, p. 579.

Valeo E., Oberman C., Perkins F. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 340.

Drake J. e.a. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 778.

Rostoker N. — Phys. Fluids, 1964, vol. 7, p. 491.

Perkins F., Oberman C., Valeo E. — J. Geophys. Res., 1974, vol. 19, p. 1478.

Kent A., Taylor J. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, p. 209.

Baldwin D., Callen J. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 1686.

Nevins W., Chen L. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 10.

Dawson J., Oberman C. — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 517.

Oberman C., Ron A., Dawson J. — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 1514.

Coste J. — Nucl. Fusion, 1965, vol. 5, p. 284.

Drummond W., Pines D.— Nucl. Fusion Sup., 1962, vol. 3, p. 1049.

Веденов А. А., Велихов E. IL, Сагдеев P. 3. — Ядерный синтез, 1961, т 1, с. 82.

Rogister A., Oberman С. — J. Plasma Phys., 1968, vol. 2, p. 33.

Rogister A., Oberman C. — J. Plasma Phys., 1969, vol. 3, p. 119.

Montgomery D., Tidman D. Plasma Kinetic Theory. N.Y.: McGraw-Hill, 1964.

Hinton F. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 857.

Брагинский С. И. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 1. М.: Госатом- издат, 1963.

Onsager L, Machlup S. — Phys. Rev., 1953, vol. 91, p. 1505.

Bixon M., Zwanzig R. — Phys. Rev., 1969, vol. 187, p. 267.

Fox R., Uhlenbeck G. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1893.

Fox R., Uhlenbeck G. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2881.

Dougherty J., Farley D. T. — Proc. Roy. Soc. A, 1960, vol. A259, p. 79.

Gordon W. E. — Proc. IRE, 1958, vol. 46, p. 1824.

Salpeter E. E. — Phys. Rev., 1960, vol. 120, p. 1528.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ТРАНСФОРМАЦИЯ ВОЛНВ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ

Т. СТИКС, Д. СВАНСОН

ВВЕДЕНИЕ

В плазме, помещенной в магнитное поле, на данной частоте, как правило, могут существовать два или более типа волн, поляризация электрического поля в которых часто примерно одинакова. Для большинства наборов плазменных параметров волновые числа этих мод будут сильно различаться, но может случиться и так, что при некотором критическом наборе параметров волновые числа совпадут. Если рассмотреть волну, распространяющуюся в неоднородной плазме по направлению к области, где локальные параметры плазмы соответствуют такому совпадению волновых чисел, то возникает вопрос, будет ли падающая волна отражаться, преломляться, оставаясь той же по типу, поглотится, трансформируется в моду, являющуюся дополнительной к ней, или подвергнется определенной комбинации этих воздействий. Именно к этому вопросу и обращается теория трансформации волн.

Типичной для трансформации волн является ситуация, когда Ах(х) — волновой вектор в направлении неоднородности, рассчитанный по локальным параметрам с помощью теории холодной однородной плазмы, расходится при некотором х=хо. Условие к^ео называется резонансом: известные плазменные резонансы включают ионно- и электронно-циклотронные резонансы, верхне- и нижнегибридные, двухионные гибридные и альвеновские резонансы. Читатели, знакомые с высокочастотным нагревом неоднородной плазмы, знают, что именно вблизи этих резонансов можно обычно ожидать поглощения высокочастотной мощности. Таким

образом, существует тесная связь -между трансформацией и поглощением волн, и именно по этой причине физики, изучающие высокочастотный нагрев, потратили так много усилий на изучение процессов трансформации волн.

Обычно распространение волн через слабонеоднородную среду можно анализировать методами геометрической оптики. Как показано ниже, эта методика позволяет изучать траекторию волны, изменение ее амплитуды в пространстве и во времени, сохранение энергии и другие волновые характеристики. Как известно, в основе метода геометрической оптики лежат предположения о том, что относительные изменения длины волны на характерном пространственном масштабе и частоты за характерное время изменения неоднородности должны быть малы. Обычно справедливость таких предположений гарантируется сделанным выше предостережением, а именно требованием слабой неоднородности среды. Однако при распространении волн в плазме происходят определенные явления (параметры которых чувствительны, например, к пе или Во), вызывающие значительное изменение длины волны на малом отрезке при том, что плотность плазмы или напряженность внешнего магнитного поля претерпевают на этом же пространственном интервале весьма умеренные изменения. Здесь прослеживается аналогия с квантовомеханическим описанием движения электрона в постоянном электрическом поле. В некоторой точке малое изменение электростатического потенциала уменьшает кинетическую энергию электрона до нуля, и волновой вектор электронной волновой функции в этой критической точке из* действительного становится мнимым. Как и в квантовой механике, плазменную волну с обеих сторон критического слоя можно описать в, ВКБ-приближении, но сшивка асимптотических решений непосредственно у критического слоя требует особого рассмотрения.

- Анализ движения электрона имеет точную аналогию в теории плазмы — плазменные волны, распространяющиеся к точке отсечки, т. е. к точке, где волновой вектор обращается в нуль. Проиллюстрируем это на примере обычной электромагнитной волны

''(1)

распространяющейся в слабонеоднор.одной плазме со2=со22>в (х) по* направлению к критическому слою. Нужно решить соответствующее волновое уравнение

1 ^2Ф Г 2_М4^

•с2 dx2 [те

Анализ этой задачи можно найти во многих работах по квантовой механике.

Более интересным, чем случай отсечки, является случай резонанса плазменных волн, когда в некотором приближении к^-^оо. В теории холодной плазмы несколько таких примеров дают гибридные резонансы. Если внешнее магнитное поле направлено’ 334

по оси 2, то уравнение для волн в холодной плазме (to/6z>vTe, ^pr*C 1 и т. п.) имеет вид:

VX(VXE) — -^-е.Е = 0;

/ S — 1Р 0 \

е = I iPS0 ];

\ ООР )

S = l-№ + LV, D = -L(R-Ly R=l-^^^-;

(3)(3)2 JmngCpS—.

(3)

(3)

Ps ms 1 cs msc ’

где s — тип частиц (уравнение остается справедливым и в том случае, когда в плазме присутствует несколько сортов ионов), a qa — заряд частицы с учетом его знака.

Дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся в однородной среде, можно получить, приравнивая нулю детерминант системы алгебраических уравнений, получающихся из волнового уравнения в приближении геометрической оптики:

рп4ж — уга2х+б=0;

P=S;

^=RL-yPS — Рп\ — Sn?z;

b=P(R—nh) kL — n\y,

n=kc/to, k=x&x+z&2;(4)

а гибридные резонансы в холодной плазме (п2,->-оо) определяются просто равенством S=0, которое удовлетворяется при

«Рин^'уРте-УаРее (верхнегибридный резонанс);(5)

^LH^ ^cfV^pl^LH^ ^cfV^pl1tocitoce1tocitoce(нижнегибридный резонанс);(нижнегибридный резонанс);(6)(6)

^LH^ ^cfV^pl

^LH^ ^cfV^pl

1

tocitoce

1

tocitoce

(нижнегибридный резонанс);

(нижнегибридный резонанс);

(6)

(6)

^i/ /^ ®ci®cj^i/ /^ ®ci®cjXjtoci + XjtoclXi^d + XjtoCjделеXjtoci + XjtoclXi^d + XjtoCjделе

^i/ /^ ®ci®cj

^i/ /^ ®ci®cj

Xjtoci + Xjtocl

Xi^d + XjtoCj

деле

Xjtoci + Xjtocl

Xi^d + XjtoCj

деле

(ион-ионный гибридный резонанс] в пре-

высокой плотности),(7)

где в третьем случае в плазме присутствуют различные сорта ионов с относительными концентрациями xt и X;.

Физический механизм гибридных резонансов — это результат действия двух эффектов: коллективной осцилляции и нейтрализации пространственных зарядов. Слой электронов, колеблющихся на нейтрализованном квазистационарном фоне, создает собственное электрическое поле (по закону Гаусса). Естественная частота колебаний под действием электрического поля Е первого

порядка и внешнего магнитного поля Во нулевого порядка — это* верхнегибридная частота. С другой стороны, при высокой плотности плазмы ион-ионная гибридная частота определяется в основном частотой колебаний двух ионных облаков, которые осциллируют в противофазе с такой амплитудой, при которой полный ионный пространственный заряд компенсируется. Нижнегибридная частота — это проявление обоих этих эффектов, причем второй член в правой части (6) описывает пространственную компенсацию зарядов электронных и ионных облаков.

Учет конечной температуры не только изменяет природу простых ленгмюровских колебаний (со2=со23>е), но и модифицирует гибридные резонансы, в частности устраняет расходимости п\. Но если поправка Бома—Гросса \^=<^ЛХМ&гЬТе!^^^ к дисперсионному соотношению Ленгмюра—Тонкса приводит только к сдвигу частоты, то соответствующее изменение гибридных колебаний более эффектно — появляются новые типы волн, так называемые моды Бернштейна. В этих модах важную роль играет внешнее магнитное поле; среди его функций — ликвидация движения свободных электронов поперек 50 и затухания Ландау, которое раньше имело место при больших к*.

Таким образом, оказывается, что в плазме с магнитным полем на данной частоте могут существовать по крайней мере два типа волн, и при некотором критическом наборе параметров возможно- совпадение волновых чисел этих колебаний. С точки зрения длинноволновой моды в таком слое имеет место резонанс (А2«-нх>), тогда как дисперсионное соотношение для коротковолновой моды описывает это совпадение как отсечку (^-^0). Это видно иа того, что, например, учет в наинизшем порядке членов, связанных с конечностью ларморовского радиуса, приводит к поправкам в дисперсионном соотношении для холодной плазмы. Это соотношение принимает вид:

ап6х— ₽я4х+у^2х — 6=0,(8)'

и если пренебречь вкладом от члена 6, приближенные решения в области р25>|4ау| будут п^^у/Р Для длинноволновой и ^2«^Р/а для коротковолновой мод. Трансформация происходит в. области, где р=р(х)-^О и /г2х^±(—у/а)1/2.

Если рассмотреть волну, которая распространяется в неоднородной плазме и приближается к этой области, то возникает вопрос: будет ли она отражаться, преломляться, оставаясь той же по типу, затухать или же превратится в другую моду. С математической точки зрения первым шагом в анализе трансформации является сведение физической задачи к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению, например к такому:

а S+^^S+^w^0,(9)*

где Р(х)->0 при х-^0. Затем нужно найти коэффициенты, позволяющие сшить асимптотические разложения для больших ±|х|-

Ниже мы весьма детально исследуем характерные ситуации, в которых оказывается важной трансформация волн; за этим последует анализ модельных уравнений трансформации для нескольких типов у(х).

ГИБРИДНЫЙ РЕЗОНАНС

При рассмотрении дисперсионного уравнения (4) для холодной однородной плазмы отмечалось, что в пределе и2х->оо это уравнение удовлетворяется при exx=S = 0; в свою очередь, условию S = 0 удовлетворяют три гибридных резонанса, перечисленных в соотношениях (5) — (7). Учет эффектов, связанных с конечностью величины ларморовского радиуса, приводит к появлению’ пространственной дисперсии: 8=е(Хй Хе), где

я^^^=4-^<р^>-<10)

Сравнение уравнений (4) и (8) показывает, что при малых Х8 основной вклад

У liras 1еу(Н),

• s

Кроме того, дисперсионное уравнение для волн в горячей плазме, которое при р2^>|4ау| имеет вид п2х^р/а, можно также записать в форме, аналогичной уравнению Бома—Гросса:

=(12>

где суммирование идет по сортам частиц, присутствующих в плазме с относительными концентрациями хв, а индекс Н может относиться к любому из трех гибридных резонансов (5) — (7). Здесь ^нз зависит от частоты и параметров задачи. Температурная поправка к верхнегибридной частоте определяется в основном электронным вкладом, к ион-ионной гибридной — вкладом ионов, а поправку к частоте нижнегибридной моды дают как ионы, так и электроны.

Температурные эффекты, о которых шла речь в предыдущем абзаце, являются поправками первого порядка по ^ и ^ к гибридным резонансам холодной плазмы. Полное дисперсионное уравнение в потенциальном приближении, справедливое во всех порядках по Xi и Хе, получится, если взять дивергенцию уравнения (3) и использовать равенство Е = —Vcp-^—ikep:

k-e-k=0.(13)

Если ^^0 и Az^0, то (13) сводится просто к равенству ехх=0. Вычисление 8^ из уравнения Власова для случая &2=0 дает:

(14)

где

что равно:XS2 — I2что равно:XS2 — I200Z)=2^e-V„(Z)n—\00Z)=2^e-V„(Z)n—\1-3X2+- (Q2_ 12) (Q2_22)1-3X2+- (Q2_ 12) (Q2_22)n2Q2 —n2 ’n2Q2 —n2 ’ЬЗ-б-Х»ЬЗ-б-Х»(Q2 — I2) (S2 — 22) (Q2 —32)(Q2 — I2) (S2 — 22) (Q2 —32)(15)(15)Ь-- (16)Ь-- (16)

что равно:

X

S2 — I2

что равно:

X

S2 — I2

00

Z)=2^e-V„(Z)n—\

00

Z)=2^e-V„(Z)n—\

1-3X2

+- (Q2_ 12) (Q2_22)

1-3X2

+- (Q2_ 12) (Q2_22)

n2

Q2 —n2 ’

n2

Q2 —n2 ’

ЬЗ-б-Х»

ЬЗ-б-Х»

(Q2 — I2) (S2 — 22) (Q2 —32)

(Q2 — I2) (S2 — 22) (Q2 —32)

(15)

(15)

Ь-- (16)

Ь-- (16)

Здесь Qs=kd/cocs, /n(X)—модифицированные функции Бесселя. Доказательство разложения (16), предложенного Стиксом [1], было дано Шмиттом [2]. Для получения уравнений (5) — (7) в (16) достаточно учесть только первый член; второй член (16) дает тепловую поправку в (12).

