ДОПОЛНЕНИЕ К ВТОРОМУ ТОМУ

ФИЗИКА

ПЛАЗМЫ

Под общей редакциейакадемика Р. 3. САГДЕЕВАи профессора М. Н. РОЗЕНБЛЮТА

основыФИЗИКИ ПЛАЗМЫ

В ДВУХ ТОМАХ

Дополнение к второму тому

Под редакциейпрофессора А. А. ГАЛЕЕВАи профессора Р. СУДАНА

УДК 533.9.01

Основы физики плазмы: В 2-х т. Дополнение к т 2/ А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев, Р. Судан и др.; Под ред. А. А. Галеева, Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1984. 240 с.—(①изика плазмы).

Приведены обзоры по нелинейной теории плазмы, написанные ведущими специалистами по физике плазмы СССР и США. Рассмотрены токовые неустойчивости и аномальное сопротивление плазмы, коллективное взаимодействие пучка с плазмой, моделирование методом частиц, равновесие и устойчивость интенсивных пучков.

Для научных работников — специалистов в области физики плазмы. Может быть использована студентами старших курсов и аспирантами.

Табл. 3. Ил. 88. Библиогр. 320.

Редколлегия: А. А. Галеев, М. Н. Розенблют, Р. 3. Сагдеев, Р. Судан

Авторы тома: А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев, Р. Судан, Дж. М. Доусон, А. Т. Лин, Р Девидсон

л1704040000-387

^051(01)-84 Вез объявления, подписное

© Энергоатомиздат, 1984

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

В настоящий том включены статьи, по ряду причин не вошедшие во второй том.

ТОКОВЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И АНОМАЛЬНОЕСОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛАЗМЫ

Л. Л. ГАЛЕЕВ, Р. 3. САГДЕЕВ

ПОНЯТИЕ ОБ АНОМАЛЬНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

В обзоре Р. Девидсона (см. т. 1 этого издания) была рассмотрена линейная теория кинетических неустойчивостей в приближении однородной плазмы. Эти неустойчивости не зависят или почти не зависят от специфики краевой задачи, будь то конкретная геометрия лабораторной плазменной установки, тип равновесной конфигурации плазмы или формы ее течения. Эффект развития таких неустойчивостей и переход плазмы в турбулентное состояние в этом случае сводятся к изменению релаксационных свойств плазмы и коэффициентов переноса, таких как электрическое сопротивление, диффузия, время релаксации анизотропии температур и т. д. В этой связи говорят об аномальных коэффициентах переноса. Задача теории заключается в том, чтобы связать значения аномальных коэффициентов переноса с причиной, вызывающей исходную неустойчивость (иначе говоря, с источником «свободной энер- ги》，питающим неустойчивость).

Если причиной, вызывающей неустойчивость, является превышение некоторого критического значения тока, то из общих соображений ясно, что развитие такой неустойчивости должно автоматически привести к механизму, ограничивающему рост тока. Другими словами, возникает аномальное сопротивление плазмы. Физика этого явления заключается в том, что вследствие развития такой неустойчивости электроны, переносящие электрический ток, в дополнение к обычной потере импульса из-за парных столкновений теряют еще часть импульса благодаря излучению волн различных типов. Поглощение импульса излучения ионами плазмы замыкает цепочку, по которой электроны отдают часть своего импульса ионам.

В таблице перечислены основные неустойчивости, возникающие при превышении критического значения тока и, таким образом, имеющие отношение к проблеме аномального сопротивления в плазме (подробнее см. обзор Р. Девидсона в т. 1 этого издания). В ней приведены пороговые значения токовой скорости электронов “ля различных неустойчивостей, значения частот и линейных ин-

5

Неустойчивости плазмы с электрическим током, ответственные за аномальнее сопротивление плазмы

Тип неустойчивости

Порог неустойчивости

Частота

Инкремент

Б\немана

〃ое 2 ©Те

〜3pj

Ионно-звуковая

^^pi^oe^Te

Драммонда—Розенблюта

〃ое〉％

"ci

〜Sei "oe е^е

Электростатические моды с胪丄沙k2 и

0 ；ень низкий, иногда < vTi

Моды Бернстейна

——

，®?, ? = 土1, 土 2,...

Sce〃oe/°Te

крементов возбуждаемых колебаний. Простейшей является неустойчивость Бунемана. Исходные функции распределения электронов и ионов в этом случае имеют вид двух d-функций, сдвинутых относительно друг друга .на' величину, равную средней скорости 〃ое. Неустойчивость представляет собой раскачку продольных электростатических колебаний плазмы с инкрементом порядка плазменной ионной частоты.

Другой пример неустойчивости плазмы с током ——это хорошо известная ионно-звуковая неустойчивость. Ионно-звуковые колебания возникают при дрейфовых скоростях электронов uQe)меньших тепловых скоростей. По порядку величины инкремент ионно-звуковых колебаний равен ионной плазменной частоте, уменьшенной в отношении дрейфовой скорости электронов к тепловой. В предельном случае w0^—^Те ионно-звуковая неустойчивость почти плавно переходит в бунемановскую.

При наличии магнитного поля появляются неустойчивости и других типов. Одна из них, также связанная с электронной мнимой частью (электронным полувычетом) в ионно-циклотронных волнах, называется неустойчивостью Драммонда ——Розенблюта. Она возникает тогда, когда ток протекает вдоль магнитного поля, в то время как первые две неустойчивости в известном смысле инвариантны по отношению к существованию магнитного поля, если оно не очень большое. Неустойчивость Драммонда ——Розенблюта, по-видимому, не создает заметного аномального сопротивления, потому что она приводит к небольшим скоростям нарастания флуктуаций и, очевидно, легко подавляется простыми квазилинейными эффектами (типа эффекта образования плато).

Более важную роль может играть класс неустойчивостей относительно электростатических возмущений с ^2 》必卜 Иначе говоря, это волны, у которых составляющая волнового вектора вдоль магнитного поля значительно меньше поперечной составляющей волнового вектора, а частоты гораздо меньше электронной ларморовской частоты, но больше ионной. К ним относятся модифициро- 6

ванная бунемановская мода и так называемый электронный звук. Неустойчивости такого типа имеют место, когда ток течет перпендикулярно магнитному полю. Заметим, что при этом возможно таю же возбуждение бернстейновских мод с частотами вблизи гармоник электронной циклотронной частоты с длинами волн, много меньшими ларморовского радиуса электронов. Хотя инкремент этих мод велик, нелинейное насыщение роста наступает уже при малых амплитудах, и поэтому они не создают большого аномального сопротивления. Строго решать задачу о проводимости о необходимо с учетом обмена импульсом между электронами и колебаниями. Обычная формула для проводимости плазмы (y=ne2Jmev содержит частоту столкновений электронов v с рассеивающими центрами (ионами, нейтральными атомами) по отношению к потере импульса. Если электроны плазмы возбуждают некоторые типы колебаний или волн вследствие неустойчивости, то имеет место аномальная потеря импульса (передача импульса колебаниям, т. е. коллективным движениям ионов). Для нахождения ”3巾 можно воспользоваться законом сохранения количества движения в системе электроны ——волны. Средняя потеря импульса электронами за единицу времени в терминах vэф записывается в виде

Узе^е^оиоеН^ F тр,

где Ftp ——сила трения, испытываемая электронами. В то же время эту потерю импульса можно выразить через им-пульс волн, излучаемых электронами в единицу времени:

2J 絵吗(k/4)dk/(2吸

где 丫j ——вклад электронов в инкремент неустойчивости, вычисленный с помощью квазилинейной теории;.渺卜 ——спектральная плотность энергии волн. Приравнивая эти два выражения, получаем

5就刁嘘叭(*)許・ ⑴

Таким образом, задача сводится к нахождению уровня нелинейного насыщения роста энергии волн W^t Для решения этой проблемы приходится обращаться к методам нелинейной теории поля в плазме, теории слабой турбулентности, размерностных оценок (тогда, когда возникающая при аномальном сопротивлении турбулентность оказывается сильной) и т. д. При этом даже в случае применимости приближений слабой турбулентности, когда для описания плазмы можно воспользоваться известной системой нелинейных уравнений для функций распределения частиц и спектральной плотности энергии волн, очень редко удается получить строгое решение задачи. Исключением является аномальное сопротивление плазмы (оно подробно рассмотрено ниже), возникающее при возбуждении ионно-звуковых волн в плазме с электрическим полем.

АНОМАЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛАЗМЫ С ТОКОМВСЛЕДСТВИЕ РАЗВИТИЯ ИОННО-ЗВУКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

В ПЛАЗМЕ БЕЗ МА「НИТНО「О ПОЛЯ

Одним из признанных механизмов возникновения аномального сопротивления плазмы является возбуждение током ионно-звуковой турбулентности. Для ионно-звуковых волн с фазовыми скоростями между ионной и электронной тепловыми скоростями линейное дисперсионное соотношение в плазме с максвелловским распределением частиц имеет вид (см., например, обзор Р. Девидсона в т. 1 этого издания)

е(з, к)= 1 一*+^_[1书]/量(£ _gcos 叫， где cs —Те^т^— ионно-звуковая скорость; иОе — токовая скорость электронов; -0 — угол между направлениями волнового вектора к и тока. В длинноволновом пределе фазовая скорость колебаний совпадает со скоростью звука с$, а в коротковолновом пределе она уменьшается при уменьшении длины волны. Для возбуждения длинноволновых колебаний токовая скорость должна превышать звуковую. Возбуждение коротковолновых возмущений может происходить при меньших скоростях, если Те》Тк

Ионно-звуковая неустойчивость представляет собой удобный пример исследования с помощью методов теории слабой турбулентности. Мнимая часть частоты при этом значительно меньше, чем ее действительная часть, поскольку дрейфовая скорость может быть много меньше средней тепловой скорости электронов. Тем не менее даже в таком, казалось бы, простом случае теория встречается с пока непреодолимыми трудностями, если речь идет о пределе бесстолкновительной плазмы. Эти трудности связаны в основном с сильными искажениями первоначального максвелловского распределения частиц, особенно с появлением надтепловых хвостов в распределении частиц. Поэтому начнем рассмотрение со слабо- столкновительной плазмы, когда редкие соударения способны поддержать заданную (максвелловскую) форму распределения ионов и электронов. Только этот случай может быть строго описан до конца с помощью методов слабой турбулентности.

Квазилинейная теория ионно-звуковой неустойчивости плазмы в электрическом поле. При небольшой надпороговости рост энергии ионно-звуковых колебаний ограничивается благодаря квазилинейной релаксации распределения электронов по скоростям [1——3]. Этот процесс описывается стандартным квазилинейным уравнением для электронов

dfe/dt— (е/mJ Е (0/dv)%= StQL 伉)• g(2)

Здесь E ——напряженность электрического поля; ^tQL(fe)—квазилинейный столкновительный член:

StQL (%)7 к 丨中k 12 k (⑴k — kv) k —fe，

m2e J (2冗)3dJ к к0、

где 中卜—фурье-компонента потенциала электрического поля ионно звуковых колебаний.

2n2ncos 6 cos 6J j "I (3)cos 6 cos 6J j "I (3)Основной эффект резонансного рассеяния электронов на ионнозвуковых колебаниях сводится к анизотропии распределения электронов по скоростям. Проще всего это можно увидеть, если перейти к сферическим координатам с осью г в направлении, противоположном направлению внешнего электрического поля Е, создающего ток в плазме. Пусть 比 9,屮——сферические координаты волнового вектора, а и, % q/ — сферические координаты скорости частиц в пространстве скоростей. - Поскольку спектральная плотность энергии возбуждаемых колебаний и распределение электронов по скоростям не зависят от азимутальной координаты, интегрирование по разности азимутальных углов ф—д/ входящей в аргумент 6- функции в выражении для квазилинейного коэффициента диффy^ зии можно выполнить в явном виде

2n

2n

cos 6 cos 6J j "I (3)

cos 6 cos 6J j "I (3)

sin2 6 sin2 6f — f —

I kv о

Фазовая скорость ионно-звуковых колебаний значительно меньше тепловых скоростей электронов, поэтому при рассмотрении релаксации распределения основной массы электронов по скоростям здесь можно пренебречь малым членом со/应и《1. Оставшиеся угловые переменные входят лишь как W=cos®‘, x=cos8, так что, например, производная функция распределения по скорости частиц с учетом наличия 6-функции записывается следующим образом:

к(д®)［式5 g) =со(l/v)dfe/dv+ (kx/v—^/v2)^/(3g,

где использовано соотношение 自=——vE/^E. Вторым членом в скобках можно пренебречь в силу малости фазовой скорости (①/々и《 《1). В результате уравнение (2) принимает вид

гдегдеdtdt吗呢тг 0我吗呢тг 0我ooU1 —£2/勺 Г kdkf才“W(k, y}^kJ WJ % Pl—%2T2ooU1 —£2/勺 Г kdkf才“W(k, y}^kJ WJ % Pl—%2T2(4)(4)

где

где

dt

dt

吗呢

тг 0我

吗呢

тг 0我

ooU1 —£2

/勺 Г kdkf才“W(k, y}^k

J WJ % Pl—%2T2

ooU1 —£2

/勺 Г kdkf才“W(k, y}^k

J WJ % Pl—%2T2

(4)

(4)

百 EE = x2/（1 一产）；/也=（灯/1 -1）3/呪）；42=（3/初）2；

渺伍，%）三｛0屏（（0, k）］/我）｝炉|%广/8冗（叫/吟炉I（f）k Is74m

Здесь в правую часть квазилинейного уравнения добавлен член, описывающий соударения электронов с ионами:

Stei(M^(t)W^3) (^Ю ^-^)dfeldl.(5)

Он необходим для нахождения квазилинейного порога ионно-звуковой неустойчивости. Следуя работе [1], решение уравнения (4) можно искать в виде разложения по отношению фазовой скорости волны к тепловой скорости электронов, являющемуся малым параметром в нашей задаче. В нулевом приближении распределение электронов по скоростям можно считать изотропным. В следующем приближении появляется зависящая от полярного угла малая добавка к изотропному распределению

%S，方)=辰(〃 ％)+fie(〃 自，/).(6)

Здесь fie определяется из уравнения (4) с сохранением членов первого порядка по ^]kv

一(呜E/陶⑷o/历)=

-®3斤)®/闹{(1—『)[%•+% 倒处J成十 CsГГ^Т匕(E) dfoeldv}, (7) где эффективная частота соударения электронов с волнами определена следующим образом:

ооР1—Е*

” Г h3dhf 场仇，X)dx ( s \丫

4 (E)二=〃0* J (2冗)2一J 匕一T — %2S 1)

о —/1—^2

Воспользовавшись условием регулярности /* при 8'=0, т. е.自=1, и интегрируя это уравнение один раз по J, получаем

dfie — I j3«Е"加 e£s%(E) l亦 oe ⑼

~дГ = I 2 H；丫孔 + 丫2化\— КПЗрУе» + У2 ⑴ /do.，

Заметим, что в инкремент ионно-звуковых колебаний входит именно эта величина

e —丸0)3在加/•Tk =胪七e —丸0)3在加/•Tk =胪七0^- 3 ((% — kv) dv — dv0^- 3 ((% — kv) dv — dvОО•吧K生(公 ksme JоОО•吧K生(公 ksme Jо(Ю)(Ю)

e —丸0)3在加/•Tk =胪七

e —丸0)3在加/•Tk =胪七

0^- 3 ((% — kv) dv — dv

0^- 3 ((% — kv) dv — dv

ОО

•吧K生(公 ksme J

о

ОО

•吧K生(公 ksme J

о

(Ю)

(Ю)

Поэтому выражения (9) вполне достаточно, чтобы получить уравнение для спектральной плотности энергии ионно-звуковых колебаний. Это уравнение мы получим в приближении не очень редких электрон-электронных соударений, когда изотропная часть распре

деления электронов по скоростям описывается максвелловским распределением с температурой, медленно меняющейся во времени

7"2).7"2).(11)(11)благодаря джоулеву нагреву:

7"2).

7"2).

(11)

(11)

'/2 -exp

я

/1—х2/1—х2Кроме того, здесь мы ограничимся рассмотрением длинноволновой ионно-звуковой турбулентности (力入q《1, sics), поскольку спектральная плотность этих колебаний быстро падает в коротковолновую область [5]. В результате уравнение для спектральной плотности энергии ионно-звуковых колебаний принимает простой вид

/1—х2

/1—х2

(Tk + Yk) I'依，％)三—%е (^) p + s ~ V ，""p■亡7rzp X

(12)(12)Ye+叫住)，了！^

(12)

(12)

~ei + Y (D

где

9 冗 《£г

8 mecs

exp (-费-4)

——отношение ионного и электронного декрементов затухания Ландау в случае изотропных максвелловских распределений частиц по скоростям. Это уравнение впервые было написано и решено (без учета б) в работе [1], а затем исследовалось в [2, 3] в более общих случаях.

Очевидно, что решение уравнения (12) можно искать в виде

办(居%)=取肉①(%),办(居%)=取肉①(%),(13)(13)

办(居%)=取肉①(%),

办(居%)=取肉①(%),

(13)

(13)

где функция W(^) не может быть определена из этого уравнения. Для ее нахождения необходимо дополнить уравнение (12) нелинейными членами, с учетом которых оно по-прежнему допускает разделение переменных (см. ниже).

Распределение волн по углам ф (%) можно найти из уравнения (12). При нашем выборе направления оси г величина vb положительна. Ввиду неотрицательности функций Ф, W(k) и vn из уравнения (12) следует, что при х<0 инкремент отрицателен и, следовательно, в этой области углов колебания не возбуждаются. Более юго, при наличии столкновений колебания, распространяющиеся под большими углами к направлению тока, также затухают. Поэтому естественно предположить, что область возбуждаемых волн расположена внутри конуса с конечным углом раствора 8о<л/2. Иными словами, Ф(х)=^=0 при l》cos 9 = x^cos 9о = хо. В этой области уравнение (12) сводится к интегральному уравнению Абеля

/1—X2

(14)

для функциидля функции9 侶)= №+%(e)//1 一片］/必十匕间9 侶)= №+%(e)//1 一片］/必十匕间(15)(15)

для функции

для функции

9 侶)= №+%(e)//1 一片］/必十匕间

9 侶)= №+%(e)//1 一片］/必十匕间

(15)

(15)

с областью определения 0<^<]/1 — х20. Оно легко решается умножением обеих частей на ]/1 ―爾/^ + 炉—]с последующим интегрированием по s = "J/1 — х2 в пределах 0To до s (интеграл берется заменой порядка интегрирования п。自 и s):

叫Е) = % (Е)三(1 + »/(1 — У)，0& Е&У^Л- (16)

При ^>У1 — х20 функции %,2(Е) обращаются в нуль ввиду условия, что W (^, х)=0 при xW%o・ Поэтому

侬位)= %/%“• при /1 一 d。WE W 1.(17)

Из условия непрерывности 侬(Е) при Е二二]/1 —х20 находим порог неустойчивости:

vjw(l+6 = x「> L(18)

Уравнение (16) с учетом определения функции 泌(自)[см. (15)] является интегральным уравнением для функции ①(х)

j 罟缘限。” 1 — *)— 1]=必一汽幽(/1 - л2)] X2, (19)

где

Г胪疏W(k)

J Wk

Умножая это уравнение на х^s2 — х2 и интегрируя по х в преде-

лах от % долах от % доs, получаемs, получаем

лах от % до

лах от % до

s, получаем

s, получаем

7t7tХоОтсюда сразу находим [1—3]ХоОтсюда сразу находим [1—3](F 一 1) )Ф(%)dt = W S 一 炉。产2 ・(F 一 1) )Ф(%)dt = W S 一 炉。产2 ・(20)(20)@（х）=蒜击晋@（х）=蒜击晋(21)(21)

7t

7t

Хо

Отсюда сразу находим [1—3]

Хо

Отсюда сразу находим [1—3]

(F 一 1) )Ф(%)dt = W S 一 炉。产2 ・

(F 一 1) )Ф(%)dt = W S 一 炉。产2 ・

(20)

(20)

@（х）=蒜击晋

@（х）=蒜击晋

(21)

(21)

' Видно, что в отсутствие затухания Ландау на ионах распределение спектральной плотности энергии ионно-звуковых шумов является сингулярным при х=1, как это было впервые показано в [1]. Причину такого сингулярного распределения волн по углам легко понять, обратившись к иллюстрации эффекта квазилинейной релаксации распределения электронов по скоростям с помощью двумерной картины пространства скоростей, изображенной на рис. 1. Здесь по оси абсцисс отложена компонента скорости частиц вдоль направления протекания тока, а по оси ординат — попереч- 12

ная компонента. Известно, что распространение волны в направлении к приводит к образованию《плато》на функции распределения по скоростям V в том же направлении в узком плоском слое пространства скоростей (kv=co). Если в системе возбуждены волны в широком угле распространения, происходит изотропизация распределения в широком веерообразном секторе пространства скоростей (на рис. 1 он заштрихован). Благодаря этому уровень турбулентности сильно ограничен. Однако ситуация оказывается явно неустойчивой по отношению к уменьшению раствора угла распространения волн: чем меньше этот раствор, тем меньше стабилизирующий эффект из-за ускорения электронов в электрическом поле

Рис. 1. Квазилинейная диффузия электронов при ионно-звуковой неустойчивостиРис. 1. Квазилинейная диффузия электронов при ионно-звуковой неустойчивости

Рис. 1. Квазилинейная диффузия электронов при ионно-звуковой неустойчивости

Рис. 1. Квазилинейная диффузия электронов при ионно-звуковой неустойчивости

и выше уровень турбулентности. В пределе бесконечно малого раствора стабилизирующий эффект исчезает и уровень турбулентности оказыватся бесконечным. Только эффект затухания Ландау на ионах, имеющих изотропное распределение по скоростям, позволяет ограничить уровень турбулентности. Однако в неизотермической плазме параметр б является экспоненциально малым, поэтому уровень должен был бы быть большим. На самом деле эта теория становится неприменимой вдали от порога неустойчивости, когда в отсутствие соударений происходит сильное искажение функций распределения частиц по скоростям вследствие квазилинейных эффектов (см. § 3).

Влияние нелинейных эффектов на развитие ионно-звуковой неустойчивости. К нелинейным эффектам низшего (второго) порядка по энергии волн относятся процессы резонансного трехволнового взаимодействия и индуцированного рассеяния волн на частицах. Для закона дисперсии ионно-звуковых волн условия резонанса трех волн («>к = 3卜，+ ^к"，k=k'+k〃) не выполняются, поэтому резонансное трехволновое взаимодействие для них отсутствует. Следовательно, основной вклад в нелинейную релаксацию спектра

турбулентности дает процесс рассеяния волн на частицах, описываемый уравнением [4, 5]1诚)。1%产— ~й— —Т7- = 一 Im I 屮[|2 +турбулентности дает процесс рассеяния волн на частицах, описываемый уравнением [4, 5]1诚)。1%产— ~й— —Т7- = 一 Im I 屮[|2 ++ Im J+ Im Jdk奇dk奇「4嚼,к—кзк，а一咏）dl k ®k，，一"「4嚼,к—кзк，а一咏）dl k ®k，，一"徐，缘一哂徐，缘一哂—3%,_к，（、，？—3%,_к，（、，？(22)(22)гдегдеK)= 1 +K)= 1 +kd%e/dvdv:-;CO — KV + lokd%e/dvdv:-;CO — KV + lo

турбулентности дает процесс рассеяния волн на частицах, описываемый уравнением [4, 5]

1诚)。1%产

— ~й— —Т7- = 一 Im I 屮[|2 +

турбулентности дает процесс рассеяния волн на частицах, описываемый уравнением [4, 5]

1诚)。1%产

— ~й— —Т7- = 一 Im I 屮[|2 +

+ Im J

+ Im J

dk

奇

dk

奇

「4嚼,к—кзк，а一咏）dl k ®k，，一"

「4嚼,к—кзк，а一咏）dl k ®k，，一"

徐，缘一哂

徐，缘一哂

—3%,_к，（、，？

—3%,_к，（、，？

(22)

(22)

где

где

K)= 1 +

K)= 1 +

kd%e/dv

dv:-;

CO — KV + lo

kd%e/dv

dv:-;

CO — KV + lo

d')= E泉訐 jdvW + co〃一(k + k〃)v + io『X

x 1(嗚),x 1(嗚),11&〃 一 k"v + io&〃 一 k"v + io+ （k〃仇二k、卜前］"И °及+ （k〃仇二k、卜前］"И °及

x 1(嗚),

x 1(嗚),

1

1

&〃 一 k"v + io

&〃 一 k"v + io

+ （k〃仇二k、卜前］"И °及

+ （k〃仇二k、卜前］"И °及

Сразу заметим, что резонансным взаимодействием с электронами можно пренебречь, так как число частиц, попадающих в резонанс с биением, мало [бп=п()(^+^)7)/1 k+kz| Vre^no]. Кроме того, поскольку фазовая скорость волн много больше ионной тепловой, ионы могут только рассеивать (но не поглощать) волны, так что число волн сохраняется. Считая, что з〃=①一6〜hg、力〃〜

^, в низшем порядке по з〃/(о и kvTil^ получаем

啮,6"第啮,6"第2炉噌必з к〈к—к弋 mi2炉噌必з к〈к—к弋 mi=2勿戸嚟—к=2勿戸嚟—кkrrdfoi/dvco" — k〃v + i。3 ssfykrrdfoi/dvco" — k〃v + i。3 ssfy«（kk，）«（kk，）炉體к,"炉體к,"(23)(23)黑4k—k，）T2k，3k-%，）・黑4k—k，）T2k，3k-%，）・Если подставить это в уравнение (22), то нелинейные члены сократятся. Следовательно, нужно учесть члены более высокого порядка малости. Для £(з)находим⑶冗吟 i «2(kk')23Im%,k,_L ~T~ 高；^7Если подставить это в уравнение (22), то нелинейные члены сократятся. Следовательно, нужно учесть члены более высокого порядка малости. Для £(з)находим⑶冗吟 i «2(kk')23Im%,k,_L ~T~ 高；^7dv 1十dv 1十4kv I 34kv I 310(kv)2~10(kv)2~XX

啮,6"第

啮,6"第

2炉噌必з к〈к—к

弋 mi

2炉噌必з к〈к—к

弋 mi

=2勿戸嚟—к

=2勿戸嚟—к

krrdfoi/dvco" — k〃v + i。

3 ssfy

krrdfoi/dvco" — k〃v + i。

3 ssfy

«（kk，）

«（kk，）

炉體к,"

炉體к,"

(23)

(23)

黑4k—k，）T2k，3k-%，）・

黑4k—k，）T2k，3k-%，）・

Если подставить это в уравнение (22), то нелинейные члены сократятся. Следовательно, нужно учесть члены более высокого порядка малости. Для £(з)находим

⑶冗吟 i «2(kk')2

3Im%,k,_L ~T~ 高；^7

Если подставить это в уравнение (22), то нелинейные члены сократятся. Следовательно, нужно учесть члены более высокого порядка малости. Для £(з)находим

⑶冗吟 i «2(kk')2

3Im%,k,_L ~T~ 高；^7

dv 1十

dv 1十

4kv I 3

4kv I 3

10(kv)2~

10(kv)2~

X

X

(24)(24)X (к — к) -^- 8 [юк — зу — (к — к，)v].

(24)

(24)

Чтобы выполнить интегрирование по скоростям, удобно разделить kv на две части:

kv = (k〃v) (kk〃)/勿戸 + [k〃 X v] [k〃 X k]/勿戸.(25)

Первый член просто интегрируется с помощью имеющейся в (24) fi-функции, а второй не зависит от нее. В результате уравнение (24) можно переписать в виде

31m 咽,к,—к，31m 咽,к,—к，XX

31m 咽,к,—к，

31m 咽,к,—к，

X

X

I 4(кк〃)со〃 (10(кк〃)2(о〃\ 勿％ - Г 斤，492一I 4(кк〃)со〃 (10(кк〃)2(о〃\ 勿％ - Г 斤，492一宀3q宀3qАналогично вычисляемАналогично вычисляем

I 4(кк〃)со〃 (10(кк〃)2(о〃

\ 勿％ - Г 斤，492一

I 4(кк〃)со〃 (10(кк〃)2(о〃

\ 勿％ - Г 斤，492一

宀3q

宀3q

Аналогично вычисляем

Аналогично вычисляем

〔,2kk〃s〃 г1 + -^-+'〔,2kk〃s〃 г1 + -^-+'I 3(kk〃)2(o〃2 I 十~ 十I 3(kk〃)2(o〃2 I 十~ 十3[k><k〃]2 或 S2&〃23[k><k〃]2 或 S2&〃2啕/ W)・啕/ W)・(27)(27)

〔,2kk〃s〃 г

1 + -^-+'

〔,2kk〃s〃 г

1 + -^-+'

I 3(kk〃)2(o〃2 I 十~ 十

I 3(kk〃)2(o〃2 I 十~ 十

3[k><k〃]2 或 S2&〃2

3[k><k〃]2 或 S2&〃2

啕/ W)・

啕/ W)・

(27)

(27)

Подставив (26) и (27) в уравнение (24), получим

叫」°1% 产nv16冗2«打°「dk (кк) [к><кТ脸—々k“kl 丿=(2“ 嗓陳依2 X叫」°1% 产nv16冗2«打°「dk (кк) [к><кТ脸—々k“kl 丿=(2“ 嗓陳依2 X(28)(28)

叫」°1% 产nv16冗2«打°「dk (кк) [к><кТ脸

—々k“kl 丿=(2“ 嗓陳依2 X

叫」°1% 产nv16冗2«打°「dk (кк) [к><кТ脸

—々k“kl 丿=(2“ 嗓陳依2 X

(28)

(28)

где ук — — Im е^/(<?s^)/^j)k) — линейный инкремент неустойчивости. В пределе сильнонеизотермической плазмы, когда величина kvTi!^ является малой, можно упростить это выражение, воспользовавшись соотношением

J dv(kfrdiQildv)b^k- %,J dv(kfrdiQildv)b^k- %,-k"v）=-勿戸（d/而k）8（°\ - 用3-k"v）=-勿戸（d/而k）8（°\ - 用3

J dv(kfrdiQildv)b^k- %,

J dv(kfrdiQildv)b^k- %,

-k"v）=-勿戸（d/而k）8（°\ - 用3

-k"v）=-勿戸（d/而k）8（°\ - 用3

Подставляя сюда найденное выше выражение (12) для линейного инкремента неустойчивости, с учетом квазилинейного искажения функции распределения электронов получаем следующее уравнение для стационарного спектра ионно-звуковой турбулентности:

也产= 2%,他）1+6一岂01（冗也产= 2%,他）1+6一岂01（冗/1—ха/1—ха庵 уЕ+МЕ)/p匸f/1一%2-1Y击T ?2代)庵 уЕ+МЕ)/p匸f/1一%2-1Y击T ?2代)

也产= 2%,他）1+6一岂

01（冗

也产= 2%,他）1+6一岂

01（冗

/1—ха

/1—ха

庵 уЕ+МЕ)/p匸f

/1一%2-1Y击T ?2代)

庵 уЕ+МЕ)/p匸f

/1一%2-1Y击T ?2代)

2胪片j 0 汽e（左）dk2胪片j 0 汽e（左）dk

2胪片j 0 汽e（左）dk

2胪片j 0 汽e（左）dk

dxf Q (х, W)・У(" %')] ] IF 3, х) 0, (29) 4冗"。北Jj

где ядро интегрального оператора взаимодействия получено усреднением по азимутальному углу ср, от которого не зависит спектральная плотность энергии:

Q (%, %‘) = £(1 一 £)+ У2 (1 一 x’) — 5,5£川2(1 一 £)(1 一 川2)- 一0,5%戸(1一n)(1一向2一0,5x2(1一£)(1-川2)2 + +(1/8)(1- х2)2(1 戸广(зо)

Рассеяние ионно-звуковых волн на ионах представляет собой пример процесса дифференциальной перекачки энергии по спектру частот от коротковолновой области к длинноволновой. Дифферен- циальность перекачки обусловлена малостью изменения частоты в одном акте рассеяния (з—(①7^^ит，《з). Число квантов в процессе перекачки, как это и должно быть при рассеянии, сохраняется. Поэтому, хотя энергия возбуждаемых ионно-звуковых волн в этом процессе уменьшается благодаря поглощению ее ионами, рост числа волн вследствие линейной неустойчивости остановить не удается. Чтобы получить стационарный спектр турбулентности, необходимо учесть какой-либо дополнительный процесс. В [6] предполагалось, что роль стока числа волн играет затухание длинноволновых колебаний вследствие ион-ионных соударений. Такое Ьредположение позволяет обрезать спектр в области длинных волн, а в остальном пространстве волновых йекторов построить стационарное решение, в котором линейный рост неустойчивости сбалансирован оттоком энергии в длинноволновую часть спектра. Распределение энергии по спектру частот находится из уравнения (29), которое по-прежнему допускает разделение переменных (13):

取(k)l^n0TeQ Wk%e 3)/2炉喲 In (1/初)).(31)

Важно, что найденный спектр турбулентности устанавливается не только в нелинейном режиме, для которого он был впервые получен [6, 7], но и в квазилинейном режиме [3], когда нелинейные члены в уравнении (29) малы и тем не менее определяют форму спектра. Что касается нахождения углового распределения волн с учетом нелинейных эффектов, то оно должно определяться по ранее описанной схеме, а именно, сначала решаем интегральное уравнение Абеля для вспомогательной функции ш0(^) [ср. с (14)]

Mb「[-

j гй餐二柒 i + m+J*QgM)①(巧•(32)

0хо

Его решение есть [3]

Для определения углового распределения волн следует воспользоваться уравнением (19), подставив в последнее 侬o(Z) в приведен- 16

ной здесь форме. Строгое решение полученного таким образом, уравнения во всей области углов затруднительно, и поэтому ограничимся рассмотрением области малых углов (心一＞1), где интенсивность волн максимальна. Для описания функции Ф(х) в этой области выражение 泌°(/) можно разложить по степеням /, выделив при этом отдельно сингулярные члены вида 1/(1—步),которые определяют поведение функции Ф(х) при 》一＞0. В результате： 侬о (%) принимает вид

侬。⑺=(I +6+4。)/ (1 —件)+4+42 必，(33)

где

1

4 二二0,125，( 1 + 2犬 - 3£)①(%)dx\

4 = 0,125 )(6九•2 — 5%4 — 1) Ф(X)dx; о

1

儿=0,125 f (7 — 66炉 + 93л4)Ф (%) dx. о

Подставив это выражение для ш0(/) в уравнение (19), а затем домножив последнее на х/Уs2 — х2 и проинтегрировав в пределах от 0 до s, вместо уравнения (20) получим.

+(34).

о

где величина

f 峻施 ％® Spj Te

найдена с использованием выражения (31) для W^(k), Мы ограничились здесь рассмотрением случая сильной надпороговости. Для не слишком больших электрических полей, когда величины А^ А\ и А2 малы по сравнению с единицей, в уравнении (34) следует учесть лишь нелинейный член 4o/s/, который наряду с линейным членом В/sf устраняет сингулярность при х~И. Все формулы квазилинейного приближения остаются справедливыми при замене параметра 6 величиной [3]

16^Ф=Л()-|-|61^(4v£；/3лv^) In (3jtvn/4ve)+5《1 •(36)

Уширение пика в угловом распределении возбуждаемых волн связано с увеличением индуцированного рассеяния волн в область больших углов распространения по отношению к направлению тока.

Знание распределения спектральной плотности энергии волн по частотам (31) и углам (21) позволяет вычислить полную энергию ионно-звуковых колебаний [3]:

(37)

Здесь максимальную длину волны (2л/^Мин), на которой обрезается спектр турбулентности (область стока квантов волн), можно найти, сравнив декремент вязкого затухания и инкремент неустойчивости [6]:

где Vu — частота ион-ионных соударений. Формулы (21), (31), (36) .и (37) дают строгое решение задачи о спектре и уровне ионнозвуковой турбулентности в предположении об отсутствии немаксвелловских хвостов частиц. Интересно, что рост уровня турбулентности с увеличением электрического поля в плазме насыщается при довольно малых напряженностях поля, определяемых условием (35), и остается постоянным до тех пор, пока параметр нелинейности vr/vn мал по сравнению с единицей.

В противоположном предельном случае сильных электрических полей для приближенного описания углового распределения волн в уравнении (34) достаточно сохранить сингулярный член A^/st, В результате для ①(х) находим

①(%) = 16VeК2/3叭〃4，4 ~ 0,254 八亦%. (38)

Это распределение хорошо описывает область больших углов (%W 0,5), а особенности распределения волн в области малых углов определяются малыми членами Ах и А^ С достаточной степенью точности их можно учесть в уравнении (34) по теории воз・ ,мущений и получить для Ф(х) следующее выражение:

①⑴一=(16立犬/3叫/2。)風- 1 2炉(4+4)十儿卅.(39)

Вычисляя величины 4o,i,2 с помощью этого выражения, получаем для них систему трех уравнений. Решение этой системы имеет вид

До = 2& = 0,5Л2 - - 0,27 |/vjv〃. (40)

Плотность энергии ионно-звуковых волн в этом режиме растет ，с увеличением электрического поля

爲L =6,5. 10-3 (爲 1/2 Zf_ (1户2 出2 电^). (41)

Закон Ома в плазме с ионно-звуковой турбулентностью. Найденные выше распределения ионно-звуковых волн по частотам (31) и углам (21) [или (39) ] позволяют написать уравнение (9) для функции распределения -электронов в явном виде, а затем вычислить ток, возникающий в плазме под действием электрического 18

поля. Для этого удобно преобразовать известное выражение для

плотности тока к виду 00+1

(42}(42}优/\е(S Е) dv = — 7ге J dvv*『成(1 — 1) —^迫

(42}

(42}

О—1

Входящие в выражение (9) для dfie/d^ функции 屮,2隽)можно вычислить с помощью уравнений (8), (31), (21) [или (39)]. При этом ограничимся наиболее реалистическим случаем сильного превышения порога неустойчивости (х20С 1).

Рассмотрим сначала предел слабой нелинейности (Ззф《1).

В этом случае из (8), (21) и (31) имеем [3]

%(Е)=%(Е)=匕(9 = % (9//L —力了厂匕(9 = % (9//L —力了厂4火 МГ=®1 —2£2)4火 МГ=®1 —2£2)花/2 + arccos £花/2 + arccos £2叮2叮(43)(43)

%(Е)=

%(Е)=

匕(9 = % (9//L —力了厂

匕(9 = % (9//L —力了厂

4火 МГ=®1 —2£2)

4火 МГ=®1 —2£2)

花/2 + arccos £

花/2 + arccos £

2叮

2叮

(43)

(43)

Подставляя эти выражения в (9) и выполняя затем интегрирование в уравнении (42), получаем закон Ома в виде [2, 3]

厶=—e〃。Q [告 +— 2,15e“。Cs‘(44}

где постоянная 0 определяется интегралом

阳二 二生成^0,18.

J UE) О

При нелинейном развитий неустойчивости (ve》vn) основной- вклад в dfijdg дает первое слагаемое в правой части (9), причем угловая зависимость отношения уе/^2(自)определяется выражениями (15) и (33)

УН/У2 (自)=侬0 ⑶ Q4o/ (1 -自2) +4+4旣

В результате интегрирование по g в выражении (42) выполняется без труда и мы получаем закон Ома в виде

j]二二一1,3"0ёq ]/\ё/v〃.(45)

Найденные зависимости тока от электрического поля позволяют в принципе определить ток в плазме при заданном электрическом поле. Тем не менее для решения других важных проблем, таких как аномальная диссипация энергии во фронте бесстолкновительных ударных волн, аномальные процессы переноса в турбулентной плазме и т. д., необходимо знать эффективную частоту соударений электронов с ионами Vэф. Найденные выше выражения для спектральной плотности энергии ионно-звуковых волн позволяют использовать соотношение (1) для расчета Уз®. Однако при наличии вольт-амперных характеристик плазмы (44) и (45) гораздо проще воспользоваться известной формулой для токовой скорости электронов в терминах v9$：

〃0е—еЕ/т^е^зф。(46) ‘

19

Рассмотрим сначала квазилинейный режим развития неустойчивости, когда благодаря квазилинейным искажениям функции распределения электронов плазма все время находится на пороге неустойчивости (丫气乎丫%=0). При этом токовая скорость электронов лишь незначительно превышает пороговое значение, определенное из линейной теории, и остается постоянной. С ростом электрического поля, чтобы удержать плазму на пороге неустойчивости, требуется все большее аномальное сопротивление. Если в соотношение (1) подставить линейный инкремент у^хо〃ое/ите в области длин волн порядка дебаевского радиуса, дающей основной вклад в интеграл по 力，то получим

V“呼 J〃o「e， (47)

где IF〜一плотность энергии волн в указанной области. Отсюда следует, что плотность энергии волн должна была бы расти с увеличением электрического поля так же, как v9$. Однако это соотношение в квазилинейном режиме неверно, так как не учитывает уменьшения электронного вклада в инкремент на множитель йэф, который зависит от электрического поля [см. (36)]. С учетом этого множителя уровень турбулентности практически не зависит от электрического поля в пределе〔&•—>0.

В нелинейном режиме (йэф^^^л^ 1) квазилинейные эффекты слабы и соотношение (47) является корректным. Однако ввиду упомянутого различия полной плотности энергии волн W и плотности энергии в области длин волн порядка дебаевского радиуса W〜 для определения va$ более правильно опять воспользоваться •соотношением (46). При этом иногда удобнее выразить v9$ через параметры плазмы с помощью найденной выше зависимости 〃ое(Е). В результате приходим к хорошо известной формуле [8]

Узф^3】。一^①卩不(〃0e/Cs) Те/Тз (48)

Таким образом, наши расчеты подтверждают не только зависимость ”зф от параметров плазмы, но и наличие малого числового коэффициента (см. [8]).

Наконец, следует заметить, что при изменении электрического поля меняется не только токовая скорость, но и температура компонент плазмы, поэтому реальная вольт-амперная характеристика плазмы должна учитывать и этот эффект, рассмотренный подробнее ниже.

2・4. Турбулентный нагрев плазмы и пределы применимости теории. Наличие аномального сопротивления приводит к аномальному выделению джоулевой теплоты в плазме /2/аЭф. Такой нагрев плазмы часто называют турбулентным, поскольку механизмом, определяющим природу аномального сопротивления плазмы, является вызванная неустойчивостью турбулентность. В отсутствие парных соударений турбулентный нагрев неодинаков для электронной и ионной компонент плазмы. Более того, нельзя даже говорить о возрастании температур электронов и ионов, подразумевая температуры в традиционном смысле (при максвелловском распределении 20

частиц). Под температурой такой плазмы обычно понимают среднюю энергию хаотического движения компонент.

Строгое описание турбулентного нагрева требует решения кинетического уравнения для изотропной части функции распределения частиц /о^(у). Соответствующее уравнение для электронов получается интегрированием квазилинейного уравнения (2) по углам в пределах от 0 до 2л. При этом члены старшего (первого) порядка по отношению фазовой скорости ионно-звуковых волн к тепловой скорости электронов, которые входили в уравнение для функции /\е(и, g), обращаются в нуль. В результате в уравнении остаются только члены второго порядка по этому отношению [1]

4m2。2s 丿 J y^. + y2(^)

—1

吟(E)1 成]dfoeY济 + Y2伐)I J du吟(E)1 成]dfoeY济 + Y2伐)I J du

吟(E)1 成]dfoe

Y济 + Y2伐)I J du

吟(E)1 成]dfoe

Y济 + Y2伐)I J du

Здесь величины vn(5) определяются соотношением (8) и с помощью найденного выше выражения для спектральной плотности энергии ионно-звуковых волн могут быть вычислены в явном виде. Используя выражения (43) для величин 山九(自)в квазилинейном и слабонелинейном режимах, переписываем это уравнение в виде

■> =』訳｛爲爲r + （子r5（礬П普•州）

Основная часть распределения по скоростям (v2^miC2s/me) описывается вторым членом в фигурных скобках

儿 =-—■exp (一三)(50)

4冗T(3/5)t?/5\% 丿

где

=25=25S5成 + %（0）； оS5成 + %（0）； о

=25

=25

S5成 + %（0）； о

S5成 + %（0）； о

2 _ Г (3/5) % //5S — Г(1/5) mt 1 •2 _ Г (3/5) % //5S — Г(1/5) mt 1 •У — 3R(l/5)]3/2 еЕ

2 _ Г (3/5) % //5

S — Г(1/5) mt 1 •

2 _ Г (3/5) % //5

S — Г(1/5) mt 1 •

Е 10[F(3/5)]i/2 mecs

Форма немаксвелловского хвоста определяется первым членом в этих скобках. В области и》т：у5 уравнение (49) сводится к виду, детально исследованному в [9]:

@%е/@з= (1/^2) (д/ди) иъд1^е!дщ (51)

где

〃="叩5； % = В1п[%/%(0)]/3(1 — Зр)Р (3/5).

dTildt^{2/nQ^^Wkdkl^y.dTildt^{2/nQ^^Wkdkl^y.(55}(55}

dTildt^{2/nQ^^Wkdkl^y.

dTildt^{2/nQ^^Wkdkl^y.

(55}

(55}

Это уравнение, в частности, описывает джоулев нагрев электронов в лоренцевой плазме. Его решение для от? N 1 имеет вид

(52)(52)с 5 /60^16， 一

(52)

(52)

"е — 144F(3/5) (5т2)5/6 ехР (5“)5/6 卜〃修 •

Фактически оно описывает начальную стадию убегания электро* нов, когда их число мало, т, е. для тг<1. В противоположном предельном случае (七2>1) оно теряет смысл, так как в число убегающих частиц дают большой вклад медленные частицы (и ^ 1), распределение которых описывается выражением (50). Видно, что быстрый нагрев электронов (廿〜户)замедляет формирование надтеплового хвоста распределения электронов (t2P0,3 Int). Это означает, что тепловая энергия электронов возрастает в результате нагрева более чем на два порядка до того, как начинается убегание электронов. Тем не менее в бесстолкновительной плазме без магнитного поля ионно-звуковая турбулентность не может воспрепятствовать убеганию электронов, если только электрическое поле не прикладывается к плазме в течение короткого времени, много меньшего характерного времени убегания.

Гораздо хуже обстоит дело с предположением о максвелловской форме хвостов функции распределения ионов по скоростям. Дело в том, что из-за малости числа резонансных ионов (все они принадлежат области надтепловых скоростей, v^>vTi) их функция распределения подвержена сильным квазилинейным искажениям. Чтобы оценить, успевают ли хвосты функции распределения релак* сировать к максвелловскому распределению, следует найти скорость нагрева ионов, характеризующую темп квазилинейных искажений. Вместо строгих квазилинейных уравнений воспользуемся законами сохранения количества движения и энергии при взаимодействии электронов и ионов с колебаниями и найдем простой критерий, связывающий скорость нагрева электронов со скоростью нагрева ионов.

Итак, на электроны плазмы действует сила трения

F—• VQ^tlQlTlellQe.(53>

Работа этой силы, очевидно, затрачивается на нагрев электронов плазмы

=覺〕 ©4}

В стационарном состоянии насыщения, достигаемого, когда рост неустойчивости ограничивается нелинейными эффектами, количество движения колебаний (а вместе с тем и их энергия) передается ионам. Таким образом, в состоянии насыщения ионы должны поглощать энергию колебаний со скоростью порядка J 丫卜渺к^к/(2冗)з. В результате нагрев должен происходить со скоростью

Теперь разделим (54) на (55):

上®dk3目上®dk3目(56)(56)忆石7

上®dk

3目

上®dk

3目

(56)

(56)

Если предположить, что величина ku0e/cofe постоянна, и вынести ее из-под знака интеграла, то для отношения скорости нагрева электронов к скорости нагрева ионов получим оценку

dTe/dA^〃Ue/(3/力).dTe/dA^〃Ue/(3/力).(57)(57)

dTe/dA^〃Ue/(3/力).

dTe/dA^〃Ue/(3/力).

(57)

(57)

Это соотношение в том виде, в котором оно получено, не зависит от типа неустойчивости и поэтому носит универсальный характер. Для большинства неустойчивостей оно действительно приводит к более быстрому нагреву электронов. Так, при ионно-звуковой неустойчивости, как правило, и* ^ s/h и. следовательно, dTe/dTt 1. Однако, учитывая, что энергия волн поглощается в

основном очень малым числом резонансных ионов, мы можем ожи

дать, что искажение их распределения по скоростям будет происходить так быстро, что их столк

новения с тепловыми ионами не способны поддерживать максвелловское распределение.

Если в первоначально изотермической плазме, где ионно-звуковые колебания невозможны, протекает ток в режиме аномального сопротивления вследствие неустойчивости Бунемана, то рано

ИЛИ ПОЗДНО ЭТОТ режим должен Рис. 2. Вольт-амперная характеристи- смениться ионно-звуковым. Это ка плазмы при ионно-звуковой турбу- связано с тем, что электроны, каклентности

было отмечено, нагреваются в kiioe/s раз быстрее, чем ионы, и плазма в конце концов становится неизотермической. Ионно-звуковая же неустойчивость в этом смысле является самоподдерживающейся, так как при u^^Cs электроны всегда получают больше теплоты, чем ионы.

Наконец, следует учесть влияние турбулентного нагрева плазмы на вид ее вольт-амперной характеристики. Для этого достаточно в уравнении (45) выразить отношение температур ионов и элек

тронов через токовую скорость электронов с помощью уравнения (57). В результате вольт-амперную характеристику j^j出)можно качественно представить так, как показано на рис. 2. Здесь имеется классическая область при очень малых электрических полях, когда состояние плазмы далеко от неустойчивого; при умеренных электрических полях j^2,15 en^cs (квазилинейный режим); j 〜Е”з в нелинейном режиме, когда vЭф определяется формулой (48).

Казалось бы, описанный нелинейный режим имеет место вплоть до токовых скоростей порядка электронной тепловой скорости, когда происходит переход к сильной бунемановской неустойчивости. На самом деле несколько раньше нарушается справедливость пред-

положения о том, что большая часть волн, излучаемых электронами, тут же поглощается ионами. Такое предположение естественно для порогового режима и означает фактически, что тепловая энергия ионов при нагреве за счет такого процесса превышает энергию волн, остающихся непоглощенными. Воспользовавшись оценкой энергии волн в области неустойчивости с помощью уравнений (47), (48) и оценкой (57) для температуры ионов,, запишем это условие в виде4

__^_比10-2(区 "(二^上(58)

UeI Ti Cs J \ mt J Te

При достижении критического значения напряженности поля

Eq— (Ше/^г) ^tYli^yiC8lв(59)

стационарное кинетическое уравнение (29) для волн теряет смысл, так как баланс между излучением волн электронами и их (линейным и нелинейным) поглощением ионами нарушается. Из-за быстрого турбулентного нагрева относительный уровень турбулентности падает [см. (54)]

dW」d%Te W」％Te = С』％(60)

а ток в плазме ^Увеличивается до тех пор, пока плазма не переходит в режим бунемановской турбулентности [10]. В этом режиме эффективная частота соударений по порядку равна инкременту нерезонансных мод

^эф-^СОрЛ(61}

Токовая скорость нарастает при этом линейно с электрическим полем (см. рис. 2).

ИОННО-ЗВУКОВОЕ АНОМАЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТОКУ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Результаты предыдущего параграфа базируются на предположении о максвелловском распределении основной доли частиц (электронов и ионов), которое поддерживается благодаря достаточно частым соударениям, и поэтому имеют весьма ограниченную область применимости. В условиях природной (большей частью космической) плазмы приходится иметь дело с практически полностью бесстолкновительной плазмой, для которой величины Т^ Ti, Cs, входящие в формулы для аномального сопротивления, не имеют своего обычного смысла. Так, если нет парных соударений» то очень трудно ожидать, что функция распределения будет максвелловской. Даже если не требовать, чтобы функция распределения частиц была максвелловской, и характеризовать ее неким средним тепловым разбросом, то необходимо, чтобы она имела довольно быстро сходящиеся хвосты. В этом случае можна было бы, по крайней мере условно^ говорить о температуре частиц. На самом же деле ситуация сложнее. Например, затухание Ландау на ионах очень чувствительно к виду надтепловых хвостов распре- 24

деления ионов по скоростям, и поэтому необходимо более детальное обсуждение возможных форм функций распределения ионов и электронов. Воспользуемся опять двумерной картиной пространства скоростей, показанной на рис. 1.

Пусть первоначально имеется обычное максвелловское распределение электронов и ионов. Для максвелловского распределения линии равного значения функции распределения в этой плоскости являются окружностями. Центр таких окружностей для ионов (положение максимума функции распределения) находится в начале координат. Для электронов он смещен на величину ще. Взаимодействие волн с частицами особенно сильно, когда осуществляется резонанс Ландау. Взятая наугад волна с фазовой скоростью со/壺 взимодействует с частицами, находящимися вблизи прямой kv=co. Именно такие частицы попадают в резонанс с волной. Наконец, если рассмотреть волны, распространяющиеся во всевозможных направлениях и с разными значениями фазовых скоростей, то можно убедиться, что все частицы, находящиеся в окрестности линии, которая соответствует условию резонанса Ландау, испытывают действие поля волн. Но в ионно-звуковом спектре отсутствуют волны со скоростями, меньшими некоторой и* (со/力V V?*)・ '

Частицы с uVu* в квазилинейном приближении не взаимодействуют с волнами. Здесь взаимодействие оказывается гораздо более слабым, оно связано с нелинейными эффектами следующего приближения. Ионов в области взаимодействия с волнами довольно мало; таким образом, лишь малая доля ионов подвергается мощному воздействию со стороны волн. В нулевом приближении функция распределения ионов в основной области практически не деформируется. В резонансной же области возникает сильная деформация из-за квазилинейной диффузии в пространстве скоростей. Когда парные столкновения не играют роли, такое изменение функции распределения ионов очень существенно. Оно сильно изменяет ионную мнимую часть в дисперсионном уравнении (ионный полувычет, пропорциональный числу ионов, которые находятся в резонансе с волной). Это, как правило, весьма малая величина, очень чувствительная к тому, что происходит на хвосте ионного распределения.

С электронами же происходит следующее: область запрещенных скоростей, внутри которой отсутствует резонанс между частицами и волнами, сравнительно невелика, потому что скорость звука в ]/^//?7/^ раз меньше средней тепловой скорости электронов. В принципе можно пренебречь тем, что происходит внутри этой небольшой области. Но возникает другая сложность. Очень трудно представить себе, чтобы ток раскачивал волны, почти поперечные своему направлению. Действительно, из теории ионно-звуковои неустойчивости следует [см. уравнение (12)], что волны с волновым вектором, практически поперечным направлению тока, харак теризуются малой мнимой частью, и практически их можно считать устойчивыми.

Таким образом, приходим к выводу, что здесь образуется небольшой конус в пространстве скоростей, в котором нет волн, находящихся в резонансе с электронами. Эти электроны свободно ускоряются электрическим полем, вызывающим ток в плазме. Вклад таких электронов может сильно уменьшить сопротивление плазмы. Какая же доля электронов попадает в этот конус потерь и дальше свободно ускоряется? Задачу можно рассмотреть в двух предельных случаях. Сначала целесообразно обратиться к более простому пределу, когда имеется хотя бы слабое магнитное поле Во, перпендикулярное плоскости рис. 1. Такое магнитное поле медленно (в сравнении с частотой плазменных колебаний) вращает электроны. Но это вращение может быть достаточно быстрым в масштабе времени, в котором появилось бы убегание электронов в конус потерь. Тогда окажется, что в среднем все электроны за один ларморовский оборот взаимодействуют с волнами. В этой задаче для электронов не возникает дополнительной трудности. Хотя foe и не сводится к максвелловскому распределению, тем не менее можно говорить о средней электронной температуре.

Итак, будем считать, что если имеется слабое поперечное магнитное поле, то все результаты для эффективного числа соударений можно переносить даже и на далекие моменты времени, когда могло бы существенно сказаться искажение электронного распределения, его отклонение от максвелловского распределения.

Однако проблемы, связанные с ионным распределением, остаются и в этом случае. Дело в том, что ионы не успевают перемешиваться под действием магнитного поля, поэтому распределение ионов может приобрести довольно экзотическую форму и в конце концов стать сильно отличным от максвелловского. Можно ожидать, что основная часть ионов будет холодной, а какая-то часть ионов, движущихся со скоростями, начиная от скоростей порядка скорости звука, будет нагреваться. Наиболее простым является при этом случай малой нелинейности, когда достаточно ограничиться только квазилинейным приближением.

Квазилинейное насыщение развития неустойчивости тока поперек магнитного поле. В квазилинейном приближении насыщение неустойчивости достигается вследствие квазилинейной деформации функции распределения ионов, в результате которой даже в неизотермической плазме появляется группа ионов с большими скоростями и〜Cs. Такие ионы, резонансно поглощая ионно-звуковые волны, должны уравновешивать раскачку колебаний электронами.

Рассмотрим процесс нелинейного, в данном случае квазилинейного, насыщения колебаний. Уравнение для спектральной плотности энергии неустойчивых волн имеет вид [см. (28)]

dWk [dt 二二 2 (yj 十 丫厶)U^k + нелинейные члены. (62) Нарастание энергии колебаний при повышении линейного порога неустойчивости приводит к увеличению сопротивления, т. е. возникает сила трения, действующая на электроны. Если приложенное электрическое поле, создающее ток, не слишком велико, то как 26

следствие реакции электронов на увеличившееся сопротивление 〃°е

нелинейные члены в урав-нелинейные члены в урав-должно уменьшаться до тех пор, пока плазма не окажется на по-

нелинейные члены в урав-

нелинейные члены в урав-

роге неустойчивости. Это означает, что нении (62) играют малую роль, а насыщение колебаний определяется условием /е yz для всех первоначально неустойчивых

волн. Иначе говоря, для всех первоначально неустойчивых волн н при всех резонансных скоростях должно выполняться условие

J к霁3(3-kv)dvdJ к霁3(3-kv)dvd(63)(63)

J к霁3(3-kv)dvd

J к霁3(3-kv)dvd

(63)

(63)

Казалось бы, для нахождения порогового значения токовой скорости электронов Uoe^c из этого уравнения достаточно линейного выражения для мнимой части частоты. Однако у； очень чувствительно к виду ионного распределения при больших скоростях ионов, т. е. на хвосте функции распределения. При поглощении колебаний такими волнами увеличивается их энергия и быстро меняется вид функции распределения (из-за квазилинейных эффектов). В результате быстро меняется 丫； и, следовательно, и.

Если тепловая энергия, поглощаемая частицами плазмы, не отводится наружу, то можно ожидать, что в конце концов выделится некоторая группа ионов, поглощающих всю энергию волн. Поступим следующим образом. Ионное распределение разобъем на части, описывающие холодные и горячие ионы. В таком упрощенном (двухгрупповом) приближении можно найти величины, характеризующие протекание тока. Группа ионов, которые попадают в резонанс с ионно-звуковыми колебаниями и затем ускоряются, сравнительно невелика. Обозначим их плотность пть ①орму их распределения по скоростям найдем из уравнения (63). При этом спектр возбуждаемых волн будем считать одномерным, так как все волны, распространяющиеся под углом к направлению электронного тока (оси х), в квазилинейном режиме являются затухающими. Направление тока для простоты будем считать перпендикулярным магнитному полю. Кроме того, учтем, что магнитное поле изотропизует распределение электронов по скоростям в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Распределение электронов по скоростям в той же плоскости описывается в этом случае выражением [4]

显⑻=[5/го/Г (2 /5) ] а2/5ехр (-ad), (64) где параметр а определяется интенсивностью спектра возбуждаемых ионно-звуковых волн:

a-1 = l^i f I 秋 I2 (”二 ku°e) (65)叫J J 2h k

0

Полезно ввести также эффективную температуру электронов, равную их средней кинетической энергии:

7产jdv h(66)

и выразить через нее фазовую скорость длинноволновых ионнозвуковых колебаний:

吟=(27\/ 5m.) Г2 (0,4) 〃(0,8).(67)

В этих параметрах уравнение (63) принимает вид

+ **(% = *)}*(68)

где функцию распределения ионов представим в виде суммы распределений холодных и горячих ионов:

厶(v)=%《u)+九(％).(69)

Анизотропия распределения горячих надтепловых ионов связана с тем, что при поглощении импульса волн, излучаемых электронами, они ускоряются в направлении распространения волн. Нетрудно видеть, что уравнение (68) удовлетворяется для волн с произвольными фазовыми скоростями при следующей функции распределения надтепловых ионов:

储=“号・ I(70)

U С2s — 2сЗ$,，3〃ое L I 2%e 」

В дальнейшем поправками порядка cs\u^e будем пренебрегать, считая выполненным неравенство иое^>с8. Распределение (70) отражает тот факт, что квазилинейная диффузия ионов происходит во всем интервале резонансных скоростей vx = m/k от тепловых скоростей холодных ионов до cs. Причем число ионов со скоростью cs должно быть равно нулю, так как вследствие нагрева электронов граница распределения надтепловых ионов продвигается в область скоростей, где в данный момент еще отсутствуют резонансные волны. Подставляя распределение (70) в уравнение (68), получаем первое уравнение для двух неизвестных параметров nTi/n9 И 〃0е / С$

〃九回 ^(ucelcs) [Г(1,8) VVM^^I2\ М 哂.(71)

Недостающее уравнение получим из условия, что работа силы трения —dPe/dt затрачивается на нагрев электронов

—(dPe/dt) Uoe^nodTe/dt.(72)

Поскольку импульс, теряемый электронами, затем поглощается ионами, для определения последнего можно снова воспользоваться найденным распределением надтепловых ионов

—dPe/dt=dPi/ dt= (d/df) (〃т切&/3). (73)

В результате уравнение (72) с помощью уравнений (67) h (73) переписывается в виде

nTi/nQe= [ЗГ(1,8)/Г2(1Л)]^/^.(74)

Решая затем систему уравнений (71) и (74), получаем своего рода скейлинг для квазилинейного режима аномального сопротивления，, предположенный в работе [11]:

24л;/Г5r5/2(], 4)24л;/Г5r5/2(], 4)^二［"标Г備卜。你驚厂^二［"标Г備卜。你驚厂(75}(75}

24л;/Г5r5/2(], 4)

24л;/Г5r5/2(], 4)

^二［"标Г備卜。你驚厂

^二［"标Г備卜。你驚厂

(75}

(75}

Таким образом, небольшое число надтепловых ионов способно удержать плазму на границе неустойчивости при фиксированном отношении токовой скорости к тепловой электронной. Следует заметить, что хотя скейлинг подтверждается приведенным выше расчетом, в выражении для токовой скорости электронов появился довольно большой числовой множитель. Возможно, это связано с одномерным приближением для надтеплового хвоста распределения ионов по скоростям.

Для нахождения спектральной плотности энергии ионно-звуковой турбулентности при таком пороговом режиме следует обратиться к квазилинейному уравнению для надтепловых ионов

也=色空丄心但一阮公如(76)

dt dvx J 2冗加2况%

0，

Это уравнение легко разрешается при известном распределении надтепловых ионов [см. (70)]

"《2 央1"『f 2 /空^.\(期(0/初)&a) 一 %]

强/々

Здесь учтено, что в результате нагрева электронов максимальная скорость надтепловых ионов ViMaKC = cs увеличивается со временем^ Подставляя найденный спектр в уравнение (65), с помощью (66) получаем соотношение, идентичное первому из уравнений (75). Входящую сюда производную от скорости звука по времени можна найти из уравнения для джоулева нагрева ионов в виде

dTe/dt—meV^u^Qe — —еЕиОе.

Подставляя результат

dcsldt=(么/2兀)dTe/dt^ (е石〃 °е/ mzc2s)r2(l,4)/r(l,8)(78),

в уравнение (77) и интегрируя по волновым числам, находим полную плотность энергии ионно-звуковых волн

(79)2g.(79)2g.^ = 2(冗一1)『(1,4) 〃。。 2上

(79)

2g.

(79)

2g.

"o'e 『(I, 8) cs mjSpjCs

Видно, что в отличие от случая без магнитного поля уровень турбулентности в квазилинейном режиме растет пропорционально напряженности электрического поля, так же как эффективная частота соударений электронов с ионами v3$. Нарушение квазилинейного приближения при этом может быть связано либо с переходом в нелинейный режим, когда v3^ = eE/теиов превышает значение (48), либо с нарушением баланса между излучением волн электронами и поглощением их ионами, когда не выполняется условие (58). Из-за большого числового коэффициента в выражении (75) для токовой скорости электронов при увеличении напряженности электрического поля нарушается условие (58), которое при этом принимает вид

m^piCs 32(Р一1)冗 /2f3/2(1, 4) \"乙丿 (忆•丿• ' 丿

Таким образом, в квазистационарной бесстолкновительной плазме ‘с током поперек магнитного поля нелинейный режим ионно-звуковой турбулентности вообще не осуществляется и при больших электрических полях, когда неравенство (80) нарушается, происходит переход в режим бунемановской турбулентности. Нелинейный режим мог бы реализоваться только на начальной стадии развития турбулентности, еще до появления надтепловых ионов.

Найденный выше скейлинг (75) относится к случаю, когда ток перпендикулярен или почти перпендикулярен магнитному полю, и подтверждается экспериментально [12]. Представим себе теперь, что магнитное поле либо совсем отсутствует, либо действует в направлении протекания тока. Тогда сразу исчезает тот механизм, который перемешивает все электроны, и задача об электронной ■функции распределения усложняется. Как поступить в этой ситуации? По-видимому, невозможно ввести двухгрупповое распределение электронов, потому что нет двух явно выраженных групп электронов, как это было в случае с ионами. Наоборот, возникает плавный переход от медленных электронов ко все более быстрым, и в' конце концов с течением времени, как показывает качественный анализ [13], значительная доля электронов попадает в область скоростей, где практически нет волн. Это явление напоминает убегание электронов в газе с лоренцевыми столкновениями, когда частота соударений падает со скоростью, пропорциональной 卩-з. Взаимодействие электронов с ионно-звуковыми волнами обладает именно такими свойствами.

Вопрос о том, какой вид в конце концов примет закон Ома в такой плазме, до сих пор не решен. Одна из распространенных точек зрения такова: значительная доля электронов попадает в режим убегания, функция распределения электронов по продольной компоненте скорости оказывается сильно вытянутой в направлении тока, отношение средней дрейфовой скорости электронов к средней тепловой скорости электронов может стать равным единице.

Роль перенормировки теории слабой ионно-звуковой турбулентности в проблеме аномального сопротивления. Приближение слабой турбулентности обычно используют для построения нелинейной теории резонансных кинетических неустойчивостей, инкремент которых мал по сравнению с частотой. Последнее, как правило, имеет место вследствие малости фазовой скорости волн по сравне- нию с тепловыми скоростями частиц, с которыми они взаимодействуют. Однако формальное использование теории возмущений при решении кинетического уравнения для этих частиц в высших порядках разложения часто приводит к нефизическим расходимостям, которые, на первый взгляд, делают такое разложение несправедливым.

Наиболее известным и к настоящему времени хорошо изученным примером является слаботурбулентная теория ионно-звуковой неустойчивости. В. Л. Сизо- ненко и К. Н. Степанов [14] первые обратили внимание на то, что упомянутые расходимости здесь возникают уже при уровне турбулентности, гораздо более низком, чем уровень установившейся турбулентности, который подробно обсуждался выше.

Дело в том, что основной вклад в нелинейную поправку к инкременту неустойчивости, вычисленному с помощью функции распределения 虎),к, ——к，(v)， дают частицы со скоростями не выше фазовой скорости волны. Оставляя в нелинейной поправке к дисперсионному уравнению лишь вклад комптоновского' рассеяния на «голых» электронах (он полностью аналогичен вычисленному вкладу рассеяния на ионах), эту поправку можно записать в виде

7^(^)『备£發e「:Jkv广也叫 一3心一(k 一

— k)《](k — k)dfe/dv.(81》

Видно； что нелинейная поправка больше линейной уже при

W /nJe^melnii.(82)

При интегрировании по спектру волновых чисел учтено, что только в малой области фазового пространства [dk伸〜(①/々^尸]в резонанс с волнами попадают медленные электроны, имеющие скорость v = a)/k. Решение парадокса заключается в том, что на более ранней стадии развития неустойчивости следо- вал。 бы учесть нелинейное уширение области резонансных скоростей до значе- ний，примерно равных скорости захваченных волной электронов в системе коор- динат волны: Аи% КeE^/mek [15]. Это соответствует известному эффекту уширения резонанса, обнаруженному Дюпри (подробнее см. обзор Дж. Кроммс- са в т. 2). Нелинейное доплеровское уширение резонанса начинает играть роль при YeE^/mek >(оД, т. е. при том же условии (82), при котором формальное разложение теории возмущений начинает испытывать трудности. Теория, в ко- торой учитывается такое уширение, получила название перенормированной тео- рии слабой турбулентности; для частного случая ионно-звуковой турбулентности она изложена в обзоре [16]. Численное исследование соответствующих перенор- мированных уравнений показывает, что спектр Кадомцева — Петвиашвили для ионно-звуковой турбулентности сильно модифицируется указанным эффектом в длинноволновой области, а при 々九°力 1 резко спадает в соответствии с ре- зультатами [5][取仅)〜&тз] Кроме того, эффекты нестационарности, связанные

с образованием хвостов в распределении ионов, сильно уменьшают уровень турбулентности и эффективную частоту соударений, хотя скейлинг относительно параметров 〃oe/Cs и Те/Тг остается таким же, как в формуле Сагдеева [8].

АНОМАЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ИЗ-ЗА ДРУГИХ ВИДОВНЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Проблема аномального сопротивления, как это следует из проведенного обсуждения, по-прежнему остается одной из самых трудных проблем физики коллективных процессов в плазме. По сути дела, на сегодняшний день в арсенале теории (см. обзоры [17——19]) кроме некоторых полуколичественных соображений и оценок имеется несколько моделей для частных предельных случаев. Юбщий же «сценарий» реализовать не просто. Анализ даже квазилинейного режима аномального сопротивления, освобожденный от учета нелинейного взаимодействия волн, в общем виде не проведен.

Тем не менее ниже приведены оценки эффективной частоты соударений для остальных типов неустойчивостей, перечисленных в таблице.

Интересным примером, иллюстрирующим эффективность методов перенормировки, является неустойчивость бернстейновских мод в плазме с током. Моды Бернстейна представляют собой типы колебаний с волновым вектором, строго или почти строго перпендикулярным магнитному полю, и частотами порядка /о)се (/= ±1, 土2,…).Если в плазме дротекает ток, то из-за эффекта Доплера в лабораторной системе отсчета, где ионы покоятся, частота колебаний оказывается равной l^ce—kuoe- При достаточно больших 力 и 〃ое можно сильно уменьшить частоту в системе отсчета ионов, так чтобы эти колебания взаимодействовали с ионами: /о)се——kuoe^kvri. Возникает эффект типа неустойчивости волн с отрицательной энергией. Эти колебания имеют довольно большой инкремент Y^oce(woe/vre). В отличие от ионно-звуковой неустойчивости в этом случае неустойчивость развивается и при Тг ^Те.

Необходимость перенормировки здесь возникает из-за того, что эти моды находятся почти в точном циклотронном резонансе (о)——/о)се《3се), и поэтому ючень чувствительны даже к слабому нелинейному уширению резонанса. Физически такое уширение связано с доплеровским эффектом благодаря участию электронов в дрейфовом движении поперек магнитного поля при наличии электрического поля волны [20]. Для многих волн со случайными фазами оно принимает форму квазилинейной диффузии поперек магнитного поля и приводит к появлению в резонансном знаменателе слагаемого

住2。丄三 i Нэф%е， (83)

где rLe ——ларморовский радиус электронов; v3$ ——эффективная частота рассеяния электронов турбулентными пульсациями. Видно, что эта добавка не отличается от обычной добавки в рамках приближения Батнагара ——Гросса ——Крука для соударительного члена, если учесть эффект увеличения такого вклада в k2r2Le раз для коротковолновых колебаний [21].

Решение дисперсионного уравнения для мод Бернстейна с учетом этой добавки, очевидно, приведет к появлению члена, ответственного за столкновитель- >ное затухание, в выражении дл'Я инкремента неустойчивости

(84)(84)Y=0,3(Dce("0e/Ure)(兀/7\■)(1+務然^)-2—11,4(乙/a)分Г2L即。m

(84)

(84)

вывод линейного инкремента можно найти в обзоре Р. Девидсона (см. т. 1 ЭТого издания), а числовой коэффициент перед вторым членом получен для кулоновского соударительного члена и может, конечно, отличаться от коэффициента в случае «соударений» с волнами. Естественно предположить, что рост эффективной частоты соударений по мере развития неустойчивости насыщается, когда нелинейный инкремент неустойчивости обращается в нуль. Это условие фактически определяет гЭф [22]

R = °'02 (^У (】+ 計診)* (85)

где использовано условие резонанса с ионами (尼〃ое^Зсе) для определения длины волны наиболее устойчивой моды с /= 1. Заметим, что такой подход к определению турбулентных коэффициентов переноса часто используется в теории сильной турбулентности [23].

Обратимся, наконец, к электростатическим модам с 尼纟 “ «尼纟丄 в плазме с током, текущим поперек магнитного поля, которые обладают наиболее низким порогом возбуждения. Нелинейное насыщение этих видов неустойчивости не поц- дается рассмотрению с помощью методов теории слабой турбулентности. Рассмотрим, например, случай модифицированной неустойчивости Бунемана. Дисперсионное уравнение для нее

十*。 (о2 (3_犯е)2一 %I 吟6 (

отличается от обычного уравнения Бунемана лишь заменой Spj т 8р〃М1 十 dpe/dce

И

Можно оценить амплитуду колебаний в режиме насыщения так, как это часто делается в теории сильной турбулентности. Сравним линейный du/dt и нелинейный (uV)u члены в уравнении для электронов

0〃/欠+(uV)u=—e{E+(l/c) [иХВо]}.(87)

В нелинейной стадии эти члены должны конкурировать друг с другом, что приводит к квазистационарному режиму насыщения неустойчивости. Приравнивая их по порядку, получаем 尼〃。^(阮/&)』9屮％ Отсюда можно сделать следую-

(Цую оценку плотности энергии колебаний:

J 27，Ns 加e%"。?’ hr к 〜1.(88)

(2小，

1 еперь с помощью формулы (3) и оценки для инкремента 丫〜со 〜К^ce^ci полу-

"аф、Зсе〃0е/ите・(89)

Зта неустойчивость, как правило, раскачивается медленнее, чем ионно-звуковая (при Te^T^j но она может иметь место и в плазме с большой ионной температурой. В отличие от ионно-звуковой для этой неустойчивости не требуется выполнения УеЛОВИЯ乙》兀.