Если X велика, a <o/cocs близко к целому числу, например /, то в сумме (15) доминирует один резонансный член, что приводит к приближенному дисперсионному соотношению для очень коротковолновой ионной моды (Х=Хг):

со2Г^pi[ Xсо2Г^pi[ X^ctto — им^ctto — им(17)(17)

со2Г

^pi[ X

со2Г

^pi[ X

^ctto — им

^ctto — им

(17)

(17)

и аналогичному соотношению для электронов, в котором индекс i заменен на е. Поскольку <o2pi изменяется с плотностью линейно, максимум правой части (17) будет определять минимальную плотность, при которой волна с со^/сос еще может распространяться. Максимум величины в квадратных скобках достигается при 5 = /'ДХ)/Д-(Х) = 1 + (1/Х). Если заметить, что S удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка: S'+S2+S/X= — l-j-^/X)2, то нетрудно рассчитать коэффициенты асимптотического разложения S= 1+^А-1+^2Х-2+... и в результате этого показать, что величина в квадратных скобках (17) достигает максимума (примерно 0,463) при

Х=/з/3+1/6+5//2+... (18)

Используя эти приближения в частных случаях дисперсионных соотношений в длинноволновой области [уравнение (4)], области промежуточных длин волн [три наибольших члена в левой части (8), а также (11)] и коротковолновой области [уравнения (13) — (17)], можно изобразить составные кривые, которые в смысле ВКБ показывают поведение волны, распространяющейся в неоднородной плазме. Рисунок 1 является наброском такого рода для случая распространения волны вблизи частоты верхнегибридных колебаний, а рис. 2 относится к нижнегибридному случаю. При построении рис. 2 предполагалось, что дисперсионное уравнение для холодной плазмы предсказывает существование волновых решений во всем диапазоне частот — от низкочастотной отсечки при <о2= со2Ре до области нижнегибридного резонанса при cd2=co2lh. Условие существования такого интервала частот (условие Стик-

Рис. 1. Зависимость квадрата показателя преломления от плотности. Частота считается заданной и равной гибридной частоте при значении плотности, показанном на рисунке. Для неоднородной плазмы с линейным профилем плотности абсцисса пропорциональна расстоянию. Штриховыми линиями показана экстраполяция приближенных дисперсионных уравнений за области, где они верны. QT—X означает квазипоперечную необыкновенную волну. Считается, что k ц равен нулю или мал. Выпуклость вправо вверху рисунка Соответствует максимуму правой части (17), который имеет место при выполнении условия (18): 1—электронная плазменная волна в приближении теплой плазмы; 2— квазйпоперечная необыкновенная волна в приближении холодной плазмы; 3 — мода Бернштейна (й=ту)се —6^ 4.— мода Бернштейна to=mtoce 4-6; 5 — отсечка левополяризованной моды; 6 — отсечка правополяризованной моды; 7 — плотность, соответствующая частоте верхнегибридных колебанийРис. 1. Зависимость квадрата показателя преломления от плотности. Частота считается заданной и равной гибридной частоте при значении плотности, показанном на рисунке. Для неоднородной плазмы с линейным профилем плотности абсцисса пропорциональна расстоянию. Штриховыми линиями показана экстраполяция приближенных дисперсионных уравнений за области, где они верны. QT—X означает квазипоперечную необыкновенную волну. Считается, что k ц равен нулю или мал. Выпуклость вправо вверху рисунка Соответствует максимуму правой части (17), который имеет место при выполнении условия (18): 1—электронная плазменная волна в приближении теплой плазмы; 2— квазйпоперечная необыкновенная волна в приближении холодной плазмы; 3 — мода Бернштейна (й=ту)се —6^ 4.— мода Бернштейна to=mtoce 4-6; 5 — отсечка левополяризованной моды; 6 — отсечка правополяризованной моды; 7 — плотность, соответствующая частоте верхнегибридных колебаний

Рис. 1. Зависимость квадрата показателя преломления от плотности. Частота считается заданной и равной гибридной частоте при значении плотности, показанном на рисунке. Для неоднородной плазмы с линейным профилем плотности абсцисса пропорциональна расстоянию. Штриховыми линиями показана экстраполяция приближенных дисперсионных уравнений за области, где они верны. QT—X означает квазипоперечную необыкновенную волну. Считается, что k ц равен нулю или мал. Выпуклость вправо вверху рисунка Соответствует максимуму правой части (17), который имеет место при выполнении условия (18): 1—электронная плазменная волна в приближении теплой плазмы; 2— квазйпоперечная необыкновенная волна в приближении холодной плазмы; 3 — мода Бернштейна (й=ту)се —6^ 4.— мода Бернштейна to=mtoce 4-6; 5 — отсечка левополяризованной моды; 6 — отсечка правополяризованной моды; 7 — плотность, соответствующая частоте верхнегибридных колебаний

Рис. 1. Зависимость квадрата показателя преломления от плотности. Частота считается заданной и равной гибридной частоте при значении плотности, показанном на рисунке. Для неоднородной плазмы с линейным профилем плотности абсцисса пропорциональна расстоянию. Штриховыми линиями показана экстраполяция приближенных дисперсионных уравнений за области, где они верны. QT—X означает квазипоперечную необыкновенную волну. Считается, что k ц равен нулю или мал. Выпуклость вправо вверху рисунка Соответствует максимуму правой части (17), который имеет место при выполнении условия (18): 1—электронная плазменная волна в приближении теплой плазмы; 2— квазйпоперечная необыкновенная волна в приближении холодной плазмы; 3 — мода Бернштейна (й=ту)се —6^ 4.— мода Бернштейна to=mtoce 4-6; 5 — отсечка левополяризованной моды; 6 — отсечка правополяризованной моды; 7 — плотность, соответствующая частоте верхнегибридных колебаний

Рис. 2. То же,, что и на рис. 1, но с соблюдением условия, позволяющего достичь область нижнегибридного резонанса [см. (19)]:

/ — ионная плазменная волна в приближении теплой плазмы; 2 — электромагнитная мода; в горячей плазме, to=mtoc. — 6; 3 — электромагнитная мода в горячей плазме, со= =ш(ос£4-б; 4— электромагнитная волна в холодной плазме; 5— электромагнитная1.

волна; 6 — плотность, соответствующая частоте нижнегибридных колебаний

(19),(19),са—Голанта) имеет вид:

(19),

(19),

to2ш2се *

Рйсунки 1 и 2, 'основанные на дисперсионных соотношениях для однородной плазмы, имеют фундаментальное значение для понимания явлений, связанных с трансформацией волн. Они показывают, что энергия очень коротковолновых мод в процессе распространения вниз вдоль траекторий типа изображенных на рис. 1 и 2 может постепенно перекачиваться в область больших длин волн. Именно этот процесс трансформации волн был, например, предложен Стиксом для объяснения наблюдавшегося Ландауером [3] излучения из области отражательного разряда, спектр которого имел пики на высоких гармониках электронной циклотронной частоты. Каннобио и Крочи [4] предположили, что такой спектр может быть результатом возбуждения электронных бернштейновских мод надтепловыми электронами. Короткие волны могут затем распространяться внутрь по направлению к области верхнегибридного резонанса, отражаться от этой области

и превращаться -в другие типы волн, а затем туннелировать наружу за область отсечки правополяризованной моды и достигать регистрирующей аппаратуры уже в виде квазипоперечных необыкновенных волн.

Роль теории трансформации как раз заключается в определении эффективности таких превращений энергии или, более точно, в вычислении коэффициентов прохождения, отражения и поглощения на разных стадиях процесса трансформации.

АЛЬВЕНОВСКИЙ РЕЗОНАНС

В однородной плазме с магнитным полем существуют два типа низкочастотных электромагнитных волн, а именно альвеновские и магнитозвуковые волны. Если B0 = zB0, их дисперсионные соотношения есть соответственно

k\c^=\V^c4B4\ (20)

(h2x-№+^ (W = 1 +4лрс2/В20. (21)

Дисперсионное уравнение (20) для альвеновских волн не зависит от к^, и, кроме того, их групповая скорость направлена точно вдоль Во. Энергия волн этого типа не распространяется поперек Во, и можно себе представить, что волновое движение по каждой силовой линии идет вдоль Во независимо от волн на соседних силовых линиях. Именно это сильное вырождение и лежит в основе альвеновского резонанса. Это вырождение устраняется целым рядом эффектов, в том числе градиентами плотности; такой случай весьма детально исследован в оригинальных работах Татарониса и Гроссмана и Чена и Хасегавы. Авторы перечисленных работ показали, что дифференциальное уравнение, описывающее распространение МГД-волн в неоднородной плазме, становится в точке альвеновского резонанса сингулярным. В МГД-тео- рии энергия волны поглощается в резонансном слое вследствие фазового размешивания, и спектр колебаний ограниченной плазмы, содержащей такой слой, будет не дискретным, а непрерывным. Учет дополнительных физических эффектов, связанных с конечностью ларморовского радиуса или массы электрона, устраняет математическую сингулярность в точке альвеновского резонанса, однако повышает порядок дифференциального уравнения со второго до четвертого или даже выше, так что появляются новые решения, которые описывают коротковолновые моды. Анализ в рамках теории трансформации показывает, что энергия волны, которая, как считалось в МГД-теории, поглощается при альвенов- ском резонансе, на самом деле переходит в эти новые коротковолновые моды. Соответствующее дисперсионное соотношение для однородной среды — это уравнение (4), модифицированное с учетом наиболее важной поправки на конечность ионного ларморовского радиуса. Точнее, элементы тензора диэлектрической проницаемости, обозначенные в (4) как S, D и Р, нужно изменить по 340

(22)(23)(22)(23)-образцу

(22)

(23)

(22)

(23)

где X=Xt определяется (10). Если записать

, l^x^T t » кТь>2

1^^пг™ х Ш;С2 to?ci '

то ясно, что поправка в наинизшем порядке по ларморовскому радиусу к 5 в коэффициенте у [см. (4)] проявляется как поправка к коэффициенту при й4,:

о о р ^ I6)2 dexx । ।юр£ Г <

рпцса шга<о2с, —со2 L

_ jp-(l _>1(24)

2Zme 4co%t- — со2 у J ’х 7

где pi=8n«i/?Ti/S2o, а о не слишком близка к ®с{ или 2®ci. В диапазоне низких частот ®<С®0,- выражение в квадратных скобках меняет знак при р,='82те/3т,-. Таким образом, при малых р,- Д>0; соответствующее решение (4) с поправкой на конечный ларморовский радиус представлено на рис. 3; при р5>82те/3т< ситуация соответствует рис. 4. В случае малых р( коротковолновая мода является, очевидно, поверхностной волной, тогда как при больших р< та же мода может распространяться от критического слоя в область большей плотности плазмы.

Конечная электронная температура точно так же, как и ионная, изменяет поведение холодной плазмы (см. рис. 3) на поведение теплой плазмы (см. рис. 4), однако причина в этом случае совершенно иная. Это можно видеть из (4): величина б и главные члены в у пропорциональны P=ezz. Если электронная температура настолько велика, что 2kT,lme'>a^fk2t, то знак дей-

Рис. 3. Дисперсионная кривая аль- веновских волн в холодной плазме [Р>0, уравнение (24)]. Приведена зависимость квадрата показателя преломления от электронной плотности [21]:1 — поверхностная волна: 2 — быстрая волнаРис. 3. Дисперсионная кривая аль- веновских волн в холодной плазме [Р>0, уравнение (24)]. Приведена зависимость квадрата показателя преломления от электронной плотности [21]:1 — поверхностная волна: 2 — быстрая волнаРис. 4. То же, что на рис. 3, но для теплой плазмы [р<0, уравнение (24)] [21]’1 — медленная волна; 2 — быстрая волнаРис. 4. То же, что на рис. 3, но для теплой плазмы [р<0, уравнение (24)] [21]’1 — медленная волна; 2 — быстрая волна

Рис. 3. Дисперсионная кривая аль- веновских волн в холодной плазме [Р>0, уравнение (24)]. Приведена зависимость квадрата показателя преломления от электронной плотности [21]:

1 — поверхностная волна: 2 — быстрая волна

Рис. 3. Дисперсионная кривая аль- веновских волн в холодной плазме [Р>0, уравнение (24)]. Приведена зависимость квадрата показателя преломления от электронной плотности [21]:

1 — поверхностная волна: 2 — быстрая волна

Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для теплой плазмы [р<0, уравнение (24)] [21]’

1 — медленная волна; 2 — быстрая волна

Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для теплой плазмы [р<0, уравнение (24)] [21]’

1 — медленная волна; 2 — быстрая волна

ствительной части ezz меняется с .минуса на плюс. Это все равно,, что в дисперсионном соотношении (4) поменять знак р. Условие- перехода от холодной плазмы к горячей вблизи альвеновского резонанса, где n\=S, имеет вид: 5 = ^к\с21^ст=тес21^кТ^^ При о)Со)сг это значит, что переход наступает при ре~^те/тг-.

Дисперсионные кривые на рис. 3 и 4 построены согласно (4), модифицированному с учетом конечного ларморовского радиуса и справедливому в однородной плазме. В этом случае вырождение альвеновской моды снимается не неоднородностью плазмы, а эффектами, связанными с конечной величиной со/соСг, что приводит к неравенству R=^L в системе (3). В пределе малых nV приближенное дисперсионное соотношение имеет вид п^^б/у, или

который предсказывает альвеновский резонанс nV-^oo при n2z=S. Однако, как отмечалось выше, эффекты, связанные с конечностью те и ларморовского радиуса, перестраивают эту математическую- особенность (сингулярность) и приводят к появлению коротковолновых мод [п2а^у/р, см. (4)], которые и показаны на рис. 3- и 4 при больших п\.

Уравнение (25) указывает на существование двух отсечек: при n2z=,/? и n2z—L (соответственно отсечки право- и лево-поляризованных мод); обе отсечки видны на рис. 3 и 4.

Как будет видно, математические выкладки при анализе процесса трансформации сильно упрощаются при |L|^>|/?|, когда верхняя граничная частота удаляется от дублета, состоящего из: близких частот отсечки левополяр изованной моды и - альвеновского резонанса. Однако неравенство |L|>|7?| относится только* к случаю co^o)Ci, а в классическом альвеновоком режиме, т/е’ пр,и (о<Со)Сг, R=S-VD, L=S—D, |uD|«<S, что приводит к образованию^ тесного триплета отсечка—резонанс—отсечка. Как отмечалось ранее, альвеновское вырождение снимается многими эффектами, и в случае (0^<0р ф'асщепление из-за конечного отношения со/со^ (см. рис. 3 и 4)' ]^ожет быть количественно согласовано с величиной эффектов, Связанных; с градиентами плотности, изменениями величины и направления! В^ а также цилиндрической или тороидальной геометрией системы. Для иллюстрации способа, которым выводится волновое уравнение, описывающее трансформацию» волн в довольно сложной ситуации, рассмотрим более детальна классический альвеновский случай.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНВ ПРОМЕЖУТОЧНОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ

Приведем здесь вывод уравнения для электромагнитных волн„ применимого в промежуточном диапазоне частот, т. е. для частот, которые в 5—10 раз больше или меньше ионно-циклотронной ча- 342

стоты. Вначале используем теорию холодной плазмы с те=0, чтобы ввести эффекты, связанные с: а) конечным (o/o)ci; б) градиентом плотности, по=По(х); в) градиентом магнитного поля, Bo=Bo(x); г) широм, B0=B0(x); д) возможным присутствием ионов нескольких сортов. Затем можно использовать аргументы, которые привели к уравнению (24), и ввести главные члены с производными четвертого порядка из-за: е) конечности электронной массы и ж) конечности ионного ларморовского радиуса, включая случай l\=T^xY Несмотря на то что этот список весьма представителен, в нем все же отсутствуют другие эффекты, которые могут играть заметную роль в плазменных экспериментах. Сюда относятся: з) цилиндрическая или и) тороидальная геометрия; к) случай Bo-VBo#=O; л) конечное электронное давление; м) циклотронное затухание на ионах и н) затухание Ландау на электронах.

Рассмотрим вкратце эти вопросы. Цилиндрическая геометрия вносит собственную сингулярность при г=0 и менее существенные изменения коэффициентов волнового уравнения. Тороидальная геометрия, кроме того, вносит связь между модами с разными полоидальными волновыми числами, причем эффективность такой связи ведет себя -как (r/R)\ Величина /, к сожалению, введена весьма искусственным путем и не отражает адекватно реальных конфигураций термоядерных систем, таких как токамаки и ловушки с магнитными пробками; для строгого учета реальных конфигураций надо решать двух- или трехмерное волновое уравнение.

В связи с уравнением (24) мы уже обсуждали один из эффектов, связанных с учетом конечного электронного давления. Другой эффект — появление ионно-звуковых и дрейфовых волн. Обычно эти электростатические низкочастотные медленные волны могут взаимодействовать с рассматриваемыми здесь волнами промежуточного диапазона частот лишь в крайне специфических условиях. Наконец, п. м) и н) касаются эффектов затухания, которые обсуждаются ниже.

Возвращаясь к точному выводу дисперсионного уравнения с учетом эффектов, указанных в пп. а)—д), выберем Bo=So(x)X X [у sin ф + z cos ф]; ф = ф(х) и используем в этой простейшей геометрии (3). Тензор диэлектрической проницаемости г нужно привязать к местному полю Во. Для этого введем единичные векторы х, b = B0/S0 и р=ЬХх так, чтобы -

у = рсозф + Ьзтф; z = —psin тр + Ьсозф, (26)

и определим Ех = х-Е; Е^Р-Е.

(В тороидальной системе координат z будет направлен по оси тора, х—в направлении малого радиуса, а у — в полоидальном направлении. Единичный вектор р перпендикулярен х и направлению магнитного поля Ь). В плоской геометрии поля в первом

числа физических эффектов может сделать получающееся в результате уравнение весьма громоздким. Для аналитического рассмотрения требуются поэтому упрощенные уравнения, которые моделируют резонансы и отсечки. Основное модельное уравнение, которое мы назовем стандартным уравнением, аналогично по форме уравнению (9), точнее, .

' xp/zz,+X2^z,+Y1p=o5 ' (34)

где Y=const, параметр подобия X=const>0, a z—независимая переменная.

При действительных У, 2 и у Для стандартного уравнения существует закон сохранения, аналогичный закону сохранения Р^ для (31). Уравнение (34) сохраняет величину

Р='ф,,,4//* — уф'ф*— к. с. (35)

Сохранение Р легко доказать, если взять dPfdz и выразить ^"" из (34). Следует помнить, что стандартное уравнение (34) и уравнение туннелирования (47) только моделируют реальные процессы трансформации. Поведение величины, определяемой из (35) или (48), такое же, какое ожидается для потока энергии волны. Однако в случае горячей плазмы реальный поток энергии волны складывается из потока, связанного с вектором Пойнтинга, и потока энергии акустических колебаний, пропорционального d(E*-e*E)/dk + K.c. Для построения более точных волновых уравнений, которые сохраняют реальный поток энергии, надо вводить нечетные производные ф и члены, связанные с градиентами плотности ([5], а также неопубликованная работа Овансона).

Возвращаясь к анализу (34), рассмотрим большие величины )Х22|. Запишем четыре асимптотических решения этого уравнения:

I 2 Г‘/4ехр(± 2iAzv73); 1 ^ %$♦ ~ I 2 ГЛехр [± 2i(vz)v7%]. J

Вспоминая об опущенной здесь временной зависимости ф~ ~ехр(—i со Z), можно заметить, что в областях, где' Xz или yz положительны, эти решения представляют собой волны, движущиеся к точке начала отсчета 2=0 или от нее. При отрицательных ^2 или у2 эти решения описывают быстрые или медленные возрастающие или затухающие зависимости амплитуд в области, где волна отсутствует (области непрозрачности). Эти асимптотические решения справедливы, однако только вдали от начала координат. Следовательно, цель анализа трансформации волн — связать их друг с другом.

Для определения в аналитике формул сшивки нужно, вообще говоря, применять математические методы сращивания асимптотических разложений (пример вычисления по этому методу приведен ниже). Однако, поскольку коэффициенты в (34) и в более сложном уравнении (47) зависят от 2 только линейно, эти уравнения удобны для применения изящного математического подхо- 346

да — интегральных преобразований. Их математический анализ впервые был сделан в [6 и 7]; в [1] интегральные преобразования использовали в теории плазменных волн, а в [8] — в теории плазменных неустойчивостей.

Теперь, следуя (в течение некоторого времени) теории интегральных преобразований, домножим (34) на ехр(—pz). Интегрируя несколько раз по частям, получаем уравнение для изображения:

р*^ — Xs -^- (рЧ) + уф = проинтегрированные члены, (37)

где

Ф(р) = J ехр(—pz)^(z)dz.(38)

Как будет показано, сохранять проинтегрированные члены нет необходимости. Уравнение (37) легко интегрируется (именно на этом этапе помогает линейная зависимость от z коэффициентов в (34) и (47)):

Ш=^=хр^(4-фф (39)

Применяя обратное преобразование, получаем:

. ф (2) = const I dp exp (рг) ф (р) =

с

= const j с= const j с1 /1 Pz 'X2 (— За3"'" и1 /1 Pz 'X2 (— За3"'" и(40)(40)

= const j с

= const j с

1 /1 Pz '

X2 (— За3"'" и

1 /1 Pz '

X2 (— За3"'" и

(40)

(40)

где для удобства сделана замена р=— 1(и. Прямая подстановка немедленно убеждает в том, что (40) есть решение уравнения (34) только при условии, что подынтегральное выражение обращается в нуль на концах контура С или этот контур замкнут. Выбирая при этом ограничении различные контуры С в (40), будем получать разные решения ф(2), и нетрудно найти четыре различных контура, которые дают четыре линейно независимых решения ф(2). Изящество метода преобразований для этой задачи состоит в том, что каждый контур дает отдельное решение, справедливое при 'всех 2; согласования требует только оценка интеграла вдоль выбранного контура в двух пределах, больших 2=±|2|. В вычислении этих интегралов, которые могут быть довольно сложными, помогает теория функций комплексного переменного, которая позволяет деформировать контур при условии, что он не пересекает особых точек. Таким образом, можно в каждом отдельном случае выбрать контур, максимально удебный для вычислений. В частности, при изменении 2 холмы и впадины показателя экспоненты смещаются, и если не пересекать особую точку, всегда можно сдвинуть контур так, чтобы интегрирование шло по направлению наискорейшего спуска.

Если записать n=r(cos0+isin0), то действительная часть аргумента экспоненты <р (и) в (40) будет:

Re?(r, 6)=^(-^--^^+Yrcos6).(41)

Линии уровня Req) изображены на рис. 5—8. Вблизи г=О Req) ведет себя как —cos39 и отрицательна в секторах —30°<

Рис. 5. Линии уровня функции Req) (и), определяемой равенством (41), в плоскости комплексного переменного и. Параметры диаграммы Х=4Д 7= —1Д 2= —2,5. Контур интегрирования проходит через седловую точку, соответствующую быстрой падающей волне. Штриховые кривые означают, что Req)fw)<0.Рис. 5. Линии уровня функции Req) (и), определяемой равенством (41), в плоскости комплексного переменного и. Параметры диаграммы Х=4Д 7= —1Д 2= —2,5. Контур интегрирования проходит через седловую точку, соответствующую быстрой падающей волне. Штриховые кривые означают, что Req)fw)<0.

Рис. 5. Линии уровня функции Req) (и), определяемой равенством (41), в плоскости комплексного переменного и. Параметры диаграммы Х=4Д 7= —1Д 2= —2,5. Контур интегрирования проходит через седловую точку, соответствующую быстрой падающей волне. Штриховые кривые означают, что Req)fw)<0.

Рис. 5. Линии уровня функции Req) (и), определяемой равенством (41), в плоскости комплексного переменного и. Параметры диаграммы Х=4Д 7= —1Д 2= —2,5. Контур интегрирования проходит через седловую точку, соответствующую быстрой падающей волне. Штриховые кривые означают, что Req)fw)<0.

Рис. 6. То же, что на ку, соответствующуюРис. 6. То же, что на ку, соответствующую

Рис. 6. То же, что на ку, соответствующую

Рис. 6. То же, что на ку, соответствующую

рис. 5, но 2=2,5. Контур проходит через седловую точ-медленной волне, групповая скорость которой направ-

лена от критического слоя

-з -2-1-з -2-112 Re u12 Re uРис. 7. To же, что на рис. 5 и 6, но здесь 7=1Д 2= —2,5. Контур Ру проходит через седловые точки, соответствующие при г—>—оо быстрозатухающей моде (внутренняя точка) и слабозатухающей моде (внешняя точка)Рис. 7. To же, что на рис. 5 и 6, но здесь 7=1Д 2= —2,5. Контур Ру проходит через седловые точки, соответствующие при г—>—оо быстрозатухающей моде (внутренняя точка) и слабозатухающей моде (внешняя точка)

-з -2-1

-з -2-1

12 Re u

12 Re u

Рис. 7. To же, что на рис. 5 и 6, но здесь 7=1Д 2= —2,5. Контур Ру проходит через седловые точки, соответствующие при г—>—оо быстрозатухающей моде (внутренняя точка) и слабозатухающей моде (внешняя точка)

Рис. 7. To же, что на рис. 5 и 6, но здесь 7=1Д 2= —2,5. Контур Ру проходит через седловые точки, соответствующие при г—>—оо быстрозатухающей моде (внутренняя точка) и слабозатухающей моде (внешняя точка)

Рис. 8. То же, что на рис. 7, но здесь г=2,5. Контур Ру проходит через седловые точки, соответствующие приходящей быстрой волне, групповая скорость которой направлена от критического слоя

<0<ЗО°, 90°<9-<150о и —15О°<0<—90°. Аналогично при г-^-оо Кеф<0 при 9О°<0<27О°. Нужные нам контуры могут начинаться в любой из областей Re<p<0 при г->0 или г-^-оо и оканчиваться в любой другой из них. Другая нетривиальная возможность — замкнутый контур, окружающий начало координат. Если,

жак предлагалось ранее, деформировать контуры так, чтобы они проходили по направлениям наискорейшего спуска, то главные вклады в интегралы будут давать о-бласти, расположенные вблизи седловых точек. Седловые точки Reep определяются из условия -^ф/^ы=0; при больших А,2121 существует пара внутренних седловых точек при и8Р^± (—Х2г)1/2 и пара внешних — при и8Р^ ^±(—Х22/у)1/2. В табл. 1 перечислены различные возможности в зависимости от выражения, стоящего под радикалом (оно всегда положительно).

Таблица 1 содержит величины и, ф(и), ф"(ц) только для одной из точек пары (ui). Другая точка пары ц2=—^ь для нее ф(и2)=—ф(Ы1), ф',(^2)=—ф'Д^).

Таблица 1. Значения и, ф(м), ф"(«) в седловой точке u—uv Сопряженная седловая точка и=н2= —«х

Параметры седловой точки

z>0

z<0

z/y>0.

z/y<0

Ui

1

1

/ 2 V/2

\ T /

x(--Ye

Кг11

X(-Z)*/.

ф(“1)

3 гХг

2iy / г УК

ТкТУ

2у/ Z у/г X \ у /

ф"(«1)

2Wzl/>

—2ХЗ(—z)*/’

2lZ/ у у/г

—)

2z /у \8/«

~Х3 \Z /

Интегрирование по линии наискорейшего спуска, проходящего через седловую точку, даст вклад Аф (2) в ф, определяемую (40):

«2

Дер (z) =J du exp [у (и)] e'“ | -^^y V2 exp [? (usp)], (42) где ela зависит от наклона контура интегрирования в седловой точке. Если точки и^ и и2 близки друг к другу, е1а« ~ («2—Ui)/|h2—uj. Следует отметить, что если в (42) подставить данные табл. 1, то получатся асимптотические зависимости, предсказанные ранее [см. (36)]. Это сопоставление показывает, что прохождение каждой седловой точки добавляет в интеграл по выбранному контуру одну из мод (36) либо в виде волны, либо как монотонно нарастающую или затухающую зависимость. Более того, если раньше формулы (36) показывали только тип зависимости, то теперь уравнение (42) и табл. 1 дают относительные амплитуды и фазы каждой компоненты.