3*~~3369

ДВОЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЛОИ В ПЛАЗМЕ

До сих пор при исследовании турбулентности плазмы в электрическом поле и механизмов аномального сопротивления предполагалось, что приложенная к плазме разность потенциалов равномерно (или почти равномерно) распределяется по всему объему, т. е. электрическое поле в плазме почти одинаково. Однако в реальных ситуациях с граничными условиями картина может быть совсем другой. Мысленно выделим в плазме элементарную токовую трубку, т. е. трубку, ограниченную линиями электрического поля. Пусть по какой-либо причине вдоль линий тока имеется такая неоднородность параметров плазмы^ из-за которой безразмерное отношение Мое/^те меняется вдоль трубки.

Рис. приРис. при3. Образование двойных слоев протекании тока с аномальным сопротивлением3. Образование двойных слоев протекании тока с аномальным сопротивлениемЕ между областями с минимальнымЕ между областями с минимальнымЕсли неоднородность такова, что раз* ные участки вдоль линии тока соответ- ствуют различным режимам /=/(£■), (рис. 3), то произойдет следующее [24]. Разность потенциалов, приложенная к концам трубки, распределится неравномерно. Основное падение потенциала придется на зоны с максимальным отношением 〃ое/©те・ В силу резко нелиней- ного характера j(E) различие в значениях и максимальным значениями отношения

Рис. при

Рис. при

3. Образование двойных слоев протекании тока с аномальным сопротивлением

3. Образование двойных слоев протекании тока с аномальным сопротивлением

Е между областями с минимальным

Е между областями с минимальным

Uoe/vre может стать громадным. Такой профиль потенциала с течением времени должен еще более обостриться. Действительно, учтем выделение джоулевой теплоты при аномальном сопротивлении (турбулентный нагрев). В зонах с наибольшими значениями отношения и^/^те, а значит и 七，оно резко、увеличено. Эта теплота вдоль линий тока должна увлекаться электронами. Такой конвективный перенос учитывается в выражении для потока теплоты членом идТе/дх. Перераспределение темлературы вдоль линий тока, вызванное этим эффектом, меняет vTe и, следовательно, UQe/vTe. Нетрудно увидеть, что уменьшение uQe/vTe в направлении движения электронов, переносящих ток, в зонах максимального Е должно -приводить к новому распределению Е. Качественно последовательность процессов, протекающих после включения тока, показана на рис. 3.

Резкое сужение зон аномально большого электрического поля с образованием скачков потенциала напоминает образование ударных волн при нелинейной эволюции профиля скорости в газодинамике. Эта аналогия в действительности очень глубока: скачок потенциала, или двойной слой, сопровождается также скачком параметров плазмы, например температуры электронов Хотя, как уже указывалось, о температуре при аномальном сопротивлении следует говорить, соблюдая известную осторожность, двойной слой с полным основанием можно* назвать своего рода электрической ударной волной в плазме, рассматриваемой как двухкомпонентная среда.

Любопытно, что простейшим предельным случаем такого скачка потенциала является классический двойной слой Ленгмюра [25, 26]. Он возникает, например, вблизи катода, поставляющего электроны со средней скоростью ик, меньшей токовой скорости 〃ое в разряде. По этой причине необходимо начальное ускорение электронов электрическим полем в слое для преодоления своего рода порога 〃ое/〃к^1.

Рис. 4. Распределение потенциала и траектории частиц внутри двойного слоя

Установление скачка потенциала вблизи катода означает, что вблизи него 'образуется избыток ионов по сравнению с электронами. Условие образования та-

(рис. 4). Действитель- =const следует, что плот(рис. 4). Действитель- =const следует, что плот%%"〃2()е 4-2«у (%)//•%%"〃2()е 4-2«у (%)//•(90)(90)ного избытка легко получить, рассмотрев доведение плотностей ионов и электро tiOB в электрическом поле с растущим потенциалом(р(х) но, из условия непрерывности электронного тока 〃“ ность электронов падает яри их ускоренном прохождении через слой

(рис. 4). Действитель- =const следует, что плот

(рис. 4). Действитель- =const следует, что плот

%%"〃2()е 4-2«у (%)//•

%%"〃2()е 4-2«у (%)//•

(90)

(90)

Ионы же можно считать распределенными по закону Больцмана в электрическом поле, и их плотность также уменьшается

ni=nQ exp [—е(р (х) /Гг].(91)

Избыток положительного заряда образуется, если плотность ионов падает медленнее, чем плотность электронов.

Воспользовавшись разложением выражений (90), (91) в области малого по- .тенциала [屮(％)->0], нетрудно найти условие разделения зарядов

Uq^T г [те.(92)

Это условие хорошо известно как условие Бома для формирования двойного слоя [27]. Очевидно, что с анодной стороны двойного слоя должно иметь место аналогичное ограничение на скорость ионов

U^Te/rtli.(93)

Таким образом, уже из этих простых рассуждений следует, что стационарный двойной слой в изотермической плазме может возникнуть лишь в условиях, хогда токовая скорость электронов превышает пороговое значение для бунема- йовской неустойчивости, а ионы должны втекать в слой с другой стороны со Скоростью, превышающей звуковую! Хотя конкретные механизмы эволюции плазмы с током к такому состоянию с мощным гидродинамическим течением до на- стоящего времени хорошо не выяснены, интересно воспроизвести это хорошо известное решение для профиля потенциала в стационарном двойном слое. Уравнением для него служит уравнение Пуассона, в котором плотность зарядов опре- деляется из уравнения их свободного движения в электрическом поле и уравнения непрерывности

叫/改=4冗《 [/" 〃2。。+2纤/g 一 / "/ 22仇一y)/叫,(94)

r“e ^e—riQUoe и Jг ——потоки электронов соответственно. Мы предположили, что

нульэлек-нульэлек-(95)35(95)35на анодной стороне слоя, т. е. при (p =(p0, скорость ионов обращается в (ускорение ионов происходит в направлении, противоположном движению тронов). Первый интеграл этого уравнения дает электрическое поле в слое

нульэлек-

нульэлек-

(95)

35

(95)

35

(1/2) 后2 = 4冗[厶/ к"ое 十 22〃加6 - /ете%е + 厶唳2能j (Уо一 Y)—

一厶m2«加抨0].

Отсюда с помощью очевидного условия Е=——d(p/d%->0 при(р->фо получен некий аналог вольт-амперной характеристики двойного слоя ——соотношение, связывающее скачок потенциала с плотностью электронного и ионного токов,

je = U五丽/ We М叫е + 2昨/“ 一 加е%е)• (9б)

В наиболее важном случае e(fo^>meu2Qe из (96) получаем так называемое условие Ленгмюра [24, 25]

!e/ii =丿加"加 е， (97)

Распределение потенциала находится интегрированием уравнения (95) (см. рис. 4, где показано также распределение плотности зарядов в слое 4лр= =——d2(p/d%2). Слева, в катодной части двойного слоя, имеется избыток электронов р<0. Внутри слоя происходит ускорение электронов, их плотность падает, и в анодной части двойного слоя возникает избыток ионов (р>0). Как уже упоминалось, двойной слой Ленгмюра ——структура, в значительной степени аналогичная нелинейным электростатическим волнам. Однако имеются и важные различия. Прежде всего двойной слой ——стационарная структура. Кроме того, в двойном слое электрический заряд локализован в узкой области пространства, вне слоя имеет место квазинейтральность. Поскольку плотность электронов в слое падает в направлении движения электронов, а плотность ионов 一 в обратном направлении, то очевидно, что с помощью только двух компонент — ускоренных электронов и ионов ——нельзя обеспечить квазинейтральность по обе стороны от двойного слоя. Для этого необходимы еще две группы частиц —— холодные ионы в катодной части двойного слоя и холодные электроны в его входной части (см. рис. 4). Обе эти группы частиц отражаются от области скачка электрического потенциала, так как последний является для них потенциальным барьером. При е(р()》Те частицы не проникают глубоко внутрь слоя и не влияют существенно на распределение потенциала в нем, они нужны только для обеспечения квазинейтральности по обе стороны от слоя.

Еще одну важную особенность двойного слоя легко усмотреть из уравнения движения электронов. Воспользовавшись условием /ш=const, это уравнение можно записать в виде

(теи—Те/и) du /^xt=e^(p [dx. (98)

Отсюда следует, что ускорение электронов в направлении возрастания <р, необходимое для возникновения двойного слоя, можно обеспечить только при выполнении условия

теи20е>Те. (99)

Известно, что это неравенство одновременно является условием возникновения бунемановской неустойчивости. Таким образом, в окрестности слоя Ленгмюра можно ожидать возбуждения интенсивных электростатических колебаний с частотой порядка ионной плазменной. Строгая теория двойного слоя, учитывающая турбулентность, которая возникает вследствие бунемановской неустойчивости, еще не построена. По всей видимости, развитие неустойчивости не останавливает процесс инерционного ускорения электронов электрическим полем, однако в результате взаимодействия с турбулентными пульсациями у электронов появляется также хаотическая скорость К《№〉. Если считать, что внутр% двойного слоя направленная скорость электронов растет пропорционально хао- 36

тической К (у2), то остаются качественно справедливыми все старые формулы Ленгмюра с заменой Ше-^Шэф=2те.

Вне двойного слоя в области, примыкающей к нему «снизу» по направлению движения электронов, следует ожидать возбуждения чисто электронной плазменной ветви колебаний быстрыми электронами, ускоренными полем внутри слоя. Эти электроны играют роль пучка на фоне более холодных электронов плазмы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Рудаков Л. И., Кораблев Л. В. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 50, с. 220.

/Коврижных Л. М. — Там же, 1966, т. 51, с. 1795.

Быченков В. Ю., Силин В. П. — Там же, 1982, т. 82, с. 1886.

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. — В кн.: Основы физики плазмы. {В 2-х т. Т. 1. — М.: Энергоатомиздат, 1983, с. 590,

Sagdeev R. Z., Galeev A. A. Nonlinear Plasma Theory. — N. Y.: Benja- min, 1969.

Кадомцев Б. Б. — В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 4. — М.: Атомиздат, 1964, с. 258.

Петвиашвили В. И. — Докл. АН СССР, 1963, т. 153, с. 1295.

Sagdeev R. Z. — In: Proc. Simp, on Applied Mathematics, 1967, vol. 18, p. 281.

Kruskal M., Bernstein 1. — Phys, of Fluids, 1964, vol. 7, p. 407.

Galeev A. A. — In: Physics of Solar Planetary Environments. Vol. 1/Ed. by D. Williams, Boulder, AGU, 1976, p. 464.

Векштёйн Г. А., Сагдеев P. 3. — Письма в ЖЭТФ, 1970, т. 11, с. 297.

Еселевич В. Г., Еськов (А. Г., Куртмуллаев Р. X” Малютин А. И.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1971, т. 60, с. 2079.

Векштейн Г. А., Рютов Д. Дм Сагдеев Р. 3. — Письма в ЖЭТФ, 1970, т. 12, с. 419.

Сизоненко В. Л., Степанов К. Н. — Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, с. 282.

Rudakov L. I., Tsytovich V. N. — Plasma Phys,, 1971, vol. 13, p. 213.

Horton W. Yr., Choi D・一Phys. Repts, 1979, vol. 49, № 3.

Сагдеев P. 3. — В кн,: Проблемы теории плазмы. Тр. конф, по теории плазмы, Киев, 1972, с. 278.

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. — В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. Ai. А. Леонтовича. Вып. 7. —М.: Атомиздат, 1973, с. 3.

Papadopoulos К. — Rev. of Geophys. and Space Phys., 1977, vol. 15, p. 113.

Galeev A. A. — Phys, of Fluids, 1967, vol. 10, p. 1041.

Питаевский Л. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 44, с. 969.

Галеев А. А., Ломинадзе Д. Гм Патарая А. Д., Сагдеев Р. 3., Степа- нов К. Н. — Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 15, с. 417.

Kadomtsev В. В., Pogutse О. Р. — In: Plasma Physics and Controlled Nuc- Research. Vol. 1. —Vienna: IAEA, 1966, p. 369.

24二^E?hmobm4 Л. А., Сагдеев P. 3. Физика плазмы для физиков. — М.: Атом- издат, 1979, с. 287.屮

絹.Langmuir L —Phys. Rev. Ser., 1913, vol. 2, p. 450.

Langmuir I. —Phys. Rev., 1929, vol. 33, p. 954.

口• 1ЛР。?1111 D. — In: The Characteristics of Electrical Discharges in Magnetic Eelds/Ed. by A. Guthrie and R. Wakerling. — N. Y.: McGraw-Hill, 1949, p. 177.

КОЛЛЕКТИВНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПУЧКАС ПЛАЗМОЙ *

Р. Н. СУДАН

ВВЕДЕНИЕ

Изучение взаимодействия пучка частиц с плазмой ——одна из самых первых задач, поставленных перед физикой плазмы. Она возникла еще в форме парадокса Ленгмюра ——аномально быстрой термализации электронов, эмиттируемых в темную область вблизи катода газоразрядной трубки. В последующие десятилетия исследовались как взаимодействия электронных пучков с периодическими структурами клистронного типа, так и двухпотоковые неустойчивости, при наличии которых такие периодические структуры —волны электронной плотности ——спонтанно образуются в самой плазме. Новый импульс исследованиям дало развертывание в конце 60-х годов работ по созданию мощных сильноточных пучков релятивистских электронов, а в начале 70-х годов — работ по ионным пучкам (см., например, обзоры по электронным пучкам [1—5], обзоры по ионным пучкам [6—8]).

Исключительно высокие мощности, которые стали доступными благодаря этим новым технологическим достижениям, открыли возможность применения пучков в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу, генерации мощного СВЧ-излучения, коллективному ускорению ионов и т. п. Самое яркое из этих приложений —нагрев плазмы до температур термоядерного синтеза, но сложность здесь в том, что нагретую плазму нужно еще и удержать в магнитной ловушке. Очевидно, что нагреть плазму в открытой ловушке, инжектируя пучок вдоль силовых линий магнитного поля, легче, чем произвести инжекцию в закрытую ловушку, хотя и эта задача была успешно решена с помощью остроумных технических приемов Г9-И].

Данная статья посвящена физике взаимодействия частиц пучка с частицами плазмы в том случае, когда классическими столкновениями можно пренебречь. Геометрия прибора роли не играет, поскольку расстояния, на которых происходят процессы взаимодействия, много меньше размера прибора. В работе используется

Пер. с англ. Е. Н. Кручины.

теория нелинейного взаимодействия волн и частиц, развитая в раза. IV—VI издания (см. т. 1, 2). Конечной целью теории взаимодействия пучка с плазмой должно быть предсказание тормозного пути, т. е. расстояния, на котором пучок отдает плазме значительную часть своей энергии. Однако еще не достигнута такая стадия исследований, когда можно было бы сделать подобное проверяемое в эксперименте предсказание. Сложность заключается в том, чт0 в плазме могут существовать многочисленные ветви колебаний. Плазма характеризуется также большим числом нелинейных процессов, которые одновременно перераспределяют энергию между ветвями колебаний.

Огромную пользу для понимания основных нелинейных процессов принесло численное моделирование методом частиц (см. статью Дж. М. Доусона и А. Т. Лина в данном томе). С помощью этого метода можно уточнить аналитические теории слабой и сильной турбулентности и установить, в каких областях изменения параметров они справедливы.

Свойствами равновесия слабых пучков обычно не интересуются, но при изучении сильных пучков, обладающих значительными собственными магнитными полями, эти свойства важны. Для того чтобы пучок находился в равновесии, потребуем зарядовой нейтрализации в системе покоя пучка, т. е. выполнения условия

几 5—九，, (1)

где пгъ и nfi ——плотности пучка и ионов плазмы в системе покоя пучка. Пусть 丫=(1—у2&/с2)-1/2, где Vb — скорость пучка. Тогда пь=упь и 叫=、пк где величины без штриха измеряются в лабораторной системе. Таким образом, минимальная плотность ионов, необходимая для существования равновесия,

П1=пь!^. (2)

Это условие впервые получил Г. И. Будкер. В то же время радиальная сила, действующая на частицу пучка с зарядом q и массой покоя т, равна

尸Г=一叫)=普靑［(1 罔尢 (3)

где для осесимметричного пучка радиусом а с током / и постоян- нелми распределениями плотностей заряда и тока по сечению Ег= ~2I(l—f)г/^а2； В@ = 21г/са2, f—nt/nb. Если fV(l—р2)=1 /у2,то 尸г направлена наружу и пучок может расплываться. Следова- 器льно, для равновесия необходимо выполнение условия f=y~2. Если / = 1, то электрическое поле в лабораторной системе обра- 1Цается в нуль и остается только магнитная сила сжатия. Равно- весие в этом случае поддерживается только тогда, когда радиальное давление частиц уравновешивает эту сжимающую силу.

При увеличении тока пучка радиальное давление также увеличивается, чтобы уравновесить q^B@. Это значит, что частицы не движутся с продольной скоростью иь, а приобретают большую поперечную компоненту импульса. При постоянной плотности тока

магнитное поле на поверхности пучка В® = 21 ]ас、и радиус кривизны траектории частицы, двигающейся с аксиальной скоростью и。, равен Гт=т^с^В@— (тс3/q)^ya/2I. Если rL сравним с радиусом пучка, например rL^а/2, то распространение пучка становится невозможным, потому что частицы вращаются в собственном магнитном поле тока. Для электронов это происходит при токе

/а= (mc^lq) Py= 17 000 0丫4, (4) который называют альфвеновским. Отношение

// JA—Nq^c/IA=(Nq2/mc2)/y=vlyy (5) где ^ — число частиц пучка на единицу длины; v — число частиц на длине, равной классическому «радиусу частицы» q21mс?, известно как параметр Будкера. Энергия электромагнитного поля, приходящаяся на единицу длины пучка,

U = Ue+Um = ^(E\+ 空)=mm(1一汙 +

+ р2][1/4 + 1п(6/а)]. (6)

Здесь Ue=(1/2)Q2/C; Um= (1/2)LI2f где L = c~2[l 12+21п(Ь/a)] и C= (l/2-}-21n(b/a)]-1—соответственно индуктивность и емкость, отнесенные к единице длины пучка, a Q=Nq(l—f)； b — радиус проводящего кожуха, в котором распространяется пучок. При полной нейтрализации f=l и ^=0. Отношение энергии магнитного поля к кинетической энергии частиц К=№тс2у

UMlK=(v/y)^[U^+^(bla)]. (7)

Ясно, что для распространения пучка должно выполняться условие ^м/7<< 1, которое ограничивает отношение v/y при р~>1. Это ограничение, однако, можно преодолеть, если не предполагать, что плотность тока постоянна [12]. В самом деле, если весь ток течет по поверхности г=а, то энергия магнитного поля несколько уменьшается, но пучок становится более неустойчивым. Эти качественные оценки подтверждаются расчетами с использованием самосогласованных решений кинетического уравнения и уравнений Максвелла. Такие решения подробно рассмотрены в статье Р. Де- видсона (см. этот том). ,

После краткого анализа явлений, связанных с инжекцией пучка (см. § 1 и 2), будет рассмотрено нелинейное коллективное взаимодействие электронного пучка и плазмы из-за нелинейного развития двухпотоковой неустойчивости. В конце статьи вкратце изложен вопрос о взаимодействии с плазмой ионного пучка. Макроскопическая устойчивость плазмы не рассматривается. Лишь напомним читателю, что обычно для устойчивости достаточно наличия внешнего магнитного поля 32z/@F>〃b^c2Y・ Вопросы макроскопической устойчивости системы плазма ——пучок исчерпывающе изложены в статье Р. Девидсона в этом томе. Кроме того, читатель может обратиться к обстоятельному обзору Б. Н. Брейзма- на и Д. Д. Рютова по коллективным взаимодействиям [4]. Здесь

не охвачена также литература по экспериментам. Читателям, желающим ознакомиться с ней, следует обратиться к полной библиографии «Мощные электронные и ионные пучки», составленной Б. Н. Брейзманом и К. В. Эпштейном (препринт ИЯФ СО АН СССР, 1979).

ИНЖЕКЦИЯ ПУЧКОВ

При любом практическом использовании пучков заряженных частиц встает задача их транспортировки от источника в установку,戸 которой будет наблюдаться взаимодействие пучка с плазмой или внешней резонансной структурой. Возможность инжекции пучка зависит от физических ограничений, речь о которых пойдет ниже. Поскольку физические процессы при инжекции электронных пучков существенно отличаются от процессов, протекающих при инжекции ионных пучков, они рассматриваются раздельно. Кроме того, свои особенности имеют процессы инжекции в вакуум, газ, незамагниченную и замагниченную плазму.

Рис. 1. Типичный эксперимент по инжекции пучка: / — катод; 2 — анодРис. 1. Типичный эксперимент по инжекции пучка: / — катод; 2 — анодZZ

Рис. 1. Типичный эксперимент по инжекции пучка: / — катод; 2 — анод

Рис. 1. Типичный эксперимент по инжекции пучка: / — катод; 2 — анод

Z

Z

Инжекция электронного пучка в вакуум. Очевидно, что в вакууме радиальное расширение заряженного пучка электронов под действием собственного электрического поля можно остановить сильным магнитным полем. Чтобы получить количественные оценки требуемого магнитного поля [13, 14], рассмотрим несколько идеализированную ситуацию, когда осесимметричный пучок радиусом а инжектируется в цилиндрическую камеру с проводящими стенками длиной £ и радиусом Ь (рис. 1). Пусть длительность импульса P》L回ь, где L/u6 — время пролета частиц через камеру, так что пучок можно считать стационарным. Пусть также L》b, так что на расстоянии от входа около нескольких диаметров зависимостью от n можно пренебречь. Пусть / — ток инжекции, а обратный равный ему ток течет в проводящей стенке. Полная радиальная сила, действующая на электрон пучка, Рг=—е(Ет—^В^ =—еЕг/у, где v2= (1—Л/с2)-1, 0=〃/с. Для удержания пучка внешнее магнитное поле Bz должно быть настолько велико, чтобы ларморовский радиус электронов mv^jc /eBz был много меньше радиуса пучка а. Электроны подвержены азимутальному дрейфу, который приводит к появлению компоненты В®.

Предположим для простоты, что пучок представляет собой трубку пренебре- жимо малой толщины. Тогда электростатический потенциал

rne mc2y0 — энергия электрона в точке инжекции. Если пренебречь о®, то 吟/,2=1一丫-2= 1—[у0-|-е(р(а)/тс2]-2, поэтому

2с/, b «屮/(а) \ -2 11/2

•С。)

Максимум правой части как функции параметра е(р(а) [тс2 равен (у02/з_])з/2 и достигается при е(р (л) /тс2—уо1/3 (1—уо~V3). Таким образом, максимальный ток, который можно инжектировать [13],

, 厶(滋一 1严2

In 他/a)，⑴)

门ie /a = 17 OOOPoYo — альфвеновский ток, А. Если a^b, то

/маке = (%/2BoYo) (Y泸＞ 1)3/26力，(12)

где d — толщина пучка. Для произвольного распределения (плотности тока j(r) -легко показать, что в пределе а《Ь

,「一 厶(丫言一1产2[1:I

2厶％l〃0/a)[l—F(b/a)] Mr J 7T■ J ”〃尸〃戶(尸〃)卜(13)

где 尸(r) =2nj(r)/I [4].

Прохождение переднего и заднего фронта пучка также сопровождается увеличением магнитной энергии. Для тонкого трубчатого пучка магнитная энергия, приходящаяся на один электрон, равна —俨е(р(а). Эта энергия замедляет пе-

Рис. 2. Возрастание плотности ионов 小 и плотности плазмы 几「за передним фронтом пучка при его распространении в газе в зависимости от расстояния до переднего фронта пучка z

редний фронт пучка и ускоряет задний. Если ток инжекции превышает критический, то часть электронов пучка отражается от расположенного вниз по течению от точки инжекции виртуального катода, возле которого электроны пучка разворачиваются скачком электр|Ического потенциала. Такой катод является, вообще говоря, неустойчивым, и его довольно трудно анализировать. В экспериментах виртуальные катоды использовались в отражательном триоде для генерации мощных ионных пучков, а также для захвата ионов с последующим их ускорением до высоких энергий.

Инжекция электронного пучка в газ. Это самый простой способ быстрой нейтрализации пространственного заряда пучка в эксперименте. Электроны на переднем фронте пучка ионизуют нейтральный газ, возникающие вторичный электроны выбрасываются на стенки, а положительные ионы удерживаются внутри пучка отрицательным электрическим потенциалом. По мере того как плотность ионов приближается к 'плотности -пучка, электростатическое поле уменьшается, а вторичные «пары ион ——электрон создают плазму внутри пучка (рис. 2). Для полной ионизации плотность газа должна быть достаточно велика. Длина ионизации обычно аномально мала из-за того, что на переднем фронте пучка генерируются радио- и СВЧ-волны. В дальнейшем пучок движется так, как если бы его инжектировали в предварительно ионизованную плазму.

Инжекция электронного пучка в плазму. Пусть дрейфовое пространство, изображенное на рис. 1, заполнено плазмой с электронной плотностью пе^пъ. При инжекции пучка электронов эквивалентное число электронов плазмы начинает двигаться к концам трубки под действием электростатического потенциала, поэтому ограничение на ток /</макс, о котором шла речь выше, здесь неприменимо.

Пусть пучок инжектируется в предварительно ионизованную плазму, тогда поле Bg в каждой фиксированной точке меняется со временем при прохождении мимо нее переднего фронта пучка. Изменение В® приводит к появлению на переднем фронте пучка электрического поля Ez. Это индуцированное электрическое поле действует на электроны плазмы так, что возникает ток, противоположный п0 направлению инжектируемому току, а следовательно, уменьшаются полный ток и в конечном счете В^ и Ez. Если радиус пучка а превышает длину экранирования 入Е^с/Зе (Зе — плазменная частота), то магнитное поле В® при 厂>о отсутствует, а следовательно, в этой области Ez обращается в нуль; другими словами, электроны, находящиеся вне области размерами 厂«о+Ае, экранированы ют тока пучка. Таким образом, ток .пучка компенсируется обратным током, который почти весь течет внутри пучка. При а<с/3е эта компенсация является лишь частичной, поскольку обратный ток течет как внутри, так .и вне пучка. При SefO мы переходим к случаю инжекции пучка в вакуум, когда обратный ток течет только в проводящих стенках (см. п. 1.1). Однако в действительности плазма обладает конечной проводимостью о, и обратный ток будет течь только в течение скинового времени 7=冗0”/，2, после чего восстановится нормальное магнитное поле пучка. Впрочем, длительность инжекции, как правило, много меньше Т. Первые расчеты этих явлений для сильноточных релятивистских шучков были выполнены Хаммером и Ростокером [12] и Коксом н'ВеннСтоМ [15], Ли и Судан [16] исследовали влияние на .переходные процессы конечной проводимости и внешних магнитных полей. Вычисления проводились в системе покоя пучка, причем предполагалось, что в момент /=0 в системе мгновенно образуется жесткий заряженный стержень радиусом а, простирающийся от :г=0 до z=8. Отклик плазмы на это 《включение» рассчитывался по уравнениям Максвелла； для описания электронов плазмы применялось гидродинамическое приближение. ■

Более просто этот процесс можно описать следующим образом [17]. Будем считать, что плотность тока пучка jb = z/0(r)U(г—и。/), где U — единичная ступенчатая функция Хевисайда. Предположим, что электроны пучка не возмущаются откликом плазмы (отклик пучка на плазму будет рассмотрен в п. 3.1). Волновое уравнение для электрического поля имеет вид

，2 V X V 义 Е+@2 Е //=—4 冗0 j [dt, (14) где j=jb+jr, причем компонента jp, относящаяся к плазме, определяется из обобщенного закона Ома -

(鳥+丫/jp = ^E-詣厶义(Bo+B). (15) Для незамагниченной плазмы частота электрон-ионных соударений vei много больше циклотронной частоты, рассчитанной по внешнему полю Bq (夕^》 》'8°/俏‘)，и можно пренебречь в (15) членом, соответствующим току Холла.

Исключая электрическое поле Е из уравнений (14) и (15), получаем

+ 打， V-V jp — V2j,9 + / 詣％]= 一与(八 + jp)•(16)

Для /<т (т ——длительность импульса инжекции), т. е. вблизи переднего фронта пучка, можно считать, что jpr《jpz・ Тогда, полагая Vt〜。一* получаем уравнение

8丁(#川户)jg—(1 +唯/『)jg = jb，(17)

решение которого

ipz ~(I + 入2七/炉)口 一 cos (з/)]・(18)

Учет столкновений приводит к появлению поправочного множителя ехр (——veit/2) перед косинусом. Таким образом, магнитная нейтрализация пучка обратным током в .плазме имеет место при

九Е《а и 3《1.(19)

При ve^> 1 и (а/с)0/力《1 аппроксимируем уравнение (16) следующим:

[O/df—(с2/4шу) \72]jpz= — (d/dt)jb.(20)

Если jb (г) = (/ь /на?) ехр (——г2/а2), то решение (20) имеет вид

“一小加吗中)]ехр [一产/吗中)],(21)

где €=//Т; Т=^а^1(^\ (s—nee2lmvei. Таким образом, характерное время изменения обратного тока есть время магнитной диффузии. Возникновение обратного тока — пример закона Ленца; это явление отражает способность пучка распространяться, не затрачивая энергии на создание магнитного поля. Точные выражения для радиальных зависимостей jpz и jpr вблизи фронта пучка, полученные Хаммером и Ростокером, таковы [12]:

(22)(22)аe =峻。毒-eхраe =峻。毒-eхрДЛЯ г < а;ДЛЯ г〉а,ДЛЯ г < а;ДЛЯ г〉а,

(22)

(22)

а

e =峻。毒-eхр

а

e =峻。毒-eхр

ДЛЯ г < а;

ДЛЯ г〉а,

ДЛЯ г < а;

ДЛЯ г〉а,

где г=у0^ отсчитывается от переднего фронта пучка; 〃ь и и^ считаются при г<а постоянными; /0,，i, Ко. Ki — соответствующие функции Бесселя.

Случай, когда пучок инжектируется в замагниченную плазму вдоль внешнего поля Во£ был рассмотрен Ли и Суданом [16]. Их выводы таковы. При Qc= =еВо/тс《бе внешним магнитным полем можно пренебречь. При Qe>(oe расстояние, на котором затухает обратный ток, остается тем же, но условие токовой нейтрализации (19) нужно заменить следующим:

AE《a(l+a2"32e)I/2.(23)

д0 сих пор мы пренебрегали движением ионов, поскольку их масса много больше массы электронов, а длительность импульса инжекции мала. Однако при возрастании плотности плазмы характерное время отклика ионов уменьшается. В бесстолкновительной магнитоактивной плазме отклик ионов стремится уничтожить обратный ток, тоокольку электроны и ионы дрейфуют в электрическом поле почти одинаково. Этот вопрос рассматривал Ли, полный анализ при различных условиях дали Чу и Ростокер [18] и Берк и Перлстейн [19].

Инжекция в систему конечной длины. На практике длительность импульса t》L/c, где L — длина системы (см. рис. 1). В этом случае можно считать, что jb не зависит от z, а является функцией только от г и /; следовательно, jp также не зависит от г. В уравнениях, описывающих электромагнитное толе, можно использовать квазистатическое приближение и пренебречь током смещения. В сильном магнитном поле можно также пренебречь jpr ц jpe. Тогда если рР ——полный заряд шлазмы, то из условия сохранения заряда ямеем

Оррдд

fj尸一石"友=i&"邑=a林(24)

посжольку индуцированное электрическое поле не зависит от z. Вследствие того что электростатический потенциал f(p |^4л(рР-|-рь)/а2, d/df〜七一* d/dz〜厶一* для нейтрализации заряда необходимо выполнение соотношения

4лат> (L/a)2.(25)

при (рр-Н>ь)/рь<С1. Аналогично из (2.10) находим условие токовой нейтрализации

т<4Г ^4woa2/c2t или 6з《а,(26)

где 5в=с/(4я<ут~1)1^2一 толщина скин-слоя. Этот результат является вариантом условия, полученного ранее для бесконечной системы.

Инжекция ионного пучка. Из-за большой разницы в массах частиц механизм нейтрализации заряда ионных пучков полностью отличается от механнз- ма нейтрализации 'пучков электронов. В частности, когда ионный пучок в отсутствие магнитного поля инжектируется в вакуум, ионы могут вырвать необходи- мне для нейтрализации электроны из источника, поскольку энергия, которая необходима для ускорения электронов до скорости пучка, пренебрежимо мала по сравнению с энергией ионов. Таким образом, в отличие от электронного пучка у ионного пучка при инжекции в вакуум нет критического тока даже в отсутствие магнитного поля.

Для описания реального процесса нейтрализации воспользуемся соображе- ннями Хамфриса [7]. Пусть ионный пучок проходит плоскость СС (рис. 3,а) и движется в вакууме вправо со скоростью и。. Предположим, что плоскость СС является источником электронов, а для того чтобы ускорять электроны, на расстоянии % от СС создается потенциал 屮(рис. 3,6). Для определения ①(z)

45

предположим, что плотность пучка постоянна по сечению, и тогда задачу можно считать одномерной. В слое 0<n<Ns уравнение Пуассона имеет вид

& = 4"[(W )'/2 ~ ( 22.(7-?) )'/2 ] '(27)

поскольку ji=je, а энергия иона равна ZeV. Если предположить, что 屮(之$)= =Ф8^ К так что скорость ионов не меняется, то первый интеграл (27), удовлетворяющий условию d(p/dz = 0 при 2=0, есть

(d(p/dz产=16啦[(g/2e)i/2(pi/2-(p/2uo].(28)

Пусть при z=Ns производная d(p/dz=0, а 屮 остается постоянным почти по всей длине пучка, вплоть до его переднего фронта. Тогда

e(Ps = (1 /2) mev2e (^s)= (1 /2) me (2у0) 2.(29)

Плотность электронной комшоненты «/= \je\ /eve=\ji | /2еу0=Лг/2. Электроны отражаются от переднего фронта пучка, где потенциал падает от(ps до нуля на расстоянии Ns・ В системе покоя пучка отраженные электроны с плотностью пг= =nf = rii/2 изменяют скорость на 2у0, и, следовательно, в лабораторной системе

Рис. 3. Излучение пучка диодом и распространение его в вакууме при &*0：а ——схема эксперимента; 6 — зависимость потенциала <р от расстояния z； в — распределениел(^); г — начальная (/) и конечная (2) функции распределения электронов по скоростям

MX скорость равна нулю (рис. 3,6, а). При таком профиле (р (пучок нейтрализован как п0 току, так и по заряду. Из-за того что относительная скорость двух электронных компонент равна 2у0, они подвержены двухпотоковой неустойчивости. В результате развития этой неустойчивости можно ожидать, что в конечном состоянии, которое будет достигнуто, например, через время несколько сот оэу1, начальное распределение размоется, так что средняя скорость станет и。， а в°- круг и。будет тепловой разброс.

Копи мощный ионный пучок инжектируется в плазму, его заряд и ток нейтрализуются и он движется без помех независимо от того, есть ли в плазме продольное поле 8。尸 или нет. С другой стороны, его движение поперек магнитного лол я на расстояния, меньшие гиромагнитного радиуса ионов, ограничивается возможностью нейтрализующих пучок электронов легко следовать за ним. Если граничные условия и геометрия системы допускают возникновение поля поляризации Ер, то электроны могут дрейфовать поперек магнитного поля, так что ve=Vi=cEp /В. Полная плотность заряда в этом случае еЬп^Ер /4ла, где а ——радиус пучка, и тогда 者竝/乙二&—炉)«о/a)《1. Однако возможны ситуации, когда граничные условия не позволяют возникнуть полю поляризации (на- .пример, при инжекции осесимметричного трубчатого пучка через магнитный касп [20]). В этих случаях происходит неполная нейтрализация пространственного заряда пучка и пучок стремится быстро расшириться под действием собственного электрического поля. (Более подробное описание явлений, возникающих при распространении мощных ионных пучков в магнитоактивной плазме, см. в [21—23].)

2 НАГРЕВ ПЛАЗМЫ ИНДУЦИРОВАННЫМ ОБРАТНЫМ ТОКОМ

Ток, который индуцирует в плазме инжектируемый пучок, приводит к маг- ниуноц нейтрализации этого пучка; в конце концов он затухает из-за того, что -плазма имеет конечную проводимость. Пучок стремится увеличить омические пютери тока индукции, поскольку электрическое поле индукции, которое вызн- ◎ает обратный ток, одновременно замедляет электроны пучка. Если ограничиться случаем, когда длительность импульса много больше времени пролета электронов пучка через плазму, то можно получить простое соотношение, описывающее передачу энергии от пучка к плазме [17]. Теория электрических цепей позволяет записать уравнение баланса энергий в виде

\ dtR% + 3 〃2 = f d& 备(〃)，(30)

где R и L — соответственно сопротивление и индуктивность, приходящиеся на единицу длины плазменного канала; 1=1р-]-1ъ — полный ток;厶一ток, индуцированный в плазме; /ь — ток инжектируемого пучка. Правая часть (30) представляет собой работу, лроизведенную пучком. Мощность, отдаваемая пучком, есть произведение тока пучка на напряжение индукции d (LI) /dt. Начальные условия таковы: при / = 0 I=lp-]-Jb=Q, Пусть в конце импульса инжекции, т. е. при ^=т, полный ток /=〃ь. Если нет потерь частиц, то для релятивистского пучка с у=(1一俨)т/2= где Vb—скорость пучка) /ь остается практи- ческн постоянным даже при значительном уменьшении энергии пучка

mc2^y (厶气/%=丫一込丫/丫). Пра(вая часть (30) принимает вид hLI, и омические потери Wr определяются выражением

wr (。= J dtR% =宁 LI\ (2f — f2),(31)

0

где fWL Сразу вслед за прохождением пучка в ллазме индуцируется ток 1Р = =fh, который стремится сохранить поле (рис. 4). Этот ток тоже в конце концов затухает, высвобождая энергию (l/2)L(〃b)2. Таким образом, полные омические потери на единицу длины плазменного канала

WR=fLI\.(32)

Рис. 4. Зависимости от времени тока пучка /&, тока в плазме /р и полного тока /Рис. 4. Зависимости от времени тока пучка /&, тока в плазме /р и полного тока /Если параметры пучка таковы, что 夕/丫》1 (у=Ne2/тс2 — параметр Будкера; 儿——число электронов на единицу длины), то пучок распространяется только благодаря магнитной нейтрализации из-за обратного тока. Когда обратный ток затухает до такого значения, что полный ток сравнивается с альфвеновским током Iа — (тс3/е)^у, можно ожидать остановки пучка, поскольку энергия магнитного поля становится сравнимой с кинетической энергией электронов пучка. Таким образом, /макс ==/а//ь=Y/v> а максимальные омические потери 1^вМакс = =LIAh= (v/y)L/2a. Это существенная доля энергии пучка, приходящейся на единицу длины,儿加济丫， 口， на первый взгляд, такой процесс можно использо

Рис. 4. Зависимости от времени тока пучка /&, тока в плазме /р и полного тока /

Рис. 4. Зависимости от времени тока пучка /&, тока в плазме /р и полного тока /

вать для эффективного нагрева плазмы пучками с большим отношением v/y. Однако в действительности f определяется проводимостью плазмы: {=弋[Т=киа^%心弋 ^(l/4)veiT(a2/%2E), где а ——радиус пучка； vei ——частота столкновений электронов с ионами; \е = с® ——глубина скин-слоя. Для нейтрализации тока пучка должно выполняться условие а>%Е, но величина veiT обычно мала (исключение составляет случай плотной и холодной плазмы), и плазма слабо нагревается обратным током. Однако если дрейфовая скорость электронов ие= (пъ/пе)с превышает скорость звука (TJirii)屮 или, еще лучше, тепловую скорость электронов {Те/теу12у то в плазме возбуждается ионно-звуковая или бунемановская неустойчивость, которая приводит к аномально большим значениям эффективной частоты соударений электронов с ионами. Этот вопрос обсуждается в статье А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева ，в настоящем томе. В таком режиме нагрев плазмы обратным током в точности аналогичен явлению турбулентного нагрева, также рассмотренному в этой статье. Единственное различие состоит в способе, которым вызывается ток в плазме; пучок действует как ток, текущий в первичной обмотке трансформатора, а плазма играет роль закороченной вторичной обмотки. Нагрев плазмы обратным током численно исследовали Тод и Судан [24]; расчеты показывают, что при ие>(Те/те)Ч2 эффективная частота ¥Эф^ 弋(0,2+0,4)з<, где (0г ——ионная плазменная частота. Обратный ток нагревает ионы, а также основную массу электронов. Очевидно, что при заданной плотности и других параметрах пучка этот способ нагрева эффективен только для разреженной плазмы. При высоких плотностях плазмы, когда нв< (Ге/mi)1/2, един-

ственным способом нагрева является прямое взаимодействие двух потоков (см. п. 3.6).

Если пучок, инжектируемый вдоль силовых линий магнитного поля, имеет значительную азимутальную скорость, то обратный ток, который течет в направ- ленни, противоположном направлению скорости пучка, также имеет азимуталь- НуЮ компоненту. Из-за того что обратный ток пересекает силовые линии магнит- ного Поля, возникает радиальное электрическое(поле поляризации [16]. Затухание азимутального тока исследовали Чу и Ростокер [18]. Они показали, что инжекция в системе такой конфигурации предпочтительнее инжекции точно вдоль внешнего поля, поскольку в первом случае из-за возбуждения альфвенов- ских и магнитозвуковых волн передача энергии плазме идет более эффективно.

КОЛЛЕКТИВНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПУЧКА С ПЛАЗМОЙ

Вводные замечания. При классических вычислениях потерь энергии быстрыми частицами в веществе предполагается, что среду можно описывать целиком в терминах диэлектрической проницаемости е(ю, к), а инжектируемый пучок считать состоящим из отдельных частиц. Эти вычисления проводятся так (см., например, [25]): инжектируемая частица рассматривается в уравнениях Максвелла как точечный источник заряда g6(x——v/) и плотности тока go6(x—vf). Тогда в терминах фурье-компонент А^ и <рк векторного потенциала А и скалярного потенциала 屮 имеем

庐2 — в (ю, к)(о2/^2] ^ (°°)(9у/2^2^) 8 (со — k*V);(33)

е (ю, к) [Л2 一 s (о), к) а)2%2]屮к 3) = (〃2冗2) 8 (ю — к-V).(34)

На частицу действует сила F=gE(x——vf); здесь Е — электрическое поле в точке, где находится частица. Энергия, теряемая частицей в единицу времени, равна F-v. Поскольку

Е^ =血 AJc—ik%；

Е (х — vf) = j d3k J d<«Ek(3)exp {i (k. v — W)}, т0 после алгебраических преобразований получаем

+ oо 左]о

I 口 + (m/С2)"8,叫稣丄麻丄

兀济 JJ £(3,k){胪I+(32/02)口一(m(2)"8,炒]}，

LOOо

где o)= k・v =力卢；央=力2“+炉丄.Если для конкретной за виси- мости е (①,к) вычислить интегралы, то получим классические выра* 手ения для мощности потерь при движении частицы в веществе (подробнее см. в [25]). Если плотность инжектируемых частиц возрастает, так что плазменную частоту частиц пучка уже нельзя считать пренебрежимо малой по сравнению, например, с разменной частотой фоновой плазмы, то волны, которые нзлу- 4—-3369 g

49

чает каждая частица, начинают влиять на другие частицы, вызывая модуляцию плотности пучка. Такое коллективное взаимодействие приводит к возникновению двухпотоковой неустойчивости, которая обсуждается в статье Р. Девидсона (см. т. 1). Из-за возбуждения этой неустойчивости и ее нелинейных следствий потери энергии частицей пучка могут на несколько порядков превышать значение, полученное по формуле (35). Поскольку нелинейные процессы очень сложны, простое окончательное выражение для потерь в этом режиме написать нельзя. Вместо этого попытаемся сделать обзор основных физических процессов, вызывающих передачу энергии от пучка к плазме. Полезно рассчитать модуляцию пучка, вызванную излученными волнами. Движение i-й частицы пучка описывается соотношениями

(36)(37)(36)(37)хр) =хго+%Н-6х*;

(36)

(37)

(36)

(37)

t

6xz =• , bN^dV,о

где 6v‘ ——возмущение скорости частицы в поле излучаемых волн 6Е, а 6х『一возмущение исходной траектории, которое в системе покоя пучка определяется из уравнения

0方X"0方X"d^k'd^bE^^) exp [i (к、х" —①廿)].d^k'd^bE^^) exp [i (к、х" —①廿)].(38)(38)

0方X"

0方X"

d^k'd^bE^^) exp [i (к、х" —①廿)].

d^k'd^bE^^) exp [i (к、х" —①廿)].

(38)

(38)

по-6E.(39)по-6E.(39)В правой части (38) можно произвести замену xz->xz+vz0^, скольку сама правая часть уже является величиной порядка Применяя фурье-преобразование к (38), получаем

по-

6E.

(39)

по-

6E.

(39)

—(o28xz (со)=靑『成勿血 fE^ 3 + 呎・匕)exp(ik，・x'o).

Рассмотрим для простоты нерелятивистский пучок (v%《c), когда изучаемое поле является электростатическим, т. е. 5広卜『一 ik^k (⑴)’

В первом приближении по 6х‘ плотность заряда пучка р(х, /) = д2“х— х'(3 =

=9 £ m(X — х[ — v«) — 6x‘ • v6 (x — H — do川，(40)

и из уравнения Пуассона [уравнение (34) при с->оо] получаем 分& (⑴，к) срк (со)二二蔡 £ [В 3 — к • v“ +

+ ik "х* (①一к • v[)] exp (— ik-xj(41)

где суммирование распространяется на частицы пучка, находящиеся в единичном объеме, а е(з, к) относится к фоновой плазме- Первый член в правой части этого выражения описывает некогерентное излучение отдельных частиц, которое уже было рассмо- 50

трено раньше, второй — когерентную компоненту излучения. Подставляя dxz((o—k-v^o) из (39) во второй член (41), получаем

亨 S T^bj-J dwdwkk% м+俾—к〉％ хХехр [i (к —к)・х[].

Поскольку фазы частиц случайны, ^ exp [i (k—kA).xz0]=(2ir)33k Таким образом,

分8#(to,用?k (co)三奴s ®, k) — CD% J7把七* 中k 3)=

где /ь (v)—функция распределения частиц пучка по скоростям, нормированная так, что /2з*«)=1； пъ — плотность частиц пучка. Итак, влияние излучения на пучок можно учесть, если заменить в выражении для тормозной способности £ перенормированной диэлектрической проницаемостью £&.

Присутствие пучка изменяет член Im е/|е|2, от которого зависит тормозная способность. Это, вообще говоря, должно приводить к увеличению потерь пучка, поскольку амплитуда возбуждаемого электрического поля становится больше. Если плотность пучка достаточно велика, так что уравнение е% = 0 имеет неустойчивые решения с Im со (к) >0, то пучок вызывает возбуждение, амплитуда которого растет. Рост амплитуды возбуждаемых волн приводит к резкому увеличению теряемой пучком энергии. Очевидно, что какие-то физические процессы должны ограничивать амплитуду флуктуаций, но ответ на вопрос, какие именно нелинейности вызовут такое насыщение, очень сильно зависит от режима, в котором развивается линейная стадия неустойчивости.

Если инкремент ?(к) имеет очень резкий максимум в точке к = = ко, то спектр остается почти монохроматическим с k^k0, а насыщение происходит из-за изменения траекторий резонансных частиц. Это так называемый гидродинамический режим, который обычно имеет место для пучка с малым тепловым разбросом (см. статью Р. Девидсона в т. 1). Напротив, если тепловой разброс велик и т(к) имеет слабый максимум, то в некоторой области к- пространства большое число колебаний может расти со сравнимыми скоростями. Это так называемый кинетический режим. Резонансные частицы подвергаются совместному воздействию всех волн, причем фазы последних, вероятно, распределены случайным образом. Это вызывает диффузию резонансных частиц в пространстве скоростей, и изменение функции распределения частиц и спектра волн со временем описывается квазилинейной теорией (см. статью А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в т. 1). Однако квазилинейная теория, вообще говоря, подходит только для описания релак- 4* 51

сацин слабого пучка с большим тепловым разбросом, т. е. только 出 том случае, если функция распределения по скоростям имеет горб на хвосте.

В тех системах, где пучок инжектируется в плазму непрерывно, амплитуда насыщения спектра волн может сделаться настолько большой, что станут важными нелинейные взаимодействия между тремя волнами или между двумя волнами и частицей. Методы расчета таких взаимодействий уже подробно рассматривались (см. т. 1 и 2 этого издания). В дальнейшем мы сначала рассмотрим взаимодействие с плазмой холодного нерелятивистского пучка, а затем мощных релятивистских электронных и нерелятивистских ионных пучков.

Нелинейное взаимодействие холодного электронного пучка •с плазмой. В этом случае дисперсионное соотношение для электростатических волн имеет вид

8 (к, й))=^Т]й)2е/ (о—kVo)2, (43) где е(к,①)——диэлектрическая проницаемость плазмы; у\=пь/п^—— отношение плотности пучка к электронной плотности плазмы. Пусть на систему наложено сильное направляющее магнитное поле, так что(Ое《°е (Qe — электронная циклотронная частота). При выполнении этого условия нужно рассматривать только те неустойчивые колебания, у которых нормали к фронту волны направлены вдоль пучка. Инкремент * 丫 (左)имеет пик при 瓦= =(Oe/Uo, высота которого Ут^^^^е, а ПОЛуШИрИНЗ А^~Т]1/3^о・ Поскольку амплитуды волн растут экспоненциально, после возрастания их в Ne раз ширина спектра уменьшается до Nk\N)〜 ^^一1/2刀1/3面о. Это подтверждает справедливость модели, предложенной Драммондом и др. [26] и детально разработанной О'Нейлом и др. [27], в которой предполагается, что в результате развития неустойчивости, предсказываемой формулой (43), раскачивается монохроматическая волна потенциала (p(z, t) =?^ (0 X Хехр(/о2)+к. с.

Если перейти в систему отсчета, движущуюся с начальной скоростью пучка, то 屮备优) можно записать как 屮屈优)二二 =屮.exp i Jd/'Q (У)) , где Q=(»—左。•〜寸川俊夕 Вначале разность скоростей типичного электрона пучка и этой волны Аи = 0о—— —(соо/^о)"^if/^uo. С ростом амплитуды волны в конце концов в системе пучка электрон отражается и начинает двигаться обратно. Это происходит при e(ps^m(^v)2^mv20r]. В этой точке энергия, которую пучок отдает плазме, меняет знак, поскольку электроны движутся теперь в противоположном направлении. Таким образом, амплитуда насыщения равна(ps. Частота колебаний электронов у

дна потенциальной ямы 8T= (eh2Gqs 1m丫仆 поэтому предыдущее условие эквивалентно следующему:

7т=асог,(44)

Где а ——числовой множитель порядка единицы [28]. Как и в п. 3.1, можно считать, что электроны пучка движутся независимо друг от друга. Пусть &=尼。％£ ——безразмерная координата "го электрона. Тогда

應"否2=—i①(т) exp [® (т)] +к.с.,(45)

где т = /(оо (т]/2)1/3; Ф (т) — e(pko (i)lmv20 (ig/2)2/3. Движение электронов плазмы описывается теми же линеаризованными уравнениями, что и раньше, поскольку частота возмущения о。 велика. Плазма характеризуется линейной диэлектрической проницаемостью 8 даже при(p =(ps, поэтому уравнение Пуассона дает

炉声阔如+Q) %(方)=储許L。% (f)=

=^enbexp [— i以修制，(46)

что эквивалентно (41), только теперь мы не ограничиваемся линейными выражениями для %,(/). Поскольку

•^Фd)i]exp 阳(明,•^Фd)i]exp 阳(明,(47)(47)где Ф (т) = Ф (0) ехргде Ф (т) = Ф (0) ехр[—i j“0 В)[—i j“0 В)〜1/3Q = Q/(Oq(m/2),〜1/3Q = Q/(Oq(m/2),тотос пос по

•^Фd)i]exp 阳(明,

•^Фd)i]exp 阳(明,

(47)

(47)

где Ф (т) = Ф (0) ехр

где Ф (т) = Ф (0) ехр

[—i j“0 В)

[—i j“0 В)

〜1/3

Q = Q/(Oq(m/2),

〜1/3

Q = Q/(Oq(m/2),

то

то

с по

с по

мощью (45) и (47) легко показать, что в системе покоя пучка сохраняются импульс

2(什+2要=0(48)

н энергия

e / (*)"+2a№(明2 = 0，(49)

тае

(50)(50)a=1^0=_｝］管了他（相2 ==;?（鲁）‘必需＜。.

(50)

(50)

Заметим, что

若1明』2可①f=-£祟,

(51)

4叫8⑴-EM0)]十£⑴]4叫8⑴-EM0)]十£⑴]y⑴以⑴J Чёдо)y⑴以⑴J Чёдо)(53)(53)

4叫8⑴-EM0)]十£⑴]

4叫8⑴-EM0)]十£⑴]

y⑴以⑴J Чёдо)

y⑴以⑴J Чёдо)

(53)

(53)

где Qj = Im Q. Начальное значение Qj равно линейному инкременту у。， который связан с начальным замедлением пучка

一 3（叫〃蹴=。.

Ускорение частиц растет со временем, поэтому в конце концов С/ обращается в нуль, а затем меняет знак. Поскольку электроны в потенциальной яме колеблются взад-вперед> Qi осциллирует; Qr осциллирует с двойной частотой, потому что она зависит от » (d^/dr)2. Численные решения, показывающие изменения амплитуды волны и Qj со временем, представлены на рис. 5. Для электронов, запертых глубоко в потенциальной яме, (45) можно приближенно записать в виде

d2g/dr2 = —2|Ф(т) I [gz(r) — -^с(т)],(52)

где & ——положение дна ямы в данный момент. Решение (52) можно записать как преобразование начальных координат 自厶 & в фа

зовом пространстве в 自《)，&(t)：

где Л (0) =в(0)=1; В(0)=А(0) =^(0) =^(0)—0; g — частное решение.

Вначале электроны пучка выстроены в фазовом пространстве на прямой ^ (0) =const для всех i. Преобразование (53) состоит в повороте и переносе этой линии в фазовом пространстве. Численный расчет О'Нейла и др. [27], результаты которого показаны на рис. 6, подтверждает это наблюдение.

Сателлитная неустойчивость. С течением времени в системе становятся существенными эффекты, которыми мы до сих пор пренебрегали, а именно — деформация профиля потенциала и нелинейность самой плазмы, поэтому процесс, соответствующий рис. 5, не будет продолжаться вечно. Синфазные колебания электронов у дна потенциальных ям, которые расположены с периодом 2冗/々о, вызывают возбуждение волн с сателлитными частотами и волновыми векторами. Рассмотрим этот процесс в рамках простой модели, предложенной Круером и др. [29]. Нелинейное 54

поведение плазмы рассмотрено в п. 3.6 и 3.7. Электроны, находя» щиеся у дна ямы, колеблются с одинаковой частотой сот, а частота колебаний электронов, расположенных выше, зависит от их энергии. Поэтому раскачивать когерентную неустойчивость будут в основном те электроны, которые находятся у дна ямы (см.

Рис. 6. Эволюция в фазовом пространстве 化，自)частиц пучка: первоначально частицы равномерно распределены no g и имеют Е=0 [27]

Рис. 7. Частицы, запертые у дна потенциальных ям в электростатической волне. Наличие таких частиц приводит к сателлитной» неустойчивостиИсключение составляет член, описывающий воздействие потенциалаd^zjdt^ -%漑 一(e/词 J dh'd"3E (勿，0/) exp [i (勿(马。+%f)-⑴’川.(54) Здесь Zi^z^Vpt + bze, дЕ——i力屮——возмущение потенциала волны 屮卮；vp ——фазовая скорость основной волны. Проделывая те же преобразования, что и при переходе от (38) к (39), получаем吃 3)=加(炉二鸣T 'dhT时BE (月，" + kvp) exp (/%。)；(55)Рис. 7. Частицы, запертые у дна потенциальных ям в электростатической волне. Наличие таких частиц приводит к сателлитной» неустойчивостиИсключение составляет член, описывающий воздействие потенциалаd^zjdt^ -%漑 一(e/词 J dh'd"3E (勿，0/) exp [i (勿(马。+%f)-⑴’川.(54) Здесь Zi^z^Vpt + bze, дЕ——i力屮——возмущение потенциала волны 屮卮；vp ——фазовая скорость основной волны. Проделывая те же преобразования, что и при переходе от (38) к (39), получаем吃 3)=加(炉二鸣T 'dhT时BE (月，" + kvp) exp (/%。)；(55)заштрихованную область на рис. 7). Для простоты рассмотрим N электронов, собранных на длине Zno=^nn/kQ (рис. 7). Уравнение движения каждого электрона записывается по аналогии с (38).

Рис. 7. Частицы, запертые у дна потенциальных ям в электростатической волне. Наличие таких частиц приводит к сателлитной» неустойчивости

Исключение составляет член, описывающий воздействие потенциала

d^zjdt^ -%漑 一(e/词 J dh'd"3E (勿，0/) exp [i (勿(马。+%f)-⑴’川.

(54) Здесь Zi^z^Vpt + bze, дЕ——i力屮——возмущение потенциала волны 屮卮；vp ——фазовая скорость основной волны. Проделывая те же преобразования, что и при переходе от (38) к (39), получаем

吃 3)=加(炉二鸣T 'dhT时BE (月，" + kvp) exp (/%。)；(55)

Рис. 7. Частицы, запертые у дна потенциальных ям в электростатической волне. Наличие таких частиц приводит к сателлитной» неустойчивости

Исключение составляет член, описывающий воздействие потенциала

d^zjdt^ -%漑 一(e/词 J dh'd"3E (勿，0/) exp [i (勿(马。+%f)-⑴’川.

(54) Здесь Zi^z^Vpt + bze, дЕ——i力屮——возмущение потенциала волны 屮卮；vp ——фазовая скорость основной волны. Проделывая те же преобразования, что и при переходе от (38) к (39), получаем

吃 3)=加(炉二鸣T 'dhT时BE (月，" + kvp) exp (/%。)；(55)

p. (A, cd) — iekN 工 exp (- ^乙。)3马(①一既丿.(56)

Используя соотношение

备工exp [i侬一电叫=£3(勿一左一加总)， (57) находим

3)= (CO—呪 р)2 — з2「%"比 S)♦

m

Здесь (о2в = 4л^2/т — плазменная частота электронов, запертых у дна ям (если считать, что они распределены по всей длине волны). Условие (58) представляет собой ряд взаимосвязанных уравнений, определяющих фурье-амплитуду одной моды через амплитуды других. При cowcoe, когда могут существовать колебания, будут доминировать волны E{k, со) и. E(h—2岛，①一2(oo)qE(—財 ——со). Сохраняя только эти члены, получаем два связанных уравнения для определения фурье-компонент. Приравнивая нулю детерминант этой системы, приходим к дисперсионному соотношению

№ Q))=I 一 —-— — 炉一炉T J 十纯一2% s - 25)

где Г — температура плазмы. Результаты численного решения этого уравнения показаны на рис. 8. Заметим, что неустойчивыми являются те колебания, волно-

Рис. 8. Зависимость инкремента и частоты от волнового числа для сателлитной неустойчивости [29]Рис. 8. Зависимость инкремента и частоты от волнового числа для сателлитной неустойчивости [29]вые числа которых лежат в узкой полосе вокруг fe0, а фазовые скорости ——вокруг и&. -Таким образом, существование этой неустойчивости разрушает используемое в п. 3.2 предположение о том, что волна потенциала является почти монохроматической. Это изменение формы волны отличается от того изменения, которое было вызвано модуляцией пучка на стадии захвата; в последнем случае генерируются только гармоники пкд, т. е. потенциал остается периодическим с длиной волны А。. Сателлитная же неустойчи

Рис. 8. Зависимость инкремента и частоты от волнового числа для сателлитной неустойчивости [29]

Рис. 8. Зависимость инкремента и частоты от волнового числа для сателлитной неустойчивости [29]

вость вызывает сильную модуляцию огибающей волны. Дальнейшая эволюция системы плазма—пучок рассмотрена в п. 3.6.

Линейное дисперсионное соотношение для системы плазма——релятивистский электронный пучок. В слабом внешнем магнитном поле или, более точно, при 4лпетес2 ^> В22^>4лПг>тс2у0, гарантирована некоторая степень стабильности по отношению к макроскопическим неустойчивостям пучка, но для высокочастотных микронеустойчивостей с (o~Se магнитным полем еще можно пренебречь, поскольку гирочастота электронов £2е《(0е・ Из-за того что у колебаний, раскачиваемых этими микронеустойчивостями, длина волны %/2л^^/о)е мала по сравнению с поперечными разме

рами системы плазма ——пучок, влиянием границ можно пренебречь. С учетом этого упрощения дисперсионное соотношение для

колебаний системы холодный пучок — холодная плазма имеет вид [30]

11_叫叫々2丄吟— 丫 2。（Si 严 °） 2coi_叫叫々2丄吟— 丫 2。（Si 严 °） 2coi(60)(60)

1

1

_叫叫々2丄吟

— 丫 2。（Si 严 °） 2coi

_叫叫々2丄吟

— 丫 2。（Si 严 °） 2coi

(60)

(60)

где % = (1—吟/乃一1/2；询=(k・v。)/%; у0 — скорость пучка; Л2 — =力2口+左2丄.Второе выражение в левой части описывает электромагнитные эффекты. При ио=О левая часть представляет собой дисперсионное соотношение как для электростатических, так и для электромагнитных волн в холодной плазме, а в присутствии пучка эти два выражения «завязываются» между собой. При пь^по, (o~6[|U(j^toe инкремент 6 наиболее быстрорастущей моды

(61)(61)

(61)

(61)

Наибольший инкремент имеют волны, распространяющиеся почти поперек пучка, что является следствием анизотропии массы электрона по отношению к воздействию внешней силн:/п“〜丫，；加丄〜丫°・ Выражения для инкрементов, полученные в этом гидродинамическом пределе (приближение холодного пучка), справедливы только тогда, когда тепловой разброс скоростей пучка Av удовлетворяет условию

(62)(62)|k-Av| V6.

(62)

(62)

Если в пучке разброс по энергиям Де, а угловой разброс Д0, то при Д0<1

Аи丄=с sitiAB 〜сА8;

△% =号金Н~^с(А8)』｝с(Ае)2

[ДО^у^1 (Де/е)1/2]. На практике 厶8刀丫], и приближение холодного пучка справедливо при

<¥-и),/3[*+«，/3-啰)

Отсюда следует, что если Д0 ^ и

Smax｛除厂,(备门，(65)

то взаимодействие пучка с плазмой выходит на кинетическую стадию, для которой 6 гораздо меньше, и при к^ЕЖ

靑〜（訝）倩）靑〜（訝）倩）s% +依丄es% +依丄e(66)(66)

靑〜（訝）倩）

靑〜（訝）倩）

s% +依丄e

s% +依丄e

(66)

(66)

(67)(67)Рис. 9. Зависимость инкремента двухпотоковой неустойчивости от 屮= s=arcsin (血丄/力)при_различных угловых разбросах (0 = Д0) [32]Рис. 9. Зависимость инкремента двухпотоковой неустойчивости от 屮= s=arcsin (血丄/力)при_различных угловых разбросах (0 = Д0) [32]

(67)

(67)

Рис. 9. Зависимость инкремента двухпотоковой неустойчивости от 屮= s=arcsin (血丄/力)при_различных угловых разбросах (0 = Д0) [32]

Рис. 9. Зависимость инкремента двухпотоковой неустойчивости от 屮= s=arcsin (血丄/力)при_различных угловых разбросах (0 = Д0) [32]

(зто максимум 6 по всем 力口). Таким образом, резонансная область

в кинетическом режиме со—k・vo=O есть

1%С/Ч- 1 IWA® (А® +力丄С/Ч).

Л. И. Рудаков [31] более подробно исследовал этот вопрос. Его выводы сведены в таблицу (см. ниже).

Ход первичного процесса насыщения решающим образом зависит от того, находится ли пучок на гидродинамической или кинетической стадии релаксации. На рис. 9 показаны результаты численного анализа дисперсионного соотношения для электростатических колебаний, в котором функция распределения 力=(g/2) X X (2Л我尸6 (y - Yо) csch (g) X Xexp [g cos 0] соответствовала моноэнергетическому пучку cA®=(2/g)V2 [32]. Использование электростатического дисперсионного уравнения оправдано тем, что поперечная компонента Ет много меньше продольной Es:

以/旦〜他丄邑附)倒峭《1.

Выводы Л» И. Рудакова под

тверждаются и для слабого пучка, однако лучшей мерой отличия слабых пучков от сильных является параметр 川戸y, где т=《1-%|0一"2K (1一储尸佇尸偿^

<(Д0)-1, ^(^—^(l—g-2). Из-за того что у быстро увеличивается с

Граница значений Д0

Инкремент 6

Слабый пучок, /?/3丫0V 1

△® < 可/3

А® =寸/3

可/3<А®< 1/Yo

3 максимален при больших 屮

3 не зависит от 屮

3 максимален при малых 屮(гидродинамический режим)

3 соответствует кинетическому режиму при всех 屮

Сильный пучок,可戸丫0〉1

a@<可/6Y0-"2 公®〉罡 1/6 Y0-1/2

1 3 максимален при больших 屮

1 3 соответствует кинетическому режиму при всех 屮

с ростом Д0, предел сильного пучка п"з?>1 при Д0>т]1/6у-1/2 никогда не достигается. Было также обнаружено, что при А®= = ^1/3/2 инкремент 6 не зависит от 2 = arcsin 3丄/左)как для сла・ 'бых, так и для сильных пучков.

В присутствии направляющего магнитного поля имеем следующие режимы [33].

При Qe/yo V (1 /2) (〃“2&丫0)1/з(Ое инкремент двухпотоковой электростатической неустойчивости определяется выражением (66), а инкремент неустойчивости электромагнитных волн при 々и = 0 равен

При (1/2) (/2b/2/Vyo)i/3(OeVQe/Yo W①е/?о становятся неустойчивыми верхнегибридные колебания с частотой (о=々“％——Qe/yo・ Инкремент этого процесса

Инкремент двухпотоковой неустойчивости в этом случае

S =(h/2)(叫2&产2 (叫%) (cos 屮严. (70)

В очень сильных полях ^е>^е возникают также неустойчивости электронных циклотронных и нижнегибридных колебаний, но в экспериментах этот режим реализуется не часто.

5. Нелинейное взаимодействие холодного релятивистского пучка с плазмой. Рассмотрим случай, когда в начальный момент параметры пучка удовлетворяют условию n"3VA®V Y；'・ Тогда в соответствии с таблицей и рис. 9 б определяется в гидродинамическом приближении и имеет максимум при 屮=°，т- е- при 力丄=0.

59

По аналогии с нерелятивистским случаем, рассмотренным в п. 3.2, резонно предположить, что и здесь мода с максимальным инкрементом доминирует над всеми другими, а насыщение возникнет из-за того, что частицы пучка захватываются потенциалом волны. Поскольку электроны пучка релятивистские, амплитуда насыщения должна быть совершенно другой. Следуя [24, 34], будем считать, что неустойчивая волна возмущает движение электронов пучка только в момент перед насыщением, когда она в последний раз возрастает в е раз. Следовательно, при изучении поведения этих электронов можно считать, что амплитуда волны мгновенно возросла от нуля до амплитуды насыщения Es. Электроны плазмы, как и в нерелятивистском случае, описываются линеаризованными уравнениями.

Для расчета траекторий электронов в потенциале такой волны предположим для простоты, что пространственный профиль электрического поля не синусоидальный, а гребенчатый. Напомним, что фазовая скорость самой неустойчивой волны

% =券=9。｛1 _*（羲）"3 一费（瓷『3卜.（71）

(72)(73)(72)(73)где ^q = vq/c. Пусть ts — время, необходимое для того, чтобы запертый электрон завершил половину колебания. Тогда при t=ts закон сохранения импульса пучка и волны в системе отсчета, связанной с волной, можно записать в виде

(72)

(73)

(72)

(73)

где%=(1 -『『"；

Х/2

J 岑pr ts)]

一%2

—среднее по длине волны изменение импульса;

>/2

J 岑也 一丫(％，PR，幻1(74)

—X/2

—разброс по энергиям; yR=yw (то—Мо) и pH=Vw(p0—PwVo)— соответственно начальная энергия и начальный импульс электронов пучка в единицах тс2 и тс (с учетом доплеровского сдвига частота волны в этой системе отсчета равна нулю). Импульс и энергия электронов в системе отсчета, связанной с волной, определяются из уравнений

如/必=—(е/тс)Е (%);(75)

dx/dt=pc/yi(76)

причем при 力=0 имеем р=рн； %=%о. Расчет движения электронов сильно упрощается, если аппроксимировать Е (х) не синусоидаль- 60

ной а гребенчатой волной с амплитудой Ео. Тогда решения уравнений (75), (76) имеют вид

Ро(%,/)—Рн = ±а//р(77》

и

占士 (2"/0(1 +炉/个产｛(1+n9卩士心(1+个g尸]产j，(78)

где тнМ^Д^о； № —2^% [(Y^— \)тс2 ± 2^]-х; а2 = е孔/加恥： 自= 2К/九.Знак плюс относится к интервалу —1WWW0, а минус к 0WEW1. При К>1 электрон заперт в яме потенциала волны, при ^<l —свободен. Максимальное значение амплитуды волны достигается при t=ts=(4x/Ko) (1+'а2//(2о)1/2; №0 = 2е(р0/(?в— i)fnc2^ На рис. 10,а показана траектория электрона в фазовом пространстве. Обращает на себя внимание качественное согласие с траекториями, рассчитанными методом частичного моделирования (рис. 10,6). Расчет по формуле (77) является стандартной процедурой, поскольку большинство интегралов ——элементарны. Энергия волны в состоянии насыщения W=E2Q /8лп&тс2уо определяется по формуле

(79)(79)W=SY2I2,

(79)

(79)

где 5 =俨吓0(〃匕/2加)1/з；У=р2оК2оуо (丫尺一1)/2s2?0bУ — находится

из уравнения

У3+Т2У-(Т1+То)=О.У3+Т2У-(Т1+То)=О.(80)(80)

У3+Т2У-(Т1+То)=О.

У3+Т2У-(Т1+То)=О.

(80)

(80)

Коэффициенты Л и Т2 связаны с Де, а То — с Ар (подробности см. в [24]). Отметим, что То, Ti, Т2 положительные по крайней мере до 5=5, а в нерелятивистском пределе Ti, 丁2《丁0； это дает E20/8nnbmv2b = = 0,23(伤/2%) 1/з.

Рис. 10. Траектория электрона из релятивистского пучка, который захвачен волной, в фазовом пространстве:

а—траектория, рассчитанная по гребенчатой волне; 6 — траектория, полученная при моделировании методом частиц [24]

Если f (招 p, %)—функция распределения частиц пучка 6 системе отсчета, связанная с волной, а Ае^ ——усредненная по длине волны энергия, теряемая электронами в лабораторной системе, то

АХ/2 +оо

麻訪Г = ^ J 争 J d应(X" о 仇—Y + % 孤—)}• (81)

一入/2—оо

В терминах параметра S

Vw/vo=(l+5)-122,(82)

т. e. разница энергий пучка в лабораторной системе и в системе ютсчета, связанной с волной, возрастает при увеличении S. При S《1 пучок, который в начальный момент имел f(f=O) = =6(р—Pr), ведет себя в соответствии с моделью, рассмотренной в п. 3.2 для нерелятивистских пучков, а именно: он как целое вращается в фазовом пространстве, и через полпериода f(t=ts)= = 6(p+pr). Подставляя это значение / в (77), приходим к равенству

W=S(l+S)-i/2^S/2 при 5<1.(83)

Половина энергии, теряемой пучком, содержится в электрическом

поле, оставшаяся поглощается нерезонансными электронами плазмы. При возрастании S модель, изложенная в п. 3.2, перестает быть справедливой, однако из решений (77) и (80) следует, что

取=S(l+S)T/2/2.(84)取=S(l+S)T/2/2.(84)Рис. 11. ЗависимостьРис. 11. Зависимость取=21品12/8方色Y。粗。2取=21品12/8方色Y。粗。2при S》1 W ведет себя, как S(l + S)T/2. Объединяя эту зависимость со скейлингом для SWl, приходим к соотношению

取=S(l+S)T/2/2.(84)

取=S(l+S)T/2/2.(84)

Рис. 11. Зависимость

Рис. 11. Зависимость

取=21品12/8方色Y。粗。2

取=21品12/8方色Y。粗。2

от S=Bo2yoS"2&)i/3 [cm. (84)]：

результаты моделирования методом частиц показаныточками [24]

Эта зависимость изображена на рис. 11. Отметим, что W имеет при 5=2/3 максимум, равный 0,093. Из анализа вырисовывается следующая картина. В системе отсчета, связанной с волной, энергия электрона пучка равна тс2у0, где yo=TwTr (1+₽w₽k) . Через полпериода колебаний в яме его энергия уменьшается до тс2/у/, где y.+=YsYr(1—р^Рй). Энергия, теряемая электроном,

(Y。一Y/)m^2 = ^c2ywyR^w^R(S+1) Т/п^уо. (85)

При SN 1 электроны сильно релятивистские {пъ/tie10-1). Начальное положение некоторых электронов таково, что они замедляются, другие же ускоряются волной. Ускоряющиеся электроны увеличивают свою эффективную массу, но их скорость и, следова- 62

тельно, положение меняются слабо. Таким образом, энергия этих электронов растет главным образом из-за того, что увеличивается их масса. Увеличение энергии происходит за счет волны, которая раскачивается замедляющимися электронами. Из (84) и (85) определим эффективное иисло электронов, которое подпитывают своей энергией волну:

%ф/〃ь= (1 +S)-"2= (yByo)3. (86) Максимальную энергию, до которой ускоряются электроны пучка, можно определить, привлекая те же аргументы, что и в п. 3.2. Предположим, что в состоянии насыщения, т. е. при 力=厶，функция распределения постоянна от р = 0 до рурмако При S>1 в первом приближении энергию, которая передается волнам, можно не учитывать. Из закона сохранения энергии следует

2丫尸 Тмакс + 丫忠」口 ^Тмакс) ‘ (87)

поэтому уМакс^2уо— (1/2у0)1п (4у0) и с точностью до логарифмического члена максимальная энергия может в 2 раза превышать начальную. Лэмп и Спрэнгл [35] развили численные методы, пред* ложенные в работах [26, 36], о которых шла речь в п. 3.2, и более подробно исследовали одномерную задачу о насыщении амплитуды волны. Они подтвердили, что W зависит от единственного параметра 5, и эта зависимость дается формулой (84). Однако по их наблюдениям при S>1 максимальная энергия волны увеличивается: W(5ZS) > W(3/s) >'W(ts) = 0,093, a W(t=oo) монотонно растет c S; W(t=oo) =0,11 при S = 3・

При увеличении S растет разброс в значениях времен, за которые различные электроны достигают состояния с минимумом энергии, и электроны имеют тенденцию собираться в той части траектории, где их энергия максимальна. Как отмечалось выше, это является следствием бунчировки ускоренных электронов из-за относительно малого изменения их скоростей. Однако следует помнить, что на более поздних стадиях становится существенной нелинейность плазмы, которой мы до сих пор пренебрегали, так что, как это обнаружено при моделировании методом частиц, W (ts) может действительно достичь верхней границы, (см. рис. 11).

Хотя в проведенном выше анализе мы и получили выражение для W при S> 1, но в действительности, как следует из таблицы^ при S>1 линейное взаимодействие может выйти на кинетическую стадию, и рассмотренную модель применять нельзя. Сильное магнитное поле может восстановить обоснованность этой модели. В отсутствие такого магнитного поля согласно линейной теории (см. п. 3.4) возможна ситуация, когда инкремент максимален не при р=0, а при некотором угле *团 к скорости пучка. Этот случай численно исследовал Тод [37]. При S<6,45 доля энергии, теряемой пучком, как и раньше, A£ = 2IF=S (1+5)~5/2. При S〉0,45 пучок взаимодействует с волнами, у которых 0V々丄 V (〃匕/2〃/"^Х Хзе/с. В этом режиме W не зависит от S и примерно равна 0,09,

нто совпадает с максимумом W при 々丄~>0 [см. (84)]. При Sv <0,45 величина W имеет максимум при 屮=0 и монотонно спадает с гр, а при S>0,45 она максимальна при некотором р=рмакс； например, при уо= Ю и 5=3,64 грмакс=25°. Электроны пучка получают разброс как в продольном, так и в поперечном направлении. Результаты [38] подтвердили, что в сильном магнитном поле процесс одномерен. Самая неустойчивая волна распространяется вдоль Во. В слабом поле, т. е. при Йе/у0< (1/2)сое(/гь/2п^0)1/3, те же расчеты подтвердили существование косых волн, о которых шла речь выше. В умеренных полях, т. е. при (1/2)(оеХ X(^ь/2пеу0) 1/3<Qe/yo<co^/уо, ситуация более сложная, так как в системе существует как двухпучковая неустойчивость, так и неустойчивость верхнегибридных колебаний, и ясную картину плазменно-пучкового взаимодействия на ранней стадии нарисовать трудно.

6. Параметрические неустойчивости, раскачиваемые неустойчивым начальным спектром. Быстрое нарастание и насыщение первоначально неустойчивого спектра, о которых говорилось в п. 3.2, происходят за время порядка нескольких обратных инкрементов. За этими процессами следует стадия, на которой вначале неустойчивый спектр порождает вторичные волны. Одним из таких процессов является сателлитная неустойчивость, рассмотренная в п. 3.3. Вскоре ход эволюции системы плазма — пучок начинают определять другие нелинейные процессы. Физическая природа нелинейного взаимодействия ^зависит от уровня насыщения начального спектра 117*==з J d3A|Ek]2/8jt=A^|£|2/8jt, где Дй — разброс по волновым числам, а |£|2/8л — средняя плотность энергии волны. Если WlneTe<Z (Д^Хр)2, то система развивается по законам теории слабой турбулентности (см. пп. 3.1——3.3). Здесь пе и Те — соответственно плотность и температура электронов;入口 — дебаевская длина экранирования. Подробнее этот случай будет рассмотрен в п. 3.7. Если W/neTe> (AfeXp)2, то нелинейная поправка к частоте плазменных колебаний превышает температурную поправку, и понятия теории слабой турбулентности становятся неприменимыми. Это можно увидеть из следующих эвристических соображений. За время, много большее ①/"4, влияние высокочастотных ленгмюровских колебаний на медленные движения плазмы сводится к тому, что возникает средняя пондеромоторная сила, равная градиенту давления волн: F=——vр^|Ек|2/8т： (см. статью В. Е. Захарова * в т. 2). В результате воздействия этой силы возникают флуктуации бп средней плотности плазмы, которые в квазистати- ческом приближении можно оценить как

配/〃е = — JI Ek ?d3kl8^neTe = 一 W[nJe. (88)

* Здесь и далее автор ссылается на статью В. Е. Захарова в т. 2 «Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн». — Прим. пер.

64

Дисперсионное уравнение с соответствующей нелинейной поправкой к плазменной частоте выглядит следующим образом:

^=^e+^{\k) 2Te/me— (WlneTe)со2,.(89)

Когда последний член в (4.57) превышает тепловой, т. е.取/〃еТе2 2 (А总九о) 2，в дисперсионных свойствах плазмы происходит качественный скачок: групповая скорость становится функцией амплитуды волны. Если начальный спектр достаточно узкий, \kv^/^e^ 1, то его можно рассматривать как одночастотную волну накачки с частотой, близкой к Зе； из-за параметрической неустойчивости, подробно изученной в обзорах В. Н. Ораевского и К. Мимы, К. Нишикавы (см. т. 2), эта волна раскачивает другие нестабильные моды. Следуя Круеру и Доусону [39], рассмотрим этот процесс в рамках простой одномерной модели связанных мод. В линейном приближении при отсутствии волны накачки имеем два независимых уравнения, описывающих колебания плазмы с ленгмюровской частотой ^eh=^e [ 1 + (3/2) ^2Х2р] и ионно-звуковой частотой 6% = hCs (Cs ——скорость звука, Te^ Ti, см. статью В. Н. Ораевского в т. 1). Волна накачки связывает высокочастотные и низкочастотные колебания. Пусть плотность ионов испытывает возмущения с длиной волны Z=2n/^. Волна накачки вызывает флуктуации заряда, поскольку в ней в процессе колебаний области с высокой плотностью электронов превращаются в области с малой плотностью и наоборот. Низкочастотная компонента плотности электронов равна плотности ионов. Обозначим высокочастотные компоненты буквами с тильдой. Амплитуда связи в высокочастотной компоненте электронной плотности есть

М% =/г% (z+zo) —/г% (z) yi^Zo 加®

где 2о>=еЁ ппе^2е — амплитуда колебаний электрона в поле волны накачки Е. Предположим, что 々2о《1；力》庇о；①〜①「. Тогда

陪 + (吟)2鸡=-咦位-=臂 ％(90)

И

В правой части (91) по существу стоит сила——V (広+左九)2/8л、 qEV历月/4冗；Г^ — декремент затухания ионно-звуковых волн; при выводе этих уравнений использовалось уравнение Пуассона ikEk = —47ineke. Из (90) 1 и (91) легко получаем дисперсионное уравнение

3 + 2叫—(*)2]3 — 82) + -^ £= 0,(92)

где 6 = 30—0)5. При 6 Vo становятся неустойчивыми высокочастотные электронные флуктуации с (о=о)о и чисто апериодические флуктуации ионной плотности. Подобную неустойчивость называ- 5—336965

ют осциллирующей двухпотоковой . Если б>0, то становятся неустойчивыми высокочастотные колебания плотности электронов и низкочастотные ионно-звуковые колебания. Это распадная не

устойчивость Ораевского и Сагдеева, при которой высокочастотная первичная волна распадается на две обычных моды (оо = = о)е九+(о%. На рис. 12 представлена зависимость инкремента этой неустойчивости от параметра \kkD. Впервые осциллирующую двухпотоковую неустойчивость наблюдали Круер и Доусон [39] (при численном моделировании взаимодействия нерелятивистского пучка с плазмой методом частиц), а также Тод и Судан [34] —при

моделировании взаимодействия с плазмой релятивистских пучков. Рост амплитуды электронных осцилляций и флуктуаций плотности

ионов с kkD №，1 приводит к перекачке энергии от волны накачки с 力o=3e/uo к более коротковолновым колебаниям. Поэтому может

та параметрической неустойчивости от 々入口 при (eEo/WcSe) X X (те/Те) 1/2==0,5 и соо== 1,04сое, те/тд = 10~2 [39]та параметрической неустойчивости от 々入口 при (eEo/WcSe) X X (те/Те) 1/2==0,5 и соо== 1,04сое, те/тд = 10~2 [39]наблюдаться быстрое затухание первичного спектра, вызванное рассеянием первичных волн на индуцированных флуктуациях плотности ионов. Рассеянные вторичные колебания быстро поглощаются вследствие затухания Ландау и, следовательно, отдают свою энергию электронам хвоста функции распределения. Нагрев ионов несуществен, так как он пропорционален разности энергий ионных и электронных колебаний.

та параметрической неустойчивости от 々入口 при (eEo/WcSe) X X (те/Те) 1/2==0,5 и соо== 1,04сое, те/тд = 10~2 [39]

та параметрической неустойчивости от 々入口 при (eEo/WcSe) X X (те/Те) 1/2==0,5 и соо== 1,04сое, те/тд = 10~2 [39]

В [40] дана простая картина эволюции функции распределения пучка. Если предположить, что на раскачку

неустойчивых колебаний идет малая доля энергии пучка, то взаимодействие с волнами будет стремиться сделать функцию распределения пучка более плоской, и в конце концов между некоторыми значениями у мин и Омаке она станет постоянной. Пусть Омин меньше тепловой скорости частиц фоновой плазмы (Те/те)1/2. Из закона

сохранения энергии следует, что

(93)(93)/к*。 Р 加标—АИ^макс

(93)

(93)

~ J~6~ '

0

где °макс =/Зи。. Это распределение симметрично относительно точки % = %/力°, т. е. %(1 — т]1/3/24/3) =-}/*3^0/2, поэтому при р> >24(1 一丿歹2)3 = 0,038 пучок поглотится плазмой еще на стадии линейного роста неустойчивости. Из закона сохранения импульса получаем

W=2-^nbmeVQ（3（）/瓦）唄/3,

где 取=〈£2〉/4冗.Таким образом, доля энергии пучка, переданной частицам,

也(炉.(94)

Разброс по скоростям у частиц, захваченных волной, Аи = =(4eE/mek)1/2, где 百=(2<Е2>)1/2. Поэтому

Аи / ио = 25/4 е /2) 1/3 (1 -rf/3/24/з )1/4. (95) При г] —0,038 имеем А^/^о = О,614, т. е. если при 刀= 0,038 поглощение возникает на линейной стадии, то волна захватывает частицы со скоростями почти до тепловой, ибо для самой неустойчивой волны со。/力оОо^О,866・

Если 刀之0,038, то на линейной стадии развития гидродинамической пучковой неустойчивости основная масса плазмы не поглощает пучок полностью. Пучковая неустойчивость выходит на кинетическую стадию, и становятся неустойчивыми колебания с такими групповыми скоростями, при которых df/dv>0. Эволюция пучка в этом случае описывается квазилинейной теорией [41], которая предсказывает, что частицы пучка будут диффундировать в область меньших скоростей. Заметим, что если есть осциллирующая двухпотоковая неустойчивость, то электроны фоновой плазмы ускоряются легче и область между функциями распределения пучка и плазмы заполняется «хвостовыми» частицами.

Поскольку первичный спектр и функция распределения пучка уширяются, нельзя считать, что спектр состоит из монохроматической волны постоянной амплитуды. Самосогласованная картина, учитывающая изменения функций распределения пучка и плазмы, спектра колебаний, а также наличие флуктуаций плотности ионов, вытекает из модели плазмы, предложенной В. Е. Захаровым (см. т. 2), в которой для получения системы связанных уравнений проводится усреднение по высокочастотным колебаниям плазмы:

^ + ^+ 炉烈)*二二一& JdWEki• E『’(96)

где 1[=力°5(冗/8)'2 (加丿加О”？——декремент затухания ионнозвуко вых колебаний; C2s^=TJfni. Пусть в уравнении для электронов (90) Ek = Ek(/) ехр (——is/)，так что 〃[ = ihEJ^e, a d/必 заменяется величиной dldt -{-i^e, тогда

(97)(97)ik• f含一年气倒J + %] Ek =詁ik.J阳結"一к，

(97)

(97)

гдегде2TkP 5v~2TkP 5v~з=к・ Vз=к・ V5央5央6767

где

где

2TkP 5v~

2TkP 5v~

з=к・ V

з=к・ V

5央

5央

67

67

——декремент затух^НН兑 Ландау (для тех волн, у которых з и к таковы, что к•(屏• dv) |s=kv>。一 не декремент, а инкремент).

Поведение частиц естественно описывать квазилинейными уравнениями для усредненной функции распределения </>. Тогда

(д/dt) <fj> = (d/dva)Da^(dIdv^ V力〉，(98)

где для электронов плазмы /=е, для электронов пуика /=6, а

泡)Wk-kv)阡&「вне резонансной ооласти;

設…（叭一k.v）設…（叭一k.v）(99)

設…（叭一k.v）

設…（叭一k.v）

—в области, резонансной с пучком,

причем А(Ок = 1\ + ^2£) понимается так же, как в перенормированной квазилинейной теории Дюпри ——Вайнштока (см. статью Дж. Кром- меса в т. 2). Уравнения (96) — (99) можно переписать в приближенном, физически более прозрачном виде через плотности энергий первичного спектра WP) вторичного спектра Wes и флуктуаций плотности ионов Wls [42]:

(1 / 2) d Wp/dt=yp Wp-ys(Wp)W%;(100)

(1/2)dW%/dt= (Ys—ls)取％；(101)

(1/2"叭/山=3吸一1\吟(102)

Здесь Yp ——средняя скорость роста амплитуды начальных волн; Ys(W‘0)——скорость, с которой из-за нелинейного взаимодействия генерируются вторичные волны (очевидно, что она зависит от уровня Wp); Г% и rzs — соответственно средние декременты затухания вторичных и ионно-звуковых волн. Подробные выражения для зависимостей Ys(^p) в различных режимах приведены в статье В. Е. Захарова (см. т. 2). Здесь же предположим, что среднее волновое число для вторичного спектра много больше, чем для первичного (々р = 3е/иь), и воспользуемся дисперсионным уравнением (92), в котором теперь б = — (3/2)o)eF九2口，а £2 заменено величиной Wp=J d% I 七卜『/gm Тогда, как следует из (92),

ys/^e=(恤/人)1/2(取 p/厶兀)1/2(103)

при условии, что ширина начального спектра А^р《з卩/иь, а

Wp/neTe> [ (\kp/kp) (kPKD)2, me/nii],(104)

Если тепловой разброс частиц в пучке мал Ду/у&<т], а линей- нн访 инкремент неустойчивости, который пропорционален т)1/3, велик (гидродинамический режим), то линейную стадию неустойчивости можно не рассматривать и считать, что система начинает эволюционировать прямо из состояния насыщения, когда Wp опреде- 68

ляется, например, соотношением (84), и растут только резонансные с пучком колебания. Если то Wes и Wis быстро возрастают, в результате чего Wp уменьшается и достигается квазистационарное состояние, при котором у^(т^/т/)1/2Х X (Wp/пеТе) 1/2^Г^, a yPWp^ysWes) т. е. 丫「吃~Г%%$, и нарастание первичной волны компенсируется поглощением волн вторичного спектра частицами фоновой плазмы. «Хвостовые» электроны

Рис. 13. Функция распределения пучка fb и плазмы fe по импульсам:Рис. 13. Функция распределения пучка fb и плазмы fe по импульсам:吃 и W2 — спектры первичных и вторичных волн; в результате затухания Ландау образуются хвосты горячих электронов; спектр W2 в действительности должен быть симметричен относительно р=0吃 и W2 — спектры первичных и вторичных волн; в результате затухания Ландау образуются хвосты горячих электронов; спектр W2 в действительности должен быть симметричен относительно р=0

Рис. 13. Функция распределения пучка fb и плазмы fe по импульсам:

Рис. 13. Функция распределения пучка fb и плазмы fe по импульсам:

吃 и W2 — спектры первичных и вторичных волн; в результате затухания Ландау образуются хвосты горячих электронов; спектр W2 в действительности должен быть симметричен относительно р=0

吃 и W2 — спектры первичных и вторичных волн; в результате затухания Ландау образуются хвосты горячих электронов; спектр W2 в действительности должен быть симметричен относительно р=0

что волны могут распростра-что волны могут распростра-

что волны могут распростра-

что волны могут распростра-

функции распределения поглощают вторичные волны и ускоряются (рис. 13 и 14). Этот процесс можно описать квазилинейным уравнением (подробнее см. статью В. Д. Шапиро и В. И. Шевченко в т. 2).

Эффекты неодномерности. До сих пор при обсуждении взаимодействия пучка с плазмой мы рассматривали в основ-

ном одномерные спектры волн, которые распространяются в направлении пучка. Часто это можно оправдать тем, что для нерелятивистских пучков инкремент неустойчивости максимален в этом направлении. Однако на практике, даже в присутствии сильного магнитного поля, спектр не всегда одномерен и нужно учитывать эффекты, связанные с тем, няться в разных направлениях. Ос-

новная физическая картина процесса взаимодействия останется той же: линейная неустойчивость раскачивает первичные волны, затем из-за параметрической неустойчивости их энергия перекачивается во вторичный спектр, вторичные волны поглощаются вследствие затухания Ландау, что

Рис. 14. Функции распределения электронов по импульсам, полученные из одномерных численных расчетов [24]: отчетливо видно образование хвостов горячих электронов

приводит к ускорению «хвостовых» электронов. Однако очевидно, что линейные и нелинейные инкременты в неодномерном случае изменяются. Кроме того, при двух и трех измерениях возникает важный процесс, известный как коллапс ленгмюровских волн. (В одномерной задаче его нет.) Этот процесс очень подробно рассмотрен в статьях В. Е. Захарова, В. Д. Шапиро и В. И. Шевченко в т. 2 настоящего издания, поэтому здесь достаточно дать лишь его краткое физическое описание. Для одномерной задачи можно построить решение уравнений Захарова в виде стационарного солитона [43], в котором ямка плотности создается отрицательным давлением ленгмюровских волн, причем ленгмюровские волны сами запираются в этой яме. Одномерный солитон описывается формулами (см. статью В. Е. Захарова в т. 2)

Е (х, /) = Е〃ехр [i (々X —(Df"/ch 危(х —〃圳; n (X, 二一2^20/ch2 [^0 (x - "川；

(0 =久 + (3/2)炉炉。—E2J\^meT\

(105)(105)k\^D^E\n^nT^ 〃-=(3/2)囱d)(7J加J*; % = j 或炉/4冗= (12wTE2//2；Id；

(105)

(105)

7 = 7; +普.

Солитон представляет собой набор плоских волн с согласованны- оо

ми фазами и амплитудами: Е (х, t)=sin (kx—-со/) J dk'Ek, cos(^'%). о

При 々》血0 солитон можно рассматривать как пакет распространяющихся волн, протяженность и форма огибающей которого зависят от полной энергии пакета £$• В солитонах с широким спектром (少~^о) захвата частиц не возникает, потому что при А^~^：^0 условие захвата (eEkime)i/2> ^kfk)^e не удовлетворяется.

В трехмерном случае не доказано существование стационарных солитонов, подобных тому, который описывается формулами (105). Однако было показано, что даже одномерный солитон неустойчив по отношению к неодномерным возмущениям [44, 45]. Кроме того, как показал В. Е. Захаров, область пространства, из которой давлением волн вытеснена плазма и в которой заперты ленгмюровские колебания, с течением времени коллапсирует, так что длины запертых колебаний становятся все меньше и в конце концов в уравнениях возникает сингулярность.

Представим себе, что турбулентное состояние образовано таким набором различных по форме и размерам кавитонов, находящихся на разных стадиях коллапса. Из (96) и (97) можно получить следующие оценки:

энергия, заключенная в кавигояе, &§〜Е)九々;$， где Ет — максимальная амплитуда поля; Л~! — размер кавитона;

если W — объемная плотность энергии волны, а 厶一размер области, то WD—N^s, где ^ ——число кавитонов со средней энергией 8S, заключенных в объеме L3;

приравнивая тепловую поправку (3/2)^2A?D(0e к нелинейной поправке Е2т/32лпТе)получаем kokD^Em/ (48япТе)1/2;

из б) и в) следует, что Ло ^ Ет и, значит, %〜尼^4, поскольку N% = const,自〜N, a Nes^ NE^1. Число кавитонов определяется из условия плотной упаковки ^ин^~3~£3. Поэтому 心^ 〜&守 〜 〜取"2厶3.

Фурье-компонента поля в кавитоне размером Л"1 оценивается по аналогии со (105) как | £\ | 〜(七/})/尸(財/尼°). Здесь 尸 можно аппроксимировать ступенчатой функцией: при 々V^o величина 尸=0. Вследствие этого спектр мощности в М-кавитонном состоянии есть

"макс

(I Ek |2) J dNN-^P (N), (106)

где Р(А') — вероятность того, что энергия системы WL3 распределена по N кавитонам. Пусть P(N) удовлетворяет уравнению типа уравнения Лиувилля:

dP/dt=(d/dN) (vP), (107)

где V1 — характерное время образования мелких масштабов, определяемое двумя процессами: 1) коллапсом, для которого характерная частота vr^「о^№ (см. статью В. Е. Захарова в т. 2), и 2) столкновениями между кавитонами, что дает s=N噎 №卜6心 〜N力丁i = const, поскольку групповая скорость колебаний в кавитонах 〃(左о)~^о. Заметим, что в рамках этого анализа групповая скорость не может быть больше скорости звука. В стационарном состоянии

2 (Z^o) +v2]Р(^) —const. (108)

Если V2》wi, то P(N) — const и из (106) получаем, что <|马|2〉〜62. Если У2《з, то P(N)〜N-т и v|印|2>〜月-2T. Поэтому в зависимости от условий можно получить спектры ^'k~n с /г от 2 до 2+厂.При больших 电 когда становится существенным затухание Ландау, спектр, конечно, быстро спадает. Одномерное численное моделирование [24, 45] в целом подтвердило зависимость 也т (рис 化)Однако в статье В. Д. Шапиро и В. И. Шевченко в т. 2 настоящего издания на основе гипотезы Колмогорова получен спектр с /г = 2,5. Так или иначе, ясно, что в системе устанавливается стационарный спектр мощности колебаний электрического поля.

0-20-2-5-5510仞 100к=2лп/Ь510仞 100к=2лп/ЬРис. 15. Спектр энергии волн, полученный из численных расчетов при Set = 680： пунктир соответствует зависимости |4|2~々-2 [24]Рис. 15. Спектр энергии волн, полученный из численных расчетов при Set = 680： пунктир соответствует зависимости |4|2~々-2 [24]3.7. Взаимодействие реляти-3.7. Взаимодействие реляти-вистского электронного пучка с плазмой в приближении слабойвистского электронного пучка с плазмой в приближении слабойтурбулентности, турбулентности, дается в статьетурбулентности, турбулентности, дается в статьеТеория слабой которая обсуж- А. А. Галеева иТеория слабой которая обсуж- А. А. Галеева ипервичных волн W все время 吃&7\ V (А力九d) 2, где 卜h —первичных волн W все время 吃&7\ V (А力九d) 2, где 卜h —Р. 3. Сагдеева (см. т. 1), применима только к слабым пучкам с большим угловым разбросом, распространяющимся в плотной плазме. Линейное взаимодействие в этом режиме является кинетическим; амплитуда волн нарастает из-за пучковой неустойчивости, причем условие (62) не выполняется. Плотность энергии должна удовлетворять условиюР. 3. Сагдеева (см. т. 1), применима только к слабым пучкам с большим угловым разбросом, распространяющимся в плотной плазме. Линейное взаимодействие в этом режиме является кинетическим; амплитуда волн нарастает из-за пучковой неустойчивости, причем условие (62) не выполняется. Плотность энергии должна удовлетворять условиюширина спектра. Ниже мы покажем,ширина спектра. Ниже мы покажем,

0

-2

0

-2

-5

-5

510仞 100

к=2лп/Ь

510仞 100

к=2лп/Ь

Рис. 15. Спектр энергии волн, полученный из численных расчетов при Set = 680： пунктир соответствует зависимости |4|2~々-2 [24]

Рис. 15. Спектр энергии волн, полученный из численных расчетов при Set = 680： пунктир соответствует зависимости |4|2~々-2 [24]

3.7. Взаимодействие реляти-

3.7. Взаимодействие реляти-

вистского электронного пучка с плазмой в приближении слабой

вистского электронного пучка с плазмой в приближении слабой

турбулентности, турбулентности, дается в статье

турбулентности, турбулентности, дается в статье

Теория слабой которая обсуж- А. А. Галеева и

Теория слабой которая обсуж- А. А. Галеева и

первичных волн W все время 吃&7\ V (А力九d) 2, где 卜h —

первичных волн W все время 吃&7\ V (А力九d) 2, где 卜h —

Р. 3. Сагдеева (см. т. 1), применима только к слабым пучкам с большим угловым разбросом, распространяющимся в плотной плазме. Линейное взаимодействие в этом режиме является кинетическим; амплитуда волн нарастает из-за пучковой неустойчивости, причем условие (62) не выполняется. Плотность энергии должна удовлетворять условию

Р. 3. Сагдеева (см. т. 1), применима только к слабым пучкам с большим угловым разбросом, распространяющимся в плотной плазме. Линейное взаимодействие в этом режиме является кинетическим; амплитуда волн нарастает из-за пучковой неустойчивости, причем условие (62) не выполняется. Плотность энергии должна удовлетворять условию

ширина спектра. Ниже мы покажем,

ширина спектра. Ниже мы покажем,

что даже если вначале система удовлетворяла условиям применимости приближения слабой турбулентности, то в конце концов эти условия нарушаются и развивается сильная турбулентность, о которой шла речь в п. 3.6.

Квазилинейное приближение. Хотя квазилинейное приближение приемлемо для описания эволюции распределения типа 《горб на хвосте》，применять его к взаимодействию плазма- пучок, когда г^》(Те/гИе)1/2, а Аи/иь《1, можно лишь в определенных случаях. Первые подобные расчеты взаимодействия релятивистских пучков с плазмой были выполнены Я. Б. Файнбергом, В. Д. Шапиро и В. И. Шевченко [46] и Л. И. Рудаковым [31]. Поскольку амплитуда колебаний с большими ^^ растет быстрее амплитуды других, квазилинейная релаксация этих мод приводит к возникновению большого разброса Ар丄 по поперечным импуль

сам. Теперь измененная функция распределения начинает раскачивать те волны, у которых инкремент 4 максимален в направлении пучка, т. е. пучок выходит на режим т“"з《], Д0>у~1 (см. таблицу). Спектр волн становится одномерным, и уровень колебаний определяется балансом между нарастанием энергии, которое идет с характерным линейным инкрементом, и выносом энергии с групповой скоростью Ug. Если пучок отдает значительную часть своей энергии плазме, пройдя расстояние 厶，то поток энергии от пучка становится сравнимым с потоком энергии волн. Предположив, что на расстоянии 厶 амплитуда волн возрастает в 10 е раз, получим, что 厶6~10ug, поэтому

I»〜(пьтс^) с,(109)

где 6 определяется из условия (66); %‘(Ге/^^2)1/2 с. Это приводит к следующему выражению:

Ш （爲丫（2・

(110)

Для типичных значений параметров эта величина очень мала, так что возникает вопрос, насколько законно квазилинейное приближение. В частности, нужно рассмотреть нелинейное взаимодействие между волнами первичного спектра.

Нелинейное взаимодействие. Перечислим возможные нелинейные процессы и приведем их инкременты для некоторых значений параметров.

Во#О, Te—Ti. В этом случае в плазме распространяются электростатические ленгмюровские волны, соь=сое [^(З/З)^2^], и поперечные электромагнитные волны, (ОЕ=(ое [1 + (1 /2)А2^2п]. Ионно-звуковых волн нет вследствие изотермичности плазмы. Трехплазмонные взаимодействия между ленгмюровскими волнами запрещены. Разрешены процессы 1) слияния двух ленгмюровских волн в одну поперечную и 2) слияния ленгмюровской и поперечной волн в поперечную, а также обратные процессы. Если WL и WT — плотности энергии ленгмюровских и электромагнитных колебаний, то уравнение для WT имеет вид [4, 47]

3%〜⑴严е一吃Q+里+{j . (Hl) dt ё &乙0 \enemec a /

Здесь первый член в правой части соответствует процессу 1, второй—процессу 2, а третий — выходу волн из пучка радиусом а с поперечной групповой скоростью vgt. Величина v^i описывает столкновительное затухание плотности энергии WT. Когда пучок распространяется в плазме, процесс, описываемый уравнением (111), является источником излучения с частотой 2сое, в частности радиоизлучения солнечных вспышек третьего типа (см., например, [48]). В земных условиях этот процесс не является определяющим в динамике плазмы, скорее наоборот, наличие излучения на частоте 2<ое можно использовать для определения уровня WL-

Еще один нелинейный процесс второго порядка ——нелинейное затухание Ландау либо рассеяние волн электронами или ионами плазмы при выполнении условия резонанса

tt'k — 3k =- (k — k‘)v, (H2)

где v 一 скорость частиц. Если 吗 и ⑴к соответствуют ленгмюровским волнам, то (112) принимает вид

(3/2) (А2 - 勿 j Zp = }d 电一斤)u (t/私尸/+

В этом процессе рассеяния волна всегда имеет большую длину волны и меньшую частоту, чем исходная. Из вида матричных элементов этого процесса [47, гл. 4] можно показать, что вероятность рассеяния максимальна при 力‘w^/2, а нелинейный инкремент этого процесса

(ИЗ)73(ИЗ)73Геьь〜<0е (取l/九еТе)(々九D)3.

(ИЗ)

73

(ИЗ)

73

Рис. 16. Схема передачи энергии из резонансной области (заштрихована) в область ленгмюровского конденсата [4]Рис. 16. Схема передачи энергии из резонансной области (заштрихована) в область ленгмюровского конденсата [4]При рассеянии на ионах в уравнении (112) v 〜(Т/т*2, a I k-力1他 一^ a论/力/北*/力^—

Рис. 16. Схема передачи энергии из резонансной области (заштрихована) в область ленгмюровского конденсата [4]

Рис. 16. Схема передачи энергии из резонансной области (заштрихована) в область ленгмюровского конденсата [4]

[(mec2)/Tj1/2G)i/c<C 1, если Telme^^me/nii. Поэтому в отличие от рассеяния на электронах рассеяние на ионах приводит лишь к малому изменению k. В результате последовательных актов рассеяния энергия волны дифференциально перекачивается ко все меньшим 力，и спектр заполняет область от k = ^e]c до 々^0 (рис. 16). Инкремент этого процесса

^LL^e(WL/neTe) (ДШо)2. (П4)

dWk/dt=26Wk-riLLWh.dWk/dt=26Wk-riLLWh.(П5)(П5)Множитель (А力/力о)2 отражает тот факт, что для уменьшения среднего волнового числа на АЕ нужно (^0/А^)2 шагов. Рассеяние на ионах обычно доминирует над рассеянием на электронах, и можно приближенно записать

dWk/dt=26Wk-riLLWh.

dWk/dt=26Wk-riLLWh.

(П5)

(П5)

Здесь интегральный оператор, описывающий нелинейное затухание Ландау на ионах, представлен в крайне упрощенной форме. Вторичные волны действуют на резонансные с ними частицы пучка так, что у последних увеличивается разброс по углам. Изменение поперечного момента myc\Q=eE j_ Z, где £'丄一электрическое поле волны, поэтому изменение (Д@)2 описывается уравнением

d —d —«2〈 I I 12〉

(116)

(П7)(П7)(время корреляции пропорционально а)~Ц Если пренебречь выносом волн, то Г)^—28 и из (115) для вторичных волн с 々丄〜力 ц следует

(П7)

(П7)

&7е 8哂北\ & ) \ шс2 ) \ Ше ) y(A®)2

где А ——числовой множитель порядка 10. Из (116) и (117) полу

(Н8)(119)(120)(Н8)(119)(120)чаем уравнение

(Н8)

(119)

(120)

(Н8)

(119)

(120)

решение которого

(而)"2^[(屈2尸+2&『/4, где Д@2г ——начальный угловой разброс в пучке [4];

' л Зе 〃ь 加 i〈 Те 丿

—длина релаксации пучка. Существенно, что в отсутствие элек- трон-ионных столкновений рассмотренные нелинейные взаимодействия сохраняют общее число плазмонов N=£ |^|2/8^. В то же время эти взаимодействия перекачивают плазмоны, создаваемые пучковой неустойчивостью, в область больших длин волн, где линейное затухание Ландау несущественно. Таким образом, в интервале 0<k<k^=(me/mi)!/2 Z^1 происходит накопление энергии электростатических волн, поскольку в этой области отсутствует и нелинейное затухание Ландау. Такую область с высокой концентрацией плазменных колебаний W^ называют ленгмюровским конденсатом (см. рис. 16). Столкновения не мешают образованию этого конденсата, поскольку из условия существования пучковой неустойчивости 6>v^ следует, что и 7%工>”或，ибо согласно (115) в квазистационарном состоянии значение rzLL сравнимо с 6. Единственное, что может помешать образованию конденсата, — его конверсия в поперечные волны [см. процессы 1 и 2] и излучение этих волн из плазмы. Однако скорость этого процесса мала по сравнению с 6, и куда в конце концов диссипируют ленгмюровские колебания, не ясно.

Можно показать, что любые градиенты плотности плазмы изменяют волновой вектор: dk/df=——Vo)e・ Поэтому если в направлении распространения волны плотность уменьшается, то k увеличивается, и в конечном счете волна поглощается вследствие затухания Ландау. Сформулированный выше парадокс можно разрешить, если вспомнить, что согласно результатам, полученным в п. 3.6 при W^/neTe> (k^n)2, в плазме из-за осциллирующей двухпотоковой неустойчивости спонтанно возникают градиенты плотности [49]. Будем считать конденсат газом плазмонов, функция распределения которого удовлетворяет кинетическому уравнению

d n 叫丄凯^k 吼叫叫/⑺、

правая часть которого описывает нелинейное взаимодействие между плазмонами. Можно получить следующие уравнения моментов для полного числа плазмонов №=§^%“卜 и их средней скорости U — —J d3kN^/dk:

dN'dt + v (NU) = 0;(122)

dU dUd^k *3 Teс。、

Где з：=з2е+3^2Те//Пе. Мы пренебрегли разбросом групповых скоростей плазмонов. Плотность ионов плазмы /г и их скорость и подчиняются уравнениям

dnldt-]- V(nu)=0;(124)

du/d/+u・ Vu——T€\nfnmi—TNN[2rlmt.(125)

75

Последний член в (125)—давление плазмонов на жидкость. Пусть в равновесии N=Nq, U=U(), u=0, /г=/г(). Линеаризуя эти уравнения вблизи положения равновесия и считая, что i，V〜exp[i(^x—Q/)], легко получаем дисперсионное уравнение

J? 一 炉一 3 ㊁里?Те. = 0(126)

s 4 птМе' 丿

Если N口(^1几丁e=W』пТe《melт^ то это уравнение имеет неустойчивое решение

С/К С8 = х^^пТсу/\(127)

Таким образом, конденсат разбивается на области неоднородной плотности масштабом К^Эта неустойчивость, конечно,

связана с параметрическими неустойчивостями, о которых шла речь в п. 3.6. Отличие заключается в том, что волна накачки не одночастотная, а состоит из газа плазмонов, частоты и длины волн которых близки. Если не пренебрегать изменением групповой скорости, то более тщательный анализ с привлечением (121) приводит к следующему значению порога неустойчивости:

WJneTe » (m肌)2=优*肌)2.(128)

Если W* диссипирует в результате столкновений, то в равновесии 叭/吟=%е,》1,(129)

где Wp характеризует начальный спектр; 6 — линейный инкремент. При достижении порога модуляционной неустойчивости (128) ленгмюровские колебания рассеиваются по углам на созданных ею флуктуациях плотности с К〜鼠，а также перекачиваются в область меньших длин волн. При \nelne(k^D)2 ленгмюровский конденсат начинает диффундировать в область больших где становится существенным затухание Ландау, и энергия конденсата уходит на образование горячих электронов на функции распределения фоновой плазмы. На этой стадии W^/neTe^(k^D)2. Частоту рассеяния ленгмюровских волн по углам на флуктуациях плотности можно оценить как ys—(i)e(^/^)2('kjk) (^Xd)-2. Это выражение легко получить, заметив, что в одном акте рассеяния dk/d/〜力А@/А/= =——Ag)JA%=—(1/0)со/*А〃/儿 Мы предполагаем, что взаимодействуя с относительно тяжелым возмущением плотности А/г размером ^Г\ ленгмюровская волна меняет на А© лишь направление своего распространения, а не свой импульс. Отсюда сразу получаем, что vs=< (A0)2/AZ>, где Nt=(,卜*(1闯dh)7~®eh*M^D)T• Волны начального спектра с 尼〜с/о)е также могут рассеиваться по углам, что приводит к изотропизации спектра и реабсорбции волн пучком, поскольку теперь существуют волны с со/^г>^&- Легко показать, что j d2Q<d (k) <0, поэтому при достигается квазистационар- •ное состояние [50].

Ситуация мало меняется и в том случае, когда столкновения не могут остановить рост конденсата. Как только будет превзойден порог осциллирующей .двухпотоковой неустойчивости, энергия волн 76

начнет течь в область больших k и поглощаться там вследствие затухания Ландау.

Таким образом, мы имеем две возможности развития событий: 1) если значение 6 достаточно велико (см. п. 3.6), то начальный спектр оказывается параметрически неустойчивым, что вызывает рост низкочастотных флуктуаций плотности и перекачку энергии исходной волны в область больших k (например, посредством коллапса), и в конце концов затухание Ландау на хвостах горячих электронов компенсирует рост энергии исходной волны; 2) если линейный инкремент слишком мал для того, чтобы включать осциллирующую двухпотоковую неустойчивость первичных волн, то из-за индуцированного рассеяния на ионах энергия этих колебаний смещается в область больших длин волн и начинает накапливаться в виде конденсата в области 0<^<Л*. При превышении некоторого порога включается механизм осциллирующей двухпотоковой неустойчивости и, таким образом, открывается новый канал, по которому может диссипировать энергия волн. Для непосредственного включения параметрической неустойчивости энергия первичных волн должна быть Wp/neTe> (k^j^^Telmc1, Чтобы определить, по какому из двух путей пойдет эволюция системы, приравняем

где Wi——плотность энергии колебаний вне резонансной области.

Если получающееся значение Wp=nbTe(milme) (Ге/тес2) (уоА®)-2 превышает 詳/〃％照 то реализуется возможность, описанная в п. 3.7 [см. (96) — (99)]. Это происходит при 小/⑴〉恤/色• Таким образом, если разброс по углам в пучке 厶❷力丫-* то условие возникновения сильной турбулентности имеет вид

(nblne)ly>Amelmif(130)

где Л ——числовой множитель порядка единицы.

В. В=0, Те》Тз Эволюция в таком режиме осложняется тем, что кроме ленгмюровских и электромагнитных волн в плазме также могут распространяться ионно-звуковые колебания. Поскольку в этом случае разрешен процесс, в котором ленгмюровская волна распадается на ионно-звуковую и ленгмюровскую с меньшим k (см. статью А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в т. 1), то начальный спектр может непосредственно создавать низкочастотные флуктуации плотности. Если затухание ионно-звуковых волн превышает скорость генерации этих колебаний трехволновым распадным процессом, т. е.

、Зе(恤/〃%•) "(TJ/nd) 1/2>® (取〃力)(де?/?；)(兀/%С2) 1/2,

ИЛИ

Wp/neTe< (恨皿少/2TMmc2,(131)

то ионно-звуковые волны насыщаются на очень низком уровне и доминируют те же процессы, что и при 兀=?\・ Ситуация может усложниться еще и тем, что обратный ток в плазме будет раскачивать ионно-звуковые колебания; это приведёт к нарушению (131). При этих обстоятельствах теоретический анализ затруднен

77

и приходится обращаться к одномерному моделированию методом частиц (см., например, [24]) или численному решению уравнений (96)——(99) [51]. Здесь следует сделать одно предостережение: одномерные расчеты, хоть они и полезны, описывают процесс релаксации пучка неполно, ибо релаксация вряд ли одномерна даже в сильном магнитном поле.

Умеренное внешнее магнитное поле. В присутствии такого магнитного поля, что Qe<C(oe, дисперсионное уравнение для ленгмюровских волн принимает вид

[1+4■戸務+4■^鲁0 -•爲"三吗+标.（132）

При h 工〜h7 3e[c член, связанный с магнитным полем, сравним с тепловой поправкой, если ^12е1^е>Те1тес2 или ^e=8nneTe/B2z< 1. Внешнее магнитное поле 1) приводит к возникновению новых ветвей колебаний, например вистлеров, что открывает новые классы нелинейных взаимодействий; 2) изменяет инкременты нелинейных взаимодействий между ленгмюровскими волнами; 3) изменяет пороги и инкременты параметрических модуляционных неустойчивостей; 4) влияет на распределение спектра волн по углам.

Вистлеры влияют на процесс квазилинейной релаксации пучка по тем же законам, что и ленгмюровские волны [52]. Как известно, взаимодействие со свистами приводит к усилению рассеяния частиц пучка. Поскольку это взаимодействие чаще всего слабее, чем взаимодействие с ленгмюровскими волнами, не будем его рассматривать. Важнее то, что инкремент нелинейного затухания Ландау ленгмюровских волн на ионах уменьшается на множитель Ве [4]

I 唯 me 加 е°2 _

Г — (]33)

и потому, как следует из (115), уровень нелинейной стабилизации первичных волн возрастает в В] раз. Индекс 0 у % обозначает энергию волн в присутствии магнитного поля; остальные обозначения прежние. Самый существенный эффект здесь ——изменение порога осциллирующей двухпотоковой неустойчивости в присутствии магнитного поля ([53], см. также в [54])

W^ltieTe>\^l^. (134)

При Ре《1 значение Аз в (132) определяется в основном магнитным полем. Таким образом, 取^/解〜§[〔 ， но поскольку уровень насыщения первичных волн также возрастает в 不 раз, условие сильной турбулентности имеет тот же вид (130).

Усиление обратного тока двухпотоковой неустойчивостью. Как отмечалось в § 2, обратный ток, который индуцируется инжектируемым в плазму пучком, в конце концов затухает из-за элек- трон-ионных столкновений. Однако этот ток можно сохранить или 78

даже усилить, если передавать импульс от электронов пучка к электронам плазмы. Если столкновениями частиц пучка можно пренебречь, то остается единственный способ передачи импульса—— посредством двухпотоковой неустойчивости [55]. Квазилинейное уравнение для усредненной функции распределения электронов </> имеет вид

备⑴一*Ez訟价=击D.能, (135)

где Ez — электрическое поле индукции, созданное инжектируемым пучком,

(136)(136)

(136)

(136)

(j=jb+je ——полный ток); D ——квазилинейный коэффициент диффузии, который для двухпотоковой неустойчивости имеет вид

D =D =1% E*kl%（叫:一k7产+叭1% E*kl%（叫:一k7产+叭

D =

D =

1% E*kl%（叫:一k7产+叭

1% E*kl%（叫:一k7产+叭

Если домножить (135) на @ и проинтегрировать по и, считая, что D определяется нерезонансными частицами, то для тока в плазме je получится следующее уравнение:

(137)(137)1_且.v.2 d . _2«3"е g匂%

(137)

(137)

Проинтегрировав это уравнение и вспомнив, что 壮线『/必=2九把/2, найдем

(1 -仓'L“ =亡蜜工々F・(138) k

Считая, что V-i〜а (а — радиус пучка), получаем

Обозначим G отношение полного тока к току пучка:Обозначим G отношение полного тока к току пучка:

Обозначим G отношение полного тока к току пучка:

Обозначим G отношение полного тока к току пучка:

где Vk=eEhlmemh — скорость колебаний электрона в поле высокочастотной волны (<o〃^zQUb ——скорость пучка). Если частицы пучка гораздо тяжелее, чем электроны плазмы, то изменение скорости пучка Vb, вызванное передачей импульса плазме, незначительно. Этот случай имеет место для ионных пучков (g=Zc) или для релятивистских электронных пучков q=—е с у》1

(Д^/^ь^Ду/у3). При этом в (140) можно положить Ub=const. Таким образом, для ионных пучков этот эффект уменьшает, а для электронных — усиливает полный ток. Если при распространении ионного пучка |£^|2 станут довольно большими, то полный ток может сменить знак и произойдет расфокусировка пучка. Для случая, когда релятивистский электронный пучок распространяется в ионизованном им же газе низкого давления, предсказания этой теории [55] были подтверждены экспериментально [56]; наблюдалось увеличение полного тока примерно в 3 раза. Найденные из (80) значения \Ек\2 в состоянии насыщения при подстановке в (137) давали приемлемые оценки наблюдаемых величин [57].

Заключительные замечания. Теперь ясно, что на качественном уровне мы понимаем сформулированный в начале этой статьи парадокс Ленгмюра, т. е. быструю термализацию пучка электронов, инжектированного в плазму. Однако из-за большого числа сложных нелинейных процессов надежно предсказать скорость, с которой электронный пучок будет терять энергию, все еще трудно. Несмотря на это, такие количественные предсказания можно делать на основе численного решения модельных уравнений, которые адекватно описывают физические процессы.

4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОННОГО ПУЧКА С ПЛАЗМОЙ

Ионные пучки, распространяющиеся в плазме вдоль внешнего магнитного поля, менее, чем электронные, склонны к неустойчивостям. При Vb> (Telme)!/? возникает двухпотоковая неустойчивость электростатических волн. Сначала начинают расти моды, распространяющиеся параллельно пучку; из-за квазилинейного нагрева электронов эти моды стабилизируются, когда (TJ优е) "2>0匕.Как только это происходит, начинают расти те моды, для которых UbCOSlp ^ (Tel mi) 1/2； COS^=k^/k. Обычно Ub》Cs и 2 близок к л/2. В этом случае стабилизация наступает либо когда

(Ду/у&)2>0,6622&((0еМг) (rne/m6) (пь/пе) (141)

(Z^e——заряд ионов пучка), либо если значение Л не очень мало по сравнению с Те. Для развития ион-ионной неустойчивости из-за относительного движения ионов пучка и ионов плазмы требуется очень большая пороговая температура Те>т^2ъ> Это условие для энергичных ионных пучков выполнить трудно. Остаются еще моды типа ионно-циклотронной, но они легко подавляются [58]. Таким образом, ионные пучки не вызывают в плазме заметной турбулентности, и, следовательно, не подвержены аномальному торможению»

В некоторых прикладных задачах (например, при фокусировке мощных ионных пучков на дейтерий-тритиевой капле) даже небольшое уменьшение эмиттанса пучка может привести к плохой фокусировке. Как отмечалось в п. 3.8, в плазме малой плотности двухпотоковая неустойчивость, вероятно, может вызвать дефокусировку пучка. Для подавления двухпотоковой неустойчивости нужно применять более плотную плазму, частота соударений в которой выше. Однако при таких плотностях слабоизлучающие пучки, 80

а также пучки с малым разбросом по поперечным скоростям неустойчивы относительно разделения на нити [59]. Не будем обсуждать здесь эти вопросы теории распространения пучков. Возможно, что, вопрос об использовании пучков ионов для начального удержания плазмы будет освещен в следующем томе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Freischmann Н. Н. — Phys. Today, 1975, vol. 28, p. 35.

Nation J. A. — Part. Accel., 1979, vol. 10, p. 1.

Sudan R. N. — In: Proc.6th European Conf, on Controlled Fusion andPlas

ma Physics. — Moscow, 1973, p. 184.

Breizman B. N., RyutovD. D. — Nucl. Fusion, 1974, vol. 14,p. 873.

Rudakov L. I., <Sudan R.N. — Comments Plasma Phys., 1974,vol. 11,p.21.

Sudan R. N. — In: Proc. 8th European Conf, on Controlled Fusion and Plasma Physics. — Prague, 1977, p. 191.

Humphries Jr. S. — Nucl. Fusion, 1980, vol. 20, p. 1549.

Быстрицкий В. M., Диденко А. Н. — Успехи физ. наук, 1980, т. 23, с. 573.

Benford J., Ecker Bailey V. — Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 33, p. 574.

Gilad P., Kusse B. R., Lockner T. R. — Ibid., p. 1275.

Masuzaki M., Mohri A., Tsuzuki T., Ikuta K. — In: Proc. Intern. Topical Conf, of High Power Electron and Ion Beam Research and Technology. — Albuquerque, New Mexico, 1975, p. 435

Hammer D. A., Rostoker N. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1831.

Богданкевич Л. С., Рухадзе A. A. — Успехи физ. наук, 1971, т. 14, с. 163.

Read М. Е., Nation J. А. — J. Plasma phys., 1973, vol. 13, р. 127.

Сох J. D., Bennet W. Н. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 182.

Lee R., Sudan R. N. — Ibid., 1971, vol. 14, p. 1213.•

Lovelace R. V., Sudan R. N. — Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 27, p. 1256.

Chu K. R・，Rostoker N. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 1472.

Berk H. L., Pearlstein L. D・一Ibid., 1976, vol. 19, p. 1831.

Dreike P., Hammer D. A., Wiley L. G. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 4U p. 1328.

Ott E., Sudan R. N. — Appl. Phys. Lett., 1976, vol. 29, p. 5.

Ott E., Manheimer W. M. — Nucl. Fusion, 1977, vol. 17, p. 1057.

Peter W., Ron A., Rostoker N. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1471.

Thode L. E., Sudan R. N. — Ibid., 1975, vol. 18, p. 1552.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Электродинамика сплошных сред. — М : Наука, 1982, гл. XIV.

Drummond W. E., Malmberg J. H., O'Neil T. M., Thompson J. R. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2422.

O'Neil T. M., Winfrey J. H., Malmberg J. H. —Ibid., 1971, vol. 14, p. 1204.

Manheimer W. M. — Ibid., p. 579.

Kruer W., Dawson J. M., Sudan R. N. — Phys. Rev. Lett., 1969, vol. 23,. p. 838.

Bludman S. A., Watson К. M., Rosenbluth M. N. — Phys. Fluids, 1960, vol 3, p. 747.

Рудаков Л. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1970, т. 59, с. 2091.

Ferch R. L., Sudan R. N. — Plasma Phys., 1975, vol. 17, p. 905.

Godrey В. B., Shanahan W. R., Thode L. E. — Phys. Fluids, 1975, vol. 18” p. 346.

Thode L. E., Sudan R. N. — Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 30, p. 732

Lampe M., Sprangle P. — Phys. Fluids, 1975, vol 18, p. 475.

Matsiborko N. G., Onishchenko I. N., Shapiro V. D., Shevchenko V. I.— Plasma Phys., 1972, vol. 14, p. 591.

Thode L. E. — Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 305.

Thode L. E., Godfrey В. B. — Ibid., p. 316.

Kruer W., Dawson J. M. — Ibid., 1972, vol. 15, p. 446.

Kainer S., Dawson J. M., Coffey T. — Ibid , p. 2419.

Иванов А. А., Рудаков Л. И.一-Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966,

Papadopoulos К. — Phys. Fluids, 1975, vol. 18, p. 1769.

Рудаков Л. И. — Докл. АН СССР, 1972, т. 207, с. 821

Захаров В. Е., Рубенчик А. М. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973, т. 65, с. 997.

Denavit J., Pereira N. R., Sudan R. N. — Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 33, p. 1435.

Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 57,匕 966.

Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971.

Goldman М. V., Reiter G. F., Nicholson D. R. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 388.

Веденов А. А., Рудаков Л. И. — Докл. АН СССР, 1964, т. 159, с. 767.

Nishikawa К., Ryutov D. D. — J. Phys. Soc. Japan, 1976, vol. 41, p. 1757.

Freund H. P., Haber I., Palmadesso P., Papadopoulos K. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 518.

Брейзман Б. H., Феизов С. Г. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1974, т. 66, т. 200.

Pozzoli R., Ryutov D. D. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1782.

Freund H. P., Papadopoulos K. — Ibid., 1980, vol. 23, p. 139.

Sudan R. N. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. <1613.

. Briggs R. J., Clark J. C., Fessenden T. J., Hester R. E., Lauer E. J. — In: Proc, of the 2nd Intern. Topical Conf, on High Power Electron and Ion Beam Research and Technology. Vol. 1. — Ithaca, N. Y., 1977, p. 319.

Chambers P. W. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 483.

Berk H., Horton C. W., Rosenbluth M. N., Rutherford P. H. — Nucl. Fusion, 1975, vol. 15, p. 819.

Lee E. P., Yu S., Buchanan H. L., Chambers F. W., Rosenbluth M. N.— Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 2095.

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЧАСТИЦ

ДЖ. м. ДОУСОН, А. Т. ЛИН

Department of Physics, University of CaliforniaLos Angeles, California

ВВЕДЕНИЕ

Традиционное исследование поведения сложных физических систем осуществляется с помощью двух хорошо проверенных методик: экспериментальных методик, в которых система возбуждается некоторым контролируемым способом и наблюдается ее поведение, и теоретических подходов, в которых используются методы аналитической математики для определения поведения, согласованного с хорошо установленными физическими законами. В случае крупномасштабного явления часто приходится заменять наблюдения естественного поведения хорошо контролируемыми экспериментами. Благодаря комбинированному применению этих подходов достигнуты большие успехи в физике. Мы задаем вопросы природе посредством прямых экспериментов, результаты которых проверяют и расширяют наши теоретические знания. Несмотря на большие возможности и достижения этого подхода, имеется большое количество физических проблем, для исследования которых эксперименты трудны или невозможны, а одновременное взаимодействие большого числа степеней свободы делает аналитические теоретические рассмотрения непрактичными. Однако, хотя мы знаем, какие основные законы управляют системой, мы просто не можем выразить вытекающие из этих законов следствия. Большин- ство богатых разновидностей природного явления, которые наблюдаются вокруг нас, представляют именно этот тип. В другом предельном случае мы не можем быть уверенными в физических законах. Однако можно предложить законы, которые нельзя проверить из-за сложности теории (например, подробная эволюция космологии). Недавно благодаря появлению современных высокопроизводительных компьютеров стал возможным мощный новый метод для обоих типов исследований — метод численного моделирования.

Для численного моделирования конструируют численные модели системы или теории, которые хотят исследовать» Затем проводят численный эксперимент на высокопроизводительных компьютерах, позволяя системе эволюционировать от некоторой интересующей исследователя начальной ситуации в соответствии с используемыми законами. Компьютер может дать столько информации о деталях эволюции, сколько потребуется. Можно сравнить результаты каждого моделирования с теоретическими предсказаниями, основанными на упрощенных аналитических моделях, с экспериментальными наблюдениями явления в природе или использовать результаты для предсказания поведения неосуществленных (часто неосуществимых) экспериментов. Этот метод особенно плодотворен при исследовании сложного явления, включающего турбулентность. Данная статья посвящена применению этого подхода к плазменной турбулентности.

Материал ее разделен на ряд глав. В гл. 1 обсуждаются модели частиц, пригодные для моделирования плазмы, некоторые методы диагностики результатов таких вычислений, а также приведены примеры изучаемых процессов. В гл. 2 описаны результаты исследования переноса в плазме поперек магнитного поля, вызванного тепловыми электростатическими и магнитостатическими флуктуациями; в гл. 3 обсуждаются неустойчивости, вызываемые градиентом давления плазмы; в гл. 4 рассмотрены параметрические неустойчивости, возникающие из рассеяния электромагнитных волн на ионных волнах (бриллюэновского), на электронных волнах (рамановского) или на частицах (комптоновского); конверсия мод в неоднородной замагниченной плазме представлена в гл. 5; в последней главе описана генерация интенсивного излучения из релятивистских электронных пучков и обратный процесс, т. е. ускорение заряженных частиц интенсивным лазерным импульсом.

Вопросы, обсуждаемые в этой статье, тесно связаны с исследованиями групп Принстона и UCLA, с которыми авторы близки по этой тематике. Подобные и параллельные разработки имеются во многих лабораториях и университетах во всем мире; интересующийся читатель найдет хорошее обсуждение большинства из них в ссылках [1-з].

Глава 1

МОДЕЛИ ЧАСТИЦ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Модель частиц относится к наиболее удачным моделям численного моделирования плазмы. В этих моделях исследователь соперничает с природой, следя за движением большого числа заряженных частиц в согласованном электрическом и магнитном полях. Хотя этот метод считается простым и прямым, практические вычислительные ограничения требуют использования утонченной методики. Это вызвано в основном ограничением числа час^йц, за ,84

движением которых можно следить. Даже самые мощные компьютеры не могут следить за движением более чем нескольких миллионов частиц в течение значительного отрезка времени. Это число частиц можно сравнить с гигантским числом сталкивающихся частиц в лабораторной или естественной плазме (типичная плотность частиц 1012 см-3 для лабораторной плазмы и 1018 км~3 для космической плазмы; интервал плотности может меняться от 1027 см-3 для термоядерной плазмы в лазерной капле до 1 см-3 для внутри- звездной плазмы). По этой причине при моделировании можно рассматривать каждую частицу как совокупность многих частиц реальной плазмы (макрочастицу). Альтернативно численное моделирование можно рассматривать как моделирование очень маленькой, но характерной области плазмы.

Модели частиц для плазмы имеют многочисленные модификации. Имеются одномерные, двумерные и трехмерные модели; электростатические, магнитостатические и электромагнитные модели. Мы будем описывать только периодические модели частиц, хотя для некоторых явлений требуется использование моделей с границей. Описание электростатических моделей с границей можно найти в [4, 5] и электромагнитных моделей с границей — в [6, 7]. В наиболее общем случае траектории большого числа частиц изменяются во времени в соответствии с релятивистским уравнением движения

dtdtг=% [Е (/;•) +г=% [Е (/;•) +P/XR (Q)P/XR (Q)(1.1)(1.1)

dt

dt

г

=% [Е (/;•) +

г

=% [Е (/;•) +

P/XR (Q)

P/XR (Q)

(1.1)

(1.1)

тде Е и В — сумма самосогласованных и приложенных извне электромагнитных полей, рассчитанная по координате частицы и 丫^= =1+尸2了依2步2. Зная положение и скорость частиц, можно рассчитать плотность заряда и тока. Затем уравнения Максвелла интегрируются по времени:

鳥 Е = ”ХВ —4?J;

= —зХЕ;

V • В 0; \7 • Е 4тр.,

Существуют различные методы решения этой системы уравнений, причем каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Ниже кратко описан наиболее широко используемый метод. Более детальное обсуждение можно найти в [8].

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ

Очень эффективным методом определения положения и скорости частицы является стандартный алгоритм «перешагивания» (《лягушка》)[9], точность которого равна третьёй степени от шага по времени. Для электростатического и нерелятивистского приближений уравнения движения заменим следующей центрированной

.85

по времени разностной схемой:V； + I—V； 分 Е；十 1/2Ипо времени разностной схемой:V； + I—V； 分 Е；十 1/2И++v；+f 十 V；v；+f 十 V；22义&cj义&cj(1.3)(1.3)

по времени разностной схемой:

V； + I—V； 分 Е；十 1/2

И

по времени разностной схемой:

V； + I—V； 分 Е；十 1/2

И

+

+

v；+f 十 V；

v；+f 十 V；

2

2

义&cj

义&cj

(1.3)

(1.3)

(r；+3/2 _彳+1/2)/加=v:+L(1.4)

Здесь n ——индекс временного шага; скорости заданы в целых временных интервалах, а координаты — в полуцелых временных интервалах. Для расчета магнитной силы используют среднее значение скорости (*+1十丫；)/2 на временном шаге. Уравнение (1.3) линейно для Vj в следующий момент времени (〃+1),

小尸/24/小尸/24/тт(1.5)(1.5)так как в выражения входят известное значение скорости на предыдущем временном слое п и известное электрическое поле Е；*"?. Можно преобразовать уравнение (1.3) и записать его в виде

小尸/24/

小尸/24/

т

т

(1.5)

(1.5)

где R(®cjAtl2)—матрица вращения на угол о)с)А〃2 вокруг магнитного поля. Разрешение относительно V^+1 дает

V；” = V； R (sQ) + 喝亭 A/RV；” = V； R (sQ) + 喝亭 A/R(1.6)(1.6)

V；” = V； R (sQ) + 喝亭 A/R

V；” = V； R (sQ) + 喝亭 A/R

(1.6)

(1.6)

Из выражения видно, что новое значение скорости получается из старого поворотом его на угол(dCj^t относительно магнитного поля и добавлением изменения скорости, обусловленного электрическим полем, повернутым на угол Зс)А〃2 (осредненный поворот вектора скорости).

Уравнение (1.4) легко разрешается относительно г^ для нового полуцелого временного шага (〃十3/2), так как в нем содержатся известное значение координаты для шага 〃+1/2 и известное значение V^+1 :

r,/2 = r；+i/2+v；+&. (1.7)

Если используются полные уравнения Максвелла и выбирается нерелятивистская модель для частиц, то сохраняется описанная ранее схема с перешагиванием. Тогда необходимо знать среднее значение магнитной силы в течение временного шага, т. е. значение в полуцелых временных шагах. Будем использовать аппроксимацию

[VjXBjr+i/2 — 1[VjXBjr+i/2 — 1v； + v；+iv； + v；+i22В； + В?+12В； + В?+12(1.8)(1.8)

[VjXBjr+i/2 — 1

[VjXBjr+i/2 — 1

v； + v；+i

v； + v；+i

2

2

В； + В?+1

2

В； + В?+1

2

(1.8)

(1.8)

Для нахождения V^+1 используем явную схему, заданную уравнением (1.6). Метод определения В^+1 описан в главе, посвященной электромагнитным моделям.

86

При рассмотрении полностью релятивистских уравнений движения частиц чаще используют импульс частицы Р厶 чем скорость V；. Однако для определения нового значения Р；, как видно из уравнения (1.1), необходимо знать среднее значение Р； внутри временного шага. Поскольку Р)также находится в знаменателе уравнения (1.1), применять описанную ранее явную схему для расчета Р7 трудно. Вместо этого учитывают, что магнитное поле вызывает только вращение частицы вокруг силовой линии, но не изменяет энергии частицы. Общепринятая схема состоит в следующем: при расчете Р； на половине временного шага используют только электрическое поле, а для определения 丫；+"2 берут последнее значение Р；+"2 . Теперь уравнение (1.7) подобно нерелятивистскому уравнению движения, и для расчета Р)может использоваться ранее описанный явный метод.

Компьютер может следить только за малым количеством частиц, поэтому число столкновений частиц обычно превышает значения, которые предстоит моделировать. Для уменьшения столкновений и упрощения расчетов обычно используют модели частиц конечного размера в сочетании с дискретной пространственной сеткой. Вычислительный метод описан ниже. Для того чтобы частицы были действительно релятивистскими, они должны подвергаться лоренцеву сокращению. Это могло бы привести к форм-фактору, зависящему от скорости. Данное обстоятельство усложняет расчеты, но их можно провести, если частицы не строго релятивистские. Если они строго релятивистские, лоренцево сокращение может быть настолько большим, что размеры частицы в направлении движения становятся много меньше пространственной сетки. Однако использованная для расчета полей схема со взвешиванием заряда автоматически растягивает частицу до размера сетки, так что действительное сокращение после этого невозможно. Насколько известно, такая поправка никогда не вводилась в расчеты, однако даже в строго релятивистских случаях кажется, что коды дают результаты с разумной точностью, согласующиеся с теорией там, где возможны проверки.

Одна из особенностей теории относительности состоит в том, что пространство и время рассматриваются единообразно. Однако все существующие коды обращаются с пространством и временем совершенно различно. Поля и положения частиц задаются на фиксированной пространственной сетке и продвигаются во времени с помощью конечно-разностной схемы. Фильтрация коротких волн происходит из-за использования частиц конечных размеров и анализа Фурье при расчете полей. Для временной переменной аналогичной техники не существует, хотя недавно были развиты неявные методы для расчета полей на крупных временных сетках [9]. Это фундаментальные проблемы моделирования, которым уделяется значительное внимание.

МЕТОДЫ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТАЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

В моделях частиц время и пространство дискретны. Временной шаг и пространственная сетка должны быть малыми по сравнению с характерными временем и длиной вариаций интересующего физического явления. При решении уравнений Максвелла для электрических и магнитных полей суммируем заряды и токи частицы на пространственной сетке. Плотность заряда и тока для частиц конечного размера задается следующим образом:

P(『)=£%S(r —口)(1.9)

и/

j(「)= S%Y・s(r —『/),(1.Ю)

где S (г)—форма множителя, задающего распределение заряда частицы относительно ее центра. Имеются различные схемы для представления частиц на сетке. Здесь мы остановимся на подходе, который представляет мультипольное разложение плотности заряда относительно узлов сетки [10]. Для частиц конечного размера такое разложение сходится достаточно быстро [11], и на практике ограничиваются дипольным разложением.

Имея распределение зарядов на регулярной сетке, можно быстро найти численное решение с помощью схемы с центральными пространственными разностями [12] или посредством быстрых преобразований Фурье [13].

Для мультипольного разложения относительно узлов сетки запишем плотность заряда в следующем виде:

р (г)匸工 ％S (г - r;) = j 工 ％S (r - %•) + Aiy VgS (r — %•) + …卜 (Ml)

Здесь rgj — ближайший сеточный узел относительно частицы /, и это выражение представляет простое разложение Тейлора или мультипольное разложение заряда частиц относительно ближайшего узла сетки. Если удерживается только первый или монопольный член, то разложение называют аппроксимацией до ближайшего узла сетки или NGP; удержание членов с первой производной дает дипольное разложение. При желании можно сохранить мультипольные члены более высокого порядка. Поскольку частицы аппроксимируются рядом зарядов и диполей конечного размера, можно заменить суммирование по частицам суммированием по узлам сетки

Р (Г) Т {Q(7)s (г — %) + D (%) • VgS (г …％)},(1.12)

где

Q(「g)= 2 %(113)

и

D(%)= 2 %厶今(1.14)

В Q(fg) суммирование зарядов проводится по частицам, для кото- рнх「g является ближайшим узлом сетки и D(r^) есть полный дипольный момент этих частиц относительно fg. Используя эту ап- проксимаю, получим плотность рядов и диполей, распределенную на однородной сетке. Плотность тока может быть рассчитана аналогичным образом. Для нахождения электрических и магнитных полей можно использовать анализ Фурье. Благодаря однородной пространственной сетке для получения решения можно использовать эффективный численный метод быстрых преобразований •Фурье (БПФ) [13]. Такие преобразования требуют периодичности системы (двойной периодичности в двумерном случае и тройной — в трехмерном) и чтобы число мод равнялось числу узлов сетки. В пространстве Фурье плотность заряда приобретает вид

p(k) 4s(к)2 [Q(「g)—ikD(rg)] exp (—ik・「g);(1.15)

p(k)~S(k) [БПФ Q(rg)—ikBF[①{D(rg)}].(1.16)

БПФ дает поля для точечных частиц, и эффект конечного размера учитывается при преобразовании формфактора.

Включение дипольного члена в уравнения (1.15) и (1.16) суще- -ственно увеличивает число операций для БПФ (в 2 раза в одномерном случае, в 3 раза в двумерном случае и в 4 раза — в трехмерном). Количество операций может быть сокращено заменой дипольной аппроксимации методикой «взвешивания» заряда. В этой методике лучше, чем в аппроксимации заряда зарядом и диполем в ближайшем узле сетки, используется взвешенное распределение заряда по четырем ближайшим узлам сетки (в двумерном случае); взвешивание должно быть таким, чтобы полный заряд и дипольный момент относительно центра ячейки не искажались. В случае полного электромагнитного поля подобная процедура может быть использована для токов. •

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Для электростатических моделей необходимо найти решение (только уравнения Пуассона. В пространстве Фурье оно имеет вид

E(k) = (—4nik/k2)p(k),(1.17)

где р(к) задается уравнением (1.16). Электростатическое поле в узлах сетки можно получить обратным быстрым преобразованием Фурье для уравнения (1.17). Используя предыдущую аппроксимацию до ближайшего узла сетки или процедуру взвешивания заряда, получаем

Е (%) = 5门①- [S (к)БПФ { ~=^L Q (%)}].(1.18)

Определяя силу, действующую на частицу из этого поля Е, необходимо учитывать два фактора. Во-первых, принимать во внимание тот факт, что частица не находится в узле сетки. Определяется эта сила подходящей интерполяцией.

Второй фактор, который следует учитывать, это конечный размер частицы. Сила, действующая на частицу конечного размера, является средним взвешенным электрическим полем

Fj«) =『E(r)S(r—(1.19)

Можно проделать анализ Фурье для F； (г；):

耳闺=1(2冗* J Fj 储)exp (ikr,)"勺；(1.20)

F(k)=S(—k)E(k).(1.21>

Здесь /г — размерность пространства.

Теперь Е является полем группы частиц конечного размера. Его преобразование Фурье можно записать через поле, созданное набором точечных частиц и S(^):

E(k)=S(^)ET(k)(1.22)

F(k) = |S(尉 |2Ет(к)・(1.23)

Вместо Е в расчетах используем F и вычисляем его значение в узлах сетки; силу, действующую на частицу, находим, применяя линейную интерполяционную схему.

Можно записать уравнение Власова для частиц конечного размера:

玄+ v樂嘗=0,(1.24>

где f(「, v)——распределение центров частиц и их скоростей в пространстве г, V； F — сила, действующая на частицу:

F &) н g , S (г — г,) Е (「) d什.(1.25)

Электрическое поле задано выражением

V・E = 4阳口 (У, 7)S * — r^d^r'c1nv‘;(1.26)

VXE=0.(1.27)

Анализ Фурье и стандартный анализ типа анализа Ландау дают следующую диэлектрическую проницаемость, связанную с частицами конечного размера:

s (Л, о)) = 1s (Л, о)) = 1(1.28)(1.28)32P |S@)『:kdf0/du

s (Л, о)) = 1

s (Л, о)) = 1

(1.28)

(1.28)

J (-k・v+R)

—oo

соотношение по-соотношение по-ДисперсионноеДисперсионное6n6n

соотношение по-

соотношение по-

Дисперсионное

Дисперсионное

6n

6n

Рис. 1. Зависимость отношения поперечного сечения рассеяния частиц конечного размера и точечных частиц в двумерном — цилиндр (Д) и трехмерном — сфера (6) случаях (согласно [14]); R — радиус облака; %D — дебаевская длина

Здесь iv ——малый затухающий член, добавленный для того, чтобы интеграл по скоростям не расходился; выражение (1.28) должно рассматриваться в пределе iv—>0.

(財3)(財3)лучается приравниванием 8

(財3)

(財3)

нулю. Оно идентично соотношению, полученному для точечных частиц с учетом того, что dp заменено 画々)|2叫.Таким образом можно получить дисперсионное соотношение для ЧКР из соотношения для точечных частиц заменой ⑴？〃 на

|S(M卩①2「

Для частиц с гауссовой формой выражение для |S(^)|2 имеет вид

(1.29)(1.29)|S(E) 12=ехр (—k^a1)](2п)пап,

(1.29)

(1.29)

где а — характерный размер гауссового распределения плотности заряда. Таким образом, частицы конечного размера модифицируют дисперсию плазмы. Это накладывает ограничение на размер используемых частиц.

Применение частиц конечного размера уменьшает столкновение, поскольку снижается импульсный характер силы взаимодействия при прохождении частиц вблизи друг друга. Детальная теория этого явления разработана в [14], и результаты приведены на рис. 1.

В двумерной плазме, состоящей из ЧКР, коэффициент столкновений уменьшается примерно на порядок для частиц, радиус которых равен дебаевской длине и не зависит от числа частиц в дебаевской сфере. В трехмерных моделях уменьшение коэффициента столкновений зависит от числа частиц в дебаевской сфере, но оно обычно больше, чем в двумерном случае.

ЭЛЕКТРОМА「НИТННЕ МОДЕЛИ

До сих пор мы ограничивались электростатическими моделями частиц. Однако многие проблемы в физике плазмы связаны с самосогласованными магнитными полями и электромагнитным излучением. Для решения этих проблем необходимы более сложные модели. Наиболее общая модель использует полную систему уравнений Максвелла для Е и В— (1.1). Как и в случае электростатических моделей, решение уравнения Максвелла удобно искать в пространстве Фурье, снова используя быстрые преобразования

Фурье. Для удобства разложим Е и j на поперечную и продольную компоненты; В имеет, конечно, только поперечные компоненты, которые определяются соотношениями

к・Ет(к, f)=0; kxEb(k, 0=0；(1.30)

k jr(k, /)=0; кХк(к, 0=0;(1.31)

卜他，/)』к*к,」)；j(k, /) = j(k, /) —jjk, 〃(1.32)

где индексы Г и 厶——поперечная и продольная компоненты соответственно. Продольная компонента Е находится, как и в случае электростатического поля, из уравнения Пуассона.

Поперечные поля Е и В находятся из решения уравнений Максвелла

ikXE「(k, /)= __^в「(к, 0；(1.33)

ikXB^k, /)=』"Е,(к,~(L34)

Здесь опять переводим эти уравнения в конечно-разностные по времени и применяем схему с перешагиванием для нахождения Вт и Ет (рис. 2). Интересно использовать дифференциальные урав-

m)力伙)j也)

m》At 〃Lt伊，M? (Jz%」Рис. 2. Схема с перешагиванием для

определения поперечных компонент

S%即 S吻川仪淞"L электромагнитного поля

E<k) E『(k) E£k)

нения для расчета электромагнитных полей, заданных уравнениями (1.53) и (1.34), когда плазма отсутствует, т. е. когда jy—0. Сравним это решение с известным решением для вакуума. Уравнения (1.2) для Ет и Вт принимают вид

ikXE『(k, [〃 + 1/2]А/) = ~^{Вт(к,[〃十"△/)—В「(к, 〃碌)}; (1.35)

ikXB"k 〃绚二二击{E/,[?+1/2]绚-…丁色，[? —l/2]Af}.