Применение стандартного уравнения для изучения трансформации волн проще всего иллюстрировать на примере отрицательных у. В этом случае (34) дает решения в виде волны с большой А. при z—>-—оо и волны с малой % при z—>оо. На рис. 5 и 6 представлены линии уровня вещественной части экспоненты подынтегрального выражения (40) соответственно при г-*-—оо и z->-oo. На этих рисунках показан один и тот же контур интегрирования Pi, начинающийся при г=0 в секторе 9О°<0<15О° и уходящий в бесконечность в секторе —9О°<0<9О°. При z-*— оо путь наискорейшего спуска по Pi проходит через верхнюю внешнюю седловую точку u8p«i X/z|y|1/2, а при z->oo — через внутреннюю верхнюю точку usp«i/| i2z|-1/2. Вычисление величины (42) дает следующую формулу сшивки

ф(г) —еZ-*—ООф(г) —еZ-*—ООTC2X6ZY3TC2X6ZY31/4 exp1/4 exp

ф(г) —е

Z-*—ОО

ф(г) —е

Z-*—ОО

TC2X6Z

Y3

TC2X6Z

Y3

1/4 exp

1/4 exp

(43)(43)jn/4 Л2 [1/4 Г 23/2 1, / \

(43)

(43)

е "^" exp ^-lAz'=ф(г)

Л 2J z->oo

и показывает, что быстрая волна, двигающаяся вправо из 2=—оо, полностью преобразуется в области 2->оо в медленную, волну, тоже движущуюся вправо. Отраженной влево быстрой волны нет [27].

Аналогично интегрирование по зеркальному отражению контура Pi относительно действительной оси и показывает, что движущаяся влево из области больших положительных г медленная волна полностью трансформируется в быструю волну, идущую К Z=—ОО.

Можно найти и другие контуры, дающие линейно-независимые решения, но их физическая интерпретация — связь плавно затухающих или растущих мод по обе стороны от точки 2=0 —менее интересна.

При у>0 для физической интерпретации результатов контурного интегрирования нужна большая квалификация. На рис. 7 и & показаны линии уровня экспоненты подынтегрального выражения (40) соответственно при z-^oo и z-*—оо. При z-*—оо из табл. 1 и (42) видно, что быстрая и медленная моды являются нераспространяющимися. На рис. 7 это проявляется в том, что все седловые точки расположены на действительной оси и. Если волна падает справа, т. е. движется от z=oo к 2=0, физический смысл в области z-^—оо имеют только затухающие решения. На рис. 7 им отвечают две седловые точки на левой половине действительной оси и. Контур наискорейшего спуска Р\. проходящий через эти точки, выбирается так, чтобы подынтегральное выражение (40) обращалось в нуль в начале (г=0) и в конце (г-^оо) контура. На рис. 8 при 2->оо путь наискорейшего спуска для того же контура проходит через внутреннюю и внешнюю нижние седловые точки, что, как видно из табл. 1 и формулы (42), при-

водит к следующим формулам сращивания:

я^2х3я^2х31/4ехр1/4ехр2 (— у г) ^22 (— у г) ^2e—hc/4e—hc/4л27°Fл27°F1/4 X1/4 XX ехрX ехр| iZz3/2 )+ е-=3"/4| iZz3/2 )+ е-=3"/4Л2Х62Y3Л2Х62Y31/4ехр1/4ехр2i Ы1/22i Ы1/2XX(44)(44)

я^2х3

я^2х3

1/4

ехр

1/4

ехр

2 (— у г) ^2

2 (— у г) ^2

e—hc/4

e—hc/4

л2

7°F

л2

7°F

1/4 X

1/4 X

X ехр

X ехр

| iZz3/2 )+ е-=3"/4

| iZz3/2 )+ е-=3"/4

Л2Х62

Y3

Л2Х62

Y3

1/4

ехр

1/4

ехр

2i Ы1/2

2i Ы1/2

X

X

(44)

(44)

При больших отрицательных 2 вклад от экспоненциального члена в левой части мал, и им можно пренебречь. Первый и второй члены в правой части описывают соответственно медленную и быструю волны, причем фазовые скорости обеих направлены влево. Однако подстановка этих выражений в (35) показывает, что направления потоков энергии для этих волн различны: медленная волна является отраженной и в действительности сумма двух потоков равна нулю. Снова мы имеем 100%-ную трансформацию колебаний; в этом случае мощность падающей справа быстрой волны отражается от резонансной области в виде медленной волны, движущейся вправо.

Сопряженный контур, являющийся отражением Pi относительно действительной оси и, отвечает той же физической ситуации, ио с противоположными направлениями распространения волн.

Интересна другая физическая ситуация, когда источник ВЧ-мощности расположен в области непрозрачности. В этом случае ВЧ-мощность должна сначала туннелировать к критическому слою (2^0) и только потом, выйдя из него, может распространяться в виде волны. Подстановка в (35) показывает, что в области непрозрачности одномодовое решение не связано с переносом энергии и, более того, две синфазные моды энергию тоже не переносят. Однако две моды, сдвинутые по фазе на 90°, могут переносить энергию через область непрозрачности. Такой ситуации соответствует контур Рц на рис. 7, тот же* самый контур на рис. 8 проходит только через верхнюю внешнюю седловую точку, что соответствует волне, излучаемой в область больших положительных 2. Формула сшивки имеет в этом случае следующий вид:

_5_ 1/4 ехп ГЛ я г_г)3/2 л_ .> е‘3"/4 ^z у

ХехрХехр(45)(45)

Хехр

Хехр

(45)

(45)

К сожалению, амплитуды компонент, переносящих ВЧ-мощность в области 2->—оо, есть величины следующего порядка малости и в этом примере их нельзя вычислить методом перевала.

Сделаем некоторые замечания, касающиеся решений стандартного уравнения (34). Если положить у~%2 и перейти к пределу %2->оо, то влияние члена ^"" сводится к минимуму. Если этот же предельный переход сделать в решении (34), записанном в виде контурного интеграла (40), то в экспоненте исчезает член 1/(Зи3). Получающийся контурный интеграл при соответствующем выборе 352

лути интегрирования в точности совпадает с интегральным представлением различных функций Бесселя первого порядка. Вклады •быстрых волн в (43) — (45) можно точно представить как функции Ханкеля (в случае распространяющихся волн) или как модифицированные функции Бесселя (в области непрозрачности):

\« /

И1? РЫ'2^\ - ei3”/4^y/4exp[-2i(Tz),/2A]:

КЛ^^-^Ц ~ f-^-V'4 ехр[-2(-ТгГ/Я].

Выражения с экспонентами — это просто главные члены в .-асимптотических разложениях бесселевых функций. Двойные -стрелки здесь означают, что в (43) — (45) экспоненциальные члены, отвечающие быстрой волне, можно заменить на более точные выражения через функции Бесселя. Если /вычислить поток энергии Р =—уф'ф*— к.с. [ср. (35)] для ^^гФН^и^^^^У^'КА и использовать вронскиан функций Ханкеля, то можно легко показать, что P=const даже при малых значениях аргумента.

УРАВНЕНИЕ ТУННЕЛИРОВАНИЯ

Процедуру преобразования Лапласа, которая использовалась для получения формул сшивки решений стандартного уравнения (34), можно применить также и к более сложным линейным дифференциальным уравнениям, коэффициенты которых больше не являются линейными функциями х. Например, в [9] применительно к ионно-циклотронным и «ион-ионным гибридным модам рассматриваются уравнения вплоть до восьмого порядка. Значительное внимание в теории трансформации волн уделяется конкретному модельному уравнению

ф""+^2ф"+(^2ф/+ (Х22+у)ф = О,(47)

где а и у — комплексные константы. Для удобства назовем (47) уравнением туннелирования. Оно тесно связано с уравнением, очень детально изученным в [7]. Последнее отличается от уравнения (47) только тем, что член в скобках равен просто у.

Для действительных X2, у и 2 в важном частном случае а=0 можно выписать сохраняющуюся величину

Р = ф*"ф"/-]-ф*ф"/ — ф^ф" —

— уф*ф'— к. с.(48)

Первая особенность, отличающая уравнение туннелирования как модель от стандартного уравнения, состоит в том, что оно описы- 12 Зак. 137353

Рис. 9. Зависимость квадрата показателя преломления от расстояния для; уравнения (47) при а = 0; 1+у>0: 1 — область туннелирования; 2 — быстрая) волна; 3 — медленная волна; 4 — быстрозатухающая мода. Здесь %=11, *у=1

вает не только резонансные явления при 2=0, но также вводит отсечку при 2=—уА2- На рис. 9 показано качественное изменение локального показателя преломления кг, связанного с уравнением туннелирования. Справа от точки резонанса 2= (2Д2)[1 + (1+т)1/21 и слева от точки запирания 2=—уА2 &2z>0 и решония (47) представляют собой бегущие (распространяющиеся) волны. Однако между резонансом и отсечкой решения монотонные, и энергия волны может пройти через эту область только из-за туннелирования. Первое исследование туннелирования через такую тесную пару отсечка—резонанс было выполнено в классической работе [10] на основе модельного уравнения второго порядка

Vz^'-Y (X22+v) гр = 0. (49)

Автор [10] привел это уравнение к стандартному виду уравнений для вырожденных гипергеометрических функций и, введя малое затухание для устранения существенной особенности при Re 2=0,, сшил асимптотические решения. Для волны, которая движется вправо -и проходит сначала точку отсечки, а затем подходит к точке сингулярности, в [10] найдены амплитудные коэффициенты’ отражения (R) и прохождения (т. е. туннелирования) (Т):

17? | = 1— ехр(—лт]); |7|=ехр(—лт]/2), (50) тогда как для волны, движущейся влево,

|R|=0; |7|=ехр(-лп/2), (51)

где т]=|у/Х|2. В обоих случаях |R|2+|Г|2<1, что указывает на частичное поглощение в точке сингулярности. В терминах теории- трансформации, эта поглощенная (в пределе нулевой диссипации!) мощность есть на самом деле не что иное, как мощность, перешедшая в коротковолновую моду. Как будет показано, коэффициенты отражения и прохождения, полученные из уравнения четвертого порядка (47), совпадают с (50) и (51) при условии, чтот) определяется в соответствии с полученным ниже соотношением (56). В таком случае коэффициенты уравнения четвертого порядка сводятся тогда к результату [10] в пределе больших %2 и у~Л2, т. е. в пределе, когда вклад от члена ф"" в (47) очень мал.

В [11] уравнение туннелирования применялось для описания распространения быстрой альвеновской .волны и волн Бернштейна .вблизи резонансов. Это уравнение -использовалось также в [12] при рассмотрении поглощения на гармонике электронно-циклотронной частоты, а в [13] для изучения трансформации волн и туннельного эффекта вблизи ион-ионного гибридного резонанса.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯТУННЕЛИРОВАНИЯ

Решая (47), как и раньше, методом интегрального преобразования Лапласа, получаем уравнение обращения

2\<«/2) — 1- У 1 ' ехр2\<«/2) — 1- У 1 ' ехр

2\<«/2) — 1

- У 1 ' ехр

2\<«/2) — 1

- У 1 ' ехр

(52)(52)-b-^arctg/?

(52)

(52)

где С — контур в плоскости комплексного переменного р, который либо замкнут, либо выбран так, чтобы подынтегральное выражение обращалось в нуль на обоих его концах. Замена переменных p=tgu приводит (52) к виду, в котором отсутствует многозначный член aretgp:

f (z) = I du sec цехр ■ -Д— + f z — jr) с

На рис. 10 показан набор контуров, представляющих как решения (47), имеющие физический смысл, так и решения, добавленные для полноты. Решения, обозначенные fh(k=A, 2, 3...), связаны с интегрированием (53) по контурам Ск. Ясно, что линейно- лезависимыми будут только четыре таких решения. Как будет показано, /ч и /2 отвечают быстрым волнам, входящим с обеих сторон в область туннелирования, f5=fo+fi отвечает падающей медленной волне, a fo и Д сами соответствуют решениям, экспоненциально затухающим или растущим при г-э—оо.

Вернемся к интегрированию по методу наискорейшего спуска (методу перевала). Седловые точки расположены приблизительно

Рис. 10. Шесть возможных контуров интегрирования в комплексной плоскости и для (53). Линейно-независимые решения дают только четыре контура. При нецелом аиС2 оканчивается не на той римановой поверхности, где он начинается

там, где обращается в нуль производная от экспоненты в подынтегральном выражении, т. е. при

t^uA-Vz^u-VVz-V^ = Q. (54)

При больших z (54) имеет решения в виде медленных волн (большие значения p=tgu): tg2 usp^—АЛг-Н и в виде быстрых волн (малые р): tg2usp«—[1+(1+у)/V2]. Подстановка u=usp в (53) позволяет сразу определить основной вклад от седловой точки; если tg2usp>0, интегрирование по пути, проходящему через седловую точку, дает решение в области непрозрачности (растущее' или затухающее), а при tg2usp<0— зависимости ехр (±2iX23/2/3) или exp(±i2), отвечающие соответственно медленной или быстрой бегущей волне. В последнем случае, однако, из тождества

tg(^+iy) = (sin2%+i sh 2y)/(cos 2^+ch 2#) (55)

видно, что если tg2usp<0, то действительная часть usp должна быть кратна л/2. Если подставить эту Reusp в третий член в экспоненте (53), та появится множитель

exp (-ц) = ехр —г , (56) который часто возникает в формулах сшивки и является определяющим параметром туннелирования [ср. (50) и (51)]. Из вида уравнения (53) ясно, что большинство подынтегральных выражений периодично по и, поскольку tg(w+nn) =tg и и зес^+л) = =—sec и. При замене и->и±л линейный член в экспоненте дает постоянный множитель, а член secau—фазовый сдвиг, так что* сдвиг в плоскости и влево или вправо на л приведет к домноже- нию функции на постоянный множитель ехр(±2т), где- т= (n/2)[(l+Y)A2+i а]. С учетом этого трансляционного множителя интегрирование нужно вести только по тем частям контура, которые лежат в области |Кеи|<л/2; для аналитического продолжения функции вне этой полосы нужно домножить результат на соответствующий коэффициент. Заметим, что т] = Кет.

Перед тем, как обсуждать конкретный выбор контуров, нужно» сделать одно замечание. Как отмечалось выше, сдвиг u-wz+л изменяет величину интегрируемой функции на контуре на множитель ехр (±2т]). При малых т) этот перепад высот может оказаться недостаточным для вычислений по методу перевала; при- больших т] может возникнуть вопрос, стоит ли удерживать в разложении малый член ехр(—| Л |) • Тем не менее малые члены имеют физический смысл: это амплитуды волн, которые могут существовать в системе. Поэтому для определения амплитуд в седловой точке будем, если это необходимо, привлекать соображения самосогласованности, а нс полагаться на вклад в интеграл только от непосредственной окрестности седловой точки. Как показано1 ниже, критерий самосогласованности можно получить, если применить метод функций Грина к неоднородному уравнению туннелирования. Критерий состоит в том, что решение, полученное для:

Рис. 11. Линии уровня Recpfw), где ^(и) — логарифм подынтегрального выражения в (53), в плоскости комплексного переменного и при V=l, 7 =—2/3, Т) = Л/6, 2=10 [11]

неоднородного случая, должно стремиться к решению однородной задачи при уменьшении члена, описывающего неоднородность.