(1.36)

Следуя стандартной процедуре, находим решения в форме

Е(к, /)=Е°(к) ехр {ко [/г+1/2]ДО；(1.37)

В (к, /)=В°(к) ехр (ко/гА%).(1.38)

Подстановка соотношений (1.37) и (1.38) в уравнения (1.35) и (1.36) приводит к дисперсионному соотношению

胪,2=(4/А/2)sin2 ®А〃2). (1.39》

Из этого уравнения видно, что при

^с2Д/2/4<1 (1.40)、 получаются решения для ① и что отклонение по частоте ①？——^2с2' всегда положительно. Если ^2с2Д/2/4> 1, имеются только комплексные корни для со и алгоритм неустойчив. Из этого видно, что; временной шаг ограничивается сверху модой с наибольшим или электромагнитной модой с наивысшей частотой, которые входят в задачу. Это ограничение является условием Куранта — Фридрих- са [15].

Отклонение по частоте для малых kc\t приближенно определяется как

3 = 土品(l+出2c2A/2/24+ . ..). (1.41) При значении hcNt、равном 0,2, (|со| — |^с| )/|^с| = 1,7-10"~3, что обычно не является заметной погрешностью.

Тот факт, что фазовая скорость больше скорости света с для、 всех k{\^/k\ =vp>c)f также является важным свойством это го алгоритма. Если моделируется релятивистская плазма и если зто не тот случай, когда релятивистские частицы могут достигэть фазовой скорости световых волн, то как следствие они испускают фиктивное черенковское излучение [16, 17], которое может легко исказить интересующее явление.

Здесь, как и в случае электростатических моделей, интерес представляют в основном коллективные процессы, масштаб которых превышает размеры пространственной ячейки. К тому же высокочастотные короткие волны обычно слабо взаимодействуют с плазмой, и поэтому можно с уверенностью их исключить. Для этого обрезаем число гармоник 左,которые учитываются при расчете электромагнитного поля, и получаем возможность использовать большие временные шаги.

Упомянутая выше схема центрирована по времени настолько, насколько связаны Е и В. Однако уравнение (1.34) включает ток j, который зависит как от положений, так и скоростей частиц. В схему с перешагиванием входят значения j в целые временные шаги. Если скорости определены в целые временные шаги, а положения—в полуцелые временные шаги, то легко приближенно определить положения в целые временные шаги. Для многих приложений это можно получить с достаточной точностью просто использованием скорости в последний временной шаг для приближенного продвижения частицы из момента времени (/г—1/2)Д/ в пДл Это так потому, что, во-первых, скорость — более важный параметр при определении тока, чем положение, и, во-вторых, электромагнитные волны обычно имеют большие фазовые скорости по сравнению с частицами и несомненно по сравнению с изменением скорости в течение одного временного шага, так что погрешность в фазе при вычислении j из этого приближения мала.

МАГНИТОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДАРВИНА

При использовании полных электромагнитных уравнений мы вынуждены «продвигать» систему с временным шагом, устанавливаемым электромагнитной модой с наивысшей частотой, удерживаемой в модели. Обычно она составляет несколько плазменных частот (что соответствует времени прохождения светом пространственной сетки). Однако существуют многие плазменные задачи с низкочастотными самосогласованными электромагнитными полями (альфвеновские волны, пинчи, ионные циклотронные волны), для которых лучше не ограничиваться таким коротким временным шагом. Для решения этих задач используют модель Дарвина, в которой пренебрегается током смещения [18, 19]. Тогда уравнения Масквелла в пространстве Фурье принимают вид

ikXEL(k)=4np(k); (1.42)

ikXE『(k) = —；^~Вт(к); (1.43)

-ikXBr (к) = 4向丁 (k)/c. (1.44)

Символами L и Г отмечены продольная и поперечная компоненты. Плотность заряда и тока описываются уравнениями (1.9) и (1.10). Если решают задачи, в которых влияние электрического поля не важно, то уравнение (1.42) можно отбросить; электростатическое поле вызывает плазменные колебания и силы, расчет которых должен проводиться на временной шкале плазменной частоты; отбрасывание уравнения позволяет сильно увеличивать используемый временной шаг.

Уравнения (1.42) — (1.44) не являются динамическими для Ет (нет члена dET/dt). Таким образом, схема с перешагиванием, использованная для полностью электромагнитного случая, здесь непригодна. Если попытаться интегрировать уравнение (1.43), непосредственно используя конечно-разностные схемы, то окажется, что алгоритм обладает численной неустойчивостью. Неустойчивость обусловлена взаимной индуктивностью между токами в разных частях системы; изменение токов в одной части системы создает Е-гюля, которые вызывают токи в других областях плазмы; эти токи поочередно возбуждают Е-поля, которые модифицируют первоначальные токи. Этот эффект легко анализируется дополнением уравнений (1.43) и (1.44) гидродинамическим уравнением для тока

djT/dt— +(о2р^Ег/4л, (1.45) и исключением из рассмотрения электростатических полей в уравнении (1.42). Доказательство опущено и предоставляется читателю в качестве упражнения.

Один из путей обхода этой трудности состоит в исключении В из уравнения (1.44), используя уравнение (1.43), и получении уравнения для Ет：

-k2Er (k)^^Ajr> (1.46)

Для 备 ％ запишем

鳥 j「(к) = £^「+ -^р- (поправочные члены). (1.47)

Здесь 万 ——средняя электронная плотность; поправочные члены (d/dt)jTC получены дифференцированием по времени уравнения (1.10) и вычитанием е2пЕт/т. Уравнение (1.47) без поправочных, членов имеет вид

d/т (к) /dt= (e2n/m) Ет (к)(1.48)'

и описывает большие эффекты индуктивной связи полей; правый член описывает только экранирование тока, т. е. если в плазме возбуждается ток, то обратный ток создает экранировку от поля В и связанное поперечное поле Е на расстоянии с/(^ре. Подставляя (1.47) в уравнение (1.46), получаем уравнение для поперечного электрического поля

炉 + 学Ве「(©=(1.49).

где о)2ре — средняя плазменная частота, равная 4乳硏т. Уравнение (1.49) подобно уравнению для электростатического экранирования

— i^+^pe/v^^ik) =4jtps；(1.50)

в нем djrddt играет роль источника заряда ps в уравнении (1.50); дебаевская длина vTe/^pe в (1.50) заменяется членом с/(дре в уравнении (1.49). Таким образом, уравнение (1.49) описывает экранирование поперечных электрических полей, созданных источником djTc/^t.

Выражение d]Tc/dt в уравнении (1.49) усложнено [18]; оно содержит среди других членов и такой:

[(е^т} (п(г)-п)Ег(г)],.(1.51)

Для решения (1.49) применяют итерационную процедуру, в которой задают значение Ет (это может быть последнее значение Ет) и используют его1 для оценки выражения (1.51) (фактически всех членов в d]Tc/dt). Его подставляют в уравнение (1.49) и находят новое значение Ет. Это новое значение снова используют в (1.51), и весь расчет повторяют. Эту процедуру продолжают до тех пор, пока новое значение Ет не будет отличаться от предыдущего меньше, чем на допустимую погрешность. Практика показала, что процесс сходится очень быстро после двух или трех итераций, исключая случай сильнонеоднородной плотности электронов с /г, превышающей в некоторых точках 4无.Если п превышает 4 亢，процедура неустойчива, но она может оказаться пригодной, если вместо п использовать значение больше, чем максимум п/4. Детали этого кода можно найти в [18].

ДИАГНОСТИКА

Обсуждаемые вычислительные модели могут дать большую детальную информацию о поведении плазмы. В принципе можно получить столько характеристик динамики модели, сколько необходимо. Можно следить за движением любого заданного скопления частиц, записывать характер изменения во времени пространственных мод Фурье, следить за шространственными и временными корреляциями и многими другими величинами. Проблема состоит не в расчете этих величин, а, скорее, в определении группы характеристик, которые извлекут значительную информацию из большого количества имеющихся данных. Большой массив вычислительной продукции обычно бесполезен, если не выражать результаты с помощью значительно упрощенной теории или физической картины. В сущности эта проблема родственна статистической механике. Примеры диагностики можно найти во всех статьях, касающихся моделирования плазмы [20, 21 и 22]. Идеи, связанные с шумом и стохастическими процессами, изложены в [23].

'Во многих случаях измерения, подобные используемым в диагностике лабораторных экспериментов, оказались полезными в диагностике численных моделирований. Однако в численном моделировании имеется преимущество в том, что можно проводить измерения с существенно высокой точностью. При этом сам акт измерения не искажает систему. Кроме того, не надо беспокоиться о краевых эффектах, которые часто трудно исключить или проконтролировать в лабораторных экспериментах, например присутствие примесей, вихревые токи в стенках, плохое понимание граничных условий Преимущество численного моделирования состоит также в том, что можно включать и выбрасывать различные .аспекты физической модели и таким образом определять их важность в наблюдаемых физических процессах. Примерами здесь являются включение, и выключение продольной или поперечной компонент электромагнитного поля, а также уменьшение размерности. Если подозревается, что определенные области волнового' спектра ответственны за интересующее явление, можно проверить это выключением поля этих волн при расчете силы. Альтернативно можно удерживать члены, описывающие поля только тех волн, которые считаются важными, и смотреть, продолжает ли существовать явление. И, наконец, численное моделирование позволяет часто измерять величины, непосредственно входящие в плазменные теории, что не всегда возможно в лабораторных экспериментах.

Конечно, моделирование имеет ограниченные возможности, так как можно •рассматривать только ограниченное количество частиц. Система, которую можно -рассматривать, ограничена по размерам. Можно следить за движением только на ограниченном отрезке времени. Обычно рассматривают упрощенные физиче- •ские системы (например, одномерные и двумерные системы).

Поскольку имеется неограниченное разнообразие осуществимых измерений, •рассмотрим только некоторые наиболее важные.

А. Измерения, относящиеся к движению частиц. Функция распределения. Основной характеристикой частиц является их положение и скорость в различные моменты времени r(/), v(/). Прежде всего рассмотрим функцию распределения. В одномерных системах ось скорости между экстремальными значениями разбиваем на равные по размеру ячейки. Мы просто подсчитаем число частиц, скорости которых «попадают в каждую из этих ячеек в любой •конкретный момент времени. Это можно сделать для различных пространственных координат плазмы, создавая комбинированную функцию распределения по 吗6

координатам и скоростям (для этой цели, конечно, необходимо разделить координату х на пробные ячейки, которые обычно существенно больше). В двумерных моделях пространство vx, vy разбивается на квадратные ячейки.

Точность, с которой строятся функции распределения, определяется статистикой. Погрешность при определении n(v) равна корню квадратному из числа частиц в соответствующей ячейке. Эти статистические погрешности обычно могут быть уменьшены выбором короткого времени усреднения. Чем больше время усреднения, тем меньше статистическая погрешность. Однако, поскольку обычно рассматривают системы, эволюционирующие во времени, усреднение по слишком длинному интервалу времени может привести к погрешностям, обусловленным этими вариациями Статистические погрешности можно уменьшить, применяя большее число частиц или проводя усреднения по ансамблю, т. е. повторяя численные эксперименты с различными микроскопическими начальными условиями, но одинаковыми макроскопическими условиями.

Относительную погрешность определяют по формуле А^~^2, где ^s ——число независимых испытаний, включенных в усреднение. Дива измерения, проведенных на коротком отрезке времени, не будут статистически независимыми. Время ослабления корреляции тс (время, необходимое для того, чтобы два измерения рассматривались независимыми) зависит от способа измерения и физического процесса, ослабляющего корреляцию. Это время часто можно оценить на основе физических соображений; с другой стороны, измерение этих корреляций может дать физическую информацию о поведении системы. Можно также использовать технику спокойного старта [24] для уменьшения шума.

Часто представляют интерес не полная функция распределения, а скорее, более грубые макроскопические свойства, такие как полная энергия электрического поля, температура и гидродинамическая скорость течения. Такое усреднение можно проводить с большей точностью, чем расчет полной функции распределения.

Сопротивление частицы. Сведения о сопротивлении, испытываемом (проходящей через <плазму частицей, часто представляют значительную практическую и теоретическую ценность [20]. Для определения сопротивления возьмем ряд частиц со скоростями, лежащими в малом интервале относительно интересующей нас скорости в некоторый момент времени / = /(). Будем следить за этой группой частиц во времени и вычислим среднее значение их скоростей (среднее по группе) в последующие моменты времени <у (/04~т)>• По коэффициенту затухания скорости можно определить среднее сопротивление, испытываемое частицами с различными скоростями, — величину, имеющую большое значение в кинетической теории плазмы. Для тепловой плазмы или плазмы, находящейся в стационарном состоянии, это нельзя сделать выбором системы частиц. Таким образом, для таких случаев можно улучшить статистику выбором разнообразных систем частиц в различные начальные моменты времени 力[но все значения и (/о) должны быть в рассматриваемом интервале скорости]. При этом затухание скорости можно измерить как функцию аргумента /—tQ.

Диффузия п о скоростям. Наряду с сопротивлением частицы представляет интерес диффузия по скоростям [20], вызываемая столкновениями между частицами или плазменной турбулентностью. В тепловой плазме коэффициенты сопротивления и диффузии по скоростям связаны соотношением Эйнштейна. Диффузия по скоростям, вызванная турбулентностью, дает некоторую информацию о турбулентном процессе.

Для расчета диффузии по скоростям вычислим среднее квадратическое смещение по скорости как функцию времени для пробных частиц, которые стартовали со скоростями, лежащими в малой области скоростного пространства:

(1.52)(1.52)<Ду2> = < (v(/o + t) —<v(/o + t) >)2>,

(1.52)

(1.52)

где скобки < > означают усреднение по ансамблю пробных частиц, который может быть выбран любым образом (например, лежащим внутри малой области

<4心<4心Рис. 3. Развитие во времени среднего квадратического разброса по скорости группы частицРис. 3. Развитие во времени среднего квадратического разброса по скорости группы частицвокруг некоторого начального значения Vo). Обычно <Av2> имеет временную зависимость, подобную изображенной на рис. 3, и растет как т2 при малых значениях т. Такое поведение хорошо известно из теории необратимой статистической механики [25]. Зависимость на ранней стадии определяется тем, что первоначальные частицы ускорены любой действующей на них силой. Конечно, на разные частицы группы действуют различные силы. Однако после отрезка

<4心

<4心

Рис. 3. Развитие во времени среднего квадратического разброса по скорости группы частиц

Рис. 3. Развитие во времени среднего квадратического разброса по скорости группы частиц

времени, известного как время нарушения корреляции, сила, действующая на каждую частицу, стрем«ится к некоторому нескоррелированному с первоначальной силой значению, после чего средняя квадратическая скорость растет линейно во времени, как если бы частица получила серию независимых случайных импульсов. Конечно, любая действующая на частицы систематическая сила, например созданная магнитным полем, может ввести осцилляции в <Аи> и в <Ду2>. Диффузия (поперек магнитного поля. Одной из важных и фундаментальных проблем физики плазмы является определение скорости диффузии /плазмы поперек магнитного поля. Такую диффузию можно измерить для ансамбля .пробных частиц с помощью следующей процедуры. Положение ведущих центров заряженных частиц в магнитном поле задается выражением

「gc=「—[scX「](1.53)

ведущего центра отсутствуют «в расчете диффузии по-ведущего центра отсутствуют «в расчете диффузии по-где G)c = gB/mc. В отличие от частиц в движении быстрые осцилляции. Поэтому ведущие центры удобны

ведущего центра отсутствуют «в расчете диффузии по-

ведущего центра отсутствуют «в расчете диффузии по-

Рис. 4. Развитие во времени среднего квадратического разброса в смещениях ведущих центров группы частицРис. 4. Развитие во времени среднего квадратического разброса в смещениях ведущих центров группы частицперек магнитного поля. Для этого вычисляют среднеквадратическое смещение ведущих центров системы пробных частиц, т. е.

Рис. 4. Развитие во времени среднего квадратического разброса в смещениях ведущих центров группы частиц

Рис. 4. Развитие во времени среднего квадратического разброса в смещениях ведущих центров группы частиц

<^gc>=<(rgc(t)-rgc (0) )2>. (1.54) Эта величина имеет обычную зависимость от времени (рис. 4).

Б. Измерения, относящиеся к волнам. В плазме может существовать большое многообразие волн, и многое в ее поведении связано с движением этих волн. Электрическое и магнитное поля связаны с волнами, поэтому прежде всего следует определить эти поля в различных пространственных точках и в различные моменты времени, т. е. Е(г, /) и В (г, /).

① луктуации волновых полей. В 'Пространственно-однородной плазме волны синусоидальные и анализ Фурье электрических и магнитных полей проводится в ^пространстве: Е(к, ./), В (к, t), Е2(к, /)2, В2 (к, /) — мгновенные значения и <Е(к) >, <В (к) ><Е2(к) ><В2(к) >—усредненные по времени.

Для тепловой плазмы <Е2(к) >^ А и <В2(к) >f А (М означает усреднение по времени) предсказываются равновесной статистической механикой: для электростатических и магнитостатических моделей они берутся из заданных ниже значений.

К72/Л (1 + 论2入D2)К72/Л (1 + 论2入D2)КТ2i (1 + KMQКТ2i (1 + KMQТочечные частицы:

К7

2/Л (1 + 论2入D2)

К7

2/Л (1 + 论2入D2)

КТ

2i (1 + KMQ

КТ

2i (1 + KMQ

(1.55)

(1.56)

入 EM = C/Spe.

Осреднение для В2Г проводится в случае поперечной шоляризации (обычно допускаются две по1перечные поляризации, но случается, что модель может быть ограничена только одной поляризацией).

Выше п ——размерность и шредполагается, что плазма ограничена кубом с длиной ребра L. Для длинных волн эти формулы предсказывают, что средняя

энергия поля для ^-моды составляет КТ/2

<^L(y)>tAL^[Ъп = КТ/2,耿。《1;(1.57)

<В2т (k) >f aL^ /8л = KT/2,泳em《L(1.58)

Чистицы конечного размера. Для плазмы, состоящей из частиц конечного размера с гауссовой формой 、

gexp[ 一 (r -炉/(242)]

Р二^7V ( L 59)

выражения (1.55) и (1.56) модифицируются:

c 〉偌=2厶〃口+必入2dеXр (外出Н；(1 • 60)

/%(к)—КТ

(8冗 % J2i [1+ 胪入2em exp (胪制•(1 • 61)

Здесь представлено усреднение по времени плотностей энергии полей для отдельных k. Как следствие оно ничего не говорит о временной зависимости полей или о том, как эта энергия распределена по частотам. Временная и частотная зависимости полей дают большой объем информации о динамике плазмы. Поэтому интересно рассчитать преобразование Фурье полей во времени. В качестве примера можно вычислить спектральную мощность продольного электрического поля

<E2L(k,(о)>

筋 =久(k, to).

(1.62)

пакюнТтш dEy患пакюнТтш dEy患—7,6—0,8—7,6—0,800,83/秋 ©00,83/秋 ©Рис. 6. Спектр флуктуаций электрического поля замагниченной плазмыРис. 6. Спектр флуктуаций электрического поля замагниченной плазмыМода (3,0)Мода (3,0)3W793W79/ G=A 修/ G=A 修Для тепловой плазмы в отсутствие поля В она имеет форму вида рис. 5 [25]. Здесь < > указывает усреднение, выполненное по большому числу повторений моделирования (обычно не проводящихся), или усреднение, выполненное по узкой полосе со. Если такое усреднение не проводится, то получается нерегулярный пикообразный спектр мощности с пиками, разделенными интервалом Аз弋Л /Т, где 7 — характерная продолжительность процесса; по смыслу Т-】должно быть меньше любой спектральной особенности, и, таким образом, нерегулярные пики выразительнее спектральных особенностей. 一

пакюнТтш dEy患

пакюнТтш dEy患

—7,6—0,8

—7,6—0,8

00,83/秋 ©

00,83/秋 ©

Рис. 6. Спектр флуктуаций электрического поля замагниченной плазмы

Рис. 6. Спектр флуктуаций электрического поля замагниченной плазмы

Мода (3,0)

Мода (3,0)

3W79

3W79

/ G=A 修

/ G=A 修

Рис. 5. Спектр флуктуаций электрического поля, полученный при моделировании двумерной плазмы

В случае з@》^ит имеются две особенности: 1) непрерывный спектр центрирован около нулевой частоты; 2) выраженная спектральная линия находится вблизи плазменной частоты. Отчетливая спектральная линия связана с плазменными колебаниями; низкочастотный континуум возникает из-за случайных движений частиц и окружающих их дебаевских облаков за счет дебаевского экранирования. Когда соР становится большим то сравнению с kvTi размер низкочастотного континуума уменьшается и плазменный пик становится высоким и большим; с другой стороны, когда kvT становится большим по сравнению с Зр» уменьшается амплитуда плазменного пика, увеличивается его ширина и он поглощается в непрерывный спектр [25, 26].

Если плазма погружена в однородное магнитное поле, спектры продольного поля, распространяющегося перпендикулярно к В, имеют форму, показанную на рис. 6 [27]. Спектр имеет большое число пиков вблизи электронной циклотронной частоты [28]. Имеется большой пик на верхней гибридной частоте. На рис. 6 представлен график для системы с подвижными электронами и зафиксированными ионами; если ионы подвижны, то появляются дополнительные пики, обусловленные циклотронным движением ионов и нижнегибридными осцилляциями. Циклотронные гармоники, или пики Бернштейна, имеют относительно малую амплитуду после прохождения верхней гибридной частоты. В дополнение к пикам Бернштейна появляется лик на нулевой частоте; этот пик связан с конвективными ячейками [29, 30] или 'вихрями, обусловленными заряженными трубками тока. Если проинтегрировать <E2(k, со) > по всем <о, то получится результат, соответствующий осредненным по времени полям Е.

G(k,G(k,ООООт) cos сот d弋.т) cos сот d弋.Рис. 7. Корреляционная функция электрического поля в плазме при отсутствии приложенного поля в двумерном моделированииРис. 7. Корреляционная функция электрического поля в плазме при отсутствии приложенного поля в двумерном моделированиизование ведущего центра для электронов [33] или неявных схем [34] длязование ведущего центра для электронов [33] или неявных схем [34] дляисключения высоких частот и, следовательно, для использования больших вреисключения высоких частот и, следовательно, для использования больших вре

G(k,

G(k,

ОО

ОО

т) cos сот d弋.

т) cos сот d弋.

Рис. 7. Корреляционная функция электрического поля в плазме при отсутствии приложенного поля в двумерном моделировании

Рис. 7. Корреляционная функция электрического поля в плазме при отсутствии приложенного поля в двумерном моделировании

зование ведущего центра для электронов [33] или неявных схем [34] для

зование ведущего центра для электронов [33] или неявных схем [34] для

исключения высоких частот и, следовательно, для использования больших вре

исключения высоких частот и, следовательно, для использования больших вре

электрическоэлектрическоВременная корреляция. Со спектральной плотностью

электрическо

электрическо

го поля тесно связана корреляционная функция

C(k, = С [石(к, 0 £ (к, / 十叫]山.(1.63)

О

Для численного моделирования этот интеграл, конечно, должен быть заменен суммой по временным интервалам и бесконечный верхний предел должен быть заменен условным максимумом. С (к, т) и G(k, со) связаны соотношением Винера—Хинчина [31]

(1.64)

Типичная форма С(к, со) представлена на рис. 7.

Приведем примеры моделирования турбулентной плазмы. Хотя они охватывают только малую часть того, что можно найти в литературе, они все же дают представление о том, что можно получить численным моделированием.

Заметим, что мощность компьютеров и моделей, используемых для моделирования плазмы, непрерывно растет, поэтому более реальные и сложные проблемы постепенно становятся доступными для решения. Можно указать примеры специальных методик: «спокойный» старт

для понижения начального шума плазмы [24], использование электронов с различными зарядами и массами, но с тем же отношением заряда к массе [32] для улучшения статистики, исполь-

менных шагов при исследовании низкочастотных проблем.

Глава 2

РАСЧЕТ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Одной из фундаментальных проблем физики плазмы является диффузия плазмы поперек магнитного поля. Экспериментально найденная диффузия редко соответствует предсказанной теорией двойных столкновений заряженных частиц, хотя в некоторых случаях эти предсказания достаточно точны. Обычно отсутствует

101

удовлетворительная теория, которую можно применить к экспериментам общего характера, так как перенос характеризуется коллективным движением плазмы. Поскольку такое коллективное движение может быть связано с турбулентностью, создаваемой неустойчивостями или генерацией плазмы, неудивительно, что перенос плазмы поперек магнитного поля является сложной проблемой в экспериментальной и теоретической физике плазмы. Коллективное движение может доминировать в переносе даже тепловой плазмы. Это явление изучают с помощью численного моделирования. В переносе плазмы с низким 0 основную роль играет конвекция или вихревая диффузия. Магнитные флуктуации в плазме с конечным 6 могут создавать запутанные магнитные поля, в которых электроны случайным образом перемещаются в пространстве вдоль случайных силовых линий магнитного поля. Явление ярко выражено в двумерных моделях [35, 36]. Здесь мы ограничимся обсуждением именно двумерных результатов, хотя в литературе широко обсуждаются и трехмерные результаты.

Конвективный перенос электронов также вызывается низкочастотным движением ионов в нижнегибридных волнах. Некоторые результаты этих исследований можно найти в [37——41]; [42] объединяет значительную часть из них. Результаты этих моделирований можно понять на основе простой приближенной теории.

ТЕОРИЯ ДВУМЕРНОЙ ДИФФУЗИИ

Рассмотрим двумерную плазму, представленную в виде стержней, параллельных полю 3, направленному вдоль координаты г, и допустим движение стержней только в направлениях ——х, у (модель размерности 2Q). В более общей модели (размерности 2,50) поле В может быть непараллельным оси z (хотя стержни параллельны) и допускается скорость в направлении г (см. рис. 8,а). Сначала учтем только электростатические силы между заряженными стержнями, рассматривая плазму с двойной перио-

Рис. 8. Модель для расчета переноса поперек поля:а — модель размерности (2+1/2)。； б—течение плазмы со сдвигом и его перестройка в вихрыРис. 8. Модель для расчета переноса поперек поля:а — модель размерности (2+1/2)。； б—течение плазмы со сдвигом и его перестройка в вихры®В®В

Рис. 8. Модель для расчета переноса поперек поля:

а — модель размерности (2+1/2)。； б—течение плазмы со сдвигом и его перестройка в вихры

Рис. 8. Модель для расчета переноса поперек поля:

а — модель размерности (2+1/2)。； б—течение плазмы со сдвигом и его перестройка в вихры

®В

®В

дичностью с размером Л2; плазму будем считать тепловой, т. е. имеют место только тепловые флуктуации. Коллективный перенос обусловлен конвективным движением (рис. 8,6). Можно сделать анализ Фурье этого движения и записать

vr (г) = £ V『(k) exp (ikr);(2.1)

vr (к) = / f kX(?v ⑺)“忆(2.2)

Электрическое поле (обусловленное пространственным зарядом), связанное с этим движением, имеет вид

[E(k)XB]c/B2=VT(k).(2.3)

Энергия задается выражением

吃(к) = ；Р«2т(к)〉2Л(2.4)

где р =2 叫吗—полная плотность всех сортов частиц. Энергия, /

запасенная в электрическом поле, имеет вид

取Е(к) =<£2*) >蒙/8九(2.5)

Здесь V > означает усреднение по ансамблю; складывая эти два выражения, для полной энергии возмущения получаем

Г= [р V V2T (k) >/2+< Е2 (к) > /8 出 и=

= (<Е2(к) >/8л)(1+4лрс2/В2)/£2.(2.6)

Теперь согласно равновесной статистической механике каждая мода Фурье должна иметь энергию Г/2 (Т ——температура в энергетических единицах). Тогда

(<Е2(к)>/8я)[1 + (4np，2/32)]乙2 = т/2(2.7)

или*

<Е2(к)>'/8л=Т/2Л2 [1 + (4лрс2/岳)].(2.8)

Среднеквадратическая скорость, таким образом, равна

VU2T(1:)>=4h7\:2/l232[1+(4 Ttpc2/52)](2.9)

Теперь оценим диффузию, вызванную этим течением. Течение заставляет частицы совершать случайные блуждания в пространстве и само изменяется случайным образом во времени, поскольку вихри растут и распадаются из-за тепловых флуктуаций и обусловленного вязкостью затухания. Каждому к соответствует неко-

Более строгое рассмотрение предсказывает

、、小T11

(七2(k))/8冗=赤[1 + (4冗也2/82)] 口 + 必入2〃 ,

что приводит к важной поправке при ^2Л2д>1.

торое время корреляции, или когерентное время; обозначим его т(к). В течение когерентного времени частица смещается на расстояние VT(^)t(k), и ее среднеквадратическое смещение есть <v2r(k)T2 (к) >4 Vv2T(к) >т2 (к). Использованное здесь когерентное время, конечно, следует рассматривать в системе отсчета частиц.

В течение времени t частица делает //т(力)таких случайных шагов, и, таким образом, среднеквадратическое смещение равно

<Дг2(к) > - <v2T (к) >т(к) t・ (2.10) Суммирование по всем модам дает среднеквадратическое смещение

〈А产〉=2w2Г(1<))m1<)九 (2.11)

Подстановка значения Vv2T (к)> из уравнения (2.9) дает

3〉= Е*»2)]3〉= Е*»2)](2.12)(2.12)

3〉= Е*»2)]

3〉= Е*»2)]

(2.12)

(2.12)

Переход от суммы к интегралу и использование того факта, что плотность мод равна L2kdk/2n, дает

左 max、

〈厶戸〉={ 2 呼 p/4 冗рм + и } / < J Mh)hdh、=Dt.(2.13)

femin,

Здесь 力min ——минимальное значение Л, для которого можно применять теорию，т. е. ^min==2n/L, и kmax — максимальное значение (々maximin {%^ , р~ }, где KD — дебаевская длина и рс ——ионный

циклотронный радиус).

Для завершения рассмотрения необходим метод нахождения т(^). Теперь конвективное движение, которое вызывает диффузию, также разрушается существующими конвективными потоками; сдвиговое движение одной моды испытывает разрыв, что обусловлено другой модой. Это классическая картина турбулентности, в которой вихри разрушают друг друга. Поэтому проверим предположение, что время жизни определяется диффузией, или

т 伐)=(左 2/))т.(2.14)

Выполнив эту замену, получим

02 = {Т/，2冲[1 + (炉 /4лрс2)] } 1п (力max/^min) •(2.15)

Более полное рассмотрение можно найти в [36, 42].

Даже в тепловой замагниченной плазме статические магнитные флуктуации могут вызвать аномальную диффузию ее поперек магнитного поля. В плазме с конечным р существуют флуктуации магнитного поля с нулевой частотой, которые разрушают магнитное поле нулевого порядка, образуя случайные магнитные острова так же, как многие открытые силовые линии поля; это есть

магнитные аналоги электростатических конвективных ячеек нулевой частоты. Коэффициент диффузии можно получить следующим образом [43]. Кинетическая энергия, связанная электронным потоком, равна

W%(/0 = (l/2)pVHz肉 >", (2.16)

где Vz можно выразить через 5(左),применяя уравнение Максвелла. Здесь используем модель размерности 2,50, в которой допускается движение стержней в ^-направлении, a Vz есть скорость электронов, параллельная Во. Можно следовать той же процедуре, описанной выше для определения энергии флуктуации и токов; приравнивая ее Г/2, получаем

(2.17)(2.17)< В2 (к) > /8n=?72L2 (1+力2c2/з20e).

(2.17)

(2.17)

Заметим, что для магнитных флуктуаций скорость частиц поперек поля

Vr--[VHXB]XB0/B20.Vr--[VHXB]XB0/B20.(2.18)(2.18)

Vr--[VHXB]XB0/B20.

Vr--[VHXB]XB0/B20.

(2.18)

(2.18)

Коэффициент диффузии, обусловленный магнитными флуктуациями, приобретает вид

Т Г 2/ geТ Г 2/ ge仄尸瓦•仄尸瓦•(2.19)(2.19)

Т Г 2/ ge

Т Г 2/ ge

仄尸瓦•

仄尸瓦•

(2.19)

(2.19)

Изложенная выше теория применена только к двумерным моделям плазмы; однако подобные эффекты могут иметь место в трехмерной плазме. Действительно, моделирование трехмерной плазмы выявило аналогичные эффекты, хотя результаты зависят от топологии силовых линий магнитного поля (замкнутые или открытые силовые линии). Обсуждение этого эффекта можно найти в [42]. В ряде экспериментов найдено существование конвективных ячеек [44]. Здесь нашей целью является не обсуждение этой привлекательной проблемы, а, скорее, приведение некоторых примеров того, что можно узнать из численного моделирования^ поэтому ограничимся двумерным случаем и отошлем интересующегося читателя к указанным ссылкам.

Хотя обсуждение здесь проводилось применительно к плазме» ясно, что подобный конвективный перенос имеет место в нейтральных жидкостях; как показали оценки, вихревой перенос в жидкостях сравним с молекулярным.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ, СВЯЗАННО「。С ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМИ КОНВЕКТИВНЫМИ ЯЧЕЙКАМИ

Рассмотрим случай двумерной электростатической модели плазмы с фиксированным полем В, параллельным заряженным стержням (см. выше). Плазма предполагается тепловой и обладающей периодичностью по двум координатам. Исследуем диффузию ведущих центров (центров гирорадиусов) для набора пробных частиц (примерно 10 % частиц). Нанося среднеквадратическое смещение по 胃 и находя наклон при больших временах, получаем коэффи-

циент диффузии D = Wm (Дг2)// (рис. 9). Коэффициенты диффу- /->00

зии, полученные с помощью моделирования, представлены на рис. 10 и 11. На этих рисунках показаны зависимости коэффициентов диффузии iiosji для двух различных размеров системы, для различного числа частиц на дебаевском квадрате и для двух отношений массы иона к электрону. Из этих рисунков ясно, что

Рис. 9. Развитие во временисреднего квадратического сме-щения ведущих центров группыбыстрых частиц

Рис. 10. Зависимость скорости диффузии от со"1 для трех различных плазменных параметровРис. 10. Зависимость скорости диффузии от со"1 для трех различных плазменных параметров厶厶Сетка 128 х 128Сетка 128 х 12864*64•Ион,64*64•Ион,частиц。ЭлектронСтолкнобительная. теория m-L те =1,25частиц。ЭлектронСтолкнобительная. теория m-L те =1,25оо1010С2С215101510Сгполкнодительная д/1я ионо5 -Сгполкнодительная д/1я ионо5 -=4=4Рис. 11. Зависимость скорости диффузии от з£1 для двух отношений масс иона и электронаРис. 11. Зависимость скорости диффузии от з£1 для двух отношений масс иона и электронаимеется три области диффузии. Для слабых магнитных полей характерна классическая диффузия, предсказываемая теорией парных столкновений; она пропорциональна 5~2. При усилении поля скорость диффузии отклоняется от значения, предсказываемого

Рис. 10. Зависимость скорости диффузии от со"1 для трех различных плазменных параметров

Рис. 10. Зависимость скорости диффузии от со"1 для трех различных плазменных параметров

厶

厶

Сетка 128 х 128

Сетка 128 х 128

64*64•Ион,

64*64•Ион,

частиц

。Электрон

Столкнобительная. теория m-L те =1,25

частиц

。Электрон

Столкнобительная. теория m-L те =1,25

о

о

10

10

С2

С2

15

10

15

10

Сгполкнодительная д/1я ионо5 -

Сгполкнодительная д/1я ионо5 -

=4

=4

Рис. 11. Зависимость скорости диффузии от з£1 для двух отношений масс иона и электрона

Рис. 11. Зависимость скорости диффузии от з£1 для двух отношений масс иона и электрона

этой теорией, и становится почти не зависящей от В. При еще больших магнитных полях скорость диффузии становится пропорциональной В—.

Поскольку диффузия вызывается флуктуациями электрического поля, представляет значительный теоретический интерес время корреляции электрического поля

С ⑺=lim f Е (к, / + т) Е (к, /) dt. (2.20)

О

Конечно, при моделировании интеграл должен быть заменен суммой, а верхний предел, равный оо, — максимумом, допускаемым

вычислениями.

Особый интерес представляет корреляционное время тс, или характерное время затухания для С (т). Зависимость т от изо-

Рис. 12. График зависимости tc (曲)от ^%D для двух разныхРис. 12. График зависимости tc (曲)от ^%D для двух разныхплазменных условийплазменных условийсражена на рис. 12. Как можно видеть, корреляционное время хорошо соответствует закону тk~2. На рис. 12 также изображена зависимость т= (k2D)~l (сплошная кривая): это значение т, которое предсказывается представленной упрощенной теорией. Оно много меньше реального. Поскольку в теории предполагается, что корреляционное время было равно (依力尸，может возникнуть вопрос: почему теория объясняет диффузию

Рис. 12. График зависимости tc (曲)от ^%D для двух разных

Рис. 12. График зависимости tc (曲)от ^%D для двух разных

плазменных условий

плазменных условий

и не предсказывает характеристики времени жизни флуктуаций жидкости?

Ответ состоит в том, что величина,вхо-

дящая в теорию, является корреляци

онным временем, определяющим диффузию частиц, и не существенным для моды корреляционным временем. Корреляционное время, определяемое по частицам и (k2D)~\ может быть существенно меньше характерного времени. Это означает, что флуктуации элек

трического поля существуют в течение длительного времени, в то время как частицы диффундируют через эти флуктуации. Аналогичный эффект проявляется в случае столкновительного диффузионного затухания флуктуаций поля. Здесь столкновительная вязкость приводит к затуханию сдвиговых потоков, связанных с движением. Столкновения частиц вызывают диффузию импульса с характерным временем затухания потока %~x=k2^]yy где р/ — ларморовский радиус ионов и v — частота столкновений ионов. Тогда столкновения частиц приводят к диссипации только запа

сенного в частицах импульса, но имеется также импульс, запасенный в электромагнитном поле (ЕХВ)/4лс, который прямо не рассеивается, а передается частицам и помогает поддерживать движение. Столкновительная теория [37] предсказывает затухание и корреляционное время

T-i=^2p2zV/(l+B2/4npc2). (2.21)

Течение плазмы здесь также может сохраняться в течение длительного времени по сравнению с временем, необходимым, чтобы частицы (импульс частиц) диффундировали через вихри. Если предположить, что предсказанное корреляционное время [т= =(力2/))т] подправлено множителем (I+32/4冗卩廿),то наблюдаемое корреляционное время и скорость диффузии находятся в согласии с данными рис. 12.

ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ ДИФФУЗИИ ОТ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦ

Из картины диффузии пробных частиц в двумерной модели плазмы ясно, что должна существовать зависимость скорости диффузии от энергии частиц. Эта зависимость возникает из-за связи диффузии со скоростями ЕХВ, обусловленными случайными флуктуациями поля Е; высокоэнергетические частицы имеют большие орбиты и, следовательно, в процессе движения усредняют электрические поля по областям, размер которых сравним с их орбитами, в то время как низкоэнергетические частицы более или менее чувствуют локальные электрические поля. Эффект усреднения иллюстрируется рис. 13. В [45] приведены результаты численных экспериментов, демонстрирующие этот эффект, и развита простая теория, объясняющая наблюдения.

Рис. 13. Иллюстрация влияния различных размеров , орбит частиц на среднее электрическое полеРис. 13. Иллюстрация влияния различных размеров , орбит частиц на среднее электрическое полеРис. 14. Среднее квадратическое смещение ведущих центров для трех групп частиц с различными скоростямиРис. 14. Среднее квадратическое смещение ведущих центров для трех групп частиц с различными скоростями

Рис. 13. Иллюстрация влияния различных размеров , орбит частиц на среднее электрическое поле

Рис. 13. Иллюстрация влияния различных размеров , орбит частиц на среднее электрическое поле

Рис. 14. Среднее квадратическое смещение ведущих центров для трех групп частиц с различными скоростями

Рис. 14. Среднее квадратическое смещение ведущих центров для трех групп частиц с различными скоростями

Представим здесь некоторые результаты численного моделирования зависимости диффузии пробных частиц от энергии в двумерной электростатической модели частиц. Система обладала двойной периодичностью, ЛхХ^=64Х64, использовалось 65 и 536 электронов,九о=2, размер частицы а=1, сос/о)〃=1, 1/2, 1/3, 1 /5.

На рис. 14 дана зависимость среднего квадратического смещения ведущих центров пробных частиц от времени для набора различных скоростей. Ясно, что скорость диффузии быстро уменьшается с увеличением скорости. На рис.呼 дана серия графиков зависимости наблюдаемой диффузии пробах частиц от скорости для набора магнитных полей различной силы. Кривые изображают зависимости, предсказанные теорией [48]. Отчетливо просма- 108

тривается сильная зависимость диффузии от скорости; согласие с теорией при слабых магнитных полях хорошее, а при сильных становится плохим.

Во многих экспериментах просматривается эта тенденция энергичных частиц усреднять турбулентные флуктуирующие поля и, следовательно, быть ограниченными; в таких экспериментах турбулентность, конечно, не тепловая, но эффект усреднения несомненно аналогичен.

полейполей

полей

полей

Приведенные выше вычисления выявляют дополнительную диффузию плазмы, превосходящую тепловую (горячие частицы из рассмотрения выброшены); такая ситуация, конечно, выгодна для управляемой реакции, в которой энергия удержания более важна, чем удержание плазмы.

ПЕРЕНОС В ПЛАЗМЕ, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ФЛУКТУАЦИЯМИМА「НИТНО「О ПОЛЯ

Установлено, что при двумерном электромагнитном моделировании кроме электростатических конвективных ячеек имеют место флуктуации магнитного поля с нулевой частотой, которые образуют случайные магнитные острова так же, как многие открытые силовые линии в случае магнитного поля нулевого порядка без шира [46, 47]. Поскольку частицы следуют за магнитным полем, они могут диффундировать поперек системы. Кроме того, так как движение заряженных частиц, обусловленное конвективными ячейками, может разрушать системы токов, ответственные за флуктуации магнитного поля, вполне возможно наличие сильной связи между электростатическими и магнитостатическими флуктуациями, определяющей корреляционное время тепловых флуктуаций магнитного поля. Для флуктуирующих магнитных полей возможно также закорачивание зарядов, связанных с конвективными ячейками, и воздействие на их время жизни. Этот эффект важен только для больших В.

〃〃70,2(0,3 J3〃〃70,2(0,3 J3Рис. 16. Зависимость коэффициента диффузии от В в случае фиксированных ионов и сохранения только магнитных флуктуацийРис. 16. Зависимость коэффициента диффузии от В в случае фиксированных ионов и сохранения только магнитных флуктуацийО 250500750 COpetО 250500750 COpetРис. 17. Изменение диффузии пробных частиц во времени для трех различных условий:丿一только электростатические флуктуации； 2 — электростатические и магнитостатические; 3 — только магнитостатическиеРис. 17. Изменение диффузии пробных частиц во времени для трех различных условий:丿一только электростатические флуктуации； 2 — электростатические и магнитостатические; 3 — только магнитостатические

〃〃70,2(0,3 J3

〃〃70,2(0,3 J3

Рис. 16. Зависимость коэффициента диффузии от В в случае фиксированных ионов и сохранения только магнитных флуктуаций

Рис. 16. Зависимость коэффициента диффузии от В в случае фиксированных ионов и сохранения только магнитных флуктуаций

О 250500750 COpet

О 250500750 COpet

Рис. 17. Изменение диффузии пробных частиц во времени для трех различных условий:

丿一только электростатические флуктуации； 2 — электростатические и магнитостатические; 3 — только магнитостатические

Рис. 17. Изменение диффузии пробных частиц во времени для трех различных условий:

丿一только электростатические флуктуации； 2 — электростатические и магнитостатические; 3 — только магнитостатические

Для детального изучения упомянутых выше процессов проведен ряд численных экспериментов размерности 2,5Z) с использованием ранее описанного магнитостатического кода. При моделировании были использованы параметры: сетка 64X6^4096 электронов и неподвижные ионы,九о? равен пространственной ячейке и c=4VTe- На рис. 16 показано изменение диффузии электронов поперек поля при увеличении |3 от 5 до 35%, которое сопровождается изменением индукции внешнего магнитного поля. В этом случае электростатические флуктуации подавлены, и становится ясно, что результаты численного моделирования находятся в хорошем соответствии с теорией [уравнение (2.19)], которая предсказывает бомовскую диффузию.

Статические магнитные флуктуации возбуждаются системами электронных токов вдоль силовых линий магнитного поля, где ПО

конвективные ячейки образуются при движениях [Е*В], связанных с заряженными трубками потока. Если поведение системы линейно, диффузия, вызванная этими двумя эффектами, независима и несвязана. Тогда полная диффузия, являющаяся результатом конвективных ячеек и магнитных флуктуаций, равна

0®=(》+02м)1/2 (2.22)

Для определения правильности этой несвязанной аппроксимации были проведены серии расчетов: 1) допускались только электростатические флуктуации; 2) допускались только магнитостатические флуктуации. На рис. 17 показана зависимость диффузии пробных частиц < (Дх) 2+(А//) 2> от времени для всех трех случаев. Коэффициенты диффузии, вычисленные по результатам моделирования, согласуются с теорией в случаях (1) и (2). Диффузия же в случае (3) оказывается меньше не только предсказанной уравнением (2.22), но и диффузии, вызванной одними электростатическими конвективными ячейками. Результаты ясно указывают, что даже в этом случае тепловых флуктуаций оба типа флуктуаций влияют друг на друга, и при оценке переноса их нельзя рассматривать независимо.

Рассмотрим перенос электронов в присутствии тепловых магнитных флуктуаций. В этом случае их влияние довольно мало. В реальной плазме с током ситуация может быть иной. Уровень флуктуаций также повышается, если в плазме имеется градиент давления и температуры. В этих случаях магнитные флуктуации могут играть важную роль в определении переноса электронов поперек поля [48].

Глава 3

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЧАСТИЦ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙНЕУСТОЙЧИВОСТИ

При градиенте давления плазма не находится в тепловом равновесии. Если длина волны возмущения, параллельного полю, ограничена 包千。)，обратное затухание Ландау может привести к неустойчивому возмущению. Электростатическое [49] (дрейфовая волна) и магнитостатическое [50] (дрейфовая альфеновская волна) приближения были исследованы с помощью моделирования частицами. Для желобковых же возмущений (々ц=0) механизм, приводящий к неустойчивости, является комбинацией центробежного и градиентного дрейфов частиц, связанного с градиентом давления. Ниже при помощи электростатического моделирования частицами [6] исследуется бесстолкновительная желобковая перестановочная неустойчивость. Детали этих вычислений можно найти в [51].

Для оправдания прямого сравнения параметров, использованных в моделировании частицами и теории, скорость роста неустойчивости ряссчитаем с привлечением кинетического формализма.

111

Кривизну силовых линий, которую можно было бы ввести через эффективное ускорение g= V\jR, учитывать не будем. Учтем только VB, выбирая В в направлении г и V в направлении 尤.

Рассмотрим плоскую геометрию и возьмем нормализованную равновесную функцию распределения % с пространственной зависимостью только по координате х. Допустим, ито начальное распределение по скоростям максвелловское и, кроме того, что температура, как и в моделированиях, первоначально однородна. Тогда, используя стандартную процедуру нахождения возмущенной функции распределения из уравнения Власова ——Максвелла, интегрированием по невозмущенным орбитам частиц в низкочастотном электростатическом приближении (со«С) получаем локальное дисперсионное соотношение [52]

炉+/丁# —=0. (3.1) Здесь верхний (нижний) знак относится к ионному (электронному) члену и волновой вектор понимается как k=ky. Дрейфовая скорость ведущего центра определяется градиентом поля

В пределе длинноволнового приближения 力2P2「/《1 коллективное конвективное движение влияет на дрейф частиц [В0Х VB0] (々Ud《(o) и плотность ведущих центров адекватно представляет плотность частиц f(V2^, х 十 Vy/C) =〃 (х) f (V?丄)；интегрирование по скоростям в уравнении (3.1) может проводиться для фиксированного %. После суммирования по электронным и ионным членам и небольших алгебраических действий получается дисперсионное соотношение

0)2 (炉九2现 + 么 + 九)+ ①(九一be) - -

-^e ^D^e + З。也)+ (①现 + ^D^ ^ - ^D^ = °， (33)

где (0切=*14)厶勿=(1/2)为 2P2u；bs=Tebj]Ti.

Анализ уравнения (3.3) показывает, что имеется единственная возможность для роста возмущений ((о2<0), когда g)d(2g)d—со*) < V0, соответствующая условию устойчивости, диктуемому М「Д- теорией. Для упрощения проблемы рассмотрим электронно-позитронную плазму с отношением масс Mi/Me и температур, равным единице. Тогда дисперсионное соотношение (3.3) приводится к виду]

炉(3.4) р+ (1/2) WJ <2л

Дальнейшее упрощение проводится выбором функциональной зависимости от начальных профилей плотности, аналогичной про

(3.5)(3.5)филям магнитного поля:

(3.5)

(3.5)

&⑶~(%+30尸

и

〃(％)~(x+30)f. (3.6)

При таком выборе скорость диамагнитного дрейфа (3.2) и, следовательно, условие устойчивости становятся теоретически не зависящими от пространственной координаты % в предположении 6《1/2. Дрейфовая скорость ①^/电 конечно, уже не зависит от х из-за выбора функциональной зависимости &(%). Скорость роста неустойчивых мод наибольшая в точке наибольшего градиента магнитного поля (尤=0), где ожидалось возникновение желобков. Для плотности, заданной в (3.6), получается (o*/tt)D=a, где а —— показатель степени в профиле плотности. Таким образом, из (3.4) следует, что плазма неустойчива везде, где а>2, и устойчива> где а<2.

Рис. 18. Сравнение трех режимов исходных профилей плотности заряда:

а — режим 3 должен быть МГД неустойчивым; 2 — находится на границе устойчивости; / — устойчив; б—г — развитие во времени профиля в каждом режиме

Три эксперимента на сетке (64X64) включают начальные равновесные профили плотности, которые с точки зрения гидродинамической теории являются: режим 5 — неустойчивыми; режим 2—— находящимися на границе устойчивости; режим 1——устойчивыми с а=2,5; 2,0; 1,5 соответственно. Все остальные параметры фиксированы. Измеренные начальные профили плотности заряда для этих режимов показаны на рис. 18. Скорости диамагнитного дрейфа и*, полученные в этих моделированиях на ранней стадии^ оказались пространственно однородными и находились в хорошем количественном согласии с данными, полученными расчетом по формуле (3.2) (табл. 3.1). При рассматриваемых на- 8-3369 на

Таблица 3.1

Режим

◎D

严

b

co = to 广 + i[2*

3, а = 2,5

0,067

0,16

(0,167)

〜0,06

3r = 0

丫 = 0,017

0,010

2, a = 2,0

0,067

0,13 (0,133)

〜0,03

cor = 0,018

Y = 0

0,0055

3, a = 1,5

0 0j7

0,10 (0,100)

〜0,06

o)r = 0,032

Y = 0

0,0025

Режимы 5->/: LxXL^=64X64; 96乂100 эректронов;

rt(x)x!/(/?o+^)a； ^=2Rol(x-{-R^; Ro=3O;。丄=2,83； mjme=\; (/々=1； ^tI3M=32.

i* В верхней строке ——измеренное значение о*, в нижней — расчетное.

2* Ра считанное по уразнению (3.4).

чальных условиях эти эксперименты удовлетворяют требованиям, на которых основан вывод гидродинамического дисперсионного соотношения (3.4). Инкременты неустойчивости и все вещественные частоты однозначно определятся из результатов моделирования.

На рис. 18,6——г показано развитие профилей плотности зарядов для каждого режима. Заметные колебания наблюдаются в режимах 3 и 2, в то время как режим с а= 1,5 оказался вблизи устойчивого равновесия. Заметим, что средние профили плотности при /(ор£=300 (момент времени, когда энергия флуктуаций элек-

моде насыщается) по- Конечно, можно пола-моде насыщается) по- Конечно, можно пола-трическорЬ поля в наиболее неустойчивой добны друг другу в каждом эксперименте.

моде насыщается) по- Конечно, можно пола-

моде насыщается) по- Конечно, можно пола-

гать, что в режимах 5 и 2 средние профили плотности релаксируют к ближайшему равновесному профилю /. Однако профили давления не являются подобными в конце режимов, поскольку неустойчивость создает значительный температурный градиент, что следует из результатов, представленных на рис. 19 для режима 3. (При получении температуры кинетическая энергия дрейфа была исключена, поэтому профиль представляет собой среднюю случайную поперечную кинетическую энергию (1/2)т^2±.) Ионный температурный профиль подобен электронному. Таким образом, при 114

включении температурного профиля профиль давления в конце каждого режима более близко сравнивается с профилем давления в начале каждого эксперимента. В теоретически устойчивом случае / единственное изменение первоначально однородного распределения температуры состояло в небольшом увеличении (около 5%) Т/То на участке %V20, где скорость роста наибольшая. Это означает, что лишь небольшая доля частиц покидает первоначальные дрейфовые поверхности через время 300 °^^ ， за которое средняя частица дрейфует на одну треть размера системы. Неустойчивость преобладает в одиночной с ярко выраженным ростом

Рис. 20. Развитие во времени энергии электростатического поля (проведены анализ Фурье по г/ и пространственное усреднение по % для режима 3)Рис. 20. Развитие во времени энергии электростатического поля (проведены анализ Фурье по г/ и пространственное усреднение по % для режима 3)Рис. 21. Полученный в моделировании инкремент (жирные точки) как функция a =(o*/3D для режимов 3 fl. Сплошная линия рассчитана по формуле (3.4)Рис. 21. Полученный в моделировании инкремент (жирные точки) как функция a =(o*/3D для режимов 3 fl. Сплошная линия рассчитана по формуле (3.4)

Рис. 20. Развитие во времени энергии электростатического поля (проведены анализ Фурье по г/ и пространственное усреднение по % для режима 3)

Рис. 20. Развитие во времени энергии электростатического поля (проведены анализ Фурье по г/ и пространственное усреднение по % для режима 3)

Рис. 21. Полученный в моделировании инкремент (жирные точки) как функция a =(o*/3D для режимов 3 fl. Сплошная линия рассчитана по формуле (3.4)

Рис. 21. Полученный в моделировании инкремент (жирные точки) как функция a =(o*/3D для режимов 3 fl. Сплошная линия рассчитана по формуле (3.4)

моде m=LyC=2 в течение линейной стадии во всех трех режимах 3—/. Это указано на рис. 20, где для режима с наибольшим начальным градиентом плотности дана временная зависимость фурье-мод энергии электростатического поля, полученных в направлении периодичности — у при пространственном осреднении по другому направлению 0v%V6〃. Энергия, содержащаяся в более высоких модах 加＞3, незначительна во всех режимах. Поскольку содержащаяся в отдельной моде ky = 2nmlLy энергия зависит от частоты, представим анализ спектра мощности энергии флуктуирующего поля. Результаты этих расчетов находятся в согласии с предположением, что почти 100% энергии содержится в длинных волнах (низкочастотных модах).

В табл. 3.1 измеренная скорость роста сравнивается с теорией. Как уже отмечалось, моделирование показывает неустойчивость, когда гидродинамическая теория предсказывает, что ее не должно быть. На рис. 21 нанесен инкремент неустойчивости как функция параметра a=(o*/(OD, которая здесь является как раз мерой V"/儿， 8* 115

поскольку все остальные параметры остаются постоянными. Из этого рисунка видно, что начальный профиль с V〃XV5>0 мо- -жет быть устойчивым, даже если допускается некоторая неопределенность в определении инкремента неустойчивости. Однако эффекты сжатия неоднородностей поля, по-видимому, не имеют такого большого стабилизирующего действия, которое вытекает из энергетичекого принципа, примененного для перестановки линий тока.

Большое расхождение между теоретической кривой на рис. 21 и функциональной зависимостью измеренных инкрементов, по-ви- димому, обусловлено нарушением предположения о малости ①^/丫 ■вблизи границы устойчивости. Это можно также аргументировать тем, что длины волн в моделировании были недостаточно большими для того, чтобы условие малости g)d/y было выполнено или чтобы нелокальные эффекты, обусловленные конечным ларморовским радиусом, влияли на инкремент неустойчивости, поэтому значение cdd/v является ошибочным указателем справедливости МГД- "теории (или дрейфовой теории с малым р/).

В этих экспериментах перестановочная мода вблизи границы устойчивости обладает чисто кинетической неустойчивостью, в ко- "торой в течение линейной стадии высокоэнергетичные частицы в •максвелловской функции распределения по скоростям слабо отклоняются от своих первоначальных дрейфовых поверхностей. Пока результаты показывают устойчивые состояния с градиентами плотности и магнитного поля в том же самом направлении, нельзя быть уверенным, что устойчивость обусловлена сжимаемостью плазмы, так как наблюдаемый предел устойчивости не соответствует пределу, определяемому теорией. Только в ограниченной модели частиц конечного размера существует стабилизирующий механизм, однако конвекция может частично затухать из-за неоднородности поля.

Глава 4

ВЫНУЖДЕННОЕ КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Взаимодействие интенсивных электромагнитных волн с плазмой привлекло большое внимание главным образом из-за его возможного приложения к лазерному термоядерному синтезу, нагреву удерживаемой магнитным полем плазмы и перестройке в ионосфере под действием интенсивного высокочастотного поля. Эффективное поглощение излучения плазмой является существенней составной частью во всех этих приложениях. Диссипация энергии волны в плазме посредством электронных столкновений обычно слишком слаба, чтобы быть эффективной. Тем не менее существуют некоторые коллективные нелинейные эффекты, такие как параметрическое возбуждение плазменных колебаний интен- 116

сивными электромагнитными волнами, которые могут привести к аномальному поглощению излучения. Среди различных видов параметрических неустойчивостей имеется механизм, считающийся наиболее эффективным в связывании энергии волны с плазмой: процесс распада падающей электромагнитной волны в ионно-акустическую волну и ленгмюровские плазменные колебания [53—— 55]. Падающая волна должна проникать в область критической плотности, удовлетворять условию резонанса между частотой ее колебаний и локальной плазменной частотой для того, чтобы могла иметь место конверсия плазмонов и акустической волны. Однако другие виды параметрических неустойчивостей могут появляться в области низких плотностей, и они обычно приводят к обратному рассеянию падающей волны и, следовательно, могут приводить к значительному отражению энергии волны. Вынужденное рассеяние электромагнитных волн коллективными колебаниями ионов (бриллюэновское) и электронное (рамановское) интенсивно исследовались аналитическими и численными методами [56]. Вынужденному же рассеянию резонансными заряженными частицами уделялось мало внимания [57, 58]. Процесс этого кинетического рассеяния наиболее легко реализуется, если биение волны накачки и рассеянной волны испытывает сильное затухание Ландау. Этот последний процесс известен как вынужденное комптоновское рассеяние.

Ниже рассмотрено вынужденное комптоновское рассеяние электромагнитных волн в плазме. В разд. 4.2 используются закон сохранения импульса между плазмой и электромагнитными волнами и кинетическое уравнение плазмы, включающее самосогласованный пространственный заряд и нелинейную силу jXB для получения инкремента неустойчивости в процессах рассеяния. Результаты численного1 моделирования, основанные на электромагнитной модели плазмы размерностью (1十2><1/2)0, представленные в разд. 4.3, находятся в хорошем согласии с теорией. Результаты моделирования способствуют обнаружению того, что плазма может приобрести значительное дрейфовое движение отдачи из процесса обратного рассеяния падающей электромагнитной волны. В некоторых случаях обратнорассеянные электромагнитные волны сами испытывают обратное рассеяние и индуцируют дрейфовое движение электронов противоположно первой отдаче.

ТЕОРИЯ ВЫНУЖДЕННОГО КОМПТОНОВСКО「。РАССЕЯНИЯ

Исследуем взаимодействие интенсивной линейно поляризованной электромагнитной волны с неограниченной однородной плазмой пониженной плотности. Электрическое поле падающей волны задается выражением

Е,=&Ео sin®。/—瓦х),(4.1)

где (соо^о) — нормальная мода невозмущенной системы (о)2о = =со2ре+^2о)« Учтем три компоненты скорости и поля и про-

117

странствекное изменение только в одном направлении х. Понде- ромоторную силу используют как источник большинства параметрических неустойчивостей [59]: например, передача импульса между волной и плазмой может происходить через пондеромотор- ную силу. Эта сила может быть получена из тензора максвелловских напряжений в плазме [60] или из возмущения орбит отдельных частиц [61]. В рассматриваемой ситуации продольное движение плазмы обусловлено нейтральным членом VXB. Интересующая пас компонента этого члена является биением между волной накачки и отраженной волной

VXB = e*^^exp[i®d — 5)],(4.2)

где Е$ — амплитуда отраженной электромагнитной волны, Е$=%Е$ехр [—i(gf+g)];(4.3)

(со2ре+6%с2)1/2. Обычные правила суммирования по волновым числам и частотам также удовлетворяют соотношениям tt)2=G)0—g; ki=kQ-\-ks.(4.4)

В предыдущем рассмотрении пренебрегалось нерезонансными компонентами и истощением накачки. Нелинейная сила обычно вызывает волновое движение в направлении распространения падающей волны, если (со/,財)удовлетворяет линейному дисперсионному соотношению для плазменных волн. Например, рамановский процесс обратного рассеяния появляется, когда (coz, ki) является электронной плазменной модой. Аналогично бриллюэновский процесс обратного рассеяния имеет место, когда (со；, ki)——ионная акустическая мода. Если никакое из этих условий не выполняется и з/弋財Гт。 (Иге — тепловая скорость электронов), нелинейная сила может взаимодействовать с резонансными электронами плазмы^ вызывая так называемую неустойчивость вынужденного комптоновского рассеяния. Состояние плазмы, сила и частота накачки будут определять вид неустойчивости, являющейся доминирующим процессом во взаимодействии интенсивной электромагнитной волны с плазмой.

Исследование вынужденного комптоновского рассеяния требует использования по меньшей мере линеаризованного бесстолкновительного кинетического уравнения, включая нелинейную пондеро- моторную движущую силу е^Фр； таким образом, необходимо решить уравнение

(4.5)

где Фр=еЕоЕ8/2те(£ю^г и самосогласованное электростатическое поле Е/ удовлетворяют уравнению Пуассона

—i岛= 4T：2 q^n^(4.6)

Суммирование проводится по электронам и ионам. Предположим, что возмущение fe меняется как exp[i(co^—^х)]. Выражение для fe может получиться из уравнения (4.5) и имеет вид

(4・7)(4・7)—e(乙+①①р) 九0

(4・7)

(4・7)

厶一me (w^ — ktvx) i 况* ・

Возмущение плотности электронов можно записать как

(4・8)

где Nq — невозмущенная плотность электронов; %е — восприимчивость электронов,

Движением ионов, индуцированным нелинейной силой, можно пренебречь ввиду их тяжелой массы. Это приводит к простому выражению для возмущения плотности

(4.Ю)(4.Ю)6%・=——^XiEs/4jtei,

(4.Ю)

(4.Ю)

где %t ——ионная восприимчивость. Подстановка выражений для 6〃е и ^П[ в уравнение Пуассона (4.5) дает выражение для поля, самосогласованного с пространственным зарядом:

El = —к{Фр/ (I+Xe+Xz).El = —к{Фр/ (I+Xe+Xz).(4.Н)(4.Н)

El = —к{Фр/ (I+Xe+Xz).

El = —к{Фр/ (I+Xe+Xz).

(4.Н)

(4.Н)

Подстановка выражения (4.11) в уравнение (4.7) дает

fe =(4.12)

me (wz — kivx) 1 \ 1 + ь + Xt / 况％' 丿

Это уравнение связывает волну обратного отражения Е$, содержащуюся в Фр, и возмущение электронной функции распределения /е. Другое соотношение между ними необходимо при выводе дисперсионного соотношения. Это дополнительное соотношение можно получить из выражения сохранения импульса между плазмой и волнами

(4.13)(4.13)dPs+dPo = dPp.

(4.13)

(4.13)

Импульс волны можно записать как энергию волны, поделенную на ее фазовую скорость:

(4.14)(4.14)£2。瓦 / (4п(Оо) +七2s應/ (4жо?・)=尸0,

(4.14)

(4.14)

1*0 丄 dE2s30 dt 一 3г dt1*0 丄 dE2s30 dt 一 3г dtгде (o?・=Ress・ Соотношение Манлея ——Роу (сохранение фотонов) дает

1*0 丄 dE2s

30 dt 一 3г dt

1*0 丄 dE2s

30 dt 一 3г dt

(4.15)

Из уравнений (4.14) и (4.15) и ^ = ^o+^s следует

(4.16)(4.16)dPp / dt= [ki/ (An^}dE2s/dt,

(4.16)

(4.16)

Уравнение движения Ньютона связывает производную по времени от импульса плазмы со средней нелинейной силой (сила, обусловленная пространственным зарядом, не сообщает импульса плазме),

d&/山=—е pQJN%.(4.17)

Подставляя (4.16) в уравнение (4.17), получаем

dE2s W?o Хе (1 +左)1 о\

где Vo = eEWne3o. Введя (4.3) в уравнение (4.18), получим дисперсионное соотношение

Y =—(必zHo/8g) [%е(1 +х0 / (1 +履+左)],(4.19)

где 5=g+汕

Интенсивная электромагнитная волна может рассеяться небольшой группой частиц в плазме, индуцируя неустойчивость вынужденного комптоновского рассеяния, если нелинейная сила имеет малый пространственный период по сравнению с дебаевской длиной электронов (比九De》l) или большую частоту по сравнению с величиной, обратной времени скинирования (со/》(оре)・ Рассмотрим ситуацию, когда фазовая скорость 岡版 продольных возмущений падает в области наибольшей крутизны функции распределения электронов, так что коллективные колебания электронной плазмы не могут существовать.

При пренебрежении движением ионов (左=0) инкремент неустойчивости обратнорассеянной электромагнитной волны удовлетворяет соотношению

Y[ 1 + 1/Х。 (包，財)]=一們Н0/8д，(4.20)

где(о/ = зо——cor—iy. Для решения этого дисперсионного уравнения применяли метод Ньютона ——Рафсона при нахождении инкремента неустойчивости (у/соре) как функции обратнорассеянного волнового числа (为s九De)・ Результаты с параметрами типичного численного моделирования приведены на рис. 22. На рис. 22,а представлен случай с зо = 4,2*о)ре и Vo = VTe (с= lOVre), когда инкремент неустойчивости имеет максимум при ^ДПе=0,28. На рис. 22,6 пунктирной линией дан случай ①о=1,78(Оре и 1/0=2,1 !6>・ Инкремент неустойчивости резко уменьшается для малых волновых чисел.

Согласно уравнению (4.20) вынужденное комптоновское рассеяние имеет место даже для частот накачки ниже 2соР^, когда рамановская неустойчивость запрещена расстройкой частоты. Однако в этой области достаточно сильная накачка может преодолеть расстройку частоты и сделать систему гидродинамически неустойчивой; назовем эту неустойчивость модифицированной рамановской неустойчивостью. В этой ситуации ^i^kiVTe) уравнение (4.20) приводится к виду

(呜—乃Y=們屮0次 /16%,(4.21)

Рис. 22.Рис. 22.Зависимость инкрементаЗависимость инкрементаот волнового числа для различных параметров накачкиот волнового числа для различных параметров накачки

Рис. 22.

Рис. 22.

Зависимость инкремента

Зависимость инкремента

от волнового числа для различных параметров накачки

от волнового числа для различных параметров накачки

где 匕=(о)2ре+3力2/!/2丁0)1/2. Введем расстройку частоты 6=о)о—— ——®，——b и g)z=g)o—«г——iy, где 丫《0)乃 b. Можно найти у из уравнения (4.21L

丫 = ® 士 JO ()/2,(4.22)

где Ko=k2iV2ob/4(дг- Инкремент неустойчивости может быть записан как

丫 = (Ко—21/2/2.(4.23)

Этот инкремент больше инкремента вынужденного комптоновского рассеяния, когда мощность накачки может преодолеть расстройку частоты. Поэтому, для то го чтобы наблюдать процесс вынужденного комптоновское рассеяние при й)о<2(Ор, мощность накачки должна быть ниже порога модифицированной неустойчивости рамановского рассеяния, т. е. К0<б2. На рис. 22,6 сплошной кривой показана зависимоть инкремента от волнового числа для соо= 1,988(оре и %=1,1Рте. Строго неустойчивая юбратнорассеянная волна, которая имеет малое волновое число, взаимодействует с волной накачки, возбуждая продольные колебания электронной плазмы с фазовой скоростью, несколько меньшей скорости света. Этот процесс может стать очень эффективным ускорителем частиц. Исследуем ниже эту возможность с помощью численного моделирования, где будем также демонстрировать вынужденное

комптоновское рассеяние и затем изучать нелинейную стадию этих неустойчивостей.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Нерелятивистский электромагнитный код для моделирования частицами размерностью [i+2(l/2)]Q использовался выше для исследования процессов обратного рассеяния. Длину системы примем равной 256 электронным длинам Дебая и c=\0VTe^ Представим три различных случая из результатов численного моделирования. Во всех обсуждаемых здесь случаях ионы выбраны неподвижными и допускается обеднение волны накачки.

Для полного исключения неустойчивости рамановского обратного рассеяния изучался случай с частотой накачки соо—1,76о)ре (расстройка частоты б>О,22соре) и мощностью накачки Vq =

121

= 2,1 Уте. Эта мощность накачки ниже порога модифицированной неустойчивости рамановского обратного рассеяния. На рис. 23 показана эволюция во времени волны накачки (мода 6) и обратнорассеянных волн (моды 3, 4, 5). Ранняя стадия роста моды 5 находится в соответствии с теорией и представляет собой наиболее устойчивую волну, за которой следуют моды 4 и 3 с уменьшающимся инкрементом. Но после соР^=250 мода 3 начинает

Рис. 23. Развитие во времени энергии накачки и электрического поля рассеянной поперечной волны для о)о= =1.78<0ре И % = 2,1 匕ГеРис. 23. Развитие во времени энергии накачки и электрического поля рассеянной поперечной волны для о)о= =1.78<0ре И % = 2,1 匕Гео Joo 600g例倏方о Joo 600g例倏方900 O)pet900 O)pet300500300500ооРис. 24. Развитие во времени полнойэнергии поперечного электрическогополя (/) и среднего продольного токаплазмы ⑵Рис. 24. Развитие во времени полнойэнергии поперечного электрическогополя (/) и среднего продольного токаплазмы ⑵

Рис. 23. Развитие во времени энергии накачки и электрического поля рассеянной поперечной волны для о)о= =1.78<0ре И % = 2,1 匕Ге

Рис. 23. Развитие во времени энергии накачки и электрического поля рассеянной поперечной волны для о)о= =1.78<0ре И % = 2,1 匕Ге

о Joo 600g例倏方

о Joo 600g例倏方

900 O)pet

900 O)pet

300500

300500

о

о

Рис. 24. Развитие во времени полнойэнергии поперечного электрическогополя (/) и среднего продольного токаплазмы ⑵

Рис. 24. Развитие во времени полнойэнергии поперечного электрическогополя (/) и среднего продольного токаплазмы ⑵

«отрываться» с инкрементом, большим начального значения для моды 5, и в конечном счете становится доминирующей модой в системе. Взрывной рост моды 3 сопровождается очень крутым уменьшением энергии поперечных волн и уменьшением продольного электронного' импульса плазмы (рис. 24). На рис. 25 приведена функция распределения электронов по оси % для двух раз-

Рис. 25. Функция распределения электронов в направлении % для двух различных моментов времениРис. 25. Функция распределения электронов в направлении % для двух различных моментов времени

Рис. 25. Функция распределения электронов в направлении % для двух различных моментов времени

Рис. 25. Функция распределения электронов в направлении % для двух различных моментов времени

личных моментов времени. Биения между волной накачки и обратнорассеянными волнами создают продольные возмущения с фазовой скоростью Vpi = 0,8VTe ДЛЯ МОДЫ 5, УР2= 1,5Уте для МОДЫ 4 и ©03=2,4 Ure — для моды 3. При о)р/=О ^僦 и vp2 подступают к очень крутым участкам функции распределения электронов, где имеется избыток электронов для поглощения импульса и может иметь место вынужденный комптоновский процесс, в то время как и「з подступает к области, где имеется лишь немного электронов и может возникнуть небольшое вынужденное рассеяние. На более поздних стадиях значительное число электронов 《убегает》туда, где они могут взаимодействовать с возмущением с фазовой скоростью и〃з и, следовательно, усиливать инкремент юбратнорассеянной моды 3. При (оре^=1200 функция распределения электронов становится сильно заселенной справа от пика и •образует плоский участок с малым наклоном. В этой стадии рас-

Рис. 26. Развитие во времени среднего продольного тока в плазме и различных компонент энергии электрического ПОЛЯ ДЛЯ Зо= 1,988 Зре и %=1,1 УтеРис. 26. Развитие во времени среднего продольного тока в плазме и различных компонент энергии электрического ПОЛЯ ДЛЯ Зо= 1,988 Зре и %=1,1 Уте-% 04,0收/伝-仞о例勿/电-% 04,0收/伝-仞о例勿/电Рис. 27. Демонстрация образования высокоэнергетического хвоста на основе функции распределения электронов в направлении %, заданной в два различных момента времениРис. 27. Демонстрация образования высокоэнергетического хвоста на основе функции распределения электронов в направлении %, заданной в два различных момента времени

Рис. 26. Развитие во времени среднего продольного тока в плазме и различных компонент энергии электрического ПОЛЯ ДЛЯ Зо= 1,988 Зре и %=1,1 Уте

Рис. 26. Развитие во времени среднего продольного тока в плазме и различных компонент энергии электрического ПОЛЯ ДЛЯ Зо= 1,988 Зре и %=1,1 Уте

-% 04,0收/伝-仞о例勿/电

-% 04,0收/伝-仞о例勿/电

Рис. 27. Демонстрация образования высокоэнергетического хвоста на основе функции распределения электронов в направлении %, заданной в два различных момента времени

Рис. 27. Демонстрация образования высокоэнергетического хвоста на основе функции распределения электронов в направлении %, заданной в два различных момента времени

пределение может только поддерживать умеренный рост обратнорассеянных волн (см. рис. 23). В этом случае образование плато на электронной функции распределения по скоростям, по-видимо- му, является механизмом насыщения для неустойчивости. Эти результаты показывают, что неустойчивость вынужденного комптоновского рассеяния может возбуждать значительные токи и создавать потенциал, вызывающий движение токов в токамаках.

Для демонстрации модифицированной рамановской неустойчивости мы увеличили частоту накачки до ①о=1,9888①^ (мода 7) и понизили мощность накачки до Vo=iAVre. Согласно теоретическим предсказаниям (см. рис. 22,6) обратнорассеянная волна (мода 0) и продольные осцилляции электронной плазмы (мода 7) растут вместе с инкрементом О,О36(оРе. На рис. 26 дана временная история волны накачки, первой комбинации неустойчивых мод

〃 200 W 600 800 1000COpet〃 200 W 600 800 1000COpetРис. 28. Развитие во времени продольного импульса электронов плазмы, кинетической энергии и различных мод энер-Рис. 28. Развитие во времени продольного импульса электронов плазмы, кинетической энергии и различных мод энер-гии поперечного электрического полягии поперечного электрического поля(мода 0 и мода 7) и импульса плазмы. Вторая комбинация поперечной моды 1 и продольной моды 8 также неустойчива, но имеет меньший инкремент. При сор^=150 колебательная скорость электронов в продольных плазменных колебаниях почти достигает тепловой скорости электронов, и волны начинают захватывать электроны плазмы. Следовательно, энергия волны неустойчивой продольной моды умень-

〃 200 W 600 800 1000COpet

〃 200 W 600 800 1000COpet

Рис. 28. Развитие во времени продольного импульса электронов плазмы, кинетической энергии и различных мод энер-

Рис. 28. Развитие во времени продольного импульса электронов плазмы, кинетической энергии и различных мод энер-

гии поперечного электрического поля

гии поперечного электрического поля

шается и к тому же моменту времени соответствующая поперечная мода достигает насыщения. Захват электронов плазмы образует высокоэнергетический хвост на функции распределения (рис. 27), центрированный вокруг фазовой скорости (и「) неустойчивых колебаний электронной плазмы. В этом случае фазовая скорость

00=电/財=电/瓦g0,6e.

Некоторые электроны фактически достигают скорости света, хотя такие детали, конечно, неправильны, поскольку в этом коде час- стицы рассматривались нерелятивистскими. Для обычного процесса рамановского рассеяния следует ki заменить 2^о и со。обычно больше, чем сор. Это сразу дает

Vp — ^i/t^i — ((в//соо)(оо /2^о ^/4.

По-видимому, можно применять модифицированный рамановский процесс для ускорения электронов плазмы до очень больших энергий. Такой ускоритель частиц более эффективен, чем с исполь- зеванием нормального рамановского процесса, из-за высокой фазовой скорости волнового возмущения. Мы провели исследование другого случая с зо=1,78(Оре и Т/о=2,81/те・ В этом случае продольные возмущения имеют высокую фазовую скорость (и「= —0,7с), большую ширину захвата и, следовательно, более сильное ускорение в плазме. Поля в продольной волне теоретически могут быть очень интенсивными (Е^т()с2as^； для лазера на стеклянном неодиме 3-1010 В/см), поэтому возможно построение эффективного ускорителя частиц.

Другим интересным случаем является многократное вынужденное комптоновское рассеяние. Для его изучения использовали мощность накачки V0=VTe и частоту соо = 4,28(Оре (мода 17), соответствующую в пространстве волновых чисел появлению многократного обратного рассеяния. Эволюция во времени волны накачки, моды 12 и моды 6 приведена на рис. 28, который показывает, что мода 6 начинает развиваться -по экспоненте, когда мода 12 достигает большой амплитуды. Временная история продольного импульса электронов плазмы (m J^v fedvx), так же как и их кинетиче- 124

ской энергии [ (m/2) \ у2х fedvx\, показана на рис. 28. На ранней стадии взаимодействие между накачкой и обратно отраженными волнами создает продольное возмущение, которое увеличивает импульс электронов плазмы в положительном направлении. Сохранение импульса требует, чтобы

'叫几， (4-24)，

где Vi и Vs (Л) — фазовая скорость волны накачки и обратнорассеянных волн соответственно. Это выражение довольно точно описывает импульс электронов плазмы на рис. 28. Вторая обратнорассеянная волна (мода 6) взаимодействует с первой» вызывая продольное возмущение, которое увеличивает импульс электронов плазмы в отрицательном направлении. Импульс электронов плазмы начинает уменьшаться, когда мода 6 превосходит моду 12 (см. рис. 28). Кинетическая энергия плазмы все еще растет до конца режима. В этом случае механизм насыщения, по-ви- димому, обусловлен процессом многократного обратного рассеяния и нагревом электронов плазмы.

Глава 5

КОНВЕРСИЯ МОД В ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ

Существование гиротронов большой мощности [62] и подающих надежды источников микроволн высокой мощности на лазерах со свободными электронами [63] стимулировало интерес к нагреву электронов в замагниченной плазме [64, 65]. В дополнение к основному нагреву плазмы до температуры термоядерной реакции электронный нагрев на частотах вблизи электронной циклотронной частоты приводит к устойчивости ЕВТ в результате образования электронного кольца с большим 0 [66], создает тепловой барьер для отражающих устройств [67] и изменяет профиль плазмы, повышая устойчивость. Механизмы нагрева в основном обусловлены нагревом при циклотронном резонансе и конверсией моды на верхней гибридной частоте [68]. В последнем случае электростатическое поле в резонансном слое может достигать очень больших значений, ограниченных только диссипацией и конверсией волны. Большая амплитуда электростатических осцилляций способна вызвать различные нелинейные эффекты.

Рассмотрим процессы параметрического распада и усиление проникновения волны на пониженной частоте через первоначальный граничный слой с помощью численного моделирования. Насколько известно, сильно локализованные параметрические распадные неустойчивости были впервые рассмотрены в численном моделировании для сильно замагниченной плазмы, помещенной в неоднородное магнитное поле.

Поскольку необыкновенная волна с заданной соо распространяется в слой на верхнем гибридном резонансе, ее фазовая и групповая скорости приближаются к нулю в холодной бесстолкновительной плазме (Те^тс2), и энергия волны обращается в верхнегибридные колебания. Этот процесс конверсии моды рассмотрим в простой конфигурации. Пусть имеется нормально падающая |^=^(%)е/ необыкновенная волна, распространяющаяся со стороны сильного поля [Bo=3o(x)ez] в плазму с однородной плотностью. Предположим, что магнитное поле изменяется линейно

Во(х)/Во(О) = 1-х/Лт,(5.1)

тде Lm — характерная длина. Распространение волны описывается уравнениями Власова — Максвелла и сводится к соотношениям [69]

(d —炉 +1

X 叫一3%一3% + 1(V/5)(2叫一3%)]芍=°；俗.2)

pSee，r Qx

тде v — феноменологическая скорость затухания. В численном моделировании токовый слой локализован со стороны сильного поля в области вакуума. Ток течет вдоль направления у и осциллирует с частотой со。. Этот токовый слой возбуждает необыкновенную волну, которая при достижении границы плазмы частично (несколько процентов амплитуды) отражается. Переданная часть энергии индуцирует электронные колебания с V0=eE0 jm^Q. Параметры для моделирования выбраны следующие: Te/nic2=\J• 10-4; Ко/с = О,О1； СОю/сОре^ 1,4； Aw/Xne = 6500； Зсе(0)/Зае= 1,53, ионы неподвижные. Подстановка этого набора параметров в уравнения (5.2) и (5.3) и выбор v/spe=4,5・ IO— дают пространственное распределение для электромагнитной Еу и электростатической Ех компонент. Теоретические оценки и результаты численного моделирования представлены на рис. 29,а, б (при(ор<?^=500) соответственно. Согласие достаточно хорошее, за исключением того, что результаты моделирования показывают наличие электростатических коротких волн на верхней гибридной частоте, которые рас- лространяются из резонансной области в сторону сильного поля с уменьшающейся длиной волны. Это кинетический эффект, который не может быть обнаружен теорией холодной плазмы.

В окрестности второй электронной циклотронной гармоники можно учесть кинетические эффекты первого порядка, используя следующее дисперсионное соотношение [70]:

((02о—4G)2受)(з —З^ин) = З^НтеЗ^ре,(5.4)

где coi7H= (со2р^+о)2с^)1/2 — верхняя гибридная частота.

126

Рис. 29. Распределение электростатического (£*х) и электромагнитного (Е“) полей в неоднородном магнитном поле при 7о=О,О1 с по результатам теории холодной плазмы (а) и из численного моделирования с неподвижными ионами при

СО ре^ —— 450 (6)

Из уравнения (5.4) видно, что в области х>хо электростатическая верхняя гибридная волна бесконечно мала и может распространяться только в области %V%o, где хо определяет положение верхнего гибридного резонансного слоя. Из уравнения (5.4) также следует, что, поскольку частота so фиксирована, длина волны убывает, когда волна распространяется в сторону большого- поля. Вместе с мощностью накачки, используемой в этом моделировании, конверсия волны может как раз сбалансировать аккумуляцию электростатического поля в резонансном слое для предотвращения разрушения колебаний [71]. Однако, если амплитуда накачки увеличивается [72, 73], возможно разрушение волн с образованием энергичных электронов.

Генерация электростатических полей большой амплитуды вблизи слоя конверсии моды на верхней гибридной частоте может привести к параметрической неустойчивости, реализация которой обычно затруднена из-за высокого порога для полей. Возможны два распадных процесса с з()43ин： 1) на нижней гибридной волне; 2) на ионно-акустической волне. В обоих случаях вторая волна является верхней гибридной с со<соо [74, 75]. Из уравнения (5.4) следует, что верхняя гибридная волна g)i, возбужденная процессом распада, прерывается в области x>xOi поскольку g)iV(oo・ Это^ делает возможным существование процесса распада в области, где электростатическое поле достигает своего максимума. С другой стороны, при других конфигурациях поля, например в случае* изменения знака градиента магнитного поля, прерывание происходит в области х<%о, что запрещает процесс распада в области конверсии мод.

Для наблюдения процесса параметрического распада за приемлемое машинное время отношение масс и температур выбрано равным М/т=100 и Г//Ге = 0,25 соответственно. Остальные параметры моделирования не отличаются от принятых в предыдущем 127

случае. На рис. 30 и 31 показаны соответственно временные истории пространственного распределения электростатического и электромагнитного полей и фазового пространства частиц. При а)ре(= = 250 (см. рис. 30,а) пространственная структура все еще демонстрирует главным образом эффекты конверсии мод. Однако при @р/=700 (см. рис. 30,6) электростатическое возмущение распространяется существенно дальше первоначального слоя прерыва-

Рис. 30. Развитие во времени пространственного распределения электростатического и электромагнитного полей по результатам численного моделирования при (0р/=250 (а) и сор/ = 7ОО (б)Рис. 30. Развитие во времени пространственного распределения электростатического и электромагнитного полей по результатам численного моделирования при (0р/=250 (а) и сор/ = 7ОО (б)Рис. 31. Развитие во времени числа электронов и ионов в фазовом пространстве (орр/=25О (а) и Зр/ = 700 (б)Рис. 31. Развитие во времени числа электронов и ионов в фазовом пространстве (орр/=25О (а) и Зр/ = 700 (б)

Рис. 30. Развитие во времени пространственного распределения электростатического и электромагнитного полей по результатам численного моделирования при (0р/=250 (а) и сор/ = 7ОО (б)

Рис. 30. Развитие во времени пространственного распределения электростатического и электромагнитного полей по результатам численного моделирования при (0р/=250 (а) и сор/ = 7ОО (б)

Рис. 31. Развитие во времени числа электронов и ионов в фазовом пространстве (орр/=25О (а) и Зр/ = 700 (б)

Рис. 31. Развитие во времени числа электронов и ионов в фазовом пространстве (орр/=25О (а) и Зр/ = 700 (б)

ния и в то же время заметное число энергичных ионов появляется в резонансной области (см. рис. 31,6). Некоторые из высокоэнергетических ионов имеют кинетическую энергию, превышающую 10 кэВ. Этот нагрев ионнов обусловлен возбуждением низкочастотных волн параметрической неустойчивостью, которая имеет место внутри плазменного слоя.

Дисперсионное соотношение для нижних гибридных волн может быть записано как соьн^^рг(1 +«2ре/со2с^)-1/2, где ⑴审 и 128

Рис. 32. Частотный спектр колебаний электростатического поля в точке x/%De = 2,5-103(а),3,2-103 (6) и

3,5-103 (в)

соСг — ионная плазменная и циклотронная частоты соответственно. Подстановка параметров, использованных в моделировании, в выражение для g)lh дает соьн=О,О7сор^. В нашем случае ионно-звуковая волна не может распространяться, поскольку ионы замагничены. На рис. 32 изображен частотный спектр электростатического поля в различных пространственных точках. При х=хо результаты ясно показывают генерацию сателлита и низкочастотной компоненты при ш=0,07 соре. Это отождествляет низкочастотную волну и показывает также, что исходная волна накачки (д) почти полностью ослабляется неустойчивостью. Спектр в точке x/Xne=2,5-103, которая расположена на стороне сильного поля по отношению к исходному прерыванию, позволяет сделать вывод, что доминирующая компонента является исходной волной накачки (со0). С другой стороны, спектр на стороне слабого поля (х/3е= = 3,5 • 103) определяется дочерними волнами, с частотой, меньшей со。，которая дает им возможность распространяться через ис

ходное прерывание, достигать расстояния, пропорционального (т/М) 1/2Лт. В нашем случае А%=%1—%о можно оценить из уравнения (5.4), которое дает расстояние 400Хр^. Конечно, дочерние волны становятся бесконечно малыми при достижении собственного прерывания. Однако если ослабление накачки существенно, может иметь место многократное рассеяние (см. рис. 32,е), которое позволяет электростатическим верхним гибридным волнам проникать намного дальше места исходного прерывания. В нашем случае условие подбора частоты удовлетворено (см. рис. 32). Условие подбора волнового числа проверяется из образования интерферо-

граммы для пространственного распределения распадных волн (рис. 33):

т

Ех (х, х) = (1 /Т) pin (⑴扪旦(％，% + т)威，(5.5)

о

г^е(0d=3LH и (coo—соън). Результаты дают ^о^^О,О5; Льн^^ 工0,125 и ^Др^0,075, как и предполагалось.

Рис. 33. Пространственное распределение распадных волн：

a-G)d=0，°7<0pe； 6-3宀，33spe

В заключение рассмотрим параметрические распадные неустойчивости в верхнем гибридном резонансном слое. Равнодействующая нижняя гибридная волна может эффективно ускорять ионы, в то время как результирующая верхняя гибридная волна может проникать через исходное прерывание в сторону слабого поля.

Глава 6

МОДЕЛИРОВАНИЕ НОВЫХ ПЛАЗМЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Исследуем механизмы перевода кинетической энергии релятивистского электронного пучка в энергию поля электромагнитной волны и обратные процессы, которые ускоряют электроны до высоких энергий при расходе энергии волны. Рассмотрим два различных подхода для генерации излучения с использованием релятивистских свободных электронов.

130

Гиротрон основан на азимутальной электронной бунчировке, вызванной изменением релятивистской массы, когда электроны взаимодействуют с волной и излучают на электронной циклотронной частоте или на одной из ее гармоник. В лазере на свободных электронах используется аксиальная электронная бун- чировка, вызванная биением между колеблющимся магнитным полем и излучением, и создается излучение на частоте, зависящей от энергии электронов, так же как от длины волны колеблющегося магнитного поля %о- Это двойное доплеровское смещение к высокой частоте (Х^%о/2у2). В лазерном электронном ускорителе используется захват электронов в следе, образованном взаимодействием мощного электромагнитного импульса с плазмой с учетом нелинейной пондеро- моторной силы.

Ниже описано, как можно использовать численное моделирование для исследования нелинейного поведения плазмы, но не приводится подробная теория или экспериментальные результаты. Приводится только простое физическое описание рассматриваемых явлений, и читателю указывается литература с деталями этих аспектов.

「ИРОТРОН

В последние несколько лет появился новый класс микроволновых труб, основанных на неустойчивости при циклотронном резонансе [76], с применением в таких областях, как радар в миллиметровом диапазоне волн, нагрев плазмы и диагностика плазмы. Эти трубы позволяют генерировать с большей мощностью и на более высокой частоте, чем широко используемые микроволновые трубы.

В гиротронном усилителе замагниченный пучок релятивистских электронов, имеющий большую поперечную энергию, проходит через волновод, частота отсечки которого ниже электронной циклотронной частоты. Взаимодействие между осциллирующим электрическим полем и движущимися по орбите электронами вызывает синусоидальную модуляцию энергии электронов и, следовательно, угловую модуляцию скорости, обусловленную изменением релятивистской массы с изменением энергии. В этом процессе взаимодействия электроны, получающие энергию, замедляют свою угловую скорость, а электроны, теряющие энергию, ускоряются по 0. Таким образом, поведение электронов соответствует наличию отрицательной массы в направлении 0, а это приводит к азимутальной модуляции, образующей вращательную бунчировку зарядов, которые испускает излучение на релятивистской электронной циклотронной частоте.

Для моделирования действия гиротронного усилителя используют так называемый растянутый релятивистский электромагнитный код размерности (l-r-2-1 /2)D. Детальное описание кода можно найти в [77]. Код растянут в том смысле, что поперечная зависимость электромагнитных полей предполагается аналогичной основной моде -пустого волновода и поперечное положение электронов фиксируется в точке максимума связи между электронами и полями. Однако изменение радиочастотных полей с аксиальным расстоянием, так же как траектории релятивистских электронов, рассматриваются самосогласованно. Электроны инжектируются на входе в область взаимодействия и удаляются на выходе. Осциллирующий внешний заряд перед входом пучка моделирует подходящий ввод радиочастот 'Произвольной формы. Ниже представлены результаты моделирования до 70 кэВ, V丄/|/ц =1,5 и 1А электронного пучка, связанного с TEOi модой круглого волновода с радиусом Ro=O,535 см при условии скользящего 9” 131

〃 ” 夕 5 0 6 03 工 z 2 % % с w/gp rqHyog i^ 士 4i§^ зпнзтонЕО〃 ” 夕 5 0 6 03 工 z 2 % % с w/gp rqHyog i^ 士 4i§^ зпнзтонЕО353637 弘 £「「q353637 弘 £「「qРис. 35. Выходная (7) и входная (2) мощности, контролируемые на входе и выходе пучка при подсчете потока Пойнтинга во времени, нормализованном на период отсечкиРис. 35. Выходная (7) и входная (2) мощности, контролируемые на входе и выходе пучка при подсчете потока Пойнтинга во времени, нормализованном на период отсечки

〃 ” 夕 5 0 6 03 工 z 2 % % с w/gp rqHyog i^ 士 4i§^ зпнзтонЕО

〃 ” 夕 5 0 6 03 工 z 2 % % с w/gp rqHyog i^ 士 4i§^ зпнзтонЕО

353637 弘 £「「q

353637 弘 £「「q

Рис. 35. Выходная (7) и входная (2) мощности, контролируемые на входе и выходе пучка при подсчете потока Пойнтинга во времени, нормализованном на период отсечки

Рис. 35. Выходная (7) и входная (2) мощности, контролируемые на входе и выходе пучка при подсчете потока Пойнтинга во времени, нормализованном на период отсечки

падения. Результирующие уравнения для решения в волноводной конфигурации принимают вид

狗做%；(6・1)

京 &о)с 芻；(6・2)

衣综=i-4%,(6.3)

где Зсо ——частота отсечки волновода. В области, лежащей вне пучка, поглощение излучения дается методикой, описанной в предыдущем разделе. Потери на стенках волновода могут моделироваться резистивным членом, который учитывает потери на выбранной частоте в пространстве Фурье.

Линейное дисперсионное соотношение гиротронной неустойчивости можно аппроксимировать так [78]:

{炉 一e2胪* 一 叫。" 一(3/凡)(i 一 1 )]}(3 一 般I/ Н 一 8*)2 = 一 Г/,(6.4)

где 6 ——толщина скин-слоя стенки волновода； /——полный ток пучка, А; Г一 константа связи,

Г - 3,335・10-5产丄。%0卩、(1/丄^。/。3项)]/%1。丫.(6.5)

На рис. 34 иллюстрируются уравнение (6.5) и возможность исключения полученных сразу же за частотой отсечки пиков при увеличении потерь в стенке волновода.

Были проведены серии моделирования для TEoi-моды гиротронного усилителя с длиной 10 см и потерями в стенке 10 дБ при частоте отсечки. На рис. 35 показана эволюция во времени входного (500 Вт) и выходного векторов Пойнтинга (мощности), которые в конечном счете выходят на стационарное состояние. На рис. 36 дана пространственная эволюция (4 четверти вдоль пучка) поперечного импульса, которая иллюстрирует, что фазовый захват является механизмом насыщения [79]. На рис. 37 приведена зависимость выходной мощно-

Рис. 34. Зависимость отношения линейного усиления к длине волны отсечки от частоты при увеличении потерь к стенке

сти и эффективности от входной мощности. Результаты указывают, что можно достигнуть максимума прироста 12 дБ и максимума эффективности 11 %. Насыщенная выходная мощность, полученная кодами в системе отсчета, связанной, с пучком, согласуется с моделированием в лабораторной системе координат, но

Рис. 36. Положение частиц в нормированном пространстве поперечного импульса, показывающее бунчировку аксиального пучка в четырех четвертях, располагающихся от входа к выходу пучкаРис. 36. Положение частиц в нормированном пространстве поперечного импульса, показывающее бунчировку аксиального пучка в четырех четвертях, располагающихся от входа к выходу пучка之卷-qE30匸rm KDHQOX_qg之卷-qE30匸rm KDHQOX_qgРис. 37. Зависимость выходной мощности (а) и эффективности (6) от входной мощности (напряжение 70 кВ; сила тока 1 А; длина усилителя 10 см)Рис. 37. Зависимость выходной мощности (а) и эффективности (6) от входной мощности (напряжение 70 кВ; сила тока 1 А; длина усилителя 10 см)弘 36384 0Частота ГГц弘 36384 0Частота ГГцРис. 38. Зависимость линейного и не-линейного усиления от частоты (усло-вия те же, что и на рис. 37)Рис. 38. Зависимость линейного и не-линейного усиления от частоты (усло-вия те же, что и на рис. 37)

Рис. 36. Положение частиц в нормированном пространстве поперечного импульса, показывающее бунчировку аксиального пучка в четырех четвертях, располагающихся от входа к выходу пучка

Рис. 36. Положение частиц в нормированном пространстве поперечного импульса, показывающее бунчировку аксиального пучка в четырех четвертях, располагающихся от входа к выходу пучка

之卷-qE30匸rm KDHQOX_qg

之卷-qE30匸rm KDHQOX_qg

Рис. 37. Зависимость выходной мощности (а) и эффективности (6) от входной мощности (напряжение 70 кВ; сила тока 1 А; длина усилителя 10 см)

Рис. 37. Зависимость выходной мощности (а) и эффективности (6) от входной мощности (напряжение 70 кВ; сила тока 1 А; длина усилителя 10 см)

弘 36384 0

Частота ГГц

弘 36384 0

Частота ГГц

Рис. 38. Зависимость линейного и не-линейного усиления от частоты (усло-вия те же, что и на рис. 37)

Рис. 38. Зависимость линейного и не-линейного усиления от частоты (усло-вия те же, что и на рис. 37)

линейный .прирост несколько меньше. Равенства групповой скорости волны и скорости пучка, как в коде, в системе отсчета пучка, не требуется, поскольку моделирование проводится в лабораторной системе; таким образом, допускается расчет насыщенной ширины полосы пропускания. На рис. 38 сравниваются нелинейная и линейная ширины полосы пропускания. Если ширина полосы пропускания определена как опускание на 3 дБ, то линейная ширина полосы пропускания (80 Вт на входе) составляет 4,5 % в отличие ют нелинейной ширины полосы пропускания (500 Вт-на входе), равной 7,5%.

Прирост ч эффективность, определенные из моделирования, несколько превосходят экспериментальные результаты. Это главным образом обусловлено тепловой скоростью пучка и добавлением потерь. Для моделирования формы колебаний в расчетах можно изменять поперечное сечение волновода. Моделирование колебаний здесь не обсуждается.

ЛАЗЕР НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ

В лазере на свободных электронах релятивистский электронный пучок пропускается через статическое спиральное магнитное поле и возбуждается электромагнитное излучение. Статические поля могут образовываться либо постоянными магнитами либо спиральной обмоткой с током. На рис. 39 схематически показана физическая ситуация, где 九q является длиной волны спирального магнитного

Рис. 39. Кинематика лазера на свободных электронах

поля. Рассмотрим одиночный электрон. При прохождении через шероховатости магнитного поля он ускоряется и излучает энергию, причем каждой длине волны шероховатости соответствует длина волны в испускаемом импульсе (строго говоря, волны с гармоничной длиной также могут испускаться, но они соответствуют более высокому порядку в отношении пробега электрона к длине волны). Излучение в прямом направлении несколько обгоняет электрон; когда электрон проходит путь £ вдоль шероховатости поля, первый испущенный фотон света перетекает расстояние Lc® Поле излучения сжимается в области между электроном и фронтом светового импульса, т. е. на пути L(c/v——1). Длина волны испущенного излучения также сжимается по сравнению с длиной волны шероховатости в (с/и—1) раз:

『九О(С/и-1)=Ао/2у2; Yf(1-u2/c2)-1/2. (6.6)

Теперь, если электромагнитная волна на этой частоте распространяется через устройство вместе с электроном, то она может вызвать испускание излучения. Если плотность электронного пучка достаточно высока, то система сверхизлу- 134

чающая, и с подходящим питанием может проявлять свойство лазера (световое усиление при вынужденном испускании излучения).

Можно рассматривать действие лазера на свободных электронах как параметрическую неустойчивость [80]. При движении электронного пучка шероховатость магнитного поля проявляется как интенсивная электромагнитная волна» которая может подвергаться вынужденному рамановскому рассеянию (парамет- трический распад волны накачки на плазменную волну и обратно отраженную электромагнитную волну). Такой параметрический распад удовлетворяет условию подбора частоты и длины волны, т. е.

(67)(67)^накачки—^Е М~{-% ；

(67)

(67)

СОнакачки = 0)Е M-j-COp (^р)5 (6.8>

где ЕМ — электромагнитная волна и р ——плазменная волна в пучке. Эти соотношения сохраняются во всех системах координат и, следовательно, в лабораторной ТОЖе, ГДе О)накачки==0j ^накачки = ^0^ Зр (々р) =^р 丿b士Spo/Y》？ ((Оро——■ плазменная частота пучка с массой покоя; Уъ ——его скорость и у связана с релятивистской у). Растущие волны появляются для ветки -- соРо/т3/，2 (пучковая волна отрицательной энергии), для которых находим

(6.9)(6.10>(6.9)(6.10>(6.11>(6.11>,_ —力о% + Зро/Y /2

(6.9)

(6.10>

(6.9)

(6.10>

(6.11>

(6.11>

々ЕМ =с —九

—Mb + Spo；丫 /2

Sem =:

^p==^0—々E M.

При уменьшении соро, т. е. в пучках с низкой плотностью, 々ем переходит в ранее полученную величину 2^2^0. Моделирование этого процесса проводится для проверки линейной теории и выявления физических процессов, которые определяют нелинейное насыщение и эффективность прибора.

Рис. 40. Спектр мощности электромагнитных и электростатических полей в лазере на свободных электронах (COа —■ 0,7(0реj 丫 — 2,0； (0ре^ — 40)Рис. 40. Спектр мощности электромагнитных и электростатических полей в лазере на свободных электронах (COа —■ 0,7(0реj 丫 — 2,0； (0ре^ — 40)@^2G оDxhml пп2dане、у ё§ nn2s-He зпнзтоншо@^2G оDxhml пп2dане、у ё§ nn2s-He зпнзтоншоПродольныйтокПродольныйтокЭлектромагнитная энергияЭлектромагнитная энергия3/1ектростатическая3/1ектростатическая〃〃4〃80120160 3pet4〃80120160 3petМоделирование работы лазера на свободных электронах было выполнена с помощью релятивистского электромагнитного кода размерности [1——2(1/2)]° [81]. На рис. 40 и 41 (представлены результаты этого моделирования. Все эти рисунки относятся к системе с у 'пучка, равной 2, шероховатость поля В задается выражением еВ/т^с=^^<ир, система содержит 256 пространственных ячеек

Рис. 40. Спектр мощности электромагнитных и электростатических полей в лазере на свободных электронах (COа —■ 0,7(0реj 丫 — 2,0； (0ре^ — 40)

Рис. 40. Спектр мощности электромагнитных и электростатических полей в лазере на свободных электронах (COа —■ 0,7(0реj 丫 — 2,0； (0ре^ — 40)

@^2G оDxhml пп2dане、у ё§ nn2s-He зпнзтоншо

@^2G оDxhml пп2dане、у ё§ nn2s-He зпнзтоншо

Продольныйток

Продольныйток

Электромагнитная энергия

Электромагнитная энергия

3/1ектростатическая

3/1ектростатическая

〃

〃

4〃80120160 3pet

4〃80120160 3pet

Рис 41. Развитие во времени энергииполя и падение энергии пучка лазерана свободных электронах (соСе ===0,7(0ре； V^2,0)

и 2560 электронов. На рис. 40 приведены соответственно электромагнитный (поперечные поля) и электростатический k (волновое число) спектры при Зре/=4. К этому времени неустойчивость уже началась и неустойчивый спектр вырос до значительной амплитуды. Ясно, что условие подбора волнового числа ^Накачки = = ^ем+^р удовлетворено между неустойчивыми электромагнитной и электростатической модами. На рис. 41 изображена эволюция во времени электромагнитной и электростатической энергии и продольного тока. К моменту насыщения ток уменьшается на 36%; около 30 % энергии пучка обращается в излучение.

Численными экспериментами установлено, что в то время как исходный неустойчивый спектр растет до больших а мл л и туд, становятся неустойчивыми и длинные волны. Эти моды соответствуют электромагнитным волнам, которые должны излучаться скорее в обратном направлении, чем в прямом на рис. 39. Их длина волны приблизительно [равна 2,九о и опасна для работы лазера на свободных электронах, поскольку они могут быть абсолютно неустойчивыми [7]; существует автоматическая петля обратной связи с ЕМ-волнами, переносящими возмущение назад от пучка; ЕМ-волны связываются с пучком через шероховатости поля, и пучок переносит возмущение вперед, где он опять возбуждает обратную ЕМ-волну. Если прибор достаточно длинный или не были сделаны усилия для подавления этой моды, то ЕМ-волны могут разрушить качество пучка и генерацию желаемой коротковолновой моды.

Диаграммы в фазовом пространстве для частиц отчетливо показывают замедление пучка, бунчировку, связанную с плазменной волной воды 5, появление захвата частиц в этой волне (циркуляция вокруг орбит в вихрях в фазовом пространстве).

Линейная теория предсказывает инкремент неустойчивых мод; сравнение теоретического и наблюдаемого максимального инкремента в зависимости от у пучка находится в согласии с теорией.

Важную роль играет уровень насыщения, поскольку он определяет потенциальную эффективность производства излучения. Моделирование указывает, что ■насыщение обусловлено захватом электронов в возбуждаемой электростатической волне.

Неустойчивость определяется зависимостью между электромагнитной и электростатической плазменными волнами, обусловленной шероховатостями магнитного поля. Неустойчивые электростатические волны удовлетворяют дисперсионному соотношению

(6.12)(6.12)[со-伊+а)/]2 = Y气亦沢[1+3九20 (码_瓦)2].

(6.12)

(6.12)

(6.13)(6.13)Неустойчивый спектр локализован в пространстве Фурье. Кроме того, упомянутые выше моды имеют приблизительно одинаковую скорость Vd, поэтому они поддерживают когерентную форму волны в пучке. Таким образом, можно аппроксимировать спектр одиночной волной. Так как волна растет и пучок теряет энергию в течение неустойчивости, она достигает такой амплитуды, что может захватить большую часть электронов пучка. После наступления процесса захвата неустойчивость насыщается благодаря нарушению когерентного движения электронов. При захвате пучка средняя скорость снижается до фазовой скорости плазменной волны. Среднее изменение энергии электронов в пучке имеет вид

(6.13)

(6.13)

AF=moc2(Yo—Yph),

где уо относится к исходной скорости пучка, а урь равна у соответствующей фазовой скорости волны. Если предположить, что вся потерянная пучком энергия обращается в электромагнитное излучение, то эффективность п можно выразить как

П = |А呼 |/(Yo —1)恤谓=(Yo—Yph) /(丫0 —1).(6.14)

При больших 丫 выражение для п принимает вид

n=(0Г0(2 瓦 cy3/2)-i.(6.15)

На рис. 42 сравниваются предсказания этой упрощенной теории с результатами моделирования. Видно, что упрощенная теория дает вполне разумное согласие с расчетными результатами.

Рис. 42. Зависимость эффективности

Т) ОТ у (А—(Осе = 30е； ・一 Зсе =

•— 0,7(0 ре j ОСОсе — 0,5(0 ре)

Имеется несколько схем существенного увеличения эффективности лазера на свободных электронах. Наибольшее распространение получила схема переменного покачивания [82, 83]. В этой схеме силу и период магнита подстраивают для поддержания электронов в резонансе с фотонами по всей длине прибора, вследствие чего увеличивается выделение энергии из пучка. По другой схеме увеличивают силу шероховатостей магнитного поля перед насыщением лазера на свободных электронах [84]. Таким образом, увеличивают глубину пондеромоторного потенциала, что позволяет электронам отдать фотонам больше энергии. Вместо замедления фотонов можно в момент насыщения приложить постоянное электрическое поле [85] подходящей амплитуды, которое формирует сгусток захваченных электронов в фазе замедления, в результате чего энергия поля переходит в энергию фотонов.

-7-4-7-Z7750 ^ ^ ^ ^ ^

0^7。邑匚居S3

Рис. 43. Развитие во времени энергии без приложенного какого-либо постоянного электрического поля (а) и с приложенным постоянным электрическим полем в момент сор/ = 15О (6)

Последняя, повышающая эффективность, схема была исследована с помощью моделирования частицами, которое показало, что процесс усиления в конечном счете определяется возбуждением сателлитной неустойчивости, обусловленной взаимодействием захваченных электронов и сигнальной волны. Параметры при

二••卷£

Зре t=300

二例^力=325

О

〃夕 Vplc Vo/C 〃95 V“C

О

С 9 Vp№ 蹴《95 vx/c

Рис. 44. Развитие во времени фазово-го пространства в случае отсутствияприложенного постоянного электриче-ского поля

Рис. 45. Развитие во времени фазового пространства в случае приложенного постоянного электрического поля в момент а)ре/=150 с различной амплитудой EQ = Ese = 3pet

этом выбирали следующими: ^о—3; с尼о=1,52соре； еВ//п()с = 0,535зр. На рис. 43,а показана эволюция во времени неустойчивых волн по результатам численного моделирования. Захват электронов пондеромоторной потенциальной волной приводит к появлению насыщения при 3@/=150; эффективность в этом случае равна 8 %. При наступлении захвата широкий спектр паразитных волн с частотой ниже частоты сигнальной волны становится неустойчивым. Эти волны растут с больший инкрементом, существенно превышающим исходный. Результаты моделирования показали также, что сателлитная неустойчивость приводит к изменению уровня после того, как энергия неустойчивой волны достигает 10-4 энер・ гии одиночной волны. При этом уровне энергии и случайной фазе сателлитных волн электроны совершают броуновское движение, которое вызывает диффузию и нарушает захват частиц в фазовом пространстве (рис. 44).

Когда электрическое поле постоянной силы с амплитудой Е^крФо—Е81 (ф0 — полный продольный потенциал насыщения) налагается при насыщении, комбинированное действие постоянного и излученного полей вызывает убегание некоторой части электронов, остальные же закрепляются при фазе замедления= излученного поля (рис. 45,а). Закрепленные электроны преобразуют почти всю приходящую к ним энергию постоянного электрического поля в электромагнитное излучение. Незахваченные электроны теряются для взаимодействия вместе с любой поступающей к ним энергией. Можно построить прибор, в котором они отражаются, что не приводит к большим энергетическим потерям. При наложении постоянного электрического поля неустойчивый сателлитный спектр существенно заужается (см. рис. 43,6). Это обусловлено искажением потенциальной ямы и фазовым сдвигом, вызванным постоянным электрическим полем. Энергия сигнальной волны усиливается в 6 раз по сравнению с исходной энергией насыщения без постоянного электрического поля. Процесс усиления в конечном, счете ограничивается нарушением захвата резонансных электронов пондеромоторной волной с 々'p = ^o+^s, где ks ——волновое число неустойчивого сателлита. За то же самое время неустойчивость также возбуждает длинноволновую пондеро- моторную волну с 々'pd^EM——Es, которая никак не нарушает захват.

Большинство приборов требует более тонкого изучения, включая явления захвата в пондеромоторном потенциале (потенциальная яма, обусловленная членом [Jem• Br-]-Jr・Вем] и многомерными эффектами) Лазеру на свободных электронах посвящено большое количество работ, ссылки на которые можно найти в [86].

УСКОРЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ МОЩНЫМ ЛАЗЕРНЫМ ИМПУЛЬСОМ

Недавно были проведены значительные теоретические и экспериментальные исследования коллективных плазменных ускорителей. Ранее рассматривалось ускорение космического излучения движущимся магнитным полем или электромагнитными волнами [87, 88]. Современные коллективные ускорители создают электронные пучки [89] с электрическим полем 107 В/см и плотностью мощности 1013 Вт/см2. С другой стороны, стеклянные лазеры способны передать мощность с плотностью 1018 Вт/см2 и электрические поля с напряженностью 109 В/см.

Рассмотрим механизм для использования этого мощного лазерного электромагнитного излучения для ускорения электронов до больших энергий на коротком расстоянии [90]. Детали этого механизма изучают с помощью численного- 139

моделирования. Известны несколько работ ,по ускорению частиц лазерами. В [91] рассмотрено ускорение электронов до 40 МэВ движущимися совместно релятивистскими электронными пучками и лазерным светом. В [92] обсуждается уско- рение электронов лазером, движущимся через винтовое поле. В [93] предложено позитивное ускорение ионов релятивистским электронным пучком, модулированным лазерным светом. ‘

Волновой пакет электромагнитного излучения (фотоны), инжектированный в ллазму пониженной плотности, возбуждает электростатический след позади фотонов. Распространяющийся по плазме пакет электромагнитных волн имеет групповую скорость и^М=с(1—со2р/со2)V2<c. След плазменной волны (плазмой) возбуждается пондеромоторной силой, создаваемой фотонами с фазовой скоростью

Up = Sp№" = V^M = c(l—s")2)l/2 . (6. 16)

Такой след эффективно мюделируется, если длина пакета электромагнитных волн равна половине длины плазменных волн в следе:

L/='XW /2=лс/(ор. (6.17)

Альтернативным путем возбуждения плазмона является введение двух лазерных пучков со слегка различающимися частотами (с разностью частот Д(о~о)р), так что размер зоны столкновения пакетов равен 2лс/(о35.

Механизм генерации волн может быть легко рассмотрен на основе следующей приближенной схемы. Рассмотрим световую волну, распространяющуюся вдоль х с электрическим полем, имеющим только //-компоненту. Световая волна приводит к поперечным осцилляциям электронов. Если интенсивность не такая большая, чтобы поперечное движение стало релятивистским, то средняя энергия колебаний равна <\WT>=m<v2y>/2=е2<Е2у>l^ma^, где < > означает осреднение по времени. При отборе поперечной энергии из световой волны электроны также отбирают импульс световой волны \<\px>=<\WT>/с. При прохождении светового импульса электрон смещается в направлении % на расстояние Ал?=<АухТ>, где т—* продолжительность светового импульса. После прохождения импульса пространственный заряд, созданный этим смещением, увлекает электроны назад, и начинаются плазменные колебания. Плазмон, который распространяется с фазовой скоростью, близкой к с [уравнение (6.16)], может захватывать электроны. Электроны, совершающие захваченные колебания, могут приобрести большое количество энергии при ускорении вперед, так как они резко увеличивают массу и выходят из фазы с этой волной, только спустя продолжительное время.

Рассмотрим получение энергии электрона с помощью этого механизма. Перейдем в систему покоя фотона и индуцированного плазмона. Поскольку плазменная волна имеет фазовую скорость vP [уравнение (6.16)], 0 = Up/c и 片 =со/сор. Заметим, что эта система является также системой покоя для фотонов плазмы; в ней фотоны не имеют импульса (尼=0). Преобразования Лоренца импульса 4-мерного вектора для фотонов и плазмонов имеют вид

ЮС")；

где правая часть относится к величинам в системе отсчета волны (^ЛНЬ1= =^p/Y); kx ——волновое число фотона в лабораторной системе отсчета, которое используется в хорошо известном дисперсионном соотношении для фотонов в плазме(о= (co^-j-^xC2) V2. Уравнение (6.18) отражает связь между мезоном и фотоном с массой, равной нулю [94] ； уравнение (6.18) указывает, что в плазме фотон («одетый» фотон) имеет массу покоя h(др /с2, поскольку экранированное плазмой электромагнитное излучение может проникать лишь на глубину бесстолкновительного скин-слоя с/Зр, так же как ядерные силы проникают на расстояние, равное обратной массе покоя мезона. Преобразование Лоренца приводит к продольному электрическому полю, связанному с плазмоном как инвариант (七产нн =/).

Критическая ам-плитуда плазмона определяется пределом разрушения волны. Продолжительность колебаний плазмона в одном ^плазменном периоде не должна превышать 々-У 々&%工=1, где %乙4£七工/团32r. Закон Гаусса позволяет определить достижимое критическое продольное поле

еЕ? = тсзр.(6.20)

Из инвариантности EL и уравнения (6.19) следует, что потенциал волны в системе отсчета волны принимает вид

ефволны = уеФ^утс2,(6.21)

Электрон достигает максимальной энергии, когда меняет направление скорости в системе отсчета волны. Преобразуя энергию в уравнении (6.21) и скорость из системы отсчета волны в лабораторную систему координат, получаем максимальную энергию электрона 唆ах вследствие этого процесса

(丫 一吟= (2丫加)(6.22)

I i В丫丫 八丿 \imc^ (1 + B2)/

или Fmax=Ymaxznc2=2Y2znc2. Следовательно,

ymax = 2① 2/<ор2.(6.23)

Время ta и длина Za, необходимые для достижения электронами энергии согласно уравнению (6.23), могут быть заданы соотношениями ta^W^^/ce 七乎 и iQcta ИЛИ

/а~2ш2с/ш3р.(6.24)

В случае стеклянного лазера при прохождении волны длиной 1 мкм по плазме с плотностью 1018——1017 см-3 потребовалась бы удельная мощность 1018 Вт/см2 для ускорения электронов до энергии U/max порядка 109——1010 эВ на пути 1—— 30 см продольным электрическим полем £кр напряженностью 109——3 -108 В/см.

Для демонстрации такого механизма ускорения электронов было проведено численное моделирование с применением релятивистского электромагнитного кода размерностью [1——2(1/2)]D. Пакет конечной длины электромагнитного излучения с волновым числом kx накладывали на исходную однородную тепловую электронную плазму. Направление распространения фотона, как и допускаемое пространственное изменение, выбрали вдоль оси х. Система характеризовалась типичной длиной £х = 512А, модельным значением скорости света с=5^т, волновым числом фотона 归*=2冗/15厶，числом макрочастиц ——электронов 5120

с гауссовой формой и размером 1Д и неподвижными однородными ионами (здесь А ——размер пространственной ячейки). Для эффективного изменения отношения @/Зр изменяли с при фиксированных соотношениях: е£,о/тсо = еВо/тсо = =с; Ц—пс/тр [уравнение (6.17)]; р0 = ^о/о) и з=(屮姮+於得)N, где 串 и Bq ——амплитуды волны накачки импульсной модуляции. Расчеты провели для случаев с с=5; 7,25; 10 и 14,7335A. Исходная волна накачки имела форму Еу = =Ео sin 瓦(％—%о)； Bz = Bq sin kx(X—X0) И Ру = рслучайное_|_р0 cos kx{x—X^)

Рис. 46. Возбуждение плазмона и захват электронов (головная часть фотонного пакета перешла вперед к точке % = 310 при Зр/ = 24; <о = =4,3(0ре):а — продольное фазовое пространство электронов； б — поперечное фазовое пространство электронов; в — пространственное распределение продольного электрического поляРис. 46. Возбуждение плазмона и захват электронов (головная часть фотонного пакета перешла вперед к точке % = 310 при Зр/ = 24; <о = =4,3(0ре):а — продольное фазовое пространство электронов； б — поперечное фазовое пространство электронов; в — пространственное распределение продольного электрического поляв интервале х= [50Д; 81,4А] с Хо = 5ОА.

Рис. 46. Возбуждение плазмона и захват электронов (головная часть фотонного пакета перешла вперед к точке % = 310 при Зр/ = 24; <о = =4,3(0ре):

а — продольное фазовое пространство электронов； б — поперечное фазовое пространство электронов; в — пространственное распределение продольного электрического поля

Рис. 46. Возбуждение плазмона и захват электронов (головная часть фотонного пакета перешла вперед к точке % = 310 при Зр/ = 24; <о = =4,3(0ре):

а — продольное фазовое пространство электронов； б — поперечное фазовое пространство электронов; в — пространственное распределение продольного электрического поля

С этими данными волновой пакет имеет спектр в ^-пространстве с пиком ОКОЛО k = kXi 3=(32p+^2£c2) 1/2 и рас- пространяется в прямом направлении %, сохраняя приближенно исходную поляризацию. В этих сериях моделирования режим с большим с означает большие со, более длинные фотонные пакеты L* и более сильное 氏，поскольку соР выбрано постоянным.

На рис. 46 показана ранняя стадия развития системы. На графике фазового пространства ру в зависимости от х (рис. 46,6) видна сильная модуляция в распределении ру внутри локализации фотонного пакета волн. Структура типа 《кинк》 простирается за пакет, оканчиваясь в стартовой точке пакета (%~50А), в которой наблюдается движение частиц в направлении положительного ру. На рис. 46,а показана зависимость ру от %. Отчетливо видны колебания с интенсивным продольным импульсом, начинающиеся у фотонного волнового пакета и простирающиеся назад к его исходному положению. Это плазменная волна в следе, возбуждаемая фотонами. Заметим, что ряд электронов уже ускорен плазмоном в следе до больших положительных значений импульса рх, что подтверждается длинной вытянутой структурой фазового пространства рис. 46,а. Эти структуры вытянуты в направлении больших импульсов.

Структура плазмона в следе также видна на графике продольных электрических полей рис. 46,6. Сила продольного поля достигает значения 七工^ ^0,6mc(0p /е [см. уравнение (6.20)] или 0,6 максимального теоретического значения для холодной плазмы. Со временем фотоны продолжают оставлять плаз-

менные следы, формируя длинные пакеты плазменных волн. На рис. 47,а показан волновой спектр электромагнитного импульса в последовательные моменты времени. Исходный спектр со сглаженной формой эволюционирует в многопиковую структуру с приблизительно одинаковым, но слегка увеличивающимся интервалом в волновых числах, так как 女 приближается к kp. Это указывает на то, что фотоны с пиком при волновом числе kx распадаются на фотоны с 々'к 三力久——〃归р и з' = з——/кор (几——целое) при развитии неустойчивости последовательного или многократного прямого рамановского рассеяния. Поскольку ①' уменьшается, групповая скорость фотонов также понижается. Этот процесс представляет собой простое замедление фотонов, вызванное испусканием и увеличением сопутствующих плазмонов. Возможность многократного прямого рамановского рассеяния может ослабить условия в уравнении (6.17), поскольку неустойчивость прямого рамановского 'Процесса сама создает плазмоны в следе; действительно, это было показано в моделировании и экспериментах [95]. К тому же эта возможность ускорения прямым рамановским рассеянием [96] может породить серьезную проблему высокоэнергичных электронов в экспериментах по лазерному термоядерному синтезу.

Рис. 47. Результаты численного моделирования:

а — волновой спектр интенсивности электромагнитных волн (стрелка с нулем указывает приближенное положение исходного пика; п указывает kf=k±nkp с kp = 3pjc)； 6 — зависимость максимальной энергии электронов от (⑺⑴^产[жирные точки получены из результатов численного моделирования, сплошная линия — из уравнения (6.23)]

Вытянутая структура ускоренных частиц образуется на каждом периоде плазменной волны и содержит примерно 1 % полного числа электронов в этом моделировании. Увеличение продольных импульсов электронов и полной энергии продольного электрического поля растет линейно во времени до насыщения.

Для различных частот фотонов (з/Зр) определили достигнутую максимальную энергию электронов. На рис. 47,6 результаты численного моделирования представлены точками. Эта точки необходимо сравнить с теоретическими предсказаниями по уравнению (6.23) (сплошная кривая). Видно, что полученные при моделировании зависимости достигаемой электронной энергии от (со/сор) действительно хорошо согласуются с расчетными [по уравнению (6.23)]. Поскольку система имеет ограниченные размеры и периодические граничные условия, наложение полей в следе становится существенным при значениях, превышающих (з/зр)2〜 〜40. Для продвижения моделирования к реальным большим энергиям необходимо значительно увеличить размеры системы; однако, поскольку определение масштаба согласуется с уравнением (6.23), его можно использовать с некоторой осторожностью.

Данный механизм ускорения электронов требует очень коротких импульсов, которые трудно генерировать. Однако неустойчивость прямого рамановского рассеяния показывает возможность автоматического возбуждения желаемой модуля-

ции света. Для управления процессом потребуется соответствующая техника, но это не является принципиальным вопросом.

Данный процесс ускорения играет заметную роль в таких средах, как атмосфера пульсара, где поле дипольного излучения может быть настолько большим, что eE]ms》c. На ранней стадии эволюции пульсара, когда выброшенная им плазма все еще находится сравнительно недалеко, его интенсивные поля могут быть источником сильного космического излучения, основанном на описанном здесь механизме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Methods in Computational Physics (В. Alder, S. Fernbach and M. Rotenburg, Eds.), N. Y.: Academic Press, vol. 9 (1970), and vol. 16 (1976).

Potter D. Computational physics, N. Y.: Wiley, 1973.

Birdsall C. K・，and Langdon A. B. Plasma physics via Computer Simulation. Electrical Engineering and Computer Sciences Department. Univ, of Calif., Berkeley, Calif. 94720.

Decyk V. K., Dawson J. M. — J. Comput. Phys., 1979, vol. 30, p. 407.

Hockney R. W. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1826.

Lindman E. L. — J. Comput. Phys., 1975, vol. 18, p. 66.

Li ewer P. C., Lin A. T., Dawson J. M. — Phys. Rev., 1981, vol. A23, p. 1251.

Dawson J. M. Particle Simulation of Plasmas, PPG-618, Center for Plasma Phys, and Fusion Engineering, Univ, of Calif., Los Angeles, 1982 (to appear in Review of Modern Physics).

Buneman O. — Phys. Rev., 1959, vol. 115, p. 503; Brackbill J. U., Fors- lund D. W. — J. Comput. Phys., 1982, vol. 46, p. 215.

Kruer W. L., Dawson J. M., Rosen B. — J. Comput. Phys., 1973, vol. 13, p. 114.

Chen L., Okuda H. — J. Comput. Phys., 1975, vol. 19, p. 339.

Morse R. L., Nielson C. W. — Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 830.

■ 13. Cooley J. W., Tuksey J. W. — Math. Comp., 1965, vol. 19, p. 297.

Okuda H., Birdsall С. K. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2123.

Courant R., Fredricks K. O., Lewy H. — Math. Ann., 1928, vol. 100, p. 32.

Lin A. T., Dawson J. M., Okuda H. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 1995.

Godfrey В. B., Langdon A. B. — J. Comput. Phys., 1976, vol. 20, p. 251.

Busnardo-Neto J., Pritchett P., Lin A. T., Dawson J. M. — J. Comput. Phys., 1977, vol. 23, p. 300.

Nielson C. W., Lindman E. L. — In: Proceedings of the Sixth Conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Lawrence Livermore Lab., Calif., 1973, p. 148.

Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 445; Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1964, vol. 7, p. 419.

Naiton H., Kamimura T., Dawson J. M. — J. Phys. Society of Japan, 1979, vol. 46, p. 258.

Dawson J. M., Shanny R., Birmingham T. J. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, p. 687.

Wax N. Selected papers on noise and stochastic processes, Dover, N. Y, 1954.

Denavit J.——J. Comput. Phys., 1972, vol. 9, p. 75.

Rosotoker N. — Nucl. Fusion, 1961, vol. 1, p. 101; Thompson W. B., and Hubbard J. — Rev. Mod. Phys., 1960, vol. 32, p. 714.

Bekefi G. Radiation processes in plasma. N. Y.: John Wiley and Sons, Inc., 1966.

Kamimura T., Wagner T., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1151.

Bernstein I. B. — Phys. Rev., -1958, vol. 109, p. 10.

Dawson J. M” Okuda H., Carlile R. N. — Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 27, p. 491.

Okuda H., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 408.

Kittel C. Elementary Statistical Physics, N. Y.: John Wiley and Sons, 1958.

Kainer S., Dawson J. M., Shanny R., Coffey T. — Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 493.

Lee W. W., Okuda H. —J. Comput. Phys., 1978, vol. 26, p. 139.

Mason R. J. Moment equation field implicit particle simulation of plasmas. Report LA-UR-80-2171 Los Alamos Scientific Lab., Los Alamos, N. Mex., 1980; (to appear in J. Comput. Phys.)

Okuda H., Dawson J. M., Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 1625.

Okuda H., Dawson J. M., Hooke W. M. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol 29, p. 1658.

Okuda H., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 2336.

Okuda H., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 1456.

Okuda H., Chu C., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1974, vol. 18, p. 243.

Chu C., Dawson J. M., Okuda H. — Phys. Fluids, 1975, vol. 18, p. 1762.

Kamimura T., Dawson J. M. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 313.

Dawson J. M., Okuda H., Rosen B. — Collective transport in plasmas.— In: Methods in Computational Physics, 16, 281, N. Y.: Academic Press, 1976.

Chu C., Chu M. S., Ohkawa T. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. <41, p. 653.

Drake J. R., Greewood J. R., ,Navratel G. A., Post R. S. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 148.

Naitou N., Kamimura T., Dawson J. M. — J. of the Phys. Society of Japan, 1979, vol. 46, p. 258.

Lin A. T., Dawson J. M., Okuda H. — Phys. Rev. Lett, 1978, vol. 41, p. 753.

Lin A. T., Dawson J. M., Okuda H. — Phys. Fluids.

Callen J. D. — Phys. Rev. Lett,1977, vol. 39, p.1540.

Lee W. W., Okuda H・一Phys.Rev. Lett, 1977,vol. 36,p. 870.

Lin A. T. — Phys. Fluids, 1978,vol. 21, p. 1026.

Goede H. Philos dr. dissertation. «Experimental Investigation of the Anomalous Skin Effect-and-Computer Simulation of the Collisionless Interchange Instability». UCLA, April 1980.

Krall N. A., Trivelpiece A. W. Principles of Plasma Physics, N. Y.: McGraw-Hill, 1973, p. 247.

Силин В. П. ЖЭТФ, 1965, т. 21, с. 1127.

DuBois D. F., Goldman М. V. — Phys. Rev. Lett, 1965, vol. 14, p. 544.

Kruer W. L., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 446.

Forslund D. W., Kindel J. M., Lindman E. L. — Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 30, p. 739.

Ott E., Klein H. H., Manheimer W. M. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17r p. 1757.

Lin A. T., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1975, Vol. 18, p. 201.

Drake J., Kaw P. K・，Lee Y. C., Schmidt G., Liu C. S., Rosenbluth M. N.— Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 778.

Hora H. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, p. 182.

Schmidt G. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 1676.

Hirshfield J. L., Granatstein V. L. — IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1977, vol. MTT-25, p. 522.

Lin A. T. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 316.

Antonsen T. M., Manheimer W. M. — Phys. Fluids, 1978, vol/21, p. 2295.

Batchelor D. В. EBT Ring Physics. — Proc, of the Workshop, Oak Ridge, 1979, ONRL Conf., 791228, Oak Ridge, 261, 1980.

Randi R. A., Eason H. O., Guest G. E., Hedrick C. L., Ikegami H., Nelson D. B. — In: Plasma Phys, and Controlled Nuclear Fusion Research. Proc. 5th Int. Conf. Tokyo, 1974, vol. 2, IAEA, Vienna 141, (1975).

Baldwin D. E., Logan B. G. — Phys. Rev. Lett, 1979, vol. 43, p. 1318.

Stix T. H. — Phys. Rev. Lett, 1965, vol. 15, p. 878.

White R. B., Chen F. F. — Plasma Phys., 1974, vol. 16, p. 565.

Stone P. M., Auer P. L. — Phys. Rev., 1965, vol. 138, p. A695.

Dawson J. M. — Phys. Rev., 1959, vol. 113, p. 383.

Kruer W. L., Estabrook K・一Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 1688.

Lin A. T., Lin Chih-Chien„ Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1982, vol. 25, p. 646.

Lin A. T., Lin Chin-Chien. — Phys. Rev. Lett, 1981, vol. 47, p. 981.

Okabayashi M., Chen K・，Porkolab M. — Phys. JRev. Lett., 1973, vol. 31, p 1113.

Symons R. S., Jory H. R. Cyclotron Resonance Devices. — Advances in Electronics and Electron Physics, Marton C., Ed., N. Y.: Academic, 1981, vol. 55.

Caplan M. Philos, dr. Dissertation «Gyrotron simulations», UCLA, Aug. 1982.

Lau Y. Y., Chu K. R・，Barnett L. R., Granatstein V. L. — Int. J. Infrared JVlillimeter Waves, 1981, vol. 2, p. 373.

Sprangle P., Drobot A. T. — IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1977, vol. MTT-25, p. 528.

Kwan T., Dawson J. M., Lin A. T. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 581.

Kwan T. Philos, dr. Dissertation. «Free electron laser: An Interaction of z Relativistic Electron Beam with a Static Helical Magnetic Field》. UCLA, May 1978.

Kroll N., Morton P., Rosenbluth M. Chapter 5. — Phys, of Quantum Electronics, 1980, vol. 7.

Sprangle P., Tang Cha-Mei, Manheimer W. M. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 43, p. 1932.

Lin A. T., Dawson J. M. — Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 1670.

Lin A. T. — Phys. Rev. Lett., 1981, vol. 46, p. 1515; also — Phys, of Quantum Electronics, 1982, vol. 9, chapter 39.

Free Electron Generation of Coherent Radiation. — Phys, of Quantum Electronics. Ed. by S. F, Jacobs e. a., Addison-Wesley Publishing Co. Inc., 1978, 1980, 1982, vol. 5, 7, 8, 9.

87； Fermi E. — Phys. Rev., 1949, vol. 75, p. 1169.

McMillan E. M. — Phys. Rev., 1950, vol. 79, p. 498.

Bernstein B., Smith I. — IEEE Trans. .Nucl. Sci., 1973, vol. 3, p. 294.

Tajima T., Dawson J. M. — Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43, p. 267.

Chan Y. W. — Phys. Lett., 1971, vol. 35A, p. 305.

Palmer R. B. — J. Appl. Phys., 1972, vol. 43, p. 3014.

Willis W. J. —CERN 75—9, 1975 (unpublished).

Yukawa H. — Proc. Phys. Math. Soc. Jap., 1935, vol. 17, p. 48.

Joshi C., Tajima T., Dawson J. M., Baldis H. A., Ebrahim N. A. — Phys. Kev Lett., 1981, vol. 47, p. 1285.

Cohen B. L, Kaufman A. N., Watson К. M. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 581.

РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕНСИВНЫХПУЧКОВ *

р. ДЕВИДСОН

Глава 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГООПИСАНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Интерес к равновесию, устойчивости и излучению релятивистских электронных пучков и взаимодействию пучков с плазмой связан с несколькими различными областями исследований. К ним относятся: а) нагрев плазмы и управление обратным током в плазме с помощью интенсивных релятивистских электронных пучков; б) генерация когерентного излучения интенсивными релятивистскими электронными пучками в устройствах на «свободных» электронах, таких как гиротрон или лазер на свободных электронах; в) коллективное ускорение ионов в прямолинейных пучках и электронных кольцах; г) фокусировка электронных потоков в высоковольтных диодах, используемых для генерации интенсивных электронных и ионных пучков; д) применение интенсивных электронных и ионных пучков для инициирования реакции термоядерного синтеза в схемах с инерциальным удержанием; е) экспериментальные и теорётические исследования основных свойств равновесных состояний и устойчивости заряженной плазмы и релятивистских электронных пучков в однородном магнитном поле и в бетатронных конфигурациях магнитного поля.

Хорошо известно, что ансамбль заряженных частиц, который не нейтрализован по заряду и (или) току, может обладать большими собственными электрическими и (или) магнитными полями. Более того, в большинстве упомянутых выше применений значительные собственные равновесные поля, обусловленные отсутствием нейтральности заряда и (или) тока, могут оказывать сильное влияние на траектории частиц и детальные свойства равновесий и их устойчивость. В главах 2——5 основное внимание уделено

Пер. с англ. А. В. Агафонова.

исследованию важного влияния собственных полей на свойства равновесия и устойчивости систем электронный пучок — плазма, находящихся во внешнем магнитном поле. Атомарные процессы и дискретные взаимодействия частиц (парные столкновения) не рассматриваются.

Предположим, что в интересующих нас пространственных и временных масштабах доминируют коллективные процессы. Кроме того, для исследования свойств равновесия и устойчивости прямолинейных цилиндрических систем построим и воспользуемся как гидродинамическими (разд. 2.1), так и кинетическими моделями (разд. 3.1——3.3). В разд. 2.3——2.7 проанализированы свойства некоторых классических волн и неустойчивостей, характерных для заряженной плазмы и пучково-плазменных систем, включая устойчивые поверхностные волны в заряженных электронных пучках, ионную резонансную неустойчивость, диокотронную неустойчивость, двухпотоковые неустойчивости, развивающиеся при взаимодействии электронов пучка с электронами и ионами плазмы, неустойчивость относительно разбиения на токовые нити, модифицированную двухпотоковую неустойчивость и др.

Рассмотрим бесконечный в аксиальном направлении цилиндрически симметричный релятивистский электронный пучок, распространяющийся в. плазменном фоне параллельно однородному внешнему магнитному полю Boez. Если аксиальный ток электронного пучка лишь частично нейтрализован обратным током, текущим в плазме, то результирующий аксиальный ток создает равновесное собственное азимутальное магнитное полеВ5е(：г)ео. Если к тому же пространственный заряд пучка лишь частично нейтрализован плазменным фоном, то отклонение от нейтральности заряда приводит к появлению собственного радиального электрического поля Е°г(г)ег. Совместно равновесные собственные поля Е°т (广)е?・ и Bs0(r)ee могут оказывать сильное влияние на свойства равновесия и устойчивости пучково-плазменных систем. Например, равновесные поля могут сильно изменить траектории частиц. Кроме того, в общем случае равновесные поля приводят к возникновению вращения различных составляющих пучка и плазмы (которое необходимо для выполнения условия баланса радиальных сил). Влияние собственных полей на траектории частиц совместно с дифференциальным вращением входящих в систему частиц может сильно изменить условия устойчивости по сравнению с теми, которые превалируют в нейтрализованной по заряду и току пучковоплазменной системе, где В8е (г) =Е°Г (^) =0. Чтобы подчеркнуть, что в нашем анализе равновесные собственные поля могут быть достаточно большими, отметим, что анализ равновесий и устойчивости, проведенный в главах 2—5, применим, даже если в системе пучок — плазма положительные ионы отсутствуют (п/=0).

В качестве вводного примера вначале исследуем движение одиночного электрона в нерелятивистском заряженном электронном пучке (п. 1.2.1), а затем кратко сформулируем основные методы теоретического описания коллективных взаимодействий в пучково- 148

плазменных системах с большими собственными полями (п. 1.3.1).

В конце статьи приведен краткий список рекомендуемой литературы. В этом списке, хотя и не в полной мере, перечислены некоторые классические статьи и труды, посвященные заряженным электронным пучкам и взаимодействию пучков с плазмой.

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ЗАРЯЖЕННОМЭЛЕКТРОННОМ ПУЧКЕ

Нерелятивистский электронный пучок. Простейшим примером заряженного плазменного образования является бесконечно длинный цилиндрический пучок нерелятивистских электронов с равномерно распределенной плотностью заряда, который распространяется параллельно внешнему аксиальному магнитному полю Boez (рис. 1). Никаких ионов в системе нет. Предположим, что электроны

Рис. 1. Заряженный электронный пучокРис. 1. Заряженный электронный пучокдвижутся параллельно оси симметрии системы со средней скоростью u()ez и что собственные магнитные поля, создаваемые движущимися в аксиальном направлении и вращающимися в азимутальном направлении электронами пучка, пренебрежимо малы.

Рис. 1. Заряженный электронный пучок

Рис. 1. Заряженный электронный пучок

При движении электронов по круговым орбитам, центр

которых расположен на оси симметрии системы, центробежная и электрическая силы, направленные наружу по радиусу и действующие на данный электрон, уравновешиваются магнитной силой, направленной внутрь по радиусу системы. Баланс радиальных сил, действующих на электрон при движении по круговой орбите радиусом г, можно записать как

@吟ё-= 一«七。Г—-小统.@吟ё-= 一«七。Г—-小统.(LI)(LI)

@吟ё

-= 一«七。Г—-小统.

@吟ё

-= 一«七。Г—-小统.

(LI)

(LI)

Здесь u& — азимутальная скорость электрона; Е°г (г) — равновесное радиальное

электрическое поле; <—е и те ——заряд и масса электрона соответственно. Рад>1- альное электрическое 'поле определяется из уравнения Пуассона

方e = -4方6叫（Г）.方e = -4方6叫（Г）.(1.2)(1.2)

方e = -4方6叫（Г）.

方e = -4方6叫（Г）.

(1.2)

(1.2)

В случае однородного распределения плотности частиц (см. рис. 1) уравнение (1.2) можно проинтегрировать при 0<r<R: EQr=—4nener/2\ в эквивалентном виде можно записать .

Е「=—圾吟М, 0 < Y R,Е「=—圾吟М, 0 < Y R,(1.3)(1.3)

Е「=—圾吟М, 0 < Y R,

Е「=—圾吟М, 0 < Y R,

(1.3)

(1.3)

где (д2ре = 4тгее2/те. Вводя угловую скорость вращения 3rz=0&/厂,уравнение (1.1) можно переписать как

—Cd2re=s2pe/2—~СОге(ОСе,(1.4)

где ^се—еВо/шеС ——циклотронная частота электронов. Разрешая уравнение (1.4》 относительно получаем

(1.5>(1.5>Зте = 3±те 三(① се/2) [1±(1—Zdpe/dce)力].

(1.5>

(1.5>

То что имеются две равновесные угловые скорости вращения, не удивительно. Если бы электронный пучок был электрически нейтрален, то выполнялось бы равенство Е°г = 0 и равновесными частотами вращения были бы 31 = 0 и з+те =

Рмс； 2. Зависимости двухРмс； 2. Зависимости двухвозможных угловых скоростей вращения пучка ①土геот > отношения2(^ре/^се- [выражение(1.5)]возможных угловых скоростей вращения пучка ①土геот > отношения2(^ре/^се- [выражение(1.5)]= 3се, что соответствует неподвижным электронам или вращению их вокруг оси симметрии с циклотронной частотой.

Рмс； 2. Зависимости двух

Рмс； 2. Зависимости двух

возможных угловых скоростей вращения пучка ①土геот > отношения

2(^ре/^се- [выражение

(1.5)]

возможных угловых скоростей вращения пучка ①土геот > отношения

2(^ре/^се- [выражение

(1.5)]

В холодном электронном пучке движение элек» тронов в среднем ламинарно. Следовательно, величины ^ге имеют также смысл двух возможных угловых скоростей вращения пучка как целого, т. е. движение отдельного электрона по круговой орбите с центром на оси симметрии совпадает с движением элементарного объема электронной жидкости, характеризуемым равновесной азимутальной скоростью сом. На рис. 2 представлены эти две частоты вращения как функции величины 2w2pe/'co2ce. В предельном случае малой плотности (2з2ре/з2се《 《L) имеем

(0+ге~Зсе； СО~ге—(02р е/23се=—сЕ%/В(). (1.6)

В пучке малой плотности быстрое вращение ^ге соответствует вращению всех электронов вокруг оси системы с циклотронной частотой, а медленное вращение з~>е ——вращению электронного пучка как целого со скоростью дрейфа, направленной вдоль вектора E°xB()ez.

Предельный случай высокой плотности ^а^ре 1^се=^ пучка называют брил- люэновским потоком. Из выражения (1.5) и рис. 2 следует, что в этом случае

CO+re=3-re=3ce/2 >ПрИ 2С02ре/С02^= 1. (1.7)

Две частоты вращения равны друг другу и соответствуют вращению электронного пучка как целого со средней угловой скоростью Зсе/2. Как видно из выражения (1.5), для того чтобы угловые скорости ^ге были действительными величинами и, следовательно, определяли ограниченные по радиусу равновесные решения одночастичных или гидродинамических уравнений, должно выполняться условие

2 吟 е/*0 (1.8)

Условие (1.8) означает, что для радиального удержания электронов магнитное поле, создающее фокусирующую силу (пропорциональную Зсе), должно преобладать над электрическим лолем, создающим дефокусирующую силу (пропорциональную о)2ре)・ Если же 2з2ре/з2се>1, то пучок расширяется в радиальном направлении, и состояние нельзя считать равновесным.

Этот простой пример показывает, что равновесное электрическое поле EQr несомненно влияет на круговые электронные орбиты с центром на оси симметрии системы. Кроме того, в последующих разделах будет показано, что co+re и з-.е играют важную роль и при анализе устойчивости заряженного электронного пучка однородной плотности.

Приведенный анализ нетрудно обобщить на случай, когда центр орбиты электрона расположен не на оси или вообще орбита не является круговой. Если, как и прежде, считать, что плотность электронов в пучке однородна, то уравнение движения отдельного электрона записывается в виде

g 犷=一先。一/ ^" x 凡生，(L9)

где Е°= — (tne/2e)(d2pe(xex-[-yty) внутри пучка (Y&), а ех и 囱一единичные векторы в декартовой системе координат в плоскости, перпендикулярной вектору Boez. Для определения траектории движения частицы, т. е. для определения к(/) и y(t), имеем следующие уравнения движения:

d2x со?”du

(LIO)

d2 y dpedx

衣=丁4 + 8理应.

Уравнения (1.10) полезно записать в системе координат, вращающейся с угловой скоростью 3?е = з+ге ИЛ'И CO?e = CO~re (С ОДНОЙ ИЗ ВОЗМОЖНЫХ уГЛОВЫХ СКОрОстей вращения ламинарного электронного пучка). Вводя координаты

(LU)(LU)%’ = % cos s" + У sE 3厂/；旷=у COS 9拉—% sin 9ret,

(LU)

(LU)

которые соответствуют координатам частицы во вращающейся системе, из уравнений (1.10) получаемкоторые соответствуют координатам частицы во вращающейся системе, из уравнений (1.10) получаем

которые соответствуют координатам частицы во вращающейся системе, из уравнений (1.10) получаем

которые соответствуют координатам частицы во вращающейся системе, из уравнений (1.10) получаем

Поскольку решениями уравнения со2ге——coCe<ore-|-w2pe/2=0 являются угловые скорости <0ге=з±те, в уравнениях (1.12) последние члены обращаются в нуль, и имеем

(ЫЗ)(ЫЗ)dk/dt? = — (о)се — ^re) dyT/dt d2yr/dt2 = ®ce — 2(Ore)d%'/d/・

(ЫЗ)

(ЫЗ)

Таким образом, движение частицы, наблюдаемое во вращающейся системе координат, происходит по круговым орбитам с частотой вращения, равной частоте вихря Зе。, которая определяется как

(Оео='3се 2(0 ге«(1.14)

Поскольку Зге=со+ге или соге=со-ге, из выражений (1.5) и (1.14) следует

3еь==3се—2co±re = + (з+re ^~re} = +3ce ( 1 —2й)2рe/з?се) “?.(1.15)

Например, если слегка нарушить движение электрона, вращающегося с угловой скоростью з—「е по круговой орбите радиусом г с центром на оси, то во вращающейся системе координат его движение будет круговым с периодом Т= = 2п/(з+ге—(0一м) и правополяризованным. (В лабораторной системе координат

151

траектория частицы представляет собой трохоиду.) С другой стороны, если слегка нарушить движение электрона, вращающегося с угловой скоростью соГе= = з+ге, соответствующей быстрому равновесному вращению пучка, по круговой орбите с центром на оси, то во вращающейся системе координат его движение будет круговым с периодом Т=2л/(<о+ге—з~ге) и левополяризованным.

Проведенное рассмотрение нетрудно обобщить на случай, когда пучок частично нейтрализован по заряду заданным (бесконечно тяжелым) ионным фоном с плотностью ионов

叫⑺屮《),(1.16)

где f= const ——коэффициент зарядовой нейтрализации. Если ионы предполагаются однократно ионизованными, то надо только заменить в полученных выражениях 叫^ на 叫e(l—f). Например, выражение (1.5) при этом принимает вид

3ге = 3士ге=(Зсе/2){1 士 [1—(2①2ре/*е)(1Т)"2}.(1.17)

В случае полной нейтрализации (f=l), как и следовало ожидать, со+ге = сосе И СО_ге=0.