На рис. 10—14 представлены линии уровня и пути интегрирования для решения уравнения туннелирования. Седловые точки, соответствующие быстрым f и .медленным s модам, обозначены f+ и s+ для волн, идущих вправо, и f_ и s_ для волн, идущих влево. В этом случае н ©распространяющимися будут только медленные моды (при 2->—оо) и о+ означает решение, которое экспоненциально нарастает по обе стороны от 2=0, а а- — решение, уменьшающееся с ростом |2|. Следует помнить, что коротковолновые моды (s±) фактически представляют собой отраженные волны, так что энергия в них распространяется в направлении, противоположном направлению фазовой скорости. Это можно проверить, если подставить (58) в уравнение (48) и сравнить главные члены Р ДЛЯ ф~/± и ф~5±.

Рис. 12. Седловые точки и контуры интегрирования для рис. 11

Рис. 13. То же, что на рис. 11, но при г=—10Рис. 13. То же, что на рис. 11, но при г=—10должен отсутствовать (при z-^-должен отсутствовать (при z-^-z — - ^Рис. 14. Седловые точки и контурыинтегрирования для рис. 13z — - ^Рис. 14. Седловые точки и контурыинтегрирования для рис. 13

Рис. 13. То же, что на рис. 11, но при г=—10

Рис. 13. То же, что на рис. 11, но при г=—10

должен отсутствовать (при z-^-

должен отсутствовать (при z-^-

z — - ^

Рис. 14. Седловые точки и контурыинтегрирования для рис. 13

z — - ^

Рис. 14. Седловые точки и контурыинтегрирования для рис. 13

Вернемся к рис. 10—14. Очевидно, что f4 при z-^-— оо экспо

ненциально нарастает, поскольку только это решение содержит а+. Вследствие этого /4 нельзя использовать для неограниченной среды. Аналогично в решении для приходящих быстрых волн должна отсутствовать $+, так как она представляет собой медленную приходящую волну; это волна, распространяющаяся назад. Поскольку интегрирование по всем контурам, начинающимся и заканчивающимся в верхней полуплоскости, приводит к появлению s+, а интегрирование по контурам, оканчивающимся на оси,— к появлению о+, любое решение в виде быстрой падающей волны должно получаться из интегрирования по контуру, который начинается и заканчивается под действительной осью.

Для решения, представляющего собой быструю волну, приходящую из z=oo) [_— падающая волна и член f+ при z-^— 00

— оо существует лишь проходящая волна). Поэтому контур, соответствующий этому решению, должен начинаться и кончаться под действительной осью, так что это решение есть fi.

Отсюда сразу видно, что отражения в этом случае нет (/?i = = 0), поскольку по обе стороны от 2 = 0 нет члена f+. Для решения, описывающего волну, приходящую из 2=—оо, падающая

волна есть /+, так что контур по-прежнему начинается и оканчивается под осью, но он должен подняться над осью, чтобы включить член f+ при г-^-—оо. Контур, однако, не должен проходить через седловую точку f- при 2—^+ оо (может существовать только прошедшая волна). Эти ограничения заставляют контур С2 пересечь разрез, возникающий в случае нецелых а. Таким образом, f2 соответствует другой падающей волне; здесь У?2=/=0 и |j?2|<'l только при а=0 или а=2, поэтому другие значения а для решения однородного уравнения смысла не имеют.

Если падающая волна является медленной, уходящие волны могут быть только быстрыми .и контур должен начинаться или кончаться над осью, чтобы учесть в падающей волне член $+. Быстрые уходящие волны — это /+ при 2-э—оо и /- при 2-)—оо, поэтому единственное решение, имеющее нужную форму, есть решение fs. Решение /з полезно с математической точки зрения, поскольку Тз=Т1*э a f2 можно выразить через /0> /1 и f3 с помощью равенства

h=(/o+fi)[l — ехр(—2т)] —/з. (57)

образом:образом:Обозначим вклады от седловой точки следующим

образом:

образом:

4(1-Н)1^4(1-Н)1^I+y «/2I+y «/2X2zX2zexp(dziz) для всех 2;exp(dziz) для всех 2;

4(1-Н)1^

4(1-Н)1^

I+y «/2

I+y «/2

X2z

X2z

exp(dziz) для всех 2;

exp(dziz) для всех 2;

(58)(58)л1/2I ->2 |«/2( ,2iXz3^2

(58)

(58)

S± ~ ^3/2 25/4 I 2 I6ХР (—3

2М—z)^2 ’2М—z)^2 ’33i<lTD/2 „1/2

2М—z)^2 ’

2М—z)^2 ’

3

3

О = —475—г" Л ' ехр

*X3/2 (—г)У4 11 Р

В табл. 2 приведены в этих обозначениях формулы сшивки, полученные для различных контуров интегрирования (см. рис. 10— 14). Как указывалось выше, в важных случаях а=0 или а=2

Таблица 2. Формулы сшивки, полученные из асимптотических разложений для больших |z[

г-*- — со

f6

г-* co

fo

eT(ef+—s+)—eT‘(e*f_—s_)

е*/_

fl

eT*e*f_—eT*(l—e—2T*)s_

U*f-H-e^O-Xl — е~2т)—ef+

fa

- e-^^+e-^tl-e"2^.

ef+

fa

ете/+—ет( 1 —e—2т)$4-

е*/——е~г1а+

h

e~T*s_

е^а^+е*/^

h

eT(ef+—s+)+e-T*s„

величина ]е|2= 1—ехр(—2т]) определяется самосогласованным образом [14].

Из табл. 2 можно найти коэффициенты отражения, прохождения и трансформации. Рассматривая только быстрые волны, можно легко убедиться в справедливости результатов (50) и (51) с учетом того, что т) определяется (56).

Рисунки 10—14 и табл. 2 относятся к случаю, когда 1+у>0, соответствующему моделированию ион-ионного гибридного (если у большая положительная величина) и ионного циклотронного (при у——2/3) резонансов. В случае электронного циклотронного резонанса возможен случай 1+у<0; при этом седловые точки, соответствующие быстрой волне, сдвигаются на н=±л/2. Результаты для этой ситуации представлены в работе [15].

ЛОКАЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ

Анализ стандартного уравнения и уравнения туннелирования был основан на теории функций комплексного переменного. Поэтому если добавить малую мнимую часть к 2, представляющей собой физическое расстояние, то эта простая модификация позволяет внести в модельные уравнения и их асимптотические решения эффекты диссипации (см., например, [16]). С другой стороны, представляют интерес случаи, когда эффекты поглощения сильно локализованы и их нельзя аппроксимировать простым сдвигом особой точки с действительной оси. К примеру, при численном анализе дисперсионного уравнения в окрестности двух- ионного гибридного резонанса авторы [17] обнаружили, что для больших к и поглощение имело локальный характер и было настолько сильным, что изменило процесс трансформации колебаний.

Другая физическая ситуация, в которой надо учитывать локальный характер поглощения в асимптотическом волновом уравнении, возникает при изучении резонанса (o = 2coci, k^Q. Волновое уравнение, которое выводится непосредственно из уравнений Власова и Максвелла в предположении, что В0(х) =В0[1+(*/L)]2, можно записать в виде уравнения туннелирования с определенными поправочными членами в правой части. Эти поправочные члены исчезают при больших |х|, но вблизи |х|=0, где возникает связь между модами, они существенны [18].

Методы решения таких задач состоят в том, что поправочные члены, существенные при малых |х|, но исчезающие в асимптотике, нужно рассматривать как неоднородные добавки к однородному линейному дифференциальному уравнению. Тогда прямой метод решения дает использование функций Грина. Функции Грина легко построить как линейные комбинации решений присоединенного уравнения. Если весовая функция в скалярном произведении постоянна, то уравнение, присоединенное к уравнению туннелирования (47), есть просто само это уравнение, в котором а заменена на 2—а. Поэтому асимптотические решения присоединенного уравнения, удовлетворяющие соответствующим гранич- 360

ным условиям, можно получить способом, описанным в предыдущих разделах, а этого достаточно для определения вида функций Грина. Полное решение неоднородного уравнения, которое является теперь интегральным уравнением, получается затем методом итераций, причем в качестве нулевого приближения берется решение однородного уравнения. Необходимые для этого точные (неасимптотические) решения однородного присоединенного уравнения получаются в ходе вычислений. Замечательное преимущество метода функций Грина перед прямым интегрированием состоит в том, что он полностью устраняет взрывные численные неустойчивости, которые мешают прямому интегрированию волнового уравнения четвертого порядка. Подробности и результаты применения метода функций Грина приведены в [14, 19].

СРАЩИВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИИ;НИЗКОЧАСТОТНЫЙ АЛЬВЕНОВСКИИ РЕЗОНАНС

В заключение вернемся к исследованию альвеновского резонанса. Если о)/сос^1, то отсечка правополяризованной моды /г2^^, отсечка левополяризованной моды n\=L и альвеновский резонанс сильно разнятся по частотам или, в присутствии градиента плотности, далеко разнесены в реальном пространстве (напомним, что R, L~ntY С учетом этого обстоятельства задачу трансформации волн можно хорошо моделировать стандартным уравнением или уравнением туннелирования с граничными условиями, выбранными с учетом физического смысла. Однако на низких частотах a><C(Dci R^S^Y—о)/(оСг), L^S (1+<o/coCi) > та,к что отсечки и резонанс образуют тесный триплет. В простейшем случае, когда в точке нет шира и zz2^=0, соответствующее волновое уравнение (33) можно записать в виде

гдегдеx^+V^2— 1)ф = 0, (59)

где

где

(60)(60)DV 1м3

(60)

(60)

с2 ^dS/dxy ' ’ w3cZ ’

поскольку R=S-\-D, L=S—D, |£)|<^S, a x~S—n\. Здесь x— физическое расстояние по направлению градиента плотности. Отсечки будут при х=±1, резонанс — при х=0, и для малых X необходимо рассматривать триплет в целом (для случая, когда отсечки и резонанс разнесены,— см. анализ, проведенный в [20]). Однако из-за множителя %2 преобразование Лапласа уравнения (59) также является дифференциальным уравнением второго порядка, и этот метод не приводит к упрощению.

Поэтому мы можем обратиться к другому мощному математическому аппарату, а именно методу сращивания асимптотических разложений, и рассмотреть более общее уравнение (31), справедливое в области промежуточных частот (анализ этим методом уравнения туннелирования выполнен в [11J. Поскольку все ве-

личины являются функциями х, разложим их вблизи точки алыве- навского резонанса х=хо, где 7’(хо)+/г2±(хо) =0:

2'4-Ил_= [У (х0) ~НП± (хо) ]' (я — Хо)<о/с+ ...(61)

и обозначим:

5 ® (х — X^llc; 1 = [(Т + п\УГ1Га ;'

v = n±/; ^=-^(«^4-2))^;

a = (D2-\- п/J) - nJ)' + f T—njt" J 1\

т = Т'ктл-п,\у,

где штрих означает производную по х^]с. В безразмерных переменных (31) принимает вид:

d^E ( 1 т \ dE | и о а । Р 1 рл “~+га^)]£=0- (63)

мы положимчлены разло-мы положимчлены разло-а /, v, а, р и т, взятые в точке х=хо, считаются константами. На первый взгляд особенности при 5 = 0 и 5=,v2 одного порядка. Но на самом деле особенность при 5=v2 слабая: если х=^—v2 и оставим в уравнении только главные жения, оно примет вид:

мы положимчлены разло-

мы положимчлены разло-

(64)(64)d^E 1 dE j £ n dx2х dx ’ v2 х

(64)

(64)

Уравнению удовлетворяют функцииУравнению удовлетворяют функции(65)(65)

Уравнению удовлетворяют функции

Уравнению удовлетворяют функции

(65)

(65)

члене х2 In х.члене х2 In х.где ц=—p/v2. Сингулярность сказывается только в

члене х2 In х.

члене х2 In х.

Следуя анализу Карни, Перкинса и Сана, сосредоточим внимание на альвеновской особенности 5 = 0. Во внутренней области (63), т. е. в окрестности точки 5=0, проведем замену 5 = ех, представим Е в виде Е=Ео-^-гЕ14-... и получим последовательность уравнений:

£", + —= 0;1

Е- ,Е-^

Е^ + ^^-^ + ^ + ^Е,,

и т. д. Решая их и возвращаясь к переменной 5, получаем

Eq = 1 + (<% + P/V2) 5 + • • •»1 /gy\

Еъ = - т^/^ - 2 (а + p/v2) 5 + [1 + (а + p/v2) 5] In 5- jСошьем эти внутренние решения с внешними по обе стороны точ-

36’2

ки альвеновского резонанса £=0. Самое главное здесь — это скачок функции In g, когда g проходит через нуль. Напомним, что g~x—Хо-^Г+п^л; (4«рс2/В2о—й2цС2/го2). Учет малого затухания на ионах (это эквивалентно замене p-^-p+iS) наводит на мысль приписать малую мнимую поправку к g. Зная это, получаем In g+—-In g~=i л sign го.