Релятивистский электронный пучок. Проведенное в п. 1.2.1 рассмотрение нетрудно обобщить на случай, когда аксиальное движение заряженного электронного пучка релятивистское. Как и выше, предположим, что плотность электронов однородна по сечению пучка, т. е. 〃°ь (厂)=苻匕=const при 0<r<7?&. Индексом j=b будем обозначать физические величины, характеризующие релятивистский электронный пучок. Предположим также, что плотность аксиального тока пучка

/°2 (r)=—nbe^bc(1.18)

также однородна по сечению в области 0<r<Rb. Здесь Уъ = с^ъ ——средняя аксиальная скорость пучка. Как и в п. 1.2.1, пренебрежем аксиальным собственным магнитным полем, создаваемым вращением пучка, но сравнению с аксиальным внешним магнитным полем B^z. С другой стороны, аксиальный ток (1.18) связан с азимутальным собственным магнитным полем 8s&(/•)“ уравнением

1 д4冗

/%(?)==丁 "2(Г)，(1.19)

откуда следует, что внутри пучка

公8(厂)=-^ь%г, 0<г<^.(1.20)

Для удобства обозначений введем релятивистский фактор уь = const, где Yb/nec2=const ——характерная энергия электронов пучка. Определим квадрат плазменной частоты релятивистских электронов как

т2ръ = ^Иье2 /уьШе.(1.21)

Тогда в декартовой системе координат собственное электрическое и магнитное поля [выражения (1.3) и (1.20)] можно представить в следующем виде:

(1.22)(1.22)Ео(х)=—(加亦〃2 外叫ь(хе% + у%);

(1.22)

(1.22)

b%(X) = 一 (”丫Ь/2«) R外面(一yQx + x%).

Из выражений (1.22) видно, что в релятивистском случае (когда 0ь〜1) собственные электрические и магнитные поля могут сравнительно сильно влиять на динамику частиц.

152

Выведем теперь уравнение движения релятивистского электрона, движущегося в комбинации полей Е°(х) и B()ez+BSo(x). Импульс электрона равен

(1.23)(1.23)(1.24)(1.24)PQ)=Y(/)WeV(/),

(1.23)

(1.23)

(1.24)

(1.24)

где

у= (1+р2/МеС2)1/2= (1—у2/с2)-1/2,

a v«) =dx(/)/df. С учетом выражений (1.22) после ряда очевидных алгебраических преобразований из векторного уравнения движения dp/d/=—еЕ°(х)—— —(б/с)vXBoez— (е/с)vX Bs0(x) получаем следующую систему уравнений, описывающую движение электрона (в области 0<r<Rb):

(1.25)(1.26)(1.27)(1.25)(1.26)(1.27)d 1/\ dz\dy

(1.25)

(1.26)

(1.27)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

~dF Рх = ~2~ 加eYb®2Pb— —— m^cb 开；

d 1°,dx

~dTPy = ~ ^b^ pb J —+ ”丫2% 万；

d Г 1炉涉伊+货)]

石[网一丁"yЬ防^J =0,

где Зсь=еВ#1ПеС、ь, a yb=const ——релятивистский фактор электрона. Уравнение (1.27) сводится к закону сохранения обобщенного аксиального импульса Pz = =Pz—(e/c)Asz(r):

(1.28)(1.28)Pz=Pz—(l/4)mecybPb [dpь (%2十“)]/с2=const,

(1.28)

(1.28)

где Bsq — —dAsz/dr, a Asz = mey^b^2pbr2/^e> Из уравнений (1.25) — (1.27) следует также сохранение полной энергии частиц Н=тес2у—е(ро(г) и обобщенного момента импульса Pq =хру—урх—еВ0г2/2с, т. е.

Н=тес2у—(1 /4) ШеС^ъ [<о2р ь (х2+у2) ] /c2=const;(1.29)

尸8 = (х& —9夕%) —(1/2)加eW°cb (炉+ 货)= const(1.30)

являются точными интегралами движения частицы.

В последующих разделах показано, что (точные интегралы движения (Н, 尸8， Pz) исключительно полезны для описания самосогласованных кинетических равновесий пучков на основе стационарных (0/02 = 0) уравнений Власова *— Максвелла. Здесь же наша цель состоит в исследовании динамики одиночной частицы, опираясь на уравнения (1.25)——(1.27) и интегралы движения (1.28)—— (1.30) в предельном случае «жесткого» электронного пучка малой плотности, для которого справедливо условие

v/Yb《l,(131)

Rb

где V = N^e2/mec2 — параметр Будке pa, а % =，叫(r)rdr — числоэлектронов

о

пучка, приходящихся на единицу его длины в аксиальном направлении. Подставляя Nb = nb^R2b, неравенство (1.31) можно переписать в эквивалентном виде

-=(1/4乂3曲7?2"02)《1.-=(1/4乂3曲7?2"02)《1.(1.32)(1.32)

-=(1/4乂3曲7?2"02)《1.

-=(1/4乂3曲7?2"02)《1.

(1.32)

(1.32)

Из интегралов движения (1.28) и (1.29) и условия (1.32) непосредственно следует, что при v/y & *С 1 величины pz и утес2 слабо меняются по сечению пучка.

153

(1.33}(1.33}Предполагая, что в уравнениях (1.25) и (1.26) vz = pz/yme^const и ymec2= =Ybmec2^const, получаем следующую систему приближенных уравнений, описывающую (нерелятивистское) лоперечное движение электрона пучка (в области ОСУКь)：

(1.33}

(1.33}

d2y _32Pb / c. dx

где (oc& = eBo/y&mec2; со2Рь = 4ле2пь/у&те. При выводе уравнений (1.33) было Принято, ЧТО px—ybinedx/dt И py^yb^ledyIdt.

Уравнения (1.33) по структуре идентичны уравнениям (1.10), если в последних произвести следующую замену:

CO2j)e~>(02р & (1 — Bb^z/c)( 1 34)

и ввести в определениях mPb и Зсь релятивистскую массу, умножив массу покоя электрона на релятивистский фактор уъ- Поэтому весь тот анализ, который был проделан в п. 1.2.1 после вывода уравнений (1.10), остается справедливым при условии замены (1.34) и для уравнений (1.33). Например, угловая скорость электрона, движущегося по круговой орбите с центром на оси, может принимать два значения [см. выражение (1 5)]:

+ Seb J Г2吟by/2 I

= I 1 ± I 1 — ^2^- (1 — Mz) ]( *(1・35)

где yz=|3zc — аксиальная скорость электронов, a co2Pь/со2с& = 4лтес2пъуь/^2o-

Если преобладающее большинство электронов имеет аксиальную скорость vz= Уъ, то в выражении (1.35) Bz^Bb・ Кроме того, если заряд пучка частично нейтрализован имеющимся ионным фоном 几。5(厂)=，〃%(г), то выражение (1.35) изменяется и принимает следующий вид [см. выражение (1.17)]:

亠 Зсь / Г2s九]1/2 I

0Vb ==(•(L36)

В выражении (1.36) магнитные фокусирующие силы (|Пропорциональные 俨ь) всегда доминируют над электростатическими силами расталкивания (пропорциональными 1—f), если

俨ь>1—f・(1.37)

Если же выполняется точное равенство 俨ь = 1—/, то из выражения (1.36) следует, что (o+rb=3cb и з-гь = 0 и что силы, действующие на частицу со стороны собственных полей пучка, компенсируют друг друга.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХПУЧКОВО-ПЛАЗМЕННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Вводные замечания. Предположим, что исследуемые заряженные пучково-плазменные системы бесстолкновительны, т. е. свойства равновесия и устойчивости таких систем рассматриваются за время, малое по сравнению с временем между парными столкновениями. Известны два полезных способа теоретического описания бесстолкновительной плазмы: макроскопическое гидро- 154

динамическое описание, основанное на уравнениях Максвелла и моментах кинетического уравнения, и кинетическое описание, использующее систему уравнений Власова — Максвелла. В последующих разделах для исследования свойств равновесия и устойчивости заряженных пучково-плазменных систем используем оба этих подхода.

При макроскопическом гидродинамическом описании следим за эволюцией во времени таких макроскопических характеристик плазмы, как пДх, /)——плотность частиц /-й составляющей плазмы; v)(x, t)—средняя скорость /-й составляющей плазмы; 戶j(x, 6——тензор давления j-й составляющей плазмы. Эти величины изменяются самосогласованным образом под действием электрических Е(х, /) и магнитных В (х, t) полей, которые определяются из уравнений Максвелла. Достоинством такого описания является его простота. Если пучок и плазма холодные, то неоднородностью давления можно пренебречь и, следовательно, использовать приближение

° 备尸尸0.(1.38)

Это приближенное условие позволяет замкнуть систему уравнений, описывающую эволюцию во времени величин 的(х, f), v；(x, /), Е(х, Z) и В (х, t) и состоящую из уравнения непрерывности, гидродинамического уравнения движения и уравнений Максвелла. Такая модель пригодна как для описания равновесия, так и для исследования его устойчивости. Поскольку описание макроскопическое, устойчивость системы зависит, разумеется, от таких основных свойств равновесного состояния, как распределение равновесной плотности n°j (х) и скорости V、(x). Целесообразность такого гидродинамического описания заряженной пучково-плазменной системы обусловлена его простотой. При этом относительно нетрудно учесть влияние конечной геометрии системы. Однако гидродинамический подход имеет два существенных недостатка. Во-первых, нельзя непосредственно обобщить модель холодной плазмы на случай, когда проявляются эффекты, связанные с конечной температурой. Во-вторых, некоторые явления, как, например, затухание Ландау, а также волны и неустойчивости, связанные со структурой распределения частиц в фазовом пространстве, не могут быть исследованы при гидродинамическом описании.

Для учета эффектов, связанных с конечной температурой, при исследовании равновесия и устойчивости заряженных пучковоплазменных систем надо использовать кинетический подход (на основе уравнений Власова — Максвелла). При этом средние электрические Е(х, 0 и магнитные В(х, /) поля и одночастичная функция распределения f；(x, р, /) изменяются самосогласованно в соответствии с уравнениями Власова — Максвелла. (Здесь 力(х, р, t) d^xd^p — средневероятное число частиц /-й составляющей плазмы, импульс и координата которых в момент времени t находятся в элементарном объеме d3xd3p вблизи значений х и р.) В рамках кинетического подхода нетрудно построить самосогласо-

ванные равновесные состояния. Кроме того, существует широкий класс плазменных волн и неустойчивостей, зависящих от детальной структуры равновесной функции распределения 力(х, р) в пространстве импульсов р и выпадающих из рассмотрения в гидродинамических моделях холодной плазмы. Следует отметить, что, хотя на основе уравнений Власова ——Максвелла можно построить широкий класс неоднородных равновесных состояний, исследовать с их помощью устойчивость таких состояний обычно сложнее, чем при использовании гидродинамического описания.

Кинетическое описание. Эволюция одночастичной функции распределения f/(x, р, t) описывается релятивистским уравнением Власова

借+ v.备+ s(E +号)•击卩,.(Х, Р，/) = 0, (1.39)

где vnp связаны соотношением

[1+р2/叫 С?"

Электрическое Е(х, t) и магнитное В(х, /) поля, входящие в уравнение (1.39), определяются самосогласованно из уравнений Максвелла

VXE=—(1/с)@В/处(1.41)

VXB=^?eJvfj(x, p, ++ ；等；(142)

V上=4方2%・ jfj(X, p, 方)仃+4呼внет；(1・43)

V・B=0.(1.44)

При записи уравнений (1.42) и (1.43) учтено возможное присутствие внешних ИСТОЧНИКОВ зарядов Рвнеш(X, 0 И ТОКОВ Звнеш(х, /). Уравнение (1.39) выражает теорему Лиувилля и описывает движение /-й компоненты в шестимерном фазовом пространстве (х, р) без изменения фазовой плотности. Заметим, что уравнение (1.39) нелинейно, поскольку Е(х, /) и В(х, t) определяются самосогласованно через //(х, р, t) из уравнений Максвелла.

Процедура построения равновесных состояний, определяемых уравнениями (1.39) и (1.41) ——(1.44), заключается в приравнивании d/dt—Q и нахождении стационарных решений 严/(х, р), Е° (х) и В°(х), удовлетворяющих уравнениям

卜負+ 0(Е。+ 登四)•备]%(х, р) = 0;(1.45)

VXEe = 0;(1.46)

VXBo = f£eJ%・(x, ©以十^^山仪)；(1.47)

V・E = 4£Jfj(x, p)成夕+ 4%ен(х)； (1-48)

V-B° = O. (1.49)

Решение уравнения (1.45) сводится к отысканию интегралов движения одиночной частицы в равновесных Е° (х) и Во(х) полях. В интересующих нас случаях Е°(х) создается отклонением зарядовой нейтральности системы в равновесии [т. е.工分.口。, (X, p)Х

Х^3р¥=0], а В0 (х) создается как внешними токами, так и равновесными токами пучково-плазменной системы. Используемый здесь термин равновесие не следует путать с тепловым равновесием. Вообще говоря, во внешнем магнитном поле заданной конфигурации может существовать много кинетических равновесий. Все они представляют собой стационарные состояния, которые могут существовать в течение времени, меньшего времени между парными столкновениями. Конкретное равновесное состояние может оказаться неустойчивым, если малые отклонения от него нарастают во времени или в пространстве.

Анализ устойчивости системы, описываемой уравнениями (1.39) —(1.41), производится следующим образом. Величины 力(х, р, /), Е(х, t) и В(х, t) представляются в виде суммы их равновесных значений и возмущений, зависящих от времени:

%・(х, р, /)=»(х, р) + 3%・(х, р, /);]

Е (х, /) = Ео(х) + 6Е(х, /); г (1.50> В(х, /) = Во(х)-(-ЗВ(х, /). J

Величины /°/(х, р), Е°(х) и В0(х) удовлетворяют уравнениям (1.45) — (1.49), а изменение во времени возмущений 6力(х, р, /), 6Е(х, /) и 6В(х, t) отыскивается с помощью уравнений (1.39)—— (1.44). При малых отклонениях от равновесных значений 严/(х, р), Е° (х) и В0 (х) уравнения Власова — Максвелла можно линеаризовать

=—S(ЗЕ +学).靑门(х, р);(1.51>

VX3E = —』^3B;(1.52).

▽ X6B = f J e/Jv%(x, р, /)d6 + ；*3E；(1.53)，

уМЕ = 4е»4・'％・(х, p,/)d力；(1.54}

у. 6B 0.(1.55)

15T

Если возмущения 6f/ (х, р, /), бЕ(х,力)и 6В(х, t) нарастают, то равновесное распределение /°/(х, р) неустойчиво. Исследование устойчивости пространственно неоднородной заряженной плазмы на основе уравнений (1.51) —(1.55) обычно сопряжено с большими математическими трудностями.

Гидродинамическое описание. Плотность частиц /-й составляющей /г；(х, /), средняя скорость Vj(x, /), средний импульс Р/(х, О и тензор давления Р(х, %) определяются следующим образом: '

nf (х, /)三 Jfj(x, р, £)6/3夕；(1.56)

叫(х, Z)Vj(x, /)=Jv%(x, p, t)d?p;(1.57)

〃j(x, 0 Py (x, /)三 jpf/(x, p, 9 d3夕；(1.58)

Qj(x, f) = J]p— p/(x,川[v — V/ (x,川f/x, p, /)仃，(1.59)

где v= (p/m7) [l+p2/'m2jC2]-1/2.Действуя на уравнение (1.39) чаемгде v= (p/m7) [l+p2/'m2jC2]-1/2.Действуя на уравнение (1.39) чаемоператорамиоператорамиJ 或夕 и j pd",J 或夕 и j pd",полу-полу-4〃/ + v •(勺 Vj・) = O;4〃/ + v •(勺 Vj・) = O;(1.60)(1.60)

где v= (p/m7) [l+p2/'m2jC2]-1/2.

Действуя на уравнение (1.39) чаем

где v= (p/m7) [l+p2/'m2jC2]-1/2.

Действуя на уравнение (1.39) чаем

операторами

операторами

J 或夕 и j pd",

J 或夕 и j pd",

полу-

полу-

4〃/ + v •(勺 Vj・) = O;

4〃/ + v •(勺 Vj・) = O;

(1.60)

(1.60)

“ + ¥ =S(E +笞. (1.61)

В случае холодной плазмы членом У .р.п； в уравнении (1.61) пренебрегают. Однако если в макроскопическую модель надо включить эффекты, связанные с конечной температурой, то этот член следует сохранить, а изменение Р/ (х, t) во времени описывать с помощью соответствующих моментов уравнения (1.39). Цепочка уравнений для моментов должна быть замкнута с помощью тех или иных предположений о виде тензора потока тепла ©з(х, /). Уравнения (1.60) и (1.61) дополняются уравнениями Максвелла .

VXE= —(1/с)@В/处(1.62)

VXB = ^ ? e/W +J…+ 4•笄；О ・63)

▽•Eh» е出令冲внеш；(1 ・64)

V・B=0.(1.65)

Как и в кинетическом описании, анализ равновесных состояний на основе уравнений (1.60) — (1.65) проводится при d/dt=O. 158

Опуская в уравнении (1.61) член V •戶/, имеем

V •(拉。戸。力=0;(L66>

V。厂 吗=立仅。+ ~^^~)；(1.67>

VXE°=0;(1.68)

VXB。= ^ у е*・ V。/ +屮…(х)；(1.69>

v • Е。= 4吆 S% + 4呼внеш (х)；(1.70》

V・B°=0,(1.71)

где n°/(x), V°j(x), Pg(x), E°(x) и B° (x) — макроскопические равновесные величины.

Анализ устойчивости, основанный на уравнениях (1.60) —(1.65),. проводится следующим образом. Гидродинамические величины и макроскопические поля представляются в виде суммы их равновесных значений и возмущений

叭х, /)=ро(х)+Ог|)(х, /).(1.72>

Линеаризация уравнений (1.60) — (1.65) дает

3 3令・ + V •(叫В Vj + 3/ij V。/) = 0;(I.73>

4吗 + V).vBPj + 3Vj• vP。尸ej(SE + -^^-+-^^)； (1.74〉

VXBE=—；备 3B;(1.75}

咏汨=子? %•(配j V) + 〃。f%) + 4•焦泪(1・76>

V-BE4冗工 q•配j;(1.77)

V・0B=0.(1.78)

Эти уравнения описывают эволюцию возмущений 6п；(х, /)沪 6V/(x, f), 6P/(x, /), 6E(x, /) и ЗВ(х, /).

В уравнении (1.74) член с тензором давления V •戶/ опущен. Если возмущения растут во времени или в пространстве, то равновесие неустойчиво.

В заключение отметим, что модель холодной плазмы, описываемая уравнениями (1.60)——(1.65), эквивалентна кинетической модели при условии, что функция распределения 力(х, р, t) имеет вид

力(х, р, /)=〃"х, f)O[p—Р"х, /)].(1.79)

159>

Интегрирование функции распределения (1.79 )дает ，％(х, р, %)0" = %・(х, О；

J Р力(х, Р，0 d3" = п； (х, 0 Pj (х, О； J % (х, р, t)dp =丐(x, /) % (x,

Кp/(x, /)=0,

где "(X, /) = [1+P2j(x, /)//712★2]1/2.

Глава 2ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬЗАРЯЖЕННЫХ ПУЧКОВО-ПЛАЗМЕННЫХ СИСТЕМ

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ

Теоретическая модель и основные предположения. Исследуем свойства равновесного (д/dt=O) многокомпонентного холодного заряженного пучково-плазменного образования, имеюще

Рис. 3. Заряженный пучковоплазменный столбРис. 3. Заряженный пучковоплазменный столбго форму цилиндра, ориентированного параллельно направлению внешнего однородного магнитного поля B^tz (рис. 3). Для анализа воспользуемся гидродинамическим описанием плазмы, рассмотренным в разд. 1.2.

Рис. 3. Заряженный пучковоплазменный столб

Рис. 3. Заряженный пучковоплазменный столб

Для упрощения анализа сделаем следующие предположения:

система пучок — плазма однородна в ^-направлении, т. е. дп°Дх)/^г=0 и <3v°j(x) /^2=0, и в ней не существует равновесного электрического поля, направленного параллельно Boez, т. е. Е°(х) -ez=0;

равновесные распределения плот-

ности и скорости частиц по сечению азимутально однородны относительно оси

симметрии системы, т. е.

(2.1)(2.1)*(X)=吟(厂)；

(2.1)

(2.1)

V)(x)二 V°0. (r) e0 + V°2/(r)e2,

где r — расстояние от оси симметрии по радиусу; ее и ez — единичные векторы в 0- и г-направлениях соответственно. При этом равновесное уравнение непрерывности V ・[吗(х) V0； (х)] =0 удовлетворяется автоматически для произвольных функций 几°式厂),Voej(r) И 丿％(г)；

J60

в общем случае азимутальные токи 4 ⑺—Е S% (г) V%. (г)

создают собственное аксиальное магнитное поле Bsz(r). Всюду в данной главе будем предполагать, что азимутальный ток достаточно мал, так что собственное магнитное аксиальное поле пренебрежимо мало по сравнению с внешним магнитным полем, т. е.

\B^r)\^BQ}(2.2)

температура составляющих системы плазма — пучок достаточно мала, так что приближение

詛伙产0(2.3)

оказывается справедливым для уравнения баланса равновесных сил (1.67).

Для удобства последующего анализа введем следующие обозначения:

У%•⑺=也心)0⑺=M・(r)r・(2.4)

В рамках сделанных предположений (а) — (г) существенными составляющими равновесных полей являются

Е。(х) =£%(?) ег; В0 (х) =Boez+Bse(r) е0.(2.5)

Собственные поля определяются из стационарных уравнений Максвелла

；+ гЕ\ (г) = 4工⑦叫⑺=4呼。(г);(2.6)

；^ rB\ ⑺=4冗 £ S% (Г) % ⑺=乎乜(，)•(2.7)

ради-(2.8)ради-(2.8)^г}^^吟(rA) rfdrr/ О^г}^^吟(rA) rfdrr/ ОИнтегрируя уравнения (2.6) и (2.7), получаем равновесное альное электрическое поле

ради-

(2.8)

ради-

(2.8)

^г}^^吟(rA) rfdrr

/ О

^г}^^吟(rA) rfdrr

/ О

и равновесное собственное азимутальное магнитное поле

%(/)= $£『吟(2.9)

В общем случае в данном анализе будем предполагать, что аксиальное движение /-й составляющей релятивистское. Поэтому, как следует из выражений (2.8) и (2.9), значения собственных электрических и магнитных полей могут быть сравнимыми.

Релятивистский фактор /-й составляющей системы можно записать как

⑵10)161⑵10)161Y八Г)=[1一俨z了(r)—(О?"О 户 〃2]-1/2,

⑵10)

161

⑵10)

161

а азимутальный момент импульса 尸。历(厂)一как PQQj(r)=yj(r)'X XnijSMr), где V°o/ (r) =corj(r)r. Кроме того, воспользовавшись уравнением (1.67), можно записать уравнение баланса радиальных сил для /-й составляющей системы

一^^ = 0伶+」(2.11)

Подставляя выражения (2.4), (2.8) и (2.9) в (2.11), получаем уравнение баланса радиальных сил

г

一吟j⑺=可如(0%⑺+f幾尸£ e/叫(Q X' '」k о

XU f⑺也心尸"，(2.12)

где

3 = sgn s; %)(г) = I 引 & /YJ ⑺恤(・(2.13)

Для холодной заряженной жидкости [условие (2.3)], обладающей пренебрежимо малым диамагнетизмом [условие (2.2)], уравнение (2.12) отражает баланс центробежной, электростатической и пондеромоторной V°/X (Boez+5seCe) сил, действующих в радиальном направлении на элементарный объем заряженной жидкости. Отметим, что, как следует из уравнения (2.12), при выборе состояния равновесия существует некоторый произвол. В частности, любые две функции из трех п°/(г),①行“)и 也式厂)можно выбирать произвольным образом, а остающуюся третью функцию можно определить из уравнения (2.12). Отметим также, что уравнение (2.12) остается справедливым при произвольном отклонении от нейтральности заряда и нейтральности тока в равновесном состоянии. Например, уравнение (2.12) можно использовать для описания однокомпонентной заряженной плазмы, состоящей только из электронов.

В специальном предельном случае, когда в системе плазма—— пучок выполняется условие локальной нейтральности заряда [р° —

=Е g〃力=0] и локальной нейтральности тока [J°2 = ^ е1п^?г]с~

—0], выполняется условие E°r = Bs0 = 0, и уравнение (2.12) приобретает следующий вид:

~~~0)2打('/*) — Ej①сj(Г)①rj (г)»(2.14)

Оно отражает баланс центробежной и пондеромоторной V°e/e0X X^oez сил, действующих на элементарный объем заряженной жидкости составляющих плазмы. Уравнение (2.14) имеет два решения: o)rj = 0 и сог/ = —8jcocj, которые соответствуют отсутствию вра- 162

щения и вращению с циклотронной частотой составляющих системы соответственно.

Ясно, что уравнение (2.12) можно применить для описания разнообразных равновесных распределений физических величин заряженных многокомпонентных пучково-плазменных систем. С целью иллюстрации в оставшейся части данного параграфа приведем два примера применения уравнения (2.12).

Нерелятивистская заряженная плазма. Рассмотрим вначале уравнение (2.12) в нерелятивистском случае, когда

們«)《1 и，2*j ⑺/,2《1(2.15)

по всему поперечному сечению системы пучок — плазма. Из выражений (2J0), (2.13) и условия (2.15) следует, что ?“г) и ①仃卜) можно приближенно записать как

Y/—1; o)cj'— I Cj 13。/m$c(2.16)

и пренебречь вкладом собственного магнитного поля Bse (пропорционального 伝，院)в уравнении (2.12). Тогда уравнение баланса радиальных сил принимает следующий вид:

%•⑺+打汽产门(a + £方/",*(Q"” = 0・(2.17)

kо

Предположим, что распределение плотности n°j(r) задано. Тогда из уравнения (2.17) получаем два решения, определяющих распределение равновесной угловой скорости вращения сог/ (г):

I L 在о

Отметим, что, как следует из выражения (2.18), в общем случае неоднородного распределения плотности по сечению системы п°j (г) в системе появляется шир угловой скорости, т. е. da)rjldr^0,

В специальном случае однородного распределения плотности n°j(r) частиц по сечению цилиндра радиусом r—Rb (рис. 4), т. е. когда

(2.19)(2.19)｛拉j. = const, 0<r<Rb;

(2.19)

(2.19)

0, Г〉凡，

выражение (2.18) при 0《WRb сводится к следующему:

11*11*—Г,阮欣《/% ]i/2—Г,阮欣《/% ]i/2(2.20)(2.20)163163

11*

11*

—Г,阮欣《/% ]i/2

—Г,阮欣《/% ]i/2

(2.20)

(2.20)

163

163

Рис. 4. Однородное распределение плотности частиц по радиусу [выражение (2.19)1Рис. 4. Однородное распределение плотности частиц по радиусу [выражение (2.19)1Отметим, что при условии однородного распределения плотности, в котором получено выражение (2.20), 0)±仃=const. Выражение (2.20) представляет собой обобщение выражения (1.5) на случай многокомпонентной заряженной плазмы. В специальном случае двухкомпонентной заряженной плазмы, состоящей из электронов (,/=е) и однократно заряженных ионов (/=0, которые частично нейтрализуют заряд электронов и имеют плотность пг=^пе (где f=const — ко-

Рис. 4. Однородное распределение плотности частиц по радиусу [выражение (2.19)1

Рис. 4. Однородное распределение плотности частиц по радиусу [выражение (2.19)1

эффициент зарядовой нейтрализации), выражение (2.20) для элек

тронов можно переписать как

а для ионов как

М— 2~ P — [ 1 + ~ 广 (2.22) Здесь ^2ре = 4лпее2/те'9(о2р/ = 4л/г/е2//п/. В случае полной нейтрализации заряда (/=1) выражения (2.2Г) и (2.22) дают известные результаты 0)一方=0 и ^rj=—^cj-

Из выражения (2.21) с очевидностью следует, что для существования радиально удерживаемого равновесия должно выполняться условие

(2^pe/^ce)(l-fW- (2.23)

Условие (2.23) соответствует преобладанию (фокусирующих) сил магнитного поля над (дефокусирующими) силами пространственного заряда. С другой стороны, при условии fvl силы, действующие на ионы со стороны пространственного заряда, всегда обеспечивают их удержание, поскольку +е^°г<0. Нетрудно показать, что при f>0 и

/《(1+叫./2叫尸 (2.24)

влияние сил пространственного заряда в выражении (2.22) становится определяющим и со^ можно приближенно записать как

0)近=S土г%=干① р“( 1 —f) /2f] i/2. (2.25)

Это выражение отражает баланс центробежной силы и сил, действующих на холодную ионную жидкость со стороны пространственного заряда.

Таким образом, выражения (2.17) и (2.18) можно использовать для исследования свойств равновесия многокомпонентной заряженной плазмы с самыми разнообразными распределениями плотности частиц n°j (г) по сечению. Хотя выражения (2.17) и (2.18) справедливы для нерелятивистски движущейся плазмы с нулевой 164

температурой, они все же допускают произвольное отклонение от нейтральности заряда в равновесном состоянии. Одно из наиболее важных следствий состоит в том, что присутствие радиального электрического поля Е°гСг) приводит к раэличным скоростям вращения составляющих плазмы. Эта разность скоростей может служить источником возбуждения различных неустойчивостей потоков в скрещенных полях, таких как ионная резонансная неустойчивость, рассмотренная в разд. 2.4.

Равновесия релятивистский пучок ——плазма. Исследуем теперь уравнение (2.12) в случае, когда движение в аксиальном направлении происходит с релятивистскими скоростями и при анализе равновесия уже нельзя пренебрегать собственным азимутальным магнитным полем Bse (^). Для упрощения расчетов потребуем, чтобы распределение аксиальной скорости по сечению VQZj{r) было однородным, а азимутальное движение заряженной жидкости происходило с нерелятивистской скоростью, т. е.

₽г/ (г) =pj=const;吟М竹⑺ “2« 1—俨j(2.26)

внутри области, занятой системой плазма ——пучок. Введя обозначения

Y/= (1—р2/)-1/2 = const; Sc/= |e/|Bo/mcy/ = const,(2.27)

можно переписать уравнение баланса радиальных сил как

г

叫j &) + ё严,产门• 6 + e " м3(1 -瓦区)卜% (Q /力=0. (2.28)

При выводе этого уравнения мы воспользовались условиями (2.26) и определениями (2.27). Решая уравнение (2.28) относительно скорости вращения(0疗(厂),получаем

16n«/%х16n«/%х(2.29)(2.29)

16n«/%х

16n«/%х

(2.29)

(2.29)

где производная d^rjldr отлична от нуля в общем случае неоднородного распределения плотности по сечению.

В качестве простого применения выражения (2.29) рассмотрим распространение интенсивного электронного пучка, движущегося с релятивистской аксиальной скоростью в нейтрализующем ионном фоне при условии, что §z小(『)=0. Предположим, что плотность частиц распределена однородно по сечению пучка в соответствии с выражением (2.19), а плотность однократно заряженных ионов связана с плотностью пучка соотношением "£=f〃b, где f= const —— коэффициент зарядовой нейтрализации пучка. Нетрудно удосто- ц* 165

вериться,, что для электронов пучка (/—6) выражение (2.29) принимает вид

^ =学{1±[1_含(1_，一 因)]"}(2・30)

а для ионов фона (/=/)

士 /i А 斗Г一 2吟 j l 一 f ]1/2(

* = %=一丁 J ± J + -J 广 (2，31)

Здесь т2ръ = 4лпъе2/те\ь\ co2pi = 4nn^Wi (поскольку »=1). В случае, если движение электронов нерелятивистское, 62b《1, выражения (2.30) и (2.31) сводятся непосредственно к выражениям (2.21) и (2.22).

Если фокусирующие силы, создаваемые магнитным полем Bso(r), превосходят силы электростатического расталкивания, то в выражении должно выполняться условие

(2.32)(2.32)₽2ь>1-Д

(2.32)

(2.32)

Выполнение условия (2.32) обеспечивает существование равновесия пучка даже при отсутствии внешнего аксиального магнитного поля Boez. В случае 俨ь>1—f и 5о=О выражения (2.30) и (2.31) сводятся к следующим:

⑵Ь=唱=±［吃 一 (1 一川"2 ；⑵Ь=唱=±［吃 一 (1 一川"2 ；(2.33)(2.33)

⑵Ь=唱=±［吃 一 (1 一川"2 ；

⑵Ь=唱=±［吃 一 (1 一川"2 ；

(2.33)

(2.33)

При условии отсутствия радиального градиента давления (0尸。j/ib=O) и внешнего аксиального магнитного поля (Во=О) самофокусирующийся пучок в равновесии, описываемом выражениями (2.33), обязательно должен вращаться.

Таким образом, при выполнении условий (2.26) можно воспользоваться уравнением баланса радиальных сил (2.28) и решениями (2.29) для со” К) для исследования равновесных свойств холодной заряженной пучково-плазменной системы с самыми разнообразными распределениями плотности частиц 儿°j(r) по сечению.

МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПИНЧА БЕННЕТТА

Воспользуемся гидродинамическим описанием, чтобы построить простую модель равновесного пинча Беннетта для самосфокусированного электронного пучка. Предположим, что ионы однократно заряжены и их шлотность связана с плотностью электронов пучка соотношением

出，(「)=/%&), (2.34)

где f=const ——коэффициент зарядовой нейтрализации. Кроме того, пусть ионы -холодные (Гг = О) и их движение нерелятивистское. Предположим также, что в релятивистском электронном пучке аксиальная скорость однородно распределе- 166

на по сечению ,pzb (r)=ip& = const и в среднем электроны не вращаются, т. е. (0г&(г)=0. Предполагая, что температура пучка Тъ конечна и однородно распределена по его сечению, можно вычислить распределение давления электронного газа Р°ь(г) =п9ъ(г)Тъ. Уравнение баланса радиальных сил, действующих на элементарный объем электронной жидкости, можно тогда записать как (при 叫b=0)

Тъдп\/дг = — «%ДЕМг)—Вь^8(г)].(2.35)

Воспользовавшись уравнениями (2.8), (2.9) и (2.34), можно лереписать уравнение баланса радиальных сил (2.35) в следующем эквивалентном виде:

侖鳥吟⑺=_4М 叫(I)】j%(〃)“.(2.36)

0

Для самосфокусированных равновесий (Р2&>1—f) можно найти решение уравнения (2.36) относительно 几％(г), которое описывает самосогласованное распределение плотности и имеет вид (рис. 5)

几。b(r)=kb/(l+「2/R2b)2,

где эффективный радиус пучка Rb определяется как

R2b = 8%/[俨ь—(1Т)]・(2.38)

Рис. 5. Распределение плотности частиц по радиусу в пинче Беннетта [выражение (2.37)]

Здесь %2п^Гь/(4лйье2) и пъ = п°ь (г=0) — плотность пучка на оси симметрии системы. Отметим, что, к-^следует из выражения (2.37), Яь связана с числом электронов, приходящихся на единицу длины пучка в аксиальном направлении, QO

Nb= 2n^n°b{r)rdr соотношением ih=Nь/(nR、). Кроме того, уравнение (2.36) и о

его решение (2.37) справедливы независимо от того, присутствует или нет внешнее аксиальное магнитное поле B^Zi если выполняется условие [/。^匕(厂)=0. Добавим, что, если значение 62b близко к (1——f), то, как следует из выражения (2.38), радиус пучка Rb может значительно превышать Ad.

Для холодных нерелятивистоких ионов уравнение баланса радиальных сил, действующих на элементарный объем ионной жидкости, имеет вид (2.17) при j = L Подставляя выражения (2.34) и (2.37) в (2.17), получаем

8九(Г)=唠G = 一岑{ 1 土卜+ 舒导(厂+%/码)]"2卜(2•39) где 0力=4乳限叫佗—квадрат плазменной частоты ионов, вычисленной на оси симметрии системы (г=0). При Во=О выражение ⑵39) сводится к следующему:

—/ 1 — f \ 1/21

сО九⑺=%=干期.)万万福严-(24°)

Значение cori (г) стремится к нулю при 〃/?匕一>оо.

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ

Исследуем устойчивость нерелятивистской заряженной равновесной плазмы по отношению к малым электростатическим возмущениям. Как и при анализе, в результате которого было получено уравнение (2.17), будем считать азимутальное .и аксиальное движения составляющих плазмы нерелятивистскими, т. е. 02zj")《l；产32仃(厂)儿2《1 [условия (2.15)]. Кроме того, предположим, что аксиальная скорость каждой составляющей плазмы однородна распределена по сечению плазмы, т. е.

V%(r)三 匕=©jC=const,(2.41)'

и что влияние собственного равновесного магнитного поля Bs^(r) пренебрежимо мало по сравнению с влиянием £°г(г), поскольку данный анализ проводится при условии |§2/《1. в общем случае произвольного раопределейия плотности частиц n°j (г) по сечению распределение равновесной азимутальной скорости [выражемие (2.18)] имеет вид

К/(г) ==co^(r)r = 一 }廿『{ 1 土 [ 1 —

「]l/2 )

卜(2.42)

左0

Это выражение получено из уравнения баланса радиальных сил.

Чтобы исследовать устойчивость различных равновесных конфигураций плазмы, представ.им каждую интересующую лас физическую величину в виде суммы равновесного значения и возмущения. Таким образом, имеем

〃/(х, /) = n°j(r) + Ьп^х, f);

Vj(x, O=V%/(r)e6 + V/e2 + aV/(x, /)；

Е(х, f) = E»(“er + 6Е(х, /);(2'3)

B(x, /) = Вое2 + аВ(х, f),

где е『,е0 и ez ——единич-ные векторы в г-, 0- и z-направлениях соответственно. В случае, когда амллитуды возмущений малы, изменения возмущений 5〃j(x, /), 3Vj(x, Z), GE(x, f) и &B(x, /) во времени описываются уравнениями (1.73)—— (1.78). В электростатическом -приближении естественно считать, что возмущение магнитного ноля ЗВ(х, /) в уравнениях (1.74) и (1.75) пренебрежимо мало. Тогда уравнение (1.75) можно записать в следующем приближенном виде: VX3E(x, /)=0. Отсюда следует, что возмущение электрического поля 6Е(х, £) можно представить в виде градиента возмущения скалярного потенциала

ЗЕ(х, /)=—V бф(х, /).(2.44)

Поскольку движение составляющих плазмы предполагается нерелятивистским, возмущение импульса /-й составляющей плазмы в уравнении (1.74) можно приближенно записать в виде 6Р)(х, /)=mj6Vj(x, /). Используя уравнения (1.73), (1.74), (1.77) и выражения (2.43) и (2.44), напишем макроскопические гидродинамические уравнения и уравнение Пуассона:

与 М/(х, 0 + v-{«°/(O^Vy(x, /) + М/(х, /)卜。疗⑺牛十 ％•%]}= 0；(2.45)

与叱.(x, f) + /(小8+丿闷"也(X, f) + 6Vj(x, f)・v/(r)ed =

(2.46)(2.46)(2.47)(2.47)^■[ "VM(x，f)+；6Vj(x, t)\B^

(2.46)

(2.46)

(2.47)

(2.47)

V?2加(x, f) = — 4久工《m〃.(y, /).

Для расчета волновых свойств и устойчивости равновесного состояния относительно возмущений воспользуемся методом собствен-ных колебаний. Предположим, что все возмущения зависят от времени как ехр(——is/). Комплексная частота колебаний со определяется в соответствии с уравнениями (2.45)—— (2.47). Если Im з>0, то возмущения растут во времени и равновесная конфигурация неустойчива. При анализе уравнений (2.45)——(2.47) предположим также, что все возмущения периодичны в пространстве в направлении оси z с периодом L Разложим все возмущения, зависящие от 0- и 2-координат, в ряд Фурье:

оо оо

汕(「，8, z, /)= £2 冲(А 自)ехр [i "8 +尼2 — 3/)],(2.48)

/=—оо 尼z=—00

6〃匕（Г，比），6〃匕（Г，比），где 力z=2汽〃/Lj a n — целое число. Подставляя разложение (2.48) в уравнения

6〃匕（Г，比），

6〃匕（Г，比），

(2.47), можно показать, что Фурье-амплитуды возмущений ^Vlrj(r, Ez) и т・ п. удовлетворяют следующей системе уравнений:

—i (со —比匕一心川 3吟 + ； *^ (rn°j^rj ) +

и”％

(2.49)(2.49)+—厂丄 + i%〃°/•科％/ = 0;

(2.49)

(2.49)

—i (co — k2Vj — Z(ory)5l/^rj —(£j5j + 2(0力)SV^gj =—i (co — k2Vj — Z(ory)5l/^rj —(£j5j + 2(0力)SV^gj =«j d勺dr«j d勺drb“； (2.50)b“； (2.50)11dde产仃+ 丁亍（严叫丹»% = - —~e产仃+ 丁亍（严叫丹»% = - —~

—i (co — k2Vj — Z(ory)5l/^rj —(£j5j + 2(0力)SV^gj =

—i (co — k2Vj — Z(ory)5l/^rj —(£j5j + 2(0力)SV^gj =

«j d勺dr

«j d勺dr

b“； (2.50)

b“； (2.50)

1

1

d

d

e产仃+ 丁亍（严叫丹»% = - —~

e产仃+ 丁亍（严叫丹»% = - —~

(2.51)

(2.52)(2.52)(2.53)(2.53)-i （co -同%•一心"）dYJj =-丽电扌"；

(2.52)

(2.52)

(2.53)

(2.53)

厂历"斤血2 -产*勿一必/"= _ 4冗* 0卩*.

В этих уравнениях для -простоты опущены аргументы возмущений (г, kz). Здесь e；=sgn ej； wCj=pj|B0/znjC, а равновесная угловая скорость вращения 3rj(r) = = ^^АГ}1Г связана с равновесной плотностью п% (г) выражением (2.42). В уравнениях (2.49)—— (2.52) возмущения плотности и средних гидродинамических скоростей можно выразить через 6屮袋厶 kz). Тогда уравнение Пуассона для воз-

мущения электростатического .потенциала принимает вид

2 sli d Г°2р/1

=3"A ⑥二电匕二7叫)彳[V"(华j+2s川卜(2.54)

где

吟⑺三(s 一初，一心")2 -(V°c/ + 2%小严Cj +；"^-(产叫)]，(2.55) a o2pj (r) = 4nn°j (r)e2；/mj. Уравнение (2.54) справедливо для произвольных функций @2pj(r) и 3zj(r), лишь бы выполнялось уравнение баланса радиальных сил (2.42). Решение уравнения (2.54) относительно 6крг (гл kz) и со сводится к решению задачи на собственные значения. Аналитическое решение уравнения (2.54) 'можно «найти только для некоторых простых распределений плотности частиц то сечению. В качестве первого лрименения уравнения (2.54) рассмотрим случай, когда плотность каждой составляющей плазмы однородно распределена внутри «плазменного столба.

РЕЗОНАНСНАЯ ИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

приближе-(2.54) рас-(2.56)приближе-(2.54) рас-(2.56)Дисперсионное уравнение в длинноволновом нии kz=6. В качестве первого применения уравнения смотрим распространение электрических волн с

приближе-

(2.54) рас-

(2.56)

приближе-

(2.54) рас-

(2.56)

木 z=0.

Предположим также, что плотность частиц 〃°j(r) однородно распределена по сечению пучка радиусом г=^ь (рис. 6):

% ⑺瓦= const,I °’% ⑺瓦= const,I °’0 Wr W&;R«Rc，0 Wr W&;R«Rc，(2.57)(2.57)

% ⑺瓦= const,I °’

% ⑺瓦= const,I °’

0 Wr W&;

R«Rc，

0 Wr W&;

R«Rc，

(2.57)

(2.57)

где r=Rc ——радиус идеально проводящей камеры. Равновесные скорости вращения шг/ определяются как [см. выражение (2.20)]

= со士 =

Г} Г]

ё产仃2~

S8冗^绿《/ '『/2 加严%/

где сос/= \ ej\BQ/mjCf 8/ = sgnej.

Поскольку ①гj = const, из ния (2.55) следует, что

V2； (г) = (со—Z(Orj)2—

Рис. 6. Равномерное распределение частиц по радиусу плазменного [выражение (2.57)]

11 i

(2.58)

выраже-

(2.59)

плотностиволновода

При выводе этого выражения мы воспользовались условием (5①cj+2o)rj)2= (co+rj—①一用а Кроме того, для однородного распределения плотности частиц (2.57)

^拉。/«)= 一瓦3(厂一凡)， (2.60)

и уравнение (2.54) можно переписать так:

Г力I [/(3_心/一 (唠_時)2j力

[/ (3 —5)2—(唠—嗎)2 Y

r8 —(CO—心")2_ (s^—s刁)2 (b)，( •)

где в левой части уравнения (2.61) (о2р/ (г) =4лп°/ (г) е^^/т^ а в правой части уравнения (о2р/ = 4лп/е2；/т；. В уравнении (2.61) член, пропорциональный 6 (г——欠匕),соответствует возмущению поверхностного заряда.

Для области внутри плазменного столба (rVRb), в которой п°/(г) =n/=const, и вне плазменного столба (r>Rb), в которой п°；(г)=0, уравнение (2.61) принимает вид

；烹Г^蛔一与如=0.(2.62)

Решение уравнения (2.62), удовлетворяющее условиям 3屮丄(厂= =0)=0, 6q/(r=R，c)=0 и условию непрерывности 6屮。при r=Rb, имеет вид

6叫n=4g'Rb)i, OVrVRb(2.63)

и

%刁面7》川间一阳丁，

凡<Г《凡，(2.64)

где А ——постоянная величина. Комплексную собственную частоту со найдем из уравнения, полученного при интегрировании умноженного на г уравнения (2.61) в пределах от Кь(1—е) до RbX Х(1+&) при е->+0. Такая процедура приводит к уравнению

X(2.65)X(2.65)凡[17 6屮 out]r=Rb 一 凡[1 — S (<0 — l(i>rj) 2 — (wt — <0-)2

X

(2.65)

X

(2.65)

((0—心川 2 —(嘴_%)2，

где ①2р『 = 4冗亢笛2〃加/, a bcphut и 6(p4n определяются выражениями (2.63) и (2.64). Подставляя выражения (2.63) и (2.64) в уравнение (2.65) и перегруппируй члены, получаем дисперсионное уравнение (при /R)t；

1 — Vs%U-(Rb/Rc 产】—(2 66)

1 —夕2 (3 _心/[(3 _心川+ (ё严q.+ 8") ]_*•叫

из которого можно найти зависимость комплексной собственной частоты со от равновесных параметров системы.

Уравнение (2.66) позволяет описать большое разнообразие волн и неустойчивостей, зависящих от числа составляющих плазмы и напряженности собственного электрического поля Е°г(г),мерой которого является ①士「* Важное следствие, вытекающее из уравнения (2.66), состоит в том, что различия в скоростях вращения составляющей плазмы обеспечивают существование источника свободной энергии для возбуждения неустойчивости потоков в скрещенных полях.

Устойчивые колебания. Применим уравнение (2.66) для исследования устойчивых колебаний (1т(о=0) в нейтральной плазме, для которой справедливы соотношения J] ^еу =0 и шг； =

= о)_г/=О [выражение (2.58)]. В случае двухкомпонентной нейтральной плазмы, состоящей из электронов (f=e) и ионов (f—i), при условии(orj=(d~r/=O уравнение (2.66) имеет точные решения з=0 и

3 = } ®е - а%・)±{(% — ®е/)2 + ^ce^i +

+ 2(з% + %“1 —(备)"『I(2-67)

Применим теперь уравнение (2.66) для исследования устойчивых колебаний заряженного плазменного столба, в котором нет ионов (п/=0). Плазма состоит из одной электронной составляющей, вращающейся С угловой скоростью а)ге =(0+ге или (Ore = CD-re, где

а)±ге= (й)се/2) [ 1 土 (1—2й)2ре/(02Се) ^2].(^.68)

В этом случае точные решения уравнения (2.66) записываются как 0):— /(0「е+ (①се /20)ге) 士

'±{®e/2-Se)2+ (*е/2) [1—(凡/凡产]产.(2.69)

В предельном случае, когда проводящая стенка удалена на бесконечность Rl8, из выражений (2.68) и (2.69) можно вычислить частоты собственных мод

(0= (/—1)(0ге+(0се；(0=(/—1) (Оге.(2.70)

Резонансная ионная неустойчивость. В качестве примера исследования неустойчивого решения уравнения (2.66) рассмотрим двухкомпонентную заряженную плазму, состоящую из элек- 172

элек-(2.71)(2.72)элек-(2.71)(2.72)(йге=(0斗е1^ ®се/2) {1± [1— (2й)2@е/S%) (1 —f ) ] "?}и два — для ионов(йге=(0斗е1^ ®се/2) {1± [1— (2й)2@е/S%) (1 —f ) ] "?}и два — для ионовтронов^и ионов. Плотности электронов и ионов связаны соотношением 弘=，亢е, где f=const — коэффициент зарядовой нейтрализации. Ионы предполагаются однократно заряженными. Существуют два допустимых значения равновесной скорости вращения тронов

элек-

(2.71)

(2.72)

элек-

(2.71)

(2.72)

(йге=(0斗е1^ ®се/2) {1± [1— (2й)2@е/S%) (1 —f ) ] "?}

и два — для ионов

(йге=(0斗е1^ ®се/2) {1± [1— (2й)2@е/S%) (1 —f ) ] "?}

и два — для ионов

Предположим, что плазма в равновесном состоянии имеет одну электронную составляющую, вращающуюся с угловой скоростью а)ге=(д~ге 〃儿〃 o)re=s+re и одну ионную составляющую, вращающуюся с угловой скоростью он=со一近 или(о&=й)+^. Для исследования неустойчивости нет необходимости заранее выбирать, с какой скоростью, быстро или медленно, вращаются электроны и ионы.

Поскольку сон и о)ге, вообще говоря, различны, можно предположить, что уравнение (2.66) имеет неустойчивые решения с Im(о>0, соответствующие двухпотоковой неустойчивости,-..обусловленной разными скоростями вращения электронов и ионов. Для наших целей достаточно ограничиться анализом уравнения (2.66) для основной (/=1) моды, имеющей самый большой инкремент в неустойчивом режиме. Подставляя /= 1 в уравнение (2.66), нетрудно показать, что уравнение (2.66) можно записать следующим образом:

[—(Rb/Rc)2 2(3 — (d~) (s — 3力'2((0 — (0用(8 — (0方)，

где ^\6 и 0)±汶 определены соотношениями (2.71) и (2.72). В случае нейтральной плазмы с f=l решения уравнения (2.73) сводятся к выражениям (2.67) при /== 1 и никакой неустойчивости не имеем. Кроме того, если плазма представляет собой чисто электронный газ с f=0, то при /=1 решения уравнения (2.73) определяются выражениями (2.69) и никакой устойчивости также не имеем. Однако в случаях f=#0 и f=#l уравнение (2.73), по крайней мере в некоторой области параметров, имеет неустойчивое решение с Im ①>0.

Чтобы упростить анализ устойчивости решений уравнения (2.73), рассмотрим заряженную плазму малой плотности, когда выполняется условие

(2 叫 еДЛе)(Т)《1・(2.74)

Используя выражение (2.71) и условие (2.74),①土「е можно приближенно записать как ^re=a)cei а

СО~ге== (й)2@е/2й)се) (1 —f) •(2.75)

В случае малой плотности из выражения (2.75) следует, что о~Ге представляет собой скорость вращения электронов, обусловленную 173

их дрейфом в скрещенных электрических и магнитных полях в направлении вдоль вектора E°XSoez, т. е. ^~re^—cEQr{r)frBQ при rWAb・ Для частот, которые существенно ниже циклотронной частоты электронов, т. е. когда

(2.76)(2.76)|(о|《Осе, уравнение (2.73) принимает вид

(2.76)

(2.76)

]=—叫/2бсе [^ у 7

1 一 (凡/凡)2 -(0一 嗚-"卜 2(3 - 3用(s _ sj) '( • )

где (д^ и о)~ге определяются выражениями (2.72) и (2.75).

В случае чисто электронного газа с f=0 решение уравнения (2.77) записывается в виде

ю = Йр=(9-Ге (Rb /Rc) 2.(2.78)

Если же в плазме присутствуют ионы и плотность их невелика (0<7《1), то уравнение (2.77) имеет одно неустойчивое решение с Im(о>0 при QD^^ri, т. е. когда возникает резонанс между электронной диокотронной волной и азимутальным движением ионов.

Рис. 7. Границы между областями устойчивых и неустойчивых колебаний на плоскости параметров f и X для трех значений отношения Rb/Rc [условие (2.77)]. Данные взяты из работы: Levy R. Н. е. а. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, р. 2616Рис. 7. Границы между областями устойчивых и неустойчивых колебаний на плоскости параметров f и X для трех значений отношения Rb/Rc [условие (2.77)]. Данные взяты из работы: Levy R. Н. е. а. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, р. 2616

Рис. 7. Границы между областями устойчивых и неустойчивых колебаний на плоскости параметров f и X для трех значений отношения Rb/Rc [условие (2.77)]. Данные взяты из работы: Levy R. Н. е. а. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, р. 2616

Рис. 7. Границы между областями устойчивых и неустойчивых колебаний на плоскости параметров f и X для трех значений отношения Rb/Rc [условие (2.77)]. Данные взяты из работы: Levy R. Н. е. а. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, р. 2616

Можно показать, что при f《1 неустойчивость существует только тогда, когда Q。и ①-九 отличаются друг от друга пропорционально 产/2. Кроме того, в случае, когда f《l, а значение Qn близко к ①F инкремент неустойчивости

Im о)^ 3pjIm о)^ 3pjR2c/2R2b ]22-R2/R2c ].R2c/2R2b ]22-R2/R2c ].(2.79)(2.79)

Im о)^ 3pj

Im о)^ 3pj

R2c/2R2b ]22-R2/R2c ].

R2c/2R2b ]22-R2/R2c ].

(2.79)

(2.79)

Отсюда видно, что инкремент имеет порядок плазменной частоты ионов ①册，умноженной на геометрический фактор.

Поскольку уравнение (2.77) представляет собой кубическое уравнение относительно ①,можно получить точное его решение для комплексной частоты колебаний в виде функции параметров 力(R》/Rc)2, ^~те и т. п. Однако для наших целей достаточно найти лишь область изменения параметров системы, в которой возможно возбуждение неустойчивости (lm(o>0). На рис. 7 приведены зависимости, соответствующие границам между областями устой- 174

чивых и неустойчивых колебаний на плоскости параметров

те 2^се/^ре

И Л к：——~—

для трех различных значений отношения Rb/Rc・ Уравнение (2.77) при заданном значении отношения Rb/Rc имеет чисто действительные корни (Imсо=О), если значения f и А находятся ниже границы области устойчивости. Если же они лежат выше границы, то уравнение (2.77) имеет одно неустойчивое решение с 1т(о>0. Очевидно, что если /=0 или f=l (^=оо), то неустойчивости не существует. Кроме того, при заданных значениях / и 加 неустойчивость стабилизируется, если проводящая стенка расположена в непосредственной близости от поверхности плазменного столба, т. е. если отношение Rb/Rc стремится к единице. Одной из наиболее важных особенностей резонансной ионной неустойчивости является то, что она может существовать при малых плотностях плазмы и небольших значениях f《l. Эта неустойчивость не имеет порога по плотности.

Если в плазме нет ионов (亢,=0), но существует двухкомпонентный поток электронов, вращающихся с различными угловыми скоростями, то уравнение (2.66) также может иметь неустойчивые решения, соответствующие классу электрон-электронных неустойчивостей в скрещенных полях, которые обладают относительно большими инкрементами.

МОДЫ ГОУЛДА — ТРАЙВЕЛПИСА

Воспользуемся уравнением (2.54), чтобы исследовать устойчивость многокомпонентной заряженной плазмы, сплошь заполняющей волновод. Плотность каждой составляющей плазмы 几°“г) однородно распределена по сечению волновода с проводящими стенками радиусом r=Rc (рис. 8), т. е.

п°j(г) =пэ—const, Q<r<Rc.(2.80)

nJnJ刃刃Рис. 8. Волновод, заполнен-ный заряженной плазмойРис. 8. Волновод, заполнен-ный заряженной плазмойii KD3Lii KD3L

nJ

nJ

刃

刃

Рис. 8. Волновод, заполнен-ный заряженной плазмой

Рис. 8. Волновод, заполнен-ный заряженной плазмой

ii KD3L

ii KD3L

В этом случае средняя угловая скорость вращения Szj составляющих плазмы определяется выражением (2.58) .и не зависит от радиуса. Кроме того, задача на собственные значения приводит к уравнению (2.54), которое можно переписать как

1dd

(2.81)(2.81)V 方Г33-7r 3勿+72扌W"0, 0 < f < 7?c,

(2.81)

(2.81)

где 甘丫«厂=0) = 0; 8y7(r =凡)=0, а

72=一牌 1一£ 3一 hj，心；产 X

X Г1 V ，(2.82)

(3 -龟匕，—的灯)2 一 (唠 一 %) 2

где Vj=const—аксиальная скорость; (d2pj—4nnje2j/mj=consi — квадрат плазменной частоты, a ^rj—^rj определяются выражениями (2.58). При выводе уравнения мы воспользовались условием (8j(oCj+corj)2= (<o+rj—<d~rj)2. Решение ура&нения (2.81), удовлетворяющее условию 8(р"(г=0)=0, записывается в виде

卵=4乙(77), OVYRc,卵=4乙(77), OVYRc,(2.83)(2.83)

卵=4乙(77), OVYRc,

卵=4乙(77), OVYRc,

(2.83)

(2.83)

где 4=const. Потребовав, чтобы на проводящей стенке выполнялось условие 6(pZ(r=Rc)=‘O, получаем дисперсионное уравнение&

T2R2c=p2imi m=l, 2,...,(2.84)

где pim — 〃2-й нуль функции Бесселя Л (х). Определим поперечное волновое число как

胪丄= P2ZWR2c.(2.85)

Тогда дисперсионное уравнение (2.84) можно «переписать в эквивалентном виде

(s г /❽〃 一 feVy)2 — (co力—w~)2

广43一出"一协尸'(2.86)

Где 胪 w胪z +必丄，a co存 определяется выражением (2.58),

В предельном случае нейтральной плазмы для которой выполняются условия £«衣/=0 и 3夕/ =哺=0, из уравнения (2.58) получаем, что (<о力一з刁)2=32,/.

В этом случае уравнение (2.86) непосредственно сводится к известному дисперсионному уравнению для волновода, заполненного нейтральной плазмой. В частности, дисперсионное уравнение для заряженной плазмы (2.86) переходит в соответствующее 1 дисперсионное ： уравнение ' для неЙБр^альной- плазмы, если в последнем произвести следующие замены:

з—>-со—l^rj\ s?cj—^(co^rj—(o—rj)2-(2.87)

Замена (o значением co——/сог； оправдала тем, что в заряженной плазме /-я составляющая вращается с угловой скоростью orj. В системе координат, вращающейся с угловой скоростью @zj, частицы заряженной плазмы вращаются с угловой скоростью l^o+rj—со_г；|; поэтому m2Cj надо заменить на (④+灯一(0一门产 [см. обсуждение, приведенное после уравнения (1.15)].

176

Рис. 9. Зависимость величины з'=①一/сог«——財匕 ОТ 分 ％丄 При G)2pe = 0,5(s+re—ЗГе)2[уравнение (2.89)]. Здесь оЛ◎三(①+^—o-re)2

Уравнение (2.86) позволяет описать разнообразные двухпотоковые и модифицированные двухпотоковые неустойчивости, обусловленные наличием относительных аксиального и азимутального движений составляющих плазмы. Для наших целей, однако, достаточно ограничиться исследованием устойчивых колебаний (Im со=О), описываемых дисперсионным уравнением (2.83), в случае, когда заряд пучка частично нейтрализован однократно заряженными положительными ионами бесконечно большой массы (力守一^оо), имеющими плотность йг—^пе. Если же в плазме присутствует только одна электронная составляющая, из выражения (2.71) следует, что

(s+rc—3-re尸=0AeU —(2з2@е/з2сс) (1—/)].(2.88)

Решение уравнения (2.86) при пг^оо имеет вид (рис. 9)'

(З—心* -坛瞑)2 = (l/2)[dpe + (喷一8*产]{1 土 1-

必"胪丄4叫式喷一嗝21

-胪2/胪丄_32Ре+ (，岐一3用2J

В предельном случае нейтральной плазмы, для которой выполняются условия f=l и Зге=з~те=0, уравнение (2.86) описывает хорошо известные цодьь Гоулда ——Трайвелписа для заполненного плазмой волновода.

Однако если ионов в системе (f=0) нет и чисто электронный пучок представляет собой поток Бриллюэна (2co2pe/<o2ce=l), то со+ге=сосе/2=<д-ге и решения уравнения (2.89) можно записать как

<0—瓦几=%Зсе/2； (0—財几=/С0се/2±13ре・(2.90)，

2"6・ ДИОКОТРОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Задача на собственные значения. Воспользуемся уравнением Пуассона для возмущения электростатического потенциала (2；54), чтобы исследовать устойчивость заряженного электронного- пучка малой плотности при условии, что м%(尸)=0 и

①2@е(г) «①2® (2.91)'

где ф2ре(г) =4лп°е(г)в2/те. Рассмотрим вновь длинноволновые' возмущения (А=0). Будем считать, что электронный пучок вра- 12—3369 177

тцается медленно с угловой скоростью со^(г) =(о_Ге(/*)>『^е

峭⑺=备，= — с 胃. (2.92) о

Отметим, что выражение (2.92) описывает дрейф пучка в скрещенных полях, направленный вдоль вектора E°XB()ez. Предположим также, что частота возмущений достаточно мала, причем

|со—心丁&)|2《оЛе. (2.93)

Подставляя п°/(г) =0 в уравнение (2.54), с учетом выражения (2.92) и условий (2.91) и (2.93) получаем следующее приближенное уравнение:

которое справедливо для низкочастотных возмущений [условие (2.93)], распространяющихся в пучке малой плотности [условие (2.91)].

Достаточное условие существования устойчивости. Из уравнения (2.94) непосредственно следует, что равновесное состояние устойчиво (Im со= =0), если распределение шлотности есть монотонно убывающая функция г, т. е.

^7^ре(г)<0.(2.95)

Чтобы удостовериться в правильности этого вывода, умножим уравнение (2.94) на г6(рг* и проинтегрируем его -в пределах от г=0 до границы проводящей 'Стенки г=7?с с учетом граничных условий「3好(厂=Rc)=0 и {^^/^r]r_^ == 0:

Jr[i^ ?(2.96)

Запишем комплексную частоту колебаний в уравнении (2.96) в виде з=<0г + H-iy» гДе Sr=Re со, у=1т со и условие у>0 соответствует неустойчивости. Приравнивая нулю отдельно действительную и мнимую части уравнения (2.96), получаем следующую систему уравнений:

0

/ f \^l\2 [^r — l^e^。

一J7嗚⑺]2 + 丫2力叫")" =。；

(2.97)

z广13浊|20

f See J 回一嗚⑺]2+ Y2 力 Spe(r)dr = 0.

(2.98)

Рис. 10. Распределение плотности частиц по радиусу трубчатого пучка [выражение (2.99)]Рис. 10. Распределение плотности частиц по радиусу трубчатого пучка [выражение (2.99)]Если в интервале OVrVRc выполняется неравенство 。叫е/血W。，то интеграл в уравнении (2.98) явно отрицателен и, следовательно, у=0, т. е. равновесная конфигурация устойчива.

Рис. 10. Распределение плотности частиц по радиусу трубчатого пучка [выражение (2.99)]

Рис. 10. Распределение плотности частиц по радиусу трубчатого пучка [выражение (2.99)]

иметь провал, как в равновесии полого трубчатого пучка.иметь провал, как в равновесии полого трубчатого пучка.Условие (2.95) представляет собой достаточное условие устойчивости равновесного состояния. Поэтому необходимое условие существования неустойчивости можно сформулировать следующим образом: 3&^冋 меняет знак в интервале 0VirV&c・ Другими словами, для того чтобы существовала неустойчивость, распределение плотности должно

иметь провал, как в равновесии полого трубчатого пучка.

иметь провал, как в равновесии полого трубчатого пучка.

Диокотронная неустойчивость трубчатого электронного пучка. Рассмотрим равновесный трубчатый электронный пучок (рис. 10), распределение плотности в котором задано следующим образом:

(2.99)(2.99)*&) = ｛成，RV<Rb；

(2.99)

(2.99)

•、0, Rb<rCRc.

Уравнение (2.94) для него можно представить в виде.

1 д д .『/ 叫如с

▼齐Г齐如--S? __-_—

Т (г — %)],(2.100)；

где ^2ре=^ппсе2/те, а (о_^(г) определяется выражением

①-「/) =(①2ре/2(Осе) (1-R2°〃2)(2.101)

в интервале &oVr,VRb・ Правая часть уравнения (2.100) описывает возмущение поверхностного заряда на границах пучка r=Ro и r=R& Из выражения (2.101) следует, что внутри пучка существует шир угловой скорости, если Ro/0 (условие Ro=O соответствует сплошному пучку).

Внутри пучка (Ro之rvRb), во внутренней полости пучка (0V VrVRo) и вне пучка (RbV^VRc) уравнение Пуассона ⑵ 100) имеет один и тот же вид

(2.102).(2.102).

(2.102).

(2.102).

Решения уравнения (2.102), удовлетворяющие граничным условиям 8(р"(г=0)=0, 8^l(r=Rc)=0 и условиям непрерывности 0q/ на границах пучка r—R0 и r=R力，имеют следующий вид:

3*=(В + С/燈)С 0<r<R9;

3*i = (&'+c〃z), R«Rr② 1оз)

¥ш- ИЧ С) 4^|r %，R〈<R「 I

12*12*179,

12*

12*

Константы 5 и С в решениях (2.103) можно исключить, воспользовавшись соотношениями, полученными при интегрировании уравнения (2.100) в окрестности внутренней r=Ro и внешней 厂=欠匕 границ пучка, на которых существует скачок поля. Умножим уравнение (2.100) на г и проинтегрируем его в пределах от г= =Rb—& до r=Rb+& Устремляя &->十0 и вычисляя предел, получаем

& [4 *1=% - 凡长 =

=//1_r ::二 冉-.(2.104)

3偌[8—心*(凡)1

Уравнение (2.104) связывает скачок радиального электрического поля на границе пучка r=Rb с плотностью поверхностного заряда. Аналогично умножим уравнение (2.100) на г, проинтегрируем его от r=Ro—8 до r=Ro#E и вычислим предел полученного выражения при е->+0. Комбинируя полученное уравнение с уравнениями (2.103) и (2.104), получаем следующее дисперсионное уравнение:

(со/① d)2—b^l^D+c=Q,(2.105)

тде(^d=^2pet^ce, а константы бис даются выражениями

b 三/(1 —《JR2b) + (R"R： •-國/磯)；(2Л06)

。三2(1 -R2°/R2})(i 一篤/书)_(i _r"r：)(i 一片/片).(2.107) Уравнение (2.105) является квадратичным уравнением относительно комплексной собственной частоты о. Его решение записывается в виде

со= (юр/2) [Ь± 他2—4с) 1/2].(2.108)

Если 匕2》4& то частота колебаний (2.108) действительна (Im(о = —0) и равновесное состояние устойчиво. Используя выражения (2.106) и (2.107), условие неустойчивости равновесного состояния &2 V4с) можно представить в следующем эквивалентном виде:

О — RQR2bM + 2Q —時—YT <

V 4虑(R? — R；)2/R： .(2.109)

Очевидно, что если Ro = O (сплошной электронный пучок) или Rb = Rc (трубчатый электронный пучок, вплотную прилегающий к проводящей стенке), то неравенство не удовлетворяется и неустойчивости не существует.

В случае выполнения неравенства (2.109)(匕2V4с) частоты колебаний, определенные выражением (2.108), становятся комплексными. Уравнение (2.105) имеет при этом комплексно-сопряженные корни. Представляя частоту колебаний в виде(0=0)「+1丫, из выра- -жения (2.108) получаем

仙=心d/2(2.110)

и

Т=± ®d/2) (4с-匕2) 1/2 (2.111)

(здесь предполагается, что 4c>匕2). Решение с Im(о=у>0 в выражении (2.111) соответствует неустойчивости. Отметим, что сог и у по порядку значения каждая равна частоте o)d, умноженной на геометрический фактор.

Следует заметить, что при /=1 условие (2.109) принимает вид (R2c—R2»(R2b_^2。)2 vo. Поскольку RbWA, при /= 1 система устойчива. При /=2 условие (2.102) можно записать так:

尺2匕+R2qV2R2,(R°/Rc) (Rc/Rb). (2.112)

Неравенство (2.112) удовлетворяется при достаточно большом отношении Ro/Rc или (и) при достаточно малом отношении Rb[Rj Тогда система неустойчива при /=2. Условие (2.109) позволяет определить положение границы области устойчивых колебаний в плоскости параметров Rb[Rc и Ro/Rc для различных значений ази-

Рис. 11. Границы между областями устойчивых и неустойчивых колебаний на плоскости параметров Rb/Rc a RJRc [уравнение (2.109)]. (Данные взяты из работы: Janes G. S. е. а.— Phys. Rev., 1966, vol. 145, p. 925]

мутального волнового числа /. На рис. 11 приведены соответствующие границы при /=2, 3, 4. Поскольку Rb>Ro, имеет смысл рассматривать только область параметров, лежащих выше прямой Rb = Ro на рис. 11. Для данного значения / в области параметров, расположенной выше соответствующей границы, равновесное состояние устойчиво (Im(о = 0), а в области между этой границей и прямой Rb=Ro равновесное состояние неустойчиво (1т(о>0). Очевидно, что при данном значении Ro/Rc можно всегда обеспечить устойчивость системы, выбрав достаточно большим отношение Rb/Rc, т. е. приближение проводящей стенки к пучку оказывает стабилизирующее воздействие на диокотронную неустойчивость.

2.7. ДВУХПОТОКОВЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПУЧОК — ПЛАЗМА

Общее дисперсионное уравнение. Исследуем теперь распространение электростатических волн в системе релятивистский электронный пучок — плазма. Предположим, что распределение плотности 九°/(厂)каждой составляющей системы задано в кусочно- 181

тт8%/丫?8%/丫?г一二一炉zг一二一炉z(2.114) цикло- (2.115> поряд-一 1(2.116)(2.117> поряд-(2.114) цикло- (2.115> поряд-一 1(2.116)(2.117> поряд-

т

т

8%/丫?

8%/丫?

г一二一炉z

г一二一炉z

(2.114) цикло- (2.115> поряд-

一 1

(2.116)

(2.117> поряд-

(2.114) цикло- (2.115> поряд-

一 1

(2.116)

(2.117> поряд-

однородном виде: 〃匕(厂)=〃j = const в области OVrVRb и 几°)(厂)= =0 в области Rb之г之Rc [выражение (2.57) и рис. 6]. Кроме того, пусть распределение аксиальной скорости также однородно по сечению системы, т. е. V°Zj (^) ==^P/c=constr а вся система в целом электрически нейтральна и суммарный аксиальный ток„ создаваемый всеми составляющими, равен нулю, т. е.

2 s区=。；S sZBjC =。’(2.113)

и соответственно 七°「(厂)=5$8(厂)=0. Предположим, что составляющие системы вращаются с равновесной угловой скоростью ①方(г) = =0)一打(，).Тогда из выражения (2.12) и условий (2.113) следует, что G)r/(r) =0, т. е. отдельные составляющие системы в равновесии не вращаются.

Уравнение для возмущения потенциалау полностью аналогичное уравнению (2.54), можно вывести и в релятивистском случае. Если распределение плотности задано таким, как показано на рис. 6, то можно найти точные решения этого уравнения внутри плазмы (0<7VRb) и в вакуумной области (Кь之厂VRc) и, проинтегрировав его в окрестности границы плазмы (г=Кь), получить дисперсионное уравнение, которое определит комплексную частоту колебаний со. Воспользовавшись предположениями, перечисленными в предыдущем разделе, и опуская все промежуточные алгебраические преобразования, запишем прямо полученное дисперсионное уравнение

10炉力[『А “(7&)—

乙(3 一屋犷)2 -咦// "乙(%)

一 ? —(S 一屋勺G [(3 — %8*) 2 —~ .

Здесь 5=sgn %, а соР； и 3cj — «утяжеленные» плазменная и тронная частоты:

з2р3=4эт吟孔j/YjSj；(Ocj= I Cj I В /yj^jCy

где y)=(1—俨»т/2；乙(％) — функция Бесселя первого рода ка /, а

(3 — %В*)2(3 — %В*)2(S _局BjC) 2 一炉仃

(3 — %В*)2

(3 — %В*)2

Величина 仇 есть геометрический фактор:

。 =1 k2 (比凡)乙(同此)一K(电%) h (府凡)

/(屋凡)匕(尾&) 一 K‘i(hzRb) li(WRc)，

где Л(х) и Kz(%)——модифицированные функции Бесселя ка /; ri(x)=dli(x)/dx и т. д.

182

Дисперсионное уравнение (2.114) можно использовать для исследования устойчивости равновесия по отношению к электростатическим возмущениям пучково-плазменных систем в широком диапазоне параметров пучка и плазмы, значений RbIRc и т. п. Для наших цепей достаточно проанализировать предельные случаи, в которых можно* получить аналитические решения уравнения (2.114), чтобы проиллюстрировать основные свойства релятивистской двухпотоковой неустойчивости и важное влияние ограниченных радиальных, размеров системы на эту неустойчивость.

Дисперсионное уравнение для д/д^ = 0. Предположим, что в уравнении (2.114) возмущения азимутально-симметричны и дли.на их волны в аксиальном направлении велика, т. е.

D и 胪zR2c《1. (2.118)

При QzR2c《1 И /='0 геометрический фактор go, определеогный выражением (2.117), можно лриближенно записать так:

gi(R/Rp). (2.119)

Предположим также, что возмущения в уравнении (2.114) достаточно высокочастотные и ионы, нейтрализующие заряд пучка, можно считать неподвижными (mf——>оо). Другими словами, три анализе дисперсионного уравнения (2.114) будем учитывать только движение электродов пучка (/=6) .и электронов плазмы (j=e). Потребуем также сильной замагниченности электронов, т. е. выполнения условий

32P J <IG)2CJ； I 3—財©jC 12《32cj (2.120) при j=b, e. При условиях (2.118)——(2.120) дисперсионное уравнение в приближенном виде записывается как

/o(T&,)=go7RJo(TRb), (2.121) где

产=一種J %出一崎河2 ' (2.122) , j = b, е

a co2p j=4jrnje2j/ (yj/nj). Проанализируем теперь приближенное уравнение (2.121) в следующих случаях: 1) плазмшный волновод, в котором распространяется пучок, сплошь заполняющий сечение волновода (Rb=Rc)； 2) волновод, в котором радиус плазменного столба много меньше радиуса волновода (Rb《Rc) •

Двухпотоковая неустойчивость в плазменном волноводе. При Rb=Rc получаем go=ln(Rc/Rb)=O, и уравнение (2.121) принимает вид Jo(TRb)=U. Решение его записывается в виде

T2R2b=%т, /л=1, 2, 3,..., (2.123) где рот — m电 нуль уравнения /о(^)=О. Определим эффективное поперечное волновое число 々丄 как

胪丄= ^om/R2b. (2.124) Тогда, с учетом (2.123) и (2.122) получаем следующее дисперсионное уравнение:

1 — R А(3—庵而产(2・125) ]—b, e

где 胪=胪2 +胪丄，а 央丄 определено выражением (2.124).

При соответствующем выборе параметров, входящих в уравнение (2.125L уравнение имеет «еустойчивые решения, которые отвечают электростатической электрон-электронной двухпотоковой неустойчивости, обусловленной относительным движением электронов пучка и электронов плазмы. Применяя стандартную методику, нетрудно показать, что уравнение (2.125) имеет одно неустойчивое решение (Im(д>0) только тогда, когда аксиальное волновое числа удовлетворяет неравенству

32Pb 々％。С吃…)2"7532Pb 々％。С吃…)2"75(2.128(2.128

32Pb 々％

。С吃…)2"75

32Pb 々％

。С吃…)2"75

(2.128

(2.128

где 胪=左2乞 + 就丄=必2 + Р2^п/^ь- Неравенство (2.126) можно переписать в эквивалентном виде:

胪式瓦一Ве）%*<胪式瓦一Ве）%*<河+（聲小河+（聲小必丄瓜一呢）%汽必丄瓜一呢）%汽(2.127》(2.127》

胪式瓦一Ве）%*<

胪式瓦一Ве）%*<

河+（聲小

河+（聲小

必丄瓜一呢）%汽

必丄瓜一呢）%汽

(2.127》

(2.127》

Необходимое условие существования двухпотоковой неустойчивости сводится к требованию лоложительности правой части неравенства (2.127), т. е. к неравенству

叫〉胪丄叫2b(Вь-%)2 口 + (成/讶/3 Yb/YeL,(2.128)

где 々2丄=夕2о幽/R2b. Из условия (2.128) ясно видно, что при заданных значениях з@ь, Уь и т. д. ограниченные радиальные размеры системы (мерой которых является 々丄)оказывают стабилизирующее влияние，на двухпотоковую неустойчивость. Нетрудно показать, что условие существования неустойчивости (2.128》 можно записать в эквивалентном виде через величину тока пучка

'ь〉'кр к 'а'ь〉'кр к 'а處通務（1-Be/Bb）24 口十（成/第）1/3 丫b/丫不處通務（1-Be/Bb）24 口十（成/第）1/3 丫b/丫不(2.129》(2.129》

'ь〉'кр к 'а

'ь〉'кр к 'а

處通務（1-Be/Bb）2

4 口十（成/第）1/3 丫b/丫不

處通務（1-Be/Bb）2

4 口十（成/第）1/3 丫b/丫不

(2.129》

(2.129》

где ZA^ (тес3/е)^ъуъ^17 ОООрьуь, А — критический ток Альфвена.

Из условия (2.129) следует, что стабилизирующее влияние ограниченных радиальных размеров системы приводит к увеличению порогового тока пучк% при 4Koтором возбуждается двухпотоковая неустойчивость. В предельном случае, когда плотности электронов пучка и плазмы рав-ны (亢匕=亢^), из условия токовой нейтрализации (2.113) получаем, что 0е=——Р& и Ye=Yb, a 0t=O согласно исходному .предположению. Тогда условие устойчивости системы (2.129> сводится к условию I& >/кр=р2от>Р2дУ2ь/8. Наименьший пороговый ток, при котором возбуждается неустойчивость, соответствует т—\. Подставляя p0i==2,4^ получаем /&>0,721р2бу2ь/А или в эквивалентном виде

/б>/кр=12,21Р3бу3ь кА.(2.130>

Нетрудно показать, что в случае равных плотностей электронов пучка и элек^ тронов плазмы и 厶》厶炉(т. е. когда выполняется неравенство k2^c2P2b^ 《З^гь/у%) из (2.125) можно найти максимальный инкремент неустойчивости Y=Im со, который ранен

Ymax=(l/2)Wb/Yb,(2.131>

а соответствующее ему аксиальное волновое число [I^A^^^pbl^fb^bC2^ 184

(2,132)(2,132)Двухпотоковая неустойчивость в тонком пучке. Исследуем дисперсионное уравнение (2.121) в случае азимутально-симметричных длинноволновых возмущений, р аапр остр ан я ющихся в плазменном столбе, радиус которого много меньше .радиуса волновода, т. е.

(2,132)

(2,132)

Rb《Rc； Rb|7T《L

Разлагая в ряд выражение [^го(^)/Щх^)]х-Тр * —厂火2b/2, можно переписать уравнение (2.121) в приближенном виде

1+等胪仙+卜一 £(J*)2 =0，(2.133)

[/=Ь, е

где &pj = 4京产2j/ «严,. Определим эффективное поперечное волновое число 旬как

胪工= 2/R2bhi(凡/凡).(2.134)

(2.135)(2.135)Тогда уравнение (2.133) примет вид

(2.135)

(2.135)

乙 （3一屋8产）2j=b, e

где 胪=胪2十胪丄，а 胪丄 определено выражением (2.134). По своей структуре уравнение (2.135) аналогично уравнению (2.125), в котором лишь по-друго-му определена величина 々纟丄.Поэтому аналогичное выражение для порогового тока, яри котором возбуждается двухпотоковая неустойчивость, можно записать так:

/ь ＞，кр =，а/ь ＞，кр =，а(2.136)(2.136)』2弍《 _ Be/%）2

/ь ＞，кр =，а

/ь ＞，кр =，а

(2.136)

(2.136)

[1+（"/前/3丫枚%]32広（凡/凡丿‘

где /А= (meC^je^byb ——предельный ток Альфвена. Из сравнения выражений (2.129) и (2.136) следует, что в случае тонкого пучка с Rb《Rc пороговый ток леустойчи-вости меньше.

「лава 3

СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКИХ РАВНОВЕСИЙ ЗАРЯЖЕННЫХПУЧКОВО-ПЛАЗМЕННЫХ СИСТЕМ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим свойства кинетических равновесий осесимметричных заряженных конфигураций пучок ——плазма (см. рис. 3). Анализ равновесных состояний будем проводить на основе стационарных (0/0/=0) уравнений Власова — Максвелла (см. разд. 1.2), в которых естественным образом учитываются тепловые эффекты, зависящие от вида равновесной функции распределения 严貝х, р). Важность кинетического описания равновесий заключается в том, что на его основе можно исследовать свойства устойчивости пучково-плазменных систем, зависящие от детального распределения частиц в импульсном (р) и конфигурационном (х) пространствах.

Анализ будем проводить при следующих упрощающих предположениях:

система пучок ——плазма однородна в ^-направлении, т. е. dfQj(х, p)/dz=0, и равновесное электрическое поле, параллельное Boez, отсутствует, т. е. Е°(х) -ez=0;

распределения всех физических величин азимутально симметричны относительно оси магнитного поля, т. е.(?/°；(х, р)/08=0; цилиндрическая система координат (г, 0, z) показана на рис. 3;

на протяжении всей данной главы будем предполагать, что азимутальный ток 丿%(厂)=工 S § %尸,(х, р)"3р, который создает собственное аксиальное магнитное поле В%(г), достаточно мал, так что собственным магнитным полем можно пренебречь по сравнению с внешним, т. е.

凤⑺|《&・(3.1)

В рамках этих предположений существенными составляющими равновесных полей являются

Е° (х) =£%(г) ег; В0 (%) =BlOez+Bse (г) ее. (3.2) Введем потенциалы собственных полей (ро(г) и Asz{r), где Е°г= =—д^/дг и Bse=—dAsz/dr. Потенциалы '(ро(г) и 4sz(厂)определяются из самосогласованных уравнений Максвелла

；^г±%6 = — © У S% (г) = - 4冗 V 心(х, р) d 勿

(3.3) и

；訂(г) = Т у叩方(г)匕『(г)=

= -^уе/%〃・(х, p)d*.(3.4)

Здесь 吟•=卩恥力；/1°*% = J 恥产川〃 Скорость частицы v связана с механическим импульсом р соотношением

V-Р/%(35、

(1 + р2/屮)1/22 力)

или, что эквивалентно, р=ут^¥, где у= (1 ~^p2/fn2jC2)1/2.

Для электромагнитных полей (3.2) стационарное уравнение Власова (1.45) можно записать так:

卜•忠+ "*er + ；vX(&ez+/ee)] •备}产户,Р)=О,

(3.6)

где Е°г=—д^дг и Bse=—dAsJdr определяются через 产“х, р) уравнениями (3.3) и (3.4). Нетрудно показать, что любая функция распределения, которая зависит только от интегралов движения одиночной частицы в равновесных полях (3.2), является точным решением стационарного уравнения Власова (3.6), т. е. равновесная функция распределения /°；(х, р) вида

凡(х, p)=fOj(", Ре, 2) (3.7)

удовлетворяет уравнению (3.6), где " — полная энергия,

h=(呜м+e2P2) 1/2+%屮0⑺；(3.8)

Pg — обобщенный момент импульса,

。8 = '(% + 〒生3。，)；(3・9)

Pz ——обобщенный аксиальный импульс,

匕=八+ ?4Т(Г)・(3.Ю)

Хотя любая функция распределения вида 产>(〃，Ре, Pz) удовлетворяет уравнению (3.6), выбор конкретного вида、(Н, Р仇 Pz) обусловлен некоторыми основанными на практике условиями, такими как условия инжекции, степень энергетического разброса и т. п. Для конкретной функции распределения вида 产“", Ре, Pz) электростатический <ро(г) и векторный Asz(r) потенциалы собственных полей определяются самосогласованным образом из уравнений

^^г±Ъ(г^~^е^Г^Н. Р^ Р^^р}(3.11)

；^ ^ AS^-~^^ ер」"Р” PJ 办・(3.12)

Уравнения (3.11) и (3.12) представляют собой систему нелинейных уравнений для самосогласованных потенциалов собственных полей, поскольку интегралы движения Н и Pz зависят от фо и Asz. Макроскопические свойства равновесного состояния также можно рассчитать по заданной равновесной функции распределения. В частности, можно рассчитать распределение плотности

среднюю азимутальную скоростьсреднюю азимутальную скорость吟⑺=口。,("，Ре р对р, (3.13)

среднюю азимутальную скорость

среднюю азимутальную скорость

(3.14)(3.14)“出("'勺，Pz) d3p

(3.14)

(3.14)

" J 门("，/, %) d3p

J勿鬥（"，/，2） 0夕J勿鬥（"，/，2） 0夕Н") =Н") =J 門("，/, 2) d3pJ 門("，/, 2) d3pсреднюю аксиальную скорость

J勿鬥（"，/，2） 0夕

J勿鬥（"，/，2） 0夕

Н") =

Н") =

J 門("，/, 2) d3p

J 門("，/, 2) d3p

и тензор давления?

6j(x)= J[v-V0/(x)][p — P0j(x)]f：(〃，7V PJd”・ (3.16) Здесь

V = р/Y% = (PM) (1 + p2//n2*2)-"2; Р。/ (х) = J рМр / J fy>

——средняя скорость и средний импульс элементарного объема жидкости. Поскольку Н является четной функцией 夕尸 равенства

h" = "/*6 / ,。户,=0 и 尸。"=J Prt\d8P / 门。川力=0 справедливы для функции распределения любого вида /) (〃，Р@, Р2).

Таким образом, уравнения (3.8)——(3.12) позволяют исследовать свойства заряженных пучково-плазменных систем, описываемых самыми разнообразными функциями распределения /&("> Р仇 Pz) (3.7). Если движение частиц нерелятивистское и влиянием собственного магнитного поля В°е (г) можно пренебречь по сравнение с влиянием £°г(г), то интегралы движения (3.8) — (3.10) можно приближенно записать так:

〃=p2/(2mj・) + s%(r);'

Г [рв + (1/2) £阳4川；“(3.17)

尸Z = "z，

где gj=sgnej, ^=\еДВ^1т^с—циклотронная частота, а т^с2= =const — энергия покоя частицы (в определении ” опущена). Кроме того, в нерелятивистском случае p=mjv.

РАВНОВЕСИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ПУЧКОВ

Рассмотрим класс равновесий заряженных электронных пучков в отсутствие ионов, т. е.严〃(х, р)=0. Предположим, что электроны движутся с нерелятивистской скоростью. Тогда равновесную функцию распределения электронов можно в общем виде записать так:

凡(Х, p)=f°e(”，Ре,厶)，(3.18)

где

” =[1/(2%)] (^г + ^д+Е^ — е% ⑺；1

p8 = r(凡-恤%//2),J

а электростатический потенциал можно определить из уравнения

；± г ^^ = — 4貳е Jf°e (”，尸8，厶)"6，(3.20)

где е — заряд электрона. Рассмотрим вначале класс равновесий» описываемых функцией распределения fQe(H,尸仇 Pz), которая зависит от Н и 户е только в виде их линейной комбинации Н—(огеРе> где(ore=const, т. е.

Линейную комбинацию Н—削品 можно записать в виде Н—SeA= (l/2me) [p2r~p (pe—те(дГе^) ?+р%] +

(3.23)(3.23)+ (脸⑵[Г2 (cDreCOce—S’re) — (2б/加е) фО (^) ] • (3.22》 Подставляя (3.21) в (3.14) и учитывая (3.22), нетрудно показать,, что средняя азимутальная скорость V\e (г)= ^e^pl j V^P определяется как

(3.23)

(3.23)

Н^е (厂)=<йт，

Таким образом, для равновесной функции распределения вида /°е (”一0)"尸仇 pz) среднее азимутальное движение электронов соответствует жесткому вращению электронного пучка как целого относительно ОСИ С угловой скоростью Se=const.

Сплошной электронный пучок. В качестве примера кинетического- равновесия рассмотрим функцию распределения электронов вида

К (" —(0從尸8, А)=质/(2Ме)] 6 ( А — гп^е) “" 一(0^Рб — (””е/2) —彳е丄】，

, (3.24> где YeHConst; core=const, а Те^——положительная достоянная величина, В пучке, описываемом функцией распределения (3.24), все электроны имеют аксиальный импульс pz=meYe=const и инверсное заселение по Я—^ГеРц . Очевидно,, что средняя аксиальная скорость V°ze (г) = j vzf^p / j fe^P однородно распределена по сечению пучка, т. е.

Hze(q = %=8HSt. .(3.25)，

Введем функцию огибающей 电(г) [см. выражения (3.22) и (3.33)]: 屮 G =乙丄—(S/2)卜2 i^re^ce —叫 e) — ^/me) ^ (г) ] • '(3,26>

ОООО

Представляя С d3p = 2冗,Р±^Р± J dp?、где 加丄 _ р^г^ (рб—粗加厂“尸一попе- о о

р^чный импульс во вращающейся [системе координат, распределение плотности

электронов 叫(г) = \ f%#夕 запишем так:

00

叫⑺=応 ^(p\-2menr))dp\.(3,27》

о

Выражение (3.27) дает однородное распределение плотности по сечению (см. рис. 4)

叫(Г)=m=：。就(3 28》

Радиус пучка Rb определяется из уравнения *ф(Кь)=О [уравнение (3.26)], причем i|)(r)N0 в области внутри пучка (0<г</?&).

Соответствующее распределение электростатического потенциала имеет вид.

s З _ ( (//4")吟产，’0с Y凡；9

一1 (加。/甸叫加2b 口+21//&)],Г>凡，,)

183

где ^2ре=^ппее21те. Подставляя выражение (3.29) в (3.26), получаем

(2/加力屮⑺=(2普丄/%) 一产[smce -叫e —(2作片)],(3.30)

где 0<г</?&. Вьгражение в скобках удобно переписать в виде (соге<Осе—со2Ге—• —з2&е/2) = (з+ге—Зге) (Згс—з-ге), где ^ге определяется выражением

з土те=(Зсе/2){1 ±{1 — (2о2ре/о2.се) V2J }•(3.31)

Радиус пучка Rb определяется самосогласованно из уравнения i|)(Rb)=°：

R2(唯 一 8%) (8re -%)R2(唯 一 8%) (8re -%)(3.32)(3.32)

R2

(唯 一 8%) (8re -%)

R2

(唯 一 8%) (8re -%)

(3.32)

(3.32)

•Из выражения (3.32) следует, что рав-новесные состояния пучка существуют только тогда, когда угловая сксхрюсть удовлетворяет неравенству (рис. 12)

(3.33)(3.33)Ш~ re^^re^^^ ге,Ш~ re^^re^^^ ге,Рис. 12. Область изменения core для радиально удерживаемой равновесной плазмы [условие (3.33)1 (заштрихована область параметров, соответствующая радиально удерживаемому равновесию)Рис. 12. Область изменения core для радиально удерживаемой равновесной плазмы [условие (3.33)1 (заштрихована область параметров, соответствующая радиально удерживаемому равновесию)Рис. 13. Профиль поперечной температурыТ°е 丄(г) [выражение(3.35)]Рис. 13. Профиль поперечной температурыТ°е 丄(г) [выражение(3.35)]

(3.33)

(3.33)

Ш~ re^^re^^^ ге,

Ш~ re^^re^^^ ге,

Рис. 12. Область изменения core для радиально удерживаемой равновесной плазмы [условие (3.33)1 (заштрихована область параметров, соответствующая радиально удерживаемому равновесию)

Рис. 12. Область изменения core для радиально удерживаемой равновесной плазмы [условие (3.33)1 (заштрихована область параметров, соответствующая радиально удерживаемому равновесию)

Рис. 13. Профиль поперечной температуры

Т°е 丄(г) [выражение

(3.35)]

Рис. 13. Профиль поперечной температуры

Т°е 丄(г) [выражение

(3.35)]

которое эквивалентнокоторое эквивалентноусловию СОгеОсе―'<02ге—О2ре/2>0. ЕСЛИ 3「е НеЗНЗЧИТеЛЬНО

которое эквивалентно

которое эквивалентно

отличается от скорости в-ращения ^ге или <о_Ге ламинарного потока, то радиус пуч'ка Rb значительно превосходит ларморовский радиус электронов, дви- -Жущихся С тепловыми скоростями： /Le三(2?е丄/加е®2се)1/2.

В рассмотренном здесь нерелятивистском случае эффективная поперечная температура

(3.34)(3.34)

(3.34)

(3.34)

Подставляя функцию распределения (3.24) в (3.34), нетрудно рассчитать распределение поперечной температуры (рис. 13)

7VL (г)=北丄(1 一产/R2J

(3.35)

в области ОО<&,. Таким образом, Те， можно идентифицировать с макс” мальным значением температуры (на оси). Из выражения (3.35) следует, что в равновесии, описываемом функцией распределения (3.24), температура '°е丄 б монотонно уменьшается с увеличением радиуса и на границе пучка r=Rb становится равной нулю. 「

Тепловое равновесие. В качестве другого примера нерелятивистского' равновесия типа жесткого ротатора рассмотрим функцию распределения электронов вида •

(" — зГе/) =(2吗;J3区霍

где 亢е и Те ——положительные постоянные величины, а соГе лежит в интервале ^-Ге<(Иге<^+те [условия (3.31) и (3.32)]. Функцию (3.36) называют распределением Гиббса; она описывает, тепловое равновесие, которого достигает заряженная электронная плазма в результате парных столкновений. (Напомним, однако, что в нашем рассмотрении парные столкновения не учитываются). Поскольку Н ——четная функция аксиального импульса pz, из выражения (3.15) и функции р а определения (3.36) следует, что средняя аксиальная скорость электронов равйа нулю, т. е. V°ze(r)t=O. Кроме того, из (3.16) и (3.36) следует, что равновесный тензор давления можно записать в виде

Р°е (%) = 〃°е (г)北[®r®r + ®ge9 + ^z^z]j(3.37卜

гие er, e0 и е2 — единичные векторы в г-, 9- и z-направлении соответственно, а п°е (г) = J f°e (" — 3广6尸8)d^p — плотность электронов. Из выражения (3.37)< видно, что тензор давления является изотропным и что Te=const можно идентифицировать с электронной температурой. Подстановка (3.36) в (3.13) дает

П°е (г)=пе ехр {— (те12Те)[г2 ((ОгеСОсе—

—*СО2ге) — (2e/me)(p()(r)]},(3.33>

и уравнение Пуассона (3.20) можно записать следующим образом:

；条 г £ % ⑺=4冗《石 exp { - -^-卜(^ге^се 一 宙局一一鲁 铀(Г)]}•(3・39》

Без потери общности предположим, что <ро(г=0)=0. Тогда пе есть плотность электронов на оси, т. е.几久(厂=0)=万е. Уравнение (3.39) нельзя решить аналитически. Однако его можно прои1нтегрировать численно. На рис. 14 показано полученное таким способом распределение плотности электронов при <оге/(осе= =0,165 и Ьппе^1т^се=^^). 0TMeтим, что распределение п°е(г) имеет колоколообразную форму с максимумом плотности на оси (г=0). Для значений параметров, выбранных при расчете зависимости на рис. 14, характерный радиус Rb электронного пучка равен примерно четырем дебаевским радиусам экранирования, т. е. Кь、4九d=4(TJ4;jt方ее?) 1/2. Однако надо подчеркнуть, что если Зге незначительно отличается от скорости вращения ламинарного потока а)+ге или зге, определяемой соотношением (3.31), где а)2ре=^ппее21те — квадрат плазменной частоты электронов, вычисленный на оси пучка, то равновесное

распределение плотности, полученное из (3.38) и (3.39), имеет относительно «большую ширину в единицах Ad. Не вдаваясь в детали, можно показать, что если со?，е=з+те(1—6) или cOre=(o-rД! + 6), где 0<6<1, то из (3.38) и (3.36)

明⑺(3.40)

где

D / Те V/2 . {Г,儿，(唠一明)(％f) \「l n(L П\ Ф 吟/2 力(3.41)

При 3《1 из (3.41) /?6>%d= (Те14ппее2) V2. Плотность электронов п%(г) быстро спадает до нуля при r^Rb в тонком поверхностном слое (толщиной порядка Ad).

плотности электронов 叫(г) от 1гДп при <02ге/С0се2 —о, 165И2(о2ре/со2се = 0,5 [выражения (3.38) и (3.39)]плотности электронов 叫(г) от 1гДп при <02ге/С0се2 —о, 165И2(о2ре/со2се = 0,5 [выражения (3.38) и (3.39)]плотности электронов 〃°е(г) от ir для равновесной функции распределения (3.42)плотности электронов 〃°е(г) от ir для равновесной функции распределения (3.42)

плотности электронов 叫(г) от 1гДп при <02ге/С0се2 —о, 165И

2(о2ре/со2се = 0,5 [выражения (3.38) и (3.39)]

плотности электронов 叫(г) от 1гДп при <02ге/С0се2 —о, 165И

2(о2ре/со2се = 0,5 [выражения (3.38) и (3.39)]

плотности электронов 〃°е(г) от ir для равновесной функции распределения (3.42)

плотности электронов 〃°е(г) от ir для равновесной функции распределения (3.42)

Трубчатый электронный пучок. Равновесие трубчатого пучка, в котором плотность электронов достигает своего максимального значения вне оси вращения (厂 =0), исследовалось во многих работах, главным образом в связи с диокотронной неустойчивостью (см. разд. 2.6). Такие равновесные состояния характеризуются наличием ш<и(ра средней угловой скорости вращения, т. е. dsre(r)/。厂片0, где (Оте(г) = U°Re(「)/「• Рассмотрим пример равновесия трубчатого пучка, обладающего широм средней угловой скорости вращения.

Исследуем функцию распределения вида

& (”，/, Pz) = “R。/(2冗峭 1 6 (% — 尸雜(Н — "°),(3.42)

тде 万e, Ro, "q и Po ——положительные постоянной величины, причем предполагается, что "o>Pd3ce・ Если функцию распределения (3.42) подставить в уравнение (3.13), то нетрудно показать, что ллотность электронов распределена следующим образом:

0,0VY4；

^(г)=区&〃， R.<r<Rb;^(г)=区&〃， R.<r<Rb;(3.43)(3.43)

^(г)=区&〃， R.<r<Rb;

^(г)=区&〃， R.<r<Rb;

(3.43)

(3.43)

、о, &< Г,

где Ro и Rb ——внутренняя и внешняя границы интервала, в котором справедливо неравенство

屮(г) =〃о +纤о «)—~^~ {■^£~ + _^~) ^°-(3.44)

Предположим, что проводящие стенки отсутствуют Тогда для рассматриваемого примера равновесный электростатический потенциал 屮о(厂)можно записать в виде

(О,0<г<^0;

?0 (г) == / 4nerieR0 [г — Rq — Rq In (г Rq)], /?о < г < Rbi(3.45)

I 4冗忘R。[Rb 一凡一&In (%/R。)-(凡一凡)In (g %)], Г >凡.

Из выражения (3.43) видно, что в интервале RQ<r<Rb плотность электронов спадает пропорционально 1〃 и скачком уменьшается до нуля на внутренней и внешней границах пучка (при r=Ro и r=Rb) (рис. 15). Для определения Ro и Rb можно воспользоваться условием (3 44) и выражением (3.45). Например, поскольку 屮o(Ro)=O, то из условия (3.44) получаем

RoT2/(me*e)F/2|7/o】/2—(〃()_3cePo) /] •(3 46)

Аналитическое решение для Rb получить невозможно. Однако если величины "о, Ро, Зге и др. заданы, то &ь можно найти из условия (3.44) и выражения (3.45) численными методами.

С помощью равновесной функции распределения (3.42) можно вычислить также и другие свойства равновесия. Например, подставив (3.42) в (3.15), легко проверить, что средняя аксиальная скорость электронов равна нулю, т. е. P°ze(r)=0, а средняя угловая скорость вращения

^re (г) = Y°6e(')/「= ®се/2 + 勺/团或？，〃()<「<%•(3.47)

РАВНОВЕСИЯ ИНТЕНСИВНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ

Воспользуемся интегралами движения (3.8) — (3.10) и уравнениями (3.11) и (3.12) для исследования равновесия релятивистского электронного пучка (/—ft) в частично нейтрализующем его заряд ионном фоне, плотность которого равна

淤")=拉。6 ⑺，(3.48)

где f=const ——коэффициент зарядовой нейтрализации. Предполагается, что ионы однократно заряженные и обладают бесконечно большой массой (tn?~>оо, y°zi=0). Уравнение Пуассона имеет вид ；^厂与外(Г)=4^(1 一力叫()=4ге(1 一力，。八"，州，PJd力,

(3.49) где ",尸仇 Pz определены выражениями (3.8) —(3.10). Кроме того, вектор-потенциал собственного поля определяется из уравнения

4■与Г备4笃⑺=学「热("，％，2"力，(3.50)

где vz=pz/\mt 3—3369

L Равновесие Хаммера—Ростокера. В качестве первого примера равновесного состояния интенсивного релятивистского электронного пучка рассмотрим конфигурацию, заданную функцией распределения вида

严ь (", 〃) = [пъ/ (2лу6те) ]6 (Pz—уът^ъс) ^ (Н—уьтес2), (3.51) где " и Pz определяются выражениями (3.8) и (3.10); p6=const, a fib и 丫匕——положительные постоянные величины. Если равновесная функция распределения имеет вид (3.51), то все электроны обладают одинаковыми обобщенными продольными импульсами {Рг=уът^ъС) и одними и теми же значениями полной энергии (Н=уьтес2). Подставляя функцию распределения (3.51) в (3.13), нетрудно показать, что распределение плотности электронов в пучке дается выражением

吟⑺=吟⑺=(3.52)(3.52)[1。[1+ё汽（Г）/（Y两義胃，00＜凡；

吟⑺=

吟⑺=

(3.52)

(3.52)

го,＞凡，

где Rb ——верхняя граница интервала, в котором выполняется неравенство

2 (厂)=у&тес2+е(р0 (г) — {т2е^+с2 \ybm^bc-\- (е/с) Л^(г)]2} ^^О.

(3.53)

Из (3.53) видно,, что электронный пучок имеет резкую границу при r=Rb・ Подставляя (3.51) в (3.14), нетрудно показать, что У°06(г)=О, т. е. в равновесном состоянии, описываемом функцией распределения (3.51), средняя скорость вращения электронного пучка равна нулю. Кроме того, уравнение Пуассона можно записать как

LJ(3.54)

Подставляя (3.51) в (3.50), получаем уравнение Максвелла для 4sz(г) составляющей вектор-потенциала

1 д d[ ^тс [ ^ьт(^ьс + ~ ^z (d ]，。＜厂＜&；-^

丁歹厂苏L」(3・bJ)

Распределение аксиальной скорости по сечению пучка (0＜厂＜欠匕) дается выражением-

%昨惨為^霞•(3.56)

Отметим, что радиус пучка 凡 невозможно вычислить из (3.53) до тех пор, пока из уравнений (3.54) и (3.55) не будут определены потенциалы,фо (г) и Asz(r)f которые в свою очередь зависят от Rb. Следовательно, уравнение 2 (&ь)=0, из которого можно вычислить Rb, в действительности нелинейно. Решения уравнений (3.54) и 194 、

(3.55), непрерывные при r=Rb и удовлетворяющие условиям 74sz (厂=0) =6 и ф0(г=0)—0, записываются в виде

%（，）=一屮［1一/。|今（1产卜（3.57）

-№人［学（1 - f严也齐［ J〉"；

然叩―Л, (v)]-?<r<^

3[li (箱-年乙图咔

(3；58)

В решениях (3.57) и (3.58) /九(х) есть модифицированные функции Бесселя порядка /г, б ——толщина бесстолкновительного скин- слоя, определяемая выражением

V=c2/(i)2研,

(3.59)

где dp匕=4冗亢匕с?仇俏е. Комбинируя (3.57) и (3.58) в (3.52) и (3.56), можно записать распределения плотности и аксиальной скорости

公Ь⑺=

展/。［（"6（1 一力片，0<ГV凡;

0,厂 >凡

(3.60)

и

4（晒）

4IT 一犷/2门

0<r<R.

(3.61)

Поскольку /о (0)=1, из (3.60) и (3.61) следует, что 元匕=const и р6с—const. Эти величины представляют собой плотность электронов и среднюю аксиальную скорость электронов на оси пучка 厂=0 соответственно.

Поскольку равновесная функция распределения выбрана так, что должно выполняться равенство //=丫匕/71&^2, механическая энергия электрона на расстоянии г от оси пучка у°ь (г)тес2= (т2^с4+ 十с2P2丄 十с2P2,1/2=е①оЮ+уь^е* где ру — (р2г+р2е)1/2 — импульс электрона в налравлении, перпендикулярном оси пучка. Воспользовавшись решением для потенциала (3.57), у%(г)т^с2 можно записать в виде

科⑺=Wo [r(l-f)i/2/6], 0<r<^Rb. (3.62)

Отметим, что функциональный вид у°ь (г) совпадает с функциональным видом распределения плотности 儿°匕(厂).Таким образом, величину Vb^^2=const можно рассматривать как энергию электрона при пересечении им оси пучка, (г=0); 一

13*13*49.5

13*

13*

Используя функцию распределения (3.51), можно также непосредственно вычислить полный ток электронного пучка. Воспользовавшись выражениями (3.60) и (3.61), для тока пучка получаем

/ 0 2貳ё J 叫(Г) VQzb (Г)心=^- ^ь 巻а(华)，(3.63)

Очевидно, что ток пучка / сильно зависит от отношения Rb/8.

В случае полностью нейтрализованного электронного пучка (f=l) полезно выразить правую часть выражения (3.63) в единицах предельного тока Альфвена /а・ По определению, предложенному Лоусоном, предельный ток Альфвена для неоднородного пучка——это такой ток /А, при котором ларморовский радиус электрона при движении его в максимальном собственном магнитном поле (при г=&) равен половине радиуса пучка:

Т°ь (Кь) тес Же 低 ь) 1еВ$ 虱母)=R〃2.(3.64)

Используя выражения (3.60)——(3.64), получаем значение тока /а в амперах:

/а= (тез® Вгь/о (凡/6) wl 7 OOO₽6V&/o (Rb/b).(3.65)

При этом ток пучка

Воспользовавшись асимптотическими разложениями функций Бесселя, из (3.66) находим

/弋(凡/26)厶》厶при Rb》6(3.67)

и

/p(R2"452)/a《/a при Rb《I(3.68)

Выражение (3.67) показывает, что ток пучка / может существенно превосходить альфвеновский ток /а, если радиус пучка много больше толщины бесстолкновительного скин-слоя, т. е. если 欠匕》6. Наоборот, если Rb《6, то ток пучка много меньше альфвеновского

тока.

nQb (г) г dr——число элекnQb (г) г dr——число элекОтношение RM5 радиуса пучка к толщине бесстолкновительного скин-слоя можно выразить через отношение v/丫匕, где v=

nQb (г) г dr——число элек

nQb (г) г dr——число элек

=Nbe2lmec2 — параметр Будкера, а М=

тронов, приходящихся на единицу длины пучка. Нетрудно показать, что если плотность электронов имеет вид (3.60), то

汴一汴一(3.69)(3.69)

汴一

汴一

(3.69)

(3.69)

Когда пучок полностью нейтрализован (f=l), выражение (3.69)

принимает вид

”/*3/462=（1/4）吟断仔・

(3.70)

Очевидно, неравенство RbN2B соответствует неравенству v/y&^h Таким образом, из (3.67) и (3.70) следует, что для того, чтобы ток пучка / значительно превосходил альфвеновский ток /А, должно выполняться условие у/уь》1.

Радиус пучка Rb определяем как верхнюю границу интервала, в котором выполняется условие (3.53). Подставляя (3.57) и (3.58) в (3.53), получаем следующее уравнение для определения R&:

丫屮“等"(1 一俨 J — В"。传)I = 1 ・ (3.71)

Отметим, что уравнение (3.71) определяет Rb как функцию от f и параметров равновесной функции распределения (3.51). Если величины 力 6匕 и 丫匕 определены, то путем численного решения уравнения (3.71) можно найти отношение Rb/В, причем величина 6 определена выражением (3.59). Поскольку отношение R^/B должно быть действительной величиной, в уравнении (3.71) существуют ограничения на допустимые значения величин 厶 р2ь и 丫2b. Следует помнить, что уъ^еС2 и р^с ——полная энергия и аксиальная скорость электронов при г=0 соответственно, а поперечная скорость злек・ тронов р丄с, пересекающих ось пучка (г=0), связана с 丫匕 и р& следующим соотношением:

俨丄二二 1 一俨b - l/Y2b.俨丄二二 1 一俨b - l/Y2b.(3.72)(3.72)

俨丄二二 1 一俨b - l/Y2b.

俨丄二二 1 一俨b - l/Y2b.

(3.72)

(3.72)

Для того чтобы выполнялось условие R?丄 ＞0, должно выполняться неравенство 1—俨匕＞1/丫2b. Уравнение (3.71) можно проанализировать в нескольких предельных случаях. Например, при Rbl$N\ нетрудно показать, что равновесное состояние существует только тогда, когда 俨匕＞1—f. Это неравенство представляет собой уже знакомое условие преобладания сил магнитного сжатия над силами электростатического расталкивания.

В предельном случае, когда заряд пучка полностью нейтрализован (/=1), анализ упрощается и уравнение (3.71) сводится к следующему:

(3.73)(3.73)

(3.73)

(3.73)

из которого можно найти безразмерный радиус пучка при заданных значениях 丫匕 и 0b. Кроме того, при /=1 из (3.60) и (3.61) получаем, что плотность пучка постоянна, т. е.

0<Г <кЬ； 厂>凡，0<Г <кЬ； 厂>凡，(3.74)(3.74)

0<Г <кЬ； 厂>凡，

0<Г <кЬ； 厂>凡，

(3.74)

(3.74)

(3.75)197(3.75)197а распределение аксиальной скорости дается выражениемV\b{r)=^bcl^r!^,

(3.75)

197

(3.75)

197

Рис. 16. Зависимость V°2& (г)/^ьс от 〃5 при Rb = =4,006 и (1—1/丫八)/阮2= 127,73 [уравнение (3 73) н выражение (3.75)]

где У°2б (г) монотонно увеличивается от значения 瞅(прй г=0) до !/%(&) = — ^cIo(Rbl6) на внешней границе пучка r=R&. Если радиус пучка много больше толщины бесстолкновительного скин-слоя, т. е. /?匕》6, то 俨zb(R^)》俨ь. Это условие выполняется только, если 俨匕《1. Кроме того, при условии 代》 》1 электроны вблизи оси пучка (г=0) движутся в основном в поперечном направлении, т. е.宣》俨匕[уравнение (3.73)].

Приведем численный пример. При (1—1/у2&)(/р2ь—127,73 из уравнения (3.73) получаем /?ь^4,00б. На рис. 16 приведено соответствующее распределение аксиальной скорости . V°Zb(r/6) [выражение (3.75)]. Как видно из рис. 16, аксиальная скорость имеет резкий максимум на границе пучка при 厂=凡，причем VQZb(Rb) — —11,30 ВьС В данном примере полный ток пучка /=1,73 /А, а отношение у/уь=4.

В предельном случае, когда. v/y&<C 1 и Rbl§《\, приближенное решение уравнения (3.73) записывается в виде

R2b = 252『丄/皤..(3.76)

Отметим, что, как следует из решения (3.76), условие R&/6《1 соответствует малости поперечных скоростей, т. е.片丄 《02匕.Кроме того, из (3.75) следует, что при Rb《j распределение аксиальной скорости по сечению приблизительно однородно, т. е.

Vzb(r)^bc, 0<r<Rb.(3.77)

2. Обобщенный пинч Беннетта. В качестве второго примера рассмотрим равновесие релятивистского электронного пучка, описываемого функцией распределения вида

凡PJ=*exp-3办7。 8/p2),(3.78)

где c)Tb=const; Bb=const; Zb и Тъ ——положительные постоянные величины; Н, Р®, Р2 определены соотношениями (3.8)——(3.10). Функция распределения (3.78) соответствует тепловому равновесию интенсивного вращающегося электронного пучка. Потенциалы собственных полей ср。(厂)и Asz(r) определяются через f% самосогласованными уравнениями (3.49) и (3.50). Предположим, что неподвижные {mi—^оо) положительные ионы частично нейтрализуют заряд пучка и имеют плотность 几屮二/几^匕(厂)[выражение (3.48)]. Будем также считать, что азимутальный ток /%& (г) достаточно мал и соответственно что аксиальное собственное магнитное поле Bsz(r)) создаваемое этим током, пренебрежимо мало по сравнению с внешним магнитным полем Во.

Уравнения (3.49) и (3.50) с функцией распределения (3.78) были подробно проанализированы Девидсоном и Умом в случае, когда поперечный импульс электрона мал по сравнению с характерным продольным импульсом, т. е.

吟，叫《Y2加2第2"2,(3.79)

где 丫匕=(1—(р2ь)~1/2. Для наших целей достаточно привести основные результаты, опуская все промежуточные преобразования.

При условии (3.79) нормировочную постоянную Z& можно записать в виде •

二二生?—-г exp 亨•(3.80)

ь 丫匕 ^bmeTbf12 卜'

Кроме того, среднюю аксиальную скорость, среднюю азимутальную скорость и распределение плотности по сечению пучка можно представить в следующем виде:

V°zb (г) =Bb，=const;(3.81)

V喩⑺=з“；(3.82)

拉气(厂)=瓦 exp [—屮⑺],(3.83)

где эффективный потенциал р(г) определяется как

2⑺= (1/Ть) [(1/2)уь恤ЗьЗсь—.

一寸切产—外5一0/^)],(3.84)

а щсЪ=еВ^/уътс. Из уравнений (3.49) и (3.50) и функции распределения вида (3.78) можно показать, что потенциалы 屮。(厂)и /Pz(r) связаны между собой соотношением一 .

рьф0(г) = (1_/)Л^(г)„(3.85)

а -ф(г) представляет собой решение нелинейного уравнения

' "I■屮(г) к ^^ ^Cb^rb - 3%)-

-穿汕(1-f-^) exp I (г)],(3.86)

где со2рь=4л/гье2/Тбте.，

Как и в п. 3.2.1, удобно воспользоваться следующим представлением:

(^сь^гь —①％) — ■^-b (I — f —九)=3〉-①汴)З/Ф — %)，(3.87) где

^rb =(5ь/2) {1 ± [ 1—(2со2рь/о)2с&) (1 —f—俨ь) ] ”2} (3.88) есть угловые скорости вращения ламинарного холодного потока. Тщательный анализ уравнения (3.86) показывает, что удерживаемые по радиусу равновесия с

п°ь(г->оо)=п& ехр [—гр(г->оо)] =0(3.89)

199

Рис. 17. Зависимость <о+?・ь и(о-гЬ от (2со2рЬ/(о2сЬ) (1—f-~р62). Заштрихованная область соответствует радиально удерживаемым равновесиям плазмы с 屮(厂一> focj)=+oo и 几°ь(гтоо)=0 [выражения (3.83) и (3.86)] [Данные взяты из работы: Davidson R. С., Uhm Н. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1375]

существуют только тогда, когда значения со「ь и (2со2аь/з2сь) (1—)— р2ь) попадают в область, которая на рис. 17 заштрихована. Другими словами, 5ь может изменяться в диапазоне 6-巾<8巾<3干仆 при 0< (2^ръ/^2съ}{^—f—^2b) < 1 и в диапазоне 0<(огь<(ос^ нр" (2^Pb/^cb}(l-f-^b)<^

В специальном случае, когда (о；ф=О и р2ь> I——f, уравнение (3.86) можно решить точно. Его решение имеет вид

屮⑺=2由 (1+产/R2Ь)(3.90)

и соответствует колоколообразному распределению плотности

поь(г}^ь/(1+г2т2^(3.91)

где

R2b=8 大 d/[吃 一(1一川，(3.92)

a 入2口=兀/4乳亢be?. В выражении (3.91) нетрудно узнать известное распределение для пинча Боннетта в случае невращающегося электронного пучка (см. рис. 5).

В частном случае, когда выполняется точное равенство р2^= =1—力 решение уравнения (3.86) можно записать так:

Ф(г)=г2Ж,(3.93)

а соответствующее ему распределение плотности описывается выражением

пРъ(г) =пъ ехр (―产/R2»,(3.94)

где

R2 —27Ь/(Y%)

Ь ^rb^cb — ^rb)

Отметим, что для существования удерживаемого по радиусу равновесия С 火2匕>0 ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ условие Q<^rb<^cb- 200

Глава 4

ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КИНЕТИЧЕСКИХ РАВНОВЕСИЯЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ

Детальные свойства устойчивости пространственно неоднородного кинетического равновесия плазмы, обладающей собственными полями, обычно с трудом поддаются аналитическому рассмотрению. Поэтому даже достаточное условие существования устойчивости представляется желанным результатом, поскольку оно дает полезную информацию о классах равновесных функций распределения, которые могут соответствовать неустойчивым решениям. Выведем достаточное условие устойчивости нерелятивистского, (недиамагнитного кинетического равновесия плазмы, рассмотренного в гл. 3. Равновесная конфигурация представляет собой заряженный электронный пучок, распространяющийся параллельно однородному внешнему магнитному полю ^неш (х)=Вое2. Как и в гл. 3, будем предполагать, что свойства равновесия не зависят от z(0/dz= =0) и обладают азимутальной симметрией (0/00=0) относительно оси системы, параллельной вектору Bo€z. Кроме того, будем считать, что движение частиц нерелятивистское. и собственные азимутальное 8；(厂)и аксиальное 台$z(厂) магнитные поля пренебрежимо малы. Ради простоты предположим также, что равновесная конфигурация образована только электронами. В общем случае равновесная функция распределения электронов записывается в виде

f°e(X, р)=叫(匕 &, R),(4.1>

где pz=mevz — аксиальный импульс и

Н == р2/2те—е(р0('Г);(4.2)

戶8 = г(凡一ЕЗсе, 2) •(4 3)-

Здесь Зсе=еВо/加ес В выражениях (4.1)——(4.3) использованы обозначения, принятые в гл. 3. Равновесный электростатический потенциал (р0(^) определяется самосогласованным образом по заданной функции распределения f°e (Я,夕矶 pz) из уравнения Пуассона.

Чтобы исследовать свойства устойчивости равновесия, заданного равновесной функцией распределения f% (”，尸g，夕z)， рассмотрим временную эволюцию возмущений относительно их равновесных значений в рамках уравнений Власова —Максвелла. Для рассматриваемой здесь равновесной конфигурации функцию распределения электронов fe(x, р, /), электрическое поле Е(х, /) и магнитное поле В(х, /) можно записать в виде

%(х, р, 0 - f% (Я, /, R)+3% (х, р, /)；(4.4)，

Е(х, /)= Е%(г)ег+，ЗЕ(х, /)；(4.5)

B(xJ)=Boez+3B(x, /),(4 6)'

где е,- и ez ——единичные векторы в г- и z-направлениях; Е°“г)=——@屮()(厂)/0厂—— равновесное радиальное электрическое поле. Напомним, что в выражении (4 6)： мы пренебрегли собственными магнитными полями пучка. В нашем рассмотрении вывод достаточного условия устойчивости состояния, описываемого равновесной функцией распределения /°е (//,尸&, pz), дадим в электростатическое приближении. Другими словами, будем предполагать, что возмущение магнит-

'вого поля 6В (х, /) в течение всей эволюции системы остается пренебрежимо малым. Тогда уравнение Максвелла можно приближенно записать следующим образом:

▽ХЕ(х, /)=0.(4.7)

Обобщить это рассмотрение с учетом возмущения магнитного поля ЗВ(х, /) -сравнительно трудно. Считая, что В(х, /)^Вое2, получаем следующее кинетическое уравнение для функции распределения %(х, р, /):

倩+ v•負一ек(х, /)十 vX” ]，_^_卜《5, P, /)=0, (4.8) где v=p/me, поскольку движение частиц нерелятивистское. Электрическое поле Е(х, /)=——VW(x, /), входящее в уравнение (4.8), определяем самосогласованно через %(х, р, /) из уравнения Пуассона. Поскольку ионы отсутствуют, уравнение Пуассона принимает вид

V・E (х, f) = — 4тг« [ } (х, р, /) d^p,(4.9)

где —е ——заряд электрона; рвнеш(х, /)=0 согласно предположению. Следует заметить, что уравнение (4.8) нелинейное, так как никаких предположений о малости амплитуд возмущений не делалось.

Чтобы вывести достаточное условие устойчивости, рассмотрим вначале функцию 尸(/), определяемую следующим образом:

F j { ^^ + f [(昜—3「е/ - VeP^fe~f\) +

+ G(fe)^G^oe)p3^j^x,(4.10)

где интегрирование в конфигурационном пространстве проводится по бесконечной области ; G — гладкая и дифференцируемая (а в остальном произвольная) функция своего аргумента %• В выражении (4.10) (ore=const; Ve=const; величина 尸& определяется выражением (4.3), а Е=Е(х, /); E°=E°r(r)ew %= =fe(x, р, /) и f°e—f°e(H,尸％ 〃). Используя уравнения (4.7) —(4.9) и интегри- 'РУ^ выражение (4.10) по частям, можно показать, что

备尸 «) = — s“^T J e2-xXEv-Et/3x=-

=一(3從/4冗)juv [xX (ЕЕ — (Е2/2)7)У，(4.11)

тпе [ ]т означает диадное транспонирование. Если возмущение электрического поля 6Е=Е——Е° достаточно быстро убывает при х——^оо, то интеграл в правой части выражения (4.11) стремится к нулю. Следовательно, d尸(f)/d/=O, т. е.

尸(/)=F(0)=const.(4.12)

Заметим, что постоянство величины 尸 вытекает непосредственно из того факта, что кинетическое уравнение и уравнение Пуассона нелинейны. Рассмотрим' теперь возмущения с малыми амплитудами. Разложение функции G(h)=G(f°e + +6fe) в ряд Тейлора по малым значениям 3% дает

G 仇)=G(9)+e(儿)讨е+

+ Gff(^e) (6fe)2/2+(4.13)

© точностью до квадратичных членов возмущений выражение (4.10) можно записать так:

尸(2)= f {(5Е)2/8к+ J ［(р2/2加е-纤о (г) -ЗгеРу —匕，厶 +

+ О (叫))％е+ G"(叫)(％)2；2］或力"x,(4.14)

где 6Е=Е—Е。； 6%=%—凡・ При получении выражения (4.14) из (4.10) мы использовали разложение (4.13) и тождество

± J Е?・3Ed3% =石 J (foV^EtZ3% = 一《J 汽［№%3夕］"х,(4.15)

которое вытекает из равенств Е° = —V¥o и v*E= —4冗《，^fed3p. Функцию С (尸е), которая до этого могла иметь произвольный вид, выберем так, чтобы она удовлетворяла условию

0 吁。。)=一("一明/一2"2)，(4.16)

где Н—р212те—е^0(г). Выбор функции G'(凡)в виде (4.16) означает, что 儿 зависит от Н, Pg и pz через их линейную комбинацию Н—，оге Р0 ——I4"z, т. е. ограничимся здесь исследованием равновесий, которые описываются функциями распределения вида

叫(”，Ре，Pz)=*e(H-8r『8-VePz).(4. !7)

Отметим, что класс равновесных конфигураций, описываемых функциями распределения (4.17), соответствует равновесию тйпа жесткого ротатора ”％ (「)= =(ОгеП с однородным 'распределением аксиальной скорости. Из (4.16) следует, что в выражении (4.14) можно опустить линейные по 3% члены. При этом 尹(2)при|НИ'мает вид

尸⑶=f ［练;+ J G〃(f°e)弯匕 d34 d尢(4.18)

Дифференцирование выражения (4.16) по переменной f°e дает

(叫)=@*/0("一 J/ 一 %厶)•(4・19)

Подставляя эту производную в (4.18), получаем эквивалентное выражение ДЛЯ戶⑵：

f⑴='(* + ］ 呼［一赤—J/ 一八正)卜力}以.(4.20) Если

d (" -3"。8— /厶)—("一限尸厂嗓A)《0,(4.2!)

то из (4.20) следует, что 尸⑵ представляет собой сумму неотрицательных членов- Поскольку сама 尸 является постоянной величиной, то возмущения ЗЕ(х, /)

203

и 必(х, р, f) не могут расти безгранично, если выполняется условие (4.21). Поэтому достаточное условие устойчивости можно сформулировать следующим образом:

Если f% (Я — З/е/ — ^ePz) — монотонно убывающая функция Я — ^ггРц — ——VgR, то равновесие устойчиво по отношению к электростатическим возмущениял® малой амплитуды.(4.22}

Условие (4.22) представляет собой обобщение теоремы Ньюкомба на случай заряженного вращающегося электронного пучка. Достаточное условие устойчивости (4.22) играет особо значительную роль, поскольку оно применима к пространственно неоднородным равновесиям, обладающим рав1НОвеС1Ным соб- ствейным электрическИ'М полем Е°(х)=—егд^(г)/дг. Теорема об устойчивости? справедлива в случае как поверхностных, так и объемных возмущений в электронном пучке. Отметим, на пример, что функция распределения Гиббса

_/ h — 3г广8 — YePz ,

& (万一3"尸8 —嗅必)=［成 ^m^r^2\ exp ( ^十

(4.2 ②

соответствует электростатически устойчивому равновесию, если исходить из приведенных выше рассуждений. Однако функция распределения с инверсной заселенностью по Н—®е 尸& или с анизотропией по энергии, например, вида

f°e (% о8，&)=危/2「@) 5 (h一叫『8 一 гDG(正) (4.24) может соответствовать неустойчивому равновесию, поскольку она не является： монотонно убывающей функцией Н—Зге Р§ ——14Pz•