Во внешней области (63) в наинизшем порядке можно аппроксимировать уравнением Эйри

d^E dy2d^E dy2— уЕ = 0,— уЕ = 0,(68)(68)

d^E dy2

d^E dy2

— уЕ = 0,

— уЕ = 0,

(68)

(68)

если сделать замену y=v2—g; его решениями являются функции АЦу), Bi(у). Альвеновская волна, идущая из области высокой плотности, будет отражаться и слабо поглощаться у альвеновского резонансного триплета и станет затухающей в области низкой плотности плазмы при у^О. В последнем случае АЦу) ~expV—(2у3/2/3)] и, таким образом, в области пересечения можно сшить At(y)=<?i—с^уА"— с линейной комбинацией Еа и Еь. Здесь ci=At(O) =0,355; Сг=—Ai'(0) =0,259. Со стороны высокой плотности та же линейная комбинация Е^ и Е^ сшивается в другой области пересечения с теми же функциями Эйри АЦу) = =С1—с2у+..., Bi(y) = 3*/2 (Ci+ с2У) (напомним, что Ing испытывает скачок). При у<0 эту линейную комбинацию действительных функций Эйри удобно выразить через комплексные функции Эйри:

F± = Bi (у) + i • Ai (у) ~ ^ж exp f ±i [4 1-уГ + 4] } •\ У)I LJ J

(69)

Последнее выражение — это асимптотическая форма F± при больших— y=g—v2 и signo)>O, -представляющая собой волны, идущие от точки 5=0 в область большей плотности (F^ и к точке 5 = 0 из области большей плотности (F_). После алгебраических выкладок можно получить амплитуды Д± функций F± в области у <0 и сшить эти функции с затухающим решением Ai (у), полученным для области у>0:

[Д1(у)]у >о*-> M+^+(y) А-А-Р-Цу^-ус о. (70)

Обобщая результат, полученный Карни, Перкинсом и Саном,

можно показать, что

И-P S1Sn 1+26<+6^(а1 + За2.) ’

(71))(71))a± = ocIztc2(l + ov2):

(71)

)

(71)

)

,Л1V2

Ь = По1 о 2 81£П «Ч

2 (3) ^2 cic2 т+За?2 Ь

а = а -ф p/v2

где а, р, v и т определяются формулами (62). Если а- стремится к нулю, формула (71) предсказывает отражение с очень малыми потерями, характеризующее высокодобротную собственную резонансную моду. Такое поведение подтвердилось при численном интегрировании волнового уравнения, выполненном Стиксом [24]. Впечатляющее по полноте численное 'исследование задачи об альвеновском резонансе с учетом конечной электронной массы и температуры, конечного ларморовского радиуса, шира и цилинд- рической геометрии системы недавно было выполнено Россом, Ченем и Махаджаном [22].

В заключение доктор Свансон выражает благодарность за полезные обсуждения доктору Рональду Кашубе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Stix Т. Н.— Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 15, p. 878.

Schmitt J. P. M. — J. Plasma Phys., 1974, vol. 12, p. 51.

Landauer G. — In: Proc, of the Fifth Intern. Conf. Ionization Phenomena in Gases, Munich, 1961. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1962, vol. 1, p. 389.

Cannobbio E., Croci R. — In: Proc, of the Sixth Intern. Conf, on Ionization Phenomena in Gases, Paris, 1963./Ed. by P. Hubert. Paris: SERMA, 1964, vol. 3, p. 269.

Kuehl H. H., O’Brien В. B., Stewart G. E. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1595.

Wasow W. — Ann. Math., 1950, vol. 52, p. 350.

Rabenstein A. L. — Arch. Ration. Meeh. Anal., 1958, vol. 1, p. 418.

Gorman D. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1262.

Perkins F. W. — Nucl. Fus., 1977, vol 17, p 1197.

Budden K. G. — In: Physics of the Ionosphere: Rep. of Phys. Soc. Conf., Cavendish Laboratory. L.: Physical Society, 1955, p. 320.

Ngan Y.C.,Swanson D. G. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20,p.1920.

LazzaroE.,Ramponi G., Giruzzi G. — In: Proc, of FourthTopical Conf,

on RF Plasma Heating. Austin, Texas: University of Texas, 1981.

SwansonD.G. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 316.

SwansonD.G. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 926.

Faulconer D. W. — Phys. Lett., 1980, vol. 75A, p. 355; Fuchs V., Ko K., Bers A. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 1251.

Moore B. N., Oakes M. E. — Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 144.

Jaquinot J., McVey B. D., Scharer J. E. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 88.

Swanson D. G. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 2035.

Swanson D. G. — Nucl. Fus., 1980, vol. 20, p. 949.

Tang T. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 121.

Stix T. H. —— In: Heating in Toroidal Plasmas. Proc, of the Second Joint Grenoble—Varenna Intern. Sympos., 3—12 Sept., 1980, EUR 7424 EN, Commission of the European Communities, Brussels, 1981, vol. 2, p. 631.

Ross D. W., Chen G. L., Mahajan S. M. — Phys. Fluids, 1982, vol. 25.

Пилия А. Д., Федоров В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, вып. 57, с. 1198.

Stix Т. Н. The Theory of Plasma Waves. N.Y.: McGraw-Hill, 1962, ch. 10.

Scharer J. E., McVey B. D., Mau T. K. — Nucl. Fus., 1977, vol. 17, p. 2.

Weynants R. R. — Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 33, p. 78.

Moiseev S. S. — In Proc, of the Seventh. Intern. Conf, on Ionization Phenomena in Gases, Beograd, 1966, vol. 2, p. 645.

НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ЗАДАЧУСТОЙЧИВОСТИ В ИДЕАЛЬНОЙМАГНИТОГИДРОДИНАМИКЕ

А. БЕРНШТЕЙН

ВВЕДЕНИЕ

Во многих приложениях физики плазмы, например в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу, физике Солнца и астрофизике, важным вопросом является вопрос об устойчивости малых отклонений от состояния равновесия. Особое значение имеет изучение таких классов относительно медленных движений, описываемых в терминах гидродинамики, которые, если оказываются неустойчивыми, приводят к радикальному изменению состояния, например разрушению пинча. Строгая теория таких движений, в частности, в случае редких соударений наталкивается на серьезные математические трудности. Поэтому приходится анализировать более простые идеализированные модели явления, достаточно прозрачные, чтобы можно было делать общие выводы, и качественно или полуколичественно применимые к реальным условиям.

Наиболее полезной из этих моделей является идеальная магнитогидродинамика. Плазма рассматривается как бездиссипатив- ная квазинейтральная жидкость, описываемая в терминах локальной плотности, изотропного полного давления и локальной скорости, связанных уравнениями, представляющими собой законы сохранения массы, энергии и импульса. В последнем из этих уравнений пренебрегают плотностью силы, связанной с электрическим полем, действующим на плотность заряда, и электромагнитным импульсом. Электрическое поле в предположении идеальной проводимости из задачи исключается, что позволяет связать величину магнитного поля непосредственно с кинематикой элемента массы жидкости. Дискуссию о физическом обосновании такого описания можно найти в статье Кулсруда в этом томе. Ито-

говые уравнения представляют собой обобщение системы уравнений Эйлера на случай, когда существенны магнитные силы.

Даже при такой идеализации линеаризованные уравнения движения, описывающие малые отклонения от требуемого состояния равновесия, обычно не удается решить. К счастью, часто интересны не детали движения, а ответ на более простой вопрос: устойчива система или нет? Другими словами, существует лш класс начальных условий в рамках линеаризованной теории, который приводит к экспоненциальному росту возмущений. Идея состоит в том, что такое неустойчивое поведение обычно приводит к разрушению желаемой равновесной конфигурации, несмотря: на насыщение неустойчивости за счет нелинейных эффектов. Чтобы эти выводы были достоверными, максимальная скорость нарастания, характеризующая неустойчивость, должна быть больше- скорости, характеризующей явления переноса или слабые потоки, присутствующие в реальных ситуациях, которые моделируются. Как будет показано, для случая идеальной магнитогидродинамики' ответ на этот более простой вопрос может быть сведен к определению, может или нет функционал W, квадратичный по возмущенным скоростям, принимать отрицательные значения. Это аналогично представлению о том, что частица в консервативном поле' находится в устойчивом равновесии на дне потенциальной ямы,, где любое маленькое смещение увеличивает потенциальную энергию, но неустойчива в максимуме потенциальной энергии, где' любое маленькое смещение уменьшает потенциальную энергию..

Вариационный принцип, упомянутый выше, и его обобщения лежат в основе большого числа работ, которые определяют нынешний уровень понимания магнитогидродинамической устойчивости. Идея была предложена Лундквистом [1], а общая теория, детально разработана в [2, 3, 9]. Тот факт, что выводы в результате- применения вариационного принципа идеальной магнитогидродинамики оказываются более пессимистичными, чем в теории, использующей уравнение Власова, продемонстрирован в [4] и в более- завершенном виде в [5]. Исчерпывающую библиографию можно/ найти в [6].

В этой статье мы ограничимся детальным изложением общей теории для плазмы, отделенной вакуумной областью от идеальна проводящих стенок, и применением ее для анализа двух простых примеров. При этом последовательность изложения такова: разд. 1 посвящен математической модели, включая нелинейные уравнения движения и граничные условия. Обсуждаемые равновесные статические состояния и линеаризованные уравнения, описывающие малые отклонения от них, рассмотрены в разд. 2. Раздел 3< посвящен выводу вариационного принципа, а разд. 4 — преобразованию и обобщению полученного квадратичного функционала. Приведены два примера, на которых показано, как надо использовать этот математический аппарат и общность результатов, полученных сравнительно простым методом. В разд. 5 получено, достаточное условие неустойчивости для плазмы без магнитного»

поля, удерживаемой вакуумным магнитным полем, в зависимости от кривизны ограничивающей поверхности. В разд. 6 дан вывод критерия Сайдема [7] устойчивости линейного диффузного пинча. Математические детали приведены в приложениях.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙМАГНИТОГИДРОДИНАМИКИ

Рассмотрим плазму с плотностью р, локальной скоростью v, тензором давления Р = р1, в которой электрпческо1е поле Е и магнитное поле В связаны уравнениями идеальной магнитогидродинамики в системе CGS

A + v.(pv) = 0;(1)

р(4г + v-Vv) = - VP + i (vXB)XB;(2)

(4+И^=0;(3)

E + -LvXB = 0;(4)

V-B=0;(5)

=vXE=-4^.(6)

Плотность тока при таком описании J=-^-vXB. Заметим, что, взяв дивергенцию уравнения (6), получим-^- у-В=0. Поэтому если уравнение (5) выполняется в начальный момент времени, то это верно и в другие моменты времени. Если уравнение (4) использовать для исключения электрического поля Е из уравнения (6), то получим:

<3B/d/=VX(vXB) = B-Vv — v-VB — BVv. (7)

Для того чтобы продемонстрировать некоторые особенности системы, зависящие от топологии плазмы и ее окружения, и связать теорию с тороидальными установками для управляемого термоядерного синтеза, при развитии общей теории предположим, что топологически плазма представляет собой тор (область /), окруженный кольцеобразной вакуумной областью 2, ограниченной твердым идеально проводящим кожухом S, как схематически показано на рис. 1 и 2.

Предположим, что время, необходимое световому сигналу, чтобы пересечь вакуумную область системы, много меньше харак-

367

Рис. 1. Схематическое изображение тора, наполненного плазмой, с указанием контуров интегрирования С и Ст р 1Рис. 1. Схематическое изображение тора, наполненного плазмой, с указанием контуров интегрирования С и Ст р 1Рис. 2. Вид сверху (схема) на плазму,, окруженную кольцеобразной вакуумной областью, помещенную в твердый идеальнопроводящий кожух.АВ — разрезРис. 2. Вид сверху (схема) на плазму,, окруженную кольцеобразной вакуумной областью, помещенную в твердый идеальнопроводящий кожух.АВ — разрез

Рис. 1. Схематическое изображение тора, наполненного плазмой, с указанием контуров интегрирования С и Ст р 1

Рис. 1. Схематическое изображение тора, наполненного плазмой, с указанием контуров интегрирования С и Ст р 1

Рис. 2. Вид сверху (схема) на плазму,, окруженную кольцеобразной вакуумной областью, помещенную в твердый идеальнопроводящий кожух.

АВ — разрез

Рис. 2. Вид сверху (схема) на плазму,, окруженную кольцеобразной вакуумной областью, помещенную в твердый идеальнопроводящий кожух.

АВ — разрез

тарного времени изменения В, поэтому током смещения мы пренебрежем. Кроме того, из предположения об отсутствии тока проводимости следует, что

VXB=0,(8}

с учетом (8) запишем:

B=-Vx,(9>

откуда, учитывая (5), получаем:

V2x=0.(10)

Эти уравнения необходимо дополнить граничными условиями.. Например, если на поверхности идеального проводника с единичной нормалью к поверхности п вначале п-В = 0, то это должно* оставаться верным и впредь, так как для фиксированной точки неподвижного идеального проводника

-^-(n-B) = n--^- = -cn-vXE.(И),

Если мы проинтегрируем это уравнение по произвольной площадке на поверхности и используем теорему Стокса, то получим:

^Vn-vXE= ^г-Е^О,(12).

так как из условия идеальной проводимости следует, что касательная компонента поля Е к поверхности обращается в нуль. Но так как поверхность интегрирования произвольна, то из равенства нулю выражения (12) следует, что в каждой точке поверхности

п-VXE=0,(13>

поэтому правая часть уравнения (И) обращается в нуль и п-В4 является константой, равной нулю, если она равна нулю вначале, что мы и будем предполагать.

Такая же ситуация имеет место на границе плазма—вакуум, в общем случае движущейся в соответствии с (4). Чтобы показать это, обозначим точкой полную производную по времени, тогда,, приближаясь к границе со стороны плазмы, имеем:

B = ^r + V-VB(14).

и т. д. После этого, используя из приложения соотношение (А.7} для п и уравнения (7) и (14), получаем:

(п • В) = пВ + пВ = [— (vv) • n + nn • (vv) -n]-B +

+ п [В \7¥—-Bv v] = n Bnx (nx V)-v.(15>

Это — однородное дифференциальное уравнение первого порядка для (п-В) вдоль траектории элемента жидкости на поверхности, движение которого описывается уравнением

r=v(r, /).(16)>

Поэтому если мы предположим, что п-В = 0 при /=0, то оно будет равно нулю и впредь. Более того, как следует из уравнения: у-В = 0, функция п-В непрерывна на границе раздела. Поэтому условие п-В = 0 выполняется на границе S и со стороны вакуума.

Динамические граничные условия, связывающие величины в жидкости и вакууме, можно получить из уравнений (1) — (6), заметив, что из (1) — (6) закон сохранения импульса можно записать в форме

4(pv)+v^vv+(p+^)i-^]=°-<17)'

Все декартовы компоненты векторного уравнения (17) имеют вид законов сохранения

do/dt + V-r=0,(18)

где а можно интерпретировать как объемную плотность, а Г — соответствующая плотность потока.