Можно сделать несколько важных обобщений приведенного анализа. Во- первых, условие устойчивости равмовесия имеет тот же вид, даже если учесть возмущение магнитного поля 3B(xJ).

Другими словами, условие df°e (Я —(orePQ — Vepz) /д (Н —①忆尸。一匕〃z) W& являе гея достаточным условием устойчивости равновесия, описываемого функцией распределения вида f。。(” 一 ^ге^е 一一 ^epz) * по отношению к электрсмагнитным возмущениям с произвольной поляризацией. Во-вторых, теорему об устойчивости нетрудно обобщить на случай многокомпонентной заряженной плазмы пр” условии, что каждая из ее составляющих вращается с одной и той же угловой скоростью со,；—co0=const и имеет среднюю аксиальную скорость 匕=Vo=const. Если условие 0? (〃一з()尸° —乙正)/0 (" —з。％ — %〃)《0 справедливо для частиц любого сорта /, то оно является достаточным условием устойчивости равновесия, описываемого функцией раанределения f°j (Я—仰尸。一Vepz), по> отношению к возмущениям малой амплитуды. Кроме того, следуя Гарднеру^ теорему об устойчивости мож<но обобщить на случай нелинейных колебаний и показать, что если условие d^^H—^Q Р^ — Y^ /д (Я — «ОР0—yopz)^O выполняется для частнц любого сорта, то оно является достаточным условием устойчивости равновесия ，口о отношению к нелинейным возмущениям произволь- 204

мой поляризации. В зтом случае условие (4.22) в обобщенном виде можно записать так:

Если fQe {Н — тггРц — Ve№)一 монотонно убывающая функция "——тгеР^ — ——I'eAz， то равновесие устойчиво по отношению к малым электромагнитным возмущениям произвольной поляризации.(4.25)

Здесь “ =(能2c4 十 c2P2)1/2 — о,。⑺—энергия; Р0 = гр§ — eBQr2/2c 一 обобщенный момент имшульса; Pz=pz—(e/c)Asz (г)—обобщенный аксиальный импульс. При выводе условия (4.25) пренебрегли собственным магнитным полем Bsz(r), создаваемым вращением пучка, по сравнению с в-нешним магнитным полем, юднако учли влияние собственного азимутального магнитного поля Bs^r)= =—dAsz{r)/dr л собственного (радиального электрического поля Е°?•(厂)= =——dqpo(r)/。厂

Глава 5

КИНЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ С ПЛАЗМОЙС УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ БОЛЬШИХ СОБСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ

ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Вводные замечания. Интерес к свойствам равновесия и устойчивости релятивистских электронных пучков связан с несколькими различными областями исследований. К ним относятся: а) исследования по нагреву плазмы и управлению обратным током в плазме с помощью интенсив1ных релятивистских

электронных пучков; б) исследования по коллектив'ному ускорению ионов в прямолинейных пучках и электронных кольцах; в) исследования по фокусировке электронных потоков в высоковольтных диодах; г) экспериментальные и

теоретические исследования фундаментальных свойств 'равновесий заряженной

пучков и их устойчивости как в бета-пучков и их устойчивости как в бета-Рис. 18. Равновесная конфигурация и система координатРис. 18. Равновесная конфигурация и система координатплазмы и релятивистских электронных тронной конфигурации магнитного поля, так и в однородном магнитном поле. Ансамбль заряженных частиц, в котором нет полной нейтрально- •сти заряда и тока, характеризуется «большими собственными электрическим и магнитным полями. Достаточно широко исследовано влияние равновесных собственных полей на

пучков и их устойчивости как в бета-

пучков и их устойчивости как в бета-

Рис. 18. Равновесная конфигурация и система координат

Рис. 18. Равновесная конфигурация и система координат

равновесие и устойчивость одноком- яонентной заряженной плазмы и релятивистских электронных пучков, заряд которых частично нейтрализо

ван положительными ионами (〃%«〃%) меньшей плотности. В то же время существует обширная литература, посвященная исследованию свойств равновесия и устойчивости системы релятивистский электронный пучок——плазма при условии, что плотность пучка мала (〃%《〃%, А), а заряд и ток его нейтрализоааны. Цель данной главы — восполнить пробел между этими двумя предельными случаями,

рассмотрев распространение прямолинейного релятивистского электронного пуч- 玄а в плазменном фоне (движение частиц плазмы будем считать нерелятивист-

ским)，в -однородном аксиальном внешнем магнитном поле B^z. В частности, изучим свойства кинзтического равновесия и устойчивости системы релятивистский- электронный пучок ——плазма, в которой заранее не предполагается, что плотность пучка мала (или велика) по сравнению-с 'плотностью плазмы и в рав- новесии не обязательно выполняются условия зарядовой или токовой нейтрализации ну^ка. ； 一

Равновесная конфигурация образована цилиндрически симметричным релятивистским электронным пучком (рис. 18), -распростаняющимся параллельно однородному внешнему магнитному полю Вое? в бесконечном в аксиальном, направлении плазменном фоне. Ограничимся рассмотрением предельного случая электронного пучка с v/убС 1 (v —параметр Б уд кер а; уьтс2 — характерная энергия электронного пучка). Будем считать, что аксиальный ток электронного пучка частично нейтрализован обратным током 'Плазменных электронов. Полный аксиальный ток создает равновесное - собственное магнитное поле 麼& (г) е0. Кроме того, предположим, что заряд пучка частично нейтрализовда пигазменным фоном. Отклонение от нейтральности заряда создает равновесное собственное радиальное электрическое поле Е^г(厂)е「. Равновесные собственные поля EQr(r)er и 8s&(Г)е& могут оказывать сильное влияние на евайства равновесия и устойчивости пучково-плазменной конфигурации. Например, траектории частии могут сильно изменяться ,рав!новесными собственными полями. Кроме того, наличие у системы собственных полей приводит, как правило； к возникновению» среднего вращения различных составляющих лучкаво-плазменной системы (ко* торое необходимо для выполибния баланса сил в равновесии)，. Влияние собственных нолей «а траектории частиц и наличие относительных скоростей вращения различных составляющих могут сильно изменить условия устойчивости системы по сравнению с нейтрализованной по заряду и току пучково-плазменной конфигурацией, в кото,рой выполняются условия 笈% (г) =£°г(г)—0. Чтобы подчеркнуть пределы изменения собственных полей, отметим, что данный анализ равновесий и их устойчивости остается справедливым it в случае чиста заряженной пучково-плазменной системы, в которой нет ионов (拉久=0).

Ниже приведено краткое описание исследуемой равновесной конфигурации и основных предположений, которыми воспользуемся .при анализе. В разд. 5.2 обсуждается общий подход к построению равновесий релятивистский пучок —— плазма в рамках стационарных уравнений Власова ——Максвелла. Ограничимся исследованием класса равновесий релятивистских электронных пучков, в которых все электроны пучка (/=%) обладают одинаковым обобщенным продольным импульсом Pz, однако имеют распределение по энергии Н и обобщенному моменту импульса Pq в виде произвольной функции распределения вида 尸(〃——⑴гь/‘" реализующей равновесие типа жесткого ротатора, т. е. f% (”， PgPz) = F (Н — s^Pj 6(Pz—Pq), где 3rb (средняя угловая скорость вращения) ■—и 尸о—постоянные величины. Свойства равновесия (с учетом собственных полей) будем исследовать в предельном случае у/уь《1, когда движение частиц в направлении, перпендикулярном направлению распространения пучка, нерелятивистское. В разд. 5.2 приведены также' отдельные примеры равновесий релятивистских электронных пучков и рассчитаны распределения плотности 206

электронов и температуры по сечению для различных функций распределение из класса F(H—mrb Р^. Свойства кинетического равновесия плазменного фона^ также исследованы на основе самосогласованного описания при условии, что движение электронов и ионов плазмы (j=e, 0 нерелятивистское и что равновесные функции распределения плазмы имеют вид

門("，/, Pz)=也(Н - з口• Рв — V]R — т严：/2),

где (Orj (средняя угловая скорость) и 匕一постоянные величины как для электронов, так и для ИО1НОВ плазмы (j=e, ')♦ В разд. 5.3 воспользуемся линеаризованными уравнениями Власова ——Максвелла для исследования свойств устойчивости (с учетом влияния собственных полей) пучково-плазменных конфигураций. При анализе устойчивости ограничимся рассмотрением довольно широкого класса равновесных конфигураций, в которых скорости вращения о㈠ (j=b, е, i) близки к скоростям вращения ламинарных потоков ①一仃 или 由+仃， а распределение плотности каждой из составляющих приблизительно однородно по сечению системы. Выведем дисперсионное уравнение для электростатических волн, дисперсионное уравнение для электромагнитных волн, распространяю^ щихся параллельно вектору Boez, и дисперсионное уравнение для одномодовых, электромагнитных волн, распространяющихся перпендикулярно вектору В0е2 в случае объемных волн, локализованных внутри пучка (У& и 胪丄R2b>1)： В разд. 5.4 детально изучим свойства устойчиеости системы холодный пучок ~- холодная плазма, чтобы проиллюстрировать влияние токовой и (или) зарядовой нейтрализации на свойства двухпотоковой и нитевидной неустойчивостей. Покажем, что существование относительного вращения составляющих плазмьь (обусловленное наличием собственных полей) (；=b, е, i) приводит: а) к изменению характера двух1потоковой неустойчивости и распространению волн в направлении, практически 1пер/пендикулярно>м вектору Boez; б) к значительному увеличению полосы -неустойчи1вости по продольным волновым числам kz для продольной ,двухпотоковой неустойчивости. Кроме того, в случае, когда пучко-. во-плазменная конфигурация электростатически нейтральна, но в ней имеется не нейтрализованный ток, покажем, что собственное азимутальное магнитное поле оказывает сильное стабилизирующее влияние на нитевидную неустойчивость.

Равновесная конфигурация и основные предположения. Равновесная конфигурация (см. рис. 18) образована релятивистским электронным пучком, распространяющимся параллельнс внешнему однородному магнитному полюВ^неи1 =Воег в бесконечном в аксиальном направлении плазменном фоне. Внешнее маг нитное поле обеспечивает существование ограниченного по радиу су равновесия. Как показано на рисунке, мы воспользуемся цилин-- дрической системой координат (г, 9, г), ось г которой совпадает с осью симметрии системы; г——расстояние по радиусу от оси г； 0 ——полярный угол в плоскости, перпендикулярной вектору Восг. Предположим, что аксиальный ток электронного пучка частично, нейтрализован обратным током, текущим в плазме. Полный аксиальный ток создает азимутальное собственное магнитное ' поле- 5se(f)ee. Кроме того, будем считать, что заряд.пучка также частично нейтрализован плазменным фоном. Отклонение от ней-

тральности заряда создает собственное радиальное электрическое поле Е°г(г) ez.

Для упрощения теоретического анализа равновесий на основе стационарных (0/@/=0)уравнений Власова — Максвелла воспользуемся следующими предположениями:

свойства равновесия не зависят от z(d/dz=0) и обладают азимутальной симметрией (0/09=0) относительно оси г, т. е., например, фо(х)=фо(г) есть функция только радиуса г, где q)o(x)― электростатический потенциал равновесного собственного электрического поля. Кроме того, (<5/<5г)/°/(х, р) =0 и (d/@e)f°/(x, р) =-0, где f°j(х, р)—равновесная функция распределения /-составляющей в фазовом пространстве (х, р), а индексы /=&, е, i относятся к электронам пучка, электронам и ионам плазмы соответственно;

электроны и ионы плазмы (j=e,，)движутся с нсрелятнвн- <тскими скоростями;

в общем случае равновесные поля вызывают азимутальное вращение различных составляющих системы (/=&, е, /). Предположим, что полный азимутальный ток достаточно мал, так что можно пренебречь соответствующим аксиальным магнитным полем Bsz(r)е2, направленным противоположно внешнему [1ОЛю, по сравнению с внешним полем Boez, т. е. 15sz(厂)|《|Во|;

предположим, что

^ = М 右 1， (5.1)

ОО

где V Nbe2fmec2 - - параметр Будке ра; %匕=2冗£ n°b (г) rd г — число о

электронов, приходящихся на единицу длины пучка в аксиальном направлении; /г°ь(厂)—равновесная плотность электронов пучка; —е ——заряд электрона; rQ—e2mec2 — классический радиус электрона; 7ьтес2 — характерная энергия электронов пучка.

Неравенство (5.1) имеет более наглядный вид в другой записи. Число электронов, приходящихся на единицу длины пучка в аксиальном направлении (А/б), связано со средней плотностью электронов {г^ъ) соотношением Nb=nR2ur^b, где Rb ——характерный радиус электронного пучка. Нетрудно показать, что неравенство (5.1) можно переписать в следующем виде:

v/Yb=R2bз%/4c2《1, (5.2)

где(^Ръ=^пг^ъе2/теуъ — квадрат плазменной частоты пучка, вычисленный в лабораторной системе координат. Неравенство (5 2) означает, что радиус пучка Rb должен быть мал по сравнению с глубиной бесстолкновительного скин-слоя cjspb или, др>1 ими словами, что собствелные поля проникают внутрь пучка.

Для описания равновесий релятивистский пучок ——плазма, базирующегося на стационарных (0/0/=0) уравнениях Власова — Максвелла, необходимо знать интегралы движения частицы в рав- 208

новесных полях. С учетом предположений (а) и (в) внешнее и собственное магнитные поля можно записать в виде

b广山(* = 5总=；松卜管『叨%；、

d(5.3)

% (" e产丁57" [^sz (r)] e。，

где A：“ew(厂)._ r§o/2, a 74sz (r)——аксиальная составляющая вектор- потенциала собственного магнитного поля. Кроме того, радиальное собственное электрическое поле, обусловленное отсутствием нейтральности заряда в равновесии, можно записать как

Е。(х) = Esr (г)询=—^ % (г) *,(5.4)

где ег——единичный вектор в r-направлении. В азимутально симме- трично)м и продольно однородном (d/Oz=O) равновесии сушеству- ют три интеграла движения частицы: полная энергия

"=(т2/с4-|-с2р2) 1/2+е/(р0 ⑺；(5.5)

обобщенный момент импульса

% =Г例+ (分/。)得『"(5.6)

и обобщенный аксиальный импульс

2=〃+®/с)А$4)・(5.7)

Они являются интегралами движения частиц каждой составляющей плазмы (/=&, е, i). В выражениях (5.5)——(5.7) строчными символами р обозначен механический импульс, который связан со скоростью частицы соотношением v=(p/m/) (l+p2/m2/c2)-1/2, где p2=p2r^-p2Q-^p2z. Отметим, что в выражении (5.6) пренебрегли 0-составляющей вектор-потенциала собственного аксиального магнитного поля по сравнению с Л^не1и(г) [предположение (в)]. Кроме того, выражение (5.5) для нерелятивистских электронов п ионов плазмы (/=е, i) [предположение (б)] можно записать в приближенном виде как

H^^/^mj+e^r), /=е,厶(5.8)

В выражении (5.8) без потери общности опустили в определении Н массу покоя частиц myc2=const.

СВОЙСТВА ПУЧКОВО-ПЛАЗМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ

Основы построения кинетических равновесий. Любая функция распределения f°j (х, р), зависящая только от и’нтепралов движения частицы в равновесных полях, является решением стационарного (0/0/=0) уравнения Власова. В общем виде равновесную функцию распределения для каждой составляющей j (j=b, е,力)можно представить как

叫・（X, p）=門（"，勺，尸z）,

(5.9)

где ”，尸& и Pz определены выражениями (5.5) — (5.7). Для конкретной функции распределения вида^0； (Я,夕伊夕分 потенциалы собственных полей плазмы определяются самосогласованно из стационарных уравнений Максвелла. Уравнение Пуассона записывается в виде

三寸石Y。（Г）= 一4：l三寸石Y。（Г）= 一4：l吟⑺，(5.10)

三寸石Y。（Г）= 一4：l

三寸石Y。（Г）= 一4：l

где n°j (г)——локальная плотность частиц сорта /, т. е.

吟⑺= ,、("，戶8, Pz)d3p.(5.П)

г-Проекцию уравнения Максвелла \7)><屋8“ можно записать как

(г)=—千¥ 仃吟(г)(Г),(5.12)

где V°zj (г)—средняя аксиальная скорость движения /-й составляющей,

V°2/ (г) = J 讶/ (", /，巳)d^p / j f。j (",尸e，%)或“ (5.13) a 生=(夕之/罐/) (1 + p2/加2*2)—1/2. Отметим, что в общем случае независимо от конкретного вида функции распределения f，・(”，尸中夕"радиальный поток /-го сорта частиц равен нулю, т. е.卜仍(〃，％, Р^ d3p =0, поскольку Н — четная функция рг.

Уравнения (5.8) — (5.13) составляют полную систему уравнений теории равновесных состояний, базирующейся на стационарных уравнениях Власова —— Максвелла. Для конкретного вида функции распределения f°j (//, Р&, Pz) рас* пределение плотности и аксиальной скорости можно рассчитать по формулам (5.11) -и (5.13) и затем из уравнений (5.10) и (5.12) найти потенциалы самосогласованных собственных полей. Поскольку Н и Pz являются функционалами от(ро(г) и 4&2(г), заметим, что в общем случае уравнения (5.10) и (5.12) есть нелинейные уравнения относительно потенциалов собственных полей.

По заданной функции распределения f「(//,戶外 Р2) можно также рассчитать другие свойства равновесия. Например, нетрудно показать, что эффективная радиальная температура Тг^(г) j-й составляющей плазмы в г-направлении определяется соотношением

吗⑺ 7%•⑺=J -^2*4工%叩/2 严j ("，/，2)"(5.14)

а средняя азимутальная скорость 丿°/・(г) определяется как

吟⑺吸0•⑺={办門•(亿p8, 2)或夕，(5.15)

r“e "=(凡/勺)(1 + p2/加2*2厂1/2. Напомним еще раз, что согласно исходным предположениям плотность азимутального тока』n°j (г) «/丿°8/ (г) достаточно мала и можно пренебречь собственным аксиальным магнитным полем Bsz (r)ez no сравнению с внешним магнитным полем Вое】 {предположение (в)]. 210

Свойства равновесия пучка. В выборе конкретной функциональной зависимости /% (”, Ре, Pz) для электронного пучка существует значительный произвол. Для наших целей достаточно рассмотреть подкласс равновесий, в которых все электроны обладают одинаковым обобщенным аксиальным импульсом (Pz二=Р()), но их функция распределения зависит от энергии Я и обобщенного момента импульса Ре только в виде их линейной комбинации Н—ЗгьРе, где cof6=consi. Другими словами, мы выбираем функцию распределения следующего вида:

/% (/Л R, 2) =F(H-^rbPe) в (2—尸0), (5.16) где Ро—постоянная величина, a F(H——①尸匕尸®)—функция распределения электронов пучка по комбинации 〃——дьР§. Нетрудно показать, что при условии у/ть《1 из выражения (5.15) и функции распределения вида (5.16) следует условие VQQb{r)=mrbr, т. е. среднее азимутальное движение электронов пучка соответствует жесткому вращению пучка как целого с угловой скоростью 3儿= =const. Поскольку электроны движутся по поверхностям постоянного обобщенного аксиального импульса Pz=^o=const, из выражения (5.7) получаем следующую связь pz и ро：

pz=^zb (г) = ^о+ (е/с) Л % (г), (5」7) где е — заряд электрона. Подставляя функцию распределения (5.16) в выражения (5.11) и (5.13) и интегрируя по pz, получаем

ОО ОО

叫⑺= j ^ j 尸({加26 +0AГ + 02% +С[°。+ —ОО —ОО

+号4力(Г)]}/ 一g小匕一ё% (Г))必9(5.18)

и

ОООО

叫 и) У/ &) = с?叱 + (е/с) 4% (г)] j dpr J dp^X

尸({叫。4 + c*2r +。2% +。2 [尸。+(0")无式*2}1/2 一 限/ 一 绝⑺)

X{紋八4 +。2加，+ C2P2§ + ,2 [々 + («/c)4z(r)]2}l/2P )

Выражения (5.18) и (5.19) представляют собой два интересующих нас момента функции распределения, которые необходимы для подстановки в стационарные уравнения Максвелла (5.10) и (5.12). Эти выражения можно существенно упростить при условии, что в электронном пучке у/?ь《1. Условие малости отношения v/уъ соответствует малости кинетической энергии поперечного (/— 0)- движения по сравнению с кинетической энергией аксиального движения. Подставляя выражение pz=p%(r)三尸。+ (e/c)Asz(r) в интеграл (5.5) и разлагая его в ряд Тейлора по малой величине р?г+р2仇 можно записать комбинацию Н——⑴厂匕尸® в приближенном виде

Н—^гъР^=Уг{г) тес2+ (吟+吟)/2俏齎/г) —Сфо (г),(5.20)

14*211

который справедлив с точностью до членов (p2r+p2e)/у2г(г) т2ес2 порядка малости. В выражении (5.20) mec2yz(r)——кинетическая энергия аксиального движения,

mec2Xz(r) = {m2eC4+c2[P0+ (е/с) 4sz上)]2} 1/2.(5.21)

Кроме того, сравнивая выражения (5.18) и (5.19) и аппроксимируя {т2ес4+с2р2г+с2р2е+с2 [Ро+ (e/c)Asz(г) ] ^}-Ч^^ [пгеС^^г)}-1 в знаменателе подынтегрального выражения (5.19), получаем, что распределение аксиальной скорости можно приближенно записать как

Р% ⑺=[А+ (е/с) /Is% ⑺]/总⑺恤].(5.22)

Линейную комбинацию Я—3rbp包 которая при условии v/y&《1 имеет вид (5.20), можно еще более упростить, разлагая величины в ряд Тейлора вблизи г=0 при *《円@рь [см. условие (5.2)}. Без потери общности потребуем выполнения условий Asz (а -=0) =0 и(ро(г=О)=О. Воспользовавшись очевидными условиями

/(r=o)= _p^L] =0；'

А . . _(5.23)

и удерживая все члены вплоть до квадратичных по г, можно переписать выражение (5.20) в приближенном виде:

"-«V户е- 9(/ (% —嚼)+

+ {急ё [耨」展 (524)

где тес2уъ—тес2ух (^=0)——энергия частиц на оси,

тес2уъ^ (т2е^4+с2Р2о)1/2.(5.25)

Чтобы найти коэффициент [d2As2[dr2]r==Q разложения (5.24), подставим Л% (г)^[^2Л%/(?г2]г=0 (г2/2) в уравнение (5.12) и вычислим полученное выражение на оси 厂=0:

[■^^•[_0=_^厶(0)=_2大 у S%用，(5.26)

где n/=n°/(r=0) и ^jC=V°Zj(r=O')—плотность частиц и аксиальная скорость на оси (г=0) соответственно. По аналогии, подставляя 屮0(厂)二 P2?o/^r2]r=o (产/2) в уравнение (5.10), получаем

[答―2呼(°)= — 2" £ ‘瓦 (5.27}

Подставляя коэффициенты (5.26) и (5.27) в (5.24), нетрудно показать, что линейную комбинацию Н——а)гьРе можно представить в эквивалентном виде

Н—^гъР^=тес2уъ+ [р2г+ (ре—уъШе^гъг)2] /2теуь+ (1 /2) 丫台”产 0ь, (5.28)

где

Q2b = &俨而一吟匕 + (2^е/力叫 2 瓦ej( 1 — ％Bj)，(5・29)

а (Ись=еВо/уьтес ——циклотронная частота электронов пучка во внешнем аксиальном магнитном поле Вое2. При выводе выражения (5.29) мы воспользовались равенством Ро/уь^ес=^ь = V°Zb (г=0)/с [выражение (5.22)]. Отметим, что члены, описывающие влияние собственных полей в выражении (5.29) для £22b [последние члены выражения (5.29)], становятся тождественно равнььми нулю, если система нейтральна по заряду (»/2」・д = 0 ) и по току]»"/"*/ = = 0). Физический смысл величины Q2& ясен из выражения (5.28) В системе координат, вращающейся с угловой скоростью ⑴历，величину Сь можно идентифицировать с частотой радиальных колебаний.

Выражение (5.28) для линейной комбинации Н—^гъР^ справедливо при условиях у/уь《1 и г2<^с^/^Ръ- Определим квадрат поперечного импульса как Xj_=P2r+ (ре——Хътетгъ)2. Подставляя выражение (5.28) в (5.18), получаем приближенное выражение для распределения плотности пучка по сечению

吟(г) ^2^F^bmec2 + 競+} y№Q%J Р^Рг(5・30) о

где уьт^с2 и £2?^ определяются соотношениями (5.25) и (5.29). Произведем замену переменной 夕丄 на и=уътес2-{-加丄 /(2?犷％)宀 +ybmer2Q2b/2. Тогда выражение (5.30) можно переписать как

ОО

叫⑺=2^bme J F (U) dU,(5.31)

где Uf=ybmec2 (1 +r2Q2b/2c2).

Важно отметить, что при условии у/?ь《1 выражение (5.22} можно записать в приближенном виде

»% ⑺=Вьс；(5.32)

здесь Pb=V°z6(r=0) /с=Р^/уъте. Условие (5.32) означает, что в равновесии, описываемом функцией распределения (5.16), распределение аксиальной скорости по сечению пучка приблизительно однородно. Аналогично, подставляя (5.16) и (5.28) в (5.15), получаем приближенное выражение для средней азимутальной скорости

Р喩⑺=о)е,(5.33)

которое справедливо при условии ”/丫匕《1・ Из выражения (5.33) следует, что среднее азимутальное движение электронов пучка со-

213

ответствует жесткому вращению пу^ка как целого с угловой скоростью G)rb=const.

Для получения большей информации рассчитаем гакже эффективную поперечную температуру (г—0) в классе равновесий пучков, описываемых функцией распределения вида (5.16). При ”/丫匕《1 поперечное движение частиц нерелятивистское, и линейная комбинация Я——gbPe зависит от рг и ре только через следующую комбинацию р2г+ (pQ—уьтетгъ)2. Поэтому V/A> = V (ре—ТьХ Х/Пе 厂⑴，匕)2>, где среднее значение Vp〉 вычисляется как У 屮МН夕 / J fQbd3p. Следовательно, эффективную поперечную температуру» Т° 丄ь(г) для г——0 движения электронов пучка можно определить как

叫⑺％⑺=2 j鳥尸(y“2 +^+^w^ p工dpi b

(5.34) где 丫匕，Q2b и /г% (г) определены выражениями (5.25), (5.29) и (5.30) соответственно. Переходя к новой переменной U — Y^ef2 + + р、1 (2\匕崎 + 丫网产^ьЕ с учетом (5.31) можно представить 7°丄ь(г) в эквивалентном виде

ООТ -1『尸(U)dU , (5.35)ООТ -1『尸(U)dU , (5.35)ОО

ООТ -1

『尸(U)dU , (5.35)

ООТ -1

『尸(U)dU , (5.35)

т\ь ⑺=，尸(S (и - ^Lniec2 - 丫如/2Q2〃2)du uf

где и^уьтеС2 (1+r2Q2b/2c2).

Выбор различных функций распределения F(Н—смА) даст различные распределения плотности пучка и температуры. Рассмотрим два примера равновесий пучка.

Равновесие с резкими границами. В качестве первого примера рассмотрим функцию распределения с инверсной заселенностью, описывающую равновесие, в котором все электроны обладают одинаковыми значения- мп Н—tt)rb 尸8 , Т・ е.,

尸("一3汴Р8)=E/(2冗Yb加e)] 6 ("一8汕p8 一通颐)(5.36)

где 力ь и у ——постоянные величины; уь определяется выражением (5.25). Предполагается, что у>у&. Подставляя F(и)=пь1(2пуъте)Ь(и—утес2) в выражение (5.31), получаем

〃％") = {(5.37)

I 0, где Rb определяется как

R2b=2C/Q2b)(*Yb)/Y&,(5.38)

a Q26 задано выражениеa Q26 задано выражение(5.29). Поскольку траектории электронов лежат на

a Q26 задано выражение

a Q26 задано выражение

поверхностях уътеС2-\-р2^12\ьте+уъпге^2ъг2/2=утес2—сопз[, заметим, что (Y—Yd)^eC2='P2rY&mec2/2 можно идентифицировать с максимальным значением кинетической энергии поперечного движения электронов (во вращающейся си-

стеме 1координат), пересекающих ось симметрии системы (厂=0). Выражение (5.38) можно переписать через 0т в эквивалентном виде

R2b=“2/06)62T.(5.39)

Поскольку наш анализ проводится при условии 丫/丫匕《1, выражение (5.39) справедливо только при небольших поперечных скоростях, т. е. 62T《1. Как следует из (3.57), электронный пучок имеет резкую границу по радиусу при r=Rb・ В самом деле, границу r=Rb нетрудно интерпретировать как огибающую траекторий электронов, вращающихся вокруг оси и совершающих радиальные колебания с .прохождением через ось 厂=0, которая п/редставляет собой геометрическое место точек поворота (г——0) при движении электронов. Рассчитаем теперь распределение поперечной температуры в равновесии, заданном функцией распределения (5.36). Подставляя 尸(。)=再/(2冗加乔6)6 (U—утес2) в (5.35), получаем

Т^ь (г) = (1/2) тес^т (1 -г2Ж)5 ^<r<Rb,(5・40>

где тес2\&i|32г/2= (у—уь) ^е^2, a R2b определяется выражениями (5.38) и (5.39). Как видно из (5.40), профиль поперечной температуры имеет параболическую форму, причем максимальное значение температуры 7°丄匕(г), равное теС^уъ^т^у достигается на оси г=0, а минимальное (нулевое) — на внешней границе пучка (厂=Кь).

Равновесие с диффузными границами. В качестве примера равновесия электронного пучка, имеющего диффузные по радиусу границы, рассмотрим равновесную функцию распределения электронов по Н——Or&^g в виде распределения Гиббса:

尸("一 Me)=』* ехр 卜^丿， (5.41) где пь и Тъ — положительные постоянные величины. Подставляя 尸(U) = =^ь/(2л;уьтеТь)ехр''[—(U—уьтес2)/Гь] в (5.31), получаем

п°б (г)=Пб ехр (—广/R2b),(5.42)

где

е 々2 ТЬ

"尸两丽彥衣(5.43)

Как следует из выражения (5.42), плотность электронов распределена по сечению пучка в соответствии с законом Гаусса. На оси (г = 0) плотность .максимальна (п&) и уменьшается до 0,378 亢ь при r=Rb. Из сравнения выражений (5.39) и (5.43) видно, что отношение 2Гь/(у&тес2) играет ту же роль, что и 62T. Как уже отмечалось, данный анализ справедлив только пр'и условии 'малости поперечной энергии, т. е. Ть《、ьтес2, откуда следует, что R2b《U/Q2b в выражении (5.43). Профиль электронной температуры в равно весни, заданном функцией распределения (5.41), получим, подставив 尸(U) = =пъ/(2луьтеТь) ехр [—(U—ybmec2)/Tb] в (5.35):

7。丄b (r) = 〃，(5.44)

т- е- поперечная температура однородно распределена по всему сечению пучка.

Кратко обсудим полученные выше результаты. Были рассмотрены различ- ные свойства равновесий, заданных двумя функциями распределения (5.36) и (5 41). В равновесии, описываемом функцией распределения (5.36), получается параболический профиль поперечной температуры, а распределение плотности

имеет резкую границу по радиусу. В равновесии же, описываемом функцией распределения (5.41), границы пучка диффузные, а теш/ература распределена однородно. В обоих случаях эффективный радиус пучка одинаково зависит от 02b и разброса по поперечной кинетической энергии [сравните выражения (5.39) и (5.43)]. Мы также отметили, что равновесные собственные поля могут оказывать значительное влияние на равновесный радиус пучка, даже если и выполнено условие у/уь《1. Это следует непосредственно из пропорциональности Кь и Q『2 в выражениях (5.39) и (5.45) и существенного вклада, который могут дать собственные поля в Q2& в (5.29). Напри，мер, если 3心=0 и фокусирующие силы магнитного поля, действующие на электроны пучка, доминируют над силами электростатического расталкивания, то Q2b=(2ле/уьте)，孔臼 X

/

X (1——0ьВ/)>О・ В этом случае равновесные собственные поля играют доминирующую .роль в определении величины Q26 и, следовательно, радиуса пучка

Подчеркнем, что, как следует из (5.31), условие невозрастания плотности пучка 〃°ь(г) с увеличением радиуса г вплоть до г—>оо соответствует условию ◎2b>о. Воспользовавшись выражением (5.29), нетрудно показать, что выражение для |Q2?)можно записать как Q2b—i((o+rb—3「匕)(Згь—згь), где

啮=譬｛1 士 [ 1 J У М・(1 -邮j)『｝ (5.45) a 3cb=eBJ(YbfneC)——циклотронная частота электронов пучка. Условие Q2&>0 можно переписать так:

'СО-гЬ^<ОгЬ^СО+г&, (5.46)

где со士ть определяются выражением (5.45).

Наконец, заметим, что как только равновесная скорость вращения Згь становится близкой к скорости вращения ламинарного потока <о+г& или со~г&, которые даются выражениями (5.45), радиус пучка Rb резко возрастает. В частности, если Згь=з~гь (1+3) или wr&=(o+rb (1—6), где 0<6《1, то радиус пучка Rb, измеренный в единицах теплового ларморовского радиуса (с/сос&)Рт [выражение (5.39)] или (с/^сЬ)'[2Ть/(уьтес2)]1/2 (выражение (5.43)], становится очень большим. Кроме того, если ^2&=(|(о+гь—согь) (@гь—cof)=O, то из выражения (5.3) следует, что плотность частиц распределена примерно однородно п°& (г)^п°ь (г=0)=йб по большей части сечения пучка.

Собственные поля могут существенно изменить значение 唠 или со方. Их влияние учитывается в выражении (5.45) членом, пропорциональнымto^2 п/^/X X (1——Bb8j)・ В случае, когда система нейтрализована по заряду(£ 〃臼= =0)и по току (£ =0), из выражения (5.45) следует, что в режиме быстрого вращения со+гь=сось, а в режиме медленного вращения о~г&==0. Чтобы пучок находился в равновесии с Згь^з+ть, его необходимо инжектировать в плазму предварительно раскрученным, например пропуская его через касп магнитного толя.

Свойства равновесия плазмы. Плазма обеспечивает частичную нейтрализацию заряда и тока релятивистского электронного пучка. Как и в п. 5.2.2, в выборе равновесной функции распределения /°/ (Я,尸仇尸z) электронов (j—e) и ионов (/=/) плазмы существует значительный произвол. Для наших целей рассмотрим подкласс равновесий, которые описываются функцией распределения, зависящей от энергии Н、обобщенного момента импульса Ре и обобщенного аксиального импульса Pz только через их линейную комбинацию Н一s^Pe—VjPz—内俨〃2, где(о〃 и 匕一постоянные величины (не зависящие от 尸 и 方).В этом случае равновесная функция распределения может быть представлена в виде

Л (Я, А, 2)=М(Н—(о〃А—匕巳一/n 产 j/2), j=e,厶(5.47) Здесь PQ и Pz определяются выражениями (5.6) и (5.7), а Я — выражением (5.8), поскольку приняли движение электронов и ионов плазмы нерелятивистским [предположение (б)]. После некоторых очевидных алгебраических преобразований нетрудно получить следующее выражение:

Н 5% — VyP2 —乃吟/2 = ^у I* +仇一吗厂％У] +

+5^-(区-"M)2+卜伙(И^i^z(г)-

—^~(尸％・ + £“20v产cj)]，j = e，i,(5.48)

где ^ci=\ej\BQ/mjC и s=sgn g・. Воспользовавшись выражением (5.48), функцией распределения (5.47) и предположением о нерелятивистском движении электронов и ионов плазмы (j=e, i), получим

yo2j(г)=Vj=const, /=е, i,(5.49)

и，^⑺=0)疗，j=e, i.(5.50)

Другими словами, средняя аксиальная скорость V/ = P/c=const (/=е, /), а средняя азимутальная скорость соответствует жесткому вращению составляющих плазмы как целого с угловой скоростью 3"(/=е, i) •

Выражения (5.47) и (5.48) имеют смысл в области OVrWs. Однако для наших целей мы ограничим область изменения 厂：0V Vr《Rb (где Rb — характерный радиус пучка) и разложим(ро(г) и Asz\r) в ряд Тейлора вблизи оси 厂=0, как это было сделано в п. 5.2.2. Подставляя <ро ⑺^田2(po/d 产]，=о 产/2 и 4sz ⑺^ ^ \d2Asz/dr2] г=ог2/2 в выражение (5.48) и воспользовавшись выражениями (5.26) и (5.27), получим

Н —6水厂V巳—步收/2 = 2^7储+日-mjr^nY + ^(р^т^^+^т^^г2, j = et Л(5.51)

(5.52)(5.52)где Q2; определяется как

(5.52)

(5.52)

i2： = - &产с产仃-3% - (2吟/吗)2 nkek a - 9鳥)，j = e, i

k

Здесь 元左三几%(厂=0) и ^k=VQzk(r=G}/с. С той же самой степенью точности, что и выражение (5.51), можно записать приближенный вид функции распределения (5.47):

М(Н, Р& 厶)=产{1/2俏/) [р2г+ (ре—т/г^г/)2— {pz—mzVj)2] +

+ (l/2)m/Q27r2}, j=e, i.+ (l/2)m/Q27r2}, j=e, i.(5.53)(5.53)

+ (l/2)m/Q27r2}, j=e, i.

+ (l/2)m/Q27r2}, j=e, i.

(5.53)

(5.53)

Распределение плотности, соответствующее функции распределения (5.53), получается из (5.11):

ОО

叫⑺=4z j 鬥[(// 2/2%) +(1/2)%g*2]// 2d小(5.54)

о

Заметим, что функция распределения (5.47) зависит от рг, ре и pz только через их комбинацию р2г+(ре——团/厂①行尸+伪乞——mjVj)2. Отсюда следует, что <р2г> = < (ре—т^Г])2> = < {pz—m^Vj)2>, где 〈屮〉=，屮f)d力 / \ [%сГр, и что эффективная температура 7〉(г) распределена изотропно. Определяя (3/2) Г°/(г) = (2m;)-1Vр1^ Н-(ре——/n"o)")2+(pz——/п/匕产> и пользуясь (5.53), получаем

ОО

明⑺С&) = +，°j (^+4■勺Q丁"‘以"，j = e, i. (5.55) 6

77 — 3"尸e 一 匕•尸z -тy2,/2)(5.56)77 — 3"尸e 一 匕•尸z -тy2,/2)(5.56)Из выражений (5.54) и (5.55) видно, что профили плотности и температуры электронов и ионов плазмы можно рассчитать для широкого класса равновесных функций распределения вида 严К"—SjP®—VjPz—mjV2j/2). Здесь имеет смысл напомнить, что при выводе выражения (5.51) из (5.48) мы разложили потенциалы собственных полей в ряд Тейлора вблизи оси 厂=0. Соответственно приближенные выражения (5.54) для *(「) и (5.55) для Т°/(г) справедливы при значениях г, лежащих в интервале 0<r W 欠匕,и в общем случае несправедливы при г->оо. В качестве примера рассмотрим следующую функцию распределения электронов и ионов плазмы:

77 — 3"尸e 一 匕•尸z -тy2,/2)

(5.56)

77 — 3"尸e 一 匕•尸z -тy2,/2)

(5.56)

产j (", /, PJ =(2叫'〃)з/2 exp (一j = e, i,

где 〃/• и Tj ——постоянные положительные величины. Подставляя 严/ (/У 2/2乃•》%.%・产*)=〃/• (2mzj7j)—3/2 ^р (-^ 屮噌—加声广* в выражения (5.54) и (5.55), получаем

(5.57)(5.57)mо/ (r) =%• eхр (一/71就2)产/2a)，j=e, i,

(5.57)

(5.57)

ииТ。/⑺=Tj, j=e, i.(5.58)

и

и

Из (5.57) следует, что функция распределения вида (5.56) реализует гауссово распределение плотности электронов и ионов плазмы. На оси г=0 плотность максимальна (%) и уменьшается до 0,378© при r=(2Tj/m^iYi2, Кроме того, функция распределения (5.56) дает изотропное распределение температуры [выражение (5.58)].

В общем случае величину Q2/, определенную выражением (5.52), можно представить в виде С2/=(з+〃——з〃)(⑴汀——⑴一门)，где

1血(1(5.59)

Здесь G)c/=|e/|B0/m/c, a 8；=sgn в/. Из (5.54) следует, что если параметр со〃 близок по значению к скоростям вращения ламинарного потока ^rj или(о~г/, то £22/^0 и плотность /-й составляющей приблизительно постоянна по большей части сечения равновесной конфигурации. Кроме того, условие невозрастания п°/(г) с увеличением радиуса можно записать как Q2/=(co+r/—⑴万)(①打—(of)^O. Для электронов и ионов плазмы это неравенство означает, что 3-“W(0，eW①+ге И(0+г/^G)rZ^(O-n СООТВеТСТВвННО.

СВОЙСТВА УСТОЙЧИВОСТИ ПУЧКОВО-ПЛАЗМЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Введение и основные предположения. Воспользуемся линеаризованными уравнениями Власова — Максвелла для того, чтобы изучить свойства устойчивости пучково-плазменной конфигурации, описываемой -равновесной функцией распределения вида (5.16) или (5.47), принадлежащих к одному классу. Для упрощения анализа предположим, что угловая скорость вращения каждой составляющей 3打(，=匕，е, /) близка к соответствующей скорости вращения ламинарного потока co+仃 или sf, т. е.

C0rj^C0±rj, j=b, е, i,(5.60>

где з士?寸 определяется выражениями (5.45) и (5.49). При выполнении условия (5.60) плотность каждой составляющей приблизительно постоянна по большей части сечения равновесной конфигурации [см. обсуждение в конце разд. 5.2]> т. е.

«%• (г)^и% (г=0)=й，з, j=b, & 上(5.61>

Кроме того, область изменения радиуса, в пределах которой остается справед^ Л1ГВЫМ условие (5.61), составляет много тепловых ларморовских радиусов, а распределение аксиальной скорости составляющих однородно по сечению, т. е.

уо2.(г)= уо2.(г=о)^р.с j・=“伉 z.(5.62}

Воспользовавшись уравнениями (5.10) и (5.12), можно рассчитать равновесные собственные поля в области, где плотность (5.61) и скорость (5.62) постоянны:

Е。(х)= — 券D «「= 2冗 £ п}е^г(5.63>

00

0

0

BS° (x)= 一 吗"气=2冗 £/?円8产8.(5.64)

Для исследования свойств устойчивости равновесной конфигурации, заданной функцией распределения (5.16) или (5.47), воспользуемся теперь линеаризованными уравнениями Власова — Максвелла. Чтобы упростить анализ, ограничимся рассмотрением объемных возмущений, локализованных внутри пучка (УКь), характерное поперечное волновое число которых 々丄 велико по сравнению с обратным радиусом пучка R£ , т. е.

胪丄Yb》L (5.65)

Анализ эволюции таких возмущений на основе линеаризованных уравнений Власова ——Максвелла значительно упрощается, поскольку для них эффективный радиус пучка можно считать бесконечно большим и не учитывать граничные условия при 厂> Rb. Кроме того, в области r<Rb плотность каждой составляющей приблизительно постоянна и равновесные собственные поля имеют простой вид (5.63) и (5.64). Линеаризованное уравнение Власова для возмущения функции -распределения 3力(х, р, /) (j=b, е, г) /-й составляющей имеет вид

｛备 + v •為 + «/(Е。(х) +4-vX[&% + BSo(X)])击卜fj (х, p, /)=

=—«/，E (х, /) + J v><6B(x, /)] •击-門("，/，金)，(5.66) где Е°(х) и В$о(х) определяются выражениями (5.63) и (5.64), а возмущения электрического ЗЕ(х, /) и магнитного 6B(x, t) полей удовлетворяют системе уравнений

,1 d

VX^E=一亡亍阳；

VX^B =黑 V «J 咕 vd3p+ 4~£зЕ;

/(5.67)

V・3E = 4冗』2j J洎成2；

V・3B = 0.丿

В ооп ользовавшись условием (5.60), которое эквивалентно условию Q2；= = (co+zj—(Orj) (o)rj—<o_rj)^0, выражениями (5.28) и (5.51) и функциями распределения (5.16) и (5.47), нетрудно показать, что в уравнении (5.66) равновесные функции распределения во внутренней области пучково-плазменной системы можно приближенно записать как

，("，ра рz)=尸仇加d+ (2»")-1 (A+ (/一YЬ”Г8ГЬ)2]) MR-WMM)

(5.68)

門（以，尸" 金）=円{（1/2加j）[加广+ （/一团*3川2+ （& 一加也。）?]},

=%厶=%厶(5.69)

=%厶

=%厶

Траектории частиц в равновесных полях. Воспользовавшись методом характеристик, можно формально проинтегрировать уравнение (5.66). Интегрируя от /'=——оо до /'=/ и пренебрегая начальными возмущениями (при 片=——оо), получаем

屹・（х, р, £）= 一《/ J{》E[x，（〃；，尸]+

—00

+ Tv，（"）XdB[x，（/，），〃]}•[备門（"，％ 鼻）1（〃“，（〃严’В?。）

где х'(/‘), р'(Х) определяют траектории частиц в равновесных полях, которые в момент времени /'=「/ проходят через точку фазового пространства с координатами (х, р). Другими словами, x'(f') и р'(/‘) удовлетворяют следующей системе уравнений:

d

(5.71)(5.71)而 р，(尸)=«卢。[х，(，)] + 丁 {W (〃)XBs° [X (")] ++ v^ (V)^B^\

(5.71)

(5.71)

而X，(尸)=5 (尸)

с граничными условиями х'(£'=/)=х; р'(/'=/)=р; v,(/,= /) =v, где х, р и V——переменные фазового пространства. Подставляя (5.63) и (5.64) в (5.71), получаем уравнение для определения р'(/‘)

而P (/ ) = 2吗2j盡*1(尸)——L&/8科(尸)X

X[x^± (/A)XeJ + -y-vA (^)Xe2, (5.72)

где X，丄(尸)=xz (尸)e% + yf (广)电.а ех и е^ — единичные векторы в декартовой системе (координат, лежащие в плоскости, перпендикулярной вектору В^ При ”/уь《1 и r《Rb в уравнении (5.72) можно пренебречь влиянием собственного магнитного поля на движение частиц в аксиальном направлении. Напомним, что движение частиц плазмы (j=e, /) считается нерелятивистским [предположение (б)], а условие 夕/丫匕《1 соответствует нереляпивизму поперечного движения электронов пучка. Поэтому движение в аксиальном направлении можно приближенно описать как р\ ^)=pz и

zytf)=z+vzx, (5.73) где т = 〃 一 /;勿=Pz/mj при j = % С и % = (Pz/m^ (1 + 夕?乞/加2鼠2)一1/2 при j = b. Кроме того, с достаточной для наших целей точностью запишем р'丄(尸)= =YjMjV'丄(〃)，где 力・=1 при j = «, £ и 寸=丫匕 при j = b. [Здесь 丫匕=(1 — 一^ь)~^2 определяется выражением (5.25).]

из уравнениперпендику-из уравнениперпендику-d22虱 дd22虱 д£成强 （1 -8/做）%‘（〃）+ё严仃而旷（"）； k£成强 （1 -8/做）%‘（〃）+ё严仃而旷（"）； kd22吃而■旷（加）=彳｝而d22吃而■旷（加）=彳｝而工02々（1 一仃我）y（"）一e产cj 丁为'（产），工02々（1 一仃我）y（"）一e产cj 丁为'（产），(5.74)(5.74)

из уравнениперпендику-

из уравнениперпендику-

d22虱 д

d22虱 д

£成强 （1 -8/做）%‘（〃）+ё严仃而旷（"）； k

£成强 （1 -8/做）%‘（〃）+ё严仃而旷（"）； k

d22吃

而■旷（加）=彳｝而

d22吃

而■旷（加）=彳｝而

工02々（1 一仃我）y（"）一e产cj 丁为'（产），

工02々（1 一仃我）y（"）一e产cj 丁为'（产），

(5.74)

(5.74)

Воспользовавшись равенством р'丄(尸)=丫/吗dx'丄(“)/d〃， (5.72) нетрудно показать, что траектория частицы в плоскости, лярной вектору B^z, описывается уравнения-ми

Девидсоном и Кроллом [Phys. Fluids, вают движение частицы в заряженном сти, и отличаются от них только тем, равновесного собственного магнитногоДевидсоном и Кроллом [Phys. Fluids, вают движение частицы в заряженном сти, и отличаются от них только тем, равновесного собственного магнитного孤（广）=-一_- 唠一%孤（广）=-一_- 唠一%9产)COS唠" +9产)COS唠" +++Ру \ 一丄 不斤丿cos ЛРу \ 一丄 不斤丿cos Луг (^)уг (^)备）cos喝l（s戸备）cos喝l（s戸Рк%旅7Рк%旅7哨一喝哨一喝Рхsin 嗎 т];Y也丿Рхsin 嗎 т];Y也丿J sin co加一J sin co加一cos 唠 т +cos 唠 т +(5.75)(5.75)++РуРуY产jгде z — tr — /, a co寺 определяется какY产jгде z — tr — /, a co寺 определяется какРу斤寸，Ру斤寸，(5.76)(5.76)士€严门・% - 一 -2-士€严门・% - 一 -2-1 土 11 土 18 吟 口一]1/2]Y叫叫.读左（1-8渺"广8 吟 口一]1/2]Y叫叫.读左（1-8渺"广(5.77)(5.77)

Девидсоном и Кроллом [Phys. Fluids, вают движение частицы в заряженном сти, и отличаются от них только тем, равновесного собственного магнитного

Девидсоном и Кроллом [Phys. Fluids, вают движение частицы в заряженном сти, и отличаются от них только тем, равновесного собственного магнитного

孤（广）=-一_- 唠一%

孤（广）=-一_- 唠一%

9产)COS唠" +

9产)COS唠" +

+

+

Ру \ 一丄 不斤丿cos Л

Ру \ 一丄 不斤丿cos Л

уг (^)

уг (^)

备）cos喝l（s戸

备）cos喝l（s戸

Рк

%旅7

Рк

%旅7

哨一喝

哨一喝

Рх

sin 嗎 т];

Y也丿

Рх

sin 嗎 т];

Y也丿

J sin co加一

J sin co加一

cos 唠 т +

cos 唠 т +

(5.75)

(5.75)

+

+

Ру

Ру

Y产j

где z — tr — /, a co寺 определяется как

Y产j

где z — tr — /, a co寺 определяется как

Ру

斤寸，

Ру

斤寸，

(5.76)

(5.76)

士€严门・

% - 一 -2-

士€严门・

% - 一 -2-

1 土 1

1 土 1

8 吟 口一]1/2]

Y叫叫.读左（1-8渺"广

8 吟 口一]1/2]

Y叫叫.读左（1-8渺"广

(5.77)

(5.77)

где ^сз==2\^э\^^1уз^з^\ Ej=sgn е”

При выводе уравнения (5.74) из (5.72) мы заменили и%(，) приближенным значением 0力 Ошибка, внооимая этой заменой, составляет ит〃с《1. Уравнения (5.74) по своей структуре аналогичны траекторным уравнениям, рассмотренным

1970, vol. 13, р. 1543], которые описы- |ллазменном столбе однородной плотно- ■что в явном виде учитывается влияние поля, которое пропорционально BfB&.

Точные решения уравнений (5.74) имеют вид (при j=b, е, i)

Решения (5.75) и (5.76) получены при следующих граничных условиях:

%，(£' — f) ■— %, у у ^у%，(£' — f) ■— %, у у ^у，=£，=£厶;厶;旷(尸=/) = р ； у/%.旷(尸=/) = р ； у/%.(5.78)(5.78)

%，(£' — f) ■— %, у у ^у

%，(£' — f) ■— %, у у ^у

，=£

，=£

厶;

厶;

旷(尸=/) = р ； у/%.

旷(尸=/) = р ； у/%.

(5.78)

(5.78)

Воспользовавшись соотношением р'丄(〃)=力•勺dx'丄(“)/d〃，из (5.75) и (5.76) можно прямо рассчитать prх (ir) и 〃％(〃).

Анализ устойчивости системы по отношению к объемным возмущениям, локализованным внутри пучка &<Rb), проводится следующим образом. Выраже- 222

НИЯ (5.73), (5.75) м (5.76), описывающие траекторию движения частицы в равновесных полях, подставляются в уравнение для возмущения функции распределения [уравнение (5.70)] при условии, что возмущения полей 6Е(х, /) и ЗВ(х, /) зависят от времени как ехр(—ко/) (при Im(о>0). Полученное выражение для 6fj (х, р, /) подставляется затем в уравнения Максвелла (5.67), из которых находятся самосогласованные поля. Поскольку решения (5.73), (5.75) и (5.76) то 'Структуре аналогичны решениям траекторных уравнений в заряженном плазменном столбе с однородной плотностью частиц, устойчивость которого исследовалась в вышеупомянутой работе Кролла и Девидсона, большую часть полученных в этой работе результатов можно непосредственно обобщить на случай рассматриваемой здесь равновесной конфигурации. В частности, цисперсионное уравнение, описывающее распространение волн в исследуемой равновесной конфигурации, можно получить следующим образом:

обобщив полученное для однокомпонентной заряженной плазмы (，=е) дисперсионное уравнение на случай трехкомпонентной плазмы (j—b, е,，)；

заменив выражение, определяющее ^гз, выражением (5.77).

Поскольку анализ устойчивости данной равновесной .конфигурации ничем не отличается от анализа, приведенного в упомянутой выше работе, подробные алгебраичеокие преобразования здесь опустим. Подробное изложение читатель может найти в работе, опубликованной в Phys. Fluids, 1970, vol. 13, р. 1407. Для наших целей достаточно сослаться на дисперсионные уравнения, полученные для трех интересующих нас случаев: а) распространение электростатических волн под произвольным углом к вектору Boez; б) рас-пространение одномодовых электромагнитных волн перпендикулярно вектору B(^z\ в) распространение поля.ризован-ных по кругу электромагнитных волн параллельно вектору B()ez. В разд. 5.4 воспользуемся этими дисперсионными уравнениями для исследования влияния равновесных собственных полей на характер двухпотоковой и нитевидной неустойчивостей.

Дисперсионное уравнение для электростатических волн. Рассмотрим вначале электростатические возмущения, для которых 6Е=——V бф и бВ^О. В случае, когда пространственные возмущения характеризуются азимутальным волновым числом /[б(р(х, /)= —бср(г, г) exp (i/9—is/)], получаем следующее дисперсионное уравнение:

(5.79)(5.79)Q优丄，左2，①)=0,

(5.79)

(5.79)

гдегде/ОО 8СО小电,小)日+ 工誓工2小“JYi~b, e, i n=—oo 0—oo '/ОО 8СО小电,小)日+ 工誓工2小“JYi~b, e, i n=—oo 0—oo '々丄Р丄印加)々丄Р丄印加)唠一%唠一%ххXX门川P丄办丄dPz~门川P丄办丄dPz~0 一心""~ "(嘴• _ 3不)-kzvz0 一心""~ "(嘴• _ 3不)-kzvzdp2, Im «)> 0.(5.80)dp2, Im «)> 0.(5.80)

где

где

/ОО 8СО

小电,小)日+ 工誓工2小“JY

i~b, e, i n=—oo 0—oo '

/ОО 8СО

小电,小)日+ 工誓工2小“JY

i~b, e, i n=—oo 0—oo '

々丄Р丄印加)

々丄Р丄印加)

唠一%

唠一%

х

х

X

X

门川P丄办丄dPz~

门川P丄办丄dPz~

0 一心""~ "(嘴• _ 3不)-kzvz

0 一心""~ "(嘴• _ 3不)-kzvz

dp2, Im «)> 0.(5.80)

dp2, Im «)> 0.(5.80)

В уравнении (5.80) 力=历/倘^ при /=е, i и vz=(pzlme) (1-|- +p2z/^2^2)-1/2 при j=b; kz— аксиальное волновое число;々丄= =(^2х+^2у)1/2 — поперечное волновое число; о)— комплексная ча-

стота колебаний; Jn (х)—функция Бесселя первого рода порядка п; 崂 определяется выражением (5.77), а

1_^&7?成以(1一悔)『，(5.81) где %=sgne);(ос；= |е；|В0/7^^. Напомним, что у；= 1 при /=е, i [предположение (б)] и у；=^ь= (1—^2ъ)~1/2 при /=0, где уъ определяется выражением (5.25).

В выражении (5.80)夕丄 обозначен поперечный импульс во вращающейся системе координат 夕丄=[夕2r+ (〃д — 丫/^“①"),"？・ Равновесные функции распределения (5.68) и (5.69) [см. также выражения (5.28) и (5.51) при Q2j^0], входящие в уравнение (5.80), можно записать так:

尸尸尸(丫四£+表户丄)2 (%一 丫两乱С)j = R(5.82)

и

严尸产/嘉乙+备(厶一吗再・叫，/*，九(5・83)

Важно указать область применимости дисперсионного уравнения (5.80). Во-первых, мы предположили, что движение электронов и ионов плазмы (/=е,力 и поперечное движение электронов пучка (/=&) происходят с нерелятивистскими скоростями. Во-вторых, равновесные скорости вращения со” (;=&, е, /) примерно равны скоростям вращения ламинарного потока ⑴十万 или m~rj [выражение (5.60)], так что распределение плотности примерно однородно [условие (5.61)] внутри пучка (r<\Rb). В-третьих, дисперсионное уравнение (5.80) описывает распространение электростатических объемных волн, локализованных внутри пучка (г<Кь), для которых 々2丄火2b >1. Действительно, в нашем анализе пучковоплазменная система имеет неограниченные радиальные размеры (Rb-^8), и мы не рассматриваем влияние возмущений поверхностного заряда.

Уравнение (5.80) аналогично по структуре соответствующему дисперсионному уравнению для нейтральной по заряду и току плазменной системы с однородной плотностью частиц. В частности, используя замены

(0Нсо—l<drj ； ®с/^——5 (①+方~1 ①Fj), можно из дисперсионного уравнения для нейтральной плазмы получить уравнение (5.80). То что это так, следует непосредственно из траекторных уравнений (5.74), описывающих поперечное движение частицы. Если преобразовать уравнения (5.74) в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью со方=(о+т/, то обнаружим, что во вращающейся системе координат поперечное движение частиц соответствует вращению по окружности с частотой 卜co+仃一 —(0一「小.Поэтому 卜①+rj—①一灯| играет в уравнении (5.80) роль ци* 224

клотронной частоты. Кроме того, частота со пространственных возмущений, характеризуемых азимутальным волновым числом /, испытывает доплеровский сдвиг со—必⑴方，поскольку равновесная конфигурация вращается с угловой скоростью g)^・

Отметим, что уравнение (5.80) переходит в точное дисперсионное уравнение для электростатических волн в случае, если равновесная конфигурация нейтральна по зарядуи по току

. Предположим, что каждая составляющая вращается

медленно с угловой скоростью сог/ = со~. Из (5.77), (5.81) и условий 金〃円=0 и 2石円對=0 следует, что a)" = % = 0 口崂一

— % = — /.%• В этом случае, как видно непосредственно из уравнения (5.80), оно сводится к правильному дисперсионному уравнению для невращающейся нейтральной по заряду и току плазмы.

Дисперсионное уравнение для одномодовых электромагнитных волн. Рассмотрим теперь распространение чисто поперечных электромагнитных волн перпендикулярно вектору Boez (^2=0)\ поляризованных так, что дВ• ez=0 и 6EXez=0. Для пространствен- ных_возмущений с азимутальным волновым числом I [^^(х, /)= =6^z(r, г) ехр (Й9—isf)j в одномодовом приближении получаем следующее дисперсионное уравнение:

Q3丄，5 = 0,(5.84)

где

4伊丄，s)= d一С缙丄一 S罂+

+ » .丫叫\心灯-"(唠-喝)屮""丄"丄+

j=b, e, In=—oo0

+ m背鋁匹 (5.85»

Обозначения величин и область применимости уравнения (5.84) оговорены в п. 5.3.3. Кроме того, заменами(о—1sM~Но и —8； (co+rj— —3一狞)—^G)cj уравнение (5.84) также можно свести к аналогичному по структуре уравнению для равновесной плазмы с однородной плотностью частиц, нейтральной по заряду и току. С помощью уравнения (5.84) в разд. 5.4 исследовано влияние равновесных собственных полей на характер нитевидной неустойчивости, которая аналогична неустойчивости Вейбеля. Она развивается в случае^

22522515—3369

225

225

когда средняя кинетическая энергия движения частиц в направлении, параллельному вектору Воez, существенно превосходит кинетическую энергию поперечного движения частиц в пучково-плазменной системе,

Дисперсионное уравнение для электромагнитных волн, распространяющихся параллельно вектору Boez. Рассмотрим теперь поперечные электромагнитные волны, распространяющиеся параллельно вектору B()ez, для которых k=^zez; gE-e2=0; 6B-ez=0 и *2z》左2丄 Предположим, что составляющие пучково-плазменной системы вращаются медленно (з方弋⑴一后)• После некоторых алгебраических преобразований получаем следующее дисперсионное уравнение, описывающее распространение волн вдоль магнитного поля:

0干(也，①)=0,(5.86)

где

0三侬z，3 = ^-c^z + 工舞 2冗 jdpR X

?。1[(电。丄/丫产j)(d'd&) +(3-邑勿)(0*/)]門・

X7 .

J /3 — k2v2 + 3片・

—эо

Здесь Vz=p"、jmj, а общий вид 严)определяется выражениями (5.82) и (5.83). В уравнении (5.86) знаки 土 соответствуют волнам с левой и правой поляризацией. Дисперсионное уравнение (5.86) можно получить из соответствующего дисперсионного уравнения для нейтральной плазмы, которое имеет ту же структуру, если в последнем произвести замену сос；—>—Sj^rj- Как и в случае нейтральной плазмы, если имеется значительная анизотропия по энергии, то уравнение (5.86) имеет решения, соответствующие неустойчивости Вейбеля или шланговой неустойчивости с Ims>0.

Интересно посмотреть, как влияет отсутствие нейтрализующего заряд фона на низкочастотные длинноволновые колебания, описываемые уравнением (5.86). При @=0, 厩=0 и Уа)/а)+ге\<^1] h^Tel 吋；《' уравнение (5.86) можно приближенно записать как

СО2一m 也 22±，332^/3+Г0=0,(5.88)

где (^ре^ппе^/те. В пределе 力^>0 уравнение (5.88) имеет решение ①弋(c2^?z/①2ре)з+ге・ Конечно, поскольку нет ионов, альфве- новские волны отсутствуют и ветвь «электронного свиста» сохраняется вплоть до нулевой частоты.

ПРИМЕРЫ ПУЧКОВО-ПЛАЗМЕННЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Дисперсионные уравнения (5.79), (5.84) и (5.86) можно использовать для исследования свойств устойчивости различных пучково-плазменных конфигураций с однородной плотностью частиц описываемых функциями распределения вида (5.82) и (5.83). Из уравнений (5.79), (5.84) и (5.86) видно, что в зависимости от выбора функции распределения 尸)(/=&, е, i) и интересующего нас диапазона частот свойства устойчивости в значительной степени определяются тепловыми эффектами (считаем, что температура нерелятивистская) и резонансным взаимодействием частиц с волной. Однако для наших целей, состоящих в том, чтобы проиллюстрировать влияние, которое оказывает отсутствие нейтральности заряда и (или) тока на двухпотоковую и нитевидную неустойчивости, исследуем уравнения (5.79) и (5.84) в предельном случае, когда равновесная конфигурация образована холодным пучком и холодной плазмой.

. Электростатические двухпотоковые неустойчивости.

В предельном случае, когда исследуемая конфигурация образована холодным пучком и холодной плазмой, эффективный тепловой ларморовский радиус rL/ -~ vTjl ] ^ — со~ | мал, так что ^^^ 《1 и фазовая скорость исследуемых волн достаточно далеко удалена от любых резонансных значений, т. е.①一/% — п (①^ —-①；)一网0* |》 ^\kz\ vTj . Для функций распределения (5.82) и (5.83) дисперсионное уравнение (5.79) в электростатическом приближении можно записать как

胪；乙 (S 一心"一辰3*产

+ 导 £ 7—；——乡К一寸=1，(S89)

厶z・(S 一心初22(唠一 3")2

где 炉=二炉l+ 炉z； ^pl - ^riie2j^jmj\ 1•=1 при 卜=e, z и г.= =丫匕=(1 ——『匕)—"2 при j = b, разность ①^——^~ определяется выражением (5.81), а ①订弋①方，где со^ определяется выражением (5.77). Если составляющие пучково-плазменной системы вращаются мед* ленно ((ог/ со") и система нейтрализована по заряду=

и току(Z j = 0), то из (5.77) и (5.81) следует, что

и (o+方一a)~rj=—Е?о)с” В этом случае уравнение (5.89) описывает распространение электростатических волн в холодной невращаю- щейся нейтральной по заряду и току равновесной плазме. Но если токовая и (или) зарядовая нейтрализация неполные, то относи- 15*227

тельное вращение составляющих пучково-плазменной системы мо・ -Жет значительно изменить свойства ее устойчивости.

В общем случае комплексные собственные частоты, которые являются решением уравнения (5.89), зависят от направления распространения волны, плотности и скорости дрейфа составляющих плазмы, активно взаимодействующих с волной в интересующем нас диапазоне частот. В качестве первого примера рассмотрим .двухпотоковые неустойчивости, возникающие при взаимодействии электронов плазмы и электронов пучка, считая, что ионы неподвижны (imz~>8). Кроме того, предположим, что волна распространяется практически параллельно (или антипараллельно) магнитному полю Boez (^2±<^2г). В этом случае уравнение (5.89) сводится к следующему:

吟 . 7①九/色一190)

3一出ГЬ一初Ь。)一 ,1丿

При выводе этого уравнения предполагалось, что ?е=1, a yj=yb лри j=b. Из уравнения (5.90) следует, что неустойчивость (1ш<о> >0) существует для тех значений \kz и /, которые удовлетворяют неравенству

0 V [財(0ь—0е) C-\-l (a)rb—0)ге) ]2<С^20 (§Ь—Ре) 2^2,(5.91)

где 左о определяется как

е Г /亢 \1/3 1 р

В случае азимутально симметричных возмущений (/=0) неравенство (5.91) сводится к известному условию 0<^2z<F0 для двухпотоковой неустойчивости. Однако при /#=0 равновесные собственные поля оказывают свое влияние на скорости вращения ^гъ и ^ге [выражение (5.77)] и могут играть важную роль в выполне-

Зре

Рис. 19. Зависимость инкремента Im(o/cope от 財 他一Вс)с/(Оре [уравнение (5.90)] при Пь/Пе = 0,01； Yb=2； -COrb—Зте=—0,2 瓦(Вь—Ве)с；品(6b—Ве)с = = 1,17соре・ Поведение инкрементов в области 財<0 и инкрементов мод с азимутальными волновыми числами /<—2 и />7 не показано. [Данные взяты из работы Davidson R. С.. Hui В. — Ann. Phys., 1975, vol. 94, p. 209]

нии условия (5.91). Один из первых эффектов, связанных с учетом вращения составляющих под действием собственных полей в неравенстве (5.91), сводится к уширению полосы неустойчивых волновых чисел kz (по сравнению с полосой 0<k2z<k2Q при /=0). Для каждого выбранного значения /(0, ±1, ±2, ...) область неустойчивых волновых чисел kz)определяемая неравенством (5.91), симметрична ОТНОСИТеЛЬНО ЗНачеНИЯ kz = k——1{^ГЪ—①re) [(₽ь—Ре) ^]-1 и простирается от 万——瓦 до ^+^о. Относительное вращение электронов пучка и электронов плазмы значительно расширяет область неустойчивых значений kz по сравнению с областью О<A2Z<^2о (рис. 19).

Если плотность пучка мала {пъ^Пе), то максимальный инкремент моды с азимутальным волновым числом " в области, определяемой неравенством (5.91), можно приближенно записать так:

[Im<ax^ (М§/2)%е (加/2頂忌у. (5.92)

Подчеркнем, что ввиду предположения о том, что пучок и плазма холодные, анализ справедлив, и область применимости уравнения (5.90) ограничена значениями kz и 厶 удовлетворяющими неравенству \^—<l^T~kz^jC\^>\kz\vTj (/=е, b) •

Уравнение (5.89) позволяет исследовать также неустойчивость относительного движения ионов плазмы и электронов плазмы или электронов пучка. Чтобы показать это, рассмотрим случай, когда равновесные собственные поля достаточно велики и приводят к заметному вращению электронов пучка и электронов плазмы относительно ионов плазмы. Предположим также, что различные составляющие системы вращаются медленно с частотой ①讶弋①一狞 [см. выражение (5.77)]. При условии, что ионы незамагничены [1со—/①汽一AzPiC|2» (①+^—or■汽)2], частота возмущений мала [|(о——la^rj~^z§jc|2《(①+方——0)-^)2, /=е, b] и возмущения распространяются практически перпендикулярно вектору Boez [FZ<C^2], уравнение (5.89) можно в приближенном виде записать как

1 , VI 叫了 — 叫『 . j十(唠(3 一心九一府仇0)2十

1产q 叫j./冷 。

十 必 」(S —心门・一k2^jC)2 * (5.9o) j=e, b

В зависимости от выбора параметров уравнение (5.93) может описывать двухпотоковую неустойчивость относительного движения электронов пучка и электронов плазмы, ионов плазмы и электронов пучка или электронов плазмы. Предположим, что плотность пучка мала (力匕《力е), а частота волн достаточно удалена от частот, при которых происходит резонансное взаимодействие с электронами пучка. Пренебрежем в правой части уравнения (5.93) членом, описывающим влияние электронного пучка, и предположим,

(8 —心ue—内 COS 9|?eC)2(8 —心ue—内 COS 9|?eC)2что в равновесии ионы стационарны (сон —0,仇亠0). Тогда урав нение (5.93) можно приближенно записать как

(8 —心ue—内 COS 9|?eC)2

(8 —心ue—内 COS 9|?eC)2

(5.94)

где o)lh определяется выражением

，®・95)

а ц= (^2z/^2) (mi/me) =cos2 9 (т^Ше). Уравнение (5.94) по структуре аналогично дисперсионному уравнению для модифицированной

двухпотоковой неустойчивости. Нетрудно показать, что неустойчивость (Im со>О) развивается тогда, когда значения / и k удовлетворяют неравенству

0< “Зте+^ВеС COS 0)2<(O2LH (1+ц1/3)3.

(5.96)

Рис. 20. Зависимость инкремента 1тз/(0р；・ от ази> мутального волнового числа />1 [уравнение (5.90)] при ц = 100, Зге = 3,25・ 10-Зд方八 cos 0Х Х0еС=—3,О8о)ге И colн == 4,45• 10~2сор,-. [Данные взяты из работы: Davidson R. С., Hui В. — Ann.

Phys., 1975, vol. 94, p. 209]

Как следует из (5.96), при условии |i3> 1 (cos2 93>me/mi) полоса неустойчивости значительно шире, чем при условии |i<C 1 (cos26<； 《/nJ色).Кроме того, воспользовавшись уравнением (5.94), можно найти максимальные инкременты неустойчивости в этих двух предельных случаях:

lIm %ах =—⑴LH 与Г，步》1 (5・97)

И

Um%ax = 9 ①LH (4~)'甘《1・ (5.98} На рис. 20 приведены зависимости инкремента (Ims) от азимутального волнового числа / при 林=100 и(ог^—3,25-10-3(оР/ в случае, когда в уравнении (5.94) можно пренебречь аксиальной дрейфовой скоростью [k^ec cos 9=—3,08 cor? для приведенной на рис. 20 зависимости].

Таким образом, если присутствие равновесных собственных по* лей приводит к существенному относительному вращению электронов и ионов, то может развиваться модифицированная двухпотоковая неустойчивость, которая распространяется практически перпендикулярно вектору В^г. В нелинейном режиме эта неустойчивость приводит к эффективному нагреву электронов и ионов.

230

В данном разделе анализ устойчивости системы по отношению к электростатическим возмущениям был проведен в приближении холодной пучково-плазменной системы. В заключение отметим, что дисперсионное уравнение (5.90) можно применить для исследования устойчивости по отношению к электростатическим возмущениям пучково-плазменных систем с однородным распределением плотности частиц, описываемых широким классом равновесных функций распределения вида (5.82) и (5.83). Ясно, что в зависимости от выбора функций распределения /°； (/=е, b, i) равновесные собственные поля могут существенно изменить условия устойчивости равновесия, если в интересующем диапазоне частот важное значение имеют тепловые эффекты и резонансное взаимодействие частиц с волной.

・ Нитевидная неустойчивость. Нитевидная неустойчивость наблюдалась экспериментально при инжекции пучка электронов малой плотности в плотную предыонизованную плазму, когда удовлетворялось условие возбуждения неустойчивости з^рьб?/©2cb>1. Однако при инжекции электронного пучка малой плотности в плотный нейтральный газ и выполнении приведенного выше критерия разбиения пучка на нити не происходило. Основное отличие этих двух случаев — отсутствие токовой нейтрализации в пучково-плазменной системе, образованной инжектируемым в нейтральный газ электронным пучком. Если инжектировать пучок малой плотности в плотную предыонизованную плазму, то нейтрализация его заряда и тока происходит за довольно короткое время. Однако если пучок малой плотности инжектируется в плотный нейтральный газ, то пробой газа возникает только спустя несколько наносекунд после достижения нейтральности заряда и в общем случае токовая нейтрализация не достигается.

Отсутствие нитевидной неустойчивости в не нейтрализованной по току пучково-плазменной системе наводит на мысль о том, что азимутальное собственное магнитное поле стабилизует нитевидную неустойчивость. Чтобы исследовать эту возможность, воспользуемся дисперсионным уравнением (5.85), описывающим распространение волн в направлении, перпендикулярном вектору B^z. Предположим, что система образована холодным пучком и холодной плазмой, для которых справедливо неравенство 片^门 /(3+沙一(0一打)2《 《1. Пренебрегая смещением ионов (俏彳，一>оо) и предполагая, что пъ/пе^ 1 и ^е^ре^^ъ^ръ, можно преобразовать уравнение (5.85) к следующему виду (при /—0):

屮=С砲丄十咤厂卜%籽6分丄/U 一(呜一 %声，(599) где

^гЪ-^-гЪу^сЪ [1 + (2з2рь/з%)俨匕(1 ―爲)], (5.100) если равновесие электрически нейтрально /^ nkek — ^ V

В выражении (5.100)九=一(’£，nie^i\ I пое % коэффициент \ i = e，i / /

нейтрализации тока пучка обратным током в плазме. При /М=О в плазме нет обратного тока и 3$е(г)=/0, а при /м=1 обратный ток в плазме точно компенсирует ток пучка и 3$е(г)=О. Решение уравнения (5.99) в низкочастотной области (| со|2^；с2 Л2^)имеет вид

炉=(嗚-喝г 一%跳。%2丄/d炉丄+%J■ (5.Ю1)

Из (5.101) следует существование неустойчивых решений (Ims> >0), если выполняется условие

^2ръ^ь1 ^+Tb—^-rb)2>\.(5.102)

При выполнении неравенства (5.102) волны растут апериодически (Re(о = 0), если 炉丄 >炉。=(%еО/[%ь『〃(吟一嗎У — U и максимальный инкремент (который достигается при 胪丄》*》определяется как (рис. 21)

[Im G)]max=[s2pЬ俨Ь一(3+泌一旷心尸]^.(5.103)

Воспользовавшись выражением (5.100), условие возбуждения неустойчивости (5.102) можно переписать в эквивалентном виде

^2pb^b/^2cb[

1 + (2叫Ь)此(1一儿))

В неравенстве (5.104) член (^^pbl^cbj^b^—/м) описывает влияние равновесного собственного азимутального магнитного поля. Если пучково-плазменная система полностью нейтрализована по току (，м=1), то неравенство (5.104) сводится к 叫台俨ь/①％>1, т. е. к уже известному условию, которое приведено в начале данного раздела. В этом случае неустойчивость проявляется только тогда, когда плотность пучка достаточно велика и (или) когда аксиальное магнитное поле достаточно мало. С другой стороны, если обратного тока в плазме нет (，м=0), то условие (5.104) принимает вид

^2pb^b/^2cb]

1 + (2叫Ь/*/九一> -

Видно, что оно не может быть удовлетворено при любых значениях ^рь1'(^съ- Таким образом, если обратных токов в плазме нет и данный анализ применим, то система релятивистский пучок ——плазма устойчива по отношению к одномодовой нитевидной неустойчивости, распространяющейся перпендикулярно направленному движению релятивистских частиц B^ez. Из неравенства (5.104) можно определить пороговое значение коэффициента токовой нейтрализации, выше которого может существовать неустойчивость:

Например, если с^рьВ?"^2cb=2, то неустойчивость может появиться при 爲>3/4.

Стабилизирующее влияние собственного магнитного поля 5$е(г) [выражение (5.64)] на нитевидную неустойчивость можно пояснить следующим образом. Выше отмечалось, что разность ⑴+厂匕—— —а)~гъ играет роль циклотронной частоты пучка во всех формулах, касающихся свойств устойчивости. В самом деле, в системе координат, вращающейся вместе с пучком (⑪必和⑴+心),движение электронов пучка в плоскости, перпендикулярной вектору Вд, представляет собой вращение по окружности с частотой з+泌一，①一用. При /м=1 собственное азимутальное магнитное поле равно нулю и з+гь—，cor6=G)c& [выражение (5.100)]. В этом случае условие существования неустойчивости (5.102) сводится к условию ^ръ^ь!^съ>^, которое удовлетворяется, когда плотность пучка достаточно велика и (или) когда аксиальное магнитное поле достаточно мало. С другой стороны, при /м<1 эффективная циклотронная частота ^гъ—①一「6 больше <ось и соответствующее условие существования неустойчивости (5Л02) более трудно выполнимо. В самом деле, при /м=0 эффективная циклотронная частота ®+н)—^~тъ достаточно велика и неравенство (5.102) не может быть выполнено при любых значениях ^ръ^ъ1^съ-

В заключение подчеркнем, что учет распределения температуры по сечению пучка в уравнении (5.84) дает в уравнениях (5.99) и (5.101) поправки, связанные с конечным ларморовским радиусом, которые приводят к стабилизации неустойчивости в области больших значений 々丄 [например, Im со=О при 力丄^力maxL Так что пороговое для неустойчивости волновое число 々и имеет большее значение при /м<1, чем при /м=1, и максимальное волновое число 々max сдвинуто в сторону больших значений. В самом деле, из (5.85) можно показать, что 々max изменяется пропорционально 泌一8~гЬ)[бсЬ= [1 + 俨b/s%) (1 —储)]I/?.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приведенная ниже библиография, хотя и не совсем полная, содержит ряд основных работ, ставших классическими, и первых работ, посвященных интенсивным пучкам заряженных частиц и взаимодействию пучков с плазмой.

233

Монографии и обзоры по интенсивным пучкам и заряженной плазме

Bennett W. Н. — Phys. Rev., 1934, vol. 45, р. 890.

Alfven Н. — Phys. Rev., 1939, vol. 55, p. 425.

Пирс Дж. Теория и расчет электронных пучков: Пер. с англ. М.: Советское радио, 1956.

Lawson J. D. — Plasma Phys., 1959, vol. 1, p. 31.

Trivelpiece A. W. Slow-Wave Propagation in Plasma Waveguides. San Francisco, Calif., San Francisco Press, 1967.

Slater J. C. Microwave Electronics. N. Y., Dover Publication, 1969.

Девидсон P. Теория заряженной плазмы: Пер. с англ. М.: Мир, 1978. Davidson R. С., Hui В. — Ann. Phys., 1975, vol. 94, p. 209.

Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц: Пер. с англ. М.: Мир, 1980.

Макроскопическое равновесие и устойчивость

Bennett W. Н. — Phys. Rev., 1934, vol. 45, p. 890.

Brillouin L. — Phys. Rev, 1945, vol. 67, p. 260.

Samuel A. I. — Proc. IRE, 1949, vol. 37, p. 1252.

Mac Farlane С С., Hay H. G. — Proc. Roy. Phys. Soc., bond., 1950, vol. 63 B, p. 409.

Rigrod W. W., Lewis J. A. — Bell System Tech. J, 1954, vol. 33, p. 399.

Webster H. F. — J. Appl. Phys., 1955, vol. 26, p. 1386.

Pierce J. R. — IRE Trans. Electron. Devices, 1956, Vol. 3, p. 183.

Brewer G. R. — Proc. IRE, 1956, vol. 44, p. 896.

Buneman O. J. — J. Electron. Control, 1957, vol. 3, p. 507.

Lawson J. D. — J. Electron. Controol. 1958, vol. 5, p. 146.

Rigrod W. W. — Bell System Tech. J., 1959. vol. 38, p. 119.

Trivelpiece A. W., Gould R. W. — J. Appl. Phys., 1959, vol. 30, p. 1784.

De Pack D. C., Ulrich P. — J. Electron. Control, 1961, vol. 10, p. 139.

Potzl H. — Arch, elektr. Ubertrag., 1965, vol. 19, p. 367.

Neil V. K., Heckrotte W. — J. Appl. Phys., 1965, vol. 36, p. 2761.

Levy R. H. — Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 1288.

Buneman O., Levy R. H., Linson L. M. — J. Appl. Phys, 1966, vol. 37, p. 3203.

Knauer W. — J. Appl. Phys., 1966, vol. 37, p. 602

Daugherty J. D., Levy R. H. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 155.

Levy R. H., Daugherty J. D., Buneman O. — Phys. Fluids, 1969, vol. 12, p. 2616.

Briggs R. J., Daugherty J. D., Levy R. H. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 421.

Богданкевич Л. С., Рухадзе A. A. — Успехи физ. наук, 1971, т. 103, с 609. Rome J. A., Briggs R. J. — Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 796.

Кошкарев Д. Г., Зенкевич П. Р. — Particle Accelerators, 1972, vol. 3, p. L Kapetanakos C. A., Hammer D. A., Striffler C., Davidson R. C. — Phys. Rev.

Lett., 1973, vol. 30, p. 1303.

Kapetanakos C. A. — Appl. Phys. Lett., 1974, vol. 25, p. 484.

Девидсон P. Теория заряженной плазмы: Пер. с англ. М.: Мир, 1978.

Mahaffey R. A., Goldstein S. A., Trivelpiece A. W., Davidson R. С. — Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 35, p. 1439.

Davidson R. C., Uhm H. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 1938.

Swegle J., Ott E. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 1821.

Кинетическое равновесие и устойчивость

Nocentini A., Berk Н. L., Sudan R. N. — J. Plasma Phys., 1968, vol. 2, p. 31L Davidson R. C., Krall N. A. — Phys. Rev. Lett., 1969, vol. 22, p. 833.

Davidson R. C・，Krall N. A. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1543.

Иванов А. А., Рудаков Л. И. — Журн. эксперим. *и теорет. физ., 1970, т. 58> с. 1332

Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Журн эксперим и теорет. физ., 1969, т. 57, с. 966.

234

Hammer D. A., Rostoker N. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1831.

Benford G., Book D. L., Sudan R. N. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2621.

Davidson R. C. J. — Plasma Phys., 1971, vol. 6, p. 229.

Rensink M. E. — Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 2241.

Benford G., Book D. L. — In: Advances in Plasma Physics. Eds. Simon A., Thompson W. B. N. Y.: John Wiley and Sons, 1971, vol. 4, p. 125.

Ott E. —Plasma Phys., 1971, vol. 13, p. 529.

Брейзман Б. H., Рютов Д. Д. — Журн. экперим. и теорет. физ., 1971, т. 60', с. 408.

Ott Е・，Sudan R. N. Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 1226.

Рудаков Л. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1970, т. 59, с. 2094.

Lovelace R. V., Sudan R. N. — Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 27, p. 1256.

Абрамович В. Ю., Шевченко В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1386.

Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ , 1972, т. 61, с. 98.

Рухадзе А. А., Рухлин В. Г. — Журн эксперим. и теорет. физ., 1971, т. 61, с. 177.

Benford G. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 1242.

Davidson R. C., Lawson J. D. — Particle Accelerators, 1972, vol. 4, p. 1.

Benford G. — Plasma Phys., 1973, vol. 15, p. 433.

Kapetanakos C. A., Hammer D. A. — Appl. Phys. Lett., 1973, vol. 23, p. 17.

Davidson R. C., Uhm H., Mahajan S. M. — Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 1608.

Davidson R. C., Uhm H. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 771.

Davidson R. C., Uhm H. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 265.

O'Neil T. M・，Driscoll C. ；F. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 266.

Davidson R. C., Uhm H. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1375.

Uhm H., Davidson R. C. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23^ p. 813.

O'Neil T. M. —Phys. Fluids, 1980, vol 23, p. 725.

O'Neil T. M. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 2216.

De Grassie J. S., Malmberg J. H. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 63.

Теорема об устойчивости равновесийс монотонно спадающими функциями распределения

Bernstein I. В. — Phys. Rev., 1958, vol. 109, p. 10. (В данной работе приведено ранее неопубликованное доказательство теоремы Ньюкомба для однородной нейтральной плазмы.)

Fowler Т. К. — J. Math, and Phys., 1963, vol. 1, p. 359.

Gardner C. S. — Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 839.

Davidson R. C., Krall N. A. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1543.

Wong H. V., Sloan M. L., Thompson J. R., Drobot A. T. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 902.

Девидсон P. Теория заряженной плазмы Пер. с англ. М : Мир, 1978.

Sudan R. N., Rosenbluth М. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 972.

Коллективное ускорение

Alfven H., Wernholm P. — Arkiv Fysik, 1952, vol. 5, p. 175

Векслер В. И. — Proc. CERN Symp. on High-Energy Accelerators and Pion Physics. Geneva, CERN Scientific Information Service, 1956, vol. 1, p. 80.

Файнберг Я. Б. — Proc. CERN Symp. on High-Energy Accelerators and Pion Physics. Geneva, CERN Scientific Information Service, 1956, vol. 1, p. 84.

Будкер Г. И. — Proc. CERN Symp. on High-Energy Accelerators and Pion Physics. Geneva, CERN Scientific Information Service, 1956, vol. 1, p. 86.

Janes G. S., Levy R. H., Bethe H. A., Feld В. T. — Phys. Rev., i966, vol. 145, p 925

Саранцев В. П. — IEEE Trans. Nucl. Sci., 1969, vol. 16, p. 15.

Graybill S. IE., Uglum J. R. — J. Appl. Phys., 1970, vol. 41, p. 236.

Livingston R. S. — Particle Accelerators, 1970, vol. 1, p. 51.

Graybill S. E„ Uglum J. R. — J. Appl. Phys., 1970, Vol. 41, p. 236.

Keefe D. — Particle Accelerators, 1970, vol. 1, p. 1.

Красовицкий В. Б/— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1970, т. 59, с. 176.

Саранцев В. П. — Proc. 8th Intern. Conf, on High-Energy Accelerators. Geneva, CERN Scientific Information Service, 1971, p. 391.

Davidson R. C., Lawson J. D. — Particle Accelerators, 1972, vol. 4, p. 1.

Reiser M. — Particle Accelerators, 1973, vol. 5, p. 239.

Rostoker N. — Particle Accelerators, 1973, vol. 5, p. 93.

Sloan M. L., Drummond W. E. — Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 1234.

Белов H. E., Кислецов А. В., Лебедев A. H. — Атомная энергия, 1974, т. 36, с. 201.

Sprangle Р., Drobot A., Manheimer W. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 1180.

Clark W., Kron(P., Mondelli A., Rostoker N. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. 592.

Павловский А. И., Кулешов Г. Д., Герасимов А. И., Клементьев А. П., Кузнецов В. О., Тананакин В. А., Тарасов А. Д. — Журн. техн, физ., 1977, т. 47, с. 370.

Sprangle Р., Kapetanakos С. А. — J. Appl. Phys., 1978, vol. 49, p. 1.

Rostoker N. — Comments Plasma Phys, and Controlled Fusion Research, 1980〉 vol. 6, p. 91.

Davidson R. C., Uhm H. — Particle Accelerators, 1980, vol. 11, p. 135.

Davidson R. C., Uhm H. — Phys. Fluids, 1982, vol. 25, p. 2089.

Генерация когерентного излучения

Sukhatme V. P., Wolff P. A. — J. Appl. Phys., 1973, vol. 44, p. 2331.

Sprangle P. — J. Plasma Phys., 1974, vol. 11, p. 299.

Granatstein V. L., Sprangle P., Herndon M., Parker R. K., Schlesinger S. P.— J. Appl. Phys., 1975, vol. 46, p. 3800.

Granatstein V. L., Herndon M., Sprangle P., Carmel J. — J. Pfasma Phys., 1975, vol. 1, p. 23.

Colson W. B. — Phys. Lett., 1976, vol. 59 A, p. 187.

Elias L. R., Fairbank W. M., Madey J. M. J., Schwettman H. A., Smith T. L — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 717.

Kwan T., Dawson J. M., Lin A. T. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 581.

Krall N. M., McMullin W. A. — Phys. Rev., 1978, vol. 17 A, p. 300.

McDermott D. B., Marshall T. C, Schlesinger S. P., Parker R. K・，Granatstein V. L. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 1368.

Chu K. R・，Hirshfield J. X. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 461.

Hirshfield J. L.— In: Infrared and Millimeter Waves. Vol. 1. Sources of Radiation. Ed. Button K. J., N. Y. Academic Press, 1979.

Kwan T., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1089.

Bernstein I. B., Hirshfield J. L. — Phys. Rev., 1979, vol. 20 A, p. 1661.

Sprangle P., Smith R. A. — Phys. Rev., 1980, vol. 21 A, p. 293.

Davidson R. C., Uhm H. — Phys. Fluids, .1980, vol. 23, p. 2076.

Symons R. S., Jory H. R. — In: Advances in Electronics and Electron Physics. N. Y.: Academic Press, 1980, vol. 50.

Релятивистская высокочастотная электроника (сб.)/Под ред А. В. Гапонова- Грехова. Горький: Изд-во Ин-та прикладной физики АН СССР, 1981.

Internat J. Electron (Special issue on Gyrotrons). Ed. Granatstein, 1981》 vol. 51.

Гапонов А. В., Флягин В. А., Гольденберг А. Л., Нусинович Г. С., Цим* ринг Ш. Е., Усов В. Г., Власов С. Н. — Internat. J. Electron., 1981, vol. 51, p. 277.

Uhm H., Davidson R. C. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 1541.

McMullin W. A., Bekefi G. — Appl. Phys. Lett., 1981, vol. 39, p. 845.

Davidson R. C., McMullin W. A. — Phys. Rev., 1982, vol. 26 A, p. 1997.

Parker R. K., Jackson R. H., Gold S. H., Freund H. P., Granatstein V. L., Efthimion P. C., Herndon M., Kinkead A. K. — Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 48, p. 238.

Bekefi G. — In: Infrared and Millimeter Waves. Vol. 7. Coherent Sources and Applications. Ed. Button K・ J. N. Y., Academic Press, 1983.

Работы, приведенные ниже, по тематике прямо не связаны с исследованиями по、 интенсивным электронным пучкам. Они позволяют получить полезные представления о смежных областях: равновесиях, устойчивости и радиационных свойствах, плазмы.

Стикс Т. X. Теория плазменных волн: Пер. с англ. М.: Госатомиздат, 1965.

Montgomery D., Tidman D. Plasma Kinetic Theory. N. Y., McGraw Hill, 1964.

Bekefi G. Radiation Processes in Plasmas. N. Y., Wiley, 1966.

Климонтович Ю. Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. М.: Изд-во МГУ, 1964.

Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. — В кн: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1964, с. 188, вып. 4.

Сагдеев Р. 3., Галеев А. А. Нелинейная теория плазмы.——В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М., Атомиздат, 1973, вып. 7.

Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М.: Наука, 1967.

Davidson R. С. Methods in Nonlinear Plasma Theory. N. Y.: Academic Press^ 1972.

Кролл H. А., Трайвелпис А. В. Основы физики плазмы/ Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

Ишимару С. Основные принципы физики плазмы/ Пер. с англ. М.: Атом- издат, 1975.

Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. В кн.: Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1975,. т 3, с. 270.

Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1, 2. Изд. 2-е“ дополн. и перераб. М.: Атомиздат, 1975.

СОДЕРЖАНИЕ

Токовые неустойчивости и аномальное сопротивление плазмы А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев 5

Понятие об аномальном сопротивлении 5

Аномальное сопротивление плазмы с током вследствие развития ионно-звуковой неустойчивости в плазме без магнитного поля ..8

Ионно-звуковое аномальное сопротивление току поперек магнитного поля24

Аномальное сопротивление из-за других видов неустойчивостей 32

Двойные электрические слои в плазме34

Список литературы37

Коллективное взаимодействие пучка с плазмой Р. Н. Судан 38

Введение38

Инжекция пучков41

Нагрев плазмы индуцированным обратным током47

Коллективное взаимодействие пучка с плазмой49

Взаимодействие ионного пучка с плазмой80

Список литературы81

Моделирование методом частиц Дж. М. Доусон, А. Т. Лин 83

Введение83

Глава' 1. Модели частиц84

Общие сведения84

Методы расчета движения частиц85

Методы быстрого преобразования Фурье для расчета электрических и магнитных полей88

Электростатические модели89

Электромагнитные модели 91

Магнитостатические модели Дарвина94

Диагностика96

Глава 2. Расчет переноса в плазме поперек магнитного поля ..101

Общие сведения101

Теория двумерной диффузии102

Моделирование переноса в плазме, связанного с электростатическими конвективными ячейками105

Зависимость скорости диффузии отэнергии частиц ....108

Перенос в плазме, обусловленный флуктуациями магнитного поля1Ю

Глава 3. Моделирование методом частиц перестановочной неустойчивости 111

Глава 4. Вынужденное комптоновское рассеяние электромагнитных волн в плазме116

Общие сведения116

Теория вынужденного комптоновского рассеяния ....117

Результаты численногомоделирования121

Глава 5. Конверсия мод в замагниченнои плазме Глава 6. Моделирование новых плазменных явлений .

Общие сведения

Гиротрон

Лазер на свободных электронах

Ускорение заряженных частиц мощным лазерным импульсом к литературы ..*•••

с

L2.3.4.CА- «^ А- А- м

Равновесия и устойчивость интенсивных пучков Р. Девид- сон

130*

01494 713133 31414

7 7 9 4 о 068057 t 5 5 8 3 1 5 589734 4 4 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 о о 0 0 12 31 1 1 1 1 111111 1 1 111 2 22 2 2227 7 9 4 о 068057 t 5 5 8 3 1 5 589734 4 4 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 о о 0 0 12 31 1 1 1 1 111111 1 1 111 2 22 2 222

7 7 9 4 о 068057 t 5 5 8 3 1 5 58973

4 4 4 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 о о 0 0 12 3

1 1 1 1 1 111111 1 1 111 2 22 2 222

7 7 9 4 о 068057 t 5 5 8 3 1 5 58973

4 4 4 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 о о 0 0 12 3

1 1 1 1 1 111111 1 1 111 2 22 2 222

Глава 1. Общие сведения и методы теоретического описания заря женной плазмы

Вводные замечания

Движение заряженной частицы в заряженном электронном пучке

Теоретические модели для описания бесстолкновительных пуч ково-плазменных взаимодействий

Глава 2. Гидродинамическое равновесие и устойчивость заряжен ных пучково-плазменных систем

Гидродинамическое равновесие холодной плазмы ...

Макроскопическая модель пинча Беннетта

3. Электростатическая устойчивость заряженной плазмы ..

Резонансная ионная неустойчивость

Моды Гоулда — Трайвелписа

Диокотронная неустойчивость

7. Двухпотоковые неустойчивости в системах релятивистский пу чок — плазма

Глава 3. Свойства кинетических равновесий заряженных пучково плазменных систем

Теоретическая модель и основные предположения ...

Равновесия заряженных пучков

Равновесия интенсивных электронных пучков ....

Глава 4. Теорема об устойчивости кинетических равновесий заря женных электронных пучков

Глава 5. Кинетическое описание взаимодействия релятивистских электронных пучков с плазмой с учетом влияния больших собствен ных полей

Введение и основные предположения

Свойства пучково-плазменного равновесия

Свойства устойчивости пучково-плазменной конфигурации .

Примеры пучково-плазменных неустойчивостей ....

Список литературы

ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ

Дополнение к т. 2

Редакторы 3. Д. Андреенко и Е. В. Сатарова

Художественный редактор А. Т. Кирьянов

Технический редактор Н. Н. ХотулеваКорректор Г. А. Полонская

ИБ № 1112

Сдано в набор 19.01.84Подписано в печать 19 13.8!Т-07493

Формат 60 X 901/16 Бумага типографская № 1 Гарнитура литературная

Печать высокаяУсл. печ. л. 15,0Усл. кр.-отт. 15,0

Уч.-изд.л. 18.05 Тираж 1885 экз.3ai аз 3369 Цена 3 р.

Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзпо- лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, М-54, Валовая, 28

основы ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