Рассмотрим ряд вложенных поверхностей с семейством связанных с ними единичных нормалей (рис. 3 и 4). Поверхность разрыва S можно рассматривать как предел тонкого пограничного слоя, когда толщина 6 стремится к нулю таким образом, что а резко меняется в. направлении п и медленно в направлениях, перпендикулярных п (рис. 3 и 4). Перепишем (18) в виде

nv[n(F— vo)] = —a — cmv(nv) +

+ n х (v X n) vor + n (vn) r + n x(nxV)r, (19)

369-

Рис. 3. Зависимость плотности а от длины дуги s (условно) в пограничном слое толщиной 6

Рис. 4. Диаграмма семейства вложенных поверхностей с постоянной плотностью, указывающая траекторию интегрирования, касательную к медленно меняющейся единичной нормали п

где a=da/^+v-Va — полная производная от а во времени в системе отсчета, движущейся с элементом жидкости. Заметим, что все члены в правой части (19) изменяются медленно при пересечении граничного слоя вдоль кривой, параллельной вектору п. Пусть s — длина дуги, тогда производная по направлению и—n\/=d(ds. Проинтегрируем (19), пересекая граничный слой. Тогда в пределе 6-^-0 получим условие

<п-(Г — va) )=0.(20)

В (20) символ <.. .> означает скачок величины, заключенной в скобки. В применении к (17) из уравнения (20) с учетом п-В=0 имеем:

(/- + т) = 0.(21)

Уравнение (21)—условие баланса полного давления, т. е. суммы давлений, среды и магнитного поля, необходимого для того, чтобы в области быстрого изменения плотности, давления и т. д. не было бесконечного ускорения элемента массы.

В кольцеобразной вакуумной области 2 в дополнение к граничному условию

п-В=0,(22)

которое считаем выполненным на S и S'. Для нахождения нетривиального решения необходимо задать тороидальный поток

Фг = d2rnr-B = — jd2rnr-vx(23)

и полоидальный поток

Фр = f d2rnp • В = - f d"rnp • vx •(24)

где Sr, Sp — шайбообразные поверхности, представляющие собой сечения тора (рис. 5). Эти потоки не зависят от времени, так как,

Рис. 5. Изображение сечений тора (условно), показывающее шайбообразную поверхность интегрирования Sr (пунктирная область 2) и лентообразную поверхность S р

Рис. 6. Изображение- (схема) сегмента тороидальной области

используя уравнение (Л.И)

"аГ = ^ dr‘~t—.1 ^r-vXB = — J d-r-c^X^ —

и то, что пХЕ=0 на С'т, из уравнения (6) получаем, что скачок на S

^nx(E + 4-vXB)) = 0. (26>

Поэтому из того, что (7) .выполняется со стороны плазмы, следует, что n X ^Е -|- — vXB^ = 0 со стороны вакуума. Таким образом, правая часть уравнения (25) обращается в нуль. Доказательство- для Фр аналогично. Потоки не зависят и от выбора сечения при условии, что поверхности имеют тот же топологический характер. Дело в том, что, если в качестве S'T выбрать различные сечения тора (рис. 6) и при интегрировании величины V-B = 0 по объему, ограниченному поверхностями 5, S', Sp и S'p, применить теорему Гаусса, то вклады на поверхностях 5 и S' обращаются в нуль, так как на них п-В=0, откуда с учетом выбора нормалей на Sr и S'T и следует этот вывод.

ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

Исследуем устойчивость состояний статического равновесия, описываемых стационарными решениями упомянутых выше уравнений, для которых скорость плазмы равна нулю. В этом случае 371

из уравнения (4) следует, что электрическое поле в плазме равно нулю, и тогда уравнения (1), (3) и (6) удовлетворяются автоматически. Если мы отметим величины, относящиеся к этому состоянию, индексом нуль, то уравнения (2) и (5) примут вид:

'VA = -^-(vXB0)XB0;(27)

V-Bo = O.(28)

Если обозначить вакуумное магнитное поле буквой В со шляпкой, то в вакуумной области отсюда получаем:

Во = —VXo;(29)

V2Xo=O.(30)

Граничные условия на статической границе раздела S между плазмой и вакуумом имеют вид:

Ро+Во2/8л—Во78л=О;(31)

По-Во=О;(32)

по.Во=О,(33)

а на идеальнопроводящей поверхности S'остается одно условие

п-Во = О.(34)

Потоки

Ф = ( сРга -В,;(35)

ро.'р0 0Х '

SPoч= f ="™ГЛ<36»

ST» предполагаются заданными. Было показано, что эта система уравнений имеет решения в случае осесимметричной тороидальной симметрии. Однако общая теория понята не полностью, поэтому условимся считать, что решение существует, и будем изучать его устойчивость.

Рассмотрим .малое отклонение от положения статического равновесия, такого как описано выше, и запишем р=р0+рь

Р=Ро+Рь v=0+vi, B=Bo+Bi, E = 0+Ei

и т. д., где |pi|<Cpo, I Pi I С |ро|... Если мы линеаризуем уравнения (1) — (3), (5) и (7), то получим:

^ + v(P.v.) = 0;(37)

Ро ^L _ _ VA + ^L (vXBJXB. + ^ (vXB0)XB.; (38)

-^t + v^VA + YIoV-Vi — 0;

(39)

V-Bi=O;

_^. = vX(v1XB1).

(40)

(41)

При написании уравнения (39) мы использовали точное уравнение

dp/dt-\-N • Vp+ypV • v=0,

(42)

полученное исключением р из (3) с помощью уравнения (1). Если взять производную по времени от уравнения (38) и использовать уравнения (37), (39) и (41) для того, чтобы исключить dpi/dt, dpi/dt и dBi/d/, то получим следующее выражение:

d2Vj

р» dt2

Fv,,

(43)

где действие линейного оператора F на вектор | определяется формулами:

F| = V(YAVi + ^VA) + -T^ + ~*SXQ;<44)

Q=VX(^XBo).(45)

В вакуумной области, где в случае необходимости будем отмечать величины шляпками, имеем:

VB,=0^V.A_ = 0;(46)

vXB.-0-vX^-^O.(47)

Как следствие уравнения (46), запишем:

dBi/^=VXAi,(48)

где Ai — возмущенное электрическое поле, а из уравнения (47) имеем:

VXVXAi = 0.(49)

С другой стороны, из уравнения (47) следует, что

d»T/dt= — VXb(50)

откуда вследствие (46) получаем:

V2X1=O.(51)

Можно использовать вектор-потенциал Ai и скалярный потенциал хь Первый более удобен при вычислениях, последний — при выводе энергетического принципа.

На поверхности идеальнопроводящего кожуха S' из линеаризованного условия п-В = 0 с учетом того, что п не изменяется во времени, имеем:

O = no--^- = no-vXA1 = — n0XvXr(52>

Заметим, что для любой площадки S' из уравнения (52) следует условие

0= JdV-vXA, = ^dr-Ar(53)

Так как интеграл берется по произвольной замкнутой линии, та из условия (53) находим:

n0XAi = nX(nXV)X,n0XAi = nX(nXV)X,(54)(54)

n0XAi = nX(nXV)X,

n0XAi = nX(nXV)X,

(54)

(54)

где X— скаляр, определенный на S' таким образом, что вектор nXv^ однозначен. Мы выберем такую калибровку, чтобы Х=0. На движущейся поверхности S производную по времени от выражения п-В=0 для наблюдателя, движущегося с элементом жидкости, можно записать аналогично тому, как это было сделана в уравнении (15)

0 = п-В + п В —[—(vv) n + nn (vv) n]-B+n- 45-4-v-vB =

= п= п-^-+ v-\zB — В-vv — Bv v = n-^-+ v-\zB — В-vv — Bv v = n-^--VX(vXB) . (55)-^--VX(vXB) . (55)

= п

= п

-^-+ v-\zB — В-vv — Bv v = n

-^-+ v-\zB — В-vv — Bv v = n

-^--VX(vXB) . (55)

-^--VX(vXB) . (55)

После линеаризации уравнения (54) получаем:

О = по- -^-—vX^X^o) •(56)

Используя далее (48), преобразуем (56) к виду

O=no-VX(Ai —v,XBo)=O,(57)

откуда при соответствующем выборе калибровки с учетом условия по-Во=О следует, что

O=noX(Ai—ViXBo)=nXAi+no-ViBo.(58)

Если (50) подставим в (56), то получим:

O=no-[VXi+VX(viXBo)].(59)

Заметим, что после интегрирования по произвольному элементу поверхности So с учетом того, что ВоХ^г параллельно п0, уравнение (59) принимает вид:

J d2rn0• v X (V, ХВ„) = $ dr • v^B, = $ v, • В0Х^г =

= J n0 • v,n0 • B0X^r = § dr • noXBono • V, =

= j d2rn0 • vX(n0XBn0 • vt).(60)

Вследствие того, что поверхность интегрирования произвольна, -имеем:

По ’ vx (viXBo) =По • VX (поХВоПо • Vi) =

= (noXV) • (поХВоПо-v,).(61)

В (61) входят только величины n0-v и n0XV , которые содержат лишь тангенциальные производные к So. Из условия на поток (25) после линеаризации имеем:

0=f йЧ.^гД dr-v.XB..(62)

Используя уравнение (48) совместно с граничными условиями (55) и (57), находим, что уравнение (62) удовлетворяется автоматически. Последнее можно увидеть сразу, если применить теорему Стокса. Используя уравнение (57), переписываем уравнение (62) в виде

0= f d2r-vXi + J dr-v,XB0.(63)

st,ст„

Аналогичные выводы следуют и для полоидального потока, где 0 = J d2r-vxi + f ^r-v.XB,.(64)

Spocpo

Беря производную по времени от уравнения (21), находим:

4F + v-VP + iB.(^-+v.vB)_Ag- (< + v»b). (65)

Линеаризуя это уравнение и используя (39), (41) и (48), получаем:

-YAVv + ^-B0-[vX(v1XB0) + v1-vB] =

-^BavXA. + v.-vB].(66)

Далее для упрощения обозначений индексы 0 и 1 опустим.

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

Теперь покажем, что из уравнения (43) следует закон сохранения. Для этого умножим скалярно уравнение (43) на dvfdt и проинтегрируем результат по объему плазмы. Воспользуемся

375

свойством, -указанным .в приложении С, а именно тем, что оператор F является самосопряженным; интегрируя по объему, занятому плазмой, получим равенство

J d^fN • Fu = J d3ru • Fv.(67)

Если квадратичная форма (кинетическая энергия) имеет вид:

(68>

то с учетом того, что область интегрирования не зависит от вре* , d2 v

мени и dldt(dvldt)2=dNidt- -, используя уравнение (43), находим:

^ f Л», ^ С.1 1 С Л», / ^v С., I ., С ^V \^^ /АО\

"dT= V ~дГ FV~^J йг(’ЭГ,ру + у'р^г) = -‘?Г’ (69>

где

\V {v} = - -1- J d3rv • Fv.(70>

z

В результате получим закон сохранения ^+U7=const=E.(71)

Так как уравнение (43) линейное с коэффициентами, не зависящими от времени, то можно искать решения вида

v(r, O=exp(icoZ) g(r),(72)

которые при подстановке в уравнение (43) дают уравнение

-o)2pg = Fg. (73)

Из условия самосопряженности оператора F легко видеть, что» собственные значения со2 действительны. В общем случае спектр собственных значений имеет очень сложный вид и содержит как дискретные собственные значения, так и непрерывный спектр, при этом со2=0 бесконечно вырождено, так как выбор |=а(р)В+ + P(p)V-XB, где а и (3— произвольные функции р, дает Fg = O. Более того, задача нахождения решений (73) неразрешима, за исключением случаев плоской или цилиндрической симметрии и очень простых конфигураций магнитного поля и профилей давления. К счастью, для многих приложений желательно лишь получить ответ на вопрос, устойчива конфигурация или нет. Как мы увидим, выбирая физически разумное определение устойчивости, мы можем свести задачу к установлению факта, может или нет функционал W в уравнении (70) принимать отрицательные значения.

Линейный рост возмущений во времени, связанный с со2=0,. физически не существен, так как на практике идеальная магнито- 376

гидродинамическая -модель является лишь приближением к реальным системам, в которых, -как правило, есть слабые потоки из-за процессов переноса, связанных со столкновениями или турбулентностью. Опасными являются лишь те неустойчивости, которые нарастают за время меньше чем т, характеризующее слабые потоки. Как -мы увидим, кроме <о=О, любые неустойчивые движения нарастают экспоненциально во времени, и можно ожидать, что они более опасны, если их эффективная скорость нарастания больше чем 1/т.

Теперь из уравнения (71) видим, что если функционал W>0, то неотрицательный функционал К не может расти во времени неограниченно, так как из уравнения (71) следует неравенство

К=Е — W^E=const. (74)

Поэтому для устойчивости, понимаемой как ограниченность кинетической энергии К, существенно, чтобы функционал W был неотрицательным.

Сейчас .мы покажем, что когда W может принимать отрицательные значения, положительно определенный функционал кинетической энергии

/ = J-fd3rpv2 (75)

будет расти экспоненциально во времени, что мы и будем рассматривать как неустойчивость. Заметим, что в этом случае, если .обозначим производную по времени точкой

(76)(76),3 dv

(76)

(76)

dr^' "дГ

и используем уравнения (43), (68) и (70), то получим:

d2V

^КА-Х^гч ¥v = 2K-2W. (77)

Отсюда следует, что

.. У/21

(In/) = "у-у2Р

^2_[_2Г + 2К-4/<] = -^-,

(78)

тогда, используя неравенство Шварца, получим следующее неравенство:

(J< ( jd-r^ ( Jd>r, (^)‘) =(79)

Предположим, что у нас есть поле скоростей Vo(r), которое удовлетворяет всем требуемым граничным условиям и для которого функционал W отрицателен. Рассмотрим движение с начальными условиями v=v0 и d\ldt=Q. Пусть при этом Е<С0.

377

Введем функционал z/=In Z (/)/Z (0) и определим Е=—2v2/(0). Тогда из неравенства (78) следует условие на

(80)(80)y^2v2exp (—у)

(80)

(80)

и у(0)=0, у(0)=0. Пусть У(/) удовлетворяет тем же начальным условиям, только вместо неравенства (80) для У пусть выполняется равенство. Очевидно, y^Y. Умножая y=2v2exp(—У) на У, получаем первый интеграл уравнения, аналогичного неравенству (80):

±y2 = 2v2(l-е~г).(81)

В результате повторного интегрирования находим зависимость t от У*

= tn l.+(82) о

откуда следует, что

y=ln(chv/)2(83)

и неравенство

/(^/(Ol-^e^ + S + e-2’*)-(84)

Видим, что Ц^ нарастает во времени экспоненциально. Поэтому в рамках принятых нами определений необходимым и достаточным условием устойчивости является неотрицательность функционала Ж

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ОБОБЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

Для того чтобы упростить анализ выражения для W, удобно преобразовать уравнение (70) к более наглядному виду, а именно используя определение оператора F (44), перепишем соотношение (70) в виде

Щ} =—^у^-п = -4у^- [v(YPV^ + ^VP) +

+ i(vXQ)XB + i(VXB) XQ+ i(vXQ)XB + i(VXB) XQ+ l-vi) —+ l-vi) —ii4л4лQX.(^XB) -^Л)^Р^Л-\-1-^р-QX.(^XB) -^Л)^Р^Л-\-1-^р--^Q=+^ 6(vxB)xq|.-^Q=+^ 6(vxB)xq|.(85)(85)

+ i(vXQ)XB + i(VXB) XQ

+ i(vXQ)XB + i(VXB) XQ

+ l-vi) —

+ l-vi) —

i

i

4л

4л

QX.(^XB) -^Л)^Р^Л-\-1-^р-

QX.(^XB) -^Л)^Р^Л-\-1-^р-

-^Q=+^ 6(vxB)xq|.

-^Q=+^ 6(vxB)xq|.

(85)

(85)

Определим функционал

UM§} = ^p^(V-^4Xv-^Vl +^Q2 +

+ 4^XQ-vXB}.(86)

Теперь, используя теорему Гаусса и свойство п-В=0, перепишем (85) в виде

TF-^-^pvn.^pv-s-iBXQ+s-vB^

+ £-Vp+-^)L(87)

где единичная нормаль п направлена из плазмы. Для того чтобы исключить ypV-g из (87), воспользуемся граничным условием (66), получим:

1 рг 1/ R2 R2

— ^'-■п.Ц-АгВ.,гХА+6-т^ + -£г—t

(88)

В2 В2

Так как всюду на S выполняется условие p4~“g^&Г=0’ то

пХ7|р + -^-f—1=0. Поэтому если определить функционал

-£-)(89)

и использовать граничные условия (54) и (58), то можно представить (88) в виде

lF_rf-rs=--l?p2rnXA-vXA=-i J ^(-п)-АХ ss'+s'

X(VXA) =X(VXA) =^3rV'AX(vXA) =^3rV'AX(vXA) =if^tvXA)’.if^tvXA)’.(90)(90)

X(VXA) =

X(VXA) =

^3rV'AX(vXA) =

^3rV'AX(vXA) =

if^tvXA)’.

if^tvXA)’.

(90)

(90)

При выполнении преобразований (90) мы -использовали тот факт, что нормаль п направлена от S, -если смотреть со стороны вакуума, и интеграл по S' равен нулю в силу условия (54) при Х=0. Поэтому если представить функционал Wv в -виде

WV = -^pr(VXA)2,(91)

тотоII

то

то

W=WF+WsWv.(92)

379

Нас интересует, может ли функционал W быть отрицательным. Последовательный способ исследования этого вопроса состоит \в минимизации W относительно § с некоторой удобной нормировкой, сохраняющей функционал W ограниченным. Так как уравнение 7wxA=0 является уравнением Эйлера—Лагранжа, определяющим вектор-потенциал, который минимизирует неотрицательный функционал Wv с граничными условиями пХА=—п ^В на S и п><А=0 на S', то достаточно минимизировать функционал W по А, не требуя выполнения условия у X V X А=0. Более того, при нахождении минимума можно не требовать, чтобы выполнялось условие баланса давлений (66), так как мы покажем, что если -есть векторные поля ^ -и А, которые дают отрицательные значения функционала W, но не удовлетворяют условию (66), можно всегда найти близкие поля ^ и А, которые также приведут к отрицательным значениям W, но будут удовлетворять условию (66). Для того чтобы показать это, возьмем ^=^+ет|, где т), являясь величиной одного порядка с f, быстро изменяется на расстоянии порядка 8 в направлении, перпендикулярном S, но имеет медленно изменяющиеся производные в направлениях касательных к поверхности S в пограничном слое, и у Л порядка у вне пограничного слоя. Тогда получаем оценку

vh)=[nnv-n х (nxv)l-(q) =

= n v(sn ^) — n(vn)-s^— n х (пХ?)’(8ч) = О(п ц),(93)

так как n-(vn) порядка единицы, как и тангенциальные производные nXv-

В этом случае условие баланса давлений (66) можно записать в виде

^Y/?+^)v-l + ^B4v£)-B = ^B.[vXA + |.vB]. (94)

Далее с точностью до нулевого порядка по 8, так как В- у не содержит нормальных производных, получим уравнение

^YP + -|^)lv4+8n-v(n-n) + ^B-(vf)-B==

= -Lb.[vXA+1.VB],(95)

которое определяет п-у(п-т]) на S. Ввиду того что (95) содержит лишь нормальную производную от п-щ а не n-т), можно выбрать^ п-т] = О на S. Отсюда видно, что если использовать § вместо |, то величины Ws и Wv не изменятся. Более того, заметим, что единственное изменение (порядка единицы) при замене § на ^ возникает в подынтегральном выражении функционала WP

в тех членах, которые содержат v^ в узком пограничном слое* толщ-иной е вблизи S. Вне этого слоя изменения будут порядка 8. Таким образом, -соответствующее изменение функционала WP является величиной порядка 8 и может быть сделано сколь угодномалым. Следовательно, не нужно требовать выполнения условия (66) при нахождении минимума функционала WF.

Если желательно работать со скалярами, а не с векторами, то можно воспользоваться потенциалом % вместо (вектор-потенциала А. Необходимо только переписать выражение для функционала

^=^ f^(VX)2(96).

п

и (воспользоваться граничными условиями (52) и (59). Следует также принять во внимание условия (63 и (64), чтобы минимум был единственным. Проанализируем теперь, может ли функционал W принимать отрицательные значения. Рассмотрим такие классы векторов g, для которых п-£=0 на S. Тогда Ws=0' и иХ=0. Используя для функционала WF выражение (D.13), получаем:

8л^ = f d»r {4лур (v • I)2 + [V X (I X В) + i

+ (v X В) X M(n.|)2l-2(n.|)2(v X В) х n (B-vn)}.(97)

Ясно, что для ограничения функционала WF снизу необходимо нормировать n-g, например потребовать fd3r(n-%)2= 1. Как по

казано в приложении D, если представить | в виде|=а7 р-\-Ь ^Х ХВ+сВ, то получим:

8nIFF = J d3r {[V X (—яур) + 4л (yfe) х р + a (у х В) х ур]2 + I

+ 4лур[у-(яур) + (V6)*V X B + B-v^2 —

— 2a2 (v X В) x (yp) • (В • yyp)}.(98>

Заметим, что подынтегральное выражение в уравнении (98) не содержит производных от b и с в направлении у Р- Поэтому уравнения Эйлера, получающиеся при отыскании минимума wF по отношению к b и с при фиксированном а, нс будут содержать связей между величинами а и b на различных магнитных поверхностях p=const и представляют собой поэтому дифференциальные уравнения в частных производных по двум, а не по трем переменным. В заключение заметим, что те члены в подынтегральном выражении (98), которые могут дать отрицательный вклад в WF, легко переписать в терминах дифференциальной геометрии силовых линий, определяемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений drfdX=B. Тогда t=B/B — единичный касательный вектор, и если v — единичная нормаль, а b—бинормаль,

то эта тройка векторов удовлетворяет соотношениям Серэ—Френэ tyb = rv, Ьуу = тЬ — kt, t^t = kN,(99)

где т—радиус кручения, а к — кривизна. Единичную нормаль n=VPf\VP\ к магнитной поверхности можно записать следующим образом:

п=—bsincp+ vcoscp,(100)

дак как t-vp=0, где ср — угол между плоскостью, соприкасающейся с силовой линией, и плоскостью касательной к магнитной ловерхности. Если записать vXB с учетом n- v ХВ=0

VX в = IVх ВI [t cose+nXt sin 0],(101)

то легко установить, что выполняется соотношение

— (VXB)Xn- (B-Vn)=k^Vp-HB • VXB) (т —t-V(p). (102)

Из уравнения (99) непосредственно следует, что если интересующая нас силовая линия изгибается в направлении градиента давления, то k-v-^p<<0. Более того, т—t-v ср является мерой кручения п относительно v, а кривизна B-vXB зависит от направления плотности тока по отношению к магнитному полю.

Предположим, что, используя пробные функции или определяя минимум (98) аналитически или численно, найдем такое ^, что IF<0 при п-*§=0 на S. В этом случае, очевидно, система неустойчива. Если можно показать, что IF>0 при п-|=0 на S, то необходимо ослабить это граничное условие и искать минимум IFv+IFs+IFp. Потенциал, поддерживающий неустойчивость, возникает из-за того, что Ws может быть отрицательным, несмотря на то что функционал Wv существенно неотрицателен.

ПЛАЗМА БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ, УДЕРЖИВАЕМАЯВАКУУМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Простейшим примером применения энергетического принципа является случай, когда система состоит из плазмы, в которой В = 0, р=const, окруженной вакуумным магнитным полем. В этом случае WF= / d3rp( V е^)2^0- Выберем | так, чтобы V •§=0. Для любого заданного выбора п-^ на S можно найти такое £, записав |=у<р и решив уравнение v2T = 0. Тогда получим:

(vXA)2,(103)

sи

где п — единичная нормаль к границе раздела, направленная внутрь плазмы. Пусть R— вектор, направленный из точки рассматриваемой силовой линии в соответствующий центр кривизны. Тогда, так как р = const в плазме, из соотношения (21) следует, 382

что B2=const на S. Более того, vXB=0, поэтому B = Bt и

-Ln.VB2 = n.|BX(V XB) + B-VB] =

= n-B2 (t-vt)= n-B2 (t-vt)n RB2^2,n RB2^2,(104)(104)

= n-B2 (t-vt)

= n-B2 (t-vt)

n RB2

^2,

n RB2

^2,

(104)

(104)

откуда вследствие (99) t-vt=&v=R//?2 и n-t=0.

Рассмотрим точку на поверхности S, где вектор R направлен в сторону плазмы, и построим в этой точке локальную декартову систему координат с осью z, нормальной к поверхности и направленной в вакуум, и осью х, параллельной вектору В. Выберем

|, (х, у, 0) = gof (х, у) sin ку,(105)

где /— функция порядка единицы по величине, которая падает до нуля на расстоянии a<CR и ka?^>R. Выберем также пробный вектор-потенциал в виде

А = f (х, у)^^-^-cos ку е"кг^ . (106)

Заметим, что при В = Вех уравнения (105) и (106) удовлетворяют граничному условию (58). Такой выбор ^ и А приводит к тому, что вклад вакуумной области в (103) пренебрежимо мал по сравнению с вкладом от интеграла по поверхности:

cos ку еcos ку е^3r|V?|2№e-26z"и^3r|V?|2№e-26z"и(Ю7)(Ю7)

cos ку е

cos ку е

^3r|V?|2№e-26z

"и

^3r|V?|2№e-26z

"и

(Ю7)

(Ю7)

так как |v/|2«l/a2 и рзсРг] VH2~fl2( W)2~ 1, поэтому интеграл можно вычислить:

(Ю8>

5

Таким образом, функционал W отрицателен «и система неустойчива. Отметим, что если где-либо на поверхности границы S есть вогнутость в сторону плазмы, то система неустойчива.

РАЗМЫТЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПИНЧ

Рассмотрим теперь размытый линейный пинч [8]. Это модель,, где в цилиндрических координатах г, 6, 2 имеем р=р(г) и B = S9 (r)ee+Bz(r)ez. Тогда из условия магнитостатического рав-

иовесия (29) следует, что

4^-^-4-S ^ + ^ + 1^=0,(109)

dr 12 dr г drх >

а в вакуумном кольце, окружающем цилиндрический плазменный «столб радиусом а,

(НО)

где Bz=const и с учетом (31) имеем:

8лр(а) + В^(й) + В>) = В|(а)+В2.(Ш)

В силу цилиндрической симметрии можно искать решения в виде

§ = S j dk & (г) er + g0 (г) e0 + ez (Г) ej e'№6\(112)

tn

Тогда, вводя переменные 5 =

^^L^ + i^;(ИЗ.

£=i(|e Bz — ^zBg )

и выражая через них hrt+B^пД-rB^

?e— vhrBz-VmB6 ’ hrBz + mB6 ’

можно показать после алгебраических /выкладок, что

Wy = ^- У(US

m=—oo —oo

при h^Q и m#=0. Используя (98), можно написать, что 1V7 С j < А , л,1 d (г?) 2 кЧг + т2 |2) mar

Wfe.m = yrr |А+4^ 71+ — -^- +—1^-Ч21, (116

где

А {^} = ^F | № + тВ^ А+ № - тв^ +

-¥VkrBz-VmB„y -^В„ d ^ ]^;(117

v =—г [(^гВ. — тВг) 4г—(^A + ^g) — 1(1П

A2r2 + ^z2 р 9 z dr х 9 12 7 г v

Когда т=0, ^#=0, удобно определить функционал

^k.^W^^-^yrrBW^.(1К

Здесь

(120)

В заключение заметим, что а

^o., = ^,+ prr (в1, о

dr г + ^Р J dr г J

(121)

Ясно, что если какое-либо из Wh,m может быть отрицательным, то система неустойчива. Но когда и к и т не равны нулю, из (116) следует, что минимум Wk> т реализуется выбором

_^X£pL=o, е —v=o.

1 1 г dr

Более того, если мы запишем g=a+ip, то Wk,m=Wk,m^-V + Wk, W(P). Так как аир действительны и независимы, достаточно найти минимум Wk,т^), рассматривая § как действительную величину. Для этого удобно проинтегрировать по частям и написать:

где

(122)

(123)

1 (krBz — тВ^У

_ (^Bz + ms9)2 _

2В6

g

~ г kV-Vm^

Г